Peter Addor Das ist eine open eductaional resource (OER) In ökonomisch angewandten Analysisaufgaben taucht oft eine sogenannte ertragsgesetzliche Kostenfunktion in Form eines Polynoms dritten Grades auf. Dieser Artikel geht der Frage nach, welchen Relationen die Koe zienten des Polynoms gehorchen müssen, damit die Kostenfunktion ertragsgesetzlich ist.
1 Einleitung Eigentlich wurde der Begri ertragsgesetzlich zuerst auf Produktionsfunktionen in der Landwirtschaft angewendet. Er beruht auf der Beobachtung, dass mit zunehmender Düngerverwendung der Bodenertrag bis zu einem bestimmten Punkt ansteigt, danach aber zusammenbricht. Dasselbe gilt für den Arbeitseinsatz. Zunächst steigt der Ertrag mit zunehmendem Arbeitseinsatz an. Sind jedoch zuviele Arbeitskräfte eingesetzt, fällt der Ertrag in sich zusammen. Das kennt man auch in der Softwareindustrie unter dem Namen Brook'sches Gesetz: `Adding manpower to a late software project makes it later'
Wir wollen hier den Begri auf Kostenfunktionen übertragen, z.B. in der Produktion eines einzigen Gutes. Die Produktionskosten nehmen mit zunehmender Produktionsmenge zu, sind also streng monoton steigend. Ein lineares, proportionales Anwachsen ist aber unwahrscheinlich. Meist beobachtet man zunächst ein degressives Anwachsen, d.h. dass die Grenzkosten monoton fallen. Ab der sogenannten Kostenkehre steigen die Produktionskosten aber progressiv an. Es wird dann immer teurer, eine Einheit mehr zu produzieren.
Natürlich hat der neoklassische Ansatz der ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen, Gleichgewichte und Grenzkosten mit seinen Optimierungsbemühungen einigermassen ausgedient, weil er die Dynamik und asymmetrische Information moderner Volkswirtschaften unberücksichtigt lässt. Nichtsdestotrotz ist die neoklassische Mikroökonomie geeignet, um elementare Analysis in einen angewandten Kontext zu stellen.
Ertragsgesetzliche Kostenfunktionen lassen sich auf viele Weisen konstruieren. Fragen wir nach der einfachsten, so wird es vermutlich ein Polynom dritten Grades sein, Die zu produzierenden Mengeneinheiten sind dabei mit
1
x
bezeichnet.
K(x) = ax3 +bx2 +cx+d.
Unser Hauptproblem ist hier: Gib Bedingungen für die Koe zienten
a, b, c
und
d
an, damit die
Kostenfunktion
K(x) = ax3 + bx2 + cx + d
(1)
ertragsgesetzlich ist!
Eine Kostenfunktion interessiert nur im Bereich für
x > 0,
denn man kann nicht eine negative
Menge produzieren. Zudem ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion (streng) monoton steigend. Ein Sattelpunkt ist zwar denkbar, aber eher unrealistisch. Es genügt, wenn wir uns fragen, welche Relationen zwischen den Koe zienten bestehen müssen, damit die Kostenfunktion monoton steigend ist.
2 Die Koe zienten a und d Der Faktor
d
bezeichnet die xen Kosten. Er bewirkt lediglich eine Verschiebung entlang der
y-Achse und hat keinen Ein uss auf die Form der Funktion. Wir können also von der Funktion
K(x) = ax3 + bx2 + cx
(2)
ausgehen.
Der Parameter für ein Polynom und
a
muss positiv sein, denn die Kosten sollen für zunehmende
3
2
P (x) = ax + bx + cx + d
limx→∞ P (x) = −∞
falls
dritten Grades gilt
x
wachsen, und
limx→∞ P (x) = +∞
falls
a>0
a < 0.
3 Die Koe zienten b und c Die Kostenkehre ist im Wendepunkt von (2):
K 0 = 3ax2 + 2bx + c
K 00 = 6ax + 2b und somit bei
x ˆ=− was
b0 b = −3aˆ x c > 3aˆ x2 Fragt sich nun noch, was wir für den Koe zient
a
einsetzen, wenn z.B. die Stückkosten
der Kostenkehre gegeben sind. Die Kosten in der Kostenkehre betragen oder, unter Berücksichtigung von (5)
x ˆ
(7)
zu welchem Stückkosten
k = −2aˆ x2 + c
(8)
in der Kostenkehre produziert werden sollen, so erhalten wir
aˆ x2 .
in
K(ˆ x) = aˆ x3 − 3aˆ x3 + cˆ x =.
K(ˆ x) = −2aˆ x3 + cˆ x Wenn wir angeben, wie viele Stück
k(ˆ x)
K(ˆ x) = aˆ x3 + bˆ x2 + cˆ x,
k = −2aˆ x2 + c > −2aˆ x2 + 3aˆ x2 =
Das bestimmt
a<
k x ˆ2
(9)
5 Die Grenzkosten der Kostenkehre Da in (6) Gleichheit für einen Sattelpunkt gegolten hat, ist zu vermuten, dass es sich beim Defekt
α := c −
b2 = c − 3aˆ x2 3a
(10),
gerade um die Steigung der Wendetangente handelt.
Um das einzusehen, ersetzen wir in (8) den Parameter
α + 3aˆ x2 = aˆ x2 + α
oder
a=
k−α x ˆ2
c
durch (10) und erhalten
(11)
Für die Steigung der Wendetangente erhalten wir dann aus (3):
K 0 = 3 k−α ˆ2 − 6 k−α ˆ + α + 3 k−α ˆ2 = α x ˆ2 x x ˆ2 x x ˆ2 x
3
k = −2aˆ x2 +
6 Zusammenfassung Gegeben seien
•
die Kostenkehre
x ˆ
•
die Stückkosten
k
•
die Grenzkosten
α
in der Kostenkehre in der Kostenkehre.
Dann gilt für die Koe zienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion
a=
K(x) = ax3 + bx2 + cx
k−α x ˆ2
b = 3 α−k x ˆ c = 3k − 2α
7 Beispiele 1. Wir wollen eine Produktion modellieren, in welcher zu variablen Stückkosten von
k = 0.75
x ˆ = 100 000
Mengeneinheiten (ME)
Geldeinheiten (GE) hergestellt werden. Eine ME
mehr kostet 0.76 GE. Wenn wir diesen Punkt in die Kostenkehre legen, betragen dort die Grenzkosten daher ungefähr
a=
0.75−0.01 108
=
α = 0.01.
74 1010
b = 3 0.01−0.75 = −222 · 10−6 104 c = 2.25 − 0.02 = 2.23 und somit
K(x) =
74 3 1010 x
− 222 · 10−6 x2 + 2.23x
4
2. Eine grössere Zunahme als 0.01 GE bei Mehrproduktion von einer Mengeneinheit wäre wohl unrealistisch. Aber bei teuren Gütern, wie z.B. CT, könnte man sich das schon vorstellen. Nehmen wir also an, in der Kostenkehre werden bloss 10 ME produziert, Produktion einer Mengeneinheit koste dort kehre betrage
a=
105 −25000 100
k = 105
α = 25000.
= 750
b = −3 · 7500 = −22500 c = 3 · 105 − 50000 = 250000 und somit