Cuaderno de Apuntes Matemática aiep

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 I. IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO: UNIDAD DE COMPETENCIA: MATEMÁTICA Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios, la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, utilizando eficazmente calculadora científica. 90 horas pedagógicas. DURACIÓN: II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO ÁREA DE FORMACIÓN: UBICACIÓN EN LA MALLA: PRERREQUISITO: General Diferenciada Primer semestre No tiene III. UNIDADES DE APRENDIZAJE PRIMERA UNIDAD: DURACIÓN: Nivelación 20 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: - Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. - Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica. - Resuelven problemas sencillos, relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades y reglas de los Números Reales - Transforman números decimales a fracción común y viceversa - Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad. SEGUNDA UNIDAD: DURACIÓN: Álgebra en los Reales 35 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS: - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las razones - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las proporciones. - Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. - Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad - Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad - Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas e inversas y no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. - Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad - Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. - Resuelven ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral - Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 1 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 - Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano Resuelven ecuaciones logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones. Geometría Plana y Trigonometría 35 horas pedagógicas TERCERA UNIDAD: DURACIÓN: APRENDIZAJES ESPERADOS: - Expresan medidas de ángulos en sistemas sexagesimal, centesimal y radianes - Determinan valores de ángulos aplicando teoremas de planimetría - Calculan longitudes en distintas figuras y unidades, aplicando teorema de Thales. - Calculan longitudes en distintas figuras y unidades, aplicando el teorema de Pitágoras. - Calculan longitudes en distintas figuras y unidades, aplicando teorema de Euclídes - Calculan perímetros en distintas figuras, utilizando distintas unidades. - Calculan áreas de distintas figuras y unidades. - Calculan volúmenes de distintos cuerpos, utilizando distintas unidades. - Identifican y calculan razones trigonométricas en triángulos rectángulos y sus cofunciones - Resuelven triángulos rectángulos aplicando las razones trigonométricas fundamentales y sus cofunciones. - Resuelven problema de aplicación de las razones trigonométricas IV. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS A) GENERALES: - Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico. - Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo. - Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y la carrera que estudian. - Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje. - Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos. - Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera. B) ESPECÍFICAS: - Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos. - Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos. - Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de esclarecer y reforzar contenidos. V. EVALUACIÓN DE UNIDADES Las evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada). Se aplican dos Controles escritos por unidad para obtener una calificación por unidad: Además cada docente puede evaluar trabajos en grupos u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una nota promedio, que corresponde a una nota por unidad. Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen. Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final. El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 2 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Evaluaciones Nacionales Estandarizadas Primera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 Evaluaciones Unidad 1: al menos 1 Unidad 2: al menos 1 Unidad 3: al menos 1 Examen de Módulo Unidades 1 y 2 Unidad 2 Examen escrito, nacional. VI. BIBLIOGRAFÍA - Larson, Roland E; Hostetler, Robert P. Algebra Intermedia McGraw- Hill. Ciudad de México 2000. - Allen R. Angel; (2000); Álgebra Elemental, 4ta Ed., Prentice Hall, México. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 3 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 VII. CLASE A CLASE PRIMERA UNIDAD: CLASE 1 CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales XXX NIVELACIÓN APRENDIZAJES ESPERADOS • Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto de los Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque: Tiene un número infinito de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). 1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tanto podemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero 1.3. Conjunto de Racionales: Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....} El conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma número entero y el denominador (b), es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números Racionales, se define como: a En esta fracción el numerador (a), es un b ⎫ ⎧a Q = ⎨ / a, b ∈ Z ∧ b ≠ 0⎬ ⎭ ⎩b Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de la recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes (dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultado es el mismo) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 4 . Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto le corresponde un único número Real Valor absoluto de un número: El valor absoluto de un número real a denotado por a .141592653... Ejemplo: − 4. entonces – x (que es un número positivo) es el valor absoluto de x. a b e = 2.313313331. A él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma No deben confundirse con los números racionales.. En consecuencia x ≥ 0 . Conjunto de los Reales: El conjunto de los números reales se define como: IR = {Q ∪ I } Con lo cual obtenemos la denominada recta numérica.4..71…. No obstante.....5 = 4. porque éstos son números decimales finitos... π = 3. 2 = 1. es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a ⎧ Si ⎪ Para cualquier número real x ⎨Si ⎪ ⎩ x ≥ 0 entonces x ≤ 0 entonces x =x x = −x Si x es positivo o 0..5. 3 Respuesta: 3 b. Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados.. 8 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.5 Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos: a.414213562. infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma a b 1..Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 1. Derechos reservados AIEP. − − 8 Respuesta. entonces x es su propio valor absoluto... para todos los números reales x.... 5 . Conjunto de los Irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar en forma Racional El conjunto de los números Irracionales se define como. I = {x /x es un decimal infinito no periódico} Algunos ejemplos de números irracionales son: 0. Prohibida su reproducción...5 = 4. si x es negativo. en grados Celsius está dada por un número positivo. c.3.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 c. − 6 ⋅ − 3 Respuesta: 18 CLASE 2 CONTENIDOS 1. 1. b. Conjuntos numéricos. desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. En la figura siguiente. Derechos reservados AIEP. 4 d.-La cantidad de personas que asiste a un evento está representado por un número positivo. 2. − 4 Respuesta.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5.-La temperatura de un caluroso día de verano. d.2. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas. 6 . Racionales 1. en los recuadros señalados por cada flecha.4. de 3. de 3.1. de 4 y de 5 B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2. de 4 y de 5. Prohibida su reproducción. C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216.-El valor del pasaje del transporte público se representa por un número positivo.5. Reales Taller de Matemática APRENDIZAJES ESPERADOS • Reconocen y nominan los conjuntos numéricos. Irracionales 1. Naturales 1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. 1. anote las sumas de los números que están en el cuadriculado respectivo A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2. Enteros 1. a. Producto 2. e . π . 7 CLASE 3 CONTENIDOS 2. Adición 2. Sume ( −2) y ( −8) (−2) + (−8) = − 10 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 1 17 33 2 18 34 3 19 35 4 20 36 5 21 37 6 22 7 23 8 24 9 25 10 26 11 27 12 28 13 29 14 30 15 31 16 32 La figura siguiente es parte de esta tabla. Por ejemplo: a. Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos: 6 3 5 . Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3 b. A continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200. Sume: + 5 y + 7 + 5 + (7) = + 12 b. Ordenar de menor a mayor los números: .4.2.3).1. Cuociente 2. Sustracción 2.3. 7 . 2 7 2 2 6. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 3. el resultado se denomina suma.(. Uso de calculadora científica APRENDIZAJES ESPERADOS • Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y? A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103 D) 102 y 104 4. Prohibida su reproducción.5. Operaciones Básicas: 2. Anote cuatro números enteros que sean mayores que − 3 5. OPERACIONES BÁSICAS Adición de números reales: Cuando se efectúa la adición de números. . con ayuda de calculadora científica. Sustracción de números reales: Cuando un número se resta de otro número. Para encontrar una diferencia. − 8 − ( −12) = b. El producto es positivo. restar el menor) y mantener el signo del número con mayor valor absoluto Sume los números. Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Generalizando: • • Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor. El producto es negativo. 8 . la resta de 10 − 6 es equivalente a la suma de 10 + (−6) . − 4 ⋅ (−15) = c. Multiplicación de Números Reales: Cuando se multiplican dos números. entonces x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 (el cero en la multiplicación es un elemento dominante). − 20 + ( −8) + 15 + (−12) d. Prohibida su reproducción. porque tienen el mismo resultado: 10 − 6 = 4 10 + (−6) = 4 Esto sugiere que. para restar dos números al minuendo le sumamos el opuesto aditivo del sustraendo Reste: a. 3 ⋅ ( −9) = b. el resultado se llama producto. Multiplicar: a. podemos convertir la resta en una suma equivalente. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco veces en una suma: (5) ⋅ (4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 El producto de 5 y (−4) lo encontramos al usar − 4 cinco veces en una suma: 5*(-4) = (-4)+ (-4)+ (-4)+ (-4)+ (-4)=-20 Por lo tanto para multiplicar dos números reales se procede: • • • Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. a. − 30 + ( +15) c. Derechos reservados AIEP. − 3 ⋅ (9) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 14 − 9 = 14 + ( −9) = 5 − 20 − 10 = − 20 + (−10) = − 30 c. el resultado se denomina diferencia. Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real. + 12 + ( +20) b. Por ejemplo. el cuociente q. 30 = 15 −20 = 4 −10 = −5 0 x = 0. c. que contiene las operaciones de adición y multiplicación. En la división tal que b ⋅ q = a Considere las siguientes divisiones: a = q (b ≠ 0) . es un número b + 24 = + 12. el resultado lo denominamos cuociente. debemos utilizar signos de agrupación como son los paréntesis: ( ) Paréntesis redondo [ ] Paréntesis rectangular o de corchete { } Paréntesis de llaves Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. ya que (−2)12 = − 24 −2 Los resultados anteriores sugieren que. para dividir números reales: • • • Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. entonces Dividir: a. Prohibida su reproducción. b. no está definido para ningún valor de x x 0 Orden de realizar las operaciones: Consideremos la expresión: 10 + 3 ⋅ 4 . Si x ≠ 0. Sin emb arg o. División entre 0: La división entre 0 no está definida. ya que + 2(+12) = 24 +2 − 15 = − 3.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 División de números reales: Cuando se dividen dos números. El cuociente es positivo Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo. convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que las sumas: 10 + 3 ⋅ 4 =10 + 12 Realice primero la multiplicación = 22 Luego realice la adición Para indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones. Derechos reservados AIEP. ya que 5(−3) = − 15 5 − 24 =12. 9 . Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones. trabajando de izquierda a derecha Cuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación. realizar el siguiente orden. repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo. trabajando de izquierda a derecha. a. 5 3 − 2(6 : 3 + 1) Respuesta: − 15 [ ] 4 + 8(3 − 4) 6 − 2(2) Respuesta: − 2 b. los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero: (3 + 7 ) ⋅ 2 =10 ⋅ 2 = 20 Para garantizar resultados correctos. 10 . Prohibida su reproducción. trabaje del par más interno al más externo. Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación. b y c elementos pertenecientes a los reales entonces: AXIOMAS EN IR A1 A2 A3 A4 A5 A6 Clausura composición interna) Conmutatividad Asociatividad Elemento Neutro Elementos Inversos Distributividad (Ley de ADICIÓN MULTIPLICACIÓN a + b pertenece al mismo a ⋅ b pertenece al mismo a+b =b+a a + (b + c) = (a + b) + c a+0= a =0+a conjunto IR a + (−a ) = 0 = (−a) + a a ⋅b = b⋅a a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c a ⋅1 = a = 1 ⋅ a a ⋅ a −1 = 1 = a −1 ⋅ a tal que a no es cero conjunto IR a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. b. Derechos reservados AIEP. Propiedades de los números reales: Sean a. En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero) Ejemplo: Evalúe la siguiente expresión: 4(7 − 2) : 5 + 1 = 4( 5) : 5 + 1 = 20 : 5 + 1 = 4 +1 =5 Evaluar: a.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Por ejemplo en la expresión (3 + 7 ) ⋅ 2 . Efectúe todas las adiciones y sustracciones. ¿cuántos quedan por vender en la bodega? 4. Producto 2. Baja 20 metros para dejar material b. con ayuda de calculadora científica. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo. Adición 2. por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo. utilizando calculadora científica. Sustracción 2. la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius. Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano. de 15 grados Celsius bajo cero. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Derechos reservados AIEP. 11 . y en el interior del almacén frigorífico. a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes: a. Cada cajón tiene 80 manzanas. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 4 CONTENIDOS 2. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. Prohibida su reproducción. se denominan Primos. ¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) B) C) D) ¿Cuántas manzanas hay en la bodega? ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? Si se venden 180 cajones. 3. Resolver los siguientes problemas manualmente y con ayuda de calculadora científica 1.4. Cuociente 2. Operaciones Básicas: 2.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Uso de calculadora científica Taller APRENDIZAJES ESPERADOS Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas.3.1. 5. Obtenga el valor final de: − 5 ⋅ − 6 ⋅ 7 − (18 ⋅ 7 − 6 ⋅ −15 ) − 40 [ ] 2.5. En una industria de congelados. se han almacenado 1. En 15 barriles de igual capacidad.2. si son 36 baldosas? Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo (lados opuestos paralelos) cuyos lados tienen igual medida. Sube 8 metros para reparar una tubería d. En diciembre se almacenan otros 639 cajones. dé 37. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 8. propiedades y reglas de los números reales.200 litros de agua. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta.400 litros de agua? Respuesta: a) b) 1200 ÷ 15= 80 ⇒ la capacidad del barril es de 80 litros 8400 ÷ 80 = 105 ⇒ se necesitan 105 barriles. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma? Solución: 18 metros 6. ¿Es posible realizar esta modificación con 37 baldosas? ¿Es posible. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. 285. contabiliza sus haberes de la siguiente manera: Saldo anterior Depósito/ Cargo (± ) Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.333333..230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.. y hasta las cinco de la tarde subió tres grados más. llamado anteperíodo...Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 7..… Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3. usando su Red Compra y cancela la cuenta de la luz con cheque por $15. llamado período. los finitos (nº decimal) y los periódicos. Derechos reservados AIEP. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.2982345 Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5. depositó hoy $350.5. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año.. Desarrollo decimal finito. que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.200.....000.Operaciones con fracciones REPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES: Todo número racional admite una representación decimal.. por ejemplo 0.. Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? 8. Ud. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero.2 y 1/3= 0. 1/3=0.33333. es aquél que tiene un número finito de cifras decimales.000. Por ejemplo 1349/1000. de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente.Transforman números decimales a fracción común y viceversa.. Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5. bajo seis grados más. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada. ó 3.. 1. de forma periódica. Éstos últimos pueden a su vez dividirse en periódicos o periódicos mixtos.... 3405/25=136.00 CLASE 5 CONTENIDOS Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción APRENDIZAJES ESPERADOS .... Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados.. En un desarrollo decimal periódico mixto.33333. y de medianoche al alba.000. Por ejemplo: 0. Enero – Mayo: pérdidas de 2.67777777.170 euros mensuales ¿Cuál fue el balance final de año? 9. por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0. pero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados. Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periódicas mixtas pero con período 0. antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que no se repite. Prohibida su reproducción. 40/25. 125.2567256725672567.000. .. realiza compras por un total de $250. por ejemplo. ¿Cuál es su nuevo saldo? Respuesta: $1. 12 .348 ó 367.5... . Observación: Si una fracción no es simplificable. se amplifica o simplifica la fracción. Es decir. hasta la primera repetición del período. que es equivalente a la anterior. el anteperíodo y la primera repetición del período.. que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2 en 5 = 5·2 10 5 se obtiene 0. Ejemplos: 1) Dada la fracción 2 2·2 4 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Para transformar una fracción en un número decimal.. si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene = .58 41 4141.287 = 34287 1000 ƒ Si el desarrollo decimal es periódico: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero. la parte entera. ya que 20 20 : 5 4 al dividir 5 en 20 se obtiene 0. se denomina fracción irreductible. el resultado es el mismo. Ejemplo: 34.4. Para obtener fracciones equivalentes. también se obtiene 0. Ejemplo: 4. dado un desarrollo decimal finito o periódico. al dividir numerador por denominador. Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia. Prohibida su reproducción. = 32532 − 32 999 = 32500 999 ƒ Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por la parte entera. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. sin coma.833333 (desarrollo decimal periódico mixto) 6 2) TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Recíprocamente. también.3125 (desarrollo decimal finito) 400 5 = 5 : 6 = 0. por cualquier número distinto de cero. el entero formado por la parte entera y el anteperíodo.. se obtiene .25. Derechos reservados AIEP. seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.4 y al dividir 4 en 10. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. se divide el numerador por el denominador: Ejemplos: 1) 125 = 125 : 400 = 0.532 532. siguiendo la siguiente norma: ƒ Si el desarrollo decimal es finito: se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en la expresión decimal original. Ejemplo: 32.25 y al dividir 1 en 4 se obtiene. puede encontrarse una expresión racional (fracción) para la misma. 0. si la fracción se amplifica por 2. = 45841 − 458 9900 = 45383 9900 Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión fraccionaria irreductible. 2) Dada la fracción 5 5:5 1 . 13 . Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Derechos reservados AIEP. Ej. − . 3. 14 . 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma. El mínimo común múltiplo entre 15. 7. 3.. 4.: 25 3 Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos.− .⎬ 4 4 8 12 16 ⎭ ⎩ PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES: 1..⎬ 2 2 4 6 8 10 ⎭ ⎩ − 3 9 12 ⎫ ⎧ 3 6 → ⎨− . Simplificar una fracción a:n a equivale a .: el mcm entre 48-96-64 es 192. Ej. Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación. Comparación entre dos fracciones Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.. 25 1 =8 3 3 8. Ej. Ej. Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2.: el MCD entre 48-96-64 es 16.: 3 25 Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Prohibida su reproducción. Igualdad de fracciones: a c = b d a c ≤ b d ⇔ ad = bc ⇒ ad ≤ bc 9. etc. Fracción propia es la fracción menor que la unidad.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplos de clases de equivalencia: 1 ⎫ ⎧1 2 3 4 5 → ⎨ .. .. . Ej.. 15 15 15 5 5 1 45 45 45 15 5 1 60 30 15 5 5 1 2 2 3 3 5 El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 180 5. 7. Amplificar una fracción Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. . 5.( n no es cero) b b:n a a⋅n equivale a b⋅n b ( n no es cero) 2. 6. . . d son números racionales. 15 . entonces. se determina que 〈 〈 5 5+4 4 5 9 4 11. Si el producto de dos números es 1. se define: b d a c ad + bc + = b d bd a c a+c + = b b b a c a −c − = + b d b d a·c a c · = b d b·d a c : b d = a d a·d · = b c b·c Completar la siguiente tabla.sumar los numeradores y denominadores respectivamente .: ubicar una fracción entre 2 7 5 2 2+5 5 〈 〈 . c. Prohibida su reproducción. Inverso multiplicativo. 2 5 ∧ 5 4 Ej. los números son recíprocos o inversos multiplicativos. Derechos reservados AIEP. Intercalar un racional entre dos racionales dados: .: 3 ⎛4⎞ ⎜ ⎟ =1 4⎝3⎠ OPERACIONES CON FRACCIONES: Si OPERACIÓN ADICIÓN Adición con denominadores iguales SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN a c y son números racionales.ordenar de menor a mayor los racionales .la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas Ej. a 1 b c d −2 5 1 3 45 4 7 8 1 8 −4 5 −3 2 21 10 − 2 25 a b c· d a–(b+c) (a+b)·c a·b – c·d 6 5 1 10 3 40 2 3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. sabiendo que a.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 10. b. comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar. Prohibida su reproducción. ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió? 4 24 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. asistente a la recepción. a) b) c) d) e) Solución a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción.Operan con fracciones Resolver los siguientes problemas: 1. se obtiene la fracción: Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan ¿Comió lo mismo de ambas? ¿Cuánto comió en total? Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se vende el de piña. 16 . La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan. . una de piña y otra de manjar.Transforman números decimales a fracción común y viceversa. Susana preparó 2 tortas de igual tamaño.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Respuestas: 1 a b 16 − 35 8 3 − 225 16 c· d a–(b+c) (a+b)·c a·b – c·d − 9 5 − 9 40 227 120 − 57 80 − − 29 20 101 600 4497 500 2 21 100 − 3 500 77 80 − 209 250 3 1213 100 CLASE 6 CONTENIDOS Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción Taller APRENDIZAJES ESPERADOS . Derechos reservados AIEP. = 24 : 4 6 24 2: 2 1 2 se simplifica por 2. 1 1 1 ⋅1 1 . 1/4 del resto para disolventes y los 600 m² restantes para pintar.333. hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar Podemos concluir que las fracciones comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar. ⋅ = = 4 3 4 ⋅ 3 12 Pero. En total. Para saber el valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos 1 400 ⋅ 400 = = $133. Si ¼ de 1/3 están con disolventes.866 por lo consumido. Prohibida su reproducción. ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes. 1/12 del almacén contiene disolventes. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 2. en total. entonces. es decir. Derechos reservados AIEP. está destinado a pintar y corresponden a 600 m . La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1. 6 6 6 3 e) Para saber cuánto debería pagar. 17 2 . lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Aproximamos al entero.. pues. Al decir ¼ del resto. O sea. pues. Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta.. significa ¼ de 1/3. son fracciones equivalentes. don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes. la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. El valor de cada trozo de torta de manjar 3 3 es $133. luego. la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Debemos multiplicar ¼ por 1/3. Resulta más fácil la segunda opción. = 12 : 2 6 12 Entonces. multiplicamos 4*400 = $1.600. son dos fracciones de igual denominador: 1 1 2 1 + = = . ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. se obtiene la fracción: 2 12 c) ¿Qué puede decir de las fracciones 5 1 y ? ¿Son iguales? ¿Por qué? 20 4 4: 4 1 4 se simplifica por 4. tomando la fracción de la torta de piña Luego. don Juan 24 12 d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. 4 2 y representan la misma fracción. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas. 1 1 1 de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas. Si en total hay 6. recogida de basuras. ¿cuánto corresponde a cada actividad? a) b) 7. 4 Respuesta: 1. El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? 4. 4 4 8 5. La primera de 1 ¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda? Respuesta: 4 vasos más 1 3 1 lt. En un centro comercial.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Multiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando: 3 1 3 ⋅1 3 1 obtenemos que ¼ corresponde a 600 ⋅ = = = 4 3 4 ⋅ 3 12 4 m 2 . En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. Luego multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2. del tiempo utilizado para los accesorios. se emplean en electricidad. hasta las 20 hrs. 18 . La mantequilla está envasada en paquetes de 1 de kg. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 3. se utiliza para construir accesorios. se usa para afinar detalles finales. 4 ¿Cuánto se emplea en limpieza? Si la comunidad dispone de $3. Calcular cuántos paquetes se despacharon.300 empleados. del tiempo destinado a carrocerías. Se tienen dos botellas de bebida. 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días. y la segunda de lt. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 3 1 4 1 2 1 3 1 2 del tiempo se dedica a la construcción de motores de la jornada para carrocerías del tiempo que se ocupa para fabricación de motores. Con cada una se llenan vasos de lt.300. Prohibida su reproducción.800 paquetes de mantequilla 6. en la 5 3 12 1 en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza.400 m2 . Derechos reservados AIEP.000. se destina a almorzar. cada uno. 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. hallar el número de empleados de cada clase. 16 metros por lado Si por cada departamento se pagan $ 44. a) b) c) 5. usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad Clase de Taller: Resolver los siguientes problemas en forma manual y con ayuda de calculadora científica 1 a ⋅ b + 3c . b = 3. calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela. el segundo trozo sea 2/3 del primero.Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones. y se divide en 4 partes. 19 . de modo que. Derechos reservados AIEP.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19. Cada uno recibe con la comida. Prohibida su reproducción. Para esto se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros.2 metros Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles son sus dimensiones? Respuesta: 3. Respuesta: 27. evalúe b 5 c 1. con ayuda de calculadora. c = − . De acuerdo a la situación planteada: a) b) Calcular la altura del edificio y la de la construcción. b = 3. además de 10 empleados de la obra.775. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de 8 5 6. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. c = 3. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.930? Respuesta: UF 2. evalúe 3 b(c − a ) 1 ( a + b) ⋅ c 2. Si un trozo de tela mide 820 cm. 4 vasos de vino de bebida hubo que encargar? 2 1 litro y 2 vasos de bebida de litros cada uno.6314… c) 4. 5. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.246. Calcular: 2 En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros. Una familia consume 1 el consumo semanal el consumo en el mes de Abril el consumo anual. Si a = 2. el tercer trozo sea 1/5 del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo. . 1 litro de leche diariamente.Identifican aplicaciones.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 7 CONTENIDOS -Operaciones básicas con decimales La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad APRENDIZAJES ESPERADOS .5 metros entre suelo y cielo. 25 . Si a = − 4. comprador 2: 120 kilos de azúcar. 2 y d = 8. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes: Comprador 1: 250 kilos de azúcar. menos que el segundo. el socio B la mitad del aporte del socio A. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio? 3.Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos.000. 1 4 (a − b + c ) ⋅ a 3 . • Identifican aplicaciones. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.15 Kg. y el tercero 78. usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad CLASE DE TALLER Resuelva los siguientes problemas. el segundo.000 más que el socio B. c = 0. con ayuda de calculadora. Prohibida su reproducción. El socio A aporta $1. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300. pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo.002 Kg. Se echa 15 de litro de este jugo en un vaso. 2. 1. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso.800 menos que por el artículo A.132 Kg.Vendió cierto número de unidades en 500 euros. a 5 euros cada una. b = 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 8 CONTENIDOS Operaciones básicas con decimales La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad Taller APRENDIZAJES ESPERADOS • Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones. B.016 Kg.500. en forma individual o en forma grupal manualmente y con ayuda de calculadora científica. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores. comprador 3: 95 kilos de azúcar. 4. 20 . El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879. 6. 72 días al segundo piso. el triple del aporte de A y el socio D $750.Cierto año subió 25 días al primer piso. El primer depósito contiene 18. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión: − [− (9 + 10 ) − 4] − [3(− 2 − 8 ) − 3] + 14 : 7 7. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. 43. si por el artículo B canceló $35.75.000. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno . más que el tercero. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos . ¿A que precio debe vender el resto para no perder? 5. determine el aporte total para la formación de la sociedad. más que el cuarto. el socio C. 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor . Sean a = − . Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A. determine el precio de cada artículo. calcule el valor de = 5 b⋅d Una jarra tiene 5 4 de litro de capacidad y está llena de jugo. C y D. Derechos reservados AIEP. ¿Cuanto queda en la jarra? 9. 2. es decir: 431. . SOLUCIÓN: Como necesitamos establecer la relación entre los montos recibidos por cada socio tenemos dos alternativas. ¿Cuántas veces el valor de la cotización C2 corresponde a la cotización C1? SOLUCIÓN: En la pregunta planteada debemos entender el concepto que matemáticamente nos entrega la palabra “veces”.000 = 1. En el problema planteado se tiene: 431.. donde A representa el numero de veces que el valor 375. de la forma: 60 Esta última relación podemos aún expresarla en números más sencillos es decir 2 = A. con respecto al monto total de las utilidades.Las utilidades anuales de una empresa que asciende a 100 millones de pesos se reparte entre dos socios de forma que el primero recibe 40 millones y la segundo 60 millones. Por lo tanto podemos establecer que 40 es 2 veces 20. aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.Razones: Concepto. Derechos reservados AIEP. Establezca una relación entre las partes que cada uno recibe. . Entonces: para determinar la cantidad de veces un número esta contenido en otro bastará con conocer el factor que multiplica a uno de los números para obtener el otro.Proporciones : Concepto. Cálculo e interpretación. La primera alternativa corresponde a 40 millones = A ⋅ 60 millones. 21 .Identifican el concepto de proporción.Una empresa importadora dispone de dos cotizaciones para realizar el traslado de mercaderías que se encuentran en una bodega del puerto de Valparaíso a las bodegas de la empresa ubicadas en el sector sur de la región metropolitana.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 9 CONTENIDOS .000 esta contenido en 431.Calculan el término desconocido de una proporción. establecer cuantas veces es menor el valor 40 millones que el valor 60 millones ó bien cuantas veces es mayor 60 millones que 40 millones. por ejemplo. .250 = A ⋅ 375.15 veces. explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción APRENDIZAJES ESPERADOS . explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas.000 y C2: 431.250. cuantas veces es mayor el precio del transporte de una mercadería si se dispone de las cotizaciones de dos empresas de despacho a domicilio. Frecuentemente comparamos dos o más cantidades.000. Los valores de cada cotización son: C1:$ 375. como es lógico podemos prescindir de la unidad millones y así obtenemos una relación más simple la cual es 60 millones 40 = A.2500/375. es decir si 20 se multiplica por 2 se obtiene 40. Prohibida su reproducción. 1.Identifican el concepto de razón. Para ello recurramos a un ejemplo simple: ¿Cuántas veces esta contenido 20 en 40? Claramente entendemos que 40 es “doble” de 20. de donde se obtiene que: 40 millones = A .250 ambas con IVA incluido. (por simplificación) 3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.. 3 = B. se establece la razón Una razón escrita en cualquiera de sus formas.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Esta relación nos indica que las cantidades recibidas por cada socio se puede expresar diciendo que uno recibe dos partes de las utilidades y el otro tres partes. se denomina RAZÓN. en esto hay una base de comparación (un respecto a) y por ende la base sería el consecuente. Prohibida su reproducción.8 veces. significa que la primera esta contenida en la segunda cuatro quintas veces o dicho de otra forma 0. Entonces. si bien mantienen la relación entre las cantidades. Los términos que forman una razón se denominan ANTECEDENTE y CONSECUENTE Dada la razón Una razón plantea una comparación por cuociente entre dos magnitudes generalmente de la misma naturaleza. por ejemplo: Si dos cantidades están en la razón 4: 5. También se puede establecer que la segunda está contenida en la primera cinco cuartos veces es decir 1. aunque también se da en el caso de distinta naturaleza por ejemplo al hablar de la razón ”distancia / tiempo” la cual llamamos velocidad. se puede concluir: utilidades. que podríamos llamar directa e inversa. Además se plantea que A = 2/3*B (el sueldo de A es los dos tercios del de B) PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad de dos razones: Se anota a . La relación entre dos cantidades. Esta razón se representa utilizando simbología fraccionaria o de división. lo que indica que un socio recibe tres partes y la otra dos partes de total de las 2 De lo anterior. podemos concluir que el socio que recibe 40 millones representa dos partes de las utilidades y el que recibe 60 millones tres partes. se lee: “a es a b” b La fracción o cuociente que genera una razón corresponde al valor de la razón e indica el número de veces que una de las cantidades esta contenida en la otra. Al invertir los términos de una razón se obtiene otra razón denominada razón inversa. su interpretación o significado es diferente como se pudo ver al analizar el valor de cada una de ellas. donde se debe cumplir como propiedad fundamental que: b d a⋅d = b⋅c Toda proporción tiene dos medios y dos extremos los cuales verifican: El producto de los extremos es igual al producto de los medios Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. se tiene que: 60 millones = B ⋅ 40 millones. Es el caso si planteamos como ejemplo que” la razón de los sueldos entre A y B es 2/3 “entonces se plantea que A/B = 2/3 y por tanto establecemos que por cada 3um que B gana (B es la base de comparación establecida) entonces A gana 2 um. por ejemplo: Si una razón es 4 : 5 su razón inversa es 5 : 4 Estas dos razones.25 veces. 22 . por ejemplo: Si 2 partes de A se relacionan con 5 partes de B. 2 o bien 2 : 5 5 a ó a : b . expresada en números enteros y sencillos. Derechos reservados AIEP. y procediendo de forma similar al caso anterior. Si se considera la segunda alternativa. a se denomina antecedente y b consecuente b a c = y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” . 5 litros Otras propiedades importantes son: En toda proporción. 23 . Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. ⋅ x = 1lt . Derechos reservados AIEP. como un antecedente es al consecuente de una de las razones: a+c a a+c c a−c a a−c c = . la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes... Esta ampliación del concepto de razón. generándose una Serie de Razones o Proporción Múltiple. c.. las 5 a.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: El rendimiento de un automóvil en carretera es de 20 Km.. por litro de combustible. 450 km. Si se tiene que viajar una distancia de 450 Km.. = = = 5 n ⋅ 5 n2 ⋅ 5 n3 ⋅ 5 componentes se modifican Hemos definido la proporción como la igualdad de dos razones pertenecientes a dos magnitudes entre las cuales se puede establecer alguna relación. = = .. . pero también este concepto de proporción se puede ampliar a más de dos razones iguales.. b. ⋅ 450 x= 450 ⋅ 1 20 20 km. dada por: x a c e g = = = = . la suma o diferencia de las componentes de una de las razones es a uno de sus términos.. ¿Qué cantidad de combustible se deberá utilizar? La solución a la interrogante planteada se escribe como una proporción.. generándose una serie de razones equivalentes.. x x = 22. d. tenemos: 20km.... permite establecer relaciones entre varias magnitudes. al multiplicarse simultáneamente antecedente y consecuente por una misma magnitud n. Prohibida su reproducción.. A lo largo del país. = 11lt . = b+d b b+d d b−d b b−d d 3 En una razón de la forma .. 3 n ⋅ 3 n2 ⋅ 3 n3 ⋅ 3 . = = K y b d f h Siendo K la constante de proporcionalidad y corresponde al valor de la serie de razones. donde: Utilizando el teorema fundamental de las proporciones. como la suma o diferencia de las componentes de la otra razón es a uno de sus términos a) a+b c +d = a c b) a+b c+d = b d a−b c −d = b d c) a−b c −d = a c d) En toda proporción. 24 . Prohibida su reproducción. ¿Cuál deberá ser el monto a recibir por cada estamento de la empresa? La proporción múltiple. B = 3K . explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas.Calculan el término desconocido de una proporción. Clase de Taller. aplicando la propiedad fundamental en las proporciones. en forma individual o en forma grupal. 45 kg = $450 $x x = 450 ⋅ 45 x = $20. . D = 7 K pero A + B + C + D = 800 millones Por lo tanto K + 3K + 5 K + 7 K = 800 millones K= 800 = 50 (valor de la constante de proporcionalidad.Identifican el concepto de razón. de este producto. A : B : C : D =1 : 3 : 5 : 7 la podemos expresar como: de modo que: A B C D = = = =K 1 3 5 7 A = K. 1Kg . En una empresa los dividendos obtenidos después de un año de inversiones positivas.250 2. C = 5K . Resuelva los siguientes problemas. Usando el concepto de proporción determine el valor a cancelar por la compra de este producto. se pretende dividirlos e cuatro estamentos.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejercicios 1. Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción Taller APRENDIZAJES ESPERADOS .Proporciones : Concepto.Identifican el concepto de proporción. se hacen dos cortes de modo los trozos que se obtienen se encuentran en la razón 3: 4: 5. válida para cada razón de la serie) 16 C = 250 millones.Razones: Concepto. 1. D = 350 millones Conociendo el valor de K se determina el monto a recibir por cada estamento de la empresa: A = 50 millones. Derechos reservados AIEP. mide 10 metros Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. B = 150 millones. En un supermercado de la comuna de Santiago el kilogramo de harina se comercializa a $450 y se desean adquirir 45 Kg. ¿Cuál es la medida que tiene el trozo de mayor longitud? Respuesta: El trozo de mayor longitud. Cálculo e interpretación. Un cordel que mide 24 metros. de acuerdo a la siguiente proporción múltiple: A : B : C : D =1 : 3 : 5 : 7 Si el monto de este dividendo alcanza los 800 millones de pesos. CLASE 10 CONTENIDOS . . . 6. estar. ¿Cuál es la medida de cada uno? En la elaboración de una pintura para el revestimiento de una placa metálica se utilizan 3 componentes A. y C. 5. impecable.com” se han encontrado los siguientes avisos de venta de propiedades: Aviso 1: 652. Prohibida su reproducción.000 por 40 minutos de tiempo en el uso de su teléfono.000. 4807xxx Aviso 2: ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más cara con respecto a la más barata? ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más barata con respecto a la más cara? 4.5 litros de B.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 2. cuatro dormitorios en suite. 3. hermosísimo jardín. En supermercado de la capital.000. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.000 Berríos Publicado: 23/02/2009 Zegers.000 La razón entre el precio de un litro de bencina u un litro de petróleo es de 5 : 3 y se deben cargar 5 camiones. gastando en total $218. Con la información anterior completar la siguiente tabla: Costo en pesos Minutos 8. 9 litros de C.368 9.800. ¿Que cantidad se gasta en cada camión bencinero si sus estanques tienen la misma capacidad? Respuesta: $57. mansarda: amplia sala juegos. B. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2.elmercurio. 7.cl. 25 . piscina. subterráneo. Determine la cantidad de cada componente para fabricar 93 litros de esta pintura. La diferencia entre los lados contiguos de un rectángulo es 4 metros y están en la razón 5 es a 6 ¿Cuál es su perímetro? Si se pagan $12.5 litros de A. Si el producto A y el producto B están en la razón 3 : 7 Determine el valor unitario del producto A y del producto B. 31. se tiene la siguiente oferta: Tres productos tipo A más cinco productos tipo B por un total de $25. cinco baños.000 20 1.000. escritorio. de los cuales 3 son petroleros y 2 bencineros.200 80 48.000. Respuesta. 566/ 1.363 b. En la confección del plano de una casa. Para fabricar esta pintura se mezclan 3 partes de A por cada 5 partes de B y 2 partes de C por cada 7 partes de A. 52. a. Derechos reservados AIEP. Publicado: 24/02/2009 415. (0)92233xxx. En “propiedades. 2323xxx. entonces: a) ¿Cuál será la medida real de un muro que en plano mide 2. se ha utilizado la escala 1 : 100.5 centímetros? b) ¿Cuál será la medida en el plano de la altura de una ventana que mide 1.2 metros? 3. ¿Cual es la cantidad de dinero asignado al gasto de petróleo? Respuesta: $103.000 Mónica Pobrete Piedra Roja. Quinchamali 405/ 1800 Mediterránea Nueva. a 4 .... Por el contrario... son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K. si se desea viajar entre dos ciudades de nuestro país en un automóvil....0000 130 → $ x . En el primer caso ambas crecen simultáneamente. relacionados con situaciones y fenómenos comerciales. Entre dos o más magnitudes de cualquier naturaleza se pueden establecer relaciones de proporcionalidad y determinar como las cantidades pertenecientes a estas magnitudes varían mutuamente.. 26 . Derechos reservados AIEP. Prohibida su reproducción........ constante de proporcionalidad A : a1 . 2... económicos etc. En ambas situaciones planteadas existen magnitudes que se relacionan.. b3 . a3. n b1 b2 bn y se lee A es directamente proporcional a B ⇒ A = K ⋅ B Ejemplo 1 Una empresa del área gastronómica.000. b4 .. ... la cantidad de kilómetros ha recorrer dependerá de la cantidad de gasolina que se encuentre en el estanque.. costo que crece a medida que la cantidad de toneladas a embarcar también crece.. menor será la cantidad de combustible que quedará en el estanque del automóvil. Proporcionalidad Inversa.Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas. cada tonelada de este producto tiene un costo en pesos. Proporcionalidad Directa y en el segundo caso al crecer una la otra disminuye simultáneamente....000 ⋅ 130 130 x Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP..bn La cual se anota: a a1 a 2 = = . desea estimar la cantidad de dinero que necesita para realizar una recepción para 130 personas dado que en 12 porciones se deben invertir $24..Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 11 CONTENIDOS Proporcionalidad y Variación Proporcional : Proporción Directa Proporción Inversa Proporción Conjunta Gráficos de la proporcionalidad directa e inversa. APRENDIZAJES ESPERADOS -Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente.a n B : b1 ..000¿Cuál es el monto que se requiere para las 130 personas? Solución: Como se sabe que en 12 porciones se tiene un costo de $24.. b2 . a 2 . a mayor distancia recorrida. en más porciones tendrá que destinar más dinero y para determinar exactamente cuanto dinero se requiere plantearemos la siguiente igualdad: 12 → $24... si la razón entre dos cantidades pertenecientes a A y B. e inversas y no proporcionales.. de modo que. Si se desea embarcar toneladas de un producto para exportar a países vecinos.Grafican variables relacionadas con proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad .. -Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad 1.000 = ⇒ 12 x = 24.. Proporcionalidad Directa Dos magnitudes A y B son Directamente Proporcionales. es decir 12 24. 27 ..4 = 105 x 90 x = 105 ⋅ 8. donde cada magnitud se asocia a uno de los ejes de este diagrama.. a 2 . b2 .000 x= 12 x = 260...8 horas 90 Demorarían más tiempo dado que viajan a menor velocidad Ambas Variaciones de Proporcionalidad se pueden representar en Diagramas Cartesianos. a3. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. viajo al sur...4 90 → x 90 8.Si hubieran viajado a una velocidad de 90 Km... iban a una velocidad de 105 Km. b4 ....a n ⋅ bn Se anota A ⋅ B = K ...bn a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = a3 ⋅ b3 = ........000 3....4 882 x = = 9... a 4 .... /h y demoraron en llegar a su destino 8.120. si el producto entre dos cantidades pertenecientes a A y B...000.. /h ¿Cuántas horas se habrían demorado? Solución: 105 → 8. constante de proporcionalidad A : a1 .120.000 Se tendrá que destinar la suma de $260. Proporcionalidad Inversa Dos magnitudes A y B son Inversamente Proporcionales. para representar respectivamente la Proporcionalidad Directa y la Proporcionalidad Inversa Proporcionalidad Directa Proporcionalidad Inversa Estas variaciones de Proporcionalidad Directa e Inversa tienen gran aplicación en una cantidad de situaciones entre las cuales se puede citar la Proporción Conjunta o Compuesta.. y se lee A es inversamente proporcional a B Ejemplo: Una familia en las vacaciones de este año. b3 .a n B : b1 .4 horas.. . son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K..Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 12 x = 3. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Proporción Compuesta. la proporcionalidad conjunta se escribe: a1 b2 c 2 = ⋅ a 2 b1 c1 Ejemplo 1: Se estimó por un experto que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo de excavación para una línea de alcantarillado de 12 metros en 5 días. la Proporción Conjunta está dada por: a1 b1 c1 = ⋅ a 2 b2 c 2 Caso II: Si la magnitud B es directamente proporcional con A y la magnitud C es inversamente proporcional con A. escritas como razón Directa o Inversa. si la razón entre dos cantidades de una magnitud A es proporcional al producto entre otras magnitudes B y C. entonces. 28 . Una Proporción es Compuesta. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. si la habilidad de estos últimos es igual a la de los primeros? Solución: La relación entre el número de trabajadores y el número de metros es directamente proporcional (considerando que el número de días no varía) y la relación entre el número de trabajadores y los días es inversamente proporcional (considerando que la cantidad de metros no varía) 6 trabajador es → 12 metros → 5 días x trabajador es → 18 metros → 3 días 6 = x 6 = x 12 3 ⋅ 18 5 2 5 Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones. ¿Cuantos trabajadores serían necesarios para excavar 18 metros de iguales características en 3 días. la proporción conjunta o compuesta es: a1 b1 c 2 = ⋅ a 2 b2 c1 Caso III: Si las magnitudes B y C sin inversamente proporcionales con A. según sea la proporción simple que entre ellas se determine A : a1 a 2 B : b1 b2 C : c1 c 2 De la definición anterior se desprenden los siguientes casos: Caso I: Si las magnitudes B y C son Directamente Proporcionales a A. Derechos reservados AIEP. a una velocidad de 60 Km.400 Es una relación inversamente proporcional: b. Prohibida su reproducción.400? Solución.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 2⋅ x =6⋅5 2 ⋅ x = 30 x = 15 trabajadores Ejemplo 2: Se observan dos variables x e y x y a. Un control de calidad estipula que la presión de un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente proporcional al volumen que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. 1.000 = 800 ⋅ 1.000 Kilómetros a una velocidad de 40 Km.Resuelven problemas de tanto por ciento.000 = 1. es directamente proporcional a la distancia recorrida y al cuadrado de su velocidad. 29 . y = CLASE 12 CONTENIDOS . La cantidad de petróleo consumida por un transporte marítimo convencional. b.Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad . Si dicho transporte consume 50 barriles en un viaje de 400 Kilómetros. relacionados con la especialidad Clase de Taller.Resolución de problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. Resuelva los siguientes problemas. ¿A que presión se deben someter 100 metros cúbicos de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura. a.000 800 1.000 k = = 125 x 6. ¿Cuantos días demorarían 20 personas en realizar 6 de estas operaciones si trabajan 6 horas diarias? Respuesta: 14./ hr. APRENDIZAJES ESPERADOS .55 barriles 3. 400 ⋅ 2. ? Respuesta: 555. descuentos y recargos. para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? Respuesta: 2.000 1. 400 2./ hr ¿ Cuanto petróleo consume en un viaje de 1. Derechos reservados AIEP.47 atmósferas Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. que se desplaza con velocidad uniforme.4 días 2. Diez y seis personas realizan 4 operaciones contables en 18 días trabajando 4 horas diarias.000 = k 800. en forma individual o en forma grupal.600 ⋅ 500 = 800.600 500 ¿Cual es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad ¿Cual es el valor que corresponde a y para un x = 6. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 4. determine el valor de Q cuando Respuesta: 33. dependiendo de la cantidad de cera a elaborar. Directamente proporcionales. anualidades. Prohibida su reproducción.6 P = 12 y R = 7 5. Derechos reservados AIEP. k = 2 b. amortizaciones. Para el cálculo del tanto por ciento consideraremos tres casos. 30 . En estudios de marketing es importante conocer las opiniones y preferencias de un grupo de personas respecto por ejemplo de un cierto bien. interés compuesto. ¿Que cantidad de aguarrás requiere? Respuesta: a.000 x = 60 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás. 165 82. se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás en mililitros Aguarrás (ml) Cera (gramos) a. por lo general estos resultados se expresan porcentualmente En cálculos financieros se requiere trabajar con porcentajes ya sea en el cálculo de interés simple. P es directamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R. El Porcentaje es un caso particular de proporcionalidad Directa.900 ml PORCENTAJES El porcentaje es una de las herramientas matemáticas más utilizadas cotidianamente. en que uno de los términos de la proporción es 100.5 990 495 ¿Cual es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad? Si Ud requiere preparar 450 gramos de cera. Definición 1: Se llama tanto por ciento de un número o cantidad a una o varias de las partes iguales en que se puede dividir dicho número.5 330 165 495 247. es decir uno o varios centésimos de la cantidad. etc.5 660 330 825 412. lo que resulta de comparar una parte con un todo. Caso I: ¿Cuál es el tanto por ciento de un número? Ejemplo: ¿Cual es el 20% de 300? 300 → 100 % x → 20% 300 100 = x 20 Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: 100 x = 300 ⋅ 20 100 x = 6. Si P = 5 cuando Q = 4 y R = 2 . b. En la elaboración de cera para los automóviles. Disminución de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Disminuir 63. Derechos reservados AIEP.500 en un 19% 19 ⎞ ⎛ 7.75 % Caso III: ¿De qué número a es el b%? Ejemplo: ¿De qué número 80 es el 5%? x → 100% 80 → 5% x 100 = 80 5 Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: 5 x = 80 ⋅ 100 5 x = 8000 x = 1.500 ⋅ ⎜1 + ⎟ 100 ⎠ ⎝ 7.000 en un 5% Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Aumento de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Aumentar 7.000 x = 3.19 = 8.600 Consideremos dos nuevas situaciones que también se presentan con frecuencia: 1.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Caso II: ¿Qué tanto por ciento es un número de otro? Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 30 de 800? 800 → 100% 30 → x% 100 800 = 30 x Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones 800 x = 100 ⋅ 30 800 x = 3.925 2. 31 .500 ⋅ 1. Prohibida su reproducción. . 32 .2 ⋅ 100 = 8...194 Propiedad 3: Variación Porcentual..% fórmula agregada Vi Ejemplo: El I.3 − 1.. ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ a ⎜ 100 ⎜ 100 ⎜ 100 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠⎠ ⎝ ⎝ Ejemplo: El 15% del 12% del 9% del 4% de 3. P..000 ⋅ 0.12(0......2% y el IPC de Marzo del mismo año 1.000 = 0.09(0....2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.. al valor inicial. Ejemplo: El 20% de 70 es igual al 70% de 20 70 El 20% de 70 es: x 100 20 x = 14 = 20 100 = x 70 x = 14 El 70% de 20 es: Propiedad 2: El b % del c % del d %.. Vi También puede expresarse Δ% = ( Vf − 1) ⋅ 100 = ...3% Determine la variación porcentual.04 )))) ⋅ 3.de “a” es: ⎛ b ⎛ c ⎛ d ⎛ ..95 = 59.... expresada porcentualmente Δ= Vf − Vi ⋅ 100 .....850 Hay expresiones que presentan ciertas características: Propiedad 1: El a % de b es igual al b % de a. ... es la razón entre la diferencia del valor final al valor inicial.. C del mes de Febrero fue de un 1.15(0. Prohibida su reproducción.. Derechos reservados AIEP... Δ= 1...000 es: (0..33% 1....000 ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎝ 100 ⎠ 63.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 5 ⎞ ⎛ 63.. ¿La oferta sería la misma si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 30%? Solución: a.000 si este se cancela al contado.000. Al precio neto agregamos la ganancia y luego el IVA 250. ¿Cuanto vale después de la segunda liquidación? c. precio neto. 9.333 Por lo tan to se le retiene : 833. legalmente.19 = $321. pero desea obtener una ganancia del 8% sobre el precio neto.200 ⋅ 0. 9. ¿Cuanto vale después de la primera liquidación? b. 2. Un comerciante compra un producto en $250. calcule la retención.000 ⋅1.333 − 750.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Problemas Resueltos: 1.333 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.000 ⋅ 0.000 x x =14% de aumento 3.000 – 250.08 = $270.90 = $6. Solución. 7.300 4.80 = $7.000 la unidad.000 → 90% $x → 100% 750.500.000 90 = 100 x x = $833.000 = $35. $750.300 Pr ecio venta público : $321.000 270. Por un trabajo realizado.Si originalmente un pantalón cuesta $9.000 ⋅1. a. Es posible cancelar a crédito en 10 cuotas de $28. los cuales son cancelados mediante boleta de honorarios.70 = $6.000.300 La oferta sería diferente ya que se están aplicando disminuciones sobre bases distintas.480 c.000 = $83. El precio de un equipo de música es de $250. Derechos reservados AIEP. Prohibida su reproducción.200 b.000 100 = 35.000. En un centro comercial por fin de temporada todos los artículos son rebajados en un 20%. Ud. 33 . por lo tanto: 250. Determine el precio de venta al público. recibe $750. ¿En que tanto por ciento aumenta el precio del televisor si se compra a crédito? Solución: La diferencia de precio entre la compra a crédito y contado es: 285. Después de un mes todos los artículos vuelven a rebajarse en un 10%. se le retiene un 10%.000 ⋅ 0. habían solo 210 mujeres. ¿Cual es la cantidad total de actual de trabajadores en la empresa? Respuesta: 45 trabajadores 3. en busca de nuevas perspectivas económicas. B y C de modo que: A recibirá el 38% del monto total. 110 hombres Respuesta: a.000 serán repartidas entre tres socios A.000. los siguientes problemas.667. Precio de Venta: $78. de las clases 1 a 12. agregando además un 19% de IVA Respuesta: $2.000 2. Si el 30% de los empleados de esta empresa son mujeres.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Clase de Taller. Utilidades anuales correspondientes a $40. en preparación de la primera Evaluación Nacional 1. ¿Cual fue el precio de venta del artículo? ¿Cual fue el porcentaje de ganancia? Respuesta.990.160.500.77% 4.200. El precio de costo y el precio de venta de un artículo están en la razón 13: 17. cada bicicleta hidráulica doble $97. en una empresa si los hombres o las mujeres presentan mayor cantidad de inasistencias.000 B: $12. a. En la permanente discusión. Prohibida su reproducción. de un equipo de refrigeración. preparación Evaluación Nacional Resolver en forma grupal o individual. Un vendedor viajero recorrió en su último viaje 3. ¿Cuanto recibirá cada uno? Respuesta: A: $15. Si la ganancia fue de $18. Determine el total a cancelar si por pago al contado. Si hubiese recorrido 210 kilómetros. 34 . gastando en total 160 litros de bencina. la sexta parte del tiempo en la instalación física del equipo y la novena parte del tiempo se destina a una marcha blanca ¿Qué cantidad del tiempo restante le quedará para atender otras tareas? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 4 bicicletas hidráulicas dobles y 2 bancas con pesas. Derechos reservados AIEP. la cuarta parte del tiempo se utiliza en la planificación para la ubicación del equipo. En un centro deportivo.990. que corresponden al 70% del total de mujeres. se renuevan los siguientes implementos deportivos: 5 trotadoras. 1. Si cada trotadora cuesta $420.000 C: $12. Resuelva los siguientes problemas. En una fábrica trabajan 35 hombres y 12 mujeres. ¿Cuantas mujeres hay en la empresa? ¿Cual es el total de empleados de esta empresa? ¿Cuantos hombres faltaron ese día? b. B recibirá el 70% de lo de A. en forma individual o en forma grupal: 1.625 Porcentaje de ganancia: 30. 300 mujeres CLASE 13 CONTENIDOS Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12 APRENDIZAJES ESPERADOS Refuerzan aprendizajes esperados.000 mujeres c. ¿Cuanta bencina hubiese ocupado? Respuesta: 10 litros 2.990 y cada banco con pesas $69. la que en un día dio la siguiente información: El día investigado asiste el 80% de los empleados.360 kilómetros. más $2.000. b.640. viajando por todo Chile. le efectúan un descuento de un 15%.214 3.000 y C recibirá lo restante. Para la instalación y puesta en marcha. c. se realizó una investigación. al final de año se retiran 1 7 de los hombres y 1 3 de las mujeres. Al año siguiente se contratan 4 hombres y 3 mujeres. determine la constante de proporcionalidad.000 ha requerido un aumento en consideración al ítem mayor obra por una cifra de $55. Los estudios revelan que construir un edificio de 6 pisos. PISO 1 2 3 4 5 6 Respuesta: 32 días % DE AVANCE 100 100 100 89 35 0 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. se establece que la razón de las distancias entre 2 puntos es de 1cm.5 cm. por 1. Derechos reservados AIEP. Cuarenta trabajadores han levantado una torre de 15 pisos en 250 días. Una obra cuyo presupuesto inicial alcanza la cifra de $150. En el sitio Mapcity de Internet.006 9. ¿Cuántos días demorarán? Respuesta: 166.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Respuesta: 17 36 18 7 36 días ¿Qué parte del trabajo 4.000 ¿En que porcentaje aumento el presupuesto? Respuesta: 36.000 m. Prohibida su reproducción. Un hombre puede hacer un trabajo en 1 puede hacer en 3 días? 192 Respuesta: 655 5 5. El volumen V de madera útil que produce un tronco de cierta especie de árbol es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su diámetro d.000. determinar el número de días que faltan para terminar la obra. requiere 18 día por piso. Si un tronco de 10 metros de altura y 20 centímetros de diámetro produce 24 decímetros cúbicos de madera.67 días 8. ¿Cuántos galones serán necesarios para pintar 60 paneles de 2 metros x 3 metros Respuesta: 12 galones cada uno? 2 7. Si la tabla muestra el estado de avance en porcentaje de cada piso. entre 2 puntos ¿Cual es la distancia real en kilómetros? Respuesta: 3. con estas unidades. Si en pantalla se puede observar una distancia de 3. Las pruebas de calidad de una nueva pintura han permitido evaluar su poder cubridor de 30 m por galón. 35 .000. Respuesta: k = 0. si se quiere levantar una torre de 10 pisos con los mismos trabajadores.67% de aumento 10.5 kilómetros 6. Ecuaciones de primer grado La igualdad de dos expresiones algebraicas.Ecuación de primer grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS . orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral Ecuaciones Una de las herramientas mas importantes que nos ofrece el álgebra es poder expresar en forma simbólica diversos problemas cotidianos y del ámbito profesional o laboral. Estas expresiones a su vez nos permiten conocer las restricciones o cualidades que los elementos involucrados en dicha expresión deben tener para que ella se válida. se denomina ecuación algebraica. Estas ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al máximo exponente que tenga la variable. Derechos reservados AIEP. Para conocer estos aspectos estas expresiones algebraicas se transforman en ECUACIONES. Prohibida su reproducción. Por ejemplo: Resolver la ecuación: 3x + 2 = x − 4 3x X- Restando 2 en ambos miembros de la igualdad: 3x X- 3x = x − 6 2x 6 Restando x en ambos miembros de la igualdad: 2x = 6 Dividiendo por 2 ambos miembros de la igualdad: X=3 x 3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. la cual debe permanecer en perfecto equilibrio durante el desarrollo de la ecuación.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 14 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12 Desarrollan evaluación sumativa CLASE 15 CONTENIDOS . a las cuales debemos dar solución. así se tiene por ejemplo: 5 x + 2 = 3x + 1 Ecuación de primer grado: Ecuación de segundo grado: 3x 2 − 7 = 4 x + 1 Una ecuación se puede representar por una balanza. que se cumple para uno o más valores de la o las variables que intervienen en estas expresiones.Resuelven ecuaciones de primer grado. 36 . encontrando así la respuesta al problema que deseamos resolver. si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser verdadero.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 El ejemplo anterior nos muestra el proceso básico de una resolución de una ecuación de primer grado. todos sabemos que 2 = 1 + 1. siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Derechos reservados AIEP. 37 . 3º Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: 1. por lo tanto: 15 ⋅ 1 2x 3x − 15 ⋅ + 15 ⋅ = 0 5 3 5 9 x − 10 x + 3 = 0 − x + 3= 0 − x=−3 x =3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. En general se puede decir que esta igualdad no se altera si en cada uno de sus miembros se efectúan la misma operación. Algunas reglas que nos servirán para la resolución de ecuaciones: 1º A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla. 3 x + − 5 x − ( x + 3) = 8 x + (− 5 x − 9) ) [ ] 3 x + [− 5 x − x − 3]= 8 x − 5 x − 9 3x − 6 x − 3 = 3x − 9 − 3x − 3 = − 9 + 3 − 6x = − 6 x =1 2. Por ejemplo. 2º Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad inalterable. Prohibida su reproducción. 3x 2 x 1 − + =0 5 3 5 El mínimo común denominador es 15. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Dos ángulos suman 180° y el doble del menor excede en 45° al mayor. 75° y 105°. Febrero: $187.000 x = 12. Marzo: $ 375. Derechos reservados AIEP.000 pares de zapatillas a $15.000 5. orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral Resolver los siguientes problemas. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? Respuesta: Primer piso: 32 habitaciones. Segundo Piso: 16 habitaciones 2. 4. si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%? Respuesta: Vendió los restantes 600 pares de zapatillas a $20. Respuesta: Enero: $250. 38 . 1.000.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Resolver el siguiente problema: Se ha reparado una tercera parte de la carretera Santiago – Valparaíso. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. Si el 4 total recaudado en este periodo del año es de 812. B = 100 dólares y C = 150 dólares 3.Resuelven ecuaciones de primer grado. Repartir 300 dólares entre tres personas A. Vendió 400 pares de ellas obteniendo una ganancia del 25% ¿A qué precio deberá vender los restantes 600 pares de zapatillas.000 cada una. C. Respuesta: A= 50 dólares.000 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. en forma grupal o individual. x− CLASE 16 CONTENIDOS .500.500 pesos. B.000 mts. Si falta por reparar las 3/5 partes más 800 metros. Hallar los ángulos Respuesta: Los ángulos miden respectivamente. de modo que la parte que le corresponde a B sea el doble de la de A y la de C el triple de A. Un comerciante de artículos deportivos compró 1. Los ingresos de un trabajador durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de febrero es 3 de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. ¿Cual es la longitud total a reparar? Solución: 1 3 x= x + 800 3 5 15 x − 5 x = 9 x + 12.Ecuación de primer grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS . Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 6. Un grupo de trabajadores han instalado la tercera parte de un cierro perimetral de una carretera.250 metros CLASE 17 CONTENIDOS . c ∈ IR Las ecuaciones de segundo grado las podemos resumir en el siguiente cuadro: ax 2 + bx + c = 0 Ecuación Completa General x 2 + bx + c = 0 Ecuación Completa Particular ax 2 + bx = 0 ax 2 + c = 0 Ecuación Incompleta Binomial Ecuación Incompleta Pura Fórmula General de una ecuación de segundo grado: − b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c x= 2⋅a Resolver la ecuación cuadrática: 2 x − 5 x − 3 = 0 2 En nuestro ejemplo tenemos que: a = 2 Por lo tanto: x= b=−5 c= −3 5 ± ( −5 ) 2 − 4 ⋅ ( 2 ) ⋅ ( −3 ) 2( 2 ) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Si falta por instalar las 3/5 partes más 550 m. orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral Ecuaciones de segundo grado: Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.250 Respuesta: 8. Prohibida su reproducción.Resuelven ecuaciones de segundo grado. ax 2 + bx + c = 0 a ≠ 0 b. son aquellas cuya forma general es.Ecuaciones de segundo grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS . 39 . ¿Cuál es la longitud total del cierro a instalar? 1 3 x − x = x + 550 3 5 15 x − 5 x = 9 x + 8. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 metros. Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 x= x= 5 ± 25 + 24 4 5 ± 49 4 5±7 por lo tanto las raíces o soluciones son: x= 4 x1 = 5 + 7 12 = =3 4 4 x2 = 5−7 2 1 =− =− 4 4 2 Resuelva la ecuación de segundo grado: 3 x − 5 x + 2 = 0 2 Solución: 1 y 2 3 Resolver el siguiente problema. el área será el doble. Si cada dimensión reaumenta en 4 metros. Determine las dimensiones de la sala Solución: x : Largo de la sala x − 4 : Ancho de la sala x + 4 : Largo de la sala aumentado en 4 metros x − 4 + 4 = x : Ancho de la sala aumentado en 4 metros Área = largo x ancho x ( x − 4) ⋅ x = x 2 − 4 x Área original de la sala ( x + 4) ⋅ x = x 2 + 4 x Área de la sala una vez aumentadas sus dimensiones en 4 metros cada una Por lo tanto: x 2 + 4 x = 2( x 2 − 4 x) x 2 − 12 x = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado. Derechos reservados AIEP. 40 . obtenemos: x = 12 Por lo tanto el largo de la sala es de 12 metros y el ancho 8 metros Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 000 unidades monetarias. cada saco le habría costado 5 unidades monetarias menos. Un comerciante. Determine el valor de x Respuesta: 70. compró cierto número de sacos de cemento por 1. Determine el valor del lado desconocido Respuesta: 5. Área del cuadrado: 49 m 2 4.Resuelven ecuaciones de segundo grado. Prohibida su reproducción. orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral Resolver los siguientes problemas. en forma grupal o individual.Ecuaciones de segundo grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS .4 metros Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 18 CONTENIDOS . 1. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? Respuesta: 40 sacos y 25 unidades monetarias 2. Derechos reservados AIEP.9 metros. 41 . Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero. Determinar el valor de c (diagonal) y el área del cuadrado Respuesta: Diagonal: 9.7 metros 3. Calcule la longitud de la escalera.23 metros 6. orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral En muchos casos existen problemas que es necesario conocer el valor de más de una variable o incógnita. Resolviendo esta ecuación y conociendo el valor de la incógnita es posible determinar el valor de las restantes. ¿Cuál es la distancia que separa los dos puntos de unión de los cables con el suelo? Respuesta: 45 centímetros CLASE 19 CONTENIDOS Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución Graficación Resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 5. sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1. 42 . Respuesta: 7. para lo cual en general. las cuales forman en conjunto lo que se denomina SISTEMA DE ECUACIONES. Derechos reservados AIEP.8 metros y alcanza una altura de 7 metros. La forma o método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en reducir las ecuaciones de forma tal que se obtenga una nueva ecuación que deberá contener solo una de las variables. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Una antena está sujeta al suelo por dos cables que forman un ángulo recto de longitudes 27 y 36 cm. debemos disponer de tantas ecuaciones como variables se deseen conoce. 3 ⋅ 5 + 2 y = 19 ⇒ 2 y = 19 − 15 ⇒ 2 y = 4 ⇒ y = 2 Resolver. 8x − 5 = 7 y − 9 6x = 3y + 6 8x − 7 y = − 4 6x − 3y = 6 Amplificando la primera ecuación por – 3 y la segunda por 4 obtenemos: − 24 x + 21y = 12 24 x − 12 y = 24 Sumando ambas ecuaciones. 43 . lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de y. tenemos: 9 y = 36 y=4 Conocido el valor de y. Prohibida su reproducción. tenemos: 17 x = 85 ⇒ x = 5 Conocido el valor de x.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: 3 x + 2 y = 19 4x − 3y = 14 Amplificando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 obtenemos: 9 x + 6 y = 57 8 x − 6 y = 28 Sumando ambas ecuaciones. lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de x =3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Derechos reservados AIEP. Encuentre las coordenadas del puntote peligro Respuesta: a. si por error de despacho se cuenta con el triple del verde musgo y el doble del amarillo colonial. Derechos reservados AIEP. Si existe posibilidad de coalición b. Si el largo de un rectángulo fuese 9 cm.. 1. ¿Cuantos árboles y cuantos arbustos plantó si cada árbol cuesta 100 unidades monetarias y cada arbusto cuesta 50 unidades monetarias? Respuesta: 5 árboles y 20 arbustos 4.: base = 10 cm. la altura y se disminuye 2 cm. ¿Hay posibilidad de una colisión? b.: 324 cm2 3. su área no aumenta ni disminuye. Uno de ellos sigue un curso descrito por curso descrito por 2 x − 3 y = 9 a. X = 80 galones de verde musgo Y = 80 galones de amarillo colonial CLASE 20 CONTENIDOS Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución Graficación Resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. − 0. Prohibida su reproducción.75. Un arquitecto planta algunos árboles y arbustos en la margen de un río.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Resolver el siguiente problema: Se sabe que el total de la pintura de fachadas que se requiere para una construcción es de 160 galones. 44 2 x + 3 y = 6 . la figura sería un cuadrado con la misma área que el rectángulo. más largo. Respuesta. y el otro sigue un . Instala 25 plantas por un costo total de 1. Dos barcos navegan en el mismo sistema de coordenadas. altura = 12 cm. por un total de 400 galones. en forma grupal o individual. obtenemos. (3. ¿Cuál sería el área del cuadrado? Respuesta. ¿Cuántos galones se requiere de cada color? x + y = 160 3 x + 2 y = 400 ecuación1 ecuación 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones. Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que si se aumenta 3 cm. 2. siendo además la altura 2 cm.500 unidades monetarias. más corto y el ancho fuese 6 cm. orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral Resolver los siguientes problemas.5) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. la base. mayor que la base. transformándose la ecuación exponencial en una ecuación de primer o segundo grado. las cuales se ofrecerán a 2. según corresponda.000 pesos las de la once.000 pesos las del almuerzo y a 1. Si en total se recaudan 200. recordemos que: Potencia Una potencia es un producto de factores iguales. se igualan los exponentes. Prohibida su reproducción. El número de veces que se repite el factor. no podemos igualar los exponentes recurriremos a los logaritmos. la base será 2 y el exponente 6. Respuesta: ochenta entradas para el almuerzo y cuarenta entradas para la once. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta).Resuelven ecuaciones exponenciales . Está formada por la base y el exponente. Cuando en las ecuaciones exponenciales. 45 .Ecuaciones logarítmicas Resolución APRENDIZAJES ESPERADOS . Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once.000 pesos. Las condiciones que se necesitan parar resolver Ecuaciones Exponenciales. lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).Ecuaciones exponenciales Resolución . Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones. Derechos reservados AIEP. En una granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. 6. se llama exponente.Resuelven ecuaciones logarítmicas Aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Exponente 34= 3*3*3*3 Base es 3 tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta Se lee: El factor que se repite se llama base. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Respuesta: 100 botellas de 2 litros y 20 botellas de 5 litros CLASE 21 CONTENIDOS . o sea la base. una vez igualadas las bases. se consideran una Ecuación Exponencial: ax =by ⇔ a = b y x = y Para resolver este tipo de ecuaciones.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 5. hacen referencia al concepto de potenciación y Radicación. Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base. Potencia de un producto Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3. Ejemplo: 2 ⋅ 2 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma. 46 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplos: 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5. Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Una potencia puede representarse en forma general como: an = a · a · a · .. los exponentes se suman) y da como resultado = 2 3+5 = 256 3 5 Si m y n son números naturales.. esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces. Propiedades de Potencias a. 32=3·3= 9 5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 El exponente es 2. se conserva la base y se restan los exponentes.. Ejemplo: 2 ÷ 2 = = (2x2x2x2x2) ÷ (2x2) =2 5-2 = 2 3= 8 5 2 Si m y n son enteros. el 2. El exponente es 4. esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces. Derechos reservados AIEP. Donde: a = base n = exponente “n” factores iguales Recuerde que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número. se conserva la base y se suman los exponentes. se debe multiplicar por sí misma cinco veces.. entonces: xm = x m−n n x c... Prohibida su reproducción. entonces: x m ⋅ x n = x m+ n b.. esto significa que la base. División de potencias de igual base Para dividir potencias que poseen la misma base diferente de cero. Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Si m y n son números naturales: ( x ⋅ y )n = xn ⋅ yn d. Ejemplo: (2 2) 3 = 64. o también podemos multiplicar los exponentes: es decir.escolares. entonces: ⎛ x ⎞ xn ⎜ ⎟ = y n ( y ≠ 0) ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ e. Prohibida su reproducción. se conserva la misma base y luego se multiplican los exponentes.net/trabajos_interior.4 = a-2 = 1 / a2 o bien (a x a) / (a x a) (a x a) = 1 / (a x a) = 1 / a2 1 xn Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Porque: (6:2) 2 = 3 2 = 9 Si m y n son números naturales. que sería: 2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego. (2 2x3) = 2 6= 64 Si m y n son números naturales. Ejemplo: (6:2) 2 = 6 2: 2 2 = 9. 47 . Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia. luego elevar la base a dicho resultado. porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. elevado al exponente cero es igual a 1.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 (2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien. multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216. entonces: n (x ) m n = x m⋅ n http://www. elevar al cubo cada uno de los factores. todo número real distinto de cero. Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. x 0 = 1 ( x ≠ 0) Exponente negativo: Si n es un número entero negativo y x es distinto de cero x −n = Por ejemplo a2 / a4 = a2 .php?Id=120 Potencia de un exponente cero y negativo Exponente cero: Por definición matemática. 2 x 3 y. Derechos reservados AIEP. Para las raíces cuadradas(n =2). n es par y existe una raíz principal que es 5 ii). i) 25 En este caso b >0.u-cursos. es igual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente positivo https://www. ya que (−2) 2 y 2 2 = 4 − 4 es una raíz cúbica de − 64 . 48 . ya que 2 6 = 64 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. toda fracción. llamada radical. Determine el número de raíces de cada número real. entonces se dice que a es la raíz enésima de b. Ejemplos de raíces: − 2 y 2 son raíces cuadradas de 4.cl/ieb/2008/1/0352/227101/material_docente/objeto/8401 - Radicales (Raíces) Raíz enésima de un número de un número real: Si n es un número natural y a y b sinnúmeros reales tales que a n = b . cuyo denominador es un número real distinto de cero y está elevado a una potencia con signo negativo. n es impar y existe una raíz que es – 3 2. 6 64 = 2. ya que (−4) 3 = − 64 Número de raíces de un número real b Índice n par n par n par n impar n impar n impar La notación El símbolo n b b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 Número de raíces Dos raíces reales (una raíz principal Sin raíces reales Una raíz real Una raíz real Una raíz real Una raíz real b . El entero positivo n es el índice del radical. se escribe b en vez de 2 b Ejemplo 1: a.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Todo número real distinto de cero y elevado a un exponente negativo. Derechos reservados AIEP. denota la raíz enésima principal de b es el signo radical. y el número b dentro del signo radical es el radicando. Para n = 2 y n =3. es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a su exponente con signo positivo A la inversa. las raíces se conocen como raíces cuadradas y raíces cúbicas respectivamente. 3 − 27 en este caso b < 0. Prohibida su reproducción. Evaluar: a. entonces 1. − 4 2 = − 25 5 Exponentes racionales y radicales 1. n. Prohibida su reproducción. b Ejemplo: no está definido 9 1 2 = 9 =3 1 3 (−8) 2. Si =3 −8 =− 2 es un número racional reducido a su mínima expresión (con m. entonces: b 1 n =n b 1 n Si b < 0 y n es par. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 b. naturales). 49 . entonces: m n b m n = (b n ) m o en forma equivalente b 1 m n = n b m siempre que exista Ejemplo: (27) 2 3 = (27 3 ) 2 = 3 2 = 9 1 Expresiones que comprenden exponentes racionales negativos: −m a n = a 1 m n a≠0 Ejemplo: −5 4 2 = 1 4 5 2 = 1 ( 4) 5 = 1 1 = 2 5 32 Propiedades de los radicales Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los que existen las raíces indicadas. (n a ) n = a Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Si n es un número natural y b es un número real. La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: ( 7) 5 5 =7 2. 12 b. Por ejemplo 3 2 y 5 2 son radicales semejantes. utilizando las propiedades de los radicales. m n a = m⋅ n a Ejemplo: 3 64 = 3⋅2 64 = 6 64 = 2 Suma y resta de expresiones con radicales Las expresiones con radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales iguales o semejantes. a. pero radicandos diferentes. tenemos: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. porque los índices son diferentes. 5 + 3 5 = 15 5 27 − 12 En nuestro ejemplo. n a = b a b Ejemplo: 3 25 = 8 3 3 25 8 = 5 2 4. cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados. Prohibida su reproducción. entonces. no obstante 2 5 y − 4 7 no son radicales semejantes. 50 . tenemos radicales con el mismo índice. Derechos reservados AIEP. n a ⋅b =n a ⋅n b Ejemplo: 3 216 = 3 27 ⋅ 8 = n n 3 27 ⋅ 3 8 = 3 ⋅ 2 = 6 3. porque los radicandos son diferentes 2 5 y 33 6 no son radicales semejantes. Ejemplos. al cuociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor. p a Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. respectivamente.Caso monomio con raíz cuadrada ..Racionalización de fracciones de la forma Se amplifica por el radical del denominador. Prohibida su reproducción. 51 . en que se presenta la racionalización son tres: .Caso binomio con suma o con resta Caso 1.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 27 − 12 = 9⋅3 − 4⋅3 3 3 −2 3= 3 Las raíces no son distributivas respecto de la suma y resta: a±b Ejemplo: = / a± b 64 + 36 = / 64 + 36 . Los casos más comunes.Caso monomio con raíz de cualquier índice. es igual a otro radical. Lo correcto es 64 + 36 = 100 = 10 Producto y Cuociente de Radicales El producto de dos radicales. Derechos reservados AIEP. respectivamente. bn a b n a = dn c d n Ejemplo. bn a ⋅ d n c = b ⋅ d n a ⋅ c Ejemplo: 2 5 ⋅3 15 15 75 75 6 = 6 5⋅ =6 = 6⋅ = 75 = 3 75 4 4 4 2 4 El cuociente de dos radicales con el mismo índice. 2 5: 3 7 = RACIONALIZACIÓN 2 5 3 7 Operación que consiste. . con el mismo índice es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales. a los productos de los coeficientes y radicando de los factores. en eliminar el término radical del denominador de una fracción. cuyo coeficiente y radicando son iguales. igualamos los exponentes: 2 x + 1= 8x − 2 2 x − 8x = − 2 − 1 − 6x = − 3 1 x= 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Ejemplo: 6 = 6 16 6 6 2 4 ⋅ 6 6 22 2 2 = 6 6 3 2 6 = 33 2 2 - Caso 3..Racionalización de fracciones de la forma p a± b Se amplifica por el conjugado del término del denominador. Ejemplo: 5+ 3 5− 3 = 5+ 3 5− 3 ⋅ 5+ 3 5+ 3 = 5 + 2 15 + 3 8 + 2 15 2( 4 + 15 ) = = = 4 + 15 5−3 2 2 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.. 2 x +1 1. 52 . 5 = 25 4 x −1 Igualando las bases. y se completa el exponente de la potencia dada.Racionalización de fracciones de la forma ak Se amplifica por una raíz de igual índice. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. tenemos. 5 2 x +1 = (5 2 ) 4 x −1 5 2 x +1 = 58 x − 2 Igualadas las bases.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: 4 6 = 4 6 ⋅ 6 6 = ( 6) p n 4 6 2 = 2 6 3 Caso 2. 53 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 ⎛1⎞ 2. resolveremos ecuaciones exponenciales. por lo tanto recurriremos a los logaritmos. Prohibida su reproducción. ⎜ ⎟ ⎝4⎠ x −1 ⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝8⎠ 3− 2 x = 1 32 3−2 x ⎛⎛ 1 ⎞2 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ x −1 ⎛ ⎛ 1 ⎞3 ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ 9 −6 x ⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ 5 5 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 x −2 ⎛ 1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ −4 x +7 ⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ 5 −4 x + 7 = 5 −4 x = − 2 x= 1 2 Resuelva la siguiente ecuación exponencial: (c ) 3 x +1 4 x −3 ÷ c 2− x = c 6 x −1 ( ) ⋅ (c ) x 2 x 3 x −1 Respuesta: x = − 5 En los siguientes problemas. Repaso: Se denomina logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base” Ejemplos: 1. vistos en clases anteriores para resolver problemas de este tipo. en las cuales no es posible igualar las bases. x es un número real positivo el cual se llama argumento del operador log o también antilogaritmo Se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”. es importante conocer logaritmos. Escriba en forma logarítmica: 2 = 8 3 Solución: 2 = 8 ⇔ log 2 8 = 3 3 2. Escriba en forma exponencial log 5 25 = 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Derechos reservados AIEP. log a x = b ⇔ a b = x Condiciones: a positivo y distinto de 1. . Además. permite cambiar de base “b” a base “a”: log b = Ejemplo: log a N log a b Dado log 2 5 . Magnitud de terremotos. log a a x = x 4..3219. log a n u = log a u n Nota: log a (u + v) ≠ log a u + log a v log a u ≠ log a u − log a v log a v Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.. la práctica común es escribir log en vez de log10 y ln en lugar de log e Cambio de base: la siguiente expresión. por ejemplo. cambiarlo a la base 10 y a la base e. intensidad del sonido. la tecnología. es posible realizar cálculos relacionados con cálculo de pH. presión sanguínea. cuya base es el número 10. la arquitectura y fenómenos socioeconómicos.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Solución: log 5 25 = 2 ⇔ 5 = 25 2 Los logaritmos tienen diversas aplicaciones en las áreas de la economía.. 1. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. log a a =1 3. log 2 ln 2 Propiedades de los logaritmos. log a (u ) n = n ⋅ log a u 1 7. 54 . log a 1 = 0 2. Los dos sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de los logaritmos comunes... log a (u ⋅ v) = log a u + log a v ⎛u⎞ 5.. cuya base es el número irracional e = 2... compruebe con la ayuda de su calculadora científica que el valor obtenido en ambos casos es idéntico Solución: log 2 5 = log 5 ln 5 = = 2.. y el sistema de logaritmos naturales. log a ⎜ ⎟ = log a u − log a v ⎝v⎠ 6. presión barométrica etc.711828. 1. 4x =7 log 4 x = log 7 x log 4 = log 7 log 7 x= Use calculadora log 4 x = 1.03t aplicando logaritmo log 45. log(2 ⋅ 3) = log 2 + log 3 2. ln 5 = ln 5 − ln 3 3 1 2 3.03t 1. 73 = 1. podemos tomar el logaritmo común (o logaritmo natural) de cada lado de la ecuación. La regla de potencia de logaritmos entonces proporciona una forma de cambiar la variable x de su posición como exponente a una posición como coeficiente.8928 3.03 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. 6 x −3 = 2 x aplicando logaritmo log 6 x −3 = log 2 x ( x − 3) log 6 = x log 2 x log 6 − 3 log 6 = x log 2 x log 6 − x log 2 = 3 log 6 x(log 6 − log 2) = 3 log 6 3 log 6 x= log 6 − log 2 x = 4.625 = 1. 55 .54037 2. Derechos reservados AIEP. 4 = 7 x = 1 log 7 2 Solución: Como los logaritmos de números iguales son iguales.6(1.6 45.03) t 73 = 1. log 7 = log 7 Resuelva: 1.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades de los logaritmos.625 = t log1. Prohibida su reproducción. 56 . porque no satisface la ecuación (un número negativo no tiene logaritmo) log(5 x − 6) =2 log x 3. Resolver: 1. log x + log( x − 3) =1 log x( x − 3) = log 10 x( x − 3) =10 x 2 − 3x = 10 x 2 − 3x − 10 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 log 45.2493 Resolución de Ecuaciones Logarítmicas En cada uno de los siguientes ejemplos. Derechos reservados AIEP. utilizamos las propiedades de los logaritmos para cambiar una ecuación logarítmica a una ecuación algebraica. x1 = 3 x 2 = 2 Compruebe los resultados Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. entonces r = s 3x + 2 = 2 x − 3 x=−5 2. Prohibida su reproducción.625 =t log 1. log(3x + 2) − log(2 x − 3) = 0 log(3x + 2) = log(2 x − 3) Si log a r = log a s. x1 = − 2 x2 = 5 x1 = − 2 no es solución.03 t =129. log(5 x − 6) = 2 log x log(5 x − 6) ) = log x 2 (5 x − 6) = x 2 0 = x 2 − 5 x + 6 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. La altura de un cierto tipo de árbol (en pies) está dada aproximadamente por. a partir del año 2000.000 de habitantes el año 2005 y está creciendo a una tasa del 1% anual.Resolución de problemas APRENDIZAJES ESPERADOS .02t. orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano . A partir de este modelo determine la concentración de CO2 para el año 2010 Respuesta: 213. alcanzando este último año $3.86T. 57 . Según el modelo. incluyendo una sistematización del método ensayo y error. en ppm (partes por millón) y t = años a partir de 2000. Según cierta información científica confiable. Derechos reservados AIEP. la concentración de CO2 ambiental. donde U f es la utilidad final.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 CLASE 22 CONTENIDOS -Alternativas y estrategias de resolución de problemas atinentes a la especialidad.32 horas 4. en días. Las utilidades de una empresa aumentan de acuerdo con la siguiente relación: Uf = U i (1 + i ) t . Estime la edad de un árbol de 80 pies de altura 1 + 240 ⋅ e −0. determine el tiempo para el cual habrá 5 mil bacterias en el cultivo.Resuelven problemas relacionados con la especialidad. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por C = 1. en cierta ciudad ha ido variando según la relación: C = 175 · 1. Determine la variación en la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación Respuesta: Bajó en aproximadamente un 26% 3.321 partes por millón 2. 2t 6. h= Respuesta: 27. Si las utilidades de esta empresa han aumentado a un promedio de un 5% entre el año 2000 y el 2008. Bajo ciertas condiciones. estime la utilidad para el año 2010.5 · 0.4 años 160 . en horas. donde la concentración C está medida en miligramos del producto por cada 1 kilogramo de fruta. suponiendo que esta tasa de crecimiento continúa. donde: C es la concentración de CO2. una población de bacterias crece en función del tiempo según la ecuación: N = 500 · 2t. donde t es la edad del árbol en años. y analizando la pertinencia de los datos y soluciones Resolver los siguientes problemas. seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo. suponiendo que este crecimiento exponencial continúa. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. y el tiempo T. La población de un cierto país era de 8.86 millones de pesos 5. U i es la utilidad inicial. orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano -Resuelven ecuaciones logarítmicas . 1. Respuesta: 3.5 millones. siendo N el número de bacterias del cultivo y t el tiempo. .Exploran sistemáticamente.000.Resuelven ecuaciones exponenciales. Respuesta: 3. Prohibida su reproducción. i tasa de crecimiento y t es el tiempo. . diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad. 000 de habitantes.43 años 7. 02 t ⎛7⎞ P = 50. Pi la población inicial y t es el tiempo Respuesta: 22. su población fue de 500. En el año 2000. 58 . Debido a una depresión.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: Calcule la población para el año 2. de acuerdo a la siguiente relación Pf = Pi ⋅ 1.000 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ en donde t es el tiempo en años.000.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Cuándo alcanzará este país los 10. Derechos reservados AIEP.927 habitantes −0 . Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP.009 Respuesta: 42. cierta región económica tiene una población que decrece.01t . siendo Pf la población final. Prohibida su reproducción.