UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – ENERGÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA Curso: Resistencia de Materiales I (M 5122) PERIODO ACADÉMICO 2013-A LEY DE HOOKE GENERALIZADA Consideremos el estado general triaxial de esfuerzo en un material homogéneo e isotrópico, según se aprecia en la figura 1, para determinar los efectos de deformación producidos por todos los esfuerzos. Se tendrá en consideración los efectos de cada esfuerzo axial. Figura 1 En la dirección x, la deformación unitaria es εx = σx/E, y en las direcciones y y z son εy = -νεx y εz = -νεx. Así, las deformaciones totales resultantes serán: δx = εxdx, δy = -νεxdy δz = -νεxdz Análogamente, en la dirección y las deformaciones serán: δy = εydy, δx = -νεydx δz = -νεydz Y en la dirección z las deformaciones serán: δZ = εZdz, δx = -νεzdx δy = -νεydy Así entonces, la deformación global que sufre el elemento en la dirección x será: σ (δ x )total = σ x dx − ν y dx − ν σ z dx E E (δ x )total ⇒ E dx = εx = total σx E − ν E (σ y + σ z ) (IV) Análogamente, las deformaciones unitarias globales en las otras direcciones son: εy = total εz = total σy −ν E σz E −ν σx −ν E σx E −ν σz E σy E = = σy E σz E − − ν E ν E (σ x + σ z ) (σ x +σ y ) (V) (VI) Si consideramos que hay cambio de temperatura ∆T, las fórmulas (IV), (V) y (VI) pasan a ser las siguientes: εx = total σx E − Profesor: Ing. Martín Casado Márquez ν E (σ y + σ z ) + α ∆T 1 (VII) c’ = c(1 + εz) Vf = a’b’c’ = abc(1 + εx)(1 + εy)(1 + εz) El volumen final del cuerpo será: = V0(1 + εx)(1 + εy)(1 + εz) Considerando deformaciones pequeñas. las nuevas dimensiones del cuerpo serán: a' = a(1 + εx). b y c respectivamente. se define el módulo volumétrico o de compresibilidad (k) del material como: k= p e k= ⇒ E 3(1 − 2υ) Para la mayoría de metales ν ≈ 1/3. al cancelar los términos de segundo y tercer orden.εy = σy total εz = total E σz E − ν − (σ x + σ z ) + α∆T E ν E (σ x (VIII) + σ y ) + α∆T (IX) Cambio de volumen. y por tanto k ≈ E. la presión sobre él es la misma en todas direcciones. (V) y (VI). e= ∆V V f − V0 1 − 2υ (σ x + σ y + σ z ) = = V0 V0 E (X) Si el elemento es sometido mas bien a una presión uniforme p de un líquido. V y VI se obtiene el cambio unitario en dicho volumen. Martín Casado Márquez 2 . al reemplazar en (VII) queda: p= Ee 3(1 − 2υ) Así entonces. son: [ ] (XII) [ ] (XII) [ ] (XIII) σx = E (1 − υ )ε x + υ (ε y + ε z ) (1 + υ )(1 − 2υ ) σy = E (1 − υ )ε y + υ (ε x + ε z ) (1 + υ )(1 − 2υ ) σz = E (1 − υ )ε z + υ (ε x + ε y ) (1 + υ )(1 − 2υ ) Profesor: Ing. Su volumen inicial será: V0 = abc. las que nos permitirán hallar los esfuerzos en función a las deformaciones.. conocido como deformación volumétrica (e). En los cuerpos rígidos k → ∞. Como en este caso el elemento solo puede reducir su volumen. es decir.Consideremos que las dimensiones del cuerpo prismático dado en la figura 1 son a. Las relaciones inversas de (IV). Debido a las cargas aplicadas. la expresión anterior queda: Vf = V0(1 + εx + εy + εz) Sumando IV. b’ = b(1 + εy). es decir: σx = σy = σz = -p. [ ] (XIV) [ ] (XV) [ ] (XVI) σx = E (1 − υ )ε x + υ (ε y + ε z ) − (1 + υ )α∆T (1 + υ )(1 − 2υ ) σy = E (1 − υ )ε y + υ (ε x + ε z ) − (1 + υ )α∆T (1 + υ )(1 − 2υ ) σz = E (1 − υ )ε z + υ (ε x + ε y ) − (1 + υ )α∆T (1 + υ )(1 − 2υ ) En cuanto a las deformaciones angulares. Un bloque A de caucho duro. éstos producirán las deformaciones que se aprecian en las figuras 2a. calcular todas las deformaciones unitarias. El material no está confinado en la dirección normal al plano del papel. 4. Si E = 30 mil ksi y G = 12 000 ksi. Una presión uniformemente distribuido p0 se aplica en la parte superior del bloque de caucho.10 −6 ε y = ε z = −37. Un cilindro de caucho A de diámetro d = 2” se comprime dentro de un cilindro de acero B por una fuerza F = 1 000 lb.10 − 6 Calcular: a) Los esfuerzos normales σx. σy = 30 ksi (C) y τxy = 25 ksi. 2. las fórmulas (XI). b) El cambio de volumen del cubo. cuyo módulo de Poisson es ν. b) En estado de deformación en un plano. Se sabe que los esfuerzos en un punto sobre un cuerpo de acero son: σx = 15 ksi (T). G PROBLEMAS 1. Determinar: Un cubo de fierro fundido de lado L = 4” se prueba en el laboratorio bajo la acción de una carga triaxial. γ zx = τ zx G (XVII) 3. uno en cada cara). Sobre tres caras adyacentes se colocan medidores de deformación (extensómetros. (XII) y (XIII) toman la siguiente forma. Profesor: Ing. las deformaciones angulares del material serán: γ xy = τ xy G . suponiendo que el punto se encuentra: a) En estado de esfuerzo en un plano. si sobre el material se aplican esfuerzos cortantes.5. registrando las siguientes deformaciones unitarias: ε x = −225. cada uno paralelo a una arista. determinar la presión lateral entre el caucho y el acero. 2b y 2c.Si en el cálculo de los esfuerzos se involucra a la temperatura. σy y σz. γ yz = τ yz . está confinado entre paredes planas rígidas paralelas B.45. Martín Casado Márquez 3 . Figura 2a Figura 2b Figura 2c Así entonces. Si ν = 0. 6. a) La deformación unitaria del diámetro de la sección. Si E = 45 GPa y ν = 0. Si el eje del tronco coincide con el eje y. ν = 0. b) La deformación volumétrica (e). calcular: Profesor: Ing. si su deflexión no debe exceder de 2.25. Las dimensiones de un tronco de cono circular recto apoyado en su base mayor sobre una superficie rígida. y sujeta a su propio peso. unidos por sus bases mayores. y que su espesor es 25 mm. EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Bellavista.180 MPa. c) El valor de e sin suponer deformaciones pequeñas.3) se somete a presión hidrostática p de tal forma que su volumen se reduce en 0. Calcular la máxima fuerza admisible P que se puede aplicar a la barra A. Martín Casado Márquez 4 . h = 60 cm. a) La presión p. 100 mm Una esfera sólida de acero (E = 30 000 psi. r = 25 mm. Calcular: z 9. ν = 0. calcular: 10. Y B D C 40 mm x 5. b) El módulo de compresibilidad. Si se sabe que σx = . b) La variación del volumen de la barra. y G = 12 MPa. b) El incremento porcentual en la densidad del magnesio. E = 200 GPa. El material mostrado tiene las siguientes características: G = 50 GPa. Una barra tiene forma de un doble tronco de cono circular recto de radios r = 20 cm. Un cubo de magnesio de 25 cm de lado se sumerge en aguas tranquilas a una profundidad tal que la longitud de cada lado se acorta 0. Considerar: E = 200 GPa.3. son: R = 75 mm. 27 de abril del 2013 8. a) La presión lateral p entre el caucho y las paredes rígidas. ν = 0. ν = 1/3.5 mm. Si a la barra se le somete a una fuerza axial P = 60 kN en sus extremos. a) La profundidad a la que se sumerge el cubo. calcular: a) La variación unitaria del área de la sección recta.35. 2r y longitud L = 2 m.5%.05 mm. 7. b) El cambio correspondiente en el área de la cara ABCD. b) Los esfuerzos normal y cortante en la sección que forma 30º con el plano xz.a) La magnitud de σy para el cual el cambio de altura del bloque será cero (A se halla en el eje y). c) El cambio correspondiente en el volumen del bloque. γ = 7 830 N/m3. se pide determinar lo siguiente en la sección que se encuentra a 20 cm de la base mayor: Un soporte aislante de vibración consta de una barra A de radio R1 = 10 mm y un tubo de radio interior R2 = 25 mm adherido a un cilindro hueco de 80 mm de longitud.