IsometriasESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE ISOMETRIAS Isometria: do grego ισο + μέτρο (ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida) Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva as distâncias entre pontos e consequentemente as amplitudes dos ângulos, transformando uma figura noutra figura congruente. ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE ISOMETRIAS Existem quatro tipos de isometrias: • Rotação • Translação • Reflexão • Reflexão deslizante ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE ISOMETRIAS A’ ROTAÇÃO Fig. 2 Rodar uma figura em torno de um ponto chamado centro de rotação (O). O Fig. 1 O que é uma rotação? A distância dos pontos ao centro de rotação mantém-se constante. A 180º ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE e a um ângulo. ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . o centro da rotação. associada a um ponto.ISOMETRIAS ROTAÇÃO Numa rotação: • um segmento de recta é transformado num segmento de recta congruente • um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e com o mesmo sentido Uma rotação é uma transformação geométrica. cuja amplitude pode ser positiva ou negativa. Convencionou-se que a rotação tem sentido positivo quando a rotação se efectua no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio. então diz-se que se efectuou uma rotação no sentido negativo. Quando se efectua uma rotação no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS ROTAÇÃO Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. ISOMETRIAS Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Pavimentações usando as rotações . Pavimentações usando as rotações . um sentido e um comprimento). 2 Vector “Deslocamento” de uma figura segundo um vector v Fig. 1 (um vector é um ser matemático que é caracterizado por uma direcção. ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO O que é uma translação? Fig. ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Em baixo. a figura B é a imagem da figura A pela translação T no plano. José Carvalho@2007 11 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem (o transformado) através de uma translação. A figura D não foi obtida por translação da figura C. mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos. José Carvalho@2007 12 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C.ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Na figura que podes observar agora. o deslocamento foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido. • um sentido.ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de um “deslocamento” de todos os pontos da figura original definidos por: • uma direcção. • um comprimento. José Carvalho@2007 13 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção. José Carvalho@2007 14 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . O vector é o representante de todos os segmentos de recta equipolentes (ou seja. com a mesma direcção. o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector. mesmo sentido e mesmo comprimento). a recta suporte do vector) • o sentido (um dos dois possíveis na direcção) • o comprimento (ou norma) José Carvalho@2007 15 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Um vector fica então definido desde que se conheça: • a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: . º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo. vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado José Carvalho@2007 16 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . 1.ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho. com régua e esquadro. ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO 2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado 3. respeitando o sentido indicado pelo vector José Carvalho@2007 17 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .º passo: Marcam-se as imagens dos vértices. º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas. obtendo-se a translação da figura original José Carvalho@2007 18 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO 4. • Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo congruente (com a mesma amplitude). José Carvalho@2007 19 ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . • Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual.ISOMETRIAS PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO Concluindo: • Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e congruente . ISOMETRIAS Translação associada ao vector u=(1.1) ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Pavimentações usando as translações . Pavimentações usando as translações . Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC' ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Dada uma recta L chama-se reflexão em torno do eixo L ao movimento que transforma um ponto C em outro ponto C' verificando que: • O segmento CC' é perpendicular a L. • Os pontos C e C' são equidistantes do eixo L.ISOMETRIAS REFLEXÃO O que é uma reflexão? Reflexão em redor de um eixo. ISOMETRIAS Reflexão ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Exemplos de Reflexões . O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS REFLEXÃO DESLIZANTE O que é uma reflexão deslizante? A reflexão deslizante é a combinação de uma reflexão com uma translação. A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma translação chama-se de reflexão deslizante. Em seguida. obtendo-se o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’].ISOMETRIAS Reflexão deslizante O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se o quadrilátero [A’B’C’D’]. Assim. sofre uma translação associada ao vector u. ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero [ABCD] segundo uma reflexão deslizante. ISOMETRIAS SIMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . ISOMETRIAS Existe uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias: • Simetria de Reflexão • Simetria de Rotação • Simetria de Translação • Simetria de reflexão deslizante ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . pelo menos.ISOMETRIAS SIMETRIA DE REFLEXÃO Existe. uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante. Tal pode ser identificado… … se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente … se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . ISOMETRIAS SIMETRIA DE REFLEXÃO A simetria de reflexão também se designa por simetria axial. o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou linha de simetria ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS EIXO DE SIMETRIA Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. a recta não é eixo de simetria. Caso contrário. ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA 1 eixo 2 eixos 6 eixos 1 eixo 2 eixos Não tem eixos ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria.ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência Os eixos de simetria duma circunferência são as rectas que passam pelo centro. ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 8 lados 3 eixos 4 eixos 5 eixos 6 eixos 8 eixos Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . cada um dos eixos de simetria une um vértice ao ponto médio do lado oposto ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é ímpar. ISOMETRIAS EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é par. cada um dos eixos de simetria une dois vértices opostos ou une os pontos médios dos lados opostos ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . uma rotação com uma amplitude superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura globalmente invariante. coincida com a figura original. pelo menos.ISOMETRIAS SIMETRIA DE ROTAÇÃO Existe. Tal pode ser identificado… … se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo (centro da figura). ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . de modo a que a imagem resultante. através da rotação. ISOMETRIAS SIMETRIA DE ROTAÇÃO Figura original Um terço de volta Dois terços de volta 120º 240º Um volta inteira 360º O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a figura roda (centro da figura) O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que descreve o movimento da figura ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE . Exemplos de simetrias de rotação . r 1º A pegada sofre uma reflexão em torno da recta r. NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .ISOMETRIAS SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE Esta simetria de reflexão deslizante caracteriza-se por ser uma reflexão que envia a pegada de baixo para cima seguida de um deslizamento que a faz avançar um passo. 2º A pegada sofre uma translação na direcção e no sentido de um vector paralelo ao eixo de simetria. FIM ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE .