POSTGRADO FIC – UNIMAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA “AÑO DEL BUEN SERVICIO DEL CIUDADANO” TRABAJO DEL CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA: “EJEMPLO APLICATIVO DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI Y DESARROLLO DEL MISMO EN EL SOFTWARE PLAXIS” INTEGRANTES DEL GRUPO: Mori Sánchez Nilsson Ordoñez Flores Marco Antonio Rafael Villegas Bryam Ramirez Meléndez Diego Alonso Sejje Luque Elvis Javier DOCENTE DEL CURSO: M.Sc. Ing. Lucas Ludeña Gutiérrez LIMA – PERÚ 2017 MATEMÁTICA APLICADA 1 POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA INTRODUCCIÓN El presente trabajo tiene como objetivo demostrar la aplicación de herramientas computacionales en el análisis del comportamiento de un suelo bajo la aplicación de una carga y realizar una comparación entre los resultados obtenidos por la vía numérica y los resultados obtenidos a través de la implementación de un modelo con el programa comercial de elementos finitos Plaxis. Todo ello dentro del tema de la Teoría de Consolidación de Terzaghi y la aplicación de su famosa Ecuación de Consolidación Unidimensional. Teóricamente la expresión que describe la consolidación, es la ecuación de difusión, que representa la variación de la presión en función de la altura. La expresión de difusión describe un comportamiento numéricamente interesante, para el análisis se usan métodos de diferencias finitas explícitos. El proceso de consolidación está definido como el fenómeno de disminución de volumen de una masa de suelo provocado por el aumento de las cargas aplicadas sobre el suelo en un lapso de tiempo. Frecuentemente ocurre que durante el proceso de consolidación la posición relativa de las partículas sólidas sobre un mismo plano horizontal permanece esencialmente igual; así, el movimiento de las partículas del suelo puede ocurrir sólo en dirección vertical; esta es la consolidación unidireccional o unidimensional. Agradecemos a nuestro estimado docente del curso, el Mg. Ing. Lucas Ludeña, por incentivar en nosotros el gusto por la investigación y el deseo de aprender constantemente nuevos conocimientos; lo cual nos hace acreedores de una buena formación académica como futuros maestros en la especialidad ingenieril de Geotecnia. El Grupo. MATEMÁTICA APLICADA 2 POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA BREVE MARCO TEÓRICO Como sabemos, todos los materiales experimentan deformación cuando se les aplica un cambio en sus condiciones de esfuerzo. El comportamiento tenso- deformacional de materiales como el acero y el concreto, se ha estudiado con suficiente profundidad en muchas aplicaciones prácticas de ingeniería, así como, en el laboratorio; sin embargo, en los Suelos existen muchas variables y factores que hacen complejo su estudio, por tal motivo, es común encontrar una buena cantidad de modelos matemáticos que describen diferentes comportamientos de los suelos ante diferentes tipos de carga estática y dinámica. Es sumamente importante mencionar que la Teoría de la consolidación de Terzaghi, enuncia que cuando se aplica una carga a un estrato de suelo saturado, la carga es soportada inicialmente por el agua de los poros (mucho menos compresible que las partículas de suelo). Esto, genera un aumento de la presión del agua en los poros (antes de la carga esta presión es hidrostática). Este aumento de presión, se denomina exceso de presión de poros. Cuando el agua drena, la carga se transfiere gradualmente a las partículas de suelo. La tasa de cambio de volumen y la difusión de la presión están relacionadas con la permeabilidad. En este proceso es necesario formular cuatro condiciones, debido a que los fenómenos de flujo y de compresión se presentan acoplados. Ellas son: Ley de Darcy, Condición de continuidad, Ley de compresión, Condición de equilibrio. Este proceso está acompañado de un cambio de volumen, que es equivalente al volumen de agua drenada. La presión en los poros del suelo después de aplicar la carga, se describe por la ecuación de difusión: 𝜕𝑢𝑒 𝜕 2 𝑢𝑒 = 𝐶𝑣 ∗ 𝜕2 𝑧 2 𝜕𝑡 MATEMÁTICA APLICADA 3 Como resultado de la aproximación. 𝑍𝑟 son referencias arbitrarias de exceso de presión de poros. en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados. respectivamente. 2. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas. El valor de los puntos seleccionados se convierte en las incógnitas. tiempo.1 𝜕𝑡 𝜕2 𝑧 2 Donde 𝑈𝑟 . Nosotros consideraremos la solución de diferencia de elementos finitos en consolidación de una dimensión empezando por las ecuaciones diferenciales básicas de la ecuación de la teoría de la consolidación de Terzaghi. la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas. De eso nosotros podemos definir siguiendo términos adimensional: Exceso de presión de poros adimensional: 𝑢 𝑢̅ = Ec. y distancia. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA DESARROLLO DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI POR EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.2 𝑢𝑅 MATEMÁTICA APLICADA 4 . 2. 𝑇𝑟 . 𝜕𝑢𝑒 𝜕 2 𝑢𝑒 = 𝐶𝑣 ∗ Ec. 3 a la izquierda Ec. 2. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Tiempo adimensional: 𝑡 𝑡̅ = Ec.6 se tiene: ̅ 𝑢𝑅 𝜕𝑢 𝑢𝑅 𝜕 2 𝑢 ̅ ∙ = 𝐶𝑣 ∙ Ec. 2. 2.2. 2. y Ec.10 𝜕𝑡 ∆𝑡 MATEMÁTICA APLICADA 5 . 2.3 se tiene: 𝜕2𝑢 𝑢𝑅 𝜕2 𝑢 ̅ 𝐶𝑣 = 𝐶𝑣 ∙ Ec.9 𝜕𝑡̅ 𝜕𝑧̅ 2 El lado de la mano izquierda se la ecuación 2. 2. 2.8 𝑣 tendrá la forma de: ̅ 𝜕𝑢 𝜕2 𝑢̅ = Ec. 2. luego la ecuación 2.𝑡̅+∆𝑡̅ − 𝑢̅0. y Ec. 2.2.3 𝑡𝑅 Profundidad adimensional: 𝑧 𝑧̅ = Ec.𝑡̅ ) Ec.1 anteriores se tiene: 𝜕𝑢 ̅ 𝑢𝑅 𝜕𝑢 = ∙ Ec.8 𝑡𝑅 𝜕𝑡̅ 𝑧2 𝑅 𝜕𝑧̅ 2 2 Si nosotros adoptamos tiempos de referencia 𝑇𝑟 = 𝑍𝑟 ⁄𝐶 .9. Ec. podemos escribirlo como: ̅ 𝜕𝑢 1 = (𝑢̅0. 2.5 𝜕𝑡 𝑡𝑅 𝜕𝑡 Similarmente de las ecuaciones Ec.7 𝑡𝑅 𝜕𝑡̅ 𝑧 2 𝑅 𝜕𝑧̅ 2 O: ̅ 1 𝜕𝑢 𝐶𝑣 𝜕2 𝑢 ̅ ∙ = ∙ Ec. 2. 2. 2.5 y 2.6 𝜕𝑧 2 𝑧 2 𝑅 𝜕𝑧̅ 2 De las ecuaciones 2.4 𝑧𝑅 De las ecuaciones. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Donde 𝑢̅0.𝑡̅ ) = (𝑢̅ ̅ + 𝑢̅3.𝑡 Esquema de consolidación MATEMÁTICA APLICADA 6 . en un tiempo no dimensional t.𝑡̅+∆𝑡̅ .𝑡̅ ) ∆𝑡 (∆𝑧̅)2 1.10 y 2. se tiene: 1 1 (𝑢̅0.𝑡̅ − 2𝑢̅0. 2.𝑡̅ ) Ec. Figura 1.𝑡̅ − 2𝑢̅0.𝑡̅ + 𝑢̅3. y t+∆𝑡. Similarmente a la ecuación anterior se tiene: 𝜕2 𝑢̅ 1 2 = (∆𝑧̅ )2 (𝑢̅1.11.𝑡̅ .𝑡̅+∆𝑡̅ − 𝑢̅0. en el punto 0.11 𝜕𝑧̅ Igualando las ecuaciones. 2. y 𝑢̅0. son presión de poros adimensionales. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA O: Ec. 2.12 se puede usar.12 De la ecuación 2.5.12. es menos que 0. nosotros necesitamos tomar 3 puntos como la imagen espectacular del punto 1. así que Ec. converge. llega hacer: Ec.12. 2. Sin embargo. 2. a ∆𝑡̅ y ∆𝑧̅ debería de cambiar cada ∆𝑡̅/(∆𝑧̅)2 .13 MATEMÁTICA APLICADA 7 . Figura 1. Cuando resolvemos la interface de la presión de poro de la capa de arcilla y una capa impermeable. la ecuación 2. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA ANÁLISIS MATEMÁTICO DESARROLLADO EN CLASE Y EJEMPLO APLICATIVO ECUACIÓN DE CONSOLIDACIÓN VERTICAL UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI: 𝜕𝑢𝑒 𝜕 2 𝑢𝑒 = 𝐶𝑣 ∗ 2 2 𝜕𝑡 𝜕 𝑧 Donde: 𝐶𝑣 = Coeficiente de Consolidación Vertical (Unidimensional) Despejamos cada variable de la ecuación de Terzaghi: SEGÚN SERIES DE TAYLOR: 1 1 𝑢(𝑥 + ℎ) = 𝑢(𝑥) + ℎ𝑢′ (𝑥) + ℎ2 𝑢′′ (𝑥) + ℎ3 𝑢′′′ (𝑥) + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 𝒉𝟓 ⋯ 2 6 1 1 𝑢(𝑥 − ℎ) = 𝑢(𝑥) − ℎ𝑢′ (𝑥) + ℎ2 𝑢′′ (𝑥) − ℎ3 𝑢′′′ (𝑥) + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 𝒉𝟓 ⋯ 2 6 Despejando: 𝑢′′ (𝑥 ) 1. − 𝑢(𝑥 + ℎ) + 𝑢(𝑥 − ℎ) = 2𝑢 (𝑥 ) + ℎ2 𝑢′′ (𝑥 ) + ℴ(ℎ4 ) ℎ2 𝑢′′ (𝑥 ) = 𝑢(𝑥 + ℎ) − 2𝑢(𝑥 ) + 𝑢(𝑥 − ℎ) − ℴ(ℎ4 ) 𝑢(𝑥 + ℎ) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − ℎ) ℴ(ℎ4 ) 𝑢′′ (𝑥 ) = − ℎ2 ℎ2 𝑢(𝑥 + ℎ) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − ℎ) 𝑢′′ (𝑥 ) = − ℴ(ℎ2 ) ℎ2 𝑢(𝑥 + ℎ) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − ℎ) 𝑢′′ (𝑥 ) = ℎ2 MATEMÁTICA APLICADA 8 . − 𝜇(𝑥 + ℎ) − 𝜇 (𝑥 − ℎ) = 2ℎ𝜇 ′(𝑥 ) + ℴ(ℎ3 ) 𝜇 (𝑥 + ℎ ) − 𝜇 (𝑥 − ℎ ) 𝜇 ′ (𝑥 ) = − ℴ (ℎ 2 ) 2ℎ 𝜇 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝜇 (𝑥 − ℎ ) 𝜇 ′ (𝑥 ) = 2ℎ Ahora lo que se debe hacer es reemplazar en la expresión original: 𝑡−1 𝑡+1 𝑡 2𝛿𝑡 = 2ℎ 𝛿𝑡 Esquema del estrato de suelo. MATEMÁTICA APLICADA 9 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Despejando: 𝑢′(𝑥 ) 2. Tiempo. Análisis Profundidad vs. 𝒋 + 𝝁𝒊−𝟏.𝒋 ] + 𝝁𝒊. 𝑢 = 0 𝑡 = 0. 𝑢 = 0 𝑧 = 2𝐻𝑑𝑟 . 𝒋 𝜹𝒛𝟐 Ecuación general de Poropresión mediante diferencias finitas Dicha ecuación. 𝑢 = 𝑢0 Y la solución de la ecuación es: 𝑚=∞ 2𝑢0 𝑀∙𝑧 𝑢= ∑( 𝑆𝐸𝑁 ) ∙ exp(−𝑀2 ∙ 𝑇𝑣 ) 𝑀 𝐻𝑑𝑟 𝑚=0 MATEMÁTICA APLICADA 10 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA El objetivo es conocer la presión de poros en un tiempo posterior: 𝑪𝒗 ∗ 𝜹𝒕 𝝁𝒊. 𝜕𝑢𝑒 𝜕 2 𝑢𝑒 = 𝐶𝑣 ∗ 2 2 𝜕𝑡 𝜕 𝑧 Y dicha ecuación se resuelve con las siguientes condiciones de frontera: 𝑧 = 0.𝒋 − 𝟐𝝁𝒊. es la ecuación diferencial básica de la teoría de consolidación de Terzaghi.𝒋+𝟏 = [𝝁𝒊+𝟏. 2.(0. Considerar que el flujo de agua es hacia arriba y hacia abajo debido a un material permeable (Asumir valores numéricos a criterio y sustentado según orden de magnitud y/o con ensayos relacionados) ENUNCIADO: Una carga uniforme de 64Kn/m2.1.) 𝑢0 = Presión inicial de poro del exceso en agua y.5. 𝑇𝑣 = Factor tiempo 𝐶𝑣 · 𝑡 𝑇𝑣 = 𝐻𝑑𝑟 2 Una vez establecido estas ecuaciones de consolidación desarrollados de manera matemática y por diferencias finitas. en el presente trabajo se pretende desarrollar ejemplos prácticos con soluciones de forma analítica con las ya mencionadas ecuaciones y compararlas con la implementación de un programa para la evaluación de ambos resultados. MATEMÁTICA APLICADA 11 .6….3.. es aplicada a la superficie del perfil del suelo por la construcción del terraplén como se muestra en la figura.4. y asignando las condiciones de frontera descritas anteriormente. utilizando un método numérico de diferencias finitas para determinar la distribución de la poropresión para los estratos luego de 200 días de haberse aplicado la carga. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Donde: M: 𝜋 𝑀= (2𝑚 + 1) 2 m : es un entero positivo. EJEMPLO 1: EJEMPLO CON METODO DE DIFERENCIAS FINITAS Problema de Consolidación: Se pide resolver el problema de consolidación mediante el procedimiento de diferencias finitas desarrollado en clase manualmente con ayuda de una hoja de cálculo y comparar estos resultados para diferentes tiempos con el programa computacional PLAXIS. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA q=64kN/m2 TURBA ARCILLA ------------------------------------------ Datos de los estratos del suelo en análisis Solución: MATEMÁTICA APLICADA 12 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA MATEMÁTICA APLICADA 13 . Fig. el modelo consta de un terraplén de arena sobre un terreno natural compuesto por turba y arcilla.8. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA APLICACIÓN A UN PROBLEMA GEOTÉCNICO. MATEMÁTICA APLICADA 14 . EMPLEANDO EL SOFTWARE PLAXIS ANÁLISIS DE CONSOLIDACIÓN: Se aplica como herramienta de análisis al Sofware PLAXIS v. Modelo Geotécnico Tabla de parámetros de resistencia y de elasticidad usados en el análisis.2. 6 cm durante el proceso de construcción del primer terraplén. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Fases de análisis: Fase 1: Construcción de un terraplén de arena de 2m con un periodo de 5 días. Se produce un asentamiento de 11. Fase 4: Se aplica el terraplén completo hasta lograr una disipación de presión de poro a 1 KPa. Fase 2: Dejar consolidar el material por 200 días con la carga actuante del primer terraplén construido. permitiendo calcular el tiempo de consolidación. MATEMÁTICA APLICADA 15 . Fase 3: Construcción de una segunda fase del terraplén con un periodo de 5 días. 4 cm durante el proceso de consolidación de 200 días. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Se produce un asentamiento de 20. MATEMÁTICA APLICADA 16 .1 cm durante el proceso de construcción del segundo terraplén. Se produce un asentamiento de 29. se considera Grado de Consolidación 100% MATEMÁTICA APLICADA 17 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA Se produce un asentamiento de 41.6 cm durante el proceso de disipación de poros hasta 1KPa. en un periodo de 200 días. para el análisis se usan métodos de diferencias finitas explícitos. es la ecuación de difusión. alcanza a consolidarse según PLAXIS. a una profundidad de 6m. que representa la variación de la presión en función de la altura.. Es sumamente importante mencionar que la Teoría de la consolidación de Terzaghi. la carga es soportada inicialmente por el agua de los poros (mucho menos compresible que las partículas de suelo). genera un aumento de la presión del agua en los poros (antes de la carga esta presión es hidrostática). dicho terraplén. Esto. Con respecto a la poropresión. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA CONCLUSIONES Teóricamente la expresión que describe la consolidación. existiendo una diferencia entre ambos valores de un 66%. en un periodo máximo de 200dias MATEMÁTICA APLICADA 18 .).5 cm. La expresión de difusión describe un comportamiento numéricamente interesante. Se verifica que el desarrollo de la solución analítica y experimental.9 cm. se denomina exceso de presión de poros. logra disiparse al 100%. Este aumento de presión. se observó que: aplicando una carga provocada por el terraplén en los estratos analizados. mientras que en el cálculo teórico determina una consolidación de un 100% (93. en un 31. Sobre el ejemplo de problema geotécnico desarrollado con PLAXIS: A los 200 días. enuncia que cuando se aplica una carga a un estrato de suelo saturado. demuestra que los estratos analizaos llegan a consolidarse al 100%. Capitulo 6 Mecánica de suelos. Eulalio Juárez Badillo Programa Computacional. Braja M. Das. Das. Capitulo 6 Advanced Soil Mechanical . Plaxis – Manual Programa computacional Abaqus – Manual MATEMÁTICA APLICADA 19 . Braja M. “Fundamentos de la mecánica de suelos”. Tomo I. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA BIBLIOGRAFÍA Fundamentos de ingeniería geotécnica. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA ANEXOS. MATEMÁTICA APLICADA 20 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA ENSAYOS LABORATORIO MATEMÁTICA APLICADA 21 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA CÁLCULO DEL ASENTAMIENTO Y CONSOLIDACIÓN- SOLUCIÓN ANALÍTICA MATEMÁTICA APLICADA 22 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA MATEMÁTICA APLICADA 23 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA MATEMÁTICA APLICADA 24 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA MATEMÁTICA APLICADA 25 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA OTRO EJEMPLO DEL TEMA DESARROLLADO: Consolidación unidimensional: Análisis de consolidación asumiendo un comportamiento elástico lineal del suelo. La superficie superior del recipiente está abierta y permeable. Utilizando la solución de la ecuación de consolidación de Terzaghi. liso. Utilizar el método de elementos finitos para resolver el mismo problema asumiendo que el suelo es elástico lineal con relación de Poisson de 𝜈 = 0.16135 𝑐𝑚2 /𝑚𝑖𝑛.33.0. una relación de vacíos inicial de 𝑒0 = 1. trace la relación entre 𝑈 𝑦 𝑇𝑣. rígido y sometida a un recargo repentino de 4𝑘𝑔/𝑐𝑚. a. un coeficiente de consolidación de 𝐶_𝑣 = 0. La discretizacion de elementos finitos axisimetricos de la prueba de consolidacion unidimensional. b. MATEMÁTICA APLICADA 26 .5 𝑐𝑚 de altura confinada por un contenedor cilíndrico impermeable. para una muestra cilíndrica (Figura 1) de arcilla de 4 𝑐𝑚 de diámetro y 3. La arcilla tiene una permeabilidad constante 𝑘 = 6 × 10−6 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA SOLUCIÓN ANALÍTICA: MATEMÁTICA APLICADA 27 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA SOLUCIÓN EXPERIMENTAL: PROGRAMA ABAQUS MATEMÁTICA APLICADA 28 . POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA IMAGEN DE RESULTADOS EN ABAQUS: MATEMÁTICA APLICADA 29 . 28302 1.80013 FINITOS (ABAQUS) 22.66 4.96306 2.76376 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE SOLUCIÓN 7.628232 62.80107 0.14415 5.26251 10.73173 0.01 2.202154 100.11 2.4834 9.91 0.03 3.51 2.18 3.71 2.47313 72.91 1.859 0.94737 0.3 2.06 3.1 3.163999 MATEMÁTICA APLICADA 30 .01 2.3 3. 10.3 2.3 3.91 0.10897 O.34 4.91 2.31 2.91 1.3 2.75012 0.0917 1.24258 10.04 3.76789 0.1975 kg/cm2 0.3 3.36848 FINITOS (PROGRAMA ABAQUS).51 1. RESULTADOS DE LA CONSOLIDACION EN EL 10.00856 SOLUCIÓN ELEMENTOS SOLUCIÓN ANALITICA 16.93849 6.2044 11.3 2.66715 3.29346 10.3 3.13362 13.3 2.02 3.: 10.01 4 0.91 0.27271 CENTRO DE LA CIMENTACIÓN CIRCULAR A UNA PROFUNDIDAD DE 3.29346 10.01 0.91 0.21 2.5cm Y UN TIEMPO DE 100 MIN.268396 92.01 4 0.61379 ANALÍTICA VERSUS SOLUCIÓN DE ELEMENTOS 8.17 kg/cm2 42.38674 4.47727 32.91 0.834375 52. POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA RESULTADOS DE LA SOLUCION EXPERIMENTAL: Tiempo Poropresion X Y 0 0 0.91 0.356347 : 82.04839 0.31 2.