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Tr i g o n o m e t r í aActividades Quinto grado de Secundaria Editorial TrigonomeTría Libro de acTividades QuinTo grado de secundaria coLección inTeLecTum evoLución © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Carol Clapés Hurtado / Roger Urbano Lima Miguel Lancho Santiago Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición 2013 Tiraje: 12 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2013-12013 ISBN: 978-612-313-084-8 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941 Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941 La coLección inTeLecTum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la coLección inTeLecTum evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra. Contenido Temas Sistemas de medición angular Aplicamos lo aprendido Practiquemos Sector circular PRIMERA UNIDAD Aplicamos lo aprendido Practiquemos Páginas 6 8 10 12 Razones trigonométricas de ángulos agudos Aplicamos lo aprendido Practiquemos 15 17 Resolución de triángulos rectángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos 20 22 Maratón matemática 25 Ángulos verticales y horizontales Aplicamos lo aprendido Practiquemos 27 29 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud SEGUNDA UNIDAD Aplicamos lo aprendido Practiquemos 32 34 Reducción al primer cuadrante Aplicamos lo aprendido Practiquemos Circunferencia trigonométrica 37 39 Aplicamos lo aprendido Practiquemos 41 43 Maratón matemática 46 Identidades trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos 48 50 Ángulos compuestos Aplicamos lo aprendido Practiquemos TERCERA UNIDAD 52 54 Ángulos múltiples Aplicamos lo aprendido Practiquemos 56 58 Transformaciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos 60 62 Funciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos 64 66 Maratón matemática 69 Funciones trigonométricas inversas Aplicamos lo aprendido Practiquemos 71 73 Ecuaciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos CUARTA UNIDAD 76 78 Resolución de triángulos oblicuángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos 80 82 Secciones cónicas Aplicamos lo aprendido Practiquemos 85 87 Límites y derivadas de funciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos 92 94 Maratón matemática 96 Unidad 1 . 6.! ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión? L. Medida del círculo. 8. 10. volviendo enseguida a su patria. T. Halla: x + y + z A) S D) C B) O E) D C) N .. Esfera y cilindro. J.Recuerda Arquímedis de Siracusa (287 a. Mecánica. Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Es tal vez su trabajo sobre Medida del círculo el más interesante. Los lemas. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo de pi(p) asignándole un valor entre 3 10 y 3 10 . • El hombre superior se cultiva a sí mismo para ganar respeto propio... ¡Razona. U. El arenario. D. El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que “El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro”. C. Asimismo Arquímedes demostró que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro. 70 71 El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo. 9. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. continúa perfeccionándose para conferir paz y prosperidad a todo el mundo. Si no está contento con esto. C. Reflexiona • El verdadero heroísmo consiste en ser superior a los males de la vida.) Nació y falleció en Siracusa (Sicilia). Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad. Escribió varias obras. se perfecciona para hacer felices a otros y si aún no está contento con eso.-212 a. . 7. 3. Cuadratura de la parábola. las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas: 1. 2. Espirales. El método. Su geometría es una geometría de la medida. Sicilia y estudió en Alejandría. Arquímedes era un nativo en Siracusa. Cuerpos flotantes. • Tener un ideal es tener una razón para vivir. M. Demostró que “El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con un punto de la circunferencia basal”.. Física e Ingeniería. Como posterior homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. 5. M. • El hombre superior busca en sí mismo todo lo que quiere. Es también un medio para vivir una vida más amplia y más elevada. Desarrolló métodos anticipados de cálculo integral 2000 años antes de Newton y Leibniz. Las mayores contribuciones de Arquímedes fueron en Geometría. Dedicó su genio a la Geometría. Gnoides y esferoides. el hombre inferior lo busca en los demás. 4. S y R son los sistemas de medidas para un mismo ángulo. calcula x. A) 15 D) 16 B) 10 E) 18 C) 9 . calcula q. 3 Halla el valor de x.Aplicamos lo aprendido TEMA 1: 1 Sistemas de medición angular Del gráfico. si se sabe que: 30x + π rad = 3`90° . halla la medida del ángulo en radianes. C) 15 rad B) 2 E) 5 C) 3 Convierte a radianes: 810 000'' π A) 4 rad 5 B) 3 rad 2 D) 5 rad 4 E) 3 rad 7 C) 2 rad 3 g Dos ángulos complementarios miden (3x)° y c 20x m . 2 18θ° 3x 2x − 10° 30° − 4x A) 20° D) 40° 3 B) 30° E) 50° 30θg C) 60° Calcula x.° B) 16 rad E) 8 rad A) 1 D) 4 4 6 Si C. 6 Del gráfico.π radj 2 6 A) 5° D) 6° 5 B) 4° E) 3° C) 7° Se sabe que: R + 3 = C2 + S2 C+S C -S A) 2 rad D) 3 rad Intelectum 5. D La suma de las medidas de dos ángulos es 7p/20 rad y su diferencia es 30g. B 11 C) 15g 3. 8 1. A 7. A B) π 36 30π E) 37 C) π 35 Claves B) 7π rad 13 E) 3π rad 7 14 C) 11π rad 10 Al medir un ángulo se tiene la siguiente relación: a = (179x + 185)° = (1 + x)p rad Calcula el ángulo en el sistema francés. calcula el error cometido en radianes. A) 3π rad 10 El producto de los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas inglés. 12. Calcula la medida del menor ángulo en el sistema centesimal. D A) 20g D) 15g Convierte 50m a segundos sexagesimales. A) 800g D) 1000g C) 3° Calcula el error en radianes al escribir 315° en lugar de 315g. francés y radial es π . B 13. E 9 B) 30g E) 8g 4. B) π rad 180 D) π rad 6 E) π rad 7 C) 2π rad 3 B) 1500g E) 1600g C) 1200g Si n es el número de radianes del ángulo 175°. D 13 A) 1730’’ D) 1620’’ 6.2x . C 8. C 11.10 C = x2 .ACTIVIDADES UNIDAD 1 7 . B) 2° E) 5° 10 B) 1800’’ E) 1542’’ 5. halla la medida del ángulo en radianes. C A) 7π rad 9 D) 7π rad 40 B) π rad 9 7π E) rad 3 D) 8p rad 12 C) 3600’’ Se cumple: S = x2 . calcula el número de radianes de M° si: M = 1 (36n . B A) 3π rad 100 A) 1° D) 4° 14.Si se escribe 54g en lugar de 54°.4 Si S y C son los sistemas de medidas para un mismo ángulo (x ! R+). D 9. 2. B 7 TRIGONOMETRÍA .3x . Halla la 6 medida del ángulo en grados sexagesimales.30p) π A) 35π 36 35π D) 33 C) 5π rad 12 10. D) VVV E) FVF 90 Intelectum 5. C + S = 3800 R B) π rad C) π rad A) π rad A) 1/7 B) 5/7 C) 5/7 π 18 20 12 D) 3/7 E) 9/7 π π D) rad E) rad n términos 15 10 Halla el error cometido. Un ángulo mide 130g y su suplemento Calcula 2n° en radianes. en radianes. si se cumple: De la figura.° de minutos sexagesimales y n. A) 27° 40' D) 25° 25' B) 28° 27' E) 24° 20' 7. analiza y calcula el valor de y. Se tienen los m b = 4217.1 mc + 1 m = 15 9 10 Si S y C son los sistemas de medidas para un mismo ángulo. 36 A) p rad A) 1140° D) π rad 6 C B -60° 9.4 y C + S + C + S + . si S.° de minutos treintaiseisava parte de 2g. C) 240g A) 42° B) c 140 m 9 Si S y C son los sistemas de medidas para A) VFF B) VFV C) FVV D) 29π rad E) 190° un mismo ángulo. mide (8n – 1)° B) π rad C) π rad A) π rad B) 2π C) π A) π Expresa ng en radianes.b° D) 180° + b° . Resolución de problemas de dicho ángulo en radianes.5 en grados.75' y para un mismo ángulo. Calcula la medida de un ángulo que g III. el mayor de dichos ángulos.Practiquemos Nivel 1 A) π rad 5 D) π rad Comunicación matemática 1. C y R son 48 50 200R medición angular. Si S.09 . si además: minutos y segundos tenemos: π SCR = 162 17. 18 16 9 10 5 50 π π rad E) rad D) D) π E) 2π A) π rad B) π rad 2 20 3 3 24 16 16. Si 160A equivale a la los sistemas de medidas para un mismo π tercera parte de una vuelta y 27B equivale E) rad 25 ángulo. Sea un ángulo a. calcula: 2a y demuestra que: 40° .b° C) 180° + a° . minutos y segundos sexagesimales. escribe 36g en lugar de escribir 36°. 20 Indica la relación correcta: 8. C) π rad S C c . y O E) 1000° A Razonamiento y demostración B) π rad 3 E) π rad 10 C) π rad 5 Expresa 30. b y z están en razón de 2 a 3. a en radianes. a y b son equivalentes. centesimales de a es igual a 1540. C y R son los sistemas de medidas 3x + 4 y para un mismo ángulo. a un ángulo recto. D) 1080° 5. Sean A y B dos nuevos sistemas de C) π rad D) π rad Reduce: πC + πS + 20R . Se tienen tres ángulos tal que la suma a = a° b' c" y b = xg ym zs del primero con el segundo es 20°.a° E) 180g + ag + b° g C) 27° 27' Resolución de problemas Razonamiento y demostración 14. B) π rad E) 90B D) 10B Si S. C) 1120° 4. II.. del π π π Indica verdadero (V) o falso (F) según B) C) A) 90 30 180 segundo con el tercero es 40g y del corresponda. cuya suma del n. al expresarlos en grados. si se 11. C y R son los sistemas de medidas ángulos a = 786. π π primero con el tercero es 5p/9 rad. ¿A cuántos grados B equivale 120A? A) 1 B) 2 C) 4 NIVEL 2 D) 6 E) 3 B) 160B C) 27B A) 120B Comunicación matemática 6. Calcula: M = 5x . g 2.S2 = 76. Calcula la medida 12. 8 α° x° β° A) a° + b° B) a° . 13. aag aam aas A) 45 B) 30 C) 90 D) 60 E) 8 Si x es la treintava parte de 4° e y es la 10. En la figura expresa el suplemento de x en términos de a y b Calcula la medida de un ángulo en radianes. Sabiendo que: 40° = aag aam aas. Halla D) E) 8 15 I.° . calcula 15.. cumple: C2 . 10 E) π rad 9 A) 3° = 3 = 3 rad B) 1° < 1g < 1 rad C) 2 rad > 2° > 2g D) 1 rad < 50° E) 1 rad > 80° B) 1110° 3. c es menor que z. C B) 2π rad 25 E) π rad 16 B) 2 17 E) 3 15 180 + 3 S 18. Del gráfico. B 31. C B) 45g E) 60g C) -25/3 Nivel 1 A) 30g D) 55g B) 25/3 E) 1 Razonamiento y demostración C C l a ve s x A A) 5/6 D) -5/6 E) 7V = 360' 9 . E 400 minutos centesimales y sexagesimales 2 rad + 4 rad + 6 rad + . E 21. Si x e y representan los números de 11g + 22g + 33g + . B C) π rad 50 C) 6 200 + 3 C 25. E = 75a π 2π 2b 210 D) E) rad rad A) V = R 2 5 π B) C = 20 V am -b' 20. C c 15.. además se cumple que x . Calcula: 20x° + c 3x m π rad + 80xg 5 M= 2xπ rad + ^50gh x + 15x° 9 C) C . C y R son el número de grados sexagesimales. + 140 rad π respectivamente de un ángulo.18. Calcula (a + b). halla: 25.ACTIVIDADES UNIDAD 1 7.. C 11. Si: 3π rad = 4a°3b'1c'' . Si S y C representan la medida de un mismo ángulo en el sistema sexagesimal E = 3 6^ 3 . C C) 70g 8. A A) π rad 25 D) π rad 30 A) 23 D) 3 14 3 10.π 20 2 D) S = 2CR 81 π E) SC = 4002R 90 π A) 1 B) 3 C) 2 19. E C) 20 Además: 1. B Si: a > b Nivel 2 12. B Nivel 3 23. + 770g M =.. C B) 18 E) 32 C .S 200 .10 9 10 B) S + C = 20R 19 π B) 1v = 2W D) 1W = 1v 29. En un cierto ángulo se cumple que el número de segundos sexagesimales menos tres veces el número de minutos centesimales es igual a 29 400. Si el número de grados en el Resolución de problemas internacional. y que 20 grados V (20v) es 10g. calcula: B) π rad C) π rad A) π rad 3 5 4 Encuentra la expresión incorrecta. En el triángulo mostrado. 13 Calcula: J = (a + b)c 9. ¿Cuál es la A) 10 B) 11 C) 15 medida del ángulo en radianes? D) 22 E) 7 A) 10 D) 80 π =3 R 2. E Comunicación matemática C) 50 26. Los ángulos de un triángulo isósceles D) 4 E) 8 miden 5xg y (4x + 5)°. A A) 103 D) 142 5. A 20. B NIVEL 3 B) 30 E) 60 19. Se tiene un nuevo sistema de medida del tercer ángulo desigual en el sistema angular V. C 30. E B) 202 E) 200 6. D E= 16. Se idea dos nuevos sistemas de medidas angulares W y V. calcula: 28. B C) 101 14. C 29.2 h SCR y centesimal respectivamente. D 26. nuevo sistema y el número de grados sexagesimales están en razón de 7 a 6. A 27.25W W E) 1 v = 2 1 A) S . Sabiendo que S.R = C . D 22. Indica la expresión incorrecta. D A) 16 D) 24 C+ S + C. C 23.9 = C . sabiendo que: 3. TRIGONOMETRÍA .y = 368. centesimales y radianes de un mismo ángulo. Calcula la medida del ángulo..S -2 C+ S 24. centesimal y radial respectivamente. B ag am g bg bm m = ag bm m c m m am b 4. E 28. Halla la relación entre los sistemas. A) π 20 D) π 30 B) π 5 E) π 15 C) π 10 A) 1W = 2v C) 1v = 2. Sabiendo que la unidad de medida de W (1W) es la quinta parte de la unidad de medida en el sistema sexagesimal. E 13. Sean S. 27. en radianes. Reduce la siguiente expresión: 22. C) m+1 vuelta = 420V B D) 36V = 42° 54° 31. halla el valor 21 de x. C y R los números que representan la medida del ángulo en el sistema sexagesimal. 30. C 21. Halla la medida 24.S 17. ¿qué ángulo gira la rueda menor? C r r 20r A) 35 p 2 18 D) p 7 3 3r Halla el área del sector sombreado.Aplicamos lo aprendido tema 2: 1 Sector circular Halla el área de la región sombreada.° B) 32 E) 27 C) 28 A) 12 m2 D) 17 m2 B) 16 m2 E) 15 m2 C) 14 m2 . 2 B Halla el número de vueltas que dará cada rueda de la bicicleta cuando el ciclista haya dado 20 vueltas en la circunferencia. A O 4π 3π π/5 D C B) 25 p 2 7 E) p 3 A) 400 y 400 3 C) 500 y 100 3 250 y 150 E) 3 C) 16p Si se cumple que: 2S2 = 3S1 Calcula: OA OD 4 O θ S2 4m B A) B 2m D 5 2 B) 2 5 C) 3 2 A) 45° D) 36° E) 2 3 3 D) 2 5 5 A A S1 B) 300 y 200 5 D) 400 y 400 7 La figura muestra dos engranajes. 8 O O 14 1 rad 6m A 8m 6 A) 45 D) 72 10 Intelectum 5. 6 B) 40° E) 37° C) 38° Halla el área de la región sombreada. Si la rueda mayor gira 18°. Calcula x. B O B) 18 E)15 Una rueda se desplaza sobre un plano horizontal de A hacia B. determina el valor de a. B) 12 E) 14. B 13. 3 9 (1) (2) B C) 4 + π m 3 A) 6 D) 7 10. A A 4 Halla el perímetro de la región sombreada. A 12. B 7. A 9. barriendo 49p/11 rad.ACTIVIDADES UNIDAD 1 11 . ¿cuántas vueltas dará la rueda 1 hasta volver a su posición inicial por primera vez? La rueda 2 se mantiene estática y no gira. A 7 TRIGONOMETRÍA . 8 2.2 C) 17. A S1 B A) 13 D) 21 C) 21/8 Del gráfico. S sabiendo además que: 1 = 1 S2 2 Q A 4. E 13 R A M A) p/6 D) p/8 11 C) 6 3. A A) 4 + π m 7 π D) + 3 m 2 5. D 9 C 2 B 3 1. A) 16 D) 12. el área del círculo es igual a (3 . ¿cuántas vueltas tiene que dar la polea de radio 1 m para que el bloque se eleve ( 75 + 50 ) m. C 11. AOB es un cuadrante. 1 O 4 4 4 45° A) 15/3 D) 17/4 1 rad O D B) 17/5 E) 19/8 10 R D B x S2 α C B B) p/7 E) p/15 C) 3p/4 A) 7 D) 9 Del gráfico.Halla el número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta B.5 En el gráfico. C 14. E B) 4 E) 1 C) 2 Claves B) 2 + π m 3 4 πm + E) 2 8. (Considera: π = 3 + 2 ) A) 2.5 Del gráfico. B O B) 6 E) 10 6.5 D) 1 B) 3 E) 5 12 c) 4 14 A C) 8 Una bicicleta recorre 12p m sobre una superficie rectilínea. calcula el perímetro del sector circular AOB. siendo AOB y COD sectores circulares. si R = 0.5.2 2 )p m2. (p = 22/7).8 m de radio. Calcula la suma del número de vueltas de sus dos ruedas con 0.6 m y 0. entonces: S1 = S2 2. La razón de los radios de dos ruedas unidas por una banda es igual a la razón entre sus números de vueltas. Si S3 = S4. D D r P E A) 4 3 m2 C) ( 3 + 4p) m2 E) (4 3 . Desde el instante mostrado a) 5π cm recorre C si su número de vueltas es igual hasta que C toca el suelo por 2 a la suma del número de vueltas de A y B? primera vez A II. A y B dan un mismo número de vueltas. Si S2 = 4S4. relaciona la longitud que recorre el punto P de acuerdo Dadas 3 ruedas A. donde un grado a 12. A3 F B) 2 E) 5 I. II. si A y B recorren una distancia igual a 24 m. Se tienen 2 ruedas unidas por una faja como se muestra en la figura. Calcula (n + 3).° B 2m B) (2 3 . III. 4 m a las condiciones dadas. ¿Qué distancia I. C) FFV 8.4) vueltas y el de menor radio da n vueltas. Si la rueda de mayor radio da (n . Indica cuáles de las proposiciones son verdaderas: I. Calcula el área de dicho sector circular. A) Solo I D) I y III Sea un sector circular de radio 5 m y ángulo central 20a. Si S1 = S2. II. S2 S2 A) 1 4 B) 4 C) 1 3 D) 1 5 E) 5 12 Intelectum 5.Practiquemos Nivel 1 5. En 2 poleas unidas por un eje se cumple que la razón de su número de vueltas es igual a 1. Si inicia con el lado CB en b) 3π cm 4 el suelo hasta que A toca el B suelo por primera vez 17 π III. El número de vueltas de C es igual al número de vueltas de E. 2 3 30° 6 4. Razonamiento y demostración 3. entonces: 4S1 = S2 E D 3θ 2θ θ A) 1 D) 4 S3 Indica verdadero o falso: A) VFF D) VVF A) 48 m D) 80 m C Comunicación matemática 1.A 2 A) 10π m2 3 D) 12π m2 5 9. Si B da 2 vueltas. Si una rueda de radio r cm gira sin resbalar un ángulo igual a q rad cuando se traslada de un punto a otro. B y C de radios 3 m. B) FVF E) FVV F R 2m C Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: A) VVF D) VFV x 2m 4r 2r r A) 3 cm B) 7 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 2 cm Calcula el área de la región sombreada: F A r A 6m 3m E A 24 cm A B C) 45 m 10. B) II y III E) Solo II C) Solo III C 4 cm Calcula el área de la región sombreada. D da 1 vuelta. II.6) m2 D) (4 3 + 2p) m2 A) 10 D) 11 B) 8 E) 7 C) 9 Nivel 2 Comunicación matemática 11. C) 3 C A C) VFV B) 70 m E) 90 m A partir del gráfico. B) FFV E) VVV O α A Del sistema de engranajes: 7. la longitud que recorre es igual a qr cm. A) p B) 2p C) 3p D) 4p E) 5p Q Resolución de problemas III.A1 A3 . calcula x. B) 15π m2 4 E) 15π m2 2 C) 18π m2 7 A P 3 cm D El cuadrado gira sin resbalar. Desde el instante mostrado c) 2 cm hasta que la diagonal DB sea C perpendicular a la superficie d) 3π cm 2 por primera vez . y 5 m respectivamente. entonces: R = 3r III. Calcula S1 S1 en el gráfico. Del gráfico calcula: J = A A1 Del gráfico: r α θ O R O S2 S1 S4 A2 6. A2 .2p) m2 I. De la figura: (1a) es el triple de un grado en el sistema B francés. IIIb D) Ia. Si r2 = 8 cm2. Calcula el área de las regiones sombreadas 23. Fuera de una cerca cuadrada de 5 m de A) Solo I B) II y III C) I y II lado. Calcula el número de vueltas que da la polea 3 en el instante que el bloque llega Nivel 3 al piso. Si alrededor está cubierto de Razonamiento y demostración hierba. ¿Cuál será la distancia entre los puntos A y B cuando el engranaje de menor radio gira 1. calcula la longitud del péndulo si además el triángulo PQR es equilátero. IIa. Considera una trayectoria rectilínea para el triciclo.25 vueltas? A R A) 17 cm D) 34 cm C) 1. 5 III. IIb. Del gráfico. si la longitud que recorre su extremo desde el punto A hasta el punto B es 13p cm. La suma de S1 y S2 es igual a 3p m2. I. IIIa E) Id. Qué distancia recorre un triciclo si el número de vueltas que dan dos de las ruedas de radio 6 m suman una cantidad que excede en 8 al número de vueltas que da la tercera rueda de radio 9 m. IIc. ¿cuál es el ángulo que habrá girado un punto cualquiera de la rueda mayor. m + AOB = π rad 6 Calcula el ángulo que gira la rueda A si el número de vueltas de B y C suman 18.5 D) 3. 5 cm A 21. E) El ángulo que gira la rueda de A hasta B y el radio r.5 13. IIId A) 2. IIIb C) Ic. IIIb B) Ia. En el gráfico: A B) 20 cm E) 44 cm A) 2 13 u D) 4 2 u C) 22 cm 2 cm B B) 5 u E) 8 u C) 6 u 18. en uno de sus lados se ata una cabra D) I y III E) Faltan datos A) 18p rad B) 12p rad C) 24p rad con una cuerda de 3 m a 2 m de una de D) 6p rad E) p rad las esquinas. A) 72p m D) 18p m B) 36p m E) 81p m C) 63p m 16. la rueda gira sin resbalar.A) Id. cuando la rueda menor haya dado 3/8 de vuelta? 14. 19. B D) 25π m2 E) 12p m2 A C 4 A D G 22°46° 26° 32° O 2 A) 12p u D) 36p u2 B) 10p u E) 5p u2 5 2 F E C) 18p u 2 20. D) La longitud que recorre el centro de la rueda. calcula el área de la región A) 19π m2 B) 51π m2 C) 9p m2 π 4 4 sombreada. En la figura se observa un péndulo en movimiento. Q 30° 1 5 2 1 B ¿Qué datos son necesarios para calcular el número de vueltas que da la rueda desde A hasta B? A) Los radios R y r. B) El ángulo que gira la rueda de A hasta B. ¿En qué área puede pastar la cabra? 15. C) El radio R y q. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 8 a 15. (Considera π = 22 ) 7 A) 6 B) 5 C) 11 B) 9 D) 7 TRIGONOMETRÍA .75 Resolución de problemas Razonamiento y demostración P 10 cm B) 3 E) 7 C A) 120° D) 72° B) 36° E) 144° C) 105° S1 L2 R α O S2 θ Indica qué datos son necesarios para calcular el radio de la semicircunferencia. IId. (Considera π = 22 ) 7 Comunicación matemática 1 3 2 cm 2 O r A R 22 cm θ O' B 2 A) 5 cm D) 3 cm2 2 B) 9 cm E) 8 cm2 C) 4 cm2 24. La diferencia entre L1 y L2 es igual a 2π m. De la figura: r α 74° 224 cm Calcula el número de vueltas que da la rueda desde A hasta que choca con la superficie inclinada. 22.ACTIVIDADES UNIDAD 1 13 . IIb. En el gráfico: 4 cm B L1 A B A 17. II. E . T A P R 60° Q O A) (4π + 3 3 ) R 6 B) (9π + 4 + 2 3 ) R 6 C) (4π + 9 + 3 3 ) R 6 D) (3π + 4 + 2 3 ) R 6 E) (4π + 8 + 2 3 ) R 6 O A) π u2 8 26. B 14. 29. A 25. D 29. Si la rueda gira como se indica 2/3 de vuelta. A 11. E 21. Calcula el perímetro de la región sombreada.° C) 27 20 8. A 26. si ! L! GF = 5 L AE . A 23. C 18.25.r 3 2 r D) + r 3 2 r B) 2r 3 3 C) r + r 3 E) r 2 + r 31. Sean dos ruedas conectadas por una faja. D 1. B 15. C 30. Halla el área mínima de las regiones sombreadas si OA = OB = 2 u . C 20. P C E A) π 3 D) π 8 θ A B) π 4 E) π 12 D G C) π 6 27. B Nivel 3 27. Del gráfico mostrado AOB es un cuarto de circunferencia. si la cabra es atada en una de las esquinas de la cerca. De la figura. D 5. A) 3 D) 2 3 B) 3 2 E) 3 4 14 Intelectum 5. E 19. E 2. longitud de arco l y radio r se cumple: C) π u2 2 30. son sectores circulares. A) 3π rad 2 B) 60° D) 72° E) π rad 2 C) 50g C l a ve s 28. Cuando la faja gira se observa que la suma de ángulos que giran las ruedas es 486°. (T punto de tangencia). ¿A qué altura se encuentra el punto P en ese instante? F B B B) π u2 4 E) 3 p u2 2 D) p u2 Resolución de problemas O R A) r . ¿En qué área podrá pastar la cabra si la cuerda usada para atarla tiene 5 m de largo? A) 75 p m2 2 78 D) p m2 2 B) 37p m2 C) 38p m2 E) 77 p m2 4 5l2 + 11S = 3pr2 π Calcula el ángulo del sector circular. Calcula q. B Nivel 2 17. C 7. Las regiones PAQ y PBR son sectores circulares. E 31. C 12. E 6. E 13. Se ata una cabra en la parte exterior de una cerca cuadrada cuyo perímetro es igual a 16 m. B Nivel 1 3. ABCD es un cuadrado. C 22. C 9. D 16. B 28. B 4. En un sector circular de área S. el punto P ubicado en la rueda se encuentra a una altura igual al radio de la rueda. En la figura mostrada. E 10. D 24. Calcula la diferencia entre el número de vueltas de ambas ruedas si sus radios son 2 u y 7 u. FOG y AOE. Calcula: cosa A α β L α α C A) 1 D) 4 B) 0 E) 2 C) -2 B A) 2 3 B) 4 7 D) 7 8 E) 7 7 C) TRIGONOMETRÍA . n m α amn A) 1/a D) a 5 B) m E) m2 C) a/2 Según el gráfico. calcula la cosecante del menor ángulo agudo. calcula: L = tana + cota 37° A) 3 D) 1. Según el gráfico.5 E) 2 C) 4 Si los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. AL = 3LB.tanb A) 2/5 D) 1/3 6 B) 3/5 E) 5/2 C) 5/3 En el gráfico. calcula tanq. calcula: cota .4 4 B) 2.Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS En el gráfico: tana = 6. θ θ α A) 1/6 D) 1/4 3 2 B) 1/12 E) 1/10 C) 1/5 Del gráfico.ACTIVIDADES UNIDAD 1 6 7 15 . calcula cotq. 7 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). calcula: tanqtana A α N M θ C A) 2 D) 1 4 C) 4 Del gráfico. D 12. se traza la ceviana CN (N en AB). A A) a + b ab 2 2 a D) .c b B) 9 4 61 6 D) 10 51 6 C) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). calcula secq. D 7. C 13. A 2 2 B) a + b ab 2 2 a E) . B A A 2. C 14. reduce: K = senA + senC sec C sec A 8 Calcula: cotacotb C β 20 A) 1 D) ac2 b 9 B) 2 E) a .b 2ab 6. A) 6 5 11 C) 1 2 143° α A 14 C) 1 2 B) 4 E) 1 8 Calcula: tana C D b C B ab a2 + b2 A) 1 D) 4 8. calcula: K = cscb + cotb B A) 2 D) 1 4 B A) 1 D) 4 13 2 E) 5 A) 1 D) 14 Si: cotq = cos16°sec37°. D a α D 4. tal que: cosb = 0. E α . calcula: P = cosbcota + tanasecb B)7 E) 10 Si b es un ángulo agudo. B 9. A C) 10. tal que AN = 3NB. C β 37° 1. Si: m+NCB = q y m+CAB = f. calcula: P = cotqcotf 13 B) 3 E) 1 2 12 C) 8 B) 2 E) 5 C) 3 Del gráfico. B Claves 16 Intelectum 5.b ab 3 C) 3 3. D 11.° 1 B B) 2 E) 6 5.6. q es la mitad de a. 2 5 2 2 10 III.θ) 3. C) 13 6 Resolución de problemas 6 I. En el triángulo rectángulo ABC: b A) 3 B) 5 C) 6 B En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) D) 7 E) 11 reduce: J = (sec2C – cot2A)(sen2C + sen2A) A) 1 D) a2 . calcula: 13. calcula: Q = tana + tanq ABCD es un cuadrado.ACTIVIDADES UNIDAD 1 17 . Ordena según corresponda: 20 I.5 C) 4 TRIGONOMETRÍA .b) = 1. se traza la ceviana CN (N en AB). B) 25 E) 31 C) 27 En un triángulo ABC (B = 90°). f es agudo. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). 2 III. m+ACB = q. AB = 5 DC 2 ( ) II. a es agudo. calcula: 3 J = secacsca A) 13 3 D) 13 6 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: α 2 3 θ A) VVF D) VFV 2. Si a y b ángulos agudos. q es agudo. 2 2 II. cumpliéndose que: m+BAM = a. calcula: 4 J = 13csc2f + 3tan2f 9.q) sec α =1 D) csc (90c .q) = 1 B) seca = 1 senθ C) sena = cos(90° . BD = 2 AC 5 ( ) A) FFV D) VVV B) FVF E) FFF E B C F α θ D A C) VFV A) 1 D) 1. calcula: cotq 3 A) 2 B) 2 2 D) 7 2 E) C) 9 2 17 5 Si cosb = 2 . cosb = tana. 8. se traza la mediana AM (M en BC). calcula: senb 5 21 B) 3 C) 3 A) 5 5 5 D) 2 E) 17 5 5 A 53°/2 D C 15. Calcula: Q = tanatanq A) 1 D) 1 4 B) 2 E) 1 2 a) 8° y 82° b) 53c y 127c 2 2 c) 37c y 143c 2 2 Si cosf = A) 23 D) 29 ( ) A) tanatan(90° . E) 1 D) 1 D) 20° E) 40° 2 4 reduce: senA senC K= + sec C sec A Nivel 2 14. 6. b es agudo. indica la alternativa correcta: 3 .5 B) 2 E) 2. E) Todas Si: m+NCB = q y m+CAB = f.a . a es igual a π rad. tal que Razonamiento y demostración AN = 3NB.c b 11. calcula: 1 A) 1 B) 2 C) Comunicación matemática 2 Q = 2 cota + 7 tanb D) ac2 E) a . Si: tan(a + b + y)tan(2y . 6 B) 13 2 E) 15 3 12.c2 5. ( ) C) VFF Para a y q agudos. B) 2 E) c2 . Indica el valor de verdad: I.Practiquemos Nivel 1 7. ( ) ( ) ( ) 2 2 C) 4 A) cab D) cba B) bca E) acb C) abc 10. Si tana = 2 . II. Del gráfico. diferentes y complementarios. senq es igual a 3 . P = cotqcotf entonces el valor de y será: Razonamiento y demostración A) 2 B) 3 C) 4 A) 10° B) 30° C) 60° En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°).a2 C) 3 Si senq = 1 . B) FFV E) FVV ( ) 4. tal que: sena = 1/3. Comunicación matemática 1. DC = 2 5 AD ( ) III. En un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). Calcula tanq si: 2BC = AD B 10 3 E) 3 10 10 A) 10 M A 45° D B) 1 3 E) 2 3 5 P C) 2 5 3 2β B A) 5 17 D) 6 17 18. A) Solo I D) Solo II B) I y III E) Ninguna C) II y III . Calcula la cosecante del mayor ángulo agudo del triángulo. calcula: tana B A A) 1 2 D) α N B) 2 2 2 C C) 2 E) 2 2 D) B) 10 10 E C B) 2 E) 5 B) 0. Marca la alternativa correcta: θ A) 1 12 D) 4 5 B) 23 12 E) 12 23 C) 5 14 19. calcula: senbcosb θ A) 1 2 D) 1 5 C) 3 22.1 D) 0. II. En un triángulo rectángulo ACB recto en C. La cotq es igual a la unidad. halla: tanq + cota α B) 15 34 E) 6 13 C) 12 17 Nivel 3 18 Comunicación matemática 5 24.20.4 A C) 3 10 21. ¿Qué afirmaciones son correctas? I.5 C) 0.2 E) 0. La medida del ángulo a es igual a 45°.1. La relación entre la medida de a y su complemento es de 1 a 2 respectivamente. un cateto mide el triple que el otro cateto. se cumple: 3 + 4tan c B m = 3cscA. se cumple: tanA = 4tanC. Del gráfico. Del gráfico. Se cumple que: 2cos2a + 2tan2q = 2cosa + 2tanq .° C) 3 7 2 2 C) sen 143° = 3 10 2 10 E) cot30° = Resolución de problemas A) 4 3 D) 8 5 A) sec45° = B) sec 127° = 5 2 10 D) sen82° = 10 3 3 3 25. III. 16. Calcula el valor de: 2 M = senBsecAcosBcscAtanB B) 5 3 E) 8 5 18 Intelectum 5. Calcula: senAsenC A) 0. Si b es un ángulo agudo. Del gráfico.6 Calcula: K = cscb + cotb A) 1 D) 4 17.3 23. para a y q ángulos agudos. tal que: cosb = 0. cot φ sec 45c + sec φ sec 30c tan 30c A) 12 3 D) 3 12 B O B) 1 3 E) 4 9 C) 1 9 28. C 17. En un triángulo rectángulo la suma de sus lados mayores es 27 y la diferencia de sus lados menores es 3. A D) 4 11 C) 3 11 24. Si m AC = mCB . En un triángulo acutángulo ABC. calcula: tanatanb C M 30. C 28. B 21. B 18.4) cot 2 A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 N α 2 (f agudo) TRIGONOMETRÍA . 25. C D) 2 +1 2. Calcula la tangente del menor ángulo agudo. A) 3 4 D) 3 5 B C) 3 30. En el cuadrado ABCD. A 5. C N 32. Si: 0° < a < 45° y cot2a = 15 8 α Calcula: E = ( 17 . E 13. En un triángulo rectángulo ACB (recto en C). C A) 2 3 D) 2 9 13 13 Resolución de problemas β H E) C) 13 3 24 Nivel 3 A B) 13 13 24 31. B A 32. D θ C l a ve s C Nivel 1 23. D A) 15. Si el perímetro de ABC es igual a 204 cm.4 el coseno de C es igual a 0.ACTIVIDADES UNIDAD 1 19 .1 2 26. B B C) 2 2 . halla: R B V S cot + 1 W 2 Wtan B K= S SS cot A + 1 WW 2 T X A) 2 B) 1 C) 1 2 D) 2 E) 2 2 27. B B) 1. D 12. A 11. A 3. Si: tanf = Calcula: M= cos φ cot 60c + csc2 φsen2 45c csc2 φ . A 27. C A) 1 11 ! A) 60 cm D) 51 cm P A B) 5 3 E) 4 3 33. E 4. la tangente de A es igual a 2.28. B 22. C B) 2 11 29. B 19. C 2 16. E E) 5 11 31. Del gráfico. calcula: tanb M Q β C) 5 4 B) 78 cm E) 75 cm C) 21 cm D 20. calcula cotq. A 7. B 14. A ! 29. D E) 2 2 + 1 7 Nivel 2 2 -1 7 10. calcula la longitud del mayor de los lados del triángulo. B M 9. D 33.Razonamiento y demostración 26. E O N 8. B 6. calcula CD en función de q y m.° B) m(secq + tanq) D) m(cosq . si RL = RC y MC = a.b m tan θ 4 E) Bb sen θ 2 D) Bb sen θ 2 En el gráfico mostrado.1) E) atan2a M α C B) acsc2a D) a(sec2a + 1) . 4 C R A) 5 2 B) 5 2 3 D) 2 5 4 E) 4 2 5 C) 5 2 4 Del gráfico. calcula x en función de a y q. calcula BR. 2 En el gráfico.Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 Resolución de triángulos rectángulos Del gráfico. calcula AM. calcula: K = cotα + cotθ 1 + cscα θ 2α C A O B 5 A) c B + b m tan θ 2 2 2 B) c B + b m tan θ 4 2 2 C) c B . B a 37° 2 x 4 2 θ θ A A) asenqcos2q C) asec2qtan2q E) acscqtan2q 3 B) atanqsec2q D) asecqtan2q Las bases de un trapecio isósceles son B y b (B 2 b). C m B) 4 E) 1/2 D R α A B A) msenq C) m(cosq + senq) E) mcosq 20 Intelectum 5. Si los lados no paralelos forman con la base mayor un ángulo cuya medida es q. halla el área de la región trapecial.senq) A) asec2a C) a(sec2a . A) 1 D) 2 6 B L 45° A θ C) 3/4 En el gráfico. A A) ac senq b θ 1. E 9.ACTIVIDADES UNIDAD 1 21 .7 En un triángulo rectángulo (m+B = 90°) se traza la mediatriz de AC la cual interseca a AC y a AB en los puntos H y D.tan α C B θ O θ A) xcosq . 10 C B) cscxsecq E) cscxcscq Si ABCD es un cuadrado. calcula: P = csca . Si: AD = n AC B x 12 B) 8 E) 4 Siendo: S1 y S2 áreas. C 11 α A TRIGONOMETRÍA .1) D) r(cscq/2 . A C B) r(cotq/2 . D 7. calcula OB. B 14.1)cosq 5. calcula BC. C 13 α S1 C) 2 2. C y D puntos de tangencia.ytanq D) xcosq + ysenq A) 5 D) 3 Halla ntanx en términos de a. Si m+CAB = q y HD = L. C B) bc senq a E 4.1) C) (cotq/2 . si OA = x y AC = y. C 8. csca C) senaseca E) sen2a B) senacosa D) cosa csca S2 3b A) 1 D) 4 14 θ B) 2 E) 5 C) 3 Si AOB es un sector circular. calcula: 4a E 6a A D A) seca . D 10.1) Claves E) bc2 senq a B 6. respectivamente. B 12. cscb . E 13. calcula: C) cotxsenq tan θ 1. C 11. Si ABCD es un rectángulo. secx en función de x y q. Halla AE en términos de “q” y “r”. 8 B x α A A) 2Lcosq D) 2Lsenq 9 B) Lcosq E) Lsenq C) 2Ltanq θ β D A) senqcscx D) cscqcosx Según el gráfico.1)cosq E) r(cscq/2 . x S2 S1 θ D c r A) r(cosq/2 .ysenq C) xcscq + ytanq E) xsecq + ysenq B) xsecq . A b a 5b C Del gráfico calcula x. A D) abc senq O C) ab senq c 3. en la diagonal AC ubica los puntos M y N. DC = BC. 8 De la figura. entonces la hipotenusa mide 10 m. tal que. n α A) n(cota + cotb) C) n(tana + tanb + 1) E) n(tana + cotb) 22 Intelectum 5. en las siguientes proposiciones: ▪ En el triángulo rectángulo notable de 15° y 75°. Comunicación matemática 1. uno de los ángulos agudos mide b y el cateto adyacente a este ángulo mide n. α ) β A) msenasenb D) mcosasenb 6. si CD mide 3 2 m: Razonamiento y demostración x C) 25sena α B A) 3 B) 5 D) 3 /3 E) 2 /2 C) 2 Resolución de problemas De la figura. 7 4. A) 14 D) 15 8.° x β B) n(cota + cotb + 1) D) n(cota + tanb) En un triángulo rectángulo. B) msenacosb E) mtanacotb m θ A) mcosq D) mcos3q 7. ▪ La mediana relativa a la hipotenusa mide 5 m. halla x. B 1 α C) mcos2qsenq B) msenq E) mcosqsen2q 4 3. 30° B) 20 E) 16 D α C 6 A) 20sena D) 30sena A 1 C A B) 24sena E) 28sena C) 8 En el gráfico. Halla el área de la región triangular MBN. n 9. AM = MN = NC. ) Dibuja un cuadrado ABCD. calcula el área de la región sombreada. calcula x. calcula la cota. si la medida de la hipotenusa es 8 u. ¿Cuánto mide el área del triángulo? 2 A) n tan β 2 B) n2 tan β D) n2 cot β 2 E) n sec β 2 2 C) n cot β 2 . ( ) ▪ El teorema de Pitágoras solo de puede demostrar ( de 2 formas. C) mcosacosb Según el gráfico.Practiquemos Nivel 1 5. ( ) ▪ En un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es menor que la medida de un cateto. entonces la medida de la altura relativa a la hipotenusa es 4 cm. ( 2. Según el gráfico. m Indica verdadero (V) o falso (F). calcula x. x Halla el área del triángulo mostrado. calcula CD. A B H n x θ D Razonamiento y demostración A) nsenq D) nscscq C B) ncosq E) ncotqcscq C) ntanqcscq 18. donde la medida de la hipotenusa AD = 10 m.10. 13. Del gráfico. Halla el área de la región triangular BCD. Halla el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos agudos mide q y el cateto adyacente a este ángulo mide a. Del gráfico. recto en B. Del gráfico.ACTIVIDADES UNIDAD 1 23 .1) D) m(cot2q . m θ R 2θ A) Rcotq D) R(tanq + 1) x x B) Rtanq E) R(senq + 1) C) R(cotq + 1) A) m(sec2q . si ABCD es un cuadrado. Dibuja un trapecio ABCD. θ rad O A) qmcscq D) 2qmsecq B) qmcosq E) 2qmcscq B C) qmsecq 16. calcula x. Del gráfico. 11. Halla la longitud del arco AC. halla x en términos de m y q. halla x. 74° x=5 m A 49 8° 15° C) mcos2q B) mcosqcotq E) msenq C 50 x B 15. Relaciona según corresponda: x m A) msenqtanq D) msen2q Comunicación matemática C θ θ A Nivel 2 D x=7 x x = 14° 20 12. Del gráfico. si m+BAD = 37°.1) E) m(tan2q + 2) θ C) m(tan2q . en función de m y q. donde la medida de la base menor BC mide 5 m.1) TRIGONOMETRÍA . A) a(senq + cosq + 1) B) a(secq + tanq + 1) C) a(cscq + cotq + 1) D) a(secq + tanq) E) a(cscq + cotq) 14.1) B) m(csc2q . Construye el triángulo rectángulo ABD. A) 1 65 B) 2 65 C) 3 65 D) 4 65 E) 5 65 2 1 θ 2 17. calcula senq. ) ▪ AD = 4cos20°sec40° ( ) B ▪ CD = 4sec40°sen20° ( ) 3 ( ) ▪ STACD = 16sec 40° . 2. 3. De la figura. halla R en función de b y q.q) D) mcosqcot(a .a) B) msenqtan(q . A 10.a) C) msenqcot(a . 23. calcula PB en términos de m. Del gráfico. Observa el gráfico y luego completa: B) 2 E) 3/2 O 4m A A 40° 20° C D Indica verdadero (V) a falso (F). ( 2 R A) b/(1 + senq) B) bcosq/(1 + senq) C) bsenq/(1 + secq) D) bsenq/(1 + cosq) E) bcosq/(1 + cosq) ▪ AB = 4tan40° E θ 1 A 5 B) 4(a + b)secq D) 4(a + b)senq 25.° θ b D 27. D A) n(1 + senb + cosb) B) n(1 + tanb + cotb) C) n(1 + secb + cscb) D) n(1 + cotb + cscb) E) n(1 + secb + tanb) A 9. a y q. A B 22. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) la hipotenusa es m y el + A = q. 11. calcula senq. B 19. θ B) 1/3 a C) 4/5 A) a(2cotq + 1) B) 2ctgθ + 1 D) 3/6 2a a E) 1/5 C) D) ctgθ + 1 tgθ + 1 24. calcula: E = . 13. D 15. Halla el perímetro del triángulo.sen β 25. 34 B) 3. B 29. 6. cos20° 24 Intelectum 5. B 20. Según el gráfico. A) 2Rcos4a C) 2Rsen2a E) 2Rcosasena C M m C O R H 17. 12.Razonamiento y demostración 28. A B C A) 4(a + b)cscq C) 4(a + b)tanq E) 4(a + b)cosq C D A) 2. cos β . C 18. Si ABCD es un trapecio isósceles. En la figura mostrada. Sea C) 1/2 26. 22. Calcula el lado de un cuadrado inscrito en 23. B 30. Nivel 2 Nivel 3 A) mcosqtan(q . D 27. E 28. En un triángulo rectángulo. 4. 24 E) 2. En un paralelogramo las distancias del punto de intersección de las diagonales a los lados no paralelos miden a y b. 7. 24 C) 3. C 24. B 20.sen θ AB = CD C β Comunicación matemática B 21. un triángulo isósceles cuyo lado desigual A) 1/2 mide a y uno de los ángulos iguales mide q. 21 21. T B 2α 3α Resolución de problemas B) Rcos4asen2a D) Rsen4a cos θ . C 16. determina el perímetro del paralelogramo. uno de los ángulos agudos mide b y el cateto opuesto a dicho ángulo mide n. calcula la cscq. B 48 m E D A) 1 D) 2/5 C 16° 1 Nivel 3 16° θ 30. 8. ¿cuál es el perímetro del triángulo? θ C l a ve s E) a(3cotq – 1) α P Nivel 1 Resolución de problemas .a) 1. D A A) m(1 + tanq + cosq) B) m(1 + senq + cosq) C) m(1 + secq + cosq) D) m(1 + secq + tanq) E) m(1 + cscq + cotq) C B B D C C E 7mD A 2 29. D 19. De la figura determina BT. C 26. 21 D) 2. en términos de R y a. Sabiendo que uno de los ángulos del paralelogramo mide q.q) E) msecqtan(q . C 14. 5. según corresponda. n 2 Calcula el área de la región sombreada. y la diferencia entre 60/p veces el número de radianes del primero con la novena parte de grados sexagesimales del segundo. A) 24/25 D) 3/5 B) 3/4 E) 4/5 C) 4/3 TRIGONOMETRÍA .18 = C + 30 Halla la medida del ángulo en radianes. Calcula la medida del menor ángulo.4) k 4 + Nos piden: cota + 4 = 3 3k 3 4 3 3 4 4 cota + = .ACTIVIDADES UNIDAD 1 25 . Calcula la suma de la secante y la tangente del menor ángulo de dicho triángulo. es 1845. 37° B) p rad 3 3p E) rad 5 C) 3p rad 10 Las longitudes de un cateto y la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC son 24 y 25 respectivamente. B) 7 2 E A) m . n B p B) n C D) 3 2 C) 3 A k D Del gráfico se cumple: n + m = 2p A) 4 5 k B 6 m C) 60° D) 15° E) 75° 9u B) 100 p u2 3 E) 54p u2 D C) 450 p u2 2 Sean S y C las medidas de un ángulo en sexagesimales y centesimales respectivamente. Se cumple: 2S . n 2 E) 5 2 6. B) d 10 . Halla el suplemento de dicho ángulo en radianes. A) 2p rad 5 7p rad D) 10 8. C Si ABC es un sector circular con centro en B. calcula el valor de ED. Calcula: cosM 3 2 D) m .Matemática Calcula cota + 4 . n 4 C) 4mn n N 3. B 5. si: MQ = RP 3 Resolución: En el gráfico tenemos: N N 3k M 30° 37° α Q R P M 30° α Q 4k 3 3k R 4k 37° P (3 3 .+ 3 3 3 3 4 ` cota + = 3 3 1.n y C = mx + n son las representaciones de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal. 37° A A) 4 2. es 5. A) d 10 + n n p rad 10 m D) a + n k p rad 10 B) 30° A) 72p u2 D) 200 p u2 3 7. si BAC es un sector circular. M C P m 60° A 4.n n p rad C) d 10 + m n p rad 10 10 m n E) a k p rad 10 Se tienen dos ángulos tal que la suma del número de grados sexagesimales del segundo con los minutos sexagesimales del primero. Calcula el área del trapecio circular en función de m y n. A) 45° E) m . C) 1 2 D) 3 5 E) 2 2 Si S = mx . B) 2m . Si ABCD es un cuadrado. Unidad 2 . 6 TRIGONOMETRÍA .cot θtan α B) 16 m E) 30 m C) 15 m Una torre está al pie de una colina cuya inclinación respecto del plano horizontal es 10°.03 m E) 82. Halla la altura de la torre. A) 5 3 D) 2 3 3 B) 3 2 E) 7 4 h cot q tan a C) h cos a 1 . Subiendo a una altura h del edificio se observa ahora el punto anterior con un ángulo de elevación a. Halla la altura de la torre.5 B) 3.04 m Desde un punto en tierra se observa la parte alta de un poste de 12 m de altura con un ángulo de elevación de 53°. A) 10 m D) 20 m 4 h cot α cot α . Halla tanq. al retroceder 20 m el ángulo de elevación es de 30°. Si tanq = 2.5 D) 3. el ángulo de elevación para observar la parte superior de una torre es q. calcula cota. el nuevo ángulo de elevación con el que se observa su parte superior es q.Aplicamos lo aprendido tema 1: 1 Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación a.ACTIVIDADES UNIDAD 2 27 . el nuevo ángulo de elevación será q.4 C) 2. el ángulo de elevación es el complemento del anterior. Desde un punto de la colina a 12 m de la altura respecto del plano horizontal se observa la torre bajo un ángulo de 55°. Si nos acercamos 4 m. A) 5 ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES 6 B) 8.5 m C) 80. Halla la distancia de separación final que hay entre el árbol y Javier. Calcula secq. luego acercándose una distancia igual a la altura del muro.cot θ h D) 1 . A) 2 B) 3 2 2 2 E) 5 D) 2 C) 3 5 Desde el pie de un edificio. (cot10° = 5. desde la mitad de la distancia.67) B) A) 8. C) 3 A) 2.6 E) 3.20 m Desde un punto en el suelo se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación q.senq h E) cosa + sena Javier observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 60°.04 m D) 80. c A) 2/7 D) 5/7 8 1. llegando a su destino. ¿qué distancia separa a los autos? B) 60 km E) 120 km C) 80 km Hay una estatua colocada sobre una columna. haciendo el siguiente recorrido: 100 m al norte.84 B) 10.69 m C) 12 m Desde la parte superior de un campanario los ángulos de depresión de la parte más alta y baja de un poste de 8 m de altura son 30° y 45°. ( 3 = 1.3 ) m D) (4 + 3 ) m 12 14 C) 12 6 m Desde un punto salen dos autos en direcciones S40°O y E40°S. Si la torre mide 16 m. e 7. c 12. e 10. luego 100 m al este y finalmente 150 m al sur. ¿A qué distancia de su casa se encuentra el colegio? B) 150 2 m D) 200 5 m E) 200 m B) 8 m E) 9 m B) 4(3 . calcula la altura del edificio. respectivamente.° E) 24 m A) 1.92 m C) 1. Si la torre mide 36 m.1) m 8. Calcula la tangente del ángulo de elevación con que se ve la parte alta de la torre desde el punto medio ubicado entre los dos primeros puntos de observación. respectivamente. respectivamente. ¿Cuánto debe retroceder para que observe el mismo punto anterior con un ángulo de elevación que sea el complemento del anterior? Considera la altura del árbol 5 3 m y la estatura de la persona 1.3 ) m C) (4 . Considera tan44° =0. 73) A) 6 m D) 10 m 13 C) 150 5 m B) 24 3 m B) 36 m E) 60 m 5. a Claves 28 Intelectum 5. vista desde un punto distante 13 m de la base de la columna son. d 9.97 y cot50° = 0. b A) 150 m 10 A) 12 3 m 6. c 13. c 11 C) 4/7 C) 54 m 3. b Desde dos puntos ubicados a un mismo lado de una torre. calcula la altura del edificio.73 m. e 7 .59 m Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60° y 30°. respectivamente. con velocidades de 15 y 20 km/h. ¿Cuál es la altura del campanario? A) 4(3 + 3 ) m D) 24 2 m A) 40 km D) 100 km Una persona observa lo alto de un árbol con un ángulo de elevación de 60°. Halla la altura de la estatua.79 m D) 1. 2.82 m E) 10. respectivamente. Los ángulos de elevación para la ama de la estatua y de la parte superior de la columna. d 11. b 14. 44° y 40°. b 9 B) 3/7 E) 6/7 Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60° y 30°. Al cabo de 4 horas. 200 2 m al NE. se divisa su parte más alta con ángulos de elevación de 37° y 45°.Un alumno sale de su casa con destino al colegio. 4. A) 18 m D) 45 m E) 4( 3 . respectivamente. 6. Un niño observa los ojos y pies de su padre.Practiquemos NIVEL 1 Resolución de problemas Comunicación matemática 1.6 m 3 B) 5 m E) 8 m Señala la medida del menor ángulo formado por las direcciones O20°S y E40°N. respectivamente. 8. 1 2 4 C) 12 m B) 130° E) 160° C) 140° Pepe se encuentra al oeste de Daniel. luego 40 m al este y finalmente 30 m al sur. 3.6 m C) 34. A) E10°N D) E40°N Dibuja la dirección siguiente: E 1 NE 4 9. ¿Cuál es la altura del poste? B) 36.6 m D) 42. 3.6 m 5 (1815-1864): matemático inglés. ¿Cuál es la distancia entre la casa de Claudia y la de Andrea? A) 50 m B) 50 2 m D) 100 2 m E) 70 5 m C) 50 5 m NIVEL 2 Comunicación matemática 11. 5. ¿cuál es la altura del poste? A) 12 m D) 18 m Razonamiento y demostración B) E20°N E) E50°N B) 24 m E) 9 m C) 6 m 10. Desde un punto en el suelo ubicado a 10 m de un poste. 2. 4. Halla la altura H de la torre. A) 10 m D) 20 m 1. Si ambos divisan a Sonia al N30°E y al N60°O. Claudia sale de su casa y recorre 100 m al N37°E. TRIGONOMETRÍA . a 40 m. 5. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objetivo se encuentra por encima de la línea horizontal. Línea que une el ojo de un observador con el objeto que se observa.ACTIVIDADES UNIDAD 2 29 . que sentó las bases de la lógica Booleana. llegando a la casa de Andrea. Línea paralela a la superficie que pasa por el ojo del observador. se ve su parte más alta con ángulos de elevación de 30° y 45° respectivamente. Segunda letra del alfabeto griego. con ángulos de elevación y depresión a y b. 2. A) 120° D) 150° 4. C) E30°N Desde 2 puntos ubicados al norte y oeste de un poste. Representa gráficamente el enunciado. Si la distancia entre dichos puntos es 12 m. ¿cuál es la distancia entre Daniel y Sonia? A) 38. Señala la bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N10°O y E20°S. 7. Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático.6 m E) 44. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objetivo se encuentra por debajo de la línea horizontal. se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 45°. Halla la altura h del poste. 2 E) 0. una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°. Desde un acantilado. Relaciona según corresponda. luego el barco se aleja 80 m en el mismo plano vertical. las direcciones de A. Completa el enunciado: es la que une el ojo de un que se observa. A) 40 m D) 46 m B) 42 m E) 48 m C) 44 m 18.1 O D) 0. A) 100 m D) 240 m A) 30. Una persona colocada a una distancia de 36 m del pie de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 7/12. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación q. ¿Cuál es la distancia de separación entre la casa de Clementina y el punto de llegada? D) 120 2 m ! B) 0. • El ángulo de elevación en C es a. A) 29/3 m D) 29/5 m B) 58/3 m E) 58/9 m C) 29/4 m 19. el ángulo de elevación será de 37°. • El ángulo de elevación en B es b.1 A 3α S C) 160 2 m E) 140 2 m C) 75 m NIVEL 3 N B) 60 61 m C) 180 m 20. Un avión se encuentra a una altura de 150 m sobre un objetivo y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión a.15 m 14. Desde esta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. A) 0. Halla la altura del acantilado. son de 30° y 60°. A) 50 m D) 80 m A) 6 B) 2 C) 3 D) 1 E) 5 B) 60 m E) 90 m Comunicación matemática 21.12.44 m D) 25. Si nos acercamos a una distancia igual al doble de la altura del poste. Calcula la distancia en la misma dirección que debe alejarse para que el nuevo ángulo de elevación tenga por tangente 1/4. Razonamiento y demostración 13.3 ! 30 Intelectum 5. da = 45 n : 2 α Resolución de problemas O 15. La un con Con las siguientes palabras: A) línea recta B) objeto C) línea visual D) observador 17. Calcula la altura de la torre. Halla h.6 m B) 32.° C) 0. Calcula a qué altura se encuentra el avión en dicha observación. • El ángulo de elevación del punto B es 74°. respectivamente. Calcula tanq. cuya altura es de 29 m. C) 29. Los ángulos de depresión para observar la parte superior y el pie de una torre desde la cima de un gran monumento. Donde: • El ángulo de elevación del punto A es 37°. Clementina sale de su casa y recorre 450 m al N37°E y luego 30 m al este llegando a su destino. Luego de recorrer 150 m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación 26°30’. Halla: C = (cota + cotq)tanb A) 240 m B) 120 m E) 260 m O N 2α A 2α S .12 m E) 30 m Donde: • El ángulo de elevación en A es q.2 E NE E NNE E ENE N 3α A α S 16. cosa i B) A) 248 km B) 20 30. finalmente una cierta distancia al sur. A) Lsenq D) Lsecq B) Lcosq E) Ltanq C) Lcscq 28. Nivel 2 17. ¿A qué distancia de dicho punto de partida se encuentra? B) 244 km C) 276 km D) 220 km E) 224 km C) 12 D) 15 E) 25 A) _tanq + 1i_tana + 1i tanq . Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en lados opuestos de ella. por un plano inclinado que forma un ángulo x con la horizontal y observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación 2x. 10. Nicolás decide trotar en un campo deportivo. d 14.cotq) E) H(tanq + cotq) A) d(cota . enseguida 20 m al oeste y finalmente hacia el Sur hasta un punto que se encuentre al Este de su casa. b 1. 19. Halla la altura de la torre. 18. Representa gráficamente el enunciado.cotq)-1 B) _2 + 2 i m C) 2a 5 m E) _ 2 + 5 i a m C l a ve s Nivel 1 7. C) 2 3 m d P A) 7 5 m Resolución de problemas 25. c 15. luego otra distancia L al EqS y finalmente una cierta distancia al SqO hasta ubicarse en Q. b Nivel 3 27. e 23. Un niño sostiene dos globos. b 24. ¿Cuál es la distancia que hay entre los globos? A) _1 + 2 i m D) a 5 m Razonamiento y demostración 23. halla x en términos de H y q. 28. luego 100 2 km al SO.cosq E) _tanq + 1i_tana + 1i tanq + tana d cosa cosq _cosq .22. b 21. El ángulo de elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24° y la cuerda mide a 2 metros. d 25. mientras que. Halla la altura de la montaña. d C) tanq . A) H(1 + tanq) D) H(1 .senai senq + sena D) _cosq + 1i_cosa + 1i cosa . luego.ACTIVIDADES UNIDAD 2 31 . Del siguiente gráfico. a TRIGONOMETRÍA . 29. Un caminante hace el siguiente recorrido: parte de su casa caminando 30 m con rumbo N30°E. Luego de caminar una distancia de 15 veces la altura de la torre.15 A) 10 D) 6 5 m E E) 5 5 m S 24. a 20. si “P” recorre 10 2 m al NE y luego 5m al sur. Halla PQ en función de L y q. recorriendo una distancia L al NqE a partir de P. B) H(1 + cotq) C) H(1 . d 4. notándose que la distancia de dicho punto observado a lo alto de la torre es igual a la visual trazada para dicha observación. Halla d. e 22.senqi_1 . después 15 2 m al sudeste. al este de P. e 12. se divisa un punto ubicado 1 m. c 13. 8.senq C) _1 .tana B) _senq + 1i_sena + 1i sena . El ángulo de elevación que tiene en la mano derecha es de 21° y la cuerda mide a metros. hasta ubicarse al oeste de su punto de partida. d 2. más abajo que el anterior con un ángulo de elevación q. d 3. se ve un objeto a una distancia d del pie de la montaña. d 6. Desde A se divisa un punto de la torre con un ángulo de elevación a. Una persona camina. a 11. desde B. 27. 9. c 16. e 30. Un móvil recorre 240 km al N37°O. con un ángulo de depresión a. b 26. observa nuevamente su parte superior con un ángulo de elevación de 3x. 10 m hacia el Este.tanq) 29. Desde lo alto de una montaña inclinada un ángulo q respecto a la horizontal. N D O E B) 4 5 m S N O Calcula: E = cscx . b 5. notándose que la visual trazada es igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto de la torre.tana D) d(tanq – tana) E) dcotatanq 26. 7) 2 . 5) es un punto del lado final del ángulo q en posición normal. calcula cosa.5)(secq + tanq) B) 5 E) 11 C) 7 Calcula el valor de: R = tanπ + cos 2π + sen2π sen π + cos 3π 2 2 A) -3 D) 1/2 6 B) -4 E) -3/2 32 Intelectum 5. calcula: 3 Si: senq = α β x (-4.° B) 1 E) 2 C) 5 De la figura. C) 12 C) -1 θ x A) -1/7 B) -7/8 D) . q ! IIC. y P(7.Aplicamos lo aprendido RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS de cualquier magnitud tema 2: 1 Del gráfico. calcula: A = ( 34 . -3) A) 2 D) 3 3 B) -2 E) -4 A) 8 D) 15 C) 4 Si tanq = 5 y senq 1 0.5cosa M = 2cot2q . halla: 4 12 R = 13senq + 5cotq A) 3 D) 9 5 B) 10 E) 20 Si P(-3. D.53 7 53 C) .7 secq y (-24.7 53 53 . calcula: 2 P = cosb .3 E) . 2) α θ A) 0 D) N. c 12.15 . .4 sec4x Calcula: f a p k 4 H = 2sena + 3cosa A) 1 D) -2 A) 1 D) 1/2 C) 2 Simplifica: 10 (a + b) sen π + (a .2cscq) y A) 15 D) 25 C) 3. c 10. d 13. d 9. b 11. c A) 2 D) -3 4. e 7. calcula: 17 B = tana + tanq + tan(a . c 11 B) -2a E) -4b B) -2 E) -1/2 2.3 B) 3 D) 6 E) . 4) B) -15 E) -30 x α A(3.sen6x cos2x + cos4x + tanx . calcula: E = senf .5 E) 4.2 6 y M B(6.ACTIVIDADES UNIDAD 2 33 . calcula: R = cosa(secqtana .3 6 cosf A) . m) P(3. b C) 4 6.75 14 θ y θ α C) 30 Si el área de la región triangular ABC mide 10 u2. −1) A) 5 D) 15 B) 9 E) 18 5.b) 2 cos3 π 2 E= asen 3π + b cos2 π 2 2 2 3 A) 2a D) -4a C) 4a Si: sena = .5 D) -3.2 6 ) un punto perteneciente al lado final de un ángulo f en posición normal. Calcula: E = 34senqcosq A(-10.5 Del gráfico. calcula: Si: f (x) = 8 sen2x + sen4x .75 B) 3. b 13 C) . a 14.6 Del gráfico. AB = 4AM. 12) y C) 2 1.7 Siendo: 4 sena = 1 + 1 + 1 + 1 4 28 70 130 5 Además cosa 1 0. n) x C(-1. c 8.8tanq B(-2. 4) α x θ θ x A) -3. calcula: T = 3tana .q) 12 Siendo P(1. b 9 B) -1 E) -3 TRIGONOMETRÍA . d C) 11 Claves B) 3 E) -4 3. (-) x α Comunicación matemática A) (-).11 13 E) .cos q 2 3 5 A) (+). Si a y b son dos ángulos positivos. y Indica (V) verdadero o falso (F) según corresponda: A) B) C) D) 11. B) 2 3 7 9.5 con a ! IVC. x θ B) 4 E) 5 c) -3 De la figura mostrada. (-) E) (+). Siendo A. ( ) II. y Analiza la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: B) -1. 2sen90° + cos180° = 1 ( ( ( ( 847° IIC 445° IIIC 1070° IC ) ) ) ) x (-3.8 7 C) .7) A) 2 D) 6 8.118 E) 1. (+) E) No se puede precisar y 10. (-) C) (+).cosa) Comunicación matemática 1. sen130°cos60° 1 0 ( ) A) FFV D) VVF B) FFF E) VFV B) -3 E) 2 C) -2 Q(a . De la figura. además: tanb 1 0 / a 2 b. C) -2. tales que sus lados finales forman un ángulo recto.236 y sabiendo que cota = -0.1 2 B) . cosq 1 0.13 NIVEL 2 Si tanq = 5.13 6 Sabiendo que a es un ángulo positivo y menor que una vuelta.cosA + cosA . (+) Calcula: M = senacosa x Halla el signo de las siguientes expresiones: B) (+). positivos y menores o iguales a 360°. -2) A) -5 D) 1 7.24 α Relaciona: 918° 3. (+) B) (-).1 = 1 + senB cscB + 2 = |tanC . (-). calcula: S = tanq + cotq P(5a. 3) C) FVV y Q(a. 2. Si: 3 7 = 5 7 senθ .32 12. 3) A) 3 7 D) 2 7 5. (+). (-).5 6 13. calcula: A) 5 6 D) . además: senq cos q 1 0 Señala los signos de: C = sen q cos q .sen2b ( ) C) (+).Practiquemos NIVEL 1 6.° C) . L = cos 2q .6 5 B) 6 5 E) .3. 3 7 E) 1 7 Calcula secq.sen 2 2 ( ) P = sen2a . (-). a + 1) A) 13 5 D) . b . Halla el signo en cada caso: I. sen1134°cos148° < 0 q ! IIC & senqtanq < 0 450° pertenece al IC. menores de una vuelta en posición normal.5 2 y P(2. (-) D) (-). P(-2. Tomando 5 = 2. (+) Razonamiento y demostración 4. tan120°sen150° ( ) III.12 D) 1. sen127°cos135° 2 0 A) 1.1| Calcula el valor de A + B + C. sen90°sen60° = 1 2 ( ) III. sen100°cos200° ( ) 14. 5) θ x A) 2 3 D) .3 2 ( ) b N = cos a . A= B= A) 540° D) 630° B) 450° E) 360° C= C) 810° . (+) θ Resolución de problemas C) M = sena + cosa D) (-). sen240°cos300° ( ) II. ¿cuál es el valor de csca? A = 13 (sena .2 3 E) -2 34 Intelectum 5.7 5 C) . B y C ángulos cuadrantales diferentes. además se cumple: 1 . calcula: K = cotqcosq + senq B) . calcula: a + b IVC I. (+). (+) TRIGONOMETRÍA . halla el signo de las siguientes expresiones: C(-3.5 5 C) 3640° H = tanq + sen q 2 I = senqcos q tan q 2 3 J = sec 2q . Del gráfico mostrado. (+) C) (+).k). si AO = OP.ACTIVIDADES UNIDAD 2 35 . calcula tanq. B) 1080° E) 2500° Comunicación matemática 23.5 y 143° A) . a partir de la condición: B) 2 E) 1/2 C) -2 18. -5) A) 1/2 D) 4 B) -4 E) -1/2 C) -2 16. -3) A) 2900° D) 900° A(25. 1 .1 2 + 1 3 E) 2 A) 2 D) 3 2 C) .4 5 5 C) . B) . (-).7 13 22. 3) E) .4 3 B) .2 3 E) .1 3 NIVEL 3 G β x B) -7/11 E) -5/12 C) -12/7 Resolución de problemas 19. calcula sena.12 13 C) . Si a es un ángulo en posición normal. Siendo a un ángulo en posición normal.csc q 3 4 A) (-). 3) A) . y A(1. (+).4 5 B(-9. Calcula el valor de x.7 E) .cos180° + tan 2 60° = 3 x csc 270° + cos 630° A) -7/12 D) -11/7 O x B) . A partir del gráfico.24 25 B) . (-) E) (-). Si el área de la región sombreada mide 9 u2.3 4 D) . (O: origen de coordenadas) y B(a. calcula: P = tanqsenq y T = 5tanq + 34 cosq θ θ y x x A(-3. si G es el baricentro del DABC. calcula el valor de k. (-) B) (+). 7) x A) . 0) A) -1 D) 1 D) . si tana = 4. Si q ! IIIC. α C) . a) 12 csc 2 45°sen270°sen30° . halla el mayor ángulo coterminal con b menor que 3000°.Razonamiento y demostración 15. Del gráfico mostrado. tal que a = 20°. m) M(3. 0) P(-7. (+). (+) D) (+). calcula tanb. es menor que una vuelta y positivo.1 2 17. (-).7 25 D) .4 5 21. (+). De acuerdo al gráfico. tal que un punto de su lado final es P(-k.3 5 5 θ A(-2. calcula: 20. c α 14. a 11. y = 2x + 3 α β A) 0. b 19. Del gráfico.tanb I. Del gráfico. c 10. b 3. (+) B C) (-). Del gráfico. calcula cscq. c 22. 5 5 36 Intelectum 5.0.cosg B = sec a . calcula la suma de csca y los valores númericos de las abscisas de los puntos A y C. Si a toma cualquiera de los valores siguientes 30°. c 27.0. 3 5 D) 0. b C) 3 31.3 3 B) 3 2 A) 1 D) 5 2 C) 1 2 E) 2 Resolución de problemas 29. b 4. además el punto P es (-8. calcula cotb. c 6. a 29. A) 3 5 D) 1 5 26. 2 5 B) . De acuerdo al gráfico. c B) 2 E) 5 21. (-tan45°) 1. b y 8. e 23. Calcula: H = seng . calcula: L = senacosb y A) 10 D) 12 y = x2 B) 11 E) 14 C x C) 13 31. e C) 7 5 30. (-) C l a ve s A) (+). (-) Nivel 1 B) (+). a Nivel 2 12. entonces tanq 2 0. el punto P(4. b 28. c 30. Determina el signo de las expresiones.2 3 3 E) .2 3 A) . ( ) III. Si 200° 1 q 1 250°. ( ) y 30° α A 27. ( ) 25. a 5. 2 5 C) . 60°. c 26. d 17. d γ 13. si q ! IIIC y a ! IVC. calcula: y E = tanq . si a = -300°. el cosa será siempre positivo. Analiza la veracidad o falsedad de las 28. siguientes proposiciones: 32. b B 25. Del gráfico. (+) A) 1 D) 4 x β II. donde la cuerda AB = 10 2 . 3 5 E) .24. c Nivel 3 16.3 4 3 D) 2 C) . calcula: x O A Razonamiento y demostración 20. d 24. A = senqcos q tan a csc a + cota B θ P β x A B) . De la figura adjunta. b D) (-).° A) 2 y x α θ B) 3 30° C) 5 x D) 5 E) 0 . y). el cosb para cualquier valor de b será siempre negativo.sena cot q 2 y P 18.0. Dado el cuadrante AOB. 40°. c E = (sena + cosa) B) 6 5 2. 32. E) No se puede precisar 7. 2) es punto medio de AB. Si 90° 1 b 1 150°. a E) 2 y x 15. si BC mide 4 cm y m+ABC = 60° 37° 9. 109 3 B) 2.307 Si: 17x = 180° Calcula: M = csc13x . calcula: y A = senx + tan x + seny + tan 2 2 A) senx B) 2senx D) -tan x 2 E) 0 C) tan x 2 TRIGONOMETRÍA . _ 3 = 1. 73i A) 2.tan16x csc 4x tan x 4 5 B) 1 E) -2 C) 2 Dado un triángulo ABC.a 2 E) 1 1+ a 2 a2 1+ a 2 Si x + y = 2p.ACTIVIDADES UNIDAD 2 37 .Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Calcula: Q = sen250° csc 290° tan 300° sen840° tan 3000° cos 1200° 2 Reduce: E = tan(36 660°)sec(180 330°) Aprox.2 D) 2 C) -2.309 E) -2.a 2 1+ a A) 0 D) -1 B) 1 E) 3 1 1.1 2 1+ a C) Si: tan20° = a Calcula: a = sen160°cos 250° sen340°sec110° 2 A) .3sec(A + B + C) E= cos C A) -1 D) -2 B) 1 E) 5 D) 6 C) 2 C) .3 B) .107 A) . simplifica: 2 cos _ A + Bi .409 D) 2. B y C son las medidas de los ángulos internos de un triángulo ABC. además B y C son ángulos suplementarios.b = a B) -n2 2 E) n2 .B) tan A S= + cos B cot (90° + A) A) 1 D) -1 8.n 2 1-n E) 1 En un triángulo ABC. e A) . calcula: J= 13 10 B) .b = 2 a E) a . tan8q + csc 6q Calcula: f (..(I) secx . b 9.3 B) 3 E) 0 C) -1 Siendo x e y ángulos complementarios.n2 Si A y B son ángulos complementarios.2 E) 1 B) 2 E) 0 5. c Claves 38 Intelectum 5. simplifica: sen (270° .3 4 D) 1 3 11 C) -3 C) -2 3.Halla el valor de N en la siguiente expresión: N(1 . d 10. cos 2x + sen6x Calcula: f a p k + f_pi + f d 3p n 2 2 4.tan205°cot258°) = sen335° + cos 282° sen115° sen258° C) 1 2 12 sen^ A + Bh tan ^B + Ch cos ^C + Ah + + tan A senC cos B A) 1 D) . c Si: f(q) = sen2q + cos 4q .(II) Halla una relación entre a y b independiente de x e y..° C) n2 1 . e 11..b = a C) a .p ) + f ( p ) 4 4 2. B) a + b = 2 a D) a + b = a 7. calcula: sen (A + B + C) tan A M= + cosB cot C B) -1 E) -2 C) 0 Si A. c 14.. a 12. los cuales cumplen: tanx + tany = a .1 n +1 A) 1 D) 2 14 C) -1 Si sen20° = n. halla: C = sen200°tan340°cos160° A) n2 2 D) . c A) a . c 13. a 7 .secy = b . b B) 2 3 A) -3 D) 0 6. c 9 B) 0 E) 1 Si: f(x) = sen5x + cos 8x . a A) D) -2 8 1. C) C = sen120°cos225° 1. 5.x) sen (270° + x) A) senx B) -senx D) -cosx E) 1 C) cosx 10. B) .x) A) 1 D) 2 B) -1 E) -2 C) 0 15.5/4 D) .x) senx . 12. 2.3 2 T= sen (. Unidad de medida de un ángulo. tan 4290° cos 2730° 9 1 13. mayor que 90°. Halla: Razonamiento y demostración Calcula el valor de: sen2580° cos5040° Efectúa: A) 2 3 Relaciona según corresponda: D) C) D = sen3015°. tan(a .3 4 4 5 6 9.3 3 E) . Ángulo en posición normal. Indica verdadero corresponda: a falso según 17.4 3 B) 4 3 E) 1 C) . Ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice.Practiquemos NIVEL 1 5.3 4 C = (sen330° + cos240°)tan210° 7 3 3 Efectúa: A) 2.ACTIVIDADES UNIDAD 2 39 . Reduce: I.3 2 Calcula el valor de: tan6173° A) 3 4 D) . Ángulo geométrico cuya medida es 8. A) 3 B) .6 4 R= sen (90° + x) tan (270° . cuyo lado final coincide con un semieje. Segunda letra del alfabeto griego. Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático. 3. Cateto opuesto entre hipotenusa.x) + cos (180° . 6. Ángulos cuya suma de medidas es 180°.90p) = seca ( ) S= sen (x .cos x A) 1 B) -1 D) -2 E) 0 C) 2 14.x) cos a + x k 2 A) senx B) cosx D) -cosx E) -1 C) -senx Comunicación matemática 11. Calcula: 3 3 2 D) . Relaciona según corresponda: Calcula: tan5520° 16.6 4 3.p k 2 3 p cos d x n 2 A) cotx D) 1 B) -cotx E) -1 C) -senx TRIGONOMETRÍA .6 3 9. Ángulos cuya suma de medidas es 90°. Comunicación matemática Crucigrama 1.3 D) . 7. 4. Reduce: sen (p + x) tan a p + x k sen d 3p .5/3 sec323° .3 D) . Simplifica: B) . Reduce: N = sen(-240°)cos(-120°) A) 8 sen2430° Razonamiento y demostración 7. Simplifica: C) 3 4 E) .x n 2 2 A= p cot (p .3 5 0 E= sen (180° + x) cos (360° .73p) = tana ( ) III.3 4 tan3240° -1 B) .x) + cos (. sec(a . A) 3 B) . el mismo lado inicial y final.x) cot (. E) C) Determina el valor de: 8. sen(a + 65p) = -sena ( ) II. 1 4. 2 6 4 2 4 6.3 2 3 4 D) .2 3 1 E) 3 C) 2 6 U = (cos2135° .3 3 E) . sec233° 5/4 sec217° . Cateto opuesto entre cateto adyacente.2 6 A) 1 2 3 2 B) 3 5 3 3 E) .3tan127°)sen2240° A) 16 B) 18 D) 9 E) 8 27 C) 27 8 NIVEL 2 C) .p) tan a x . II. D) 1 E) -6 B) 2 27.2 3 16. d A = ( sen150° cos 225° 2 tan143° 29.1 4 73 E) 24 C C) 73 24 30. Indica verdadero (V) o falso (F) según 2 corresponda. d N 17. Del gráfico.1 3 20.y = 3π 27. a B) 3 2 E) 4 9 α 9. b θ 22. c 25. x β n=1 26. Simplifica: n=1 14. 23.2 2 3 / %senan p2 + xk + cos (np .3 2 C) .cos (. Del gráfico. Si: 20.225°) A) -1 B) 3 D) . Si: x + y = 180°. 2 I. a 9 10.2 3 P= 13. si: q ! IC. Calcula el valor de: E= A) 1 3 cotq. d θ A) 4 7 18. Calcula: A) 1 D) -1 A) senx + cosx B) senx . senx = cosy 2 2 B A Comunicación matemática E) 26. ) C) . b senq = D A 11. b tanq = 12. d 28. calcula: Nivel 3 B) -cosx E) -senx 30. b B) 3 2 2 3 A) L = cos10° + cos20° + cos30° + … + cos180° 8. b A) cosx D) -tanx E) 0 y 19. b ) Nivel 2 ) ( 4. e E) . y 5. además: 3tanx + 2tany = cosx + cosy + 2. csc (. d 4 D) .7 4 C) 7 4 6.cosx B) 2 E) -2 C) 0 25.tanb cosq = 19.3 21. Reduce: 7.1 2 B) . tan (123p + x) sen d 135p + x n 2 T= 1533 p .1 2 E) -2 C) -3 A) 2 1. calcula: V = 2tanx + 3tany A) 1 D) -2 B) 2 E) -1 40 Intelectum 5. d tan 315° Nivel 1 18. tanx = coty C 22.xn cot d 2 A Razonamiento y demostración 23. calcula tanq.4 7 E) .° C) 0 37° α β A) 1 4 D) . Calcula: . b ( III.cosx C) -senx + cosx D) -senx . d π/6 B) . calcula: tana . C) 1 2 NIVEL 3 D) 2 2 C) 4 2. cosx = seny M B 21. calcula tanb. c A) 2 3 H 3. b B) . si: x . Del gráfico. Observa la gráfica y luego completa. 2) 3 / %tan an! p2 + qk/ = 0 . c C) tanx (-6. d ( C 15. b 28. b 29.24.2 7 24. calcula tana.x) / C l a ve s D) . Del gráfico. x D) .240°) + sec (-150°) + cos (-120°) cot (-315°) + sen (-135°) . 3 F 3 E) < 1 . determina el máximo valor de: 4 3 2 M = cos2q .3a 3 2 6 + 3sen2x 4 B) < 1 . 3 F 3 E) <.1 . 3 F 4 D) 1 . 3 F 3 B) |senb| E) cos2b C) senb ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? C O D x γ CT cot g (1 .9 4 3 B) 3 4 4 E) 5 A) < 1 .Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Si: q ! p . p C .cos g) D) 2 B) A) sen40° D) sen220° B) sen100° E) sen280° C) sen160° TRIGONOMETRÍA .cos 2q cos 2q + 2 Halla el intervalo de a. 3 F 3 Halla PB en términos de g: y P A B C) <.4 + 3 . 1 F 3 3 B x A A) |cosb| D) cosb 6 C) 1 . 3 2 De la figura.cos g) 2 cot g (1 + cos g) C) 2 tan g (1 + cos g) E) 2 A) tan g (1 . 1 F 3 D) <. calcula AB en términos de b: β y O CT A) < 2 .2 cos 2q . si: 2 = 5a .1 .ACTIVIDADES UNIDAD 2 41 .2 .3 8 D) . 2 F 3 3 5 B) <. 2 F 2 C) 5 4 Determina la extensión de: 2 F = 2 .seng) 2 tan g (1 .1 .4cosq + 3 A) . 7 Halla el área de la región sombreada. y 8 De la CT mostrada, calcula el área de la región sombreada. y α CT θ x O x O CT 2 A) sen a 2 2 cos a D) 2 9 2 B) tan asen a 2 2 tan sena a E) 2 A) 0,5(senq - cosq) C) 0,5(cosq - senq + 1) E) 0,5(senq - cosq - 1) Si a ! IVC, determina el menor extremo del intervalo donde se encuentra la siguiente expresión: 2 R= (sena + 2) (sena + 4) A) 1 4 D) 1 15 11 2 C) tan a 2 10 C) 13 15 B) 1 E) 2 3 Si: q ! IIC, halla el máximo valor entero de: F = 3 + tan q - 1 + tan q 2 3 ¿Cuál de los siguientes valores es el menor? A) tan50° D) tan200° 12 B) 0,5(cosq - senq) D) 0,5(senq + cosq) Si: cosq = B C y T B) tan130° E) tan300° C) tan140° 3 , calcula AC. 2 A x O CT A) 1 D) 0 13 B) 2 E) -2 y θ A) 1 3 C) -1 De la figura, calcula OP en términos de q. θ B) 1 2 E) 2 3 3 D) 1 14 C) 2 - 3 2 Halla el área de la región sombreada. y CT θ P O x O x CT 6. b 5. e 8. e 7. b 10. e 9. a 12. b 11. a 14. d 13. c Claves 42 Intelectum 5.° B) senq cos q 2 C) senqcosq E) -senqcosq 3. e A) 1 + senqcosq 2 D) 1 - senqcosq 2 4. a C) senq versq 1. c B) versq cos q vers q E) senq 2. b A) cos q versq D) senq cov q Practiquemos NIVEL 1 6. Comunicación matemática 1. En la CT: A) 1 y B 7. M θ B) 2 C) 3 D) 4 α R O Q A CT E) 5 Si: senq = 0,6 calcula AT. y C P N Calcula el máximo valor de la expresión: M = 2 - 3tan2x θ T x x A CT Completa la notación de los siguientes segmentos: A) 0,6 D) 1,0 exsecq QM : QR : CB : 8. B) 0,8 E) 1,25 C) 0,75 En la CT, halla el área de la región sombreada. y AB : CT ON : θ OC : 2. x Representa en la recta numérica el intervalo en el cual se encuentran las siguientes expresiones: A) senx: A) 1 senq 2 D) 1/2 B) sec2x; 6 x ! R - {(2n + 1)p/2}; n ! Z C) 9. B) 1 cos q 2 E) 1 En la CT mostrada en la figura, calcula el área de la región sombrada. y 1 cos x + 2 θ O D) A) 3 senqcosq 2 D) 5 senqcosq 2 Indica el menor valor. A) cot35° D) cot200° 4. B) 1 senqcosq 2 E) - 5 senqcosq 2 C) - 3 senqcosq 2 10. Halla el área de la región sombreada. B) cot100° E) cot275° C) cot300° y Halla el signo de: P = tan1cot2tan3 A) (+) D) (+) y (-) 5. x CT 1 ; 6q ! G0; p/4] tan q Razonamiento y demostración 3. C) 1 tanq 2 x Si: q ! IVC y senq = a - 2 , ¿cuántos valores enteros puede 5 tomar a? A) 3 α B) (-) C) (+) o (-) E) No se puede precisar B) 4 C) 5 D) 7 E) 6 2 2 x +y =1 B) 1 tanacosa 2 D) 1 tana (1 - cosa) E) 1 (1 - sena) 2 2 A) tanacosa C) 1 (1 + cosa) 2 TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2 43 Resolución de problemas 11. Si: a ! p; 3p , además 2 cosa = - 2 y a # x # 4p , calcula el 3 2 valor de 4(A + B) si: A # cos2x - 4cosx - 4 # B A) 6 2 + 14 C) 8 2 - 21 E) 8 2 + 14 B) 6 2 - 14 D) 8 2 + 21 12. ¿Para qué valores de x sería posible la siguiente igualdad: (2senq - 1)(senx - cosx) = (senx + cosx), si además q ! IC? A) 0; p 2 B) p ; p , 3p ; 2p 2 2 C) p; 3p 2 D) 0; p , 3p ; 2p 2 2 Razonamiento y demostración 15. Halla el intervalo de k, si: sena = k - 1 2 A) [-1; 1] C) [-1; 3] E) [-1; 4] y x 16. Calcula el mínimo valor de la expresión: 2 E = 3 + 2tan x A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 C) 3 S: área de la región sombreada T: punto de tangencia 2 T 13. Sean a y b dos ángulos que pertenecen al IIC que cumplen: S B) 1/2 E) 2/3 x C) 2 18. Sabiendo que: p 1 a 1 2p, halla la variación de: Señala la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: M = 3cos a - 1 2 g = sena + cosb I. g pertenece al IC o IVC. A) [- 4; 2] C) G- 4; 1H E) [- 4; 1] II. g pertenece al IIIC. III. g es cuadrantal. A) VFFF D) VFFV B) VFVF E) FVVF y C) FVFV θ 14. Si: R = cos2x + senx Además: I. senx > cosx II. x ! 2p ; 5p 3 6 B) G- 4; 2H D) G- 4; - 1H 19. Halla PT, en términos de q. IV. seng ! [0; 1H CT T A) tanq + senq B) cotq + cosq C) tanq - senq A x D) cotq - cosq E) cosq - senq P 20. Halla el área de la región sombreada en la CT. 1 3 y A) 1 tanq III. senx ! ; 2 2 2 1 cotq B) CT 2 ¿Qué datos son necesarios para hallar el θ C) tanq valor de R? x D) cotq A) I y III B) I y II C) II y III E) 1 D) Solo II E) Solo III 44 Intelectum 5.° E) 1 A) 1 D) -2 θ A) 1/4 D) 1 D) 1 cotq 2 C) 1 tanq 2 2 T = 4 - 4 cos a - sen a cos a - cot 53° 2 2 x +y =1 O B) tanq 22. Siendo a un ángulo que pertenece al cuarto cuadrante, halla la suma de los valores enteros de la siguiente expresión: M = (2S + q)cotq y A) cotq Resolución de problemas 17. De la figura mostrada, calcula: NIVEL 2 θ CT B) [-1; 2] D) [-2; 3] E) p ; p 2 Comunicación matemática 21. Halla el área de la región sombreada en la CT. B) -1 E) 3 C) 2 23. En una CT se ubica un arco positivo a en el segundo cuadrante. Halla el valor del perímetro del triángulo formado al unir el punto de la parte final del arco a; el origen de la circunferencia y el origen de arcos. A) 2 + 2 - 2cosa B) 2 + 2 + 2sena C) 2 - 2 - 2 cosa D) 2 + 2 + 2 tana E) 2 - 2 + 2cosa NIVEL 3 Comunicación matemática 24. Compara las siguientes cantidades: M: El menor valor entero de x si: x - 2 = senq + cos2q 3 N: El mayor valor entero de k si: k + 3 = cosq + sen2q 2 A) M = N B) M + N = 0 C) M + N = 1 D) M > N E) M + N = 2 1] cotb 2 tanb 2 31. y II. 8] D) - B) - 8. Halla PT. A) y CT 150° O B) x C) D) E) 3 4 2 2 3 2 3 4 2 2 +1 4 +1 4 1 + 3 1 + 2 1 + 2 20. x2 ! IIIC A) . a 34.5 . a x O 16. Si: x1 > x2 & senx1 > senx2 6x1. Halla el área de la región sombreada en 34. a 21. 3] B) [1. y B 31.3 senq 2 4 32. c 12. d 5. b Nivel 2 13. Si: x1 < x2 & cotx1 > cotx2 6x1. 3/2H β Nivel 1 26. 3H E) C) tanb 9. cotb 2 15. 5/2H A) 2cotb 1. 28. 8] D) G-2. Del siguiente gráfico. determina la variación 3 de n. c 29. d C) 14 30. Calcula el área de la región sombreada. 5/2] x O CT ¿Cuántas son falsas? A) G1. x2 ! IC B) 2 E) Ninguna y x O III. 4] E) [-3. b 7. Siendo q un arco del IVC para el cual se tiene que: senq = 2n . b 6. c β 32. B) 1 . área sombreada en términos de b. 5/2H L cot T θ IV. en términos de q. Si: x1 < x2 & cosx1 < cosx2 6x1. calcula: C) [1. c B θ 2. c C) G-2.secf 3 A) [-4. si T es punto de tangencia. -2] C) [2. e A) 3 senq B) 1 senq 4 2 1 D) . -1] D) [-2. a C) senq 33. c CT 10. c B) [-2. 3/2] 27. c 25. b B) 12 E) 20 Nivel 3 A) 16 D) 18 23. Calcula el área de la región sombreada.3 5 entonces el intervalo de k es: A) [-2.30. Si: x1 > x2 & tanx1 < tanx2 6x1. d T y 3.ACTIVIDADES UNIDAD 2 45 . Si: q ! IIC y cos q = k . d A x A x 17. Si: 4sen2 aa + p k = 1 . D) [1. x2 ! IIIC A) 1 D) 4 CT 28. 3H E) [0. a 22.senq 2 1 C) .senq 2 D) 1 + senq 2 C l a ve s C) 3 Razonamiento y demostración B) G1. d I. 3] TRIGONOMETRÍA . a 14. b 4. Dado el intervalo 0 # a # p/6 obtenga la variación de secf. halla el valor del términos de q. a 19. Si el área de la región sombreada es 2. d θ P 11. b E) [3/2. c A) senqtanq C) cosqtanq E) senqcosq 24. b x2 + y2 = 1 18. a B) senqcotq D) cosqcotq 25. x2 ! R 27.cosq 2 1 E) + cos q 2 H = sec2b + cos2b y CT 29. De las siguientes expresiones: Resolución de problemas 33. d 26.senq E) . 6. (-) E) (+). Sea ABCD un paralelogramo. 5. 4. las personas observan la parte más alta de la antena con un mismo ángulo de elevación a.2q k .3 . En la siguiente CT.Matemática ▪ En la siguiente CT calcula el área de la región sombreada. A) 1 2 3. (Talla de la persona = 1.3 .3 5 Una persona observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación 37°. (-) D) (-).7p . Calcula cota. y CT A) tan θ 4 B) -secq C) tanq D) -tanqsecq E) cot θ 2 x θ 2. (+) y E β Dos personas y una antena equidistan entre sí.1 .50 m) A) 21.1 2 7.5 m 8. Si la relación entre la altura de la antena y la distancia entre la base de la antena y el punto medio de la distancia entre las personas es 1/3. (+) B θ Si q es un ángulo positivo que pertenece al IIIC y es menor a una vuelta. 1 F 2 D) . B = tan d q + 60° n 2 2 B) (+).3 α B P = sen d.3 4 E) .5 m E) 28. θ C α O D x N B) . 1 F 2 E) < 3 .5 7 D) . (-) A A) . θ y Resolución: Del gráfico. Determina al signo de las siguientes expresiones.2 7 Si: q ! <. p 24 24 Calcula la variación de sen a.5 m Intelectum 5. 14 metros más adelante observa la cúspide del árbol con una elevación de 53°. CD = 5 y MA = MO. Calcula la altura del árbol. 3 F 2 2 . 4 A) . A) (+) o (-). q ! IIC & AT = (+senq)(-cosq) ` AT = -senqcosq AT = A1 + A2 = 1.4 3 calcula: cotq Si: tan((2k + 1) p + b) = . 3 Calcula: tanq A 45° E) 2 3 A) .5 m 46 B) 2 5 C) 25. C) 3 7 B) 22. Si BC = 7. C) .p . 1 2 C) . AE = EB y tanb = 1 .3 5 D) .5 m D) 31.3 . 1 F 2 B) < 1 .° y M C) (-). tenemos: CT y θ CT |senθ| x |cosθ| |cosθ| x A2 A |senθ| 1 |senθ| 1 senq cosq senq cosq + 2 2 AT = |senq||cosq|. calcula el área de la región sombreada. k ! Z 4 2 Calcula: x C D A = cos(2q .270°)tan d q n .3p + b n 2 A) 3 5 B) . B) 3 C) 3 D) 3 3 Si ABCD es un rectángulo.2 5 3 E) 2 C) .4 7 D) 4 5 E) . Unidad 3 . halla el valor de tanx.Aplicamos lo aprendido tema 1: 1 IDENTIDADes TRIGONOMeTRICAs Simplifica: z = sen4x + cos4x + 2sen2xcos2x A) sen2x D) 1 3 B) cos2x E) sen2x C) 0 Simplifica: senφ sec φ E= .cot x .1 B) 2n n+1 E) 2n 1 .1 Si: tanx + cotx = 3 2 calcula: C = sec2x + csc2x A) 9 D) 18 B) 12 E) 36 C) 16 .n2 C) n n2 .senφ sec φ + tan φ A) cot2f B) tan2f 2 4 C) sec2f 6 3 3 M = sec x csc x .tan x 2 2 A) -1 B) 1 D) -2 E) 1 2 48 Intelectum 5.tan x cot x . A) 2n n-1 2 D) csc f 5 2 2n n2 . halla: D = secx + cscx D) E) sen f Simplifica: Si: secx + tanx = 5.tan2 φ + 1 .° C) 2 A) 24 25 B) 7 25 D) 5 12 E) 12 5 C) 3 4 Si: senx + cosx = n. D 9 B) tanx E) cot2x A) 1 3 1.Simplifica: C = senx tan x + cos x cos x cot x + senx C) cotx Si: sen2a . A 11. C 13. 2 10 calcula: tana + cota E) 2 10 13 A) 0 D) 1/2 12 14 C) 4 tan2 θ 1 + csc2 θ + tan2 θ B) -1 E) -2 C) 2 Si: senx + cscx = 3.cos2a = 1 (a ! IC). C 9.csc2q 12. B 7. C 11 A) 10 3 B) 2 3 4. B D) 3 3 4 C) E) 4 9 6.cot x + csc x + cot x = M + 4 cotN x csc x + cot x csc x . D A) 1 D) tan2x Si: sen4x + cos4x = 7 . B 14.4 cot2 x 1 + cos x senx 13 2 10 Si la igualdad es una identidad. 9 calcula: C = sen6x + cos6x 8 2. D B) 4 3 3 D) 2 9 C) 1 9 3. calcula: M + N csc x . E 7 TRIGONOMETRÍA . C 13 B) 2 E) 5 2 E = c senx + 1 + cos x m . B B) 5 E) 11 C) 7 Claves B) 2 E) 1 Reduce: A) 0 D) 1 C) 3 Simplifica: S = (1 + cot2q)cos2q .ACTIVIDADES UNIDAD 3 49 .cot x A) 1 D) 4 Reduce: 5. calcula: L = sen2x + csc2x A) 3 D) 9 C) -1 10. D A) -2 D) 3 B) -4 E) -1/2 T = sen4 θ - 8. para que se cumplan las igualdades: csc x = I. Reduce: E) sec2bcsc2b L = (tanxsenx + cosx)(cotxcosx + senx) 13. E) 31 32 A) Solo I C) Solo II E) II y III D = (secxcscx . calcula: 4 Nivel 2 • tanx(cscx . según corresponda: senx + cotx = secx • 1 + cos x 15.senx cos3 x C) 3sen2bcos2b Reduce: A) 3 D) 9 B) 1 9 A) 2sec2bcsc2b U = (secxcscx .cos2x b) tanxsenx + cosx = cscx c) cot2xsen2x = 1 .3tanx + 1 = 0. x ! IIIC 17.csc x tan x A) sec2x D) csc4x A) senx D) cos2x B) csc2x E) tan4x C) sec4x B) cosx E) 1 C) sen2x 18. si se cumple que: ¿Cuántas son verdaderas? B) 0 E) 3 2 B) n + 1 2 n 1 E) 2 Si: senx .sec x cot x A) sec2x D) cot2x B) cos2x E) 1 C) tan2x .1 1 . B) 1 E) secx C) senx 5.cosx = 1 .π. Completa los cuadros vacíos con la expresión trigonométrica correspondiente 8. IV.Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1.senx = 1 10. C) sen2x A = (3senx + 2cosx)2 + (2senx . 6. x ! . Indica (V) verdadero o (F) falso.senx) = cosx Si: secx = 1 + senx simplifica: 1 . tanx + cotx = 2 III. tanx = cotx II. Reduce: x A = sec x + cos 1 + cos2 x A) cosx D) cscx 4. halla: H = senxcosx 50 Intelectum 5. 1 1 + cos x = cscx a) sen4x .cosx)2 = 0 Razonamiento y demostración 12. secx + tanx = cos x 1- 1 + csc2 x =1 III. cotx + 2.tanx)senx B) cosx E) 1 A) 2 9 Resolución de problemas Reduce: A) senx D) cos2x 2 C) 1 .1 2 1 n + D) 2 B) senxcosx E) secxcscx C) tanx 19. 9. calcula: 3 L = senxcosx A) 0 D) -1 De las siguientes proposiciones: A) 1 D) 4 2 A) n .n 2 11.cos x sec x + 1 C) 2 Razonamiento y demostración 3.cosx = n. (f(tanb) + f(cotb)) B) Solo III D) I y III 16.cos2x V.sen2x d) 1 + cos x = sec x . cos2x = 1 .cos4x = sen2x . Si: f(t) = t 2 + 1. .3sec4x + 3secx. cot + tan x II.ysena = ysen2a A) y2 + 2xy x2 B) x2 + y2 x D) x2 . B) 2cosx E) 1 Si: senx . Simplifica: C) 15 16 2 2 2 L = sec x csc 2x . Si: 2tan2x .senx P = sec2x + csc2x C = sen x + cos x B) 1 3 14. En la siguiente expresión: 4 A) 1 9 Comunicación matemática • cosxtanx .y2 x E) y2 + x2 y2 C) 3cosx C) x+y x halla el valor de: (f(senb) + f(cosb)) . A) 65 64 • secx . Reduce: 2 2 2 U = sec x csc 2x .° D) 2 3 E) 1 3 C) 4 9 B) 1 E) -2 C) 2 D) 7 9 E) 5 9 C) 2 9 xcos2a .3cosx)2 B) 5 E) 13 C) 8 Reduce: C = senxcotx + cosx A) cosx D) 4cosx 7.cotx)cosx D) 3sec2bcsc2b D) 17 16 ¿qué datos son necesarios para hallar el valor de P? I. Si: tanx + cotx = 3.cosx = tan3x cscx . Reduce: B) 2sen2bcos2b B) 33 32 • (senx + cosx)2 + (senx . π 4 4 A) 1 D) cotx Halla el valor de: M = sec6x . Halla el valor de csca. R(6)] # R(2) # R(-2) 30.1 D) 0. calcula: tanx + cotx Luego halla el primer término e indica el valor de: 18. D 6 A) M + N = 7 C) 2M . B A = sec x .t1 M= 27. b ! IC): 11. 3 Luego halla la suma de los factores finales. Simplifica: R = senx + cos x sec x + csc x TRIGONOMETRÍA . Una ecuación cuadrática de coeficiente principal a. sen2x Razonamiento y demostración 24.3N = 0 E) M . si (q ! IVC / b ! IIIC): 32.2cosx)2 N sen2x + csc2x. C) tan6x 31. D E) 4 3 A) 1 D) 1/4 17. E D) b2 + c2 = 2ab A) 320 D) 300 28.3 (1 .. halla el valor de: E = tan2x + cot2x B) 4 E) 16 A) cosqcosb C) senb + senq E) cosq . Si: cot2x = cscx.2cotx B) 2 E) -1 25. calcula: A) 2 D) 8 Resolución de problemas Luego halla la suma de sus factores. halla la relación entre a.. C A) 1 D) 4 . C A) -1 D) 1/2 8. Si: tan2x . E C) 3 37. cos2x D) 2 + sen2x.1 35. si: senx + cscx = 29. Halla n. C (cos x tan x .csc x D) 2 E) -2 A) tan2x B) tan4x 3 E) tan5x D) tan x 25. B C) tan2x 22.N = 0 D) 3M . Simplifica la siguiente expresión si: (q. A M = sen6x + cos6x A) senbsenq C) cosb + senq E) senb + cosq 12. A A) 0. 4 + 3sen2x. Reduce la siguiente expresión: halla el valor de: B) -2 E) 1 C) cotx 6. Si: tanx + cotx = 5 .2 csc x . E B) 3 E) . Si: tanx + cotx = 4. C 32. C P = [R(4) . 3. Compara las siguientes expresiones: M (2senx + cosx)2 + (senx . C 33. A 38.senβ) 2 Nivel 3 B) 0. B C) 36. B A) senx D) cotx C) 2 15. 30. C) 1/2 Resolución de problemas 26. C B) 2 E) 6 . B C) a2 + 2ac = b2 C) 6 20. B) cosx E) 1 21. b y c.4 B) cosbcosq D) senb + senq 38.cosb 4. 2. 2.tan x .sen2x = nsen2x 7. D 36. C B) -senx E) -cotx 24. a partir de: Nivel 3 C l a ve s 20. calcula: C) tanx 39. Simplifica: A) sen2x D) cot2x 27.3tanx = 2. B R(a) = (sena)a + (cosa)a B) 1 E) 2tanx 29. coeficiente lineal b y término independiente c. Calcula m para que E sea independiente de q.b2 = 4 E) a2 + b2 = 8 1. Simplifica la siguiente expresión.2ab = b2 B) senbsenq D) cosb + cosq 39. halla: E = cos4x + cos2x 9.(cos θ . A A) a2 .N = 2 7 A) a2 + b2 = 3 C) a2 .2 E) 0.sec2 x A) -1 B) -3 C) 1 csc x . B A) tanx D) -1 21. C B) cos2x E) sec2x 14.8 N= 19. C A) 2 D) 5 N = t4 . posee como raíces a senq y cosq. . E 31.cotx = 2.cos β) 2 33.b2 = 3 D) a2 + b2 = 4 10. 3 ^1 . A 3 16.cotx = b Comunicación matemática Nivel 1 A) senx D) secxcscx 35.10 A) cos2x.(senθ . B D) 2 3 B) 2 6 B) M . Si la función: C) 321 Nivel 2 E) b2 + 2bc = ab B) 322 E) 312 5. Completa los términos que faltan en la siguiente sucesión cuadrática: C) 4. E 23. D C) -4 B) sen2x. C B) a2 + b2 = 2ac B = tan6x + cot6x 13. C 22. calcula: L = secx + cscx A) tanx + cotx = a tanx . Si: senx + cosx = 15 senxcosx / x ! IIIC.1 2 cos x E= 23.senx cot x) 2 .2N = 0 B) a2 . Simplifica: 4 4 6 6 E = m(sen q + cos q) + 2(sen q + cos q) 4 2 M = sec4 x . Si: tanx . B 26. tan2x . halla: A = tanx . B 37. 2 E) 5. 34. 1. si se cumple que: 34. Elimina x. Si: tanx + cotx = 3.ACTIVIDADES UNIDAD 3 51 . B C) 0.cos θ cos βh2 .senθsenβ) 2 .2 cot x .C) senxcosx 28. 6 7 A A) 2 17 B) 3 17 D) 5 17 E) 6 17 C) 4 17 B) 2 E) 3 + 2 C) 2 + 2 2 B) -16 E) 64 C) 32 Del gráfico.x) = sen40° A) 30° D) 40° 5 C) cota B) 15° E) 60° 4 C) 20° Del gráfico.2 7 A) 3 D) 2 + 2 6 2 φ Siendo: tanx = 5 y tanb = 3 Calcula: tan(x + b) A) 16 D) -32 β C θ 3 α D . si: x + y = π 4 B 3 52 Intelectum 5.senβcos α cos ^ α .4 7 E) .° A) .βh . calcula: tanf B) 2 7 D) . si: sen(40° + x) + sen(40° .senαsenβ A) tana D) cotb 3 B) tanb E) 1 Halla x (ángulo agudo). halla: tanq 5 4 6 C) 4 7 Reduce: A = (cosx + cosy)2 + (senx .seny)2.Aplicamos lo aprendido tema 2: 1 Ángulos compuestos Simplifica: C= 2 sen^ α + βh . D A) 1 D) 4 D 3. calcula: A = sen(45° + β) 3 10 4 7 2 E) 7 C) 1 7 B) Del gráfico. D A 14. A 12. Calcula: tanz. B B 1 A) 3 D) 6 2.a). C 13. C D B) 5 E) 50 C) 25 Claves B) 5/41 E) 1 A 10. AE = 3 y EC = 2. E α B) E) 7 -1 7 +1 5. C 9 B θ h 5 A B) 2 E) 5 A) D) C) 3 Calcula tan(q . D 11 8 26 9 26 B) TRIGONOMETRÍA . tany = 3. 14 A 1 3 2 5 60° S 1 C 5 -2 7 -2 C) 7 +2 C F S k E A) 1 D) 125 C) 3/41 9. A A) -5/41 D) -3/41 B 7. si ABCD es un rectángulo. A) 1 7 B) 2 7 D) 4 7 E) 5 7 En un DABC: cot A = cot B = cot C 3 5 6 Calcula: cotC. D θ 8.ACTIVIDADES UNIDAD 3 53 . considera m+ABC = 135°. si: AB = 1. 7 x 30° 2 3 3 26 7 26 A) D) E) C) 5 26 Calcula tanq. E 37° 7 4. además: tanx = 5. si ABCD es un rectángulo. 12 B) 4 E) 8 Calcula h. C C H Halla: E = k2 + 34k . 3 B 3 E 3 6. calcula x. 8 C) 3 7 3 7 5 7 A) D) Si: tanb = 2 / b ! IC. D 13 C) 5 1. E 11.7 9 Si: x + y + z = 180°. ( III. a" A) 127 225 117 D) 125 b" c" d" e" 2. Si: tan x = 3 .Practiquemos 7. Primera letra del alfabeto griego.1 19 C) 1 17 Si: senx = 3 / senz = 24 5 25 Calcula: E = sen(x + z). C) senx Si: tana = 1 / tanb = 2 3 5 Calcula: tan(a . C) 4 .1 17 c. sen(A + B) = senA + senB J = cos(45° + x) + cos(45° . e. Si: tan(x . 8. cos(A . A) 2senx B) cosx D) senx E) C) 2cosx 2 2 5.4 2 B) 1 5 54 Intelectum 5. Cateto opuesto entre hipotenusa. A) 1 3 ) = cos6x 2 cos x Halla el valor de sen7°. 2 cos(45° + x) . (x e y ! IC) 4 5 Calcula sen(x + y).sen4x .B) = 2 y tanB = 1 3 Calcula tanA. Tipo de ángulo mayor que 180° y menor que 90°. D) E) 3 cos x C) D) 3 3 . NIVEL 1 E= Comunicación matemática 1. B) 3 3 + 4 10 ) . Tipo de ángulo cuya medida es menor que 90°. B) .x) 4. A) 1 7 D) -7 Completa: tan(a + b) = C) . sec y = 13 .1 7 B) 7 E) 1 5 NIVEL 2 tan(a . Completa: sen3x .1 7 E) . ( D) 1 9 E) 1 11 A) 7 B) 1 7 C) . Calcula tan8°. d. z son agudos. b. ( ) = sen3x 12.cos6x . Simplifica: B) 125 117 E) 39 25 C) 117 222 10. 6.b) = Comunicación matemática 11. f. ( ) . Si: tan(A . Tipo de ángulo formado por la suma a diferencia de dos o más ángulos simples.y) = 2 / tany = 1 3 Calcula cotx.b) A) 1 7 D) . tan(A + B) = tanA + tanB + tanAtanBtan(A + B) Reduce: A) cosx ) + cos3x .4 5 E) 3 3 .x) B) senx ) = sen4x I.4 10 cos4x .B) = cosAcosB .3 3 10 A) 61 65 D) 64 65 B) 62 65 C) 63 65 E) 2 14.senAsenB 2 2 A) 3 3 . ( II.1 7 D) -7 E) 1 5 . ( Razonamiento y demostración 3. Indica verdadero(V) o falso(F) según corresponda: Razonamiento y demostración 13. CRUCIgRAMA Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático. Reduce: J = sen(30° + x) + sen(30° . x.cosx A) 1 B) -senx D) 2senx E) 2 9.° C) 1 7 sen6x . calcula: tanq I. Si: tanxtany = 1 / senxseny = 3 5 12 Calcula: cos(x . 18. Calcula: E = tan27° + tan18° + tan27°tan18° A) 1 B) 4 C) 2 D) 1 2 E) 3 A) 1 9 B) 4 3 C) 1 D) 3 4 E) 9 C l a ve s 7. cos39°cos28° .tan40°) A) 1 B) 2 D) . B 16. D Nivel 3 15. C 23. C 26. 8. A 11.xh + cos ^30° + xh sen^30° . Simplifica: M = A) 1 D) C) 15° D) 20° 27. Del gráfico mostrado. Indica verdadero o falso según corresponda: B) 13 17 C) 51 13 30. B) 1 3 E) 1 6 3 2 D) B) 1 2 3 2 D) 2 3 16. B 2. B 10.senxseny B) tanx C) cosx D) senx tan18° tan54 ° . calcula tan(x + y). A) 1 2 A) C) sen40° 3 tan80°(tan50° . B) b C) ab A) a b a a+b D) ab E) a b-a a+b sen4xcosx .tan36° 28. D 6.xh + sen^30° + xh B) 2 B) 1 E) -3 26. Halla un valor agudo de x para que cumpla: A) 5° C) 25.senxcos4x = 0. 19. B 9.sen4xsenx = 1 2 A) 6° B) 12° C) 18° D) 21° 20. si a es agudo: sen2acosa + senacos2a = sen45° a = 43 cos5acos3a + sen5asen3a = sen86° a = 25° sen4acos20° . Si: tanx + tany = a / cotx + coty = b. B 13. Simplifica: E = E) 24° A) 0 3 3 C) C) 2 D) -2 sen^x + yh . B 24. E Nivel 1 22. Calcula: E = E) 30° cos ^30° .tan y cos ^x . A 5. Reduce: E = cos10° - 24. D 14. 3.15.b). A 27. E TRIGONOMETRÍA .cos4asen20° = sen80° a = 15° Razonamiento y demostración 23. C 12. senAcosB + senBcosA = sen(A + B) 4 II. 29.1 2 E) -2 E) cotx C) 1 2 29.y).cos51°sen28° = sen23° E) 3 4 22. C Nivel 2 17. D 21. Calcula: E = 3 sen10° A) 2sen20° B) 2sen40° D) cos40° E) 1 C) 1 3 17.5 B) 10° 3 E) 2 3 3 A) 0 19. Calcula: E = (sen17° + cos13°)2 + (sen13° + cos17°)2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5 18. Del gráfico mostrado. Halla el valor agudo de x que verifique: cos4xcosx . C 20. Relaciona según corresponda. D 1. B 25. C 30.yh .ACTIVIDADES UNIDAD 3 55 . Si: tana + tanb = 1 / tan(a + b) = 1 .cos86°sen20° = cos24° D) 13 51 1 θ III. sen86°cos20° . calcula: x x 3 E) 3 3 1 NIVEL 3 37° 4 Comunicación matemática A) 17 13 21. C 4. (a ! IC) 3 Calcula: tan(a . 28. 8 7 D) 5 8 E) 1 4 2 C) .15 8 A) 0 D) -2 Calcula: E= Calcula: K = (2 + 2cos35°)(1 .Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 3 ÁNGULOS MÚLTIPLES Si: tan(45° .cos35°) + 2sen10°cos10° 4 1 6sen18° cos 36° 3 A) 2 3 B) 1 4 D) 4 3 E) 1 3 C) 1 6 ¿A qué es igual? F = sec76° . A) 4 3 B) .x) = 4.tan76° A) cot14° D) cot7° 56 Intelectum 5.tan x 4 4 E= csc x + cot x A) -1 B) 2 D) 1 2 E) -2 C) 1 .° C) 2 Halla: x θ 5 B) 1 E) -1 6 B) tan76° E) tan7° C) csc76° θ 2 x A) 5 5 B) 4 5 D) E) 3 5 5 C) 2 5 Simplifica: cot x . calcula tan2x. 14 Si: tanqsec2x . calcula: sen3x Si: 3sen3θ + 7 cos 3θ = 1 senθ cos θ 8 Calcula: cos6q B) ! 1 2 1 E) 2 A) 1 D) ! 3 2 9 C) 3 2 Calcula tanq. C 11 θ 2. B 11.csc θh sec θ csc θ A) 2/3 D) 2/7 10.11 16 C) 9 11 Si: 2sen2q = 3senq / 3π < q < 2p 2 Calcula: 2 (sen θ + 7 cos θ ) 2 2 3 E) 2 3 C) 1 5 Simplifica: M = 2sen2 θ cot θ + tan θ 2 2 12 A) sen2 θ 2 B) cos θ 2 D) tanq E) senq 12^4 cos2 16° . E 9. A B) 7/3 E) 6/7 C) 7/6 Claves B) 4 E) 7 B) 1 3 D) 2 14 12.3 2 E) C) 0 2 2 Si: sen2θ = 1 3 Calcula: sec3 θ .csc3 θ 2 2 ^sec θ . C 13. C 14. calcula: tanq A) C) sen2q Calcula: M= A) . A A) 1 3 4.ACTIVIDADES UNIDAD 3 57 . E A) 3 D) 6 B) .1 = 0.4 2 5. C 13 D 1 B 1.2 2 E) . E D) 1 7 2 2 6.7 Si: 3tanx = 2cosx.2 D) . B 7. B B) 3. B A θ TRIGONOMETRÍA .3h 5sen21°cos 21° C) 5 C) .tan2xtanx . 10 C A) 1 B) 5 7 D) 13 17 E) . C 8. Nivel 1 Relaciona según corresponda: csc2q 2 tan θ 1 + tan2 θ cot2q cot θ + tan θ 2 A) -tan100° C) tan400° E) 1 cot θ . tan60° = csc120° .° C) I. según corresponda: I. ¿cuál 5 es el seno de la mitad de dicho ángulo? A) 24 7 10. D) 1 4 3 3 B) Comunicación matemática Calcula: tan7°30’ A) 5 5 Nivel 2 tan x . Índica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: III.cos 200° 1 + cos 200° E= Comunicación matemática 1. 16. B) sec18° D) csc18° 6.1 = 0 6.Practiquemos 8. Reduce: II.1. 2sen22a = 1 .cot120° Simplifica: 1 .sen 40° 1 + sen 40° A) tan30° B) 1 2 3 D) E) tan40° 4 B) 7 24 E) 0 cot θ 2 Calcula: E = tan π .cos4a Razonamiento y demostración 5. si: A) 7 D) 6 7. cot10° = csc20° + cot20° P= 58 Intelectum 5.cosx = 1 y que 5 0° < x < 45°. A) A qué es igual: tan54° + tan36° A) 2sec18° C) 2csc18° E) 2cot72° 4.cos θ 2 cscq .cot π 8 8 A) -2 B) 2 D) . B) tan100° D) -tan400° Resolución de problemas 9.4. Sabiendo que tana = 3.tan37° 3. Si el coseno de un ángulo agudo es 3 . Reduce: sen2α + sen α 1 + cos 2α + cos α A) tana D) csca B) cota E) cosa E) 3 5 senθcot ` θ j .4+ 3+ 2 B) 6+ 4.2 E) 6+ 4+ 3+ 2 C) 9 A) 1 5 B) 2 5 D) 3 2 E) 5 6 1 3 D) 7 25 E) 5 12 C) 24 25 15. Calcula: C) seca 19. ¿cuál es el seno del doble de dicho ángulo? A) 4 5 B) 2 3 D) 1 3 E) 2 5 C) 1 4 . Si la tangente de un ángulo agudo es 2. Simplifica: E = 1 .1 2 θ senθtan ` j + cos θ 2 A) cosq B) tanq C) cotq D) sen` θ j 2 E) cos ` θ j 2 18. Relaciona según corresponda: Calcula: M = tan22x . cos150° = 1 + cos 300° 2 13.tan2x .cotq 12. calcula: cos4a 3 ¿cuál es el coseno de la mitad de dicho B) 7 C) 12 A) 24 ángulo? 25 13 25 II. 2csc60° = cot30° + tan30° III. sen2q 14.sen20° + sen10° A) cos10° B) sen10° C) -cos10° D) -sen10° cscq + cotq ! sen θ 2 C) 2 2 1 . Si el coseno de un ángulo agudo es 2 . Marca verdadero (V) o falso (F).3+ 2 D) 6+ 4+ 3.2 2 E) 0 2 2 E) 1 3 tan θ 2 2 B) 5 E) 4 C) 11.3+ 2 C) 6. Halla sen4θ a partir de la expresión: cos θ cos 4θ + sen 4θ = csc θ 5 cos 2θ + sen2θ 2 cos 2θ A) 1 5 B) 2 5 D) 1 3 E) 1 6 C) 4 5 Resolución de problemas Razonamiento y demostración C) tan25° D) 5 13 17. determina: tan2x 1 .tan θ 2 2. Sabiendo que senx . 2cot74° = cot37° .tanx . C Nivel 2 17. 4 2 θ θ F = 7 sen + cos 2 2 E) 2 2 C) 2 1 + 1 + 1 + cos2 2x . Calcula la suma de los primeros términos de la serie: tan x + 1 tan x + 1 tan x + .2 cot 2x 2 2 Resolución de problemas III. B 11. calcula: k = tan ` π . A 23.2 cot x 2 2 B) 1n tan xn . A 9.ACTIVIDADES UNIDAD 3 59 .23 27 D) .3 .3 7 C) .q)cos(60° + q) cos3q tanqtan(60° .11 13 B) . E 5. Si la secante de un ángulo agudo es 3.4 B) 2k k2 . cos45° = 4cos15cos45°cos75° D) 2 C) ! 28. 18.q)sen(60° + q) A) ! a b B) ! b a D) ! 1 b E) ! a+b a-b I.1 6 D) . 3. B 2. E 26.. A Nivel 3 15.2 tan2x 2 2 D) 1n cot xn . 29. A 25. Reduce: M= 1 a E) 1n cot xn + 2 tan2x 2 2 II. Si sena = a . C 24. B TRIGONOMETRÍA . A 10. ¿cuál es el coseno del doble de dicho ángulo? A) 1 8 B) .2 3 26. Marca verdadero (V) o falso (F).1 9 C) 21 8 C l a ve s 2 A) a2 . D 4.b . + 1n tan xn 2 2 4 4 2 2 22. Si: cotx – tanx = k.k2 27. a qué es igual: a b 2 A) 11 6 30. D 30. 19. C Nivel 1 E = acos2q + bsen2q 2 B) 11 3 C) cot x 2 25.α j a+b 4 2 Comunicación matemática A) 0 C) C) a 22. 8.7 8 E) .. según corresponda: B) 1 4k 4 . halla: tan4x E) . E 16. A 20.k2 E) 2k k2 + 4 21. sen30° = 4sen10°sen50°sen70° A) 1n tan xn . Si: cos θ = sen θ . 28.sen2 2x senx sen2x sen 4x sen 4x A) csc x 2 B) sen x 2 D) tan x 2 E) sec x 2 2 D) 11 2 E) 11 4 C) 11 5 A) .b2 a +b B) a2 + b2 a -b D) b E) a + b 7. A 1.q)tan(60° + q) tan3q 4senqsen(60° . Relaciona según corresponda: sen3q 4cosqcos(60° .20. C 13. si π < q < p y cosq = . Si la cotangente de un ángulo agudo es 2.4 5 Nivel 3 A) 4k k2 . ¿cuál es el coseno del triple de dicho ángulo? 24. tan60° = tan20° tan40° tan80° 29. C 6. A 14. A 27. Si la tangente de un ángulo agudo es 3. Calcula el valor de F.2 tan2x 2 2 C) 1n cot xn . A 12.4 D) 2k 4 . B 21. ¿cuál es la tangente del triple de dicho ángulo? Razonamiento y demostración 23. 4 sen x A) sen2xsen-2x D) cos2xsen-3x 5 B) -9 E) .cosx A) cos2x D) cos7x 60 Intelectum 5.8 2 Transforma a producto la siguiente suma: A=3+ 3 A) 2sen10° D) 2 6 cos15° 4 B) 2 6 sen15° E) cos15° C) 2 6 cos15° Calcula: N = cos2α + 2cosα + 1 cos 2 α 2 B) sen3xsen-2x E) cos3xcos-3x C) sen3xsen-3x A qué es igual: R = 2cos2xcos3x .° A) 4cosa D) sen4a 6 B) cos3x E) 0 C) cos5x B) 2sena E) cos4a C) 4sena Simplifica: R = sen3xsen7x + cos2xcos8x A) -sen5xsenx D) cos5xcosx B) sen5xsenx E) sen10xcosx C) -cos5xcosx . calcula: P = 64 sen 5A sen 3A 4 2 4 4 A) 9 D) 16 3 C) 8 Factoriza: y = 32 .Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 TransFormaciones trigonométricas Si: cos A = 1 . 5° 12 C) cos 91. C B) 6 E) 12 C) 8 Claves 12. 5 o E) sen90. 5 o B) D) sen90. 5° Calcula el máximo valor de: S = sen(x + 30°)cosx 14 Calcula: A + B + C Si: sen8x + sen4x = AsenBxcosCx A) 4 D) 10 2 2 10. C 7 TRIGONOMETRÍA . se cumple: senAsenB = cosC A) Equilátero C) Rectángulo E) Acutángulo 8. D E) B) Isósceles D) Escaleno C) 1 2 B) 1 3 2 En qué tipo de triángulo ABC. B A) cos3x D) 2cos3x .1 Simplifica: P = senx + sen3x + sen5x + sen7x cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x 8 2. A D) A) sen20° D) csc20° E) 8 C) sec20° 2 sen40 o sen60 o + sen20 o 5.5° cos 90. + sen180° A) sen89.Simplifica: B = sen5x + sen2x ... C 11. A 9 B) 2cos3x E) 2cos2x 1. E A) 3 4 14.ACTIVIDADES UNIDAD 3 61 . 5 o sen0. si: sen α = 1 2 2 cos α 2 Calcula el valor de: A = sen1° + sen2° + sen3° + . D 11 B) 2 C) sen2x 3.senx sen2x C) 2cos3x + 1 Halla el valor de: A) tan8x D) cot4x 10 F = sen2α + senα . 5° cos 0. D 9. 5 o sen0. C 13 K= C) . D 13. C A) 1 2 D) 4 B) sen3x E) tan4x 4. 5° cos 0. B 7.1/2 B) cos40° E) sec40° Simplifica: 6. 2n + 1 /2n III. # tan a 2n + 1 m 2n + 1k 11. Utilizando la teoría de series trigonométricas.B m 2 C) -1 2 • cosA + cosB = 2cos c A + B m cos c B . 1/2n II.° B) 2 D) 1 4 E) .... 3 D) 1 2 Transforma las siguientes sumas y 8.. 2n + 1 A) Ia-IIb-IIIc C) Ic-IIb-IIIa E) Ib-IIa-IIIc B) Ia-IIc-IIIb D) Ic-IIa-IIIb 14.ck + cos kθ m cos ^θ + kθhE cos θ 2 B) 1 . = • 2cos3qcosq = • sen3xsen7x = • cos2xcos8x = • sen3qsen5q = 7.. De los productos trigonométricos relaciona cada expresión con su respectivo resultado: E) 4sen4xsen 5x cos 3x 2 2 • sen52°sen88° = • senqcos3q Comunicación matemática D) 4cos4xcos 5x cos 3x 2 2 Comunicación matemática 1. # cos a 2n + 1 m 2n + 1k I. 13. B) cos(x – y) D) cos2(x + y) B) 2 3 3 E) 2 2 C) 1 Reduce: M = sen40° + sen20° cos 10° A) 1 B) 1 2 1 E) 2 D) 2 C) –1 Calcula: S = cos20° + cos100° + cos140° A) 0 B) 1 D) 1 2 E) .cosB = -2sen c A + B m sen c A . 9 10 • sen4x + cos8x = • sen6x + cos4x = H= Reduce: K = sen50° + cos 50° cos 5° A) Razonamiento y demostración 3. transforma a producto.sen52°sen88° B) 2 E) -1/4 c) cos a p k # cos c 2p m 2n + 1 2n + 1 np 3 p # cos c # . 1 . • cos5q + cosq = • sen4x + sen2x = • cos19° .senB = 2sen c A + B m cos c A .yh D) 5.sen 2 y cos^x . NIVEL 2 A) sen A sen B sen C 2 2 2 A B B) 2sen sen sen C 2 2 2 A B C C) 4cos cos cos 2 2 2 A B D) 8sen sen sen C 2 2 2 A B C E) 4sen sen sen 2 2 2 .ck + senkθ mcos kθ E 2 senθ A) -2 D) 1/2 a) sen a p k # sen c 2p m 2n + 1 2n + 1 3 p np # sen c # .B m 2 2 + + A B A B • senA + senB = 2sen c m cos c m 2 2 ¿Cuántas son verdaderas? A) 3 B) 2 D) 0 E) 4 C) 1 Razonamiento y demostración 15.cos9° = • cos3x + cos4x = • sen p + sen p = 9..Practiquemos C) 4cos4xcos3xcos5x NIVEL 1 Transforma a suma o diferencia. diferencias a productos. 2..A m 2 2 • cosA . # sen a 2n + 1 m 2n + 1k b) tan a p k # tan c 2p m 2n + 1 2n + 1 np 3 p # tan c # . C) Transforma a producto: H = 1 + cos2x + cos4x + cos6x Transforma a producto: M = sen3x + sen5x + sen8x A) 1 3 A) 1 . Calcula: (sen38° + cos68°)sec8° Simplifica: A) cos(x + y) C) 0. Calcula la suma de los k primeros términos de la siguiente serie: E) 1 2 A) 4senxsen2xsen3x B) 4cosxcos2xcos3x C) 4cosxcos2xcos4x D) 4senxcos2xcos4x E) 4cosxcos2xsen4x 6.5cos(x+y) E) cos2(x – y) 4. K = senA + senB + senC D) 1 . • senA .ck + senkθ m cos ^θ + kθhE senθ 2 C) 1 . 2 Resolución de problemas Calcula: L = sen80° + sen 40° cos 80° + cos 40° A) 1 B) 10.sen 2 x .1 2 2 C) –1 C) 1 2 2 2 P = cos q + cos 2q + cos 3q + . Calcula el valor aproximado de: M = sen74°sen34° . En un triángulo ABC.1 2 A) 4sen4xcos3xcos5x B) 4sen4xcos 5x cos 3x 2 2 62 Intelectum 5..c k + cos kθ mcos kθ E 2 2 cos θ E) 1 + cosqk 12. De las siguientes transformaciones de suma o diferencia. C C) C) 4sen4acos2acosa 8. Halla la suma de los cosenos de a.cos^3a . Si se cumple x = y + 30°.2 cos 2a cos 5θ + cos 3θ + cos θ sen2a A) tan3q B) tan5q C) tan2q E) 1 + 2 cos 2a D) tan4q E) tan8q sen2a 27. C 22. 18. 17.3 cos 2a 2 2 C) 1 + cos 2a 28. Si: x + y = 30°.1 2 B) 2M = N E) M = 3N B) 2cos3q E) 1 10. D 14. A TRIGONOMETRÍA . A A) 1 C) 1 2 A) M = 2N D) 3M = N A) 2sen3q D) cos2q 2.bh A= sen2a + sen2b C) -1 D) 2 32. P = sen7x + sen3x .sen3x 11. Calcula la suma de los n primeros términos de la siguiente serie: P = tanxtan2x + tan2xtan3x + tan3xtan4x + .ntanx R = cos 7x + cos 3x sen7x . D D) C) 2 Obtusángulo Acutángulo Equilátero Rectángulo Escaleno 23.1 E) . D E) tan4x E) cotxtan(n + 1)x . A B) 2 23. En un triángulo ABC. A) tannxtanx . E 26. D 3 2 A) 1 24.a) + sen2(x + a) = 2 27. H = cos20° + cos100° + cos220° 31. calcula: sen^x + yh P= sen 2 x . C 19. B E) 1 4 B) 0 31. A B) –1 D) . A 20. B C) cotx 20. calcula: sen^x + 3yh + sen^3x + yh H= sen2x + sen2y 29. transforma a 22.ACTIVIDADES UNIDAD 3 7. B E) 0 C) M = N C) sen3q 9.. B 2 cos x T = cos x + cos 7x + senx + sen7x sen5x + sen3x 33. E Resolución de problemas C) tan(n + 1)xcotx . Simplifica: cos^a . A 29. Simplifica: 28. B 6. Reduce: A = sen2x + sen 4x + sen6x cos 2x + cos 4x + cos 6x A) tanx B) tan2x C) tan3x D) tan4x E) tan5x 30. D 21.(n + 1) 25. Si: sen2a + cos2(x . B A) tanx D) cot2x 5. D E) –1 E) 4cos4acos2asena Nivel 3 D) 2 3 3 D) 4sen4asen2acosa 15.sen 2 y A) 1 2 24.(n + 1)tanx 12. b y q. Halla el valor de la siguiente expresión: producto: C = cos 2p cos 4p + cos 4p cos 6p 7 7 7 7 F = sen2A + sen2B – sen2C 6p + cos cos 2p A) 4senAsenBcosC 7 7 B) 4cosAcosBsenC A) 1 B) 1/2 C) -2 C) 4senAsenBsenC D) 1/2 E) 1 D) 4cosAcosBcosC E) 2senAsenBcosC NIVEL 3 cos2A + cos2B + cos2C = 1 Razonamiento y demostración 25.. Calcula: 30. b y q están en progresión aritmética de razón 120°.16. Transforma a producto: R = sena + sen3a + sen5a + sen7a 63 . C A) 2sen(a + b) C) sen(a – b) E) 2cos(a – b) E) 1/2 33. Compara las siguientes cantidades: M: El máximo valor de: P = sen(x + 53°)cosx N: El máximo valor de: T = sen(x + 37°)senx B) 4cos4acos2acosa Nivel 1 A) 1 Comunicación matemática A) 4sen4asen2asena C l a ve s 17. B B) 2cos(a + b) D) 2sen(a – b) B) tan(n + 1)xcotx + ntanx 4. Simplifica: 26. Reduce: sen2a M = sen5θ + sen3θ + senθ D) 1 . Simplifica: Halla el valor de sen2x. D D) cot2x C) tan2x 19.3bh . D B) tan2x E) tan4x Nivel 2 13. En qué tipo de triángulo ABC se cumple: Resolución de problemas 16. C B) 1 3 A) B) C) D) E) 32. Simplifica: (cot2q + tanq)(cos3q + cosq)senq 1. B 21. en términos de a. 6x = p senx + sen9x A) 1 + 2 cos 2a 2sen2a A) 1 B) –1 C) 1 2 1 sen 2 a + B) D) . Si los ángulos a.ntanx 3. E A) tanx D) tannxtanx . C B) cotx 18. G-2.[-2. 1H C) R . 2H 64 Intelectum 5.{(2n + 3) π / n ! Z} 5 D) R .Aplicamos lo aprendido tema 5: 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Determina el dominio de la función: g^ x h = senx + 1 cosx .senx A) R .{(3n + 2) π / n ! Z} 8 6 Del gráfico. 2H A) π u2 2 π u2 D) 6 x B) π u2 3 π E) u2 8 C) π u2 4 . 2] E) G-1.{(2n + 1) π / n ! Z} 2 B) R . 5 E 2 2 Halla el dominio de la función: F(x) = tan2x + sec2x + 2x A) R .{(2n .{(3n + 1) π / n ! Z} 2 C) R . b].° B) [-2. 4] C) [5.4) y el Ran(f) = [a. 2] D) G-2.{(2n + 1) π / n ! Z} 4 E) R . 4] B) [3.1) π / n ! Z} 2 C) R .{(2n + 1) π / n ! Z} 3 3 B) R . 3 . calcula: H = a2 + b2 .{(2n + 3) π / n ! Z} 2 Si f(x) = cosx(cosx . y 1 f(x) = senx 1/2 O A) R . 7] D) .{(4n + 1) π / n ! Z} 8 E) R .{(4n + 1) π / n ! Z} 4 D) R . 5 . 7 E 2 2 E) .ab A) 18 D) 24 5 2 B) 49 E) 27 4 C) 61 Halla el rango de la siguiente función: H(x) = tanx + cotx Halla el rango de: F(x) = 3 + (senx)(cosx) A) [2. calcula el área de la región sombreada. C 7. E C) 9 Claves B) 5 y 3 E) 4 y 2 6.2senx)(cos3x + 2cosx) A) π 2 B) π 3 π E) 6 D) p 12 C) 2π 3 En la figura. D 11 B) VFV E) FVF ( ) TRIGONOMETRÍA . B O C) VVF 4. tiene como dominio: ( ) R . g(x) = senx x y = cosx θ A) D) x O S 9 y 10 La función y = F(x) = senx + 1. la función es de la forma: f(x) = AcosBx Calcula A y B. D 3 B) FVF E) FVV 1. D 13 A) VFF D) VFV C) FFV 2. calcula A = tan2qcot c S m csc θ Del gráfico. 14 y Halla el período de: g (x) = senx + sen2x + sen3x cos x + cos 2x + cos 3x A) p B) π 4 D) π 3 E) 2p C) π 2 Del gráfico. B 14. La función y = F(x) = cosx + 47. según corresponda en: I. 0. es par.{np/ n ! Z} ( ) C) 3π 2 Indica verdadero (V) o falso (F). es creciente en el intervalo G0.2 E) -1 2 3 A) 3 π D) 3p C) 1 Indica verdadero (V) o falso (F). es decreciente en el intervalo ( ) π. es impar. C 10. 3 (Considera: a > 0) y f(x) a π 2 π x O -3 5π x y = asenbx C) 6 y 3 A) 10 D) 8 B) 5 E) 6 5. La función y = F(x) = secx. 2 π 2 2 II.5x. A) VVF D) FFF Halla el período de: f(x) = 2(sen3x . siendo P` π . B A) 5 y 2 D) 3 y 2 3.{(2n + 1) π / n ! Z} 2 II. C 9. B 12. La función y = F(x) = cosx. según corresponda en: I. calcula el área de la región sombreada. respectivamente. 8 Si: S es el área de la región sombreada f(x) = tanx 2 y = cscx y O B) . 3 π j 3 π . tiene como dominio: R . pH ( ) III. B) 2 3 π E) 4p ( ) III. C 11. La función y = F(x) = cotx. E 8. La función y = F(x) = cscx .7 Del gráfico. 8j un punto de dicha gráfica. calcula: M = 5a + 4b. A 13.ACTIVIDADES UNIDAD 3 65 . según corresponda: y x -π A) 1/2 D) 3/4 y -π O 1 C) y De las funciones que se indican. 4 E) $ π . Cateto adyacente entre hipotenusa. g(x) = cosx Además: f(x) = g(x) Halla los valores de x.π . 3. Completa el siguiente crucigrama y halla el nombre de un matemático en la columna: Conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable y. y 2. Cateto opuesto entre hipotenusa. cot(6x) & T = π 6 ( ) . 6 D) $ π .2 E) 2 2 C) 0 Resolución de problemas 9.2 2 D) 2 B) . Calcula n. 3] E) [3. 2 B) ' π . B) [1. 2pH A) $ π . A) F(x) = |senx| B) g(x) = cos|x| C) H(x) = sen|x| D) g(x) = cosx . B) G1. 4 Dada la función: 5π 1 4 π . Si F(x) = 2senx + 3. A) [1.° O O π x 2 B) 3/2 E) 4/3 C) 5/2 Nivel 2 Comunicación matemática 11.|senx| Razonamiento y demostración 3. 3] C) G2. 5] E) G2. sec(x/2) & T = 4p ( ) ( ) III. 5H 10. 6. 3H E) [-1.2cosx Halla el rango de la función. Nivel 1 Comunicación matemática 1. 2. 4" A) G-1. 6" B) [-1. tan(2x) & T = π 2 II.senx E) F(x) = |cosx| . 5H 4. Cateto opuesto entre cateto adyacente. 3H Halla la suma de las ordenadas de los puntos P y Q. Conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable x.1 m pertenece a la gráfica de la función 3 2n + 1 y = cosx. 3 1" 7. El punto c π . Primera letra del alfabeto griego. 3H Si: f(x) = senx. 2n . halla: Dom(F)kRan(F) A) [0. 3H 5" 8. x ! 8. 5. 3] 6. 5] D) G0. 1.Practiquemos 5. π B 2 2 2 2 A) 1 -π 2 y O B) π 2 x y D) -π 2 O -π 4 E) π 2 1 2 π x 4 8 66 Intelectum 5. 5] C) G1. 2" Halla el rango de la función f definida por: 3 f (x) = 2 + cos x 3" π . 3] D) [2.p) + 2 O 3π 4 y = senx 7π 4 x P A) . 2 C) ' π . 4] C) G2. Q grafica un ciclo de la función: y = 3sen(4x . 3π 1 4 4 f(x) = cos2x . 4. si: x ! G0. ¿cuál no es par? π x 8 I. 3H D) [2. 4 π . Indica verdadero (V) o falso (F).sen4 x . grafica: G (x) = cos4 x . 18. . En la figura adjunta.π . 2π E . . c 4π . respectivamente.ACTIVIDADES UNIDAD 3 67 . 4 2m 4 C) c.π . 2π 3 3 22.1 . y -y calcula: 3 1 y3 + y 2 A) 1 D) 4 B) 2 E) -2 P y = cosx 2m 2 D) `. 5π . 3π . . 2π 2 2 C) . se obtiene ( ) trasladando verticalmente 2 unidades hacia arriba la gráfica de y = senx. 23π 11 16 D) G-p. senx . 2n . (k ! Z) F = '^x. ( ) II. y2 m .6 m 3 Halla a y b. La amplitud de y = 5 + 3cosx. y B) 2 2 .2 m 4 2 Resolución de problemas 19. La gráfica de la función y = 2 + senx. π . Relaciona según.1 m pertenece a la gráfica de la función 6 2n + 1 y = senx. π B . π B . es 5.π . C) -1 1 A) 2 3 . 2 5 x 25π 4 20. El período de y = 2senx(cosx) es p. Halla el dominio de la función: f(x) = cosx + E) 3 2 . . ( ) III. calcula: x1 + x2 + x3 y y = senx 1 1/2 x1 O x2 x3 x 14. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 16.π . 3π .π .1 . 1 2 C) 21. cos x . 3 7 D) A) 6p B) 4p C) 5. Calcula n.5p E) 7p P B) 8 π . 4 5. ¿En cuál de los siguientes intervalos la función y = senx es decreciente? A) . 1j 4 B) c. . Si los puntos: ` π . y3 m 3 4 4 pertenecen a la tangentoide en x. Calcula las coordenadas del punto P. 5 2 x − π/4 −1 A) c. 7π 2 2 C) 3π .1h π 2 17. 0 1 x 1 2π 1 2 A) 0. yh y = 7. 0H E) 5π . La ecuación de la gráfica adjunta es: y = asenbx. π B . 5π 3 3 3 3 E) . corresponda: y = |sen2x| T= π 3 y = 2senxcosx T= π 2 y = 1 . π . 2π 2 B) 3/2 E) 4/3 C) 5/2 Nivel 3 Comunicación matemática A) 2kp B) (2k + 1)p D) kπ 2 E) ^4k + 1h π 2 C) ^4k . 4π .π . El punto c π . . Halla el dominio de la función. 5π E 3 3 I. Completa: 3 y y= y Período: 1 O −1 π π 4 3π 4 2 π y Amplitud: x O Rango: Razonamiento y demostración 13. 5π 3 2 2 3 D) 0.5p D) 8.2sen23x T=p TRIGONOMETRÍA . c 3π . 12. 4 2m 4 E) c. además las coordenadas de P son c 10π . y1j . π 2 2 B) 5π . 3 5 A) 1/2 D) 3/4 15. π 2 2 A) 6 D) 2 y 1 B) 29.27. halla A. B y C. A Nivel 2 5. pH. A B) p u 1. A 11. y = cosx M O P N 68 Intelectum 5. x = 2p y la curva cuya ecuación es y = cosx. y g(x) = AsenB(x − C) 5 -π 2 -5 π π 2 2π 3π 28. 3π . En la figura adjunta. 3 . D 23. . Del gráfico mostrado. x = 0. y0) es el punto de intersección de las gráficas de las funciones F(x) = senx / g(x) = cotx en G0. C 19. si x ! [0. De la figura. . Si g(x) = AsenB(x .n csc 3 5 A) 5. E 25. A 20. B 12.cosx0 y O -1 C) 0 2 3 Resolución de problemas 25. E . 8. grafica en [0. B 16.2 E) -^ 3 + 2 h 3+ 2 2. 2p]. 29.π 2 2 B) 6.1 . Si el punto (m. 28. Calcula su abscisa. C C) 2p u2 2. calcula el área de la región triangular MNP. b 8 A) D) B) 3 . .° Nivel 1 2 x 7. respectivamente. B 26. B 24. A 31.C). A Nivel 3 27. 1 2 2 4π x 5 D) 5. C 14. 2π x y D) 2π O -1 2π O -1 -1 C) 1 A) 2p u2 D) 4p u2 y 1 O x x B) p u2 E) 1. calcula: secx0 . A 21. A 18. 9. Si (x0. D) p/4 u2 E) 2. la ordenada del baricentro del triángulo FgH es 2 2 .5p u2 A) 1 1 2π x C) 3p u2 30. calcula: 2 m m E = sec . 6. la función: F (x) = sen2x 2 cos x A) B) E) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 31. π . B 10. A 30.5p u D) 3π u2 E) 5π u2 2 2 C l a ve s A) p/2 u2 y C) p u2 2 22. D 15. 3 A) 5π y 12 y = cscx 5π B) G H 6 5π C) 3 4π D) x 3 π O F E) 8π 3 Razonamiento y demostración 23. . Calcula el área de la región limitada por las rectas y + 1 = 0.π 2 3 E) 5. π 4 3 C) π. 1 . En la figura.b y P π. calcula el área de la región. 2p]. E 13. E 4. calcula: a . A 17. n) se obtiene de la intersección de las funciones y = tanx / y = cotx en π.3 C) 0 24. Si: f(x) = senx -[1-sen2xcos2x] y 1 y E) y O π 2π y 1 π/2 π O 3π/2 2π x A) π u2 2 -1 B) 2p u2 26. a 6 y = 2sen2x x Q 7π . A 3. 2pH . x ! G0.cos 2 x A) [1.( 3p 2 2 C) cos10° 3 2 C) G0. 2p 2 2 B) [0. De la condición tenemos: M = cos2x = cot2x = 1 2 sen2x 2 cos d 3x + x n cos d 3x . 3] A = 3 cos20° . pH D) [p. A) 0.p 2 Calcula el dominio de la siguiente función.a2 C) G0. 4. A) p . 2pH . 3H 9. 2] Simplifica: P = 2 cos15° - C) 1 sen3x 2 Calcula el dominio de la siguiente función: sen2x + cos x . 3p . 3p 2 2 B) 0. p 4 D) G0.ACTIVIDADES UNIDAD 3 69 . p . calcula: k = 2sen 3a # sen a 2 2 A) 3 4 C) . 3.Matemática = 2 cos 2x cos x = cot2x = 1 2 2sen2x cos x ▪ Si: cos3x + cos x = 1 sen3x + senx 2 Calcula: En la expresión: M = 1 + cos 4x sen4x 2 M = 1 + cos 4x = 2 cos 2x sen4x 2sen2x cos 2x Resolución: 1.cos 2 x .cos50° D = 13sen3x . 6.3 2 Si tanx = 3. p .x n 2 2 cos 3x + cos x = sen3x + senx -x + x 3 3 x x 2sen d n n cos d 2 2 ` M= 1 2 Si seca = 4. p 2 B) 0. pH E) 0. 1] D) [1. b C) 1 b+a TRIGONOMETRÍA . cos3x 8. x ! G0. B) 3 C) 1 D) 0 E) -2 Simplifica la siguiente expresión: sen6x M= 3 4sen x . C) [0.1 sen3x 2 E) 2senx . calcula el valor de la siguiente expresión: 7.a B) b2 . 2H E) [0. 2pH f(x) = 1 + senx .9cos3x A) -1 Halla el rango de la siguiente función: f(x) = 2sen2(3x) + 1 B) 9 8 D) 2 2. 3p . A) cos20° B) sen20° D) sen50° E) tan25° Simplifica: A) sen15° B) 1 2 D) tan 45°/2 E) cos20° C) cos(152)° Del gráfico: x θ a θ θ f(x) = . 2pH Halla el valor de x.5 4 E) . 2pH D) 1 b2 + a2 E) b2 + a2 E) G0. 2 2 2 A) a2 2b . 5.2senx + 1 .3senx A) -2cos3x B) 2sen3x D) . Unidad 4 . ACTIVIDADES UNIDAD 4 71 . 1] E) 1. π @ C) G-3.π.Aplicamos lo aprendido TEMA 1: 1 funciones trigonométricas inversas Determina el dominio de: F(x) = 4arcsen c x + 1 m 2 A) [-p.1 2 E) . p] D) . 1H Calcula: E = sen(arctan2) A) 2 2 2 D) 6 5 2 Calcula: sec(2x .4 5 C) 1 3 Calcula: E = sen(2arcsen 3 ) 3 A) 3 5 B) 2 3 D) E) 2 2 5 C) 2 2 3 TRIGONOMETRÍA .arctan 3 ) = A) 54°30' D) 55°30' 4 B) 2 5 E) 2 5 C) 2 3 6 2 B) 52°30' E) 51°30' C) 50°30' Calcula: N = sen carcsen 3 + arccos 5 m 13 5 A) 1 65 B) 49 65 D) 63 65 E) 49 63 C) 65 63 Halla: E = cos(2arctan3) A) 1 5 B) 4 5 D) . π 3 B) [-3. π . π B 4 4 A) . C 13.7π . 1] B) [-1.π . siendo: f(x) = π + 3arcsenx 3 5. siendo g definida por: g(x) = 8arccos c 3x + 1 m . E D) 0 3 1.9 . B 14. 9 E 7 8 C) .. 1 7 Calcula el valor de m..... E 13 C) -3 4. si: arctan ` m j = arcsen 8 17 8 10 A) 15 64 B) 25 64 D) 64 15 E) 64 25 C) .π 2 4 B) .31π . π 6 6 E) .π . C A) 8. 5π E 6 6 D) .11 130 C) 3 4 Simplifica: E = arcsen{cos[arctan(cot30°)]} Calcula: tan 8m` π . si se cumple: f(x) = 4arccos c 7x + 1 m . A 9. π E 4 4 14 B) 40° E) 80° 6.9π .π 8 5 A) [-1. . 9π + 2 E 6 6 8. 7] D) .5 m 12 4 2 A) 11 26 130 B) 26 75 D) .7 9 11 Indica el dominio de f. π B 3 3 D) .arcsecmjB 2 E) 1 3 Halla el rango de g. C 11.2 .1. D Claves 72 Intelectum 5. 31π E 4 4 C) .. B B) 2. D A) 3 .26 130 E) .1 64 Sabiendo que: 12 arctan 3 = m arctan c 3 m 3 Halla x. D 10..π . D 12. si: arctan 1 + arctan 1 + arctan 1 = arctanx 8 18 7 A) 1 3 B) 1 2 D) -1 E) 3 C) 1 Calcula x: arcsenx = arctan 3 + 1 arctan c.9 .π . 33π E 4 4 B) 8.π . 1 E 7 E) .π .° C) 30° Halla el rango de f. A 7. π B 4 4 A) 20° D) 50° 3. 11π E 6 6 E) . B C) . −1 • arccscx x O1 −1 B) -1 E) 0 C) 1 Halla el dominio de f. y = arcsenx y π/2 −1 7. B) p/2 E) 2p/3 Calcula el valor numérico de: y = arcsecx A) 5 12 B) 5 13 y = arccosx D) 1 8 E) 1 3 y = arccscx 6..1 . 1H TRIGONOMETRÍA . π/2 B) O -π/2 y x 9. Calcula el dominio de la siguiente función: f(x) = C) 1 arcsenx arccos c 1 . 1 E 2 2 B) . 2 @ D) 6. 2 B) 6. Determina el dominio de la siguiente función: f(x) = 2arcsen(x + 2) . si: f(x) = arcsenx + arcsen2x A) . 1] E) " 2 .2 . 2 C) [-1. Comunicación matemática 1.4arccos(x2 . 2] E) G-1. 1H C) G-1. 1] Resolución de problemas x O1 • arcsecx 10. 1] E) [0. 1H C) [-1. C) 5p/4 Si se cumple: y π/2 D) B) p/4 E) 7p/4 q = arcsen(x2 + 1) Calcula: cosq • arcsenx π C) p/6 Calcula el valor de: M = arctan 5 + arctan 1 11 6 A) 1/2 D) -1/2 π/2 C) B) 3p/2 E) 2p/3 A) 3p/4 D) -p/4 y C) 1 7 Si se cumple: arcsena + arccosb = π 3 Calcula: K = arccosa + arcsenb A) p/3 D) p/2 Relaciona mediante una línea gráfico-función: A) C) p/3 M = sen carctan 5 m 12 y = arctanx 2.Practiquemos Nivel 1 4. 1 E 2 2 D) [-2.1) -π/2 Razonamiento y demostración 3.1. 1] B) [-1. Calcula: M = arcsec(2) + arccsc c 2 3 m 3 Siendo: q = arcsen 3 + arccos1 2 Calcula: senq + cosq A) 3 +1 B) 3 -1 2 D) 3 +1 2 E) 3 A) 6.ACTIVIDADES UNIDAD 4 73 . 0H D) [0. O 1 x -π/2 • arctanx 8.x m 1+x A) G-1. A) p/6 D) p/4 En el siguiente cuadro completa el dominio y el rango para cada función trigonométrica inversa dada: Función Dominio Rango 5.2 .1 . 11. 5π .° C) 2p/3 Resolución de problemas A) . Calcula el valor numérico de: NIVEL 2 K = arccos c. π 2 2 B) . π . 11π . 2π 6 6 6 E) . d} ! R+ d b 2 A) 0. 5π 2 2 E) . 5π E 2 2 21.5π .5π . Calcula la suma del máximo y mínimo valor de: f(x) = arcsen(sen2x . π B .π 2 .p D) . . Siendo: x 2 0 a = b arcsen 2cx . 0 2c C) .. Calcula: M = arcsen c 3 m + arccos 1 + arctan 3 2 Halla la variación de x.n j m+n n B) 0 E) -2 B) p/5 E) p/2 23. 3π 2 2 Calcula el valor de x si: arccos ^ 3 xh + arccos x = π 2 A) 1 B) 1/2 C) -1/2 D) -1 E) 3 /2 22. .arctan ` m . 7π E . 7π E . .d . Siendo: q = arctan ` m j . 11π E 6 6 16. 0 < a < π / {c. 11π E 6 6 B) 0.arcsen 77 17 85 5 • arccos(cosx) = x + ______________ • arccsc(cscx) = x + ______________ 13.0. 1H E) . Halla el rango de: g(x) = 4arctanx . d 2c C) 1/2 C) 1 24.π 2 A) . 7π .3π .arcsecx ( ) • Si: x ! R & arcsen(-x) = . x ! G0.5π . Calcula el valor numérico de: Q = arcsen 3 + arcsen 8 . • sen(arcsenx) = x + ______________ A) 4p/3 D) p/3 B) 7p/6 E) 8p/3 C) 5p/6 18. Indica (V) verdadero o (F) falso según corresponda: • Si: -1 # x # 1 & arccos(-x) = -arccosx ( ) • Si: x ! R & arctan(-x) = -arctanx ( ) • Si: x # -1 0 x $ 1 & arcsec(-x) = p . Halla el equivalente de: A) -1 D) 2 C) ..1 ).x) = arctan 4 3 A) 1/5 B) 1/3 D) 2 E) 1/7 • tan(arctanx) = x + ______________ • sec(arcsecx) = x + ______________ • arccot(cotx) = x + ______________ 19. Respecto a las propiedades de las funciones trigonométricas inversas indica las condiciones de estas.arcsenx ( ) • S: x # -1 0 x $ 1 & arccsc(-x) = -arccscx ( ) Razonamiento y demostración 14. Si se cumple: A) -1 D) 2 B) 0 E) 3 C) 1 20. 2π 6 6 D) π . 1] B) G-1. 2π 6 6 C) 0..1) C) 0 A) p B) π 2 E) .1 m + arcsen c 1 m + arctan ^ 3 h 2 2 Comunicación matemática 12. Resuelve la siguiente ecuación: arctanx + arctan(1 . 11π .17. d E 2c P = arccos c 4 m + arctan c 3 m 5 5 A) arcsen 7 10 B) arctan 27 11 D) arccos 27 11 E) arctan 1 10 C) arctan 11 27 Calcula: tanq 74 Intelectum 5. Calcula el dominio de la siguiente función: K(x) = arcsen(senx . 2pH 2 15. A) p/3 D) p D) [0. 11π . π 2 2 D) . 1 . De las siguientes proposiciones: • arcsenx + arccosx = π + -1 # x # 1 2 • arctanx + arccotx = p + x ! R B) [-1. B 30. B 2.3 . 1 E 2 E) . Calcula el dominio de la siguiente función: y y = arcsen2x f(x) = Aarccosx + B π -1 28. Del siguiente gráfico calcula: Q = A + cosB 27. A 6. calcula A. B 34. 1] D) . C 24. 3 .3arcsenx + arccos (. B 32. A 22. 1] Cl aves 29. B 33. E 15. B 14.. E TRIGONOMETRÍA . B 23. 1 2 2 E) [0. Calcula el valor de: ¿Cuántas son verdaderas? A) 4 D) 0 A) .1 . C 29. E 5. B 28. 0 E 2 Nivel 1 1. Calcula: q = arctan(tan100°) .ACTIVIDADES UNIDAD 4 75 . 21.30. Halla la intersección entre el dominio y rango de la función: f(x) = 2arcsen ` x j + π 2 NIVEL 3 Comunicación matemática 25.x) . B 16. B 35. 3.arccot(cot300°) C) M = sen30° N A) 270° B) -180° D) 180° E) -200° C) 90° Resolución de problemas Razonamiento y demostración 34. 0] B) [0. Del gráfico adjunto.π 12 C) 5π 12 33. D 4. 1H 31. E 9. A 11. D 18.7π 12 E) . B 26. π j 3 P A) -1 B) 1 C) 2 D) 0 E) 2 2 4π A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 8. C 19.. E 17. -2 1 35. C 20. B 7.arccos x A) [-1. E Nivel 2 12. E 27. De la figura calcula x1. y 4π x C) [-1. Halla b de la siguiente relación: mβ p = qarctan c m n y p A) m tan c m n q p B) n tan c m m q D) mntan(pq) p E) mntan c m q 5π/2 pq C) tan ` j mn x O -π/2 f(x) = A) 3 2 C) 3 E) 3 6 3 4 D) 3 5 B) f(x) = Aarccos(Bx) 2 x π . Relaciona las siguientes expresiones: M: es el valor de x si: arcsen(-x) + 2arcsenx = π 6 N: es el valor de x si: arccos(-x) + 2arccosx = 7π 6 A) M = sen60° N B) M = tan30° N D) M = cot30° N E) M = 1 N A) 7π 12 B) π 12 D) . Si se cumple: arcsen1 + arccosx = arccos0 Calcula: x • arcsecx + arccscx = π + x # -1 0 x $ 1 2 x+y • arctanx + arctany = arctan c m + xy < 1 1 . 1 E 2 2 B) 3 E) 1 L = 2arcsen(-1) + 1 arccos c. B Nivel 3 25. siendo P` x1. 1] D) . A 10. 2] C) G-1. 13.xy A) 1 B) 0 C) -1 D) 1/2 E) -1/2 32.B.3 m 2 2 C) 2 26. D 31. 1 = 0. A) 135° D) 75° C) 90° C) 90° Resuelve: tanx = 3 si x ! G0°. calcula q en: sen2q + senq = cos2q A) 30° D) 120° 5 B) 30° E) 50° B) 60° E) 150° 76 Intelectum 5.° B) 45° E) 360° 6 B) 30° E) 150° C) 60° Resuelve: senx + cosx = 0 y da como respuesta la menor solución positiva.Aplicamos lo aprendido tema 2: 1 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Resuelve: 2sen2x .3 = 0 A) 0° D) 270° 2 B) 345° E) 30° C) 225° Halla la segunda menor solución positiva de: (cos2q + 1 )(senq – 1) = 0 2 A) 150° D) 30° B) 120° E) 90° C) 60° . A) 10° D) 40° 3 C) 15° Si 90° # q # 180°. e indica la solución principal.2senx . 180°H A) 45° D) 120° 4 Calcula la menor solución positiva de la ecuación: sen2x . ..cosx + secx = cscx si x ! [0. E 9 B) 2p/5 E) 2p A) { 2kπ / k ! Z} 3 C) { kπ / k ! Z} 3 E) { kπ / k ! Z} 5 4. C 7 TRIGONOMETRÍA . A 7. π 2 B) 2 + 3 E) 3 / 2 C) 2 . tanz = 3 tany . k ! Z 3 C) $kπ ! π / k ! Z .senb 2 Si 0 < x < 2p halla el valor de x en la ecuación: cos x . tanz = 6 x+y+z=p Evalúa: tan x .3 Calcula la suma de soluciones de la ecuación: cos6x = c 1 + sen6x m csc2x.2 6+ 2 C) π 0 4π 3 3 . $ π . A 8.senx = 0 1 + cos 2x 1 . 7π 1 4 E) 'π. k ! Z B) 2kp ! arccos c 2 C) 2kp ! arccos c 5 m .(II) . k ! Z 4 E) 2kp ! arccos ^ 5 h ... 4 3 6 11 C) p B) { kπ / k ! Z} 2 D) { 7kπ / k ! Z} 2 3. E A) '2kπ ! 2π 1 . A A) 3p/2 D) 7p/2 Dada la ecuación: 2tan2x . k ! Z 2 5 .. 11π 1 4 10. si x d 3 A) D) 14 A) 2kp ! arccos c 5 + 1 m . 3 E) 'k π ! 2π / k ! Z 1 .cos 2x A) π 0 5π 4 4 B) π 0 7π 6 6 D) π 2 E) 3π 2 Si se sabe que: tanx . B C) 4p/3 Claves 12. 9π 1 4 D) 'π. C 11.(III) 0.Resuelve: 2cos2x .π j = 2 + 3 12 3 2.. E 14. si x ! [0. k ! Z 6. C Determina la suma de las dos primeras soluciones positivas de: tan `5x . senx = 0 Indica su conjunto solución. A 13. D A) 'π. 8 1..1 m.cosx . 5π 1 4 12 C) 'π. k ! Z 2 D) 2kp ! arccos c 5 + 1 m .(I) . 3π 1 4 β = cscb . B 9.π / k ! Z 1 2 Resuelve: senx .ACTIVIDADES UNIDAD 4 77 . B 13 10 6. p] sec 2x A) 3p/2 D) 2p/3 B) 3p/4 E) 5p/6 5. "2kπ . 2p] Resuelve: tan B) 'π.1 = 0 B) '2kπ + 2π / k ! Z 1 3 D) ' kπ . 7. Si senkx = a Si.2 2 A) 180° B) 210° C) 270° D) 360° E) 450° Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: tanx = 1 A) 180° 8.3 A) 160° B) 180° 78 Intelectum 5.1)(senx . Comunicación matemática 1. 4. Relaciona según corresponda: 3.senx = 1 cos 4x 2 A) arcsen c 1 m 4 D) 3arcsen c 1 m 4 B) 1 arcsen c 1 m 3 4 1 1 E) arcsen c m 2 4 C) 2arcsen c 1 m 4 15. p] π π Determina la solución principal al resolver: sen3x = 1 senx A) π B) π C) π D) π 4 8 16 9 E) π 32 10. EG = xG = k = -2.π ) = . A) 17π 8 B) 19π 4 C) 21π 8 D) 23π 8 E) 5π 4 NIVEL 2 Comunicación matemática 11. EG = kp + (-1) ` . π 2 2 cos 8.2 3 2 VP = .1) = 0 Indica la suma de soluciones en el intervalo de G0. Razonamiento y demostración B) 225° C) 270° D) 360° E) 450° Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: tanx = .π 4 tan(2x.π. Resuelve: (tan2x .π ) = .3 4 VP = π 6 Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: senx = . EG = 12. C) 240° D) 270° E) 540° Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cosx = 1 5 A) 180° B) 210° C) 220° D) 240° E) 360° Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cosx = . Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen2xcos2x = 3 4 A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90° 14. Si 30° y 45° son valores que toman x e y respectivamente del sistema dado. 2 B tan [0. 2. 2senx + cos2y = a …(1) …(2) 3 cos x + 2 cos y = b A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 .2 . Razonamiento y demostración sen(2x.Practiquemos NIVEL 1 9.π j 6 Completa: Completa: k VP = k = -1. pH.π 3 Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: senx = 3 2 A) 90° B) 180° C) 270° D) 300° E) 360° cos ` x + π j = 3 8 4 2 VP = . EG = x= k = -3. Relaciona según corresponda: FT VP sen . Halla x si se cumple: sen7x .2 2 A) 90° B) 180° 5. halla a + b. 6.° C) 240° D) 360° E) 420° 13. A 2. x ! G0. Relaciona según corresponda.tan2x = 0.cos2 x A) 60° B) 150° C) 180° D) 210° E) 240° 29. Resuelve la ecuación: A) 105° B) 55° C) 13π 72 x + 2y = π 2 sen(x + y) + cosy = 1 3 A) p B) 2p C) 3p …(1) …(2) D) 0 E) 3π 2 C l a ve s Nivel 1 7.sen2q)(1 . C 21.ACTIVIDADES UNIDAD 4 79 . 8. C 13.1 = 0 E) 60° 20.16.1 2 VP = -37° tan(3x . C 4. Marca verdadero (V) o falso (F). 2pH 4 A) 2 B) 8 C) 7 D) 4 E) 6 19. B 10.cos x. 2 16(1 . A 1. B Nivel 3 27.15°) = 3 4 A) 180° B) 240° C) 300° D) 310° E) 330° 17. Resuelve e indica la suma de soluciones. Resuelve: senx = 24. si: E) 360° NIVEL 3 A) π 4 D) 7π 8 D) 65° 26. 9. C 26. Resuelve e indica la suma de valores de y en G0. x ! G0°. E 16. x d π . Para la tanx: CS(x) = kp + VP 22. D 12. III.45°) . 28. A 22. E TRIGONOMETRÍA . E 14. 29. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: A) 90° C) 60° 25. pH A) π 2 B) p C) 3π 4 D) 3π 2 E) π 8 28.sen5xsenx = 1 2 A) 10° B) 12° C) 24° D) 30° cosxtanx + 2senx = 1. x ! G0. B 24. Indica el número de soluciones que tiene la ecuación: sen4x +cos4x = 3 .sen2(x . A 15. C 3. E 25. Para el cosx: CS(x) = 2kp ! VP B) π 3 C) 4π 3 D) 5π 3 E) 7π 3 30. 18.cosy = . B 20. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cos5xcosx . si a es agudo: sen(2x + 15°) = 2 2 VP = 120° cos(x + 20°) = .3 cos 2x . Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen2(x . D 6. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: sen7x .1 …(2) 2 A) 2π 3 II. Resuelve e indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de x e y en el siguiente sistema de ecuaciones: senx + cosy = 1 …(1) 2 senx . C 30. π 6 3 A) π 4 D) π 9 cos5x + cosx = cos2x B) π 3 E) π 6 A) 45° C) π 5 sen(x + 40°) + sen(50° . π . según corresponda: I. calcula la suma de las soluciones en 0. E Nivel 2 17. E 11. 180°H B) 75° C) 85° D) 115° E) 95° 18. E 23. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: 2 . 2 H del sistema dado. Para el senx: CS(x) = kp + (-1)k VP B) 9π 2 C) 11π 12 D) 5π 12 E) 7π 2 tan4x .3 4 VP = 45° Razonamiento y demostración 23.53°) = . De la siguiente ecuación. 19.cos2q) . B 5.5 B) 150° C) 180° D) 270° A) π 2 Comunicación matemática 21.x ) = 0.senx = cos4x B) 3π 4 E) 5π 8 E) 75° 27. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: cos 2x + sen2 x = . expresa M en términos de los lados. b y c son los lados de un triángulo rectángulo ABC.2 bc 3 Calcula tanA.c = 32 cm3 y (senA)(senB)(senC) = 1 .Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS En un triángulo ABC recto en A. Calcula AD. A) 5 D) 11 5 B) 1 10 E) 5 10 2 B) 7 E) 13 D) a a2 b + c2 a2 E) ^b . Calcula el circunradio de dicho 2 triángulo. M = tan 2B cos ^B . b = 7 y c = 5.Ch 2 A) a 2bc En un triángulo ABC se conoce: a = 8.° 2 A) 3 D) 16 4 C) 9 C) a2 c . Se traza una ceviana AD tal que BD = 3.b. si: 1 + 1 = 10 b2 c2 a2 10 10 D) 1 5 A) 3 5 2 C) Los lados de un triángulo son tres números impares consecutivos y su mayor ángulo mide 120°. Calcula cuánto mide el lado mayor.ch2 B) 2 ^b + ch2 80 Intelectum 5. A) 1 3 D) B) 3 2 4 E) 3 2 C) 2 2 . B) 3 cm E) 3 cm C) 1 cm En un triángulo ABC se cumple: a2 = b2 + c2 . halla: senBsenC. A) 2 cm D) 2 cm Si a.b2 2 6 B) 17 E) 4 C) 19 En un triángulo ABC se cumple: a. recto en A. A 2 A) k cot ` α j 4 2 En la figura. B 11. C B) 3 2 E) 2 180° .2 C) k tan ` α j 2 2 2 D) k cot α 4 2 E) k tan ` α j 4 2 En un triángulo ABC. E A) 2 3 D) 3 12 n B) . A Halla el área de una región triangular isósceles. B 13 C) c a 8.7 8 E) .a) = bc 4 Calcula: cosA A) . B 13.n2 + 2mn cos θ E) m2 .3 4 Claves A) 30° D) 53° 14. Calcula AC. se cumple: m+A + m+B = 74° y m+A .m+B = 53° Calcula: a + b a-b 14 D A) m2 + n2 .2mn cos θ B) m2 + n2 + 2mn cos θ C) m2 . Calcula: c. B = 135° y a = 2.n2 + 2mnsenθ En un triángulo ABC: A = 30°.2mn cos θ D) m2 . A 12.1 4 C) . reduce: N = a cos B + b cos A b cos C + c cos B En un triángulo ABC sus lados son: a = 33 cm. b = 37 cm. c = 40 cm Calcula la medida del ángulo B. A 9.5 8 D) .θ A) 45° D) 30° 7.2 B) D) 6+ 2 4 E) 6. B) 37° E) 60° C) 45° En un triángulo ABC. 8 1. cuya base es k y el ángulo desigual es a. B 11 B) b c E) c ab A m 5. ABCD es un paralelogramo. B 2 B) k tan α 2 n B 4. C 7 TRIGONOMETRÍA .ACTIVIDADES UNIDAD 4 81 . además: cot c A .2 2 3 -1 C) 6 + 2 2 Calcula la m+C en un triángulo ABC. 2. si a = 3b.2 3 C) 1 3 10. A) 6. C A) b a D) c b 10 R 6.n2 . C 9 m C 3.B m = 2 2 B) 90° E) 120° C) 135° En un triángulo ABC se cumple: (a + b + c)(b + c . Ch A) a B) b C) c D) b + c E) b . Calcula el coseno del mayor ángulo. reduce: N = ab cos C + ac cos B RsenA R: circunradio A) a D) 2a b 5.3 4 A) Un lado y los ángulos adyacentes. 3.1 3 D) . Si: m+B = 60°. Halla el valor de AB. calcula a en el gráfico. A) . Además m+ABD = m+ACB. a b a b D) Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. a c A β En un TABC se ubica el punto D en AC tal que AD = 4 y DC = 5.c Expresa en los siguientes cuadros el coseno de cada ángulo del triángulo en función de los tres lados.° C) 6 En un triángulo ABC.Practiquemos NIVEL 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1.1 4 B) b E) 2b C) c 6 . B) . 82 Intelectum 5. B B) 5 + 2 E) 2 2 3 +1 E) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. m+C = 15° y b = C c C) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. simplifica: N = b cosB + c cos C cos^B . 5 y 7. CosC = α x B) 9 E) 5 C CosA = 6 +1 6 4 Del siguiente triángulo: C) Calcula x en la figura. a β 4. a A) D) 6. calcula d si se tiene que: tan θ = θ A) 13 D) 39 161 8 d 6 5 B) E) C) 21 43 29 Resolución de problemas CosB = 9.1 2 5 E) 6 En un triángulo ABC. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 5 . B c A a b 8. α B) Los tres lados: a Los lados de un triángulo miden 3. Para cada caso indica qué teorema es aplicable. C) . β α 2α b A) 7 D) 4 7. θ 2. Del gráfico mostrado. en 20. de lados a. 17. c y el ángulo 16. Calcula x de la figura. Halla el valor de kcos2b. b y c respectivamente.b) (p . De las siguientes proposiciones respecto a un TABC de lados a. se cumple. Para todo triángulo ABC. En un cubo de vértices ABCD-A'B'C'D'. En un TMNP.b) bc Donde: p = a + b + c 2 cos A = 2 ( ) III. se cumple: x 37° B) 1/5 E) 2/7 23. Calcula x de la figura. de lados a. • b = acosC + ccosA B) 1 2 13 E) 14 C 22. 7 • a = bcosB + ccosC A) 3 4 D) 2 7 60° Resolución de problemas C 12. Si q = m + BNC'. 19. calcula: x 33 cos θ 10. b y c respectivamente. Los lados de un triángulo miden 9. Calcula las medidas de los otros dos ángulos del triángulo. b y c. Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo formado por ellos mide 60°. Expresa la bisectriz interior relativa al lado BC en función de los lados b.A m 2 • a . D) bc cos A C) 2bc cos A b+c 2 b+c A) 5 B) 4 C) 3 2 bc E) senA D) 2 E) 1 b-c C) p2 + m2 < n2 B) 3 E) 2 A 15. b y c respectivamente.b = a + b tan B + A c m 2 • S = ac senB 2 S: área del TABC. Para todo triángulo ABC. Calcula el valor de: A) 14 D) 10 R B) 12 E) 15 C) 1 I. Conocidos los tres lados de un triángulo. Calcula cosx de la figura.n2 2mp Indica qué tipo de ángulo es N. En un triángulo ABC. B) p2 + m2 = n2 A) 1 D) 5 C) 13/5 C (p . si: Sabemos: cosN = 2 2 2 A) p + m > n A) 13/3 D) 4/5 B) 13/4 E) 13/6 A) 60° y 60° C) 30° y 90° E) 16° y 104° B) 45° y 75° D) 15° y 105° A) D) 120° A x 3 2 B) 2 E) 5 • c = acosB + bcosA B C) 4 2 2 P 15° A) 8 D) 6 Comunicación matemática C) 10 R B) 4 E) 10 C) 2 B 12 A a2 + b2 + c2 = 10. 60° 21. Calcula el valor de la tangente trigonométrica de la mitad del mayor B) 2bc cos A A) bc cos A b-c 2 2 b+c ángulo. Además m+M = m+P = a 3 Halla el valor de cos2a. Además m+ABD = b. la arista AA' se toma el punto N de modo B que AN = 3NA'. 10 y A de un triángulo ABC.ACTIVIDADES UNIDAD 4 ( ) 83 . AB = BC = k y BD = 5. 13. m+p 2m p-m E) 2m A) 0 D) m-p 2p m+p 2p C) B) NIVEL 2 Comunicación matemática 11.b) (p .a) (p . se cumple: S= C) 20 ( p (p .c) bc a b c + + Donde: p = 2 sen A = 2 ) II. N m p M P n p2 + m2 . 17 cm.14. p (p . Indica (V) verdadero o (F) falso según corresponda. se traza la ceviana BD (D en AC) tal que AD = 8 y DC = 3. ¿Cuántas son falsas? A) 1 D) 8 A) 1/7 D) 3 5 18. MN = p y NP = m. Calcula el radio de la circunferencia. Para todo triángulo ABC de lados a. En un triángulo ABC se cumple que: B) 5 E) 7 C) 3 135° Razonamiento y demostración E = abcosC + accosB + bccosA C) 1 13 NIVEL 3 Q tan c B .c) Donde: S = área TABC p= a+b+c 2 TRIGONOMETRÍA . B z 8 A 34. 9. 16. E C) b2 m2 + n2 5. son valores de dos lados y un ángulo interior R: circunradio del TABC de un triángulo ABC. E C) 25 E) 6. C B B) 16 81 E) 81 16 1. A) 9 16 D) 4 9 Nivel 1 24. A x 31. C sen2 z senxseny x C) 6 2 Resolución de problemas B 7. calcula la longitud de BC. b + c = 15 y b . 7 7 C) 17. C A 29. En un triángulo ABC se cumple: a2 = b2 + c2 . es 5 14.B). En la figura. D B) 2. pero no I. El área de un triángulo MNO. 6 y 7 respectivamente. Halla la distancia mínima que debe recorrer la persona para llegar a la carretera.c = 1 II. 7 4 D) 1 3 A) 23. En la figura. Una persona se encuentra en el punto C. En un triángulo ABC. B E) Faltan más datos. D C b 15. A 90 3 cm2 y los senos de los ángulos M. A B) E) A) 3 D) 4 28. B a c C) 16 9 8. C B B) 60° 0 120° D) 50° 0 100° B) m + n2 . Calcula: 37° 5 28. x+3 C 35. E x 13. si se encuentra a una distancia m y n de los extremos A y B respectivamente. halla: M = c a cos A + b cos B m sec ^B . pero no II. A 30. 12. Calcula: csc2(A . E 45° A C) 529 432 27. C A) 29 D) 30 C mn tan γ 2 4. En el siguiente esquema mostrado.Ah RsenC 26. D 25. B B) Es necesario I. m+A = 45°. D B) 2b E) a2 mnsenγ 34. se tiene que: a = 5b D) 3 E) 1 3 y m+C = 120°. B D C l a ve s 27. 1 D) -2 E) 2 B) 2 + 1 C) 2 A) 6 33. E B) 27 E) 26 A) c2 D) a m + n2 . a + b + c = 28 y c = 7 7 3 10. a = 13. Si b = 2 .° 2 y C B) 3 60 2 C) 6 30 2 D) 2 30 2 E) 3 30 2 Nivel 3 29. En un triángulo ABC. D 37° 30° D) m + n2 + 2mn cos γ 33. calcula: bcsen(B + C)(cotB + cotC) x-2 C) mncos γ 2 25. C I. B Razonamiento y demostración 40° 32. C C B) 900 431 970 E) 135 21. C 11. 30. si: BC = A) Es necesario I y II en conjunto. calcula la longitud del A) 2 B) 4 C) -1 lado a. Determina la longitud del lado opuesto a N. Del gráfico: . A B B 24. calcula x. A) Nivel 2 D D) Es necesario I. II por separado. C 32. E C) Es necesario II.E) 1 9 3 AD m cos γ m2 + n2 . AB representa un pequeño tramo de una carretera. Calcula x. A A mnsenγ 2 18. C 2 A) 961 432 D) 197 432 20.3 bc 2 Calcula: senA 35. observa AB bajo un ángulo igual a g.2mn cos γ 19. c = 3 + 1. En un triángulo ABC. N y O son proporcionales a los números 5. A) 20° 0 50° C) 70° 0 110° E) 80° 0 120° 20° 3.2mn cos γ 26.2mn cos γ 9 84 Intelectum 5. A 31. A A) 6 60 2 22. Para calcular el valor de: 15cosA + 20cosB + 24cosC es (son) necesario(s). Halla el valor de sus vértices si el eje focal es paralelo al eje y.4)2 + (x .1 = 0 Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (6.2)2 + (y . (-3.1)2 + (y . A) (-4. (-3.3)2 + (y .6)2 + (y .4)2 = 4 E) (x . 14).4)2 = 8 3 2 B) (x . (-4.3 D) 13 Calcula la ecuación de la elipse. (-20. calcula TA. (-4. 4).4) + (y .4)2 = 25 D) (x . -3) B) (-3.18y . 0) y (-4.3)2 = 25 4 B) (x . A) (x .6) + (y .4)2 = 9 E) (x . 0) y sus focos (4. si sus vértices son los puntos (5.4)2 = 8 D) (x . 0) y (-5.5)2 = 16 B) (x . 6) son extremos de uno de sus diámetros.1)2 = 16 E) x2 + y2 = 9 5 A A) 11.24 = 0 y T C O A) (x .1)2 + (y . 14).ACTIVIDADES UNIDAD 4 85 .1)2 = 4 Halla la ecuación de la circunferencia de centro (3.5)2 = 9 D) (x .8x . 11).4)2 + (y . 2) y B(-1. 0) 2 y2 A) x + =1 9 25 2 y2 B) x + =1 16 9 2 y2 C) x + =1 25 16 2 y2 D) x + =1 9 16 2 y2 E) x + =1 25 9 53° 6 x B) 11. -3) y las longitudes de sus ejes son 34 y 16. 5) y tangente a la recta: y .5)2 + (y . 14). 17) TRIGONOMETRÍA . -4). -20) D) (-3.3)2 = 16 De la figura.Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 sECCIONES cónicas Halla la ecuación ordinaria de una circunferencia. -20) C) (-4.6)2 = 9 C) (x . si: C : x2 + y2 .3)2 = 1 C) (x .25 E) 11 C) 12 El centro de una elipse es el punto (-4.1)2 = 8 C) (y .5)2 + (y . donde los puntos A(3.3)2 + (y .1)2 + (y . A) (x . 4) y pasa por el punto (3. 20) E) (+34.1)2 + (x . 4)2 = 25 B) (x .2)2 = 8y 2. N x O F Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco tienen por coordenadas (-4. B 3. 6) y un extremo de su eje menor es (3.2y .3)2 = 25 C) (x . C 10. 3). A Claves 86 Intelectum 5. 3) y (-1. A 5.3)2 = x . Halla la ecuación de la parábola.3)2 = 72 B) x2 = 4y D) x2 = (y .4 E) (y . halla la ecuación de la parábola si el área de la región cuadrada es 16 m2. C 7.3i _y . B 11. sabiendo que su ecuación es: x2 + y2 .1)2 = 64 E) (x .4) 12 V C) y2 =-12x Halla la distancia del centro de una circunferencia al origen de coordenadas. -2). E 8.1i _y + 2i + =1 14 8 C) _x + 1i _y + 2i + =1 16 64 E) _x .1i _y .6y = 0 B) 4 E) 1 C) 5 En el gráfico.1i + =1 16 64 2 2 2 2 11 2 B) _ x .3)2 = 50 D) (x . respectivamente.2)2 + (y .3)2 = x + 4 L x x O L A) x2 = y C) (x .1)2 = 2y Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y su centro pertenece a las rectas: L1: 3x . NO = 2 y VO = 4.3y + 15 = 0 y F es el foco de la parábola.1)2 + (y .24 = 0 L2: 2x + 7y + 9 = 0 14 y (0. C 13.2i + =1 64 16 2 2 A) y2 = 12x D) y2 = 3x 10 B) y2 = 12x D) y2 = 4(x . C 9.1)2 = 1 D) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 E) (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 4.8)2 = 2y D) (x .3)2 = 12(x + 4) C) (y .4)2 = 6y . 8 En la figura. y y O B) y2 = 10x E) 2y2 = 5x A) 3 D) 6 En la figura.6)2 + (y + 3)2 = 45 B) (x . según el gráfico: A A) (x .4)2 + (y . y 9 2 2 A) _x .2)2 + (y .° Halla la ecuación de la circunferencia. Halla la ecuación de la parábola si L es el eje focal. V es vértice de la parábola.7 Si uno de los vértices de la elipse es (-1. C A) (x .2i _y + 2i + =1 16 25 D) _x . L: 5x . A) (y .1)2 = y E) (x .4)2 = 8y C) x2 = 16y E) (x .3)2 + y2 = 40 C) (x .8x . A 12.3)2 + (y . calcula la ecuación de la elipse. 3) 143° x C O A) (x . A 14.6)2 + (y . B 13 B) (x .1) 1. A 6. 0) x F2 (4. Halla las coordenadas del foco y la longitud de su lado recto. 0) 3 (1. B) (0. 2) 2 La ecuación de una parábola es x2 + 28y = 0. x 4. 3) y A) (-4. 7). 0) F1 4 (0. -28 u E) (-7. completa las ecuaciones de las elipses mostradas en los recuadros en blanco: A) y (0. 0) F1 6 (0. A) 2 D) 8 B) 4 E) 12 C) 6 TRIGONOMETRÍA . 0) x (0. y) x Razonamiento y demostración 3. completa las ecuaciones de las circunferencias mostradas en los recuadros en blanco: Tomando en cuenta los gráficos. 2.11 = 0. Tomando en cuenta los gráficos. -7). Halla el radio. 3) 3 C) x (2. 28). 0). 7 u D) (0. 0) (0. -3) B) y (0. D) y A) (0. -1) F2 x P(x.8x . 7).6y .Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1. -3) x y C) y 3 2 (0. 0) F2 (0. 28 u (-1. 28 u La ecuación de una circunferencia es: x2 + y2 . 3) F1 y B) (-2. 28 u C) (0.ACTIVIDADES UNIDAD 4 87 . 5. La ecuación de una parábola es (x + 6)2 = -7(y + 1). Halla las coordenadas del vértice, foco y la longitud del lado recto. A) (-6; -1), (-6; -11/4), -7 u B) (6; 1), (6; -11/4), 7 u A) (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 C) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 4 E) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 4 C) (-6; -1), (-6; -11/4), 7 u D) (-6; 1), (-6; -11/4), 7 u E) (6; 1), (6; -11/4), 7 u 6. La ecuación de una parábola es (x - 1) = 2(y + 2). Halla los puntos de intersección de la curva con el eje de abscisas. A) (3; 0) y (-1; 1) B) (-3; 0) y (-1; 0) C) (3; 0) y (1; -1) D) (3; 0) y (1; 0) Comunicación matemática 12. Tomando en cuenta los siguientes gráficos, completa las ecuaciones de las parábolas mostradas. A) y LD Halla el centro de la circunferencia cuya ecuación es: V(0; 0) x2 + y2 - 4x + 12y - 20 = 0 A) (6; 2) D) (-2; 6) 8. 9. B) (2; 6) E) (2; -6) B) (x + 3)2 + (y - 4)2 = 4 D) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 NIVEL 2 2 E) (3; 0) y (-1; 0) 7. 11. Se tiene una circunferencia cuyo centro dista 5 u del origen de coordenadas. La circunferencia pasa por el punto (-5; 4) y posee un radio de 2 u. Halla la ecuación de la circunferencia, siendo las coordenadas del centro números enteros. C) (-2; -6) p 10 x F(0; p) Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son V1(7; -3) y V2(7; 9) y la longitud de su lado recto es 10 u. A) (x - 7) 2 (y - 3) 2 + =1 30 36 B) (x + 7) 2 (y + 3) 2 + =1 36 36 C) (x - 8) 2 (y - 3) 2 + =1 27 16 D) (x + 7) 2 (y + 3) 2 + =1 32 36 E) (x - 9) 2 (y - 5) 2 + =1 16 12 B) y p1 0 C) 2 y2 =1 A) x 26 62 2 y2 =1 B) x + 55 64 2 y2 =1 D) x 25 16 2 y2 =1 E) x 16 64 10. Halla la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje focal sobre el eje x. La curva pasa por el punto (2; 3) y el eje mayor es el doble de la distancia entre los focos. A) 4x2 + 3y2 = 12 B) 3x2 + 4y2 = 48 C) 4x2 + 3y2 = 48 D) x2 + y2 = 96 88 Intelectum 5.° x p 2 0 F(0; p) V(0; 0) 2 y2 =1 C) x 64 55 Resolución de problemas V (0; 0) y Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son (0; -8) y (0; 8) y sus focos (0; -3) y (0; 3). E) 2x2 + 3y2 = 16 F(p; 0) LD x LD D) y F(0; k + p) P(x; y) V(h; k) y=k-p x LD 13. Tomando en cuenta los siguientes gráficos, completa las ecuaciones generales de las figuras mostradas. A) 17. Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos (2; -2), (-1; 4) y (4; 6). A) 6x2 + 6y2 - 32x - 25y - 34 = 0 y B) 6x2 + 6y2 + 32x + 25y + 34 = 0 C(1; 2) C) 6x2 + 6y2 - 25x - 32y + 34 = 0 3 D) 6x2 - 6y2 - 32x - 25y - 34 = 0 x E) 6x2 + 6y2 - 25x - 32y - 34 = 0 18. Halla la ecuación de una circunferencia de radio igual a 7 u, cuyo centro es el punto (5; -1). A) x2 + y2 - 10x + 2y - 23 = 0 B) B) x2 + y2 + 10x - 2y + 23 = 0 y 2 F1 2 C) x2 + y2 - 10x + 2y + 23 = 0 F2 (5; 0) C(2; 0) D) x2 + y2 + 10x - 2y - 23 = 0 x E) x2 + y2 + 10x + 2y + 23 = 0 19. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-2; 3) y además se sabe que esta pasa por el punto (4; 5). A) x2 + y2 - 4x + 6y - 27 = 0 B) x2 + y2 + 4x - 6y - 27 = 0 C) x2 + y2 + 4x - 6y + 27 = 0 C) y D) x2 + y2 + 6x - 4y - 27 = 0 E) x2 + y2 + 4x - 6y - 18 = 0 F(2; 1) 20. La ecuación de una elipse es 5x2 + 2y2 - 10x - 12y + 13 = 0. x Determina las coordenadas de los focos. V(2; -2) A) (1; 3 - 3 ); (1; 3 + 3 ) C) (2; 1 - 3 ); (2; 1 + 3 ) E) (1; 2 - 2 ); (1; 2 + 2 ) Razonamiento y demostración 14. Halla la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es: 3x2 - 16y = 0 A) 3y + 4 = 0 D) 3y + 6 = 0 B) 3y - 4 = 0 E) 3y - 8 = 0 C) 3y - 6 = 0 15. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0; 0) y cuyo foco es (0; 6). 2 A) x = 24y D) x2 = 2y 2 B) x = y E) x2 = -24y 2 C) x = y + 24 B) (1; 3 - 2 ); (1; 3 + 2 ) D) (3; 1 - 2 ); (3; 1 + 2 ) 21. Determina la ecuación de la elipse con centro en el punto (-2; -5), eje focal paralelo al eje y, la longitud del eje mayor es 24 u y su excentricidad es 5 . 3 A) (x - 2) 2 (y - 5) 2 + =1 64 144 B) (x + 2) 2 (y + 5) 2 + =1 64 144 C) (x - 2) 2 (y - 5) 2 + =1 16 64 D) (x - 2) 2 (y - 5) 2 + =1 16 64 22. Halla la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen de coordenadas, si el eje focal coincide con el eje x, y además pasa por los puntos ( 6 ; -1) y (2; 2 ). x + y - 8x + 8y - 9 = 0 con el eje coordenado y. 2 y2 =1 A) x + 8 4 2 y2 =1 B) x + 3 4 A) (0; 1) D) (0; 0) 2 y2 =1 D) x 8 4 2 y2 =1 E) x + 16 25 16. Halla un punto de intersección de la circunferencia 2 2 B) (0; 9) E) (9; -9) C) (-9; 0) 2 y2 =1 C) x + 7 16 TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4 89 26. Compara las siguientes cantidades: Resolución de problemas 23. Del gráfico mostrado, calcula el área de la región sombreada en términos de a y b, si las ecuaciones de las rectas son y = x / y = -x M: longitud del lado recto de la siguiente parábola: y2 + 2x - 10y + 27 = 0 N: radio de la siguiente circunferencia: y2 + x2 - 2y + 4x - 11 = 0 y x 2 + y2 =1 a 2 b2 A) M = N D) 2M = N x y= x B) 2 2 D) 22a b 2 a +b 2 2 E) 42a b 2 a +b 2a 2 b 2 a2 + b2 27. La ecuación de una parábola es x2 + 9y = 0, y además los puntos A(3; a) y B(b; -4) pertenecen a la parábola. Halla la longitud del segmento AB (B ! IIIC). C) A) 2 10 u D) 5 2 u 4a 2 b 2 3 a2 + b2 B) 10 u E) 3 10 u y 2 A) (x - 3) = 4(y - 2) B) (x - 3) = 2(y - 2) 2 D) (x - 2)2 = 3(y - 2) (20; 21) R x O 2 E) (x - 2)2 = (y - 3) A) 40 u D) 30 u B) 42 u E) 37 u C) 29 u 29. En la figura, R = 7, OA = 25. Halla la ecuación de la circunferencia. NIVEL 3 y Comunicación matemática A R 25. Completa (V) verdadero o (F) falso, según corresponda, luego marca la alternativa correcta. I. La ecuación general de una parábola de eje focal paralelo al eje x es: y2 + Dx + Ey + F = 0 ( ) II. Las elipses son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a por lo menos una de sus generatrices. ( ) x2 + y2 + Cx + Dy = Exy ( ) IV. La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal en el eje y es: 2 x2 + y = 1 2 b a2 ( ) B) FVVF E) FFVF 90 Intelectum 5.° C) VFFV x O A) (x + 24)2 + (y - 7)2 = 72 B) (x + 24)2 + (y + 7)2 = 72 C) (x - 24)2 + (y + 7)2 = 72 D) (x - 24)2 + (y - 7)2 = 72 E) (x - 12)2 + (y - 24)2 = 72 III. La ecuación general de la circunferencia es: A) VFVF D) VVFV C) 2 5 u 28. Calcula la longitud del radio de la circunferencia: 24. El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz es y = 1. Calcula la ecuación de la parábola. C) (x - 3) = (y - 2) C) 3M = 2N Razonamiento y demostración y = -x 2 2 A) a2 b 2 a +b B) M = 2N E) M = 3N 30. En la figura, OP = 12 y O es centro. Halla la ecuación de la circunferencia. y O 30° P x 4x . A B) x2 + 9y2 + 9x . 3). B 1.34.4)2 D) (y .4y + 15 = 0 Resolución de problemas y Eje focal F x 2 2 A) (y . B (9. la ecuación de la circunferencia es C: (x .90x . A 7. además la abscisa del centro es un número positivo. C D) 9x2 . A A) 3x2 + 25y2 + 90x + 150y . E 6. D) 2x . A) (x . D 36. A 19. C C) 9x2 + 25y2 . -2) y su vértice está arriba del foco. Dicho vértice dista 1 u de un foco y 25 u del otro foco. A 31.5x . es 20 u. E 34.2 C) x = 3 C) (x + 3)2 = 20(y + 3) 24. D 17. 26.150y .4)2 = 4(x . A Nivel 2 3.225 = 0 5. halla la ecuación general de la elipse.225 = 0 9 9. C 21.3)2 = 20(y . B O 10.4 = 0 E) 3x .10 = 0 D) x2 + y2 + 12x = 0 2 B) 5x . B 28.ACTIVIDADES UNIDAD 4 8. 35.9 = 0 31. A 11.10y + 17 = 0 A) x = 1 D) x = 2 2 B) (x + 3) = .170y + 625 = 0 x 16. Halla la ecuación de la recta tangente que pasa por una de los extremos del lado recto.90x + 632 = 0 4. E 18. B E) (x . 3) (h.9 = 0 2 E) x + y . A) (x .12) 2 y 2 + =1 144 25 C) (x + 13) 2 y 2 + =1 169 25 D) y2 (x .12x = 0 C) 3x + 4y . La longitud del lado recto de una parábola.3)2 = 10(y . Una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados es tangente a estos.1)2 + 16(y + 1)2 = 112. C D) (x . B 30.3)2 = 10(y + 3) 33.3y .2) 32.4) C) (y .150x .2) E) (y .5 ) 2 + =1 25 169 2 (y .25y2 . A) x2 + y2 = 12 B) x2 + y2 = 6 C) x2 + y2 . De la figura. Calcula la ecuación de la directriz de la parábola: y2 .3) B) x = -3 E) x = .2)2 = 9(x . interseca al eje y en (0. Calcula la ecuación de una elipse con un vértice en el origen de coordenadas y eje focal en el eje x.90x . halla la ecuación de la parábola.2) = 16(x . k) C l a ve s y Nivel 1 Nivel 3 33.9y2 . D 15. 27.13) 2 y 2 + =1 169 25 B) (x .12y = 0 A) 2x .150y + 255 = 0 91 .1) = 16(x .2)2 = 4. Si F es el foco. p > 0 y su pendiente es positiva. Si su foco de mayor abscisa es (9. A 14. cuyo eje focal es paralelo al eje de ordenadas. B 20. C 12. 25. A 29.2) = -16(x . p).13) 2 =1 E) x + 25 169 36.4) B) (y . C 32. La ecuación de una elipse es 7(x . C 23. 22.4)2 + (y .3) TRIGONOMETRÍA . A 13. Las coordenadas del foco son (-3.20(y .7y . Halla la ecuación de la parábola. B 2. E E) 25x2 .3) 35. calcula: lím f_ x i sen2010x x"0 A) 1 30 B) 1 15 D) 1 20 E) 1 10 C) 30 .Aplicamos lo aprendido tema 5: 1 LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Calcula: A) -1 D) 2 3 B) 0 E) -2 C) 1 Calcula: D) 1 3 92 Intelectum 5.1 A) 1 Calcula: lím sen9x x x"0 A) 3 D) 15 4 2 x B = lím sen x " 0 x 2 cos x A) -1 D) 2 5 2 A = lím sen a π + x k 2 x"0 6 B) 1 2 E) -1 C) 0 B) 9 E) 7 p tan px q tan qx A) 0 B) p q D) 1 E) q p Si: f(x) = C) 5 C) p2 q2 67x .° Calcula: C = lím x"0 B) 0 E) 3 C) 1 Calcula: sen _ x .1i lím x"1 x3 . 3 5 D) . C Calcula: E) y = cos4x .ACTIVIDADES UNIDAD 4 93 .4 5 E) 0 Si: f(x) = senx + sen3x + sen5x + sen7x + . C 14 lím (1 . calcula: 8 B) 1 E) -2 10 C) 0 Calcula: lím tan 4x tan 2x x " π tan 3x . B A) 0 D) 2 C) y = cscx . A 7.tan x A) 3 5 B) ..4sen3x & y' = 3cos3x C) -1 C) 2/p A) 5 D) 2 B) 1 E) 4 5. B A) p + 2 D) p . C 13 B) 1 E) -2 2. calcula: f '(0) A) 21 D) 441 12 C) 4 5 B) 0 E) 121 C) 1 Marca lo incorrecto: A) y = cotx .cotx & y' = 1 sec 2 x 2 2 D) y = cosx(2cos2x -1) & y' = -3sen3x TRIGONOMETRÍA . A 12. + sen21x.sen4x & y' = 2sen2x 1.7 Calcula: M = lím x"0 1 .π 4 4 3.tanx & y' = -4csc22x B) y = 3senx .2 Calcula: lím tan x .x)tan a πx k 2 x"1 4.cos _1 . B C) 3 Claves B p/2 E) p 6. E 11. C 9. D 10. E 8.1 x" π x . calcula: f 'a π k 2 A) 2 D) -1 Si: f(x) = sen2x. C 14.. D 13.cos xi x A) -1 D) 2 9 11 f ' d 127° n 2 B) 0 E) -2 C) 1 Si: f(x) = sen2xsen3x. ° C) 0 x"a sen 2 x . Marca verdadero (V) o falso (F). Calcula: lím cos x .1 2 x"0 1 Razonamiento y demostración 4. f(x) = 1 . D) .sen 2 a sen _2x .25 Determina: cos x .cos a x"a sen x . ( ) III. Relaciona según corresponda: Calcula: lím sen4x + lím 4x x x"0 x " 0 senx x" π 2 E) 2 11.sen a 2 2 5. Calcula: + lím cos πx 21 _x . ( ) x"0 8. Marca verdadero (V) o falso (F).sena A) cosa B) tana .3 2 B) 1 2 D) -1 E) 3 2 C) . B) -2 A) cos3a D) sen2a ( ) x"0 2.5 C) 0 calcula: f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) lím senx x"0 x 3.1 sen4x 4 10.2sen a 2 C) 4 cos a 2 B) 6 E) 4.tan a 12. calcula: G'(x) A) sen4x B) -sen4x D) -cos4x E) -sen2x C) .sena x " a tan x . según corresponda: A) -1 lím sen3x = 3 x II. lím sen a x + π k = 1 2 x"0 I. lím senx + 2 0 x"0 lím cosx . Si f(x) = 1 + senx + cosx.8 C) 4.1 2 lím π π x" x3 3 B) sen3a E) 1 C) cos2a Si G(x) = 1 .4 cos a 2 E) .4sen a 2 A) 8 D) 4.1i x"1 2 A) π 2 Efectúa: A) 1 D) 2 Halla el siguiente límite: lím senx . f(x) = sen3x & f'(x) = 3cos3x ( ) II.ai . f(x) = senxcosx & f'(x) = cos2x ( ) III.2sen2x & f'(x) = -2sen2x ( ) f(x) = cosx f'(x) = sec2x f(x) = tanx f'(x) = -senx f(x) = cotx f'(x) = -csc2x Razonamiento y demostración A) .Practiquemos NIVEL 1 7. Comunicación matemática 1. lím cos(x + p) = -1 Relaciona según corresponda: 9. Calcula: lím B) -1 E) -2 94 Intelectum 5.1 2 13. Halla el siguiente límite: lím senx sen2x senx x"0 x . A) 1 D) -2senx B) 2senx E) -2cosx C) 2cosx NIVEL 2 I.2sen2xcos2x. según corresponda: B) 4sen a 2 lím D) 1 Comunicación matemática A) . 6. 5π cos x B) π2 2 C) π 4 D) π 2 E) π 4 C) cota D) seca E) sena 14.0. lím 9sec πx . 2 lím sen 4x x " 0 xsen3x 6 Nivel 1 24. Si F(x) = 4sen3 a x - C) 2 10 π k .6xsenx. Si J(x) = sen x + cos x + 1. Si F(x) = 16sen5x . A 29.. lím 3 x"1 arctan _ x i III. determina: G''(x) 2 16 E) 2 3 23.cot x n x senx Calcula: S x"0 A) 0 B) 1 D) . sabiendo que J'(x) = Asen4x. 11.cos x tan 5x Comunicación matemática A) 2 4 B) 2 5 D) 2 8 E) 2 6 16. calcula: F'(x) 4 A) -6cos2xsen a x . lím < 3senπx -4 sen3πx F tan x = 4π3 ( ) B) -6cos2xsen a x + π k 4 5 21. A Nivel 2 25. A B) 2sen x D) 2sen26x C) 16 3 25. 3 5 calcula: H'(x) 5 B) -2sen x D) 2senx x " 0 arcsenx lím 1 lím 0 lím arcsenx x π 2 x"0 Razonamiento y demostración A) x3cosx C) -x3cosx E) x2cosx B) x3senx D) -x3senx A + B. A 20. Halla: 6 A) 2sen 3x C) 2sen22x E) 2sen24x x x " 0 arccosx C) 2 ( ) 28.π k 4 E) 6cos2xsen a x + π k 4 17. El área de la región comprendida por la curva y = senx y el eje x en [0. A 14. A 6.1i 2 E) n _n + 1i_2n . B halla el valor de A.1i 6 D) n _n . Si H(x) = -cos x + 2 cos3 x . A 28. C 17.1i π nH n C) 1 2 A) 1 D) 4 B) 2 E) 6 C) 3 27. p] se calcula de la siguiente manera: S = lím > π dsen π + sen 2π + sen 3π + . C E) .2x C = .π k 4 A) 2sen x C) 2sen6x E) sen5x arcsen d x . sabiendo que: F'(x) = Acosx + Bcos5x A) 0 D) 12 B) 10 E) -12 C) -10 A) n _n + 1i_2n + 1i 6 B) n _n + 1i 2 C) n _n . Relaciona según corresponda: D) -6sen2xsen a x + π k 4 2 ( ) II.senθ A) -tanq D) cotq 3. Si G(x) = x + cos 4x . 13.. Calcula: 18. Halla: 1 . calcula: F' a π k 2 TRIGONOMETRÍA . calcula: G'(x) lím 1 d 1 . A 2 2.6cosx . calcula: C l a ve s lím x " 0+ A) 1 D) -2 NIVEL 3 B) -cotq E) 1 C) tanq 26.15. B 19.20sen3x. 2 20.1 cos5 x + 1. A 5.1i 6 29. + sen n n n n"3 n 23. C A) .3 4 D) 1 3 22. A 26. Si: F(x) = senxsen2xsen3x. C Nivel 3 21.5 2 x"2 x"0 C) -6sen2xsen a x .1 4 _n . D) 16 C) 10 16. A 24. B 7. A B) -12 B) 8 3 15. Marca verdadero (V) o falso (F).ACTIVIDADES UNIDAD 4 95 .1 2 E) . calcula: f'(0) 22. A 19.3 2 A) 4 3 9. Si: G(x) = x3senx + 3x2cosx . Si: f(x) = senx + 2sen2x + 3sen3x + … + nsennx. 12. Determina: lím cos x cos θ x " θ senx . E 10. según corresponda: B) -1 E) 0 27.1 n 2 =2 I. 1. C 18. 8.1i_2n . E 4. 12y + 30 = 0 C) < 1 .6x + 12y + 24 = 0 7.Matemática Calcula una solución para el siguiente sistema de ecuaciones. 1H D) G-1. 1 2 2. -6) E) (3. n ! Z E) x = 3 np. pH 5.p .5) 2 (y . C) G2. B) 1 .5) 2 + =1 25 16 D) (x .b n = .7) 2 + =1 16 16/7 B) (x . 3) D) (-3. 3] B) .3y .p . 2) y su directriz es y = -1. 1 A 3 4 # cos(60°)cos d a . 3H B) x = 9np. 6) Una elipse. 0] . pH B) x2 + 6x .b ! G180°. 3. (I) a + b = 2p 3 seca + secb = 1 .9x .° A) (x . sabemos: a + b = 120° 1.b n = cos(120°) + cos(a . . 5p 6 6 A) 1 .b + 1 = 0 d2 cos d n nd d n n 2 2 La ecuación admite solución para: cos d a .1 1 4 d n cos d n d n 2 2 2 2 2cos d a . 2 96 A) x2 . n ! Z D) x = 3np. Su centro está sobre la recta L: y = x + 2 y pasa por el punto P(2..b n = cos(a + b) + cos(a . 1 A 2 1 E) . Calcula la ecuación de la elipse. x ! .4) 2 (y .b = 240° b = .12y + 24 = 0 C) x2 + 9x + 12y + 33 = 0 D) x2 .60° C) (-3. [1. 6.b n = 2cos2 d a . 6) A) 37 42 D) 37 41 B) 41 45 E) 41 47 C) 41 49 .12y + 33 = 0 E) x2 . p 2 2 E) [0.b . n ! Z 2 8. 2] E) [2. 1 3 2 1 D) < . 18 m se traza la mediana relativa al lado que mide 16 m.3 2 2 2 a b 2 a-b 4cos d n .b) 2 2 • Por dato (I). pH C) x = 9 np.1 2 2 a .6x .6x . Calcula el dominio de la siguiente función: y = 5arcsen(2x .b) 2 a b = .3 2 cos a . Determina el coseno del ángulo comprendido entre el lado de 14 m y la mediana. Calcula la ecuación de la parábola. tiene sus dos vértices sobre las rectas x = 1 y x = 9. 2H B) G-1.b . 1 3 Halla la solución general de la siguiente ecuación: cos a x k = 1 3 A) x = 6np.5) 2 (y + 7) 2 + =1 16/7 7/16 C) (x + 4) 2 (y . 270°H Resolución: • De la ecuación (II): 1 + 1 =1 cos a cos b cosb + cosa = cosacosb 2 # (cosb + cosa) = 2 # (cosacosb) 2 # 2 cos d a + b n cos d a . n ! Z 2 C) G0. Halla el intervalo de senx. cuyo ejes son paralelos a los ejes coordenados.. La ecuación de una parábola es: A) (3. 0H 4. si: x ! p .7) 2 + =1 16 16/7 En un triángulo cuyos lados miden 14 m. A) G-1.7) 2 + =1 9 7 E) (x + 5) 2 (y .5) + 3p 4 A) [-p. n ! Z El vértice de una parábola es (3. (II) Si a .b n . p 4 4 D) G-p.b = 120° & a . x . 16 m.b = 240° 2 Luego. 6). Calcula el rango de la siguiente función: y = arccos(tanx).9 = 0 Halla el vértice de la parábola. tenemos: a + b = 120° a = 180° & a .. B) (6.. -6) Intelectum 5.4cos d n-3=0 2 2 a .1 + 2cos2 a .