FONCTIONS ET FONCTIONS RECIPROQUES SERIE D’EXERCICES 4ème ScexpExercice1: Soit f la fonction définie sur [0,1] , par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 . 1) Montrer que f réalise une bijection de [0,1] sur un intervalle I que l’on précisera . 2) Calculer 𝑓 −1 (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ I. 3) Calculer de deux façons différentes (𝑓 −1 )′ (𝑥) , en précisant son domaine . Exercice2: 𝜋 1 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 Soit g la fonction définie sur [0, 4 [ par : g(x) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 . 𝜋 a) Montrer que g réalise une bijection de [0, 4 [ sur un intervalle J que l’on précisera. b) Calculer 𝑔−1 (0 ) ; 𝑔−1 (1 ) et 𝑔−1 ( √2 − 1 ). c) Etudier la dérivabilité de 𝑔−1 , à droite en 0 . 1 d) Montrer que 𝑔−1 est dérivable sur ]0, +∞[ et que :∀𝑥 ∈ ]0, +∞[, (𝑔−1 )′ (𝑥) = . (𝑥+2)√𝑥 2 +2𝑥 Exercice3: 𝜋 Soit 𝑓 la fonction definie sur]0, 2 ] par : 𝑓(𝑥) = √cotg 𝑥 𝜋 1) Montrer que 𝑓 réalise une bijection de ]0, 2 ] sur ℝ+ . −2𝑥 2) Montrer que 𝑓 −1 est dérivable sur ℝ+ et que pour tout 𝑥 ∈ ℝ+, (𝑓 −1 )′ (𝑥) = 1+𝑥4 3) 𝜋 a) Montrer que l'équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 admet une solution unique α dans ]0, 2 ]. b) Tracer dans un même repère les courbes 𝒞 et 𝒞′ de 𝑓 et 𝑓 −1. 1 4) Soit ℎ la fonction définie sur ℝ∗+ par: ℎ(𝑥) = 𝑓 −1 (√𝑥) − 𝑓 −1 ( ) √𝑥 1 𝜋 Montrer que ℎ est constante sur ℝ∗+ . En déduire que pour tout 𝑥𝜖ℝ∗+ ; 𝑓 −1 (√𝑥) + 𝑓 −1 ( ) = √𝑥 2 Exercice 4 1 Soit la fonction 𝑓: [0, 2[ → ℝ définie par 𝑓(𝑥) = tg(𝜋𝑥) 1) 1 a) Montrer que 𝑓 réalise une bijection de [0, 2[ sur [0, +∞[. 1 b) Montrer que tg(𝜋𝑥) = 𝜋 , possède une solution α unique dans ]0, [. 2 1 1 c) Montrer que 𝑓 −1 est dérivable sur ]0, 2[ et que: (𝑓 −1 )′ (𝑥) = 𝜋(1+𝑥2 ) d) 𝑓 −1 est elle dérivable en 0? Justifier le. 1 𝑔(𝑥) = 𝑓 −1 (𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0 2) On considère la fonction 𝑔 définie sur [0, +∞[ par: { 1 𝑔(0) = 2 a) Déterminer lim 𝑓 −1 (𝑥). 𝑥→+∞ b) Montrer que 𝑔 est continue à droite en 0. Montrer que 𝑔 est continue sur [0, +∞[. −1 c) Montrer que 𝑔 est dérivable sur [0, +∞[ et que : 𝑔′ (𝑥) = 𝜋(1+𝑥2 ) 𝑠𝑖 𝑥 > 0 1 3) On considère la fonction ℎ définie par: : ℎ(𝑥) = 𝑓 −1 (𝑥) + 𝑓 −1 ( ) pour tout 𝑥 ∈ ]0, +∞[ 𝑥 a) Montrer que ℎ est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer ℎ′ (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ ]0, +∞[. 1 1 b) Calculer ℎ(1). En déduire que pour tout 𝑥 ∈ ]0, +∞[: 𝑓 −1 (𝑥) + 𝑓 −1 (𝑥) = 2 Exercice 5 : Mr.Hedi Souissi Etude de fonctions et fonction réciproques Page 1 1[. 2 ] par : 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑖𝑛𝑥 . 𝑗⃗) les courbe 𝒞𝑓 et 𝒞 −1 . la courbe ( C ) de f. c-Montrer que g est dérivable à droite en 0 et donner gd’(0). Exercice 6 : 𝜋 I. b) Déterminer 𝑔−1 (𝑥). c) Etudier la dérivabilité de 𝑓 sur ℝ\{−1}. dans un repère orthonormé . de 𝑓 et 𝑔−1 .1[ et que : ℎ’(𝑥) = − 𝑔’(𝑥) 𝜋 4) Calculer h(0). 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 + √𝑥 2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1 Soit 𝑓 la fonction définie par: { 1 𝑓(𝑥) = (2 − 𝑥)√𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1 2 1) a) Montrer que 𝑓 est continue sur ℝ. −1[ a) Montrer que 𝑔 réalise une bijection de ]−∞. b) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en (−1).1[ et que : ∀𝑥 ∈ ]0. Soit f la fonction définie sur [0. 2 ] sur un intervalle J que l’on précisera.Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 . |𝑓 ′ (𝑥)| ≤ 2 .Montrer que f réalise une bijection de [0.Hedi Souissi Etude de fonctions et fonction réciproques Page 2 . 4) Soit U la suite définie par 𝑈0 = 0 et 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛 ) . pour tout réel 𝑥 ≠ −1 d) Dresser le tableau de variations de 𝑓. ∀𝑛 ∈ ℕ. admet une solution unique 𝛼 . c) Construire dans un même repère orthonormé (𝑜. c) En déduire que la suite U est convergente vers .1].on note g la fonction réciproque de f.1[ . b. 𝑔′ (𝑥) = √1−𝑥 4 II- 1⁄ 4 Soit 𝜑 la fonction définie sur [0.1] 3) Montrer que h est dérivable sur ]0. √2 b) Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ . 1) Dresser le tableau de variation de f 𝜋 𝜋 2) a. On note 𝑔−1 la bijection réciproque de 𝑔. ℎ(𝑥) = 2 − 𝑔(𝑥) 1 𝑘 5) On considère la suite U définie par : 𝑈𝑛 = 𝑛 ∑𝑘=𝑛 𝑘=1 ℎ(𝑛2 ) a) Montrer que : pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ et tout entier 𝑘 tel que 1 < 𝑘 ≤ 𝑛 .1] . 𝑖⃗.1] .construire . 3) On considère la fonction h définie sur [0. 2 [. Calculer 𝑓 ′ (𝑥). on a ∶ 1 𝑘 1 ℎ ( ) ≤ ℎ ( 2 ) ≤ ℎ ( 2) 𝑛 𝑛 𝑛 b) En déduire que U est convergente et déterminer sa limite .1[. On pose ℎ = 𝑔 ∘ 𝜑 1) Etudier les variations de 𝜑 sur [0. Mr. |𝑈𝑛+1 − 𝛼| ≤ 2 |𝑈𝑛 − 𝛼|. √ 2 a) Montrer que pour tout x∈ [0. Interpréter le résultat en donnant les conséquences graphiques pour la courbe de 𝑓. 𝜋 3) a. 2) On désigne par 𝑔 la restriction de 𝑓 à ]−∞.Encadrer 𝛼 au dixième près.1] par : 𝜑(𝑥) = (1 − 𝑥 4 ) 4 = √1 − 𝑥 4 . 2𝑥 d-Montrer que g est dérivable sur ]0. admet une solution unique 𝛼 ∈ ] 6 . Construire dans le même repère que ( C ) la courbe (C’) de g. En déduire que : ∀𝑥 ∈ [0. 2) Montrer que h est continue sur [0. pour tout 𝑥 ∈ ]0. b.1]par : h(x) = f(x) – x Montrer que l’équation h(x) = 0 . −1[ sur ]0.