RACIOCÍNIO LÓGICOLÓGICA ESTRUTURAS LÓGICAS LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO DIAGRAMAS LÓGICOS Tipos de Sentenças 1) Imperativas Temos quatro tipos de sentenças: Expressam uma ordem. Exemplos: “Faça o dever.”; “Silêncio.”; 2) Exclamativas Trazem uma interjeição. Exemplos: “Bom dia!”; “Que carrão!”; 3) Interrogativas Formulam uma pergunta. Exemplos: “Que horas são?”; “Será que vai chover hoje?” 4) Declarativas Fazem uma afirmação. Exemplos: “A lua é um satélite natural da Terra.”; “A prata é um vegetal.” Somente para as sentenças declarativas (proposições) podemos atribuir um valor VERDADEIRO (V) ou FALSO (F), enquanto para as três primeiras não é possível atribuir um valor-verdade. Observações: i) Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (Princípio da Não-Contradição); ii) Uma proposição só admite V ou F, não havendo uma terceira hipótese (Princípio do Terceiro Excluído); Exclusivamente as proposições serão objeto de nosso estudo e podem ser: Simples ou Compostas. São compostas quando forem usados conectivos (explicaremos o significado de conectivos mais adiante), unindo duas ou mais proposições. O uso das Tabelas Verdade facilitará bastante a verificação do valor verdade das proposições compostas. Número de linhas de uma Tabela Verdade: Dependerá do número de proposições envolvidas. Para uma proposição simples, é claro que o número de linhas será igual a 2 (21), pois essa proposição (p) só poderá ser V ou F. A Tabela Verdade será: p V F Para uma proposição composta, o número de linhas da Tabela Verdade dependerá do número de proposições simples que a compõem. Para uma proposição composta por 2 proposições (p, q), o nº de linhas será igual a 4 (22), pois podemos ter quatro situações: as duas verdadeiras, as duas falsas, apenas a 1ª verdadeira ou apenas a 2ª verdadeira. A Tabela Verdade será: p V V F F q V F V F Pedro Bello complemento_de_racicinio_logico Página 1 (VVF). “é falso que”.Para uma proposição composta por 3 proposições (p. Na 3ª coluna. passa a ser Falsa. “blocos” de V e de F com a metade do número de linhas encontrado para a T. mais utilizada nas provas de concursos Cespe/UnB. teria 16 linhas (24). q. até que intercalemos V com F. o sinal abrange (p ∨ q). Logo. Cada um dos conectivos (∧. r). Se a sentença originalmente era Verdadeira. Na 2ª coluna. “não é verdade que”. multiplicação (x) e divisão (÷) definem o resultado de uma operação aritmética. após o uso do modificador passa a ser Verdadeira. ~(p ∨ q) ∨ r. s). ∨. Podemos montar a seguinte Tabela Verdade: p V F ~p F V Observação: O sinal “~” abrange apenas a proposição mais próxima. A Tabela Verdade será: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F Podemos então inferir que a fórmula para o número de linhas da T. → .V. Assim como na aritmética os sinais de soma (+). de uma proposição composta é: 2n. e assim por diante. E. com o uso do modificador. O modificador inverte o significado das sentenças. (FFV) ou (FFF). Por exemplo. Na 1ª coluna (p) colocaríamos 8 V’s seguidos e depois 8 F’s seguidos. a nossa T. finalmente na 4ª coluna (s) intercalaríamos V com F. (FVV). mas também dos conectivos que as une. subtração (−). q.V. Exemplos: ~p ∨ q ∨ r. o nº de linhas será igual a 8 (23). salvo o caso de parêntesis. se tivéssemos 4 proposições (p. A outra forma de simbolizar a negação. Na 3ª coluna (r) colocaríamos 2 V’s seguidos e depois 2 F’s seguidos. (VFV). Na 2ª coluna (q) colocaríamos 4 V’s seguidos e depois 4 F’s seguidos. Conectivos: Os conectivos são operadores lógicos. podemos formar a sua negação como sendo “não”. “blocos” de V e de F com a metade do número de linhas dos blocos da coluna anterior. ↔) tem definição própria como veremos logo adiante. pois podemos ter oito situações: (VVV). r. na proposição composta o resultado lógico (V ou F) dependerá não apenas do valor lógico das proposições simples que a compõem. Modificador – Símbolo: “~” ou “¬” – Significado: “não”. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 2 . onde n será o número de proposições simples que a compõe. que uma forma prática de construir a Tabela Verdade é fazer. (FVF). Podemos observar também. e se era Falsa. o sinal ~ modifica somente o p. (VFF).V. “blocos” de V e de F com a metade do número de linhas dos blocos da 1ª coluna. na 1ª coluna. é: “¬”. . A proposição composta p ∧ q é chamada conjunção das proposições p. O condicional p → q pode ser lido também de uma das seguintes maneiras: p implica (ou acarreta) q p somente se q p é condição suficiente para q q é condição necessária de p Se duas proposições simples estiverem unidas pelo conectivo →. Esse símbolo (∨). q. O significado essencial de uma proposição condicional está na relação de implicação que se afirma existir entre o antecedente e o conseqüente. também. q. Uma proposição condicional afirma que seu antecedente implica seu conseqüente. Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas. a proposição composta somente será Verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras e será Falsa nos demais casos. a proposição composta será Verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira.Conectivo da Conjunção – Símbolo: “∧” – Significado: “e”. implicativa ou uma implicação. Se duas proposições simples estiverem unidas pelo conectivo "ou" inclusivo. a proposição composta só será Falsa se a 1ª proposição (antecedente) for verdadeira e a 2ª proposição (conseqüente) for falsa. nesta ordem. A proposição composta p ∨ q é chamada disjunção das proposições p. mas tão somente que. Colocando os possíveis valores de p e de q numa Tabela Verdade e usando esse operador teremos os seguintes resultados possíveis (na 3ª coluna): p V V F F q V F V F p∧q V F F F Conectivo da Disjunção – Símbolo: “∨” – Significado: “ou” (inclusivo). a proposição resultante é chamada de proposição hipotética. então seu conseqüente será. mas somente que o conseqüente é verdadeiro se o antecedente o for. se seu antecedente for verdadeiro. Mais adiante veremos o conectivo ∨ que corresponde ao “ou” exclusivo (um ou outro. também chamado de soma lógica. Colocando os possíveis valores de p e de q numa Tabela Verdade e usando esse operador teremos os seguintes resultados possíveis (na 3ª coluna): p V V F F q V F V F p∨q V V V F Conectivo Condicional – Símbolo: “→” – Significado: “se . Não afirma que seu antecedente seja verdadeiro. O componente que se encontra entre o “se” e o “então” costuma ser chamado de antecedente (ou implicante) e o componente que se segue à palavra “então” é chamado de conseqüente (ou implicado). Colocando os possíveis valores de p e de q numa Tabela Verdade e usando esse operador teremos os seguintes resultados possíveis (na 3ª coluna): complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 3 .. corresponde ao “ou” inclusivo. mas não ambos). então”. verdadeiro. Nem afirma que o conseqüente é verdadeiro. sendo Verdadeira também se as duas forem verdadeiras e somente será Falsa se ambas forem falsas. Se duas proposições simples estiverem unidas por esse conectivo. uma proposição composta utilizando o conectivo bicondicional.. que as proposições compostas p → q e ~(p ∧ ~q) são equivalentes.. então q” ser Verdadeira. A proposição composta p ↔ q é chamada bicondicional porque resulta da conjunção das proposições p → q e q → p. temos abaixo a Tabela Verdade para o bicondicional: p V V F F q V F V F p↔q V F F V complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 4 .V.. q) forem verdadeiras ou ambas forem falsas. ou seja. p ↔ q equivale a (p → q) ∧ (q → p).p V V F F q V F V F p→q V F V V Para uma proposição “se p . a conjunção p ∧ ~q deve ser Falsa. ou seja. isto é. como podemos verificar na tabela acima. e somente se p p é equivalente a q q é equivalente a p p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p Então. Podemos verificar. através da construção de uma T. só será Verdadeira se ambas as proposições (p. e somente se q q se. produzem os mesmos resultados em todas as linhas da Tabela Verdade. p V V F F q V F V F ~q F V F V p ∧ ~q F V F F ~(p ∧ ~q) V F V V p→q V F V V Conectivo Bicondicional – Símbolo: “↔” – Significado: “se e somente se”. O bicondicional p ↔ q pode ser lido também de uma das seguintes maneiras: p se. a negação ~(p ∧ ~q) deve ser Verdadeira. essas duas proposições compostas produzem os mesmos resultados em todas as linhas da Tabela Verdade: p V V F F q V F V F p→q V F V V q→p V V F V (p → q) ∧ (q → p) V F F V p↔q V F F V Portanto. Podemos dizer então que. isto é. pois a proposição q → p não equivalerá à proposição p → q. podemos comparar com os operadores aritméticos. O sinal + é o operador da soma e o sinal = define uma relação (no caso. que é equivalente à proposição p ∨ q.Conectivo da Disjunção Exclusiva – Símbolo: “ ∨ ” – Significado: “ou” (exclusivo). na sua Tabela Verdade. 2) Idem para a proposição q ∨ p. uma proposição composta utilizando o conectivo ∨ . Também podemos dizer que ocorrerá uma equivalência lógica quando na Tabela Verdade não ocorrer VF ou FV ou então. Por exemplo: 7 + 5 = 3 • 4 = 12. pois q ∨ p. em valores contrários aos do conectivo bicondicional. Temos uma equivalência lógica quando duas proposições diferentes têm os mesmos resultados nas linhas de suas Tabelas Verdade. que é equivalente à proposição p ↔ q. quando a proposição composta será Verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. Já neste conectivo da disjunção exclusiva.. Portanto. Vejamos um exemplo para melhor entendimento: Verificar se ocorre a equivalência p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). que é equivalente à proposição p ∨ q. como podemos demonstrar na Tabela Verdade abaixo: p V V F F q V F V F p→q V F V V q→p V V F V Equivalências Lógicas (Símbolo: ⇔) Devemos fazer uma distinção entre os símbolos ↔ e ⇔: O primeiro símbolo (↔) representa uma operação entre duas proposições enquanto o segundo símbolo (⇔) representa uma relação. podendo ser as duas verdadeiras. mas não ambos”. esse conectivo significa “ou um ou outro. O único conectivo que não goza dessa propriedade é o condicional. se as duas proposições simples forem verdadeiras. quando ao ligarmos as duas proposições com o operador ↔ ocorrer uma Tautologia (V em todas as linhas da Tabela Verdade). Assim. Propriedade Comutativa: Verifica-se que ocorre essa propriedade para quatro dos cinco conectivos. produzirão os mesmos valores lógicos na T. de igualdade) entre as duas operações. pois: 1) A proposição q ∧ p equivalerá à proposição p ∧ q. 3) Idem para q ↔ p.V. a proposição composta será Falsa. 4) Idem para a disjunção exclusiva. Essa é a diferença para o conectivo ∨ (ou inclusivo). mas não ambos) equivale à negação de p ↔ q. q) forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Temos então a seguinte tabela verdade para esse conectivo: p V V F F q V F V F p ∨ q F V V F Repare que o uso do conectivo ∨ (ou exclusivo) resulta. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 5 . será Falsa se ambas as proposições (p. Como já falamos antes quando definimos os conectivos. Bem menos usado do que o “ou” inclusivo. a proposição composta p ∨ q (p ou q. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Propriedades da operação de negação: I) ~(~p) ⇔ p. Exemplo: p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) é uma Tautologia. ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q Leis distributivas: p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F q∨r V V V F V V V F p ∧ (q∨r) V V V F F F F F (p∧q) V V F F F F F F (p∧r) V F V F F F F F Pedro Bello (p∧q) ∨ (p∧r) V V V F F F F F p ∧ (q∨r) ↔ (p∧q) ∨ (p∧r) V V V V V V V V Página 6 complemento_de_racicinio_logico . Verifique a T. Estas propriedades podem ser facilmente comprovadas construindo-se a Tabela Verdade para cada uma delas e. obtemos V em todas as linhas da Tabela Verdade. p ∨ p ⇔ p Leis comutativas: p ∧ q ⇔ q ∧ p. verificar que ocorrem as equivalências supracitadas. II) ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q. IV) ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q. Tautologia (ou proposição logicamente verdadeira): Temos uma Tautologia quando. assim. p ∨ q ⇔ q ∨ p Leis associativas: p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r. para uma proposição composta. p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r Leis de De Morgan: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q.V.Fazendo a Tabela Verdade temos: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F q∨r V V V F V V V F p ∧ (q∨r) V V V F F F F F (p∧q) V V F F F F F F (p∧r) V F V F F F F F (p∧q) ∨ (p∧r) V V V F F F F F p ∧ (q∨r) ↔ (p∧q) ∨ (p∧r) V V V V V V V V ⇔ Equivalências Notáveis: Dupla Negação: ~ ~p ⇔ p Leis idempotentes: p ∧ p ⇔ p. V) ~(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q). III) ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q. Exemplo: ~[(p ∧ q) → (p ∨ q)] é uma Contradição. Portanto. A outra forma de verificarmos a implicação lógica seria incluir mais uma coluna à direita na Tabela Verdade. Podemos estabelecer uma relação da proposição p com a proposição composta q → p através do símbolo ⇒. podemos afirmar que ocorre a implicação lógica.V. Exemplo: p → [p → (q ∧ ~p)] é uma Contingência. estamos estabelecendo uma relação entre estas proposições. unindo as duas proposições com o conectivo (operador) →.: p V V F F q V F V F (p ∧ q) V F F F (p ∨ q) V V V F (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V ~[(p ∧ q) → (p ∨ q)] F F F F Contingência: Temos uma Contingência quando.: p V V F F q V F V F ~p F F V V (q ∧ ~p) F F V F p → (q ∧ ~p) F F V V p → [p → (q ∧ ~p)] F F V V Implicações Lógicas (Símbolo: ⇒) Assim como nas equivalências. O primeiro símbolo (→) representa uma operação entre duas proposições enquanto o segundo símbolo (⇒) representa uma relação. p ∧ q implica p ∨ q.V. para uma proposição composta. isto é. Vejamos um exemplo para melhor entendimento: verificar se ocorre a implicação p ∧ q ⇒ p ∨ q. Podemos dizer que. E quando ocorrerá implicação entre duas proposições? Quando na Tabela Verdade não ocorrer VF (nessa ordem) ou então. para a implicação devemos distinguir os símbolos → e ⇒. resultará a proposição q → p. Temos apenas VV. a Tabela Verdade dessa proposição nos fornece alguns V e alguns F. obtemos F em todas as linhas da Tabela Verdade.Contradição (ou proposição logicamente falsa): Temos uma Contradição quando. ao ligarmos as duas proposições com o operador → ocorrer uma Tautologia. verificamos que em nenhuma das linhas ocorre a ordem VF. Se o resultado for uma Tautologia significa que ocorre a implicação. Verifique a T. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 7 . ou seja. operando a proposição q com a proposição p através do conectivo →. para uma proposição composta. FV e FF. Verifique a T. Por exemplo: ao estabelecermos que p ⇒ q → p estamos dizendo que a proposição p implica q → p. Façamos a Tabela Verdade: p V V F F q V F V F (p ∧ q) V F F F (p ∨ q) V V V F Comparando o valor verdade (em negrito) das duas colunas referentes às proposições implicadas. p V V F F q V F V F (p → q) V F V V (p → q) ∧ p V F F F [(p → q) ∧ p] → q V V V V II) Regra Modus Tollens: Dada por (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p É outra implicação lógica. p ∧ q ⇒ q. q ∧ p ⇒ q Simplificação Disjuntiva: (p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) ⇒ p Absorção: p → q ⇒ p → (p ∧ q) Regra do silogismo disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q. q ⇒ p ∨ q Conjunção: p ∧ q ⇒ p. q ∧ p ⇒ p. pois fazendo a tabela verdade e substituindo o símbolo de implicação (⇒) pelo conectivo (→) verificamos que ocorre uma Tautologia. Implicações Notáveis (Regras de Inferência): Temos várias implicações notáveis. p V V F F ~p F F V V q V F V F ~q F V F V (p → q) V F V V (p → q) ∧ ~q F F F V [(p → q) ∧ ~q] → ~p V V V V Outras Regras de Inferência são: Adição: p ⇒ p ∨ q. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 8 .p V V F F q V F V F (p ∧ q) V F F F (p ∨ q) V V V F (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V Como a última coluna resultou numa Tautologia. podemos afirmar que ocorre a implicação. (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p Silogismo hipotético: (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r Dilema construtivo: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] ⇒ q ∨ s Dilema destrutivo: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~p ∨ ~s)] ⇒ ~p ∨ ~r Relações entre as implicações: 1ª) p ⇒ q e q ⇒ p (implicações recíprocas): Duas proposições recíprocas não são logicamente equivalentes. pois fazendo a tabela verdade e substituindo o símbolo de implicação (⇒) pelo conectivo (→) verificamos que ocorre uma Tautologia. mas detalharemos apenas as 2 mais importantes que são: I) Regra Modus Ponens: Dada por (p → q) ∧ p ⇒ q É uma implicação lógica. uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja. . b) a proposição inversa. P3. ou seja. Pn são chamadas de premissas do argumento e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento. As duas primeiras não são equivalentes à proposição original. P3. P2. . ela não é uma boa cozinheira” (~q → ~p). complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 9 . Resolução: a) A proposição recíproca será: “Se ela é pobre.. . acarretam uma conclusão Q. ela é pobre” (p → q)..2ª) p ⇒ q e ~p ⇒ ~q (implicações inversas): Duas proposições inversas não são logicamente equivalentes. Sua origem está ligada ao berço da civilização ocidental.. Pn ⏐⎯ Q onde o símbolo ⏐⎯ (traço de asserção) significa “acarreta”.. a Grécia antiga com o pensamento do filósofo Aristóteles. as premissas P1.. c) a proposição contrapositiva. Pn. P2.. P3. com a conclusão precedida por ∴ (símbolo de conclusão). teremos uma equivalência com a proposição inicial. através das Tabelas Verdade: p V V F F q V F V F p→q V F V V Recíproca q→p V V F V ~p F F V V ~q F V F V Inversa ~p → ~q V V F V Contrapositiva ~q → ~p V F V V ⇔ Silogismo: É um termo filosófico com o qual Aristóteles designou a argumentação lógica perfeita.. . Sempre que uma É VERDADEIRA. então. A seqüência de premissas e conclusão poderá estar disposta horizontalmente ou verticalmente... ela não é pobre” (~p → ~q). As proposições P1. não têm os mesmos resultados nas linhas de suas Tabelas Verdade. b) A proposição inversa será: “Se ela não é uma boa cozinheira. c) A proposição contrapositiva: “Se ela não é pobre. uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja. P3. isto é. ou seja: p → q ⇔ ~q → ~p. Nos diversos exemplos de silogismos dispostos abaixo. será demonstrado o 2º caso (disposição vertical). Argumentação Lógica: Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P1. No 1º caso temos: P1. P2. então. então.. Considere a proposição: “Se ela é uma boa cozinheira. constituída de três proposições declarativas que se conectam de tal modo que a partir das duas primeiras. O silogismo é um tipo de argumento composto de três proposições: duas premissas e uma conclusão. então. Demonstração. Exemplo Determine: a) a proposição recíproca. a outra também SERÁ VERDADEIRA. 3ª) p ⇒ q e ~q ⇒ ~p (implicações contrapositivas): Duas proposições contrapositivas SÃO logicamente equivalentes. é possível deduzir uma conclusão.. ela é uma boa cozinheira” (q → p). Pn tem como conseqüência uma proposição final Q. P2. Somente para a contrapositiva.. chamadas premissas. Exemplo 1: • Todas as mulheres são bonitas • Todas as loiras são mulheres ∴ Todas as loiras são bonitas Repare que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. e dependerá da forma lógica das proposições e não do conteúdo delas. pois mesmo com premissas falsas e conclusão falsa. tivemos todas as premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo 2: • Todos os pássaros têm asas (V) • Todas as gaivotas são pássaros (V) ∴ Todas as gaivotas têm asas (V) Neste exemplo. Veja o exemplo 3. 2) ARGUMENTOS DEDUTIVOS Quando suas premissas fornecem prova conclusiva da veracidade da conclusão. Se dissermos: • Todo M é B • Todo L é M ∴ Todo L é B O argumento continua sendo válido. isto é. L B M Observação Importante: Não devemos confundir veracidade das premissas com validade do argumento. dependerá da sua estrutura lógica. ainda assim o argumento será válido. Mas se trocarmos as palavras “pássaros” por “peixes” e “gaivotas” por “gatos”. o argumento poderá ser válido (ou não). sendo válido o argumento (veja no diagrama que não há como negar que todo G tem asas). Exemplo: Quando suas premissas NÃO fornecerem o apoio completo para • O Fluminense é um bom time de futebol • O Palmeiras é um bom time de futebol • O Grêmio é um bom time de futebol ∴ Todos os times de futebol do Brasil são bons Resultado: A conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas e não se aplica a validade ou não para argumentos indutivos. Exemplo 3: • Todos os peixes têm asas (F) • Todos os gatos são peixes (F) ∴ Todos os gatos têm asas (F) G P TÊM ASAS complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 10 .Os argumentos são divididos em 2 grupos: 1) ARGUMENTOS INDUTIVOS ratificar as conclusões. A validade é uma propriedade dos argumentos DEDUTIVOS. Agora vamos trocar as palavras “gatos” por “pássaros”. mesmo sendo falsa. TÊM ASAS Peixes Exemplo 4: • Todos os peixes têm asas (F) • Todos os pássaros são peixes (F) ∴ Todos os pássaros têm asas (V) Pássaros Todas as premissas continuam falsas. a conclusão. principalmente premissas verdadeiras e conclusão falsa. o argumento não será válido. Veja o exemplo 4. que não há como negar que todo G tem asas. então quer casar comigo. pois a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Se isto acontecer. pois como pode ser visto no diagrama. no diagrama. com premissas falsas. o argumento será válido. nunca poderá ser válido: PREMISSAS CONCLUSÃO V V F F F V V F Mamíferos EXEMPLOS DE ARGUMENTOS NÃO-VÁLIDOS: • Todos os mamíferos são mortais (V) • Todos os gatos são mortais (V) ∴ Todos os gatos são mamíferos (V) G G G MORTAIS Mesmo com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Assim. pois podemos ter argumentos nãoválidos com qualquer caso. II) NEGAÇÃO DO CONSEQÜENTE (MODUS TOLLENS): (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p. Ainda assim. então será demitido. • Lalau foi pego roubando. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 11 . o argumento não é válido. não há como negar que todos os pássaros têm asas. mas ainda assim o argumento será válido. Neste último caso o argumento só poderá ser não-válido (a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão). é sustentada pelas premissas (também falsas). Já para os argumentos NÃO-VÁLIDOS a tabela terá 4 colunas. Exemplo: • Se Lalau for pego roubando. mas a conclusão passa a ser verdadeira. ∴ Ela não me ama.Ficamos com todas as premissas falsas e a conclusão também falsa. ∴ Lalau será demitido. Veja. ARGUMENTOS VÁLIDOS IMPORTANTES: I) AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE (MODUS PONENS): (p → q) ∧ p ⇒ q. estaremos diante de um sofisma ou falácia. podemos ter argumentos VÁLIDOS com: PREMISSAS CONCLUSÃO V V F F F V Só não podemos ter: premissas verdadeiras e conclusão falsa. Assim. Exemplo: • Se ela me ama. • Ela não quer casar comigo. Usando como exemplo uma questão de concurso público (SERPRO-96): Se Ana não é advogada. temos três premissas: 1) Se Ana não é advogada. Se Ana é advogada. Essa validade pode ser verificada. Logo. pois o argumento válido goza da seguinte propriedade: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. todas as suas premissas terão que ser verdadeiras e a conclusão também. para que um argumento seja VÁLIDO. Ora. (d) Ana é advogada e Paula é professora. para esse tipo de argumento ser válido. então Paula não é professora.Como podemos ver no diagrama. com essas premissas a conclusão não será necessariamente verdadeira. ALÉM DISSO. a conclusão terá que ser verdadeira todas as vezes que as premissas forem verdadeiras. que deverão ser utilizados sempre que tivermos proposições categóricas (proposições usando os quantificadores “todo”. demonstrada ou testada através das tabelas-verdade. (e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. ou cobras mortais e apenas algumas serem mamíferas ou ainda o caso de mortais e nenhuma ser mamífera. é: Qual a conclusão (necessariamente verdadeira) para o conjunto de premissas (todas verdadeiras) dado? Neste exemplo de questão. 3) Paula é professora. então Sandra é secretária. O que está sendo pedido nesta questão e também será em todas as outras deste tipo. mas também podemos ter todos os gatos mortais e apenas alguns serem mamíferos e ainda podemos ter todos os gatos mortais e nenhum ser mamífero. Como podemos ver no diagrama. pois podem ser todos os gatos mortais e mamíferos. (c) Ana é advogada ou Paula não é professora. Basta substituir os gatos por cobras. então Paula não é professora. É fácil demonstrar que o argumento não é válido e que as premissas não garantem a veracidade da conclusão. Como resolvê-la? Sabemos que. só será válido quando todas as premissas e a conclusão forem verdadeiras. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Veremos agora um tipo de argumento que. ao contrário dos silogismos. afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão relacionadas com a conclusão de tal forma. que não é possível ter a conclusão falsa se todas as premissas forem verdadeiras. (b) Sandra é secretária. com o uso das regras de inferência ou pelos diagramas de Euler/Venn. Portanto: (a) Ana é advogada. “algum” ou “nenhum”) através de silogismos (duas premissas e uma conclusão). complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 12 . a veracidade das premissas não garante a veracidade da conclusão. Paula é professora. 2) Se Ana é advogada. Ficamos com: MORTAIS Mamíferos • Todos os mamíferos são mortais (V) • Todas as cobras são mortais (V) ∴ Todas as cobras são mamíferas (F) C C C O argumento não é válido pelo mesmo motivo anterior. então Sandra é secretária. podemos ter todas as cobras mortais e mamíferas. pois no argumento dado. Portanto. não pode ter o valor V para a proposição a. Assim. pois é dito: “Ora. finalizamos com: ~a → s. Examinemos agora. V. a terceira. . F. a → ~p. V.” Será por essa premissa que começaremos a resolução da questão. V . a proposição a tem que ter o valor F para que a premissa a → ~p tenha V como resultado. p. mas antes vamos transformar as proposições em letras e usar os símbolos lógicos para os conectivos. . p ⏐⎯ CONCLUSÃO (?). ou seja. vamos traduzir o enunciado para a linguagem lógica. É a resposta da questão.V) ou (F. pois no argumento dado. Para descobrir o valor dessa conclusão (a única entre as opções de resposta. Assim: ~a → s. V → V . Sendo a proposição p verdadeira. Já sabemos que: a proposição “a”: “Ana é advogada” É FALSA. pois na condicional a seqüência VF tem como resultado o valor F. Logo: ~a → s. V. a → ~p.F). vamos começar pela única das 3 premissas que é incondicional. a → ~p. V. pois a seqüência VF na condicional terá F como resultado. F → F. p. F → F. então) e podem ser verdadeiras de 3 formas diferentes (V. V. Para essa argumentação ser válida. p. ela é dada (afirmada) como verdadeira. mas vamos demonstrar porque não podemos ter como gabarito da questão as outras três opções: complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 13 . para ser verdadeira. V . Sendo a proposição a falsa. V. Já chegamos no gabarito da questão. a sua negação (~p) só pode ser falsa. Note que devemos colocar (para não confundir) as proposições sempre na forma afirmativa e usar o modificador para negá-la quando for necessário. “p” a proposição: “Paula é professora”. atribuindo-lhe o valor V. Logo. a proposição “s”: “Sandra é secretária” É VERDADEIRA. Então a argumentação lógica fica assim: ~a → s. a → ~p. a conclusão também terá que ser verdadeira. (b) Sandra é secretária.V). “s” a proposição: “Sandra é secretária”. A segunda premissa. Não pode ser a opção de resposta. a proposição “p”: “Paula é professora” É VERDADEIRA. esta proposição É FALSA.Por qual delas iremos começar a questão? A primeira e a segunda são premissas condicionais (do tipo: se. além de ser incondicional. o valor verdade da proposição s não poderá ser F. esta proposição É VERDADEIRA. Paula é professora. na primeira premissa. cada uma das opções de resposta: (a) Ana é advogada. Já a terceira. É mais seguro do que colocar umas na forma afirmativa e outras na forma de negação. que será V). Denominaremos por: “a” a proposição: “Ana é advogada”. V. (F. a sua negação (~a) só pode ser verdadeira. terá que ser V para que o seu resultado seja V. Podemos representar tal situação através do seguinte diagrama: B A Se dissermos que algum A é B.(c) Ana é advogada ou Paula não é professora. Portanto. a única conclusão possível (verdadeira) para o argumento é o exposto na letra B: Sandra é secretária. nas equivalências lógicas e na argumentação lógica quão importante é sabermos usar as Tabelas Verdade. Por exemplo: se dissermos que todo A é B. A primeira proposição é VERDADEIRA (negação de uma proposição falsa). Também não pode ser a opção de resposta. “qualquer que seja” Existencial – Símbolo: ∃ – Significado: “existe algum”. a seqüência VF resultará F. entre as opções de resposta a única conclusão verdadeira. Quantificadores: Universal – Símbolo: ∀ – Significado: “para todo”. mas a segunda É FALSA (negação de uma proposição verdadeira) e assim. “existe um único” Símbolo: ∃ – Significado: “não existe” / Vimos nas implicações lógicas. Paula é professora. (e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. entre as opções de resposta. será importante sabermos utilizar os Diagramas de Euler-Venn (Diagramas Lógicos). Mesmo na disjunção. Nas sentenças quantificadas (proposições categóricas). O argumento completo ficaria assim: Se Ana não é advogada. O raciocínio é o mesmo para as outras questões com este tipo de argumento: começar escolhendo uma das premissas (que não seja condicional ou disjuntiva) para atribuir valor V e assim descobrir o valor verdade das outras que tornará o argumento válido. Podemos representar tal situação através do seguinte diagrama: A B complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 14 . Logo. “existe pelo menos um” Símbolo: ∃| – Significado: “existe apenas um”. Ora. Logo na primeira proposição já temos FALSA e sendo o conectivo E. isto quer dizer que alguns elementos de A pertencem ao conjunto B e outros não. então Paula não é professora. a seqüência FF resultará em F e não poderá ser a opção de resposta. então Sandra é secretária. isto quer dizer que todo o conjunto A está contido no conjunto B. Assim como na opção de resposta anterior. Proposição conjuntiva (E). uma delas sendo F. Sandra é secretária. faltando apenas descobrir. Mas Ana é advogada É FALSA e Paula não é professora também É FALSA. Se Ana é advogada. (d) Ana é advogada e Paula é professora. Também não pode ser a opção de resposta. Proposição disjuntiva (OU). o resultado será F. é uma proposição conjuntiva (E). Mas como 2 n é o número de linhas de uma T. teremos 4 linhas e 24 = 16 valorações distintas conforme demonstrado abaixo. onde n será o número de proposições simples da proposição composta. Se o conjunto verdade fosse em N. ou seja. será 22 = 4 linhas. a resposta seria V = ∅ pois –3 ∉ N. Afirmação e negação nas sentenças abertas. Afirmação (∀x) (p(x)) (∃x) (p(x)) p(x) ∧ q(x) p(x) ∨ q(x) p(x) → q(x) q(x) → p(x) p(x) ↔ q(x) Negação (∃x) (~p(x)) (∀x) (~p(x)) ~p(x) ∨ ~q(x) ~p(x) ∧ ~q(x) p(x) ∧ ~q(x) q(x) ∧ ~p(x) (p(x) ∧ ~q(x)) ∨ (q(x) ∧ ~p(x)) Número de Tabelas de Valorações Distintas Não devemos jamais confundir o número de tabelas de valorações distintas com o número de linhas de uma Tabela Verdade.Para a situação em que não existe A em B. logo no início do nosso estudo. para 2 proposições.V. Para n = 2. Por exemplo. Como já vimos antes.V. o número de linhas de uma Tabela Verdade será dado pelo número de proposições envolvidas e será igual a 2n.V. Resposta: V = {–3} pois 2X = 2 – 8 ⇒ 2X = –6 ⇒ X = –3 (pertence ao conjunto Z). n Já o número de valorações distintas será dado por: 2 ( 2 ) . o número de linhas da T. No de tabelas de valorações distintas ≠ No de linhas da Tabela Verdade. Exemplo: Determine o conjunto verdade em Z da sentença aberta: 2X + 8 = 2. Temos que determinar o valor da incógnita. Valorações distintas para 2 proposições: Proposições p V V F F q V F V F V1 V V V V V2 V V V F V3 V V F V V4 V V F F V5 V F V V V6 V F V F Valorações distintas V7 V F F V V8 V F F F V9 F V V V V10 F V V F V11 F V F V V12 F V F F V13 F F V V V14 F F V F V15 F F F V V16 F F F F complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 15 . classificar de imediato como V ou F. não podemos. Nesse caso. podemos dizer que o número de valorações distintas é dado por 2número de linhas da T. nenhum A é B temos: A B Sentenças abertas: Diz-se que uma sentença é aberta quando o valor verdade da proposição depender de uma incógnita. como nas sentenças declarativas.. pode-se concluir que o culpado é: (a) Armando RESOLUÇÃO Atentar para as seguintes observações do enunciado: 1ª) O crime foi cometido por um e apenas um dos cinco suspeitos. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando. Celso. os outros quatro disseram a verdade. A valoração V13 corresponde à proposição: ~p. teremos 5 hipóteses para a identidade do mentiroso: SUSPEITO Armando Celso Edu Juarez Tarso DECLARAÇÕES "Sou inocente" "Edu é o culpado" "Tarso é o culpado" "Armando disse a verdade" "Celso mentiu" H1 F V V V V HIPÓTESES H2 H3 H4 V V V F V V V F V V V F V V V H5 V V V V F Página 16 (b) Celso (c) Edu (d) Juarez (e) Tarso complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello . Perguntados sobre quem era o culpado.A valoração V1 corresponde à proposição: p ∨ ~p. A valoração V3 corresponde à proposição: p ∨ ~q. A valoração V14 corresponde à proposição: ~p ∧ q. Pela observação 2. A valoração V12 corresponde à proposição: p ∧ ~q. Como exemplo. A valoração V11 corresponde à proposição: ~q. Agora. A valoração V5 corresponde à proposição: p → q. bastante comuns em provas de concursos. 2ª) Apenas um dos suspeitos mentiu. A valoração V6 corresponde à proposição: q. Edu. A valoração V7 corresponde à proposição: p ↔ q. A valoração V10 corresponde à proposição: p ∨ q. Juarez e Tarso. A valoração V8 corresponde à proposição: p ∧ q. A valoração V4 corresponde à proposição: p. que envolvem verdades e mentiras. A valoração V2 corresponde à proposição: p ∨ q. prova elaborada pela ESAF. A valoração V15 corresponde à proposição: ~(p ∨ q). cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade. A valoração V16 corresponde à proposição: p ∧ ~p. A valoração V9 corresponde à proposição: ~(p ∧ q). temos uma questão do concurso para Fiscal do Trabalho-1998. vamos ver como fazer a resolução de questões. pois estamos considerando que a declaração de Edu é verdadeira. abaixo relaciono alguns exemplos de argumentos dedutivos NÃO-VÁLIDOS ou FALÁCIAS: Deus ajuda quem cedo madruga. Portanto. deveria ter exceção. Tarso = CULPADO. Steve Wonder é cego. para divertir um pouco. pois estamos considerando que a declaração de Celso é falsa. Ninguém é perfeito. Steve Wonder é Deus. Edu = INOCENTE. daqueles bem cheios de buracos. pois sendo falsa a declaração de Armando. ele também seria culpado e ficaríamos com 3 culpados. O amor é cego. quanto mais queijo.. menos queijo. Assim. Logo. Quem dorme à tarde. teríamos Celso falando verdade e mentira ao mesmo tempo. menos queijo. teríamos 2 culpados (Edu e Tarso). Quanto mais queijos mais buracos.. Logo. SUSPEITO Armando Celso Edu Juarez Tarso DECLARAÇÕES "Sou inocente" "Edu é o culpado" "Tarso é o culpado" "Armando disse a verdade" "Celso mentiu" HIPÓTESES H2 H3 V V V F F V V V V V A hipótese H2 é perfeita. mais buracos. eu sou perfeito. dorme à tarde. Quanto mais queijo. Juarez = INOCENTE. menos queijo. pois ninguém o acusa e ele confirma a declaração de Armando. A hipótese H3 não é viável porque temos.As hipóteses H1. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. eu sou cego!!! Imagine um pedaço de queijo suíço. A hipótese H1 é ainda pior. ficam somente 2 hipóteses para examinar: H2 e H3. quanto mais buracos. Toda regra tem exceção. Disseram-me que eu sou ninguém.. eu sou Steve Wonder!!!! Meu Deus. H4 e H5 podem ser imediatamente descartadas. Assim. eu sou Deus.. pois ficamos com: Armando = INOCENTE. e quanto mais buracos. pois estamos considerando a sua declaração verdadeira. não dorme à noite. Logo. Mas o enunciado explicita que somente um é culpado. Se Steve Wonder é Deus. Isto é uma regra. uma contradição entre 2 declarações. Logo. nem toda regra tem exceção. pois uma declaração não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (princípio da não-contradição). nesta hipótese. Quem cedo madruga. pois considerando verdadeiras as declarações de Celso e Edu. Agora. sai na balada!!!!!!! Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!!! Deus é amor. Portanto. Celso = INOCENTE. o que não é possível. Mas só Deus é perfeito. pois ninguém o acusa e Tarso confirma que ele mentiu sobre a culpa de Edu. Se considerarmos verdadeira a declaração de Celso e verdadeira a declaração de Tarso ("Celso mentiu"). Quem não dorme à noite. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 17 . logo existo. Tempo é dinheiro. O mar é feito de água e sal. vamos beber para ir pro Céu! Penso.. têm todo o tempo do mundo. Logo. complemento_de_racicinio_logico Pedro Bello Página 18 . Como loiras burras não existem. dormimos. não cometemos pecados. ficamos bêbados.Existem biscoitos feitos de água e sal. meu amigo é gay mesmo. meu amigo não namora ninguém. loiras burras não existem. Se uma loira inteligente namorasse meu amigo ela seria burra. o mar é um biscoitão. logo. os vagabundos têm mais dinheiro do que os trabalhadores. os trabalhadores não têm tempo pra nada. Quando não cometemos pecados. vamos para o Céu.. Meu amigo diz que não é gay porque namora uma loira inteligente. Logo. Hoje em dia. Quando dormimos. Quando estamos bêbados. Então. Já os vagabundos. Loiras burras não pensam. Quando bebemos. Logo.
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