Formulario Antisismica Maverick

FORMULAS DE DERIVADAS(𝑒 𝑢 )′ = 𝑒 𝑢 𝑢′ 𝑆𝑒𝑛𝑢′ (𝑢. 𝑣)′ = 𝐶𝑜𝑠𝑢′ 𝑢′ . 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ 𝑢′ 𝑙𝑛𝑢´ = 𝑢 FORMULAS DE INTEGRALES = 𝑢′ 𝐶𝑜𝑠𝑢 = −𝑢′ 𝑆𝑒𝑛𝑢 𝑆𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥= −𝐶𝑜𝑠𝑥 Es llevar el modelo real a uno matematico para ello existen 03 metodos. 𝐶𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥= 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑢′ 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑢′ = 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑢 𝑢 UNASAM INGENIERÍA ANTISÍSMICA I . IDEALIZACIÓN MATEMÁTICA 𝑥𝑆𝑒𝑛2𝑥 − 2 4 𝑥 𝑆𝑒𝑛2𝑥 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = + 2 4 𝑆𝑒𝑛𝐴 ± 𝐵 = 𝑆𝑒𝑛𝐴 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵 ± 𝐶𝑜𝑠𝐴 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵 MODELO DE MASA CONCENTRADA MMC 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ; 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0 𝑙𝑛𝑎 Integración por partes 𝑈𝑑𝑉 = 𝑈𝑉 − II . PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DINÁMICO II.1. FORMULACIÓN DE LA EDM Las incognitas son los GDL din - Existen 03 metodos para la formulación de la EDM 𝑉𝑑𝑈 A. METODO GENERACIÓN DIRECTASe realiza un equilibrio Dinámico F principio de Alambert SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALE DE 2do ORDEN 𝑟1,2 = −𝜁𝜔 ± 𝜔𝐷𝑖 𝑒𝑎𝑡 𝑒 −𝑏𝑡 𝑟1 = 𝑎𝑖 𝑟2 = −𝑏𝑖 𝐶𝑜𝑠𝑎𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑏𝑡 𝑟1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑟2 = −𝑐 − 𝑑𝑖 𝑒𝑎𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑏𝑡 𝑒 −𝑐𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑑𝑡 Por: Maverick Aguirre Jara 𝑟1 = 𝑎 𝑟2 = 𝑎 0 ; SOLUCIÓN GENERAL Sol. Fundamt 𝑒𝑎𝑡 𝑡𝑒 𝑎𝑡 𝑥(𝑜) 𝑥(𝑜) X (P) 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑃(𝑡) Si 𝑃(𝑡) = 𝑎𝑥 Sol. Fundamt 𝑟1 = 𝑎 𝑟2 = −𝑏 Raices Iguales condiciones iniciales 𝑡= + 𝐵𝑒 −𝜁𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡 Raices Imaginarias Sol. Fundamt 𝜔𝐷= 𝜔 1 − 𝜁 2 𝑖 Pag - 16 𝐴𝑒−𝜁𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠𝜔𝐷 𝑡 Raices Imaginarias Sol. Fundamt Solución imaginaria 𝑟1,2 = −𝜁𝜔 ± 𝜔 1 − 𝜁 2 𝑖 𝑒−𝜁𝜔𝑡 𝑆𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡 Raices Reales 𝑟1,2 = −𝜁𝜔 ± 𝜔 𝜁 2 − 1 𝑟1,2 ∶ 𝑟2 = −𝜁𝜔 − 𝜔𝐷𝑖 −𝐵 ± 𝐵2 − 4𝐴𝐶 𝑟1,2 = 2𝐴 𝜆2 + 2𝜁𝜔𝜆 + 𝜔2 = 0 En Ing. Civil ζ < 1 Э vibración ζ < 20% 𝑒−𝜁𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠𝜔𝐷 𝑡 A y B dependen de las SOLUCIÓN GENERAL X (H) 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 𝑥+ 2𝜁𝜔𝑥 + 𝜔2 𝑥 = 0 𝑋(𝐻) : 𝑟1 = −𝜁𝜔 + 𝜔𝐷𝑖 𝑋(𝑃) = 𝐴𝑥 ; 𝑋(𝑃) = 𝐴 ; 𝑋(𝑃) = 0 ma Se formula la EDM transformando el prob. Din. en un prob. Tipo statico, para el cual se usa el SIST. LIBRE SIN AMORT. SIST. LIBRE CON AMORT. MODELO DE MASA DISTRIBUIDA MMD 𝑎𝑥 FORMULARIO DE INGENIERÍA ANTISÍSMICA Por Maverick Aguirre 𝑋(𝑡) = 𝐴. 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵. 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 MODELO DE ELEMTOS FINITOS MEF 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝐴 ± 𝐵 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵 ∓ 𝑆𝑒𝑛𝐴 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 𝐶𝑜𝑠𝐴 + 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 2𝑆𝑒𝑛 𝐶𝑜𝑠 2 2 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝐵=1 𝐴 1 − 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑆𝑒𝑛 = 𝑆𝑒𝑛2𝐴 = 2𝑆𝑒𝑛𝐴 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐴 2 2 𝐶𝑜𝑠2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 − 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 1 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝐴 𝐶𝑜𝑠2𝐴 = 1 − 2𝑆𝑒𝑛2 𝐴 2 𝑋(𝐻) = Por: Maverick Aguirre Jara 𝑆𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 𝑥+ 𝜔2 𝑥 = 0 𝑋(𝐻) : 𝜆2 + 𝜔2 = 0 𝑟1 = 𝜔𝑖 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑟2 = 𝜔𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 Modelo real ING. CIVIL 𝐹= 𝑚𝑎 𝐹− 𝑚𝑎 = 0 𝐹 + 𝐹𝐼 = 0 𝐹𝑥= 0 B. METODO TRABAJO VIRTUAL Consiste en aplicar el principio de trabajo virtual generado por un desplazamiento virtual en dirección de la configuración deformada. 𝐹: Fza externa 𝑚𝑎 : Fza efectiva −𝑚𝑎 : Fza de inercia −𝑚𝑎 = 𝐹𝐼 x : Desplazamiento real dv : Desplazamiento virtual C. PRINCIPIO DE HAMILTON Genera la EDM en base a una ecu. Definida, por lo que es necesario definir los tipos de fzas que pueden ser: conservativas o no conservativas Fza conservativa: cuando actua tratando que la estructura recupere su forma inicial. (fza restitutiva) Fza no conservativa: cuando se encarga de generar una deformación permanente en la estructura Fza que disipa energía (fza de amortiguamiento) II.2. SOLUCIÓN DELA EDM Consiste en det. inicialmente la Rpta dinamica a nivel de los desplazamientos A. METODO PASO A PASO La solución se da por un proceso iterativo aplicando la teoria de diferencias finitas Generalmente se usa en un analisis sismico no lineal. Reemplazar en EDM B. METODOD DEL DESACOPLAMIENTO Transforma un sistema de m gdl a m problemas de 1 gdl y se resuelve por matrices La respuesta dinamica se puede deteminar en función del tiempo (t) ola frecuencia (f) Rta Din Metodo x Tiempo ∫ Duhamel x Frecuencia Fourier Pag - 01 Determinar Epmax 𝜁 ∶ Coeficiente de Amortiguamiento 𝜔𝐷 = 𝜔 1 − 𝜁 2 1 𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑍𝑚𝑎𝑥 𝑔 2 𝑙 0 𝑚(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 3. SIST.CAPITULO II DET.2. SIST. DEFLEXIÓN ESTATICA 𝜓(𝑥) Equivale a la elastica generada por su peso propio 𝑋(𝑡) = ℮−𝜁𝜔𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝐷 𝑡 − 𝜃) 𝐶𝑐𝑟 = 2𝑚𝜔 𝑙 𝑚 𝜓 𝑑𝑥 0 (𝑥) (𝑥) 𝑙 𝑍𝑚𝑎𝑥 0 𝑚(𝑥) 𝜓 2𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝜔2 = 𝑔 𝑙 𝑚 𝑌 𝑑𝑥 0 (𝑥) 𝑑(𝑥) 𝑙 𝑚 𝑌 2 𝑑𝑥 0 (𝑥) 𝑑 𝑥 𝐶 = 2𝑚𝜔𝜁 Pag . LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTOLa Solucion es X(t) = XH 𝜔2 = 𝐾∗ = 𝑚∗ 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 𝑥 + 𝜔2 𝑥 = 0 𝐾𝑖 Δ𝜓𝑖2 𝑚𝑖 𝜓𝑖2 Solución de la EDM 𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑜) 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑋(𝑜) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔 2 𝑋(𝑜) + 𝜌= 𝑋(𝑜) 𝜔 2 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑋(𝑜) 𝜔𝑋(𝑜) 𝑋(𝑡) = 𝜌cos(𝜔𝑡 − 𝜃) 𝑋(𝑚𝑎𝑥) = 𝜌 1. Determinar Ecmax 𝑋(𝑡) = ℮−𝜁𝜔𝑡 𝑋(𝑜) 𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷 𝑡 + 𝑚𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 𝑥 + 2𝜁𝜔𝑥 + 𝜔2 𝑥 = 0 𝑋 𝑜 + 𝜔𝑋(𝑜) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡 𝜔𝐷 1 2 𝐸𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2 𝑍𝑚𝑎𝑥 2 𝑙 0 𝑚(𝑥) 𝜓 2𝑥 𝑑𝑥 2. LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO La Solucion es X(t) = XH DEFLEXION ESTATICA 1. Consevación de energia Ecmax = Epmax 2 𝜔 = 𝑌𝑑(𝑥. DE 1 GDLdinámico RAYLEIGH CASO PARTICULAR SISTEMAS DISCRETOS 1. DE LA RTA.𝑡) = 𝜓(𝑥) 𝑍𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜁= 𝐶 𝐶𝑐𝑟 𝜌= 𝑋 𝑜 − 𝜁𝜔𝑋(𝑜) 2 𝑋(𝑜) + 𝜔𝐷 2 𝑌𝑑 𝑋(𝑜) − 𝜁𝜔𝑋(𝑜) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔𝐷 𝑋(𝑜) 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝜓(𝑥) 𝑍𝑚𝑎𝑥 ECU. DINÁMICA PARA SIST. SISTEMAS LIBRES 1.1.15 .02 Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara Pag . CON AMORTIGUAMIENTO 𝑌1(𝑥.𝑡) = 𝜓1(𝑥) 𝑍1(𝑡) 𝑌𝑜(𝑥. Determinar la Ecmax 1 2 𝐸𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2 𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥 2 𝑙 0 𝑚(𝑥) 𝜓𝑜2 𝑥 𝑑𝑥 5. Determinar la Epmax 𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑙 1 2 2 2 𝜔 𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥 𝑍1𝑚𝑎𝑥 2 0 𝑚(𝑥) 𝜓𝑜(𝑥) 𝜓1(𝑥) 𝑑𝑥 6. Realizar procesos iterativos hasta el paso 6 𝜔2 = Pag . Determinar Epmax 𝑙 1 2 𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2 𝑍𝑚𝑎𝑥 2 0 2 ´´ 𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑋1 𝑋𝑛 = 𝐿𝑛 𝑋2 𝑋𝑛+1 𝑡2 = 𝑡1 +𝑡𝐷 = 𝑡1 + 3. Consevación de energia Ecmax = Epmax 𝑌(𝑥. RAYLEIGH MODIFICADO = 𝑙 𝑚 𝜓2 0 (𝑥) 𝑜 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 𝑚 𝜓 𝜓 𝑑𝑥 0 (𝑥) 𝑜(𝑥) 1(𝑥) 7.𝑡) 𝐹𝐼 = −𝑚(𝑥) 𝜔2 𝜓𝑜(𝑥) 𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑋1 2𝜋𝑚𝜉 = 𝑋𝑚 1 − 𝜉2 3. Determinar Ecmax 𝐸𝑐𝑚𝑎𝑥 DECREMENTO LOGARITMICO 𝑙 1 2 = 𝜔2 𝑍𝑚𝑎𝑥 2 0 𝑚(𝑥) 𝜓 2𝑥 𝑑𝑥 Decremento log (δ) Se utiliza para determinar el amortiguamiento de una estructura consecutiva Es el Ln de 2 amplitudes consecutivas en un mov. Determinar la FI generado por 𝜓𝑜(𝑥) 𝛿 = 𝐿𝑛 𝐹𝐼 = 𝑚(𝑥) 𝑌𝑜(𝑥.𝑡) = 𝜓1(𝑥) 𝑍1𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 4.14 𝑙 𝑚 𝜓2 0 (𝑥) 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 𝑚 𝜓 𝜓 𝑑𝑥 0 (𝑥) 1(𝑥) 2(𝑥) Por: Maverick Aguirre Jara Realizar las iteraciones hasta que w converga Por: Maverick Aguirre Jara Pag .𝑡) = 𝜓𝑜(𝑥) 𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝑍1𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑡 SUPERPOSICIÓN DE SIST.RAYLEIGH PARA SISTEMAS CONTINUOS 1.𝑡) = 𝜓(𝑥) 𝑍𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔2 = ´´ 𝜓(𝑥) = 𝑙 ´´ 2 𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 0 𝑙 𝑚 𝜓 2 𝑑𝑥 0 (𝑥) 𝑥 𝑋𝑖 = ℮−𝜁𝜔𝑡𝑖 𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝐷 𝑡𝑖 − 𝜃) Curvatura Al determinar la curvatura se genera errores En consecuencia se tiene 𝛿= Caso Particular 2𝜋𝜔𝜁 𝜔𝐷 = 2𝜋𝜁 1 − 𝜁2 Se conoce 2 amplitudes no consecutivas RAYLEIGH MODIFICADO PARA SISTEMAS CONTINUOS 𝑡𝑚 = 𝑡1 +m𝑡𝐷 1. Asumir una forma de vibrar 𝜓𝑜(𝑥) que cumpla con las condicones de borde 2. Det el desplasamiento generado por la FI 𝑍1 𝑌1(𝑥. Sub amortiguado. Consevación de energia Ecmax = Epmax 𝜔2 ECU.03 2𝜋 𝜔𝐷 .𝑡) = 𝜓(𝑥) 𝑍(𝑡) DECREMENTO LOG ECU. RAYLEIGH 𝑍(𝑡) = 𝑍𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑌(𝑥. 𝛿 = 𝐿𝑛 2. A NIVEL ESPECTRAL 𝑒 −𝜁𝑤𝑡 𝑌𝑠(𝑡) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏 𝑉(𝑡) 1 𝑙 𝑉 𝜔𝐷 𝑚∗ (𝑡) El desplazamiento en la estructura real 𝑌(𝑥. 𝑚∗ RESPUESTA DIN.SISTEMAS CONTINUOS BAJO LA ACCIÓN DEL SISMO 2. esto se controla con las dimensiones de los elemtos estructurales 𝑌𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝜓(𝑥) 𝑙 𝜔𝐷 𝑚 ∗ 𝑉(𝑡) 𝜓(𝑥) 𝑙 𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝑠𝑣 𝜔 𝑚∗ 𝜓(𝑥) 𝑙 𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝑠𝑑 𝑚∗ 𝜓(𝑥) 𝑙 𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 2 ∗ 𝑃𝑠𝑎 𝜔 𝑚 En Ing. De masa del sist.04 𝑚∗ 𝑍 + 𝐶 ∗ 𝑍 + 𝐾 ∗ 𝑍 = −𝑙 𝑌𝑠(𝑡) 𝑍(𝑡) = − =0 1 GDL SISTEMA DISCRETO Masa participante (cant. CORTANTE basal 𝑉𝑏 = 𝑙 2 𝜔𝐷 𝑉 𝑚∗ (𝑡) 𝑉𝑚𝑎𝑥 = Por: Maverick Aguirre Jara 𝑙2 𝜔 𝑃𝑠𝑣 𝑚∗ 𝐹𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑚(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝜔𝑙 𝑃𝑠𝑣 𝑚∗ 𝐹𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑚(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑙 𝑃𝑠𝑎 𝑚∗ Coef. FZA CORTANTE 𝑑𝑀 𝑉= 𝑑𝑥 DET. Cont. FZA.𝑡) 𝜓′′(𝑥) 𝑙 = 𝐸𝐼(𝑥) 𝑉 𝜔𝐷 𝑚 ∗ (𝑡) 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝜓′′(𝑥) 𝑙 = 𝐸𝐼(𝑥) 𝑃𝑠𝑣 𝜔𝐷 𝑚 ∗ EVAL. SIST.1. FORZADOS SIN AMORTIGUAMIENTO La Solucion es X(t) = XH +XP 𝑌(𝑥.𝑡) = 𝜓(𝑥) 𝑍(𝑡) 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 𝑋(𝐻) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑥 + 𝜔2 𝑥 = 𝑋(𝑃) = 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 1 𝑃 𝑚 𝐶= 𝑃𝑜 − 2 ) SISTEMA CONTINUO 𝑡 𝑋𝑜 ≠0 𝑋𝑜 𝑃𝑜 Ω − 𝜔 𝑚 𝜔 2 − Ω2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝑙= 𝑃𝑜 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 𝑚 𝜔 2 − Ω2 𝑋(𝑃) 𝑋(𝐻) Si el sistema parte del reposo 𝑋 = 0 (0) 𝑋 𝑜 𝑃𝑜 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 𝑚 𝜔 2 − Ω2 1 𝑙 𝜔𝐷 𝑚∗ 𝑚(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑌𝑠(𝑡) 𝑙 𝑌 𝑚∗ 𝑠(𝑡) 𝑙 Coef.13 𝑃𝑠𝑎 𝑔 . de participación. Que participa en el movimiento) 𝑚(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 Rta dinámica. Civil ζ < 20 % 𝜔𝐷 = 𝜔 DET.𝑡 =0 = 𝑚(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝜔𝑙 𝑉 𝑚 ∗ (𝑡) A nivel espectral DET. sismico 𝐶 = Pag . componente 𝑋(𝑡) = α GDL 𝑚∗ 𝑍 + 𝐶 ∗ 𝑍 + 𝐾 ∗ 𝑍 = − Si el sistema no parte del reposo 𝑋(0) ≠ 0 𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑜) 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐴𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝜓(𝑥) 𝑚(𝑤 2 𝑥. SISTEMAS FORZADOS 2. Mo FLECTOR 𝑀(𝑥. DE INERCIA EN UN SIST.𝑡) 𝜓(𝑥) 𝑙 =− 𝑉 𝜔𝐷 𝑚∗ (𝑡) EVALUACIÓN DE LAS FUERZAS DE SECCIÓN 𝐷= 𝑋𝑑𝑖𝑛 𝑋𝑒𝑠𝑡 𝑋𝑑𝑖𝑛 = 𝑋(𝑡) = 𝑋𝑒𝑠𝑡 = 𝑃𝑜 𝐾 𝐷= Cuando Ω = 𝜔 Existe resonancia 1 el desplazamiento es grande 𝐷𝑚𝑎𝑥 = Ω2 y falla la estructura 1− 2 𝑚 1 Ω2 𝜔2 𝑃𝑜 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 − Ω2 𝜔2 𝛽= 1− Ω 𝜔 Dmax se obtiene derivando =0 Dimensionar para Ω ≠ 𝜔 Evitar el fenomeno de resonancia. CONTINUO CASO ζ 𝐹𝐼 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 𝜔 Por: Maverick Aguirre Jara 𝑍 + 2𝜁𝜔𝑍 + 𝜔2 𝑍 = − 𝑍(𝑡) = − FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA Pag . 𝑡) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑋𝑃 = 0 CASO PARTICULAR 𝑙 = 0 𝑙 𝑑𝑥 + 𝑖=1 0 𝑙 𝑃∗ = 0 𝑋(𝑡) = 𝑋𝑃 2 𝐼𝑜𝑖 𝜓𝑖´ + 𝑖=1 𝑋𝑒𝑠𝑡 2 + 2𝜁𝛽 2 1 − 𝛽 2 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 − 2𝜁𝛽𝑐𝑜𝑠Ω𝑡 0 2 𝐾(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽= 𝐾𝑖 Δ𝜓𝑖 𝑖=1 𝑃𝑜 𝐾 𝑚𝑥𝑟 + 𝐶 𝑥𝑟 + 𝐾𝑥𝑟 = −𝑚𝑥𝑠 𝐶𝑖 𝜓𝑖2 𝑥𝑟 + 2𝜁𝜔𝑥𝑟 + 𝜔2 𝑥𝑟 = −𝑥𝑠 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑠 : Desplazamiento del suelo 𝑃𝑖 𝜓𝑖 𝑃(𝑥.2. FORZADOS CON AMORTIGUAMIENTO Sistema continuo de α gdl La Solucion es X(t) = XH +XP Sistema discreto 𝑋𝑒𝑠𝑡 (1−𝛽2 ) (1−𝛽2)2+(2𝜁𝛽)2 a= 𝑌(𝑥.12 1 − 𝛽2 𝑋(𝑡) = 𝑋𝐻 + 𝑋𝑃Se desprecia la componente tranciente 𝑚∗ mi masas puntuales ki reortes puntuales k(x) resortes distribuidos Q+ cargas puntuales SR solidos rigidos 𝑚𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝐾𝑥 = 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 𝑋𝐻 = 𝑒 −𝜔𝜁𝑡 [𝐴 cos 𝜔𝐷 𝑡 + B sen𝜔𝐷 𝑡] 𝑙 𝑥𝑟 : Desplazamiento relativo 𝑖=1 Por: Maverick Aguirre Jara 2𝜁𝛽 1 − 𝛽2 Pag . SAP 2000 𝜓(𝑥) COMO ELEGIR gdl = n Para poder resolver manualmente b= a 𝑋𝑒𝑠𝑡2𝜁𝛽 (1−𝛽2 )2+(2𝜁𝛽)2 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 1 𝑃 𝑚 𝑡 𝑋𝑝 = 𝜌𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡 − 𝜃) 𝜌= 𝑋𝑒𝑠𝑡 (1 − 𝛽 2 )2 +(2𝜁𝛽)2 2.05 .𝑡) = 𝜓(𝑥) 𝑍(𝑡) b 𝑚𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 REDUCIR LOS GDL Se asume una función forma de vibrar gdl = α 𝑥 + 2𝜉𝜔 𝑥 + 𝜔2 𝑥 = En la actualidad se modela con todos sus gdl en Prg como ETABS 2013.𝑡) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑋𝑒𝑠𝑡 = 2 𝑛 2 𝐶(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 + Ω 𝜔 SISTEMA SÍSMICO 𝑛 𝑙 𝑙 𝐶∗ = 𝑛 𝑚𝑖 𝜓𝑖2 ´´ 𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 + 0 Por: Maverick Aguirre Jara 𝑛 𝑚(𝑥) 𝜓 2𝑥 2 𝐾∗ = Pag . PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = PoSen Ωt 𝜓(𝑥) PARAMETROS GENERALIZADOS Función cualquiera que debe cumplir las condiciones de borde (condiciones de apoyo) 𝑚∗ = Elegir 2 ó mas 𝜓(𝑥) incertidumbres 𝐾∗ = 𝑙 0 𝑚(𝑥) 𝜓 2𝑥 𝑑𝑥 𝑙 para eliminar (K) 𝜓(𝑥) adecuada genera la menor ω 𝑋𝑃 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠Ω𝑡 2 ´´ 𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 RIGIDEZ GENRALIZADA 0 𝜓(𝑥) mal elegida aumenta la rigidez 𝑙 𝐶∗ = 0 𝑋𝐻 = 𝑒 −𝜁𝜔𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷 𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡 MASA GENERALIZADA AMORTIGUAMIENTO GENERL 2 𝐶(𝑥) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑃∗ = CARGA GENERALIZADA 𝑃(𝑥. SIST.SISTEMAS CONTINUOS 2.1.2. 2. 𝑆𝑣 ≠ 𝑃𝑠𝑣 Sistema Estructural 𝜁 ≠ 0 . PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = mt+n FACTOR DE ZONA 𝑃 𝑡 = 𝑛 𝑋(𝑡) = ZONA 3 2 1 Z 0.) Pag .06 Por: Maverick Aguirre Jara En General 𝜁 = 0 .5 6 5.4 0.5 3 2.5 1.3 0. 𝑆𝑎 = 𝑃𝑠a 𝜁 ≠ 0 .9 Condic. 𝑆𝑑 ≠ 𝑃𝑠𝑑 A NIVEL DE VELOCIDAD SISTEMAS ESTRUCTURALES En Cualquier Caso 𝜁 = 0 . Acero con Arriostres Cruz Pórticos de Concreto Armado Sistema Dual Muros Estructurales Muros de ductilidad limitada Albañilería Armada o Confinada Const.875 4. 0.125 4.2 1.3.5 𝑇𝑃 𝑅 RELACIÓN ENTRE PSEUDO SPECTRO Y SPECTRO DE RTA.11 R 9.6 S3 Flexible o estratos gran esp.25 .25 5. Pórticos de Acero Struct Acero Arriostres Excéntrc.3 1 * A NIVEL DE DESPLAZAMIENTOS En Ing. velocidad y desplazamiento Coeficiente de amortiguamiento menor al 20% En Ing.5 ≤ 2. 𝜔𝐷 ≈ 𝜔 . Excepcionales S4 Det.4 Suelos Intermedios S2 0. S 1 1. 𝑆𝑑 = 𝑃𝑠𝑑 𝜁 ≠ 0 . 𝑆𝑑 = 𝑃𝑠𝑑 En General 𝜁 = 0 . 𝑆𝑎 = 𝑃𝑠a 𝜁 = 0 .2. Civil𝜉 < 20% 𝜁 = 0 . 𝑆𝑎 ≈ 𝑃𝑠a 𝜁 ≠ 0 .PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA 2.4 Det.25 4. 𝑆𝑎 ≠ 𝑃𝑠a Por: Maverick Aguirre Jara * Criterio del Proyectista Regular Irregul.2.5 6. Struct. Civil𝜉 < 20% Pag . 𝑆𝑑 ≈ 𝑃𝑠𝑑 𝜁 ≠ 0 .75R 7. Civil𝜉 < 20% 𝑃𝑠𝑎 = 𝜔𝑃𝑠𝑣 = 𝜔2 𝑃𝑠𝑑 2. TIPO DESCRIPCIÓN Tp(s) S1 Roca o suelos muy rígidos 0. 𝑆𝑣 ≠ 𝑃𝑠𝑣 A NIVEL DE ACELRACIÓN En Ing. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = CARGA PERIODICA Valor aproximado de la envolvente de la Rta maxima PSEUDO ESPECTRO VELOCIDAD PSV De la integral de Duhamel para un sistema que parte del reposo TRANSFORMACIÓN DE CARGA PERIODICA A CARGA ARMONICA POR SERIE DE FOURIER 𝑎𝑛 = 𝑋𝑝 = 𝑎𝑂 + 2 1 𝑎 + 𝑚𝐾 𝑜 𝑛=1 𝑇𝑝 2 𝑇𝑝 𝑃 𝑡 𝐶𝑜𝑠 0 𝑛 𝑛=1 2𝜋𝑛𝑡 + 𝑇𝑝 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝑡 𝑇𝑝 1 1 − 𝛽𝑛 2 2𝜁𝛽𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 2𝜋𝑛𝑡 𝑛=1 2 𝑏𝑛 = 𝑇𝑝 𝑎𝑛 2𝜁𝛽𝑛 + 𝑏𝑛 1 − 𝛽𝑛 2 𝑎𝑜 = 1 𝑇𝑝 𝑇𝑝 0 𝑆𝑒𝑛 1 𝜔𝐷 𝑡 0 𝑒 −𝜁𝜔𝑡 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏 𝑃 𝑡 𝑑𝑡 0 𝑋𝑚𝑎𝑥 = 𝑇𝑝 𝐷𝑢ℎ𝑎𝑚𝑒𝑙 = − 1 𝜔𝐷 𝑡 𝑒 −𝜁𝜔𝑡 𝑋𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏 0 2𝜋𝑛𝑡 𝑃 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑇𝑝 2𝜋𝑛𝑡 2𝜋𝑛𝑡 + 𝑎𝑛 1 − 𝛽𝑛 2 − 𝑏𝑛 2𝜁𝛽𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑇𝑝 𝑇𝑝 𝜏 𝑋(𝑡) ∶ 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑠𝑣 ∶ 𝑃𝑒𝑠𝑢𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑠𝑣 PARAMETROS SÍSMICOS ECUACIÓN DE PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA Relacion entre Pseudo espectro de aceleración. CATEGORÍA DE EDIFICACIONES Edificaciones Esenciales A Edificaciones Importantes B Edificaciones Comunes C Edificaciones Menores D U 1.5 6 8 7 6 4 3 7 0.15 PARÁMETROS DEL SUELO 𝑇𝑆 𝑍𝑈𝐶𝑆 𝑃𝑠𝑎 = 𝑔 𝐶 = 2. de Madera (Por sfzos adm. . ….Xn 6.……Jn 5.Tn 3. Condicion inicial despreciar la Fza Amort.10 Por: Maverick Aguirre Jara = 𝐾 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝑊𝐷 𝑡𝑑𝜏 Ni' Por: Maverick Aguirre Jara 𝐿𝜃 [𝐾𝜃𝜃 ] −1 # 𝑃ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 [𝐶]𝑇𝑖𝑝 [𝐾𝐿]𝑖𝑝 [𝐶]𝑖𝑝 𝑖𝑝 Ni L − 𝐾 𝐿𝐿 [𝐶𝑖 ] = 𝐶𝑜𝑠𝛼𝑖 . J2. X2.. Se obtiene respuesta max Xmx1. T2. W1.Xmx2. Por lo tanto se tiene X(t) X1.(FA) 𝐴1 = 𝐴2 de fase II Corta Duración Se da generalmente De la Integral de Duhamel 1 =− 𝑊𝐷 RESPUESTA MAXIMA 𝐼 𝑚 Larga Duración 0 Es la envolvente de la respuesta maxima Cada sismo tiene un espectro de respuesta 𝑋(𝑡𝑑) = 𝐼 = 𝑚𝑋(𝑡𝑑) 𝑡𝑑 ≤ 𝑒 −𝜁𝑤𝑡 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝑊𝐷 𝑡𝑑𝜏 𝑇 4 ESPECTRO DESPLAZAMIENTO Sd 1. Asumir un coef de amort. Se obtiene frecuencias angulares del sit.…. Se puede para det. son de gran intensidad pero de corta duración td : Tiempo de duración de la carga impulsiva 𝑚𝑥𝑟 + 𝑘𝑥𝑟 = −𝑚𝑥𝑠 𝑥𝑟 + 𝜔2 𝑥𝑟 = −𝑥𝑠 𝑋(𝑡) = − 𝑡 1 𝜔𝐷 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝐼 = 𝑚𝑋(𝑡𝑑) − 𝑚𝑋(0) 0 Si parte del reposo CASO II z≠0 𝜔𝐷 = 𝜔 1 − 𝜁 2 𝑡 =𝑡−𝜏 𝑚𝑥𝑟 + 𝐶 𝑥𝑟 + 𝑘𝑥𝑟 = −𝑚𝑥𝑠 Movimiento forzadoMovimiento libre se mueve por el se mueve por impulso de la carga inercia dinámica 𝑥𝑟 + 2𝜁𝜔𝑥𝑟 + 𝜔2 𝑥𝑟 = −𝑥𝑠 𝑃(𝑡) = −𝑚𝑥𝑠 𝑋(𝑡) 1 =− 𝜔𝐷 ESPECTRO DE RESPUESTA PERIODOS T 𝑡 𝑒 −𝜁𝜔𝑡 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏 𝑡𝑑 > 𝑋(𝑡) FZAS AMORTIGUADORAS RESPUESTA DINÁMICA Se da en la fase IInfluye la Fza Amortiguadora 𝑇 4 No depende de la carga Dinamica depende del area que genera la carga en la fase II La No se aprecia el efecto de la dinamica. Asumir una serie de periodos de vibración T1.Xmxn 7.Wn 4. FA=CX Por eso 𝑋𝑡𝑑 ≈ 0 en el cal. 𝑑𝑖 ∂ 𝑒 −𝜁𝑤𝑡 𝑋𝑠 𝐾𝐿𝜃 𝐾𝜃𝜃 CONDENSACIÓN DINÁMICA 𝐾𝐿𝐸 = ESPECTRO ACELERACIÓN Sa 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑2 1 = = − 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑊𝐷 𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 Ri = Ri' = 6EIθ/L^2 Ri L 𝐾𝐿𝐿 𝐾𝜃𝐿 2 1 Ni = Ni' = ∂EA/L 3 Pag .DUHAMEL PARA SISMOS RESPUESTA ANTE FUERZAS IMPULSIVAS CASO I z=0 Carga impulsiva. Graficar la envolvente valores max) FORMULAS DE ANALISIS ESTRUCTURAL Mi' 𝑋(𝑡) 𝑒 −𝜁𝑤𝑡 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝑊𝐷 𝑡𝑑𝜏 De forma similar a los pasos para determinar el espectro desplazamiento CONDENSACIÓN ESTÁTICA Mi = Mi' = 6EI∆/L^2 ∆ Ri' ESPECTRO VELOCIDAD Sv 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑 1 = = − 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑊𝐷 Mi Ri = Ri' = 12EI∆/L^3 𝐾 Ri L Mi Mi Mi = 4EIθ/L θ Mi' = 2EIθ/L Ri' 𝑋(𝑡) De forma similar a los pasos para determinar el espectro desplazamiento Pag . W2.…. 𝑆𝑒𝑛𝛼𝑖 . Se obtiene la integral de Duhamel J1. = a% 2. Aprox.…….07 𝐾 𝜃𝐿 . fase I se estudia fza Amort. . A y B. Iniciales se det. 0 En este caso el impulso es de tiempo τ 𝑋(𝑡) = .IMPULSOS DE CORTA DURACIÓN ( I ) 𝑡𝑑 < INTEGRAL DE DUHAMEL 𝑇 Respuesta maxima FASE II 4 Metodo que nos permite hallar la frecuencia angular del sistema ω 𝑡 = 𝑡𝑑 − 𝑡 𝑡 = 𝑡 − 𝑡𝑑 𝑡𝑑 = 𝜏 𝑡 =𝑡−𝜏 𝑡 = 𝑡 − 𝑡𝑑 𝐼 = 𝐴 = 𝑃(𝑡) Δ𝜏 Δ𝑥𝑖 = 𝑃 𝜏𝑖 Δ𝑥𝑖 = 𝑋(𝑡) = FASE I 0 ≤ t ≤ td Para det.09 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏 . 1 𝑚𝜔 𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝜁=0 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎 𝐶 𝑥 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡 ≈ 0 Por que el tiempo es corto 𝑡𝑑 𝑡𝑑 𝑚𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 + 0 𝑡𝑑 𝐾𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = Si el sistema no parte del reposo 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 0 I 𝑚𝑥 𝑡𝑑 − 𝑚𝑥 0 𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑜) 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + =𝐼 Si parte del reposo 𝑚𝑥 𝑡𝑑 =𝐼 𝑡𝑑 𝑡 𝑋𝑜 1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝜔 𝑚𝜔 Si el sistema parte del reposo 𝑋(0) = 0 𝑂𝑗𝑜 𝑥 𝑋𝑜 ≠0 𝑋(0) ≠ 0 0 𝑋 𝑃 0 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 =0 𝑜 ≈0 𝑋(𝑡) = FASE II t > td Corresponde a un movimiento libre parte de td CASO 02 𝜁≠0 1 𝑚𝜔 𝑡 0 𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑚𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡 0 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 𝑋(𝑡) = 𝑋𝐻 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 Reemplazando cond. . 𝑋(𝑡) Pag . Δ𝜏𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜔(𝑡 𝑚𝜔 − 𝜏𝑖 ) Δ𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔(𝑡 − 𝜏) 𝑚𝜔 𝑃𝜏 . Sus condiciones finales de fase I.08 𝑋(𝑜) = 𝑋𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔 Por: Maverick Aguirre Jara 𝑋(𝑡) 𝑋(𝑡𝑑) = 𝑋(𝑡𝑑) 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔 𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡𝑑) 𝐼 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 𝜔 𝑚𝜔 𝑋𝑚𝑎𝑥 = Si el sistema no parte del reposo 𝑋(0) ≠ 0 𝑋(𝑡) = ℮−𝜁𝜔 𝑡 𝑋(𝑜) 𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷 𝑡 + 𝑋 Si el sistema parte del reposo 𝐼 𝑚𝜔 𝑜 + 𝜁𝜔𝑋(𝑜) 1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡 + 𝜔𝐷 𝑚𝜔𝐷 𝑋(0) = 0 𝑋 𝑋(𝑡) = Por: Maverick Aguirre Jara 𝑋𝑜 ≠0 1 𝑚𝜔𝐷 𝑜 𝑡 ℮−𝜁𝜔𝑡 𝑃 0 𝜏 =0 𝑡 ℮−𝜁𝜔𝑡 𝑃 0 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏 Pag . que sonlas condiciones iniciales de la fase II. 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 Δ𝜏 CASO 01 𝑚𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡 .