1. GEOMETRI HIPERBOLIK MUHAIMINA SA’ADAH HELVY EFFENDI | DEBY RAHAYU UTAMI| KASMAH | HUMAIRAH | SANIA LETEK OLA | LOITA WAJITLA SITUMORANG 2. SEJARAH Kontroversi terhadap postulat kesejajaran Euclid. Mengganti postulat kesejajaran Euclid dengan negasinya Terjadi perbedaan sifat antara Euclid dan Hiperblik Menggunakan empat postulat geometri Euclid Menggunakan empat postulat geometri Euclid Geometri Hiperbolik Postulat Kesejajaran “Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut” l A m n Teorema Non-metrical l P m n A' B' A B Teorema 7.1 Sebarang garis lurus seluruhnya berada dalam sudut tertentu. Bukti: Misalkan diketahui garis l. Tentukan titik P di luar l. Buat garis m dan n yang melalui P dan sejajar l (Postulat kesejajaran Lobachevsky). Pada garis m Titik P terletak diantara A dan A' dan pada garis n titik P diantara B dan B' l P m B' A' A B n Q Garis m dan n, membagi bidang menjadi 4 daerah, yang masing-masing merupakan bagian dalam suatu sudut, yaitu: APB, APB’ , A’PB’ , A’PB. Misalkan Q adalah titik pada garis l. Karena l tidak memotong m dan n maka Q tidak terletak pada m dan n. Karena Q tidak terletak pada m dan n, maka Q berada pada salah satu dari 4 bagian dalam sudut di atas, misalnya pada A'PB. Dimana letak garis l ? l P m B' A' A B n Q Titik Q terletak pada garis l dan Q berada pada bagian dalam A'PB, dan l tidak memotong sisi-sisi sudutnya yaitu, PA' dan PB. Jadi, l berada di dalam A’PB, yang berarti garis l seluruhnya termuat di dalam A’PB TEOREMAAKIBAT “Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu” Bukti: B l Q P m B' A' A n R Misalkan diketahui garis l dan titik P Gunakan Teorema 7.1 Misalkan R sebarang titik di dalam daerah APB Buat garis yang melalui titik P dan R PR kecuali titik P seluruhnya termuat dalam daerah APB dan A’PB’. PR tidak memotong garis l yang termuat dalam A’PB. Jadi, PR // ln l Q P m B' A' A B R Karena terdapat tak berhingga garis yang seperti PR, sehingga teorema akibat terbukti. Jadi, ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu. h l P 3. JUMLAH SUD UT SEGITIGA DALAM GEOMETRI HIPERBOLIK ( lobachevsky) LEMMA 7.1 “Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang dari atau sama dengan besar sudut luar yang tidak bersisian dengan sudut tersebut” Bukti: A B C • Perhatikan segitiga ABC • Menurut teorema Saccheri –Lagendre : A + B + C 180 • Kedua ruas dikurangi C, diperoleh : A + B 180 - C, • Lemma tersebut berlaku karena sudut luar C sama dengan 180 - C, LEMMA 7. 2 “Misalkan diketahui garis l, Titik P di luar l, dan titik Q pada l” misalkan diberikan sisi PQ, maka ada titik R pada l yang terletak satu pihak dengan PQ sedemikian hingga PRQ adalah sekecil yang diinginkan. l P Q R Bukti: Misalkan a adalah suatu sudut yang terkecil. ada titik R pada l yang terletak di sebelah kanan PQ sedemikian hingga PRQ < a. Pertama, bentuk barisan sudut-sudut, dengan besar setiap sudut tidak lebih besar dari sudut sebelumnya ,, 21 QPRQPR Misalkan pada titik l dan berada di sebelah kanan sisi PQ sedemikian hingga PQQR 1 1R l Q P R1 P l Q R1 b 1 b 1 Tarik PR1 sehingga terbentuk PQR1 sama kaki dan QPR1=QR1P = b1. Misalkan sudut luar PQR1 di Q adalah b, maka menurut Lemma 1, diperoleh: b1+b1= 2b1 b Dengan langkah yang sama, kita buat segitiga baru. Perpanjang QR1 melalui R1 dan R2 sedemikian hingga R1R2=PR1 Tarik PR2 maka PQR2 sama kaki dan R1PR2=PR2R1 = PR2Q = b2 berdasarkan Lemma 1, diperoleh: b2+b2= 2b2 b1 )1..(.......... 2 1 1 bb Lanjutan: )2..(.......... 2 1 12 bb Dari (1) dan (2) diperoleh: bb 22 2 1 l R1 Q P b1 b1 R2 b2 b2 Ulangi langkah sebelumnya sebanyak n kali sehingga diperoleh titik Rn pada l dan di sebelah kanan sisi PQ sedemikian hingga: bQPRb nnn 2 1 abn 2 1 dengan memilih n yang cukup besar, maka diperoleh sehingga PRnQ < a Jadi untuk R =Rn , PRQ adalah sudut terkecil seperti yang diinginkan. (terbukti) 4. TEOREMA 7. 2 “Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180” Menurut Postulat kesejajaran Lobachevsky ada garis lain yaitu garis n yang melalui P dan sejajar l, dan salah satu sudut yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip. P l Q n m Misalkan l suatu garis dan titik P di luar l. Buat garis m // l melalui titik P dengan cara biasa seperti berikut: PQ l di Q, dan m PQ di P. Misalkan : X titik pada n sedemikian hingga QPX lancip. Y titik pada m dan di sebelah kanan sisi PQ seperti X, XPY = a Maka QPX = 90 - a. P l m Q nX Y a R Kemudian gunakan Lemma 2 Misal R pada l dan berada di sebelah kanan sisi PQ, sedemikian hingga PRQ < a. P l m Q n X Y a R PQR = 90 QRP < a RPQ < XPQ = 90 - a (keseluruhan lebih besar dari sebagian) Jika dijumlahkan maka diperoleh: PQR + QRP + RPQ < 90 + a + 90 - a = 180 Jadi, PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari 180 (terbukti) Perhatikan PQR TEOREMA 7.3 “Jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180” Bukti: Menurut Akibat 2 Teorema F.7 (Geometri absolut) “ Jika segitiga mempunyai jumlah besar sudutnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah besar sudutnya juga kurang dari 180 ” Menurut Teorema 7.2 (Geometri Hiperbolik) “ Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180 ” Berdasarkan Akibat 2 Teorema 6 (Geometri absolut) dan Teorema 7. 2 (Geometri Hiperbolik) maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180. AKIBAT 1 TEOREMA 7. 3 “Jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360” Misalkan ada segiempat ABCD. Tarik diagonal AC sehingga terbentuk ABC dan ACD. Pandang ABC, menurut Teorema 3 maka: 180 ACBABCCAB Pandang ACD, menurut Teorema 3 maka: 180 DCAADCDAC Bukti: A B CD A B CD Jumlah sudut dalam segiempat ABCD = A + B + C + D = DAC + CAB + B + BCA + ACD + D = (CAB + B + BCA) + (ACD + D + DAC) < 180 < 180 Jadi, jumlah sudut dalam segiempat ABCD adalah kurang dari 360. (terbukti) Lanjutan:AKIBAT 2 TEOREMA 7.3 “Tidak ada persegipanjang” Bukti: Andaikan ada persegipanjang ABCD. Berdasarkan Definisi F.3 (Geometri Absolut): “Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya adalah siku-siku” maka: A = B = C = D = 90 • Jumlah besar sudut dalam persegipanjang ABCD: A + B + C + D = 90 + 90 + 90 + 90 = 360 Kontradiksi dengan Akibat 1 Teorema 7.3 Jadi, tidak ada persegipanjang (terbukti) A B CD 5. Adakah Segitiga-segitiga yang Sebangun dalam Geometri Hiperbolik ? TEOREMA 7.4 “Dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama” Misal diketahui ABC dan A’B ’C ’ A = A’, B = B’, C = C ’ Akan dibuktikan ABC A’B ’C ’ Bukti: Andaikan ABC ≇ A’B ’C ’ Karena ABC ≇ A’B ’C ’maka A’B’ ≠ AB atau A’C ’ ≠ AC atau B’C ’ ≠ BC. Terdapat 2 kasus: (1) Hanya ada satu sisi yang tidak sama panjang, misal sisi A’B’≠AB. A B C A’ B’ C’ (a) (b) A’ B’ C’,C A B (c) Berdasarkan Gambar (c), kasus ini tidak mungkin terjadi Ada 2 sisi yang tidak sama panjang, yaitu A’C’≠AC dan B’C’≠BC. Misalkan A’C ’< AC dan B’C ’< BC Tentukan titik A” pada AC A” C = A’C ’ Tentukan titik B” pada BC B” C = B’C ’ Hubungkan titik A” dan B” sehingga terbentuk A”B”C A B C A’ B’ C ’ A ” B ” 1 1 22 A’ B’ C ’ A B C A ” B ” 1 1 22 Pandang A’B’C ’ dan A”B”C A’C ’ = A” C ….. dibuat C ’ = C ….. refleksif B’C ’ = B” C ….. dibuat Berdasarkan s-sd-s maka A’B’C ’ A”B”C Akibatnya, A ’ = A1” dan B ’ = B1” C 1 1 A B A ” B ” 22 A’ B’ C ’ Pandang segiempat ABB”A” Jumlah besar sudut dalam segiempat ABB”A” = A + B + B2” + A2” = A1” + B1” + B2” + A2” = A1” + A2” + B1” + B2” = 180 + 180 ..…. Sudut berpelurus = 360 Kontradiksi dengan Akibat 1 Teorema 3, pengandaian salah yang benar ABC A’B ’C ’ (terbukti) Lanjutan: 6. Teori Luas Lobachevsky Ukuran luas Geometri Euclid Geometri Hiperbolik≠ Menggunakan satuan luas persegi Menggunakan metode perhitungan integral dan pendekatan tertentu Luas segitiga Sifat-sifat Luas 1. Kepositifan setiap segitiga ditentukan secara tunggal oleh bilangan positif yang dinamakan luasnya. 2. Invariansi terhadap kongruensi segitiga-segitiga yang kongruen memiliki luas yang sama. Misal: ABC PQR maka L. ABC = L. PQR 3. Sifat additive (penambahan) jika segitiga T dibelah menjadi segitiga T1 dan T2 maka luas T adalah jumlah T1 dan T2. Konsep Pengukuran Luas Fungsi Luas ∆ Memenuhi 3 sifat (kepositifan, invariansi terhadap kongruensi, dan sifat additive) DEFINISI 7.1 Suatu fungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real tertentu sedemikian hingga sifat 1, 2, dan 3 terpenuhi disebut fungsi luas atau ukuran luas (untuk segitiga). Jika µ adalah fungsi semacam itu dan ABC adalah segitiga, maka µ(ABC) menyatakan suatu nilai yang dipasangkan oleh µ dengan segitiga ABC, dan disebut luas atau ukuran segitiga ABC yang ditetapkan oleh µ. Juga berlaku untuk sebarang Geometri Absolut. Geometri Euclid Menghasilkan sebuah fungsi luas yang memenuhi sifat 1 dan 2 tinggialas 2 1 L TEOREMA 7.5 (Penjumlahan Berhingga) Misalkan sebuah segitiga dipecah menjadi suatu himpunan segitiga-segitiga yang tidak saling menutupi 1, 2, … , n maka fungsi luas µ nya adalah: µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) Bukti: Buat ABC Buat segitiga di dalam ABC sebanyak n buah. Beri nama segitiga-segitiga tsb dengan 1, 2, … , n A B C A B C 1 2 n A B C A B C 1 2 n Menurut Definisi 3, ABC mempunyai fungsi luas µ() Menurut Definisi 3, 1, 2, … , n mempunyai fungsi luas µ(1), µ(2), … , µ(n). Karena ABC = 1+ 2 + … + n maka: µ() = µ(1+ 2 + … + n) µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) .. Sifat distributif Jadi, fungsi luas segitiga µ() yang dipecah menjadi himpunan berhingga segitiga-segitiga yang tidak saling menutupi adalah µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) DEFINISI 7.2 Defect ABC = 180 – (A + B + C) A, B, dan C diambil dari besar derajat dari sudut-sudut yang dimaksud. Jadi, defect suatu segitiga adalah bilangan real bukan bilangan derajat. Defect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas TEOREMA 7.6 Diberikan sebarang ABC dan titik D diantara titik A dan B maka defect (ABC) = defect (ACD) + defect (BCD) TEOREMA 7.7 “defect adalah fungsi luas pada segitiga”Bukti: Berdasarkan Teorema 7, maka: Defect ( ABC) = defect ( ADC) + defect ( BDC) = 180 – (A+ADC+ACD) + 180 – (B+BCD+BDC) = 180 + 180 – (A +B +ACD +BCD +ADC +BDC) = 180 – (A + B + ACD + BCD) Defect ( ABC) = 180 – (A + B + C) … (ii) Dari (i) dan (ii) maka µ(ABC) = 180 – (A + B + C) Misalkan diketahui ABC, berdasarkan Teorema 7 dan Definisi 3 ABC memiliki sifat 1 dan 2 sehingga … (i) Untuk menyelidiki sifat 3, maka kita tentukan titik D pada AB sedemikian hingga CD memecah ABC menjadi ACD dan BCD. A C D TEOREMA 7.8 “Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas” Bukti: Diketahui fungsi luas µ(). Misalkan ada n sedemikian hingga n adalah bilangan sebarang bilangan positif. n × µ() …perkalian fungsi luas dengan bilangan sebarang n. n × µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) … definisi perkalian. Berdasarkan Teorema 9, yaitu: µ(*) = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) sehingga diperoleh: n × µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) n × µ() = µ(*) Jadi, perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas. 7. Jika diketahui ∆ABC dan ∆PQR di dalam ∆ABC, buktikan bahwa defect ∆ABC > defect ∆PQR Contoh 7.1 Bukti : Q P R A B C Hubungkan titik C pada ∆ABC dengan titik P pada ∆PQR Buat Segitiga ABC dann PQR di dalam segitiga ABC Hubungkan titik A pada ∆ABC dengan titik P pada ∆PQR Hubungkan titik A pada ∆ABC dengan titik Q pada ∆PQR Hubungkan titik B pada ∆ABC dengan titik Q pada ∆PQR Hubungkan titik B pada ∆ABC dengan titik R pada ∆PQR Hubungkan titik C pada ∆ABC dengan titik R pada ∆PQR Berdasarkan Teorema 7.3 ∆ABC : A3 + B1 + Q2 < 180 ∆BQR : B2 + Q3 + R1 < 180 ∆BCR : B3 + R2 + C1 < 180 ∆CPR : C2 + P4 + R3 < 180 ∆CPA : C3 + A1 + P1 < 180 ∆APQ : A2 + P2 + Q1 < 180 Q P R A B C Lanjutan: A123 + B123 + C123 + Q123 + R123+ P124 < 6.180 A + B + C + P124+ Q123 + R123 < 6.180 A + B + C < 6.180 – ( P124+ Q123 + R123) A + B + C < 3.360 – [(360- P3)+(360- Q4) +(360- R4)] A + B + C < 3.360 –3.360+ P3 + Q4 + R4 + A + B + C < P3 + Q4 + - ( A + B + C) > 180 - ( P3 + Q4 + R4) Defect ∆ ABC > defect ∆ PQR ………. Terbukti TEOREMA 15 “Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid, maka ada sebuah persegipanjang” AKIBAT TEOREMA15 “Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah 180°” TEOREMA 14 “Tidak ada garis sejajar yang jaraknya sama dimana- mana” TEOREMA 16 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 180° AKIBAT TEOREMA 16 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180° Berdasarkan Teorema 16, “Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 1800. (Logika: p q) Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, “Jika ada sebuah segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari180. (Logika: q r) Dengan menggunakan prinsip silogisme, maka p r. Bukti: Jadi, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180°. TEOREMA 17 “Dalam geometri absolut, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Euclid yang berarti geometrinya adalah Geometri Euclid” Bukti: Andaikan Teorema 17 salah, berarti hanya ada satu garis dan satu titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky. Menurut Akibat Teorema 16, “Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180°.” Tetapi menurut Akibat Teorema 15, “Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid maka setiap segitiga jumlah sudutnya 180°.” Terjadi kontradiksi antara akibat teorema 15 dengan akibat teorema 16, sehingga pengandaian salah. Hal ini berarti Teorema 17 terbukti benar. “Dalam geometri absolut, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik di luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang berarti geometrinya adalah Geometri Lobachevsky” AKIBAT 1 TEOREMA 17 AKIBAT 2 TEOREMA 17 “Setiap geometri absolut tentu merupakan geometri Euclid atau Geometri Lobachevsky” 8. Model Geometri Hiperbolik Model Klein Model Disc Poincare Model bidang setengah Poincare Model Lorentz MODEL KLEIN • Jika O adalah pusat lingkaran dan OR adalah jari-jarinya. Berdasarkan definisi, bagian dalam lingkaran terdiri dari titik-titik X sedemikian hingga OX < OR. • Tali busur . ruas garis ab disebut tali busur terbuka yang menghubungkan titik a dan titik b di , dinotasikan dengan a)(b. Titik A dan B terletak pada lingkaran oleh karena itu titik A dan B tidak merepresentasikan titik dalam bidang hiperbolik tetapi dikatakan titik ideal dan disebut ujung dari garis hiperbolik A)(B. O X R P m n l MODEL KLEIN Dua garis m dan n melalui titik P keduanya sejajar dengan tali busur terbuka l (definisi sejajar menyatakan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik persekutuan). Dalam model klein, definisi ini akan berubah menjadi : dua tali busur terbuka dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik persekutuan Aksioma Klein Diberikan sebarang dua titik berbeda A dan B di bagian dalam lingkaran . maka terdapat satu tali busur terbuka l dari sedemikian hingga A dan B terletak pada l. Bukti. Diberikan titik a dan b di bagian dalam lingkaran . misalkan adalah garis euclid melalui titik a dan b. Garis ini akan memotong lingkaran di dua titik berbeda C dan D. Sehingga titik A dan B terletak pada tali busur terbuka C)(D. Dengan menggunakan aksioma pertama euclid (melalui sebarang dua titik dapat ditarik tepat garis lurus), garis ini merupakan satu-satunya tali busur terbuka dimana titik A dan B terletak. A B C D 9. • Garis tegak lurus dalam model klein Misalkan l dan m adalah tali busur terbuka dari . terdapat dua kasus untuk menjelaskan kapan dalam model klein, yaitu : kasus 1: salah satu tali busur terbuka l dan m adalah diameter lingkaran . maka dalam pengertian klein jika dan hanya jika dalam pengertian euclid O l m y Kasus 2: baik l maupun m bukan diameter lingkaran . pada kasus ini kita hubungkan ke l sebuah titik tertentu p(l) diluar lingkaran yang disebut kutub dari l. Misalkan t1 dan t2 adalah garis singgung lingkaran pada ujung-ujung l. Maka p(l) adalah titik perekutuan t1 dant2 • Garis l tegak lurus ke m dalam pengertian model klein jika dan hanya jika apabila garis euclid m diperpanjang maka ia melalui kutub l. P(l) l mt1 t2 Y • Titik biasa (ordinary point) yaitu titik yang terletak di dalam lingkaran yang merepresentasikan semua titik dalam bidang hiperbolik. Umumnya titik biasa ini disebut titik saja. • Titik ideal (ideal point) yaitu titik-titik yang terletak pada lingkaran . • titik ultra ideal(ultra-ideal point) yaitu titik-titik yang terletak di luar lingkaran . Ordinary Ideal Ultra-ideal Ultra-ideal Ultra-ideal Ideal ● ● ● ● ● ● MODEL POINCARE Sering disebut Disk Poincare Disk Konformal Garis direpresentasikan oleh : 1. Semua tali busur terbuka yg melalui pusat lingk 2. Busur terbuka lingk ortogonal O m l y s Bidang-Setengah Poincare A B P Q ● A’ P’ Q’ ● ●● ● ● Model Bidang-Setengah Poincare QPR = Q’PR’ P Q R Q’ R’ Model Lorentz atau yang biasa disebut model hiperbolida. Model ini menggunakan hiperboloida dimensi dua yang berasal dari ruang tiga dimensi sebagai bidang hiperboliknya. Diantara keempat model bidang hiperbolik, model lorentz merupakan model yang memiliki tingkat kekomplekan yang sangat tinggi. Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus, ruang tiga dimensi Minkowski adalah model ruang waktu, menekan satu dimensi ruang. Satu dapat mengambil hiperboloid untuk mewakili peristiwa yang bergerak, memancar keluar pada bidang spasial dari satu titik akan mencapai pada suatu waktu yang tepat. Jarak hiperbolik antara dua titik pada hiperboloid akan dapat diidentifikasi dengan kecepatan relatif antara dua pengamat. Model Lorentz