UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOVICERECTORADO DE INVESTIGACION FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE ECONOMÍA INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN “ELABORACIÓN DE UN TEXTO:EJERCICIOS DE MICROECONOMÍA I” AUTOR: Mg. JAVIER CASTILLO PALOMINO (Período de Ejecución 01 de febrero del 2010 al 31 de enero del 2012 Resolución N° 326-2010-R) 2 CONTENIDO Pág. INTRODUCCION 4 I. TEORIA DELA ELECCION INDIVIDUAL 4 1.1 La Restricción Presupuestaria 1.2. Equilibrio del Consumidor. La Función de Demanda 4 14 1.3. Dualidad en el Consumo: La Ecuación de Slutsky. La identidad de Roy. Lema de Sheppard. II. III. 30 1.4. Efecto renta y efecto sustitución: Hicks, Slutsky 71 1.5. Variación Compensada y Variación Equivalente 88 1.6. Elasticidad 107 1.7. Elasticidad y propiedades de la función de demanda 122 1.8.Riesgo e Incertidumbre. 133 TEORÍA DEL COMPORTAMIENTO DE LAS EMPRESAS 147 2.1. Funciones de producción Cobb-Douglas 147 2.2. Funciones de producción de Leontiev 202 INTERVENCION ESTATAL 221 3.1. Bienes públicos y externalidades 221 3.2. Impuestos y Subsidios 230 ANEXOS Anexo 1 Anexo 2 Anexo 3 Referenciales La Restricción presupuestaria Elasticidad y propiedades de la función de demanda Elección bajo incertidumbre 263 269 272 3 Introducción La búsqueda del mejor uso de los recursos hace necesario contar con una herramienta que nos proporcione elementos de juicio para una mejor toma de decisiones, esta necesidad implica la elaboración de un proyecto de inversión, que sustentado en un estudio ordenado y coherente permita, en función a la calidad de la información, la mayor certidumbre para llevar a cabo con éxito la inversión. Los estudiantes necesitan que se les muestre como se elabora un proyecto en términos prácticos más que teóricos. Requieren un texto que les muestre tanto la teoría como ejemplos y ejercicios prácticos, necesitan conocer que tipo de información se requiere, como es el tratamiento de ésta y cómo se la presenta para ir articulando cada una las partes que componen el proyecto de inversión. Este trabajo surge como respuesta a esa necesidad y a propuesta de los estudiantes que con legitima avidez nos solicitan permanentemente nuestras copias y nos piden les informemos sobre bibliografía dónde encuentren casos o ejercicios sobre el tema. Este libro es resultado de la conjugación de la experiencia acumulada durante el desempeño profesional en el área d formulación de proyectos, el trabajo docente, que requiere constante capacitación y actualización sobre el tema, y la revisión las fuentes de información tradicional y reciente. La estructura del libro ha sido desarrollada en ocho capítulos, ordenados de acuerdo a la forma secuencial como se elaboran los Estudios de un proyecto de inversión desde la concepción de la idea hasta la elaboración del flujo de caja. Así, primero se abordan los contenidos de Definiciones básicas, el Estudio de mercado, el tamaño y la localización, la Ingeniería del proyecto, Las inversiones y el Financiamiento, los ingresos y costos, los Estados financieros, y la Organización . El presente trabajo tiene un contenido teórico que pretende que los estudiantes asimilen conceptos, técnicas y procedimientos actualizados sobre el tema de los proyectos de inversión, por otra parte, a manera de guía busca orientar y dar indicaciones las materias que debe contener un estudio de preinversión. Cada capitulo tiene ejemplos y aplicaciones para los temas más importantes. Asimismo se incluyen cuestionarios y ejercicios propuestos como complemento didáctico. El libro busca que su lectura sea fácil, clara y amena, y sobre todo accesible no sólo a los estudiantes de economía. 4 I. TEORIA DE INDIVIDUAL LA ELECCIÒN 1.1. La Restricción Presupuestaria 1. En el Callao, un 10% de los hogares usa el kerosene como combustible para la cocción de alimentos. Uno de estos hogares cuenta con una renta promedio de S/480 que los destina al consumo de kerosene y otros bienes. El precio del kerosene es de S/12 el galón y el de los otros bienes, S/ 10. Con esta información se le pide: a) Represente la restricción presupuestaria. b) Con el fin de fomentar el uso de otros combustibles, el Gobierno Regional limita el consumo de kerosene hasta 30 galones. Delinee la restricción presupuestaria. c) El Gobierno reformula la medida anterior y permite consumir más de 30 galones, pero cadagalón adicional costará S/15. Trace la nueva restricción presupuestaria. d) El Gobierno Regional decide otorgar un subsidio en efectivo de S/ 120 a cada hogar ¿cómo se verá modificada la restricción presupuestaria? e) ¿Cómo será la restricción presupuestaria si el Gobierno Regional cambia el subsidio por un bono intransferible que equivale a 10 galones de kerosene?. f)Si el bono se pudiese vender a mitad de precio ¿Cómo sería la restricción?. Solución a) Restricción presupuestaria inicial 12 x1 10 x 2 480 X2 Otros bienes 48 Área p1 p2 Factible 40 X 1 ( galones de ker osene) 5 b) Restricción presupuestaria con límite al consumo de kerosene X2 Bienes 48 p1 p2 Área Factible 30 X1 Kerosene (galones) 40 c) Restricción presupuestaria con posibilidad de compra más allá del límite Consumo de kerosene: Precio Galones Gasto 12 15 30 8 38 360 120 480 X2 Bienes 48 Área p1 1,2 p2 Factible p '1 1,5 p2 30 38 40 X1 Kerosene (galones) 6 d) Restricción presupuestaria con un subsidio en efectivo de S/120 12 x1 10 x 2 480 120 600 X2 Bienes 60 48 p1 p2 Área Factible p1 p2 40 X1 Kerosene (galones) 50 e) Gobierno Regional subsidia con bono por 10 galones de kerosene X2 Bienes 48 p1 1.2 p2 p1 p2 0 10 20 30 40 50 X1 Kerosene (galones) . 2.150 para pagar los servicios de agua y teléfono. debido a que si todo su ingreso lo gasta en agua. mientras que la modalidad del pago del teléfono es la siguiente: los primeros 50 minutos son gratis.5 c/u. X2 Bienes p1 0.7 f) La familia puede vender el bono a mitad de precio Los 10 galones que son parte de su consumo los puede vender y obtener un ingreso de S/60 a 0. consumirá hasta 75 m3 . 10 20 30 40 50 X1 Kerosene(galones) Un consumidor dispone de S/.00 el m3 . El agua le cuesta S/.80 c/u. 0. Solución La recta presupuestaria de este consumidor tendrá tres tramos. y adquirir de 6 a 0 unidades de otros bienes. . En el primero la pendiente es cero. Trace su restricción presupuestaria. y de 0´ a 50´ de teléfono (gratis). 0.2 p2 0 2. los siguientes 100 minutos valen S/. y los restantes. S/.6 p2 54 48 p1 1. según los venda todos o ninguno. por los siguientes recibe un descuento del 20%.8 El segundo tramo se inicia cuando sobrepasa los 50´ gratis.80/minuto.5). El tercer tramo. consumiendo 35 m 3 de agua (S/. que si acumula 30 tickets aéreos. Agua (m3) 75 x2 75 0. y representa la opción de destinar los S/70 al consumo paulatino de minutos de teléfono hasta un máximo de 140’ (S/. completa su canasta.70/0. Llegado a los 70 pasajes recibe 5 pasajes gratis y cada ticket adicional tendrá un nuevo descuento de 25%.50. tiene una pendiente más suave. llega a S/. . Una agencia de viajes le ha propuesto.4 x1 35 x2 35 0. con la diferencia. que ahora cuesta S/ 0. hasta que su gasto en servicio telefónico.25 x1 50 100 150 200 250 290 300 Teléfono (minutos) 2. Yuri es un empresario exportador que tiene un fondo para marketing que tiene dos destinos: viajes de promoción al exterior y publicidad.80 por los siguientes 100’ de consumo. S/70.70/2). porque el costo por minuto es de S/ 0. para este año. 8 p1 p11 = 0. para más de 70 pasajes el precio es otro: p 1 0. el precio de cada ticket es de $500 mientras que el de cada anuncio publicitario es de $200.000 500 X 1 200 X 2 Luego.8 (500) p11 = 400 Entonces. el presupuesto de Yuri para estos gastos es de $ 49. por el bien 2. entonces: De 0 a 30 pasajes.000. 49 .000 300 X 1 200 X 2 . 49 . la restricción varía porque el precio se reduce: p11 = 0. mientras que los anuncios publicitarios. de más de 30 a 70 pasajes. la restricción presupuestaria es: 49 .000 400 X 1 200 X 2 Finalmente.75(400) '' p 1 300 '' Entonces. Determine: a) ¿Cómo será su restricción presupuestaria? b) Trace la restricción presupuestaria c) ¿Hasta cuantos pasajes podrá comprar este año? Solución a) En la restricción presupuestaria: m p1 X 1 p 2 X 2 Los pasajes son representados por el bien 1.9 Para el presente año. 000 40 x $400 = $16. .000 Para el último tramo se cuenta con $ 18.000 (49.000).1.2. Por tanto el total de pasajes que se podrán adquirir son 135 pasajes .000/300) a los que hay que agregar los 5 pasajes gratis.5 X1 200 170 X2 =245.000 70 $ 31.5X1 50 0 30 50 70 75 98 130135 Pasajes c) El número de pasajes que podrá comprar: En los dos primeros tramos: 30 x $500 = $15.000-31.10 b) Trazo de la restricción presupuestaria Publicidad 245 X2 =245.2 X1 150 100 90 X2 =245. con los que se puede adquirir 60 pasajes (18. . Bimbo sólo puede gastar S/. haciendo un total de 61 cajas. Con respecto a las gaseosas no tiene problemas.35. ¿Cómo será su restricción presupuestaria?.960 podrá comprar hasta 98 cajas de gaseosas solamente. Ha averiguado que el precio de la caja de gaseosas es S/. pero en relación a la cerveza. podrá obtener 56 cajas.00 (S/.1960.20. si sólo compra cerveza. Solución Con S/ 1. Por otra parte. Bimbo elige una que le interesa sobremanera: por la compra de 10 cajas de cerveza le dan una de regalo. más las 5 cajas gratis. La restricción presupuestaria que expresa estas compras y las otras diferentes combinaciones es la siguiente Gráfico Gaseosas 98 10 11 21 22 32 33 43 44 54 55 61 Cerveza . Los proveedores le envían sus propuestas.11 4.00 y que la caja de cerveza cuesta S/. 3.00/unidad). Bimbo Rejas está encargado de la compra de refrescos y cerveza para la fiesta de la semana de la FCE. Solo se puede adquirir un bono por mes.00/viaje).los pasajes. a) Plantee la restricción presupuestaria mensual del estudiante cuando no compra el bono. y sus gastos son en alimentación y en pasajes (S/1. asumiendo que X1 representa los menús. su restricción presupuestaria será: m p1 X 1 p 2 X 2 Teniendo en cuenta la información. y X2. tendremos que la restricción presupuestaria es: 200 4 X 1 X 2 Gráfico.00. Estudiante no compra el bono Pasajes 200 50 Menús . Grafique.12 5. 3. 20 y equivale a 6 menús (S/. 200 por mes. Grafique. El comedor de la UNAC vende el menú a S/ 4.33/menú). Solución a) Si no compra el bono. Un estudiante cuenta con S/. b) Plantee la restricción presupuestaria mensual del estudiante cuando compra el bono. El concesionario ofrece un bono que cuesta S/. se podrá adquirir como máximo: X2 180 180 1 Si el consumo de menús es mayor a seis (X1 ≥ 6). si solo se usa para X2. Estudiante compra el bono Pasajes 200 180 170 6 … 50 51 Menús . la restricción presupuestaria será: m 20 4( X 1 6) X 2 200 20 4( X 1 6) X 2 180 4 X 1 24 X 2 204 4 X 1 X 2 Gráfico. entonces X1= 6 . y la restricción presupuestaria tendrá las modificaciones siguientes: Se reduce el ingreso disponible: 200-20 = 180 Luego.13 b) Si compra el bono. los siguientes se venden a mitad de precio.14 1. sus preferencias por ambos platos son iguales. pero como la ciudad de Ica va a estar de aniversario. y el de la carapulcra S/15. Sus viáticos para alimentación en cada destino son de S/. 20. 15. dependiendo de la pendiente de la restricción presupuestaria a) En Chincha La restricción presupuestaria será: 20 x1 + 15 x2 = 60 Pendiente de U: pend .RP pend .U Pendiente de R. de acuerdo al enunciado. En Ica.sopa seca y carapulcra. el equilibrio será en uno de los ejes. Equilibrio del Consumidor 1. la sopa seca cuesta S/15 y la carapulcra.: pend . Juan viajaráaChincha e Ica para hacer unas encuestas. P..U 1 1 1 pend . 60. por tanto su función de utilidad será de la forma: U = X1 + X2 Donde: X1 : sopa seca (cantidad de platos) X2 :carapulcra (cantidad de platos) Dado que la función de utilidad es una recta. aquí habrá la oferta de que luego del consumo de 2 platos de sopa seca. S/.RP 20 4 15 3 equilibrio en eje Y .2. En Chincha el precio de la sopa seca es S/. Sólo comerá sus platos favoritos. Determine: a) b) c) ¿Qué y cuántos platos consumirá Juan en Chincha? ¿Qué y cuántos platos consumirá Juan en Ica? ¿En qué lugar obtendrá mayor Utilidad? Solución Para Juan. los platos que consumirá son sustitutos perfectos. Óptimo en Chincha Carapulcra 4 A(0.5 0. Juan consumirá únicamente carapulcra.5 15 . 4) U=4 3 Sopa seca b) En ICA Pendiente de U Pendiente de R. pend. 4). en este caso sobre el eje Y en A (0. 4 platos.RP 7.P. Es decir.RP 15 1 15 De 2 a 10 platos de sopa seca pend .U = -1 De 0 a 2 platos de sopa seca pend .15 En el gráfico inferior se observa que el consumo óptimo será una solución llamada “solución esquina”. Gráfico. 0). Juan consumirá 6 platos de sopa seca. El segundo. 0). por tanto. con una pendiente menor a la de la función de utilidad. la restricción presupuestaria tiene dos tramos (ver gráfico siguiente). entonces alcanzará una utilidad de: U=0+4 =4 En Ica el consumo óptimo será (6. desde este punto hasta (6. obteniendo una utilidad de 6. luego. la Utilidad será: U= 6 + 0 = 6 Por tanto. el consumo óptimo se dará en el eje X. .16 En este caso. esta vez sólo consumiendo sopa seca. la máxima utilidad la obtiene en Ica. Así. El primero con una pendiente igual a la de la función de utilidad. 2). Óptimo en Ica Carapulcra * U =6 4 2 Sopa seca 1 2 3 4 5 6 c) El consumo óptimo en Chincha será (0. 4). desde el intercepto con el eje Y hasta la combinación (2. Gráfico. solamente. se decide aumentar el precio de éstos en S/0. El concesionario de la FCE vende en verano chupetes de maracuyá y de fresa. ¿Logrará revertir la tendencia del consumo?. a la vez. Grafique. Solución a) Para hallar el consumo óptimo planteamos el problema primal y resolvemos: Max. rebajar en el mismo monto los chupetes de maracuyá. Cada chupete lo vende a S/1. y su función de utilidad está representada por: U X 1 Ln X 2 Donde X1 : cantidad de chupetes de fresa X2 : cantidad de chupetes de maracuyá Se pide: a) Hallar el consumo óptimo del consumidor. Se ha estimado que un consumidor promedio de chupetes destina S/12 por semana para este producto. Grafique c) Otra medida más drástica que se ensaya es mantener los precios iniciales pero por la compra de cada 4 chupetes de maracuyá se dan gratis 5 chupetes de esta fruta ¿Logrará ahora si su objetivo?. x1 ln x2 s.a : p1 x1 p2 x2 m : x1 ln x2 (m p1 x1 p2 x2 ) . Grafique b) Dado que el consumidor consume en mayor proporción los chupetes de fresa.50 y.17 2. obtenemos la demanda marshalliana de x2 : 1 p 1 1 p2 x2 x2 p1 p2 Luego.18 C. obtenemos la demanda marshallliana de x1: p p1 x1 p2 1 m p2 p1 x1 p1 m x1 m p1 p1 Reemplazando los datos.P..O.. (3) x1 De (1) y (2). se obtiene la demanda óptima : x1 12 1 11 1 x2 La utilidad máxima: U 11 Ln 1 U 11 1 1 1 .. reemplazando x2 en la R. (2) m p1 x1 p2 x2 0 ...P..: x2 x1 1 p1 0 . reduciendo y despejando. (1) 1 p2 x2 0 . Equilibrio inicial Maracuyà resa 12 U 11 1 11 12 Fresa b) Con esta otra medida.5 7 1.1 x2 1.5 0.5 La utilidad máxima: U 7 Ln 3 U 8.5 x1 0.5 3 .5 x2 12 El consumo óptimo: x1 12 1.19 Gráfico. la restricción presupuestaria será: 1. 20 Con esta medida mejora levemente la proporcionalidad en el consumo. pero aún se demanda en mayor magnitud chupetes de maracuyá (70%-30%).1 3 U11 1 78 11 12 Fresa 1 c) Con la oferta extrema: por la compra de cada 4 chupetes de maracuyá. se dan 5 gratis. Gráfico.1. se tendrá el siguiente gráfico: . La utilidad del consumidor se reduce de 11 a 8. Equilibrio con modificación de precios Maracuyá 24 12 U 8. 9) pues el consumidor obtiene una utilidad siguiente: U = 8 + Ln 9 = 8 + 2.19 .2 13 12 U*11 9 8 4 1 4 7 8 11 12 Fresa Se observa en el gráfico que el óptimo se mantiene en la canasta (11. 1 En la restricción presupuestaria de la oferta la combinación que más se acerca a la utilidad máxima.1) con la utilidad de 11.19 = 10. es (8.21 Gráfico. Equilibrio con la oferta extrema Maracuyá 24 22 20 18 16 U 10. 10. b) Si la Región decide subsidiar el ingreso de las familias pobres ¿a cuánto debe ascender el subsidio que les permita consumir el mínimo propuesto?. Determine: a) Si de acuerdo a sus preferencias las familias pobres satisfacen el nivel nutricional propuesto.. el consumo de otros alimentos.22 3.P. Asimismo. X 1 X 2 s.a : p1 X 1 p2 X 2 m : X 1 ln X 2 (m p1 X 1 p2 X 2 ) C. (2) m p1 X 1 p2 X 2 0 . respectivamente.O... Grafique. Grafique la restricción presupuestaria y el equilibrio. cuenta con un ingreso de S/..50 y S/. d) Las familias indican que la medida anterior les reduce el bienestar que obtendrían con el subsidio al ingreso. donde X1 representa el consumo de pescado en kilos.. Grafique la restricción presupuestaria y el equilibrio. Un estudio de focalización de la pobreza ha encontrado que una familia pobre en el Callao tiene una dieta deficiente.: X 1 X 2 X 2 p1 0 . de pescado para satisfacer los niveles nutricionales adecuados. c) Si. Sus preferencias están expresadas en la función de utilidad U = X1X2 . y X2 . (1) 0 . de ser cierto ¿cuál debería ser el subsidio que mantenga dicho bienestar y que a la vez les permita acceder al mínimo de consumo requerido? Solución a) Para hallar el consumo óptimo planteamos el problema primal y resolvemos Max. (3) X 1 p2 . por el contrario. se desea subsidiar el precio del pescado ¿cuál debe ser el nuevo precio y cuánto tendría que desembolsar la Región?. 7. 300 y los precios de los bienes que consume son S/. Las autoridades de salud señalan que las familias del Callao deben consumir como mínimo 30 kg.. P. reduciendo y despejando. se obtienen las demandas óptimas : X 1 20 La utilidad máxima: U (20)(15) U 300 X 2 15 . obtenemos las demandas marshalllianas: pX p1 x1 p2 1 1 m p2 p1 X 1 p1 X 1 m X1 p X p1 2 2 p2 x2 m p1 p2 X 2 p2 X 2 m m 2 p1 X2 m 2 p2 Reemplazando los datos. remplazando X2 y X1 en la R.23 De (1) y (2). obtenemos: X2 p 1 X1 p2 X2 X1 p1 X 1 p2 y p2 X 2 p1 Luego. se debe cumplir que: mS 30 2 p1 Reemplazando datos y despejando S: 300 S 30 2(7.5 X 1 10 X 2 300 20 30 40 Pescado Por lo tanto. de acuerdo a sus preferencias.24 Gráfico. 15) 15 7. Equilibrio inicial Otros alimentos 30 U 300 X * (20. la canasta óptima de una familia pobre del Callao no contiene el mínimo requerido.5) S 450 300 . se observa que. b) Subsidio de la Región al ingreso familiar Para saber el monto del subsidio (S) al ingreso que le permita alcanzar el consumo mínimo de pescado. 5) U ' 675 Gráfico.5 15 7. 22.5 2(10) La nueva Utilidad: U (30)(22.) . Equilibrio con subsidio al Ingreso Otros alimentos 45 U ' 675 30 X * (30.5 X 1 10 X 2 450 20 30 40 60 Pescado (Kg.25 S 150 La nueva restricción presupuestaria sería: 7.5 X 1 10 X 2 450 La canasta óptima: X1 450 30 2(7.5) 22.5) X2 450 22. 00 1 La nueva restricción presupuestaria sería: 5 X 1 10 X 2 300 La canasta óptima: X1 300 30 2(5) X2 300 15 2(10) . se debe cumplir que: m 30 1 2 p1 Remplazando datos.26 c) Subsidio de la Región al precio Si denominamos: s. entonces se debe cumplir que: p1 p1 s 1 Siendo p1: precio de mercado p11 : precio pagado por las familias s: subsidio de la Región a los vendedores de pescado Asimismo. el subsidio al precio. operando y despejando p11: 300 30 1 2 p1 60 p1 300 1 p1 5. Equilibrio con subsidio al precio del pescado Otros alimentos 45 5 X 1 10 X 2 300 30 22. El monto total del subsidio. consumirán el mínimo requerido. los pescadores o vendedores recibirán S/ 7. Gráfico.50 de subsidio pagado por la Región).00 por kilo de pescado. según sus preferencias. pagarán S/5. 15) 15 U * 450 20 30 40 60 Pescado .5 U 675 X * (30.50 x 30 Kg.00 por familia.27 La nueva Utilidad: U '' (30)(15) U '' 450 En este caso. ascenderá a S/2. = S/ 75. los pobres.50 por kilo (el monto pagado por los consumidores más S/2. 33 . y despejando obtenemos el precio que pagará el consumidor: p1'' (45) 150 p1'' 3.28 d) Subsidio al precio que permite mantener el bienestar obtenido con subsidio al ingreso Consumo óptimo: X1 300 2p 1 '' Se despejan las incognitas y se obtiene : p1 X 1 150 '' . el subsidio de la Región será: s = 7.33 Por tanto...50 -3. se obtiene remplazando X2: X1 (15) 675 X1 45 Entonces. remplazandoeste valor en (α). como se debe cumplir que: X1 X 2 675 X1. ( ) 300 15 2(10) X2 Por otra parte. El subsidio total: 4.65 Gráfico. Subsidio al precio.17 x Kg.17 x 45 = 187. que mantiene el bienestar con subsidio al ingreso. Otros alimentos 45 3. 15) 15 U * 675 U 450 20 30 40 45 60 90 Pescado .5 X * (45 .29 s = 4.33 X 1 10 X 2 300 30 22. y obtener primero. hacemos uso de la identidad despejamos y operamos: u(X) = v(p.30 1. empleando la identidad Xi (p. Dadas las siguientes funciones de demanda compensada: 2Up h 1 ( p . U ) p1 2 1/3 Up 1 h 2 ( p . y luego por dualidad. 1. U ) 2 4 p2 1/3 Se pide: a) Halle las demandas marshallianas b) Determine la función de utilidad Solución a) En la restricción presupuestaria: m = p1X1+ p2X2 RemplazamosXi .m)1/3) v ( p .m).3.m) ≡ hi(p. La identidad de Roy. la función de gasto. Lema de Sheppard.u) m = p1(2up2/p1)1/3+ p2 (up1/4p22 )1/3 m = p12/3(2up2)1/3+ p21/3(up1/4)1/3 m = p12/3p21/3[(2u)1/3+ (u/4)1/3] m = p12/3p21/3(41/3 21/3 u1/3+ u1/3)/ 41/3 41/3m = p12/3p21/3(2 u1/3+ u1/3) 41/3m = p12/3p21/3(3 u1/3) Luego. la función de utilidad indirecta . para obtener la FUI1. Dualidad en el Consumo: La Ecuación de Slutsky. 41/3m = p12/3p21/3(3 v(p. m )1 / 3 1 41/ 3 m 3 p 12 / 3 p 12/ 3 También se podría haber integrado las demandas Hickssianas con respecto a su respectivo precio. se hacen los remplazos respectivos. se reacomoda la función de utilidad indirecta.m) = U = (4/27) (3x1/2)(3x1/2)(3x2) U = (4/27)(27/4) x12 x2 U = x12 x2 . m ) 4m 3 27 p 12 p 2 4 m m m v( p.8m3 / 27p13p2 2 12m / . en las demandas ordinarias despejamos las relaciones: m/p1 = 3x1/2 y m/p2 = 3x2 Luego.31 v( p. m ) 27 p 1 p 1 p 2 v(p. hallamos las demandas ordinarias aplicando la identidad de Roy. y se simplifica así: X1 = - X2 = - b) .4m3 / 27p12p22 Xi12m = / 2 27p12p2 27p12p2 2m 3 p1 m 3p 2 Para hallar la función de utilidad. se remplazan estas relaciones. m ) 4m 3 27 p 12 p 2 Finalmente. y se efectúa: v( p. Primero calculamos las derivadas parciales: dv/dp1 = -8m3 / 27p13p2 dv/dp2 = -4m3 / 27p12p22 dv/dm = 12m2 / 27p12p2 Luego. U) ≡ m. 3 U p 22 / 5 dp 1 25 p 12 / 5 3 U p 22 / 5 25 p 2 / 5 1 3 U p 22 / 5 p 13 / 5 25 3/5 U p 13 / 5 p 22 / 5 5 dp 1 Luego. se hace uso de las identidades U(X) ≡ v(p. para obtener la FUI.U ) m v( p.m) y e(p. m ) 2 v ( p . m ) p 13 / 5 p 22 / 5 5 5m p p 22 / 5 3/5 1 Como ejercicio. pruebe integrar h2 y obtenga el mismo resultado. Dadas las siguientes funciones de demanda compensada: h1 ( p .U ) 25 p 12 / 5 2 U p 13 / 5 25 p 23 / 5 a) Halle las demandas marshallianas b) Determine la función de utilidad Solución a) Integrando cualquiera de las demandas compensadas con respecto a su precio respectivo –en este caso integramos h1 – se obtiene la Función del gasto2 e( p.32 2. . y se despeja: e( p. U ) 3U p 22 / 5 h2 ( p.U ) . m) ≡ hi(p. se remplazan en las fórmulas respectivas: x1 x2 3m p p 22 / 5 5 p 13 / 5 p 22 / 5 8/5 1 2m p p 27 / 5 5 p 13 / 5 p 22 / 5 3/5 1 3m 5 p1 2m 5 p2 c) Para hallar la función de utilidad. en las demandas hikssianas. se hallan las demandas ordinarias aplicando la identidad de Roy: Previamente se hallan las derivadas parciales: dv dp 1 3 5m 3m 8/5 2/5 8/5 2/5 5 p1 p 2 p1 p 2 dv dp 2 2 5m 2m 3/5 7/5 3/5 7/5 5 p1 p 2 p1 p 2 dv dm p 5 p 22 / 5 3/5 1 Luego.33 Finalmente. y se despejan las relaciones (p1/p2): h1 x 1 h2 x2 3U p 22 / 5 25 p 12 / 5 2 U p 13 / 5 25 p 23 / 5 p 1 3U p 2 25 x 1 5/2 p 1 25 x 2 p 2 2U 5/3 .U). se aplica la identidad Xi(p. 8 x13/5x2 3. y se despeja U: 3U 25 x 1 5/2 5/2 5/3 U U U 5/3 25 x 2 2 25 x 2 2 5/3 25 x 2 2 ( 5 / 3 )( 6 / 25 ) 5/2 25 x 1 3 2/5 3/5 U 25 x 1 3 2/5 25 x 1 3 3/5 U 25 x 2 2 Dada la siguiente función de utilidad: U ( x1 .34 Luego se igualan. 25 x 1 3 25 / 6 U 5/3 25 x 2 2U Las demandas Marshallianas Las demandasHikssianas La Function de utilidadindirecta La Función del gasto CompruebelasdemandasMarshallianas CompruebalasdemandasHickssianas 2/5 ( 5 / 2 )( 6 / 25 ) . x 2 ) x1 Lnx2 Hallar: a) b) c) d) e) f) 25 x 1 3 5/2 25 x 2 2 U = 9. y despejando. Luego.P . : dL 1 p1 0 dx 1 dL dx 2 dL d (1) 1 p 2 0 (2) x2 m p 1 x 1 p 2 x 2 ( 3) de (1) y (2) : 1 1 p1 p 2 x 2 x2 p1 p2 (4) Así.35 Solución a) Las demandas Marshallianas se hallan formulando y resolviendo el problema primal: Max. se obtiene la de x1: p p 1 x 1 p 2 1 m p2 x1 m p1 p1 . (4) viene a ser la demanda Marshalliana del bien x2.O . sujeto a : x1 Ln x 2 p1 x1 p 2 x 2 m L x1 Lnx2 (m p1 x1 p2 x2 ) C . reemplazando (4) en (3). : dL dx 1 p1 0 dL dx 2 p2 x2 (1' ) 0 dL U x 1 Ln x 2 d (2' ) ( 3' ) De (1) y (2): p 2 x 2 p1 x2 p1 p2 (4' ) Luego.36 b) Para hallar las demandas Hikssianas se plantea y resuelve el problema dual: Min.O . reemplazando (4’) en (3’). obtenemos la otra demanda Hikssiana: p x 1 Ln 1 U p2 x 1 U Ln p1 p2 . p1 x1 p 2 x 2 sujeto a : x1 Ln x 2 U L p 1 x 1 p 2 x 2 (U x 1 Lnx 2 ) C . y despejando.P . m) x1 Ln x 2 v(p. m) dv( p. se reduce: U ( x1 . U ) p1 p Ln 1 v( p. x 2 ) v( p. U ) p1 U Ln 1 1 p2 e) Comprobación de las demandas Marshallianas Aplicando la Identidad de Roy: dv( p. m) dpi xi ( p. y despejamos: m e( p. m) m p1 p Ln 1 p1 p2 d) Función del gasto Similarmente. aplicamos las equivalencias . de ser posible. se reemplazan las demandas Marshallianas y. en la función de utilidad directa se aplica la dualidad.37 c) Función de utilidad indirecta Para hallarla. m) dm . tomando la FUI. m) U p1 p2 p e( p. m) p1 p2 Derivando: dv m 1 2 dp1 p1 p1 dv 1 dp 2 p2 dv dm 1 p1 Entonces: x1 m p12 1 p1 1 p1 x2 1 p2 1 p1 m 1 p1 p1 p2 f) Comprobación de las demandas Hikssianas En este caso.38 Así: m p1 p Ln 1 v(p. se recurre al Lema de Sheppard: h i (p. U) pi . U) e (p. U) p1 U Ln 1 1 p2 p p1 U p1Ln 1 p1 p2 Derivando: h1 1 U p1 Ln p1 Ln p 2 1 p1 e p1 U 1 Lnp1 Lnp2 1 U (Ln p1 Ln p 2 ) h1 U Ln h2 de dp 2 p1 1 p2 h2 p1 p2 p1 p2 . reordenando la Función del gasto: p e(p.39 Así. Un consumidor tiene un ingreso de S/ 900.5 4 x1 x2 0.5 p1 0 1 p 2 (1) 0 (2) m p1 x1 p 2 x 2 ( 3) Luego (1) / (2) : 0. x 2 ) 4 x1 0.m) c) Compruebe el Lema de Shephard Solución a) Hallar la máxima utilidad implica conocer. las demandas óptimas. consume dos bienes.O . x1 y x2. sujeto a : L 4x1 0. cuyos precios son p1 = 2 y p2 = 10.5 p1 x1 p 2 x 2 m x2 (m p1 x1 p2 x2 ) C . primero.40 4.5 2 x1 1 x1 0. Grafique b) Demostrar que U(X) ≡v(P. Si su función de utilidad es: U ( x1 .5 x2 Se pide: a) Hallar la máxima utilidad que alcanza el consumidor.P . respectivamente. : dL dx 1 dL dx 2 dL d 2 x1 0 .5 p1 p2 p1 2 p2 . a través del problema primal: Maxim. se obtiene la función de demanda del bien x2: 2 p2 p 1 p1 4p2 p1 2 p 2 x 2 m 2 p2 x2 x2 m m 4p 2 p2 p1 Por último. se remplazan los datos en las funciones y se obtienen las demandas óptimas y la utilidad máxima: 2 2 (10 ) x1 100 2 x2 900 4 (10 ) 10 2 70 Entonces: U * 4100 70 110 0.5 .41 2 p2 x 1 p1 2 Remplazando x1 en la restricción presupuestaria. reduciendo y despejando. m) m 4 p2 p 1 p2 m 4 p2 p 1 p2 4 p2 m p1 p2 .42 Gráfico: Equilibrio del consumidor 120 100 80 E*(100. Así remplazando las demandas Marshallianas en la función de utilidad. m ) 4 p1 v(P. m ) 4 p 1 2 0 . 70) 60 40 U0 = 110 20 0 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 X1 b) Para esta demostración se requiere hallar v(P. y simplificando: 2 p 2 v ( P . m).5 2 p2 v ( P . 5 0 (1' ) 0 (2' ) x2 0 ( 3' ) . : dL dx 1 p 1 2 x1 dL dx 2 p2 dL d U 4 x1 0 . m) 4 (10 ) 900 2 10 v ( P . m ) 110 Como se puede observar. comparando con lo hallado en a).O . remplazando los datos: v(P.5 0 .5 x2 ) C . m). se comprueba que U(X) ≡ v(P.43 Luego.P . sujeto a : 4 x1 L 0.5 x2 U p1x1 p2 x2 (U 4 x1 0. c) Lema de Shephard Primero se tiene que hallar las demandas compensadas para luego aplicar el Lema de Shephard Entonces: p1 x1 p 2 x 2 Min. U ) 2p p 1 2 p1 4p 2 e(P.5 0. 5 p1 2 p2 2p x1 2 p1 2 (4' ) Luego. entonces.44 La demanda compensada del bien x1. U ) p 2U p1 2 2 . remplazando las demandas Hickssianas en la restricción presupuestaria. reduciendo y despejando. se obtiene dividiendo (1’)/ (2’). falta la función del gasto. obtenemos la demanda Hikssiana del bien x2: 2 p 4 2 p 1 2 0 .5 x2 8 p2 x2 p1 x2 U 8 U U p2 p1 Ahora. y reduciendo: p1 2 x1 p2 x1 0. U ) p1 2 2 8p p 2 U 2 p1 8p p2U 2 p1 4 p2 e ( P . remplazando (4’) en (3’). y aplicando las equivalencias de la dualidad : m e(P. 45 Por último.a : p1 x1 p 2 x 2 m . ln x1 ln( x 2 4) s. recurriendo al Lema de Shephard: hi ( p. demuestre: a) Que las demandas de ambos bienes pueden ser calculadas a través de las funciones de Demanda Marshalliana o de las funciones de Demanda Hiksiana. y los precios de los bienes que consume son p1= 2 y p2=4. b) El Lema de Shephard c) Que la renta monetaria se puede obtener a través de la función de gasto. U ) de( p. U ) dpi Aplicando: de h1 dp1 h2 de dp 2 4 p2 p1 2 2 2p 2 p1 U 8 2 p2 p1 5. Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente: U ( x1 . x 2 ) ln x1 ln( x 2 4) Si su renta monetaria es 2.520. Solución a) Las funciones de demanda marshalliana se hallan a través del problema primal: Max. (3) De (1) y (2): x 2 4 p1 x1 p2 Entonces. (2) .46 : ln x1 ln( x 2 4) (m p1 x1 p 2 x 2 ) C... reduciendo y despejando.(4) x1 p 2 ( x 2 4) p1 .. (1) .O.. se obtiene la demanda de x1 : x1 2... obtenemos la demanda marshallliana de x1: px p1 x1 p 2 1 1 4 m p2 p1 x1 p1 x1 4 p 2 m x1 m 4 p2 2 p1 Reemplazando los datos..P.. reemplazando(4) en la R.: x1 x 2 1 p1 x1 0 1 p2 0 x2 4 m p1 x1 p 2 x 2 0 .520 4(4) 2( 2) ..P. obtenemos las relaciones entre las variables x2 p1 x1 4 p2 . (5) Luego.. reemplazando (5) en la restricción: p ( x 4) p 2 x 2 m p1 2 2 p 1 p2 x2 4 p2 p2 x2 m x2 m 4 p2 2 p2 La cantidad consumida de este bien será: x2 2 .47 x1 2. para hallar las funciones de demanda Hiksiana. p1 x1 p 2 x 2 s.a : ln x1 ln( x 2 4) U p1 x1 p 2 x 2 [U ln x1 ln( x 2 4)] . 504 8 x 2 313 Luego. formulamos el problema dual: : Min. 520 4 ( 4 ) 2(4) 2 . de manera similar.536 4 x 1 634 La función de demanda Marshalliana de x2 se obtiene. O.. reduciendo y despejando. obtenemos las relaciones entre las variables x2 p1 x1 4 p2 x1 .: x 2 1 x1 0 .. (1) 0 .48 C.. (2) U ln x1 ln( x 2 4) 0 ..P. (5) Seguidamente. (3) x1 p1 p2 1 x2 4 De (1) y (2): x 2 4 p1 x1 p2 Entonces. se remplaza(4) en la restricción... se obtiene la demanda Hiksiana de x1: U U p x ln x1 ln 1 1 4 4 p2 ln p1 2 x1 p2 p1 2 x1 e U p2 x1 2 p2 U e p1 1 x1 h p 2 2 e U p1 .(4) p 2 ( x 2 4) p1 ..... hallado con la función de demanda Marshalliana. coincide con el de la demanda Hicksiana3: 1 x1 4 2 e 12 .7589 = 12. 956 ) h 1 2 x 1 634 h Del mismo modo.49 Recurriendo a los datos. hallamos que el consumo del bien x1.21095 . 21095 2 h x 1 ( 401 . reemplazando (5).452 + 5. obtenemos la función de demanda Hiksiana de x2: p ( x 4) ln 2 2 ln x 2 4 p1 U U p ln 2 ( x 2 4)( x 2 4) p1 p ln 2 ( x 2 4) 2 p1 U eU p2 (x2 4)2 p1 1 p 2 ( x 2 4) 1 e U p2 x2 3 h 1 2 p 1 eU 4 p2 Previamente calculamos U = ln(634)+ ln(313 +4) = 6. reduciendo y despejando. previamente.U ) p i ( P . U ) 2 p1 p2 eU 1 2 4 p2 Entonces. Para hallar ésta. la Función de gasto. 21095 4 4 h x2 h 0. U ) 2 p1 p 2 e U 2 1 2 h i e ( P . U ) m e( P.m) ≡ Xih(P.U) b) La demostración del Lema de Shephard requiere conocer.50 Remplazando. se deben reemplazar las funciones de demanda Hiksiana en la restricción presupuestaria. datos: x2 1 2 2 e12. se demuestra que Xi (P. U ) p1 p 2 eU p p e 1 2 U 1 e( P.5(200. y reducir: 1 1 2 p2 U 2 p 1 U p1 e p 2 e 4 p p 1 2 e( P .85) 2 1 4 x 2 313 h Por tanto. X h 1 e p1 X h 1 2 ( p 2eU ) 2 p eU 2 p1 1 2 1 2 p1 1 2 .977.U ) Se sabe que: 4 p2 4 p2 Lema de Shephard: X 1 2 e(P. 51 X h 2 e p 2 X c) h 2 1 1 2 ( p1e U ) 2 p 2 2 4 2 p eU 1 p2 1 2 4 Demostración de que U(x)≡v(P. m) ln 32 v( p.21095.m).d . m) ln 4(2)(4) 6. m) v( p. .q.21095 l. m) 12. m) ln (200.978) v( p.m).q. Entonces. y se reduce: U ( x1 .431.296 v( p. m) (m 4 p 2 ) 2 ln 4 p1 p 2 Reemplazando los datos: [2. Se sabe que U(x)= 12. m) m 4 p2 m 4 p2 ln 4 ln 2 p1 2 p2 m 4 p2 m 4 p2 ln ln 2 p1 2 p2 Finalmente: v( p. x 2 ) v( p. se halla v(P.520 4(4)] 2 v( p. para lo cual se remplazan las funciones de demanda Marshalliana en la función de utilidad directa. (ax1. Un nadador tiene una dieta basada en pescado y ensaladas en la proporción de ½ kg. Grafique. Su utilidad sólo se incrementa cuando consume más de ambos alimentos en las proporciones indicadas. de pescado por cada 2 kg. bx2) Donde: x1: pescado (Kg. el pescado y las ensaladas son bienes complementarios perfectos. de pescado ¿cuánto tendrá que consumir de ensaladas?¿Cuál será el nivel de utilidad que alcanza?. por tanto la función de utilidad tendrá la forma: U = Mín.) a: x1 U ½Kg ─ 1 1Kg ─? a=2 b: x2 U 2Kg ─ 1 1Kg ─? b = 1/2 → U = Mín.) x2: ensalada (Kg. de ensaladas. la cual se obtiene de la relación: 1 2 x 2 2x 1 x 2 4x 1 . Solución a) Para esta persona. ½x2 ) b) La senda de expansión en el consumo viene a ser la trayectoria de la curva renta consumo. Con esta información: a) Formule la función de producción b) Determine la senda de expansión c) Si desea consumir 2 Kg.52 6. (2x1. ) x2 = 4x1 8 U=4 2 U=1 0 Kg) ½ 12 X1 Pescado (Kg. ½(8)] U = Mín. entonces. x1= 2.53 c) Si consume 2Kg de pescado. [2(2).) . La utilidad que alcanza: U = Mín. 4] O sea: U=4 Gráfico: x2Ensalada (Kg. la ración de verduras (x2) que tendrá que consumir será: x2= 4(2) = 8 Kg. [4. de acuerdo a sus preferencias. dependiendo de los precios de mercado. de tal manera que su función de utilidad es la siguiente: U Max. tiene una predilección especial e igual por las gallinas y los zorros. Si Beto cuenta con un ingreso de S/. de exhibición.54 7.1600 y el precio de una gallina ornamental es de S/150. ( x1 . 0 p1 . determine: a) El equilibrio de Beto b) Si el precio de las gallinas sube a S/225 ¿qué criará Beto? c) Si el precio de los zorros también se elevase a S/225 ¿cuál sería su decisión? Solución a) La función de utilidad de Beto denota el caso de bienes sustitutos perfectos que no pueden ser consumidos simultáneamente o no brindan la misma utilidad cuando se consumen juntos La senda de expansión es: x2 1x1 La restricción presupuestaria: 150x1 200x2 1800 Entonces. como p1 a p2 b el equilibrio: m . Alberto Fernández es un amante de los animales. x 2 ) Tiene un galpón donde piensa criar las especies de su preferencia. mientras que los zorros se venden a S/200 cada ejemplar. Gráfico4 U Max. su trazo es exactamente opuesto. x 2 ) Zorros x2 = 1x1 (senda de expansión) 12 U=9 9 * U = 12 6 150x1 200x2 1800 3 A 0 4 3 6 9 12 Gallinas Esta función tiene curvas de indiferencia rectangulares similar a las de bienes complementarios perfectos. .55 Así 150 1 200 1 equilibrio: A 12. obtendrá la máxima utilidad criando 12 gallinas y ningún zorro. 0 Es decir. ( x1 . pero como se trata de bienes sustitutos perfectos. se encontrará en equilibrio comprando 8 zorros y ninguna gallina . 225 1 200 1 equilibrio: B 0.56 b) Si sube el precio de las gallinas. p2 Entonces. la nueva restricción presupuestaria será: 225x1 200x2 1800 En este caso p1 a p2 b m equilibrio: 0 . 9 Gráfico Zorros x2 = 1x1 12 * U =9 B 9 U = 12 6 225 x1 200 x 2 1800 3 0 3 6 8 9 12 Gallinas orros En este caso. 1. se obtiene: 2 p 1 x1 p 2 x1 m 3 2 x1 p 1 p 2 m 3 x1 m p1 2 3 p 2 . es decir. 3. Grafique c) El nivel de utilidad Solución: a) Las preferencias de consumo de Luis describen a dos bienes complementarios perfectos. Luchito tiene un ingreso de S/. 2 3 2 b) El consumo óptimo implica hallar las funciones de demanda Si x1 x 2 3 2 2 x 2 x1 3 y 3 x1 x 2 2 Reemplazando x2 en la recta de balance. así la función de utilidad es: x x U Mín. y el de limón.00. S/. 1 .57 8. pero su paladar sólo disfruta con la combinación exacta 3-2. factorizando y despejando.200. determine: a) La función de utilidad b) El consumo óptimo de Juan. Luis Valverde es un experto catador de Pisco Sour. 1. 3 onzas de pisco con 2 onzas de limón.50. Si el precio de la onza de pisco es de S/. se reemplazan los datos y se obtiene la canasta óptima (300. 3 U m Mín .5 ) 4 3 1 . 3 p 1 2p 2 3 m p p 2 1 2 2 m 3p 1 2 p 2 . se obtiene x2: 3 p1 x 2 p 2 x 2 m 2 3 x 2 p1 p 2 m 2 x2 3 2 m p1 p 2 Finalmente. reduciendo y seleccionando la que representa la demanda mínima.200 1 . 200) x1 x2 1 .58 De modo similar.200 1 . . m 2 p p 3 2 U Mín .200 200 6 2 ( 3 ) 1. 1 .200 300 3 2 3 (1.5 c) El nivel de utilidad óptimo se obtiene reemplazando las funciones de demanda marshalliana en la función de utilidad directa. se toma cualquiera de ellas y se reemplazan los datos: U m 3 p1 2 p2 U 1. dado que los componentes son iguales.59 Entonces.200 3(3) 2(1.5) U* 100 Gráfico x2 (Jugo Limón) Onzas 800 x2 = 2/3x1 * U = 100 200 100 U = 50 0 100 150 200 300 400 x1 Pisco (Onzas) . A Juan Rosado le gusta mucho el pan con pejerrey. Así. reemplazamos (β) en la restricción presupuestaria: p1x1 + p2(2x1) = m x1 (p1+ 2p2) = m x1 m p1 2 p 2 . su función de utilidad. será: U = Mín. Determine: a) b) c) d) e) f) Las demandas marshallianas de los bienes consumidos por Juan Las demandas compensadas de ambos bienes La función de utilidad indirecta La función de gasto Las demandas marshallianas a través de la Proposición de Roy Las demandas compensadas a través del Lema de Sheppard Solución a) Las preferencias de este consumidor muestran una relación de complementariedad perfecta entre los bienes.60 9. si x1 = pan y x2 = pejerrey. él siempre prefiere dos pejerreyes por cada uno de los tantos panes con pejerrey que consume. como mínimo. sus caseros del Callao saben que. (x1. según el enunciado. ½ x2) Se sabe que: U = x1y que: U = ½ x2 De estas igualdades se obtienen dos relaciones: → x1= ½ x2 … (α) y x2= 2x1 … (β) Para hallar la demanda marshalliana de x1. 1 2 x2 ) U Luego.a : p1 x1 p 2 x 2 Mín . x2 ) U Entonces: ½ x2 = Ū x2 ( p. ( x1 .U ) U Similarmente. ( x 1 . U ) 2 U . se remplaza (α) en la restricción presupuestaria: p1(½ x2 )+ p2x2 = m p1x2 + 2p2x2 = 2m x2 (p1+ 2p2) = 2m x2 2m p1 2 p 2 b) Para obtener las demandas compensadas o Hikssianas planteamos el problema dual: Min . al remplazar (α) en la restricción: Mín. ( 12 x2 . 2x1 ) U Entonces. reemplazando (β) en la restricción: Mín.61 Para obtener la otra demanda. tomando el mínimo: x1 ( p. s . 62 c) La Función de utilidad indirecta se obtiene remplazando las demandas ordinarias en la Función de utilidad directa: m 2m U Mín . Así: e (P.m ) p1 m 2 p 2 d) La función de gasto se halla aplicando la dualidad. m) x1 v(P. m) p 2 m . m) v(P. . y despejando. se toma el menor pero como ambos componentes son iguales: v (P . m) p 1 x2 m Primero se hallan las derivadas requeridas: v p 1 (p 1 v p 2 (p v m (p m 2p 1 2 2m 2p 1 1 2p 2 ) )2 2 )2 v(P. partiendo de la FUI. (1 ) 2 p 2p 1 2 p1 2 p2 Luego. U) U( p 1 2p 2 ) e) Aplicando la Proposición de Roy v(P. U ) p 1 2p 2 U e (p. m ) 1 (p 1 2p 2 ) m p 1 2p 2 x 2 (P. U ) p1 h1 (P. U ) e( P . U ) 2U .63 Luego se remplazan en las fórmulas respectivas: m (p 1 2p 2 ) 2 x1 ( P. U ) U h 2 (P. m ) 2m ( p 1 2p 2 ) 2 1 ( p 1 2p 2 ) 2m p 1 2p 2 f) Aplicando Sheppard h1 ( P. U ) p 2 h 2 (P. U ) e( P . se factoriza y despeja: p1 x1+ p2x1 = m x 1 ( p1 + p 2 ) = m x1 m p1 p 2 De forma análoga. requiere de las demandas marshallianas. . x 1 . se remplaza esta relación en la restricción presupuestaria. para obtener x1(p. x 2 1 2 a) Demuestre la Proposición de Roy b) Demuestre el Lema de Sheppard Solución: a) Para demostrar Roy. x2 resulta ser: x2 m p1 p 2 Remplazando en la función de utilidad directa: m m U Mín .64 10. y ésta. Dada la siguiente función de utilidad: U Mín . p p p p 2 1 2 1 1 2 . primero se tiene que contar con la Función de utilidad indirecta. Partiendo de: x11/2= x21/2 se establece que: x 1 = x2 Entonces.m). a su vez. hacemos que: m v(P. m) p 1 v(P. Así: h1 ( P . U ) p 2 . U ) p1 h2 ( P. m) x1 v(P. U ) e( P . m ) x 2 ( P. U ) e( P .65 Entonces: m v(P. m) p 2 m Para facilitar las derivaciones. m ) p1 p 2 1 2 Luego hay que hallar las demandas marshallianas a través de: v(P. m ) p1 p 2 1 2 m 1 2 ( p1 p 2 ) 1 2 Luego se aplican las fórmulas respectivas y se reduce: x1 ( P . m) 1 12 3 m ( p1 p 2 ) 2 2 1 12 1 m ( p1 2 p 2 ) 2 2 1 12 3 m ( p1 p 2 ) 2 2 1 12 1 m ( p1 2 p 2 ) 2 2 m 1 1 2 2 ( p1 p 2 ) m 3 1 2 2 1 1 2 2 ( p1 p 2 ) 3 1 2 2 m p1 p 2 m p1 p 2 b) Demostración del Lema de Sheppard Este Lema afirma que lafunción de demanda Hiksiana de un bien es igual a la derivada de la función gasto respecto al precio de dicho bien. m) x2 y m v(P. también hay que contar con la función de gasto.remplazándola en la función de utilidad directa: Para x1: Entonces.x 2 . a partir de la FUI: m v(P. x 2 2 U 1 Entonces. Mín . U) U2 h2 (P. x 1 2 U 1 1 x12 U x1 U2 Para x2: Mín . x 1 .U). m ) p p 2 1 1 2 Se recurre a v(P.U ) U p1 p 2 1 2 e(P. U ) U (p 1 p 2 ) 2 . y se despeja: e( P .m) ≡ U y m ≡ e(P. dado que no se conocen las funciones de demanda Hikssiana. U) U2 Luego. Entonces.66 Entonces. hay que hallarlas empleando la relación x2= x1. 1 x2 2 U x2 U 2 Dado que xi ≡ hi estas funciones se pueden expresar como: h1(P. Solución a) En este tipo de funciones se cumple que: U = 3x1+x2 Igualando. y U = x1+2x2. 1. U ) h 2 ( P. Grafique. h 1 ( P.en la restricción presupuestaria. x1+2x2) a) Halle las funciones de demanda marshalliana u ordinaria.Las preferencias de un consumidor se expresan mediante la función de utilidad: U(x1.. c) A partir del equilibrio de b). (3x1+x2. se hallan las funciones de demanda ordinaria: → p1(½ x2 ) + p2x2 = m x2 ( p1 2 p2 ) m 2 x2 2m p1 2 p 2 → p1x1 + p2(2x1) = m x1 (p1 2p 2 ) m x1 m p1 2 p 2 . 3x1+x2= x1+2x2 Reduciendo. Grafique el equilibrio. y los precios de los bienes que consume son p1 = 2 y p2 = 3 ¿cuál es el nivel de utilidad que alcanzaría?. halle el nuevo equilibrio cuando el precio de x1 cae a p1’= 1. x2) = Mín.200. U ) U (p1 p 2 ) 2 U p1 2 U (p1 p 2 ) 2 U p 2 2 12. b) Si el consumidor tiene un ingreso monetario de S/. se obtienen las relaciones: x1 = ½ x 2 x2 = 2x1 Remplazando estas relaciones –una a la vez.67 Finalmente. Las rectas se cruzan cuando se da la relación: x2 = 2x1.200 0 150 250 500 600 750 X1 . 750) Entonces. y se intercepta con los ejes. 300) 300 2x1+3x2 = 1. La representación gráfica de la función de utilidad se obtendrá de las ecuaciones del sistema: 3x 1 x 2 750 x 2 x 750 2 1 La curva de indiferencia. obteniéndose: U = Mín. x2 750 U = 600 400 375 X* (150.68 b) Se hallan las cantidades demandadas de cada bien remplazando los datos en las respectivas funciones de demanda: x1 1200 150 2 2 (3) x2 2 (1200 ) 300 2 2 (3) Luego. éstas se remplazan en la función de utilidad. U = 750 Gráfico. (750. formada por porciones de estas dos rectas. tiene un ángulo obtuso. 343) 342.200.200. veamos porque: Las demandas serían: x1 1200 171 .Esto ocurrirá en el punto X*(1. [857. U = 857 El sistema de ecuaciones que contendrá a esta U será: 3x 1 x 2 857 x 2 x 857 2 1 Pero veamos que sucede en el gráfico:se observa que el supuesto equilibrio viola el principio de tangencia.69 c) Cuando p1 cae a 1. 0) 0 171. pues la recta presupuestaria cruza el conjunto de consumo interior. configurándose una solución esquina x2 857 U * = 1200 600 U = 857 428. Así. la curva de indiferencia puede desplazarse hasta lograr la tangencia con la recta de balance.1.4 285.6 400 857 1200 x1 . 0). 857.9 x1++3x2 = 1.1] Entonces. 4 1 2 (3) x2 2 (1200 ) 342 . el instrumental analítico convencional para hallar el equilibrio muestra una incongruencia.5 400 X (171. obteniéndose: U = Mín. Entonces. éstas se reemplazarían en la función de utilidad. el consumidor puede alcanzar un mayor nivel de utilidad.200 X*(1. 9 1 2 (3) Luego. m ) x2 0 x * (m p1 x 1 0 x * (0.200. las demandas óptimas se obtienen mediante las funciones de demanda. Así: a) si p1 1 3 2 p2 b) si p1 1 p2 2 c) si p1 3 p2 x2 En nuestro caso : usamos x1 m p1 m p2 p1 1 1 2 p2 3 y y xi ( p.70 Concluiremos señalando que mientras la pendiente de la recta presupuestaria esté en el rango de las pendientes de las funciones lineales que conforman la curva de indiferencia. m x * (1. tendremos soluciones esquina. 0) p2 ) . En otro caso. 0) . Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente: U ( x1 ... x1 2 x1 x 2 s. (3) x1 x 2 De (1) y (2): 1 2x2 p 1 2 x1 p2 Entonces. x2 p1 x1 1 p2 2 . (1) 2 x1 p 2 0 . determine el efecto renta y el efecto sustitución de la variación total del consumo de este bien..: 1 2 x 2 p1 0 ....4.25 y p2= 5. Efecto renta y efecto sustitución: Hicks.50. x 2 ) x1 2 x1 x 2 Tiene un ingreso monetario de S/. a través del Primal: Max.(5) y x1 p 2 (1 2 x 2 ) 2 p1 ..a : p1 x1 p 2 x 2 m : x1 2 x1 x 2 (m p1 x1 p 2 x 2 C.. (2) m p1 x1 p 2 x 2 0 . Si el precio de X1 sube a 1. según Hicks y Slutsky. 00.50 y los precios de los dos únicos bienes que consume son p1= 1.972.. Solución Primero hallamos las funciones de demanda para encontrar las combinaciones óptimas de consumo.O.71 1.P.. Slutsky 1.(6) . 72 Luego, remplazándolas relaciones (5) y (6) – una a la vez - en la R.P, obtenemos las funciones de demanda marshallliana: x1 m 0,5 p 2 2 p1 x2 m 0,5 p 2 2 p2 Tomando los datos, se encuentra que las canastas óptimas inicial y final, serán respectivamente: XA (390, 97) XC (325, 97) y Al subir el precio del bien X1, el consumidor reduce el consumo de este bien, en 65 unidades. Ahora, ¿Cuánto se debe al efecto sustitución y cuánto al efecto renta? ER y ES según Hicks Hicks señala que para identificar el ES o efecto precio, hay que compensar al consumidor por la pérdida de su ingreso real, otorgándole un ingreso mayor, de modo que le permita obtener, con la nueva relación de precios, su nivel de utilidad original (U0). Esto lo consigue en el punto B del gráfico siguiente: HICKS: Efectos Renta y Sustitución X2 m´ B B X2 97 A C U0 = 76,05 U1 325 X1 B 390 = X1 73 La utilidad inicial: U0 = (390) + 2(390)(97) U0 = 76,05 Para hallar los componentes de la canasta XB(x1B; x2B), primero se halla el ingreso compensador m’. Como XB se encuentra en U0 y el equilibrio se da con la recta presupuestaria que contiene a m´, entonces, los componentes de XB satisfacen la relación: U0 = x1B + 2 x1Bx2B Si m' 0,5p 2 x1 B y 1 2p1 x2 B m' 0,5p 2 2p 2 Entonces: U 0 m ' 0 ,5 p 2 2 p1 1 m ' 0 ,5 p 2 2 1 2 p1 m ' 0 ,5 p 2 2 p 2 Remplazando por los datos y efectuando operaciones: 76 . 05 m ' 2 ,5 m ' 2 ,5 m ' 2 ,5 2 3 3 10 Factorizando, reduciendo y ordenando: ( m ' 2 ,5 ) m ' 2 ,5 76 . 050 1 2 10 3 m ' 2 ,5 ( m ' 2 ,5 ) 76 . 050 5 3 74 m ' 2 ,5 2 15 76 . 050 m ' 2 ,5 2 1'140 . 750 m’2 + 5m´ - 1’140.774 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática: m’ = 1065,56 Remplazando m’ en las demandas marshallianas: x1B = 356 y x2B = 106.3 Por tanto, ES = 390 - 356 = -34 ER = 356 – 325 = -31 ET = 390 – 325 = -65 ER y ES según Slutsky Para hallar la canasta XB(x1B; x2B), según Slutsky, se debe mantener constante la capacidad adquisitiva del consumidor, esto implica compensar al individuo con un ingreso ms ,tal que le permita adquirir nuevamente la canasta XA , que elegía antes que variara p1 (Ver gráfico). Pero, así, el óptimo ya no sería en XA sino en XB y con un nivel de utilidad mayor, U2 . 75 SLUTSKY: Efectos Renta y Sustitución X2 ms Bs B X2 97 A C U2 U0 = 76,05 U 325 1 = X1B 390 X1 Con la rentamS y la nueva relación de precios, la canasta inicial, A(390; 97) es asequible para el consumidor, entonces: ms = p11x1A + p20x2A ms = 1.5 (390) + 5(97) ms = 1,070 Luego, remplazando ms en las funciones de demanda, obtenemos: X1B = 357.5~ 358 X2B = 106.75~107 Por tanto, ES = 390 – 358 = -32 ER = 358 – 325= -33 ET = 390 – 325= -65 76 2. La función de utilidad de un consumidor es la siguiente: U ( x1 , x 2 ) x1 3/ 2 x2 Su ingreso es de S/. 1500, los precios iniciales de los bienes que consume son p1= 5 y p2= 10. Si el precio de X1 se reduce a p11= 3, se le pide halar las cantidades demandadas de cada bien a través de: a) Las funciones de demanda Marshallianas u ordinarias. Grafique b) Las funciones de demanda Hiksianas o compensadas a lo Hicks c) Las funciones de demanda Slutskyanas o compensadas a lo Slutsky. Solución a) Funciones de demanda ordinarias Se formula el primal: Max. x1 C.P.O.: x1 x2 3/ 2 x2 p1 x1 p 2 x 2 m s.a : : x1 3/ 2 x 2 (m p1 x1 p 2 x 2 3 1 x1 2 x2 p1 0 2 ... (1) x1 p2 0 ... (2) m p1 x1 p2 x2 0 ... (3) 3/ 2 De (1) y (2): p 3 x2 1 2 x1 p 2 Entonces, x2 2 p1 x1 3 p2 ...(5) x1 3 p2 x2 2 p1 ...(6) 77 Luego. reemplazando (5) y (6) . en la R. inicialmente. se obtienen las cantidades demandadas. las cantidades demandadas serán: x1 c 3m 1 5p 1 .P. obtenemos las demandas marshalllianas. así: 2p x p1 x1 p 2 1 1 m 3 p2 5 p1 x1 3m 3m 5 p1 x1 3p x p1 2 2 2 p1 p 2 x 2 m 5 p 2 x 2 2m 2m 5 p2 x2 Al remplazar los datos. de cada uno de los bienes: x1 3(1500) 180 5(5) x2 2(1500) 60 5(10) Asimismo la utilidad máxima será: U 0 180 3/ 2 60 U 0 144897.2 Cuando se produce la reducción del precio del bien x1. O..P..(5) ..: x1 x2 3 1 p1 x1 2 x2 0 2 . (2) 0 .... (1) p2 x1 0 .(6) ... (3) 3/ 2 U x1 3/ 2 x2 De (1) y (2): p1 3 x 2 p 2 2 x1 Entonces.78 x1 C 3 (1500 ) 300 5 (3) x2 c 2m 5p 2 0 60 b) Las funciones de demanda compensada a lo Hicks Se formula el dual: Min. x2 2 p1 x1 3 p2 x1 3 p2 x2 2 p1 ... p 1 x 1 p 2 x 2 s.a : x1 3/ 2 x2 U : p1 x 1 p 2 x 2 ( U x 1 3/ 2 x2) C. 79 Luego. se reemplaza (5) en (3): x1 3/ 2 x1 2p 1 x 1 U 3 p 2 5/2 2p 1 3p 2 U 2 3p 5 x 1 2 U 2p 1 Asimismo.205 2(5) x 1 180 . se remplaza (6) en (3): 3p 2 x 2 2p 1 3 2 x 2 U 3 3p 2 2 5 x 2 2 U 2p 1 2p x 2 1 3p 2 3 2 52 U Remplazando los datos: 2 3(10) 5 x 1 ( U) 2(5) 2 3(10) 5 x 1 (144897. según Slutsky. implica reducir el gasto del consumidor –a los precios finales.80 3 2(5) 2 (144897. asimismo. que ambas canastas serán accesibles a la renta m1. Compensación según Slutsky P10>P11 X2 150 m m 60 46 1 0 m 0 XA X B XC 1 U 2 U U0 180 228 300 50 0 X1 En el gráfico se observa que la canasta óptima final no será XA sino XB con un nivel de utilidad (U2) mayor a U0.hasta que la canasta inicial (xA) sea accesible Gráfico.205) 5 x 2 3(10) 2 x 2 60 c) Las funciones de demanda compensada a lo Slutsky La compensación cuando se reduce el precio del bien. por tanto se cumple que: p11x1A + p20x2A = p11x1B + p20 x2B . (1) 1 p2 3/ 2 p1 0 .81 Asì. x2) ≡XB(x1B.(6) Luego. en la restricción. es decir. (2) 0 p1 x1 p2 x2 p1 x1 p2 x2 0 .: x1 x2 3 1 x1 2 x2 2 x1 0 .. reemplazando (5) y (6) ..(5) 0 x1 3p 2 x 2 1 2p 1 ... x2B ) . (3) 1 A 0 A 1 B 0 De (1) y (2): 1 3 x 2 p1 2 x1 p 2 0 Entonces. x1 3/ 2 x2 p1 x 1 p 2 x 2 p1 x 1 p 2 x 2 1 s..P.O. el planteamiento para determinar las demandas compensadas a lo Slutsky implica hallar la canasta XB . hacemos que X(x1. de tal modo que el problema a resolver será5: Max..a : : x1 3/ 2 A 0 A 1 0 x 2 ( p1 x 1 p 2 x 2 p1 x 1 p 2 x 2 ) 1 A 0 A 1 0 C.. 1 x2 2p 1 x 1 3p 2 0 . obtenemos las funciones de demanda compensada a lo Slutsky: p x1 p 2 x 2 1 1 A 0 A p x1 p 2 x 2 1 1 5 A 0 2p 11 x 1 p x1 p 2 3p 0 2 1 1 A 0 5p 11 x 1 3 Con fines de facilidad algebraica suprimimos el superíndice B.... 6 . se obtendrán las cantidades demandadas de la canasta XB.82 A 0 3x 3p x x 1 1 2 12 5 5p 1 A 0 1 A 0 A 1 3p x p1 x 1 p 2 x 2 p1 2 1 2 2p 1 p1 x 1 p 2 x 2 1 A 0 1 x2 A 2p 1 x 1 5p 2 A 0 p20x 2 5p 02 x 2 2 2x 2 5 A Al remplazar los datos en las demandas compensadas a lo Slutsky. así: x1 3(180) 3(10)(60) 5 5(3) x 1 108 120 x1 x2 228 2(3)(180) 2(60) 5(10) 5 x 2 21.6 24 x 2 45. Analice según Hicks y Slutsky. Solución a) Para Pedro los bienes que consume son sustitutos perfectos.) x2 : bonito (Kg. Su presupuesto para comprar estos bienes es S/ 200.83 3. 2 . Pedro pescador es un amante del pescado pero sólo consume pejerrey y bonito. grafique c) Si el precio del pejerrey sube a S/ 4/Kg. por tanto su función de utilidad responde a la expresión siguiente: U( x 1 . la función será: U(x1. S/ 8/Kg. y el bonito. Sus preferencias son invariables y siempre esta dispuesto a intercambiar 3 Kg.. x 2 ) ax 1 bx 2 Donde: x1 : pejerrey (Kg. su consumo disminuye ¿cuánto es debido al efecto sustitución y cuánto al efecto renta?. entonces: x1 3x2 Así. x2 ) x1 3x2 y sus transformaciones monótonas crecientes6 U 6 Por ejemplo: U x 1 x 2 3 3 x 1 9 x etc .) Puesto que el consumidor esta dispuesto a sustituir1 Kg de bonito (x2) por 3 Kg de pejerrey (x1). de pejerrey por un Kg. Bajo estas consideraciones se le pide que: a) Plantee la función de utilidad de Pedro b) Encuentre la canasta de consumo que le reporta la máxima utilidad. de bonito sin que se altere su utilidad. el pejerrey le cuesta S/ 2/Kg. 84 b) En este caso.P. y su determinación dependerá de las pendientes de la función de utilidad y de la recta presupuestaria. Entonces. su utilidad será: U0 = 100 +3(0) . el gráfico siguiente nos ayudará a fijar el óptimo: Gráfico.: 1/3 > 1/4 La pendiente de la función de utilidad es mayor que la de la restricción presupuestaria. dado que la función de utilidad es una recta. Por tanto.) = 100 U’ 25 U’’ A(100. 0) 75 100 Pejerrey (Kg) Así. se tendrá una solución esquina. Comparando pendientes: U x1 3x2 200 2x1 8x2 Pendiente U(X): Pendiente R. Equilibrio de bienes sustitutos perfectos Bonito 0 U (Kg. su consumo óptimo será de 100 Kg de pejerrey y nada de bonito (punto A). 3). se observa que el nuevo equilibrio se dará en el punto C – donde Pedro consume 25 Kg de bonito y nada de pejerrey. 0) 50 ET 75 100 Pejerrey (Kg) ES y ER según Hicks Para este caso el análisis en el gráfico inferior es suficiente. primero hallamos el nuevo equilibrio. trasladando la recta de balance azul hacia la derecha se alcanza a U0 – por tanto el equilibrio.85 U0 = 100 c) Para el cálculo de el Efecto sustitución (ES) y el Efecto renta (ER). Por tanto.25) 1 U =75 A(100. (la dis tan cia AC ) Bonito (Kg.C(0. cuando el precio del pejerrey sube a S/ 4/Kg. el Efecto Total (ET) del incremento del precio del pejerrey será el descenso de su consumo en 100kg.en el punto B(0. Partiendo de la situación final.este cambio radical en su consumo se da porque. para Pedro. . 33.. hay que compensar el consumidor con un ingreso que le permita recuperar el nivel de utilidad inicial U0. la pendiente de la restricción presupuestaria es mayor que la pendiente de la función de utilidad (1/2 > 1/3). En el gráfico adjunto.) 0 U 25 C(0. 25). entonces. en esta nueva situación. . . mientras que el ER. 0) U1 50 75 ET ES 100 Pejerrey (Kg) Así. 25) U0 A(100. el ES.86 Bonito (Kg. 33. ET = ES + ER AC AB BC 100 100 0 La compensación de Hicks le permitirá al consumidor alcanzar el nivel de utilidad U0 = 100 ES y ER según Slutsky La compensación de Slutsky.) 33. es de 100 Kg.3) 25 C(0. es igual a cero Por tanto. consiste en restituir la capacidad adquisitiva al consumidor.3 B(0. variación de la demanda de A a B. otorgándole un ingreso que le permita comprar otra vez la canasta inicial A. variación de la demanda de B a C. cuando el precio del pejerrey sube y su equilibrio pasa de la canasta A a la C. que hace asequible a A.25) 0 U 2 U = 150 1 U 50 A(100. 0) 75 ET ES 100 Pejerrey (Kg) Aplicando el procedimiento compensador de Slutsky.3 25 C(0. pues su utilidad será U2 =150 . no está optimizando con U0.87 Bonito (Kg. logrando el equilibrio esquina con la canasta óptima B(0. en el grafico se observa que la recta que representa este mayor ingreso. 50) 33. ET = ES + ER AC AB BC 100 100 0 En este caso los ES y ER son iguales a los hallados para Hicks. pero con la diferencia de que el efecto de la compensación de Slutsky le significará al consumidor alcanzar un nivel de utilidad mayor. 50).) 50 B(0. Por tanto. pues el consumidor puede alcanzar una “curva” de indiferencia más alta. en este caso U2. . se expresa a través de la función: U(x1.Variación Compensada y variación Equivalente 1.00..O. que los destina al consumo de agua y hortalizas. mientras que las hortalizas le significan un desembolso de S/ 12 por kilo.. Cierta persona tiene un ingreso monetario de S/ 1. x2) x1 30x2 x2 2 El agua le cuesta S/ 1. (1) 30 2 x 2 p 2 0 . c) Si el gobierno. b) ¿Cual debería ser el subsidio que tendría que otorgarle el gobierno a fin de que el consumidor no vea modificado su bienestar?. Por tanto se empieza hallando las funciones de demanda marshalliana a través del primal: Max. determine: a) Si los bienes son normales o inferiores. (2) m p1 x1 p 2 x 2 0 . por razones políticas.. x1 30 x 2 x 2 s.P.6. (3) . Si por justificaciones de rentabilidad SEDAPAL decide incrementar el m3 de agua a S/ 2.50 el m3. decide no incrementar el precio del agua ¿cuál debería ser el impuesto que tendría que aplicar el gobierno si quiere tener un resultado equivalente en términos de bienestar? Solución a) Para determinar si los bienes son normales o inferiores se debe hallar el efecto renta. .: x1 x 2 1 p1 0 .500.a : 2 p1 x1 p 2 x 2 m : x 1 30x 2 x 2 (m p1 x 1 p 2 x 2 ) 2 C.88 1. La satisfacción que obtiene del consumo de estos bienes.. tiene que conformarse con un menor nivel de utilidad. y despejando. C (678. el consumidor merma su bienestar.P. se concluye que ésta es la demanda marshalliana: x 2 15 p2 2 p1 Luego. se despeja x2. y en vista de que x1 no aparece en la relación. respectivamente: A (912. . para identificar el ER y el ES. ahora la U0 inicial compatible con la canasta A le es inaccesible. 11). se encuentra que las canastas óptimas inicial y final son. U1. 12) Para el cálculo del efecto renta (y el efecto sustitución) se recurre al análisis de Hicks o Slutsky Al subir el precio del agua. Según Hicks.89 De (1) y (2): p 1 1 30 2x 2 p2 Entonces. obtenemos la demanda marshallliana de x1: p2 p 1 x 1 p 2 15 2 p1 m 2 p p 1 x 1 15 p 2 2 m 2 p1 x1 m 15 p p1 p1 2 1 2 p p 2 1 2 Reemplazando los datos en las funciones de demanda halladas. concordante con C. remplazando x2 en la R. ) m´ m C 12 B A 11 U0 = 1.90 hay que compensar al consumidor con un ingreso que le permita recuperar U0 (ver grafico adjunto). se tiene que: x1 B m ' 144 2 x 2 12 B . HICKS: Efectos Renta y Sustitución X2 (Kg .121 1 U 678 750 905 912 1000 X1 Agua (m3) Las cantidades consumidas en la canasta B son desconocidas pero se conoce que responden a las funciones de demanda. así: x1 x B B 2 m ' 15 p 1 p1 15 2 1 2 p2 1 p 1 2 p2 1 2p1 Reemplazando los datos. 121 Entonces. . es decir. se mantiene neutro con respecto al ingreso. tomando los componentes de la canasta B: m ' 144 30 12 12 2 2 1 . La VC está representada en el grafico inferior por la franja de color verde. se sabe que la canasta B se encuentra en U0. remplazando los elementos conocidos de la canasta A): U 912 30 11 11 0 U 0 2 1 . se constata que el consumo de agua (bien x1) disminuye cuando el ingreso disminuye de m’ a m. 954 Luego. ET = 678-912 = -234 ES = 905-912 = -7 ER = 678-905 = -227 Por tanto.nuevamente U0. 954 144 2 905 Asi.tras la variación del precio de uno de los bienes. x1 B 1 . entonces. que es el ingreso adicional que permite al consumidor alcanzar.91 Asimismo. se observa que el consumo de hortalizas (bien x2) se mantiene constante al disminuir el ingreso. Por otro lado. remplazando sus componentes se determina el valor de m’ (previamente se halla U 0. 121 m ' 1 . tipificando el caso de un bien normal. b) En este caso se tiene que hallar la variación compensada (VC). Asimismo. ) m’ 0 VC = m’-m m0 C 12 B A 11 U 1 0 U = 1. entonces. hallamos que: 2 p m 15 p 2 v ( P. entonces en base a la dualidad se valida que U0≡v(P1. m' ) U 1 0 m'15 p 2 p1 1 2 p 0.121 905 912 X1 Agua(m3) La VC se puede hallar a través de la FUI o de la Función de gasto: Empleando la Función de utilidad indirecta: v(P.25 2 225 p1 p1 En el gráfico. el vector de precios relacionado a B es P1. se observa que la renta m’ esta asociada a la canasta B. m) 0. m’). la FUI para nuestro propósito es: v( P .25 21 225 p 1 .92 La Variación compensada X2 (Kg. m) Al remplazar las demandas marshallianas en la función de utilidad directa y reducir. y B se encuentra en U0. 500 VC 454 Por lo tanto.5 24 337.681. U) La función de gasto general responde a la expresión: 2 p e(P.25 2 225p1 15p2 p1 La variación compensada se define como: VC m' m Recurriendo a la dualidad: VC e( P 1 . U 0 ) e( P 0 .25 21 225(p1 ) 15(p2 ) p1 U0 0.25 225 2 2 2 U 0 1.5 180 VC 19541.25 20 225(p1 ) 15(p2 ) p1 p1 VC 224218 450180 1. los datos y despejando: 1 0 (p )2 (p )2 1 0 VC p1 U0 0. U 0 ) Remplazando por las fórmulas respectivas. el subsidio necesario será de S/ 454 .U ) p1U 0.93 Al remplazar equivalencias (m’= m0+VC) y datos. la expresión se reduce a mostrarnos el valor de la VC: m 0 VC 15(12) 12 0.121 1500 VC 180 234 2 VC 454 Empleando la Función del gasto: e(P. en la canasta D se cumple que: p m '15p 2 v( P . es decir.121 912 X1 Agua (m3) Análogamente a la VC.94 c) Para lograr el mismo efecto de un incremento del precio del agua. m’ = m0 -VE En el gráfico.25 2 p1 p1 0 1 2 225 . la VE se puede hallar a través de la Función de utilidad indirecta o de la Función del gasto. tenemos que aplicar un impuesto. m ' ) U 0. así: La VE a través de v(P.m) Se sabe que: VE = m0 -m’ Entonces. reducir la utilidad del consumidor al nivel U1 sin que varíen los precios iniciales. Su cálculo implica hallar la Variación Equivalente (VE) La Variación Equivalente X2 (Kg. ) U1 = 678+30(12) -122 = 894 21 VE = m0-m’ m0 m’ m0 C 12 D C 11 A U 1 0 U = 1. y despejando: 2 ( m 0 VE ) 15 (12 ) 12 U 0. y reduciendo: 0 0 0 0 1 (p2 ) 2 (p2 ) 2 0 0 0 0 VE p1 U 0.500 1.5 1 894 (1.5 Así el impuesto que tendría que aplicar el gobierno si no varía el precio del agua. VE = m0 .es del orden de S/ 340. 5 VE 340 .25 0 225(p1 ) 15(p2 ) p1 p1 VE 1.5 1.5.95 Remplazando los valores y equivalencias conocidos.5 VE a través de e(P. U 0 ) e( P 0 .y lograr el objetivo propuesto. 320 VE ) 653 1.5 24 337.25 0 225(p1 ) 15(p2 ) p1 U 0.5 (1 .m’ Por dualidad: VE e( P 0 . U 1 ) Remplazando las Funciones de gasto respectivas.500 VE ) 180 16 225 1. los datos.5 180 1.681.5 VE 340 .159.5 180 VE 1.U) Hallar la VE empleando la función de gasto implica el proceso siguiente: Como. . 25 225 1.341 24 337. la “compensación” – según Hicks o Slutsky. x 2 ) Mín. 2 x 2 2 b) Para determinar la máxima utilidad del consumidor. Posteriormente. d) Para el Estado. del mismo modo. el precio del litro de leche se reduce a S/ 2. bx 2 El parámetro “a” corresponde a la utilidad que logra el consumidor con una lúcuma. entonces: Se sabe que: . e) Hallar la variación compensada empleando v(P. 3. x1 . cualquier cantidad adicional de uno u otro bien será redundante. si ½ litro de leche equivale a 1 unidad de utilidad (1 vaso). Grafique. A cierta persona le gusta sobremanera los jugos de lúcuma pero cada vaso de jugo tiene que ser preparado con la combinación única de dos lúcumas con ½ litro de leche.96 2.m) y e(P.50. el parámetro “b” se obtendrá de la relación entre una unidad de consumo de x2 y las unidades de utilidad obtenidas. ax1 . Cuenta con una renta de S/ 120 y los precios de los bienes que consume son S/1.m) y e(P.implica reducir los ingresos a través de un impuesto. 1 litro de leche equivale a 2 unidades de utilidad.U). Por tanto la función de utilidad será: 1 U ( x1 .00 el litro de leche. x 2 ) Mín. cuando el precio de un bien se reduce. c) Indicar si existen diferencias entre los puntos de vista de Hicks y Slutsky respecto a los efectos renta y sustitución cuando varía el precio de la leche. señale cuál de las dos le es más conveniente. Solución a) La función de utilidad implica el consumo de los bienes en proporciones fijas.U). La expresión matemática será: U ( x1 . antes se deben conocer las cantidades óptimas de consumo. así. entonces. Grafique. Con esta información se pide: a) Formular la función de utilidad de esta persona b) Determinar la máxima utilidad que obtiene bajo las condiciones iniciales. la mitad.25 cada lúcuma y S/. Grafique f) Hallar la variación equivalente empleando v(P. en este caso. 25 ) 3 .97 1 x1 2x2 2 x1 4x2 x2 x1 4 Remplazando estas equivalencias en la restricción presupuestaria. 0 8 Luego. 25 ) 3 . la utilidad que obtendrá será: . obtenemos las funciones de demanda ordinarias: x p1x1 p 2 1 m 4 4 p1x1 p 2 x1 4 m x 1 4 p 1 p 2 4 m x1 4m 4p1 p 2 p1 4 x 2 p 2 x 2 m x 2 4 p1 p 2 m x2 m 4p1 p 2 Empleando los datos encontramos la canasta óptima del consumidor: x1 x2 4 (120 ) 480 60 4 (1 . 0 8 120 120 15 4 (1 . se analizaran en términos gráficos .98 1 4m m U 0 Mín .) 40 15 A 60 U0 = 30 96 Lúcuma (Kg) c) Las diferencias entre Hicks y Slutsky con respecto a los efectos renta (ER) y sustitución (ES) en la demanda cuando el precio del litro de leche baja a S/ 2. ( ). 2( ) 4p 1 p 2 2 4p 1 p 2 2m 2m U 0 Mín .50. U0 U0 2 (120 ) 4 (1. . Equilibrio consumidor: bienes complementarios perfectos Leche (Lt.25 ) (3) 240 8 U 0 30 Gràfico. 4 p1 p 2 4 p1 p 2 U0 2m 4 p1 p 2 Reemplazando datos. elevando su nivel de utilidad a U1 = 32. ER y ES según Hicks Leche (Lt.99 ER y ES según Hicks Al caer el precio de la leche. hará que el consumidor demande 1 litro menos de leche. . Así. Para determinar cuánto es debido al ER ycuànto al ES.) 48 40 C 16 15 U1 = 32 U0 = 30 A= B 60 64 96 Lúcuma (Kg) Por tanto. la variación total en el consumo de leche será el incremento en 1 litro. según Hicks. esto lo logra cuando se da la tangencia en el punto B (que coincide exactamente con la canasta inicial A). 16). la reducción del precio de la leche en S/. 0. esta reducción del consumo se debe únicamente al ER.50 . ET = ES + ER AC AB BC 1 0 1 Según Hicks. el consumidor optimiza en C(64. hasta que el consumidor recupere el nivel de utilidad U0. Gràfico. pues el ES es cero. se debe reducir la restricción presupuestaria que contiene los precios finales. se observa que los ER y ES de Slutsky coinciden exactamente con los de Hicks.100 ES y ER según Slutsky Para hallar el ES y el ER.) 48 40 16 15 C U1 = 32 U0 = 30 A= B 60 64 96 Lúcuma (Kg) Entonces. hay que reducir su ingreso hasta que su consumo retroceda y le permita. Como se observa en el gráfico inferior esto se logra trasladando la recta de balance azul hacia el origen hasta que se da la tangencia en el punto B (=A). así. . consumir la canasta inicial A. ER y ES según Slutsky Leche (Lt. Gràfico. Slutsky nos dice que hay que compensar al consumidor manteniendo su ingreso real constante. otra vez. ET = ES + ER AC AB BC 1 0 1 En este caso. según Slutsky: t m 0 m' ' t 120 112. Según Hicks. el impuesto (t) según Hicks es: t m 0 m' t 120 112.101 d) Para determinar cuál de las imposiciones –según Hicks o Slutsky. se alcanza U0 y se compra la canasta B.5 t 7.5 Así.5(15) m' ' 112.5 En el caso de Slutsky: m' ' p 1 x 1 p 2 x 2 0 A 1 A Reemplazando los datos: m' ' 1. 25 ) 2 .es más conveniente para el Estado se deben hallar las nuevas rentas. el impuesto.5 m ' 112 .25(60) 2. entonces: U0 2m ' 0 1 4 p1 p 2 Reemplazando los datos y despejando: 30 2m ' 4 (1.5 Entonces. al reducir la renta hasta m’.5 .5 t 7. ) 48 m0 m1 m0 40 1 U 16 15 = 32 0 U A= B 60 64 VC a través de la FUI La FUI del consumidor en B: v(P'. VC de bienes complementarios perfectos Leche (Lt. los enfoques de Hicks y de Slutsky tienen el mismo efecto tributario para el Estado.m') 2m' 0 1 4p1 p2 96 = 30 Lúcuma (Kg) . m1 = m0 . la Variación compensada responde a la siguiente relación: VC = m0 .102 Por tanto. según el gráfico inferior.VC Gràfico. e) En este caso.m1 Entonces. 25 ) 2 .5 La renta inicial m0 está relacionada con las funciones de gasto: U 0 ( 4 p1 p 2 ) m0 2 0 e ( P 0.5 2 m' 112 . la función de gasto: e(P.103 Aplicando las equivalencias y reemplazando los datos: 2 ( m 0 VC ) 4 (1.5 2 m' 30 7 . 5 v (P '. 25 ) 2 . U 0 ) 1 Reemplazando datos: m' 30 4 (1. U 0 ) e ( P 1. 5 VC 7.5 VC a través de la Función de gasto En general. U ) U ( 4 p1 p 2 ) 2 En el punto B: U 0 ( 4 p1 p 2 ) m1 2 0 e(P '. m ') U 0 30 2 ( 120 VC ) 7 .5 VC 120 112 . U 1 ) 0 U 1 ( 4 p1 p 2 ) m0 2 0 1 . U 0 ) 30 4 (1. VC e ( p1 .5 m0 2 e ( P 10 .U 0 ) 120 112. y está representada por la franja amarilla. U 1 ) 32 4 (1.5 m0 2 m 0 120 Entonces. 25 ) 2 . Su cálculo implica desplazar la recta presupuestaria inicial hasta que sea tangente a U1. 25 ) 3 m0 2 e ( P 0. si es que los precios iniciales no variasen.U 0 ) 120 112. . U 0 ) 30 8 m0 2 m 0 120 e ( P 1.5 7.U 1 ) e ( p1 .5 ó VC e ( p 0 .5 f) En este caso la VE vendría a ser la renta adicional que habría que darle al consumidor para que alcance el nivel de utilidad U1. En el gráfico inferior se aprecia que la VE viene a ser un subsidio.5 7. U 1 ) 32 7 .104 Reemplazando datos: e ( P 0.U 0 ) e ( p1 . m0 m1= m0 + VE VE a través de la FUI En D.105 Grafico. VE = m1 . la FUI es: v ( P 0 .) 48 m0 40 m0 m1 C= D 16 15 U1 = 32 U0 = 30 A 60 64 96 Lúcuma (Kg) Así. VE de bienes perfectamente complementarios Leche (Lt. m' ) 2 m' 4 p1 p 2 0 Reemplazando valores y despejando: 2(m 0 VE ) 32 8 VE 256 120 2 VE 8 0 U1 . U 1 ) e( P 0 .106 VE a través de e(P. U 0 ) U 1 (4 p1 p 2 ) U 0 (4 p1 p 2 ) 2 2 (32)(8) (30)(8) 2 2 0 128120 VE 8 0 0 0 .U) Como se ha visto: VE = m1 .m0 e( P 0 . Al precio de S/. 8 se demandan 750 unidades.6. X) ≡ (8. Elasticidad 1.107 1. La curva de demanda de un bien tiene elasticidad constante e igual a -2 (isoelástica). Con esta información se pide: a) b) c) d) Formular la función de demanda Demuestre la isoelasticidad cuando el precio es S/.01X Si otro bien (Y) que tiene una elasticidad cruzada con nuestro bien (X) igual a 0. 750) en la función de demanda: . hallamos el parámetro k reemplazando (p. 5 Determine el equilibrio de mercado si la oferta es p = 0. sube de precio en 15% ¿cómo varia el equilibrio del mercado? Solución: a) La función de demanda de este tipo de bienes responde a la forma: Xd k p La elasticidad de esta función de demanda es: p X d p p X d k p 1 k p p Entonces.9. p k p 1 k p 2 Reduciendo: k p 1 1 k p 2 2 Luego. 000 (5) 2 b) Si p =5 .01 . Xd 48.920 p 2 48.01 p p 3 480 Xo p 0.000 (5) 2 p 2 c) Equilibrio de mercado Xd 48.000 2 0.000 5 (5) 3 48.000 Entonces. entonces X d 1.000 p2 Equilibrio: p 48.000 p2 Xd 48.108 750 k (8) 2 k 750 64 k 48. 109 p 7.480 p2 El nuevo equilibrio: p 54.8 p 8.135) p2 Xd 54.480 2 0.01 p p 3 544.8 p 3 544.83 d) Si X 783 Єx.000 (1.17 X 816.y: %X X .7 817 .9 se trata de bienes sustitutos De la fórmula de єx.Y .9 15% 13.y = 0.%PY 0.5 La nueva función de demanda: ' Xd ' 48. para estimar las siembras de los próximos 4 años. y la demanda actual (Año 0) es de 117. Si la elasticidad cruzada es de 0.% P 1 0.3 . Solución: a) La producción futura Las fórmulas de las elasticidades precio (єp) e ingreso (єp) son: p % X % P m % X %m Año 1: De la fórmula de Ep: % X 1 p .8. El año 4 sube a $93.500 TM.2.de $85/TM . b) El maíz importado que compite con el nacional (aunque este último es más apreciado) mantiene constante su precio. cómo se verá afectada la demanda?. Se tienen los siguientes datos de las variables más importantes que afectan la demanda: Años Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Precio (US$/TM) 90 105 100 90 95 Ingresos Promedio (US$) 850 850 1020 918 1092 Si las elasticidades precio e ingreso son –0..8 y 1. determine: a) Los niveles de producción futura.8 16.110 2. respectivamente.5/TM.67 13. hasta el año 3. Los productores de maíz están proyectando la demanda de su producto. 2 10% 12% Año 4: De la fórmula de Ep % X 4 p .8 4.76% 3.%m 2 1.95% 22.111 De la fórmula de Em: % X 1 m .44% De la fórmula de Em % X 4 m .% p 3 0.8% De la fórmula de Em % X 2 m .2 18.% p 4 0.74% .%m 4 1.2 20% 24% Año 3: De la fórmula de Ep % X 3 p .%m 3 1.8 5.2 0 0 Año 2: De la fórmula de Ep % X 2 p .56% 4.8 10% 8% De la fórmula de Em % X 3 m .%m1 1.% P 2 0. 468 b) La elasticidad cruzada de la demanda del maíz nacional (Xn) respecto del precio del maíz importado (Pi) se formula como: n .8 *10 = 8% Entonces. . % Pi ( ) Si la información proporcionada nos dice que: єn.3 27.8 8.0 -4.0 18.147 124.8 -4.i % X n % Pi % X n n . la demanda proyectada: Años ∆%X debido a єp ∆%X debido a єm ∆%X TOTAL -13. adicionalmente.3 0 1 2 3 4 Demanda Proyectada 117.8 %Pi= 10% Remplazando estos datos en (α): n % X = 0.3 3.74 -13.112 Entonces. 8%.44 0 24 -12 22.i = 0.837 130.i . el año 4 la demanda nacional aumentaría.941 147.500 101. 1 X 2 / X 2 P1 / P1 15 / 90 0. la elasticidad cruzada entre los insumos 2 y 1: 2. los bienes son complementarios Asimismo. El restaurante tiene el siguiente registro de las compras: insumo 1 insumo 2 insumo 3 . la elasticidad cruzada entre los insumos 3 y 1: 3.800 Después 8 1500 2 105 24 3.113 3. El jefe de cocina de un restaurante se abastece periódicamente de tres insumos. si sabe que los bienes comprados son fósforos.1 X 3 / X 3 P1 / P1 . Se sabe que la fórmula de la elasticidad cruzada es: i. gas y kerosene.83 2 / 10 Entonces. j X i / X i Pj / Pj Así. de acuerdo al signo. En base al concepto de elasticidad cruzada ayúdelo a identificar a que bien corresponde cada uno de los datos presentados. PrecioCantidad PrecioCantidad PrecioCantidad Antes 10 1200 2 90 24 3.100 . se debe analizar la elasticidad cruzada de este insumo con respecto a la demanda de los otros insumos para saber si son sustitutos o complementarios. Solución: Como el insumo 1 es el que varía de precio. 7El año pasado. el insumo 1 sería kerosene. b) ¿Se reducirán o incrementaran las importaciones?. Se sabe que cada año el consumo se incrementa 2%. de acuerdo a la naturaleza de los insumos.¿en cuánto? Solución a) Variación de la demanda nacional Para calcular la variación de la demanda de leche debido al incremento del ingreso.421 TM. Además se conoce que fruto de los avances genéticos por inseminación artificial. los bienes son sustitutos En conclusión. 4.320 TM .75. por tanto. y que la elasticidad ingreso de la leche es de 0.L Donde: 7 %X L %m UNA-La Molina. y el 3. gas. Basado en esta información. el insumo 2 es complementario del insumo 1. se recurre al concepto de elasticidad ingreso de la leche: m. el gobierno tiene previsto incrementar el ingreso real de la población en un 10%. y el insumo 3 es su sustituto.921 2 / 10 En este caso. Ortíz . según los resultados.114 700 / 3800 0. la producción nacional de leche fue de 200. A. el insumo 2. Curso Análisis Microeconómico.mientras que el consumo 237. fósforos. la producción aumentará 15%. Para el presente año. determine si: a) ¿Será suficientemente abastecido el mercado nacional por la producción interna?. Entonces. Si la elasticidad cruzada de los bienes es Є2. b) El año pasado se importaron 37.5%. O sea. el 20.421 .976-230. esto es. 5.1 = 1. en total.75 10 7. por efecto del aumento del ingreso.L = elasticidad ingreso de la leche Δ%XL = variación porcentual de la demanda de leche Δ%m= variación porcentual del ingreso Entonces: %X L m . L %m Reemplazando datos: %X L 0.101 TM (237.608 TM.976 TM. la demanda nacional será: 259. la producción interna será: 230. aumentará 7. (237.368) Por lo tanto. al consumo de dos bienes: X1 y X2.15). (200.115 Єm.320) Este año se tendrá que importar 29.320*1. Un consumidor destina todo su ingreso. en consecuencia.095) Por otro lado.5% La demanda nacional. (259.421*1. la demanda aumentará 9. a lo que habría que agregarle el 2% de incremento natural anual.493 TM. la producción nacional será insuficiente. determine ¿cuál es la elasticidad precio del bien X1?.5%. las importaciones se reducirán en 7.200.368 TM.2% de lo importado el año pasado. en partes iguales. Solución: En la restricción presupuestaria: m = p1X1 + p2 X2 . 0 X 1 X 1 p .1: p. el efecto de un cambio en el precio de X1: X 1 X 2 m X 1 p1 p2 p1 p1 p1 Si en el 2° miembro.1 2 X2 p1 .1 y Є2.1 1 p2X2 p1 X 1 Finalmente. en la expresión identificamos Єp.1 1. Se obtiene: m 0 p1 y p . como el gasto en ambos bienes son iguales p. reemplazando. matemáticamente.1 1 1 p.1 p2 1 X2 p1 Despejando Єp. realizamos un artificio que no alterará la expresión: X1 X1 X 2 p1 m X 1 p1 p2 p1 p1 X1 p1 X 2 Asociando términos.116 Determinamos.1: X p X p X m X1 X1 1 1 p 2 2 1 2 p1 p1 X1 p1 X 2 p1 Luego. 5 Ln X = 10 – (15. Si la demanda de cierta bebida espirituosa responde a la función: Ln X = 10 . 16.5 Determine la elasticidad precio de la demanda cuando el precio baja de S/.21 Solución Demanda cuando P = 16 : 0.86 403.P 0.86 Entonces p p X p p X 445.00 a S/. 9 Ln X = 6.21 : 0. 15.79 p 2.117 6.03966) 0.21) Ln X = 10 – 3.43 p 42.1 X = e6.1 X = 445.43 (0.5 Ln X = 10 – (16) Ln X = 10 –4 Ln X = 6 X=e 6 X = 403.21 403.13 .43 Demanda cuando P = 15.43 16 16 15. 118 7. Grafique Solución: a) Equilibrio del mercado: pd po 14 Y 0. El mercado del bien Y tiene las funciones de demanda y oferta siguientes: p d 14 Y 0. Equilibrio del mercado P 4 3 2 1 0 024 5 68101214 .5 Y 2 14 Y Y 2 2 Y 2 3Y 10 0 Y5 y Y' 2 Punto de equilibrio: p3 Y5 Gráfico. c) Calcule el excedente del consumidor. Grafique. b) Encuentre la elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio.5 po Y 2 a) Halle el equilibrio del mercado. 5 3 14 Y 9 Y5 Luego. 5 ( 1 ) Y P 0 .6 c) Excedente del consumidor Como Entonces: pd 3 14 Y 0. 5 ( 14 Y ) 0 . el EC: . Y 3 6 P 0 .5 Y 3 Entonces. 5 ( 14 5 ) 0 .5 Remplazando: 3 6 5 p p 3 . 5 ( 1 ) Y P 0 .119 b) La elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio Hallando p Y P P Y Y P P 0 . 93 15 0 15 15 15 . ( ) dU dY Remplazando (β) y (γ) en (α): 5 EC U ( dU 15 ) 0 5 EC U ( dU ) 15 0 Integrando: U 1. ( ) U 14 Y Derivando ambos términos: . 5 EC 18 34 ..5 EC 1..5 5 . 5 EC 1. ( ) 15 0 Reemplazando (β) en (φ)y efectuando: 5 (14 Y ) 1 . ( ) 15 0 Cambiando de variable: . 4 1 .... 93 EC 16 ..5 52 ..120 5 EC pdY (3)(5) 0 5 EC 14 Y dY . 93 EC 1 .5 27 EC 1.. 121 Gráfico. Excedente del consumidor P 4 3 2 1 0 024 5 0 68101214 Y . 7.122 1.x2) = Ln x1+ 2x2 Verifique el cumplimiento de las condiciones de las funciones de demanda a) Agregación de Engel b) Agregación de Cournot c) Homogeneidad Solución: Las funciones de demanda del consumidor son: p x 2 (1) 1 2 p1 a) Condición de Agregación de Engel w1εm1 + w2εm2 = 1 x 2 2m p 2 2 p2 (2) (3) m1 x1 m m1 x1 0 m2 x 2 m m2 x 2 2mp 2 1 m 2m p 2 2m p 2 ( 2m p 2 ) p 2 2m p 2 2 p2 Reemplazando para demostrar (3): → → w1 (0) w2 p2 x2 2m m 2m p 2 2m 2m p 2 2 p2 x2 2m p 2 (4) De (2) obtenemos: 2 p 2 x 2 2m p 2 (5) . Elasticidad y propiedades de la función de demanda 1. Dada la siguiente función de utilidad de un consumidor: U(x1. w1 ε11 + w2 ε21 = . se comprueba la agregación de Cournot cuando varía el precio de x1: w1 (1) w2 (0) w1 ii. w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 12 22 x1 p 2 p 2 x1 x 2 p 2 p 2 x 2 (7) 1 2 p1 p2 1 p2 2 p1 p2 m 2m 2 p 2 2m p 2 2m p 2 2 p2 Luego.w1 (6) 11 x1 p1 p1 x1 21 x 2 p1 p1 x 2 0 p2 2 p12 p1 1 p2 2 p1 Reemplazandoestas elasticidades en (6). reemplazandoε12y ε22en el primer miembro de (7): w1 (1) w2 ( 2m ) 2m p 2 . se llega a la demostración: 2 p2 x2 2 p2 x2 1 b) Condición de Agregación de Cournot i.123 Con el reemplazo de (5) en (4). se obtiene: w1 p2 x2 2m ( ) m 2 p2 x2 w1 1 Sabemos que w1 + w2 = 1. remplazando w2 y (5) y reduciendo. se demuestra la condición de Cournot cuando varía el precio de x2 c) Condición de homogeneidad Para ambos casos. anteriormente calculados. Las preferencias de un consumidor están expresadas en la función de utilidad siguiente: U(x1. haciendo los traslados respectivos: w1 1 w2 Por tanto. reemplazando los valores de las elasticidades. obtenemos: a) ε11 + ε12 + ε m1 = 0 (-1) + (1) + (0) = 0 b) ε21 + ε22 + ε m2 = ( 0 2m 2m ) (0) ( ) 0 2 p 2 x2 2m p2 2. entonces.124 Finalmente. x2) = (x1-2) (x2+4) Compruebe: . se obtiene: m 2 p1 4 p 2 2 p1 x1 (4) m 2 p1 4 p 2 2 p 2 x 2 (5) y m m 2 p1 4 p 2 .125 a) La condición de Agregación de Engel b) La Condición de Agregación de Cournot Solución: Previamente se hallan las funciones de demanda ordinaria del consumidor: m 2 p1 4 p 2 x …(1) 1 2p 1 x 2 m 2 p1 4 p 2 2 p2 … (2) a) Condición de Agregación de Engel w1εm1 + w2εm2 = 1 (3) Hallamos las elasticidades: m1 x1 m m x1 m2 x 2 m m x 2 1 m m 2 p1 m 2 p1 4 p 2 m 2 p1 4 p 2 2 p1 1 m 2 p 2 m 2 p1 4 p 2 2 p2 De las funciones de demanda. q. despejando de (1).q. obtenemos: w1 ( m 4 p2 2 p1 ) w2 ( ) m 2 p1 4 p 2 m 2 p1 4 p 2 Luego. obtenemos: → p1 x1 m m 2 p1 x1 p2 x2 m m 2 p2 x2 Simplificando: → 1 2 1 2 1 l. w2. obtenemos: .w1 (6) Hallamos las elasticidades: 11 x1 p1 p1 x1 ( 21 ( 2p p1 m 22 )( ) 2 2 p1 p1 m 2 p1 4 p 2 2 p1 m 4 p2 ) p1 (m 4 p 2 ) )( ) 2 2 p1 m 2 p1 4 p 2 m 2 p1 4 p 2 2 p1 x 2 p1 p1 x 2 ( p1 2 p1 1 )( ) p 2 m 2 p1 4 p 2 m 2 p1 4 p 2 2 p2 Reemplazando en (6). (4) y (5) en el primer miembro de (3). y factorizando.126 Remplazando w1 . w1 ε11 + w2 ε21 = .d. b) Condición de Agregación de Cournot i. ii. ordenando y remplazando (5): . reemplazando (4).q.w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (8) Se hallan las elasticidades: x1 p 2 p 2 x1 12 21 ( 4 p2 m 2 p1 4 p 2 x 2 p1 p1 x 2 ( p2 2 )( ) p1 m 2 p1 4 p 2 2 p1 ( 4 p2 2 p1 x1 p p2 m 12 ) ( ) 2 2 p 2 p 2 m 2 p1 4 p 2 2 p2 m 2 p1 2 p 22 )( ) 2 p 22 m 2 p1 4 p 2 Simplificando. w1 y w2.127 m 4 p 2 2 p1 x 2 p1 1 2 p1 ( x1 1) (7) Entonces. obtenemos: p1 x1 2 p ( x 1) ( 1 1 ) m 2 p1 x1 p2 x2 2 p1 ( ) m 2 p2 x2 Simplificando y factorizando: p1 ( x1 1) p1 m m p1 x1 p1 p1 m p1 x1 w1 m l. (5).d. (7).q. en (6). d. w2 3. hallamos las funciones de demanda del consumidor: p x 2 1 2 p1 2 … (1) .q.x2) = x11/2+ x2 a)Demuestre la Agregación de Engel b) Demuestre la Agregación de Cournot c) Demuestre la Condición de Homogeneidad Solución: Primero. se obtiene: ( p1 x1 4 p 2 p x 2p m ( ) ( 2 2 )( 1 ) m 2 p1 x1 m 2 p2 x2 Simplificando y reduciendo: 2 p2 m 2 p1 m 2m (4 p 2 2 p1 m) 2m (m 2 p1 4 p 2 ) 2m Reemplazando (5).128 21 2 p1 m 2 p2 x2 Haciendo los reemplazos respectivos en (8). Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: U(x1.q. y simplificando: 2 p2 x2 2m l. y simplificando. se obtiene lo que se pide demostrar: p 2 x 2 4 p1 m m 4 p1 p 2 x 2 1 b) Condición de Agregación de Cournot i. Cuando varía p1: w1 ε11 + w2 ε21 = .w1 (6) .129 4mp1 p 22 x 2 4 p1 p 2 … (2) a) Condición de Agregación de Engel w1εm1 + w2εm2 = 1 m1 m2 (3) x1 m m1 x1 0 x 2 m m x 2 1 m p 2 4mp1 p 22 4 p1 p 2 4 p1 m 4mp1 p 22 Remplazando elasticidades para demostrar (3): → 4 p1 m w1 (0) w2 2 4mp1 p 2 (4) De (2) obtenemos: 4 p1 p 2 x 2 4mp1 p 22 (5) Remplazando (5) en (4). desdoblando w2. se obtiene: 2 w1 2 w1 p2 x2 p 22 ( ) m 4 p1 p 2 x 2 p 22 4mp1 Luego. tomando de función de demanda: p22 = 4p12x1 Remplazando y simplificando: 2w1 2w1 4 p12 x1 4mp1 p1 x1 m . y simplificando.130 Primero hallamos las elasticidades: 11 x1 p1 p1 x1 21 x 2 p1 p1 x 2 ( 2 p 22 p )( 12 ) 2 3 4 p1 p2 4 p12 ( p2 p1 ) 2 4 p1 4mp1 p 22 4 p1 p 2 p 22 4mp1 p 22 Remplazandolas en el lado izquierdo de (6): p 22 w1 (2) w2 ( ) 4mp1 p 22 Empleando (5). reemplazando w2 y (5). y reduciendo: w1 (2) w2 ( 2w1 p 2 x 2 4mp1 p 22 ( ) m 4 p1 p 2 x 2 2w1 1 p 22 4mp1 .en (7). Cuando varía p2: w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (7) Las elasticidades: 12 22 x1 p 2 p 2 x1 ( x 2 p 2 p 2 x 2 p2 p ) 22 2 2 2 p1 p 2 4 p12 ( p2 m 1 )( ) 2 2 p 2 4 p1 4mp1 p 22 4 p1 p 2 Simplificando: 22 ( 4mp1 p 22 4 p1 p 22 )( ) 4 p1 p 22 4mp1 p 22 4mp1 p 22 4mp1 p 22 Reemplazando.q.q.131 2 w1 w1 w1 ii. l.d . las elasticidades halladas: 4mp1 p 22 ) 4mp1 p 22 Luego. reemplazando los valores de las elasticidades. anteriormente calculados.132 Finalmente. obtenemos: i.ε21 + ( ε22 + ε m2 = 0 p22 4mp1 p22 4 p1 m ) ( ) ( ) 2 2 4mp1 p2 4mp1 p2 4mp1 p22 p22 4mp1 p22 4 p1 m ( ) 0 4mp1 p22 l. ε11 + ε12 + ε m1 = 0 (-2) + (2) + (0) = 0 ii.d. remplazando: p22 = 4p12x1 2w1 1 4 p12 x1 4mp1 Simplificando: 2 w1 1 p1 x1 m 2w1 1 w1 w1 1 w2 l.q. .d.q.q.q. c) Condición de homogeneidad Para ambos casos. RIESGO E INCERTIDUMBRE 1.5) + 2 (0.8. obtenemos el siguiente cuadro: Premio Probabilidad Utilidad 56 0 a) 0.5) = 3 b) Para determinar su actitud ante el riesgo hay que hallar la utilidad del valor esperado.5 0. a través de la FUVE: UVE = U(28 + 8) = (36)1/3 = 3.5 4 2 Riqueza 64 8 VE = 56 (0.5.133 1.5) + 0 (0. Determine: a) b) c) d) ¿A cuánto asciende su valor esperado luego de recibir el boleto de lotería? ¿En cuánto valora el juego el individuo? ¿Qué puede decirse acerca de la actitud de esta persona frente al riesgo? ¿Cuál es el precio más bajo al cuál vendería el boleto? ¿a cuánto asciende la prima? Soluciòn En este caso haciendo uso de la función de utilidad y de los datos.5 .3 . y $0 con probabilidad 0.5) = 28 b) UE = 4 (0. Una persona tiene preferencias que pueden ser expresadas por una función de utilidad cuya expresión es: U(w) = W1/3 Donde: W = riqueza total Su riqueza inicial asciende a $ 8 Si la persona recibe un boleto de lotería cuyo premio mayor es $ 56 con probabilidad 0. este monto le reporta una utilidad de 3.134 U U= W 1/3 4 UVE = U(36) = 3.3 (UVE). se mostrará indiferente entre jugar o recibir este monto. mientras que si le ofrecen el equivalente cierto o Valor Esperado (28). así: U(P+8) = (P+8)1/3 = 3 .de 3. la riqueza en lugar de los premios.3 UE = 3 2 8 36 64 Riqueza (W) c) Si a esta persona le ofrecen un monto P que le reporta una utilidad de 3. El gráfico también se puede presentar ploteando. por tanto es adverso al riesgo. Es decir valora más lo seguro que el juego. en el eje de las abscisas. así: U U= W 1/3 4 UVE = 3.3 UE = 3 E= 2 0 28 56 Unidades Monetarias Entonces se determina que el juego o lotería brinda al individuo una utilidad –representadada por la UE. lo que le da derecho de llevar 5 invitados y disfrutar de los espectáculos. Si su función de utilidad es la siguiente: U(W) = W1/2 donde W representa su riqueza total que asciende a $1000.3 UE = 3 E= 2 0 1928 56 Unidades Monetarias La prima está en el rango: 0 < prima < 9 En el gráfico está representada por el trazo grueso y oscuro entre 19 y 28. Los que no cuenten con tarjeta y sean sorprendidos pagarán. P +8 = 27 P = 19 El precio mínimo al cual vendería esta persona estaría muy cercano a P > 19 U U= W 1/3 4 UVE = U(36) = 3. En una playa privada del sur solo pueden ingresar los que adquieran una tarjeta que cuesta $10. debería mejorarse el sistema de detección ¿En cuánto debería mejorar? . determine: a) Si Jacoboingresará a la playa con tarjeta o sin ella b) Dado que Jacabo no es muy desprendido ¿cuál debería ser el costo de la tarjeta a fin de que prefiera comprar la tarjeta y no estar en falta? c) ¿Cuál debería ser el monto de la multa que lo incline a comprar la tarjeta? d) Si el municipio no autoriza el incremento de la multa.135 Entonces. 2. una penalidad de $25. Jacobo ama esta playa pero no le sobra el dinero. La probabilidad de que lo descubran es de 25%. adicionalmente. 623 =UE = 31.484 Gráfico.717 = 31. Opción Sin Tarjeta U U= U(W) UVE 31.25) + 31. CON TARJETA Riqueza Utilidad 0.064 31.483 Utilidad del Valor Esperado: = (991.Descubierto 1.25)1/2 = 31.064 25 8 965991.064 (0.75) = 991.623 1.136 Solución a) Caso Probab. SIN TARJETA 1.0 990 31.75 2.2.1.75) = 7. 1.25 965 1000 31.483 31.25 Utilidad Esperada = 31.25) + 1000 (0.766 + 23.251000 Unidades monetarias .623 (0.464 Caso SinTarjeta Valor Esperado =965 (0.No descubierto0. a través de: 1000 .25 0.2.19 y el costo de la tarjeta (C ).483). No descubierto 2.C > 991.19 C <8.464 Por tanto.464 UST > UCT Jacobo ingresará a la playa sin comprar la tarjeta a) Jacobo revocará su decisión si le ofrecen un monto que le otorga una utilidad mayor a la que obtiene si no compra la tarjeta (UST = 31. dado que: 31.75 1. CON TARJETA 0.483 X = (31.483 > 31. Este monto X se calcula a través de la relación: U(X) = X0.464 .483)2 X = 991. 1. tendríamos: Caso Probab.137 La opción de ingresar a la playa sin tarjeta le representa una lotería que le brinda una utilidad de 31.19 C < 1000 -991.623 990 31.81 b) Si T es el monto de la multa.5 1000 31.483 (UE) Caso con Tarjeta La compra de la tarjeta le proporciona a Jacobo una utilidad invariable de 31.0 Riqueza Utilidad 1000-T (1000-T)0. SIN TARJETA 1. Descubierto 1.5 = 31.1. así.5 (0.2.5 30.064 1.5 31.464 0.81 c) Si la multa no se puede incrementar.44% 28.464. entonces tendremos que: Caso 1.25 (1000 T ) 0.194 T 39.p) 1000 31.1. entonces UE = 31.623 3.987 (1000 T ) 960.559 p 0.138 Si la multa coloca a Jacobo en una situación de indiferencia.159 p 0.44% .623 (1 p) 31.464 (1000 T ) 0. Descubierto p 965 31. Probab.2844 Finalmente. No descubierto (1 . p 28.71725 0.75) = 31.0 990 31.623 (0.064 ( p) 31. Riqueza Utilidad SIN TARJETA 1. se tendrá que: (1000-T)0.464 23. CON TARJETA 1. habrá que mejorar las probabilidades de control a fin de inducir a la compra de la tarjeta.81 Entonces para que la utilidad de la compra de la tarjeta sea mayor: T 39.464 Partiendo de una situación de indiferencia: 31.25) + 31. 44% hará que la utilidad de comprar la tarjeta supere a la utilidadde infringir la norma.000 mensuales y recibe dos gratificaciones anuales equivalentes a un sueldo cada una.1528 (0. Mario Tello trabaja en un Apiario donde gana S/ 1.139 Entonces una probabilidad de detección superior a 28.000 al año con una probabilidad de 40% Si Mario tiene una función de utilidad cuya expresión es: U ( w) w 27 100 Determine: a) Si Mario dejará su trabajo actual b) Si le ofrecen un trabajo en un vivero donde ganaría S/ 19. 3.4) UE 11.000 por año ¿Qué decidirá Mario? c) ¿Cuál debería ser el sueldo que haría que a Mario le de igual trabajar en el vivero o trabajar en su tienda naturista? Solución a) La utilidad que obtiene en su trabajo actual es: U (16.000 al año con una probabilidad de 60%.166 La utilidad que obtendría con la tienda naturista vendría a ser la Utilidad Esperada: 27 27 100 100 UE 8.800) 14.261 UE 14. Tiene pensado instalar una tienda naturista donde tiene la posibilidad de ganar S/ 8. o ganar S/ 36.6) 18. Mario está cansado de las picaduras y del bajo ingreso que percibe.792 7.6) 46.3196 (0. y evalúa cambiar de trabajo.000 100 27 U 13.4) UE 6.05 .000 (0.000 (0. debe satisfacer la expresión siguiente: 27 U ( R ) R 100 14.05 27 100 R 17.000) 21. en términos de utilidad.000 100 27 U 14. implica una inversión de $15. La probabilidad de que un proyecto cualquiera tenga éxitoes de 60%.55 4. y luego de un año redituaráun ingreso neto de $25.809. Un inversionista tiene en cartera dos proyectos que prometen una atractiva rentabilidad. El proyecto 2.000 para obtener a fin de año un monto neto de $35.000 . El proyecto 1 requiere una inversión de $ 5.05 Resolviendo R 14. le brindará una utilidad de: U (21.140 Mario dejará su actual empleo.000.000. Determine: a) ¿Por cuál proyecto se decidirá el inversionista? b) Si el proyecto 1 fuese dejado de lado ¿Cuál debería ser la ganancia que tendría que ofrecer a fin de interesar al inversionista? c) El Estado busca desalentar los proyectos tipo 2 porque contaminan el ambiente ¿de qué monto debería ser el impuesto que se le tendría que cargar a estos proyectos a fin de favorecer a los proyectos tipo1? d) ¿Cuál debería ser la probabilidad de éxito de los proyectos si se quiere beneficiar por igual las inversiones en ambos proyectos? Solución . será más beneficioso para Mario c) El ingreso(R) que haría que Mario se muestre indiferente entre su trabajo en una tienda naturista o trabajar en un Vivero. b) El trabajo en el vivero que le promete un pago anual de S/.69 Este empleo.000. un poco más grande. 21. 4) = 15.000 -5.33 Entonces.141 a) Analizando ambos proyectos Proyecto 1 Éxito Fracaso Riqueza Probabilidad 25.15.000 X =17. entonces VE 1 = X (0.000 -15.000 / 0.4) VE 1 = 13.000 0.000 (0.000 Proyecto 2 Riqueza Éxito Fracaso Probabilidad 35.333.4 VE 2 = 35. el individuo invertirá en el proyecto 2 b) Para que el proyecto 1 sea indiferente con el proyecto 2.4 VE 1 = 25.000 + 2.6 0. el monto de ganancia solicitado (X) debe permitir obtener un VE de 15.000 0.000 0.000 Entonces.4) VE2 = 15.6 X = 28.6) .6) . la ganancia ofrecida será: .000 (0.6 0.6) .000.000 (0.5.5000 (0.6X = 15.000 (0. al inversionista la dará igual invertir en uno u otro proyecto.000 (1-q) 25.000 0.000 – 19.000 +5.000 q = 0. Un individuo tiene una función de utilidad: .000 21.000q -15.5 Cuando la probabilidad de éxito (q = 0.000 -15.5.000 (1-q) = 35.33 c) Denominemos T al impuesto.000q -5.000 = 13.15.000 -20.000 (q) .T) (0. VE 2 = (35.000 con el fin de favorecer la inversión en el proyecto 1 d) En este caso se debe cumplir que: 25.000 (0.000q-50.000q = -10.000 +15.000 T 3.000 0. entonces.5) sea igual a la de fracaso (1-q = 0.15.6) .142 X > 28. 5.000q 30.000 -0.000q = 35.000q = 5.4) = 13.000 El Estado tendría que aplicar un impuesto T > 5.6T = 21.6T – 6.000 (q) .6 T = 5.5).000.333. calculamos las derivadas : U U l (W ) 2 W 2 ll (W ) 2 (W 2 ) 2 Luego. b) La Medida de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt. su aversión al riesgo disminuye. Solución a) La Medida de Aversiónabsoluta al riesgo de Arrow-Pratt es: R (W ) U '' (W ) U ' (W ) Primeramente. r (W ) 2W W 2 Este índice de riesgo señala que a medida que la riqueza aumenta. Se intuye que a medida que la riqueza del individuo aumenta. . el individuo es adverso al riesgo.143 U(W) = 5 +2 Ln (W + 2) Hallar a) La Medida de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt. remplazando y simplificando: R (W ) 1 W 2 Dado que R(W) > 0. la aversión relativa al riesgo aumenta pero a tasas decrecientes. la función de utilidad es cóncava. b) La Medida de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt r (W ) U '' (W ) .W U ' (W ) Entonces. Si gana el Ajiseco se ofrece pagar S100 por un boleto que cuesta S/ 30 mientras que si le van al Giro ganarán S/ 100 por cada boleto que cuesta S/ 60. los resultados que obtendrá serán: Si Gana el Ajiseco Riqueza: 3.600 + (100 -30)A-60G Si Gana el Giro Riqueza: 3. por el Ajiseco.Las preferencias de Garcíalo hacen apostar.600 . por el Giro. La función de utilidad. Ortega gasta la mitad de sus ingresos comprando el mismo número de boletos por cada gallo.600) UE = 8. Colombino.144 6. que apuesta por igual a ambos gallos. que es la misma para todos. se establece previamente que: A: número de boletos a favor del Ajiseco G: número de boletos a favor del Giro Luego. Los dos gallos tienen la misma probabilidad de ganar la pelea. es: U(W) = Ln W Colombino no gusta de los gallos. y 20. Ortega. al no jugar a los gallos obtendrá la Utilidad Esperada siguiente: UE = Ln (3. con50 boletos.600 + (100 -60)G -30A Su restricción presupuestaria será: Como A = G.sobretodo a la pelea entre el Ajiseco y el Giro.600 para apostar. Determine quién de los cuatro tomó la mejor decisión Solución Colombino. Vargas y García van a la Feria de la Molina. Vargas simpatiza con el Ajiseco y compra el doble de boletos con respecto a los que compró por el Giro.1887 En el caso de Ortega. a jugar a los gallos. y no adquiere ningún boleto. Cada uno tiene 3. entonces: 30A +60G = 3. 5) + 8.294 (0. será: Su restricción presupuestaria: 30A +60G = 3.5 Utilidad 8. entonces: 30(2G) + 60G = 3.600 A = 40 Por tanto G = 40 Resumiendo: Resultado Gana Ajiseco Gana Giro Riqueza 4.600 Como A = 2G.5) UE = 8. comprando el doble de los boletos que compra al Giro.000 .145 30A + 60A = 3.294 La performance de Vargas que le juega al Ajiseco.600 G = 30 Entonces.294 (0.600 120G = 3.294 La Utilidad Esperada será: UE = 8.5 0.600 90 A = 3.294 8.600 + (100-30)(60) -60(30) = 6. A = 60 Si Gana el Ajiseco Riqueza: 3.000 Probabilidad 0.000 4. 5) + 8.6995 (0.000 3.5 0.5 Utilidad 8.000 Probabilidad 0.6009 (0.000 Probabilidad 0.600 + (100-60)(30) -30(60) = 3.000 Si Gana el Giro Riqueza: 3. por el Ajiseco: Si Gana el Ajiseco Riqueza: 3.146 Si Gana el Giro Riqueza: 3.600 + (100-60)(50) -30(20) = 5.3529 García que apuesta 50 boletos por el Giro. La segunda alternativa más prometedora es la de Ortega que apuesta por igual a los dos gallos.000 5.6009 8.5 0.5172 (0.6995 8.600 + (100-30)(20) -60(50) = 2.059 La mejor decisión la tomó Vargas que compra 60 boletos a favor del Ajiseco y 30 boletos por el Giro.0064 (0.5 Utilidad 7.000 En resumen: Resultado Gana Ajiseco Gana Giro Riqueza 6. y 20.0064 La Utilidad Esperada: UE = 8.5) UE = 8.5172 La Utilidad Esperada: UE = 7.5) + 8.000 En resumen: Resultado Gana Ajiseco Gana Giro Riqueza 2. .5) UE = 8. se obtiene la relación entre x1 y x2: . Dada la siguiente función de producción: f(x1.a: w1x1 + w2 x2 Ax1αx21-α = Y L = w1x1 + w2 x2 + λ(Y -Ax1αx21-α ) dL/dx1= w1 .(1-α)λ Ax1α x2 dL/dλ= 1-α-1 …. TEORIA DELA PRODUCCION 2.(3) Resolviendo el sistema... f) Halle la elasticidad de sustitución Solución a) Min. x2) = x1α x21-α Se pide: a) b) c) d) e) Calcule la función de costos Grafique el costo medio y el costo marginal Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnología Determine la función de beneficios Determine la función de oferta de la firma y las demandas no condicionales de cada uno de los factores. s.Ax1α x21-α= 0 …. Funciones de ProducciònCobb-Douglass 1.Ax1α-1 x21-α= 0 dL/dx2= w2 .αλ.(2) Y .(1) = 0 …..147 II.1. se hallan las demandas condicionales de cada factor.148 Ax1 1 x21 (1 )Ax1 x2 w2 w1 x1 w2 x2 (1 ) w1 x2 (1 ) w1 x1 . se obtiene la demanda condicional del factor x1: 1 Y (1 ) w1 x1 Ax1 w2 Y (1 ) w1 A w 2 1 x1 1 Y w2 x1 A (1 ) w1 . reemplazando (4).. Así... se obtiene la demanda condicional del factor x2 : Y w2 x2 1 x2 A ( 1 ) w 1 w2 x2 A ( 1 ) w 1 Y Y (1 ) w1 x2 A w2 Luego.. (5) w2 .. (4) Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción. reemplazando (5)... Y ) A (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) Yw1 w12 C ( w. Y ) (1 ) (1 ) (1 ) Yw1 w12 A 1 (1 ) (1 ) w C ( w.149 Luego. Y ) 1 b) Gráfica del CMe y CMg CMe CMg C Y C Y y 1 w2 1 Y A . Y ) A 1 1 1 Yw1 w12 C ( w. Y ) A C ( w. la función de costos: Y[(1-α)w1]α 1-α C= W1 Y (αw2) + W2 A(αW2)α A[(1-α)w1]1-α Yw1 w12 C ( w. 150 Entonces. y que. entonces. este valor se introduce en la función de producción. son constantes e iguales. por ejemplo x1 = x1. y se despeja el otro factor (variable): Y = A x1αx21-a . gráficamente: Costos CMe = CMg Y c) Función de costos a corto plazo Para hallar la función de costos a corto plazo. se considera que uno de los factores permanece fijo. 1 w2 1 w CMe 1 w CMg 1 A1 1 w2 1 A1 Se observa que ambas funciones de costos no contienen a Y. en la ecuación de costos. f) Halle la elasticidad de sustitución . Así.x2) = x1α x2β a) b) c) d) e) Calcule la función de costos a largo plazo Grafique el costo medio y el costo marginal Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnología Determine la función de beneficios Determine la función de oferta de la firma y las demandas no condicionales de cada uno de los factores.151 1 1 Y x2 Ax 1 Luego. se reemplazan ambos factores. Dada la siguiente función de producción Cobb-Douglas: f(x1.C Reemplazando la función de costos. Y 1 1 w2 1 Y A 2. la función de costos será: C = w 1 x1 + α 1/ (1-α) w2(Y/Ax1 ) CFCV d) La función de beneficios A partir de la ecuación de beneficios: π = P. tenemos la función de beneficios: ( P.Y . w) w P. hay que plantear la minimización del costo: Min......α λ. en la restricción. s.. se hallan las relaciones funcionales entre factores: w1 w2 Ax 1 1 x 2 Ax 1 x 2 1 x1 w2 x2 w1 x2 w1x1 w2 . (2) Para hallar la demanda condicional del factor X1 se reemplaza (2).Ax1α-1x2β = 0 dL/dx2= w2 . (1) . así: w x Y Ax1 1 1 w2 x1 Y w 2 A w1 .152 Solución a) Función de Costos a largo plazo Primero se hallan las demandas condicionales de los factores. Así..β λ Ax1α x2 dL/d λ = β-1 = 0 Y .Ax1α x2β = 0 Resolviendo el sistema... y se despeja.a: w1x1 + w2 x2 Ax1α x2β = Y L = w1x1 + w2 x2 + λ (Y -Ax1α x2β ) CPO: dL/dx1= w1 .. se procede de manera similar. reemplazando (1) en la restricción.153 w x1 2 w1 1 Y A Para hallar la demanda de X2. Y ) w2 Y w1 A b) Gráfica del CMe y CMg CMe C CMg y Y C Y Entonces.Y ) w1 2 w2 1 w A w A 1 2 1 1 1 C ( w. la función de costos: 1 1 w Y w Y C(w. y despejando: w x Y A 2 2 x2 w1 x2 Y w1 A w2 w1 w 2 x2 1 Y A Luego. 1 CMe w1 w2 A 1 1( ) Y . el otro factor .x2 – será variable. y su función se obtiene despejándola de la función de producción. por ejemplo x1 = x1. haciendo los reemplazos respectivos en la ecuación de costos.Y) = w1x1 +w2 (Y/Ax1 ) .E. se obtiene la función de costos a corto plazo: α 1/ β C (w. Crecientes → R. Constantes → R. Decrecientes CMe = CMg CMe>CMg CMe<CMg C C C Cmg Cme Cme = Cmg Cme C CMg Y Y Y c) Función de costos a corto plazo Si se considera que uno de los factores de la producción permanece fijo.E.154 1 1 CMg w1 w2 A 1 1( ) Y CASO 1: CASO 2: CASO 3: Si α+β = 1 Si α+β >1 Si α+β <1 → R. entonces. así: α Y = A x 1 x2 β Y x2 Ax 1 1 Luego.E. 155 d) La función de beneficios Se sabe que: π = P.Y – C ……. (I) Al reemplazar la función de costos de LP en (I), se tiene que: P.Y 1 1 w1 w2 Y A 1 ........ ( II ) Si al coeficiente de (II) –encerrado en el recuadro rojo- se le denomina K, se tendrá: P.Y Luego: K w1 w2 1 Y ........ ( II ' ) 1 P K w1 w2 Y Y Despejando Y: Y 1 ( ) P K w w 1 2 ( ) 1 ( ) 0 P ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) Y w1 w2 K ........ ( III ) Reemplazando (III) en (II’), y reduciendo: 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 P ( ) P ( ) ( ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( ) (P, w) P w1 w2 w1 w2 Kw1 w2 K K 156 () 1 1() P( )1() 1() 1() P( ) (P, w)P w w K w w w1[1()]() w2[1()]() 1 2 1 2 K K ( ) 8 1 P( ) 1( ) 1( ) 1( ) P( ) 1( ) 1( ) 1( ) (P, w) P w w K w1 w2 1 2 K K () () 1 1() 1( 1() 1() 1 2 (P,w)()1()K ( P, w) ( ) P ( ) 1 ( ) w w ( ) 1 1 ( ) () 1 1() 1( 1() 1() 1 2 1 ()1()K P w w 1(()) 1 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) P w1 w2 K d) Las demandas no condicionales y la función de oferta se hallan a través del Teorema de Hotelling: Xi (P,w) = - dπ(P,w)/dwi (demandas no condicionales) Y (P,w) = dπ(P,w)/dP (función de oferta) Si al coeficiente de la función de beneficios se representa con M, se tendrá que: ( P, w) M P 1 1 ( ) 1 ( ) 1 w 1 ( ) 2 w 8 Algebra de exponentes w w2 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) w w [ 1 ( )] ) ( ) 1 ( 1 [ 1 ( )] ) ( ) 1 ( 2 w w ( ) ) ( ) 1 ( 1 ( ) ) ( ) 1 ( 2 w w 1 ( ) 1 1 ( ) 2 157 Entonces: Demanda No condicional del factor x1: x1 ( P, w) ( P, w) w1 1 1 MP 1 ( ) w11 ( ) w21 ( ) 1 ( ) 1 1 x1 ( P, w) MP 1 ( ) w11 ( ) w21 ( ) 1 ( ) Demanda No condicional del factor x2 x2 ( P, w) ( P, w) w2 1 1 MP 1 ( ) w11 ( ) w21 ( ) 1 ( ) 1 1 x2 ( P, w) MP 1 ( ) w11 ( ) w21 ( ) 1 ( ) Función de oferta Y ( P, w) Y ( P, w) ( P, w) P 1 1 ( ) MP 1 ( ) 1 ( ) w1 1 ( ) w2 158 e) La elasticidad sustitución: x2 x1 w1 w2 w1 w2 x2 x1 Del problema de minimización de costos: Min. s.a: w1x1 + w2 x2 Ax1α x2β = Y L = w1X1 + w2 X2 + λ (y -AX1α X2β ) Las C.P.O.: dL/dX1= w1 - α λAX1α-1X2β dL/dX2= w2 - β λ AX1αX2 dL/dλ = β-1 = 0 …..(1) = 0 ….(2) Y - AX1αX2β = 0 …. (3) Estableciendo la relación (1)/(2), y ordenando: 1 w1 Ax1 x2 w2 Ax1 x2 1 x2 w1 x1 w2 Entonces, x 2 x1 w 1 w2 ........... (4) ........... (5) …… (I) 159 Reemplazando (4) y (5) en (I), y simplificando : w1 w2 w1 w2 σ = 1 3. Asuma la siguiente función de costos: C (w,Y ) a) b) c) d) Aw 1 w2 1 Y Halle las demandas condicionales de cada factor. Determine la función de producción. ¿Cómo será la función de costos en el corto plazo? Calcule la elasticidad sustitución. Solución a) Demandas condicionales Se hallan a través del Lema de Sheppard x1 ( w, Y ) C ( w, Y ) w1 A w 1 1 w 12 Y 1 w x1(w,Y) A 2 Y w1 … (1) .. (2) b) Función de producción En cada una de las demandas condicionales se despeja la relación (w1/w2 ). Y ) w2 x2 ( w. Y ) (1 ) A w 1 w 12 1 Y w x2 ( w.. se debe buscar un factor que simplifique los exponentes: Elevando ambos miembros a la potencia: α(1-α) y simplificando: 1 1 AY 1 x 1 (1 ) AY1 x1 1 x 2 (1 ) AY x2 (1 ) AY (1 ) (1 ) . para facilitar el manejo de los exponentes.160 C ( w. hay que evitar las fracciones. luego se igualan: EEn (1) 1 1 w1 AY w x 2 1 1 En (2) w1 x2 w ( 1 ) AY 2 Entonces. por tanto. Y ) (1 ) A 1 Y w2 ….. 1 (1) ( 2 ) AY1 1 x2 (1 ) AY x1 1 . (3) En (3). X2: x2 (1 ) YA (1 ) (1 ) x1 YA x 2 (1 ) x1 1 (1 ) Finalmente.161 Despejando Y: Y Y (1 ) x2 x1 (1 ) A (1 ) 1 A (1)(1) (1) Y x1 x2 A c) Para la función de costos en el corto plazo. Se determina el factor fijo: X1 = X1 Luego. de la función de producción se despeja el factor variable. se reemplaza este valor en la ecuación de costos: YA C w 1 x1 w 2 (1 ) x1 1 (1 ) d) La elasticidad sustitución x2 x1 w1 w2 w1 w2 x2 x1 …… (I) . (4) Entonces... x 2 x1 w 1 w2 (1 ) ..O.162 Del problema de minimización de costos: Min. (5) ........(2) 0 ....P....a... (1) . y ordenando: w1 w2 (1 )( 1) 1 (1 ) x 1 x2 A (1 )( 1) (1 ) x 1 x2 A w1 w2 x2 (1 ) x 1 x2 x1 (1 ) w1 w2 . w1x1 + w2 x2 (1 )( 1) (1) x 1 x2 Y A (1)( 1) (1) w1x1 w2 x2.... (1 )( 1) 1 (1) w1 x 1 x2 x1 A 0 (1)( 1) ) w2 (1) x 1 x2 0 x2 A Y (1)( 1) 1) x 1 x2 A . s.... Y x 1 x2 A C.(3) Estableciendo la relación (1)/(2)...... . Obtenga la función de costos. Determine la función de beneficios. Dada la siguiente función de producción: f(x1. y simplificando : (1 ) w1 w2 (1 ) w1 w2 σ = 1 4.. 25 x1 ( P . w ) w1 3P 3P w1 4 .x2) = 4(x10..75 π = P. aplicando derivadas parciales.75 )] .w2x2 . y despejando.25 ..w1x1. Compruebe el Lema de Sheppard Solución a) Las Demandas no condicionales (DNC) y la Función de oferta Partimos de la ecuación de beneficios..Y ..75 + x20. Compruebe el Teorema de Hotelling. obtenemos las DNC: dπ/dx1= 3Px1–0.75) a) b) c) d) e) Obtenga las demandas no condicionales y la función de oferta.C 0.. realizando los reemplazos respectivos: π = P..(α) Luego.[4(x1 + x20.w1= 0 x1 0 .163 Reemplazando (4) y (5) en (I). 164 dπ/dx2= 3Px2 –0. w) 3 3 4 4 1 3P 3P 3 1 w1 w 2 P 108 P w w w w 1 2 1 2 3 1 3 1 3 1 4 1 ( P . w) w2 3P 3P w2 4 La función de oferta se obtiene reemplazando. en la ecuación de beneficios. 75 3 3 3P w 2 1 3 1 3 108 P w 1 w 2 3 b) La función de beneficios: Se obtiene reemplazando.w) Y (P.25– w2 = 0 x2 0 . w ) 108 P 81 P 81 P 4 w1 w 2 w1 w2 4 3 . w) Y (P. las DNC y la función de oferta: ( P. en la función de producción. 25 x2 (P. w) 3P 4 w 1 3 P 4 w 1 4 0 . las DNC: Y (P. 75 3 P w 2 4 0 . w ) w2 4 4 . w) c) 4 Comprobación de las Demandas no condicionales y función de oferta Teorema de Hotelling: Demandas Condicionales: xi (P. w) 4 4 (P . w ) (P. w) P (P . w ) 4 ( 3 ) 27 P 4 w 1 w1 P 81 w 1 3P x 1 ( P . w ) 4 ( 3 ) 27 P 4 w 2 w 2 P 81 w2 3P x 2 ( P .165 3 3 1 3 1 3 1 4 1 ( P . w) wi x1 ( P . w ) 108 P 81 P w1 w 2 w1 w 2 4 1 3 1 3 27 P w1 w 2 ( P. w) Función de Oferta (P. w) Y (P. w ) w1 x2 (P. .0.75+ X20.3l X2.166 Y (P.75 ) = 0 …. w1X1 + w2 X2 s. 25 4 w x 1 2 x 2 w1 w x 2 1 x 1 w2 .. 25 w2 x2 x 2 x1 0 . w) Y (P.. de (1) y (2): w1 x 0 . w) 3 1 (P .X1.0. (3) Resolviendo el sistema.75) Aplicando la condición de primer orden: dL/dX1= w1 .75 + X20. (4) .75) = Y L = w1X1 + w2 X2 + λ(Y – 4(X10.. (2) dL/dλ= Y .4(X10.a: 4(X10. w ) 3 1 27 ( 4 ) P P w 1 w2 1 3 1 108 P w 1 w2 3 3 3 d) Función de costos Su hallazgo implica la minimización del costo total: Min.75 + X20. 25 1 0 .3l. (5 ) 4 ..25= 0 ….. (1) dL/dX2= w2 .25= 0 …. alternadamente.167 Reemplazando (5) y (4) en la restricción. 75 0 . 75 w 1 1 w2 x 10 . 75 w3 w3 4 x 10 . y haciendo los despejes respectivos. 75 x 20 . 75 4 3 w1 0 . 75 1 3 2 w1 Y w 13 4 ( w 13 w 23 ) Y w13 x2 3 3 4( w1 w2 ) 4/3 Reemplazando las demandas condicionales en la ecuación de costos. hallamos las demandas condicionales de cada factor 0 . 75 Y 4 x1 x1 4 x1 x1 w2 w2 Y 4 x 10 . 75 2 4/3 w 3 4 2 x 20 . 75 w1 0 . 75 0 . se obtiene la función de costos: . 75 1 3 2 w2 0 . 75 w 1 w3 w3 4 x 20 . 75 3 Y w 23 4 ( w 13 w 23 ) Y w23 x1 3 3 4( w1 w2 ) 4 w2 x 2 Y 4 w 1 Y 4 x 20 . 75 x w 3 2 1 w 1 x 20 . Y ) 4/3 4/3 Y w13 w2 3 3 4 ( w1 w 2 ) 4/3 w 14 w 2 4 ( w 13 w 23 ) 4 / 3 w 1 w 24 Y 4/3 Y 4 / 3w1 w24 Y 4 / 3w14 w2 C ( w. Y ) wi Entonces. Y ) 4 3 C w1 x1 Y w2 [ 256( w w )] 3 1 3 2 Reordenando para factorizar: 1 / 3 ( 1 / 3)[256( w w )] 3 1 3 2 4 / 3 2 1 4 3 768 w (Y w1 w2 ) . Y ) C(w.168 Y w 23 C ( w . x1 ( w. Y ) [256( w13 w23 )]1 / 3 e) Comprobación de las Demandas condicionales Lema de Sheppard xi (w. Y ) 3 3 4/3 [4( w1 w2 )] Y 4 / 3w1 w2 ( w13 w23 ) C ( w. Y ) w1 3 3 4 ( w1 w 2 ) Y C (w. Y ) [4( w13 w23 )] 4 / 3 Y 4 / 3w1 w2 C ( w. Y ) 3 3 [ 4 ( w w )] 1 2 x2 ( w.169 4 3 x1 Y w2 [ 256 ( w w )] 3 1 3 2 4 3 1 / 3 Y w2 [ 256 ( w w )] 3 1 3 2 1 / 3 768 w13 1 3 [ 256 ( w13 w23 )] Factorizando y simplificando: 4 3 x1 Y w 2 [ 256 ( w w )] 3 1 3 2 4 3 1 / 3 w13 [1 ] ( w13 w 23 ) x1 Y w2 [256( w w )] 3 1 3 2 1 / 3 w13 w23 w13 [ ] ( w13 w23 ) 4 3 x1 Y w 2 ( 256 ) 1 / 3 ( w13 w 23 ) 1 / 3 x1 w 23 ( w13 w 23 ) 4 3 Y w 24 ( 4 4 ) 1 / 3 ( w13 w 23 )] 4 / 3 4 x1 x1 Y 3 w 24 ( 4 ) 4 / 3 ( w13 w 23 ) 4 / 3 4 3 Y w 24 [ 4 ( w13 w 23 )] 4 / 3 Y w23 x1 ( w. Y ) 4/3 C w2 Y 4 3 w [ 256( w3 1 1 w23 )]1 / 3 ( 1 / 3)[256( w13 4 3 4 / 3 2 3 w2 )] 768w2 (Y w1w2 ) . Obtenga la función de costos Compruebe el Lema de Sheppard . Dada la siguiente función de producción: f(x1.170 Reordenando para factorizar: x2 Y 4 3 w 1 [ 256 ( w 13 w 23 )] 1 / 3 Y 4 3 w 1 [ 256 ( w 13 w 23 )] 1 / 3 768 w 23 1 3 [ 256 ( w 13 w 23 )] Factorizando y simplificando: 4 3 x2 Y w1[ 256( w w )] 3 1 4 3 3 2 1 / 3 1/ 3 x2 Y w2 [256(w w )] 3 1 3 2 w23 [1 3 ] ( w1 w23 ) w13 w23 w23 [ ] (w13 w23 ) 4 x 2 Y 3 w1 ( 256 ) 1 / 3 ( w13 w 23 ) 1 / 3 x2 x2 w13 ( w13 w 23 ) 4 3 Y w14 ( 4 ) 4 / 3 ( w13 w 23 ) 4 / 3 4 3 Y w14 [ 4 ( w13 w 23 )] 4 / 3 Y w13 x2 ( w .Y ) 3 3 [ 4 ( w1 w 2 )] 4/3 5.x2) = 3(x11/3 + x21/3 + x31/3) a) b) c) d) e) Obtenga las demandas no condicionales y la función de oferta Determine la función de beneficios Compruebe el Teorema de Hotelling. .Y ..(a) Aplicamos la condición de primer orden: dπ/dx1= Px1–2/3 .... la función de producción 1/3 1/3 1/3 π = P.w1x1..w3x3.. w) .C Reemplazamos en ésta.. w) de (3) : P w 2 3/2 P w 3 3/2 w3 P x3 (P.[ 3(x1 + x2 + x3 )] ......w1= 0 .... (1) dπ/dx2= Px2 –2/3 . (2) dπ/dx3= Px3 –2/3 .....w2 = 0 ..w2x2 .. w) w1 de (2) : x2 2 / 3 x3 2 / 3 3/2 w2 P x2 (P..w3 = 0 ..171 Solución a) Las Demandas no condicionales y la función de oferta Partimos de la ecuación de beneficios: π = P... (3) de (1) : x1 2 /3 w1 P P x1 ( P . w) 2P w1 w2 w3 3 2 . w) 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 P P 2 w w w2 1 w2 w3 w3 1 3 2 1 12 1 12 1 12 (P. w) 1 1 1 2 2 2 P P P 3 w w2 w3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 Y (P. w) 3P w w w 1 2 3 1 b) La función de beneficios Se reemplaza. w) 1 1 1 3 3 3 3 3 3 P 2 P 2 P 2 3 w w2 3 w1 Y (P. en (a). y se reduce: 1 3 1 1 3 3 2 2 2 2 2 P 2 1 1 1 P P ( P. las DNC y la función de oferta.172 La función de oferta Para obtenerla. w) P3P w1 w2 w3 w1 w2 w3 w1 w2 w3 1 2 ( P . se reemplazan las DNC en la función de producción: Y (P. w ) Y (P. w ) w 2 3 x2 (P. w ) 3 2 ( 3 1 )2 P 2 w3 2 2 P 32 x3 ( P . w) wi x1 ( P . w) 3 2 (P . w ) (P . w) Función de Oferta (P. w ) w1 x2 (P.173 c) Comprobación de las Demandas no condicionales y la función de oferta Teorema de Hotelling Demandas Condicionales: xi (P. w) P . w ) w3 (P. w ) w1 3 3 1 x1 ( P . w ) ( ) 2 P 2 w 1 2 2 P x 1 ( P . w ) w2 x3 (P . w) (P . w ) w3 3 x3 (P . w) ( 3 1 )2 P 2 w 2 2 2 P x 2 ( P . (4) .. w1x1 + w2 x2 + w3 x3 s....a: 3(x11/3 + x21/3 + x31/3) = Y £ = w1x1 + w2 x2 + w3x3 + λ(Y –3(x11/3 + x21/3 + x31/3) Aplicando condición de primer orden: w1 .174 Función de oferta Y (P..... w) 3P 1 2 3 3 1 2 P2 2 1 3 1 3 1 3 w1 w2 w 3 1 3 1 3 1 3 w w w 1 2 3 d) Función de costos Se debe minimizar el costo total Min...2/3= 0 .x1-2/3= 0 . de (1) y (2): 2 3 w1 x 12 w2 x2 3 2 x 3 2 x1 ...... (3) d£/dx1= d£/dλ = Y.3(x11/3 + x21/3+ x31/3 ) = 0 Resolviendo el sistema. (1) d£/dx2= w2 .2/3= 0 .(1/3)l x2.. (2) d£/dx3 = w3 .(1/3)l x3.(1/3)l.... w) P Y (P.. ... y despejar: 3 1 2 w Y 3 x1 3 1 x1 w2 1 3 3 w 1 2 x w 1 3 1 3 ... se debe usar (5) y (7).. para obtener X1. (7 ) .. (5 ) ..... (9 ) . convenientemente. (8 ) 3 w x1 3 w1 2 x 3 w 2 x 3 2 x 2 w3 De (2) y (3): 2 3 w2 x 22 w3 x3 3 2 x 3 3 x2 3 w x 2 3 w2 .. (10 ) 3 2 x 3 Reemplazando las equivalencias.. en la restricción.. se obtienen las demandas condicionales de cada factor. Así....175 w x 2 1 x 1 w2 w x1 2 w1 De (1) y (3): 2 3 x w1 x 1 2 3 w3 x1 x3 3 3 2 . (6) 3 2 x 2 2 3 3 w 2 x 3 1 x 1 w3 .. se reemplazan (8) y (10): 3 . para obtener X3. se reemplazan (6) y (9): Y 3 1 3 3 3 1 2 w2 x x 3 w2 2 x 2 w 2 w1 2 3 1 3 1 1 1 1 2 1 2 w2 w 2 x 2 3 x 3 x 2 3 Y 3 w 2 w3 1 1 2 Y 3w2 x2 1 3 1 2 1 1 w w2 1 1 1 2 w3 1 2 3 x2 Y 1 1 1 1 3 w 2 2 1 w1 2 1 w 2 2 1 w 3 2 Luego.176 1 1 1 1 2 1 2 w1 w 1 x1 3 x1 3 Y 3 x1 3 w2 w3 Y 3 w1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 x1 w w 2 w 3 1 1 3 3 x1 Y 3 w 1 1 w 1 1 2 1 2 1 w 2 3 1 w 3 1 2 1 2 Para obtener X2. Y ) w1 3 A w2 3 A w3 3 A 9 [ 3 Se asume que A= (1/W1)1/2 + (1/W2)1/2 + (1/W3)1/2 3 ] 3 3 .177 Y 3 1 1 3 3 3 2 w3 x w3 2 x w1 3 w 2 3 3 1 x 3 3 1 1 1 1 1 2 2 w w 3 3 x 3 x 3 3 x 3 3 Y 3 w1 3 w2 1 2 Y 3w 3 x 3 1 3 1 1 1 2 2 1 1 1 2 w w w 1 2 3 3 Y x3 3w 3 1 2 1 w 1 1 2 3 1 w 2 1 2 1 w 3 1 2 Remplazando las demandas condicionales en la ecuación de costos9. Y ) w1 w2 w3 3 w 12 A 3 w 12 A 3 w 12 A 1 2 3 1 1 1 1 2 Y 1 2 Y 1 2 Y C ( w. se obtiene la función de costos: 3 3 Y Y Y C ( w . Y ) wi Entonces.178 1 1 1 2 2 1 1 2 Y 1 C (w.Y ) Y3 A 27 A 3 Remplazando A: C(w.Y ) w w 3 A w1 2 3 3 C (w. Y ) C ( w. Y ) Y 1 (2) 27 w 1 C w1 3 1 2 1 2 1 1 w2 w3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 Y 1 27 w 1 w w 2 3 3 3 1 w 32 2 1 3 1 w 1 3 2 . x1 ( w.Y ) Y3 1 1 1 27 1 w1 2 1 w2 2 1 w3 2 2 e) Comprobación de las demandas condicionales Lema de Sheppard: xi ( w. Y ) 3 w 12 1 w 12 1 w 12 1 w 12 2 1 1 1 3 1 w 2 3 3 x3 ( w .Y ) 1 1 3 w 2 1 w 2 1 w 12 1 w 12 3 1 1 1 3 .179 Y x1 (w . Y ) Y 1 (2) 27 w 1 C w 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 w2 w3 3 3 1 w 32 2 2 1 1 1 3 2 2 1 2 1 Y 1 27 w 1 w w 2 3 Y x 2 (w. Y ) 3 w 12 1 w 12 1 w 12 1 w 12 1 1 1 1 x 2 ( w. Y ) C w3 3 2 1 1 1 3 Y 1 2 1 2 1 2 1 (2) w 3 2 27 w 1 w2 w 3 2 3 1 3 Y 1 2 1 27 w 1 w2 1 2 1 w3 1 2 3 3 2 1 w3 Y x3 (w. . Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnología. Dada la siguiente función de producción: Y ( x1 ....180 6.. (4) w 2 x1 2 x2 w1 .O..: w1 2 x1 2 0 w2 2 x22 0 x1 x 2 y 2 x1 1 x21 1 . : 2 x1 1 x2 1 1 w1 x1 w2 x2 Y 2 x1 Y 1 x2 1 1 C. se obtiene la relación entre x1 y x2: w2 w1 2 x2 2 2 x1 2 1 1 w 2 x2 1 x1 w2 ... (3) Resolviendo el sistema. (1) . w1x1 + w2 x2 s.... ( 2) 0 ....a....P.. Halle la elasticidad de sustitución Solución: a) Función de Costos Su cálculo implica minimizar el costo: Min. (5) . x2 ) a) b) c) 2 x1 1 x2 1 1 Calcule la función de costos...... se reemplaza (5). en la función de producción: Y 2 1 w2 2 w x2 1 1 x2 1 1 . Así.181 Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción. al reemplazar (4). se obtiene la demanda condicional del factor x1: 1 1 1 w 2 Y 2 x1 1 x1 w 2 1 1 w1 2 1 Y 2 x1 x1 w2 1 1 1 w2 2 1 Y 2 x1 x1 w1 1 1 Y 2 x1 1 1 w2 w2 1 1 2 w12 1 x w2 Y 2 11 1 1 2 2 w1 w2 1 1 1 1 2 Y w1 w22 x1 1 2 w12 Para obtener la demanda condicional del factor x2. se hallan las demandas condicionales de cada factor. se obtiene la función de costos: 1 1 1 1 2 2 2 Y w1 w2 Y w1 w22 C ( w. y reduciendo. Y ) Y 2 1 1 1 1 w2 w2 w2 w2 2 2 1 1 Y 2 1 1 w2 w2 2 1 2 . Y ) w1. 1 1 2 2 w12 w22 C ( w.182 1 w2 2 1 1 Y 2 x2 x2 w 1 1 1 w 2 1 1 Y 2 1 x2 x2 w 2 1 Y 2 x2 1 1 w2 w2 1 2 1 w22 1 x w2 Y 2 11 2 1 2 2 w1 w2 1 1 1 1 2 Y w1 w22 x2 1 2 w22 Finalmente. en la ecuación de costos. Y ) C ( w. reemplazando las demandas condicionales. w2 . y se despeja el factor variable: Y 2 x1 1 x2 x 1 x2 1 x2 x 1 1 1 1 x2 x2 1 1 1 1 1 Y 2 Y2 2 Y 2 1 Y x1 x2 Y x1 2x1 Y x1 1 2 x1 Y Y x1 Luego. se reemplaza en la ecuación de costos. se reemplaza en la función de producción. por ejemplo x1 = x1.. el factor fijo y el factor variable. luego. obteniéndose: Y x1 C(w.Y )CP w1 x1 w2 2x1 Y c) La elasticidad sustitución x2 x1 w1 w2 w1 w2 x2 x1 ………. (1) .183 b) Función de costos a corto plazo Se asume que uno de los factores permanece fijo. ..... rescatamos la relación: x2 2 w2 w1 x1 2 Reordenando: 2 w2 w1 x1 x2 2 1 2 w x2 1 x1 w2 Entonces... x2 x1 w1 w2 1 w1 2 w2 ....... (3) Reemplazando (2) y (3) en (1) : 1 w1 2 w2 1 w 2 1 w2 1 2 w1 w2 1 1 w1 2 2 w2 w1 w2 1 2 σ = 1 1 w1 2 w2 1 2 .. (2) 1 2 ..184 Del problema de minimización de costos...... Dada la siguiente función de beneficios: ( P. La función de Oferta. La función de Producción. La función de Costos. Solución a) Demandas No condicionales Aplicando el Teorema de Hotelling: xi( p.185 7. w) (1) 2 p w → x2 ( p. P ) P 2 . Las funciones de Demanda condicional de los factores. w) 1 1 p2 w2 w1 Obtenga: a) b) c) d) e) Las funciones de Demanda No condicional de los factores.w ) b) 2 p 2 w1 2 2 p 2 w2 x1( p. P) Por Teorema de Hotelling: Y (w . w) (1) 2 p w 2 xi 2 1 → 2 La función de oferta Y(w. así: P Y 1 2 w1 1 w2 Luego. se reemplaza P en cada una de las demandas no condicionales y se reduce: Y → x1 x1 1 1 2 w w2 2 1 w1 2 Y 2 w w2 2 w1 1 w1w2 2 2 2 Y 1 1 2w1 w1 w2 w2Y 2 2 (w1 w2 ) 1 w2Y x1 2 (w1 w2 ) 2 2 . P ) c) Las funciones de demanda condicional Primero.186 1 1 2p w2 w1 Y (w. de la función de oferta se despeja P. w . y reducir: 2 1 w2Y 1 w1Y C(w. 2 2 (w1 w2 ) 2 (w1 w2 ) Y 2w1 w22 Y 2w12w2 C(w.187 Y → x2 2 1 1 2 w1 w 2 2 w2 x2 2 2 Y 1 1 2 w 2 w w 2 1 2 w1Y Y 2 2 2 (w1 w2 ) w1 w2 2w2 w w 1 2 1 w1Y x2 2 (w1 w2 ) 2 2 d) La Función de costos Basta reemplazar las demandas condicionales en la ecuación de costos.Y) 2(w1 w2 )2 2 .Y) w1.Y) 2(w1 w2 )2 2(w1 w2 )2 Y 2w1 w2 (w1 w2 ) C(w. ..a λAX1a-1X2b dL/dX2= w2 .AX1aX2b = 0 Estableciendo la relación: a 1 w2 aAx1 x2 a b 1 w1 bAx1 x2 x2 x1 bw1 aw2 b .. (1) Del problema de minimización de costos: Min..b λ AX1aX2 dL/dλ = b-1 = 0 = 0 y .Y) e) Y 2w1 w2 2(w1 w2 ) La elasticidad sustitución x2 x1 w1 w2 w1 w2 x2 x1 ………..... (2) . s..a: w1X1 + w2 X2 AX1a X2b = y L = w1X1 + w2 X2 + λ (y -AX1a X2b ) CPO: dL/dX1= w1 .188 C(w... a : ( x1 2) ( x2 4) Y 1 1 2 w1x1 w2x2 Y (x1 2) (x2 4) 2 C... (3) Reemplazando (2) y (3) en (1) : b w1 w2 a bw1 aw2 σ = 1 8. Dada la siguiente función de producción de una empresa: 1 2 Y ( x1 2) ( x2 4) 1 2 a) Halle el nivel de producción y las cantidades óptimas empleadas de cada factor cuando w1 = w2 = 10 y el Costo total es igual a 5’000.... Solución a) Estos cálculos implican minimizar el costo: Min. x2 x1 w1 w2 b a . w1x1 + w2 x2 1 2 1 2 s.....O.: 1 1 w1 ( x1 2) 2 (1) x1 2 0 . (1) ..P...189 Entonces.060 b) La empresa requiere producir 200 unidades de su producto cuando el precio del factor x2 es el doble del de x1... Halle el costo total de producción.. Así..(3) Resolviendo el sistema. se divide (1)/(2). y se simplifica.190 1 x2 w2 1 ( x2 4) 2 (1) 2 0 . obteniéndose la relación entre x1 y x2: 1 1 ( x1 2) 2 (1) w 2 1 1 w2 1 ( x2 4) 2 (1) 2 (x2 4) (x1 2) 1 2 w1 w2 ( x 2 4) ( x1 2) w1 w2 2 2 x2 w1 ( x 1 2 ) 4 w 2 x1 w2 ( x 2 4 ) 2 w 1 ..... ( 4 ) 2 . (2) 1 1 2 Y (x1 2) (x2 4) 2 0 . ( 5 ) Haciendo los remplazos respectivos en la restricción. y simplificar se obtiene la demanda condicional del factor x1: w 2 ( x1 2 ) 1 w 2 1 1 2 ( x1 2 ) 4 4 Y 2 .. al remplazar (4). se hallan las demandas condicionales de cada factor........ 191 2 1 w 2 ( x1 2) 2 1 ( x1 2) 2 Y w2 1 w ( x1 2 ) 2 1 1 Y w2 1 w w2 ( x1 2 ) 1 w2 1 2 Y w2 ( x1 2 ) Y w1 w 2 2 2 w2 x 1 Y 2 w1 w 2 Para obtener la otra demanda condicional se reemplaza (5) en (3): 1 2 1 w 2 ( x2 4) 2 2 ( x2 4) 2 Y w1 2 1 1 w 2 2 2 ( x2 4) ( x2 4) 2 Y w1 1 1 w2 2 2 ( x 4 ) ( x 4 ) Y 2 2 w1 w ( x2 4 ) 2 1 2 Y w1 1 1 w w2 Y ( x2 4) 2 1 w 1 . Y) y x2(w. w1 = w2 = 10.Y ) 2w1 4w2 (w1 w2 ) Entonces. Y 4 w1 w2 w1 w2 2 w1w2 C(w. si C = 5’000. Y 2 w2.Y) w1 w2 2 C ( w. el nivel de producción será: (10 )(10 )Y 2 2 10 4 (10 ) (10 10 ) 5 '000 .060 5 '000 .060.000 5 Y 1. 060 Y2 100 Y 2 60 20 5'000.000 .192 w1 ( x2 4) Y w1 w2 2 2 w1 x2 Y 4 w1 w2 Para obtener la función de costos se reemplaza x1(w.Y) en la ecuación de costos. Y ) 2 w1 w2 2w2 4w2 w1 w2 2 w1 w2Y 2 w1 w2 2w1 4w2 ( w1 w2 ) 2 w1w2Y 2 C(w. y se simplifica: 2 2 w w 2 1 C(w.Y) w1. 000 20 2 ) 2 250 .004 .193 Las demandas óptimas de factores: x1 10 (1 .004 b) Si Y = 600 unidades cuando el precio del factor x2 es el doble del de x1 Primero se determina las cantidades demandadas de cada factor: Si w2 = 2w1 e Y = 600. entonces 2 x1 2 w1 (600) 2 w1 2 w1 2 x1 2 (600) 2 3 x1 4002 2 x1 160 .000) 4 20 250.002 x2 w1 (600 ) 4 3w1 2 x2 x2 2002 4 40. 002 2 x2 10 (1. a. (3) Resolviendo el sistema... : 4 x2 ( x1 2) 3 Y w1 x1 w2 x2 Y 4 x2 ( x1 2) 1 3 C.. (1) ( 4 x2 ) 2 3 ( 4 x1 8) 0 1 3 0 .P... obteniéndose la relación entre x1 y x2: 1 4 x 2 ( x1 2 ) 3 1 4 x 2 ( x1 2 ) 3 x2 ( x1 2) 2 3 2 3 w1 w2 (4 x2 ) ( 4 x1 8 ) w1 w2 .O.. Si una empresa tiene la siguiente función de producción: Y = [4X2(X1+2)] 1/3 y los costos de los factores son w1= w2 =1 a) Halle la curva de oferta de largo plazo b) Si el factor X2 se mantiene fijo en X2 = 10 derive la curva de oferta a corto plazo Solución Se plantea el problema dual: Min....194 9. ( 2) ... se divide (1)/(2)... w1x1 + w2 x2 1 s.. y se simplifica.: x1 x2 1 w1 4 x2 ( x1 2) 3 1 w2 4 x2 ( x1 2) 3 2 3 Y 4 x2 ( x1 2) 0 . . (5) Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción. se obtiene la demanda condicional del factor x1: w ( x 2) 4 1 1 ( x1 2) w 2 1 3 4 w1 ( x1 2) 2 w2 Y Y3 ( x1 2) 2 w2Y 3 4 w1 ( x1 2) w2Y 4w 1 x1 3 1 2 1 2 w2Y 4w 2 1 3 Para obtener la otra demanda condicional se reemplaza (5) en (3): w x 2 w1 2 4 x2 2 2 w1 1 3 Y w2 x2 2 w1 2 w1 4 x2 w1 Y3 . al remplazar (4)..195 x2 x1 w1 ( x1 2) w2 w2 x2 2w1 w1 ..... (4) .. Así.. se hallan las demandas condicionales de cada factor. en función de los datos: C ( w. 1 4w 4w 1 2 C ( w. Y ) (1)(1)Y 3 C(w.196 wx 4 2 2 w1 2 Y3 w1Y 3 4w2 x2 2 1 w1Y 3 2 4 w2 x2 Para obtener la función de costos se reemplaza x1(w. y se simplifica: 1 1 3 2 3 2 wY wY C ( w.Y) Y 2 Luego.Y) en la ecuación de costos. Y ) 1 1 3 2 3 2 w w Y w w Y 1 2 2w 1 2 1 4 4 wwY C ( w. como Cmg ≡Oferta. 2 2 w2 . Y ) w1.Y) y x2(w. se halla el Cmg: 3 1 2 2 2(1) . Y ) 3 1 2 2w1 w w Y 1 2 1 3 2 2w1 Entonces. Y ) 2 1 2 4 C ( w. Y ) (1)(10 ) C ( w. Y ) 8 Similarmente. Entonces.197 1 3 2 Y 2 Cmg que representa la oferta de largo plazo. como oferta ≡ Cmg: Cmg CP 3 Y2 40 Y3 40 3 Y (1) 2 40 . el factor variable se obtiene remplazando X2 en la función de producción. y despejando: 1 Y 4 (10 )( x 1 2 ) 3 40 ( x1 2 ) Y 3 ( x1 2 ) Y3 40 Y3 x1 2 40 Luego. en la función de costos: C = CF + CV C ( w . b) La curva de oferta de corto plazo Se sabe que el factor fijo es x2 =10. X11/5X24/5 = 0 . Y = e X11/5 X24/5 Luego: Min. Dada la siguiente función de producción: Y= e (1 + 1/5 Ln X + 4/5 LnX ) 1 2 a) Calcule la función de costos. w1X1 + w2 X2 s.a: e X11/5 X24/5 = y L = w1X1 + w2 X2 + λ(y . c) Calcule la nueva producción cuando se incrementa en 30 % el uso del factor X1 d) Calcule la nueva producción cuando se incrementa en 20 % el uso del factor X2 Solución a) Primero se sintetiza la funciòn: LnY =Lne (1 + 1/5Ln X +4/5Ln X ) 1 2 Ln Y = 1 + 1/5Ln X1 + 4/5Ln X2 Ln Y = Ln e + 1/5Ln X1 + 4/5Ln X2 Ln Y = Ln e + Ln X11/5+ Ln X24/5 Ln Y = Ln (e X11/5 X24/5 ) Entonces.198 10.4/5λ eX11/5X2-1/5 = 0 dL/dλ= y .1/5λ eX1-4/5X24/5 = 0 dL/dX2= w2 .e X11/5 X24/5 ) CPO: dL/dX1= w1 . b) Halle las cantidades demandadas de factores y el costo de producción para 10.000 unidades de producto final cuando los costos de los factores son w1= 1 y w2= 2. y se halla la demanda condicional del factor X1: Y eX 1/5 1 4 w1 X 1 w2 4 w1 Y eX 1 w2 X1 Y e w2 4 w1 4/5 4/5 4/5 Asimismo..( ) .Y ) w1 1/5 w2 4 w1 w2 4/5 4/5 Y w2 e 4 w1 w2 1/5 Y 4 /5 1/5 4/5 Y 4 w1 w 2 41 / 5 e e ..199 eX 1 4 / 5 X 2 4 / 5 4 eX 1 / 5 X 1 / 5 5 1 2 w1 w2 1 5 Reduciendo: X1 w2 X 2 4 w1 4 w1 X w2 X 2 .Y ) Y w1 e C (w.. X2se obtiene remplazando (α) en la restricción: w X Y e 2 2 4 w1 1/5 w Y eX 2 2 4 w1 X 2 Y e X 4 w1 w2 4 /5 2 1/5 1/5 Finalmente.( ) 1 Se remplaza (β) en la restricción. la función de costos: C (w.. Y ) 1/5 w2 4/5 1/ 5 w1 w 2 C ( w.113 1/ 5 10. 000 ) C 52 . 606769722 w1 w 2 4/5 Y b) Si Y = 10.Y ) Y 4/5 4 41 / 5 e 4/5 1. 822 . 606769722 ( 5 )1 / 5 (10 ) 4 / 5 (10 .200 C (w. Y = e X1 1/5 Y x1 %Y % X 1 X24/5 1 4 / 5 5 eX 1 X2 4/5 Y x1 x1 Y .000 10 X1 2.64937 Y 2 . 718281828 1/ 5 0 .226 c) En este caso se recurre al concepto de elasticidad escala de producción o elasticidad producto: X 1 Si Entonces.718281828 4(5) 4/5 X 1 2.718281828 10 X2 X 2 4.37 Las cantidades demandadas de factores: 10. entonces el costo de producción será: C 0 .000 4(5) 2.Y ) w1 C (w.000 y los precios de los factores sonW1=5 y W2= 10. y simplificando: X 1 1 5 X 1 eX 1 1 4 / 5 X2 4/5 X1 4/5 eX X 2 1/ 5 1 5 Retomando la fórmula de elasticidad: X 1 %Y % X 1 1 5 En atención al enunciado:el uso del factor X1 aumenta en 30%: %Y 30% Entonces. %Y 1 5 1 5 (30%) %Y 6% d) De manera similar: X 45 2 En la fórmula de elasticidad: X 2 %Y % X 2 45 Como el factor X2 aumenta 20%: %Y 20% Entonces. %Y 45 4 5 (20%) %Y 16% .201 Remplazando en fórmula de elasticidad. para preparar una tortilla perfecta requiere básicamente huevos frescos y su harina secreta. x2 ) Mín. una experta cocinera. La harina secreta la prepara para el día. no se puede almacenar.00 la taza. en la proporción fija siguiente: 5 huevos y ½ taza de harina.50.2. mientras que la harina secreta implica un costo de S/ 2. Doña Clara. Se pide: a) Formular la función de producción b) Dibujar la isocuanta para un nivel de producción de 10 tortillas. en general. 2x2 5 a) Donde: Y: cantidad de tortillas x1: cantidad de huevos x2:cantidad de tazas de harina secreta b) Sabemos que. Funciones de producción de Leontiev 1.202 2. xi Y ai Entonces: x1 Por tanto. Solución 1 Y ( x1. x1 . c) Si doña Clara preparó 12 tazas de harina para el día y vende 20 tortillas ¿cuál será su costo de producción? d) Si la harina se pudiesen almacenar ¿Cuál sería el costo de producir 20 tortillas?. Y 1 5 x1 y 10 50 1 5 x2 Y 2 . En el mercado un huevo se cotiza en S/ 0. Para producir 20 tortillas (Y = 20): Se tiene el volumen del Factor Fijo10 x 2 12 10 Con esta cantidad se podría producir: Y = 2*12 = 24 Tortillas .203 x2 10 5 2 Gráficamente: Harina (Tazas) 20 15 10 Y = 10 50 100 150 Huevos 5 c) En este caso. se encontraría en una situación de corto plazo con un factor fijo (Harina) y un factor variable (Huevos). F . 50 100 2 . 00 Gráfico Harina (Tazas) 37 12 10 Y = 20 5 Y = 10 50 100 148 150 200 Huevos . C . el costo mínimo de corto plazo: C C .204 Se necesitará la siguiente cantidad del Factor variable: x1 20 1 5 100 Entonces. 00 12 C 74 .V . C 0 . entonces. se encontraría en una situación de largo plazo –todos los factores son variables. 50 100 2 . 00 Gráfico Harina (Tazas) 37 35 12 10 Y = 20 50 100 140148 150 200 Huevos .205 d) En este otro caso. 00 10 C 70 . Si Y = 20 x1 20 1 5 x2 100 20 2 10 Costo mínimo: C w1 x 1 w2 x2 C 0 . x 2 ) Mín . emplea 2 unidades del factor x1 y 1 unidad del factor x2.La actividad A. x 2 Mín . 2). a1 x1 . 1 1 Y ( x1 . x 2 2 2 Esta formulación implica que la empresa debe de elegir. b 2 x 2 Entonces.206 2.La actividad B. x1 . x 2 2 Entonces. . 2 x1 . de forma excluyente. Si los precios de los factores son w = (1. a 2 x 2 Mín . Su elección dependerá de los costos. usa 1/2 unidad de x1 y 2 unidades de x2 para elaborar una unidad de Y. Las demandas de factores serán: x1A y 1 2 2y x 2A y y 1 . que para producir una unidad del bien Y. Una empresa tiene dos posibles actividades para producir el bien Y: . c) Las demandas: Si usa proceso A: 1 Y Mín . b1 x1 . determine: a) La función de producción b) Las demandas para los dos factores c) ¿Cuál es la función de costos para esta tecnología? d) Grafique Solución a) La función de producción será de la forma: Y ( x1 . x1 . x 2 ) Mín . una de las dos técnicas para producir el bien. los costos serán: Proceso A: CA = (2w1 + w2)y CA = 4y w1 2 w2 y 2 2y . 2 x1 . x 2 2 Las demandas de factores serán: x1B y 2 x 2B y 1 2 Función de costos Proceso A: C A w1 2 y w 2 y CA 2 w1 w 2 y Proceso B: C B w1 y w2 2 y 2 w C B 1 2 w2 y 2 Entonces. C ( y .207 Si usa proceso B: 1 Y Mín . Como w1= 1 w2 = 2 . w ) Mín . 2 w1 w 2 . el proceso elegido será el proceso A d) Gráfico Si y = 1→ xA = (2.5y Por tanto. 1) xB= (½. 2) x2 3 YB = 1 2 YA = 1 1 CB = 4.208 Proceso B: w C B 1 2 w2 y 2 CB = 4.5 CA = 4 0 1 2 3 4 x1 . entonces la función de producción será: y = x1 + 2x2 Dado que es lineal. y 2 Similarmente.W. Por lo tanto la función de costos de esta técnica será11: w2 C ( y . la función tendrá la forma: C(w1. Así . 1992 . w2 /b). las funciones de demanda y la función de costos para la otra técnica serán: 11 Si Y= aX1 + bX2 . 3d. Y) = Min.Edition. esto implica que se utilizará sólo el factor más barato. Sea la función de producción siguiente: Y ( x1 . x 4 ) Mín . w2. w ) Mín . y demandará: x1 = y ó x2 = y/2 dependiendo de cuál sea más barato.W.Y VéaseH. sí ésta es utilizada. tendremos una función de costos para una tecnología lineal (los factores son sustitutos perfectos) . x1 2 x 2 . w1 . x 2 . Norton & Co.Varian “Microecomic Analysis”. la empresa será típicamente especializada en el empleo de uno u otro factor. x 3 . 1 x3 3 x 4 2 ¿Cuál es la función de costos de esta tecnología? Solución: Considerando la primera técnica. (w1/a.209 3. x4 a) ¿Cuál es el vector de las demandas condicionales de factores para producir una unidad de producto cuando el vector de precios de los factores es: w = (1. w ) Mín . + X4 ) Cuál es el vector de las demandas condicionales de factores para producir una unidad de producto cuando los precios son w = (1. y w4= 4. w3 = 3 . 2 w 3 .X2 . x4 Si Y= 1. X3. Una empresa usa 4 insumos para producir un solo bien. x3 . (X1 + X2 . w1= 1 . 2 ) Mín 2 w 3 . x4 ) Mín .2. x3 . 4 y 3 Dado que ambas técnicas deben ser empleadas para producir y unidades de producto.X3.4) ? b) ¿Cuál es la función de costos? c) ¿Qué clase de retornos a escala tiene esta tecnología? d) Si otra empresa tiene una función: f (X1. x2 . x4 ) Mín. x1. Las demandas condicionales de factores serán: .3.2. x1 . x2 Mín .3.4) e) ¿Cuál es la función de costos para esta firma? Solución a) Este modelo de función de producción de Leontiev consiste en la agregación de dos procesos productivos mutuamente excluyentes f ( x1 . 3 y 4. w2= 2 . y) w2 w4 Mín . x2 Mín. La función de producción es f ( x1.X4 ) = Min. x3 . x3 . ( w1 . x2 .210 x3= 2y ó x4 = y/3 w C ( y . la función de costo de esta tecnología es: C (w. w3. x4) ≡ X(1. y) = w3 y + w4 y Reemplazando los datos: C(w1. y) = (1)(1) + (2)(1) C(w3. w3 + w4] y c) Si variamos los insumos en t > 0. w2. tx 4 y ' tMín .y se descarta el más costoso. x3. x1 . 0. y) = (w1 + w2)y C(w3. la demanda de factores se representa por el vector X(x1. w4. x 2 tMín . 0) b) La función de costos se obtiene. w4. y) = w1 y + w2 y C(w3. entonces la función de producción: y ' Mín . x 3 . tx 2 Mín . [w1 + w2. y) = Mín. tx 1 . 1. w2. w4. x 4 x 2 Mín . tx 3 . se prefiere el proceso menos costoso -el proceso que emplea los factores x1 y x2. y) = (3)(1) + (4)(1) = 3 = 7 Por tanto. Así. y ' t Mín . w4. w2. x 4 . x1 . agregando las funciones de costos de ambos procesos: C(w1. y) = (w3 + w4)y Entonces: C(w1. x 3 . x2.211 x1 = y x2 = y x3 = y x4 = y El costo de producción de cada proceso: C(w1. w2. x4 ) Mín. x2 . x3 x4 La función de producción consta de dos procesos lineales. w3 = 3 . calculamos cuál es más barato: CX1 = w1 y CX2 = w2 y = (1)(1) = (2)(1) = 1 = 2 Entonces. por tanto. empleará x1 Con el segundo proceso: y = x 3 + x4 las demandas de factores: x3 = y ó x4 = y . w1= 1 . x1 x2 . y w1 = 4 Con el primer proceso: Y = x1 + x2 las demandas de factores: x1 = y ó x2 = y Para determinar que factor se empleará. presenta rendimientos constantes a escala. cada uno usa los factores de manera excluyente. Empleando los datos: Y = 1. basándose en los costos. x3 .212 La producción también se ve afectada en t. La producción final se obtiene de ambos procesos. w2= 2 . d) Si la función de producción es: f ( x1. (w3y . será: C1 = Mín. w4y) C1 = Mín. x2. 0. y ) Mín . en este caso.1. el vector de demanda condicional de factores. x 2 ) Mín . (w1y . x1 x2 2 2 1 2 a) Halle las funciones de demanda de factores b) Halle la función de costos a largo plazo. y w2 = 1. x3.5. 0) e) Las función de costos. c) Dibuje el Cme y el Cmg y señale que tipo de rendimientos a escala presenta. w2)y C2 = Mín. para cada proceso. Dada la siguiente función de producción: 3 1 Y ( x1 . x4) ≡ X(1. d) Halle la producción óptima y las ganancias de la empresa cuando el precio de venta es de 100 .213 Calculamos los costos: CX3 = w3 y CX4 = w4 y = (3)(1) = (4)(1) = 3 = 4 Entonces. ( w1 . (w1. w2y) C2 = Mín. (w3. es: X(x1. w 2 ) Mín w 3 .5 ¿ cuál sería el costo total para una producción de 120 unidades?. w4)y Como la función de costos implica seleccionar el costo mínimo de cada proceso. en este proceso sólo empleará x3 Así. w 4 y 5. la función de costos es lineal: C (W . Si w1 = 0. Y 2 3 Luego si w1 = 0. Y ) 0.214 Solución a) Funciones de demanda: Sabemos que: 1 1 2 x1 2 Y x1 2 Y 2 1 3 2 x2 2 Y x b) 2 2 Y 3 2 Función de costos Partiendo de la ecuaciåon de costos C = w1 X1 + w2 X2 Reemplazando las funciones de demanda 2 C ( w.5 Y 2 3 C (w . entonces: 2 C ( w.5. 2Y 2 w2 . Y ) w1 .5.Y ) 2Y 2 . y w2 = 1.5 2Y 2 1. 800 c) Costo medio y costo marginal CMe C 2Y Y CMg Cmg C C 4Y Y Cme Y Se puede observar que el costo marginal está por encima del costo medio. entonces: C = 28. d) La producción de equilibrio Si el precio de venta de Y es 100 En equilibrio: CMg=IMg 4Y = 100 Y = 25 .215 Si Y= 120. por tanto presenta rendimientos decrecientes a escala. Y – 2Y² = (100)(25) – 2(25)2 = 2. x1.5.250 x2 2 ( 25 ) 2 416 . Dibuje el Cme y el Cmg y señale que tipo de rendimientos a escala presenta.Y – C = P. y w2 = 3 ¿cuál sería el nivel de producción? ¿cuál sería la demanda de factores productivos? d) Si el precio de mercado del bien Y es de 10 unidades monetarias. ¿la empresa estará optimizando? Solución a) Funciones de demanda de factores: Sabemos que: Y x1 2 x1 Y 1 2 .250 π = 1. x2 ) Mín.216 Las cantidades demandadas de factores: x1 2(25) 2 1.500 – 1. 67 3 Nivel de ganancias: π = P. b) Halle la función de costos. Dada la siguiente función de producción: 1 Y ( x1.250 6. y los precios de los factores son w1 = 2. c) Si la empresa puede gastar 10. x2 5 2 a) Halle las funciones de demanda de factores.500 unidades monetarias. Y ) w1 .217 1 Y x2 5 2 x b) Función de costos C = w1 X1 + w2 X2 Reemplazando las funciones de demanda 12 12 C ( w. Y ) w1 5 w 2 Y 1 2 Costo medio y costo marginal CMe C Y CMe ( w1 5w2 ) Y CMg CMg 1 2 C Y ( w1 5 w2 ) 2Y 1 2 2 5Y 1 2 . 5Y C ( w . Y w2 . 218 Gráfico C Cme CMg Y Como el costo marginal está por debajo del costo medio. 500 25 5 ( 30 ) Y 10 . 600 La demanda de factores: x1 Y 1 2 x 1 ( 3 . 600 ) x 1 60 1 2 2 1 2 . y despejando: 10 . c) Si la empresa gasta 10. 500 Y 175 Y 3 . la función de producción presenta rendimientos crecientes a escala. 500 175 Y 1 2 10 .500 y los precios de los factores son w1= 25 y w2= 30. remplazando en la función de costos. 5 1 Y2 Retomando el equilibrio: 87.5 Y Y 1 2 1 2 3.5 En equilibrio: CMg = IMg Introduciendo los precios en el CMg ( w1 5w2 ) CMg 1 2Y 2 175 CMg 2Y 1 2 87.219 x 5Y 2 1 2 1 2 x 2 5 ( 3 .5 25 Y * 625 La demanda de factores: x1 Y * 1 2 . 600 ) x 2 300 d) Con los datos anteriores y con el precio de venta unitario de Y de 3. 220 1 ( 2 .500 ) 2 x1 * x1* 25 x 5Y * 2 1 2 x 2 5 ( 625 ) * x2 * 1 2 125 Nivel de ganancias de equilibrio: π = P.187.100 En este caso. .375 π = .Y – (w1 x1 + w2 x2) = (3.600 –10.500 π = 2.5)(3.Y – (w1 x1 + w2 x2) = (3.500 Y = 3. incluso habrán beneficios extraordinarios.5 – 4. cuando se tiene rendimientos crecientes a escala el equilibrio va implicar pérdidas (CMe> P=Cmg) por ello cuanto más se produzca las pérdidas se reducirán.600) –[25(60) + 30(300)] = 12.2.Y – C = P.600 π = P.5 Nivel de ganancias gastando 10.187.5)(625) –[25(25) + 30(125)] = 2.Y – C = P. 25x b) Para hallar la valoración privada hay que hallar el equilibrio natural del mercado: P = Po Entonces. Grafique. así: Ps = P + Ex Entonces. . Solución a) La demanda social del bien (Ps) será igual a su demanda privada (P) más la externalidad (Ex). INTERVENCION ESTATAL 3. la oferta del bien es Po = 0.221 III. Externalidades y Bienes Públicos 1.25x Cada unidad del bien x provee a los consumidores una externalidad positiva de 20unidades monetarias. d) Calcule la magnitud de la pérdida social.25x + 20 Ps= 120 -0.25x a) Determine la ecuación de la demanda social de este bien b) Halle la valoración privada y la valoración social del bien. 1. La demanda privada de un bien responde a la ecuación P = 100 -0. Ps= 100-0. c) Halle el nivel en el cual la valoración social del bien x es igual a su costo social de producirla. Por otro lado. Grafique e) Que medida debe tomar el gobierno para eliminar la pérdida social. 25x = 0.5x x = 200 Así.25x 100 = 0.222 100 -0. c) La igualdad entre la valoración social del bien y el costo marginal de producirlo implica hallar el equilibrio entre la demanda social y la oferta: Ps = Po . es decir. la valoración privada más el monto de la externalidad. la valoración privada del bien x es: P = 50 Grafico: Mercado del bien x P 120 M 100 B 70 60 50 C A 0 200 240 400 480 X y la valoración social de cada una de las 200 unidades del bien X será 70 unidades monetarias. este equilibrio está representado por el punto C.000 2 Exc. la pérdida social será: 14. Cosumidor = (120 70) x200 (70 60) x200 7. la pérdida social esta representada por el triángulo ABC Si el equilibrio se diese con la demanda social. los excedentes serán: Exc. éste ocurriría en el punto C. Productor = 60 x 240 2 7 .200 2 Exc. 200 Pero como el equilibrio natural ocurrirá en el punto B.25x = 0. Productor = 50x200 (60 50)x200 7.14. d) En el gráfico. Cosumidor = Exc. donde: (120 60) x240 7.400 .000 2 Así.223 Luego.000 = 400 Que viene a ser el monto representado por el triángulo ABC: ABC (70 50)(240 200) 800 400 2 2 .5x x = 240 y P = 60 En el gráfico. 120 -0.25x 120 = 0. 224 e) Para evitar la pérdida social el gobierno tiene que otorgar un subsidio que haga que la demanda privada se traslade hacia la derecha hasta que se iguale a la oferta en el punto C. por este concepto . El desembolso total del gobierno. P 0 200 240 400 480 X El precio que pagaría el consumidor (PC ) sería 40.sería el subsidio por cada unidad transada en el mercado. Subsidio al consumidor P 120 M 100 B Pc = 60 C 50 Pp = 40 A D P + Subs.800 2. será: Subsidio Total = 20 x 240 = 4. No se puede excluir a nadie de su consumo. Defina que es un bien público? De ejemplos Un bien público es aquel bien o servicio que cumple dos condiciones: 1º. Su consumo es No Excluyente. mientras que el productor ecibiríaun precio (Pp) de 60. Gráfico. la diferencia -20. . Si no es excluyente no habría interés del sector privado por producirlo. parque de las leyendas. No existe rivalidad en su consumo. cine. 2º. Internet. Cómo se clasifican los bienes según cumplan o no la exclusión y la rivalidad El cuadro siguiente nos permite tipificar los bienes de acuerdo a si cumplen o no con la exclusión y la rivalidad: RIVAL NO RIVAL EXCLUYENTE BIEN PRIVADO NO EXCLUYENTE BIEN IMPURO(Público) Mercado buen asignador de recursos Ejem. 3. sólo podría ser suministrado por el Estado. gorrón. Este término hace referencia a un individuo que se beneficia de un bien o servicio sin haber contribuido a su financiamiento. Carretera congestionada Tren eléctrico en periodo de prueba y hora punta. Estado único mecanismo asignador de recursos 4. . Ejemplos de bienes públicos: La defensa nacional. fuegos artificiales.225 La exclusión o no exclusión de un bien implica la posibilidad de asignarle o no un precio. Esto significa que el consumo de una persona no reduce o afecta el consumo de los demás. Si es excluyente su producción será emprendida por la empresa privada o la empresa pública. BIEN IMPURO(público o BIEN PUBLICO PURO privado) Ejem. viajero sin billete. etc. TV cable. Que es un Free rider En la jerga económica free rider significa colado. señal de TV abierta. faro. el alumbrado público. parásito. polizón. 71 (invierno 1998). Los bienes públicos generan el problema del free rider13. Un bien publico tiene una estructura de costos cuya función es: C 2 X 2 X 56 Sus ingresos totales tienen como función: IT 31X a) Determine el nivel de la producción si la empresa fuera del Estado. donde no existan beneficios extraordinarios. Solución a) Cuando la empresa que provee el bien público es del Estado. la policía. los bienes públicos deben ser siempre provistos por el gobierno. IT = CT 31X 2 X 2 X 56 12 BIENES PÚBLICOS. el alumbrado público. el equilibrio implica producir en el nivel donde se igualen el ingreso total con el costo total. Grafique. EXTERNALIDADES Y LOS FREE-RIDERS: EL ARGUMENTO RECONSIDERADO* Alberto Benegas-Lynch (h).php . En economía pública un free rider es aquel individuo que tiene interés en beneficiarse de un bien público.ie. Para evitar la existencia free-riders y los agravios comparativos que generan el que unos paguen y otros no.blogs. 5.226 algunos también señalan que un free rider es un emisor de externalidades negativas que no paga a los perjudicados12. 13 Extraido de http://economy. en Estudios Públicos. el ejército. b) ¿Cuál será el nivel de producción eficiente de este bien?. Buenos Aires. Entonces. pero no está dispuesto a pagar por él.edu/archives/2007/01/que_es_un_free.Grafique. Producción de la empresa pública P CT IT 434 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X . el costo total: C 2(14)2 (14) 56 C 434 Gráfico. y el Ingreso total: IT 31 ( 14 ) IT 434 Asimismo.227 2 X 2 32X 56 0 Resolviendo la cuadrática X 14 El nivel de producción sería de 14 unidades. 228 c) Si la empresa estuvieses buscando la eficiencia, tendría que producir en el nivel donde: IMg CMg Remplazando, 31 4 X 1 X 32 4 X 8 Gráfico. Producción eficiente de la empresa pública. Enfoque total P CT IT 434 Máxima ganancia por unidad 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X Entonces, cuando la empresa produce 8 unidades logra la máxima ganancia Para calcular el monto de la ganancia primero obtenemos el ingreso total y el costo total: 229 IT = 31 (8) = 248 CT = 2(8)2 -8 +56 = 76 Luego, Ganancia = 248 – 176 = 72 Gráfico. Producción eficiente de la empresa pública. Enfoque marginal P CMg IMg 31 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X 230 3.2 Impuestos y Subsidios 1. Los mercados de trigo y de maíz están interrelacionados, de tal manera que las funciones de oferta y demanda de sus respectivos mercados son: Trigo: Ot= 14 + pt -pm Dt= 30 - 15pt + 7pm Maíz: Om = -27 -2pt +5pm Dm= 5 +6pt -3pm a) Encuentre los valores de equilibrio en ambos mercados b) Si se grava con un impuesto específico de $1.00 a los productores de maíz, halle los nuevos valores de equilibrio. c) Si el impuesto fuera el mismo pero para el trigo en lugar del maíz ¿cuáles serían los nuevos precios y cantidades de equilibrio?. SOLUCIÓN a) Equilibrio de Mercados Mercado del Trigo: Ot= Dt 14 + pt -pm = 30 -15pt + 7pm 16pt -8pm = 16 ...... (1) Mercado del Maíz: Om = Dm -27 -2pt + 5pm = 5 +6pt +-3pm -8pt +8pm = 32 .....(2) Resolviendo el sistema (1) y (2): 16pt -8pm =16 ......(1) -8pt +8pm =32 ......(2) 231 Precios: pt = 6 pm =10 Cantidad: b) Trigo: Ot=Dt= 10 Maíz: Om = Dm=11 Efectos de un impuesto: t=1 Mercado del Maíz Sabemos que pmo= pmd – t Entonces: pmo= pmd – 1 … (α) Reemplazando (α) en funciones de oferta y demanda: Om = -27 -2pt + 5 (pmd – 1) Dm= 5 +6pt -3 pmd En equilibrio: Ot= Dt - 8pt +8pmd = 37.....(1´) Mercado del Trigo Se reemplaza (α) en funciones de oferta y demanda: Ot= 14 + pt -pmd + 1 Dt= 30 - 15pt + 7pmd Luego se plantea el equilibrio: Ot= Dt 16pt -8pmd = 17.....(2´) 232 Finalmente, el equilibrio se halla resolviendo el sistema: - 8pt +8pmd = 37 .....(1´) 16pt - 8pmd = 17 .....(2´) Precios: pt= 6.75 pmd = 11.375 pmo = 10.375 Cantidades: Ot= Dt = 8.375 Om= Dm = 11.375 2. La demanda de gallinas en un centro poblado de la selva está conformada por la de tres poblaciones dispersas: la primera tiene 10 familias con una demanda individual p = 20 – xa ; la segunda, 4 familias, cada una con la demanda individual p = 20 -0,5xb; y la tercera con 10 jefes de familia con una demanda personal xc = 50-p. Por otro lado, la oferta de gallinas en este centro poblado responde a la función X = p -1. a) b) c) d) Grafique la curva de demanda de este centro poblado. Halle el equilibrio del mercado. ¿Cuál será la elasticidad precio de la demanda para p = 12?. ¿Para qué nivel de precios maximizarán los vendedores de gallinas los ingresos. Solución a) La demanda del centro poblado viene a ser la demanda agregada de las demandas de las tres poblaciones dispersas, las que a su vez, están conformadas por las demandas agregadas de las familias respectivas. Hallando el equilibrio: 50 -2p = p -1 3p = 51 p = 17 luego. tendremos: Poblado A Poblado B xa = 20 –p xb=30 -2p 30 30 20 20 15 10 10 10 20 30 Poblado C Mercado: ▪ 30 ≥ p ≥ 20 →xc= 30 -p ▪ 20 ≥ p ≥ 15 →xc+a= 50 -2p ▪ p ≤ 15 →xa+b+c= 80-4p xc = 30-p 30 30 20 20 15 10 1020 30 10 20 30 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 20 b) Equilibrio de mercado 10 10 Primero graficamos la función de oferta: X = p -1. X = 16 .e. 1) y (20.: (0. las variables de las dos primeras funciones deben de transmutarse.233 Como la agregación es de unidades del bien. 21) Se observa que el equilibrio ocurre en el tramo donde la demanda responde a la ecuación: X = 50-2p. Entonces. Entonces. ubicamos dos puntos cualesquiera de ella: p. la demanda de mercado es X= 80 -4p .5 Este punto corresponde al tramo elástico de la demanda ( 1) d) La elasticidad precio también la podemos calcular así: 80 X X X .234 P 30 25 20 17 15 10 10 16 20 30 40 50 60 70 80 0 c) Para p= 12. entonces X = 32 La elasticidad precio: X p p X (4) 12 32 1. hallamos X: X = 80 –X 2X = 80 X = 40 Entonces. paralelamente. por tanto. d) ¿La empresa continuará obteniendo beneficios? Solución a) Equilibrio de la empresa La empresa es tomadora de precios. en 11. ¿Cómo varía el equilibrio?. Grafique b) El beneficio total y el beneficio unitario de la empresa c) Si la aparición de un bien sustituto hace que la demanda disminuya.08% .235 Como el ingreso de los vendedores (o el gasto de los consumidores) es máximo cuando la elasticidad precio es igual a la unidad: 1 80 X X Efectuando. Entonces. el precio: p = 10 3. igualamos la oferta y demanda: .Grafique.25Y p d 3041 0.08Y 3 3Y 2 200Y 30. Una empresa que opera en un mercado competitivo estima que su función de costos se ajusta a la función siguiente: C 0.5Y Determine: a) El equilibrio de la empresa. primero. hay que hallar el equilibrio del mercado.000 El mercado del producto tiene las funciones de oferta y demanda siguientes: p o 41 0. 041 Ordenando y resolviendo : 0.000 Y 4.041 0.498 0 ( Sí cumple) .48Y 6 0 Entonces.5Y 0.24Y 2 6 Y 841 0 Y 73 Y 48 Segunda condición: CMg 0 Y ( pendiente del CMg debe ser positiva ) 0.75Y 3.25Y 3. si Y 73 : 48 (73) 6 0 3. Hallando equilibrio de la empresa: Primera condición: CMg IMg p 0.000 p 1.24Y 2 6Y 200 1.041 Luego.236 po pd 41 0.504 6 0 3. Gráfico: Equilibrio de la empresa P CMg CMe 1041.000 = 59.258.Costo Total = 0.237 Si Y 48 : 48 (48) 6 0 2.304 6 0 2.08(73) – 3(73) + 200(73) + 30.64 .993.0 818.00 3 2 .36 = Beneficio Total = 16.28 0 73 Y b) Beneficios de la empresa Beneficio Total Ingreso Total = P xY = (1041) x (73) = 75.734.298 0 ( No cumple) La empresa se encuentra en equilibrio produciendo 73 unidades del producto. 7 .238 Beneficio unitario Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = P = 1041.08%)(6082) Y ' 674 Nueva demanda: Y d ' 6082 2 p 674 Y d ' 5408 2 p Nuevo Equilibrio de mercado: Y o Y d' 4 p 164 5408 2 p p 1 928.28 = Beneficio unitario = = 222.00 .550. 67 Y 3.Costo Unitario = CT/Y = CMe = 818.72 c) Nuevo Equilibrio por Disminución de la demanda Situación inicial: Y o 4 p 164 Y d 6082 2 p Disminución de la demanda: Y 1 (11. 24Y 2 6 Y 728.7 35514000 5408 6082 X 41 0 Nuevo equilibrio de la empresa: Primera condición: CMg IMg p1 0.239 Gráfico: NuevoEquilibrio del mercado P 3041 2704 1041 928.48Y 6 0 .7 Ordenando y resolviendo : 0.24Y 2 6Y 200 928.7 0 Y 69 y Y 1 44 Segunda condición: CMg 0 Y ( pendiente del CMg debe ser positiva ) 0. 306 0 ( Sí cumple) Si Y 44 : 48 (44) 6 0 2.7 808.7 0 6973 Y .240 Entonces.106 0 ( No cumple) Gráfico: NuevoEquilibrio de la empresa P CMg CMe 1041 928. si Y 69 : 48 (69) 6 0 3.312 6 0 3.112 6 0 2. b) ¿Obtendrá beneficios o pérdidas? Este año.01 4. c) ¿Cuánto producirá el agricultor? d) ¿Cuánto recibirá del Estado? e) ¿En cuánto mejorará su situación? Solución a) Primero se determina el equilibrio del mercado: 178 0. a precio de garantía. a la función p = Y -2.Costo Total = 0.72 = Beneficio Total = 8. ¿cuál será su producción óptima?.66 = Beneficio unitario = = 120.23 3 2 .280.51 Beneficio unitario Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = P = 928. entregando al agricultor un 25% adicional a su producción.25Y2 + 500.5Y Y 2 1.Costo Unitario = CT/Y = CMe = 808. el gobierno no piensa subsidiar monetariamente este producto pues tiene reservas compradas.5Y3 -0.67) x (69) = 64. Esta vez va a hacer uso de sus reservas. y la producción. En una zona algodonera de Cañete. a) Si un pequeño agricultor algodonero de la zona tiene una función de costos totales C = 0.000 = 55.078.5Y 180 .5Y.797. En estas funciones Y representa quintales de algodón.67 .08(69) – 3(69) + 200(69) + 30. y p el precio por quintal. en la campaña pasada.241 d) Beneficios de la empresa Beneficio Total Ingreso Total = P xY = (928. la demanda de mercado de este producto responde a la función p = 178 -0. 25 p IMg 1.5Y 2 0.5(9)3 -0.25(9)2 +500 Π = = 1.242 Y 120 p 118 Luego. p(Y 0.25 217.00 = 844.T .5Y Re emplazando p 118 1.Y = 118 * 9 C = 0. el equilibrio del productor: IMg CMg p 1.75 c) En este caso: I .25Y ) IMg p 0.25 p .5Y 118 0 Re solviendo : Y 9 Y 9 El productor optimizará su producción cultivando 9 quintales.062.5Y 2 0. b) Se sabe que: π = IT –C IT = p. 5Y 2 0.00 = Este algodonero mejorará sus ingresos en: (500-217.5(10)3 -0.25Y Remplazando: p =118 1.25 .25 Y Y ' 0.25(10)2 +500 = 975.243 El equilibrio: 1.00 Π= 500.T.5) = 1. se debe calcular su nuevo beneficio: Π’ = IT’ –C’ I.25 (10) Y ' 2. = 118(12.75) = 282.5 0 Resolviendo: Y 10 d) El agricultor recibirá del estado: Y ' 0.5Y 2 0.00 C = 0.475.5 qu int ales e) Para saber cuánto mejora el agricultor.25Y 147.25 p 1. 001 Y 2 5 Luego.000 3 a) Determine el equilibrio del monopolista. b) ¿El monopolista obtendrá beneficios o pérdidas?. Grafique. se deduce el CMg: CMg 0. Grafique. c) Si el Estado aplica un impuesto de monto fijo de 500 unidades monetarias ¿qué pasará con la producción?¿seguirá obteniendo beneficios extraordinarios?.001 3 Y 5Y 1. Grafique Solución a) El equilibrio del consumidor implica satisfacer dos condiciones: Primera condición: CMg = IMg Entonces. tiene una demanda que proviene de dos poblaciones. norte y sur. se tiene que determinar el IMg. e) Calcule la pérdida del excedente del consumidor al pasar de una situación de competencia perfecta a una de monopolio. Primero hallamos la demanda de mercado: Y N 200 8 p Y S 146 2 p Y 346 10 p Que en su forma inversa será: p 34. Grafique.244 5. Una empresa monopólica que produce un bien industrial.1Y . cuyas respectivas funciones de demanda son: YN = 200 -8p y YS = 146 -2p Asimismo. d) En condiciones de competencia perfecta ¿cuál sería el precio y la cantidad de equilibrio?. tiene una función de costo total: C 0.6 0. b) Obtendrá beneficios o pérdidas Beneficio Total Monopolista Ingreso Total .Costo Total = Beneficio Total = P xY = (24. IMg 34.001 Y 2 0.6 0.6 0 Resolviendo la cuadrática: Y 99 Y ' 299 la segunda condición: CMg IMg Y Y no es necesario aplicarla ya que uno de los resultados se descarta por ser negativo.245 El Ingreso total: IT = P.445.001/3(99)3 +5(99) + 1.87 . y reordenando: 0.2Y 29.6Y 0.6 0.1 (99) p 24.70 unidades monetarias.6 0.7) x (99) = 0.2Y 0.30 = 1.43 626.818.001 Y 2 5 34. Finalmente el precio de equilibrio: p 34.Y IT 34.2Y Retomando la primera condición.7 Por tanto el monopolista se encontrará en equilibrio produciendo 99 unidades y fijando el precio en 24.1Y 2 Entonces.000 = = 2. 7 CM= 18. .246 Beneficio unitario Monopolista Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = .000 500 3 0.001 3 Y 5Y 1.33 El monopolista está obteniendo beneficios extraordinarios Gráfico: Equilibrio del Monopolista P 34.70 CM = 18. afectará la función de costos: C' C' 0.Costo Unitario = CT/Y = CMe = Beneficio unitario = PM = 24.4 EM 99 c) P IMg 5 173 346 Y Un impuesto de monto fijo de 500 unidades monetarias. por tanto.500 3 Pero el costo marginal no se altera. la producción de equilibrio permanece invariable.001 3 Y 5Y 1.6 CMgM CMeM PM= 24.37 BM = 6. 43 B = 126.318.43 CM = 18.500 3 C ' 2.318.7 CM = 23.43 Los beneficios disminuirán pero seguirán siendo extraordinarios: B = 24.43 B = 2.87 Gráfico: Equilibrio del Monopolio con impuesto P CMgM 34. el CMg del monopolista sería la curva de oferta del mercado.6 CMeM PM= 24.7(99).001 (99 ) 3 5(99 ) 1.318 . de tal manera que el equilibrio implicaría: CMg = P .445.2.43 99 23.30 – 2.4 EM P IMg 99 173 346 Y d) En una situación comparativa con la competencia perfecta.318.247 El nuevo costo total será: C' 0.43 El costo medio: C' 2. 248 0.1Y Resolviendo: Y 129 Y ' 229 ( se descarta ) Luego.001 Y 2 5 34.6 24.7 PC= 21.7 CC=18.6 0.1 (129) p 21.03 2 Y .6 0.3 EC CMeM EM P IMg 5 e) 99 129 173 346 Pérdida del Excedente del consumidor Excedente del consumidor en Monopolio: ECM 99 x (34.7 Gráfico: Monopolio versus Competencia Perfecta P CMgM 34.6 24. el precio: p 34.7) 490. 7) 832.5 .5 por cada unidad producida ¿cuál sería la proporción que pagan los consumidores? e) Halle la parte del excedente del consumidor que se apropia el monopolista al no ser este mercado competitivo Solución a) Producción y precio del monopolista Equilibrio del monopolista: IMg = CMg Previamente.Y IT (20 Y 0.5 )Y IT 20Y Y1. partiendo del ingreso total (IT): IT = P. el consumidor pierde un excedente de 344.15 unidades monetarias.6 21.249 Excedente del consumidor en Competencia Perfecta: ECC 129 x (34.05 2 Al pasar de una situación de competencia perfecta a una de monopolio. 2. hay que calcular el IMg.Un monopolista se enfrenta a una curva de demanda representada por la función: p 20 Y 0 . 5 Si su estructura de costos responde a la ecuación: C 8Y 205 a) ¿Qué volumen le convendrá producir al monopolista y cuál será su precio de venta? b) En una coyuntura de competencia perfecta ¿cuál sería el equilibrio? c) ¿Cuánto más estaría ganando el monopolista con respecto a una situación alterna de Competencia perfecta d) Si al monopolista le aplican un impuesto específico de 1. 5 El equilibrio: 8 20 1. maximizará beneficios produciendo 64 unidades.5 Y 0.5 12 Y 0.5 Resolviendo: 1. p20(64 )0.5 P 12 Por tanto.2 8 CMe CMg EM IMg 64 200 P = 20-Y0.5 8 Y 64 Entonces. Gráfico: Equilibrio del Monopolista P 20 PM= 12 CM= 11.5 Y 0.5 Y 0. vendiéndolas a 12 unidades monetarias.5 400 Y .250 Luego. IMg 20 1. 20 Y 0.4 PC=8 CMe EM CMg EC P = 20-Y0.5 8 Resolviendo: Y 0.251 b) Homologando con la competencia perfecta El equilibrio: P = CMg Entonces.5 p 8 Gráfico: Comparación Competencia y Monopolio P 20 P M= 12 CC = 9.5 12 Y 144 El precio: p 20 (144)0.5 64144 400 IMg Y . 5Y + 205 C 9.80 Competencia Perfecta Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = .20 0.00 -CM = 11.00 .00 -CTc = 1.42 El monopolista está obteniendo beneficios extraordinarios.5Y 205 .00 -CM = 9.357.252 c) Ganancias del monopolista con respecto a la Competencia perfecta Beneficio Total Monopolista Ingreso Total = P x Y = (12) x (64) ITM = 768.00 Beneficio Unitario Monopolista Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = .Costo Total = 8(64) + 205 CTM = 717.205. La ecuación de costos se ve modificada de la manera siguiente: C = 8Y +1.00 = Beneficio Total BTM = 51.5.152.Costo Unitario = CT/Y = CMe = Beneficio unitario BM = PM = 12.42 BM =-1.Costo Unitario = CT/Y = CMe = Beneficio unitario = PC = 8.00 Competencia Perfecta Ingreso Total -Costo Total = Beneficio Total = P xY = (8) x (144) = 8(144) + 205 ITC = 1. Si la situación fuese de competencia perfecta habría pérdidas c) Si al monopolista le aplican un impuesto específico de 1.00 BTc= . 5 9.253 Equilibrio: IMg CMg 20 1.5 Y 72 Y 49 Precio: P 20 ( 49 ) 0 .5 3 e) Excedente del consumidor (EC) que se apropia el monopolista al no estar éste en un mercado competitivo EC en Competencia Perfecta 144 EC C (20 Y 0.5 Y 0. la proporción de este monto con respecto al impuesto: 1 2 1.5Y 0 .5 ) dy PC YC 0. Entonces.5 ) dx (8)(144 ) 0 144 EC C (20 X 0 . 5 P 20 7 P 13 Proporción de pago de los consumidores: Los consumidores pagarán 1 unidad monetaria más.5 1.5 10. 254 Efectuando: Y 1,5 20Y 1,5 EC C 144 1152 0 EC C (144 )1,5 0 20 (144 ) 1 , 5 EC C 1728 EC C 1152 0 1152 576 EC en Monopolio 64 EC M (20 Y 0,5 ) dy PM YM 0,5 ) dy (12 )( 64 ) 0 64 EC M (20 Y 0 Efectuando: EC M Y 1,5 20Y 1,5 64 768 0 EC M (64 )1,5 0 20 .( 64 ) 1 , 5 EC M 939 EC M 768 0 768 171 El EC apropiado por el monopolista asciende a 405 unidades monetarias. 255 3. Los costos totales de producción de una empresa monopólica son representables a través de la función siguiente: C 0,01Y 2 9Y 10 .000 La demanda de mercado tiene como función: Y (86 ,25 1,25 p ) 2 En base a esta información se pide determinar: a) El precio del monopolio b) Las ganancias del monopolio. Grafique. c) El impuesto a las ganancias que debe aplicar el Estado al monopolio permitiéndole obtener una ganancia del 25% sobre sus ingresos totales d) Si el monopolista establece otra planta, la cual opera con una función de costos totales: C' Y2 Y 12 .500 120 ¿Cuánto producirá, y cuál será la producción de cada planta? Solución a) Precio del monopolista Equilibrio del monopolista: IMg = CMg Hallamos el IMg a partir del IT: IT = P.Y Así, de la función de demanda, obtenemos la función inversa: Y (86 ,25 1,25 p ) 2 86,25 1,25 p Y 0 , 5 1,25 p 86,25 Y 0 , 5 256 p 69 0,8Y 0 ,5 Luego, I T (69 0,8Y 0,5 )Y I T 69Y 0,8Y 1,5 El ingreso marginal, IMg 69 1,2 Y 0,5 Entonces, el equilibrio: 69 1,2 Y 0,5 0,02Y 9 Ordenando: 0,02Y 1,2 Y 0,5 60 0 Cambiando de variable: Y 0,5 k Y k2 Remplazando y resolviendo: 0,02k 2 1,2k 60 0 k 32,45 y k ' 92,45 Retomando la variable: k Y 0,5 32,45 Y 1053 El precio, p 690,8(1053) 0,5 257 P 43,04 d) Beneficios del monopolista Beneficio Total - Ingreso Total Costo Total = P xY = (43,04) x (1053) = 0,01(1053)3 + 9(1053) + 10.000 = Beneficio Total = 45.321,12 = 30,565,09 = 14.756,03 Beneficio Unitario Ingreso Unitario - Costo Unitario = IT/Y = PY/Y = = CT/Y = CMe PM = 43,04 CM = 29,03 = Beneficio unitario = BM = 14,01 Gráfico: Ganancias del Monopolio P 69 CMg CMe PM=43,03 EM CM=29,03 P = 69 -0,8Y0,5 1053 7439 IMg Y e) El impuesto a las ganancias que debe aplicar el Estado al monopolio permitiéndole obtener una ganancia del 25% sobre sus ingresos totales 258 Se debe cumplir que: BM (1 t ) 25% IT 1 t IT 25% BM t 1 IT 25% BM Remplazando: t 1 45.321,19 (0,25) 14.756,06 t 1 0,7678 t 0,2322 23,22% e) Si el monopolista establece otra planta, la cual opera con una función de costos totales: C' Y2 Y 12 .500 120 ¿Cuánto producirá, y cuál será la producción de cada planta? En este caso, la producción óptima implica la condición de equilibrio del monopolista multiplanta: IMg CMg CMg 1 CMg 2 Primero, encontramos el Costo marginal agregado (CMg): se halla CMg1 y se despeja Y1: C1 0.500 120 CMg 2 Y2 3. se halla CMg2 y se despeja Y2: 2 Y C2 2 3.2 Y 0.1 60 Y2 60 CMg 2 186 Luego.02Y1 9 Y1 50 CMg 1 450 Asimismo. se realiza la agregación.000 2 CMg1 0. y se obtiene el CMg: Y1 50 CMg 1 450 Y2 60 CMg 2 186 Y 110 CMg 636 CMg 0.0091Y 318 55 Entonces.5 0.0091Y 318 55 .01Y1 9Y 10.1Y2 12. IMg = CMg 69 1. en la planta 2.259 En planta 1. 0091(1628 ) CMg IMg 20 .59 Producción en planta 1: CMg1 = 20.2Y 0. 5 P 36. CMg 0.8 (1628 ) 0 .5 32.0091k 2 1.260 0.2k 3477 0 55 k 40.59 318 55 .35 y k ' 172.0091Y 1.5 3477 0 55 Cambiando de variable: Y 0.35 Retomando la variable: k Y 0. p 69 0 .72 Por tanto.5 k Y k2 Remplazando y resolviendo: 0.45 Y 1628 El precio. 02 Y1 9 20 .49 60 Y2 1.59 60 Y2 17 .049 .1 20.261 0.59 Y2 3.59 Y1 579 Producción en planta 2: CMg2 = 20. 262 ANEXOS . .. pnxn En el plano bidimensional (dos bienes) la restricción presupuestaria sería: m = p1 x1 + p2 x2 ..263 ANEXO 1 La Restricción Presupuestaria El consumidor busca maximizar su utilidad condicionado al gasto de su renta disponible (m) Dado el vector de precios de los bienes: P = ( p1.X m = p1 x1 + p2 x2 + . xn La restricción presupuestaria será: m = P. . pn) x1 y dado el vector de bienes: X= x2 . p2 .... reduce el área factible o área de consumo Su efecto en la restricción presupuestaria será: .264 Representación Gráfica de la Restricción presupuestaria X2 m/p2 x2 =m/p2 .(p1 /p2 )x1 Area Factible m/p1 X1 Alteraciones de la Restricción Presupuestaria a) Impuestos Impuesto de monto fijo (sum lump) Tiene el efecto de un impuesto a la renta. el consumo del bien afectado se reduce.(p1 /p2 )x1 (m-t)/p2 p1 p2 p1 p2 X1 (m-t)/p1 Impuesto Específico sobre un bien Se aplica un impuesto sobre cada unidad consumida de un bien. si se grava el consumo del bien x1.x1 + p2 x2 X2 m = (p1 + t)x1 + p2 x2 m/p2 p1 t p2 m/(p1+ t) m/p1 p1 p2 X1 . .265 m-t =p1 x1 + p2 x2 X2 x2 = (m-t)/p2. Con el ingreso monetario y los precios constantes. entonces: m = p1 x1 + t. Así. 266 Impuesto específico sobre los dos bienes m = p1 x1 + t. p1 x1 + p2 x2 .x1+ p2 x2 + t. Su efecto es similar al impuesto específico. entonces: m = p1 x1 + r. Si se gravan las ventas del bien x1.x2 m = (p1 + t)x1 + (p2 +t)x2 reordenando: x2 X2 m ( p2 t ) ( p1 t ) x1 ( p2 t ) m p2 m p2 t ( p t) 1 ( p2 t) m p1 t p1 p2 m p1 X1 Impuesto Ad valorem sobre un bien Es un impuesto aplicado sobre las ventas de un bien. con una tasa r. entonces: m p1 x1 r ( p1 x1 ) p 2 x 2 r ( p 2 x 2 ) m p1 x1 (1 r) p2 x2 (1 r) Reordenando y simplificando: x2 m p (1 r) 1 x1 p2 (1 r) p2 (1 r) . con una tasa r.267 m =p1(1 +r) x1 + p2 x2 X2 m p2 p1(1 r) p2 m p1 (1 r ) p1 p2 m p1 X1 Impuesto Ad valorem sobre ambos bienes Si se gravan las ventas tanto del bien x1 como del bien x2. 268 x2 m p 1 x1 p2 (1 r ) p2 X2 m p2 m p2(1r) p1 p2 m p1 (1 r ) p1 p2 m p1 X1 . p. denominadas condiciones. que deben cumplir los sistemas de demanda. Estas se deducen partiendo de la restricción presupuestaria (r. se obtiene: n i 1 pi x i m m m O de otra manera: n w i1 i 1 (2) Condición de agregación de Engel Diferenciando la r.269 Anexo 2 Elasticidad y propiedades de la función de demanda En el tema del comportamiento del consumidor se analizan algunas relaciones o propiedades. por m.m) = m (i: bienes) i1 (1) Porcentaje o peso del gasto en un bien Dividiendo la r. restricciones o propiedades de la función de demanda. asociadas a las elasticidades.p.): n pi . con respecto a m: n p i 1 xi 1 i m Multiplicando y dividiendo por xi/m y su recíproco. xi(p.p. obtenemos: n i 1 p i x i x i m 1 m m x i O lo que es lo mismo: . ambos términos. i i 1 (3) Condición de agregación de Cournot Diferenciando la r.270 n w 1 i m. con respecto a pj: n i 1 pi x i xj 0 p j ( j: otro bien) Multiplicando y dividiendo el primer término por Xi.pj. ordenamos y obtenemos: O lo que es lo mismo: n i 1 p xj pi x i xi p j j m p j xi m n w i 1 i i j w j Cuando se tiene dos bienes: Si varia P1 → w1ε11 + w2ε21 = -w1 Si varia P2 → w1ε12 + w2ε22 = -w2 (4) Condición de homogeneidad: Aplicando simultáneamente la propiedad de homogeneidad de grado cero de la demanda ordinaria xi(pi.m) y el teorema de Euler. y multiplicando por Pj. se obtiene: n j 1 p j xi xi m 0 p j m . y dividiendo por m.p. i En el caso de dos bienes: ε11 + ε12 + ε m1 = 0 ε21 + ε22 + ε m2 = 0 .271 Dividiendo ambos términos por xi: p j x i x m i 0 m x i x i p j n j 1 O lo que es lo mismo: n ij j1 m. renta.p. Un requisito para un comportamiento racional bajo incertidumbre es que el individuo pueda traducir dicha incertidumbre en riesgo. asignando probabilidades a los resultados posibles.p)” . ya que serán estas probabilidades las que utilizará en sus propios cálculos y las que guiarán la adopción de sus decisiones.p) ° y se lee: “el consumidor recibirá un premio x con probabilidad p o el premio y con probabilidad (1. pues éstas pueden darse en un contexto de riesgo e incertidumbre. La ocurrencia de un resultado sólo podrá ser percibida intuitivamente. entonces: P ° x + (1. considerándola como una descripción de las creencias o del estado mental del agente económico cuyo comportamiento se investiga. Para analizar cuantitativamente el riesgo.) se mantienen fijas en el tiempo.272 Anexo 3 ELECCION BAJO INCERTIDUMBRE Cuando se toman decisiones de consumo e inversión. los consumidores y las empresas han de afrontar la incertidumbre cuando no están seguros de las respuestas de sus decisiones. etc.(Pindick). Así. La probabilidad no es fácil de formalizar. previamente se requieren conocer los siguientes conceptos Lotería Es un elemento del espacio de decisiones del consumidor o individuo Representación de una lotería: Si se tiene una lotería que promete un premio X con probabilidad p. no siempre la variables involucradas (precios. Lo relevante en la descripción del comportamiento de un agente económico es la probabilidad que éste asigna a las consecuencias de sus acciones. o un premio y con probabilidad 1. Una interpretación objetiva de la probabilidad se basa en la observación de la frecuencia con que tiende a ocurrir un acontecimiento El economista adopta una actitud subjetiva de la probabilidad cuando existe incertidumbre (no existen experiencias o antecedentes que permitan fijar la probabilidad). q) ° z (1. se les puede asignar una función de utilidad que describa tales preferencias.p) .q) ° z) U( (1. representa la utilidad que obtendría el consumidor si tuviese a su alcance el valor esperado. Se obtiene ponderando las utilidades de los posibles resultados por su probabilidad respectiva. FUVE = U[p .p) ° y ) Valor Esperado También denominado Esperanza de pagos o Equivalente cierto. x + (1.p) . es decir.p) ° y óP ° x q ° w + (1.273 Las loterías o las opciones de una lotería están sujetas a las preferencias del consumidor.p) . x + (1. VE = p . mide el rendimiento medio de la lotería ponderando sus posibles resultados o pagos por su respectiva probabilidad.p) ° y) ó U(P ° x ) > > U(q ° w + (1.U(x) + (1. entonces: U(P ° x + (1. FUE = p .y Función de utilidad esperada La función de utilidad esperada indica la valoración o utilidad de la lotería o juego para el consumidor. y ] . así: P ° x + (1.p) ° y Por lo tanto.U(y) Función de utilidad del valor esperado La función de utilidad del valor esperado indica la utilidad del valor esperado o equivalente cierto. 5 utilidad 20 30 Entonces.274 ACTITUDES ANTE EL RIESGO Sea el siguiente juego: Premio 100 300 Probabilidad 0.5 (100) + 0.5 (300) = 50 + 150 = 200 UE = 0. W: riqueza .5(30) = 10 + 15 = 25 Según la proyección de la FUVE14 tendremos los siguientes casos: d) Aversión al riesgo U UVE = U(200) U= U(W) 30 UE = 25 20 100 200 300 Unidades monetarias 14 Como veremos más adelante.5(20) + 0. VE = 0. dependiente de la riqueza: U =F(W) donde. la trayectoria exacta de la FUVE será determinada por la función de utilidad del consumidor.5 0. no aceptaría.275 d) Amante del riesgo U 30 U= U(W) UE = 25 UVE = U(200) 20 100 200 300 Unidades monetarias En este caso. ya que ambas opciones le reportan la misma utilidad. Si le ofreciesen 200 (VE) para que deje de jugar. c) Neutral al riesgo U U= U(W) 30 UVE= U(200)= UE= 25 20 100 200 300 Unidades monetarias El individuo es indiferente ante la alternativa de jugar o recibir con certeza los 200. preferiría el juego. . el individuo valora más el juego (UE) ya que la utilidad de éste supera la utilidad del valor esperado (UVE <UE). 6ªedición. Robert: “MICROECONOMIA Y CONDUCTA”. R. Walter: “TEORIA MICROECONOMICA. España 1992. Rafael. J. Bogotá 1988. Hal: MICROECONOMIA INTERMEDIA. Daniel: “MICROECONOMIA”. Lima. 2004. editorial Mc GrawHillLatinoamericana S. principios básicos y Perloff. 1ra edición. Michael: “MICROECONOMIA”. Buenos Aires. A.. Barcelona. Hong Kong. España. Hector y Porto. 1999. 2009. Ortiz. Lima. y Quandt. The Macmillan Press Ltd. Kafka. Amihai: “MICROECONOMIA. Manual y ejercicios corregidos de MICROECONOMIA. Lima 1994. Apuntes de Estuio 59. MODERN MICROECONOMICS. 2005 Varian. Koutsoyiannis. España 1997. Alberto. Varian. Primera edición. Jeffrey: “MICROECONOMIA”. MICROECONOMIA Segunda Edicion. Universidad Nacional Agraria La Molina. TEORIA Y APLICACIONES. Dieguez. Alvaro. editorial Prentice Hall Hispanoamericana S. 5ª edición. Perú. Luis. Pindyck. 3ª edición. 3ª edición. 5ª edición. Parkin.A. Frank. Henderson. editorial CIUP. España. México 2006. y Rosales. . teoría y aplicaciones”. España 2001. Editorial McGraw HillInteramericana S. 3ª edición. 2nd Edition. 1981 Le Roy. 7ª edición. R. México 1994. Cortez.A. Lima. 1970 Una Hirshleifer. Amorrortu editores. 340 EJERCICIOS DE MICROECONOMIA. Jack y Glazer. aplicaciones”. Roger: “MICROECONOMIA”.. Folke: “TEORIA ECONOMICA”. 4ª edición. CIUP. 1979.A. AntoniBosh editor S. Jorge. Correa Espinoza.A. 1997. AntoniBosh editor S. BIENES PÚBLICOS. CIUP. TEORIA MICROECONOMICA AproximaciåonMatematica. editorial Pearson. Nicholson. Alberto. Hal: ANALISIS MICROECONOMICO”. editorial PrenticeHall. Fernández-Baca. un enfoque actual.276 REFERENCIALES Referencia Bibliográficas Benegas-Lynch. 2010. Buenos Aires.Fondo Editorial Departamento de Economía y Planificación. 71 (invierno 1998). En Estudios Públicos. editorial Pearson Education S.A. España 2001. y Miller. Fondo de Desarrollo Editorial Universidad de Lima.. Mc Graw – Hill. Robert y Rubinfeld. PROBLEMAS DE MICROECONOMÍA. EXTERNALIDADES Y LOS FREERIDERS: EL ARGUMENTO RECONSIDERADO. edit. Ediciones Ariel..A. 5ª edición. PercyEJERCICIOS DE TEORÍA MICROECONOMICA.. 2ª edición. fing.uy/catedras/economia/l2prefyutilidad.com/recursos/ experto/catsexp/pagans/eco/no10/equilibrio.277 Referencias Electrónicas http://microeconomia.blogs.edu.php www.htm .monografias.com/trabajos/ ofertaydemanda/ofertaydemanda.org/freemind/ www.edu.20k www.eumed.shtml www.com/search?q=manual+de+microeconomia+osinergmin&qs=ds&form=Q BRE http://economy.net/cursecon/ppp/envidia-y-solidaridad.edu/archives/2007/01/que_es_un_free.net/cursecon/3/equilibrio.htm www.fing.eumed.bing.pps www.uy/catedras/economia/l1restricpptaria.ppt .pps www.ie.gestiopolis.
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