LABORATORIO DE CIRCUITOSELÉCTRICOS II LEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF EN C.A. ALUMNOS: CONTRERAS SILVA HAROLD ANTONIO CUSMAN CASTILLO LUIS EDUARDO MORAN SANTAMARIA JORGE MAXIMO OLAZABAL MARTINEZ FRANCO DAVID PECSEN LUNA JOSE JONATHAN DOCENTE: ING. HECTOR OLIDEN NUÑEZ 2010 Lambayeque 16/08/2010 UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE LIRC0IT0S ELECTRIC0S II ʹ LEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF EN CORRIENTE ALTERNA Llamamos corriente alterna a aquella corriente cuya intensidad es una función sinusoidal del tiempo, es decir, una corriente que periódicamente cambia de dirección y sentido; por tanto, no es posible asociar una dirección fija a la corriente en los circuitos de corriente alterna. La energía eléctrica que se obtiene de la red es alterna y de forma sinusoidal. Es el tipo de energía que proporcionan las máquinas generadoras de las centrales eléctricas. La razón fundamental de que en la red se suministre corriente alterna en vez de continua se basa en que esta puede transformarse fácilmente (mediante transformadores) y reduce los costes de transporte y permite disponer fácilmente de diferentes valores de tensión según las aplicaciones. Puede transportarse a largas distancias a tensiones elevadas y corrientes bajas para reducir las pérdidas de energía en forma de calor por efecto Joule. En este trabajo analizaremos las leyes de ohm y de kirchhoff en corriente alterna en su estado estable, pues es una extensión natural de los métodos vistos en corriente continua, bastará sustituir la resistencia por su equivalente en el caso de corriente alterna: la impedancia. LEY DE OHM EN CORRIENTE ALTERNA La ley de ohm para corriente alterna está definida de forma fasorial como: ܼ ൌ ܸ ܫ ݏ݁ܽ ܸ ൌ ܼܫ Donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como impedancia, medida en ohm. La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de corriente. Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso, ésta, la tensión y la propia impedancia se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces impropiamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͵ la reactancia. El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (AC). El término fue acuñado por Oliver Heaviside en 1886. En general, la solución para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias, condensadores e inductancias y sin ningún componente de comportamiento no lineal, son soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero, cuando todos los generadores de tensión y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes, las soluciones en estado estacionario (cuando todos los fenómenos transitorios han desaparecido) son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la misma frecuencia que los generadores y amplitud constante. La fase, sin embargo, se verá afectada por la parte compleja (reactancia) de la impedancia. El formalismo de las impedancias consiste en unas pocas reglas que permiten calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al cálculo de circuitos resistivos en corriente continua. Esas reglas sólo son válidas en los casos siguientes: y Si estamos en régimen permanente con corriente alterna sinusoidal. Es decir, que todos los generadores de tensión y de corriente son sinusoidales y de la misma frecuencia, y que todos los fenómenos transitorios que pueden ocurrir al comienzo de la conexión se han atenuado y desaparecido completamente. y Si todos los componentes son lineales. Es decir, componentes o circuitos en los cuales la amplitud (o el valor eficaz) de la corriente es estrictamente proporcional a la tensión aplicada. Se excluyen los componentes no lineales como los diodos. Si el circuito contiene inductancias con núcleo ferro magnético (que no son lineales), los resultados de los cálculos sólo podrán ser aproximados y eso, a condición de respetar la zona de trabajo de las inductancias. IMPEDANCIA COMPLEJA Consideremos al circuito serie RL de la figura al que se le aplica una tensión ݒሺݐሻ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ según la fórmula de Euler, esta función se descompone en un término en seno y otro en coseno, ܸ ሺ߱ݐሻ ܸ ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla o lazo tendremos: ܴ݅ሺݐሻ ܮ ݀݅ሺݐሻ ݀ݐ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ Esta ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución particular es de la forma ݅ሺݐሻ ൌ ܭ݁ ఠ௧ sustituyendo esta función de corriente resulta, ܸ ݁ ఠ௧ i UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II Ͷ ܴܭ݁ ఠ௧ ݆߱ܮܭ݁ ఠ௧ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ De donde ܭ ൌ ோାఠ ݁ ݅ሺݐሻ ൌ ோାఠ ݁ ఠ௧ La relación entre las funciones de tensión e intensidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es ߱ܮ: ܼ ൌ ݒሺݐሻ ݅ሺݐሻ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ ܸ ܴ ݆߱ܮ ݁ ఠ௧ ൌ ܴ ݆߱ܮ Consideremos ahora un circuito serie RC con la misma tensión aplicada ܸ ݁ ఠ௧ , como indica la figura. En este caso, ܴ݅ሺݐሻ ଵ ݅ሺݐሻ ݀ݐ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ ǥǥǥǥሺܫሻ Haciendo ݅ሺݐሻ ൌ ܭ݁ ఠ௧ y sustituyendo en ሺܫሻ resulta, ܴܭ݁ ఠ௧ ͳ ݆߱ܥ ܭ݁ ఠ௧ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ De donde ܭ ൌ ோାଵȀఠ ൌ ோିሺ భ ഘ ሻ ݁ ݅ሺݐሻ ൌ ோିሺ భ ഘ ሻ ݁ ఠ௧ Por tanto, ܼ ൌ ܸ ݁ ఠ௧ ܸ ܴ െ ݆ሺ ͳ ߱ܥ ሻ ݁ ఠ௧ ൌ ܴ െ ݆ሺ ͳ ߱ܥ ሻ Una vez más observamos como la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es, en este caso, െͳȀ߱ܥ . Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z, la cual se puede situar directamente sobre el diagrama del circuito, como indica la figura. Ahora bien, como la impedancia es un numero complejo se podrá representar por un punto en el plano complejo. Además, como la resistencia óhmica no puede ser negativa, solo se ܸ ݁ ఠ௧ Z Z ݆߱ܮ െ݆ሺ ͳ ߱ܥ ሻ UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͷ precisan el primero y el cuarto cuadrante. La representación grafica correspondiente se llama diagrama de impedancias. La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia inductiva ܺ se representara por un punto del eje imaginario positivo, mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva ܺ estará representada por un punto sobre el eje imaginario negativo. En general, una impedancia compleja Z se encontrara sobre el primero o el cuarto cuadrante, según lo dicho, entre ±90° o bien ±ߨ/2 radianes. NOTACIÓN FASORIAL Consideremos una función de tensión general ݒሺݐሻ ൌ ܸ ݁ ሺఠ௧ାఈሻ , siendo ߙ la fase inicial de la misma es decir, en el instante inicial ݐ ൌ Ͳ. Apliquemos esta tensión a un circuito de impedancia ࢆ ൌ ݖ݁ ఏ ǡ ሺെ గ ଶ ߠ గ ଶ ሻ. En estas condiciones, la intensidad de corriente viene dada por: ೕሺഘశഀሻ ௭ ೕഇ ൌ ቀ ௭ ቁ ݁ ሺఠ௧ାఈିఏሻ ൌ ܫ ݁ ሺఠ௧ାఈିఏሻ , es decir, ܫ ݁ ሺఠ௧ାఈିఏሻ ൌ ܸ ݁ ሺఠ௧ାఈሻ ݖ݁ ఏ ሺͳሻ Esta ecuación pertenece al dominio del tiempo, ya que este aparece explícitamente en las expresiones de la corriente y de la tensión. A continuación, vamos a hacer dos cambios en dicha ecuación para representar los fasores. En primer lugar, multipliquemos la igualdad por ݁ ିఠ௧ para eliminar el tiempo. Después, multipliquemos por ͳȀξʹ para obtener los valores eficaces de corriente y tensión. ݁ ିఠ௧ ξʹ ሺܫ ݁ ሺఠ௧ାఈିఏሻ ሻ ൌ ݁ ିఠ௧ ξʹ ቆ ܸ ݁ ሺఠ௧ାఈሻ ݖ݁ ఏ ቇ ூ ξଶ ݁ ሺఈିఏሻ ሻ ൌ ξଶ כ ೕഀ ௭ ೕഇ ሺʹሻ ࡵסߙ െߠ ൌ ࢂסߙ ࢆסߠ ሺ͵ሻ Z Z R R ݆ܺ െ݆ܺ UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ࡵ ൌ ࢂ ࢆ ሺͶሻ La ecuación (2) es la transformada de la anterior al dominio de la frecuencia. En ella no aparece el tiempo. Sin embargo, la variación con el tiempo de la ecuación (1) está bien clara. En la expresión (3), los símbolos V e I sin subíndices indican los valores eficaces de la tensión e intensidad de corrientes respectivamente. La expresión (4) relaciona, pues, las magnitudes complejas I, V y Z y como tales deben considerarse, esto es, con su modulo y su argumento. Esta ultima formula es el equivalente fasorial de la ley de Ohm que, a veces, se llama forma compleja, o forma vectorial de la ley de Ohm. LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FRECUENCIAL (CORRIENTE ALTERNA) LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF EN C.A. Las fuentes de tensión en un circuito eléctrico originan unas corrientes en las ramas que, a su vez, da lugar a unas caídas de tensión en los componentes de las mismas. Resolver un circuito consiste en hallar las intensidades, con su sentido de circulación, en cada una de aquellas ramas o bien determinar las caídas de tensión en cada uno de dichos componentes. MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR LAS CORRIENTES DE MALLA Para aplicar este método se eligen, en primer lugar, lazos cerrados o malla, asignándoles una corriente eléctrica. Estos lazos o mallas se llaman corrientes cíclicas de Maxwell o simplemente, corrientes de mallas, como se representa en la Fig. 1. Acto seguido, se escriben las ecuaciones de la segunda ley de kirchhoff para cada malla tomando las intensidades de aquellas corrientes como variables desconocidas, I1, I2, I3, en el ejemplo, y se resuelve el sistema de ecuaciones así formado. Las corrientes en cada malla se hallan mediante la primera ley de kirchhoff y es o bien una corriente de malla (caso en que la rama solo pertenezca a una malla). Iͳ I͵ Iʹ Fig. 1 UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II Por ejemplo, la corriente en elemento ZA es I1, y la corriente en ZB es I1-I2 si I1 es mayor que I2 o bien I2-I1 en caso contrario (el sentido de la circulación es el correspondiente a la mayor intensidad de las dos mallas contiguas). La caída de tensión en un elemento cualquiera del circuito es el producto de la impedancia compleja del mismo por fasor intensidad de la corriente que lo atraviesa (el borde del elemento por donde entra la flecha del sentido de la intensidad esta a mas tensión que por donde sale). Vamos a obtener el sistema de ecuaciones del circuito de tres mallas independientes de la Fig.1 aplicando a cada malla la segunda ley de kirchhoff. En la Fig. 2 aparece la primera malla aislada y se ha de verificar que la suma de las fuerzas electromotrices o subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión. ܼ Ǥ ܫͳ ܼ Ǥ ሺܫͳ െܫʹሻ ൌ ܸ ሺͳሻ La segunda malla no contiene fuente de tensión alguna, por lo tanto, la suma de las caídas de tensión a lo largo de ella es cero. ܼܥǤ ܫʹ ܼܦǤ ሺܫʹ ܫ͵ሻ ܼܤǤ ሺܫʹ െܫͳሻ ൌ Ͳ ሺʹሻ Para la tercera malla tendremos, ܼܧǤ ܫ͵ ܼܦǤ ሺܫ͵ ܫʹሻ ൌ ܸܤ ሺ͵ሻ Es decir: ሺܼܣ ܼܤሻǤ ܫͳ െܼܤǤ ܫʹ ൌ ܸܣ ሺܫሻ െܼܤǤ ܫͳ ሺܼܤ ܼܥ ܼܦሻǤ ܫʹ ܼܦǤ ܫ͵ ൌ Ͳ ሺܫܫሻ ܼܦǤ ܫʹ ሺܼܦ ܼܧሻǤ ܫ͵ ൌ ܸܤ ሺܫܫܫሻ Este sistema de ecuaciones se puede obtener directamente, para ello, consideremos la primera malla, que aparece en la Fig. 2 la corriente Iͳ tiene el sentido de las agujas del reloj y las caídas de tensión en todos los elementos de esta malla son todas positivas. Ahora bien, por ZB también circula la corriente Iʹ de la segunda malla, pero con sentido opuesto a Iͳ por tanto, la caída de tensión en ZB debida a Iʹ es ZB IʹǤ La caída de tensión VA es positiva POR tener el mismo sentido que Iͳ. En estas condiciones, aplicando la segunda ley de kirchhoff a la primera malla se obtiene la ecuación (I). Análogamente resultan las ecuaciones ሺIIሻ y ሺIIIሻ. Fig.2 UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͺ Los términos caída y subida de tensión son más propios de los circuitos de corriente continua (c.c.) en los que significado es más claro que en los de corriente alterna (c.a), en donde los valores instantáneos de tensión y de intensidad de corriente son unas veces positivos y otros negativos. La segunda ley de kirchhoff en régimen permanente senoidal aplicada a una malla o lazo cerrado dice: la suma geométrica de los fasores de tensión de las fuentes activas de la malla es igual a la suma geométrica de los fasores de las caídas de tensión en las impedancias de mallas. ELECCIÓN DE LAS MALLAS La solución de un circuito por el método de las corrientes de mallas se simplifica extraordinariamente eligiendo bien las mallas a considerar. Por ejemplo, supongamos que en circuito de la Fig.1 solo es necesario conocer la corriente que circula por la impedancia ZB; lomas cómodo será resolver el problema de forma que por ZB no circule más que una corriente de malla, es decir, es decir que dicha impedancia no pertenezca mas a una malla. En estas condiciones, solo habrá que determinar el valor de la corriente de la malla Iͳ en la Fig.3 se pueden obtener las nuevas mallas elegidas. El sistema de ecuaciones correspondientes a la elección de mallas es: ሺܼܣ ܼܤሻǤ ܫͳ ܼܣǤ ܫʹ ൌ ܸܣ ܼܣǤ ܫͳ ሺܼܣ ܼܥ ܼܦሻǤ ܫʹ ܼܦǤ ܫ͵ ൌ ܸܣ ܼܦǤ ܫʹ ሺܼܦ ܼܧሻǤ ܫ͵ ൌ ܸܤ En cualquier caso, por cada elemento del circuito debe circular al menos una corriente de malla y no tiene por qué haber dos ramas con la misma corriente o igual combinación algebraica de corrientes. En el párrafo siguiente vamos a ver el criterio que permite saber el número mínimo de mallas independientes para resolver un circuito. Si el numero de mallas que se adopta es menor que el necesario, el sistema de ecuación no es válido. Fig.3 UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͻ NUMERO MÍNIMO DE MALLAS INDEPENDIENTES Si el circuito es plano y sencillo, el número de mallas necesario se deduce fácilmente a simple vista. Para circuitos más complejos es preciso tener algún criterio que proporcione el número de ecuaciones linealmente independiente, necesario para resolver el circuito en cuestión. Fig. 4 un circuito, su grafo y su árbol. En la fig. 4 (b) se presenta el grafo del circuito que figura a su izquierda, (a) los nudos se han sustituido por círculos pequeños y las ramas por las líneas. La fig.4(c) muestra un posible árbol del grafo que solo contiene ramas que no forman malla o lazo cerrado, sin embargo, este árbol no es único, las líneas de trazo continuo se llaman ramas de árbol y las de trazos ramas de enlace. Cada una de las ramas de enlace forma una malla única con las ramas del árbol. El número de mallas necesario de un circuito es igual al número de mallas de enlace. En el ejemplo que consideramos, este número es cuatro. Se llega al mismo resultado anterior haciendo unos cortes en las ramas del circuito de manera que cada uno de ellos abra una malla. Cuando no quede ninguna malla sin abrir, el número de cortes efectuados es el número de mallas independientes a considerar. Otro criterio consiste en contar el número de ramas y el de nudos del circuito. El número de mallas o lo que es igual, el de ecuaciones del sistema es: Numero de ecuaciones = numero de ramas (numero de nudos -1) Por ejemplo, en el circuito de la fig. 4 (a) hay siete ramas y cuatro nudos. El numero de mallas independientes es 7- (4 - 1) = 4, como ya hemos visto. (a) (b) (c) UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳͲ PLANTEAMIENTO DIRECTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE MALLAS Las ecuaciones correspondientes a un circuito de tres mallas son, en notación general, ± Z 11 I 1 ± Z 12 I 2 ± Z 13 I 3 = V 1 ± Z 21 I 1 ± Z 22 I 2 ± Z 23 I 3 = V 2 ± Z 31 I 1 ± Z 32 I 2 ± Z 33 I 3 = V 3 El coeficiente Z 11 se llama impedancia propia de la malla uno y es la suma de todas las impedancias del lazo por las que circula la corriente de intensidad I 1 . Los coeficientes Z 22 y Z 33 son las impedancias de las mallas dos y tres respectivamente. El coeficiente Z 12 se llama copedancia de las mallas unos y dos y es la suma de las impedancias comunes a los dos lazos, uno y dos, por los que circulan las corrientes de intensidades I 1 e I 2 , respectivamente. Es evidente que Z 12 = Z 21 . Los coeficientes Z 13 = Z 31, Z 23 = Z 32 son, análoga y respectivamente, las copedancias de las mallas uno y tres, y dos y tres, el signo de las copedancias es positivo o negativo. Según que las dos corrientes de malla sean del mismo sentido o de sentidos contarios. El termino independiente V 1 es la suma algebraica de las tensiones de las fuentes de la malla uno. Cada tensión de fuente se considera con un signo que es positivo si el sentido de la corriente que produce, del polo negativo al positivo, coincide con el de la corriente de malla, y negativo en caso contrario. Los términos independientes V 2 y V 3 son las sumas algebraicas de las tensiones de las fuentes de las mallas dos y tres, respectivamente. IMPEDANCIA DE ENTRADA Consideremos un circuito de elementos pasivos con dos terminales, como indica la fig. 9-6 sea I 1 la intensidad de la corriente que resulta al aplicar una tensión V 1. Como no existen otras fuentes en el circuito, la ecuación de la corriente de la malla I 1 es ۷ ൌ ܄ ൬ ο ο ܢ ൰ ܄ ൬ ο ο ܢ ൰ ܄ ൬ ο ο ܢ ൰ ڮ ൌ ܄ ൬ ο ο ܢ ൰ La impedancia de entrada es la relación entre la tensión aplicada V 1 y la intensidad de corriente I 1 a que da lugar. Es decir, ܈ ௧ௗ ଵ ൌ ܄ ۷ ଵ ൌ ο ܢ ο UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳͳ La impedancia de entrada de un circuito con elementos activos se define como al impedancia que presenta en sus terminales de entrada cuando todas sus fuentes de tensión están en cortocircuitados conservando, eso sí, su propia impedancia interna. Por consiguiente, la relación ο ܢ ο Τ representa la impedancia de entrada tanto de un circuito activo como de un pasivo. IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA Una fuente de tensión es una malla de un circuito produce una corriente en cada una de las otras mallas del mismo. La impedancia de trasferencia es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resulta en otra malla, anulando el resto de las fuentes. Consideremos el circuito de la fig. 9-7 con una fuente de tensión ܄ ܚ en la malla r y la intensidad ۷ ௦ de la corriente a que da lugar en la malla s. Entonces, ۷ ܛ ൌ ሺሻ ൬ ο ܛ ο ܢ ൰ ڮ܄ ୰ ൬ ο ୰ୱ ο ܢ ൰ ڮ ൌ ܄ ൬ ο ܖܛ ο ܢ ൰ ൌ ܄ ୰ ൬ ο ୰ୱ ο ܢ ൰ Con lo que ܈ ୲୰ୟ୬ୱୣ୰ୣ୬ୡ୧ୟ ௦ ൌ ܄ ܚ ۷ ܛ ൌ ο ܢ ο ܚܛ El doble subíndice rs de esta impedancia indica el sentido de la acción, es decir, la fuente está en la malla r y la intensidad a considerar es la que aparece en la malla s. el determinante del denominador es el adjunto del elemento del elemento que ocupa el lugar rs, ο ୰ୱ , con los mismos subíndices que la impedancia de transferencia UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳʹ Ejemplo. Hallar las tensiones ܄ ۯ۰ y ܄ ۰۱ en el circuito de la figura 9-16 El sistema de ecuaciones de malla, escrito en forma matricial, es ͵ ݆ͳͶ െ݆ͳͲ െ݆ͳͲ Ͳ ൨ I ଵ I ଶ ൨ ൌ ͳͲͲ Ͳ De donde ۷ ଵ ൌ ቈ ͳͲͲ െ݆ͳͲ Ͳ Ͳ ͵ ݆ͳͶ െ݆ͳͲ െ݆ͳͲ Ͳ ൨ ൌ Ͳ ͳͲͲ ൌ Ͳ ۷ ଶ ൌ ቈ ͵ ݆ͳͶ ͳͲͲ െ݆ͳͲ Ͳ ο ܢ ൌ ͳͲͲͲ ͳͲͲ ൌ ͳͲ Por tanto ܄ ۯ۰ ൌ ۷ ሺ͵ Ͷሻ ൌ y ܄ ۰۱ ൌ ۷ ൫Ȃ ͳͲ൯ ൌ ͳͲ ቀͳͲ ቁ ൌ ͳͲͲ La suma ሺ܄ ۯ۰ ܄ ۰۱ ሻ ൌ ͳͲͲ que es el valor del fasor aplicado. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳ͵ LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFF EN C.A. Mediante la elección de lazos cerrados o mallas y la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, se ha establecido el método de las corrientes de malla para la solución de los problemas de circuitos. En este apartado se llega a la misma solución planteando un sistema de ecuaciones determinado por la aplicación de la primera ley de Kirchhoff. Este método se llama Método de las tensiones en los nudos. TENSIONES EN LOS NUDOS Un nudo es un punto de un circuito común a dos o más elementos del mismo. Si en un nudo se unen tres o más elementos, tal nudo se llama nudo principal o conjunción. A cada nudo del circuito se le puede asignar un número o una letra. En la Fig.1 Son nudos A, B, 1, 2, 3 y 1, 2 y 3 son nudos principales. La tensión en un nudo es la tensión de este nudo respecto de otro, denominado nudo de referencia. En la Fig.1 Se ha elegido el nudo 3 como nudo de referencia. Entonces V 13 es la tensión entre los nudos 1 y 3, y V 23 la tensión entre los nudos 2 y 3. Como quiera que las tensiones en los nudos se toman siempre respecto de un nudo de referencia dado, se emplea la notación V 1 en lugar de V 13 y V 2 en lugar de V 23 . El método de las tensiones en los nudos consiste en determinar las tensiones en todos los nudos principales respecto del nudo de referencia. La primera ley de kirchhoff se aplica a los nudos principales 1 y 2, obteniéndose así dos ecuaciones en las incógnitas V 1 y V 2 . En la Fig.2 se ha dibujado nuevamente el nodo 1 con todas sus ramas de conexión. Se supone que todas las corrientes en las ramas salen del nudo. Como la suma de las corrientes que salen del nudo es cero: ܸͳ െܸ݉ ܼܽ ܸͳ ܼܾ ܸͳ െ ܸʹ ܼܿ ൌ Ͳ ܧܿሺͳሻ Al establecer la Ecuación (1) la elección de los sentidos de las corrientes es arbitraria. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳͶ Fig. 2 Fig. 3 Repitiendo el mismo proceso con el nudo 2 la ecuación que resulta es: ܸʹ െܸͳ ܼܿ ܸʹ ܼ݀ ܸʹ ܸ݊ ܼ݁ ൌ Ͳ Agrupando en (1) y (2) los términos en V 1 y V 2 , se obtiene el sistema de ecuaciones: ሺ ͳ ܼܽ ͳ ܼܾ ͳ ܼܿ ሻܸ ଵ െሺ ͳ ܼܿ ሻܸ ଶ ൌ ሺ ͳ ܼܽ ሻܸ െሺ ͳ ܼܿ ሻܸ ଵ ሺ ͳ ܼܿ ͳ ܼ݀ ͳ ܼ݁ ሻܸ ଶ ൌ െሺ ͳ ܼ݁ ሻܸ Teniendo en cuenta que 1/Z =Y, se puede escribir el sistema (3) en función de las admitancias ሺܻ ܻ ܻ ሻܸ ଵ െܻ ܸ ଶ ൌ ܻ ܸ െܻ ܸ ଵ ሺܻ ܻ ௗ ܻ ሻܸ ଶ ൌ െܻ ܸ NÚMERO DE ECUACIONES DE TENSIONES EN LOS NUDOS Se pueden escribir ecuaciones para cada uno de los nudos principales con la excepción del de referencia. En consecuencia, el número de ecuaciones es igual al de nudos principales menos uno. Disponiendo del método de las corrientes de malla y del de las tensiones en los nudos. La elección de uno u otro en cada caso particular depende de la configuración del circuito. En un circuito con muchas ramas en paralelo hay, normalmente, muchos más lazos que nudos, exigiendo menos ecuaciones, por tanto, de nudos para resolverlo. En otros casos, puede haber el mismo número de mallas que de nudos o haber menos mallas que nudos. En todo caso debe elegirse siempre el método que dé menor número de ecuaciones. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳͷ PLANTEAMIENTO DIRECTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE NUDOS Un circuito con cuatro nudos principales exige para su solución tres ecuacuones nodales. En notacion general el sitema es: ܻ ଵଵ ܸ ଵ ܻ ଵଶ ܸ ଶ ܻ ଵଷ ܸ ଷ ൌ ܫ ଵ ܻ ଶଵ ܸ ଵ ܻ ଶଶ ܸ ଶ ܻ ଶଷ ܸ ଷ ൌ ܫ ଶ ܻ ଷଵ ܸ ଵ ܻ ଷଶ ܸ ଶ ܻ ଷଷ ܸ ଷ ൌ ܫ ଷ El coeficiente ܻ ଵଵ se llama admitancia propia del nudo 1 y es la suma de todas las admitancias conectadas al nudo 1. De igual forma, ܻ ଶଶ y ܻ ଷଷ son las admitancias de los nudos 2 y 3 respectivamente iguales a la suma de las admitancias conectadas a los nudos 2 y 3. El coeficiente ܻ ଵଶ es la coadmitancia de los nudos 1 y 2 y es la suma de todas las admitancias que unen ambos nudos. ܻ ଵଶ tiene signo negativo, como puede verse en la primera de las ecuaciones. De igual forma, ܻ ଶଷ e ܻ ଵଷ son las coadmitancias de los elementos que unen los nudos 2 y 3, 1 y 3 , respectivamente. Todas las coadmitancias tienen signo negativo. Observese que ܻ ଵଷ ൌ ܻ ଷଵ , ܻ ଶଷ ൌ ܻ ଷଶ . La intensidad I 1 es la suma de todas las corrientes de fuentes que pasan por el nudo 1. Una corriente que entra en el nudo tiene signo positivo; a la que sale del nudo se le asigan el negativo. Las intensidades I 2 e I 3 , son las sumas de las corrientes que pasan por los nudos 2 y 3, respectivamente. Por analogía con la notación matricial para las ecuaciones de las corrientes de malla las tres escuaciones nodales pueden escribirse en la forma: ܻ ଵଵ ܻ ଵଶ ܻ ଵଷ ܻ ଶଵ ܻ ଶଶ ܻ ଶଷ ܻ ଷଵ ܻ ଷଶ ܻ ଷଷ ൩ ܸ ଵ ܸ ଶ ܸ ଷ ൩ ൌ ܫ ଵ ܫ ଶ ܫ ଷ ൩ Las tensiones en los nudos V 1 , V 2 y V 3 vienen dadas por: ܸ ଵ ൌ อ ூ భ భమ భయ ூ మ మమ మయ ூ య యమ యయ อ οఋ ܸ ଶ ൌ อ భభ ூ భ భయ మభ ூ మ మయ యభ ூ య యయ อ οఋ ܸ ଷ ൌ อ భభ భమ ூ భ మభ మమ ூ మ యభ యమ ூ య อ οఋ Si el determinante numerador de cada una de las fracciones se desarrolla por los elementos de la columna que contiene las corrientes, se obtienen para las tensiones en los nudos las ecuaciones siguientes: UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳ ܸ ଵୀ ܫ ଵ ሺ οͳͳ οߜ ሻ ܫ ଶ ሺ οʹͳ οߜ ሻ ܫ ଷ ሺ ο͵ͳ οߜ ሻ ܸ ଶ ୀ ܫ ଵ ሺ οͳʹ οߜ ሻ ܫ ଶ ሺ οʹʹ οߜ ሻ ܫ ଷ ሺ ο͵ʹ οߜ ሻ ܸ ଷ ୀ ܫ ଵ ሺ οͳ͵ οߜ ሻ ܫ ଶ ሺ οʹ͵ οߜ ሻ ܫ ଷ ሺ ο͵͵ οߜ ሻ ADMITANCIA DE ENTRADA Consideremos un circuito pasivo con dos terminales externos, como en la figura. La fuente de intensidad ۷ envía la corriente por el nodo 1 y se supone que las posibles admitancias en paralelo de la fuente están incluidas en el circuito. Como no hay mas fuentes de intensidad en el circuito, la ecuación de ܄ es ܄ ൌ ۷ ൬ ο ο ܇ ൰ La admitancia de entrada,܇ ܍ܖܜܚ܉܌܉ , se define como el cociente de la intensidad de corriente que circula procedente de una fuente única existente entre dos nodos y la caída de tensión correspondiente entre ambos. De la expresión anterior, por tanto, ܇ ܍ܖܜܚ܉܌܉ ൌ ۷ ܄ ൌ ο ܇ ο En un circuito activo, la admitancia de entrada se define como la admitancia que presenta el circuito en los terminales dados cuando todas las fuentes internas se hacen iguales a cero. Entonces, ܄ ൌ ۷ ൬ ο ο ܇ ൰ ሺሻ ൬ ο ο ܇ ൰ ሺሻ ൬ ο ο ܇ ൰ ڮ ൌ ۷ ൬ ο ο ܇ ൰ O bien ܇ ܍ܖܜܚ܉܌܉ ൌ ۷ ܄ ൌ ο ܇ ο UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳ Por tanto la definición de ܄ ܍ܖܜܚ܉܌܉ se mantiene tanto para un circuito pasivo como para uno activo. ADMITANCIA DE TRANSFERENCIA Una corriente que circula por un nodo en un circuito da lugar a tensiones en todos los nodos con respecto al de referencia. La admitancia de transferencia es el cociente de la corriente que entra en un nodo a la tensión resultante en otro nodo, haciéndose iguales a cero todas las demás fuentes. En el circuito de la Figura, I es la intensidad de corriente que entra en el nodo r y la tensión resultante en el nodo s viene dada por ܄ ƍ ൌ ሺሻ ൬ ο ܛ ο ܇ ൰ ڮ۷ ܚ ൬ ο ܚ ܛ ο ܇ ൰ ڮ ሺሻ ൬ ο ܛ ܛ ο ܇ ൰ ൌ ۷ ܚ ൬ ο ܚ ܛ ο ܇ ൰ Entonces, ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ܚܛ ൌ ۷ ܚ ܄ ܛ ൌ ο ܇ ο ܚ ܛ Obsérvese que el punto de retorno de la corriente de entrada se ha elegido como nodo de referencia. Esto es preciso hacerlo porque de otra forma la corriente aparecería en más de un término en la ecuación de ܄ ࢙ y la definición de ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ no será válida. Utilizando las admitancias de entrada y transferencia, se obtiene el sistema de ecuaciones siguientes para ܄ , ܄ , ܄ de un circuito de cuatro nodos principales: ܄ ൌ ۷ ܇ ܍ܖܜܚ܉܌܉ ۷ ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ۷ ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ܄ ൌ ۷ ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ۷ ܇ ܍ܖܜܚ܉܌܉ ۷ ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ܄ ൌ ۷ ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ۷ ܇ ܜܚ܉ܖܛ܍ܚ܍ܖ܋ܑ܉ ۷ ܇ ܍ܖܜܚ܉܌܉ UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳͺ Si solo actúa una fuente de intensidad de la red, con todas las demás hechas iguales a cero, son evidentes las definiciones de las admitancias de entrada y transferencia. EJEMPLO Hallar la tensión ܄ ۯ۰ en el circuito de la Figura. Las ecuaciones de los nodos son: En el nodo 1: ס° ൌ ሺ܄ െ ܄ ሻ Τ ܄ ሺ ܒሻ Τ En el nodo 2: ሺ܄ െ ܄ ሻ Τ ܄ ܒ Τ ܄ ܒ Τ ൌ Agrupando términos, ൬ ܒ ൰ ܄ െ ܄ ൌ ס° െ ܄ ൬ ܒ ܒ ൰ ܄ ൌ Y ܄ ൌ ฬ ס° െǤ ሺǤ െ ܒǤ ሻ ฬ ฬ ሺǤ െܒǤ ሻ െǤ െǤ ሺǤ െܒǤ ሻ ฬ ൌ Ǥ ૡס െ° Ǥ ૠס െૡૠǤ ° ൌ Ǥ ૡסǤ ° ܄ ൌ ቚ ሺǤ െܒǤ ሻ ס° െǤ ቚ ο ܇ ൌ ס° Ǥ ૠס െૡૠǤ ° ൌ ૡǤ ૠסૡૠǤ ° ܄ es la tensión de A respecto de la referencia. Como ۷ ۰ ൌ ܄ ሺ ܒሻ Τ , la tensión ܄ ۰ , respecto de la referencia es UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FALULTAD DE INGENIERIA MELANILA Y ELELTRILA LAB0RAT0RI0 DE CIRC0IT0S ELECTRIC0S II ͳͻ ܄ ۰ ൌ ܄ ሺ ܒሻ ሺܒሻ ൌ Ǥ ૡסǤ ° ሺ ܒሻ ሺܒሻ ൌ ૠǤ סૢǤ ° Con lo que la tensión en ܄ ۯ۰ pedida es ܄ ۯ۰ ൌ ܄ ۯ െ܄ ۰ ൌ ሺૡǤ ૠסૡૠǤ °ሻ െ ሺૠǤ סૢǤ °ሻ ൌ Ǥ סǤ ° UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . Puede transportarse a largas distancias a tensiones elevadas y corrientes bajas para reducir las pérdidas de energía en forma de calor por efecto Joule. bastará sustituir la resistencia por su equivalente en el caso de corriente alterna: la impedancia. La razón fundamental de que en la red se suministre corriente alterna en vez de continua se basa en que esta puede transformarse fácilmente (mediante transformadores) y reduce los costes de transporte y permite disponer fácilmente de diferentes valores de tensión según las aplicaciones. LEY DE OHM EN CORRIENTE ALTERNA La ley de ohm para corriente alterna está definida de forma fasorial como: Donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como impedancia. una corriente que periódicamente cambia de dirección y sentido. medida en ohm. es decir. Su módulo (a veces impropiamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de corriente. Es el tipo de energía que proporcionan las máquinas generadoras de las centrales eléctricas. pues es una extensión natural de los métodos vistos en corriente continua. La energía eléctrica que se obtiene de la red es alterna y de forma sinusoidal. LEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF EN CORRIENTE ALTERNA Llamamos corriente alterna a aquella corriente cuya intensidad es una función sinusoidal del tiempo. la tensión y la propia impedancia se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. por tanto. En este trabajo analizaremos las leyes de ohm y de kirchhoff en corriente alterna en su estado estable. no es posible asociar una dirección fija a la corriente en los circuitos de corriente alterna. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es . ésta. en cuyo caso. Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . cuando todos los generadores de tensión y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes. . son soluciones de ecuaciones diferenciales. y que todos los fenómenos transitorios que pueden ocurrir al comienzo de la conexión se han atenuado y desaparecido completamente. Es decir. En general. la solución para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias. Si todos los componentes son lineales. El formalismo de las impedancias consiste en unas pocas reglas que permiten calcular circuitos que contienen elementos resistivos. Pero. Esas reglas sólo son válidas en los casos siguientes: y Si estamos en régimen permanente con corriente alterna sinusoidal. a condición de respetar la zona de trabajo de las inductancias. sin embargo. Se excluyen los componentes no lineales como los diodos. El término fue acuñado por Oliver Heaviside en 1886. Si el circuito contiene inductancias con núcleo ferro magnético (que no son lineales). la reactancia. inductivos o capacitivos de manera similar al cálculo de circuitos resistivos en corriente continua. y IMPEDANCIA COMPLEJA Consideremos al circuito serie RL de la figura al que se le aplica una tensión según la fórmula de Euler. Es decir. La fase. aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla o lazo tendremos: i Esta ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución particular es de la forma sustituyendo esta función de corriente resulta. se verá afectada por la parte compleja (reactancia) de la impedancia. componentes o circuitos en los cuales la amplitud (o el valor eficaz) de la corriente es estrictamente proporcional a la tensión aplicada. El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (AC). los resultados de los cálculos sólo podrán ser aproximados y eso. esta función se descompone en un término en seno y otro en coseno. condensadores e inductancias y sin ningún componente de comportamiento no lineal. las soluciones en estado estacionario (cuando todos los fenómenos transitorios han desaparecido) son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la misma frecuencia que los generadores y amplitud constante. que todos los generadores de tensión y de corriente son sinusoidales y de la misma frecuencia. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . como la impedancia es un numero complejo se podrá representar por un punto en el plano complejo. De donde Por tanto. como indica la figura. Z Z Ahora bien. como Haciendo y sustituyendo en resulta. Además. En este caso. . la cual se puede situar directamente sobre el diagrama del circuito. De donde La relación entre las funciones de tensión e intensidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es : Consideremos ahora un circuito serie RC con la misma tensión aplicada indica la figura. en este caso. . como la resistencia óhmica no puede ser negativa. Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z. solo se . Una vez más observamos como la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . multipliquemos por para obtener los valores eficaces de corriente y tensión. Una inductancia o reactancia inductiva se representara por un punto del eje imaginario positivo. entre ±90° o bien ± /2 radianes. Apliquemos esta tensión a un circuito de impedancia . ya que este aparece explícitamente en las expresiones de la corriente y de la tensión. es decir. Después. precisan el primero y el cuarto cuadrante. multipliquemos la igualdad por para eliminar el tiempo. En primer lugar. R Z Z R La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje real positivo. . En estas condiciones. vamos a hacer dos cambios en dicha ecuación para representar los fasores. mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva estará representada por un punto sobre el eje imaginario negativo. siendo la fase inicial de la misma es decir. En general. A continuación. La representación grafica correspondiente se llama diagrama de impedancias. NOTACIÓN FASORIAL Consideremos una función de tensión general . según lo dicho. la intensidad de corriente viene dada por: . Esta ecuación pertenece al dominio del tiempo. una impedancia compleja Z se encontrara sobre el primero o el cuarto cuadrante. en el instante inicial . . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . con su modulo y su argumento. lazos cerrados o malla. como se representa en la Fig. Acto seguido. Estos lazos o mallas se llaman corrientes cíclicas de Maxwell o simplemente. se escriben las ecuaciones de la segunda ley de kirchhoff para cada malla tomando las intensidades de aquellas corrientes como variables desconocidas. la variación con el tiempo de la ecuación (1) está bien clara. a veces. con su sentido de circulación. En ella no aparece el tiempo. I1.A. en el ejemplo. las magnitudes complejas I. en primer lugar. asignándoles una corriente eléctrica. Las corrientes en cada malla se hallan mediante la primera ley de kirchhoff y es o bien una corriente de malla (caso en que la rama solo pertenezca a una malla). La expresión (4) relaciona. se llama forma compleja. y se resuelve el sistema de ecuaciones así formado. Fig. I3. o forma vectorial de la ley de Ohm. Las fuentes de tensión en un circuito eléctrico originan unas corrientes en las ramas que. LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FRECUENCIAL (CORRIENTE ALTERNA) LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF EN C. I2. Esta ultima formula es el equivalente fasorial de la ley de Ohm que. 1. La ecuación (2) es la transformada de la anterior al dominio de la frecuencia. MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR LAS CORRIENTES DE MALLA Para aplicar este método se eligen. corrientes de mallas. En la expresión (3). a su vez. pues. da lugar a unas caídas de tensión en los componentes de las mismas. en cada una de aquellas ramas o bien determinar las caídas de tensión en cada uno de dichos componentes. Sin embargo. los símbolos V e I sin subíndices indican los valores eficaces de la tensión e intensidad de corrientes respectivamente. V y Z y como tales deben considerarse. 1 . Resolver un circuito consiste en hallar las intensidades. esto es. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . para ello. La caída de tensión en un elemento cualquiera del circuito es el producto de la impedancia compleja del mismo por fasor intensidad de la corriente que lo atraviesa (el borde del elemento por donde entra la flecha del sentido de la intensidad esta a mas tensión que por donde sale). 2 la corriente . Es decir: Este sistema de ecuaciones se puede obtener directamente. consideremos la primera malla. Fig. que aparece en la Fig. 2 aparece la primera malla aislada y se ha de verificar que la suma de las fuerzas electromotrices o subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión.1 aplicando a cada malla la segunda ley de kirchhoff. por lo tanto. En la Fig. Vamos a obtener el sistema de ecuaciones del circuito de tres mallas independientes de la Fig. la suma de las caídas de tensión a lo largo de ella es cero. la corriente en elemento ZA es I1. y la corriente en ZB es I1-I2 si I1 es mayor que I2 o bien I2-I1 en caso contrario (el sentido de la circulación es el correspondiente a la mayor intensidad de las dos mallas contiguas). Para la tercera malla tendremos.2 La segunda malla no contiene fuente de tensión alguna. Por ejemplo. por ZB también circula la corriente . tiene el sentido de las agujas del reloj y las caídas de tensión en todos los elementos de esta malla son todas positivas. Ahora bien. de la segunda malla. pero con sentido opuesto a . por tanto. la caída de tensión en ZB debida a . es ZB. La caída de tensión VA es positiva POR tener el mismo sentido que . . En estas condiciones. aplicando la segunda ley de kirchhoff a la primera malla se obtiene la ecuación (. Análogamente resultan las ecuaciones .). . . . . . . . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . a). supongamos que en circuito de la Fig.c. La segunda ley de kirchhoff en régimen permanente senoidal aplicada a una malla o lazo cerrado dice: la suma geométrica de los fasores de tensión de las fuentes activas de la malla es igual a la suma geométrica de los fasores de las caídas de tensión en las impedancias de mallas. lomas cómodo será resolver el problema de forma que por ZB no circule más que una corriente de malla. Por ejemplo. solo habrá que determinar el valor de la corriente de la malla .1 solo es necesario conocer la corriente que circula por la impedancia ZB. Los términos caída y subida de tensión son más propios de los circuitos de corriente continua (c.) en los que significado es más claro que en los de corriente alterna (c. es decir que dicha impedancia no pertenezca mas a una malla. ELECCIÓN DE LAS MALLAS La solución de un circuito por el método de las corrientes de mallas se simplifica extraordinariamente eligiendo bien las mallas a considerar. En estas condiciones. en donde los valores instantáneos de tensión y de intensidad de corriente son unas veces positivos y otros negativos. es decir. 3 se pueden obtener las nuevas mallas elegidas. Si el numero de mallas que se adopta es menor que el necesario. por cada elemento del circuito debe circular al menos una corriente de malla y no tiene por qué haber dos ramas con la misma corriente o igual combinación algebraica de corrientes.3 El sistema de ecuaciones correspondientes a la elección de mallas es: En cualquier caso. en la Fig. Fig. En el párrafo siguiente vamos a ver el criterio que permite saber el número mínimo de mallas independientes para resolver un circuito. el sistema de ecuación no es válido. . . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . 4 (b) se presenta el grafo del circuito que figura a su izquierda. En el ejemplo que consideramos. NUMERO MÍNIMO DE MALLAS INDEPENDIENTES Si el circuito es plano y sencillo. 4 un circuito. Otro criterio consiste en contar el número de ramas y el de nudos del circuito. el de ecuaciones del sistema es: Numero de ecuaciones = numero de ramas (numero de nudos -1) Por ejemplo. este número es cuatro. las líneas de trazo continuo se llaman ramas de árbol y las de trazos ramas de enlace. este árbol no es único. (a) (b) (c) Fig. 4 (a) hay siete ramas y cuatro nudos. sin embargo. En la fig. . en el circuito de la fig. El numero de mallas independientes es 7. el número de mallas necesario se deduce fácilmente a simple vista. Cuando no quede ninguna malla sin abrir. El número de mallas necesario de un circuito es igual al número de mallas de enlace. La fig. como ya hemos visto. Para circuitos más complejos es preciso tener algún criterio que proporcione el número de ecuaciones linealmente independiente. Se llega al mismo resultado anterior haciendo unos cortes en las ramas del circuito de manera que cada uno de ellos abra una malla. el número de cortes efectuados es el número de mallas independientes a considerar. Cada una de las ramas de enlace forma una malla única con las ramas del árbol.4(c) muestra un posible árbol del grafo que solo contiene ramas que no forman malla o lazo cerrado. (a) los nudos se han sustituido por círculos pequeños y las ramas por las líneas.(4 . necesario para resolver el circuito en cuestión. El número de mallas o lo que es igual.1) = 4. su grafo y su árbol. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . Los coeficientes Z22 y Z33 son las impedancias de las mallas dos y tres respectivamente. en notación general. El coeficiente Z12 se llama copedancia de las mallas unos y dos y es la suma de las impedancias comunes a los dos lazos. coincide con el de la corriente de malla. Según que las dos corrientes de malla sean del mismo sentido o de sentidos contarios. 9-6 sea I1 la intensidad de la corriente que resulta al aplicar una tensión V1. y negativo en caso contrario. las copedancias de las mallas uno y tres. la ecuación de la corriente de la malla I1 es La impedancia de entrada es la relación entre la tensión aplicada V1 y la intensidad de corriente I1 a que da lugar. respectivamente. uno y dos. Cada tensión de fuente se considera con un signo que es positivo si el sentido de la corriente que produce. como indica la fig. Los términos independientes V2 y V3 son las sumas algebraicas de las tensiones de las fuentes de las mallas dos y tres. y dos y tres. Es decir. Z23 = Z32 son. ± Z11I1 ± Z12I2 ± Z13I3 = V1 ± Z21I1 ± Z22I2 ± Z23I3 = V2 ± Z31I1 ± Z32I2 ± Z33I3 = V3 El coeficiente Z11 se llama impedancia propia de la malla uno y es la suma de todas las impedancias del lazo por las que circula la corriente de intensidad I1. respectivamente. El termino independiente V1 es la suma algebraica de las tensiones de las fuentes de la malla uno. PLANTEAMIENTO MALLAS DIRECTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE Las ecuaciones correspondientes a un circuito de tres mallas son. por los que circulan las corrientes de intensidades I1 e I2 . Es evidente que Z12 = Z21. del polo negativo al positivo. análoga y respectivamente. . el signo de las copedancias es positivo o negativo. IMPEDANCIA DE ENTRADA Consideremos un circuito de elementos pasivos con dos terminales. Los coeficientes Z13 = Z31. Como no existen otras fuentes en el circuito. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . Entonces. la fuente está en la malla r y la intensidad a considerar es la que aparece en la malla s. La impedancia de entrada de un circuito con elementos activos se define como al impedancia que presenta en sus terminales de entrada cuando todas sus fuentes de tensión están en cortocircuitados conservando. es decir. con los mismos subíndices que la impedancia de transferencia . Por consiguiente. 9-7 con una fuente de tensión intensidad de la corriente a que da lugar en la malla s. eso sí. La impedancia de trasferencia es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resulta en otra malla. Consideremos el circuito de la fig. el determinante del denominador es el adjunto del elemento del elemento que ocupa el lugar rs. Con lo que en la malla r y la El doble subíndice rs de esta impedancia indica el sentido de la acción. anulando el resto de las fuentes. su propia impedancia interna. la relación representa la impedancia de entrada tanto de un circuito activo como de un pasivo. IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA Una fuente de tensión es una malla de un circuito produce una corriente en cada una de las otras mallas del mismo. . . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . es . Hallar las tensiones y en el circuito de la figura 9-16 El sistema de ecuaciones de malla. Ejemplo. escrito en forma matricial. . De donde Por tanto La suma y que es el valor del fasor aplicado. . . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . 3 y 1. obteniéndose así dos ecuaciones en las incógnitas V1 y V2. A cada nudo del circuito se le puede asignar un número o una letra. 2. La tensión en un nudo es la tensión de este nudo respecto de otro. LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFF EN C. B. denominado nudo de referencia. 2 y 3 son nudos principales. Se supone que todas las corrientes en las ramas salen del nudo. TENSIONES EN LOS NUDOS Un nudo es un punto de un circuito común a dos o más elementos del mismo. Como la suma de las corrientes que salen del nudo es cero: Al establecer la Ecuación (1) la elección de los sentidos de las corrientes es arbitraria.A. Este método se llama Método de las tensiones en los nudos. El método de las tensiones en los nudos consiste en determinar las tensiones en todos los nudos principales respecto del nudo de referencia. Mediante la elección de lazos cerrados o mallas y la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff. . La primera ley de kirchhoff se aplica a los nudos principales 1 y 2.1 Se ha elegido el nudo 3 como nudo de referencia. tal nudo se llama nudo principal o conjunción. se emplea la notación V1 en lugar de V13 y V2 en lugar de V23. En este apartado se llega a la misma solución planteando un sistema de ecuaciones determinado por la aplicación de la primera ley de Kirchhoff. En la Fig. Como quiera que las tensiones en los nudos se toman siempre respecto de un nudo de referencia dado. En la Fig. En la Fig. y V23 la tensión entre los nudos 2 y 3.2 se ha dibujado nuevamente el nodo 1 con todas sus ramas de conexión. Si en un nudo se unen tres o más elementos.1 Son nudos A. Entonces V13 es la tensión entre los nudos 1 y 3. se ha establecido el método de las corrientes de malla para la solución de los problemas de circuitos. 1. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . de nudos para resolverlo. En un circuito con muchas ramas en paralelo hay. el número de ecuaciones es igual al de nudos principales menos uno. se obtiene el sistema de ecuaciones: Teniendo en cuenta que 1/Z =Y. puede haber el mismo número de mallas que de nudos o haber menos mallas que nudos. Disponiendo del método de las corrientes de malla y del de las tensiones en los nudos. En consecuencia. exigiendo menos ecuaciones. La elección de uno u otro en cada caso particular depende de la configuración del circuito. En todo caso debe elegirse siempre el método que dé menor número de ecuaciones. Fig. . por tanto. normalmente. En otros casos. muchos más lazos que nudos. se puede escribir el sistema (3) en función de las admitancias NÚMERO DE ECUACIONES DE TENSIONES EN LOS NUDOS Se pueden escribir ecuaciones para cada uno de los nudos principales con la excepción del de referencia. 2 Fig. 3 Repitiendo el mismo proceso con el nudo 2 la ecuación que resulta es: Agrupando en (1) y (2) los términos en V1 y V2 . . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . Una corriente que entra en el nudo tiene signo positivo. son las sumas de las corrientes que pasan por los nudos 2 y 3. Todas las coadmitancias tienen signo negativo. a la que sale del nudo se le asigan el negativo. El coeficiente es la coadmitancia de los nudos 1 y 2 y es la suma de todas las admitancias que unen ambos nudos. Observese que . se obtienen para las tensiones en los nudos las ecuaciones siguientes: . En notacion general el sitema es: El coeficiente se llama admitancia propia del nudo 1 y es la suma de todas las admitancias conectadas al nudo 1. De igual forma. y son las admitancias de los nudos 2 y 3 respectivamente iguales a la suma de las admitancias conectadas a los nudos 2 y 3. Las intensidades I2 e I3. como puede verse en la primera de las ecuaciones. PLANTEAMIENTO DIRECTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE NUDOS Un circuito con cuatro nudos principales exige para su solución tres ecuacuones nodales. respectivamente. Por analogía con la notación matricial para las ecuaciones de las corrientes de malla las tres escuaciones nodales pueden escribirse en la forma: Las tensiones en los nudos V1. V2 y V3 vienen dadas por: Si el determinante numerador de cada una de las fracciones se desarrolla por los elementos de la columna que contiene las corrientes. La intensidad I1 es la suma de todas las corrientes de fuentes que pasan por el nudo 1. respectivamente. e son las coadmitancias de los elementos que unen los nudos 2 y 3. . De igual forma. 1 y 3 . tiene signo negativo. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . ADMITANCIA DE ENTRADA Consideremos un circuito pasivo con dos terminales externos. se define como el cociente de la intensidad de corriente que circula procedente de una fuente única existente entre dos nodos y la caída de tensión correspondiente entre ambos. En un circuito activo. como en la figura. la admitancia de entrada se define como la admitancia que presenta el circuito en los terminales dados cuando todas las fuentes internas se hacen iguales a cero. La fuente de intensidad envía la corriente por el nodo 1 y se supone que las posibles admitancias en paralelo de la fuente están incluidas en el circuito. . O bien . Como no hay mas fuentes de intensidad en el circuito. De la expresión anterior. la ecuación de es La admitancia de entrada. Entonces. por tanto. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . Esto es preciso hacerlo porque de otra forma la corriente aparecería en más de un término en la ecuación de y la definición de no será válida. La admitancia de transferencia es el cociente de la corriente que entra en un nodo a la tensión resultante en otro nodo. se obtiene el sistema de ecuaciones siguientes para . I es la intensidad de corriente que entra en el nodo r y la tensión resultante en el nodo s viene dada por Entonces. En el circuito de la Figura. . Por tanto la definición de activo. de un circuito de cuatro nodos principales: . se mantiene tanto para un circuito pasivo como para uno ADMITANCIA DE TRANSFERENCIA Una corriente que circula por un nodo en un circuito da lugar a tensiones en todos los nodos con respecto al de referencia. Utilizando las admitancias de entrada y transferencia. haciéndose iguales a cero todas las demás fuentes. Obsérvese que el punto de retorno de la corriente de entrada se ha elegido como nodo de referencia. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . con todas las demás hechas iguales a cero. ° ° Y ° ° ° ° ° ° ° ° . la tensión . Las ecuaciones de los nodos son: En el nodo 1: En el nodo 2: Agrupando términos. es la tensión de A respecto de la referencia. son evidentes las definiciones de las admitancias de entrada y transferencia. Si solo actúa una fuente de intensidad de la red. Como respecto de la referencia es . EJEMPLO Hallar la tensión en el circuito de la Figura. . . . . . . UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO . . . . . ° ° Con lo que la tensión en pedida es ° ° ° . . . . . . .
Comments
Report "Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff en Corriente Alterna"