Cá t e d r a : A n á l i s i s E s t r u c t u r a l I 2 0 1 4 F a c u l t a d d e I n g e n i e r í a C i v i l EJERCICIOS RESUELTOS-ANÁLISIS ESTRUCTURAL Catedrático: Ing. Ronald Santana Tapia Estudiantes: CONDOR TORO, Rodolfo Jaime SEMESTRE: VIII UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 1 Tabla de contenido I. PRACTICA DOMICILIARIA ......................................................................................................................................... 2 1 Ejercicio 01 ................................................................................................................................................................... 2 1.1 Momentos en el apoyo B y en el centro BC, ..................................................................................................... 3 1.2 Líneas de Influencia en el apoyo B y en el centro del tramo BC...................................................................... 4 1.3 Comprobación con el método de los tres momentos ........................................................................................ 5 1.4 Máximos momentos producidos por la sobrecarga .......................................................................................... 6 1.5 Comprobación del Momento Máximo en el Tramo BC con el Programa SAP2000 ....................................... 7 2 Ejercicio 02 ................................................................................................................................................................... 7 2.1 Primer Análisis (Apoyos Empotrados Perfectos) .............................................................................................. 7 2.2 Segundo Análisis (Inclusión de resorte en el apoyo para un asentamiento de 2.5 cm) ................................. 9 2.3 Comentarios ......................................................................................................................................................11 3 Ejercicio 03 .................................................................................................................................................................11 3.1 Solución analítica ..............................................................................................................................................12 3.2 Comprobación con el programa SAP2000 ......................................................................................................12 3.3 Comprobación con el programa SAP2000 ......................................................................................................12 4 Ejercicio 04 .................................................................................................................................................................13 4.1 Solución con Mathcad .......................................................................................................................................14 4.2 Diagramas (DFC, DMF Y Desplazamientos) con SAP2000 ...........................................................................19 5 Ejercicio 05 .................................................................................................................................................................20 5.1 Análisis con el programa Armaduras-Scaletti ..................................................................................................21 5.2 Análisis sin considerar tirantes de acero ni elementos verticales ..................................................................22 5.3 Comentarios ......................................................................................................................................................22 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 2 I. PRACTICA DOMICILIARIA 1 Ejercicio 01 Considere una viga continua, de sección constante, con tres tramos de luces LAB, LBC y LCD=LAB sometida a una carga concentrada móvil de magnitud unitaria. a) Determine los momentos flectores en el apoyo B y en la sección central del tramo BC como función de la posición de la carga, x (es decir, las líneas de influencia para los referidos momentos). Con tal fin, utilice un programa de cómputo, como la hoja de cálculo Pórtico Xls. No incluya los efectos de las deformaciones de corte. Deberá considerarse la carga aplicada en sucesivas posiciones ( por ejemplo, a cada aproximadamente 1/20 de la luz) Sobre los tramos AB y BC, tomando nota de los momentos flectores que en cada caso se producen en las dos secciones de interés. Sólo adjunte datos y resultados para uno de los casos analizados. b) Grafique las líneas de influencia para el momento flector en B y para el momento flector al centro de la luz BC. Verifique una de las ordenadas de cada línea de influencia, empleando el método de tres momentos. Por ejemplo, para cargas en el tramo BC. ( ) ( ) ( ) ( ) Donde a y b son las distancias desde el punto de aplicación de la carga a los apoyos B y C respectivamente. Note que MA=MD=0. c) Utilizando las líneas de influencia, obtenga los máximos momentos producidos por la sobrecarga, que se muestra e la figura. Note que los vehículos pueden circular en cualquiera de los dos sentidos. Cuando la posición de la carga no coincida con alguna de las secciones para las que se determinaron las ordenadas de las líneas de influencia, interpole linealmente. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 3 SOLUCIÓN: 1.1 Momentos en el apoyo B y en el centro BC, haciendo variar las posiciones de la carga unitaria a 0.1L, haciendo uso del programa Básico 1 del Doctor Scaletti. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 4 Tabla 1: Resultados de los momentos en el Apoyo B, M en el centro AB y BC. 1.2 Líneas de Influencia en el apoyo B y en el centro del tramo BC UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 5 1.3 Comprobación con el método de los tres momentos ( ) ( ) ( ) ( ) Donde a y b son las distancias desde el punto de aplicación de la carga a los apoyos B y C respectivamente. Note que MA=MD=0. Hallamos el Momento en el punto B cuando aplicamos una carga unitaria de 1ton a 2,5 m del tramo AB ( ) ( ) …(1) ( ) ( ) …(2) Resolviendo (1) y (2), se obtiene: -0,498 0,121 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 6 Los resultados Muestran que se han obtenido los momentos correctamente en los apoyos B y C Comprobación con el Programa SAP2000 Carga Unitaria aplicada a 2,5 m del tramo AB. Se observa un momentos de 0,49 en el apoyo B y un Momento positivo de 0,12 en el apoyo C, con lo cual se verifican los datos hallados en la Tabla anterior. 1.4 Máximos momentos producidos por la sobrecarga Mmáx=6*-0,137+12*0,26+12*0,875+6*0,26-12*0,137+0 Mmáx=12,714 ton*m UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 7 1.5 Comprobación del Momento Máximo en el Tramo BC con el Programa SAP2000 2 Ejercicio 02 Para este tema se analizará un pórtico plano, de tres vanos y cuatro pisos, con cargas uniformemente repartidas a todo lo largo de las vigas en cada nivel. Un primer análisis se hará suponiendo que los cuatro apoyos son empotramientos perfectos. Para un segundo análisis, se remplazará el empotramiento en la base de la segunda columna por un rodillo que impida el desplazamiento horizontal y un resorte (o barra biarticulada de rigidez equivalente) cuya rigidez se ajustará de modo tal que se produzca (con las mismas cargas verticales) un asentamiento de 2.5 cm (Ver figura). Restando los resultados de ambos análisis, se tendrán los efectos del asentamiento. Suponga entonces que la estructura es de concreto armado yque se podrán fisurar las zonas de las vigas que, como resultado del asentamiento, tendrán esfuerzos de tracción. Haga un esquema indica ndo tales zonas. Presente sólo los resultados de análisis con asentamiento, el esquema antes mostrado y sus comentarios. Solución: 2.1 Primer Análisis (Apoyos Empotrados Perfectos) UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 8 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 9 2.2 Segundo Análisis (Inclusión de resorte en el apoyo para un asentamiento de 2.5 cm) UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 10 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 11 2.3 Comentarios Las zonas de mayor esfuerzo se indican en el esquema anterior, debido a un análisis con asentamiento, estos esfuerzos generan agrietamientos en la viga del pórtico. El primer análisis con apoyos empotrados, muestra menores esfuerzos para las mismas cargas aplicadas al pórtico. Los asentamientos generan grandes esfuerzos, que si no son controlados, podrían generar rótulas plásticas en las vigas, produciéndose agrietamientos muy perjudiciales para la estructura. 3 Ejercicio 03 La figura muestra una viga sobre cimentación elástica, de ancho b=1m y espesor 0.20m, cuyo módulo de elasticidad es E=2.5 x10^6 t/m2. Para el análisis se está suponiendo que la rigidez del suelo es proporcional al área de contacto y a una constante k (“Módulo de balasto”). Como referencia, considere valores de k entre 3000 y 10000 t/m3. Si el comportamiento es lineal y elástico, al actuar una fuerza de P=20 t al centro de la luz, se obtiene. El desplazamiento vertical máximo: () () () () √ Y el momento al centro de la luz: () () () () Compare estos resultados analíticos con los obtenidos con un modelo numérico. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 12 Solución: 3.1 Solución analítica L=20m P=20t b=1m E=2.5x10^6t/m2 k=5000t/m3 Espesor=0.20m √ √ Desplazamiento vertical máximo: () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) Momento al centro de la luz: () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) 3.2 Comprobación con el programa SAP2000 3.3 Comprobación con el programa SAP2000 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 13 Se obtiene un desplazamiento de 0.00185m con el programa SAP2000, y 0.00186m con el análisis analítico, resultando valores muy cercanos. Se obtiene un momento de 4.5 tonxm con el programa SAP2000 y 5.3 tonxm con el análisis analítico, resultando valores muy cercanos. 4 Ejercicio 04 Considere el sistema pórtico con muro de albañilería confinada mostrada en la figura. La albañilería (mampostería), es de 0.25m de espesor y de 3m de peralte, con f’m=25 kg/cm2 y Em=500 f’m (kg/cm2). Los elementos de confinamiento tanto vertical como horizontal son de (0,25x0,25)m2, con concreto f’c=175 kg/cm2 y E=15000 √f’c (kg/cm2). La columna es de (0.25x0.40)m2 y la sección transversal de la viga es de (o.25x0.50)m2, ambos de concreto con f’c=210 kg/cm2. La luz libres de 5m y la altura de piso a techo es de 3m. Suponga que la deformación axial en la viga es prácticamente nula. Para el cálculo de la inercia y área del muro confinado, se recomienda trabajar con la sección transformada. Para la longitud del brazo rígido en el muro, considere (D/2-D/4). Para una fuerza horizontal de 10 toneladas aplicada en el nivel superior de la estructura, se pide determinar: a.- El vector de fuerzas internas en los extremos de los elementos. b.- Dibujar el DFC y DMF. c.-Las fuerzas en la cara de apoyo de la viga sobre el muro. d.-Los desplazamientos en la cara de apoyo de la viga sobre el muro. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 14 Solución: 4.1 Solución con Mathcad UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 15 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 16 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 17 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 18 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 19 4.2 Diagramas (DFC, DMF Y Desplazamientos) con SAP2000 DMF: DFA: DEFORMACIONES: UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 20 5 Ejercicio 05 Considere la estructura mostrada en la figura. Los elementos horizontles (AB,BC y CD) y los elementos verticales (BE y CF) son de madera, con E=95000 kg/cm2 y G=6000 kg/cm2. El peralte de la viga de madera, h, debe ser del orden de la luz entre 20; la razón h/b puede ser entre 3 y 4. Los restantes elementos (AE, EF y FD) son varillas de acero; para éstas suponga EA≠0 y EI despreciable. Para el análisis suponga que tanto las varillas de acero como los puntales verticales son elementos biarticulados. Sobre la viga (ABCD) actúa una fuerza uniformemente distribuida. a.-Determine la deflexión máxima, los omentos flectores en la viga y las fuerzas axiales en ls varillas de acero. Para esto utilice un programa de cómputo. En un primer análisis incluya los efectos de las deformaciones axiales y de corte en todos los elementos. Liste los resultados. Compare la deflexión máxima con la que se tendría si no se tuvieran los tirantes de acero. b.-Repita el primer análisis, pero ignorando los efectos de las deformaciones de corte (indique cero para el área de corte). Liste y comente los resultados. c.-Suponga que las deformaciones axiales en la viga son poco significativas . Rehaga el análisis del acápite (a) pero restringiendo el desplazamiento horizontal de los nudos ABCD. Compare resultados. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 21 Solución: H=LL/20=15/20=0.75 m h/b=4~~~b=3 m 5.1 Análisis con el programa Armaduras-Scaletti UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FAC. INGENIERÍA CIVIL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II Página 22 Deflexión máxima: 1.74 cm 5.2 Análisis sin considerar tirantes de acero ni elementos verticales 5.3 Comentarios Con las mismas cargas para la luz de 15 m la estructura de madera colapsaría totalmente. Es importante proveer de elementos verticales; pues estas ayudan a estabilizar la estructura, minimizando los desplazamientos y esfuerzos generados en el elemento principal.