Curitiba, 07 de junho de 2013.Aluno: _______________________________________________________ Turma: _____________ Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Parte II - Engrenagens 2º. Bimestre de 2013 Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 2 de 17 Importante: Este material somente será autorizado para consulta nas avaliações do 2º. Bimestre da disciplina de elementos de máquinas mediante as condições abaixo: - A cópia impressa deste formulário, sem anotações ou rasuras, devidamente encadernado, será o único material de consulta permitido para as provas parcial e bimestral. - Este material é de uso exclusivo do aluno, ficando proibido o seu empréstimo durante a avaliação sem a autorização do avaliador. Portanto é importante que o aluno preencha os campos nome e turma do formulário antes de iniciar a prova. - Reserva-se ao professor o direito de anular a prova do aluno no caso da violação de alguma das condições acima. Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 3 de 17 1. Formulário: Engrenagens cilíndricas de dentes retos m Módulo, mm P Passo diametral 1/pol. p Passo frontal do dente, Passo circular mm a Altura da cabeça do dente, Adendo mm b Altura do pé do dente, Dedendo mm d Diâmetro primitivo, mm d e Diâmetro externo, mm d i Diâmetro interno, mm c Distância entre Centros, mm N d m = d N P = m p · =t m a = m b · = 25 , 1 N m d · = m d d e · + = 2 2 c p d d c + = m d d i · + = 5 , 2 Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 4 de 17 2. Módulos Normalizados: Módulo (mm) Variação (mm) Exemplos de 0,2 a 1,0 0,1 0,2 - 0,3 - 0,4 - ... - 1 mm de 1,0 a 4,0 0,25 1 - 1,25 - 1,5 - 1,75 - ... - 4 mm de 4,0 a 7,0 0,5 4 - 4,5 - 5 - 5,5 - ... -7 mm de 7,0 a 16,0 1,0 7 - 8 - 9 - ... - 16 mm de 16,0 a 24,0 2,0 16 - 18 - 20 - ... - 24 mm de 24,0 a 45,0 3,0 24 - 27 - 30 - ... - 45 mm de 45,0 a 75,0 5,0 45 - 50 - 55 - ... - 75 mm Módulos mais usados (mm): 1 – 1,25 – 1,5 – 2 – 2,5 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 10 – 12 – 16 – 20 – 25 – 32 - 40 – 50 Segunda Escolha (mm): 1,125 – 1,375 – 1,75 – 2,25 – 2,75 – 3,5 – 4,5 – 5,5 – 7 –9 – 11 – 14 - 18 – 22 – 28 – 36 Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 5 de 17 3. Verificação do número de dentes da engrenagem em função dos critérios de interferência: 3.1. Número mínimo de dentes do pinhão acoplado a uma coroa (para não haver interferência): Para dentes retos: ( ) ( ) | | 2 2 2 min 2 1 ) 2 1 ( 2 sen m m m sen m k Np G G G G + + + + > Para dentes helicoidais: ( ) ( ) t G G G t G sen m m m sen m k Np | | ¢ 2 2 2 min 2 1 ) 2 1 ( cos 2 + + + + · > 3.2. Número mínimo de dentes do pinhão acoplado em cremalheira: 3.3. Número máximo de dentes na coroa (para não haver interferência): Válido para: e Np < Número mínimo de dentes do pinhão acoplado em cremalheira Para dentes retos: | | 2 2 2 2 max 2 4 4 sen N k k sen N N p p C ÷ ÷ s para Np > 17 dentes: Nc max = · Para dentes helicoidais: t p t p C sen N k k sen N N | ¢ ¢ | 2 2 2 2 2 max 2 cos 4 cos 4 ÷ · · ÷ s Onde: k - Fator e altura do dente, onde k = 1 para dentes normais e k = 0,8 para dentes rebaixados. m G - Razão de engrenamento P C C P G N N n n m = = Φ n - Ângulo de pressão normal Φ t - Ângulo de pressão circular | | . | \ | = ÷ ¢ | | cos tan tan 1 n t Ψ - Ângulo de hélice t sen k Np | ¢ 2 min cos 2 · > Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 6 de 17 4. Relação de transmissão: Relação de transmissão – Trem de engrenagens simples Relação de transmissão – Trem de engrenagens composto Relação de transmissão – Trem de engrenagens Planetárias N1 n1 N2 n2 N1 n1 N2 n23 N3 N4 n4 1 2 1 2 1 2 2 1 T T N N d d n n i = = = = 14 34 23 12 4 1 i i i i n n = · · = 4 1 1 4 14 n n N N i = = 14 34 12 4 1 i i i n n = · = 4 1 3 4 1 2 14 n n N N N N i = · = S C B C B S SC N N n n n n i = ÷ ÷ = N1 n1 N2 n2 N3 n3 N4 n4 Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 7 de 17 5. Análise de Forças: Engrenagem de dentes retos W - Força total (N) W t - componente tangencial (N) W r - Componente radial (N) W a - Componente axial (N) T - Torque (Nmm) d – diâmetro primitivo (mm) H – Potencia (W) n - Velocidade (rpm) Engrenagem Helicoidal Ψ - Ângulo de hélice (entre 15° e 30°) Φ n - Ângulo de pressão normal Φ t - Ângulo de pressão circular p n - Passo normal (medido no plano normal) p t - Passo circular (medido no plano de rotação) p x - Passo axial m n - Módulo normal m t - Módulo circular 2 2 tan r t r t t r W W W W W W W W + = + = · = | ¢ cos n t p p = ¢ cos n t m m = ¢ | | cos tan tan 1 n t ÷ = ¢ | ¢ | cos cos tan tan · = · = · = n t t a t t r W W W W W W Wr Wt W Φ d T W t · = 2 N m N m d n t · = · = ¢ cos n H T · · = t 000 . 30 Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 8 de 17 6. Equação de Lewis: o Tensão de flexão no pé do dente K’ V Fator dinâmico W t Força tangencial (ver página 7) m Módulo normal F Largura do dente Y Fator de forma de Lewis K V Fator dinâmico Y m F W K t v · · · = o Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 9 de 17 7. Equação AGMA para tensão de flexão atuante: W t Força tangencial (ver página 7) m n Módulo normal F Largura do dente J Fator de geometria K o Fator de sobrecarga K’ V Fator dinâmico K S Efeito do tamanho K H Fator de distribuição de carga K B Fator de correção da espessura Equação do módulo normal, m n (baseada na equação AGMA para flexão): Considerando adm o o s : Ψ Ângulo de hélice (para engrenagens de dentes retos Ψ = 0°) N p Número de dentes do pinhão o adm Tensão Admissível à Flexão AGMA (ver pag. 12) R F Razão entre a largura e o módulo nominal Recomendações de projeto para largura “F” da engrenagem: 3p n < F < 5p n como pn = t mn então: 3t < R F < 5t 3 ' cos 2 B H S V O p adm F n K K K K K J N R T m · · · · · · · · · · = o ¢ Observe que K’ v depende do valor de m t e K S e K H depende de m n e F. Portanto recomenda-se adotar K’ v = K S = K H = 1, como condição inicial, corrigindo os valores para as interações seguintes. B H S V o n t K K K K K J F m W · · · · · · · = ' o Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 10 de 17 Fator Geométrico da Resistência à Flexão, J : Fator dinâmico, K’ V V t : Velocidade Tangencial em m/s da curva Qv é dada por Onde Q v : Número de qualidade AGMA A máxima velocidade, para a qualidade especificada. 3 / 2 ) 12 ( 25 , 0 ) 1 ( 56 50 200 v B t v Q B B A A V A K ÷ · = ÷ · + = | | . | \ | · + = ) / ( 000 . 60 ) ( ) ( s m rpm n mm d V t · · = t ( ) | | 200 3 2 max ÷ + = v t Q A V Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 11 de 17 Fator de Sobrecarga, K o Efeito do tamanho, K S b k Ks 1 = ↔ 0535 , 0 . 192 , 1 | . | \ | · = Y P F Ks Para sistema americano (Passo diametral) ( ) 0535 , 0 . 843 , 0 Y F m Ks · · = Para o S.I. (módulo) Onde Y é o fator de Lewis (ver pag. 8) Se Ks, nessa equação, resulta menor que 1, utilize K s =1 Fator de distribuição de carga, K H Largura da face F (mm) K H < 50 1,6 < 150 1,7 < 250 1,8 < 500 2,0 Fonte: Norton Fator de correção da espessura, K B Engrenagens maciças (m B ≥ 1,2): K B = 1 Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 12 de 17 8. Tensão Admissível AGMA - Resistência à Flexão, σ adm : Onde: S t Número de tensão de flexão; S F Fator de Segurança da AGMA para Flexão; Y N Fator de correção de tensões vida distinta de 10 7 ciclos K T Fator de Temperatura; K R Fator de Confiabilidade Número de tensão de flexão, S t (Resistência á fadiga de flexão da AGMA para materiais de engrenagens) Endurecidas por completo (temperadas e revenidas): Grau 1: St = 0,533 x H B + 88,3 Mpa Grau 2 : St = 0,703 x H B + 113 Mpa Endurecidas por nitretação (AISI 4140, 4340): Grau 1 : St = 0,568 x H B + 83,8 Mpa Grau 2 : St = 0,749 x H B + 110 Mpa R T N F t adm K K Y S S · · = o Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 13 de 17 Fator de ciclagem de tensão a flexão cíclica, Y N Fator de Confiabilidade, K R : Para 0,50 < R < 0,99 0,658 – 0,0759 ln (1 - R) Para 0,99 ≤ R ≤ 0,9999 0,500 – 0,1090 ln (1 - R) Fator de Temperatura, K T : 345 ) ( 275 120 1 120 C T K C T K C T T T ° + = ¬ ° > = ¬ ° s Nota: A escolha de Y N na área sombreada é influenciada pela velocidade tangencial no circulo primitivo, grau de limpeza do material da engrenagem, tensões residuais, etc. Para uma escolha conservadora use a equação do limite inferior Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 14 de 17 9. Tensão atuante no Desgaste (σ c ): C P Coeficiente Elástico [MPa] 1/2 d Diâmetro primitivo da engrenagem Z R Coeficiente de acabamento superficial Z I Fator de Geometria. Coeficiente Elástico, C P (MPa) 1/2 Onde: E P , E C Módulos de Elasticidade do Pinhão e da Coroa υ p , υ C Coeficientes de Poisson do Pinhão e da Coroa Fator Geométrico, Z I para engrenamento externo (14.23) para engrenamento interno m G Razão de engrenamento: m N Razão de distribuição de carga: Para engrenagens de dentes retos: mN = 1 Para engrenagens helicoidais: (14.12) [( ) ] [( ) ] ( ) (14.25) rP; rC: Raios das circunferências primitivas do pinhão e da coroa rbP; rbC: Raios das circunferências de base do pinhão e da coroa (14.26) a: Adendo I R H S V o t p C Z F d Z K K K K W C · · · · · · · · = ' o 2 / 1 2 2 1 1 1 ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ + ÷ · = C C P P p E E C u u t Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 15 de 17 Coeficiente de acabamento superficial, Z R O uso do coeficiente de acabamento superficial (Z R ) procura quantificar o efeito do acabamento superficial das engrenagens. Os valores de Z R ainda não foram definidos pela AGMA. Para engrenagens obtidas por usinagem convencional: Z R = 1,0 Para engrenagens extremamente grosseiras: Z R > 1,0 Tensão Admissível - Resistência ao Desgaste, σ C,adm : A tensão admissível ao desgaste (σ C,adm ) pode ser determinada usando-se a equação: S H Fator de Segurança da AGMA; C H Fator de razão de dureza (apenas para a análise da engrenagem coroa) Z N Fator de correção de tensões vida distinta de 10 7 ciclos K T Fator de Temperatura; K R Fator de Confiabilidade Número de tensão de contato, S C (Resistência á fadiga de contato da AGMA para materiais de engrenagens) Endurecidas por completo (temperadas e revenidas): Grau 1: S C = 2,22 x H B + 200 Mpa Grau 2 : S C = 2,41 x H B + 237 Mpa R T H N H C adm C K K C Z S S · · · = o Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 16 de 17 Fator de correção de vida, Z N Fator de razão de dureza, C H Para Pinhão: Para Coroa: Para use Para use Para use Tabel as AGMA para flexão 0068 , 0 ' 10 29 , 8 10 98 , 8 ' 0 ' 3 3 = × ÷ | | . | \ | × = = ÷ ÷ A H H A A C P B B 7 , 1 7 , 1 2 , 1 2 , 1 > s s < C P C P C P B B B B B B H H H H H H ) 1 ( ' 1 ÷ + = G H m A C 1 = H C Guia de Procedimentos e Equações de Elementos de Máquinas Prof. Antonio Cesar Balles Página 17 de 17 10. Conversões: Vida em número de ciclos, N y , L y : N y = 60 x N h x n ou L y = 60 x L h x n n: Velocidade (rpm); L h , N h : Vida em horas trabalhadas (h). Torque, T: n H T · · = t 000 . 30 T : Torque (Nmm) H: Potencia (W) n: Velocidade (rpm)