Universidade do Minho Escola de Engenharia Departamento de Engenharia CivilESTRUTURAS DE BETÃO I EXERCÍCIOS RESOLVIDOS FOLHA 2 (DRAFT Nº3) Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis e Eduardo Pereira Outubro de 2009 Folhas de Apoio às Aulas Práticas INDICE Enunciado................................................................................................................................................ 4 1 Exercício 1........................................................................................................................................ 8 1.1 1.2 2 2.1 2.2 2.3 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 Pré-dimensionamento da secção transversal ......................................................................... 8 Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN................................................ 8 Armadura mínima a dispor na secção transversal .................................................................. 9 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal.......................................................... 10 Disposições construtivas ................................................................................................... 11 Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10−3 (compressão) .................. 11 Características dos materiais ................................................................................................ 12 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 13 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado..... 21 Cálculo do momento de fendilhação ..................................................................................... 23 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente Exercício 2........................................................................................................................................ 9 2.2.1 Exercício 3...................................................................................................................................... 12 distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 13 tensões no betão ............................................................................................................................... 16 tensões no betão ............................................................................................................................... 19 antes da fendilhação.......................................................................................................................... 24 após a fendilhação............................................................................................................................. 25 Exercício 4...................................................................................................................................... 26 4.1 4.2 4.3 5 Características dos materiais ................................................................................................ 26 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 26 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 27 Exercício 5...................................................................................................................................... 30 5.1 5.2 5.3 5.4 Características dos materiais ................................................................................................ 30 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 31 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a Momento flector positivo – M+ ........................................................................................... 32 Momento flector negativo – M- .......................................................................................... 34 resistente é z = 0.9d .......................................................................................................................... 31 distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 31 5.4.1 5.4.2 Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 2 Folhas de Apoio às Aulas Práticas 5.5 6 6.1 6.2 6.3 6.4 7 7.1 7.2 7.3 Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras .. 36 Características dos materiais ................................................................................................ 38 Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura ................................................... 38 Cálculo do valor das forças internas ..................................................................................... 39 Cálculo do valor do momento flector resistente .................................................................... 40 Características dos materiais ................................................................................................ 41 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 41 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta......................... 41 Exercício 6...................................................................................................................................... 38 Exercício 7...................................................................................................................................... 41 Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 3 Folhas de Apoio às Aulas Práticas ENUNCIADO Exercício 1 Considere um pilar sujeito a três acções independentes, representado na Figura 1. Suponha que este pilar tem altura reduzida, pelo que se pode considerar que os efeitos de encurvadura são desprezáveis. Nos cálculos a efectuar, não considere os efeitos da fluência do betão. Admita que os materiais utilizados são o betão da classe C25/30 e aço A400. Considere um recobrimento nominal de 3.5 cm. Considere que neste problema se está a analisar um Estado Limite Último de Compressão. (Este pilar foi objecto de estudo no Exercício 1 da Folha 1. Deste modo, considere os esforços de cálculo determinados na resolução desse exercício). a) Pré-dimensione as dimensões da secção transversal deste pilar, supondo que se trata de uma secção quadrada e não considerando a contribuição da armadura; b) Supondo agora que o pilar está sujeito a um acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN, calcule a quantidade de armadura necessária de forma a que o pilar verifique os Estados Limites Últimos de Resistência. Figura 1 – Esquema de cargas aplicadas ao pilar Exercício 2 Considere a secção transversal de 0.30 m de diâmetro indicada na Figura 2, que se destina a um elemento estrutural que irá receber apenas esforços de tracção ou de compressão, dependendo da combinação de acções considerada. Materiais: C16/20, A500. a) Tendo em vista evitar a rotura frágil do elemento quando este funciona como tirante, determine a armadura mínima a dispor na secção transversal; b) Dimensione as armaduras longitudinais para este elemento estrutural, tendo em conta a verificação da segurança em relação ao estado limite último de resistência e considerando as seguintes acções (em valor característico): permanente: variável: NGk = +400 kN (tracção) NQk = −800 kN (compressão) Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 4 e aos três diagramas de tensões previstos pelo EC2 para o betão. d) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço.30 Figura 3 – Secção transversal rectangular Miguel Azenha. b) Recorrendo a tabelas de betão armado. 0. Admita que os materiais utilizados são: betão da classe C20/25. imediatamente antes da fendilhação. supondo que a secção está armada com os varões determinados na alínea b). aço A400. e) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço. imediatamente após a fendilhação. calcule o valor do esforço axial de compressão que terá de estar aplicado no pilar. a) Determine a capacidade resistente de cálculo da secção. dimensione as armaduras longitudinais e compare com o resultado obtido na alínea a). Exercício 3 Considere a secção transversal representada na Figura 3. Para o efeito. Eduardo Pereira 5 . recorra ao diagrama de tensões de comportamento elástico-perfeitamente plástico para o aço. c) Calcule o momento flector para o qual se inicia a fendilhação da secção de betão e compare com o valor do momento flector resistente determinado na alínea a).60 4φ20 0. e recobrimento nominal de 3 cm. Figura 2 – Secção transversal de um tirante (dimensões em m).Folhas de Apoio às Aulas Práticas c) Verificando-se que na combinação quase permanente a extensão instalada no betão é εc = −0. Ana Paula Assis. Isabel Valente.25 × 10−3 (compressão). com a secção transversal em U invertido representada na Figura 5. dimensione as armaduras a colocar na secção representada na Figura 4.20 0.20 l Figura 4 – Secção transversal de largura variável Exercício 5 Uma viga contínua. Compare com os resultados obtidos na alínea anterior.m C20/25 e A400NR 0. b) Usando o bloco rectangular de tensões determine a armadura necessária nos dois casos. Ana Paula Assis.15 Figura 5 – Secção transversal em U Figura a) Faça uma estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário resistente é z = 0. c) Recorrendo a tabelas de betão armado. Materiais: C25/30 e A500. Miguel Azenha.9d.15 0.5 cm.40 MEd = 240 kN.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Exercício 4 Utilizando o bloco rectangular de tensões para o betão e o diagrama de comportamento elástico-perfeitamente plástico para o aço. Considere os esforços de cálculo e os materiais indicados e admita um recobrimento nominal de 3. está submetida em diferentes secções a um momento máximo positivo e a um momento máximo negativo de valores iguais MEd = 180 kN. 0. 0.60 0. Isabel Valente.40 0.10 0. dimensione as armaduras longitudinais e compare com o resultado obtido nas alíneas a) e b).5 cm. Eduardo Pereira 6 .m. Considere um recobrimento nominal de 3. 70 Figura 6 – Secção transversal em I Exercício 7 Recorrendo a tabelas de betão armado.35 0. Admita um recobrimento nominal de 4 cm.20 6φ16 0.20 × 0. Considere que se trata de uma secção de betão armado.20 0.33 0. Os materiais utilizados são o betão C25/30 e o aço A400. que servirá para realizar um pilar.20 0. a) Supondo que o eixo neutro está posicionado a 0.25 0. 4φ16 0. b) Na mesma situação.25 Betão C20/25 S500-B Diagrama elástico-perfeitamente plástico 0. Eduardo Pereira 7 .70 m2 resistir a um momento flector de cálculo de 350 kN.12 para o aço Distância das armaduras à face exterior 0. estando sujeita a momento flector positivo e esforço axial.18 e. calcule o valor do esforço axial aplicado à secção. 0.22 0.43 0.27 m da fibra superior da secção. calcule a armadura necessária para uma secção de 0.03 da secção: 5 cm Armaduras – 4 níveis com 6φ16 + 2 níveis com 2φ16 0.n. considerando que A = A’.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Exercício 6 Considere a secção transversal em I. calcule o momento flector positivo resistente. Isabel Valente.m e a um esforço axial de cálculo de 100 kN (compressão). representada na Figura 6. Miguel Azenha. Ana Paula Assis. Folhas de Apoio às Aulas Práticas 1 EXERCÍCIO 1 1. Ana Paula Assis. ' N Ed ≤ Ac × f cd + As × f yd 2937 ≤ 0.15 Uma solução possível é a de colocar 8 varões com 12mm de diâmetro: As = 9. e que se trata de uma secção quadrada. que a condição limite para verificação de segurança é N Ed ≤ N Rd . logo este valor deve ser somado ao valor de esforço axial que já estava instalado no pilar. Eduardo Pereira 8 . 1.05 cm2. 5 b ≥ 0.374 m Escolhendo uma dimensão “corrente”.40m x 0. podemos então optar por uma secção transversal com 0. supõe-se que há um acréscimo de esforço axial de 600 kN. podemos considerar que N Ed ≤ Ac × f cd 25 × 10 3 2337 ≤ b 2 × 1.40m x 0. Em fase de pré-dimensionamento pode ser desprezada essa contribuição. o esforço axial resistente resulta da contribuição da secção de betão e da contribuição das armaduras: N Rd = Ac × f cd + As × f yd Se a quantidade de armadura for reduzida.40 2 × As ≥ 7. Miguel Azenha. o acréscimo de esforço axial em parte será resistido com a contribuição das armaduras. o valor do esforço axial actuante corresponde a NEd = 2337 kN. ' N Ed = N Ed + ∆N Ed ' N Ed = 2337 + 600 = 2937 kN Como a secção transversal existente é aquela que foi definida na alínea anterior.2 Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo). 0.40m.40m.1 Pré-dimensionamento da secção transversal Num elemento de betão armado unicamente sujeito a esforços de compressão. a sua contribuição para a capacidade resistente da secção pode não ser muito significativa. Isabel Valente. 5 1. ∆NEd = 600 kN Nesta situação. pois a quantidade de armadura longitudinal ainda não é conhecida: N Rd = Ac × fcd Tendo em conta que para a combinação de acções mais desfavorável.77 cm2 25 × 10 3 400 × 10 3 + As × 1. 1 Armadura mínima a dispor na secção transversal Um tirante é um elemento que se encontra unicamente sujeito a esforços de tracção.min ⋅ fctm = As. Em qualquer um dos casos. f ctm = N cr Ac.hom = Ac + (α − 1) ⋅ As Define-se então o coeficiente de homogeneização.min × 1. a quantidade de armadura existente na secção transversal deve ser tal que a tensão nela instalada seja inferior à tensão de cedência.9 MPa (NP EN1992-1-1 – Quadro 3.67 − 1) × As.15 ⎝ ⎠ Miguel Azenha.9 × 10 3 × ⎜ ⎜ ⎟ 4 1.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 0.25 8φ12 0. é necessário calcular qual a carga que provoca a fendilhação da secção e dimensionar a armadura que é capaz de resistir a esse esforço.40 Figura 7 – Representação das armaduras na secção transversal do elemento de betão armado 2 EXERCÍCIO 2 2.3 2 ⎞ 500 × 10 3 + (6. dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do betão C20/25: Es 200 = = 6.1) ⎛ π × 0. No caso de um tirante em betão armado. o elemento sofre rotura porque não é capaz de resistir ao esforço de tracção que é lhe aplicado.min ⎟ = As.min ⋅ f yd [ ] C16/20 → fctm = 1.hom Ac. Eduardo Pereira 9 . Ana Paula Assis. Isabel Valente. Deste modo.67 30 Ec α= N cr = Ac + (α − 1) ⋅ As. logo verifica-se a ocorrência de uma rotura brusca se não houver qualquer armadura na secção transversal ou quando a armadura existente fica submetida à tensão de cedência assim que abre a 1ª fenda. isso significa que toda a secção está traccionada. quando ocorre a abertura da 1ª fenda. Em consequência.05 0.40 φ6//0. 32 / 4 × 16 × 103 / 1.Folhas de Apoio às Aulas Práticas As. limitamos a tensão nas armaduras a 400 MPa. em secções sujeitas a esforços aproximadamente centrados.min = 3. 800 = π × 0. as armaduras apresentam um comportamento elástico: σ s = Es ⋅ ε s σs = 200 × 106 × 2 × 10-3 = 400 MPa Deste modo.42 cm2 Quando o elemento está sujeito a esforços de compressão. Isabel Valente. Como este valor é inferior a f yd . Eduardo Pereira 10 . a máxima tensão que pode estar instalada nas armaduras é igual a 400 MPa.0‰ = εs Até ser atingida a tensão de cedência. No caso do betão da classe C20/25. seria mais conservativo considerar o valor de fctk0.35 × 400 = 540 kN (tracção) NEd = 1. Ana Paula Assis.2 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal Como o elemento está sujeito a carregamentos de tracção e a carregamentos de compressão..0‰ Garantindo a compatibilidade de deformação. a extensão média de compressão nessa parte da secção deve ser limitada a εc2 (ou εc3 se se utilizar a relação bilinear para o diagrama de tensões de compressão no betão).95 do que o valor de fctm. 2. podemos considerar a contribuição da secção de betão e da secção de aço: N Rd = Ac ⋅ fcd + As ⋅ f yd O artigo 6. apenas a armadura contribui para a sua capacidade resistente: NRd = As . εc2 = 2.0 × 400 – 1.15 As = 12.5 + As × 400 × 103 As = 1.167 cm2 Nota: No caso presente. impõe que. é necessário estabelecer as combinações de acções que provocam os valores de esforço axial mais elevados: Combinação 1: Combinação 2: NEd = 1. fyd 540 = As × 500 x 103 / 1. temos: εc2 = 2.1 (5).15 cm2 Miguel Azenha.5 × 800 = –800 kN (compressão) Quando o elemento está sujeito a esforços de tracção. 5 - Diâmetro mínimo: φmin = 10 mm Verificação de armadura longitudinal máxima: → Ok! As.max = 0.3 2 4 2 = 28.56 cm2 → Ok! - Diâmetro da armadura transversal: Não deve ser inferior a 6 mm ou a ¼ do diâmetro máximo dos varões longitudinais φtr. 300 } = 180 mm 2. a menor dimensão do pilar .25 × 10−3= εs (em compressão) Miguel Azenha. As = π × 1.25 × 10−3 (compressão) Por compatibilidade.62 / 4 × 4 + π × 1.22 / 4 × 4 = 12.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Deste modo.min = 0. 4φ16 + 4φ12 φ6//0.56 cm2 2.42 cm2 de armadura na secção transversal em análise.56 cm2 → Ok! 1.min = As.04 Ac As.3 Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0. sabemos que as extensões nas armaduras e no betão devem ser iguais. Ana Paula Assis.2.27 cm > 12. Isabel Valente.max = min { 15 × 12 .15 0.3 Figura 8 – Representação das armaduras na secção transversal do tirante Neste caso.04 × π × 0 .1 - Disposições construtivas Verificação de armadura longitudinal mínima: As. εc = −0.max = min { 15 × φmin .max = 0.min = Max { 6 . Eduardo Pereira 11 . 300 . 300 mm} scl. é necessário colocar 12. 16 / 4 } = 6 mm - Espaçamento da armadura transversal: scl.4 cm < 12.1× 800 500 × 10 3 2 = 2. Uma solução adequada corresponde a 4 varões com 12mm de diâmetro + 4 varões com 16mm de diâmetro (ver Figura 8).1N Ed f yd 0. 25 × 103 × (π × 0. pode admitir-se que σc = Ec × εc σc = 29 × 103 × 0.15 Miguel Azenha.33 MPa γc 1.2 MPa Ecm = 30 GPa Aço para varões A400 fyk = 400 MPa → f yd = f yk → f 20 f cd = α cc ⋅ ck = 1.25 MPa ( < 0.37 kN FTotal = Fc + Fs FTotal = 503.42 × 10-4 = 62.4 fcm = 9.5 γs = 400 = 347.1 Características dos materiais Betão C20/25 fck = 20 MPa fctm = 2.2 da NP EN1992-1-1 Fc = σc × Ac Fc = 7.32 / 4 .1 kN Como a extensão do betão é baixa.15 = 2.25 × 10-3 × 12.Folhas de Apoio às Aulas Práticas ε yd = f yd Es → ⇒ ε yd = 500 × 10 3 1.1 = 565.56 ×10-4) = 503.6 MPa) – ver Figura 3.83 MPa 1.37 + 62.174 × 10 −3 200 × 10 6 εs < εyd Fs = Es × εs × As σs = Es × εs Fs = 200 × 106 × 0. Ana Paula Assis.47 kN 3 EXERCÍCIO 3 3.25 × 10-3 = 7. Eduardo Pereira 12 .12. Isabel Valente.0 × = 13. Chama-se a atenção que este regulamento prevê a opção alternativa por qualquer um dos diagramas apresentados.2 Cálculo da altura útil d . 3.046 m Altura útil .6 – 0.d d = 0.008) + 0. Deste modo.30 Figura 9 – Recobrimento e posição das armaduras na secção transversal de uma viga a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0. Eduardo Pereira 13 .altura útil 0.006 (ou 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 3.60 φ/2 6-8 mm (estribo) 0. é seguro arredondar o valor da altura útil para um limite inferior. Ana Paula Assis. Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Diagrama parábola-rectângulo Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → → εc2 = 2‰ .030 (recobrimento) a 0.15 200 × 10 3 = 1.03 + 0. interessa que o valor da altura útil seja o maior possível. sendo essa decisão uma responsabilidade do projectista. vamos trabalhar com uma altura útil d = 0.02 / 2 = 0.046 = 0. εcu2 = 3.554 m No cálculo do momento flector resistente. Neste caso. Isabel Valente.5‰ εs = “∞” Condições iniciais: Rotura pelo betão Aço plastificado → → εc = εcu2 εs > f yd Es = 400 1.3 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a distribuição de tensões no betão Na resolução que se segue adoptaram-se os 3 diagramas propostos pela NP EN1992-1-1 para a distribuição de tensões de compressão no betão. sempre que isso se justifique. de forma a que o binário resistente seja máximo.55 m.74 ‰ Miguel Azenha. 30 x εcu2 εc2 y η.fcd x Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das forças e na equação de equilíbrio: 2 ⎞ ⎛ Fc1 = fcd ⋅ (x − y ) ⋅ b = fcd ⋅ ⎜ x − x ⎟ ⋅ b = fcd ⋅ 0. O valor de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões: εcu2 ε c2 y y z η.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 10: 0.fcd Fc1 Fc2 Fc = Fc1 + Fc2 d .altura útil 0. Isabel Valente. logo. a 2ª equação do sistema anterior fica Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc1 = f cd ⋅ (x − y ) ⋅ b (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção) (área de uma parábola que multiplica pela largura da secção) Fc 2 = 2 f cd ⋅ y ⋅ b 3 Fs = As ⋅ f yd Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão.429 x ⋅ b 3 . Eduardo Pereira 14 .60 εs Figura 10 Fs Equações de equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∑ M = 0 ⇔ ⎧M Rd = Fc × z = Fs × z ⇔ ⎨ ∑ F = 0 ⎩N Rd = Fc − Fs Fc = Fs ⇔ Fc1 + Fc 2 = Fs .5 ⎠ ⎝ x = ε cu 2 de onde resulta que y = ε c2 2 x= x ε cu 2 3 . NRd = 0. Quando se trata de um problema de flexão simples. Ana Paula Assis.5 εc2 Miguel Azenha. Fc1 = f cd ⋅ 0. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido. Fc1 e Fc2. então a força instalada nas armaduras é Fs = As ⋅ f yd Fs = 12.09 kN Uma vez que todas as forças já estão definidas. Voltando às equações de equilíbrio. Isabel Valente. a armadura trabalha em regime plástico.77 ‰ > 1.1349 0. iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura.49 kN Fc 2 = f cd ⋅ 0.09 ⇔ x = 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Fc 2 = 2 2 f cd ⋅ x ⋅ b = f cd ⋅ 0.429 x ⋅ b = 231.3 = 437.55 − 0. Eduardo Pereira 15 .81 x ⋅ f cd ⋅ b 4 varões com 20mm de diâmetro correspondem a As = 12.57 cm2 Como por hipótese.74‰ 0. então podemos resolver a equação de equilíbrio: Fc = Fs ⇔ f cd ⋅ 0.81 x ⋅ 13.1349 confirma-se que as armaduras de tracção trabalham em regime plástico.59 kN Miguel Azenha.381x ⋅ b 3 3.74 ‰: ε cu 2 x = εs d−x ⇔ εs 3.57 × 10 −4 × 347. pelo que teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas. Ana Paula Assis. 5 = ⇔ ε s = 10. podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o equilíbrio de momentos: M Rd = Fc × z = Fs × z Neste caso.381 x ⋅ b = 205.1349m É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. 5 Somando então as duas forças de compressão: Fc = Fc1 + Fc 2 = 0. o que só é verdade quando ε s > f yd Es = 1.33 × 10 3 ⋅ 0.83 × 10 3 = 437.81 x ⋅ b = As ⋅ f yd ⇔ 0. Admitiu-se que a armadura estava plastificada. 381 x ⋅ b ) × ⎛ x − 2 x + 3 ⋅ 2 x ⎞ = (f ⋅ 0.55 – 0. fazendo equilíbrio de momentos em relação à fibra superior: Fc1 ⋅ c1 + Fc 2 ⋅ c 2 = Fc ⋅ c Fc1 ⋅ x−y 3 ⎞ ⎛ + Fc 2 ⋅ ⎜ x − y + y ⎟ = Fc ⋅ c 2 8 ⎠ ⎝ x− 2 x 3.5‰ εs = “∞” Miguel Azenha.4939 = 215. Fc1 e Fc2. 5 ⎠ ⎝ (fcd ⋅ 0. Eduardo Pereira 16 .416 x = c c = 0.4 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Diagrama bi-linear de distribuição de tensões → Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εc3 = 1.4939m Podemos então calcular o valor do momento resistente: M Rd = Fc × z = 437.1349 = 0. calcular a resultante das duas forças.y x y 2 A2 = 3 . Ana Paula Assis. fcd Figura 11 Ou em alternativa.381 x ⋅ x = 0. Isabel Valente. 5 8 3. εcu3 = 3. Podemos agora determinar a posição da resultante das forças Fc1 e Fc2.Folhas de Apoio às Aulas Práticas fcd Área1 = (x-y) .429 x ⋅ 3 9 x + 0.81 x ⋅ c 14 14 0. o braço do binário resistente é dado por z = d – c = 0.0561 m Deste modo. y .09 x 0.0561 = 0.416 × 0.88 kNm 3.81 x ⋅ b ) × c ⎜ ⎟ cd cd 2 3. fcd c1 c2 3 8 Eixo de Referência . e determinar a sua linha de acção.5 + (f ⋅ 0.429 x ⋅ b ) ⋅ 0.75‰ . 15 200 × 10 3 = 1.30 x εcu3 εc3 y η.5 2 Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das forças e na equação de equilíbrio: z Miguel Azenha.fcd Fc1 Fc2 Fc = Fc1 + Fc2 d .60 εs Figura 12 Fs Equações de equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∑ M = 0 ⇔ ⎧M Rd = Fc × z = Fs × z ⇔ ⎨ ∑ F = 0 ⎩N Rd = Fc − Fs Fc = Fs ⇔ Fc1 + Fc 2 = Fs . NRd = 0. Isabel Valente. Eduardo Pereira 17 . Quando se trata de um problema de flexão simples.74 ‰ Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 12: 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Condições iniciais: Rotura pelo betão Aço plastificado → → εc = εcu3 εs > f yd Es = 400 1. Ana Paula Assis.altura útil 0. O valor de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões: ε c3 y ε ε 1. logo. a 2ª equação do sistema anterior fica Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc1 = f cd ⋅ (x − y ) ⋅ b Fc 2 = 1 f cd ⋅ y ⋅ b 2 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção) (área de um triângulo que multiplica pela largura da secção) Fs = As ⋅ f yd Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão.75 1 x= x = cu 3 de onde resulta que y = c 3 x = x ε cu 3 3 . 55 − 0. podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o equilíbrio de momentos: M Rd = Fc × z = Fs × z Neste caso. Isabel Valente.33 × 10 3 ⋅ 0.25 x ⋅ b = 145. Admitiu-se que a armadura estava plastificada. Fc1 = f cd ⋅ 0.71 ‰ > 1.1457m É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras.3 = 437.74 ‰: ε cu 3 x = εs d−x ⇔ εs 3 . Voltando às equações de equilíbrio.75 x ⋅ b = As ⋅ f yd ⇔ 0. fazendo equilíbrio de momentos em relação à fibra superior: Fc1 × c1 + Fc 2 × c 2 = Fc × c Fc1 × x−y 1 ⎞ ⎛ + Fc 2 × ⎜ x − y + y ⎟ = Fc × c 2 3 ⎠ ⎝ Miguel Azenha. iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido.74‰ 0. Ana Paula Assis.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 1 ⎞ ⎛ Fc1 = f cd ⋅ (x − y ) ⋅ b = f cd ⋅ ⎜ x − x ⎟ ⋅ b = f cd ⋅ 0.5 = ⇔ ε s = 9. Eduardo Pereira 18 .7 kN Podemos agora determinar onde passa a resultante das forças Fc1 e Fc2.09 kN Uma vez que todas as forças já estão definidas. então podemos resolver a equação de equilíbrio: Fc = Fs ⇔ f cd ⋅ 0.25 x ⋅ b 2 2 Somando então as duas forças de compressão: Fc = Fc1 + Fc 2 = 0.1457 confirma-se que as armaduras de tracção trabalham em regime plástico. pelo que teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas.4 kN Fc 2 = f cd ⋅ 0.5 x ⋅ b = 291.75 x ⋅ f cd ⋅ b De acordo com o cálculo anteriormente efectuado Fs = 437. Fc1 e Fc2.75 x ⋅ 13. o que só é verdade quando ε s > f yd Es = 1.1457 0.5 x ⋅ b 2 ⎠ ⎝ Fc 2 = 1 1 f cd ⋅ x ⋅ b = f cd ⋅ 0.09 ⇔ x = 0. 5‰ . λ = 0.7 × ⎜ 0.8 .15 200 × 10 3 = 1.0 εs = “∞” Condições iniciais: Rotura pelo betão Aço plastificado → → εc = εcu3 εs > f yd Es = 400 1.4 × 2 1 0.altura útil 0.1457 − × × 0. Eduardo Pereira z . Ana Paula Assis.30 εcu3 x η.1457 − 0.74 ‰ Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 13: 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 291.5 × 0.fcd λx Fc d .63 kNm 3.1457 ⎛ ⎞ + 145.55 – 0. η = 1.5 Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Bloco rectangular de tensões Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εcu3 = 3.4933m Podemos então calcular o valor do momento resistente: M Rd = Fc × z = 437.0567 = 0.0567 m Deste modo.09 x 0.4933 = 215.09 × c 3 2 2 ⎝ ⎠ c = 0.1457 ⎟ = 437. o braço do binário resistente é dado por z = d – c = 0.60 εs Figura 13 Fs Equações de equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∑ M = 0 ⇔ ⎧M Rd = Fc × z = Fs × z ⇔ ⎨ ∑ F = 0 ⎩N Rd = Fc − Fs 19 Miguel Azenha. Isabel Valente. Ana Paula Assis. Isabel Valente.8 x ⋅ b = As ⋅ f yd ⇔ 0.4954 = 216.8 × 0.74 ‰: ε cu 3 x = εs d−x ⇔ εs 3.55 − 0.8x / 2 = 0. logo.1366m É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. NRd = 0.55 – 0.8 x ⋅ f cd ⋅ b = 3200 x De acordo com o cálculo anteriormente efectuado Fs = = 437.33 × 10 3 ⋅ 0. o que só é verdade quando ε s > f yd Es = 1.09 ⇔ x = 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Quando se trata de um problema de flexão simples.59 ‰ > 1.52 kNm Miguel Azenha. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido.09 kN Uma vez que todas as forças já estão definidas.8 x ⋅ 13.1366 0.1366/2 = 0. 5 = ⇔ ε s = 10. Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc = f cd ⋅ 0.3 = 437.4954m Podemos então calcular o valor do momento resistente: M Rd = Fc × z = 437. podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o equilíbrio de momentos: M Rd = Fc × z = Fs × z Deste modo.09 × 0. Voltando às equações de equilíbrio.74‰ 0. então podemos resolver a equação de equilíbrio: Fc = Fs ⇔ f cd ⋅ 0. o braço do binário resistente é dado por z = d – 0.8 x ⋅ b Fs = As ⋅ f yd (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção) Calculando a força de compressão no betão Fc = 0. Eduardo Pereira 20 .1366 confirma-se que as armaduras de tracção trabalham em regime plástico. Admitiu-se que a armadura estava plastificada. a 2ª equação do sistema anterior fica Fc = Fs . 33 × 103) = 0. de forma a escolher qual é a tabela mais adequada ao caso que estamos a estudar: 1º parâmetro: 2º parâmetro: 3º parâmetro: classe do aço relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura – a/h momento flector reduzido: µ = M Rd b ⋅ h 2 ⋅ f cd A' A 4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): γ = No caso em estudo. temos de verificar o valor de alguns parâmetros de entrada nessas tabelas. Ana Paula Assis.3 × 0. Nas resoluções da presente folha. Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 2. pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro. no caso presente temos: − − − − Classe do aço S400-B a 0. são utilizadas as tabelas de dimensionamento de armaduras para betão armado. tal como se mostrou na resolução da alínea a). a precentagem mecânica de armadura: ω = As f yd ⋅ b ⋅ h f cd Então. Uma vez que o parâmetro a/h apresenta um valor que é intermédio em relação aos valores que as tabelas propõem (a/h=0.83 × 103) / (13. as tabelas de dimensionamento de armaduras são construídas tendo por base as equações de equilíbrio de força e momento flector ao nível da secção transversal. obtido com a/h=0.6 Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado Em geral. Miguel Azenha. Isabel Valente. 6 h A' =0 A ω= As f yd = 12.10. a armadura longitudinal já é dada e queremos conhecer o valor do momento flector resistente.0833 0. admitindo um diagrama parábola-rectângulo para as tensões de compressão no betão e um comportamento elástico com endurecimento para o aço. propostas no relatório Relatório 07-DEC/E-27 da Universidade do Minho. onde as equações de equilíbrio são formuladas para secções tranversais rectangulares. Ambas as opções referidas estão comtempladas na NP EN1992-1-1.05 = = 0. considera-se a situação mais desfavorável para o dimensionamento.6) × (347. tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.05 e a/h=0. Eduardo Pereira 21 .10). Para utilizar as tabelas de dimensionamento de armaduras. que é o braço do binário resistente ser menor.1821 ⋅ b ⋅ h f cd É necessário agora escolher qual a tabela mais adequada.57 × 10-4 / (0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 3. 177 e ω=0. Isabel Valente. sendo portantanto igual a µ=0. A partir do valor do momento reduzido.182 nos valores na Tabela 2. chega-se à conclusão que o valor do momento reduzido está entre 0. Eduardo Pereira 22 .12 kNm Miguel Azenha. podemos calcular o valor do momento resistente: M Rd = µ ⋅ b ⋅ h 2 ⋅ f cd MRd = 0.184.3 × 0. Ana Paula Assis. ω=0.148 × 0.145 e 0.62 × 13333 = 213.148.150.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Interpolando o valor de ω=0. com um braço de binário resistente inferior àquele que na realidade se verifica. Define-se então o coeficiente de homogeneização. ou seja.hom = 0.1349 0. Ana Paula Assis.57 × 10-4 = 0. dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do betão C20/25: Es 200 = = 6. podemos admitir que o aço tem um comportamento elástico até atingir o patamar de cedência. Quadro 1 – Comparação entre o valores do momento resistente para os vários modos de cálculo x (m) Diagrama parábola-rectângulo Diagrama bilinear Bloco rectangular de tensões Tabela de dimensionamento 0. definir uma nova secção constituída apenas por um dos materiais usados.18713 Ac. Relembra-se que este resultado foi obtido utilizando uma tabela em que a/h=0.1365 MRd (kNm) 215.67 − 1) × 12.53 213. No Quadro 1 comparam-se os valores de momento resistente e da posição do eixo neutro que foram anteriormente determinados.12 3.7 Cálculo do momento de fendilhação Em condições de serviço. é necessário começar por “homogeneizar” a secção. ⎛h ⎞ I x = I c.6 + (6. ou seja.hom = Ac + (α − 1) ⋅ As Ac.18713 m2 Calcula-se o centro de massa da secção homogeneizada (em betão): yG = Ac × h + (α − 1) × As × a 0.63 216.05 2 = = 0. que o betão traccionado apresenta um comportamento elástico até a tensão atingir o valor de fctm e que o betão comprimido apresenta um comportamento elástico até a tensão atingir o valor de fcm Como a secção é constituída por dois materiais de diferentes características.67 30 Ec α = Calcula-se a área homogeneizada (em betão) da secção transversal: Ac.hom (yG é medido a partir da fibra inferior da secção) Calcula-se também o momento de inércia da secção homogeneizada (em betão).57 × 10 − 4 × 0.18 × 0.30 + (6.1366 0.88 215.x + Ac ⋅ ⎜ − y G ⎟ + I s. Isabel Valente.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Verifica-se que o valor do momento resistente obtido é um pouco inferior ao que tinha sido determinado quando se utilizaram as equações de equilíbrio.1457 0.x + (α − 1) ⋅ As ⋅ (y G − a )2 2 ⎝ ⎠ 2 Miguel Azenha. Eduardo Pereira 23 . Considera-se que o eixo x é horizontal e baricêntrico.10.2905 m 0.67 – 1) × 12.3 × 0. 6 + 0.57 × 10 − 4 × (0.2905 − 0.88 / 44. Calacula-se agora qual o valor do momento flector que provoca a fendilhação da secção.15 MPa Ix 5.2905 ) = 2. uma viga de betão armado se encontra muito longe de atingir a rotura.2905 − 0.2 × 10 3 = Mfend = 44.67 × × (0.8285 × 10 −3 m 4 (admite-se que a inércia dos varões em torno do seu eixo baricêntrico é muito pequena e pouco relevante quando comparada com as restantes inércias. f ctm = M fend ⋅ yG Ix M fend 5.8 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço.Folhas de Apoio às Aulas Práticas I x= 0 . pelo que se considera que o seu valor é igual a zero). 6 3 ⎞ ⎛ 0 .15 MPa Zona traccionada Figura 14 Miguel Azenha.05 )2 12 2 ⎠ ⎝ 2 = 5. temos: MRd / Mfend = 215.2905 12. Isto acontece quando a tensão instalada na fibra mais traccionada da secção é igual a fctm.34 MPa Ix 5.89 O que mostra que na fase inicial de formação de fendas. 3 × 0 .67 − 1) × 12.8285 × 10 −3 2.14 ⋅ (y G − a ) = 6. imediatamente antes da fendilhação M fend 44. 3 × 0.6 − 0.34 MPa σc = σs = α ⋅ Zona comprimida da secção 0.14 ⋅ (h − y G ) = × (0. Isabel Valente.2905 ⎟ + 0 + (6. 3.2905 2. Eduardo Pereira 24 .14 kNm Comparando agora o valor do momento em que se inicia a fendilhação da viga com o valor do momento flector resistente.05 ) = 12. Ana Paula Assis.8285 × 10 −3 M fend 44. 6 × ⎜ − 0.8285 × 10 −3 ⋅ 0.14 = 4. 21 MPa Figura 15 Miguel Azenha.3 × 0.55 − x ) 2 x = 0.57 × 10 − 4 ⋅ (0.14 ⋅x = × 0.55 − 0.fend 1. Numa secção onde ambos os materiais trabalham em regime elástico.1496 3 + ⋅6. podemos calcular o valor da tensão nas fibras extremas de betão e de aço: M fend 44.1496 )2 3 I x.6790 × 10 −3 Zona comprimida da secção 0. calcula-se o momento de inércia da secção com as características acima definidas. Sc = Ss ⇔ b ⋅ x ⋅ 0. igualando o momento estático da secção de betão comprimida e o momento estático da secção de aço tracionada.1496 3. Ana Paula Assis.1496 ) = 70. I x. se mantenham a funcionar em regime elástico (aço em tracção e betão em compressão). aço e betão.fend 1.93 MPa I x. em relação à posição desse eixo. Isabel Valente.4504 70. a zona onde o betão se encontra traccionado deixa de contribuir para o funcionamento da secção.21 MPa I x.1496 = 3. embora ambos os materiais. Eduardo Pereira 25 . onde não seja contabilizada a parte da secção transversal de betão que está traccionada.fend = b ⋅ x3 + ⋅α ⋅ As ⋅ (d − x )2 3 0. 3 ⋅ x ⋅ x = α ⋅ As ⋅ (d − x ) 2 x = 6.67 × × (0.67 ⋅ 12.55 − 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 3.67 × 12. imediatamente após a fendilhação Após o início da fendilhação.fend = 1.57 × 10 − 4 × (0. Deste modo. é necessário calcular um novo centro de massa e um novo momento de inércia.fend = I x. a posição do eixo neutro é calculada.9 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço.6790 × 10 −3 M fend 44.14 ⋅ (d − x ) = 6.93 MPa σc = σs = α ⋅ Betão traccionado inactivo 0.679 × 10 −3 m4 Com o valor do momento de inércia em secção fendilhada que acabamos de calcular.1496 m (x é medido a partir da fibra superior da secção) De seguida. compressão yG σs.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Chama-se particular atenção para o valor da tensão instalada na armadura logo após o início da fendilhação. Secção não fendilhada σc.15 MPa para 70. Aqui se mostra a transferência de tensão que se verifica entre a secção de aço e a secção de betão. quando ocorre a fendilhação da secção.33 MPa f cd = α cc ⋅ ck = 1.tracção Zona traccionada Figura 16 4 EXERCÍCIO 4 4.006 (ou 0.02 / 2 = 0.0 × 1. σs.15 → f 20 = 13.008) + 0.1 Características dos materiais Betão C20/25 fck = 20 MPa fctm = 2. De salientar ainda.035 + 0. Eduardo Pereira 26 . Isabel Valente.2 MPa Ecm = 30 GPa Aço para varões A400 fyk = 400 MPa → f yd = f yk 400 = 347. admitimos um varão com um diâmetro “razoável”. de uma forma genérica.2 Cálculo da altura útil Neste caso.21 MPa. a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0. o que mostra que a armadura mínima de flexão está garantida. Ana Paula Assis. que devido à fendilhação da secção passa de 12. uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na secção.tracção h-x Betão traccionado inactivo σs.compressão Zona comprimida da secção Zona comprimida da secção x Secção fendilhada σc.051 m Miguel Azenha. A Figura 16 resume. as posições do eixo neutro e as configurações de tensão para as situações de secção não fendilhada e secção fendilhada em secções rectangulares.tracção σc.5 γc γs = 4. cujo valor é inferior a fyk.83 MPa 1. o aumento do valor de σs. λ = 0.3 Cálculo da armadura longitudinal necessária.f cd λx Fc d .5‰ .15 200 × 10 3 = 1.54m 4. consideramos d=0.60 εs 0.altura útil 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Altura útil .7(3) ) Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞” → εcu3 = 3.0 ( consideramos η = 1. Isabel Valente.20 Fs As = ? Figura 17 A secção definida está sujeita a um momento flector positivo MEd = 240 kNm Equações de equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∑ M = 0 ⇔ ⎧M Rd = Fc × z = Fs × z ⇔ ⎨ ∑ F = 0 ⎩N Rd = Fc − Fs 27 Miguel Azenha. Ana Paula Assis. Eduardo Pereira z . η = 1.d d = 0.051 = 0.1.8 .40 εcu3 x η.74 ‰ Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 17: 0. admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Bloco rectangular de tensões comprimidas – ver EC2 – artigo 3.6 – 0.549 m arredondando.0 porque a secção “alarga” à medida que nos aproximamos das fibras mais Condições iniciais: Rotura pelo betão Aço plastificado → → εc = εcu3 εs > f yd Es = 400 1. NRd = 0. Isabel Valente.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Quando se trata de um problema de flexão simples. Ana Paula Assis. a 2ª equação do sistema anterior fica Fc = Fs .4] ⋅ k = ⎝ v = 3 [b(k ) + 0. logo.20 Figura 18 Acomp = 0.8 − 0.8x.8 x ) = 0. Essa área pode ser calculada com base na Figura 18: 0.6 3 Podemos agora substituir b(k) na equação que define Acomp: k⎞ ⎛ 0 .8 x ) − v = (0.4 k − Acomp = 2 6 Podemos ainda calcular o centro de massa deste trapézio.2 − 0. Eduardo Pereira k .4] k⎞ ⎛ 3 ⎜ 0 . A força de compressão no betão depende da área de secção comprimida. logo.4 − k 0.4(0. Acomp = 0.8 x )2 6 = 0. 4 + ⎜ 0.96 x − 0.533 x ) ⋅ (0. definido a partir da distância v da figura anterior.8 − ⎟ 3⎠ ⎝ Quando se utiliza o bloco rectangular de tensões.Acomp v b(k) 0. A expressão que define o centro de massa de um trapézio pode ser encontrada nas “Tabelas Técnicas” ou em qualquer bibliografia sobre “Geometria de Massa”.1067 x 2 (1. 2 ⎞ ⎛ ⎜ 1 .8 x 28 Miguel Azenha.4 − 0.2 − k ⎟ ⋅ k 3 ⎠ [2 ⋅ b(k ) + 0.2) 2 ⋅ k = 0.267 x ) 2.4267 x 2 3 (0.4 − 2 ⋅ (0.40 Área comprimida . a altura do trapézio é igual a 0.4 − 0.4 + b(k ) ⋅k 2 b(k ) = 0.32 x − 0. 4 − ⎟ 3⎠ k2 ⎝ ⋅ k = 0 . Fs = As ⋅ f yd Então.96 x − 0. Isabel Valente.4267 x 2 2 .81 = As ⋅ 347.1188 − 1422.1188 m Conhecendo o valor de x.8 x M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed ⎛ 0. Fc = Fs = As ⋅ f yd 486.81 kN Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio.96 x − 0.4 − 0 .83 × 10 3 As = 13.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Fc = f cd ⋅ Acomp Fc = 13333 ⋅ 0. Miguel Azenha.32 x − 0. temos.83 × 10 3 ⋅ As ( ) A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.67 × 0.27 x 2 Fs = As ⋅ f yd Fs = 347. Deste modo. Ana Paula Assis.8 x ⎝ ( ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Resolvendo a equação em ordem a x.67 x − 1422.27 x 2 ⋅ ⎜ 0. o braço do binário resistente é dado por z = d – v = 0.4 − 0 . podemos agora calcular Fc: Fc = 4266. Fc = Fs Como admitimos que a armadura está plastificada.1067 x 2 = 4266. começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed Neste caso. temos x = 0.67 x − 1422.1188 2 = 486.54 − ⎜ 2 .4267 x 2 240 = 4266.54 – 0. Eduardo Pereira 29 .996 cm2 Podemos colocar 2 varões com 32 mm de diâmetro.27 × 0. 55 − 0.15 Miguel Azenha.543 m como atrás considerámos d=0.67 MPa γc 1 .5 Aço para varões A500 fyk = 500 MPa → f yd = f yk γs = 500 = 434.54m → Ok! É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras.74‰ 0.20 Figura 19 2φ32 5 EXERCÍCIO 5 5. Admitiu-se que a armadura estava plastificada.5 = ⇔ ε s = 12.70 ‰ > 1.2. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido.6 – 0. Isabel Valente. é respeitado: a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.1 Características dos materiais Betão C25/30 fck = 25 MPa → f 25 fcd = α cc ⋅ ck = 1. o que só é verdade quando ε s > f yd Es = 1.60 Estribo 0.057 = 0. Desenho da secção transversal (Figura 19) 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas NOTA: é necessário verificar se o valor de altura útili admitido em 4.40 Armadura construtiva 0.035 + 0. Eduardo Pereira 30 .006 (ou 0.1188 confirma-se que as armaduras de tracção trabalham em regime plástico.008) + 0.0 × = 16. Ana Paula Assis.78 MPa 1.d d = 0.057 m Altura útil .1188 0.032 / 2 = 0.74 ‰: ε cu 3 x = εs d−x ⇔ εs 3. 8 .d d = 0. uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na secção. Ana Paula Assis.5‰ . o que faz com que o resultado seja o mesmo para momento flector positivo e momento flector negativo.02 / 2 = 0.051 m Altura útil . consideramos d = 0.9 × 0.449 m arredondando.78 × 10 3 As = 10.0 εs = “∞” Miguel Azenha. admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Diagrama parábola-rectângulo Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εcu3 = 3.54 = As ⋅ 434. Eduardo Pereira 31 .44m 5. admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.396m Deste modo. 454.3 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário resistente é z = 0. A equação de equilíbrio de momentos é dada por: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed 180 = Fs × 0.9d Neste caso. η = 1.008) + 0.44 = 0.54 kN Sabendo que Fs = As ⋅ f yd .4 Cálculo da armadura longitudinal necessária.035 + 0. a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 5. o braço do binário resistente é independente da área comprimida da secção. então.006 (ou 0. supõe-se que o braço do binário resistente é dado por z = 0.2 Cálculo da altura útil Neste caso.396 Fs = 454.455 cm2 5.5 – 0. λ = 0. Isabel Valente.051 = 0.9d = 0. 67 x Fs = 434.altura útil η.8 x ⋅ b Fs = As ⋅ f yd (b é a largura do banzo superior) Calculando a força de compressão no betão Fc = 0.8 x ⋅ f cd ⋅ b = 6666.4.50 x 0. Isabel Valente.20 0.fcd λx Fc 0. a 2ª equação do sistema anterior fica Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc = f cd ⋅ 0.40 εs 0. Ana Paula Assis. Eduardo Pereira .15 Figura 20 Fs Equações de equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∑ M = 0 ⇔ ⎧M Rd = Fc × z = Fs × z ⇔ ⎨ ∑ F = 0 ⎩N Rd = Fc − Fs Fc = Fs . Quando se trata de um problema de flexão simples. z 32 Miguel Azenha.1 Momento flector positivo – M+ Condições iniciais: Rotura pelo betão Aço plastificado → → εc = εcu3 εs > f yd Es = 500 1.15 200 × 10 3 = 2.15 0. logo.10 d .17 ‰ Eixo neutro posicionado no banzo superior Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 20: εcu3 0. NRd = 0.78 × 10 3 ⋅ As A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 5. Admitiu-se que a armadura estava plastificada. é necessário ter em conta que estes ficarão colocados na zona inferior da secção. É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Ana Paula Assis. Conhecendo o valor de x. Cada alma tem 0. podemos agora calcular Fc: Fc = 6666.67 × 0.8 x ⎞ ⎛ 180 = 6666. é confirmada.88 kN Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio.0652 = 434. o que só é verdade quando ε s > f yd Es = 2. Fc. o braço do binário resistente é dado por z = d – 0. Deste modo.4x M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed 0 . em cada alma. Fc = Fs = As ⋅ f yd 434.78 × 10 3 As = 10. temos.15 m de largura. pelo que é aconselhável colocar apenas 2 ou 3 varões em cada uma delas. começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed Neste caso.8x = 0. a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado no banzo. tendo em conta que uma parte das almas estaria comprimida. ou seja. seria necessário redefinir a equação da força de compressão. temos x = 0. uma solução possível é colocar 2 varões com 16mm de diâmetro + 1 varão com 12mm de diâmetro. Fc = Fs Como admitimos que a armadura está plastificada.67 x ⋅ ⎜ 0.10m.17 ‰ : Miguel Azenha.0652 m < 0.44 − ⎟ 2 ⎠ ⎝ Resolvendo a equação em ordem a x.00 cm2 Ao definir a disposição de varões. nas almas.1m logo.44 – 0. Eduardo Pereira 33 . Fs = As ⋅ f yd Então.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Deste modo.88 = As ⋅ 434. Se o valor de x fosse superior a 0. Isabel Valente. 10 Fs εs d .17 ‰ Eixo neutro posicionado nas almas Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 21: 0. NRd = 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas ε cu 3 x = εs d−x ⇔ εs 3 .40 εcu3 0.0652 0.4.5 = ⇔ ε s = 20. Quando se trata de um problema de flexão simples. 5.altura útil 0. logo.44 − 0. Isabel Valente.8 x ⋅ b Fs = As ⋅ f yd (b é a largura de uma alma) Calculando a força de compressão no betão Fc = 2 × 0. Ana Paula Assis.20 0.fcd Equações de equilíbrio: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ∑ M = 0 ⇔ ⎧M Rd = Fc × z = Fs × z ⇔ ⎨ ∑ F = 0 ⎩N Rd = Fc − Fs Fc = Fs .2 Momento flector negativo – M- Condições iniciais: Rotura pelo betão Aço plastificado → → εc = εcu3 εs > f yd Es = 500 1. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido.0652 confirma-se que as armaduras de tracção trabalham em regime plástico.50 0.15 Figura 21 λx Fc x η.15 200 × 10 3 = 2.12 ‰ > 2. a 2ª equação do sistema anterior fica Definimos então cada uma das forças envolvidas: Fc = 2 ⋅ fcd ⋅ 0.8 x ⋅ fcd ⋅ b = 4000 x z Miguel Azenha.17‰ 0. Eduardo Pereira 34 .15 0. 40m.44 − ⎟ 2 ⎠ ⎝ Resolvendo a equação em ordem a x.8x = 0. Conhecendo o valor de x. Fc = Fs = As ⋅ f yd 456.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Fs = 434. Se o valor de x fosse superior a 0. temos x = 0.1141 = 456. tendo em conta que uma parte do banzo estaria comprimida. Fc = Fs Como admitimos que a armadura está plastificada. Deste modo.8 x ⎞ ⎛ 180 = 4000 x ⋅ ⎜ 0. Deste modo.54 = As ⋅ 434. temos. é confirmada. Eduardo Pereira 35 .78 × 10 3 ⋅ As A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.498 cm2 Neste caso.1141 m < 0. o que só é verdade quando ε s > f yd Es = 2.54 kN Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio. Fs = As ⋅ f yd Então.4m logo.44 – 0. Isabel Valente. Admitiu-se que a armadura estava plastificada. o braço do binário resistente é dado por z = d – 0. uma solução possível é colocar 6 varões com 16mm de diâmetro. a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado nas almas. podemos agora calcular Fc: Fc = 4000 × 0.50m). seria necessário redefinir a equação da força de compressão. Fc.78 × 10 3 As = 10. começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento: M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed Neste caso. É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. a armadura fica distribuída ao longo do banzo superior (largura de 0. Ana Paula Assis.4x M Rd = Fc × z = Fs × z = M Ed 0.17 ‰ : Miguel Azenha. 1141 0. Miguel Azenha.134 ξ = 0.237 → → x = 0.0864 b ⋅ h ⋅ fcd = 180 0.106 ω = 0. De seguida. Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado nas almas da secção. tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.0864 µ = 0.5 × 16.5 h 3º parâmetro: momento reduzido: µ+ = µ− = + M Rd b ⋅ h ⋅ fcd − M Rd 2 2 = 180 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas ε cu 3 x = εs d−x ⇔ εs 3.9d é apenas uma estimativa. em outras situações.144 A' A 4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): γ = No caso em estudo.67 × 10 3 2 = 0. queremos determinar a armadura longitudinal.067 m (<0.144 → → ω = 0.1m) x = 0.44 − 0.5 × 0.5 = ⇔ ε s = 9. mostra-se a Tabela 9 onde se assinalam os pontos necessários ao dimensionamento.144 → → ξ = 0. É preciso ter em conta que: − − considerar z=0. tal poderá não acontecer. pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro.102 0 .5 × 16. verifica-se que a quantidade de armadura longitudinal calculada não difere muito entre si. No entanto.87 cm2 Verificação da posição dos eixos neutros: M+ = 180 kNm → M.4m) Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado no banzo superior da secção.16 cm2 As = 10.3 × 0. M+ = 180 kNm → M. Eduardo Pereira 36 .119 m (<0. utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas: 1º parâmetro: 2º parâmetro: classe do aço → S500-B relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura – → podemos considerar que a/h = 0.67 × 10 3 2 = 0.5 Cálculo da armadura longitudinal.17‰ 0.1141 confirma-se que as armaduras de tracção trabalham em regime plástico. a percentagem mecânica de armadura: ω = As f yd ⋅ b ⋅ h f cd Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 9.051 = = 0. Ana Paula Assis. 5. pelo que o resultado real pode ser diferente.= 180 kNm → µ = 0.0864 µ = 0.= 180 kNm → µ = 0. Nas 3 situações analisadas.189 → → As = 10. a quantidade de armadura depende muito da área de betão comprimida. Isabel Valente. Então.15m a 0. O cálculo efectuado para determinação da posição do eixo neutro é válido.997 ‰ > 2. Eduardo Pereira 37 . Isabel Valente. Ana Paula Assis.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Miguel Azenha. calcula-se o valor da extensão ao nível de cada fibra da secção transversal que corresponde à posição de armadura: Miguel Azenha.78 MPa 1. 0. tal como se representa na Figura 22. η = 1.fcd Fc Fs1 Fs2 NEd εs4 εs5 εs6 εs3 Fs3 Fs4 Fs5 Fs6 Figura 22 – Diagrama de extensões na secção transversal em I Tendo em consideração as condições definidas.216 0. Deste modo.0 × 20 = 13.0 εs = “∞” Condições iniciais: Rotura pelo betão → εc = εcu3 Aço plastificado Aço não plastificado → → ε s > ε sy ε s < ε sy ∧ ε sy = f yd Es = 500 1.17 ‰ De acordo com a Figura 6. Eduardo Pereira 38 . o bloco rectangular de tensões engloba o banzo superior da secção e uma parte da alma.8 .2 Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais: Betão – Bloco rectangular de tensões Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εcu3 = 3.15 6.5‰ .33 MPa 1.1 Características dos materiais Betão C20/25 fck = 20 MPa → f cd = α cc ⋅ f ck γc = 1 .27m da fibra superior da secção.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 6 EXERCÍCIO 6 6.27 εs1 εs2 εcu3 η.15 200 × 10 3 = 2. o eixo neutro da secção transversal em I está posicionado a 0. λ = 0. Isabel Valente.5 Aço para varões A500 fyk = 500 MPa → f yd = f yk γs = 500 = 434. Ana Paula Assis. 06 × 10 − 4 × ε s 2 < ε sy ⇒ Fs 2 = As 2 ⋅ E s ⋅ ε s 2 = 12.28 ‰ > 2.27 − 0.84 kN 1.39 ‰ < 2.18 ⇔ ε 3.5 × 10 −3 = s 5 ⇔ ε s = 4.27 0.06 × 10 − 4 × ε s 6 > ε sy ⇒ Fs 6 = As 6 ⋅ f yd = 12.57 ‰ > 2.17‰ 0.02 × 10 −4 × 200 × 10 6 × 0.5 × 10 −3 = s 6 ⇔ ε s = 5.15 as armaduras de compressão trabalham em regime elástico ε cu 3 x = ε s3 0.06 × 10 − 4 × 500 × 10 3 = 524. Ana Paula Assis.51 kN 1.33 ⇔ ε 3.15 ε s 5 > ε sy ⇒ Fs 5 = As 5 ⋅ f yd = 12.03 ⇔ ε 3.18 as armaduras de tracção trabalham em regime plástico ε cu 3 x = ε s5 0.15 Miguel Azenha.3 Cálculo do valor das forças internas Com o valor das extensões calculadas é possível calcular o valor da força em cada nível de armadura.27 0.5 × 10 −3 = s 3 ⇔ ε s = 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas ε cu 3 x = ε s1 x − 0.27 0.17‰ 0.27 0. 500 × 10 3 = 524.33 as armaduras de tracção trabalham em regime plástico ε cu 3 x = ε s6 0.5 × 10 −3 = ⇔ ε s = 2.39 × 10 −3 = 31.03 as armaduras de tracção trabalham em regime elástico ε cu 3 x = ε s4 0.5 × 10 −3 = s 4 ⇔ ε s = 2.05 ⇔ ε s1 3.17‰ 0.56 ‰ < 2.05 as armaduras de compressão trabalham em regime plástico ε cu 3 x = ε s2 x − 0.43 ⇔ ε 3. Eduardo Pereira 39 .27 0.02 × 10 − 4 × 500 × 10 3 = 174.37 kN ε s 4 > ε sy ⇒ Fs 4 = As 4 ⋅ f yd = 4.27 − 0.51 kN 1.17‰ 0.15 ε s1 > ε sy ⇒ Fs1 = As1 ⋅ f yd = 12.51 kN 1.98 kN ε s 3 < ε sy ⇒ Fs 3 = As 3 ⋅ E s ⋅ ε s 3 = 4. Isabel Valente.85 ‰ > 2.15 ⇔ ε s2 3.27 0.17‰ 0.17‰ 0.15 500 × 10 3 = 524.33 ‰ > 2.56 × 10 −3 = 373.5 × 10 −3 = ⇔ ε s = 1.06 × 10 −4 × 200 × 10 6 × 1.43 as armaduras de tracção trabalham em regime plástico 6. 33 × 10 3 = 42.075 + 524.20 × (0.70 × 0.51 × 0.98 − 31. iguala-se o somatório das forças que actuam internamente na secção com o somatório das forças externamente aplicadas: Fc + Fs1 + Fs 2 − Fs 3 − Fs 4 − Fs 5 − Fs 6 = N Ed ⇔ 1909 .216 − 0.51 + 378 .167 m zs1 = 0.33 × 10 3 = 0.51 − 524.075 + 174.51 = N Ed ⇔ N Ed = 1557 .67 kN Fc 2 = 0. é possível resolver a 1ª equação de equilíbrio.2) × 13. Isabel Valente. Eduardo Pereira 40 .167 + 524.33 × 10 3 = 0.Folhas de Apoio às Aulas Práticas Falta ainda calcular a força de compressão no betão. Neste caso.075 m zs4 = 0. A área de betão comprimida está assinalada na Figura 22.51 × 0.14 × 13.84 − 524.84 × 0.0032 × 13.325 m zs2 = 0.67 × 0. Neste equação.59 kN 6.325 ⇔ M Rd = 1075.67 × 0. o equilíbrio vai ser estabelecido em relação à posição do centro de massa da secção transversal.225 + 524. M Rd = Fc1 ⋅ z c1 + Fc 2 ⋅ z c 2 + Fs1 ⋅ z s1 + Fs 2 ⋅ z s 2 − Fs 3 ⋅ z s 3 + Fs 4 ⋅ z s 4 + Fs 5 ⋅ z s 5 + Fs 6 ⋅ z s 6 ⇔ sendo.33 + 524 .325 + 378.325 m M Rd = 1866.51 × 0.075 m zs5 = 0.225 m zs3 = 0.37 − 174. anulando a parcela correspondente ao esforço axial NEd.275 m zc2 = 0.44 kNm Miguel Azenha. já é possível resolver a 2ª equação de equilíbrio.225 m zs6 = 0.33 × 10 3 = 1866 . Fc1 = 0. calculando o valor do momento resistente.33 kN Conhecendo todas as forças que actuam ao nível da secção transversal.67 kN Fc = Fc1 + Fc 2 = 1909.4 Cálculo do valor do momento flector resistente Uma vez que são conhecidas todas as forças que actuam na secção transversal. onde é necessário considerar todo o banzo superior e uma parte da alma. Ana Paula Assis.98 × 0.225 − 31.275 + 42.37 × 0. zc1 = 0.20 × 13. consideramos d = 0. admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.056 = = 0.d d = 0.7 – 0.1 Características dos materiais Betão C25/30 fck = 25 MPa → f 25 = 16.67 × 10 3 relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): A’ = A No caso em estudo.644 m arredondando.2 × 0. Isabel Valente. a = rec + φestribo + φ / 2 a = 0.64m 7.67 × 10 3 2 = 0. queremos determinar a armadura longitudinal.2143 4º parâmetro: 5º parâmetro: esf.Folhas de Apoio às Aulas Práticas 7 EXERCÍCIO 7 7.02 / 2 = 0. pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro.5 γc Aço para varões A400 fyk = 400 MPa → f yd = f yk γs = 400 = 347.2 Cálculo da altura útil Neste caso.056 = 0.83 MPa 1.2 × 0.008) + 0.006 (ou 0. Eduardo Pereira 41 .7 × 16. Ana Paula Assis.7 h 3º parâmetro: momento reduzido: µ= υ= = 350 0.3 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas: 1º parâmetro: 2º parâmetro: classe do aço → S400-B relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura – → podemos considerar que a/h = 0. Miguel Azenha.15 7.10m M Rd b ⋅ h ⋅ f cd 2 a 0.p.0 × 1 .04 + 0.08 0 .056 m Altura útil .67 MPa fcd = α cc ⋅ ck = 1. a percentagem mecânica de armadura: ω = As f yd ⋅ b ⋅ h f cd Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 13.7 × 16. uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na secção. axial reduzido: N Ed 100 = = 0.0429 b ⋅ h ⋅ f cd 0. Então.215 → → → ω = 0.46 cm2 → µ = 0.p.471 ω = 0.459 ω = 0.0429 Então. onde se assinalam os pontos necessários ao dimensionamento.2143 .Folhas de Apoio às Aulas Práticas De seguida. υ = 0. Miguel Azenha.469 → A’ + A = 31. N = 100 kN Interpolando. quando µ = 0. Quando Quando µ = 0. M = 350 kNm .210 µ = 0.2143 Uma solução possível é colocar 5 varões com 20mm de diâmetro em cada face. Eduardo Pereira 42 . Ana Paula Assis. Isabel Valente. mostra-se a Tabela 13. Folhas de Apoio às Aulas Práticas Miguel Azenha. Isabel Valente. Ana Paula Assis. Eduardo Pereira 43 .