FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS CIU( UNIDAD 3)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA (UNEFA) F FU ME DE MA TE TI S UN EN EM AT EM IC ND NT MÁ CA DA TO ÁT AS AM OS SD C CU UR RS SO OD DE EI IN ND DU UC CC CI IÓ ÓN NU UN NI IV VE ER RS SI IT TA AR RI IA A C CO OD D:: C CI IM M--0 02 21 11 10 0 U Un ni id da ad d3 3 ÍNDICE DE CONTENIDO Pág. MATERIALES DE LECTURA GUÍA DIDÁCTICA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE UNIDAD Nº 3: Unidades de Medida y Geometría SELECCIÓN DE LECTURAS UNIDAD Nº 3: Unidades de Medida y Geometría LECTURA Nº 13. Algunos Sistemas de Medida LECTURA Nº 14. El Sistema Métrico Decimal LECTURA Nº 15. Figuras Poligonales LECTURA Nº 16. Los Triángulos, los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas LECTURA Nº 17. La Circunferencia y sus Elementos LECTURA Nº 18. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos LECTURA Nº 19. El Número Pi (Π) y el Cálculo de Áreas LECTURA Nº 20. Thales y la Pirámide de Keops BIBLIOGRAFÍA 3 4 4 16 16 19 22 24 28 30 33 40 42 2 MATERIALES DE LECTURAS UNIDAD Nº 3: UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA Lectura Nº 13: Algunos Sistemas de Medida Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. México. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). Lectura Nº 14: El Sistema Métrico Decimal Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes. Lectura Nº 15: Figuras Poligonales Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Caracas Editorial Santillana, S.A. (p.149) Lectura Nº 16: Los Triángulos, Los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas Fundación Polar. Matemática para todos. [Consulta en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. (Consulta: 2007, enero 12) Lectura Nº 17: La Circunferencia y sus Elementos Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. UNEFA, Tinaquillo, Estado Cojedes [Artículo no publicado]. Lectura Nº 18: Cuerpos Geométricos y sus Elementos Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. UNEFA, Tranquillo, Estado Cojedes Lectura Nº 19: El Número Pi ( ) y El Cálculo de Áreas Fundación Polar. El número Pi ( ) y el cálculo de áreas. Artículo en línea disponible en: http://www.fpolar.org.ve/matemática. [Consulta en línea], de fecha 2007, enero 12 π π Lectura Nº 20: Thales y La Pirámide de Keops Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. Artículo en línea, disponible en: http://www.fpolar.org.ve/ matemática. [Consulta en línea] de fecha 2007, enero 11. 3 GUÍA DIDÁCTICA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE UNIDAD 3 UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA CONOCE EL NORTE DE TU APRENDIZAJE Todos los elementos que existen en el universo, tienen forma y ocupan un lugar en el espacio que podemos medir aplicando conocimientos de geometría. Las relaciones geométricas están presentes en la estructura de una galaxia, en las grandes y pequeñas construcciones que el ser humano ha realizado con el avance de la tecnología. Así, geo (tierra) y metros (medida), son vocablos griegos, que originaron la palabra geometría, considerada la rama de las matemáticas que estudia las formas y sus relaciones métricas. Su estudio es esencial para la comprensión del espacio real, a través de la intuición geométrica o percepción espacial. Durante este proceso seguirás desarrollando capacidades cognitivas y tendrás una visión más amplia y significativa de tu entorno. Considerando la importancia de este tema, en esta unidad se pretende que logres el siguiente objetivo de aprendizaje: Calcular perímetro, área y volumen de figuras y cuerpos geométricos 1- En esta unidad le daremos utilidad práctica a las dos unidades anteriores. CONOCE EL CAMINO A SEGUIR Ya conoces el objetivo y para lograrlo recuerda que cuentas con los recursos mencionados anteriormente, algunos intrínsecos y otros que te brinda la universidad. 4 simbología. Analiza bien: o o o El horario de estudio independiente. • Repite el procedimiento en cada ejercicio. procedimientos. procedimientos y soluciones con otros estudiantes. Thales y la Pirámide de Keops Es importante también repasar las recomendaciones dadas en la unidad 1 y 2. • Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentados. El lugar seleccionado para estudiar con sus respectivos recursos. entre ellas: • Realiza una lectura rápida. los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas 17. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos 19. El Sistema Métrico Decimal 15. El horario de estudio en equipo. Analiza la metodología utilizada en el material impreso y como lo has venido trabajando con el apoyo del docente/ tutor(a) y en qué medida has hecho uso de aquellos servicios de apoyo que te brinda la universidad a fin de aprovecharlos al máximo. • Consulta otras fuentes bibliográficas. Los Triángulos. • Intercambia ideas. Algunos Sistemas de Medida 14. Figuras Poligonales 16. definiciones. ejemplos muy variados con sus respectivos métodos para la solución de problemas y ejercicios sugeridos para la práctica necesaria. Piensa si el tiempo utilizado fue suficiente para cumplir con las actividades de lectura. 5 . • Lee por segunda vez. • Resuelve cada ejemplo por tu cuenta y compara los resultados. El Número Pi ( π ) y el Cálculo de Áreas 20. estas son: 13. • Incorpora cada actividad desarrollada en el portafolio de la asignatura.Entonces mejora aquellos aspectos que pudieron no estar en sintonía con tu proceso de construcción del aprendizaje. La Circunferencia y sus Elementos 18. los ejercicios de la guía y la ampliación de tus conocimientos mediante la búsqueda de información. • Consulta dudas con el docente / tutor (a). Con la finalidad de facilitar el logro del objetivo propuesto para esta unidad de aprendizaje cuentas con 8 lecturas de apoyo. que te proporcionan un poco de historia. • Desarrolla cada una de las actividades que te proponemos en esta guía didáctica. 2. Su unidad de medida fundamental es el metro. En el siguiente planteamiento señala las dos (2) únicas respuestas correctas de las alternativas dadas: “Para transformar de Dm a dm el procedimiento correcto es ( ) Dividir entre 102 ( ) Multiplicar por 102 ( ) Dividir entre 10-2 ( ) Multiplicar por 10-2 4. VERIFICA TU COMPRENSIÓN LECTORA Concluida la actividad anterior. Unidad de medida que corresponde al ancho del dedo pulgar. responde las siguientes preguntas de acuerdo a las instrucciones dadas. Creo una unidad de medida que va desde su nariz hasta su pulgar. Una vez realizada la Lectura Nº 14 responda las preguntas 3 y 4: 3. veamos como dominar sus conceptos. Es la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.2. 5 pies y 5 pulgadas. 5 pasos. en hoja aparte o en tu cuaderno de notas. En el siguiente cuadro indique con una equis el tipo de medida (longitud. Ordena de mayor a menor las siguientes cantidades: 5 yardas. Primeramente realiza la Lectura Nº 13 y luego responde: 1. superficie ó volumen) al cual pertenece cada unidad dada en la primera columna: Unidad de medida mm2 m cc m3 6 Medidas de longitud Medidas de Superficie Medidas de Volumen .La geometría está presente en todo cuanto nos rodea. Escribe en el paréntesis de la columna “A” el número de la columna “B” según corresponda cada término con su definición o enunciado: COLUMNA A (__)Rey Enrique I (__)El metro (__)Romanos (__)Sistema métrico (__)Uncía 1) 2) 3) 4) 5) COLUMNA B Utilizaba sus pies para medir distancias. Identifique los siguientes polígonos y cuerpos geométricos. hayas realizado las Lecturas Nº 15. ¿El perímetro de un hexágono es una medida de superficie. debes haber realizado las Lecturas Nº 19 y 20. longitud ó volumen? 6. 8. Menciona algunas figuras y/o cuerpos geométricos que requieren del número Pi ( π ) para calcular el área y el volumen. 9. ¿Cómo surgió el número Pi ( π )? 9. ¿Qué parte representa una circunferencia? ii. considerando que existe la misma distancia desde el centro hasta cualquier punto del borde. ¿Qué parte representa un círculo? Para responder las preguntas 8. 16. ¿Para qué sirvió el procedimiento que utilizó Thales? 7 .17 y 18. Si observamos la parte plana de una media naranja. escribiendo su nombre en la línea que tiene al lado. 5. 11. 6 y 7. ¿Quiénes fueron los primeros en hacer una aproximación del número Pi ( π )? y ¿cómo lo hicieron? 10. 10 y 11. como muestra la siguiente figura: Indique: i. 7.pie2 m2 yarda Hectárea cm Km cm3 Es importante que antes de resolver las preguntas 5. ¿Qué medidas de longitud. ¿Es posible hallar el área de una circunferencia? Argumenta tu respuesta. ¿Así lo entendías anteriormente? REFLEXIONA Después de interactuar con todos los contenidos que te ofrecemos. áreas y volúmenes de los objetos que nos rodean? 3. explicadas en la lectura 14. te invitamos a responder las siguientes cuestiones: 1. 4.Ahora me preparo para empezar a hacer cálculos de medidas en figuras y cuerpos geométricos. te has encontrado con fórmulas y expresiones que incluyen el número Pi ( π ) ¿sabías de donde surgió? Y ¿por qué debemos emplearlo? 4. ¿En qué situaciones del pasado has visto considerada la necesidad de utilizar las conversiones de medidas? 7. Durante tus actividades escolares previas. en esta ocasión.3. ¿Qué importancia tiene un sistema de medidas en tu accionar día a día? 2. dominar con exactitud los conceptos de: longitudes. ¿Te has dado cuenta que las películas extranjeras expresan la velocidad de los autos en millas por hora? ¿cómo lo relacionas con la unidad que utilizamos aquí (km/h)? 5. esperamos tu dedicación diaria al estudio disciplinado de lo relacionado con tópicos matemáticos. son las que se utilizan con más regularidad? 6. ¿explica cómo lo harías? 8. 8 .La geometría se relaciona con las medidas. ¿De qué manera has calculado la cantidad de pintura que debes comprar para pintar las paredes de tu habitación? Si aún no lo has hecho. ¿Cuál es el significado que tiene para tu vida cotidiana. número de lados. a partir de tres segmentos con medidas al azar. trata de descubrir cómo deben ser las medidas de los lados para que el triángulo exista. donde se describa cada figura geométrica plana de las estudiadas en las lecturas 15 y 16. toma como referencia una moneda de Bs. 6. llévala a las sesiones de estudio con tu grupo o a las tutorías. que están representadas en la Lectura 14 por medio de una escalera. 3. Guiándote por los ejemplos presentados en la Lectura Nº19 y utilizando la tabla de fórmulas elaborada previamente. 9 . Recorta figuras geométricas planas. 23 y 24 de la Lectura Nº 17. ángulos. el área del círculo y el área de un sector circular ( Lectura Nº17). resuelva los ejercicios: 2. Haz lo mismo con los cuerpos geométricos. halla cuatro decimales. medida de sus lados. De acuerdo con los planteamientos de Euclides. Considera el nombre. un poste o un edificio cercano a tu localidad. tipo. 12. 9. Construye algunos cuerpos geométricos en cartulina. resuelve el ejercicio 18 de la Lectura Nº 16. 500. Utiliza la ficha elaborada en la actividad anterior para resolver los ejercicios 22. luego divide la mayor de las medidas entre la menor. 11. ¿a qué se te parece la cantidad calculada? 5. la longitud de un ángulo central. 7. 8. Calcula el diámetro y la longitud de una circunferencia. Escribe en todas sus caras. Elabora una tabla. Elabora una ficha con las fórmulas que te permitan calcular: la longitud de una circunferencia. 5. relación entre las diagonales y demás elementos que consideres importantes para identificarlas. Realiza pruebas y elabora una tabla de datos. Aplica la estrategia de Thales. Pégalas en un lugar visible cerca de tu ambiente de estudio. para calcular área y volumen de las diferentes figuras planas y cuerpos geométricos. las fórmulas para calcular perímetro y área. resuelve los ejercicios: 30 y 32. 10. Construye una tabla que puedas manejar con comodidad que contenga las fórmulas. Conociendo que el perímetro de un polígono se calcula sumando la medida de todos los lados. 2. utiliza papel de revistas en diferentes colores y escribe dentro de ellas. no siempre es posible construir un triángulo. 4. 11 y 17 8. Utilizando las reglas de conversión de unidades. 7. Calcula el volumen de cada uno de ellos y registra los resultados para ser discutidos en la tutoría. para calcular la altura de un árbol. la fórmula para el cálculo de volumen y colócalas en tu mesa de estudio.CONSTRUYE TU PROPIO CONOCIMIENTO 1. • Analicen la gráfica con respecto a las fórmulas.Me reúno y comparo lo que he hecho con lo de mis compañeros de estudio. 2. 5. un paralelepípedo. una esfera y una pirámide. determinen el volumen de cada uno. la posibilidad de tener un invitado especial de la comunidad. te presentamos una serie de actividades que realizarás primero individualmente. COMPARTE Y APRENDE DE OTROS Ya en otras ocasiones has disfrutado del trabajo en equipo. luego intercambia ideas.13. Recuerda que todos los ejercicios resueltos. luego. Relacionen objetos que utilizamos a diario con: un cubo. Las actividades son: 1. 10 . Comenten acerca de la importancia que tiene el sistema métrico universal. Plantea a los integrantes de tu grupo de estudio. analicen y discutan en grupo. la Lectura Nº20: “Thales y la pirámide de Keops”. conocedor de la materia para intercambiar ideas y procedimientos en la solución de los siguientes ejercicios o problemas: Conversión de unidades de medida Lectura 14 14 16 Perímetro Círculo y circunferencia Lectura 17 28 Área y volumen Lectura 19 31 35 36 38 40 41 Lectura 16 19 20 4. 3. compara procedimientos y los resultados finales con tu grupo de estudio. Lean. deben estar en el portafolio de la asignatura para llevarlo a las sesiones de tutoría con la finalidad de comparar y aclarar dudas. en los sistemas de medición utilizados en las computadoras. Toma una hoja blanca tamaño carta: • • • • Redúcela a un cuadrado. Utiliza cualquier material disponible y construye una escultura basada en cuerpos geométricos. analiza cada una de las siguientes situaciones y determina los procedimientos para que calcules la respuesta correcta: 11 . Redacta un breve cuento en el que establezcas la relación entre la geometría y la geografía. trapecios. ahora tienes la capacidad de encontrar soluciones a los ejercicios o problemas que se te presentan. Recorta todas las figuras.• ¿Puede calcularse de otra manera la altura de la pirámide? Cada participante debe razonar su respuesta. 2. ELABORA UN PRODUCTO PROPIO 1. calculadoras. Para este juego debes tomar en cuenta los cálculos de área y perímetro.Estoy seguro (a) que ahora puedo crear partiendo de los conocimientos anteriores. 5. entre otros. las reglas de conversión y sobre todo tu comportamiento cuando todo va bien y cuando se te presentan dificultades. 6. Utiliza la creatividad para construir tu propio sistema de medición. Inventa un juego o cualquier otra actividad creativa con ellas. 6. los símbolos a emplear. Investiga acerca de la conversión de unidades. considera las unidades. 4. Elaboren sus propias conclusiones. rectángulos. Las lecturas fueron muy importantes para enriquecer tus conocimientos. En base a ello. Dibuja sobre ella por lo menos siete figuras geométricas (triángulos. además de que intercambiaste opiniones con tus compañeros de estudio. paralelogramos) hasta cubrirla por completo. organizados artísticamente. 3. cámaras fotográficas. ello te permitirá evaluar los avances en tu carrera universitaria. 7. cuadrados. ¿Qué utilidad tiene para tu vida cotidiana el cálculo de perímetro. tus debilidades y fortalezas. los ml. analizaré el para qué utilizaré todo esto en mi vida profesional. ¿Consideras necesario aprender a utilizar unidades de medida en tu vida familiar? ¿por qué? 5. o cc que se le debe administrar.. no vienen con la escala estándar y en oportunidades se deben hacer conversiones.Unidades de medida Lectura 14 15 Perímetro Lectura 16 20 Círculo y circunferencia Lectura 17 25 26 27 Área y volumen Lectura 19 33 39 7. El sistema de medida surgió de la cotidianidad del ser humano. durante el desarrollo de esta unidad. son importantes los conocimientos de conversión de unidades de medida? Da ejemplos.Ahora. Escribe en el cuaderno de notas. mg. a través de unos ejemplos. además de que muchos de los instrumentos utilizados para esos medicamentos. señala las diferencias y semejanzas entre las medidas romanas y las utilizadas actualmente en Venezuela. ¿Sabías que para administrar medicamentos a un niño se toma en cuenta su peso? Eso determina el número de gotas. según lo comentado en la Lectura Nº 13. De acuerdo a lo expuesto. 2. ¿En qué otras situaciones de tu vida profesional. CONCIENTIZA TU APRENDIZAJE 1. 12 . ¿se puede afirmar que todo conocimiento matemático es producto de la interacción del ser humano? Razona tu respuesta. 4. 6. área y volumen? Exprésalo a través de ejemplos. Después de realizar la Lectura Nº 13. 3. decámetros y centímetros cuadrados. ¿cómo harías para resolverlo? 5. ¿Cuántas pulgadas tiene la pantalla de un televisor. voy a demostrarlo.Tengo la certeza de haber dominado los contenidos. el segundo día 145 Hectómetros.8.125 metros. durante su entrenamiento. Si un maratonista. 1650 Decámetros y el último día recorre 30. Mide tu estatura en centímetros. a la misma distancia de tres casas como se muestra en el dibujo. realiza una transformación de cada medida. luego. mediante un cuadro las medidas de capacidad de cada uno. AUTOEVALÚATE 1. ¿Cuántos metros recorre en los cuatro días? Y ¿cuántos kilómetros representan esos metros? 3. Supón que en su comunidad hay cierto problema: se necesita ubicar un recipiente para la basura. Calcula el área del terreno de tu casa y expresa el resultado en metros.979 Kilómetros? 6. Revisa en tu casa varios envases de productos y/o artefactos domésticos y registra en tu cuaderno. 2. el salto de agua más alto del mundo que mide 0. recorre el primer día 10 Kilómetros. luego responde: ¿cuántas personas de tu tamaño se necesitan para alcanzar la altura del Salto Ángel. en magnitudes inmediatamente superiores e inferiores. 4. luego. si la misma mide 70 centímetros de ancho y 480 decímetros de alto? 13 . según el sistema de medición al que pertenecen. trigonometría. 2. además de elevar tus capacidades de producir e intervenir en el mejoramiento de tu entorno. AMPLÍA Y PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS Recuerda que la práctica de la matemática te permite desarrollar habilidades para lograr pensamiento creativo. Investiga en Internet y elabora un directorio de cinco páginas Web. siendo OB = 12 cm. y OA = 4 cm. 14 . 1. Las palabras claves para buscar la información son: geometría. razones trigonométricas. que se necesitó para construir el bloque de la siguiente figura: 12 8 2 4 9. Elabora un registro en fichas y construye un portafolio personal. En la figura se tienen dos circunferencias concéntricas en el punto “O”. Investiga en diferentes fuentes impresas. Calcula la cantidad de arcilla. crítico. las mismas te ayudarán a crecer gradualmente en beneficio de tu propio proceso de aprendizaje. Determina el perímetro de la zona de color gris oscuro y el área de la de color gris claro.7.Como sé que hay otras cosas sobre geometría y medidas. temas relacionados con los contenidos de esta unidad. Por esa razón te proponemos las siguientes actividades. que irás enriqueciendo con el paso del tiempo. 8. buscaré más en las lecturas recomendadas para esta unidad. en las que encuentres planteamientos y curiosidades matemáticas relacionadas con los temas estudiados. lógico y abstracto. Los contenidos aquí trabajados. ¡Qué bien! Me dispondré al estudio de una nueva unidad. 10. Participa en comunidades virtuales de aprendizaje.3. 15 . en el contexto del aprendizaje de la matemática. donde se promuevan los temas relacionados con esta unidad. puedes repasarlos en tu cuaderno de apuntes o en los textos que utilizaste durante tu carrera escolar previa. 4. A continuación. una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamada metro. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies para medir distancias. se han establecido diversas referencias de medida que han permitido estandarizar representaciones de longitud. en fin múltiples formas de medir. En las distancias de mayor prolongación utilizaban las “millas”. S.(1998). una con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. miden lo mismo. (p. Un paso comprendía dos etapas. Las longitudes muy largas las medían con pasos. pies y pulgadas son medidas del sistema imperial de medición. El Sistema Internacional de Medidas (S. En nuestros días. México. Editorial del Valle de México. tanto en España como en Venezuela y en otros países del mundo. M. que es mucho más extenso que una yarda. era la distancia desde su nariz hasta su pulgar y lo llamó “yarda”.SELECCIÓN DE LECTURAS UNIDAD 3 UNIDADES DE MEDIDAS Y GEOMETRÍA LECTURA N° 13: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDAS Tomado con fines instruccionales de: Martínez.M. A lo largo de la historia. una milla era equivalente a 1000 pasos. Mi primera enciclopedia científica Matemática. en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del dedo pulgar el cual ellos llamaban “uncía”. podemos observar algunas referencias antiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas: Romano 1 milla = 1000 pasos 1 paso = 5 pies 1 pie = 12 uncías Métrico 1 kilómetro = 1000 metros 1 metro = 100 centímetros 1 centímetro = 10 milímetros Imperial 1 milla = 1760 yardas 1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 pulgadas 16 . La unidad metro. tiempo.40). volumen.A. el centímetro y el milímetro para distancias mucho más pequeñas.I. es curioso mencionar que el rey Enrique I (1068-1135) creó una medida que sirviera a todos.) utiliza el kilómetro para distancias largas. de allí la palabra milla que proviene del latín “mille” que significa “mil”. velocidad. yardas. Las millas. ) Decámetro (Dm. vamos a utilizar la siguiente estrategia: Kilómetro (Km. Por ejemplo. En 1790. La unidad de longitud. Pelambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por Paris. “centi” para cien. el metro. Estado Cojedes. se utilizan múltiplos y submúltiplos a partir de la unidad. (pp. que culminó el 19 de marzo de 1791. comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona. “hecto” para cien. etc. con la definición del Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. Mientras que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: “deca” para diez. de acuerdo a lineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticos Talleyrand y Prieur. Tinaquillo. porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10. pesada en el vacío. la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó. es métrico porque su unidad fundamental es el metro y es decimal. porque comprende un conjunto de medidas relacionadas entre sí. de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación sencilla. las de volumen. El Sistema Métrico Decimal es un Sistema. el metro.) Se multiplica por 10 por cada escalón que bajes Decímetro (dm.) Metro (m. Tanto en las medidas de longitud como en las demás. “kilo para mil. como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada. El Sistema Métrico Decimal.) Hectómetro (Hm. a la temperatura de 4º C. Artículo no publicado.) Milímetro (mm. Los franceses. se definieron todas las otras unidades: las de superficie.) Se divide entre 10 por cada escalón que subes Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Transformar: 35.LECTURA Nº 14: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Tomado con fines instruccionales de: Santamaría.) Centímetro (cm. J (2007). se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. “mili” para mil y así sucesivamente. Para transformar medidas de longitud de una magnitud a otra. 5). A partir de la unidad fundamental. para la época. las de peso y las de capacidad. el gramo se definió.328 Km a m 17 . Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: “deci” para diez. Es decir: (35 . debemos dividir entre 10. Si verificamos la escalera anterior. 10 = (35 .10 3 = 35328.328 ).307 = 10. se corre la coma hacia la izquierda.10. (35. 58973.003 cm a Hm 6. son 35328 metros. para pasar de milímetros a decámetros. Es decir: 21307 21. 1 m a Dm 18 . 0.0 Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 10 3 .Si verificamos la escalera anterior.1 dm a Dm 3.000153 Hm a mm 5. 10 . tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. según el procedimiento. 3 dm a m 2. 1 .1307 Decámetros.0 Luego: 21307.328). Por lo tanto: 21307 mm son 2. para pasar de kilómetros a metros. Si la cantidad es un número entero. Ejemplo 2: Transformar: (35.328 ). por 10 y por 10.10 3 = 35328 21307 mm a Dm. según el procedimiento debemos multiplicar por 10.328 Km.10. la coma se omite. cuando se multiplica una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. pero podemos agregarle la coma para indicar que tiene cero (0) decimales.0 = 2. entre 10. Entonces.435 Km a cm 4.328). Entonces. Por lo tanto. entre 10 y entre 10. 10 .(10 3 ) Recuerda. la coma se corrió a la derecha tres espacios. de acuerdo al exponente de la potencia de base 10.10 10 4 Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potencia de base 10. 3584.13070 10 4 Observa que la coma se corrió hacia la izquierda cuatro espacios. esto hace que la cantidad quede sin decimales: ∴ 35. tenemos que bajar tres escalones. así: 21307. Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de conversión de medidas: 1. tenemos que subir cuatro escalones. se puede representar en centímetros cúbicos. pues no es que no se pueda. al hablar del volumen de una caja. Km2 Hm2 Dm 2 Multiplicas por 102 por cada escalón que bajes m2 dm2 cm2 mm2 Km3 Hm3 Dm 3 Multiplicas por 103 por cada escalón que bajes m3 dm3 Divides por 103 por cada escalón que subas cm3 mm3 Divides por 102 por cada escalón que subas Escalera para superficie. Por ejemplo. cuyas medidas nos dan a conocer el volumen de un cuerpo. es decir. Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento de la escalera. estas cantidades bastaría expresarlas en Kilómetros y no en centímetros. etc. metros cúbicos. Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad. transformar medidas de Escalera para transformar medidas de capacidad Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y de capacidad. se justifican por lo siguiente: Imagínate que un sastre desea cortar cantidades de mangas para camisas. y por 100. Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones.Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal. Ejemplo 3: Transformar 12 m2 a cm2 Según la escalera. entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100. por tal motivo. para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos escalones. pero no sería lo adecuado. es decir: 19 . es decir 102. sus actividades o recorridos son en grandes distancias. para expresar el área de un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados (Km2). Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones. Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen en potencias de 1000. es de suponer que necesitará convertir los centímetros en metros para determinar cuantas mangas puede cortar de cada metro de tela. 103. entre otros. de un tanque. pues las medidas aumentan o disminuyen en potencias de 100. Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional. a diferencia de que aquí se expresan en unidades cuadradas. pero debes tener cuidado. El sistema de medidas de superficie es el mismo que el utilizado en las longitudes. y entre 1000. 13.823 Dm3 a cm3 8 dm2 a mm2 8. el segundo día 122 Hm.5 cm3 a m3 De acuerdo a la escalera.10 2 (12).5 cm3 a m3 = 0. cuya capacidad es de 54 m3 y otro de 44. para pasar de centímetros a metros hay que subir dos escalones.10 4 = 120000 Por lo tanto: 12 m2 a cm2 = 120000 cm2 Ejemplo 4: Transformar: 3. 0. 3. esto es. 1 Km3 a Dm3 100 3 mm3 a Km3 8 12. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días? Calcula la diferencia que existe entre un recipiente.5 = 0.100. cuando se divide entre una potencia de base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacios lo indique el exponente de la potencia.100.10 2 = (12).000 cm3 20 . en el cuarto 15420 m. 14. 15. 5.5 3 . para su entrenamiento.0045 m3 a Km3 1 2 m a Hm2 5 1 Hm2 a cm2 1000 11.0000035 10 6 En conclusión: 3.000 cm.5 = = 3 3 1000 . y para el último día recorre 1. Entonces. por lo tanto se debe dividir entre 1000. realiza durante cinco días los siguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dm. 1000 10 .10 4 (12).0000035 m3 Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tus habilidades: Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas planteados: 7. 9. 3 .5 3 . Un maratonista.10 2. en el tercer día 14 Km.100 = (12). 10 10 6 Según el procedimiento.(12).800.10 2. 10. 4.2 fl oz (125 ml). ya que 1 decímetro cúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C. 3240 ml a m3 17. en varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). por ejemplo: 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro 100 cm3 = 100 mililitros 1cm3 = mililitro Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana. centilitro. También es usual en muchos productos: perfumes. cosméticos.Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro cúbico (m3). son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen. 53 dm3 a ml 21 . Litro. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz? Realiza las siguientes conversiones: 16. expresan las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido). tal cual como se lee en las etiquetas de esos productos. mililitro. entre otros. pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de los cuerpos como lo es el litro (l) que se relaciona con la unidad anterior. Por ejemplo: 16.9 fl oz (500 ml). medicinas. Los vértices se denotan así: vértice A. Matemáticas de Educación Básica. DE. E. BC. El perímetro de este polígono es igual a: P = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA . Hay muchos ángulos en este polígono. A y F. ∠FED . ∠EBA . vértice B. ∠EBC . Un polígono es convexo.A.LECTURA N° 15: FIGURAS POLIGONALES Tomado con fines instruccionales de: Suárez. ∠FEB . etc. Dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada. EF. • La diagonal de un polígono. CD. FG y GA se denominan lados. es el punto de intersección de dos segmentos o lados. Se habla de polígonos convexos y polígonos cóncavos. A y E. es la abertura formada por dos lados en un vértice. A y D. B y D. S. es el segmento de recta que une dos vértices que no pertenecen a un mismo lado. Los ángulos denotan así: ∠BEC . diagonales entre los vértices: A y C. ∠ABC . B y F entre otros. • El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de cada lado. y podemos trazar en este mismo polígono. (2003). si cada uno de sus ángulos interiores es menor de 180º. • El ángulo interno de un polígono.149). Tenemos la diagonal BE. D. • El vértice de un polígono. Fíjate en el siguiente polígono: Plano • Los segmentos AB. Es cóncavo si uno de sus ángulos es mayor de 180º. Polígono Cóncavo Polígono Convexo 22 . etc. Caracas Editorial Santillana. y Cepeda. Este polígono tiene 7 vértices. (p. La apotema de un polígono regular. es el segmento de recta que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados. 23 . cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos también son iguales.Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican según sus lados en: Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre del polígono Triángulos Cuadriláteros Pentágonos Hexágonos Heptágonos Octágonos Eneágonos Decágonos Undecágonos Dodecágonos Un polígono es regular. ∠ ABC y ∠ BCA. (Consulta: 2007. En este caso sus lados son los segmentos AB. B y C. LOS TRIÁNGULOS El triángulo tiene una característica especial. Matemática para todos. o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas. ∠ CAB. la forma del triángulo permanece. [Consulta en línea]. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A. 24 . LOS CUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar.ve/matemática. B y C. es decir. es estable. en efecto. Disponible: http://www. El triángulo es un polígono de tres lados. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo. por ello es vital en la industria. enero 12). El símbolo representa la palabra triángulo. Así significa el triángulo ABC.fpolar. si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices. Δ Δ ABC Clasificación de los triángulos Según sus ángulos: Acutángulo: Tiene tres ángulos agudos (miden menos de 90º) Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (miden más de 90º) Rectángulo: Tiene un ángulo recto (mide 90º) Según sus lados: Equilátero: Tiene tres lados miden igual Isósceles: Tiene dos lados que miden igual Escaleno: Todos sus lados miden distinto.LECTURA N° 16: LOS TRIÁNGULOS. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A.org. y también en muchos edificios. BC y AC. son: * ∠ DAB. ∠ CDA. B. (Observa las tres letras. Los ángulos internos. se caracterizan por tener cuatro lados. CD. Los vértices. BC. la que está en el medio es de donde surge el ángulo) * El signo “ ∠ ” se lee ángulo 25 . ∠ ABC. DA. ∠ BCD. cuatro ángulos exteriores y dos diagonales. Observa las figuras: Vértice Lado A B A Diagonales C Ángulo exterior D Ángulo interior Cuadrilátero α C B D Cuadrilátero Cóncavo En el cuadrilátero convexo se muestra que: Los lados son los segmentos: AB. son cada punto de encuentro de los lados: A. C y D.Otros elementos de los triángulos Alturas: Segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto Bisectrices: Semirrecta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales Medianas: Segmento desde cada vértice al punto medio del lado opuesto Mediatrices: Recta perpendicular a cada lado en su punto medio Ortocentro: Punto de intersección de las alturas Incentro: Punto de intersección de las bisectrices y centro del círculo inscrito en el triángulo Baricentro o Centro de gravedad: Punto de intersección de las medianas Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices y centro del círculo circunscrito al triángulo LOS CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. cuatro vértices. son cada abertura entre dos lados consecutivos. cuatro ángulos interiores. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales. La suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero: ABCD: ∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360º A B O también: α β σ C α + β + δ + σ = 360º Letras griegas: α se lee Alfa β se lee Beta δ se lee Delta σ se lee Sigma δ D Clasificación de los Cuadriláteros: CUADRILÁTEROS Rectángulos FIGURA Y DIAGONALES A D B C A D A B C B D B C A B Cuadrado Paralelogramos Rombo C A Romboide D Trapecio Rectangular D C 26 . son cada segmento que une dos vértices opuestos.- Las diagonales. El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados: Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA. Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos ángulos es de 180º. BD. A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área. son: AC. La letra griega “ α ” se lee Alfa y denota un ángulo exterior. por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se obtiene 360º. A B Trapecios Trapecio Isósceles D C Trapecio Escaleno D A B C A B Trapezoides D C Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura. Un rectángulo formado con las unión de dos cuadrados de lado 8 m. 21. 18. 10 m 6m 22 m Triángulo isósceles 7m 19. 20. Cuadrado de lado 2/3m. Un rombo formado por la unión de dos triángulos equiláteros de lado x/2 27 . Fig. La región comprendida entre los puntos A. El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de ella. publicado]. La distancia del punto A al punto B o segmento AB es una cuerda de la circunferencia. El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los interiores a ella conforman una superficie llamada círculo. La Circunferencia y sus Elementos. el punto M y el punto N. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. entre el punto A y el punto B. Tinaquillo. se le llama arco de la circunferencia. [Artículo no La circunferencia.LECTURA N° 17: LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS Tomado con fines instruccionales de: Santamaría. 1 La recta “t” que toca un solo punto. y se denota ∠AOB . La recta “s” que toca dos puntos. todos los puntos interiores al ángulo ∠AOB representa un sector circular de dicho círculo. 2 28 . de la circunferencia es una recta tangente a la circunferencia. B y O. La distancia del punto P al punto Q o segmento PQ es un diámetro de la circunferencia. Elementos de una circunferencia: La distancia del centro al punto R o segmento OR es un radio de la circunferencia. Estado Cojedes. Fig. O y B describen un ángulo central a la circunferencia. El arco de extremos A y B se denota arco. J (2007). (Fig. el punto P. Un diámetro equivale a dos veces el radio. o mejor dicho. es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. 2) Los puntos A. por ejemplo. UNEFA. de la circunferencia es una recta secante a la circunferencia. 28. su ángulo central mide 60º.14 y r = radio de la Fig. En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud? 27. Determina el área de un sector circular. Ejercicios: 22. ¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º? 24. La medida de amplitud de un arco de una circunferencia se representa en grados (º). 26. calcula la medida de su ángulo 3 29 . y la de un ángulo central de la misma manera. 3 circunferencia y para determinar la longitud un ángulo central se utiliza: Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: A = π ⋅ r 2 . La fórmula para hallar la longitud de una circunferencia es: L = π ⋅ 2r . 1 π . si un arco mide 60º. siendo π ≈ 3. π ⋅ r 2 ⋅ nº 360º . y a la vez cada cuerda determina un arco y un ángulo central. Y para calcular el área de un sector circular se usa: A = amplitud del ángulo. allí se describe en el ángulo central ∠DOE . si su ángulo central es de 22º. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros. 25. esto indica que las medidas en grados para ambos son iguales. Observen la Fig. a la circunferencia se le puede calcular la longitud y al círculo se le calcula el área. sabiendo que su área es igual a 100π.A una circunferencia es imposible calcularle el área. Es decir. y un arco determina un ángulo y una cuerda. ya habíamos dicho que un ángulo central determina un arco y viceversa. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km? 23. 3. pues sólo representa una línea cerrada que limita al círculo. donde “ n 0 ” representa la El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus radios. La longitud del arco de una circunferencia es de central. L= π ⋅ r ⋅ nº 180º . el arco y la cuerda DE. Hallar el diámetro de un círculo. Cada ángulo central determina una cuerda y un arco. y sólo se pueden representar en una superficie plana. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. seres humanos. roca. Estado Cojedes. como: árboles. envases. entre otros y la que pertenecen a la naturaleza. Observa la siguiente figura: Plano Circunferencia C r P Circunferencia máxima La distancia de C a P es el Radio Figura 7 Si la esfera es sólida como una bola. Estas formas se encuentran en el mundo real.r 3 3 Si hacemos un corte a una esfera hueca con un plano obtenemos una circunferencia. 30 . Artículo no publicado. al realizar el corte obtendríamos el círculo. los cuadriláteros y demás polígonos. construidas por el hombre. planetas. CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS La esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva. J (2007). sea de manera artificial. el círculo. La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas. cuerpos y objetos que tienen tres dimensiones. Tranquillo. montañas. como por ejemplo: edificaciones. se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen una o dos dimensiones. carece de vértices y su volumen se calcula mediante la fórmula: V = 4 π . animales. como la circunferencia. En la geometría plana. herramientas. el triángulo.LECTURA N° 18: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS Tomado con fines instruccionales de: Santamaría. UNEFA. V = Área de la base x Altura. A diferencia del cilindro. Si el corte se hace perpendicular a la base.( Altura ) 3 Vértice Si hacemos un corte con un plano paralelo a la base del cono se obtiene un círculo. se obtiene un círculo. El cilindro consta de dos caras circulares. y de una determinada altura.r 2 . Si hacemos un corte al cilindro con un plano paralelo a la base. es decir. Su volumen se halla mediante la fórmula. pentagonal. el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. depende del número de lados de la base. tiene superficie plana y superficie curva. Eje Base Base El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. Estas superficies planas son polígonos que reciben el nombre de caras del poliedro.El Cilindro: es un cuerpo mixto. La intersección de dos caras forman una arista y el punto de intersección de tres o más caras es un vértice. Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo. Éstas pueden ser de base triangular. Los poliedros son cuerpos limitados por un número finito de superficies planas. El volumen de un cono se calcula mediante la fórmula: V= π . donde cualquiera de ellas pueden servir de base. etc. cuadrada. Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas. el número de triángulos o caras laterales de una pirámide. Los triángulos que conforman las 31 . se obtendría un rectángulo. Eje Base Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la naturaleza tienen forma de poliedros. Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos. Si comparamos los perímetros entre el triangulo equilátero. de otra forma son llamados prismas oblicuos. Veamos algunos prismas: Vértice Cara lateral Arista Bases Triangulares Prisma Triangular Base cuadrada Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas geométricas. 32 . Los prismas. este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide. por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo observas detalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. tienen un punto en común. cuyas caras laterales son rectángulos.caras de la pirámide convergen en un punto. es decir. Esto significa. la característica más sobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes. el de este último es menor. llamadas bases del prisma. se usa menos cera. son llamados prismas rectos. que para la construcción de los panales de abejas en forma de prisma hexagonal. el cuadrado y hexágono regular. para un área establecida. Vértice Arista Cara Base cuadrada Pirámide cuadrada Pirámide Hexagonal Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de sus bases. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. fpolar. tiene un origen un poco extenso y muy apasionante. por lo que se denota con letra griega π. Aún en nuestra era. El número pí ( ) y el cálculo de áreas. inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro. ejemplo de ello fueron los babilonios y egipcios. matemático suizo. se hacen cálculos sobre π llegando a representarlo con 109 cifras decimales. que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo.ve/matemática. Artículo en línea disponible en: http://www. volumen de un cilindro.org. π El número π (Pi). La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas. fue quien hizo famosa la notación de π. en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia”. en la antigua Grecia. de un cono y de una esfera. 707 cifras decimales. a pesar de haberla implementado en sus estudios William Jones muchos años antes. entre otros. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia. que aún cuando desconocían su nombre y simbología. 33 . enero 12. de la relación 6r = 2πr. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro. hizo también un vaso de metal fundido. se obtiene que π = 3 r r Lado del hexágono = radio de la circunferencia r=r Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”: “…Él. fue el inglés William Shanks en 1873. área de un óvalo. y tenía cinco codos de alto. Leonard Euler (1707-1783). área de un círculo. Es decir. cifras que adornan la cúpula del “Palacio del Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. de fecha 2007.LECTURA Nº 19: EL NÚMERO PI ( π ) Y EL CÁLCULO DE ÁREAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras. área de la superficie de una esfera. De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3. le atribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de una circunferencia mediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito. [Consulta en línea]. la gran cuba. Home 2da. en otras palabras. alguna edificación que se va a construir. Realicemos algunos cálculos de perímetro y área: Ejemplo 1: En el terreno de béisbol. un tanque. Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón. Base 3ra. Entonces: P = 27m + 27m + 27m + 27m Luego Perímetro = 4. una monografía sobre los números irracionales π y ℮ Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos: En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el área de una determinada región.(27m) = 729 m2 Área 27m El área del cuadrilátero que está entre las cuatro bases es de 729m2. es decir. 34 . sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura. es la medida de la superficie. una botella o cualquier otro envase o la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava. También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde se necesite saber cuántos litros de agua requiere una piscina. en 1956. entre otras actividades de la vida diaria. entre otros. así. El área de una figura plana es la medida de la región encerrada por líneas poligonales. ya sea sobre un terreno donde se va a cultivar. ¿Calcula el área del terreno que limitan las cuatros bases? Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado. sobre un piso que se va a cubrir con alfombra o cerámica. Duarte escribió. las cuatro bases forman un cuadrilátero. también calculó el número π con muchas cifras. 27 metros ¿Cuántos metros recorre el bateador al dar un jonrón? Solución: Sólo tenemos que calcular el perímetro del cuadrilátero: Recuerda que para calcular el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados. nacido en Maracaibo.El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972). sólo debemos multiplicar la medida de un lado dos veces.(27m) = 108 metros. Base 1ra. Base Área 27m = (Lado)2 = (27m)2 = (27m). como se muestra en la figura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies. Sustituyendo. queda: Área 5 ⎛ 11 ⎞ ⎜ Km + Km ⎟ 2 ⎝2 ⎠ ⋅ ⎛ 8 Km ⎞ = ⎜ ⎟ 2 ⎝3 ⎠ = Área ⎛ 16 ⎞ ⎜ Km ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⋅ ⎛ 8 Km ⎞ = ⎜ ⎟ 2 ⎝3 ⎠ = 4Km ⋅ ⎜ Área 8KM 2 ⎛8 ⎞ ⋅ ⎜ Km ⎟ ⎝3 ⎠ Área ⎛8 ⎞ Km ⎟ ⎝3 ⎠ Área = 32 Km 2 3 El área del terreno es de 32 Km 2 3 35 .Ejemplo 2: El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles. aplicamos la fórmula: P = AB + BC + CD + DA Entonces: Perímetro = 3Km + 5 11 5 Km + Km + Km 2 2 2 Perímetro = 3Km + 21 27 Km = Km 2 2 El perímetro del terreno es de Luego. se necesita saber ¿cuál es el perímetro y el área del terreno? A Altura D F C B AB = 3Km − Donde: BC = 5 Km 2 − 11 DC = Km 2 − 8 AF = 3 − AD = BC AF = Altura − Solución: Para calcular el perímetro del trapecio. como se muestra en la figura. base menor = AB Altura = AF. cálculo del área: 27 Km 2 El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula: Área = (Base mayor + base menor ) ⋅ Altura 2 Donde: base mayor = DC. − DF También: = CD 2 DF 16 Dm = = 8 Dm 2 2 Área = CD = 8Dm = Altura − Por lo tanto: (6 Dm ) ⋅ (8Dm ) = 48Dm 2 2 2 = 24 Dm 2 36 .Ejemplo 3: Una constructora ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la edificación de cuatro casas. D G Donde: E DE = 10 Dm DF = 16 Dm − − − F EG = 12 Dm Solución: Para calcular el área de un rombo se aplica la fórmula: Área = Diagonal mayor ⋅ diagonal menor 2 Donde: diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG Sustituyendo queda: Área = (16 Dm ) ⋅ (12 Dm ) = 192 Dm 2 2 2 Área = 96 Dm 2 Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dm2. EG 12 Dm = = 6 Dm Esto es: 2 2 CE = 6 Dm = base Esto es. D Para calcular el área del y la altura “CD”. Calcular el área de todo el terreno y el área que corresponde a cada casa. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y divisiones se especifican en la figura dada. entonces: La mitad de la diagonal EG es igual a CE. Para calcular el área de una de las divisiones. que representan triángulos y le calculamos el área. podemos dividir el área total entre 4 o tomamos una de las cuatro divisiones. Altura 2 Como las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios. G C E DEC. se necesita conocer la base “CE” F Recuerda que Área = Base . ¿Cuál es el área del 2 pentágono? Solución: A E F D H C B Los vértices A. Área = (Perímetro del polígono ) ⋅ Apotema 2 Entonces. el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa. 1. si calculamos el volumen 37 .6L. B.(3m ) = 15m Por lo tanto.( AB ) = 5. Julio dice: . en otras palabras al volumen útil de los cilindros. cuanto mayor es la expresión que allí se indica mayor es la cilindrada del vehículo. como todo un experto. en la parte trasera. en un carro de cuatro cilindros. Si del centro de la superficie de la base.0L.Papá.Ejemplo 4: Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base pentagonal. Como AB = 3m y el pentágono es regular. = 2 4 Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos Ejemplo 5: Una tarde. le contesta: . las cosas a su alrededor.5L. D. esas expresiones hacen referencia a la cilindrada del automóvil. llevan escrito algunos símbolos como: 1. detalladamente. 4. al punto medio entre dos columnas la distancia es de 7 metros. Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE Pero como todos los lados miden igual Perímetro= 5. para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula.Hijo. ¿qué significan esos números? El padre. entonces. AB = BC = ED = DC = CB y FH = 7 m 2 Luego. etc. El segmento FH es un apotema. y entre cada columna hay una distancia de 3 metros. C. viste que algunos carros. Por ejemplo. 7 ⎞ (15m ) ⋅ ⎛ ⎜ m⎟ Área = ⎝2 2 105 2 m 105 2 ⎠= 2 m es el área del pentágono. E son los puntos donde van las columnas. 2.3L. Ejemplo 6: Una piscina. ésta representa la capacidad para cada cilindro.000litros de agua para llenarse por completo.16cm .000 dm . Sustituyendo. queda: V = (3.000 dm 3 = 140 .de cada cilindro. así: Volumen de la piscina = 160 m 3 − 20 m 3 = 140 m 3 Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros. 140 . 3 3 3 escalera de conversión.6 litros y se anota de esta manera para simplificar la escritura. para hacer esto. debes ejercitar todo lo relacionado al cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. la piscina necesita 140 . cuyo volumen es: V= ( Área base) ⋅ altura .29cm 3 .548cm y r = radio = 4.29cm ) = 1597. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarla por completo? Solución: Observa que si la piscina fuese un paralelepípedo el volumen sería: V = ( Área base) ⋅ altura Esto es. queda. h = altura = 7.1035cm . Ejercicios: 29. Sustituyendo la fórmula. tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura. si se sabe que 1dm 3 = 1litro . ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la base? 30. V = (10m ⋅ 4m) ⋅ (4m) Luego. para ser un paralelepípedo. por lo que hay que transformar 140 m 3 a De acuerdo a la litros . ¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m2. entonces. algo como esta forma. Te proponemos algunos ejercicios y problemas.1416) ⋅ (4. siendo π ≈ 3. 2 3 V = (4m ⋅ 4m ) ⋅ 5 2 m 2 = (16m )5m = 80m 2 4 4 = 20m 3 Luego.548cm) = 399. 3 3 Si el carro es 4 cilindros. se tiene que: 140 m a dm = 140 . entonces la cilindrada es de: Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta. V = 160m 3 Pero a la piscina le hace falta un pedazo. al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y nos dará el volumen de la piscina.1416 . esto es equivalente a decir V = 1.1035cm) 2 ⋅ (7.000litros . de 4V = 4(399. un prisma triangular. mediante la fórmula: V = π ⋅ r 2 ⋅ h . primero tenemos que trasformar 140 m 3 a dm 3 . la base mayor es de 32 m y su altura es de 12 m? 38 . Por lo tanto. que: V = 1600cm 3 . 7 cm. 5 m. de ancho por 5 m. Resuelve los siguientes problemas: 36. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la estación de radio? 38. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm? Según la figura que se te indica a continuación. 12 cm. ¿Qué parte del terreno no puede ser recorrida por el caballo? 39. de largo ¿Cuántos rollos de papel necesitaría Juana para cubrir las paredes? 37. si cada rollo de papel mide 50 cm. 7 cm. Si el área de la figura es igual a 68 cm2 ¿cuánto vale b? b 9 cm. donde uno de ellos es isósceles. mide 4 m. de alto. Carlos tiene un terreno de forma cuadrada. y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área? A C 35. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos: 39 . cuyo lado mide 18 m. 13 cm. El triángulo ABC es isósceles. El trapecio de la figura se ha construido con tres triángulos rectángulos. 12 cm.31. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados. Halla el área del trapecio de dos maneras: usando la fórmula del área del trapecio y hallando la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos. de ancho. de apotema igual a 60 cm y área 16000 cm2? 32. El área de la puerta y la ventana es de 2 m2. En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un radio de 72 Km. En cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m. Ella desea colocar papel tapiz a las cuatro paredes. de largo y 5/2 m. D B 13 cm. si AD = 11 cm. realiza los cálculos respectivos: 33. 34. La habitación de Juana. [Consulta en línea] de fecha 2007. el procedimiento más común para realizar medidas en cuerpos geométricos y figuras planas. enero 11. Calcula el radio de la base si la altura mide 6 cm. es la aplicación de fórmulas matemáticas. Por ejemplo: Figura Triángulo Área A= base ⋅ altura 2 A= B+b ⋅ altura 2 Trapecio 40 . LECTURA Nº 20: THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar.org. En la actualidad. Esas medidas que llamamos áreas y volúmenes. Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de la base es igual a 36п m2.ve/ matemática. Artículo en línea.40. Thales y la pirámide de Keops. no se calculan directamente ya que se deben medir previamente ciertas magnitudes. 41. disponible en: http://www. El volumen de un cilindro es 330п cm3.fpolar. Figura Paralelogramo Área A = base ⋅ altura Rectángulo A = base ⋅ altura producto _ de _ diagonales 2 Rombo A= Cuadrado A = (lado) 2 Círculo A = π ⋅ r2 Cuerpo Prisma recto Volumen V = área _ de _ base ⋅ altura V = (lado) 3 V = área _ de _ base ⋅ altura 3 Cubo Pirámide Cilindro V = π ⋅ r 2 ⋅ altura Cono V = π ⋅ r 2 ⋅ altura 3 Esfera V = 4 π ⋅ r3 3 41 . Matemática para todos. Expresiones Algebraicas. (2006).. Gómez. T. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt Gómez. Trigonometría. González. Caracas. Thales y la pirámide de Keops. M. enero 11. Caracas. T. N. B. Caracas Ochoa. T. Mi primera enciclopedia científica Matemática.. Proporciones y Porcentajes. Artículo no publicado.. Gómez T. (2000). Revista Matemáticas Recreativa. 42 . (2000).fpolar. N. [Consulta en http://www. A. Rojas. Disponible: http://www. Los Sistemas de Numeración.. Gómez.. B.com/dferiagomez. (2007) Planteamiento de Problemas. Octubre 2007. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt Gómez.org. M. Editorial del Valle de México. Vol. Vergara. Bogotá. [Consulta: diciembre 6. http://www. E.ve/ matemática.. “Prevenir y Corregir el Error”. Matemáticas Básicas.BILIOGRAFÍA Cuadros. Caracas.f. Ecuaciones. Ecuaciones. A. González N. N. Los Números Reales. (2006) Expresiones Algebraicas. 2007] Fundación Polar. Gómez.fpolar. N.es.fpolar. Gómez. (2005). A.. Artículo no publicado. Artículo en línea disponible en: http://www. Matemáticas Básicas. González.5-6. N. González. Fascículo 6. pp.. A. [Consulta en línea]. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt Gómez. González.. de fecha 2007. Rojas.. A. A. Nº 3. (2007). (2000). Caracas.A. González. Fundación Polar: Matemática para todos. Gómez. González. [Consulta en línea] de fecha 2007. El número pí ( ) y el cálculo de áreas.. Lorenzo J. 2007] Disponible: Feria. Martínez. T. Moreno. González. enero 12 Fundación Polar. enero 12) línea].org. Colombia : Universidad de los Andes.(1998). 2. Feria. (Consulta: 2007.. N.geocities. S. Artículo en línea. (2007). (2000). Vergara. N. Gómez. (s.ve/matemática. E. Moreno. Gómez. T... El Mundo de la Matemática. González. Artículo no publicado.. N. J. M. Moreno. Artículo no publicado. ¿Para qué sirve? Artículo en línea. D. (p. Trigonometría. 153-155 y 145-151). disponible en : http://www.. Caracas: Últimas Noticias.. N. A. B.ve/matemática.. Gómez.) Trigonometría.. B. T. N. Caracas.. (2000).. Lorenzo. Ochoa. T... México. [Consulta: diciembre 6. Artículo no publicado. Gómez. T.com/dferiagomez. González.org. Artículo no publicado. Disponible: π Fundación Polar.. Artículo no publicado. (2000). Gómez. Vergara A.. Vergara. (2006). Fundación Polar. [Consulta en Línea]. Caracas. Caracas. Fascículo 10.. Caracas.f. Material no publicado.geocities. González. T.. (s.es. Matemáticas Básicas.. Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt. D. T. E. (pp. Material no publicado. (2007). Vergara.) Trigonometría ¿Para qué sirve? Artículo en línea..40). Vergara. Rojas M. y Cepeda. Métodos de Factorización. A. Estado Cojedes Santamaría.Ochoa. Santamaría. Santamaría. Artículo no publicado. estado Cojedes.1-6). (pp. Tinaquillo.1-8). Artículo no publicado. J (2007). [Artículo no publicado]. Santamaría. E. Caracas.149) 43 . (p. La trigonometría. Estado Cojedes. E. Suárez. S. 5). estado Cojedes.3).1-2). Tinaquillo. (2003). Estado Cojedes. UNEFA. UNEFA. Editorial Santillana. (pp. Matemáticas de Educación Básica. Tinaquillo. S. Productos Notables. J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Santamaría. J (2007). (2007). Tinaquillo. Tranquillo. Caracas Editorial Santillana.149). (2003). D. (2006). Venezuela. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. (2006). Estado Cojedes Santamaría. Matemáticas de Educación Básica. Tinaquillo. La factorización como herramienta de simplificación. Suárez. Artículo no publicado (pp. 1.A. La Circunferencia y sus Elementos. Artículo no publicado (pp.A. Venezuela. D. J. y Cepeda. Caracas. [Artículo no publicado]. Unefa. J. J (2007). Artículo no publicado (pp. (p.