Funciones vectorialesTeoría de funciones. Función vectorial. Límites, continuidad. Derivadas. Regla cadena. Integrales. Movimiento sobre una curva. Aceleración. Cinemática Funciones vectoriales En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes. Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones Una función vectorial se expresa como: Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t) Ejercicios: 1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones, Se ve que los puntos de la curva están situados en el cilindro circular X2 + y2 = 4 entonces y = 2t.2.t2 . y de esta manera z = 9 ..trazar la grafica correspondiente a la función vectorial los puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4 el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy obtengo la función vectorial que describe la curva c de intersección del plano y = 2 x y el paraboloide z = 9 x2 -y2 si hacemos x = t.4 t2 = 9 -5t2 Calculo de funciones vectoriales Limites y continuidad La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones componentes . TEOREMA Derivadas de funciones vectoriales La derivada de una función vectorial r es Interpretación geométrica de r’(t) Si el vector r’t no es 0 en un punto p. entonces puede dibujarse tangente a la curva en p. Ejercicios: . Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es r’(3)= 9i +6j -21k esto es. Empleando las componentes de r’(3).2. .6.t z = -7 t en t =3 la función vectorial que indica posición de un punto p de la curva es r(t) = r2 i + (t2 -t )j . vemos que x =9 + 6t y =6 +5t z = -21 -7t son ecuaciones parametricas de la recta tangente. p(9.obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son parametricas son x = t2 y = t2 ..-21).7 tk r’t = 2 ti + (2t -1)j -7k r’(3) = 6i + 5j -7k. r’(t) = (3t2 -4t)i + 4j . entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por: .e-tk r'’(t) = ( 6t -4)i + e-tk regla de cadena si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable.2t2 )i + 4tj + e-tk . entonces integrales de funciones vectoriales si f. en donde s = t4 .Derivadas de orden Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada tenemos r'’ = f'’(t)i + g'’(t)j + h'’(t)k. Ejemplo: r(t) = (t3 . entonces de r(s) con respecto a t es dr/dt = dr/ds ds/dt = r’(s) u’ (t) Ejemplo: Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e-3sk. g y h son integrables. Si f. entonces los vectores V(t) = r’(t)= f’(t) + g’(t)j + h’(t)k a(t) =r'’(t) =f'’(t)i + g'’(t)j + h'’(t)k se llaman velocidad y aceleración de la partícula. respectivamente. y que su posición en ella esta dada por la función vectorial R(t) = f(t)i + g(t)j +h(t)k En donde t representa el tiempo.Movimiento sobre una curva Velocidad y aceleración Supóngase que un cuerpo o una partícula móvil describe una trayectoria C. g y h tienen segundas derivadas. La función escalar v(t) = dr/dt = (dx/dt)2+ (dy/dt)2+dz/dt)2 la longitud esta relacionada con la longitud de arco s mediante s’(t) = v(t) s = v(t) dt Ejemplo1: . cuando t =2 el vector de posición r(2) = 4i + 2j + 5k indica que la particula esta en el punto p(4. V(t) = r’(t) = 2ti + j + 5 /2 k A(t) = r'’(t)=2i V(2) = 4i +j +5/ 2 k a(2)= 2i Aceleración centrípeta El vector aceleración a(t) = r'’ (t) apunta en la dirección opuesta a la del vector de posición r(t). Movimiento curvilíneo en el plano La aceleración de la gravedad expresada en forma vectorial es: . Como x = t2 . la trayectoria de la particula se encuentra por arriba de la x = y2. Entonces a (t) es una aceleración centrípeta Si v = v(t) y a = a(t) demostrar que a = v2 / r0.La posición de una partícula óvil esta dada por V(t)= t2i +tj + 5/2 tk Trazar la trayectoria y los vectores v(2) y a(2). y = t .5).2. en donde f g y h tienen segundas derivadas. Vector tangente unitario T = r’ (t) / r´(t) Vector binormal unitario Vector unitario definido mediante .a(t) = -gj si un proyectil se lanza con una velocidad inicial vo =vo cos i + vo sen j. t = 1 Componentes de la aceleración curvatura Vector tangente unitario y vector normal unitario principal sea C una curva en el espacio descrita por r(t) = f(t) + g(t) +H(t)k.. entonces v(t) = (-g j) dt = -gtj + c1 Ejercicios: r(t) es el vector de posición de una partícula móvil calcule la rapidez 1. desde una altura inicial so = so j .r(t) = t2 i + ¼ t4j. Por ejemplo. un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia. llamado triedo móvil Radio de curvatura El reciproco de la curvatura . . El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra. p = 1/k se llama radio de curvatura.B=TXN Los tres vectores unitarios T.B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha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