1.- TEMA: DEFORMACIONES EN VIGAS DEFLEXIÓN “ECUACIÓN UNIVERSAL” 2.- OBJETIVOS.- 2.1 OBJETIVO GENERAL Conocer los diferentes métodos para la resolución de las deformaciones en vigas 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Estudiar el método de la Ecuación general para deformaciones en vigas. Resolver problemas de deformaciones en vigas mediante el método de la ecuación general Analizar los resultados que se obtendrán mediante los cálculos, para escoger la mejor elección para el diseño de vigas. 3.-MARCO TEÓRICO DETERMINACIÓN DE LAS DEFORMACIONES EN VIGAS ECUACIÓN GENERAL Si sobre una viga actúan varias fuerzas, entonces en los distintos tramos de la ley de variación de los momentos flectores estará dada por distintas expresiones analíticas. Será necesario plantear la ecuación diferencial de la línea elástica para cada tramo. El número de constantes de integración resultará ser el doble del número de tramos. Para calcularlas, siempre se puede plantear el número suficiente de ecuaciones, aprovechando para ello los apoyos y en los extremos de los tramos contiguos, son de las cargas y los ángulos de inclinación son iguales entre sí. introducimos para el momento M el multiplicando (z-a)0 que es igual a la unidad. Estos procedimientos consisten en lo siguiente: 1. independientemente del número de tramos. Obtenemos la expresión del momento flector en la sección siempre como el momento de las fueras exteriores. 2.Si no es posible realizar esto recurrimos a procedimientos especiales. Integramos estas expresiones sin abrir los paréntesis 3. situadas entre el origen del sistema de coordenadas. Tramo 1 𝑀𝑍 = 0 𝐸𝐽 𝑦´´ 1 = 0 𝐸𝐽 𝑦´1 = 𝐶1 𝐸𝐽𝑦1 = 𝐶1𝑧1 + 𝐷1 Tramo 2 𝑀𝑧 = 𝑀 = 𝑀(𝑧2 − 𝑎)0 𝐸𝐽 𝑦´´ 2 = 𝑀(𝑧2 − 𝑎)0 𝐸𝐽 𝑦´1 = 𝑀(𝑧2 − 𝑎) + 𝐶2 𝑧2 𝑀(𝑧4 − 𝑎)2 𝐸𝐽𝑦1 = + 𝐶2 𝑧2 + 𝐷 2 2 Tramo 3 𝑀1 = 𝑀(𝑧3 − 𝑎)0 + 𝑃(𝑧3 − 𝑏) 𝐸𝐽 𝑦´´ 3 = 𝑀(𝑧3 − 𝑎)0 + 𝑃(𝑧3 − 𝑏) 𝑃(𝑧3 − 𝑏)2 𝐸𝐽 𝑦´3 = 𝑀(𝑧3 − 𝑎) + + 𝐶3 2 . Planteemos e integremos la ecuación diferencial de la flexión para cada uno de los cuatro tramos de la viga. en el caso de muchos tramos de solicitación. entonces el cálculo de las constantes arbitrarias. resulta muy laborioso. Con procedimientos especiales puede reducirse a dos el número de constantes de integración. Para obtener una fórmula definitiva mas cómoda. 4. Como ya se indicó anteriormente la constante arbitraria C representa el Angulo de giro del origen de coordenadas multiplicado por la rigidez de la sección de la viga. que se obtienen de las condiciones 7 y 8. en lugar de ocho constantes quedan dos. 𝑀(𝑧4 − 𝑎)2 𝑃(𝑧3 − 𝑏)3 𝐸𝐽𝑦1 = + + 𝐶3 𝑧3 + 𝐷 3 2 6 Tramo 4 𝑞(𝑧4 − 𝑐)2 𝑀𝑧 = 𝑀(𝑧4 − 𝑎)0 + 𝑃(𝑧4 − 𝑏) ÷ 2 𝑞(𝑧4 −𝑐)2 𝐸𝐽 𝑦´´ 4 = 𝑀(𝑧4 − 𝑎)0 + 𝑃(𝑧4 − 𝑏) ÷ 2 𝑃(𝑧4 − 𝑏)2 𝑞(𝑧4 − 𝑐)3 𝐸𝐽 𝑦´4 = 𝑀(𝑧4 − 𝑎) + + + 𝐶3 2 6 𝑀(𝑧4 − 𝑎)2 𝑃(𝑧4 − 𝑏)3 𝑞(𝑧4 − 𝑐)3 𝐸𝐽𝑦4 = + + + 𝐶4 𝑧4 + 𝐷 4 2 6 24 Para obtener las ocho constantes de integración disponemos de las siguientes condiciones: 1. 𝑦2 ′ = 𝑦3 ′ 5. Cuando 𝑧2 = 𝑧3 − 𝑏. Cuando 𝑧4 = 𝑙. 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ 3. Cuando 𝑧2 = 𝑧3 = 𝑐. Cuando 𝑧3 = 𝑧4 = 𝑐. 𝑦3 = 𝑦4 6. 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 𝐶4 = 𝐶 𝐷1 = 𝐷2 = 𝐷3 = 𝐷4 = 𝐷 Así pues. 𝑦3 ′ = 𝑦4 ′ 7. 𝑦4 = 0 Por medio de ellas hallamos. Cuando 𝑧1 = 𝑧2 − 𝑎. Cuando 𝑧1 = 𝑧2 − 𝑎. Cuando 𝑧3 = 𝑧4 = 𝑐. Cuando 𝑧4 = 𝑙. 𝑦2 = 𝑦3 4. es decir 𝐶 = 𝐸𝐽𝜃0 . 𝑦1 = 𝑦2 2. 𝑦4 = 0 8. Mientras que la constante D representa la flecha en mismo origen multiplicado por EJ. entonces deben considerarse negativos. Si los momentos y las fuerzas actúan en dirección contraria a la considerada. Es importante observar. M. Si la carga se interrumpe antes. 𝑃(𝑧 − 𝑏)2 𝑞(𝑧 − 𝑐)3 𝐸𝐽𝑦 ′ = 𝐸𝐽𝜃0 + ΣM(z − a) + + 2 6 Siendo a. se la debe continuar hasta la sección dada. P y q son las fuerzas y momentos exteriores (incluyendo las reacciones de los apoyos). La flecha y el ángulo de giro en el origen del sistema de coordenadas. la así llamada. pero en dirección contraria a la primera. 𝐷 = 𝐸𝐽𝑦0 Analizando las expresiones de la viga. . observaremos que la forma mas general la tiene la ecuación del tipo siguiente: 𝑀(𝑧−𝑎)2 𝑃(𝑧4 −𝑏)2 𝑞(𝑧−𝑐)4 𝐸𝐽𝑦 = 𝐷 + 𝐶𝑧 + 2 + 6 + 24 Teniendo en cuenta que 𝐷 = 𝐸𝐽𝑦0 y 𝐶 = 𝐸𝐽𝜃0 y considerando el caso de la aplicación de varios momentos y fuerzas. 𝑦0 𝑦 𝜃0 . situados entre la sección dada y el origen de sistemas coordenados. obtendremos.b. Por el mismo procedimiento o derivando las fórmulas se obtiene la fórmula universal para los ángulos de giro. agregando al mismo tiempo otra carga de magnitud igual. c las distancias del origen de coordenadas a los puntos de aplicación del momento. al deducir la fórmula. fórmula universal. que el último término de estas fórmulas es correcto solamente cuando la carga distribuida nose interrumpe antes de la sección en la que se calcula y o 𝜃 . de la fuerza concentrada y al comienzo de tramo solicitado por carga uniformemente distribuida. 𝑃(𝑧 − 𝑎)2 𝑃(𝑧 − 𝑏)3 𝑞(𝑧 − 𝑐)4 𝐸𝐽𝑦 = 𝐸𝐽𝑦0 + 𝐸𝐽𝑦0𝑧 + + + 2 2 24 Aquí. . Estas fórmulas no son aplicables al caso. El inconveniente de las fórmulas universales consiste en que no se pueden emplear directamente para el cálculo de las deformaciones en las vigas de distinta rigidez de sección EJ en los distintos tramos.. es decir. Existen diferentes tipos de cargas ya sean distribuidas o puntuales que se pueden aplicar en las vigas y ser resueltas por este método. Ejemplo 1 Calcular la fuerza máxima y el ángulo de giro máximo en el voladizo solicitado por la carga uniforme distribuida. cuando z = l. En estos casos se debe emplear el método general de cálculo de los desplazamientos el método de mohr.CONCLUSIONES Un método muy utilizado y muy conveniente es la ecuación universal para deformaciones en vigas. Ymax 𝑞𝑙 2 (𝑙 − 0)2 𝑞𝑙 (𝑙 − 0)3 𝑞 (𝑙 − 0)4 𝐸𝐽𝑦𝑚𝑎𝑥 = − + − 2 2 6 24 𝑞𝑙 4 𝑦𝑚𝑎𝑥 = − 8 𝐸𝐽 Utilizando la fórmula general de los ángulos de giro se deduce que 𝑞𝑙 2 𝑞𝑙(𝑙 − 0)2 𝑞(𝑙 − 0)3 𝐸𝐽𝑦𝑚𝑎𝑥 ′ = − (𝑙 − 0) + − 2 2 6 𝑞𝑙 3 𝐸𝐽𝑦𝑚𝑎𝑥 ′ = 𝜃𝑚𝑎𝑥 = − 6𝐸𝐽 4. Calculamos y. cuando las secciones varían de manera continua a lo largo de la viga. Solo se tienen dos constantes de integración generales en este método. Resistencia de materiales. Moscú .RECOMENDACIONES 6.BIBLIOGRAFÍA STIOPIN. Mir editorial (1968).5...