Formulario PARDO (Algebra) - Copia

Av.Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 1 TÍTULO DE LA OBRA Formulario de ÁLGEBRA EDICIÓN 2012 Derechos Reservados © AUTORES: Prof.: William Mostacero Montoya Prof.: Elio Necochea Aybar DIAGRAMACIÓN Y ARTE CENTRO DE CÓMPUTO ACADEMIA PARDO * Wilfredo Cárdenas Jincho E-mail: [email protected] Academia PARDO R.D. 1560 Av. Collasuyo O – 17 (detrás de la UNSAAC) Teléfono: (084) 315018 CUSCO / PERÚ Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso y/o legal del editor. 2 Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 LEYES DE EXPONENTES Leyes principales: I. Producto de bases iguales: m n a .a  a II. m n a   b Cocientes de bases iguales: a m a a n mn 0 m  1 a m VI. Potencia de un cociente: p m.p  a   n.p  b  p n m  a Exponente de exp onente IX. Exponente fraccionario: a  0  am  bn  p  am.p  bn.p p Potencia de Potencia m an  Nota: Potencia de un producto:  am  n b  m p n Nota:   am   IV. Exponente negativo: a b    a un VIII. Potencia de potencia a  0 a 1 m de  m n mnp  a    a III. Exponente cero: V. VII. Potencia negativa cociente: n n m a m a n   a  m X. Raíz de un producto: n a b  c  n a n b n c XI. Raíz de un cociente: Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) n a  b n n a b Telf.: 315018 3 XII. Raíz de raíz: Expresiones al Infinito m n p  a mnp n a EXPRESIONES CON UN NÚMERO LIMITADO DE RADICALES: 1. 2. m n q n I p a . a. m m m ... a s m  m.n.p  a a m (qn  I)p  s n a m a. m a. m a ... m m a m 1 a n a  n a...  n 1 a n m 1 n a  a  a...  n m m n 1 a n 1 "m " r ad icales n n  a xbb "n " radicales 3. n n a  a  n a...  n 1 a x x x bb bb  xb  x a a a "n " radicales a  a  1  a  a  1  a  a  1  ...  a a  a  1  ...  a  1 ECUACIONES EXPONENCIALES Propiedades: 1. Para bases iguales: m a n a  m=n 3. Para bases iguales: x x y y y exponentes  x=y 2. Para exponentes iguales: a 4 m x m  a=x También llamada: Analogía” Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) “Ley de Telf.: 315018 . Dividimos el Radicación: m grado del K Radicando P(x) k entre el índice.Determinado por el exponente de mayor grado. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. siendo m>n Grado Operación Procedimiento resultante El grado Adición: m P(x) + Q(x) resultante es el Sustracción: del polinomio de mayor m P(x) – Q(x) grado.GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO DE UN MONOMIO: Grado Relativo. Restando el grado del División: dividendo m–n menos el P(x)  Q(x) grado del divisor Multiplicando Potenciación: el grado de la mk base y el [P(x)]k exponente.Esta determinado por el exponente de dicha variable Grado Absoluto. Ejemplos: OPERACIONES CON POLINOMIOS: Dado los polinomios P(x) de grado m y Q(x) de grado n . Grado Absoluto.: 315018 5 .z)  7x y x GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 12 4 + 5 + 12 = 21 GRADO DE UN POLINOMIO: Grado Relativo. y..y)=3x5y7 – 2x9y2 GRADOS GR(x) = 9 RELATIVOS GR(y) = 7 GRADO Es el grado del ABSOLUTO primer término: 12 Av.. Q(x) factores. Sumando los Multiplicación : grados de los m + n P(x) . POLINOMIO P(x.Determinado por el término de mayor grado.Esta determinado por la suma de los exponentes de dichas variables: Ejemplos: MONOMIO GRADOS RELATIVOS GRADO ABSOLUTO 4 5 12 M(x. en forma consecutiva. POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios. c = 9 Av.I. 4 10 P(x. hasta el grado cero (término independiente) Ejemplo: P(x) = 2x4 – 3x3 + 8x2 – x + 5 P(x. y)  x y  4x y  3x y número de términos estará determinado por el grado del polinomio aumentado en la unidad. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. Ejemplo: 5 OBSERVACIONES:  En todo polinomio completo y ordenado de una sola variable se cumple que el 6 2 5 2 ax  bx  c  3x  7x  9 Se cumple que: a = 3 . POLINOMIO HOMOGÉNEO: Todos sus términos poseen igual grado. b = –7 . = P(0) 3.POLINOMIOS ESPECIALES 1. y)  4x y  7xy 10 3 G13 2.: 315018 .y) es homogéneo. del mismo grado y con las mismas variables.  Coeficientes  P(1) 2 15 x y El polinomio está ordenado con respecto a “x” en forma decreciente y con respecto a “y” en forma creciente. Ejemplo: 9 2 7 8 # términos  Gº 1 x y Se dice que: P(x.  En todo polinomio completo y ordenado (en general para todo polinomio) se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad. T. Ejemplo: 5 8 12 G13 G13 P(x. POLINOMIO COMPLETO: Es aquel que tiene desde su máximo exponente. cuyo grado de homogeneidad es 13.  Análogamente el término independiente (T. serán idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes en ambos son iguales. POLINOMIO ORDENADO: Presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables.) se obtiene reemplazando a la(s) variable(s) por cero.I.y) = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 4. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO. Ejemplo: Si: ax3 + bx + c = 0 PRODUCTOS NOTABLES I. DIFERENCIA DE CUADRADOS. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Cuando los coeficientes de sus términos son nulos o ceros. Se cumple: a0 . C. 2 2 * a  ba  b  a  b * a  b   a  b  a  ab  b * x 2n y 2n  n  x y n  x n  y n  3 3 3 3   2 2 2 * a  b   a  b  a  ab  b Av. b0 . c0 NOTA: Se dice que un polinomio es Mónico. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS. 2 2 2 *  a  b   a  2ab  b 3 *  a  b   a3  3a2 b  3ab 2  b 3 forma desarrollada.) (trinomio cuadrado perfecto) III. cuando el coeficiente principal es la unidad. 3 3 3 *  a  b   a  b  3ab  a  b  forma abreviada: Cauchy II. BINOMIO AL CUADRADO (T. 2 2 *  a  b   a  2ab  b 2 2 2 Observación:  a  b    b  a  Corolario: Identidad de Legendre: 2 2 2 2 *  a  b    a  b   2 a  b  2 2 *  a  b    a  b   4ab 3 3 3 *  a  b   a  b  3ab  a  b  forma abreviada: Cauchy 3 3 2 2 3 *  a  b   a  3a b  3ab  b forma desarrollada. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.5. IV. P.: 315018  2 7  . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.V. y sólo si se verifica que: 2 4k * x x 8 2k 2k k 2k k  1  x  x  1 x  x  1 b  4ac . Si: a  b  c  0 . b. Si se verifica que: a2 + b2 + c2 + … + n2 = 0 Será posible. XI. PRODUCTOS DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN: STEVIN *  x  a   x  b   x 2   a  b  x  ab VII. *  a  b  c  3  a3  b 3  c3  3a2b  3ab 2  2 2 2 * a4  b4  c4  2  a2b2  a2c2  b2c2  5 5 5 * a  b  c  5abc  ab  ac  bc  2 2 2 2. se demuestra: 2 2 2 * a  b  c  2  ab  ac  b c   a  b  c  2  a2  b 2  c2  2  ab  ac  b c  forma abreviada.  a  b  c  2  a2  b 2  c2  2ab  2ac  2b c forma desarrollada. c  Entonces: a = b = c 3b c  3a c  3b c  6 ab c * 3 3 3 3 a  b  c  a  b  c   3 a  b  a  c b  c VIII. IDENTIDAD DE ARGAND. 1. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO. 2m m n 2n 2m m n 2n *  x  x y  y  x  x y  y   4 x x 2m 2n y y 4n 3. 3 3 3 * a  b  c  3ab c  Importante (Ojito) VI. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO. IGUALDADES CONDICIONALES. cuando: a=b=c=…=n=0 Teorema: 2 La expresión: ax  bx  c es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO si. Av.: 315018 . Si: a  b  c  ab  ac  bc Donde: a. Si el número de términos: impar TC  Tn 1 PROPIEDAD: 2 . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES: Tk  (signo)x nk k 1 a Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de los bases en el numerador.COCIENTES NOTABLES FORMA GENERAL: n n x a . donde: x. b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) los términos de lugar par son negativos y los términos de lugar impar son positivos. a son las xa bases y n  N Condiciones que deben de cumplir: a) Deben tener las bases iguales b) Deben tener los exponentes iguales.Si contamos los términos a partir Av. Si: x m p a x a notable n .Se puede determinar el término central de un cociente notable siguiendo estas consideraciones: 1. .: 315018 9 . es un polinomio de “n” términos completo y ordenado con respecto a ambas variables. Si el número de términos es par: TC1  Tn 2 TC2  Tn 2 2 2. origina un cociente q Entonces se cumple: m  n p q Además: m n   Número de términos p q PROPIEDADES n n – El cociente notable de: x  a xa es un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad (n–1). Regla para el signo: a) Cuando el divisor es de la forma (x–a) todos los términos son positivos. por ejemplo: Factor Común Aspa Ax2n+Bxnym+Cy2m Simple Aspa Ax2n+Bxnym+Cy2m+Dxn+Eym+F doble Aspa Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E Doble Especial Divisores Ax3+Bx2+Cx+D Binómicos ax2y2+bxy3z+cx3my4 De P(x) = x(x2 – 1)(x + 2).del último. x(x+1)(x-1)(x+2) POLINOMIO IRREDUCTIBLE: Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico si no admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo. x–1. TEOREMA Todo polinomio de primer grado es irreductible en cualquier campo numérico. es considerado factor de otro polinomio P(x) si existe un único polinomio q(x) tal que: 10 NOTA: Los conjuntos numéricos considerados como CAMPOS NUMÉRICOS son los Av. x+2. De acuerdo a las características que presenten los polinomios se pueden aplicar tal o cual criterio. la división de P(x) entre f(x) es exacta. sus factores son: x. x+1. factorización 2 x  9x  22   x  2   x  11 P(x) ≡ f(x) . q(x) es decir. así: t k  (signo)(x) k 1  (a) nk FACTORIZACIÓN Es la transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. x2+2x. …. para hallar el término de lugar “k” sólo intercambiamos los exponentes. Ejemplo: producto No todos los polinomios se pueden factorizar.: 315018 . FACTOR DE UN POLINOMIO: Un polinomio f(x) de GRADO NO NULO. 2 lineales: x . x – 4 2 cuadráticos: x2 + 1 . x2 + 3x + 1 en cambio (x – 2)2 no es primo. x2 + y2 P(x) = 5(x – 1)4(x + 2)2(x – 1)2 Tiene 3 factores primos. puesto que es divisible por: (x – 2). FACTOR PRIMO: Es un factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo.racionales ( ) .: 315018 11 . CRITERIO DEL ASPA SIMPLE Es apropiado para factorizar polinomios de la forma: Av. Propiedades de los polinomios irreductibles en un campo numérico *) Todo polinomio de primer grado es irreductible *) Si el polinomio P es irreductible lo es también cualquier polinomio cP donde “c” es un elemento de dicho campo (c  0) . y . son: x – 2 . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. z Factores algebraicos: (+1)(+1)(+1) – 1 Factores o divisores: (+1)(+1)(+1) Ejemplo: Dado (x  2)(y  1) 2 * Factores primos: 2 * Factores algebraicos: (1+1)(2+1) – 1 = 5 * Divisores: (1+1)(2+1) = 6 CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN CRITERIO DEL FACTOR COMÚN El factor común es el que figura en cada uno de los términos. Número de Factores Algebraicos: Este número de factores algebraicos también se les denomina divisores. se puede obtener agrupando convenientemente los términos. es decir. los factores distintos que se hallan contenidos. los reales ( ) y los complejos ( ) . Ejemplos: Q(x) = x(x – 4)2(x2+1)5(x2 + y2) Tiene 4 factores primos. Conteo de Factores Primos: El número de factores primos de un polinomio (factorizado) se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen a la variable. Número de factores    Dado: x  y  z Factores primos son 3: x . De no haber. Ejemplo: P(x) = 5(x – 2)2(x2 + 3x + 1) Sus factores primos en Q. 4 3 2 P(x)  AX  BX  CX  DX  E a1x 2 c1x 2 c2x a2x e1 e2 Lo que le falta CRITERIO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS O EVALUACIÓN BINÓMICA Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado. Se aplica tres aspas simples como se muestra en el esquema y los factores se toma horizontalmente. AX 2n a1x n n a12 2x n  BX Y m  CY 2m c 1y n  DX n  EY m  BX 3m  CX 2m  DX m E 3 2 P  x   AX  BX  CX  DX  E 2 2 4m En particular polinomios de cuarto grado a  b  (a  b)(a  ab  b )  F f1 Procedimiento de factorización: Ordenar el polinomio en orden descendiente completando los términos faltantes con ceros.: 315018 . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) f2 c 2y Telf. n Av. pero de acuerdo a donde le corresponda.P  x. se debe completar con ceros.y   AX 2n n m  BX Y 2m  CY CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: CRITERIO DE LAS IDENTIDADES Es necesario recordar: 2 2 3 3 a  b  (a  b)(a  b) 2 P  x   AX 2 3 3 2 2 a  b  (a  b)(a  ab  b ) 2 2 3 3 (a  b)  a  2ab  b 2 4 (a  b)  a  3a b  3ab  b 3 CRITERIO DEL ASPA DOBLE Este método se utiliza para factorizar polinomios de la forma: P  x. Si faltase algún término. Se descomponen los términos extremos tratando de que el aspa simple entre ellos se aproxime al término central.y   AX 2m m n  BX Y  CY 2n  DX m n  EY  F Pasos que se deben seguir: Ordenar el polinomio de acuerdo a la forma general mostrada. luego  x  a  es un divisor o factor de P  x  Ceros de un polinomio (Ceros Racionales) Es el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que el valor numérico sea igual a cero: Ejemplo: 3 2 Sea P  x   x  6x  11x  6 Para: x   1 3 2 P  1   1  6  1  11 1  6  0 Luego podemos decir que: “1 es un cero del polinomio P  x  ” ¿Cómo debes determinar los posibles ceros de un polinomio? 1) Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad: En este caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del término independiente con signo doble ( ) .  2 . 6 divisores del primer coeficiente 6 Posibles ceros: 1 1 1 1.: 315018 13 . 2.  . 3. En este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.  2 3 6 CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS Este método consiste en darle una forma adecuada al polinomio. Entonces los posibles ceros están determinados por: Si: P  x    x  a   R  P  a   0 .  .  3 . 3 2 Si: P  x   x  6x  11x  6 Divisores div 6:  1 .Se basa en el criterio de divisibilidad de polinomios y por lo tanto usa el criterio del teorema del resto en forma inversa. 2) Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad.  6 Posibles ceros = Racionales Divisores del término independiente Divisores del primer coeficiente Sea el polinomio: 3 2 P  x   6 x  11x  6 x  1 Posibles ceros: divisores del término independiente 1 1 1. Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. . “QUITA Y PON” O REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE CUADRADOS: Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas reducciones logres formar un trinomio cuadrados perfecto y como consecuencia de ésta situación se forme una diferencia de cuadrados.: 315018 . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. 2. realizando cambios de variable o sumando y restando una misma cantidad con la finalidad de hacer más sencilla su factorización.Son aquellos que se caracterizan porque dentro de un radical se encuentran contenidos otros radicales ligados con otras expresiones a traves de las operaciones de suma o resta Ejemplos: A B. 1. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES: Consiste en sumar y restar una o varias expresiones en forma conveniente de tal modo que se formen uno de los trinomios:  x 2  x  1 ó  x 2  x  1 ambos componentes de una diferencia o suma de cubos. d RADICALES CASO 1: A B  Donde: C  AC  2 AC 2 2 A B Raiz exacta Regla práctica de transformación: A2 B  x y x+y x. RADICACIÓN DEFINICIÓN.operando en forma conveniente. CAMBIO DE VARIABLE: Consiste en buscar expresiones iguales directa o indirectamente a través de ciertas transformaciones para luego proceder a un cambio de variable que permitirá transformar una expresión aparentemente compleja en otra más simple. 3 a b  CONVERSIÓN DE DOBLES A SIMPLES: 14 x c y . 3.y (x y) Av. De acuerdo al Grado: Pueden ser de primer grado. 3.R.CASO 2: Estos radicales bajos ciertas condiciones adoptan la forma siguiente: a b  c d  x y z a b  c d  x y z RACIONALIZACIÓN CASO I: Denominador n a q n  q n 2 3 Radicales de la forma: A B Estos radicales podrán adoptar la forma siguiente: A Donde : B = x C 3 y a n a2 b Denominador F. 2. II. Resultado a b a b ab CASO III: Denominador 2 a Resultado n q CASO II: Cuando el denominador es de la forma: CASO 3: 3 F.: 315018 15 . tercer grado.Ecuación Posible o Compatible: Av. De acuerdo a sus soluciones: Pueden ser: A.R. III. De acuerdo a sus incógnitas: Pueden ser ecuaciones con 1. Resultado  3 a2  3 ab  3 b2   3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2  3 a  3 b A B 3 Además: A  4x  3xC A su vez : y  x C a+b a–b 2 ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES I. incógnitas.R. etc. etc. n F. Ejm. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. x + y + z = 9 (Ecuaciones con 3 incógnitas) x + y = 5 (Ecuaciones con 2 incógnitas) IV. De acuerdo a sus coeficientes: Pueden ser con coeficientes numéricos o literales. segundo grado. Si: a  0 y b  0 .  2x  4  2x  7  2 0 x3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Llamadas también ecuaciones lineales tienen la siguiente forma general: ax  b  0 .Son aquellas ecuaciones que tienen o admiten solución y pueden ser: 1. (Discriminante). incompatible o absurda: Es aquella ecuación que no admite solución. Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones: Ejm. donde: x   b a Discusión de la raíz: 1. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 . 2. 2 2. Por factorización: La ecuación se factoriza y cada uno de los factores se iguala a cero. Si: a  0 y b  0 . la ecuación es indeterminada. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas que tienen la siguiente forma general: 2 ax  bx  c  0 para: a  0 Resolución de una ecuación de 2º grado.S. la ecuación es determinada y la ecuación tiene solución única: x = 0. 1. a 2. Av.  x3 x3 2 2  4x  12x  9  4x  12x  9 B.  3. la ecuación es determinada y el valor de “x” b . (x  3)(x  2)  0  C. 4. Por fórmula general: (Baskara) x 2 b  b  4ac 2a 2 Donde: es el b  4ac discriminante de la ecuación cuadrática y denotamos por:  2   b  4ac Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado: Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad subradical. Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones: Ejm. o cuya solución no satisface a la ecuación: Ejm. Casos que se presentan: Si:  > 0 Las raíces son reales y diferentes. la solución es incompatible. Si: a  0 y b  0 . Ecuación imposible. es único: x   16 3. Si: a  0 y b  0 .  a 1 1 b   2) x1 x 2 c 1) | x1  x 2 |  c a Producto de raíces. Luego se cumple: 1) Suma de raíces: x1  x 2   b a c 2) producto de raíces: x1  x 2  a a b c   m n p FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO x 2  ( x1  x 2 ) x  ( x1  x 2 )  0 ECUACIONES BICUADRADAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 4 Suma de raíces. x2 . x4)=0 DESIGUALDADES E INECUACIONES Av. y sus raíces: x1 . donde x1  x2 son raíces. x4) x2 + (x1. x2 + x3. x 4 1) x1  x 2  x 3  x 4  0 OTRAS PROPIEDADES: 2 Si estas ecuaciones poseen las mismas soluciones se cumple: a0 mx  nx  c  0 …(II) m  0 Formación de una Ecuación Bicuadrada Si las raíces son: x1 . Las raíces son y Si:  < 0 complejas conjugadas. Propiedades de las raíces: 2 Sea: ax  bx  c  0 . x1  x 2  0  b = 0 5) Si las raíces son recíprocas: 2 2 Sea: ax +bx + c = 0 . x 3 . x3. x2 . x3 . la ecuación se formara haciendo. x 2 . 2) x1  x 2  x 3  x 4  2 3)  x1  x 2    x1  x 2   4x1 . x 2 4) Si las raíces son simétricas: 3) x1  x 2  x 3  x 4  x1  x 2  1  a = c 6) Sean las ecuaciones: ax  bx  c  0 …(I) 2 b a Producto binario.: 315018 17 . (x  x 2)(x  x 2)(x  x 3 )(x  x 4 )  0  x4+(x1. x4 .Las raíces son reales e Si:  = 0 iguales. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. b  a  x  b 3. llamado límite superior o supremo y límite inferior o ínfimo. CLASES DE INTERVALOS: 1. a > b y m  R a  m > b  m x y 8. a > b y m < 0  a.m y a   a b x   a. m b m y m a m x y 7. Intervalo Abierto: Se caracteriza porque es un intervalo en el cual no se considera a los extremos se representa:   ó 2.b  R b x  a. a > b y m > 0  a.: 315018 .m > b. b  1  b  b  x  y 18   b x  1 1  ab a b  2.m< b.b   a  x  b  INECUACIONES DE PRIMER GRADO Forma general: ax + b > 0 ó ax + b < 0 Para resolver una ecuación lineal se transforma para todos los Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. a  b  1  b  b  x  y INTERVALO: Es aquel subconjunto de los números reales definiéndoseles como aquel conjunto de valores comprendido entre dos limites. NOMENCLATURA: > : mayor que < : menor que  : mayor o igual que  : menor o igual que TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES: 1. Intervalo Cerrado: Es aquel intervalo en el cual se considera a los extremos y se representa:  b  a.m b a > m m y x  a b < m m 4.DESIGUALDAD: Es aquella relación que se establece entre 2 números reales y que nos indica que tienen diferente valor. a > b y m # impar  R m a b m m y a m 5. a > b y m # par  R a 6. 4. de derecha a izquierda.. 5. ().. Suponiendo que (x-r) es el factor que se repite “m” veces entonces puede ocurrir lo siguiente: 1. La expresión debe estar factorizada para luego igualar cada factor a cero. (+).términos que contiene a la variable “x” al primer miembro y las constantes al segundo miembro y luego en la recta numérica se identifica el intervalo al cual pertenece la variable.. Recordar:  JENA (+) (–) > <   Cuando los factores de P(x) son todos lineales y algunos ceros son de multiplicidad mayor que uno. 2. Se empieza por asignar el signo (+) en el último intervalo y luego en los demás intervalos de variación se alternan los signos (). Si m es impar Cuando un factor esta elevado a un exponente impar los signos en los intervalos no se alteran INECUACIONES FRACCIONARIAS Los puntos críticos obtenidos del denominador siempre son “ABIERTOS”. Si m es par Cuando un factor esta elevado a un exponente “par” los signos de los intervalos no son alternados (se repite el mismo signo) 2. Se ubican dichos valores sobre la recta numérica (puntos críticos). INECUACIONES SUPERIOR Forma general: DE 2 ax  bx  c  0 ORDEN ó 2 ax  bx  c  0 CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER ESTE TIPO DE INECUACIONES 1.. INECUACIONES IRRACIONALES INECUACIONES CON RADICALES Para resolver inecuaciones con radicales se debe tener precaución con los signos sobre todo cuando eliminamos los radicales se requiere hacer un Av. (+).: 315018 19 . El coeficiente principal debe ser positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo miembro figure el cero. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. La solución de la inecuación estará dada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad es (>) o por las zonas negativas si el sentido de la desigualdad es (<). 3. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. | x  y |  | x |  | y | Desigualdad triangular.: 315018 .y  R y  0 6. Si: Nota: Observe que el índice radical es impar y cuando ello ocurre el conjunto de valores admisibles es todo R entonces la existencia de la expresión ya está garantizada solo nos quedaría transformar esta ecuación en otra equivalente para poder determinar su conjunto solución. si : x  0   x. |x| = |–x| xR 4. si : x  0  |x |  0. INECUACIONES EXPONENCIALES x y 1. |x| = 0  x = 0 Av.análisis del campo de variación de la variable contenida en el radical toda vez que la solución dependa de este campo. a  b  a  0  b  0  a  b 2 2. |x|  0 20 xR 2. PROPIEDADES: 1. TEOREMAS: 1. |x|2 = x2 xR 3. Si: a  0  b  0  ab    2 a  0  b  0  a  b 3.y| = |x|. 0  b  1  b  b  x  y VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “x” denotado por |x|. |x. x x  y y  x. b  1  b  b  x  y x a b0 a0b0 y 2. si : x  0  EJEMPLOS: * |3| = 3 * |–5| = – (–5)  5 Conclusión: El valor absoluto de un número real cualquiera será siempre positivo o cero. se define de la siguiente manera:  x.y  R 5.|y|  x. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. n  1 2  3  . n n  notación inglesa  PROPIEDADES: 1. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) de inferiores superiores Telf.B. |x|  y  x  y ó x  –y 3. |x|  y  y  0  –y  x  y 2. n!  n  n  1 ! 4. Combinaciones Complementarias: n n Ck  Cnk 5.. es decir no tiene solución. 3. 1  2  3      y 2! x  a NOTITA: Si: |x| = –a. |x|  |y|  (x+y)(x–y)  0 POTENCIACIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO: Es el producto de los “n” primeros números naturales y representados por el símbolo n! .. Degradación de índices: n  Ambos índices: Ck  n n 1 Ck 1 k  Solo índice superior: n n n 1 Ck  Ck nk  Solo índice inferior: n Ck  n  k 1 n Ck 1 k 4. |x| = a   6. iguales y decrecientes: Av.   n  1  n donde n  N  n  1 1. n  TEOREMA Si: Ck  Cp   k  p k  p  n n n 6.a  0 x  a 2. Cn  C 1 0 3. C1  n n 2. Si: a!  b! Se cumple que: a=b 5. Suma de combinaciones: n n n1 Ck  Ck 1  Ck 1 Simbologías: n!  Kramp  . |x|  |y|  (x+y)(x–y)  0 4. la ecuación es incompatible. 1 1!  2  2!  3  3!     n  n!    n  1 ! 1. Suma de C.: 315018 21 . Por convención: 0!  1 2. Por definición: 1!  1 3. Si: |x|=|y|  x = y ó x = –y 3! 4! n 1  1  n  1 !  n  1 ! ANÁLISIS COMBINATORIO: n n Ck  k nk PROPIEDADES: n INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) x  y   DEL n Telf. m   2m1  11.n 8.  m 0    2    4    6        m 1   2 m p .. n  x n1y n 2n 1 n n 1 T2do central   n1  x y m m m m m 1 10. y   T1er central  impares Donde: m  2n1  LOS TÉRMINOS T Y T’ EQUIDISTANTES  x  y n DEL DESARROLLO DE TEOREMA BINOMIO DE NEWTON TÉRMINO GENERAL  TEOREMA Si:  x  y n n  Tk 1  k x  n  n k y k n k n k T 'k+1   k  x y  Tk+1  k x SUMA n k k y 0k n .  m 0         m 2 m n  2 n 0 m 2 m 3 m m m 9.        n 1  .. mn    mn1   mn 2        nn    mn11 . x. y  n DE COEFICIENTES DE  x  y n En:  coef  x  y  n n  2 . n  7.  m    m    m    m        1 3 5 Donde: m   7 m m 1 TEOREMA x  y Si: . x.       n 0 m p 1 m p2 n 2 m 0 n p mn p 2n 1 n Observar:  2nn1   2nn11 pares          . Luego de hacer: x  y  1 TÉRMINO CENTRAL TEOREMA Si:  x  y  2n  2n  x n y n  Tcentral  n único 22 SUMA DE EXPONENTES DESARROLLO DE Av. Luego de hacer: x  y  1  coef  x  y  n  0 . Suma de equivalentes en la versión de complementos:  m mn  m1 m n 1  Donde: m.: 315018 .mn                2 m 1 m1 mn LOS TÉRMINOS CENTRALES . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) t Telf. siendo su orden 1 n A13  7 2 5  COLUMNA: Aquella matriz que tiene una sola columna. siendo su orden m  1. tienen en los mismos lugares elementos iguales: m n a b     p q  c d Es decir: m  a . sus elementos. el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna a1n   a11 a12   a a a 21 22 2n  A   aij   amn   am1 am2 El número total de elementos de una matriz A mn es mn. nb .  7    A 31   1   6  TRANSPUESTA: Dada una matriz A. El primer subíndice (i) indica la fila. Así. sí y solo sí. a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. q d TIPOS DE MATRICES Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma. Matrices Iguales: Dos matrices A  (aij )mn y B  (bij )pq Son iguales. el segundo (j) la columna. se llama transpuesta de A. siendo m y n números naturales. n 2 MATRICES Se llama matriz de orden "m n " a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en “m” filas y en “n” columnas. Exp       n  n  1 . El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño.: 315018 nm 23 . t Se representa por A ó A Si es A   aij  T mn Su transpuesta es A   a ji  Av. pc . reciben nombres diferentes: FILA: Aquella matriz que tiene una sola fila. También se denomina matriz unidad. a) Triangular superior: Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. . Diagonal principal: Son los elementos a11 . diciéndose que la matriz es de orden n.Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1.Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal 7 0 0    A  0 5 0   0 0  2  24 MATRIZ ESCALAR.. . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. ann Diagonal secundaria: Son los elementos aij con i  j  n  1 Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A  1 9 6    A3   0 2 1    2 4 5  Tr(A)  1 2  5  Tr(A)  8 MATRIZ DIAGONAL. A   2 4   3 4 7   5 7  MATRIZ NULA: Todos sus elementos son ceros: 0 0   0 0 MATRIZ CUADRADA. superior b) Triangular inferior: Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal.Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas.: 315018 .Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.. m = n. Es decir: 1 3 5    A   0 4 1  0 0 9  T.. a22 .  1 0 0  1 0   I  0 1 0 I2     0 1  0 0 1  MATRIZ TRIANGULAR. Es decir: Av..Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales 7 0 0   A  0 7 0  0 0 7  MATRIZ IDENTIDAD....1 3   1 2 5 t   A  . A=A n 2° I = I. Multiplicación de una Matriz por un escalar: Se define del siguiente modo: k  A  k   aij    k  aij  mn mn A  B   aik mp   bkj  pn son iguales IMPORTANTE Siendo A una matriz. C. se dice que una matriz es antisimétrica. inferior Matriz Simétrica: Si A es una matriz simétrica entonces está debe ser igual a su transpuesta. 3° Una matriz A se dice INVOLUTIVA si se cumple que A2 = I PROPIEDADES: Si A. Adición y/o sustracción de matrices: la condición necesaria y suficiente para que 2 matrices se pueda efectuar una adición o sustracción es que estas posean el mismo orden (m  n) . entonces AC=BC Av. 2. es decir: Si: A  A T  A es simétrica Matriz Antisimétrica: También llamada matriz hemisimétrica. ambas matrices cuadradas del mismo orden.3. no necesariamente A= ó B= Si AB = AC. se tiene: 1° 2° 3° 4° 5° 6° A(B+C)=AB + AC (A+B)C = AC + BC ABC = (AB)C = A(BC) Si AB=.I=I.  1 0 0   A  5 4 0  2 8 7  T.  son matrices que cumplen los requisitos para la adición y multiplicación. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. con n número natural.: 315018 25 . B. Operaciones con Matrices 1. entonces se verifica que: 1° A. es decir: Si: A   A T  A es antisimétrica NOTITA: Los elementos de la diagonal principal son ceros. e I una matriz identidad. no necesariamente B = C Si A = B. Multiplicación de matrices Dadas las matrices A y B existe le producto matricial A  B si y solamente si el # de columnas de A es igual a # de filas de B. si esta es igual a la negativa de su transpuesta. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. es la transpuesta de la matriz de cofactores de A.  A 1  1  A 3. A y  son m. A  0  Matriz Regular A 0  Matriz Singular Av. A 7° 8° A = A = . 2  A es matrices 2 6.  AB   B A 2. de igual orden Sean A y B matrices cuadradas no singulares: 1 1 1 1. (A  B)  A  AB  BA  B 2 Cofactor de un elemento: Si A es una matriz cuadrada de orden "n" el cofactor del elemento aij se denota por c ij y se define así: cij   1 26 i j Mij n– un cuerpo K. Adj  A   cofact  A  t MATRIZ INVERSA Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A n y la 1 representamos por A .  A   A 3.  A  B   A  B t t 2. es decir: NOTA: t MATRIZ DE COFACTORES Si A es un matriz cuadrada de orden "n" se define la matriz de cofactores de A y se denota por: Cofact  A  a aquella matriz que tiene por elementos a cada de los cofactores de los elementos de la matriz A.c.A2 = A . Si: A A idempotente Siendo A. A 1  A ADJUNTA DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz cuadrada A  (aij ) sobre 1 t 1. Si: A  I  A es involutiva 2 5. denotado por adj A . y es "singular si su determinante es igual a cero. B cuadradas.: 315018 . Si A y B son conmutables cumple: A  B  B  A t matrices se 2 4. a la matriz que verifica la siguiente propiedad: 1 1 A   adj A  A 0 A A 1 A  AA 1 I Decimos que una matriz cuadrada es "regular si su determinante es distinta de cero. La adjunta de A. : 315018 27 . 2. Av. Observación: Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor común este se puede sacar como factor común del determinante. Si un determinante tiene dos filas cuyos elementos correspondientes son proporcionales el determinante es nulo. Si todos los elementos de la fila son nulos el determinante es nulo. Si un determinante tiene 2 filas o 2 columnas iguales. 3. 6. Notación: det (A) ó A : Calculo de un determinante para: a) Matriz de orden dos: Dado: a12  a A   11  a a  21 22  det(A)  A  a11a22  a12a21 b) Matriz de orden tres: para este caso pueden emplearse las siguientes reglas: – Regla de Sarrus – Menores complementarios PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES 1. el determinante es cero.NOTA: Si: a b A   c d Se tiene: A 1  1  d b    A  c a  DETERMINANTE Definición: El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en una escalar. Si un determinante a los elementos de una fila o columna se les aumenta o se les resta los de la otra fila o columna paralela multiplicados por un mismo número el valor del determinante no varía. el valor del determinante no se altera. 5. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. Si en un determinante se cambian las filas por columnas y las columnas por filas. 7. Si en un determinante se multiplican o dividen todos los elementos de una fila o columna por un mismo número el determinante quedará multiplicado o dividido por este número. Si en un determinante se intercambian entre si dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo. El determinante de una matriz triangular superior o inferior (o puede ser diagonal) siempre es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 8. 4.  z  a2 b 2 d2 a3 b 3 d3 a3 d3 c3 Finalmente según la regla de Cramer la solución del sistema se obtiene así: y   .   d b c   a b c s 2 2 2 x 2 a3 b 3 c 3 2 2 d3 b 3 c3 a1 b1 d1 a1 d1 c1  y  a2 d2 c2 . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. El sistema es determinado: Si:  s  0 x y s compatible Las rectas son secantes Av. 1. Sea el sistema lineal: a1x  b1y  c1z  d1 a2x  b2y  c2z  d2 a3x  b3y  c3z  d3 llamaremos:  s  Determinante del sistema  x  Determinante de x 28 y  Determinante de y  z  Determinante de z Donde debe recordarse que: a1 b1 c1 d1 b1 c1 .: 315018 .SISTEMA DE ECUACIONES MÉTODO DE LAS DETERMINANTES: Este método permite emplear el concepto de determinante especialmente para la resolución de aquellos sistemas en donde existen 3 ó más incógnitas mediante un conocido procedimiento llamado la regla de Cramer Regla de Cramer: En todo sistema lineal de “n” ecuaciones con “n” incógnitas el valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y el numerador es este mismo determinante en el que se ha reemplazado la columna de los coeficientes de la incógnita por los términos independientes es decir por aquellos términos ubicados en el segundo miembro de cada ecuación. z z x x : y s s s ESTUDIO DE LAS RAÍCES EN LOS SISTEMAS LINEALES: Sea el sistema: a1x  b1y  c1 a2x  b 2y  c2 Por la regla de cramer: x x s . b   A  B / a  A y b  B Si R es una relación de A en B. es decir: n A  B  n A   nB RELACIÓN BINARIA Definición. se denota así: R R : A  B .: 315018 29 . Si: (a. (a . es decir: Dom  R    x /  x . y   R RANGO DE R Es el conjunto que tiene por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación. El número de elementos del producto cartesiano de A  B es igual al producto del número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B. b) donde: a : primer componente.n)  am bn PRODUCTO CARTESIANO Definición.  R  A  B  es decir: R:A  B   a.. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN DOMINIO DE R Es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación.Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama Relación R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A  B definida por una cierta condición o proposición. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. A  B Donde al conjunto A se denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada. b : segundo componente. b)  (b .b   A  B / a  A y b  B PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO: I. El sistema será incompatible o absurdo: Si:  s  0 y  x  0 ó  y  0 Las rectas son paralelas 3... El sistema será indeterminado Si:  s  0 y  x   y  0 Las rectas son coincidentes RELACIONES Definiciones Previas: Par Ordenado. ó .2. es decir: Av.Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama Relación R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano AB definida por una cierta condición o proposición. a) 2. El producto cartesiano de A por B no es conmutativo: A B  B A  En particular: A B  B A  A  B II.Es un conjunto de dos elementos que guardan un orden denotado de la forma (a. Propiedades: 1.b)  (m.  R  A  B  es decir: R:A  B   a. y  O A(x1. analizar todos los valores posibles que pueda tomar la variable “x” de manera que y  R. RANGO: Aislar la variable “x”.a) pertenece a “R”: Es decir “R” es SIMÉTRICA  (a. y   R  a. 2.: 315018 .y 1) (x 2 x 1) Y 2 Segunda Componente u Ordenada x1 X x2 X Av. GEOMETRÍA ANALÍTICA SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Este sistema está constituido por un plano y dos copias de la recta Real perpendiculares entre sí.c)  R.Ran  R    y /  x . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación de EQUIVALENCIA si es reflexiva. RELACIÓN SIMÉTRICA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación SIMÉTRICA si  a. analizar todos los valores posibles que toma la variable “y” de manera que x  R. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean: A  x1. El punto de intersección de estos dos ejes coincide con el CERO de ambos ejes.c)  R  (a. si para todo A el par ordenado  a.x 2  y B  x 2.b)  R  (b.b)  R  (b.  b. c  A (a. CLASES DE RELACIONES: 1.b   R implica (b. implica 4. simétrica y transitiva a la vez. b.c   R . RELACIÓN REFLEXIVA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación REFLEXIVA.y 2   Y B(x 2 .c   R Es decir “R” es transitiva si  a.a)  R 3.b   R . RELACIÓN TRANSITIVA: Sea “R” una relación en “A” diremos que “R” es una relación TRANSITIVA si tenemos  a. DOMINIO: Aislar la variable “y”. Calculo del DOMINIO y RANGO de una relación de R en R. y 2 ) (y 2 y 1) y2 Primera Componente x: o Abscisa y y: 30 x C y1 P  x.a   R . y 3  S M x.Sean: A  x1.: 315018 31 . que: .y 2   2  x  x 2  x 3 y1  y 2  y 3  G 1 . entonces se tiene que: ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR: Sean A   x1.y 1  y B  x 2 .Sean los puntos: P  x1.Sean: A  x1.DE UN TRIÁNGULO: En el triángulo rectángulo ABC. B   x 2. y 1  Igualdad de Pares Ordenados.  3 3   ..y 1  entonces B  x 2 . y1 X  x  x 2 y1  y 2  M 1 . siendo “S” su área. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. y  x1 1 x2 2 x3 y1 1 y2 1 y3 1 x C Se debe tomar el valor absoluto del determinante ECUACIÓN DE LA RECTA P  x1.y 3  los vértices de un triángulo cualquiera dado. Av.   2 2  COORDENADAS DEL BARICENTRO ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Es el ángulo formado por el eje “x” y la recta medido en sentido antihorario. Si M x. O Área del triángulo Q  x 2.y 2  y C   x 3 .y 2  y se 2  tiene A  B  x1  x 2  y1  y 2 Suma de Pares Ordenados. mediante el teorema de Pitágoras se tiene: B  x 2 . entonces: y A  B   x1  x 2 . y1 A y Q  x 2.y1 .y 2   d(A.B)  G  x 2  x1  2   y 2  y 1  2 A  x1. y 2  Y C  x 3 . y 2  . y 1  y 2  B Punto Medio de un Segmento.B) 2   x 2  x12   y 2  y12  d(A. y  el punto medio del segmento PQ. b  m1  Tg60  3 m 2  Tg120   3 Teniendo dos puntos de una recta se puede hallar la pendiente y de toda recta. I.y1   x.y y   x x LA RECTA: Es un conjunto de puntos tal que al tomar dos puntos cualesquiera la pendiente es constante.y 2  Punto móvil  x1.y  x y  y1 m 2 x 2  x1 32  m  Se tiene:  m   Av.0  x III. Ecuación Pendiente – Intercepto con el eje “y” y 0    180 L : y  mx  b  0.y2   x1. Forma Cartesiana y  x2 .b  PENDIENTE DE UNA RECTA (m) Es un número real que se obtiene al calcular la tangente de dicho ángulo: m  Tg y y L1 L2 120  60  x x L x m II. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) y  y1 x  x1 y 2  y1 x 2  x1 Telf.: 315018 . Ecuación Simétrica: y x y L:  1 a b  0. usando m= x  a.y1  x 2. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.y  y1 y 2  y1  x  x 1 x 2  x1 FORMA GENERAL Es decir de L : Ax  By  C  0 Si: L1 / /L2  m1  m2 la forma: RECTAS PERPENDICULARES Rectas perpendiculares (no son los ejes cartesianos) y  A. B y C son coeficientes no todos nulos a la vez  La recta es horizontal cuando A0 y B0  La recta es vertical cuando B0 y A0  La recta es oblicua cuando: A  0 y B  0 de pendiente A m B y L B L1 L2 x  Si: L1 / /L2 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA y P1(x1.y1) (y 2  y 1) d  A (x 2  x 1) m1  m2  1 L : ax  by  c  0 x x L : ax  by  c  0 PROPIEDADES RECTAS PARALELAS y d  P1.y 1) ax1  by 1  c 2 a b 2 INTERSECCIÓN DE RECTAS.: 315018 33 .La intersección de las rectas  L1 : a1x  b1y  c1  0  x L2 : a2x  b2y  c2  0 Av.L   L1 L2 P(x1. Menor Angulo entre dos rectas L2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación que tiene la forma: 2 m 2  m1 1 m1  m 2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que se encuentran a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano. E/2  1 2 2 D  E  4F 2 que se cumpla Radio  r  Siempre condición: 2 la 2 D  E  4F  0  Recuerda: P  x.P)  r  (x  h)2  (y  k)2  r 2 A esta ecuación se conoce como la Ecuación Ordinaria o Forma Ordinaria de la ecuación de una circunferencia. (II)  a2 x  b 2 y  c 2  0  Po (x o . Distancia entre Rectas Paralelas L1 : Ax  By  C1  0 d L2 : Ax  By  C2  0 d C1  C 2 2 A B d(C. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Exterior Telf. OBSERVACIÓN: La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuación: 2 2 x y r 2 V.y  C  h.: 315018 .. (I)  a1x  b1y  c1  0  ...y o )  L1 L 2 IV.y o ) el cual se hallará resolviendo el sistema de ecuaciones: ....será un punto Po (x o . k 34 2 Donde: L1 y “Forma Canónica” x  y  Dx  Ey  F  0  Tg  2 Centro   D/2 .k  Secantes Tangentes Av. Al punto fijo se le llama Foco y a L se le llama Directriz.k) V p L: x  hp .Y L X Y L L V L V F p0 F R p0 X R X Av. La parábola es el conjunto de puntos tal que la distancia de dichos puntos a F y a L son iguales.L) pero Y p0 L e 1 F R L V  d  P. y) L p F R V(h. k) . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.L  donde: e: excentricidad Ecuacion de la Parabola con Eje Focal Paralelo al Eje "x". Elementos: V : Vértice F : Foco LR : Lado Recto p : Parámetro L : Directriz L1 : Eje Focal d(P.: 315018 35 . Y L L p0 F V R X L1 2  :  y  k   4p  x  h  P(x.Y ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Dada una recta L y un punto fijo F  L.F   d  P.F) e d(P. LR  4 p F(h  p . L X Ecuación de la Parábola con Eje Focal Paralelo al Eje "y". k) L: y  k p .y  . c  ae Elementos: Forma General: 2 x  Dx  Ey  F  0 Eje Focal / / al eje " y " (o coincidente con el eje Y) C : Centro V1 y V2 : Vértices F1 y F2 : Focos L1 y L 2 : Directrices L' : Eje Focal V1V2 : Eje Mayor y  Dx  Ey  F  0 Eje Focal / / al eje " x " (o coincidente con el eje x) Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "X".L1) d(P. V(h  a.F1) d(P. Collasuyoa O-17 (Detrás de la UNSAAC) X V2 B2 d(P.F2)  2a donde: e: excentricidad F2 C una constante “2a” (a es el radio mayor de la elipse d(P. k  p) .F2 )  e d(P. e Av.- ECUACIÓN DE LA ELIPSE La elipse se define como el conjunto de puntos P  x. tales Y L1 F1 a/e L1 E: L V1 F1 R 36 L2 B1 b a C c F2 V2 B2  x  h 2 a 2  X  y  k 2 b 2 1 C(h.2  :  x  h   4p  y  k  V(h. LR  4 p F(h . B(h.k) . F 2 es igual a Y LR : Lado Recto B1B 2 : Eje Menor 2 LR  2b a 2 Telf.k) . k  b) L: x  h  a .L 2 ) 0  e 1 L2 B1 V1 que la suma de las distancias de P a los focos F1 .k) F(h  c.F1)  d(P.: 315018 . . F es una función de “A” en “B” si y solo si para cada x  A existe a lo más un elemento y  B tal que el par (x. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Fig. 2 Telf. Rango.Denominado también imagen o contradominio.Dados dos conjuntos no vacíos A y B. es el conjunto de todos los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. DOMINIO Y RANGO DE X UNA "F es una función" Av. La igualdad mostrada: y  F(x) Propiedad Geométrica: Una relación F   .. Es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Fig.Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "Y".Denominado también pre-imagen.k) L:y  k  X FUNCIÓN.k) a e Dominio. B(h  b.- Y L2 V2 F2 B1 C B2 F1 V1 E: (y  k) a 2 2  L1 (x  h) b 2 2 1 .y)  R  R / x  Dom(F)  y  F(x) C(h.k  a) F(h. y)  F . F  (x. es una función real de variable real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de F a lo más en un punto. LR  a La igualdad mostrada: y  F(x) nos expresa la regla de correspondencia de la función real F.. es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B. 1 Y F nos expresa la regla de correspondencia de la función real F. 2 FUNCIONES Definición. 2b .k  c) . V(h.: 315018 Y G 37 . Regla de correspondencia de una función. 2do. Ejemplo: Sea la función F cuya gráfica es: Y X decir: Inyectiva puesto que a cada elemento del rango le corresponde solo un elemento del dominio.Analicemos a la función G definida por el diagrama sagital. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Horizontal Telf.2  .  2.  4 . 1er.: 315018 X .  3. es Ejemplo 2: 1 Reconocemos que es una función Inyectiva.1 . G B A 1 2 3 4 CLASES DE FUNCIONES: FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE: Una función F es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. 38 2 Horizontal F    1. Ejemplo: Sea la función G cuya gráfica es: Y Av.4  .1 .1 . no es Inyectiva.3  .3  .2  .  3. F A 1 2 3 4 Es 1 2 3 4 B 3 G    1. entonces toda recta horizontal debe cortar a su gráfica en un solo punto. pues el elemento “1” del rango le corresponden dos elementos del dominio: "2  4 " RECONOCIMIENTO GRÁFICO: Si F es una función real de variable real Inyectiva. dado que la recta horizontal mostrada corta a su gráfica en sólo un punto.  2. Ejemplo 1: Sea la función numérica F representada por el diagrama sagital.  4 . FUNCIÓN CONSTANTE: Se simboliza por C. dado que la recta horizontal mostrada corta a su grafica en más de un punto. x 2  Dom  F  . F  x1  F  x 2   x1  x 2 FUNCION SURYECTIVA. se cumple la x relación. 2. FUNCIONES ESPECIALES 1. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.Su gráfico es una recta que pasa por el origen y es bisectriz del primer cuadrante (forman 45º).Dom  I   Av. Reconocemos que no es una función Inyectiva.Dom C  . Su regla de correspondencia es: C  x   k es decir: F x   k   .Ran  C   k .Ran  I   .. FUNCIÓN IDENTIDAD: Se simboliza por I. Su regla de correspondencia es: I  x   x es decir: y yk F x   x x .: 315018 39 .Su gráfica siempre es una recta horizontal (paralela al eje x). SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA Una función F es suryectiva si el rango o imagen de f coincide con el conjunto de llegada B es decir: Rango  F   B FUNCION BIYECTIVA Una función es biyectiva si esta es inyectiva y suryectiva a la vez. y yx 45º DEFINICIÓN PRÁCTICA Una función F es Inyectiva si para cada: x1. se define: 3 x  y  y  x  y 1 . x0 x .Regla de correspondencia: F x   y  x 6. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA: .Ran  F   y x 40 Av.Dom  F    0. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) y  x x Telf.Regla de correspondencia: F x   y  x .Dom  F   .Dom  F   3 yx 3 . FUNCIÓN CÚBICA: .Donde x .  .: 315018 .  . FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Se simboliza por .Gráfica: y  x y . Su regla de correspondencia F  x   y  x es decir:  x .Dom  F   y .Su gráfica: y  x es: y x x y  x yx x x 4.Gráfica: y  x y . FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO: .  .Ran  F    0. x  0  5.Ran  F   .Regla de correspondencia: F x   y  x .3.Símbolo: .Ran  F   y   0. x0  y x  0 . Regla correspondencia: f  x   f  x  . FUNCIÓN PAR: Es el conjunto de ordenados  x.Regla de correspondencia: f  x   f  x  . debe verificarse que: F  x   y  Sgn  x  F   x   F  x  .. la función cambia de signo. x  0  1. x  0  y  Sgn  x   0.f  x   cuales se verifica: .Gráfica: se caracteriza por ser simétrica respecto al eje "y". y Es decir:  1.: 315018 41 . FUNCIÓN IMPAR: Es el conjunto de pares ordenados  x.Símbolo: Sgn . Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) f  x   Sen x Telf.0.Regla de correspondencia: Si F es una función Par.  x  Dom  F    x  Dom  F  Se reconoce gráficamente por su simetría al eje Y.1 .Dom  F   pares en los de 9.Dom  F   3 Ejemplos: f  x   x 1 f x   x Av. FUNCIÓN SIGNO: . . Ejemplos: f  x   x 2 4 f x   x f  x   Cos x 7.Dom  F   .Ran  F     1. x  0  .f  x   en los cuales se verifica que cuando x cambia de x a –x.Gráfica: P F x  F x  x x x y 1 y  Sgn  x  x 0 1 8. y  / y  F  x   G  x  x  F Dom    Dom  F   Dom  G   G  x   0 G COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales F y G . y  / y  F  x   G  x  F x  Dom  F  G   Dom  F   Dom  G  x x x F  x  II. es la función cuyo Dominio consiste en los elementos: x  Dom  G  tales que G  x   Dom  F  .  x  Dom  F    x  Dom  F  Se reconoce gráficamente por su simetría respecto al origen “O” de coordenadas. Multiplicación: F  G    x . x    Ran  F   0 .Si F es una función Impar.. su regla de correspondencia viene dada por: y  F(x)  U(x) Es decir: 0 .: 315018 . la composición de F con G denotado por F G y que se lee: F compuesta con G. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: Se simboliza por “ U ”. de la siguiente manera: I. Sustracción: F  G    x .. Multiplicación y División. debe verificarse que: F   x   F  x  . y  / y  F  x   G  x  Dom  F  G   Dom  F   Dom  G  10. División: F  F x     x . se definen cuatro operaciones: Adición. cuya regla de correspondencia es: 42 Av. 1 Su grafica es: y 1 0 III. Sustracción. y  / y   G  G x   . Adición: F  G    x . y ÁLGEBRA DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales F y G cuyas reglas de correspondencia son: F  x   G  x  . x  0 y  U x    1 . x  0 Donde: Dom  F   Dom  F  G   Dom  F   Dom  G  IV. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. FUNCIÓN INVERSA   Ran  F  1   Ran F  Dom  F  1 1 III. F F función 1 1 1 IV. se define función Inversa denotado por: F su 1 . Dom  I   Ran  F  V. y  / x  Dom  F  . LOGARITMOS Definición: Número  log b N = x logaritmo  Base 2. F G   x   F G  x   Donde: Dom  F G    x  F Donde: Además: Ran  G   Dom  F    Observación: a) La composición de funciones no es conmutativa. 3. no existe logaritmo de números negativos. El logaritmo de la unidad en cualquier base es cero: logb 1  0 5.  F G   G F Inyectiva. de la siguiente manera. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.  PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA FUNCIÓN INVERSA I. En el campo de los números reales. logb N logarítmica N 4. La base de un logaritmo debe ser siempre positiva y diferente de la unidad.: 315018 43 . La aplicación admite Inversa F : A  B . F . F GG F     y . F F  I .x  / x  Dom  F  Dom  F / x  Dom  G   G  x   Dom  F  F GG F 1 si: FG Dada una función Inyectiva F y su inversa F  F1  1 1 1 se cumplen:  F Inversa de Inversa  I . El logaritmo de la base será siempre igual a la unidad: Av. * ó. Identidad fundamental: x b b N Nota: b0 b 1 N 0 Propiedades: 1. Dom  I   Ran  F  Sea F una función Real definida por: F    x . si F es una II. es decir: b) En particular. Logaritmo de un cociente A logb    logb A  logb B B 8. logb a  nlogb a log b A  log 9. el resultado es igual al logaritmo dado. Importantes: 1. si se eleva a la base y al número a una misma potencia "n" cualquiera. Todo logaritmo decimal tiene 2 partes:  Una parte decimal llamada: MANTISA. También si sacamos una misma raíz al número y a la base el resultado no se altera. decimales o de Briggs. Logaritmo de un Producto: logb (AB)  logb A  logb B 7. Regla de la cadena: logb N logN b  1 12. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. logbN . Logaritmo de una potencia n número de este con el que hace de base. Cambio de base: log x N logb N  log x b 11. Cologaritmo cologb N   logb N 15. donde b = 10 Se denota por: log N. Sistema de Logaritmos Vulgares. Antilogaritmo  antilogb x  b 10. x logba = alog bx 13. Si un número tiene como exponente a un logaritmo y se intercambia simultáneamente el 44 x logb antilogb x  x SISTEMAS DE LOGARITMOS. Logaritmo cuya base es una potencia: logb A  logn 1 log n A  logb A b n log n a a m m  n b n b A n n A 14. Av. En todo sistema de logaritmos. la expresión no se altera.logb b  1 6.: 315018 . Corta el eje y. en el pto. Representación Gráfica y  Dom  f   a2. x y x dando x 1 0 0 x Conclusiones: – Dom exp   1 2  0. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) 0  Características: .Es creciennte .No corta al eje x F x   a  a  1 I Caso: Cuando a  1: y  F  x   a   Ran  f   1  Dom  f    Ran  f   1 2 4 8 …  x F x   a  a  1 Av.Es decreciennte . donde "x" variable independiente. – Es un función inyectiva. logbN.1 . y por consiguiente posee inversa. Se denota por: ln N Función Exponencial Es aquella función que tiene la x forma: y  a . Asumiendo valores. Una parte entera llamada: CARACTERÍSTICAS: Así : log N = ab. cdef Característica : ab Mantisa : chef  La MANTISA se determina mediante las tablas logarítmicas. (asumiendo a  1/2 ) y  F x   a x x  …  3  2  1 0 1 2 3 …  y  … 1 2 1 4 1 … 8 8 4 2 y 1 4   Ran  exp     3  2  1 0 1 2 3 …  1 8 Características: .  0. .  x  Dom  exp  II Caso: 0  a  1. donde : b = e (épsilon) e  2. en el pto.1 .4 En general la representación gráfica cartesiana de la función exponencial. Sistema de Logaritmos Neperianos o Naturales.Corta el eje y.  La característica del logaritmo de un número con "n" cifras enteras es (n–1). la función y  a es positiva para todo valor de "x".:1 315018 45 . "y" variable dependiente y la base "a" una constante.71828182 .  0.  – En una función creciente:  x  Dom  exp  (en todo su x dominio). . – En una función continua. 2.No corta al eje x Telf. x x Ejm: y  2 . y  0. y por consiguiente posee inversa. – Dom exp   Ran  exp     0.: 315018 . – Es una función inyectiva. II Caso: 0  a  1 (asumiendo a  1/2 ) x  … y  …  3  2  1 0 8 4 2 1 1 1 2 4 1 2 1 … 0 8 3 …  y 1 1 1 1 2 4 8 …  8 4 2  …  3  2  1 0 1 2 3 …  0  y I Caso: a  1 (asumiendo a  2 ) x  – Dom exp   y  loga x  0<a  1 2 1 2 4 8 x y  loga x  a  1 2 1 2 46 4 8 x Av.  – En una función decreciente: (en todo su  x  Dom  exp  dominio).0  – No corta al eje "y".  x  Dom  exp  Función Logarítmica Es la función que tiene la forma: x y  log a . la función y  a x es positiva para todo valor de "x". Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf. – En un función continua. en el punto  1.  y  loga x  xa y … y Ran  exp   – En una función  x  Dom  exp  creciente: – Corta al eje x. la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. .  a1 .. creciente: PROGRESIÓN PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.. r = razón. Sn = Suma de los “n” primeros términos.G. Sea la P.. 3.  2a  (n  1)r  S n=  1 n 2    a1.A.n 2   an1. an r  an  an1  4.. a3 .. a1.0  – No corta al eje "y". Fórmula para hallar un término cualquiera: an  a1  (n  1)  r 2.A. a20 1. Sea: P.. de un número impar de términos el tc es igual a la semisuma de los extremos: a  an tc  1 2 En una progresión de 3 términos el segundo término es media aritmética de los otros dos. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.) Símbolos: a1 = primer término.– Dom exp     Ran  exp   – En una función  x  Dom  exp  – Corta al eje x.a3 a1  a3 2  a  an  S n=  1  ..A. en el punto  1.. a2.: 315018 47 ..A. n = # de términos.. tc = término central.. Fórmula para hallar la suma de los “n” términos: Notación de una P. En una P. an = término enésimo. Interpolación de medios aritméticos o diferenciales entre dos números dados.A.) Símbolos: t1 : primer termino tn : termino enésimo q : razón n : número de términos Sn : Suma de “n” términos Av.a2. a n " m " medios aritméti cos an  a1 r= i m1 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (P. .. Fórmula para hallar la suma de los “n” términos: n t  q  t1 t (q  1) Sn  n  Sn  1 q 1 q 1 4.Pn : Producto de “n” términos Notación de una P.G..t 3 3.. Sea: t 1 : t 2 : t3  t2  t1......... En una progresión de un número impar de términos el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. Límite suma de los términos de una P. : tn-1 : tn q tn t n 1 Lim S = t1 1 q 5.. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.. Interpolación de medios geométricos: Sea: t1..t n "m "medios geométri cos 1. decreciente ilimitada: 48 Av... de 3 términos el segundo término es media geométrica entre el primero y el tercero..G..G.. Fórmula para hallar un término cualquiera: n1 t n  t1  q t qi  m1 n t1 2.  t1 : t2 : t3 : .....: 315018 .t n En una P..... t central  t1.