Libro Modelos de Crecimiento

Cesar Antunez.I Crecimiento Económico 2009 ECONOMÍA CRECIMIENTO ECONÓMICO Cesar Antunez Irgoin 0 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 1 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico CRECIMIENTO ECONÓMICO (Modelos de Crecimiento Económico) Cesar Antunez .I Diciembre del 2009 2 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Al invencible soberano que por si solo Gobierna a los dioses y a los hombres CARMEN 3 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico CONTENIDO Prólogo………………………………………………………………………………….…….9 Agradecimiento……………………………………………………………………….…….10 I. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………...12 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 Introducción al crecimiento…………………………………………………….14 ¿Qué causa el crecimiento económico?.........................................................15 Teorías del crecimiento económico………………………………………………16 Teoría del ciclo económico………………………………………………..………16 Teoría del desarrollo económico………………………………………………….17 II. CRECIMIENTO SIN PROGRESO TECNOLOGICO Y TASA DE AHORRO ENDOGENA…………………………………………………………………………………...18 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 Modelo de Harrod…………………………………………………………………20 Supuestos del modelo…………………………………………………………..…20 La regla del 72…………………………………………………………………...…20 Función de inversión……………………………………………………………….21 Trayectoria de crecimiento del producto……………………………………..…22 Tasa de crecimiento natural………………………………………………………25 Acerca del crecimiento proporcionado………………………………..…………26 Acerca de la inestabilidad…………………………………………………………26 Políticas de crecimiento ejercicios resueltos……………………………………27 Modelo de Domar………………………………………………………..………..28 Supuestos del modelo……………………………………………………………..28 Ecuación fundamental……………………………………………………………..30 Trayectoria de la inversión………………………………………………..……….30 Políticas de crecimiento ejercicios resueltos……………………………………31 Modelo básico de Solow…………………………………………………...……31 Supuestos del modelo…………………………………………………………..…32 Ecuación Fundamental de Solow………………………………………………...35 Crecimiento proporcionado……………………………………………………..…37 Sobre la estabilidad……………………………………………………………..…38 Beneficios, salaros y distribución del ingreso……………………………….....38 Distribución del ingreso………….……………………………...…………...……41 Modelo de Solow – Swan………………………………………………………..41 Supuestos del modelo……………………………………………………………..42 Ecuación fundamental de Solow – Swan…………………………………….….43 Estado de crecimiento proporcionado…………………………………………...43 Acerca de la Estabilidad………………………………………………………..….45 Dinámica de transmisión sobre la convergencia………………………………..47 La regla de la Oro de la acumulación…………………………………………....49 Políticas de crecimiento ejercicios resueltos……………………………………52 Modelo de Crecimiento de Uzawa……………………………………….........59 Supuestos del modelo………….…………………………………………………59 Sector de bien de consumo……………………….……………………………...60 Sector de bienes de capital…………………………………………………….....60 Ecuación fundamental de Uzawa………………………………………….….….61 4 …64 Supuesto del modelo………………………………………………………………65 Ecuación de beneficios…………………………………………………………….…92 Supuestos del modelo……………………………………………………………....6.……86 Progreso tecnológico exógeno y desincorporado………………………………87 Clasificación del progreso tecnológico………………………………………….8.114 5 ..2 2..2 2.6 2.Cesar Antunez. CRECIMIENTO CON PROGRESO TECNOLOGICO Y TASA DE AHORRO EXOGENA………………………………………..4 3..3..108 4.3.…68 Tres leyes de crecimiento de kaldor…………………………………………..6..113 Planteamiento………………………………………………………………………..………71 Función de ahorro de Pasinetti………………………………………………….1.…90 Modelo de Solow – Swan con progreso tecnológico exógeno…………………………………………………………………………...1.66 Crecimiento Económico……………………………………………………………67 Caso límite………………………………………………………………………..6.......2 Definiciones de técnica...5 2.…….75 Supuestos del modelo…………………………………………………………….…112 La función de progreso técnico………………………………………………...1 2... I 2..…89 Solow con progreso tecnológico exógeno y desincorporado………...1.1 2.………110 Planteamiento…………………………………………………………………….93 Ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico exógeno y desincorporado…………………………………………………….6.1 3..86 Schumpeter y los componentes de progreso tecnológico……………….....1 4.3 3... cambio técnico y progreso tecnológico………………………………………………………………….3.5 2.2.1.…….8 2.7.5.8.3 2..3 3.…………………..3.2 3....7 2..2 Modelo de Hicks…………………………………………………………..72 Supuesto en el largo plazo……………………………………………………….3 3..2 2....84 3..113 Características…………………………………………………………………….1 4.....1 4.8..2 4..2 4.110 Modelo de aprendizaje de Arrow………………………………………………..2 3..…94 Política de crecimiento ejercicios resueltos………………...74 Modelo de Kalecki……………………………………………………………….…97 3.81 III.1 2......6.4 2....1 4. tecnología..2.8........76 Análisis de corto plazo……………………………………………………………..1.2 4.77 Análisis de largo plazo……………………………………………………………...…110 Proposición / Aplicación……………………………………………………...88 Clasificación general del progreso tecnológico……………………………...4 Crecimiento Económico Estado de crecimiento proporcionado…………………………………………...3 2.1 3.……………………………………………………...3 4.……93 Estado de crecimiento proporcionado…………………………………………....111 Planteamiento…………………………………………………………………….1 3.3 2.…68 Modelo de Pasinetti………………………………………………………………70 Supuestos del modelo……………………………………………………..1..78 Crecimiento económico de largo plazo…………………………………………..3......4 IV... CRECIMIENTO CON PROGRESO TECNOLOGICO Y TASA DE AHORRO ENDOGENA………………………………………………………………………………….7...7......62 Modelo de Kaldor(Enfoque de Cambridge)………………………………..3..…112 Hipótesis…………………………………………………………………………. 3 Modelos AZ……………………………………………………………….164 Modelo de crecimiento con gobierno…………………………………….2. MODELOS NEOCLASICO DE CRECIMIENTO ÓPTIMO……………………….7.6.3 5.…153 Modelo de Romer con externalidad de capital…………………………….…148 Supuestos del modelo…………………………………………………………….3 6. ENFOQUES RECIENTES DE CRECIMIENTO ENDOGENO………………………...174 Modelo de crecimiento con gasto público……………………………………178 Supuestos del modelo………………………………………………….182 Modelo de crecimiento Neoclásico con capital Humano…………….7 6.Cesar Antunez.……159 Tipología……………………………………………………………………………..7 5.….1.7.2 5.7.6.4 6.138 6.2.121 El problema de la convergencia…………………………………………….4.1 6..5..1.3 6.…163 Supuestos del modelo………………………………………………………….1 6.5 6.2 6.…..3 6..….180 Tipología…………………………………………………………………………….3.……164 Análisis…………………………………………………………………………..184 Supuestos del modelo……………………………………………………….……….188 6 .……184 Ecuación dinámica del sector de producción del bien final…………….143 Características del modelo…………………………………………………….6.1 6..….2 6.5 5.4.1 6.144 Modelo AZ con la función de producción Cobb-Douglas………………….1.1 6.5.2 6..163 Ecuación fundamental……………………………………………………….3.2 6..….1 5.1 6.……116 5.…134 Estado de crecimiento proporcionado……………………………………………136 VI.4.....1.……125 Sistema de ecuaciones diferenciales (Diagrama de fases)……………………127 Estado de crecimiento proporcionado……………………………………………128 Dinámica…………………………………………………………………………….120 Ecuación de Movimiento………………………………………………………….4 6.2 6.5.1.….2.1 5.1.….2 5...1.……171 Análisis………………………………………………………………………………..1 6.6 6.2 Modelo de Ramsey -Cass-Koopmans……………………………………….….142 Dinámica de transmisión……………………………………………………….1.3.2..4 6..5..157 Ecuación fundamental………………………………………………………...……………..148 Transformación de la función Cobb-Douglas…………………………….169 Ecuación fundamental……………………………………………………….140 Supuestos del modelo……………………………………………………….………151 Ejercicios resueltos……………………………………….……..140 Ecuación fundamental…………………………………………………………..……145 Modelo de crecimiento con sector capital Físico y Humano…………..4 6..173 Problemas resueltos…………………………………………………………….……122 Planteamiento del problema………………………………………………….…157 Supuestos del modelo………………………………………………………….1.1..2 6.3 6.3 6..2 6..3 6.118 Supuestos del modelo…………………………………………………………….148 La ecuación fundamental…………………………………………………….……….6 5...2.3 6.4 5.……..…..2.……169 Supuestos del modelo………………………………………………………….1 5. I Crecimiento Económico V..…..159 Modelo de Lucas……………………………………………………………….2 6....187 Ecuación dinámica del sector del sector educación…………………………….1 6..…131 Sistema de ecuaciones diferenciales………………………………………….…….1..…………178 Planteamiento del problema……………………………………………………….5 6..1..130 Modelo Neoclásico de Ramsey con progreso tecnológico……………. 10.....226 6.……193 Modelo de crecimiento con educación (Uzawa)……………………….13.……241 7. CRECIMIENTO ECONOMICO EN LA PERIFERIA…………………………………….…….....2 Determinación de la tasa de crecimiento……………………………….11 6.………238 7..10.……….……….…197 Sector educación……………………………………………………………...Manuelli………………………………………………….1...210 Supuestos del modelo………………………………………………………..236 7..….….219 6.238 7..197 Sector de producción del bien final…………………………………………….2 6.4 Concepción de desarrollo………………………………………………………….237 7.……...1 Supuesto del modelo……………………………………………………….2 Estado de crecimiento proporcionado………………………………….1 Supuestos del modelo……………………………………………………...….2 A.3 Crecimiento Económico Modelo de crecimiento con educación (Jones)………………………….……..235 7.....3.9.…214 6.200 Supuestos del modelo…………………………………………………….1 Modelo de Lewis…………………………………………………………………….…....….191 Supuestos del modelo…………………………………………………………. I 6.3 Derivadas……………………………………………………………………………249 Reglas de derivación………………………………………………………….3..13 Contabilidad de crecimiento o fuentes de crecimiento………………….11.…219 6.Cesar Antunez.5 Crítica del modelo………………………………………………………………….8 6.4 6.……210 Ecuación dinámica fundamental…………………………………………….....3 Acumulación de capital……………………………………………….....1 A.10 6.….1 Supuestos del modelo……………………………………………………..……213 Planteamiento del problema……………………………………………………..12.……233 7...198 Modelo de acumulación de capital Humano (Lucas)………………….231 7.2 Ecuación dinámica fundamental……………………………………………….….221 6.3 6.…………252 7 .9.3 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………229 VII..1 A.……241 7.2.11.3 Modelo de crecimiento con factor tierra………………………………….8.…203 Planteamiento del problema……………………………………………………….12 Modelo de Jones .…250 Tasas de crecimiento…………………………………………….1..252 Tasas de crecimiento logaritmo natural…………………………….3.…….…201 Función de producción del bien final………………………………………..…….1.1..………232 7.1.13...1.11.2 Modelo de Solow con economía abierta……………………………………….204 Modelo de Aprendizaje y Derrame de Conocimiento…………..9 6..….….2 6.……202 Sector Educación……………………………………………………………….1 6..8....…..…191 Ecuación dinámica fundamental………………………………………..224 6...232 7....2 6.12.1 6.9..1.3 Tipología………………………………………………………………………….…224 6.1 6.…..1.239 7...10.…….1 Supuestos del modelo……………………………………………………….……244 7.2 Contabilidad de crecimiento con una función Cobb-Douglas………….13.1 Supuesto del modelo………………………………………………………...2..….1 6.3 6.………..2 Mercado de trabajo y distribución del ingreso………………..247 A....2 6.….10.……196 Supuestos del modelo………………………………………………………….….245 APENDICE DE REVISIONES MATEMATICAS……………………………………………... ..16 Swan Trevor……………………………………………………………………….....…..........................................Cesar Antunez......266 B..9 Phelps Edmun………………………………………………………………..283 8 .......17 Uzawa Hirofumi………………………………………………………………..........253 A......................273 B..3 Caso de múltiples variables…………………………………………….......................3 Harrod Roy ………………………………………………………………………......…262 B...........…260 B.....275 B.........280 B.....271 B.14 Schumpeter Joseph………………………………………………………………...261 B....................5 Kaldor Nicholas………………………………….…......257 B.....276 B...….........................2 Domar David ……………………………………………………………………........281 BIBLIOGRAFÍAS…………………………………………………………………………………...........15 Solow Robert..1 Arrow Kenneth …………………………………………………………………....................8 Lewis Arthur.....4 Hicks John …………………………………………………………....................7 Kuznets Simon ……………………………………………………………………................267 B........279 B.......……269 B.......10 Ramsey Frank....…259 B.........................278 B......2 Optimización dinámica: Teoría de control óptimo....………254 BIOGRAFIAS………………………………………………………………………………………........................12 Robert Lucas……………………………………………………………………....11 Rebelo Sérgio…………………………………………………………………... I Crecimiento Económico A..................…………263 B.................6 Kalecki Michal ……………………………………………………..13 Romer Paul…………………………………………………………………………..........265 B............... Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 9 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico PRÓLOGO C recimiento Económico en son apuntes de estudio, que ha sido desarrollado como material de consulta para el mejor entendimiento del lector, de manera rápida y de optimización dinámica aplicadas al análisis económico, y un concisa de los modelos de crecimiento. Este material tiene como finalidad introducir al lector en las técnicas razonamiento económico de los modelos de crecimiento. Se exponen modelos que buscan explicar los determinantes del crecimiento económico, así como las diferencias de largo plazo en los niveles de ingreso por habitante entre países con énfasis a economías emergentes. En este texto expondremos las principales teorías, que han sido divididas por capítulos para su fácil entendimiento. El capítulo I: Trataremos de introducir al lector de forma rápida y sencilla sobre las causas del crecimiento y las teorías del crecimiento. Capítulo II: Hablaremos del modelo del modelo de Harrod, de Domar, el modelo básico de Solow, el modelo de Solow – Swan, el modelo de Crecimiento de Uzawa, el modelo de Kaldor, el modelo de Pasinetti y el modelo de Kalecki. Capítulo III: Hablaremos del crecimiento con progreso tecnológico y tasa de ahorro exógena en esta parte explicaremos la técnica, tecnología, cambio técnico y progreso tecnológico. Solow con progreso tecnológico exógeno y desincorporado y el modelo de Solow – Swan con progreso tecnológico exógeno. Capítulo IV: Veremos el crecimiento con progreso tecnológico y tasa de ahorro endógena, hablaremos, del modelo de Hicks, el modelo de aprendizaje de Arrow y la función de progreso técnico. Capítulo V: Trata de los modelos neoclásico de crecimiento optimo, es esta parte de explica el Modelo de Ramsey -Cass-Koopmans y el modelo Neoclásico de Ramsey con progreso tecnológico. Capítulo VI: Trata del enfoques recientes de crecimiento endógeno, hablaremos del modelo AZ, el modelo de crecimiento con sector capital Físico y Humano, con externalidad de capital, el Modelo de Lucas, con gobierno, con gasto público, el modelo de crecimiento Neoclásico con capital Humano, el modelo de crecimiento con educación de Jones y Uzawa, con acumulación de capital Humano, el Modelo de Aprendizaje y derrame de conocimiento, el modelo de Jones – Manuelli y Contabilidad de crecimiento o fuentes de crecimiento. Capítulo: VII: Para finalizar explicaremos los modelos de crecimiento en la periferia, como el modelo de Lewis, el modelo de Solow con economía abierta y el modelo de crecimiento con factor tierra. 10 Cesar Antunez. I Agradecimiento: Crecimiento Económico Este libro no hubiera sido posible, sin la valiosa ayuda de las siguientes personas: Del Economista Carlos Contreras Paz, que me impartió el curso de Crecimiento Económico en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, gracias a lo cual empecé a escribir este libro con ayuda de sus notas de clase. Por último, el agradecimiento a las personas que dedico este libro. Como diría el gran Althea Gibson “Cualesquiera que hayan sido nuestros logros, alguien nos ayudó siempre a alcanzarlos”. A mis padres que con su enorme esfuerzo e interés en mí siempre tuvieron que dispusiera de las condiciones y medios para estudiar, que sin esta importante ayuda no hubiera sido posible la realización de este libro. Cesar.H Antunez Irgoin. Lima, diciembre del 2009. 11 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 12 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Capítulo I Introducción “El crecimiento económico es un fenómeno complejo en el que, mediante la acumulación de más y mejores factores productivos y de su utilización mediante técnicas cada vez más productivas, las economías son capaces de generar una mayor cantidad de bienes y servicios. Se trata además de un proceso dinámico que entraña un cambio continuo en la estructura sectorial. De hecho, este último podría ser considerado como uno de los hechos estilizados del crecimiento.” Kuznets (1973). Citado Por: Lorenzo Serrano (1998), Pág.:3 13 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 14 . 1 15 .1 El crecimiento no es espontáneo. y por las consecuencias que tiene en países desarrollados y en vías de desarrollo.UU. Crecimiento económico = (PBI t – PBI t-1) / PBI t = ΔPBI / PBI donde PBI t: Producto bruto interno en el período t.000 el primer año y $21.1 Crecimiento Económico Introducción al Crecimiento El crecimiento económico es importante hoy más que nunca. Variación del producto bruto interno. significa que la economía experimentó un crecimiento económico real per-cápita. Donde los valores están generalmente expresados en términos pre-capital. si el PIB real per-cápita fue $17. sino es el resultado de la combinación de los componentes del crecimiento y de la política económica que el gobierno aplica.000 el segundo. ya que mejora el bienestar materiales disponibles y por ende una cierta mejora del nivel de vida.1: El Crecimiento Económico El crecimiento se calcularse en términos reales para excluir el efecto de la inflación. Esto quiere decir que un nivel de crecimiento elevado mejora el bienestar de la población de un país. I 1. salud vivienda y alimentación y con esto mejor posibilidades de vida. por la crisis financiera que esta pasado EE. Un ejemplo de esto es que si aumenta. La definición de crecimiento económico se puede interpretar como el incremento porcentual del producto bruto interno de una economía en un período de tiempo. 2 supone que un elevado crecimiento económico es beneficioso para el bienestar de la población. Pero ¿qué es el de crecimiento? Que nos ayuda a medir el bienestar de la población de un país o región económica y del éxito de las políticas económicas. cuando la economía mundial atraviesa una desaceleración económica. Mejora tanto en la educación.2 Gráfica 1. PBI t1: Producto bruto interno en el período t-1 y ΔPBI.Cesar Antunez. Recursos naturales Imaginemos un país que presenta mayores recursos naturales que otro país y puede producir más bienes y servicios. I posee mayores recursos naturales en su país que II. recursos naturales. Mientras mayor sea el capital humano de las personas en un país. Ello conduce a un crecimiento económico.2 ¿Qué causa el Crecimiento Económico? Existen diversos factores que pueden afectar el crecimiento económico de un país. Supongamos que estos dos países están expresados por. Un aumento en la productividad laboral aumenta también la producción de la economía. Estos avances tecnológicos suelen ser el resultado de nuevos bienes de capital o nuevos métodos de producción. I Crecimiento Económico En el Gráfico [1. conduce al crecimiento económico. Avances Tecnológicos Los avances tecnológicos permiten aumentar la producción usando la misma cantidad de recursos y esto se puede ver en estos tiempos en que la tecnología simplifica el trabajo como por ejemplo de los obreros. “I” y “II” se sabe que presentan similitudes en casi todos sus ámbitos. así como sus beneficios. capital.1] se puede observar. Capital Dentro de los bienes de capital se incluyen las fábricas y maquinarias. 1. capacitación laboral y experiencia laboral. mayor será su crecimiento económico de este país. costo que tiene para esta sociedad y los factores que influyen en el crecimiento económico. educación y desempeño laboral. la importancia del crecimiento económico para la sociedad. Sin embargo. Mano de Obra Cuando existe más mano de obra (productiva). un país debe reducir el consumo actual. la producción de un país aumenta. Es más probable que “I” tenga un mayor crecimiento económico que el otro país ”I”. Capital Humano Se refiere al conocimiento y habilidades que las personas adquieren gracias a la educación. con la cual se aumenta la producción del PIB real de la economía. El crecer su economía en base a trabajadores que poseen una buena capacitación. La inversión que se realiza en estos bienes de capital puede contribuir a aumentar la productividad laboral. Los modelos que se presentan en este libro utilización estos factores para explicar el crecimiento económico como son: trabajo. Con lo cual no significa que a mayor trabajadores mayor producción sino lo más importante para el crecimiento económico es la productividad laboral de los trabajadores. capital humano. La productividad laboral es la producción total dividida por el número de horas que se tarda en producirla bienes o servicios.Cesar Antunez. avances tecnológicos. Para aumentar la inversión en bienes de capital. 16 . Burns. 1. pero no fue hasta 1940. La actividad económica se distingue por su forma cíclica. La decisión es invertir en el sector público y en el sector privado. contracción y recuperación. Como veremos a largo de este libro. que son simplificaciones de la realidad. política y social. Definieron que el ciclo económico es el cambio o fluctuación que encuentra la actividad económica de las naciones. que surgió una definición clara de los ciclos económicos. para su trabajo (mas capital). productividad.5 Teoría del Desarrollo Económico Estas buscan modificar la estructura económica. Estos modelos de crecimiento económico no se refieren a ninguna economía en particular. Auspiciados por National Bureau of Economic Research (El Escritorio nacional de Investigación Económica) en Nueva York. Aunque en existen varias formas de medir la actividad económica agregada. debido a los esfuerzo de un grupo conformado por: Wesley Clare Mitchell y Arthu F. las oportunidades de empleo y dinamizar las exportaciones y tratar de liberarse de la dependencia de otros países desarrollados. generalmente la duración de los ciclos es variable presentando una media de unos ocho años aproximadamente. 17 . aunque sí pueden ser contrastados empíricamente. y han intentado explicar los fenómenos de crecimiento y desarrollo a lo largo de la historia. Las teorías de crecimiento económico explican sus causas utilizando modelos de crecimiento económico. Las teorías del crecimiento vienen desde los tiempos de Adam Smith hasta nuestros días. que trabajadores con un mayor stock de conocimientos son más productivos (educación. como veremos son muchos los autores que explican el crecimiento económico con estas tres variables en los modelos que plantean.Cesar Antunez. seguida por recesiones generales. I 1. Un ciclo consiste de expansión de hechos que ocurre al mismo tiempo en muchas actividades económicas. se puede medir mediante el ingreso real. o nivel de producción de pleno empleo. 1. Donde el desarrollo económico se logra agilizando significativamente la producción. las causa del crecimiento económico se deben: Que la economía crece porque los trabajadores tienen cada vez más instrumentos.4 Teorías del Ciclo Económico Los ciclos económicos han sido estudiados por más 150 años.3 Crecimiento Económico Teorías del Crecimiento Económico Son muchos las teorías económicas de crecimiento se refieren al crecimiento de la producción potencial. ¿Por qué es importante el ciclo? Por que nos ayuda a ver las fluctuaciones de la actividad agregada. incrementaría el capital humano) y que la economía crece por el proceso tecnológico. I Crecimiento Económico 18 .Cesar Antunez. y el valor. Confucio 19 .Cesar Antunez. que lo libra del miedo”. la sabiduría que lo libra de la duda. I Crecimiento Económico Capítulo II Crecimiento sin progreso tecnológico y tasa de ahorro endógena “Estas tres señales distinguen al hombre superior: La virtud que lo libra de la ansiedad. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 20 . 1 Supuestos del modelo Harrod considerara para su modelo que: Sea una economía sin relacionada con el exterior El ahorro agregado “S” es una fracción (proporción) constante “s” del ingreso nacional (renta) “Y”.Y . El proceso de producción de la economía hay una sustituibilidad nula de los factores de la producción. La función de producción escribe de la siguiente forma: El artículo de Harrod que se titula “An Essay in Dynamic Theory” (Un Ensayo en la Teoría Dinámica).1 Crecimiento Económico Modelo de Harrod Roy Harrod (1939) elabora un modelo que explicar el crecimiento económico a largo plazo. creía que ambos fenómenos deberían ser estudiados conjuntamente.1. Con esto Harrod puede distingue que las fluctuaciones en la trayectoria de crecimiento y las fluctuaciones. de manera que para generar una unidad de producto (output) se necesitará de “u” (coeficiente fijo) unidades de capital y de “v” (también coeficiente fijo) unidades de mano de obra. son cosas distintas. concluye que la relación que determina la tasa de crecimiento es inestable. Función de Producción Agregada Según Harrod la sociedad tiene una función de coeficientes fijos (capital y trabajo) de Leontief. de manera equilibrada (regular). que en la actualidad se conoce como los ciclos de negocios. Harrod demostrará años mas tarde que la inestabilidad del crecimiento económico. y por su característica del multiplicador que influya en la demanda y por su apariencia de oferta aumenta la capacidad de producción. Keynes al introducir anticipadamente que el crecimiento es la determinación de la inversión en la economía. sin embargo.3 2. se puede obtención de la estabilidad y esta puede ser el fruto del azar o de intervenciones de estabilizaciones derivadas de instrumentos monetarios y presupuestarios del Estado. Inspirando en este análisis. Por que usado el principio de Keynes que la inversión juega una doble función en la economía: Determina el ingreso y la demanda global. Califico su teoría como el matrimonio entre “el principio de aceleración” y la “teoría del multiplicador” expresando con esto su posición keynesiana. Lt = L0 (1 + n) t La demanda es igual a la oferta. De manera que la condición para un crecimiento regular y equilibrado en la economía se realiza cuando el crecimiento de la oferta es igual al crecimiento de la demanda.Cesar Antunez. S = s. ahorros. Marzo 1939. Publicado en The Economic Journal (El Periódico Económico). La fuerza de mano de obra “L” crece a una tasa constante. I 2. 3 0 < s <1 la tasa de incremento del ingreso es un determinante importante de su demanda de 21 . de esta manera satisface el principio del acelerador. 22 . las isocuantas toman la forma de ángulo recto. Si la tasa de crece 7% entonces se duplicara cada 10. el resultado es el número de años necesario para el producto. Si la tasa de crece 5% entonces se duplicara cada 14. Por ejemplo: Si la tasa de crece 1% entonces se duplicara cada 72 años. revisten la forma de una forma de escuadras con esquinas a lo largo de la línea [0( K / L)] . el u producto nacional será igual a la función de producción de Leontief. Esa línea es el lugar geométrico en el que la ratio K y L es v .Cesar Antunez. Si la tasa de crece 3% entonces se duplicara cada 24 años. 2. t ⎬ ⎩ v u⎭ Donde: Yt : Producto agregado en el periodo “t” K t : Stock de capital agregado en el periodo “t” Lt : Función de trabajo (La mano de obra o producción económica activa) en el periodo “t” v : Relación capital – producto u : Relación trajo – producto En la gráfica [2.28 años.1. L). En economía empleamos la regla del 72 para determinar el tiempo necesario para duplicar la tasa de crecimiento del producto Se emplea dividiendo 72 entre la tasa.1] se observamos la imposibilidad de sustituir (K.2 La regla de 72 Esta regla nos permitirá determinar el tiempo necesario para que cualquier variable necesite para duplicarse. sí los inputs están plenamente empleados. Además. Si la tasa de crece 8% entonces se duplicara cada 9 años. Si la tasa de crece 4% entonces se duplicara cada 18 años. hay que añadir que la unión de lo vértices de los ángulos es el único camino para aumentar o disminuir la cantidad del producto.4 años. dados los coeficientes fijos. o mejor dicho.1: La función de producción de Harrod ⎧K L ⎫ Yt = Min ⎨ t . Si la tasa de crece 2% entonces se duplicara cada 36 años. Si la tasa de crece 6% entonces se duplicara cada 12 años. I Crecimiento Económico Gráfica 2. Partiendo de la condición de equilibrio en la que la demanda iguala a la oferta.1. pero en los ejemplos anteriores se a considerado todos los decimales del ln(2).cápita se determina por el tiempo t*. aplicar la regla practica de 0.7 que es el logaritmo neperiano a todos los ejemplos. mientras que la inversión es el incremento en el stock de capital. g 2. estos significa que el volumen de la inversión va depender directamente de la variación del producto. dado el coeficiente de aceleración.7. y 0 .capita inicial es igual a y (t ) = 2. establecemos que el ahorro iguala a la inversión (economía sin relación con el exterior). 23 . queda como ejercicio para el lector. Por lo tanto. 4 Para fines practico de la reglase concederá el ln(2) = 0. Cual se considera que el ingreso per . El ahorro es una fracción s del ingreso.e gt es el tiempo que necesitamos para duplicarse el ingreso per .3 Función de inversión Harrod nos dice: Que la inversión es tipo aceleradora. Si la tasa de crece 12% entonces se duplicara cada 6 años. Esto que expresado por la ecuación. I Si la tasa de crece 9% entonces se duplicara cada 8 años. si reemplazamos en la ecuación queda 2. y 0 = y 0 . Demostración de la regla del 72 Crecimiento Económico Sea y (t) el ingreso per .Cesar Antunez. t ∗ = Veamos algún ejemplo de esta regla con tasa de crecimiento: ln(2) . Entonces y (t ) = y 0 .cápita en el momento “t” y se supone que y0 se el valor inicial del ingreso per-cápita.e gt aplicado logaritmo neperiano y despejando t quedara expresado como4. mientras que la inversión es el incremento en el stock de capital.Cesar Antunez. El ahorro es una fracción s del ingreso. respecto a la aceleración capital – producto requerida.Y I se ve el rol del multiplicador tiene en esta teoría. I Crecimiento Económico I t = v.ΔYt Donde: v : Coeficiente de aceleración. establecemos que el ahorro iguala a la inversión. Y constante. ΔYt : Variación del producto. 2 Y ΔY Y Δ ( K / Y ) = Δ (v )⇒ 24 . relación capital – producto. la que en realidad ocurre 5 Si diferenciamos e igualamos cero a K/Y (que es constante. Si rescribimos de esta forma como Y = Obtenemos: ΔY s r = Yr vr La ecuación puede ser reescrito como ΔY s r = = g W . esta ecuación puede aproximarse con la siguiente formulación5. El crecimiento equilibrado se puede empezar por analizar por el ahorro ex-ante (deseado) y la inversión ex-ante sean iguales y después analizar de qué manera el crecimiento equilibrado requiere que se sostenga sin discontinuidad la proporción ex-ante entre el stock de capital y el ritmo de producción. I t : Volumen de inversión. Partiendo de la condición de equilibrio en la que la demanda iguala a la oferta. es decir. La tasa de crecimiento garantizada es aquella tasa decrecimiento del producto. a) Análisis Ex-ante Antes que ocurra el fenómeno de los hechos que van hacer variables planeadas. La inversión se iguala con el volumen de ahorro se hay. la ecuación fundamental de Harrod Yr v r Debido a que v = ΔY es el incremento que efectivamente ocurre en el stock de capital ante ΔK Un incremento en una unidad en el nivel de ingreso. entonces) tenemos K ΔK Y ΔK − K ΔY = = 0 .ΔY = s. como la razón de la propensión marginal ahorra requerida. El análisis ex post analiza la cantidad realizada efectiva. s Dividiendo ambos lados de la ecuación entre el cambio en el nivel de ingreso ΔY . gW = s ΔYr Yr La tasa de crecimiento efectiva. Del equilibrio macroeconómico tenemos: I = S = ΔK → v. que hace que los empresarios se sientan satisfechos por haber formulado un volumen. I Crecimiento Económico Donde: r : Subíndice requerido o planeado. Harrod no dice. Debido a esto él consideró que gW representa una trayectoria de equilibrio pero inestable 6 25 . Por lo que los empresarios tendrán incentivos para seguir haciendo lo mismo. 2. Si la inversión ex post es inferior a la ex ante entonces habrá un estímulo para el incremento de la producción.producto requerido. a) Trayectoria de Crecimiento Garantizada Es la ruta de crecimiento del producto de satisface a los empresario. v r : Relación capital . pues habría ocurrido una reducción indeseada de stocks de producción que son insuficientes. Dado que la trayectoria de la producción que se sigue con la g w es un movimiento en equilibrio. Para Harrod el equilibrio dinámico es intrínsecamente inestable6. partir de la identidad. De la identidad macroeconómica (Oferta igual a la demanda) tenemos.Cesar Antunez.4 Trayectoria de Crecimiento del producto En esta parte se va definir la trayectoria de crecimiento garantizada y efectiva.producto efectivo. que en el campo de la dinámica a diferencia de lo que ocurriría en el campo de la estática. Yt = Y0 (1 + g w ) t Esta ecuación nos dice. al igual que el ahorro y la inversión a través del tiempo. I e = S e ⇒ v e .(ΔYe ) = s e . v e : Relación capital . que el producto en el periodo “t” crece a la tasa de crecimiento garantizada. una salida de la trayectoria de equilibrio en vez de autocorregirse se autoempeora.1. g e : Tasa de crecimiento efectiva. partir de su valor inicial “ Y0 ”. g w : Tasa de crecimiento garantizada. b) Análisis Ex-post Este efectúa un análisis considerando las variables después del fenómeno ocurrido. con sus respectivas demostraciones. s e : Propensión marginal ahorrar efectiva. y ella representa que los productores han hecho las cosas tal como debían haber sido hechas. Lo contrario ocurrirá si la inversión ex ante es inferior a la ex post. s r : Propensión marginal ahorrar. entonces tenemos g e = e Ye ve ve e : Subíndice efectivo u observado.Ye ⇒ Donde: ΔYe s e s = . s: La propensión marginal ahorrar (la fracción del ahorro con respecto al PBI) ⎛ s ⎞ Yt = Y 0 ⎜ 1 + r ⎟ ⎜ vr ⎟ ⎝ ⎠ I = S ⇒ v r . De la condición de equilibrio macroeconómico Yt +1 − b.b t . I Crecimiento Económico Donde gW es la tasa de crecimiento garantizada (“warranted rate of growth”) de la economía.Yt = 0 Dividiendo a la ecuación anterior entre v r ⎡v vr s ⎤ . No existe tendencia inherente alguna coincidan pues. Esta depende del incremento de la población. Ecuación diferencial ordinaria.Yt − ⎢ r + r ⎥. b = ⎢1 + ⎡ ⎣ sr ⎤ ⎥ . 1º grado (coeficiente constante “t”) y termino nulo.Yt +1 − v r . Yt = A.Yt v r .Yt ⇒ v r . A = es constante Y0 vr ⎦ Reemplazando en la solución homogénea b) Trayectoria de Crecimiento Efectivo ⎛ s ⎞ Yt = Y 0 ⎜ 1 + r ⎟ ⎜ vr ⎟ ⎠ ⎝ t Es la ruta de crecimiento de la producción efectiva a través del tiempo Yt = Y0 (1 + g e ) t ⎛ s ⎞ Yt = Y0 ⎜1 + e ⎟ ⎜ v ⎟ e ⎠ ⎝ t Crece a una tasa constante y lo hace a través del tiempo del producto efectivo en el periodo “t” a la tasa constante efectiva “ g e ” y lo hace a partir de su valor inicial. Para esto plantea un análisis de dinámica.ΔYt +1 = s r .Cesar Antunez. para empezar. b >0 y t>0 Donde.Yt − s r .Yt = 0 Características de la ecuación.[Yt +1 − Yt ] = s r . 26 . el equilibrio de mercado de trabajo ocurre cuando se igualan las tasas de crecimiento de la oferta con la demanda de trabajo. A>0.5 Tasa de Crecimiento Natural Harrod considera también que hay una tasa de crecimiento el cual la llama tasa natural.Yt = 0 v r . 1º orden (Primera diferencia).Yt +1 − (v r + s r ).1.Yt = 0 vr ⎣ vr vr ⎦ t Demostración. Solución homogénea. 2. no existe una única tasa de crecimiento garantizado ya que esta depende del nivel de actividad. Proposición de keynes Keynes nos dice que la economía en el corto plazo puede tener un equilibrio con desempleo (diferencia con los clásicos). donde cualquier diferencia entre la tasa de crecimiento efectivo y la tasa de crecimiento garantizado lleva a la economía alejarse del equilibrio. Ante lo cual los 7 El lector puede concluir que.Cesar Antunez. riesgo y que los capitalista para inversión. cuando la tasa garantizada empieza a exceder la tasa natural. Caso II (ge > gW) En este caso de plante el auge e inflación.1. en consecuencia es muy difícil que se igualen las tres tasas de crecimiento por que cada uno de ellos es independiente. Por esto. por eso nos plantea dos casos: Caso I (ge < gW) Este el caso entre recesión e inflación. en el cual su modelo de crecimiento proporcionado se expresa cuando se iguala a las tres tasa de crecimiento.7 Acerca de la Inestabilidad Harrod no da su proposición en que la economía en el argo lazo tiende a un equilibrio inestable. Si la tasa de crecimiento posible fuera superior a la tasa natural se produciría una tendencia a la depresión. ampliando la brecha de diferencia con la cual se expresa la recensión de la economía.6 Acerca del Crecimiento Proporcionado Harrod nos dice que el crecimiento en el cual todas las variables agregadas crecen a la misma tasa constante. se plante a que el incremento del capital efectivo supera al incremento del capita requerido ante lo cual los empresarios los empresarios diminuyen la tasa de crecimiento efectivo. 2. la tasa de crecimiento garantizado no puede superar a la tasa natural. 27 . g sL : Tasa de crecimiento de la oferta de trabajo (m) L g d : Tasa de crecimiento de la demanda de trabajo ( g ) 2. Harrod señala que es muy difícil que en el capitalismo se de el crecimiento proporcionado. sino que debería ser igual. Proposición de harrod Harrod extiende la proposición de Keynes alargo plazo y propone una hipótesis que se formule y que se demuestre. debe tomar en cuenta dichas situaciones.1. ge = gw = gn Proposición La economía capitalista en el largo plazo puede lograr el crecimiento proporcionado. pero ello tiene la baja probabilidad. I Crecimiento Económico El sistema económico no puede avanzar a una velocidad mayor que la que la tasa natural. aquella debe ser reducida7. debido a que en el capitalismo existe incertidumbre. L g sL = g d ⇒ m ≡ g Donde. por el mecanismo explicado previamente. por que ello significa lograr un crecimiento con el pleno uso productivo a través del tiempo. esto se da cuando el incremento del capital efectivo es inferior al crecimiento del capital garantizado requerido. Problema #2 Se sabe que la tasa de crecimiento del producto per cápita es de 8%. Rpt: Se sabe la relación per cápita esta expresada como.2%.123 v Entonces el ahorro de la sociedad es de 12. luego aplicaremos logaritmo y por ultimo tomaremos una derivada parcial a la ecuación.v ⇒ s = 8. 8 Otra manera de expresar esta relación y poder obtener tasas de crecimiento de forma sencilla es mediante un truco matemático.3%.2% x1.27 La tasa de ahorro de la sociedad es de 27%. Rpt: Sabiendo que g w = s ⇒ s = g w .5. Se pide hallar la tasa de ahorro de la sociedad. Yt d (ln Yt ) d (ln y t ) d (ln Lt ) = y t ⇒ Yt = L t . I Crecimiento Económico empresarios aumentan la inversión y con ello elevan el proceso de producción efectivo.Lt K ( I ) Lt Yt +1 = y t +1 . Adelantando un periodo a la relación per-cápita8. conociendo que la relación capital – producto es 1.5 = 0.Cesar Antunez. para esto expresaremos la relación per-cápita.Lt +1 K ( II ) Yt +1 y t +1 Lt +1 = .3 = 0. y t ⇒ ln(Yt ) = ln( Lt ) + ln( y t ) ⇒ = + Lt dt dt dt Entonces esto queda expresado en tasas de crecimiento como se aprecia g Y ( t ) = g y ( t ) + g L ( t ) 28 . Dividiendo ( II ) entre ( I ) Yt = y t ⇒ Yt = y t . elevando la tasa de crecimiento efectivo y con ello ampliando la brecha. Aplicando logaritmo neperiano Yt y t Lt ⎛Y ⎞ ⎛y ⎞ ⎛L ⎞ Ln⎜ t +1 ⎟ = Ln⎜ t +1 ⎟ + Ln⎜ t +1 ⎟ ⇒ g Y = g y + g L ⎜ Y ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ L ⎟ ⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠ g PBI = g PBI ( per −cápita ) + g ( pobla ) Donde: g PBI : Tasa de crecimiento del producto g pobla : Tasa de crecimiento poblacional g PBI ( per −cápita ) : tasa de crecimiento del producto per-cápita De al ecuación de Harrod g w = s ⇒ s = ( g w ). 2.v v s = (8% + 1%).8 Políticas de Crecimiento ejercicios resueltos Problema #1 Hallar la tasa de ahorro de la sociedad que permite una tasa de crecimiento del producto de 8.v ⇒ s = ( g PBI ( per −cápita ) + g ( pobla ) ).1. la relación capita – producto es de 3 y la tasa de crecimiento de la población es de 1% al año. En este articulo “Capital expantion.3% y el capital utilizado fue de 21. Sea una productividad promedio social potencial fija: σ Los precios de la economía son constantes.4443% 2. and Employment.2. dado la propencion marginal ahorrar [pmg(s)]. Generar demanda efectiva (CP) Plantea que la inversión tiene un doble rol Creador de nueva capacidad productiva (LP) Plantea la productividad promedio social potencial y lo define como la razon de la tasa de cambio producción potencial asociada a la inversión σ = 2. rate of growth and employment” (la expansión del capital.Y 0 < s <1 La ausencia de “lags”(retrasos).9 En este árticulo crea un modelo en el cual plante determinar la tasa de crecimiento de la inversión que permite el pleno uso de la capacidad productiva.500 mil millones de dólares.81 = 0.1 Supuesto del modelo Domar considera los siguientes supuestos para su modelo: Sea una economía sin relación con el exterior.000 mil millones de dólares y el producto fue de 5.Cesar Antunez.v ⇒ s = 9. para adquirir otro con la misma capacidad productiva.2 Modelo de Domar En 1946 Evsey D. Rpt: De la relación capital – producto v = K 21. Domar.3% x3.500 Reemplazando este resultado en la ecuación de Harrod gw = s ⇒ s = g w .000 = = 3. I Crecimiento Económico Problema #3 Se sabe que la tasa de crecimiento de un país el año 2008 fue de 9. la depreciación es medida como el costo de reemplazo del activo depreciado. la tasa de crecimiento y el empleo) de 1946 se expresa su tendencia keynesiana. busca hacer una extencion de Keynes a largo plazo.35443 v Entonces la tasa de ahorro e esta sociedad es de 35. dY .s.81 L 5. El ahorro y la inversion son netos de depreciación. publicó su artículo Capital Expansion. El ahorro agregado. 9 29 . Se pide hallar la tasa de ahorro de la sociedad. Rate of Growth. La fuerza de trabajo agregada crece a una tasa constante y exogena: n La función de inversión es de tipo acelerador. se asume que la capacidad productiva es medible. I S = s. analizando desde un enfoque post-keynesiano. todo se refiere al mismo período. es una proporción de indreso naacional. b. debemos dividir la función de producción entre Lt . “t” Lt : Fuerza de trabajo b : Relación producto trabajo σ : Relación producto capital (reciproco de. 1 ) v Si queremos expresar la función de producción en términos per-cápita.Lt } σ Donde: Yt : Producción agregada en el instante.”t” K t : Stock de capital en el instante.k t Para todo k t < k t = b / σ b Para todo k t ≥ k t = b / σ ~ ~ Gráfica 2. "Apuntes de Crecimiento Económico". y esto esta dado por la ecuación de la recta σ . Esta producción se obtiene a partir de una proporción fija de capital y trabajo. Para el mejor entendimiento de este modelo y los casos que se desarrollan.k t .2] podemos apreciar que para un k t grande. b} σ ~ Donde la relación capital – trabajo esta representada. Domar plantea la siguiente función de producción agregada tipo Leontief. k = σ / b .K t . su propuesta es hacer del empleo una función del ratio del ingreso sobre la capacidad productiva.Esto quedara expresado como.Cesar Antunez. la función de producción es horizontal y para cual quier nivel de k t se tiene una recta. Para modificar esto. Sala-I-Martín (1994).k t . Y/P. pp. producción puede expresarse de la siguiente manera10: y t = Min { . Domar considera que el sistema keynesiano carecía de herramientas para derivar la tasa de crecimiento de equilibrio. 70-76 10 30 . Yt = Min { . I Función de Producción Agregada Crecimiento Económico Según Solow.2: La función de producción per cápita de Domar En el Gráfico [2. véase. Antoni Bosch. con esto la función de y = t σ . por que. el empleo es función del nivel de ingreso. = σ s dt I dt dYt dYt ≡ ⇒ reemplazando (IV) y (V). Donde: s : Pmg(s) σ : Relación producto – capital. I Crecimiento Económico Suponiendo que la inversión ocurre a una tasa anual. puede producir. y que produce un incremento en la capacidad productiva de modo que su ratio es igual a ∂P s = ∂t L (I ) I El ahorro(s) es el maximo en que la capacidad productiva del incremento de la inversión a la tasa anual. Por el lado de la demanda.Y ⇒ Yt = .La tasa potencial va depender del volumen dt σ dt dt En el Equilibrio. En esta caso. L ( IV ) dt s dt Artículo II. que será definido como el promedio social potencial de la productividad de la inversion. 1 I = S ⇒ I = s.σ ” y lo hace a partir de su valor inicial.3 Trayectoria de la Inversión Significa que la inversión en el instante. ⇒ = σ .σ . dY 1 dI = .I K (V ) . Lo dicho anteriormente se puede expresar mediante la siguiente ecuación. I = v. Por el lado de la oferta tenemos a partir. el valor de la ecuación (I) llegará a solo σ. Artículo III.I L ( III ) s Derivando la ecuación (III) con respecto a “t”. 31 .Cesar Antunez.2.2.2 Ecuación Fundamental Artículo I. se asume que en el inicio existe un equilibrio entre: la de inversión. Yt y la producción potencial Yt Yt ≡ Yt ⇒ análisis dinámico 1 dI 1 dI . La ecuación fundamental de Domar La tasa de crecimiento ( g I∗ ) permite lograr el pleno uso de la capacidad productiva.I ⇒ . producción efectiva. aplicado la teoría de la demanda efectiva de Keynes tenemos. g I∗ : Tasa de crecimiento de la inversión en equilibrio.”t” crece a una tasa “ s. ∂P dY σ = ∂t = L (II ) I I 2. dt dt g I∗ = s. tenemos. 2. dY 1 dY dY ⇒I= . = σ . pp: 56-94. Demostración: 1 dI d ( LnI ) g I∗ = s.ec ⇒ I t = I 0 .σ ⇒ . sino estable.capital es de 1/3. sabiendo que la relación producto – capital es de 1/4. Por este y otros trabajo más se le otorgo el Premio Nobel de Economía en 1987. 32 .4 Política de Crecimiento ejercicios resueltos Problema #1 Determinar la tasa de ahorro de la sociedad.5 % = 0 .3 % = 0.dt ⇒ LnI = s.σ ⇒ s = gI σ = 7 .σ . como lo establecían Harrod-Domar el crecimiento regular no seria inestable.σ .σ ⇒ s = gI σ = 9 . esto es que el crecimiento debe ocurrir sin generar desempleo. = s.σ ⇒ d ( LnI ) = s.dt I dt dt Sea e c = I 0 ∫ d ( LnI ) = ∫ s. Que seria de gran influencia para las generaciones futuras.t .'' (1956).2.5%. En este articulo Solow demostrará que si se descarta las proporciones fijas. I Crecimiento Económico I = I0 esσ . g I∗ = s.σ .279 1/ 3 La tasa de ahorro de la sociedad es de 27. Rpt: De la ecuación fundamental g I∗ = s.t .3 Modelo básico de Solow Robert Solow en 1956 publicó un ensayo titulado “A Contribution to the Theory of Economic Growth” (Una contribución a la teoría del crecimiento económico).t La preocupación de Domar en este trabajo tiene un tema adicional. A este aporte conocido es un modelo del crecimiento considerando la respuesta ortodoxa al modelo keynesiano de Harrod y Domar. 2.t + c eLnI = es.Cesar Antunez. trayectoria de la inversión. 11 El lector interesado puede revisar el modelo con mas detalle ``A Contribution to the Theory of Economic Growth. Para esto Solow incorpora el equilibrio general estable.9% Problema #2 Determinar la tasa de ahorro de la sociedad. de que la función de producción que permite la sustitución de factores (capital y trabajo)11. Rpt: Sabemos que la ecuación fundamental de domar esta expresado como. que permite lograr el pleno uso de la capacidad productiva y que logre un crecimiento 7.3 1/ 4 Entonces la tasa de ahorro de la sociedad es del 30% 2.σ ⇒ = s. se conoce que la relación producto . tal que permita lograr el pleno uso de la capacidad productiva y que se logre un crecimiento de la inversión de 9.σ .3%.e s. que se ha perdido en la línea central de desarrollo del pensamiento sobre crecimiento económico.σ . Este modelo podremos notar. De manera general podemos decir con rigurosidad que. es una proporción del ingreso nacional. donde Robinson combinaba su propio trabajo para producir. ello por oposición al modelo de tipo Keynesiano de Harrod y Domar. por consiguiente necesariamente hay equilibrio en el mercado de los productos y por lo tanto no existe problema de salida o de demanda. la relación entre ahorro y la tasa de interés del enfoque neoclásico no ha sido considerada. la tasa de depreciación y el crecimiento poblacional. 33 . de que la ecuación del capital tienda a una ecuación inestable. Todo el ahorro es invertido. En el mercado de trabajo: rechazó la teoría neoclásica. la tasa de ahorro endógena y la ausencia del progreso tecnológico como en los modelos anteriores de Harrod y Domar. La economía capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinámico proporción. Importancia en que los factores se sustituye entre si. Nos dice que la economía capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinámico estable. al ahorro real como función del ingreso.3. La proposición de Harrod. De la reflexión clásica o neoclásica retomó: La función de producción con factores sustitutivos (capital y trabajo).Cesar Antunez. Es como si tuviera un doble “filo”. 12 El modelo de Solow ha sido considerado como de inspiración neoclásica. Dichos modelo soslaya la sustitución de factores siendo ello su principal defecto. Solow plantea. El periodo de auge del capitalismo en post-guerra coincide con el pronostico de Harrod y Domar. s. ni empleados y ni mercados. donde no hay empresas. 13 Se supone una economía parecida a la de Robinson Crusoe. 2. dado la proporción marginal ahorrar. en el sentido de que la oferta de trabajo es independiente del salario real. incluye: al capital físico como un activo acumulable. el modelo de Solow es un modelo de la síntesis clásicokeynesiana y parte de las siguientes hipótesis12: Por que retomo la hipótesis del Keynesianismo: En el mercado de bienes: El ahorro es función del ingreso. I Crecimiento Económico Partiendo del equilibrio macroeconómico entre ahorro e inversión. a la mano de obra como reproducible. La relación capital-producto es endógena y flexible: v La fuerza de trabajo agregad crece a una tasa constante y exógena: n El ahorro agregado.1 Supuestos del modelo Sea una economía de mercado donde solo se produce un bien el mismo que se consume e invierte13. Modelo de crecimiento pesimista respecto al desenvolvimiento del capital. Mercado de competencia perfecta. un modelo neoclásico donde la relación entre factores sea variable. conservo la ley psicológica fundamental de Keynes. Critica de Solow En esta parte Solow hace un balance de los modelos de crecimiento de Harrod y Domar. o sea.1⎟ ⇒ y t = F (k t )K ( FPI ) 15 ⎜L ⎟ Lt Lt ⎝ t ⎠ kt = Kt : Cantidad por trabajo en el instante “t”. la teoría de la 14 Como sabemos por microeconomía los rendimiento constante a escala da un numero de empresas que es indeterminado. nos da λYt < F (λ. Para entender la intuición de esta ecuación. Como es sabido. reemplazado en la función t = F ⎜ t . si se invierte la desigualdad la función de producción agregada muestra rendimiento decrecientes a escala. Si λ = Donde: ⎛K ⎞ Y 1 . Esta función esta sujeta a Rendimiento de Escala Constante (REC). 15 FPI: función de producción intensiva 34 . es decir. ( II ).F (K t . Y es nos permite trabajar con la función de producción en su forma intensiva.Cesar Antunez. si se aumentan o disminuyen. De ahí que la función de producción pueda ser rescrita de la siguiente manera: λYt = F (λ. Esta ecuación ( I ) representa el lado de la oferta de una economía simplificada y señala que el producto producido está en función de la acumulación de capital y del monto de mano de obra. que no esta determinado por el modelo. De manera que la producción por trabajador no depende del tamaño total de la economía sino. Lt )K ( II ) ∀λ ≥ 0 Como se sabe la función presenta rendimiento constante a escala14. I La economía no tiene relación con el exterior. Lt )K ( I ) Donde: Yt : Producción agregada en el instante “t”.Lt ) = λ. esto quiere decir. Lt : Fuerza de trabajo en el instante “t”. Lt La ecuación de la (FPI) expresa el producto por unidad de trabajo como una función del capital por unidad de trabajo solamente. el producto aumentaría o disminuiría en la misma proporción. Entonces λ > 1 . los factores de producción en determinada proporción.K t . de la cantidad de capital por trabajad (persona activa). supongamos un aumento en la escala de operaciones mediante un aumento proporcional en Lt y K t donde el producto por trabajador no cambiaría. Función de Producción Agregada (FPA) Crecimiento Económico Solow plantea una función de producción Neoclásica agregada que permite sustitución entre los factores de manera que dicha función puede ser expresada de la siguiente manera: Yt = F (K t . λ. λ.Lt ) . por ejemplo ( II ). K t : Stock de capital agregado en el instante “t”.K t . Lt Y y t = t : Producción por unidad de trabajo en el instante “t”. Lím L ( t )→∞ = PMg L = 0 f) Cuando k t tiende al cero. entonces el PMg K (t ) tiene al infinito.Cesar Antunez. CIIO: condición de segundo orden. b) La magnitud de los productos marginales ( PMg ) son positivos. 35 . entonces el PMg k ( t ) tiene al vector nulo. d) Cuando k t tiende al infinito. y que nos asegura que f (k ) es cóncava y tiene un máximo. df = f L′ > 0 dLt df ′ = fK > 0 dK t c) La curva de los productos marginales son decrecientes. entonces el PMg L ( t ) tiene al vector nulo.3: La función de producción per cápita En el Gráfico [2. que cumple con las condiciones de primer y segundo orden de la función. I Crecimiento Económico producción se centra en los niveles de empleo de cualquier factor de producción para los que el producto marginal es positivo pero decreciente.3] podemos apreciar la función de producción intensiva. La función es de buen comportamiento esto quiere decir que satisface las condiciones de INADA. es decir: a) Sin factores productivos no hay producción. de manera que para nuestra función de producción representada en la ecuación ( III ) tenemos: y t = f (0) = 0 PMg k = dy t = f ′(k ) > 0 K (CIO 16) dk t dPMg k = f ′(k ) < 0 K (CIIO 17) 2 dk Gráfica 2. Lím K ( t )→0 = PMg K = ∞ 16 17 CIO: Condición de primer orden para maximizar la función. Lím K (t )→∞ = PMg K = 0 e) Cuando Lt tiende al infinito. f (k t ) = n. t ⇒ K t = k t . Lt • • • dK t dL dk 1 = k t .g l + k ⇒ • • • I n = k . k Lt Lt Lt I n = k . entonces el PMg K (t ) tiene al infinito.n + k .Y = I n s. 2. Derivado con respecto al tiempo. t + Lt . la inversión por trabajador • Inversión neta por trabajador = Profundización del capital + Ampliación neta de capital Donde. n : Tasa de crecimiento de la fuerza laboral. Lt + Lt .3. I n : Inversión neta. la ecuación de Solow La versión de Branson de la ecuación fundamental de Solow Si k t = 0 • f (k t ) n s. k t K x ⇒ dt dt dt Lt Kt Lt L • = k. Lt ) = I n K x 1 Lt s.k t ⇒ = .k t . Demostración: n k= Kt ⇒ K t = k t .F (K t . f (k t ) = k t + n. + t . I g) Crecimiento Económico Cuando Lt tiende al cero. k t : Capital por trabajador en el instante “t”.Cesar Antunez. va ser igual a la suma de la tasa de cambio por trabajador.2 Ecuación Fundamental de Solow De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: S = I ⇒ s. se determina kt s kt* y* 36 . • k t : Tasa de cambio de capital por trabajador en el instante “t”. Lím L ( t )→0 = PMg L = ∞ Inversión neta por trabajador ( I ) Se plantea que la inversión neta por trabajador.”t”.Lt . f ( Kt I .1) = t Lt Lt • s. s. I Crecimiento Económico Gráfica 2.k t .5: La función de producción 37 .Cesar Antunez. y la dividimos entre el capital por trabajador nos dará la tasa de crecimiento proporcionado ( g k ). f (k t ) −n kt • Gráfica 2. dividiendo entre k t • f (k t ) kt = s.4: El Diagrama de Solow Versión de Barro Nos dice que si partimos de la ecuación fundamental de Solow. −n kt kt g k = s. f (k t ) = k t + n. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico En el Gráfico [2.5], se puede apreciar que cuando, el crecimiento proporcionado g k es nulo, entonces g k = 0 ⇒ f (k t ) n = , con lo cual se determina k t* . kt s 2.3.3 Crecimiento Proporcionado Es aquel crecimiento en que todas las variables agregadas crecen a la misma tas constante positiva. gY = g K = g L También se puede expresar en términos de variable por trabajador, donde el crecimiento g y = gk = gl = 0 nulas. gK − gL = gk = 0 g y = gk = 0 Crecimiento proporcionado Proporcionado ocurre cuando las tasas de crecimiento de las variables por trabajador son Growth steady state: Crecimiento Balanceado En el modelo de Solow el crecimiento proporcionado ocurre cuando; g k = 0 → k t = 0 Luego la ecuación Fundamental deviene: • k t = s. f (k t ) − n.k t Puesto que crece proporcionado cuando: k t = 0 • • 0 = s. f (k t ) − n.k t s. f (k t ) = n.k t Con lo cual se determina el capital por trabajador de equilibrio. 2.3.4 Sobre la Estabilidad En una economía capitalista en el largo plazo tiende aun análisis de equilibrio dinámico de tipo estable, cualquiera que se a el valor inicial de la relación capital-trabajo ( k t ), se generan fuerzas internas que llevan a que la relación capital-trabajo tienda a la relación capital trabajo de equilibrio. Caso I ( k 0 > k ∗ ) En este caso vemos en el Gráfico [2.6] que, la economía tiene hoy un capital k 0 , la inversión por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliación neta de capita. Esto quiere decir que va ocurrir una profundización ( k 0 aumentara con el tiempo), hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador k t* , cuando k t = 0 , las curvas originado un punto • n.k t = s. f (k t ) , que es llamado el estado proporcionado, donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante. 38 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfica 2.6: La Estabilidad Caso (I) k 0 < k t* ⇒ Lím k ( 0 )→∞ = k ∗ Caso II ( k1 < k ∗ ) Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha k t* , como se puede apreciar en el Gráfico [2.7], donde el capital por trabajador esta expresado como k1 .En esta región la ampliación neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decir que el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporción capital-trabajo constante. Como k t < 0 , por consiguiente la cantidad de capital por trabajador k1 comienza a declinar hasta que se iguale con k t* . Gráfica 2.7: La Estabilidad Caso (II) • k1 > k t* ⇒ Lím k (1)→∞ = k ∗ 2.3.5 Beneficios, salarios y distribución del ingreso El modelo de Solow asume competencia perfecta en los mercados de bienes y de factores, plantea que para cualquier punto en la curva del producto se puede obtener lo siguiente: 39 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfica 2.8: El Diagrama de Fases En el Gráfico [2.8] podemos apreciar como k1 y k 2 que se encuentran en la curva, tienden a k t , donde este punto nos da el estado proporcionado del modelo. También se puede apreciar en el Gráfico que en k1 , la tasa de cambio por trabajador es positiva, pero en k 2 , la tasa de cambio por trabajador es negativa. ∗ ν ∗ : Relación capital-producto Los parámetros σ ∗ : Relación producto-capital k ∗ : Capital por trabajador Las variables por trabajador y ∗ : Producto por trabajador W : Masa de salario La retribución de los factores r : Tasa de interés W r Los precios relativos de los factores : 40 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfica 2.9: La Distribución del Ingreso En el Gráfico [2.9] se aprecia como se a distribuido el ingreso entre la masa salarial ( W ) y el beneficio total ( r.K = B ). Analíticamente la ecuación fundamental de Solow; k t = s. f (k t ) − n.k t , en el estado del • • crecimiento proporcionado, k t = 0 entonces Mercado de capitales Como, y t = f (k t ) esta definido como: s. f (k t ) = n.k t , se determina : k ∗ n.k t f (k t ) = , se determina : k∗ s : y∗ Yt = f (k t ) → Yt = f (k t ).Lt , derivado con respecto a K t Lt ≈0 ∂Yt ∂f (k t ) ∂Lt = Lt . + f (k t ) ∂K t ∂k t ∂K t ∂Yt ∂f (k t ) ∂k t = Lt . . ∂K t ∂k t ∂K t ∂Yt 1 = Lt . f ′(k t ). ∂K t Lt K ∂⎛ t ⎞ ⎜ L ⎟ ∂Yt t ⎠ = Lt . f ′(k t ). ⎝ ∂k t ∂K t PMgK t = f ′(k t ) 41 Cesar Antunez. I Mercado de Trabajo Crecimiento Económico PMgLt = W PMgLt = f (k t ) − r.k t PMgLt = f (k t ) − f ′(k t ).k t W = f (k t ) − f ′(k t ).k t 2.3.6 Distribución del Ingreso En esta parte veremos como se divide el ingreso, en masa salarial y beneficio. Y = W + B ⇒ Y = w.L + r.K K (φ ) Dividiendo a la ecuación ( φ ) entre 1 , nos dará: Lt Y = w. + r.k K (ϕ ) → Producto x Trabajador = Tasa de salario + Beneficio neto x trabajador L Dividiendo a la ecuación ( ϕ ) entre y , nos dará: w r.k 1= + y y Donde: w : Participación del salario en el ingreso nacional. y w w w.L W = = = y Y/L Y Y r.k : Participación de los beneficios en el ingreso nacional. y r.k r.(K / L ) r.K B = = = y Y/L Y Y 2.4 Modelo de Solow – Swan El modelo de crecimiento con función Cobb-Douglas, desarrollado por Solow y Swan de manera separada en 1956. Este modelo hace referencia a los supuestos, de ecuaciones fundamental, al examen de cómo se alcanza el equilibrio. Todavía en esta parte se supone que no existe progreso tecnológico en el siguiente Capítulo de este libro (III), veremos como influye la tecnología en el crecimiento de producción de un país. 2.4.1 Supuestos del modelo A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos particulares: Utiliza una función de producción Cobb-Douglas. El stock de capital se deprecia a una tasa constate exógena: δ 42 Lt )1−α ⇒ λ.λ1−α . entre Lt Yt A.Yt = λ.Yt = A.(K t . Lt . con rendimientos marginales de cada uno de los factores. comprobaremos que la función es homogénea de grado uno.K tα . Esta función también puede ser rescrita con la función de producción intensiva (FPI). Yt ≡ F ( K t .λ )α .k tα K ( FPI ) • La productivaza marginal de capita ( k t ) es positiva. Lt : Fuerza de trabajo agregada. Donde: con: 0 < α < 1 A : Índice de Nivel de tecnología19.K tα .L1−α K( I ) t Rendimientos de escala constante. es homogénea de grado uno o linealmente homogénea. A) = A. μ ψ Charles Cobb y Paul Douglas (1928) propusieron una función de producción.L1t−α ⇒ λ. tal que los factores de producción cobran sus productos marginales.K tα . μ Fue un matemático amigo de charles. de la siguiente forma: Dividiendo a la ecuación ( I ).Yt = A.K tα . positivos y decrecientes. df (k t ) = f ′(k t ) = α . d 2 f (k t ) = f ′′(k t ) = −α (1 − α ).K t .Cesar Antunez.L1t−α Por lo tanto queda comprobado que a función es homogénea de grado uno.⎜ t ⎜L ⎝ t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ α y t = A. 1964). En su análisis de la manufactura de los EE.(λ.k tα − 2 < 0 dk t2 • 18 Satisface las condiciones correspondientes a INADA (Inada.k tα −1 > 0 dk t • La función es cóncava (por que la segunda derivada es negativa). K t : Stock de capital agregado en el instante “t”. Yt : Producción agregada en el instante “t”.L α −α ⎛K ⇒ y t = A. Si multiplicado a la ecuación ( I ) por λ > 0 .18 s.L1−α t = Lt Lt y t = A.UU. además. 43 . λ. α : Elasticidad del producto respecto al capital.2 Función de Producción agregada (FPA) Crecimiento Económico La función de producción neoclásica. con rendimientos constantes a escala y.λα . I 2.a: Rendimientos decrecientes. ψ 19 Fue senado por Illinois entre 1949-1966 y profesor de economía. Generalmente se supone o se asume que el índice de nivel de tecnológico es la unidad. A. donde A t = A.4. Hallando k t∗ : • kt s. crece a una tasa constante determinada exógenamente.4. f (k t ) − (n + δ ). donde la tasa de cambio del capital por trabajador es igual al remanente del ahorro bruto por trabajador respecto a la ampliación bruta de capital. 1 k 1−α =0 ≈ 1/ 0 Límf ′(k t ) k ( t )→0 = α . Ak tα − (n + δ ). entonces s. A = α n + δ kt s.k tα ⇒ f (k t ) = A.k t se determina k t∗ . Su forma funcional es: • Lt =n Lt 2.k t . en este estado de crecimiento proporcionado. 20 44 .k tα K ( FPI ) Reemplazando la (FPI) en la ecuación de Solow. además. I Crecimiento Económico ≈ 1/ ∞ Límf ′(k t ) k (t )→∞ = α .k t . y t = A. 1 k 1−α =∞ Crecimiento poblacional Solow considera que toda la población está empleada y. y t = f (k t ) Pero la función de producción Cobb-Douglas. Ak tα = (n − δ ). 2.4. A ⎞ 1−α k t∗ = ⎜ ⎟ ⎝ n +δ ⎠ 1 Donde el asterisco ( ∗ ) denota el valor de equilibrio de la variable.Swan De la ecuación fundamental de Solow con depreciación tenemos: • k t = s.3 Ecuación Fundamental de Solow . La Ecuación fundamental de Solow – Swan20 Esta ecuación diferencial de acumulación de capital. cuando k t = 0 .Cesar Antunez.4 Estado de Crecimiento Proporcionado Que lo traducen como estado estacionario (Growth steady state). A = k t1−α n+δ ⎛ s. Se recomienda al lector que trate de recordar esta ecuación ya que será utilizada a lo largo de este libro en los distintos modelos que se representaran en los capítulos siguientes. • k t = s. k t α ⎛ s. f (k t ) . La ecuación fundamenta Solow-Swan-Barro kt • γ k = s. A ⎞ 1−α y =⎜ ⎟ ⎝n +δ ⎠ ∗ t α Gráfica 2. t − (n + δ )K ( II ) kt kt k tα − (n + δ ) .10: Estado Proporcionado de las variables En el Gráfico [2.10] podemos apreciar que en el estado de crecimiento proporcionado se determina. I Crecimiento Económico Reemplazando el k t∗ hallado en la (FPI). Versión de Barro A partir de la ecuación fundamental de Solow – Swan con depreciación.Cesar Antunez. tenemos: kt kα = s. 45 . A. A. k t∗ e y t∗ . f (k t ) − (n − δ ). En el k t = s. dividiendo a esta ecuación entre el capital por trabajador de equilibrio ( k t ). s . f (k t ) . y el consumo por trabajador es f (k t ) − s. donde esta cualquier nivel de k t la producción es f (k t ) .k t . • determina el reparto entre consumo por trabajador ( ct ) y inversión por trabajador ( it ). la inversión por trabajador es s. Donde también se aprecia que la tasa de ahorro . y t = A. nos da el valor de producto por trabajador de equilibrio ( y t∗ ). se determina k t∗ .k tα −1 (curva de ahorro) y ( n + δ ) (curva de depreciación). s. entonces s. Considerando que ésta es estrictamente positiva y la curva s.k tα −1 toma valores entre cero e infinito. cuando k t = 0 . 2. k 1 Hallando k • ∗ t . A. es decir. A k = α n+δ k ⎛ s.5 Acerca de la estabilidad La economía capitalista en el largo plazo tiende a un estado de crecimiento proporcionado.4.12] que. hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador k t* .11] podemos apreciar que la curva de ahorro es decreciente.k tα = (n + δ ) . Esto quiere decir que va ocurrir una profundización ( k1 aumentara con el tiempo).11: versión de Barro En el Gráfico [2. y esto lo veremos en dos casos: Caso I ( k1 > k ∗ ) En este caso vemos en el Gráfico [2. es independiente de k . tiende a cero cuando k t se aproxima a infinito y cuando k se acerca a cero (CONDICIONES INADA). las curvas originado un • 46 . las dos funciones (curvas) se cruzan una sola vez en la gráfica (punto Et ) y la k t∗ correspondiente que representa a este punto es el capital per capita que existe en el estado proporcionado. I Crecimiento Económico El miembro izquierdo de la ecuación ( II ) representa la tasa de crecimiento del capital per capita y es igual a la diferencia entre s. A ⎞ 1−α k =⎜ ⎟ ⎝ n +δ ⎠ ∗ t k Donde: t = γ k = g k : Tasa de crecimiento del capital kt Gráfica 2.Cesar Antunez. En el crecimiento proporcionado la g k = 0 . la inversión por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliación neta de capita. la economía tiene hoy un capital k 0 . En cuanto a la curva de depreciación es horizontal. f (k t ) . como se puede apreciar en el Gráfico [2. Gráfica 2.12: La Estabilidad Caso (I) k 0 < k t* ⇒ Lím k ( 0 )→∞ = k ∗ Caso II ( k 2 < k ∗ ) Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha k t* . que es llamado el estado proporcionado. I Crecimiento Económico punto (n + δ ). Como k t < 0 .Cesar Antunez. por consiguiente la cantidad de capital por trabajador k1 comienza a declinar hasta que se iguale con k t* . donde el capital por trabajador esta expresado como k 2 . donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante. Gráfica 2.13].En esta región la ampliación neta de capital supera al ahorro por trabajador. esto quiere decir que el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporción capital-trabajo constante.k t = s.13: La Estabilidad Caso (II) • k 2 > k t* ⇒ Lím k ( 2 )→∞ = k ∗ 47 . tenderían a mostrar tasas de crecimiento superiores a las economías más desarrolladas (nivel de ingreso per cápita superior)21. En este sentido. 48 . la economía evoluciona hacia el estado proporcionado. Gráfica 2. R: Países ricos. k tP < k tR ⇒ g kP < g kR Donde: g kP : Tasa de crecimiento del país pobre. I Crecimiento Económico 2.14: La Convergencia Absoluta En el Gráfico [2. En este sentido el modelo neoclásico trata de explicar la rapidez con la cual. que los países que tienen al inicio mayor capital por trabajador. P: Países pobres. tenderán a un mismo estado de crecimiento proporcionado. g kR : Tasa de crecimiento del país rico. En esta parte trataremos de explicar las implicarías de los dos tipos de convergencia: (a) Hipótesis de la convergencia Absoluta Esta primera hipótesis fue propuesta por historiadores económicos como Aleksander Gerschenkron (1952) y Moses Abramovitz (1986). Plantean que a largo plazo los países del mundo que solo difieran en su relación capital trabajo. fue uno de los primeros en presentar evidencia documentada entre algunos países y la ausencia de convergencia de otros. 21 Finalmente. por lo que respecta al concepto. crecen más rápido. aquellas economías que se encontraban en una situación menos favorable (nivel de ingreso per cápita inferior).14]. en el largo plazo crecerán a una tasas mayores que los países ricos con mayor capital por trabajador ( k tR ).6 Dinámica de transmisión sobre la convergencia Se le da el nombre de “Dinámica de transmisión”. por que hace preediciones del modelo que se relaciona con las tasa de crecimiento. que el mismo tiempo (inicio). William Baumol (1986). tienen relativamente un menor capital por trabajador. Implicancias Aquello países.4. podemos apreciar que los países pobres que tienen menor capital por trabajador ( k tP ). debe mencionarse que en el caso de que las economías sean lo suficientemente parecidas si podrá esperarse la existencia de convergencia absoluta.Cesar Antunez. como se puede apreciar en el cuadro [1. * Profesor Investigador de la Universidad de Quintana Roo. Según el criterio del PBI per cápita (PPA en dólares). ** Estudiante de la Facultad de Economía de la Universidad Autónoma de Yucatán. Cuadro 1.Ramon y R. es que la convergencia de Baumol para países desarrollados en el siglo pasado. 22 Véase la “Convergencia regional en América latina: 1980-2000” de Luís Fernando Cabrera Castellanos* Blanca García Alamilla**. Weill (1992) Barro y Salan-i-Martín (1992) Mankiw. pueden haber distinto grupos de países23. La polémica en torno a la convergencia entre los países generó gran abundancia de estudios empíricos en la década de los noventa que buscaba determinar su existencia en diferentes grupos de países. En particular De Long observo dos cosas: Primero solo incluía países industrializado (de la década del 1980). 23 PPA: paridad de poder de adquisición. tales como el nivel de alfabetismo y la esperanza de vida al nacer. donde los países capitalista tiene un ingreso por persona superior o igual a 23. distingue los países según su PBI per-cápita. alcanzando los niveles de ingreso per cápita de las economías desarrolladas.Bátiz (1996) Convergencia absoluta No No No Si Si Si No No se responde No evidente Si Convergencia condicional Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si (b) Hipótesis de la convergencia Condicional En el mundo existe una diversidad de economías que presenta un nivel de equilibrio particular. como se muestra a continuación utilizando una muestra de 98 países constata que la hipótesis de convergencia absoluta es invalidad.928 dólares. el cual depende de factores de carácter tecnológico. no se cumplía la convergencia Absoluta.2]. Romer. Robert Barro (1992). ya que si bien algunos países han logrado un alto nivel de crecimiento sostenido. El argumento de la convergencia absoluta fue rechazado por la evidencia empírica. hacia el cual se tiende a lo largo del tiempo. institucional y social. segundo al incluir a Argentina en la muestra. PBI per-cápita. que era más rico que Japón en 1870. las diferencias presentes entre los países más pobres del planeta y los más ricos muestran un alto grado de persistencia. era una muestra sesgada (por que solo usaba países industrializados).1] con los resultados de algunos estudios22.Cesar Antunez.1: La Convergencia en el mundo Series analizadas Mundo (110 países) Mundo (98 países) Mundo (98 países) Estados Unidos (48 estados) OCDE (22 países) Pacífico del sur (9 islas) América Latina (12 países) América Latina (23 países) México (32 estados) México (31 estados) Referencia Salan-i-Martín (1996) Barro (1991) Mankiw. Weill (1992) Cashin y Loayza (1995) José de Gregorio (1995) Corbo y Rojas (1994) Navarrete (1994) J. El PNUD. de la quinta columna. Romer. I Crecimiento Económico La critica de Bradford De Long (1988). 49 . presentamos un cuadro [1. Esta hipótesis también implica que los países pobres. Japón. Aquello países que al inicio tenían relativamente un menor capital por trabajador. Planteamiento Cada grupo de países tiende a largo plazo.4. Singapur y Hong Kong. crecerán dentro de su propio grupo . Un ejemplo de esto son. I Crecimiento Económico Para nuestro análisis de la convergencia condicional nos centraremos en quinta columna de este cuadro. es probable que los países pobres tengan un stock de capital por trabajo efectivo muy cercano a “su correspondiente” estado estacionario. Donde los países pobres no tienen necesariamente que alcanzar a los países más ricos en el estado estacionario.Cesar Antunez. tal como se expresa la hipótesis de convergencia condicional. 2. a su propio estado de crecimiento proporcionado. donde distingue los grupos por ingresos por persona. por el contrario. Lo mismo se efectúa con los otros grupos de países si se constata que la convergencia condicional en plausible. crecieron con mayor rapidez en los últimos treinta años.7 La regla de Oro de la acumulación Esta regla nos quiere decir que el valor de k t del estado proporcionado que maximiza el consumo se le llama la regla de oro de la acumulación de capital y lo denotaremos con k tOro 24. Esto quiere decir que se dará la convergencia dentro de su propio grupo. 50 . 24 Así es como lo llama Phelps (1961) cuando hace referencia a la tasa de ahorro que maximiza el consumo en el estado proporcionado. que 1960. Corea. más rápido que los otros países que al inicio tenían más capital por trabajador. Ahora analicemos que pasa con la economía según el Gráfico [2. es igual a la producción menos la depreciación.k t∗ . por lo que k t = 0 . con respecto a k t∗ . el consumo en el estado proporcionado y por ultimo aumenta la cantidad de maquinas utilizadas en la producción. I Crecimiento Económico Para encontrar el stock de capital que se refiere Phelps. Esto quiere decir que un aumento del capital aumentara f (k t∗ ) . Oro . c t . con función del capital en el estado proporcionado. de esta manera se afecta a (δ + n). Pero para alcanzar este punto es necesario encontrar el ahorro que Oro haga que en el crecimiento proporcionado sea precisamente k ∗ t .15]. lo primero que debemos hacer es encontrar el estado proporcionado de la ecuación de Solow – Swan. dct∗ = f ′(k t∗ ) − (δ + n) = 0 dk t∗ f ′(k tOro ) = PMgk = δ + n K (Ω) Gráfica 2. teniendo en cuenta que el ahorro es igual a la producción menos el consumo.15: La regla de Oro Como se puede apreciar en el Gráfico [2. • • 0 = f (k t∗ ) − ct∗ − (δ + n). Para expresar al consumo de estado proporcionado. Para encontrar la regla mencionada ahora tenemos que maximizar el consumo en el estado proporcionado con respecto a k t∗ . entonces en este punto la economía se encontrara en un estado 51 .Cesar Antunez.15] si tenemos un stock de capital superior a k ∗ t ineficiente. expresa la pendiente de la curva. entonces derivando a ct∗ de la ecuación ( Ψ ).k t∗ ct∗ = f (k t∗ ) − (δ + n). que la ecuación ( Ω ). La ecuación [ Ψ ] nos dice que el consumo en el estado proporcionado.k t∗ K (Ψ ) . donde el punto de distancia entre las dos curvas es máxima y determina el consumo de oro ( c ∗ t Oro ). Por lo que si reescribimos la ecuación. 15: Tasa de ahorro superior a la regla de Oro Esta economía podría aumentar su consumo si reduce la tasa de ahorro. Entonces podemos concluir que el consumo en el estado proporcionado es máximo en el estado proporcionado de la regla de oro. y la curva de ahorro s Oro . f (k t ) . I Crecimiento Económico Gráfica 2. Oro 52 . entonces reducimos la tasa de ahorro a un s Oro y con esto conseguí aumentar el consumo en todos los momentos del tiempo.16]. donde el consumo es superior y también es superior k t∗ . f (k t ) . la curva de ahorro de la economía desplaza hacia abajo.Cesar Antunez. a un nivel de la “regla de oro” ya que la tasa de ahorro esta relacionada con el consumo. Para apreciar mejor como a evolucionado el consumo con esta disminución del ahorro pasa remos a observar el Gráfico [2. Al reducir la tasa de ahorro. Gráfica 2. Entonces si la economía encuentra un k t∗ . durante este proceso el consumo queda definido como la diferencia entre la función de producción.16: Variación del consumo ante una reducción de s ′ A largo plazo la economía convergerá a k ∗ t . k t dt k t = f (k t ) − (n + δ ).F ( K t .. también se sabe que.30 . • 53 . b) Hallar el estado de crecimiento proporcionado. Se pide: a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan. δ = 0. c) Hallar los valores de capital por trabajador y de producto por trabajador del estado proporcionado. ⇒ t = k t − n.. Rpt: a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan.Lt ) − δ . la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 2% al año y por ultimo se sabe que el índice de nivel de tecnología es la unidad.Lt . n = 0.02 A = 1 Yt = A. De los datos tenemos: s = 0. la ecuación de fundamental de Solow – Swan. A) = (1 − s ).K t C t = (1 − s ). A. 2 / 5 Lt Lt Lt • ⎛K Yt = A.k t K ( III ) La ecuación ( III ) representa la ecuación fundamental de Solow – Swan que hemos deducido por única vez.K t K t = F ( K t . La tasa de depreciación del capital es de 8% al año. A) + K t + δ . A) • Yt = C t + I t ⇒ F ( K t .8 Política de Crecimiento ejercicios resueltos Problema #1 Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción agregada es Yt = A. Lt . dividiendo la función de producción entre la cantidad de trabajadores ( Lt ) t tenemos: Para operar con facilidad usaremos un viejo truco matemático Lt = Lα .L2 / 5 .Cesar Antunez.kt3 / 5 K( FPI ) Ahora deduciremos la ecuación de Solow – Swan I t = K t + δ .Lβ . solo la mencionaremos y la aplicaremos de forma directa en las siguientes paginas del libro. donde α + β = 1 t t Yt K t3 / 5 L2 / 5 t = A.K t3 / 5 .k t K ( II ) Lt Lt Lt dt • • • • K kt = t Lt dk t K t . 3 / 5 . y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 30% del producto t agregado cada año.08 .30). Lt .K t3 / 5 .(1)k t3 / 5 − (0.L2 / 5 . Reemplazado los datos en la ecuación fundamental de Solow – Swan.4. k t = (0..F ( K t .k t K ( I ) • dk K t Lt Kt kt = − .x • • 1 Lt • k t = f (k t ) − δ .K t = dt L2 t • Reemplazando la ecuación ( I ) en la ecuación ( II ) dk t = ( f (k t ) − δ .k t ) − n.K t . I Crecimiento Económico 2. e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.10)k t .⎜ t ⎜L Lt ⎝ t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 3/ 5 ⇒ yt = A.Lt − L t . d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto del capital y graficar los valores. 10 ⇒ γ k = 0.10 ⎜k ⎟ kt kt ⎝ t ⎠ • ⎛ 1 ⎞ 0 = 0.5588 Gráfico del Problema #1 d) Hallar la tasa de salario y de rendimiento bruto de capital y graficar los valores.30). tenemos k t∗ = ⎜ ⎛ 0. Crecimiento Económico Para el crecimiento proporcionado tenemos que: γ k = 0 ⇒ k t = 0 Dividiendo la ecuación de fundamental de Solow – Swan.196 s Oro . k t .Cesar Antunez.10 ⎠ 5/ 2 ⇒ k ∗t Oro = 15. I b) Hallar el estado de crecimiento proporcionado.30 ⎞ ⎟ ⎝ 0. k t . de la ecuación anterior. Mercado de capital: PMgk = r ⇒ PMgk = d (k t3 / 5 ) 3 ⎛ 1 ⎞ . Despejando. 2 / 5 − 0.30⎜ 2 / 5 ⎟ − 0.589 ⎠ dk t 2/5 r = 0.10 ⎜k ⎟ ⎝ t ⎠ c) Hallar los valores de capital por trabajador y de producto por trabajador del estado proporcionado.589) 3 / 5 ⇒ y t∗ = 5.30⎜ 2 / 5 ⎟ − 0.⎜ = ⎟ 515. en la función de producción intensiva (FPI) y t∗ = (15. f (k t∗ ) = 1. tenemos: • ⎛ 1 ⎞ kt 1 = (0.(1).1999972 54 .589 ⎝ 15. entre el capital por trabajador ( k t ).589 Reemplazando. (15. la participación del beneficio en el ingreso nacional es y Y 5.196 del 60%. y Y 5. I Mercado de trabajo: Crecimiento Económico 3 1 PMgL = W ⇒ PMgL = f (k t ) − f ′(k t ).40 . A. A.k t ⇒ W = A.6 . entonces la curva de ampliación del capital. de tal modo que cuando se interfecta a la curva de ampliación neta de capital. La participación del salario: w W 2.k t3 / 5 − . La participación del salario en el ingreso nacionales del 40%.196 La participación del beneficio: r. determina el nuevo estado 55 .589) 3 / 5 5 5 W = 2.079 e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional. Gráfico de la distribución del ingreso nacional Problema #2 Analice el impacto de una reducción permanente de la tasa de depreciación del stock de capital sobre el crecimiento.k B (15.Cesar Antunez. 2 / 5 .k t2 / 5 ⇒ W = . Rpt: Cuando se produce una reducción del stock de capital.(k t ) 5 kt 2 2 W = . comenzara a rotar en sentido horario.589)0. como se muestra en el Gráfico.079 = = = 0.(1).19999972 = = = 0. Cesar Antunez. y cuando llega a intersecarse con la curva de ahorro * determina mayor capital por trabajador ( k 2t ) en equilibrio. f (k 2t ) = (δ + n). donde la reducción de la depreciación se desplaza así abajo. La tasa de depreciación del capital es de 10% al año.K t3 / 4 .L1 / 4 . f (k 2t ) − (δ + n). En este punto existe mayor capital por trabajador ( k 2t ) y un producto por trabajador * ( y 2t ) mayor que el inicial.k 2t • Si: k 2t = 0 • d ( f (k 2t )) * = k 2t > 0 dδ * Donde: k1*t < k 2t Gráfico del problema #2 Problema #3 Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción agregada es Yt = A. y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 35% del producto t agregado cada año. k 2t = s. donde la tasa de crecimiento de largo plazo ( g k = 0 ) * es cero. e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional. c) Hallar los valores de capital por trabajador y de producto por trabajador del estado proporcionado. En el Gráfico posterior podemos apreciar la versión de Barro. la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 1% al año y por ultimo se sabe que el índice de nivel de tecnología es la unidad. 56 . b) Hallar el estado de crecimiento proporcionado. Se pide: a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan. d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto del capital y graficar los valores.k 2t s. también se sabe que. I Crecimiento Económico LP de crecimiento proporcionado ( E 2t ). la ecuación de fundamental de Solow – Swan. • k t = (0.(1)k t3 / 4 − (0.K t3 / 4 .35⎜ 1 / 4 ⎜k kt kt ⎝ t • ⎞ ⎟ − 0.11 ⇒ γ k = 0.35 ⎞ Despejando. tenemos k = ⎜ ⎟ ⇒ ⎝ 0. 1 / 4 Lt Lt Lt ⎛K ⎞ Yt = A.(1). donde α + β = 1 t t Yt K t3 / 4 L1 / 4 t = A.01 A = 1 Crecimiento Económico Yt = A. I Rpt: a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan.Lβ . f (k t∗ ) = 11.Cesar Antunez. k t .11 ⎠ ∗ t 4 k ∗ t = 102. de la ecuación anterior.35⎜ 1 / 4 ⎜k ⎝ t ⎞ ⎟ − 0. n = 0.11)k t . b) Hallar el estado de crecimiento proporcionado.10 . 1 / 4 − 0. en la función de producción intensiva (FPI) y t∗ = (1).35). δ = 0.21 s * .kt3 / 4 K( FPI ) Reemplazado los datos en la ecuación fundamental de Solow – Swan. 3 / 4 . k t .11 ⎟ ⎠ c) Hallar los valores de capital por trabajador y de producto por trabajador del estado proporcionado. ⎛ 0.L1 / 4 .(102.11 ⎟ ⎠ ⎛ 1 0 = 0.35 . tenemos: • ⎛ 1 kt 1 = (0. De los datos tenemos: s = 0. Para el crecimiento proporcionado tenemos que: γ k = 0 ⇒ k t = 0 Dividiendo la ecuación de fundamental de Solow – Swan.27 57 .⎜ t ⎟ ⎜L ⎟ Lt ⎝ t ⎠ 3/ 4 ⇒ yt = A.35). entre el capital por trabajador ( k t ).5) 3 / 4 ⇒ y t∗ = 32. dividiendo la función de producción entre la cantidad de trabajadores ( Lt ) t tenemos: Para operar con facilidad usaremos un viejo truco matemático Lt = Lα .5 Reemplazando. (102.k t2 / 4 ⇒ W = . La participación del salario en el ingreso nacionales del 25%.25 . 1 / 4 .Cesar Antunez.21 La participación del beneficio: r.(1).5 ⎠ dk t Mercado de trabajo: 1/ 4 r = 0. 58 .k t ⇒ W = A.21 del 75%. la participación del beneficio en el ingreso nacional es y Y 32.k B (102.5) 3 / 4 4 4 W = 8.5)0. I Crecimiento Económico Gráfico del Problema #3 d) Hallar la tasa de salario y de rendimiento bruto de capital y graficar los valores. La participación del salario: w W 8. y Y 32.k t3 / 4 − . A.(k t ) 4 kt 1 1 W = . Mercado de capital: d (k t3 / 4 ) 3 ⎛ 1 ⎞ PMgk = r ⇒ PMgk = = .05347 = = = 0.⎜ ⎟ 4 ⎝ 102. A.75 .05347 e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.2357112 = = = 0.2357112 3 1 PMgL = W ⇒ PMgL = f (k t ) − f ′(k t ). considerablemente. Gráfico del problema #4 59 . I Crecimiento Económico Gráfico de la distribución del ingreso nacional Problema #4 Imaginemos que China en la década de los 80 experimentos un incremento de su población.Cesar Antunez. de tal modo que cuando se interfecta con la curva de ampliación neta de capital determina el nuevo estado de crecimiento proporcionado. sobre el crecimiento de su economía. Rpt: Con el aumento permanente de la tasa se crecimiento de la población ( n ′ ). y debido a estos se quiere analizar este incremento permanente de la tasa de crecimiento de la población. con mayor capital ( k t* ) y con mayor producto por trabajador ( y t* ). la curva de ampliación de capital rota en sentido antihorario. Cada sector produce con una función de producción Neoclásica. RES. yo). g Potencial _ LP = n + tasa _ progreso _ tecnológico Si n ↑→ g Potencial ↑ 2. Obsérvese que Uzawa. Este modelo de equilibrio general de dos bienes es un modelo reducido. simplifica el análisis con lo cual. Dicha economía solo produce dos bienes: • Bienes de consumo con un subíndice (ct) • Bienes de capital con un subíndice (m) Habrán dos sectores productivos: • Sector de bienes de consumo. 25 El titulo de su trabajo se llamo "On a Two-Sector Model of Economic Growth.5 Modelo de Crecimiento de Uzawa El economista japonés Hirofumi Uzawa crea un modelo de crecimiento de dos sectores que propuso25. podemos apreciar. los trabajadores no ahorran todo. 60 . Ciertamente habrá precios relativos de los bienes. • Sector de bienes de capital. Los capitalistas ahorran todo su beneficio PMg ( s k ) = 1 . La fuerza de trabajo crece a una tasa constante ( n ). que el aumento de la tasa de crecimiento de la población hace que la curva de depreciación se desplace así arriba y al intersecarse con la curva de ahorro genere el nuevo punto de equilibrio ( E 2t ). etc. Los mercados de bienes y factores son mercados de competencia perfecta. 2. En este punto existe un menor capital por trabajador.5. Nótese que este mismo aumento de la tasa de crecimiento potencial de la economía.Cesar Antunez. 1961. I Crecimiento Económico En la versión de Barro que se muestra en la parte inferior de nuestro Gráfico presentado. Nótese que todo modelo de crecimiento de dos bienes por su propia naturaleza es más complejo que el modelo de Solow. I"(En Modelo de Dos-sector de Crecimiento Económico. El sector de bienes de consumo es mas intensivo que el sector de bienes de capital.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista sin relación con el exterior. de los factores de capital por trabajador sectorial. Los trabajadores no ahorran PMg ( s w ) = 0 . c .Cesar Antunez. Pc c : Consumo nominal de bienes de consumo. Ym = F ( K m . tenemos: Yc K L = F( c . es igual al consumo real de bienes de consumo: Yc = Donde. I 2. c : Consumo real de bienes de consumo. es igual a la inversión real de bienes de capital: Ym = I . Pm El equilibrio en el crecimiento proporcionado Se asume que se llega al estado de crecimiento proporcionado. m ) Lm Lm L m Donde. Pc : Precio del bien de consumo. Lc ) Dividiendo la función entre LC . Yc = F ( K c . Pc 2. y m = f (k m ) …Función de producción intensiva I : Inversión nominal. Pm : Precio de bien de capital. c ) Lc Lc Lc y c = f (k c ) …Función de producción intensiva El producto del sector de bienes de consumo.3 El sector de bienes de capital Se produce una función de producción Neoclásica de buen comportamiento.5. I : Inversión real de bienes de capital. los mercados de factores van estar en equilibrio. Lm ) Dividiendo entre Lm .2 Sector de bienes de consumo Crecimiento Económico Se produce una función de producción Neoclásica de bienes de consumo. 61 . El producto del sector de bienes de capital Ym . Yc . tenemos: Ym K L = F( m . Pm Subíndice: m representa el bien de capital (maquinaria).5. tenemos: S real ≡ I real ⇒ S I = Pm Pm Asume todos los capitalistas ahorran todo su beneficio. I Mercado de trabajo Crecimiento Económico Se plantea que existe el sector de mercado de consumo y el mercado de bienes de capital. donde: PMK m = rm Pm rc : Tasa de rendimiento real del capital en términos de bienes de consumo. rC = rm = r y también se asume el pleno uso de los factores. PMgK c = rc Pc b. que la cantidad de salario nominal de consumo se iguales al salario de bienes de capital. S B S r = ⇒ = .Cesar Antunez. Mercado de capital a. b. Pm Pm donde: s K = PmgK capital = 1 Reemplazando el valor que tenemos s K . Mercado de trabajo del sector de capital Las empresas capitalistas contratan trabajadores hasta. S B = sK . a. Mercado de capital de bienes de capital Se asume que el nivel de tasas de rendimiento nominal del capital. Mercado de capital en el sector de bienes de consumo Las empresas maximizadotas de beneficios contratan maquinas.5. Mercado de trabajo del sector de bienes de consumo Que las empresas capitalistas van a contratar trabajadores en aquella cantidad. Pm 2. Pc rm : Tasa de rendimiento real del capital en términos de bienes de capital.K = K( I ) Pm Pm Dividiendo a la ecuación ( I ) entre L . hasta que esta se iguale con la tasa de rendimiento real. donde el salario real se iguale al salario nominal. Lc + Lm = L y K c + K m = K .4 Ecuación fundamental de Uzawa Partiendo de la condición de equilibrio macroeconómico.K Pm Pm Pm Pm Reemplazando r I . tenemos: 62 . 5 Estado de crecimiento proporcionado En el estado de crecimiento proporcionado. ′ entonces si g k = 0 .k t K ( III ) Pm De la función de producción intensiva de ∂y m r ′ = f m (•) = PMK m = m ∂k m Pm Reemplazando en la ecuación ( III ). la ecuación fundamental de Uzawa Esta ecuación diferencial del proceso de acumulación en una economía capitalista de dos bienes. 63 . I Crecimiento Económico r K I 1 . Gráfica 2. respecto a la ampliación de capital. • r .17] se puede apreciar la distribución del ingreso entre el sector de bienes capitalista y el sector de bienes de consumo. k t . Va significar que la tasa de cambio del capital por trabajador es un remanente del producto marginal del capital del sector de maquinas. es más intensiva que la función intensiva de bienes de consumo. la tasa de crecimiento del capital ( g k ) es nula. L ( II ) Pm L Pm L • In • = k t + n. donde la función de producción de bienes de capital. que determina k ∗ m . esto nos da: f m = n .k t = k t + n.17: Distribución del ingreso del modelo de Uzawa En el Gráfico [2.k t . 2. Recordando que la inversión neta por trabajador esta definida como: L reemplazando la inversión neta en la ecuación ( II ).5.k t − n. = .Cesar Antunez. tenemos: • ′ k t = f m . tenemos: • kt ′ = fm − n kt ′ gk = fm − n 64 . Pi r : Tasa de rendimiento real del capital en términos del bien i-ésimo.k c∗ Crecimiento Económico i = c.Cesar Antunez. I Nótese: ∗ k m < k t∗ < k c∗ ∗ k t∗ = θ . r Pc : Precio relativo de los bienes.18: Estado de crecimiento proporcionado de Uzawa Dividiendo la ecuación fundamental de Uzawa entre k t . m Donde: k i∗ : Capital por trabajador del sector i-ésimo. Pm Gráfica 2. y i∗ : Producto por trabajador del i-ésimo sector.k m + (1 − θ ). W : Salario real del bien i-ésimo. Pi w : Precio relativo de los factores. Pi : Precio del bien i-ésimo. Este es un modelos Neokeynesianos. La explicación del desarrollo y del surgimiento y persistencia de polos de crecimiento y estancamiento exigía dejar de lado los modelos de un sector. Distinguió entre actividades económicas basadas en la tierra y actividades basadas en procesos de transformación. Por último. descarta el método de equilibrio por irrelevante.Cesar Antunez. lo importante es identificar los mecanismos de transmisión en los procesos de cambio estructural de las economías capitalistas. y hace de ésta una fuerza esencial en la determinación del ritmo de crecimiento de la economía en el corto y en el largo plazo. I 2. el cual establece que la tasa de beneficios (r) en la senda de crecimiento a largo plazo de una economía. y utilizar esquemas multisectoriales para estudiar las interrelaciones entre los sectores con rendimientos decrecientes (la agricultura) y con rendimientos crecientes (la industria. el proceso opera de manera diferente Kaldor llegó incluso a afirmar que el libre comercio podía dejar al mundo en una situación peor que si hubiese algún tipo de regulación. El comercio internacional entre países ricos se basaba en el intercambio dentro de las industrias y no entre industrias. vol. 27 26 65 . lo que reafirmaba la idea clásica de que las fuerzas que llevan a la especialización son el comercio basado en bajos salarios (bienes primarios) y el comercio basado en conocimiento y tecnología (bienes industriales). Las exportaciones se convierten en el componente autónomo más importante del gasto en las economías desarrolladas porque les permite mantener altos niveles de utilización de la capacidad productiva en las manufacturas. N. Desde esta perspectiva analítica.6 Crecimiento Económico Modelo de Kaldor (Enfoque de Cambridge) La historia de las leyes de Kaldor se remonta a los debates sobre las consecuencias de los rendimientos crecientes dinámicos y estáticos y sobre el papel de la demanda real en la determinación de la trayectoria de crecimiento de largo plazo de la economía. 15. opta por un análisis cualitativo antes que cuantitativo. En las primeras. En las actividades industriales. complementa el enfoque de la oferta con el de la demanda. pues el desarrollo económico es ante todo un proceso de desequilibrio. donde Kaldor efectúa una critica a los modelos Neoclásicos de crecimiento indicando que no se ciñen a los hechos esterilizados de Álvaro Martín Moreno Rivas (2008 )Las leyes del desarrollo económico endógeno de kaldor: el caso colombiano Título original: “The government sector in Kaldor-Pasinetti models of growth and income distribution” (El sector gubernamental en Kaldor-Pasinetti planea de crecimiento y distribución del ingreso) Journal of Post Keynesian Economics (El periódico de Post la Economía Keynesiana). Un país exitoso es aquel que exporta bienes con altas elasticidades ingreso de la demanda e importa bienes primarios con bajas elasticidades. ya que privilegia el enunciado de leyes empíricas y busca explicaciones endógenas y bicausales de los hechos estilizados. En primer lugar. En segundo lugar. Kaldor (1970 y 1981) examinó a fondo las implicaciones del principio de causación circular acumulativa y de los rendimientos crecientes en el desarrollo regional y en el comercio internacional. relegando la determinación de los valores de las variables a un lugar secundario. Podríamos decir que los trabajos que Kaldor publicó después de 1966 constituyen una especie de reversión de la técnica analítica. 2. pag: 211-228. es el cociente entre la tasa natural de crecimiento (gn) y la (pura) propensión al ahorro de los capitalistas (sc) 27. Los hechos confirmaban su hipótesis. 26 El resultado más importante del desarrollo del modelo de crecimiento y distribución de la renta de Kaldor es el llamado “teorema de Cambridge”. mediante los efectos ingreso y sustitución. los precios relativos constituyen el mecanismo de ajuste a los desequilibrios. S c = s c . frente a lo cual. El producto marginal de los capitalistas supera al producto marginal de los trabajadores esto puede ser escrito mejor como: 0 < s w < s c < 1 . Dicha economía se halla en pleno empleo.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista en el cual existen dos clases sociales: • • Capitalista con un subíndice (c). S ≡ s w + sc (b) Ecuación de comportamiento El ahorro de los capitalistas ( s c ). I Crecimiento Económico crecimiento.6. Desarrollo del modelo (a) Identidades El producto por el lado del ingreso es igual a la suma de la masa de salario y la masa de beneficio. El ahorro agregado. Y ≡W + B Su producto agregado es igual al ingreso nacional.W 0 < sw < 1 Ecuación de ahorro de Kaldor Plantea que el ahorro agregado va depender directamente del ingreso nacional y de los beneficios dado el producto marginal ahorrar ( PMgs ) de las clases sociales. Cada clase social tiene su propio ahorro que depende de su ingreso. su producto marginal ( PMgs ) de cada clase. distribución del ingreso y la tasa de ahorro de la sociedad en forma endógena. S w = s w . La economía no tiene relación con el exterior. 2. PMgsc = 1 . De la identidad Y ≡ W + B ⇒ W = Y − B . se desdobla entre el ahorro de los capitalistas ( s c ) y el ahorro de los trabajadores ( s w ). La inversión no es exógena. S. dado su producto marginal ahorrar ( PMgs w ) de los trabajadores. reempezando en la siguiente ecuación que se muestra S = Sc + S w 66 .Cesar Antunez.B 0 < sc < 1 El ahorro de los trabajadores ( s w ) depende directamente de su ingreso laboral. Trabajadores con un subíndice (w). masa de salario w. depende directamente de su ingreso de los beneficios dado su producto marginal ahorrar de los capitalistas ( PMgsc ). donde. plantea un modelo de crecimiento que considere las clases sociales. (I − s w . dad la tecnología y las proporciones marginales ahorrar.Y ) sc − s w B Y⎞ 1 ⎛I .(Y − B ) S = s w . Dado s w .⎜ − s w ⎟ K ( II ) Y sc − s w ⎝ Y ⎠ Esto significa que depende directamente del coeficiente de inversión dado las diversas propensiones marginales ahorrar.Y )K ( I ) sc − s w B 1 ⎛I ⎞ = . 67 .B Dividiendo la ecuación anterior entre Y. B= Dividiendo entre K 1 .B = I B= 1 .B + s w .⎜ − s w . r S=I s w .Y + ( s c − s w ). B= Dividiendo entre Y: 1 .(I − s w .W S = s c .B Tasa de ahorro de la sociedad S = s w .Y + ( s c − s w ).6.Y ) . tenemos. S B = s w + ( s c − s w ). K Y s = s w + ( s c − s w ).r. tenemos. Ecuación de beneficio sc − s w Participación de los beneficios en el ingreso nacional De la ecuación de beneficio tenemos. ⎟ K ( III ) = K sc − s w ⎝ K K⎠ Estos significan que la tasa de beneficios de la sociedad depende directamente de la tasa de crecimiento de capital. I Crecimiento Económico S = s c . Y Y B K s = s w + ( s c − s w ).Cesar Antunez. Tasa de beneficio De la ecuación ( I ).2 Ecuación de beneficios De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos. .v s = f (r ) 2.(I − s w .B + s w .Y + ( s c − s w ). s c . r = g K gK = s w + ( s c − s w ). s w .σ . + (s c − s w ). = K K K B I = K K s w . tenemos: sw .6. 2.v K ( IV ) v Nótese que el numerador de la ecuación ( IV ) es la tasa de ahorro de la sociedad ( s r ).3 Crecimiento Económico De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: S=I s w .B = I Dividiendo entre el stock de capital la ecuación anterior.σ . K I ΔK = gk = : Tasa de crecimiento del stock de capital K K Y = σ : Relación producto-capital. Que Kaldor halla que la tasa de crecimiento del producto es igual a la tasa de ahorro de la sociedad es endógena y permite que se igualen a la tas de crecimiento efectivo.Y + ( s c − s w ). gK = En el crecimiento proporcionado: g K = g Y s(r ) v s (r ) : Es endógeno. 2. σ : Relación producto-capital y es el reciproco de la relación capital-producto σ = 1 / v .r.4 Caso Límite 68 . Y B I + (s c − s w ). Es un modelo donde hay una tasa de ahorro de la sociedad es endógena. K Es una teoría de la distribución que señala que las clases sociales y se basa en su producto marginal que lo genera. + (s c − s w ).Cesar Antunez.6. I Donde: Crecimiento Económico B = r : Tasa de beneficio. gY = s (r ) v gw = ge Nótese. los beneficios dependen del volumen de inversión dado el producto marginal de los capitalistas. Ecuación de crecimiento Cambridge 28.Cesar Antunez. 1966). dado el producto marginal ahorrar de los capitalistas ( PMgsc ). el “teorema dual” dice que el ratio producto-capital (Y/K) en la senda de crecimiento equilibrado es igual al cociente de la tasa 69 .6. propuso una explicación imaginativa y general para explicar el bajo desempeño económico de Inglaterra después de la posguerra. En breve. • Ecuación de crecimiento De la ecuación numero ( IV ). De la ecuación de beneficio ( II ). donde deviene: g K = gY = g Y = s c . Meade y Hahn (1965) y Samuelson y Modigliani (1966) que trataron de desarrollar un “teorema dual” o “anti – Pasinetti”.5 Tres leyes de crecimiento de kaldor En primer lugar. cuando los trabajadores no ahorran la tasa de crecimiento del producto depende directamente de la tasa de beneficio. Aunque luego modificó algunas de sus hipótesis. mostró la importancia de los análisis desagregados y multisectoriales para explicar las diferencias de crecimiento per cápita entre países. esto quiere decir que s w = 0 . K sc K r= gk K ( III ′) sc En una economía capitalista en los que los trabajadores no ahorran. La economía capitalista en el largo plazo. De la ecuación de beneficio deviene: B 1 I = . tenemos: B 1 ⎛I⎞ = . I Crecimiento Económico En este caso nos dice que la economía capitalista en la cual los trabajadores no ahorran. la tasa de beneficio depende directamente del stock de capital.⎜ ⎟ K ( II ′) Y sc ⎝ Y ⎠ En una economía en que los trabajadores no ahorran su beneficio depende directamente del coeficiente de inversión dado su propensión marginal. reemplazando s w = 0 tenemos: B= I K (I ′) sc En una economía capitalista donde los trabajadores no ahorran. esto significa que PMgstrab = s w = 0 . dado la propensión marginal de los capitalistas. En segundo lugar. mantuvo la formulación de las tres leyes del crecimiento endógeno a pesar de las agudas controversias posteriores a su enunciado conjunto de 1966. 2. trabajadores no ahorran de la ecuación de beneficio ( I ). abandonando el supuesto que contiene el 0 < sw < sc < 1.rY K (VI ′) v El teorema de Cambridge fue primero atacado principalmente por escritores como Meade (1963.r . tenemos la ecuación de crecimiento. • Kalecki: Señala que los capitalistas guardan todo lo que gana y los trabajadores gastas todo lo que ganan. Como dijo en su artículo de ese año: “la hipótesis que intento examinar es que las rápidas tasas de crecimiento económico están asociadas con tasas rápidas de crecimiento del sector secundario de la economía principalmente el sector de las manufacturas y que esto es un atributo de una etapa 28 s c . Formalmente. 1966) Kaldor nos dice en su libro “Causa de crecimiento de de UK” (1966). Los primeros hacen referencia al tamaño óptimo de la empresa (producción a gran escala).a : 0 < β < 1 em = −α + (1 − β ) g m Donde Pm : Representa el crecimiento de la productividad del trabajo. z ( g m − g nm ) : Esta expresión busca reducir los efectos espurios. Kaldor hace referencia a los efectos sobre el resto de la economía de una expansión en el sector manufacturero dice: PRIMERA LEY DE KALDOR Existe una fuerte relación de causalidad que va del crecimiento del producto manufacturero al crecimiento del PIB. Kaldor consideraba que la correlación era significativa y que no podía atribuir al simple hecho de que la producción industrial hace parte del PIB. 70 . por eso se expresa en función de la diferencia entre las tasas de crecimiento industrial g m y de crecimiento no manufacturero g nm . SEGUNDA LEY DE KALDOR Existe una fuerte relación positiva entre el crecimiento de la productividad en la industria manufacturera y la tasa de crecimiento del producto. se puede expresar así: g Y = c + dg m g Y = c + z ( g m − g nm ) Donde g Y : Representa la tasa de crecimiento del PIB. lo que permitía aumentar la producción sin reducir la oferta de los demás sectores. Estos últimos son esenciales. En su planteamiento. pues su carácter macroeconómico convierte al sector industrial en motor del crecimiento. Aquí usamos las dos expresiones de Kaldor (1966). a los procesos de aprendizaje en el oficio y a las economías externas producto de la especialización industrial.Cesar Antunez. los segundos. Pm = α + β . nos da las tres “leyes” del crecimiento de Kaldor.g m s. g nm : Representa la tasa de crecimiento no manufacturero. Propuso dos razones para apoyar esta ley: la reasignación de recursos subutilizados en el sector primario o de servicios. g m : Representa la tasa de crecimiento industrial. Existen varias maneras de expresar esta ley. I Crecimiento Económico intermedia del desarrollo económico: es la característica de la transición de la ‘inmadurez’ a la madurez” (Kaldor. donde había desempleo disfrazado o subempleo y menor productividad. y la existencia de rendimientos crecientes a escala estáticos y dinámicos en la industria manufacturera. Concluye que existen beneficios de los trabajadores y capitalistas. que pertenece a los trabajadores29. I Crecimiento Económico em : Representa la tasa de crecimiento del empleo en la industria. esto es: Y /K = gY / sw. 2.Cesar Antunez. se puede expresar como: Ptot = c + kg m − jenm Donde Ptot : Representa la tasa de crecimiento de la productividad total. g m : Representa la tasa de crecimiento del PIB industrial. 29 71 . y aluden a la importancia de la brecha tecnológica en la explicación de la productividad (Gomulca. La tasa de crecimiento del producto (gy) dividida por la propensión al ahorro de los trabajadores (sw). 1983). enm : Representa la tasa de crecimiento del empleo en los sectores no manufactureros • Kaldor analiza las causas de las diversas causas de crecimiento del producto manufacturero. El punto controversial es la relación de causalidad. En los aciertos señala que hay clases sociales y el producto marginal ahorrar ( PMgs ) es endógeno y en las diferencias descubre. por eso su finalidad es corregir el modelo de Kaldor. trabajo (L) y tecnología Modelo de Pasinetti En su trabajo de 1962. Un coeficiente menor que 1 indica rendimientos crecientes a escala. Esta relación también se conoce como “ley de Verdoorn” (1948). Algunos autores sostienen que va en sentido contrario.7 I (inversión) C (consumo) X (exportaciones) Dotación de factores: capital (K). del crecimiento de la productividad al crecimiento del producto industrial. es decir. de modo que el crecimiento de la productividad total de la economía está asociado positivamente con el crecimiento del producto y del empleo industrial y correlacionado negativamente con el crecimiento del empleo fuera del sector manufacturero. va ser un balance del modelo de Kaldor donde hay aciertos y definiciones. donde los propietarios del ahorro son dueños del interés (el ahorro de los trabajadores genera interés). que hay una limitación en una economía capitalista. TERCERA LEY DE KALDOR Cuanto más rápido es el crecimiento del producto manufacturero más rápida es la tasa de transferencia de trabajo de los sectores no manufactureros a la industria. Formalmente. • Factor por el lado de la demanda • Factor por el lado de la oferta (T). g m : Representa la tasa de crecimiento del PIB industrial. en parte. esta fijada al nivel necesario para asegurar el pleno empleo en el equilibrio a largo plazo. La cuantía de la inversión (I). Ecuación de comportamiento • El ahorro de los capitalistas ( s c ). dado el producto marginal ahorrar ( PMgs ) de los trabajadores. beneficios asignados a los trabajadores ( Pw ) y beneficios asignados a los capitalistas ( Pc ). es una proporción de su ingreso ( Yw ). I 2. 72 . propiedad de los trabajadores ( K w ) y en parte de los capitalistas ( K c ). y en la senda de crecimiento equilibrado con pleno empleo a largo plazo.Bc • El ahorro de los trabajadores ( s w ). El ingreso de los trabajadores se desdobla en masa de salario ( W ). es una proporción de sus beneficios ( Bc ). y beneficio de los trabajadores ( Bw ). Los ingresos netos totales (Y) se dividen en salarios (W). La fuerza de trabajo medida en unidades de eficiencia (L) crece de forma exponencial a la tasa de crecimiento natural de Harrod. B ≡ Bc + B w • • El producto agregado por el lado del ingreso. sin actividad gubernamental.7. 0 ≤ s w < s c ≤ 1 . Adicionalmente. Del mismo modo el ahorro total neto (S) se divide entre el ahorro de los trabajadores ( s w ) y el de los capitalistas ( s c ). Y ≡ W + Bw Donde: El subíndice (c) representa a los capitalitas. S ≡ Sc + S w • El beneficio total se desdobla en beneficio de los capitalistas ( Bc ) y beneficio de los trabajadores ( Bw ). y masa de beneficio ( B ). La economía considerada es cerrada. y el capital total (K) es. se desdobla en masa de salario ( W ).1 Supuestos del modelo Crecimiento Económico A los supuestos de Kaldor Pasinetti le añade los siguientes supuestos: El ahorro de los trabajadores genera un interés que pertenece a los trabajadores.Cesar Antunez. en ahorro de los capitalistas ( s c ) y ahorro de los trabajadores ( s w ). • El ahorro agregado de la sociedad se desdobla. El subíndice (w) representa a los trabajadores. S c = s c . dado el producto marginal ahorrar ( PMgs ) de los capitalistas. dad exógenamente. Existen beneficio de los capitalistas y beneficios de los trabajadores. Y ) sc − s w 73 .(I − s w . S = S (Y .Bc + s w . dividiendo entre: Y B S = sY + ( s c − s w ).Y ) sc − s w Bc 1 ⎛I ⎞ .(Y − Bc ) S = sY . tenemos: S=I s w . dado el producto marginal ahorrar ( PMgs ) de las clases sociales. I Crecimiento Económico S w = s w . Bc ) S = Sc + S w S = s c .Bc + s w .2 Función de ahorro de Pasinetti 0 ≤ s w < sc ≤ 1 El ahorro agregado depende directamente del ingreso nacional y de los beneficios de los capitalistas.(I − s w .7. tenemos: 1 . Y = W + B Y = W + Bc + B w Y − B = W + Bw = Yw K (II ) Reemplazando la ecuación ( II ) en ( I ): S = s c .Y ) sc − s w Razón de beneficio de los capitalistas respecto al ingreso nacional De la función de beneficios de los capitalistas Bc = Dividiendo entre Y.Y + ( s c − s w ).Yw K ( I ) De.Bc = I 1 Bc = .Bc + s w .Yw S = s c .⎜ − s w ⎟ K ( III ) = Y sc − s w ⎝ Y ⎠ Razón de beneficio de los capitalistas respecto al stock de capital De la función de beneficios de los capitalistas Bc = 1 . c Y Y Donde la tasa de ahorro de la sociedad es endógena S = S ( Bc / Y ) .Cesar Antunez. La función de beneficio de los capitalistas Partiendo de la condición de equilibrio macroeconómico.Bc Tasa de ahorro de la sociedad De la forma de ahorro agregada.Yw S w = sw (W + Bw ) 2.(I − s w .Y + ( s c − s w ).Bc + s w .(W + Bw ) S = s c . en la ecuación ( IV ) nos da: K w s w . tenemos: 74 . K K Kw K B Bc ⎛K ⎞ = + rw . tenemos: Crecimiento Económico Bc 1 ⎛I ⎞ . Y Y Kw K Y B Bc ⎛K ⎞ K = + rw . y la ecuación ( II ). L (VI ) Y Y ⎝ K ⎠ Y Donde: rw : Tasa de rendimiento de capital por trabajador K w / K : Razón de capital de los trabajadores al capital agregado Obteniendo algebraicamente K w / K tenemos: En un equilibrio dinámico.Y = K (VII ) K S Reemplazando la Condición S = I .⎜ w ⎟.⎜ w ⎟ L (V ) K K ⎝ K ⎠ Así mismo de la relación B = Bc + B w Dividiendo entre stock de capital (y) B Bc B w = + Y Y Y Multiplicando y dividiendo entre K w / K B Bc B w K w K = + .Cesar Antunez.Y s .⎜ − s w ⎟ K ( IV ) = K sc − s w ⎝ K ⎠ De la relaciones Dividiendo entre stock de capital (K) B = Bc + B w B Bc B w = + K K K Multiplicando y dividiendo entre K w / K B Bc B w K w = + .(Y − Bc ) K s . tenemos que: Kw Sw = K S K w s w .(Y − Bc ) = ⇒ w = w − w K I K I I Despejando el beneficio de los capitalistas ( Bc ). . I Dividiendo entre k. la participación de los beneficios en el ingreso nacional depende directamente del coeficiente inversión. que la ecuación ( X ) y simplificando se tiene: B 1 I = .3 Supuesto de largo plazo ⎞ K ⎟. Ahora aplicando dicho supuestos se tiene. en la ecuación ( VIII ) La participación de los beneficios en el stock de capital es: ⎛ s . tenemos: Bc = Bc 1 ⎛ s w . tenemos: ⎛ s .s Y sc L (VIII ) = w c .Cesar Antunez.⎜1 − ⎟ I sc − s w ⎝ I ⎠ Reemplazando y resolviendo.Y ) sc − s w Dividiendo la ecuación anterior entre la inversión ( I ). K sc K En una economía capitalista donde los trabajadores ahorran y son propietarios de sus intereses en el largo plazo la tasa de beneficio. I Crecimiento Económico 1 .⎜ c w . L ( X ) ⎟ Y ⎠ En el largo plazo se da la igualdad de las diversas tasas de ganancia y el interés. se puede notar si reemplazados el supuesto de largo plazo en la ecuación ( IX ) y simplificando nos da: B 1 r = . 75 . va depender directamente de la tasa de crecimiento del capital dado la propensión marginal ahorrar ( PMgsc ) de los capitalistas. esto quiere decir que: Bc B B = w = =i Kc Kw K rc = rw = r = i La implicaría de este supuesto.s Y sc B Bc = + rw .(I − s w .s sc ⎞ B Bc ⎟ L ( IX ) = + rw . − ⎜s −s I s −s Y Y w c w ⎝ c 2.7. tenemos la parte de capital correspondiente a los trabajadores en situación de equilibrio. − K sc − s w I sc − s w Reemplazando K w / K y la ecuación ( IV ).⎜ c w − ⎜s −s K Y sc − s w ⎟ w ⎝ c ⎠ Reemplazando K w / K en la ecuación ( VI ).Y ⎞ = . Y sc Y En una economía capitalista donde los trabajadores ahorran y son propietarios de sus intereses. Kw s . Por tanto postula una teoría del crecimiento exógeno. 30 76 . si no que la concurrencia de “factores del desarrollo” específicos que apunten en tal dirección.) en la que la cuantía de la inversión está fijada al nivel necesario para asegurar el pleno empleo.r . Kalecki nos dice el desarrollo de largo plazo. En este ensayo nos muestra una economía capitalista que solo produce tres bienes de consumo. por eso se destaca la gran importancia de la PMgsc de los capitalistas. en sentido de que hay una tendencia inherente al capitalismo a impulsar el constante crecimiento de la productividad del trabajo. I Así mismo se tiene que B = Crecimiento Económico I . 2. pero no realiza un examen detallado de las mismas en un marco capitalista. Importancia El modelo de Kaldor presenta un caso límite y hace un supuesto extremo. es relativamente escaso en la economía. esto es: r= gK ⇒ g K = s c . en el sentido que se crece a la tasa del stock de capital ( g K ) y la (pura) propensión al ahorro de los capitalistas ( s c ). esto nos da reemplazando en la ecuación anterior la tasa de crecimiento del producto. y en especial aquellas que impliquen un A quienes les interese revisar Kalecki. sino que el considera que los trabajadores no ahorran y son propietarios de sus intereses. Donde Atribuye que el desarrollo de largo plazo de una economía capitalista a las innovaciones. nos presenta en su obra quizá más importante titulado “Theory of Economic Dynamics: An essay on cyclical and long. los beneficios dependen directamente del volumen de sc inversión dado en producto marginal de los capitalistas. particularmente las innovaciones. Fondo de Cultura Económica.run changes in capitalist economy”1954 (La teoría de Dinámica Económica: Un ensayo en cíclico y largo .ejecute los cambios en la economía del capitalista). M. llegando al mismo resultado de Kaldor. dado el producto marginal ( PMgsc ) de los capitalistas. la tasa de crecimiento del producto depende directamente de la tas de beneficio. de lujo y de inversión30. que los capitalistas no ahorran. En cambio el modelo de Pasinetti no necesita sumir que los trabajadores no ahorran. donde g K = g Y .Cesar Antunez. o mejor dicho al crecimiento. (1956): Teoría de la dinámica económica.r sc En el crecimiento proporcionado.8 Modelo de Kalecki Economista polaco Michal Kalecki. Kalecki sostenía que el desarrollo a largo plazo no era algo inherente a la economía capitalista. Tasa de crecimiento Este resultado es estrictamente válido en una economía cerrada con dos clases (trabajadores y capitalistas. g Y = s c . la ecuación de crecimiento de Cambridge En una economía capitalita en donde los trabajadores ahorran en el largo plazo. significa que en una economía capitalista no es importante el ahorro de los trabajadores sino la propensión marginal ahorrar de los capitalistas. Recordemos que la afirmación de que el largo plazo no es más que una larga sucesión de cortos. Sector II: Sector productor de bienes de consumo de lujo. esta representara con un subíndice: 1. 2. Valor de la mercancía = C+V+P ∑ valores _ de _ mercancia = ∑ C + ∑V + ∑ P Producto social = C + V + P Kalecki hace la transición hacia el sistema de valores hacia el sistema de precios. tenemos el valor de la mercancía32. La economía no tiene relación con el exterior. Sector III :Sector productor de bienes de consumo necesario. Fondo Cultura Económica. esta representara con un subíndice. Michal Kalecki “Ciclo y Tendencia” (2006). 1973. Los trabajadores no ahorran. representados con un subíndice. Las mercancías se venden a un precio que coincide con su valor. Análisis Del sistema de valores. c . Existen solo dos clases sociales que son: • • Trabajadores. Los capitalistas ahorran una proporción de su beneficio. Paúl Sweezy. El producto bruto final sectorial por el ingreso se desdobla en salario y beneficio sectoriales. Por Pablo Bortz de la Universidad Nacional de Luján de la Republica de Argentina. El producto bruto final se desdobla en salario y beneficio.8. Es por eso que su análisis se concentra particularmente en un estudio y el análisis de largo plazo. I Crecimiento Económico mayor volumen de capital. VBP = insumo + depreciación + salarios + beneficios _ netos VBP = depreciación + VAB VBP = insumo + VAB PNB 31 Estos párrafos están basados en la Serie de documentos de apoyo a la docencia.1 Supuestos del modelo Existen tres sectores que producen: • • • Sector I :Sector productor de bienes de inversión. representados con un subíndice. Existe integración vertical de cada sector. el lector interesado puede revisar. Una característica central del estudio del crecimiento en el largo plazo en Kalecki es que parte del supuesto de que la economía funciona en términos generales con una subutilización del stock de capital. No es arriesgado afirmar que fue el primero que trabajó bajo este supuesto (y ciertamente. México. uno de los pocos) 31. 77 . “Teoría del desarrollo capitalista”.Cesar Antunez. 3. 32 Para mejor entendimiento del valor de la mercancía y su sistema de precios. w . esta representara con un subíndice. 2. Capitalistas. B b C w = c w .2 Análisis de Corto Plazo Sabemos que Y = W + B b . Subíndice: c (capitalistas). w (trabajadores) y b (bruto). I b : Inversión bruta. Enfoque de Kalecki Crecimiento Económico En este enfoque a fin de expresar el producto bruto del sector privado. C w : Consumo de los trabajadores. Bib : Beneficio bruto sectorial. C = CK + Cw C K = c K . La participación del salario en el ingreso se supone en general bastante estable en el curso del ciclo. Donde: Wi : Salarios sectoriales.8. Yi : Producto bruto final del sectorial. igualando las dos ecuaciones tenemos: W + Bb = C + I b W + B b = C K + C w + I b K (I ) 78 . pero también es igual Y = C + I b . pero no puede decirse lo mismo de la suma de salarios y sueldos. P: Precio. PNB: Producto nacional bruto.W 2. C K : Consumo de los capitalistas. I Donde: VAB: Valor agregado bruto.Cesar Antunez. empecemos por el ingreso nacional. sino que todo su ingreso lo destinan al consumo. reemplazando en la ecuación anterior del consumo de los trabajadores tenemos: C w = W . nos da el beneficio bruto que depende directamente del volumen de inversión.B b Reemplazando el consumo agregado de los capitalitas que se extrae de la ecuación anterior.w ⇒ C w = (1).B b ⇒ B b = Ib L ( II ) 1 − ck La ecuación ( II ). s w = 0. tenemos que: C w = c w . W + B b = C K + (W ) + I b B b = C K + I b K (I ′) . entonces expresando el consumo de los capitalistas tenemos: C K = c K .Cesar Antunez. c w = 1 . I Crecimiento Económico Debido a que los trabajadores no ahorran s w = 0 . donde trabajadores gastan todo lo que gana y los capitalistas gana todo lo que gastan. 79 . s w + c w = 1 ⇒ 0 + c w = 1 .W reempleando el consumo de los trabajador que es iguala la masa de salario en la ecuación ( I ). tenemos: C K = c K . luego de pagar a los trabajadores se quedan con todo el excedente de la forma de consumo necesario y lo intercambian con los salarios del sector II.B b B b − I b = c K .W . Determinación del producto de bienes de consumo necesario: Y3 Como sabemos que los trabajadores no ahorro. Ecuación de Intercambio Fundamental Sabes que de la ecuación de beneficio tenemos: Bb = C K + I b B b = Y2 + Y1 b B1b + B2 + B3 = W2 + B2 + W1 + B1 B3 = W1 + W2 . como los trabajadores no ahorran. la ecuación de intercambio fundamental b Los capitalistas en el sector III. la ecuación de beneficios Kalecki nos dice que el consumo de los capitalistas es una proporción de sus beneficios. nos da C w = c w . por que. esto implica que los trabajadores destinen todo su ingreso al consumo c w = 1 ( PMgc w = 1 ). Y1 + Ψ2 .Y1 + Ψ2 . Reemplazando en la ecuación del sector Y3 . I Crecimiento Económico Del producto bruto final de sector de bienes necesario tenemos que: Y3 = W1 + W2 + W3 Asiendo un artificio multiplicando y dividiendo entre el producto de cada sector tenemos: Y3 = W W1 W .Y2 Y3∗ = Ψ1 . Y1 = I b y Y2 = C K . Y2 W3 = Ψ3 : Participación de los salario del sector 3 en el producto bruto final del sector Y3 .(1 − Ψ3 ) = Ψ1 .2.Y 1 + 2 . 80 .I b + Ψ2 .Y1 + Ψ2 .C K 1 − Ψ3 Determinación del producto de bienes agregados De la demanda efectiva y de una economiza cerrada tenemos la condición de equilibrio macroeconómico donde el producto es igual al consumo mas la inversión. Ψ3 ).3 Reemplazando las variables anteriores en la ecuación ( III ) Y3 = Ψ1 . Cw = Ψ1. Y = Demanda efectiva Y = C + Ib Y = Cw +CK + Ib Y= Ψ1 .C K + C K + I b L ( IV ) 1 − Ψ3 Esta ecuación nos quiere decir que el producto agregado de equilibrio va depender directamente del volumen de inversión bruta y del volumen de consumo de los capitales dado los parámetros de distribución del ingreso ( Ψ1 . Ψ2 .Cesar Antunez. nos da el producto de bienes necesario.Y3 L ( III ) Y1 Y2 Y3 Donde: W1 = Ψ1 : Participación de los salario del sector 1 en el producto bruto final del sector Y1 . Y3 Ψi : Parámetro de la distribución del ingreso del sector i-ésimo i = 1. es: Y3 .Y2 + 3 .Y3 L ( I ) Entonces el producto de sector Y3 .Y2 + Ψ3 .I b + Ψ2 . Y1 W2 = Ψ2 : Participación de los salario del sector 2 en el producto bruto final del sector Y2 .Y2 1 − Ψ3 Donde: Y3 = C w . I b K (V ) Donde: c K : Producto marginal de los capitalistas ( PMg ) : K C LP = c K . [1 − Ψ3 + Ψ2 ]. La Función de Largo Plazo Plantea la función de largo plazo del consumo K C LP = f ( I b ) K Sea una función de consumo lineal C LP = m.8. 2.C K + (1 − Ψ3 ). I Crecimiento Económico Y∗ = YK = Ψ1 .C K + [Ψ1 . Se tiene que B b = K C LP = Ib . Se determina a partir de la demanda efectiva.B b K (VI ) s K : Producto marginal ahorrar de los capitalistas. + (1 − Ψ3 )].C K + [Ψ1 .C K + (1 − Ψ3 ).I b 1 − Ψ3 YK = 1 .3 Análisis de Largo plazo Kalecki nos dice que en el largo plazo el consumo de los capitalistas depende directamente de la inversión bruta. sK cK b .Cesar Antunez.I b 1 − Ψ3 [1 − Ψ3 + Ψ2 ].I b Donde: m= cK : Razón del producto marginal del consumo de los capitalistas entre el producto sK marginal del ahorro de los capitalistas.I b + Ψ2 . δ : Tasa de depreciación del stock de capital Ecuación de acumulación bruta de capital K I b = I n + I LP I b = ΔK + δ .I sK K C LP = m. + (1 − Ψ3 )].K 81 . y este modelo se considera las clases sociales.I b 1 − Ψ3 [ ] Se determina la producción de equilibrio a partir de los esquemas de reproducción amplia del producto. reemplazando esta ecuación en la ecuación ( VI ). gK K ∂K ⎛ ⎞ ⎜ Y ⎟ ∂Y ∗ ⎟ = g K . ∂K ⎣ 1 − Ψ3 ⎦ K ∗ ∂YLP Y = K ∂K ∗ ∂YLP g K Y = . I Crecimiento Económico Ib = ΔK .⎜ ⎛ 1 ⎞ ⎟ n ⎝ I /Y ⎠ σ= gK an g K = a n .I b + Ψ2 .8.m ⎤ K ∂YLP = ( g K + δ )K . la ecuación de la ecuación bruta de capital I b = g K .K + δ .⎢ 1 ⎣ 1 − Ψ3 ⎦ ⎡ Ψ + Ψ2 .σ .⎢ 1 ⎣ 1 − Ψ3 ⎦ 2. producto agregado de lago plazo YLP = ( g K + δ )K .m ⎤ + m + 1⎥ Y ∗ = I b . multiplicando i dividiendo entre K .Cesar Antunez.⎜ ∂K ⎜ ΔK .K + δ .K ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ K ⎠ ⎞ ⎛ ⎜ Y ⎟ ⎟ σ = g K .⎜ ⎛Y ⎞ n ⎟ ⎝I ⎠ σ = g K .K Determinación del producto agregado a largo plazo De la ecuación ( IV ).⎢ 1 + m + 1⎥.m ⎤ K + m + 1⎥ . tenemos: Y∗ = Ψ1 .K K I b = ( g K + δ ). tenemos: ∗ ⎡ Ψ + Ψ2 .K ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ K σ = g K .I b Y = + m. la ecuación de Kalecki 82 .I b + I b 1 − Ψ3 ∗ ⎡ Ψ + Ψ2 .C K +CK + Ib 1 − Ψ3 Asumiendo C K = m.I b + Ψ2 .K .I b Reemplazando en la ecuación Y ∗ .4 Crecimiento económico en el largo plazo Del producto de equilibrio en el largo plazo ( Y ∗ ) . tenemos Ψ1 .⎜ ⎜ ΔK . Reemplazando la relación anterior en la ecuación de Kalecki.σ .Cesar Antunez. reemplazando de Kalecki. la ecuación de Harrod-Kalecki v Podemos apreciar que la ecuación de Harrod y Domar contienen el producto marginal ahorrar. se tiene: an gY = . I Donde: Crecimiento Económico In = a n : Coeficiente de inversión neta. la ecuación de Domar-Kalecki Donde: σ = 1 / σ : Representa la relación producto – capital. 83 . mientras que el modelo de Kalecki en su ecuación fundamental contiene el coeficiente de inversión. Y Asumiendo el crecimiento proporcionado tenemos: g K = g Y . g Y = a n . que es el reciproco de capital – producto. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 84 . Pág.Cesar Antunez.: 56. Por eso son teorías. Pág. I Crecimiento Económico Capítulo III Crecimiento con progreso tecnológico y tasa de ahorro exógena “Toda teoría depende de su suposiciones que no son totalmente ciertas.:18 85 . Robert Solow (1956).citado Por: Charles Jones (2000). El arte de elaborar teorías con éxito consiste en hacer las inevitables suposiciones simplificadoras en forma tal que los resultados finales no sean muy sensibles”. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 86 . Según él. cambio técnico y progreso tecnológico Técnica: Es un método de producción en el cual existen una determinada proporción entre los factores de producción e insumos para producir un determinado bien. Progreso Tecnológico: Son todos los avances cualitativos y cuantitativos del fondo social de conocimiento sobre el arte de la producción y la técnica. El paso del «circuito» a la «evolución» se efectúa por medio de las innovaciones. Proceso de Difusión. I 3. Es el conjunto de conocimientos y técnicas. existe un estado de no crecimiento. Proceso de Innovación. Se reducen los costos significativamente de producción. El nos señala que el progreso tecnológico que tiene varios componentes: Proceso de Invención. Formulación y aplicación de nuevos métodos de producción. que constituyen el motor del crecimiento. Proceso de Innovación Es aquel proceso de convertir los grandes inventos de la humanidad y las grandes ideas en mercancía que puedan ser utilizados por la población. Tecnología: Esto hace referencia a un fondo social de conocimiento sobre el arte de la producción y la técnica. Proceso de Invención Es aquella fase en la cual se efectúan los grandes descubrimientos de la humanidad.Cesar Antunez. Cambio Técnico: Es la modificación de los factores e insumos para producir un determinado bien.1 (a) Crecimiento Económico Definición de técnica.1 Schumpeter y los componentes del progreso tecnológico Los conceptos introducidos por Schumpeter que más influencia ha tenido es el de innovación. Conquista de nuevos mercados. el «circuito» económico. 87 . y un estado de crecimiento. tecnología. Aseguramiento de los mercados de materias primas. Schumpeter plantea que el progreso de innovación se va caracterizar por: Creación y producción de nuevos bienes. la «evolución».1. Proceso de Difusión Implicaría del progreso tecnológico: Aumento significativo de la producción elevando la productividad. (b) (c) (d) 3. At = A0 .e m. Función de Producción Dinámica desplazable Es aquella función dinámica que con progreso tecnológico se traslada la función en forma ascendente. Gráfico [3. K t = Stock de capital agregado en el instante “t”. I Crecimiento Económico 3. K t . tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia de capital 88 .1. At = Factor aumentativo de la eficiencia del capital. Analíticamente Yt = F ( At . Representación Analítica La función reproducción dinámica es aquella función que considera explícitamente el bien. como se puede apreciar en el Gráfico [3.1].1]: Desplazamiento de la función Dinámica La función de producción dinámica aumenta de la eficiencia de los factores Es aquella función de producción dinámica que con el progreso tecnológico lleva aun aumento de la productividad de los factores.Lt ) Donde: Yt = Producción agregada en ele instante “t”.t Con las propiedades: Si t =0 entonces At =0 = 1 Si t >0 entonces At f 0 f 1 • A >0.2 Progreso tecnológico exógeno y desincorporado Es aquel tipo de progreso tecnológico que no explica las causas ni los orígenes del progreso tecnológico simplemente asumen que se dio el progreso tecnológico en forma exógena. Función de producción dinámica aumentativa de la eficiencia de los factores.Cesar Antunez. Función de producción dinámica desplazable. Así mismo asume que el progreso tecnológico se concentra en nuevas maquinarias y mejoramientos de los trabajadores. B( t ) . Esto nos dice que ahorra capital en relación con el trabajo necesario para producir. 89 . I • Crecimiento Económico g A( t ) = A(t ) A(t ) = mK A( t ) . B( t ) . donde nos permite producir la misma cantidad del producto con menor cantidad de capital.K t = A0 . Progreso tecnológico neutral Es te tipo de progreso tecnológico que debe introducirse en la practica.t = Le = Lt t 3. Progreso tecnológico radical.e mK .Cesar Antunez.e mL . si el producto marginal del trabajo aumenta mas que el producto marginal del trabajo cuando la relación capital y trabajo permanece constante y esto por una innovación tecnológica. Progreso tecnológico desincorporado. Bt = B0 .K t : El stock de capital eficiente o eficaz. • g B (t ) = B( t ) B( t ) = mL B( t ) . A( t ) .3 Clasificación del progreso tecnológico Progreso tecnológico neutral. Progreso tecnológico endógeno.t = K te = K t Lt : Fuerza de trabajo agregada en el instante “t”.Lt = B0 . Progreso tecnológico rentable. tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo. Progreso tecnológico sesgado. Progreso tecnológico exógeno.Lt : Fuerza de trabajo eficiente o eficaz. Progreso tecnológico no rentable. Progreso tecnológico incorporado.1. Y estos progresos tecnológicos se clasifican como: (a) Progreso tecnológico a lo Hicks Hicks nos indica que la innovación tecnológica era neutral (neutralidad de Hicks) con respecto al capital y al trabajo y solo si la relación entre productividades marginales de los factores se mantiene constante para cada factor será ahorrador de capital de trabajo.e mL . B(t ) : Factor aumentativo de la eficiencia del trabajo.t Con las propiedades: Si t =0 entonces Bt =0 = 1 Si t >0 entonces Bt f 0 f 1 • B >0. 1966). luego Yt = F ( A(t ) K t . 90 . Donde nos dice que la misma cantidad de capital y una cantidad menor de trabajo se obtienen el mismo producto. nos dice que una condición necesaria y suficiente para la existencia del estado proporcionado en una economía con progreso tecnológico exógeno y neutral en el sentida de Harrod esto quiere decir que es potenciador de trabajo. (c) Progreso Tecnológico neutral a lo Solow En la ecuación de producción dinámica aumentativa de la eficiencia de los factores se tiene: Donde B( t ) = 1 . 3. Phelps (1962. ε II : Progreso tecnológico neutral a lo Harrod. donde se mantiene la relación capitalproducto ( v 0 ).4 Clasificación general del progreso tecnológico Sea una economía capitalistas que solo tiene capital y trabajo. Lt ) Con este tipo de progreso tecnológico neutral a lo Solow únicamente ocurre un aumento en la productividad del capital.2]: Clasificación del progreso Nótese: Que en el nuevo punto óptimo ε I es existe progreso tecnológico. Harrod y Hicks también con un mejor progreso tecnológico el mapa de isocuanta se contrae.1. ε III : Es el progreso tecnológico neutral a lo Hicks por que la productividad del capital aumenta en la misma proporción que el ahorro de capital y trabajo. I Crecimiento Económico (b) Este progreso técnico neutral a los Hicks puede escribirse: Donde se plantea que At = Bt Progreso tecnológico neutral a lo Harrod Harrod nos dice que el progreso técnico es insesgado. y según esto la innovación tecnológica es neutral (neutralidad de Harrod). Gráfico [3.Cesar Antunez.2] se puede notar los tipos de progreso tecnológico de Solow. como podemos apreciar en el Gráfico [3. B( t ) Lt B( t ) Subíndice e: Es eficiente. 3. Análisis Sea la función de producción dinámica aumentativa de la eficiencia de los factores. Con este tipo de progreso tecnológico se ahorra capital y trabajo.1) Donde: B(t ) : Factor aumentativo de la eficiencia de trabajo. Área III: Progreso tecnológico ahorrar de capital. Sea un progreso tecnológico exógeno. se asume que la tasa de progreso tecnológico es constante.2 Solow con progreso tecnológico exógeno y desincorporado En esta parte hablaremos de la mejora tecnológica y del crecimiento de largo plazo. Existe un progreso tecnológico neutral a lo Harrod. Yt B( t ) Lt = yt = y t = y e : Producto por trabajador eficiente.Cesar Antunez. Área II: Progreso tecnológico relativamente ahorrador de trabajo. Yt = F ( K t . se mantiene invariable la relación trabajoproducto ( u 0 ). Área IV: Progreso tecnológico es intensivo en trabajo y ahorrador en capital. pero se ahorra más relativamente de trabajo. Sea un progreso tecnológico desincorporado. B(t ) Lt : Fuerza de trabajo eficiente. B( t ) Kt k = t = k t = k e : Capital por trabajador eficiente. B( t ) Lt ) Si dividimos entre la fuerza de trabajo eficiente ( B( t ) Lt ). ) B(t ) Lt B(t ) Lt y t = f (k te ) K ( FPI ) en unidades eficiente y t = f (k te . Con este trabajo se ahorra tanto capital como trabajo. Yt B( t ) Lt = F( K t B(t ) Lt . I Crecimiento Económico ε IV : Progreso tecnológico neutral a lo Solow. 91 . pero se ahorra relativamente más capital.K t . Área I: Progreso tecnológico intensivo en capital y ahorrador de trabajo. Yt = F ( A( t ) . B(t ) Lt ) Puesto que se asume que el progreso tecnológico neutral a lo Harrod A( t ) = 1 . por que se permite introducir el progreso tecnológico de largo plazo. Supuestos del modelo A los supuestos básicos de Solow se le añaden los siguientes supuestos: Sea una economía con progreso tecnológico. entonces reemplazado en la ecuación ∂t de Solow con progreso tecnológico. Crecimiento proporcionado El crecimiento proporcionado se da cuando ∂k t = 0 .Y = I n + I rep s. f (k e ) = ∂k te + (n + m L + δ ).K Dividiendo entre B(t ) L s. ∂t Como se puede apreciar en el Gráfico [3. tenemos: Si ∂k t = 0 . f (k e ) = (n + m L ).k e + δ . se determina el capital por trabajador k ∗ .Cesar Antunez. f (k e .1) = ∂k te + (n + m L ). Gráfico [3.k e . la ecuación fundamental de solow con progreso tecnológico ∂t Donde: δ : Tasa de depreciación del stock de capital. .k e ∂t s. B( t ) L B( t ) L B( t ) L B( t ) L s.B( t ) Lt .F ( K .k t = = k te + B( t ) Lt B( t ) Lt dt dt [ ] ∂k e In = t + (n + m).k e . B( t ) L) = I n + δ .k e + δ . respecto a la ampliación bruta de capital considerando el progreso tecnológico. I Inversión neta por trabajador eficiente Crecimiento Económico k te = kt Kt = B(t ) B( t ) Lt K t = k te .3]: Diagrama de Solow con progreso tecnológico 92 .3]. entonces s. )= + δ. Es una ecuación del proceso de acumulación de capital y del progreso tecnológico en una economía capitalista.B( t ) Lt Dividiendo entre B( t ) Lt e d ( B( t ) Lt ) e In 1 d k t . Señala que la tasa de cambio del capital por trabajador eficiente será igual al remante del ahorro bruto por trabajador eficiente. tenemos: Sb = Ib s.F ( K B( t ) L In K .k te B(t ) Lt ∂t Ecuación fundamental de Solow con progreso tecnológico De la condición de equilibrio macroeconómico. 1 ∂k t s. f (k t ) . se determina k t∗ kt Gráfico [3.1 Supuestos del modelo 93 . Si γ k = 0 entonces s. f (k t ) − (n + δ + m L ) kt En el estado de crecimiento proporcionado γ k es nulo. f (k t ) = (n + δ + m L ) . 3.3.3 Solow –Swan con progreso tecnológico exógeno Para generar el crecimiento sostenido se introduce el progreso tecnológico.Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Versión de Barro Dividiendo la ecuación fundamental de Solow con progreso tecnológico entre k t . = − (n + δ + m L ) k t ∂t kt γk = s. Para genera el crecimiento de largo plazo que no se podía explicar en el Capítulo anterior.4]: Versión de Barro con progreso tecnológico 3. Yt = K t .2 Ecuación fundamental de Solow-Swan con progreso exógeno y desincorporado De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos: F ( K t . Yt : Producto agregado.k te K ( I ) Para saber el comportamiento de k te . B( t ) Lt ) Se asume que existe una función de producción Cobb-Douglas. = B(t ) Lt [ B( t ) Lt ]α [ B(t ) Lt ]α −1 Yt ⎛ k ⎞ yt =⎜ t ⎟ B( t ) ⎜ B( t ) ⎟ ⎝ ⎠ α y t = k t K (FPI ) α y te = (k te ) α Donde: El superíndice {e} de las variables en unidades eficientes. B( t ) Lt ) + K t + δ . f (k te ) − δ . B( t ) Lt ) + K t + δ .( B( t ) Lt ) β K ( FP) Rendimiento decreciente s. Existe una función de producción Cobb-Douglas. Lt : Fuerza de trabajo agregada.F ( K t . β : Elasticidad del producto respecto al trabajo eficiente. α B( t ) Lt ) β Kt . tenemos: •e •e •e k t = s. K t : Stock de capital. I Crecimiento Económico A los siguientes supuestos básicos se le añaden el siguiente supuesto particular.k te Despejando k t .3.Lt 0 = − s. B( t ) Lt ) = (1 − s ). Dividiendo la función de producción entre el trabajo eficiente ( B( t ) Lt ). f (k te ) + k t + δ .F ( K t . B(t ) Lt ) = C t + I t F ( K t . α : Elasticidad del producto respecto al capital.K t K x • • 1 B( t ) . Análisis Puesto que se asume el supuesto tecnológico neutral a lo Harrod Yt = F ( K t .Cesar Antunez.K t 0 = − s. 3. B( t ) Lt : Fuerza de trabajo eficiente. calcularemos su derivada con respecto al tiempo 94 .a Rendimientos a escala constante α + β = 1 α Donde: B(t ) : Factor aumentativo de la eficiencia de trabajo. k te K ( II ) ∂t ∂k te = s.5]. esto quiere decir que la tecnología hace más eficiente el trabajo.3.3 Estado de crecimiento proporcionado La tasa de crecimiento per cápita a largo plazo es positiva cuando la tecnología mejora de forma continua. 39-43 Si a largo plazo no existe un nuevo aumento de B(t) la economía converge a un estado proporcionado con un stock de capital superior. I Crecimiento Económico • • • ∂k te ∂[ K t / B( t ) Lt ] K t .B( t ) L t − K t .k te ∂t ∂k te = s. que lo hallamos en la ecuación (I ) y reemplazando la FPI de nuestro modelo tendremos: •e ∂k te • e = k t − n.k te − m L . pero con crecimiento nulo. donde la curva de ahorro se ubica en el equilibrio ( E1t ) y se desplaza a la derecha hasta intersecarse con la curva de depreciación hasta el punto de equilibrio ( E 2t ) y si el crecimiento con una tasa de crecimiento positiva es continuo se ubicara en ( E 3t ) con un capital por trabajador k t*** 34. Existe un estado de crecimiento proporcionado.5]: Versión de Barro aumento de la tecnología Revise Sala-i-Martín(1994) “Apuntes de Crecimiento Económico” Editorial: Antoni Bosch. Es una ecuación diferencial que refleja la dinámica de la acumulación de capital en una economía capitalista con progreso tecnológico.B(t ) Lt − K t .Cesar Antunez. f (k te ) − (n + δ + m L ). Gráfico [3. 3.k te − m L . ∂t B( t ) Lt Lt B( t ) Lt B(t ) B( t ) Lt • • • ∂k te • e = k t − n.33 Imaginemos que la tecnología mejora como se puede apreciar en el Gráfico [3. pp. − . 34 33 95 . en donde la tecnología debe estar multiplicando el factor trabajo.k te K ( II ) ∂t Reemplazando k t . B (t ) Lt = = ∂t ∂t (B(t ) Lt )2 ∂k te Kt L Kt B (t ) K t = − t. k te ∂t [ ] α − (n + δ + m L ).k te . la ecuación fundamental de Solow-Swan con progreso tecnológico. (k te ) α = (n + m L + δ ). si reemplazamos en la ecuación anterior tenemos: α ⎛ s ( y te ) ∗ = ⎜ ⎜n+ m +δ L ⎝ ⎞ 1−α ⎟ ⎟ ⎠ Donde Asterisco denota el valor de equilibrio de las variables 96 .Cesar Antunez. entonces s. I Crecimiento Económico En el estado de crecimiento proporcionado se tiene que Si ∂k te es nulo. se determina el capital por trabajador en ∂t estado de crecimiento proporcionado (k te ) α . ∂t ∂k te = 0 . ⎛ ⎞ s ke ⎜ ⎟= e α ⎜ n + m + δ ⎟ (k ) L ⎝ ⎠ t ⎛ ⎞ s e 1−α ⎜ ⎜ n + m + δ ⎟ = (k t ) ⎟ L ⎝ ⎠ 1 ⎛ s (k te ) ∗ = ⎜ ⎜ n + m +δ L ⎝ ⎞ 1−α ⎟ ⎟ ⎠ De la función de producción intensiva se tiene y te = (k te ) α .k te . Cesar Antunez. esta ecuación determina el capital por kte kt ∗ trabajador en equilibrio ( kte ) como se aprecia en el gráfico [3. la tasa de crecimiento de capital es nula esto quiere decir que γ kLP = 0 . Gráfico [3. 1 dkte s (kte )α ke .7].6]: Gráfico de la versión de Barro 97 .6]: Diagrama con tecnología Versión de Barro De la ecuación fundamental de Solow – Swan dividimos entre el capital por trabajador eficiente kte . I Crecimiento Económico Gráfico [3. = − (n + mL + δ ) te kte dt kte kt γ ke = s (kte )α ke − (n + mL + δ ) te kte kt En el crecimiento proporcionado de largo plazo. e e Si γ k = 0 entonces s (kte )α ke = (n + mL + δ ) te . n = 1.kte K ( II ) ∂t 98 . a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.5% al año. calcularemos su derivada con respecto al tiempo K t . Rpt: a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.5%. B( t ) Lt ) + K t + δK t K 0 = − sf (kte ) + k t + δkt Despejando k t . c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente. mL = 1. dividiendo a la función de producción entre la cantidad de trabajadores 1/ 2 K t1 / 2 = B( t ) Lt (B(t ) Lt )1 / 2 Yt ⎡ B(t ) Lt ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ B(t ) Lt ⎥ ⎣ ⎦ K t1 / 2 y = ⇒ yte = (kte )1 / 2 K ( FPI ) 1/ 2 (B(t ) Lt ) e t De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos: F ( K t . B( t ) Lt ) = (1 − s ) F ( K t . δ = 0. I 3. d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los valores.kte − mL . t − . tenemos: •e •e •e •e •e • 1 B( t ) Lt k t = sf (k t ) − δ k t K ( I ) Para saber el comportamiento de kte .B( t ) Lt − K t .B( t ) Lt − K t . también se sabe que la tasa de depreciación del capital es de 5% al ano. b) Determinar el estado de crecimiento proporcionado con su respectivo gráfico.Cesar Antunez. B( t ) Lt ) + K t + δK t Dividiendo entre la cantidad de trabajadores eficientes • 0 = − sF ( K t .05. De los datos tenemos s = 24. B (t ) Lt ∂kte ∂ K t / B( t ) Lt = = ∂t ∂t (B(t ) Lt )2 ∂kte Kt Lt K B (t ) K t = − .5% y por ultimo se sabe que la tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo es de 1. ∂t B( t ) Lt Lt B( t ) Lt B( t ) B( t ) Lt • • • [ ] • • ∂kte • e = k t − n.3. B( t ) Lt ) = Ct + I t F ( K t .5% Yt = K t1 / 2 B( t ) Lt eficientes B( t ) Lt [ ] 1/ 2 . la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 1. e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.4 Crecimiento Económico Política de crecimiento ejercicios resueltos Problema #1 Su Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción dinámica: 1/ 2 Yt = K t1 / 2 B( t ) Lt y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 24% del producto [ ] agregado cada año. kte − mL .08 kte e Donde la tasa de crecimiento del capital es nula γ k = 0 .08 kte ∗ kte = 9 ∗ Remplazando kte .24(kte )1 / 2 − 0.Swan) entre el capital por trabajador eficiente e e igualándolo a la tasa de crecimiento que es nula γ k = 0 .08kte .24(kte )1 / 2 . la ecuación fundamental con progreso tecnológico ∂t b) En el estado de crecimiento proporcionado se obtiene dividiendo la ecuación anterior (ecuación fundamental de Solow .08 kte c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente. en la FPI tenemos el producto por trabajador eficiente: yte = (9)1 / 2 ⇒ yte = 3 ∗ 99 . = − 0.24(kte )1 / 2 − 0. 0. 1 ∂kte 0.24(kte )1 / 2 − 0. ∂kte = s (kte )α − (n + mL + δ ).kte K( III ) ∂t Reemplazando los datos en la ecuación (III) ∂kte = 0.24(kte )1 / 2 = 0. que lo hallamos en la ecuación (I) y reemplazamos en la FPI de nuestro modelo tenemos: ∂kte • e = k t − n. I •e Crecimiento Económico Reemplazando k t .kte ∂t Nos da la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.Cesar Antunez. En el estado proporcionado esta dado por la siguiente ecuación: 0= 0.08 kte ∂t kte γ ke = 0.kte K( II ) ∂t ∂kte = sf (kte ) − (n + mL + δ ). 5 = = = 0. 1 / 2 .16666) x9 = = = 0. la participación del beneficio en el ingreso ye Y 3 nacional es del 50%. I Crecimiento Económico Gráfico del problema #1 d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los valores.kt 2 kt We = 1 1/ 2 1 kt ⇒ W e = (9)1 / 2 2 2 W e = 1.498 ≈ 50% .Cesar Antunez. Mercado de capital: 1⎛1⎞ d kt1 / 2 = ⎜ ⎟ Pmgk = R ⇒ Pmgk = dkt 2⎝9⎠ e ( ) 1/ 2 R r = 0.5 ≈ 50% . 100 .5 e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional. we W 1. 3 ye Y La participación del beneficio: R e k e B (0.16666 Mercado de trabajo: 1 1 pmgL = W e ⇒ Pmgk = f (kte ) − f ′(kte ). la participación del beneficio en el ingreso nacional es del 50%.kte ⇒ W e = (kte )1 / 2 − . s. esto significa que la economía comienza de nuevo la e e profundización. llegando al equilibrio E2t .k2t d ( f (k2t )) ∗ = k2t > 0 dt ∗ Donde k1∗t < k2t 101 . desde “ s1t ” hasta “ s2t ”. Por lo que la función de producción eficiente llega a un valor más alto que el capital por trabajador eficiente con una producción per -capita más alta. Que el aumento de la inversión se desplaza en forma ascendente de s1t . hasta llegar a igualarse s2t f (k 2t ) = (n + mL + δ )k2t . I Crecimiento Económico Gráfico de la distribución del ingreso nacional Problema #2 Examine el impacto de un aumento permanente en la tasa de inversión sobre el crecimiento de la economía en el modelo de Solow – Swan con progreso tecnológico. Rpt: Como en la economía se decidido aumentar de forma permanente la tasa de inversión.Cesar Antunez. f (k1et ) hasta la e curva. f (k2t ) = (n + mL + δ ). La respuesta de esta economía como se puede ver el grafico del problema #2. con esto la nueva inversión ( k 2t ) supera a la inversión anterior por trabajado eficiente. Cesar Antunez. f (kte ) − (n + mL + δ ) = γ te > 0 e kt Si Δs > 0 α α ⎛ ↑s ↑ kte = ⎜ ⎜ n + m +δ L ⎝ ⎞ 1− α ⎛ ↑s ⎟ ∧ ↑ yte = ⎜ ⎟ ⎜ n + m +δ L ⎠ ⎝ ⎞ 1− α ⎟ ⎟ ⎠ 102 . I Crecimiento Económico Gráfico del problema #2 ↑ s. δ = 0. B( t ) Lt ) = (1 − s ) F ( K t . I Problema #3 Crecimiento Económico Suponga que existe una economía capitalista cuya función de producción agregada es 4/9 Yt = K t5 / 9 B(t ) Lt . dividiendo la función de producción entre la cantidad de trabajadores 4/9 eficientes B( t ) Lt . también se sabe que. c) Halle el valor de equilibrio de capital por unidad trabajo eficiente y del producto por unidad eficiente y graficar. b) Determine el estado de crecimiento proporcionado. mL = 2% Yt = K t5 / 9 B(t ) Lt [ ] 4/9 .08. Rpt: a) De los datos tenemos: s = 0. B( t ) Lt ) + K t + δK t K 0 = − sf (kte ) + k t + δkt Despejando k t . B (t ) Lt ∂kte ∂ K t / B( t ) Lt = = ∂t ∂t (B(t ) Lt )2 ∂kte Kt Lt K B (t ) K t = − . d) Halle la remuneración de los factores. B( t ) Lt ) + K t + δK t Dividiendo entre la cantidad de trabajadores eficientes • 0 = − sF ( K t .Cesar Antunez. La tasa de depreciación del capital es de 8% al año.B( t ) Lt − K t . que lo hallamos en la ecuación (I) y reemplazamos en la FPI de nuestro modelo tenemos: •e 103 . la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 2% al año y por ultimo se sabe que la tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo es de 2% al año. a) Hallar la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico. e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional y por ultimo grafique todos los datos encontrados en un solo grafico. tenemos: •e •e •e •e •e • 1 B( t ) Lt k t = sf (k t ) − δ k t K ( I ) Para saber el comportamiento de kte .36. n = 2%.kte − mL . ∂t B( t ) Lt Lt B( t ) Lt B( t ) B( t ) Lt • • • [ ] • • ∂kte • e = k t − n. B( t ) Lt ) = Ct + I t F ( K t . calcularemos su derivada con respecto al tiempo K t .B( t ) Lt − K t . tenemos: K t15 / 9 = B( t ) Lt (B(t ) Lt )5 / 9 Yt ⎡ B( t ) Lt ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ B( t ) Lt ⎥ ⎣ ⎦ K t4 / 9 y = ⇒ yte = (kte )5 / 9 K( FPI ) 49 (B(t ) Lt ) e t De la condición de equilibrio macroeconómico sabemos: F ( K t . t − . y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 36% del [ ] producto agregado cada año.kte K ( II ) ∂t Reemplazando k t . 36(kte )5 / 9 − 0. la ecuación fundamental con progreso tecnológico ∂t b) En el estado de crecimiento proporcionado se obtiene dividiendo la ecuación anterior (ecuación fundamental de Solow . I Crecimiento Económico ∂kte • e = k t − n. 1 ∂kte 0.36(kte )5 / 9 = 0.12 kte ∗ kte = 11.Cesar Antunez.kte − mL .kte ∂t Nos da la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico.845)5 / 9 ⇒ yte = 3.36(kte )5 / 9 γ = − 0.12 kte ∂t kte 0.36(kte )5 / 9 − 0.Swan) entre el capital por trabajador eficiente e e igualándolo a la tasa de crecimiento que es nula γ k = 0 . 0. = − 0. ∂kte = s (kte )α − (n + mL + δ ).12kte .36(kte )5 / 9 .12 kte e k e Donde la tasa de crecimiento del capital es nula γ k = 0 . En el estado proporcionado esta dado por la siguiente ecuación: 0= 0.12 kte c) Hallar los valores de equilibrio por unidad de trabajo eficiente.kte K( II ) ∂t ∂kte = sf (kte ) − (n + mL + δ ). en la FPI tenemos el producto por trabajador eficiente: yte = (11.kte K( III ) ∂t Reemplazando los datos en la ecuación (III) ∂kte = 0.845 ∗ Remplazando kte .948 ∗ 104 . we W 1.754 = = = 0. la participación del beneficio en el ingreso nacional es del y e Y 3.1852 Mercado de trabajo: 5 1 pmgL = W e ⇒ Pmgk = f (kte ) − f ′(kte ). I Crecimiento Económico Gráfico del problema #3 d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto de l capital y graficar los valores.754 e) Hallar la participación de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.kt 9 kt We = 4 5/9 4 kt ⇒ W e = (11.845)5 / 9 9 9 W e = 1. La participación del beneficio: 105 .5%.kte ⇒ W e = (kte )5 / 9 − .948 44.445 ≈ 50% . 4 / 9 . Mercado de capital: d (kt5 / 9 ) = Pmgk = R ⇒ Pmgk = dkt e 5⎛ 1 ⎜ 9 ⎜ kt ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 4/9 R r = 0.Cesar Antunez. 1852) x11. de tal modo que cuando se interfecta con la curva de ampliación neta de capital determina el nuevo estado de crecimiento e e proporcionado.845 = = = 0. sobre el crecimiento de su economía. considerablemente. I Crecimiento Económico R e k e B (0.555 ≈ 55. y un nuevo ingreso per cápita por trabajador ( k 2t ).Cesar Antunez. hasta llegar el equilibrio ( E2t ) donde la tasa de crecimiento proporcionado es nula. También podemos apreciar en la grafica que con mayor “ n ” se obtiene un nuevo consumo por trabajador e eficiente ( c2t ). teniendo una tasa de crecimiento negativa. como se puede apreciar en la versión de Barro. como se puede ver en el grafico del problema #4. Gráfico de la distribución del ingreso nacional Problema #4 Imaginemos en el país “A” se ha producido un aumento de la población debido a la no planificación familiar esto ha aumentado la tasa de crecimiento poblacional. con menor capital ( k 2t ) y menor producto por trabajador ( y2t ). y debido a estos se quiere analizar este aumento permanente de la tasa de crecimiento de la población. la participación del beneficio en el ingreso ye Y 3. 106 . En el corto plazo el capital por trabajador eficiente comienza a disminuir. la curva de ampliación de capital rota en sentido antihorario.5%.5% .948 nacional es del 55. Rpt: Un aumento permanente de la tasa se crecimiento de la población ( n′ ). 1 α 107 . el nivel de producción por trabajador. y nos da una tasa de Crecimiento negativa.Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfico del problema #4 sf (kte ) − (n + mL + δ ) = γ te < 0 e kt Si Δn > 0 ⎛ ⎞ 1− α s s ⎛ ⎞ 1− α ⎟ ∧ ↓ yte = ⎜ ↓ kte = ⎜ ⎟ ⎜↑ n+m t ⎟ ⎝↑ n + m+δ ⎠ L ⎠ ⎝ Por lo tanto una aumento de la tasa crecimiento de la población afecta de manera negativa al capital por trabajador eficiente. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 108 . I Crecimiento Económico Capítulo IV Crecimiento con progreso tecnológico y tasa de ahorro endógena “El enunciado de una ley es un resultado de la inteligencia. Las leyes no son necesariamente causales y tampoco requieren o exigen una explicación causal” Bunge (1959) 109 .Cesar Antunez. cultural o social. una síntesis del esfuerzo de la razón ilustrada para establecer regularidades que se detectan en la realidad natural. I Crecimiento Económico 110 .Cesar Antunez. Agricultura de de Japón En este país existe escasez de tierra de cultivo. abundancia de mano de obra y escasez de capital. se propiciar la mecanización del agro y esto genera una intensificación del capital. esto fue ocasionado por la escasez del petróleo. lo cual genera un estimulo a un progreso tecnología o endógeno que ahorre tal factor de producción que se ha encarecido relativamente. Traerá como benéficos: semillas mejoradas. 111 . pero existe abundancia de capital y de mano de obra. esto quiere decir que dicho factor de producción se encarece elevando su precio relativo de lo factores. creación de motores de cuatro cilindros y desarrollo de energías alternativas (energía solar. tendrá un de terminado precio relativo de los factores. Agricultura de la Sierra En el caso de la selva existe abundancia de tierras de secano. I 4. eolica. Hicks nos dice si se da un estimulo económico para generar un progreso tecnológico ahorrador de tierras de regadío e intensiva mano de obra.1 Crecimiento Económico Modelo de Hicks Sir John R. escasez de agua. biocombustible. existe un relativo encarecimiento de la renta por el factor respecto a las otras retribuciones de los factores de producción. escasez de tierras de regadío. Elevado precio relativo de los salarios en relación de los servicio de otros factores. por sus teorías sobre el equilibrio general económico y el bienestar. Hicks nos plantea un modelo con progreso tecnológico inducido por los precios relativos de los factores. junto Arrow Kenneth. Hicks nos dice que existe un estimulo para generar un progreso tecnológico intensivo en capital y ahorrador de agua.1.1 Planteamiento En una economía capitalista. Ante una determinada escasez de un factor de producción. británico ganador del premio Nobel de Economía en 1972.1. gasifera. abundancia relativa de capital y escasez de mano de obra. Agricultura de Perú La agricultura de la costa de Perú presenta escasez de tierras de regadío. 4. atómica. etc. Hicks economista. Agricultura de EEUU Agricultura de granjeros donde hay abundancia de tierra y capital y escasez de mano de obra. Nos plantea en una economía capitalista va existir un incremento de los precios de los factores si existe progreso tecnológico 4. en el cual tienen determinada dotación de factores de producción y un determinado nivel de tecnología. nuevos f fertilizantes y camellones (chacras hundidas que tiene la forma de lomo de un camello de hay el nombre).).Cesar Antunez.2 Proposición / Aplicaciones Precio del petróleo Un ejemplo es el petróleo que en 1973 cuadruplico su precio pasando de 3 dólares el barril a 12 dólares. Como plantea Hicks si existe un estimulo económico para generar un progreso tecnológico ahorrador de petróleo generara: Autos más pequeños con menor consumo de petróleo. mientras que está incorporado a las nuevas máquinas en Arrow 112 .36 35 Crecimiento económico y generaciones de capital (2007) Autores: Raouf Boucekkine. la heterogeneidad temporal sencillamente se omite.35 En este artículo desarrollamos los fundamentos de la teoría del crecimiento endógeno con vintage capital a partir de estos antecedentes. Por este y otros trabajo Arrow gano el Premio Nobel de Economía en 1972. entonces podemos escribir una versión ampliada del modelo de LBD de Arrow. y que por tanto preserva la heterogeneidad del capital en el tiempo y respecto al stock de conocimientos. En primer lugar. se introduce una versión ampliada del modelo de Arrow de LBD que anida las distintas variantes que se discuten en el artículo. En segundo lugar. Nos vamos a referir al supuesto que recoge la depreciación de los efectos de la experiencia como forgetting. lo que facilita la discusión acerca de las consecuencias para la dinámica de hipótesis alternativas. Además. al menos si se acepta como en Romer (1986) que el stock de conocimiento también se deprecia. resulta natural iniciar el análisis a partir del modelo de crecimiento endógeno más simple: el modelo AK. puesto que la dinámica del modelo de Arrow bajo ciertas especificaciones converge a la del modelo AK con capital homogéneo. 4. y al modelo que anida el de Arrow y con ello por tanto el modelo AK estándar como de Learning by doing but forgetting. en la que la integración respecto al tiempo no puede sustituirse por la integración con respecto al conocimiento. de manera que los productores de los bienes de capital olvidan el conocimiento pasado a medida que el tiempo pasa. Las dos diferencias claves del Arrow y Romer. Omar Lisandro y Luís A. En primer lugar. El inconveniente para nuestros objetivos es que el supuesto clave del modelo de Arrow permite la agregación de máquinas de distintas edades. la tierra es pobre para la agricultura recordando que también hay abundancia forestal que dificulta la agricultura.Cesar Antunez. I Agricultura de la selva Crecimiento Económico En el caso de la selva donde existe abundancia de recursos naturales. mientras que en Romer son idénticos conceptos. en Arrow el conocimiento y el stock de capital son diferentes conceptos.2 Modelo de Aprendizaje de Arrow El modelo de Arrow (1962) de Learning by Doing (LBD) resulta ser la herramienta de partida para analizar la relación entre la edad media de las máquinas y la tasa de crecimiento: Arrow introduce progreso técnico endógeno en una tecnología de vintage. Para probar su teoría Arrow va visitar una fabrica de aviones y va a estudiar la evolución del fuselaje. existe escasez de tierras de regadío. como ocurre en el modelo de Arrow. el progreso técnico se distribuye sobre todos los equipos en Romer. en ella encuentra que la relación de fuselaje. y con el objetivo de mejorar nuestra comprensión del papel que juega la edad del capital en el crecimiento. Puch. A partir de este marco general se motiva el modelo AK con vintage capital. En efecto. para producir el fuselaje de un avión en términos de ahorras de trabajo estaba en una relación inversa con la producción de dichos fuselaje. cuando los nuevos equipos realizan la misma contribución al stock de conocimientos que los equipos heredados del pasado remoto. Financiación de la Fundación Ramón Areces 36 En un estudio posterior Romer (1986) supone implícitamente que el conocimiento se deprecia a la misma tasa que lo hace el capital. Suponemos que la contribución al conocimiento de la inversión en una determinada cosecha se deprecia con la edad. Cesar Antunez. H2: El crecimiento de la productividad del trabajo depende directamente del aprendiz aje en el puesto de trabajo. aij = f ( x j ) Gráfico [4. H4: La experiencia de los trabajadores depende de la cantidad de producción producida en dicho bien. El número de horas de trabajo para producir un bien depende inversamente de la cantidad de producción de dicho bien. H3: El aprendizaje depende directamente de la experiencia de los trabajadores. el coeficiente técnico deviene endógeno. es un coeficiente fijo ahora en el modelo de Arrow. 113 .1]: El aprendizaje según Arrow 4. aij : Contenido de trabajo por unidad de producción Obs: En los modelo de crecimiento el coeficiente técnico es un parámetro como tal.2.2. Hicks nos dice que el aumento de la producción y con ello aumenta el aprendizaje de los trabajadores.2 Hipótesis H1: El crecimiento económico depende directamente del crecimiento de la productividad del trabajo. I 4. lo cual eleva el crecimiento de la productividad del trabajo.1 Planteamiento Crecimiento Económico El número de horas de trabajo para producir un bien depende inversamente de la cantidad de producción de dicho bien. El Marco general: Learning-by-doing El marco general corresponde al óptimo social de una versión del modelo de Arrow (1962) de Learning by Doing. 114 . lo que les permite mejorar la productividad del trabajo de las nuevas máquinas. y por eso el progreso tecnológico se va expresar en una nuevas maquinas. Sin embargo. Arrow plantea que la inversión social es un Proxy (aproximado) de la experiencia de los trabajadores a lo largo de los años. debido a que en progreso tecnológico de bienes incorpora en una nueva maquina. El modelo de Arrow (1962) es un precursor de los modelos de crecimiento endógeno.Cesar Antunez. I Inversión Crecimiento Económico La inversión privada es realizada por empresa capitalista que tiene como objetivo maximizar su beneficio. En vista de esta situación Kaldor formula. 4. y señala que es un error separar los efectos del progreso tecnológico y los efectos de la acumulación de capital. Su supuesto clave es que el stock de conocimientos está asociado con Learning by Doing en el sector de bienes de capital. los mismo que van ampliar los bienes de capital heterogéneos. La inversión social es la inversión de toda la sociedad. el planteamiento de la función de producción de progreso técnico.1 Planteamiento En una economía capitalista existen bienes de capital heterogéneos. donde existen bienes de capital heterogéneos y a la vez existe progreso técnico incorporado se da. Función de progreso técnico En una economía capitalista. 4.3 La función de progreso técnico Kaldor efectúa una crítica a los modelos neoclásicos de crecimiento con progreso exógeno desincorporado. La producción de bienes de capital aumenta el conocimiento de los productores de dichos bienes. la especificación de Arrow es de alguna manera muy extrema: se supone que detener la producción de bienes de capital no tiene efectos negativos sobre el stock de conocimiento de los productores.3. que la tasa de crecimiento del producto por trabajador depende directamente de la tasa de crecimiento del capital por trabajador. Si los bienes de capital son heterogéneos no se puede utilizar la función de producción agregada pero si la función de producción de cada empresa. 2 Características La curva de progreso técnico es de magnitud positiva.Cesar Antunez. Tiene interfecto con la ordenada cuyo significado nos dice que existe otros factores que explican también el crecimiento de las curvas de progreso técnico y la recta de 45 grados genera: o o ∗ La tasa de crecimiento de capital por trabajador de equilibrio: g k La tasa de crecimiento del producto por trabajador de equilibrio: g ∗ y Máx Existe una máxima tasa de crecimiento del producto por trabajador: g k 115 . I Crecimiento Económico Gráfico [4. La curva de la función de progreso técnico es cóncava hacia el eje de la abscisa.3.2]: Función de progreso técnico 4. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Capítulo V Modelos Neoclásicos de crecimiento Óptimo “Dadme solamente las ecuaciones de movimiento y os mostraré el futuro del universo” Laplace 116 . Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 117 . es que en el modelo neoclásico las familias eran a la vez consumidoras y productoras. consumidores y empresas. También analizaremos las decisiones que toman los agentes económicos. posteriormente perfecciona do por Cass (1965) y Koopmans (1965). Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el producto a cambio de un precio. donde incorpora la función de producción neoclásica y va considerar también el modelo de Solow. Empresas y familias se encuentran en el mercado y los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vacía. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans también es conocido como el modelo d e horizonte infinito y para los economistas. familias). La concavidad de la utilidad refleja el deseo de la gente de tener trayectorias de consumo más o menos lisas o suaves en el tiempo. Existe una función de utilidad de los individuos. siendo Lt la dinastía del modelo.1 Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans Se basa en el modelo de Ramsey (1928) y que.1 Supuestos del modelo A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos: Existe una función neoclásica agregada de buen comportamiento. Algunas características de este modelo son: Que las firmas competitivas rentan capital y contratan trabajo para producir. (Modelo de equilibrio general de Ramsey (1928)). Las familias son de linaje y viven muchos años. Paralelamente analizaremos las decisiones de inversión y contratación de mano de obra que hacen las empresas. como si se tratase de Robinson Crusoe. un numero fijo de familias que viven por siempre.1. que depende del consumo por trabajador U t = U (ct ) . I Crecimiento Económico E n este Capítulo estudiaremos las decisiones de las familias de como toman sus decisiones de consumo y ahorro. excluye todas las imperfecciones de los mercados. Como sabemos en la vida real las empresas y los consumidores son instituciones separadas que interactúan en un lugar llamado mercado. En el contexto de esta economía estaremos preocupados por analizar cuales son los determinantes del crecimiento económico. este modelo es la continuación del modelo de Solow. Un supuesto del modelo neoclásico que parecía poco realista.Cesar Antunez. consumen y ahorran. El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las empresas sus decisiones de inversión. Por un lado. Las familias distribuyen su renta entre consumo y ahorro. analizaremos como las familias toman sus decisiones de consumo y ahorro. ofrecen la fuerza laboral. pero desarrollado en un contexto de optimización de los agentes económicos (firmas. La magnitud de la función de utilidad marginal del consumo es positiva esto quiere decir es una función es cóncava. 5. Que la función de 118 . Las familias son consumidoras y productoras (tipo Robinson Crusoe). 5. esto quiere decir que los agentes de este modelo son de dinastía o familias. Cesar Antunez. La relación entre concavidad de la función de utilidad y el deseo de alisar el consumo (es decir querer consumir mas o menos lo mismo cada día) se puede apreciar en el gráfico [5. Gráfico [5.1]: Concavidad de la Utilidad Que la función de utilidad se cóncava quiere decir que: ⎡ c +c ⎤ U (c1 ) + U (c2 ) < U ⎢ 1 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 [U (c1 ) + U (c2 )] < U ⎡ c1+c2 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎦ ⎣ ct = c1 + c2 La utilidad derivada de consumir ct . Sea la función utilidad 37 : U (ct ) = ct1−θ − 1 1−θ En esta función. mayor serán los deseos de los agentes de suavizar el consumo en el tiempo. 37 Típicamente se usa una forma específica para la función de utilidad instantánea. Contra mayor sea θ . que cuando no se reparte. mayor será la concavidad de la función de utilidad. I Crecimiento Económico utilidad sea lisa. 119 . θ es una constante que representa el grado de concavidad de la función de utilidad. Para la forma en este caso se denomina utilidad con aversión relativa al riesgo constante (ARRC). significa que los consumidores prefieren consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. es mayor cuando el consumo total se ha repartido.1]. I Crecimiento Económico Si θ = 0 . Decisión de la empresa Definimos los beneficios de la empresa en términos per cápita.2 Ecuación de movimiento De la condición macroeconómica tenemos: Yt = Ct + I tb Dividiendo la condición entre el numero de trabajadores de la sociedad ( Lt ) tenemos. π = Π K = f ( kt ) − w − ( r + δ ) t Lt Lt Decisión de inversión de la empresa: 38 Para Ramsey esta tasa se debe a su aparición exclusivamente a la debilidad de la imaginación. Yt Ct I tb = + Lt Lt Lt • yt = ct + • Ib ⇒ f (kt ) = ct + k t + (n + δ )kt K( I ) Lt Despejando k t de la ecuación (I) k t = f (kt ) − ct − (n + δ )kt K( I ) Donde: • • k t : Representa la tasa de cambio por trabajador. yt : Producto por trabajador. Otro método de cómo obtener a ecuación de movimiento es mediante la maximización de la empresa. siendo la tasa de descuento ρ > 0 . kt : Capital por trabajador. por que los individuos aunque altruistas tienen un egonismo paterno dentro de un mundo de altruismo generacional. 120 . no querrían suavizar su consumo en el tiempo y en caso: ⎡c + c ⎤ U (c1 ) + U (c2 ) = 2U ⎢ 1 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ La curva de utilidad marginal es decreciente. Pero veremos que para solucionar el problema de la convergencia tendremos que utilizar el factor de descuento que tiene el término ρ > 0 .Cesar Antunez. ct : Consumo por trabajador. 5. δ : Tasa de descuento. 38 Existen una función de preferencias intertemporal.1. n : Tasa de crecimiento de la población. Cesar Antunez. teniendo en cuenta que ahorro es igual a inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per-capita es la siguiente: • • k t = w − ct + (r − n)kt K( IV ) Que se obtiene de reemplazar bt por k t en la restricción presupuestaria de las familias. por eso en esta economía se tiene que cumplir que la cantidad de capital que compran las empresas que denotamos por k t es igual al ahorro de las familias que es igual a bt . ∞ • Máx : Si consideramos a la población. La Población J = ∫ U (ct ) dt ρt 0 e Sea que la población que tenga una tasa de crecimiento exógena y constante: n Pt = P0 . I Máx : π = f (kt ) − w − (r + δ )kt Crecimiento Económico C.Swan. Así.O : ∂Π ∂f ∂kt −w=0 = 0 ⇒ f (kt ) + Lt ∂Lt ∂kt ∂Lt 1 =w Lt f (kt ) + Lt f ′(kt )kt [ f (kt ) − f ′(kt )kt ] = wK( III ) Al igual que vimos en el modelo de Solow . Sustituyendo la ecuación (III) en la (IV) nos queda lo siguiente: • • • k t = f (kt ) − f ′(kt )kt − ct + (r − n)kt K(V ) Sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (V): • k t = f (kt ) − ct − (n + δ )kt .3 El problema de la convergencia Esto se refiere a que en esta economía se va maximizar la función de utilidad social a través del tiempo.1.e nt Si P( 0 ) = 1 ⇒ Pt = ent 121 . en una economía cerrada la inversión es igual al ahorro. Ley de evolución del capital per cápita 5.P.P.O : ∂π = 0 ⇒ f ′(kt ) = r + δ K( II ) ∂kt Decisión de contratación de la empresa: Máx : Π = Lt f (kt ) − wLt − (r + δ ) K t C. Cesar Antunez.1. Máx : Reemplazando: Lt = Pt J = ∫ U (ct ) Lt e − ρt dt 0 ∞ Máx : Máx : J = ∫ U (ct )e nt .a : • J = ∫ U (ct ). H (ct . luego se incorpora la población a la función “ J ”.e − ( ρ − n ). tenemos: dLt • = L t = nL( 0) e nt . para ello busca determinar la trayectoria general optima del consumo por trabajador a través del tiempo. 5.e − ( ρ − n ) t dt 0 ∞ Esta sociedad maximiza su utilidad a través del tiempo. 1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que nos dejo Pontryagin. I Crecimiento Económico Sea que la fuerza de trabajo agregada Lt .e − ρt dt 0 ∞ J = ∫ U (ct ).t + λt [ f (kk ) − ct − (n + δ )kt ] 122 . para esto pasaremos a plantear el hamiltoniano. busca maximizar la función de bienestar general a través del tiempo. tenemos: dt nt L t nL( 0 )e = =n Lt L( 0 ) e nt • Si L( 0 ) = 1 Lt = e nt Se asume que toda la población trabaja.4 Planteamiento del problema Máx : s. dividiendo esta ecuación entre Lt . crezca a una tasa constante exógena: n Lt = Lo e nt Demostración que la tasa de crecimiento es constante. kt . t ) = U (ct ).e − ( ρ − n ) t dt K (Función Objetivo) 0 ∞ k t = f (kt ) − ct − (n + δ )kt K (Ecuación de Movimiento) k (t0 ) = k0 K (Condición Inicial) k0 > 0 : Dado 0 < ct < f (kt ) 0<t<∞ Para solucionar el problema se debe cumplir que: ρ > n es decir que la tasa de descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población. λt . que se basa en la metodología del Hamiltoniano. En esta sociedad cada individuo busca su propio interés y sin proponérselo de ante mano. U ′(ct ) + λt (−1) = 0 ∂ct U ′(ct ) = λt K( I ) e( ρ − n )t Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico 3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto al tiempo. ct : Variable de control. ∂H ∂U t ∂λt ≡ + =0 ∂ct ∂ct ∂ct ∂H = e − ( ρ − n ) t . I Crecimiento Económico Donde kt : Variable de estado.U ′′(ct ) < 0 2 ∂ct >0 x 0< Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo. Condición de Transversalidad Lím λt kt = 0 t →∞ 123 .Cesar Antunez. λt : Variable de coestado. 5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero. Condición de Primer Orden (CIO) 2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero. tenemos: • ∂H • = kt ∂kt [ f (kt ) − ct − (n + δ )] = k t [ f (kt ) − ct − (n + δ )] = k t K( III ) • • Condición de Segundo Orden (CIIO) ∂2H = e − ( ρ − n ) t . • ∂H = −λt ∂kt λt [ f ′(kt ) − (n + δ )] = − λ t • [ f ′(kt ) − (n + δ )] = − λ t K( II ) λt 4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Esto quiere decir que λt = 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt = 0 (el stock de capital en el momento que muere). Lím λt = t →∞ (1 / ∞) ≈ 0 1 e( ρ − n ) ∞ Lím λt = 0 t →∞ De la ecuación (II) tenemos f ′(kt ) − (n + δ ) = − g λ ⇒ Pmgk − (n + δ ) = − g λ Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos: ≈1 − ( ρ − n)t. ln e + ln U ′(ct ) = ln λt − ( ρ − n)t + ln U ′(c y ) = ln λt Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos: − ( ρ − n. dt d [ln U ′(ct )] d (ln λt ) + = dt dt dt • 1 dU ′(ct ) ∂ct λ t − ( ρ − n) + . . = U ′(ct ) ∂ct dt λt • 1 λt − ( ρ − n) + .U ′′(ct ). c t = U ′(ct ) λt • A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador ( ct ) 1 1 ct λ t − ( ρ − n) + .U ′′(ct ). . = U ′(ct ) ct ct λt • • ct λ t − ( ρ − n) − θ . = K(ξ ) ct λt Donde • • θ= 1 1 .U ′′(ct ). : Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al U ′(ct ) ct consumo por trabajador. Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ξ ), tenemos: λt ct ( ρ − n) + θ . = − K( IV ) ct λt Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV) • • • • λt ct f ′(kt ) − (n + δ ) = − = ( ρ − n) + θ . λt ct 124 Cesar Antunez. I • Crecimiento Económico ct Despejando , tenemos: ct ct f ′(kt ) − ( ρ + δ ) K(V ) , La proposición Ramsey - Keynes = ct θ Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador. • γc = 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )] : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo. • Así mismo se puede expresar la ecuación como: c t = 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )]ct K(VI ) 5.1.5 Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases) Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son: 1er Ecuación diferencial: k t = f (kt ) − ct − (n + δ )kt 2da Ecuación diferencial: c t = • • • 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )]ct Encontrando la curva: k = 0 De la 1er Ecuación diferencial Si k t = 0 • 0 = f (kt ) − ct − (n + δ )kt Entonces ct = f (kt ) − (n + δ )kt Gráfico [5.2]: Comportamiento de k = 0 • 125 Cesar Antunez. I • Crecimiento Económico Si nos situamos por encima de la curva k t = 0 , vemos que un pequeño movimiento de ct irá asociada a una disminución de k t < 0 . Dado que la 1er Ecuación diferencial, donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima de la k t = 0 , el capital decrece k t < 0 . Denotamos el movimiento de flechas así la izquierda, tal como aparece en el gráfico [5.2]. Las flechas se dirigen en forma horizontal por que en el eje horizontal aparece kt . Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene: • • • • d kt = −1 < 0 dct Donde se demuestra que al aumentar el valor de ct disminuye el valor de k t De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva • k t = 0 , las flechas apuntan así la derecha, diciéndonos que por debajo de la curva k t = 0 , el capital crece k t > 0 , en este caso las flechas apuntan hacia la derecha. Encontrando la curva: c = 0 De la 2da ecuación diferencial Si c t = 0 • • • • • 0= θ ct [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )] Entonces f ′(kt ) = ( ρ + δ ) Pmgk = ( ρ + δ ) , Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de ordenadas Gráfico [5.3]: Comportamiento de c = 0 • 126 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico • Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva c t = 0 , por un aumento de un poquito de kt , Dado que f ′(kt ) es una función creciente, por lo que el valor de c de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo c t < 0 . Concluimos que a la derecha de la curva, el consumo decrece, por lo que se dibuja las flechas apuntando hacia abajo. Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a kt • • 1 d ct =− .U ′(ct ). f ′′(k ) < 0 dkt U ′′(ct ) Lo que nos dice que a la derecha de c t = 0 será c t < 0 De la misma manera una disminución de kt hará que c t > 0 sea positivo. Esto significa que nos encontramos a la izquierda de c t = 0 , las flechas apuntarán hacia arriba como se aprecia en el gráfico [5.3], donde las flechas positivas se denota por c t > 0 . 5.1.6 Análisis Cualitativo Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el consumo Oro de oro modificado cmod , que es aquel consumo que maximiza el bienestar de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con en nuevo consumo. • • • • • • • ∗ Para esto de la 2da Ecuación diferencial c t = • 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )]ct , reemplazando el valor de c t = 0 , con esto 0 = [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )] , entonces f ′(kt ) = ( ρ + δ ) es el punto de tangencia de la función f (kt ) que es estrictamente decreciente y como se puede apreciar en el gráfico [5.4] la función f (kt ) es estrictamente de creciente y convexa. Al cortarse estas la tangencia Oro con la función generan un punto que se llama el capital de oro modificado ( kmod ), al Oro proyectar este punto, al grafico inferior nos da el consumo de oro modificado óptimo ( cmod ) que estábamos buscando. ∗ ∗ En el caso de una función Cobb-Douglas, nos da un capital por trabajador de oro modificado óptimo kmod Oro ∗ ⎛ α A ⎞ 1− α =⎜ ⎜δ + ρ ⎟ . ⎟ ⎝ ⎠ 1 Oro Donde kmod esta representado por una línea vertical. El lector habrá notado que el stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso es por que ρ > n y f (kt ) es una función decreciente. ∗ 127 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfico [5.4]: El consumo de Oro óptimo modificado 5.1.7 Estado de crecimiento proporcionado El estado de crecimiento proporcionado, se halla cuando las curvas c t = 0 y k t = 0 se cruzan y esto se puede observar en el grafico [5.5], que se curtan en tres puntos. El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja, es el eje de coordenadas donde c t = 0 y k t = 0 . El segundo punto que representa al estado proporcionado, que esta representado por un Oro sol de color verde fosforescente, es el punto kmod , que corresponde a la intersección • • • • 128 donde este capital esta a la derecha del capital máximo. El tercer punto es en la intersección de k t = 0 y k1∗t en este punto esta representado en el grafico con un solo de color amarillo.Cesar Antunez. reemplazando k t = 0 y Oro Oro ct = 0 obtenemos el capital kmod que satisface f (kmod ) = (n + δ )kt . para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo: • γ c = cte si y solo si. γ k = cte si y solo si. lo calculamos como: α c Oro ∗ mod ⎛ αA ⎞1−α = (1 − s ) A⎜ Consumo per cápita en el estado proporcionado ⎜δ + ρ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 129 . I • • Crecimiento Económico • de k t = 0 . de la 1er Ecuación diferencial k t = f (kt ) − ct − (n + δ )kt . kt = kt +1 lo que implica que γ k = 0 El stock de capital no cambie se tiene que cumplir que el consumo per cápita no varíe. El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo. En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a una tasa constante. Se describe el comportamiento del consumo. se obtiene sustituyendo el capital de estado proporcionado en la función de producción: α ymod Oro ∗ ⎛ αA ⎞1−α Producción en el estado proporcionado = A⎜ ⎜δ + ρ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ Sabiendo que el consumo per cápita es la renta menos el ahorro. ct = ct +1 lo que implica que γ c = 0 En el estado de crecimiento proporcionado: γ k = 0 y γ c = 0 Si γ c = 0 αAkt− (1−α ) = ρ + δ Oro ∗ mod k ⎛ α A ⎞ 1− α =⎜ Stock de capital del estado proporcionado ⎜δ + ρ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 1 El PIB per capita de estado estacionario. 5]: El equilibrio en el modelo de Ramsey 5. Oro El tercer estado proporcionado es kmod con estabilidad este punto es llamado “punto de silla” en estado trayectoria llamamos “saddle paht stability” o “trayectoria estable” que converge a un estado proporcionado. donde en el origen existe un estado inestable. I Crecimiento Económico Gráfico [5.5].1. por que existen líneas aerodinámicas que convergen y divergen alrededor del punto. por que nunca llegamos a un estado proporcionado. la Oro economía converge hacia un estado proporcionado kmod . La dinámica de transmisión nos dice que si aumentara el consumo. el capital en el largo plazo. k1∗t es estable en todas sus flechas que existen alrededor apuntan hacia este punto. 130 .8 Dinámica La dinámica que esta representada por las flechas como se observa en el grafico [5. Este tercer punto también genera el punto de silla.Cesar Antunez. El segundo estado proporcionado. H (ct . λt .Cesar Antunez.t + λt [ f (kk ) − ct − (n + mL + δ )kt ] Donde kt : Variable de estado. dicho progreso es potenciados del trabajo. t ) = U (ct ).a : k t = f (kt ) − ct − (n + mL + δ )kt K (Ecuación de Movimiento) k (t0 ) = k0 K (Condición Inicial) k0 > 0 : Dado 0 < ct < f (kt ) 0<t<∞ Para solucionar el problema se debe cumplir que: ρ > n + (1 − θ )mL es decir que la función de utilidad este acotada en este caso.2 Crecimiento Económico Modelo de Ramsey con progreso tecnológico Es esta parte introduciremos el progreso tecnológico exógeno en el modelos de crecimiento. I 5. que se basa en la metodología del Hamiltoniano. kt . ∂H ∂U t ∂λt ≡ + =0 ∂ct ∂ct ∂ct ∂H = e − ( ρ − n ) t . 131 . Condición de Primer Orden (CIO) 2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero.U ′(ct ) + λt (−1) = 0 ∂ct U ′(ct ) = λt K( I ) e( ρ − n )t Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico 3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto al tiempo. ct : Variable de control.e − ( ρ − n ) t dt K (Función Objetivo) 0 ∞ s.e − ( ρ − n ). 1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que nos dejo Pontryagin. para esto pasaremos a plantear el hamiltoniano. planteamos nuestra función de utilidad agregada de la sociedad. λt : Variable de coestado. Máx : • J = ∫ U (ct ). este es el nuevo supuesto que se agrega al modelo. Entonces pasaremos a introducir el progreso tecnológico en 1er • Ecuación diferencial k t = f (kt ) − ct − (n + mL + δ )kt . I • ∂H = −λt ∂kt Crecimiento Económico λt [ f ′(kt ) − (n + δ + mL )] = − λ t • [ f ′(kt ) − (n + mL + δ )] = − λ t K( II ) λt 4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano. 39 dt d [ln U ′(ct )] d (ln λt ) + = dt dt dt Lím λt = 0 .39 Lím λt = t →∞ (1 / ∞) ≈ 0 1 e( ρ − n ) ∞ Lím λt = 0 t →∞ De la ecuación (II) tenemos f ′(kt ) − (n + mL + δ ) = − g λ ⇒ Pmgk − (n + mL + δ ) = − g λ Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos: ≈1 − ( ρ − n)t.U ′′(ct ) < 0 2 ∂ct >0 x 0< Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo. esto indica que el valor del stock de activasen el ultimo momento del horizonte temporal debe ser cero. Condición de Transversalidad Lím λt kt = 0 t →∞ Esto quiere decir que λt = 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt = 0 (el stock de capital en el momento que muere). 5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero. t →∞ En la economía de Ramsey se supone que los individuos “fenecen” en el infinito. tenemos: • ∂H • = kt ∂kt [ f (kt ) − ct − (n + mL + δ )] = k t • [ f (kt ) − ct − (n + mL + δ )] = k t K( III ) Condición de Segundo Orden (CIIO) • ∂2H = e − ( ρ − n ) t . ln e + ln U ′(ct ) = ln λt − ( ρ − n)t + ln U ′(c y ) = ln λt Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos: − ( ρ − n.Cesar Antunez. 132 . • Así mismo se puede expresar la ecuación como: c t = 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + mL + δ )]ct K(VI ) 133 . . • γc = 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + δ )] : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo. = U ′(ct ) ∂ct dt λt • 1 λt − ( ρ − n) + .U ′′(ct ). La proposición Ramsey . tenemos: ct λt ( ρ − n) + θ .U ′′(ct ). : Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al U ′(ct ) ct consumo por trabajador. I 1 dU ′(ct ) ∂ct λ t − ( ρ − n) + . = K(ξ ) ct λt Donde • • θ= 1 1 . Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ξ ). c t = U ′(ct ) λt • • Crecimiento Económico A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador ( ct ) 1 1 ct λ t − ( ρ − n) + . la tasa de aumento tecnológico debido a la eficiencia del trabajo y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador. tenemos: Despejando ct ct f ′(kt ) − ( ρ + mL + δ ) = K(V ) .Cesar Antunez. = − K( IV ) ct λt Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV) • • • • λt ct f ′(kt ) − (n + mL + δ ) = − = ( ρ − n) + θ . .Keynes ct θ Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación. = U ′(ct ) ct ct λt • • ct λ t − ( ρ − n) − θ .U ′′(ct ). λt ct • ct . 2. vemos que un pequeño movimiento de ct irá asociada a una disminución de k t < 0 . donde el consumo aparece con signo negativo. entonces concluimos que por encima de la k t = 0 . Denotamos el movimiento de flechas así la izquierda. tal como aparece en el gráfico [5. Dado que la 1er Ecuación diferencial.6]: Diagrama de fases con progreso tecnológico de k = 0 Si nos situamos por encima de la curva k t = 0 .Cesar Antunez.6].1 Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases) Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son: 1er Ecuación diferencial: k t = f (kt ) − ct − (n + mL + δ )kt 2da Ecuación diferencial: c t = • • • 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + mL + δ )]ct Encontrando la curva: k = 0 De la 1er Ecuación diferencial Si k t = 0 • 0 = f (kt ) − ct − (n + mL + δ )kt Entonces ct = f (kt ) − (n + mL + δ )kt • Gráfico [5. I Crecimiento Económico 5. Las flechas se dirigen en forma horizontal por que en el eje horizontal aparece kt . Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene: • • • • • d kt = −1 < 0 dct Donde se demuestra que al aumentar el valor de ct disminuye el valor de k t • 134 . el capital decrece k t < 0 . Dado que f ′(kt ) es una función creciente. Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de ordenadas Gráfico [5. f ′′(k ) < 0 dkt U ′′(ct ) Lo que nos dice que a la derecha de c t = 0 será c t < 0 De la misma manera una disminución de kt hará que c t > 0 sea positivo. donde las flechas positivas se denota por c t > 0 . diciéndonos que por debajo de la curva k t = 0 . las flechas apuntarán hacia arriba como se aprecia en el gráfico [5. el capital crece k t > 0 . las flechas apuntan así la derecha. • • • • • • 135 . por un aumento de un poquito de kt .Cesar Antunez.7]: Diagrama de fases con progreso tecnológico de c = 0 • Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva c t = 0 . Esto significa que nos encontramos a la izquierda de c t = 0 .7].U ′(ct ). Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a kt • • • 1 d ct =− . por lo que se dibuja las flechas apuntando hacia abajo. por lo que el valor de c de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo c t < 0 . I Crecimiento Económico De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva k t = 0 . Encontrando la curva: c = 0 De la 2da ecuación diferencial Si c t = 0 • • • • • 0= θ ct [ f ′(kt ) − ( ρ + mL + δ )] Entonces f ′(kt ) = ( ρ + mL + δ ) Pmgk = ( ρ + mL + δ ) . Concluimos que a la derecha de la curva. en este caso las flechas apuntan hacia la derecha. el consumo decrece. reemplazando k t = 0 y Oro Oro ct = 0 obtenemos el capital kmod que satisface f (kmod ) = (n + mL + δ )kt . En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a una tasa constante. I Crecimiento Económico Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el consumo Oro de oro modificado cmod . El tercer punto es en la intersección de k t = 0 y k1∗t en este punto esta representado en el grafico con un solo de color amarillo. para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo. ∗ 5. al proyectar este punto. El lector habrá notado que el stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso es por que ρ > n y f (kt ) es una función decreciente.Cesar Antunez. se halla cuando las curvas c t = 0 y k t = 0 se cruzan y esto se puede observar en el grafico [5.2. que se curtan en tres puntos. El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja. entonces f ′(kt ) = ( ρ + mL + δ ) es el punto de tangencia de la función f (kt ) que es estrictamente decreciente y como se puede apreciar en el gráfico [5. 136 . El segundo punto que representa al estado proporcionado. ⎟ L ⎝ ⎠ 1 Oro Donde kmod esta representado por una línea vertical. que esta representado por un Oro sol de color verde fosforescente. nos da un capital por trabajador de oro modificado óptimo kmod Oro ∗ ⎛ ⎞1−α αA =⎜ ⎜δ + m + ρ ⎟ . reemplazando el valor de c t = 0 . al grafico inferior nos da el consumo de oro ∗ Oro modificado óptimo ( cmod ) que estábamos buscando.4] la función f (kt ) es estrictamente de creciente y convexa. que corresponde a la intersección de • • • • k t = 0 . Al cortarse estas la tangencia con la función generan un punto que se llama el capital de oro Oro modificado ( kmod ). Se describe el comportamiento del consumo. ∗ En el caso de una función Cobb-Douglas.2 Estado de crecimiento proporcionado El estado de crecimiento proporcionado.5]. • ∗ Para esto de la 2da Ecuación diferencial c t = • 1 θ [ f ′(kt ) − ( ρ + mL + δ )]ct . que es aquel consumo que maximiza el bienestar de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con en nuevo consumo.40 40 • En este el estado proporcionado. es el eje de coordenadas donde c t = 0 y k t = 0 . con esto 0 = [ f ′(kt ) − ( ρ + mL + δ )] . es el punto kmod . El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo. la tasa de crecimiento de las variables en términos per cápita es mL . donde este capital • • • esta a la derecha del capital máximo. de la 1er Ecuación diferencial k t = f (kt ) − ct − (n + mL + δ )kt . 8]: El equilibrio en el modelo de Ramsey con progreso tecnológico 137 .Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfico [5. ” Ernesto Sabato (1945) 138 .Cesar Antunez. que no cae. I Crecimiento Económico Capítulo VI Enfoques recientes de crecimiento endógeno “Entender es relacionar. encontrar la unidad bajo la diversidad. Un acto de inteligencia es darse cuenta de que la caída de una manzana y el movimiento de la Luna. están regidos por la misma ley. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 139 . Yt = A. la teoría del crecimiento entro en decadencia. debido a que solo se centraba en modelos de crecimiento exógeno. cuando introduce el capital compuesto en los anos ochenta. que es una combinación de capital físico y capital humano. Existe rendimientos constantes del capital compuesto o amplio. I Crecimiento Económico n los años 70. Lucas. Tiene una función de producción AZ t . la introducción de este modelo a la literatura economica se la debemos Romer (1987) Rebelo (1991).1. Función de producción agregada (FPA) Este modelo describe una función agregada que se encuentra representada por el gráfico [6. Tiene rendimientos positivos pero no decrecientes de capital. Ha mediados de la década de los 80 un grupo de economistas como: Romer.1]. capital amplio que considera un capital físico y capital humano y estas se combinan en proporciones fijas. Existe un capital compuesto Z t . 6.Z t K( FPA) Donde Yt : Producto agregado en el periodo “t”. también es llamado “modelo de tecnología AKt ”. 41 Este modelo AZ t . dado que A(λZ t ) = λAZ t = λYt . Exhibe rendimientos constantes a escala. como veremos. Donde Z t : Capital compuesto con tecnología lineal.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista que no tiene relación con el exterior. A : Índice de nivel de tecnología. Z t : Stock de capital compuesto en el periodo “t”. Plantearon que debería investigarse las causas y orígenes del crecimiento económico y que era necesaria plantear un modelo de crecimiento con progreso tecnológico endógeno. solo basta con aplicar la derivada de la función de producción agregada con respecto al stock de capital. etc. Los modelos AZ t no cumplen con las propiedades de los modelos neoclásicos.1 E Modelos AZ Son aquellos modelos de crecimiento que tiene una tecnología lineal y utilizan una función de producción AZ t . 140 . donde considera un capital compuesto. Barro.41 La ausencia de rendimientos decrecientes y va existir rendimientos constantes del capital compuesto. Si queremos representar el producto marginal del capital compuesto. 6.Cesar Antunez. 3]: La función de producción intensiva 141 . Gráfico [6.3].2]: El producto marginal del modelo AZ De la ecuación (FPA) dividiendo entre la cantidad de trabajadores obtenemos: Yt Z = A. t Lt Lt yt = A.1]: La función de producción agregada PmgZ = dYt =A dZ t Podemos ver que el producto marginal de la función es una constante. y en el grafico [6. se encuentra representado como una línea recta horizontal. Gráfico [6. podemos ver la representación de la función de producción intensiva. I Crecimiento Económico Gráfico [6.2].zt K( FPI ) En el grafico [6.Cesar Antunez. De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: S = Ib n rep sYt = I K + I K s. A t = Lt Lt Lt ZT s.Cesar Antunez. Gráfico [6.zt = K( I ) Lt • • Z dz d ( Z t / Lt ) Z t Lt − Lt Z t = Sabemos que: zt = t ⇒ t = Lt dt dt ( Lt ) 2 • dzt Z t Lt Z t Zt = − ⇒ z t + nzt = K( II ) dt Lt Lt Lt Lt • • • Reemplazando la ecuación (II) en la ecuación (I) y despejando z t tenemos: • 142 . representan valores agregados. 6. AZt = Z T + δ . dado el producto marginal ahorrar ( Pmgs ). y las variables mayúsculas.Z t Dividiendo la ecuación entre el número de trabajadores • • • Z ZT Z +δ t s. Suponiendo que el stock de capital se deprecia a una tasa constante δ . Sea n el tamaño de la población total. I Crecimiento Económico Donde en el grafico [6. Azt − δ .2 Ecuación fundamental Asume que el ahorro agregado es una proporción del ingreso nacional.4] esta representado el producto marginal de la función de producción intensiva.4]: El producto marginal de la FPI Pmgz = dyt =A dzt Observación: Donde las variables minúsculas representan variables por trabajador. Sea que la función de fuerza agregada crezca a una tasa constante y exógena n .1. A > (n + δ ) . si no que e n el largo plazo se va generar un estado de crecimiento progresivo.5]. donde existe en forma combinada el capital físico y el capital humano. podemos apreciar la grafica de la curva de ahorro bruta por trabajador y de la curva de ampliación bruta de capital compuesto. en una economía capitalista. es aquel estado o situación en el largo plazo en el que se genera una tasa de cambio de capital compuesto. Gráfico [6. 143 . Azt − (n + δ ) zt La ecuación fundamental de Rebelo Es una ecuación dinámica del proceso de acumulación del capital compuesto. respecto a ala ampliación bruta de capital compuesto. Esta ecuación nos dice que la tasa de cambio del capita l por trabajador va ser el remanente del ahorro bruto por trabajador. Versión Barro De la ecuación fundamental de Rebelo • ∗ • z t = s. En el grafico [6. En el largo plazo el estado de crecimiento progresivo: z t > 0 Si z t > 0 entonces s. A − (n + δ ) γ z : La tasa de crecimiento del capital por trabajador. I • Crecimiento Económico z t = s.5]: El estado de crecimiento progresivo 6.1. lo cual genera que sea indeterminado zt y esto ocurre por que no existe rendimientos constantes del capital compuesto. va ocurrir que en el largo plazo no se genera un estado de crecimiento proporcionado. Azt − (n + δ ) zt Dividiendo esta ecuación entre el capital compuesto • • zt = s. A − (n + δ ) zt Donde γ z = s.3 Dinámica de transmisión Debido a que esta economía tiene una tecnología muy productiva.Cesar Antunez. Gráfico [6. observamos que la tasa de crecimiento de esta economía es constante y va ser la diferencia entre dos números. En esta economía la curva de ahorro es una línea recta horizontal.Yt Dividiendo entre Lt Ct Y = Pmgc. A − (n + δ ) . En este modelo también el consumo crece a la misma tasa γ ∗ que la tasa de crecimiento per cápita γ y = γ c = γ ∗ = s. A − (n + δ ) .4 Característica del modelo a) La tasa de crecimiento del modelo puede ser positiva sin necesidad de suponer. la tasa de crecimiento será constante y positiva γ y = γ ∗ = s. I Crecimiento Económico En el estado de crecimiento progresivo si γ z > 0 entonces s. si nuestra economía es productiva como para que s. A > (n + δ ) . que las variables crecen continuamente y exógenamente. aplicando una derivada temporal =0 dLn( yt ) dLn( A) dLn( zt ) = + dt dt dt γy = γz De Ct = Pmgc.Cesar Antunez. t Lt Lt γc = γ y γc = γ y = γz 6. con lo cual se determina zt* . 144 . A > (n + δ ) .1. Dicho de otra manera.6]: Versión de Barro del modelo AZ Determinación de γ y ∧ γ c De la función de producción intensiva (FPI) tenemos: yt = Azt Ln( yt ) = Ln( A) + Ln( zt ) . A − (n + δ ) . por que * siempre crece a una tasa constante igual γ z = s. f) Un aspecto de este modelo es el que menciona Saint-Paul (1992).1. sin importar el valor que adopte el stock de capital. A − δ recordemos que la desigualdad no puede darse por que la tasa de ahorro es siempre inferior a 1 ( 0 < s < 1 ). A − (n + δ ) . que la tecnología AZ t . 145 .7].42 d) El modelo predice que no existe relación entre la tasa de crecimiento de la economía y el nivel alcanzado. por lo que A es siempre mayor que s. 6. Gráfico [6. * Como la tasa de crecimiento per cápita es igual γ z = s. no puede haber demasiada inversión. la tasa de crecimiento * agregado es γ z = s. A . ni absoluta. la tasa de crecimiento agregada esta expresada como * γ Y = γ * + γ L = γ * + n = S . disminuye temporalmente por una causa exógena. por lo que la curva de ahorro no se corta con la curva de depreciación y por ende el modelo no converge. para que exista eficiencia r ∗ < γ * . A − (n + δ ) . esto quiere decir que el capital.Cesar Antunez. A − (n + δ ) . e) El modelo AZ t predice que los efectos recesivos temporal serán permanente. entonces A − δ < s. I Crecimiento Económico b) Un aumento de la tasa de ahorro provoca un incremento de la tasa de crecimiento. por lo tanto con tecnología AZ t pues no puede ser dinámico ineficiente. ni condicional. donde un aumento de las tasa de ahorro hace saltar a la curva de ahorro hacia arriba y la distancia entre las dos curvas aumenta.5 Modelo AZ con la función de producción Cobb-Douglas Este modelo va considerar la producción tiene una función de producción Cobb-Douglas Función de producción agregada (FPA) Yt = AZ tα Lβ K( FPA) t 42 Esto quiere decir que el modelo AZ carece de un estado proporcionado.7]: Aumento de la tasa de ahorro c) Esta economía carece de una transición hacia el estado proporcionado. como se puede ver en el gráfico [6. por lo que el modelo no alcanza convergencia. donde la tasa de y y y interés siempre es igual a r ∗ = A − δ . la ecuación fundamental con una función Cobb-Douglas t Gráfico [6. yt − (n + δ ) zt Reemplazando la función de producción intensiva (FPI) en la ecuación fundamental • • z t = s.Yt = Z T + δ . entonces indeterminado. I Dividiendo la función de producción agregada entre Lt Crecimiento Económico Yt Z tα Lβ α = A α t Lt Lt Lt Lt S = Ib n rep sYt = I K + I K yt = Aztα Lα + β −1 K( FPI ) t De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: s. Aztα Lα + β −1 > (n + δ ) zt implica tener un zt* t 146 . Aztα Lα + β −1 − (n + δ ) zt .zt = K( I ) Lt • • Z dz d ( Z t / Lt ) Z t Lt − Lt Z t = Sabemos que: zt = t ⇒ t = Lt dt dt ( Lt ) 2 • dzt Z t Lt Z t Zt = − ⇒ z t + nzt = K( II ) dt Lt Lt Lt Lt • • • Reemplazando la ecuación (II) en la ecuación (I) y despejando z t • z t = s.8]: Estado de crecimiento progresivo En el gráfico [6. • s.8] se puede apreciar la dinámica de transmisión en el estado de crecimiento progresivo z t > 0 .Z t Dividiendo la ecuación entre el número de trabajadores • • • Y ZT Z +δ t s. yt − δ .Cesar Antunez. tt = Lt Lt Lt ZT s. 147 . Aztα Lα + β −1 t − (n + δ ) zt Como se puede apreciar en el gráfico [6. por esto este modelo no alcanza un estado de crecimiento proporcionado. I Versión de Barro Dividiendo la ecuación fundamental entre zt Crecimiento Económico γz = s.9] en el estado de crecimiento progresivo γ z > 0 .Cesar Antunez.9]: Versión de Barro del modelo AZ En el grafico [6.9] se puede observa que la curva de ahorro es representado como una línea recta horizontal y la curva de depresión también. entonces s. Aztα Lα + β −1 > (n + δ ) zt esto implica obtener un zt* indeterminado. t Gráfico [6. Observación Si Yt = AZ tα Lβ se tiene que la elasticidad del producto respecto a los trabajadores no t calificados es nulo entonces β = 0 y α = 1 se tendrá una función Yt = AZ t . sino un estado de crecimiento progresivo. Función de producción agregada (FPA) Sea una función de producción Cobb-Douglas en la que los dos factores de producción son capital físico. α : Elasticidad producto respecto al capital físico. Ambos stock de capital se deprecian a una misma tasa constante y exógena δH = δK = δ .2. B : Índice de nivel de tecnología. 6.2 Crecimiento Económico Modelo de crecimiento con sector Físico y Humano Este modelo es una extensión de los modelo de crecimiento y que va considerar explícitamente el capital físico y el capital humano. H. I 6.2. Esta ecuación dinámica de acumulación de capital físico y de capital humano. H t : Stock de capital humano agregado en el instante “t”. Existe un stock de capital físico que se encuentra representado con el subíndice K. Existe una función de producción Cobb-Douglas.2 Ecuación Dinámica fundamental De la condición de equilibrio macroeconómico Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K BK tα H t1−α = Ct + K t + δ K + δ H + H t Resolviendo para: H t + K t • • • • • • K t + H t = BKtα H t1−α − C − (δ K K t + δ H H t ) La ecuación fundamental 148 . K. Yt = BK tα H t1−α K( FPA) Siendo 0 < α < 1 Donde Yt : Producción agregada en el instante “t”. y capital humano.1 Supuestos del modelo A los supuestos básicos se le añaden los siguientes supuestos: Sea una economía sin relación con el exterior. K t : Stock de capital físico agregado en el instante “t”. en una economía capitalista a través del tiempo. Existe un stock de capital humano que se encuentra representado con un subíndice H. 6.Cesar Antunez. 1 − α : Elasticidad producto respecto al capital humano. La ecuación establece que la tasa de cambio del capital físico mas la tasa de cambio del capital humano.Cesar Antunez. en una economía capitalista a través del tiempo. respecto al consumo agregado y a la inversión en reposición del capital físico y del capital humano. el producto marginal del capital físico: ∂Yt = αBK tα H t1−α ∂K t K tα 1−α PmgKt = αB Ht Kt PmgKt = αPmeKt 149 . rK : Tasa de rendimiento del capital físico. son iguales al remanente del producto agregado. PmgK físico = RK . Esta ecuación dinámica de acumulación de capital físico y de capital humano. Crecimiento Económico δ H : Tasa de depreciación del stock de capital humano. Mercado de capital físico Las empresas capitalistas maximizan sus beneficios contratando aquella cantidad de capital físico hasta que iguale al producto marginal del capital físico con la tasa de rendimiento bruto de capital. I Donde δ K : Tasa de depreciación del stock de capital físico. RK = rK + δ K De la función de producción obtenemos. la condición de optimización de beneficios Donde RK : Tasa de rendimiento neto de capital físico. la condición de optimización de beneficios Donde RH : Tasa de rendimiento neto de capital humano.10]: El producto medio del capital físico Gráfico [6.Cesar Antunez. rH : Tasa de rendimiento de capital humano. I Crecimiento Económico Gráfico [6. RH = rH + δ H De la función de producción obtenemos. el producto marginal del capital humano: 150 .11]: El producto agregado del capital físico con capital humano constante Mercado de capital humano Las empresas capitalistas maximizan sus beneficios contratando aquella cantidad de capital humano hasta que iguale al producto marginal del capital humano con la tasa de rendimiento bruto de capital. PmgH = RH . 13]: El producto agregado del capital humano con capital físico constante 6. I Crecimiento Económico ∂Yt = (1 − α ) BK tα H t−α ∂H t PmgH t = αBK tα H t1−α Ht PmgH t = (1 − α ) PmeH Gráfico [6.Cesar Antunez.2.12]: El producto medio del capital humano Gráfico [6.3 Transformación de la agregada Cobb-Douglas De la condición de equilibrio macroeconómico Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K BK tα H t1−α = Ct + K t + δ K + δ H + H t Resolviendo para: H t + K t • • • • 151 . δ H : Tasa de depreciación del stock de capital humano. pasaremos a reemplazar H t = ⎜ ⎟ K t en la función: ⎝ α ⎠ 152 . I • • Crecimiento Económico K t + H t = BKtα H t1−α − C − (δ K K t + δ H H t ) La ecuación fundamental Donde δ K : Tasa de depreciación del stock de capital físico. tenemos de la igualdad: δK = δH = δ Reemplazando esta igualdad en la ecuación anterior se tiene: RK − δ = RH − δ ⇒ RK = RH PmgK = pmgH α . Ahora para transformar la función de producción: ⎛1−α ⎞ Yt = BK tα H t1−α . De: RK = rK + δ K ⇒ rK = RK − δ K De: RH = rH + δ H ⇒ rH = RH − δ H Luego se sabe por uno de los supuestos del modelo que: rK = rH RK − δ K = RH − δ H Puesto que asumimos por simplicidad que las diversas tasas de interés son iguales. Para hallar esta transformación lo primero que tenemos que hacer es.Cesar Antunez. qué es la razón de capital humano con respecto Kt Resolviendo la ecuación anterior para al capital físico Ht 1 − α = Kt α ⎛1− α ⎞ Ht = ⎜ ⎟ Kt ⎝ α ⎠ Donde la ecuación obtenida representa el stock de capital humano es una proporción del stock de capital físico.PmeK = (1 − α ) pmeH α Yt Y = (1 − α ) t Kt Ht Ht . igualar las tasas de rendimiento neto de capital. 1 − α : Elasticidad producto respecto al capital humano. como un modelo en el coexisten capital físico y capital compuesto.Cesar Antunez. Kt Rpt: a) De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K BK tα H t1−α = Ct + K t + δ K + δ H + H t Resolviendo para: H t + K t Asumiendo que las tasas de interés i depreciación son iguales δ K = δ H = δ • • • • K t + H t = BK t3 / 4 H t1 / 4 − C − ( K t + H t )δ La ecuación fundamental • • 153 . si reemplazamos este valor en la ecuación obtenemos: Yt = AK t Obtenemos la famosa función AK o como nosotros lo hemos venido llamando en este libro el modelo AZ. d) Halle la razón Ht . se tiene la siguiente función de producción agregada: Yt = BK t3 / 4 H t1 / 4 asuma que las tasas de depresión son iguales a) Hallar la ecuación dinámica fundamental del modelo b) Analice el mercado de capital físico. I Crecimiento Económico 1−α ⎛⎛1− α ⎞ ⎞ Yt = BKt ⎜ ⎜ ⎜ α ⎟ Kt ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝⎝ α ⎛⎛1− α ⎞⎞ Yt = BKt ⎜ ⎜ ⎜ α ⎟⎟ ⎟ ⎠⎠ ⎝⎝ α 1−α K t1−α ⎛1−α ⎞ Yt = B⎜ ⎟ ⎝ α ⎠ 1−α Kt Como B⎜ ⎛1−α ⎞ ⎟ ⎝ α ⎠ 1−α = cte = A . 6.2. c) Analice el mercado de capital humano. Este en un motivo también consideran al modelo AZ.4 Ejercicios resueltos Problema #1 Del modelo de un sector con capital físico y capital humano. I b) Mercado de capital físico Crecimiento Económico El mercado de capital físico es de tipo competencia perfecta esto implica: PmgK = RK (Rendimiento bruto del capital) ∂Yt 3 BK t3 / 4 H t1/ 4 = ∂K t 4 Kt PmgK = 3 Yt 4 Kt ∂Yt 3 Yt 3 = = PmeK ∂K t 4 K t 4 c) Mercado de capital Humano El mercado de capital físico es de tipo competencia perfecta esto implica: PmgK = RK (Rendimiento bruto del capital) 1 BK t3 / 4 H t1 / 4 ∂Yt = Ht ∂H t 4 PmgH = 1 Yt 4 Ht ∂Yt 1 Yt 1 = = PmeH ∂H t 4 H t 4 d) En el equilibrio y bajo el supuesto tenemos: rK = rH = r rK = RK − δ K rH = RH − δ H Asumiendo que la depreciación es la misma para los dos mercados δ K = δ H = δ RH − δ H = RK − δ K RK = RH PmgK = PmgH 3 Yt 1 Yt = 4 Kt 4 H t e) De la función de producción tenemos: Ht 4 = Kt 3 Yt = BK t3 / 4 H t1 / 4 Reemplazando H t en la función 154 .Cesar Antunez. Kt Rpt: a) De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K BK tα H t1−α = Ct + K t + δ K + δ H + H t Resolviendo para: H t + K t Asumiendo que las tasas de interés i depreciación son iguales δ K = δ H = δ • • • • K t + H t = BK t3 / 5 H t2 / 5 − C − ( K t + H t )δ La ecuación fundamental b) Mercado de capital físico El mercado de capital físico es de tipo competencia perfecta esto implica: • • PmgK = RK (Rendimiento bruto del capital) ∂Yt 3 BK t3 / 4 H t1 / 4 = Kt ∂K t 5 PmgK = 3 ∂Yt 3 Yt = = PmeK ∂K t 5 K t 5 3 Yt 5 Kt 155 . d) Halle la razón Ht . c) Analice el mercado de capital humano. visto en este libro o como muchos libros lo llaman la función AK. Yt = AK t que es la nueva función que tiene la forma del modelo AZ. I Crecimiento Económico Yt = BK 3/ 4 t ⎛ 4Kt ⎜ ⎜ 3 ⎝ t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 4 ⎛4⎞ Yt = B⎜ ⎟ ⎝3⎠ 1/ 4 1/ 4 Kt ⎛4⎞ Si consideramos a B⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ = cte = A Reemplazando en la función nos da.Cesar Antunez. Problema #2 Del modelo de un sector con capital físico y capital humano. se tiene la siguiente función de producción agregada: Yt = BKt3 / 5 H t2 / 5 asuma que las tasas de depresión son iguales a) Hallar la ecuación dinámica fundamental del modelo b) Analice el mercado de capital físico. Yt = AK t que es la nueva función que tiene la forma del modelo AZ. I c) Mercado de capital Humano Crecimiento Económico El mercado de capital físico es de tipo competencia perfecta esto implica: PmgK = RK (Rendimiento bruto del capital humano) 2 BK t3 / 4 H t1 / 4 ∂Yt = Ht ∂H t 5 PmgH = 2 Yt 2 ∂Yt = = PmeH ∂H t 5 H t 5 2 Yt 5 Ht d) En el equilibrio y bajo el supuesto tenemos: rK = rH = r rK = RK − δ K rH = RH − δ H Asumiendo que la depreciación es la misma para los dos mercados δ K = δ H = δ RH − δ H = RK − δ K RK = RH PmgK = PmgH 3 Yt 1 Yt = 4 Kt 4 H t e) De la función de producción tenemos: Ht 2 = Kt 3 Yt = BKt3 / 5 H t2 / 5 Reemplazando H t en la función Yt = BK 3/5 t ⎛ 2 Kt ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 3 ⎠ 2/5 ⎛2⎞ Yt = B⎜ ⎟ ⎝3⎠ 2/5 2/5 Kt ⎛2⎞ Si consideramos a B⎜ ⎟ ⎝3⎠ = cte = A Reemplazando en la función nos da. 156 . visto en este libro o como muchos libros lo llaman la función AK.Cesar Antunez. A : Índice de nivel de tecnología. K t : Stock de capital agregado en el instante “t”. α : Elasticidad producto respecto al capital. Con este articulo Paul Romer impulso a la literatura del crecimiento económico. Si η = 0 . 1 − α : Elasticidad producto respecto al trabajo. 6. debido a los modelos de crecimiento con progreso tecnológico exógeno. I 6.3. Lt : Fuerza de trabajo agregada en el instante “t”. 157 .1 Supuestos del modelo Romer abandona los supuestos de la función de producción agregada sujeta a rendimientos de escala constante. Supone que existe una externalidad de capital y por simplificación se asume que la población es constante. formula un modelo de crecimiento en el que se busca hallar las causas y los orígenes del progreso tecnológico. Función de producción agregada La función que refleja las externalidades de la economía es: Yt = AK tα L1−α κ tη K( FPA) t Donde Yt : Producto agregado en el instante “t”. η : Elasticidad producto respecto a la externalidad del capital.Cesar Antunez. se había generado un estancamiento en la teoría del crecimiento. Romer asume una función de producción agregada sujeta a los rendimientos de escala constantes y así mismo va asumir rendimientos crecientes de capital.3 Crecimiento Económico Modelo de Romer con externalidad del capital En la década de los anos 70 hasta la década de los anos 80. entonces es una función de producción Cobb-Douglas. Si η > 0 . apara ello Romer considera explícitamente los rendimientos decrecientes del capital así como las externalidades del capital. por que introdujo la función de producción con externalidades. Pero Romer en 1986 con su tesis doctoral. entonces expresa el grado de importancia de la externalidad del capital con lo cual α + 1 − α + η > 1. así mismo abandona el supuesto de rendimientos constantes de capital. Se asume que también toda la población trabaja en esta economía. κ t : Representa la externalidad del capital en el instante “t”. Lt ) = AK tα L1−α κ tη t F (λK t . λLt ) = A(λK t )α (λLt )1−α κ tη F (λK t .κ tη L1−α = ∞ t 1− α Kt (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgL = (1 − α ) K tα κ tη α = 0 L→∞ Lt (1 /) ≈ ∞ 1 Lím PmgL = (1 − α ) K tα κ tη α = ∞ L →0 Lt Lím PmgK = α K →0 Con esto se demuestra que la función cumple con las propiedades neoclásicas 158 .Yt La función presenta rendimientos de escala constante cuando κ t permanece constante 2º. entonces 0 < α < 1K x − 1 ⇒ −1 < −α < 0K + 1 es una constante positiva 0 < 1 − α < 1 .Cesar Antunez.κ tη L1−α = 0 t (1 / 0) ≈ ∞ 1 . Si multiplicamos a la función por un λ > 0 Crecimiento Económico F (K t . Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ∞) ≈ 0 Lím PmgK = α K →∞ 1 K 1−α t . ∂Yt = PmgK = αAK tα −1L1−α κ tη > 0 t ∂K t + + ∂Yt = PmgL = (1 − α ) AK tα L−α κ tη > 0 t ∂Lt + + La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa. Los productos marginales del capital y trabajo son positivos. ∂ 2Yt ∂PmgL = (− α )(1 − α ) AKtα L− (1+α )κ tη > 0 = t ∂Lt ∂L2 tt . I Propiedades de la función agregada 1º. λLt ) = λ. ∂ 2Yt ∂PmgK = α (α − 1) AK tα − 2 L1−α κ tη < 0 = t 2 ∂K t ∂K t + + Recordemos 0 < α < 1 .+ + Recordemos que 0 < α < 1 . entonces 0 < α < 1K − 1 ⇒ −1 < α − 1 < 0 es una constante negativa. 3º. 3. En el largo plazo se va llegar a un estado de crecimiento proporcionado. en la función de ahorro es negativo. ALη γ k = 1−α −tη − δ kt 159 . donde el exponente del capital. Ak α +η Lη − (δ )kt . • s. Caso A: α + η < 1 Esto significa que la externalidad no es muy grande. se puede distinguir los siguientes casos.3 Tipología En el desenvolvimiento de esta economía depende crucialmente de la suma de los paramentos α + η . esto quiere decir que: κ t = kt Dividiendo a la función de producción entre el numero de trabajadores ( Lt ) L1−α K tα Yt = AKtα t κ tη ⇒ ⇒ yt = A α κ tη Lt Lt Lt Sabemos que kt = κ t = K t / Lt ⇒ K t = kt Lt K(ψ ) Reemplazando (ψ ) en la ecuación (I) yt = Aktα κ tη K( I ) yt = Aktα (kt Lt )η yt = Ak α +η Lη K( FPI ) y t 6. donde existe una función de producción con rendimientos a escala constantes así como una economía que existe externalidad de capital. I Crecimiento Económico Romer asume que la externalidad de capital es igual al stock de capital agregado. 6. que es inferior o superior o igual a uno. η > 0 y que la suma de las elasticidades del capital y de la externalidad del capital es menor a la unidad.2 Ecuación fundamental De la ecuación fundamental de Solow – Swan mencionada y demostrada en páginas anteriores de este libro tenemos: k t = sf (kt ) − (δ + n)kt Donde la FPI se yt = Ak α +η Lη K( FPI ) y la población es constante: g pob = n = 0 y t Lo que nos da la siguiente ecuación: • k t = s. la ecuación fundamental de Romer y t Esta ecuación dinámica del proceso de acumulación del capital en una economía capitalista. esto nos dice que presenta rendimientos decrecientes de capital.Cesar Antunez. teniendo un equilibrio dinámico de tipo estable.3. Ak y Lt = −δ kt kt • Crecimiento Económico γk = s. la tasa de crecimiento es positiva. es decreciente y cuando se aproxima a cero kt va hacia el infinito. y a largo plazo es nulo γ kLP = 0 . Ak α +η Lη y t kt = δ se determina el capital por trabajador óptimo kt* de la ⎛ sALη t kt∗ = ⎜ ⎜ δ ⎝ ⎞1−α −η ⎟ ⎟ ⎠ 1 Por lo que la curva de ahorro toma valores infinitos. y como vemos en el grafico [6.14]. señala que la tasa de crecimiento del capital por trabajador esta correlacionado con el tamaño de la población. La dinámica del modelo nos dice. Gráfico [6. cuando kt se aproxima a cero. I Versión de Barro Dividiendo entre kt a la ecuación fundamental nos da: α +η η k t s. γ k = f (tamaño _ de _ la _ población) 160 .Cesar Antunez. en la economía. que si nos movemos un poquito a la derecha y esto genera una tasa de crecimiento positiva en el corto plazo. s.14]: Caso cuando α + η < 1 En este caso. Ak α +η Lη y t kt −δ En el estado de crecimiento proporcionado γ k es nulo. Cuando nos ubicamos a la izquierda del punto. la curva de depreciación en corta en un solo punto a la curva de ahorro y esto genera un estado de crecimiento proporcionado en la economía. Si γ k = 0 entonces economía. donde tomo los datos los anos posteriores a la segunda guerra mundial. Chile. Esta hipótesis fue desmentida por que.Cesar Antunez. Esto significa que en el largo plazo habrá una esta de crecimiento progresivo como se puede apreciar en la grafica [6. Brasil o la India. Esta predicción se le conoce como “El efecto escala”. Pág. I Crecimiento Económico Esta hipótesis fue falsa debido a que no coincidía con la realidad. Anthoni Bosch editor. en conclusión lo que nos quiere decir es que los países con mayor escala de población deberían crecer mas. Gráfico [6. A − δ . y nos da un Y=AK. Japón. que nos dice que la tasa de crecimiento esta correlacionada positivamente con el tamaño de la población. esta tasa de crecimiento coincide con el modelo AK. tal que la suma de las elasticidades del capital y de la externalidades es igual a la unidad. Mongolia.: 150 -152 43 161 . Argentina o Perú. En conclusión en el largo plazo se alcanza un crecimiento progresivo entonces γ k > 0 se no alcanza un capital por trabajador por lo que queda indeterminado.43 Efecto Escala En esta parte hablaremos del efecto escala.15] lo cual implica que el capital por trabajador es indeterminado. que realiza un estudio para ver los efectos escala. Esta predicción es falsa como se puede revisar en Bakus. lo cual significa que presenta rendimiento constantes del capital. México. en la vida real no se puede dar el caso que la economías que tengan tasas de crecimiento vayan aumentando en el tiempo o que el capital desaparezca con el paso de los años. Rusia. 44 Para comprender mejor este efecto léase: Sala-I-Martin Xavier. La predicción de este modelo dice que los países con mayor población como: China. que deberían crecer mucho más rápido que los que los países con menor población como: Suecia. donde indico que la tasa de crecimiento per -capita no esta correlacionada ni positivamente ni negativamente con el tamaño del país. Por lo que Romer asume que la población es constante n = 0 . por lo que Romer nos dice que este efecto escala es falsa. Kehoe y Kehoe (1992).44 Caso B: α + η = 1 En este caso las externalidades del capital son grandes y positivas. Manama. (1999) "Apuntes de Crecimiento Económico". Segunda edición.15]: Caso cuando α + η = 1 Entonces la tasa de crecimiento en la versión de Barro pasa a ser γ k = s. ósea el capital que se encuentra a la derecha de este punto obtiene tasa de variación del capital por trabajador positiva. nos ubicaremos al izquierda del punto de equilibrio inestable y en este caso la tasa de variación de capital por trabajador será negativa y menor que la existía originalmente en el equilibrio. por que si el stock de capital es un poco superior a kt* .17]. Como las dos curvas se cruzan una sola vez. tiende a un estado de crecimiento proporcionado. y la curva de inversión neta por trabajador es una recta con pendiente positiva. donde la tasa de crecimiento es positivo.16]. con lo cual se presentan rendimientos decrecientes. donde existe un único kt* . Como se puede apreciar en el grafico [6. la curva de ahorro pasa por el origen y es creciente y va hacia el infinito cuando kt va hacia el infinito. Gráfico [6. I Crecimiento Económico Caso C: α + η > 1 En este caso las externalidad del capital es muy grande. pero si disminuimos un poquito el capital por trabajador. Implicaría es que la economía en el largo plazo.17]: Función de ahorro por trabajador para el caso cuando α +η > 1 162 . entonces el crecimiento es positivo. esto genera un estado proporcionado. entonces la tasa de crecimiento es negativa. Ente caso la economía converge hacia un punto de equilibrio que se encuentra representado en la grafica como Et.16]: Caso cuando α + η > 1 Como se puede apreciar en el grafico [6. donde la función de ahorro de la sociedad es creciente. teniendo la característica central que presenta un equilibrio dinámico estable. el capital disminuye y la economía se aproxima a la extinción (por que existe capital).Cesar Antunez. por encima de este punto. Gráfico [6. tal que la suma de las elasticidades del capital y de la externalidad es mayor que la unidad. Pero si el stock de capital un inferior a kt* . El estado proporcionado es inestable como lo hemos mencionado. Nos dice que la educación va generar dicha externalidad. Función de producción agregada Sea una función de producción agregada tipo Cobb-Douglas. rendimientos crecientes del capital y donde se considera la externalidad del capital. Yt = AK tα L1−α κ tμ K( FPA) t s. 6. sujeta a rendimientos crecientes a escala. Lt : Fuerza de trabajo agregada en el instante “t”. este modelo es mas complejo que el modelo de Romer.4 Modelo de Lucas Es un modelo sobre la acumulación de capital humano. K t : Stock de capital agregado en el instante “t”.a : α + (1 − α ) + μ > 1 Donde Yt : Producto agregado en el instante “t”. por que considera crecimiento optimo.4. Asume que los rendimientos debe ser a escala creciente y los rendimientos crecientes de capital.Cesar Antunez. 163 . Existe una externalidad que es del capital humano. I Crecimiento Económico 6. así como va tomar en cuenta la externalidad que genera la acumulación de capital humano sobre el crecimiento. A : Índice de nivel de tecnología. η : Elasticidad producto respecto a la externalidad del capital. κ t : Representa la externalidad del capital en el instante “t”.1 Supuestos del modelo Lucas abandona los supuestos de rendimientos a escala constantes y los rendimientos decrecientes del capital. que es inferior o superior o igual a uno. se puede distinguir los siguientes casos.2 Ecuación fundamental De la ecuación fundamental de Solow – Swan mencionada y demostrada en páginas anteriores de este libro tenemos: k t = sf (kt ) − (δ + n)kt Donde la FPI se yt = Ak α + μ K( FPI ) y Lo que nos da la siguiente ecuación: • • k t = s. esto quiere decir que: κ t = ktt Dividiendo a la función de producción agregada entre la cantidad de trabajadores de la economía tenemos: L1−α Yt = AK tα t κ tμ Lt Lt Reemplazando este supuesto en la función de producción agregada nos da: yt = A K tα L1−α μ t κ t = Aktα κ tμ α 1− α Lt Lt yt == Aktα + μ K( FPI ) 6. Ak α + μ − (δ + n)kt . 6. Para empezar asumiremos. la ecuación fundamental de Lucas y Esta ecuación dinámica de proceso de acumulación del capital en una economía capitalista. siguiendo a Lucas (1988) asume que la externalidad de capital es igual al stock de capital agregado. I Crecimiento Económico μ : Elasticidad producto respecto a la externalidad del capital humano.4.4.18]. esto nos dice que presenta rendimientos decrecientes de capital.3 Análisis En el desenvolvimiento de esta economía depende crucialmente de la suma de los paramentos α + μ . con rendimientos de escala creciente. Cuya consecuencia es que dicha economía en el largo plazo tiende a un estado de crecimiento proporcionado como se puede apreciar en la grafico [6. donde se llega a un 164 .Cesar Antunez. 1 − α : Elasticidad producto respecto al trabajo. externalidad del capital humano y con acumulación de capital humano. Caso A: α + μ < 1 Esto significa que la externalidad del capital humano no es muy grande. μ > 0 0 y que la suma de las elasticidades del capital humano y de la externalidad del capital físico es menor a la unidad. En dicho estado de crecimiento proporcionado la variable k t es nulo. Aktα + μ = (n + δ )kt se determina el capital por trabajador óptimo kt* • • s. y como vemos en el grafico [6. Aktα + μ = − (δ + n) kt kt • γk = s. 165 . A kt = α +μ n + δ kt ⎛ s. A ⎞1−α − μ kt* = ⎜ ⎟ ⎝n +δ ⎠ Por lo que la curva de ahorro toma valores infinitos.19]. Aktα + μ = (δ + n) . I Crecimiento Económico estado de crecimiento proporcionado en Et. la curva de depreciación en corta en un solo punto a la curva de ahorro y esto genera un estado de crecimiento proporcionado en la economía. Si entonces economía. es decreciente y cuando se aproxima a cero kt va hacia el infinito. Si k t = 0 entonces s.18]: La función de ahorro por trabajador y la curva ampliada bruta de capital Versión de Barro Dividiendo entre kt la ecuación fundamental del modelo k t s. cuando kt se aproxima a cero. A ⎞1−α − μ kt* = ⎜ ⎟ ⎝n +δ ⎠ 1 Gráfico [6. se determina el capital por trabajador óptimo ( kt* ) de la kt 1 ⎛ s. s.Cesar Antunez. Aktα + μ − (δ + n) kt En el estado de crecimiento proporcionado γ k es nulo. tal que la suma de las elasticidades del capital físico y de la externalidades de dicho capital humano es igual a la unidad. en la economía. Versión de Barro Dividiendo la ecuación de Lucas entre kt obtenemos: α +μ k t s. Ak α + μ y kt > (δ + n) En conclusión en el largo plazo se alcanza un crecimiento progresivo γ k > 0 . que si nos movemos un poquito a la derecha y esto genera una tasa de crecimiento positiva en el corto plazo. Si la tasa de crecimiento es positiva γ k > 0 ⇒ s. la tasa de crecimiento es positiva.Cesar Antunez. Ak α + μ y kt − (δ + n) En este caso existe un estado de crecimiento progresivo por que las curvas de ahorro y depreciación no se cortan en un punto.19]: Caso cuando α + μ < 1 Caso B: α + μ = 1 En este caso la elasticidad de la externalidad de capital humano es. Ak y = − (δ + n) kt kt • γk = s. Gráfico [6. 166 . pero el capital por trabajador queda indeterminado en este caso. La dinámica del modelo nos dice. I Crecimiento Económico Cuando nos ubicamos a la izquierda del punto. y a largo plazo es nulo γ kLP = 0 . de magnitud regular. con la característica clave de presentar un equilibrio dinámico de tipo inestable.20]: Caso cuando α + μ = 1 Caso C: α + μ > 1 En este caso la externalidad del capital humano es grande. modo se puede a preciar en el grafico [6. 167 . entonces el crecimiento es positivo. como señala el gráfico de este caso. el capital disminuye y la economía se aproxima a la extinción (por que existe capital).22].21]: Caso cuando α + μ > 1 Versión de Barro El estado proporcionado es inestable como lo hemos mencionado. entonces la tasa de crecimiento es negativa. Gráfico [6.Cesar Antunez. como se aprecia en el gráfico [6.21]. va tender a un estado de crecimiento proporcionado en Et. Pero si el stock de capital un inferior en el kt . Cuya implicancia es que dicha economía en el largo plazo. de tal modo que la suma de las elasticidades del capital físico y de la externalidad supera a la unidad. I Crecimiento Económico Gráfico [6. por que si el stock de capital es un poco superior a kt . con lo cual se presenta rendimientos decrecientes del capital. I Crecimiento Económico Gráfico [6. Ak α + μ y kt = (δ + n) se determina el capital por trabajador óptimo kt* . 1 ⎛ s.21]: Curva de ahorro creciente en el caso cuando α + μ > 1 Dividiendo a la ecuación fundamental de Lucas – Martín entre kt α +μ k t s. entonces s. A ⎞1−α − μ k =⎜ ⎟ ⎝n +δ ⎠ * t 168 .Cesar Antunez. Ak α + μ y kt − (δ + n) En el estado de crecimiento proporcionado tasa de crecimiento es nula Si γ k = 0 . Ak y = − (δ + n) kt kt • γk = s. para el beneficio de la sociedad. 169 . En el largo plazo existe un equilibrio fiscal. Función de producción agregada Sea una función de producción tipo Cobb-Douglas. dado la tasa marginal de tributación. 6. parques públicos. defensa nacional.) Sector Público Ingreso Fiscal: Como consigue el gobierno solventar el gasto vía tributación.. el gasto de gobierno. Para comenzar diremos que este modelo fue desarrollado por Robert Barro (1990) y es una extensión del modelo de Solow. La función de producción agregada considera el stock de capital privado y el gasto público. donde el gobierno dedica sus acciones. etc.a : 0 < α < 1 Donde Yt : Producto agregado en el instante “t”. tecnología. empresas. Existe el sector público.Cesar Antunez. salud. etc. Para financiar estas acciones el gobierno cobra impuestos (a la renta. Existe gasto de gobierno: Refleja el hecho de que hay bienes públicos. Yt = AK tα Gt1−α K( FPA) s.) y veremos como estos impuestos están relacionados con la tasa de crecimiento de la economía.). según el cual nos dice que el gasto publico es productivo y para esto nos propone una función de producción con dos factores: Capital privado K t y el gasto del sector publico Gt . dado la propensión marginal ahorrar. subsidios. El ahorro depende directamente de la renta disponible. Hay gasto público: El estado proporciona bienes públicos.1 Supuestos del modelo A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos: Existe estado. la rentabilidad de las inversiones privadas. Existe solo un impuesto y es a ala renta.5. IGV. También es esta parte veremos que el tamaño del gasto publico y su relación con el crecimiento económico. etc. I 6. (carreteras.5 Crecimiento Económico Modelo de crecimiento con gobierno En esta parte estudiaremos el tamaño del gobierno. La tributación es proporcional a la renta. hospitales. veremos los caso del aspecto positivo de tener gasto publico y los aspectos negativos de tener que financiar dicho gasto. La tributación es la única fuente de ingreso. Gasto Fiscal: El estado propone bienes públicos a la sociedad (Educación. donde interviene además del stock de capital privado. seguridad. entonces 0 < α < 1K − 1 ⇒ −1 < α − 1 < 0 es una constante negativa.+ + Recordemos que 0 < α < 1 . ∂Yt = PmgK = αAK tα −1Gt1−α > 0 ∂K t ∂Yt = PmgL = (1 − α ) AK tα Gt−α > 0 ∂Gt + + La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa. Lt ) = AK tα Gt1−α Si multiplicamos a la función por un λ > 0 F (λK t . Gt : Volumen del gasto en el instante “t”. K tα Gt1−α K α G1− α Yt = A t t ⇒ yt = A α 1−α Lt Lt Lt Lt yt = Aktα gt1−α K( FPI ) Donde gt : Gasto de gobierno por trabajador en el instante “t”. F (K t . yt : Producto per cápita en el instante “t”. λGt ) = A(λK t )α (λGt )1−α F (λK t . + + ∂ 2Yt ∂PmgK = α (α − 1) AK tα − 2 L1−α < 0 = t 2 ∂K t ∂K t + + Recordemos 0 < α < 1 . A : Índice de nivel de tecnología. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ∞) ≈ 0 170 .Cesar Antunez. λLt ) = λ.Yt La función presenta rendimientos de escala constante 2º. Los productos marginales del capital y trabajo son positivos. entonces 0 < α < 1K x − 1 ⇒ −1 < −α < 0K + 1 es una constante positiva 0 < 1 − α < 1 . I Crecimiento Económico α : Elasticidad producto respecto al capital privado. kt : Stock de capital por trabajador en el instante “t”. Dividiendo a la función de producción entre la cantidad de trabajadores de la economía K t : Stock de capital privado en el instante “t”. ∂ 2Yt ∂PmgG = = (− α )(1 − α ) AK tα Gt− (1+α ) > 0 2 ∂Gt ∂Gt . 3º. Propiedades de la función de producción 1º. (1 − τ ) + K t + δK t Dividiendo la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de la economía y reemplazando la identidad 1 − c = s • • • • Yt Kt K = (1 − c).Gt1−α = ∞ K →0 Kt (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgG = (1 − α ) K tα α = 0 L→∞ Gt (1 /) ≈ ∞ 1 Lím PmgG = (1 − α ) K tα α = ∞ L →0 Gt Lím PmgK = α Ahora demostraremos que la función obtenida cumple con las propiedades Neoclásicas.K t ⇒ = + δkt Lt Lt Kt • = k t + nkt Lt • • • Ib • = k t + ( n + δ ) kt Lt Pmgc + Pmgs = 1 ⇒ 1 − c = s En el largo plazo existe un equilibrio fiscal (Por que no se permiten la existencia de déficit público). Para esto deberemos asumir que 0 < α < 1 6.Yd + K t + δK t + τ .Gt1−α = 0 K →∞ K t1−α (1 / 0) ≈ ∞ 1 Lím PmgK = α 1−α .5.(1 − τ )Yt + K t + δK t + τ .Yt Reemplazando todas las identidades antes mencionadas en las líneas anteriores Yt = Pmgc.Yd Yd = Yt − T = Yt − τ .Yt Yt = c.(1 − τ ) + +δ t Lt Lt Lt 171 .Cesar Antunez.Yt Yt = (1 − c). Gt = T = τ . I Crecimiento Económico 1 .2 Ecuación fundamental De la condición de equilibrio macroeconómico en una economía cerrada tenemos: Yt = Ct + I b + Gt De las identidades: Ct = Pmgc.Yt Ib Kt I b = K t + δ . Yt gt = τ . la ecuación fundamental con sector público • Esta ecuación función diferencial del proceso de acumulación de capital en una economía capitalista con sector publico. yt gt = τ . Versión de Barro Dividiendo a la ecuación fundamental entre kt • kt kα = s. Aktα gt1−α [ ] 1/α K( II ) Reemplazando la ecuación (II) en la ecuación (I) y dividiendo la ecuación entre el numero de trabajadores de la economía ( kt ) γ k = s (1 − τ ) A ktα (τA)1 / α kt kt [ ] 1− α − (n + δ ) 172 . n : Tasa de crecimiento de la población. Donde τ : representa la tasa marginal de tributación. δ : Tasa de depreciación del stock de capital. En el largo plazo no existe desequilibrio fiscal Gt = T Gt Y =τ Lt Lt ⇒ Gt = τ . s : Representa el producto marginal ahorrar.(1 − τ ) Aktα g t1−α − (n + δ )kt . Aktα Donde: yt = Aktα g t1−α Dividiendo a la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de la economía gt = τ .(1 − τ ) + k t + (δ + n)kt Despejando k t reemplazando la (FPI) • • Crecimiento Económico k t = s.(1 − τ ) A ktα 1−α g t − ( n + δ )K ( I ) kt Donde γ k : Tasa decrecimiento por trabajador.Cesar Antunez. gt : Gasto de gobierno por trabajador. I yt = s. Estable que la tasa de cambio de capital por trabajador es el remanente del ahorro bruto disponible por trabajador respecto a la ampliación bruta de capital. kt : Capital por trabajador.(1 − τ ) A t g t1−α − (n + δ ) kt kt γ k = s. Cesar Antunez.5. entonces el ingreso fiscal será nulo y esto significa. La tasa de crecimiento de capital por trabajador será negativa. rebeliones. 1 Si τ = 0 entonces γ k = s (1 − 0) A . Esto implica que se obtendrá una tasa de crecimiento de capital por trabajador negativa. entonces va ver disminución del nivel de producción y va haber salida de capitales en el país. 1 Si τ = 1 entonces γ k = s (1 − 1) A . seguridad pública. el cien por ciento y el caso intermedio. etc. cuando la tasa marginal de tributación es cero. ∂γ k =0 ∂τ γ ⎡1 − α ⎤ ∂ k = sAα ⎢ ⎥.3 Análisis En esta parte analizaremos los casos.τ α 1−α α − (n + δ ) Para maximizar la función se puede hallar igualando a cero la derivada de la tasa de crecimiento con respecto a τ .τ 1−α α 173 .τ α α − (n + δ ) 6. I 1 1−α Crecimiento Económico γ k = s(1 − τ ) A .0 α 1−α α − (n + δ ) γ k = −( n + δ ) Caso II: τ = 1 (cuando la tasa marginal de tributación es del cien por ciento) El estado va obtener recursos de los productores.1 α − (n + δ ) α 1−α γ k = −( n + δ ) Caso III: 0 < τ < 1 (caso intermedio) En este caso intermedio el estado va obtener ingresos fiscales y a su vez las empresas s e van a sentir incentivadas a producir. que no habrá financiamiento para el gasto de gobierno (educación pública. A1 / α α . De otro lado dicha tasa de tributación τ .τ ∂τ ⎣ α ⎦ 1 1−α α −1 − s. Salud pública. justicia.) Esto implica que en esta economía habrá protesta popular. se puede financiar dicho gasto público 1 Si 0 < τ < 1 entonces γ k = s (1 − τ ) A . entonces para los productores no va haber incentivos para producir. etc. defensa. Caso I: τ = 0 (cuando la tasa marginal de tributación es nula) Si la tasa marginal de tributación es nula. Cesar Antunez.4 Problemas resueltos Problema Nº1 Del modelo de crecimiento con sector publico. Rpt: a) Dividiendo entre Lt a la función de producción agregada de la economía Yt K t3 / 4 Gt1 / 4 = 36 3 / 4 1 / 4 Lt Lt Lt yt = 36kt3 / 4 gt1 / 4 K( FPI ) 174 .5% cada año y la fuerza de trabajo es 2. I Crecimiento Económico γ ∂ k = sAα τ ∂τ 1 1− α α ⎡1 − α 1 1 ⎤ ⎢ α τ −α⎥ = 0 ⎣ ⎦ =0 >0 ⎡1 − α 1 1 ⎤ ⎢ α τ∗ − α ⎥ = 0 ⎣ ⎦ τ ∗ = 1−α Por lo que el tipo impositivo que maximiza la tasa de crecimiento de la economía es τ ∗ = 1−α .5% al año. Se pide hallar: a) La ecuación fundamenta con sector público. se tiene la función de producción dinámica Yt = 36 K t3 / 4Gt1 / 4 se sabe que el ahorro agregado es del 36% del producto agregado cada año.23]: Relación entre τ y tasa de crecimiento de la economía 6.5. b) Hallar la tasa de crecimiento del capital por trabajador. d) Hallar la tasa de crecimiento de la economía. c) Hallar la tasa de tributación que maximiza la tasa de crecimiento de la economía. la tasa de depreciaciones 6. Gráfico [6. (36kt3 / 4 gt1 / 4 ) ⇒ gt = (36.36(1 − τ )36kt3 / 4 g t1 / 4 − 0.36 x(36) 4 / 3 xτ 1 / 3 ⎢ x − ⎥ = 0 * ∂τ ⎣3 τ 3 ⎦ 175 . I Crecimiento Económico De la condición de equilibrio macroeconómico en una economía cerrada tenemos: Yt = Ct + I b + Gt Reemplazando todas las identidades Yt = Pmgc.Cesar Antunez. t gt = τ .Yt Yt = c.(1 − τ )Yt + K t + δK t + τ .09kt . donde el estado de crecimiento de la economía se maximiza ∂γ k =0 ∂τ * ∂γ k 1 4 = 0.09 Representa esta ecuación la tasa de crecimiento por trabajador c) Como se asume 0 < τ < 1 en este caso intermedio.36 x(36)1 / 3 x xτ − 2 / 3 − 0.36(1 − τ )36 kt3 / 4 (36τ ) 4 / 3 kt kt [ ] 1/ 4 − 0.Yt ⇒ t = τ .36 x(36)1 / 3 xτ 1 / 3 * ∂τ 3 3 ∂γ k ⎡1 1 4 ⎤ = 0.(1 − τ ) + k t + (δ + n)kt Despejando k t reemplazando la (FPI) • • k t = 0.(1 − τ ) + +δ t Lt Lt Lt yt = s.Yd + K t + δK t + τ .Yt Yt = (1 − c).τ ) 4 / 3 kt K(ψ ) Lt Lt Reemplazando (ψ ) en la ecuación ( ξ ) y dividiendo entre kt • γ k = 0.(1 − τ ) + K t + δK t Dividiendo la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de la economía y reemplazando la identidad 1 − c = s • • • • Yt Kt K = (1 − c). la ecuación fundamental b) De la condición fundamental dividiendo entre el capital por trabajador kt • kt k3/ 4 = 0.36(1 − τ )36 t g t1 / 4 − 0.09K(ξ ) kt kt G Y Gt = τ . 25 ≈ 25% d) De la tasa de crecimiento por trabajador tenemos γ k Máx = 0. Se pide hallar: a) La ecuación fundamenta con sector público. Rpt: a) Dividiendo entre Lt a la función de producción agregada de la economía Yt K t4 / 5 Gt1 / 5 = 36 4 / 5 1 / 5 Lt Lt Lt yt = 25kt4 / 5 g t1 / 5 K( FPI ) De la condición de equilibrio macroeconómico en una economía cerrada tenemos: 176 . la tasa de depreciaciones 7% cada año y la fuerza de trabajo es 2% al año.Cesar Antunez. b) Hallar la tasa de crecimiento del capital por trabajador. c) Hallar la tasa de tributación que maximiza la tasa de crecimiento de la economía.1284 Gráfico del problema Nº1 Problema Nº2 Del modelo de crecimiento con sector publico.25)36[36 x0. I Crecimiento Económico ⎡1 1 4 ⎤ ⎢3 xτ − 3⎥ = 0 ⎣ ⎦ τ ∗ = 0.36(1 − 0. se tiene la función de producción dinámica Yt = 25K t4 / 5Gt1 / 5 se sabe que el ahorro agregado es del 35% del producto agregado cada año. d) Hallar la tasa de crecimiento de la economía.25]1 / 3 − (0.09) γ k Máx = 20. I Crecimiento Económico Yt = Ct + I b + Gt Reemplazando todas las identidades Yt = Pmgc. la ecuación fundamental b) De la condición fundamental dividiendo entre el capital por trabajador kt • kt k4/5 = 0.35 x(25)1 / 3 x xτ − 3 / 4 − 0.(1 − τ )Yt + K t + δK t + τ .35 x(25)15 / 4 xτ 1 / 4 * ∂τ 4 4 ∂γ k ⎡1 1 5⎤ = 0.35 x(25)5 / 4 xτ 1 / 4 ⎢ x − ⎥ = 0 * ∂τ ⎣4 τ 4⎦ 177 .Yt Yt = (1 − c).(1 − τ ) + K t + δK t Dividiendo la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de la economía y reemplazando la identidad 1 − c = s • • • • Yt Kt K = (1 − c).09kt .09K(ξ ) kt kt G Y Gt = τ .Yt ⇒ t = τ .(25kt3 / 4 gt1 / 4 ) ⇒ g t = (25.35(1 − τ )25kt34 / 5 g t1 / 5 − 0.(1 − τ ) + k t + (δ + n)kt Despejando k t reemplazando la (FPI) • • k t = 0. donde el estado de crecimiento de la economía se maximiza ∂γ k =0 ∂τ * ∂γ k 1 5 = 0.Yd + K t + δK t + τ .09 Representa esta ecuación la tasa de crecimiento por trabajador c) Como se asume 0 < τ < 1 en este caso intermedio. t gt = τ .(1 − τ ) + +δ t Lt Lt Lt yt = s.35(1 − τ )25 (25τ ) 4 / 5 kt kt [ ] 1/ 5 − 0.Cesar Antunez.Yt Yt = c.35(1 − τ )25 t g t1 / 5 − 0.τ ) 4 / 3 kt K(ψ ) Lt Lt Reemplazando (ψ ) en la ecuación ( ξ ) y dividiendo entre kt • kt4 / 5 γ k = 0. 1 Supuestos del modelo A los supuestos del modelo con crecimiento con gobierno se le añaden los siguientes supuestos: El gobierno decide el tamaño del gasto. y esto disminuye la rentabilidad de las inversiones de las empresas privadas. 6. La función de producción de la economía es la misma que el modelo anterior: 178 .38 Gráfico del problema Nº2 6. Ele tamaño del gasto público esta en relación con el crecimiento de la economía. Solamente existe un impuesto y es sobre la renta.Cesar Antunez.20 ≈ 20% d) De la tasa de crecimiento por trabajador tenemos γ k Máx = 0.2]1 / 4 − (0.20)25[25 x0. La función de producción presenta rendimientos constantes a escala. derecho de propiedad.1.35(1 − 0.6 Modelo de crecimiento con gasto público Veremos en este modelo que el gobierno debe financiar sus acciones en l a economía con impuestos distorsionados. I Crecimiento Económico ⎡1 1 5⎤ ⎢4 xτ − 4⎥ = 0 ⎣ ⎦ τ ∗ = 0.). El gobierno puede afectar a la economía con la regulación (ley antimonopolio. etc.09) γ k Máx = 10. (1 − τ ) + K t + δK t Dividiendo la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de la economía y reemplazando la identidad 1 − c = s • • • • Yt Kt K = (1 − c).Yd + K t + δK t + τ . Gt = T = τ . I Crecimiento Económico Yt = AK tα Gt1−α K( FPA) Dividiendo a la función de producción entre la cantidad de trabajadores de la economía Yt K tα Gt1−α K tα Gt1−α =A ⇒ yt = A α 1−α Lt Lt Lt Lt yt = Aktα gt1−α K( FPI ) De la condición de equilibrio macroeconómico en una economía cerrada tenemos: Yt = Ct + I b + Gt De las identidades: Ct = Pmgc.Cesar Antunez.K t ⇒ = + δkt Lt Lt Kt • = k t + nkt Lt • • • Ib • = k t + ( n + δ ) kt Lt Pmgc + Pmgs = 1 ⇒ 1 − c = s En el largo plazo existe un equilibrio fiscal (Por que no se permiten la existencia de déficit público).Yt Yt = c.(1 − τ ) + +δ t Lt Lt Lt yt = s.(1 − τ ) Aktα g t1−α − (n + δ )kt .(1 − τ ) + k t + (δ + n)kt Despejando k t reemplazando la (FPI) • • k t = s. la ecuación de movimiento Siguiendo con el análisis de Barro (1990).Yt Reemplazando todas las identidades antes mencionadas en las líneas anteriores Yt = Pmgc.(1 − τ )Yt + K t + δK t + τ . que incorpora a los bienes públicos como flujos productivos y no como bienes de capital acumulado. • 179 .Yt Yt = (1 − c).Yd Yd = Yt − T = Yt − τ .Yt Ib Kt I b = K t + δ . Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Para este modelo tomaremos al gasto público como dado, y seguiremos suponiendo que el gobierno tiene que equilibrar su presupuesto en todos los momentos del tiempo y que los agentes de la economía maximizan su utilidad como se aprecia en la siguiente función de utilidad. Máx : ⎡ ct1−θ − 1⎤ − ( ρ − n ).t J = ∫⎢ dt ⎥.e 0 ⎣ 1−θ ⎦ ∞ Donde la restricción será la ecuación fundamental del modelo anterior k t = s.(1 − τ ) Aktα g t1−α − (n + δ )kt Para solucionar este problema se debe cumplir que: ρ > n es decir que la descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población. tasa de • Como los agentes individualmente toman al gasto publico como dado, resuelve el problema de la maximización 6.1.2 Planteamiento del problema Máx : • ⎡ c1−θ − 1⎤ − ( ρ − n ).t J = ∫⎢ t dt K (Función Objetivo) ⎥.e 0 ⎣ 1−θ ⎦ ∞ k t = s.(1 − τ ) Aktα gt1−α − (n + δ )kt K (Ecuación de movimiento) a. Comenzaremos a aplicar el método del Hamiltoniano. ⎡ c1−θ − 1⎤ − ( ρ − n ) t H =⎢ t + λt s.(1 − τ ) Aktα gt1−α − (n + δ )kt ⎥.e ⎣ 1−θ ⎦ [ ] Donde kt : Variable de estado. ct : Variable de control. λt : Variable de coestado. b. Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de la variable de control e imponiendo la condición igual a cero. ∂H = e − ( ρ − n ) t .ct−θ + λt (−1) = 0 ∂ct e − ( ρ − n ) t .ct−θ = λt K( I ) c. Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la condición del negativo de la derivada del multiplicado con respecto al tiempo. • ∂H = −λt ∂kt ⎡ ⎛g λt ⎢[(1 − τ )]αA⎜ t ⎜k ⎢ ⎝ t ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1− α ⎤ • − (n + δ )⎥ = − λ t ⎥ ⎦ 180 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico ⎡ ⎛g ⎢[(1 − τ )]αA⎜ t ⎜k ⎢ ⎝ t ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1−α ⎤ λt − (n + δ )⎥ = − K( II ) λt ⎥ ⎦ • d. Tomando la derivada con respecto al multiplicador lagrangiano ∂H • = kt ∂λt s.(1 − τ ) Aktα gt1−α − (n + δ )kt = k t k t = s.(1 − τ ) Aktα g t1−α − (n + δ )kt K( III ) • • Condición de Segundo Orden (CIIO) Lím λt kt = 0 t →∞ Esto quiere decir que λt = 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt = 0 (el stock de capital en el momento que muere). Condición de Transversalidad Lím λt = t →∞ (1 / ∞) ≈ 0 1 e( ρ − n ) ∞ Lím λt = 0 t →∞ Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos: − θLnct − ( ρ − n)t = Lnλt Multiplicando por -1 a la ecuación y tomando la derivada temporal a la ecuación anterior λt ct ( ρ − n) + θ . = − K( IV ) ct λt Igualando la ecuación (II) y (IV) • • • • ⎡ ⎛g ⎢[(1 − τ )α ]A⎜ t ⎜k ⎢ ⎝ t ⎣ • ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1− α ⎤ λt ct − ( n + δ ) ⎥ = − = ( ρ − n) + θ λt ct ⎥ ⎦ ct Despejando tenemos: ct 1− α ⎤ ⎛ gt ⎞ ct 1 ⎡ = ⎢[(1 − τ )α ]Aα ⎜ ⎟ − ( ρ + δ )⎥ K(V ) , la proposición de Barro – Ramsey ⎜k ⎟ ct θ ⎢ ⎥ ⎝ t⎠ ⎣ ⎦ • Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador. 181 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Del largo plazo, donde el gasto tiene que equilibrarse tenemos: Gt = τ .Yt ⇒ Gt Y =τ t Lt Lt τ = gt gt ( g / k )α = = t t yt Aktα gt1−α A Reemplazando la ecuación ( ξ ) en la proposición de Barro-Ramsey 1−α ct 1 ⎡ ⎤ = ⎢(1 − τ ) A1 / αα (τ ) α − ( ρ + δ )⎥ ct θ ⎣ ⎦ • gt = (τ . A)1 / α K(ξ ) kt γc = 1− α 1⎡ ⎤ (1 − τ ) A1 / αα (τ ) α − ( ρ + δ )⎥ K(ψ ) ⎢ θ⎣ ⎦ Podemos apreciar que los valores de esta ecuación están dados, por lo que la tasa es constante. En el estado de crecimiento proporcionado la tasa de consumo es igual a la tasa de * * crecimiento del capital γ c = γ k = γ * . 6.1.3 Tipología Para analizar el tamaño del estado y de la tasa impositiva, debemos ver los casos cuando existe tributación, cuando no existen impuesto y el caso intermedio. Caso I: τ = 0 (cuando la tasa marginal de tributación es nula) Si reemplazamos τ = 0 en la ecuación (ψ ) que representa la tas de crecimiento de la economía se tendrá una tasa de crecimiento negativa y con esto el estado no puede proporcionad bienes públicos. Si τ = 0 entonces γ k = 1− α 1⎡ ⎤ (1 − 0) A1 / αα (0) α − ( ρ + δ )⎥ ⎢ θ⎣ ⎦ La tasa de crecimiento por trabajador será negativa γk = 1 θ [− ( ρ + δ )]K(ψ ) Caso II: τ = 1 (cuando la tasa marginal de tributación es del cien por ciento) Cuando el estado se lleva todas las ganancias las empresas no se ven incentivadas a producir y con esto se obtiene nuevamente una tasa de crecimiento negativa. Si τ = 1 entonces γ k = 1−α 1⎡ ⎤ (1 − 1) A1 / αα (1) α − ( ρ + δ )⎥ K(ψ ) ⎢ θ⎣ ⎦ Esto implica que se obtendrá una tasa de crecimiento de capital por trabajador negativa. γk = − (ρ + δ ) θ 182 Cesar Antunez. I Caso III: 0 < τ < 1 (caso intermedio) Crecimiento Económico En este caso intermedio el estado va obtener ingresos fiscales y a su vez las empresas s e van a sentir incentivadas a producir. De otro lado dicha tasa de tributación τ , se puede financiar dicho gasto público. Si 0 < τ < 1 entonces γ k = 1−α 1⎡ ⎤ (1 − τ ) A1 / αα (τ ) α − ( ρ + δ )⎥ ⎢ θ⎣ ⎦ Para ver los casos mencionados anteriormente y la tasa de tributación que maximiza la tasa de crecimiento de la economía, para esto se puede apreciar en la grafica [6.24], donde la curva tiene forma de U invertida. Gráfico [6.24]: Relación entre τ y tasa de crecimiento Para maximizar la función se puede hallar igualando a cero la derivada de la tasa de crecimiento con respecto a τ . ∂γ k =0 ∂τ γ ⎡1 − α ⎤ ∂ k = sAα ⎢ ⎥.τ ∂τ ⎣ α ⎦ ∂ 1 1−α α −1 − s. A1 / α α .τ 1−α α γk = sAα τ ∂τ 1 1− α α ⎡1 − α 1 1 ⎤ ⎢ α τ −α⎥ = 0 ⎣ ⎦ =0 >0 ⎡1 − α 1 1 ⎤ ⎢ α τ∗ − α ⎥ = 0 ⎣ ⎦ τ ∗ = 1−α 183 Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Por lo que el tipo impositivo que maximiza la tasa de crecimiento de la economía es τ ∗ = 1−α . Para la tasa de impuesto que resulta si el gobierno escoge τ ∗ = 1 − α , entonces la tasa de crecimiento sería. γ Max * = 1 ⎡ 2 1/α ⎢α A (1 − α ) θ⎢ ⎣ 1−α α ⎤ − ( ρ + δ )⎥ ⎥ ⎦ 6.7 Modelo Neoclásico con capital Humano El capital humano es definido como el stock de conocimientos que es valorizado económicamente e incorporado por los individuos (calificación, estado de salud, higiene...). Esta idea de la acumulación de capital humano fue puesta en valor en 1988 por Lucas, que desarrollo en su modelo el capital humano voluntario que corresponde a una acumulación de conocimientos (schooling) y la acumulación involuntaria (learning by doing). Al mejorar su nivel de educación y de formación cada persona aumenta el stock de capital humano de una nación y de allí contribuye al mejoramiento de la productividad de la economía nacional, es decir, la productividad privada del capital humano tiene un efecto externo positivo.45 Veamos ahora que nos dice Schultz, T. (1961), “Investment in human capital”. La inversión en capital humano constituye uno de los principales elementos explicativos del crecimiento económico, siendo responsable en buena medida de la divergencia apreciada entre el crecimiento del producto y el de la cantidad de factores productivos utilizados, al originar una mejora cualitativa del factor trabajo que aumenta su capacidad productiva y genera crecimiento económico. Abundando en esta idea, la inversión en capital humano fue rápidamente incorporada.46 6.7.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista sin relación con el exterior. Dicha economía tiene dos sectores: o o Un sector de producción de bien final, representado con el subíndice “t”. Un sector educación, representado con el subíndice “E”.47 Los mercados de bienes y factores son de competencia perfecta. La fuerza de trabajo crece a una tasa constante y exógena: n Existen dos tipos de capital. El stock de capital físico se deprecia a una tasa constante: δ K El stock de capital humano se deprecia a una tasa constante: δ H 48 45 Es la definición de capital humano a sido extraído de Gerald Destinobles, A.: (2007) Introducción a los modelos de crecimiento económico exógeno y endógeno. Edición electrónica gratuita. Texto completo en www.eumed.net/libros/2007a/243/ 46 Schultz, T. (1961), “Investment in human capital) , American Economic Review, 51, Pag.:1-17 47 Ha medida que un país se desarrolla, el estado general de salud y educación de su población mejora. Esto es un síntoma de bienestar social, en si mismo, pero también por ello la economía se hace mas productiva. 184 Sector de producción del bien final En este sector se considera que la tecnología utilizada por el bien final es distinta a la tecnología para la obtención del capital humano y físico. 48 185 . antes que los padres fenezcan. como la imposibilidad que los padres transmitan todo su capital humano a sus hijos. es una proporción sK . Lt : Fuerza de trabajo destinada al sector de bien final en el instante “t”.a : 0 < sK < 1 Función de Producción intensiva Para hallar esta función de producción intensiva debemos de dividir a la función de producción del bien final. α : Elasticidad producto respecto al capital físico. Su función de este sector se encuentra representada de la siguiente manera: Yt = K tα H tβ ( BLt )1−α − β Donde Yt : Producto del sector de bien final en el instante “t”.Cesar Antunez. del producto del bien final. B : Índice de nivel de tecnología del sector de bien final. BLt : Fuerza de trabajo eficaz destinada al sector de bien final. Toda la población trabaja. K t : Stock de capital físico destinado al sector de bien final en el instante “t”. El ahorro destinado a la acumulación de capital físico en el sector de producción del bien final. H t : Stock de capital humano destinado al sector de bien final en el instante “t”. I Crecimiento Económico El ahorro se destina para la inversión del sector de producción del bien final. La economía produce un bien final.Yt s. β : Elasticidad producto respecto al capital humano. S K = sK . entre la cantidad de trabajo eficaz: BLt Yt ( BLt )1−α − β = K tα H tβ BLt BLt Yt K tα H tβ = BLt ( BLt )α ( BLt ) β Yt Kα H β = t αt+ β BLt ( BLt ) ⎡K ⎤ ⎡H ⎤ Yt =⎢ t ⎥ ⎢ t ⎥ BLt ⎣ BLt ⎦ ⎣ BLt ⎦ α β Esta depreciación del capital humano se interpreta. B ht = ht : Capital humano por trabajador eficaz. Sea yt = yt : Producto por trabajador eficaz. K E : Stock de capital físico destinado al sector educacional. H E : Stock de capital humano destinado al sector educacional. El ahorro destina a la acumulación de capital humano en el sector educacional. B kt = kt : Capital físico por trabajador eficaz. es una proporción sH . BLE : Fuerza de trabajo eficaz destinada al sector educacional. S H = sH .a : 0 < sH < 1 Función de Producción intensiva Para hallar esta función de producción intensiva debemos de dividir a la función de producción del sector educacional.Cesar Antunez. B : Índice de nivel de tecnología del sector educacional. β : Elasticidad producto respecto al capital humano. Sector educación Este sector de producción se encuentra representado por la siguiente función: α β YE = K E H E ( BLE )1−α − β Donde YE : Producto del sector educacional. del producto del bien final. B Nota: Las barra de las variables denotan que son variables en unidades de eficiencia.Yt s. entre la cantidad de trabajo eficaz: BLt 186 . I Crecimiento Económico ⎡k ⎤ ⎡h ⎤ yt =⎢ t ⎥ ⎢ t ⎥ BLt ⎣ BLt ⎦ ⎣ BLt ⎦ α β yt = ktα kht β K(FPI ) La ecuación que se encuentra en el recuadro es la función de producción intensiva del sector del bien final. LE : Fuerza de trabajo destinada al sector educacional. α : Elasticidad producto respecto al capital físico. k α h β 1 ∂kt = 0 . B kE = k E : Capital físico por trabajador eficaz en el sector educacional.ktα ht β − (n + mL + δ K )kt Es una ecuación del proceso de acumulación del capital físico en el sector de producción de bienes finales. I 1−α − β YEt α β ( BLE ) = KE H E BLE BLE Crecimiento Económico α β YE KE HE = BLE ( BLE )α + β α β YE KE HE = BLE ( BLE )α ( BLE ) β ⎡K ⎤ ⎡H ⎤ YE =⎢ E ⎥ ⎢ E ⎥ BLE ⎣ BLE ⎦ ⎣ BLE ⎦ yt = ktα kht β K(FPI ) α β ⎡ k ⎤ ⎡ h ⎤ yE =⎢ E ⎥ ⎢ E ⎥ BLE ⎣ BLE ⎦ ⎣ BLE ⎦ α β La ecuación que se encuentra en el recuadro es la función de producción intensiva del sector del bien final. Equilibrio dinámico en el sector de producción de bienes finales En el crecimiento promocionado se llega cuando γ k = 0 Si la tasa de crecimiento es nula s .Cesar Antunez. B hE = hE : Capital humano por trabajador eficaz en el sector educacional. entonces K t t = (n + mL + δ K ) se kt ∂t kt determina el capital por trabajador eficaz ( kt* ) sK ht β kt = α n + mL + δ K kt ⎡ sK ht β ⎤ 1−α kt* = ⎢ ⎥ ⎣ n + mL + δ K ⎦ 1 187 .2 Ecuación dinámica del sector de producción del bien final De la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico tenemos: k t = sf (kt ) − (n + mL + δ )kt Se tiene yt = f (kt ) = ktα ht β K( FPI ) • • 0 < sK < 1 k t = sK .7. B 6. Sea yE = yE : Producto por trabajador eficaz en el sector educacional. k E hEβ − (n + mL + δ H )hE Es una ecuación del proceso de acumulación del capital humano en el sector educacional.ktα ht β − (n + mL + δ K )kt Entonces: sK .ktα ht β = (n + mL + δ K )kt 188 .k α h β 1 ∂ht = 0 . I 6.Cesar Antunez.3 Ecuación dinámica del sector educación Crecimiento Económico De la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico tenemos: h t = sf (ht ) − (n + mL + δ )ht α Se tiene yt = f (k E ) = k E hEβ K( FPI ) • • 0 < sH < 1 α h E = sK .ktα ht β − (n + mL + δ K )kt 2da Ecuación diferencial: h t = sK .7.ktα ht β − (n + mL + δ H )ht Encontrando la curva k t De la primera ecuación diferencial Si k t = 0 • • • • 0 = sK .3 Diagrama de fases Para analizar el diagrama de fases adecuadamente plantearemos. entonces K t t = (n + mL + δ H ) se ht ht ∂t determina el capital humano por trabajador eficaz ( ht* ) sK ht β h = tβ n + mL + δ H ht ⎡ sK ktα ⎤ 1− β kt* = ⎢ ⎥ ⎣ n + mL + δ H ⎦ 1 6.7. Equilibrio dinámico en el sector educacional En el crecimiento promocionado se llega cuando γ h = 0 Si la tasa de crecimiento es nula s . el sistema de ecuaciones diferenciales: 1er Ecuación diferencial: k t = sK . Encontrando la curva h t De la segunda ecuación diferencial Si h t = 0 • • • 0 = sH . Denotamos el movimiento de flecha hacia la derecha. entonces el capital crece k t > 0 .25].25]: Comportamiento de k = 0 • Si nos situamos por encima de la curva k t = 0 . con respecto a ht nos da el sentido de las flechas como veremos a continuación: • • • ∂kt = β .ktα ht β = (n + mL + δ K )ht 189 . denotando que el capital a medida que se acerca al origen decrece. diciéndonos que por debajo de la curva k t = 0 el capital decrece k t < 0 .0.sK ktα ht β −1 > 0 ∂ht Esta derivada nos quiere decir que a medida que aumenta el capital humano la secuencia de signos es creciente: {−. en este caso las flechas apuntaran hacia la izquierda. I Crecimiento Económico Gráfico [6. tenemos que la derivada de k t . las flechas apuntan así la izquierda. vemos que un pequeño movimiento de ht irá asociado a un crecimiento de k t > 0 : De la primera ecuación diferencial.ktα ht β − (n + mL + δ H )ht Entonces: sH . que se muestra en la parte superior de la página. por que el eje horizontal aparece kt y también por que a medida que nos ubiquemos más a la derecha el capital físico por trabajador crecerá.Cesar Antunez. De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva • • • • • k t = 0 .+} entonces concluimos por encima de la curva k t = 0 . como se puede visualizar en el gráfico [6. en este caso las flechas apuntaran hacia abajo.0. las flechas apuntan hacia abajo. que se muestra. donde lo primero que se puede apreciar.Cesar Antunez. diciéndonos que por debajo de la curva h t = 0 el capital humano decrece h t < 0 .27].+} entonces concluimos por encima de la curva. que el modelo converge en todos los p untos a un solo estado de crecimiento proporcionado. I Crecimiento Económico Gráfico [6. • h t = 0 entonces el capital humano crece h t > 0 . veremos que la grafico que se forma al juntar estos grafico tiene la siguiente forma. donde este equilibrio dinámico es estable en el tiempo. vemos que un pequeño movimiento de kt irá asociado a un crecimiento de h t = 0 .sK ktα −1ht β > 0 ∂kt Esta derivada nos quiere decir que a medida que aumenta el capital físico por trabajador la secuencia de signos es creciente: {−. como se puede apreciar en la grafico [6. donde todas las líneas convergen hacia un punto de equilibrio. • • • ∂ht = α . Denotamos el movimiento de flecha hacia arriba. como se puede visualizar en el gráfico [6. Por lo que el modelo en el largo plazo presenta un equilibrio aerodinámico estable. denotando que el capital humano a medida que se acerca al origen decrece. por que el eje vertical aparece ht y también por que a medida que nos ubiquemos más arriba el capital humano crecerá. De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por encima de la curva • • • • h t = 0 .26]. Análisis cuantitativo Después de haber unido los dos gráficos anteriores. • 190 .26]: Comportamiento de h = 0 • Si nos situamos por debajo de la curva h t = 0 . De la segunda ecuación diferencial tenemos que la derivada de h t con respecto a kt nos da el sentido de las flechas como veremos a continuación. como un elemento importante en el análisis del crecimiento económico. de lo que se deriva la importancia del conocimiento vinculado a nivel de creatividad y a desarrollo tecnológico en la definición de la política economica. Esta idea tiene que ver que los individuos mas calificados asimilaran más rápido los avances de la ciencia y la tecnología.27]: Equilibrio del Modelo de Crecimiento con Capital Humano 6. haciendo una extensión del modelo de Solow. I Crecimiento Económico Gráfico [6. El capital humano aumenta a través de las capacitaciones y de la educación. 6. (1 − u ) : Representa la parte del tiempo que una persona dedica a aprender habilidades. Los individuos de esta economía acumulan capital humano al dedicar un tiempo al aprendizaje de nuevas habilidades en lugar de trabajar. Existen sustitución entre capital físico y capital humano.8 Modelo de crecimiento con educación (Jones) Charles Jones (1990) formula un modelo de crecimiento modelo de crecimiento en países donde la frontera tecnológica esta lejos y se debe producir una transferencia para acortar la distancia y en el que considera la educación. Coexisten dos tipos de capitales. En este modelo de crecimiento endógeno aparece como el resultado de que los individuos aprenden a usar los bienes de capital mas avanzados en la frontera tecnológica. 191 .Cesar Antunez. u : Representa el tiempo que las personas dedican a la producción. Jones va elaborar este modelo de crecimiento desde un enfoque neoclásico. Dicha economía no tiene relación con el exterior. lo cual contribuye al desarrollo del país.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista sin sector público. La economía produce un solo bien.8. Función de producción agregada Jones de manera similar a Romer parte del hecho de que el país produce un articulo Yt . Jones considera que cualquier bien intermedio de capital se puede producir con una unidad β bruta de bienes de capital.Douglas común Yt = K tα [BH t ] . H t = eψ (1−1) Lt ⇒ H t = Lt Si aplicamos logaritmo a la ecuación (I) tenemos: Ln( H t ) = ψ (1 − u ) + Ln( Lt ) Derivando la ecuación anterior respecto a (1 − u ) obtenemos: ∂Ln( H t ) =ψ > 0 ∂ (1 − u ) Esto nos expresa. Yt = K tα [BH t ] K( FPA) s. aumenta H t por el porcentaje ψ . usando trabajo Lt . Ahora dividiendo la ecuación (I) entre la cantidad de trabajadores Ht = eψ (1− u ) Lt ht = eψ (1− u ) Esta ecuación expresa que el capital humano depende del tiempo. (1 − u ) a la educación. se desarrolla el capital humano como se expresa al reemplazar el valor en la ecuación (I). Formula una Cobb .Cesar Antunez. H t = eψ (1− 0 ) Lt ⇒ H t = eψ Lt Si por el contrario u = 1 entonces (1 − u ) = 0 . El desarrollo del aprendizaje de nuevas habilidades se logra destinando un tiempo. no habrá capital humano sino trabajo no calificado. que una aumento pequeño de (1 − u ) . Si u = 0 entonces (1 − u ) = 1 . como un supuesto acumulativo resultado del uso de tecnología. capital K t y utiliza bienes de capital y añade que el uso de estos bienes de capital esta limitado por el nivel de calificación de la fuerza laboral n . reemplazar el valor en la ecuación (I). en este caso asume la calificación ht .a : α + β = 1 β 192 . I Crecimiento Económico Análisis H t = eψ (1− u ) Lt K( I ) ψ > 0 : Es una constante positiva Esta ecuación representa las habilidades de aprendizaje de la mano de obra calificada y nos dice además que el capital humano se desarrolla a través de la educación. BH t : Stock de capital eficiente en el instante “t”. I Donde Yt : Producto agregado en el instante “t”. y BH t Yt / Lt y y = t = t = ~t y BH t / Lt Bht ht Kt ~ = kt : Representa el capital físico por unidad de capital humano eficiente. H t : Stock de capital humano en el instante “t”. B : Factor aumentativo de la eficiencia del trabajo. β : Elasticidad producto respecto al capital humano. α : Elasticidad producto respecto al capital físico. BH t / Lt Bht ht Nota: El superíndice “~”denota la variable por unidad de capital humano eficiente 6. Para hallar la producción agregada en términos per cápita vamos a dividir la (FPA) entre el capital humano eficiente.Cesar Antunez.2 Ecuación fundamental De la ecuación fundamental de Solow – Swan con progreso tecnológico ~ ∂kt ~ ~ = sf (kt ) − (n + mL + δ )kt ∂t ~ Se tiene: ~t = ktα y ~ ∂kt ~α ~ = skt − (n + mL + δ )kt . Crecimiento Económico K t : Stock de capital agregado en el instante “t”. BH t K t / Lt k k ~ = t = t = kt .8. ⎡ BH t ⎤ Yt = K tα ⎢ ⎥ BH t ⎣ BH t ⎦ β −1 Yt K tα = BH t (BH t )1− β =α ~ ~ = k α K( FPI ) yt t ⎡K ⎤ Yt =⎢ t ⎥ BH t ⎣ BH t ⎦ α Donde Yt = ~t : Representa el producto por unidad de capital eficiente. la ecuación fundamental de Jones ∂t 193 . también como se aprecia en la grafico [6.Cesar Antunez. Crecimiento proporcionado El crecimiento proporcionado en un estado dinámico se alcanza cuando Si ~ ∂kt ~α ~ = 0 entonces skt = (n + mL + δ )kt . I Crecimiento Económico Es una ecuación dinámica del proceso de acumulación de capital físico y humano en una economía capitalista. ~ ∂kt . ∂t ⎡ ⎤ 1− α s ~ kt ∗ = ⎢ ⎥ ⎣ n + mL + δ ⎦ Gráfico [6.28]. ~ ⎤ 1−α s ~∗ = ⎡ yt ⎢ ⎥ ⎣ n + mL + δ ⎦ α Versión de Barro Dividiendo la ecuación fundamental de Jones entre kt ~ 194 . se determina el capital físico por unidad de capital ∂t ~ humano eficiente ( kt* ) como se aprecia en el gráfico [6.28]: El diagrama de Jones y la función de producción 1 Al sustituir kt* en la función de producción intensiva (FPI) se encuentra el valor de estado proporcional del producto por unidad de capital eficiente. donde skt = (n + mL + δ )kt .28] donde el equilibrio se encuentra ~α ~ en el punto Et . es nulo. por consiguiente la economía comenzara una profundización del capital físico por unidad de capital humano eficiente.30] donde se aprecia que la tasa de crecimiento converge a un punto en el largo plazo. Rpt: ~ ~ El aumento de la tasa de ahorro desplaza en forma ascendente la curva sk 0 ktα a sk 1ktα . Gráfico [6.30]. Por lo que la economía se encuentra ahora con mayor capital y por ende un mayor per capita por trabajador eficiente. ~ ~ ~ ~ 195 . por lo que la inversión por trabajador eficiente excede a la cantidad necesaria para mantener constante el capital físico por unidad de capital humano eficientes. como se kt aprecia en el gráfico [6.Cesar Antunez.29]: Dinámica de transmisión Problema Analicemos el impacto de un aumento permanente de la tasa de ahorro que se destina al sector de producción de bien final. I Crecimiento Económico ~ ~ kt α 1 ∂kt = s ~ − (n + mL + δ ) ~ kt ∂t kt t ~ γ k = s ~ − (n + mL + δ ) k t ~ Si γ k = 0 entonces la curva de ahorro y depreciación se cortan en el punto donde: ~ kα ~ kt α s ~ = (n + mL + δ ) determina el equilibrio dinámico del modelo en el punto Et . como se puede apreciar en la gráfico [6. ~ Esta profundización continuara hasta llegar al punto Et donde sk 1ktα = (n + mL + δ )kt y la existencia de capital físico por unidad de capital humano eficiente llega a un valor más alto ~ que es k1 . de esta manera esta economía pasa a tener ~ un mayor kt* .9 Modelo de crecimiento con educación (Uzawa) Este es un modelo pionero y antecedente al modelo de Lucas.Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Gráfico [6. donde su tasa de crecimiento de largo plazo es ~ constante y nula γ kLP = 0 .30]: Aumento permanente de la tasa de ahorro En la versión de Barro.30] donde el aumento de la tasa de ahorro.30]. plantea el rol de la educación como influye en el crecimiento. como se puede apreciar en la parte inferior de la grafico [6. donde el nuevo proporcionado es el punto E1 . En Uzawa (1965) se presentan las ideas básicas que permiten introducir el capital humano como potenciador del capital y como factor de su propia reproducción y crecimiento 196 . 6. eleva a la economía a obtener una mayor tasa de CP ~ crecimiento en el corto plazo positiva γ k > 0 esto ocurre hasta que la economía llegue al estado de crecimiento proporcionado. que se puede apreciar en la parte inferior de la grafico [6. 6. BL p )K (Función de producción del bien final) Donde Yt : Producto del bien fina en el instante “t”. L p : Representa el trabajo productivo.Cesar Antunez. La economía no tiene relación con el exterior. o Trabajo educacional LE . Crecimiento Económico Sea el ahorro para la acumulación de capital físico es una proporción del ingreso nacional.9. K t : Stock de capital físico del sector del bien final en el instante “t”. I 6.9. donde: u = Lp L Sea (1 − u ) . Yt = F ( K t . es aquel trabajo que se destina al sector educacional.uLt )K( II ) B : Factor aumentativo de la eficiencia del trabajo con las propiedades: 197 . Sea u .1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista que tiene dos sectores: o Un sector de producción del bien final. La fuerza de trabajo crece a una tasa constante: n La función de producción es neoclásica. una fracción de la fuerza de trabajo que se destina al trabajo productivo ( L p ). depende del trabajo educacional mL = φ (1 − u ) . una fracción de la fuerza de trabajo que se destina al trabajo educacional: (1 − u ) = LE L Se tiene dos tipos de trabajo: o Trabajo productivo L p . o En sector educacional. La tasa del progreso tecnológico mL .2 Sector de producción del bien final La función de este sector esta representada por la siguiente ecuación: Yt = F ( K t . es aquel trabajo que se destina a la producción del bien final. Sabemos que u = Lp L ⇒ L p = uL K(I ) Reemplazando la ecuación (I) en la función de producción del bien final. B. BLp : Trabajo productivo eficiente en el instante “t”. uLt ) Sabemos que el trabajo productivo eficiente esta expresado como: Yt K = F ( t .1) u u ˆ yt = f (kt )K (FPI del trabajo productivo eficiente) ˆ Donde yt = ˆ Yt : Producto por unidad de trabajo productivo eficiente. BuLt Kt k k ˆ = t = t = kt BuLt Bu u 6. BuLt Yt y y = t = t = yt ˆ BuLt Bu u Kt ˆ kt = : Capital por unidad de trabajo eficiente.Cesar Antunez.10.1) Bu Bu yt k = f ( t . BLp ) Pero se sabe que el tiempo dedicado para la producción es L p = uL Reemplazando el tiempo dedicado para la producir en la función de producción Yt = F ( K t .1) BuLt BuLt yt k = f ( t .3 Sector educación Uzawa para este sector plantea la siguiente función: YE = BLE K (FPA del sector educacional) Sabemos por el supuesto que: (1 − u ) = LE ⇒ LE = (1 − u ) L K( III ) L Reemplazando la ecuación (III) en la función de producción del sector educacional YE = B (1 − u ) L En el modelo de Uzawa el progreso tecnológico es endógeno mL = φ (1 − u ) • • B mL = = g B B B mL = = φ (1 − u ) B 198 . I Si t = 0 entonces B (t = 0) = 1 Si t > 0 entonces B(t ) > 1 Crecimiento Económico ⇔ B(t ) > 0 • Función de producción intensiva del bien final Yt = F ( K t . BuLt yE = ˆ 199 . aumentara la educación y con ello se elevara la productividad de los trabajadores. BuLt K ˆ k E = E : La razón del capital educacional respecto al trabajo productivo eficiente. I Crecimiento Económico Con el aumento de la fracción de trabajo que se destina a la educación.Cesar Antunez. Ecuación diferencial en el sector producción del bien final De la ecuación fundamental de Solow-Swan con progreso tecnológico k t = sf (kt ) − (n + mL + δ )kt • ˆ Se tiene que yt = f (kt ) ˆ ˆ Reemplazando la variable kt en la ecuación y la tasa de depreciación del capital δ K ⎛ Kt ∂ ⎡ Kt ⎤ ⎢ ⎥ = sK f ⎜ ⎜ BuL ∂t ⎣ BuLt ⎦ t ⎝ ⎞ K ⎟ − ( n + mL + δ ) t ⎟ BuLt ⎠ ∂ ⎡ kt ⎤ kt ⎛ kt ⎞ ⎢ Bu ⎥ = sK f ⎜ Bu ⎟ − (n + mL + δ ) Bu ∂t ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ˆ ∂kt ˆ ˆ = sK f (kt ) − (n + mL + δ )kt ∂t Función de producción intensiva del sector educacional YE = BLE Pero se sabe que el tiempo dedicado para la educación es LE = (1 − u ) Lt Reemplazando el tiempo dedicado para producir en la función de producción YE = B(1 − u ) Lt Dividiendo a la función de producción entre el trabajo productivo eficiente tenemos: YE B(1 − u ) Lt = BuLt BuLt yE (1 − u ) = Bu u yE 1 − u = u u ⎛1− u ⎞ yE = ⎜ ⎟K (FPI del sector educacional) ˆ ⎝ u ⎠ Donde YE : La razón del producto educacional respecto al trabajo productivo eficiente. por que la tecnología es un bien publico accesible de manera idéntica a todas las naciones. además genera un proceso de crecimiento endógeno. con el fin de obtener capacidades que le permitan mejorar su capacidad productiva. Journal of Monetary Economics (El periódico de Economía Monetaria) . desarrollado anteriormente. Esas capacidades pueden ser diversas: salud. por este y otros trabajo Lucas gano el Premio Nobel de Economía en 1995.10 Modelo de acumulación de capital humano (Lucas) En esta sección introduciremos el capital humano en un modelo de crecimiento como plantea Lucas (1988). los alumnos son formados por los profesores y aquellos utilizan sus conocimientos presentes para adquirir nuevos conocimientos. sino también por el impacto sobre la salud y alimentación. Siendo del saber. Este modelo desarrollo es el pilar sobre el que descansan las nuevas teorías del crecimiento y en especial la contribución del capital humano al crecimiento económico de acuerdo con las teorías del crecimiento endógeno. además. fuerza física. ni que ambos eran producidos con la misma tecnología.51 49 Estas nota han sido desarrollado en base al articulo de Robert Lucas (1988) “On the Mechanics of Development Planning'' (En las Mecánicas de Planificación de Desarrollo). y mostraremos que el crecimiento en forma sostenida del capital humano es suficiente para tener un crecimiento económico sostenido.Cesar Antunez. etc. 50 Por lo que el capital humano puede ser definido como la suma de las capacidades habiendo una eficiencia productiva incorporada a los individuos o a las colectividades. La decisión de invertir en la educación se basa sobre una comparación entre los costos de la enseñanza (ingresos. se diferencia por que no considera al capital humano y físico igual (bienes similares). no solo por la incorporación de habilidades y capacidades para el trabajo. como nos muestra Lucas en “On the Mechanics of Development Planning'' (En las Mecánicas de Planificación de Desarrollo). gastos de escolaridad.50 Robert Lucas nos dice que un individuo dedica muchos anos de su vida a la escuela. 3-42. de ser de información del saber (como la tecnología) y del otro lado. I Ecuación diferencial en el sector educación Como el progreso tecnológico es endógeno tenemos: • Crecimiento Económico Bt mL = = φ (1 − u ) Bt B t = Btφ (1 − u ) • 6. En Uzawa (1965) y Lucas (1988) se presentan las ideas básicas que permiten introducir el capital humano como potenciador del capital y como factor de su propia reproducción y crecimiento. sino considera el capital físico y el capital humano son bienes distintos y que son producidos con tecnología distinta. útiles.49 En este modelo a diferencia del modelo AZ. Esto hace que el capital humano se aparenta al conocimiento técnico y las reglas de acumulación con rendimientos de escala dinámicas le pueden ser aplicadas. pasajes. la capacidad productiva de los individuos aumenta con su educación. no puede explicar las diferencias internacionales de nivel y de la tasa de crecimiento del ingreso 200 . pp. que incrementa la productividad laboral. Por lo que considerar la escolaridad como una decisión de inversión para aumentar el capital humano de una persona. conocimientos generales o técnicos 51 Lucas privilegia al capital humano sobre la tecnología como factor de crecimiento. La doble característica del capital humano nos dice: De un lado.) y las ventajas futuras de una escolaridad mas avanzada. de ser apropiable por los individuos (como el capital físico). es producido esencialmente consigo mismo. α : Elasticidad producto respecto al capital físico.10.Cesar Antunez. H p : Stock de capital humano que opera en el sector del bien final. La fuerza de trabajo crece a una tasa constante y exógena. K t : Stock de capital físico que opera en el sector del bien final en el instante “t”. La acumulación de capital físico ocurre como la detracción del consumo 6. n La acumulación de capital físico ocurre como la detracción del consumo.2 Sector de producción del bien final Asume una función de producción Cobb-Douglas Yt = AK t H α 1−α p Donde Yt : Voluta de producción del sector del bien final en el instante “t”.L1−α t t 201 . u= Hp Ht ⇒ H p = uH t K(I ) Reemplazando la ecuación (I) en la función de producción del bien final. H t : Stock de capital humano en el instante “t”. I 6. A : Índice del nivel de tecnología en el sector de producción del bien final.10. Yt AKtα u1−α H t1−α = Lt Lt Usando el artificio: Lt = Lα . pasa remos a dividir la función de producción de bien final entre el total de trabajadores ( Lt ) de a economía.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista que tiene dos sectores: Existen dos tipos de capital: Crecimiento Económico El stock de capital físico se deprecia a una tasa constante y exógena: δ K El stock de capital humano se deprecia a una tasa constante y exógena: δ H Toda la población trabaja en esta economía. 1 − α : Elasticidad producto respecto al capital humano. Sea u : Representa la fracción de capital humano que labora en el sector de producción del bien final. tenemos: Yt = AK tα (uH t )1−α Para expresar esta función en términos per cápita y así halla la función de producción intensiva. es el remanente del producto respecto al consumo y respecto a la inversión en reposición. Sea (1 − u ) : La fracción de capital humano que labora en el sector educacional. H E : Stock de capital humano que opera en el sector educacional.3 Sector educacional Asume por simplicidad que este sector no usa capital físico sino solo capital humano y formula la siguiente función de producción. 202 . • YE = BH E Donde YE : Volumen en el sector educacional.10.Cesar Antunez. Ecuación Diferencial del sector de producción del bien final De la condición de equilibrio macroeconómico • Yt = Ct + I b Dividiendo a la condición macroeconómica entre el total de trabajadores Lt para hallar la ecuación en términos per cápita. B : Índice del nivel de tecnología en el sector educacional. I Crecimiento Económico Yt K tα H 1− α = A α u1−α t Lt Lt Lt yt = Aktα u1−α ht1−α K( FPI ) Ecuación de acumulación de capital físico De la condición de equilibrio macroeconómico Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K ⇒ Yt = Ct + K t + δ K K t • • Resolviendo la ecuación para K t y reemplazando en la función de producción K t = AK tα u1−α H t1−α − Ct − δ K K t Esta ecuación de acumulación de capital físico neto. Yt Ct I b = + Lt Lt Lt • ⇒ Kt yt = ct + + δkt Lt • yt = ct + k t + (n + δ )kt • Resolviendo la ecuación para k t y reemplazando la (FPI) k t = Aktα u1−α ht1−α − ct − (n + δ )kt 6. reemplazando obtenemos: b n rep YH = I H ⇒ BH E = I H + I H B (1 − u ) H t = H t + δ H H t • Resolviendo para H t obtenemos: • H t = B(1 − u ) H t − δ H H t Esta ecuación del proceso de acumulación neta de capital humano y esto va indicar que la tasa de cambio de capital humano es igual al remanente del producto educacional respecto a la acumulación en reposición del capital humano. Reemplazando el stock de capital humano que opera en el sector educacional en la función del sector educacional tenemos: YE = B(1 − u ) H t Para hallar la función de producción intensiva vamos a dividir entre la cantidad de trabajadores a la ecuación a la nueva función de producción obtenida tenemos: YE H = B(1 − u ) t Lt Ltt yE = B(1 − u ) H t K( FPI ) Ecuación diferencial del sector educacional De la condición de equilibrio macroeconómico b YH = CH + I H Pero como sabemos que en capital no tiene consumo CH = 0 .Cesar Antunez. donde H E es una fracción (1 − u ) de capital humano. I Crecimiento Económico (1 − u ) = HE Ht ⇒ H E = (1 − u ) H t El capital humano que opera en el sector educacional es una fracción que operar en el sector educacional. Sistema de Ecuaciones Diferenciales De la condición macroeconómica tenemos: b n rep YE = I H ⇒ BH E = I H + I H • B (1 − u ) H t = H t + δ H H t • Dividiendo la ecuación anterior entre el numero de trabajadores • • H Ht H + δH t B (1 − u ) t = Lt Lt Lt B (1 − u )ht = ht + (n + δ H )ht • ⇒ Ht B (1 − u )ht = + δ H ht Lt Resolviendo para h t . obtenemos: • 203 . e Máx : J = ∫ ⎜ t dt K (Función objetivo) ⎟ ⎜ 0 ⎝ 1−θ ⎠ k t = Aktα u1−α ht1−α − ct − (n + δ )kt s. ∞ ⎛ c1−θ − 1 ⎞ − ( ρ − n ) t ⎟. Sistema de Ecuaciones Diferenciales 1er Ecuación diferencial: k t = Aktα u1−α ht1−α − ct − (n + δ )kt 2da Ecuación diferencial: ht = B (1 − u )ht − (n + δ H )ht Para simplificar el análisis se supone que las tasas de depreciación de los tipos de capital son iguales δ K = δ H = δ . que las familias productoras va elegir. 6.10.e Máx : J = ∫ ⎜ dt ⎜ ⎟ 0 ⎝ 1−θ ⎠ Luego el planteamiento del problema será.a : • ∞ h t = B (1 − u )ht − (n + δ H )ht • k (0) = k0 ∧ h(0) = h0 K (Estado inicial de capital físico y humano) k0 ≥ 0 ∧ h0 ≥ 0 0 ≤ u ≤1 Donde ⎧ct Variable − de − control : ⎨ ⎩ut ⎧kt Variable − de − estado : ⎨ ⎩ht ⎧λt Variable − de − coestado : ⎨ ⎩vt 204 .Cesar Antunez.4 Planteamiento del problema Lucas asume que las familias productoras tienen la siguiente utilidad. la misma que maximizan. I Crecimiento Económico ht = B (1 − u )ht − (n + δ H )ht Esta ecuación representa el proceso de acumulación del capital humano. aquella trayectoria de consumo y aquella fracción que le permite maximizar su fracción de bienestar a través del tiempo y sujeto a las condiciones de movimiento de la condición inicial. • • • ⎛ ct1−θ − 1 ⎞ − ( ρ − n ) t ⎟. t ) Crecimiento Económico ⎛ ct1−θ − 1 ⎞ −( ρ − n ) t ⎟ H= ⎜ + λt Ak tα u 1−α ht1−α − ct − (n + δ )k t + vt [B (1 − u )ht − (n + δ H )ht ] ⎜ 1 − θ ⎟. vt .Cesar Antunez. kt . ht .ct−θ + λt (−1) = 0 ∂ct ∂H ∂U ∂λt ∂vt ≡ + + =0 ∂ut ∂ut ∂ut ∂ut ∂H = λt (1 − α ) Aktα u −α ht1−α − Bvt ht = 0K( II ) ∂ut Bvt ht uα K( II ′) λt = (1 − α ) Aktα ht1−α b) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a las variables de estado e imponiendo las condiciones del negativo de la derivada de los multiplicadores con respecto al tiempo.e ⎝ ⎠ [ ] Condición de Primer Orden (CIO) a) Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de las variables de control e imponiendo la condición igual a cero. λt . ∂H ∂U ∂λt ∂vt ≡ + + =0 ∂ct ∂ct ∂ct ∂ct ∂H = e − ( ρ − n ) t .ct−θ = λt K( I ) λt [αAktα −1u1−α ht1−α − (n + δ )] = − λ t K( III ) • [αAk • ∂H = − vt ∂ht α −1 1−α 1−α t u ht λt − (n + δ )] = − K( IV ) λt • • λt [(1 − α ) Aktα u1−α ht−α ] + vt [B(1 − u ) − (n + δ )] = − v t K(V ) c) Tomando la derivada con respecto al multiplicadores lagrangiano tenemos: ∂H • = kt ∂λt ∂H • = vt ∂vt Aktα u1−α ht1−α − ct − (n + δ )kt = k t K(VI ) • B (1 − u )ht − (n + δ )ht = ht K(VII ) • 205 . I Planteamiento de la función Hamiltoniana tenemos: H ≡ H (ct . ut . • ∂H = −λt ∂kt e − ( ρ − n ) t . 1+θ < 0 2 ∂ct e ct <0 x 0< Esta condición nos asegura un máximo. (1 / ∞) ≈ 0 1⎛ 1 ⎞ Lím λt = θ ⎜ ( ρ − n ) ∞ ⎟ = 0 t →∞ ct ⎝ e ⎠ Lím vt ht = 0 t →∞ Lím λt = 0 t →∞ Lím vt = 0 t →∞ Reemplazando ( II ′ ) en (V) tenemos: • Bvt ht uα (1 − α ) Aktα u1−α ht−α + vt [B(1 − u ) − (n + δ )] = − v t K(VIII ) A(1 − α )ht1−α ktα [ ] Operando y simplificando obtenemos • vt B − (n + δ ) = − K( IX ) vt De la ecuación (I) aplicaremos logaritmo − ( ρ − n)t − θLnct = Lnλt K( I ′) Tomando la derivada con respecto al tiempo y multiplicando por -1 a la ecuación ( I ′ ) ∂[( ρ − n)t ] ∂[Ln(λt )] ∂[Ln(ct )] =− +θ ∂t ∂t ∂t λt ct ( ρ − n) + θ = − ct λt ( ρ − n) + θγ c = −γ λ K( X ) • • 206 . I Condición de Segundo Orden (CIIO) Crecimiento Económico ∂2H 1 1 = −θ ( ρ − n ) t . ∂2H = −α (1 − α )λt Au − (1+α ) ht1−α ktα < 0 2 ∂ut <0 x 0< Condición de Transversalidad Lím λt kt = 0 t →∞ Esto quiere decir que λt = 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt = 0 (el stock de capital en el momento que muere).Cesar Antunez. Y sabemos que la tasa de crecimiento de u debe ser cero por que es una fracción. Reemplazando la ecuación (IV) en la ecuación (X) * ( ρ − n) + θ .γ c = αAktα −1u1−α ht1−α − (n + δ ) Operando tenemos: * ( ρ − δ ) + θ .γ c = ktα −1ht1−α K( XI ) αAu1−α Lucas nos dice que en el estado proporcionado todas las variables crecen a la misma tasa constante. Tomando logaritmo a la ecuación (XI) * ⎡ ( ρ − δ ) + θ . que la tasa de crecimiento del consumo depende del producto marginal del capital físico menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal entre la utilidad marginal del consumo. Como se aprecia en la ecuación donde el producto marginal de capital físico depende del capital humano y de la fracción que utiliza el sector final.γ c ⎤ Ln ⎢ ⎥ = (α − 1) Ln(kt ) + (1 − α ) Ln(ht ) * 1− α ⎣ αA(u ) ⎦ Derivando con respecto al tiempo a la ecuación anterior obtenemos: * d ⎛ ⎡ ( ρ − δ ) + θ .γ c ⎤ ⎞ d d ⎜ Ln ⎢ ⎥ ⎟ = (α − 1) Ln(kt ) + (1 − α ) Ln(ht ) * 1−α ⎜ ⎟ dt ⎝ ⎣ αA(u ) dt dt ⎦⎠ • • 0 = kt (α − 1) kt ht − (α − 1) ht * * 0 = (α − 1)γ k − (α − 1)γ h * * γh = γk Esto demuestra que la tasa de crecimiento del capital físico es igual a la tasa de crecimiento del capital humano.Cesar Antunez. Dividiendo entre kt a la ecuación de movimiento de capital físico 207 . I Crecimiento Económico γ c∗ = 1 θ [− γ λ − ( ρ − n)] Reemplazando la ecuación (IV) en la ecuación (X) y despejando la tasa de crecimiento del consumo γ c∗ = [αAk θ 1 α −1 1−α 1−α t u ht − ( n + δ ) − ( ρ − n) ] γ c∗ = [αAk θ 1 α −1 1−α 1−α t u ht − (ρ + δ ) ] Esta ecuación de la tasa de crecimiento del consumo nos quiere decir. De la función de producción intensiva del bien final se tiene: yt = Aktα u1−α ht1−α K( FPI ) Aplicando logaritmo a la función intensiva de bienes finales Ln( yt ) = Ln( A) + αLn(kt ) + (1 − α ) Ln(u ) + (1 − α ) Ln(ht ) Aplicando una derivada temporal a la expresión anterior d [Ln( yt )] = d [Ln( A)] + α d [Ln(kt )] + (1 − α ) d [Ln(u )] + (1 − α ) d [Ln(ht )] dt dt dt dt dt γ y = αγ y + (1 − α )γ u + (1 − α )γ h ∗ Recordemos que en el estado de crecimiento proporcionado γ u = 0 y ∗ γ k∗ = γ h . ∗ γ ∗ = γ h = γ c∗ = γ ∗ j y 208 . I k t Aktα u1−α ht1−α ct = − − (δ + n) kt kt kt Aplicando logaritmo a la ecuación anterior • Crecimiento Económico ct Aktα u1−α ht1−α kt = − (δ + n) − kt kt kt • Ln(ct ) − Ln( kt ) = Ln A(u * )1−α [ ] ⎡⎛ h + Ln ⎢⎜ t ⎜ ⎢⎝ kt ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ∗ 1−α ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ − Ln(δ + n) − Ln(γ k ) * Como en el estado de crecimiento proporcionado las tasa de crecimiento son constantes. Derivando a la ecuación anterior por el tiempo d [Ln(ct )] − d [Ln(kt )] = 0 + 0 − 0 − 0 dt dt * γ c* = γ k = 0 ∗ γ c∗ = γ k Esto demuestra que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento del capital físico. reemplazando en la expresión anterior tenemos: * * γ ∗ = αγ h + (1 − α )0 + (1 − α )γ h y * * * γ ∗ = αγ h + γ h − αγ h y * γ * = γh y * * γ ∗ = αγ h + (1 − α )0 + (1 − α )γ h y Esto demuestra que la tasa de crecimiento del producto es igual a la tasa de crecimiento del capital humano. Por lo que Lucas llego a la conclusión que todas las tasa de crecimiento son iguales y constante.Cesar Antunez. dLn(λt ) dLn(vt ) d ⎡ ⎛ Bht*u * − = ⎢ Ln⎜ dt dt dt ⎢ ⎜ (1 − α ) A(u * )1−α (ht* )1−α ⎣ ⎝ ∗ γ λ − γ v* = 0 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎥ ⎦ λ t vt − =0 λt λt • • ∗ γ λ = γ v* ∗ ∗ Como se demostró que γ λ = γ v . la tasa de crecimiento de t u debe ser cero por que es una fracción. igualando la ecuación (IV) con la ecuación (X) * B − (n + δ ) = ( ρ − n) + θ . λt Bht*u * = vt (1 − α ) A(u * )1−α (ht* )1−α ⎛ ⎛ λt ⎞ Bht*u * Ln⎜ ⎟ = Ln⎜ ⎜ (1 − α ) A(u * )1−α (h* )1−α ⎜v ⎟ t ⎝ ⎝ t⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Derivado con respecto al tiempo y recortado que el estado de crecimiento proporcionado todas las variables crece a un ritmo constante. I Crecimiento Económico De la condición de primer orden (ecuación (II)) multiplicando por ut ⎛ ∂H ⎞ ⎜ ⎟u = 0 ⎝ ∂t ⎠ λt [(1 − α ) Au1−α ht1−α ] − Bht uvt = 0 En el estado de crecimiento proporcionado. la regla de Ramsey – Keynes 209 .γ c γ c∗ = B − (ρ + δ ) θ Igualando la ecuación (X) con la ecuación (IV) ( ρ − n) + θγ = ∗ c − λt • λt = αAktα −1u1−α ht1−α − (n + δ ) Operando se obtiene: γ c∗ = Pmgk − ( ρ + δ ) θ Se asume competencia perfecta en los mercados de bienes y factores Del mercado de capital físico se tiene: Pmgk = R ⇒ Pmgk = r + δ R = r +δ Reemplazando el producto marginal del capital físico en la expresión de la tasa de crecimiento del consumo se tiene: γ c∗ = r + δ − (ρ + δ ) θ γ c∗ = r −δ θ .Cesar Antunez. de manera mas adecua da. excluir su uso requiere de cualquier medio tecnológico para prevenir acceso al bien o un sistema legal que evite que otros puedan usar el insumo aunque tecnológicamente sea posible usarlo. nos dice que la no rivalidad del conocimiento es producida solamente por sus efectos secundarios en algunas otras actividades. Existen algunos bienes intangibles como los diseños. Por el contrario. El progreso tecnológico es aumentativo de la eficiencia del trabajo. el objetivo consiste en proporcionar un marco teórico que explique y permita modelar. tomando su precio como dado. Romer (1989). En cambio Arrow (1962). El conocimiento es una externalidad. I Crecimiento Económico La regla de Keynes-Ramsey. el tipo de cambio tecnológico al que se enfrentan las economías en la actualidad en donde el elemento desconocimiento es fundamental. Se considera al conocimiento como en bien publico. que frecuénteme solo son parcialmente excluibles. pero el capital nuevo no es mejor que el anterior. En esta economía toda la población trabaja. a lo largo de la senda optima pequeñas modificaciones en el consumo que impliquen un ahorro hoy para una mejora en el futuro no conllevan aumento de bienestar social.11. Dichas empresas producen un solo bien. Análisis En este modelo. las empresas no toman decisiones y se considera que todas son iguales. La acumulación del capital físico es vía decremento del consumo. por otra parte los rendimientos decrecientes a escala del capital hacen que cualquier posible aumento en el crecimiento en el corto plazo.1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista donde existen numerosas empresas. El alcance de rivalidad de un bien esta totalmente determinado por la tecnología y por las instituciones de una economía particular.52 6. así si un bien es no rival. El stock de capital se deprecia a una tasa constante δ. Los nuevos bienes de capital son inventados en cada periodo. lo que se supone que hace más eficaz la producción. son atributos fundamentales.Cesar Antunez. ya sea para su uso en la producción o el consumo. obtenido por alguna política de ahorro e inversión desaparezca en el largo plazo (Blanchard y Fischer 1898). De esta forma el capital no se hace obsoleto cuando envejece –una consecuencia que niega el hecho obvio de que las viejas tecnologías son continuamente sustituidas por otras nuevas. 6. introducen formas de conocimiento que son parcialmente excluibles y rivales y parcialmente no excluibles y no rivales. destaca que el grado en que un bien económico es excluyente y rival. nos quiere decir que. El conocimiento es un subproducto de la experiencia y el aprendizaje. 52 210 . producen el mismo y único bien. Es simplemente diferente y amplio el menú de aportaciones disponibles. Romer (1986) y Lucas (1988). Paul Romer (1990). el modelo de Romer es un modelo de generaciones de capital. plante que el conocimiento es el resultado de la inversión.11 Modelo de Aprendizaje y Derrame de conocimiento Uno de los pioneros de los nuevos modelos de crecimiento endógeno. en el sentido de que un mismo diseño puede ser utilizado simultáneamente en muchos procesos productivos. B : Representa al conocimiento que es la inversión bruta acumulada. 211 . K t : Stock de capital agregado en el instante t.Cesar Antunez. donde se demuestra que el conocimiento es una externalidad positivo. quedara expresado como: • • B = ∫ Idt = κ t 0 ∞ Esto quiere decir que en momento t. Nos dice que el “aprendizaje en la practica”. Que el stock de conocimiento de la economía crecerá de forma paralela a la cantidad total de inversión. es en buena medida del aumento de la experiencia era la inversión. por lo que el aprendizaje recibe constantemente nuevos estímulos. exactamente en la parte 4.2. Función de producción agregada Si sumamos la producción de todas las empresas entones la función de producción agregada será de tipo Cobb-Douglas y tendrá la siguiente forma: Yt = K tα (BLt ) s. kt : Representa el stock de capital de la i-exima empresa. Arrow (1962) nos dice que el conocimiento de la empresa estaba vinculada a la experiencia y nos pone de ejemplo la industria aeronáutica. el conocimiento es proporcional al stock de capital Reemplazando B . de modo que B = κ t . lt : Representa la fuerza de trabajo del i-exima trabajador. debido a que la empresa añade nuevas maquinas. yt : Representa la producción de la i-exima empresa. I Crecimiento Económico Y = ∑ yt t =1 M Y = Myt K = ∑ kt t =1 M M K = Mkt L = ∑ lt t =1 L = Mlt Donde M : Representa el número de empresas. El desbordamiento de conocimiento nos quiere decir. en la función de producción agregada. En un Capítulo IV de este libro.a : 0 < α < 1 1−α Donde Yt : Producción agregada de la i-exima empresa en el instante “t”. si integramos a la inversión bruta acumulada desde el principio de los tiempos hasta el presente. λLt ) = (λK t )α (λLt )1−α κ tη F (λK t . puede existir otras externalidades están unidas a los niveles de inversión. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ∞) ≈ 0 Lím PmgK = α K →∞ 1 K 1−α t .) se produce por causas ajenas a la propia economía. Por el contrario. ∂ 2Yt ∂PmgK = = α (α − 1) K tα − 2 L1−α κ tη < 0 t ∂K t2 ∂K t + + Recordemos 0 < α < 1 . se en caso.No1#. F (K t . ∂Yt = PmgK = αK tα −1L1−α κ tη > 0 t ∂K t + + ∂Yt = PmgL = (1 − α ) K tα L−α κ tη > 0 t ∂Lt + + La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa. λLt ) = λ. ∂ 2Yt ∂PmgL = = (− α )(1 − α ) K tα L− (1+α )κ tη > 0 t ∂L2 ∂Lt tt . Los productos marginales del capital y trabajo son positivos. ralentizar) la velocidad de generación del conocimiento. etc. Institutos de Investigaciones Económicas y Sociales <<Francisco de Victoria>>. (2003) "Una Síntesis de las aproximaciones Neoclásica y evolutiva al Crecimiento Endógeno". sobre todo. entonces 0 < α < 1K − 1 ⇒ −1 < α − 1 < 0 es una constante negativa. difusión en el conjunto de la economía (si bien.κ tη L1−α = 0 t (1 / 0) ≈ ∞ Grupo de Economía Dinámica.Yt La función presenta rendimientos de escala constante cuando κ t permanece constante 2º. entonces 0 < α < 1K x − 1 ⇒ −1 < −α < 0K + 1 es una constante positiva 0 < 1 − α < 1 . Pág.+ + Recordemos que 0 < α < 1 . Lt ) = K tα L1−α κ tη t Si multiplicamos a la función por un λ > 0 F (λK t . I Crecimiento Económico Yt = K tα κ t1−α L1−α K( FPA) t A nuestros juicios un elemento fundamental ligado por lo general al conocimiento: La introducción de externalidades positivas asociadas a su generación y.Cesar Antunez. en los modelos endógenos los agentes económicos tienen la capacidad de potenciar (o.53 Propiedades de la función agregada 1º.:12 53 212 . 3º. el capital se va formando a partir de una dotación inicial del mismo gracias al ahorro generado en la economía.κ tη L1−α = ∞ t K →0 K t1−α (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgL = (1 − α ) K tα κ tη α = 0 L→∞ Lt (1 /) ≈ ∞ 1 Lím PmgL = (1 − α ) K tα κ tη α = ∞ L →0 Lt Ahora demostraremos que la funciona obtenida cumple con las propiedades Neoclásicas para esto deberemos asumir que 0 < α < 1 .11. 98. Yt K tα L1-α = α κ t1−α 1t-α Lt Lt Lt 6. siendo δ ≥ 0 la depreciación del capital. Este ahorro se destina completamente a inversión: En términos macroeconómicos. Paul.Cesar Antunez. 5. la inversión suele definirse de modo habitual I b = K t = Yt − Ct − δK t . S71 -S102 213 .M (1990) "Endogenous Technological Change".2 yt = ktα κ t1−α K( FPI ) Ecuación Dinámica fundamental Partiendo de la condición macroeconómica Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K Según la terminología de Paul Romer (1990).54 • Yt = Ct + K t + αK t Dividiendo a la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de esta economía • • • Yt Ct K t K Kt = + + δ t ⇒ yt = ct + + δkt K(Ω) Lt Lt Lt Lt Lt K dk d (K t / Lt ) Sabemos que kt = t ⇒ t = Lt dt dt Kt Kt • kt = − nkt ⇒ = k t + nkt K(Θ) Lt Lt Reemplazando ( Θ ) en ( Ω ) • • • K t Lt L t K t − kt = Lt Lt Lt Lt • • • ⎞ ⎛• yt = ct + ⎜ k t + nkt ⎟ + δkt ⎠ ⎝ k t = yt − ct − (n + δ )kt • Reemplazando la (FPI) en la ecuación tenemos: 54 El lector interesado puede revisar el artículo de Romer. I Crecimiento Económico Lím PmgK = α 1 . Journal of Political Economy. ct−θ + λt (−1) = 0 ∂ct e − ( ρ − n ) t . Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero. ∂H = e − ( ρ − n ) t .e Máx : J = ∫ ⎜ t dt K (Función objetivo) ⎟ ⎜ 0 ⎝ 1−θ ⎠ s. Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la condición del negativo de la derivada del multiplicado con respecto al tiempo. de tal manera que le permite maximizar en un horizonte temporal de muy largo plazo sujeta a las ecuaciones de movimiento y a las condiciones iniciales ⎛ c1−θ − 1 ⎞ − ( ρ − n ) t ⎟.11. con una función de utilidad agregada de la siguiente forma: U c (t ) = ct1−θ − 1 1−θ Luego las familias productoras eligen aquella trayectoria de crecimiento del consumo por trabajador.a : k t = ktα κ t1−α − ct − (n + δ )kt K (Ecuación de Movimiento) • ∞ k (0) = k0 K (Estado inicial) 0≤t≤∞ Donde Variable de estado: kt Variable de control: ct Variable de coestado: λt Para solucionar el problema de maximización plantearemos el Hamiltoniano de la función Condición de Primer Orden (CIO) a.ct−θ = λt K( I ) b. I k t = ktα κ t1−α − ct − (n + δ )kt • Crecimiento Económico Es una ecuación diferencial del proceso de acumulación del capital en una economía donde se considera al conocimiento como una externalidad.3 Planteamiento del problema Romer asume que las familias maximizan su bienestar social. 6. • ∂H = −λt ∂kt λt [αktα −1κ t1−α − (n + δ )] = − λ t • 214 .Cesar Antunez. I Crecimiento Económico [αk α −1 1−α t κt λt − (n + δ )] = − K( II ) λt • c. Tomando la derivada con respecto al multiplicador lagrangiano tenemos: ∂H • = kt ∂λt ktα κ t1−α − ct − (n + δ )kt = k t K( III ) k t = s. Lím λt = t →∞ (1 / ∞) ≈ 0 1 e( ρ − n ) ∞ Lím λt = 0 t →∞ Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos: − θLnct − ( ρ − n)t = Lnλt Aplicando la derivada temporal a la ecuación y multiplicando por -1 a toda la ecuación ct λt ( ρ − n) + θ .Cesar Antunez. = − K( IV ) ct λt Igualando la ecuación (II) y (IV) • • [αk α −1 1−α t κt λt ct − ( n + δ ) ] = − = ( ρ − n) + θ λt ct • • • ct Operando y despejando: ct 215 .(1 − τ ) Aktα g t1−α − (n + δ )kt K( III ) • • Condición de Segundo Orden (CIIO) ∂2H 1 1 = −θ ( ρ − n ) t x 1+θ < 0 2 ∂ct e c <0 x 0< Esta condición nos asegura un consumo máximo Condición de Transversalidad Lím λt kt = 0 t →∞ Esto quiere decir que λt = 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt = 0 (el stock de capital en el momento que muere). es decir r < ρ . γ c∗ = Caso III r−ρ θ =0⇒r = ρ En este caso. γ c∗ = Caso II r−ρ θ >0⇒r > ρ La tasa de crecimiento de consumo es cero. entonces consumo es constante. la proposición de Ramsey – Keynes Supongamos que la tasa de interés es constante y examinamos las trayectorias óptimas de consumo. la tasa de interés no es suficiente por lo que la persona decide que su preferencia de consumir ahora. en tres casos que se muestran a continuación: Caso I En este caso la tasa de crecimiento de consumo es positiva. r : Tasa de rendimiento del capital θ : Representa la elasticidad de la utilidad marginal del consumo. entonces consumo aumenta cada momento del nivel inicial de c0 .Cesar Antunez. Reemplazando estas tres condiciones en la tasa de consumo (ecuación V) γ c∗ Pmgk − ( ρ + δ ) θ R − (ρ + δ ) γ c∗ γ c∗ γ c∗ = r−ρ θ θ r + δ − (ρ + δ ) θ . igual a su nivel inicial para siempre. 216 . I c t αktα −1κ t1−θ − ( ρ + δ ) = ct θ Sabemos que: yt = ktα κ t1−α • Crecimiento Económico αktα −1κ t1−θ − ( ρ + δ ) γc = K(V ) θ ∂yt = Pmgk = αktα −1κ t1−α ∂kt Pmgk = R R = r +δ ⇒ r = R −δ Donde R : Tasa de rendimiento bruto de capital. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico γ c∗ = r−ρ θ <0⇒r < ρ Todos estos casos se pueden apreciar en el gráfico [6. Gráfico [6.31]. es mayor.31]: Trayectorias posibles del consumo Romer asume que la externalidad va ser el conocimiento κ t y esta va ser igual al stock de capital. menor e igual a la tasa de descuento. κ t = Kt Reemplazando la externalidad asumida por Romer en la función de producción agregada del modelo Yt = K tα (K t ) 1− α L1−α t Dividiendo la ecuación anterior entre el numero de trabajadores 1−α Yt K tα 1−α Lt = α (K t ) Lt Lt L1−α t yt = ktα (K t ) 1− α K(σ ) Pero sabemos que kt = Kt ⇒ K t = kt Lt K(ξ ) Lt Reemplazando ( ξ ) en ( σ ) yt = ktα (kt Lt ) 1− α yt = kt L1−α K( FPI ) t 217 . donde la tasa de interés de capital. Al respecto Romer asume: o o Que la población se mantiene constante ósea L1−α = b t Que la tasa de crecimiento de la población es nula n = 0 .Cesar Antunez. γ k > 0 218 . entre la cantidad de trabajadores. sino tasa de crecimiento y progresivo. en la función de producción intensiva obtenemos: yt = kt b tendrá la forma de una recta con pendiente positiva como se puede apreciar en el grafico [6. y esto por que la curva de ahorro y depreciación no se curtan en una punto. por ende el capital por trabajador queda indeterminado en la economía. que quiere decir que la tasa de cambio del producto por trabajador depende directamente del crecimiento de la población k t = f (n. • Al reemplazar los supuestos anteriores en la ecuación dinámica.bkt y la curva ampliada bruta por trabajador δkt . donde se grafica la curva de ahorro bruto por trabajador s. obtenemos la tasa de crecimiento por trabajador: • kt c = b − t −δ kt kt γk = b − ct −δ kt En el estado de crecimiento proporcionado. Lt ) .31]. Versión de Barro Dividiendo la ecuación dinámica fundamental. donde no existe tasa de crecimiento proporcionado. I Ecuación Dinámica fundamental De la condición de equilibrio macroeconómico Crecimiento Económico Yt = Ct + I b n rep Yt = Ct + I K + I K • • Yt Ct K t K Kt = + + δ t ⇒ yt = ct + + δkt K(π ) Lt Lt Lt Lt Lt K dk d (K t / Lt ) Sabemos que kt = t ⇒ t = Lt dt dt Kt Kt • kt = − nkt ⇒ = k t + nkt K(ϖ ) Lt Lt • • • K t Lt L t K t − kt = Lt Lt Lt Lt • • • Reemplazando ( ϖ ) en ( π ) ⎞ ⎛• yt = ct + ⎜ k t + nkt ⎟ + δkt ⎠ ⎝ k t = kt L1−α − ct − (n + δ )kt t • En este modelo existe un efecto escala. Reemplazando b . llegamos a la conclusión que se trata de una extensión de los modelo AK. 32]. Representa una tasa de ahorro constante.12 Modelo de Jones-Manuelli En esta parte intentaremos presentar una tecnología que presente rendimientos decrecientes de capital. La función presenta rendimientos positivos de capital y trabajo.12. 6. mencionada en Capítulo anterior de este libro. I ⎛ c ⎞ Crecimiento Económico Si γ k > 0 entonces ⎜ b − t ⎟ > δ . Gráfico [6. esto nos quiere decir que la tasa de ahorro supera curva ⎜ kt ⎟ ⎝ ⎠ de depreciación como muestra el grafico [6.Cesar Antunez. donde se aprecia que no existe un capital por trabajador y esto debido por que las curvas antes mencionadas no se cruzan en ningún punto y con esto queda indeterminado el capital por trabajador.a : 0 < α < 1 Donde Yt : Producto agregado en el instante “t”. Esta función fue propuesta originalmente por Kurz (1968) y después fue reintroducida a la literatura del crecimiento económico por Jones y Manuelli (1990). Por lo que la función de producción tiene la forma: Yt = AK t + BK tα L1−α K( FPA) t s. 219 .32]: Trayectorias posibles del consumo 6. pero que viola las condiciones de Inada. Viola los supuestos de Inada. Función de producción agregada (Sobelow) Sea una función de producción que combina la función Cobb-Douglas y la función de producción AK.1 Supuestos del modelo Abandona la función de producción Neoclásica y asumen: Asume una función de producción tipo Sobelow La función tiene rendimientos constantes a escala. entonces 0 < α < 1K x − 1 ⇒ −1 < −α < 0K + 1 es una constante positiva 0 < 1 − α < 1 . ∂ 2Yt ∂PmgL = = (− α )(1 − α ) BK tα L− (1+α ) > 0 t 2 ∂Ltt ∂Lt . I Crecimiento Económico K t : Stock de capital agregado en el instante “t”. AKt + BKtα L1−α = λYt t ( ) La función presenta rendimientos de escala constante 2º. ∂Yt = PmgK = A + αBK tα −1L1−α > 0 t ∂K t + + ∂Yt = PmgL = (1 − α ) BK tα L−α > 0 t ∂Lt + + Recordemos que 0 < α < 1 entonces − α > −1K + 1 ⇒ 1 − α > 0 . entonces 0 < α < 1K − 1 ⇒ −1 < α − 1 < 0 es una constante negativa. Lt ) = AK t + BK tα L1−α t Si multiplicamos a la función por un λ > 0 F (λK t . 1 − α : Elasticidad producto respecto a la fuerza de trabajo. Propiedades de la función de producción 1º. B : Índice de nivel de trabajo en la función de producción tipo Cobb-Douglas. λLt ) = A(λK t ) + B(λK t )α (λLt )1−α F (λK t . A : Índice de nivel de tecnología de la función de producción AK. ∂ 2Yt ∂PmgK = = α (α − 1) BK tα − 2 L1−α < 0 t 2 ∂K t ∂K t + + Recordemos 0 < α < 1 . Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgK = A + αB 1−α . F (K t .Cesar Antunez. α : Elasticidad del producto respecto al capital. es un valor positivo La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa. Los productos marginales del capital y trabajo son positivos.κ tη L1−α = A t K →∞ Kt (1 / 0) ≈ ∞ 220 . 3º. Lt : Fuerza de trabajo agregada en el instante “t”. λLt ) = λ.+ + Recordemos que 0 < α < 1 . donde la curva de depreciación parece descrita por.2 Ecuación dinámica fundamental Para hallar la función en términos por trabajador pasa remos a dividir la función de producción de la economía entre la fuerza de trabajo agregada Yt Kt K tα L1−α t =A + B α 1−α Lt Lt Lt Lt De la ecuación fundamental de Solow – Swan yt = Akt + Bktα K (FPI Sobelow) k t = sf (kt ) − (n + δ )kt Se tiene: yt = Akt + Bktα Reemplazando en la ecuación de Solow – Swan • k t = sAkt + sBktα − (n + δ )kt . 221 . n + δ que representa una línea horizontal. 6. por que la única diferencia es la primera condición de INADA. la ecuación de Jones -Manuelli Significa que es una ecuación diferencial del proceso de acumulación de capital en una economía capitalista que tiene como función de producción Sobelow.12.κ tη L1−α = ∞ t K →0 K t1−α (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgL = (1 − α ) BK tα α = 0 L →∞ Lt (1 / 0) ≈ ∞ 1 Lím PmgL = (1 − α ) BKtα α = ∞ L →0 Lt Lím PmgK = A + αB Vemos que cumple las condiciones de INADA pero solo parcialmente. en cambio la curva de ahorro es representada por una hipérbola. Versión de Solow Dividiendo la ecuación fundamental entre kt • • kt kα = sA + sB t − (n + δ ) kt kt ktα γ k = sA + sB − (n + δ ) kt Como se puede apreciar en la ecuación de la tasa de crecimiento. I Crecimiento Económico 1 .Cesar Antunez. 3 Caso I Un alto nivel de tecnología ( A ) tal que la curva de ahorro supera a la curva depreciación s.B 1−α − (n + δ ) k →0 kt Lím γ k = s. como se puede apreciar en el gráfico [6. entonces la curva de ahorro tiende al infinito por que el término sBktα −1 . I Crecimiento Económico Analizaremos que pasa si kt se acerca cada vez mas acero. donde converge. En este caso podemos apreciar que cuando t k va al infinito la tasa de crecimiento que da expresada como la diferencia entre sA y n + δ .33] Gráfico [6. A + 0 − (n + δ ) k →0 Lím γ k = s.33]: Un alto nivel de tecnología Análisis 222 .Cesar Antunez. A + ∞ − (n + δ ) k →0 Lím γ k = ∞ k →0 En cambio cuando kt aumenta cada vez mas hasta tender al infinito. tiende al infinito. A > (n + δ ) . A − (n + δ ) k →0 En esta parte analizaremos que el desenvolvimiento dinámico esta economía va depender del desenvolvimiento de sus componentes. la curva de ahorro se aproxima a sA . esto se puede verificar mediante la siguiente ecuación: (1 / 0) ≈ ∞ 1 Lím γ k = s.12. 6.B 1−α − (n + δ ) k →0 kt Lím γ k = s. A + s. A + s. como se puede verificar mediante la siguiente ecuación: (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím γ k = s. 34]: Un bajo nivel de tecnología Características o o o La curva de ahorro es una curva decreciente pero asintótica a s. tal que la curva de ahorro se corta en un punto s. o CASO II Un bajo nivel de tecnología ( A ). I Características: o o o La curva de ahorro es decreciente pero asintótica a sA . A ≥ (n + δ ) se determina el capital por trabajador óptimo kt* .Cesar Antunez. o En el largo plazo no existe un crecimiento proporcionado. el capital por trabajador queda indeterminado.34]. A > (n + δ ) . En el largo plazo existe un estado proporcionado (la curva de ahorro y la curva de depreciación se intersecan) en un punto. Gráfico [6. Este caso es similar a los modelos de crecimiento AZ. A < (n + δ ) como se aprecia en el gráfico [6. 223 . Este caso se parece a los modelos Neoclásico de crecimiento. La tasa de crecimiento por trabajador en el corto plazo es mayor que la tasa de CP crecimiento por trabajador de largo plazo γ k > γ kLP > 0 . o o Si γ k > 0 entonces s. Crecimiento Económico La curva de ahorro supera a la curva de depreciación s. A > (n + δ ) . sino existe un crecimiento progresivo en donde γ k > 0 entonces s. En el largo plazo s. A > (n + δ ) . A . N t t )K( FPA) Donde Yt : Producto agregado en el instante “t”. Formula una función de producción dinámica. de la fuerza de trabajo y de los recursos naturales. 6.Cesar Antunez. Yt = F ( K t .1 Supuestos del modelo Sea una economía capitalista.13 Contabilidad de crecimiento o fuentes de crecimiento En esta parte estudiaremos las fuentes que ayudan al crecimiento de la economía. es decir. Esta economía no tiene relación con el exterior. que el cambio tecnológico afecta de la misma manera tanto al capital como al trabajo y la función agregada de producción. La economía es perfectamente competitiva en la que a cada factor productivo se le cancela el equivalente de su producto marginal. Aporte de Solow Solow (1957) va formalizar la contabilidad de crecimiento en su trabajo sobre cambio tecnológico en este trabajo supone una función Hicks-neutra. La economía produce un solo bien. Lt . El progreso tecnológico es neutral a lo Hicks-neutral. Ya desde los clásicos ya habían formalizado las fuentes de crecimiento que son: La acumulación de capital. I Crecimiento Económico 6. crecimiento en el uso de recursos naturales y progreso tecnológico. K t : Stock de capital agregado en el instante “t”. crecimiento de la fuerza de trabajo.13. Función de Producción El análisis comienza por presentarnos una función de producción dinámica que depende del stock de capital agregado. Aplicando el diferencial total a la función de producción dYt dF (o) ∂K t dF (o) ∂Lt dF (o) ∂N t ∂F (o) dt + = + + dt ∂K t dt ∂Lt dt ∂N t dt ∂t dt Yt = • • FK K t + • FL Lt + • FN N t + Ft Dividiendo a toda la ecuación entre Yt • • • • Yt FK K t FL L t FN N t Ft = + + + Yt Yt Yt Yt Yt 224 . N t : Recursos naturales (RRNN) en el instante “t”. Lt : Fuerza de trabajo agregada en el instante “t”. FL = PmgL = w Y εL = ∂Yt Lt ∂Lt Yt Y ε K = PmgL Lt Yt Y εK = wLt W = = αL Yt Yt El mercado de recursos naturales se encuentra en competencia perfecta. Solow asume que el mercado de bienes y el mercado de factores son de competencia perfecta.Kt B = = αK Yt Yt El mercado de trabajo se encuentra en competencia perfecta. Y ε K : Elasticidad del producto respecto al factor i-ésimo capital. El mercado de capital esta en competencia perfecta. L/L y N/N respectivamente.g K + Y ε L . Y ε L : Elasticidad del producto respecto al factor i-ésimo capital trabajo. Y ε L = α L : Representa la participación de los salarios en el ingreso nacional. por eso el producto marginal de los recursos naturales en igual a la tasa de la renta de los recursos naturales. Y ε N : Elasticidad del producto respecto al factor i-ésimo de recursos naturales.Cesar Antunez. por eso el producto marginal del trabajo es igual al salario. por eso el producto marginal de capital es igual a la tasa de rendimiento bruto de capital. cuya implicancia de este supuesto es: Y ε K = α K : Representa la participación de los beneficios en el ingreso nacional. FN = PmgN = R Y εN = ∂Yt N t ∂N t Yt Y ε N = PmgN Nt Yt Y εN = RLt = αN Yt Reemplazando la participación de los factores en la ecuación (II) 225 .g L • • • ⎞ N t Ft ⎟ ⎟ N + Y K(I ) t ⎠ t + • + Y ε N . FK = PmgK = R Y εK = ∂Yt K t ∂K t Yt Y ε K = PmgK Kt Yt Y εK = R. Y ε N = α N : Representa la participación de la renta de los recursos naturales en el ingreso nacional. se obtiene Yt ⎛ FK K t ⎞ K t ⎛ FL Lt ⎞ L t ⎛ FN N t ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ =⎜ Yt ⎜ Yt ⎟ K t ⎜ Yt ⎟ Lt ⎜ Yt ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ gY = Sea Y ε K . I Crecimiento Económico Multiplicando los tres primeros términos del lado derecho de esta ecuación por K/K.g N mK( II ) m : Tasa de progreso tecnológico. es una tarea de gran envergadura tratar de estimar la tasa de crecimiento del factor tecnológico.g N ) La ecuación (III) nos permite estimar lo que en la literatura del crecimiento económico se conoce como el residuo de Solow. B : Factor aumentativo de la eficiencia del trabajo. α : Elasticidad del producto respecto al capital. Que vendría hacer la diferencia entre el crecimiento del producto agregado menos la tasa de crecimiento de los factores ponderados por su participación. Yt = K tα (BLt ) K( FPA) s. I Crecimiento Económico gY = α K . Residuo de Solow En consecuencia.g L + α N . Propiedades de la función de producción Si multiplicamos a la función por un λ > 0 4º.Cesar Antunez.g K + α L . 6. Lt : Unidades de trabajo. Donde m . representa la tasa reprogreso tecnológico o residuo de Solow. F (K t . λLt ) = λ. que es hallando de forma indirecta ya que para calcular se utiliza estadísticas de las cuentas nacionales. m = gY − (α K .2 Contabilidad de crecimiento con una función Cobb-Douglas Para esto asumiremos aparte de los supuestos básicos que el progreso tecnológico es Harrod-neutral.g K + α L .a : 0 < α < 1 1− α Donde Yt : Producto total (PBI) K t : Unidades de capital físico. esta tasa puede ser calculada por diferencia como se presenta en la ecuación (III). λLt ) = (λK t )α + B1−α (λLt )1−α F (λK t .13.g L + α N .g N + mK( III ) Esta ecuación nos quiere decir que la tasa de crecimiento del producto agregado o PBI es igual a la suma de las tasas de crecimiento de los factores ponderados respectivamente por su participación en el ingreso nacional más la tasa de progreso tecnológico. Lt ) = B1−α K tα L1−α t F (λK t . B1−α K tα L1−α = λYt t ( ) La función presenta rendimientos constantes a escala 226 . 1 − α : Elasticidad producto respecto a la fuerza de trabajo. I Crecimiento Económico 5º.g K + (1 − α ) g B + (1 − α ) g L K(ϖ ) 227 . 6º. ∂ 2Yt ∂PmgL = = (− α )(1 − α ) B1−α K tα L− (1+α ) > 0 t 2 ∂Ltt ∂Lt . entonces 0 < α < 1K − 1 ⇒ −1 < α − 1 < 0 es una constante negativa. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgK = αB1−α 1−α . ∂Yt = PmgK = αB1−α K tα −1L1−α > 0 t ∂K t ∂Yt = PmgL = (1 − α ) B1−α K tα L−α > 0 t ∂Lt + + Recordemos que 0 < α < 1 entonces − α > −1K + 1 ⇒ 1 − α > 0 .+ + Recordemos que 0 < α < 1 . es un valor positivo La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa.L1−α = 0 t K →∞ Kt (1 / 0) ≈ ∞ 1 Lím PmgK = αB1−α 1−α .Cesar Antunez. Los ratios (productos marginales del capital y trabajo) son constantes y positivos. entonces 0 < α < 1K x − 1 ⇒ −1 < −α < 0K + 1 es una constante positiva 0 < 1 − α < 1 .L1−α = ∞ t K →0 Kt (1 / ∞) ≈ 0 1 Lím PmgL = (1 − α ) B1−α K tα α = 0 L →∞ Lt (1 / 0) ≈ ∞ 1 Lím PmgL = (1 − α ) B1−α K tα α = ∞ L →0 Lt Aplicando logaritmo a la función de producción agregada y derivado con respecto al tiempo Ln(Yt ) = αLn( K t ) + (1 − α ) LnBt + (1 − α ) LnLt dLn(Yt ) dLn( K t ) dLnBt dLnLt =α + (1 − α ) + (1 − α ) dt dt dt dt gY = α . + + ∂ 2Yt ∂PmgK = = α (α − 1) B1−α K tα − 2 L1−α < 0 t ∂K t2 ∂K t + + Recordemos 0 < α < 1 . Y (1 − α ) = ε L = α L : Elasticidad del producto respecto al trabajo.g K . Sabemos que el PBI por trabajador es igual al PBI agregado dividido por el número de trabajadores. I Crecimiento Económico Donde g B : Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo. Y α = ε K = α K : Elasticidad del producto respecto al capital. Despejando g B de la ecuación ( ϖ ) Esta ecuación nos quiere decir que el crecimiento del PBI agregado es igual a la suma del crecimiento del capital multiplicado por su participación en el PBI α . el crecimiento gB = gY − (α K g K + α L g L ) αL = residuo _ de _ Solow αL Esta ecuación nos quiere decir que la tasa de progreso tecnológico es igual a la diferencia o residuo entre el crecimiento observado del PBI y el crecimiento ponderado de los factores directamente observables dividido entre la elasticidad producto respecto al trabajo. tecnológico multiplicado por su participación en el PBI (1 − α ) g B y la tasa de crecimiento del trabajo multiplicado por su participación en el PBI (1 − α ) g L .Cesar Antunez. yt = Yt Lt Ln( yt ) = Ln(Yt ) − Ln( Lt ) dLn( yt ) dLn(Yt ) dLn( Lt ) = − dt dt dt • • • y t Y t Lt = − yt Yt Lt g y = gY − g L ⇒ gY = g y + g L K(IV ) Sabemos que el capital por trabajadores igual al PBI agregado dividido por el numero de trabajadores kt = Kt Lt Ln( yt ) = Ln( K t ) − Ln( Lt ) dLn( yt ) dLn( K t ) dLn( Lt ) = − dt dt dt • • • y t K t Lt = − yt K t Lt Reemplazando (IV) y (V) en la ecuación (ϖ ) g y = gK − gL ⇒ g K = g y + g L K(V ) g y + g L = α ( g k + g L ) + (1 − α )g B + (1 − α )g L g y = (1 − α )g B + αg k K(VI ) 228 . Como no interesa expresar la tasa de crecimiento del PBI por trabajador (per cápita) reemplazaremos las tasas agregadas por sus equivalentes. 30 x0.5%.05 g k = 0. la tasa de crecimiento del capital agregado fue 2%.55 g B = 0.01 g L = 0.02 Datos: g y = 0.015 = 0.02 − 0. la tasa de crecimiento de las horas de trabajo per cápita fue del -1% y la tasa de crecimiento de la población fue 1.01 + 0. I Crecimiento Económico La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del PBI por trabajador se puede descomponer entre la contribución del progreso tecnológico y la tasa de crecimiento del capital por trabajador.45 x0.70(−0.0786 ≈ 7.015 Sabemos: g k + g N = g K = 0. ¿Cual fue la tasa de crecimiento de la productividad agregada? Rpt De la función: dLn( yt ) dLn(B ) dLn(kt ) dLn(lt ) = (1 − α ) +α + (1 − α ) dt dt dt dt g y = (1 − α ) g B + αg k + (1 − α ) g l g N = 0.78% 229 .0778 ≈ 7.005 gB = g y − αg k − (1 − α ) gl (1 − α ) = 0. la tasa de crecimiento de la población per cápita fue del 1% y la participación del capital en el PBI era del 30%.01 g K = 0.45 Sabemos: g k = g K − g N = 0.04 gl = −0.30 0.01 Datos: gY = 0.015) 0.005 − 0. 6. La participación de capital en el PBI era de 45% ¿Cuál fue la tasa de crecimiento de la productividad agregada? Rpt De la función: dLn( yt ) dLn(B ) dLn(kt ) dLn(lt ) = (1 − α ) +α + (1 − α ) dt dt dt dt g y = (1 − α ) g B + αg k + (1 − α ) g l g K = 0.02 gB = g y − αg k − (1 − α ) gl (1 − α ) = α = 0.3 Ejercicios resueltos Problema Nº1 En el año 2008 se sabe que un país tiene una tasa de crecimiento del PBI per cápita que es 4%.015 α = 0.04 − 0.86% Problema Nº2 Se sabe que un país “Z” tiene una tasa de crecimiento del PBI 5%.01 = 0.13. de hay que ha esta descomposición se le lama contabilidad de crecimiento.Cesar Antunez.70 g B = 0.02 − 0.01) 0.55(−0.5% la tasa de crecimiento de las horas de trabajo fue de -1%. la tasa de crecimiento del capital por trabajador es 1.05 − 0. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 230 . Cesar Antunez. pero sin dejar de ver el futuro” Orwell (1984) Citado Por: Perú 21 (www. y yo quiero mirar al pasado sin dejar. I Crecimiento Económico Capítulo VII Crecimiento Económico en la periferia “Mirar al futuro.pe) martes 17 de marzo de 2009. pág.: 19 231 .peru21. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 232 . obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1979. en las Antillas. No utiliza mano de obra capitalista.1. I 7. por su investigación pionera en el desarrollo económico con atención particular a los problemas de los países en desarrollo. En el sector de capitalista existe un salario de subsistencia. Esta economía no tiene relación con el exterior. Lewis en su trabajo “El desarrollo económico con oferta ilimitada de factores” (1954). para incorporar la posibilidad de dualismos en la economía. Sector capitalista • • • • • Este sector utiliza capital. Schultz. Modelo de Lewis. En el sector de subsistencia existe un promedio menor que el salario de subsistencia. Existe una oferta ilimitada de mano de obra. Si bien no es evidente que ello se verifique para todas las regiones del mundo.1 Crecimiento Económico Modelo de Lewis Economista británico. nula o negativa” 7. Sector de subsistencia. Utiliza tecnología tradicional. compartido con Theodore W. Contrata mano de obra asalariada. nacido en Santa Lucía. Demanda de trabajo del sector de subsistencia esta representado por: 233 . va analizar el desarrollo económico para países subdesarrollados. Existe una relación producto no capitalista. La economía produce un solo bien el mismo que se consume e invierte. En este trabajo pionero plantea las economías duales son aquella economías que tiene dos sectores y están vinculadas entre si. Tiene una relación producto capital.1 Supuestos del modelo Sea un país subdesarrollado con economía dual. Demanda de trabajo del sector capitalista esta representado por: M = AK α ( LM )1−α K( I ) Sector de subsistencia • • • • • • Este sector no utiliza capital. Utiliza tecnología moderna. Esta economía tiene dos sectores: o o Sector capitalista.Cesar Antunez. Usa mano de obra familiar (trabajo familiar). él destaca la existencia de países donde la población es cuantiosa respecto al capital y los recursos naturales. por lo que hay sectores en la economía (sector de subsistencia) en donde “la productividad marginal del trabajo es despreciable. en el cual todo el excedente ha sido absorbido al salario de subsistencia más el adiciona Disponiendo de trabajo ilimitado y capital escaso. LM : Empleo del sector capitalista. S : Representa al sector de subsistencia (no capitalista). el salario estará establecido por lo que los individuos pueden ganar fuera del sector: el salario en M está determinado por lo que se gana en S más un adicional para atraer individuos al sector. Asimismo.wS K( IV ) Donde wM : Productividad del sector de capitalista.Cesar Antunez. De modo que los ingresos en el sector de subsistencia imponen un mínimo para los salarios del sector capitalista. estará determinado por lo que pueda ganarse fuera del sector. Este salario. el empleo en el sector capitalista es fijado por las condiciones usuales de maximización de beneficios. deberán ser un tanto mayor para tentar a los trabajadores a que abandonen su empleo y se trasladen al sector capitalista. wS : Producto por trabajador en el sector de subsistencia 7. 1 K : El punto de inflexión entre una economía con excedente de trabajo y una economía madura. 234 . LS Empleo del sector de subsistencia. de modo que la demanda de trabajo en M es: ⎡ A ⎤α LM = ⎢(1 − α ) ⎥ K K( III ) wM ⎦ ⎣ wM = f . este último se empleará en el sector capitalista hasta que la productividad marginal del trabajo iguale al salario. I Crecimiento Económico S = wS LS K (II ) Donde M : Representa al sector capitalista.2 Mercado de trabajo y distribución del ingreso Si suponemos que el mercado de trabajo es competitivo.1. y más aún. K con wM = f . la curva w tiene pendiente positiva igual a α en el espacio como en el modelo de Solow. siendo K el punto de inflexión entre una economía con excedente de trabajo y una economía madura. el salario de equilibrio wM es independiente de K y está determinado sin más por el salario del sector S y el adicional. Como en todo modelo Clásico no se distingue entre ahorro e inversión. y por simplicidad.1]: Coexistencia de los dos sectores en la economía se caracteriza por la escasez de capital y la oferta de trabajo abundante En el corto plazo. siendo los capitalistas los únicos que contribuyen al ahorro nacional.1]. De este modo. mientras cohabitan los dos sectores en la economía. I Crecimiento Económico Gráfico [7. El equilibrio de corto plazo es el segmento horizontal de la curva w como se muestra El gráfico [7.wS A ⎤ α k=⎢ ⎥ K(VI ) ⎣ (1 − α ) ⎦ Punto en el que el pleno empleo coincide con el producto medio del trabajo en el sector de subsistencia. La ecuación de la curva de w se deriva ahora de la condición de vaciamiento del mercado y la oferta total de trabajo es igual a la demanda del sector capitalista ( L = LM ). supone que ahorran sus beneficios completamente.wS y LM = L . cambios en el ratio capital-trabajo provocarán variaciones en el empleo del sector capitalista pero no alterarán el salario real. obtenemos: wM = A(1 − α ) K α K(V ) Para una economía madura. la economía se deviene en “madura” (una economía de un sector). En el largo plazo. ⎡ f . Lewis adopta el punto de vista clásico en el que el ahorro de los trabajadores es despreciable. De modo que el beneficio en el 1 235 . Supliendo esta condición en la ecuación (III) y resolviendo para wM .Cesar Antunez. Cuando el sector de subsistencia desaparece (PMGLS ≥ 0). y cuyo valor puede obtenerse resolviendo la ecuación (III) para. en el cual todo el excedente ha sido absorbido al salario de subsistencia más el adicional. 2]. un salario real constante y si los beneficios del sector capitalista se reinvierten. DC (1) hasta DC ( 2 ) . La tasa de beneficio como función del salario se expresa de la siguiente manera: ⎡ (1 − α ) ⎤ r = αA α ⎢ ⎥ ⎣ w ⎦ 1 1− α α K(VIII ) Sustituyendo esta ecuación de beneficio-salario en la condición de steady state. mientras el salario se mantenga constante. 7.1].3 Acumulación de capital Nos dice que va darse un incremento del capital años tras año (compra de equipos. aumentando la capacidad productiva. etc. al tiempo que el stock de capital se acrecienta.1. y la condición de steady state será sπ .r − δ K Donde Sπ : Es la tasa de ahorro.) aumenta el producto de la economía y esto hacer que se expanda la demanda de trabajo. Donde L DC : Demanda de trabajo del sector capitalista. aumentarán en relación con la renta nacional. Recapitulando. δ : Es la tasa de depreciación. Si obviamos el progreso técnico.Cesar Antunez. la tasa de crecimiento de la economía es igual a la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo ( n ).r − δ = n . Esta expansión hace que el sector capitalista absorba al sector no capitalista como se aprecia en el gráfico [7. y resolviendo para wM . y por ende la formación de capital. el modelo indica que dada una oferta ilimitada de trabajo (producto del desempleo encubierto existente en el sector de subsistencia). L L L donde la demanda de trabajo se expande de DC ( 0 ) . remodelación de la planta. obtenemos el salario real requerido para satisfacer la condición de equilibrio ( wM ) ∗ wM = (1 − α )A 1 1− α ∗ ⎡ αsπ ⎤ 1−α ⎢ n + δ ⎥ K( IX ) ⎦ ⎣ α Que al igual que en el modelo de Solow. LT : Empleo total. el crecimiento se prolonga hasta que el sector industrial absorbe al de subsistencia. construcción de plantas industriales. es un segmento horizontal en el espacio como se aprecia en el gráfico [7. LM : Empleo del sector capitalista. La tasa de acumulación del capital es entonces I = Sπ . Asimismo. I Crecimiento Económico período n determina el stock de capital en el período n + 1. r : Representa el beneficio. aumenta el beneficio y. 236 . el excedente capitalista. concediendo a los capitalistas una racionalidad limitada. a priori. las empresas se respalden en la existencia de mano de obra barata para aumentar su producción y la acumulación de capital.Cesar Antunez. las que estribarían en la proporción de ganancia derivada y otras señales en la economía. Se supuso que los empresarios del sector moderno resolverían sus decisiones de producción (e inversión) conforme a sus expectativas. nos dice que esto se consigue desarrollando todas las medidas para que se expanda el sector capitalista y se absorba al sector no capitalista y un ejemplo de estos es: Alemania.3]: Un país subdesarrollado 237 .3] y [7.4] se puede apreciar la concepción del desarrollo que menciona Lewis al comparar un país subdesarrollado y un país desarrollado Gráfico [7. En este trabajo se planteó un modelo formal. Gráfico [7. I Crecimiento Económico Como él expresara. Japón Inglaterra. etc. como un proceso de desarrollo capitalista.1.2]: Acumulación de capital de capital 7.4 Concepto de desarrollo Para Lewis considera el desarrollo económico. el proceso de traslado de mano de obra hace que. En el gráfico [7. revelaría que. migración. por consiguiente. Lewis comienza suponiendo dos reglas del comportamiento. es plausible que las fuerzas sobre las que Lewis escribió estén presentes y muevan la economía en la dirección que sugirió. A este respecto.Cesar Antunez. Queda claro entonces que. Es probable también. él estaba neoclásicamente inclinado3. I Crecimiento Económico Podemos apreciar que en el gráfico [7.5 Critica del modelo El modelo de Lewis ha estado sujeto a críticas desde diversas perspectivas. aquí nos planteamos otro tipo de interrogante. el proceso de Lewis podría estancarse antes de lograr su objetivo? El espíritu del modelo de Lewis es clásico por naturaleza. que es el salario de subsistencia. pero donde la decisión del trabajador de localizarse en el sector urbano o el rural está explícitamente fundada en la maximización de las ganancias esperadas. aunque es bastante evidente que en su ensayo estaba muy comprometido con las motivaciones de los agentes individuales. sino que este se va ajustando con la oferta y demanda de trabajo del país capitalista. Esto en sí mismo no es inaceptable. puede ser bastante ambiguo en un modelo dinámico como éste. 238 . En comparación con el gráfico [7. supone que aumentan al máximo sus ganancias. en lugar de suponer solo una función objetivo para el capitalista y derivar diversas reglas de comportamiento de ella.1.3] una mano de obra ilimitada (oferta de trabajo ilimitada) a un mismo salario. Con referencia a los capitalistas. El modelo de Harris y Todaro podría ensimismarse con una transformación de corto plazo del proceso de Lewis. empezando con una economía dual primitiva. Pero mientras que el objetivo de maximización de ganancias está felizmente definido en un contexto estático. en cada período de tiempo el capitalista elige su consumo de trabajo de modo tal. que el producto marginal del trabajo iguale al salario. Aunque tampoco es tan inexorable que el proceso traslade a una economía atrasada a un estado "desarrollado". que hecha luces en el funcionamiento de los mercados de trabajo. Entre ellas hallamos el bien conocido modelo de Harris-Todaro (1970) que supone una economía dual similar a la de Lewis.4] donde se aprecia una oferta de trabajo decreciente y que no existe un salario único. Sin embargo. Gráfico [7. y las consecuencias de las políticas de empleo urbanas.4]: Un país desarrollado 7. pero es importante verificar las implicancias de tales supuestos. La conclusión general de este análisis. Francamente. Esto es. a saber: ¿Si se concede a los capitalistas una racionalidad limitada. este supuesto no nos dice cuánto invierte el capitalista porque ésta es una decisión intertemporal. según el supuesto que Lewis hace. Yt = I b + X Donde χ : Razón de las exportaciones dado el PBI Este fragmento sea extraído del artículo Martín Schrod (2005) “El modelo de Lewis: Dualismos y endeudamiento a la luz del análisis no lineal”.6) de este libro.: 7-10 55 239 . El comercio exterior es solo de bienes. Siendo el sistema cambiario fijo. I Crecimiento Económico que el propio proceso genere fuerzas que lleven al estancamiento antes de que semejante estado feliz surja.2.1 Supuestos del modelo A los supuestos básicos del modelo de Solow se agregan particulares: Sea una economía capitalista que tiene relación con el exterior. En este parte consideraremos que la economía tiene relación con el exterior (economía abierta). Las exportaciones son dadas. La importación es una proporción del producto agregado dado el producto margina a importar ( Pmg (M ) ). entre el número de trabajadores. Sea la función de producción Cobb-Douglas.Yt + m. Pág. tenemos: los siguientes supuestos Yt K tα Lβ t =A α β Lt Lt Lt yt = Aktα K(FPI ) Recordemos que la inversión por trabajador que ya ha sido demostrada en páginas anteriores de este texto en igual a: Ib • = k t + ( n + δ ) kt Lt Ecuación Fundamental De la condición macroeconómica S + M = Ib + X s.Cesar Antunez.2 Modelo de Solow con economía abierta En este modelo se va ser un extensión del modelo va revidado en Capítulo II (2. Sea el tipo de cambio la unidad. 7.5 y 2. Sea una economía pequeña. La experiencia de países subdesarrollados no parece contradecir esta perspectiva. Dividiendo la función de producción que esta sujeta a .55 7. Como hemos venido desarrollando a lo largo de este texto halaremos la función de producción intensiva. )Aktα = (n + δ )kt . Si k t = 0 entonces (s + m − χ .Cesar Antunez.5] se puede apreciar la forma del la curva de ahorro por trabajador y de la curva ampliada bruta por trabajado.Yt s. 240 .Yt + m. • • (s + m − χ ) A = n +δ kt ktα ⎛ (s + m − χ)A⎞1−α k =⎜ ⎟ ⎝ n +δ ⎠ ∗ t 1 Reemplazando el capital óptimo en la función de producción intensiva se determina la producción por trabajador de la economía 1 ⎛ ⎜ ⎛ ( s + m − χ ) ⎞1−α yt = A⎜ ⎜ ⎟ ⎠ ⎜⎝ n + δ ⎝ ⎞ ⎟ A⎟ ⎟ ⎠ α ⎛ ( s + m − χ ) A ⎞1−α yt∗ = A⎜ ⎟ n +δ ⎝ ⎠ α En el gráfico [7.2 Estado de crecimiento proporcionado En el estado de crecimiento proporcionado k t es nula esto implica que se determina el capital por trabajador. como los nueva variable.) yt − (n + δ )kt k t = (s + m − χ .) Yt • Lt = Ib Lt (s + m − χ .) yt = k t + (n + δ )kt K(ψ ) • Resolviendo para k t de la ecuación (ψ ) k t = (s + m − χ .)Yt = I b Dividiendo la ecuación anterior entre el numero de trabajadores de la economía (s + m − χ . se determina el capital por trabajador óptimo de esta economía.Yt ⇒ χ = Yt Yt s.Yt = I b + χ . la ecuación de Solow – Swan con economía abierta • • 7.Yt + m.2.Yt − χ .)Aktα − (n + δ )kt .Yt = I b (s + m − χ . I Crecimiento Económico X = X X Yt ⇒ X = χ . 4]: Determinación del capital por trabajador 241 .Cesar Antunez.6].)A t − (n + δ ) kt kt En el estado de crecimiento proporcionado γ k es nula. • γ k = (s + m − χ . Si γ k = 0 entonces la curva de ahorro se intercepta con la curva de depreciación y determina el capital por trabajador de la economía como se puede apreciar en el gráfico [7.5]: Función de producción en una economía abierta Versión de Barro Para hallar la versión de Barro solo vasta dividir a la ecuación fundamental entre el capital por trabajador.)A ktα − (n + δ ) kt Gráfico [7. kt kα = (s + m − χ . I Crecimiento Económico Gráfico [7. por que la producción supero los rendimientos decrecientes.1 Supuestos del modelo A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos particulares: Existe una función de producción que coincide con el factor tierra.t Con las propiedades Si t = 0 entonces B( t = 0 ) = 1 Si t > 1 entonces B( t ) > 1 ⇒ B (t ) > 0 • 242 . guerras por los alimentos. K t : Stock de capital agregado. α : Elasticidad producto respecto al capital. B( t ) = B0e m L . 7. Función de producción agregada Se plantea la siguiente función: Yt = Bt K tα T β L1−α − β K( FPA) t ⎧0 < α < 1 s. La tierra es de oferta fija. solo al modelo mencionado se le añade implícitamente el factor tierra. La implicancia de esta hipótesis es que al crecer la población en forma geométrica esto generara una escasez de alimento aumentando la brecha entre el crecimiento de la población y la producción de alimentos.Cesar Antunez. aumento de la pobreza. Pero en la revolución industrial se demostró que esta hipótesis no era valida. β : Elasticidad del producto respecto a la tierra. Yt : Producción agregada. en ella nos dice que la población crece en forma geométrica. Lt : Fuerza de trabajo agregada. Bt : Índice del nivel de tecnología. I 7.3 Crecimiento Económico Modelo de crecimiento con factor tierra Este modelo ya era planteado de la época de Malthus en su libro sobre la población donde plantea las hipótesis que hoy son llamadas “Hipótesis de Malthus”. Para comenzar a desarrollar el modelo mencionaremos que es una extensión de modelo de Solow ya estudiado en páginas anteriores de este libro. por ende se ocasionara en el mundo hambruna.a : ⎨ ⎩0 < β < 1 Donde T : Stock de tierra agregado fijo. mientras los alimentos lo hacen en forma aritmética.3. etc. Cesar Antunez. ( ) ∂Yt = PmgK = αBK tα −1T β L1−α − β > 0 t ∂K t ∂Yt = PmgT = β BKtα T β −1L1−α − β > 0 t ∂T ∂Yt = PmgL = (1 − α − β ) BK tα T β L− (α + β ) > 0 t ∂Lt + + Sabemos que 0 < α < 1 ∧ 0 < β < 1 . BKtα T β L1−α − β = λYt t La función presenta rendimientos de escala constante 8º. λLt ) = B (λK t )α (λT ) β (λLt )1−α − β F (λK t . si sumamos estas dos desigualdades obtenemos 0 < α + β < 2K x − 1 ⇒ 0 > −(α + β ) > −2K + 1 ⇒ 1 > 1 − (α + β ) > −1 . ∂ 2Yt ∂PmgT = = β ( β − 1) BK tα T β − 2 L1−α − β < 0 t 2 ∂T ∂T + + Recordemos 0 < β < 1 . T . λLt ) = λ . λT . Los productos marginales del capital y trabajo son positivos. Lt ) = BK tα T β L1−α − β t Si multiplicamos a la función por un λ > 0 Crecimiento Económico F (λK t . F (K t . I Propiedades de la función de producción 7º. para nuestros fines tomaremos los valores positivos de esta desigualdad. entonces 0 < β < 1K − 1 ⇒ −1 < β − 1 < 0 es una constante negativa. ∂ 2Yt ∂PmgL = = −(α + β )(1 − α − β ) BK tα T β L− (1+α + β ) < 0 t 2 ∂Ltt ∂Lt + + 243 . La derivada de los productos marginales on crecientes y negativos ∂ 2Yt ∂PmgK = = α (α − 1) BK tα − 2T β L1−α − β < 0 t ∂K t2 ∂K t + + Recordemos 0 < α < 1 . + + + + a. entonces 0 < α < 1K − 1 ⇒ −1 < α − 1 < 0 es una constante negativa. λT . Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 9º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ∞) ≈ 0 Lím PmgK = αB K →∞ 1 .BK α K →∞ 1 T 1− β L1−α − β = 0 t (1 / 0) ≈ ∞ Lím PmgK = αBK tα K →0 1 T 1− β L1−α − β = ∞ t (1 / ∞) ≈ 0 Lím PmgL = (1 − α − β ) BK tα T β L→∞ 1 Lt α +β =0 (1 / 0) ≈ ∞ Lím PmgL = (1 − α − β ) BK tα T β L →0 1 Lt α +β =∞ Vemos que cumple las condiciones de INADA Ahora dividiremos la función de producción entre Ytα Yt K tα = Bt α T β L1−α − β t Ytα Yt Y 1− α t ⎛ K tα = Bt ⎜ α ⎜Y ⎝ t α ⎞ β 1− α − β ⎟T Lt ⎟ ⎠ 1 1− α ⎡ ⎛K ⎞ ⎤ Yt = ⎢ Bt ⎜ t ⎟ T β L1−α − β ⎥ t ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ Yt ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Yt = B 1 1−α t β − ⎛ K t ⎞1−α 1−α 1−1α α β ⎜ ⎟ T Lt − ⎜Y ⎟ ⎝ t ⎠ β β ⎛ K t ⎞1−α 1−α 1− 1−α ⎜ ⎟ T Lt K( I ) ⎜Y ⎟ ⎝ t ⎠ α α Yt = B 1 1− α t 244 .T β L1−α − β = 0 t K t1−α (1 / 0) ≈ ∞ Lím PmgK = αB K →0 1 .κ tη L1−α = ∞ t 1−α Kt (1 / ∞) ≈ 0 Lím PmgT = β . Así mismo sabemos que la relación capital-producto K / Y = v . entonces g L = g poblacional = n . aplicaremos logaritmo natural a la ecuación (I). dLn(Yt ) ⎛ 1 ⎞ dLn( Bt ) ⎛ α ⎞ dLn(K t / Yt ) ⎛ β ⎞ dLn(T ) ⎛ β ⎞ dLn( Lt ) =⎜ +⎜ +⎜ + ⎜1 − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dt dt ⎝ 1 − α ⎠ dt ⎝1−α ⎠ ⎝ 1 − α ⎠ dt ⎝ 1 − α ⎠ dt β ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ α ⎞ ⎛ β ⎞ ⎛ gY = ⎜ ⎟gB + ⎜ ⎟ g( K / Y ) + ⎜ ⎟ g T + ⎜1 − ⎟ g L K( II ) ⎝1−α ⎠ ⎝1−α ⎠ ⎝1−α ⎠ ⎝ 1−α ⎠ • • dLn( K t / Yt ) ( K t / Yt ) − (Y t / Yt )( K t / Yt ) Nota: = dt K t / Yt • dLn( K t / Yt ) K t / Yt = − (Y t / Yt ) dt K t / Yt • dLn( K t / Yt ) = g K − gY = g ( K / Y ) dt Puesto que se asume que la tierra es de oferta fija entonces gT = 0 .Cesar Antunez. La ecuación (IV) nos quiere decir. Reemplazando en la ecuación (III). β ⎞ ⎛ ⎛ α ⎞ ⎛ Kt ⎞ ⎛ β ⎞ ⎛ 1 ⎞ Ln(Yt ) = ⎜ ⎟ Ln⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ Ln( Bt ) + ⎜ ⎜ Y ⎟ ⎝ 1 − α ⎟ Ln(T ) + ⎜1 − 1 − α ⎟ Ln( Lt ) ⎠ ⎝ ⎠ ⎝1−α ⎠ ⎝ t ⎠ ⎝1−α ⎠ Tomando la derivada temporal a la ecuación anterior. nos ayuda a obtener la tasa de crecimiento de la economía.2 Determinación de la tasa de crecimiento Crecimiento Económico Para determinar la tasa de crecimiento de la economía. I 7. es una relación constante entonces g ( K / Y ) = 0 . la tasa de crecimiento del producto (PBI) en el 245 . Reemplazando estos dos supuestos en la ecuación (II) obtenemos: β ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ gY = ⎜ ⎟ g B + ⎜1 − ⎟ g L K( III ) ⎝1−α ⎠ ⎝ 1−α ⎠ Asumiendo que la tasa de crecimiento poblacional esta representado por n . tenemos: β ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ gY = ⎜ ⎟ g B + ⎜1 − ⎟nK( IV ) ⎝1− α ⎠ ⎝ 1−α ⎠ Donde g B = mL : Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo.3. que en una economía capitalista en la cual se esta considerando la tierra como un factor fijo. pasaremos a reemplazar la tasa de crecimiento del producto por su equivalente en términos per cápita yt = Yt dLn( yt ) dLn(Yt ) dLn( Lt ) ⇒ = − Lt dt dt dt ⇒ g y = gY − n ⇒ gY = g y + nK(V ) Reemplazando la ecuación (V) en la ecuación (IV) β ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ gy + n = ⎜ ⎟ g B + ⎜1 − ⎟n ⎝1−α ⎠ ⎝ 1−α ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ β ⎞ gy = ⎜ ⎟gB − ⎜ ⎟nK(VI ) ⎝1−α ⎠ ⎝1−α ⎠ La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del producto por trabajado depende directamente de la tasa de progreso tecnológico e inversamente de la tasa de crecimiento poblacional. quedando: ⎛ β ⎞ g y = −⎜ ⎟n ⎝1−α ⎠ Lo que nos da el caso de Malthus. 7. I Crecimiento Económico largo plazo dependerá de la tasa de progreso Tecnológico ( g B ) y de la tas de crecimiento de la población ( n ). por que no considera el progreso tecnológico. Para hallar la tasa de crecimiento por trabajador que es lo que nos importa.Cesar Antunez. 246 . esto implica que en esta economía la tasa de crecimiento del producto por trabajador va ser negativo por que no considera la tasa de progreso tecnológico y esto lleva a la llamada “profecía de Malthus”.3 Tipología En este caso se abstrae el progreso tecnológico de la ecuación (VI).3. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Apéndice de Revisiones Matemáticas 247 . Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 248 . b > y x0 ∈ < a. esto quiere decir que un cambio pequeño del stock de capital. dx Primera Derivada Esta derivada representa la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto.1 n esta parte revisaremos las herramientas matemáticas. Si f ′( x) > 0 entonces la función es creciente. nos quiere decir que f ′( x0 ) representa la pendiente de la recta tangente a la función f (x) es el punto x0 Un ejemplo de la definición de la derivada es f (k ) = 25k . cociente incremental cuando Δx → 0 ( x ∈ Dom f ) Δx → 0 Lím f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx x ∈ Dom f x = Δx + x0 ∧ Δx = x − x0 La interpretación de la derivada. entonces la derivada de la función con respecto a k es df / dk = 25 . Notación de derivadas f ′( x) : Notación de Lagrange. f ′(k ) cambia por 25 veces la cantidad. b > . I Crecimiento Económico E A.Cesar Antunez. Si f ′( x) < 0 entonces la función es decreciente. Si f ′( x) = 0 entonces existe un punto máximo o mínimo. 249 . dy : Notación de Leibnitz. que se utiliza a lo largo de este texto. Df (x) : Notación de Cauchy. Donde trataremos de repasar manera simplificada el cálculo elemental y de las matemáticas usadas que es de uso común en los modelos de crecimiento Derivadas Sea y = f (x) una función continua en el intervalo < a. Si f ′′( x) < 0 entonces existe un máximo. mínimos o y puntos de inflexión. • • d (c ) = 0 (derivada de una constante) dx c : es una constante dLnf ( x) 1 = .Cesar Antunez. I Segunda Derivada Crecimiento Económico Esta derivada se utiliza para saber si existen máximos. f ′( x) (derivada de una función potencial ) dx d [ f ( x) ± g ( x)] = f ′( x) ± g ′( x) (derivada de una suma y resta de funciones ) dx dg n ( x) = ng n −1 ( x). f ′( x) (derivada de una función logarítmica) dx f ( x) de f ( x ) = e f ( x ) . dG n ( x) n −1 = n[G ( x)] . La regla mas conocida y aplicada es la regla de la cadena. donde G (x) es una función continua donde x ∈ Dom f .1. Si f ′′( x) = 0 entonces la función tiene un punto de inflexión.G′( x) dx A. Si f ′′( x) > 0 entonces existe un punto mínimo.1 Reglas de derivación Mostraremos las derivadas más utilizadas a lo largo de este texto que han sido aplicados a los modelos.g ′( x) (derivada de la cadena) dx df ( x) d [h( x) / g ( x)] h′( x) g ( x) − g ′( x)h( x) = = (derivada de una división de funciones ) dx dx [g ( x)]2 df ( x) dg ( x) dh( x) (derivada de un producto de funciones) = h( x ) + g ( x) dx dx dx • • • • • 250 . l . ∂l ∂f : La derivada parcial f respecto a t .) d (25) = =0 dx dx d ( Lnk ) 1 = dk k Si f (k ) = Ln(k ) entonces Si f (k ) = e0. t ) .8 dk h( k ) g (k ) 5k 3 h(k ) = 2k ∧ g (k ) = 5k 3 d (2k ) d (5k 3 ) − 2k 3 3 dk dk = 10k − 30. ∂f : La derivada parcial de f respecto a k . siendo u = g ( x) Aplicaciones de las reglas de derivación • • • • • • Si f (.1k − 0. ∂t 251 .50k + 25k 2 .g ( x) • Crecimiento Económico dy dy du (derivada de la función de una función) = .2 entonces Si f (k ) = df (k ) = 0. + 25k 2 dk dk dk df (k ) = 4k 3 . dx du dx Donde y = u ( x) .25 k dk dk df (k ) = 28 k Si f (k ) = 28k ± 9 entonces Si f (k ) = 5k 0.25 k ) = = 0. I Donde f ( x) = h( x).25 k entonces df (k ) d (e0. ∂k ∂f : La derivada parcial de f respecto a l .h(k ) dado que g ( x) = 25k 2 ∧ h(k ) = 4k 3 df (k ) d (25k 2 ) d ( 4k 3 ) = 4k 3 .) = 25 entonces df (.25e0.k = − 4 (5k 3 ) 2 256 5k 3 df (k ) = dk • Si f (k ) = g (k ).12k 2 = 500k 4 dk Derivadas parciales Sea f en dos o mas variables tenemos que f es una función en tres variables z = f (k .Cesar Antunez. 75 0. Si Y = K α aplicando logaritmo natural a la expresión Ln(Y ) = αLn( K ) . Como vemos aplicando logaritmo natural a la expresión de un producto.25 ∂K L A.1. 252 .25 L0. Aplicación: F ( K . para referirnos a • • dz . generalmente cuando tenemos una expresión como se muestra a continuación. I Crecimiento Económico Para las derivadas parciales de asume que la derivada de la función respecto a las demás variables son fijas o constantes y solo es variables la variable en estudio.02 .1. esta expresión nos quiere decir que la fuerza laboral esta creciendo al 2% en este país anualmente. • A.75 L0. y no usaremos la expresión de cambio porcentual.Cesar Antunez.3 Tasa de crecimiento natural Es muy usada para hallar la tasa de crecimiento. K t − K t −1 Kt Donde usaremos la representación de z . L) = 25 K 0.75 K ∂K ∂F 1 = 18. Si Y = KL entonces aplicando logaritmo natural a la expresión Ln(Y ) = Ln( K ) + Ln( L) .75 Hallar ∂F ∂F ∧ ∂K ∂L ∂F 1 = 6. lo que dividiendo entre z dt z nos da = γ z que representa a la tasa de crecimiento de z . una suma o división nos ayuda a obtener la tasa de crecimiento de la variable a analizar en forma sencilla.25 0. para expresar el cambio porcentual.2 Tasa de crecimiento En la literatura de crecimiento es muy utilizada esta tasa.25 K 0. z Ejemplo su pongamos que L/ L = 0. En este texto para simplificaciones matemáticas consideraremos a la tasa de crecimiento como la derivada dK / dt entre su valor inicial K . ct . ct : Variable de control. t ) k0 Esta dado kt e − r T T ≥ 0 Donde • J (0) : Valor de la función objetivo en el instante inicial. ct . r T : Tasa de descuento que se aplica en el último momento. H (kt . Para esto el agente quiere maximizar una función objetivo sujeta a una serie de restricciones dinámicas que describen la evolución del estado de la economía. Madrid) En economía los métodos dinámicos se comenzaron a utilizar en los años cincuenta y sesenta del siglo XX con Hotelling y Ramsey. t ) 253 . t ) = U (kt . t )dt 0 T s. 1º. El cálculo de variación surgió en el siglo XVIII y recibió en los tratados de Euler (1707-1783) y de Lagrange (1736-1813).a : k t = g (kt .g (kt . λt ) + λt . como sabemos las variables de control son las que no aparecen con el puntito. editorial: Pearson Educación. ct . λt .A. Identificar las variables de control y estado.Cesar Antunez. I A. Supongamos que un agente económico tiene que escoger o controlar un conjunto de variables en un tiempo. El primero fue desarrollado por Richard Bellman (1957). Emilio (2001) “Optimización Dinámica” pág. donde es la suma de la función objetivo instantánea más un precio implícito o multiplicador de Lagrange multiplicado por la restricción que no tiene el puntito. Hay que mencionar que existen dos métodos para solucionar problemas dinámicos.:7. T : Momento final. kt .2 Crecimiento Económico Optimización Dinámica: Teoría de control óptimo La optimización dinámica tiene sus orígenes en el cálculo de variación. S. al contrario de las variables de estado que aparecen con un puntito encima de la variable. Plantear el hamiltoniano. kt : Variable de estado. y es muy usado en la solución de problemas estocásticos. En 1755 Lagrange comunico a Euler el método general analítico. Máx J (0) = ∫ U (ct . El segundo se debe al matemático ruso L. creado por él. 2º. que esta representado por variables de estado. llamadas variables de control. en el que introdujo la variable de una función y donde extiende a las variaciones de la regla de cálculo diferencial (Cerda.Pontryagin (1962) que se basa en el método del hamiltoniano y este método es el que se a usado para solucionar los problemas a lo largo de este texto y que pasaremos a explicar. ct . la teoría clásica de control y la programación lineal y no lineal (Bryson (1999)). c2t . 2º Se plantea la función Hamiltoniano como la suma de la función objetivo instantánea más un multiplicado de Lagrange por cada restricción multiplicado por la ecuación que no aparece en el puntito.K k pt ) ⎪• ⎪k = g (c1t .a].Kcnt . k2t .Kcnt . k pt Están dadas k1T e − r T T ≥ 0 La solución de este problema con una variable de control y de estado. λT kT = 0 Si el horizonte temporal fuese infinito la condición será: Lím λt kt = 0 t →∞ En el caso que la función objetivo no tenga tasa de descuento la condición será: Lím H t = 0 t →∞ A. Máx J (0) = ∫ U (c1t . I Crecimiento Económico 3º. k1t . a esta condición se llama la condición de transversalidad.K k pt . c2t . k20 . Tomando la derivada con respecto a la variable de estado e igualando al negativo del multiplicador con respecto al tiempo.Kcnt .Kcnt y variables de estado k1t . k2t . 254 .Kcnt . Las variables de estado son las que aparecen con el puntito encima de la variable en la [s.K k pt ) ⎩ 0≤t ≤T k10 .K k pt . k 2t .3 Caso de múltiples variables Es el caso mas general donde existen múltiple variables de control y múltiples variables de estado representados por la generalización del control óptimo. las variables de control son las que no aparecen con el puntito. = −λt ∂kt ∂kt ∂kt 4º.a : ⎨ 2t ⎪KKKKKKKKKKKKKK ⎪• ⎪k pt = g (c1t . c2t . k1t .K. Suponga un modelo con muchas variables. 1º Identificar las variables de control y de estado. c2t . k1t . t )dt 0 T ⎧• ⎪k 1t = g (c1t . • ∂H ∂U ∂g = + λt . k 2t .Cesar Antunez. supongamos n variables de control c1t . k1t . Se multiplica a la variable de estado por el precio implícito en el momento terminal y se iguala a cero.K k pt ) s. c2t . k2t . I Crecimiento Económico H ≡ U (c1t . λiT kiT = 0 i = 1. k1t . a esta condición se llama la condición de transversalidad.K k pt ) + ∑ λi . p Si el horizonte es infinito la condición de transversalidad esta dada por: Límλit kit = 0 i = 1. ∂H =0 ∂c j j = 1.Kcnt .g i () i =1 p 3º Se deriva el hamiltoniano con respecto a cada una de las variables de control y se iguala a cero.Cesar Antunez. n 4º Se deriva el hamiltoniano con respecto a cada una de las variables de estado y se iguala al negativo de la derivada del multiplicado. p t →∞ 255 . por su multiplicador con el mismo momento y se iguala acero. c2t . k2t . • ∂H = − λ it ∂ki i = 1. p 5º Se multiplica las variables de estado en el momento terminal. I Crecimiento Económico 256 .Cesar Antunez. Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Biografías 257 . Cesar Antunez. I Crecimiento Económico 258 . General competitive analysis (1971). a continuación. completados después en la Universidad de Chicago (19481949). Elección social y valores individuales.com/biografia/a/arrow. Social choice and multicriterion decision-making (1986). entre ellas la Sociedad Econométrica. Koopmans.htm 259 . General equilibrium (1983). I Crecimiento Económico Arrow Kenneth (Nueva York. como jefe del Departamento de Economía y Estadística. ingresó en la Universidad de Columbia para estudiar Ciencias Económicas. The economics of information (1984). Kenneth Arrow fue una de las más destacadas figuras de la nueva línea de economistas que fundamentaban sus trabajos en profundos conocimientos estadísticos. por esta obra se reconoce a Kenneth Arrow como el fundador de la moderna teoría económica de la elección social Entre 1949 y 1968 trabajó en la Universidad de Stanford. que presidió en 1956. junto con el británico Sir John R. En 1962 formó parte del Consejo de Economía del gobierno y un año después fue nombrado miembro del Churchill College de Cambridge. Social Choice and Justice (1983). premio Nobel de Economía en 1972. que en 1957 le premió con la Medalla John Bates Clark. la Sociedad Filosófica Americana. 1921) Economista estadounidense. un equipo de jóvenes economistas dirigido por Tjalling C. En 1946 reanudó sus estudios universitarios en Columbia. Extraído de: http://www.Cesar Antunez. primero como profesor ayudante y. también fue miembro del equipo de Investigaciones en Ciencias Sociales (1952) y del Instituto de Estudios Avanzados para Ciencias del Comportamiento (1956-1957). la Academia Americana de las Artes y las Ciencias. Otras obras suyas son Essays in the Theory of Risk Bearing (1971). Inició sus estudios en el City College de Nueva York. Perteneció a diversas instituciones y asociaciones profesionales. pionero de la Econometría y que influyó decisivamente en Arrow. En su nuevo destino formó parte de la comisión Cowles para la investigación económica. donde fue contratado como profesor ayudante de Economía. Individual choice under certainty and uncertaint (1984). por sus teorías sobre el equilibrio general económico y el bienestar. la Academia Nacional de las Ciencias. y la Asociación Americana de Estadística. en la que expuso su "teorema de la imposibilidad". En 1951 publicó su obra más importante. donde obtuvo en 1940 el grado de bachiller en Ciencias Sociales y. más tarde. la Asociación Americana de Economía. The Limits of Organization (1974). Entre 1968 y 1979 trabajó en la Universidad de Harvard (en la que introdujo sus nuevos métodos para elaborar teoría económica) y en 1979 regresó a Stanford. Hicks. Durante la Segunda Guerra Mundial sirvió en el ejército como capitán de las fuerzas aéreas en una unidad de Meteorología.biografiasyvidas. según el cual resulta inviable elaborar una función de bienestar social a partir de funciones de bienestar individual sin infringir ciertas condiciones mínimas de racionalidad y equidad. y Lecturas de teoría política positiva (1991). I Crecimiento Económico Domar David (Joshua Domashevitsky. así como de diversos trabajos en historia económica. Pasó su juventud en Manchuria y China. En 1946 contrajo matrimonio con Carola Rosenthal. En 1946 desarrolló. Fue asesor económico de varios organismos.Concord. paralelamente a Roy F. Representante de la escuela keynesiana. fue responsable del célebre modelo Harrod-Domar de crecimiento económico. un modelo de crecimiento basado en las tesis keynesianas sobre el papel ejercido por la demanda.htm 260 . Ingresó en la Universidad de Berkeley (California). Sus primeros trabajos trataron acerca del déficit público y su influencia sobre el crecimiento económico. Harrod. materia en la que se doctoró en 1947 en ese mismo centro. Sus obras más destacadas fueron Expansión y Empleo (1947). con quien tuvo dos hijos. Lódz. así como en las cuestiones del pleno empleo y la acumulación de capital. Extraído de http://www. Ensayos sobre Teoría del Crecimiento Económico y Capitalismo (1957). La Granja Colectiva Soviética como productor Cooperativo (1966). En 1943 se licenció en Ciencias Económicas por la Universidad de Harvard. 1914 . y posteriormente pasó a la Universidad de Michigan en la que obtuvo el doctorado en Estadística Matemática en 1941. donde se licenció en 1939. Las causas de la Esclavitud: una hipótesis (1970) y Capitalismo. centro en donde permaneció hasta su jubilación en 1984.com/biografia/d/domar. hasta que en 1936 emigró a los Estados Unidos.biografiasyvidas. Acumulación de Capital y Fin de la Prosperidad (1949). En 1958 fue nombrado profesor de Economía en el Instituto de Tecnología de Massachusetts. 1997) Economista estadounidense de origen polaco. y al año siguiente profesor ayudante de Economía en el Instituto Carnegie de Tecnología. Entre 1943 y 1946 fue asesor económico del Consejo de Gobernadores de la Reserva Federal. socialismo y Servidumbre (1989).Cesar Antunez. Economic Essays. "Price and Cost in Entrepreneurs' Policy". 1934.net/cursecon/economistas/harrod. EJ. "Essay in Dynamic Theory". 1957. contemporáneo. "Professor Fellner on Growth and Unemployment". Su contribución más popular es el modelo de crecimiento llamado de Harrod-Domar. "Doctrines of Imperfect Competition". una idea pionera también fue descubierta independientemente por Jacob Viner. amigo y seguidor de J.eumed. 1960. "Domar and Dynamic Economics".Cesar Antunez. Keynes and Traditional Theory". En 1939 publica un análisis del comportamiento empresarial en el que propone un modelo evolutivo de selección natural de los comportamientos de maximización de beneficios. I Crecimiento Económico Harrod Roy. la forma de la curva de costes medios a largo plazo como una envolvente de las curvas a corto plazo. 1930. propuesto inicialmente por él en 1939 y desarrollado posteriormente por Evsey Domar. Obras de Roy F. Extraído de: http://www. Reforming the World's Money. Estableció las bases del análisis de la teoría de la competencia imperfecta que más adelante desarrolló Joan Robinson. 1956. Harrod • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • "Notes on Supply". 1963. EJ. "Retrospect on Keynes". "Themes in Dynamic Theory". en 1931. Propuso. "The Equilibrium of Duopoly". EJ. 1934. por tanto. Oxford EP. 1948. 1965. 1936. in Lekachman. que sentó las bases de la teoría del crecimiento económico de la postguerra. EJ. posteriormente formalizados por Samuelson y Hicks. Foundations of Inductive Logic. Money. "The Expansion of Credit in an Advancing Economy". En todos sus trabajos subyace una visión dinámica de la economía.F Roy Harrod es un economista de Oxford. The Life of John Maynard Keynes. 1959. "The Law of Decreasing Costs". idea que sería recogida y desarrollada por Armen A. The British Economy.htm 261 . 194? Towards a Dynamic Economics. más sofisticada y realista. 1939. EJ. 1968. 1963. Alchian en los años 50. EJ A Page of British Folly. 1963. Harrod fue el primero en proponer un gran número de ideas básicas de la teoría económica aunque no fue reconocido como tal en su tiempo. Formuló el modelo IS-LM en 1937. 1931. Economica The Trade Cycle: an essay. editor. Dollar-Sterling Collaboration. 1951. EJ "Second Essay on Dynamic Theory". Kyklos "Factor Price Relations Under Free Trade". 1934.Keynes. 1939. "Mr. 1937. 1952. Economic Dynamics. EJ. Diseñó el modelo del multiplicador-acelerador en 1936. 1958. 1969. 1975.M. 1933. QJE. Keynes's General Theory. que la visión estática de la mayoría de los teóricos. Econometrica. International Economics. cuya obra fundamental recién se había publicado -generando gran expectación. que estaba siendo severamente cuestionada tras la crisis economica de los años 30. Inglaterra en 1904. En un principio. donde estuvo desde 1946 hasta su retiro de la actividad académica. En 1939 publico su obra mas importante. en Oxford. el "modelo IS-LM".eco-finanzas. Así mismo realizo decisivas aportaciones a la economía financiera. como posteriormente seria conocida. Manchester (1938-1946) y. Valor y capital. donde llevo a cabo una destacada labor de unificación entre las teorías del ciclo económico y del equilibrio general. al sur de Gran Bretaña. Valor y capital.com/economia/economistas/Hicks. pero gradualmente se movió hacia una perspectiva más analítica. En el colegio mostró un gran interés por las matemáticas. Hicks se dedico a trabajos descriptivos de las relaciones industriales.Cesar Antunez. Hicks realizo un esfuerzo de conciliación del pensamiento de Keynes. Extraído de: http://www. el capital) veía reducida su participación en el total de ingresos de la economía. finalmente. y quizás su aporte mas popular . demostró que el factor de producción de mayor crecimiento (en el caso de las economías occidentales. Falleció en Gloucestershire. Por una parte. ejerció como profesor en la London School of Economics (1926 -1935) y en las universidades de Cambridge (1935-1938). John Hicks nació en Warwick. Keynes y los clásicos" (1937). En 1972 le fue concedido el Premio Nobel de Economía. que compartió con el estadounidense Kenneth Joseph Arrow. la literatura y la historia. A fines de la década del 30.un articulo publicado en la revista Econometrica: "Mr. Durante los últimos años de su vida. en 1989. De la conciliación de ambos mundos resulto la teoría "Hicks -Hansen" o. sobre el campo de la teoría del equilibrio. particularmente. especialmente en el campo de los derivados. donde llevo a cabo una destacada labor de unificación entre las teorías del ciclo económico y d el equilibrio general. En este articulo. publico sus obras más populares e importantes. I Crecimiento Económico Hicks John Hijo de un periodista del diario local del pueblo. Hicks siguió trabajando en investigaciones sobre el desarrollo económico y. Solo con el tiempo iría haciendo patente su afición a la economía. con la economía neoclásica.htm 262 . En el ámbito de la teoría de la distribución. Luego de graduarse en la Universidad de Oxford. a la que realizó una serie de aportaciones fundamentales sobre el crecimiento económico. En la década comprendida entre 1955 a 1964. la distribución de la renta y la política impositiva. En su trabajo A model of Economic Growth (Un modelo de desarrollo económico). repartidas entre congresos. 1908 . Kaldor desarrolló un modelo que él mismo definió como keynesiano. intentó realizar una síntesis de la teoría de Keynes con los dictados económicos más clásicos y ortodoxos. En sus últimos años se distinguió por ser uno de los mayores críticos de la política monetaria practicada por el Gobierno conservador de Margaret Thatcher. Kaldor cursó estudios universitarios en la prestigiosa London School of Economics. y en el que trató de determinar la variación de la tasa de inversión en función de la tasa de beneficios. donde permaneció hasta el año 1975. en el año 1949 reemprendió su carrera académica en el King´s College de la Universidad de Cambridge.así como. en el que trata de determinar la variación de la tasa de 263 . sus aportaciones sobre el crecimiento económico. revistas. que él mismo definió como keynesiano y que complementa el de Harrod-Domar. desde 1949. Kaldor actuó como asesor económico para varios países (India. en la que posteriormente impartió clases entre los años 1932 a 1942.y del gobierno británico (1964-68). y posteriormente en el año 1960 en Essays in Economic Stability and Growth (Ensayos sobre estabilidad y desarrollo económico). 1974-1976). ponencias. Es autor de una ingente cantidad de publicaciones. ocupación que pasó a desempeñar para el Gobierno británico y para su ministerio de Hacienda en dos períodos diferentes (1964-1968. México y Australia entre otros muchos). Sobre el crecimiento desarrolló un modelo. que complementaba el propuesto por Harrod y Domar. Estudió en la London School of Economics.Cesar Antunez. Tras dos años alejado de la docencia. la distribución de la renta y la política fiscal son fundamentales. Asesor económico (1955-64) de diversos países -India. México y Australia entre ellos. publicado en el año 1957 en la revista The Economic Journal. Profundamente influido por la economía keynesiana y de ideario socialdemócrata. de la que fue profesor (1932-47). ensayos y libros de divulgación económica. 1986) Economista británico de origen húngaro. del King's College de Cambridge. I Crecimiento Económico Kaldor Nicholas (Budapest.Papworth Everard. htm 264 .Cesar Antunez. sobre política fiscal escribió An Expenditure Tax (Un impuesto al gasto. Extraído: http://www.biografiasyvidas. I Crecimiento Económico inversión en función de la tasa de beneficios.1961). También publicó Capital Accumulation and Economic Growth (1961). 1957) y posteriormente en Essays in Economic Stability and Growth (Ensayos sobre estabilidad y desarrollo económico. trabajo que apareció publicado en The Economic Journal con el título de «A Model of Economic Growth» (Un modelo de desarrollo económico. Conflicts in Policy Objetives (1971) y Further Essays on Economic Theory (1978). 1955) y Essays in Economic Development (Ensayos sobre el desarrollo económico.com/biografia/k/kaldor. Por último. 1960). Sus estudios sobre la teoría de la distribución fueron publicados igualmente en The Economic Journal con el título «Welfare Propositions and Interpersonal Comparisons of Utility». "The Determinants of Distribution of the National Income". 1937. 1933-1939. "A Macrodynamic Theory of Business Cycles". Przeglad Socjialistyczny. 1935. RES. "A Note on Long Run Unemployment". 1936. RES. Polska Gospodarcza. "A Theory of Profits". 1933. The Last Phase in the Transformation of Capitalism. EJ. "Observations on the Theory of Growth". Essays on Developing Economies. 1971. "The Mechanism of Business Upswing". "Class Struggle and the Distribution of National Income". Obras de Michal Kalecki • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • "Mr Keynes's Predictions". Selected Essays on the Economic Growth of the Socialist and the Mixed Economy. Kaldor) y entre los economistas post-keynesianos. sin embargo. EJ. 1968. interesándose por los conflictos de clase. EJ. 1932. "The Principle of Increasing Risk". 1942. Social Science Information. Economica. "A Theory of the Business Cycle". 1943. 1962. en polaco. Utiliza ampliamente conceptos clásicos y marxistas. es reconocido mundialmente. An Essay on the Theory of the Business Cycle. 1944 in Economics of Full Employment. Theory of Economic Dynamics: An essay on cyclical and long. "Trend and the Business Cycle". Al parecer. Studies in the Theory of Business Cycles.eumed. Robinson y N. Econometrica. EJ. 1943. Estas ideas tuvieron influencia y reconocimiento en la keynesiana escuela de Cambridge (especialmente entre sus miembros más próximos al marxismo como J.htm 265 . la distribución de la renta y la competición imperfecta. Revue d'economie politique.. Essays in the Theory of Economic Fluctuations. Studies in Economic Dynamics. 1938. "Essai d'une theorie du mouvement cyclique des affaires". 1972.net/cursecon/economistas/kalecki. 1937.Cesar Antunez. Income and Capital Taxation". 1944. En los años 30. I Crecimiento Económico Kalecki Michal Economista polaco. 1950.. 1968. "Professor Pigou on the Classical Stationary State". "Political Aspects of Full Employment". 1967. Kyklos. 1966. "Three Ways to Full Employment". 1935. Extraído de: http://www. 1976. Ekonomista.run changes in capitalist economy. 1935. Ekonomista. "The Problem of Effective Demand with Tugan-Baranovski and Rosa Luxemburg". 1972. 1937. 1933-1970. Fue también un pionero en el análisis matemático de la dinámica económica. 1971. "The Marxian Equations of Reproduction and Modern Economics". "Some Remarks on Keynes's Theory". Econometrica. Selected Essays on the Dynamics of the Capitalist Economy. "A Theory of Commodity. Political Quarterly. Sus publicaciones más conocidas tratan de los ciclos económicos. EJ. 1954. 1939. gran parte de los principios que estableció Keynes en 1936 habían sido ya avanzados y publicados anteriormente por Kalecki. Presidente del proyecto de Falk para la investigación económica en Israel.asp?fam=4&qsa=205&qsd=133 266 . Kuznets era también uno de los primeros trabajadores en la economía del desarrollo. Crecimiento económico moderno (Modern Economic Growth. trabajó sobre todo en análisis cuantitativo comparativo del desarrollo económico de naciones. Contrastó la teoría Keynesiana del ahorro mediante elementos estadísticos y econométricos analizando el Producto Nacional Bruto de Estados Unidos en su libro "Ingreso nacional y composición" publicado en 1941. Los teóricos de la economía consideran a Kuznets como un empirista. Entre sus varios descubrimientos que chispearon los programas de investigación teóricos importantes estaba su descubrimiento de la relación en forma de "U" invertida entre la desigualdad y el desarrollo económico (1955. De padres judíos. 1953-1963. las cuales lo llevaron a ganar el premio de ciencias económicas del banco sueco y recibió el Premio Nobel de Economía en 1971 por su interpretación del crecimiento económico que permitió desarrollar nuevos planteamientos sobre la estructura social y económica del mundo.Cesar Antunez. 1979). y se utiliza para determinar la tasa de crecimiento económico de un país. Simon fue presidente del comité de consejo de investigación de la sociología sobre el desarrollo económico (1949-1968). pero en 1922 se mudó a Estados Unidos terminando sus estudios en la Universidad de Columbia. 1968) Información recopilada por Paola Rebeca Acuña. que es la suma de bienes y servicios que produce una nación. Después fue catedrático de Economía y Estadística de la Universidad de Pensilvania en 1936. inició sus estudios universitarios en su país natal. Fue un economista con grandes ideas. 1963) de la renta. 1961-1970. OBRAS Ingreso nacional y su composición (2 volúmenes. Desarrolló el concepto de producto nacional bruto. miembro del tablero de los administradores y del presidente honorario. 1944-1946. National Income and Its Composition. 2006 FUENTE: www. 1971. 1966) y Hacia una teoría del crecimiento económico (Toward a Theory of Economic Growth. él también descubrió los patrones en el comportamiento de la ahorro-renta que lanzó la hipótesis de la Vida Ciclo Permanente de Renta de Modigliani y de Friedman. 1941). instituto de Maurice Falk para la investigación económica en Israel.org/economistas. tablero de producción de la guerra.economistas. I Crecimiento Económico Kuznets Simon Nacido en Járkov. Fue Director del asociado de la oficina del planeamiento y de la estadística y director de la investigación. ULACIT. comité de planeamiento. 1966. 1963 y presidente. Ucrania y nacionalizado estadounidense. particularmente recogiendo y analizando las características empíricas de los países en vías de desarrollo (1965. Fue contratado para trabajar en la Oficina Nacional de Investigación Económica en 1927. comité de consejo de investigación de la sociología sobre la economía de China. 1946. Manchester School "The Effects of the Overseas Slump on the British Economy". 1939. Economica Monopoly in British Industry. 1942. "The Two-Part Tariff". En el sector urbano. 1949. Fondo de Cultura Económica. obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1979. 1949. Modern Law Review "Competition in Retailing". lo que significa que la emigración de trabajadores del campo a la ciudad no provoca disminución del producto agrícola. Mary's College de santa Lucía y en la London School of Economics. Labour in the West Indies. El supuesto básico del modelo de Lewis es que el sector rural está superpoblado y la productividad del trabajo es muy baja. La productividad marginal del trabajo rural es prácticamente nula. Manchester. Fondo de Cultura Económica. donde obtuvo el doctorado en 1940. Economic Problems of Today. 1949. en las Antillas. Estudió en el St. 1945. Se produce así en el sector urbano un "círculo virtuoso" ahorro > inversión > empleo que no se ve interrumpido por tensiones salariales ni por falta de trabajadores. por su investigación pionera en el desarrollo económico con atención particular a los problemas de los países en desarrollo. Prices and Trade. lo que implicará el final de la situación de subdesarrollo. Obras: La planeación económica. Manchester School "Sur Quelques Tendences Seculaires". Economica "The Economics of Loyalty". with F. y Princeton. 1940. 1943. Economica "The Prospect Before Us". Economie Appliquee Economic Survey. Meyer. 1919-39. nacido en Santa Lucía. "World Production. la productividad del trabajo es mucho mayor que en el campo. Manchester School "Colonial Development".Fue profesor en las Universidades de Londres.v. Manchester School 267 . Principles of Economic Planning. por lo que el crecimiento del sector industrial-urbano está garantizado hasta que el sector rural de baja productividad quede despoblado. I Crecimiento Económico Lewis Arthur Economista británico. 1949. Teoría del desarrollo económico. México 1968. 1949. Fue asesor de la Comisión Económica de las Naciones Unidas para Asia y el Lejano Oriente y Presidente del Banco de Desarrollo del Caribe. 1945. compartido con Theodore W. Transactions of Manchester Statistical Society "The British Monopolies Act". el rural y el urbano. Ed. Economica "Monopoly and the Law". 1941. 1954. Manchester School "Economic Development with Unlimited Supplies of Labor". 1952. Esa demanda puede ser satisfecha sin que aparezcan tensiones salariales ya que hay una oferta de trabajo infinitamente elástica procedente de las zonas rurales. West India. Schultz. 1955.Cesar Antunez. 1949. Lewis analiza los países en desarrollo y pone de relieve su dualidad: Hay en ellos dos sectores económicos claramente diferenciados. 1949. 1942. 1948. 1949. 1870-1960". "Fixed Costs". México. Overhead Costs. Eso permite que haya ahorro e inversión por lo que aumentará de forma sostenida la demanda de trabajadores. net/cursecon/economistas/lewis. Employment. 1964. 1972. Social and Economic Studies "Education for Scientific Professions in the Poor Countries". in Beeby. Growth and Fluctuations. Martin. 1978. in Ranis. O'Leary. with P. 1870-1913. Manchester School. Income Distribution and Development Strategy The Less Developed Countries and Stable Exchange Rates. World Economic Order Extraído de: http://www. 1967. Manchester School "Employment Policy in an Underdeveloped Area". World Today Some Aspects of Economic Development "Economic Aspects of Quality in Education". Manchester School "International Competition in Manufactures". Manchester School "The Slowing Down of the Engine of Growth: Nobel Lecture". The Evolution of Foreign Aid. 1978.J. Daedalus "Industrialization and Social Peace". 1979. 1965. 1963 in Conference Across a Continent "Secondary Education and Economic Structure". 1974. International Economics and Development "Objective and Prognostications". 1972. 1955. in Cairncross and Puri. Socialism and Economic Growth. "Reflections on Unlimited Labour". 1971. 1955. The Theory of Economic Growth. "Development and Distribution". 1980. 1969. The Evolution of the International Economic Order. editors. 1974. editor. 1978. "Patterns of Public Revenue and Expenditure". Social and Economic Studies "A Review of Economic Development". AER "Unlimited Labor: Further notes". AER Politics in West Africa. Social and Economic Studies "The Shifting Fortunes of Agriculture". editor.Cesar Antunez. editor. 1960. "The Dual Economy Revisited". 1870-1913". 1958. 1961. in diMarco. in Grassman and Lundberg. The University in Less Developed Countries.eumed. 1957. 1956. with A. Depreciation and Replacement Policy "Education and Economic Development". in Meij. I Crecimiento Económico "Thoughts on Land Settlement". editors. Qualitative Aspects of Educational Planning Aspects of Tropical Trade. AER. District Bank Review "Secular Swings in Production and Trade. in Agriculture and its Terms of Trade "Depreciation and Obsolescence as Factors in Costing". 1976. 1961. 1981. "The Rate of Growth of World Trade. 1969. "Unemployment in Developing Countries". Gap Between Rich and Poor Nations Development Economics: an outline. 1954. 1883-1965. editor. J of Agric Econ "Trade Drives". 1830-1973". 1962. 1972. 1958.htm 268 . 1954. 1965. Su padre era publicista y su madre nutricionista. según informo la Academia Real Sueca de las Ciencias. Phelps desafió esta idea. En 1981 fue nombrado miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos y en el ano 2000 fue nombrado miembro distinguido de la Asociación de Economía Americana. Dauphine y Pekín. Phelps comenzó sus estudios universitarios en Yale. habría que aceptar en nivel de empleo que fuera congruente con un nivel de inflación aceptable. Phelps realizo sus estudios secundarios en el colegio de Amherst. se dice que la inflación presente influirá de manera decisiva en la inflación futura. resumiendo las ideas de Phelps. Aportes Los aportes de Phelps se concentran en la introducción de las expectativas de los agentes económicos en la determinación de la relación entre la tasa de inflación y desempleo (La Curva de Phillips a largo plazo). sus contribuciones han tenido un impacto decisivo sobre la investigación economica y política. Roma. así como para instituciones extranjeras como el Observatorio francés de coyunturas economizas. la curva de Phillips era muy popular. en Nueva York. Curva de Phillips En los anos sesenta. pero su padre lo convenció de que tomara unos cursos de economía.Hudson. La curva de Phillips indicaba que ya no se podrían alcanzar en forma conjunta el pleno empleo y una baja inflación. Estados Unidos.Cesar Antunez. Según publico la academia. luego siguió en la Universidad de Pennsylvania y en 1971 en la Universidad de Columbia. Phelps se especializo en el estudio de la economía China. Obtuvo su doctorado en 1959. Los intentos de reducir permanentemente 269 . Ambos perdieron sus empleos. teniendo en cuenta sus expectativas. y una formula de la formación de capital a largo plazo. Edmund Phelps gano el Premio Nobel de Economía. Nueva York. Islandia. por ejemplo. el Comité de Finanzas del Senado y la Reserva Federal. Illinois. Phelps dice que cuando la inflación actual y la esperada coinciden. Allí es desde 1982 profesor de economía política. su familia se mudo a Hastings on. Phelps es doctor honoris causa por las Universidades de Mannheim (Alemania). La academia Sueca de Ciencias afirmo. señala. Luego de terminar sus estudios secundarios. que incluye a la educación y a la inversión en investigación y desarrollo como elementos que influyen en el consumo per capita a largo plazo. Comenzó su carrera académica en la comisión Cowles en Yale. en 1955. se intereso por la filosofía. Principalmente. Inicialmente. En Septiembre de 2006. 'El trabajo de Edmund Phelps ha ahondado nuestro conocimiento de la relación entre los efectos de corto y largo recorrido en la política internacional. Entre sus profesores se encontraron James Tobin y Thomas Schelling. A la edad de seis. Paris. por ‘sus análisis sobre compensaciones internacionales en la política macroeconómica’. 'Una baja inflación hoy conduce a la expectativa de baja inflación también en el futuro'. que 'el equilibrio en el desempleo solo depende del funcionamiento del mercado laboral. se da un ‘equilibrio de la tasa de desempleo’. la fijación de precios. por lo que tuvieron que vivir gracias a la ayuda de los abuelos de Edmund. indicando que los individuos tienen un conocimiento incompleto de la economía. Esta curva representa la relación existente entre la inflación y el desempleo. y basan sus acciones. Ha trabajado para el Departamento del Tesoro. Nova Lisboa. I Crecimiento Económico Phelps Edmund Edmund Phelps nació en 1933 en Evanston. Phelps. establece que hay una tasa de formación de capital físico y una tasa de formación de capital humano. La teoría neoclásica de crecimiento. Por otro lado. Interest and Assets' (1994) y 'Microeconomic Foundations of Employment and Inflation Theory' (1970). Por lo que no es conveniente ahorrar más de lo indica la regla de oro de la formación de capital. como la tasa de crecimiento de la población y la tasa de ahorro de la economía. el consumo de estado estacionario disminuye. La Regla de Oro de la Formación de Capital. Otro de los aportes de Phelps consiste en introducir dentro de esta teoría elementos como la educación y la inversión en tecnología. Entonces. producción. si sigue aumentando. Algunas Obras Entre los libros de Phelps. por lo que existe un punto en el que la formación de capital es tal que. inversión. 'Structural Slumps: The Modern Equilibrium Theory of Unemployment. también implican mayor depreciación. señala que existe un estado estacionario en el que todas las variables (consumo.) varían a una tasa constante. Este estado estacionario depende de ciertas características institucionales de la economía.Cesar Antunez. Extraído de: http://www. I Crecimiento Económico el paro por debajo del 'equilibrio de la tasa de desempleo' solo tendrán como consecuencia un continuado aumento de la inflación'. etc. hay una tasa de depreciación.com/biografia/edmundphelps 270 . se destacan 'Rewarding Work: How to Restore Participation and Self-Support to Free Enterprise' (1997). si bien mayor capital (físico y humano) implican mayor producción. Si bien el no fue el único ni el primero en hacer esto.zonaeconomica. Londres. se lo debemos en parte a su prematura muerte a la edad de 27 años. no obstante se ocupo de temas económicos y sobre todo filosóficos. Es el análisis de las decisiones de un agente individual. OBRAS • The Foundations of Mathematics: and other logical essays. también conocido como modelo de Cass-Koopmans. En 1924 es elegido Fellow del King’s College. Si Frank Ramsey no ha pasado a la historia como alguien especialmente recordado fuera del ámbito económico. El resultado es el llamado modelo de Ramsey. Cambridge. Ramsey (1928) modeliza la decisión de consumo y ahorro de un agente competitivo que recibe una renta exógena y toma el tipo de interés como dado. 1922. Cass (1965) y Koopmans (1965) utilizan la modelización de Ramsey para endogeneizar la tasa de ahorro en el modelo de Solow-Swan. Pero en sus economías la tasa de ahorro se asume constante. Artículos • • "Mr. que eran su verdadera pasión. Keynes and Probability”. que completo con el estudio de matemáticas en el Trinity College de Cambridge. Fallecimiento: 19 de junio 1930. y poco tiempo después lecturer in mathematics y Director of Studies in Mathematics de dicho centro educativo. Ramsey falleció el 19 de junio de 1930 en un hospital de Londres. y que constituye la base de la teoría del crecimiento óptimo moderna al establecer los factores que inciden en la tasa de crecimiento económico. Cambridge Magazine "The Douglas Proposals". Mucho tiempo después Solow (1956) y Swan (1956) ponen las bases de la teoría neoclásica del crecimiento. en el transcurso de una operación quirúrgica a la que fue sometido por un ataque de ictericia. Ramsey fue hijo del matrimonio formado por Agnes Mary Wilson y Arthur Stanley Ramsey. y tenia dos hijos. Estaba casado. Cambridge Magazine 271 . El mayor de cuatro hermanos. Estableció una modelización con carácter general para las decisiones bajo incertidumbre en términos probabilísticas (que supuso una encendida crítica a su amigo Keynes) y ciertos axiomas para el desarrollo de la teoría de la utilidad esperada. A pesar de lo cual dejo en sus escritos plasmadas varias ideas ingeniosas que serian desarrolladas con posterioridad por varios conocidos economistas. 1931.Cesar Antunez. Otras aportaciones de interés a cargo de Ramsey fueron su teoría de l a imposición óptima y el criterio de Ramsey para la determinación de precios ante situaciones de producción conjunta. Sus primeros estudios los llevo a cabo en el Winchester College. presidente y profesor d e matemáticas del Magdalene College. 1922. I Crecimiento Económico Ramsey Frank Nacimiento: 22 de febrero de 1903. Con formación matemática. "On a Problem of Formal Logic" . Soc. Nature "Universals". 1925. Encyclopaedia Britannica "Universals and the Method of Analysis" . Proc. 1929 General propositions and causality. of London Mathem. of London Mathem.E. Mind "The New Principia" 1925. Universidad Autónoma de Madrid Octubre de 2003. Mind "Review of Ogden and Richards' Meaning of Meaning". 1929 Theories. 1926.Cesar Antunez.net/cursecon/economistas/Ramsey. "Further Considerations". I • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Crecimiento Económico "Review of W. Encyclopedia Británica Información recopilada y organizada por Pablo Miro Rocasolano. Proc.htm 272 .Wittgenstein's Tractatus". 1922. "A Contribution to the Theory of Taxation". New Statesman "Critical Notice of L. 1928. 1925. Soc. 1929 "Foundations of Mathematics" . 1928. 1926. La elaboración de esta biografía ha contado con la inestimable colaboración de: Jorge Duran Laguna Extraído de: http://www.eumed. 1926. 1924. Johnson's Logic. 1928 Knowledge. Mathematical Gazette "Truth and Probability". 1928. Aristotelian Society "A Mathematical Theory of Saving" . "Mathematical Logic". 1927. EJ. EJ "Facts and Propositions". Aristotelian Society "Mathematical Logic". Universals of law an of fact. 1923. 1927. 1926. Part I". Economista. Mind "The Foundations of Mathematics”. UU. Sin su estímulo Rebelo habrían ido nunca al EE. el JNICT (la Junta Nacional de Investigación Científica e Tecnológica). Él dejó Portugal para los Estados Unidos porque el ambiente de la investigación y el apoyo está mucho mejor en los Estados Unidos. Había terminado esta colaboración que Profesor Rebelo aprendió a investigar. otras fundaciones. Después. Su trabajo actual estudia desvalorizaciones del tipo de cambio grandes y episodios de especulación de dinero. Portugal. I Crecimiento Económico Rebelo Sergio Sergio Rebelo nació en Viseu. Sus áreas mayores de investigación son Macroeconomía y la Finanzas Internacional. trabajó en los modelos del ciclo comerciales y. el estudiante. 1959. Sérgio Rebelo recibió el Alfred P.D. la Universidad de Rochester le ofreció una posición del tenured. qué causas los ciclos comerciales. ha trabajado en las crisis del dinero. el estudiante con su consejero. la Universidad de Del noroeste lo ofreció los Tokai presiden y él aceptó. el apoyo de la investigación. el 29 octubre. y el Banco Mundial. Sus consejeros en Portugal eran António Pinto Barbosa y el Aníbal Cavaco Silva (hoy día el Presidente de República portuguesa). Él estudió el efecto de política económica en la proporción de crecimiento económico. Él está actualmente el Banco de Tokai el Profesor Distinguido de Finanzas Internacional en la Escuela de Kellogg de Dirección. Amos en los Funcionamientos Investigan de Instituto Técnico Superior. para que él aceptara. Ellos terminaron escribiendo muchos papeles juntos. Él es un compañero de las dos redes de la investigación más importantes en la Economía. y sueldo). Él recibió un "Licenciatura" en la Economía de la Universidad católica portuguesa. el acceso a Ph. en la Economía de la Universidad de Rochester en el EE. los estudiantes. el Escritorio Nacional de Investigación Económica. Él normalmente trabaja estrechamente con un o dos Ph. Después de dos años a Del noroeste él decidió devolver a Portugal. Mientras él estaba en Boston. Sloan el Compañerismo de la Disertación Doctoral y el Compañerismo de Ohlin.D.D. Su sueño científico es ayudar descubra las respuestas a las preguntas importantes como lo que maneja el crecimiento económico. y un Ph. King.D. y la Fundación de Sloan. Robert G.UU. la Fundación de Fullbright. Rebelo se siente inmensamente afortunado porque él pudo empezar investigue como un primer año Ph. Su primer trabajo estaba en la Universidad Del noroeste. Él recibió el apoyo financiero de la Universidad de Rochester. a la Universidad católica portuguesa y el Banco de Portugal. A estas alturas él se descorazonó con las perspectivas por poder continuar una carrera de la investigación jornada completa en Portugal. Él ha trabajado en tres áreas diferentes. por un Ph. Dos años Rebelo más tarde recibió el Compañerismo de Olin en el Escritorio Nacional de Investigación Económica (NBER) que le permitió pasarse un año lleno investigue al NBER en Boston. en el 273 .Cesar Antunez. Éstos son fenómenos que afectan las vidas de millones de las personas. Moviendo a una universidad diferente siempre se motivó por las condiciones ofrecidas (la carga instrucción. y qué causas las crisis financieras. más recientemente. Sérgio Rebelo ha recibido el apoyo de la Fundación de la Ciencia Nacional. la Universidad Del noroeste.D. y el Periódico de Economía Monetaria. el McKinsey el Instituto Global. I Crecimiento Económico EE. Durante muchos años él esperó por una oferta que le permitiría devolver a Portugal y continuar una carrera de la investigación jornada completa.pt/3357 274 . el Fondo Monetario Internacional. Pero le gustaría continuar investigue y las condiciones ofrecieron por las instituciones portuguesas palidezca comparado con aquéllos ofrecidos en los Estados Unidos. Actualmente él estaría contento si había un arreglo institucional que le permitiría gastar algún tiempo trabajando en Portugal.UU. Extraído de: http://www. y el Centro para la Investigación de la Política Económica en Europa.Cesar Antunez. incluso la Revisión Económica americana. la Tabla de Gobernadores del Sistema de la Reserva Federal. Él también ha sido un editor asociado para los periódicos de economía mayores. Profesor Rebelo ha servido como un consultor al Banco Mundial. Él se ha ofrecido las posiciones académicas y non-académicas en Portugal. la Revisión Económica europea. el Banco Central europeo. y otras organizaciones.cienciahoje. Robert Lucas es uno de los economistas más influyentes.com/biografias-lucas. y como le gustaron decidió volver a Chicago a estudiar la carrera de economía.auladeeconomia. y más adelante encontró un gusto por la historia. Robert estuvo en las escuelas públicas de Seattle y se graduó del Roosevelt High School en 1955. le interesaban todos los cursos que llevaba ya que todo era nuevo para él. y en 1966 su segundo hijo Joseph Robert y su esposa se separaron en 1982 y más adelante se divorciaron. y en 1960 tuvieron su primer hijo Stephen. además trabajo como profesor en la Universidad Carnegie Mellon hasta 1975. Sus padres se llaman Robert Emerson Lucas y Jane Templeton Lucas. *Información recopilada por Susana Xu Suyen. Y obtuvo y Ph. en Economía en 1964. Además contribuyó a otras teorías de la economía.Cesar Antunez. Robert ganó el Premio Nobel de Economía en 1995. ya que tienen una hermana y dos hermanos menores. nació 5 de septiembre. ULACIT. Es importante decir que a pesar que Robert llevaba una vida muy dedicada al estudio y sus proyectos. También fue parte del desarrollo del modelo Islas-Lucas que planteaba que las personas pueden ser engañadas por medio de la política monetaria. debemos de saber que se casó en 1959 con Rita Cohen.htm 275 . Comenzó en la universidad con cursos de matemáticas hasta que se aburrió. como ya había mencionado es el líder de “Nueva Economía Clásica” la versión moderna de la vieja escuela de Chicago. Y desde 1982 vive con la colega Nancy Stokey en el norte de Chicago. Robert es el hijo mayor.D. dándole paso a una nueva era de la macroeconomía. y finalmente se graduó de Historia en 1959. que se la dio la Universidad de Chicago. I Crecimiento Económico Lucas Robert El economista estadounidense Robert Lucas conocido por ser líder de la escuela de llamada “Nueva Economía Clásica” y por otros más aportes. 1937 en Yakima. Además desarrollo el concepto de la Crítica Lucas sobre política económica. Tenía habilidad en las ciencias y las matemáticas. y a sus 17 años está listo para irse de su casa pero antes necesitaba una beca. porque después fue a dar clases a la Universidad de Chicago. Su introducción al concepto de las expectativas racionales. en los años 70´s ayudo a dejar atrás los neokeynesianos y al entronamiento de una macroeconomía basada en los principios neoclásicos. 2006 Extraído de: http://www. Al terminar su tesis Robert comenzó a dedicarse a investigar. Después tomo algunos cursos de la historia de la economía en la Universidad de Berkeley. también graduada de la Universidad de Chicago. ser parte de diferentes proyectos de economía. Washington. Para él los activos intangibles han pasado ha constituir la base de la riqueza. Su "nueva teoría del crecimiento" ha cambiado el negocio y el gobierno que pensaban en la dinámica de la abundancia y creación-que traían las aplicaciones. Asociado a ello están los derechos de propiedad y la noción de propiedad privada (2). al pasar de la preocupación por políticas de estabilización (o anticíclicas) características de una sociedad que fabrica mercancías u objetos físicos a otra basada en el conocimiento. Podríamos agregar por nuestra parte que en el ejemplo citado existe además una estructura estatal de tipo autocrático y una cultura sin tradición competitiva.tiene la virtud que puede ser utilizada por millones de personas al mismo tiempo. Para la empresa estos derechos deben incluir los derechos propietarios. Para Romer esta revolución se explica en el esquema de que las Ideas suponen No Rivalidad y garantizan Rendimientos crecientes ∗ Paul Romer es profesor de la economía en la escuela graduada de Stanford.con capacidad de utilizar el I+D. “El nuevo modelo mental sugiere que creemos valor no de cambio bajo el modelo de la fábrica. I Crecimiento Económico Romer Paul Este influyente profesor de la Universidad de Stanford∗ afirma que un cambio histórico respecto al concepto de crecimiento se ha producido en economía. Es decir una economía que permita crear empresas –Star up. el capital humano aumentan la productividad. pero la premisa para su difusión se asienta en unas sólidas instituciones de ciencia e instituciones de mercado. buenos diseños para dotar a la materia prima de una configuración más valiosa”(1). en la ciencia su recompensa es la difusión de las ideas. La teoría del crecimiento distingue entre las Ideas y las Cosas. 276 . pero cada vez aparece la necesidad de los incentivos. pero las ideas. el crecimiento tecnológico del cambio. de la innovación y de la productividad de nuevo al centro del análisis macroeconómico. La diferencia estriba en que solo una persona puede utilizar una “cantidad dada de algo” por ejemplo un coche o un bolígrafo. Cita como ejemplo Rusia como expresión clásica del modelo antiguo de crecimiento al decir que poseía un ejército de científicos de primer orden pero en un marco de mercado débil. Para Romer la Idea concepto que resume el conocimiento. El crecimiento sostenible se asienta cada vez más en la innovación y la existencia de un mercado competitivo. Millones de pequeños descubrimientos combinados con algunos descubrimientos grandes como el motor eléctrico o los antibióticos han producido un cambio en el nivel de vida de la gente. El cita un ejemplo: las tiendas de café en EEUU sirven tazas de diferentes tamaños pero todas poseen el mismo tamaño de tapa. Lo esencial del cambio tecnológico es la manera de hacer mejores las cosas. Bien es cierto que el autor plantea una distinción respecto a los derechos entre ciencia y empresa. buenas instrucciones. la civilización del conocimiento permite su utilización por muchas más personas al mismo tiempo. El autor nos dice que una institución significa poseer convenciones y reglas sobre como se hacen las cosas.Cesar Antunez. una conexión y un cierto control sobre la rentabilidad eran suficientes para el modelo de fabrica-mercancía. Es el descubrimiento de las buenas recetas. El núcleo de su tesis -las habilidades adquiridas-. El autor afirma que hasta hace bien poco poseer un ordenador. el descubrimiento científico. Sus teorías se han analizado extensamente en la prensa de negocio y el compartimiento de Time lo nombró una de 25 personas más influyentes de América. El proceso de conocimiento en general es la transición del wetware al software”(3). donde K significan: computadores. Su concepto es que el conocimiento esta incorporado al ser humano y no es posible reducir el consumo de forma que otros individuos no puedan disponer de el. El software son las fórmulas después de codificadas y aplicadas.AL) A: stock de ideas Solo K y L garantizan rendimientos constantes a escala.destinationkm. fruto de nuestra materia gris. todo el mundo sabe qué es. Y ese “imput” es puramente humano. está en el descubrimiento de esas nuevas formulas. Aquí se habla de software y de netware-hardware Este último término muy usado por aquí. El wetware representa el tal “imput” original humano.asp%3FArticleID%3D743&prev=/search%3 Fq%3Dpaul%2Bromer%26start%3D20%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DN 277 . “La parte más profunda de la actividad económica. En Silicon Valley hay dos conceptos que expresan bien este mecanismo. teléfonos. Queda un aspecto que debemos considerar que es el papel de la creación de empresas –star up. por mas paradójico que parezca. Extraído_de:http://www. I Crecimiento Económico Y= F(K.com/articles/default. acumulación de cambios. Y= AL& (K1 + K2 +…+K3)1-&.Cesar Antunez.que en cada país varia y es crucial. incorporación de procesos. El gran acierto de Romer en destacar que el conocimiento ha desplazado a la fabricación de objetos físicos en el crecimiento. socialismo y democracia (1942).biografiasyvidas. existe un estado de no crecimiento. Su obra es una de las más vastas que se han producido en el siglo XX. Es autor. Ministro de Hacienda austriaco (1919). Según él. Uno de los conceptos introducidos por Schumpeter que más influencia ha tenido es el de innovación. la «evolución». la creación del crédito y la técnica en el desarrollo económico. de Teoría de la evolución económica (1912).Cesar Antunez. Inició su formación superior en Viena. El paso del «circuito» a la «evolución» se efectúa por medio de las innovaciones. el «circuito» económico. en donde fue discípulo de los principales representantes de la escuela austríaca. Connecticut. y un estado de crecimiento. Capitalismo. Economista y sociólogo austriaco. En 1932 se instaló definitivamente en EE UU. F. 1883-Salisbury.com/biografia/s/schumpeter. En 1907 continuó sus estudios en Gran Bretaña. que constituyen el motor del crecimiento. Ciclos económicos (1939). además de polemizar con el socialismo. 1950). Extraído de: http://www. von Wieser y Von Böhm-Bawerk. Destacó la influencia de los empresarios. I Crecimiento Económico Schumpeter Joseph Alois (Trest. con gran influencia en el pensamiento económico y las ciencias sociales en su conjunto. siendo profesor en Bonn y Harvard. se dedicó principalmente a la enseñanza. Moravia. entre otros trabajos.htm 278 . Historia del análisis económico (1954) y el ensayo Diez grandes economistas: de Marx a Keynes (1951). febrero 1956. está en observar con sensibilidad. después de esto ganó una beca para Harvard. su primo y él.com/biografias-solow. Según Robert Merton. Además su aportación más conocida es un modelo del crecimiento considerando la respuesta ortodoxa al modelo keynesiano de Harrod-Domar que fue publicado en un artículo de 1956. Algunas de las obras de Solow son las siguientes: • • • • • A Contribution to the Theory of Growth en Quarterly Journal of Economics. donde ingresó en 1924. ULACIT. Technical Change and the Aggregate Production Function en Review of Economic and Statistics. y con ello poder decir si la teoría es aplicable en otros tiempos y para otros espacios. fueron la primera generación de su familia en estudiar en una universidad. los esquemas de valores. I Crecimiento Económico Solow Robert Robert Merton Solow. recibió una buena educación ya que asistió a los colegios públicos de Nueva York.htm 279 . donde sirvió en el Norte de África y Cicilia. se ha extendido demasiado. El deber de la historia económica. hábitos y las estructuras de las distintas ciudades en sus distintas épocas. en lo cual esta basado el marco de Solow. Sirvió como asesor del presidente Kennedy. Price Expectations and the Behaviour of the Price Level (1970) Teoría del Crecimiento (1970) Versión española en Fondo de Cultura Económica. agosto 1957. era el mayor de tres niños y sus padres fueron inmigrantes por lo que sus hermanas. a los 18 años dejó sus estudios y se unió al ejército de los Estados Unidos. 1969. 1976. dejando en el olvido las contingencias particulares de cada sociedad. Oxford University Press. Para Él la ciencia económica. Sus estudios en economía. *Información recopilada por Josué Meza. posicionan los orígenes de la llamada “contabilidad del crecimiento”. es una idea de un modelo universal y válido para todo el mundo. en la que se separa la contribución al crecimiento económico de la cantidad de trabajo y capital. Para Él un economista consciente es el que para diferentes circunstancias distingue diferentes supuestos y modelos. antropología y economía elemental. México. 2006 Extraído de: http://www.Cesar Antunez. Growth Theory: An Exposition. Sus primeros estudios fueron en sociología. sobre la inversión en capital fijo y la influencia de la tecnología en los aumentos de la productividad. nació en Brooklyn Nueva York el 23 de agosto de 1924. También realizó un trabajado en el análisis económico de los recursos no renovables. El alcance y el ámbito de los modelos económicos. en donde aprendió a tomar sus ideas más enserio.auladeeconomia. Él es el más conocido para su trabajo sobre el modelo neoclásico del desarrollo económico. y como uno de los economistas más finos para no recibir un Premio Nobel. que precedió el de Lorenzo Klein. después de haber estudiado la jornada incompleta mientras trabajando en el Banco Rural. pero seguido siendo inédito hasta 1989. y contribuyó al Papel Blanco en Empleo Lleno que puso el armazón para la política macroeconómica australiana en las décadas postguerras.Cesar Antunez. I Crecimiento Económico Swan Trevor.org/wiki/Trevor_Swa 280 . Extraído de: http://en.1989) era economista australiano que se graduó de la Universidad de Sydney en 1939. para su trabajo sobre la integración del equilibrio interno y externo.wikipedia. publicado simultáneamente con el de Roberto Solow. representado por el diagrama del cisne y para iniciar el trabajo en el modelado macroeconómico. Lo miran extensamente como el teórico económico más grande que Australia ha producido.W (1918 . Él era empleado en el servicio del gobierno hasta las 1950. 1961. RES. Sus escritos suelen estar muy formalizados en la tradición walrasiana.J.M. "Aggregative Convexity and the Existence of Competitive Equilibrium". 1958. 1958. RES. 1964. "Walras' Tatonnement in the Theory of Exchange". Econometrica. Vatican city. Studies in Linear and Non-Linear Programming con K. 1991. 1964. se graduó en Economía y Matemáticas por la Universidad de Tokio. Profesor del Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de las Naciones Unidas y Profesor Emérito de la Universidad de Tokio. Obras • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • "On Preferences and Axioms of Choice". Naval Research Logistics Quarterly "On a Two-Sector Model of Economic Growth. Annals of Mathematical Statistics. IER. 1964. con K. Pontificial council for justice and peace. Mathematical Models in Social Science. IER. "Constraint Qualifications in Non-Linear Programming". 1960. en Arrow. RES. Arrow y L.J. "On Professor Solow's Model of Technical Progress". Econometrica. 1962. "The Stability of Dynamic Processes". con S. "Prices of Factors of Production in International Trade". I Crecimiento Económico Uzawa Hirofumi El economista japonés Hirofumi Uzawa (1928 . Actualmente es profesor de Economía en la Universidad CHUO. Karlin y Suppes. "Preference and Rational Choice in the Theory of Consumption". "On the Menger-Wieser Theory of Imputation". ZfN. "En 1891 el problema eran los abusos del capitalismo y las ilusiones del socialismo. Social and ethical aspects of economics -a colloquium in the Vatican-. 1959. "Duality Principles in the Theory of Cost and Production". Econometrica. Econometrica. I". Economic Studies Quarterly. Nikaido. 1961. "Locally Most Powerful Rank Tests for Two-Sample Problems". "Optimal Growth in a Two-Sector Model of Capital Accumulation". 1962. 1963. Hurwicz. 1964. 281 . "On Separability in Demand Analysis". 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