Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Para Estudiantes de Física Juan M. Aguirre Gabiria

May 30, 2018 | Author: DuvanMontoya | Category: Numerical Analysis, Calculus, Equations, Differential Equations, Algebra
Report this link


Description

SIGUENOS EN: LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS GRATIS EN DESCARGA DIRECTA VISITANOS PARA DESARGALOS GRATIS. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para Estudiantes de Física Juan M. Aguirregabiria http://librosysolucionarios.net http://librosysolucionarios.net http://librosysolucionarios.net http://librosysolucionarios.net http://librosysolucionarios.net III A L EIRE Y A ITOR http://librosysolucionarios.net net .IV http://librosysolucionarios. y se le recomienda que intente hacerlos todos. probablemente. etc. se han convertido en este texto. (No se han incluido las soluciones de los problemas. que podría resultar útil para cualquier estudiante de física (y. Debe insistirse. Al final de cada capítulo hay una lista de problemas: así el lector tendrá la oportunidad de comprobar lo que ha aprendido. por ello (y para intentar erosionar la costumbre de la gran ma- yoría de estudiantes de convertir la asistencia a clase en un mero ejercicio de copiado al dictado). tras ser utilizados con distintos grupos y sufrir numerosas adiciones y correcciones.Prólogo Hell is paved with good intentions. etc. también para los de matemáticas e ingeniería. ni que esté salpicada de ejercicios que el alumno debe ir resolviendo mientras se comenta brevemente el resto de la teoría. en lo posible. Algunos problemas son aplicación directa de lo visto en teoría. Los últimos de cada lista han aparecido en exámenes en los últimos años. de acuerdo con una tradición bien establecida en textos para físicos. en favor del tiempo dedicado a que los alumnos resolvieran problemas. las series sumadas. no debe extrañar que. no las hay en resultados fundamentales. Espero que la osadía de añadir otro texto a la larga lista de los ya existentes sea disculpada. anticipos de lo que se verá en temas ulteriores. demostraciones que quedaron sin hacer. Hay una pregunta importante que todo autor actual de un manual de estas características debe V http://librosysolucionarios. y que puedan reconocerse aportaciones originales en algunos problemas y en el enfoque de varios apartados. pero en otros muchos se estudian cosas nuevas: complementos de la teoría. James Boswell Este texto está pensado para ser utilizado por alumnos de física que abordan por primera vez el estudio sistemático de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Tras enseñar durante muchos años esta materia en la asignatura de Métodos Matemáticos II de la licenciatura de Física en la Universidad del País Vasco. a quienes ofrecería un punto de vista distinto) con conocimientos de álgebra lineal y cálculo diferencial. a escribir unos apuntes que. A menudo. Me atreví. ya que me he esforzado en elegirlos con cuidado. se recogen en el apéndice G los resultados de los ejercicios que no se incluyen en el propio enunciado). (Para evitar lagunas en el texto. el estudiante concienzudo encontrará en los problemas un contenido más interesante del que pudiera creer a primera vista. hasta el final. en que los cálculos han de llevarse. Teniendo en cuenta el objetivo primordial de que el alumno desarrolle su capacidad de cálcu- lo. por razones obvias. de forma que las integrales sean resueltas. me fui convenciendo poco a poco de que entre los muchos y ex- celentes textos que había a nuestra disposición ninguno se adecuaba con precisión al enfoque eminentemente práctico que quería imprimir a la asignatura. ya que. la exposición teórica prescinda en ocasiones de demostraciones formales y puntos de rigor. de forma que la exposición teórica por parte del profesor se redujera al máximo. es- pecialmente en los exámenes. para ayudar al alumno a superar la tentación de ahorrarse trabajo personal).net . no tiene dificultades de principio. Algo parecido podría decirse de otras muchas familias de ecuaciones con método de resolución bien conocido: probablemente no sea inútil verlas rápidamente una vez. Por ello. hay que conceder un mínimo de atención. Lo que creo más conveniente. que puede hacerse con el mismo programa usado para encontrarlo. incluso en los más recientes textos. puede muchas veces comprobarse fácilmente mediante un cálculo directo. en esta asignatura esa tarea se ve facilitada por el hecho de que el resultado. por ejemplo. por cortesía. Quiero resaltar. sin embargo. mientras que los sistemas de álgebra por ordenador proporcionan la solución correcta de forma eficaz (aunque a menudo haga falta cierta ayuda por parte del usuario para conseguir la expresión más sencilla). que suele ser mucho más corta que el cálculo inicial que condujo al resultado). por ejemplo. sino. pero no parece razonable que en un examen la única dificultad consista en identificar la receta que hay que aplicar a una ecuación. excepto en los casos más triviales —es tan ridículo usar un sistema de cálculo al- gebraico para resolver el oscilador armónico como valerse de una calculadora para sumar 2+2—. No quiero decir con esto que deberían eli- minarse por completo de los textos actuales los métodos de resolución de estas ecuaciones. el artículo [40]. nos fuera pidiendo los coeficientes de una ecuación lineal para evitarnos el trabajo escasamente superior de aprender la sintaxis que permite pedir la solución de cualquier tipo de ecuación. Consideremos. Afortunadamente. es explicar las ideas básicas y resumir los métodos de resolución rápidamente para que el alumno los aplique una vez.net . lo que evitaría perder el tiempo en largos cálculos triviales para invertirlo en aprender cosas más interesantes. el numeroso espacio que a menudo se les dedica. Aquí pretendemos enseñar al alumno ecuaciones dife- renciales. porque puede inducir a errores más fácilmente de lo que pueda parecer1 . aunque use un sistema de cálculo simbólico para los cálculos intermedios. Y no porque no esté de más saber cómo podrían resolverse a mano. puede recurrirse a menudo al mismo sistema 1 Véase. sobre todo. o limitarse a añadir al final de la lista de problemas de cada capítulo algunos para ser resueltos. Tampoco creo que el enfoque adoptado en muchos de los libros titulados «Ecuaciones Dife- renciales con . deberíamos aceptar el cálculo simbólico como una herramienta imprescindible en el uso cotidiano de las matemáticas. en la práctica resultará más eficaz y seguro usar álgebra por ordenador para resolver directamente ese tipo de problemas. sin embargo. cuando es posible. me parece fuera de lugar. como si éste fuera un vecino fastidioso pero inevitable al que. El alumno debería tener a su disposición uno de estos sistemas tanto en clase como en los exámenes. En resumen. numérica o simbólicamente. por ejemplo. y así he intentado plasmarlo en el texto. donde cada caso particular posible es estudiado en gran detalle. una vez hallado. porque las ideas fundamentales del método de Euler son imprescindibles para entender la estabilidad lineal. . que hay que enseñarle a manejar correctamente el álgebra por ordenador.VI Prólogo plantearse y responder: ¿qué hay que hacer con los potentes sistemas de cálculo simbólico y numérico que cada día nos resultan más accesibles? En modo alguno creo que puedan ignorarse y seguir enseñando y estudiando la asignatura como hace treinta años. por medio del ordenador. http://librosysolucionarios. » sea el más adecuado. el caso de las ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes: su resolución a mano. Hay. porque algunas ideas y técnicas (como la búsqueda de cambios de variables apropiados y el uso de las simetrías) pueden resultar de gran interés en otros muchos casos en los que los sistemas de cálculo algebraico son de escasa ayuda. pero re- sulta a menudo fatigosa y propensa a errores. que dejarle bien claro que. Incluso cuando esta comprobación directa no es posible. . no a valerse de un programita (tan fácil de usar como inútil una vez que cambiemos de apartado) que. (El alumno debería aprender la conveniencia de realizar siempre esta comprobación final. claro). se indican en la bibliografía. e. ‘erf(x)’ en vez de ‘fer(x)’. incluso. junio de 1997–febrero de 2000 2 La edición de 1999 de la Ortografía de la Real Academia Española dice. Cuando se usan dos notaciones. la solución numérica de ecuaciones y sistemas diferenciales. de acuerdo con la normativa internacional. También quiero agradecer la ayuda prestada por mi compañero Martín Rivas en la realización de las figuras 8. el uso del punto para separar la parte entera de la parte decimal en las expresiones numéricas escritas con cifras.— se dan por sobreentendidas. (Basta fijarse en las teclas de cualquier calculadora. que es más propio de una asignatura de cálculo numérico que de una como la que este texto pretende cubrir. etc. al menos en cierta medida. etc. VII para hallar la solución numérica del problema en casos particulares y compararla con la obtenida por métodos exactos. 1’ o ‘0′ 1’2 .1. Leioa. aunque no derive de un consenso explícito. y espero que serán comprendidas y aceptadas por el sabio lector. lo que permite a menudo descubrir errores en el cálculo original o aumentar nuestra confianza en él. un estudio detallado. en lo incómodo que ahora nos resultan los escasísimos programas ‘localizados’ que utilizan la coma como separador decimal). Mucho me temo (?) que. así como para dibujar espacios de fases y compararlos con las conclusiones cualitativas obtenidas por los métodos analizados en el capítulo 8. He hecho una elección consciente que quisiera comentar con cierto detalle: se utiliza en el texto la notación matemática anglosajona. http://librosysolucionarios. por el contrario. en el apartado 5. la potencia creadora y la gran influencia del mundo anglosajón la hayan convertido en la notación universal. Merecen. con quien he compartido muchas veces la responsabilidad de esta asignatura y a quien también debo un cierto número de correcciones de erratas en los apuntes que precedieron a este texto. La razón principal de esta discutible decisión es iniciar al alumno en la notación que va a encontrar en prácticamente todos los artículos y libros profesionales. aunque no sea la más corriente: el logaritmo neperiano se escribe como ‘ln x’ (en vez de ‘log x’) y he preferido ‘arcsinh x’ a ‘sinh−1 x’ (y a ‘arg sh x’ o ‘arc sh x’. No quiero decir que los métodos numéricos deban reducirse a este papel auxiliar del cálculo exacto. al igual que pasa ya de hecho con la lengua científica.13. El resto de las precisiones de rigor —que los errores re- manentes solo pueden achacarse a mi ignorancia o desidia. no es necesario un conocimiento profundo de cálculo numérico para usar uno de los programas integrados que permiten hallar fácilmente. Afortunadamente.34. nunca constituya una prueba de su exactitud. La inexcusable lista de agradecimientos está encabezada por los excelentes textos que he po- dido manejar a lo largo de los años y que.b): Es aceptable. ‘tan x’ en vez de ‘tg x’. Por ello. he elegido la que creo más precisa. que todos los elementos gramaticales con formas personales masculinas y femeninas diferentes deben ser entendidos en ambos géne- ros. en rigor. ‘sin x’ en vez de ‘sen x’. sin necesidad de programación de ningún tipo. se escribe ‘0.33 y 8. donde tan solo se hará una introducción a los que son directamente aplicables a resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. La presentación de muchos puntos se ha beneficiado de forma importante de conversaciones con Manu Valle. parece altamente conveniente.1’ en vez de ‘0. por esa razón y porque tampoco su uso es trivial. constituyen el método de resolución más importante en la práctica co- tidiana de la ciencia y la tecnología actuales.net . Deberíamos estimular a nues- tros alumnos a usar un programa de ese tipo para comprobar los dibujos que aparecen en los textos. aunque. ya que un estándar para las expresiones matemáticas. al igual que no hace falta conocer el algoritmo de Risch para resolver una integral mediante cálculo simbólico. net .VIII Prólogo http://librosysolucionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. . . Factores integrantes . . . . . . . . y)) . . . . . Ecuaciones de Riccati . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones no resueltas en la derivada . .6. . . . . . . . . .15. Unicidad de la solución . . . . . 3 1. . Tipos de soluciones . . 27 2. . .15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. . . . . . Ecuaciones de la forma F (y ′) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factores integrantes que no dependen de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. . . . .1. .net . . . . . . . . . . . . . . .2. . .14. . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones separables . .8. . . 27 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. Significado geométrico . . . . . . . . . . . . . . 23 2. . . . . .15. .1. . . . Teorema de existencia y unicidad . . . . . . 13 2. 20 2. . . . . .1. . . . . . . . . . . 21 2.13. .1. . . . 6 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. . . . . Ecuaciones lineales . . Ecuaciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . 1 1. . . . . . Conceptos fundamentales 1 1. . . . . . . . . . . . Existencia de soluciones .11. . Ecuaciones del tipo y = f αx+βy+γ . . . . . . . . . . . . . . . .4. Familias uniparamétricas de curvas . . . Envolventes y soluciones singulares . . . 25 2. . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . 22 2. . . .2. . . . . . . . . . .2.3. . . . Ecuaciones del tipo y ′ = f (ax  + by +  c) . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. . . . . . . 28 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . 25 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. . . Congruencias de curvas . 31 2. . . . . .4. . . . . Ecuaciones de Bernoulli . . . .6. . . . . . . . 22 2. . . . . . . . .6. . . . .5. . . . . . . . . . . . 13 2. y) = g(h(x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Métodos de resolución . . . . . Métodos de transformación . . . . . Ecuaciones de primer orden 13 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. . . . Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . 32 IX http://librosysolucionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. 14 2. . . . . . .3. . . . . Factores integrantes que no dependen de y . . . . . . . 29 2. . . . . . . .6. . . . 26 ′ ax+by+c 2. . . .1. . . .3. . . . . . . . . .10. . . . . . . . .Índice general Prólogo V Índice de figuras XV Índice de apuntes biográficos XIX 1. 26 2. . Ecuaciones diferenciales . . . . Factores integrantes del tipo µ(x. . . Ecuaciones de la forma x = g (y ′ ) . . . . . . . Ecuaciones exactas . . 16 2. . . . . . . . . . . . . 72 4. . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .net . . . . . Problemas . . . . .7. . . . . Método de Cauchy . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2. .1. . . . . . . . . . . . . . 32 2. . Definición y propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . 81 4. Solución elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de Cauchy-Euler . . . . . Ecuaciones de Lagrange . .4.1. . . . . . . . . . . . . Método de variación de constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula de Liouville . . . . . . . . . . . . .9. . .7. . . . . . . . .4. . . . . .1. . . . . . . 61 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . 35 3. . . . . . . . . 34 2. . . . . . . . . . . . .2. . Ecuaciones autónomas . . . . . Significado geométrico . . . . . . . . . . .X ÍNDICE GENERAL 2. . . . . . . . 40 3. . . . . . . . . Método del operador inverso . . .11. . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . Ecuaciones de orden superior 39 3. . Reducción de orden . . . . .4. . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones lineales homogéneas . 47 3. Dependencia lineal de funciones . Problemas . . 68 3. . . . . . . . . . . . 63 3. 80 4. . . . 42 3. . .4. . . .2. .11. . . Derivada generalizada . . . . . . Sistema fundamental de soluciones y ecuación lineal homogénea . . . .2. . . . . . . . . . . . .8. . . . . Delta de Dirac . . . . . . . . . 44 3. . . . . . . . . . . . 71 3. . . . Ecuaciones de la forma y = g (y ′ ) . . . .1. . . . . . . . . . .5. . Teorema de existencia y unicidad . . . . . .7. . . . . .2.6. . . 50 3. .15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3. . . . . . . . Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . 61 3. . . Ecuaciones exactas . . . . . . . . . 43 3. . . . . . Límite generalizado . . . . . . . . . .9. . . . . . . . . . . . . . . .7. . 66 3. . . . . . . . Funciones generalizadas . .5. .3. . . . 47 3. . . . . . . . . . .9. . Método de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . .4. . . . . . .15. . .16. . 59 3. . . Resolución de la ecuación homogénea . Sistemas de ecuaciones 77 4. . . . . . . . . . . . . . .13.2. . . . . . . . . . . 79 4. . . . . . .4. . . . 77 4. . . . 57 3. . . . . . . . . . . . . . . . . Wronskiano y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Método de derivación . . . . . .1. . . . . . . .12. . . . . . . . 40 3.1. . . . . 51 3.9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. . . . . 54 3. . 56 3. . . .8. . . . . Función escalón unidad de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . Reducción a una ecuación . . . 58 3. . . . . . .15. . . . . . .1. . . . Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . 59 3. . 46 3. . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . .2. . . . . . . . . . . . . Ecuaciones completas con coeficientes constantes . . . 41 3. . . . . . . . . . . . . Ecuaciones sin la variable dependiente . . . . . 48 3.11. . . . . . . . 65 3. . . . . . . . . . Sucesiones que convergen a la delta de Dirac . . . . Ecuaciones lineales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Sistemas dinámicos autónomos . .4. . . . . . . . . . . . . . . . .5. .9. . . . . . . . . Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .5. . . . . 81 http://librosysolucionarios. . . . . . . . .15.9. 45 3. . . . . . . . . Ecuaciones equidimensionales en y . . . . Ecuaciones de Clairaut . . . .3. . 32 2. . . . . . . . . . . . . . Espacio de soluciones de la ecuación homogénea . . .3. . . Ecuaciones equidimensionales en x . .4. . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Métodos de resolución . . . . . . . .4. . . . 39 3. . . .9. . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . .10. . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. 41 3. . . . . . .5. . . . Equivalencia entre ecuaciones y sistemas . . . . .7. . . . . . . . . . . . 110 5. . . . . . . Cambio de escala . . .1. . . . . . . . . . . .6. 138 6. . . . .5. . . . . . . . . .5. 86 4. . . . . . . . . . . . . . . . 104 5. . . . . . . . . . . . Osciladores . . . . . . Exponencial de una matriz . . . . . . .1. . .6. 106 5. . . . . . 105 5. . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas lineales homogéneos . . . . . .5. . . . . . . 85 4. .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4. . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . 126 6. . . . 94 4. . . . . Puntos ordinarios .6. . .3. . . . . . . . . . . . . . . .net . . . . . .4. . . . . . . . . Sistemas lineales completos . . 89 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4. . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . 132 6. Método de Frobenius .4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . .5. 90 4. . . . . . . . . .5. Matrices fundamentales . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . 134 6. . . . . . . . . . . .3. 103 5. . . . . . 109 5. . .4. . . .3.6. . . . 88 4. . . . . . Teorema del desplazamiento . . . Existencia y propiedades asintóticas . . . . . . . Demostración del teorema . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. .5. . . . . . . . . . . . . . . . Linealidad . . . . . . . . . . . 110 5. . . . . Ecuación de Bessel . . . .2. Una ecuación de orden arbitrario . . . Problemas .1. . .7. . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . .2. . . . . . .3. . . . . . . . . . Soluciones en forma de series . . . .5. . . . . Sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . La convolución . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . 121 6. . . . . Sistemas lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . Derivadas y productos por potencias . . . . . Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformación de Laplace 101 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . 119 6. . . . . . 102 5. . . Un ejemplo sin término logarítmico . . . . . . . . . .2. . . . Ecuación de Hermite . . . . . .3. 136 6. . . . . . . . . . . . . . 113 6. . . . . . . . Espacio F(α) . . . . . . . . . Transformación de funciones generalizadas . . . 130 6. . Puntos ordinarios y singulares . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . .2. .6. . . . .2. . . .1. . .1. 121 6. . . . . . . Espacio de soluciones . . . . . . . . . . Suma de las series . . . . . . . . . . . . . 107 5. . . . . . . 134 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . 102 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 104 5. . . Problemas . . . . .3. . . . . . . . . .1. . . . . . . . 96 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5. . . 104 5. 91 4. .7. . Problemas . . 122 6. . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . 110 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . 123 6. . . . . . . . . . . Solución por series de ecuaciones lineales 119 6. Un ejemplo con índice doble . . Un ejemplo con término logarítmico . . . . . . .2. . . . 111 5. Propiedades . . . . . .1. . . 108 5. . . . . . . . . . . 140 http://librosysolucionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÍNDICE GENERAL XI 4. . . . . . . .6. . .1. Resolución del sistema homogéneo . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones continuas por trozos . . . Resolución del sistema completo . . . . .5. . . .2. . . . . . . . Definición . . .6. . . . . . . . . . Repaso de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. . . . . . . . . . . . . .4. . . La transformación inversa . . . . . . . . . 186 8.net . . . . . . . . . . . . . . 197 8. . . . . . .7. . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . .5.3.3. . . . . Sistemas dinámicos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dependencia sensible de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . Resumen: Clasificación de los puntos fijos . . . . . . . . . . . y caos determinista . . Más dimensiones. . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.1. . .2. .XII ÍNDICE GENERAL 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8. .3. . . . . Raíces características reales iguales . . . . . . Series de potencias . . . . . . . . . . . . .9. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8. . . Teoría de la estabilidad 167 8. 154 7. . .1. . . . . . . . . . 148 7. 156 7. . . . . . . . . . . . . . . . Métodos de extrapolación . Funciones de Liapunov . . . . . . . .10. . Perturbación regular . . .9. . . . . . . .4. . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . .12. Sistemas dinámicos autónomos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . Métodos perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7. 194 8. . . . . .1. . . . 148 7. . . . . . . . . .12. . . .8. . . . 152 7. . . . . . . Método de la serie de Taylor . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . .8. . . . Trayectorias de fases . . . . . . .8. Raíces características complejas . . .10. . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclos límite . . . . . . . 191 8. . . . . 195 8. 144 7.5. . . 146 7. . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . Método de Picard de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . .5. 174 8. . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas mecánicos unidimensionales disipativos . . . . . . Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Símbolo de orden de magnitud . . . . . 146 7. .11. . . . . .2. . . . . . Métodos de varios pasos . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8. . . Observaciones .4. . . . . . . . . .1. . . .2. . . . . . . . . . . .2. .1. . . . . . . Raíces características reales distintas . . . . . . . . . . . . . . . 199 8. . .9. . . . . . . . . 206 http://librosysolucionarios. . . . 155 7. . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponente de Liapunov . . . . . 192 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8. . . . Sistemas mecánicos unidimensionales conservativos . . . . Métodos implícitos . . . . . . . . . . . . .4. . . . . .2. . . . . . Sistemas dinámicos conservativos . . .1. . . . . . . . . . 158 7. . . . . . . . El método WKB . . . . .5. . . 183 8. . . . . . Método de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8. . . 144 7. . . .9. . . . . .3. .8. . . . 196 8. . . . . . 160 7. . .3. . . . . . . . . . . . . .6. . . . . 173 8. . . Demostración del teorema . . . . . . . . . . . 198 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8. . . . . . . . . . Concepto de estabilidad . . . . 157 7. . . . . . . . . . . El oscilador de van der Pol . . . . . . .2. 176 8. . . . . . . . 163 8. . . . . . .4. . . . .4. . . . . . . . . . . .5. . . . . . Estabilidad lineal . . . . . 168 8. . . . . 148 7. . . .7.5. . . . . . . . . . . Métodos numéricos . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . 170 8. . . Método de Heun . . . . . . . . . 145 7. . . . .1. . .9. 202 8. . . . . . Método del punto medio . . . . . . .2. . . . . . . . . . Sistemas dinámicos conservativos . . . . .8. . . . . . . Sistemas cuasilineales . . Sistemas dinámicos hamiltonianos . . 161 7. . . . . . . . . . . . . . . . 181 8. . . . . .1. . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . Métodos aproximados 143 7. . . . . . . . . . . . . . . . . .12. . . . 195 8. . . . . . . Problemas .5. . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas mecánicos unidimensionales .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Centros no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . Suma de series y resolución de integrales . . . . . . . . . . . . . . 254 B. . . Transformación del panadero . 206 8. . . . . Producto escalar de funciones . . . . . . . .3. .3. . . . . . . . Problemas de contorno de Sturm-Liouville 219 9. . . . .4. . . .4.6. . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . Desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . Funciones especiales . . Dependencia continua de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . 256 B. . . .4. . . . . . Métodos simbólicos 245 B. . . .1. . . . .4. .4.3. . . . . . . . Unicidad de la solución . . . . . . Series de Fourier . . . . . .2. Ecuaciones de primer orden no resueltas en la derivada . . . . . Ecuaciones no lineales de orden superior al primero . . . . . . Existencia de la solución .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . 211 9. 263 B. . . 227 9. Comparación de soluciones . . . . . . . Ecuaciones lineales de orden superior al primero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .net . . . . . . . .6. Atractores extraños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 B. . . .1. . . . . . . Teoremas fundamentales 239 A. . . . . . . . . . . . Métodos numéricos . . . . .2. . . . . . . . . . .1. . . . . . . 261 B. . . . . . Ecuaciones lineales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema inhomogéneo de Sturm-Liouville . . . . 265 B. . . . . . . . . . . 233 Apéndices A. 220 9. 242 A. . . . Métodos exactos . . 223 9. . . . . . . . 254 B. . . . . . . . . . . . 228 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Sturm-Liouville . 264 B. . . . . .1. . . . . . . . . . 273 C. . . . . . . . . .4. . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . Método de la serie de Taylor . . . . . . . . . .1. . . .4. . 274 C. . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . 270 C. . . . . . . . . . . . . 251 B. . . . . . . .2. . . . . . Existencia global de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformaciones de Laplace y Fourier . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1. . . . . . .2. . . . . . . . . . . Función de Green . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . 240 A. .1. . . . . Ecuaciones de primer orden resueltas en la derivada . . . . . Ecuaciones lineales homogéneas . . . . .ÍNDICE GENERAL XIII 8. . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . El teorema de Picard . . . .7. . . . . . . . . . . . . . 241 A. Ecuación adjunta . 222 9. .1. . . . . . . . . . . . Series de Fourier . . . . . . .3. . . . . . 275 http://librosysolucionarios. . . . . . . . . . . 267 C. . .8. . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Picard . .3. . . . . . . . .1. . .5.1. . . . 262 B. . . . . . . . . . . . . . 263 B. . . . . . . . . . . .4. . . 245 B. . . . . . . . Otros cálculos . . . . . . Problemas . . . . . . .2. . .3. . 207 8. . . 243 B.3. . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . .2. . . . . . .12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores y vectores propios .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . Métodos aproximados analíticos . . . . .4. . . . . 261 B. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones en diferencias finitas . . . . 272 C. . . . . . . . 259 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9. . . Exponencial de matrices . . Resumen de métodos analíticos exactos 269 C. .2. . .13. . . . . . . . . .3. . . .2. . . 239 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. . 262 B. . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . Métodos perturbativos . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones algebraicas . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . 242 A. . . . . . . 271 C. . . . . . . . Tablas de transformadas de Laplace 297 E. . . . . . . . .12. . . . . . . . . . . . 287 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformadas de Fourier . . . . . . Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 D. . . . . . . Polinomios de Chébichev . . . . . . 286 D. . . . . . . . . . . . . . . 298 E. . . . . . . . 305 G. . . . . Números complejos .3.1. .12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . 276 C. .5. . . . 290 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tablas de transformadas de Fourier 303 F. . 292 D. . . . . . . . . . . . . . . 296 E. . . . . . . . . . . . . . Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 307 Bibliografía 321 Índice alfabético 325 http://librosysolucionarios. . . . . . . . . . . . . . . . Valores en los límites . . . . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . .XIV ÍNDICE GENERAL C. . . . Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 D. . . . . . . . . . 299 E. . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel . . 277 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Función hipergeométrica confluente de Kummer . . . . . . . . . . . . . Función subfactorial . . Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 286 D. . . . Sistemas completos de ecuaciones lineales . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . .1. .7. .6. .12. . . .9. . . Integrales elípticas . .4.2. . . . . 281 D. . . . . . .1. . . . . . 276 C. . . . . . . . . 289 D. . . . . .5. . . . . .3. . . . . . . 301 F. . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . 293 D. .Función hipergeométrica de Gauss . 277 D. . . . . . . . . Función gamma de Euler . . . . . . . .12.5. . .11. . . . . . . . . . . . . . Propiedades de la transformación de Laplace . . . . . . . . .4. . . . 304 F. . . . . Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas . . . . . . . . . Transformadas de funciones elementales . . . . . . .3. . . . . . . . . . .2. . Integral exponencial . . . . . . . . . . 300 E.12. . . . 294 D. . . . . . 295 D. . Transformadas de funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . 291 D. . . . . . . . . . .Polinomios ortogonales . . . .1. . . .2. . . Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . Polinomios generalizados de Laguerre . . . . .10. . . . . . . . . . . . Función error . . Propiedades de la transformación de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 D. . . . . . 279 D. .4. . . . . . . . . .5. . . Función de Lambert . . . . Definición y propiedades de algunas funciones 279 D. . . . . . . . . .net . . . Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . Espacio de fases de (8. . . Espacio de fases de (8. . 128 6.1. .4. . . . . . .4. . . . . .1. . . . . . . . . . . . . .9. . . Algunas funciones de Bessel Jn de orden entero. . . .39) con d = 3. . . . . . 58 3. Circuito RLC. . .7. . . . (b) ǫ = 1. .39) con d = 1. . . . . . . . .1. . .2. . . . .39) con d = 1. 16 2. . . . . . . Espacio de fases de (8. .net . .1.1.1. . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . .4. Órbitas elípticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38)–(8. . . . . . . 154 7. . . . . . . . . . Espacio de fases de (8. . . . . . . . . . . Congruencia y campo de direcciones. . . . . . Circunferencias tangentes al eje de abscisas. . 171 8. . . 60 3. . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . 108 6. . . . . . 151 7. Congruencia de curvas.8. . . . . . . 177 8. . . . r = −5/2 y (a) ǫ = 0. .5. . . Una función continua por trozos. . . . . . . r = 0 y (a) ǫ = 0. . . . 30 3. . . . . 180 8. . . . . . . 155 7. . . . . . . . . . . . 178 8. . . . . . . . .5. .9) y su proyección sobre el espacio de fases. . . . . .2. . . La congruencia de un sistema autónomo y su proyección en el espacio de fases. . . . 75 4. . . . . . r = 5/2 y (a) ǫ = 0. . . 156 7. . . . . 28 2. . .2. . . 169 8. . .2. . . . . . . . . . . . Método del punto medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . Descomposición de f (t) en impulsos. . Punto de equilibrio (a) estable. Dominios de integración .5. . 157 8. . . . . Aproximación sin términos seculares. 156 7. . . . . .6. . . . . . (c) inestable. . .4. . . . . . . . . . . . . 97 5. . . . . . . . Algunas funciones de Bessel Yn de orden entero. . . . Una solución de (8. . . (b) ǫ = 1.Índice de figuras 2. .39) con d = 1. . . . . . . . . . . . . Función escalón unidad de Heaviside. . . (b) ǫ = 1. . . . . . .1. . . . . . Aproximación con términos seculares. . . . . . . derivada y pendiente de la tangente. . (b) ǫ = 1. Método de Euler para cuadratura numérica. . . . . 16 2. .3. . . . . . . . . . . . . 178 8. Método de los trapecios. . . . .3. 149 7. . . . . . . . . . . . . . 180 XV http://librosysolucionarios. . . . . 15 2. 170 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38)–(8. . .10. .7. . . . . . . . . . . 79 4.38)–(8. 155 7. . r = −1 y (a) ǫ = 0. . . . Método de Heun. Método de Euler. . Familia de gaussianas. . . . . . . . . . . . . . . . .38)–(8. . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . .21) y su proyección sobre el plano de fases. 173 8. . . . . . . . . . . . . . Espacio de fases de (8. . 169 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) ǫ = 1. . Evolución de un dominio del espacio de fases. . . . . . . . pericentros y apocentros.39) con d = r = −1 y (a) ǫ = 0. . 62 3. . . . 129 7. . . . .8. . . . . Método del punto medio en cuadratura numérica. .2. . . . . .2. . Una solución de (4. . . . (b) asintóticamente estable. . . . . . Envolvente y puntos múltiples de un haz de curvas. . 80 4. . . . . . . . Solución general del sistema autónomo y su proyección sobre el espacio de fases.38)–(8. . . . . . . .6. . . . Diagrama de bifurcación de x˙ = ax. 197 8. . . Hoja de Descartes y espacio de fases del sistema (8. . .57)–(8. . . . .19. . Estructura de conjunto de Cantor del atractor de Rössler. . . . Espacio de fases cerca de un puerto. . . . . . . . . Las funciones de error. . . Energía potencial y espacio de fases del sistema (8. . . .69). . . . . . . . . . . . . 183 8. 200 8. . . . . . . Diagrama de energía en las proximidades de un mínimo. Integrales elípticas completas. . . . . . 215 8. . .42.37. . . . . . 207 8. 234 D. . . .41. . . . . .net . . . .94). . . . . . . . . (b) ǫ = 1. . . . . . .4.39) con d = 1. . . . . . . . . Gráfica de la función f (y) del problema 8. Espacio de fases de (8. . . . .01. Construcción del conjunto ternario de Cantor. . . . . . Espacio de fases del sistema (8. .18. . . . . . . . . . . . Espacio de fases de (8. . . . . . . Sistema del problema 8. . . . . . . . . . 190 8. . . . . . . 227 9.25. . .42. . . . . . . . . 217 8. . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . 214 8. . . . . . 198 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8. . . . . . 309 G. . . . . . .30. . . . . 188 8. .5. . . . . 217 9. .1. Proyecciones de una órbita del atractor de Rössler. . . El ciclo límite del oscilador de van der Pol para ǫ = 2. . . . . . . . . . . .12. . . . . . . . . . . . . 311 G. 286 D. . . . . 182 8. . . . . . . . La transformación del panadero. . 290 G. . . . La rama principal de la función de Lambert en la recta real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La función gamma de Euler en el eje real.4. . . . . . . . . . . . . . . .27. . . . . . . . . . . . . . . .21. . .39. Evolución de dos soluciones inicialmente muy próximas. . . . .107) y su «gemela». . . Función sierra. . .40. . .38. . . . . . .28. .38)–(8. . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . .40. . . .58) con (a) n = 2. . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .116). . . . . . 287 D. . . . . . . . . . . . . Espacio de fases del ejercicio 4. . 203 8. . . .15. . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . Integrales seno y coseno. . . . π). . . 280 D. . . . 285 D. . Proyecciones de una órbita del atractor de Lorenz. . 209 8. 209 8. . . . .35. .22. . . (b) n = 3. . r = −2 y (a) ǫ = 0. . . . . . . 208 8. . . .16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energía potencial y espacio de fases del péndulo. . . .26. .62) con (a) ǫ = 0 y (b) ǫ = 1. 282 D. . . . . . . . . . .114)–(8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109) para λ = 1/2. 312 http://librosysolucionarios. . . . . . . .23. . . . . . . . . .20. .34. . . . . . . . . . . 187 8. . . . . . 195 8. . . Trayectorias de fases y evolución de los correspondientes valores de U. . . . . Formas cartesiana y polar de un número complejo. Integral exponencial. .1.17. . . Variedades estable e inestable del punto cúspide. . . . .23. . . . . . . . . . . . . . . . .78) para γ = 0. . . Secciones estroboscópicas del atractor de Duffing. . . . . . . . . . Proyecciones y sección de Poincaré del sistema (8. . . . 207 8. . . . . . . . La función f (x) = θ(x) sin x en (−π. . . . . . . . Las funciones ϕ0 y ϕ2 . . . . . . . . . . . . . . 214 8. . . . . . . . . . . . . . . . .31. . 185 8. . . Espacio de fases del sistema (8. 202 8. . . . . . .13.61)–(8. . . . .14. . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . 190 8. . . . . . . . . . .108)–(8. . Ampliaciones de la sección estroboscópica del atractor de Duffing. . . . . .24. . . . . . . Clasificación de los puntos fijos. 205 8.33. . 199 8. . .108)–(8. . . . . . Diagrama de bifurcación de la ecuación (8. .2. . 204 8. 181 8. .7. 284 D. . . . . .110). . . . . . . Energía potencial y espacio de fases del sistema (8. . .29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacio de fases de (8. . Algunas funciones de Bessel de orden entero.36. . . . . .104).11. . . . .109) para λ = −0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8. Cuenta ensartada en alambre liso. . . . . . Espacio de fases de (8. . . . . . . Espacio de fases de (8.3. . . . . . . . . . . 200 8. . . 193 8. . . . 288 D. . . . . . . . . .XVI ÍNDICE DE FIGURAS 8. . . . . . . 189 8. .32. . . . . Sección estroboscópica del atractor de Duffing para t m´od 2π = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78) para γ = 0. La fuerza y la solución del ejercicio 5. .1. Una trayectoria de fases de (8. . . 314 G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacio de fases del oscilador armónico. . .6. . . . . . .5. . . Espacio de fases del sistema (8. . . . .4). . Serie de Fourier de la función de la figura 9. . . . . . 314 G. .net . . . . .7. . . . . . . . .2: se han usado 64 términos. . .70). . . 315 G. .4. . . . . Diagrama de bifurcación de la ecuación (8. . 318 http://librosysolucionarios. . .ÍNDICE DE FIGURAS XVII G. net .XVIII ÍNDICE DE FIGURAS http://librosysolucionarios. . . . . . . Josiah Willard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Dirac. . . . . . . . . . . . Girolamo . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Hilbert. 226 Fredholm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . William Rowan . . . . . . . . . . . . 164 Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leonardo Pisano . . . . . . . . . . . . . . . . 33 XIX http://librosysolucionarios. . . . . . . . . . . . Max . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Euler. . . 222 Gibbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Augustin Louis . . Ferdinand Georg . . Karl Gustav Jacob . . 215 Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . Jean Baptiste Joseph . . . . . . . . 108 Kepler. . . 27 Bertrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erik Ivar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Frobenius. . . . . . . . . . . Abraham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Georg Ferdinand Ludwig Philipp . . . . . . 50 Abraham. . . . . . . . . . . David . . . . 75 Fourier. 143 Cauchy. . . . . . . . . . . . George . . Alexis Claude . Heinz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Albert . . . . . Jean Le Rond . . . . Ludovico . . . . . . . . . . . . . . . . .Índice de apuntes biográficos Abel. . Leopold . . . . . . . 139 Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . Friedrich Wilhelm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jacob . . . . . . . . 142 Kutta. . . . 126 Cantor. . . Johann Carl Friedrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Descartes. . . . . . . . . . . 64 Ferrari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . John Couch . . . . . . . . . . . . 121 Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 D’Alembert. . . . .net . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Niels Henrik . . . . . . . . . . . Joseph Louis Francois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Heaviside. . Arthur . . . 234 Hamilton. . . . . . . 221 Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Cardano. . . . . Leonhard . . . . . . . . . . . . . . . René . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Lagrange. . . . . . . . . . . . . 199 Jacobi. . . . . . . . . . . . Martin Wilhelm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pafnuty Lvovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Chébichev. . . Paul Adrien Maurice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 De Moivre. . . . . . . . . . . . . . Charles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ernst Eduard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oliver . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . Joseph-Louis . . . . . . . . . . Johannes . . . . . . Brook . . . . . . . . 235 Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Liapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . James . . . . . . 140 Lerch. . . . . . . . . . . Jules Henri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carle David Tolmé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Runge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . James Clerk . Thomas . . . . . . . 315 Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . 2 Schwarzschild. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Rodrigues. . . . . . . . Pierre-Simon . Pierre Francois . . . . . 158 Stirling. . . . . . . Rudolf Otto Sigismund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alexandre Théophile . . . . 3 Newton. . . . . . 38 Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . Mathias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Parseval des Chênes. . . . . . . . . . . . Siméon Denis . . . . Lewis Fry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hendrik Antoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX Índice de apuntes biográficos Laguerre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erwin . . . . . . . . . . . . 27 Richardson. . . . Edmond Nicolas . . Giuseppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joseph . . . . . . . . . . . . . . 146 Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gottfried Wilhelm von . . . . . . . . . . . . Karl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . Lev Davidovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Picard. . . . . . . . . Evangelista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Landau. . . . . . . . . . Charles Émile . . . . . 211 Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vito . . . . . . . . . . . . 160 Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adrien-Marie . . . . .net . . . . . . . . . . 106 Leibniz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jules Antoine . . . . . . 58 Legendre. Marc-Antoine . . . Guillaume Francois Antoine Marqués de . 145 Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Lissajous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 http://librosysolucionarios. Jacques Charles Francois . . . . . . . Josef Hoëné de . . 310 Verhulst. . . . . . . . . Karl Theodor Wilhelm . 204 Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aleksandr Mikhailovich . . . . . . . . . . . . Olinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ostrogradski. . . Jocopo Francesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isaac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Peano. . . . . . . . . . . . . . . 217 Simpson. . . . . . . . . . . . 114 Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Taylor. . . . . . 284 Sturm. 102 Lebesgue. . . . . . . . . . . 234 Wronski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mikhail Vasilevich . . . . . . 11 Vandermonde. . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Lipschitz. . . . . 88 L’Hôpital. . . . . . . Georg Friedrich Bernhard . . . . . . . . . . . . . . Henri Léon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Liouville. Acabaremos el capítulo clasificando los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.3) dx Puesto que tomamos derivadas con respecto a x. hemos usado una prima para indicar la derivada con respecto a x: dy y′ ≡ . como haremos a partir de ahora siguiendo una extendida costumbre.1. Ya que en (1. Ecuaciones diferenciales En una ecuación ordinaria —que por oposición a las diferenciales será llamada en este texto finita— como x2 + y 2 = 1 (1.4) l 1 http://librosysolucionarios. Comenzaremos introdu- ciendo el concepto de ecuación diferencial y una primera clasificación de los tipos a que puede pertenecer.1) no aparecen las derivadas de la incógnita. being after all a product of human thought independent of experience. diremos que se trata de una ecuación diferencial. mientras que la incógnita (y en este caso) recibe el nombre de variable dependiente. (1. 1. (1.2) solo hay una variable independiente y la derivada es ordinaria. (1.2) donde. como lo es también la ecuación del péndulo matemático: g θ¨ + sin θ = 0. decimos que x es la variable independien- te. se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. is so admirably adapted to the objects of reality? Albert Einstein En este primer capítulo se discuten algunas generalidades sobre ecuaciones diferenciales que irán siendo analizadas con mayor detalle en los siguientes capítulos. Cuando aparezca alguna de esas derivadas.net . Luego analizaremos las distintas formas en que aparecen sus soluciones y haremos las primeras observaciones sobre la existencia y unicidad de la solución en las dos principales familias de problemas que aparecen en física. Un ejemplo sencillo es x + yy ′ = 0.Capítulo 1 Conceptos fundamentales How can it be that mathematics. 7) dt 2 (x + y 2 + z 2 )3/2 2 d2 y ky = − .3) y (1. física atómica y relatividad general. que él llamó de fluxiones. lo que no debería sorprendernos si tenemos en cuenta. alternándo- las con el uso ocasional de la notación completa para la derivada. Su nombre aparece en muchos otros contextos. z. 4-01-1961. Alpbach.4): dx x˙ ≡ . En él sentó las bases de la mecánica y la teoría de la gravitación universal. Si la ecuación contiene derivadas parciales.6) dt r Puesto que en este último caso cada vector tiene tres componentes.10) ∂t 2m las variables independientes de las que depende la función de onda ψ son el tiempo t y las tres coordenadas espaciales que aparecen tanto en el vector r como en forma de variables de derivación en el operador laplaciano ∇2 . 2 Erwin Schrödinger (12-08-1887. Por ejemplo. http://librosysolucionarios. También trabajó en radiactividad.9) dt 2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2 donde las variables dependientes son tres: x. el desarrollo de las potencias del binomio y la regla de Barrow.2 1 Conceptos fundamentales En esta última expresión hemos seguido la costumbre de la mecánica de que cada punto indica una derivada con respecto t. Su magna obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) es considerada sin discusión el libro científico más importante e influyente de todos los tiempos. (1. y. que es la variable independiente de la ecuación (1.8) dt2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2 d2 z kz = − . nos hallamos en realidad en presencia de un sistema de ecuaciones diferenciales: d2 x kx = − . el naci- miento de la mecánica cuántica. También es ordinaria la ecuación de Newton para el movimiento relativo en un sistema de dos cuerpos si la interacción mutua viene dada por un campo de fuerzas newtoniano: d2 r k 2 = − 3 r. en la ecuación de Schrödinger2 ∂ψ ¯2 2 h i¯h =− ∇ ψ + V (r)ψ (1.net . (1. (1. (1.5). (1. junto a la mecánica matricial que Heisenberg había propuesto en 1925. aunque nunca aceptó la interpretación probabilística de la función de onda sostenida por Born y la escuela de Copenhague. Su contribución a la óptica es también de excepcional importancia e incluye el telescopio reflector y su influyente Opticks (1704). En 1926 su mecánica ondulatoria supuso. Compartió con Dirac el premio Nobel de Física de 1933. se llama ecuación diferencial en derivadas par- ciales.5) dt A partir de este momento utilizaremos indistintamente las abreviaturas (1. dinámica de redes cristalinas. Austria). Viena. del cálculo diferencial. También serán abundantes los ejemplos tomados de la física. además del tipo de público a que está destinado este texto. 1 Isaac Newton nació el día de Navidad de 1642 (4 de enero de 1643 en el calendario gregoriano) en Woolsthorpe (Inglaterra) y murió el 31 de marzo de 1727 en Londres. incluyendo la cuadratura numérica. a quien sucediera como Lucasian Professor en Cambridge. al tiempo que Leibniz. Fue el creador. que la historia y las aplicaciones de las ecua- ciones diferenciales están inextricablemente unidas a la física: baste recordar las contribuciones del propio Newton1 o el papel central que las ecuaciones diferenciales juegan entre los útiles matemáticos del físico. 1. 5-11-1879. junto a Boltzmann.6). en la ecuación del péndulo matemático hace que ésta sea no lineal excepto en la aproximación de pequeñas oscilaciones en la que se reduce al oscilador armónico x¨ + ω 2x = 0. EE.31 aparece el caso más simple de ecuaciones diferenciales funcionales: las ecuaciones diferenciales con retraso. No debe pensarse que las ecuaciones diferenciales agotan —junto con las finitas— los tipos de ecuaciones que aparecen en física. Escocia.UU. Tipos de soluciones Aunque los conceptos que estudiaremos aquí se pueden generalizar de forma inmediata a sistemas de ecuaciones. ∇ · B = 0. Su proposición de que la luz es un fenómeno ondulatorio electromagnético fue confirmada experimentalmente por Hertz. el seno.16 del capítulo 5 un caso muy simple de ecuaciones integro-diferenciales. http://librosysolucionarios.13) Tampoco es lineal la ecuación (1. (1. (1.11) ∂B ∂E ∇×E =− . los dos trabajos sobre el movimiento browniano. aunque se escriben como Rµν = 0. para simplificar la notación nos limitaremos a considerar en este apartado 3 James Clerk Maxwell (13-06-1831. En 1906 escribió el primer trabajo en teoría cuántica del estado sólido al estudiar los calores específicos. Por ejemplo. las leyes del electromagnetismo que llevan su nombre. veremos en los problemas 5. ∇×B = + 4πJ. Igualmente.2. las ecuaciones de Maxwell3 en el vacío constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden con dos variables dependientes vectoriales (o seis escalares): ∇·E = 4πρ. Es el creador. en las que las incógnitas o sus derivadas aparecen bajo el signo de integral y en el problema 5. en las que la incógnita y sus derivadas aparecen para distintos valores de la variable independiente.net . Princeton. La aparición de una función no lineal.2 Tipos de soluciones 3 Puesto que se llama orden de una ecuación al máximo orden de derivación que en ella apa- rece.) Cualquiera de sus contribuciones de 1905 —la hipótesis del cuanto de luz para explicar el efecto fotoeléctrico (que le valió el premio Nobel de 1921). (1. Inglaterra).12) ∂t ∂t Las ecuaciones de Schrödinger y Maxwell satisfacen el principio de superposición (la suma de soluciones es solución). En 1907 formula el principio de equivalencia. de la teoría cinética de los gases y su inmortal contribución. de Newton y de Schrödinger que acabamos de mencionar son de segundo orden.2) es de primer orden. Edimburgo. 18-04-1955. ni lo son las ecuaciones de Einstein4 en el vacío. Cambridge.12 y 5. las ecuaciones del péndulo. Su primera contribución relevante fue la predicción de que los anillos de Saturno debían estar compuestos de numerosas partículas para ser estables. Desde este momento solo consideraremos ecuaciones diferenciales ordinarias y dejaremos las ecuaciones en derivadas parciales para otros textos.14) esconden bajo esa apariencia engañosamente simple un sistema altamente no lineal. Ulm. apareció en el libro A Treatise on Electricity and Magnetism en 1873. el artículo fundador de la teoría de la relatividad especial y aquél en que estableció la equivalencia entre masa y energía— le hubiera valido por sí sola un puesto de honor en la historia de la física. Alemania. 4 Albert Einstein (14-03-1879. (1. como la mayor parte de las ecuaciones fundamentales de la física. lo que matemáticamente se traduce por su carácter lineal: las incóg- nitas aparecen solo en forma de combinaciones lineales con coeficientes que son constantes o que dependen exclusivamente de las variables independientes. que.1. mientras que (1. que inicia una serie de trabajos que culminaría en 1916 y establecería la teoría general de la relatividad. 1 Compruebe que y = 1 − x2 es solución explícita de la ecuación (1. f (n) (x) = 0. y. = 0.net . Se llama solución explícita de la ecuación (1. x = f (t) e y = g(t). a menudo es más fácil hallar una solución implícita. f (x). f (x)) = 0.18).15) a toda función de la variable independiente. . = 0 (1. y ′′. (1. E JERCICIO 1. En la práctica. ′ . . .2).18). . No despeje y para hacer esta comproba- ción.16) que sustituida en la ecuación diferencial la convierte en una identidad en un cierto intervalo I. en general. f ′′ (x). que es el intervalo de definición de la solución: h i F x. (1. g(t).19) ∂g/∂y se satisface idénticamente como consecuencia de (1. y) = 0. no es necesario hallar las soluciones explícitas de (1. (1. que convierten a la ecuación diferencial en una identidad. aunque no haga falta calcularla es preciso asegurarse de que existe alguna solu- ción explícita de la ecuación (1.2 Compruebe que x2 + y 2 = 1 (que puede escribirse en la forma (1.18) tal que cada una de sus soluciones y = f (x) (con g (x.2). no debería extrañar que también sean útiles las soluciones paramétricas de ecuaciones diferenciales. De hecho. . El concepto de solución implícita es útil porque. .4 1 Conceptos fundamentales una única ecuación diferencial ordinaria de orden arbitrario n.18). g(x. . ! g ′(t) F f (t).. E JERCICIO 1. .2). http://librosysolucionarios.20) f (t) a lo largo de un cierto intervalo del parámetro.17) √ E JERCICIO 1. Puesto que a menudo es más fácil dar soluciones paramétricas de las ecuaciones finitas que hallar las correspondientes soluciones explícitas.15) por medio de una función F adecuada. ya que en caso contrario tendríamos una solución formal. f ′ (x). es decir.18) sin más que cambiar de miembro el 1) es una solución implícita de (1. que consisten en un par de funciones de un parámetro. . y = f (x). . a menudo es más fá- cil comprobar que la ecuación diferencial se convierte en una identidad si en ella se sustituyen juiciosamente la ecuación finita y las que se obtienen derivando ésta con respecto a x. ∀x ∈ I. y ′. No obstante. que siempre puede escribirse como   F x. E JERCICIO 1.4 Compruebe que x = cos t. y (n) = 0. una ecuación finita. − .2). ya que puede verse si son soluciones de la ecuación diferencial comprobando que ! ∂g/∂x F x. al menos si no admitimos soluciones complejas... y = sin t es una solución paramétrica de (1.3 Compruebe que x2 + y 2 = −1 es una solución formal de (1. ∀x ∈ I) sea solución explícita de la ecuación diferencial. (1. ¿Cuál es su intervalo de definición? No siempre se expresa la solución de una ecuación diferencial con la variable dependiente despejada. y. (1. . es decir.24) ¿De qué tipo es cada una de estas familias? Se llama solución general a cualquier familia de soluciones de una ecuación de orden n que dependa. (1. que no pueda ser obtenida eligiendo adecuadamente los valores de los parámetros en la solución general5 se dice que es una solución singular respecto a la general considerada.1.6 Demuestre que y 3 − 3xy = 2C es solución general implícita de la siguiente ecua- ción:  y + x − y 2 y ′ = 0. Así.2 2 (1.22) 2 2 2 x +y =C . solu- ciones (explícitas. en las ecuaciones lineales.23) x = C cos t.28) y = x − 1. (1. De hecho. (1. de n parámetros independientes. por tanto. Existencia de soluciones Aunque es cierto que no toda ecuación diferencial tiene soluciones (por ejemplo.7 Compruebe que y = C(x − C). en general.27) Clasifique como particulares o singulares las siguientes soluciones de esta misma ecuación: y = 0. (1.3 Existencia de soluciones 5 1. Por ejemplo. es obvio que tanto la ecuación finita y 2 + 1 = 0 como la diferencial (y ′)2 + 1 = 0 carecen de soluciones reales).5 Compruebe que las siguientes expresiones definen familias uniparamétricas de so- luciones de la ecuación (1. son corrientes las familias paramétricas de soluciones. (1. (1. y = C sin t. como veremos. (1. (1. E JERCICIO 1. es decir.29) x2 y = .25) ¿Puede hallar la correspondiente solución general explícita? Por cada elección de los valores de los parámetros de una familia de soluciones (sea gene- ral o no) se obtiene una solución particular.24) del ejercicio 1. tomando C = 1 en las soluciones generales (1.30) 4 5 En general. implícitas o paramétricas) que dependen de uno o varios parámetros que son constantes en la derivación con respecto a la variable independiente.21) p y =− C −x . precisamente. Es.2): p y = C 2 − x2 . El mismo ejercicio demuestra que la solución general no es necesariamente única. (1. http://librosysolucionarios.net . Una solución de una ecuación diferencial que no sea solución particular de una cierta solución general. ya que este proceso equivale a sustituir un parámetro arbitrario C por otro parámetro arbitrario D ≡ 1/C y tomar D = 0. todas las soluciones del anterior ejercicio son soluciones generales. las ecuaciones diferenciales que se encuentran en la práctica tienen muchas soluciones.21). E JERCICIO 1.26) es una solución general de 2 (y ′ ) − xy ′ + y = 0.23) y (1.3. claro que solución general no es sinónimo de conjunto de todas las soluciones de la ecuación excepto. se admite también tomar límites cuando los parámetros van a ±∞. ya que dependen de un parámetro y la ecuación es de primer orden.5 se obtienen soluciones particulares que habían sido dis- cutidas anteriormente en algunos ejercicios. E JERCICIO 1. (1. y(x0 ) = y0 . Nótese que aunque el punto x = x0 se llama «inicial». y0 ). y(x0 ) = y0 . Dicho de otra forma. harán falta tantos datos (condiciones) adicionales como parámetros aparezcan en la solución general. Es fácil sospechar que. para que este procedimiento constructivo garantice la existencia y unicidad de- ben añadirse condiciones matemáticas que aseguren la existencia y convergencia del desarrollo. y0 ) + (x0 .35) ∂f ∂f y ′′(x0 ) = (x0 .31) admite como soluciones a y = ±x − 1. consideremos una ecuación escrita en forma normal.8 Demuestre que 2 (y ′ ) − xy ′ + y = 0. de la variable independiente. para un cierto valor. y0 ). y(0) = 0 (1. el problema no está completamente planteado cuando se conoce la ecuación diferencial: son ne- cesarios otros datos. Una forma habitual de proporcionar esos datos adicionales consiste en dar los valores de la variable dependiente.32) admite también dos soluciones.34) n! El primer coeficiente de la serie nos lo da directamente la condición inicial. y(0) = −1 (1. y de sus n − 1 primeras derivadas. Para hacer creíble la existencia y unicidad de la solución de un problema de condiciones iniciales del tipo y ′ = f (x. el problema de identificar la que corresponde al problema físico concreto que queremos analizar.36) ∂x ∂y . Como podemos sospechar. hablando en términos generales. para valores x < x0 . . http://librosysolucionarios.6 1 Conceptos fundamentales 1. Por supuesto. (1. Se dice entonces que se ha planteado un problema de condiciones iniciales o un problema de Cauchy. acertadamente. Unicidad de la solución El anterior apartado ha puesto de manifiesto que las ecuaciones diferenciales tienen habitual- mente un número infinito de soluciones. E JERCICIO 1. que al menos parte del problema proviene del hecho de que en la ecuación diferencial estudiada antes la derivada de orden más alta está elevada al cuadrado. es decir. que junto con la propia ecuación diferencial y sus derivadas también permite calcular los otros coeficientes: y ′(x0 ) = f (x0 . y(x0 ). y).33) intentemos construir la solución en forma de serie de Taylor alrededor del punto x = x0 donde se ha dado la condición inicial: 1 (n) y(x) = y(x0 ) + y ′(x0 )(x − x0 ) + · · · + y (x0 )(x − x0 )n + · · · (1. es inmediato comprobar que el problema de valores iniciales 2 (y ′) − xy ′ + y = 0. ..net . con la derivada de orden más alta despejada. Por ejemplo.4. (1. mientras que si elegimos y(0) = 1 no hay ninguna (real). nada impide integrar la ecuación hacia atrás. Se plantea. es decir. . que se obtienen sin más que elegir C = ±1 en la solución general. . en consecuencia. y ′(x0 ). y n−1(x0 ). y0 )f (x0 . (1. . x = x0 . Estos dos ejemplos muestran sin lugar a dudas que las condiciones iniciales no garantizan siempre la existencia y unicidad de las soluciones. en general.  3/2 si x ≤ 0.5. Limitémonos aquí a analizar un ejemplo ilustrativo muy sencillo. a este tipo pertenecen la mayor parte de los métodos descritos en este texto.net . Métodos de resolución Una parte importante del contenido de este texto está dedicado a describir métodos que per- miten hallar las soluciones de ecuaciones diferenciales. (1. mucho más difícil que el de condiciones iniciales.42) es.40) 2 y(0) = 1.39) Compruebe que y = A cos x + B sin x es la solución general y admitamos. lo que obligará a enunciar en distintos con- textos teoremas precisos de existencia y unicidad. Cuneo. 1. y (π) = 2. 20-04-1932. la falta de solución para la mayoría de los valores de la energía es la razón de que dicha magnitud aparezca cuantizada en muchos sistemas cuánticos). Italia). (Por ejemplo. es decir. y = 2. http://librosysolucionarios.41) y(0) = 0. y(0) = 0. y= 2 (1. Turín. Peano6 demostró que basta la continuidad de la función f (x.10 Considere el oscilador armónico clásico unidimensional en variables adimensio- nales apropiadas: y ′′ + y = 0. (1. Cuando las mismas se proporcionan para distintos valores de la variable independiente se dice que se ha planteado un problema de condiciones de contorno. Pero ya podemos adelantar que. que contiene todas las posibles soluciones.38) ¿Cuál puede ser el origen de la ausencia de unicidad? No siempre se dan las condiciones adicionales en un único punto. Además del teorema de existencia de soluciones. preferiríamos disponer de un método exacto. se recuerdan los axiomas de Peano que definen los números naturales en términos de conjuntos y las curvas que rellenan por completo el interior de un cuadrado. (1. (1. De hecho. (1.5 Métodos de resolución 7 Siguiendo trabajos del propio Cauchy. si x ≥ 0 3 son dos soluciones diferentes del problema de condiciones iniciales y ′ = y 1/3 . E JERCICIO 1. Es junto con Frege el fundador de la lógica matemática y destacó por la importancia que concedía al rigor matemático. pero el siguiente ejercicio demuestra que esa condición no es suficiente para asegurar la unicidad. y) para garantizar la existencia de soluciones. Podemos adelantar que este problema es. Demuestre que el número de soluciones de los problemas de condiciones de contorno π y(0) = 1. de uno que proporcione una expresión analítica cerrada para la so- lución. y (π) = 0. 6 Giuseppe Peano (27-08-1858. al igual que ocurre con las ecuaciones finitas o las integrales. hasta que lo demostremos en el capítulo 3.9 Demuestre que y = 0 e   0. En general. uno. E JERCICIO 1. nulo e infinito. Piamonte. respectivamente.37)  x .1. Los métodos gráficos siguen siendo muy importantes para estudiar propiedades cualitativas de algunas ecuaciones diferenciales. serán casi siempre resolubles en los ejemplos y problemas considerados en este libro.43) l e intentemos resolverlo. o poco prác- ticos para el cálculo a mano).net . a su vez. A menudo en los libros de texto se utiliza en este caso una de las técnicas de solución de problemas más fructíferas: se hace una aproximación. a menudo interesa conocer el comportamiento del sistema en alguno de los límites t → ±∞ —si t es la variable independiente—. en especial si se sabe que el comportamiento asintótico es simple y que se alcanza rápidamente tras un corto transitorio más o menos difícil de calcular. funciones que no son elementales (como lo son el seno hiperbólico. Como alternativa a los métodos cuantitativos que hemos mencionado hasta ahora y en los que se intenta construir (aunque sea aproximadamente) la solución. avanzar en la resolución de) las ecuaciones diferenciales que aparecen en la práctica de la física. Si queremos hallar la solución exacta. que en este caso consiste en suponer que las oscilaciones son lo suficientemente pequeñas como para que sin θ ≈ θ. que con la gran extensión alcanzada por los ordenadores se han convertido en los más usados en la práctica por científicos y técnicos. con lo que la ecuación se reduce al oscilador armónico. Sin embargo. A pesar de su gran importancia. en contra de lo que sucede a menudo en la práctica. que es una ecuación lineal cuya conocida solución se recuerda en el problema 1. ya que. (1. Consideremos. También debe tenerse en cuenta que al expresar analíticamente la solución de una ecuación diferencial deben usarse muy a menudo funciones especiales. pero como métodos de resolución aproximada han sido sustituidos por los métodos numéricos. existen los métodos cualita- tivos con los que se pretende obtener información descriptiva del sistema. Por ejemplo. No queremos terminar este apartado sin recordar que para un físico el método más importante y útil para resolver ecuaciones diferenciales consiste en el uso de sus conocimientos de física. como ejemplo. el nivel de esta asignatura nos obligará a ver solo un poco sobre métodos aproximados analíticos. el péndulo matemático g θ¨ + sin θ = 0. De hecho muchos conceptos y técnicas aprendidas en las asignaturas de física —muy especialmente las leyes de conservación y las simetrías asociadas— son de gran ayuda para resolver (o. Desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales se considera que el pro- blema está terminado cuando ha sido reducido a cuadraturas. es decir cuando la solución ha sido escrita en una forma que contenga a lo sumo integrales de funciones que dependen solo de la variable independiente.8 1 Conceptos fundamentales solo unos pocos tipos de ecuaciones (muy especialmente las lineales) son abordables mediante métodos exactos. Primero utilizaremos la ley de conservación de la http://librosysolucionarios. aprovecharemos que es un sistema conservativo uni- dimensional para reducirlo a cuadraturas. es decir. El capítulo 8 estará dedicado a los métodos cualitativos. El reducido número de ecuaciones que pueden resolverse mediante métodos exactos obliga a recurrir a menudo a métodos aproximados que. La aparición y desarrollo de sistemas de cálculo simbólico ha aliviado notablemente la difi- cultad de aplicar los métodos exactos más conocidos (y algunos menos conocidos. pueden clasificarse en distintos tipos. al menos. la exponencial o el arco tangente) y que en muchos casos tienen como definición natural el hecho de ser soluciones apropiadas de ciertas ecuaciones diferenciales.3. urgimos al lector a intentar resolver todas las integrales que aparezcan. 44) 0 2 α 2 ϕ l 2 sin − sin 2 2 siendo t0 el instante en que ha pasado por el mínimo: θ (t0 ) = 0. (1. E JERCICIO 1.11 Multiplique los dos miembros de la ecuación (1.net . E JERCICIO 1.8. En efecto. E JERCICIO 1. como Z θ r dϕ g r = (t − t0 ) .45) sin 2 2 l ¿Cuál es la solución explícita? http://librosysolucionarios.13 Use el cambio de variable de integración sin(ϕ/2) = sin(α/2) sin ν para probar que la solución implícita del péndulo es " !.11 puede reescribirse. (1.43) por ml2 θ˙ e integre el resultado para obtener la energía mecánica conservada en función de la amplitud α. La integral de la última expresión no puede expresarse en términos de funciones elementales: hacen falta funciones especiales. como veremos en el aparta- do 2.12 Demuestre que el resultado del ejercicio 1. También nos es conocida de mecánica la siguiente técnica que.5. concepto éste que analizaremos en el apar- tado 3. se calcula fácilmente haciendo uso de las integrales elípticas del apartado D.1. recibe el nombre de separación de variables.5 Métodos de resolución 9 energía mecánica para obtener una integral primera.# r sin 2θ α g F arcsin α = (t − t0 ) . cuando el péndu- lo está ascendiendo.5.4. admite como solución general todas y cada una de las siguientes expresiones: x = C1 cos ωt + C2 sin ωt. x¨ + ω 2 x = 0.2 Compruebe si y 2 − 2y = x2 − x − 1 es solución de la ecuación 2x − 1 2y ′ = .1 Escriba la ecuación diferencial que describe la caída de una partícula puntual en el seno de un fluido en el que el rozamiento es proporcional a la velocidad y clasifíquela.7 Compruebe que todas las soluciones de la ecuación xy ′ = y satisfacen la condición inicial y(0) = 0.net .21) y (1. √ x < 0. y= x. x ≤ 0.2)? ¿Es solución ( √ C 2 − x2 . Halle directamente dos soluciones sencillas por inspección y discuta si son soluciones singulares o no. x ≥ 0. x ≥ 0? 1. y−1 En caso afirmativo. Problemas 1.6.3 Oscilador armónico. ¿Por qué no se cumple la unicidad de la solución? ¿Es la función ( 0. x = A cos [ω (t − t0 )] . 1.22) de la ecuación (1.5 ¿Es x2 + Cy 2 = 1 solución general implícita de xy y′ = ? x2−1 1. discuta el correspondiente intervalo de definición. una solución de este problema de condiciones iniciales? http://librosysolucionarios.10 1 Conceptos fundamentales 1. ¿Qué sucede si el rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad? 1. Demuestre que el oscilador armónico.4 ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones (1. x = D1 eiωt + D2 e−iωt . ¿Son equivalentes entre sí? ¿Podría añadir alguna expresión a la anterior lista? 1. y= 2 2 − C − x . x = A cos(ωt + ϕ). 1.6 Compruebe que 1 − Ce2x y= 1 + Ce2x es solución general de y ′ = y 2 − 1. 7 Evangelista Torricelli (15-10-1608. y(0) = 0 admite como solución toda función ( 0. Nota: Recuerde que la altura h del agua viene dada por la ley de Torricelli7 : dh √ = −k h.9 El cubo vacío. Si nos muestran un cubo vacío con un pequeño agujero en el fondo es imposi- ble saber cuándo estaba lleno de agua hasta el borde.8 Demuestre que el problema de valores iniciales √ y ′ = 2 y. Faenza.1. Fue secretario de Galileo y el primero en crear y mantener un vacío importante. dt donde k es una constante. mecánica de la partícula e hidro- dinámica. Desarrolle el resultado hasta el cuarto orden en la amplitud α. 25-10-1647. Florencia. x ≥ C. Romaña. http://librosysolucionarios. x ≤ C.10 Período del péndulo.6 Problemas 11 1. Toscana). 1. 1. Demuestre que este hecho es consecuencia de que no se satisface el teorema de existencia y unicidad. y= 2 (x − C) . Use el ejercicio 1.net . También descubrió el principio del barómetro e hizo otras contribuciones en matemáticas.13 para calcular el período del péndulo. incluyendo la ley que lleva su nombre. con C ≥ 0. 12 1 Conceptos fundamentales http://librosysolucionarios.net . 1) de forma que para cada valor del parámetro C (dentro de un cierto rango) se obtiene una curva de la familia.Capítulo 2 Ecuaciones de primer orden In order to solve this differential equation you look at it till a solution occurs to you. y) = 0 define una curva en el plano. 13 http://librosysolucionarios. cuya importancia estriba en que.1.2) siendo el parámetro C el radio de la circunferencia (para C ≥ 0). George Polya Se analizan en este capítulo las principales propiedades de las ecuaciones diferenciales ordi- narias de primer orden. Por ejemplo. y. C) = 0. en la práctica.net . la familia de circunferencias centradas en el origen tiene como ecuación x2 + y 2 = C 2 . Por ejemplo. Familias uniparamétricas de curvas Como es bien sabido.1. de forma que resultan de gran utilidad para introducir o refinar conceptos que serán analizados en capítulos subsiguientes en contextos más generales. su ecuación será del tipo ϕ(x. Si en vez de una curva consideramos una familia uniparamétrica de curvas. (2. 2. (2. También se recogen los métodos exactos de resolución más conoci- dos. una ecuación finita del tipo ϕ(x. Significado geométrico Para motivar el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden podemos valernos de su sencillo significado geométrico. en numerosas ocasiones (con la importante salvedad de las ecuaciones y sistemas lineales) la resolución de ecuaciones orden superior o sis- temas de ecuaciones acaba por recurrir a la resolución de una única ecuación de primer orden. x2 + y 2 = 1 (o la expresión equivalente x2 + y 2 − 1 = 0) describe la circunferencia unidad centrada en el origen. 2. que constituyen el caso más sencillo «a priori».1. recordando el significado geométrico de la derivada.1 Derive la ecuación (2. Cada curva de la familia cuya ecuación es (2. y).14 2 Ecuaciones de primer orden Si entre la ecuación de una familia y su derivada ϕ(x. C) = 0.3 ¿Es una congruencia la familia analizada en el ejercicio 2. si por cada punto del plano dentro de un cierto dominio pasa una curva de la familia y solo una. obtendremos la ecuación diferencial de la familia en la forma F (x. En consecuencia. (2. E JERCICIO 2. (2. por tanto.5) y ésta es de primer orden. (2.7) que nos da el valor C que corresponde al punto (x. y) = C. a cada punto le corresponde la curva del haz que por él pasa y. que hayan sido introducidas en el proceso de derivación y eliminación de C. (2. tanto singulares como generales.2? http://librosysolucionarios. la ecuación finita de partida. además de la derivada.5) que.3) ∂ϕ ∂ϕ (x. y. En tal caso. será preciso usar.2) con el parámetro despejado.1. hemos escrito en (2. Por supuesto.4) ∂x ∂y eliminamos el parámetro C. En los ejemplos anteriores. además.net . nada impide que haya.1 y que. cada circunferencia es una curva integral de la correspondiente ecuación diferencial y su ecuación una solución particular. otras soluciones. E JERCICIO 2. Un ejemplo de congruencia es la familia de circunferencias que hemos estado estudiando en el ejercicio 2.6) Nótese que en otros muchos casos. de hecho.1) recibe el nombre de curva integral y su ecuación viene dada por una solución particular de la ecuación diferencial. el valor del parámetro que identifica a esa curva. se dice que la familia es una congruencia de curvas. y ′) = 0. y. es posible despejar —al menos en principio— en la ecuación de la familia (2. 2.2 Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio unidad con centro en el eje de abscisas. C) + (x. para hallar la ecuación diferencial de la familia. Congruencias de curvas Existe un caso particular muy importante: si las curvas de la familia no se cortan. E JERCICIO 2.1) forman una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2.2. y.1) el parámetro y escribir la misma en la forma u(x. y. establece una relación entre cada punto del dominio y la pendiente de las curvas de la familia que por él pasan. ¿Hay soluciones singulares? Como por construcción las funciones (2. la familia es una solución general de la ecuación diferencial.2) para comprobar que la ecuación diferencial de la familia de circunferencias centradas en el origen es x + yy ′ = 0. C) y ′ = 0 (2. es decir. 1. La ecuación diferencial (2. al calcular la derivada de su ecuación se obtiene directamente la correspondiente ecuación diferencial ya que el parámetro desaparece: ∂u ∂u (x. Hay. http://librosysolucionarios. (2.1 Congruencia de curvas.8) ∂x ∂y Multiplicando por dx esta ecuación puede escribirse en forma simétrica. y) f (x. (2. derivada y pendiente de la tangente.9) con P ≡ ∂u/∂x y Q ≡ ∂u/∂y.2. un campo de direcciones. En el caso de la ecuación (2.12) ∂u/∂y Q(x.11) con ∂u/∂x P (x. descrito precisamen- te por la ecuación diferencial (2. (2. y) y ′ = 0.11) en su dominio de definición.13) y F IGURA 2. y) En el ejemplo (2.6) la forma normal es x y′ = − . (2. y) ≡ − =− .10) Veremos que la forma simétrica es útil en ciertas ocasiones. en el caso de una congruencia.1. P (x.1 Significado geométrico 15 Como hemos visto en el ejercicio 2. La forma normal permite una interpretación geométrica precisa que se esboza en la figura 2. y). y) dx + Q(x. y) + (x. Por cada punto pasa una única curva que tiene allí una tangente dada que define una dirección.11) da la pendiente y ′ = tan α de la tangente en el punto (x. y) a la curva integral que por él pasa. (2. y) dy = 0. pero mucho más usual es la forma normal que se obtiene cuando se despeja la derivada de orden más alta y ′ = f (x. que nos da la dirección que corresponde a cada punto. por tanto.net .6) la forma simétrica es x dx + y dy = 0. (2. 9). 2. el problema de condiciones iniciales y ′ = f (x. Teorema 2. Teorema de existencia y unicidad La relación entre congruencias y ecuaciones diferenciales en forma normal es biunívoca. y). (La necesidad de condiciones matemáticas de regularidad ya había sido anticipada en el ejercicio 1. Como ejemplo consideremos el conjunto de circunferencias tangentes al eje de abscisas con origen en el de ordenadas que aparece en la figura 2. F IGURA 2. con tal de que se cumpla una condición de continuidad.2 Congruencia y campo de direcciones. pero que resulta de mayor utilidad práctica.net .2. en su dominio de definición.3 Circunferencias tangentes al eje de abscisas. si se cumplen ciertas condiciones matemáticas que se establecen con precisión en un teorema de existencia y unicidad.15) tiene una única solución para cada condición inicial (x0 . (2. ya que las condiciones suficientes son más fáciles de comprobar que otras menos restrictivas que pueden utilizarse en su lugar.1 (Existencia y unicidad) Si la función f y su derivada ∂f /∂y son continuas en un dominio.3. http://librosysolucionarios. y0 ) en el dominio.14) y(x0 ) = y0 . (2. nos limitaremos aquí a enunciar sin demostración una variante menos potente. o incluso algo menos como veremos en el apéndice A.16 2 Ecuaciones de primer orden F IGURA 2. Esto garantiza que el conjunto de curvas integrales es una congruencia. Aunque demostramos una forma más refinada del teorema en el apéndice A. y) dy = 0. (2. pero no necesaria. Además.21) x0 1 Como es costumbre en física. y) = C se obtiene una ecuación diferencial en forma simétrica du ≡ P (x. sin embargo. se llama exacta.17) con ∂u P = . y) dx + Q(x. En los casos de interés práctico. pero esto no contradice el teorema de existencia y unicidad ya que allí la ecuación diferencial tiene una singularidad. y) como la integral indefinida de P con respecto a x: Z x u(x. Ecuaciones exactas Como vimos en el apartado 2. pero excepto en el origen esto no impide la unicidad —sino que refleja el hecho más trivial de que allí la tangente a las curvas integrales es vertical— ya que la continuidad es condición suficiente. y) dy = 0.19) ∂y Por definición. en la teoría de las funciones analíticas). (2.20) ∂y ∂x para una ecuación diferencial exacta. Como consecuencia del teorema de Schwarz. es decir. por ejemplo. una ecuación obtenida de esta forma como diferencial de una función. llamaremos funciones regulares a aquellas que satisfacen. junto con sus deriva- das. un método de resolución de ecuaciones que satisfagan (2.3 Ecuaciones exactas 17 E JERCICIO 2.4 Demuestre que la ecuación diferencial de esa familia es 2xy y′ = .20). Algunos puntos singulares jugarán un importante papel en el capítulo 6. es exacta si y solo si se satisface la condición (2. También la tiene en las dos bisectrices y = ±x. tal que cumpla las condiciones (2.18) ∂x ∂u Q = . http://librosysolucionarios. aunque poco precisa. que nos asegura la igualdad de las derivadas cruzadas de funciones regulares1 se cumple ∂P ∂Q = (2. P (x. y) ≡ P (v. Hay que señalar.19).net .16) x2 − y2 Por el origen pasan infinitas soluciones. que esos puntos singulares suelen ser de gran importancia en física (en uno de ellos se encuentra. por tanto. el recíproco de este resultado elemental es también cierto. al derivar la ecuación de una congruencia de curvas u(x.2 Una ecuación diferencial en forma simétrica. aligera los enunciados de resultados matemáticos al evitar tener que indicar la clase de diferenciabilidad de las funciones involucradas. las condiciones necesarias suelen cumplirse. la carga puntual que crea el más sencillo de los campos electrostáticos) y en matemáticas (en especial.2.3. y) dv + h(y). y) dx + Q(x. Para que se cumpla (2. Esta costumbre. Teorema 2. 2.1.20). (2.18) defina- mos u(x.18)–(2. La demostración del teorema es interesante porque es constructiva y proporciona. las condiciones de continuidad necesarias para garantizar el enunciado en que se usa el calificativo «regular». (2. (2. salvo a lo sumo en algunos puntos (o lugares geométricos). Sabemos que en este caso el potencial puede recuperarse mediante una integral curvilínea: Z (x. la familia de circunferencias centradas en el origen x2 + y 2 = C 2 .y) V (x. Sustituyendo este valor en (2. es el conjunto de líneas equipotenciales y la ecuación diferencial de la congruencia dV = 0 expresa que el potencial es constante a lo largo de las líneas equipotenciales y también que el campo vectorial correspondiente E ≡ −∇V = P i + Q j (2. derivar respecto a la otra y volver a integrar). v) dv + D. que integrado da h = 1/2 y 2 + D. si hacemos uso de la hipótesis (2. (2.25). y) = V (x0 . si se prefiere una expresión más formal. No hemos escrito esta última ecuación porque recomendemos su uso para resolver ecuaciones exactas (para lo que no hay nada mejor que recordar la definición y calcular la integral indefinida con respecto a una variable.y) Z (x.27) viene dada por (2.27) (x0 . Como ejemplo consideremos la ecuación x dx + y dy = 0.21) la solución general de la ecuación exacta será la ecuación de la congruencia u(x. (2. (2. y) + h′ (y). tras una redefinición de la constante arbitraria es. con lo que la solución general. y) − Q(x0 . y0 ) − (P dx + Q dy). y) = (v.20) indica.net . Para que se satisfaga (2. como ya sabíamos. sino porque es un caso particular de un resultado general que conocemos del cálculo vectorial. Si consideramos que V = −u es un potencial escalar.25) x0 y0 tras una redefinición trivial de la constante arbitraria. y0 ) − E · dr = V (x0 . (2. y) dv + h′ (y).22) x0 ∂y que. y) dv + h′ (y) = Q(x. y) dv + Q(x0 . http://librosysolucionarios. y)–(x.19) debe cumplirse Z x ∂P Q(x.20).18 2 Ecuaciones de primer orden donde h(y).y0 ) El camino de integración es arbitrario y si elegimos el formado por los segmentos (x0 .28) que como se comprueba inmediatamente es exacta. reco- nocemos en este contexto que la condición (2. Además. y) = (v. que no depende de x. y0)–(x0 . (2. y) y (x0 . se convierte en Z x ∂Q Q(x.23) x0 ∂x Simplificando el resultado tenemos una ecuación en la que la x ha desaparecido y que se integra directamente con respecto a y: Z y h′ (y) = Q(x0 . precisamente. que el campo vectorial es conservativo: ∇ × E = 0. y) = C o.y0 ) (x0 . (2. y). está aún por determinar. y si derivamos respecto a y e igualamos al coeficiente de dy se obtiene h′ (y) = y.26) es ortogonal en cada punto a dichas líneas (E · dr = P dx + Q dy = −dV = 0). v) dv = C. la congruencia de curvas (u = C ó V = −C). la ecuación de las líneas equipotenciales (2. Z x Z y P (v.24) y0 donde D es una constante de integración arbitraria. Si integramos respecto a x el coeficiente de dx obtenemos u = 1/2 x2 + h(y). y) ⇐⇒ h(y) = Q(x0 . Un ejemplo de este tipo de ecuación es (2.30) es claro que la ecuación es exacta ya que las dos derivadas cruzadas son nulas.32) x→0 ¿Es única la solución? Ecuaciones de variables separadas También cuando las variables dependiente e independiente aparecen separadas en dos térmi- nos distintos. Ecuaciones sin la variable dependiente Si en la ecuación falta la variable dependiente. (2.3 Ecuaciones exactas 19 E JERCICIO 2. se resuelve directa- mente mediante cuadraturas: Z Z P (x) dx + Q(y) dy = C. E JERCICIO 2.28).34) Tomando f = −P y Q = 1 se recupera como caso particular el anterior. l´ım y(x) = 0. (2.net . y ′ = f (x). (2. http://librosysolucionarios. De hecho. (2.7 Resuelva (1 + y)ey y ′ = 2x.6 Resuelva el siguiente problema: y ′ = ln |x|.5 Resuelva la ecuación (x + y + 1)dx + (x − y 2 + 3)dy = 0.31) E JERCICIO 2. (2.29) Vemos a continuación dos familias de ecuaciones diferenciales que son casos particulares de las exactas.2. P (x) dx + Q(y) dy = 0. esta ecuación es muy simple y está prácticamente reducida a cuadraturas: Z y= f (x) dx + C. que ha sido resuelta antes como si fuera una exacta del tipo más general posible. De hecho.33) las derivadas cruzadas son nulas por lo que la ecuación es exacta. (2. 36). pero un poco decepcionante: como consecuencia directa del teorema de existencia y unicidad. con alguna posible excepción. se dice que µ es un factor integrante o multiplicador de la ecuación (2. pero que admite el factor integrante µ = 1/y. Como la nueva ecuación es exacta. pero no se conocen métodos generales que permitan hallarlo. En efecto. y) tal que µ(x. es posible que al multiplicar la ecuación de partida por µ se hayan añadido soluciones. que lo sean de µ(x. puede ha- ber soluciones de la ecuación original que anulen este factor sin anular la nueva ecuación (2. (2. sin serlo de la ecuación de parti- da (2.4. por lo que deberá comprobarse en cada caso si las soluciones de esa ecuación finita lo son realmente de (2. en cu- yo caso serán soluciones singulares de la original.36) existe una función µ(x. E JERCICIO 2.28) se despeja y ′. como la ecuación original se obtiene multiplicando (2.37) por 1/µ(x.37) sea exacta: ∂(µP ) ∂(µQ) = . La condición que debe satisfacerse es que la nueva ecuación (2. La pregunta es si este proceso es reversible en general. y) = 0 que no estén en la general obtenida resolviendo la ecuación exacta. y) dy = 0 (2. Incluso veremos en distintos problemas que los factores integrantes no son necesariamente únicos en un sentido mucho menos trivial: es posible tener dos factores integran- tes que no sean el uno múltiplo del otro. Factores integrantes Consideremos qué sucede si en la ecuación (2. para obtener x dx + dy = 0. y) dy] = 0 (2. Tras responder negativamente a la unicidad. con el que recuperamos la ecuación (2. la ecuación no es exacta. por lo que cuando se haya usado un factor integrante deberá comprobarse si hay soluciones de 1/µ(x. pero entonces 1/µ = y = 0 es una solución singular. sabemos que en realidad se trata de una ecuación exacta que ha sido multiplicada por 1/y.35) y Aunque las derivadas cruzadas no son iguales y.37). por tanto. por tanto. y) = 0 y. consideremos la ecuación xy dx + y 2 dy = 0. y) [P (x. y) dx + Q(x. Calcule la solución general.net . y). (2. podemos plantear otra pregunta más difícil: ¿admite toda ecuación (2. toda ecuación de primer orden admite algún factor integrante.37).36) un factor integrante que la con- vierta en exacta? La respuesta es afirmativa. al igual que en este caso particular basta multiplicar la ecuación no exacta por y para recuperar la exacta de partida. de (2.8 Compruebe que la ecuación diferencial (xy + y 2 ) dx − x2 dy = 0 (2.39) ∂y ∂x http://librosysolucionarios. Como ejemplo. ¿Hay alguna solución singu- lar? ¿Y alguna raíz de µ que no satisfaga la ecuación diferencial? Es obvio que si multiplicamos un factor integrante por una constante se sigue teniendo un factor integrante. puede resolverse y sus soluciones serán también solución de la ecuación de partida. Si dada una ecuación no necesariamente exacta P (x. Por otro lado.38) admite como factor integrante µ = 1/xy 2 .36). que no es exacta.28).20 2 Ecuaciones de primer orden 2.37) sea exacta. y) dx + Q(x.36). (2.43) por el factor µ = dx/xy. solo los campos integrables. son proporcionales a un gradiente. permite reducir a cuadraturas una ecuación de este tipo: Z Z R(x) V (y) dx + dy = C. este tipo de ecuaciones es importante porque para varias familias de ecuaciones el método sistemático de resolución que se conoce pasa por convertir la ecuación en una separable. si multi- plicamos la ecuación x(1 + y)y ′ = y (2. al menos en ciertos casos. podemos decir que todo campo vectorial bidimensional. pero veremos en subsiguientes secciones que. por tanto.2. es ortogonal a las líneas equipotenciales de un campo conservativo. si existen. por tanto. ya que está incluida en la general para C = 0. (2. En otras palabras.5 Ecuaciones separables 21 que tras manipulación elemental se convierte en ∂ ln µ ∂ ln µ ∂P ∂Q Q −P = − . más sencillo que resolver la ecuación original.45) Como veremos en otras secciones. en general. siempre pueden encontrarse trayectorias ortogonales a las líneas de corriente de cualquier campo de fuerza bidimensional. obtenemos ! 1 dx + 1 dy = .net .40) ∂x ∂y ∂y ∂x Aunque esta ecuación en derivadas parciales tiene solución. Solo en dos dimensiones es cierto que todos los campos vectoriales sean integrables. y admiten superficies ortogonales.44) y x que se integra directamente para dar yey = Cx —o. Por ejemplo. Veamos algunos casos en que pueden construirse factores integrantes de forma sistemática. (2.5. La solución y = 0 de 1/µ = 0 no es singular. debería ser claro que resolverla no va a ser. (2. 2. Ecuaciones separables Se llama separable a toda ecuación en la que las variables independiente y dependiente apa- recen agrupadas en factores diferentes en los coeficientes de dx y dy: R(x)S(y) dx + U(x)V (y) dy = 0.9 Resuelva la ecuación  (x − 4)y 4 dx − x3 y 2 − 3 dy = 0. En términos de la analogía vectorial de la anterior sección. que satisfacen E · ∇ × E = 0. Nótese que esto no es cierto en tres di- mensiones. E = −h(r)∇V .41) El factor integrante µ = 1/SU separa las variables y. paralelo (y por ello proporcional) en cada punto al campo de partida. pueden ser soluciones singulares. que es. E = P i + Q j. usando la función de Lambert del aparta- do D. E JERCICIO 2. proporciona una guía para intentar la búsqueda de un factor integrante de tipo especial. http://librosysolucionarios. (2. y = W (Cx)—.42) U(x) S(y) Las soluciones de S(y) = 0.3. recomendamos una vez más usar las ideas fundamentales.50) ∂x que también se escribe como µ′ (x) 2xy − 2 2 =− 2 =− .1.48) Q ∂y ∂x La constante de integración C no es importante.22 2 Ecuaciones de primer orden 2. pero cambiar C equivale a multiplicar toda la ecuación con una constante.47) ∂y Q ∂y ∂x en cuyo caso el factor integrante es Z ! 1 ∂P ∂Q µ(x) = C exp − dx. Por ejemplo. lo que no añade nada nuevo. (2. (2. (2. Factores integrantes especiales Algo que puede intentarse —sin garantías de éxito. también podía haberse usado directamente (2. (2. (2. para que la nueva ecuación sea exacta las derivadas cruzadas deben satisfacer ∂ h 2  i 2x + y µ(x) = µ(x) = ∂y ∂ h 2  i   x y − x µ(x) = (2xy − 1)µ(x) + x2 y − x µ′ (x). la misma puede integrarse para ver que µ = 1/x2 es un factor integrante. (Por supuesto.40) que debe satisfacer el factor integrante funciones µ con estructura funcional particular. 2.6.46) dx Q ∂y ∂x Por tanto la condición necesaria y suficiente para que la ecuación admita un factor integrante de este tipo es que el miembro de la derecha de esta expresión no dependa de y.     y 1 2 + 2 dx + y − dy = 0. que en este caso se reducen a recordar qué es un factor integrante y ver si es posible construir uno en que las variables x e y aparezcan solo en una cierta forma (que tal vez sea sugerida por nuestro conocimiento del problema en que aparece la ecuación a resolver). si multiplicamos la ecuación     2x2 + y dx + x2 y − x dy = 0 (2.51) µ(x) x y−x x Puesto que en el último miembro de esa ecuación no aparece y. por lo general— es probar en la condi- ción (2. Factores integrantes que no dependen de y Si ensayamos µ(x) en (2.48) para obtener el mismo resultado).6. ya que si µ es un factor integrante también lo es Cµ.net . Aunque desarrollamos abajo la teoría completa en algunos casos y damos las expresiones que per- miten ensayar distintas posibilidades.49) con el factor µ(x).40) obtenemos ! d ln µ 1 ∂P ∂Q = − .52) x x http://librosysolucionarios. aunque puedan hacerlo sus componentes: " !# ∂ 1 ∂P ∂Q − = 0. La ecuación obtenida al multiplicar la original con el factor integrante. (2. En general.2. (2.6 Factores integrantes especiales 23 es exacta. Factores integrantes del tipo µ(x.3.11 ¿Admite la ecuación del ejercicio 2. (2.net . Factores integrantes que no dependen de x Substituyendo µ(y) en (2. y)) Un factor integrante que solo dependiera de x e y a través de la función intermedia h vendría dado por Z ∂P ∂y − ∂Q∂x µ(h) = C exp ∂h dh.55) dy P ∂x ∂y Por tanto.10 un factor integrante del tipo µ(y)? 2. y) = g(h(x.56) P ∂x ∂y E JERCICIO 2.53) x E JERCICIO 2. 2.6. la condición necesaria y suficiente para que la ecuación admita un factor integrante de este tipo es que el miembro de la derecha de esta expresión no dependa de x.2. y se integra fácilmente: y y 2 − 2 + 4x = C.54) con un factor integrante que solo depende de x. claro.57) Q ∂h ∂x − P ∂y y la condición para que exista es que el integrando solo dependa de x e y por medio de h.58) utilizando un factor integrante de la forma µ(x + y). (2. solo un poco de vista o el conocimiento que tenemos del problema físico a resol- ver pueden guiarnos en la elección de la forma de h. en cuyo caso el factor integrante es Z ! 1 ∂Q ∂P µ(y) = C exp − dy.40) se obtiene ! d ln µ 1 ∂Q ∂P = − .10 Resuelva la ecuación   3xy + y 2 + x2 + xy y ′ = 0 (2. E JERCICIO 2. http://librosysolucionarios.12 Resuelva la ecuación   3xy + y 2 dx + 3xy + x2 dy = 0 (2. (2.6. 14 Separe las variables de la ecuación y ′ + a1 (x)y = 0 para escribir la solución por medio de una cuadratura.63) dando un valor particular.47) que garantiza la existencia de un factor integrante µ(x). pero como esta última es arbitraria. como y ′ + A(x) y = B(x) (2. como veremos en el capítulo 3. equivalentemente.63) aunque. en el caso de ecuaciones lineales no se ha ganado ni perdido ninguna solución al usar el factor integrante. La solución particular puede elegirse de infinitas formas.62) dx que proporciona la solución general mediante una segunda cuadratura.13 Resuelva la ecuación xy ′ + (1 + x)y = ex . (2. E JERCICIO 2. (2. es cierta para las ecuaciones lineales de cualquier orden: la solución general de la completa es suma de la solución general de la homogénea (que se obtiene tomando B = 0) y de una solución particular de la completa (que puede obtenerse de la expresión general (2.47) contiene todas las soluciones de la ecuación lineal. que vendrá dado por (2.61) o. por tanto. (2. despejando la derivada.5. Debe notarse que la ecuación lineal homogénea de primer orden es separable y que. como C = 0. por lo que la expresión (2.59) y recibe el nombre de ecuación lineal. Es inmediato comprobar que se satisface la condición (2. E JERCICIO 2.48): Z µ(x) = exp A(x) dx. una vez más. se cumple lo siguiente: y ′ − ky = 0 ⇐⇒ y = Cekx . todas las elecciones conducen a la misma solución general. puede también resolverse por el método del apartado 2. a la constante de integración).24 2 Ecuaciones de primer orden 2.60) y que convierte a la ecuación en R R R A dx ′ A dx A dx e y + Ae y = Be .65) http://librosysolucionarios. como µ no depende de y. Concluya que. (2.64) Nótese que.net . Cuando el término independiente B es nulo se dice que la ecuación es homogénea y en caso contrario se llama completa o. (2. Ecuaciones lineales Una ecuación en la que la incógnita y su derivada solo aparezcan en combinaciones lineales puede escribirse. si k es constante. ya que se obtiene una por cada valor de la constante C. inhomogénea. R  Z R  − A dx A dx y=e C+ Be dx . Sí tiene esta expresión la virtud de poner de manifiesto una estructura que. sino recordar que la ecuación lineal siempre admite un factor integrante que solo depende de la variable independien- te y aplicar lo que esto significa. a veces. (2.7. no recomendemos aprender una fórmula como ésta. d h R A dx i R e y = B e A dx . 67) Nótese que aquí se exige la homogeneidad con respecto a x e y. Se dice en esos casos que se utiliza un método de transformación. E JERCICIO 2. muchos problemas son considerablemente más sencillos si se abordan en las coordenadas adecuadas. ∀a. y) → (ax. y) dx + Q(x. (2. y ′ = u + xu′ . mientras que se dice que la ecuación lineal (2.9.8.16. de la dependiente o de ambas. que puede serlo de la independiente. En efecto. ay). con el mencionado cambio la ecuación homogénea se transforma en una separable 1 u′ + [u − f (u)] = 0. pero no con respecto a x.16 Resuelva p  x2 + y 2 + y dx − x dy = 0. (2.net . (2. cuando lo es con respecto a y e y ′. ∀a. Métodos de transformación Como sabemos bien de asignaturas de física. E JERCICIO 2.15 Demuestre que una ecuación diferencial es homogénea si y solo si puede escribirse en la forma y  y′ = f . Q(ax.68) x Este ejercicio sugiere directamente el cambio de variables y u≡ =⇒ y = xu. ay) = ar P (x. y). es decir. y).66) Se dice que la ecuación diferencial P (x.2. y) dy = 0 es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado: P (ax. ay) = ar Q(x. (2. (2. Veremos a continuación algunas de las familias más conocidas que se resuelven por métodos de este tipo.69) x de forma que la nueva incógnita tenga la misma invariancia que la propia ecuación frente al cam- bio de escala (x. http://librosysolucionarios. que presentan una in- variancia de escala generalizada y se discutirán en el problema 2. Aunque confusa. y). ay) = ar f (x.71) Una generalización de las ecuaciones homogéneas son las isobáricas. 2.59) es homogénea cuando B = 0. permite resolver la ecuación. Lo mismo sucede con las ecuaciones dife- renciales en general: a menudo un cambio de variables. (2.70) x que como ya sabemos se reduce a cuadraturas tras separar variables.8 Métodos de transformación 25 2. Ecuaciones homogéneas Recordemos que se llama función homogénea de grado r a la que satisface la condición f (ax. esta nomenclatura es la usada por todos los autores. (2. Ecuaciones del tipo y ′ = f (ax + by + c) El cambio de variables obvio.77) x+y−3 http://librosysolucionarios. α β = ≡ k. v ≡ y − y0 traslada ese punto de corte al origen y convierte las ecuaciones de las rectas en au + bv = 0 y αu + βv = 0 y la propia ecuación en una homogénea.72) E JERCICIO 2.75) x−y−1 2. u = ax + by + c (o u = ax + by).19 Resuelva la ecuación x−y+1 y′ = . (2.   ′ ax+by+c 2. y0). Ecuaciones del tipo y = f αx+βy+γ En este tipo de ecuaciones existen dos casos según que las rectas ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0 sean paralelas o se corten. Si las rectas son paralelas. (2. por tanto. (2. la ecuación solo depende en realidad de ax + by y pertenece al tipo anterior.11.74) k(ax + by) + γ y.10. 1.17 Resuelva la ecuación diferencial y ′ = (x + y + 1)2 . (2.net . que se reduce a una separable con el cambio u = ax + by. E JERCICIO 2.73) a b tenemos que ! ′ ax + by + c y =f (2.18 Resuelva la siguiente ecuación: x−y y′ = . reduce estas ecuaciones a separables: u′ = a + bf (u). E JERCICIO 2.76) du αu + βv α + βv/u que se reduce a separable con el cambio z = v/u.26 2 Ecuaciones de primer orden 2. por lo que el cambio de coor- denadas u ≡ x − x0 . Si las rectas no son paralelas se cortan en un punto (x0 . ! ! dv au + bv a + bv/u =f =f . 20 Resuelva la ecuación 1 2 y ′ − y cos x = y sin 2x. puede usarse el cambio de variables del proble- ma 3. pero si por cualquier razón (inspección. en los que se trata en realidad de una lineal. así como los números y la distribución que llevan su nombre. que la convierte en una lineal homogénea de segundo orden —de hecho. Suiza.81) y (2.83) E JERCICIO 2. Es inmediato compro- bar que el cambio u = y 1−n las convierte en la lineal u′ + (1 − n) A u = (1 − n) B. Aparte de sus trabajos prácticos en hidráulica. 2 Jacob Bernoulli (27-12-1654.81) excepto en los casos B = 0 y C = 0.82) el cambio de variables u = y − y1 la reduce a una de Bernoulli. (2.21 Compruebe que y = 1/x es solución de 2 y′ = y2 − (2.12 Ecuaciones de Bernoulli 27 2. (2. (2.80) 2 2. había sido estudiada antes por Jacob Bernoulli. Ecuaciones de Bernoulli Se llama ecuación de Bernoulli2 a la que tiene la siguiente estructura: y ′ + A(x) y = B(x) y n . ya que restando (2. descubrió la isocrona.13. respectivamente. (2. Este miembro de una ex- cepcional familia de matemáticos (era hermano de Johann y tío de Daniel) fue el primero en utilizar la palabra «integral». Si esto también falla habrá que recurrir. No existe método general para resolver este tipo de ecuaciones. Basilea).84) x2 y utilice este hecho para hallar la solución general. como muchas otras veces. la separación de variables y el análisis detallado de la ecuación que lleva su nombre. 3 Jocopo Francesco Riccati (28-05-1676.12. trabajó en teoría de probabilidades. http://librosysolucionarios.79) E JERCICIO 2. Venecia. sin embargo. y1′ + A(x) y1 + B(x) y12 = C(x).78) excepto en los casos n = 0.) se conoce una solución particular de la ecuación y = y1 (x). Basilea. inventó el cálculo variacional y las coordenadas polares. Ecuaciones de Riccati Se llama ecuación de Riccati3 a la que tiene la siguiente estructura: y ′ + A(x) y + B(x) y 2 = C(x). fue un gran estudioso de las ecuaciones diferenciales y a él son debidos diversos métodos de reducción de orden. 16-08-1705.2. que.27. (2. etc. propiedades físicas del problema. Treviso. a los métodos aproximados del capítulo 7. República de Venecia). como allí veremos las ecuaciones de Riccati son en cierto sentido preciso equivalentes a las lineales homo- géneas de segundo orden— y pueden ensayarse los métodos de los capítulos 3 y 6. estudió la catenaria. en los que se trata en realidad de una lineal y una de Bernoulli. 1. Cuando no se conoce ninguna solución. 15-04-1754.82) se obtiene u′ + (A + 2By1 )u + Bu2 = 0.net . (2. y) su pendiente y ′ es la misma que la de la curva del haz a la que allí es tangente. C) = 0.88) ∂C La ecuación finita de la envolvente se obtiene eliminando el parámetro C entre las dos ecuacio- nes anteriores. aunque no exclusiva. y. satisface las ecuaciones de ambas curvas ϕ(x. pero que es tangente en cada punto a una curva de la familia. y. C) = 0. y. Como puede observarse. C) = 0. C + ∆C) = 0. (2. ya que en cada punto (x. C) = 0.85) ϕ(x. Será por tanto una solución singular tanto en el sentido dado hasta ahora a ese concepto —puesto que no pertenece a la solución general— como en el más restrictivo usado a veces de ser una solución con la propiedad de que en todos sus puntos se infringe la propiedad de unicidad por pasar por ellos más de una solución con la misma tangente. Como sabemos.4 Envolvente y puntos múltiples de un haz de curvas. E. La envolvente no satisface la ecuación de la familia para ningún valor fijo de C. Para que podamos comprobar este extremo. C) = 0 y ϕ(x.net . Envolventes y soluciones singulares Antes de estudiar las ecuaciones no resueltas en la derivada. y. sí será satisfecha por la envolvente. y. Consideremos el haz de curvas de la figura 2. Una curva con esta propiedad se llama envolvente del haz de curvas. El punto P de la figura está en dos curvas del haz correspondientes a los valores C y C + ∆C del parámetro. o combinaciones lineales independientes de estas dos ecuaciones como ϕ(x.87) ∂ϕ (x. Como veremos.14. http://librosysolucionarios. satisfará las ecuaciones que se obtienen tomando dicho límite: ϕ(x. satisface dicha ecuación uniparamétrica). (2.86) ∆C En el límite ∆C → 0 las dos curvas tenderán a confundirse y el punto P irá a la envolvente que. y. y. no F IGURA 2. por tanto. que no pertenece a la familia (y. haremos una breve digresión geométrica. (2. y. a diferencia de lo que ocurre con la ecuación finita. ésta es una forma típica. veamos cómo puede calcularse la ecuación de la envolvente.4.28 2 Ecuaciones de primer orden 2. C) = 0. y. C + ∆C) − ϕ(x. al derivar la ecuación del haz y eliminar el parámetro C obtenemos la ecuación diferencial de la familia F (x. por tanto. (2. cuya ecuación es ϕ(x. y ′) = 0 que. existe una curva. por tanto. en que aparecen las soluciones singulares de ecuaciones no resueltas en la derivada. puede intentarse despejar z de la ecuación finita F (x.2. (2. al tiempo que se tiene cuidado con las soluciones singulares que puedan perderse o ganarse en el proceso. Pero nótese que la línea de puntos múltiples A no es tangente al haz y. Ecuaciones no resueltas en la derivada Si se quiere resolver una ecuación diferencial F (x.93) e2 − 1 2ε + u − u2 p2 p 4 También son llamados. Sustituyendo ese valor variable de la constante en (2. que ∂ 2 ϕ/∂C 2 6= 0— puede en principio usarse la ecuación (2.15. La ecuación du s = ±dϕ. y. además de la regularidad. resolviendo para la derivada. no tiene la misma pendiente. y ′) = 0.15 Ecuaciones no resueltas en la derivada 29 pero —suponiendo.90) por lo que las soluciones son las que se obtienen anulando cada factor: y = x2 /2 + C e y = Cex . además.22 Halle las envolventes del haz (x − a)2 + y 2 = 1. Por ejemplo. y. y. Otro ejemplo lo encontramos al resolver el problema de Kepler en mecánica.88) pue- den contener otros lugares geométricos aparte de envolventes. la ecuación 2 (y ′ ) − (x + y)y ′ + xy = 0 (2. como (y ′ − x) (y ′ − y) = 0. ¿Hay puntos múltiples? 2.87) se obtiene la ecuación implícita de la envolvente. y) que corresponde a la curva de la familia tangente a la envolvente en (x. ∀(x. pero converge a una línea de puntos múltiples4 .88) para obtener el valor C(x. L = mr 2 ϕ. En consecuencia.91) 2 r Si se elimina t de estas ecuaciones y en lugar de la distancia polar r se usa u ≡ 1/r. por tanto. y)) = 0. Nótese. puntos acnodales. http://librosysolucionarios. la ecuación de la órbita se escribe como sigue: 2 2ε e2 − 1 (u′ ) + u2 − u= .29). ˙ (2. el punto Q satisfará en ese límite las mismas ecuaciones. es decir. (2. y).88) porque ellas satisfacen. puntos donde cada curva del haz se corta a sí misma. y) —con F (x. z(x.87)–(2. a veces. (2. (Véase también el problema 2.89) puede escribirse.87)–(2. E JERCICIO 2. Por ejemplo. En el caso del potencial newtoniano V = −k/r. z) = 0 y resolver las ecuaciones y ′ = z(x. las leyes de conservación de la energía mecánica y el momento angular en coordenadas polares son 1   k E = m r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 − .qEl parámetro focal p ≡ L2 /m|k| se llama semilatus rectum en astronomía y la excentricidad e ≡ 1 − E/E0 se define por medio de la energía mínima E0 ≡ −|k|/2p de las órbitas circulares del caso atractivo. que las ecuaciones (2. sin embargo.92) p p2 El signo ε ≡ |k|/k debe elegirse como ε = 1 (ε = −1) en el caso de fuerzas atractivas (repulsi- vas).net . la ecuación diferencial del haz. pueden dis- tinguirse las envolventes de otras curvas que satisfagan las ecuaciones (2. y)— que aparezcan. 97) y = β(u. usando la constante de integración ϕ0 que nos da la posición del pericentro. pericentros y apocentros. se resuelve haciendo la integral Z du B−u √ = arc cos √ . la fuerza es atractiva (ε = 1) y la energía negativa (0 ≤ e < 1). (2.95) dadas por ε±e u= . v). (2.95) p Al separar variables en (2. (2.30 2 Ecuaciones de primer orden que se obtiene tras despejar la derivada u′ = du/dϕ y separar variables. como en el caso de la figura 2. v). a menudo. la ecuación de la órbita se escribe como ε + e cos (ϕ − ϕ0 ) u= .99) http://librosysolucionarios. F IGURA 2.92). la solución p u = ε − e. z) = 0. (2. v).94) A + 2Bu − u 2 A + B2 de forma que. Por ello. como u > 0. ya que corresponden a los valores mínimo y máximo de r. (2. z) no es tarea fácil y aun cuando pueda hacerse el resultado puede ser complicado.23 Resuelva la ecuación y 2 1 + y ′2 = 1. pero. que nos da los apocentros. El significado geométrico de esas soluciones singulares es obvio: dan las posiciones de los ábsides. (2.net . es mejor resolverla en forma paramétrica: x = α(u. en muchos casos el mero hecho de despejar la derivada (es decir. en vez de buscar la solución explícita de la ecuación finita F (x. El primero de esos lugares geométricos corresponde a los pericentros p u = ε + e y existe siempre.  E JERCICIO 2.5 Órbitas elípticas.5. No obstante. se han perdido las envolventes de la solución general (2. solo aparece cuando.96) p que también se obtienen haciendo u′ = 0 en (2. y.92).98) z = γ(u. 2.15 Ecuaciones no resueltas en la derivada 31 con F [α(u, v), β(u, v), γ(u, v)] = 0, ∀(u, v), y utilizar luego el hecho de que dy = z dx, es decir, ! ∂β ∂β ∂α ∂α du + dv = γ du + dv , (2.100) ∂u ∂v ∂u ∂v para obtener una ecuación en forma simétrica. Por cada solución v(u) de esta ecuación que sea- mos capaces de calcular, tenemos una solución paramétrica de la ecuación de partida en la forma x = α [u, v(u)] , (2.101) y = β [u, v(u)] . (2.102) Por ejemplo, si completamos cuadrados en la ecuación (2.92) del problema de Kepler, !2 ′ 2 ε e2 (u ) + u − = , (2.103) p p2 se ve sin dificultad cómo obtener soluciones paramétricas. Por ejemplo, eligiendo como paráme- tros el nuevo ángulo θ y el ángulo polar ϕ, una solución es ϕ = ϕ, (2.104) ε e u = + cos θ, (2.105) p p e u′ = − sin θ. (2.106) p Si ahora usamos estas ecuaciones para calcular du = u′ dϕ, obtenemos dθ = dϕ, cuya solución θ = ϕ − ϕ0 sustituida en (2.105) nos devuelve la órbita (2.95). E JERCICIO 2.24 Use la parametrización x = u, y = cos v, y ′ = tan v para resolver la ecuación y 2 1 + y ′2 = 1.  E JERCICIO 2.25 Resuelva x2 + y ′2 = 1. Veamos, a continuación algunas familias de ecuaciones en las que es inmediato acertar con la parametrización adecuada. 2.15.1. Ecuaciones de la forma F (y ′ ) = 0 Si faltan tanto la variable independiente como la dependiente, las soluciones son de la forma y ′ = u, para toda raíz u de la ecuación F (u) = 0. Por tanto, tenemos y = ux + C, es decir, u = (y − C)/x, por lo que la solución de la ecuación diferencial puede escribirse en forma implícita,   y−C F = 0, (2.107) x sin necesidad de hallar las raíces de F . Claro está que si no existe ninguna de tales raíces la solución que acabamos de escribir será formal. 7 E JERCICIO 2.26 Escriba la solución de (y ′ ) − 5y ′ + 3 = 0. ¿Es formal dicha solución si solo admitimos soluciones reales? En las ecuaciones que estudiaremos en los siguientes cuatro apartados, tras hacer y ′ = u, hay que resolver la condición dy = u dx. http://librosysolucionarios.net 32 2 Ecuaciones de primer orden 2.15.2. Ecuaciones de la forma x = g (y ′ ) Si falta la incógnita y puede despejarse la variable independiente, la solución paramétrica de la ecuación es inmediata: basta tomar y ′ = u, x = g(u), con lo que luego hay que resolver dy = ug ′(u) du que tiene sus variables separadas y proporciona directamente la solución paramétrica de la ecuación de partida: Z x = g(u), y = ug ′ (u) du + C. (2.108) 2 E JERCICIO 2.27 Resuelva (y ′ ) − x − 1 = 0. 2.15.3. Ecuaciones de la forma y = g (y ′ ) Si falta la variable independiente y puede despejarse la incógnita, la solución paramétrica de la ecuación es y ′ = u, y = g(u) y hay que resolver g ′ (u) du = u dx, que es separable y permite hallar la solución paramétrica de la ecuación de partida: g ′(u) Z x= du + C, y = g(u). (2.109) u 5 3 E JERCICIO 2.28 Resuelva y = (y ′ ) + (y ′ ) + y ′ + 5. 2.15.4. Ecuaciones de Clairaut La ecuación de Clairaut5 y = xy ′ + g (y ′) (2.110) puede resolverse, como los casos anteriores, con el parámetro y ′ = u, ya que la ecuación paramé- trica será y = xu + g(u) y la condición dy = u dx que debe satisfacerse: u dx + [x + g ′ (u)] du = u dx. Por tanto, ésta es la solución: y = xu + g(u), (2.111) [x + g ′ (u)] du = 0. (2.112) Puesto que en (2.112) puede anularse cualquiera de los factores, tendremos dos soluciones. Solución general Si se anula el segundo factor (o usamos el factor integrante µ ≡ 1/ [x + g ′ (u)]) obtenemos du = 0 y sustituyendo u = C en (2.111) obtenemos la solución general y = Cx + g(C), (2.113) que, como vemos, es siempre un haz de rectas. 5 Alexis Claude Clairaut (7-05-1713, París; 17-05-1765, París). Entre los muchos problemas que estudió destaca el de los tres cuerpos. En su estudio del movimiento de la Luna, usó métodos de cálculo de soluciones singulares. Calculó la vuelta del cometa Halley en 1759 y participó en la expedición dirigida por Maupertuis para comprobar la predicción teórica de Newton de que la Tierra es un esferoide oblato. http://librosysolucionarios.net 2.15 Ecuaciones no resueltas en la derivada 33 Solución singular Si se anula el primer factor, tenemos directamente una solución en forma paramétrica: x + g ′ (u) = 0, (2.114) y = xu + g(u), (2.115) es decir, x = −g ′ (u), y = −ug ′ (u) + g(u)). Esta solución singular (que también se obtiene haciendo 1/µ = 0) es precisamente la ecuación de la envolvente de la general, ya que la ecua- ción (2.115) es la del haz (con u = C) y (2.114) su derivada con respecto al parámetro. E JERCICIO 2.29 Resuelva y = xy ′ − y ′2 . 2.15.5. Ecuaciones de Lagrange La ecuación de Lagrange6 es y = xf (y ′) + g (y ′) (2.116) ′ con f (u) 6≡ u. Usando de nuevo el cambio y = u obtenemos la ecuación paramétrica y = xf (u)+g(u) y la condición dy = u dx que debe cumplirse: f (u)dx+[xf ′ (u) + g ′(u)] du = u dx. Por tanto, y = xf (u) + g(u), (2.117) [f (u) − u] dx + [xf ′ (u) + g ′ (u)] du = 0. (2.118) La segunda ecuación es lineal con respecto a x y, tras multiplicarla por µ ≡ 1/ [f (u) − u], obtenemos dx f ′ (u) g ′(u) + x+ = 0. (2.119) du f (u) − u f (u) − u Sabemos obtener la solución general x = ϕ(u, C), que sustituida en (2.117) nos da la general de la ecuación de Lagrange en forma paramétrica x = ϕ(u, C), (2.120) y = ϕ(u, C)f (u) + g(u). (2.121) La posibilidad de soluciones singulares viene de la anulación del factor 1/µ = [f (u) − u] = 0. En efecto, si hay soluciones (constantes) de la ecuación u = f (u) (2.122) (lo que puede ocurrir para uno o varios valores de u, pero no para todo u, ya que entonces estaríamos en caso de la ecuación de Clairaut), cada una de ellas define una recta y = xf (u) + g(u) que satisface la ecuación de Lagrange. Nótese que en vez de utilizar todo el procedimiento descrito arriba, basta recordar que tras hacer el cambio y ′ = u la derivada de la ecuación de partida —es decir, la ecuación (2.118)— admite un factor integrante que depende solo de u. 6 Joseph-Louis Lagrange (25-01-1736, Turín, Cerdeña-Piamonte; 10-04-1813, París). Destacó en estudios sobre análisis, teoría de números, mecánica celeste y mecánica analítica, de la que puede ser considerado como principal fundador. Recogió todo lo que sobre mecánica se había hecho desde Newton en su obra maestra: Mécanique analytique (1788). Se le recuerda por sus ecuaciones del movimiento, las coordenadas generalizadas, el concepto de energía potencial y los multiplicadores que llevan su nombre. http://librosysolucionarios.net 34 2 Ecuaciones de primer orden E JERCICIO 2.30 Halle la solución general de y = 2xy ′ − y ′3 . ¿Hay soluciones singulares? E JERCICIO 2.31 Halle un factor integrante de la ecuación (2.118). 2.15.6. Método de derivación En algunos casos la forma más rápida de resolver una ecuación diferencial consiste en deri- varla primero, ya que la nueva ecuación puede ser más simple que la original. Claro que la nueva ecuación tendrá más soluciones y habrá que elegir entre ellas aquéllas que también satisfagan la ecuación original. A título de ejemplo volveremos a resolver la ecuación (2.92) del problema de Kepler. Al derivar la ecuación obtenemos ! ′ ′′ ε 2u u +u− = 0. (2.123) p La condición de que se anule lo que hay entre paréntesis es la ecuación de Binet: ε u′′ + u = . (2.124) p Como en este caso describe un oscilador armónico sometido a una fuerza externa constante, se resuelve fácilmente y, como veremos en el siguiente capítulo, todas las soluciones se hallan contenidas en la solución general ε u= + C cos (ϕ − ϕ0 ) . (2.125) p Aquí hay dos constantes arbitrarias, C y ϕ0 , pero, como la ecuación original es de primer or- den, solo puede quedar una. En efecto, si sustituimos la familia de soluciones que acabamos de hallar en (2.92), se ve directamente que hay que elegir C = e/p; por tanto, se vuelven a obte- ner las órbitas (2.95). Si en (2.123) lo que se anula es u′ , sustituyendo la solución u = C en la ecuación (2.92) se hallan las soluciones singulares que describen los ábsides. 2 E JERCICIO 2.32 Resuelva (y ′ ) + 2y = 1. http://librosysolucionarios.net 2.16 Problemas 35 2.16. Problemas 2.1 Halle las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas: (a) rectas que pasan por el origen, (b) y = C sin 2x. 2.2 Halle la solución general de (1 + y 2 ) dx + (1 + x2 ) dy = 0. (1 − xy)2 Discuta los intervalos de definición de las soluciones correspondientes a las condiciones iniciales y(0) = 0, y(0) = 1 e y(1) = 1. 2.3 Resuelva (yexy + 2x) dx + (xexy − 2y) dy = 0, y(0) = 2. 2.4 ¿Una paradoja? Consideremos, para (x, y) 6= (0, 0), la ecuación diferencial: x dy − y dx = 0. x2 + y 2 (a) Demuestre la igualdad de las derivadas cruzadas. (b) Pruebe que la ecuación puede escribirse como d (arctan y/x) = 0, o, en coordenadas polares, como dϕ = 0. (c) Calcule la integral curvilínea del campo asociado a la ecuación diferencial a lo largo de una circunferencia centrada en el origen. (d) El resultado así obtenido debería resultarle paradójico. Comente este extremo. 2.5 Halle, en coordenadas polares, todas las curvas cuyos arcos tengan longitudes proporcionales al ángulo que sustentan desde el origen. 2.6 Resuelva (1 − x2 ) y ′ = 1 − y 2 , y(1) = 1. 2.7 Halle la condición necesaria y suficiente para que la ecuación P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 admita un factor integrante, cuya expresión debe hallarse, de la forma µ(xy). 2x3 y − y 4 2.8 Resuelva y ′ = . x4 − 2xy 3 2.9 Demuestre que si la ecuación P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es exacta y admite un multiplica- dor µ(x, y) distinto de una constante, µ(x, y) = C es una solución general de la ecuación. 2.10 Halle la solución de 2xy dx + (1 − x2 − y 2) dy = 0. 2.11 Resuelva y ′ − x2 y = x5 . 2.12 Halle y(10), si se cumple y ′ − 2xy = 1 e y(0) = 1. Sugerencia: Use la definición y propiedades de la función error que pueden hallarse en la pági- na 283. 2.13 Halle la solución general de y 3 dx + (xy − y 4 ) dy = 0. Sugerencia: Use la definición de la integral exponencial de la página 286. http://librosysolucionarios.net 36 2 Ecuaciones de primer orden 2.14 Circuito RL. Sea un circuito eléctrico con resistencia R y autoinducción L, sometido a una diferencia de potencial V (t). Conocida la intensidad inicial I0 = I(t0 ), halle I(t) y aplique los resultados al caso de una tensión alterna sinusoidal V = V0 sin ωt. 2.15 Ecuación homogénea. Demuestre que si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación homogénea, admite el factor integrante (xP + yQ)−1 , si el mismo es finito. ¿Cuál será el factor integrante si xP + yQ = 0? 2.16 Ecuación isobárica. Las ecuaciones homogéneas tienen una invariancia de escala frente a transformaciones (x, y) → (ax, ay). Una generalización viene dada por las ecuaciones isobári- cas, que son invariantes frente a cambios del tipo (x, y) → (ax, aλ y) para algún valor de λ; es decir, son ecuaciones del tipo P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 con P (ax, aλ y) = ar P (x, y), Q(ax, aλ y) = ar−λ+1 Q(x, y), ∀a. (2.126) Discuta el método de solución de ecuaciones de este tipo. 2.17 Resuelva (y 2 − 1) dx + (3x2 − 2xy) dy = 0. 2.18 Trayectorias ortogonales. Dada una familia uniparamétrica de curvas ϕ(x, y, C) = 0, se llaman trayectorias ortogonales las curvas que cortan a las de la familia en ángulo recto en todos los puntos. Si F (x, y, y ′) = 0 es la ecuación diferencial de la familia, ¿cuál será la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales? 2.19 Halle las trayectorias ortogonales a las parábolas y 2 = Cx. 2.20 Resuelva (6x + 4y + 3) dx + (3x + 2y + 2) dy = 0. 2.21 Masa variable. Un cohete de masa estructural M contiene combustible con una masa ini- cial m. Se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra y expulsa, con velocidad v, k kilogramos de gases por segundo. Si se desprecian todas las fuerzas excepto el peso y se supone que la aceleración de la gravedad se mantiene constante durante todo el trayecto, ¿cuáles serán la velocidad y altura cuando se agote el combustible? 2.22 Masa relativista. En relatividad especial la masa de una partícula que se mueve con velo- −1/2 cidad v es m = m0 (1 − v 2 /c2 ) , siendo m0 su masa en reposo y c la velocidad de la luz en el vacío. (a) Si la partícula parte del reposo y se mueve en el espacio vacío bajo la influencia de un campo gravitatorio constante, ¿cuál será su velocidad en el instante t, y cuando haya transcurrido un gran lapso de tiempo? (b) Sea ∆m ≡ m − m0 la variación de la masa de la partícula y ∆E el trabajo realizado por la fuerza F = d(mv)/dt. Verifique directamente que ∆E = ∆m c2 . (c) Como comprobación, deduzca la ley de variación de la masa de la partícula con la velocidad usando como punto de partida este último resultado y la definición de fuerza. 2.23 Resuelva !2 ′ x−y+3 y = . x−y+1 http://librosysolucionarios.net 2.16 Problemas 37 2.24 Demuestre que toda ecuación homogénea es separable en coordenadas polares. 2.25 Resuelva y ′ + e−x y 2 − y − ex = 0. 2.26 Halle la solución general de (y ′)2 − 2xy ′ + y = 0. 2.27 Demuestre que si la recta x = x0 corta a la familia de curvas integrales de la ecuación diferencial y ′ + p(x)y = q(x), las tangentes en los puntos de intersección son concurrentes. Demuestre que en el caso de y ′ − y/x = −x−3 , el lugar geométrico de los puntos de concurrencia obtenidos al variar x0 es una línea recta. 2.28 Halle las envolventes y los puntos múltiples del haz de estrofoides (x − C)2 (1 − y) = (1 + y)y 2. Dibuje el haz. 2.29 Además de envolventes y puntos múltiples, las ecuaciones (2.87)–(2.88) pueden contener cúspides. Como ejemplo, halle y dibuje la solución general de la ecuación diferencial 9y (y ′)2 = 4. Analice la solución de (2.87)–(2.88) en este caso. ¿Es solución de la ecuación diferencial? 2.30 «Radio» del universo. En el modelo cosmológico estándar el factor de escala R del uni- verso de Robertson-Walker evoluciona de acuerdo con la ecuación de Friedmann: 1 R˙ 2 = − k, (2.127) R donde k = −1, 0, 1. Discuta las soluciones de esta ecuación y vea en qué casos hay «gran explo- sión» y en cuáles el universo camina hacia un colapso final. 2.31 Condiciones en el infinito. A veces, para determinar la solución, en vez de dar la condición inicial, se impone una condición adecuada en el infinito. Como ejemplo, halle la única solución que se mantiene acotada en el límite x → ∞ de la ecuación y ′ − y = sin x. 2 2.32 Halle todas las soluciones de (y ′ ) + y 2 = 1. 2.33 Encuentre una expresión que dé por medio de una cuadratura la solución general de ecua- ciones de la forma y f (xy) dx + x g(xy) dy = 0. 2.34 Discuta el método de solución de ecuaciones de la forma df (y) y ′ + A(x)f (y) = B(x). dy Aplique el método para resolver 3y 2 y ′ − xy 3 = x2 . http://librosysolucionarios.net En la aproximación no relativista. ¿Por qué no constituye la solución x = sin (t − t0 ) de la ecuación x˙ = 1 − x2 un contraejemplo de la anterior afirmación? Sugerencia: Considere la gráfica de una solución oscilante. http://librosysolucionarios. que era compatible con la teoría de Lorentz.35 Ecuación de Abraham7 -Lorentz8 . 8 Hendrik Antoon Lorentz (18-07-1853. Su refinamiento de la teoría de Maxwell y su proposición. Demuestre que estas ecuacio- nes tienen soluciones físicamente inaceptables. que le valdría el premio Nobel de Física en 1902.38 2 Ecuaciones de primer orden 2.36 Demuestre que una ecuación del tipo x˙ = f (x) no puede tener√soluciones oscilantes. Alemania —hoy día se llama Gdansk y pertenece a Polonia—. Países Bajos.net .39 Resuelva la siguiente ecuación diferencial. Com- pruebe que la condición adicional de que en el límite q → 0 se recupere m~a = 0 permite seleccionar las soluciones físicas. donde las transformaciones que llevan su nombre juegan un papel central.38 Resuelva el siguiente problema y discuta el intervalo de definición de las soluciones: 1 x˙ = . x0 = ln t0 . antes de que la existencia del electrón estuviera confirmada. Este estudiante de Planck trabajó especialmente en electrodinámica y su teoría del electrón alcanzó gran notoriedad hasta que fue sustituida por la de Lorentz. ex −t 2.37 Halle todas las soluciones de la ecuación q xy ′ = −y + xy + 1. 4-02-1928. 16-11-1922. Arnhem. Múnich). para los distintos valores reales de α: 2 y 2 − (y ′ ) = α. ¿Cuáles son éstas? 2. de que la luz era creada por oscilaciones de la carga eléctrica en los átomos le llevaron a su teoría del electrón. Se opuso el resto de su vida a la relatividad especial de Einstein. Países Bajos). una partícula puntual ~ satisface la ecuación de carga q que se mueve en un campo eléctrico constante y uniforme E ~ + 2 q 2~a˙ . en las que la aceleración crece sin límite. Dánzig. m~a = q E 3 cuando se tiene en cuenta el frenado debido a la radiación emitida. 2. 7 Max Abraham (26-03-1875. En ciertos aspectos es un antecesor de la teoría de la relatividad especial de Einstein. Haarlem. 2. aunque no proporciona.2) ∂x ∂y ∂2ϕ ∂ 2 ϕ ′ ∂ 2 ϕ ′2 ∂ϕ ′′ + 2 y + 2y + y = 0. Significado geométrico El significado geométrico de una ecuación diferencial es extensión directa del correspondien- te a la de primer orden. 3. para las cuales una elegante combinación de álgebra lineal y teorema de existencia y unicidad permite establecer una teoría completa sobre la estructura del espacio de sus soluciones. Al final. . el caso más importante en física— volverá a ser estudiada en el capítulo 6. . mientras que la solución de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden —que constituye. . . without actually solving it. .net . . por desgra- cia.Capítulo 3 Ecuaciones de orden superior I consider that I understand an equation when I can predict the properties of its solutions. probablemente.. (3. Otro método para este caso de coeficientes constantes (incluidos los sistemas) es el de la transformación de Laplace que abordaremos en el capítulo 5. C2 . un método general de resolución.1. C2 . Si tenemos una familia de curvas planas que depende de n parámetros independientes C1 .1) ∂ϕ ∂ϕ ′ + y = 0. . (3. nos concentraremos en las ecuaciones lineales. Tras repasar los pocos métodos generales que pueden utilizarse para intentar resolver una ecuación de orden su- perior al primero. veremos los primeros métodos (esta vez siste- máticos) para resolver ecuaciones lineales con coeficientes constantes. y. . (3. Cn ) = 0. C1. . Cn y entre su ecuación y las n primeras derivadas ϕ (x.3) ∂x2 ∂x∂y ∂y ∂y . Paul Adrien Maurice Dirac En este capítulo estudiaremos ecuaciones diferenciales de orden arbitrario.4) ∂xn ∂y 39 http://librosysolucionarios. ∂nϕ ∂ϕ (n) +···+ y = 0 (3. (3.5) La ecuación de la familia (3. (3. y (n) = 0. . Si tenemos una ecuación en forma normal   y (n) = f x. (3. y (n−1) . (3. y1 . (3.10) y2′ = y3 .1) es la solución general de esta ecuación y cada una de sus curvas es una curva integral.2. . obtenemos la ecuación diferencial de la familia:   F x. . E JERCICIO 3. .11) . . ′ yn−1 = yn . 3.1 Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio unidad. . Así. .net .. a costa de aumentar el número de incóg- nitas y ecuaciones. yn ≡ y (n−1) .3. Teorema de existencia y unicidad De nuevo se trata de una extensión directa del caso correspondiente a primer orden y se aplican los comentarios que allí hicimos y no vamos a repetir ahora.6) es equivalente al sistema de n ecuaciones de primer orden y1′ = y2 . (3. .8) . yn ) .4. . .2 Escriba la ecuación del oscilador armónico forzado como un sistema de ecuaciones.6) tal que f y sus derivadas ∂f /∂y. ∂f /∂y (n−1) son continuas. . (3. (3. . . ∂f /∂y ′ . (3. una de las pocas cosas que pueden ensayarse es intentar reducir su orden hasta llegar a ecuaciones (de primer orden en el mejor de los casos) que se sepan resolver.9) 3. y ′. Reducción de orden Cuando se trata de resolver una ecuación de orden superior al primero que no pertenece a ningún tipo conocido. y2 . Vamos a ver algunos casos en que esta reducción de orden puede hacerse de forma sistemática.13) E JERCICIO 3. . y2 ≡ y ′. (n−1) (n−1) y (x0 ) = y0 . .12) yn′ = f (x. la ecuación de orden n (3. . . . . si definimos las nuevas variables dependientes y1 ≡ y. y.40 3 Ecuaciones de orden superior eliminamos los n parámetros. .. existe una única solu- ción que satisface la ecuación y un conjunto de n condiciones iniciales y(x0 ) = y0 . http://librosysolucionarios. 3.7) y ′ (x0 ) = y0′ . . Equivalencia entre ecuaciones y sistemas Siempre puede rebajarse el orden de una ecuación. y ′. . y. y ′′. 15) cuya solución general ϕ˜ (x. una vez deshecho el cambio u = y ′ . . y ′′ .19) dy dy . (3. u. Cn−1 . . y ′ . que tras una sencilla integración dan la solución general y = 3x5 + 10C1 x3 + 15C12 x + C2 . Ecuaciones sin la variable dependiente Si falta la variable dependiente.4 Reducción de orden 41 3. y ′.16) 2 se obtiene la ecuación de primer orden u′2 = 240x2 u. existe la solución singular u = y ′ = 0 que conduce a la familia y = C3 . Además. también ϕ (x − x0 . (3. . C1 . . u. y. . E JERCICIO 3. estas últimas pueden ser resueltas. . . poniendo u = y ′ en la ecuación y ′′2 = 240x2 y ′. C2 . . (3. . . quedan las ecuaciones y ′ = 15 (x2 + C1 ) . . (3. faltan y ′. a u ≡ y ′ como la nueva incógnita. proporcionarán la solución general de la ecuación de partida ϕ (x. C2 . Al deshacer el cambio de variables.3. . . y) = 0 es solución de la ecuación (3. Nótese que si. la ecuación es de orden n − m en u ≡ y (m) . . u′ . lo que se tra- duce por el hecho de que una de las constantes arbitrarias de integración está siempre rela- cionada con el origen de la variable independiente. Si. . Cn−1 ) = 0.3 Halle la velocidad de una partícula puntual que cae a lo largo de una recta vertical bajo la acción de la gravedad en el seno de un fluido cuyo rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad. .   F x. Demuestre que se alcanza una velocidad límite. .15) será una ecuación diferencial de primer orden que dará una familia de soluciones singulares de la ecuación original. u(n−1) = 0. (3. . . . .4. . (3. C1.2.. C1. .1. . . y usar du y ′′ = u. . que admite u = 15 (x2 + C1 ) como 2 solución general. . !n−1 dn−1 u n−1 du y (n) = u +···+ u (3. Además. Por ejemplo. .4. y (n) = u(n−1) para obtener una ecuación de orden n − 1. . . una familia de ecuaciones diferenciales de primer orden: ϕ˜ (x. Cn−1 ) = 0 es. Por tanto.14) basta considerar a u ≡ y ′ como la nueva variable dependiente y usar y ′′ = u′ .   F x. y) = 0 lo será para todo x0 . Cn ) = 0. . y (n) = 0. . cada solución singular de (3. . . y (n) = 0. 3. Cn−1 ) = 0.   F y.net . . y ′′ . además de y. ya que si ϕ(x. y (m−1) . . Para reducir el orden de este tipo de ecuaciones basta con- siderar a y como la nueva variable independiente. .17). C1. a su vez. y. .20) dy n−1 dy http://librosysolucionarios.17) la ecuación se llama autónoma y es invariante frente a traslaciones x → x − a. . Ecuaciones autónomas Si falta la variable independiente.18) dy !2 ′′′ d2 u 2 du y = 2 u + u. y ′. . una solución ge- neral podrá expresarse en términos de n constantes arbitrarias C1 . . Cn−1 y x0 como ϕ (x − x0 . y (n) = 0. y. y ′. .24) 2 que. m¨ (3. para obtener la ley de conservación de la energía mecánica 1 2 mv + V (x) = E. . 3.4 Resuelva y ′′ = (2y + 1) y ′ . . . . (3. . .     F ax. si tenemos en cuenta que v = x.25) m Tras separar las variables e integrar obtenemos Z dx q = ± (t − t0 ) .22) Como falta la variable independiente (el tiempo t en este caso). y. (3. Ecuaciones equidimensionales en x Si la ecuación. Un ejemplo bien conocido nos lo proporciona un sistema mecánico conservativo unidimen- sional en el que una partícula cuya posición es x se mueve en el seno de un campo de fuerzas F (x) = −V ′ (x). n−1 = 0. puesto que tiene separadas sus variables. u. una vez deshecho el cambio u = y ′. en vez de frente a traslaciones de x. . (3. consideraremos que la nueva incógnita es la velocidad v = x˙ y usando x¨ = v˙ = vv ′. la ecuación se escribe como mvv ′ = −V ′ (x). (3. (3. Cn−1 ) = 0 es. una cuya solución general ϕ(y.3. . familia de ecuaciones de primer orden que una vez resuelta nos proporcionará la solución ge- neral de la ecuación de partida ϕ(x. Cada solución singular será una ecuación de primer orden que dará una familia uniparamétrica de soluciones singulares. es invariante frente a todos cambios de escala del tipo x → ax. .42 3 Ecuaciones de orden superior en la ecuación. . . . ! du dn−1 u F˜ y. .net . y. Cn−1. .26) 2 m [E − V (x)] E JERCICIO 3. a−n y (n) = 0 ⇐⇒ F x. ˙ y despejamos la derivada se convierte en un par de ecua- ciones separables de primer orden: s 2 x˙ = ± [E − V (x)]. y ′′ . a−1y ′ . . . Cn ) = 0.27) http://librosysolucionarios. . . lo que proporciona una ecuación de orden n − 1.21) dy dy ˜ u.23) que puede integrarse directamente. (3.4. C1. . a−2 y ′′ . . C1. La ecuación del movimiento es x = −V ′ (x). . .36) . .net . u′ + u2 . . y. y u′ + u2 . ˙ (3. .31) x dt dt la reduce a una autónoma.30) x . (3. . y · 1.4. . (3. ˙ y¨ − y.39) será equivalente a     F˜ x.     F x. u. ay (n) = 0 ⇐⇒ F x. y ′. . yu.3. y ′′ . . y ′′ . u ≡ y). ˙ y¨. .33) cuyo orden puede rebajarse con el cambio (t. x−1y. = 0 (3.35) y ′′ = y u′ + u2 . . . . = 0 (3.) = F x. y. . . . .) ≡ F (1. y) −→ (y. .. u(n−1) ≡ F x. u′. .37) (n) y = y u(n−1) + · · · + un . = 0. . y ′. (3.32) será equivalente a F˜ (y.. 3. y. (3. y.4. (3. y ′ = yu. y ′′ . . y. (3. ya que h   i F (x. ay ′. E JERCICIO 3. y.29) x 1 y ′′ = 2 (¨ y − y) ˙ . ay. . ˙ x−2 (¨ y − y) ˙ .34) se llama equidimensional en y y usaremos el cociente invariante y ′/y en el cambio de variable dependiente y → u ≡ y ′/y.) = 0. 1. y (n) = 0. Ecuaciones equidimensionales en y Si la ecuación es invariante frente a todos los cambios de escala del tipo y → ay.40) Si se resuelve esa ecuación y se deshace el cambio u = y ′ /y queda una ecuación de primer orden. ..   (3. " # (n) 1 dn y dy y = n n + · · · + (−1)n−1 (n − 1)! . ˙ . .28) 1 y′ = y. .4 Reducción de orden 43 la ecuación se llama equidimensional en x y el cambio de variable independiente x → t ≡ ln x dado por x = et . y.   (3. . . (3. y ′. ay ′′ .) = F x · 1. .38) que reduce el orden de la ecuación.. . . en forma muy parecida a la discutida en anteriores apartados. ˙ por ser autónoma. . http://librosysolucionarios. . u. ya que h i F (x.5 Resuelva la ecuación xy ′′ = yy ′ . (3. . (3. E JERCICIO 3. aunque este método puede aplicarse a una ecuación lineal homogénea (a la que dedicaremos gran atención más adelante). o en una ecuación lineal de primer orden solo se pide la homogeneidad con respecto a la incógnita y sus derivadas.7 Resuelva yy ′′ + y ′2 = 0.22) de la partícula puntual que se mueve en un campo conservativo unidimensional para convertirla en exacta y obtener como integral primera la ley de conservación de la energía mecánica. y. y. Discuta las posibles soluciones singulares. ay (n) = ar F x. que son las que se escriben por medio de una función homogénea con respecto a la incógnita y sus derivadas:     F x. en general. E JERCICIO 3. .net . . .67) la homogeneidad con respecto a x e y. esta nomenclatura es confusa. . Por ejemplo. . E JERCICIO 3. y ′. aunque prácticamente universal. a veces es posible reescribirla (usando un factor integrante o una transformación adecuada) de forma que sea exacta.27 que al reducir el orden de una ecuación lineal homogénea de segundo orden se obtiene una de Riccati. la ecuación de orden inferior obtenida en tal caso es. .4. . 3. . . y (n−1) = C. mientras que para el resto de ecuacio- nes de primer orden se exige en (2. Debe señalarse que. Tal vez fuera mejor. . (3. . el cambio útil era entonces u = y/x. y ′. ay.43) que es una ecuación de orden n − 1. y ′. y (n−1) = 0. (3. . E JERCICIO 3. .8 Convierta en exacta la ecuación yy ′′ − y ′2 = 0 dividiéndola por y 2 . y (n) . http://librosysolucionarios. de nuevo. . que. Recuerde que en física las simetrías están asociadas a leyes de conservación que proporcionan integrales primeras (que son llamadas a menudo constantes del movimiento).5. y (n) = G x. Incluso si la ecuación no es exacta. (Por ello. y = 0 es siempre una solución (tal vez singular). con lo que rara vez se gana algo. si r > 0. y ′. Nótese también que. .9 Multiplique por la velocidad x˙ la ecuación (3. usar el nombre de homogéneas en y (y sus derivadas). y. ay ′. Ecuaciones exactas Si la ecuación es una derivada exacta   d   F x. . En una ecuación de orden superior al primero.42) dx por cuadratura se obtiene inmediatamente una integral primera   G x. . y.41) Nótese. . no lineal y tan difícil o más que la de partida. aun a riesgo de resultar muy largo. veremos en el problema 3.6 Resuelva yy ′′ = y ′2 . en vez del u = y ′/y que ahora usamos). .44 3 Ecuaciones de orden superior El caso más habitual dentro de esta familia es el de las ecuaciones homogéneas. cuya naturaleza lineal hace que las soluciones de la homogénea tengan estructura de espacio vectorial. a lo sumo puede anularse en sus raíces. . . La estructura vectorial viene inducida por las operaciones habituales de adición de funciones y multiplicación por una constante y el elemento nulo es la función nula en el intervalo considerado. . .5. Empecemos definiendo el determinante de Wronski2 o wronskiano de un conjunto de funciones {yk (x) : k = 1. . Como consecuencia de este resultado hay tantos vectores linealmente independientes como queramos y la dimensión de un espacio de funciones regulares es infinita. n. Dependencia lineal de funciones El resto del capítulo estará dedicado a las ecuaciones lineales. x ∈ I} (3. Veremos que hay ciertas relaciones entre propiedades que involucran derivadas y otras puramente algebraicas. x2 . . . (3. Como estamos estudiando ecuaciones diferenciales. . . que nunca son más de n y no pueden llenar ningún intervalo. Por consiguiente.45) k=1 es la que tiene todos sus coeficientes nulos: C1 = · · · = Cn = 0. las funciones regulares {yk (x) : k = 1. Por ejemplo.3. xn } es linealmente indepen- diente en todo intervalo. . ∀x ∈ I. .44) serán linealmente independientes si la única combinación lineal nula. n X Ck yk (x) = 0. Se tratará de subespacios de dimensión finita del espacio vectorial de dimensión infinita de las funciones regulares1 en un cierto intervalo I de la recta real.5 Dependencia lineal de funciones 45 3. x ∈ I} como la función . nos interesan (además de sus propiedades algebraicas) las derivadas de las funciones. ya que si el polinomio C1 +C2 x+· · ·+Cn+1 xn tiene algún coeficiente no nulo. para todo n el conjunto de potencias {1. x. n. . . . y (x) y2 (x) ··· yn (x) . . . 1 . . . y1′ (x) y2′ (x) ··· yn′ (x) . . . . . . W [y1 . . yn ] (x) ≡ . . . .... . .. . .46) . (3. . . . . . . . (n−1) (n−1) . . y1 (x) y2 (x) · · · yn(n−1) (x) . Wolsztyn. (3.. http://librosysolucionarios. 1 Véase la nota de la página 17. .. . la combinación con coeficientes constantes (3. .. Polonia. . que es precisamente el wronskiano.. x ∈ I} es linealmente dependiente. . tiene solución no nula. Francia). Si el conjunto {yk (x) : k = 1. 8-08-1853. . . . 2 Josef Hoëné de Wronski (23-08-1778. .. Neuilly. En cada punto x estas ecuaciones constituyen un sistema lineal homogéneo cuyas incógnitas son las Ck y que. por la hipótesis de dependencia lineal. (n−1) (n−1) C1 y 1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn(n−1) (x) = 0.47) . . Por tanto en cada punto del intervalo el determinante del sistema. . n.net .45) y sus n − 1 primeras derivadas se anularán en todo el intervalo: C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ··· + Cn yn (x) = 0. . . C1 y1′ (x) + C2 y2′ (x) + ··· + Cn yn′ (x) = 0. Los determinantes que llevan su nombre los introdujo al estudiar el desarrollo de funciones en series criti- cando un trabajo anterior de Lagrange. se anulará. las funciones serán linealmente independientes. . lo que vuelve a demostrar que las potencias son linealmente independientes en todo intervalo. x2 . .6 la demostración de que todo sistema del tipo n o xpi eki x : pi = 0. Ecuaciones diferenciales lineales Consideremos una ecuación lineal de orden n: a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y ′ + an (x)y = b(x).net . sin más condiciones. la anulación del wronskiano no garantiza la dependencia lineal de las funciones.12. sin embargo. mi . nada garantiza que la misma pueda elegirse de forma que sea constante de punto a punto. en general. En consecuencia.12 Use el último comentario para demostrar que el sistema  ki x e : i = 1. pero.50) es linealmente independiente en todo intervalo. n (3. resultará de suma importancia al estudiar las ecuaciones lineales de coeficientes constantes.51) Puesto que dividiendo por a0 lo único que puede variar es el intervalo de definición. . para |x − a| < 1. xn no se anula en ningún punto de la recta real. E JERCICIO 3. Diferiremos hasta el problema 3. aunque su wronskiano se anule idénticamente.5) admite una solución no trivial en cada punto. .6. añadamos más condiciones. si el wronskiano no se anula idénticamente. .10 y 3. pero si es distinto de cero las funciones son necesariamente independientes. considerare- mos desde ahora que la derivada de orden más alto tiene coeficiente unidad: y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y ′ + an (x)y = b(x).48) 0. ¿Son regulares? Por tanto.10 Compruebe que el wronskiano de 1. que generaliza los dos de indepen- dencia lineal que hemos demostrado en los ejercicios 3. . Compruebe que las funciones y1 = ϕ0 e y2 = ϕ2 son linealmente independientes en el intervalo (−1. (3. (3. a menos que. n (3. El recíproco del anterior resultado. . . . ϕa (x) ≡ (3. . . .11 Considere la familia de funciones (   1 exp − 1−(x−a) 2 . . E JERCICIO 3. Este resultado.52) http://librosysolucionarios. el sistema (3. no es cierto.49) es linealmente independiente en todo intervalo si ki 6= kj cuando i 6= j. i = 1. Si el wronskiano es nulo.  E JERCICIO 3. 3. x. .46 3 Ecuaciones de orden superior Esto demuestra que el wronskiano de un conjunto linealmente dependiente de funciones se anula en todos los puntos del intervalo. para |x − a| ≥ 1. . . como haremos enseguida. 3). .52) el operador lineal L ≡ Dn + a1 (x)Dn−1 + · · · + an−1 (x)D + an (x). f (x). de una ecuación lineal homogénea de orden n definida en el intervalo I es linealmente dependiente en I si y solo si su wronskiano se anula idénticamente en I. que será cierto con la hipótesis adicional de que las funciones sean solución de una ecuación lineal homogénea. (3. la función (Lf )(x) = f (n) (x) + a1 (x)f (n−1) (x) + · · · + an−1 (x)f ′ (x) + an (x)f (x).53) que asocia a toda función regular definida en I.3. toda combinación lineal de las mismas con coeficientes constantes Ck es también solución: r X r X Lyk = 0 =⇒ L Ck y k = Ck Lyk = 0. Supondremos siempre que las funciones a1 .5. se cumplen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad del apartado 3.2.7. para constantes C1 y C2 . (3. (3. a2 .1 Un conjunto de n soluciones. .54) Usando L la ecuación (3. Lyk = 0. (3. La linealidad del operador.1. Wronskiano y dependencia lineal Teorema 3. an y b son continuas en un cierto interva- lo I de la recta real en donde. En caso contrario se llama completa (o inhomogénea). demostraremos primero el recíproco del resultado sobre el wronskiano que hemos visto en el apartado 3. .52) se escribe simplemente como Ly = b y la homogénea asociada como Ly = 0.7. demostrarse. en el resto del capítulo consideraremos soluciones definidas en todo el intervalo I en que los coeficientes ak son continuos. 3. (3. diremos que la ecuación es homogénea (o incompleta) cuando el término independiente es nulo: b = 0.3. http://librosysolucionarios. por consiguiente. . lo que a su vez sucede si y solo si se anula en un punto x0 ∈ I. Para determinar su dimensión. L(C1 f1 + C2 f2 ) = C1 Lf1 + C2 Lf2 . que la solución que satisface esas condiciones iniciales está definida en todo el intervalo I en el caso de ecuaciones lineales. la adición y la multiplicación. 3. .57) k=1 k=1 Esto prueba que el conjunto de soluciones de una ecuación lineal homogénea es un espacio vectorial. que dado cualquier conjunto de funciones {yk : k = 1. . en general. Para simplificar la notación usaremos el operador de derivación D ≡ d/dx y definiremos para cada ecuación lineal (3.56) La linealidad del operador L garantiza el principio de superposición que asegura que la suma de dos soluciones es una nueva solución y. Puede.55) está garantizada por las propiedades elementales de la derivación.7. . Ecuaciones lineales homogéneas Consideremos una ecuación lineal homogénea de orden n: Ly = 0. . Por ello.7 Ecuaciones lineales homogéneas 47 Como en el caso de la ecuación lineal de primer orden estudiada en el apartado 2.net . además. como veremos en el apartado A. r} que son solución de la homogénea. . ··· . que no son otra cosa que las condiciones (3.. toda otra solución puede expresarse de forma única como combinación lineal con coeficientes constantes de esas soluciones.59) . era una propiedad algebraica demostrada en el apartado 3. yn′ (x0 ) = 0. para demostrar lo cual usaremos el hecho de que. en particular. http://librosysolucionarios. además. y2′ (x0 ) = 1.. pero no necesariamente que lo haga en el resto de los puntos de I con los mismos valores de los coeficientes. que. Se llama sistema fundamental de soluciones a todo conjunto formado por n soluciones li- nealmente independientes de una ecuación lineal homogénea de orden n. Además..58) y son también satisfechas por la función nula en el intervalo. . lo que acaba la demostración del resultado. por la linealidad de la ecuación.. hace falta usar el teorema de existencia y unicidad. que. . Para el recíproco. por tanto. tiene dimensión n y no puede contener conjuntos con más de n soluciones independientes. Acabamos de demostrar su existencia y es obvio que son infinitos. . y2 (x0 ) = 0. . por sí solo..net . yn(n−1) (x0 ) = 1. .48 3 Ecuaciones de orden superior El hecho de que si el conjunto es dependiente su wronskiano se anula en todos los puntos de I (y. P que y = nk=1 Ck yk = 0 en todo el intervalo con coeficientes no triviales y que. . las n soluciones yk son linealmente dependientes. que es el wronskiano en x0 . . demuestra que la combinación lineal y se anula en x0 con coeficientes no nulos. . . en consecuencia. Espacio de soluciones de la ecuación homogénea En un segundo paso demostraremos que la dimensión del espacio de soluciones de la ecuación homogénea de orden n no puede ser inferior a n ya que el teorema de existencia y unicidad garantiza que existen n soluciones correspondientes. . respectivamente. yn (x0 ) = 0. se anula. existe una solución no trivial para las Ck . linealmente independientes.. . por tanto. (3. ya que basta cambiar las condiciones iniciales usadas en el anterior razonamiento manteniendo un determinante no nulo para obtener otro sistema fun- damental. siempre es solución de una ecuación homogénea. a las condiciones iniciales dadas en las siguientes n columnas: y1 (x0 ) = 1. elegidas de forma que esas soluciones tengan en x0 un wronskiano igual a 1 y sean. la y construida con las Ck calculadas en x0 es solución de la misma y satisface las condiciones iniciales y(x0 ) = y ′(x0 ) = y (n−1) (x0 ) = 0. . Construyamos una combinación P lineal y(x) = nk=1 Ck yk (x) con coeficientes Ck a determinar e impongamos que ella y sus primeras n − 1 derivadas se anulen en x0 : y(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + ··· + Cn yn (x0 ) = 0. (3. en el que supondremos que el wronskiano se anula en un cierto punto x0 . Teorema 3. en conse- cuencia. 3. Esto. (n−1) (n−1) y (n−1) (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + · · · + Cn yn(n−1) (x0 ) = 0.2. . y ′ (x0 ) = C1 y1′ (x0 ) + C2 y2′ (x0 ) + ··· + Cn yn′ (x0 ) = 0... que será ahora aplicable porque suponemos que las funciones satisfacen una misma ecuación diferencial lineal.7. Como por hipótesis el determinante de este sistema lineal. demostraremos en un tercer paso que un sistema fundamental de soluciones es una base del espacio de soluciones de la ecuación. y1′ (x0 ) = 0. La unicidad garantiza..58) .5. (n−1) (n−1) y1 (x0 ) = 0. y2 (x0 ) = 0. .2 Dadas n soluciones yk linealmente independientes de una ecuación lineal homo- génea de orden n. en x0 ). . La solución general del oscilador armónico es. Sistema fundamental de soluciones y ecuación lineal homogénea Un sistema fundamental de soluciones caracteriza por completo la ecuación lineal homogénea a que corresponde. y} es linealmente dependiente. Aunque pueden elegirse distintos conjuntos fundamentales y expresar la solución general de formas aparentemente distintas. y que no hay más soluciones. . ex . . podríamos recurrir al procedimiento del apartado 3. pero en este caso particular existe una alternativa mejor. también lo será para el operador L1 − L2 . 3. que tiene solución única para las Ck ya que su determinante es el wronskiano de las yk y no se anula por ser éstas linealmente independientes. El teorema de existencia y unicidad garantiza que ambas soluciones coinciden en todo el intervalo. . .3. la solución general de una ecuación lineal homogénea es la combina- ción lineal con coeficientes constantes arbitrarios de n soluciones linealmente independientes. En efecto. Nótese que.. . en consecuencia. Si desarrolla- mos este wronskiano y lo dividimos por el coeficiente de y (n) (que. x y x−1 http://librosysolucionarios. por lo que su wronskiano se anula idénti- camente. Halle otro sistema fundamental de soluciones. yn ] y no se anula por ser las yk independientes) obtenemos la única ecuación lineal normalizada que admite ese conjunto de soluciones. .13 Compruebe que {1.. . . . yn .3.. . lo que P demuestra que y(x) = nk=1 Ck yk (x) en todo I. e−x } es un sistema fundamental de soluciones de la ecua- ción y ′′′ − y ′ = 0.3 cinco expresiones equivalentes de la solución general. Además. . . W [y1 . . (n−1) (n−1) C1 y 1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + · · · + Cn yn(n−1) (x0 ) = y (n−1) (x0 ). el coeficiente de la derivada más alta se elija igual a la unidad. E JERCICIO 3. . el sistema {y1 . . . . conocido un conjunto fundamental {y1. Puesto que el sistema fundamental proporciona la solución general. . es decir.1 para construir la ecuación que le corresponde. . Utilicemos esos Ck para construir en todo I P la combinación lineal nk=1 Ck yk (x). ya que sus elementos son obviamente solución y su wronskiano es ω. por tanto. . puede construirse inmediatamente la ecuación lineal homogénea que satisface. si L1 = L2 . si un conjunto de n funciones es fundamental para los operadores L1 y L2 . si y es solución podemos plantear en un punto x0 del intervalo I el sistema lineal C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + ··· + Cn yn (x0 ) = y(x0). Escriba la solución general de dos formas distintas y compruebe su equivalencia. . . yn . y] = 0. pero este último es a lo sumo de orden n − 1 y no puede admitir n soluciones independientes a menos que sea el operador nulo. todas contienen exactamente las mismas soluciones: este tipo de ecuación carece de soluciones singulares. .7 Ecuaciones lineales homogéneas 49 En efecto. . que satisfará al igual que y la ecuación lineal homogénea y por construcción cumplirá las mismas condiciones iniciales que y en el punto x0 . pero esta última expresión es precisamente una ecuación lineal homogénea de orden n para y que admite como soluciones independientes a las yk . sin ωx}. siempre que.net . un conjunto fundamental para el oscilador armónico y ′′ + ω 2 y = 0 es {cos ωx.60) . como se comprueba inmedia- tamente. como de costumbre. Por ejemplo. Cualquier otra so- lución y de la misma ecuación puede expresarse como combinación lineal de las yk y.. por tanto. vimos en el problema 1.7. (3. Por ejemplo. En el caso arriba mencionado del oscilador armónico. C1 y1′ (x0 ) + C2 y2′ (x0 ) + ··· + Cn yn′ (x0 ) = y ′(x0 ).. es precisamente W [y1 . yn }. y = A cos ωx + B sin ωx. 50 3 Ecuaciones de orden superior son linealmente independientes en cualquier intervalo que no contenga el origen y la ecuación lineal homogénea que les corresponde es . . x x−1 y . . . h i . 2 2 2 W x. x . y = 1 −x−2 y ′ . . = − y ′′ − 2 y ′ + 3 y = 0. −1 . . . (3.61) . x x x 0 2x−3 y ′′ . . pero la demostración se extiende inmediatamente a todos los valores de n. que nos dice cómo cambia de punto a punto el wronskiano W de n soluciones yk de una ecuación lineal homogénea de orden n: Rx − a1 (u) du W (x) = W (x0 )e x0 . x−1 ] = −2x−1 . a Liouville. Para simplificar la notación supondremos que n = 2. Nótese que. según los distintos autores. ¿En qué intervalo puede estar definida? Claro está que el problema inverso —dada una ecuación lineal homogénea de orden n hallar n soluciones linealmente independientes y.4.62) donde como siempre suponemos que a0 ≡ 1. Si derivamos el determinante wronskiano por filas queda . todas las soluciones— es bastante más difícil. ex }. Para escribir la ecuación en forma normal hay que dividirla por el wronskiano del sistema funda- mental W [x. por tanto. E JERCICIO 3. como una exponencial no se anula nunca.14 Halle la ecuación lineal homogénea que admite el conjunto fundamental {x. Fórmula de Liouville Existe una útil fórmula atribuida. Abel3 u Ostrograds- 4 ki .1. La demostración de este resultado consiste en establecer y resolver la ecuación diferencial que satisface W . 3. la anulación en un único punto x0 es equivalente a la anulación en todo el intervalo de definición de la ecuación.7. ∀x ∈ I. lo que ya había sido demostrado en el teorema 3. (3. . ′ . . . . y y . . . . y′ y′ . . y y . . W (x) = 1′ 2′ . = . 1′ 2′ . + . 1′′ 2′′ . ′ . . . . . . 63) y1 y2 . (3. . . y1 y2 . . y1 y2 . donde el primer sumando es obviamente nulo. Si sustituimos en el segundo el hecho de que y1 e y2 son soluciones de la ecuación (yk′′ = −a1 yk′ − a2 yk ) obtenemos . . y1 . y2 . W ′ (x) = . . ′ . ′ . (3.64) −a1 y1 − a2 y1 −a1 y2 − a2 y2 . . pero publicó numerosos e importantes trabajos sobre termodinámica. teoría del potencial. Poltava. 3 Niels Henrik Abel (5-08-1802. Finnoy. Noruega). Es sorprendente el elevado número de conceptos y resultados que llevan su nombre a pesar de su corta vida. Jugó un papel central en la introducción del rigor en el análisis y publicó importantes trabajos sobre funciones elípticas. en hidrodinámica. Ucrania. 4 Mikhail Vasilevich Ostrogradski (24-09-1801. Froland. quizás. Pashennaya. integrales dobles. álgebra y ecuaciones diferenciales. Ucra- nia). http://librosysolucionarios. Noruega. Su principal contribución es. elasticidad. En 1823 pro- porcionó la primera solución a una ecuación integral y el año siguiente estableció la imposibilidad de resolver algebraicamente la ecuación general de quinto grado.net . 1-01-1862. 6-04-1829. 7 Ecuaciones lineales homogéneas 51 y sumando a la segunda fila a2 veces la primera obtenemos .3. . . . ′ y1 y2 . . . . . . y1 y2 . . W (x) = . . = −a1 . . (3.65) −a1 y1′ −a1 y2′ .. . . y1′ y2′ .  Z  an y = y1 u dx  Z  an−1 y ′ = y1′ u dx + y1 u  Z  an−2 y ′′ = y1′′ u dx + 2y1′ u + y1 u ′ .66)  . También trabajó en hidrodinámica y en los fundamentos del análisis al discutir el concepto de límite y su aplicación a la derivada.  (n) (n−1) 1 y (n) = y1 u dx + ny1 u + · · · + y1 u(n−1) Z Ly = Ly1 u dx + y1 u(n−1) + a ˜1 u(n−2) + · · · + a˜n−1 u. separable y cuando se reduce a cuadraturas se obtiene la fórmula de Liouville (3. puesto que que si calculamos las derivadas y. . . puesto que la última puede expresarse directamente como una cuadratura. u′ . 5 Jean Le Rond d’Alembert (17-11-1717. la mayor dificultad estriba en encontrar las n − 1 primeras. Fue un pionero en el estudio de las ecuaciones diferenciales y en particular de la ecuación de ondas. E JERCICIO 3. pero al menos podemos decir que en la búsqueda de las n soluciones independientes que hacen falta para resolver completamente la ecuación homogénea. pero esta ecuación. En su Traité de dynamique de 1742 perfeccionó la definición de fuerza e introdujo el principio que lleva su nombre. an−1 . las sumamos. París.5. con ellas.14 para x0 = 0. .7. cada solución independiente hallada permite rebajar el orden de la ecuación en una unidad. . En efecto. . el cambio de variables y = y1 u dx del método de d’Alembert5 reduce la ecuación a una lineal homogénea de orden n − 1. 29-10-1783. 3.. En los demás casos la resolución suele ser más difícil. . por tanto.10 para buscar n soluciones linealmente independientes y.net . u(n−1) . (3. . . obtenemos en el miembro de la izquierda la ecuación de partida y en el de la derecha queda una ecuación lineal en u. puede usarse el método de Euler del apartado 3.15 Compruebe directamente la fórmula de Liouville en el caso del ejercicio 3. y lo mismo puede decirse de las ecuaciones de Cauchy-Euler que veremos en el apartado 3. . . es lineal homogénea de orden 1 y. Z . http://librosysolucionarios. a1 y 1 respectivamente. ya que la combinación de términos que tienen una integral se cancela por ser y1 solución de la ecuación homogénea: Ly1 = 0. Resolución de la ecuación homogénea Si todos los coeficientes ak de la ecuación lineal homogénea son constantes.62). . París). ya que corresponde a resolver una ecuación lineal homogénea (separable) de primer orden.. si conocemos porR cualquier razón una solución particular y1 no nula de Ly1 = 0. la solución general. tras multiplicarlas por an . Por tanto.12.. W ′ + a1 W = 0. ¿Cuál debe ser la estructura de la homogénea para que admita como solución particular y = 1? ¿Y para que e±x sea solución?  E JERCICIO 3. su solución general es R Z P dx e− y = C1 y1 + C2 y1 dx.69) Si no se conoce ninguna solución de la ecuación homogénea de segundo orden. que sea de la forma y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−2 (x)y ′′ − xf (x)y ′ + f (x)y = 0.67) Use esta interesante observación para resolver completamente la ecuación xy ′′ − xy ′ + y = 0.17 Resuelva la ecuación x2 + 1 y ′′ − 2xy ′ + 2y = 0. la general. es decir.16 Compruebe que y = x es solución particular de toda ecuación que satisfaga an−1 (x) + xan (x) = 0.68) y12 E JERCICIO 3. Claro está que en la mayor parte de los casos la nueva ecuación será tan difícil como la primera.18 Use el método de d’Alembert para demostrar que.19 RCompruebe directamente el anterior resultado por medio de la fórmula de Liouville aplicada a {y1 . módulo cuadraturas. E JERCICIOR√ 3. por tanto.18 y la solución y1 = ekx para demostrar el siguiente resultado: y ′′ − 2ky ′ + k 2 y = 0 ⇐⇒ y = C1 ekx + C2 xekx .52 3 Ecuaciones de orden superior E JERCICIO 3. basta. que es el más habitual. E JERCICIO 3.70) ¿En qué otros casos puede resultar útil este cambio? También puede cambiarse la variable dependiente. Resuelva la ecuación xy ′′ − y ′ + 4x3 y = 0.21 Haga en la ecuación y ′′ +P (x)y ′ +Q(x)y = 0 el cambio de variable independiente x→ t≡ Q dx y demuestre que permite obtener las soluciones si resulta que 2P Q + Q′ = 0. Ecuación lineal homogénea de segundo orden En el caso de la ecuación homogénea de segundo orden. (3. (3. puede in- tentarse alguno de los siguientes cambios de variables para hallar la primera solución particular. reducir el problema a cuadraturas.net . y1 u dx}. si y1 es una solución particular de la ecuación homogénea de segundo orden6 y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0. (3.20 Use el ejercicio 3. http://librosysolucionarios. (3. E JERCICIO 3. conocer una solución para ser capaz de construir. Comence- mos estudiando un cambio de variable independiente. pero en ocasiones la sabremos resolver y. por ello. 6 Aquí y en el capítulo 6 usaremos esta notación alternativa para la ecuación y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = 0. 76) k=1 7 Joseph Liouville (24-03-1809. 8-09-1882. donde su teorema sobre la conservación del volumen del espacio de fases de un sistema hamiltoniano es de fundamental importancia para la mecánica estadística. (3. por tanto.3. sin embargo.8 Ecuaciones lineales completas 53 E JERCICIO 3. son fácilmente resolubles). Ly1 = 0. Ly2 = b =⇒ L (y1 + y2 ) = Ly1 + Ly2 = b.8. Primero debe resolverse la homogénea asociada hallando n soluciones linealmente inde- P pendientes yk . Francia. deberá recurrirse a los métodos que estudiaremos en el capítulo 6 o a métodos aproximados. que la diferencia entre dos soluciones de la completa es solución de la homogénea: Ly1 = Ly2 = b =⇒ L (y1 − y2 ) = Ly1 − Ly2 = 0. (3.74) y. (3. http://librosysolucionarios. funciones elípticas y teoría de integración de funciones algebraicas. Es- tudió ecuaciones diferenciales (con Sturm). Ecuaciones lineales completas Debido a que la ecuación es lineal. Saint-Omer. solo a veces— es útil será estudiado en el proble- ma 6. con constantes a. la resolución de la ecuación completa se hace en dos pasos: 1.12.73) Este principio de superposición para las ecuaciones lineales completas asegura. que si todos los coeficientes ak son constantes el método de Euler. porque entonces la ecuación se reduce a una de Cauchy-Euler que. que la suma de una solución de la homogénea y otra de la completa es solución de la completa. permite buscar sistemáticamente las soluciones para cualquier orden n mediante procedimientos esencialmente algebraicos. (3. con las que se construye su solución general nk=1 Ck yk (que se llama a veces función complementaria): n X Ly = 0 ⇐⇒ y= Ck y k . al revés. (3. astronomía y mecánica. (También es útil si la mencionada expresión resulta ser de la forma c/(ax + b)2 . Si todos estos cambios fallan. dicha transformación permite obtener las soluciones.71) 2 ′  Concluya que cuando resulta que el coeficiente f (x) ≡ 4Q − P − 2P /4 es una constante. Trabajó en electromag- netismo.72) Otro cambio de variables que —a veces. si y1 e y2 son soluciones correspondientes a los términos inhomogéneos b1 y b2 . como veremos en el apartado 3.75) Esto demuestra que la solución general de la ecuación completa es la suma de la solución general de la homogénea asociada y una solución particular cualquiera de la completa. Halle la solución general de xy ′′ + 2y ′ + xy = 0.net . Por tanto. entonces a1 y1 + a2 y2 es la solución que corresponde al término inhomo- géneo a1 b1 (x) + a2 b2 (x). si los coeficientes ai son constantes: Ly1 = b1 . Nótese. París). 3. b y c. Demostró la existencia de los números trascendentes e inventó la derivada fraccionaria. (3. Ly2 = b2 =⇒ L (a1 y1 + a2 y2 ) = a1 Ly1 + a2 Ly2 = a1 b1 + a2 b2 .15. que veremos más adelante.22 Haga en la ecuación y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y R = 0 el cambio de variable dependiente 1 P dx dado por la transformación de Liouville7 y → u ≡ y e 2 y demuestre que reduce la ecuación a la forma normal u′′ + f (x)u = 0. . El problema de hallar la solución particular puede abordarse de forma sistemática por medio de cualquiera de los dos métodos que discutimos a continuación. g1′ y1′ + g2′ y2′ + ··· + gn′ yn′ = 0. . . . 3. En este simple ejemplo.. .. la ecuación y ′′′ − y ′ = 1. Luego debe hallarse una solución particular yp de la completa: Lyp = b. Método de variación de constantes P Conocida la solución general de la homogénea nk=1 Ck yk . ...79) Como vimos en el ejercicio 3. .23 Halle la solución general de y ′′ + y = x. (3. ..net . E JERCICIO 3.. . (3..78) k=1 Consideremos.13. una solución particular de la completa se halla fácilmente por inspección: y = −x satisface la ecuación completa. su solución general será y = A + Bex + Ce−x − x.. (3. la solución general de la ecuación homogénea y ′′′ − y ′ = 0 es A + Bex + Ce−x .81) . (3. por ejemplo.  n X h n X i  (n−1) (n−2) a1 yp(n−1) = gk yk + gk′ yk =0 k=1 k=1  Xn h Xn i  (n) (n−1) 1 yp(n) = gk yk + gk′ yk =b k=1 k=1 Pn Lyp = k=1 gk Lyk + b http://librosysolucionarios. se busca una solución particular de la completa sustituyendo los coeficientes constantes Ck por funciones a determinar gk (x) y P ensayar yp = nk=1 gk (x)yk (x). . Si imponemos que las derivadas de esas n funciones satisfagan las siguientes n condiciones: g1′ y1 + g2′ y2 + ··· + gn′ yn = 0. (n−1) (n−1) g1′ y1 + g2′ y2 + · · · + gn′ yn(n−1) = b.54 3 Ecuaciones de orden superior 2. una vez resuelta la parte que suele ser más difícil: hallar la solución general de la homogénea.77) Pn La solución general de la ecuación lineal completa será y = k=1 Ck yk + yp : n X Ly = b ⇐⇒ y= Ck y k + y p .1.80) . Por tanto.8. . . . (3. la función que ensayamos y sus derivadas cumplirán las siguiente relaciones y su suma:  n X  an yp = gk yk k=1  Xn h n X i  an−1 yp′ = gk yk′ + gk′ yk =0 k=1 k=1  Xn h Xn i  an−2 yp′′ = gk yk′′ + gk′ yk′ =0 k=1 k=1 . 24 que aparece abajo) se resuelven de forma más fácil mediante el método de Euler.84) k=1 k=1 que de hecho contiene no solo la particular buscada sino todas las soluciones de la completa.8 Ecuaciones lineales completas 55 Puesto que las yk son soluciones de la homogénea.24 Halle la solución general de y ′′ + y = 1/ cos x.87) g ′ ex − h′ e−x = x2 . http://librosysolucionarios. como la del ejercicio 3. Se comprueba sin dificultad que la solución de la homogénea es y = C1 ex + C2 e−x . De las condiciones entre corchetes. h′ = − x2 ex . (3. que constituyen un sistema lineal con determinante no nulo (porque es el wronskiano de un sistema fundamental de la homogénea).83) y sustituidas en la combinación ensayada proporcionan una solución n Z X  n X yp = fk (x) dx yk + Ck y k . Por ello. por lo que tienen una única solución para las derivadas.90) 2 2 Por tanto.net .89) 2 2 y de aquí 1 2  1 2  g=− x + 2x + 2 e−x + C1 . en vez de las constantes C1 y C2 hay que usar las funciones g(x) y h(x):   −1 yp = gex + he−x  h i  0 yp′ = gex − he−x + g ′ ex + h′ e−x = 0  i  h (3. g ′ex + h′ e−x = 0.3. h=− x − 2x + 2 ex + C2 . Los valores entre corchetes de las anteriores igualdades son las condiciones (3.85) aunque veremos más adelante que ecuaciones de este tipo (pero no otras más generales.86) 1 yp′′ = gex + he−x + g ′ ex − h′ e−x = x2 yp′′ − yp = 0 + x2 . la solución ensayada satisface la ecuación completa: Lyp = b. Como ejemplo estudiaremos la ecuación y ′′ − y = x2 . Z gk (x) = fk (x) dx + Ck . (3. (3.82) que integradas. (3. gk′ (x) = fk (x).88) se obtiene 1 1 g ′ = x2 e−x . ya que las n constantes de integración reconstruyen la solución general de la homogénea. la solución general de la ecuación es y = C1 ex + C2 e−x − x2 − 2. (3.91) E JERCICIO 3.80). (3. (3. Lyk = 0. (3. (3. Francia).94)  Z x h i  (n−1) a1 yp(n−1) = K (x. la función así construida es solución de la completa. Rx Con esa familia de soluciones se construye la función yp = x0 K(x.56 3 Ecuaciones de orden superior 3.. s) = 0. . De 8 Augustin Louis Cauchy (21-08-1789. K (n−1) (s.93). 23-05-1857.2. .8. París. (3. (3. hace que su nombre aparezca en numerosos resultados.25 Demuestre que existe una y solo una familia de soluciones de la homogénea que satisface las condiciones (3. El ingente trabajo de Cauchy.. x) b(x) = 0 x0  Z x h i  ′′ an−2 yp′′ = K (x. LK = 0. s) = 0. . s) = 0. recogido en 789 artículos. x) b(x) = 0 x0 . pero que tiene un mayor interés teórico y. nos lo proporciona el método de Cauchy8 . es nulo porque K es solución de la homogénea. s) = 1. s) b(s) ds + K (n−1) (x. K ′ (s. n X LK(x. s) b(s) ds + ′ K (x. . .net . s) = Ck (s)yk . . entre los que podemos mencionar el teorema integral de Cauchy y las ecuaciones de Cauchy-Riemann en variable compleja. En él se usa el conocimiento de la solución general de la homogénea para construir la familia dependiente de un parámetro s de soluciones de la homogénea. s) b(s) ds x0  Z x h i  an−1 yp′ = K ′ (x. el teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de Cauchy-Kovalevskaya y las sucesiones de Cauchy. Sceaux. s) = 0. s) b(s) ds + K(x.. (3.92) k=1 que satisfacen las siguientes n condiciones iniciales en x = s: K(s. s) b(s) ds + b x0 R Puesto que el primer sumando de la derecha. Lyp = b. s) b(s) ds + K (n−2) (x. una nítida interpretación física. s) b(s) ds que junto con sus derivadas proporciona las siguientes expresiones como consecuencia directa de las condiciones iniciales especiales satisfechas por K:  Z x  an yp = K(x. K(x. como veremos en el siguiente apartado. Método de Cauchy Un método alternativo para hallar una solución particular de la completa una vez resuelta la homogénea que es probablemente menos práctico. xx0 LK(x.93) (n−2) K (s. x) b(x) = 0 x0  Z x h i  (n) 1 yp(n) = K (x.. http://librosysolucionarios. x) b(x) = b x0 Z x Lyp = LK(x. s) b(s) ds. . E JERCICIO 3. Camden Town.1.97) 0 Si ahora el término inhomogéneo no es x2 sino x. como se ve tomando x = x0 en (3. s) = C1 (s)es − C2 (s)e−s = 1. (3. 3. La eficacia de su cálculo operacional para resolver como algebraicas las ecuaciones diferenciales que aparecen en teoría de circuitos. Funciones generalizadas Para interpretar desde un punto de vista muy útil en física el método de Cauchy.9. Inglaterra). para hallar la correspondiente solución basta hacer una integral: Z x y= sinh(x − s) s ds = sinh x − x.85).98) 0 E JERCICIO 3. hasta que se pudo establecer el fundamento matemático de sus métodos.95) K ′ (s. K(x. Aparte de importantes trabajos en electricidad y electromagnetismo. 3. el introductor del cálculo vectorial. la familia de soluciones que necesitamos es del tipo K(x. 3-02-1925. si x > a. Puesto que la solución de la homogénea es y = C1 ex +C2 e−x .94). Volvamos al ejemplo de la ecuación (3. debe mencionarse que fue. Inglaterra. (3.net .96) De aquí obtenemos C1 (s) = e−s /2 y C2 (s) = −es /2. si x < a. s) = C1 (s)es + C2 (s)e−s = 0.26 Use el método de Cauchy para reducir a cuadraturas el oscilador armónico forzado ¨ + ω 2 x = f (t). es la solución particular que satisface condiciones iniciales nulas y(x0 ) = y ′(x0 ) = · · · = y (n−1) (x0 ) = 0.9. Torquay. 9 Oliver Heaviside (18-05-1850. Función escalón unidad de Heaviside Se llama función escalón unidad o función de Heaviside9 a la que está definida como ( 0. s) = C1 (s)ex +C2 (s)e−x y debe satisfacer las siguientes condiciones: K(s. x Nótese que el esfuerzo de calcular la familia K(x.9 Funciones generalizadas 57 hecho. introduzca- mos primero unas «funciones» que aligeran notablemente muchos cálculos. θ(x − a) = (3. (3. s) viene compensado por la ventaja de tener una expresión que mediante una simple cuadratura permite hallar la solución correspondiente a cualquier término inhomogéneo b (a cualquier fuerza externa f (t) en el último ejemplo). en vez de tener que resolver cada vez el sistema algebraico para las gk′ y calcular sus n integrales como sucede en el método de variación de constantes. http://librosysolucionarios.3. (3.99) 1. Por tanto. no evitó una gran controversia en su tiempo. jun- to a Gibbs. s) = sinh(x − s) y la solución que satisface condiciones iniciales nulas es Z x y= sinh(x − s) s2 ds = 2 cosh x − x2 − 2. 58 3 Ecuaciones de orden superior F IGURA 3. donde es discontinua. Es obvio que tiene derivada nula excepto en x = a. pero es más intere- sante su derivada generalizada que se define como sigue. Sean dos funciones f y g y la siguiente integral resuelta por partes: Z ∞ .1 Función escalón unidad de Heaviside. ∞ Z ∞ f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x). . f ′ (x)g(x) dx. el primer término es nulo y queda Z Z ∞ ∞ f (x)g ′(x) dx = − f ′ (x)g(x) dx.net . por el contrario.102) −∞ −∞ a Si interpretamos la derivada θ′ (x − a) que aparece en el primer miembro de la anterior expresión en el sentido ordinario. 26-07-1941. Breselenz. Refinó el concepto de integral e hizo una famosa conjetura sobre los ceros de la función que lleva su nombre. Como la función de Heaviside es discontinua. análisis de Fourier y teoría del potencial. aunque ésta no cumpla las condiciones que garantizan que la expresión sea cierta en el sentido de las funciones ordinarias. 3.101) también puede interpretarse como la definición de la derivada generalizada de cualquier función g. Selasca. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las superficies de Riemann apare- cen ya en su tesis doctoral.101) para definir su derivada generalizada: Z ∞ Z ∞ Z ∞ f (x)θ′ (x − a) dx ≡ − f ′ (x)θ(x − a) dx = − f ′ (x) dx = f (a). Derivada generalizada De hecho. (3. la expresión (3. pero es conocido sobre todo por su contribución a una herramienta básica de la actual física teórica: la geometría diferencial.100) −∞ −∞ −∞ Si suponemos un comportamiento en el infinito tal que l´ımx→±∞ |f g| = 0.100).2. http://librosysolucionarios. es por definición tal que dicha integral no 10 Henri Léon Lebesgue (28-06-1875. Francia. Hanover —hoy día Alemania—. − (3. París). 20-07-1866. las adecuadas condiciones matemáticas de regula- ridad. Inició la teoría de la medida y generalizó la integral de Riemann al introducir la que lleva su nombre y que constituye desde entonces uno de los ingredientes básicos del análisis funcional. puesto que la misma no está definida en el punto x = a debemos usar la integral de Lebesgue10 que es una generalización de la integral de Riemann11 y permite concluir que la integral de la derivada ordinaria es cero debido a que el integrando se anula en casi todos los puntos. Beauvais. También trabajó sobre topología. La derivada generalizada. (3. no puede hacerse la integración por partes (3. no puede ser la primitiva de ninguna función en toda la recta real y. Italia). 11 Georg Friedrich Bernhard Riemann (17-09-1826. pero podemos usar (3.101) −∞ −∞ que es cierta cuando f y g cumplan.9. por tanto. además. pero aquí volve- remos a usar el punto de vista simplificado de los físicos para entender la delta de Dirac como el límite ideal de impulsos R∞ unidad de anchura decreciente. por tanto. Inglaterra. (3. Es también el «padre» de la electrodinámica cuántica y su ecuación del electrón predijo. Aquí solo hemos mencionado dos de ellas: regularidad y tender a cero en el infinito. sino que es un objeto matemático que cuando se introduce bajo el signo integral junto con una función f (x) devuelve el valor de esta función en el punto x = a donde la propia función escalón es discontinua: Z ∞ f (x)θ′ (x − a) dx = f (a). Bristol. con ciertas dificultades iniciales de interpretación. c). Vemos. (3.net . Delta de Dirac Se llama «función» impulso unidad o delta de Dirac12 a la derivada generalizada de la función de Heaviside. (3.) Su central contribución al establecimiento de la mecánica cuántica en un artículo de 1925 y el libro The principles of Quantum Mechanics publicado en 1930 le valieron compartir con Schrödinger el premio Nobel de Física de 1933. Tallahassee.108) −∞ −∞ 12 Paul Adrien Maurice Dirac (8-08-1902. f (x)δ(x − a) dx = (3.103) −∞ A un objeto de este tipo. que la derivada generalizada de la función de Heaviside no coincide con su derivada ordinaria. que colocada bajo el signo integral junto a una función devuelve el valor de ésta en el punto en que la delta está tomada: Z ∞ f (x)δ(x − a) dx ≡ f (a).9.107) ε ε que se obtienen trasladando g hacia la derecha una distancia a y cambiando las escalas en abscisas y ordenadas por factores opuestos.27 Demuestre las siguientes propiedades: Z c  f (a).3. sin embargo.105) b 0. de forma que todas tengan la misma integral: Z ∞ Z ∞ gε (x − a) dx = g(x) dx. 3. 13 En dicha teoría se estudian la condiciones matemáticas que debe satisfacer la función f que aparece en la integral al usar funciones generalizadas. que asocia a una función bajo el signo integral un número. Límite generalizado El método operacional usado para introducir la delta de Dirac es una caricatura «al estilo de los físicos» de la rigurosa teoría de distribuciones13 de Schwartz [27]. es decir. si a 6∈ [b.106) 3. (3. 20-10-1984. c]. si a ∈ (b. http://librosysolucionarios. Consideremos cualquier función suma- ble.9 Funciones generalizadas 59 es nula sino f (a). g(x)δ(x − a) = g(a)δ(x − a). otros métodos de abordar matemáticamente las funciones generalizadas.104) −∞ E JERCICIO 3. tal que −∞ |g| dx < ∞.UU. y construyamos la familia de funciones   1 x−a gε (x − a) ≡ g . Existen. (3. δ(x − a) ≡ θ′ (x − a).4.9. EE. la existencia de la antimateria. ε y 1/ε. se le llama función generalizada o distribución y la derivada de la función de Heaviside es la más famosa y útil de todas ellas: la delta de Dirac. Una posibilidad es considerarlas como límites de funciones «buenas» [22].3. se ha usado aquí como definición de una opera- ción para las funciones generalizadas una propiedad —la conmutación del límite y la integral— que no siempre es válida para funciones. Z ∞  l´ım Gε (x − a) = g(u) du θ(x − a).2 Familia de gaussianas. ¿Es esto cierto para funciones ordinarias? Definamos la integral indefinida Z x Gε (x − a) ≡ gε (u − a) du.29 Use la definición de las gε y un cambio de variable obvio para demostrar que. Necesitaremos la siguiente importante propiedad. como veremos en un ejemplo un poco más adelante. F IGURA 3. que se define bajo el signo integral como Z ∞   Z ∞ f (x) l´ım gε (x − a) dx ≡ l´ım f (x)gε (x − a) dx. a diferencia de lo que ocurre con gε .109) son también iguales en el sentido de las funciones ordinarias para Gε . E JERCICIO 3.60 3 Ecuaciones de orden superior 2 En el ejemplo más corriente de pulso.109) −∞ ε→0 ε→0 −∞ Al igual que se hizo con la derivada generalizada. Pretendemos calcular. que la derivada del límite es el límite de la derivada.110) −∞ E JERCICIO 3. en el sentido de las funciones ordinarias. para una familia gε (x − a) arbitraria.111) ε→0 −∞ De acuerdo con un teorema de convergencia debido a Lebesgue. (3. la integral de los pulsos se mantiene inalterada.net . es decir. (3. http://librosysolucionarios. se obtiene la familia de π 2 2 pulsos gε (x − a) = ε√1 π e−(x−a) /ε de la figura 3. la gaussiana g(x) = √1 e−x . es decir.2: a pesar de la anchura decreciente. (3.28 Compruebe que el límite y la derivada generalizadas conmutan. los dos miembros de (3. el límite generalizado. en el caso de Gε el lími- te generalizado es el mismo. 6.117) E(x. si |x| > 1/2.9. a). calculando primero la integral. a) = K(x.105)–(3. s)δ(s − a) ds = θ(x − a)K(x. −∞ |g| dx < ∞. E JERCICIO 3. excepto en x = a. cuando ε → 0 la anchura de los pulsos gaussianos mencionados anteriormente decrece sin variar su intensidad total y en el límite se encuentra δ(x − a): 1 (x−a)2 l´ım √ e− ε2 = δ(x − a). s) b(s) ds = K(x. Z x Z x E(x. bajo el signo integral.116) 0. http://librosysolucionarios.110) y a los resultados de los ejercicios 3. Solución elemental Dada una ecuación lineal de orden n.114) ε→0 ε π Este resultado traduce al compacto lenguaje de las funciones generalizados el siguiente límite de integrales ordinarias: Z ∞ 1 (x−a)2 l´ım √ f (x) e− ε2 dx = f (a).5.115) ε→0 ε π −∞ Si el límite se hubiera realizado en el sentido de las funciones ordinarias antes de calcular la integral. (3.119) x0 x0 en virtud de las propiedades (3. El límite generalizado se obtiene. hubiéramos obtenido un resultado nulo ya que el integrando se anularía en el límite. tenemos. hemos demostrado que para cualquier f (x) Z   Z  1 ∞ x−a ∞ l´ım f (x)g dx = g(u) du f (a). Por ejemplo. si |x| < 1/2. Ly = b. para x0 < a. sin embargo. si se prefiere. lo que conduce a otro resultado y permite reinterpretar el límite bajo la integral en un sentido generalizado.3.106). gracias a la definición (3.29. (3. Sucesiones que convergen a la delta de Dirac Calculando la derivada generalizada de la expresión (3.   Z  1 x−a ∞ l´ım g = g(u) du δ(x − a). (3.118) Insertando el término impulsivo en el método de Cauchy tenemos. Π(x) = (3. convergen a (un múltiplo de) la delta de Dirac. R∞ Teorema 3. a) = δ(x − a).net .112) ε→0 ε ε −∞ En otras palabras.111) obtenemos el siguiente resultado importante.28 y 3.30 Construya y analice una sucesión convergente a δ(x − a) a partir de la función puerta:  1. 3.113) ε→0 ε −∞ ε −∞ o. que cuando ε → 0 los pulsos gε (x − a) mantienen su intensidad constante mientras que su anchura disminuye y. (3. se llama solución elemental a la que satisface condiciones iniciales nulas del problema completo impulsivo: LE(x.9. (3.9 Funciones generalizadas 61 3. en el sentido de las fun- ciones generalizadas. para x < a.3 Dada una función g sumable. (3. (3. a) = 0. (3. a). ya que debido a (3.121) x0 x0 x0 que es. si las condiciones iniciales son siempre nulas. s) y sus n − 1 primeras derivadas? Recíprocamente. a) da y la que corresponde al b(x) genérico dado por (3. a) = θ(x − a)K(x. claro está.118). a) satisface las condicio- nes (3. a) da = b(a)θ(x − a)K(x. por ejemplo) y aplicar el principio de superposición. para http://librosysolucionarios. d2 I dI 1 dV L 2 +R + I = .117)–(3. (3.31 Compruebe directamente que E(x. resolver el problema elemental correspondiente al impulso unidad (f (t) = δ(t − a).62 3 Ecuaciones de orden superior E JERCICIO 3.net . la solución particular proporcionada por el método de Cauchy.3.120) Z ∞ Z ∞ Z x y= b(a)E(x. todo término inhomogéneo b(x) que es nulo a la izquierda de x = x0 puede entenderse como superposición lineal de impulsos. a) da = b(a) K(x.105) tenemos para x > x0 Z ∞ b(x) = b(a)δ(x − a) da. (3. la solución de cualquier otro problema se obtiene sin más que descomponer el término inhomogéneo como superposición de impulsos con intensidad apropiada y sumar las correspon- dientes soluciones. tal y como muestran el resultado matemá- tico (3.120) y la figura 3. la asociada a b(a)δ(x − a) da será b(a)E(x.3 Descomposición de f (t) en impulsos. Los ejemplos físicos más corrientes son el oscilador armónico forzado.123) dt dt C dt La fuerza externa f (t) o la derivada de la fuerza electromotriz aplicada dV /dt pueden entenderse F IGURA 3. Basta. como sucesión de impulsos de duración despreciable. a) da. puesto que la solución correspondiente al término δ(x − a) es E(x. x¨ + γ x˙ + ω 2x = f (t). (3. por tanto. ¿Son continuas en x = a la función E(x. en virtud de la linealidad del problema.122) y el circuito RLC.120) x0 De acuerdo con el principio de superposición. que aparece así bajo una nueva perspectiva: una vez resuelto el problema elemental correspondiente al impulso unidad. (3. (3. Al igual que sucedía con el mé- todo de Cauchy. Este tipo de método de solución de ecuaciones completas tiene una extensión natural a las ecuaciones lineales en derivadas parcia- les que aparecen en teorías de campos. P (mi ) (ki ) 6= 0. También nos aparecerá al estudiar los problemas inhomogéneos de Sturm-Liouville en el apartado 9. donde suele conocerse como método de la función de Green. 3.10 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 63 resolver el problema correspondiente a cualquier fuerza externa.125) al que está asociado un polinomio característico que se obtiene con la sustitución formal D → z: P (z) = z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an . E JERCICIO 3. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Si los coeficientes ak de la ecuación lineal homogénea y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y ′ + an y = 0 (3.3. (3. (3. que corresponden a sistemas aislados en ausencia de agentes externos. (3. como sucede en el polinomio característico. sabemos que este polinomio característico puede escri- birse como r Y P (z) = (z − ki )mi (3.129) i=1 donde el orden de los factores es irrelevante.130) http://librosysolucionarios.10.128) P y ri=1 mi = n. esta solución de la homogénea describe los transitorios que decaen más o menos rápidamente. En los dos ejemplos físicos considerados.126) Por el teorema fundamental del álgebra. com- pruebe directamente las siguientes igualdades: (D − k)(D − k ′ ) = (D − k ′ )(D − k) = D2 − (k + k ′ )D + kk ′ . la solución general contiene también todas las soluciones de la homogé- nea. P (ki ) = P ′ (ki ) = · · · = P (mi −1) (ki ) = 0. pero en otros casos pueden corresponder a soluciones muy importantes (co- mo la radiación electromagnética en la teoría de Maxwell). La linealidad del operador de derivación D = d/dx y el hecho de que los coefi- cientes sean constantes hacen que el propio polinomio diferencial admita la misma factorización r Y P (D) = (D − ki )mi . el operador diferencial L es en realidad un polinomio de derivación L = P (D) = Dn + a1 Dn−1 + · · · + an−1 D + an . Por supuesto.32 Para demostrar el isomorfismo entre polinomios diferenciales y algebraicos. esto proporciona la solución con condiciones iniciales nulas (que corresponde a un oscilador en reposo o a un circuito descargado antes de que comenzara a actuar el agente externo).net .6.127) i=1 donde ki es una raíz (real o compleja) de multiplicidad mi .124) son constantes. √ la constante γ. música. Su libro Mechanica (1736-37) supuso la primera presentación de esta disciplina con téc- nicas del análisis. 18-09-1783. . óptica. .20. donde las Ck son constantes arbitrarias.132) i=1 Por ejemplo. P (D)y = 0. del grado del polinomio) y escribir directamente la solución general como suma de cuasipolinomios (productos de polinomios por exponenciales) con coeficientes arbitrarios: r  X  y= Ci1 + Ci2 x + · · · + Cimi xmi −1 eki x . xmi −1 eki x .P el uso de e para la base de los logaritmos naturales. .64 3 Ecuaciones de orden superior E JERCICIO 3. i para −1. . la notación f (x). E JERCICIO 3. la función Γ.136) 14 Leonhard Euler (15-04-1707. Además. El caso general lo demostraremos a continuación. hidráulica. el primer estudio sistemático del cálculo de variaciones. x (3. Rusia).35 Resuelva por el método de Euler el oscilador armónico ¨ + ω 2 x = 0. Fue el primero en escribir f = ma. es decir. como ri=1 mi = n. total ceguera) y es el autor más citado en este texto. (3. etc. (Como ya se ha dicho. teoría lunar. xeki x . en lugar de las geométricas usadas desde Newton. (3.133) puede escribirse como (D + 1)2 (D − 1)y = 0.6 la P independencia lineal de esas soluciones). el método permite hallar todas las soluciones. finalmente.135) E JERCICIO 3. que como consecuencia de la factorización del polinomio diferencial se reduce a resolver problemas elementales del tipo (D − k)m y = 0.131) El ensayo de soluciones exponenciales constituye la base del método de Euler14 para resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes.net . Este discí- pulo de Johann Bernoulli es uno de los matemáticos más importantes y prolíficos de todos los tiempos (se calcula que escribió unas 15. Además de la mecánica del sólido rígido. Vemos pues que cada factor (D − ki )mi proporciona mi soluciones linealmente indepen- dientes: eki x .34 Demuestre usando el resultado probado en el problema 3.6 que la solución  general de la ecuación lineal homogénea (D − k)m y = 0 es C1 + C2 x + · · · + Cm xm−1 ekx . algunos métodos de reducción de orden.14. En el caso m = 1 vimos que la solución es y = C1 ekx en el ejercicio 2. A él se deben los factores integrantes. (3. (3. el problema de los tres cuerpos. San Petersburgo.134) por lo que la solución general se escribe directamente como y = (C1 + C2 x) e−x + C3 ex . etc. http://librosysolucionarios. y que cuando m = 2 es y = C1 ekx + C2 xekx en el 3. simple: basta hallar las raíces ki del polinomio característico —llamadas raíces características o exponentes característicos— con sus multi- plicidades mi (un problema algebraico que puede resultar de resolución exacta difícil o imposible dependiendo del orden de la ecuación. El proceso es. estudió elasticidad.000 páginas de matemáticas nuevas durante seis décadas de trabajo. demostraremos en el problema 3. para los sumatorios. y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 0 (3. π para la razón de la circunferencia al diámetro. acústica. Basilea. por tanto. que no fue interrumpido ni por su creciente y.33 Pruebe la siguiente relación entre los polinomios diferencial y característico: P (D)ekx = P (k)ekx . Suiza. 35 puede escribirse de forma manifiestamente real. las soluciones correspondientes a ese par que pueden escribirse de forma abreviada como pi (x)eki x + pj (x)ekj x (usando pi (x) ≡ Ci1 + Ci2 x + · · · + Cimi xmi −1 ) y pueden reescribirse como eαx {[pi (x) + pj (x)] cos ωx + i [pi (x) − pj (x)] sin ωx} .141) son constantes. En tal caso.142) o una suma de cuasipolinomios. No obstante.36 Compruebe que la solución del oscilador armónico que ha obtenido en el anterior ejercicio 3. (3. estamos obligados a elegir pj (x) = pi (x).138) i [pi (x) − pj (x)] = −2 Im pi (x) ≡ Ei1 + Ei2 x + · · · + Eimi xmi −1 . puede calcularse la solución particular que hay que añadir a la completa de la homogénea P (D)y = 0 mediante el método de variación de constantes o el de Cauchy. los coeficientes del polinomio son reales y las raíces com- plejas solo puede aparecer por pares complejos conjugados ki = α + iω. kj = α − iω.11. (3. pi (x) + pj (x) = 2 Re pi (x) ≡ Di1 + Di2 x + · · · + Dimi xmi −1 . http://librosysolucionarios. Ecuaciones completas con coeficientes constantes Debería ser obvio que también cuando los coeficientes ak de la ecuación lineal completa y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y ′ + an y = b(x) (3. P (D)y = b.11 Ecuaciones completas con coeficientes constantes 65 En el caso de ecuaciones reales.139) son polinomios reales y la parte de la solución correspondiente al par complejo conjugado puede escribirse en forma manifiestamente real como h eαx (Di1 + Di2 x + · · · + Dimi xmi −1 ) cos ωx + i (Ei1 + Ei2 x + · · · + Eimi xmi −1 ) sin ωx . queremos indicar que las ecuaciones con coeficientes constantes son también fácilmente resolubles por el método de la transformación de Laplace que veremos en el capítulo 5 y que resulta especialmente útil cuando se trata de un problema de condiciones iniciales. E JERCICIO 3. 3. (3.3.137) Si la ecuación es real y solo nos interesan soluciones reales. en el caso particular en que el término inhomogéneo b es un cuasipolinomio   b = A1 + A2 x + · · · + Aq xq−1 eλx (3. las integrales que aparecen en aquellos métodos son fáciles pero engorrosas y existen otros dos métodos más eficaces para proceder al cálculo de la solución particular.140) donde los coeficientes son constantes reales arbitrarias. (3. por lo que los coeficientes del seno y del coseno. Antes de acabar con este apartado.net . 146) ya que así son todas las soluciones del término (D − λ)q y = 0.net . puesto que podemos escri- bir directamente las soluciones de ambas homogéneas. es fácil ver cómo determinar la solución buscada.133). por lo que la parte correspondiente de la solución particular es 2e2x . si la ecuación objeto de estudio es   P (D)y = A1 + A2 x + · · · + Aq xq−1 eλx . (3. 1. cuyas raíces características son λ = ±1. habrá que ensayar y = (A+Bx)e−3x en y ′′′ +y ′′ −y ′ −y = −64xe−3x y determinar los coeficientes A y B.148) http://librosysolucionarios. basta igualar los coeficientes de las distintas potencias de x para determinar las constantes Bi y. (3. por lo que recordando la solución general de la homogénea (3. (3. por consiguiente.11. (3.66 3 Ecuaciones de orden superior 3. Como −64xe−3x es un cuasipolinomio de grado 1. obtenemos que la solución general de (3. Si hay más de un cuasipolinomio en el término inhomogéneo.145) por lo que también se conoce a este método con el nombre de método del operador de anula- ción.135) y usando el principio de superposición. la solución particular buscada solo puede provenir de cuasipolinomios correspondientes a la raíz λ y hay que ensayar un cuasipolinomio del mismo grado y correspondiente a la misma raíz. Método de coeficientes indeterminados Este método de ensayo se basa en el hecho ya probado de que h  i (D − λ)q A1 + A2 x + · · · + Aq xq−1 eλx = 0. Pero. Por ejemplo.147) es y = (C1 + C2 x) e−x + C3 ex + 2e2x + (5 + 4x)e−3x . Si λ no está entre las raíces características de la ecuación homogénea de partida (P (λ) 6= 0). 2. y aparece multiplicado por un polinomio de grado 0. que resultan ser 5 y 4. (3. basta recordar el principio de superposición que se aplica a ecuaciones lineales y usar el método esbozado a continua- ción con cada uno de los cuasipolinomios para determinar la parte correspondiente de la solución particular buscada y luego sumar todas ellas. Por tanto. La solución particular buscada estará entre las soluciones de esta ecuación homogénea de orden n + q que no sean solución de la homogénea de partida.     P (D) B1 + B2 x + · · · + Bq xq−1 eλx = A1 + A2 x + · · · + Aq xq−1 eλx . que no está entre los de la homogé- nea. Sustituyendo y = Ae2x en y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 18e2x se obtiene A = 2. y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 18e2x − 64xe−3x (3.143) si los Ai son constantes. la solución particular buscada.144) se cumple que (D − λ)q P (D)y = 0. respectivamente. El término 18e2x tiene como exponente característico λ = 2. Tras aplicar el polinomio de derivación. por lo que hay que ensayar un cuasipolinomio del mismo tipo con coeficientes a determinar.147) tiene como homogénea a (3.1. Por ejemplo. http://librosysolucionarios. Si la ecuación es real y hay un seno o un coseno en el término inhomogéneo. la solución general escrita en forma manifiestamente real es y = A cos x + B sin x + [(5x − 2) cos x + 2(5x − 7) sin x] ex .3.37 Halle la solución general de x 3. En el caso de y ′′ + y = x cos x (3. juntas o por separado con las correspondientes partes del término inhomogéneo. . E JERCICIO 3. . (3. ya que coinciden las frecuencias del oscilador y de la fuerza externa del término inhomogéneo. por lo que B1 . B2 . B = 4 y C = 1.11 Ecuaciones completas con coeficientes constantes 67  ¨ + x = 6t − 4t2 e−t .152) el término inhomogéneo corresponde simultáneamente a las dos raíces λ = 1 ± i con multipli- cidad 2 (ya que el polinomio es de grado 1). ya que ambas corresponden a las dos raíces características complejas α ± iω asociadas a cada término eα sin ωx (o eα cos ωx). en y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = −24x(x + 1)e−x (3. por lo que la solución particular buscada es (6 + 4x + x2 ) x2 e−x . También podrían ensayarse. . por lo que hay que ensayar un polinomio del mismo tipo (A + Bx + Cx2 ) e−x multiplicado por x2 . aunque no lo había en el término inho- mogéneo.38 Resuelva y ′′ − y ′ − 2y = cosh 2x + x. pueden conver- tirse los mismos en exponenciales complejas o ensayarse directamente la suma de un cuasipo- linomio del mismo tipo conteniendo el seno y de otro con el coseno. En cualquier caso.150) e igualar los coeficientes de las distintas potencias de x para determinar los valores de las constantes Dj ≡ Bm+j .145) aparecerá el factor (D − λ)m+q . Sustituyendo (A + Bx + Cx2 ) x2 e−x en (3.net . el polinomio a ensayar es (D1 + D2 x)ex cos x + (E1 + E2 x)ex sin x. Bm quedarán indeterminados (aparecen en las constantes arbitrarias de la solución general de la homogénea) y en realidad basta probar     P (D) D1 + D2 x + · · · + Dq xq−1 xm eλx = A1 + A2 x + · · · + Aq xq−1 eλx (3. P (m) (λ) 6= 0). Como esas raíces no lo son de la homogénea. Si λ es una raíz característica de multiplicidad m de la ecuación homogénea15 de partida (P (λ) = P ′ (λ) = · · · = P (m−1) (λ) = 0. en y ′′ + y = 25xex cos x (3.153) Observamos que la solución particular incluye un seno. Por ejemplo.151) e igualando coeficientes se obtiene A = 6. soluciones de la forma (D1 +D2 x)e(1±i)x . (3. ya que la raíz λ = −1 está dos veces en la homo- génea.151) el polinomio es de segundo grado. en la ecuación homogénea (3. por lo que habría que ensayar un cuasipolinomio con la misma estructura que la solución general que corresponde a ese operador:     P (D) B1 + B2 x + · · · + Bm+q xm+q−1 eλx = A1 + A2 x + · · · + Aq xq−1 eλx .154) 15 Cuando esto sucede con un oscilador se dice en mecánica que hay resonancia. aunque solo aparezca una de estas funciones trigonométricas.149) Pero los m primeros términos son anulados por el factor (D − λ)m del operador P (D). . E JERCICIO 3. 155) P (D) 1 la función y = P (D) b satisfaría P (D)y = b y sería. (3. 3.157) P (D) P (D) P (D) con a y b constantes. que se halla en la base del cálculo simbólico de Heaviside.159) P (D) i=1 (D − ki )mi Aunque existe una expresión formal para el inverso que ahora necesitamos. Por ejemplo.156) D La existencia de una constante de integración arbitraria muestra que (en este caso y en general) 1 1 el operador inverso no es único y que P (D) P (D) = 1 no implica P (D) P (D) = 1. Veremos cómo puede conseguirse este objetivo por pasos.68 3 Ecuaciones de orden superior los exponentes característicos λ = ±i aparecen con multiplicidad 2 en el término inhomogéneo y son también raíces características de la homogénea con multiplicidad 1. lo que por otro lado corresponde al hecho de que hay infinitas soluciones particulares de la completa. de (3.41 Demuestre 1 1 1 = . (3. E JERCICIO 3. por tanto. E JERCICIO 3. (x − t)mi −1 −kt Z 1 x b(x) = ekx e b(t) dt.39 Halle la solución general de y ′′ + y = x cos x. pero si el término inhomogéneo b(x) es suma de cuasipolinomios el problema se reduce a dar significado a (D−k1i )mi p(x)ekx . Método del operador inverso Este método.160) (D − ki )mi x0 (mi − 1)! la necesidad de calcular la integral anula la ventaja de este método sobre el de variación de cons- tantes.40 Demuestre que el operador inverso es lineal: 1 1 1 (af + bg) = a f +b g. donde p(x) es un polinomio con coeficientes constantes.2. El objetivo no es construir todos los operadores inversos: basta uno para hallar una solución particular.11. http://librosysolucionarios.158) P (D)Q(D) P (D) Q(D) En consecuencia. (3. el operador inverso de la derivación es la integral indefinida: Z 1 f= f dx. Las siguientes propiedades del operador inverso son inmediatas. por lo que el polinomio a ensayar es x [(D1 + D2 x) cos x + (E1 + E2 x) sin x]. (3. E JERCICIO 3. se basa en la idea 1 de que si existiera un operador inverso P (D) definido por la propiedad 1 P (D) = 1. (3. (3.129) se sigue la siguiente factorización del operador inverso: r 1 Y 1 = .net . la solución particular buscada. si k ′ 6= k (3. Puesto que es fácil comprobar por inducción que xm kx (D − k)m e = ekx . por consiguiente. 2. 1 1 1 e2x = xe2x . (3. se cumple (D − k ′ )ekx = (k − k ′ )ekx . (3.11 Ecuaciones completas con coeficientes constantes 69 1. en consecuencia.161) D − k′ k − k′ y.162) P (D) P (k) En el caso de y ′′ − y ′ − 2y = ex .net . 1 p(x). si k es una raíz de multiplicidad m de P (D). (3. (3. En consecuencia. la actuación del operador inverso sobre un polinomio p(x). (3. 1 kx ekx e = . por tanto. P (D) = D2 − D − 2 y como P (1) = −2 6= 0.169) P (D) P (D + k) 4. P (D) = (D − k)m Q(D). (3. (3. Es inmediato comprobar que (D−k ′ )p(x)ekx = ekx (D+k−k ′ )p(x) y que.3. P (D)p(x)ekx = ekx P (D + k)p(x). 1 1 ex = − ex . 1 1 p(x)ekx = ekx p(x). como caso particular de (3. con p(x) = a0 xq + a1 xq−1 + · · · + aq−1 x + aq .168) (D − 2) (D + 1) 3 3.170) P (D) 1 Primero se separan los factores del tipo Ds que se reducen a s integraciones elementales de polinomios. (3. http://librosysolucionarios.167) P (D) m!Q(k) Por ejemplo en y ′′ − y ′ − 2y = e2x . si P (k) 6= 0. tenemos que 1 kx ekx e = .164) m! se cumple 1 kx xm ekx e = . Si recordamos que. tenemos P (D) = (D − 2)(D + 1) y.165) (D − k)m m! Por tanto.166) tenemos que 1 kx xm ekx e = .163) D2 −D−2 2 por lo que la solución general será C1 e2x + C2 e−x − ex /2. Lo único que queda por hallar es. como consecuen- cia de la factorización de los polinomios diferenciales. con Q(k) 6= 0. (3.131). para el primer término inhomogéneo 1 1 1 1 x2 e2x = e2x 2 x2 = e2x x2 = D2 −D−2 D + 3D D!D + 3 ! 2x 1 x2 2x 2 x3 x2 2x 2x e − + = − + e . 1 p(x) = Q(D)p(x). (3. pero para ello basta recordar el isomorfismo de los polinomios de derivación con los polinomios ordinarios y aplicar la división sintética de polinomios en orden creciente de potencias. por tanto.171) P (D) Como la imagen de p(x) a través de Q(D) es fácil de calcular.172) D 3 9 27 9 9 27 ya que   1 1 1 1 1 = (3 + D) − D + D2 − D3 (3. se descompone la identidad como 1 = P (D)Q(D) + R(D) con un resto R(D) = a1 Dq+1 + a2 Dq+2 + · · · que anulará idénticamente al polinomio. por lo que tendremos p(x) = P (D)Q(D)p(x) y. R(D)p(x) = 0.173) 3 9 27 27 como se obtiene con la siguiente división entre polinomios: . Veamos un ejemplo: y ′′ − y ′ − 2y = x2 e2x − (1 + 2x)ex . (3. Tenemos.70 3 Ecuaciones de orden superior Para los términos restantes. lo único que resta es ver cómo hallar el cociente Q(D). . . 1 . 3+D . . 176) D2 −D−2 La solución particular de la ecuación será.174) 1 2 1 1 D − D 9 3 9 1 3 1 1 1 − D − D + D2 27 3 9 27 Por tanto. (3. 1 1 − D 3 3 (3. 1 2 2 x2 2x   1 2 1 1 2 x = − D+ D x = − + .net .177) 9 9 27 http://librosysolucionarios.175) D+3 3 9 27 3 9 27 E JERCICIO 3. (3. (3.42 Compruebe que 1 (1 + 2x)ex = −(1 + x)ex . ! x3 x2 2x 2x yp = − + e + (1 + x)ex . en consecuencia. E JERCICIO 3. ! dn y n n −nt d y n−1 dy = a e + · · · + (−1) (n − 1)! .12 Ecuaciones de Cauchy-Euler 71 3. (3. además. (3. (3. (3.181) dxn dtn dt y los factores e−kt cancelan las potencias (ax + b)k .185) 2 se obtiene la ecuación y¨ + 32 y˙ − y = 0.. .178) con a. http://librosysolucionarios. (3. b y ak constantes. pero puede ensayarse directamente xk en la ecuación y se obtiene   5 1 k(k − 1) + k − 1 = k − (k + 2) = 0.43 Resuelva (2x + 1)2 y ′′ + (8x + 4)y ′ + y = 9x. (3.184) Por ejemplo. haciendo el cambio x = et en 5 x2 y ′′ + xy ′ − y = 0 (3. son linealmente independientes. Como.183) tp eαt sin ωt −→ lnp (ax + b)(ax + b)α sin [ω ln(ax + b)] .3.186) 2 2 lo que nos dice que x1/2 y x√ −2 son solución. Esta ecuación es equidimensional en ax + b y el cambio de variable independiente ax + b = et la convierte en una lineal con coeficientes constantes. Ecuaciones de Cauchy-Euler Se llama ecuación de Cauchy-Euler a la que tiene la siguiente estructura: (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + · · · + an−1 (ax + b) y ′ + an y = B(x). que consiste en ensayar en la ecuación (ax + b)k (en vez de ekt ) para hallar las raíces características y aplicar las reglas dadas para los coeficientes constantes con las siguientes sustituciones sistemáticas: tp ekt −→ lnp (ax + b)(ax + b)k . ya que dy dy = ae−t . En consecuencia.182) tp eαt cos ωt −→ lnp (ax + b)(ax + b)α cos [ω ln(ax + b)] . la homogénea se puede resolver mediante el citado cambio de variable o utilizando la traducción inmediata del método de Euler.179) dx dt ! d2 y 2 2 −2t d y dy = ae − .net .180) dx2 dt2 dt .12. la solución general será y = A x + B/x2 . (3. (3. (b) x + 1. s) = 0.5 Considere las funciones y1 = x e y2 = |x|.16 x2 y ′′ − xy ′ + y = x ln3 x. el método del apartado 2. x2 . 3. 3. 3. Incluso sin resolver la última integral que aparece. x2 + 1.12 y ′′ − y = xex .15. Como ejemplo. si ki 6= kj cuando i 6= j. e2x .10 Discuta el problema elemental de y ′ + A(x)y = B(x). s) + ω 2G(x.15 (D + 1)3 y = e−x + x2 .9 Método de derivación. dx5 x dx4 3 3.14 D3 + D y = 1 + e2x + cos x. aunque sean lineales y la derivada más alta aparezca despejada. n son linealmente inde- pendientes en todo segmento de la recta. 3.7 Halle las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden que satisfacen los siguientes pares de funciones: (a) x. . s) = δ(x − s). d5 y 1 d4 y 3. .2 − = 0.13 y ′′ + y = xe−x cos x. puede usarse la física para obtener información cualitativa interesante sobre las soluciones de este tipo de ecuaciones. 3.6 es útil con ecuaciones de orden superior. . 3. s) = G(ℓ.13. .6 Demuestre que las funciones xpi eki x : pi = 0. .8 mediante dicho método. ni . . 3. Problemas 3. 3.72 3 Ecuaciones de orden superior 3. Discuta el resultado para los distintos valores de los parámetros 0 ≤ s ≤ ℓ. 1)? Calcule su wronskiano y comente el resultado. n o 3. ¿Son linealmente independientes en el intervalo (−1. G(0. . resuelva el problema 3. A veces.4 Reduzca a cuadraturas la ecuación y ′′ + f (y) = 0.3 y ′′ − xy ′′′ + (y ′′′ ) = 0. 3.8 (x + 1)y ′′ + xy ′ − y = (x + 1)2 . Halle y simplifique la solución del siguiente problema de contorno: G′′ (x. .1 Halle la ecuación diferencial que satisfacen todas las circunferencias del plano.   3. http://librosysolucionarios. ¿Por qué? 3.net . (c) x.11 Función de Green de dos puntos del oscilador armónico. 3. i = 1. 3. Sugerencia: Existe una solución polinómica de la homogénea.18 yy ′′ + (y ′ ) = √ . Demuestre que si la ecuación completa y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = b(x) admite tres soluciones particulares. y′ 3. 3. 3.19 x2 − 1 y ′′ − 6y = 1. 3. y1 .23 Reduzca a cuadraturas la ecuación y ′′ − xf (x)y ′ + f (x)y = 0. x 3.17 Una cadena de 6 m se coloca sobre una mesa lisa con un tramo de 1 m colgando más allá del borde. y2 e y3 . 1 + x2   3.21 xy ′′ = y ′ ln .20 y ′′ + 10y ′ + 25y = 2x + xe−5x . ¿Cuándo caerá el último eslabón? 2 yy ′ 3.22 Compruebe que x−1/2 sin x es una solución de la ecuación de Bessel   x2 y ′′ + xy ′ + x2 − 1/4 y = 0.24 (2x − 3)2 y ′′ − 6(2x − 3)y ′ + 12y = 0. Halle la solución general.25 Tres soluciones de la completa. 3. que satisfacen .13 Problemas 73 3. . . . y1 y2 y3 . . . . y1′ y2′ y3′ . . = 6 0. . . . 1 1 1 . 3.26 Demuestre que si las funciones y1 e y2 se anulan en el mismo punto x ∈ I. Demuestre que la ecua- ción lineal homogénea y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = 0 se convierte en una de Riccati con el cambio u = y ′ /y.net . 3. y2 − y3 . y − y3 ] = 0.27 Ecuaciones de Riccati y lineales homogéneas de segundo orden. http://librosysolucionarios. la solución general es y = C1 (y1 − y3 ) + C2 (y2 − y3 ) + y3 y que la propia ecuación puede escribirse como W [y1 − y3 . Halle la transformación que convierte toda ecuación de Riccati en una lineal homogé- nea de segundo orden. no pueden formar en I un sistema fundamental de soluciones de la ecuación lineal y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = 0. ω0 > 0).   x =  Ae−(γ+λ)t + Be−(γ−λ)t . si x = 0. si x > 0. que describe el comportamiento permanente: (ω02 − Ω2 ) cos Ωt + 2γΩ sin Ωt x = f 2 = A cos(Ωt + α).   −1. Demuestre que la solución general de la ecuación homogénea correspondiente. 2 (ω02 − Ω2 ) + 4γ 2 Ω2 ω 2 − Ω2 π α ≡ arctan 0 − . http://librosysolucionarios. n→∞ 3.32 ¿Cuál será la definición operacional bajo el signo integral de la derivada δ ′ (x − a)? ¿Para qué puede usarse en física? 1/2 3. γ 2 − ω02 > 0 puede pasar a lo sumo una vez por la posición de equilibrio. sign(x) = 0. Demuestre que el oscilador sobreamortiguado   x¨ + 2γ x˙ + ω02 x = 0.28 Oscilador forzado. Sea el oscilador x¨ + 2γ x˙ + ω02 x = f cos Ωt.29 Oscilador amortiguado.net .31 Calcule el siguiente límite generalizado l´ım ng [n(x − a)] . γ→∞ para cualquier función sumable g. si γ = ω0 . 2γΩ 2 3. 3. si x < 0. (ω02 − Ω2 ) + 4γ 2 Ω2 f A ≡ q . que describe su comportamiento transitorio. −ω0 t  (A + Bt)e .30 Calcule la derivada generalizada de la función signo que se define como sigue:    1. si γ > ω0 .74 3 Ecuaciones de orden superior 3. q q donde ω ≡ ω02 − γ 2 y λ ≡ γ 2 − ω02 < γ. si γ < ω0 . es  e−γt (A cos ωt + B sin ωt) . Compruebe que como solución particular nece- saria para escribir la solución general del oscilador puede elegirse la siguiente.33 Sea β = (1 − γ −2 ) . (γ. ¿Qué pasa en el caso de amortigua- miento crítico? 3. Calcule el siguiente límite que resulta muy útil en relatividad especial y general: l´ım γg (γ(x − βt)). considere la siguiente ecuación: xn = xn−1 + xn−2 . La solución particular correspondiente a las condiciones iniciales x0 = 0 y x1 = 1 recibe el nombre de sucesión de Fibonacci. si el miembro de la izquierda es exacto. para que exista una expresión diferencial lineal de primer orden. 10−1 .36 Ecuaciones diferenciales lineales exactas de segundo orden.35 ¿Cuál es la diferencia entre las derivadas ordinaria y generalizada de la función de la figu- ra 3. Pisa. 1. tal que ′ [A1 (x)y ′ + A2 (x)y] = a0 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y. Aplíquese el método a la ecuación y ′′ + xy ′ + y = 0. Discútase el método de integración de la ecuación diferencial lineal a0 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = b(x). 16 Leonardo Pisano Fibonacci (1170. 1250. El método de Euler para resolver ecuaciones diferencia- les lineales de coeficientes constantes puede extenderse directamente a la resolución de ecuacio- nes en diferencias finitas del mismo tipo. Halle los límites ε → 0 de ϕε (x) y ϕ′ε (x) y comente el resultado.4? 3. . Pisa). 3.13 Problemas 75 F IGURA 3. es decir. halle la solución general de dicha ecuación. 2.187) π ε 2 Calcule ϕ′ε (x) y dibuje ϕε (x) y ϕ′ε (x) para ε = 1.4 Una función continua por trozos. supuso la introducción en Europa de la numeración indoarábiga. . publicado en 1202. 3.34 Considere la familia     1 x π ϕε (x) = arctan + . Probando soluciones del tipo apropiado. Como ejemplo.37 Ecuaciones en diferencias finitas. A1 (x)y ′ + A2 (x)y.3.16 Halle una expresión para el enésimo número de Fibonacci Fn . 3. 10−2.net . Halle la condición necesaria y suficiente para que la expresión diferencial lineal de segundo orden a0 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y sea exacta. mientras que Practica geometriae (1220) era una compilación de la geometría de la época e introdujo algunos conceptos trigonométricos. . Encuentre la condición que debe satisfacer el factor integrante µ(x) que hace exacta la expresión µ(x) [a0 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y] si la de partida no lo era. (3. 3. n = 2. http://librosysolucionarios. Su Liber abaci. 40 Demuestre que y1 = 1 e y2 = 1/x son soluciones linealmente independientes de la ecua- ción de Burgers: y ′′ + 2yy ′ = 0. Calcule el valor de la razón áurea. entre otras muchas formas. yh. 3. que puede obtenerse. ¿Cuál es su solución general? (¡Cuidado!) 3.43 Supongamos que se conoce una solución particular. 3.76 3 Ecuaciones de orden superior 3.net . de la ecuación lineal homogénea de primer orden. Utilice el método de variación de constantes para escribir mediante una única cuadratura la solución general de la ecuación completa y ′ + A(x)y = B(x).41 Resuelva la ecuación diferencial xy ′′ + 2y ′ − xy = 0. 3.38 Encuentre la ecuación diferencial de mínimo orden que admite las soluciones y = C1 + ln (C2 x) con C1 y C2 arbitrarios. Comente el resultado.42 Halle la solución general de la ecuación (2x2 − 2x)y ′′ + (5x − 1)y ′ + y = 0. 3. http://librosysolucionarios. y ′ +A(x)y = 0. como: φ = l´ım Fn+1 /Fn .39 Resuelva la ecuación xy ′′ = 2yy ′. n→∞ 3. z. por tanto. Definición y propiedades generales En el espacio tridimensional una curva es la intersección de dos superficies ϕ1 (x. y. la x por ejemplo. z) = 0. z.Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones La multitude qui ne se réduit pas à l’unité est confusion.1) ϕ2 (x. z) del dominio de definición considerado pasa una curva de la familia y solo una. donde usaremos una notación matricial que resulta muy económica y eficaz. y. obtenemos las ecuaciones diferenciales de la congruencia: ∂ψ1 ∂ψ1 ′ ∂ψ1 ′ + y + z = 0. C1.1. y.3. (4. z) = C2 . y. y. una familia biparamé- trica de curvas ϕ1 (x. Una vez más. C2 ) = 0. es en el fondo una repetición del capítulo 3.2) con la propiedad de que por cada punto (x.1. 4. y. z) y expresar dichas ecuaciones como ψ1 (x.2. . que siempre pueden considerarse como de primer orden en virtud de lo dicho en el apartado 3. Esta propiedad se traduce por la posibilidad de despejar de las ecuaciones de la familia los valores de los parámetros que identifican la curva que pasa por cada punto (x. . z) = C1 .3) ψ2 (x. z) = 0 y ϕ2 (x. (4. C1. y. Blaise Pascal Este capítulo es una extensión de los dos anteriores1 y trata el caso más general en ecuaciones diferenciales ordinarias: los sistemas de ecuaciones. la mayor atención será dedicada al caso lineal.4) con lo que derivando respecto a la variable que elijamos como independiente. de acuerdo con lo dicho en el apartado 4. C2 ) = 0 (4. pero su estudio desde un nuevo punto de vista y con una nueva notación resultará finalmente fructífero. (4. Una congruencia de curvas en el espacio será. 77 http://librosysolucionarios.5) ∂x ∂y ∂z 1 Para ser más precisos. (4. y.net . hay que reconocer que. . n. xn ) . . i = 1. . no presenta sorpresas. sin pérdida de generalidad. x1 .11) y escríbalo en sus formas normal y canónica. i = 1. Aislando las diferenciales se obtiene la forma canónica: dt dx1 dx2 dxn = = = ··· = . . (4. z) g2 (x. y. x1 . . cambiaremos un poco la notación para ajustarnos al uso más extendido en el caso de sistemas y llamaremos (t. En un espacio de dimensión n + 1. . xn ) = Ci .6) ∂x ∂y ∂z Si se despejan las derivadas tenemos el sistema en forma normal: y ′ = f1 (x.8) mientras que si se aíslan las diferenciales logramos la forma canónica: dx dy dz = = .net . (4. y. . mientras que xi se usará para las dependientes. n. .13) ∂t j=1 ∂xj Si despejamos las derivadas. (4. (4. de acuerdo con las circunstancias).1 Halle el sistema de ecuaciones diferenciales de la congruencia de circunferencias x2 + y 2 + z 2 = A2 . El teorema de existencia y unicidad. . La variable independiente será t. i = 1. . z). Una congruencia vendrá dada por una familia de n ecuaciones que dependen de n parámetros y pueden escribirse en la forma ψi (t.9) g1 (x. (4. y. n.14) donde hemos seguido la costumbre de utilizar un punto para denotar la derivada «temporal»: x˙ ≡ dx/dt. . y. Dado un sistema que puede escribirse en formal normal x˙ i = fi (t. (4. . . xn ) a las coordenadas. ya que en realidad incluyen los sistemas de ecuaciones de orden arbitrario. y.10) x + y + z = B. existe una única solución que satisface el sistema y un conjunto de n condiciones iniciales xi (t0 ) = xi0 . . x2 . x1 . . (4. z). . i = 1. . Por ello. el sistema se escribe en forma normal: x˙ i = fi (t. . . (4. únicamente sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.12) Las ecuaciones diferenciales de la congruencia se obtienen por derivación: n ∂ψi X ∂ψi + x˙ j = 0.78 4 Sistemas de ecuaciones ∂ψ2 ∂ψ2 ′ ∂ψ2 ′ + y + z = 0. n. .3 siempre puede rebajarse el orden de una ecuación hasta el primero a costa de introducir más incógnitas y las correspondientes ecuaciones. en este capítulo podremos considerar. . · · · . Vamos también a suponer que las derivadas pueden despejarse y el sistema ser escrito en forma normal (o canónica. . (4. . (4. . (4.17) http://librosysolucionarios. (4. Como ya vimos en el apartado 3. i = 1.16) si las funciones fi y ∂fi /∂xj son continuas. z) g3 (x. xn ) . . x1 . . . z) E JERCICIO 4.7) z ′ = f2 (x. que tampoco vamos a demostrar aquí. · · · .15) g0 g1 g2 gn Cada curva de la congruencia es una curva integral de estos sistemas de ecuaciones diferenciales y el conjunto de ecuaciones finitas de las curvas integrales constituye una solución general de dichos sistemas diferenciales. . n. que es el doble del número de grados de libertad en mecánica. i = 1. también lo es la trasladada por cualquier valor t0 . . xn ). (4. la proyección sobre el espacio de fases de la correspondiente curva integral del espa- cio (t. su invariancia frente a traslaciones de la variable independiente t hace que una constante de integración sea casi trivial y aparezca sumada a la variable independiente en la forma t − t0 . . . .net . que si xi = gi (t) es solución del siste- ma (4.1 La congruencia de un sistema autónomo y su proyección en el espacio de fases. que es casi igual a t.4.2.1. . . dxi fi (x1 . . . . . . . . . xn ) 2 Al usar este nombre se está pensando en las ecuaciones canónicas de primer orden de la mecánica hamiltoniana y no en las de segundo orden de la mecánica de Lagrange.19) dxα fα (x1 .18) por una cualquiera de ellas. . es decir. Sistemas dinámicos autónomos A menudo la influencia de la mecánica hace que se llame sistema dinámico a todo sistema normal de ecuaciones de primer orden como los que estamos considerando y se dice que el mismo es autónomo cuando la variable independiente no aparece explícitamente: x˙ i = fi (x1 . .4.18) Claro está que siempre puede convertirse un sistema en autónomo considerando t como una nueva incógnita y añadiendo una ecuación trivial dt/dτ = 1. (4. Si eliminamos t dividiendo todas las ecuaciones diferenciales (4. . A semejanza de lo pasaba con una única ecuación autónoma en el apartado 3.2 Compruebe la última afirmación. . α − 1. . . . donde τ . . x1 . . . xn ) . n. es decir. xn ) = . aunque no siempre es esto lo más conveniente ya que añade una dimensión al espacio de configuración. xn ) recibe el nombre de espacio de fases2 y cada solución xi = ϕi (t) del sistema dinámico define una trayectoria de fases: la curva dada en forma paramétrica por xi = ϕi (t). i = 1. . E JERCICIO 4. es la nueva variable independiente. el espacio n-dimensional de las variables depen- dientes (x1 . en muchos textos matemáticos se llama número de grados de libertad del sistema a la dimensión del espacio de fases. . . . http://librosysolucionarios.1. F IGURA 4. En este contexto de los sistemas autónomos. Por desgracia.1 Definición y propiedades generales 79 4. . si el sistema es autónomo. . n. .18). que se escribe como xi = gi (t − t0 ). α + 1. . . que incluye métodos efectivos de resolución si. . observamos que las trayectorias de fases son las líneas de corriente del campo de velocidades (f1 . Métodos de resolución Como ya sucediera en el caso de una única ecuación. (4. Cambiar el valor de la constante de integración t0 traslada la hélice en la dirección de t. . 4. como se muestra en la figura 4. . las soluciones del sistema x˙ = −y. . . . http://librosysolucionarios. Si escribimos el sistema dinámico autónomo en forma canónica. . . F IGURA 4. que también allí forman una congruencia (si se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad). Para el caso más general —no lineal— mencionaremos solo dos posibilidades: la reducción a una única ecuación y la búsqueda de integrales primeras. Nótese que la ecuación de las trayectorias en el espacio de fases se obtiene eliminando t de la solución (x2 + y 2 = R2 ) o de las propias ecuaciones diferenciales (dy/dx = −x/y). y˙ = x (4. y). se llame flujo a la aplicación que nos da la evolución del sistema en el espacio de fases asociando a cada condición inicial el punto representativo en dicho espacio para cada valor del «tiempo» t. .2. dx1 dx2 dxn dt = = = ··· = .net . .2 Una solución de (4.20) f1 (x1 .21) y su proyección sobre el plano de fases. Por ejemplo. . fn ). pero no cambia su proyección en el plano de fases aunque sí los valores de t que corresponden a cada punto. xn ) y olvidamos la primera igualdad trivial a dt. y = R sin (t − t0 ) . . . los coeficientes son constantes.21) son x = R cos (t − t0 ) . f2 .2. lo que hace que usando una imagen hidrodinámica. xn ) f2 (x1 . .22) que. (4. .80 4 Sistemas de ecuaciones obtenemos las n−1 ecuaciones diferenciales de las trayectorias de fases. xn ) fn (x1 . existe una detallada teoría para sistemas lineales. representan hélices de radio R y paso 2π centradas en el eje t y que son también las ecuaciones paramétricas de las trayectorias de fases: las circunferencias centradas en el origen que se obtienen al proyectar las hélices sobre el espacio de fases (x. además. . en principio. reemplazar un sistema de n ecuaciones de primer orden por una única ecuación de orden n para una de las variables dependientes. pero no al variar t a lo largo de cada solución. Sea x˙ = y. Para calcular y. . y˙ = x.5 Compruebe que. . E JERCICIO 4.3 Resuelva el sistema x˙ = 3x − 2y. una ecuación Φ (t. . por tanto. . x1 . tras sustituir la solución general para x. la ecuación obtenida sea lineal. Integrales primeras Se llama integral primera del sistema a toda función Φ (t. La forma de comprobar en la práctica. xn ) = C (4. y˙ = xy. x1 . .2.net .4. (4.3 se vio cómo a costa de añadir incógnitas y ecuaciones puede reducirse el orden de cualquier ecuación al primero. http://librosysolucionarios. ya que esto proporcionaría una tercera constante de integración. El recíproco también es cierto.24) dt ∂t i=1 ∂xi Por ejemplo.1.4 Resuelva el sistema x˙ = y. No vamos a ver la teoría general. Una curva integral que tiene un punto en común con esa hipersuperficie está completamente contenida en ella. y˙ = 2x − y. si una función es integral primera o no. la función Φ = e−t (x + y) es una integral primera. sin necesidad de hallar las soluciones del sistema.23) que se satisface a lo largo de las soluciones: el valor C variará de solución a solución. ˙ donde sustituyendo la solución para x obtenemos y = Aet − Be−t . es decir. cuya solución por el método de Euler es inmediata: x = Aet + Be−t . en su lugar. en el caso del sistema x˙ = y. . xn ) que contiene a una familia con n−1 parámetros de curvas integrales. y˙ = x. Por supuesto que este método también puede intentarse con ecuaciones no lineales. Además. . . Para cada C esa ecuación representa una hipersuperficie del espacio de las (t. no hay que resolver y˙ = x. si se sustituyen las xi por las funciones correspondientes a cualquier solución del sistema dinámico. .2. con las condiciones precisas. Por derivación y susti- tución es posible. sin resolver ninguna otra ecuación diferencial. además de e−t (x + y). que si puede ser resuelta pro- porciona por mera sustitución. 4. las soluciones para todas las variables. Reducción a una ecuación En el apartado 3. ya que su derivada es nula: Φ˙ = −e−t (x+y)+e−t(x+ ˙ y)˙ = −e−t (x+y)+e−t (y+x) = 0. . E JERCICIO 4. también et (x − y) y x2 − y 2 son integrales primeras del sistema x˙ = y.2 Métodos de resolución 81 4.2. x¨ = y˙ y sustituimos la segunda obtenemos x¨ = x. Si derivamos la primera. x1 . esto puede hacerse de forma que si el sistema es lineal. hay que usar la primera de las ecuaciones y = x. y˙ = x. xn ) cuyo valor permanece constante a lo largo del flujo (de la «evolución» del sistema). Tendremos. consiste en derivarla a lo largo del flujo y ver si se anula: n dΦ ∂Φ X ∂Φ ≡ + fi = 0. sino a remitir al lector interesado al libro de Elsgoltz [3] y a ver un par de ejemplos. E JERCICIO 4. . .27)–(4.29) que tiene una alta simetría. http://librosysolucionarios. i = 1. xi−1 . para saber. y. la mencionada variable desaparece del problema. y z. E JERCICIO 4.29) para hallar las ecuaciones diferenciales de las trayectorias de fases y compruebe el resultado con el del ejercicio 4. . . . . xn ) proporciona una solución general (una congruencia de curvas integrales). . n (4. . En el caso del anterior ejemplo. a costa de introducir una constante arbitraria: xi = Ψ(t. a menos que se trate del sis- tema trivial x˙ i = 0. Φn ) 6= 0.25) funcionalmente independientes. y lo mismo sucede si las sumamos tras multiplicarlas. En el ejercicio 4. pero hace falta una de las otras integrales para saber cómo evoluciona el sistema dentro de cada hipérbola. (4. .1. por x. (4. E JERCICIO 4. . además. De esa forma. .6 Compruebe que las primeras dos integrales del ejercicio 4. si sumamos la tres ecuaciones los miembros de la derecha se cancelan. . una vez más. x1 . (x + y + z)˙ = 0. . que proporcionan integrales primeras. que en fí- sica las simetrías están asociadas a leyes de conservación.82 4 Sistemas de ecuaciones Podemos usar cada integral primera (4. . Sea el sistema x˙ = y − z. (4. . . (4.net . podemos obtener y = Ae−t −x de e−t (x+y) = A. . la integral x2 − y 2 = C nos dice que las trayectorias de fases son hipérbolas.23) para despejar una de las variables dependientes. .28) z˙ = x − y. . nos dan las ecuaciones de las trayectorias de fases. . E JERCICIO 4. Hemos obtenido así dos integrales primeras x + y + z = A y x2 + y 2 + z 2 = B que. Veamos un par de ejemplos. xi+1 . en qué punto de la trayectoria se encuentra el sistema en cada «instante» hace falta la enésima integral primera independiente. En primer lugar. respectivamente. para dar xx˙ + y y˙ + z z˙ = 0. como no dependen explícitamente del tiempo. Sobre la búsqueda de integrales primeras nos limitaremos a recordar. En el caso de sistemas dinámicos autónomos.26) ∂ (x1 . que dependerá explícitamente de t. .8 Halle la ecuación de las trayectorias de fases del ejercicio 4.27) y˙ = z − x. x1 . .5. C).4.5 son independientes y úselas para resolver el sistema. . para reducir el problema a una ecuación: x˙ = Ae−t −x. . xn ) = Ci . Demuestre que la tercera integral primera es dependiente de las otras dos. xn . ∂ (Φ1 .7 Elimine t de las ecuaciones (4. ya que en principio podemos despejar (localmente) las incógnitas xi en términos de la variable independiente t y las n constantes arbitrarias Ci . un conjunto de n − 1 integrales primeras inde- pendientes entre sí y de t proporciona la ecuación de las trayectorias de fases. y a indicar que en casos sencillos un poco de práctica en combinar las ecuaciones sacando par- tido de las simetrías matemáticas que presenten permite en ocasiones hallar algunas integrales. Un conjunto de n integrales primeras Φi (t. . 4.32) x y donde ha desaparecido t y resulta ser una ecuación para x e y de variables separadas.  (4. por tanto. (4. respectivamente. soluciones definidas en todo el intervalo de continuidad de aij y bi . vemos que los dos miembros de esa ecuación son diferenciales exactas que se integran inmediatamente y nos proporcionan la segunda integral primera necesaria para determinar la solución general: t2 + x2 + y 2 = Bx. (4.36)  . es especialmente apropiada para hallar las combinaciones que conducen a integrales primeras. Sistemas lineales de primer orden En el resto del capítulo consideraremos un sistema lineal de primer orden: n X x˙ i = aij (t) xj + bi (t). Consideraremos. el teorema de existencia y unicidad.3 Sistemas lineales de primer orden 83 En ciertos casos.9 Resuelva el siguiente sistema: y x x˙ = .net .35) j=1 donde suponemos que las funciones aij y bi son continuas en un cierto intervalo I. en el que se satisface.31) t2 2 −x −y 2 2tx 2ty Simplificando la última igualdad tenemos dx dy = . y˙ = 2 . y˙ = . Por ejemplo. sea el sistema 2tx 2ty x˙ = 2 2 2 . (4. que nos dice que las trayectorias de fases son las rectas que pasan por el origen. la forma canónica. además. .30) t −x −y t − x2 − y 2 que aparece en forma canónica como dt dx dy = = .33) t (t + x + y ) 2tx Si ahora simplificamos la t que aparece en ambos denominadores. (4.3. por mostrar de forma más simétrica todas las variables.34) x+y x+y 4. Por otro lado. (4. por tanto..  xn http://librosysolucionarios. E JERCICIO 4. Para aligerar la notación agruparemos todas las incógnitas en un vector columna   x1   x2   x=  . y los sumamos obtenemos t dt + x dx + y dy dx 2 2 2 = . En este caso. por lo que una cuadratura proporciona la integral primera y = Ax. (4. el teorema asegura que si las aij y las bi son continuas en un intervalo I. x e y. si multiplicamos los numeradores y denominadores de cada fracción por t. existe una única solución del sistema que satisface condiciones iniciales dadas en un punto del intervalo y que está definida en todo el intervalo I. como Lx = b. al que le corresponde el sistema homogéneo que se obtiene al anular el término inhomogéneo b: Lx = 0 ó x˙ = A · x.37)  .. . E JERCICIO 4.  (4. (4.84 4 Sistemas de ecuaciones y todas las funciones aij en una matriz cuadrada.net .. si a y b son constantes.39)  ..10 Escriba en forma matricial el sistema x˙ = y.  bn Como estas matrices dependen de la variable independiente tenemos.  (4. usando el primer subíndice para las filas y el segundo para las columnas:   a11 a12 · · · a1n   a21 a22 · · · a2n   A=   . .  x˙ n En notación matricial el sistema se escribe simplemente como x˙ = A · x + b (4. La teoría que desarrollamos en los siguiente apartados es extensión natural de la que vimos en el anterior capítulo para la ecuación lineal. http://librosysolucionarios. .38)  . . y˙ = −x. lo que vemos a continuación es en realidad la misma teoría expresada en una notación matricial más ágil.. (4. .41) Se comprueba sin dificultad que el operador es lineal: L(ax + by) = aLx + bLy.. . por ejemplo. siendo 0 el vector nulo.   x˙ 1   x˙ 2   x˙ =   . puesto que toda ecuación lineal de orden n puede reescribirse como n ecuaciones lineales de primer orden y al revés. De hecho.  an1 an2 · · · ann Con los términos independientes bi construimos otro vector columna b:   b1   b2   b=   . .. .42) Si b no es idénticamente nulo tendremos un sistema completo. .  (4.40) o. introduciendo el operador lineal Lx ≡ x˙ − A · x. que es el wronskiano del conjunto de vectores. (4. en la forma habitual. . En consecuencia. . xn } es linealmente dependiente. el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es un subespacio vec- torial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t) definidas en el intervalo considerado I. Si el sistema {x1 . donde la independencia lineal de un sistema de vectores xi se define.4 Sistemas lineales homogéneos 85 4. ∀t ∈ I. el determinante del sistema. Sistemas lineales homogéneos Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo: Lx = 0 ó x˙ = A · x. .44) j=1 j=1 siendo xij la fila número i del vector columna xj .43) Por consiguiente. La linealidad del operador garantiza el principio de superposición. existe solución no trivial del sistema lineal homogéneo n X n X Cj xj = 0 ⇐⇒ xij Cj = 0. (4.4. que asegura que toda combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del sistema homogéneo es también solución del mismo: X X Lxi = 0 =⇒ L Ci xi = Ci Lxi = 0.4. . como la imposibilidad de hallar más combinación lineal que se anule en todo el intervalo que la que tiene coeficientes nulos. . . x11 x12 . . · · · x1n . . x21 x22 . . · · · x2n . . W [x1 , x2 . . . , xn ] ≡ |x1 x2 . . . xn | ≡ .. .. .. .. , (4.45) . . . . . xn1 xn2 . · · · xnn . (4. Lxi = 0. W (t0 ) = 0.47) j=1 y los vectores son linealmente dependientes. se anula en todo el intervalo I. lo que a su vez implica que el wronskiano se anula en todos los puntos del intervalo. ∀t ∈ I. El teorema de existencia y unicidad asegura entonces que el vector x tiene que ser el elemento nulo. que para un conjunto de n soluciones del sistema de orden n las condiciones de dependencia lineal.46) j=1 j=1 tiene una solución no trivial para los Cj . y el wronskiano se anula en un cierto punto del intervalo. Por el principio de superposición este vector es solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones iniciales nulas en t = t0 por la forma en que se han elegido los Cj . En general. el sistema lineal homogéneo n X n X Cj xj (t0 ) = 0 ⇐⇒ xij (t0 ) Cj = 0 (4. por lo que n X x(t) = Cj xj (t) = 0. con la que podemos construir para todo t ∈ I el vector P x ≡ nj=1 Cj xj . que satisface las mismas ecuaciones y condiciones. anulación del wronskiano en un punto y anulación del mismo en todo el intervalo son completamente equivalentes. por tanto. Vemos. pero si los vectores son solución del sistema homogéneo. el recíproco de este resultado no es cierto. http://librosysolucionarios.net . como ya sucediera con la ecuación lineal homogénea de orden n.  x2 (t0 ) =   .52)  . (4. . sistemas fundamentales de soluciones.51) − sin t cos t constituyen un conjunto fundamental de soluciones del sistema (4.4.49) j=1 j=1 que tiene solución única porque su determinante. .  ···. xn ] (t) 6= 0. . (4.1. . . xn }.50) j=1 con los coeficientes elegidos en t0 .4. . . que están formados por definición por n soluciones linealmente independientes. . xn ) =  . . se sigue del hecho de que toda solución x de la homo- génea. (4.. Matrices fundamentales Colocando como columnas los n vectores de un sistema fundamental obtenemos una matriz fundamental   x11 x12 · · · x1n  x21 x22 · · · x2n    F(t) ≡ (x1 x2 . Lx = 0.2. por tanto. E JERCICIO 4. la solución general del sistema homogéneo — que incluye todas las soluciones— es una combinación con coeficientes constantes arbitrarios de P vectores de un conjunto fundamental: x = nj=1 Cj xj . es distinto de cero. . Por tanto.11 Compruebe que     cos t sin t . es una base del espacio de solucio- nes. ..53) http://librosysolucionarios.  0 0 1 o cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en t0 no sea nulo. det F(t) = W [x1 .   . . . .  (4.  xn1 xn2 · · · xnn que por construcción es no singular.48)  . Existen. (4. Que un sistema fundamental.86 4 Sistemas de ecuaciones 4. . Espacio de soluciones Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones linealmente independientes correspon- dientes a las condiciones iniciales       1 0 0   0     1     0   x1 (t0 ) =   .  . que es el wronskiano del sistema fundamental en t0 .. xn (t0 ) =   . . que tiene. La unicidad de la solución correspondiente a condiciones iniciales en t0 garantiza que n X x(t) = Cj xj (t).   . puede expresarse como combinación lineal de las del sistema fundamental con coeficientes constantes Cj que pueden calcularse resolviendo en un punto t0 el sistema n X n X x(t0 ) = Cj xj (t0 ) ⇐⇒ xi (t0 ) = xij (t0 ) Cj . 4. ∀t ∈ I. .. .net . .42) y escriba su solución general. . {x1 ..  (4. dimensión n.. por tanto. como el producto de la matriz fundamental por un vector columna constante. Definamos K(t. (4. (4. es decir. como no lo son los sistemas fundamentales ni. si estamos interesados en dar siem- pre las condiciones iniciales en un cierto punto t0 . (4.. (4. t0 ) ≡ F(t) · F(t0 )−1 . sus columnas constituyen un sistema fundamental.56) j=1 puede expresarse.42).13 Halle la solución del sistema (4. c = F(t0 )−1 · x(t0 ). que sustituido en (4.59) con lo que tenemos que x(t) = K(t.12 Halle una matriz fundamental del sistema (4.   C1  C2    c =  . (4. Pn El desarrollo de la solución general en un sistema fundamental x = j=1 Cj xj .net . E JERCICIO 4. ya que al ser Fij = xij la fila i de la solución j del sistema tenemos n X x˙ ij = aik xkj . E JERCICIO 4. en un contexto más amplio. En efecto.58) con un vector columna constante arbitrario c. Pero.4.58) obtenemos x(t0 ) = F(t0 ) · c y. las bases de espacios vectoriales.   . De hecho. que tiene como filas n X xi = xij Cj . (4. de (4. (4. es obvio que el recíproco es cierto: toda solución matricial no singular del sistema homogénea es una matriz fundamental. t0 ) · x(t0 ).57)  .60) Es obvio que por construcción K es una matriz fundamental d K(t.  Cn con lo que la solución del sistema es simplemente x(t) = F(t) · c. t0 ) = A · K(t.55) k=1 que es tanto el desarrollo de la expresión matricial x˙ j = A · xj como el de F˙ = A · F.54) donde ahora 0 es la matriz nula n × n. (4.42) usando una matriz fundamental.61) dt http://librosysolucionarios. hay una matriz fundamental única que nos permite considerar esas condiciones iniciales como las n constantes Ck que seleccionan cada solución particular. La matriz fundamental no es única. como F es invertible.58) nos da x(t) = F(t) · F(t0 )−1 · x(t0 ).4 Sistemas lineales homogéneos 87 y constituye una solución matricial del sistema homogéneo LF = 0 ⇐⇒ F˙ = A · F. t0 ). usando el hecho de que Fij = xij . además. (4. (4. Aunque Newton puso por escrito su método de fluxiones en 1671.61) que se reduce a la identidad en t = t0 es una matriz fundamental que satisface (4.60) o. si se suma a una solución del sistema homo- géneo una del completo.64) Y al revés.62) det F(t0 ) que. Si se ensaya el vector x = F(t) · g(t) en la ecuación completa. la diferencia entre dos soluciones del completo es solución del homogéneo: Lx1 = Lx2 = b =⇒ L (x1 − x2 ) = Lx1 − Lx2 = 0. pero sustituyendo el vector constante arbitrario c por uno a determinar que depende de t: g(t).63). equivalentemente. las (4. y se usa la regla de Leibniz3 aquélla se convierte en F · g˙ + F˙ · g = A · F · g + b. (4. Sajonia.60). Toda so- lución matricial (4. t0 ) = 1. (4. (4. Se llama matriz canónica fundamental a la que da la solución general por medio de la expresión (4. Lxp = b. E JERCICIO 4. donde consiste en ensayar una solución con la estructura (4.5.15 Calcule la matriz canónica fundamental K(t. la solución general del sistema completo Lx = b puede escribirse como suma de la solución general del sistema homogéneo asociado. hoy día Alemania).42). se obtiene una nueva solución del completo: Lx1 = 0. 14-11-1716. Lx2 = b =⇒ L (x1 + x2 ) = Lx1 + Lx2 = b. n X Lx = 0 ⇐⇒ x= Cj xj . (4.58). Leipzig. t0 ) = 6= 0. http://librosysolucionarios.62)? E JERCICIO 4.66) j=1 y de una solución particular cualquiera del completo. La unicidad nos garantiza que el recíproco es cierto. no fue publicado hasta 1736. (4. Hanover.net . Este discípulo de Christiaan Huygens es el creador de la notación utilizada hoy día en el cálculo diferencial e integral. (4.14 ¿Por qué no hace falta imponer la condición (4. Sistemas lineales completos Al igual que sucedía con la ecuación completa.61)–(4. 4. satisface las siguientes condiciones iniciales: K(t0 . Este retraso explica la larga y amarga polémica entre los dos grandes creadores del cálculo infinitesimal.67) de forma que n X Lx = b ⇐⇒ x= Cj xj + xp . x˙ = A · x + b.88 4 Sistemas de ecuaciones det F(t) det K(t.69) 3 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1-07-1646.65) En consecuencia.63) donde 1 es la matriz identidad. t0 ) del sistema (4.68) j=1 El método de variación de constantes se extiende de modo inmediato a sistemas. t0 ) · x(t0 ) + K(t. Veremos en primer lugar un método de gran interés teórico y en el diseño de sistemas de álgebra por ordenador. E JERCICIO 4. A resolución del sistema lineal. que se resuelve como g˙ = F−1 · b. la solución de LE(t. E(t. ˙ F(t) = A · F(t).6 Sistemas lineales con coeficientes constantes 89 y al tener en cuenta que F satisface la homogénea. por lo que.71) t0 Si.4. (4. (4. 4. a).74) http://librosysolucionarios. cos t Si escribimos la integral indefinida que aparece en (4.63) que son las equivalentes a las (3. se obtiene F · g˙ = b. (4. s) en el caso de una única ecuación de orden arbitrario. se halla Z t x(t) = K(t. y˙ = −x + . t0 ) ≡ F(t) · F(t0 )−1 . a) = 0 (para t < a).16 Resuelva el sistema x˙ = y. tomando t = t0 .net . Compruebe el resultado por sustitución directa. a) = θ(t − a)K(t. (4. Esta última expresión es la solución general de la completa y muestra su estructura como suma de la general de la homogénea y una particular de la completa. Sistemas lineales con coeficientes constantes ˙ = 0.93) de la página 56 exigidas a K(x. s) · b(s) ds. es decir. la esencia del método de Cauchy para sistemas. Nótese que la familia de soluciones K(t. Tanto el problema homogéneo como el completo quedan esencialmente resueltos si se calcula una matriz fundamental F.61) y (4. ya que F es invertible. F˙ = A · F. 1 E JERCICIO 4.17 Use el método de Cauchy con b = δ(t−a)1 para probar que la solución elemental del operador L. s) satisface las condicio- nes (4. a) = δ(t − a)1.6. recordando la definición K(t. por tanto.72) t0 El primer término del miembro de la derecha de esta expresión es la solución general de la ho- mogénea. det F(t) 6= 0. aunque en raras ocasiones sea de utilidad real para resolver a mano un sistema dado. (4. mientras que el segundo es precisamente la solución particular de la completa que satisface condiciones iniciales nulas en t0 y que constituye. despejamos de aquí c en términos de las condiciones iniciales se ve que c = F(t0 )−1 · x(t0 ).73) es E(t. Integrando este resultado y sustituyéndolo en x = F(t) · g(t) se halla Z x(t) = F(t) · c + F(t) · F(t)−1 · b(t) dt.70) de forma completamente equivalen- te como una definida con límite superior variable se obtiene Z t x(t) = F(t) · c + F(t) · F(s)−1 · b(s) ds. existen métodos sistemáticos para abordar la Si la matriz del sistema es constante.70) donde c es el vector constante arbitrario que se obtiene al hacer la integral. t0 ) = eA(t−t0 ) .77) Como vamos a ver. (4. sus potencias. si l´ımn→∞ |(A − An ) · x| = 0 para todo vector x. t0 ) = 1. la exponencial de una matriz cuadrada puede defi- nirse. (4. su exponencial y los múltiplos.79) k=0 k! donde A0 = 1 y Ak = A · Ak−1 = Ak−1 · A. escribiríamos sin problemas la solución: F(t) = eAt . (4. La exponencial que más nos interesa se obtiene con la sustitución A −→ A (t − t0 ) que da A(t−t0 ) ∞ X (t − t0 )k k e = A . si se prefiere.13 y 4. como un límite4 !n A eA = l´ım 1 + (4. Un tratamiento más riguroso puede hallarse. det eA 6= 0.12. dos matrices no conmutan —aunque toda matriz conmuta con- sigo misma.76) o. como veremos en los problemas 4.6. como la suma de una serie ∞ X 1 k eA = A . entre las que se encuentra su inversa si ésta existe—. esta respuesta sigue siendo válida para todo n. t0 ) = A · K(t. K(t. (4. tampoco suelen hacerlo sus exponenciales.84) k=0 k! 4 La noción de límite de sucesiones de matrices puede definirse mediante la convergencia en norma en la que A = l´ımn→∞ An . http://librosysolucionarios.net .82) y que su inversa es  −1 eA = e−A .18 Pruebe las siguientes propiedades: e0 = 1.83) Nótese que como.81) Como consecuencia inmediata de esta propiedades también tenemos que la exponencial de cualquier matriz es invertible.1. (4. (4. en general. o si consideráramos el caso n = 1.14. en forma más conveniente.75) dt Si por un momento nos olvidáramos de que se trata de un problema matricial. Exponencial de una matriz Exactamente igual que la de un número.78) n→∞ n o. potencias y expo- nenciales de matrices con las que conmuta. con la identidad. como hemos visto. E JERCICIO 4. t0 ). K(t0 . (4. 4. 4. si A · B = B · A. (4.90 4 Sistemas de ecuaciones o la matriz canónica fundamental K que. en [19]. está definida por las condiciones d K(t.80) e · eB A = eA+B . por ejemplo. (4. 90)   . incluyendo unos 250 durante los 14 años en que trabajó como abogado antes de volver a dedicarse en exclusiva a su vocación. páginas 471–473. 4. respectivamente. (4. Cambridge.. 26-01-1895. la geometría no euclí- dea y la geometría en dimensión arbitraria. (4. la referencia [2]. . (4.. ya que para el tipo de problema que nos interesa preferimos presentar a continuación un método alternativo de solución que ayudará a entender la estabilidad lineal en el capítulo 8. porque entonces tenemos     λ1 0 ··· 0 eλ1 0 · · · 0   0 λ2 ··· 0     0 eλ2 · · · 0   exp  .2. Inglaterra.6 Sistemas lineales con coeficientes constantes 91 E JERCICIO 4.80).82) y (4. pero no es realmente necesario ya que el método de Euler que allí estudiábamos se traduce fácilmente al caso de sistemas. También es fácil calcular la exponencial de una matriz que puede diagonalizarse. http://librosysolucionarios. . . . . la matemática.89) 2 Escriba la solución del sistema (4. a partir de la definición. . por ejemplo.86) x˙ 2 = x1 − x2 + b2 (t).  =  . (4.87) cuya matriz es   1 1 A= . por derivación y sustitución siempre podremos reducir el sistema a una única ecuación lineal de coeficientes constantes de orden n y aplicar los métodos del capítulo 3. . . .4.87). Halle expresiones para A2k y A2k+1 y concluya que √  1 √  eAt = cosh 2t 1 + √ sinh 2t A.74) y (4. . 5 Véase. Por otro lado.20 Sea el sistema x˙ 1 = x1 + x2 + b1 (t).2— basado en el teorema de Cayley6 -Hamilton que no vamos a describir aquí. 6 Arthur Cayley (16-08-1821.. existe un procedimiento sistemático5 —aunque algo trabajoso. . Resolución del sistema homogéneo Los sistemas con coeficientes constantes pueden resolverse utilizando la transformación de Laplace que estudiaremos en el capítulo 5 y que resulta especialmente útil en problemas de condiciones iniciales. Sus mayores contribuciones se refieren a la teoría de grupos.6. (4. a pesar de que sus ingresos se vieron mermados de forma muy importante al aceptar la cátedra en Cambridge.net . el álgebra de matrices. (4.4. .88) 1 −1 Demuestre que A2 = 21.85) prueban que la matrices canónicas deseadas (4. Publicó más de 900 trabajos.   0 0 · · · λn 0 0 · · · eλn En el caso genérico. .. E JERCICIO 4. t0 ) = eA(t−t0 ) .86)–(4.19 Demuestre.85) dt Las propiedades (4.75) son F(t) = eAt y K(t. .. que d A(t−t0 ) e = A · eA(t−t0 ) = eA(t−t0 ) · A... (4. Richmond.     . por lo que es mejor usar un sistema de cálculo algebraico: véase el apartado B. Inglaterra). Si sustituimos x = ekt c en la ecuación homogénea x˙ = A · x. y toda com- binación lineal con coeficientes constantes será también solución. el sistema x˙ = x + 2y. (4. Por ejemplo.94) 4 3 por lo que la ecuación característica será . obtenemos kekt c = ekt A · c y. (4.92 4 Sistemas de ecuaciones En vez de ensayar una solución escalar y = Cekx . (4. Por tanto. donde c es un vector constante a determinar.93) Cada vector propio independiente nos proporciona una solución del sistema lineal. Por cada valor propio hay que hallar los vectores propios asociados resolviendo (A − k1) · c = 0.91) que no es sino el problema de valores propios para la matriz del sistema A. y˙ = 4x + 3y tiene como matriz ! 1 2 A= .92) que nos proporciona los posibles valores propios —llamados exponentes característicos o raí- ces características— de la matriz del sistema. A · c = kc. tras simplificar la exponencial que no se anula nunca. el método consiste en resolver primero la ecuación característica det (A − k1) = 0. (4. habrá que probar una solución vectorial x = ekt c. . 1−k 2 . . . . det (A − k1) = . . = (k + 1)(k − 5) = 0. (4.95) 4 3−k . .     1 1 x1 = . dos valores propios k = −1. Por componentes: x = Ae−t + Be5t . respectivamente. (4. La solución general es. hay n vectores propios independientes —lo que sucederá.21 Compruebe que los vectores propios para k = −1 y k = 5 son. si hay n valores propios distintos o. por consiguiente. E JERCICIO 4. incluso si alguno tiene multiplicidad superior a 1. por ejemplo. 5 que nos darán dos soluciones linealmente inde- pendientes (ya que corresponden a exponenciales distintas) que se hallan calculando los vectores propios. (4.96) −1 2 y todos los vectores proporcionales a cada uno de ellos. como en el anterior ejemplo. por tanto.98) Si.97) y = −Ae−t + 2Be5t . si la matriz es simétrica. hermítica. ortogonal o unitaria— los mismos multiplicados por la correspondiente exponencial constituyen un sistema fundamental de soluciones. que nos permite construir la solución mediante una combinación lineal con n coeficientes constantes arbitrarios. http://librosysolucionarios. (4. x2 = .net . x = Ax1 e−t + Bx2 e5t con A y B arbitrarias. Hay. ésta puede resolverse directamente separando variables para obtener y. 7 Nos permitimos sugerir al lector que recuerde sus conocimientos sobre diagonalización de matrices. (4. Por ejemplo.104)   1 tiene un único vector propio 0 para el valor propio doble k = 1. Repitiendo este tipo de ensayo con los demás valores propios pueden obtenerse siempre los n vectores linealmente inde- pendientes que constituyen un sistema fundamental de soluciones. la solución general: por cada exponente característico k de multiplicidad m ensáyese   x = c1 + c2 t + · · · + cm tm−1 ekt (4.100) z˙ = x + y − 2z.6 Sistemas lineales con coeficientes constantes 93 E JERCICIO 4. la matriz del sistema x˙ = x − y. Nada puede justificar hoy día no utilizar para este tipo de cálculo (de hecho para resolver directamente cualquier sistema lineal con coeficientes constantes) un programa de cálculo simbólico. tanto si hay suficientes vectores propios como si no.105) y C + Dt para obtener ! ! ! ! A + B + Bt t 1 −1 A + Bt t A − C + (B − D)t e = · e = et . si se prefiere. http://librosysolucionarios. una solución con m constantes arbitrarias. (4. que puede hallarse.net . hay que ensayar una solución del tipo ! ! x A + Bt = et (4. Sin embargo. será ! ! x A + Bt = et . como ya sucediera con la ecuación lineal. Por ello. Nos limitaremos a proporcionar (omitiendo la demostración.106) C + D + Dt 0 1 C + Dt C + Dt Igualando los coeficientes de cada potencia en las dos filas.4.101) Si el espacio generado por los vectores propios7 tiene dimensión inferior a n no hay sufi- cientes soluciones del tipo ekt c y. por ejemplo. puesto que la incógnita x no aparece en la segunda ecuación. Esto proporcionará exactamente m soluciones inde- pendientes o. que sustituido en la otra ecuación nos deja por resolver una simple ecuación lineal de primer orden). (4. pero puede resultar tedioso. la solución. hay que considerar también términos del tipo tp ekt c.22 Resuelva x˙ = −2x + y + z. El cálculo de los mismos es elemental. que estudiaremos en el capítulo 8. (4. y para una discusión completa en relación con la solución de sistemas diferenciales le remitimos a los textos [19] y [24] de la bibliografía.107) y −B (En este sencillo ejemplo. se halla C = −B y D = 0. (4. en las referencias [19] y [24]) la receta que permite hallar siem- pre.102) con m vectores constantes ck a determinar.99) y˙ = x − 2y + z. hay que comprender bien las distintas formas que puede tomar la solución para entender la estabilidad lineal. (4. por tanto.103) y˙ = y (4. 23 Halle la solución general de x˙ = x − y.114) y B A E JERCICIO 4.net .117) con vectores columna constantes conocidos ai . podemos obtener soluciones manifies- tamente reales agrupando cada par complejo conjugado k = α ± iω.111) y˙ = x + y. en cuyo caso hay que ensayar   x = c1 + c2 t + · · · + cq+m tq+m−1 eλt .94 4 Sistemas de ecuaciones E JERCICIO 4. La matriz del sistema x˙ = x − y. en el caso del sistema x˙ = x − y − 2tet − 9t2 e−2t . (4.119) no siendo siempre cierto. Resolución del sistema completo Por cada término inhomogéneo de tipo cuasipolinómico   a1 + a2 t + · · · + aq tq−1 eλt (4. a diferencia de lo que sucede con la ecuación lineal. Igualando los coeficientes de las potencias. que pueda pres- cindirse de los primeros m términos.24 Resuelva el sistema x˙ = x − 5y. tiene como valores propios k = 1 ± i.112) por ejemplo. (4. Por ejemplo.109) Cuando el sistema es real y aparece una raíz compleja. al final quedarán 2m constantes arbitrarias por cada par complejo conjugado con multiplicidad m.6.   x = c1 + c2 t + · · · + cq tq−1 eλt .120) y˙ = y + 2et − 3e−2t . (4. (4. (4.115) y˙ = 2x − y.113) y B D se ve fácilmente que la solución es ! " ! ! # x t A −B =e cos t + sin t .108) y˙ = x + 3y. (4. (4.116) 4.3. (4. por lo que ensayando ! " ! ! # x t A C =e cos t + sin t (4. (4. (4.121) http://librosysolucionarios.118) con vectores constantes ci a determinar. el método de coeficientes indeterminados con- siste en ensayar una solución de la misma forma. (4.110) con vectores ci y di constantes. excepto en los casos en que λ resulta ser también raíz característica de la homogénea con multiplicidad m ≥ 1. (4. y ensayando directamente h    i x = eαt c1 + c2 t + · · · + cm tm−1 cos ωt + d1 + d2 t + · · · + dm tm−1 sin ωt . 125) para un par de raíces λ que tienen multiplicidad q > 0 en el término inhomogéneo y m ≥ 0 en la ecuación homogénea. λ = α ± iω.104)–(??). por lo que debe ensayarse un cuasipolinomio vectorial de tercer grado: ! ! x A + Bt + Ct2 + Dt3 = et . (4. puede ensayarse la solución manifiestamente real h    i x = eαt c1 + c2 t + · · · + cq+m tq+m−1 cos ωt + d1 + d2 t + · · · + dq+m tq+m−1 sin ωt (4.126) t y˙ = x + y + e sin t.4. como vimos al estudiar el sistema (4.122) y E + F t + Gt2 + Ht3 Como k = −2 no es raíz característica de la parte homogénea.123) y D + Et + F t2 E JERCICIO 4. (4.6 Sistemas lineales con coeficientes constantes 95 la raíz k = 1 aparece dos veces (es decir. E JERCICIO 4. (4. en un cuasipolinomio de primer grado) en el término inhomogéneo y. para ella hay que ensayar uno de segundo grado porque la parte correspondiente del término inhomogéneo es de ese grado: ! ! x A + Bt + Ct2 = e−2t . http://librosysolucionarios. por separado. tiene multiplicidad m = 2 en la matriz del sistema homogéneo.net . para calcular la parte de la solución particular que les corresponde habrá que recurrir al método general de variación de constantes (o al de Cauchy).127) Por otro lado. (4. (4.26 Resuelva el sistema x˙ = x − y + et cos t. si en el término inhomogéneo hay partes que no son cuasipolinomios.25 Ensaye. esos dos cuasipolinomios y compruebe que la solución ge- neral del sistema es       x A + Bt − 2t2 t 1 + 2t + 3t2 = e + e−2t .124) y −B + 2t 1 En el caso un par complejo conjugado de raíces. y¨ − 2x˙ + y = e2t .9 Demuestre que dada una matriz A se tiene det eA = etr A . Sugerencia: Use det eAt en la fórmula de Liouville y haga t = 1. ! t t2 4.11 Clasifique. 0 0 4. Considere el sistema lineal de primer orden asociado a una ecuación lineal de segundo orden.96 4 Sistemas de ecuaciones 4. 4. las órbitas en el espacio de fases del sistema lineal homogé- neo ! ! ! x˙ a −b x = · . ¿Qué condición deben satisfacer dichos valores propios para que toda solución x(t) del sistema lineal homogéneo x˙ = A · x satisfaga l´ım xi (t) = 0? ¿Qué t→∞ pasa si los valores propios no son necesariamente reales? ¿Y si no hay n distintos? 4.7.4 = = . Problemas 4. x(y − z) y(z − x) z(x − y) ! ! 1 t2 4. 4. ¿Cuál es el significado en mecánica de este sistema de ecuaciones? ¿Qué representan las integrales primeras halladas? dx dy dz 4.10 Estabilidad asintótica del origen. recordando que la t0 n X traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal: tr A = akk . Establezca la relación entre las soluciones fundamentales de sistema y ecuación y compare los correspondientes wronskianos. by˙ = (c − a)zx.3 Halle dos integrales primeras independientes y la ecuación de primer orden restante del si- guiente sistema: ax˙ = (b − c)yz.6 Fórmula de Liouville.net .5 ¿Son linealmente independientes los vectores y ? Calcule su wronskiano y t t3 comente el resultado. 4.2 x¨ − 2y˙ + x = 0. y˙ b a y http://librosysolucionarios.8 Halle el sistema lineal homogéneo cuya matriz fundamental es . b y c son constantes.7 Sistemas y ecuaciones. en función de a y b. Demuestre que el wronskiano de cualquier Z sistema fundamental del t sistema lineal homogéneo x˙ = A · x satisface W (t) = W (t0 ) exp tr A dt. 4. donde a.1 x¨ = y. Supongamos que la matriz n × n A es constante y tiene n valores propios reales distintos. k=1 Sugerencia: Considere primero el caso n = 2. y¨ = x. cz˙ = (a − b)xy. 4. z˙ + 2x + y − 5z = sin t. Halle el sistema lineal que describe el circuito de la figura 4.4. z˙ = 2z + sin t. .14 Fórmula de Glauber. . [A. 4. Sean dos matrices A y B que conmutan con su conmutador [A.19 x˙ =  0 −5 18  · x. eB . 0 0 0 0 Calcule eA . 4. B].   1 −3 9   4. 4. para t > 1. y˙ = −2y + t. eB · eA y eA+B . 4. .B] . Calcule la matriz fundamental y la solución para condiciones iniciales nulas cuando t = 0. 0 −3 10 http://librosysolucionarios.16 x˙ = x + y + z. B ] · · ·]] + · · · · eA . 4. para 0 ≤ t ≤ 1. B]] + · · · + [A.13 Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.net .18 Demuestre que la trayectoria prerrelativista de un electrón que parte del reposo y se mueve en presencia de un campo electromagnético uniforme y constante con E ~ ⊥B ~ es una cicloide. Comente los resultados. y˙ − 4x − 3y + 8z = 0. Desarrolle F(t) = eAt · B · e−At en serie de Taylor alrededor de t = 0 para demostrar que   1 1 e · B = B + [A.12 Considere las matrices ! ! 1 1 1 −1 A= y B= . A 2 n! | {z } | {z } n veces n veces donde [A. F IGURA 4. [A. B] ≡ A · B − B · A es el conmutador de las matrices A y B. 4.15 Circuito RLC. V (t) = 0. [A. si la tensión aplicada es ( 1.3 en función de la intensidad a través de la autoinducción y de la diferencia de potencial entre las placas del condensador.7 Problemas 97 4. Halle la ecuación diferencial que satisface F(t) = eAt · eBt y resuélvala para demostrar 1 eA · eB = eA+B · e 2 [A. B] + [A.3 Circuito RLC.17 x˙ + 6x + 3y − 14z = 0. eA · eB . . 98 4 Sistemas de ecuaciones 4.20 Desintegración radiactiva. Sea un isótopo A, inicialmente puro, que sufre una doble de- sintegración A → B → C. Si C es estable, ¿cuál será en un instante de tiempo arbitrario la concentración relativa de A, B y C en función de los períodos de semidesintegración de A y B? 4.21 Analice la ley de caída de una partícula puntual en el seno de un medio en el que el roza- miento es proporcional a la velocidad.   1 −1 4  4.22 x˙ =  3 2 −1   · x. 2 1 −1 4.23 x˙ + 3x + 4y = 0, y˙ + 2x + 5y = 0. 4.24 x˙ = −5x − 2y, y˙ = x − 7y. 4.25 x˙ − y + z = 0, y˙ − x − y = t, z˙ − x − z = t. 4.26 Cómo puede calcularse el sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que admite una matriz fundamental dada? Aplíquese la respuesta al cálculo del sistema cuya solución general es x = Ae3t + Ce−2t , 3 3t y = Ae + Be−t − Ce−2t , 2 3 3t z = Ae − Be−t − Ce−2t . 2 4.27 Resuelva el sistema x˙ = z sin t − y, y˙ = x − z cos t, z˙ = y cos t − x sin t. ¿Puede encontrar una interpretación geométrica sencilla del resultado? Sugerencia: Escriba la solución general en forma matricial y en función de las condiciones ini- ciales en t = 0. 4.28 Calcule la solución general del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: y ′ = 4 xy2 − z , x −1 z ′ = 2 xz2 − y . x −1 4.29 Sistemas de Cauchy-Euler. Describa cómo puede resolverse un sistema de ecuaciones diferenciales que en notación matricial puede escribirse como t x˙ = A · x, ˙ = 0, usando un método análogo al desarrollado para las ecuaciones del mismo nombre. con A Aplique el método para obtener la solución general de t x˙ = 3x − 2y, t y˙ = 2x − 2y. http://librosysolucionarios.net 4.7 Problemas 99 4.30 Resuelva el sistema z y′ = , x z′ = −xy. 4.31 Resuelva el sistema u˙ = 4v + 64te2t , v˙ = u y use la solución para encontrar la del siguiente casi sin ningún cálculo adicional: x˙ = 2y 2 + 64te2t , x y˙ = . y http://librosysolucionarios.net 100 4 Sistemas de ecuaciones http://librosysolucionarios.net Capítulo 5 Transformación de Laplace Change is not made without incovenience, even from worse to better. Samuel Johnson La estrecha relación que existe entre la solución de ecuaciones y sistemas diferenciales li- neales con coeficientes constantes y la de algunos problemas algebraicos fue estudiada en los capítulos 3 y 4. Aquí será analizada de nuevo por medio de unas muy útiles transformaciones integrales lineales que asocian a una función f (t) una transformada F (s) definida mediante una expresión del tipo Z b F (s) = k(s, t)f (t) dt. (5.1) a Estas transformaciones tienen la propiedad de convertir el problema diferencial lineal en un pro- blema algebraico lineal equivalente. Algunas de las elecciones más útiles para los límites a y b, y el núcleo k se recogen en la siguiente tabla1 : Transformada directa inversa Z Z ∞ 1 ξ+i∞ Laplace2 F (s) = e−st f (t) dt f (t) = − est F (s) ds 0 2πi ξ−i∞ Z Z ∞ 1 ∞ Fourier fˆ(p) = f (x)e−ipx dx f (x) = fˆ(p)eipx dx −∞ 2π −∞ Z Z ∞ 1 i∞ Mellin F (s) = f (t) ts−1 dt f (t) = F (s) t−s ds 0 2πi −i∞ Z ∞ Z ∞ Hankel F (k) = f (t) Jn (kt) t dt f (t) = F (k) Jn (kt) k dk 0 0 1 Z ∞ f (x) dx 1 Z ∞ g(y) dy Hilbert g(y) = − f (x) = − − π −∞ x − y π −∞ y − x 1 Algunas integrales deben calcularse en valor principal de Z Cauchy, que se define en el apartado D.2. ∞ 2 La transformación de Carson-Heaviside, f (t) −→ s e−st f (t) dt, difiere de la de Laplace en un factor 0 trivial. En la transformación inversa la recta ξ + iy es cualquiera que se encuentre a la derecha de todas las singula- ridades de F (s). 101 http://librosysolucionarios.net 102 5 Transformación de Laplace Las más usuales en física son la transformación de Fourier y la de Laplace, mientras que la de Mellin está siendo muy utilizada en los métodos simbólicos que discutiremos en el apéndi- ce B. Aunque dedicaremos algunos problemas a la transformación de Fourier, en este capítulo estudiaremos la transformación de Laplace, que es más conveniente cuando se quieren estudiar problemas de condiciones iniciales, (y, por tanto, el transitorio es importante) y cuando el término inhomogéneo («la fuerza externa») es solo continuo por trozos. Aunque, debido al desarrollo de los métodos simbólicos, el uso de estas transformaciones a la hora de hallar las soluciones de ecuaciones diferenciales ha disminuido, su importancia teórica no ha cambiado: en teoría de cir- cuitos, mecánica cuántica y muchas otras áreas, es a veces más cómodo trabajar directamente en el espacio de transformadas. Tablas de transformadas de Laplace y Fourier, que también resumen las propiedades más importantes, pueden hallarse en los apéndices E y F respectivamente y otras más completas en las obras de referencia de la página 323. 5.1. Definición La transformación de Laplace3 asocia a una función f una nueva función F = L[f ] definida mediante la integral impropia Z ∞ F (s) = e−st f (t) dt. (5.2) 0 E JERCICIO 5.1 Compruebe que 1 L[1] = , para s > 0. (5.3) s Notemos, en primer lugar, que los valores de f para t < 0 no intervienen para nada en esta definición, por lo que supondremos siempre que la función es nula a la izquierda del origen: f (t) = θ(t)f (t). Por ello, el anterior resultado es también la transformada de θ(t): 1 L[1] = L[θ(t)] = , para s > 0. (5.4) s En segundo lugar, hay que restringir las funciones f para asegurar la existencia de la integral impropia. Veamos un conjunto de condiciones necesarias. 5.1.1. Espacio F(α) Llamaremos F(α) al espacio de las funciones continuas por trozos y orden exponencial finito α. Al suponer que la función f , que como dijimos consideraremos truncada para t < 0, es continua por trozos, admitimos que en todo subintervalo [0, a] de longitud finita es continua salvo a lo sumo en un número finito de puntos donde presenta discontinuidades finitas. Esta primera 3 Pierre-Simon Laplace (28-03-1749, Beaumont-en-Auge, Francia; 5-03-1827, París). En Ex- position du système du monde (1796) publicó su hipótesis nebular. Su obra maestra, el monumental Traité de Mécanique Céleste, fue publicada en 5 volúmenes entre 1799 y 1825 y recoge la obra de varias generaciones sobre gravitación, incluyendo las aportaciones del propio Laplace, en especial a la teoría del potencial. En 1812 puso bases sólidas al cálculo de probabilidades con su Théorie Analyti- que des Probabilités. Entre otras aportaciones, contribuyó al establecimiento del sistema métrico decimal durante la Revolución Francesa. http://librosysolucionarios.net 5.1 Definición 103 R hipótesis garantiza que 0a e−st f (t) dt existe para todo a finito. Para asegurar la convergencia de la integral impropia cuando a → ∞ exigimos que sea de crecimiento exponencial, es decir, que exista un valor α (llamado orden exponencial) y constantes positivas t0 y M tales que |f (t)| ≤ Meαt , ∀t > t0 . (5.5) E JERCICIO 5.2 Compruebe que las funciones 1, sin at, cos at y eiat pertenecen a F(0). E JERCICIO 5.3 Use el desarrollo en serie de Taylor de eǫt para hallar el orden exponencial de tn para n > 0. E JERCICIO 5.4 Demuestre que si f ∈ F(α) y g ∈ F(β), entonces f g ∈ F(α + β). 5.1.2. Existencia y propiedades asintóticas Nótese que, como f ∈ F(α) es continua por trozos, está acotada en [0, t0 ]: por ejemplo |f (t)| ≤ L, ∀t ∈ [0, t0 ]. Esto junto con (5.5) permite acotar la integral que define la transforma- ción de Laplace para todo a > t0 como sigue Z a Z t0 Z a . −st . . . e f (t) dt. . mientras que multiplicada por s se mantiene acotada. que es precisamente lo que habíamos visto que sucedía en el ejercicio 5. ≤ e−st |f (t)| dt + e−st |f (t)| dt 0 0 t0 Z t0 Z a ≤ L e−st dt + M e−(s−α)t dt (5. para un α adecuado. que la función f (t) pertenece a un espacio F(α). Como 1 ∈ F(0) esperamos que L[1] exista para s > 0. tiende a 0 en el infinito.7) s−a En el resto de este capítulo supondremos. 1/s. para s > a. E JERCICIO 5.6) 0 t0 1 − e−st0 e −(s−α)t0 − e−(s−α)a = L +M . l´ıms→∞ F (s) = 0. http://librosysolucionarios. s s−α de donde tomando a → ∞ se sigue inmediatamente que si f ∈ F(α): F (s) existe para s > α (o para Re s > α).5 Demuestre que at 1 L[e ] = . (5. sF (s) se mantiene acotado cuando s → ∞ y. por tanto.net . salvo que se diga explícitamente lo contrario.1. También comprobamos que esa transformada. para s > 0.2. Propiedades 5. (5. Por ejemplo.10) 0 0 y.6 Use la linealidad y la transformada de la exponencial para hallar s a L[cosh at] = 2 . para s > a. (5.2.104 5 Transformación de Laplace 5.3) para recuperar (5. usando las siguientes transformadas. Teorema del desplazamiento Usando la definición (5. hemos demostrado que at L[e f (t)] = F (s − a). 5.7 Use esta propiedad y el resultado (5. Linealidad La linealidad de la integral conduce inmediatamente a la de la transformación de Laplace: L[af (t) + bg(t)] = a L[f (t)] + b L[g(t)]. (5.9) s − a2 s − a2 sin hacer ninguna integral.net . tenemos que.2. (5. para s > α + a.14) E JERCICIO 5. por tanto. s a L[cos at] = 2 2 . (5.8 Compruebe mediante un cambio de variables que si F (s) = L[f (t)] para s > α. El recíproco de este teorema es cierto. Z ∞ Z ∞ at −st at L[e f (t)] = e e f (t) dt = e−(s−a)t f (t) dt = F (s − a).9 Compruebe sin hacer la integral que para a > 0 e−as L[θ(t − a)] = . para s > α. que demostraremos en el problema 5. E JERCICIO 5. (5.7) sin hacer ninguna inte- gral.2) de la transformada de Laplace. la transformada del producto de una exponencial eat por una función f (t) es la trasladada por a de la transformada de la función. (s − a > α). L[eat sin bt] = . L[sin at] = 2 .11) Es decir.15) s ¿Qué pasa si a < 0? http://librosysolucionarios. si F (s) = L[f (t)] para s > α.1.13) (s − a) + b (s − a)2 + b2 E JERCICIO 5. L[sinh at] = 2 .8) para a y b constantes.2.12) s +a s + a2 es inmediato obtener at s−a b L[e cos bt] = 2 2 .1. para s > 0. si recordamos la hipótesis de que nuestras funciones se anulan para t < 0 y consideramos la trasladada por a de f que estará ahora truncada a la izquierda de t = a. E JERCICIO 5. Esta propiedad fundamental permitirá conservar la linealidad del problema diferencial cuando se convierta en algebraico. para s > |a| (5. entonces para a > 0 −as L[θ(t − a)f (t − a)] = e F (s). (5. Derivadas y productos por potencias Supongamos que f . entonces para a > 0 1 s L[f (at)] = F . . Cambio de escala E JERCICIO 5. f ′ .3. f (n) pertenecen a F(α) y que F (s) = L[f (t)] para s > α.10 Demuestre que si F (s) = L[f (t)] para s > α. .2 Propiedades 105 5. . ∞): Z ∞ . Calculemos la transformada de la derivada usando integración por partes.5.4. suponiendo que f es continua en [0. (5.16) a a 5.2. .2. para s > aα. .∞ Z ∞ −st ′ −st e−st f (t) dt. e f (t) dt = e f (t). 17) 0 0 0 Debido a que el orden exponencial de f es α. (5. para s > a. en (5. y en (5..11 Use (5. lo que permitirá en ciertos casos convertir problemas diferenciales en algebraicos.12 Use inducción completa para demostrar que si F (s) = L[f (t)] para s > α.13 Demuestre sin calcular integrales que n n! L[t ] = . . tendremos que l´ımt→∞ e−st f (t) = 0 para s > α.18) ′′ 2 ′ L[f (t)] = s F (s) − sf (0) − f (0). como veremos en el apartado 5.19) debe suponerse que f y f ′ son continuas. (5.21) n L[t f (t)] = (−1)n F (n) (s).22) E JERCICIO 5.20) que lo son f .23) sn+1 n at n! L[t e ] = . (5. f ′ . por lo que usando el resultado (5. E JERCICIO 5.17) e inducción completa tenemos las siguientes transformadas de las derivadas en la semirrecta s > α: ′ L[f (t)] = sF (s) − f (0).20) donde puesto que f (t) = 0 para t < 0.18) para obtener directamente la transformada de eat . (5. La importancia de estos resultados estriba en que sustituyen derivadas por combinaciones algebraicas. (n) n n−1 n−2 ′ (n−2) L[f (t)] = s F (s) − s f (0) − s f (0) − · · · − sf (0) − f (n−1) (0). . para s > α. los valores f (k) (0) deben entenderse como un límite por la derecha cuando t → 0. (5.net . para s > α (5.6. . E JERCICIO 5. (5. que debe existir por la hipótesis de continuidad.19) . . L[tf (t)] = −F ′ (s). para s > 0. +s (5. f n−1 . El recíproco es aún más fácil. Además..24) (s − a)n+1 http://librosysolucionarios. http://librosysolucionarios. En efecto. (5.7). 1 no tiende a 0 cuando s → ∞ y. En particular. La transformación inversa El problema inverso de hallar la función f (t) cuya transformada de Laplace es una función F (s) dada es más difícil. es fácil conseguir en la práctica la transformada inversa continua de muchas expresiones. 3-08-1922. la linealidad de la transformada inversa −1 −1 −1 L [aF (s) + bG(s)] = a L [F (s)] + b L [G(s)]. Susice.25) 0 cuya derivada con respecto a x implica que si f y g tienen la misma transformada solo pueden diferir en los puntos de discontinuidad. En el tipo de problemas abordados en este capítulo (ecuaciones lineales con coeficientes constantes) se trata siempre de hallar la transformada inversa de una función racional. dada F (s) = 1/s(s + 1)2 basta usar 1 1 1 1 2 = − − (5.24) y (5. por tanto. Bohemia —hoy en la República Checa—. no puede ser la transformada de una función de F(α). pero el teorema de Lerch4 .28) s(s + 1) s s + 1 (s + 1)2 y los resultados (5. usando tablas como las incluidas en el apéndice E.3). Milinov. pero si la transformada (directa e inversa) de Laplace es útil es precisamente porque permite hacer cálculos sin resolver integrales.29) s(s + 1) Para realizar la descomposición en fracciones simples es útil recordar el siguiente resultado que forma parte de otro conocido como fórmula de desarrollo de Heaviside. Por ejemplo. (5. (5. Existe una fórmula para la transformada inversa f (t) = L−1 [F (s)]: Z 1 ξ+i∞ f (t) = − est F (s) ds. (5. (5. ni de ninguna otra función porque como veremos en el apartado 5.27) para hallar su transformada inversa continua: " # −1 1 L 2 = 1 − (1 + t)e−t . ∀x > 0. que no demostraremos. En primer lugar. sus aportaciones son más numerosas en análisis y teoría de números.5 es de hecho la transformada de la función generalizada δ(t). Tampoco es necesariamente única. por tanto. si f y g son continuas y tienen la misma transformada deben ser iguales (para todo t > 0).26) 2πi ξ−i∞ donde la recta vertical de integración debe elegirse a la derecha de las singularidades de F . para lo que es útil la descomposición en fracciones simples.net . 4 Mathias Lerch (20-02-1860.3.106 5 Transformación de Laplace 5. y manipulaciones algebraicas elementales. continuas. ase- gura que si L[f ] = L[g]. entonces Z x [f (t) − g(t)] dt = 0. Aunque trabajó también en geometría y métodos numéricos. no siempre tiene solución. y las transformadas inversas que aquí nos interesan son soluciones de ecuaciones diferenciales y. Por ejemplo. Checoslovaquia). Parte de su trabajo es fundamental en la moderna teoría de operadores. (5.27) que se sigue de la de la directa. 33) 2a a 4a para poder utilizar el resultado (5. (5. que corresponden a raíces complejas.4 La convolución 107 E JERCICIO 5.13) y los correspondientes a sus derivadas.39) f ∗g = g ∗ f. (5.net . (5.4.35) s2 + 4s + 8 5.36) −∞ −∞ pero como aquí las funciones se suponen truncadas a la izquierda del origen.5. La convolución En general. se define el producto de convolución de dos funciones f (t) y g(t) como la función h = f ∗ g dada por Z ∞ Z ∞ h(t) = f (u)g(t − u) du = f (t − u)g(u) du.34) s2 + 2s + 2 (s + 1)2 + 1 E JERCICIO 5.38) f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + f ∗ h. (5. 1 1 h −t i = = L e sin t . usaremos en este capítulo como definición de convolución la siguiente. (5. tendremos en la primera integral que f (u) = 0 para u < 0 y que g(t − u) = 0 para u > t.16 Halle la transformada inversa de 2s − 4 F (s) = . deben reescribirse completando cuadrados. F (s) = . Q′ (a) 6= 0. P (s) A = + ···. que a veces se llama convolución de Laplace: Z t Z t (f ∗ g)(t) = f (u)g(t − u) du = f (t − u)g(u) du. (5.31) s→a Q(s) ¿Qué puede decirse si la raíz es doble? E JERCICIO 5.37) 0 0 Las siguientes propiedades del producto de convolución son inmediatas: f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. Por ejemplo. Demuestre que el correspondiente coeficiente A en la descomposición en fracciones simples de la función racional P (s)/Q(s).15 Halle las transformadas inversas de las siguientes funciones: s 2s F (s) = . (5. en vez de factorizar términos cuadráticos del denominador con discriminante negativo.32) s3 − s2−s+1 s2 +1 Si se prefieren soluciones manifiestamente reales cuando los coeficientes lo son. y algo parecido sucede en la segunda integral. (5. (5. (5.    + − 2 .41) http://librosysolucionarios. (5. Por consiguiente.14 Supongamos que el grado del polinomio P (s) es inferior al de Q(s) y que éste admite una raíz simple en s = a: Q(a) = 0. (5.30) Q(s) s−a es el siguiente residuo: (s − a)P (s) A = l´ım .40) f ∗0 = 0.  s 2  !2 b c b2 as2 + bs + c = a  s + si b2 − 4ac < 0. 1. obtenemos la transformada de la delta de Dirac: −as L[δ(t − a)] = e . Es el fundador de la teoría de las funciones elípticas.108 5 Transformación de Laplace pero la propiedad más importante es que la transformación de Laplace convierte el producto de convolución en el producto ordinario. Prusia. Con ello se obtiene ZZ Z ∞ Z ∞ L[f ∗ g] = e−s(u+v) f (u)g(v) du dv = e−su f (u) du e−sv g(v) dv. donde estableció su relación con la depen- dencia funcional. En efecto. Para hallarla. L[f ∗ g] = L[f ] L[g] = F (s)G(s). 5. http://librosysolucionarios.42) 0 0 R1 La integral doble está extendida al segundo octante R1 del plano. recordamos que su derivada es la delta de Dirac. v) = (u. pero haciendo el cambio de variables (u. Transformación de funciones generalizadas Si usamos la transformada (5.net . (5. como se muestra en la figura 5.18) junto con θ(−a) = 0. usemos las definiciones de convolución y transformación de Laplace: Z ∞ Z t  ZZ −st L[f ∗ g] = e f (u)g(t − u) du dt = e−st f (u)g(t − u) du dt. s > 0. Potsdam. donde son muy importantes la integral de Jacobi y la teoría de Hamilton- Jacobi.46) 5 Karl Gustav Jacob Jacobi (10-12-1804. la unidad de convolución no es 1. (5.5. Jacobi lo analizó con detalle en De determinantibus functionalibus (1841).44) F IGURA 5. que tiene jacobiano5 unidad.43) R2 0 0 es decir. Aplicó sus estudios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales a la mecánica.45) s (s + 1) s s +1 0 Como vemos en este último resultado. Aunque el determinante que lleva su nombre fue utilizado antes por Cauchy.1 Dominios de integración Veamos un ejemplo en el cálculo de la transformada inversa: " #     Z −1 1 1 1 t L 2 = L−1 ∗ L−1 2 = 1 ∗ sin t = sin u du = 1 − cos t. δ(t − a) = θ′ (t − a). y usamos (5. (5. Berlín). (5. 18-02-1851. nece- sitamos volver a considerar funciones generalizadas.15) de la función de Heaviside θ(t − a) para a > 0. t − u). el dominio de integración pasa a ser el primer cuadrante R2 . (5. para a. para s > 0. Para que esto sea práctico en un cálculo a mano.49) lo que nos dice que la unidad de convolución es la δ(t). resuelva el problema algebraico resultante.6 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 109 E JERCICIO 5.44) y (5. En el límite a → 0 obtenemos las expresiones correspondientes a δ(t): L[δ(t)] = 1.18 Use la definición de convolución para demostrar δ(t − a) ∗ f (t) = θ(t − a)f (t − a).5. E JERCICIO 5. el siguiente método es a menudo el más eficaz: 1. Lo mismo sucede con la convolución. (5. cuando se usan en su lugar funciones generalizadas. cuando se quiere re- solver un problema de condiciones iniciales de una ecuación o un sistema lineal con coeficientes constantes. Veamos algunos ejemplos. E JERCICIO 5. calcule la transformada inversa del resultado. El doble camino elegido para ver ese resultado ha permitido comprobar la validez de lo visto para funciones normales.20) y las condiciones iniciales. al igual que la unidad del producto ordinario es su transformada 1. usando (5. Se supone también que las condiciones iniciales se dan en el origen t = 0. (5.14). puede usarse una simple traslación para hacer que el punto donde se dan las condiciones iniciales sea el origen.19 ¿Por qué hemos elegido tomar el límite a → 0? 5.6. y 3.48) δ(t) ∗ f (t) = f (t).47) Compruebe la coherencia de este resultado con las expresiones (5. 2. (5.46). tiene que resultar que las transformadas directas e inversas necesarias se hallen en las tablas o puedan obtenerse mediante manipulación algebraica simple a partir de las que allí aparecen. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes Como la transformación de Laplace convierte la derivada en un producto. http://librosysolucionarios.net . pero si esto no fuera así. calcule la transformada de Laplace del problema diferencial. lo que siempre sucede si los coeficientes son constantes. (5.18)–(5.17 Compruebe que lo mismo se obtiene usando directamente la definición de la delta en la de la transformación de Laplace. a¨ x + bx˙ + cx = f (t). Despejando la transformada de la incógnita y reduciendo a fracciones simples (para que el cálculo de la inversa se reduzca a una consulta a las tablas).6. (5. (5. se obtiene 3s − 14 8 1 1 1 X= = + .3.2. Una ecuación de orden arbitrario Por ejemplo.57) as2 + bs + c que puede escribirse en términos de la función del sistema o función de transferencia 1 H(s) ≡ . (5. obtenemos F (s) + (as + b)x0 + ax˙ 0 X(s) = . 5. x(0) = x(0) E JERCICIO 5.56) que puede ser el oscilador mecánico (3. x(0) = 3. 5.52) (s − 2)(s − 5) 3s−2 3s−5 cuya transformada inversa nos da la solución del problema: 8 1 x = e2t + e5t .6.51) s−5 siendo X(s) = L[x(t)].58) as2 + bs + c http://librosysolucionarios.110 5 Transformación de Laplace 5.54) y˙ − 2x − y = 4et (5.53) 3 3 ¨ + x = e−2t sin t.21 Resuelva el sistema x˙ − 6x + 3y = 8et . Sistemas de ecuaciones El método se aplica tanto a una ecuación de orden n como a un sistema de n ecuaciones de primer orden. calculamos la transformada del problema y despejamos la transformada de la incógnita. Si denotamos las con- diciones iniciales como x(0) = x0 y x(0) ˙ = x˙ 0 .20 Resuelva el problema x ˙ = 0.123). consideremos el problema x˙ − 2x = e5t . (5.6.net .1. (5.122) o el circuito RLC (3.50) que por medio de la linealidad y (5.55) con las condiciones iniciales x(0) = −1 e y(0) = 0. (5. (5. (5. E JERCICIO 5.18) da lugar al problema algebraico 1 sX − 3 − 2X = . Osciladores En este ejemplo consideremos el oscilador lineal general. para 0 < t < π. . 5. . . En muchos problemas estos términos.23 Sea  1. u) en el apartado 3. . f (t1 ± 0). . . (5. . x ¨+x= x(0) = x(0) ˙ = 0. sino continua por trozos.64) 0.62) as2 + bs + c obtenemos que la solución se escribe como Z t x(t) = h(t − u)f (u) du + [x0 x1 (t) + x˙ 0 x2 (t)] .6 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 111 que solo depende del oscilador y no del agente externo. Funciones continuas por trozos Cuando hay funciones definidas por trozos. .8. la fuerza externa f (t) no es continua en el intervalo 0 < t < T que nos interesa. obtenemos que la solución elemental es E(t.6.60) " # −1 as + b x1 (t) ≡ L . tn−1 . . (5.59) as2 + bs + c Si invertimos esta expresión y definimos h(t) ≡ L−1 [H(s)] . que es la correspondiente a condiciones iniciales nulas x0 = x˙ 0 = 0.22 Compruebe que si sustituimos f (t) = δ(t−a) en (5. (5. se reconoce en el primer término la solución particular dada por el método de Cauchy.5. La función h(t − u) es precisamente la familia de soluciones de la homogénea que hemos llamado K(t. (5. para t > π. . son decrecientes y a todos los efectos prácticos desaparecen tras un transitorio. f es continua en cada intervalo (ti−1 . E JERCICIO 5. a) = θ(t − a)h(t − a). como en el anterior ejemplo.63). que dan la solución en ausencia de agentes externos (f (t) = 0). .2. (5. E JERCICIO 5.61) as2 + bs + c   a x2 (t) ≡ L−1 . (5. el uso de las funciones escalón permite expresar- las de forma que las tablas sean directamente aplicables. Por otro lado. como (as + b)x0 + ax˙ 0 X(s) = H(s)F (s) + . ¿Son continuas la solución y su derivada? A veces. Demuestre que el término inhomogéneo es θ(t) − θ(t − π) y resuelva el problema. ti ) para i = 1.net . . (5. Definamos t0 ≡ 0 y tn ≡ T y supongamos que los puntos de discontinuidad son t1 . y los límites f (t0 + 0). Además. definimos los límites por la izquierda y la derecha como de costumbre: f (t ± 0) ≡ l´ım f (t ± ǫ). f (tn−1 ± 0) y f (tn − 0) son finitos. n. existe una solución única en el intervalo 0 < t < T que satisface tanto las condiciones iniciales como las siguientes: http://librosysolucionarios.65) ǫ→0 Entonces.4.63) 0 Los dos términos entre corchetes representan la solución general de la homogénea con las cons- tantes arbitrarias elegidas igual a las condiciones iniciales. A pesar de los puntos de discontinuidad. http://librosysolucionarios. el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única solución que satisface las mencionadas propiedades en el intervalo t0 ≤ t < t1 . (5.66) Así. y para que x y x˙ sean continuas en t = t1 basta elegir como condiciones iniciales para el siguiente subintervalo x (t1 + 0) = x (t1 − 0) . la solución se extiende de forma única a t1 ≤ t < t2 .56) se cumple en cada subintervalo ti−1 < t < ti . x (t1 − 0) y x˙ (t1 − 0) son finitos.112 5 Transformación de Laplace x(t) y x(t) ˙ son continuas en todo el intervalo 0 ≤ t ≤ T . En efecto. Además. x˙ (t1 + 0) = x˙ (t1 − 0) . x¨(t) es continua en cada subintervalo ti−1 < t < ti . y de allí al intervalo completo sin más que repetir una y otra vez el mismo procedimiento. Este resultado se extiende directamente a sistemas y ecuaciones más generales con términos inhomogéneos continuos por trozos. La ecuación (5.net . ¿cuáles son L t y h i 1/2 L t ? ¿Qué sucede cuando b en un entero no negativo? Analice el comportamiento de sF (s) cuando s → ∞ para −1 < b < 0 y comente el resultado.4 de la página 283. se cumple que Z   Z a  t 1 L f (u) du = F (s) − f (u) du . 0 ≤ t < 2π.5.7 Problemas 113 5.10 Calcule las transformadas de Laplace de las funciones Si(t). se tiene que t→0+ t " Z ∞# f (t) L = F (u) du. que pueden hallarse en el apartado D.6 Demuestre que si F (s) = L[f (t)] y existe el límite l´ım .7) Z sin u t Si(t) = du. sin calcular ninguna integral. son (véase el apartado D. s2 + a2 s2 + a2 5. f (t) = sin t + cos t. 5. s2 1 5. para t > 0.4 Calcule la transformada recíproca de F (s) = .8 Usando la definición yhpropiedades i h dei la función gamma de Euler. Ci(t) y − Ei(−t). t u Z ∞ −u e − Ei(−t) = du. t ≥ 2π. que pueden hallarse h ien b b at −1/2 el apartado D. L[cos at] = .5 Halle la transformada recíproca de F (s) = . calcule L erf a t .2 Calcule L[sin2 at].1 Demuestre sin hacer integrales que.net .3 Halle la transformada de Laplace de ( sin t.7. 1 − e−2s 5. t s ¿Para qué imponemos la existencia del límite? 5. Problemas 5.5. s2 − 4s + 5 f (t) 5. ¿Qué pasa si a < 0? 5. En particular. 0 Z ∞ u cos u Ci(t) = − du. a s 0 5.7 Demuestre que si F (s) = L[f (t)]. a s L[sin at] = . para s > 0.9 Usando la definición y propiedades h  √ ide la función error. 5. http://librosysolucionarios. calcule L t y L t e para b > −1. que. t u Sugerencia: Haga cambios de variables adecuados para que los nuevos límites inferiores de las dos últimas integrales sean constantes. f (t + T ) = f (t).13 Resuelva x(t) = cos t + e−(t−u) x(u) du. pero sus trabajos más importantes se refieren a ecuaciones inte- grales. http://librosysolucionarios. Estados Pontificios. la ecuación integral de Volterra Z t x(t) + (t − u) x(u) du = sin 2t 0 es equivalente al problema de valores iniciales y¨(t) + y(t) = sin 2t. 11-10-1940. 5.61). (a) Halle la transformada de Laplace de J0 . xy ′′ + y ′ + xy = 0. para t > 0.54) y simplifíquela en este caso particular por medio del subfactorial (D. 6 Vito Volterra (23-05-1860. 0 5. Demuestre que Z T 1 L [f (t)] = e−st f (t) dt. (b) Mediante un desarrollo en serie de 1/s de este resultado y una integración formal término a término.114 5 Transformación de Laplace 1 5. x(0) = x(0) ˙ = 0.15 Sea f (t) una función periódica de período T . J0′ (0) = 0. También se dedicó a la ecología matemática estudiando la ecuación logística y el modelo de depredador y presa. 5. Sugerencia: Use la serie binómica (D. Con 13 años con- siguió algún progreso en el problema de tres cuerpos. Estudió ecuaciones en derivadas parciales en relación con las ondas cilíndricas.12 Ecuación integral de Volterra6 .net . Resuelva ambos problemas. Roma). (s + 1)2(s2 + 1) 5.14 Halle la solución del siguiente problema de condiciones iniciales: x¨ + 2x˙ + 2x = δ(t − π). Ancona. calcule el desarrollo de J0 .17 La función de Bessel J0 (x) es la solución de la ecuación de Bessel de orden cero.16 Demuestre que si y¨(t) ≡ x(t).11 Halle la transformada recíproca de F (s) = . 0 Z t 5. y(0) = y(0) ˙ = 0. 1 − e−sT 0 5. Discútase el método de solución por medio de la transfor- mación de Laplace de las ecuaciones del tipo Z t x(t) = g(t) + k(t − u) x(u) du. que satisface la condición inicial J0 (0) = 1. 0 5. 5. x(0) ˙ = 0. (a) Integre la ley de conservación de la energía mecánica para hallar el tiempo de caída hasta el mínimo. 5. (0) = −3.22 Resuelva el siguiente sistema: x¨ − y˙ = t + 1.26 Demuestre que la onda sinusoidal rectificada es ∞ X | sin t| = sin t + 2 θ(t − kπ) sin(t − kπ). para encontrar la ecuación de la tautocrona. x(0) = 1.27 Delta de Dirac. x(0) = x(0) ˙ = 0. 0 x 2 Use este resultado y el correspondiente a a < 0 para demostrar que las transformadas directa e inversa de Fourier de la unidad son la delta de Dirac.25 x¨ + x = e−t cos t. x(0) = 0. " # e−at − e−bt 5. d4 x d2 x dx d2 x d3 x 5. http://librosysolucionarios. x(0) = 0. salvo una constante: Z 1 ∞ e±ipx dp = δ(x). (c) Halle e integre dx/dy. x(0) = 0. así como que s es la abscisa curvilínea medida desde el mínimo. t Z t 5. dt4 dt2 dt dt2 dt3 5.19 Calcule L . (0) = 2.24 t¨ x + (3t − 1)x˙ − (4t + 9)x = 0.18 Tautocrona. x˙ + y˙ − 3x + y = 2t − 1. 5.30 y use el resultado D. 2π −∞ Sugerencia: Separe partes real e imaginaria.23 + 2 + x = 0. k=1 1 πs por lo que su transformada de Laplace resulta ser coth . ∀a > 0. s2 + 1 2 5. (0) = 1. recuerde el problema 3.5. (b) Resuelva mediante la transformación de Laplace la ecuación integral obtenida para ds/dy.20 Resuelva x˙ + 2x + x(u) du = sin t. Halle la ecuación de la curva plana a lo largo de la cual el tiempo de caída hasta el mínimo no depende del punto del que ha partido del reposo una partícula puntual que se mueve sin rozamiento bajo la acción de la gravedad a lo largo de la curva.25. Supongamos que para hallar la ecuación x(y) de dicha curva elegimos el eje y en dirección vertical y hacia arriba.net . x(π) = x(π) ˙ = 0. Utilice la transformación de Laplace para calcular la integral Z ∞ sin ax π dx = .7 Problemas 115 5.21 x¨ + x = θ(t − π) − θ(t − 2π). y(0) = −11/9. Use el problema 5. −∞ −∞ 5.33 La transformada de Laplace de f (t) = ln t es ln s + γ F (s) = − .30 Use el teorema de Parseval para calcular la siguiente integral: sin2 t Z ∞ dt.34 Dé dos ejemplos sencillos (y bien distintos) de funciones que no admitan transformada de Laplace. k=1 ¿Qué es lo que hace que la mencionada catástrofe solo ocurra en determinadas condiciones? 5. s ¿Por qué no se mantiene acotada sF (s) cuando s → ∞? 5.27 para demostrar que si la transformada de Fourier de f (x) es Z ∞ fˆ(p) = f (x)e−ipx dx.31 Ecuaciones diferenciales con retraso. Utilice el resultado del problema 5. −∞ se satisface Z 1 ∞ ˆ f (p)eipx dp = f (x). −∞ t2 5. x(0) = x(0) ˙ = 0.116 5 Transformación de Laplace 5.net . ¿Puede obtenerse esta misma solución por algún otro método? Discuta la diferenciabilidad de la solución.32 Probablemente ha oído que un grupo de gente marchando de forma acompasada sobre un puente puede llegar a provocar su caída. http://librosysolucionarios.28 Fórmula de inversión de Fourier.29 Teorema de Parseval. Justifique este hecho estudiando el siguiente problema: ∞ X x¨ + x = δ(t − 2kπ). 5. Supongamos que las transformada de Fourier de f (x) y g(x) son fˆ(p) y gˆ(p). 2π −∞ 5. 2π −∞ lo que prueba que la transformación inversa de Fourier viene dada por Z 1 ∞ f (x) = fˆ(p)eipx dp. Considere la solución continua de la ecuación dife- rencial con retraso x(t) ˙ + x(t − 1) = 0 que satisface la condición inicial x(t) = 1 para −1 ≤ t ≤ 0. Calcule la transformada recíproca para hallar la solución buscada.27 para demostrar la siguiente igualdad: Z ∞ Z ∞ fˆ(p) gˆ(p) dp = 2π f (x) g(x) dx. Calcule su transformada de Laplace y escríbala como una serie de potencias de s−1 e−s . http://librosysolucionarios. 0 siendo z la solución de az ′′ + bz ′ + cz = 1. Aplique la fórmula al oscilador forzado y ′′ + ω 2 y = f (x).net . x¨ + x = x(0) = x(0) ˙ = 0. para que al desaparecer la fuerza siga para siempre en reposo? 5. y compare el resultado con la expresión obtenida mediante el método de Cauchy. donde f es continua por trozos y de orden exponencial.7 Problemas 117 5. Sea una ecuación lineal de coeficientes constantes ay ′′ + by ′ + cy = f (x). 5. y(0) = y ′(0) = 0. 0 < t < π. 0 0 ¿Es una ecuación lineal? 5. t > π. 0.37 Halle las soluciones de Z t Z t y(u) du = y(u)y(t − u) du.38 Halle la solución del siguiente problema de condiciones iniciales: ( t. Demuestre que la solución que satisface condiciones iniciales nulas. con z(0) = z ′ (0) = 0. puede escribirse como Z x y(x) = z ′ (u)f (x − u) du.36 ¿Durante cuánto tiempo debe aplicarse una fuerza externa constante sobre un oscilador armónico que se halla inicialmente en reposo.35 Fórmula de Duhamel.5. net .118 5 Transformación de Laplace http://librosysolucionarios. 6. William Shakespeare En el análisis de un gran número de problemas de física se tiene en algún momento nece- sidad de resolver —o de analizar las propiedades de las soluciones de— una ecuación lineal de segundo orden. ya que a partir de ella es posible escribir las soluciones generales de la homogénea y de la completa mediante cuadraturas.1. cuya suma es en numerosas ocasiones una función especial. las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden definen a menudo funciones especiales. recogemos sin demostración las conocidas propiedades de las series de P n potencias. Repaso de series de potencias Por conveniencia. ni mucho menos que la so- lución pueda escribirse en términos de funciones elementales. De hecho. pero no debe esperarse que siempre funcionen. Como vimos en el capítulo 3. la mayor dificultad estriba en hallar una solución particular de la homogénea. yet there is method in ’t. Vimos allí algunos cambios de variables que pueden intentarse. Dada la serie de potencias ∞n=0 an (x − x0 ) . En este capítulo veremos cómo pueden hallarse las soluciones de ecuaciones homogéneas de segundo orden en términos de series de potencias.Capítulo 6 Solución por series de ecuaciones lineales Though this be madness. si el límite . . . a . n ρ (x0 ) = l´ım , (6.1) n→∞ an+1 existe o es +∞, su valor es el radio de convergencia de la serie, de forma que la misma converge absoluta y uniformemente en |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ. Si ρ = 0 la serie no converge en ningún punto, excepto, quizás, en x0 , y si ρ = +∞ converge por doquier. E JERCICIO 6.1 ¿Puede dar alguna otra expresión para calcular el radio de convergencia? P n P n Sean dos series f (x) = ∞ n=0 an (x − x0 ) y g(x) = ∞ n=0 bn (x − x0 ) que convergen para |x − x0 | < ρ (podemos elegir ρ como el mínimo de sus radios de convergencia). Entonces, para |x − x0 | < ρ: 119 http://librosysolucionarios.net 2) n=0 En particular.120 6 Solución por series de ecuaciones lineales 1. los polinomios son analíticos alrededor de cualquier punto.9) 3 1 5 3 f4 (x) = 1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 + · · · (6. f g y f /g (con tal de que. Dos series son iguales f (x) = g(x) si y solo si los coeficientes de potencias iguales coin- ciden: an = bn .5) n! y. si f y g son analíticas alrededor de x0 . (6.3) n=0 n=0 n=0 k=0 También puede calcularse la serie del cociente f (x)/g(x). (6. La serie es indefinidamente derivable en |x − x0 | < ρ y sus derivadas pueden calcularse derivando las series término a término: ∞ X f ′ (x) = nan (x − x0 )n−1 . en el último caso.6) n=0 n! 4. las series pueden sumarse y restarse término a término.2 Halle el radio de convergencia y la suma de las siguientes series de potencias: x2 x3 x4 f1 (x) = x− + − + ···. si g (x0 ) 6= 0. (6. también lo son αf +βg.8) 2 4! 6! f3 (x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · .net . g (x0 ) 6= 0). Toda serie construida mediante combinaciones lineales con coeficientes constantes α y β de los coeficientes an y bn de ambas series converge a la correspondiente combinación de las sumas: ∞ X αf (x) + βg(x) = (αan + βbn ) (x − x0 )n . los radios de convergencia de las series de Taylor de (1 + x)ν y ln(1 + x) alrededor del origen son finitos (ρ(0) = 1). exp x. como consecuencia de las propiedades que acabamos de revisar. la serie es su propia serie de Taylor: ∞ X 1 (n) f (x) = f (x0 ) (x − x0 )n . (6. los coeficientes de la serie son 1 (n) an = f (x0 ) (6. 2. sinh x y cosh x. Por el contrario. (6. cos x.4) n=1 Además. como lo son sin x. El producto formal de las series converge al producto de las sumas: " ∞ #" ∞ # ∞ " n # X n X n X X f (x)g(x) = an (x − x0 ) bn (x − x0 ) = ak bn−k (x − x0 )n .10) 4 2 16 16 http://librosysolucionarios. 3. por tanto. (6.7) 2 3 4 x x2 x3 f2 (x) = 1− + − + ···. Obviamente. f (x) es analítica alrededor de x = x0 y que. E JERCICIO 6. Recordemos también que si ρ > 0. pero el cálculo de los coeficientes no es tan simple y la serie resultante puede tener un radio de convergencia inferior a ρ. (El lector debería ser capaz de escribir y reconocer sin vacilar las series de potencias de todas estas funciones elementales). (6. 185). Soluciones en forma de series En el resto del capítulo vamos a considerar el problema de hallar las soluciones de la ecuación y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0 (6.11) en forma de una serie de potencias ordinaria. La introducción del factor (x − x0 )λ viene motivada por la experiencia con ecuaciones de Cauchy-Euler como la (3.11)) son analíticas alrededor de x0 .2. Para decidir el tipo de serie que debemos utilizar hay que analizar la naturaleza del punto x = x0 . Berlín). positivo. habrá que sustituir (x − x0 )λ por |x − x0 |λ . x0 es un punto singular. 6. que por definición es el producto.15) Para simplificar la notación. c0 6= 0.2. 2 Si queremos soluciones reales y λ no es un entero. con el cambio de variable independiente x = 1/t). E JERCICIO 6.6.3 Clasifique los puntos singulares de 2 x2 x2 − 1 y ′′ − 2x(x + 1)y ′ − y = 0. (6. Este discípulo de Weierstrass es recordado. Si ni siquiera esto es cierto. en este sencillo caso). ∞ X y= cn (x − x0 )n . Si el punto es singular pero las funciones p(x) ≡ (x − x0 ) P (x). si estamos interesados en desa- rrollos alrededor del punto del infinito. lo que puede lograrse mediante una traslación trivial (o. que jugó después un importante papel en mecánica cuántica. En caso contrario. si P y Q tienen a lo sumo un polo de primer y segundo orden. incluyendo la teoría de representaciones de grupos finitos. 3-08-1917.2 Soluciones en forma de series 121 6. respectivamente) el punto se llama singular regular. (6.13) n=0 de una serie de potencias por una potencia (x − x0 )λ cuyo exponente λ se llama índice y puede ser complejo o real. por sus importantes contribuciones a la teoría de grupos. Prusia.14) son analíticas alrededor de x0 (es decir. Puntos ordinarios y singulares Diremos que el punto x = x0 alrededor del cual quiere hallarse la solución es un punto ordinario. q(x) ≡ (x − x0 )2 Q(x) (6. negativo o nulo2 . si las funciones P (x) y Q(x) (con el coeficiente de y ′′ puesto igual a la unidad como en (6.12) n=0 o de una serie de Frobenius1 alrededor de un cierto punto x0 .1. ∞ X y = (x − x0 )λ cn (x − x0 )n . porque P o Q tienen un polo de orden más alto. (6. pero son series de Frobenius (finitas. http://librosysolucionarios. supondremos siempre que buscamos una solución alrededor de x0 = 0.net . 1 Ferdinand Georg Frobenius (26-10-1849. Berlín. el punto es singular irregular. aparte de sus trabajos sobre funciones elípticas y ecuaciones diferenciales. cuyas solu- ciones x1/2 y x−2 no admiten desarrollos en series de Taylor alrededor de x = 0. entero o no. En efecto. Si se ensayan dichas series en la ecuación (6.3. puesto que contiene las constantes arbitrarias c0 y c1 . en consecuencia. por tanto.12) y sus derivadas: ∞ X y = cn xn .17) n=0 X∞ ∞ X ′ n−1 y = ncn x = (n + 1)cn+1 xn .net . Puntos ordinarios En este caso los coeficientes P y Q de la ecuación (6. (6. todas las otras pueden calcularse una a una usando la última expresión. n=0 ∞ ( n ) X X ′′ ′ y + P y + Qy = (n + 2)(n + 1)cn+2 + [(k + 1)Pn−k ck+1 + Qn−k ck ] xn . Consideremos la serie (6. Q(x) = Qn xn (6. (6. cn+1 . Aunque aquí no lo demostremos (véase. [4]).22) (n + 2)(n + 1) k=0 Nótese que en el término de la derecha solo aparecen coeficientes conocidos con anterioridad. c2 . .: n X (n + 2)(n + 1)cn+2 + [(k + 1)Pn−k ck+1 + Qn−k ck ] = 0. por ejemplo. http://librosysolucionarios. n=0 k=0 (6. 2. es la solución general de la ecuación (6. . . n=0 "k=0 # X∞ Xn Py ′ = (k + 1)Pn−k ck+1 xn . deben cumplirse las siguientes condiciones para los valores n = 0. 1. (6. para lograr que las series vuelvan a empezar por n = 0. .21) k=0 y. la serie así construida es convergente para |x| < ρ y. si ya conocemos c0 .18) n=1 n=0 X∞ ∞ X y ′′ = n(n − 1)cn xn−2 = (n + 2)(n + 1)cn+2 xn . (6.11) y se tienen en cuenta los desarrollos (6. . los desarrollos ∞ X ∞ X P (x) = Pn xn . (6. el siguiente coeficiente es n 1 X cn+2 = − [(k + 1)Pn−k ck+1 + Qn−k ck ].122 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6. n → n + 1 y n → n + 2.16) n=0 n=0 son convergentes para |x| < ρ con un ρ > 0 apropiado. c1 .3) se obtiene lo siguiente: ∞ " n # X X Qy = Qn−k ck xn .16) y la propiedad (6.11) son analíticos alrededor del origen y.11). n=0 k=0 X∞ y ′′ = (n + 2)(n + 1)cn+2xn .19) n=2 n=0 donde se han hecho dos corrimientos de índices.20) Por tanto. para que la ecuación se satisfaga. . tras elegir como se quiera las constantes c0 y c1 . 31) E0 2 2 http://librosysolucionarios. El ejemplo más sencillo es el del oscilador armónico.3 Puntos ordinarios 123 En resumen.22. donde c0 y c1 son constantes arbitrarias y el resto de los coeficientes vienen dados por la recurrencia (6. (6. los términos pares. (6. E0 ≡ mω 2 x20 = h¯ ω. pero basta recordar simplemente que la solución viene dada por una serie de potencias ordinaria (6.17).27) k=0 (2k)! k=0 (2k + 1)! ya que las series son las del coseno y el seno. podemos elegir c0 y c1 sin restricciones y cn cn+2 = − .net . e impares. (6. y ′′ + y = 0. Podríamos usar las expresiones que acabamos de obtener. . 1. n = 0. Sustituyendo (6. x0 ≡ . para el que todos los puntos son ordinarios. La serie converge en los puntos |x| < ρ.19) en la ecuación del oscilador obtenemos que el coeficiente de xn es (n + 2)(n + 1)cn+2 + cn = 0. (6. se separan naturalmente y las correspondientes recurrencias se deshacen fácilmente: c2k−2 c2k−4 (−1)k c0 c2k = − = = ··· = .3. (6.22).17). (6. pero falta cn+1 . n+ 2 = 2k + 1. (6.30) x0 mω E 1 1 ǫ = . n = 0. . . 6.6. 1. la solución general puede expresarse en forma de la serie de potencias ordinaria (6.26) (2k + 1)(2k) (2k + 1)(2k)(2k − 1)(2k − 2) (2k + 1)! Sustituyendo estos valores obtenemos la solución esperada ∞ ∞ X (−1)k 2k X (−1)k 2k+1 y = c0 x + c1 x = c0 cos x + c1 sin x. . . si el origen es un punto ordinario.17) y (6.28) Compruebe el resultado usando la transformación de Liouville del ejercicio 3. Ecuación de Hermite Para estudiar la ecuación de Schrödinger del oscilador armónico ¯ 2 d2 ψ 1 h − 2 + mω 2 x2 ψ = Eψ (6. . n + 2 = 2k.24) (n + 2)(n + 1) Como en esta recurrencia aparecen cn+2 y cn .1.23) Por tanto. (6.25) (2k)(2k − 1) (2k)(2k − 1)(2k − 2)(2k − 3) (2k)! c2k−1 c2k−3 (−1)k c1 c2k+1 = − = = ··· = .4 Halle por el método de series la solución de  x2 − 1 y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0.29) 2m dx 2 conviene utilizar las siguientes variables adimensionales: s x h ¯ x˜ = . E JERCICIO 6. 2 E JERCICIO 6. c0 y c1 pueden elegirse sin condiciones y los demás coeficientes vienen dados por 2n − λ cn+2 = cn . 3. A él se debe la primera prueba de que e es trascendente.32) dx donde hemos simplificado la notación eliminando la tilde sobre la x.6 Demuestre que haciendo el cambio de variables ψ = e−x /2 y. n = 0. .34) Esta recurrencia. (6.35) 2 y los términos dominantes (proporcionales a x2 e±x /2 ) se cancelan. 1. . En este ejemplo.124 6 Solución por series de ecuaciones lineales E JERCICIO 6. Los polinomios de Hermite y las matrices hermíticas resultaron posteriormente de capital importancia en mecánica cuántica. Llevan su nombre una ecuación diferencial. http://librosysolucionarios. y factorizando el comportamiento en el infinito puede suceder que la nueva recurrencia sea de dos puntos. pero que puede haber casos en 2 que sean como ψ ∼ e−x /2 . Ensaye una serie de potencias para ψ y demuestre que los coeficientes deben satisfacer la recurrencia: (n + 2)(n + 1)cn+2 + ǫcn = 0. Esto sugiere que la mayor 2 parte de las soluciones se comportarán como ψ ∼ ex /2 (lo que da lugar a soluciones inaceptables como funciones de onda. En la práctica. Al sustituir la serie de potencias (6.13 un caso en que puede hacerse con relativa facilidad. . (6. Dieuze.39) 3! 5! 7! 3 Charles Hermite (24-12-1822. Francia. el cambio evidente 2 ψ(x) ∼ e−x /2 y(x) es útil. y usando el nuevo parámetro λ = ǫ−1. ya que el coeficiente cn+2 depende no de uno sino de dos coeficientes anteriores.37) Como esperábamos. aunque veremos en el problema 6. unos polinomios.36) Como los coeficientes de y ′ e y son polinómicos. es de tres puntos. 14-01-1901. todos los puntos (y en particular el origen) son ordinarios.17) y sus derivadas (6. cuando el punto del infinito t = 1/x = 0 es singular irregular.5 Demuestre que con estas variables la ecuación del oscilador se escribe como d2 ψ  2 + ǫ − x2 ψ = 0. (6. 1. un método de interpolación y un tipo de matrices. . es más difícil deshacer este tipo de recurrencias que las que son de dos puntos. que deben tender a cero en el infinito). (6. las recurrencias de tres puntos aparecen.18)–(6.38) (n + 2)(n + 1) De nuevo se separan las potencias pares e impares y se obtiene " # λ λ(4 − λ) 4 λ(4 − λ)(8 − λ) 6 y = c0 1 − x2 − x − x −··· 2 4! 6! " # 2 − λ 3 (2 − λ)(6 − λ) 5 (2 − λ)(6 − λ)(10 − λ) 7 + c1 x + x + x + x + · · · . a veces. Para explorar con más detalle esta posibilidad. En general. .33) (n + 2)(n + 1)cn+2 + ǫcn − cn−2 = 0. París). También trabajó en funciones elípticas y la ecuación de quinto grado. n = 2. la ecuación del oscilador armónico cuántico se reduce a la ecuación de Hermite3 : y ′′ − 2xy ′ + λy = 0. (6. n = 0. para valores muy grandes de |x| el 2 comportamiento asintótico de las soluciones es del tipo ψ ∼ e±x /2 . ya que si sustituimos esto en la ecuación obtenemos   2 x2 ± 1 + ǫ − x2 e±x /2 (6. (6. a diferencia de las que hemos encontrado hasta ahora.19) e igualar los coeficientes de xn obtenemos (n + 2)(n + 1)cn+2 − 2ncn + λcn = 0. (6.net . . como en este caso. (n → ∞). el comportamiento asintótico de la mayoría de las solu- 2 2 2 ciones es ψ = e−x /2 y ∼ ex /2 . . E JERCICIO 6.x . La existencia de soluciones aceptables solo para valores discretos del parámetro λ es la razón matemática de la cuantización de la energía del oscilador.net . 3 etc.22 y el apartado D. http://librosysolucionarios. La única contribución de importancia a las matemáticas de este banquero francés.2. H0 (x) = 1.7 Compruebe que algo parecido ocurre con los coeficientes impares para n → ∞. Otras interesantes propiedades de estos polinomios pueden hallarse. en las tablas de Abramowitz y Stegun [35]. tal y como esperábamos. y para que la función de onda. Por tanto. y = c0 . que vienen dados por la relación de recurrencia ! d Hn (x) = 2x − Hn−1(x). c0 = 0. y = c1 x − x3 .3 Puntos ordinarios 125 que puede escribirse en forma más compacta usando la función gamma de Euler descrita en el apartado D.10. fue la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre. λ = 4. y = c1 x. (6.8 ¿A qué valores de la energía E corresponden las soluciones polinómicas de la ecua- ción de Hermite? Eligiendo adecuadamente los coeficientes en las soluciones polinómicas. por ejemplo. c1 = 0.42) dx o por la fórmula de Rodrigues4 del apartado D.6. E JERCICIO 6. (6. más interesado por la organización científica de la sociedad. y = c0 (1 − 2x2 ). no diverja en el infinito y sea de cuadrado sumable hay que limitarse a considerar las soluciones polinómicas que se obtendrán cuando una de las series de arriba se corte y se elija el coeficiente c0 o c1 de la otra igual a 0. c0 = 0. ψ = e−x /2 y. Vemos que eso solo es posible cuando λ = 0. .41) n+2 n+1 2 cuya solución para los índices pares es c2k = c2(k−1) /k = c0 /k! y corresponde a ex .   2 λ = 6. (6.40) 4 2 4 2 en términos de las funciones de Kummer del problema 6.12. 4 Olinde Rodrigues (1794-1851). se obtienen los po- linomios de Hermite. con la que se obtiene que la solución es ! ! λ 1 2−λ 3 2 y = c0 M − . λ = 2. Para valores grandes de |x| los términos más importantes serán los correspondientes a valores altos de n para los que se tiene que la recurrencia (6.38) es 2 2 cn+2 ≈ cn ≈ cn .5. x2 + c1 xM . c1 = 0. aunque por extensión se aplica el mismo nombre a fórmulas similares. 4.43) Supongamos que ensayamos la serie de potencias (6. (6. Königsberg. aparece la ecuación de Bessel5   x2 y ′′ + xy ′ + x2 − ν 2 y = 0.126 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6. . . Introdujo las funciones que llevan su nombre —aunque en casos particulares habían sido utilizadas antes por Jacob y Daniel Bernoulli. que ensayar una serie de Frobenius y sus derivadas: ∞ X y = cn xλ+n . hay que tomar c0 = c1 = · · · = ck−1 = 0 y ck será arbitraria. En primer lugar. Cuando ν = ±1. 17-03-1846. Euler y Lagrange— en el estudio perturbativo del problema de tres cuerpos. por tanto. ensayando una serie de potencias no encontraremos ninguna solución en la mayor parte de los casos. Destacó tanto por su labor de observación en astronomía (fue el primero en determinar la distancia de una estrella fija y demostró que Sirio tiene una compañera oscura) como por sus contribuciones teóricas a la mecánica celeste. sino singular regular. n=2 Para que se cumpla la ecuación tienen que anularse los coeficientes de todas las potencias xn :  −ν2 c0 = 0.48) n=0 5 Friedrich Wilhelm Bessel (22-07-1784. c0 es arbitraria. en el caso ν = 0. Ecuación de Bessel Tras separar variables en muchas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de proble- mas físicos con simetría cilíndrica. (6. hay que hacer c0 = 0 y c1 es arbitraria. n=2   x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − ν 2 ) y = − ν 2 c0 + 1 − ν 2 c1 x+ ∞ h X  i n2 − ν 2 cn + cn−2 xn . si ν es entero se encuentra una solución (y no dos) ensayando una serie de potencias. http://librosysolucionarios. n=0 X∞ xy ′ = ncn xn .44) x2 y ′′ = n(n − 1)cn xn . n=1 ∞ X (6.17): ∞ X 2 xy = cn−2 xn . Hay.net . En consecuencia. . Pero si ν no es entero. Por tanto. si ν = ±k ≡ ±2. La razón del fracaso del método de la serie de potencias estriba en que el origen no es un punto ordinario. (6. Westfalia. obtenemos solo la solución nula c0 = c1 = c2 = · · · = 0.46)   n2 − ν 2 cn + cn−2 = 0. . Minden. pero hay que elegir c1 = 0 y solo logramos una solución. 3. (6. n = 2. Prusia. .47) La discusión de este resultado es sencilla. Kaliningrad en la Rusia actual).. . (6. n=2 X∞   2 −ν y = −ν 2 cn xn . ±3. Igualmente.45) 1 − ν 2 c1 = 0. .49) n=0 X∞ y ′′ = (λ + n)(λ + n − 1)cn xλ+n−2 . y nos da los índices λ = ±ν. (6. λ2 = ν 2 . la tercera condición es. n=2 X∞   −ν 2 y = −ν 2 cn xλ+n . .52) h i (λ + 1)2 − ν 2 c1 = 0.net . Además. n = 2. (6.50) n=0 Usando estas series obtenemos ∞ X x2 y = cn−2 xλ+n . respectivamente:   λ2 − ν 2 c0 = 0. (6. xλ+1 y xλ+n de la solución son. (6.5. obtene- mos al desarrollar el cuadrado del binomio (2λ + 1)c1 = 0. Nótese que en el caso ν = −λ = 1/2 el coeficiente c1 es arbitrario.22 y será abordado de nuevo en el 6. que son los únicos valores de λ para los que la serie de Frobenius es solución de la ecuación de Bessel.56) 2 k! (λ + 1)k 2 k! Γ(λ + k + 1) http://librosysolucionarios. (6.51) 2 ′′ xy = (λ + n)(λ + n − 1)cn xλ+n . n=0 X∞ xy ′ = (λ + n)cn xλ+n .53): c2(k−1) c2(k−2) c2k = − = 2 = ··· 4 k (λ + k) 4 k(k − 1) (λ + k)(λ + k − 1) (−1)k c0 = k = 4 k(k − 1) · · · 1 (λ + k)(λ + k − 1) · · · (λ + 1) (−1)k c0 (−1)k Γ(λ + 1) c0 = 2k = 2k .55) (λ + n)2 − ν 2 n(2λ + n) lo que junto a c1 = 0 nos dice que todos los coeficientes impares son nulos. n=0 ∞ X (6. cn−2 cn−2 cn = − = − .54) La primera de estas condiciones es la ecuación indicial. . mientras que los pares satisfacen una recurrencia que se resuelve sin dificultad usando (D. por lo que nada impide elegirlo nulo. Finalmente. n=2 En consecuencia. (6. c2k+1 = 0.53) h i (λ + n)2 − ν 2 cn + cn−2 = 0. n=0   h i x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − ν 2 ) y = λ2 − ν 2 c0 xλ + (λ + 1)2 − ν 2 c1 xλ+1 + ∞ nh X i o (λ + n)2 − ν 2 cn + cn−2 xλ+n . los coeficientes de xλ . este caso particularmente sencillo fue completamente resuelto en términos de funcio- nes elementales en el problema 3. Si sustituimos esta ecuación indicial en la segunda de las anteriores condiciones.4 Ecuación de Bessel 127 ∞ X y′ = (λ + n)cn xλ+n−1 .6. que nos dice que c1 = 0. 3. (6. 1.58) es solución de la ecuación de Bessel. La función de Bessel de segunda especie —también llamada función de Newmann o función de Weber y denotada a veces como Nν — de orden ν se define como la siguiente combinación lineal con coeficientes constantes: cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) Yν (x) = . que se cumple la relación J−n (x) = (−1)n Jn (x) = cos(nπ)Jn (x).57) k=0 k! Γ(λ + k + 1) 2 que.57) a (6. . J−ν ] = − ..128 6 Solución por series de ecuaciones lineales Multiplicando y dividiendo este resultado por 2λ e insertándolo en (6. ya que Jν y J−ν son linealmente independientes porque sus series empiezan con distintas potencias de x. Como puede verse. Además. el wronskiano de Jν y J−ν es 2 sin(νπ) W [Jν . (6. Si ν no es entero.61) y que. cuando ν = 0 tenemos un único índice (λ = 0) y. salvo por el coeficiente constante fuera del sumatorio define la función de Bessel de prime- ra especie de orden λ: ∞ (−1)k  λ+2k X x Jλ (x) = . (6. puede usarse la expresión (6.58) k=0 k! Γ(λ + k + 1) 2 F IGURA 6. http://librosysolucionarios.60) πx por lo que tenemos dos casos. (6.. por tanto. −2 . la constante Γ(λ + 1) que hemos eliminado al pasar de (6. . . Sin embargo.. por tanto. De hecho.58). y la función J−n restante es igual u opuesta a Jn .9 Demuestre que también cuando λ = −1. el wronskiano se anula y las dos funciones de primera especie son linealmente dependientes. 2. la solución general puede escribirse como y = A Jν + B J−ν . . −2. (6. . E JERCICIO 6. . cuando ν = n = 1. aunque no sea linealmente independiente de Jn . . por ejemplo.58).48) obtenemos la solución ∞ (−1)k  λ+2k X x y = 2λ Γ(λ + 1)c0 . en [15]. que la ecuación de Bessel de orden ν admite como soluciones Jν (x) y J−ν (x). en consecuencia. . . . Vemos. por tanto. una única solución dada por (6.1 Algunas funciones de Bessel Jn de orden entero. . si ν = 0. solución de la ecuación. la función J−n definida por la fórmula (6.58) es infinita para los valores λ = −n = −1. (6.net .59) sin(νπ) y es. mientras que las Yn divergen en el origen. E JERCICIO 6. en cuyo caso se define como cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) Yn (x) = l´ım .22.11 Utilice los resultados de este apartado y el ejercicio D. Nos limitaremos aquí a señalar que. como se aprecia en la figura 6. E JERCICIO 6. Discutiremos en las siguientes secciones cómo puede abordarse este problema en el caso general. (6. Yν ] = . incluso si el mismo no es negativo.4 Ecuación de Bessel 129 No hay en este caso dos soluciones independientes en forma de serie de Frobenius. (6.1.10 Compruebe que 2 W [Jν .6. J0 (0) = 1 y J1 (0) = J2 (0) = · · · = 0. aunque la diferencia 2ν sea entonces entera). De entre las muchas propiedades de las funciones de Bessel que pueden encontrarse en las tablas.net . F IGURA 6.2 Algunas funciones de Bessel Yn de orden entero. Jν y Yν son siempre linealmente independientes.63) ν→n sin(νπ) En consecuencia. incluso cuando ν es un entero. y veremos más adelante que esto sucede siempre que hay un solo índice (cuando ν = 0 en este caso) y puede también pasar cuando la diferencia entre los índices es un entero (aquí ocurre si ν es un entero.2. pero con la ecuación de Bessel es mejor usar el siguiente hecho.62) πx Por tanto. http://librosysolucionarios. como puede verse de la propia definición o en la figura 6.12 para recuperar la solu- ción en términos de funciones elementales de la ecuación de Bessel de orden 1/2 que se halló en el problema 3. la solución general de la ecuación de Bessel puede escribirse como y = C Jν + D Yν tanto si ν es entero como si no lo es.4. pero no si es semientero. Veremos en el siguiente apartado que esto sucede a menudo con la solución corres- pondiente al índice pequeño cuando la diferencia entre índices es un entero. algunas útiles relaciones de recurrencia se demostrarán el problema 6. (6.12 Compruebe que el origen será un punto ordinario si y solo si p0 = q0 = q1 = 0. (6.71) n=0 k=0 Si sustituimos estas dos expresiones y (6. . Método de Frobenius En este apartado enunciamos y demostramos el resultado general para un punto ordinario o singular regular que hemos trasladado al origen. para 0 < |x| < ρ. Con las hipótesis que acabamos de enunciar.72) k=0 http://librosysolucionarios. (6. para n = 0. es decir. el método de Frobenius consiste en ensayar en la ecuación (6.net . .69) n=0 y.70) n=0 k=0 ∞ " n # X X ′ xp(x)y = pn−k (λ + k)ck xλ+n .64) También supondremos que el origen es un punto ordinario o singular regular.64) una serie de Frobenius ∞ X y= cn xλ+n .130 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6. si la solución existe.66). n X (λ + n)(λ + n − 1)cn + [pn−k (λ + k) + qn−k ] ck = 0. (6. (6. c0 6= 0. Nótese que la linealidad y homogeneidad de la ecuación conducen a que c0 sea arbitrario. Si derivamos la serie (6. que p y q admiten desarrollos en series de potencias ∞ X p(x) = xP (x) = pn xn .65) n=0 X∞ q(x) = x2 Q(x) = qn xn .64) e igualamos los coeficientes de cada potencia obtenemos. (6. (6. al menos. 1.68) n=0 X∞ x2 y ′′ = (λ + n)(λ + n − 1)cn xλ+n . (6. usando (6. ∞ " n # X X q(x)y = qn−k ck xλ+n .5. .3)..67) n=0 que será convergente.67) término a término dos veces y multiplicamos la primera y segunda derivadas por x y x2 respectivamente obtenemos ∞ X ′ xy = (λ + n)cn xλ+n .69) en (6.14): x2 y ′′ + xp(x)y ′ + q(x)y = 0. El cálculo es más cómodo si multiplicamos la ecuación por x2 y usamos la notación (6.65) y (6. E JERCICIO 6. (6.66) n=0 convergentes para |x| < ρ con ρ > 0. (6. (6. (6. viene dado por n−1 1 X cn = − [pn−k (λ + k) + qn−k ] ck .64).67). (6. ∞ X ∞ X p(x) = pn xn . (6.79) n=0 n=0 convergentes para |x| < ρ. El único obstáculo de principio a este método es la posibilidad de que el denominador de la expresión (6. c1 . . cn−1 . es decir. q(x) = qn xn . si hay un único índice doble— el procedimiento solo proporciona una solución. El coeficiente de la potencia más baja se obtiene tomando n = 0 en la última expresión lo que da I(λ)c0 = 0. . c1 puede calcularse despejándolo de (6. si la diferencia entre ambos índices es un entero N = λ1 − λ2 . Por otro lado. .80) http://librosysolucionarios.6.74) con n = 1. λ + 1)— para que (6.78) de forma que las funciones p y q admiten desarrollos.1 (Frobenius) Sea x = 0 un punto ordinario o singular regular de la ecuación x2 y ′′ + xp(x)y ′ + q(x)y = 0. si los dos índices resultan ser iguales —es decir. con ρ > 0.74) k=0 (Nótese que ahora el sumatorio acaba en k = n − 1). Estos casos serán tratados más adelante. cn . con las excepciones que discutiremos luego. I(λ + N) = 0.77) se anule para un cierto n = N > 0.net . Teorema 6.75) Las dos raíces de esta ecuación cuadrática. 1 c1 = − (p1 λ + q1 ) c0 . λ) −→ (c0 . Si λ1 y λ2 son las dos raíces de la ecuación indicial I(λ) ≡ λ(λ − 1) + p0 λ + q0 = 0 (6. tiene que cumplirse la ecuación indicial I(λ) = λ(λ − 1) + p0 λ + q0 = 0. (6. el siguiente coeficiente. (6. a las dos soluciones linealmente independientes que nos hacen falta para construir la solución general. (6. lo que solo puede ocurrir si λ + N es el otro índice. λ1 y λ2 se llaman los índices de la ecuación diferencial y corresponden. Puesto que c0 6= 0 —ya que elegir c0 = 0 correspondería a redefinir (c1 . o el índice único) dará sin problemas una solución la segunda puede contener un término logarítmico no descrito por una serie del tipo (6.73) se escribe en forma más conveniente como n−1 X I(λ + n)cn + [pn−k (λ + k) + qn−k ] ck = 0. El procedimiento parece claro: para cada índice c0 es arbitrario. . introduciendo la función indicial de la ecuación I(u) ≡ u(u − 1) + p0 u + q0 .76) I(λ + 1) y el resto de los coeficientes pueden calcularse de forma recurrente.77) I(λ + n) k=0 cuyo miembro derecho solo depende de los coeficientes ya calculados.5 Método de Frobenius 131 que. ya que aunque el índice mayor (o con mayor parte real. ya que una vez conocidos c0 .67) sea una solución de (6. (6.83) n=0 mientras que la segunda puede ser: 1. La primera se puede obtener siempre como ∞ X y1 = an (λ1 )xλ1 +n . 1.78) tiene dos soluciones. . (6. . ∞ X y2 = an (λ2 )xλ2 +n . si N 6= 0.84) n=0 2. . . (6. . .81) n−1 1 X an (λ) ≡ − [pn−k (λ + k) + qn−k ] ak (λ). (6. ∞ X y2 = y1 ln x + bn xλ1 +n . 2. y1 e y2 . y definimos recurrentemente las funciones a0 (λ) ≡ 1.132 6 Solución por series de ecuaciones lineales con N ≡ λ1 − λ2 (siendo N ≥ 0 o Re N ≥ 0). si N = 0. que son linealmente independientes en 0 < |x| < ρ.85) n=1 con .82) I(λ + n) k=0 entonces la ecuación (6. (6. n = 1. 2.. . d . a′n (λ1 ) . bn ≡ = an (λ). n = 1. . . 2. . (6. .86) dλ . . 2.87) n=0 con A ≡ l´ım [(λ − λ2 ) aN (λ)] . (6. .88) λ→λ2 c0 ≡ 1..89) . (6. λ=λ1 3. ∞ X y2 = Ay1 ln x + cn xλ2 +n . . (6. si N = 1. d . cn ≡ [(λ − λ2 ) an (λ)]. . . 2.90) dλ . . . n = 1. (6. . λ=λ2 6. λ) = cn (λ)xλ+n (6.68)–(6. (6.1. Demostración del teorema La demostración de que las soluciones tienen la mencionada forma consiste en ensayar una solución del tipo ∞ X y(x. da para el miembro de la izquierda ∞ ( n−1 ) X X Ly(x. λ) = I(λ + n)cn (λ) + [pn−k (λ + k) + qn−k ] ck (λ) xλ+n . por el mismo argumento utilizado en las expresiones (6.net .5.92) lo que.93) n=0 k=0 http://librosysolucionarios.74).91) n=0 en la ecuación Ly ≡ x2 y ′′ + xp(x)y ′ + q(x)y = 0. (6. (La demostración de que el dominio de convergencia contiene los puntos 0 < |x| < ρ puede hallarse en el libro [21]). λ2 ) = cn (λ2 )x = cn (λ2 )x = cN +n (λ2 )xλ1 +n = Ay1 .95) El miembro de la derecha de esta ecuación se anula para los índices. se satisfará cuando λ = λ2 .100). L (6. ya que los primeros N sumandos se anularán de- bido a que los coeficientes contienen el factor (λ2 − λ2 ).83) y (6. .82).94) se reduzca a (6. La ecuación (6. (6.97) ∂λ que se anula para λ = λ1 . . por lo que una solución será ∞ ∞ ∂y X X (x. λ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 )2 xλ .99) como consecuencia de (6.99). mientras que el siguiente término será cN (λ2 )xλ2 +N = Axλ2 +N = Axλ1 . λ2 ) = c′n (λ2 )xλ2 +n + cn (λ2 )xλ2 +n ln x. (6. (6.84) sin más que tomar en (6. (6.87) si tenemos en cuenta (6.91).94) para n = N. otra solución se obtiene derivando (6. Cuando λ1 = λ2 + N con N = 1.102) ∂λ que también se anula para λ = λ2 .88). λ1 ) = c′n (λ1 )xλ1 +n + cn (λ1 )xλ1 +n ln x. si elegimos c0 (λ) = λ − λ2 . con λ = λ1 y λ = λ2 respectivamente.96) (6. Por tanto.91) en λ = λ1 : ∞ ∞ ∂y X X (x. derivando (6.96) y la linealidad del operador L. (6. . por lo que obtenemos las soluciones (6. .85). ∂y L (x. .98) ∂λ n=0 n=0 que es no es otra cosa que (6. (6. pero podemos obtener una segunda solución haciendo c0 (λ) = 1. http://librosysolucionarios. λ) = 2 (λ − λ1 ) xλ + (λ − λ1 )2 xλ ln x.. λ) = (λ − λ2 )2 xλ + 2 (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) xλ + (λ − λ1 ) (λ − λ2 )2 xλ ln x. la dificultad al hallar la segunda solución proviene de que el coeficiente de cN (λ) en (6. . el valor particular c0 (λ) = 1. que. 2 . por tanto.83) y (6.. (6. cN −1 (λ) tendrán un factor (λ − λ2 ). (6.101) y la elección (6. 2. . I(λ) = (λ − λ1 )2 . . por lo que una solución es ∞ X ∞ X ∞ X λ2 +n λ2 +n y (x.94) para n = N es I(λ + N) = (λ + N − λ1 ) (λ + N − λ2 ) = (λ − λ2 ) (λ + N − λ2 ) y se anula para λ = λ2 .5 Método de Frobenius 133 que exigiendo que se cumpla n−1 X I(λ + n)cn (λ) + [pn−k (λ + k) + qn−k ] ck (λ) = 0.net . I (λ1 ) = I (λ2 ) = 0.94) k=0 se reduce a Ly(x. Si el índice es doble. por lo que ese factor aparecerá en todos los sumandos de (6.100) que se anula para λ = λ2 .83) y (6.94) también c1 (λ).95) será Ly(x.6. (6. n = 1. . Para obtener la segunda solución procederemos como antes derivando (6. λ) = I(λ)c0 (λ)xλ .84) coinciden. Ahora bien.103) ∂λ n=0 n=0 que coincide con (6.95) y usando (6.101) n=0 n=N n=0 con los valores definidos en (6. que hace que (6. para ver que ∂y (x. 5. Un ejemplo con índice doble Sea la ecuación xy ′′ + (1 + x)y ′ + y = 0. con las ecuaciones de Bessel de orden semientero o en distintos ejemplos que veremos en problemas. no tiene término logarítmico. (6. la condición (6.net . λ1 .68). en particular.105). Dedicaremos el resto del capítulo a distintos ejemplos de aplicación de este teorema.12. (6. (6.108) http://librosysolucionarios. la segunda solución contiene necesariamente un término logarítmico. Si se ha conseguido sumar la serie de la primera solución y1 .134 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6. De hecho.105) k=0 entonces cN (λ2 ) es arbitrario. por lo que la solución correspondiente a λ2 tendrá un término logarítmico y A 6= 0. por lo que A = 0 y la solución correspondiente al índice pequeño. Si la diferencia entre los índices es un entero no nulo N = λ1 − λ2 .104) no tiene solución para cN (λ2 ).104) k=0 por lo que existen dos posibilidades: • Si debido a la estructura de la ecuación resulta que N X −1 [pN −k (λ + k) + qN −k ] ck (λ2 ) = 0.2. esto sucede siempre que el punto es ordinario.107) (λ + n)2 an +(λ + n)an−1 = 0. 6.106) P en donde la sustitución y = an xλ+n e identificación de coeficientes conduce a λ2 a0 = 0. (6. Además. Observaciones Si solo quieren calcularse algunos términos de la solución puede ser más fácil ensayar directamente el tipo de serie que se sabe que va a aparecer y calcular los coeficientes correspondientes. como en esa solución habrá dos constantes arbitrarias. (6.94) para el coeficiente cN (λ2 ) tiene la forma N X −1 0 · cN (λ2 ) + [pN −k (λ + k) + qN −k ] ck (λ2 ) = 0. el método más conveniente para hallar la segunda solución es a menudo la reducción de orden (3. que se recupera tomando c0 (λ2 ) = 0 y cN (λ2 ) = 1. c0 (λ2 ) y cN (λ2 ). la correspondiente al índice mayor. λ2 . la ecuación (6. Si solo hay un índice. λ1 = λ2 .3. La posible aparición de términos logarítmicos no debería sorprendernos a la vista de la experiencia con las ecuaciones de Cauchy-Euler estudiadas en el apartado 3.5. la misma será la solución general y contendrá. • Si no se cumple (6. 86) es conveniente utilizar la derivada loga- rítmica: .110) n! con lo que ∞ X (−1)n n y1 = x = e−x . (6. (6.6.109) λ+n k=1 λ + k con a0 (λ) = 1. (6. Una solución se obtiene tomando λ = 0 en la última expresión (−1)n an (0) = .85)–(6.5 Método de Frobenius 135 La primera de estas ecuaciones nos dice que el índice λ = 0 es doble y la segunda nos da la recurrencia n an−1 (λ) Y 1 an (λ) = − = (−1)n .111) n=0 n! Para hallar la segunda solución mediante (6. n . d . (−1)n d X . bn = a′n (0) = an (0) ln |an (λ)|. . =− ln(λ + k). . dx . λ=0 n! dx k=1 . λ=0 n . (−1)n X 1 . . (−1)n = − . 112) n! k=1 λ + k . (6. =− Ωn . 115) Compruebe que se trata de la misma solución utilizando (6. " ∞ # −x −x X (−1)n y = C1 e + C2 e ln x − Ωn xn .113) n=1 n! E JERCICIO 6.68) se obtiene como solución general y = [A + B Ei(x)] e−x .114) n=1 E JERCICIO 6.66).14 Demuestre que usando y1 y (3.net .λ=0 n! donde hemos utilizados los números armónicos Ωn = 1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n (véase la página 287). E JERCICIO 6.116) http://librosysolucionarios. (D.15 Resuelva  x2 (1 + x)y ′′ + x2 − x y ′ + y = 0.64) y (D.111). (6. por tanto. (6. (6. La solución general de la ecuación será.13 Compruebe que también puede hallarse y2 ensayando la solución ∞ X y2 = e−x ln x + bn xn . (6. .121) (λ + n)(λ + n − 1)2 El índice mayor λ = 1 nos da siempre una solución que en este caso es y1 = x.122) λ→0 λ→0 (λ + 1)λ2 Por otro lado.. pero queremos ilustrar la aplicación del teorema de Frobenius. . ya que a0 = 1 siempre y vemos en (6.5. tenemos λ(λ − 1)2 A = l´ım λa1 (λ) = − l´ım λ = −1.119) La primera ecuación nos da los índices λ = 0. (6. (6. Un ejemplo con término logarítmico Sea   x + x2 y ′′ − xy ′ + y = 0.120) (λ + n)(λ + n − 1) E JERCICIO 6. (6. (6.16 Compruebe que. para n = 1.117) P en donde la sustitución y = an xλ+n lleva a λ(λ − 1) a0 = 0. . (−1)n λ(λ − 1)2 an (λ) = .136 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6.4. 1. EnR este caso la solución general puede hallarse fácilmente mediante la reducción de orden y = x u dx. . esta solución podía haberse hallado por inspección usando la observación hecha en la página 52 con respecto a las ecuaciones del tipo (3.67).118) (λ + n)(λ + n − 1) an + [(λ + n − 1)(λ + n − 3) + 1] an−1 = 0. mientras que la segunda nos da la recurrencia (λ + n − 2)2 an (λ) = − an−1 (λ). cuya diferencia N = 1 es entera. (6. Claro está que en este simple ejemplo. 2.121) que an (1) = 0. Como N = 1 y λ2 = 0. (6. . d . . d (−1)n λ2 (λ − 1)2 . . cn = λan (λ). = . 123) dλ . (6. . λ=0 dλ (λ + n)(λ + n − 1)2 . excepto para n = 1 en que el término λ2 está también en el denominador. por lo que se tiene . se anulará para todo n.λ=0 que. debido a que λ = 0 es una raíz doble del numerador. d (λ − 1)2 . . c1 = − . = 3. (6.124) dλ (λ + 1) . y = Ax + B(1 − x ln x). E JERCICIO 6. (6. o.125) http://librosysolucionarios.net . equivalen- temente.17 Resuelva x (y ′′ + y ′ ) − y = 0.λ=0 con lo que la solución general de la ecuación es y = C1 x + C2 (−x ln x + 1 + 3x). con A y B arbitrarios. Además.5. (6. para el que como consecuencia de la anulación de a1 solo habrá coeficientes pares:   5 a2(k−1) a2(k−1) a2k = = . −1/2.129) 4 cuyo origen es singular regular.net . pn+1 = Pn .5 Método de Frobenius 137 6. Un ejemplo sin término logarítmico Como ya se ha dicho (y hemos comprobado en el anterior ejemplo). respectivamente a la ecuación indicial y al valor n = N = 1 que podía ocasionar problemas.132) de donde se sigue que a1 = 0. P Veamos otro ejemplo sin término logarítmico. (6. En efecto. esto no es necesariamente cierto. (6. cuya diferencia es N = 3. (6.130) 2 2 con lo que los índices son λ = 5/2. como pasaba en el caso de la ecuaciones de Bessel de orden semientero.127) I(1)c1 = 0.11) son analíticos alrededor del origen y. Las soluciones correspondientes al índice mayor (λ = 1) se recuperan con la elección c0 = 0 y c1 6= 0.126) y los índices son λ = 0. Como hay dos constantes arbitrarias esto proporciona todas las soluciones. En este último caso los coeficientes P y Q de la ecuación (6. Como siempre. tanto c0 como c1 pueden elegirse arbitrariamente en la serie correspondiente al índice menor (λ = 0).74) con n = 0. obtenemos que la función indicial es    2 5 1 I(λ) = λ − 2λ − 5/4 = λ − λ+ . sino que proporciona directamente todas las soluciones. una solución viene dada por el índice mayor λ = 5/2. como sucedía cuando el punto era ordinario.133) 2 I(5/2 + 2k) 2k(2k + 3) http://librosysolucionarios. e incluso en forma de serie de potencias ordinarias. (6. por tanto. cuando la diferencia entre los índices es un entero no nulo puede resultar que solo haya una solución en forma de serie de Frobenius y que la segunda solución contenga un término logarítmico.6. N = 1. puesto que I(λ + 1) 6= 0. (6. Usando λ = q1 = 0 obtenemos: I(0)c0 = 0.128) Vemos que. la recurrencia de coeficientes va de dos en dos en la forma I(λ + 1) a1 = 0. como I(0) = I(1) = 0. qn+2 = Qn . Aunque en este caso la diferencia entre los índices es un entero. p0 = q0 = q1 = 0.5. con lo que la ecuación indicial es siempre I(λ) = λ(λ − 1) = 0 (6. tomemos λ = 0 en la recurrencia (6. (6. veremos que usar el índice pequeño no solo no acarrea problemas. Puede suceder que el término logarítmico esté ausente y que haya dos soluciones en forma de serie de Frobenius. que corresponden. Ensayando y = an xλ+n en   5 x2 y ′′ − xy ′ − x2 + y = 0.131) I(λ + n) an −an−2 = 0. Sin embargo. 1. 1. Como ya sucediera con los puntos ordina- rios. vemos una vez más que puede ocurrir que el término logarítmico no aparezca aunque la diferencia de índices sea un entero no nulo. En este caso. pero nada excusa perder unos minutos examinando la estructura de la serie para ver si la podemos identificar o puede transformarse en una o varias series conocidas. sino solo combinaciones algebraicas. ya que tanto I(5/2) como a1 se anulan. por tanto. como consecuencia. la razón estriba en que la ecuación (6. (6.132) para n = N = 3. los términos impares están desacoplados de los pares. es decir. admiten como factor común al a3 arbitrario y. nos da directamente la solución general al contener una constante arbitraria adicional.138) 2 I(2k − 1/2) 2k(2k − 3) E JERCICIO 6. no deberíamos conformarnos con dejar los resultados en forma de series sin intentar sumarlas.5). Los términos pares nos proporcionan otra solución linealmente independiente:   1 a2(k−1) a2(k−1) a2k − = = . En este caso particular. como sucede siempre que A resulta ser nulo.5. (6. empiezan realmente por x3−1/2 = x5/2 .net . (6. reproducen exactamente la solución y1 (en otros casos. http://librosysolucionarios.19 Demuestre que esta solución es ∞ X (2k − 1)x2k−1/2 y2 = . la solución correspondiente al índice mayor puede aparecer en forma de una combinación lineal con la otra solución). No solo no hay problema con el índice pequeño. que es la que podría dejar a3 indefinido. resulta ser I(λ + 3)a3 − a1 = 0. puede ser útil recordar las series de funciones logarítmicas. A falta de unas buenas tablas o un programa de cálculo algebraico (véase el apartado B. el coeficiente del término logarítmico será     1 1 a1 (λ) a1 (λ) A = l´ım λ+ a3 (λ) = l´ım λ + = l´ım =0 (6.135) (2k + 3)! k=0 Puesto que λ2 = −1/2.137) que se satisface para todo a3 cuando λ = −1/2. Suma de las series Como se dijo en el prólogo.4. ∞ X 3(2k + 2)x2k+5/2 y1 = . es como sigue: Si en el denominador del coeficiente general no hay factoriales. incluyendo las funciones hiperbólicas inversas.6. (6.134) 2 (2k + 3)! y. sino que.136) λ→−1/2 2 λ→−1/2 2 I(λ + 3) λ→−1/2 λ + 7/2 ya que a1 (λ) = 0 y el denominador no se anula.138 6 Solución por series de ecuaciones lineales E JERCICIO 6. no es ésta empresa fácil salvo en casos sencillos.18 Deshaga la recurrencia y complete factoriales para demostrar que   5 3(2k + 2) a2k = (6. Una regla que puede funcionar en ejemplos simples cuyo coeficiente general contenga solo combinaciones algebraicas del índice y factoriales o funciones gamma.139) (2k)! k=0 6. con la función hipergeométrica de Gauss6 . realizó observaciones astronómicas hasta avanzada edad y. Gotin- ga. escribió numerosos trabajos sobre mecánica celeste. puede intentar transformarse en una o varias de las series que tienen esta estructura.135) y (6. 23-02-1855.141) x E JERCICIO 6.5 Método de Frobenius 139 Si en el denominador del coeficiente general aparece un único factorial. y en el nume- rador hay otra gamma. Aunque es.64). magnetismo.11. más conocido por sus contribuciones a la geometría diferencial.142) (2k)! x k=0 E JERCICIO 6. Si en el denominador aparecen dos factoriales. http://librosysolucionarios. es decir. puede probar a compararse con la serie binómica (D. En su tesis proporcionó la primera demostración satisfactoria del teorema fundamental del álgebra.139) reconocemos series de tipo exponencial que pueden escribirse como ∞ ∞ " ∞ # X (2k + 2)x2k+5/2 1 X (2k + 3)x2k+3 X x2k+3 = √ − k=0 (2k + 3)! x k=0 (2k + 3)! k=0 (2k + 3)! ∞ " ∞ # 1 X x2k+2 X x2k+3 = √ x − x k=0 (2k + 2)! k=0 (2k + 3)! ∞ " ∞ # 1 X x2n X x2n+1 = √ x − x n=0 (2n)! n=0 (2n + 1)! x cosh x − sinh x = √ . (6.39) y de la integral exponen- cial (D.21 Resuelva la ecuación xy ′′ − y ′ + 4x3 y = 0. Brunswick. quizás. el candidato obvio son las funciones de Bessel (6. hoy día Alemania. Hanover). β.58) (o. ecuaciones diferenciales.net . que está definida por ∞ α(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) · · · (β + n − 1) xn X F (α. teoría de aproxi- maciones y probabilidad. 6 Johann Carl Friedrich Gauss (30-04-1777. la serie de la exponencial y sus combinaciones: seno.22 y el apartado D. (6.91) discutidas en el problema 6. Si en el denominador aparecen dos factoriales.6.140) Γ(α)Γ(β) n=0 Γ(γ + n) n! e incluye muchas otras funciones. Tuvo una enorme influencia en muchas áreas del conocimiento científico y técnico. o un factorial y una gamma. más en general. x) = 1 + n=1 γ(γ + 1) · · · (γ + n − 1) n! ∞ Γ(γ) X Γ(α + n)Γ(β + n) xn = . (6. También pueden considerarse las series de la función error (D.20 Demuestre que ∞ X (2k − 1)x2k−1/2 x sinh x − cosh x = √ . coseno. o un factorial y una gamma. γ.55) o. En el caso de las series (6. como se discute en el apartado D. además de otras contribuciones prácticas.10). las funciones hipergeométricas confluentes de Kummer (D. seno hiperbólico y coseno hiperbólico. más en general. hasta sexto orden. teoría de probabilidades e integración. París. 1) de la ecuación   1 − x2 y ′′ − xy ′ + ν 2 y = 0.3 Calcule. Okatovo. San Petersburgo). 8-12-1894. dx x d k (e) [Jν (kx)] = [Jν−1 (kx) − Jν+1 (kx)] . dx d h −ν i (b) x Jν (kx) = −kx−ν Jν+1 (kx). Su estudio las funciones e integrales elípticas son. y ′ (1) = 4. Determine sus soluciones polinómicas y. su mayor contribución. . o Chebyshev. Aun- que es especialmente recordado por su contribución a la teoría de números. que son las soluciones polinómicas que satisfacen la condición inicial y(1) = 1 6.140 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6.1 Ecuación de Legendre7 . en particular. ) Halle las soluciones en (−1. (b) ¿Cuáles de estas soluciones son polinomios? (c) Determine algunos de los polinomios de Legendre. dx 2 kx (f) Jν (kx) = [Jν−1 (kx) + Jν+1 (kx)] . 1). las que satisfacen y(1) = 1 (y reciben el nombre de polinomios de Chébichev). http://librosysolucionarios. París). dx x d ν (d) [Jν (kx)] = −kJν+1 (kx) + Jν (kx). También proporcionó una prueba simplificada de que π es irracional. Rusia. 10-01-1833.6. incluyendo mecánica. 8 Pafnuty Lvovich Chébichev (16-05-1821.4 Funciones de Bessel. que aparece al resolver la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas:   1 − x2 y ′′ − 2xy ′ + ν(ν + 1)y = 0. Demuestre las siguientes propiedades de las funciones de Bessel: d ν (a) [x Jν (kx)] = kxν Jν−1 (kx). (a) Halle sus soluciones por series alrededor de x = 0 en (−1. 2ν ¿Se cumplen propiedades parecidas con las funciones de segunda especie Yν ? 7 Adrien-Marie Legendre (18-09-1752. 6. 6. . Introdujo los polinomios que llevan su nombre calculando el campo gravitatorio generado por ciertos cuerpos con simetría de re- volución. Considere la siguiente ecuación. la solución de xy ′′ + y ′ + 2y = 0. escribió sobre muchos otros temas.2 Ecuación de Chébichev8 (o Tchebycheff. dx d ν (c) [Jν (kx)] = kJν−1 (kx) − Jν (kx). Problemas 6. probablemente. y(1) = 2.net . 6. 9 Edmond Nicolas Laguerre (9-04-1834. 6.15 Ecuación de Bessel.11 2x2 y ′′ + x(2x + 1)y ′ − y = 0.10 x4 y ′′ + xy ′ + 2y = 0.6 x2 y ′′ + x(x + 1)y ′ − y = 0. la geometría y los métodos de aproximación.7 x(x − 1)y ′′ + (2x − 1)y ′ − 2y = 0. x x 6. y) → (t.net . 6.     6. trabajó en otras áreas del análisis. Bar-le-Duc. Halle una solución en x > 0 de xy ′′ + (α + 1 − x)y ′ + νy = 0. 6. 6. http://librosysolucionarios. Utilice este resultado para obtener la solución de la ecuación de Bessel de orden 1/2. Demuestre que la ecuación h  i x2 y ′′ + (2c + 1)xy ′ + a2 b2 x2b + c2 − ν 2 b2 y=0 se convierte en una de Bessel con el cambio (x. 14-08-1886. Discuta las soluciones polinómicas.8 x3 − x2 y ′′ + 2x2 − 3x y ′ − y = 0. 6.13 xy ′′ + (1 − 2x)y ′ + (x − 1)y = 0. 6.14 Ecuación de Laguerre9 .5 Ecuación de Bessel de orden 1/2.17 Halle los primeros términos de la solución por series de y ′′ + (cos x) y = 0.12 y ′′ + y ′ + 2 y = 0. 6. Bar-le-Duc). que son (salvo una constante multiplicativa) los polinomios generalizados de Laguerre.16 Halle por el método de series la solución de (x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0. Aunque es especialmente recordado por la ecuación y los polinomios que llevan su nombre.9 xy ′′ − y = 0. Halle la ecuación que se obtiene a partir de la de Bessel si se hace el cambio de variables y(x) = x−1/2 u(x). 4 2 6. u) con t ≡ axb y u ≡ xc y.18 x3 − x y ′′′ + 9x2 − 3 y ′′ + 18xy ′ + 6y = 0.     6.6.6 Problemas 141 6. (α ≥ 0). 6. Francia. Prusia.27 Resuelva la siguiente ecuación diferencial:   x2 y ′′ + 4xy ′ + 2 − x2 y = 0. γ. Calcule la segunda solución linealmente independiente haciendo uso del cambio de variable y = x1−ν z. Además de la superficie que lleva su nombre. −2. 10 Ernst Eduard Kummer (29-01-1810. 0. Discuta la relación entre esta ecuación y la hipergeométrica de Gauss y úsese la misma para recuperar los resultados de los anteriores apar- tados. x). las series de potencias y las de Frobenius pueden usarse también para calcular una solución particular de la ecuación completa. β. por ejemplo. x). Dicha solución recibe el nombre de función hipergeométrica confluente o función de Kummer10 y suele denotarse como M(α. 6. γ. (Sugerencia: Considere el cambio t = βx en la ecuación de Gauss). Escriba la solución usando la función hipergeométrica de Gauss F (α. Considere la ecuación x(1 − x)y ′′ + [γ − (1 + α + β)x] y ′ − αβy = 0.net . Resuelva la ecuación homogénea y use una serie adecuada para calcular una solución particu- lar de la completa. γ. −2. Discuta los casos en que la misma se reduce a un polinomio y algún otro caso en que se recuperen funciones elementales. x) o 1 F1 (α. . .25 Halle la solución general de la siguiente ecuación en términos de funciones elementales: x(x − 1)y ′′ + 3y ′ − 2y = 0.22 Ecuación hipergeométrica confluente. −1. 14-05-1893.19 A veces. Comente la restricción impuesta a los valores de ν. 6. Halle la solución que satisface y(0) = 1 y corres- ponde al índice nulo de xy ′′ + (ν − x)y ′ − αy = 0. Halle sus soluciones alrededor de x = 0 cuando γ 6= 1. x). .142 6 Solución por series de ecuaciones lineales 6. Sugerencia: Use el cambio y = x1−γ z para hallar la segunda solución. ν. . http://librosysolucionarios. β. β. bajo la hipótesis de que ν 6= 1. que es precisamente la solución que satis- face la condición inicial F (α. x) y halle F (1. 6. β. −1. β. β.23 Halle la solución general de la ecuación xy ′′ + xy ′ + y = 0. 6. 6. es también recordado por sus trabajos sobre las series hipergeométricas que extendieron los de Gauss. Sorau. α. x) = F (β. 6. 6. Trabajando en el último teorema de Fermat descubrió el concepto de ideal.26 Halle la solución general de la ecuación (x2 − x)y ′′ + (1 − 2x2 )y ′ + (4x − 2)y = 0. γ. 0) = 1. Berlín).21 Demuestre que F (α. la siguiente ecuación: x2 y ′′ − x(x + 1)y ′ + (x + 1)y = x2 . .24 Halle todas las soluciones de xy ′′ − y ′ + y = 0. Consideremos. ν. x) y F (α. 0. .20 Ecuación hipergeométrica de Gauss. Compare el resultado con el obtenido mediante el método de variación de constantes. β. 6. y a Ferrari. por ejemplo. Este médico y matemático es conocido también por su nombre en latín e inglés: Cardan. aun cuando conservan su importancia para analizar propiedades cualitativas (como veremos. que eran debidos esencialmente a Scipione del Ferro y Tartaglia. las polinómicas de orden superior al cuarto). (En un contexto más familiar podemos recordar lo poco útiles que. en general. en un contexto restringido. pero no pudo ser publicado hasta que Cardano descubrió que la solución de la cúbica (que era usada por el de Ferrari y que Tartaglia había comunicado confidencialmente a Cardano) se encontraba también entre los papeles (anteriores) de Ferro. 5-10-1565.net . Bolonia). Comenzaremos viendo algunos métodos clásicos elementales de aproximación analítica. 2 Ludovico Ferrari (2-02-1522. supuso la publicación de los métodos de solución por radicales de las ecuaciones cúbica y cuártica. Roma).) porque. en el primer caso. resultan las soluciones de las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado obtenidas por los métodos de Cardano1 y Ferrari2 ). puede estimular el interés del lector 1 Girolamo Cardano (24-09-1501. son muy pocas las integrales que somos capaces de resolver de forma exacta o las ecuaciones finitas para las que conocemos métodos de resolución sin aproximacio- nes (recordemos. en realidad. como métodos aproximados de resolución han sido sustituidos casi por comple- to por los potentes métodos numéricos que tenemos a nuestra disposición. Bertrand Russell Puesto que. incluyendo un atisbo de la teo- ría de perturbaciones que. los problemas que suscitan las ecuaciones que contienen funciones trascendentes e. Su obra maestra. En la mayor parte de los casos prácticos hay que recurrir a algún tipo de aproximación. Adelantemos que un único capítulo no puede hacer justicia a la importancia que los métodos aproximados tienen en la práctica real de la física. Ars Magna (1545). en el capítulo 8). en el caso de la ecuación de cuarto grado. También ignoraremos por completo los méto- dos gráficos que suelen recogerse en los textos (las isoclinas. Cardano le cedió su puesto cuando este discípulo tenía dieciocho años. ésta puede ser tan complicada que resulte de escasa o nula utilidad. Bolonia Estados Pontificios. etc. no debería sorprendernos que la mayor parte de las ecuaciones diferenciales resistan nuestros esfuerzos de solución explíci- ta exacta. 21-09-1576. all exact science is dominated by the idea of approximation. especialmente si el objetivo que nos guía es de orden práctico y lo que pre- tendemos es calcular el valor (aproximado) de la solución en una serie de casos interesantes. aunque necesariamente limitado. 143 http://librosysolucionarios. Halló el método de solución por radicales de la ecuación cuártica.Capítulo 7 Métodos aproximados Although this may seem a paradox. Pavía. Ducado de Milán. Incluso si la ecuación tiene una solución exacta. incluso. la mayor parte de lo dicho puede extenderse con facilidad a ecuaciones de orden superior y sistemas de ecuaciones: a menudo basta añadir un índice para enumerar las variables dependientes o las derivadas de la incógnita. La «O» recibe el nombre de símbolo de Landau o de Bachmann-Landau y es muy utilizada como abreviatura en cálculos aproximados. (7. Los métodos numéricos son hoy día tan importantes en la práctica que merecen asignatura aparte. si el cociente f (x)/g(x) se mantiene acotado cuando x → x0 . (7. pero al menos discutiremos los aspectos más elementales para descorrer parcialmente la cortina que oculta la «magia» de las eficaces rutinas que están cada día más al alcance de todos (véase la bibliografía a partir de la página 321).3) √ E JERCICIO 7. ¿Es cierto que tanh x = O(x2 )? ¿Y que tanh x = O(2x)? E JERCICIO 7. Además.2) O(O(f )) = O(f ).6) Nótese que el planteamiento es distinto al hecho en el capítulo 6.4. se cumple tanh x = O(x).4) n=0 para la solución de un problema de condiciones iniciales de la forma y ′ = f (x.5) y (x0 ) = y0 .1. (7.1 Demuestre que.2. y escribi- remos f (x) = O (g(x)). 7. incluso. Series de potencias Debido a lo dicho en el apartado 1.net . A menudo se omite la mención explícita del límite x → x0 si el valor de x0 (normalmente 0 ó ∞) se infiere del contexto. (7. en aquél capítulo se calculaban http://librosysolucionarios.1) O(f )O(g) = O(f g). mientras que ahora queremos una solución particular de una ecuación no necesariamente lineal. E JERCICIO 7. El nivel elemental del capítulo hará que consideremos muchas veces tan solo el caso de una única ecuación diferencial de primer (o segundo) orden. Símbolo de orden de magnitud Diremos que la función f (x) es del orden de magnitud de g(x) cuando x → x0 .144 7 Métodos aproximados por esta técnica. (c) 1 + tan(ǫt/8).3 Compruebe que cuando ǫ → 0 las funciones (a) 2/ 3 + e−ǫt . cuya importancia en física es difícil sobrevalorar. de notación). No obstante. para x0 a determinar. para evitar innecesarias complicaciones técnicas (e. lo que sucede en particular si l´ımx→x0 f (x)/g(x) existe y es finito.2 Demuestre las siguientes relaciones: O(f ) + O(g) = O(|f | + |g|). un método aproximado casi obvio consiste en construir una serie de potencias ∞ X y= cn (x − x0 )n (7. (b) 1 + sin(ǫt/8). ya que allí se trataba de hallar todas las soluciones de una ecuación lineal. (7. y (d) exp(ǫt/8) son equivalentes módulo O(ǫ2 ). ¿Qué sucede cuando t → ∞? 7. tanh x = x + O(x3 ) y tanh x = O(ex ). y). (7. en la que rara vez se puede demostrar realmente la calidad de las aproximaciones realizadas. Inventó el cálculo de diferencias finitas. (7. (7. y0 ) . Edmonton. .7. La serie truncada aproximará de forma razonable la solución para |x − x0 | «suficientemente pequeño». y estableció las bases de la perspectiva.. y0) . (7. es decir. y) + (x. (7. sumarse o definían funciones especiales. y halle la solución correspondiente a la condición inicial y(0) = 1. a veces.4 Compruebe que toda solución de la ecuación de Riccati satisface: y ′′ = 2 (x + yy ′ ) . Método de la serie de Taylor Para construir la serie de Taylor3 de la solución alrededor del punto x = x0 . .2. las derivadas en x0 . y) f (x. mientras que ahora pocas veces podrá pasarse del cálculo de los primeros términos de la serie. aunque hacer más preciso este enunciado resulta casi siempre imposible en la práctica.net . http://librosysolucionarios. que podían.2 Series de potencias 145 todos los términos de las series. (7. . (7.14) ′′′ ′2 ′′  y = 2 1 + y + yy . Inglaterra..15) (4) ′′ ′′′ y = 2 (3yy + yy ) . y0 ) f (x0 . 7. mecánica y magnetismo.16) . E JERCICIO 7. (7. la integración por partes y la fórmula que lleva su nombre. (7. junto con la condición inicial y los valores que se obtienen sustituyéndola en las anteriores ex- presiones: y (x0 ) = y0 . También trabajó en teoría de aproximaciones. (7. Londres).. y). ∞ X 1 (n) y= y (x0 ) (x − x0 )n .10) y ′ (x0 ) = f (x0 . pueden hallarse sistemáticamente como consecuencia de la ecuación y sus derivadas. 29-12-1731.13) que fue estudiada por John Bernoulli en 1694 y por Riccati (es «la» ecuación de Riccati) en 1724.8) ∂f ∂f y ′′ = (x. por ejemplo) y comprobar que las predicciones en el rango que interesen no varían por encima del margen de error que no se quiera rebasar.12) ∂x ∂y . Un criterio muy usado en la práctica de métodos aproximados —aunque en rigor no demuestre absolutamente nada— consiste en calcular una aproximación más fina (un término más de la serie.1.7) n=0 n! podemos usar el hecho de que los coeficientes. Consideremos como ejemplo la ecuación y ′ = x2 + y 2 . y ′ = f (x.9) ∂x ∂y .11) ∂f ∂f y ′′ (x0 ) = (x0 . y). y0) + (x0 . 3 Brook Taylor (18-08-1685. en el caso de la ecuación de Riccati con y(0) = 1. (7. 4 (7. También publicó importantes trabajos en análisis y geometría. sabemos que la serie empieza por y0 = 1 y ensayamos. es 1 3 1 2 11 13 46 y= x + x7 + x + x15 + x19 3 63 2079 218295 12442815 15178 404 + x23 + x27 66108676095 28332289755 190571 5858822 + x31 + x35 + · · · (7. de acuerdo con los resultados del ejercicio 7.21) .18) y su derivada y cuadrado y ′ = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 + O(x4 ). x : 2c2 = 2c1 =⇒ c2 = 1. y(0) = 1.net .20) que sustituidos en la ecuación proporcionan.23) 4 Charles Émile Picard (24-07-1856. Además de este método que per- mite demostrar la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales.19)   2 y = 1 + 2c1 x + c21 2 3 + 2c2 x + (2c3 + 2c1 c2 ) x + O(x ). y = 1 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + O(x5 ) (7. (7. así como en elasticidad. 7.6 Halle la solución aproximada de y ′ = x + y 3 .2. Método de coeficientes indeterminados En muchos casos —en especial si no es fácil calcular las derivadas de f — es más eficaz ensayar una serie truncada con coeficientes que se determinarán igualando los de cada potencia de la variable independiente. por ejemplo. Método de Picard de aproximaciones sucesivas La idea del método de Picard4 es resolver el problema de condiciones iniciales y ′ = f (x. Por ejemplo. y).22) y (x0 ) = y0 (7. se le recuerda por el llamado gran teorema de Picard sobre los valores de una función analítica cerca de una singulari- dad esencial. (7. http://librosysolucionarios.3. x2 : 3c3 = 1 + c21 + 2c2 =⇒ c3 = 4/3. París.5 Demuestre que la solución de esta ecuación de Riccati para y(0) = 0..146 7 Métodos aproximados E JERCICIO 7. .4.17) 215183740689225 106515951641166375 7.2. París). 11-12-1941. E JERCICIO 7. que James Bernoulli estudió en 1703. termodinámica y electricidad. sucesivamente: 1 : c1 = 1 =⇒ c1 = 1. en acusado contraste con su enorme importancia teórica (ya que. se construye la siguiente sustituyendo esta última en el miembro de la derecha de la ecuación diferencial. http://librosysolucionarios. (7. la sucesión y [n](x) converge. y la dificultad de realizar las integrales en casos más realistas hacen que el interés de este método para cálculos analíticos sea muy limitado. como veremos en el apartado A. bajo condi- ciones apropiadas. en que no hay más que polinomios.30) 3 6 15 63 4 3 5 4 8 5 29 6 y [3] (x) = 2 1+x+x + x + x + x + x 3 6 15 90 47 7 41 8 299 9 4 10 + x + x + x + x 315 630 11340 525 184 11 1 12 4 1 + x + x + x13 + x15 .26) que se resuelve directamente por cuadraturas: Z x h i y [n+1](x) = y0 + f u. por ob- via.1 demostraremos que. La primera aproximación es.7.net .8 Compruebe que las siguientes aproximaciones son: 2 1 2 1 y [2] (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x7 .23) y la ecuación integro-diferencial (7. para tener así una ecuación de variables separadas h i y ′ = f x. (7. cuando n → ∞.7 Demuestre que el problema de condiciones iniciales (7. que es completamente equivalente a la ecuación integro-diferencial que se obtiene en el límite n → ∞: Z x y(x) = y0 + f [u. (7. Como ejemplo consideremos la ecuación de Riccati y ′ = x2 + y 2 con la condición inicial y(0) = 1 y elijamos y [0] = 1. y(u)] du. Ahora se procede de forma iterativa: tras obtener cada aproximación y [n]. (7.1) y su potencialidad en métodos numéricos.29) 0 3 E JERCICIO 7. y [n](x) . (7.28) x0 E JERCICIO 7.3 Método de Picard de aproximaciones sucesivas 147 mediante aproximaciones sucesivas que se construyen partiendo de una aproximación de orden cero y [0] (x) = ψ(x). por tanto: Z x   1 y [1] (x) = 1 + u2 + 1 du = 1 + x + x3 .22)–(7.28) son efectivamente equivalentes. (7.24) que puede venir dada por (casi) cualquier función ψ(x). (7. en los cuales las integrales pueden realizarse eficazmente.27) x0 Al probar el teorema de existencia y unicidad en el apartado A. aunque una elección frecuente.31) 51975 2268 12285 59535 La rapidez con que crecen las aproximaciones en este sencillísimo caso. a la solución y(x) del problema de condiciones iniciales. es y [0] (x) = y0 . por ejemplo. proporciona una de las pruebas estándar del crucial teorema de existencia y unicidad.25) y (x0 ) = y0 (7. y [n](u) du. La teoría de perturbaciones es una de las herramientas básicas del físico experimentado. Cuando ǫ es nulo tenemos un oscilador lineal elemental.34) 2 Resuelva la ecuación para x1 hallando la única solución periódica. que describe una válvula electrónica hoy día en desuso. Perturbación regular Supongamos que queremos hallar las posibles soluciones periódicas del oscilador no lineal x¨ + 2x = sin t + ǫx2 . http://librosysolucionarios. 7.148 7 Métodos aproximados 7.net . E JERCICIO 7.9 Demuestre que la única solución periódica de x¨ + 2x = sin t es x = sin t.2. 7. constituye un buen punto de partida para construir aproximaciones sucesivas. (7. E JERCICIO 7. El caso no lineal es bastante más complicado. E JERCICIO 7.11 Halle el siguiente orden en el desarrollo perturbativo. por ello. Empezaremos con un ejemplo muy sencillo y luego veremos un caso más realista e interesante. ˙ un oscilador antiamortiguado que recibe energía del entorno en vez de 5 El lector interesado en aprender más puede encontrar una breve y accesible introducción en el texto de Stro- gatz [28] y un tratamiento sistemático en el de Holmes [20].4. debido al término −ǫx. ¡ay!. ¡una vez más!.35) Si el parámetro ǫ es positivo.4. cuando x es muy pequeño el término x2 x˙ es despreciable y tenemos. Buscaremos una solución perturbada de la forma x = sin t + ǫx1 + O(ǫ2 ) (7. por ejemplo). pero.33) en (7. sino en términos de aquel parámetro.1.10 Compruebe que sustituyendo (7. nos vemos obligados a limitarnos a presentar una introducción que solo pretende despertar el interés por el problema y describir las ideas más elementales5 (casi deberíamos decir triviales). Métodos perturbativos En muchos problemas de física existe un parámetro pequeño.32) se obtiene   1 − cos 2t ǫ x¨1 + 2x1 = + O(ǫ2 ). partiendo como aproximación de orden cero de la que se obtiene al anular el mismo (o darle otro valor particular) y que corresponde a menudo a un caso en que se conoce bien la solución del problema y que.33) que satisfaga la ecuación hasta primer orden en ǫ. que hace que el desarrollo natural no sea en potencias de la variable independiente (la posición x o el tiempo t. una perturbación. pero que ocupa un lugar de honor en la historia de las ecuaciones diferenciales no lineales:   x¨ + ǫ x2 − 1 x˙ + x = 0. El oscilador de van der Pol Consideremos la siguiente ecuación. (7. (7.4.32) para ǫ pequeño. Los términos trigonométricos están acotados. que para un amplio rango del parámetro ǫ se establezca un equilibrio dinámico que haga que la oscilación ni crezca ni disminuya. hay resonancia. Sin embargo. mientras que la solución numérica tiende a oscilaciones periódicas.1 donde puede verse en línea continua una solu- ción numérica para ǫ = 0. de un oscilador armónico. es decir. Podemos comprobar esto de forma gráfica en la figura 7.net . Aunque al principio las dos soluciones son casi iguales. pero sin límite.37) 4 4 F IGURA 7. pues. Se trata. una fuerza externa. (7. la hipótesis básica del desarrollo perturbativo es que la correc- ción ǫx1 es pequeña comparada con el término sin perturbar. la amplitud de la aproximación crece sin cesar. y la solución puede hallarse fá- cilmente (véase el apartado B. durante un tiempo relativamente grande. corresponde a los mismos exponentes caracterís- ticos k = ±i (en el lenguaje de la mecánica.4 Métodos perturbativos 149 perderla. que no es sino el oscilador armónico x¨ + x = 0. (7.3. pero no pasa lo mismo con el factor ǫt. por lo que esperamos que la amplitud de la oscilación crezca sin cesar.1 Aproximación con términos seculares. que crece lentamente. pero no hace falta hacerlo para darse cuenta de que el último término inhomogéneo.36) E JERCICIO 7. como el que estamos usando. cuando dicha amplitud se hace comparable a la unidad. en promedio. se dice que se trata de un término secular y es uno de los pro- blemas que aparecen fácilmente cuando se intentan métodos ingenuos de perturbaciones. La siguiente aproximación será x(t) = A cos(t + ϕ) + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ). Como vimos en el capítulo 3. con constantes α y β adecuadas. de nuevo. (A − A3 /4) sin(t + ϕ). Esto no plantea excesivas dificultades. esto hace que la solución particular correspondiente sea del tipo ǫt [α cos(t + ϕ) + β sin(t + ϕ)]. que partirá de la aproximación correspondiente a ǫ = 0. t∼< 1/ǫ). No es de extrañar. pero luego la hipótesis dejará de ser cierta y la aproximación de ser válida. es decir.7.12 Compruebe que sustituida esta aproximación en la ecuación de van der Pol el pri- mer orden en ǫ resulta ser   3   A3 A ǫ x¨1 + x1 = sin 3(t + ϕ) + − A sin(t + ϕ) . En efecto. pero ahora hay un término inhomogéneo. Pero ¿cómo comprobar esta intuición? Veamos qué puede decirnos la teoría de perturbaciones. pero como éste está acotado.3). cuya solución puede escribirse como x = A cos(t + ϕ). Como este tipo de obstáculo apareció por primera vez en mecánica celeste. que hace perder energía mecánica. http://librosysolucionarios. el término x2 x˙ empieza a ser importante y juega el papel de un término disipativo. a la misma frecuencia ω = 1) que tiene la ecuación homogénea (el oscilador libre).1 junto con la predicción de la aproximación con términos seculares en línea discreta. dicha hipótesis será cierta mientras ǫt sea pequeño (es decir. como pudimos comprobar en el ejemplo 7.39) en la ecuación de van der Pol. E JERCICIO 7. ya que seguirá satisfaciendo la ecuación de orden cero. Lo que necesitamos es una solución del tipo x(t) = A(ǫt) cos(t + ϕ0 ) + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ). ϕ(ǫt) = ϕ(0) + ǫtϕ′ (0) + O(ǫ2 ). (7. conviene seleccionar una que tenga la propiedad de hacer desaparecer los términos resonantes de la ecuación que debe satisfacer la siguiente aproximación. pero que no crezca de forma ilimitada con t. (7. A(0)3 2A′ (0) + − A(0) = 0.41) no solo se satisface en ǫt = 0. por lo que parece conveniente modificar el orden cero por términos que dependen no ya de ǫ sino de ǫt.net . Como veremos. x0 (t) = A cos(t + ϕ) + ǫf (t). que difiera de ella en términos de orden ǫ. ya que si así lo hiciéramos la propia solución ensayada tendría un término secular: el primero.41) 4 mas no deberíamos pensar que basta despejar de esta ecuación A′ (0) y sustituirlo en la última expresión de (7.42) con una amplitud A(ǫt) que satisfaga (7. que crecería sin límite.39). En este caso vemos que los términos resonantes son proporcionales a ǫt.3. sino en todos los puntos y es. la ecuación diferencial que debe satisfacer la amplitud: ′ A(ǫt)3 2A (ǫt) + − A(ǫt) = 0. aunque ya no de forma exacta sino solo cuando despreciamos los términos de orden ǫ o superior. basta en este caso suponer que la amplitud A y la fase ϕ no son constantes. En este caso. sino función de ǫt como A(ǫt) = A(0) + ǫtA′ (0) + O(ǫ2 ). ya que esto evitará la aparición de los términos seculares.40) El último término resonante se elimina sin más que tomar ϕ(ǫt) = ϕ0 + O(ǫ2 ) y para evitar el término resonante anteriormente existente hay que exigir que su coeficiente se anule.38) Se dice que A y ϕ dependen de un tiempo lento (ǫt) y por ello este método recibe el nombre de método de los dos tiempos o de las múltiples escalas.43) 4 http://librosysolucionarios. (7. (7. eso puede lograrse simplemente suponiendo que la condición (7. pero nada impide elegir cualquier función. Entre las infinitas elecciones del orden cero. el primer orden en ǫ resulta ser   A(0)3 ′ A(0)3 x ¨1 + x1 = sin 3 [t + ϕ(0)] + 2A (0) + − A(0) sin [t + ϕ(0)] 4 4 + 2A(0)ϕ′ (0) cos [t + ϕ(0)] . por tanto. (7.13 Compruebe que sustituida la aproximación x(t) = A (ǫt) cos [t + ϕ(ǫt)] + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ) = [A(0) + ǫtA′ (0)] cos [t + ϕ(0) + ǫtϕ′ (0)] + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ) (7. Como aproximación de orden cero hemos elegido antes la solución exacta A cos(t + ϕ) de la ecuación de orden cero x¨ + x = 0. Un tiempo viene marcado por el período del oscilador libre y otro por el tiempo característico de crecimiento de los términos seculares.41). ni mucho menos.150 7 Métodos aproximados La forma de intentar arreglar este tipo de problemas es recordar que las aproximaciones no son únicas. 43) es 2 A(ǫt) = r   . También puede ser necesario suponer la existencia de un tiempo superlento: ǫ2 t. todas las soluciones aproximadas (menos una: ¿cuál?) tienden hacia una órbita periódica. el período— depende de ǫ ensayando algo del tipo x = A cos [ω(ǫ)t + ϕ] + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ) (7.45)   32 1 + A42 − 1 e−ǫt 0 o. (7. En el caso particular de un oscilador sin término disipativo como el del problema 7. en un caso particular. aislada que es llamada ciclo límite.4 Métodos perturbativos 151 E JERCICIO 7.9.2 Aproximación sin términos seculares. lo que implica suponer que solo la fase inicial depende del tiempo lento mientras que la amplitud es constante: x = A cos [t + φ(ǫt)] + ǫx1 (t) + O(ǫ2 ) (7.14 Compruebe que la solución de (7. independientemente de las condiciones iniciales. En la figura 7. A la resolución de la figura las gráficas obtenidas por integración numérica y usando la aproximación (7. En general hay que hacer también la misma hipótesis para la otra constante de integración: la fase inicial ϕ.net .1 esta aproximación reproduce de forma excelente el comportamiento de la ecuación de van der Pol y permite calcular en buena aproxima- ción su ciclo límite.2 podemos ver cómo cuando ǫ = 0. Al utilizar esta hipótesis simplificada estamos usando.46) que. http://librosysolucionarios. por ello. como veremos en el capítulo 8. También vemos en (7.46) son prácticamente indistinguibles. por lo que bastará suponer que la frecuencia —y. como 2 h ǫ 2 i x(t) = r cos(t + ϕ0 ) − A0 sin 3(t + ϕ0 ) + O(ǫ2 ). con el mismo grado de aproximación. (7. (7. No debería pensarse que siempre basta con permitir que la amplitud de la oscilación sea una función del tiempo lento. o (ǫ ln ǫ) t. F IGURA 7. el lento ǫt aparece en la amplitud lentamente variable y.47) con ω(ǫ) = 1 + ǫω1 + · · ·. Concluya que la solución de la ecuación de van der Pol puede escribirse como 2 ǫ x(t) = r cos(t + ϕ0 ) − A30 sin 3(t + ϕ0 ) + O(ǫ2 ). en el proceso de acercamiento al ciclo límite. por tanto. por ejemplo.48) con φ(ǫt) = ϕ + ǫtω1 + · · ·.44) 4 −ǫt 1 + A2 − 1 e 0 con A0 ≡ A(0).7. el método de Poincaré-Lindstedt. mientras que el tiempo rápido t interviene en la parte periódica de la solución.46)   32 1 + A42 − 1 e−ǫt 0 Demuestre que. sabemos de antemano que la solución será periódica. que también puede aplicarse a cualquier ecuación del tipo ε2 y ′′ + f (x)y = 0.52) sea solución de (7.49) 2m dx2 En la aproximación semiclásica se considera que h ¯ es pequeña y puede utilizarse el método de Wentzel. esos puntos pueden ser de gran importancia. lo que corresponde al hecho de que la ecuación 7. En el caso de la partícula en un potencial son los puntos de retroceso. (7. de forma que la solución es la combinación lineal de dos exponenciales (reales o complejas): y = Aeax/ε + Be−ax/ε .53)   ′ 1 ′ ′ y ≈ u + u1 y. (7. parece razonable ensayar un cambio de variable dependiente de tipo exponencial " #   u(x) u0 + εu1 + · · · y = exp = exp . (7. definidos por la condición E = V (x). divergen cuando ε → 0. en el marco de una teoría clásica. (7. Kramers y Brillouin. que son hallados fácilmente: 1 y ≈ e ε u0 +u1 . la solución aproximada se escribirá. Usemos como guía el caso en que a ≡ −f (x) es constante. (7.50 es singular.55) ε2 0 ε E JERCICIO 7.152 7 Métodos aproximados 7. excepto la nula. (En el problema 2. porque su orden se reduce (a cero) en ese límite. Basados en la forma de la solución para el caso en que f (x) es constante. pero al menos está claro que la misma falla cerca de los puntos en que f (x) = 0.56) x0 4 En consecuencia. (7. (7.51) Notemos que todas las soluciones. (7.net .50) debe cumplirse Z xp 1 u0 (x) = A ± −f (t) dt.3.15 Demuestre que para que (7.52) ε ε En la aproximación WKB se desprecian todos los términos del desarrollo de u(x) excepto u0 y u1 . (7.50) q donde ε es un parámetro pequeño.57) ε x0 ε x0 No discutiremos aquí en detalle el difícil problema de la validez de la aproximación WKB. nos interesaba la única solución regular en el límite apropiado. mientras que en mecánica cuántica el límite h ¯ → 0 es singular).4. Desafortunadamente. en término de dos constantes arbitrarias (reales o complejas) como   Z   Z  −1/4 1 x q 1 x q y = [f (x)] C+ exp −f (t) dt + C− exp − −f (t) dt .35 vimos otra ecuación singular. u1 (x) = B − ln [f (x)] .54) ε 0   ′′ 1 ′2 1 ′′ ′ ′ ′′ ′2 y ≈ u + (u0 + 2u0u1 ) + u1 + u1 y. pero allí. En el problema clásico asociado http://librosysolucionarios. El método WKB En la mayoría de los casos hay que recurrir a métodos aproximados para resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa m que se mueve en un potencial V (x): ¯ 2 d2 ψ h − + V (x)ψ = Eψ. que no serán vistos aquí. Los esfuerzos de algunos (incluso investigadores serios) en programar directamente un Runge-Kutta resultan tan patéticos como ver a alguien construirse un ábaco para realizar una larga sucesión de operaciones aritméticas en vez de utilizar la calculadora.5. recomendamos el clásico texto de Stoer y Bulirsch [34] y para los relativos a la resolución de ecuaciones diferenciales el de Hairer. Mé- todos numéricos prácticos listos para ser usados en FORTRAN y C pueden hallarse en la última referencia. Los métodos se aplican paso a paso: a partir de la condición inicial. y). excepto a modo de prueba para comprenderlos mejor. sin em- bargo. La distancia que se avanza cada vez. Norsett y Wanner [32]. Para ampliar conocimientos sobre métodos numéricos en general. con gran diferencia. y (x0 ) = y0 ⇐⇒ y(x) = F (u) du (7. los más usados para resolver ecuaciones diferenciales. se llama paso de integración del método y se mantiene constante en métodos elementales. tenemos un problema de cuadratura numérica Z x y ′ = F (x). y) = F (x) no depende de y. Para resolver un problema de condiciones iniciales y ′ = f (x. http://librosysolucionarios. y(x).7. así como en [33] y en [31]. y1) y. n = 1.5 Métodos numéricos 153 esos puntos limitan el movimiento. aunque también hay métodos diseñados expresamente para este tipo de problema más restringido. No recomendamos. h ≡ xn+1 − xn . Se plantea por ello el importante problema de empalmar las soluciones en esas dos regiones.58) los métodos numéricos comienzan por discretizar el mismo: en vez de intentar obtener una apro- ximación a la solución en todos los puntos. .49) simplemente separan las zonas en las que la solución es de tipo oscilatorio (cuando f (x) > 0) de aquellas en las que es exponencial (con f (x) < 0) debido a la atenuación de la función de onda al penetrar en la barrera de potencial. Nótese que si f (x.59) x0 que puede.net . resolverse usando uno de los métodos discutidos en este capítulo. más en general. por tanto. u otros alternativos. se calcula el siguiente punto (x1 . (7. E JERCICIO 7.16 Resuelva por el método WKB la ecuación ǫ2 y ′′ + xy = 0. 2. . que nos da el punto de partida (x0 . para mantener el nivel de error deseado con el mínimo esfuerzo de cálculo. se intenta obtener aproximaciones a los valores yn = y (xn ) en una serie de puntos xn . . Para trabajo serio deberían usarse rutinas avanzadas o uno de los sistemas o programas indicados en la bibliografía de la página 323. con objeto de entender un poco la forma en que pueden diseñarse rutinas de integración de ecuaciones diferenciales. usar directamente los métodos estudiados en este capítulo. y (x0 ) = y0 . pero se hace variar de forma automática en métodos avanzados. para lo que puede recurrirse a las fórmulas de enlace que se discuten en los textos de mecánica cuántica y en [25]. yn ) se calcula el siguiente (xn+1 . pero en el problema cuántico (7. una vez obte- nido el punto (xn . Si hace falta conocer los valores en puntos intermedios se usa interpolación (que es automáticamente proporcionada por algunos métodos avanzados). Métodos numéricos Los métodos numéricos son. 7. yn+1 ). y0 ). Vamos a analizar some- ramente algunos de los métodos elementales. gracias a su amplia difusión a través de potentes y eficaces rutinas incluidas en librerías numéricas. ya que debe cumplirse f (x) ≡ 2m [E − V (x)] ≥ 0. en sistemas integrados de cálculo matemático o en programas dedicados exclusivamente a su solución (véase la bibliografía de la página 323). Además. el error global será del orden de h2 × 1/h = h. ya que se retienen solo términos de primer orden en el desarrollo. yn ).net . Nótese que hasta ahora hemos considerado el error que se cometía al avanzar un solo paso. consiste en invertir la aproximación de orden más bajo para la derivada yn+1 − yn f (xn . por lo que se trataba del error local. por tanto. (7. a costa de un mayor esfuerzo de cálculo al tener que hallarse más puntos.154 7 Métodos aproximados 7. yn ) = yn′ ≈ + O(h) (7.60) h para obtener yn+1 = yn + hf (xn . El error cometido en la aproximación —que se suele llamar error de aproxi- mación. el método consiste en aproximar la solución entre xn y xn+1 por F IGURA 7. f (x. y) = F (x). error de truncamiento o error de discretización— es. En el caso de cuadratura numérica. Se dice que el método es de primer orden. el paso no puede hacerse arbitrariamente pequeño. Como el error se acumula paso tras paso. También podemos entender el método como el uso de un desarrollo en serie de Taylor trunca- do al orden lineal. el error de truncamiento disminuye. y para avanzar una distancia ∆x predeterminada hace falta dar un número de pasos que crece con 1/h.61) I Como se ve en la figura 7. (7. Al disminuir el paso.62) xn http://librosysolucionarios. por ejemplo. de segundo orden en h.4: Z xn+1 F (x) dx = yn+1 − yn ≈ h F (xn ) . el método consiste en sustituir el área bajo la curva por la del rectángulo que se muestra en la figura 7. ya que por debajo de cierto umbral (dependiente del método y del sistema usado) aumentan los errores de redondeo inducidos por la aritmé- tica con un número finito de dígitos que utilizan en la práctica todos los ordenadores y que es responsable.3 Método de Euler. llamado también método del polígono.1. el segmento tangente a la solución que pasa por (xn .5. de las dificultades inherentes asociadas a la substracción y derivación numéricas.3. yn ) + O(h2 ). Método de Euler El más simple de los métodos. 7.64) 2 como se ve la figura 7.7. yn ) y (xn+1 . yn+1 yn+1 = yn + h . E JERCICIO 7. (7.5. En resumen: h yn+1 = yn + [f (xn .net .2. yn ))] + O(h3 ). yn+1 ):   ∗ f (xn . yn ) + f xn+1 .5 Método de Heun. yn ) y tiene como pendiente el promedio de las correspondientes a las tangentes ∗ en los puntos (xn .65) 2 F IGURA 7. por tanto. http://librosysolucionarios. yn ) + f (xn + h. (7. (7. yn ) . Método de Heun Para mejorar el método de Euler —y obtener así un método llamado también de Euler mejo- rado— puede utilizarse un paso de tipo Euler para calcular un valor auxiliar ∗ yn+1 = yn + hf (xn . yn + hf (xn .17 Use un desarrollo en serie de Taylor para comprobar que el error de truncamiento del método de Heun es proporcional a h3 y se trata.63) calcular la tangente a la solución que pasa por ese punto y aproximar la solución por el segmento que pasa por (xn .5.4 Método de Euler para cuadratura numérica. de un método de segundo orden.5 Métodos numéricos 155 F IGURA 7. (7.5. (7. (7. como se muestra en la figura 7.5: Z xn+1 h F (x) dx = yn+1 − yn ≈ [F (xn ) + F (xn+1 )] .3. yn ) + O(h3 ). En el caso de cuadratura numérica. Método del punto medio Este método.69) 2 2 http://librosysolucionarios. (7. se avanza solo medio paso. es una variante del anterior: en vez de avanzar un paso entero y usar el promedio de las pendientes en los dos extremos.   ∗ yn+1 = yn + hf xn+1 . yn + f (xn . ! h h yn+1 = yn + hf xn + . se recupera el método de los trapecios.67) 2 y se aproxima la solución por el segmento que pasa por (xn .66) xn 2 7. yn+1/2 . yn ) . también llamado de Euler modificado o método mejorado del polígono . yn ) y tiene como pendiente la de la tangente en ese punto intermedio: F IGURA 7.68) es decir. ∗ h yn+1/2 = yn + f (xn .net .6 Método de los trapecios.156 7 Métodos aproximados F IGURA 7.7 Método del punto medio. yn + k1 . Alemania.6. Silesia —hoy se llama Byczyna y está en Polonia—.6 Métodos de Runge-Kutta 157 En el caso de cuadratura numérica. las ecuaciones diofánticas y otras ramas de la matemática.71) ! h h k2 = f xn + . Métodos de Runge-Kutta Se trata de una extensa familia de métodos de todos los órdenes y que incluye.70) xn 2 F IGURA 7. (7.72) 2a 2a y usa el siguiente promedio: yn+1 = yn + h [(1 − a)k1 + ak2 ] + O(h3). Pitschen. (7. 7. en especial sobre el efecto Zeeman. con a = 1 el del punto medio y a = 2/3 propor- ciona el método con la mínima cota para el coeficiente de los términos de orden h3 despreciados.74) 6 Carle David Tolmé Runge (30-08-1856. los métodos de segundo orden vistos hasta ahora. La idea general del método consiste en evaluar pendientes en varios puntos (extremos e intermedios) y en avanzar con un paso de tipo Euler con una pendiente promediada adecuadamente.18 Compruebe que todos estos métodos son de segundo orden. Si a = 1/2 se recupera el método de Heun. Alemania). se recupera el método que se muestra a la derecha la figura 7. Bremen. El método de Runge6 -Kutta7 por antonomasia es el método de cuarto orden en que se calculan las pendientes k1 = f (xn . (7. la geometría diferencial. Fürstenfeldbruck. yn ) . en particular. 3-01-1927. realizó abundante trabajo experimental en espectroscopia. Además de su método para resolver ecuaciones diferenciales.net . yn ) . es recordado por sus contribuciones a la aerodinámica.73) E JERCICIO 7. 7 Martin Wilhelm Kutta (3-11-1867.7: ! Z xn+1 h F (x) dx = yn+1 − yn ≈ hF xn + .8 Método del punto medio en cuadratura numérica. (7. que fue dado a conocer por Runge. http://librosysolucionarios. Además de sus contribuciones a la teoría de aproximaciones. (7. la familia general de segundo orden evalúa dos pendientes. k1 = f (xn .7. 25-12-1944. Gotinga. Alemania). Por ejemplo. sin embargo.75) 2 2 ! h h k3 = f xn + .81) ′ yn−1 = a − 2bh.7. http://librosysolucionarios. No es raro verlo citado incluso en trabajos de investigación. (7. Esto significa que no se aprovecha la información que sobre la solución se ha obtenido en pasos previos. (7. (7. (7.net .6): h yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) + O(h5 ). Market Bosworth). yn ) y veamos cómo podemos construir un método de segundo orden que proporcione alrededor de xn una aproximación del tipo h i y(x) = yn + a (x − xn ) + b (x − xn )2 + O (x − xn )3 . pero lento. yn + k2 .158 7 Métodos aproximados ! h h k2 = f xn + . yn + hk3 ) .80) que. obtenemos h ′ ′  yn+1 = yn + 3yn − yn−1 + O(h3 ).79) xn 32 2 Es éste un método estable y muy fiable. no hay demasiada excusa para usarlo en perjuicio de mé- todos de Runge-Kutta más potentes. por h/2 la segunda y las sumamos a la tercera. yn + k1 . (7.4. así como salida continua. Es.78) 6 En el caso de cuadratura. conduce a yn′ = a. con órdenes 5 y 8. (7. si evitamos escribir la magnitud del error. Inglaterra. Market Bosworth. ya que con un esfuerzo adicional mínimo dan también los coeficientes de un polinomio que interpola la solución entre los extremos de cada paso.77) y se usa la siguiente aproximación (véase el apartado B. 14-05-1761.76) 2 2 k4 = f (xn + h. Estudió teoría de probabilidades basándose en trabajos debidos a de Moivre y publicó en 1740 The Nature and Laws of Chance. más recordado por sus fórmulas de interpolación y cuadratura numérica y publicó en 1750 The Doctrine and Application of Fluxions. sin embargo. se recupera la clásica fórmula de las parábolas de Simpson8 : Z " ! # xn+1 1h h F (x) dx = yn+1 − yn ≈ F (xn ) + 4F xn + + F (xn + h) . Métodos de varios pasos Todos los métodos discutidos hasta este momento son métodos de un paso. que como vamos a ver a continuación puede ser utilizada para ahorrar esfuerzo de cálculo. (7.82) yn+1 = yn + ah + bh2 . usemos la notación abreviada yn′ = f (xn . como son los sofisticados métodos embebidos de Dormand y Prince que. (7. Supongamos que los pasos están todos igualmente espaciados (xn±1 = xn ± h).83) Si multiplicamos por −3h/2 la primera ecuación. Puede verse una buena descripción y algoritmos listos para ser usados en [32]. porque cada paso es completamente independiente de los demás y se realiza utilizando información correspon- diente exclusivamente a ese paso. proporcionan control automático del paso en función del error estimado.84) 2 8 Thomas Simpson (20-08-1710. (7. 7. (7. Hoy día. La información detallada de la posición de Nep- tuno que dio en septiembre de 1845 fue ignorada por el observatorio de Cambridge. Se evalúa una aproximación a la derivada en el punto siguiente   ′∗ ∗ yn+1 = f xn+1 . del que dio una descripción más detallada que la de Laplace. (7. Laneast.88) 2 4. comparando dichas aproximaciones puede estimarse con poco esfuerzo el error cometido.7 Métodos de varios pasos 159 E JERCICIO 7.net . (7. estos métodos suelen ser más eficaces. Inglaterra. al ofrecer más de una aproximación para el nuevo valor yn+1. requiere menos cálculo que uno de Runge-Kutta del mismo orden. mientras que en el Runge-Kutta correspondiente se necesitan cuatro.91) 24 Una de las ventajas de este tipo de método es que. como en el ejemplo que acabamos de describir. Inglaterra). Por ejemplo. en general. El método de Adams-Bashforth-Moulton clásico es de cuarto orden y usa las siguientes ex- presiones: ∗ h   yn+1 = yn + 55yn′ − 59yn−1 ′ ′ + 37yn−2 ′ − 9yn−3 . (7. Por ello. y la posterior predicción de Urbain Le Verrier fue publicada antes y guió el descubrimiento del nuevo planeta realizado por Galle en el observatorio de Berlín el 23-09-1846. Otra ventaja es que. Cambridge.19 Demuestre que h ′  yn+1 = yn + ′ yn + yn+1 + O(h3 ). Se evalúa la derivada en el punto siguiente ′ yn+1 = f (xn+1 .87) 3. yn+1) .7.86) 2 2.85) 2 Un método de varios pasos de segundo orden que puede construirse con estos resultados es el prototipo de los métodos del tipo pronosticador-corrector. en el método de Adams de cuarto orden solo se evalúan dos derivadas por paso. En un paso pronosticador se usa extrapolación polinómica para evaluar una primera apro- ximación al siguiente punto: ∗ h ′ ′  yn+1 = yn + 3yn − yn−1 . pero su nombre es especialmente recordado como codescubridor de Neptuno al estudiar las irregularidades del movimiento de Urano.89) En métodos sofisticados pueden utilizarse varios correctores en serie o aplicar uno repetidas veces. Se usa un corrector polinómico para hallar una segunda aproximación: h ′ ′∗  yn+1 = yn + yn + yn+1 . Las dos principales desventajas de este tipo de método están relacionadas entre sí: 9 John Couch Adams (5-06-1819. los pronosticadores y correctores son polinomios en las derivadas se dice que se usa un método de Adams9 y el correspondiente pronosticador recibe el nombre de Adams-Bashforth mientras que el corrector es el de Adams- Moulton. (7. (7. (7. yn+1 .90) 24 h  ′∗  yn+1 = yn + 9yn+1 + 19yn′ − 5yn−1 ′ ′ + yn−2 . en los que se procede como sigue: 1. Dedi- có un gran esfuerzo al problema del movimiento de la Luna. Si. (7. http://librosysolucionarios. 21-01-1892. Por otro lado. . dividiendo el paso por 2 o multiplicándolo por 2 y usando interpolación.95) y se define la aproximación para y(x + H) como 1 y(x + H. Su trabajo como físico. (7.160 7 Métodos aproximados los métodos no pueden empezar por sí solos. que describimos a continuación. (7.93) y2 = y0 + 2hf (x + h. pero hacen que la programación de uno de estos métodos sea más complicada que la de los Runge-Kutta. yk ) . Newcastle upon Tyne. Métodos de extrapolación Estos métodos suelen ser muy rápidos y precisos (en un cierto sentido son de orden infinito). (k = 1. se han desarrollado métodos de tipo pronosticador-corrector muy eficaces y sofisti- cados. más a menudo que los de tipo de Runge-Kutta. yn )] . pero es más recordado por haber sido el primero es usar la matemática —el método de diferencias finitas— para la predicción del tiempo en Weather Prediction by Numerical Process (1922). en general. por ello.92) y1 = y0 + hf (x. De hecho.8.net . incluye contribuciones al cálculo y a la teoría de la difusión y aplicó la matemática al estudio de las causas de la guerra. (7. (7.94) . n − 1). . en el que para avanzar una distancia H no necesariamente pequeña entre x e x + H se usan n pasos de longitud h = H/n y se calculan los siguientes valores intermedios: y0 = y(x). n) = ck h2k . ya que la información a un paso que dan las condiciones iniciales no es suficiente. etc. extrapolación de Ri- chardson10 . mientras que los Runge-Kutta son más estables. Inglaterra. y1 ) . Kilmun. con los nombres de aproximación diferida al límite. 30-09-1953. aunque parece que van siendo sustituidos progresivamente por los llamados métodos de extrapolación. tienden a ser bastantes más rápidos. racional o de Neville— permite mejorar eficazmente la calidad de la aproximación repitiendo el cálculo con otro (u otros) valor de h. según autores y contextos.). químico y meteorólogo. (7. Estos problemas pueden superarse (usando un Runge-Kutta con paso pequeño para comenzar. http://librosysolucionarios. . Escocia). pero Gragg demostró que en la expresión del error de truncamiento cometido en este método solo aparecen potencias pares de la magnitud del paso: ∞ X y(x + H) − y(x + H.. por tanto. El más conocido de todos se basa en el método de Gragg. 7. yk+1 = yk−1 + 2hf (x + kh. también llamado del punto medio modificado. aunque exigen soluciones muy regulares y fallan. y0 ) . cuando se cambia la longitud del paso como consecuencia del control de errores. (7. n) = [yn + yn−1 + hf (x + H. disponible.96) 2 El método por sí mismo es. cuando faltan las potencias impares del error. la infor- mación necesaria para el siguiente paso no está.97) k=1 Ahora bien. una potente idea —conocida. de orden bajo. . 10 Lewis Fry Richardson (11-10-1881. . [33] y [31].102) n n yn = A(1 − 2h) − B(1 − 1000h) . (En los dos últimos pueden hallarse algoritmos listos para usar). E JERCICIO 7. . 8. (7. La extrapolación de Richardson es también muy útil para calcular derivadas numéricas y en cuadratura numérica. resultan inadecuados) puede ser tratado adecuadamente por medio de los métodos implícitos.103) Por consiguiente. de los que no veremos sino el más elemental. (7. (7. yn+1) + O(h2). su mera presencia impone un severo límite al paso de integración (h < 0. . . n) − 1 3 y(x + H. 4. Este resultado puede extenderse sin dificultad para obtener una aproximación de orden tan grande como se quiera. (en el conocido método de Bulirsch-Stoer por ejemplo) o n = 2. (7. 6.21 Demuestre que las aproximaciones obtenidas por el método de Euler son xn = A(1 − 2h)n + B(1 − 1000h)n. Métodos implícitos Consideremos el sistema x˙ = −501x + 499y. 24. en vez de usar la correspondiente al punto inicial: yn+1 = yn + hf (xn .101) que obviamente tiende a x = y = 0 cuando t → ∞. donde da lugar al método de Romberg.002). Por tanto. http://librosysolucionarios. el método hallará que todas las soluciones convergen al origen si y solo si |1 − 2h| < 1 y |1 − 1000h| < 1. con las que.9.100) y = Ae−2t − Be−1000t . pudiendo encontrarse otros realmente prácticos en [32]. . no solo el método de Euler. lo que puede hacerse numéricamente por un método iterativo. 12. En la práctica suelen elegirse n = 2. 16.99) cuya solución general es x = Ae−2t + Be−1000t . En el método de Euler implícito se usa la pendiente en el punto final del intervalo. sino todos los métodos que hemos visto antes. (7. aunque el término e−1000t prácticamente no va a contribuir a la solución. 6. n/2).98) y˙ = 499x − 501y.9 Métodos implícitos 161 E JERCICIO 7.104) Ésta es una ecuación de la que hay que obtener yn+1 . dominaría la solución numérica y haría que la misma fuera al infinito en vez de converger a cero. ya que en caso contrario ese término. [32] y [33]. . (7. Veamos si este comportamiento asintótico puede observarse si lo resolvemos por el método de Euler.net . 7. (7. que debería ser despreciable. que no nos interesa en este momento. . Este tipo de comportamiento (y otros relacionados que aparecen en las llamadas ecuaciones rígidas. 4.20 Demuestre que el error comienza por h4 si se usa la aproximación 43 y(x + H. incluso los más sofisticados. 8.7. Para más detalles sobre la programa- ción práctica de este tipo de métodos remitimos al lector a los textos [34]. (7. (7. E JERCICIO 7.106) Vemos que el método implícito predice la convergencia hacia el origen para todo h > 0. una disciplina que tiene algo de arte y que hace falta mucha experiencia antes de estar seguro de dominarla. (7.107) cuya solución es y = e−100x ? http://librosysolucionarios.23 ¿Qué cree que pasaría al resolver numéricamente el problema de condiciones ini- ciales y ′′ = 10000y.22 Demuestre que las aproximaciones obtenidas por el método de Euler implícito son xn = A(1 + 2h)−n + B(1 + 1000h)−n . queremos hacer notar que la práctica del cálculo numérico es. ya que está llena de trampas y sutilezas.net .162 7 Métodos aproximados E JERCICIO 7. y(0) = 1. Antes de terminar. y ′ (0) = −100. como tantas otras.105) −n −n yn = A(1 + 2h) − B(1 + 1000h) . x(0) ˙ = A0 .7 En la obra Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum de 1671. 7. Este dis- cípulo de Johann Bernoulli. 11 Guillaume Francois Antoine Marqués de l’Hôpital (1661. Resuelva el problema x¨ + 2ǫx˙ + x = 0. 7.6 Compare las sucesivas aproximaciones obtenidas por el método de Picard aplicado al pro- blema de valores iniciales y ′ = 1 + x2 − y 2 . Calcule la solución aproximada de esta última ecuación que corresponde a y(0) = 1 y compruebe que se recobra la solución del ejercicio 7. Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.net . (b) usando perturbación regular.4.5 Halle aproximaciones a la solución de y ′ = sin x + y 2. Problemas 7. que ln x = O(x−ǫ ) (ln x = O(xǫ )) para ǫ tan pequeño como se quiera. y(0) = 0 es 1 1 1 1 y = x − x2 + x3 − x4 + x5 − x6 + · · · 3 6 30 45 Obtenga el resultado mediante dos métodos distintos. 7. y(0) = 0. que contiene su famosa regla. al mismo tiempo que Newton. si y = −u′ /u. por medio de una serie de potencias y del método de Picard.27. 7. 7. Compare y comente los resultados. (a) hallando la solución analítica. y(0) = 0. x(0) = 0. la ecuación de Riccati y ′ = x2 + y 2 es equivalente a la ecuación lineal homogénea u′′ + x2 u = 0. http://librosysolucionarios. (b) f = ln(1 − x) y (c) f = x ln x. De acuerdo con el problema 3. Compare los resultados. París). Leibniz y Jacob Bernoulli. Newton probó que la so- lución del problema y ′ = 1 − 3x + y + x2 + xy.2 Demuestre que para x → 0 (x → ∞) el logaritmo diverge más lentamente que cualquier potencia negativa (positiva) de x.10. es decir. partiendo de y [0] (x) = 0 y de y [0] (x) = −x. Resolvió.10 Problemas 163 7. 7. 2-02-1704. 7.7. que e−x = O(x−n ) cuando x → ∞ para n arbitrariamente grande.8 Oscilador amortiguado. Comente el resultado. París.1 Use la regla de l’Hôpital11 para demostrar que e−x decrece más rápidamente que toda poten- cia negativa de x.4 Ecuación de Riccati. es decir. Jacob Bernoulli y Leibniz escribió en 1692 el primer texto de cálculo. el problema de la braquistocrona. (c) por medio del método de los dos tiempos.3 Halle los valores de α para los que sea cierto que f = O(xα ) cuando x → 0 si (a) f = (1 − ex )−2 . Introducido por su maestro Maestlin a la astronomía heliocéntrica de Copérni- co.12 Resuelva mediante perturbaciones x¨ + ǫx˙ 3 + x = 0 y use el resultado para discutir la estabilidad del punto de equilibrio.45′′ por siglo.11 ± 0.03′′ por siglo. la órbita de Mercurio alrededor del Sol es descrita por esta ecuación con ǫ = 3MG/pc2 ≈ 8 × 10−8 . 7. Sacro Imperio Romano. donde ǫ es un parámetro pequeño y ω la frecuencia natural del oscilador en ausencia del término perturbativo. y) de las soluciones de la ecuación (1 − x2 ) y ′ = 1 − y 2 del proble- ma 2. ϕ). puesto que Mercurio efectúa 415 revoluciones alrededor del Sol en un siglo. Cuando ǫ = 0 se recupera (2. publicó una supuesta explicación matemática de la misma en términos de poliedros regulares.13 Dibuje el espacio (x.2. Análogamente.10 Resuelva por el método WKB ε2 y ′′ = (1 + x2 ) y. la relatividad general predice una precesión de su perihelio igual a 43. http://librosysolucionarios.124). Fue ayudante de Tycho Brahe durante el año que precedió a la muerte de éste y usó sus observaciones para establecer las famosas tres leyes sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol. 7. También escribió sobre la supernova de 1604. 13 En los restantes problemas debe usarse alguno de los métodos vistos en este capítulo para realizar la integración numérica. Al estudiar el problema de Kepler12 en relatividad general usando coordenadas polares (r.1.164 7 Métodos aproximados 7. ¿Por qué otro método podría calcularse aproximadamente el período? 2 7. por lo que puede hallarse la ecuación de primer orden equivalente mediante el método del apartado 3.6. Utilice teoría de perturba- ciones a primer orden para calcular la órbita de Mercurio. Demuestre que. que ahora lleva su nombre. por lo que el perihelio está precesando. donde pueden verse los dibujos correspondientes.9 Oscilador cuasiarmónico.11 Precesión del perihelio de Mercurio.4. 12 Johannes Kepler (27-12-1571. Considere la ecuación   x¨ + ω 2 x + ǫx3 = 0. Por otro lado. Utilice el método de Poincaré-Lindstedt para hallar una solución aproximada. 15-11-1630. Calcule el ángulo que separa dos perihelios sucesivos (es decir. donde demostró que la visión se debe a la recepción de rayos de luz por el ojo y perfeccionó el telescopio. La solución numérica de la mayor parte de los siguientes problemas será utilizada en el capítulo 8. ¿Aparecen términos seculares? Sustituya la expresión aproximada de la solución perturbativa a primer or- den en la expresión de la energía mecánica y estudie su comportamiento. Las ecuaciones de segundo orden que aparecen son autónomas. dos máximos conse- cutivos de u) y compruebe que no es exactamente 2π. los sistemas compuestos por dos ecuaciones serán autónomos y no será necesario resolver más que la ecuación de las trayectorias de fases del apartado 4. la ecuación de la órbita puede escribirse en la forma d2 u 1 2 + u = + ǫ p u2 . en buen acuerdo con el valor observado de 43.1. Problemas numéricos13 7. dϕ p siendo u = 1/r.net . Weil der Stadt. (Asegúrese de eliminar los términos seculares). Intente resolver esta ecuación por el método del parámetro pequeño. para pequeños valores positivos y negativos de ǫ. Trabajó sobre logaritmos y óptica. Regensburg en la actual Alemania).   y˙ = (1 + r + d)x + (1 + r)y + ǫ y 2 − x2 cuando ǫ = 0 y ǫ = 1. y˙ = x − y n . 7.16 ¿Qué pasa al usar distintos métodos numéricos para resolver el sistema (7. y) del siguiente sistema para n = 2.15 Las soluciones de la ecuación x˙ = t − x2 se convierten en x ≃ t al crecer t.1.net .7: y ′ = 1 − 3x + y + x2 + xy. 1: x˙ = −x − ǫxy.20 Halle el espacio de fases del siguiente sistema en los casos ǫ = 0. y˙ = x2 − y 3 .10 Problemas 165 7.17 Utilice diferentes métodos numéricos para tratar de obtener una buena aproximación a la solución exacta del problema del ejercicio 7.   y˙ = −y + ǫ y 2 − x2 ? ˙ de la ecuación x¨ = x2 (x − 1)(x − 2) − γ x˙ cuando γ = 0 7. 3: x˙ = −y. ¿Qué sucede al emplear los distintos métodos de integración en el intervalo 0 ≤ t ≤ 10000? 7.98)–(7. 7. 7. http://librosysolucionarios.19 Dibuje el espacio de fases (x.99)? 7.18 Dibuje el espacio de fases del sistema x˙ = −x − y − ǫxy.7. para los siguientes valores de los otros parámetros: d 1 −1 3 1 1 r −5/2 −1 −1 0 −2 7. ¿Cómo debe elegirse y(0) = y0 para que la solución vaya a ±∞ cuando x → ∞? √ 7. x) y γ = 0.23.14 Analice la ecuación de Newton del problema 7.21 Dibuje el espacio de fases (x.22 Dibuje el espacio de fases del siguiente sistema: x˙ = −2xy. 166 7 Métodos aproximados http://librosysolucionarios.net . donde muchas ecuaciones fundamentales. Por ejemplo. elasticidad. son lineales y donde se recurre a menudo —casi rutinariamente— a aproximaciones lineales. cuyo «padre» indiscutible es Poincaré. hablar de ecuaciones no lineales puede ser tan engañoso como hablar de animales que no son elefantes. En este capítulo analizaremos uno de los conceptos más simples e importantes de la teoría cualitativa: la estabilidad de soluciones especiales (en especial. Nancy. como los discutidos en el capítulo 7. capilaridad. También se interesó por la electricidad.Capítulo 8 Teoría de la estabilidad Prediction is very difficult. teoría del potencial y termodinámica. cuando resurgió el área y se inventó el nombre «caos determinista». 167 http://librosysolucionarios. 2 Jules Henri Poincaré (29-04-1854. teoría de números y ecuaciones diferenciales.net . El lector interesado podrá encontrar en la bibliografía de la página 321 buenas referencias que le permitirán profundizar en este aspecto. Al igual que la mayoría de los animales no son elefantes. incluyendo geometría y topología algebraicas. aunque este aspecto de su trabajo no recibió el interés que merecía hasta las décadas de los sesenta y setenta. También se ha incluido un corto —pero esperamos que estimulante— apartado sobre caos determinista. 1 Como alguien ha señalado. El gran desarrollo que en los últimos veinte años ha experimentado lo que ha venido en llamarse ciencia no lineal prueba el interés y dificultad de la dinámica cualitativa. donde consideró por primera vez la posibilidad de movimiento caótico en un sistema determinista. especially of the future. pero no todas. En mecánica celeste su nombre es inseparable del problema de los tres cuerpos y las órbitas planetarias. de los puntos de equilibrio. y fue el primero en descubrir los primeros elementos de la sorprendente variedad de comportamientos dinámicos que son posibles en cuanto la dimensión sobrepasa la del plano. Francia. que re- sultan muy familiares al lector con conocimientos de mecánica) frente a pequeñas variaciones de las condiciones iniciales. ser lineal es la excepción. Henri Poincaré2 planteó hacia 1880 el programa de clasificar cualitativamente los espacios de fases de los sistemas dinámicos. que se trata de una excepción muy importante en física. a menudo basta conocer la evolución del sistema en el límite t → ±∞. 17-07-1912. te- legrafía. variable compleja. en especial si sabemos que el comportamiento asintótico se alcanza rápidamente tras un corto transitorio. sin embargo. óptica. pero solo pudo llevarlo a cabo en los casos de una y dos dimensiones. Niels Bohr La dificultad de resolver las ecuaciones no lineales1 hace que en muchos casos haya que recurrir a métodos aproximados. París). Hay que reconocer. Trabajó en práctica- mente todas las ramas de las matemáticas. Publicó resultados que adelantaban algunos aspectos de la relatividad especial de Einstein. Existe otra alternativa cuando es suficiente cierta información cualitativa sobre las soluciones del sistema. Trabajó en ecuaciones diferenciales. incluyendo las funciones que llevan su nombre. se aproxima a ella. Otros ejemplos de conjuntos invariantes que consideraremos son las soluciones periódicas. La posición más alta. Yaroslavl. para abreviar) si para todo ǫ > 0 existe un δ(ǫ) > 0 tal que cualquier otra solución x(t) cuya condición inicial 3 Aleksandr Mikhailovich Liapunov (16-06-1857.3) ∂t Nos interesará en especial. Puesto que las condiciones iniciales de cualquier sistema físico son siempre conocidas apro- ximadamente. Consideremos el ejemplo del péndulo. la solución especial es inestable y no suele ser físicamente realizable. Es especialmente recordado por sus estudios sobre la estabilidad del equilibrio y del movimiento en sistemas mecánicos. se dice x∗ (t) es estable según Liapunov3 (o estable. Rusia. que es asintóticamente estable. por el contrario. El ejemplo más sencillo es un punto de equilibrio (también llamado punto estacionario. tal que no hay otros puntos fijos en un entorno del mismo. x∗ ) = 0 . Cuando se encuentra en la posición más baja. aunque no exclusivamente. E JERCICIO 8. hay rozamiento. la energía mecánica disminuye monótonamente y el péndulo tiende hacia la posición de equilibrio. hidrodinámica y ecuaciones diferenciales.net . se encuentra la existencia y localización de sus soluciones notables y conjuntos invariantes. que constituye por sí mismo una solución com- pleta x = x∗ = constante: ! ∗ ∂f f(t. se dice que ésta es estable y si. Si.2) Entre la información cualitativa que puede interesar conocer de un sistema dinámico. además. es decir. que es asintóticamente estable. crítico o de reposo). excepto tal vez en circunstancias especiales. Hay dos posiciones matemáticas de equilibrio: las verticales.1 Halle los puntos de equilibrio de los sistemas dinámicos (a) x˙ = ax. Un conjunto es invariante. teoría del potencial. (8. (8. 3-11-1918.1) y una de sus soluciones x∗ (t): x˙ ∗ (t) = f(t. Si por el con- trario. fijo. que cambia levemente las condiciones iniciales. una pregunta relevante es qué pasa si se modifican ligeramente las mismas para obtener otras soluciones que ya no coinciden exactamente con la solución notable que nos in- teresa. en especial las aisladas (ciclos límite). algunas o todas las soluciones perturbadas se escapan del entorno de la de referencia. con (t. si tiene la propiedad de que cualquier solución que tenga un punto en él está comple- tamente contenida dentro. x ) = 0. Si la nueva solución se mantiene siempre en las proximidades de la de referencia. corresponde a un máximo de la energía potencial y cualquier perturbación. y los atractores caóticos. por pequeño que sea. x˙ = f(t. probabilidades y aproximaciones. De forma más precisa.168 8 Teoría de la estabilidad 8. y (b) x˙ = ax − x3 . x∗ (t)). Concepto de estabilidad Consideremos un sistema dinámico como los definidos en la página 79. no consigue que el sistema se aleje mucho de ese punto: simplemente oscila en sus proximidades y el punto (que corres- ponde a un mínimo de la energía potencial) es estable. una pe- queña perturbación.1. además. http://librosysolucionarios. x). (8. que suelen contener un número infinito de órbitas periódicas inestables. por pequeña que sea hace que el péndulo se aleje de allí: es un punto de equilibrio inestable. el caso de un punto fijo aislado. donde introdujo nuevos métodos y resultados. Odesa). que es. asintóticamente estable y estable a gran escala. todas las soluciones (y no solo las de un entorno) tienden hacia x∗ (t).8. por tanto. al ir variando un parámetro cambia la naturaleza (o el número) de puntos de equilibrio (o de otro tipo de conjuntos invariantes). pero no asintóticamente estable. En este ejemplo el parámetro de bifurcación es a. Se dice también que x∗ (t) es un atractor. Si un punto de equilibrio es asintóticamente estable y.1 Concepto de estabilidad 169 satisfaga |x (t0 ) − x∗ (t0 )| < δ(ǫ) cumple que |x (t) − x∗ (t)| < ǫ para todo t > t0 . Por ejemplo. El F IGURA 8. (b) asintóticamente estable. Para a = 0.net .1 Punto de equilibrio (a) estable. todos los puntos son de equilibrio estable. si existe un ǫ > 0 tal que para δ > 0 tan pequeño como se quiera hay al menos una solución que satisface |x (t0 ) − x∗ (t0 )| < δ y |x (t) − x∗ (t)| > ǫ para algún t > t0 . como en este ejemplo. (c) inestable. de forma que para a < 0 todas las soluciones tienden a x = 0. usándose línea continua para indicar estabilidad y línea a trazos para inestabilidad. diagrama de bifurcación se muestra en la figura 8. de hecho. se dice que la solución es inestable. estable. tienden hacia el infinito. la solución general de x˙ = ax es x = x0 eat .2 Diagrama de bifurcación de x˙ = ax. Se dice que la solución x∗ (t) es asintóticamente estable si es estable y existe un δ ′ > 0 tal que si |x (t0 ) − x∗ (t0 )| < δ ′ entonces l´ımt→∞ |x (t) − x∗ (t)| = 0. se habla de estabilidad a gran escala. excepto x = 0 claro. Cuando. En caso contrario. Para a > 0 todas las soluciones. ya que atrae a las soluciones de su entorno. por lo que el origen es inestable. es decir.2. donde la posición (en este caso siempre el origen) del punto de equilibrio se muestra en función del parámetro de bifurcación. También se indica la http://librosysolucionarios. F IGURA 8. se dice que se ha producido una bifurcación. órbita de fases. (8. es decir. se ve fácilmente si las pequeñas perturbaciones tienden a aumentar o a decrecer. (8. basta ver que. (8. que las trayectorias de fases no se cortan.5)–(8. y(t)). E JERCICIO 8. y) = .2 Utilice primero el método gráfico y luego la solución general para obtener el dia- grama de bifurcación de los puntos de equilibrio de la ecuación x˙ = ax − x3 .170 8 Teoría de la estabilidad magnitud y la dirección (hacia el origen o el infinito) del campo vectorial x. si el equilibrio es estable o inestable.1. y). Nótese que la mencionada dirección se invierte precisamente en los puntos de equilibrio (en los dos ejes. en este caso). x. y) http://librosysolucionarios. lo que puede hacerse también en las ecuaciones diferenciales de la familia (8. sino solo su estructura geométrica.3 Solución general del sistema autónomo y su proyección sobre el espacio de fases. y).˙ Puede usarse esta última para explicar de modo gráfico la estabilidad del origen: como el sentido del movimiento de las soluciones próximas al punto de equilibrio será el indicado por el campo vectorial. de forma que la proyección (x(t).7) dx P (x. y) es una nueva congruencia.1.5) y˙ = Q(x. la ecuación y(x) de esas curvas se obtiene sin más que eliminar el parámetro t de sus ecuaciones (x(t). y(t)) de una solución es una curva paramétrica llamada trayectoria de fases o. F IGURA 8. es decir. Sistemas dinámicos autónomos bidimensionales Durante una buena parte de este capítulo nos limitaremos a considerar un sistema dinámico bidimensional autónomo: x˙ = P (x. como es autónomo. si no nos interesa la dependencia de t de las trayectorias de fases. la solución general del sistema dinámico define una con- gruencia en el espacio (t. en los puntos críticos. y). Para ver que la proyección de la solución general en el espacio de fases es una congruencia. (8. la proyección de aquélla sobre el espacio de fases (x.4) 8.6) Como se señaló en el apartado 4.net . es decir.2.6) sin más que dividirlas: dy Q(x. ya que el signo de la derivada cambia cuando la misma se anula. pero. a veces. net .4. calcular las trayectorias de fases es equivalente a hallar una constante del movimiento independiente de t.8. Y recíprocamente. en el caso de los sistemas estudiados aquí. no depende de la variable independiente t. Por tanto. el sistema dinámico x˙ = −y.2. por ser la ecuación lineal) x = R cos (t − t0 ) . que in- dica únicamente el origen de la variable independiente: cambiar t0 equivale a trasladar la hélice en la dirección t. también la proyección de la solución general del sistema sobre el espacio de fases es una congruencia (en un dominio donde se cumplan las condiciones de regularidad apropiadas). pero no modifica la proyección sobre el espacio de fases. Como pasa siempre con las ecuaciones autónomas. y˙ = x (8. x.2.10) que es la congruencia de hélices de paso 2π y radio R en el espacio (t.9) tiene como solución general (que en este caso incluye todas las soluciones. y) que aparece represen- tada por uno de sus elementos en la figura 8.9) y su proyección sobre el espacio de fases.7) en forma canónica. dx dy = . (8. una integral primera que no dependa de la variable independiente nos proporciona la ecuación de las trayectorias de fases de sistemas autónomos con n = 2 ecuaciones. y = R sin (t − t0 ) . F IGURA 8.2 Sistemas dinámicos autónomos bidimensionales 171 Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad de esta última ecuación. la ecuación de las tra- yectorias de fases es una constante del movimiento del sistema dinámico y. hay simetría de traslación y puede elegirse una constante de integración.8) P Q aquéllas pueden interpretarse como las líneas de corriente del campo de velocidades P i + Q j a ellas tangente y avala el uso del término flujo para describir a la aplicación que nos da la evolución del sistema en el plano de fases. Si escribimos la ecuación de las trayectorias de fases (8. (8. Puesto que a lo largo de una solución no cambia la trayectoria de fases. además. que sigue siendo la http://librosysolucionarios.4 Una solución de (8. Como ya vimos en la página 80. de acuerdo con lo visto en el apartado 4. t0 en este caso. Por supuesto. que son una extensión de los números complejos. y˙ = − .17) y admite el hamiltoniano H = 12 y 2 + V (x). Como en este capítulo seguiremos la costumbre de la teoría de sistemas dinámicos de llamar conservativo al que conserva el área (o volumen. los del tipo (8.net . que en mecánica se llaman conservativos. x). http://librosysolucionarios. 2-09-1865. x¨ + γ x˙ + ω 2 x = 0. 5 William Rowan Hamilton (4-08-1805. la segunda por y. al igual que éstos lo son de los reales. habrá una función de Hamilton5 H(x. (8. 4 Para simplificar la notación en todo este capítulo elegimos la unidad de masa de forma que m = 1 en todos los sistemas mecánicos estudiados.172 8 Teoría de la estabilidad circunferencia de radio R que se obtiene al eliminar t en la solución general (8.15) en el que la fuerza siempre deriva de un potencial.9). Un ejemplo que tendremos siempre en mente será el de un sistema mecánico unidimensional en el que la segunda ley de Newton es la ecuación del movimiento correspondiente a una fuerza resultante4 que depende de la posición y la velocidad. Dublín). (8. pero no menos importante.12) y que escribiremos en la notación de este capítulo —llamando y = x˙ a la velocidad— como x˙ = y. Encuentre la ecuación de las trayectorias de fases. (8. Dublín. y˙ = −ω 2 x − γy. si se prefiere.16) dx y que se escribe como sistema dinámico en la siguiente forma: x˙ = y. y˙ = f (x. es el de un campo de fuerzas unidimensional x¨ = F (x). (O. etc. y sumar los resultados. con V (x) = − F (x) dx.3 Considere el oscilador armónico (γ = 0). Si el sistema es hamiltoniano. y). (8. Z dV F =− . hiper- volumen. tam- bién son conservativos en el sentido que usaremos aquí y que se discute en la siguiente sección.14) ∂y ∂x Un caso más particular. las ecuaciones canónicas y la formulación de Hamilton-Jacobi. x¨ = f (x. y˙ = −V ′ (x). (8. ¿Cuál es el significado físico de esa integral primera? Dibuje el espacio de fases. Aparte de sus contribuciones en óptica y astronomía. utilizamos la fuerza y energía por unidad de masa). y) —llamando y al momento canónico— de forma que ∂H ∂H x˙ = . en física su nombre está asociado nada menos que a tres for- mulaciones de la mecánica: el principio de Hamilton. que podía haberse obtenido por inspección a partir del sistema (8.11) dx y La congruencia de trayectorias de fases que se obtiene por ambos métodos es la familia de circun- ferencias descrita por la integral primera x2 +y 2 = R2 .10). o resolviendo la ecuación de las trayectorias: dy x =− . recibirán aquí el nombre más explícito de sistemas mecánicos conservativos. En matemáticas es especialmente recordado por haber estudiado la primera álgebra no conmutativa: los cuaterniones.) del espacio de fases. Irlanda. sin más que multiplicar la primera ecuación por x. será x˙ = y. (8.13) Así el oscilador armónico amortiguado.17). E JERCICIO 8. ˙ (8. ∂ (φ(t′ ). ψ(t′ )) Z Z ′ ′ ′ S(t ) = dx dy = dx dy.19) que satisfacen las condiciones iniciales φ(t) = x.3 Sistemas dinámicos conservativos 173 E JERCICIO 8. ¿Cuál es el hamiltoniano? E JERCICIO 8.5.5 ¿Es hamiltoniano el sistema (8. y): así la dependencia en t′ pasa del dominio de integración al integrando.9)? ¿Qué sistema físico puede representar? 8. y ′) ≡ (φ(t′ ). ψ(t′ )) . (8. (8. y) donde hemos hecho un cambio de variables para expresar la integral en términos de las coorde- nadas constantes (x.3.21) D(t′ ) D(t) ∂(x. donde es más fácil derivar para ver cómo varía el área: . (8. cuya área es F IGURA 8. siendo las funciones φ(t′ ) y ψ(t′ ) las soluciones del sistema. y) se hallará en (x′ .20) En el instante t′ los puntos del dominio D(t) habrán ido a parar a los de D(t′ ).18) l en la notación de los sistemas dinámicos. Sistemas dinámicos conservativos Para estudiar la evolución del área del espacio de fases.4 Escriba la ecuación del péndulo matemático. ψ(t φ(t ˙ ′ ) = Q (φ(t′ ). g θ¨ + sin θ = 0. (8. ˙ ′ ) = P (φ(t′ ). ψ(t′ )).8. ψ(t′ )) . En otro «instante» genérico t′ el punto (x. estudiaremos cómo cambia a lo largo del flujo un dominio D(t) como el que se muestra en la figura 8. ψ(t) = y.5 Evolución de un dominio del espacio de fases. dS(t′ ) . . Z dS = . 22) dt dt′ . (8. = D(x. y) dx dy. t′ =t D(t) http://librosysolucionarios.net . 174 8 Teoría de la estabilidad donde el integrando D(x. y) es la derivada del jacobiano: . d ∂ (φ(t′ ). ψ(t′ )) . . D(x. y) = ′ . y) . . (8.23) dt ∂(x. 19) y (8.20): .′ t =t que puede calcularse fácilmente usando (8. . . ∂φ ∂φ . . . . . . . . . . . ∂P ∂P . . . . 1 0 . . d . ∂x ∂y . . . . . y) = . ∂P ∂Q D(x. . = . ∂x ∂y . +. ∂Q ∂Q . (8. = + .24) dt′ . . ∂ψ ∂ψ . . . . . . . . . . ∂x ∂y . . . 0 1 . . ∂x ∂y . . ∂x ∂y . como consecuencia de las ecuacio- nes canónicas de Hamilton (8. E JERCICIO 8. (8.28) a21 a22 ∂(x. t′ =t Vemos. y). (8.27) Si desarrollamos en serie de Taylor alrededor de ese punto fijo y usamos la notación   ∂P ∂P !   a11 a12 ∂(P.0) el sistema dinámico se escribe como x˙ = a11 x + a12 y + F (x. es decir.29) y˙ = a21 x + a22 y + G(x. si la divergencia es nula: dS ∂P ∂Q =0 ⇐⇒ + = 0. aunque aquí consideremos solo el plano).14).y)=(0. 0) = Q(0.6) tiene un punto de equilibrio aislado. conservan el área del espacio de fases. y)   ∂Q ∂Q   ∂x ∂y (x. (8. por tanto. que sin pérdida de generalidad podemos trasladar al origen: P (0.5)–(8.5)–(8. y). (8. por tanto. (8. Sistemas cuasilineales Supondremos que el sistema dinámico (8. Si la divergencia es negativa.30) http://librosysolucionarios. Q)  ∂x ∂y  A= = (0.26) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x Lo que en mecánica se llaman sistemas conservativos son hamiltonianos y.6 Calcule la divergencia del campo vectorial asociado al oscilador armónico amorti- ¨ + γ x˙ + ω02 x = 0.4. 0) =   . 0) = 0.net . que el integrando es la divergencia del campo vectorial P i + Q j. ¿Es conservativo? guado. porque.6) es conservativo si mantiene invariante el área del espacio de fases. (8. el área del espacio de fases decrece monótonamente y el sistema se llama disipativo. x 8. Diremos que el sistema dinámico (8. se tiene ∂P ∂Q ∂ ∂H ∂ ∂H + = − = 0.25) dt ∂x ∂y El teorema de Liouville asegura que los sistemas hamiltonianos son conservativos (en cualquier dimensión. y) G(x. (8. F (x. det A = a11 a22 − a12 a21 6= 0.32) y˙ = a21 x + a22 y.30) mediante constantes aij y funciones F y G que tienden a 0 más rápido que los términos lineales. (Estudiaremos en el problema 8.2 = tr A ± ∆ . y que los vectores propios se obtienen resolviendo los sistemas homogéneos (a11 − ki ) x + a12 y = 0.34) y el origen es el único punto de equilibrio de la aproximación lineal. por definición. del sistema cuasilineal son 1 √  k1. aunque el sistema cuasilineal puede tener otros. E JERCICIO 8.9 Halle las raíces características del péndulo matemático del ejercicio 8.36) a21 x + (a22 − ki ) y = 0.33) Usando la matriz del sistema A. (8. (8.29)–(8.7 Halle las aproximaciones lineales alrededor de los puntos de equilibrio del péndulo matemático del ejercicio 8. esta aproximación lineal se escribe como x˙ = A · x en la notación matricial del capítulo 4. En general. primera aproximación o sistema linealizado al sistema lineal con coeficientes constantes que se obtiene al despreciar los términos no lineales: x˙ = a11 x + a12 y. llamaremos sis- tema cuasilineal al que puede expresarse como (8. http://librosysolucionarios.37) Compruebe que la divergencia del campo vectorial P i + Q j en el origen (y la de su aproximación lineal por doquier) es precisamente tr A. E JERCICIO 8. y) √ l´ım √ 2 = √ l´ ım √ = 0.3 el caso del sistema lineal con det A = 0). E JERCICIO 8. (8. (8. Supondremos que el origen es un punto fijo aislado también del sistema lineal: por tanto.4. (8.35) 2 siendo ∆ ≡ tr2 A − 4 det A el discriminante del sistema. (8.4.8 Demuestre que las raíces características del origen de la aproximación lineal y.4 Sistemas cuasilineales 175 donde F y G representan los términos de orden superior al primero.31) x2 +y 2 →0 x + y2 x2 +y 2 →0 x2 + y 2 y se llama aproximación lineal.8. la matriz del sistema es regular.net . con al- guna excepción. que se obtiene sin más que tomar ǫ = 0.5.46) x x2 http://librosysolucionarios.10 Demuestre que para el sistema (8.41) y1 y2 la solución general del sistema lineal es de la forma x = C1 x1 ek1 t + C2 x2 ek2 t . (8. x2 = . (8. (8. E JERCICIO 8.40) k+1 8. (8.44) x C1 x1 ek1 t + C2 x2 ek2 t Hay dos soluciones especiales de la aproximación lineal correspondientes a trayectorias de fase a lo largo de rectas paralelas a los vectores propios: y y1 C2 = 0.43) de forma que y C1 y1 ek1 t + C2 y2 ek2 t = . = . Iremos discutiendo los distintos casos para el sistema cuasilineal y su primera aproximación. Consideraremos a menudo como ejemplo el sistema cuasilineal x˙ = −x − y − ǫxy. ! ! x1 x2 x1 = . k1 > k2 .5.39) y su primera aproximación. (8.38)–(8. tr A = r y que el vector propio correspondiente a cada valor característico k = r ± r2 − 4d /2 es (proporcional a)   −1 x= . ya que las conclusiones cualitativas obtenidas para aquélla siguen siendo válidas para el sistema cuasilineal suficiente- mente cerca del punto de equilibrio. (8. por lo que si los vectores propios correspondientes a k1 y k2 son.38) y˙ = (1 + r + d)x + (1 + r)y + ǫ y 2 − x2 .net . donde los términos no lineales son despreciables. = . Raíces características reales distintas Si ∆ > 0 las dos raíces son reales y distintas.42) y = C1 y1 ek1 t + C2 y2 ek2 t .   (8.176 8 Teoría de la estabilidad 8.1. Estabilidad lineal El primer método de Liapunov o método de la estabilidad lineal consiste en estudiar la estabilidad de la aproximación lineal del sistema no lineal considerado. (8.39) tenemos √ det A = d. (8.45) x x1 y y2 C1 = 0. respectivamente. la trayectoria (8.44) se sigue que y y1 l´ım = . Además. claro está. si tr A < 0 tendremos k2 < k1 < 0 y cuando t → ∞ todas las soluciones (8. (8.44). det A > 0 y tr A > 0 tendremos 0 < k2 < k1 y cuando t → ∞ todas las soluciones (8. las dos raíces tienen el mismo signo que tr A. la forma de las trayectorias cerca del origen es la que puede verse en la figura 8. (b) ǫ = 1. aunque a mayores distancias los términos no lineales se hacen sentir y deforman las trayectorias. pero en el infinito pasado en vez de serlo en el futuro (e intercambiando los índices 1 y 2). por lo que el mismo es asintóticamente estable.43) de la aproximación lineal van hacia el infinito y se alejan del origen.39) con d = 1. basta darse cuenta de que lo dicho en el anterior caso sigue siendo cierto.49) x x1 http://librosysolucionarios.42)–(8. (8. F IGURA 8. Cuando las trayectorias cerca de un punto de equilibrio tienen esta estructura geométrica (casi todas las soluciones alcanzan el origen con la misma pendiente) se dice que el punto fijo es un nodo. que sigue siendo un nodo asintóticamente estable. Por ello. Para ver la estructura geométrica del punto inestable. En este caso. Así tenemos. Esto va a ser característico: las conclusiones para la aproximación lineal se mantienen —al menos en la mayor parte de los casos— cualitativamente idénticas para el sistema no lineal muy cerca del punto crítico. (x. y y2 l´ım = . En la parte derecha de la figura 8.6 puede comprobarse en un ejemplo lo que se demuestra con carácter general: en el caso cuasilineal no hay cambios cualitativos suficientemente cerca del origen. Por tanto. en virtud de (8. el origen es un nodo asintóticamente estable.47) t→∞ x x1 excepto. ya que de (8.43) de la ecuación lineal tienden al origen.42)–(8. lo alcanzan con la misma pendiente. En este ejemplo puede incluso observarse (¿donde?) que hay otro punto de equilibrio que estaba ausente en la aproximación lineal.6 Espacio de fases de (8. si C2 = 0.38)–(8.48) t→−∞ x x2 y y1 = . (8.46). que será inestable.5 Estabilidad lineal 177 Raíces negativas Si ∆ > 0 y det A > 0. y) → (0. Raíces positivas Si ∆ > 0. si C2 6= 0.8. 0). r = −5/2 y (a) ǫ = 0.net .6 en un caso particular. r = 5/2 y (a) ǫ = 0.42)–(8.net . (b) ǫ = 1. Se puede demostrar que también será un nodo inestable para el sistema no lineal y su aspecto cualitativo el de la parte derecha de la mencionada figura.51) t→−∞ x x2 F IGURA 8. y como hay una dirección estable excepcional http://librosysolucionarios. F IGURA 8. que es el espacio inestable. salvo por el sentido de recorrido. Raíces con signos opuestos Si ∆ > 0 y det A < 0. las dos raíces tienen signos opuestos. k2 < 0 < k1 . que recibe el nombre de espacio estable. (8.178 8 Teoría de la estabilidad por lo que la geometría seguirá siendo la de la figura 8.39) con d = 1. Como todas las soluciones (8. (b) ǫ = 1.8 Espacio de fases de (8. ya que y y1 l´ım = . escapan del origen se trata de un punto de equilibrio inestable.6. por lo que la solución particular C1 = 0 tenderá hacia el origen a lo largo de la recta y/x = y2 /x2 . pero con el sentido de recorrido de las trayectorias invertido e intercambiando las etiquetas C1 = 0 y C2 = 0.38)–(8. sino que tienden asintóticamente al espacio inestable (estable) en el infinito futuro (pasado).43).7 Espacio de fases de (8. (8. menos las correspondientes a C1 = 0. El resto de las soluciones de la ecuación lineal no van hacia el origen.38)–(8.39) con d = r = −1 y (a) ǫ = 0.50) t→∞ x x1 y y2 l´ım = . mientras que la que corresponde a C2 = 0 escapa del origen a lo largo de la recta y/x = y1 /x1 . 53) con C1 x1 = C2 x2 y C1 y1 = C2 y2 . pero ahora las soluciones estable e inestable no son rectas que van hasta el infinito. La variedad estable no es. que también muestra cómo el sistema cuasilineal sigue teniendo un puerto inestable en el origen. pero no entrarán en él con una dirección prefijada.   x = eαt C1 x1 eiωt + C2 x2 e−iωt .53) del sistema lineal tenderán hacia el origen. en consecuencia. También el sistema cuasilineal tiene un foco inestable y la apariencia de las soluciones es del tipo de las de la figura 8. (8. ya que y C1 y1 cos ωt + C2 y2 sin ωt = (8.9. 7 Recuerde la forma de un puerto de montaña. aunque la hélice se deforma al alejarse del mismo y no tiene por qué continuar hasta el infinito. el sistema cuasilineal tiene el mismo compor- tamiento cualitativo: el origen es un foco asintóticamente estable. pero juega un papel muy importante en las propiedades cualitativas globales del espacio de fases. el ejercicio 8. Ambas coordenadas aparecen como el producto de una expo- nencial por un término periódico (véase.52)–(8.9 en un caso particular.53) escaparán del origen. Las órbitas tienen la forma de una espiral. la exponencial —para ser más precisos el signo de α = 12 tr A— lo que determine la estabilidad de las soluciones. respectivamente. Raíces complejas con parte real positiva Si ∆ < 0 y tr A > 0. pero con el sentido de recorrido invertido. y tendrá la estructura de un foco inestable ya que las soluciones tienen en este caso el mismo comportamiento para t → −∞ que tenían en el anterior para t → ∞.52)   y = eαt C1 y1 eiωt + C2 y2 e−iωt . Una vez más. física- mente realizable porque cualquier perturbación hace que el sistema se aleje de ella y del punto de equilibrio. http://librosysolucionarios.5 Estabilidad lineal 179 se dice que se trata de un punto de silla6 o puerto7 . Raíces complejas con parte real negativa Si ∆ < 0 y tr A < 0. como α > 0 las soluciones (8. Imagine cómo se mueve una bolita en la misma. todas las solucio- nes (8. (8. como eαt es decreciente. Reciben los nombres de variedad estable e inestable.8. Un ejemplo puede verse en la figura 8. en general. en la aproximación lineal. que será asintóticamente estable. 8.5. Raíces características complejas Si ∆ < 0 las raíces √ características forman un par complejo conjugado k = α ± iω con α = 21 tr A y ω = 21 −∆ y las soluciones serán.11). que será inestable. más adelante. 6 Este nombre se refiera a una silla de montar. tendremos α < 0 y. sino solo tangentes a los correspondientes espacios (y vectores propios) en el origen. en vez de tender hacia él. por lo que el punto fijo se llama foco o punto espiral y la forma de las trayectorias puede verse en la figura 8.2.52)–(8.net . Será.54) x C1 x1 cos ωt + C2 x2 sin ωt es periódico y la pendiente cambiará constantemente.8. 38)–(8. Las soluciones son.56) describen elipses centradas en el ori- gen del plano de fases.39) con d = 3. como el caso α = 0 es justo la frontera entre α < 0 y α > 0. aun siendo pequeños. en este caso. las soluciones del sistema lineal son x = C1 x1 cos ωt + C2 x2 sin ωt. Raíces imaginarias puras Si ∆ < 0 y tr A = α = 0. r = 0 y (a) ǫ = 0. (b) ǫ = 1.11 Demuestre que las ecuaciones (8. el análisis del sistema cuasilineal es más delicado debido a que.39) con d = 1. recibe el nombre de centro o vórtice.10 los términos no lineales convierten al centro en un foco inestable y para ver otro ejemplo consideraremos el sistema x˙ = −y.9 Espacio de fases de (8.10 Espacio de fases de (8.57) y˙ = x − y n . (8. el análisis de la estabilidad lineal no es concluyente para el sistema cuasilineal y debe utilizarse otro método. (8.58) http://librosysolucionarios. En el caso de la figura 8. En este caso.55) y = C1 y1 cos ωt + C2 y2 sin ωt.180 8 Teoría de la estabilidad F IGURA 8. por tanto. (8. periódicas y el origen. que es estable. (b) ǫ = 1. pero no asintóticamente estable. aunque también pueden dejarlo como un centro.55)–(8. Sin embargo. (8.net . pueden tener la suficiente importancia como para cambiar su estabilidad y convertirlo bien en un foco asintóticamente estable o bien en un foco inestable.38)–(8. los términos no lineales.56) E JERCICIO 8. F IGURA 8. r = −1 y (a) ǫ = 0. y˙ = ay. además.38. La aproximación lineal es el sistema (8.60) son semirrectas que van hacia el origen o provienen del mismo: y/x = C2 /C1 . Pero esto no es necesariamente cierto alrededor de puntos no hiperbólicos: si hay algún valor propio con parte real nula. pero con distintas pendientes. todas las soluciones entran en el origen. no hay ninguna parte real positiva.11 y demostraremos en el problema 8. La hiperbolicidad es una condición que interviene en la demostración de muchos resultados.58) con (a) n = 2.59) Las soluciones x = C1 eat . (8. y = C2 eat (8. que implícitamente hemos estado usando hasta ahora8 . La razón matemática de las dificultades de este caso estriba en el hecho de que el punto de equilibrio es no hiperbólico: el espacio generado por los vectores propios correspondientes a valores propios con parte real no nula tiene una dimensión inferior (nula en este caso) a la del espacio de fases. Por tanto si tr A = 2a < 0. que no son necesariamente ciertos si aquélla no se cumple. puede cambiar el tipo geométrico del punto y si. Además. 8.9) y tiene como órbitas las circunferencias centradas en el origen (8.5.net .10). ya que el espacio de fases en sus proximidades es topológicamente equivalente al de su aproximación lineal: existe entre ellos un homeomorfismo (una aplicación continua con inverso continuo). http://librosysolucionarios. puede incluso cambiar su estabilidad. En otras palabras: uno es una versión deformada (sin rupturas) del otro. F IGURA 8. el texto de Walter [30].11 Espacio de fases de (8. por ejemplo. para n = 2 el sistema no lineal sigue teniendo un centro en el origen. En particular. tenemos a ≡ a11 = a22 = 21 tr A y las dos ecuaciones lineales están desacopla- das: x˙ = ax. el teorema de Grobman-Hartman. hay dos casos posibles. como ∆ = 0 es equivalente a que (a11 − a22 )2 + 4a12 a21 = 0.5 Estabilidad lineal 181 que corresponde a este mismo caso.8.3. por lo que 8 Véase. Como puede verse en la figura 8. a12 = a21 = 0 En este caso. (b) n = 3.57)–(8. asegura que un punto fijo hiperbólico tiene la misma estabilidad que el correspondiente a la aproximación lineal. pero para n = 3 el mismo es un foco asintóticamente estable. Raíces características reales iguales Si ∆ = 0 existe una raíz característica real doble k1 = k2 = 12 tr A. 12. y. los términos no lineales pueden convertir al mismo en un nodo impropio (en que casi todas las soluciones entran o salen del mismo en la misma dirección) o en un foco. (8. por tanto. Si. A · x1 = kx1 . El sistema cuasilineal tendrá un punto fijo asintóticamente estable que puede seguir siendo un nodo. Un ejemplo es el sistema x˙ = −x − ǫxy. por el contrario. todas ellas entran en el punto fijo con la misma pendiente (de hecho. de hecho. La estabilidad del sistema cuasilineal es la misma (es decir.64) ¿Por qué no es esto cierto si a12 = a21 = 0? Está claro que si 2k = tr A < 0.12. inestabilidad para tr A > 0 y estabilidad asintótica para tr A < 0). de un nodo degenerado asintóticamente estable. (8. aunque puede seguir siendo un nodo propio.   (8. (8. pero la forma del nodo puede variar.61) y˙ = −y + ǫ y 2 − x2 . F IGURA 8. que será asintóticamente estable. en la dirección del vector propio x1 . Como.12 Demuestre que en este caso si x1 es un vector propio. que al tratarse de un caso límite los términos no lineales pueden tener influencia.net . salen en el infinito pasado del origen. ya que y/x → y1 /x1 cuando t → ∞). será un nodo inestable. y la otra solución debe incluir términos del tipo tekt .182 8 Teoría de la estabilidad el mismo es un punto asintóticamente estable en forma de nodo propio o nodo en estrella. todas las soluciones van al infinito y. como en el caso de la figura 8. y/x → y1 /x1 cuando t → −∞. existe una segunda solución linealmente independiente de la forma (tx1 + x2 ) ekt y la solución general es x = [C1 x1 + C2 (x1 t + x2 )] ekt . si tr A = 2a > 0. que es un nodo propio inestable.12 Espacio de fases de (8. La razón es. ya que. o deformarse a un foco debido a la influencia de los términos no lineales. además.61)–(8.62) cuyo espacio de fases se ve en la figura 8.63) kt y = [C1 y1 + C2 (y1 t + y2 )] e . de nuevo. Si 2k = tr A > 0. http://librosysolucionarios. todas las soluciones de la aproximación lineal tienden hacia el infinito y el origen será inestable. |a12 | + |a21 | = 6 0 En este caso no hay dos vectores propios para la primera aproximación. Se trata. E JERCICIO 8. mientras que el sistema cuasilineal tendrá un nodo inestable o un foco inestable. todas las soluciones tienden hacia el origen.62) con (a) ǫ = 0 y (b) ǫ = 1. aunque en este caso como el sistema es hiperbólico la estabilidad no cambia. por ejemplo. F IGURA 8. aunque también pueden corresponder a un nodo en estrella o a uno degenerado. Resumen: Clasificación de los puntos fijos La clasificación de los puntos fijos aislados de un sistema cuasilineal plano está resumida en la figura 8.38)–(8.7. por el contrario. Como resumen de la figura 8. el punto fijo es un atractor. el otro caso no hiperbólico. k = ±iω.14 digamos que si todas las partes reales de las raíces características son negativas.39) con d = 1. en el caso no lineal. 8. que acabamos de analizar y que. se reducen a veces a los casos vecinos.14. asintóticamente estable.14 Clasificación de los puntos fijos. todos los sistemas mecánicos conservativos tienen tales puntos en los mínimos del potencial. Sí aparece.net . (b) ǫ = 1.3 y que para el sistema no lineal es no hiperbólico. como veremos más adelante en el apartado 8. Tampoco se ha considerado el caso en que det A = 0.13 Espacio de fases de (8. que es en la práctica mucho más frecuente ya que.8. donde no se han incluido los casos excepcionales ∆ = 0. es decir.5 Estabilidad lineal 183 F IGURA 8. http://librosysolucionarios. que estudiaremos en la aproximación lineal en el problema 8.5.4. r = −2 y (a) ǫ = 0. . el origen del sistema x˙ = x4 − 2xy 3. .65) que tiene un punto de equilibrio aislado fi (t. .184 8 Teoría de la estabilidad basta con que haya una raíz característica con parte real positiva para que el punto de equilibrio sea inestable. n.7) puede calcularse con relativa facilidad la ecuación de las trayectorias de fases (es decir una integral primera que no dependa de la variable independiente) y. en tal caso. . x∗n ) = 0. . Por ejemplo. (8.69) http://librosysolucionarios. . xn ) = aij (xj − x∗j ) + Ri (t. Este resumen resulta ser válido en cualquier dimensión. (8. r≡ t xj − x∗j . Teorema 8.net . . . .1 (Liapunov) Sea un sistema de ecuaciones diferenciales x˙ i = fi (t. . Nótese que suponemos que la matriz de la aproximación lineal —que si las funciones son regulares no es sino la matriz jacobiana (∂fi /∂xj ) evaluada en el punto fijo— es constante. . . . y˙ = 2x3 y − y 4 (8. . x1 . x∗1 . . . . por ejemplo. . . su análisis permite decidir la estabilidad de los puntos de equilibrio (u otros conjuntos invariantes). y si al menos un valor propio tiene parte real positiva.6. . Trayectorias de fases En algunos casos sencillos. . xn ) . el estudio de la aproximación lineal no es suficiente para decidir la estabilidad del sistema cuasilineal: hace falta más información sobre el mismo. cuya demostración puede hallarse. i = 1. x1 . Es importante recordar que. el punto de equilibrio es inestable. x1 . . y si la mayor de las partes reales es nula. . el punto de equilibrio es asintóticamente estable. (8. aunque la variedad de formas geométri- cas del flujo en las proximidades del punto de equilibrio aumenta con aquélla. . . xn )| 2 l´ım = 0. .68) r→0 r j=1 entonces: si todos los valores propios de la matriz (aij ) tienen partes reales negativas. en el texto de Walter [30]. este método no es concluyente para el sistema no lineal y debe recurrirse a alguna de las técnicas discutidas en los siguientes apartados.67) j=1 v u n  uX |Ri (t. . a partir de la ecuación diferencial (8.66) Si el sistema es estacionario en la primera aproximación alrededor de ese punto: n X fi (t. 8. . n. si la raíz característica con máxima parte real es imaginaria pura. (8. i = 1. . i = 1. . Damos a continua- ción enunciado preciso del resultado. n. xn ) . . . x1 . http://librosysolucionarios. erróneos. aunque de un modo diferente al de los puntos de equilibrio inestables vistos al estudiar la estabilidad lineal. ou Traité de la Lumière. y = 3au2 /(1 + u3). No obstante. El espacio de fases aparece en la parte derecha de la mencionada figura.15 Hoja de Descartes y espacio de fases del sistema (8. En su famoso Discours de la méthode defendió el uso de las matemáticas como forma de adquirir conocimientos seguros y uno de sus apéndices. 11-02-1650. puede a menudo determinarse aquél sin mayor dificultad estudiando el sistema original en algunos puntos especialmente simples. pero la ecuación de las trayectorias fue resuelta en el problema 2. sin embargo. En este ejemplo basta analizar lo que ocurre en los ejes cartesianos y las diagonales: Lugar geométrico x˙ y˙ x=0 0 −y 4 < 0 y=0 x4 > 0 0 y=x −x4 < 0 x4 > 0 y = −x 3x4 > 0 −3x4 < 0 Esta tabla es suficiente para concluir que los sentidos son los de la figura y que.15 se obtiene tras comprobar que admite como asíntota la recta x + y + a = 0 y que es tangente a los ejes coorde- nados en el origen. o usando sus ecuaciones paramétricas: x = 3au/(1 + u3 ). cuya gráfica 8. Estocolmo. 9 René Descartes (31-03-1596.69). Francia. por ejemplo.8: x3 + y 3 = 3axy. ya que se ha eliminado la dependencia de t. Suecia). no es hiperbólico (¿por qué?). estudió los óvalos cartesianos. solo puede invertirse en los puntos de equilibrio. La Géométrie. estableció la conexión entre álgebra y geometría que llamamos geometría cartesiana y supuso la introducción de los sistemas de referencia. Además de la hoja.8. Otros aspectos de sus teorías sobre la mecánica expuestos en distintas obras eran.6 Trayectorias de fases 185 F IGURA 8. Con la ecuación de las trayectorias no sabemos cuál es su sentido de recorrido. por tanto.net . Las noticias del arresto de Galileo le hicieron decidir no publicar su primer tratado importante: Le Monde. la espiral equiangular y el tridente de Newton. la cicloide. La Haye —ahora se llama Descartes—. ya que el sentido de recorrido variará de forma continua (donde el sistema dinámico sea regular) y. el origen es inestable. Cada trayectoria es una hoja de Descartes9 . Sistemas mecánicos unidimensionales Vamos a considerar un partícula que se mueve en una dimensión bajo la acción combinada de una fuerza conservativa F (x) = −V ′ (x) y una de rozamiento proporcional a la velocidad R = −γ x.77) 2 2 Dado que γ > 0. v) = v + V (x).73) Este sistema no será lineal excepto en el caso del oscilador armónico (amortiguado) que corres- ponde a una energía potencial elástica V = 12 k(x − x0 )2 . ˙ con γ ≥ 0.76) Escriba esta ecuación como un sistema bidimensional y compruebe explícitamente que tiene como matriz la matriz jacobiana del sistema no lineal (8. v) ≡ −V ′ (x) − γv. Concluya que las raíces características del punto de equilibrio son r  γ 2 γ k1. lo que solo sucede si la partícula está quieta en un extremo local del potencial. E JERCICIO 8. 8.74) 2 se conserva si γ = 0 y decrece monótonamente en caso contrario. (8.75) Halle la divergencia del campo vectorial P i + Q j para comprobar que es conservativo (disipativo) si γ = 0 (γ > 0).net .71) alrededor del punto de equilibrio x = x∗ . con V (x∗ ) = 0. la ecuación del movimiento es x¨ = −V ′ (x) − γ x. E JERCICIO 8.186 8 Teoría de la estabilidad E JERCICIO 8.73) evaluada en x∗ .72) v˙ = Q(x.14 Compruebe que la energía mecánica 1 2 E(x.13 Discuta la estabilidad del origen del sistema x˙ = y 2 .7.70) que tiene un punto de equilibrio no hiperbólico en el origen (¿por qué?). ya que E˙ = −γv 2 . por la anulación de la fuerza resultante y el reposo inicial. Los puntos de equilibrio vienen dados por las condiciones v = 0 y V ′ (x∗ ) = 0. y˙ = x2 (8. ˙ (8. v) ≡ v. Veamos qué nos dice el primer método de Liapunov sobre la estabilidad del punto (x∗ . la estabilidad del punto de equilibrio es como sigue en función del tipo de extremo en x∗ : http://librosysolucionarios.72)–(8. Si como se ha dicho antes se toma m = 1.71) que puede escribirse como un sistema si utilizamos la velocidad v = x˙ x˙ = P (x. es la siguiente: x¨ = −V ′′ (x∗ ) (x − x∗ ) − γ x. (8. es decir.15 Compruebe que la aproximación lineal de la ecuación (8. resolviendo la ecuación diferencial de las trayectorias. (8.2 = − ± −V ′′ (x∗ ) + . (8. 0). ˙ (8. (8. ya que tienen dos raíces características de signos opuestos.78) para γ = 0.net . Mínimo local Si V ′′ (x∗ ) > 0. por lo que los máximos son siempre puertos inestables. se tiene un foco o un nodo asintóticamente estable). http://librosysolucionarios.16 Energía potencial y espacio de fases del sistema (8. con una variedad estable normalmente irrealizable físicamente.76) es la del oscilador armónico amortiguado.8.16 Compruebe que la figura 8. k2 < 0 < k1 . si el rozamiento es moderado (γ 2 < 4V ′′ (x∗ )).1. F IGURA 8. −γ. o reales y negativas.7 Sistemas mecánicos unidimensionales 187 Máximo local Si V ′′ (x∗ ) < 0. la ecuación (8.78) Estas conclusiones siguen inalterables para los máximos en ausencia de rozamiento: los má- ximos locales son siempre puertos inestables. las raíces características son 0. Punto de inflexión o extremo de orden superior Si V ′′ (x∗ ) = 0. y sus raíces características son complejas con parte real negativa. por lo que el punto de equilibrio será un foco asintóticamente estable. (Con amortiguamiento crítico (γ 2 = 4V ′′ (x∗ )). si el sistema está sobreamortiguado (γ 2 > 4V ′′ (x∗ )).16 refleja correctamente la energía potencial y el espa- cio de fases del sistema dinámico ¨ = x2 (x − 1)(x − 2) − γ x. E JERCICIO 8. el punto no es hiperbólico y el método de la aproximación lineal no permite extraer conclusiones. las raíces características tienen signos opuestos. x ˙ (8. por lo que el punto fijo será un nodo asintóticamente estable. (8. En consecuencia. x1 < x < x2 . el caso de los mínimos (y el de los puntos de inflexión y extremos de orden superior para todos los valores de γ) corresponde a una parte real máxima nula por lo que el estu- dio de aproximación lineal no es concluyente. podemos aproximar el potencial por su desarrollo de Taylor truncado. si γ = 0. lo que corresponde al hecho de que los mismos son puertos. http://librosysolucionarios. también las auténticas trayectorias son cerradas en un entorno del punto de equilibrio. hay que ir un orden más lejos en el desa- rrollo para obtener 1 h i v 2 + V ′′′ (x∗ ) (x − x∗ )3 = 2 [E − V (x∗ )] + O (x − x∗ )4 . Véase la referencia [18]. Además. pero no asintóticamente estable. de usar dicha ecuación para discutir la estabilidad. V (x) ≈ V (x∗ ) + 12 V ′′ (x∗ ) (x − x∗ )2 + .80) que es la ecuación de una hipérbola para máximos (V ′′ (x∗ ) < 0).188 8 Teoría de la estabilidad Pero. Esta integral primera independiente del tiempo es. y la de una elipse para mínimos (V ′′ (x∗ ) > 0). pero no asintóticamente estable. en sistemas mecánicos conservativos. la ecuación de la trayectoria será h i v 2 + V ′′ (x∗ ) (x − x∗ )2 = 2 [E − V (x∗ )] + O (x − x∗ )3 .8. en promedio. en el apartado 8.81) 3 10 Puede encontrarse en [29] una demostración rigurosa de que. a menos claro que el sistema sea realmente lineal (un oscilador armónico). si las trayectorias son elipses en la aproximación cuadrática.17. que aplicado a (8. Para analizar estos casos no hiperbólicos necesitamos más información. la ecuación de las trayectorias de fases. que nos dice que el sistema está oscilando alrededor del punto de equilibrio x∗ entre los puntos de retroceso. muy cerca de un mínimo cuadrático la energía potencial es una parábola. que habíamos introducido en el apartado 8. .5. V ′ (x∗ ) = 0. Cerca de un extremo. . que corresponde a un oscilador armónico y cuyo espacio de fases es el de la figura G. en cuyo caso el mínimo es un centro estable.17 Diagrama de energía en las proximidades de un mínimo.75) —o de (8. En el caso de un punto de inflexión. que se conoce con el nombre de teorema de Lagrange o principio de Lagrange. del mismo: es un centro estable.. lo que nos permite desarrollar en este contexto preciso la idea. cuya ley de conservación 1 2 v + V (x) = E.7). (8. lo que hace esperar que éstos sean centros estables para todo sistema mecánico conservativo10. será demostrado de forma directa. en un contexto más general. mediante el razonamiento habitual en mecánica: cerca del mínimo el diagrama de energía es como se ve en la figura 8.6.72)–(8. La demostración rigurosa del mismo parece ser debida a Dirichlet. V ′′ (x∗ ) = 0. este resultado. De hecho.73) da dv/dx = −V ′ (x)/v—.net . (8. sin tender hacia el punto de equilibrio ni alejarse. El mismo resultado puede comprobarse F IGURA 8.79) 2 se sigue de (8. que nos viene proporcionada en este caso por la energía mecánica. (8. o a −∞.82) p E JERCICIO p 8. En este caso conservativo las órbitas se mantienen siempre a energía constante y son cerradas cuando están acotadas. donde también puede verse el espacio de fases de (8. En el caso del péndulo amortiguado la ecuación del movimiento es ml2 θ¨ + clθ˙ + mgl sin θ = 0.83) La energía potencial es V (θ) = mgl(1 − cos θ) y tiene un mínimo en θ = 0 y un máximo en θ = ±π (tomaremos siempre −π ≤ θ ≤ π). Hay un caso particular interesante en la figura 8.net . (8.16. así como la gráfica de la energía mecánica decreciente.18 a la 8.18 Energía potencial y espacio de fases del sistema (8. Cuando γ deja de ser nulo la energía mecánica disminuye constantemente y tiende a la de un mínimo.78) para γ = 0. es siempre inestable y y su forma se muestra en el origen de la figura 8. porque separa órbitas cualitativamente diferentes: periódicas y no acotadas en este caso). una órbita que sale del puerto y vuelva a entrar en él.20. como se muestra en la parte superior de la figura 8.8.18.78) cerca de un máximo y de un mínimo. Este tipo de punto se llama cúspide. http://librosysolucionarios. mientras que los centros se estabilizan más y se convierten en focos (o. que también corresponde al último caso.19. (También se llama separatriz. por lo que puertos y cúspides siguen siendo del mismo tipo (inesta- bles). Así se pasa de la figura 8. Se llama conexión homoclínica a una órbita de este tipo.18: una de las varieda- des inestables del máximo es también variedad estable. la ecuación del péndulo en variables adimensionales es θ¨ + γ θ˙ + sin θ = 0. es decir. la solución que entra en el punto de equilibrio en el límite t = ∞) e inestable (que sale de allí en t = −∞) del punto cúspide inestable que hay en el origen. En la figura 8. que es la ecuación de una parábola semicúbica. incluso.17 Demuestre que si se elige como unidad de tiempo l/g y se introduce γ ≡ (c/mg) l/g.7 Sistemas mecánicos unidimensionales 189 F IGURA 8. en nodos) asintóticamente estables. vemos las variedades estable (es decir. el mínimo será un centro estable.190 8 Teoría de la estabilidad F IGURA 8.18 ¿A qué corresponde físicamente esta órbita homoclínica? http://librosysolucionarios.5. γ = 0.net . alrededor de θ = 0 recuperamos el espacio de fases del oscilador armónico G. pero no asintóticamente estable. y el máximo un puerto inestable con una conexión homoclínica que es a la vez la variedad estable y la inestable. Cuando no hay rozamiento. F IGURA 8.19 Variedades estable e inestable del punto cúspide. Como con todos los mínimos cuadráticos. E JERCICIO 8.20 Energía potencial y espacio de fases del péndulo. 6) y que existe una función continuamente diferenciable U(x. también.8. si (x.73) se ha trasla- dado al origen. consiste en encontrar una función U(x. si (x.72)–(8. y) > 0. Demuestre que la energía mecánica 1 E(x. el apartado 8. pero Liapunov demostró que a veces puede hallarse una función más general que nos da información suficiente para decidir la estabilidad de un punto de equili- brio.5)–(8.8. v) ≤ 0. (8.87) Entonces. y) definida y regular en un entorno del punto de equilibrio con propiedades adecuadas. 11 Véase. y) ≤ 0. 0) = 0.20 Suponga que un punto de equilibrio aislado del sistema (8.86) dt 8. mientras que θ = ±π sigue siendo un puerto inestable. (8.2 (Liapunov) Supongamos que el origen (0. Esa función generaliza algunas de las propiedades de la energía mecánica.85) y que su derivada es semidefinida negativa dE (x. 1. 0). 0) (8. Si su derivada a lo largo del flujo es semidefinida negativa. x∗ = 0.8 Funciones de Liapunov 191 Cuando el rozamiento se tiene en cuenta11 .88) dt ∂x ∂y el origen es un punto de equilibrio estable (pudiera resultar también asintóticamente esta- ble. el origen θ = θ˙ = 0 aumenta su estabilidad y se convierte en un foco (o un nodo) asintóticamente estable que atrae casi todas las órbitas. E(x. v) 6= (0. y) + (x. 0) = 0. y que se toma allí el origen de la energía potencial: V (0) = 0. 0) es un punto de equilibrio aislado del sistema dinámico (8. y) 6= (0. v) = v 2 + V (x) (8. U(x. y) definida en un entorno del origen. v) > 0. y) ≡ (x. Teorema 8. y) Q(x. incluso cuando falla la estabilidad lineal. (8.4. E(0. E JERCICIO 8. dU ∂U ∂U (x. E JERCICIO 8. donde es definida positiva: U(0. Funciones de Liapunov El segundo método —o método directo— de Liapunov. http://librosysolucionarios. y) P (x.8. pero ello no está garantizado por esta función U).net .19 ¿Qué órbitas no son atraídas por el atractor en θ = θ˙ = 0? ¿A qué corresponden desde el punto de vista físico? En sistemas dinámicos más generales no disponemos de la utilísima información proporcio- nada por la energía mecánica.84) 2 definida en el espacio de fases es definida positiva (negativa) en un entorno de un mínimo (máximo) aislado del potencial. dU dU (0. Además. 0) sea una función de Liapunov. Si U es una constante del movimiento. y) 6= (0. 0). por ejemplo. si (x. también podemos enunciar el anterior teorema como sigue. la función crecerá y la solución se alejará del origen. y) < 0. si (x. pero la condición U(0. Si la derivada es positiva. http://librosysolucionarios. y) = 0. como ahora una de las variables dependientes no es necesariamente la derivada de la otra. y) − U(0. Si la derivada es nula. se cumple siempre dU/dt(0. 0). (8. 3. Nótese que cambiando U por −U se obtiene un resultado idéntico intercambiando los adjetivos «positiva» y «negativa». Si los extremos de la función y la derivada son aislados y de tipo contrario (uno máximo y otro mínimo). habrá que considerar una dimensión adicional. La idea fundamental del teorema es una generalización directa de lo que se hace con los dia- gramas de energía. 3. 0) = 0. como se muestra en la figura 8. aunque haya comenzado muy cerca del mismo.90) dt dt el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. Observaciones Una función que satisfaga uno de estos conjuntos de hipótesis se llama función de Liapunov. el texto de Elsgoltz [3]).21. Si la derivada es definida negativa. y) > 0. (Véase. pero. 0) = 0 no es esencial: basta que U tenga un mínimo aislado en el punto de equilibrio para que la trasladada U(x. El teorema se extiende de forma obvia a sistemas con más de dos grados de libertad y puede enunciarse con hipótesis menos estrictas. pero no asintóticamente estable. pero más difíciles de comprobar en la práctica. Si la derivada es definida positiva. el equilibrio es inestable. 0) = 0. Si U no crece (porque su derivada no es positiva) la solución no se alejará del mínimo y el equilibrio será estable. el equilibrio es asintótico. en promedio ni se acercará ni se alejará del origen: el equilibrio será estable. el punto de equilibrio es estable. 0) = 0. y) 6= (0. Si en el punto de equilibrio la función U tiene un mínimo o un máximo aislado y la derivada dU/dt un extremo de tipo contrario. pero no asintóticamente estable. 4. el mismo es estable.192 8 Teoría de la estabilidad 2. Si la derivada es negativa. pero no asintóticamente estable. (8. Si la función y la derivada tienen ambos un máximo (o ambos un mínimo) aislado. Por tanto. Supongamos que una trayec- toria de fases comienza muy cerca del mínimo de U.1. que será inestable. 4. Si la función U es una integral primera y tiene un máximo o un mínimo aislado en el punto de equilibrio. U decrecerá monótonamente y la solución tenderá hacia el punto de equilibrio. 2. (x.89) dt el origen es un punto de equilibrio estable.8. (8. (x. 8. dU (x. puesto que el origen es un punto de equilibrio.91) dt dt el origen es un punto de equilibrio inestable. que será asintótica- mente estable. dU dU (0.net . 1. para cada solución que comienza en la región 0 < |(x. para demostrar la estabilidad asintótica del tercer caso. y(t0)) = K. Como la función U es continua y definida positiva. Puesto que U es definida positiva. Como U es continua y definida positiva.8 Funciones de Liapunov 193 F IGURA 8.21 Trayectorias de fases y evolución de los correspondientes valores de U. no será alcanzada. Por tanto. Por tanto.8. por tanto. 0). y(t0)) será inferior a M y como la derivada a lo largo de la solución es nega- tiva. y)| ≤ ǫ donde está contenida completamente la solución para t ≥ t0 en virtud del resultado demostrado antes para el primer caso.8. y) = |U(x. y) a lo largo de la circunferencia Cǫ .2. podemos hallar un círculo de radio η > 0 centrado en el origen en cuyo interior U(x. habrá alrededor del mismo un círculo Cδ en cuyo interior U(x. Como a lo largo de la trayectoria tenemos U = K. En el pri- mer caso. y) < L. la solución no cruzará la circunferencia Cη y no tenderá. admitirá una cota inferior positiva 0 < M ≤ U(x. y está acotada inferiormente por el valor nulo que toma en (0. por tanto. puede hallarse un radio η > 0 tal que para |(x. Para demostrar el resultado. Demostración del teorema La demostración rigurosa del teorema se basa en la continuidad de U y su derivada. es nula en el origen. bastará probar que U(t) = U(x(t). Fuera del origen la función U es decreciente. además.92) t0 dt http://librosysolucionarios. 0) = 0. Si elegimos la condición inicial dentro de Cδ . y(t)) → 0 cuando t → ∞. Cδ . con una constante K > 0 adecuada que depende de la solución. Cǫ . procederemos por reducción al absurdo suponiendo que L > 0. Está claro que también en el segundo caso se aplica lo visto para el primero. tiende hacia algún límite no negativo: U(t) ≥ L = l´ımt→∞ U(t) ≥ 0. Z t dU U(t) = U (t0 ) + dt ≤ U (t0 ) − K(t − t0 ) → −∞. y) − U(0. debemos probar que para cada ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que toda solución (x(t). si no fuera así bastaría asignarle el δ de un ǫ suficientemente pequeño como para que esa hipótesis se cumpla. Además. y(t)) cuyas condiciones iniciales estén dentro del círculo de radio δ centrado en el origen. ya que dU/dt < 0. Puesto que dU/dt es continua y definida negativa está acotada superiormente por un valor negativo dU/dt ≤ −K < 0 en el anillo η ≤ |(x. hacia el punto de equilibrio. 8. Co- mo. el valor inicial U(x(t0 ). U no crece y nunca podrá llegar a M ni a cualquiera de los otros valores que toma en la circunferencia Cǫ que. nun- ca cruce la circunferencia concéntrica de radio ǫ.net . Como U(0. (8. y)| ≤ δ se cumple U(x(t0 ). Nótese que suponemos implícitamente que Cǫ está dentro del dominio de definición de U. y)| ≤ η se cumpla U ≤ K/2. 0)| < M. 94) El origen es un punto de equilibrio aislado.22 muestra que. (8.96) y podemos eliminar los dos términos con potencias impares de y (que no tienen signo definido) eligiendo n = m = 1 y a = 2.21 Use la función de Liapunov U = 2x2 + y 2 para discutir la estabilidad del origen de los siguiente sistemas: x˙ = −x3 + xy 2 . 8. Por tanto vemos que U = x2 + 2y 2 es definida positiva y su derivada U˙ = −4y 4 semidefinida negativa y. el origen es un punto de equili- brio estable. Ejemplos Analicemos el siguiente sistema dinámico: x˙ = −2xy. En algunos casos pueda usarse la física del problema para tratar de encontrar la función de Liapunov adecuada.12. hay alguna solución que comienza dentro de Cδ y cruza Cǫ . aunque la función de Liapunov hallada no permite demostrarlo. Para ello haría falta otra función de Liapunov. por lo que se moverá hacia el origen. si una solución comienza en el anillo δ/2 < |(x. http://librosysolucionarios. los valores x y x˙ tienen signo contrario y. Por tanto. En el cuarto caso debemos demostrar que. y˙ = 2x + 3y . El aná- lisis numérico de la figura 8. y)| < δ.98) Compruebe que el método de la estabilidad lineal no es de utilidad en estos dos casos.194 8 Teoría de la estabilidad cuando t → ∞. ya que en el eje y = 0 se cumple que y˙ = x2 > 0. Por otro lado. (8. tendremos x = x˙ = 0 y el punto se moverá a lo largo de dicho eje y hacia el origen.8. por ello. (8. y al llegar muy cerca del mismo se tendrá y˙ ≈ −y 3 < 0. de donde no volverá al inferior. es asintóticamente estable o no. y)| ≤ ǫ. y)| ≤ ǫ hay una cota positiva 0 < K ≤ dU/dt. entonces U crecerá monótonamente y la solución acabará por cruzar Cǫ . No existe ningún método general para hallar funciones de Liapunov. se tiene que y˙ > 0 e y irá creciendo hasta que el punto llegue al semiplano y > 0. Fuera del eje vertical. además. tendremos que hay una cota M ≥ U(x. Debido a la continuidad. lo que contradice la hipótesis de que U es definida positiva. Es fácil de entender lo que sucede en este ejemplo si hacemos uso de unos razonamientos cualitativos elementales. puesto que la derivada es continua y definida positiva. Si la condición inicial se elige en el eje y. pero como ya se ha indicado antes son excepcionales los casos en que podemos construirlas. en consecuencia. |x| irá decreciendo: el punto tiende hacia el semieje vertical positivo.93) y˙ = x2 − y 3.95) que hace fácil ver si U es definida12 . dados un ǫ > 0 y un δ > 0 arbitrariamente pequeño. Como la derivada no es definida. tendremos que para δ/2 ≤ |(x. Cuando el punto está en el semiplano y > 0. 12 También puede ensayarse una función cuadrática de x e y más general y usar el resultado del problema 8. si el sistema comienza en el semiplano y ≤ 0.net .3. pero la aproximación lineal es nula y no nos da información. y) para |(x. E JERCICIO 8. y˙ = −2x2 y − y 3 . esta función de Liapunov no nos permite decidir si. En este caso particular se obtiene   U˙ = −4nx2n y + 2may 2m−1 x2 − y 3 (8. el origen es en este caso no solo estable sino también asintóticamente estable ya que todas las trayectorias entran en el origen paralelas al eje y. (8. (8. ya que |y| irá decreciendo debido a que en tal caso y y su derivada y˙ = −y 3 son de signos opuestos. pero siempre puede ensayarse —sin ninguna garantía de éxito— una función con la estructura U = x2n + ay 2m .97) 3 5 x˙ = −y + 2x . 0) del espacio de fases co- rresponde a un mínimo de la energía mecánica y. E JERCICIO 8. sin embargo. ¿Qué pasa si γ < 0? 8. Sistemas mecánicos unidimensionales disipativos Debe notarse que en el caso particular de los sistemas mecánicos disipativos (8.1. puesto que salvo en el punto de equili- brio se tiene E˙ < 0. La derivada de la ener- ˙ es positiva y solo se anula en el punto (x. pero.7 puede extender- se directamente al caso general.94). 2.99) la función g (x.8 Funciones de Liapunov 195 F IGURA 8.15) que hemos analizado antes: si hay un mínimo aislado de la energía potencial en x∗ .net . Este resultado es consecuencia de la ecuación de la energía mecánica de un sistema mecánico: con otras funcio- nes de Liapunov. que será asintóticamente estable. El análisis geométrico que para este caso particular hicimos en el apartado 8. 0) = 0. . proporciona la ecuación de las trayectorias de fases.8.71) los míni- mos son asintóticamente estables si γ > 0 no como consecuencia del método directo de Liapunov —ya que la derivada de la función de Liapunov que es la energía mecánica es solo semidefinida negativa—. sino debido a su primer método. como ésta es una constante del movimiento. como vimos en el aparta- do 4. el punto será un centro estable. 0) y también que en el mismo elegimos U(0.100) cuando la constante γ es positiva. el punto (x∗ . Puede verse en [18] o en [30] la demostración de que de hecho así sucede.22 Discuta la estabilidad de los osciladores no lineales ¨ + γ x˙ 2n+1 + ωx = 0. 8. http://librosysolucionarios. por tanto. x) ˙ = (x∗ . . Como consecuencia del teorema de Liapunov el citado punto es estable. de una derivada semidefinida negativa no se sigue necesariamente la estabilidad asintótica. 0). es el de los sistemas mecánicos conservativos (8. x) gía mecánica es. desde un punto de vista físico esperamos que la energía mecánica decrezca monótonamente y que la solución tienda hacia el punto de equilibrio. semidefinida negativa: E˙ = −g (x. x n = 1.5. Supongamos que la función V (x) tiene un mínimo aislado en el punto x = x∗ y que en el sistema mecánico algo más general x¨ = −V ′ (x) − g (x. . x) ˙ x˙ 2 ≤ 0.22 Espacio de fases del sistema (8. El ejemplo más importante. Para simplificar la notación supondremos que la función U tiene un máximo o un mínimo en el punto (0.1. x) ˙ x˙ (8. Sistemas mecánicos unidimensionales conservativos Una función de Liapunov del segundo tipo es una integral primera y.4.8. aunque no el único.8. (8. . se cumple la siguiente condición: . el extremo que hay en (0. 0)x + 2 (0. 0)xy + (0. 0)y 2 + · · · = K. la ecuación de la trayectoria de fases que corresponde al valor U = K es ∂2U 2 ∂2U ∂2U U(x. y) = (0. (8.196 8 Teoría de la estabilidad Haciendo un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio.101) ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Por hipótesis. por tanto. 0) es un mínimo o un máximo. . . ∂2U ∂2U . . . 0) . 0) (0. (0. . . ∂x2 ∂x∂y . . . (8.102) . > 0. 2 2 . . ∂ U ∂ U . . 0) . 0) (0. ∂x∂y (0. . . Eso es lo que sucede en los mínimos de la energía potencial de sistemas mecánicos conservativos y en algunos otros casos. (8. esperamos que el punto de equilibrio sea un centro. E JERCICIO 8. ∂y 2 Ahora bien. http://librosysolucionarios.2. como muestra el siguiente ejemplo. e incluso a veces —como en el caso del ejercicio 8.5.103) ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 que debe ser una buena aproximación a la de las trayectorias de fases suficientemente cerca del punto de equilibrio. ¿Cómo serán las trayectorias de fases muy próximas al origen? En los siguientes apartados estudiaremos otros casos habituales de centros no lineales. si esto se cumple.23 Halle las raíces características del origen del sistema x˙ = −y + x2 . y˙ = x − 2xy (8. Las raíces características son imaginarias y. que es precisamente lo que demuestra el segundo caso del teorema de Liapunov. Por consiguiente. Centros no lineales Los puntos de equilibrio no hiperbólicos que más a menudo aparecen en la práctica son los que corresponden a centros en la aproximación lineal. es la de una elipse. 8.21— puede encontrarse una función de Liapunov apropiada que demuestra que es de tal tipo.net . como vimos en el apartado 8. este último es un centro. Pero en este apartado queremos analizar los centros no lineales: ¿cómo puede probarse que lo que es un centro en la aproximación lineal es del mismo tipo en el sistema completo? Hemos visto un caso en el anterior apartado: como consecuencia del teorema de Liapunov. 0)xy + (0. 0)x + 2 (0. 0)y 2 = K.9. la ecuación cuadrática ∂2U 2 ∂2U ∂2U (0. si una integral primera del sistema tiene un mínimo o un máximo aislado en el punto de equilibrio. Pruebe que la función U = x2 + y 2 − 2x2 y (8.104) y concluya que el mismo es un centro en la aproximación lineal. el punto de equilibrio del sistema no lineal puede también ser un foco asintóticamente estable o inestable.105) es una integral primera y tiene un mínimo en el origen. en los mismos los centros lineales son siempre centros del sistema completo. el punto de equilibrio solo puede pertenecer a una de las siguientes categorías. Si det A > 0.8.24 Demuestre que el sistema (8.104).104) es hamiltoniano. Por tanto.1.9. en tales sistemas los focos y nodos están excluidos.9 Centros no lineales 197 8. 0) = 0. 8. 2. E JERCICIO 8. porque en sus proximidades el área del espacio de fases crece cuando son inestables y disminuye cuando son asintóticamente estables. Si det A < 0. 0) + ∂Q/∂y(0.net .23 Espacio de fases del sistema (8.3) y hay que usar otro tipo de método para estudiar el equilibrio del sistema completo.23. 3. un centro estable. Sistemas dinámicos conservativos Por definición en los sistemas dinámicos conservativos se conserva el área del espacio de fases. Sistemas dinámicos hamiltonianos Puesto que de acuerdo con el teorema de Liouville los sistemas hamiltonianos son conserva- tivos.104) es conservativo. Como en la aproximación lineal de este tipo de sistemas se tiene tr A = ∂P/∂x(0. Compruebe que el espacio de fases es el de la figura 8. un puerto inestable.2.25 Demuestre que el sistema (8. Cuando det A = 0. tanto en la aproximación lineal como en el sistema completo: 1. E JERCICIO 8. F IGURA 8.9. el punto de equilibrio de la aproximación lineal no es aislado (véase el problema 8. http://librosysolucionarios. ¿Cuál es la simetría que presenta el espacio de fases? Como caso particular. por tanto. que se obtiene eligiendo el sentido de recorrido contrario tras hacer la reflexión de la primera alrededor del eje x. . (8. además de hamiltonianos y conservativos.107) es invariante frente a inversión temporal: si hacemos el cambio (t. E JERCICIO 8. porque dichos sistemas. cada trayectoria de fases tiene una «gemela».27 Demuestre que el sistema (8. x. (Véase el texto [28]).3. Si el sistema dinámico es invariante frente a la transformación (t. de hecho. vemos de nuevo que los mínimos de la energía potencial del sistema mecánico conservativo x¨ = F (x) corresponden a centros. Para analizar la estabilidad de este punto de equilibrio no hiperbólico usaremos la simetría del sistema. decimos que es reversi- ble y los puntos que son centros en la aproximación lineal son del mismo tipo para el sistema completo. el sistema (8. supongamos que una transformación x′ = R(x) definida en el espa- cio de fases es tal que aplicada dos veces restituye el punto original: R (R(x)) = x.198 8 Teoría de la estabilidad 8.24 Una trayectoria de fases de (8. el propio sistema no cambia. En un contexto general. los focos están excluidos y si en la aproximación lineal hay un centro lo mismo pasará en el sistema completo. tampoco hamiltoniano) y que no puede usarse la energía mecánica como función de Liapunov.106) no es conservativo (ni. . Está claro que alrededor de un foco el espacio de fases F IGURA 8. Por tanto. http://librosysolucionarios. y˙ = −ω 2 x − γy 2n (8. por tanto.9. x) → (−t. no puede tener este tipo de simetría.107) asociado a la ecuación (8.106) El origen de este oscilador no lineal es un centro lineal. n = 1. E JERCICIO 8. x. Sistemas dinámicos reversibles Analicemos el siguiente sistema mecánico unidimensional cuando γ es constante: x¨ + γ x˙ 2n + ω 2 x = 0. y) → (−t. −y). R(x)).104) es reversible.107) y su «gemela». . ya que la aproximación lineal es el oscilador armónico. son reversibles.26 Demuestre que el sistema x˙ = y. 2.net . 10.108)–(8.109) para λ = −0. Estudió campos vectoriales y halló una fórmula para la curvatura integral.108)–(8.28 Compruebe que el sistema (8. F IGURA 8.10 Ciclos límite 199 8. Veamos un ejemplo: sea el sistema no lineal   x˙ = λx − y − x x2 + y 2 . Alemania —hoy se llama Wroclaw y está en Polonia—. Ciclos límite Las soluciones periódicas. que tiene lugar una bifurcación —llamada bifurcación de Hopf13 — para λ = 0 al cambiar la estabilidad del punto de equilibrio. por tanto. que es por definición una órbita periódica aislada. (8. y) = (0. (8.109) son k = λ ± i. E JERCICIO 8. tal que ninguna condición de un entorno suficientemente pequeño de ella dé lugar a otra órbita cerrada. que corresponde al punto fijo r = 0 de (8. (8. http://librosysolucionarios. Comencemos estudiando la estabilidad del punto de equilibrio (x. 3- 06-1971. mientras que el de (8. 0).110).111) Vemos. ϕ = t − t0 . En estos casos de oscilaciones alrededor del punto de equilibrio tenemos toda una familia de soluciones periódicas. Trabajó especialmente en topología algebraica. Por ambos caminos encontramos que el origen es un foco asintóticamente estable para λ < 0 —como se ve en la figura 8. mucho más simple de lo que aparenta. 13 Heinz Hopf (19-11-1894.net . Breslau.110) ϕ˙ = 1. es decir. E JERCICIO 8. Suiza).29 Demuestre que los exponentes características del origen de (8.109) se escribe en coordenadas polares co- mo sigue: r˙ = λr − r3 . (8.108)–(8. Zollikon. por ello. También extendió el teorema del punto fijo de Lefschetz. estudió las clases de homotopía y definió el invariante que lleva su nombre. una partícula clásica atrapada en un pozo de potencial describe una órbita periódica alrededor del mínimo. es decir.25 Espacio de fases de (8.108)   y˙ = x + λy − y x2 + y 2 .01. pero también es posible la existencia de un ciclo límite.25— y un foco inestable para λ > 0. que en el espacio de fases dan lugar a órbitas cerradas.109) Este sistema dinámico es un ejemplo académico y.8. que el sistema se desacopla en estas coordenadas y la evolución angular es trivial. no son extrañas. Por ejemplo.110) es k = λ. Como r = λ es asintóticamente estable. del sistema bidimensional (8. por tanto. como se indica en su diagrama de bifurcación en la figura 8. el punto fijo r = λ de la ecuación (8. es aislada.net . F IGURA 8.30 ¿Qué tipo de punto de equilibrio es el origen de (8.110) y demuestre que todas las soluciones menos una (¿cuál?) tienden hacia el ciclo límite cuando t → ∞. √ Ahora bien.110) y demuestre que es asintóticamente estable. F IGURA 8.31 Halle el exponente característico del punto de equilibrio r = λ de la ecua- ción (8.32 Halle la solución explícita de (8. también lo será el ciclo límite x2 + y 2 = λ que resultará ser un atractor unidimensional. E JERCICIO 8.27.110) ha pasado de tener un punto fijo a tener dos: r = 0 que existe siempre y r = λ que nace justo cuando λ = 0. http://librosysolucionarios. donde el punto asintóticamente estable aparece en línea continua y el inestable a trazos.108)–(8.108)–(8.109). En λ = 0 la desestabilización de r = 0 coincide con el nacimiento de un nuevo punto asintóticamente estable.109) para λ = 1/2.26 Diagrama de bifurcación de la ecuación (8.1 para comprobar por otra vía el diagrama de bifurcación de la figura 8.110). además.27 Espacio de fases de (8. como se ve en la figura 8. Utilice el método gráfico esbozado en el apartado 8. ya que x2 + y 2 = λ) y. periódica. √ E JERCICIO 8.26.109) para λ = 0? Pero en esa bifurcación ha pasado algo más ya que la ecuación √ radial (8. Como.108)–(8.200 8 Teoría de la estabilidad E JERCICIO 8.26.110) es una órbita cerrada (circular. se trata √ de un ciclo límite. o al revés. Un ejemplo menos trivial de ciclo límite lo vimos en el capítulo 7 al estudiar el oscilador de van der Pol (7. entonces la ecuación generalizada de Liénard (8.10 Ciclos límite 201 Como veremos en el problema 8. (8. también. (8. para x > a. Teorema 8.5)–(8. pero el cálculo de los exponentes de Floquet.2 sea directamente aplicable: su existencia se demuestra usando el teorema que aca- bamos de ver. por ejemplo. en la figura 8. Mencionaremos un justamente famoso teorema que. y l´ımx→∞ G(x) = ∞. que son el análogo de los exponentes característicos. o tender hacia una solución periódica.4. es mucho más difícil en la práctica.112) tiene una única solución periódica.109) este exponente nulo corresponde a la ecuación ϕ˙ = 1 que describe.113) 0 0 el teorema de Levinson-Smith —que también se conoce con el nombre de teorema de Liénard y cuya demostración puede encontrar el lector interesado en el texto de Simmons [8]— asegura que si f es par y con derivada continua. es posible tener ciclos límites inestables (que repelen trayectorias de su entorno). g es impar. junto con algunas órbitas que a él tienden. que atraen a las trayectorias que están suficientemente cerca en su interior y repelen a las próximas por el exterior. esencialmente.8. g(x) > 0 para x > 0 y tiene derivada continua. En el sistema trivial (8.35). e incluso semiestables. F (x) < 0. Para terminar este apartado. es decir.3 (Poincaré-Bendixson) Sea una región compacta (cerrada y acotada) R del plano que no contiene ningún punto crítico del sistema dinámico (8.6). monótona creciente y l´ımx→∞ F (x) = ∞.108)– (8. tienden en espiral hacia ella. Lo podemos observar. http://librosysolucionarios. o bien es cerrada (periódica) o bien tiende hacia una trayectoria cerrada. con excepción del punto fijo x = x˙ = 0 claro. asegura que en sistemas autónomos bidimensionales no puede ocurrir más que lo ya visto: la solución puede tender hacia un punto fijo (que puede ser el infinito). salvo por el hecho de que uno siempre es nulo: el que corresponde a la dirección tangente al ciclo.28 para un valor de ǫ demasiado grande como para que el estudio perturbativo de la sección 7. G(x) = g(u) du.112) Si definimos Z x Z x F (x) = f (u) du. F (x) es positiva. y todas las demás soluciones. Si una trayectoria per- manece en R para todo t ≥ t0 . consideraremos la ecuación generalizada de Liénard que es un modelo general de oscilador que incluye los osciladores lineales y el de van der Pol y que tiene la siguiente estructura: x¨ + f (x)x˙ + g(x) = 0. que encierra al origen. existe una constante a > 0 tal que para 0 < x < a. Existe una teoría análoga a la de la aproximación lineal de Liapunov para ciclos límite lla- mada teoría de Floquet. o ser periódica.net . En cualquier caso hay en R una trayectoria periódica.16. la evolución a lo largo del ciclo mientras que el otro es −2λ (¿por qué?) y corresponde a la dirección radial. Una demostración de este resultado puede encontrarse en el libro de Hirsch y Smale [19]. En (e) se usa un método alternativo —llamado sección de Poincaré— que consiste en representar los puntos de corte de la solución con una superficie dada. como mostraron el trabajo pionero de Poincaré y. las hipóte- sis del teorema de Levinson-Smith.116) con a = 2. .01.28 El ciclo límite del oscilador de van der Pol para ǫ = 2.115)   z˙ = az − x2 + y 2 + z 2 . (8.202 8 Teoría de la estabilidad F IGURA 8. En el apartado 8. c = 0. El teorema de Poincaré y Bendixson acaba esencialmente el programa de clasificación cuali- tativa de espacios de fases bidimensionales debido al primero de dichos autores. los desarrollos de los últimos treinta años. (b) y (c) de la figura.114)    y˙ = y a − b + z + d 1 − z 2 + cx. En la figura 8. Un observación http://librosysolucionarios.109) al tiempo que nacía un solución periódica asintóticamente estable (un ciclo límite). E JERCICIO 8. por lo que tiene un ciclo límite asintóticamente estable.net . Una segunda bifurcación de Hopf puede desestabilizar el ciclo límite y hacer aparecer un atractor bidimensional con dos períodos. Las proyecciones paralelas a los ejes y. . mientras que (d) muestra una proyección a lo largo de la diagonal del primer octante. 8. es decir. pero. pero ¿qué pasa en sistemas dinámicos con tres (o más) dimensiones? Es fácil de imaginar que pueden aparecer soluciones (aisladas o no. sobre todo. para ǫ > 0.108)–(8.2.35) satisface. que en este caso es el plano y = 0.10 una bifurcación de Hopf desestabilizaba un punto de equilibrio del siste- ma (8. un atractor puntual era sustituido por otro unidimensional y periódico. x y z se ven en las partes (a). En todos esos casos la proyección permite la representación bidimensional de soluciones de un sistema dinámico tridimensional. (8. Más dimensiones. b = 3. la varie- dad dinámica es infinitamente superior a partir de tres dimensiones y el fascinante fenómeno del caos determinista puede hacer acto de presencia.25 y d = 0.29 vemos un tramo de una órbita del sistema    x˙ = x a − b + z + d 1 − z 2 − cy.11.33 Compruebe que la ecuación de van der Pol (7. atractores o inestables) con dos o más períodos. (8. Los cortes de ese toro con el plano y = 0 son dos circunferencias (topológicas. lo que en topología se llama un toro. En un http://librosysolucionarios. la órbita será periódica y cerrada ya que tiene al menos el período qT1 = pT2 . sin embargo. Cambiando las condiciones iniciales y esperando un tiempo para que la órbita se halle en el atractor se obtiene otra curva cualitativamente equivalente: no es igual. . Si el espacio de fases tiene dimensión cuatro. Si los dos períodos son conmensurables. si su cociente es un número racional T1 /T2 = p/q. . pero ahora tendrá dos períodos: el tiempo que necesita el sistema para dar una vuelta alrededor de cada una de las secciones principales del toro. también existen toros bidimensionales inestables y semiestables. En la órbita dibujada en la figura 8. es decir. curvas cerradas que pueden obtenerse por deformación. tras el transitorio. a diferencia de lo que ocurría en atractores de dimensiones 0 y 1.8. pero se enrolla de forma análoga en la misma superficie. es decir.29 se ha omitido un transitorio inicial para permitir que el sistema haya tenido tiempo de llegar tan cerca del atractor que la parte representada esté a todos los efectos prácticos sobre el mismo. ya que toda solución que tenga un punto en común con él está para siempre (y desde siempre) en él.29 Proyecciones y sección de Poincaré del sistema (8. Por ejemplo puede haber toros tridimensionales que contienen órbitas triperiódicas. 203 F IGURA 8. En el caso genérico. Se dice que el movimiento es bipe- riódico. Algo parecido pasa con una órbita que va a un atractor como el de la figura 8.29 permite convencerse de que.29. El propio atractor bidimensional no es una solución —las soluciones son curvas unidimensionales—. la órbita se enrolla en una superficie bidimensional cerrada que puede entenderse como la superficie externa de una rosquilla. Al igual que hay ciclos límites inestables y semiestables.net .11 Más dimensiones. pero comparte con puntos de equilibrio y ciclos límite el carácter de conjunto invariante. pasará tan cerca como se quiera de cualquier punto del mismo. Una órbita que cae a un ciclo límite se convierte en (aproximadamente) periódica en cuanto el transitorio ha decaído.114)–(8. puede haber conjuntos invariantes tridimensio- nales. El atractor es la superficie toroidal y no una única órbita. es decir. atenta de la figura 8. los dos períodos serán inconmensurables y la órbita en lugar de llegar a cerrarse exactamente recubrirá densamente el toro.116). de una circunferencia ordinaria). es decir. sin ruptura. tuvo una gran influencia. Su trabajo.30 recoge las tres proyecciones cartesianas y otra a lo largo de la recta cuyos ángulos de Euler son θ = 60◦ y ϕ = 30◦ . quien creía que en el movimiento de los fluidos —descritos por ecuaciones en derivadas parciales. Rusia. . y en física de plasmas. Pero hoy día sabemos que todo esto no es necesario para tener evolución complicada.119) del que la figura 8. . Moscú). para σ = 10. y caos determinista De hecho.204 8 Teoría de la estabilidad espacio de dimensión alta (o infinita) puede haber movimientos multiperiódicos con gran número de períodos. (8. . http://librosysolucionarios. tras un corto transitorio. Baku. . 1-04-1968.118) z˙ = xy − bz. Recibió el premio Nobel de Física de 1962 por su teoría sobre la superfluidez del helio líquido. que incluye importantes contribuciones teóricas en física de bajas temperaturas. 8. en un complicado conjunto inva- riante: el atractor de Lorenz.117) y˙ = rx − y − xz. F IGURA 8.12. . La órbita no se repite y se halla. que no solo es extraño porque tiene estructura fractal —para ser 14 Lev Davidovich Landau (22-01-1908. (8.30 Proyecciones de una órbita del atractor de Lorenz. en física atómica y nuclear.net . De hecho éste era el escenario de Landau14 . El ejemplo más famoso es el del sistema de Lorenz: x˙ = σ(y − x). (8. b = 8/3 y r = 27. que tienen espacios de fases de dimen- sión infinita— sucesivas bifurcaciones de Hopf iban excitando más y más modos produciendo la transición desde el régimen laminar al turbulento. basta tener dimensión tres para que un sistema dinámico autónomo no lineal pueda presentar alguno o varios de los comportamientos que se recogen con el nombre de caos deter- minista. 6-01-1918. y0 . tras el transitorio. Fundó la teoría de conjuntos y fundamentó rigurosamente la noción de infinito con su teoría de los números transfinitos. z0 ) = (3. 8. Nótese que la separación entre trayectorias es exponencial solo cuando ambas están muy pró- ximas. . incluso las que pudieran hacerse en el futuro con los mejores medios técnicos. Dependencia sensible de las condiciones iniciales El crecimiento exponencial de la distancia entre soluciones muy próximas es la propiedad que suele tomarse como definición de caos determinista y recibe el nombre de dependencia sensible de las condiciones iniciales.1. no obstante. los errores son inevitables y su crecimiento exponencial arruina la predicción tras un (corto o largo) intervalo de tiempo. .12. La explosión de los errores inevitables en la determinación de las condiciones iniciales (o en la realización de cálculos numéricos) es el obstáculo práctico que la naturaleza matemática de los sistemas caóticos impone a la predicción del futuro de esos sistemas. y caos determinista 205 más precisos de conjunto de Cantor15 — sino que es caótico ya que soluciones inicialmente muy próximas se separan exponencialmente. 97. aunque en principio el futuro puede calcularse por adelantado con toda precisión. ya que todas las órbitas se mantienen. al indicar que las mejores predicciones meteorológicas. en el atractor que es un conjunto 15 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3-03-1845. 0) y (x0 .31 donde se mues- tra la evolución de la variable x para las dos órbitas correspondientes a las condiciones iniciales (x0 . 0) en el intervalo 0 ≤ t ≤ 25. Por ello.0001. las dos órbitas son inicialmente indistingui- bles con la resolución finita de la figura. El propio Lorenz acuñó el pintoresco nombre de efecto mariposa para describir este fenómeno. También trabajó sobre series trigonométricas.8. Como las condiciones iniciales son extremadamente próximas. Ha- lle. que. Rusia. Alemania). San Petersburgo. 97. Esto puede apreciarse en la figura 8. y0 .12 . aunque siguen compartiendo algo: ambas se encuentran en el atractor.net . z0 ) = (3. http://librosysolucionarios. siguen siendo completamente deterministas ya que satisfacen un teorema de existencia y unicidad. podrían verse arruinadas en un plazo más o menos largo por la perturbación introducida por el aleteo de uno de estos simpáticos insectos.31 Evolución de dos soluciones inicialmente muy próximas. F IGURA 8. Demostró por primera vez que los números reales no son numerables y que casi todos los números son trascendentes. pero la diferencia entre ellas crece de forma rapidísima y cuando ha pasado un intervalo de tiempo relativamente corto (t ≈ 14) son completamente diferentes. ϕ) = (59◦ .5 y b = 0. con una órbita que se mantiene en el mismo conjunto.121): x˙ = −y. utilizando otros valores iniciales obtendríamos una figura cualitativamente idéntica.122). El sistema es caótico si λ es positivo. Una órbita típica puede verse en la figu- ra 8. el coeficiente λ es el (máximo) exponente de Liapunov.123)–(8. y) donde la dinámica será aproximadamente la correspondiente a tomar z = 0 en las ecuaciones (8. que se mantiene en un subconjunto del espacio de fases tridimensional.120)–(8.83) cuando γ = 0.206 8 Teoría de la estabilidad invariante.12.122) y que estudiaremos cuando a = 4. aunque no exactamente— el sistema se encontrará rápidamente en él.32 donde se recogen las tres proyecciones cartesianas y otra a lo largo de la dirección (θ. −41◦ ). no periódica. que corresponde a las primeras de las anteriormente mencionadas condiciones iniciales. z˙ = b + (x − a)z se hace negativo y z comienza a decrecer de forma que la órbita vuelve a las cercanías del plano z = 0. E JERCICIO 8. Esto explica cómo se mueve el sistema cerca del plano z = 0 en una espiral hacia fuera.2. lo difícil en la práctica es saber en cuál de sus puntos estará exactamente.120) y˙ = x + by. Cerca de la espiral z ≈ 0 y durante los tramos http://librosysolucionarios.2. 8. También en este caso vemos una órbita irregular. pero los detalles —como por ejemplo el tiempo que cada vez se mantiene en uno de los dos lóbulos— serían completamen- te distintos. Transformación del panadero Aunque el sistema de Lorenz tiene una estructura matemática aparentemente sencilla.124) E JERCICIO 8. El exponente de Liapunov proporciona una medida cuantitativa del caos ya que 1/λ es el tiempo característico en que se pierde la memoria de las condiciones iniciales que dieron lugar a una órbita.34 Hállese el máximo exponente de Liapunov del péndulo (8. (8.124) es una espiral de radio creciente. existe un ejemplo más artificial que permite comprender mejor uno de los mecanismos fundamentales del caos: el sistema de Rössler que se escribe como x˙ = −y − z.121) z˙ = b + (x − a)z (8. Exponente de Liapunov Si se repitiera la figura 8.12. El atractor es invariante: sabemos que —a todos los efectos prácticos. bastante antes de llegar al semieje negativo x. por lo que la distancia no puede crecer más allá del diámetro del mismo.3. (8. De hecho observamos que una parte importante del tiempo está cerca del plano (x. 8. Si la distancia entre órbitas infinitesimalmente próximas evoluciona en promedio como kx1 (t)−x2 (t)k ≈ keλt . hasta que cerca del semieje positivo x el valor de x es lo suficientemente grande como para hacer z˙ > 0 en (8. 0 < γ < 2 y γ > 2.30. Entonces z empieza a aumentar hasta que.123) y˙ = x + by. (8.35 Demuestre que la órbita de (8. (8.net . 12.net . la transformación del panadero es también responsable de la http://librosysolucionarios.12 .33.8. . en que z˙ es positivo la distancia entre soluciones muy próximas crecerá exponencialmente. 8. y caos determinista 207 F IGURA 8. Este doble proceso de «estirar» (para separar exponencialmente las órbitas) y «plegar» (para que la región visitada del espacio de fases se mantenga acotada) es uno de los mecanismos fundamentales del caos determinista y —siguiendo la tendencia de la ciencia de la sociedad de consumo a elegir. que hace que el atractor sea caótico. pero que luego se repliega sobre la banda que hay cerca del plano (x.32 Proyecciones de una órbita del atractor de Rössler.33 La transformación del panadero.4. es decir. y). habrá dependencia sensible de las condiciones iniciales. nombres chocantes o con supuesto gancho publicitario— se llama transformación del panadero en evocación del proceso de homogeneización de los componentes de una masa de pastelería por medio del rodillo que estira la masa y del plegamiento de la misma sobre sí misma para que mantenga dimensiones manejables. 1 2 3 4 5 F IGURA 8. Como se ve en la figura 8. . Atractores extraños Además de generar en el proceso de estiramiento un exponente de Liapunov positivo. las órbitas se separan entre sí y las que están en una cierta banda cerca de z = 0 se hallarán en una banda que sigue ensanchándose cuando z˙ > 0. en perjuicio de las lenguas clásicas. Si incluimos el rozamiento y una fuerza externa sinusoidal. solo aparece dentro del coseno que es periódico. 16 Véase el problema 8.net . Como la ecuación no es autónoma el espacio de fases es tridi- mensional. debe estar formado por un número infinito de capas de espesor nulo. F IGURA 8.27. Este conjunto infinito de capas que se esboza en la figura 8. como éste es un conjunto invariante que se repliega sobre sí mismo una y otra vez.2. http://librosysolucionarios. obtenemos la ecuación de Duffing: x¨ + γ x˙ − x + x3 = f cos ωt. consideremos una partícula que se mueve en un potencial con dos pozos.35 Secciones estroboscópicas del atractor de Duffing. estructura de conjunto de Cantor16 del atractor que hace de él un atractor extraño. que aparece en muchas aplicaciones físicas.34 Estructura de conjunto de Cantor del atractor de Rössler.125) que estudiaremos aquí cuando γ = 0. V (x) = − 12 x2 + 14 x4 .34 le da al atractor su estructura fractal. el tiempo t. (8. En efecto. f = 0. Para verlo en un ejemplo con interés físico. pero la tercera variable.3 y ω = 1 (véase el problema 8.18 para el caso en que la fuerza externa es nula). ya que el atractor tiene volumen nulo porque el sistema es disipativo y pierde constantemente volumen del espacio de fases.208 8 Teoría de la estabilidad F IGURA 8. . por tanto. 15π/8. si no nos fijamos en cada punto individual.36 Sección estroboscópica del atractor de Duffing para t m´od 2π = 0.35 hemos dividido el período 2π de la fuerza externa en dieciséis intervalos iguales y hemos dibujado las correspondientes secciones estroboscópicas para t m´od 2π = 0.36 podían con- fundirse con bandas simples están en realidad formadas por muchas bandas. y caos determinista 209 la fuerza externa será. . En la figura 8. Esto se ve claramente en la figura 8. Observando con cuidado las secciones estroboscópicas. . F IGURA 8. Los puntos que se ven en la figura es- tán en una única órbita. una «foto» del punto que representa al sistema en el espacio de fases cada 2π «segundos». La invariancia (exacta en http://librosysolucionarios. la misma en todos los instantes t m´od 2π. siempre en el mismo negativo. . Como el atractor es caótico.net . . es el mismo y la figura es idéntica. El rectángulo de la parte superior izquierda ha sido ampliado en la primera de las figuras 8. si utilizamos otra órbita la posición de cada punto será completamente distinta. π/4. . Esto se repite a todas las escalas como en F IGURA 8.37 Ampliaciones de la sección estroboscópica del atractor de Duffing. Puesto que en cada período el atractor se repliega sobre sí mismo una vez y es un conjunto invariante. una muñeca rusa: estructura debajo de cada estructura hasta el infinito. vemos cómo a lo largo de un período el atractor va esti- rándose al tiempo que se repliega sobre sí mismo: un precioso ejemplo de la transformación del panadero en acción. el atractor. π/8.12 .36 donde se aprecia con más detalle la primera de las secciones. que a su vez tienen más bandas como se ve en la siguiente ampliación. x) ˙ cada vez que t m´od 2π = t0 para un valor t0 prefijado. x. pero el objeto geométrico en que se encuentran. . debe estar formado por un número infinito de capas y su estructura geométrica debe ser muy complicada. Es decir.37 donde se ve claramente que las que en la figura 8. Para facilitar la com- prensión del atractor de Duffing usaremos secciones estroboscópicas de Poincaré que consisten en representar no la trayectoria completa en el espacio (t.8. . x) ˙ sino la posición del punto (x. usamos un estroboscopio (nu- mérico) para sacar. net . http://librosysolucionarios.210 8 Teoría de la estabilidad ejemplos académicos y normalmente aproximada en casos realistas) de escala es característica de los conjuntos de Cantor y más en general de los fractales por lo que estamos en presencia de un atractor que —además de caótico por la dependencia sensible de las condiciones iniciales— es extraño ya que tiene estructura fractal. la estabilidad del origen de x˙ = ǫx + y. y˙ = −x + y(x2 + y 2). Bruselas.6 Puerto no lineal. y˙ = −y + x2 .3 Discuta la estabilidad del origen del sistema lineal x˙ = a11 x + a12 y.4 Considere.8. 8. 8.1 Ecuación de Verhulst17 . demuestre que la recta x = 0 y la parábola y = x2 /3 son conjuntos invariantes y concluya que son.13.2 Demuestre que una trayectoria que parte de un punto no crítico del sistema x˙ = P (x.net . no puede alcanzar un punto de equilibrio en un intervalo finito de tiempo. para los distintos valores de los parámetros ǫ y σ. y). 17 Pierre Francois Verhulst (28-10-1804. que anteriormente se creía geométrica. 8.7 Analice el carácter del origen de los siguientes sistemas no lineales: (a) x˙ = y + x(x2 + y 2). Propuso y estudió la ecuación no lineal que lleva su nombre y describe la evolución de una población biológica. se interesó pronto por la estadística social donde hizo importantes estudios sobre la ley de crecimiento de la población. las variedades estable e inestable del origen. respectivamente. Dibuje los espacios de fases de ambos sistemas. (b) x˙ = y − x(x2 + y 2 ). cuando a11 a22 − a12 a21 = 0.13 Problemas 211 8. 15-02-1849. 8. y˙ = 3y − xy − 2y 2. Aunque comenzó trabajando en teoría de números.8 Investigue la estabilidad del punto de equilibrio de x˙ = 2y − z. Problemas 8. z˙ = 5x − 4y. Bruselas). 8. para distintos valores del parámetro ǫ. Demuestre que el siguiente sistema y su aproximación lineal tienen un puerto inestable en el origen: x˙ = x. y˙ = a21 x + a22 y.5 Discuta la estabilidad de todos los puntos críticos de x˙ = x − x2 − xy. Analice la estabilidad de los puntos de equilibrio de x˙ = ǫx − σx2 . Considere ahora el sistema no lineal. y˙ = 3x − 2z. http://librosysolucionarios. y). 8. Halle los espacios estable e inestable del punto de equilibrio en el caso de la aproximación lineal. y˙ = −x + ǫy. 8. y˙ = −x − y(x2 + y 2). y˙ = Q(x. y aii < 0. y˙ = αy − z. 8. cuando f (r) = r(r −2)2 (r 2 −4r +3). 8.13 Analice la estabilidad de (0.11 ¿Para qué valores del parámetro α es estable el punto fijo de x˙ = αx − y. ¿Cuál será la geometría de las trayectorias en las proximidades del punto crítico? 8. Demuestre que la función U(x. y˙ = x + f (r) r r tiene soluciones periódicas correspondientes a las raíces de f (r). y) = ax2 +bxy +cy 2 es definida positiva si y solo si a > 0 y b2 −4ac < 0.9 Analice la estabilidad de la solución trivial de x˙ = −y − x3 . z˙ = αz − x? 8.10 Demuestre que si aij = −aji para i 6= j. 0) en 1 x˙ = − x3 + 2xy 2 . y˙ = −y − sin x. y) < 0) en un entorno del origen. y˙ = −x − yf (x.net . ya que i=1 x2i es una función de Liapunov. ¿Cuál es la dirección de recorri- do de las trayectorias cerradas? ¿Cómo se estudiaría su estabilidad? Determine todas las solucio- nes periódicas del anterior sistema y discuta su estabilidad. 0) se anule. y) > 0 (f (x. y). el sistema x y x˙ = −y + f (r). y˙ = −y 3 . ¿Cómo podía haberse establecido más fácilmente dicha estabilidad? 8.15 Considere la información que las funciones de Liapunov 1 1 1 U1 = y 2 + (1 − cos x).212 8 Teoría de la estabilidad 8. U2 = (x + y)2 + x2 + y 2 2 2 2 dan sobre la estabilidad del origen del sistema x˙ = y. aunque f (0.14 Demuestre mediante una función de Liapunov adecuada que el origen del sistema de ecua- ciones x˙ = y − xf (x. entonces la solución trivial del sistema lineal n X x˙ i = aij xj j=1 Pn es estable. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que sea definida negativa? 8. 2 8. si r 2 ≡ x2 + y 2. y˙ = x − y 3 . y) es asintóticamente estable (inestable) si f (x.16 Demuestre que. http://librosysolucionarios.12 Formas definidas. 8.20 Analice el espacio de fases de x¨ = (cos x − 1) sin x. 8.23 Dibuje el espacio de fases del siguiente sistema dinámico: x˙ = y − y 3. . el interior de un poliedro. pero no de su di- mensión.126) ε→0 ln ε donde ha desaparecido la constante k.22 Dibuje el espacio de fases del sistema   x˙ = x2 − y 3.126). . que depende del tamaño del conjunto. Compruebe que para recubrir subconjuntos «normales» del espacio (un punto.13 Problemas 213 8.25 Demuestre que la siguiente ecuación admite un ciclo límite:   x¨ + x4 − 1 x˙ + x3 = 0. 1. x2 + y 2 y h 2 2 i y˙ = −x + √ 2 1 − (x + y ) . Discuta el aspecto del espacio de fases de la ecuación para los valores λ = 10 y λ = λ0 . una curva o superficie suave. 8. Dibuje su variedad estable y compruebe que es la frontera entre las cuencas de atracción de los dos atractores. ) hacen falta N(ε) ∼ kε−d cubos de lado ε en el límite ε → 0. Considere el conjunto ternario de Cantor que se define de forma recurrente como se indica en la figura 8.net . 8. Demuestre que este resultado puede escribirse como ln N(ε) d = − l´ım . y˙ = 2x x2 − y . de las bifurcaciones de x¨ = x2 − λx + 9. y˙ = −x − y 2 . 8. 8.24. donde d es la dimensión (0. Considere el origen de la ecuación x¨ + γ x˙ − x + x3 = 0 con γ > 0. Determine la ecuación de las trayectorias y realice un gráfico del espacio de fases.17 Halle los puntos críticos del sistema x˙ = −x. y˙ = 2x2 y 2 . 8. (8. Esto permite utilizar como definición de dimensión la relación (8. 8.38: http://librosysolucionarios. 8. ¿Qué pasa si se añade al primer miembro un término disipativo γ x˙ con γ > 0? 8. 2 y 3 en los ejemplos citados).27 Dimensión fractal.19 Ecuación de Duffing. λ = λ0 .21 Halle el valor crítico.24 Determine el ciclo límite del sistema x h 2 2 i x˙ = y + √ 1 − (x + y ) .18 Halle la ecuación de las trayectorias y dibuje el espacio de fases de la ecuación x¨ − x + x3 = 0.26 Halle el máximo exponente de Liapunov del sistema del problema 8. Nota: Se llama cuenca de atracción al lugar geométrico de los puntos del espacio de fases por los que pasan las soluciones que tienden hacia un atractor. x + y2 y discuta su estabilidad.8. en unidades adecuadas y con a > 0. se elimina el tercio central. Este modelo puede expresarse. en cada uno de los segmentos restantes se repite el proceso. es decir.128) La solución del sistema no puede escribirse en términos de funciones elementales. (8. 8. Para explicar el aumento de tiburones en las aguas del Adriático en períodos de guerra. ya que puede establecerse una correspondencia biunívoca entre unos y otros) es el conjunto ternario de Cantor. en cada uno de los dos tercios restantes se hace lo mismo. .net .214 8 Teoría de la estabilidad partiendo del segmento unidad. F IGURA 8. Calcule su dimensión y compruebe que no es un entero. El conjunto de puntos que queda en el límite (que en el sentido preciso definido por el propio Cantor son tantos como los que había al principio.39 Cuenta ensartada en alambre liso. F IGURA 8.. de forma que los respectivos tercios centrales son eliminados. Analice la estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema y esboce el diagrama del espacio de fases. como x˙ = x(1 − y). pero la ecua- ción de las trayectorias en el espacio de fases es simple. Hállela.28 Ecuaciones de Lotka-Volterra.127) y˙ = −ay(1 − x). Volterra introdujo el modelo clásico de depredador y presa para describir la dinámica de poblaciones en interacción. Demuestre que su longitud es nula. (8.38 Construcción del conjunto ternario de Cantor. http://librosysolucionarios. que estamos ante un fractal.. que aparece en la figura? Razone la respuesta. para potenciales newtonianos. si la fuerza es central.8. Discuta la estabilidad de los puntos de equilibrio de este sistema dinámico discreto. Dis- cuta la estabilidad de los ángulos de equilibrio relativo de la cuenta. En el problema 3. Sea una partícula puntual de masa m que se mueve en el seno de un potencial central V (r). el teorema de Bertrand18 asegura que esto solo sucede.32 Potencial central. París). 8. Además del teorema que lleva su nombre en mecánica. ¿Por qué son periódicas todas las órbitas acotadas de una partícula que se mueve en un campo de fuerza unidimensional? (En dos y tres dimensiones. donde n es un entero. y armónicos isótropos. http://librosysolucionarios. F IGURA 8. que rota con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical.net .33 Campo de fuerzas unidimensional. pero es especialmente conocido por sus trabajos en teoría de probabilidades donde hay una paradoja de Bertrand. ¿Cómo se compagina esto con el diagrama clásico de un punto silla correspondiente a un máximo del potencial. 8. como se indica en la figura 8.40 Espacio de fases cerca de un puerto. ¿Para qué valores de n serán estables si V (r) = −k/r n ? Demuestre que el último resultado es independiente de m. ¿Qué significa la estabilidad de un punto en el problema unidimensional para el movimiento tridimensional de la partícula? 8. Considere el problema unidimensional equivalente y halle la condición que determina sus puntos de equilibrio para un momento angular dado L. Discuta la estabilidad de los mismos. se recuerdan sus aportaciones en teoría de números y geometría diferencial. 18 Joseph Louis Francois Bertrand (11-03-1822.13 Problemas 215 8. 5-04-1900. V = −k/r.39.30 Ecuaciones en diferencias finitas (bis). L y k.29 Considere una cuenta enhebrada en un alambre liso. París. 8. V = kr 2 ). de forma semicircular. por el contrario. en función del parámetro adimensional λ = ω 2 R/g.31 El teorema de existencia y unicidad permite afirmar que las órbitas de una ecuación del tipo x¨ = −V ′ (x) no se cortan en el espacio de fases.37 vimos que el método de Euler puede usarse para resolver ecuaciones lineales en diferencias finitas y estudiamos el ejemplo xn = xn−1 + xn−2 . si elegimos como coordenada generalizada el ángulo ϕ de la figura 8. ¿Cuándo es asin- tóticamente estable? Sugerencia: Estudie separadamente los casos n = 0.net . y˙ = Q(x. . 8. muy pequeño. 8.11.39 ¿Qué pasa cuando n = 4.38? 8. conocer una función no constante F (x.34 Órbitas circulares en relatividad general. . y). y) = x2 + y e y = x.38 Considere el sistema (8. y). Halle los puntos de equilibrio de esta ecuación y estudie su estabilidad. que ya se había calculado en el problema 7. 7. y) + Q(x. ϕ) como d2 u 1 2 + u = + ǫ p u2 . . en general.Como ya se ha visto en el problema 7. n = 2 y n = 3.34 para calcular de modo rápido el período de precesión de Mercurio. la ecuación de la órbita del problema de Kepler en relatividad general puede escribirse en coorde- nadas polares (r.41. 8.37 ¿Cómo ayudaría a discutir la estabilidad de los puntos de equilibrio (tal vez no aislados o no hiperbólicos) del sistema x˙ = P (x. Halle su punto de equilibrio y demuestre es estable para n = 0. y) = 0? ∂x ∂y Aplique la respuesta al sistema asociado a la ecuación x¨ + 2xx˙ = 0.35 Use el análisis del problema 8. en el sistema del problema 8.40 Una partícula puede moverse sin rozamiento a lo largo de un aro vertical de radio R mientras se encuentra sujeta a la cima de éste por un muelle de longitud natural R y constante recupera- dora k. 5. y˙ = x − y n . . 7. 6.216 8 Teoría de la estabilidad 8. dϕ p siendo u = 1/r. . . 1. para el caso particular de órbitas de baja excentricidad. Demuestre que cada punto fijo corresponde a una órbita circular en el espacio físico. 3. 5. . 2 2 kR Hágase el diagrama de bifurcación del equilibrio usando el parámetro adimensional α = mg ≥ 0. ˙ 8. que corresponde a ǫ = 0.57)–(8.36 ¿Qué pasa con la estabilidad del punto de equilibrio del problema 7. .58): x˙ = −y.12 cuando ǫ no es pequeño? 8. con F (x. 2. El semilatus rectum p es positivo y ǫ. 8. http://librosysolucionarios. y) tal que ∂F ∂F P (x. la ecuación del movimiento es   2 2 ϕ ϕ mR ϕ¨ + mgR sin ϕ − kR 2 cos − 1 sin = 0. Demuestre que. . n = 1. Compruebe que sus resultados son coherentes con lo que sabe que pasa en el caso no relativista.11. 8. Frankfurt am Main. Trabajó en astronomía y astrofísica y. sea más conocido porque publicó la primera solución exacta de las ecuaciones de Einstein. entre otras cosas. Alemania. Alema- nia). Además. dicha solución es una de las más importantes. F IGURA 8. 8. 8.42 Gráfica de la función f (y) del problema 8.41 Sistema del problema 8. investigó los procesos radiativos en atmósferas estelares.41 Órbitas en la solución Schwarzschild19 . Pruebe que un rayo de luz enviado desde el infinito con un parámetro de impacto b < 33/2 M será capturado. Publicó su primer trabajo científico (sobre mecánica celeste) con 16 años.40. quizá. Potsdam. Además. r es la distancia polar. http://librosysolucionarios. dλ r r2 b2 donde se han usado unidades geométricas en las que G = c = 1. 11-05-1916.42 Considere la ecuación diferencial dy = f (y). La órbita de los fotones que se mueven en la solución de Schwarzschild (que describe el campo gravitatorio de una partícula puntual) satisface una ecuación diferencial de segundo orden que admite la siguiente integral primera: !2   dr 2M 1 1 + 1− = . pero. Estudie la existencia y estabilidad de órbitas circulares.net . M la masa de la estrella y b el «parámetro de impacto» (cociente entre momento angular y lineal del fotón).42. λ un parámetro «afín» que sustituye al tiempo. Es uno de los pioneros de la teoría cuántica de los espectros atómicos. porque describe el campo gravitatorio de la más sencilla de las estrellas. dt 19 Karl Schwarzschild (9-10-1873. ya que r se hace inferior al valor del «horizonte» r = 2M.13 Problemas 217 F IGURA 8. y˙ = −x + x2 . 8. http://librosysolucionarios.net .43 Analice la estabilidad de los puntos de equilibrio del siguiente sistema y esboce su espacio de fases: x˙ = y. Dibuje las gráficas de las soluciones que satisfacen y(0) = 1/2 e y(0) = 2 y halle los valores l´ımt→±∞ y que en tales casos se obtienen.42.218 8 Teoría de la estabilidad donde la función f (y) tiene la gráfica de la figura 8. Halle los puntos de equilibrio y discuta su estabilidad. ¯ 2 d2 ψ h − = Eψ. (9.6) que solo admiten soluciones no triviales si λ = n2 ω 2 . Los problemas de contorno suele ser más difíciles que los de valores iniciales y resulta más delicado establecer las condiciones que garantizan la existencia (o unicidad) de soluciones. (9. ψ(0) = ψ(ℓ) = 0. . el caso de una partícula cuántica en un pozo de potencial infinito ( 0. 2. B sin λℓ = 0. . V (x) = (9. con n = 1. (9. y(0) = y(ℓ) = 0. cuya ecuación de Schrödinger.5) vemos que las condiciones de contorno son √ A = 0.3) 2 pueden escribirse. Martin Luther King Jr. (9.. (9.Capítulo 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville All progress is precarious. como y ′′ + λy = 0. y ω ≡ π/ℓ. No abordaremos en este capítulo más que una clase de tales problemas que está asociada a la resolu- ción de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. si 0 < x < ℓ. 219 http://librosysolucionarios. . and the solution of one problem brings us face to face with another problem. en cuyo caso tenemos y = Cn sin nωx.1) ∞. a modo de introducción. (9. Consideremos.net .4) Como conocemos la solución general de esta ecuación (que es el oscilador armónico clásico) √ √ y(x) = A cos λx + B sin λx. con y ≡ ψ y λ ≡ 2mE/¯h .2) 2m dx2 y condiciones de contorno.7) con Cn arbitrario. en caso contrario. un producto escalar entre funciones definido como Z b Z b hf. y lineal por la derecha.17) a http://librosysolucionarios. ya que 1.14) 3. 9.220 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville E JERCICIO 9.12) hf. (9.1. (9. aunque también diremos algo para casos más generales. en general. que proporciona una noción de convergencia (llamada convergencia en norma): Z b fn → f. puesto que si a y b son constantes hh. hermítico hg. puede definirse la norma kf kρ de un vector (de una función) f como Z b 2 kf kρ = hf. f iρ ≥ 0. giρ . (9. af + bgiρ = a hh. es definido positivo hf. (9. f iρ = 0 ⇐⇒ f = 0. si kf − fn k2ρ = |f (x) − fn (x)|2 ρ(x) dx → 0. Producto escalar de funciones En los espacios de funciones regulares definidas en un intervalo (a. b) consideraremos. ade- más de la estructura lineal. giρ . E JERCICIO 9. a estudiar ecuaciones diferenciales lineales ho- mogéneas de segundo orden a0 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = 0 (9. giρ ≡ f (x)g(x)ρ(x) dx = f (x)g(x) dµ (9. f iρ = hf.10) satisface las propiedades que lo caracterizan como producto escalar hermítico. (9.1 ¿Qué sucede si λ = 0 o λ < 0? Comente la respuesta.2 Compruebe que (9.16) a A su vez. En este capítulo nos limitaremos.11) a está dada por un peso ρ(x) ≥ 0 y es monótona creciente. β1 y(b) + β2 y ′ (b) = 0. f iρ + b hh.9) con α12 + α22 6= 0 y β12 + β22 6= 0. f iρ = |f (x)|2 ρ(x) dx.15) ¿Es lineal por la izquierda? Como con cualquier otro producto escalar. una norma define una distancia.10) a a donde la medida Z x µ(x) = ρ(u) du (9.13) 2. kf − gkρ . (9.8) junto con condiciones de contorno lineales y homogéneas: α1 y(a) + α2 y ′(a) = 0. (9.net . Un sistema de vectores {φ1 .) En el caso particular de peso unidad. ρ(x) = 1. dµ) es un espacio de Hilbert2 . b. φ2 . 2.3 Compruebe que el sistema de vectores b−a sin nωx : n = 1. si n 6= m.20) n=1 es decir. . b. . tenemos dµ = dx y usaremos la notación abreviada L2 (a. ya que es separa- ble. es decir. hf. . dµ) como el espacio lineal completo más pequeño que con- tiene a las funciones regulares en (a. . Puede demostrarse que un espacio L2 (a. f i1 . Se dice que dos funciones f y g son ortogonales (con respecto al peso ρ) si su producto escalar es nulo.1 Producto escalar de funciones 221 Si definimos el espacio L2 (a. toda sucesión de Cauchy (kfn − fm k < ǫ para cualesquiera n.9. φ2 . . b) = L2 (a. giρ = 0. es ortonor- mal en L2 (a. (9. . existen conjuntos ortonormales completos.18) a donde δnm es la delta de Kronecker1 : ( 1. (En L2 (a. b) si elegimos ω = 2π/(b − a). .19) 0. δnm ≡ (9. φm iρ = φn (x)φm (x)ρ(x) dx = δnm . b) de norma finita. m > N(ǫ)) será allí convergente. . b. nq o 2 E JERCICIO 9. b. tal que cuando N → ∞ 2 . dµ) puede desarrollarse como una combinación lineal infinita convergente con coeficientes fn constantes ∞ X f= fn φn . f i = hg.} con la propiedad de que todo vector f ∈ L2 (a. dx) y hg. (9. si n = m. . dµ) hay que usar la integral de Lebesgue en vez de la de Riemann. que son conjuntos ortonormales nu- merables {φ1 .} es ortonormal si las funciones φi son ortogonales dos a dos y tienen norma unidad: Z b hφn . b. . 2 N X Z b . N X . . . f − fn φn = . f (x) − fn φn (x). ρ(x) dx → 0.21) n=1 a . (9. n=1 . Su intento de estable- cer la consistencia de la matemática en los dos volúmenes del Grundlagen der Mathematik de 1934 y 1939 estaba condenado al fracaso como demostró Gödel en 1931.net . (9. Es recordado porque dirigió la oposición a la teoría de conjuntos de Cantor y sostuvo que la matemática debe reducirse a argumentos que usen los enteros y un número finito de pasos: Dios creó los enteros. 14-02-1943. no completamente superado. pero nunca reclamó la prioridad y muy recientes investigaciones parecen haber probado de- finitivamente que se las había comunicado el propio creador de la relatividad general. en Polonia—. f iρ = φn (x)f (x)ρ(x) dx. Berlín). puso la geometría sobre bases firmes y tuvo una enorme influencia en los métodos axiomáticos que han caracterizado la ma- temática desde entonces. Para la física son importantes sus contribuciones al análisis funcional (que incluyen los espacios de Hilbert) y se recuerda que publicó las ecuaciones del campo gravitatorio un poco antes que Einstein.4 Demuestre que el desarrollo (9. Königsberg. Prusia —hoy día es Legnica. http://librosysolucionarios.20) es único y que los coeficientes vienen dados por las expresiones Z b fn = hφn . Los 23 problemas de Hilbert han sido un reto importante.22) a 1 Leopold Kronecker (7-12-1823. Su obra magna. el Grundlagen der Geometrie de 1899. ρ E JERCICIO 9. para la matemática del siglo XX. Rusia—. Liegnitz. Sus mayores contribuciones se refieren a funciones elípticas. 2 David Hilbert (23-01-1862. Alemania). ecuaciones algebraicas y números algebraicos. Prusia —hoy día Kaliningrad. 29-12- 1891. todo lo demás es obra del hombre. Gotinga. E JERCICIO 9. (9.222 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville 9. (9. (9. y) .23) definimos su adjunto formal de Lagrange como L† = a0 D 2 + (2a′0 − a1 ) D + a′′0 − a′1 + a2 .2. (9.25) Si definimos el concomitante bilinealde L.26) tenemos los siguientes resultados: Identidad de Lagrange d z Ly − L† z y = P (z. (9.27) dx Fórmula de Green Z b   .24) de forma que asociamos a toda ecuación lineal homogénea de segundo orden. como P (z. Ecuación adjunta Dado el operador lineal L = a0 (x)D 2 + a1 (x)D + a2 (x). su ecua- ción adjunta: L† y = 0. Ly = 0.5 Compruebe que la ecuación adjunta es h i′′ h i′ L† y = a0 (x)y − a1 (x)y + a2 (x)y = 0. y) ≡ a0 (zy ′ − z ′ y) + (a1 − a′0 ) zy. y) .z=b z Ly − L† z y dx = P (z. . que es consecuencia inmediata de aquélla.6 Demuestre la identidad de Lagrange y compruebe que la fórmula de Green3 . . (9.28) a z=a E JERCICIO 9. puede escribirse como . Lyi − L† z.z=b hz. y) . y = P (z. . Sus contribuciones más importantes las hizo en teoría del potencial. L = L— entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes L = L† . pero también trabajo en electricidad.net . ai = ai —es decir. (9. Publicó solo diez obras y la mayor parte de ellas —incluyendo la más importante: An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism— antes de ingresar como estudiante en Cambridge con 40 años.29) z=a E JERCICIO 9.31) ′ Ly = (a0 y ′ ) + a2 y. si el operador es real. si coincide con su adjunto formal † L = L. (9. Sneinton). óptica y acústica.24) es inmediato comprobar que si la ecuación es real. Si usamos la definición del operador adjunto (9.30) a′0 = a1 . Inglaterra. Se dice que el operador L es (formalmente) autoadjunto. (9.32) 3 George Green (1793. (9. Sneinton. . http://librosysolucionarios. hidrodinámica. 31-05-1841.7 Demuestre L†† = L. 9. (9. y) = a0 W [z. y] .3 Problemas de Sturm-Liouville 223 E JERCICIO 9.33) .8 Demuestre que si la ecuación real es autoadjunta se tiene P (z. z=b . yi = a0 W [z. hz. Lyi − hLz. y] . pero pueden reescribirse fácilmente como tales.34) z=a Claro está que no todas las ecuaciones son autoadjuntas. . por tanto. ya que si L = L y definimos "Z # x a1 (u) − a′0 (u) ρ(x) ≡ exp du .35) a a0 (u) es inmediato comprobar que el operador ρL = (ρL)† es autoadjunto y. . (9. (9. z=b . ρLyi − hρLz. y] . hz. yiρ = ρa0 W [z. Lyiρ − hLz. yi = hz. 39) Hermite : y ′′ − 2xy ′ + λy = 0. a diferencia de L el operador Lλ no es necesariamente real ni formalmente autoad- junto.net .38) Laguerre : xy ′′ + (1 − x)y ′ + λy = 0. En el resto del capítulo consideraremos solo operadores reales que han sido escritos como formalmente autoadjuntos y escribiremos nuestra ecuación en forma autoadjunta: ′ Ly = (a0 y ′ ) + a2 y = 0.42) ρ ρ su problema de valores propios Ay = λy (9. . (9.45) Nótese que. http://librosysolucionarios.10 Escriba en forma autoadjunta las siguientes ecuaciones:  Legendre : 1 − x2 y ′′ − 2xy ′ + n(n + 1)y = 0.9 Compruebe que todo operador real L puede convertirse en autoadjunto multiplicán- dolo por la función no negativa ρ ≥ 0. Problemas de Sturm-Liouville Supongamos que tenemos una ecuación real autoadjunta en el intervalo (a. ρ(a) ≥ 0 y ρ(b) ≥ 0. b). b) ′ Ly = [P (x)y ′] + Q(x)y = 0. (9. (9. (9. así como una función ρ(x) > 0 en (a.3. (9. b). (9.43) puede escribirse como ′ Lλ y = [P (x)y ′] + [Q(x) + λρ(x)] y = 0.41) con P (x) > 0 en (a.40) 9. así como que se cumple (9. 1 ′ Q(x) Ay ≡ − [P (x)y ′ ] − y. P (a) ≥ 0 y P (b) ≥ 0. (9. (9.36).44) o como Ly = −λρ(x)y. (9.36) z=a E JERCICIO 9. Si construimos el operador lineal A = − ρ1 L.37) E JERCICIO 9. 11 Demuestre que .224 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville E JERCICIO 9. z=b . yiρ = −P (x)W [z. Ayiρ − hAz. y] . hz. net . puede imponerse W (a) = 0 y exigir que y e y ′ estén acotados cuando x → b. entre los que se hallan los siguientes: Si P (a) = 0. y] (a) = 0. Suiza. Si P (b) = 0. β12 + β22 6= 0 . y] (b) − P (a)W [z. Aunque es especialmente recordado por la teoría estudiada en este capítulo. 4 Jacques Charles Francois Sturm (22-09-1803.46) z=a En un problema de Sturm4 -Liouville se trata de imponer condiciones de contorno que garan- ticen que el operador A sea realmente autoadjunto: hz. donde sus trabajos establecieron un importante resultado sobre el número de raíces de un polinomio en un intervalo.47) ya que ésta es la condición matemática necesaria para probar el teorema fundamental que enun- ciaremos enseguida. Ginebra. . 18-12-1855.12 Demuestre que los valores propios de todo problema de Sturm-Liouville son reales y que si el operador es real pueden elegirse vectores propios reales. Si P (a) = P (b) = 0 basta con exigir la acotación de y e y ′ en los extremos. (9. (9. yiρ . E JERCICIO 9. ecuaciones diferenciales. (9. b) no es acotado.48) lo que a su vez puede lograrse de las formas discutidas a continuación.50) Periódico Puede plantearse si P (a) = P (b).49)   W (b) =0 ⇐⇒ β1 y(b) + β2 y ′(b) = 0. puede imponerse W (b) = 0 y exigir que y e y ′ estén acotados cuando x → a. Singular Pueden ser a su vez de distintos tipos. que definen distintos tipos de problemas de Sturm-Liouville. París). También se llaman problemas singulares a aquellos en los que el intervalo (a. W (a) = W (b) ⇐⇒ (9. (9.51) y ′ (a) = y ′(b). http://librosysolucionarios. trabajó también en geometría diferen- cial y proyectiva. Ayiρ = hAz. Regular Consiste en imponer condiciones lineales homogéneas:   W (a) = 0 ⇐⇒ α1 y(a) + α2 y ′(a) = 0. (9. en cuyo caso basta exigir: ( y(a) = y(b). óptica geométrica y difusión del calor. Para que esta condición se satisfaga hace falta que se cumpla P (b)W [z. α12 + α22 6= 0 . n − 1 ceros en (a. (9.58) cuyos valores propios son λ = n2 ω 2 . (9.14 Demuestre que el conjunto ortonormal completo asociado es r 2 φn = sin nωx. fn = hφn . (9.9. (9. (9. y(0) = y(ℓ) = 0.13 Demuestre que las funciones propias (Lyn = −λn ρyn ) correspondientes a valores propios distintos de cualquier problema de Sturm-Liouville son ortogonales: Z b hyn . Los valores propios son simples y la función propia corres- pondiente a λn . con ω ≡ π/ℓ.54) puede elegirse como real y tiene. Lyn = −λn ρyn .53) que converge a ∞ cuando n → ∞. φn = yn / kyn kρ . f iρ = φn (x)f (x)ρ(x) dx. b) —pero no necesariamente en a ni en b— ∞ f (x + 0) + f (x − 0) X = fn φn (x).52) a Si el problema es regular. de forma que toda función f ∈ L2 (a. tenemos en el sentido de la convergencia ordinaria en cada punto x ∈ (a.3 Problemas de Sturm-Liouville 225 E JERCICIO 9. el operador es autoadjunto y el análisis funcional permite demostrar el siguiente resultado (véase [21] o [30]). E JERCICIO 9. b). precisamente.55) a El conjunto de funciones propias normalizadas. f y f ′ son continuas por trozos. Las funciones propias correspondientes a valores propios distintos son ortogonales: Z b hyn . ymiρ = yn (x)ym (x)ρ(x) dx = cnm δnm .57) 2 n=1 Volvamos al ejemplo del comienzo del capítulo y ′′ + λy = 0. ym iρ = yn (x)ym (x)ρ(x) dx = cnm δnm . es un sistema ortonormal com- pleto.net .1 Todo problema regular de Sturm-Liouville tiene un número infinito de valores pro- pios reales que pueden ordenarse en una secuencia λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · (9. Teorema 9. b.59) ℓ http://librosysolucionarios. (9. dµ) —independientemente de que satisfaga o no las condiciones de contorno— puede desarrollarse en serie convergente en norma: ∞ X Z b f= fn φn . (9. además.56) n=1 a Si. √ E JERCICIO 9. Digamos que. (9. los valores propios ya no son necesariamente simples y que el espectro —el conjunto de valores propios— puede ser continuo o tener tanto zonas continuas como discretas. plantearemos un problema en el que la función esté acotada cuando x → 0 y que cumpla y(1) = 0.62) π n=0 2n + 1 Los problemas singulares son más complicados y la teoría general está fuera del alcance de esta asignatura. por tanto. debemos tomar B = 0.63) en (0. París). Francia. puesto que la serie es periódica (con período 2ℓ) también convergerá fuera del intervalo [0. deben satisfacer la condición Z 1 hJ0 (αn x) . 5 Jean Baptiste Joseph Fourier (21-03-1768. a él es debida la teoría matemática de la conduc- ción del calor: estableció la ecuación de difusión y la resolvió utilizando las series trigonométricas que llevan su nombre. ℓ la serie converge a 0 —¡éstas son las condiciones de contorno!— y. Aparte de otras contribuciones en matemática pura y aplicada.15 Demuestre que si f (x) = 1. cn ≡ f (x) sin nωx dx.226 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville Por tanto. ℓ). √  √  La solución de la ecuación es. por ejemplo. E JERCICIO 9. pero que eran bien conocidas anteriormente por Euler. Daniel Bernoulli. Lagrange y otros. y = AJ0 λx + BY0 λx . (9. Auxerre. como se intuye en la figura D. b): ∞ Z X 2 ℓ f (x) = cn sin nωx. J0 (αm x)ix = xJ0 (αn x) J0 (αm x) dx = 0.16 Compruebe que el cambio de variable independiente t = λx convierte a esta ecuación en la de Bessel de orden 0. 1). Nos limitaremos a considerar a título de ejemplo la ecuación xy ′′ + y ′ + λxy = 0. tendremos la convergencia de la serie de Fourier5 de senos para todo x ∈ (a. 16-05-1830. en x = 0.net . Estos ceros están bien estudiados y. (9.8) los cuadrados de los ceros positivos de ya que debe cumplirse y(1) = AJ0 λ = 0.60) n=1 ℓ 0 Como puede observarse. no a f (0) ni a f (ℓ). ℓ] a la función impar con período 2ℓ que coincide con f (x) en el intervalo (0.61) (2n + 1)π ¿A qué convergerá en la recta real ∞ 4 X sin(2n + 1)ωx ? (9. ℓ]. por lo que acabamos de ver. con lo que los valores propios serán √ J0 (que tiene infinitos. http://librosysolucionarios. en general. Como el origen es un punto singular. si f y f ′ son continuas en [0. Por otro lado. Como Y0 tiene una divergencia logarítmica en el origen.64) 0 si n 6= m y J0 (αn ) = 0. 4 c2n = 0. (9. c2n+1 = . . π). ±1.4 Series de Fourier 227 9.69) T −T /2 2 Z T /2 bn = f (x) sin nωx dx. y′ − = y′ . . T /2).68) T −T /2 2 Z T /2 an = f (x) cos nωx dx.66) T T T Por tanto que para toda función f .4. π). (9.67) n=1 n=1 con 1 Z T /2 a0 = f (x) dx. . T /2). .net . . y − =y . y que el sistema ortonormal correspondiente es   (r ) (r ) 1 2 2 √ ∪ sin nωx : n = 1. puede construirse su serie de Fourier ∞ X ∞ X a0 + an cos nωx + bn sin nωx (9.71) 2 n=1 n=1 F IGURA 9. ∪ cos nωx : n = 1. ±2. (9.         T T T T y ′′ + λy = 0. T /2) y si f y f ′ son continuas a tro- zos. En mucho textos se calcula a0 mediante (9.1 La función f (x) = θ(x) sin x en (−π. (9. a (f (x + 0) + f (x − 0)) /2 para cada x ∈ (−T /2. . E JERCICIO 9.9. Series de Fourier Si consideramos el oscilador armónico con condiciones de contorno periódicas.65) 2 2 2 2 tenemos como funciones propias ortogonales los senos y cosenos.70) T −T /2 La serie de Fourier converge a f en norma en (−T /2. con n = 0. . (9. Fuera de ese intervalo converge a la función de período T que coincide con f en (−T /2. (9. (9. .17 Demuestre que los valores propios de este oscilador armónico son nω.18 Calcule la serie de Fourier de θ(x) sin x en (−π. 2.69) y la serie se escribe en la forma equivalente ∞ ∞ a0 X X + an cos nωx + bn sin nωx. http://librosysolucionarios. . . . E JERCICIO 9. 2. y ω = 2π/T . 72) o Ly = −λρ(x)y + f. φm iρ = δnm . (9. fn = hφn .78) n=1 a con lo que se tendrá. puesto que ρ > 0. Se cumplirá. Supongamos que f/ρ está en L2 (a. (9. hφn . Si λ no está en el espectro (λ − λn 6= 0) y. (9.80) n=1 λ − λn 2. en consecuencia.net . Problema inhomogéneo de Sturm-Liouville Analicemos ahora un problema inhomogéneo. (9.77) n=1 E JERCICIO 9. (9. porque allí lo garantizan las condiciones de contorno.75) la solución (regular) buscada podrá desarrollarse como ∞ X y(x) = cn φn (x). cn = fn / (λ − λn ) y el problema inhomogéneo tiene una única solución: ∞ X fn φn y= . (9. (9. ∞ X [(λ − λn ) cn − fn ] φn (x) = 0. λ = λp .76) n=1 incluidos ahora los límites. f i = φn (x)f (x) dx. Si λ está en el espectro.19 Compruebe la última afirmación. b. http://librosysolucionarios.74) Si consideramos un conjunto ortonormal completo del problema homogéneo Lφn = −λn ρφn .5. f i = 6 0. ∞ X f =ρ (λ − λn ) cn φn (x). hay dos posibilidades: a) Si fp = hφp . ∞ X Z b f = ρ(x) fn φn . no hay solución. (9. por tanto.228 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville 9.79) n=1 que solo puede cumplirse en uno de los siguientes casos: 1. dµ) de forma que puede desarrollarse en la base {φn }. ′ Lλ y = [P (x)y ′] + [Q(x) + λρ(x)] y = f (x). β1 y(b) + β2 y ′ (b) = 0. (9.73) con condiciones de contorno α1 y(a) + α2 y ′(a) = 0. 88) 6 Erik Ivar Fredholm (7-04-1866. β1 y(b) + β2 y ′ (b) = 0. basta calcular los coeficientes de Fourier de la serie de senos. f i = 0. s) correspondiente a un término inhomogéneo impulsivo: Lλ Gλ (x. el resultado es √ ℓ sin λx x y= √ − . s) = δ(x − s).net . .83) nπ Concluya que la solución es ∞ 2ℓ X (−1)n sin nωx y= .82) Puestoqque los valores propios son λ = n2 ω 2 (con ω ≡ π/ℓ y n = 1. .87) a la solución Gλ (x. (9. éstos eran de gran calidad y rigor. f i = .20 Compruebe que.86) α1 y(a) + α2 y ′(a) = 0. si f = −x. Función de Green Se llama función de Green (o función de Green de dos puntos) de un problema inhomogé- neo Lλ y = f (x). Este teorema se cumple en otros contextos.85) λ sin λℓ λ ¿Coincide este resultado con el hallado anteriormente? ¿Qué pasa si λ < 0? ¿Qué pasa en ambos métodos cuando λ = 0? 9.81) n6=p λ − λn con C arbitrario. Aunque escribió pocos trabajos.) y los vectores propios φn = 2/ℓ sin nωx. (9. Además del famoso teorema de la alternativa.9. (9.84) π n=1 n (λ − n2 ω 2 ) E JERCICIO 9. cuando λ > 0. Consideremos como ejemplo el problema y ′′ + λy = −x. (9. hay infinitas soluciones en la forma X fn φn y= + Cφp . Estocolmo). (9.6 Función de Green 229 b) Si fp = hφp . 17-08-1927. Suecia. Como corolario se obtiene un caso particular del teorema de la alternativa de Fredholm6 . . (9. son muy recordadas sus contribuciones sobre ecuaciones integrales y teoría espectral. E JERCICIO 9.6. (9. √ (−1)n 2ℓ3/2 hφn . http://librosysolucionarios. y el lector debería ser capaz de reconocer su validez para los sistemas de ecuaciones lineales algebraicas. Estocolmo. (9. y(0) = y(ℓ) = 0. 2.21 Resuelva el problema de contorno utilizando la solución general de la ecuación y compruebe que. que asegura que o bien el problema inhomogéneo tiene una única solución o bien el problema homogéneo tiene al menos una solución no trivial (que en este caso es φp ). α1 y1 (a) + α2 y1′ (a) = 0.9— permite resolver sistemáticamente problemas inhomogéneos una vez resuelto el más fundamental de todos ellos: el correspondiente al impulso unidad. (9. β1 y1 (b) + β2 y1′ (b) 6= 0.96) ℓ n=1 λ − n2 ω 2 Aun en los casos en que puede encontrarse un conjunto completo ortonormal de soluciones del problema homogéneo la serie infinita (9. y(0) = y(ℓ) = 0. Teorema 9.2 Si se conocen dos soluciones del problema homogéneo. s) = Gλ (ℓ.78). x). s) = δ(x − s).94) por lo que la función de Green será la solución de G′′λ (x.87) es.net . En el ejemplo que venimos usando a lo largo del capítulo. α1 y2 (a) + α2 y2′ (a) 6= 0. y1 e y2 . (9. para valores de λ fuera del espectro de Lλ : ∞ X φn (x)φn (s) Gλ (x.97) Lλ y2 = 0. (9.80) y (9. (9. s) + λGλ (x. s) = .87) y por la linealidad del operador Lλ tenemos: Z b Z b Lλ y(x) = Lλ Gλ (x. s) + α2 G′λ (a. Por tanto. tenemos y ′′ + λy = f (x). un potente instrumento que —al igual que pasaba con el método de Cauchy del apartado 3. (9.230 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville α1 Gλ (a. Gλ (0.95) E JERCICIO 9. para cualquier f (x).90) n=1 λ − λn Vemos en esta expresión que los valores x y s intervienen de forma simétrica Gλ (x.91) Una vez conocida la función de Green. la función de Green vendrá dada por (9. (9. fn = φn (s).8. por tanto. s) = . (9. s) + β2 G′λ (b.2 y la solución elemental del 3.89) Usando una base ortonormal de soluciones del problema homogéneo. Lλ y1 = 0. s) = 0. De hecho. s) = Gλ (s. s)f (s) dx.86)–(9.90) no siempre proporciona la expresión más útil.92) a ya que por construcción satisface las condiciones iniciales (9.22 Compruebe que si f (x) = δ(x − s). Z b y(x) = Gλ (x.93) a a Es. entonces http://librosysolucionarios. s)f (s) dx = δ(x − s)f (s) dx = f (x). la función de Green puede escribirse de otro modo. tales que cada una de ellas satisface una de las dos condiciones de contorno (pero no la otra). s) = 0. β1 y2 (b) + β2 y2′ (b) = 0.23 Demuestre que en este caso ∞ 2 X sin nωx sin nωs Gλ (x. E JERCICIO 9. la solución del problema inhomogéneo (9. (9. (9. (9. s) = 0. β1 Gλ (b.98) para un λ que no sea valor propio del correspondiente problema homogéneo. si y1 e y2 fueran linealmente dependientes. s).6 Función de Green 231 1. puesto que λ no es un valor propio. s) =  y (s)y (x) (9. s) = P (x)W (x) ′ ′ y (x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2 (x)θ(x − s) y1 (s)y2(s) − y1 (s)y2 (s) = 1 + δ(x − s) P (x)W (x) P (s)W (s) y ′ (x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2′ (x)θ(x − s) = 1 . s) − G′λ (s − 0. (9. (9. lo que va contra las hipótesis (y.net . P (x)W (x) es constante. s) = = . s) = Gλ (s − 0. (9. y1′ (x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2′ (x)θ(x − s) + [y1 (s)y2 (x) − y1 (x)y2 (s)] δ(x − s) G′λ (x. 3. que también puede escribirse como y1 (x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2 (x)θ(x − s) Gλ (x. s). s) = . pero su derivada tiene un salto de valor 1/P (s) en x = s: 1 Gλ (s + 0.105) P (s)W (s) P (s) http://librosysolucionarios. P (x)W (x) 4.103) P (s)W (s) Si calculamos la derivada.102) P (x)W (x) es continua en los puntos x = s: y1 (s)y2 (s) Gλ (s + 0. s) = . (9. para ver que P (x)W (x) es constante.9. para a ≤ x ≤ s. basta calcular su derivada. para s ≤ x ≤ b.101) Está claro que la función Gλ (x.100) P (s) De hecho. y1 e y2 son linealmente independientes.104) P (x)W (x) se obtiene y1 (s)y2′ (s) − y1′ (s)y2(s) 1 G′λ (s + 0. (9. teniendo en cuenta la ecuación diferencial satisfecha por las soluciones: ′ [P W ]′ = [P (y1 y2′ − y1′ y2 )] = P ′ (y1 y2′ − y1′ y2 ) + P (y1 y2′′ − y1′′y2 ) ′ ′ = y1 (P y2′ ) − y2 (P y1′ ) = −y1 (Q + λρ) y2 + y2 (Q + λρ) y1 = 0.99) 1 2    . satis- farían ambas condiciones de contorno. P (x)W (x) Gλ (x. únicamente podría suceder si y1 = y2 = 0). y2 ] 6= 0. La función de Green es continua. s) = Gλ (s − 0. s) = . G′λ (s + 0. por tanto. (9. W (x) = W [y1. serían proporcionales y. s) − G′λ (s − 0. Por otro lado. 2. La función de Green del problema es  y1 (x)y2 (s)     . Gλ (x.24 Calcule la función de Green del mismo problema para λ > 0 y λ < 0. s). s) = ℓ (9. por lo que  x(s − ℓ)   .net . (9.89): la función de Green del problema es. por construcción. s) = P (x)W (x) y (x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2 (x)θ(x − s) y1 (s)y2′ (s) − y1′ (s)y2 (s) ′′ ′′ = 1 + δ(x − s) P (x)W (x) P (s)W (s) y ′′(x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2′′(x)θ(x − s) 1 = 1 + δ(x − s). En el ejemplo (9.95) tenemos para λ = 0 que las soluciones son trivialmente y1 = x e y2 = x − ℓ. Lλ yi (x) = 0. P (x)W (x) (9. puesto que y1 e y2 son soluciones del problema homogéneo. se cumplen las condiciones de contorno (9.108)  s(x − ℓ)   . s) = + δ(x − s) = δ(x − s).232 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville La segunda derivada se halla fácilmente. http://librosysolucionarios.96). para s ≤ x ≤ ℓ. tenemos finalmente que [Lλ y1 (x)] y2 (s)θ(s − x) + y1 (s) [Lλ y2 (x)] θ(x − s) Lλ Gλ (x. Gλ (x. para 0 ≤ x ≤ s. E JERCICIO 9.107) También está claro que. por tanto. ℓ que es sin duda una expresión más manejable que la equivalente que se obtiene tomando λ = 0 en (9. y1′′(x)y2 (s)θ(s − x) + y1 (s)y2′′(x)θ(x − s) + [y1 (s)y2′ (x) − y1′ (x)y2 (s)] δ(x − s) G′′λ (x.106) P (x)W (x) P (s) y. se alcanza cuando los cn son. Z b hφn .4 Resuelva. . b]: Z b hφn . por dos métodos distintos. y(1) + y ′(1) = 0. n=1 9.6 Comente las propiedades de las series de Fourier ordinarias de funciones pares e impares. y(0) = 0. giρ = φn (x)g(x)ρ(x) dx.} en el intervalo [a. y ′(ℓ) = 0. a Pp con S(c) ≡ f − n=1 cn φn . S(c)iρ = |S(c)|2 ρ(x) dx.2 Aproximación óptima. precisamente. . 9. gn ≡ hφn . Pp Pp Pp Sugerencia: Escriba S(c) = f − n=1 fn φn + n=1 fn φn − n=1 cn φn 9. φp }. http://librosysolucionarios. . y(1) + y ′(1) = 0. φ2 . f iρ = |fn |2 . . φm iρ ≡ φn (x)φm (x)ρ(x) dx = δnm . Supongamos un sistema ortonormal completo {φ1 . . a Pp Demuestre que la mejor aproximación a f en media cuadrática del tipo n=1 cn φn . Sea un conjunto ortonormal finito. f iρ = φn (x)f (x)ρ(x) dx. sea mínima. n=1 X∞ kf k2 ≡ hf.3 Resuelva el problema de valores propios y ′′ + λy = 0. 9.1 Teorema de Parseval7. a y calcule kS(c)k2ρ . Problemas 9. el problema de contorno y ′′ + 2y = −x. φm iρ ≡ φn (x)φm (x)ρ(x) dx = δnm a y los desarrollos ∞ X Z b f = fn φn .5 Discuta los desarrollos en series de Fourier de cosenos asociados al problema de Sturm- Liouville y ′′ + λy = 0. y(0) = 0. giρ = fn gn . y ′ (0) = 0. 9. .net . . n=1 a Demuestre formalmente las siguientes relaciones: ∞ X hf. f iρ = φn (x)f (x)ρ(x) dx. n=1 a X∞ Z b g = gn φn .9.7 Problemas 233 9. es decir. fn ≡ hφn .7. los coefi- cientes de Fourier: Z b cn = fn ≡ hφn . tal que la cantidad Z b kS(c)k2ρ = hS(c). {φ1 . net . Francia. 9. 4. 28-04-1903. elípticas. 9. Estudió la convergencia de series y productos infinitos y proporcionó el primer ejemplo de función continua que no admite derivada en ningún punto.234 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville F IGURA 9.. 16 y 64 términos.11 Función de Weierstrass9. New Haven).9 Fenómeno de Gibbs8 . También estudió fun- ciones analíticas. (0 ≤ θ < 2π. T ). Alemania). Baviera. 16-08-1836. Por ejemplo.UU. halle la serie de Fourier de la función sierra   1 f (x) = x − x + 2 dibujada en la figura 9. 1 < λ < 2). Dibuje las series truncadas de Fourier del problema 9. Desa- rrolló el análisis vectorial y le debe mucho la notación vectorial habitual hoy día en mecánica y otras ramas de la física. las de Fourier pueden usarse con funciones discontinuas. 8 Josiah Willard Gibbs (11-02-1839. 9 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (31-10-1815. ¿Es la última serie igual a la obtenida derivando la de la función sierra término a término? ¿Pueden integrarse término a término las series de Fourier? 9.7 que tienen 1. respectivamente. Use una serie de Fourier adecuada para hallar la solución perió- dica f (θ + 2π) = f (θ) de la ecuacion funcional f (2θ) = λf (θ) + cos θ. pero la segunda contiene el teorema que lleva su nombre y que iba a ser muy utilizado en la teoría de las series de Fourier. ¿Es continua? ¿Es diferenciable? 7 Marc-Antoine Parseval des Chênes (27-04-1755. n=0 2n + 1 4 n=1 n2 12 9. 9.8 Use la serie de Fourier del problema 9. = − .10 Halle la serie de Fourier de cos ax en (0.7 para comprobar las siguientes sumas: ∞ ∞ X (−1)n π X (−1)n π2 = . mientras que las hechas a las bases matemáticas de la mecánica estadística serían utilizadas luego en las teorías de Maxwell y de la mecánica cuántica. 19-02-1897.7 Derivadas de las series de Fourier. Comente los resultados. pero la serie de la derivada no es siempre la obtenida derivando término a término. París).2 Función sierra. Es el «pa- dre» del análisis moderno.2 y la de su derivada. También trabajó en mecánica celeste y sobre la teoría electromagnética de la luz. A diferencia de lo que pasa con las series de potencias. New Haven. Rosières-aux-Saline. EE. http://librosysolucionarios. Son inol- vidables sus aportaciones a la termodinámica. Dibuje la solución. así como el cálculo de variaciones y las formas cuadráticas. Solo hizo 5 publicaciones. abelianas y periódicas. Pruebe que. el siguiente es un conjunto ortonormal: ( ) 1 √ einωx : n = 0. ±1.9. Supongamos que la transformada de Fourier de f (x) es Z ∞ F (p) = f (x) e−ipx dx. las más recordadas en física son la ecuación de Poisson en la teoría del potencial y los corchetes de Poisson en mecánica hamiltoniana. http://librosysolucionarios. incluida la distribución de Poisson. Pithiviers. y no einωx ? ¿Cuál es la relación entre esta serie y (9.14 El peine de Dirac. En matemáticas se recuerdan sus trabajos sobre probabilidades. mecá- nica y electromagnetismo. T 0 n=−∞ 9. 25-04-1840.net . tal vez. . los dedicados a las integrales definidas y las series de Fourier. .14 para probar que ∞ ∞   X X 2π F (nω) = T f (kT ). ω≡ .12 Series de Fourier complejas.67)? ¿Qué condición debe satisfacer el espectro de Fourier {cn } para que la función f sea real? 9. n=−∞ k=−∞ T 9. Francia). si se admiten soluciones complejas del proble- ma (9. También trabajó en astronomía.13 Demuestre que el valor medio de la función periódica f (x) = f (x + T ) es ∞ 1ZT X |f (x)|2 dx = |cn |2 . n=−∞ T estando los coeficientes dados por Z 1 T /2 cn = f (x)e−inωx dx. Entre sus numerosas aportaciones. Francia. . T −T /2 ¿Por qué aparece en la última integral e−inωx . k=−∞ T n=−∞ T T n=−∞ T 9. −∞ Use el peine de Dirac del problema 9. ω≡ .16 Demuestre la siguiente igualdad: ∞ r ∞ X −tn2 π X π 2 n2 e = e− t . pero los más importantes son.7 Problemas 235 9. Sceaux. n=−∞ t n=−∞ 10 Siméon Denis Poisson (21-06-1781. la serie de Fourier de una función f (x) real o compleja puede escribirse como ∞   X inωx 2π cn e . ±2.65). T En consecuencia. Demuestre que ∞ ∞ ∞   X 1 X 1 2 X 2π δ(x − kT ) = einωx = + cos nωx. ω≡ .15 Fórmula de Poisson10. y(ℓ) = 0. con período π.19 Halle la función de Green de y ′′ + λy = f (x). la solución periódica de la siguiente ecuación: y ′′ + 4y = sin2 x. ¿Cuáles son sus correspondientes series de Fourier de senos y cose- nos? 9.21 Calcule. 9.26 Halle el mínimo valor de ℓ que hace que el siguiente problema de contorno tenga soluciones no triviales: y ′′ + 2y ′ + 5y = 0. si existe. sujeta a las condiciones de contorno y(0) = 0.net . y(1) + y ′ (1) = 0. 1+x 1+x Halle la ecuación de Sturm-Liouville asociada y construya su función de Green para las condi- ciones de contorno y(0) = 0. y(0) = 0. http://librosysolucionarios. x 9. y(1) = y ′ (eπ ) = 0.17 Repita el problema 9.24 Considere la ecuación de Legendre h  i′ 1 − x2 y ′ + λy = 0. 9.23 Halle el desarrollo trigonométrico de Fourier de la función periódica. 9. y(0) = y(π) = 0.22 Discuta el problema de valores propios λ xy ′′ + y ′ + y = 0. Demuestre que las funciones propias de este problema singular son los polinomios de Legendre y halle los correspondientes valores propios. π).7 usando funciones generalizadas. Calcule la expresión formal para la función de Green y la solución del problema inhomogéneo asociado.18 Halle la función de Green del siguiente problema: y ′′ − k 2 y = f (x). y ′(0) = y ′(π) = 0. 9.20 Determine.236 9 Problemas de contorno de Sturm-Liouville 9. y e y ′ acotadas cuando x → 1. que coincide con cos x en [0. 9.25 Use el método de Cauchy para calcular la solución general de x ′ 1 y ′′ + y − y = 1 + x. la solución periódica de ∞ X sin kx y ′′ + 2y = . si existe. k=1 k4 9. 9. Resuelva el problema de contorno por dos métodos distintos. APÉNDICES http://librosysolucionarios.net . 238 APÉNDICES http://librosysolucionarios.net . hizo otras importantes contribuciones en mecánica.2) Supongamos que también satisface en R una condición local de Lipschitz1: |f (x. Rusia—.net . funciones de Bessel y teoría de fluidos viscosos. ∀(x. para poder ver las ideas esenciales que intervienen en la demostración sin necesidad de complicaciones técnicas introducidas por un orden superior al primero o la presencia de más de una ecuación.1. y). Bonn. y)| ≤ M. (x. El teorema de Picard Comenzaremos enunciando y demostrando el clásico teorema de existencia y unicidad en el caso más sencillo. y) continua en el rectángulo cerra- do R = { (x. (A. Aunque se le recuerda sobre todo por esta condición que ga- rantiza la unicidad de la solución de ecuaciones diferenciales. y) : |x − x0 | ≤ A.4) 1 Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (14-05-1832. Königsberg. cálculo de variaciones. está necesariamente acotada: |f (x. y) ∈ R. |y − y0 | ≤ B } . 239 http://librosysolucionarios. 7-10-1903. (A. z) ∈ R. representación de grupos. por tanto. but not simpler. (A. y). y) − f (x. El lector puede recurrir a la bibliografía de la página 324 para encontrar enunciados y demostraciones alternativas y otros teoremas im- portantes.1 (Existencia y unicidad) Sea una función f (x.Apéndice A Teoremas fundamentales Everything should be made as simple as possible.3) Entonces el problema de valores iniciales y ′ = f (x. A. (A. Albert Einstein Por conveniencia recogemos aquí las demostraciones de algunos de los teoremas fundamenta- les de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Alemania). y (x0 ) = y0 . Prusia —hoy día es Kaliningrad. z)| ≤ K|y − z|. Teorema A. teoría de formas diferenciales cuadráticas. ∀(x.1) donde. . 3.1. Además. Halle una función que satisfaga la condición de Lipschitz. Pruebe que si f y su derivada ∂f /∂y son continuas en R. √ 2. A. toda otra solución del mismo problema en I coincide allí con y(x). pero no sea continua con respecto a x. |y − y0 | ≤ B } ⊂ R. La solución es continua con respecto a x0 .1 1. 1] para probar que la continuidad no implica necesariamente la condición de Lipschitz. (A. 6. y) = y en [0. (A. que está en el rectángulo R′ = { (x. y) : |x − x0 | ≤ h.3 y será hecha en tres pasos. Existencia de la solución Supongamos que iniciamos la iteración de Picard con y [0] (x) = y0 .1. Use la función f (x. E JERCICIO A. Demuestre que la continuidad de f no asegura la unicidad de la solución (aunque el teorema de Peano garantiza su existencia). 5.6) Demostraremos por inducción completa .5) M donde y ′ (x) es continua. 4. El siguiente ejercicio ayuda a comprender el alcance y significado del teorema. Use el problema y ′ = y 2 . Demuestre que la condición de Lipschitz implica la continuidad respecto a y. la condición de Lipschitz se cumple. cuya demos- tración abordaremos a continuación. La demostración se basa en el método de aproximaciones sucesivas de Picard que vimos en el apartado 7.240 A Teoremas fundamentales tiene una solución y(x) en el intervalo   B I = [x0 − h. h ≡ m´ın A. y(0) = y0 para ver que el intervalo de definición I de una solución puede ser más corto que la anchura A del rectángulo R. x0 + h] . 1] × [0. que todas . que para |x − x0 | ≤ h. cumplen . es decir. las aproximaciones y [n] están en R′ . y [n] (x) − y0 . En efecto. lo mismo pasa . ≤ B. si y [n] está en R′ . . para x ∈ I. . con y [n+1] porque en virtud de (7.27) tenemos que. . . Z x h i . . [n+1] . . [n] . . y (x) − y0 . = . . f u. y (u) du. . (A.7) x0 Definamos . ≤ M |x − x0 | ≤ Mh ≤ B. . Sn (x) ≡ . y [n](x) − y [n−1](x). . . . . . ya que . 2. (A. . n = 1. (A.9) n! La propiedad se satisface para n = 1.8) y usemos de nuevo inducción completa para establecer que |x − x0 |n Sn (x) ≤ MK n−1 . . Z x . . . S1 (x) ≤ . . f (u. y0 ) du. . 10) x0 http://librosysolucionarios.net . (A. ≤ M |x − x0 | . 1 El teorema de Picard 241 y si se cumple para Sn también es cierto que .A. Z x h    . Z x . i . . . . [n] [n−1] . . . ≤ K . . . y [n](u) − y [n−1](u). . . Sn+1 (x) = . . f u. y (u) − f u. y (u) du. . du. . x0 x0 . Z n . |x − x0 |n+1 . Z x . . . . x |u − x0 | . K . . Sn (u) du. . ≤ K . MK n−1 du. = MK n . . = x0 . x0 n! . Unicidad de la solución Supongamos que hay dos soluciones y(x) y z(x) en el rectángulo R′ y construyamos la función no negativa ψ(x) ≡ [y(x) − z(x)]2 . (A.2. Debe señalarse que. ψ ′ (x) − 2Kψ(x) ≤ 0.14) es solución del problema de condiciones iniciales. en consecuencia.15) n→∞ n→∞ n=1 que es. esta última serie converge absoluta y uniformemente. pero se trata de una serie telescópica cuya suma parcial es N h X i y [n](x) − y [n−1](x) = y [N ](x) − y0 .13) n=1 En consecuencia. A.17) En consecuencia. y ψ ′ (x) = 2(y − z)(y ′ − z ′ ) ≤ 2|y − z| |f (x. Por tanto.i P∞ h [n] reemplazando la constante M con m´ax (M. (A. la iteración puede comenzarse con cualquier función inte- grable y [0](x) = ψ(x). por cumplir ambas soluciones la misma condición inicial. continua.11) K (n + 1)! Puesto que la serie ∞ M X (Kh)n M  Kh  = e −1 (A. Como y(x) = P∞ h [n] [n−1] i n=1 y (x) − y (x) − y0 converge absoluta y uniformemente. (A. en realidad. ya que la misma es acotada y puede repetirse el razonamiento de arriba.14) N →∞ existe y la convergencia uniforme hace que la sucesión (7. z)| ≤ 2K|y − z|2 = 2Kψ(x). sup |ψ(x)|). y) − f (x. y [n−1](x) . para ver que n=1 y (x) − y [n−1](x) es uniformemente convergente. (A. (A. el límite y(x) ≡ l´ım y [N ](x) (A. lo mismo hace su derivada ∞ h X i h i y ′ (x) = y ′[n] (x) − y ′[n−1](x) = l´ım y ′[n] (x) = l´ım f x.12) K n=1 n! K P h i converge y es una mayorante de ∞ [n] n=1 y (x) − y [n−1] (x) .27) converja hacia (7.18) y el multiplicador positivo e−2Kx convierte esta inecuación en d h −2Kx i e ψ(x) ≤ 0.19) dx http://librosysolucionarios. la función definida en (A.net .1.16) que satisface ψ (x0 ) = 0. (A. (A.28). (n + 1)! M (Kh)n+1 ≤ . 242 A Teoremas fundamentales lo que prueba que e−2Kx ψ(x) no es creciente.25) z ′ = g(x. Si definimos ψ(x) ≡ y(x) − z(x).26) y x1 > x0 (dentro del intervalo en que ambas soluciones están definidas). tenemos para x2 < x ≤ x3 ψ ′ (x) = f (x.24) A.net . donde. y) − g(x. Como ambas soluciones son continuas y coinciden en x0 debe haber un pun- to máximo x2 tal que y(x) ≤ z(x) para x0 ≤ x ≤ x2 e y(x) > z(x) para x2 < x ≤ x3 . Procediendo por reducción al absurdo. ψ(x) ≡ [y (x. (A. y ′ = f (x. (A. z0 )| < ǫ. y (x1 ) < z (x1 ).23) de donde la continuidad se demuestra inmediatamente ya que para cada ǫ > 0 tenemos que si |y0 − z0 | < δ ≡ ǫe−Kh entonces |y (x. Dadas dos soluciones y(x) y z(x) correspondientes a la misma condición inicial. (A. z0 )| ≤ eK(x−x0) |y0 − z0 | ≤ eKh |y0 − z0 | . supondremos que hay un punto x3 > x0 en que y (x3 ) > z (x3 ). A. se cumple f (x. y) − g(x. Comparación de soluciones El siguiente teorema es útil a menudo para establecer resultados cualitativos. (A.1. basta repetir el razonamiento con la cota ψ ′ (x) + 2Kψ(x) ≥ 0. para dos soluciones correspondientes a condiciones iniciales distintas. por lo que para x > x0 e−2Kx ψ(x) ≤ e−2Kx0 ψ (x0 ) = 0. para x > x0 . y0 ) − y (x.3. e−2Kx ψ(x) ≤ e−2Kx0 ψ (x0 ) .2. Para x < x0 . y0 ) − y (x. y (x0 . z0 ) = z0 . ψ(x) = 0 y las dos soluciones coinciden para x ≥ x0 . y0) = y0 e y (x0 . y). z)| ≤ K|y − z| = K(y − z) = Kψ(x). y) que satisfacen la condición de Lipschitz en el rectángulo R. y (x0 ) = y0 . y) y g(x. z) ≤ |g(x.2 Sean dos funciones continuas f (x. (A. y (x) = z (x) para todo x0 ≤ x ≤ x1 . o. extrayendo la raíz cuadrada. z) ≤ g(x. z). y). y) − g(x. z0 )]2 . (A. entonces 1.20) En consecuencia.27) http://librosysolucionarios. Teorema A.21) podemos repetir el argumento del anterior apartado para ver que.22) o. 2. z (x0 ) = y0 . en caso contrario. además. |y (x. (A. y0 ) − y (x. (A. y) ≤ g(x. Dependencia continua de las condiciones iniciales Si escribimos explícitamente la dependencia de la condición inicial y definimos. El siguiente teorema prueba que en ciertos casos —que incluyen las importantes ecuaciones lineales— puede garantizarse que la solución se extiende a todo el in- tervalo. y). y) continua que satisface la condición de Lipschitz |f (x. puede ser mucho menor que A. en general el intervalo de definición de la solución puede ser más corto que aquél en que se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad: el teore- ma del apartado A.33) está definida a lo largo de todo intervalo en que A y B sean continuas. Supongamos que hay un punto x2 en que y (x2 ) < z (x2 ). si y (x1 ) = z (x1 ) en algún punto.3 Existencia global de la solución 243 donde K es la constante de Lipschitz de g. Entonces. Por tanto. el problema de valores iniciales y ′ = f (x.3 Sea una función f (x. −∞ < y < ∞ }. necesariamente se cumple que y(x) = z(x) para x0 ≤ x ≤ x1 . Multiplicando la desigualdad por e−Kx se tiene que e−Kx ψ(x) no puede crecer en x2 < x ≤ x3 . para cada (x0 . (A. ψ(x) < 0 e y(x) < z(x) para x > x2 .A. y) : a ≤ x ≤ b. y) − f (x.32) tiene una y solo una solución definida en todo el intervalo a ≤ x ≤ b. El razonamiento del. la solución de una ecuación lineal y ′ + A(x) y = B(x) (A. En consecuencia.31) en una banda B = { (x.30) Por tanto. para x > x0 en el intervalo común de definición y(x) ≤ z(x). A. Teorema A. (Puede verse la referencia [4] para ver que también se extiende a ecuaciones mayoradas por una ecuación lineal). h. por lo que e−Kx3 ψ (x3 ) ≤ e−Kx2 ψ (x2 ) = 0. y0) ∈ B. por lo que para x > x2 eKx ψ(x) ≤ eKx2 ψ (x2 ) < 0.1 establece la existencia local de la solución en un intervalo cuya longitud. (A.29) que con el multiplicador eKx muestra que eKx ψ(x) no crece.28) lo que contradice la hipótesis de que y (x3 ) > z (x3 ).3. Existencia global de la solución Como ya se ha señalado. (A. Entonces ψ (x2 ) < 0 y ψ ′ (x) ≤ K|y − z| = K(z − y) = −Kψ(x). En particular. y (x0 ) = y0 (A. z)| ≤ K|y − z| (A. apartado . 1. A.1 puede repetirse casi palabra por palabra para demostrar . [1] . que. si M ≡ |y0 | + sup . y . . . . [n+1] . K n |x − x0 |n K n (b − a)n (x) − y [n] (x). . . 34) n! n! http://librosysolucionarios. (A.net .y ≤M ≤M . por tanto. z(u)] du.35) x0 Entonces. Para probar la unicidad supongamos que exista otra solución. z(x): Z x z(x) = y0 + f [u. . como z es continua hay una cota C ≥ |z(x) − y0 | en todo el intervalo y.244 A Teoremas fundamentales lo que garantiza la convergencia uniforme de las aproximaciones de Picard para todo el intervalo a ≤ x ≤ b. (A. . . Z x . . . . z(x) − y [1] (x). . . ≤ . . y0]| du. z(u)] − f [u. |f [u. . x0 . Z x . . . ≤ K . . |z(u) − y0 | du. . ≤ CK |x − x0 | . (A.36) x0 . . . Z . x h i. . . . . z(x) − y [2](x). . f [u. z(u)] − f u. y [1](u) . . . . . ≤ . . du. . x0 . Z x . . . . . [1] . . ≤ K . . z(u) − y (u). du. . . x0 |x − x0 |2 . Z x . . . ≤ CK 2 . . |u − x0 | du. . 37) x0 2 y. . en general. ≤ CK 2 . (A. . |x − x0 |n (b − a)n . z(x) − y [n](x). ≤ CK n ≤ CK n . . http://librosysolucionarios. con lo que queda demostrado que z(x) = l´ımn→∞ y [n](x) = y(x).38) n! n! Tomando el límite n → ∞ el lado derecho de la última ecuación se anula. . Para la ecuación lineal basta ver que. también se cumple |f (x. z)| ≤ |−A(x)(y − z)| ≤ K|y − z| (A.net .39) en toda la banda B. si A y B son continuas en a ≤ x ≤ b. (A. y) − f (x. pero otros ocuparán su lugar. como hemos defendido en otra ocasión [40]. 245 http://librosysolucionarios. pero algo parecido podría decirse sobre cualquier otro programa. pero los ejemplos de repuesto que hubo que buscar para mostrar los problemas de la versión actual se encontraron sin mayor esfuerzo. B. que tiene las (únicas) ventajas de ser gratuita y corta. pero delicado. como de costumbre. ya que. instrumen- to. supondremos que el lector conoce los rudimentos del uso de este programa. De hecho. hay que dedicar bastante tiempo y esfuerzo para aprender a hacer un uso correcto de tan potente. Usamos la última versión disponible al escribir estas líneas: Algunas dificultades y fallos que aquí encontraremos podrían desaparecer en la próxima versión del programa.1. aparecen entre corchetes separados por comas: 1 Puesto que el tema de este texto son las ecuaciones diferenciales y no Mathematica. En Mathematica la función que permite resolver una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales se llama DSolve y tiene tres argumentos que. puede hallarse en [39]. sin lugar a dudas.net . Nos limitaremos en este apéndice a indicar someramente las posibilidades relacionadas con la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos exactos Hoy día los sistemas de cálculo simbólico son ya muy útiles para la resolución exacta de ecuaciones diferenciales ya que. Elbert Hubbard No creemos que éste sea el lugar idóneo para iniciar al alumno en el uso de los sistemas de cálculo simbólico1. incorporan algunos poten- tes algoritmos que solo resultan prácticos cuando los tediosos y a menudo interminables cálculos intermedios son realizados por ese idiot savant que es el ordenador.Apéndice B Métodos simbólicos One machine may do the work of fifty ordinary men. El sistema elegido aquí es Mathematica. además de muchos métodos clásicos. No machine can do the work of one extraordinary man. cuando escribimos por primera vez este capítulo usábamos otra versión. Una anticuada introducción al mismo. ya que no entiende la canónica) como sigue: Las dos soluciones aparecen como reglas de substitución y la constante arbitraria se indica me- diante C[1]. excepto en el límite C[1] → ∞. La variable dependiente (o las variables dependientes entre llaves).246 B Métodos simbólicos 1. como puede verse en el caso del problema 2.17 se resuelve (usando la forma normal. La variable independiente. 2. como la siguiente ecuación de Clairaut: http://librosysolucionarios. donde se recupera la solución y = −1. la solución no siempre se expresa de la forma más «conveniente». a menudo necesita ayuda. E JERCICIO B. El signo de igualdad de una ecuación debe escribirse como == (para distinguirlo del = de una asignación) y la dependencia con respecto a la variable independiente debe indicarse explícitamente (como y[x] e y’[x]. La ecuación a resolver o el sistema de ecuaciones entre llaves. ya que sabe calcular la solución general. 3. en esto y otras muchas cosas. donde se halla inmediatamente «por inspección» —una habilidad exclusivamente humana que asignaturas como ésta intentan potenciar— que la condición inicial se satisface para todos los valores de la constante de integración. la ecuación del problema 2. Además. Por supuesto.net . no sabe hallar la solución de todas las ecuaciones que un usuario de este texto debería ser capaz de resolver. Por ejemplo. por ejemplo).6: Aquí no ha sido muy «listo».1 ¿Cómo escribiría esa solución de forma más compacta y «estética»? Junto con las ecuaciones diferenciales pueden incluirse las condiciones iniciales: Claro está que. estos sistemas son un útil poderoso e imprescindible.B. (B. E JERCICIO B. como la del problema 6. En cambio.1 Métodos exactos 247 E JERCICIO B. pero solo la función FullSimplify. pero un poco de práctica permite reconocer que las soluciones son las raíces de dos ecuaciones cúbicas. Como ya se ha dicho antes.9: E JERCICIO B. como sigue: x0  2 x= p . Así. (B. obtenemos un resultado difícil de entender. puede ser sorprendentemente hábil calculando la forma cerrada de las soluciones de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. en términos de las condiciones iniciales en t = 0. http://librosysolucionarios. Asimismo sabe resolver (algunos) sistemas no lineales. como se muestra en las siguientes páginas. y = 1 − e−t + y0 x−2 0 e −t x .4 Resuelva este sistema sin usar la función de simplificación. y˙ = −y + x2 − 2y 2 . pero como en muchas otras ocasiones necesita ayuda para simplificar el resultado.net .2) 1 + 2 (t − 1 + e−t ) x20 + 2 (1 − e−t ) y0 Los resultados pueden llegar a ser abrumadores. Los sistemas lineales con coeficientes constantes son los más fáciles. es capaz de dar una expresión razonablemente simple para la solución.24: E JERCICIO B.5 Use Mathematica para resolver el sistema x˙ = −xy.3 Compruebe que esta solución coincide con la que calculó a mano.1) Compruebe si puede simplificar el resultado hasta expresarlo. que ha sido introducida en las últimas versiones del programa. como en el caso del problema 4.2 Trate de resolver la ecuación del ejercicio 2.30 con su programa de cálculo alge- braico. si ensayamos la ecuación del proble- ma 2. También es capaz de resolver sistemas de ecuaciones. mas no son fáciles de usar: hay que aprender a manejarlos y a interpretar los resultados.26. que pueden recuperarse para obtener la solución general en forma implícita. 8 Æ 12 C # 1 '  20 Æ 15 C # 1' x  Æ18 C#1' x6  8 Æ12 C#1' +1  Æ3 C#1' x3 /3s2 0 3 1 6 C#1' 12 C#1' 3s2 1s3 cccc Æ . x' x2 Æ6 C#1' +cccccccccccccccccccccccccccccccc 72 Æ9 C#1' x  9 Æ12 C#1' x4 / Out[1]= y#x' ‘ cccccc  cccccccccccccccccccccccccccccccc  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccc 1s3 cc  4 36 . 8 x2 y#x' ‘ cccccc  +Æ6 C#1' + 72 Æ9 C#1' x  9 Æ12 C#1' x4 // t .8 Æ  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ12 C#1' +1  Æ3 C#1' x3 / 0 .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' r r 8 8 1s3 8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ24 C#1'  3 Æ27 C#1' x3  3 Æ30 C#1' x6  Æ33 C#1' x9 0 r .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' r r 8 8 1s3 8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ24 C#1'  3 Æ27 C#1' x3  3 Æ30 C#1' x6  Æ33 C#1' x9 0 r .72 .8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ12 C#1' +1  Æ3 C#1' x3 / r 0 .72 .36 . x2 .8 Æ  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  1 Æ24 C#1'  3 Æ27 C#1' x3  3 Æ30 C#1' x6  Æ33 C#1' x9 0 ^ +1 s 3/0  cccc .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' +72 Æ9 C#1' x  9 Æ12 C#1' x4 / r x2 y#x' ‘ cccccc  cccccccccccccccccccccccccccccccc  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccc 1s3 cc  4 72 .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' . 8 .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' .nb 1 In[1]:= yy DSolve# y '#x'2  2x y '#x'  y#x' 0. 4 .8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ12 C#1' +1  Æ3 C#1' x3 /3s2 0 1 3s2 1s3 cccc .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' +72 Æ9 C#1' x  9 Æ12 C#1' x4 / r x2 y#x' ‘ cccccc  cccccccccccccccccccccccccccccccc  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccc 1s3 cc  4 72 . y#x'. x2 .8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ12 C#1' +1  Æ3 C#1' x3 /3s2 0 1 3s2 1s3 cccc .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' + 72 Æ9 C#1' x  9 Æ12 C#1' x4 /0 t r 4 12 C#1' . http://librosysolucionarios.248 B Métodos simbólicos Huge..net .. y#x' ‘ cccccc  .8 Æ  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  1 Æ24 C#1'  3 Æ27 C#1' x3  3 Æ30 C#1' x6  Æ33 C#1' x9 0 ^ +1 s 3/0  cccc . y#x' ‘ cccccc  .8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ12 C#1' +1  Æ3 C#1' x3 / r 0 .8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3   4 1 6 C#1' Æ18 C#1' x6  8 r Æ24 C#1'  3 Æ27 C#1' x3  3 Æ30 C#1' x6  Æ33 C#1' x9 0 ^ +1 s 3/0  cccc Æ 4 1s3 8 Æ12 C#1'  20 Æ15 C#1' x3  Æ18 C#1' x6  8 Æ24 C#1'  3 Æ27 C#1' x3  3 Æ30 C#1' x6  Æ33 C#1' x9 0 r .1  Ç 3 0 Æ6 C#1' + 72 Æ9 C#1' x  9 Æ12 C#1' x4 /0 t r 4 12 C#1' . 1  Ç 3 0 ÆC#1' x + 8  Æ3 C#1' x3 / r L 1 M  y#x' ‘ cccc M M M 2 x2  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccc ccccc  1s3 3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 +1  Æ3 C#1' x3 /3s2 0 M .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 Ç + 1  Æ3 C#1' x3 /3s2 00 M . 1''// ss Simplify 1 6 C#1'  y2 + 3 x2  4 y/  Æ3 C#1' + 4 x3  6 x y// Out[3]= cccc +Æ 4 In[4]:= +y  +y#x' s. yy##3. 1''//+y  +y#x' s. ] ] ] ^ . ^ .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 Ç + 1  Æ3 C#1' x3 / 00 ] ] ] ] ] . yy##6. yy##2.8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 Ç + 1  Æ3 C#1' x3 / ] 1Ç r ] .1  Ç 3 0 Æ3 C#1' x +8  Æ3 C#1' x3 / r L 1 M  y#x' ‘ cccc M M M 2 x2  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccc 1s3 ccc  12 C#1' . yy##4.Æ12 C#1' .8  20 Æ 8 M N 3s2 1s3 ] \ 1Ç 3 0 Æ2 C#1' .net . 00 ] .1 Métodos exactos 249 Huge.Æ12 C#1' .8  20 Æ 8 M N 3s2 1s3 ] \ 1Ç 3 0 Æ2 C#1' .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 +1  Æ3 C#1' x3 / r ] .Æ 8 M N 3 s2 1s3 ] \ 1Ç 3 0 Æ6 C#1' .1  Ç 3 0 ÆC#1' x + 8  Æ3 C#1' x3 / r L 1 M  y#x' ‘ cccc M M M 2 x2  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccc ccccc  1s3 3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 +1  Æ3 C#1' x3 /3s2 0 M . ] ] ] ^ . 1''// +y  +y#x' s.8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 Ç + 1  Æ3 C#1' x3 /3s2 00 M .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 Ç + 1  Æ3 C#1' x3 /3s2 00 M .nb 2 In[2]:= yy Simplify#PowerExpand#Simplify#yy''' 1 L M ÆC#1' x + 8  Æ3 C#1' x3 / Out[2]=  y#x' ‘ cccc M M M x2  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccc ccccc  1 s3 3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 +1  Æ3 C#1' x3 /3s2 0 M .8  20 Æ 4 M N 3s2 1s3 ] \ Æ2 C#1' . ] ] ] ^ 1 L M Æ3 C#1'cccccccccccccccccccccccccccccccc x +8  Æ3 C#1' x3 /  y#x' ‘ cccc M M M x2  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccc 1s3 ccc  12 C#1' .Æ 8 M N 3 s2 1s3 \ 3 0 Æ6 C#1' .Æ12 C#1' . 1''// +y  +y#x' s.1  Ç 3 0 Æ3 C#1' x +8  Æ3 C#1' x3 / r L 1 M  y#x' ‘ cccc M M M 2 x2  cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccc 1s3 ccc  12 C#1' .B. yy##5. ^ .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 +1  Æ3 C#1' x3 / r ] . 0 ] .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 +1  Æ3 C#1' x3 / 0 ] ] ] ] ] . 1''// ss Simplify 1 6 C#1'  y2 + 3 x2  4 y/  Æ3 C#1' +4 x3  6 x y// Out[4]= cccc +Æ 4 http://librosysolucionarios. 00 ] ] ] ] ^ In[3]:= +y  +y#x' s.Æ 4 M N 3 s2 1s3 \ ] Æ6 C#1' . 1''//+y  +y#x' s. 0 ] .8  20 Æ3 C#1' x3  Æ6 C#1' x6  8 Ç + 1  Æ3 C#1' x3 / r ] . yy##1. Claro que esto no excluye la existencia de otras soluciones. Todos los programas tienen errores. incluso más importantes.net . pero no la parábola envolvente de cálculo elemental: Por otro lado. En primer lugar. ya que las funciones de simplificación para ver si dos expresiones son iguales o no dejan aún mucho que desear) que usar el propio programa para comprobar que la solución que ha hallado satisface realmente la ecuación. Consideremos el caso de la ecuación de Clairaut del ejercicio 2. pero no son independientes: Por otro lado. incluso cuando no se trata de un error de programación.25.29. esta tarea es facilitada a menudo por el propio sistema: nada es más sencillo (a veces al menos. ni que la hallada solo sea válida con ciertas restricciones implícitas. la validez de un resultado puede depender de hipótesis implícitas que se mantienen completamente ocultas de la vista del usuario (véase [40]). Por ejemplo. cuya solución general sabe hallar. los resultados proporcionados por un sistema de cálculo algebraico deben ser comprobados siempre. el hecho de que un programa de cálculo simbólico dé un cierto resultado no es prueba de que el mismo sea correcto. Por fortuna. claro). Como con los cálculos hechos a mano.250 B Métodos simbólicos No podemos acabar este apartado sin hacer dos notas que quisiéramos que el lector tomara muy en cuenta. no debe esperarse que los sistemas actuales encuentren las soluciones singulares de ecuaciones no lineales. Por ejemplo. puede usarse el propio programa para comprobar que la solución general que ha hallado satisface la ecuación: http://librosysolucionarios. el programa escribe dos constantes arbitrarias para la solución general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden. en el caso del problema 6. como los tienen todas las tablas de integrales y todos los textos (incluido éste. ya que muchos de los cálculos intermedios necesarios para aplicar las técnicas aprendidas en esta asignatura son realizados de forma harto eficaz mediante un programa de cálculo simbólico. Veamos qué pasa con la ecuación lineal homogénea (6.6 Compruebe que la parábola 4y = x2 es una solución singular de la ecuación. al menos. Por ejem- plo.7.117).net .B. incluso cuando el sistema no es capaz de hallar la solución. En segundo lugar queremos resaltar que. ciertas de sus propiedades.2.2 Transformaciones de Laplace y Fourier 251 E JERCICIO B.5 y hacer y comprobar los cálculos con el programa: 2 E JERCICIO B.16 obtenemos http://librosysolucionarios. Transformaciones de Laplace y Fourier Puede usarse Mathematica para hallar transformadas de Laplace directas e inversas. B. en el caso del ejercicio 5. para la que el programa da un resultado de difícil interpretación: A veces pueden usarse FunctionExpand y FullSimplify para simplificar la función MeijerG.7 Use Mathematica para resolver 2y ′ y ′′′ = 3 (y ′′ ) . en manos de un usuario avezado con buenos conocimientos sobre ecuaciones diferenciales. un auxiliar de primera clase en la tarea de hallar la solución o. puede resultar. podemos recurrir al método de d’Alembert de la sección 3. pero no en este caso: Como la primera solución (con C2 = C[2] = 0) es simple. por medio de la función UnitStep que usa para re- presentar la de Heaviside: L[δ(t − a)] = θ(a)e−as (esto vale incluso cuando a = 0. hace falta un poco de ayuda por parte del usuario para simplificar el resultado: Vemos que el último factor es una simple exponencial. que el lector debería saber encontrar: Asimismo.252 B Métodos simbólicos Como muchas otras veces. puede calcular la transformada de funciones generalizadas.19. ni tampoco la transformada del problema 5. y podemos valernos del mismo programa para comprobar el resultado: Conoce algunas transformadas que no aparecen en todas las tablas. pero no es capaz de calcular la inversa de la transformada que acaba de hallar. ya que Mathematica usa en convenio UnitStep[0]=1). En el siguiente ejemplo proporciona una muy precisa respuesta. http://librosysolucionarios.net . 8 ¿Por qué no es correcto el término UnitStep[t-a] que introduce? El programa sabe reducir a algebraicas las ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Además. la solución. Por otro lado. el programa conoce todas las variantes usadas al definir la transformación de Fourier y debe usarse la opción FourierParameters para indicarle la que se desea. pero no merece la pena usar esto para resolver ese tipo de problemas. parece que al calcular la inversa de esta transformada aplica ciegamente el teorema del desplazamiento: E JERCICIO B. puede usarse la transformación de Laplace para resolver algunas ecuaciones integrales de Volterra. y.net .13. se halla fácilmente la transformada de la incógnita. definiremos las transformadas directa e inversa de Fourier mediante las siguientes funciones: http://librosysolucionarios.20 con Mathematica. Por ejemplo.B. Con objeto de aligerar la notación en los siguientes ejemplos.9 Resuelva el problema 5. ya que el uso de DSolve es más fácil y rápido.2 Transformaciones de Laplace y Fourier 253 Por desgracia. se comprueba sin dificultad que el resultado es realmente solución (como se ha señalado antes. Por el contrario. luego. que el programa no conoce directamente. en el caso del problema 5. esta comprobación debería realizarse siempre): E JERCICIO B. Veremos algunos ejemplos en los siguientes apartados.1. B. que estudiamos en el apartado 7.net . Métodos aproximados analíticos Puesto que los cálculos intermedios en los métodos aproximados suelen ser fatigosos. En primer lugar. Método de la serie de Taylor Para ver un ejemplo de este método. hay que ser cuidadoso: calcula mal una de las transformadas más conocidas. como de costumbre.254 B Métodos simbólicos De esta forma pueden calcularse las transformadas de funciones ordinarias. escribimos la ecuación.3. B.3. pero.2. no es de extrañar que los sistemas de cálculo algebraico también aquí resulten de gran utilidad. a pesar de hallar sin dificultad su inversa.5. la condición inicial y el último orden del desarrollo que queremos calcular: http://librosysolucionarios. así como las de las generalizadas. haremos ahora el ejercicio 7. 3. y ′ = f (x. http://librosysolucionarios.11 Calcule la siguiente aproximación en este ejemplo. B. Aquí resolveremos de nuevo el ejemplo que allí vimos. Tras escribir la ecuación en forma normal.6. y) y la condición inicial y (x0 ) = y0 que definen el problema: El método se escribe directamente en la siguiente forma: Ahora calculamos sin esfuerzo las aproximaciones deseadas: E JERCICIO B.2: E JERCICIO B.3.net .B.2.2. se introducen la función f (x.10 Use algún sistema de cálculo algebraico para resolver el ejercicio 7. y). Método de Picard El método de aproximaciones sucesivas fue analizado en el apartado 7.3 Métodos aproximados analíticos 255 El cálculo puede hacerse directamente mediante el método de coeficientes indeterminados del apartado 7. 4.net . use métodos simbólicos para repetir el cálculo de per- turbaciones regulares que hicimos en el apartado 7. Las páginas siguientes son una transcripción literal de una sesión en ese sistema de cálculo algebraico.3.3.4.256 B Métodos simbólicos B.2. E JERCICIO B. Métodos perturbativos Veamos ahora cómo puede usarse Mathematica para realizar todos los cálculos sobre el os- cilador de van der Pol que eran necesarios para el estudio perturbativo que hicimos en el apar- tado 7. http://librosysolucionarios.12 Tras estudiar dicha sesión.1. 3 Métodos aproximados analíticos 257 van der Pol. resolvemos esta ecuación para ver explícitamente los términos seculares: In[5]:= Simplify# x1 #t' s.. É Comprobamos que no sabe resolverla: In[2]:= DSolve#ec 0. ++A#0'  H t A '#0'/ Cos#t  I'  H x1 #t'  O#H'2 /' ''' 1 Out[6]= H A#0' Sin#t  I'  cccc H A#0'3 Sin#t  I'  4 1 cccc H A#0'3 Sin#3 t  3 I'  H x1 #t'  2 H Sin#t  I' A… #0'  H x……1 #t' 4 É Eliminamos los términos resonantes con una elección de A'(0): A#0' L A#0'2 \ MMM1  cccccccc ]]( In[7]:= ec1 Simplify$ec1 s.nb 1 Oscilador de van der Pol In[1]:= ec x ' '#t'  H x '#t'+x#t'2  1/  x#t' . DSolve# ec1 0. +A Cos#t  I'  H x1 #t'  O#H'2 /' Out[3]= + A + 1  A2 Cos#t  I'2 / Sin#t  I'  x1 #t'  x……1 #t'/ H  O#H'2 É Eliminamos productos y potencias de funciones trigonométricas: In[4]:= ec1 ec1 ss Normal ss TrigReduce ss Expand 1 3 1 Out[4]= A H Sin#t  I'  cccc A H Sin#t  I'  cccc A3 H Sin#3 t  3 I'  H x1 #t'  H x…… 1 #t' 4 4 É Aunque no es necesario.): In[6]:= ec1 Expand#TrigReduce#Normal#ec s. t'##1''' Out[5]= cccc1ccc +32 C#2' Cos#t'  4 A + 4  A2 / t Cos#t  I'  32 32 C#1' Sin#t'  8 A Sin#t  I'  2 A3 Sin#t  I'  A3 Sin#3 +t  I/'/ É Ensayamos una amplitud dependiente del tiempo lento H t (A(H t) = A(0) + H t A'(0)) + . x#t'.net . x :! Function#t.B. A '#0' ! ccccccccccccc  cccccccc ] 2 N 4 ^ 1 Out[7]=  cccc H A#0'3 Sin#3 +t  I/'  H x1 #t'  H x……1 #t' 4 É Resolvemos la ecuación para x1 : http://librosysolucionarios.. x#t'. t' É Solución aproximada: In[3]:= ec1 ec s. x1 #t'. x :! Function#t. t' Out[2]= DSolve#x#t'  H + 1  x#t'2 / x… #t'  x…… #t' 0. claro está. 2 H In[12]:= y  1 +  4 cccc A2 cc 1/ EH cccccccccccccccccccccccccccccccc  cccccccccccccccc  t  I  ccccccc 32 A2 Sin 3 t  I É que coincide hasta el mismo orden. t ' +y  2  1 /  y O # ' ss PowerExpand ss Simplify H 2 Out[14]= O #H' 2 http://librosysolucionarios. # t. construimos la aproximación como In[10]:= xx 2  Cos t  I # ' H # + A3 Sin 3 t  I /'. t # ' '##1'''' #' Out[8]= C 2 Cos t # '  C#1' Sin#t'  cccc321ccc A#0' 3 # + Sin 3 t  I /' É Extendemos la condición para la amplitud en H t = 0 para todos los valores del tiempo lento: $A '#u' # ' LM1 A#u' \].258 B Métodos simbólicos van der Pol.A u . 2'  H # D xx.net . In[13]:= y  xx  O # ' ss PowerExpand ss Simplify H 2 Out[13]= O #H' 2 É y satisface la ecuación: In[14]:= D y. DSolve ec1 # 0. x1 t .u A#u' ‘  cccccccccccccccc cccccccccccccccccccc . 1 + 1/ EH cccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccc  ccccccc 4 t 32  cccccc   A2 É La comprobamos: In[11]:= D xx. # t. 2'  H # D y. A#u' ‘ cccccccccccccccc 2Æ u s2 2Æ us2 cccccccccccccccccccc Out[9]=   1  ccccc 4 A2  c  Æu    1  cccc 4 A2 c  Æu É Como obviamente hay que elegir la segunda solución. A#0' # ' ( ss Simplify 2 M N 4 ]^ 2 A u In[9]:= DSolve ccccccccccccc   cccccccccccccccc A .nb 2 # In[8]:= Simplify TrigReduce x1 t # #'s . t ' +xx  2  1 /  xx  O # ' ss PowerExpand ss Simplify H 2 Out[11]= O #H' 2 É Otra posible expresión es  -Cos#t ' # + /'1. 3. E JERCICIO B.3) y˙ = rx − y − xz. La función que hay que utilizar en Mathematica para la integración numérica de ecuaciones diferenciales es NDSolve. resuelva el sistema de Rössler de la figura 8. en el segundo la incógnita (o las incógnitas entre llaves).4) z˙ = xy − bz.4.3 Métodos aproximados analíticos 259 B. potentes y versátiles para estos menesteres. y en el tercero la variable independiente y sus valores inicial y final entre llaves.B. como los indicados en la bibliografía de la página 324. http://librosysolucionarios. vemos en la página siguiente la forma de utilizar la función NDSolve para hallar la solución del sistema de Lorenz. es posible incluir varias opciones que controlan distintos aspectos del algoritmo numérico. que ya vimos en el apartado 8. En el primer argumento deben especificarse las ecuaciones y con- diciones iniciales entre llaves.5) con σ = 10. resultan mucho más apropiados.net . x˙ = σ(y − x). etc.12. Además.13 Tras estudiar el cálculo de la siguiente hoja. aunque útiles dedicados a la solución numérica de ecuaciones dife- renciales. r = 27 y b = 8/3. los buenos sistemas (co- mo Mathematica. (B. Como ejemplo. Métodos numéricos Cuando los métodos analíticos fallan o no son del todo convenientes. en el intervalo 0 ≤ t ≤ 50. Maple.) permiten hacer un análisis numérico que puede aportar algo de luz sobre el problema. Si proyectamos la solución para 5 ≤ t ≤ 50 —tras ignorar un corto transitorio— obtenemos una trayectoria que se mantiene en un complicado objeto: el más famoso de los atractores caóticos. Macsyma. (B.32. (B. 0. 20 0 -20 40 30 20 10 0 -10 0 10 http://librosysolucionarios. z[t]}. {x[t]. y[t]. x[0] == y[0] == 1. 50}. %]. y'[t] == 27 x[t] . PlotPoints -> 10000]. z[t]} /. {t.x[t] z[t].260 B Métodos simbólicos Lorenz.nb 1 In[1]:= NDSolve[{ x'[t] == 10 (y[t] . z'[t] == x[t] y[t] . 5. {t. 50}.net .y[t] . y[t].x[t]). In[2]:= ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t]. z[0] == 1}.8/3 z[t]. MaxSteps->10000 ]. Ecuaciones algebraicas Los programas de cálculo simbólico suelen ser muy buenos resolviendo ecuaciones algebrai- cas.4.1.B. Otros cálculos El álgebra por ordenador también será muy útil en otros muchos tipos de cálculo que deben hacerse al estudiar este texto. y la forma reducida que salta a la vista se comprueba directamente: Igualmente. puede usarse Mathematica para eliminar el parámetro de la solución paramétrica del ejercicio 2.net . como veremos a continuación en algunos ejemplos. por tanto.30 —y.4 Otros cálculos 261 B.6 se calculan fácilmente.4. para encontrar la solución implícita—: E JERCICIO B. las raíces de la ecuación cúbica del ejercicio 1.14 Halle la solución explícita. http://librosysolucionarios. Por ejemplo. B. Así.22 por el método de Euler. podríamos hacer lo siguiente: Está claro. sin embargo.22. pero para recuperar la compacta forma que hallamos en el ejercicio 4.10: http://librosysolucionarios.4. Por el contrario.2.net .262 B Métodos simbólicos B. que para esos menesteres es más cómodo usar DSolve.20 hay que hacer E JERCICIO B. para estudiar la estabilidad lineal esta habilidad puede ser de gran ayuda. como en el caso del ejercicio 8. Exponencial de matrices También sabe calcular la exponencial de una matriz.3. B.15 Use la exponencial de la matriz del sistema para resolver el ejercicio 4. Valores y vectores propios Éste es otro problema algebraico que sabe cómo resolver.4. si quisiéramos resolver el ejercicio 4. 5. B.4 y 6.4. puede usarse FunctionExpand: http://librosysolucionarios. como sucede en la ecua- ción (6.4 Otros cálculos 263 E JERCICIO B.net . Funciones especiales Mathematica conoce muchas funciones especiales.3).16 Compruebe que la solución dada por Mathematica es la que allí encontramos. así como sus valores numéricos y princi- pales propiedades. en los casos de los problemas 6. Suma de series y resolución de integrales También es muy hábil haciendo este tipo de cálculo. que pueden usarse mediante las funciones FunctionExpand y FullSimplify.4.93)? B.B. haya funciones especiales por medio: Para recobrar el resultado del ejercicio 6.17 ¿Conoce Mathematica la propiedad (D.5.14. Por ejemplo. aun cuando.4.4 obtenemos E JERCICIO B.5 y la figura D. 18 Use Mathematica para sumar la serie del ejercicio 6.13. Aquí probaremos que el método clásico de Runge-Kutta es de cuarto orden.20. B. De la misma forma. En primer lugar.264 B Métodos simbólicos E JERCICIO B. enseñaremos al programa que la solución satisface la ecuación —es decir.13 se calculan sin dificultad: E JERCICIO B. la integral indefinida del problema 2. el programa es capaz de hallar desarrollos en serie de Taylor (y de Laurent). y la definida del ejercicio 1.net .1. Desarrollos en serie Como ya vimos en el apartado B. y)—: Ahora puede hacerse directamente el desarrollo en serie de Taylor para comprobar el orden del método: http://librosysolucionarios.4.6.3.19 Compruebe que este resultado coincide con el allí dado. que se cumple y ′ = f (x. las series de Fourier pueden calcularse directamente.net .4. B.20 Demuestre que también el método clásico de Adams-Bashforth-Moulton del apar- tado 7.4 Otros cálculos 265 E JERCICIO B. hay que decírselo explícitamente: Desafortunadamente.7.7 es de cuarto orden. Series de Fourier A menudo. la que aparece en el ejercicio 9.B. Por ejemplo. como puede verse calculando los coeficientes para n = 1 como límite.18 es Puesto que el programa no entiende que el índice n es entero. no está claro cómo aplicar el primer resultado para a1 y el segundo no es correcto en el caso de b1 . o directamente: http://librosysolucionarios. π). El programa sabe calcular directamente series de Fourier truncadas.22 Dibuje. como puede verse al estudiar el fenómeno de Gibbs en el caso del problema 9. en el mismo caso.21 Dibuje la gráfica de este resultado para comprobar que se trata de la función de período 2π que coincide con θ(x) sin x en el intervalo (−π.266 B Métodos simbólicos Para comprobar el resultado le pedimos al programa que sume la serie resultante: E JERCICIO B.net .9: E JERCICIO B. la serie truncada con 64 términos. http://librosysolucionarios. 4. como en el caso de las ecuacio- nes (6. Ecuaciones en diferencias finitas Este tipo de ecuaciones nos apareció al definir la sucesión de Fibonacci en el problema 3.23 Resuelva con Mathematica el problema 8.37: Podemos comprobar que la solución coincide con los números de Fibonacci.30. pero.4 Otros cálculos 267 B. que el programa conoce.net . Por otro lado. puede verse que si se usa la opción Method->MethodEGF proporciona los resultados correctos. http://librosysolucionarios. por desgracia.108) y (6. también las relaciones de recurrencia que en el capítulo 6 permitían calcular los coeficientes de las series de Taylor y Frobenius son ecuaciones en diferencias finitas.120): Tras investigar un poco el problema.8. el programa da a menudo resultados erróneos.B. así como que su cociente tiende a la razón áurea: E JERCICIO B. 121): E JERCICIO B.132).268 B Métodos simbólicos así como que podemos recuperar (6.24 Use Mathematica para deshacer la recurrencia (6.net . http://librosysolucionarios. podríamos recurrir a manuales avanzados (como los de Zwillinger [38] y Kamke [37] citados en la bibliografía de la página 323) o a un colega competente. vaya al apartado C. y ′ = f (x. 1. 3.2 de la página 271. 269 http://librosysolucionarios. acuda al apartado C. Antes de hacer nada. o el mismo es incapaz de resolver la ecuación diferencial que nos interesa. Si se trata de un problema de condiciones iniciales para una o varias ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Luc de Clapiers Vauvenargues Cuando hay disponible un programa de cálculo simbólico. asegúrese de que todas las ecuaciones son de primer orden. c) Si la ecuación (de orden superior al primero) es lineal.3 de la página 272. b) Si no es lineal. y) dy = 0. Si se trata de un sistema. puede recurrir a los métodos sistemáticos descritos a continuación. y) dx + Q(x.1 de la página 270.net . 2. o si queremos hacerlo a mano —por ejemplo. b) Si la ecuación es de primer orden. vaya al apartado C. y el conocimiento de la física del problema pueden ayudar mucho. Si también esto falla.6 de la página 277. o puede despejarse trivialmente. Luego: a) Si el sistema es lineal.4 de la página 275. pase al apartado C. in- troduciendo si es necesario incógnitas adicionales como se indica en el apartado 3. para ase- gurarnos de que no hay más soluciones que las que el programa nos ha proporcionado— podemos intentar seguir los pasos que describimos a continuación a modo de recetario o guía del usuario.5 de la página 276. y) y ′ + P (x. y). P (x. recuerde que pensar antes de empezar a calcular. ó Q(x. pero no es fácil despejar la derivada. use la transformación de Laplace del capítulo 5. use el apartado C. Luego. un poco de vista (que se desarrolla con la práctica). consulte el apartado C.Apéndice C Resumen de métodos analíticos exactos Les conseils faciles à pratiquer son les plus utiles.3 de la página 40. d) Si la ecuación no es lineal. Si hay una sola ecuación: a) Si la misma es de primer orden y la derivada de la incógnita está despejada. y) = 0. ay) Q(x. ay) P (x. y) y ′ + P (x. y) = . y) = C viene dada por la función u que cumple ∂u/∂x = P y ∂u/∂y = Q. el cambio y = y1 + 1/u la convierte en una lineal.) 3. a) Si se conoce una solución particular y1 .net . ∂y ∂x la solución u(x.12 de la página 27.) 7. a0 (x)y ′ + a1 (x)y = b(x).) 4. Si la ecuación (C. u).7 de la página 24. si consideramos que x es la incóg- nita. (Apartado 2.3 de la página 17. y) = 0.1) es exacta. ∂P ∂Q = . Si la ecuación (C. homogénea o se cumple para todo a que P (ax.270 C Resumen de métodos analíticos exactos C. ay).1. Z Z se integra directamente: Q(y) dy + P (x) dx = C. Si la ecuación es lineal. Cuando es de Riccati: a0 (x)y ′ + a1 (x)y + a2 (x)y 2 = b(x).13 de la página 27. es decir.3 de la página 19. Q(ax.) a0 u′ b) En caso contrario. Note que S(y) = 0 (o. U(x) = 0) puede proporcionar soluciones singulares. (Aparta- a0 a0 do 2.9 de la página 25. Si la ecuación es separable.) http://librosysolucionarios.1) es invariante frente al cambio de escala (x. Q(y) y ′ + P (x) = 0. Si es de Bernoulli. puede hacerse el cambio y = que la convierte en una lineal a2 u homogénea de segundo orden en u.27 de la página 73.1) 1. (Apartado 2. se separan variables y se integra. 1 el cambio y = u 1−n la convierte en una lineal. (Apartado 2.  Z  1 a1 admite un factor integrante que depende solo de x: µ(x) = exp − dx . (Apartado 2. Ecuaciones de primer orden resueltas en la derivada Sea una ecuación de primer orden con la derivada de la incógnita (prácticamente) despejada: Q(x. U(x)V (y)y ′ + R(x)S(y) = 0.) 2.) 5. (Problema 3. y) → (ax. (Apartado 2. (C. (Apartado 2.) 6. Si tiene sus variables separadas. y) el cambio y = xu la convierte en una separable en (x.5 de la página 21. a0 (x)y ′ + a1 (x)y = b(x)y n . La ecuación y ′ = f (ax + by + c) es separable en (x. b) Pruebe una transformación de las variables (x. y) adecuada sugerida por su conocimiento del problema: x + y. 5 y 6.16 de la página 36. etc. (Aparta- do 2. (C.net .2 Ecuaciones de primer orden no resueltas en la derivada 271 8. y) → (ax. es decir. y) λ = aλ−1 .) Recuerde que al transformar una ecuación puede estar añadiendo o quitando soluciones.10 de la página 26.C. (Apartado 2.) o una transformación sin interpretación geométrica directa— si la estructura del problema lo sugiere. (Apartado 2. Si en la ecuación ! ′ ax + by + c y =f αx + βy + γ a) a/α = b/β. y ′) = 0. (Aparta- do 2. isobárica o se cumple para todo a y un cierto λ P (ax.2 de la página 23.2) ensaye lo siguiente. b) en caso contrario. . aλ y) P (x.6.1) es invariante frente al cambio de escala (x.3 de la pági- na 23. u). C.) d) Ensaye un factor integrante que dependa solo de la variable dependiente. .6. u ≡ ax+by) y en (x. http://librosysolucionarios. y) —que puede ser un cambio de coor- denadas (polares. u ≡ ax + by). Si todo lo anterior falla: a) Pruebe a considerar x como la variable dependiente e y como la independiente y compruebe los puntos 4. y) el cambio y = xλ u la convierte en una separable en (x. a y) Q(x.) 9. la ecuación es homogénea cuando se traslada el origen al punto de corte de la rectas ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0. F (x. Si la ecuación (C. u ≡ ax+by +c).11 de la página 26. y. Ecuaciones de primer orden no resueltas en la derivada Si la derivada no se despeja fácilmente. xy.) 11.2. (Apartado 2.) 10.6. la misma es separable en (x.) e) Ensaye un factor integrante que dependa solo de alguna función h(x. aλ y) para algún λ apropiado. (Problema 2.1 de la página 22. Q(ax. c) Ensaye un factor integrante que dependa solo de la variable independiente. . La ecuación de Lagrange y = xf (y ′ ) + g (y ′) se resuelve haciendo el cambio y ′ = u en la ecuación.1 de la página 31. v) dada por dβ = γ dα. La solución general de la ecuación (C.net . Derive la ecuación para ver si se halla algo sencillo. v)] = 0. Si puede hallar una solución paramétrica de la ecuación (C.15.5 de la página 33.15.2. (Apartado 3.15. Ecuaciones lineales de orden superior al primero Dada la ecuación lineal de orden n a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−2 (x)y ′′ + an−1 (x)y ′ + an (x)y = b(x).1.2): F [α(u.3.3 de la página 32. como hicimos en algunos ejemplos en el apartado 2. (Apartado 2.4 de la página 32.3. (Apartado 2. derivándola. v). (Apartado 2. La solución general de la ecuación de Clairaut y = xy ′ + g (y ′) es el haz de rectas y = Cx + g(C). β(u. v). halle una solución particular de la completa por los métodos recogidos en el apartado C. 3. Si hay una o varias envolventes. La solución paramétrica de la ecuación y = g (y ′) Z g ′(u) es x = du + C. (Apartado 2. (Apartado 2.) http://librosysolucionarios.15. (Apartado 2. y usando un factor integrante que solo depende de u en la ecuación que se obtiene.) u 4.) 3. trate de resolver la ecuación en (u. C.6 de la página 34.3.2 de la página 32. 2.) 7. serán soluciones singulares.) x 2. Puede haber soluciones singulares.3) 1.15 de la página 29. y = ug ′(u) du + C. γ(u.272 C Resumen de métodos analíticos exactos 1.) 6. (C. La solución paramétrica de la ecuación x = g (y ′ ) Z es x = g(u). La solución de la ecuación F (y ′) = 0   y−C es F = 0.15.8 de la página 53.3) es la suma de la solución general de la homo- génea asociada y una solución particular cualquiera de la completa.15. resuelva primero la ecuación homogénea asociada —que se obtiene tomando b = 0— como se describe en el apartado C. y = g(u).) 5. si nk=0 ak = 0.C.4) es una combinación lineal con coeficientes constantes arbitrarios de n soluciones con wronskiano nulo. y cuando Pn k −x k=0 (−1) ak = 0 lo es y1 = e . Un ejemplo en que la solución particular es evidente (y1 = x) es cuando an−1 (x) = −xan (x).5 de la página 51.16 de la página 52. si la mencionada expresión resulta ser de la forma c/(ax+b)2 .) 3.7. el cambio y → u ≡ y e 2 a0 a20 conduce a una ecuación lineal con coeficientes constantes en (x.) Por otro lado. Además.1.22 de las páginas 53 y 310. (Apartado 3.3 Ecuaciones lineales de orden superior al primero 273 C. (Apar- tado 3. se trata de una ecuación de Cauchy-Euler.21 de las páginas 52 y 310. u) es de Cauchy-Euler. c) Vea si la ecuación es (o puede reescribirse como) alguna de las ecuaciones más habi- http://librosysolucionarios. y) con coeficientes constantes. el método de Euler descrito en el apartado 3.) 4a0 a2 − a21 − 2a0 a′1 + 2a′0 a1 1 R a1 dx b) Si es una constante. 4.12 de la página 71. que se reduce a una con coeficientes constantes con el cambio x → t ≡ ln(ax+b) o se resuelve con una variante obvia del método de Euler en la que se substituye sistemáticamente x por ln(ax + b).net . Si los coeficientes ak son constantes. 2. (Ejercicio 3. ya que le P corresponde y1 = 1. (Ejercicio 3. el cambio de variable independien- a Z q0 a2 te t = a2 /a0 dx lleva a una ecuación lineal homogénea en (t. (Apartado 3.3.) Otro caso aun más sencillo es cuando falta la y. Ecuaciones lineales homogéneas La solución general de la ecuación lineal homogénea a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−2 (x)y ′′ + an−1 (x)y ′ + an (x)y = 0 (C. Intente hallar una solución particular y1 que permite reducir el orden de la ecuación (sin R alterar su linealidad y homogeneidad) con el cambio y → u dado por y = y1 u dx. entonces y1 = ex es solución. b y c. o en su defecto a una de segundo orden discutida más abajo. (Ejercicio 3.7.2 de la página 48. (C. cuando an (x) = 0. u). es decir.5) 2a1 a2 + a0 a′2 − a′0 a2 a) Si 1/2 3/2 resulta ser una constante.10 de la página 63 proporciona un procedimiento algebraico para buscar la solución general. con constantes a. la ecuación para (x.) 1.) Intente repetir el procedimiento hasta llegar a una ecuación lineal homogénea de primer orden que se integra tras separar variables. Si se tiene una ecuación lineal homogénea de segundo orden a0 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a2 (x)y = 0. Si los coeficientes ak son tales que la ecuación puede escribirse como (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + · · · + an−1 (ax + b) y ′ + an y = 0. use el método de coeficientes indeterminados del aparta- do 3. 6 Problema 6.11. 2 Problema 6.5. el método del operador inverso del aparta- do 3.7.   Chébichev3 : 1 − x2 y ′′ − xy ′ + ν 2 y = 0.11. Kummer6 : xy ′′ + (ν − x)y ′ − αy = 0.20 de la página 142.   Legendre8 : 1 − x2 y ′′ − 2xy ′ + ν(ν + 1)y = 0. 1. como vimos en el apartado 3. e) Si se conoce una solución particular y1 (tal que a0 (x)y1′′ + a1 (x)y1′ + a2 (x)y1 = 0).2 de la página 68.2.net . (C.2 de la página 140.6) y12 C. la solución general es. 1 Apartado 6. Intente sumar las series con la sugerencias del aparta- do 6.15 de la página 141.274 C Resumen de métodos analíticos exactos tuales en física y que se han estudiado en el capítulo 6:   Bessel1 : x2 y ′′ + xy ′ + x2 − ν 2 y = 0.3. Ecuaciones lineales completas Tras resolver la ecuación homogénea asociada a la lineal completa a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y ′ + an (x)y = b(x). Hermite5 : y ′′ − 2xy ′ + µy = 0. R a1 Z − dx e a0 y = C1 y 1 + C2 y 1 dx. Si los coeficientes ak son constantes y el término inhomogéneo b es un cuasipolinomio o una suma de cuasipolinomios. 3 Problema 6.5 de la página 52.3.14 de la página 141. 5 Apartado 6.4 de la página 126. Gauss4 : x(1 − x)y ′′ + [γ − (1 + α + β)x] y ′ − αβy = 0.1 de la página 140. 8 Problema 6.1 de la página 66 o.22 de la página 142. http://librosysolucionarios. h  i Bessel (variantes)2 : x2 y ′′ + (2c + 1)xy ′ + a2 b2 x2b + c2 − ν 2 b2 y = 0. la solución particular de ésta que necesitamos para escribir su solución general puede buscarse como sigue. 7 Problema 6. 4 Problema 6.1 de la página 123.6 de la página 138. Laguerre7 : xy ′′ + (1 − x)y ′ + νy = 0. alternativamente. d) Busque la solución en forma de serie (de potencias o de Frobenius) con los métodos discutidos en el capítulo 6. ∂x se trata de una ecuación autónoma cuyo orden se rebaja con el cambio de variables (x. ∂y su orden se rebaja con el cambio de variables (x. cuyo orden se rebaja con el cambio de variables (x. . si la ecuación es invariante frente a traslaciones x → x + a. se trata de una ecuación de Cauchy-Euler que se reduce a una con coeficientes constantes y término inhomogéneo cuasipolinómico mediante el cambio x → t ≡ ln(ax + b). y ′. y (n) = 0 (C.12 de la página 71. puede resultar ventajoso utilizar el método de Cauchy del apartado 3.4. Si falta la variable dependiente de la ecuación (C. u ≡ y ′ ). u ≡ y (m+1) ).1 de la página 41. (Apartado 3. Si la ecuación (C.8. (Apartado 3. Si los coeficientes ak son tales que la ecuación puede escribirse como (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + · · · + an−1 (ax + b) y ′ + an y = B(x) y el término inhomogéneo B(x) es una suma de productos de polinomios en ln(ax + b) y potencias de (ax + b). u ≡ y ′ /y). ∂F = 0. Ecuaciones no lineales de orden superior al primero Si la ecuación   F x.4. Si debe resolver la ecuación para más de un término inhomogéneo.4 de la página 43. Si falta la variable independiente de la ecuación (C.1 de la página 54. Si faltan y.4. ∂F = 0. cuyo orden se rebaja con el cambio de variables (x. Utilice el método de variación de constantes del apartado 3. e y (m) . y) → (y. (Apartado 3. y).4 Ecuaciones no lineales de orden superior al primero 275 2. Si la ecuación (C. y) → (x. . puede rebajarse el orden en m+ 1 unidades usando como nuevas variables (x. y.C. (x. u ≡ xy ′ ). 3. . (x. se trata de una ecuación equidimensional en x. y) → (ax. (Apartado 3. 1.) 4. y) → (x. y ′′ .net . y) → (x. es decir. .) 3.7) no es lineal.8. (Apartado 3.) También puede buscarse la solución particular es una variante obvia del de coeficientes indeterminados del apartado 3.1 de la página 66. . los cambios hechos e intentar resolver las ecuaciones diferenciales restantes.4.7).7) es invariante frente a cambios de escala de la y. .7). ay). .2 de la página 56.3 de la página 42.11.) http://librosysolucionarios. finalmente. u ≡ y ′).) 2. y ′. para deshacer. y) → (y. puede tratar de reducir su orden mediante algunos de los procedimientos listados a continuación.4. es una ecuación equidimensional en y. C.2 de la página 41.7) es invariante frente a cambios de escala de la x. y = C. . el método de Euler descrito en el apartado 4. y (n) = G x.1. . Sistemas de ecuaciones lineales Dado un sistema lineal con n ecuaciones n X x˙ i = aij (t) xj + bi (t). Si la ecuación (C. . (C. y ′. 2.29 de la página 98. . y ′.2.3.1. 3.5. y.7) puede escribirse como una derivada.4. por derivación y sustitución se puede reducir el sistema a una única ecuación lineal de orden n y aplicar los métodos del apartado C.) 3. .5 de la página 88. y.276 C Resumen de métodos analíticos exactos 5. La solución general del sistema (C. y (n−1) = 0.5.2 de la página 91 proporciona un procedimiento algebraico para calcular la solución general. En otros casos.1 de la página 81. . (Aparta- do 4.5. el cambio de variable independiente t = eu lo convierte en un sistema con coeficientes constantes como los del anterior apartado. (Apartado 3. .net . .2 de la página 86.4. Si los coeficientes aij son constantes. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas La solución general de un sistema con n ecuaciones lineales homogéneas n X x˙ i = aij (t) xj . y.) C.8) j=1 1.9) j=1 es el producto de una matriz fundamental por un vector columna constante arbitrario.8) es la suma de la solución general del homogéneo asociado y una solución particular cualquiera del completo.5. .) 1.) C. . resuelva primero el sistema homogéneo asociado —que se obtiene tomando bi = 0— como se describe en el apartado C.   d   F x. 2. (Apartado 4.1. como se mencionó en el apartado 4. Si puede escribirse como un sistema de Cauchy-Euler n X t x˙ i = aij xj .6. y .2. . http://librosysolucionarios. También puede aplicarse la variante inmediata del método de Euler que se obtiene substituyendo sistemá- ticamente t por ln t. (C. dx se trata de una ecuación  exacta cuyo orden se rebaja usando la integral primera inmediata ′ (n−1) G x. j=1 con coeficientes aij constantes.5 de la página 44. halle una solución particular del sistema completo por los métodos recogidos en el aparta- do C. (Problema 4. . 4.2. 2. j=1 la solución particular de éste que necesitamos para escribir su solución general puede buscarse como sigue: 1.5 de la pági- na 88.C.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 277 C. Por otro lado.1 de la página 81.2 de la página 81. Sistemas completos de ecuaciones lineales Tras resolver el sistema homogéneo asociado al completo n X x˙ i = aij (t) xj + bi (t). C. como se mencionó en el apartado 4.3 de la página 94. utilice el método de variación de constantes del apartado 4.5.2. 2.2. http://librosysolucionarios. Intente hallar integrales primeras del sistema como se discute en el apartado 4. Sistemas de ecuaciones no lineales 1.6. Si los coeficientes aij son constantes —tal vez tras hacer el cambio t = eu en un sistema de Cauchy-Euler— y los términos inhomogéneos bi cuasipolinomios. use el método de coeficientes indeterminados del apartado 4.net . En otros casos.6. por derivación y sustitución se puede reducir el sistema a una única ecuación de orden n y aplicar los métodos del apartado C. 278 C Resumen de métodos analíticos exactos http://librosysolucionarios.net . but supreme beauty —a beauty cold and austere. Bertrand Russell Este apéndice recoge las definiciones y algunas propiedades de las funciones especiales que aparecen en los otros capítulos. mientras que la iθ forma polar es z = re . (D.net . por ejemplo. sino ayudar al lector a entender la teoría y resolver los problemas. .Apéndice D Definición y propiedades de algunas funciones Mathematics possesses not only truth.) corresponden al mismo número complejo en forma polar. siendo i = −1 la unidad imaginaria. D. empezaremos con una función definida implíci- tamente en una ecuación trascendente. 2) son: z1 ± z2 = (x1 + x2 ) ± i (y1 + y2 ) . (D.3) z2 |z2 | x2 + y2 r2 El complejo conjugado de z es z = x − iy = re−iθ y se cumplen las siguientes propiedades: |z| = |z|.1) z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) ± i (x1 y2 + x2 y1 ) = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) . like that of sculpture. (D. Tras recordar las propiedades fundamentales de los números complejos y definir el valor principal de Cauchy. . Éste no es único y todos los ángulos θ + 2kπ (con k = 0. Números complejos Los números complejos se escriben √ en forma cartesiana como z = x + iy. La parte real Re z = x = r cos θ y la parte √ 2 imaginaria Im z = y = r sin θ son números reales.2) z1 z1 z2 (x1 x2 + y1 y2 ) ± i (x2 y1 − x1 y2 ) r1 = 2 = 2 2 = ei(θ1 −θ2 ) . en el texto de Arfken y Weber [15]—. El valor principal del argumento es el que satisface −π < θ ≤ π. para ver luego otras cuya definición es una integral o una serie y acabar mencionando las propiedades de los polinomios ortogonales más importantes. La suma. ±1. . Más propiedades pueden encontrarse en tablas como las de Abramowitz y Stegun [35]. (D. El objetivo no es un estudio sistemático de dichas funciones — que puede hallarse. diferencia.1. al igual que el módulo 2 |z| = r = x + y y el argumento arg z = θ = arctan y/x.4) 279 http://librosysolucionarios. ±2. producto y cociente de los números complejos zk = xk + iyk = rk eiθk (k = 1. 9) z1 ± z2 = z1 ± z2 .1 Formas cartesiana y polar de un número complejo. Francia.14) Las exponenciales y potencias se calculan como sigue: ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y) . 1 Abraham de Moivre (26-05-1667. (D. (D. (D. Fue un pionero de la geometría analítica y la teoría de probabilidades.2 Resuelva la ecuación z 3 − 1 = 0. Al parecer.10) (z1 z2 ) = z1 z2 . (D. (D. .15) z n = r n einθ = r n (cos nθ + i sin nθ) . (D. (D. . no consiguió nunca una cátedra. Gracias a la expresión que halló para (cos x + i sin x)n . (D. como allí era extranjero. las raíces n-simas de z = rei(θ+2kπ) 6= 0 son n: z 1/n = r 1/n ei(θ+2kπ)/n . 27-11-1754.11)   z1 z1 = . . n − 1. http://librosysolucionarios.5) z = z. (D. Tras la expulsión de los hugonotes se trasladó a Inglaterra.8) zz = |z|2 . (D. Londres.13) y el teorema de de Moivre1 n (cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ.17) La raíz principal es la que se obtiene con k = 0 (si se ha elegido −π < θ ≤ π). k = 0.6) z+z = 2 Re z. el análisis es de gran utilidad en trigonometría.280 D Definición y propiedades de algunas funciones F IGURA D. 1.1 Use series de potencias adecuadas para comprobar la fórmula de Euler eiθ = cos θ + i sin θ (D. .7) z−z = 2i Im z.12) z2 z2 E JERCICIO D. (D. E JERCICIO D.net . Vitry.16) Puesto que el argumento no es único. pero. Inglaterra). encontró antes que su amigo Stirling la famosa fórmula que asociamos con el último nombre. (D. arg z = − arg z. 20) a x ε→0 a x η→0 η x ε→0 |a| η→0 η pero si se calculan simultáneamente ambos límites se obtiene un valor finito: Z "Z Z # " # dx b −ε dx b dx ε b b − = l´ım + = l´ım ln + ln = ln . f = 1/ x y f = 1/x son integrables en todos los intervalos finitos que no√ contienen el origen. Z Z Z b dx −ε dx b dx ε b = l´ım + l´ım = l´ım ln + l´ım ln = −∞ + ∞. −∞ −a b→∞ 0 −a 0 (D. Valor principal de Cauchy Supongamos que la función f es singular en el punto c ∈ (a.net .23) Cuando. (D. si elegimos a < 0 < b para f = 1/x. Cuando la integral (impropia) ordinaria existe (como en el caso de f = 1/ x). cuando la integral impropia −∞ f (x) dx existe. No obstante. la integral ordinaria es divergente. a pesar de singulares en x = c = 0. puede suceder que aunque los dos límites independientes del segundo miembro no sean convergentes.18) ε→0 a c+ε (En este apartado las variables bajo el signo de límite son positivas. Demuestre el siguiente resultado: Z ∞ Z ∞ f (x) dx f (y + x) − f (y − x) − = dx. (D. (D. Cuando pasa esto. (D. la integral es divergente. aunque para aligerar la notación no se indique explícitamente).22) −∞ x − y 0 x R∞ Análogamente.25) −∞ http://librosysolucionarios.3 Supongamos que f (x) es regular e integrable. pero integrable en cualquier subintervalo √ que no contenga ese punto.D. puede escribirse como Z ∞ Z 0 Z b Z 0 Z a  f (x) dx = a→∞ l´ım f (x) dx + l´ım f (x) dx = a→∞ l´ım f (x) dx + f (x) dx . se cumplen las siguientes igualdades: Z b Z c−ε Z b f (x) dx = l´ım f (x) dx + l´ım f (x) dx a ε→0 a η→0 c+η "Z Z # c−ε b = l´ım f (x) dx + f (x) dx . (D.2. a pesar de ser divergente el doble límite. pero puede usarse el último límite para definir su valor principal: " # Z b Z c−ε Z b − f (x) dx ≡ l´ım f (x) dx + f (x) dx . (D. éste define el valor principal de Cauchy: Z ∞ Z a − f (x) dx ≡ l´ım f (x) dx.19) a ε→0 a c+ε Por ejemplo. el del último miembro converge. (D.2 Valor principal de Cauchy 281 D.4 Compruebe el siguiente valor principal: Z ∞ − sin x dx = 0. b). sí lo sea el límite único del tercero.24) −∞ a→∞ −a E JERCICIO D. Por ejemplo.21) a x ε→0 a x ε x ε→0 |a| ε |a| E JERCICIO D. 6 Use las propiedades (D. Como aquí no estudiaremos las otras ramas.5 Use la definición de la función de Lambert para demostrar las siguientes propieda- des: W(x) eW(x) = x. Desarrollando la definición se obtiene la siguiente serie de Taylor: ∞ X xn W(x) = (−n)n−1 . (D.282 D Definición y propiedades de algunas funciones D. Función de Lambert Como sabemos.2 La rama principal de la función de Lambert en la recta real. usaremos la notación simplificada W para la rama principal.26) W(x) + ln W(x) = ln x. F IGURA D.27) para dibujar la figura D. (D. Como en el caso del logaritmo. ∞ . esta ecuación admite infinitas soluciones.27) Para calcular la derivada de esta función basta derivar (D. x 6= 0.net . pero la única de entre ellas que es analítica alrededor de x = 0 es la rama principal W0 de la función de Lambert. x = 0. (D. Para generalizar el logaritmo podemos usar la ecuación y ey = x. la solución de la ecuación ey = x es y = ln x.31) x→+∞ W(x) l´ım = 1. (x) = = x (1 + W(x)) (D.2 y calcular los si- guientes valores:  W −e−1 = −1. que define implícitamente la función de Lambert: y = W(x).32) x→+∞ ln x   Concluya que la función de Lambert es real y monótona creciente en el intervalo real −e−1 .30) l´ım W(x) = +∞. (D.3. E JERCICIO D.29) W(0) = 0.26) y (D. http://librosysolucionarios.33) n=1 n! E JERCICIO D.26):  −W(x) W(x) dW e  .7 Pruebe que el radio de convergencia de la anterior serie es ρ = e−1 . (D. (D.28) dx 1 + W(x)  1. E JERCICIO D. (D. Por ejemplo. (D. ax e = bxc .38) x→∞ ∞ 2 X (−1)n x2n+1 erf(x) = √ . xex = ex + 1. donde a. y = W(x) para calcular la misma.9 Resuelva las siguientes ecuaciones.net .35) la escribimos en la forma equivalente −xe−x = 1 y comparándola con la expresión (D. la hemos definido mediante una ecuación de ese tipo). x W(x) dx. cuando en una integral aparece W(x). ln x + axb = c. (D.567143. una solución de dicha ecuación es x = −W(1) ≈ −0. E JERCICIO D. D. (D.D.26) vemos que −x = W(1): por tanto.8 Use el mencionado cambio para calcular las siguientes integrales: Z Z W(x) dx. b y c son constantes: ln x + x = 0. (D.10 Demuestre las siguientes propiedades: erf(0) = 0.37) l´ım erf(x) = 1. Un estudio más detallado y algunas aplicaciones de la función de Lambert pueden hallarse en el artículo [41]. (D. E JERCICIO D.4 Función error 283 Puesto que la función de Lambert es la inversa de f (y) = y ey .34) La función de Lambert es de gran utilidad para resolver algunas ecuaciones transcendentes que contienen la exponencial o el logaritmo (de hecho. (D.36) π 0 E JERCICIO D. a menudo puede utilizarse el cambio x = y ey .4.39) π n=0 n! (2n + 1) ¿Qué relación existe entre erf(x) y erf(−x)? También son útiles la función error complementaria Z 2 ∞ 2 erfc(x) ≡ 1 − erf(x) = √ e−u du (D.40) π x y la función error imaginaria erf(ix) 2 Z x u2 erfi(x) ≡ =√ e du. para resolver la ecuación ex + x = 0. (D. Función error La función error se define como la integral indefinida de la gaussiana: 2 Z x −u2 erf(x) ≡ √ e du.41) i π 0 http://librosysolucionarios. 3 Las funciones de error. (D.5. . Garden. −2. el Methodus Differentialis (1730). cerca de Stirling. 5-12-1770.46) (x − 1) · · · (x − n) con lo que la función queda definida en toda la recta real (o todo el plano complejo) excepto en x = 0. 2. (D. Escocia. D. Entre las numerosas propiedades de esta función la más conocida es.. puede definirse para x > 0 (o para Re x > 0) como Z ∞ Γ(x) = e−t tx−1 dt. (D. . puede extenderse Γ para valores negativos del argumento Γ(x) Γ(x − n) = . −1.44) Concluya que para valores naturales del argumento la función gamma se reduce al factorial: Γ(n + 1) = n!.43) Γ(1) = 1. la aproximación de Stirling2   1 1 1 1 1 ln Γ(x) ∼ x − ln x − x + ln 2π + − 3 + +··· (|x| ≫ 1) . Su obra más importante. .284 D Definición y propiedades de algunas funciones F IGURA D.net .45) Usando (D. . n = 1. sumación.43) como definición y los valores de Γ(x) para 0 < x < 1. (D.4 (en el plano complejo son polos simples con residuo (−1)n /n!). . 1. . que extiende el factorial de los números naturales a (casi) todo el plano complejo. Función gamma de Euler Esta útil función especial. interpolación e integración y contiene la fórmula asintótica para n! http://librosysolucionarios. . donde tiene asíntotas verticales como se ve en la figura D. también puede evaluarse exac- tamente la función gamma para ciertos valores especiales de su argumento. es un tratado sobre series.47) 2 2 12x 360x 1260x5 Aparte de reducirse al factorial sobre los enteros no negativos. . Edimburgo).42) 0 E JERCICIO D. (D. quizás. 2 James Stirling (1692.11 Use integración por partes y la elección x = 1 para demostrar las propiedades que más nos interesan: Γ(x + 1) = x Γ(x). . n = 0. (D. (z)n ≡ z(z + 1) · · · (z + n − 1).49) (z)1 ≡ z. (D. 2. (D..net . .48) 2 2 2 2 k! 22k También es útil esta función para deshacer recurrencias como las que aparecen en el ca- pítulo 6. (D.) (D.12 Use un cambio de variables en la integral que define Γ para demostrar que     √   √ 1 √ 3 π 2n + 1 (2k)! π Γ = π.13 para escribir la serie bi- nómica ∞ X α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + x .14 Utilice los símbolos de Pochhammer del ejercicio D.D.5 Función gamma de Euler 285 F IGURA D. Γ = .4 La función gamma de Euler en el eje real. E JERCICIO D. (n = 1.53) Γ(z) E JERCICIO D.52) Demuestre que Γ(z + n) (z)n = z(z + 1) · · · (z + n − 1) = . ya que permite escribir en forma compacta el producto de los elementos de distintas sucesiones. (D.13 Considere los símbolos de Pochhammer (z)0 ≡ 1. E JERCICIO D. Γ = . (D. . (α ∈ IR.55) n=0 Γ(α − n + 1)n! n=0 Γ(n + 1)Γ(α − n + 1) http://librosysolucionarios. (D.50) (z)2 ≡ z(z + 1).51) . |x| < 1).54) n=1 n! en forma más compacta: ∞ ∞ X Γ(α + 1) X Γ(α + 1) (1 + x)α = xn = xn . . . (D. (D. (D. n > 1. (D. (0! ≡ 1). (D. Función subfactorial Si el factorial n! se define como el producto de los n primeros números naturales.net . (D. es válido el siguiente desarrollo en serie: x2 x3 xn Ei(x) = γ + ln |x| + x + + +···+ + ···. (D.63) −∞ u ε→0 −∞ u ε u F IGURA D. Tanto para valores positivos como negativos. (D.57) (2n − 1)!! ≡ (2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1. (D.15 Demuestre que los subfactoriales pueden expresarse en términos de factoriales como sigue: (2n)!! = 2n n!.56) en el subfactorial n!! se multiplican números alternos.286 D Definición y propiedades de algunas funciones D. Integral exponencial La integral exponencial Ei se define para valores reales x < 0 como Z x eu Ei(x) ≡ du.64) 4 3 · 3! n · n! http://librosysolucionarios.62) −∞ u y para x > 0 hay que salvar la divergencia logarítmica en el origen calculando la integral en valor principal de Cauchy: eu eu eu Z x Z −ε Z x  Ei(x) = − du = l´ım du + du .61) 2n n! D. (D. en vez de consecutivos: (2n)!! ≡ 2n(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2.59) E JERCICIO D.58) Nótese que cada uno de los anteriores productos tiene exactamente n factores y que n! = n!! (n − 1)!!.5 Integral exponencial.6.60) (2n)! (2n − 1)!! = . n! ≡ (1)n = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1.7. Funciones relacionadas con Ei son la integral seno Si y la integral coseno Ci que se definen para x > 0 como sigue: ∞ (−1)n x2n+1 Z sin u x X Si(x) = du = . segunda y tercera especie que se definen a continuación: Z Z ϕ dθ x dt F (ϕ\α) = F (ϕ|m) = q = √ √ .net . (D. Mediante fórmulas de transforma- ción adecuadas. 0 u n=0 (2n + 1)(2n + 1)! Z ∞ Z x cos u cos u − 1 Ci(x) = − du = γ + ln x + du x u 0 u ∞ X (−1)n x2n = γ + ln x + .69) 0 1 − sin2 α sin2 θ 0 1 − t2 1 − mt2 http://librosysolucionarios.8.66) k=1 k k=1 k k (Véase el resultado 0. (D.577215664901532860606512090082402431042 .67) n=1 2n(2n)! D. Integrales elípticas Por definición. F IGURA D. se llama integral elíptica a la que tiene la forma Z  q  R x. . (D. . toda integral elíptica puede calcularse en términos de las integrales elípticas de Legendre-Jacobi de primera.65) Hemos utilizado aquí las sumas parciales de la serie armónica.4 de [36]).68) siendo R(x. que reciben el nombre de números armónicos: ! n n X 1 X (−1)k n Ωn = =− . P (x) dx.8 Integrales elípticas 287 donde la constante de Euler-Mascheroni. y) una función racional y P (x) = a0 x4 + a1 x3 3 + a2 x2 + a3 x + a4 un polinomio de grado tres o cuatro (|a0 | + |a1 | > 0) con raíces simples.6 Integrales seno y coseno.D. que también se suele denotar con la letra C y llamar constante de Euler. (D. es γ ≡ −Γ′ (1) Z ∞ = − e−t ln t dt 0 = l´ım (ΩN − ln N) N →∞ = 0.155. (D. (D. (D. (D. ϕ\α) = Π(n. y otras funciones elípticas se definen como sigue: sn u = sn(u|m) = sin ϕ.288 D Definición y propiedades de algunas funciones √ 1 − mt2 Z ϕ q Z x 2 2 E(ϕ\α) = E(ϕ|m) = 1 − sin α sin θ dθ = √ dt.net .76) cn u = cn(u|m) = cos ϕ. (D. (D.75) 2 n=1 (2n)!! 2n − 1 Las integrales elípticas definen implícitamente las funciones elípticas de Jacobi. x = 1) en las integrales elípticas de primera y segunda especie. E JERCICIO D.72) 0 1 − t2 1 − mt2 0 1 − m sin2 θ √ 1 − mt2 Z 1 Z π/2 q E(m) = √ 2 dt = 1 − m sin2 θ dθ. (D.77) q dn u = dn(u|m) = 1 − m sin2 ϕ. (D.70) 0 0 1 − t2 Z ϕ dθ Π(n. ϕ = am u = am(u|m). (D.78) http://librosysolucionarios.74) 2 n=1 (2n)!! ( ∞  2 ) π X (2n − 1)!! mn E(m) = 1− . ϕ|m) =  q 0 1 − n sin2 θ 1 − sin2 α sin2 θ Z x dt = √ √ . Al tomar ϕ = π/2 (es decir.7 Integrales elípticas completas. es la amplitud jacobiana. la función inversa. si u = F (ϕ|m). (D.71) 0 (1 − nt2 ) 1 − t2 1 − mt2 Hemos considerado aquí el intervalo −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 y usado las definiciones x ≡ sin ϕ y 0 ≤ m ≡ sin2 α ≤ 1.16 Compruebe los siguientes desarrollos en serie de Taylor: ( ∞  2 ) π X (2n − 1)!! n K(m) = 1+ m . se obtienen las integrales elípticas completas de primera y segunda especie: Z Z 1 dt π/2 dθ K(m) = √ √ = q . Por ejem- plo.73) 0 1−t 0 F IGURA D. 9. (D. para valores reales de x. (D. (D.9 Funciones de Bessel 289 E JERCICIO D. (D. (D.80) dn2 u − m cn2 u = 1 − m. (D. la función de Bessel de primera especie de orden ν se define como ∞ (−1)k  ν+2k X x Jν (x) = .86) 2ν La función de Bessel de segunda especie.89) k=0 k! Γ(ν + k + 1) 2 y la función de Bessel modificada de segunda especie es π I−ν (x) − Iν (x) Kν (x) = .D.4): ν Jν′ (x) = Jν−1 (x) − Jν (x).88) ν→n sin(νπ) La función de Bessel modificada de primera especie se define.84) x 1 = [Jν−1 (x) − Jν+1 (x)] .81) D. (D. como ∞  ν+2k −ν X 1 x Iν (x) = i Jν (ix) = .82) k=0 k! Γ(ν + k + 1) 2 Entre sus propiedades se encuentran las siguientes expresiones para la derivada (véase el proble- ma 6.17 Demuestre las siguientes propiedades: sn2 u + cn2 u = 1. Funciones de Bessel Como vimos en el apartado 6.87) sin(νπ) excepto cuando ν es un entero n. (D. http://librosysolucionarios. ya que I−n (x) = In (x). (D. (D. (D.net .79) 2 2 dn u + m sn u = 1.4. en cuyo caso J−n (x) = (−1)n Jn (x) y debe usarse un límite: cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) Yn (x) = l´ım .90) 2 sin(νπ) excepto cuando ν es un entero n. La solución general de la ecuación de Bessel modificada   x2 y ′′ + xy ′ − x2 + ν 2 y = 0.85) 2 También es útil la relación de recurrencia x Jν (x) = [Jν−1 (x) + Jν+1 (x)] . es y = C1 Iν (x) + C2 Kν (x).83) x ν = −Jν+1 (x) + Jν (x). en cuyo caso se define como Kn (x) = l´ımν→n Kν (x). (D. función de Newmann o función de Weber de orden ν —que se denota a veces como Nν — se define como cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) Yν (x) = . (D.97) n! 2 entre otros (véase la página 509 de las tablas de Abramowitz y Stegun [35]). β. x) y se define como ∞ Xα(α + 1) · · · (α + n − 1) xn M(α.93) π 2 2 las funciones de Bessel. (D.91) Γ(α) n=0 Γ(β + n) n! que es convergente para todo α.96) n! 2   (2n + 1)! 3 H2n+1 (x) = 2(−1)n x M −n.95) y Hermite. (D. excepto cuando β = 0. x). β. Función hipergeométrica confluente de Kummer Esta función se denota como M(α.94) Γ(ν + 1) 2 2 los polinomios de Laguerre.net . −2. . −2. Estas funciones incluyen como casos particulares ex = M(α. (D. −1. . (D. x) ó 1 F1 (α. http://librosysolucionarios. x2 . .18 Compruebe las expresiones (D. Cuando α = 0.10. Ln (x) = M(−n. x). e−ix  ν   x 1 Jν (x) = M ν + . (D. .92) y (D. β. E JERCICIO D. α. la última expresión de (D.8 Algunas funciones de Bessel de orden entero. .91) no es directamente aplicable y la función se reduce a un polinomio. −x . (D. β y x. D. −1. . .93).92)   2 1 3 2 erf x = √ xM . 1. y α no es un entero m tal que β < m ≤ 0. 2ix . x) = 1 + n=1 β(β + 1) · · · (β + n − 1) n! ∞ X (α)n xn = n=0 (β)n n! ∞ Γ(β) X Γ(α + n) xn = . 2ν + 1.   n (2n)! 1 H2n (x) = (−1) M −n.290 D Definición y propiedades de algunas funciones F IGURA D. . . x2 . net . La serie no está definida si γ = 0. (D. α.106) 2 2   1 3 2 arctanh x = xF . 1. (D. . x .105) 2 2 2   1 3 arctan x = xF . β. . x = x 1 − x F 1. β. 1.   1−x Pn (x) = F −n. .104) 2 2 2 2   1 1 3 arcsinh x = xF .109). (D. en cuyo caso la función es un polinomio. −2. −2. . . (D.19 Compruebe las expresiones (D. n + 1. m . x) = 1 + n=1 γ(γ + 1) · · · (γ + n − 1) n! ∞ X (α)n (β)n x n = n=0 (γ)n n! ∞ Γ(γ) X Γ(α + n)Γ(β + n) xn = . β.   1 1−x Tn (x) = F −n. . γ. http://librosysolucionarios. −1. (D. que incluyen entre otras ln x = (x − 1)F (1. 1.107) 2 2 También contiene las integrales elípticas completas:   π 1 1 K(m) = F . Estas funciones. F (α.102) 2 y diversas funciones elementales. (D. 1. . x) y se define.D. que son simétricas con respecto a los dos primeros argumentos. . (D. (D. (1 + x)α = F (−α. (D. (D.. 1. m . x) ó 2 F1 (α.101) 2 2 los polinomios de Legendre. n. 1 − x). 1. como ∞ Xα(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) · · · (β + n − 1) xn F (α. . .100) y (D. −x2 . β. 1. −x). para |x| < 1. γ.103)  1 1 3 2  √  3 2  arcsin x = xF 2 . . Función hipergeométrica de Gauss Esta función se denota como F (α. a menos que α (o β) sea un entero m tal que γ < m ≤ 0. β. γ. .99) incluyen como casos particulares las series geométricas y binómicas. x . β. . .100) los polinomios de Chébichev. 2.11 Función hipergeométrica de Gauss 291 D. γ. .109) 2 2 2 E JERCICIO D. −x2 . −1. x). (D. γ. x) = F (β.98) Γ(α)Γ(β) n=0 Γ(γ + n) n! donde la última expresión no es directamente válida cuando α (o β) es 0. (D..108) 2 2 2   π 1 1 E(m) = F − .11. . . .103)–(D. 110) a kfi k2ρ .}.292 D Definición y propiedades de algunas funciones D. b). Como los polinomios de cada familia son solución de un problema de Sturm-Liouville. . Polinomios ortogonales Recogemos aquí las propiedades de los polinomios ortogonales que aparecen en este texto. . Los polinomios de cada familia. fj iρ ≡ fi (x)fj (x)ρ(x) dx = (D. {f0 . son reales y ortogonales: Z ( b 0. donde se usa un peso ρ(x) para definir el producto escalar y la norma. i = j. i 6= j.12. f2 . .net . pertene- cen a un espacio de funciones definidas en un intervalo adecuado (a. http://librosysolucionarios.1. f1 . hfi . como vimos en el apartado 9. es decir.1. Polinomios de Chébichev   Ecuación diferencial 1 − x2 y ′′ − xy ′ + n2 y = 0 Intervalo [−1. el mayor número entero que no es mayor que x. 2 −1/2 2 Norma 1−x [Tn (x)] dx = −1 π/2. n > 0.12. 1]  −1/2 Peso 1 − x2 Z ( 1   π. n = 0.D. http://librosysolucionarios.12 Polinomios ortogonales 293 D. ⌊n/2⌋ n X (n − m − 1)! Expresión explícita3 Tn (x) = cos (n arc cos x) = (−1)m (2x)n−2m 2 m=0 m!(n − 2m)! q π (1 − x2 ) dn   2 n−1/2 Fórmula de Rodrigues Tn (x) = 1 − x (−2)n Γ(n + 1/2) dxn Relación de recurrencia Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) T0 (x) 1 T1 (x) x T2 (x) 2x2 − 1 T3 (x) 4x3 − 3x T4 (x) 8x4 − 8x2 + 1 T5 (x) 16x5 − 20x3 + 5x 3 ⌊x⌋ es la parte entera del número x.net . 294 D Definición y propiedades de algunas funciones D.net .2.12. Polinomios de Hermite Ecuación diferencial y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0 Intervalo (−∞. ∞) 2 Peso e−x Z ∞ 2 √ Norma e−x [Hn (x)]2 dx = 2n n! π −∞ ⌊n/2⌋ X (−1)m Expresión explícita Hn (x) = n! (2x)n−2m m=0 m!(n − 2m)! 2 dn −x2 Fórmula de Rodrigues Hn (x) = (−1)n ex e dxn Relación de recurrencia Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) H0 (x) 1 H1 (x) 2x H2 (x) 4x2 − 2 H3 (x) 8x3 − 12x H4 (x) 16x4 − 48x2 + 12 H5 (x) 32x5 − 160x3 + 120x http://librosysolucionarios. Ecuación diferencial xy ′′ + (α + 1 − x)y ′ + ny = 0 Intervalo [0. ∞) Peso xα e−x Z ∞ h i2 Γ(n + α + 1) Norma xα e−x L(α) n (x) dx = 0 n! n ! X (−1)m n + α m Expresión explícita L(α) n (x) = x m=0 m! n−m ex dn  n+α −x  Fórmula de Rodrigues L(α) n (x) = x e n! xα dxn (α) (α) Relación de recurrencia (n + 1)Ln+1 (x) = (2n + α + 1 − x)L(α) n (x) − (n + α)Ln−1 (x) L0 (x) 4 1 L1 (x) 1−x 2 − 4x + x2 L2 (x) 2 6 − 18x + 9x2 − x3 L3 (x) 6 24 − 96x + 72x2 − 16x3 + x4 L4 (x) 24 120 − 600x + 600x2 − 200x3 + 25x4 − x5 L5 (x) 120 http://librosysolucionarios. Polinomios generalizados de Laguerre Los polinomios de Laguerre son Ln (x) = L(0) n (x).12 Polinomios ortogonales 295 D.D.net .3.12. 12. 1] Peso 1 Z 1 2 Norma [Pn (x)]2 dx = −1 2n + 1 ! ! 1 ⌊n/2⌋ X n 2n − 2m n−2m Expresión explícita Pn (x) = n (−1)m x 2 m=0 m n 1 dn  2 n Fórmula de Rodrigues Pn (x) = x − 1 2n n! dxn Relación de recurrencia (n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x) P0 (x) 1 P1 (x) x 3x2 − 1 P2 (x) 2 5x3 − 3x P3 (x) 2 35x4 − 30x2 + 3 P4 (x) 8 63x5 − 70x3 + 15x P5 (x) 8 http://librosysolucionarios.4. Polinomios de Legendre   Ecuación diferencial 1 − x2 y ′′ − 2xy ′ + n(n + 1)y = 0 Intervalo [−1.296 D Definición y propiedades de algunas funciones D.net . así como un par de tablas de transformadas. que vimos en el capítulo 5. Pierre Simon de Laplace Por conveniencia recogemos en las páginas siguientes las principales propiedades de la trans- formación de Laplace. je n’avais pas besoin de cette hypothèse.Apéndice E Tablas de transformadas de Laplace Sire. 297 http://librosysolucionarios.net . Tablas más completas pueden hallarse en las obras de referencia de la página 323. es continua por trozos y de orden exponencial finito α. http://librosysolucionarios. f ′′ .1. .net .298 E Tablas de transformadas de Laplace E. es decir. a > 0   1 s f (at) F s > aα. cuando aparecen en la columna de la izquierda— pertenece a F(α). a > 0 a a f ′ (t) sF (s) − f (0) s>α f ′′ (t) s2 F (s) − sf (0) − f ′ (0) s>α f (n) (t) sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − · · · − f (n−1) (0) s>α Z  Z  t 1 a f (u) du F (s) − f (u) du s>α a s 0 tf (t) −F ′ (s) s>α t2 f (t) F ′′ (s) s>α tn f (t) (−1)n F (n) (s) s>α ! Z f (t) f (t) ∞ ∃ l´ım F (u) du s>α t t→0+ t s f ∗g F (s)G(s) s>α Z 1 T f (t + T ) = f (t) e−st f (t) dt s>0 1 − e−sT 0 Z 1 T f (t + T ) = −f (t) e−st f (t) dt s>0 1 + e−sT 0 1 Se supone también que f —así como g. Propiedades de la transformación de Laplace Z ∞ f (t) = θ(t)f (t) 1 F (s) = e−st f (t) dt para 0 af (t) + bg(t) aF (s) + bG(s) s>α eat f (t) F (s − a) s>α+a θ(t − a)f (t − a) e−as F (s) s > α. . . f ′ . . así como que la función (o la derivada anterior) que aparece en las propiedades de las derivadas es continua. 2.E. Valores en los límites Se cumple cuando l´ım F (s) = 0 f (t) es una función (y no una distribución) s→∞ l´ım sF (s) = l´ım f (t) s→∞ existe l´ım f (t) t→0+ t→0+ Z ∞ Z ∞ l´ım F (s) = f (t) dt existe f (t) dt s→0+ 0 0 l´ım sF (s) = l´ım f (t) existe l´ım f (t) y sF (s) es analítica para Re s ≥ 0 s→0+ t→∞ t→∞ http://librosysolucionarios.2 Valores en los límites 299 E.net . Transformadas de funciones elementales Z ∞ f (t) = θ(t)f (t) F (s) = e−st f (t) dt para 0 1 1 = θ(t) s>0 s δ(t) 1 s>0 e−as θ(t − a) s > 0.3. x > −1 (s − a)x+1 http://librosysolucionarios.net .300 E Tablas de transformadas de Laplace E. a ≥ 0 s δ(t − a) e−as s > 0. a ≥ 0 ln s + γ ln t − s>0 s 1 eat s>a s−a s cosh at s > |a| s2 − a2 a sinh at s > |a| s2 − a2 s cos at s>0 s2 + a2 a sin at s>0 s2 + a2 s−a eat cos bt s>a (s − a)2 + b2 b eat sin bt s>a (s − a)2 + b2 1 t s>0 s2 n! tn s>0 sn+1 n! tn eat s>a (s − a)n+1 Γ(x + 1) tx eat s > a. a > 0 s a aν Jν (at) √ √ ν s > 0.E. Transformadas de funciones especiales Z ∞ f (t) = θ(t)f (t) F (s) = e−st f (t) dt para 0  √  a erf a t √ s>0 s s + a2 1 s Si(at) arccot s>0 s a ! 1 s2 Ci(at) − ln 1 + 2 s>0 2s a   1 s − Ei(−at) ln 1 + s > 0.net .4 Transformadas de funciones especiales 301 E.4. ν > −1 s2 + a2 s2 + a2 + s (s − a)n Ln (at) s>0 sn+1 http://librosysolucionarios. 302 E Tablas de transformadas de Laplace http://librosysolucionarios.net . (F. Hemos elegido el convenio Z ∞ F (p) = f (x) e−ipx dx.5) −∞ Z ∞ f (x) = F (p)e2πipx dp. not on the litter” No doubt the next chapter in my book of transformations is already written.net . (F.4) 2π −∞ y Z ∞ F (p) = f (x)e−2πipx dx. Tablas más completas pueden hallarse en las obras de referencia de la página 323. quizás.2) 2π −∞ que es.3) 2π −∞ Z ∞ 1 f (x) = √ F (p) eipx dp. (F. el más habitual en mecánica cuántica.Apéndice F Tablas de transformadas de Fourier “Live in the layers. (F. así como una tabla de transformadas.6) −∞ También es corriente elegir signos opuestos para la unidad imaginaria en la exponencial y in- tercambiar el factor constante que aparece fuera de la integral entre las transformadas directa e inversa. Stanley Kunitz Recogemos en las páginas siguientes las principales propiedades de la transformación de Fourier. I am not done with my changes. (F. (F. 303 http://librosysolucionarios.1) −∞ 1 Z∞ f (x) = F (p) eipx dp. pero otros convenios corrientes son 1 Z∞ F (p) = √ f (x) e−ipx dx. Propiedades de la transformación de Fourier Z Z 1 ∞ ipx ∞ f (x) = F (p) e dp F (p) = f (x) e−ipx dx 2π −∞ −∞ af (x) + bg(x) aF (p) + bG(p) f (x − a) e−iap F (p)   1 p f (ax) F |a| a f ′ (x) ipF (p) f ′′ (x) −p2 F (p) f (n) (x) (ip)n F (p) xf (x) iF ′ (p) x2 f (x) −F ′′ (p) xn f (x) in F (n) (p) Z ∞ f ∗g = f (x − u)g(u) du F (p)G(p) −∞ 1 f (x) g(x) F ∗G 2π f (−x) = f (x) F (−p) = F (p) f (−x) = −f (x) F (−p) = −F (p) F (x) 2πf (−p) f (x) F (−p) http://librosysolucionarios.net .1.304 F Tablas de transformadas de Fourier F. F.2. Transformadas de Fourier Z Z 1 ∞ ipx ∞ f (x) = F (p) e dp F (p) = f (x) e−ipx dx 2π −∞ −∞ 1 2πδ(p) δ(x) 1 δ(x − a) e−iap i θ(x) πδ(p) − p 2i sign(x) − p sin ap θ(a − |x|) 2 p " # sin ap θ(|x| − a) 2 πδ(p) − p cos ax π [δ(p + a) + δ(p − a)] sin ax iπ [δ(p + a) − δ(p − a)] eiax 2πδ(p − a) 2 /a2 √ 2 2 e−x a πe−a p /4 2a e−a|x| . a>0 p2 + a2 http://librosysolucionarios.2 Transformadas de Fourier 305 F.net . net .306 F Tablas de transformadas de Fourier http://librosysolucionarios. y = A sin x. y=− .7 Particular. . particular. Bob Dylan Capítulo 1 1. my friend.2 y 2 y ′2 + 1 = 1. is blowin’ in the wind. 1.net .9 La derivada de y 1/3 tiene una singularidad en el origen. 1. 2 Capítulo 2   2. Tomando x = 0 e y = 1 la ecuación diferencial se reduce a (y ′ )2 + 1 = 0. y = ±1.  √  1. 1 1. que carece de soluciones reales.Apéndice G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios The answer. . singular. B = 1 = −2 es imposible. α 2α 2α 1. 1. 307 http://librosysolucionarios.11 ml2 θ˙2 − mgl cos θ = −mgl cos α. y=− .6 Con la definición α = C + C 2 − x3 :  √   √   √   √  x + α2 1 + i 3 x + 1 − i 3 α2 1 − i 3 x + 1 + i 3 α2 y= .8 y = 0 e y = x2 /4.1 −1 ≤ x ≤ 1 si solo admitimos soluciones reales.10 y = 2 sin x + cos x. 27 x = u2 − 1. 2. y C + 2x3 2.13 e2x − 2xex y = C.18 y 2 + 2(1 − x)y + x2 = C.12 x3 y + 2x2 y 2 + xy 3 = C.28 x = u4 + u2 + ln u + C.net . O.25 y = C ± x 1 − x2 + arcsin x .24 x = sin v + C. eliminando el parámetro: (x − C)2 + y 2 = 1. ya que todo polinomio de grado impar tiene al menos una solución real.9 3 − − 2 + = C. usando la función de Lambert del apartado D. 2.3.23 1 − y 2 = C ± x. 2. 2 3 2.2. q 2. Como ya vimos en el ejercicio 2. ! 1 2.10 x2 y 2 + 2x3 y = C.7 yey = x2 + C. √ 2. 1 1 2 1 2.308 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 1 1 2.29 y = Cx − C 2 y la parábola envolvente y = x2 /4. Teniendo en cuenta que C es arbitrario. y = W x2 + C . y = u3 + C. 3 5 3 2.16 y + x2 + y 2 = Cx2 . o tras eliminar el parámetro 9(y + C)2 = 4(x + 1)3 .26 No.21 y = . 2.17 y = tan(x + C) − x − 1. 4 2 2.5 x2 + xy + x − y 3 + 3y = C.6 y = x (ln |x| − 1) + C. también existen las soluciones singulares y = ±1. 2 2.11 No. o. http://librosysolucionarios. 1 √  2. Cx − x4 2. 2 2.   2. y = cos v.20 + sin x − 1 esin x = C. 2. y = u5 + u3 + u + 5. 2.19 y 2 + 2xy − 6y − x(x + 2) = C. se puede reescribir como (x − C)2 + y 2 = 1. Sí. que son precisamente las envolventes de la general. ¿Qué pasa con y = 0? y y x x 2.22 Las dos rectas y = ±1. 2. 3 Si la fuerza de sviene dada por mg kg mg m kg v= tanh (t − C). ln x + C 3. en cada punto al menos una de ellas es nula. y = −2A tanh(A ln x + B) − 1.1 Las funciones ϕ0 y ϕ2 . por lo que el wrons- kiano es nulo.6 y = C1 eC2 x . 2 r s rozamiento es −k z˙ y el eje z serelige hacia abajo la velocidad 3. Z du 2.7 y 2 = C1 x + C2 . 3. y = −A tanh [A (x − x0 )] − . Por tanto. l´ım v = y z = A + ln cosh (t − C). http://librosysolucionarios. y = − − 1 e y = C. 2 2 x − x0 2 2 3.11 Como se ve en la figura G. y = u3 + 2 .6. 2 2 Capítulo 3   2 2 3 3. f (u) − u 1 − (x − A)2 1 2. F IGURA G. son linealmente independientes.4 y = A tan [A (x − x0 )] − . 3.1 y ′′ = 1 + y ′ .31 µ(u) = exp . o eliminando el parámetro: 4 u 2 u    2 27y 4 − 16x x2 + 9C y 2 + 64C x2 + C = 0.30 x = u2 + 2 .5 y = 2A tan(A ln x + B) − 1. Como hay puntos en que una es nula y la otra no. y = − − e y = C.net .SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 3 309 3 C 1 C 2. k m t→∞ k k m 1 1 1 1 3.8 Véase el ejercicio 3. 3.1.32 Las parábolas y = y su envolvente y = . La solución y = 0 se obtiene en esta última expresión con C = 0. 310 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 3.12 El wronskiano es e(k1 +···+kn )x por el determinante de Vandermonde1 . . . . 1 1 ··· 1 . . . . . . k1 k2 ··· kn . . Y . . k12 k22 ··· kn2 . . = (kj − ki ). . . .. . ... . . 1≤i<j≤n . . . . . . . . k1n−1 k2n−1 · · · knn−1 . . . . 23 y = C1 cos x + C2 sin x + x. a0 ± a1 ± · · · + (±1)n an = 0.16 C1 x + C2 [x Ei(x) − ex ].26 y = C1 cos ωt + C2 sin ωt + f (s) sin ω(t − s) ds.14 (x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0. 3. E (n−1) tiene un salto de valor 1. . x 3. 1-01-1796.22 y = . (1.21 y = A cos x2 + B sin x2 .15 ¡El cálculo se hace en el intervalo (−∞.38 C1 + e + e + C2 e−x − + . París.   x 2x 1 −2x x 1 3. París). Para (−∞. 2Q3/2 A cos x + B sin x 3. Z 1 t 3.net .39 y = A + cos x + B + sin x.34 Use inducción completa. 3.17 y = C1 (x2 − 1) + C2 x. comenzó a dedicarse a las matemáticas a los 35 años y trabajó en teoría de ecuaciones y determinantes. Debe faltar la y: an = 0. . 6 8 2 4 ! x2   x 3. 3. donde A y B son constantes arbitrarias. 3. E ′ . 1)! 3. 4 4 A + B ln(2x + 1) 3. 3. 2x + 1 1 Alexandre Théophile Vandermonde (28-02-1735.25 Es un sistema algebraico lineal para las Ck (s) cuyo determinante es el wronskiano del sistema fundamental de soluciones en el punto s. 3.31 Aunque E.37 1 − t − 2t2 e−t + A cos t + B sin t. . Sin embargo. el determinante al que Lebesgue dio su nombre no aparece en sus obras publicadas. 2P Q + Q′ 3. 1). ω t0 3. Tras su interés por la música.   3.24 y = C1 cos x + C2 sin x + x sin x + (ln cos x) cos x. Cuando sea una constante.43 √ + x − 4. http://librosysolucionarios. ∞) o cualquier otro intervalo que no incluya a x = 1. E (n−2) son continuas. . 3 x = (C1 + C2 t) e .13 Use la matriz de 4.8 y = x2 + A.4. 1 + y ′ + z ′ = 0.18 Agrupe términos Ak Bl con el mismo valor para k + l y recuerde el binomio de Newton: n X n! (A + B)n = Am Bn−m .12. F IGURA G. m=0 m!(n − m)! que también es válido para matrices.SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 4 311 Capítulo 4 dx dy dz 4.9 x2 + y 2 = A. y = − (ln cos t + C1 ) sin t + (t + C2 ) cos t. Tomando los límites t0 → ±∞ en la última solución se recupera la línea de puntos de equilibrio x = C.2 Espacio de fases del ejercicio 4. y = 0.16 x = (ln cos t + C1 ) cos t + (t + C2 ) sin t. y−z z−x x−y    t 1 4.net . 2 4. x + y − t = B. 1 4. y= . http://librosysolucionarios. ! cos t sin t 4. con tal de que éstas conmuten. y = C1 − C2 + C2 t et . 2 4. 4. y = 2C 2 sec2 [C (t − t0 )] . y = −2C 2 sech2 [C (t − t0 )] . t − t0 (t − t0 )2 x = 2C tan [C (t − t0 )] . x = −2C tanh [C (t − t0 )] .11 La matriz de rotación .1 x + yy ′ + zz ′ = 0. − sin t cos t 4.4 Integrando x¨ = xx˙ se obtiene 2 2 x=− . 4. En forma simétrica: = = . 312 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 4. y = −(A + B + Bt)e2t . para t ≥ π.19 δ(x − a)f (x) dx no está definido sin ambigüedad.14 El residuo l´ıms→a (s − a)2 P (s)/Q(s) da el coeficiente A del término A/(s − a)2 . Nótese que como la matriz es simétrica. hay tres vectores propios. http://librosysolucionarios. 4.26 x = [(A + t) cos t − B sin t] et . 4.22 x = A + Be−3t . z = A − (B + C)e−3t .3 Usando el desarrollo en serie de Taylor.23.3 La fuerza y la solución del ejercicio 5. Z b 5. 3 3  0. para 0 ≤ t ≤ π. mientras que el de B/(s − a) es " # d (s − a)2 P (s) B = s→a l´ım . k=0 k! n! ǫn 5. 8 8 2 2 5. aunque solo dos valores propios. ds Q(s) 1h i 5. y = [(A + t) sin t + B cos t] et .   −2 cos t.20 e − 1 cos t + e + 1 sin t.3 y la discusión de un caso más general en la página 111.16 2e−2t (cos 2t − 2 sin 2t). y = A + Ce−3t .21 x = −2et + e4t .23 x = 1 − cos t. 4 5.15 (1 + 2t)et − e−t .net . y = (C1 − 3C2 ) cos 3t + (3C1 + C2 ) sin 3t. 4. Sí. Véanse la figura G. F IGURA G. 2 cos t. y = − et + e4t .23 x = (A + Bt)e2t . Solo hay un vector propio.   para t ≤ 0. Capítulo 5 5.24 x = 5C1 cos 3t + 5C2 sin 3t. 5. vemos que tn ∈ F (ǫ) para todo ǫ > 0: ∞ ǫt Xǫk tk ǫn tn n! ǫt e = > =⇒ tn < e . a 1  −2t  1  −2t  5. (|x| < 2).4 y = . (|x| < ∞).3 x = 0. 2 6. (|x| < 1). n=1 n ∞ X xn √ f2 (x) = (−1)n = cos x. x 6. 6. 1+x " ∞ # h i X(−1)n+1 n 6.   1 6.4 y = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x + x + x + x +··· 3 6 5 30 315 280 315 1400 11 4 21 5 81 6 1109 7 7.17 y = Ax + B e−x + x Ei(x) = C1 x + C2 x ln x + 1 − 2x + x . 1 − x2 2 ex −1 2 6. 2 2 4 28 1 + cos 2t 7.7 y ∼ x ∼ xex cuando |x| → ∞. 4 1 + cos 2t 7 sin t − sin 3t 7.1 ρ (x0 ) = n→∞ 6. n=0 2 2 6.6 y = 1 + x + 2x2 + 3x3 + x + x + x + x + O(x8 ).11 x = sin t + ǫ + ǫ2 + O(ǫ3 ).15 y = (A + B ln x). 4 28   2 7. Capítulo 7 4 7 6 37 404 7 369 8 428 9 1961 10 7. (|x| < 1).net . n=0 (2n)! ∞ X 1 f3 (x) = (n + 1)xn = .10 x = sin t + ǫ + O(ǫ2 ).21 y = A cos x2 + B sin x2 . 3ε http://librosysolucionarios. c0 + c1 x ′′ 6. n=2 n! (n − 1) 6.2 ∞ X xn f1 (x) = (−1)n+1 = ln(1 + x). −1 regulares y x = 1 irregular. n=0 (1 − x)2 !−2 ∞ n + 1 2n X x2 √ f4 (x) = n x = 1 − .16 y = x−1/4 A cos ωx3/2 + B sin ωx3/2 .9 Recuerde que |Γ(0)| = |Γ(−1)| = |Γ(−2)| = · · · = ∞. u = 0.SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6 313 Capítulo 6 1 l´ım |an |− n .8 E = n + h ¯ ω. con ω= . g 1 g 8. es separable y su solución E = 1 2 1 2 2 y + ω x expresa la conservación de la energía mecánica y nos dice que las trayectorias de 2 2 fases son elipses. l l http://librosysolucionarios.2 En la figura G.4 Diagrama de bifurcación de la ecuación (8.4). ω˙ = + ϕ.5 Espacio de fases del oscilador armónico. x20 + (a − x20 ) e−2at F IGURA G. 8. y ′ = −ω 2 x/y.7 θ˙ = ω.4 θ˙ = ω.314 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios Capítulo 8 8.4 puede verse el diagrama de bifurcación que corresponde a la solución general s a x = x0 .net . El sentido de las trayectorias de fases se halla recordando que y es la velocidad: si y = x˙ es positivo (negativo). (ϕ ≡ θ − π). H = ω 2 − cos θ. x crece (disminuye) y el sistema se mueve hacia la derecha (izquierda) en el espacio de fases. ω˙ = − θ. F IGURA G. ω˙ = − sin θ.3 La ecuación de las trayectorias de fases. l 2 l g g 8. ϕ˙ = ω. 8.net .SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 8 315 r r g g 8.27 Es invariante frente a la transformación (t. es decir.12 Ensayando la solución en la ecuación se tiene (A − k1) · x2 = x1 . y). (La solución está definida para t > −C/2 y estaba en r = −∞ para t = −C/2). 24-06-1880.26 ∂P/∂x + ∂Q/∂y = −2nγy 2n−1 .21 Asintóticamente estable en el primer caso e inestable en el segundo. x. −x. Es claro que el punto de equilibrio es inestable. 8.k=± . se obtiene la figura G. ˙ y˙ ≥ 0). Francia).13 La ecuación de las trayectorias de fases es y 2 dy = x2 dx.9 k = ±i . 8. Plombières.25 H = x2 y − x + y2 . 2 Jules Antoine Lissajous (4-03-1822. 2 8.6 Espacio de fases del sistema (8. que tiene soluciones excepto cuando A − k1 es idénticamente nulo. 8.23 Circunferencias. Desarrolló un mé- todo óptico para estudiar vibraciones y trabajó sobre diversos aspectos del movimiento ondulatorio y las vibraciones. puntos 1/3 de inflexión y el valor de la derivada de la solución y = (x3 + y03) . incluyendo el fenómeno de los batidos. Estudiando la asíntota. http://librosysolucionarios. Francia. 1 2  8.30 r = (2t + C)−1/2 → 0. Versalles. F IGURA G. l l 8.70). si no se cumple a12 = a21 = 0.6. 1 2  La derivada de la energía mecánica E = x + y 2 no es definida: E˙ = −γy 2n+1 . (Para hallar el sentido de recorrido basta usar que x. 8. 2 8.11 Recuerde las figuras de Lissajous2 o elimine t y use las propiedades de las curvas de segundo grado (las secciones cónicas). y) → (−t. − + − 1.12 Ay = λy =⇒ λ − λ kyk2ρ = hy. 9. Gλ (x. s) = √ −λ sinh √ −λℓ   sinh −λs sinh −λ(x − ℓ)    √ √ . 9.1 No hay solución distinta de la trivial. Ayiρ − hAy.net .10 h  i′ Legendre : 1 − x2 y ′ + n(n + 1)y = 0. si s ≤ x ≤ ℓ.13 Ayn = λyn =⇒ (λm − λn ) hyn . h i′ Laguerre : xe−x y ′ + λe−x y = 0. h 2 i′ 2 Hermite : e−x y ′ + λe−x y = 0. ym iρ = 0. yiρ = 0 =⇒ λ = λ. λ sinh −λℓ λ Cuando λ = 0.31 −2λ. si 0 ≤ x ≤ s. pero si se prefiere uno manifiestamente real basta usar sin(ix) = i sinh x: √ ℓ sinh −λx x y= √ − .  √ √   sin λx sin λ(s − ℓ)    √ √ . ∞ 1 1 2X cos 2nx 9. ym iρ = 0 =⇒ hyn . −λ sinh −λℓ http://librosysolucionarios. puede calcularse el límite λ → 0 o usarse el cálculo directo para hallar ∞ x 2  2ℓ X (−1)n sin nωx y= ℓ − x2 = − 2 .11. (Recuerde el ejercicio 8. λ sin λℓ y para λ < 0  √ √   sinh −λx sinh −λ(s − ℓ)    √ √ . El mismo resultado vale ℓ 0 λ sin λℓ λ π n (λ − n2 ω 2) cuando λ < 0. si 0 ≤ x ≤ s.   9.34 λ = 0.2). ym iρ = hyn .316 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 8. 1 + Ce−2λt s  γ γ 2 γ 8. − .18 + sin x − .24 Para λ > 0 estamos en el caso del problema 3.21 Sí. s) =  √ λ sin√ λℓ  sin λs sin λ(x − ℓ)    √ √ . 6 πω n=1 n3 9.32 r = . π 2 π n=1 4n2 − 1 s √ ! √ 2ℓ3 (−1)n Z 2 ℓ ℓ sin λx x 9. Gλ (x. √ − sin nωx dx = . s λ 8. si s ≤ x ≤ ℓ. 2 2 2 Capítulo 9 9. Aym iρ − hAyn . |f (x. ξ)(y − z). 1 2. (O. utilice allí la clásica notación con δ y ǫ). f (x. z) = (x. si lo prefiere. y) − f (x. y) − f (x. y + ln x en [0. está acotada en R. Por tanto.3). |∂f /∂y| < K.1 1. ∂f 4. Por el teorema del valor medio. para algún valor ∂y intermedio y < ξ < z (o z < ξ < y). 0)| = √ |y − 0|. 1]. Tome el límite z → y en (A.SOLUCIONES DEL APÉNDICE A 317 Apéndice A A. 1] × [0. como la derivada es continua. y 3. de forma que . . . ∂f . . . y) − f (x. z)| ≤ . |f (x. ξ). (x. . |y − z| ≤ K|y − z|. ∂y . ya que la delta se calcula en el punto de discontinuidad de la función de Heaviside.3 Use las funciones modificadas de Bessel del apartado D. http://librosysolucionarios. 6.1 Su apariencia denota que son la solución de una ecuación de segundo grado para la y que puede construirse fácilmente. Si x0 = 0 la solución máxima es y(x) = y0 / (1 − xy0 ).7 No sabe resolver la ecuación.net . ∞)). aunque A = ∞ (es decir. si y0 es negativo. por lo que. en (1/y0 . 1/y0) (o. tan grande como se quiera). B. Recuerde el ejercicio 1.9.8 θ(x − a)δ(x − a) no está bien definida (ni con el convenio θ(0) = 1).9. la solución solo está definida en (−∞. aunque su orden puede rebajarse a mano con z = y ′ para dar una ecuación equivalente que sí sabe resolver: B. B. 5. Apéndice B B. 6 0.4 -0.4 0.5 0.22 Véase la figura G. B. 2 2 .24 Use la opción Method->MethodEGF: Apéndice D √ 1 3 D.2 -1 -0.2 -0.318 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 0.2 z = 1.2: se han usado 64 términos.7 Serie de Fourier de la función de la figura 9.5 1 -0. − ± i .7 B.6 F IGURA G. .  n−1 . a . n . n . 7 l´ım . D. . n→∞ . = l´ım = e−1 . an+1 . x = − W − 1/c . n→∞ n+1 D.27846.8 W 2 (x) − W(x) + 1 Z W(x) dx = x . 8 W 2 (x)   1 c a   W abebc b D. W(x) Z 1 2 [2W 2 (x) + 1] [2W(x) − 1] x W(x) dx = x .net . x=   .9 x = W(1) ≈ 0.567143. http://librosysolucionarios. a b c ab   x = 1 + W e−1 ≈ 1. 10 Use la integral de Gauss Z ∞ 2 √ e−x dx = π −∞ y un desarrollo en serie de potencias del integrando.net .12 Usando de nuevo la integral de Gauss. erf(−x) = − erf(x). 1   ∞ Z t=u2 Z ∞ 2 √ Γ = e−t t−1/2 dt = 2 e−u du = π. http://librosysolucionarios. D. Por otro lado.SOLUCIONES DEL APÉNDICE D 319 D. 2 2 2 2 e inducción completa para el resto. 2 0 √ 0     3 1 1 π Γ = Γ = . 320 G Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios http://librosysolucionarios.net . Elsgoltz. ya que corresponden al nivel de esta asignatura. and some few to be chewed and digested. una lista relativamente corta de las últimas ediciones que conocemos de textos de introducción a las ecuaciones diferencia- les que urgimos al lector a manejar. R. [6] S. 4th ed.a ed. [2] W. 2. [3] L. Casasús y A. Reverté (1992). DiPrima. I. Ecuaciones y sistemas diferenciales. [7] S. Boyce y R.. Ecuaciones diferenciales. Aunque los libros de texto suelen contener colecciones de ejercicios. Textos elementales [1] W. URSS (1994). Al final proponemos algunos reputados textos complementarios y varios manuales de referen- cia para lectores avanzados. Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. L. L. E. Zarzo. [4] A. también hemos incluido algu- nos libros de problemas que pueden ayudar al estudiante a preparar concienzudamente la asignatura.net . A. Gray. Pinsky. 4..a ed. 321 http://librosysolucionarios. M. Addison-Wesley (1997). Ecuaciones diferenciales. que le resultará útil en diversas asignaturas. R.. Springer (1997). McGraw-Hill (1993). 4. Rojo. e incluso en un futuro ejercicio profesional. Marcellán. se recomienda al alumno obtener una tabla de fórmulas matemáticas. others to be swallowed. En lugar de abordar ese ejercicio de erudición.. Ross. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems.Bibliografía Some books are to be tasted. así como algunos útiles informáticos. Derrick and S. [8] G.a ed. Grossman. Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica. Francis Bacon El objetivo de esta sección no es intentar una recopilación exhaustiva de la abundantísima bibliografía que existe sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Además. primero. [5] F. McGraw-Hill (1990). Novo. Obaya y J. Mezzino and M. Limusa (1998). C. Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill (1995). F. hemos preferido recoger. Simmons. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. L. Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada. J. [14] I. McGraw-Hill (1953). Benjamin (1979). Mathematical Methods for Physicists. Funciones Generalizadas.. M. Hilbert. H. Krasnov. Methods of Mathematical Physics. (2 Vols. [17] R. Teoría de la estabilidad. I. Métodos matemáticos para las ciencias físicas. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. Makarenko. L. [21] E. Bronshtein and K. Weber. Wiley (1962). I. Semendiaev. Makarenko. Schwartz. Mathematical Methods of Physics. A. [20] M. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Selecciones Científicas (1969). [13] I. Ayres. Mathews and R. [16] V. Mir-Rubiños 1860 (1992). Feshbach. I. [24] A. Abellanas. R. Mir-Rubiños 1860 (1992). I.a ed. Cálculo operacional. Schaum. [23] L. R. Textos complementarios y avanzados [15] G. Academic Press (1995). Manual de Matemáticas. Springer (1997). S. Arnold. Kiselev y G. Ordinary Differential Equations. Benjamin (1970). Holmes Introduction to perturbation Methods. Mir-Rubiños 1860 (1992). Walker. Mecánica Analítica. Dover (1956). [10] A. Editorial URSS (1996). [27] L. [25] J. Smale Ecuaciones diferenciales. Krasnov y G. [26] P. 4th ed.. Tablas [12] M. [11] M. An Introduction to Mathematical Methods of Physics. Springer (1995). [19] M.). http://librosysolucionarios. Arfken and H. (2 Vols. sistemas dinámicos y álgebra lineal. M. [18] F. Rubiños-1860 (1995). Addison-Wesley (1973). Handbook of Mathematics. Funciones de variable compleja. Semendyayev. Ince. W. Kiseliov. Urmo (1972). Krall. I. Jones. Jones. Linear Methods of Applied Analysis. Courant and D.net . L. Spiegel y L. McGraw-Hill (1991). Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. M. Gantmájer. Morse and H. Schaum McGraw-Hill (1999). Alianza-Universidad (1983). M. Hirsch y S.322 BIBLIOGRAFÍA Colecciones de problemas [9] F. B.). 9. Bronshtein y K. L. [22] D. Methods of Theoretical Physics. M. Programas gratuitos en ftp://ftp. [38] D. Chelsea Publishing Company (1947-48). Aguirregabiria. Engeln-Müllges and F. 2nd ed..es/anonym/mathemat/mathematica. S. [37] E.ps [40] J. D. Springer (1998). Bulirsch. M.net ..no http://librosysolucionarios. C y C++ es el archivo http://www. Strogatz.Z 3 Una excelente fuente de rutinas numéricas gratuitas de todo tipo en FORTRAN. Handbook of Differential Equations.. H. Technical Report CS-93-03. Springer (1993). [29] F. “On the Lambert W Function”. 2nd ed. Zwillinger. 2nd ed. Acade- mic Press (1994).ehu. Knuth. Otras referencias [39] J.H. Corless. Computers in Physics. 56 (1994). Obras de referencia [35] M. Gradshteyn and I. Ryzhik.J..uwaterloo. Uhlig. Stegun. Nonlinear Dynamics and Chaos. A. A. (1992). Springer (1993. ftp://cs-archive. P.netlib. [30] W. Dover (1972). [32] E.unige. Hairer. “Getting started with Mathematica”. Springer (1996). Abramowitz and I. 1. 2nd ed. S. Comp. Gonnet. Cambridge University Press. Numerical Recipes: The Art of Scientific Programming.. Norsett and G.E.. T. “Are we careful enough when using computer algebra systems?”. M.ch/pub/doc/math [33] W. Kamke. Hare. Tables of Integrals. Teukolsky and V. [41] R. Addison-Wesley (1994).E. Academic Press (1992). Handbook of Mathematical Functions.. Wanner. Introduction to Numerical Analysis. No.BIBLIOGRAFÍA 323 [28] S. 2 Vols. [36] I. Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. H. Springer (1996). Series and Products.. Stoer and R.1996).M. 2nd ed. 8. Press. Solving Ordinary Differential Equations.ca/cs-archive/CS-93-03/W. Ordinary Differential Equations.ps. Numerical Algorithms with C. Rivas. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. G. D. S. [34] J. P. A. Jeffrey and D.G. Verhuslt. Dept. B.lc. Flannery. Fichero Postscript disponible como http://tp. 5th ed. Vetterling. Sci. Textos de cálculo numérico3 [31] G. University of Waterloo (1993). Walter. Aguirregabiria. Hernández and M. J. Arlington. Canadá. [46] H. DsTool. en la siguiente dirección: http://www-groups. University of St Andrews. M. (Véase en http://www. entre otras muchas posibilidades.ac. [44] Mathematica es distribuido por Wolfram Research. USA. F.324 BIBLIOGRAFÍA Programas integrados de cálculo matemático Contienen.lc. Cham- paign. Dynamics Solver. Inc.umn. 100 Trade Center Drive.net . [42] Macsyma es distribuido por Macsyma Inc.. 2nd ed. Worfolk.dcs. Myers. M. Escocia.ehu.geom.. M. J. MA 02174. A. métodos simbólicos y numéricos de resolu- ción de ecuaciones diferenciales. Springer(1989). Wicklin and P. Koçak. American Institute of Physics (1994). Back. Programas de resolución numérica de ecuaciones diferen- ciales Para MS-DOS [45] J. Aguirregabiria. O’Connor y Edmund F. Aguirregabiria. R. http://librosysolucionarios..st-and. Differential and Difference Equations through Computer Experiments. Water- loo. [43] Maple V es distribuido por Waterloo Maple Software. (Véase en http://tp.html Allí podrá encontrar resúmenes biográficos y bibliografía detallada.uk/~history/index.edu/software/dstool/) Historia de las ecuaciones diferenciales El lector interesado puede acudir al excelente MacTutor History of Mathematics archive que mantienen John J. ODE Workbench. Unit 2. Existen versiones para la mayor parte de los sistemas operativos. 20 Academy Street. Robertson de la School of Mathematical and Computational Sciences. Physics Academic Software. USA. 160 Columbia Street. Para Windows [47] J.es/JMA/ds/ds. IL 61820-7237. Guckenheimer.html) Para X-Windows [48] A. Ontario N2L 3L3. véase función subfactorial Baker-Campbell-Hausdorff ′ (derivada con respecto a x). 18 atractor.net . 105 primera. véase valor principal de Cauchy ecuación diferencial de. 216. véase número armónico ecuación diferencial de. 209 de velocidades. 285. 144 !!. 205. 210 vectorial. 226. 34 Adams-Bashforth-Moulton binomio método de. 146. 126 Ω. 50 función modificada de. 160 cambio error de. 159 ecuación diferencial de. 255 ecuación diferencial de. 128. 204. 169.Índice alfabético !. 137. véase fórmula de Liouville de primera especie. 121. 173. 114. 38 de Hopf. 170. 274 δ. 18. 283 de un número complejo. 126–129. 128. 240. 171 de Lorenz. argumento 270–273. véase función factorial símbolo de. véase matriz identidad teorema de. 289 de primera especie. 202 Adams. 291. 73. 275. 142. 204. véase operador lineal de segunda especie. óptima. véase función de Heaviside función de. 289 Abraham-Lorentz bifurcación. 279 conservativo. 21 extraño. 140. 27 − . 233 108. 159 diagrama de. 25. 186 Cantor. 33. 25–27. 152. 76 aproximación diferida al límite. 124. 311 Adams-Moulton biperiodicidad. 139. 128. véase función gamma de Euler Bessel. véase constante de Euler-Mascheroni 141. 168. 114. 27. 71. 215 Γ. 159 parámetro de. 317 fórmula de. véase matriz nula Bertrand. 9. 15 caótico. 73. 169. 199 ecuación diferencial de. 30 método de. 141. 174. 51–53. 205 Bachmann-Landau conjunto de. 41–44. 289 θ. R véase parte entera Bernoulli. 265 de Newton. 1 fórmula de. 279 campo valor principal. 2 base. 198. 208. 208 325 http://librosysolucionarios. 203 método de. 209. 97 ˙ (derivada con respecto a t). 270 0. 215 1. 259 escalar. 215 de Duffing. 161 aproximaciones sucesivas Burgers método de. 175 de variables. 48 ⌊x⌋. γ. 38 de segunda especie. 169. 207. 175 de escala. 21. 314 método de. 203 de direcciones. 159. 169 Adams-Bashforth Binet método de. 289 Abel. 199. 289 Abraham. 226. 159 Bulirsch-Stoer apocentro. 154 lineal. 205. 259 de fuerzas. 80. 208 integrable. 18 de Rössler. 289 A. 276. véase delta de Dirac (y delta de Kronecker) ecuación diferencial modificada de. 175. 16 d’Alembert. 168. 66. 274. 205. 219 ecuación diferencial de. 203. 314 caos determinista. 54. 293 cuadratura. Ci. 8. 14. 56. 44. 315 RL. 221 dependencia lineal. 102 problema de. 32–33. 190 de Moivre. 134. 276 en norma. 280 congruencia teorema de. 199–202. 37 de Lipschitz. 19. 280 ecuación diferencial de una. 275 convergencia. 7. 6 contorno valor principal de. 72. 255. 89. 204–210 constante Cardano. 274. 59. 101 del movimiento. 143 concomitante bilineal. 110 familia de curvas. 7 Cauchy-Euler problema de. 107–108 teorema de. 115. 275. 101. 106. 109. 213 semiestable. 287 transformación de. 115 condiciones iniciales cálculo simbólico. 89. 97. 77 cónica. 167. 274. 78 método de. 80. 201 curva ciencia no lineal. 94. 6. 60 coeficientes indeterminados integral. 13 ecuación diferencial de. 56 método de variación de constantes. véase función integral coseno 147 ciclo numérica. 72. 252. 202. 91 radio de. 62. 6. 97 dependencia sensible de las condiciones iniciales. 140 crecimiento ecuación diferencial de. 151. 13. 29. 275. 119 Cayley-Hamilton convolución. 93 condición cónica. 205 de Heaviside. 64. 251 homoclínica. 180 corriente no lineal. 14. 196–198 línea de. ternario. ecuación diferencial de. 51. 222 tautocrona. 277 inestable. 52. 168. 37. 317 invariante. 45. 143 de Euler. 277 isoclina. 230. 230–232. véase sección cónica de contorno. 32 uniparamétrica. 293 exponencial. 221 ortonormal. 77 definición conjunto intervalo de. 221 delta de Cantor. 213 114–116. 140. 275 por trozos. 73. 235. 8 dependencia sensible de las. 40. 111. 68 problema de. 250. véase ecuación diferen. véase constante de Euler-Mascheroni Carson-Heaviside de Euler-Mascheroni.net . 57. 109 sistema de. 220 sistema de. 272 gaussiana. 74. 239. 146. 107 centro. 220 Cayley. 291. véase operador de derivación inicial. 88. 37 RLC. 37 D. 108. 39 Clairaut. 44. 188. 71. 72. 10 completo. 42. 153 límite. 205 conservación depredador y presa http://librosysolucionarios. 90. 315 circuito de segundo grado. 243 en el infinito. 208 de Dirac. 98. 121. 286 condición de. 213 ley de. 167 congruencia de curvas. 312. 236. 103 polinomio de. 273. 85 conmutador. 62. 91 de Laplace. 201 cuenca de atracción.326 ÍNDICE ALFABÉTICO ternario. 119. 189. 171 Chébichev. 36 estrofoide. 25. 7 cúspide. 277 cial de Cauchy-Euler continuidad método de. véase integral primera Cauchy. 91. 51. 82. 213 cuasipolinomio. 204 de Kronecker. 51 conexión método de. 8. 3. 126.net . 272  polinomio de. 274. 208. 272 generalizada. 274 determinante de Bessel modificada. 26. 8. 275 derivada x = g (y ′ ). 43–44. 169. 83 de Chébichev. . 208. 121. 153 de la congruencia. 219 forma simétrica de una. 185 autónoma. 79. 36. 3 forma normal de una. 104 de Bessel. 73. 222 hoja de. 17 ′ y = g (y ). 41. . 76 diagrama de Cauchy. 24. 272. de Gauss. 3. 71. 213 de Duffing. 317 de Hermite. 216. 108. . 25. véase función generalizada de Liénard. 53. véase wronskiano de Burgers. 167 Euler Dirac. 41–42. véase ecuación diferencial de Cau- de bifurcación. 72 F x. . 34 de Wronski. 272 fractal. 142. 2 canónicas de Hamilton. 77 error de. 1–3  método de. 185 adjunta. 273. 47. 2. 236. 275 exacta. 275 operador de. 137. 174. 213 dinámica de Euler. y ′ . 202 ecuación diferencial de. 63 F y. 246 de Schrödinger. 274. 272 indicial. 214 de Volterra. 114 completa con coeficientes constantes. 6. 171. 226. 293 dimensión. 92 forma canónica de una. 123. 175 de Riccati. 114 derivación ecuación diferencial. 3 exacta. 116 en fracciones simples. 26. 270 finita. 270. 154 de Lagrange. 230–232. 32. 53–57. 47. véase ecuación diferencial de Cauchy- cualitativa. y (n) = 0. 271 αx+βy+γ derivadas cruzadas. 109. 3 equidimensional en y. 74. 114 hipergeométrica. 1 isobárica. 32. 75. 78. 211 ecuaciones en derivadas parciales. 275 descomposición con retraso. 141. 78. 27. 316 peine de. 201. 59 de Friedmann. 33. y ′ . 246 de Newton. . 24. 17–19. 274 integral. 215. 114–116. 235.ÍNDICE ALFABÉTICO 327 modelo de. 42–43. 235 de Kummer. 36. 148. 271 logarítmica. 314 chy-Euler diferencial de Cauchy-Euler. 59–61. 37 delta de. 271 funcional. 142 en diferencias finitas. 15 de Volterra. 312. y ′′ . 174 equidimensional en x. 62. 34. y ′′ . 25. 289 de Vandermonde. 44. 71. 267 homogénea. 252. 270 de Verhulst. véase ecuación diferencial confluente. 152. 3. 274. 213 de Clairaut. 175 de Laguerre. 75 característica. 220 de Legendre. 38 desintegración radiactiva. 31. 234 lineal. 127. 44. 131 completa. 276 ecuación lineal. 214 equivalente a un sistema. 83. 295. 89. 27. 98 de Bernoulli. 63 F (y ′ ) = 0. 274. 275 de Lotka-Volterra. 201 divergencia. 213 de variables separadas. 274 diferencial. 32. 272 Descartes. 223. 41. 316 distribución. . 275 de Einstein. 294. 19. 72. 106. 134. 14. 296. 274 discretización. 163. 223. 270. 40. 65–70 http://librosysolucionarios. 274 111. 250. 106 de Abraham-Lorentz. y (n) = 0. 310 de Binet. 40 atractor de. 316 distancia. 15. . 270 Duffing de una familia de curvas. 272 discriminante. 114. . 40 de Maxwell. 270 desplazamiento teorema del. 123. 46. 209 de van der Pol. 135 y′ = f ax+by+c . 223. 58 y ′ = f (ax  + by +c). 33. 29–34. 42. 24. 75 estable. 210 especial. 77 cial de Cauchy-Euler sin la variable dependiente. 13. 3–4 método implícito de. 250. 204 familia espacio de curvas. 309 teorema de. 234. 143 de Hilbert. 2 método de.328 ÍNDICE ALFABÉTICO completa de segundo orden. 239 equilibrio exponencial punto de. véase función error imaginaria de Richardson. 271. 64. 21 característico. 92 equivalencia de Floquet. 20–23. 52. 102 de Gibbs. 308. 73. 160 de aproximación. 30. 37. 119. 79. 25. 181 de Liapunov. 168 homogénea a gran escala. 39. 178 homogénea. 9. 314 constante de. véase función factorial de Landau. 8. 280 sistema de ecuaciones diferenciales. 43. 273 de Fourier. 276 solución de una. 178 homogénea con coeficientes constantes. 273. 205 método mejorado de. 262 equipotencial exponente curva. 154 f (t + 0). 75 invariancia de. véase límite por la derecha local. 28–29. 160 erfi. 115. 272. 272. véase transformación de Fourier de truncamiento. 14. 213 erf. 169 no resuelta en la derivada. 206. 44. 36. 273 espectro. 113. 39 L2 (a. 139. 19. 40. 154. 154 f (t − 0). 205. 3 Euler.net . 75 http://librosysolucionarios. 29 de la energía mecánica. 201 topológica. 22. 18. 160 de discretización. 64 ordinaria. 155 Ei. 21. 40 L2 (a. 86 exacta. véase límite por la izquierda escala factor cambio de. 287 ley de conservación excentricidad. 215. 75. véase función error complementaria de Neville. véase constante de Euler-Masche- rígida. 272 lineal. 169 inhomogénea. 273 inestable. 105 integrante. 266 de fases. 156 Einstein. 46–53. 41 función gamma de. 90. 3 Euler-Mascheroni energía mecánica. 154 racional. 160 error método de. 8. 7. b). 176–184 orden de una. 168 de una matriz. 221 fenómeno F(α). 78. 96. 160 F(α). 161 roni separable. 91. 47 asintótica. 284–285 singular. 64. 221 Fibonacci. 119 de soluciones de la ecuación homogénea. dµ). véase espacio F(α) global. 188 existencia enlace global de la solución. véase función integral exponencial método modificado de. 221 65. b. 73. 47. 147. 48. 13. 152 fórmula de. 235 incompleta. 3 ángulo de. 91. 16. 170 Ferrari. 44. 271 escenario factorial. 42. 154 de redondeo. 1 constante de. 270 ecuación diferencial de. véase ecuación diferen- significado geométrico de una. 221 ecuación diferencial de una. 29. 44. 188. 154 F . 243 fórmula de. véase función error extrapolación erfc. 63– separable. 25. véase ecuación diferencial lineal estabilidad. 154. 226 homogénea de segundo orden. 28. 204 ecuaciones de. 11. 42. 153 existencia y unicidad envolvente. 161 efecto mariposa. 227. 50. 212 figuras de Newmann. 222 de segunda especie. 303–305 indicial. 108. 288 teorema de la alternativa de. 128. véase función integral seno serie de. 266 hipergeométrica de Gauss. véase función error imaginaria positiva. 286–287 Friedmann integral seno. 139. 125 de Heaviside. 291 homogénea. 201 de Weierstrass. 128. 289 exponente de. 279 complementaria. 284–285 fórmula de inversión. 265 317 serie de cosenos de. 283 formula imaginaria. 142 Gauss. 191. véase hamiltoniano de Rodrigues. 119 forma elíptica. véase función error definida. 279 Fourier. 109. 106 de Bessel. 229 completa. 235 111. 214 integral elíptica. 289 de Lissajous. 108. véase función integral exponencial foco. 125. 104.net . 139. 111 de desarrollo de Heaviside. 227. 10 delta de Dirac. 284 115. 139 http://librosysolucionarios. 287 ecuación diferencial de. 96 de dos puntos. 8. 289 de Green. 286 espectro de. 139. 284. 80. 59 analítica. 9. 116 integral coseno. 35. 226 factorial. 110 fluido. 37 puerta. 59 transformación de. 252. 263.ÍNDICE ALFABÉTICO 329 número de. 283 polar de un número complejo. 234. 192. 25 tablas de transformadas de. 288 cartesiana de un número complejo. de Stirling. 8. 213 subfactorial. 114. 140. 231. 289 de Euler. 235 escalón unidad. 74 entre cuencas de atracción. 317 de Glauber. 282–283 sucesión de. 101. 287 Fredholm. 139. 74. 128. 75. 279 erf. 179 elemental. 229 integral exponencial. 315 de transferencia. 115. 102. 113. 267 de Liapunov. serie de senos de. 89. 252. 303–305 impulso unidad. serie compleja de. 63. 53 de Baker-Campbell-Hausdorff. véase fórmula de Liouville de Hamilton. 9. 113. 251. 97 de primera especie. 72. serie de. 212 erfi. 226 142. 110 Floquet de Weber. 138. 111. 72. 72. 131 transformación inversa de. 116 generalizada. 287 fractal. 229 de Ostrogradski. véase fórmula de Liouville complementaria. 235. 119. 114–116. 230–232. 113. véase función error complementaria negativa. 89. véase función integral coseno de Abel. 128. 142. 97 continua por trozos. 171 Ei. 153 de primera especie. 290 serie truncada de. 75 de Lambert. 235 gamma de Euler. 106. 116 de Green. 235. 125. 201 del sistema. 210. 115. 204. 317 de Kummer. 234 frontera signo. 280 de Bessel modificada. 17 método de. 59 flujo. 283 de Poisson. 229 de Liouville. 139. 113. 212 error. 130 Si. 121 regular. 61 Frobenius. 293–296 especial. 289 de enlace. 208. 233 hipergeométrica confluente de Kummer. 59–62. 236. 57–63. 139. 286 función sumable. 113. 114. 234 teoría de. 266. 57. 312. 212 erfc. 289 de inversión de Fourier. 121 sierra. 57 de Rodrigues. 120 fórmula Ci. 21. 104. 222 Jν . 34. función de. 157 Hermite. 174 Kepler. 63. 54. 160 de escala. 155–156 l’Hôpital. 181 jacobiano. 25. 272 hoja identidad de. 188 Laguerre. 222 función de. 139. 141 I. 275 función de. 204 inestabilidad. 210 Green. 123.330 ÍNDICE ALFABÉTICO ecuación diferencial hipergeométrica de. 136. 10 Gragg invariancia método de. 172 especie ecuaciones canónicas. 223. 281 fórmula de. 89. 142 cálculo simbólico de. véase símbolo de Bachmann-Landau infinito. 141. 221 http://librosysolucionarios. 274. 57 Kummer. 108. 153 grados de libertad intervalo número de. véase transformación de Laplace polinomio de. 33–34. 297–301 integral transformación de. 107 método de. 103. 269. 199. 59–62. 204 Im . 294 L. 9. véase operador lineal Heun Ln . 202 teorema de. 221 Heaviside. 316 Iν . 294. 295. 44. 42. 274 función de. 234 exponencial. 108 teorema de. 290. 35. 266 primera. 79 de definición. 164. 291 elíptica. véase función de Bessel modificada de primera es. 277 Glauber valor principal de Cauchy. 223. 290. 295 identidad Lambert de Lagrange. 58. 221 Lagrange. 31. polinomio de. 29. 27. 222 de traslación. 172 problema de. 33 transformación de. 102 inspección convolución de. 229–232 isoclina. 231. 121. véase función de Bessel de primera especie Grobman-Hartman Jacobi. 104 de Gauss. 142. 291 Gibbs. 58. 199 principio de. véase función de Bessel modificada de segunda Hamilton. 216 Hankel Kronecker. 88 Landau. 290 fórmula de desarrollo. 36. 21 matriz. 221 función hipergeométrica de. 266. 72. 106 Kutta. 97 interpolación. 57. véase parte imaginaria escenario de. 81–83. 251. 274 de Riemann. 221 integral de. 234. 222 de Descartes. 101 ecuación diferencial de. 319 Lebesgue. 143 función de Green de dos puntos. 125. 163 Hilbert. 58 de Lebesgue. 188 bifurcación de. 41. 246 tablas de transformadas de. 295 pecie polinomio generalizado de. 169 símbolo de. véase polinomio de Laguerre método de. 221 regla de. 174 Hn . 125. 163 espacio de. véase polinomio de Hermite Kν . 9. 227. 164. 229 fórmula de. véase función indicial ecuación diferencial de. 316 L. 101. 58. 286–287 fenómeno de. 124 Laplace. 185 operador adjunto formal de. 274. 68 ecuación diferencial de. 195. 276. 139. 297 curvilínea. 111. 39. 43. 252.net . 102. 18 propiedades de la. 142. 10. 108. 222 Hopf. 287–289 integral de. 72. 216 hamiltoniano. 142 115. 317 función hipergeométrica confluente de. 141. 319 completa. 124 ecuación diferencial de. 101 delta de. 221 transformación de. 236. 239 de Bulirsch-Stoer. 239. 156 de Picard. 88 transformación de. 296 Mellin Leibniz. 201 de derivación. 146. 191–196. 91. 87 277 Maxwell. 214 Levinson-Smith de Volterra. 88 de un paso. 106 cosmológico estándar. 123 de aproximaciones sucesivas. 254 generalizado. 136. 201 de Euler. 255 Lipschitz. 176 límite de la serie de Taylor. 38 de extrapolación. 91. 184. 314 constante del movimiento. 204. 171 de los trapecios. 236. 214 de la estabilidad lineal. 291. 206. 72 teorema de. 90. 201 momento angular. 159 fórmula de. 140. 168 aproximado. 50. 273. 161 condición de. 3 ecuación diferencial de. 275 Mathematica. 27. 214 teorema de. 255 masa de Poincaré-Lindstedt. 94. 274. 8 segundo método de. 82. 80. 172 analítico exacto. 212 cualitativo. 159. 259 de Gragg. 94. 314 ra del momento angular. 7–9. 60 de las múltiples escalas. 80. 159 transformación de. 275. 164 relativista. 316 medida. 111 de las parábolas. 8 exponente de. 20 de Torricelli. 158 canónica. 191 de Adams. 186 de variación de constantes. 275 Lissajous. 75. 42. 273. 146. 86–88. 89. 161 del sistema. 3 de varios pasos. véase integral prime- de la energía mecánica. 246 ecuaciones de. 51. 36 de reducción a una ecuación. 236. 96 de Adams-Bashforth-Moulton. 88 modelo Lerch. 158 línea de los dos tiempos. 269 Liapunov. 251 ecuación diferencial de. 10. 160–161 Lorenz de Frobenius. 9 fundamental. 188. 262 de separación de variables. 259 de Heun. 88 de transformación. 315 de coeficientes indeterminados. 34. 64. 223. 159 Liouville. 136. 29. 175 de Runge-Kutta. 240. 204–206. 245 de resolución. 8. 53. 11 método segunda ley de Newton. 54. 157. 44. 158 jacobiana. 269 matriz de Romberg. 155 Lotka-Volterra de inspección. 101 regla de. 167. 142. 29 ley movimiento de conservación. 296. figuras de. 230. 276 de Simpson. 8. 197 de Adams-Moulton. 37 teorema de. 40–44. 158 http://librosysolucionarios. 276 Lorentz. 254 función de. 81 variable. 56. 188. 130 atractor de. 106 de depredador y presa. 213 analítico. 243 de Cauchy. 66–68. 29 multiplicador. 151. 264 exponencial de una. 277 Liénard de d’Alembert. 176 cuantitativo. nula. 54. 160 sistema de. 315 255. 154. 150 por la derecha. 145. 194 primer método de. 163 de corriente.ÍNDICE ALFABÉTICO 331 Legendre. 115. 150. 76. 36 de reducción de orden. 274. 53 de Adams-Bashforth. 146. 115. 265 teorema de. 88. 111 por la izquierda. 240. 220 polinomio de. 140 ecuaciones de. 29. 25 identidad. 174. 275. 8.net . 176 cuántico. véase polinomio de derivación extrapolación de. perturbativo. 57. 154 armónico. 156–157 inverso. 222 Poincaré-Bendixson http://librosysolucionarios. 195. 148. 255 de Fibonacci. 279 de Dirac. 116. 49. 201 numérico. 75 teorema de. 220 de bifurcación.332 ÍNDICE ALFABÉTICO del operador de anulación. 154 implícito de Euler. 101 de integración. 167 operador sección de. 143. 78 pequeño. 50 de un número complejo. 274 de derivación. 279 perturbación. 235 conjugado. 169 notación. 221 modificado de Euler. 269 orden gráfico. 133. 148 forma polar. 164 no lineal. 172 parte nodo. 256 190. 191 lineal. 79 Pochhammer símbolo de. 148. 279 regular. 198 módulo Ostrogradski. 68–70. 274 modificado. 188. 10. 84 paso núcleo. 223 exacto. 186. 292–296 parte imaginaria. 220. 182 parámetro norma. 115 Poincaré. 279 método de. 89. 159–160 forzado. 256 WKB. 279 pericentro. 279 degenerado. 7 armónico. 40. 163. 285 onda sinusoidal rectificada. 293 propio. 153 número Peano. 62. 148. 279 Picard. 259 amortiguado. 222 sección estroboscópica de. 2 transformación del. 222 del punto medio. 233 segunda ley de. 102 de van der Pol. 163 implícito. 155 reducción de. véase polinomio de Legendre función de. 74. 291. 153–162. 160 P. 279–280 peine argumento. 274 directo de Liapunov. 163. 311 Parseval. 148–153. 275 mejorado del polígono. 191 cuasiarmónico. 161 exponencial. 68. 84. 154 formalmente autoadjunto. 63 del polígono. 172. 152. 66 de anulación. 3 teorema de. 170. 103 mejorado de Euler. 160 método del. 161 de un método. 74. 239 de grados de libertad. véase fórmula de Liouville Neville P (D). 279 en estrella. 8. 201. 172. 164 matricial. 156 ortogonalidad. 206 binomio de. 279 peso. 256 módulo. véase concomitante bilineal Newmann Pn . 200 de magnitud. 66 del operador inverso. 177 imaginaria de un número complejo. 135. 63. 128. 245. 72. 222. 123. 182 parte entera.net . 186. 136. 209 autoadjunto. 164 simbólico. 49. 285. 144. 30 forma cartesiana. 287 teorema de. 182 real de un número complejo. 34. 273. 47. 110 segundo de Liapunov. 314 primero de Liapunov. 152–153. 7. 202 adjunto formal de Lagrange. 240 complejo. 187 orden de un. 123 pronosticador-corrector. 202. 8. 234 ecuación de. 146 parte real. 289 panadero Newton. 156 oscilador. 146–147. 3. 279 fórmula de. 290. 135–137. 216 relatividad de Sturm-Liouville. 119 de Laguerre. 293–296 de equilibrio. 152 Runge-Kutta de silla. 130 característico. 72. 216 inhomogéneo residuo. 123. 163. 127. 202 Richardson. 85 de l’Hôpital. 149 periódico de Sturm-Liouville. 60 integral de. 21. 181. de contorno. 125. 235 irregular. 34. 125. 220 ecuación diferencial de. 8. 119 newtoniano. 31. 163 problema de Leibniz. 123. 47. 275 de Lagrange. 63 péndulo. 188 regla de superposición. 224 punto de. 37. 267 de Legendre. 10 de reposo. 107 de Sturm-Liouville. 280 polinomio ortogonal. 92 de Laguerre. 57. 221 punto Robertson-Walker acnodal. 37 método de. 58 pulso gaussiano. 151. 236. 124 relación de. 208 estacionario. 152 singular de Sturm-Liouville. 196. 168 fórmula de. 179 extrapolación de. 296 raíz generalizado característica. 295 principal. 62. 52. 140. véase punto de equilibrio Runge. 121 formula de. 1. 293–296 de Kepler. 141. 175. 121 recurrencia. 201 fijo. 51. 124 Rössler espiral. 179 atractor de. 16. véase punto de equilibrio sistema de. 179 método de. 8. 154 289. 109 de recurrencia. 160 puerto. 206 de Chébichev. 122. 267. 224 retroceso regular de Sturm-Liouville. 198. 19. 64. 63 radio de Hermite. 135–137. 206. 36. 138. 121. método de. 185–188. 294 de convergencia. 74 elemental. 215 73. 293 de derivación. 40. 219 289. 121 polinomio regular. 29. 29. véase punto de equilibrio Poincaré-Lindstedt múltiple. 264 del infinito. 291. 17. 37 crítico. 81 principio de orden. 173. 168 Romberg no hiperbólico. 6. 295 razón áurea. 137 Poisson. 164. 168. 136. 267. 164 ordinario. 224 Riccati. 235 singular. 141. 259 http://librosysolucionarios. 290. véase parte real polo. 6 relación de condiciones iniciales. 58. 121. 291. 73. 215 a cuadraturas. 76. 129. 270 proyección. 53. 160 no lineal. 215 a una ecuación.net . 72. 183.ÍNDICE ALFABÉTICO 333 teorema de. 161 216 rozamiento. 11. 121. 88 de Cauchy. 285 polígono de tres puntos. 29 universo de. 273. 292–296 Re . véase punto de equilibrio Rodrigues. 25. 7. 125 aislado. central. método del. 157–158. 189 formula de. 129. 27 producto escalar. 140. 125. 67. 74. 18 reducción armónico. 293–296 potencial. 189. 223 especial. 127. 27. 72 general. 211 Riemann. 125 cúspide. 228 resonancia. 157 de retroceso. 17 condición en el infinito. 224 suma de series. 8. 291 sistema fundamental de soluciones. 261 separación de variables. 28. 224 problema regular de. 138. 284 derivada de. 285 conservativo. 217 de la ecuación lineal homogénea. 284 de senos. 144 dinámico. 20. 37 Schwarzschild. 224 truncada. 224 Si. 10. 233 Stirling. 234 Sturm. 79 de orden de magnitud. 195. 91. 198 de Bertrand. 3 compleja. 2 unidimensional. 172. 199 armónica. 11. 53. 4. 183. 209 familia paramétrica de soluciones. 188. 214 símbolo de Rössler. 5. 5.net . 227. 78 semilatus rectum. 89–95. 53. 44. 272 serie periódica. 47. 144 autónomo. 47. 88–89 de de Moivre. 4. 291 problema periódico de. 31 término. 144 inhomogéneo de. véase función signo sucesión simetría. 10. 174 Taylor. 114. 79–80. 174. 216 implícita. 98. homogéneo. 7 de Poincaré. 175 teorema reversible. 10. 115 disipativo. 265 tipo de. 4.334 ÍNDICE ALFABÉTICO Schrödinger. 204. 145 hamiltoniano. 33. 82. 239 mecánico de Grobman-Hartman. 21 de cálculo simbólico. 261 estroboscópica de Poincaré. 267 Simpson. 174. 109 de existencia global. 85 de Lotka-Volterra. 149 general. 285. 158 de series. 6–7 de cosenos. 198 de Fibonacci. 174 Tn . 181 conservativo. 205. 93 superposición de Lorenz. 16. 82. 235 unicidad de la. 189 particular. 229 http://librosysolucionarios. 197 cuasilineal. 119–120. 172. 48. 170 de Pochhammer. 254 linealizado. 91 completo. véase polinomio de Chébichev discreto. 83–95 de existencia y unicidad. 158 suma método de. 215 lineal de Cayley-Hamilton. 84. 172–174. 197 serie de. 40. 202 explícita. 86 sección elemental. 276 ortogonal. 242 teorema de. 4. 138. 215. 259 de Bachmann-Landau. 89. 206. 48. 243–244 de primer orden. 139. 75. 7. 226 fórmula de. 14. 5. 230 cónica. 145. 51. 287 singular. 263 problema singular de. 40. 123. 49. 266 Sturm-Liouville de Frobenius. 145. 152. véase función integral seno subfactorial. 280 con coeficientes constantes. 254 problema de. 49. 186. 259 principio de. 168. 21 intervalo de definición de una. 28. 195 de la alternativa de Fredholm. 9 paramétrica. 84–88 78. 4 método de. 198 ecuación de. 61–63. véase función subfactorial sign. 223 geométrica. 228 de Taylor. 219 solución Schwarz comparación de soluciones. 250 binómica. 86 de Fourier. 5. 315 existencia de la. 215 tautocrona. 263 sistema superficie de Cauchy-Euler. 142. 14 secular formal. 121 problema de potencias. 5. 147. 29. 234. 2. 261 separatriz. 101. 114 de Fourier. 151 vector toro. 310 de Parseval. 188. 217 de Robertson-Walker. 7. 41–44. 148. 201 53. 11 propio. 310 de Liénard. 195 ortogonal. 215 imaginaria. 101 función de. 215 principal de Cauchy. 275. 101 ecuación de. véase wronskiano invariancia de. 76. 73. 11 velocidad. 251. 289 del panadero. 10 tr. 151 estable.ÍNDICE ALFABÉTICO 335 de Lagrange. 101 función de. 101. 202 de Levinson-Smith. 180 de Hilbert. 33. de Schwarz. 283 del desplazamiento. 281. véase función de Bessel de segunda especie de fases. 39. 9. 45. 152. 279 propio. 45 traslación determinante de. 251. 286 principal del argumento. 297 W. 262 http://librosysolucionarios. 190. 1 fundamental del álgebra. 121. 108. véase traza límite. 116. 211. 235. 203 nulo. 151. 199 universo circular. 127. 189. 53. 88. 211 superlento. 79. 213 rápido. 168. 41 transferencia Verhulst. 41. véase método WKB método de. 84 Torricelli. 206 Weierstrass. 211 transformación Volterra. 199. 47. 150. 269. 121. 114 de Carson-Heaviside. 103. 202. 106 ecuación diferencial de. 128. 277 tiempo variedad lento. 179. 179. 154. 184. 142. 25–27. 151 inestable. 226. 17 173. 36 ábside. 116 WKB. 279 cerrada. 101. 190 valor periódica. 216. 190. 123. 275. 101 de Laplace. 189. 175 ángulo truncamiento de Euler. 262 ley de. 240 adimensional. 104 dependiente. 101 vórtice. 234 inversa de Fourier. 189. 124. 63 independiente. 187. 270–273. 92. 201 método de. 92. 201 determinante de. 211 función de. 10 unidad órbita. 134 de la solución. 123 Weber de Mellin. 1 teoría variación de constantes de Floquet. 21. 174. 51– de Poincaré-Bendixson. 204 error de. 170. 214 de Hankel. 239 cambio de variables. 276.net . 170 homoclínica. 110 ecuación diferencial de. 160 índice. 197 Vandermonde. 25 Wronski. 142. 34 traza. 188 van der Pol de Lerch. 217 acotada. 96. 54. 148–151. 29. 141. véase función de Lambert de Liouville. 71. 131 unicidad doble. 256 de Liouville. 201 oscilador de. 233 variable de Peano. 30. 85 trayectoria. 214 Yν . 37 de fases. 198. 215 geométrica. 234 integral. 201. 275 wronskiano. 201. 189 de Picard. 115. 303 modelo de. Documents Similar To Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Para Estudiantes de Física Juan M. Aguirre GabiriaSkip carouselcarousel previouscarousel nextMETODOS NUMERICOS.docECUACIONESlab1Trabajo Gr Up Tipos de Errores100401 12 Trabajo Colaborativo 2Chapra.AppliedNumericalMethodsVelocidades Coherentes J Hidalgo 19-05-05Mapa (metodos numericos)MN - 2013b - 1 Metodos Num - Matlab2013_2La importancia de utilizar métodos numéricos en mi carreraMétodos Numéricos(749113153) Antologiaing CesarManu1 u2 Ea CrabTarea 1 METODOS NUMERICOSVentana OperacionalIntro Cucci OnAta y ValidaciónTrabajo Colaborativo Fase 3Identificación de modelos de orden reducido a partir de la curva de reacción del procesoGuía de Ejercitacion Teorica 2 - Mate BBL4.6_Matematiquesmntema1Trabajo Finallab 1Ejecucion_nominaMétodos Para Cálculo de PoblaciónHistoria de La InformaticaIIPEDIC2016e Cuac i Ones Line a Les Orden SuperiorMore From DuvanMontoyaSkip carouselcarousel previouscarousel nextsituacionmetamódulo_1_-_el_método_científico (1)Preliminar Frank AcevedoUnad Quimica GeneralAPLICACIÓN LOGARITMICA Y EXPONENCIAL A LA ECONOMIA Y ADMINISTRACION.docxlista-de-verbos-utilizados-en-la-investigacic3b3n.pdftema1.pptLogica UNADProblema4Logica Unad TAREA 1Trabajo Fisica General UnadLOGICAA UNADAplicación Logaritmica y Exponencial a La Economia y AdministracionFASE 1 y 2 Calculo DiferencialTerceraTarea de Probabilidad Mayo 201826_01_Morales.pdfEcuaciones diferencialesTALLER_1_MECANICA_FLUIDOS_2018-I.pdf266659813 Energia Cinetica Problemario ResueltoPUNTO 4.docxPUNTO 2PUNTO 4soporte ecuaciones diferenciales.pdf234571242-Estadistica-Inferencial-estadistica-Inferencial.pdfMalla Ingeniería TelecomunicacionesPensum3ENSAYO 1Taller 2115_Prácticos Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I.doc234898036-apuntesclaseestadisticaiitsz-090603183802-phpapp01.pdf1217995662.Guía práctica 1_Economía II.docMenú del pie de páginaVolver arribaAcerca deAcerca de ScribdPrensaNuestro blog¡Únase a nuestro equipo!ContáctenosRegístrese hoyInvitar amigosObsequiosAsistenciaAyuda / Preguntas frecuentesAccesibilidadAyuda de compraAdChoicesEditoresLegalTérminosPrivacidadCopyrightRedes socialesCopyright © 2018 Scribd Inc. .Buscar libros.Directorio del sitio.Idioma del sitio: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaMaster your semester with Scribd & The New York TimesSpecial offer for students: Only $4.99/month.Master your semester with Scribd & The New York TimesRead Free for 30 DaysCancel anytime.Read Free for 30 DaysUsted está leyendo una previsualización gratuita.DescargarCerrar diálogo¿Está seguro?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELARAceptar


Comments

Copyright © 2023 UPDOCS Inc.