Universidad MetropolitanaAsignatura: Optimización II Guía de Ejercicios: Programación Multiobjetivo Para cada uno de los siguientes problemas, en caso de ser necesario, formúlelos como un problema de Programación Meta, y resuélvalos mediante el método Símplex y el método gráfico, de ser posible. 1.- Resolver el siguiente problema: mi n Z P1y1 P2 y 2 P3y 4 P4 y 3 x1 2x 2 y1 y1 8 x1 x 2 y 2 y 2 1 x x y y 3 4 s.a 1 2 3 x 2 y 4 y 4 2 y i 0, y i 0; i 1,2,3,4. x , x 0 1 2 Solución: y1 y1 y 2 y 2 y 3 y 4 0; y 3 y 4 1; x1 2; x 2 3. 2.- En una industria panadera se quiere introducir la elaboración de dos nuevos tipos de pan: integral y de centeno, ya que se tiene asegurada la venta de su producción. Estos panes se elaboran principalmente a base de tres ingredientes: salvado integral, harina de trigo y harina de centeno. Para elaborar 1 kg de pan integral se necesitan 350 g de salvado integral y 150 g de harina de trigo y para la elaboración de 1 kg de pan de centeno se necesitan se necesitan 250 g de harina de trigo y 250 g de harina de centeno. La disponibilidad diaria de salvado integral es de 210 kg, 115 kg de harina de trigo y 100 kg de harina de centeno. El beneficio que deja cada kg de pan integral es de 0.40 UM y 0.60 UM cada kg de pan de centeno. Calcular la elaboración diaria de pan integral y de centeno, si se han puesto las siguientes metas por orden de prioridad: Página 1 de 10 · Prioridad 2. x 2 0 Que al resolverlo.25x 100 2 0.091 kg de pan de centeno.· Prioridad 1. Se desea obtener un beneficio de al menos 240 UM diarios. por lo tanto. la 1ª y la 2ª meta y no la 3ª. Se cumplen. El beneficio diario es 292. i 1.25x 2 115 0.35x1 210 0. Página 2 de 10 .a x1 2x 2 y 2 y 2 0 x y y 300 3 2 3 y 0. y la producción de este último es aproximadamente 209 kg diarios.73 UM.6x 2 y1 y1 240 s. · Prioridad 3. ¿Qué metas de las propuestas se han cumplido? Solución: Definiendo las variables de decisión siguientes: X1 = kg de pan integral elaborado diariamente X2 = kg de pan de centeno elaborado diariamente El modelo queda como sigue: mi n Z P1y1 P2 y 2 P3y 3 0.182 kg de pan integral y 209. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan de centeno no sea inferior a 300 kg. i i x1 . y 0.3.2. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan integral sea al menos el doble que la de centeno.4x1 0. La producción de pan integral es exactamente el doble que la producción de pan de centeno.15x1 0. se llega a que la solución óptima consiste en elaborar diariamente 418. Resolver el siguiente problema: mi n Z P1y1 P2 y 2 P3y 3 P4 y 4 x1 x 2 100 20x1 8x 2 y1 y1 1600 x1 x 2 y 2 y 2 0 s. y1 200. x 2 0 Solución: y1 y 2 y 2 y 3 y 4 0. Por motivos de capacidad de la empresa no se pueden fabricar al día más de 600 piezas ni menos de 250.4. El costo total diario no supere los 2000 UM. · Prioridad 3. Las horas de trabajo diarias en las máquinas A y B sean iguales. Maximizar el número de piezas diarias. i i x1 . y 0. · Prioridad 2.3.3. Por cada hora de trabajo en la máquina A se obtienen 20 piezas y 30 piezas por cada hora en la máquina B.. el costo por unidad producida por la máquina A es de 4 UM y 3 UM por unidad producida por B. Además debido a las características de las dos máquinas. Determinar las horas diarias óptimas para las dos máquinas con las siguientes metas y prioridades: · Prioridad 1. x1 50. y 4 10.a x 2 y 3 y 3 45 y 3 y 4 y 4 15 y 0. Solución: Definiendo las variables de decisión siguientes: X1 = Número de horas diarias de trabajo de la máquina A X2 = Número de horas diarias de trabajo de la máquina B El modelo queda como sigue: Página 3 de 10 . y 3 5. 4..2.Una empresa dispone de dos tipos de máquinas A y B. i 1. x 2 50. si la empresa se ha planteado las siguientes metas y objetivos con el siguiente orden de prioridades.25) con un costo de 2000 UM. 5. y i 0. i 1.. El tiempo de producción semanal en la cadena 1 sea al menos tanto como en la 2. La cadena 1 produce 2 unidades por minuto con un beneficio unitario de 3000 UM. Página 4 de 10 . x1 .a 20x1 30x 2 y 3 600 y i 0. Se producirán 235. x 2 0 o mi n Z P1y1 P2 (y 2 y 2 ) P3y 3 20x1 30x 2 250 80x1 90x 2 y1 y1 2000 x1 x 2 y 2 y 2 0 s. · Prioridad 1. pero no más del triple de la 2.000 unidades semanales. Los gastos de almacenamiento no superen los 450. Calcular el tiempo de producción semanal que debe asignarse a cada una de las cadenas.765 y de la máquina B también 11. Producir al menos 30. El costo de almacenamiento por unidad asciende a 10 UM. i 1. · Prioridad 3.000 UM semanales.3. y i 0. · Prioridad 2. x . se llega a que las horas óptimas de trabajo diarias de la máquina A son 11.2.Una empresa posee dos cadenas de producción para un mismo artículo.2.765 (se produce un equilibrio en las horas de trabajo al día de cada tipo de máquina).3 piezas de A y 352.95 piezas de B (total 588. x 0 1 2 Que al resolverlo. mientras que la cadena 2 produce 3 unidades por minuto con un beneficio de 5000 UM por unidad.a x1 x 2 y 2 y 2 0 y i 0.mi n Z P1y1 P2 (y 2 y 2 ) P3 (20x1 30x 2 ) 20x1 30x 2 250 20x 30x 600 2 1 80x 90x y y 2000 2 1 1 1 s. Se realizan. y i 0. a la semana El modelo queda como sigue: mi n Z P1y1 P2 y 2 P3 (y 3 y 4 ) P4 (6000x1 15000x 2 ) 2x1 3x 2 y1 y1 30000 10(2x1 3x 2 ) y 2 y 2 450000 x x y y 3 0 s.000 minutos semanales en cada una de las cadenas (no hay ni exceso ni defecto en la tercera meta.000 unidades en la primera meta) con un gasto de almacenamiento de 450.Una empresa emplea dos procesos de producción diferentes para producir un producto. En cada uno de los procesos se precisa utilizar tres máquinas M1. M2 y M3.000 UM (no hay ni exceso ni defecto en la segunda meta) y un beneficio de 189 millones de UM. a la semana. i 1.4.2. x 0 1 2 Los tiempos óptimos de producción son de 9.000 minutos en la cuarta meta).. Para fabricar una unidad de producto según el proceso productivo elegido se necesita usar en cada una de las máquinas las horas indicadas en la siguiente tabla: Proceso 1 Proceso 2 M1 1 3 M2 4 2 M3 3 4 Página 5 de 10 . Solución: Definiendo las variables de decisión siguientes: X1 = Minutos de producción de la cadena 1. x . Maximizar el beneficio semanal.· Prioridad 4. 6.3. 45.a 1 2 3 x1 3x 2 y 4 y 4 0 y i 0.000 productos (hay un exceso de 15. hay un defecto de 18. a la semana X2 = Minutos de producción de la cadena 2. Calcular las unidades óptimas que deben asignarse a cada proceso productivo. · Prioridad 2.2. La empresa propone las siguientes metas por orden de prioridad: · Prioridad 1.86 horas (hay un defecto en la tercera meta de 100/7 14.3. El costo de una hora de máquina es de 5 UM. i 1. Solución: Definiendo las variables de decisión siguientes: X1 = Unidades producidas con el proceso 1.Por una unidad de producto fabricado con el proceso 1 se obtienen 55 UM y con el proceso 2 se obtienen 75 UM.a x1 3x 2 (4x1 2x 2 ) y 2 y 2 0 3x 4x 2(x 3x ) y y 0 2 1 2 3 3 1 y 0. por hora El modelo queda como sigue: mi n Z P1y1 P2 (y 2 y 2 ) P3y 3 x1 3x 2 60 4x 2x 60 2 1 3x1 4x 2 60 15x1 30x 2 y1 y1 300 s. por hora X2 = Unidades producidas con el proceso 2. Obtener un beneficio de al menos 300 UM. x 2 0 Las unidades óptimas de producción son de 20/7 con el proceso 1 y de 60/7 con el proceso 2 (no hay ni exceso ni defecto en la primera meta). i i x1 .57 horas (no hay ni exceso ni defecto en la segunda meta). y 0. · Prioridad 3. El número de horas trabajadas en la máquina M3 no sea superior a 2 veces el número de horas trabajadas en la máquina M1.26 horas). La máquina 3 trabajará 300/7 42. Cada máquina está disponible 60 horas. El número de horas trabajadas por las máquinas 1 y 2 coinciden en 200/7 28. Página 6 de 10 . El número de horas trabajadas en las máquinas M1 y M2 coincidan. queso semicurado y queso fresco. se obtienen cada hora 10. Teniendo en cuenta los estudios de demanda de los tres productos la compañía estima que debe producir al día al menos 900 y 300 kilogramos de queso curado y semicurado. · Prioridad 3. La gerencia de la empresa se ha planteado las siguientes metas y objetivos con el siguiente orden de prioridades: · Prioridad 1. · Prioridad 2. y 7 UM respectivamente. La máquina 1. 2 kilogramos de queso semicurado y 5 kilogramos de queso fresco. La cantidad de leche de cabra no sea superior a la de oveja.. 6. La cantidad de leche utilizada para la producción de los quesos no supere 14. leche de oveja y leche de cabra. utiliza en cada hora 70 litros de leche de oveja y 200 litros de leche de cabra para producir 9 kilogramos de queso curado. respectivamente.000 litros diarios para la leche de cabra. Los beneficios por kilogramo producido de cada tipo de queso son de 4.000 litros diarios para la leche de oveja y 20. Con la máquina 2. y no más de 800 kilogramos de queso fresco. Maximizar beneficios. 5 y 4 kilogramos de cada queso respectivamente con un gasto de 100 litros de leche de oveja y 80 litros de leche de cabra. Calcular el número de horas al día que deben operar las máquinas. La fábrica está dotada de dos tipos de máquinas. Solución: Definiendo las variables de decisión siguientes: X1 = Horas al día que debe operar la máquina 1 X2 = Horas al día que debe operar la máquina 2 El modelo queda como sigue: Página 7 de 10 .7. Para ello se utilizan dos tipos de leche.Una fábrica de quesos produce tres tipos de quesos: queso curado. agua y tiempo en máquinas.000 litros de leche de cabra ( y 2 6000.000 s. y 2 0 ).3. i i x1 .000 70x 100x 200x 80x y y 0 2 1 2 3 3 1 y 0.39 horas al día con la máquina 2.Una planta química fábrica dos productos A1 y A2. x 2 0 La solución del problema consiste en operar 19. Se utilizan 14.a 200x1 80x 2 y 2 y 2 20.mi n Z P1(y1 y 2 ) P2 (y 3 ) P3 ((4(9x1 10x 2 ) 6(2x1 5x 2 ) 7(5x1 4x 2 )) 9x1 10x 2 900 2x 5x 300 2 1 5x1 4x 2 800 70x1 100x 2 y1 y1 14. por lo tanto. y 0. 126.5 A2 2 23 1. así como sus disponibilidades en t para el próximo período de tiempo: A1 A2 Disponibilidad M1 4 10 18 M2 12 4 20 M3 6 7 22 En el proceso de producción. El beneficio máximo obtenido es de 14000 UM. i 1. La siguiente tabla tecnológica muestra los gastos de kg de materia prima por kg de producto fabricado. siendo los gastos por kg fabricado de cada producto: Energía (kW/kg Agua (m3/kg) Tiempo (h/kg) A1 3 16 1.000 litros de leche de oveja ( y1 y1 0 ) y 14. se consume también energía eléctrica.44 horas al día con la máquina 1..2. con tres materias primas M1. 8. la misma cantidad de leche de oveja y de cabra ( y 3 y 3 0 ). Se usan.8 Página 8 de 10 . M2 y M3. Tomando como origen de coordenadas de un sistema cartesiano bidimensional el colector de salida del embalse y la unidad de medida el hm. siendo doblemente importante cumplir el primero. 43 Bs. 9. P2: Mantener el consumo de energía por debajo de 6 MW y el consumo de agua por encima de 73 dam3. P4: El presupuesto disponible es de 3 millones de Bs. Se admite la posibilidad.20) 3 (12. x2) 1 (2. P3: La disponibilidad de tiempo regular es de 32000 h que se desea se utilicen en su totalidad. Para M2 y 79 Bs.1) Página 9 de 10 . 17 Bs.10) 2 (9..Los costos de las materias primas por kg son de 56 Bs. y la de A2 próxima a los 1400 kg. si fuera necesario. teniendo en cuenta el siguiente orden de prioridades: P1: No superar las disponibilidades de materias primas. Estación x i (x1 . las tres estaciones de control están en los puntos que se indican en la tabla. de hacer horas extras hasta un máximo de 12000 h. el del tiempo de máquina es de 3000 Bs/h en tiempo regular y de 4500 Bs/h en tiempo de trabajo extra.La empresa encargada del control de calidad del agua que se suministra a Caracas desde el embalse La Mariposa tiene situadas tres estaciones de control de calidad del agua en el embalse. P5: La demanda de A1 está entre 900 y 1300 kg. 56 Bs el m3 de agua. para M1. el kW de energía. La dirección de la planta desea construir un modelo de control de la producción. Para M3. éstas deben hacerse entre los pares de puntos rectangularmente. y hallar su solución. Por la forma en que se hacen las conexiones entre las estaciones y el colector. estará a distancia ( 8 – 2 ) + ( 10 – 5 ) = 11 hm de la estación 1. Se pretende que la distancia total desde su localización a las otras tres estaciones ya existentes y al colector de salida sea mínima. esto significa que si. etc.Por razones técnicas. la nueva estación se sitúa en x1 = 8 y x2 = 5. Página 10 de 10 . por ejemplo. la empresa está obligada a situar una cuarta estación en el embalse. Formular un modelo de programación por metas que resuelva el problema planteado.