Hukum Gaus dan Potensial Skalar.PPT

1. KELOMPOK 2 KELAS B / PENDIDIDKAN FISIKA HUKUM GAUSS dan POTENSIAL SKALAR Claudia Waloni I Ketut Putra Yasa 2. HUKUM GAUSS Derivasi Hukum Gauss penerapan hokum Gauss 3. Potensial Skalar Defenisi Potensial Skalar Potensial Muatan Titik tunggal Potensial scalar dan tenaga potensial Potensial distribusi muatan bola seragam 4. DIRIVASI HUKUM GAUSS Akan menunjukkan bahwa (Hukum Gauss) : dengan Qdalam adalah muatan total (netto) yang terkandung dalam ruang (volume) yang dilingkupi oleh suatu permukaan tertutup S sembarang. Mengingat persamaan (3-2) bahwa Maka 5. Ada dua kasus yang akan ditinjau. Kasus 1 : 𝑞𝑖 berada didalam S (gambar 4.1). letak elemen luas 𝑑𝑎 (dengan vekctor d 𝑎)relative terhadap muatan 𝑞𝑖 ditunjukkan oleh 𝑅𝑖 ; berlaku bahwa Dengan 𝑑Ω =elemen sudut ruang yang berpangkal di 𝑞𝑖menyebar keluas da. Untuk mengevaluasi intergral dalam persamaan (4-2), kita tinjau sebuah bola 𝑆0 yang berjejari 𝑅0 dengan 𝑞𝑖sebagai pusatnya. Sudut ruang 𝑑Ω yang sama akan memotong luasan d 𝑎 pada bola ini; seperti tampak pada gambar 4-1, d 𝑎0 sejajar dengan 𝑅𝑖 Sedemikian sehingga jika kita menggunakan persamaan (4-3) pada kasus ini, maka 𝑑Ω sama dengan d𝑎0/ 𝑅2 0. Dengan demikian, integral persamaan (4-2) setara ditulis sebagai 6. Karena 𝑅0 tetap untuk semua titik dipermukaan bola. Jadi, sudut ruang total yang dibentuk oleh sembarang permukaan yang merentang dari suatu titik yang berada didalamnya adalah 4𝜋 dapat ditulis 7. Kasus II : 𝑞𝑖di luar S (Gambar 4.2) Ditinjau dua elemen luasan d 𝑎1 dan d 𝑎2 dari permukaan S yang terpotong oleh sudut ruang 𝑑Ω yang sama tetapi disisi yang berlawanan pada permukaan S. Jaraknya dari 𝑞𝑖 berturut-turut ditulis sebagai 𝑅𝑖1 𝑑𝑎𝑛 𝑅𝑖2. Seperti sebelumnya, kita akan punya. dan karena 𝜃2 > 𝜋/2,sehingga 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 maka Jadi 8. Sehingga sumbangan netto kedua elemen luasan ini kepada integral dalam persamaan (4-2) adalah nol. Karena semua elemen luasan pada permukaan S dapat dipasang-pasangkan dengan cara seperti ini, maka semua sumbangannya kepada integral tadi akan saling meniadakan, dan dengan demikian Dengan demikian, dari persamaan-persamaan (4-2),(4-5), dan (4-7) diperoleh Dan kita telah membuktikan hokum gauss seperti dinyatakan oleh persamaan (4-1) di depan 9. Sekarang muatan-muatan didalam S diasumsikan terdistribusi secara kontinyu dengan rapat muatan 𝜌, maka mautan totalnya adalah Dengan V adalah Volume total ruang yang dilingkupi oleh S. Dengan menerapkan teorema divergensi, yaitua maka persamaan (4-8) dapat ditulis sebagai Karena hasil ini berlaku pada sembarang volume V, maka ini berlaku juga untu volume infinitesimal, dan kita dapat menyamakan integran untuk memperoleh divergensi medan listrik 𝐸: Ini merupakan salah satu dari persamaan-persamaan Maxwell 10. BEBERAPA PENERAPAN HUKUM GAUSS Hukum Gauss menyediakan cara yang sederhana dan mudah untuk menentuka medan listrik dari distribusi muatan memiliki simetri. Perlu memilih permukaan tertutup yang cocok untuk proses integrasi (disebut permukaan gauss) yaitu permukaan-permukaan dimana : o𝐸 memiliki nilai yang tetap o𝐸 memiliki yang tegak lurus atau sejajar terhadap permukaan tersebut. 11. Muatan garis seragam panjang tak hingga Asumsi : ⋋= 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑛 Muatan garis berimpit dengan sumbu z Mengguanakan system koordinat silinder Muatan garis panjang tak hingga, sehingga tidak ada perbedaan di mana kita berada sepanjang garis tersebut Tidak ada yang membedakan nilai 𝜑 yang satu dengan nilainya yang lain karena distribusi muatan tampak sama di mana pun kita melihat dari arah tegak lurus terhadap sumbu z 𝐸 hanya bergantung pada jarak 𝜌 dari garis Pilihan arah sumbu z positif atau negatif sepenuhnya sembarang Kita tidak dapat membedakan antara bertambahnya 𝜑 dan berkurangnya 𝜑 12. Jadi, disimpulkan dari kesimetrian bahwa 𝐸 hanya dapat memiliki arah radial : 𝐸 = 𝐸𝜌(𝜌) 𝜌 Dengan demikian, suatu permukaan dengan nilai 𝐸 yang tetap Sebagian dari silinder ini dengan panjang L ditunjukkan oleh Gambar 4.3 Permukaan tertutup untuk pengintegrasian (permukaan gauss) Vektor-veektor satuan normal Meskipun 𝐸𝜌 memiliki bentuk ketergantungan yang tidak diketahui pada 𝜌 pada luasan-luasan lingkaran ini, tetapi 𝐸 tegak lurus terhadap vector-vector luasnya, sehingga sumbangannya kepada fluks akan lenyap 13. Kita dapat menulis integral permukaan tertutup sebagai jumlahan dari integral permukaan selimut dan tutup-tutup atas dan bawah (yang ditandai oleh indeks s,a, dan b). Kita juga ingat bahwa juga ingat bahwa 𝐸𝜌(𝜌) tetap pada permukaan selubung karena 𝜌 tetap. Denagn demikian, dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi : Saat kita memecahkan persamaan di atas untuk 𝐸𝜌, panjang L sembarang menjadi lenyap dan kita memperoleh 𝐸𝜌 𝜌 = 𝜆 2𝜋𝜌𝜀0 Sehingga 𝐸 = 𝜆 2𝜋𝜀0 𝜌 𝜌 yang tepat sama dengan persamaan (3-7) yang telah diperoleh dari integrasi langsung 14. Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga Asumsi : 𝜎 = tetapan Plat terletak pada bidang xy ; gambar memperlihatkan pandangan dari sisi tepi plat. Pemilihan titik asal system koordinat dan arah-arah sumbu x dan sumbu y sembarang. Maka haruslah 𝐸 tidak bergantung pada x dan y Tidak ada perbedaan antara kana dan kiri, atau menuju atau menjauhi kertas,sehingga 𝐸 tidak memiliki komponen-komponen yang sejajar plat Tidak ada juga perbedaan nyata antara atas dan bawah, sehingga arah 𝐸 harus selalu menjauhi plat ataau selalu menuju plat bergantung pada 𝜎 15. Jadi, permukaan tertutup pengitegrasian berupa sebuah silinder setinggi D ke atas dan ke bawah plat serta tutup-tutup silinder seluas Δa sejajar plat. Vektor medan listrik 𝐸 memiliki nilai yang tetap sebesar E(D) di tutup-tutup tersebut Tampak juga bahwa𝑄 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 adalah muatan pada plat yang terpotong oleh penampang silinder, dan dengan demikian sama dengan σΔa 16. Jadi dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi : Tampak bahwa 𝐸 𝐷 = 𝜎/2𝜀0 yang tidak jelas tidak bergantung pada D; jadi medan lsitrik plat tipis ini diberikan oleh Yang tepat sama seperti dengan persamaan (3-8) yang telah diperoleh dengan integrasi langsung 17. Bola Pejal bermuatan terdistribusi secara simetri bola Asumsi  Muatan terkandung dalam bola berjari-jari a  Rapat muatan fungsi radial 𝜌 = 𝜌 𝑟 → 𝑆𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑙𝑎  Jadi 𝐸 memiliki arah radial, besarnya tak bergantung pada sudut, dan dapat ditulis dalam bentuk 𝐸 = 𝐸𝑟(𝑟) 𝑟  Besar 𝐸 konstan di permukaan bola berjari-jari r.  Jadi, persamaan (4-1) menjadi 18. Sehingga diperoleh Dengan Dan V(r) adalah volume bola berjejari r 19. Bola Pejal bermuatan terdistribusi seragam  Kasus ini seperti pada contoh sebelumnya tetapi dengan rapat muatan 𝜌 = 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑛, yaitu kita punya bola bermuatan seragam dengan demikian, integral dalam persamaan (4-19) menjadi  Pernyataan ini dapat diungkapkan dalam muatan total Q sebagai sehingga 20. Yang menujukkan bahwa medan listrik bertambah besar secara linear terhadap jarak saat kita bergerak menjauh dari nilai nolnya di titik pusat bola.  Di luar bola, besar medan listrik berubah dengan kebalikan kuadrat jarak dari pusat bola menurut persamaan (4-17) dan persamaan (4-21) memberikan nilai yang sama, yaitu 𝑄/4𝜋𝜀0 𝑎2 , di permukaan bola, yaitu r=a; jadi, medan listrik tetap kontinyu saat melintasi permukaan bola bermuatan  Hasil-hasil ini untuk bola bermuatan seragam ditunjukkan oleh gambar 4.5 di atas 21. Defenisi Potensial Skalar Pada ungkapan medan listrik 𝐸 = 1 4𝜋𝜀0 𝑖=1 𝑁 𝑞 𝑖 𝑅 𝑖 𝑅𝑖 2 (3.2), kita dapat mengganti 𝑅 𝑖 𝑅𝑖 2 dengan −𝛻 1 𝑅 𝑖 sehingga diperoleh 𝐸 𝑟 = − 𝑖 𝑞 𝑖 4𝜋𝜀0 𝛻 1 𝑅 𝑖 = − 𝛻 𝑖 𝑞 𝑖 4𝜋𝜀0 𝑅 𝑖 ′ (5-1) Dengan 𝑅𝑖 = | 𝑟 − 𝑟𝑖| Didifenisikan medan scalar yang disebut sebagai potensial scalar atau potensial eletrostatis : 22. Dengan kita dapat menulis 𝐸 𝑟 = −𝛻∅ 𝑟 (5 − 3) Medan listrik merupakan negative gradient ptensial scalar ; dan berlaku bahwa 𝛻 × 𝐸 = 0 (5 − 4) Satuan potensial scalar volt (v) ; dari persamaan (5-4), medan listrik dapat dinyatakan dalam voltmeter yang kenyataannya sering digunakan 1 volt = 1 joule/coulomb Mengingat teorema Stokes : ∮ 𝑐 𝐸. 𝑑 𝑠 = 0 (5 − 5) dengan C adalah lisntasan tutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medan elektrostatik 𝐸 merupakan medan konservatif Potensial scalar persmaan (5-2) diungkapkan dalam 23. Potensial listrik dari distribusi muatan kontinyu : Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7) 24. Jika potensial scalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang : Integral garis medan𝐸 antara titik awal 𝑃1 𝑑𝑖 𝑟1 dan titik akhir 𝑃2 𝑑𝑖 𝑟2 serupa dengan gambar 1.16 Jadi kita dapat menulis 25. Potensial Muatan titik tunggal Ditinjau dari sebuah muatan titik Q yang terletak di 𝑟′. Potensialnya, menurut persamaan (5-2) Dengan 𝑅 = | 𝑟 − 𝑟′|. Dengan demikian medan listrik Permukaan-permukaan ekipotensial diperoleh dengan memecahkan persamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertetu untuk 𝜙; hasilnya adalah 26. Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu 𝐸 = −𝛻∅ , dengan persamaan (4-10), yaitu 𝛻 × 𝐸 = 𝜌/𝜀0, maka diperoleh bahwa 𝛻2 𝜙 = − 𝜌 𝜀0 5 − 15 Dengan kata lain, potensial scalar memenuhi persamaan diferensial ini yag dikenal sebagai “persamaan poisson”. Di dalam daerah dimana 𝜌 = 0, persamaan (5-15) berubah menajdi “persamaan Laplace” 𝛻2∅ = 0 (5 − 16) 27. Potensial Distribusi muatan bola seragam Ditinjau : bola berjejari a , bermuatan total Q, rapat muatan tetap 𝜌 = 𝑄 𝑉 = 3𝑄 4𝜋𝑎3 akan dihitung potensial scalar titik sejauh 𝑟 dari pusat bola (Gambar 5.5) 28. Jadi diperoleh Integrasian ke 𝑑𝜙′ dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2𝜋. Jika kita menggunakan 𝜇 = 𝑐𝑜𝑠𝜃′, maka persamaan (5-17) menjadi Integrasian ke 𝜇 dapat diperoleh dengan menggunakan table integral, hasilnya 29. Potensial scalar dan tenaga potensial Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah gaya elektrostatik 𝐹𝑞 dan sebuah gaya mekanik 𝐹𝑞,𝑚. 𝐹𝑞 + 𝐹𝑞,𝑚 = 𝑞𝐸 + 𝐹𝑞,𝑚 = 0 Atau 𝐹𝑞,𝑚 = −𝑞𝐸 (5 − 24) Jika kita tulis 𝑊1→2 = 1 2 𝐹𝑞,𝑚. 𝑑 𝑠 = −𝑞 1 2 𝐸. 𝑑 𝑠 = 𝑞[∅( 𝑟2) − ∅( 𝑟1)] = 𝑞∆∅ (5 − 25) Kerja yang dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial ∆𝑈𝑒 muatan sehingga persamaan (5.25) menjadi ∆𝑈𝑠 = 𝑞[∅( 𝑟2) − ∅( 𝑟2)]=q∆∅ (5 − 26) Tenaga potensial sebuah muatan q di 𝑟, yaitu sebagai 𝑈𝑒( 𝑟), sebagai 𝑈𝑒 𝑟 = q∅( 𝑟) 30. KESIMPULAN Derivasi Hukum Gauss akan menunjukkan bahwa (hokum gauss) : ∮ 𝑠 𝐸. 𝑑 𝑎 = 1 𝜀0 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑞𝑖 = 𝑄 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝜀0 Beberapa penerapan Hukum Gauss - Muatan garis seragam panjang tak hingga - Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga - Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam Potensial scalar - Definisi potensial scalar - Potensial muatan titik tunggal - Potensial distribusi muatan bola seragam - Potensial scalar dan tenaga potensial