EJERCICIOS RESUELTOS1) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12 Solución Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero. b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador. Solución Es falso puesto que ambas componentes son falsas. d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. 2) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5 Solución Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas. b) 8 + 4 = 12 y 8 – 3 = 2 Solución Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición falsa c) 8 + 4 = 12 o 7 – 2 = 3 Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera d) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10 Solución Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples. e) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2 Solución Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F. f) Sí 7 + 3 = 4, entonces 11 – 7 = 9 Solución Es verdadera V, puesto que las proposiciones implicación son falsas. que intervienen en la 3) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta ~ (p Λ q) (~p V ~q) Solución p V V F F q V F V F ~ F V V V (p ˄ q) V F F F ↔ V V V V (~p v ~q) F V V V 4) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: ~{ ~[ p v (~q→p) ] v ~[ (p ↔~q)→(q Λ ~p) ]} Solución Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan: ~ ~{[ p v (~q → p) ] ˄ [ (p ↔~q) → (q ˄ ~p) ]} de donde se tiene [p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)] (~q →p)] V V V F ˄ V F V F [(p ↔~q) F V V F → V F V V (q ˄ ~p)] F F V F p V V F F q V F V F [p V V F F v V V V F El valor de verdad 5) Determinar la proposición [((~p) v q) Λ ~ q] ~ p es una tautología p V V F F q V F V F [(~p v q) V F V V ˄ ~q] → ~p F F V F F V V F F F V V V V V V Es una tautología 6) Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones: a) ( p ˄ q ) ˄ ~ ( p v q ) b) ~[ p v ( ~ p v ~q )] Solución p V V F F q V F V F (p ˄ q) V F F F ˄ F F F F ~ F F F V (p v q) V V V F ~ F F F F [p V V F F v V V V V ( ~ p v ~q)] F V V V Contradicción 7) Demostrar que las proposiciones dadas es una tautología: [(p v ~q) ˄ q] →p Solución p V V F F q V F V F [(p v ~q) V V F V ˄ V F F F q] → p V V V F V V V V F F V F Es una tautología 8) Verificar que la proposición dada es una contingencia: [~p ˄(q v r)] Solución p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [~p F F F F V V V V ˄ F F F F V V V F (q v r)] ↔ [(p v r) V F V V F V V V V F V V V V V V F F V F V F V F Es una contingencia ˄ V V F F V F F F q] V V F F V V F F ~p)] son [(p v r) ˄ q] 9) Determinar si las proposiciones [p (r v ~q)] y [(q ~p) v (~r equivalentes. Solución p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [p V V V V F F F F → V F V V V V V V (r v ~q)] V F V V V F V V [(q→~p) F F V V V V V V v V F V V V V V V (~r→~p)] V F V F V V V V Idénticas Por lo tanto son equivalentes es decir: [p→(r v ~q)] [(q→~p) v (~r→~p)] 10) Determinar si las proposiciones [(~p v q) v equivalentes Solución p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(~p v q) V V F F V V V V v V V F F V V V V (~r ˄ ~p)] F F F F F V F V Idénticas ~q→~p V V F F V V V V (~r ˄ ~p)] y ~q ~p son Por lo tanto son equivalentes es decir: [(∼p v q) v(∼r Λ ∼p) ∼q → ∼p 11) Determinar los esquemas más simples de la proposición: ~ [~ (p Λ q) Solución ~ [~ (p Λ q) → ~q] v p por la condicional por la negación por conmutativa en la conjunción por absorción por Morgan por absorción ~q] v p ~ [~ (~ (p Λ q) v ~q)] v p ~ [(p Λ q) v ~q] v p ~ [~q v (p Λ q)] ~ [~q v p] (~p Λ q) p v q v p v p v p ~ [~ (p Λ q) → ~q] v p p v q 12) De la falsedad de la proposición: (p verdad de los esquemas moleculares. a) (~p Λ~q) v ~q c) (p Solución q) (p v q) ^ ~q ~q) v (~r s) determinar el valor de b) (~r v q) (~q v r) ^ s Determinaremos el valor de verdad de p, q, r, y s. (p → ~q) v (~r→s) por la disyunción F falso p → ~q F por implicación p es V y ~q es F por negación P es V y q es V ~r→s F por implicación ~r es V y s es F por negación r es F y s es F Por lo tanto: p es V, q es V, r es F, s es F a) (~p ^ ~q) v ~q F F F F V F b) (~r v q) ←→ ( ~q V V F v r) F ^ s F F F F el valor de verdad es F el valor de verdad es F c) (p → q) → (p v q) ^ ~q V V V V V F F el valor de verdad es F V F 13 El valor de verdad de: ~[(~p v q ) v (r q)] ^ [(~ p v q) (q ^ ~p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de p, q, y r Solución ∼ [(∼ p v q ) v (r → q)+ Λ *(∼ p v q ) →( q Λ ∼ p)] es V Por conjunción [( ∼p v q ) v (r → q)+ es V [(∼p v q ) →( q Λ ∼p)] es V Por negación (∼p v q ) v (r → q) es F por implicación (∼p v q ) es F ( q Λ ∼p)] Por disyunción (∼p v q ) es F (r → q) es F por disyunción por conjunción q es F y ∼p es F P es V y q es F Por disyunción ∼p es F y q es F por implicación r es V y q es F por negación Q es F y p es V p es V y q es F p es V Por lo tanto el valor de verdad de q es F r es V 14) Se sabe que p Λ q y q t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes: a) (~p v t) v ~ q b) ~ [p Λ (~q v ~p)] c) [(p → q) Λ ~ (q Λ t)] ←→ [~p v (q Λ ~t)] Solución Determinaremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t ( p Λ q ) Λ ( q → t) es F Por conjunción ( p Λ q ) es F ( q → t) es F Por conjunción p es F y q es V por implicación q es V y t es F Por lo tanto p es F, q es V y t es F a) ( ∼p v t ) v ∼ q V V V V c) [(p → q)Λ∼(q Λ t)] ←→ [∼p v (qΛ∼t)] F V V V V V V F F V V V V F F F F b) ∼ [ p Λ (∼q v ∼p ) ] F V V V 15) Si la proposición (∼p Λ q) (∼s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones son verdaderas: a) ∼ [ ( p → q) → r ] c) [(p v ∼q) Λ p] v ∼q Solución (∼pΛq ) → (∼s v r ) es F b) ∼ ( ~∼p Λ q) Λ [ (∼r v r ) Λ s ] Por implicación (∼p Λ q ) es V (∼s v r ) es F Por conjunción ∼p es V y q es V por disyunción ∼S es F y r es F Por negación p es F y q es V por negación q es V y t es F Por lo tanto p es F, q es V S es V, r es F a) ∼ [ ( p → q) → r ] b) ∼ (∼ p Λ q ) Λ [ (∼r v r ) Λ s ] F V V F V V V V V F V F V V V El valor de verdad es V F V El valor de verdad F c) [ ( p v ∼q ) Λ p ] v ∼q F F F F F F F El valor de verdad es F Por lo tanto únicamente es verdadera la a) 16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Solución [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) [((p Λ q) vp) Λ ((pΛq) v ∼q)] v(∼pΛ∼q) [p v (p Λ q) Λ (∼q v (p Λ q)] v (∼p Λ ∼q) [p Λ ((∼q v p) Λ (∼q v q))] v (∼p Λ ∼q) [p Λ (∼q v p) Λ V] v (∼p Λ ∼q) [p Λ (∼q v p)] v (∼p Λ ∼q) [p Λ (p v ∼q)] v (∼p Λ ∼q) p v (∼p Λ ∼q) P v ∼q Por distribución con respecto a Λ Conmutativa Por absorción y distributiva Por identidad Por identidad Por conmutativa en v Por absorción Por absorción Por lo tanto [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Ξ p v ∼q 17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito p ∼p o ∼p q ∼q q p o Solución La función booleana del circuito dado es: [pvq v (∼p Λ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] Simplificando la proposición obtenida se tiene: [(p v q) v (∼p Λ ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] distributiva con respecto Λ [p v q v ∼p) Λ (p v q v ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] distributiva respecto a v (V Λ V) Λ [(p Λ ∼p) v (p Λ q)] V Λ [F v (p Λ q)] = V v (p Λ q) = p Λ q Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (∼p Λ ∼q)] v [(∼p v q) Λ p] Ξ p Λ q Por lo tanto el circuito simplificado equivalente es: por equivalencias o p q o 18) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: p o q ∼p o ∼q ∼p Solución La función Booleana del circuito dado es: [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ahora simplificamos la proposición obtenida [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ξ [p v q v ∼p] Λ ∼p Ξ [(p v ∼q) v q] Λ ∼p Ξ ( Vv q) Λ ∼p Ξ q Λ ∼p 19) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: ∼p ∼q o p ∼p o q Solución La función booleana del circuito dado es: [(∼pΛ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ahora simplificando la proposición obtenida [(∼p Λ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ξ [ (∼p Λ ∼q ) Λ ( p Λ q ) ] Ξ p ←→ q 20) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: r p ∼q o q p q r o Solución La función booleana del circuito dado es: (p v q) Λ [( ∼q Λ (r v ∼q)) v (p Λ q)] Λ r Simplificando la proposición obtenida (p v q) Λ [ (∼q Λ( r v∼q) ) v ( p Λ q ) ] Λ r Ξ( p v q ) Λ [∼q v ( q Λ p ) ] Λ r Ξ (p v q) Λ [∼q v p] Λ r Ξ [p v (q Λ ∼q)] Λ r Ξ (p v F) Λ r Ξ p Λ r 21) Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares. a) ∼[ p → ∼ ( q v r ) ] Solución Simplificando se tiene: ∼[ p → ∼ ( q v r ) Ξ ∼ [∼p v ~∼ ( q v r) = p Λ (q v r) b) (∼ p ) ←→ ( p → ∼q ) Solución (∼p ) ←→ ( p → ∼q ) Ξ (∼p ) ←→ (∼p v ∼ q ) Ξ (∼p Λ (∼p v ∼q ) v ( p Λ ( p Λ q ) ) Ξ (∼p ) v ( p ) c) ( p v q ) → [ (∼p v q ) → ( p Λ q ) ] Solución ( p v q )→[ ( ~p v q ) → ( p Λ q ) Ξ ∼ (p v q ) v [∼ (∼p v q ) v ( p Λ q ) ] Ξ ∼ ( p v q ) v[ ( p Λ ∼q ) v ( p Λ q ) ] Ξ (∼p Λ ∼q) v p Ξ (p v ∼q)