Guía Series de Fourier en Telecomunicaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANADEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I SERIES DE FOURIER en TELECOMUNICACIONES Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I INTRODUCCIÓN: Recordemos Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con período infinito. En la representación en serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes armónicas se acercan más en frecuencia. A medida que el período se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral. Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I La serie de Fourier: Se usa en análisis de señales para representar las componentes senoidales de una onda periódica no senoidal, es decir, para cambiar una señal en el dominio del tiempo a una señal en el dominio de la frecuencia. En general, se puede obtener una serie de Fourier para cualquier función periódica, en forma de una serie de funciones trigonométricas con la siguiente forma matemática: ( ) Donde: Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I     Cualquier forma de Onda periódica está formada por un componente promedio y una serie de ondas senoidales y cosenoidales relacionadas armónicamente. Una armónica es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. La frecuencia fundamental es la primera armónica, y es igual a la frecuencia (rapidez de repetición) de la forma de onda. EI segundo múltiplo de la fundamental se llama segunda armónica, y así sucesivamente. Un Estudio que ayudará con estos análisis, es conocer el tipo de Simetrís de la Señal: SIMETRÍAS: PAR: f(t)=f(-t) IMPAR: f(t)=-f(-t) MEDIA ONDA (Investigar) Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I De acuerdo a la tabla resumen de S. Fourier: Ejercicio: 1. Para el Tren de Ondas siguiente. a) Determine las amplitudes máximas y las frecuencias de las primeras cinco armónicas impares. (b) Trazar el espectro de frecuencias. (c) Calcular el voltaje instantáneo total, para varios tiempos, y trazar la forma de onda en el dominio del tiempo Solución: Clases Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I Serie de Fourier para una forma de onda rectangular Cuando se analizan los circuitos de comunicaciones electrónicas se hace necesario, con frecuencia, usar pulsos rectangulares. En la siguiente figura se ve una forma de onda que representa una serie de pulsos rectangulares. EI ciclo de trabajo «DC» (DC, de duty cycle) en la onda es la relación del tiempo activo del pulso entre el periodo de la onda. En forma matemática el ciclo de trabajo es: ( ) DC: Ciclo de trabajo en decimales DC(%): Ciclo de trabajo en porcentaje : ancho del pulso de la onda rectangular T: Periodo de la onda rectangular La serie de Fourier para una forma de onda rectangular de voltaje con simetría par es: Ec.(1) Ver Tabla Resumen de Serie de Fourier. Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I De acuerdo a la ecuación (I) (ec. anterior), se observa que una onda rectangular tiene una componente de 0Hz expresada como: Donde: : Voltaje de cd (voltios) DC: Ciclo de trabajo en decimales : ancho del pulso de la onda rectangular T: Periodo de la onda rectangular También de la ecuación (I) se tiene que la n-ésima armónica se escribe así: [( ( ) ] ) Donde: : Amplitud máxima de la n-ésima armónica (voltios) n: n-ésima armónica (cualquier entero positivo) V: amplitud máxima de la onda rectangular (voltios) : ancho del pulso de la onda rectangular (segundos) T: Periodo de la onda rectangular (segundos) Prof. Lesbia Galindez. 2.015 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA PROYECTO DE CARRERA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA TELECOMUNICACIONES I Las siguientes características se cumplen en todas las formas de onda rectangulares repetitivas: 1. La componente de cd es igual a la amplitud del pulso por el ciclo de trabajo. 2. Hay componentes de 0 V en la frecuencia1/ hertz y en todos los múltiplos enteros de esa frecuencia que cumplan con T = n , siendo «n» cualquier entero impar. 3. La envolvente de la frecuencia en función del tiempo, de las componentes del espectro, tiene la forma de una onda senoidal amortiguada en la que todas las componentes espectrales en lóbulos de número impar son positivas, y todas las componentes espectrales en los lóbulos pares son negativas. EJERCICIO: 2. Para la forma de onda de pulsos que se ve en la siguiente figura: a) Determine la componente de cd. b) Determine las amplitudes máximas de las 10 primeras armónicas. c) Grafique la función (sen x)/x. d) Trace el espectro de frecuencias. Solución: Clases RECUERDE REVISAR LA INFORMACIÓN Y EJERCICIOS DE LOS TEMAS ESTUDIADOS EN CLASE, CON LOS LIBROS TEXTOS RECOMENDADOS. Prof. Lesbia Galindez. 2.015