Cuaderno de prácticas

UNIVERSIDAD DE CADIZGRADO EN FISIOTERAPIA CUADERNO DE PRÁCTICAS DE ESTADISTICA E INTRODUCCION A LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION CURSO 2011/2012 Departamento de Estadística e I. O. PRÁCTICAS CON ORDENADOR . uca. .es/R/doku. Como toda interfaz gráca dispone de las opciones más usuales y en el caso de necesidades más especícas se usará las órdenes correspondientes en la consola de R Para comenzar a usar R y R-Commander es necesario acceder en primer lugar a la siguiente dirección: http://knuth. El paquete R-UCA está disponible para su instalación tanto en Windows como en su versión de Linux o MACos. etc.php?id=instalacion_de_r_y_rcmdr:r-uca . lo cual lo hace muy versátil. R-Commander es una de las interfaces grácas de las que dispone R. análisis de datos espaciales.Prácticas de Estadistica con ordenador 3 INSTALANDO R Y R-COMMANDER R es un paquete estadístico de última generación al mismo tiempo que un lenguaje de programación. se puede encontrar un tutorial en línea de instalación. así como un tutorial de la interfaz gráca R-Commander. En la sección de Tutorial de Instalación de la dirección web anterior. donde se explica de forma detallada la instalación del paquete R-UCA que es una recopilación de R junto a R-Commander y algunos paquetes de uso frecuente. Actualmente se encuentran disponibles más de 800 paquetes desarrollados en R. nancieras. de esta manera R-Commander permite realizar análisis estadísticos sin necesidad de conocer todas y cada una de las instrucciones necesarias. wavelets. gracación de mapas. que cubren múltitud de campos desde aplicaciones Bayesianas. 4 . 2 Realizar un análisis descriptivo de las variables numéricas anotando los resultados: Variable AP. Minimo P25 P50 Construir tablas de frecuencias para las variables no numéricas Sexo ni % Deporte ni % Asimetria ni % P75 . PESO: Representa el peso de los individuos medido en kg. debemos comprobar que al abrirla con R esté todo correcto. 3 Media D. DEPORTE: Es una variable que toma el valor Si cuando el individuo realiza algún tipo de deporte con regularidad y toma el valor No en caso contrario. Una vez que conocemos todas las variables que forman parte de la base de datos.E. PORTAPAPELES. asimetria normal-plana. TALLA: Representa la altura de los individuos medida en cm. Podemos descargar la base de datos en el ordenador y a continuación abrirla con el programa R a través del menú DATOS → IMPORTAR DATOS → DESDE ARCHIVO DE TEXTO.5 Prácticas de Estadistica con ordenador PRÁCTICA NÚMERO 1 Trabajaremos con una base de datos llamada deporte que se encuentra disponible en el campus virtual de la asignatura. mujer o varón. AP. Esta base de datos contiene la información de un grupo de individuos (las) a los que se les ha medido las siguientes variables (columnas): EDAD: Representa la edad de los individuos medida en años. asimetria normal-cava y asimetria cava. ASIMETRIA: Es una variable que indica el tipo de asimetría con relación a la huella plantar. Puede tomar los siguientes valores: asimetria normal. 1 Realizar un resumen del conjunto de datos. SEXO: Representa el sexo del individuo. ETC. AP. Observar la descripción de cada una de las variables. 7 Total Construir una tabla de contingencia de las variables deporte y asimetria Deporte/Asimetria Total . 5 Realizar un gráco de sectores de la variable asimetría AP. 4 Realizar un histograma de la variable edad AP.6 AP. 6 Construir una tabla de contingencia de las variables deporte y sexo Deporte/Sexo AP. (anotar las frecuencias esperadas) AP. 10 Deporte/Asimetria χ2 = AP.E. Minimo P25 P50 P75 Calcular el Coeciente de Contingencia de las variables deporte y asimetria. Minimo P25 P50 P75 Realizar un análisis descriptivo de la edad en función del deporte Deporte Media D. 9 Media D. 12 P eso = T alla = Calcular las dos rectas de regresión minimo-cuadrática entre la talla y el peso + + · T alla · P eso .E.7 Prácticas de Estadistica con ordenador PRÁCTICA NÚMERO 2 AP. 11 Total C= Obtener una matriz de correlaciones de las variables numéricas Edad Peso Talla Edad Peso Talla AP. 8 Realizar un análisis descriptivo de la edad en función del sexo Sexo AP. 0.22 partes por millón y desviación típica 0. 0. 17 • ¾Cuál es la probabilidad de que un individuo pertenezca a la categoría muy alta? . 15 • La probabilidad de que ninguno de los 7 contraiga la enfermedad. Determinar: • P [X = 9] = • P [X = 12] = • P [X < 1] = • P [X > 12] = Un portador de tuberculosis tiene un 10 % de posibilidades de transmitir la enfermedad a alguien que no haya estado expuesto anteriormente a ella. calcular: AP. El número de glóbulos blancos de un individuo sano en cada mm3 de sangre es de 6000. Si entra en contacto con 7 individuos de estas características. 13 Sea X una variable aleatoria discreta con distribución Bi(12.005 mm3). la distribución de la variable X que nos da el número de glóbulos blancos encontrados en la gota sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 6000 · 0. Si tomamos una gota de sangre (aprox. Determinar: • P [X = 4] = • P [X = 6] = • P [X < 4] = • P [X > 0] = AP. • El número más probable de individuos que contraerán la enfermedad.12. 14 Sea X una variable aleatoria discreta con distribución P (7).8 PRÁCTICA NÚMERO 3 AP.6 o más se considera muy alta. • La probabilidad de que al menos 2 la contraigan. ¾cuál es la probabilidad de que encontremos más de 20 glóbulos blancos? La concentración de plomo en la sangre de un individuo cualquiera sigue una ley Normal de media 0. AP.6). Una concentración de 0. 16 • Calcular la probabilidad de que al analizar una gota de sangre de un individuo sano encontremos por lo menos 1 glóbulo blanco. AP. • Si analizamos 5 gotas juntas (0.001 mm3 ).001 = 6. 975 t(1) t(5) t(100) (b) PERCENTIL 0.025 0.9 Prácticas de Estadistica con ordenador • ¾Entre qué límites se encuentra el 80 % central de la población? • De 8 individuos seleccionados independientemente. 18 Calcula los percentiles 0. 20) .025 y 0.975 F (4.025 0. 10) F (100.975 χ2 (2) χ2 (5) χ2 (8) (c) PERCENTIL 0. 5) F (16. ¾cuál es la probabilidad de que 2 pertenezcan a la categoría de muy alta? AP.025 0.975 de las siguientes distribuciones: (a) PERCENTIL 0. 22 • Hipótesis del contraste:  H0 : H1 :  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: AP. 24 ¾Podria decirse que el peso medio de los deportistas es menor de 75kg? • Hipótesis del contraste:  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: H0 : H1 :  . 19 Construir un IC al 95 % para la edad media de los individuos: • IC95 % (µ) = ( AP. . 21 . ) Construir un IC al 95 % para la proporción de NO deportistas: • IC95 % (π) = ( . 23 36 años? ¾Podria decirse que la edad media de la población de la que proceden estos individuos es de • Hipótesis del contraste:  H0 : H1 :  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: AP. 20 ) Construir un IC al 90 % para el peso media de los individuos: • IC90 % (µ) = ( AP. ) ¾Podria decirse que la proporción de individuos no deportistas de la población de la que proceden estos individuos es superior al 50 %? AP.10 PRÁCTICA NÚMERO 4 AP. 11 Prácticas de Estadistica con ordenador PRÁCTICA NÚMERO 5 AP. 27 mujeres? ¾Podria decirse que la talla media de los hombres es signifactivamente superior a la de las • Hipótesis del contraste:  H0 : H1 :  . 25 ¾Existen diferencias signicativas en la edad media de los individuos en función del sexo? • Hipótesis del contraste:  H0 : H1 :  H0 : H1 :  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: • Hipótesis del contraste:  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: ¾Podria decirse que el peso medio de los deportistas es signicativamente mayor que el de los no deportistas? AP. 26 • Hipótesis del contraste:  H0 : H1 :  H0 : H1 :  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: • Hipótesis del contraste:  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: AP. 12 • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: • Hipótesis del contraste:  H0 : H1 :  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: AP. 28 ¾Podria decirse que la proporción de deportistas es distinta según el sexo? • Hipótesis del contraste:  • Estadístico del contraste: • Decisión del contraste: • Conclusión: H0 : H1 :  . Prácticas de Estadistica con ordenador NOTAS O CONTINUACIÓN DE PRÁCTICAS: 13 . 14 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PRÁCTICAS: . PRÁCTICAS DE PROBLEMAS . PRÁCTICA 1: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIVARIANTE . Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante 17 PROBLEMA 1.25. .88. SOLUCIÓN: X = 4.75. S = 1. K = 0.17 .87. coeciente de variación. coeciente de asimetría y coeciente de curtosis. = 0. = 0. 1 Los siguientes datos representan el número de días de hospitalización por una apendicectomía: No de días 3 4 5 6 7 8 más de 8 No de casos 15 58 43 22 8 3 1 Obtener el número medio de días de hospitalización así como su desviación típica. C. Representar el correspondiente diagrama de barras.V.A. C. 80. 2 La siguiente tabla muestra la distribución de una determinada lesión de rodilla en función de la edad de 75 individuos de una región: Edad No de casos 5 .14. S 2 = 165. desviación típica y coeciente de variación.88.25 10 25 .18 PROBLEMA 1. M e = 36. . varianza. = 0.36. mediana. C.35 20 35 . S = 12.15 5 15 .V.65 5 Calcular la edad media.45 22 45 .55 13 55 .73. SOLUCIÓN: X = 35. 7.17. 3. 6.19 Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante PROBLEMA 1. .09.70. M e = 5. SX2 = 1.06. 3 Como parte de un proyecto de investigación. 1.24. Calcular la media. 2. 4. 5.39 b) Y = 7. Si el investigador se da cuenta de que el aparato utilizado para medir los niveles de SLP está defectuoso y ha medido sistemáticamente 2 unidades por debajo de su valor real. mediana. SX = 1. 3. ¾tiene que volver a realizar las mediciones?. ¾Cuál es el valor de la media y la desviación típica de los nuevos datos? SOLUCIÓN: a) X = 5. 5. 6. varianza y desviación típica.39.95.21.06.31.17.09. SY = 1.17.85.83. 3. cierto investigador obtuvo los siguientes niveles de SLP de una muestra de 10 individuos adultos bajo tratamiento de Diabetes Mellitus: 5. ¾Es la edad media un buen representante de los datos? 3. 4 Se ha realizado con 100 mujeres un estudio sobre la edad a la que acuden a sesiones de natación terapéutica.20 PROBLEMA 1. . frecuencias acumuladas (Ni ) y frecuencias relativas (fi ). agrupados en clases.47.V. p70 = 47.=0. Los datos. Calcular la mediana y el percentil 70. están en el siguiente cuadro: Clases 13-25 25-37 37-49 49-61 61-73 ni 23 33 10 Ni fi 72 90 1. SOLUCIÓN: b) X = 38. Calcular la media y desviación típica de la distribución de frecuencias.82.08. S=15. 2.5. C.406 c) Me=34. Completar las columnas de frecuencias absolutas (ni ). Calcular el porcentaje de sujetos que consumen entre 100 y 200 gr.200) 98 [200. Calcular el consumo medio. de alcohol a la semana.250] 100 1.150) 90 [150. c) 60 indiv. b) 88. 3. Para ello.) de 100 sujetos.50) 25 [50.21 Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante PROBLEMA 1. obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias absolutas acumuladas: Consumo Ni [0. Calcular el número de sujetos que hay entre el percentil 15 y el cuartil tercero. 5 Se ha realizado un estudio para valorar el efecto del alcohol sobre los niveles de colesterol en suero. se ha recogido la cantidad de alcohol consumido por semana (en gr. Obtener la mediana de la distribución de frecuencias.5 gr.100) 60 [100. 4) 85. 2.71 gr. SOLUCIÓN: a) 38 %. 4. . 105 105 .135 ni 14 42 63 84 70 1.6 mg. Calcular la desviación típica de los datos.125 125 . se presentan en la siguiente tabla: Intervalos 65 .22 PROBLEMA 1.41mg. 2.85 85 ./100 ml. .75 75 . Los datos agrupados en 7 intervalos de amplitud 10 mg./100ml./100 ml./100ml. sabiendo que la media es 101.115 115 . b) S = 106mg. 6 Se ha medido la tasa de glucosa en sangre a un grupo de 350 individuos. ¾Qué valor de tasa de glucosa es superado por el 40 % de los datos? SOLUCIÓN: a) S = 15.95 95 . 12 1.16 Obesidad [30-35] 0.Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante 23 PROBLEMA 1.12 Normal [20-25) 0. Los datos agrupados en 6 intervalos junto con la mayoría de sus frecuencias relativas (fi ). se presentan en la siguiente tabla: Peso IMC fi Bajo [15-18) 0. 7 Para realizar un estudio que pretende valorar el proceso de crecimiento en 250 niños de edad similar. se ha utilizado el índice de masa corporal (IMC) o índice de Quetelet (Peso en kg/estatura en m2 ). ¾Qué % de niños tienen un IMC superior a 22 kg/m2 ? SOLUCIÓN: a) 24.25 kg/m2 b)68 % . ¾Cuál es el IMC que superan el 50 % de los niños de este estudio? 2.40 Normal-Alto [25-27) Sobrepeso [27-30) 0.04 Normal-Bajo [18-20) 0. 4 ) 30 % [ 11.0756 .6 − 11. La siguiente tabla presenta los porcentajes de embarazadas que se incluyeron en cada una de las categorías: Hemoglobina(g/dl) Porcentaje [ 9. 2. se midieron los valores de hemoglobina (grs/dl) al nal del primer trimestre en un grupo de 200 embarazadas que no seguían ningún tratamiento paralelo. 8 Con el objetivo de determinar la presencia de anemia en mujeres embarazadas.72 g/dl.2 − 13.8109 g/dl.0 ) 5% A partir de estos datos: 1.8 − 10. la mediana y la desviación típica de los datos.6 g/dl. = 0.4 − 12. que tenían valores de hemoglobina por debajo de 11 grs/dl.8 ) 10 % [ 9.6 ) 40 % [ 10.2 ) 15 % [ 12. Determinar la media. El porcentaje de mujeres que presentaban anemia es decir. C. Me=10.V. ¾Es la media un buen representante de los datos? SOLUCIÓN: a) 65 % b)x = 10. S = 0.24 PROBLEMA 1.0 − 9. Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante 25 PROBLEMA 1. Q1 = 26. Q2 = 30. ¾Que % de embarazadas tenía más de 28 años de edad? SOLUCIÓN: a) x = 29.89 % . 9 La siguiente tabla nos muestra el número de mujeres embarazadas que asistieron a sesiones programadas de preparación al parto según los diferentes grupos de edad: Edad < 20 [20-25) [25-30) [30-35) [35-40) [40-45] ni 12 34 84 92 37 8 1.97.23.19 y Q3 = 33. b) 63. 2. Calcular la edad media de las mujeres que asistieron a tales sesiones así como los cuartiles.82. 10 En un reconocimiento médico realizado a los 1000 trabajadores de una factoría industrial. Categoría Intervalo ni Óptima [110-120] Normal (120-130] 120 Normal-Elevada (130-140] 350 HTA-Leve (140-160] 260 HTA-Moderada (160-180] 120 HTA-Severa (180-220] SOLUCIÓN: Las dos frecuencias absolutas que faltan en la tabla son 100 para el primer intervalo de clase y 50 para el último. se ha medido la tensión arterial sistólica (mms. .26 PROBLEMA 1. Hg. Completar la tabla sabiendo que la mediana de los datos es 138 mm. Hg) obteniendo la siguiente distribución de frecuencias. 80 80 .30 30 .20 20 .40 40 . .70 70 . Completar la tabla sabiendo que el percentil 20 de esta distribución es 32 mg/dl.27 Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante PROBLEMA 1.60 60 .90 10 15 24 18 12 4 2 SOLUCIÓN: La frecuencia absoluta de la primera clase es 5. Nivel de triglicéridos Frecuencias 10 . 11 La siguiente tabla recoge la distribución de frecuencias de triglicéridos (en mg/dl) en el suero de un grupo de niños con 6 años.50 50 . 718 . En un estudio sobre este medicamento se han administrado por vía oral dosis únicas de 100 mgs a 60 individuos adultos sanos. La variable estudiada (Tmax ) es el tiempo requerido en minutos para alcanzar la concentración máxima de plasma.95 1.75 0.28 PROBLEMA 1. 12 Uno de los medicamentos antivirales que se utilizan para combatir el virus de la gripe es la Amantadina. 2.273 y M e = 130 b) b = ±0. La siguiente tabla recoge frecuencia relativas acumuladas (Fi ) de los datos del estudio: Tmax 100-120 120-140 140-160 160-180 180-200 Fi 0. S = 20.90 0.246 y a = ∓32. ¾Qué transformación lineal debemos realizar sobre estos datos para que los datos transformados tengan media 0 y desviación típica 5? SOLUCIÓN: a) x = 133. Determinar media. mediana y desviación típica de esta distribución.25 0. Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 29 . 30 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . Práctica 1: Estadística Descriptiva univariante NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 31 . PRÁCTICA 2: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIVARIANTE . 10. 2.20.80. 3.40. 3. 3.279y. 2. Obtener la recta de regresión. 1 Se ha medido a un grupo de 15 pacientes el nivel de carboxihemoglobina en sangre antes y después de respirar un ambiente cargado de humo.90. SOLUCIÓN: r = 0. 2.20.80.10.50. 5. 4. 2.90.Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante 33 PROBLEMA 2. 1.30. 6.10. 3. 1. 1.40 1. 3. 6. 3. obteniendo los siguientes resultados: X 5. . 5.70.60. 5. 3.50 Y 6. 4. 4.80. Construir el diagrama de dispersión y calcular el coeciente de correlación de Pearson.70.60.20. 0.80.30. 5.40.00.17 + 1.927 y x = −2.20.00.20. 1.00. 2. 2. 0.10.90. 4. 4/30. Obtener la distribución del peso de los individuos que miden entre 1. Obtener las distribuciones marginales del peso y la talla.80 50-55 6 7 4 1 0 0 55-60 2 7 6 3 0 0 60-65 1 3 9 12 5 0 65-70 0 0 2 8 10 4 70-75 0 0 1 3 15 10 75-80 0 0 1 5 9 16 1. 23/150. 30/150. No son independientes. 10/30. 24/150. Estudiar la independencia de las variables. 2 Se ha medido el peso y la talla a un grupo de individuos obteniendo la siguiente clasicación: Peso/Talla 1. 32/150.55-1.75-1.80 m.34 PROBLEMA 2. 17/150.50-1. 29/150. 0. 2. 18/150.60-1.60 1.75 y 1.75 1. 16/30. 30/150 y peso: 18/150.70 1. 0. 3.55 1.65 1.70-1.65-1. 31/150 P eso175−180 : 0. SOLUCIÓN: Talla: 9/150. . 39/150. 788 y = 1.Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante 35 PROBLEMA 2. en mm. ¾Qué porcentaje de variabilidad es explicada por el modelo? SOLUCIÓN: r = 0.1 R2 = 0.6209 ..13x + 88. 3 Los siguientes datos representan lecturas de la presión sistólica.Hg. en las edades que se indican: EDAD: 22 27 29 32 35 40 48 50 51 57 67 71 PRESIÓN: 131 106 123 122 121 147 115 163 138 141 176 172 Calcular el coeciente de correlación lineal y la recta de regresión mínimo cuadrática de la presión sobre la edad. de 12 mujeres. 3. y recíprocamente. 4. Obtener las rectas de regresión mínimo cuadráticas de la calicación en Matemáticas sobre la calicación en Física. Dibujar un diagrama de dispersión.15 rY /X ⇒ y = 0. Hallar el coeciente de correlación.36 PROBLEMA 2. SOLUCIÓN: r = 0.15 y(6) = 6. 4 Los siguientes datos representan las calicaciones de 10 alumnos elegidos al azar en las asignaturas de Matemáticas y Física: MATEMÁTICAS : FÍSICA : 5 6 8 8 7 6 3 5 4 5 4 4 9 9 8 6 2 5 7 6 1.15 .809 rX/Y ⇒ x = 1.31y − 2. Predecir la nota en Física de un alumno que haya obtenido una calicación de 6 en Matemáticas.5x + 3. 2. 37 Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante PROBLEMA 2. A la vista del estudio anterior. SOLUCIÓN: r = 0.: 181 228 182 249 259 201 121 339 225 110 188 137 170 173 243 Obtener el coeciente de correlación lineal y la recta de regresión mínimos cuadrados de Y sobre X. ¾cuál debe ser la concentración de colesterol en suero sanguíneo en una mujer de 50 años?. 5 Los siguientes datos representan la edad y concentración de colesterol en suero sanguíneo en 15 mujeres: EDAD : 46 52 38 65 54 33 49 76 71 41 57 18 44 33 78 COLES.711 y = 2.48x + 75.48 R2 = 0.48 . ¾Qué porcentaje de variabilidad queda explicada por el modelo?.5055 y(50) = 199. A la vista de éste. ¾puede sacarse alguna conclusión?.0388 . 6 Los siguientes datos representan las puntuaciones en un test de capacidad memorística y un test de inteligencia obtenida por 10 individuos estudiados: MEMORIA: INTELIG.38 PROBLEMA 2. Representar el diagrama de dispersión correspondiente. 2. Obtener el coeciente de correlación lineal. SOLUCIÓN: r = −0.: 17 37 23 58 25 14 36 43 38 27 40 60 42 25 46 33 55 19 62 49 1. 715 .2 1.15 7.: PTH: 11 0. de Ca.6 1. en mg/100 ml.7 5 4. Calcular el nivel de PTH que le correspondería a un nivel de 10 mg/100 ml.5 mµg/ml.4 1. CALC.31 10.5 2. y de la hormona paratiroides en plasma de 12 individuos sanos.10 8. 3.23 10.3 11 0.5 2. SOLUCIÓN: r = −0.33 9. ¾Existe relación lineal entre ambas variables? 2.43 6 3.27 1.5mµg/ml = 9.39 Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante PROBLEMA 2.9730 P T H10mg/100ml = 1.12 10. medida esta última en mµg/ml.2 2.34 Ca1. Calcular el nivel de Ca que correspondería a una PTH de 1.6 1. 7 Los datos siguientes son las medidas de las concentraciones de Calcio..5 10.5 1.24 10. 2 60 3.8 61 2.9 55 2.82 .40 PROBLEMA 2.2 60 2.6 56 2.8 57 2.1 58 2. 8 Queremos estudiar la relación entre los niveles de hematocrito de recién nacidos de madres diabéticas y su peso obteniendo los siguientes resultados: Madres Diabéticas( %): Peso(kg): 63 3.9 65 3.5 ¾Qué nivel de hematocrito podemos esperar para un recién nacido de madre diabética con un peso de 3 kg? SOLUCIÓN: y(3) = 60.7 58 2. 16 sospechosas y 27 con hipertensión intraocular. Entre las mujeres se encontraron 60 normales. 34 sospechosos y 32 con hipertensión intraocular.Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante 41 PROBLEMA 2.25 . Entre los hombres sometidos al estudio encontramos 35 normales. SOLUCIÓN: C = 0. 9 Se está investigando la relación entre la hipertensión intraocular y el sexo de los individuos. Calcular el coeciente de contingencia asociado. 10 Se está investigando la relación que hay entre dos escalas para medir la presencia de Burnout (Síndrome de estar quemado en español). a 10 individuos se les pasan ambos tets obteniendo los siguientes resultados: test1 test2 154 67 170 80 165 73 160 70 163 78 159 71 168 82 167 74 162 77 158 68 Estudiar dicha relación con el coeciente de correlación por rangos de Spearman. Para ello. SOLUCIÓN: rs = 0.8787 .42 PROBLEMA 2. 43 Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante PROBLEMA 2. Para ello se recogieron los siguientes datos: epidural / valor test 7 8 9 si 5 374 275 no 1 43 33 Estudiar dicha asociación a través del coeciente de contingencia.01928 . SOLUCIÓN: C = 0. 11 Se desea saber el grado de asociación entre el valor del test de apgar realizado a los recién nacidos al minuto de vida y la utilización de anestesia epidural. 2 7 12.5 9 12 7 10.44 PROBLEMA 2.5 8 11.6 6 Estudiar dicha relación con el coeciente de correlación por rangos de Spearman. SOLUCIÓN: rs = 0.7 7 12.2 8 11.3515 .4 7 13.1 7 10. 12 Se desea saber la relación que hay entre la nota de selectividad y el número de asignaturas aprobadas el primer año de carrera. se seleccionan 10 individuos aleatoriamente obteniendo los siguientes resultados: test1 test2 9 6 10. Para ello. Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 45 . 46 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . Práctica 2: Estadística Descriptiva Bivariante NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 47 . PRÁCTICA 3: PROBABILIDAD . 1/6 y 1/2 respectivamente. 3. b) No son incompatibles. c) 1/2. Calcular las siguientes probabilidades: P (A ∩ B). . Razonar si los sucesos A y B son incompatibles. Razonar si los sucesos A y B son independientes.49 Práctica 3: Probabilidad PROBLEMA 3. SOLUCION: a) Si son independientes. P (A ∩ B) y P (A ∩ B). 1 Dados dos sucesos aleatorios A y B se sabe que P (B) = 3 4 y P (A) = P (A/B) = 1 3 1. 2. Calcular la P (A ∪ B) 4. d) 1/4. La probabilidad de que. . sabiendo que no le gusta Medicina. b) 4/7. 2. al 10 % únicamente Enfermería y al 20 % ninguna de las dos. Medicina y Enfermería. también le guste Enfermería. c) 1/3. Elegido al azar un estudiante de esta ciudad. determinar razonadamente: 1. La probabilidad de que. 3. 2 En una Universidad de determinada población se pueden estudiar dos titulaciones. La probabilidad de que le guste estudiar ambas carreras. si le guste Enfermería. Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias de los estudiantes de segundo de bachillerato de la ciudad. SOLUCION: a) 0.50 PROBLEMA 3. que ha dado los siguientes resultados: al 30 % les gustaría estudiar únicamente Medicina.4. sabiendo que siente preferencia por Medicina. siendo el 40 % contaminación química y el 35 % contaminación térmica. Calcular la probabilidad de que un arroyo que muestra contaminación química no tenga contaminación térmica. SOLUCIÓN: a) 1/7. Calcular la probabilidad de que un arroyo que muestra contaminación térmica tenga también contaminación química.Práctica 3: Probabilidad 51 PROBLEMA 3. 3 El 5 % de las aguas localizadas en las proximidades de centrales térmicas o plantas industriales presentan signos de contaminación química y térmica. 2. 1. b) 7/8. . ¾Cuál es la probabilidad de que un trabajador elegido al azar pertenezca a E2 y halla sido declarado apto para el trabajo? SOLUCIÓN: a) 0.E2 y E3 ) y han sido declarados no aptos 5 de los 125 trabajadores de E1 . . 18 de los 180 trabajadores de E2 y 19 de los 95 trabajadores de E3 . 4 Se ha realizado un examen médico a los trabajadores de tres empresas (E1 . 1.52 PROBLEMA 3. ¾Cuál es la probabilidad de que no pertenezca a E1 ? 2. b) 0.6648. Si un trabajador elegido al azar ha sido declarado apto para el trabajo.405. 5 En la revista Journal of Tropical Pediatrics de enero de 2006 se presenta un test serológico rápido para el diagnóstico de infección por Helicobacter Pylori.Práctica 3: Probabilidad 53 PROBLEMA 3. SOLUCION: Sensibilidad = 24/25. VPN = 53/54. VPP = 24/27. a los que se hacen también las pruebas microbiológicas habituales para saber si están o no infectados. especicidad y valor predictivo de resultados positivos y negativos. Se ha probado en 81 niños.3 53 Calcular los siguientes índices de valoración de una prueba diagnóstica : sensibilidad. He aquí los resultados: Test Rápido + Infección + 24 1 . Especicidad = 53/56. . 54 PROBLEMA 3. 6 La prevalencia del carcinoma de pulmón y bronquio en fumadores de más de 50 años es de un 5 %. Una de las pruebas diagnósticas preliminares para la detección de esta enfermedad es la citología de esputo, que tiene una probabilidad 0.03 de falso positivo y una probabilidad 0.16 de falso negativo. ¾Cuál es la probabilidad de que una persona fumadora con más de 50 años que ha dado positivo en el test, presente algún carcinoma de este tipo? SOLUCIÓN: 0.5957. Práctica 3: Probabilidad 55 PROBLEMA 3. 7 Se ha desarrollado un procedimiento para detectar un tipo particular de artritis en individuos de alrededor de 50 años de edad. Se aplica el procedimiento propuesto a individuos con la enfermedad, siendo su resultado correcto en el 85 % de los casos, mientras que cuando se aplica el procedimiento a individuos que no tienen la enfermedad se obtiene un 4 % de positivos. 1. Si se sabe que el valor predictivo positivo del procedimiento es del 70 %, calcular la prevalencia de la enfermedad. 2. Calcular el valor predictivo negativo del procedimiento. SOLUCIÓN: a) 0.1; b) 0.98. 56 PROBLEMA 3. 8 Un método simple y económico para el diagnóstico de la infección urinaria es la tinción directa de la orina con azul de metileno que permite distinguir bacterias de leucocitos. Hemos utilizado esta prueba con 1125 pacientes dando positivo en 100 de ellos. Sabiendo que este método tiene una sensibilidad del 64 % y una especicidad del 98 % calcular: 1. El número de pacientes que padecen bacteriuria. 2. De los 100 pacientes que han dado positivo en la prueba, ¾cuántos no padecen bacteriuria? SOLUCIÓN: a) 125; b) 20. Práctica 3: Probabilidad 57 PROBLEMA 3. ha recibido un trasplante recientemente y no presenta niveles altos de creatinina? SOLUCIÓN: 3. ¾cuál es la probabilidad de que sufra un rechazo un paciente que. Niveles altos de creatinina (superiores a 2 mg %) se asocian a menudo con el hecho de que el órgano deje de funcionar. Este método diagnóstico tiene reconocida una sensibilidad del 65 % y un 20 % de falsos positivos. Sabiendo que este tipo de trasplantes presenta un 8 % de rechazos. 9 El nivel de creatinina en sangre (medido en mg %) se utiliza como método diagnóstico para detectar el rechazo potencial tras un trasplante de riñón.66 %. . A partir de estos datos: 1.58 PROBLEMA 3.54 % y P[F2 ]=45. el consumo de F1 triplica al de F2 . Uno de los efectos secundarios característicos de estos medicamentos es el insomnio. que entre los pacientes que maniestan padecer insomnio. que se produce en el 20 % de los pacientes tratados con F1 y en el 8 % de los tratados con F2 . por otra parte. Calcular el porcentaje de pacientes tratados con F1 y el porcentaje de pacientes tratados con F2 . . ¾Que porcentaje de pacientes padece insomnio en general? SOLUCIÓN: a) P[F1 ]=54. 10 Una determinada enfermedad es siempre tratada con uno de estos dos fármacos (F1 y F2 ).54 %. Se sabe. 2. b)14.45 %. ¾cuántos de ellos realmente padecían apendicitis aguda? SOLUCIÓN: a) 250. 1. 11 La ecografía abdominal es la prueba diagnóstica que suele utilizarse durante la infancia para la detección de apendicitis aguda. Se sabe que entre los pacientes sospechosos de padecer esta patología. . resultando la prueba positiva en el 37 % de los casos. Para el diagnóstico de apendicitis aguda. el servicio de pediatría de un determinado hospital realizó a lo largo del último año ecografía abdominal a un total de 400 pacientes. dicha prueba genera un 4 % de falsos positivos y un 8 % de falsos negativos. Entre los pacientes que dieron positivo en esta prueba.Práctica 3: Probabilidad 59 PROBLEMA 3. De entre los 400 pacientes examinados ¾cuántos no padecían apendicitis aguda? 2. b) 138. SOLUCIÓN: a) 0. mientras que las píldoras de los otros cuatro sólo lo causan en un 15 %. . Las de un frasco A son gravemente tóxicas.60 PROBLEMA 3.6. b) 0. las píldoras de A causan el malestar que sentimos en un 90 % de los casos. Al cabo de un rato sentimos gran malestar y caemos en la cuenta de que el frasco A contiene píldoras gravemente tóxicas. Antes de dormir tomamos una pastilla. 12 Tenemos cinco frascos con píldoras sedantes.4. pues creemos que las píldoras de los cinco frascos son del mismo tipo. Las de los cuatro restantes son ligeramente tóxicas. ¾Con qué probabilidad podemos armar que la píldora tomada pertenecía al frasco A? ¾Y de que pertenecía a uno de los otros cuatro?. eligiendo aleatoriamente el frasco. Según un manual de Medicina que consultamos. De todos los que han dado negativo en la prueba. . Si la población está compuesta de 4000 personas: 1.Práctica 3: Probabilidad 61 PROBLEMA 3. ¾Cuántas personas de la población tienen hiperglucemia?. 13 Una prueba diagnóstica para la detección de la hiperglucemia en adultos tiene una especicidad del 95 % y una sensibilidad del 85 %. SOLUCIÓN: a) 250 indiv.. Esta prueba se ha utilizado para examinar a los individuos adultos de una población dando positiva en el 10 % de los casos. ¾cuántos tienen hiperglucemia?. 2. b) 37-38 indiv. 62 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . Práctica 3: Probabilidad NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 63 . 64 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS . c) 70.95. se estudia la variable X.8 0. (b)P(X ≤ 72).66 PROBLEMA 4.05 0. SOLUCIÓN: a) 0.05 0.04 Determine: (a) P(X=100). . (c) El valor medio de X.01 0. número de latidos por minuto registrados después de utilizar el fármaco. 1 En un experimento con un fármaco destinado a mantener un ritmo cardíaco constante en pacientes que han tenido ya un infarto.01.04 0. Su función de probabilidad viene dada en la tabla: X 40 60 68 70 72 80 100 P(X=x) 0. b) 0. .6    0.1 y b = 0. Calcular a y b sabiendo que E(X)=2. M e = 3 y V (X) = 2.1 1. 2 La variable aleatoria X se dene como el número de trasplantes de riñón que se realizan en un gran hospital cada mes. 2. Calcular la moda. Obtener y representar grácamente la Función de distribución acumulativa. La función de probabilidad de X viene dada por la tabla: Xi 0 1 2 3 4 5 pi a a b b 0.2 0. b) F (x) =    0.67 Práctica 4: Variables Aleatorias PROBLEMA 4.9    1 x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 4≤x<5 x≥5 c) M o = 4.4 a) a = 0. la mediana y la varianza de X.3 0. SOLUCIÓN:  0     0.1      0.2. 3.16.8. Hallar P [X > 1/X < 5]. Hallar la media de casos diagnosticados al día 3.6     0.68 PROBLEMA 4.8      0.75 . SOLUCIÓN: a) 0. Su función de distribución es:  0     0. 3 La variable aleatoria X representa el número de casos nuevos de SIDA diagnosticados en un hospital durante un día.2    0.1 c) 0. 2.1     0.3 F (x) = 0.7 b) 3. Hallar la probabilidad de que en un día cualquiera sean diagnosticados por lo menos tres casos nuevos.9   1 si si si si si si si si 0 1 2 3 4 5 x<0 ≤x< ≤x< ≤x< ≤x< ≤x< ≤x< x≥6 1 2 3 4 5 6 1. inclusives?.7168. 4 En los seres humanos. 1.9975. SOLUCIÓN: a) X ∼ P(6). . P(2 ≤ Y ≤ 5) = 0. b) Y ∼ P(3). P(X ≥ 1) = 0.Práctica 4: Variables Aleatorias 69 PROBLEMA 4. se producen mutaciones por la enfermedad de Huntington en aproximadamente 3 de cada 106 gametos. 2. ¾Y la probabilidad de que en un millón de gametos haya entre 2 y 5 mutaciones. ¾Cuál es la probabilidad de que en 2 millones de gametos haya al menos una mutación?. 2. 1. b) 0. ¾cuál es la probabilidad de que durante una semana haya más de cuatro días con 3 ó menos trasplantes por día?.70 PROBLEMA 4. ¾Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera haya más de 2 trasplantes?.323. 5 En cierto hospital. se sabe que el número de intervenciones quirúrgicas de trasplante de órganos sigue una variable aleatoria de Poisson de media 2.933. . SOLUCIÓN: a) 0. Si se admite independencia del número de trasplantes presentados de un día a otro. Práctica 4: Variables Aleatorias 71 PROBLEMA 4. 6 El 6 % de los pacientes de cierta enfermedad sufre dolores de cabeza, el 3 % vómitos y el 1 % ambos síntomas. 1. ¾Cuál es la probabilidad de que entre 50 pacientes, haya más de 5 que presente alguno de estos síntomas o los dos?. 2. ¾Y de que entre 200 pacientes haya entre 20 y 30 que presenten uno, y solo uno, de estos síntomas?. SOLUCIÓN: a) 0,2148 b) 0,0643 72 PROBLEMA 4. 7 En cierto centro hospitalario, el número de días que permanecen ingresados los pacientes tras una intervención quirúrgica se ajusta a una distribución de Poisson de media 2,5 días. La siguiente tabla recoge el coste de hospitalización de los pacientes en función del número de días de ingreso: 0 días 1 día 2 días 3 días 4 días o más 100 e 175 e 235 e 275 e 300 e 1. Determinar el coste medio de la estancia postquiúrgica en este hospital. 2. ¾Qué porcentaje de pacientes gastan 300? SOLUCIÓN: a) 235,91 e, b) 24,24 % Práctica 4: Variables Aleatorias 73 PROBLEMA 4. 8 Se sabe que la citastina sigue una N (0.8; 0.3) en los sanos y una N (2; 0.4) en los individuos con insuciencia renal. Si consideramos 1.4 como punto de corte para diagnosticar la insuciencia renal: 1. ¾A qué percentil de cada distribución corresponde este punto de corte? ¾Es el test más sensible que especíco? 2. En una población que tiene un 3 % de individuos con insuciencia renal, obtener el valor predictivo positivo del test diagnóstico que considera enfermos a los individuos que tienen citastina por encima de 1.4. SOLUCIÓN: a) 0,9772 y 0,0668. Es más especíco. b) 0,558. 53 % . Calcular el valor de la desviación típica de la distribución. 1. 9 La concentración de urea en sangre en una determinada enfermedad sigue una distribución normal de media 24 mg/100 cc. y desviación típica desconocida. 2.74 PROBLEMA 4. En un grupo de 100 enfermos se seleccionan aquéllos cuya concentración de urea está comprendida entre 24 y 28 mg/100cc. resultando rechazados 66... calcule ahora el porcentaje de enfermos rechazados. SOLUCIÓN: a) σ = 4 b) 37. Si establecemos como nuevos límites de selección las concentraciones de 22 y 30 mg/100 cc. b) (P10 . Una concentración de 0. ¾Entre qué límites de concentración se encuentra el 80 % central de la población?.Práctica 4: Variables Aleatorias 75 PROBLEMA 4. ¾cuál es la probabilidad de que 2 pertenezcan a la categoría de muy alta?. SOLUCIÓN: a) 0.0664. ¾Cual es la probabilidad de que un individuo pertenezca a la categoría de muy alta?. P90 ) = (0. 0.22 partes por millón y desviación típica 0. 1.6 o más se considera muy alta.00076. De 8 individuos seleccionados independientemente. 2.000016.3736). .12. c) 0. 10 La concentración de plomo en la sangre de un individuo cualquiera sigue una ley Normal de media 0. 3. Sabemos que el 20 % consume menos de 3416 cal.? SOLUCIÓN: a) µ = 3500 cal. y σ = 100 cal.964. ¾cuál es la probabilidad de que alguno tenga un consumo inferior a 3544 cal. Si un día determinado elegimos en la población a tres personas al azar./día y que el 33 % consume más de 3544 cal. 2. 1. b) 0.76 PROBLEMA 4. ./día. 11 El consumo diario de calorías estudiado en los individuos adultos de una población sigue una distribución normal. Obtener µ y σ. . Sabiendo que el 10. La hiperglucemia se diagnostica a todas aquellas personas con una concentración de glucosa superior a 120 mg/dl. exactamente 4 tengan una concentración de glucosa en sangre superior a 110 mg/dl? SOLUCIÓN: 0. sigue una distribución normal de media 95 mg/dl.Práctica 4: Variables Aleatorias 77 PROBLEMA 4. ¾cuál es la probabilidad de que al seleccionar 15 personas al azar.213.56 % de la población sufren hiperglucemia. 12 La concentración de glucosa en sangre. de agua.78 PROBLEMA 4. Si extraemos al azar una muestra de agua en esta población: 1. ¾cuál es la probabilidad de que al tomar 3 ml. . encontremos al menos 4 microorganismos? 2. encontremos más de 190 y menos de 220 microorganismos? SOLUCIÓN: a) 0. Normal: 0. ¾cuál es la probabilidad de que al tomar 100 ml. b) Aprox. En el citado estudio ha encontrado un promedio de 2 microorganismos por ml.8488.6648. de agua. 13 Una empresa ha realizado un estudio para valorar la calidad del agua que abastece a una población. de agua. /día y P90 (H) = P23 (M ) = 117./día en los hombres y de media 125. Sabiendo que el percentil 90 de la distribución de los hombres coincide con el percentil 23 de la distribución de las mujeres.Práctica 4: Variables Aleatorias 79 PROBLEMA 4.2 cl. teniendo en ambos casos la misma desviación típica σ.8 . ¾puedes encontrar el valor de σ y el del percentil en el que coinciden ambas distribuciones? SOLUCIÓN: σ = 10 cl. 14 La diuresis (ujo de orina) sigue una distribución normal de media 105 cl./día en las mujeres. 5 mg/l. Se sabe que el 59.16(mg/l)2 .87 % de los individuos adultos tiene un nivel de hierro en plasma superior a 2.6mg/l. 15 El nivel de hierro en plasma en individuos adultos (medido en mg/l) sigue una distribución normal de varianza 0.7 %.80 PROBLEMA 4. Calcular el porcentaje de individuos adultos que tienen un nivel de hierro en plasma entre 2 mg/l y 3.5 mg/l. . Se debe calcular en primer lugar µ = 2. SOLUCIÓN: 92. Práctica 4: Variables Aleatorias NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 81 . 82 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . Práctica 4: Variables Aleatorias NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 83 . PRÁCTICA 5: INTERVALOS DE CONFIANZA Y CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICOS EN UNA POBLACIÓN . 46) 2) σ ∈ (1. Calcular un intervalo de conanza del 90 % para el porcentaje medio. 49.0.8. 50. paramétricos en una población 85 PROBLEMA 5. 47. de 10 individuos con este problema: 48. 50.07 . 1.8. 49. Calcular un intervalo de conanza del 99 % para la desviación típica de los porcentajes. 50.7.6. 3. 49. 46.6.Práctica 5: Intervalos de C. 50.1.4. y Contrastes de H. 2.95) .46 .1. 52. SOLUCION: 1) µ ∈ (48. 1 Los siguientes datos representan los porcentajes de mejorías en el número de lesiones por acné después de 16 semanas de tratamiento.5. 51.6 y una desviación típica de 6. 2 En una muestra de 15 individuos que han sufrido un infarto de miocardio y han sido sometidos a rehabilitación mediante jogging.86 PROBLEMA 5. SOLUCIÓN: a) µ ∈ (50. se tiene una media de volumen de oxígeno consumido (medido en ml/Kg/min) de 53. 2. b) n ≈ 19. ¾Cuántos individuos harán falta para determinar tal media con una precisión de 3 ml/Kg/min?. ¾Entre qué valores estará la media del volúmen de oxígeno consumido en la población de tales individuos al 95 % de conanza?. 1. .57.2). 1508. c) n ≈ 1701. e=0. Si no se ha conseguido.079. y Contrastes de H. se tomó una muestra de 120 pacientes de los cuales 28 presentaron ese problema. 2. para ello. ¾Se ha conseguido una precisión del 2 % en la estimación?. ¾Entre qué valores está tal porcentaje (95 %)?.3092). 0. SOLUCIÓN: a) π ∈ (0. paramétricos en una población 87 PROBLEMA 5. ¾cuántos individuos se necesitan para ello?. 3 Se desea precisar el porcentaje de individuos que sufren incontinencia urinaria de entre los internados en un hospital y. b) No.Práctica 5: Intervalos de C. 1. 3. . 03 dentro de un intervalo de conanza del 99 %. Obtener un intervalo de conanza del 95 % de la proporción de niños con dolor de pecho que dan radiografías Normales. 100 daban radiografías de tórax Normales.652.808). 1. Obtener el tamaño muestral que se debe emplear para estimar la verdadera proporción de niños con radiografías Normales con un error de 0. b) n ≈ 1454. 2.0. Se ha hallado que de 137 niños que tenían dolor de pecho.88 PROBLEMA 5. 4 Se ha realizado un estudio sobre niños que padecen dolor de pecho. SOLUCIÓN: a)π ∈ (0. . 0. 5 En un estudio para establecer un patrón de lectura "Normal"de calcio en personas adultas aparentemente sanas. 1. . y Contrastes de H. obteniendo un intervalo de conanza del 95 % para la media de (9.9.? 2. paramétricos en una población 89 PROBLEMA 5.? SOLUCIÓN: a) µ ∈ (9. se ha obtenido una primera muestra de 25 individuos en la que se ha medido los miligramos de calcio por decílitro de sangre. b) σ ∈ (0.69).706).294. ¾Cuál sería el intervalo de conanza para la media al 99 %.9.Práctica 5: Intervalos de C. ¾Cuál sería un intervalo de conanza para la desviación típica al 95 %.39.78).22. 1.368). a pesar del hecho de que los daños por sí solos no fueron sucientemente graves como para causar la muerte. 6 Un estudio reciente indica que el estrés agudo puede inducir a que se produzcan alteraciones en el corazón que pueden ocasionar la muerte.02 y una conanza del 95 %?. ¾Qué tamaño muestral se requeriría para estimar la proporción de tales muertes con un error de 0. 11 fueron consecuencia de una degeneración de las células del corazón llamada degeneración miobrilar.90 PROBLEMA 5. b) n > 1801.0. 2. Encontrar un intervalo de conanza del 90 % para el porcentaje de muertes debidas a degeneración miobrilar en casos de agresiones.132. SOLUCIÓN: a) π ∈ (0. De ellos. . Se obtuvo conrmación de ello examinando 44 casos en los que los individuos murieron después de una agresión física. Se ha estudiado una muestra de 150 individuos y hemos obtenido como intervalo de conanza para la media al 95 %: (5. b) zexp = 2. que la concentración media en sangre de ácido úrico es superior a 5.Práctica 5: Intervalos de C. ¾Qué tamaño muestral sería necesario para que el error de estimación sea inferior a 0. ¾Podemos armar con un 2 % de signicación.1 mg/dl? 2. y Contrastes de H.A.52 − 6.5 mg/dl? SOLUCIÓN: a)n=3458. 7 La concentración de ácido úrico en sangre (mg/dl) sigue una distribución normal. No podemos armarlo.04 ∈ R. =⇒ H0 . 1. paramétricos en una población 91 PROBLEMA 5.48). . 2. 8 Se cree que más del 85 % de todos los niños con dolor torácico presentará. a pesar del dolor. SOLUCIÓN: a) π ∈ (0.958) b) zexp = 1.15 ∈ R. 0. un ecocardiograma normal. 1. =⇒ H0 . Una muestra de 139 de estos niños ha dado 123 con ecocardiogramas normales.A.812. Hallar un intervalo de conanza al 99 % para la proporción de niños con dolor torácico que presentan ecocardiogramas normales.1. .92 PROBLEMA 5. Realizar un contraste de hipótesis para aceptar o rechazar la hipótesis del enunciado con α = 0. ¾Cuál sería el intervalo de conanza para la desviación típica al 95 %? SOLUCION: a) (12. 4. se realizaron determinaciones acerca de la concentración de urea en sangre (medida en mg/dl).9579). Suponiendo normalidad en los datos: 1.8698] . b) [2. y Contrastes de H.7323.0421 . ¾Cuál sería el intervalo de conanza para la media al 99 %? 2.Práctica 5: Intervalos de C. paramétricos en una población 93 PROBLEMA 5. 9 Dentro de un estudio realizado para valorar la función renal en un grupo de 25 pacientes adultos seleccionados aleatoriamente. obteniéndose como intervalo de conanza al 80 % para la concentración media de esta sustancia (14 ± 0.9226). 15. después) se encuentra en el intervalo (5 ± 3.94 PROBLEMA 5. .8 ∈ R. Suponiendo normalidad en los datos y sabiendo que una mejoría de la forma física implicaría un descenso de la frecuencia cardíaca. 10 Para conocer la ecacia de un programa de entrenamiento deportivo se evalúa la frecuencia cardíaca de 40 sujetos antes y después del mismo.C. Si podemos asegurar la ecacia. Con estos datos se obtiene que la diferencia de frecuencia cardíaca media (antes .5) con un 95 % de conanza. ¾podemos asegurar la ecacia del tratamiento? SOLUCIÓN: texp = 2. =⇒ H1 . ¾Qué tamaño muestral sería necesario para que el error de estimación sea inferior a 0. 5. .Práctica 5: Intervalos de C. que la concentración media de ácido úrico en la sangre de varones adultos es superior a 4. paramétricos en una población 95 PROBLEMA 5. y Contrastes de H. Se ha estudiado una muestra de 92 individuos y hemos obtenido como intervalo de conanza para la media al 80 %: (5.558 ∈ R. 11 La concentración de ácido úrico en sangre (medida en mg/dl) sigue en hombres adultos una distribución normal. ¾Podemos armar con un 2 % de signicación.1 mg/dl con un 99 % de conanza? 2.8 mg/dl? SOLUCIÓN: a) n=1494. 1. =⇒ H1 .4). b) zexp = 2.C. Si podemos asegurarlo. Calcular un intervalo de conanza al 99 % para la proporción de pacientes que necesitan más de 17 días de clínica después de seguir el programa. SOLUCION: a) No lo prueban. ¾Prueban los datos anteriores la hipótesis esperada? 2.96 PROBLEMA 5. Se ha puesto en marcha un nuevo programa de cuidados que se espera que reduzca esta cifra.03195. 0.71805) . Los datos recogidos para 16 pacientes que han seguido el programa son: 3 5 12 7 22 6 2 38 18 9 8 20 15 3 36 43 1. 12 El número medio de días de clínica requeridos por determinados pacientes mayores de edad era de 17 días. b) (0. paramétricos en una población NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 97 . y Contrastes de H.Práctica 5: Intervalos de C. 98 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : Práctica 5: Intervalos de C. y Contrastes de H. paramétricos en una población NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 99 PRÁCTICA 6 : INTERVALOS DE CONFIANZA Y CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICOS EN DOS O MÁS POBLACIONES Decidir si puede armarse (α = 0.64 ∈ R. uno con enfermedad diverticular y otro sin ella. SOLUCIÓN: a) texp = 4. Los resultados obtenidos aparecen en la siguiente tabla: Sin enfer.99 % (µ1 − µ2 ) = [6.7 gr s2 = 9.C. y Contrastes de H.68.32] .9 gr n2 = 18 x2 = 27. 1 Se ha analizado el contenido de bra dietética en dos grupos de vegetarianos. Con enfer. n1 = 18 x1 = 42. 2. Evaluar la diferencia de contenidos medios mediante un intervalo de conanza al 99 %.Práctica 6: Intervalos de C.05) que la media de contenido de bra dietética en las dietas de los que no tienen la enfermedad es más alta que en la de aquellos que la tienen. paramétricos en dos poblaciones 101 PROBLEMA 6.7 gr s1 = 9.C. =⇒ H1 b) I.5 gr Suponiendo normalidad en los datos: 1. 23. C.05). Contrastar si existe diferencia entre ambos grupos (α = 0.12 ∈ R.307.99 % (π1 − π2 ) = [−0. SOLUCIÓN: a) zexp = −3. Del grupo experimental 8 sufrieron alergia.033] .C. para contrastar el efecto de una vacuna contra determinado tipo de alergia. Evaluar la diferencia existente entre ambos grupos mediante un intervalo de conanza al 99 %. −0. =⇒ H1 b) I. cada uno con 100 individuos. 2. mientras que del control la sufrieron 25.102 PROBLEMA 6. 1. 2 Se tiene un grupo control y otro experimental. ha presentado como intervalo de conanza al 95 % para la media de azúcar en sangre (medida en mg/100 ml) el siguiente: (89.C. 90. ¾Podemos armar con un nivel de signicación del 1 % que el nivel medio de azúcar en la población infantil de la ciudad A es inferior al de la ciudad B? SOLUCIÓN: texp = −5. ha presentado como intervalo de conanza al 99 % para la media de azúcar en sangre el siguiente: (93. 3 Dos investigadores de dos ciudades distintas. partiendo de una muestra de tamaño 13.Práctica 6: Intervalos de C. se conocen en un congreso médico porque han presentado dos trabajos sobre el mismo tema. la diabetes infantil. El investigador de la ciudad B.79 ∈ R.8). 98.9).2. y Contrastes de H. El investigador de la ciudad A. =⇒ H1 . partiendo de otra muestra de tamaño 16.1. paramétricos en dos poblaciones 103 PROBLEMA 6. A y B. 7 19.6 53. 1. No existen diferencias.C.3 18.4 11.95 % (π) = [0.3 23.95 % (µ1 − µ2 ) = [−31.4 55. 2. Estimar mediante un intervalo la probabilidad de que un hemofílico tenga un nivel de inmunidad superior a 30.0 24.6 24.6 22.857 ∈ R.2 27.3 Controles: 13.0183.A.9 38.0 66.1 33.65] b) I. =⇒ H0 .9 78.C.6 66.1 8. SOLUCIÓN: a) texp = −1.0 49. ¾Existen en promedio diferencias inmunológicas entre hemofílicos e individuos sanos? Realizar una estimación de esta diferencia por medio de un intervalo de conanza.2 63.7 Suponiendo normalidad en los datos y a partir de ellos: 1.51.104 PROBLEMA 6.597] .0 40.8 61. Los resultados de una prueba inmunológica realizada sobre 13 hemofílicos y otros 13 controles sanos son: Hemofílicos: 11. 0.5 16. I.9 47.4 11. 4 Se ha realizado un estudio para cerciorarse de si las diferencias inmunológicas entre hemofílicos e individuos sanos podían detectarse fácilmente.0 9. n=176. Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 horas 1.1 1. 0.0 1.9 1.28 ∈ R.0 1. =⇒ H1 .C.9 1.3 8 horas 1.0 1.Práctica 6: Intervalos de C. ¾Existe diferencia estadísticamente signicativa entre las concentraciones de digoxina a las 4 y 8 horas? 2.9 0. .01? SOLUCIÓN: a) texp = 3.118). paramétricos en dos poblaciones 105 PROBLEMA 6. Estimar mediante un intervalo de conanza.2 1. se realizaron mediciones en el suero a las cuatro y ocho horas.3 0. b) I.95 % (µ4 − µ8 ) = (0.7 1. ¾Qué tamaño muestral es necesario para que el error de estimación se inferior a 0. la diferencia media real de la concentración de digoxina entre las 4 y 8 horas.C.0 1.2 0.9 1. Si existen diferencias.2 Suponiendo normalidad en los datos: 1.3 1.0 1.022.0 0.0 0. 5 Tras la inyección intravenosa de digoxina en 10 varones adultos sanos. y Contrastes de H.0 1. 2 3.5 2.1 5.2 6.2 5.8 3. =⇒ H0 .2 Suponiendo normalidad en los datos: 1. 3. No podemos admitirlo. c) texp = 5. . de modo que a los tres meses han pesado respectivamente: 5. Estimar mediante intervalos de conanza la media y la desviación típica de la distribución del peso de los recién nacidos de madres fumadoras.775 ∈ R.C.911 ∈ R.) de una muestra de 15 bebés: 2.106 PROBLEMA 6.266.C. Los bebés de la muestra han sido incluidos en un programa de recuperación de peso.9 6.5 2.A.5 5. se ha determinado el peso al nacer (en Kgs.8 2.C.5 5.9 5.9 3.0 3.5 3.95 % (σ) = (0.698.8 5.5 6.1 2.3 5.95 % (µ) = (2.1 5.6 ¾Podemos armar que el programa de recuperación de peso permite incrementar el peso medio en más de 2 kgs? SOLUCIÓN: a) I.1 4.6 2. Si podemos armarlo.4 2.6 2. 2.575) b) zexp = 0.6 2. =⇒ H1 . 0.6 5.102) y I. 6 En un estudio realizado para determinar el desarrollo de recién nacidos de madres fumadoras.8 3. ¾Podemos admitir que más del 50 % de los recién nacidos de madres fumadoras no alcanzan los 3 kg al nacer? 3.2 5. 7 6 14.95 % (σ) = [0.107 Práctica 6: Intervalos de C. 2. en una prueba de esfuerzo.5 5 8.01) la hipótesis de que el programa regular de ejercicios benecia a estos pacientes?.9 9 12.2 10 13.3 Después de 25 semanas de ejercicios controlados.166] .C. b) I. 7 Se piensa que un programa regular de ejercicios moderados puede beneciar a los pacientes que han sufrido un infarto de miocardio. En un estudio han intervenido 11 pacientes a los que se midió antes de comenzar el programa de ejercicios el tiempo (en min.C.0 Suponiendo normalidad en los datos: 1.6 2 9. =⇒ H1 .) que tardaban en alcanzar 160 pulsaciones/min.4 8 9.7 10 10.47 ∈ R. Obtener un intervalo de conanza al 95 % para la media y otro para la desviación típica del tiempo que tardan en alcanzar las 160 pulsaciones/min.862. y Contrastes de H.9 9 8. 2.7 2 14.95 % (µ) = [13.3 11 8.2 7 6.9 3 8.6 4 9. SOLUCIÓN: a)texp = −11.1 7 13.C.756].8 4 16.098. paramétricos en dos poblaciones PROBLEMA 6.2 8 14.1 3 11. después del programa de ejercicios.1 5 14. ¾Avalan estos datos (α = 0. obteniéndose los siguientes resultados: Individuo Tiempo 1 14.4 6 9. volvió a medirse dicho tiempo con la misma prueba de esfuerzo. obteniéndose los resultados: Individuo Tiempo 1 7. I. 14.4 11 14. se tomaron muestras de sangre para determinar el nivel de colesterol de cada participante.993]. Los datos recogidos aparecen en la tabla: Sexo Nivel previo Nivel posterior M 182 198 M 232 210 M 191 194 M 200 220 M 148 138 M 249 220 M 276 219 M 213 161 M 241 210 H 480 313 H 262 226 H 256 200 H 300 194 H 190 210 H 225 190 H 330 250 Suponiendo normalidad en los datos: 1. 8 Se ha realizado un estudio para analizar el efecto del ejercicio físico en el nivel de colesterol en plasma. es la misma en hombres y mujeres? SOLUCIÓN: a) EC = 3. =⇒ H1 . Antes del ejercicio.C.507.C. =⇒ H0 . ¾Se puede concluir que la variación del nivel de colesterol al realizar ejercicio físico. b) I.108 PROBLEMA 6. 0. los individuos fueron sometidos a un programa de ejercicios.156 ∈ R.959 ∈/ R. la proporción de sujetos donde el nivel de colesterol se reduce.95 % (π) = [0. en el que participaron 16 sujetos (7 hombres y 9 mujeres). Después. .C. 3. al nal del cual se tomaron nuevas muestras de sangre y se obtuvo una segunda lectura del nivel de colesterol en plasma. ¾Se puede concluir que en general el nivel medio de colesterol se reduce haciendo ejercicio físico? 2. Estimar por medio de un intervalo de conanza. c) EC = 1. 11) del número medio de horas que sobreviven. c) (120.Práctica 6: Intervalos de C. b) Si es más efectivo (α = 0. ¾Puede aceptarse la igualdad de las varianzas poblacionales (α = 0.14) . con una cuasi-varianza de 4356. y Contrastes de H. Construir un Intervalo de Conanza al 99 % para la diferencia del número medio de horas que sobreviven. se sabe que al tratar 10 animales de laboratorio con el primero de ellos se ha obtenido un intervalo de conanza al 80 % de (1165. paramétricos en dos poblaciones 109 PROBLEMA 6. el número medio de horas que sobreviven es 1400.86. 279. 1234. 3. 9 A la hora de probar si dos medicamentos actúan de la misma forma contra una enfermedad grave. 1. SOLUCION: a) Si puede aceptarse. 2.89 .10)?.05). ¾Es más efectivo el segundo medicamento?. al tratar a 16 animales de laboratorio con el segundo medicamento. Por otra parte. Después de un tiempo.V3 ) producen los mismos efectos en el aumento de peso de los conejos. 10 Se quiere averiguar si tres tipos de complejos vitamínicos (V1 . Tomamos 15 conejos y le asignamos al azar un complejo vitamínico a cada uno.V2 . .) 81 91 75 75 92 83 80 97 69 77 88 71 72 60 71 Suponiendo normalidad en los datos. Vitamínico V1 V2 V3 V1 V2 V3 V3 V2 V1 V1 V2 V1 V3 V3 V1 Aumento (grs.05) SOLUCIÓN: EC = 12.110 PROBLEMA 6.343 → H1 . el aumento de peso (grs. ¾podemos armar que los 3 complejos vitamínicos inuyen del mismo modo en el aumento de peso? (α = 0.) ha sido: Conejo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C. 13) . ¾Puede concluirse que la operación quirúrgica tiende a disminuir la tensión arterial? 2. Los resultados son los siguientes (considere que la distribución de la tensión arterial es Normal): Paciente Antes de la intervención Después de la intervención 1 150 90 2 132 102 3 130 80 4 116 82 5 107 90 6 100 94 7 101 84 8 96 98 9 90 89 10 78 85 1.74). Estimar mediante un IC la diferencia de medias de tensiones arteriales. c) (18. 11 En el curso de un estudio para determinar los efectos de poner n a un bloqueo renal en pacientes cuya función renal está deteriorada a causa de una metástasis maligna avanzada.93 . SOLUCION: a) Si tiende a disminuir (α = 0. 258. 36. b) (4. paramétricos en dos poblaciones PROBLEMA 6.05). y Contrastes de H.46 . se midió la tensión arterial de cada paciente antes y después de la operación.111 Práctica 6: Intervalos de C. Estimar mediante un IC del 99 % la varianza de la tensión después de la intervención. 3. 12 Se han medido los niveles de óxido nitroso en tres tipos de pacientes cardíacos. Calcule un intervalo de conanza del 99 % para la diferencia de niveles medios entre los grupos I y II. obteniéndose los siguientes datos: Grupo I Grupo II Grupo III 243 206 241 251 210 258 275 226 270 291 249 293 347 255 328 354 273 380 285 392 295 309 Suponiendo normalidad en los datos: 1. 129. b) IdC0.99 (µ1 − µ2 ) = (−9. .14.711 → H1 (5 %).112 PROBLEMA 6. 2. ¾Puede armarse que existen diferencias entre los tres grupos en los niveles de esta sustancia?. SOLUCIÓN: a) EC = 3.51). Práctica 6: Intervalos de C. 13 Una compañía farmacéutica investiga los efectos producidos por tres compuestos. y Contrastes de H. ¾podemos armar que los tres compuestos producen los mismos efectos (α = 0. La investigación consiste en aplicar los compuestos a 26 ratones de características similares y anotar los tiempos de reacción. A cada grupo se le administra un compuesto diferente.05)? SOLUCIÓN: EC = 11. obteniéndose los siguientes resultados: Tiempos de reacción (medidos en minutos) Grupo 1 6 7 5 6 5 8 4 7 Grupo 2 10 9 9 10 10 6 Grupo 3 3 4 8 3 7 6 3 6 4 7 6 3 Suponiendo normalidad en los datos. Los animales se clasican aleatoriamente en 3 grupos de 8. paramétricos en dos poblaciones 113 PROBLEMA 6. 6 y 12 ratones respectivamente.98 → H1 . . Por otra parte.83] . Para comprobar si una llamada telefónica el día anterior a la cita incrementa el cumplimiento. 0. Calcule un intervalo de conanza al 98 % de la diferencia de porcentajes de cumplimiento. ¾Puede armarse el efecto de la llamada telefónica? 2. SOLUCION : a) Si puede armarse el efecto de la llamada telefónica. acudieron sólo 8 a su cita. de los 20 que no fueron telefoneados.114 PROBLEMA 6. de los cuales cumplieron con su cita 20. 1. b) [0.07. de los 45 pacientes citados un día se telefoneó a 25 pacientes. 14 En un hospital de la ciudad es relativamente frecuente que los pacientes no acudan el día en el que fueron citados. . si las tres formas de rehabilitación son igualmente ecaces. paramétricos en dos poblaciones 115 PROBLEMA 6.Práctica 6: Intervalos de C. 15 Un hospital está interesado en averiguar la relación existente entre las tres formas de rehabilitación que siguen los enfermos después de una operación y el número de días que el enfermo tarda en recuperarse. y Contrastes de H.4217 → H1 . SOLUCIÓN: EC = 5. al nivel se signicación del 5 %. Tipo 1 28 27 30 29 40 41 32 25 Tipo 2 25 23 19 34 35 27 40 39 37 28 Tipo 3 23 19 13 21 23 29 25 Contrastar. 116 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . Práctica 6: Intervalos de C. y Contrastes de H. paramétricos en dos poblaciones NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 117 . 118 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . PRÁCTICA 7 : CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS . Cáncer (36). Enfermedades infecciosas (80). Accidentes (6). Enfermedades infecciosas (10). Del segundo grupo de países tomamos aleatoriamente otra muestra de tamaño 200. Resto de enfermedades (52). Cáncer (15).120 PROBLEMA 7. encontrando las siguientes causas de muerte: Enfermedades cardiovasculares (90). Accidentes (12). Del primer grupo de países tomamos aleatoriamente una muestra de tamaño 200. encontrando las siguientes causas de muerte: Enfermedades cardiovasculares (35). ¾Podemos armar con un 1 % de signicación que las causas de muerte se distribuyen de la misma forma en ambos grupos de países? 2 SOLUCIÓN: Xexp = 90. 1 Queremos saber si las causas de muerte se distribuyen de la misma forma en los países desarrollados y en los subdesarrollados. Resto de enfermedades (64).53 ⇒ H1 . mientras que entre las mujeres resultaron 2979 normales. 2 En una campaña preventiva de detección precoz del glaucoma realizada en una población se pretende estudiar si el grado de tal enfermedad está o no condicionado por el sexo de los sujetos explorados.32 ⇒ H1 .Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 121 PROBLEMA 7. 193 sospechosos de la enfermedad y 39 glaucomatosos. ¾Qué se puede deducir del experimento?. Entre los varones sometidos a la prueba resultaron 4724 normales. 55 sospechosas y 12 glaucomatosas. 2 SOLUCIÓN: Xexp = 32. Rugby y Voleibol. 43. Para ello se tomaron 5 muestras (de 150 individuos cada una) de practicantes de: Fútbol. 61 y 15? 2 SOLUCIÓN: Xexp = 39. Balonmano. Baloncesto.8 ⇒ H1 . 3 Se desea saber si el porcentaje de individuos que se lesionan es el mismo en 5 deportes de equipo. 36. A dichos jugadores.122 PROBLEMA 7. se les siguió durante un año y se vio si se lesionaban ó no. de edades y nivel de competición similares. 50. ¾Se comportaron los deportes por igual en cuanto al porcentaje de lesionados si el número de ellos fue. respectivamente. Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 123 PROBLEMA 7. 4 Se ha realizado un recuento acerca del número de ingresos hospitalarios que han tenido un grupo de 200 pacientes que padecen insuciencia cardíaca. Ajustar los datos recogidos en la siguiente tabla a una distribución binomial y estudiar la bondad del ajuste. Ingresos 0 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 10 30 65 58 28 8 1 2 SOLUCIÓN: Xexp = 1,417 ⇒ H0 124 PROBLEMA 7. 5 Realizamos un juego de azar que consiste en lanzar un par de dados y anotar la suma obtenida. Las tabla de recuentos obtenida tras 200 lanzamientos es Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Recuentos 2 8 16 28 32 34 30 24 14 8 4 ¾Se ajustan las frecuencias empíricas a la distribución que les corresponde en teoría? 2 SOLUCIÓN: Xexp = 7,38 ⇒ H0 Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 125 PROBLEMA 7. 6 Los datos referentes al número de partos asistidos por día en un centro hospitalario, vienen recogidos en la siguiente tabla: No Partos por día 0 1 2 3 4 5 o más Frecuencia 6 15 20 12 8 4 Ajustar a la distribución de Poisson adecuada y estudiar la bondad del ajuste. (Nota: Tomar como marca de la última clase el valor 5) 2 SOLUCIÓN: Xexp = 0,9139 ⇒ H0 3 y 0. según la gravedad. 4 y 1 años. el número de enfermos encontrados en cada estadio ha sido. 2 SOLUCIÓN: a) p=0.12.4 b) Xexp = 8. 0. 8.15 ⇒ H0 . 7 Cierta enfermedad puede presentarse en 5 estadios diferentes. 25. 0.17. ¾Se ajustan estos datos a la distribución anterior?. 10. Según el estadio. En una muestra de 100 individuos con la enfermedad. Las probabilidades de que un individuo con la enfermedad se encuentre en cada uno de los 4 primeros estadios son. 3. el individuo sobrevive 10. respectivamente. 24 y 38. respectivamente. 6. Hallar la probabilidad de que un individuo que tenga esta enfermedad se encuentre en el 5o estadio.126 PROBLEMA 7. respectivamente. 2. 1.01. 0. en cuatro clases: E1 : lisos y amarillos. 101 de E3 y 32 de E4 . ¾Los datos conrman la teoría sobre la herencia genética de Mendel? 2 SOLUCIÓN: Xexp = 0. Seleccionados al azar 556 guisantes de la variedad en estudio.Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 127 PROBLEMA 7. E3 : rugosos y amarillos y E4 : rugosos y verdes. atendiendo a su color y forma. los datos deberían estar en la proporción 9:3:3:1. Según el modelo teórico de Mendel. se han clasicado guisantes de una determinada variedad. se obtienen 315 de E1 .47 ⇒ H0 . 108 de E2 . E2 : lisos y verdes. 8 Para comprobar empíricamente la teoría sobre la herencia genética de Mendel. 8 4. No pueden considerarse normales. estudiar si los datos pueden considerarse de una población Normal. Si la mediana de los valores del índice en este tipo de pacientes está por debajo de 6 se pondrá en funcionamiento un nuevo programa dietético para corregir el problema. El hecho de que el índice tenga un valor inferior a 6 es indicativo de un grave décit proteínico. Mediante el contraste de D'Agostino.6 5. 9 Se ha realizado un estudio sobre nutrición en pacientes con insuciencia respiratoria que requieren ventilación asistida. Mediante el contraste de los signos.4 5.9 5.2 4.1 5. A partir de una muestra aleatoria de 15 pacientes se obtuvieron los siguientes valores: 5.7 4. ¾hay pruebas de que la mediana de los índices esté por debajo de 6? 2. que es una medida del nivel proteínico del paciente. Una variable considerada es el índice de creatinina.7 1.7 4. b)EC=0. SOLUCIÓN: a) EC=13.9 4.5166.8 4. No es signicativo.5 6.128 PROBLEMA 7.3 5. .1 4.4 6. A: Hosp. . SOLUCIÓN: R(A) = 25. Hosp. respectivamente. No puede considerarse distinta p < 0. de pacientes intervenidos quirúrgicamente por el mismo tipo de operación. son los siguientes: HOSP.05. de dos muestras de tamaño 5 y 10. ¾puede considerarse que la duración de la estancia es distinta en ambos hospitales?. B: DATOS 10 15 12 23 17 14 16 23 25 17 23 20 17 26 30 Suponiendo que los datos no son normales. 10 Los días de estancia en dos hospitales.Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 129 PROBLEMA 7. 05) . obteniéndose los siguientes resultados: BTc (md/dl) < 5 [5 − 6) [6 − 7) [7 − 8) [8 − 9) [9 − 10) ≥ 10 ni 3 4 2 8 12 18 33 ¾Puede armarse que la concentración de bilirrubina en neonatos con ictericia se ajusta a una distribución normal? SOLUCION: No se ajusta a la normal (α = 0. 11 La ictericia neonatal es un fenómeno biológico complejo. resultado de un desequilibrio transitorio entre la producción y eliminación de la bilirrubina.130 PROBLEMA 7. se determinaron los niveles de bilirrubina a través de bilirrubinometría transcutánea (BTc) de una muestra de neonatos con ictericia. En el curso de una investigación. 05). se divide un cultivo en 576 áreas iguales y se cuenta el número de bacterias en cada área. . los extremos. . por el contrario. lo hacen con algún tipo de preferencia (el centro. )... Los resultados son los siguientes: No bacterias 0 1 2 3 4 5 o más No áreas 229 211 93 35 7 1 ¾Obedecen los datos a una distribución de Poisson? (Tomar como marca de la última clase el valor 5) SOLUCION: Si se ajustan (α = 0.Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 131 PROBLEMA 7. 12 Con el n de conocer si un cierto tipo de bacterias se distribuyen al azar en un determinado cultivo o si. 0547 .25 mg. se utiliza una dosis de 6. Se anota la tensión arterial sistólica de cada paciente antes de que reciba el fármaco (X) y setenta minutos después de que le haya sido administrado (Y). El fármaco puede considerarse ecaz con p=0. Los datos obtenidos son: X (antes)) 175 179 165 170 160 180 177 178 173 176 Y (después) 140 143 135 133 162 150 182 139 140 141 Suponiendo que los datos no son normales. SOLUCION: EC=8. con el contraste de los signos determinar si el fármaco es ecaz en la disminución de la tensión arterial.132 PROBLEMA 7. 13 En un estudio sobre el empleo del captopril en pacientes hipertensos tratados con diuréticos. 9. 296.Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 133 PROBLEMA 7.5. 239. 188.7. 186. 222. en miligramos por mililitro son los siguientes: I) II) III) 261. 14 Aplíquese el test de Kruskal y Wallis al siguiente problema: La ureasa es una enzima productora de amoníaco en el tracto gastrointestinal.3. 178.0 600. 159.8 221. 193.4 SOLUCION: H = 13. 159.0. 270. 214. 283. 167.3.1.5. 224. 244. II) pacientes con obstrucción en la vena porta extrahepática.9.8. 175. 147. 267. 607.4.2. 243. Es conocido que el amoníaco es perjudicial en pacientes con enfermedades hepáticas.3.6.3. 512. 265.001 . 355. Los datos obtenidos. III) pacientes con hepatitis viral.3.6.3.87 ⇒ H1 con p < 0. 540.8.9.3. 230.9.3. 301.5. 230.2. Se ha realizado un estudio cuyo objeto es comparar la concentración de ureasa en los jugos gástricos en tres poblaciones : I) grupo control.1.1. Para el parámetro SGOT se obtuvo: Paciente: Inicial: Al mes: 1 56 47 2 56 63 3 147 125 4 58 26 5 121 99 6 57 36 7 49 34 8 118 90 9 63 50 10 75 59 Indique qué procedimiento(s) estadístico(s) podría emplear para analizar tal variación en el caso de que no pudiera suponer Normalidad en los datos. Con éste último W (+) = 54 ⇒ H1 (p < 0.134 PROBLEMA 7. 15 Se administró un cierto fármaco a una muestra representativa de enfermos de hepatitis alcohólica. se valoraron ciertos parámetros siológicos inicialmente y al cabo de un mes de tratamiento. .05). puede utilizarse el test de los signos para dos muestras dependientes o el de Wilcoxon de los rangos signados para las diferencias. Para estudiar sus consecuencias. SOLUCION: Al ser dos muestras dependientes. 16 Se ha realizado una encuesta a 125 individuos que son usuarios al mismo tiempo de Centros de Salud y Ambulatorios donde se ha recogido su opinión favorable (SI) o desfavorable (NO) a dichos sistemas de asistencia.5 %).Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos 135 PROBLEMA 7. Los datos recogidos aparecen en la siguiente tabla: Centro de Salud Ambulatorio SI NO SI 27 35 NO 43 20 SOLUCION: χ2exp = 0.82 ⇒ H0 (0. . 286. . 27. 12.136 PROBLEMA 7. 915. 56. 453. 30. 37. 39. 153. 38. 29. 513. 47. 11. 20. 45. 28. Población III: 37. 53. 28. 8. SOLUCION: H=23. 172. 36. alcohólicos con anillos sideroblásticos en médula ósea (II) y alcohólicos sin dichos anillos (III). 174. 72.11 ⇒ H1 (0. 78. Población II: 78. 30. 82. 84. 34. 17 Utilizar el método no paramétrico más apropiado para ver si hay diferencias entre los niveles de protoporrina en las tres poblaciones compuestas por individuos sanos (I). de las que se han extraido las muestras: Población I : 22. 38. 68. 780. 47. 148. 50. 58. 76.5 %). 6 34.2 41.9 ¾Indican estos datos que el tiempo en quedarse dormido es distintos en fumadores y no fumadores? SOLUCION: W(S)= 212 Si puede concluirse que tardan más tiempo (5 %).1 26.8 21.1 22.9 .7 30.5 13.137 Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos PROBLEMA 7.4 23.1 36.1 28.4 47.9 53. y otra independiente de tamaño 15 de la población de no fumadores.8 60. una de las variables importantes ew el tiempo que se tarda en quedarse dormido. obteniéndose los siguientes datos: F F 69.0 25.6 56.8 30.2 52. Se extrae una muestra de tamaño 12 de la población de fumadores.0 37.3 28. 13. 18 En un estudio sobre el hábito de fumar y sus efectos sobre las pautas del sueño.8 48.6 34.6 43.2 38.2 29.4 31. 138 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . Práctica 7: Contrastes de Hipótesis no paramétricos NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : 139 . 140 NOTAS O CONTINUACIÓN DE PROBLEMAS : . APÉNDICE: TABLAS ESTADÍSTICAS . 0000 .3543 .8574 .3874 .2109 .0605 .1536 .0115 .2373 .0022 .1966 .0000 .2401 .2597 .0683 .0287 .9606 .0746 .0270 .0563 .0085 .0725 .2458 .2621 .0001 .0000 .0016 .2725 .0331 .8100 .2786 .0026 .0101 .2051 .0585 .3874 .0000 .0000 .9801 .0212 .0774 .0033 .2550 .20 .0039 .0000 .3602 .2627 .4096 .0081 .0867 .5987 .0865 .2963 .2985 .2634 .0001 .0001 .2376 .2592 .0000 .1069 .1470 .2048 .0000 .3241 .1172 .1460 .0495 .0000 .0515 .0000 .2759 .0135 .2098 .1536 .0000 .3121 .4444 .0023 .0763 .2646 .0000 .0467 .9135 .2335 .2508 .1757 .0146 .1719 .3823 .3125 .0000 .3456 .2344 .3115 .0014 .0480 .0000 .2688 .0878 .2995 .2613 .2389 .1715 .0162 .3164 .0176 .1780 .5220 .2048 .0001 .0746 .0176 .0001 .3280 .2965 .0819 .0012 .3826 .0640 .1442 .1267 .0000 .2130 .3430 .0823 .0312 .0635 .0002 .2731 .0975 .3456 .2637 .0595 .0033 .0036 .0703 .0212 .0000 .1176 .0000 .2188 .0114 .0002 .1001 .0214 .3560 .0098 .0024 .4200 .2316 .1561 .0000 .2461 .0312 .0001 .1327 .0984 .0005 .0046 .45 .2916 .5314 .0000 .0584 .0000 .0173 .1354 .9415 .0264 .7738 .2276 .0210 .0207 .0039 .0659 .0139 .6400 .6634 .2573 .0003 .0205 .0000 .0000 .3110 .1115 .3280 .0512 .1128 .2568 .0896 .0039 .1168 .0735 .2503 .3200 .1596 .1361 .0345 .0881 .0000 .3845 .6302 .0389 .0010 .2522 .9227 .1785 .0083 .2097 .0368 .1556 .4998 .0146 .2355 .2500 .2013 .2903 .0703 .0015 .0003 .0001 .0756 .3750 .0284 .1636 .4305 .0000 .2601 .3020 .0403 .0042 .0661 .1739 .0407 .4116 .2249 .0270 .3369 .0352 .2500 .0074 .2765 .0084 .0000 .0011 .0000 .0008 .2128 .0574 .0015 .3771 .0000 .0025 .1657 .1890 .1866 .0938 .1298 .3060 .0000 .0060 .0000 .1280 .2456 .2500 .0872 .2918 .1977 .0077 .0410 .0988 .1542 .142 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL P (X = k) = p n k 2 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 n k
k p (1 − p)n−k .0388 .2561 .0004 .0185 .0000 .2336 .1171 .2880 .0548 .2816 .0020 .0123 .2321 .0000 .7225 .0008 .3675 .0283 .0629 .4900 .0305 .0000 .0576 .1562 .0625 .2786 .0808 .2051 .3932 .0044 .1160 .0012 .0439 .0778 .2344 .3277 .0004 .2985 .1672 .1811 .0041 .1937 .0001 .3206 .2716 .0001 .3151 .2401 .2670 .0073 .0000 .40 .0054 .3003 .0030 .2780 .2150 .0012 .0000 .0002 .3750 .0911 .1074 .0751 .0277 .0000 .1543 .0000 .6983 .8145 .0960 .0424 .6561 .3177 .50 .0547 .0743 .0012 .1665 .0087 .0000 .2753 .0042 .0312 .1306 .0677 .0244 .0429 .0100 .0202 .7290 .3960 .0415 .0064 .0013 .0277 .0459 .0490 .2963 .2188 .4783 .4096 .0172 .0914 .9044 .0176 .0014 .1382 .3600 .0341 .2500 .0014 .3847 .1382 .0021 .0413 .1468 .1848 .0000 .0026 .0165 .9025 .1664 .1004 .0486 .0083 .0041 .0319 .0503 .0004 .3125 .0294 .1080 .0000 .1730 .2090 .3105 .1115 .1861 .0404 .0000 .2322 .2730 .3364 .0000 .0000 .0028 .0230 .0012 .0164 .0010 .0098 .1008 .1612 .1569 .4096 .0001 .0217 .0034 .4550 .0001 .2273 .0603 .0001 .0135 .0000 .2936 .0009 .2384 .0596 .0043 .0256 .0000 .0000 .2746 .0401 .1014 .2048 .0004 .0339 .0011 .0000 .9510 .0092 .2001 .0078 .0156 .0330 .0078 .0001 .2787 .1681 .3720 .0488 .0729 .1323 .3670 .2160 .0031 .0000 .3951 .15 .0280 .0050 .2676 .4437 .0000 .05 .0150 .1176 .3115 .1172 .0010 .4950 .0830 .0036 .0000 .0446 .2461 .0000 .1147 .0001 .0000 .3341 .1181 .0000 .0008 .1209 .0013 .1875 .1969 .2195 .0000 .0000 .1024 .3679 .0320 .10 .4444 .0102 .4800 .1029 .3032 .0000 .4410 .0900 .2668 .2388 .2731 .0938 .0000 .0000 .0972 .0010 .0055 .0012 .0609 .0625 .0001 .5625 .0006 .0776 .0115 .5905 .2269 .0000 .0046 .0055 .2757 .0000 .2340 .0152 .0000 .1951 .3020 .0000 .0163 .0001 .0400 .3747 .0000 .2341 .3115 .0260 .1678 .0020 .0005 .2793 .0000 .2005 .0689 .2377 .1406 .2587 .0016 .0105 .0369 .0839 .0625 .2430 .4609 .0624 .0038 .9703 .0165 .0000 .0043 .0100 .3087 .49 .0000 .1935 .2097 .0002 .0003 .0467 .3020 .2734 .1646 .3355 .1183 .0112 .0004 .0053 .0005 .0000 .3073 .0004 .3750 .35 .0000 .2506 .1852 .0003 .1373 .0037 .3025 .3685 .2461 .4225 .0102 .0034 .3456 .0425 .1094 .30 1/3 .0004 .0370 .0006 .0156 .2600 .0879 .0000 .3251 .0000 .3292 .0003 .0153 .0001 .0574 .1110 .0000 .1160 .0617 .0090 .0574 .0154 .2025 .0106 .0000 .2437 .0000 .0083 .2541 .1094 .2119 .1641 .1225 .0039 .2408 .0000 .0571 .0000 .1172 .0225 .0002 .2194 .3185 .0000 .0577 .0282 .1722 .3674 .1250 .1762 .3124 .1250 .0754 .0007 .0000 .1239 .1707 .5120 .4219 .2508 .2076 .0466 .0390 .1342 .2304 .0000 .0002 .3487 .1600 .0412 .2601 .0229 .0036 .2253 .0576 .0001 .0068 .4219 .0283 .0098 .3840 .1800 .1359 .0703 .3292 .2471 .1111 .0026 .0185 .1335 .0002 .3025 .0256 .0079 .0006 .0198 .1740 .0250 .0384 .3855 .1762 .0001 .2036 .0018 .2007 .1715 .3993 .0035 .0010 .1296 .0000 .0768 .0007 .0016 .6141 .2140 .0010 .0003 .1488 .0864 .0000 .0000 .0950 .0312 .4084 .0168 .9321 .0746 .1562 .0004 .0156 .1318 .0171 .0001 .2684 .1641 .3874 .0008 .2162 .2734 .25 .2437 .0000 .0001 .2966 .0000 .2734 .1975 .3915 .0000 .1366 .1211 .0071 .0000 .0001 .1240 .2668 .0207 .0020 .0017 .0046 .0000 .3474 .2222 .0439 .01 .0231 .0109 .3750 .1317 .0025 .0406 .2731 .1877 .0024 .4444 .3292 .0000 .4436 .0001 .0000 .2679 .0090 .2508 .1641 .0080 .5000 .0005 .2059 .2600 .0000 .0081 .2400 .0016 .4320 .7351 .0915 .3125 .0001 .0006 .0389 .0951 .0084 .0000 .1641 .0494 .4219 .0000 .0000 .0000 .0064 .0000 . 0842 .9048 .2303 .0000 .0007 .0019 .0007 .0481 .0002 .0005 .0078 .0333 .0225 .0008 .0001 5.1815 .0071 .1462 .0034 .0 9.0000 .0003 .0206 .0004 .0169 .1225 .0012 .0198 .8 2.0006 .2231 .0031 .0001 .1680 .2306 .0001 .0109 .0006 .0000 .0027 .2222 .1931 .3033 .0916 .0001 .2510 .0001 .0000 .5 2.1251 23 .0056 .1703 .0194 .0077 .0098 .0001 .0022 .0183 .1781 .0984 .0000 .0000 .0019 .4 4.0150 .0016 .0850 .0536 .2 4.0334 .0608 .1 1.0273 .1140 .0407 .4 2.3 .1490 .0174 .0181 .1438 .0778 .0028 .0 9.0083 .0008 .5 1.0029 .0686 .0298 .0011 .2125 .8 1.0061 .0001 .1912 .1954 .0000 .2314 .0126 .1839 .0023 15 .0092 .1008 .0005 .0047 .0005 .0009 .1377 .0081 .0025 .1477 .2 1.0076 16 4.0000 .0538 .1378 .0948 .3614 .0395 .8187 .0005 .0000 .1496 .0000 .0176 .0223 .6065 .0076 .0189 17 .1169 .2681 .0010 .0037 .0631 19 .0000 .2090 .0002 .0018 .2450 .0 8.0000 .1126 21 .1128 .0324 .1135 .0002 .1496 .1 2.1917 .1396 .0892 .1171 .1186 .0033 .1827 .2177 .1264 .2052 .0319 .1398 .0011 .0047 .0003 .2384 .0002 .0241 .2438 .2240 .0653 .0595 .1318 .2613 .0045 .0090 .0015 .1755 6.0001 .0058 .0000 .0 4.0001 .1082 .0045 .1404 .0941 .0000 .1637 .0 .2186 .1254 .0020 .0959 .0000 1.0 10.0111 .0026 .0034 2.0337 .0607 .1304 .0001 .0113 .0082 .0286 .0907 .0019 .0019 .0150 .0021 .0 .0003 .9 1.2707 .0031 .0217 k 9 10 11 12 .2176 .1377 .0002 .0002 .0027 .1494 .0378 18 .0026 .0064 .0035 .0001 .0191 .0911 .1064 .4 1.0672 .0668 .3329 .0018 .4493 .0446 .2 4.4 4.1014 .1875 .0821 .0052 .0004 .2225 .0003 .0011 .1488 .1241 .0044 .2678 .0905 .3679 .1710 .0264 .0007 .0148 .0009 .0014 .0723 .0000 .0002 .0455 .0014 .0009 .0002 .2033 .0132 .1255 .8 4.0001 .1653 .0149 .0001 .0004 .0003 .0053 .0000 .1954 .0013 .0014 .0027 .3452 .1748 .0216 .0360 .0004 .1563 4.0014 .1251 22 .0033 .8 .1339 .1944 .1414 .0758 .1725 .0153 .1323 .2975 .2014 .1042 .0141 .0001 .0278 .1755 .0003 .0111 .0003 .6 4.0 10.4 3.0428 .0425 .0084 .0001 .1 .0 .0002 .1820 .0012 .0001 .0551 .0413 .0417 .0001 .0000 .0902 .0000 .0001 .7 .1633 .0688 .1044 .0337 .1890 .0188 .0000 .0 .2700 .1929 .0068 .0000 .0 .0102 .3543 .0912 .5488 .9 3.1607 .8 .0804 .0993 .0508 .0030 .0000 .0733 .0348 .0521 .0988 .2019 .0002 .0001 .0071 .0550 .0278 .0123 .2417 .2 2.0521 .3659 .0163 .1606 .0867 .0001 .1221 .1396 .1323 .0494 .1304 .0147 .0504 3.0722 .0575 .0168 .0009 .0005 .0008 .2707 .0005 14 .1966 .0049 .0118 .0296 .0241 .2510 .0128 .6 1.0383 .0067 .3106 .0009 .2842 .1631 .0009 .0216 .0007 .3012 .4 .0001 .2466 .1606 .0082 .2565 .1336 .1137 24 .2087 .0002 .3662 .143 Tablas estadísticas FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON P (X = k) = λk ·e−λ k! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 .3595 .0009 .0001 .0203 .0729 .0013 .0001 .3476 .0284 .1622 .0003 .0037 .0728 .0000 .2205 .3679 .6 3.0006 .0872 .0002 .0000 .0002 .0001 λ k λ .2681 .0019 .0716 .3 1.0901 20 .0 .4066 .0040 .0002 .0013 .0015 .7 2.7 1.0002 .0498 .0260 .0002 .0462 .0099 .2725 .0142 .0735 .0005 .0068 .0573 .2640 .0869 .3230 .1771 .0006 .0 8.0000 .0146 .1858 .1647 .1217 .0004 .1615 .0209 .0738 .0002 .1804 .0408 .0006 .1318 .1353 .9 2.2 .0309 .0004 .0992 .0743 .0395 .0000 .2 3.0224 .0452 .0045 .4966 .1003 .0055 .3 2.0500 .2226 .0111 .2046 .1596 .0000 .1465 .0000 .0107 .1143 .1517 .1033 .2584 .1108 .0936 .0050 .0826 .0 7.0948 .0710 .1944 .0057 .6 2.0003 .1277 .0970 .2652 .0009 .0476 .0039 .0260 .0471 .0120 .0998 .0025 .0001 .5 .0001 .0006 .1852 .0630 .0118 .3293 .6703 .0164 .0307 .7408 .3347 .0005 .0003 .2700 .0001 .0 7.0064 .2169 .0002 .2138 .1188 .1743 .0038 .0027 .1237 .0363 .0 6.0000 .0072 .2572 .6 .0636 .0347 .0011 .0504 .2240 .6 4.0608 .0613 .0022 .0071 .0255 .0011 .0361 .0050 .1490 .0020 .0001 .0062 .0602 .0139 .0000 13 .0540 .0003 .0101 .2237 .1687 .0324 .0812 .1557 .8 5.0 .0001 .0362 .0004 . 5 1.99989 0.9846 0.6179 0.9960 0.9633 0.9778 0.9049 0.7995 0.5120 0.8621 0.08 0.7 0.9 0.6554 0.99934 0.5279 0.9979 0.99991 0.8 0.9965 0.99874 0.5517 0.99997 0.99975 0.9893 0.9972 0.99996 0.6 3.9890 0.7422 0.99953 0.99948 0.6985 0.9686 0.7611 0.9957 0.7580 0.2 0.9975 0.9332 0.2 1.02 0.9918 0.99958 0.9265 0.9931 0.99993 0.6 0.8980 0.9345 0.9649 0.99977 0.9969 0.99997 0.5 0.99993 0.9207 0.9901 0.99897 0.99918 0.99952 0.6772 0.9641 0.7190 0.99921 0.5832 0.9505 0.9966 0.9977 0.99909 0.9616 0.99962 0.9979 0.9732 0.5239 0.7 1.8023 0.9554 0.3 1.9977 0.99995 0.99978 0.9896 0.7939 0.7357 0.99996 0.9394 0.6368 0.99994 0.99998 0.0 0.99957 0.6628 0.6141 0.5636 0.8186 0.7088 0.7 2.99916 0.9756 0.2 2.9706 0.7486 0.9772 0.9767 2.8554 0.8289 0.9798 0.99955 0.9032 0.5 3.9956 0.99983 0.9406 0.9884 0.7324 0.9984 0.9878 0.8888 0.99998 0.6 2.9909 0.9976 0.99997 0.7157 0.7454 0.99931 0.99988 0.7823 0.7123 0.9463 0.99986 0.8051 0.9946 0.9099 0.99878 0.5319 0.9922 0.5478 0.99974 0.9306 0.9738 0.99946 0.9973 0.99903 0.8264 0.9974 0.99906 0.9964 0.99995 0.99997 0.8159 0.9 4.99981 0.99970 0.8106 0.9967 0.3 0.9984 0.9913 0.9115 0.99985 0.9857 0.9838 0.9370 0.99996 0.8770 0.5 2.9292 0.9850 0.6517 0.8686 0.99998 z ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Φ(z) = p z .9192 0.8729 0.5199 0.8389 1.9564 0.8997 0.5080 0.9953 0.5596 0.5438 0.0 0.9881 0.9985 0.99984 0.8962 0.9830 0.9962 0.9066 0.99865 0.975 1.9963 0.9382 0.9970 0.99869 0.1 2.99924 0.576 dx = p .99972 0.9599 0.4 1.282 .5359 0.9783 0.9995 3.9803 0.5987 0.3 3.8810 0.9 0.9871 0.9949 0.9887 0.5793 0.99997 0.7642 0.07 0.7910 0.8365 0.9812 0.5714 0.9 0.9535 0.6480 0.8485 0.9968 0.417 .8212 0.8925 0.6331 0.5398 0.6844 0.999 3.9608 0.99966 0.8599 0.9495 0.9959 0.9719 0.8508 0.99 2.9920 0.5160 0.9808 0.8413 0.9986 3.8790 0.9656 0.9625 0.0 1.891 .1 0.9177 0.8461 0.9713 0.9793 0.9868 0.9929 0.6664 0.8643 0.9981 0.99994 0.9474 0.99950 0.7673 0.9162 0.9131 0.99983 0.99995 0.99996 0.99926 0.8 1.7 3.9484 0.5948 0.7764 0.645 .99936 0.6736 0.9952 0.9938 0.144 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Φ(z) = P (Z ≤ z) = 2 x √1 e− 2 2π Rz −∞ dx 0.99973 0.7881 0.99987 0.6915 0.7019 0.9515 0.9861 0.6293 0.99882 0.8315 0.99968 0.7054 0.99900 0.9974 0.99938 0.9927 0.99990 0.1 1.6103 0.9826 0.9936 0.7291 0.9573 0.9671 0.5753 0.99995 0.9932 0.99992 0.99940 0.7794 0.6217 0.3 2.9817 0.9934 0.99942 0.9821 0.9664 0.9925 0.4 2.9980 0.9788 0.8944 0.99998 0.8907 0.960 2 Rz −∞ .8 3.01 0.7549 0.9147 0.9986 0.9357 0.5040 0.8340 0.9418 0.5000 0.9898 0.99987 0.5910 0.5557 0.99969 0.99991 0.9441 0.99982 0.5675 0.6808 0.9943 0.06 0.8438 0.6591 0.99980 0.9319 0.99893 0.9983 0.99964 0.99990 0.8869 0.9251 0.99978 0.9945 0.8238 0.8708 0.0 3.03 0.99976 0.00 0.9864 0.95 1.6 1.99996 0.9834 0.6700 0.9761 0.9545 0.995 2.1 3.99995 3.7967 0.291 .99997 0.99981 0.9015 0.9842 0.8531 0.6406 0.9955 0.99997 0.9236 0.326 x √1 e− 2 2π .99988 0.9875 0.9941 0.7224 0.7852 0.9582 0.9452 0.8078 0.9429 0.2 3.99886 0.9693 0.7704 0.7257 0.99991 0.5871 0.9982 0.99965 0.99992 0.9222 0.99997 0.8830 0.8577 0.8 2.8133 0.99992 0.6879 0.99971 0.99990 0.0 2.090 .4 3.9978 0.99961 0.9279 0.99994 0.9982 0.99993 0.9948 0.8655 0.9699 0.6443 0.9916 0.90 1.6064 0.99889 0.9726 0.05 0.6026 0.9678 0.04 0.9951 0.9591 0.9981 0.9525 0.7734 0.9985 0.9744 0.9750 0.9961 0.99929 0.9904 0.09 0.99995 0.8749 0.99986 0.4 0.999995 4.8849 0.99996 0.99979 0.9906 0.7517 0.99913 0.9940 0.6950 0.9854 0.99989 0.9082 0.99944 0.99994 0.7389 0.99985 0.9971 0.9911 0.6255 0.99959 0. 680 0.390 2.073 4.865 0.106 3.190 1.870 0.479 2.690 1.845 4.685 0.690 0.990 1.819 3.764 63.763 2.552 2.319 1.679 0.058 1.734 1.753 1.350 1.397 1.250 1.868 0.521 3.415 1.819 2.333 1.812 12.779 2.014 2.85 0.860 1.533 1.677 0.854 1.659 3.461 3.707 3.353 2.363 1.328 1.681 2.056 2.058 1.708 1.009 2.610 6.050 1.292 1.) ∞ p .592 3.740 1.821 2.059 1.849 0.101 2.683 0.364 2.079 1.857 0.883 0.064 1.876 0.012 2.043 1.383 1.690 2.372 6.376 1.645 2.048 2.889 0.201 2.408 5.906 0.055 1.883 3.071 1.325 1.975 0.660 1.664 1.061 0.706 0.626 2.978 0.896 2.303 3.583 2.895 1.797 2.821 6.725 3.678 2.306 2.683 0.323 1.345 1.848 0.447 2.761 1.438 2.467 2.315 1.145 Tablas estadísticas ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT Z t F (t) = P (Tn ≤ t) = −∞ ) Γ( n+1 2 dx = p √ 2 Γ(n/2) nπ(1 + xn )(n+1)/2 0.412 2.684 0.160 2.862 0.000 1.80 0.998 2.604 4.423 2.052 2.947 2.679 0.922 3.660 2.855 0.221 4.386 1.741 0.965 4.282 1.842 1.920 2.765 0.959 5.920 0.228 31.262 2.639 2.337 1.854 0.688 0.066 1.650 2.078 1.341 1.356 1.691 0.925 5.391 3.869 5.787 2.960 2.963 1.767 3.485 2.301 1.045 2.676 1.169 636.657 9.678 0.041 4.457 2.995 0.032 3.440 1.088 1.796 1.850 0.000 0.120 2.706 4.108 1.756 2.313 1.700 1.724 2.99 0.598 12.417 3.015 1.055 1.476 1.816 0.143 2.056 1.782 1.602 2.042 2.497 3.049 1.314 1.776 2.771 1.182 2.679 1.694 0.692 0.145 2.063 1.083 1.314 2.093 2.685 0.711 1.156 1.330 1.833 1.671 1.929 8.528 3.873 0.851 0.030 2.355 3.093 3.326 2.695 0.858 0.686 0.878 2.306 1.729 1.75 0.689 0.745 3.701 1.863 0.060 1.179 2.686 0.057 1.687 0.310 1.500 2.684 0.807 2.110 2.046 1.706 1.587 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.855 0.064 2.707 3.365 2.069 1.703 0.866 0.551 3.021 2.437 4.95 0.984 1.699 1.688 0.684 0.90 0.711 0.846 0.941 0.718 0.861 2.015 3.831 2.681 0.646 35 40 45 50 60 80 100 0.682 0.060 2.134 1.858 0.850 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.539 2.771 2.943 1.365 3.492 2.508 2.086 2.896 0.291 n(g.921 2.036 1.721 1.311 1.403 2.619 31.727 0.l.076 1.856 0.074 2.055 3.061 1.140 4.718 2.683 0.746 1.9995 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.879 1.845 0.571 2.290 1.080 2.886 1.299 1.473 2.296 1.703 1.576 3.717 1.303 1.567 2.067 1.318 4.131 2.318 1.374 2.624 2.859 0.725 2.462 2.852 0.860 1.250 3.638 1.781 4.042 1.861 0.119 1.856 0.316 1.690 3.674 0.052 1.069 2.100 1.132 2.898 2.841 4.541 3.705 2.714 1.047 1.697 0.750 3.792 3.518 2.977 2.697 2.074 1.965 3.684 1.747 3.674 3.321 1.499 3. 40 48.30 28.11 41.11 22.06 44.89 10.26 9.69 2.28 10.11 4.89 18.12 27.26 32.40 42.92 23.72 46.35 70.11 23.36 40.63 6.32 124.58 62.08 46.05 55.01 17.21 0.28 49.12 11.39 140.25 132.07 0.22 4.17 151.12 13.39 10.81 8.42 42.25 7.01 5.81 9.71 37.64 9.62 59.96 20.00 12.95 97.63 9.14 12.00004 0.02 7.51 63.62 87.14 31.86 16.28 51.31 10.975 0.56 14.06 1.86 11.22 0.38 100.81 16.84 14.65 2.59 28.42 83.004 0.64 5.56 1.48 66.81 51.40 45 50 60 70 80 90 24.05 28.21 78.26 38.41 26.71 1.34 1.14 36.62 36 37 38 39 40 17.01 7.38 32.14 5.43 63.95 24.19 37.66 99.14 69.49 54.92 39.07 15.07 5.26 4.27 49.91 7.99 7.65 24.84 14.40 5.94 19.27 24.11 0.28 21.81 12.58 107.28 73.71 19.23 8.87 3.98 11.63 9.63 15.41 34.20 2.23 49.92 18.47 20.66 51.64 3.44 55.59 22.32 32.13 15.09 2.72 26.16 0.15 12.99 46.57 40.25 35.66 16.88 41.53 36.21 11.85 30.26 6.88 13.68 21.35 11.95 163.85 9.17 2.55 6.96 60.63 118.53 43.36 49.06 0.49 17.61 34.52 6 7 8 9 10 0.01 0.64 50.36 31.93 40.17 4.79 95.49 11.82 45.54 18.71 18.76 28.80 48.34 42.56 9.08 90.87 21.99 7.71 4.56 46.02 20.52 10.46 55.99 52.68 41.05 0.62 n (gl) p NOTA: Para n > 120 utilizar p 2χ2 (n) ≈ N √ 2n − 1.001 0.21 0.005 0.69 46.48 48.79 32.12 27.57 15.27 23.36 14.91 34.58 173.67 33.85 70.83 13.36 23.73 29.28 20.47 100.68 0.95 13.07 3.90 69.25 40.54 61.29 41.59 11 12 13 14 15 2.48 146.00 39.65 38.48 50.8 0.06 22.66 5.32 26.0002 0.12 73.09 40.15 88.28 18.51 17.76 23.24 3.95 23.94 26.31 21 22 23 24 25 8.60 3.47 21.51 25.83 6.10 62.26 6.30 95.56 52.21 116.34 58.48 56.52 8.15 0.29 20.90 9.57 19.18 52.19 53.55 30.57 77.1 0.30 80.30 7.99 7.93 86.00 33.44 11.88 113.82 16.51 50.95 140.59 7.59 19.65 12.80 48.88 29.31 14.19 44.2 0.70 72.34 42.999 1 2 3 4 5 0.81 21.69 21.56 8.09 13.15 65.70 31 32 33 34 35 14.65 2.71 90.33 75.67 9.56 140.68 25.73 58.54 31.19 31.17 36.65 30.59 25.58 43.95 0.49 63.99 69.57 129.68 15.11 18.99 27.89 6.06 78.84 7.47 10.45 1.93 46.37 32.26 14.36 91.82 16.20 29.04 7.89 58.81 6.27 47.05 3.19 47.75 44.69 61.38 6.67 54.64 46.79 8.05 57.64 30.79 18.73 3.49 24.89 61.45 16.47 15.15 16.44 16.46 45.05 73.67 23.50 129.98 44.19 53.41 101.48 23.75 28.79 15.35 0. 1
.01 1.00 56.76 54.31 41.48 0.30 27.91 9.26 5.70 21.43 29.09 7.20 12.73 51.83 3.90 29.03 35.96 8.79 42.15 65.73 51.48 20.27 61.67 122.56 43.03 8.18 2.17 59.19 15.07 24.93 17.29 49.57 55.49 27.55 0.31 17.76 43.29 2.27 18.59 12.61 6.34 22.20 52.33 124.31 19.23 3.36 17.36 40.58 26.96 76.92 35.27 35.76 57.18 45.49 91.72 14.04 14.45 161.33 57.21 48.22 27.33 3.29 36.23 19.31 43.12 37.86 13.02 106.18 8.00 20.58 1.995 0.94 27.78 56.24 1.75 10.69 29.05 16.57 7.24 1.60 19.83 0.35 37.07 4.58 6.60 12.51 16.65 149.54 10.61 22.95 104.85 14.34 13.20 28.39 69.15 26.34 55.92 152.16 11.44 53.20 10.87 30.98 45.54 24.38 16.77 20.47 39.80 44.69 12.09 10.86 11.43 23.30 59.46 15.55 83.70 6.81 36.56 36.65 35.90 58.65 58.96 48.97 79.74 26.13 33.46 24.94 2.02 0.38 9.04 23.49 4.88 25.41 71.04 26.87 1.57 5.85 34.31 17.53 32.15 19.88 43.43 22.44 10.64 59.90 25.82 4.98 45.41 28.41 158.81 118.81 111.02 13.64 12.81 147.58 20.82 4.61 112.85 15.19 18.02 0.89 48.38 54.21 100 110 120 67.77 67.07 17.17 27.53 19.84 137.43 5.78 41.62 30.41 7.01 0.16 68.21 135.34 1.63 8.99 0.67 56.99 12.78 9.06 57.70 82.66 67.55 20.60 3.47 21.66 16.59 50.45 50.46 13.18 65.07 3.23 5.16 21.60 49.21 18.17 74.87 91.88 10.36 38.9 0.99 35.25 66.14 30.55 19.82 20.17 32.17 79.05 19.00 52.34 24.34 28.34 53.84 37.26 25.99 1.81 32.025 0.25 1.43 22.20 34.79 12.31 14.73 2.31 16.12 59.01 33.64 2.46 86.59 5.98 18.80 24.90 46.09 21.50 79.48 36.72 37.87 65.29 19.146 ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO F (u) = P (χ2n ≤ u) = Z u −∞ x(n−2)/2 e−x/2 dx = p 2n/2 Γ(n/2) 0.81 20.68 29.70 3.74 60.64 26.43 112.20 25.19 51.84 5.31 27.97 53.00 21.07 20.82 31.34 135.10 0.44 32.30 29.57 61.58 40.70 26.40 13.06 18.24 14.40 85.03 12.08 86.33 64.57 4.32 128.22 82.53 96.29 18.92 74.66 22.34 13.12 10.62 26 27 28 29 30 11.42 37.91 34.17 47.77 41.57 34.81 18.74 37.57 4.08 39.48 16.30 0.53 101.78 38.23 124.70 16 17 18 19 20 5.64 42.16 38.88 23.36 106.50 17.80 31.89 40.77 25.16 62.28 15.05 0.48 45.80 11.88 64.61 0.19 22.59 14.41 0.03 22.61 13.92 43.24 13. 433 6.200 5.28 6022.044 30.672 14.787 4.500 4.434 13.983 4.245 2.556 3.409 7.36 5.552 8.868 5.529 6.026 5.104 2.600 8.166 199.606 3.990 0.473 27.316 4.823 6.252 8.474 4.404 3.195 241.8 24224 9.754 49.794 14.469 3.840 8.453 5.225 4.343 2.79 4052.209 2.54 963.912 8.40 5.963 13.900 0.438 4.102 10.995 0.289 13.013 14.146 10.259 4.542 9.988 8.044 5.968 2.941 14.990 0.905 14.357 4.746 11.106 3.148 12.900 0.995 0.975 0.256 7.027 5.900 0.326 19.613 6.345 43.405 4.010 6.177 4.994 7.992 8.42 5.266 8.029 7.913 3.677 4.410 7.833 224.788 3.179 4.88 968.489 44.906 236.545 7.388 11.298 99.443 34.396 39.591 9.356 199.108 4.360 5.611 3.220 4.014 4.694 24.950 0.552 16.912 5.858 240.995 0.913 3.102 2.678 6.072 3.995 0.764 12.316 6.85 5763.03 6083.863 161.197 5.464 2.735 27.995 0.236 2.214 2.745 18.471 2.995 0.544 3.838 5.147 Tablas estadísticas ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN F (u.885 5.977 23.705 243.510 53.204 233.779 4.202 60.790 10.566 2.371 7.66 5981.351 6.753 3.371 39.614 3.956 2.907 5.071 58.591 8.546 20.980 14.866 5.925 14.618 2.709 6.227 2.761 6.006 4.320 2.000 39.899 6.377 3.162 19.976 10.496 2.745 14.230 4.757 58.237 45.197 15.990 0.785 3.284 2.388 199.345 59.853 10.534 6.982 5.415 99.559 9.436 4.078 6.799 21.135 3.285 7.813 13.975 0.990 0.081 2.942 5.757 10.364 15.719 8.757 6.664 4.176 2.665 4.746 2.911 7.277 15.500 199.88 956.521 57.000 19.652 6.540 27.900 0.343 9.407 99.456 7.331 2.964 5.051 6.571 11.684 3.333 4.297 4.293 4.222 8.401 19.71 6106.950 5.257 6.900 0.881 2.191 6.120 5.247 39.246 16.995 0.591 9.085 60.596 2.890 8.339 4.408 19.950 0.522 3.883 3.259 3.226 55.950 0.243 5.785 3.776 5.718 10.709 12.649 11.434 3.207 5.143 7.041 8.847 10.605 15.818 3.259 14.50 4999.988 60.188 2.940 3.416 3.817 49.320 5.806 3.522 2.107 6.530 3.802 7.937 10.513 38.6 23056 9.302 2.526 4.396 3.995 0.772 2.302 2.995 6.309 9.00 5.619 10.668 6.703 3.229 43.950 0.133 2.469 8.796 3.394 3.1 23925 9.886 5.147 2.074 14.405 39.608 10.955 6.408 199.920 5.314 3.979 16.900 0.561 13.313 4.50 5.978 10.640 5.554 9.718 6.226 3.45 647.260 10.015 2.693 3.195 4.158 13.103 5.466 11.250 2.865 2.137 3.387 3.763 14.524 3.16 921.860 3.099 5.128 17.71 864.331 99.975 0.388 9.460 9.268 4.849 3.499 5.057 6.4 23715 9.302 2.347 3.053 7.217 4.854 3.561 3.772 5.467 4.717 4.461 7.900 0.439 29.000 99.630 6.352 3.593 215.452 20.911 44.600 2.950 0.270 2.367 19.547 12.060 5.967 14.999 8.107 2.715 8.990 0.961 4.995 0.119 7.896 3.284 3.374 20.975 0.000 5.366 7.975 0.607 4.581 4.975 0.256 9.209 10.539 5.296 5. v) DE FISHER-SNEDECOR-COCHRAN G(t) = P [F (u.416 199.274 18.260 10.975 0.458 5.198 31.888 13.990 0.906 0.399 199.11 5859.277 4.374 4.772 6.687 3.050 2.588 4.379 3.686 3.693 2.799 4.950 0.708 4.619 5.704 6.924 4.055 4.463 5.451 10.211 2.422 7.374 27.995 v 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 .484 6.33 5.368 4.950 0.456 3.006 8.950 0.321 4.416 7.113 4.5 24091 9.028 2.072 5.995 0.073 12.58 5624.257 4.706 5.155 2.603 4.414 3.824 3.725 3.958 4.133 43.668 3.948 3.0 23437 9.805 2.6 22500 9.978 3.668 3.849 5.418 2.422 2.717 2.044 12.912 2.491 2.191 9.3 24334 9.987 8.759 4.323 2.63 6055.526 18.632 8.384 2.688 3.330 39.726 4.872 2.885 2.624 3.990 0.181 4.661 2.632 5.139 3.034 2.342 3.885 28.295 5.972 5.943 3.227 9.646 12.855 5.519 3.900 0.200 3.325 6.240 230.050 7.900 0.007 16.605 3.649 18.826 3.990 0.844 6.073 3.568 9.204 4.385 39.256 5.4 21615 9.502 3.116 55.386 6.285 4.353 39.513 3.552 4.134 2.863 5.950 6.293 19.16 5403.881 5.461 3.735 6.538 3.990 0.258 22.695 8.924 4.505 3.289 4.330 11.230 8.240 8.525 9.236 5.439 238.633 4.624 27.117 15.587 4.227 2.900 0.98 973.155 3.165 99.936 5.066 5.589 5.374 4. v) ≤ t] = p u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p 39.178 6.514 2.117 7.826 6.975 0.391 9.381 19.737 6.052 43.726 3.121 5.821 5.218 21.622 3.314 2.990 0.478 4.996 3.936 8.216 8.917 3.163 9.388 4.217 7.440 3.474 5.012 3.845 14.25 5.952 2.207 21.728 4.073 2.812 14.413 39.667 7.975 0.682 2.482 4.975 0.58 899.094 9.635 3.724 9.905 4.417 2.672 44.681 10.538 8.967 3.374 199.786 8.5 19999 9.355 99.876 6.694 2.660 3.944 10.882 3.975 3.786 2.705 3.392 15.965 6.339 2.975 0.900 0.813 3.50 799.950 0.522 22.275 5.900 0.820 8.389 3.164 39.347 4.155 4.490 4.236 3.734 7.990 0.751 14.126 3.780 12.337 27.818 6.284 4.659 21.060 6.687 4.283 2.248 2.392 4.575 4.296 39.147 5.891 5.847 2.525 59.102 5.22 5928.964 8.427 2.541 2.995 0.059 8.666 6.451 3.200 6.282 4.91 976.398 99.503 198.349 19.551 3.042 3.589 3.419 27.387 5.896 5.412 6.462 9.950 0.391 2.744 5.166 2.827 3.506 98.77 948.064 6.457 47.537 2.728 3.37 5.357 5.786 14.520 5.523 7.2 16211 8.206 8.060 16.192 7.020 3.844 14.299 199.636 6.780 5.99 937.30 5.111 6.512 4.387 99.882 2.678 2.095 3.814 7.953 7.961 2.990 0.993 8.41 5.979 6.468 5.887 14.249 199.392 19.243 19.178 7.747 6.17 5.304 2.285 8.621 4.318 7.480 3.380 2.462 5.248 99.102 3.000 26.950 0.523 7.885 2.710 46.950 0.620 8.538 10.000 199.022 10.473 242.116 2.333 199.069 6.397 5.388 5.536 3.3 24426 9.976 21.927 8.752 3.096 6.920 4.101 28.874 10.467 6.545 2.284 5.051 13.599 9.347 5.817 6.074 4.637 4.326 4.807 3.937 4.459 6.274 2.717 3.430 4.456 14.057 7.838 4.39 5.373 99.975 0. 347 5.975 0.695 5.114 2.993 3.993 3.031 2.881 4.855 4.954 2.126 3.278 5.372 2.794 2.975 0.995 0.294 3.128 3.975 0.288 2.423 2.950 0.975 0.164 2.515 2.701 2.092 6.375 2.209 4.620 5.317 2.793 2.493 4.457 3.416 3.475 2.215 2.860 1.116 2.825 3.627 4.603 2.378 2.859 4.008 3.007 3.095 3.059 2.900 0.308 2.818 2.441 5.434 3.298 8.266 2.663 2.705 3.701 8.286 2.099 2.138 2.519 2.457 3.950 0.990 0.502 4.971 2.934 3.544 3.599 1.214 2.388 4.717 2.276 2.248 2.593 4.358 0.411 4.004 4.297 3.695 3.380 4.665 2.958 3.623 2.523 4.451 6.638 2.287 4.497 2.024 6.786 3.035 5.314 8.318 5.918 4.965 2.705 4.890 4.922 3.061 2.950 0.900 0.675 5.938 5.884 2.866 2.969 3.076 2.790 3.537 1.176 2.929 3.171 5.971 1.929 2.806 4.559 4.321 2.889 3.109 2.218 2.095 2.283 2.805 4.995 0.597 4.780 4.112 3.950 0.980 2.233 2.415 4.195 2.522 4.473 3.614 3.870 3.217 3.895 3.509 1.117 1.434 3.417 6.893 5.011 5.100 4.413 2.472 2.888 3.866 3.567 3.939 4.514 2.028 2.534 3.028 2.437 5.341 4.086 2.051 3.360 3.560 3.657 3.100 3.895 2.767 3.993 2.514 3.130 2.949 1.666 4.892 5.746 3.765 4.242 5.715 2.129 3.015 4.249 2.490 3.199 4.197 4.222 1.407 2.156 2.179 1.995 0.608 4.334 2.651 3.727 3.142 1.561 2.026 3.005 2.990 0.976 2.091 2.475 2.291 3.588 3.476 2.136 4.431 5.038 2.368 3.447 1.449 2.405 2.678 1.843 3.445 2.579 5.226 7.304 3.900 0.049 2.333 3.680 2.575 3.221 4.038 2.171 4.030 1.024 2.819 2.494 2.927 2.510 5.944 2.142 4.956 2.686 7.892 2.564 4.744 3.800 4.605 5.714 3.337 2.150 1.977 2.769 3.005 2.937 2.975 0.954 5.531 10.017 2.950 0.253 2.580 1.837 3.979 3.462 2.521 2.353 4.643 2.991 3.990 0.292 6.268 2.933 2.350 1.277 4.126 2.729 4.927 2.998 2.862 11.900 0.239 2.616 4.395 3.185 6.866 3.312 4.841 5.990 0.671 3.302 5.173 3.606 3.385 4.390 6.010 2.393 2.699 4.950 0.726 3.147 3.913 2.699 3.043 1.828 2.092 2.122 2.350 2.683 10.124 3.324 3.077 2.013 7.848 3.996 5.767 4.463 4.124 2.421 2.900 0.950 0.017 3.489 3.371 3.880 3.926 2.219 4.801 3.791 4.234 2.026 4.202 4.803 2.950 0.975 0.568 7.975 0.990 4.985 2.536 2.461 5.185 2.820 2.030 4.477 2.576 4.975 0.156 3.077 5.603 3.316 4.127 3.756 1.945 2.279 2.050 3.604 3.960 4.116 3.739 4.200 8.900 0.374 2.361 3.329 2.388 2.428 2.990 0.995 0.515 4.372 2.613 3.007 3.382 4.950 0.458 2.900 0.128 2.257 2.158 2.028 1.606 3.817 3.857 6.197 4.802 3.165 2.562 9.056 3.598 2.997 2.737 2.319 3.058 2.986 3.631 4.249 2.900 0.978 2.641 3.724 2.048 2.814 3.092 2.414 5.345 2.507 3.123 3.153 5.717 2.599 3.010 5.205 6.185 10.102 2.906 3.950 0.776 1.711 3.880 2.849 2.634 4.501 4.374 1.056 3.482 2.770 9.676 3.912 2.272 2.963 3.763 3.228 1.125 3.835 4.782 4.074 11.511 2.232 4.857 2.177 4.310 2.543 6.218 2.564 6.978 8.508 4.995 0.828 4.639 2.291 5.285 10.645 3.289 4.935 2.112 7.628 3.862 5.832 3.293 4.534 3.841 2.528 3.950 0.093 2.148 ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN F (u.820 2.180 2.995 0.692 2.434 3.945 2.179 6.073 2.589 4.494 6.192 2.565 3.154 2.097 2.773 3.990 0.374 3.589 3.158 2.017 2.184 2.054 2.049 3.789 1.354 2.975 0.424 7.663 4.248 4.645 1.239 4.141 1.699 4.412 2.752 1.687 6.037 2.730 4.483 4.456 5.990 0.847 1.348 2.313 4.278 2.670 1.050 1.025 3.433 2.635 3.090 1.900 0.689 4.298 2.975 4.555 4.001 2.177 1.741 3.996 3.051 5.691 4.995 0.370 1.841 1.713 1.904 3.548 3.303 2.556 5.285 4.690 3.774 3.975 0.212 2.514 3.152 2.661 3.432 2.984 2.577 3.831 2.953 1.901 3.848 3.450 2.085 5.592 4.753 3.575 3.913 3.990 0.425 2.699 3.098 3.624 3.538 3.986 1.282 2.922 2.900 0.864 4.208 2.342 2.242 5.950 0.765 6.048 4.515 7.779 2.669 5.334 2.414 9.102 4.990 0.922 3.798 3.839 3.172 3.742 1.762 2.351 5.939 4.308 2.025 4.060 3.412 2. v) ≤ t] = p u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p 3.174 2.600 6.965 6.042 8.965 3.500 5.990 0.995 0.344 1.903 5.900 0.140 4.847 2.873 2.682 4.440 3.456 2.995 0.191 4.231 3.119 2.605 3.040 2.835 2.568 6.810 3.084 2.879 2.066 2.915 3.674 2.088 2.026 4.355 2.740 3.853 2.266 2.424 2.922 8.103 4.871 8.995 0.646 3.055 2.273 2.975 0.933 1.060 3.244 2.956 3.462 3.091 2.694 4.381 5.591 3.380 3.926 7.381 2.344 4.007 4.494 2.619 6.438 4.939 1.871 4.677 3.389 2.250 1.276 2.508 5.397 3.763 2.895 4.560 6.437 3.243 2.990 0.938 2.142 2.018 4.096 9.071 2.632 1.456 2.562 2.303 2.932 2.490 2.508 2.408 2.091 2.336 2.546 1.867 3.621 2.544 3.773 5.257 1.900 0.604 4.570 1.682 4.720 3.938 1.400 10.028 2.067 3.975 0.061 3.347 3.455 3.829 2.759 3.193 2.553 4.847 2.075 2.186 2.236 2.511 2.990 0.764 3.773 2.707 3.153 3.099 1.602 3.999 2.384 2. v) DE FISHER-SNEDECOR-COCHRAN G(t) = P [F (u.452 2.668 3.179 3.384 3.721 3.852 3.255 1.560 3.763 1.665 4.995 v 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 30 30 30 30 30 40 40 40 40 40 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ .715 2.804 4.985 3.250 4.667 6.986 2.744 2.510 3.250 4.913 2.160 3.450 1.916 2.956 1.180 2.211 2.179 1.765 3.635 7.003 2.519 4.226 2.995 0.522 3.073 4.447 2.102 4.198 2.336 5.165 2.841 4.739 6.005 3.624 3.956 2.928 3.307 2.079 2.073 2.115 8.129 3.359 7.958 2.927 4.340 2.774 2.897 2.288 2.529 2.791 2.559 2.196 2.182 5.254 2.178 2.333 4.849 6. 781 3.055 249.746 8.725 3.878 5.501 199.900 0.162 4.442 6.625 2.146 2.526 2.130 2.751 42.095 2.233 2.950 0.637 3.986 2.257 13.7 24836 9.974 3.090 3.924 5.427 99.097 2.684 14.92 6170.181 26.960 3.329 9.713 5.840 5.200 8.863 3.438 3.118 3.474 199.527 13.218 4.006 3.488 3.054 5.480 4.963 3.043 3.255 2.152 3.429 19.678 2.43 5.421 99.293 2.936 3.922 5.049 2.950 0.942 2.187 4.975 0.730 3.590 6.488 9.080 20.45 5.165 2.559 6.362 9.787 42.42 5.511 4.005 4.364 3.015 9.076 2.477 6.966 2.701 4.604 4.475 3.269 7.990 0.298 2.241 2.464 246.329 7.755 2.808 5.990 0.715 14.471 3.269 2.948 3.193 2.650 7.496 4.350 246.451 2.674 61.249 20.458 19.877 2.487 5.778 3.243 4.32 1018.619 4.210 8.312 2.498 3.461 13.559 9.623 2.643 13.342 5.589 2.656 2.055 6.893 3.065 7.975 0.788 2.08 6239.599 3.447 199.845 3.331 62.161 4.990 0.451 19.205 8.900 0.105 2.575 14.410 8.491 19.908 7.972 2.47 5.995 0.990 0.995 0.838 19.833 5.268 9.115 26.362 5.239 4.670 4.084 2.983 43.165 4.187 8.860 4.701 3.685 3.228 63.226 1.937 5.379 2.92 988.995 0.412 6.099 4.379 12.340 3.101 5.448 99.505 42.568 3.812 3.617 14.196 8.989 3.69 979.543 6.132 2.207 4.858 4.411 42.900 0.975 0.950 0.085 3.425 3.162 5.899 2.906 3.439 99.550 4.669 4.215 2.995 0.990 0.870 5.765 4.941 4.405 6.657 9.43 5.909 4.464 3.1 24681 9.950 0.848 3.01 993.012 7.311 5.579 6.995 0.244 7.291 12.422 2.707 3.654 3.150 3.661 3.601 3.404 4.785 3.602 4.076 5.154 20.962 6.251 5.422 9.320 2.247 4.990 0.505 4.884 5.740 248.69 991.010 4.849 6.580 12.412 62.032 2.995 0.296 2.405 5.6 24803 9.555 3.422 199.625 2.048 3.425 19.902 26.774 3.153 2.849 5.272 2.649 5.975 0.745 19.770 13.6 25044 9.921 2.8 24960 9.950 0.655 6.864 3.7 24572 9.909 4.520 5.175 8.827 43.568 6.274 2.739 3.371 3.496 6.001 2.376 4.340 2.95 984.729 14.060 2.992 7.950 0.995 0.46 5.891 8.721 61.708 2.690 42.437 39.453 4.474 4.5 24767 9.14 1005.157 4.529 4.258 3.719 42.744 4.255 2.016 5.583 4.814 2.305 2.153 2.995 0.138 2.515 6.519 9.530 62.619 6.611 14.84 6125.709 2.975 0.831 5.501 13.928 3.383 3.855 2.103 2.253 26.293 5.835 5.995 0.873 8.836 61.871 3.028 2. v) ≤ t] = p u 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 40 ∞ p 60.538 3.995 0.664 2.293 2.604 6.900 0.355 4.305 2.117 2.209 7.900 0.471 2.908 5.173 4.939 4.603 3.215 2.865 3.983 2.073 3.202 7.886 2.566 247.8 25148 9.436 19.462 39.275 7.667 14.433 19.858 8.990 0.561 61.53 6142.080 3.592 14.87 6157.683 4.025 3.892 3.632 61.634 14.201 2.193 8.213 26.950 2.263 6.229 9.990 0.058 7.632 3.47 5.658 3.134 8.560 4.196 26.900 0.325 3.975 0.261 4.892 3.240 7.995 v 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 .617 3.456 9.129 3.247 5.431 3.155 7.473 99.975 0.361 3.975 0.071 2.530 2.826 2.483 6.887 3.238 4.4 24727 9.814 2.428 199.123 4.359 8.521 6.160 8.36 982.411 13.903 244.608 2.483 9.844 5.466 199.296 9.534 2.255 4.804 5.451 9.288 2.44 5.115 20.175 9.174 2.811 8.223 4.123 2.858 5.10 6208.177 4.020 20.440 199.80 6200.515 3.458 99.002 3.449 12.464 6.808 5.864 2.975 0.894 5.471 39.628 6.330 4.975 0.198 20.821 8.100 4.44 5.596 6.886 5.643 3.671 3.701 4.167 3.482 2.444 199.463 19.761 5.815 3.950 0.181 7.828 3.174 4.034 5.650 5.344 9.430 5.722 4.567 5.844 8.633 14.237 4.758 2.45 5.304 4.924 43.466 3.190 8.033 2.359 6.717 8.658 247.990 0.868 2.304 26.6 6286.583 3.031 2.428 9.076 2.553 12.445 4.915 2.826 3.073 245.020 12.628 8.079 3.558 6.968 2.149 Tablas estadísticas ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN F (u.700 3.646 3.32 990.950 0.381 9.052 4.422 2.259 4.769 8.35 6191.595 3.544 3.150 4.217 4.829 3.226 4.3 24630 9.551 1.660 14.529 251.558 5.715 14.722 3.904 2.803 8.623 3.501 6.800 3.975 0.419 39.396 9.609 6.828 5.403 9.167 26.116 6.437 199.571 3.579 42.950 0.442 99.144 2.950 0.826 3.950 0.271 3.692 14.467 4.277 26.883 4.420 19.052 2.081 26.455 4.26 998.900 0.881 3.896 5.941 3.519 2.439 19.048 20.660 3.365 6.521 6.446 39.675 14.46 986.667 4.168 7.446 3.972 4.900 0.358 2.307 20.736 2.975 0.359 4.990 0.872 43.265 250.550 4.990 0.361 3.396 2.825 13.445 99.467 6.232 26.832 2.206 4.067 2.595 61.257 4.415 19.086 2.9 24505 9.50 5.641 2.466 19.198 6.089 2.075 2.220 245.308 3.900 0.535 3.155 2.142 5.560 14.094 2.976 5.798 3.441 19.879 2.438 3.752 3.227 9.037 26.188 2.938 5.232 2.883 3.061 3.950 0.456 39.832 8.995 0.224 2.184 7.683 14.222 7.607 3.105 4.311 3.431 99.435 4.159 2.985 2.900 0.601 3.351 3.340 4.636 6.459 199.172 3.890 5.531 3.990 0.657 14.329 2.555 3.874 5.419 4.496 39.156 2.763 2.167 2.392 4.859 5.654 2.589 2.722 13.433 199.400 3.498 99.605 9.680 13.107 7.208 2.904 0.202 4.466 2.568 6.143 9.900 0.939 2.774 5.880 3.244 2.230 4.900 0.008 3.282 4.836 3.212 4.959 2.297 7.73 6181.184 8.005 6.880 8.179 2.911 20.44 5.4 6260.465 99.187 4.9 25465 9.591 3.457 5.494 4.443 39.872 2.309 5.817 5.864 5.426 2.903 2.008 3.108 3.570 3.610 12.775 61.703 14.449 199.951 2.853 5.594 14.314 7.761 3.424 39.126 41.719 3.311 5.168 8.455 3.147 2.210 3.011 2.601 5.433 39.639 1.108 3.798 5.435 99.333 4.230 4.999 5.769 4.938 2.522 4.311 4.429 39.213 5.130 5.384 6.440 39.860 5.180 4.131 2.855 3.3 6365.842 3.718 2.754 2.615 3.404 2.055 2.956 5.329 254.10 1001. v) DE FISHER-SNEDECOR-COCHRAN G(t) = P [F (u. 950 0.972 1.670 1.823 1.860 2.513 2.162 3.850 3.522 2.069 2.037 2.674 3.745 4.744 1.150 ALGUNOS CUANTILES DE LA DISTRIBUCIÓN F (u.836 3.864 2.509 3.975 0.568 3.353 2.270 1.965 3.618 1.115 3.334 1.859 2.975 0.786 3.255 2.852 2.637 1.423 3.272 2.271 2.780 3.585 1.802 2.857 4.943 2.900 2.328 2.970 1.182 2.547 3.962 3.900 0.878 2.203 2.573 1.736 2.082 2.841 2.968 2.879 3.233 2.995 v 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 30 30 30 30 30 40 40 40 40 40 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ .950 0.068 3. v) ≤ t] = p u 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 40 ∞ p 2.141 2.299 1.153 3.628 1.509 1.787 2.432 1.699 3.617 3.853 2.773 1.352 2.990 0.900 3.781 2.290 2.421 1.585 3.622 1.124 2.940 2.368 2.010 2.003 3.051 3.142 2.931 2.656 4.191 2.303 1.974 2.280 2.716 4.459 2.169 2.212 3.539 1.975 0.296 1.424 2.742 3.778 3.206 2.524 1.546 3.187 2.751 1.657 1.862 2.875 2.227 3.256 2.502 3.031 2.300 2.167 2.372 3.990 0.359 2.380 1.554 3.165 3.195 2.571 4.004 3.247 1.116 3.353 2.614 3.372 2.054 3.730 3.101 3.718 2.437 1.689 4.631 1.287 1.990 0.571 1.831 2.900 0.990 0.004 3.217 2.412 2.950 0.797 1.507 3.732 3.396 2.844 3.789 1.734 1.084 3.089 1.482 2.839 2.394 2.995 0.687 1.898 1.696 1.023 2.506 1.451 3.159 1.821 2.904 2.605 1.333 2.837 2.111 1.237 2.975 0.377 1.885 2.950 2.866 2.900 0.201 1.638 1.007 2.990 0.053 2.318 2.538 2.919 3.457 1.900 0.995 0.868 2.776 1.822 2.026 2.452 3.382 1.659 1.329 2.920 1.441 2.753 3.686 1.811 2.995 0.696 1.203 2.085 2.837 3.932 1.603 3.960 2.000 2.611 1.596 3.747 1.628 1.722 2.106 1.318 1.917 2.637 3.990 0.843 3.925 3.566 1.294 2.983 3.802 2.946 1.611 2.913 1.070 1.533 3.204 2.278 3.949 3.541 1.707 1.505 4.491 2.248 2.640 3.945 2.883 1.970 2.831 2.015 2.101 3.425 3.924 2.975 0.416 1.843 2.955 2.063 2.692 1.995 0.009 2.708 1.136 2.912 2.153 1.463 2.988 2.444 1.492 1.000 1.872 2.051 2.994 2.369 2.388 2.616 3.877 1.338 2.339 3.773 3.308 2.879 2.941 2.789 3.916 2.666 1.841 2.411 2.759 2.302 2.384 2.669 1.761 2.873 1.316 3.845 2.304 1.165 3.900 0.456 1.625 1.195 3.717 3.663 2.653 2.805 2.553 1.111 2.865 2.074 2.885 1.698 4.563 2.738 3.445 2.783 2.746 2.257 2.708 1.432 1.737 1.900 0.476 2.597 1.566 2.385 2.839 2.177 3.591 3.556 4.373 2.342 1.104 2.074 2.979 3.487 3.269 3.186 3.155 2.412 1.250 2.200 1.919 2.607 1.341 2.380 2.529 4.975 0.386 2.234 2.230 2.577 3.502 1.339 2.846 2.523 3.676 1.932 2.920 3.515 3.039 2.681 3.805 1.700 3.933 2.950 0.989 3.995 0.990 0.039 2.027 3.132 3.181 2.961 2.137 2.485 4.612 4.012 3.412 3.600 2.064 2.441 2.487 1.803 2.208 1.401 3.213 2.397 2.794 2.340 2.994 2.384 2.568 1.905 2.266 2.187 2.448 2.932 2.652 3.010 2.131 2.073 1.196 1.484 1.377 1.985 2.526 3.077 3.697 1.317 2.066 2.243 2.198 2.730 2.606 1.817 3.247 1.509 3.667 1.755 2.649 1.778 3.024 1.637 1.998 2.148 2.745 4.227 2.995 2.975 0.793 1.667 3.421 2.862 3.665 4.630 2.022 1.130 2.780 3.453 2.632 1.372 1.888 1.464 2.000 1.347 1.176 1.107 2.587 1.854 2.723 3.042 2.683 1.567 3.953 2.151 2.498 1.307 2.708 1.903 2.990 0.636 1.924 2.484 2.527 1.793 1.758 2.690 1.892 3.018 3.900 0.972 2.835 3.718 2.764 1.451 2.844 1.662 1.194 2.975 0.885 2.184 2.975 0.080 2.633 3.586 4.295 1.506 1.686 1.845 2.976 2.990 0.225 2.978 2.308 2.887 2.950 0.573 2.413 1.445 2.797 2.811 2.754 2.021 2.604 1.158 3.815 4.644 3.151 1.068 2.275 3.617 3.288 2.737 2.027 3.053 3.066 2.549 2.990 0.900 2.395 2.921 1.564 4.560 1.460 2.003 3.505 1.833 2.592 1.203 1.766 1.266 3.681 3.627 1.333 2.975 0.457 1.314 2.301 1.402 1.615 1.453 2.230 2.089 2.851 3.182 2.853 1.709 1.978 2.831 1.059 1.905 4.925 2.912 2.861 3.396 3.409 3.130 3.844 3.761 3.813 3.900 0.661 1.814 2.785 2.250 2.788 3.154 2.348 3.724 3.720 1.950 0.683 1.909 3.000 0.014 2.950 0.213 2.870 2.792 3.948 2.276 2.983 1.000 1.482 1.259 3.900 0.000 1.778 4.809 2.928 2.934 2.353 3.995 0.908 2.751 3.995 0.242 3.716 1.247 2.965 2.214 3.299 2.623 1.598 1.834 1.118 2.975 0.875 1.756 3.129 2.995 0.923 3.917 2.006 1.792 2.891 3.269 2.075 1.711 1.114 2.403 2.168 2.607 1.400 2.950 0.394 2.875 2.247 2. v) DE FISHER-SNEDECOR-COCHRAN G(t) = P [F (u.697 3.421 2.499 3.760 1.133 2.063 2.695 1.738 2.939 3.436 1.006 2.106 2.990 0.983 3.442 2.203 2.000 2.122 1.753 3.900 0.181 1.995 0.489 2.595 3.771 2.783 1.845 2.962 2.413 2.128 3.903 1.289 2.761 3.950 0.280 2.190 3.673 3.022 2.037 2.995 0.696 3.782 2.900 0.573 3.619 4.948 3.958 2.894 2.459 1.541 1.559 3.035 2.899 2.695 3.107 2.484 2.754 2.813 3.524 1.878 2.689 3.833 2.878 2.644 1.698 3.013 1.465 1.647 1.501 1.056 1.428 2.940 2.018 3.950 0.868 3.729 1.260 1.894 2.071 2.697 1.311 1.942 1.287 2.995 0.781 1.626 1.693 1.889 2.484 2.316 2.776 1.734 1.819 1.637 1.082 3.000 1.604 2.394 1.891 2.984 1.975 0.471 2.215 2.647 3.233 2.950 0.310 3.726 2.950 0.375 1.678 1.338 2.122 1.242 3.878 2.938 3.875 2.990 0.112 1.043 1.283 3.086 2.960 2.007 2.961 1.498 4.032 2.471 1.372 3.507 4.573 2.587 1.360 2.151 2.576 3.123 1.031 1.182 2.124 2.882 3.548 3.522 4.312 3.518 1.113 1.401 1.349 2.088 3.101 2.906 2.501 2.280 2.900 0.862 1.873 2. 2861 0.2800 0.2763 0. . .2855 0. .2832 0. . 0.2781 0.2861 0.2837 0.2867 0. .2842 0.2834 0.2843 1000 1250 1500 1750 2000 0. .2714 0.2592 0.2688 .2836 0.2857 0. .2791 .2587 0.2643 0. . . 0.2864 0. .2525 0.2839 0. .2789 0.2807 0.2870 0.2776 0. 0.2848 0.2860 0.2862 0. .2833 0. . .2681 0.2720 0.2864 0.2862 0. 0.2735 0.2798 0. .2871 0.2829 0.2865 0.2661 0.2745 . .2835 0. . .2840 0.2740 0.2804 0. .2573 0.2805 0.2871 0.2598 0.2799 0. (1986) .2867 0.2853 0. . .2771 0.2717 0.2747 0.2871 0.2852 0.2752 0.2844 0.2727 0. 0.2798 0.2780 0.2836 0.2734 0. .2836 0.2784 0.2774 0.2789 . . .2674 0.2869 0. .2785 0.A.2667 . .2871 0. . 0. .2808 0.2691 0.2846 0.2649 .2859 0.2784 0. .2835 0. .2725 .2858 0.2803 0. 0.2570 0.2843 0.2630 0. . .2855 0.2851 0. . . .2674 0.2802 0. .2843 0.2743 0. .2866 0.2671 0.2853 0.2874 50 60 70 80 90 0.2871 0. .2862 0.2834 0.2841 0.2737 0.2726 0. . .2866 0.2844 0.2791 0.2765 0.2855 0. O.2809 0.2639 0.2772 0.2732 0.2873 0.2869 0. 0.2705 0. 0.2776 0.2777 .05 0. . 0.2847 0.2564 0.2838 0.2513 0.2860 0.2713 0.2844 0. .2848 0.20 0.2745 0.2734 0.2833 0.2770 0. . 0. . 0.2767 0.2793 .2699 0. .2867 0. . .2725 0.2866 0. 0. .2755 .2673 0.2854 0.2505 . .2845 0.2854 0. .2629 0.2707 .2866 0.2802 .2853 0. .2862 0. .2856 0. .2603 . .2780 0.2796 . . . .2843 0.2857 0.2792 0.2800 . .2796 0. .2795 .2774 0. . . . M.2704 0. 0.2747 0. .2763 0. .2854 0.2851 0. . .2630 0.2861 0.2591 0.2799 0.2841 0.2847 0.2771 .2867 0.2683 .2759 0. .2841 0.2790 0. 0.2855 0. 0. DS ) tales que si el estadístico de contraste del test (Dexp ) se encuentra fuera del intervalo (DI . .2636 0. .2863 0. .2379 0.2542 0.2866 0.2835 0.2865 0.2787 .2793 .2784 0. . .2527 0. . .2503 0.2765 0. .2804 0.2744 0.2807 .2802 0.2745 0.2835 0.2850 500 550 600 650 700 750 0. .2861 0. . 0.2806 0.2634 0.2711 0.2842 0.2790 0. . . .2860 0. . . 0. .2842 0. . 0. .2792 .2756 .2793 0. 0.2832 0.2636 0.2851 0.2857 0.2303 0.2807 0.2853 0.2796 0. .2874 0. 0. . . 0.2782 .2655 .2787 0.2758 0. . . 0.2869 0.2799 0.2837 0.2794 0. . 0.2873 40 42 44 46 48 0.2844 0.2865 0.2794 0.2857 0.2849 0.2841 0.2866 0.2744 0. . .2854 0. .2865 0. .2702 .2851 0.2871 0.2835 0. .2862 200 250 300 350 400 450 0.2872 0.2861 0.2641 0. . 0.01 n 10 12 14 16 18 0.2761 0. . .2869 0. .2862 0.2757 0.2854 0.2844 0.2782 0. . .2841 0.2655 . .2850 0.2854 0.2779 . .2854 0.2799 0.2807 0.2655 0. 0.2867 0. 0.2770 0.2838 0.2810 0.2741 0.2838 0.2721 .2372 0. . . .2862 0.2750 0.2836 0.2811 0. 0. DS ).2473 0.2729 0. .2848 0.2860 0.2766 0.2803 0. .2804 0.2835 0. 0. .2787 0.2705 0. .2698 0.2846 0.2455 0. .2860 0. .2797 .2870 0.2797 0. .2871 0.2722 0.2839 0.2801 0.2737 0.2839 0.2791 0.2846 0.2847 0. .2612 .2834 0.2737 0.2854 0.2679 0. . .2698 0.2768 0.2750 0.2847 0. .2759 0.2833 0. .2660 0. .2751 0. . 0.2834 0.2831 0. .2793 0.2866 0.2792 0.2668 .2797 0.2710 .2832 0.2803 0.2843 0.2873 30 32 34 36 38 0.2725 0. .2698 0.2841 0. .2662 0.2544 0.2647 0.2799 0. .02 0. 0. 0.2801 .2687 0.2859 0. .2854 0.2869 0. . .2623 .2778 . .2852 0.2420 0.2846 0.2603 0.2843 0. .2738 .2842 0.2839 0.2804 . 0. .2840 0.2866 0. .2547 . .2646 .2863 0.2862 0.2837 0. . . . . .2805 0. .2741 .2787 0. .2847 0.151 Tablas estadísticas Límites de signicación para el test de Normalidad de D'Agostino α 0. . en el interior de la tabla se dan dos valores (DI . 0.2855 0.2846 0. . .2871 0.2795 0. 0. .2695 0.2865 0.2873 0.2833 0. . 0. .2646 0.2873 0.2809 . .2795 0.2870 0.2859 0.2853 0.2856 0.2866 0. .2688 0. .2799 0. 0.2557 0.2844 0.2796 0. .2873 0.2838 0.2672 . .2806 0.2802 0. 0. 0.2657 0. 0. . . 0.2840 0.2870 0. 0.2856 0.2749 .2871 0.2786 0. .2849 0.284. .2842 0. .2682 0.2806 . . 0.2646 0. .2867 0. .2836 0.2784 . . 0.2782 0.2858 0.2767 .2674 0. 0. .2857 0.2779 0. .2806 0. .2853 0.2837 Para cada tamaño n de muestra (primera columna) y para cada nivel de signicación α (primera la).2854 0.2861 0. .2579 0.2669 0.2854 0.2692 0. 0.2801 0. .2874 0.2834 0.2863 0.2668 0. .2838 0. .2850 0.2850 0.2849 0.2849 0. . .2854 0. . .2717 0.2791 0.2796 0. .2842 0. . 0.2618 0.2801 .2871 0.2675 0.2751 0.2703 0. D'Agostíno.2849 0.2864 0. 0.2861 0. . .2852 0. .2868 0.2780 0. 0.2812 . .2609 0.2659 . .2868 20 22 24 26 28 0. .2830 0. . 0.2667 0.2870 100 120 140 150 160 180 0.2845 800 850 900 950 0. 0.2840 0.S.2871 0.2482 0. . .2772 0.2839 0.2855 0.2800 0.2788 0. 0.2853 0. 0. .2850 0. .2788 . . . . .2845 0.2859 0. .2793 0.2789 .2852 0. 0.2840 0. .2839 0.2617 0.2838 0.2833 0. .2843 0.2807 .2808 0.2865 0.2632 0.2622 0.2803 .2867 0.2617 0. . 0.2861 0. se rechaza la hipótesis nula de Normalidad.2721 .2840 0.2837 0.2854 0. .2693 0.10 0.2717 0.2436 0.2651 .2581 .2862 0. .2854 0. .2830 0.2839 0.2714 0. .2727 0. 0.2600 0.2372 0.2845 0. . .2799 0.2775 0.2676 0.2867 0.2653 0.2690 .2861 0.2835 0.2849 0.2862 0. .2837 0. 0. 0.2831 0.2674 0. .2568 0. 0. .2863 0.2871 0.2853 0.2862 0.2848 0.2707 0.2867 0.2845 0. 64 27.76 30.83 38.76 40.63 26.95 37.25 4.11 4.18 5.65 15.74 34.14 6. 5 4.17 8.37 16.14 166-240 160-246 147-259 7.22 7.12 9.25 12.32 13. 7 4.15 9.69 32.20 5.79 26.21 4.29 12.88 40.87 34.67 22.15 8. White.21 7.80 30. 9 4.76 17.40 16.85 54. 9 8. n 2 7.18 120-180 125-187 129-195 133-203 138-210 142-218 146-226 115-185 119-193 123-201 127-209 131-217 135-225 139-233 105-195 109-203 112-212 115-221 119-229 122-238 125-247 α n1 .19 5.40 21.10 45.78 23.13 11.86 25.15 56-105 52-109 44-117 14.26 11.22 6.72 16.80 42.95 48.58 24.23 4.57 29. La falta de límites se indica con un guión (-). 7 5.92 42.48 12.70 23.13 4.11 47.31 14.42 15.16 5.78 13.80 37.69 33. 8 4.80 32.60 25.84 44.91 35.89 13.14 11.81 32.73 24. 6 5.10 4. 8 41.95 10.90 26.13 9.93 45.01 4.14 4.18 7.38 18.15 10.65 31.11 10.45 12.15 6.89 19.61 20.12 10.59 33.98 28-102 29-106 29-111 30-115 31-119 32-123 6.86 44.12 8.17 161-242 154-249 140-263 7.83 38. 4 4. (1952) .19 8.17 12.99 41-106 14.99 34-104 36-108 37-113 38-118 39-123 40-128 42-132 43-137 44-142 α n1 .53 23.69 16.44 23.21 5.16 9.96 59-101 62-106 64-112 67-117 69-123 72-128 75-133 77-139 80-144 83-149 85-155 88-160 49.89 38.12 11.20 9.17 10.72 29.15 152-225 145-232 133-244 7.58 28.19 9.98 38-102 39-106 40-110 42-113 15.11 9.13 8.86 19.65 21.15 171-249 164-256 151-269 7.87 51.42 20.61 26. en el interior de la tabla se dan dos números RI . 8 6.16 11.52 21.90 41.96 20-100 21-103 5.52 13.24 28.82 24.71 38.92 47.62 15.19 6.46 19.24 4. 9 6.16 58-110 54-114 46-122 7.24 5.15 4.67 37.75 28.15 191-274 184-281 171-294 Para cada pareja de tamaños de muestra n1 (primera columna) y n2 (segunda columna) y cada nivel de signicación (1a primera la).18 9.93 20.43 18.55 13.90 10.10 8. 8 5.87 40.59 14.17 4.49 20. RS tales que si la suma de rangos Rexp de la muestra de menor tamaño está fuera del intervalo [RI .14 12.65 32.10 9.16 8.18 11.52 27.66 27.92 29.20 7.10 0.21 66-105 69-111 72-117 75-123 78-129 81-135 84-141 87-147 90-153 93-159 96-165 99-171 102-177 62-109 65-115 68-121 71-127 73-134 76-140 79-146 82-152 84-159 87-165 90-171 93-177 95-184 56-115 58-122 61-128 63-135 65-142 67-149 69-156 72-162 74-169 76-176 78-183 81-189 83-196 10.94 43.53 18.70 27.88 46.55 31.84 31.26 11.85 27.12 6.76 35.17 61-114 56-119 47-128 15.60 25.16 12.93 53.19 10.79 18.49 22.54 27.15 11.41 11.69 28.15 5.20 82-128 86-134 89-141 92-148 96-154 99-161 103-167 106-174 110-180 113-187 117-193 78-132 81-139 84-146 88-152 91-159 94-166 97-173 100-180 103-187 107-193 110-200 71-139 73-147 76-154 79-161 81-169 84-176 86-184 89-191 92-198 94-206 97-213 11.05 0.17 11.74 35.72 29.48 17.14 147-217 141-223 129-235 7.40 17.18 10.94 40-100 7.34 10.73 13.51 26. 6 4.65 26.19 4.14 9.63 21.16 6.55 22.28 13.13 12.21 6.17 6.10 0.13 10.94 27.20 6.23 6.79 35. 7 39.14 10.97 49-101 51-105 53-109 55-113 57-117 58-122 60-126 26.82 27.12 4.16 10.91 46.35 14.96 43-101 45-105 46-110 48-114 50-118 51-123 53-127 54-132 23.47 24.18 8.45 16.51 18.34 15.10 5.20 4.57 24.60 21. 7 6.78 31.22 4.01 7.13 6.87 34. 6 6. 9 43.14 54-100 50-104 43-111 14.13 5.17 5. 5 5.57 19.12 12.22 5.49 17.12 49.21 8. 8 8.25 19.82 18.84 37.62 30.05 0.16 176-258 169-265 155-279 7.68 28.45 21.15 12.71 38.20 8.97 44-101 45-105 47-108 17. 9 9.54 19.95 13.14 5.19 7.61 31.76 40.44 16. se rechaza la hipótesis nula de homogeneidad de ambas muestras.38 11.22 51.84 13.36 20.18 4. 9 5.76 25.72 34.73 22.99 47-105 49-111 51-117 53-123 54-130 56-136 58-142 60-148 62-154 64-160 66-166 68-172 70-178 9.11 11.84 33.23 63-119 65-124 67-129 69-134 72-138 74-143 58-124 60-129 62-l34 64-139 66-144 68-149 49-133 50-139 52-144 53-150 55-155 57-160 8.55 24.16 4.18 6.19 100-153 104-160 108-167 112-174 116-181 120-188 123-196 127-203 131-210 96-157 99-165 103-172 106-180 110-187 113-195 117-202 121-209 124-217 87-166 90-174 93-182 96-190 99-198 102-206 105-214 108-222 111-230 12.50 29.90 56. C. RS ].13 142-209 136-215 125-226 7.94 33.57 20. n 2 0.75 30.23 5.89 28.70 34.69 22.63 35.81 42.152 Limites de signicación para el test de Wilcoxon (muestras independientes) 0.11 5.79 37.10 6.99 55-105 58-110 60-116 62-122 65-127 67-133 70-138 72-144 74-150 77-155 79-161 81-167 43.11 8.13 52.83 33.16 156-234 150-240 136-254 7.14 8.10 10.11 6.66 36.38 14.17 9.89 32.12 5. en el interior de la tabla se dan dos límites RI . RS tales que si la suma R(+) de rangos positivos está fuera del intervalo [RI . (1949) .10 0. RS ].05 0. Tukey.W.153 Tablas estadísticas Limites de signicación para el test de Wilcoxon (muestras apareadas) 0. El test puede hacerse también con la suma R(-) de rangos negatIvos. se rechaza la hipótesis nula de homogeneidad de ambas muestras.01 5 6 7 8 9 0-15 2-19 3-25 5-31 8-37  0-21 2-26 3-33 5-40    0-36 1-44 10 11 12 13 14 10-45 13-53 17-61 21-70 25-80 8-47 10-56 13-65 17-74 21-84 3-52 5-61 7-71 9-82 12-93 15 16 17 18 19 30-90 35-101 41-112 47-124 53-137 25-95 29-107 34-119 40-131 46-144 15-105 19-117 23-130 27-144 32-158 20 21 22 23 24 60-150 67-154 75-178 83-193 91-209 52-158 58-173 56-187 73-203 81-219 37-173 42-189 48-205 54-222 51-239 25 100-225 89-236 68-257 α n Para cada valor del número n de parejas de datos (primera columna) y cada nivel de signicación (primera la). J. La falta de limites se indican con un guión (-).