Lajes_de_betao_armado_ISEC_2010.pdf

BETÃO ARMADO IILAJES DE BETÃO ARMADO       2010   RICARDO NUNO FRANCISCO DO CARMO  Departamento de Engenharia Civil 2 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo Departamento de Engenharia Civil Índice 1. Introdução 1.1. Classificação de lajes 2. Lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas 2.1. Considerações gerais 2.2. Execução 2.3. Verificação da segurança 3. Lajes de betão armado (apoiadas em vigas) 3.1. Estado limite último de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso 3.2. Estado limite de utilização de fendilhação e de deformação 3.2.1. Espessura da laje 3.3. Execução 3.3.1. Cofragem 3.3.2. Colocação das armaduras 3.3.3. Betonagem 3.4. Disposições relativas a armaduras em lajes 3.4.1. Recobrimento mínimo das armaduras em lajes 3.4.2. Armadura principal mínima e máxima 3.4.3. Espaçamento máximo e mínimo das armaduras 3.5. Armaduras em lajes 3.5.1. Armadura de distribuição das lajes armadas numa só direcção 3.5.2. Armadura de bordo livre 3.5.3. Armadura nos apoios, nos bordos simplesmente apoiados e em apoios paralelos à direcção em que a laje é armada 3.5.4. Armadura de canto 3.6. Laje armada numa direcção 3.6.1. Representação dos apoios nas lajes 3.6.2. Flexão cilíndrica 3.6.3. Esforços nos casos mais correntes de lajes armadas numa direcção 3.6.4. Interrupção das armaduras 3.7. Laje armada em duas direcções 3.7.1. Teoria de comportamento elástico em lajes finas 3.7.2. Condições de apoio e tabelas 3.7.3. Elementos finitos 3.7.4. Teoria da plasticidade 47 50 53 53 56 57 61 63 65 68 69 26 29 30 33 33 34 35 36 36 39 40 41 41 42 43 5 5 9 10 12 14 26 Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 3 Paulo Maranha toda a disponibilidade e simpatia que sempre revelou no debate de questões relacionadas com este trabalho. interrupção e dispensa das armaduras longitudinais 3. Lajes fungiformes 5.8.4.8. 4 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .Departamento de Engenharia Civil 3.8.11.2. Análise da região da laje com momentos negativos 3.3.1. Análise uma laje com uma laje adjacente em consola 3.8. Determinação dos momentos máximos negativos 3. Referências bibliográficas 6.10.9. As suas sugestões foram fundamentais para melhorar a qualidade deste documento.5. Equilíbrio dos momentos negativos 3. Lajes contínuas (painel de laje com painéis de lajes adjacentes) 3. Exercícios propostos 78 80 82 87 93 95 100 104 107 112 119 121 Agradecimentos Aproveito esta oportunidade para agradecer ao Eng. Distribuição das armaduras. Lajes aligeiradas de betão armado 4.8. Lajes com aberturas 3. Lajes sujeitas a forças concentradas 3.8. ” O REBAP no art. 100 define que os elementos são considerados laminares quando a largura excede 5 vezes a sua espessura. Uma laje é um elemento cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a 5 vezes a sua espessura total. Para edifícios. deverá ser considerada como uma viga-parede. como vigas. paredes. Caso contrário deverá ser considerado como uma parede. INTRODUÇÃO No EC2 é referido o seguinte “Os elementos de uma estrutura são geralmente classificados em função da sua natureza e função. as lajes são elementos laminares que têm uma dimensão (espessura) muito inferior às restantes. por exemplo. Indicam-se regras para a análise dos elementos mais comuns e das estruturas constituídas pela sua associação. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES Tipo de Apoio • • Lajes vigadas (apoiadas em vigas) Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares) Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 5 . Um pilar é um elemento cuja secção tem uma altura que não excede 4 vezes a sua largura e cujo comprimento é pelo menos 3 vezes a altura da secção.1. 1. aplica-se o seguinte: • • • Uma viga é um elemento cujo vão não é inferior a 3 vezes a altura total da sua secção transversal. lajes. etc. elementos estruturais usados nos pavimentos de edifícios. Figura 1 – Lajes.Departamento de Engenharia Civil LAJES DE BETÃO ARMADO 1. As lajes são. Caso contrário. placas. Resumindo. pilares. arcos. cascas. Departamento de Engenharia Civil • Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável – ensoleiramentos) Figura 2 – Fotografias de lajes vigadas e fungiformes. em conjunto com outro material) 6 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Constituição Monolíticas (só em betão armado) • • • • • Maciças (com espessura constante ou de variação contínua) Aligeiradas Nervuradas Vigotas pré-esforçadas Perfis metálicos Mistas (constituídas por betão armado. Modo de flexão dominante • Lajes armadas numa direcção (comportamento predominantemente unidireccional) • Lajes armadas em duas direcções (comportamento bi-direccional) Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 7 .Departamento de Engenharia Civil Figura 3 – Fotografias de lajes de betão armado e de lajes aligeiradas de vigotas préesforçadas. Departamento de Engenharia Civil Laje armada numa só direcção Laje armada em duas direcções Figura 4 – Lajes armadas numa direcção ou em duas direcções. 8 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Modo de fabrico • • Betonadas “in situ” Pré-fabricadas: Totalmente (ex: lajes alveolares) ou parcialmente (ex: prélajes) Figura 5 – Fotografias de lajes de betão armado betonadas “in situ”. Betão de compressão com malhasol (armadura de distribuição). Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 9 .Departamento de Engenharia Civil 2. LAJES ALIGEIRADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS Figura 6 – Lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas. ou mais. existe um. Constituição: • • • • Vigota pré-esforçada. tarugos (nervura transversal). Bloco de aligeiramento (bloco cerâmico). Por vezes. As lajes de vigotas pré-esforçadas são pavimentos sujeitos a homologação. CONSIDERAÇÕES GERAIS • • As lajes de vigotas funcionam sempre como lajes armadas numa direcção. Figura 8 – Revestimentos e paredes divisórias (empresa Placfort).1. Estas lajes são concebidas para cargas uniformemente distribuídas (não se consideram abrangidas acções resultantes de cargas concentradas ou acções dinâmicas (vibrações)). o Deverá haver um cuidado especial para as acções resultantes do peso próprio das paredes divisórias (reforçar a armadura de distribuição junto à 10 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . 2.Departamento de Engenharia Civil Figura 7 – Exemplos de vigotas e tijoleiras da empresa Placfort. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 11 . essencialmente. Catálogo da Novobra). com diferentes afastamentos entre vigotas pode haver incompatibilidades com os estribos das vigas. No caso de dois pavimentos apoiados na mesma viga. Quando o vão é superior a 8 m. deverão ser aplicadas vigotas suplementares nessa área. fora do âmbito de aplicação definido pelos documentos de homologação). a resistência poderá ser aumentada maciçando uma faixa junto aos apoios. muitas vezes. isolamento sonoro e isolamento térmico (Documento de Homologação – LNEC. Não é aconselhável a aplicação destas lajes para vãos grandes. Quando a parede divisória está disposta paralelamente às vigotas. a momentos flectores positivos.Departamento de Engenharia Civil zona de aplicação da carga). Figura 9 – Imagens de lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas. normalmente. • • Estas lajes estão concebidas para resistir. Relativamente ao esforço transverso. O dimensionamento destas lajes é. • • • Nos pavimentos em que se utiliza 2 vigotas a par podem existir maiores conflitos com os estribos das vigas do que nos pavimentos com vigotas isoladas. Aspectos ainda a considerar na análise destes pavimentos: comportamento em caso de incêndio. estas lajes devem ser objecto de estudo específico (estes casos ficam. condicionado pela resistência ao esforço transverso ou pela limitação da deformação máxima. • • Antes da aplicação deste tipo de lajes deve ser estudado o respectivo documento de homologação. 3. Preparar o escoramento das vigotas. A entrega mínima das vigotas nos apoios é de 10 cm. Colocação das armaduras: junto aos apoios quando previsto. Humedecer as vigotas. Colocar as vigotas (devem ser dispostas paralelamente entre si) e os blocos entre vigotas.Departamento de Engenharia Civil 2. É necessário colocar tarugos quando os pavimentos têm vãos superiores a 4 m. no mínimo. 6. Nivelamento dos apoios para assentamento das vigotas. Manutenção da humidade do betão em obra (Documento de Homologação – LNEC. Betonagem e espalhamento do betão. A largura mínima do tarugo é de 10 cm e deve ter. EXECUÇÃO 1. 7. Figura 10 – Execução das lajes de vigotas pré-esforçadas. cuja função é solidarizar as vigotas umas com as outras.2. 12 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Preparar a cofragem para a zona dos maciçamentos em betão armado junto aos apoios e tarugos. blocos e a cofragem. 2 varões (colocados imediatamente acima das vigotas). Os tarugos devem estar espaçados cerca de 2 m. • • • • Tarugo é uma viga perpendicular às vigotas. 2. nos tarugos quando previsto e a armadura de distribuição. 5. 8. Catálogo da Novobra). 4. Departamento de Engenharia Civil Figura 11 – Pormenores construtivos sobre lajes de vigotas pré-esforçadas. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 13 . tabelado pelo fabricante) é superior ao Msd (momento máximo actuante resultante da combinação de acções mais desfavorável). Ψ1. Para um ambiente pouco agressivo ou moderadamente agressivo usar a combinação frequente. Ψ1. Estado Limite Último de resistência ao esforço transverso Vrd ≥ Vsd Garantir que o Vrd (esforço transverso resistente do pavimento.Qk). Para um ambiente muito agressivo usar a combinação rara. Dado que os documentos de homologação para estes pavimentos ainda fazem referência aos diferentes tipos de ambiente definidos no REBAP. 14 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .3.Qk). Gm) + acção variável base (valor frequente.Departamento de Engenharia Civil 2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Estado Limite Último de resistência à flexão Mrd ≥ Msd Garantir que o Mrd (momento resistente do pavimento. tabelado pelo fabricante) é superior ao Vsd (esforço transverso máximo actuante resultante da combinação de acções mais desfavorável). Combinação rara: acções permanentes (valor médio. Ψ2. verifica-se que o projectista para realizar os cálculos necessários à verificação da segurança deve estabelecer uma correspondência entre as novas classes de exposição e os ambientes definidos no REBAP. Qk) + restantes acções variáveis (valor frequente. Gm) + acção variável base (valor característico. Salienta-se que a norma NP EN 206-1 já está em vigor e nesta norma são definidas novas classes de exposição (consultar o Quadro 1 da respectiva norma). Combinação frequente: acções permanentes (valor médio.Qk) + restantes acções variáveis (valor quase permanente. Estado Limite de Utilização: estado limite de fendilhação Mfctk ≥ MELS Garantir que o Mfctk (momento correspondente à formação de fendas) é superior ao MELS (momento máximo actuante resultante da combinação frequente ou rara). 4.momento actuante devido à combinação frequente de acções Flecha instantânea O comportamento estrutural do pavimento aligeirado com as vigotas apoiadas nas vigas aproxima-se do de uma viga simplesmente apoiada.1): δmáx = L/250 (casos correntes) ou δmáx = L/500 (se for susceptível de danificar outros elementos da construção) A flecha é determinada para a combinação quase permanente de acções. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 15 . • Segundo o REBAP (art. Salienta-se que o grau de encastramento da ligação entre o pavimento e a viga é praticamente nulo. ⎛ ⎞ M sg .⎜1 + ⎜ M + ∑M ⎟ sg sq ⎠ ⎝ δ∞ δ0 Msg Msg + ΣMsq .momento actuante devido às cargas permanentes . necessário colocar armaduras superiores para resistir aos momentos negativos considerados.ϕ ⎟ δ ∞ = δ 0 .5 cm (se afectar outros elementos da construção). igual a 2. • Segundo o EC2 (secção 7. e a fluência do betão. ϕ. também.flecha a longo prazo .º 72): δmáx = L/400 (casos correntes) ou 1. Cálculo da flecha máxima de um pavimento aligeirado para uma determinada carga: Flecha a longo prazo (considerar a fluência do betão): A flecha a longo prazo pode ser obtida multiplicando a flecha instantânea por um factor que tem em consideração as cargas permanentes e variáveis.Departamento de Engenharia Civil Estado Limite de Utilização: estado limite de deformação δcalc < δmáx Garantir que a flecha máxima do pavimento (a longo prazo) é inferior à flecha máxima admissível. Em geral pode considerar-se o coeficiente de fluência. A flecha é determinada para a combinação frequente de acções. Todavia.flecha instantânea . Nestas situações será. esse grau de encastramento poderá ser aumentado definindo uma zona maciça com uma determinada largura junto aos apoios. EI.L4 1 1 ⎛ 5 p. L + + p.L /4 Figura 13 – Diagrama de momentos de uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga concentrada unitária. para determinar a flecha instantânea do pavimento é necessário conhecer o vão.L /(8 a 10) p. O valor da flecha instantânea pode ser determinado pela integração da linha elástica ou pela integração do diagrama de momentos da acção aplicada com o diagrama de momentos resultante de uma carga unitária aplicada na secção onde se pretende determinar o deslocamento vertical. M . 1 L M0 + 1. δ0 = ⎞ 5 . dx 2 = × × × × 0 1 ⎟ = 384 . 16 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . as dimensões do vão e a rigidez à flexão da laje (valor tabelado para cada tipo de pavimento).p.L2 L L ⎜ ⎟ M . EI ∫ EI ⎜ 8 4 2 ⎝ 12 ⎠ Portanto.Departamento de Engenharia Civil p kN/m Diagrama de momentos flectores admitindo um ligeiro grau de encastramento nos apoios. o carregamento.L /8 2 2 M1 - Figura 12 – Modelo estrutural para calcular os esforços em lajes aligeiradas de vigotas préesforçadas. CP +1.5x2 = 13. Ψ1 = 0.5+2.5.00 7.3 e Ψ2 = 0.0 kN/m2.5 kN/m/m Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 4. 7. dispostas na direcção no menor vão.SOB = 1. normalmente.5+1.00 17 . Escolha o pavimento aligeirado de vigotas pré-esforçadas que garanta a segurança em relação aos Estados Limites Últimos e de Utilização.5x(3. Acções: peso próprio da laje (como primeira estimativa pode considerar-se 3.50 Figura 14 – Planta estrutural do piso de habitação. Determinar os esforços para a verificação os Estados Limites Últimos Combinação para os ELU p = 1. Resolução • • • As vigotas ficam. Classe de exposição XC3. sobrecarga (2.00 5. revestimento (1.0) + 1. peso próprio das paredes divisórias (2.2).5.00 5. As lajes vão exercer uma acção uniformemente distribuída nas vigas. vamos admitir que corresponde a um ambiente moderadamente agressivo (segundo o REBAP). Neste cálculo vamos apenas considerar o pavimento com um vão de 5 m.Departamento de Engenharia Civil Exercício 1 Considere a planta estrutural de um edifício de habitação apresentada na Figura 14.5 kN/m2).5 kN/m2).0 kN/m2). max = 42.6 kN/m/m MELS = 7.75 kN Figura 15 – Modelo estrutural do pavimento e diagrama dos esforços actuantes.6 > Vsd.0) + 0.3x2 = 7. usar a combinação frequente de acções: Gm + Ψ1.m 2 + V -33.m 18 (verifica) Ricardo do Carmo Lajes de betão armado .5 + 2. Vrd = 34 > Vsd) 2ª hipótese: VP3-22x16-20 (Mrd = 46 > Msd.L /8 = 42.Qk = (3. 13.75 kN Consultar as tabelas dos fabricantes de pavimentos aligeirados de vigotas pré-esforças e escolher os pavimentos que verifiquem as seguintes condições: Mrd ≥ Msd Vrd ≥ Vsd Atendendo aos aspectos económicos.5 kN/m/m 5m M + 33.75 kN.2 kN.Departamento de Engenharia Civil Msd.2 kN.m2/m e Mfctk = 28 kN. EI = 11588 kN. Vrd = 36.5 +1. deve-se escolher os pavimentos cujos esforços resistentes não sejam muito superiores aos esforços actuantes.m) Estado Limite de Fendilhação (formação de fendas) Como o ambiente é moderadamente agressivo.max = 33.3 > Msd.6x52/8 = 23.m Vsd.m/m < Mfctk = 28 kN.75 kN p. Por exemplo: 1ª hipótese: VP4-22x12-17 (Mrd = 42.Qk + Ψ2. colocar um tarugo (nervura transversal de betão armado.75 kN.75 ⎠ ⎝ sg sq ⎠ ⎝ O pavimento com a referência VP3-34x20-24 é uma solução válida.87. perpendicular às vigotas) • • • Armadura do tarugo (largura mínima 10 cm e no mínimo 2 varões) Para o pavimento com a referência VP3-34x20-24: As.⎛ 1+ ⎜ ⎟ = 5.dist.p.5 mm Msg = 7x52/8 = 21.87 × 2.84 = 15. L > 4 m. EI = 15971 kN.ϕ 21. é a armadura a colocar no tarugo.00533 m = 5.75 ⎠ ⎝ ⎠ L/400 = 5000/400 = 12.EI. Mrd = 43.L/2 = 0.3 > Msd.L4 5 × 7.5x1.6 × 5 4 = = 0.875 × 2 ⎞ ⎟ = 5.6 × 5 4 = = 0.875 × 2 ⎞ ⎟ = 3.75) Só falta verificar o Estado Limite de Deformação Flecha instantânea: δ 0 = Flecha a longo prazo: 5.As.4875 cm2 (2∅10).Departamento de Engenharia Civil Estado Limite de Deformação Calcular a flecha instantânea para o carregamento resultante da combinação de acções frequente: δ 0 = 5.⎜1 + ⎜ M + ∑M sg sq ⎝ Não verifica ⎞ 21. 384 × 11588 Calcular a flecha a longo prazo: ⎛ M sg . Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 19 .4 > Vsd.00387 m = 3.19x5/2 = 1.875 kN.p.dist (A400) = 119 m2/m As > 0.33mm 384 .L4 5 × 7.33 × 2. 384 × 15971 ⎛ ⎞ M sg . 3ª hipótese: VP3-34x20-24 (p.EI.ϕ δ ∞ = δ 0 .8 kN.p = 3.23 kN/m2.m > 23.15mm > L / 400 ⎟ 23.5.m Msg + ΣMsq = 23.m2/m e Mfctk = 28.⎛ δ ∞ = δ 0 .84 = 11mm < 12.m (momento resultante da combinação frequente de acções) Escolher um outro pavimento que verifique as condições anteriores mas com uma rigidez à flexão (EI) maior para que a deformação seja menor. Por exemplo.5mm ⎜ M + ∑M ⎟ 23.87mm 384 .33.⎜1 + ⎜1 + ⎟ = 3. Vrd = 34. 5 kN/m2). Exercício 2 Considere a planta estrutural de um edifício de habitação representada na figura seguinte.0 kN/m2).5 m 5m . Acções na laje de 5 m: peso próprio da laje (3.0 kN/m2 e 2.26 kN/m2 inferior ao valor 3.0 kN/m2). 20 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo 1. Determine a distância a partir do apoio para o interior da laje aligeirada. Considere que a armadura longitudinal na consola é ∅12//0. Determine o comprimento da zona a maciçar na zona adjacente à consola de modo a garantir a segurança em relação ao ELU de resistência à flexão.26 kN/m2).0 kN/m2). que o betão é classe B25 (C20/25) e o aço é A400NR. revestimento (1. Acções na laje em consola: peso próprio da laje (5 kN/m2). Se o peso próprio do pavimento escolhido fosse superior ao valor inicialmente arbitrado.15m. revestimento (1. peso próprio das paredes divisórias (2.Departamento de Engenharia Civil O peso próprio deste pavimento é 3. A laje em consola é de betão armado. A laje com 5 m de vão é aligeirada de vigotas pré-esforçadas (pavimento com a referência VP3-34x20-24).5 kN/ m2 considerado nos cálculos. até onde devem ser prolongadas as armaduras superiores da laje em consola de modo a garantir a segurança em relação ao ELU de resistência à flexão. sobrecarga (2. Laje aligeirada de vigotas pré-esforçadas Laje betão armado Figura 16 – Planta estrutural com a laje em consola. sobrecarga (5. seria necessário verificar novamente a segurança mas considerando o valor real do peso próprio do pavimento.0 kN/m2). 5. para responder à primeira questão é necessário calcular a zona da laje aligeirada com momentos negativos. Portanto. será razoável considerar que a viga funciona como um apoio de continuidade e.SOB = 1. Para estas lajes resistirem a momentos negativos é necessário colocar armadura longitudinal superior e será também necessário que exista betão suficiente na zona comprimida da laje.CP +1.26 + 1.5 kN/m 12 kN/m 6.5X1 +12X0.m Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 21 .5.CP +1. não absorve o momento flector da laje em consola.5X0. ou seja.25 = 18 kN.5 m 5m Figura 17 – Carregamento mais desfavorável.76 kN/m2 Como estas acções têm um efeito favorável as cargas permanentes são multiplicadas por 1 e as acções variáveis não são consideradas. Para uma laje desenvolver um momento resistente é preciso que exista um binário de forças internas.5 kN/m2 (na faixa de 1 m adjacente ao limite sa consola) p2 = 1.5x2 = 12 kN/m2 Carregamento entre apoios: p3 = 1.Departamento de Engenharia Civil Resolução As lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas estão concebidas para resistir essencialmente aos momentos positivos.5x5 = 16.5x6 +1.76 kN/m 1. Atendendo ao caso apresentado. 16.5 + 2) = 6.5. Assim.5x6 +1.SOB = 1. o momento da laje em consola é transmitido à laje adjacente. à laje aligeirada de vigota pré-esforçada. Cálculos auxiliares: M = 16.5. Carregamento na consola: p1 = 1.0CP = 1x(3. portanto. O cenário mais desfavorável para originar a maior área de laje com momentos negativos é colocar a carga máxima na zona em consola e a carga mínima na zona entre apoios. A altura total da laje é 0.25+6. um aço A400NR e varões ∅12.76x M(x) = -6. 100 mm e 0.065 + 1.5x0. • lb.net (comprimento de amarração) assume o valor mínimo.net = 0. porque pretende-se interromper a armadura na secção onde M = 0. A largura das faixas maciças assim como as armaduras a utilizar para resistir aos momentos negativos deverão ser convenientemente dimensionadas.5x1x6 +12x0. Considerando que: • al (translação do diagrama de momentos) é igual a 1.18 M(x) = 0 ⇒ x = 5 ou x = 1.5x5.3lb (130. neste caso 130.76x = 20.065 + 1.209 + 0. o documento de homologação das lajes de vigotas préesforçadas refere que. Considerou-se um betão B25.51 m Em relação à segunda questão. Este valor é o definido para as lajes de betão armado sem armadura de esforço transverso. Portanto.76x2/2 + 20.025 – 0. quando há apoios de continuidade ou de encastramento devem prever-se faixas maciças de betão armado para resistir aos momentos negativos. deve-se aplicar o maior dos seguintes valores: 10∅ (120 mm).Departamento de Engenharia Civil R1 = (16.5) -6.38x2 + 20.012/2 = 0.5 mm).cal = 0.1305 m.5 – 6.5x .065 m + Figura 18 – Diagrama de momentos.5x .5 mm. o que daria lb. Adopta-se este valor também para as lajes aligeiradas de vigotas préesforçadas porque não há informação mais rigorosa.76x5x5/2)/5 = 43 kN V(x) = (43-22.1305 = 1.5d (art.18 = -3.065 m -18 - 1. logo As.24 m. 106 do REBAP).24 – 0.509 ≅ 1.5d + 0. então a distância mínima a partir do apoio até onde devem ser prolongadas as armaduras superiores é 1. 22 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . por isso d = 0.209 m x’ = 1. No entanto.Departamento de Engenharia Civil No limite poderá considerar-se que a zona a maciçar é a toda a zona de momentos negativos.53 cm2/m).46 m (entre eixos). Agora determina-se o máximo momento resistente com esta largura de betão e com a armadura longitudinal aplicada ∅12//0.261 m. Figura 19 – Corte transversal das lajes aligeiradas do tipo VP2/VP4-34x20-23/25.12/0. então poderá admitir-se que a largura de betão comprimido por metro é 0. Sabe-se que Fs = Fc e Mrd = z. é possível diminuir este valor realizando um cálculo mais detalhado onde se considera o betão das vigotas na região comprimida da laje. Figura 20 – Dimensões da secção transversal da vigota VP2 e VP3.12 m e estão afastadas 0. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 23 .46 = 0. A largura da vigota é 0.Fc Admitindo que as armaduras estão em cedência (condição a verificar com base no valor das extensões do aço) pode-se determinar a profundidade do eixo neutro necessária para mobilizar toda a força de tracção. Se se admitir que o eixo neutro da laje na zona dos momentos negativos está na zona mais larga da vigota.15m (As = 7. z = d – 0. é muito superior à força de compressão.4x = 0. por isso está-se do lado da segurança ao admitir que o betão é da classe B25 (C20/25). No cálculo abaixo considerou-se uma distribuição rectangular para as tensões de compressão. Uma das razões para este resultado é o 24 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .348x103 = 262 kN.85.3 103 = 99. ΣFx = 0 Fs = Fc ⇒ 7. Fs As e. A vantagem desta hipótese é a maior facilidade em calcular a área comprimida e o braço das forças internas.3x103 ⇒ x = 0.0. Equilíbrio das forças internas. Portanto. 0.8 0. não se está a aproveitar o máximo de resistência das armaduras.042m.53x10-4.0553 m x = 0. Assim.348x103 = 0. Isto reforça a ideia de que a estimativa indicada abaixo para o momento resistente é inferior ao momento resistente real.n.m Como o momento máximo negativo aplicado é 18 kN. Poderá realizar-se uma estimativa abaixo do momento resistente real considerando que x é igual a 0.1 kN (força máxima de compressão x x x x x considerando x igual a 0.1922 x 99.042 = 0.0.4 x 0.042 0.Departamento de Engenharia Civil O betão utilizado no fabrico das vigotas tem normalmente uma resistência superior ao utilizado nas estruturas correntes.85 13.0553 m.m e a estimativa do momento resistente é 19 kN. significa que a zona comprimida não tem uma largura constante (ver dimensões da secção transversal da vigota).209 – 0.13. Fc = 0.m.261. Fs = 7.8x 0.1 = 19 kN.Fc = 0.042) Nota: A máxima força de tracção possível.85fcd Fc M Figura 21 – Forças internas numa secção de betão armado.8x.261 0.53x10-4. significa que o betão das vigotas consegue suportar uma força de compressão suficiente para resistir ao momento aplicado (ELU).1922 m Mrd = z. não será necessário maciçar a laje aligeirada junto ao apoio. 55-28.55 O primeiro valor não tem significado físico.75 16.75 = . consequentemente o braço das forças internas.05x – 30.5X1. Ao valor de 0. M(x) = -3.76 kN/m 1m 1m 5m -30. deve-se maciçar uma faixa com uma largura mínima de 0.55 + 0.05x – 30.5 kN/m 12 kN/m 6.38x2 + 23.5x1x6.Departamento de Engenharia Civil facto da laje aligeirada ter uma espessura relativamente alta. Para determinar a largura da faixa a maciçar utiliza-se a equação de momentos.5 +12x1x5.76x M(x) = -6.26 ou x = 0.5 +12X1X0.864 m.55 m deve-se adicionar o valor al (translação do diagrama de momentos) igual a 1.5) -6.5d.76x = 23. Admitir que a estrutura e as acções são iguais (incluindo a armadura longitudinal). à semelhança do procedimento para utilizado na interrupção das armaduras longitudinais.m (estimativa do momento resistente) é necessário colocar mais betão na zona de compressão.55 kN V(x) = (51. Cálculos auxiliares: M = 16. Assim. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 25 . z. Neste caso verifica-se que o betão das vigotas não é suficiente para resistir ao momento aplicado (ELU) -30.5+6.05x -11.75 kN.76x2/2 + 23.05 – 6. Para momentos superiores a 19 kN.05x – 30.5 = 30.75 - + Figura 22 – Carregamento mais desfavorável e diagrama de momentos (2º cenário).314 = 0.38x2 + 23.75 = -3.75 kN.75 = 0 ⇒ x = 6. é também elevado (quando maior o z menores serão as forças internas para um mesmo momento).m.38x2 + 23.m R1 = (16.76x5x5/2)/5 = 51. excepto a dimensão da consola que tem agora 2 metros.19 ⇒ -3. os momentos flectores e o esforço transverso.Departamento de Engenharia Civil 3. O momento resistente numa secção resulta da existência de 2 forças (uma de tracção e outra de compressão) e da existência de uma determinada distância entre as forças (braço interno das forças).1. LAJES DE BETÃO ARMADO (APOIADAS EM VIGAS) Constituição: betão e aço (armaduras) A laje deverá resistir aos esforços actuantes resultantes dos carregamentos correspondentes aos cenários mais desfavoráveis. 26 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Nas lajes apoiadas em vigas os esforços predominantes são. O dimensionamento da laje está também condicionado pelo seu comportamento nas condições de serviço (deformação e fendilhação) e pela segurança contra incêndios. Figura 23 – Resistência à flexão (Válter Lúcio). ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO E DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO Mecanismo de resistência à flexão Nas lajes o mecanismo de resistência à flexão é semelhante ao das vigas. 3. sendo η igual a 1 para fck ≤ 50 MPa e η igual a 1 – (fck – 50)/200 para 50 < fck ≤ 90 MPa. No REBAP a tensão considerar nesse diagrama é 0.Leonhardt e E. simplificadamente. um diagrama rectangular para a distribuição das tensões no betão na zona comprimida.85fcd e no EC2 a tensão a considerar é ηfcd. No cálculo do momento flector resistente ao estado limite último pode considerar-se.85. Recomenda-se que o momento reduzido μ seja inferior a 0. Monning).Departamento de Engenharia Civil 0. Numa laje as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura (b = 1 m) e considerando a altura útil da laje. Mecanismo de resistência ao esforço transverso Figura 25 – Mecanismo de resistência ao esforço transverso (F.fcd 0. Fc Ac d As x εcu3 λx η fcd Fc M Fs As REBAP Fs εs EC2 Figura 24 – Equilíbrio de forças internas para a situação de estado limite último de resistência à flexão. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 27 .n.8x d e.20. No EC2 al = 1.3. • Devido à força de tracção que existe junto aos apoios.2 do EC2). Em geral.2 (5)).1. remete para 6. recomenda-se um cuidado especial na amarração das armaduras traccionadas. resultante do efeito de arco. Assim. Nas lajes sem armadura de esforço transverso a carga é transmitida aos apoios pelo efeito de arco e consolas.1.3.Departamento de Engenharia Civil Figura 26 – Mecanismo de resistência ao esforço transverso (F. Monning. adopta-se uma espessura para as lajes de modo a não ser necessário armadura de esforço transverso.º 106 do REBAP. Nas lajes o arco atirantado é muito “achatado” o que origina um aumento significativo da força no banzo traccionado.0d (Secção 9. os regulamentos recomendam o seguinte: • Nas lajes sem armadura de esforço transverso a translação do diagrama de momentos flectores deve ser al = 1.3. Carla Marchão e Júlio Appleton). tanto para apoios com liberdade de rotação como para apoios de encastramento ou de continuidade (art. é necessário prolongar pelo menos ½ da armadura máxima existente a meio vão até aos apoios. Secção 9.Leonhardt e E.1. remete para 9.2.2. Na sequência deste raciocínio.5d (art.1 (4). 28 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .º 106 do REBAP). 2. ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO DE FENDILHAÇÃO E DE DEFORMAÇÃO Figura 27 – Fotografias de fendas e deformações em elementos de betão armado. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 29 .Departamento de Engenharia Civil 3. A fendilhação e a deformação devem ser limitadas de modo a não prejudicar o funcionamento correcto ou a durabilidade da estrutura. Podem ser tomadas medidas que dispensem a verificação explícita do Estado Limite de Fendilhação e de Deformação. nem a tornar o seu aspecto inaceitável. No EC2 a verificação do estado limite de fendilhação pode ser garantida limitando o diâmetro e o espaçamento dos varões. • EC2 • No EC2 a verificação do estado limite de deformação pode ser garantida limitando a relação vão/altura (L/d) de acordo com a Secção 7.3.º 105.3. de acordo com a Secção 7. armadura de percentagem mínima armadura).2 ou comparando o valor da flecha máxima com um valor limite. normalmente. 3. Não se deve esquecer que a determinação da solução final é.3. solicitadas à flexão sem tracção axial significativa. Este artigo impõe uma espessura mínima para a laje em função do vão.Departamento de Engenharia Civil REBAP • De acordo com o REBAP a verificação do estado limite de deformação considera-se satisfeita se se cumprir o disposto no art. • De acordo com o REBAP a verificação do estado limite de fendilhação (largura de fendas) considera-se satisfeita se se cumprir as disposições impostas no art. Espessura da laje Pré-dimensionamento de lajes: determinação prévia da espessura da laje. • No EC2. é ainda referido que no caso de lajes de betão armado ou pré-esforçado de edifícios. das condições de apoio e do tipo de aço. precedida de um processo iterativo. de acordo com a Secção 7. o disposto máximo dos em 9. (1) (Controlo da fendilhação sem cálculo directo).3 varões.4. não são necessárias medidas específicas para controlar a fendilhação quando a espessura total da laje não é superior a 200 mm e se tenha respeitado (espaçamento canto. Secção 7.3. (verificação explícita).1. Este artigo impõe um espaçamento máximo para as armaduras longitudinais.º 102.4.2.3. Como primeira aproximação pode-se utilizar as seguintes expressões: 30 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .4 (verificação explícita). de armaduras junto aos apoios. de acordo com a Secção 7.3 ou comparando a largura máxima da fenda com um valor limite. lajes de terraços não acessíveis. Vão de 4 a 6 m REBAP • O REBAP no art.5 fck + fck ⎥ ρ − ρ' 12 ρ0 ⎦ d ⎣ Em relação às expressões do EC2 informa-se que: L/d K Ricardo do Carmo valor limite da relação vão/altura. os valores da seguinte ordem de grandeza conduzem a resultados adequados: • • • Vão até 2. ƒ 7 cm. ƒ 15 cm.4. lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes.2 (1) refere que uma laje com armadura de esforço transverso deverá ter uma espessura pelo menos igual a 200 mm. lajes submetidas a cargas concentradas importantes.2. lajes apoiadas directamente nos pilares. recomenda-se a aplicação da seguinte expressão: h ≥ li 21 . ƒ 12 cm. 30 . (2) apresenta valores limite para a relação L/d. ⇒ h = 15 cm.Departamento de Engenharia Civil Laje armada numa direcção – h = L/(30 a 35) Laje armada nas 2 direcções – h = L/(35 a 40) L é o vão da laje. dados pelas seguintes O REBAP no art. lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas.5 m ⇒ h = 10 cm. expressões: se ρ ≤ ρ0 3 ⎡ ρ0 ⎛ ρ0 ⎞ 2⎤ L = K ⎢11 + 1. coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais. ƒ 10 cm. 102 impõe valores mínimos para a espessura das lajes maciças: ƒ 5 cm.η explícito das flechas.5 fck + 3. nas situações correntes (sobrecarga < 5 kN/m3).º 102 apresenta uma expressão para a altura mínima da laje: h ≥ li . EC2 • O EC2 na Secção 9.3. • Para verificar o Estado efectuar Limite um de Deformação sem cálculo Vão de 2.η • No entanto.2 fck ⎜ ⎜ ρ − 1⎟ ⎟ ⎥ d ρ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ se ρ > ρ0 ⎡ ρ0 ρ' ⎤ L 1 = K ⎢11 + 1.5 a 4 m ⇒ h = 12 cm. Lajes de betão armado 31 . o EC2 na Secção 7. A experiência demonstra que. taxa de armaduras de compressão necessária a meio vão para equilibrar o momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola). podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos.0 Betão fortemente solicitado ρ = 1. no caso de vigas e de lajes (com excepção de lajes fungiformes) com vãos superiores a 7 m e ainda no caso de lajes fungiformes em que o vão maior é superior a 8. em MPa.5% 14 Betão levemente solicitado ρ = 0. em vigas com a secção em T com com uma relação entre a largura do banzo e a largura da alma superior a 3.4 6 8 Nota 1: Em geral.4N do EC2 . Os valores de L/d determinados pelas expressões referidas acima deverão ser corrigidos quando a tensão no aço na secção crítica é diferente de 310 MPa. Nota 2: Para lajes armadas em duas direcções. os valores indicados são conservativos. Sistema estrutural Viga simplesmente apoiada.3 18 26 1.Departamento de Engenharia Civil ρ0 ρ ρ´ fck taxa de armaduras de referência = fck × 10 −3 . a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão.4.5 m e que suportam divisórias que possam ser danificadas por flechas excessivas (ver Secção 7. Nota 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. 32 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . taxa de armaduras de tracção necessária a meio vão para equilibrar o momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola).5% 20 1. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.2 do EC2). A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão armado sem esforço normal de compressão.5 20 30 1. Quadro 7. laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão) Consola K 1.2 17 24 0. 3. Não reagir de forma prejudicial com o betão e armaduras. Permitir a fácil descofragem sem introduzir danos na estrutura.Departamento de Engenharia Civil 3.3. EXECUÇÃO 3. Cofragem Requisitos da cofragem: • • • • • • • Resistir às acções durante a construção (com reduzida deformação). Garantir que a superfície do betão tem a qualidade pretendida. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 33 . Manter a integridade do elemento estrutural. Ser suficientemente rígida para que a deformação seja muito reduzida e assim garantir a geometria definida (dentro das tolerâncias admissíveis). Ser estanque.1. Figura 28 – Cofragem para lajes. Departamento de Engenharia Civil 3.D’Arga e Lima Vol.3. I).2. 34 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Colocação das armaduras Figura 29 – Espaçadores (algumas imagens são de J. Aplicar a vibração por cada camada não superior a 50 cm de espessura. Começar a betonagem pelas zonas mais baixas quando existe inclinação significativa da cofragem. assegurar uma durabilidade adequada na zona superficial.3.3. Em secções muito espessas a recompactação da camada superficial é recomendada. Betonagem O betão deve ser colocado e compactado de modo a assegurar que todas as armaduras e elementos a integrar no betão ficam adequadamente embebidos de acordo com o recobrimento definido (considerar também as tolerâncias definidas e permitidas). Figura 30 – Betonagem de uma laje. Figura 31 – Betonagem do 1º tramo viaduto lado Benguela. O betão nas idades jovens deve ser objecto de cura e protecção para: • • • • • minimizar a retracção plástica. proteger contra vibrações prejudiciais.Departamento de Engenharia Civil 3. a baixa altura. assegurar uma resistência superficial adequada. assegurar resistência à congelação. Pode ser manual. impacto ou danos. vibração da cofragem (para peças de pequena espessura) ou com mesas vibrantes (pré-fabricação). Deverão ser considerados os seguintes aspectos durante a betonagem: • • • • • Minimizar a segregação. Utilizar tubagens para colocar o betão Vibração/compactação. Descarregar o betão na vertical. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 35 . com vibrador. Após a vibração não devem continuar a aparecer bolhas de ar à superfície. st ∆cdur.4.1. numa laje num ambiente modera/ agressivo e um betão de classe inferior a B30 o recobrimento mínimo é 2. Colocação de coberturas húmidas.add.γ . considerando que a classe estrutural é S4. 10 mm} EC2 36 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Δcdev (ver 4.º 78 • Depende do ambiente onde está a estrutura de betão armado e da classe do betão.2). classe de exposição. • Para elementos laminares os valores indicados podem ser diminuídos de 0. 3. cmin.dur + ∆cdur.5 cm em relação ao valor (excepto na classe de exposição X0. edifícios correntes).4. da resistência betão e do controlo de qualidade da produção do betão. Cobrir a superfície de betão com uma membrana impermeável.4. Recobrimento mínimo das armaduras em lajes O recobrimento mínimo das armaduras deve assegurar: • • • transmissão eficaz das forças de aderência. REBAP Art. DISPOSIÇÕES RELATIVAS A ARMADURAS EM LAJES 3.4. protecção do aço contra a corrosão (durabilidade).∆cdur.b.4.5 cm. • O recobrimento nas lajes estipulado para os pilares pode ser e vigas reduzido 0.5 cm.1. mais uma margem de cálculo para as tolerâncias de execução. cmin (ver 4. • O recobrimento nominal deve ser especificado nos desenhos e é definido como um recobrimento mínimo. uma adequada resistência ao fogo (ver EN 1992-1-2).5 cm nem inferior ao Ø das armaduras (ou diâmetro equivalente se houver agrupamento).3): cnom = cmin + Δcdev cmin = max {cmin. • O recobrimento não deve ser inferior a 1. Por exemplo. Secção 4.Departamento de Engenharia Civil Os seguintes métodos de cura são admissíveis separadamente ou em sequência: • • • Manter a cofragem.1.1 • O recobrimento depende de vários factores: classe estrutural. 2 (8) Nota: O valor de Δcdur. ƒ ∆cdur.γ . Nota: O valor de Δcdev a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional. é dado por cmin. requisitos relativos à aderência.3. ƒ cmin.2 (6) Nota: O valor de Δcdur.4.b deve ser aumentado de 5 mm. O valor recomendado.1. as modificações recomendadas da Classe Estrutural são dadas no Quadro 4.add redução do recobrimento mínimo no caso de protecção adicional. é 0 mm.b . ver 4.st . A Classe Estrutural mínima recomendada é S1.b* Diâmetro do varão Diâmetro equivalente (φn)(ver 8.2 (3) Quadro 4.1. ƒ ∆cdur.4. A classificação estrutural e os valores de cmin. DNA 5. O valor recomendado é 10 mm.b. cmin. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 37 .4.4.Departamento de Engenharia Civil Em relação ao EC2 informa-se que: ƒ Para o cálculo do recobrimento nominal.1 está definido o quadro seguinte e é referido que a vida útil das obras é especificada em 5 categorias (ver EN 1990). na ausência de outras especificações.1) * Se a máxima dimensão do agregado for superior a 32 mm.dur .recobrimento mínimo para os requisitos de aderência. cmin. deverá majorar-se. ƒ cmin. ver 4. ver 4.add a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional. ver 4.st a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional.dur.3N.2 (5) O valor do recobrimento mínimo das armaduras para betão armado tem em conta as classes de exposição e as classes estruturais.1. O valor recomendado é 0 mm.dur a utilizar num determinado país são dados no respectivo Anexo Nacional. Requisito de aderência Disposição dos varões Isolados Agrupados Recobrimento mínimo cmin. A Classe Estrutural recomendada para edifícios e outras estruturas comuns (tempo de vida útil de projecto de 50 anos) é S4. na ausência de outras especificações.4.9. cnom. Nota: O valor de Δcdur.margem de segurança.γ a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional. ƒ ∆cdur.1. o recobrimento mínimo para ter em conta as tolerâncias de execução (Δcdev). O valor recomendado.1.recobrimento mínimo relativo às condições ambientais. ver 4. Na NP EN 206-1.2 (7).redução do recobrimento mínimo no caso de utilização de aço inoxidável. ao nível do projecto. é 0 mm.2 do EC2: Recobrimento mínimo. Exemplos Quadro 4. Requisito ambiental para cmin.4N do EC2: Valores do recobrimento mínimo.3N do EC2: Classificação estrutural recomendada. de acordo com a EN 10080.dur (mm) Classe Estrutural S1 S2 S3 S4 S5 S6 X0 10 10 10 10 15 20 XC1 10 10 10 15 20 25 Classe de Exposição de acordo com o Quadro 4. cmin. Classe Estrutural Classe de Exposição de acordo com o Quadro 4. Nesta categoria pode ainda incluir-se estruturas de edifícios altos ou obras de relevante importância económica e social. apoios Estruturas para a agricultura e semelhantes Edifícios e outras estruturas comuns Edifícios monumentais.1 Critério X0 aumentar de 2 classes ≥ C30/37 reduzir de 1 classe XC1 aumentar de 2 classes ≥ C30/37 reduzir de 1 classe XC2 / XC3 aumentar de 2 classes ≥ C35/45 reduzir de 1 classe XC4 aumentar de 2 classes ≥ C40/50 reduzir de 1 classe XD1 aumentar de 2 classes ≥ C40/50 reduzir de 1 classe XD2 / XS1 aumentar de 2 classes ≥ C40/50 reduzir de 1 classe XD3 / XS2 / XS3 aumentar de 2 classes ≥ C45/55 reduzir de 1 classe Tempo de vida útil de projecto de 100 anos Classe de Resistência 1) 2) Elemento com geometria de laje (posição das armaduras não afectada pelo processo construtivo) Garantia especial de controlo da qualidade da produção do betão reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe reduzir de 1 classe 38 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .dur.1 XC2 / XC3 10 15 20 25 30 35 XC4 15 20 25 30 35 40 XD1 / XS1 20 25 30 35 40 45 XD2 / XS2 25 30 35 40 45 50 XD3 / XS3 30 35 40 45 50 55 Quadro 4.Departamento de Engenharia Civil Categorias de vida útil Vida útil das obras Categoria 1 2 3 4 5 Anos 10 10 a 25 15 a 30 50 100 Estruturas temporárias Partes estruturais substituíveis. por exemplo. pontes e outras estruturas de engenharia civil. como hospitais e teatros. requisitos relativos à durabilidade das armaduras para betão armado. cmin.1 (1) e (3).3 relativamente à área de armadura longitudinal de tracção para controlo da fendilhação. O limite pode ser reduzido de uma classe de resistência se a introdução de ar for superior a 4%.0 . • A área da armadura longitudinal de tracção não deve ser inferior a As. aplicase o disposto em 9. enchimento de finos) a fim de obter uma baixa permeabilidade.26 fctm bd f yk t mas não inferior a 0. Armadura principal mínima e máxima Verificar se a área As determinada pelo cálculo na verificação da segurança ao estado limite ultimo de resistência à flexão é superior à área mínima e inferior à área máxima estabelecida pelos regulamentos.º 104 • O art.25 (A235).2.3.3N 1. 0.15 (A400). salienta-se que existe um limite máximo para a armadura longitudinal em vigas. 2. ƒ O valor de As.min = 0. 10 mm} + 10 mm Para determinar os esforços resistentes é necessário estimar a altura útil: d = h – recobrimento (cnom) – Ølong/2 – Øest (se existir armadura transversal) 3.Departamento de Engenharia Civil Notas ao Quadro 4. 104 (armadura principal mínima em lajes) remete para o art. Poderá considerar-se uma composição especial (tipo de cimento. como se referiu acima.min: ƒ Ver também a Secção 7.d Sendo ρ = 0. Resumindo: cnom = cmin + Δcdev = cmin = max {cmin.dur + 0 . ρ = 0.12 (A500). • A percentagem mínima de armadura é definida pela seguinte expressão: Secção 9. ρ = 0.0013btd . Este aspecto é relevante pois.min a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional.4. razão água-cimento. REBAP Art. Considera-se que a classe de resistência e a razão água-cimento estão relacionadas.1. O valor • No REBAP não há nenhuma referência explícita à percentagem máxima de armadura principal em lajes.1. 90 (armadura principal mínima em vigas).2. No entanto. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 39 EC2 ρ= As x100 b.0.1 (1) • Para as percentagens mínima e máxima de armaduras na direcção principal. • Nas lajes armadas nas 2 direcções este requisito aplica-se nas 2 direcções. recomendado é dado pela seguinte expressão: As.04Ac.b. a armadura mínima em lajes é remetida para o limite imposto às vigas. • A área das secções.4.Departamento de Engenharia Civil • Em complemento da Nota 2 de 9.1 (1). 3h ≤ 400 . 3.3. No caso de uma viga em T com os banzos comprimidos. em que h representa a espessura total da laje.h (altura da laje). do EC2. O valor recomendado é 0.slabs.min pode ser considerado igual a 1. de acordo com o Quadro 3. REBAP Art. fctm deve ser determinado relativamente à classe de resistência aplicável. quer da armadura de tracção quer da armadura de compressão. O valor de smax. não deve ser superior a As.1.max. ƒ 35 cm.5h ≤ 450 mm . Em relação ao EC2 informa-se que: bt representa a largura média da zona traccionada.max a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional. O valor de As. Espaçamento máximo e mínimo das armaduras Espaçamento máximo dos varões da armadura principal e de distribuição. 3.3.1.2.1. 40 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo ƒ Valores duplos do indicado para as ƒ para as armaduras principais. As. Os valores recomendados são: mm. Depende do ambiente onde está a laje de betão armado e da classe do aço. excluindo as zonas de sobreposição.1 (3) EC2 O espaçamento máximo dos varões da O espaçamento dos varões não deve ser armadura principal não deve ser superior ao superior a smax. vigas – ver Quadro XIV. ƒ para as armaduras de distribuição. utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo Nacional. para lajes em que o risco de rotura frágil é reduzido. deverá considerar-se apenas a largura da alma no cálculo do valor de bt.5.04Ac.2 vezes a área exigida para a verificação do estado limite último de resistência à flexão.º 105 Secção 9.slabs a mínimo de: ƒ 1. 0.0 A tensão na armadura deve ser calculada considerando a secção fendilhada para a combinação de acções relevante. Tensão no aço [MPa] 160 200 240 280 320 360 1 Espaçamento máximo dos varões [mm] wk=0. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 41 .3 mm 300 250 200 150 100 50 wk=0. de momento máximo. ƒ para as armaduras de distribuição.5. de acordo com a satisfeitas as disposições dos artigos 91º e Secção 7. Esse afastamento deve também ser suficiente para assegurar que existe uma boa aderência dos varões ao betão envolvente.4 mm 300 300 250 200 150 100 wk=0.9MPa.8. (h-d) = 0. kc = 0. está garantido quando são espaçamento dos varões.eff = 2. k1 = 0.1N do EC2). k = 1. 108.1h.Departamento de Engenharia Civil Espaçamento máximo das armaduras de Em zonas com cargas concentradas ou nas distribuição é de 35 cm e está referido no zonas art.4 e k’ = 1.3N do EC2: Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1. Nos casos correntes de vigas e lajes Convém salientar novamente que no EC2 a considera-se que a verificação da segurança verificação do Estado Limite de Fendilhação em relação ao Estado Limite de Largura de pode ser garantida limitando o diâmetro e o Fendas 105º. 3h ≤ 400 mm. k2 = 0.5.4. Nos elementos de betão armado e elementos de betão pré-esforçado com armaduras não aderentes. essas disposições passam a ser. a combinação de acções a considerar é a combinação quase permanente (ver Quadro 7. kt = 0. hcr = 0.3. 2h ≤ 250 mm. respectivamente: ƒ para as armaduras principais.2 mm 200 150 100 50 - Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: c = 25mm. Distância livre entre varões As armaduras devem estar suficientemente afastadas para permitir que a betonagem ocorra em boas condições.3. Quadro 7. fct. ƒ (dg + k2 mm).As. Nota: Os valores de k1 e k2 a utilizar num determinado país poderão ser dados no respectivo Anexo Nacional. Ømaior (maior diâmetro dos varões em causa).1. Secção 9. não é necessária armadura transversal aos varões superiores principais no caso em que não exista momento flector transversal. deve dispor-se armadura de distribuição transversalmente à armadura principal. • Na face de aplicação das cargas.3. são 1 e 5 mm. • Espaçamento máximo da armadura de • O distribuição é de 35 cm (já referido acima).2 (2) EC2 A distância livre (horizontal e vertical) entre varões paralelos ou entre camadas horizontais de varões paralelos não deverá ser inferior ao maior dos valores seguintes: ƒ k1 vezes o diâmetro do varão.1 (2) deverão utilizar-se armaduras transversais de distribuição correspondentes a pelo menos 20% da armadura principal. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 41 . ARMADURAS EM LAJES 3.20. • As.5. Øeq (diâmetro equivalente do agrupamento de armaduras).Departamento de Engenharia Civil REBAP Art.1. caso exista armadura principal. Nas consolas colocar essa armadura também na direcção do vão.dist = 0. espaçamento máximo destas armaduras está referido acima. Secção 8. em que dg é a dimensão máxima do agregado. EC2 • Na face oposta à da aplicação das • Nas lajes armadas numa só direcção.5. Nas zonas junto de apoios.principal (área da armadura adoptada).º 108 cargas deve ser disposta uma armadura transversalmente ao vão. Os valores recomendados respectivamente. ou 20 mm. Armadura de distribuição das lajes armadas numa só direcção REBAP Art.º 77 A distância mínima entre varões não deve ser inferior ao maior de: ƒ ƒ ƒ 2 cm. 3. . d em cm. transversal é de 35 cm. • Para estas armaduras de bordo podem ser tidas em conta as outras armaduras existentes na laje.Departamento de Engenharia Civil Disposição das armaduras: As armaduras principais devem ser colocadas de modo a funcionarem com o maior braço interno. ≥ 0.1. a deve. h ≥ 2h Figura 33 – Armaduras de bordo livre numa laje (EC2).4 Ao longo de um bordo livre (não apoiado).3. As desempenhar a função de armaduras de • As. e ter armaduras em geral transversais EC2 • Colocar uma armadura transversal ao laje (espessura da laje).transversal (cm2/m) ≥ 0. Secção 9.025d (A400 e A500). normalmente.º 109 • Colocar 2 varões em cada aresta. Figura 32 – Disposição das armaduras (Carla Marchão e Júlio Appleton).05d (A235) e armaduras correntes utilizadas na laje podem • Espaçamento máximo desta armadura bordo livre. Armadura de bordo livre REBAP Art.2. bordo num comprimento superior a 2.h longitudinais dispostas como se indica na figura abaixo.5. 3. 42 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Quando no cálculo de esforços da laje se admite que o apoio da laje na viga é simplesmente apoiada (no cenário em que não há lajes adjacentes). quando a laje é solicitada haverá momentos negativos junto a esse apoio que não estão contabilizados no modelo de cálculo. Assim. não há uma rotação livre da laje. − Segundo alguns engenheiros. a área da armadura no apoio ( A s . verifica-se.Departamento de Engenharia Civil 3. controlar a fendilhação. com um mínimo de ∅6//0.apoio ) deve ser igual à armadura longitudinal mínima ou igual à armadura de distribuição. recomenda-se a colocação de armadura superior junto a esses apoios para absorver a tensões de tracção existentes na face superior da laje e. consequentemente. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 43 . que aquele apoio não se comporta como foi idealizado no cálculo.20m.5. Portanto. na realidade. ou seja.3. Figura 35 – Armadura no bordo simplesmente apoiado (Carla Marchão e Júlio Appleton). Essa restrição à rotação no apoio existe porque há uma ligação entre a viga e a laje (elementos betonados em simultâneo) e a viga tem certa rigidez à torção. nos bordos simplesmente apoiados e em apoios paralelos à direcção em que a laje é armada Figura 34 – Rotação livre das lajes. Armadura nos apoios. de encastramento ou armadura calculada para o vão deve ser de continuidade) deve ser pelo menos ½ da prolongada até ao apoio e aí ser amarrada. não principal e não foram considerados no considerado no cálculo. adequada para resistir aos esforços aí Esta armadura deverá ter um comprimento de desenvolvidos.4. contínua nos apoios internos e amarrada nos apoios extremos.15 ou 0. metade da liberdade de rotação.3. de acordo com o EC2 a área da armadura superior nos apoios considerados + simplesmente apoiadas ( A s. pelo menos 0. deve dispor-se sobre esses apoios deverá ser capaz de resistir a pelo menos uma armadura transversal na face superior 25% do momento máximo no vão adjacente. apresenta-se na Figura 36 a evolução dos momentos junto a um apoio rígido. Segundo o EC2.2 EC2 A armadura a prolongar até aos apoios (com Nas lajes simplesmente apoiadas. Art. armadura máxima de tracção existente no de acordo com 8. a armadura superior cálculo. O momento negativo é aproximadamente igual ao máximo momento positivo na laje.25L referido anteriormente 44 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .º 108.4. Portanto. O REBAP não indica nenhuma expressão para estimar os esforços desenvolvidos junto desses apoios.1.apoio ) deve ser suficiente para resistir a 0.1. comprimento igual a ¼ do vão teórico. Para se ter uma noção da ordem de grandeza dos esforços aí desenvolvidos. Num apoio extremo.2 Secção 9.vão Esta armadura deve ser colocada num medido a partir da face do apoio. Cada caso terá de ser estudado detalhadamente.25 do Mmáx . ser − e ser superior à armadura longitudinal mínima.3. o momento a resistir pode ser reduzido até 15% do momento máximo no vão adjacente.2L em vez de 0.2 Quando existem apoios de encastramento No caso em que haja encastramento parcial ou de continuidade paralelos à armadura ao longo de um dos bordos da laje.Departamento de Engenharia Civil REBAP Art.º 106 Secção 9. Esses esforços vão depender significativamente da rigidez do apoio.2 vezes o vão adjacente. vão. quanto maior for a rigidez do apoio maiores serão os esforços. esta armadura deve ser aplicada num comprimento igual a 0. Departamento de Engenharia Civil Figura 36 .Leonhardt e E.Variação dos momentos transversais junto ao apoio (não considerado no cálculo) paralelo às armaduras principais (F. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 45 5m . Abaixo apresenta-se uma comparação dos momentos numa laje com as dimensões indicadas na Figura 37. Monning). onde se variou a rigidez do apoio paralelo à armadura principal. o momento máximo positivo é 93. Considerando a carga aplicada e as dimensões da laje.m 10 m 10 m 30 kN/m Figura 37 – Dimensões da laje armada numa só direcção com um apoio paralelo às armaduras principais.75 kN. m.Departamento de Engenharia Civil 1º caso: sem apoio paralelo às armaduras principais Figura 38 – Deformada e momentos m22 (originam tensões normais na direcção y). O momento máximo negativo na laje sobre o apoio é -83 kN. 2º caso: apoio paralelo às armaduras principais muito rígido. 46 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Figura 40 – Momentos m11 e m22 (apoio menos rígido). 3. Armadura de canto REBAP Omisso Secção 9.5. devem dispor-se armaduras adequadas. os cantos terão tendência a levantar. 3º caso: apoio paralelo às armaduras principais é uma viga (apoio menos rígido) O momento máximo negativo na laje sobre o apoio é -22 kN.3.4.Departamento de Engenharia Civil Figura 39 – Deformada e momentos m11 e m22. Quando uma laje está simplesmente apoiada em todo o contorno e for solicitada.m. os cantos estão impedidos de ter deslocamentos Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 47 EC2 . Normalmente.1.3 Se as disposições construtivas num apoio forem tais que o levantamento de um canto da laje seja impedido. Deste modo é conveniente colocar armaduras para controlar a fendilhação. Figura 41 – Deformação de uma laje simplesmente apoiada no contorno (Carla Marchão e Júlio Appleton). Estes efeitos podem originar fendilhação no betão.Departamento de Engenharia Civil verticais. Esta armadura deve ser disposta numa área quadrada de lado igual a ¼ do menor vão. 48 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Monning. O efeito originado por esta restrição corresponde ao aparecimento de momentos negativos com um ângulo de 45º em relação ao bordo (tracção na face superior) e a momentos positivos com um ângulo de 135º (tracção na face inferior). Figura 42 – Fendilhação na face superior e inferior da laje (Carla Marchão e Júlio Appleton).Leonhardt e E. Segundo F. A solução mais prática será colocar armaduras paralelas e perpendiculares aos bordos da laje (malha ortogonal) em ambas as faces da laje. consequentemente aparecem forças de reacção verticais nos cantos e momentos torsores. quando não for feita uma verificação mais rigorosa a área da armadura de canto deve ser igual à maior armadura no vão (no caso de uma laje armada nas 2 direcções e simplesmente apoiada em todo o contorno). 5. Lajes armadas nas 2 direcções (admite-se que mx > my): Figura 43 – Armadura de canto. pelo que se pode adoptar para armadura de canto metade da maior armadura no vão. Mais uma vez Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 49 . Salienta-se que nos bordos considerados simplesmente apoiados deve haver uma armadura superior para controlar a fendilhação (ver Secção 3. Lajes armadas numa só direcção (Lx < Ly/2): Nas lajes armadas numa só direcção a flexão é cilíndrica (deformada cilíndrica).3). de modo a perfazer o valor Asx+ exigido (ver Figura 43). Este assunto será desenvolvido mais à frente.Departamento de Engenharia Civil Quando apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor. O momento torsor que aparece nas regiões dos cantos é menor quando comparado com o das lajes armadas nas 2 direcções. lajes armadas em 2 direcçoes (Carla Marchão e Júlio Appleton). Na face inferior da laje não é necessário colocar armadura específica para o efeito na direcção x quando já existe armadura longitudinal nessa direcção e não se realizou uma interrupção das armaduras. se necessário. pelo que pode adoptar-se para armadura de canto metade da maior armadura no vão. Na direcção y. Se ambos os apoios forem encastrados não há momentos torsores. poderá ser necessário colocar um reforço na região do canto (1/4 do vão teórico). uma vez que my < mx.apoio simplesmente apoiado: A armadura de canto deve ser colocada na face superior de acordo com a informação referida acima. Pode-se aproveitar a existência desta armadura e colocar apenas um reforço. Apoio simplesmente apoiado . 6. 3. de modo a perfazer o valor Asx+/2 exigido (ver Figura 44). LAJE ARMADA NUMA DIRECÇÃO Considera-se que as lajes devem ser armadas numa só direcção (ou funcionam predominantemente numa direcção) quando: • • As condições de apoio estão apenas numa direcção A relação entre os vãos for superior a 2 (Lmaior/Lmenor ≥ 2) 50 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . lajes armadas numa só direcção.Departamento de Engenharia Civil pode-se aproveitar a existência de armadura na região (armadura principal. se necessário. Figura 44 – Armadura de canto. Os maiores momentos torsores aparecem junto aos cantos. armadura de distribuição e armadura superior nos apoios simplesmente apoiados) e colocar apenas um reforço. Figura 45 – Laje apoiada nos 4 bordos e os respectivos momentos torsores. como resistente numa só direcção nos seguintes casos: ƒ ter dois bordos livres (não apoiados) sensivelmente paralelos ƒ corresponder à parte central de uma laje sensivelmente rectangular apoiada nos quatro bordos cuja relação entre o vão maior e o vão menor é superior a 2.3. simplesmente apoiada nos 4 bordos q (kN/m) Laje 1 Laje 2 – armada nas 2 direcções (se a relação entre vãos for inferior a 2) bordo livre.1 (5) EC2 Em condições correntes é recomendado que Uma laje solicitada predominantemente por as lajes cujo vão maior não exceda duas cargas uniformemente distribuídas pode ser vezes o vão menor sejam armadas em duas considerada direcções. Exemplos: Laje 1 – armada na direcção do menor vão (se relação entre vãos for superior a 2).Departamento de Engenharia Civil REBAP Art.º 100 Secção 5. encastrado e simplesmente apoiada nos outros 2 bordos Laje 2 Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 51 . coloca-se armadura principal nas duas direcções. 52 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . asseguram a ligação entre partes dos elementos que tenham tendência a destacar-se e limitam a fendilhação. Quando é definido que a laje é armadura numa só direcção. Quando é definido que a laje é armadura nas duas direcções. As armaduras secundárias têm a função de assegurar que o comportamento global da estrutura é adequado: garantem a eficiência das armaduras principais.dist = 0. coloca-se a armadura principal nessa direcção (armadura longitudinal necessária para a secção resistir aos esforços aplicados) e na direcção perpendicular coloca-se armadura de distribuição (As.As.principal).Departamento de Engenharia Civil Laje 3 e 4 armadas na direcção do maior vão devido às condições de apoio. 2 bordos livres e simplesmente apoiada nos outros 2 bordos 2 bordos livres e encastrada nos outros 2 bordos Lajes 3 e 4 Figura 46 – Exemplos de lajes armadas numa em duas direcções.20. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 53 .6. Figura 49 – Laje rectangular com apoios simples nos 4 bordos. Representação dos apoios nas lajes Apoiado Encastrado Bordo livre Figura 47 – Representação dos vários tipos de apoio em lajes. Flexão cilíndrica Figura 48 – Laje rectangular com apoios simples apenas nos bordos de maior dimensão.6. 3.2.Departamento de Engenharia Civil 3.1. As lajes em flexão cilíndrica têm um momento flector na direcção perpendicular ao vão teórico (admite-se que o vão teórico é na direcção xx). valor razoável para a análise aos Estados Limites Utilização). semelhante ao de uma viga com o mesmo vão (ver Figuras 48 e 51). Assim. sendo o seu comportamento.2 (fendilhação incipiente. Obviamente que nas zonas junto aos apoios transversais (apoios paralelos ao vão teórico) há um efeito do apoio (ver Figuras 49 e 50).Mx. Uma laje está sujeita a flexão cilíndrica quando a curvatura é nula numa direcção (o deslocamento vertical é constante ao longo dessa direcção ⇒ deformação cilíndrica). ν é o coeficiente de Poisson e assume valores compreendidos entre 0 (fendilhação extensa. Quando uma laje tem uma das dimensões muito superior à outra.Departamento de Engenharia Civil Figura 50 – Laje rectangular com Lx >> Ly com apoios simples nos 4 bordos. verifica-se que a zona central da laje fica sujeita a uma flexão cilíndrica. valor razoável para a análise aos Estados Limites Últimos) e 0. na direcção perpendicular. 54 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . My = ν. A viga na direcção do menor vão tem maior rigidez vertical e. absorve maiores esforços. logo o momento aplicado nessa viga também vai ser maior (M = EI. consequentemente. O comportamento de uma laje em termos qualitativos pode ser compreendido pela analogia com uma grelha. Gomes. Observando a curvatura das duas vigas perpendiculares. Júlio Appleton e João Almeida).Departamento de Engenharia Civil Figura 51 – Flexão cilíndrica (A. compreende-se a razão que justifica que as lajes apoiadas nos 4 bordos e com uma relação entre vãos superior a 2 é armada apenas numa direcção. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 55 . verifica-se que a curvatura da viga com menor comprimento é muito maior. Júlio Appleton e João Almeida) Figura 52 – Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha (A.1/r). Gomes. Tendo em consideração este raciocínio. L /2 + M p.p.L/2 p.6. a análise realiza-se para uma secção transversal com a largura igual a um metro e a altura igual à altura da laje.3.p. obviamente. Normalmente.L/2 p.L/2 V + p kN/m p kN/m L .L /12 2 .p.L/8 V + -p. Assim.L + V -p.L /8 2 - p.L/8 + M - + p.L/2 Figura 53 – Esforços de estruturas correntes.Departamento de Engenharia Civil 3. Os esforços numa laje armada numa só direcção podem ser determinados como os de uma viga com o mesmo vão teórico.L /12 2 M 5p.L /24 2 + V -3p.p. Esforços nos casos mais correntes de lajes armadas numa direcção p kN/m p kN/m L 2 L M . a área da armadura longitudinal resultante dos cálculos corresponde à área de aço necessária para um metro de laje (em largura). 56 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .L /8 2 L . 5.3.5 (1) a (2). REBAP REBAP (art. 9.net Lajes de betão armado 57 .5.máx + Figura 54 – Interrupção da armadura principal.1. de encastramento ou de continuidade) deve ser pelo menos ½ da armadura máxima existente no vão. nas lajes simplesmente apoiadas. a secção a partir da qual pode fazer a interrupção física dos varões é dada por: EC2 Secção 9.4.1. metade da armadura calculada para o vão deve ser prolongada até ao apoio e aí ser amarrada.1.fsyd b.fcd → x → x ± al → x ± al ± lb.2. admitindo que o projectista pretende interromper metade dos varões.2 regras indicadas para as vigas em 9.d (REBAP).1.fc d → μ → Mrd = μ.1 (4) e 9.º 106) esforço transverso.2.net > 0.4.4.bd2 . a translação al do diagrama de forças a absorver pela armadura deve ser igual a 1. • No caso de lajes.3 (1) a (3). mas com al = d. de acordo com 8.5.1.3.d.d ou 1.Departamento de Engenharia Civil 3.4 (1) a (3) e 9. Segundo o EC2 al deve ser igual a d.d. sem armadura de • Nas lajes aplicam-se igualmente as As' = As / 2 → ω = Ricardo do Carmo A s '. Por exemplo. Para realizar uma interrupção da armadura longitudinal é necessário conhecer a equação do diagrama de momentos. - - + Amarração da armadura L b.5.máx + A s. • Como já referido anteriormente.A s.d M Nas lajes sem armarmadura de esforço transverso a translação al dever ser igual a 1.6. Interrupção de armaduras p kN/m al = 1. armadura inferior a prolongar até aos apoios (com liberdade de rotação.2. a • Como já referido anteriormente. Dados Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25) Acções: peso próprio da laje.Envolvente de MEd/z + NEd ΔFtd – força de tracção adicional B .0 kN/m2 Ambiente moderadamente agressivo 58 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .Departamento de Engenharia Civil A B C al ΔF td lbd lbd lbd lbd al ΔFtd lbd lbd lbd lbd A . Adopte as condições e disposições necessárias de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite de largura de fendas e de deformação.força de tracção actuante Fs C . revestimento 1.força de tracção resistente FRs lbd – comprimento de amarração de cálculo Figura 55 – Representação da interrupção da armadura longitudinal. Pormenorize as armaduras. tendo em conta a envolvente da força de tracção actuante (EC2).3 kN/m2 e sobrecarga 2. Exercício 3 Defina a espessura da laje abaixo indicada e as armaduras de modo a verificar a segurança em relação aos estados limites últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso. sobrecarga 5. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 59 1. Ambiente moderadamente agressivo 4.5 m da laje.5 kN/m2. Pormenorize as armaduras. Adopte as condições e disposições necessárias de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite de largura de fendas e de deformação. Adopte disposições necessárias de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite de largura de fendas. Verifique a segurança em relação ao estado limite último de resistência ao esforço transverso. Pormenorize as armaduras. Defina armaduras de modo a verificar a segurança em relação ao estado limite último de resistência à flexão.0 kN/m2 na faixa de 1 m adjacente ao limite superior e 2. Dados Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25) Acções: peso próprio da laje.15 m 10 m Exercício 5 Considere a escada representada na figura seguinte.0 kN/m2 nos restantes 0. revestimento 1.5 m .Departamento de Engenharia Civil 10 m Exercício 4 Defina a espessura da laje abaixo indicada e as armaduras de modo a verificar a segurança em relação aos estados limites últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso. sobrecarga 3. Ambiente moderadamente agressivo 0.Departamento de Engenharia Civil Dados Espessura da laje: 0.0 m 60 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo 2.5 m 1.20m Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25) Acções: peso próprio da laje.0 kN/m2.5 m 3.22 m 0.0 kN/m2.80 .175 m 1. revestimento 1. 7. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 61 .Departamento de Engenharia Civil 3. Figura 56 – Laje apoiada apenas em 2 bordos e os respectivos momentos flectores. Figura 57 – Laje apoiada nos 4 bordos e os respectivos momentos flectores. LAJE ARMADA EM DUAS DIRECÇÕES As lajes serão armadas em duas direcções quando as condições de apoio o permitirem e quando a relação entre os vãos for inferior a 2 (Lmaior/Lmenor < 2). Departamento de Engenharia Civil Figura 58 – Laje encastrada apenas em 2 bordos e os respectivos momentos flectores. Figura 59 – Laje encastrada nos 4 bordos e os respectivos momentos flectores. 62 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo Departamento de Engenharia Civil Como se pode observar nas figuras acima, nas lajes com apoios nas 2 direcções e com uma relação entre os vãos for inferior a 2 (Lmaior/Lmenor < 2), verifica-se que há esforços significativos nas 2 direcções. Portanto, nestas lajes é necessário colocar armadura principal nas 2 direcções de modo a garantir a verificação da segurança não só aos estados limites últimos mas também aos estados limites de utilização. Nestes casos a curvatura é significativa nas 2 direcções, deformação bidireccional o que implica uma flexão bidireccional. Os momentos flectores produzem tensões normais de tracção e de compressão, como existem momentos flectores nas 2 direcções, haverá também tensões normais nas 2 direcções. Figura 60 – Tensões normais originadas pelo momento flector (neste caso unidireccional), (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida). Resumindo, dependendo das condições de apoio e das dimensões das lajes há, normalmente, um efeito bidimensional das lajes, ou seja, as cargas são transmitidas para os apoios nas 2 direcções. A questão que agora se coloca é, como determinar os esforços nestas lajes. 3.7.1 Teoria de comportamento elástico em lajes finas Este modelo tem por base as seguintes hipóteses simplificativas: • Laje de pequena espessura (h < 1/10 da dimensão do vão; h – espessura da laje), material homogéneo, isotrópico e de comportamento linear elástico. Deformação por corte desprezável; • • • • Os deslocamentos são pequenos comparados com as dimensões da laje (ω < h/10); Hipótese de Kirchoff: as deformações do plano médio da laje são nulas; As fibras perpendiculares ao plano médio permanecem rectas e perpendiculares a este após a deformação; Tensões normais ao plano da laje são pequenas e desprezáveis quando comparadas com as tensões de flexão Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 63 Departamento de Engenharia Civil Com base nas hipóteses admitidas podem-se estabelecer várias relações: relação entre o deslocamento de qualquer ponto e o deslocamento do plano médio da laje, relação entre as extensões e os deslocamentos, relação entre as extensões e as tensões, relação entre as tensões normais e os momentos, relação entre momentos e as deformações associadas. Com base nas relações anteriores foi possível deduzir a seguinte equação diferencial de equilíbrio: ∂ 2mxy ∂ 2my ∂ 2mx +2 + = −q ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 Equação de Lagrange das lajes (deduzida em 1811): ∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4ω q + + = − 2 ∂x 4 ∂x 2∂y 2 ∂y 4 D Figura 61 – Equilíbrio de um elemento de laje (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida). Onde: • • • • q – é o valor do carregamento perpendicular ao plano da laje; D – é a rigidez à flexão das lajes D= E.h3 12.(1 − ν2 ) ω - deslocamento do plano médio da laje; A resolução da equação diferencial de Lagrange dá o valor de ω(x,y), ou seja, a deformada da laje; 64 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo por exemplo: simplesmente apoiado ⇒ deslocamento nulo e momento nulo. Condições de apoio e tabelas Figura 62 – Exemplos de lajes que se encontram nas tabelas.2.7. Para a resolver a equação de Lagrange é necessário conhecer as condições fronteira. Montoya). 3.Departamento de Engenharia Civil Conhecido o campo de deslocamentos pode-se calcular o valor dos momentos e do esforço transverso. A resolução da equação de Lagrange é muito complexa e saí fora do âmbito desta disciplina. Existem várias tabelas para o cálculo de esforços em lajes vigadas. para diferentes condições de apoio e carregamentos. encastramento ⇒ deslocamento e rotação nulas (ω = 0 e ω’ = 0). Normalmente utilizam-se métodos numéricos para a sua resolução. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 65 . e para diferentes relações entre vãos (Tabelas de Timoshenko. Bares. Neste apoio pontual pode-se considerar apenas a restrição ao deslocamento vertical e admitir que a restrição à rotação não é relevante. Será simplesmente apoiado ou encastrado? Quando não há viga de apoio. é o valor do coeficiente de Poisson. Uma questão que agora se coloca é. o mais correctamente possível. para o valor do coeficiente de Poisson (fendilhação extensa). os seguintes tipos de apoios: bordo livre. Quanto às condições de apoio nos bordos pode considerar-se. o CEB sugere. nesta análise é importante simular. Portanto. no entanto. ou nulo. o símbolo → representa a direcção das tensões normais originadas pelos momentos. as condições de apoio da laje. Para uma análise aos estados limites últimos será adequado considerar um valor reduzido. bordo simplesmente apoiado e bordo encastrado. Na análise estrutural de um piso com lajes apoiadas em vigas é usual decompor-se o pavimento em lajes isoladas. Nas tabelas representadas na figura anterior. genericamente. da carga e das dimensões da laje. a um pilar. num modelo estrutural. Quando a laje apoia-se numa viga e não há outra laje adjacente considera-se. assentam no facto de que a viga corresponde a uma zona do pavimento onde a rigidez à flexão é maior (e será tanto maior quanto maior for o EI da viga e menor for a distância entre apoios).Departamento de Engenharia Civil Uma das variáveis a definir para determinar os momentos flectores utilizando as tabelas. o que significa que as tensões normais são perpendiculares à direcção do vector. No REBAP está referido o seguinte: “Mesmo em fase não fendilhada. devido à fendilhação do betão. As lajes podem ter apoios pontuais ou apoios se desenvolvem ao longo do bordo. Por outro lado. outras tabelas que utilizam o simbolo que representa o momento flector. que se considere uma rigidez de torção de apenas cerca de 70% da rigidez elástica inicial e que 66 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Há. Estas simplificações para além de facilitarem muito a análise/cálculo dos esforços. não há dúvidas em considerar que esse contorno é um bordo livre. para atender à não linearidade do comportamento do betão. O valor dos momentos flectores depende da relação entre vãos. as vigas têm uma rigidez à torção muito reduzida. usualmente. Assume-se que a viga não tem rigidez à torção e apresenta uma rigidez à flexão infinita. Os apoios pontuais podem corresponder. escolher o apoio mais adequado para o modelo estrutural quando uma laje está apoiada numa viga. Salienta-se ainda que há tabelas que utilizam simbologias diferentes. que esse bordo é apoiado. Se as lajes adjacentes têm condições de apoio e vãos diferentes. no caso de existir forte fendilhação devida à flexão. considera-se na análise estrutural do painel de laje que esse bordo está encastrado. p kN/m L p kN/m L Figura 63 – Exemplo de uma estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico. Nestes casos a rotação sobre o apoio é nula. Nesta situação não há rotação relativa entre as 2 lajes mas a rotação global da laje sobre o apoio não está restringida. quando haja fendilhação devida a torção ou a esforço transverso. Estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico p kN/m L L Quando as estruturas são simétricas e estão sujeitas a um carregamento simétrico pode-se analisar apenas metade da estrutura e extrapolar os resultados para toda a estrutura. e mesmo a cerca de 10%. Esta simplificação será correcta quando as lajes adjacentes à viga têm as mesmas dimensões e as mesmas condições de apoio (estrutura simétrica. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 67 . Nesta análise é necessário dar uma atenção especial ao pontos de simetria.” Salienta-se ainda que. Simplificadamente. a viga funciona como um apoio de continuidade. então a rotação da laje sobre a viga é diferente de zero.Departamento de Engenharia Civil este valor se reduza a cerca de 25%. Este assunto será analisado mais adiante. Nos pontos de simetria deve-se simular o comportamento da estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico. ao considerar no modelo estrutural das lajes que as vigas são simuladas como um bordo simplesmente apoiado então não é necessário verificar a segurança das vigas em relação ao estado limite último de resistência à torção. Nestes casos os momentos no encastramento são diferentes e será necessário realizar uma análise da distribuição de esforços de modo a garantir que os momentos em ambos os lados do apoio de continuidade sejam iguais. Quando a viga serve de apoio a 2 lajes. a rigidez das lajes adjacentes é igual). ≤ mxsd .7.⏐mxysd⏐ mx. Figura 64 – Exemplo de um piso de um estrutura e as condições de apoio a considerar para a análise isolada das lajes.3. 68 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . com base nas seguintes expressões: Armadura superior: Armadura inferior: mx.Departamento de Engenharia Civil Note-se que. A partir destes diagramas é possível dimensionar as armaduras longitudinais a aplicar na laje.≤ mysd . necessidade de verificar a segurança das vigas em relação ao estado limite último de resistência à torção.rd+ ≥ mysd + ⏐mxysd⏐ Abaixo apresentam-se os diagramas de momentos da laje (estrutura apresentada na Figura 64) determinados com base num programa de elementos finitos. 3. também. ao considerar no modelo estrutural das lajes que as vigas são apoios de continuidade (estes apoios não restringem a rotação da laje sobre o apoio) não há.rd+ ≥ mxsd + ⏐mxysd⏐ e my. de forma simplificada. Elementos finitos As armaduras longitudinais a aplicar numa laje de modo a verificar a segurança em relação ao estado limite último de resistência à flexão podem determinadas.⏐mxysd⏐ e my.rd.rd. Departamento de Engenharia Civil Figura 65 – Deformada e diagrama de momentos m11. m22 e m12 da laje. para cargas mais elevadas. 3. Tanto o betão como o aço têm uma relação σ-ε não linear. Num ensaio de um elemento de betão armado até à rotura verifica-se que numa primeira fase é a fendilhação do betão que origina o comportamento não linear.7. Teoria da plasticidade Os elementos de betão armado têm um comportamento não linear quando sujeito a cargas elevadas. as armaduras podem atingir a tensão de cedência e existe também a influência da Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 69 .4. Numa fase posterior. L.7 Viga V1-1.5 -40 -30 P total = 15.3 Momento flector (kN.L.2 P total = 76.m) -20 -10 0 10 20 30 40 P total = 116.E) P total = 133.8 P total = 56.E) Viga V1-0.m) -20 -10 0 10 20 30 40 Momento flector (kN. Quando as armaduras atingem este nível de tensões considera-se que se formou uma rótula plástica.7 P total = 84.7 P total = 64. 70 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .4 Figura 68 – Diagrama de momentos registado experimentalmente e o previsto pela análise linear elástica.4 P total = 116.6 P total = 133. LEGENDA 1 2 3 Viga de ensaio Pórtico metálico Perfil metálico para distribuição da carga 4 5 6 7 Cilindro hidraúlico Apoio e célula de carga Deflectómetros Demecs 4 3 1 7 7 7 5 6 6 5 6 6 5 2 Figura 67 – Esquema do pórtico e do equipamento de ensaio.7 P total = 110.1 P total = 34. -40 -30 P total = 15.5 (A.Departamento de Engenharia Civil não linearidade da relação σ-ε do aço.3 (A. Figura 66 – Vista geral de um ensaio até à rotura de uma viga contínua. dentro de certos limites. são bastante mais hiperestáticas do que as restantes estruturas (as consolas são um exemplo de lajes isostáticas). a alteração do diagrama de momentos previsto pela análise linear elástica. Este atenuar dos picos é favorável à estrutura em geral porque permite explorar o máximo de reserva de resistência das estruturas hiperestáticas e porque possibilita um melhor aproveitamento dos materiais. A redução da área das armaduras nas secções mais Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 71 .L/ 32 30 15 Secção 3 exp. P. em particular das armaduras. sendo a rotura em flexão condicionada pelo comportamento do aço ⇒ comportamento dúctil. linear elástica Rótula plástica 40 0 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 Secção a 1/ 2 vão do tramo (secção 1 e 2) Secção do apoio intermédio (secção 3) Momento (kN. permitindo a redistribuição de esforços em várias direcções (A. reduzida.(Pt ot al /2). Figura 70 – Rótula plástica e tirante de betão armado (viga V1-2.Departamento de Engenharia Civil 60 Ptotal/2 (kN) 45 ΔM = 11.m) Figura 69 – Evolução dos momentos nas secções a meio vão e na secção do apoio intermédio com a carga aplicada. A hipótese de considerar uma distribuição de esforços diferente da prevista pela análise linear elástica dá ao projectista maior liberdade na execução do dimensionamento das vigas e lajes. An. Nas lajes este procedimento é especialmente válido porque: • • A percentagem de armaduras nas lajes é. Os regulamentos permitem que os projectistas tirem partido da ductilidade dos elementos de betão armado permitindo. em geral. Nas figuras anteriores apresentam-se alguns resultados de ensaios experimentais realizados em vigas de betão armado onde se pode observar o seu comportamento não linear. em geral. Secção 2 exp.1). Secção 1 exp. Essa alteração consiste numa redução dos momentos negativos e num consequente aumento dos momentos positivos de modo a respeitar as condições de equilíbrio estático com as acções aplicadas. especialmente na distribuição das armaduras longitudinais de tracção. As lajes de betão armado têm também um comportamento não linear e é possível adoptar uma distribuição de esforços diferente da determinada pela análise linear elástica para a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. Ramos). As lajes. Existe uma linha de rotação nos bordos simplesmente apoiados. determinando-se a carga correspondente a cada um deles. O teorema cinemático garante que a carga associada a um mecanismo cinematicamente admissível é superior ou igual à carga última da laje. posteriormente. servirá de base para o dimensionamento das lajes ou. Quando não existe informação mais precisa utiliza-se o método das linhas rotura para estimar o valor máximo do esforço transverso actuante nas lajes. é necessário garantir que a rotação plástica necessária nas rótulas é inferior à rotação plástica possível. só é permitida se a distribuição de esforços for estaticamente possível e se a capacidade de rotação plástica das secções críticas for suficientemente grande para que se possa formar o mecanismo de rotura assumido. As outras linhas de rotura dependem das condições de apoio. como método para determinar a carga máxima que uma laje (já concebida) pode suportar. Portanto. 72 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Tópicos a considerar: • • • • Forma-se uma linha de rotura (e consequentemente uma linha de rotação) nos encastramentos. Este método é vantajoso quando o número de configurações de colapso é pequeno. A utilização da análise plástica para o cálculo da distribuição de esforços que.Departamento de Engenharia Civil esforçadas traz a vantagem de diminuir as tensões máximas no betão comprimido e de melhorar as condições da betonagem (menos congestionamento de armaduras) resultando num betão de melhor qualidade. A aplicação prática deste método é difícil e não se aconselha a aplicação deste método para o dimensionamento das armaduras longitudinais. A carga real de colapso é a menor destas cargas”. A teoria da plasticidade tem 2 métodos: o estático e o cinemático. Teorema / método cinemático Pode-se determinar a carga de colapso utilizando o método cinemático que consiste “na análise directa de todos os mecanismos de colapso possíveis. Existem linhas de rotura que passam pelo ponto de intersecção dos eixos de rotação dos elementos da laje. encastrado 45º 45º simples/ apoiado .bordo livre Linhas de rotura Carregamento no bordo lateral 2.simples/ apoiado 90º simples/ apoiado . qx + qy = q Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 73 -qy .simples/ apoiado 60º 30º encastrado . é com base neste teorema que se justifica a utilização da distribuição de esforços determinada pela análise linear elástica na verificação da segurança aos estados limites últimos (A.Departamento de Engenharia Civil 45º 45º encastrado . a carga q é suportada por uma banda/“viga” na direcção x e por uma banda/“viga” na direcção y. Recorda-se que a distribuição de esforços linear elástica é uma das distribuições de esforços possíveis equilibrada com a carga aplicada. Gomes. Na fase próxima da rotura. a laje não terá certamente um comportamento linear elástico.5q 45º 45º 5. Júlio Appleton e João Almeida).0 m Figura 71 – Linhas de rotura. O método das bandas (ou das faixas) é uma aplicação prática do método estático e baseiase no facto de que a carga aplicada é equilibrada apenas por flexão (despreza-se a resistência por torção).0 m 5. ∂ 2mxy ∂ 2my ∂ 2mx +2 + = −q ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 -qx Portanto. Teorema / método estático O dimensionamento das lajes por este método está do lado da segurança porque o cálculo para uma distribuição de esforços equilibrada com a carga q.bordo livre encastrado . Aliás. Portanto. garante que a carga de rotura qúltima é igual ou superior à carga q.5q 2. obtém-se que: qx = α. 0 ≤ α ≤ 1. Na figura abaixo apresentam-se os elementos com uma carga uniformemente distribuída e com as condições de apoio correntemente utilizadas na modelação estrutural. Para evitar que as distribuições de esforços adoptadas sejam muito diferentes das registadas nas condições de serviço (poderá originar problemas na verificação da segurança em relação aos ELS estando.Departamento de Engenharia Civil Considerando que α é um coeficiente de repartição da carga em cada uma das direcções. Escolher os coeficientes de repartição com base na compatibilidade do deslocamento máximo vertical na laje (igual nas 2 direcções). 74 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .α). Figura 72 – Flecha elástica para os casos correntes.q e qy = (1. que suporta a carga (1. na direcção perpendicular. Respeitar as regras regulamentares.q e haverá outra banda. Há uma banda que suporta a carga α. Aconselha-se experiência e sensibilidade por parte do engenheiro.q e assim garante-se um caminho de carga equilibrado.q. garantido a segurança em relação aos ELU) aconselha-se bom senso para a escolha do “caminho da carga”. Tópicos a considerar: • • • • Escolher um caminho de carga próximo do que se esperaria pela análise linear elástica.α). a é a flecha elástica da estrutura. todavia. Sabendo o valor da carga em cada direcção será relativamente fácil determinar os momentos flectores e a armadura longitudinal em cada direcção. Departamento de Engenharia Civil py ay a = ax = ay px ax Figura 73 – Exemplo da compatibilidade do deslocamento máximo vertical numa laje, a = ax = ay. Pode-se determinar o coeficiente de repartição com base na compatibilidade do deslocamento máximo vertical na laje (igual nas 2 direcções), ax = ay. Considerando que px = α.p e py = (1-α).p 4 4 k 1.p x .L4x k 2 .p y .L y k .αp.L4x k 2 .(1 − α )p.L y = ⇒ 1 = ⇒ k 1.α.L4x = k 2 .(1 − α ).L4y ⇒ EI EI EI EI 4 k . L 2 y k 1.α.L4x + k 2 .α.L4y = k 2 .L4y ⇒ α = k 1.L4x + k 2 .L4y a = ax = ay ⇒ O valor de k1 e k2 depende das condições de apoio (ver Figura 72). O método das bandas (ou das faixas) é particularmente prático para as lajes com aberturas ou com condições de apoio variáveis ao longo do bordo, lajes onde a distribuição de esforços linear elástica não está tabelada (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida, A. P. Ramos). Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 75 Departamento de Engenharia Civil Figura 74 – Exemplo de uma laje não tabelada. 2 3 4 2 3 4 7 (1−α).q αq 1 1 R3 R4 R5 R1+ R2* αq (kN/m) 6 5 q (kN/m) 5 R4 R3* R5* * - deve-se adicionar a estes valores a carga q directamente aplicada na laje. Este depende da largura da faixa. 6 (1−α).q q 7 R1 R2 Figura 75 – Exemplo de um caminho de carga equilibrado. 76 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo Departamento de Engenharia Civil Faixa 3 2 reacção da faixa 2 Reacção da faixa 1 Carga directamente aplicada R2 Lajes de betão armado 1 3 R2 R2 Faixa 2 R2 Figura 76 – Exemplo de uma laje com uma abertura significativa. Para assegurar a ductilidade adequada dos elementos estruturais os vários regulamentos condicionam a utilização da análise plástica a certo tipo de estruturas. No caso das lajes em que se realiza uma análise plástica sem a verificação directa da capacidade de rotação plástica das rótulas são definidas as condições apresentadas abaixo. Existem, também, limitações à redistribuição de esforços (diferença entre a distribuição prevista pela análise linear elástica e a distribuição considerada) para garantir o bom comportamento da laje nas condições de serviço, ou seja, garantir a segurança em relação ao estado limite de fendilhação e de deformação. Ricardo do Carmo 77 Para as acções permanentes não se pode considerar. ƒ Secção 5. sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção. Nesta análise as secções críticas a considerar são.8.15 para betões de classe superior a C55/67. as secções a meio vão da laje e as secções sobre os apoios. da classe B ou momentos considerada não deve diferir • A razão entre os momentos no apoio e a sensivelmente meio vão deve estar compreendida entre 0.6. esta hipótese. a relação entre os momentos no apoio e no vão de lajes encastradas apresentar. Para a análise do carregamento que conduz à situação mais gravosa pode-se utilizar as linhas de influência. método estático.2 (2) EC2 • Em qualquer ponto e em qualquer • A área da armadura de tracção é limitada de tal forma que. obviamente. ou não. momentos elástica.Departamento de Engenharia Civil REBAP Art. • Se a determinação for feita por um • Utilizar armaduras dúcteis. em qualquer secção: ƒ x/d ≤ 0. da a distribuição distribuição de de C.25. a actuar em simultâneo em toda a laje. um deve valor compreendido entre 0. x/d ≤ 0. a percentagem de armadura de tracção da laje não deve exceder a que conduz a um valor de x/d igual a 0.º 48 direcção.25 para betões de classe inferior a C50/60. • Se a determinação for feita por um método cinemático. 78 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Nas lajes estão aplicadas acções permanentes e acções variáveis (usualmente é a sobrecarga de utilização). pelo menos. não podendo também ultrapassá-los em mais de 25%. 3. e poderá considerar-se que a acção variável está. os momentos nos apoios devem ser.5 e 2. metade dos valores dos momentos elásticos. ou em contínuas módulo. Lajes contínuas (painéis de lajes adjacentes) Para o dimensionamento de lajes contínuas é necessário definir o carregamento que conduz à situação mais desfavorável (verificação da segurança em relação aos Estados Limites Últimos).5 e 2. Figura 79 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo no apoio entre os painéis 4 e 5 (Carla Marchão. Figura 78 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo na secção C.Departamento de Engenharia Civil Figura 77 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento positivo máximo na secção S. Atendendo à configuração das linhas de influência de momentos nos apoios compreende-se que a obtenção do momento máximo negativo num apoio de continuidade. Júlio Appleton). Atendendo à configuração da linha de influência de momentos a meio vão compreende-se que os momentos positivos máximos obtêm-se aplicando a carga permanente e a sobrecarga nesse vão (painel) e apenas a carga permanente nos vãos (painéis) adjacentes. obtém-se aplicando a carga máxima nos painéis adjacentes (carga permanente e sobrecarga). Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 79 . Ma + ηb. os momentos de encastramento. Como a viga é considerada como um apoio de continuidade (a rigidez à torção da viga não é significativa) há necessidade de proceder ao equilíbrio desses momentos (ver Figura 81). serão também muito diferentes. Também se referiu e justificou que. que Mab = (Ma + Mb)/2. de forma simplificada.8. Nestes casos o valor do momento no apoio de continuidade Mab determinado por (Ma + Mb)/2 poderá ser muito 80 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Ma e Mb. Equilíbrio dos momentos negativos Como se referiu atrás. Mab = ηa. como o inverso do vão.Departamento de Engenharia Civil Figura 80 – Carregamento para se obter o momento positivo máximo no painel 5 (Carla Marchão. então poder-se-á considerar a rigidez dos painéis. Se os apoios dos painéis forem similares. então os momentos no encastramento serão diferentes em ambos os lados. 3. na análise estrutural de um piso com lajes apoiadas em vigas é usual decompor-se o pavimento em lajes isoladas.Ma + 1/ L a + 1/ L b 1/ L a + 1/ L b Se os painéis forem similares pode considerar-se. simplificadamente.1. O momento Mab estará compreendido entre os valores Ma e Mb e dependerá da rigidez dos painéis adjacentes.Mb = 1/ L a 1/ L b . quando há lajes adjacentes à viga de apoio considera-se que esse bordo é encastrado. Se os painéis adjacentes tiverem condições de apoio e vãos muito diferentes. Júlio Appleton). Se lajes adjacentes tiverem condições de apoio e vãos diferentes.Mb . 8. Mb) Corte AA´ Mab Corte AA´ Ma Mb Corte AA´ Ma Mab Mb Corte AA´ Ma Mb A A' Figura 81 – Equilíbrio dos momentos negativos num apoio de continuidade Quando Mab é determinado pela condição 0. é condicionar o momento Mab. Simplificadamente. Este momento deve ser maior ou igual a 0. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 81 .3). Este momento poderá ser o momento positivo dimensionante da laje. Por outro lado. Uma forma de limitar a redistribuição de esforços e assim evitar que a distribuição de momentos determinada desta forma simplificada seja muito diferente da distribuição linear elástica.Departamento de Engenharia Civil diferente do determinado por uma análise linear elástica mais rigorosa.8 do momento maior (Ma ou Mb).máx (Ma.8.máx (Ma. no painel que teve um decréscimo do momento negativo (Mab < M) é necessário determinar o momento positivo resultante do ajuste necessário ao equilíbrio estático (ver Secção 3. Mab = máx (Ma + Mb)/2 0. Mb) é necessário analisar com prudência a zona de momentos negativos no painel que teve o acréscimo de momentos (Mab > M).8. Departamento de Engenharia Civil Ma Mab = 0.2. verifica-se a evolução dos momentos mx não é constante na direcção y. laje duplamente encastrada.2. 82 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo Ly - + - . e vice-versa.Ma Mb Aumento da região com momentos negativos Aumento do momento positivo Figura 82 – Equilíbrio dos momentos negativos numa situação em que os vãos adjacentes são muito diferentes. 0.Lx - 0. Este aspecto é pertinente porque é necessário ter uma noção do desenvolvimento dos momentos principais para dispor convenientemente as armaduras longitudinais principais.2.Lx Lx Figura 83 – Diagramas simplificados.2 não dão esta informação e indicam apenas o valor dos momentos máximos. 3. As tabelas referidas na secção 3.Lx + 0.2.Lx 0. Quando não existir informação mais rigorosa pode-se usar os diagramas simplificados (tabelas da autoria de F.7. Czerny).8máx.5 e 2.2. Análise da região da laje com momentos negativos Nas lajes com apoios nas 2 direcções e cuja relação Lx/Ly está entre 0.8. 2.Lx 0.2.2.2.2.Lx + 0.Lx Lx Lx Figura 84 – Diagramas simplificados.Lx 0.Lx 0.Lx 0.Lx 0.Lx Lx Lx - 0.Lx Ly Ly + 0.2.2.Lx 0.2.Lx + 0.Lx - 0.Lx 0.2.2.Lx + 0.25.2.Lx 0.Lx 0.2.2.Lx 0.2.2.Lx + Ly + 0.Lx 0.Lx Lx Lx 0.2.2.2.Lx + Ly + 0.Lx - 0.2.Lx - 0. lajes com diferentes condições de apoio. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado Ly - + - + - Ly - + - Ly - + 83 .Departamento de Engenharia Civil - 0.Lx 0.2.2.2.2. Portanto.Departamento de Engenharia Civil Considerando apenas os diagramas simplificados constata-se que há momentos negativos até uma distância 0. e lb.2L ou 0. há necessidade de realizar o equilíbrio de momentos nos apoios e. o comprimento da armadura superior deve ser igual a: (0. Nestes casos aconselha-se a corrigir de Mab .L x2 0.25Lx do apoio (Lx é o menor dos vãos).5.25L) Mab + al + lb.net Mb Ma M ab Mb Aumento da região com momentos negativos 0.25L) + al + lb.2.L ou 0.25L))) Mb Assim. No painel de laje que tem o momento de dimensionamento Mab inferior ao determinado inicialmente pelas tabelas. por vezes. consequentemente. forma proporcional o comprimento da região com momentos negativos: (0.L ou 0.2Lx ou 0.2. o momento de dimensionamento pode ser superior ao determinado inicialmente pelas tabelas.net é o comprimento de amarração da armadura. a armadura superior só pode ser interrompida a partir da seguinte distância do apoio: (0.2. dependendo das condições de apoio da laje.2. Como se referiu na secção anterior.net al é a translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e assume o valor 1. não há necessidade de corrigir o comprimento da região com 84 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .L x1 0.d (REBAP) ou d (EC2). Lx1 e Lx2 é o menor dos vãos da laje armada em 2 direcções.(Mab/M b) Figura 85 – Correcção do comprimento da região com momentos negativos.2.L x2 . sem efectuar a correcção. salienta-se que neste caso a consideração.2L =1. sem efectuar a correcção. o valor inicial está do lado da segurança.20 m 8. Este caso serve para ilustrar a importância da correcção do comprimento da região com momentos negativos. De acordo com os diagramas simplificados.2L = 0.0 m Figura 86 – Diagrama de momentos mx do caso 1. Caso 2: Laje exactamente igual ao caso anterior excepto a posição do apoio entre painéis. agora está a 3 m da extremidade direita.0 m. Caso 1: Laje simplesmente apoiada nos bordos e com um apoio entre os painéis de laje a 5 m da extremidade direita.0 m 5. Nesta modelação considerou-se que a rigidez à torção das vigas era nula para se aproximar mais dos resultados das tabelas.Departamento de Engenharia Civil momentos negativos. Neste caso a diferença entre o valor sem correcção e o determinado com base no programa é ainda maior e a razão é porque numa análise considerando as lajes isoladas o momento à Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 85 . ou não.0 m 5. Nestas figuras salienta-se o comprimento da região com momentos negativos. o comprimento da região com momentos negativos seria 0.6 m. De acordo com os diagramas simplificados. o comprimento da região com momentos negativos seria 0. da rigidez à torção das vigas praticamente não altera o diagrama de momentos. Há uma diminuição desse comprimento e. De seguida apresentam-se alguns exemplos de lajes cujos esforços foram determinados com base num programa de elementos finitos. Todavia. ≅ 1. portanto. encastrada nos bordos à direita e à esquerda e com um apoio entre os painéis a 6.5 m ≅ 1.10 m 6.0 m 3. maior seria a correcção). o comprimento da região com momentos negativos seria 0.5 m ≅ 1.Departamento de Engenharia Civil direita e à esquerda do apoio seriam muito diferentes (e.0 m Figura 88 – Diagrama de momentos mx do caso 3.2L = 1. Por isso. sem efectuar a correcção.0 m 5. Caso 3: Laje simplesmente apoiada nos bordos superior e inferior.0 m Figura 87 – Diagrama de momentos mx do caso 2. De acordo com os diagramas simplificados.5 m da extremidade direita. mais uma vez. 86 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . ≅ 1. realça-se a importância da corrigir do comprimento da região com momentos negativos.05 m 10. ≅ 1.10 m ≅ 1.10 m 6.10 m 5. portanto.0 m. que os momentos positivos máximos obtêm-se aplicando a carga permanente e a sobrecarga nesse vão (painel) e apenas a carga permanente nos vãos (painéis) adjacentes (ver Figuras 80 e 90).Departamento de Engenharia Civil Figura 89 – Diagrama de momentos my do caso 3. Figura 90 – Carregamento para se obter o momento positivo máximo no vão (Carla Marchão. Júlio Appleton). Determinação dos momentos máximos positivos Na Secção 3. A técnica proposta por Marcus consiste em decompor a carga da seguinte forma (considere o carregamento da Figura 90): Figura 91 – Decomposição do carregamento (Carla Marchão.8 justificou-se. 3. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 87 .3. com base nas linhas de influência.8. Júlio Appleton). Para a situação em que a carga é sc/2 (sobrecarga a dividir por 2). verifica-se que a rotação sobre os apoios é significativa e será razoável considerar que os bordos com continuidade sejam considerados simplesmente apoiados. atendendo à deformada da laje.5) Determinar os momentos positivos Cargas permanentes + sobrecarga/2 Sobrecarga/2 (como tem um efeito desfavorável x 1. Os restantes bordos mantêm as condições de apoio iniciais.Departamento de Engenharia Civil Para a situação em que a carga é cp+sc/2 (carga permanente + sobrecarga a dividir por 2).5) Condições de apoio iniciais (como têm um efeito desfavorável x 1. é admissível considerar que a rotação sobre os apoios de continuidade é praticamente nula e.5) Determinar os momentos positivos Figura 92 – Modelos de cálculo para os momentos positivos. Cargas permanentes + sobrecarga/2 Sobrecarga/2 (como tem um efeito desfavorável x 1.5) Condições de apoio iniciais (como têm um efeito desfavorável x 1. os bordos com continuidade podem ser considerados encastrados.5) Determinar os momentos positivos Cargas permanentes + sobrecarga/2 Sobrecarga/2 (como tem um efeito desfavorável x 1.5) Condições de apoio iniciais (como têm um efeito desfavorável x 1. portanto. 88 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Departamento de Engenharia Civil Resumindo. Nos casos em que Mab > 0. na análise do momento máximo positivo deve considerar-se ainda os esforços resultantes do equilíbrio dos momentos negativos (Secção 3. ver Figura 82. Se a laje for armada numa só direcção o momento positivo máximo poderá ser determinado. Quando Mab é determinado pela expressão 0. é usual que o momento máximo positivo seja determinado pelo método de Marcus.1). ou seja.8. Este momento poderá ser superior ao determinado pelo método apresentado atrás. Chamou-se a atenção que há um aumento do momento positivo resultante do ajuste necessário ao equilíbrio estático no painel em que M (momento negativo no apoio antes do equilíbrio em valor absoluto) > Mab (momento negativo no apoio após equilíbrio em valor absoluto).máx (Ma. Mab é determinado pela expressão (Ma + Mb)/2. aproximadamente. para dimensionar uma laje com painéis contínuos deve considerar-se 2 hipóteses de carga: uma para os momentos positivos e outra para os momentos negativos.8. Mb). Nos casos duvidosos deve-se sempre verificar se o ajuste do diagrama de momentos é condicionante para o cálculo da armadura inferior. No entanto. Mb) deve determinar-se o momento positivo resultante do equilíbrio dos momentos negativos. e verificar se este momento é o momento dimensionante.máx (Ma. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 89 . da seguinte forma: Ma Mab Mb M M/2 Aumento do momento positivo Ma Mab L/2 M M/2 M' M' M/2 Figura 93 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio.8. 6 Mxvs = -34.2 = 15.6) (5.3 ______________ Mxs = ? Mxvs = -42.8kN.6 = 6.m 90 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Se existir equilíbrio de momentos nos 2 apoios da laje.(5+1.5.1 Mxvs = -34.5.m ( 42. momento nulo no apoio) e os momentos da laje considerando as condições de apoio inicialmente definidas.4 Mxvs = 0 ______________ Mys = + 24.3 − 0) + 11. Se a laje for armada nas 2 direcções o momento positivo máximo terá de ser determinado de modo diferente porque a alteração do momento num dos apoios afecta os esforços da laje nas 2 direcções.9 ______________ Mys = + 14. incluindo o encastramento no apoio em estudo. M1 Mb1 Ma1 Mab1 Ma2 Mab2 M2 Mb2 M' M' + ( M1 + M2)/2 Figura 94 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos nos 2 apoios. Quando não existir informação mais rigorosa será razoável realizar uma interpolação usando os esforços dados pelas tabelas.6 Mxvs = 0 ______________ Mxs = + 11.5+2)+1.6 − 0) Mxs = 6.x + b = (5. Para a interpolação poderá usarse os momentos de uma laje com as mesmas condições de apoio.( x − 0) + 11. excepto no apoio onde há o equilíbrio de momentos negativos que deverá considerado simplesmente apoiado (ou seja.6 − 0) ( 42.cp +1.Departamento de Engenharia Civil Esta forma de determinar o momento positivo máximo após o equilíbrio de momentos no apoio é uma aproximação porque o M’ (momento positivo máximo antes do equilíbrio de momentos) não é necessariamente na secção a meio vão (L/2).6 − 11.75 kN/m2 Interpolação (ver Figura 95): Mxvs = -42.(34. Exemplo: p = 1.8 kN.3 ______________ Mys = ? y = m.9 ______________ Mxs = + 5.6 − 11.6 = . o raciocínio é semelhante para determinar o momento positivo máximo.5sc= 1.6) .5. 4 kN.3 kN.9 kN.Departamento de Engenharia Civil y = m.3kN.6 − 0) ( 42.m ( 42. Esta tabela é da autoria de F.( x − 0) + 24.x + b = (14.9) = -34.1) .1 = .8 kN.1) (14.m Mxvs=-34.3 kN.m Figura 95 – Exemplo duma interpolação para determinar os momentos positivos após o ajuste do momento negativo.m Mxs =6.3 kN.5x(cargas permanentes + sobrecarga) Momento no apoio após o equilíbrio de momentos negativos Admitir que M = 0. Paulo Maranha).6 kN.3 kN.4 − 24.6 kN.m Mxvs=-42.m Mys = +14.m Mys =16. Czerny (a informação foi traduzida e organizada pelo Eng.3 kN.3 − 0) + 24. Este procedimento para o cálculo dos momentos positivos é eventualmente mais simples do Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 91 .m Mxs = ? 4m Interpolando determina-se os valores dos momentos positivos Mys = +24.m Mxvs = 0 Mxs = +11.1 kN.4 − 24.1 = 16.m Mys = ? Mxvs=-34.(34.m 5m Mxs = +5. Usando os coeficientes de transmissão indicados na tabela seguinte é também possível calcular os momentos positivos após o equilíbrio dos momentos negativos.8x(-42.6 − 0) Mys = 16.m Condições de apoio iniciais 1. m M=0 M = +17.26 kN.5sc = 15.32) = -24.26 kN.2 kN.25 kN.m M=? M = -24.5.m M =14.7 kN.75 kN/m2 Condições de apoio iniciais 1.m M =7.5x(cargas permanentes + sobrecarga) Momento no apoio após o equilíbrio de momentos negativos Admitir que M = 0.32 kN.m 6m M = +14.m M=? 5m Interpolando determina-se os valores dos momentos positivos M = +10.cp +1. Outro exemplo de aplicação considerando os 2 métodos: p = 1.m M = -24.26 kN. uma vez que considera o momento sinusoidal ao longo do bordo.06 kN.Departamento de Engenharia Civil que o método indicado anteriormente e é bastante rigoroso.17 kN.m M = -30.m 92 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .8x(-30.m M = +6.4 kN. 32). ver tabela com os coeficientes de transmissão.2 e atendendo às condições de apoio o tipo de laje corresponde ao Caso 2.07 = 0.106.106 x 6.M + - + Figura 96 – Modelo da laje em consola. depreende-se que as tensões normais são perpendiculares à direcção da linha.4 + 0.04 kN.m.64 = 7.06 + 0.Departamento de Engenharia Civil Usando o método dos coeficientes de transmissão recorrendo à tabela indicada acima: • • • • O momento x está aplicado no bordo maior e assume o valor 6.26 – (-30. DMF C. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 93 . Assim.m. portanto.07 kN.082 e γym = 0. o momento positivo final na direcção x é 14.M LI.082 x 6. Atendendo à simbologia usada no apoio.50 kN.m aplicado no bordo é igual a: ΔM+x = 0.m e ΔM+y = 0.56 kN. Como este modelo estrutural é uma estrutura isostática significa que existe apenas uma distribuição de esforços em equilíbrio com as acções aplicadas e.8.07 = 0. O aumento dos momentos positivos quando há um momento sinusoidal no valor de ΔM = + 6. A relação entre vãos é 6/5 = 1.P + SOB LI. o momento no encastramento não pode ser diminuído. O valor dos momentos positivos determinado pelos 2 métodos é bastante semelhante. 3.64 kN.07 = ΔM = -24.4.m e o momento positivo final na direcção y é 6. Os coeficientes de transmissão são: γxm = 0. Análise de uma laje com uma laje adjacente em consola A laje em consola é dimensionada com base na distribuição de esforços resultante do modelo em consola e considerando a carga máxima nesse vão.50 = 14. • • Atendendo à configuração da laje em estudo e da laje na tabela verifica-se que é necessário rodar a laje 90º. surgir a dúvida em relação ao tipo de apoio a considerar na ligação à laje em consola. consequentemente. Poderá. Se o momento negativo da consola devido apenas às cargas permanentes for significativo e se a consola existir em toda a extensão da laje interior poder-se-á tirar vantagem desse 94 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . a LI M+. pode surgir novamente a dúvida em como considerar o apoio de continuidade para laje em consola. A laje adjacente à laje em consola analisa-se de modo semelhante ao indicado nas secções anteriores. na análise do painel interior. encastrado ou simplesmente apoiado. nomeadamente. a rotação da laje sobre o apoio será diferente de zero. C. Mais um aspecto que justifica. deve ser aplicada não só na face onde existe a armadura principal (face superior) mas também na face oposta à da aplicação das cargas (face inferior). Neste caso as lajes adjacentes ao apoio de continuidade são muito diferentes e. linha de influência do momento a meio vão da laje). O procedimento mais simples e que conduz também aos resultados mais desfavoráveis é considerar esse bordo da laje como simplesmente apoiado. a consideração do apoio de ligação à laje em consola como simplesmente apoiado. Com estas condições de apoio os esforços da laje serão maiores (situação mais desfavorável) comparativamente com os esforços resultantes da consideração da continuidade para a laje em consola (ver Figura 96. Acrescenta-se ainda que.P) M1 + = M=M1-Mcp/2 Figura 97 – Cálculo do momento positivo numa laje com uma laje adjacente em consola.Departamento de Engenharia Civil A laje em consola é uma laje armada numa só direcção. no entanto.P DMF DMF M (C. Chama-se atenção para a consideração da armadura de distribuição nestas lajes. quando o painel interior é armado nas 2 direcções e os esforços são determinados com recurso às tabelas. net é o comprimento de amarração da armadura. Se se utilizar os coeficientes de transmissão para determinar os momentos positivos. interrupção e dispensa das armaduras longitudinais Os desenhos com a disposição das armaduras devem apresentar toda a informação necessária à sua execução. Realça-se ainda que é importante analisar correctamente a região com momentos negativos na zona adjacente à consola. aproximadamente.5. 3. Adicionalmente deve-se ainda apresentar um corte. Distribuição das armaduras. ou não. A vantagem ou desvantagem em realizar uma interrupção ou dispensa de armaduras está relacionada com a economia da quantidade de aço e com a facilidade. tanto quanto possível. então deve fazer-se uma interpolação. chama-se a atenção que neste caso o momento no bordo é uniforme e não sinusoidal (ou seja. a indicada na Figura 97. al é a translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e lb. à semelhança do exemplificado na secção anterior. Mais uma vez realça-se que o momento máximo positivo M1 (antes da redistribuição de esforços) não é necessariamente na secção a meio vão. Essa distância é x0 + al + lb.8. Se a laje adjacente à consola for armada em 2 direcções e se se pretender realizar uma redistribuição de esforços de modo a aproveitar o momento negativo da consola (devido às cargas permanentes). Esta análise é importante para determinar a distância. A distribuição das armaduras numa laje deve ser regular (deve haver. deve usar-se o coeficiente de correcção indicado na tabela). Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 95 . Normalmente apresenta-se um desenho para as armaduras superiores e outro para as armaduras inferiores. Se a laje adjacente à consola for armada numa só direcção a redistribuição de esforços é. com origem no apoio. onde x0 é a distância do apoio à secção onde os momentos se anulam.Departamento de Engenharia Civil momento para diminuir ligeiramente o momento positivo na laje interior. Se a informação continuar pouco perceptível pode apresentar-se as armaduras superiores em 2 desenhos e as armaduras inferiores noutros 2 desenhos (armaduras na direcção x e y). até onde as armaduras superiores devem ser aplicadas. uma homogeneização das armaduras e espaçamentos a utilizar) para evitar erros de interpretação e simplificar a execução em obra.net. em executar a solução proposta. Observando os diagramas de esforços simplificados (ver Secção 3. é difícil determinar a secção a partir da qual a armadura pode ser interrompida.net L b.25.20 A s A' 0. 96 Lajes de betão armado 0.Lx - - .25. Todavia.net Ricardo do Carmo As A s.8.2) e os diagramas de momentos obtidos a partir de um programa de elementos finitos apresentados ao longo deste documento.Departamento de Engenharia Civil Armaduras inferiores A A s. portanto.Lx h + A s.dist = 0.25.y + A s.dist = 0.20 A s - - 0.4). Nas lajes armadas em 2 direcções o procedimento para a realizar a interrupção das longitudinais é igual ao definido para as lajes armadas numa só direcção (ver Secção 3.x = 0.Lx L b.Lx - - - 0. verifica-se que: • os momentos positivos diminuem significativamente na zona junto aos apoios com liberdade de rotação.20 A s As - - - A s.dist = 0.y + + A' Armaduras superiores A As L b.net As - - 0.25.dist = 0.6.dist = 0.x = + 0.20 A s.Lx Figura 98 – Exemplo de desenho com a distribuição das armaduras (laje simplemente apoiada armada numa só direcção).net Corte AA' As - A s.25.y + A s.20 A s A s.Lx L b.y 0. se o dimensionamento das lajes for realizado com base nos esforços determinados pelas tabelas.25.20 A s - A s.20 A s. não se conhece o diagrama de momentos e. 2.2.Lx A s.net A s. No limite o valor de L´ é 0. por exemplo.2. é possível definir algumas regras simplificadas para a distribuição de armaduras.Lx Lx Figura 99 – Armadura na face inferior da laje. 0.2.y / 2 + + Ly + - 0.net.L x . L’ é a distância do apoio à secção a partir da qual a área de aço As+/2 é suficiente para resistir ao momento aplicado.net não deve ser inferior a 10∅.L b.2.L b.net . sabe-se apenas que será superior a 0.2. o valor de L’ não está definido nos diagramas simplificados apresentados na Figura 84. Neste casos o valor de lb.net 0.3lb no caso de armaduras traccionadas). em que as lajes adjacentes são semelhantes ao painel em estudo.L b.2.2.x /2 + 0.Lx.L b.Departamento de Engenharia Civil • • os momentos negativos têm um decréscimo muito acentuado.L x . uma laje encastrada em todos os bordos.Lx 0. 100 mm. A armadura inferior pode ser interrompida e dispensada na zona junto aos apoios.2.Lx + A s.al .al . os momentos negativos junto aos cantos são inferiores aos da zona central.2. De acordo com os regulamentos (REBAP e EC2) a armadura nos apoios deve ser pelo menos metade da armadura máxima existente no vão. M = 0 (determinar o valor mínimo a adoptar para o comprimento de amarração.y / 2 + 0. Salienta-se que as soluções apresentadas não são as únicas possíveis e que nos casos fora do comum deve realizar-se a uma análise detalhada da distribuição das armaduras.net 0. 0. O comprimento dessa faixa será L’ – al – lb.2.Lx – al – lb.L x .net.Lx e a armadura poderá ser interrompida e dispensada a uma distância 0. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 97 0. lb.al .net poderá eventualmente assumir valores mais pequenos que o usual porque área de aço requerida pelo cálculo é nula. No entanto. Para os casos correntes.L x . Considere-se.x /2 A s.al . Departamento de Engenharia Civil Para a interrupção da armadura superior (ver Secção 3. Júlio Appleton e João Almeida).25L) Mab + al + lb.net Mb 0.Lx Ly - + - A s.L xM ab4+ al + Lb. Como informação complementar representa-se abaixo alguns desenhos com a disposição das armaduras para painéis com diferentes condições de apoio.2.2.Lx A s.x2 - - 0. Figura 101 – Desenho com uma distribuição das armaduras.x1 0.2.2. 98 Lajes de betão armado - - Ricardo do Carmo .net Mb 0.L ou 0.Lx Lx Figura 100 – Armadura principal superior (falta representar a armadura de distribuição).2.Lx M ab2 + al + Lb.net Mb 0.net Ma - 0. mais uma vez.y3 A s. Gomes.2.8.L xM ab3+ al + Lb.net Ma A s.2. Quando não existir informação mais rigorosa poderá utilizar-se as regras simplificadas indicadas acima.2.LxM ab1+ al + Lb. a atenção para o comprimento da zona com momentos negativos após o equilíbrio dos momentos negativos: (0.Lx 0.2) chama-se. tendo por base os diagramas simplificados representados na Figura 84.y4 + 0. laje com os 4 bordos encastrados (A.2. Júlio Appleton e João Almeida). Gomes. Júlio Appleton e João Almeida). laje com os 2 bordos encastrados e 2 bordos simplesmente apoiados (A.Departamento de Engenharia Civil Figura 102 – Desenho com uma distribuição das armaduras. Figura 103 – Desenho com uma distribuição das armaduras. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 99 . laje com os 3 bordos encastrados e um simplesmente apoiado (A. Gomes. Departamento de Engenharia Civil 3.9. Lajes com aberturas Se as dimensões das aberturas forem inferiores a determinados limites, as lajes podem ser dimensionadas admitindo que não existem aberturas. Nestes casos deve apenas haver um cuidado especial com os detalhes construtivos nas zonas próximas das aberturas. Os limites acima referidos são indicados abaixo (Carla Marchão e Júlio Appleton). Laje armada numa direcção • dimensão máxima da abertura: b < L1/5 e b < L2/4 Figura 104 – Laje armada numa direcção com uma abertura (Carla Marchão e Júlio Appleton). Cuidados a considerar na disposição das armaduras: armadura principal de reforço deve ser prolongada até aos apoios e reforçar a armadura de distribuição junto aos bordos. Figura 105 – Disposição das armaduras numa laje armada numa direcção com uma abertura de pequenas dimensões (Carla Marchão e Júlio Appleton). 100 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo Departamento de Engenharia Civil Laje armada em duas direcções • dimensão máxima da abertura: máx (b1,b2) ≤ min(L1,L 2 ) 5 Figura 106 – Laje armada em 2 direcções com uma abertura (Carla Marchão e Júlio Appleton). Figura 107 – Disposição das armaduras numa laje armada em 2 direcções com uma abertura de pequenas dimensões (Carla Marchão e Júlio Appleton). Quando as aberturas tiverem dimensões superiores a 0,5 m é conveniente colocar uma armadura suplementar junto aos cantos, segundo a diagonal, para controlar a fendilhação. Figura 108 – Armadura suplementar junto aos cantos (Carla Marchão e Júlio Appleton). Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 101 Departamento de Engenharia Civil Quando as aberturas forem de dimensões significativas, com valores superiores aos indicados anteriormente, a zona da laje adjacente à abertura pode ser analisada pelo método das bandas (ver Figura 76 representada novamente abaixo). Faixa 3 2 reacção da faixa 2 Reacção da faixa 1 Carga directamente aplicada R2 1 3 R2 R2 Faixa 2 R2 Figura 109 – Diagrama de momentos myy numa laje com apoios apenas numa direcção. Figura 110 – Diagrama de momentos myy e mxy numa laje com apoios apenas numa direcção e com uma abertura de pequenas dimensões. 102 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 103 .Departamento de Engenharia Civil Figura 111 – Diagrama de momentos myy e mxy numa laje com apoios apenas numa direcção e com uma abertura de grandes dimensões. Figura 112 – Diagrama de momentos myy e mxx numa laje com apoios nas duas direcções. Figura 113 – Diagrama de momentos myy e mxx numa laje com apoios nas duas direcções e com uma abertura de pequenas dimensões. º 103 do REBAP. 3. Sempre que necessário deve ser efectuada uma análise local complementar.” Finalmente.” Na Secção 7 do EC2. no caso de lajes armadas numa só direcção usar a metodologia descrita no art. por exemplo: na proximidade de cargas concentradas. em toda ou parte da estrutura. Ver também o art. Para se determinar os esforços em lajes sujeitas a forças concentradas ter-se-á de recorrer a programas de elementos finitos. na 104 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . por exemplo: em zonas sob a acção de cargas concentradas.” “Poderá ser necessário efectuar análises locais quando não seja válida a hipótese de distribuição linear de extensões. quer de tensões. Estados Limites de Utilização. No EC2 há apenas referências genéricas ao modo como analisar as lajes sujeitas a cargas concentradas: “O objectivo de uma análise estrutural é o de determinar a distribuição.Departamento de Engenharia Civil Figura 114 – Diagrama de momentos mxx e mxy numa laje com apoios nas duas direcções e com uma abertura de grandes dimensões. é referido que “Deverá ter-se em atenção os riscos particulares de formação de fendas de grande largura em secções onde ocorram variações bruscas de tensão.10. ou então. quer de esforços.º 111 referente à disposição das armaduras em lajes armadas numa só direcção e sujeitas cargas concentradas. Lajes sujeitas a forças concentradas As tabelas correntes permitem a determinação dos momentos máximos para cargas uniformemente distribuídas pelas lajes ou então para cargas com uma distribuição triangular (variação linear ao longo da laje). extensões e deslocamentos. trans para a verificação da segurança em relação ELU de resistência ao esforço transverso. deve dividir-se o valor da carga concentrada P por bm. disposições construtivas. (zona onde actuam as cargas distribuídas e a carga concentrada) 2 1 1 P1 ou P2 bm (zonas onde actuam as cargas distribuídas apenas) 1 2 Figura 116 – Modelo para determinar os esforços numa laje armada numa só direcção e sujeita a uma carga concentrada (de acordo com o REBAP). Depois usa-se o valor P1 = P/bm. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 105 . ƒ ƒ b m = by + b1 by = a + 2. no art. Resumidamente.flexão para a verificação da segurança em relação ELU de resistência à flexão e P2 = P/bm. ou seja.slabs a utilizar num determinado país poderá ser dado no respectivo Anexo Nacional.trans.Departamento de Engenharia Civil Secção 9 do EC2. O valor recomendado para zonas com cargas concentradas ou nas zonas de momento máximo é: 2h ≤ 250 mm para as armaduras principais e 3h ≤ 400 mm para as armaduras de distribuição.slabs. com os mesmos apoios e com uma largura igual a bm.º 103 do REBAP (lajes armadas numa só direcção sujeitas a cargas concentradas) é mencionado que a laje funciona como uma viga com o mesmo vão. é referido que “O espaçamento dos varões não deverá ser superior a smax. O valor b1 está definido no Quadro XVI do REBAP e depende das condições de apoio e do esforço que se pretende determinar.” O valor de smax. flexão e por bm. Para determinar os esforços na “viga” convém calcular o valor da carga ao longo da largura bm.h1 + d a h1+d/2 45º by Figura 115 – Largura by segundo o REBAP. Esta armadura deve ser disposta num comprimento igual a bm mais o comprimento de amarração para cada lado.flexão. Deve-se ainda colocar uma armadura de distribuição na direcção perpendicular à armadura principal (na face oposta à aplicação da carga) com a seguinte área.Departamento de Engenharia Civil Se o cálculo for realizado para uma laje com uma largura igual a 1 m então o resultado final vem cm2/m.As.bm. Esta armadura deve ser disposta numa largura igual a 0.bm mas não menor que a largura bx. Esta armadura deve ser aplicada numa largura igual a 0.6.flexão mas não deve ser inferior à largura by (ver art. As. Salienta-se que no caso de forças concentradas aplicadas directamente nas lajes é necessário fazer a verificação da segurança em relação ao ELU de resistência ao punçoamento. Figura 117 – Diagrama de momentos myy numa laje com apoios apenas numa direcção e sujeita a força concentrada.5. O valor total da área da armadura longitudinal obtém-se multiplicando o valor anterior por bm.dist = 0. 106 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . Figura 118 – Diagrama de momentos myy e myy numa laje com apoios nas 2 direcções e sujeita a 3 forças concentradas.5.º 111 do REBAP). º 112 até ao art. cofragem incorporados). ou não. Tal poderá admitir-se desde que: o afastamento das nervuras não exceda 1500 mm.Departamento de Engenharia Civil 3.3.1 (6) Para efeitos de análise.11. • • • direcção devem dispor-se armaduras suficiente. a espessura da lajeta não seja inferior a 1/10 da distância livre entre nervuras ou a 50 mm. nervura.8 vezes a espessura da laje. desde que a lajeta ou No caso de lajes armadas numa transversais transversais de solidarização cuja distância entre eixos deve ser menor ou igual a 10 vezes a espessura da laje e a altura destas nervuras deve ser maior ou igual a 0. Este valor pode ser A espessura mínima das lajetas poderá ser reduzido para 3 ou 4 cm no caso de reduzida de 50 mm para 40 mm nos casos existirem os tais blocos de cofragem em que se utilizem blocos incorporados incorporados. REBAP Art. a altura da nervura abaixo da lajeta não exceda 4 vezes a sua largura. Secção 5. as lajes nervuradas ou aligeiradas podem não ser tratadas como lâmina de compressão e as nervuras tenham rigidez de torção EC2 Distância máxima entre as faces da elementos de barra. solidarizadas por uma lâmina de compressão. Quando existirem forças concentradas deve haver nervuras nas 2 direcções.º 117 Largura e espaçamento das nervuras: • • • Largura mínima da nervura. depende se a distância entre as faces de nervuras consecutivas excede. e o valor limite a considerar entre as nervuras. 50 cm. Lajes aligeiradas de betão armado As lajes aligeiradas de betão armado são constituídas por nervuras numa direcção ou em duas direcções ortogonais. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 107 . 5 cm. Considerando os condicionalismos indicados abaixo os esforços actuantes são determinados como se fosse um laje maciça e os esforços resistentes como se se tratasse de um conjunto de vigas em T. 80 cm. Nestas lajes devem dispor-se maciçamentos adequados junto dos apoios. Espessura mínima da lajeta: A espessura mínima da lajeta deve ser maior ou igual a 5 cm (sem blocos de • a distância livre entre nervuras transversais não exceda 10 vezes a espessura total da laje. b2 Secção 5.2bi +0. • • não seja necessária uma grande precisão. bw + 0. L0 = 0. Como se referiu acima os esforços resistentes nas aligeiradas são determinados como se tratasse de um conjunto de vigas em T. então.i + bw beff.b1 + 0. a largura efectiva do banzo bw é a largura da alma da secção nervuras nulo: • b1 e b2 é a distância entre as faces das apoio e das armaduras transversais. ao longo da qual se podem admitir condições de tensão uniforme.5. L0 = 0.8 x vão teórico – vigas adoptar-se o valor aplicável à secção do vão.º 88 menor dos seguintes valores: • • bw + 2L0/10.5. EC2 Largura do banzo comprimido b deve ser o Nas vigas em T.6 x vão teórico – vigas poderá admitir-se uma largura constante ao longo de todo o tramo. das condições de A determinação da largura efectiva do banzo de momento nulo (ver Figura 121). depende das dimensões da alma e do banzo. do vão. distância entre pontos 108 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . L0 = 0.1L0 ≤ 0.2.Departamento de Engenharia Civil > 5cm > 5 cm < 80 cm Figura 119 – Valores limite a considerar numa laje aligeirada (segundo o REBAP). contínuas (tramos extremos – A largura efectiva do banzo beff para uma viga em T ou para uma viga em L poderá ser considerada igual a: • • • beff =Σ beff.7 x vão teórico – vigas Para a análise estrutural. A questão que agora se coloca é determinar qual a largura do banzo comprimido a considerar nos cálculos. do tipo de acção. contínuas (tramos centrais). L0 é a distância entre secções de momento depende do valor L0.i ≤ bi em que: encastrado/simplesmente apoiado). REBAP Art.2 L0 beff. Deverá.i = 0.3. nos casos em que contínuas (caso geral).1 comprimido. NOTA: O vão da consola.Departamento de Engenharia Civil Figura 120 – Largura efectiva do banzo das vigas em T (segundo o REBAP). deverá ser inferior a metade do vão adjacente e a relação entre os vãos de dois tramos adjacentes deverá situar-se entre 2/3 e 1. Cálculo da área das armaduras longitudinais nas vigas em T (ver Figura 123). Momentos negativos • • se x < (h – hf). Figura 121 – Definição da distância L0 (segundo o EC2). pode-se usar as tabelas para secções rectangulares se x > (h – hf) – usar tabelas para as secções em T x – profundidade do eixo neutro Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 109 . l3.5. Figura 122 – Definição dos parâmetros para a determinação de beff (segundo o EC2). deve colocar-se uma armadura que atravesse essas superfícies (ver 110 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . para assegurar a ligação entre partes que têm tendência a separar-se e para controlar a fendilhação. o maior destes 2 valores. Neste artigo é referido que nalguns casos deve haver armaduras secundárias para garantir o bom funcionamento dos elementos. No caso de lajes armadas numa só direcção deve colocar-se numa direcção a armadura principal e na direcção perpendicular a armadura de distribuição ou a armadura resultante da “regra das costuras”. Para momentos negativos b é igual a bw mas junto dos apoios Na expressão do momento reduzido. pode ser realizado com base na seguinte expressão: A s ν sd ≥ s fsyd Onde As é a armadura existente no comprimento s. O dimensionamento das armaduras pela chamada “regra das costuras”. 74 do REBAP. por razões evidentes. salienta-se que b é a largura da área comprimida da secção. μ = poderá haver maciçamentos que alteram o valor de b a considerar no cálculo. No caso das lajes aligeiradas a armadura de distribuição só pode ser colocada na parte superior da laje. s é o espaçamento das armaduras e νsd é a força tangencial por unidade de comprimento da superfície considerada.Departamento de Engenharia Civil M b. Segundo o REBAP (art.d2 . A “regra das costuras” está definida no art. 90 e o espaçamento dos varões não deve exceder 25 cm ou em certas situações 35 cm. Para momentos positivos b é igual à largura do banzo superior. neste caso é uma armadura perpendicular à superfície considerada.fcd . Momentos negativos Momentos positivos Figura 123 – Área comprimida numa secção em T. Quando há partes do elemento que têm tendência a deslizar devido a tensões tangenciais.º 117) a lajeta deve ser armada nas duas direcções. A armadura mínima na direcção principal deve respeitar o art. as armaduras de flexão poderão ser consideradas para efeitos de armaduras de ligação (art.3. poderá dispensar-se o dimensionamento específico desta armadura. Nestas nervuras deve também colocar-se uma armadura de esforço transverso: armadura mínima de esforço transverso. armadura para resistir ao esforço transverso (para as nervuras na direcção principal).distância entre eixos das nervuras principais O EC2. porque o esforço transverso pode.Departamento de Engenharia Civil artigos 74 e 97 do REBAP).1. Parte da armadura poderá ser concentrada na largura da alma” (ver figura abaixo). Ainda segundo o REBAP.(d1/d2)].º 116. eventualmente. art. na Secção 9. ser absorvido sem recurso às armaduras transversais (comportamento global da laje). Nos casos correntes em que os banzos são betonados conjuntamente com a alma. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 111 .2. a área total da armadura de tracção As de uma secção em T deverá ser distribuída ao longo da largura efectiva do banzo (ver 5. As ≥ 0.2). a armadura nas nervuras deve respeitar as recomendações definidas para as vigas: armadura longitudinal máxima e mínima. desde que a área da sua secção seja maior ou igual a metade da área total da secção dos estribos e tenha o mesmo espaçamento.principal. deve colocar-se armadura longitudinal.2.1. Figura 124 – Disposição da armadura de tracção numa secção em T (segundo o EC2). Para as nervuras transversais de solidarização das lajes armadas numa só direcção.º 97). refere que “nos apoios intermédios de vigas contínuas. Segundo alguns engenheiros a obrigatoriedade da armadura transversal ser superior à mínima é discutível. d1 – distância entre eixos das nervuras secundárias d2 .As. Quando os banzos estão submetidos a flexão num plano perpendicular ao plano de flexão da viga. maior facilidade em colocar condutas suspensas nas lajes (não há a obstrução das vigas). maior facilidade na execução: colocação da cofragem e das armaduras. Como nestas lajes não há vigas salientam-se as seguintes vantagens e desvantagens: • • • • • maior liberdade para o projectista definir uma estrutura sem interferir com o projecto de arquitectura. LAJES FUNGIFORMES As lajes fungiformes são lajes apoiadas directamente em pilares.30 Lajes aligeiradas: h = Lmaior/(20 a 25) Valores correntes para a espessura da laje (Carla Marchão e Júlio Appleton) 112 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .Departamento de Engenharia Civil 4. para primeira iteração no processo de dimensionamento. Poderá ser necessário colocar capiteis (ou aumentar a espessura da laje junto dos pilares) para garantir a segurança. podem ser lajes maciças ou aligeiradas (com moldes recuperáveis ou embebidos). a partir das seguintes expressões (Carla Marchão e Júlio Appleton): • • Lajes maciças: h = Lmaior/(25 a 30) e o valor do momento reduzido deve ser: o μ+ < 0. maior flexibilidade às acções horizontais Há um aspecto muito importante a considerar no dimensionamento das lajes fungiformes que não se verifica nas lajes vigadas.< 0. as lajes fungiformes são calculadas para as acções verticais e para as acções horizontais.18 e μ. Nestas lajes há a necessidade acrescida de verificar a segurança em relação ao estado limite último de resistência ao punçomento. maior facilidade em mudar as divisórias sem criar o problema das vigas ficarem mais expostas à vista. • • maiores deformações da laje junto dos pilares e maior deformabilidade em geral. Para sobrecargas correntes em edifícios (5 kN/m2) a espessura da laje pode ser determinada. maior concentração de esforços junto dos pilares (flexão e punçoamanto). troços de laje compreendidos entre meios Para cargas verticais. Para de pilares. indicadas no Quadro XVII. Este método consiste essencialmente em dividir a estrutura (constituída pela laje e pilares de apoio) em 2 conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais.º 119 Anexo I EC2 Cada pórtico é constituído por uma fila de A rigidez dos elementos poderá ser calculada pilares e por travessas formadas pelos a partir das secções transversais brutas.1 Resumo do Quadro XVII do REBAP e do Quadro I. Deverá considerar-se os painéis divididos em faixas sobre pilares e em faixas centrais (ver Figura 126). nos casos correntes. Tanto o REBAP como o EC2 permitem a determinação dos esforços actuantes. nas suas faixas momentos negativos tendem a concentrar-se central e lateral.Departamento de Engenharia Civil A determinação de esforços neste tipo de lajes pode ser efectuada utilizado modelos de grelhas. os devem ser distribuídos. de acordo com as regras na vizinhança dos eixos dos pilares. a rigidez poderá dos painéis de laje adjacentes a essa fila basear-se na largura total dos painéis. portanto qualquer repartição das cargas Os momentos flectores totais obtidos na entre pórticos ortogonais. REBAP Art. estruturas carga de total lajes no fungiformes painel quando ser As cargas actuantes em cada pórtico são comparada com a das ligações pilares-vigas. a partir deste método simplificado. porém. não se devendo considerar considerada na análise em cada direcção.80% (REBAP 75%) 40 . para a determinação dos cargas horizontais. as correspondentes à largura das suas A deverá travessas.20% (REBAP 25%) Momentos positivos 50 .30% (REBAP 45%) Nota: O total dos momentos negativos e positivos. deve ser sempre igual a100%. análise deverão ser distribuídos por toda a Os momentos determinados nas travessas largura da laje. deverá ser utilizado 40 % esforços devidos a forças horizontais.1 do EC2. e distribuir-se os momentos flectores conforme indicado no Quadro I.70% (REBAP 55%) 50 . análise por elementos finitos de laje ou através do método simplificado de pórticos equivalentes. Na análise elástica. ao qual devem resistir conjuntamente as faixas sobre pilares e as faixas laterais. Momentos negativos Faixa sobre pilares (central) Faixa lateral 60 . a deste valor para traduzir a maior flexibilidade rigidez a considerar para essas travessas das ligações entre os pilares e as lajes das deve ser reduzida a metade do seu valor. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 113 . 0 kN/m2). Considere apenas as acções verticais (carga permanente total igual a 8.5 kN/m2 e sobrecarga igual a 2.75 m Pórtico 1x 6.0 m Pórtico 2x 3. 114 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .5 m Pórtico 1y 3m Pórtico 2y 6m Pórtico 3y 6m Pórtico 4y 3m 2.ly/2 A = ly/2 Figura 125 – Faixas sobre pilares e faixas laterais. Espessura da laje 20 cm.Departamento de Engenharia Civil lx (> ly) ly/4 ly/4 ly/4 ly/4 B = ly/2 ly B = lx . Pilares 40 x 40 cm2. 6m 6m 6m 5.5 m 6. Materiais C20/30 e A400NR.25 m Pórtico 3x Figura 126 – Definição dos 2 conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais. Considere o seguinte exemplo: Calcule os momentos flectores de dimensionamento da seguinte laje fungiforme (1º piso) recorrendo ao método dos pórticos equivalentes. 5x2 = 15.3 kN/m Secção do elemento na horizontal: 2 2.c. A carga a aplicar.75 6.3 kN/m 3m 43.8 139.5.5x8. por exemplo.3 Pórtico Pórtico 1y Pórtico 4y Pórtico 2y Pórtico 3y Lpórtico (m) 3.m) 64.5 +1. Figura 128 – Diagrama de momentos do pórtico 1x.1 76.4 307 162.5 Msd ext2 (+) (kN.5 219.75 kN/m2.6 353 Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 115 .m) 90.Departamento de Engenharia Civil A carga vertical a considerar na análise aos estados limites últimos será 1.8 Msd ext maior (-) (kN.75x0.m) 69.3 kN/m.5sc = 1.1 132.2 Msd inter (+) (kN.75x15.20 m 3.75 = 43.00 psd (kN/m) 47.25 psd (kN/m) 43.m) 172.p + 1.3 94.6 163.5 Msd inter (-) (kN.m) 136. Pórtico Pórtico 1x Pórtico 2x Pórtico 3x Lpórtico (m) 2.7 194.m) 114.3 94.2 Msd ext (+) (kN.5 51.5 Msd ext1 (+) (kN.4 Msd ext (-) (kN.00 6.m) 146 258. no pórtico 1x será 2. 43.3 83.00 3.5 Figura 127 – Pórtico 1x com o carregamento.m) 62.4 Msd inter (-) (kN.7 130. Quadro com os momentos flectores. 4 Lfaixa (m) 1.6 +25.2 -25 +23 -20.5 +22.25 Msd (kN.4 +23 -25 +21.2 +35.Departamento de Engenharia Civil Quadro com a distribuição dos momentos flectores (pórtico 1x).5 -24.4 -88.8 -29.5 -64.4 24.6 +24.6 -21.75 0.3 31.8 +29.2 +20.9 -25.6 +24 +19.9 +28.8 74.3 -54. A análise estrutural das lajes fungiformes utilizando os modelos de elementos finitos de laje permite modelar de forma mais rigorosa a interação laje-pilar e é mais adequado quando 116 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .4 +21.8 +25.375 1.2 -74.6 -21. -73 -24.375 Faixa Central Lateral Central Lateral Central Lateral Central Lateral Distribuição (%) 0.2 +29.55 0.3 -21.5 -25.3 34.3 -73 -24.3 +24.5 -20.3 -73 +23.2 85.3 +18.5 -64.2 +33.3 -28.55 0.3 -86.8 -18.3 -20.1 Msd (kN.375 1.3 35.9 -76.2 +27.8 -25.25 0.5 -20.4 +22.9 28.8 +24.5 -18.6 -21.9 -74.6 -21.6 +27.7 +29.6 +24 +19.6 64.5 -76.3 -29.6 29.75 0.6 102.5 -24.4 -88.7 +29.m) 38.2 -61.8 -18.8 -62.8 -86.5 -64.8 -62.8 +23.9 21.5 -24.6 +20.3 +27.3 -29.8 +29.4 -28.3 -21.m/m) 27.8 -25.5 -64.8 +24.5 20.8 25.8 114.2 Figura 129 – Distribuição dos momentos para determinar as armaduras na direcção xx.8 -74.9 +25. Pórtico 1x M (+) extremo M (+) intermédio M (-) extremo M (-) intermédio Msd (kN.9 -24.8 22.3 +27.5 136.8 +19.3 +33.2 62.6 +18.2 +28.8 -18.45 0.9 -54.2 +35.m) 69.4 -61.3 -73 Figura 130 – Distribuição dos momentos para determinar as armaduras na direcção yy.45 0.9 -74.375 1. xy⏐≥ 0 → A+sy m´sd.xy⏐≤ 0 → A-sx m´sd.y = msd.| msd. A rigidez da ligação laje-pilar real é menor do que a simulada pelo método dos pórticos equivalentes.xy⏐≤ 0 → A-sy O exemplo de lajes fungiformes descrito acima mas agora analisado usando um modelo de elementos finitos: Figura 132 – Distribuição dos momentos mxx usando os modelos de elementos finitos. Já se referiu anteriormente que há momentos torsores na laje e.| msd.y = msd. se for considerada toda a largura da banda.x + | msd. Ramos).x = msd. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 117 . Figura 131 – Situação real e modelada usando o método dos pórticos equivalentes (A.Departamento de Engenharia Civil não há um sistema regular de pilares.x .x = msd. as armaduras de flexão são dimensionadas para os seguintes valores de momento: m´sd.y . simplificadamente.y + | msd.xy⏐≥ 0 → A+sx m´sd. P. 65 do momento de encastramento.t / 8 Onde Fed.) o maior dos valores elásticos ou redistribuídos. O momento à face do apoio não deverá ser inferior a 0. poderá ser reduzido de uma quantidade ΔMed. deverá considerar-se para o momento de cálculo e a reacção transmitidos ao apoio (por exemplo. o valor de cálculo dos momentos de apoio.sup é a reacção de apoio e t é a largura do apoio . no caso de continuidade de uma viga ou de uma laje sobre um apoio que se possa considerar como não impedindo a rotação (por exemplo. calculados com base nos vãos iguais entre eixos dos apoios.3. deverá considerar-se para momento de cálculo crítico no apoio o valor à face do apoio.2 que nos “casos em que a viga ou a laje é betonada monoliticamente com os apoios. sobre paredes). 118 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo .sup. pilar.Departamento de Engenharia Civil Figura 133 – Distribuição dos momentos myy e mxy usando os modelos de elementos finitos. Em geral. parede.2. O EC2 refere na Secção 5.” Independentemente do método de análise utilizado. etc. ΔMed = Fed. Ramos: Apontamentos de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado II. Ramos). P. Appleton.: Betão Armado. J. Figura 135 – Redução do momento sobre o apoio (A. D’Arga e Lima. Esforços Normais e de Flexão (REBAP -83). sup Figura 134 – Valor de ΔMed. Mun. Júlio: Execução de Estruturas. Instituto Superior Técnico. J.Departamento de Engenharia Civil Med F ed. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 119 . Setembro 2006. Vitor. Volume I – Aspectos Gerais. Armaduras (REBAP -83). Portanto. D’Arga e Lima. Monteiro. P. na interpretação da distribuição dos momentos junto dos apoios usando os modelos de elementos finitos deverá proceder-se a uma redução do momento de “pico” sobre o apoio (A. Universidade Nova de Lisboa.. P. 5. Mary: Betão Armado. Ramos). REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A. Marchão. Fevereiro 2006. desempenho.Informação disponibilizada no programa de cálculo e dimensionamento de lajes aligeiradas pré-esforçadas . Universidade Nova de Lisboa. NP ENV 13670-1 2007: Execução de estruturas em betão. Vitor. Instituto Português da Qualidade.Departamento de Engenharia Civil D’Arga e Lima. A. Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado. Instituto Português da Qualidade. Carla. Módulo 2 – Lajes de Betão Armado.A.. Mönnig. Parte 1: Especificação. CEN. Instituto Superior Técnico. Instituto Português da Qualidade. Júlio: Betão Armado e Pré-Esforçado II. empresa: Placfort-Empresa de Pre-Esforçados S. Instituto Superior Técnico. Esforços Transversos. 1983. Volume 2.. F. CEN. Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios. Casos especiais de dimensionamento de estruturas de concreto armado. Leonhardt. Folhas de Apoio às Aulas.: Construções de Concreto. Documento de Homologação do LNEC e Catálogo da Novobra.. REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado. Mun. Volume 3. 1978. de Torção e de Punçoamento (REBAP -83). Monteiro. Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado – IST. J. produção e conformidade. E. Leonhardt. Gomes.. Editora Interciência Ltda. 1978. Editora Interciência Ltda. Março de 1989. EC2. CEN. F. Parte 1: regras gerais. Válter Lúcio: Apontamentos de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado I.Placfortcalc. Almeida. Appleton. NP EN 206-1 2007: Betão. Mönnig. Lajes de Vigotas Pré-esforçadas. Júlio. João: Betão Armado e Pré-Esforçado II. E.: Construções de Concreto. Volume I – Dimensionamento e Pormenorização de Lajes. Mary: Betão Armado. Placfort . Appleton. 120 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo . NP EN 1992-1-1 2008 – Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão. que pode actuar na laje de modo a garantir apenas a segurança em relação ao estado limite último de resistência à flexão.10m Ø10//0. Determine a máxima carga p kN/m2 (uniformemente distribuída).15 m e foi executada com os materiais B25 (C20/25) e aço A400NR. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 6 Nas lajes armadas numa só direcção indique que medidas são necessárias adoptar junto dos apoios paralelos às armaduras principais (por exemplo.5 e que o recobrimento é 25 mm. Viga 1 q (kN/m) Exercício 7 Justifique porque é que se utiliza a técnica proposta por Marcus para a determinação dos momentos máximos positivos. Considere que os coeficientes de segurança para as cargas permanentes e variáveis são γg = γg = 1. a viga 1).10m 6m Ø10//0.Departamento de Engenharia Civil 6.15m 4m Considere que a laje representada na figura abaixo tem a espessura de 0. incluindo o peso próprio da laje. Na figura estão representadas apenas as armaduras principais. Justifique devidamente a sua resposta. Exercício 8 Armaduras superiores Armaduras inferiores Ø10//0.15m 121 . Sugestão: Na resolução deste problema utilize o Ricardo do Carmo Lajes de betão armado Ø10//0. No esquema defina as dimensões e o carregamento.50 m 3.00 m 7. Na análise considere apenas a verificação da segurança em relação aos Estados Limite Últimos.Departamento de Engenharia Civil método das bandas (aplicação prática do método estático da teoria da plasticidade em lajes). Exercício 9 O método das bandas é uma aplicação prática do método estático da teoria da plasticidade em lajes. Este método é particularmente útil para lajes com aberturas ou com condições de apoio variáveis ao longo do bordo. Exercício 11 Justifique porque é necessário colocar nalgumas lajes armadura de canto. Exercício 12 Dimensione as armaduras necessárias para o painel de laje assinalado (painel 1) de modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso. 122 Lajes de betão armado 2.00 m Considere que a carga aplicada é q (kN/m2) Exercício 10 Descreva os principais factores que influenciam o valor médio da largura das fendas. Indique como cada factor afecta o valor médio da largura das fendas.00 m 2.50 m Ricardo do Carmo . 3. Usando o método das bandas defina um esquema de cálculo de esforços adequado para a laje indicada abaixo. 00 Painel 1 Bordo livre 4.5 kN/m2. revestimento 1.0 kN/m2.0 kN/m2.40 m 6. sobrecarga 4. sobrecarga na consola 5. 6.00 m 4.0 kN/m2. paredes divisórias 1. sobrecarga na restante laje 2.Departamento de Engenharia Civil Defina num desenho o modo como as armaduras devem estar distribuídas no painel. Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25) Ambiente moderadamente agressivo Acções: peso próprio da laje.00m Bordo livre Exercício 13 Dimensione as armaduras necessárias para os painéis de laje assinalados (painel 1 e 2) de modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso.5 kN/m2.00 m Laje em consola Bordo livre 4.00 m 5. revestimento 1.75 kN/m2. Defina num desenho o modo como as armaduras devem estar distribuídas nos painéis. Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 123 .0 kN/m2. paredes divisórias 2.00 m 1. Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25) Ambiente moderadamente agressivo Acções: peso próprio da laje. 0 kN/m2 Bordo livre 6. 6.50m 4.0 kN/m2 Sobrecarga na consola: 4.80 m 5.50m (não há laje nesta área) Bordo livre Vazio Exercício 14 Dimensione as armaduras necessárias para os painéis de laje assinalados (painel 1 e 2) de modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso.Departamento de Engenharia Civil 1.00 m 0. paredes divisórias 2.40 m 5. revestimento 1.5 kN/m2. Defina num desenho o modo como as armaduras devem estar distribuídas nos painéis.00 m 6.00 m Painel 1 5.40 m Painel 1 Painel 2 Laje em consola Abertura 0.0 kN/m2 e sobrecarga na restante laje 4.80 m 6.00m 4.0 kN/m2.45m 1. Não considere a acção das paredes divisórias na laje em consola.00 m Bordo livre 6. sobrecarga na consola 5.0 kN/m2 paredes divisórias: 2.00 m 6.00 Ricardo do Carmo . Materiais: aço A400NR e betão da classe B30 Ambiente moderadamente agressivo Acções: peso próprio da laje.45 m Materiais: Betão da classe B30 e A400NR Acções: peso próprio da laje revestimento: 1.0 kN/m2.0 kN/m2 Sobrecarga: 4.00m Painel 2 Laje em consola 124 Lajes de betão armado 4. 00 m Bordo livre Painel 1 5. sobrecarga 4.80 m 6.45m 1.0 kN/m2.80 m 5.0 kN/m2.00 m 6. Materiais: aço A400NR e betão da classe B30 Ambiente moderadamente agressivo Acções: peso próprio da laje. Defina num desenho o modo como as armaduras devem estar distribuídas no painel. paredes divisórias 2.0 kN/m2. revestimento 1. 6.50m Laje em consola Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 125 .Departamento de Engenharia Civil Exercício 15 Dimensione as armaduras necessárias para o painel de laje assinalado (painel 1) de modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço transverso.45 m 4. Documents Similar To Lajes_de_betao_armado_ISEC_2010.pdfSkip carouselcarousel previouscarousel nextExercicios IST ResolvidosEJulio DDCosta Betao ArmadoExercicios_2008-2009 2Testes e resolução BA1Lajes e Escadas Em Betao Armado Vol IFolha Resolvida 2 (Draft nº3)114997654 Dimesionamento de Betao Estrutural Para MonografiaBETAO ARMADOAulas e exames de Betão I0.+BETÃO+.. (1)Estruturas de Betão IIParedes Em Betao ArmadoFolha Resolvida 1Betão Armado IIManual de Exercicios de Betao - Volume 1 (2013)betaoTabelas EC2 Dimens C12-C50Exercicios Complementares - Consolas CurtasBetão - TeoriaCálculo das madres de cobertura 4.1x3_Acções e combinação319842_AulasPraticas_060_452e17005ec31Lajes em Vigotas e abobadilhasTabelas de betão armadoBetao Armado I PraticaDIRECÇÃO DE OBRA_Organização e controlo_ AECOPSLajes FungiformesLajes VigadasManual de armaduras (Betão Armado).pdfManual de Betao ArmadoMore From Keiliny Monteiro KeilaSkip carouselcarousel previouscarousel nextPreparar Uma Boa Pele Para Receber a Maquiagem é ImprescindívelPerguntas de Cypecad001_CÓDIGO TÉCNICOExemplo de Calculo de Esforcos de Uma Estrutura Com Introducao Manual de Accoes Verticais e Horizontaisrelatorio08Perguntas de CypecadManual_engenharia Lsf001_CÓDIGO TÉCNICOCulinária Tradicionalde C. VerdeDeformações em Lages Aligeiradas.pdf03_Mediçõ..[1]Felipe Claus Rauberapostila_PTVMudanças de fase93Menu inferiorVoltar para o topoSobreSobre o ScribdImprensaNosso blogJunte-se à nossa equipe!Contate-nosEntre hojeConvidar amigosPresentesSuporteAjuda / FAQAcessibilidadeAjuda de compraAdChoicesEditorasLegalTermosPrivacidadeDireitos autoraisRedes sociaisCopyright © 2018 Scribd Inc. .Ver livros.Diretório do site.Idioma do site: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaVocê está lendo uma amostra gratuitaBaixarClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK