© HERMES Science Publications. Paris.1999 HERMES Science Publications 8, quai du Marché-Neuf 75004 Paris ISBN 2-7462-0041-4 Serveur web: http://ww.\v.editions-hermes.fr http://www.hermes-science.com Catalogage Electre-Bibliographie Duc, Gîlles >"Font, Stéphanc Commande Hx et JL-anaJyse : des outils pour la robustesse - Paris, Hermès Science Publications, 1999. ISBN 2-7462-0041-4 RAMEAU: Commande BOl:' DEWEY: codes con'cctcurs d'en'curs (théorie de l'infOlmalÎon) commande automatique 378.51 : Enseignement supédeur. Mathématiques, Statistique 515: Analyse mathématique Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement J'éservées il l'usage privé du copiste et non destinées à L1ne utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses elles courtes citations dans un but d'exemple et d'U1ustrallon, "taule représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4), Celle représentation ou reproduction, pm' quelque procédé que ce soil, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par Jes articles L 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle, Commande Hoo et des outils pour la robustesse Gilles Duc Stéphane Font COLLECTION PÉDAGOGIQUE n'AUTOMATIQUE SaliS la direction de Alain Ot.tstaloup La collection pédagogique d'automatique du Club EEA, â laquelle appm1ient cel ouvrage, est dirigée par Alain Oustaloup, Enserb. L'objectiF de cette collectiol1 est de (ol/mir aux: enseignants et étudiants les éléments de base, théoriques et appliqués, en automatique. A cette lIn, les ouvrages de cette collection compremw1tt une partie cours, Hile partie travallX: dirigés et 1lne partie travaiL'\: pratiques. EXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL Identification des systèmes, loan D. LANDAU, 1998. Les micromachines, Patrice MINOITI, Antoine FERREIRA, 1998. AUTOMATIQUE pour les classes préparatoires - cours el exercices corrigés, Claude FOULARD, Jean-Mane FLAUS, Mireille JACOMINO, 1997. Elémenls de logique floue. Louis G/\CÔGNE, 1997. Le micro-contrôleur 68HCll, Bernard BEGHYN, 1997. Machines à commande numérique, Bernard MÊRY, 1997. Automatique - commande des systèmes linéaires, 2 e édition revue el augmenlée, Philippe de LARMINAT, 1996. Détection el estimation des signaux. David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996. Le filtrage des signaux, David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996. Le signal aléatoire, David DECLERCQ, André QUINQUIS. 1996. Le signal déterminÎste, David DECLERCQ, André QUINQUIS, 1996. Identification et commande des systèmes, 2 e édition revue et augmentée. lmm D. LANDAU, 1993. Du Grafcet aux réseaux de Petri. 2 e édition revue et augmentée, René DAVlD, Hassanc ALLA, 1992. Table des Inatières Introduction. ................ ................................ ................. .............................. .......... 9 Chapitre 1. Valeurs singulières et norme H CX) ... .......................... ....................... Il 1.1. Valeurs singulières d'une matrice de transfert............................................. Il 1.2. Norme H"" d'un système linéaire invariant................................................ 14 1.3. Propriétés de la norme H C1:> ......................................................................... 16 Chapitre 2. Synthèse H CX) , approche standard............... .................................... 17 2.1. Problème standard ................... .................. ....................... ........................... 17 2.2. Résolution du problème fi ~ standard par équations de Riccati................. 18 2.3. Exemple élénlentaire ................................................................................... 21 2.4. Résolution du problème fi"" standard par inégalités matricielles affines... 23 2.5. Mise en œuvre ............................................................................................. 26 2.5.1. Mise en forme pour la synthèse............................................................ 26 2.5.2. Objectifs de synthèse............................................................................ 27 2.5.3. Mise en œuvre par l'introduction de fonctÎons de pondération............. 28 2.5.4. Mise sous forme standard ..................................................................... 31 2.6. Exemple: asservissement de position ......................................................... 32 2.7. Autres exemples de mise en œuvre ............................................................. 37 2.7.1. Rejet ù'une perturbation mesurable ...................................................... 37 2.7.2. Utilisation d'une mesure supplémentaire .............................................. 38 2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté ........................................................... 39 Chapitre 3. Approche H 00 par {( loop-shaping }} ................................................ 41 3.1. Un problème fi ct:J particulier ...................................................................... 41 3.2. Exemple élémentaire ................................................................................... 43 3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte...................................... 43 6 Commande JJc:J) el Jl-analysc : des outils pour la robustesse 3.4. Réponses fréquentielles après optimisation FI 00 ........................................ 44 3.5. Exemple: asservissement de position ......................................................... 47 Chapitre 4. Il-analyse .................................... ....................................................... 49 4.1. Description des incertitudes de modèle.. ............................ ......................... 49 4.1.1. ReprésenLation générale par LFT ............................... .......................... 49 4.1.2. Exemples de mÎse sous forme LFT ...................................................... 50 4.1.3. Structure générale de la matrice d'incertitude....................................... 53 4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée ...................................... 54 4.3. Valeur singulière structurée......................................................................... 56 4.3.1. Définition ............................................................................................. 56 4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée ......................................... 57 4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée ............................................. 61 4.4.1. GénérnlisalÎon du théorème du petit gain ............................................. 61 4.4.2. Exemple élémentaire ............... ............................................................. 62 4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre ................................................... 63 4.6. Robustesse de la position des pôles................................. ...................... ...... 64 4.7. Robustesse des marges de slabilité.............................................................. 64 4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle ....................................................... 66 4.9. Exemple: asservissement de position ......................................................... 68 4.9.1. IncertÎtudes et forme LFf du moteur ................................................... 68 4.9.2. Robustesse de la stabilité...................................................................... 70 4.9.3. Robustesse de la position des pôles...................................................... 70 4.9.4. Robustesse de la marge de module....................................................... 71 4.9.5. Robustesse du suivi de consigne .......................................................... 72 Annexe: borne supérieure de Il Q (p) ................................................................ 74 Chapitre 5. Pour aller plus loin... ....................................................................... 77 5.1. Le problème de la "synthèse robuste" ......................................................... 77 5.1.1. De la synthèse H cJ'J à la 77 5.1.2. Approche de la par ]a D-K itération ................................... 78 5.2. Ouverture sur d'autres techniques................................................................ 80 5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV .................................................. 81 5.2.2. Analyse et synthèse multi-crilère.......................................................... 82 Chapitre 6. Exercices corrigés.................................... ...... ................................... 83 Exercice J ................. ........................................................... ............................... 83 Exercice 2..... .............................. ................ ....................................... ................. 83 Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) .......................................................... 83 Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) ........................................... 84 Table des matières 7 Exercice 5........ ....... ............................ .......... ..... ................................................. 84 Exercice 6........................................................................................................... 84 Exercice 7........................................................................................................... 85 Exercice 8........................................................................................................... 85 Exercice 9........................................................................................................... 85 Exercice 1 O.................. ........................................................................ ............... 86 Exercice 1 1......................................................................................................... 86 Exercice 12......................................................................................................... 86 Corrigé de l'exercice 1........................................................................................ 87 Corrigé de l'exercice 2........................................................................................ 87 Corrigé de l'exercice 3........................................................................................ 88 Corrigé de l'exercice 4........................................................................................ 89 Corrigé de l'exercice 5........................................................................................ 89 Corrigé de l'exercice 6........................................................................................ 91 Corrigé de J'exercice 7 ........................................................................................ 93 Corrigé de l'exercice 8 .................................................................. ...................... 93 Corrigé de l'exercice 9 ........................................................................................ 93 Corrigé de l'exercice 1 0...................................................................................... 94 Corrigé de J'exercice 11...................................................................................... 94 Corrigé de l'exercice 12...................................................................................... 95 Chapitre 7. Etude d'un cas d'application ........................................................... 97 7.1. Présentation du problème ........... .................................... ............................. 97 7.2. Etablissement du schéma de 99 7.3. Synthèse H <Xl standard d'un correcteur 1 entrée - 1 sOrLie .......................... 101 7.4. Synthèse H C1l standard d'un correcteur 2 entrées - 1 sortie ........................ 105 7.5. Synthèse H <t;) standard d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie ........................ 108 7.6. Synthèse H'1J par « loop-shaping ) d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie ..... 112 7.7. Conclusion ................................................................................................... 115 Bibliographie ........................................................................................................ 117 Introduction La synthèse d'une loi de commande permettant de réaliser l'asservissement d'un processus passe par l'utilisation de modèles mathématiques. Ceux-ci peuvent être issus de la description des phénomènes physiques, ou d'expériences permeLLant de caractériser son comportement entrée-sortie. On peUl Lout de suite noter que ces modèles ne représentent qu'imparfaitement la réalilé : il y aura toujours des Încerti- tudes et des erreurs de modélisation, du fait que les phénomènes physiques ne peu- vent être qu'imparfaitement traduits par des modèles mathématiques, que les para- mètres de ces modèles ne sont connus qu'avec une certaine précision, et aussi qu'il ne sert à rien (et qu'il serait même nuisible) de travailler avec des modèles très précis et donc très complexes. Sur la base d'un modèle imparfait, on va donc concevoir une loi de commande pOUf assurer stabilité, marges de stabilité, précision, performances dynamiques, ... Notons qu'il est rare que tous les objectifs d'un cahier des charges puissent être prÎs en compte explicitement lors de la synthèse. Ceux-ci seront donc vérifïés a posterio- ri, en utilisant en général un modèle plus précis que celui utilisé pour calculer la loi de commande. Par ailleurs, puisqu'on travaille sur des modèles donl la validité est limitée, il faudra se préoccuper de la robustesse de la loi de commande obtenue, c'est-à-dire être capable de garantir la stabiJîté el certaines performances vis-à-vis d'incertitudes de modèles. Plus précisément, on dira qu'une propriété de l'asservissement (stabilité, temps de réponse, précision, ... ) est robuste si cette propriété est maintenue en pré- sence d'incertitudes de modèle décrites et quantifiées de façon appropriée (notons à ce propos que parler de "commande robuste" ne veut rien dire si on ne précise pas de quelle propriété il s'agit, et vis-à-vis de quelles incertitudes). Le calcul d'une loi de commande alternera donc les 2 étapes de synthèse d'un COf- recteur et d'analyse des propriétés du système commandé, jusqu'à ce que les résultats obtenus soient jugés satisfaisants. Historiquement, l'approche est née d'essais de prise en compte a priori d'objectifs de robustesse lors d'une synthèse. Celte vision s'est trouvée rapidement limitée à des descriptions grossières d'incertitudes de modèle, qui ne permettent pas de prendre en compte la nature physique des incertitudes. Une vision plus réaliste est de considérer celte approche comme une façon particulière de calculer un correcteur, sans que toutes les demandes de performance et de robustesse soient prises en 10 Commande HCfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse compte a priori. Dans cet ouvrage, on montrera qu'elle permet de modeler différents transferts du système asservi, de garantir des marges de stabilité, et d'assurer la ro- bustesse aux dynamiques négligées, par un retour dynamique de sortie. Plus spécifiquement dédiée aux concepts de robustesse ct utilisant des notions très proches, la J.1-analyse permet quant à elle d'effectuer a posteriori des études de robustesse très fines. Le parti pris adopté dans ce livre est ainsi de montrer que l'as- sociation synthèse fI:::l + fournit des outils puissants permettant de déter- miner des lois de commande efficaces, ce que les auteurs ont pu vérifier sur de nom- breuses applications telles que le pilotage de missile, ]e contrôle d'attitude de satel- lite, la commande de paliers magnétiques, ... Le premier chapitre de cet ouvrage présente les outils nécessaires à cette appro- che: les valeurs singulières d'une matrice de transfert, et la norme H cr" d'un système linéaire. Le chapitre 2, dédié à la synthèse fI cr" standard, présente la notion de pro- blème standard, deux méthodes de résolution, ct des exemples de mise en œuvre. Le chapitre 3 s'intéresse à une approche particulière dc la synthèse fI co , appelée syn- thèse fI co par "loop-shaping". Le chapitre 4, dédié à]a J.1-analyse, montre comment des analyses de robustesse peuvent être conduites grâce à la représentation par LFT et la valeur singulière structurée J.1. Un même exemple d'application est conduÎt dans les chapitres 2 à 4. Nous con- cluons celle partie consacrée au cours dans le chapitre 5, qui comprend une brève ouverture sur des techniques voisÎnes ou qui constituent un prolongement naturel, et en particulier sur la fl-synthèse. Le chapitre 6 comprend douze exercices corrigés, qui tous peuvent être traités à la main, et constituent ainsi une base pour la conception de Travaux Dirigés. Enfin le chapitre 7 est consacré à une étude de cas sous Matlab, qui constitue la matière de séances de Travaux Pratiques. Cet ouvrage est issu d'enseignements dispensés dans différentes écoles d'ingé- nieur, notamment l'École Supérieure d'Électricité (Supélec), l'École Nationale Supé- rieure des Techniques Avancées (ENSTA), et l'École Spéciale de Mécanique et d'Électricité (ESME-Sudria). Il s'adresse à des étudiants possédant déjà de bonnes bases en Automatique fréquentielle et connaissant les notions liées à la représenta- tion d'état. Le cours magistral (hors chapitre 5) cOlTespond à un volume de 15 heures environ. Chapitre 1 ValellfS singlllières et norme Hoo Ce chapitre présente les principaux outils utilisés dans ce cours. Les valeurs sin- gulières d'une matrice de transfert permettent de généra1iser la notion de gain aux systèmes mullivariables. Elles permeUent aussi de définÎr la norme H 00 d'un système linéaire. Le chapitre s'achève sur quelques propriétés importantes de celte norme. 1.1. Valeurs singulières dlune matrice de transfert Considérons un système linéaire invarÎant avec un vecteur d'entrée eU) et un vecteur de sortie sU) de dimensions respectives m el p. Soit G(s) sa matrice de transfert. En réponse à une excitation harmonique e(t) = E e 1UH , E E cm , la sortie du système s'écrit: s(r) = GUm) E e jw1 ( 1.1 ) Pour un système monovariable, on définit à partir de celte relation le gain du système à la pulsation ro par le module lü(jm)l. Dans le cas multivariable, on utilise la notion de valeurs singulières, définies comme les racines carrées des valeurs pro- pres de GUro) multipliée par sa transconjuguée : O'i(GUro»):= jro)T )= jw)T GUro») i = l, min (m, p) ( 1.2) On peut remarquer que les produits G(joo) G(-jmr el G(- joo)' GUm) sont des matrices hermitiennes semi-définies positives. dont les valeurs propres sont par con- séquent réelles positives ou nulles: il est donc licite d'utiliser leur racine carrée (par aîlleurs les valeurs propres non nulles de ces deux matrices sont identiques). Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées. On notera (J'tG) la plus grande valeur singulière el g(G) la plus petite: 12 Commande HCfJ cl : des outils pour la robustesse Remarque: on peUl vérifier que pour un système monovariable, il n'existe qu'une seule valeur singulière, qui est telle que: (l.4) Quelques propriétés des valeurs singulières sont indiquées ci-dessous (pour plus de précision, on peut se référer à un ouvrage d'algèbre matricielle, tel que [Halo]) ; A et B sont des matrices complexes de dimensions compatibles, cl Ilxll:2 J x" x = X T x est la norme eucl idienne usuelle : cr(A)=O <=> A=O 'VÀeC O"j(ÀA)=IÀla;(A) cr(A+B) $ cr(A) + cr(B) cr(A B) $ cr(A )cr(B) Q( AB) ;:: Q( A) Q( B ) cr (A ) max Il A x 112 xr:C'" Il xii:! () ." A 9: A = -11-11-- XEC x::! si A est inversible, g:(A)cr(A- 1 )= Q(A- 1 )cr(A) = 1 cr(E)<Q(A) => deL(A+E):;éQ (1.5.a) (1.5.b) ( 1.5.c) ( 1.5.cI) ( 1.5.e) (1.51) ( 1.5.g) ( 1.5.11) ( 1.5.0 ptTI,!:lrrlllp: la relation (1.51), ou les relations (1.5.a,b,c), indiquent que crtA) est une norme; la relation (1.5.d) montre que cette norme est multiplicative. Enfin toute matrice complexe A de dimensions p x III admet une décomposition en valeurs singulières, qui s'écrit: }: diag {crl.···,cr"J si p=m A=V2:W" avec 2::; (diag b-), ... ,cr fi} o px(m-p)) SI p<11l ( 1.6) !: (dia g {a] ,"',a", IJ si p>m et V et W unitaires: VV* V*V = lp el WW" =WW· lm' Valeurs singulières et norme Hw 13 Revenons à présenl à la relation (1.1). Les relations (1.5j) et (1.5.g) permettent d'écrire: ( 1.7) Les valeurs singulières cri lCUw)) constituent donc une généralisation aux systèmes multivariables de la notion de gain. Elles peuvent être représentées dans le plan de Bode (figure 1.1). Pour un système muitivarinble, le "gain" à une fréquence donnée dépend donc en faiL du vecteur complexe E, et sera compris entre les valeurs singu- lières inférieure et supérieure. E j(t.!t G(' )E }(jll e IIGIIC1J Figure J./ - Valeurs singulières et norme H cr;) d'l/lle J1la(rice de trallsfert Exemple: la figure 1.2 montre les 2 valeurs singulières de la matrice de transfert: ( 1.8) On retrouve des tracés qui s'apparentent à ceux observés usuellement pour les sys- tèmes monovariables (noter en partÎculier la résonance au voisinage de la pulsation propre ..JïO du dénominateur des 4 termes). De nombreuses propriétés qui s'expriment en terme de gain pour les systèmes monovnriables s'étendent aux systèmes multivariables en considérant les valeurs singulières cr(CUffi)) ct Q(C(jw)). On dira par exemple que le gain est faible à la pulsation (ùsi ëf(C(jw)) est "petit", ct que le gain est fort si Q(C(jro)) est "grand". Notons par contre que la notion de phase n'a pas de généralisation multivariable simple. 14 Commande HÇjJ el : des outils pour la robustesse =1 :; t t 1: ... - - - - "" - - - 10 10" 10 ' Pulsation Figllre 1.2 - Valcurs sillgulières de la matrice de (1.8) 1.2. Norme Hel) d'un système linéaire invariant Soit un système linéaire invariant décrÎt par la représentation d'état: r.i:(t) = A .l(t) + B eU) 1 s(r) = C xU) + D e(t) ( 1.9) à laquelle correspond la matrice de transfert G(s) C (s / - A t 1 B + D . Nous ferons l'hypothèse que le système est stable. L'cnsemble des matrices de transfert G(s) correspondant il un système stable est noté usuellement R.H Ci) . Pour toute matrice G(s) dans RH C(J' on définit une norme, appelée norme H 00 et notéc Il G(s) 11Ci) , de la manière suivante (tigure 1.1) : sup cr( G (jrn ) ) (1.10) fiER Il G(s) 1100 est donc la valeur la plus élevée du gain du système sur l'ensemble des pulsations (pour un système monovariable, c'est la valeur la plus élevée de IG(jOJ)I). Sur la base de la définition (1.10), on peut obtenir facilement une borne infé- rieure de Il G(s) lleo en recherchant la valeur la plus élevée du 2 èlllC membre de (1.10) pour un ensemble de valeurs de ù) choisies a priori. Mais si celui-ci présente un maximum très flpointu", on risque de sous-évaluer la nonne H CJ:) • Par ailleurs, la propriété suivante fournit un majorant y de la norme Valeurs !oîinguIîères el norme Hoo 15 Propriété 1.1 SOÎt un réel positif y> cr(D). Alors Il G(.\') < y si et seulement si la matrice hamiltonienne: R = DT D-y2J S DDT y2/ (1.11 ) nia pas de valeur propre sur l'axe imaginaire. iii Démonstration. Soit c])(s) = y2/ G( -s{ C(s). Il est claÎr que Il C(s) IL < y sÎ et seulement si èP(jco) > 0 pour tout ru ER. Comme cD(j 00) = - R > 0 et que c})(jm) est une fonction conLinue de ru, c:I>(jru) > 0 pour tout ru E n. si et seulement si (P(jru) est non singulière pour tout ru ER U {oo}, de sorte que <})(s) n'a pas de zéro imaginaire pur, ou encore que <D(s) -1 n'a pas de pôle Îmaginaire pur. Or il est facile d'établir que <P(s)-' admet pour représenlatîon d'état tA, B, C, D J, avec: A H,; C=(R-'DTC yr'B T ); D=-r' (1.12) La propriété est donc établie si cette représentation d'élat n'a pas de mode non com- mandable ou non observable sur l'axe imaginaire. Supposons donc que jw o soit une valeur propre de Hy non observable (de sorte que jwo n'est pas un pôle de <P(s) -1 ). Alors il existe un vecteur .rD'" = ('" T .\2 T ) non nul tel que: Ces équations conduisent à : DT C XI + Y B T x 2 = 0 (A - jwo I)XJ 0 (AT + jwo / )X2 = Y CT _y-2 D R- I DT)c XI = _y-tCTC x) Comme A n'a pas de valeur propre imaginaire pure, on obtient Xl =0 et Xl =0. ce qui contredit l'hypothèse de déparl. On prouve de la même façon que la représenta- tion d'état (1.12) nia pas de mode non commandable sur l'axe imaginaire. :J La propriété 1.1 conduit soit à rechercher de façon explicite Je plus petit majorant possible en calculant les valeurs propres de H r (c'est ce qui est fait à Litre i11ustratif dans l'exemple ci-dessous, mais devient rapidement impraticable pour des systèmes d'ordre supérieur à 1), soil à affiner le majorant en ulilisant cette propriété de façon itérative. 16 Commande Hef) el Jl-analyse : des outils pour la robustesse Exemple: considérons le système du premier ordre: { _r(t) = -a x(t) + eU) a>O s(t) = x(t) On obtienl successivement: Hy= soit 1 C(s)=-- s+a et donc H y n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire si et seulement si : li ( 1.13) résultat qui peut être aisément confirmé par le tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert C(s) , dont le module a effectivement pour maximum 1/ a , en w O. 1.3. Propriétés de la norme H r:r; Les propriétés suivantes peuvent être aisément démontrées à partir de la définÎ- tian (1.10) et de la propriété (1.5}) : Il F(s) G(s) IIaJ :::; Il F(s} IL Il C(s) t ( 1.14.a) (LI4.b) Il (F(s) sup (II F(s) IL .11 G(s) ILJ (1.14.c) Intuitivement, l'inégalité (1.14.0) exprime que le gain maximal de la mise en série de 2 systèmes est inférieur au produit de leurs gains maximaux respectifs. Les inégalités (1.14.b) et (1.14.c), qui correspondent à la mise en parallèle de 2 systèmes avec une entrée ou une sortie commune, indiquent qu'en ne considérant qu'une purtie de celte association, on obtÎent forcément un gaÎn maxÎmal plus faible. Chapitre 2 Synthèse Hoo, approche standard La synthèse HOC) propose un cadre général pour le calcul d'un correcteur, en ma- nipulant des concepts fréquentiels. Elle permet de prendre en compte des objectifs de stabilité, de marges de stabililé et de modelage de différents transferts, vOÎre cer- tains objectifs de robustesse, en retour dynamique de sortie. Ce chapitre expose tout d'abord la notion de problème standard, ct les 2 métho- des de résolution les plus utilisées. Puis la mise en œuvre par l'introduction de pon- dérations fréquentielles est détaillée. Les résultats obtenus sur un problème œ vÎssement en position œun moteur électrique sont ensuite présentés. Le chapitre s'achève sur un aperçu des principales possibilités de mise en œuvre. Pour simplifier l'exposé. nous nous sommes limités au cas d'un système monova- riable (1 commande ct 1 sortie régulée, mais éventuellement plusieurs mesures). Toutefois la synthèse H 00 permet de traiter des problèmes multivariablcs, au prix de quelques ajustements mineurs. 2.1. Problème standard La synthèse H ctJ utilise la notion de problème standard, qui est représenté sur la figure 2.1 : la matrice de transfert P(s) modélise les interactions dynamiques entre 2 ensembles d'entrées et 2 ensembles de sorties: le vecteur IV représente des entrées extérieures, telles que signaux de référence, perturbations, bruits; le vecteur Il re- présente les commandes; les signaux e sont choisis pour caractériser le bon tionnemenl de }' asservissement; enfin y représente les mesures disponibles pour élaborer la commande. e HI y li Figure 2.1 - Problème fI a:l standard 18 Commande Hw el jJ.-analysc : des outils pour la robustesse En effccluantune partÎtion de la matrice P(s) de façon cohérente avec les dimen- sions de H', Il, C, y sur la figure 2.1 : P(s) ~ ' 1 1 (S)] PylICs) (2.1 ) on calcule aisément la matrice de transfert cnLre w et e du système bouclé, qui est appelée Transformalion Fractiollnaire Linéaire (LFT) inférieure: ECs) F, (P(s), K(s»)W(s) FI (P(s), K(s») := p/!\\.(s) + P ell (s) K{s) (/- Pyu (s) K(s) )-1 PylI.(S) (2.2) La synthèse H co du correcteur est définie par Je problème suivant: Problème H:o standard: P(s) eL y> 0 étanL donnés, déterminer K ( ~ ' ) qui stabi- lise Je système bouclé de la figure 2.1. et assure Il Fr(p(s), K(s»)IL < y . Les correcteurs assurant la plus petite valeur de y possible seront dits "opti- maux". Différentes méthodes peuvenL être envisagées pour résoudre le problème fi co standard. Nous présentons ci-dessous l'approche par équations de Riccati, dans laquelle la valeur optimale de y est recherchée par dichotomÎe, et l'approche par Inégalités Matricielles Affines (en anglais Lincar Nlatrix fneqllalilÎes, ou LMI), Ces 2 méthodes utilisent une représentation d'état de la matrice d'interconnexÎon P(s), que nous écrivons sous la forme suivante: [ i 1] [A y(t) = ~ ; [ X(/) ] w(f) /tU) (2.3) avec XE R Il; W E R "Il ; Il E R Il,, ; e E R Il,; )' E R "\' . 2.2. Résolution du problème H co standard par équations de Riccati Celte méthode, aussi connue sous Je nom d'algorithme de Glover-Doyle, est ap- parue à la fin des années 80 [GIDo, DGKF]. Elle reste aujourd'hui la méthode de résolution In plus utilisée. Soient P = pT, Q = QI des matrices de mêmes dimensions que A . On note: x = Ric ( A P J _Q _AT (2.4) Synthèse H ct:J' approche standard 19 quand elle existe, la solution symétrique de l'équation de Riccati: (2.5) telle que toutes les valeurs propres de A - P X ont une parLÎe réelle strictement négative. Pour résoudre le problème fi 00 standard, on suppose satisfaites les hypothèses suivantes: fil) (A, B II ) est stabilisable et (C y , A) est détectable fl2) rang (Dell):::: nll et rang (D)w)= ".\" R ( A - jro III B Il ) H3) '\/m E rang :::: Il + nu Cc Dell H4) '\lm E R rang :::: J1 + Il y ( A jroln Bw J C)' Dy\!' . Quelques commentaires sur ces hypothèses: - Hl est l'hypothèse classique de toute méthode de synthèse utilisant les variables d'état (commande modale ou LQG par exemple) : elle est nécessaire pour obtenir la stabilité du système bouclé. H2 est une condition suffisante pour que la matrice de transfert du correcteur soit propre. Remarquons que le fait d'avoir Dell de rang plcin signifie que toutes les commandes interviennent dans les variables régulées e. Par ailleurs, H2 suppose implicitement que "e " 11 et 1lU' 2: "y . - H3 entraîne que Pell (s) n'a pas de zéro sur l'axe imaginaire (mais la réciproque n'est pas vraie si la représentation d'état utilisée pour décrire Peu (s) n'est pas mini- male). De même pour H4 el Pyl\'(s), Remarque: si l'hypothèse Hl semble indispensable compte tenu de la façon dont est posé le problème, les hypothèses H2, fl3, fl4 sont propres à cette méthode de réso- lution. Il est toujours possible, en appliquant une série de transformations au système (2.3) [Day, SaLe, ZhDG] de se ramener au cas où les conditions suivantes sont véri- fiées :1 Dl'W=O (Cl' D,.J (0 Ill,,) Dr" = J (2.6) Le théorème suivant permet de tester ln faisabilité du problème standard: IOn peut aussi sc reporter il [GIDo] ou [McGIll si l'on souhaile éviter ces lransformations. 20 Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la Théorème 2.1 Sous les hypothèses Hl - H4 et les conditions (2.6), le problème fi <:tJ standard a une solution si et seulement si les 5 conditions suivantes sont plies: -2 B B T -B B T \ Y Il' Il' T Il Il J n'a pas de valeur propre sur -A l'axe ÎmagÎnaÎre il) il existe une matrice X co = Ric(H Cf);:: 0 ( AT y- 2 C;'CL, 1 iii) la matrîce J ct:l = T ' , n a pas de valeur propre sur -BwBw -A l'axe imaginaire il') il existe une matrice Y(l} = RieU Cf));:: 0 v) p(Xa:Yco)<y2 où p () désigne le module de la plus grande valeur propre. • Enfin la solution du problème standard est donnée par Je théorème suÎvant : Théorème 2.2 - Sous 'es conditions du théorème 2.1, les correcteurs rationnels K(s) stabilisant le système et satisfaisant Il F/(p(s), K(s))IL < y sonl décrits par la LFI': (2.7.a) où <P(s) E RH!Xl est une matrice de transfert de dimensions "/1 x ")' arbitraire véri- fiant !1ct>(s)llco < y , et Kil (s) est décrit par la représentation d'état suivante: o [ XII (t)] y(t) )'0(1) (2.7.b) • En particulier, le correcteur correspondant à ClJ(s) 0, appelé correcteur central, admet la représentation d'état: (2.8) Synthèse H C1J , approche standard 21 La mise en œuvre de celte solution consiste donc à uliliser Lout d'abord les sultats du théorème 2.1 pour approcher la valeur optimale de y par dichotomie (procédure appelée couramment Il y -itération"). On calcule ensuile le correcteur central en appliquanLle théorème 2.2 . ..... Tn ... rrl1'''': la synthèse en temps discret a été notamment envisagée par [LîGW], [IgGl] ou encore [Sto). 2.3. Exemple élémentaire Considérons le système de la figure 2.2, dans lequel on considère un vecteur d'entrées w = (b li Y composé de 2 perturbations, Cl un vecteur de signaux. à con- trôler e (z Il y comprenant la sonie à asservir cL la commande. La représentation de )a matrice P(s) du problème standard correspondant s'écrit: x (0 )x+ (1 0 )( ) + (I)u )' (l)x+(O It)+(O)1I x Il Figure 2.2 . Exemple élémel1laire, et forme standard corre'\lJ(Jf/dollfl;! On peut vérifier que les hypothèses Hl à H4 sont remplies: Hl) rang (Bu) = rang ( 1) 1 donc (A, Bu ) commandable rang te \" )= rang ( 1) = 1 donc tel" A) observable H2) rang (;".l = rang ( 1 = Il,, el rang (0",..) = rang (0 1) = 1 = Il Y (2.9) 22 Commande Hoo et : des outils pour la robustesse H3) \iwER rang(A-.i W/1l B"J=rang[-;W Cl' Dell 0 J 2 = Il + "" R [ A-.iW/I/ BII'] (-.i W H4) \iWE rang = rang C y D.l w '-' 1 1 0J = 'J = JI + Il 01- y Par ailleurs ce problème vérifie directement les conditions de normalisation: D,,, DYII =0 D,.,,' (e,. (0 (G = (0 1) (l.10) [ Bl\' ]D\ll.T =(1 0J(OJ=(OJ Dy\\'· 0 1 1 1 Testons les conditions du théorème 2.1. On a, pour les conditions i) eL ;Îi) : de sorte que i) et ii;) sont vérifiées pour y> 1 . Les équations de Riccati des condi- tions ii) ct iv) s'écrivent: Xcrl(O)+(O)X ctJ + X ct) &-2 -l)\'Ofj +1 =0 Yctl (0)+ (O)yO"} + Y<Yl &-2 -lYC1J +1 =0 de sorte que ii) et iv) sont vérilïées pour y> ], et fournissent: y X ctl =yctl = et VY- -) ., Y- XctlY"" =-1- Y- -) de sorte que v) est vérilïée pour y > .Ji. . Cette dernière valeur constitue donc la valeur minimale. Les résultats du théorème 2.2 permettent de calculer le correcteur central pour Synthèse li CfJ' approche standard 23 y > .J2 . dont la représentation d'état s'écrit : lIU)= qui correspond à la fonction de transfert: K(s) = U(s) = Y(s) ( 1) 2_ 1 ~ y- -2 s+2-Y--",,;y--l y (2.1l) (2.12) Un fait intéressant mérite d'être signalé: on voit que lorsque y tend vers sa va- leur optimale Ji , le pôle du correcteur tend vers -00; lorsque y alteint sa valeur optimale. le terme en s du dénominateur disparaît. et J'ordre du correcteur passe de 1 à O. Celte constatation a une portée générale: elle est liée au fait que pour la valeur minimale de y • la matrice ZefJ devient singulière, de sorte que les équalÏons (2.8) ne sont plus applicables. À j'optimum, il y a réduction de l'ordre du COiTecteur fKwa], la diminution d'ordre étant égale à la perte de rang de Zoo : lorsque y tend vers sa valeur optimale, on observe ainsi qu'au moins un des pôles du correcteur tend vers l'infini. 2.4. Résolution du problème H en standard par inégalités matricielles affines Apparue plus récemment, la synthèse par LM! fournit une autre façon de résou- dre le problème standard [lwSk l, GaAp]. Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas le respect des hypothèses H2-H4 (1 'hypothèse Hl reste néces- saire). Nous limiterons l'exposé au cas où la condition: (2.13) est vériJiée. Dans le cas contraire, on résout tout d'abord le problème en considérant des mesures fictives 5' correspondant il ce cas, et on modifie a posteriori le correc- teur obtenu en effectuant le changement de variable y = 5'- Dyull dans ses équations d'élat. La faisabilité du problème standard est testée au moyen du lhéorème suivant: 24 Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse Théorème 2.3 - Sous l'hypothèse Hl el la condition (2.13), le problème H cD stan- dard a une solution si et seulement si 2 matrices symétriques R et S existent, véri- fiant les 3 LMI suivantes: RC T c (2.14.a) °r[ATS;SA SB\I' T 1 (N; Ce N o J 1 Bn' S -Y/Il". D,/ [0' < 0 C Del\' -Y/lit Il1t C (2.14.b) (2.14.c) où N R et N s constituent une base des noyaux de T D t'u T ) et (C y D )'1I') res- pectivement. De plus, des correcteurs d'ordre r< Il existent si el seulement si les LMI (2.14.a, b. c) sont vérifiées par des matrices R et S qui satisfont de plus la condition supplémentaire: (2.14.d) Il Dans celle formulation. les inégalités (2.14.a. b. c) remplacent les conditions i) à v) du théorème 2.1. On peut également rechercher directement la valeur optimale de y, en résolvant le problème suivant, qui est un problème d'optimisation convexe: min Y sous (2.14.(1. b, c) R=RT,S=ST (2.15) La version en temps discret de ces résultats est également donnée dans [GaAp]. Elle est en tout point comparable. A panir des matrices R et S solutÎons des problèmes précédents, différentes procédures peuvent être envisagées pour former un correcteur: des formules expli- cites sont données notamment dans [IwSkl, Gah], tandis que [GaAp 1 proposent une résolution par LMI, qui peut être résumée comme suit. Soit: J.ic(t) = Acxc(t) + Bcy(t) lu(t) = Ccxc (t) + Dcy(t) (2.16) Synthèse Hco' approche standard 25 avec Xc ERr, une représentation d'état du correcteur d'ordre r:::; Il cherché. Le système bouclé F,(p(s), K(s») a pour représentation d'état: et, en vertu du "Bounded Real Lemma u [BEFB], sa norme H <Xl est inférieure à y si et seulement si il exÎste une matrice X = XI> 0 vérifiant: (2.18.a) qui est une inégalité matricielle bilinéaire en X, Ac' Be ,Cc 1 De' Une matrice X qui convient peut être obtenue en effectuant une décomposition en valeurs singuliè- res de In-R S , d'où on déduit 2 matrices M, N E R")( r de rang plein vérifiant: (2.18.b) qui permettent de déterminer: (2.18.c) où kl + désigne la pseudo-inverse de /'.1 (Iv! of" M = 1 r)' L'inégalité (2.18.a) est alors une LM! en Ac' Be ' Cc' Dc, dont la résolution fournit donc un corrccteur. Enfin la condition (2.14.d) semble suggérer la possibilité de synthétiser des cor- recteurs d'ordre inférieur à l'ordre de la matrice d'interconnexion P(s). Il est toule- fois exceptionnel que la condition (2.14.d) soit spontanément remplie. La recherche dc correcteurs d'ordre réduit solution du problème standard pour une valeur donnée de y amène à donc considérer le problème suivant: min "rang (III - R S) sous (2.l4.a, h, c) R=RT, S""Sl (2.19) A la différence du problème (2.15), ce problème n'est pas convexe. Différentes possibilités ont été examinées pour tenter de le résoudre [Galg, DaDe, IwSk2, EIOA, Val], sans garantie de convergence vers le minimum global. Remarque: la solution par LMI du problème H 00 standard apparaît plus complexe que la solution par équations de Riccati. En fait son intérêt est ailleurs: nous venons 26 Commande Hw et : des outils pour la robustesse de voir par exemple qu'elle sert de base à la recherche d'un correcteur d!ordre réduit. Plus généralement, dans ee cadre, le problème fI o:l standard peul être vu comme un cas particulier d'une classe de problèmes beaucoup plus vaste [PZPB, BEFB], qui inclut par exemple la stabilisation quadratique par retour dynamique de sonie lBePa. BeGA], la recherche d'un correcteur minimisant une norme fI 2 sous contrainte de type fi OC! [ScGCl, l'analyse et la eonunande de systèmes dont la représentation d'état est linéaire en Il et rationnelle en x [EISe], le calcul d'un correcteur variant avec des paramètres du système (" gain scheduled conlroller") [Pac, ApGa, ScEI], ... 2.5. lVlise en œuvre 2.5.1. Mise Cil forme pOlir la synthèse Un exemple de mise en œuvre, qui peut être considéré comme l'un des problèmes de base de la synthèse H (;I:J 1 prend comme point de départ le schéma-bloc de la fi- gure où C(s) est un modèle du système à asservir, el K(s) le correcteur à déterminer, pour asservir la sortie z sur la référence r. Le signal b est une pertur- bation. z Figure 2.3 - Analyse d'/III sysli!nw asservÎ Calculons la matrice de transfert entre les signaux d'entrée r et b d'une part, l'erreur d'asservissement E et la commande Il d'autre part: Z(s) = C(s) (- B(s) + U (s)) = C(s) (- B(s) + K(s)(R(s) - Z(s»)) E(s) R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) (R(s) - Z(s») = R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) E(s») On a donc: E(s) = (J + C(s)K(s)r J (R(s) - C(s) R(s») = S(sJ(R(s) - G(s) B(s») (2.20) où S = (1 + CKt l est la fonction de sensibilité de l'asservÎssement, d'où avec Urs) = K(s) E(s) : Synthèse HO). approche standard 27 ( E(S)]_M(S)(R(S)]_( S(s) S(s)G(s) J(R(.')J Urs) B(s) K(s) S("') K(s) S(s) G(s) B(s) (2.21 ) et donc, en considérant le cadre standard introduit ci-dessus, un problème intéressant consiste à chercher un nombre}' > 0 el un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé, el assurant: (2.22) Dans ce problème, on lient compte en effet de 2 signaux d'entrée. appliqués à 2 en- droits différents de l'asservissement. et on surveille l'évolution de l'erreur, mais aussi de la commande: on veul en effet que ['erreur reste faible, mais au prix de comman- des raisonnables. Le problème ci-dessus se présente donc comme la recherche d'un compromis entre l'objectif recherché et les moyens nécessaires. Toutefois ceUe formulation s'avère en pratique trop rîgide car elle ne laisse aucun élément de choix à l'utilisateur. Deux démarches peuvent être envisagées pour con- tourner cet obstacle. La première est présentée dans les paragraphes qui suivent: la seconde sera exposée au chapitre suivant 2.5.2. Objectifs de synthèse On peut tout d'abord déduire [e comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M (s) en faisant des hypothèses sur le gain de la boucle ouverte. Ainsi: a) si le gain de la boucle ouverte est grand soit /G(jro)K(jro)I» 1 (2.23.a) On voiL donc que K(s) agit sur les transferts de r vers e et de b vers €, tandis qu'il est sans effet sur les transferts de r vers Il eL de b vers 11 • Cette approxima- tion intervient notammenl en basse fréquence: par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la boucle ouverte tend vers l'infini en basse fréquence, et les transferts Ses) et S(s)G(s) onl un zéro en 0, ce qui signifïc l'absence d'erreur stati- que pour des signaux r el b constant. b) si [e gaÎn de la boucle ouverte est faible soil IG(jw)K(jw)I« 1 f1iJ (jro) :::: ( l K (jro) G(jro) J K(jro)G(jro) (2.23.11) 28 Commande Hoo ct Il-analyse: des outils pour la robustesse On voit donc que K (s) agit sur les lransferts de r vers ,., et de b vers Il , tandis qu'il est sans effet sur les lrunsferls de r vers E et de b vers E. Cette approxima- Lion intervient notamment en haute fréquence car le gain du système non con'igé a naturellement tendance à décroÎt.re avec la fréquence, et r on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, afin d'éviter d'exciter inutilement la commande en dehors de la bande passante de l'asservissement. Par ailleurs, les résultats du chapitre 4 permettenL d'établir que la robustesse de la stabililé vis-à-vis des dynamiques négligées peUL être garantie en imposanl un gabarit d'atténuation à K(s)S(s)G(s) en haules fréquences: intuitivement, on évite de la sorte de solliciter des dynamiques mal modélisées. Pour compléter ce raisonnement asymptoLÎque, on peut rappeler que la marge de module, c'est-à-dire la distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1 , est l'inverse du maximum de IS(Jw)l. Enfin la pulsation au gain unité mo de la boucle ouverte (IG(jù)o) K(jmo)1 = 1) donne une image de la bande passante de l'asservissement (dans le cas simple où IG(jm) K(jm)1 est monotone décroissante, eHe conespond à la limite entre les 2 approximations Cl) el b) ci-dessus), et conditÎonne fortement le temps de réponse (en première approximation, le produit 00 0 (Ill reste voisin de 3, où Tm désigne le temps de passage au premier maximum de la réponse à l'échelon). 2.5.3. Alise Cil œuvre par l'introductioll de jOllctions de pondération Reprenons le schéma-bloc de la figure 2.3. Pour atteindre les objectirs du para- graphe précédent, on peut introduire des pondérations sur les différents signaux, qui prendront la forme de liltres permettant. suivant le signal auquel elles s'appliquent, de privilégier un domaine de fréquences particulier. Considérons à celle fin le sché· ma de la figure 2.4, dans lequel l'erreur E est pondérée par le filtre \v, (s) • la com- mande Il par HI:! (s) , et l'entrée de perturbation b est la sortie d'un filtre Il') (s) . On obtient à présent, en considérant r et d comme entrées et CI et e 2 comme signaux à surveiller: ( El CS)] [ W 1 (s) Ses) E?(s) :::: tl'1(s)K(s)S(s) w) (s) Ses) G(s) 1I'J (s) 'J[R(S)] w2{s) K{s) Ses) G(s) w3(s) D(s) (2.24) S (! +GKt l Le problème H CfJ standard qui en découle est le suivant: déterminer un nombre y>O, et le correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant: (2.25) Synthèse H::r:J' approche slandard 29 Figure 2.4 Mise Cil place des fJollllémtiotlS L'avantage de considérer ce problème, plutôt que le problème plus simple (1.22), est que les fi1Lres wds) , W2(S) , ll'3(s) permettent de modeler les différenls trans- ferts S, K S , SC et K SC : les propriétés de la norme H a-:J (chapitre 1) assurent cn effet que si la condition (2.25) est vérinée, alors les 4 conditions suivantes le sont aussi: (1.26.a) IIw2K SIIC1J < y (2.26.b) On voit donc que la réponse fréquentielle de chacune des fonctions S, K S 1 SC et K SC est contrainte par un gabarit qui dépend des nItres choisis. La figure 2.5 montre J'allure typique que l'on choisit pour les différents gabarils, compte tenu de la discussion du paragraphe 2.5.2 : - le gabarit sur S esl fixée à une valeur k l faible en basse fréquence. pour assu- rer les objectifs de précision. La pulsation (01 pour laquelle le gabarit coupe l'axe o dB peUL être interprétée comme la bande passante minimale souhaitée pour l'asser- vissement. La valeur KI du gabarit en haute fréquence limite le maximum de la réponse fréquentielle de S (c'est-il-dire sa norme H co ), ce qui impose une marge de module au moins égale à 1/ KI' Enfin aucune contrainte n'est imposée à S en haule fréquence. 30 Commallde Hoo el J.l-annlysc : des outils pour la robustesse la valeur K:2 du gabarit sur K S ne lui impose aucune contrainte en basse fré- quence. tandis que la valeur k 2 impose une contrainte en haute fréquence, au-delà de la bande passante choisie pour l'asservissement, plus ou moins sévère suivant la valeur choisie pour {J}2 (en pratique, les valeurs K 2 et k 2 onl en général assez peu d'importance. tandis que le paramètre le plus ulile est ru '2. ) - le gabarit sur SC dépend des 2 filtres 1\'1 (s) et 11'3 (s) . Dans certains cas. il suffit de prendre w3 (s) constant, ce qui permet de régler l'atténuation en basse fré- quence. Mais WJ (s) permet également de modifier le comportement de SC en moyenne fréquence, ce qui peut s'avérer utile pour obtenir un comportcmenl transi- toire correct en réponse à une perturbation. - enfin le gabarit sur K SC, si les filtres 11'\ (5), 11'1 (s) et w) (s) ont été choisis d'après lcs considérations précédentes. est évidemment détclminé. Mais dans cer- tains cas, on peut préférer ajuster par Hi) (s) le gabarit sur K SC plutôt que le gaba- rit sur SC 1 afin par exemplc de satisfaire un gabarit d'atténuation assurant la robus- (esse de la stabilité aux dynamiques négligées. 1 S(jm) 1 \1'3 constant K1 __ 1 ________ oo ___ -:r--c-____ (J) 1 a) gabarit sur S c) gaharit sur sa b) gabarit sur KS d) gabarit S1lr KSG Figure 2.5 . Choix des pOlldérat;ollsji'éque1l1Îclles Synthèse H:!J' approche standard 31 En pratique, on choisit les filtres \1'1 (S), \1'2 (s), \\'3 (s) d'après ces considéra- tions, et on résout le problème fI:t;l correspondant. qui donne la valeur de y et le correcteur. Bien entendu, la valeur de y n'est pas connue à l'avance, mais elle inter- vient dans les gabarits (2.26). Si ceux-ci ont été définis d'après les objectifs de l'as- servissement, on essaie donc en général d'orientcr le choix des filtres de façon à avoir une valeur de y proche de 1. 2.5.4. SOliS forme standard Une fois choisis les tlltres WI (s), \1'2 (s), il reste à mettre le problème ainsi défini sous forme standard, c'est-à-dire à identi fier les schémas-blocs des figu- res 2.1 et 2.4. Identifions tout d'abord les différents signaux: - enlrées : li' (figure 2.1 ) = (;] (figure 2.4) signaux surveillés: e (figure 2.1) = (;:] (figure 2.4) - entrée du correcteur: y (figure 2.1) = e (figure 2.4) sortie du corrccteur: Il sur les 2 figures. La représentation (2.3) utilisée pour résoudre le problème fi 00 est obtenue en considérant une représentation d'état pour chaque fonction de transfert G(s) , \Ill (s). ll':!(S), 11'3(5) : { i = Ax +B(II-b) G(s) : (entrée u - b, sortie z ) : z=Cx soit finalement: (2.27.a) (2.27.b) (2.27.c) (2.27.d) 32 Commande Hw el f..l-ana1ysc : des outils pour la robustesse '\2 0 0 A 2 0 .\2 0 0 d B 2 .\') 0 0 0 A3 .\"3 0 B;, 0 (;:) :, + + [;} (2.28) E [-C 0 0 O](r]+[O]1I '\2 d Xj Reste à voir si l'hypothèse Hl (et les hypothèses H2-H4 si on utilise l'algorithme de Glovcr-Doylc) sont vérifiées. Si (A, B) est commandab1e et (C, A) observable (ce que nous supposerons pour la suite), la partie non commandable du problème est constituée par le filtre H'J(S) , et la partie non observable par les filtres Hil (s), U':! (s) (les dynamiques de ces 3 filtres, d'après le schéma-bloc de la figure 2.4, ne sont pas modifiées par le bouclage). L'hypothèse Hl impose donc de choisfr des pondérations stables. Par ailleurs, l'hypothèse H2 impose que D 2 soit de rang plein; or D 2 est le gain pour ru -) 00 de la lransmiltance w 2 (s) C 2 (.'Il A 2 t l B 2 + D 2 . L'hypothèse H2 impose donc de choisir w2(P) avec un gain non nul à l'infini. On notera que le choix de pondérations stables interdit en particulier que le gain de 11 \VI (s) tende vers 0 pour (ù -) 0 (w] (s) aurait alors un pôle en .'1 = 0). ce qui signifie qu'on ne peut imposer des transferts Ses) el Ses) C(s) nuls en Cl) = 0, donc une erreur statique nulle (on peut toutefois obtenir une erreur statique arbitrairement faible). On peut enfin noter que l'ordre du correcteur K(s) donné par le théorème 2.2 ou solution du problème (2.15) sera égal à la somme des ordres de C(s) et des filtres \l'I(S). lV 2 (S) , \1'3(.'1')· 2.6. Exemple : asservissement de position Nous présentons dans ce paragraphe les résultats obtenus sur un banc-lest cons- titué à partir d'un moteur à courant continu (figure 2.6), el décril par les équations suivantes: Synthèse H<p' approche standard 33 & ( ) L- = -R l(t) - K/:J.(t) + A u(t)+b dt dO. J -= KJ(t) - aQ(t) dl n(t) = de dt (2.29) z(t) = 1.. e(t) N 1 • n et e représentent respectivement le courant d'induit, la vitesse de rota- tion, et la position angulaire du moteur. Les tensions li, Z et b représentent ln commande, la mesure de position et une perturbation constante (tension d10ffset d'un ampli par exemple). Les valeurs nominales des paramètres sont les suivantes: R =5,8 0. L 5.10- 3 H Ke = 0,024 Vs ampli J =15.10- 7 Kgm 2 a = 10- 6 Nms K L' ::: 0,024 NmA -1 A = 10 N 7 ~ = 4 Vrd- I 11 n,o réducteur ( ~ ) - - - t - - - ~ b moteur V - - - ~ cap"1/,. 1 z Figure 1.6 - Asserl'issemelll ell POSiTiofJ t/'/IIlIlIOIeW' il couralll colllÎml Les objectifs de l'asservissement sont les suivants: - bande passante : (j) c lo"::j 100 rdls - marges de stabilité : ~ G ~ 15dB, L1<p ~ 50" • amplitude de la commande "raisonnable" - erreur statique due à b inférieure à 1 % (2.30) Pour effectuer la synthèse de l'asservissement, nous utiliserons un modèle simpli- fié. obtenu en considérant L ~ 0 dans les équations (2.29). Le processus a alors pour transmittance : 34 Commande Hel) et J..l-analyse : des outils pour la robustesse G(s) = Zen U(s) 240 (2.31 ) La constante de temps ainsi négligée est peu différenle de L / R = 0,862.10- 3 S . Le filtre w 1 (s) a été choisi afin que Je diagramme de Bode de 1 /lwI (jw) 1 : - coupe l'axe 0 dB à 100 rd/s (bande passante demandée) - présente un gain en haute fréquence de 1,7 de façon à limiter la norme H IX) de S ct à garantir ainsi une marge de module de l'ordre de 0,6. - présente un gain suffisamment faible en basse fréquence Dans un premier temps, les filtres w2 (s) et w3 (s) sont choisis constants, avec H'.:; très faible ( w 3 = 10- 2 par exemple) : en d'autre terme, le calcul du correcteur tient compte de la référence r, mais ignore la perturbation b. La valeur de Wz est ajustée afin que la fonction de sensibilité S suive au plus près le gabarit 1/ Wt • La valeur w} = 0,5 a été retenue, pour laquelle la norme de la matrice (2.25) est y = 0,957 . On augmente ensuite progressivement la valeur de "'3' jusqu'à ce qu'un effet si- gnificatif apparaisse sur la valeur de y , en veillant toutefois à ce que celui-cl ne dépasse pas excessivement la valeur 1 : on oblient y 1,10 pour w3 0,15. Enfin on introduit une atténuation en haute fréquence sur le gabarit] /11VZ (jw) 1. L'objectif est d'obliger le gain du correcteur à chuter dans les haules fréquences. afin de limiter la sensibilité au bruît et de tenir compte du fait que le modèle utilisé de- vient Încertain dans celle zone. A nouveau on fait en sorte de ne pas augmenter de façon trop importante la valeur de y . Les filtres ainsi choisis sont: s+128 lt'I(S) = - ~ - - - - : - 1,7 (s+0,075) 1 +s/l 000 1 + s /50000 Wj 0,15 On obtient y = 1,17 pour un correcteur d'ordre 4, de fonction de transfert: K(s) = 9,675 (1 + s /26)(1 + s /64)(1 + s /50000) s+0,075 (1 +.\'/375)(1 +s/931)(I+s/22500) (2.32) (2.33) La figure 2.7 donne les modules des transferts qui interviennent dans le problème H <rj , comparés aux gabarits initialement définis (la valeur de y étant légèrement supérieure à l, ceux-ci sont légèrement dépassés). Les figures 2.8 et 2.9 montrent les réponses de la boucle ouverte G(s) K(s) et du correcteur, qui respectenlle cahier des charges: la pulsation au gain unilé est égale il 100 rd/s, ct les marges de gain et de phase sont égales à 20 dB et 55° respectivement. Le correcteur présente un gain élevé en basse fréquence (ce qui assure une erreur statique vis-à-vis de b négligeable), une avance de phase au voisinage de la bande passante et un filtrage des hautes fréquences. Synthèse Hoo. approche standard 35 Set 1/w1 KS el1/w2 0 0 10 10 ·2 ·2 10 10 -4 10 4 10 0 0 5 10 10 10 10 2 SG el 1/w1/w3 1d KSG et 1/w2lw3 10° Il 10 . ~ 10 ·4 0 10 0 5 10 10 10 Figure 2.7 - Réponsesfréqllelllielles des IrallsmÎUOllces S, KS, SG et KSG Gain r - ~ - - - - - - - . - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - ~ 10 0 10 2 1 0 ~ pulsation (rad/sec) Phase (degrés) pulsation (rad/sec) Figure 2.8 - Répollscjréquemiellc de III boucle oU\'erle corrigée On peut noter que le correcteur a un pôle en -0,075, donc très proche de l'origine. Comme indiqué au paragraphe 2.3, le correcteur a également un pôle très loin dans le demi-plan gauche, en -22 500. Son influence est négligeable sur les réponses fré- quentielles. L'implantation du correcteur a été réalisée en effectuant les modifications ci- dessous, qui découlent des 2 remarques précédentes el n'entraînent aucune modifica- tion des réponses fréquentielles dans une large zone de part el d'autre de la pulsation mc: 36 Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB) : : E ê ~ ·20 -2 a 2 4 10 10 10 10 pUlsation (rad/sec) Phase (degrés) 90 i o - ---l --- - , o ~ -1 BO -2 0 2 4 10 10 10 10 pulsation (rad/sec) Figure 2.9 - Répoflsefréquefltielle dll correctellr - remplacement du pôle en -0,075 par un pôle en 0, afin de disposer d'une vérita- ble action intégrale. - suppression des polynômes ] + s / 50 000 et 1 + s / 22500 du numérateur ct du dénominateur de K(s), ce qui diminue d'une unité l'ordre du correcteur sans changer en rien ses perfonnances. Notons que celle étape de réduction du correcteur est souvent nécessaire, la commande H <Xl produisant des correcteurs d'ordre relativement élevé puisqu'égal à la somme des ordres de C(s) et des différents Iï1tres (paragraphe 2.5.4). Elle peut être réalisée de façon plus systématique en utilisant des méthodes appropriées [MiSB, SaPG], ou de façon plus rigoureuse en résolvant le problème (2.19). On implante donc finalement le correcteur ci-dessous, lequel peut être écrit sous la forme du produit de 3 fonctions de transfert correspondant respectivement à un correcteur PI, un filtre à avance de phase et un filtre passe-bas intervenant au-delà de la bande passante: K'(s)= 9,675 (l+s/26) l+s/64 s l+s/3751+s/931 (2.34) Les réponses de l'asservissement il un échelon de consigne et de perturbation ap- paraissent sur la figure 2.10. Sur la première réponse, on obtient un dépassement d'environ 25%, avec un temps de 1 cr maximum qui vérifie la relation empirique werm ~ 3, sans erreur statique, et avec une commande du même ordre de grandeur que la référencc. La seconde montre qu'une modification de b n'introduit pas d'er- reur statique. Synthèse HY.l' approche standard 37 -1V (" ! o +-I-f--H -c- ----1-- -1- --;..-- .. _,= _.-- - 1-- o échelon tic cOI/signe échelon de perturha/ion Figllre 2.JO - Répollses de /'asservisscmellt 2.7. Autres exemples de mise en Œuvre La mise en œuvre détaillée dans le paragraphe 2.5 COlTcspond à un problème de base. La souplesse du cadre H:1) permet en effet d'imaginer de nombreux prolonge- ments, en adaptant le schéma précédent à la spécificité du problème. De façon géné- rale, on peUl tenir compte d'entrées agissant en différents endroits de la chaîne d'as- servissement, et contrôler différents signaux. Les paragraphes qui suivent donnent quelques exemples. 2.7.1. Rejet d'flue perturbatioll mesurable Supposons que la perturbation b du schéma précédent soit mesurable. On a évi- demment intérêt à en tenir compte dans l'élaboration de la commande. On peul à cette fin construire le schéma de la figure 2.11. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: - \\' (r cl y comme entrée - e = (el el Y comme signal à réguler - Il comme commande - )' =: (g b Y comme mesure 38 Commande H(f.) cL ).l-anulyse : des olllils pour ILl robustesse Figure 2.11 - Asserl'ÎSsemenl avec rejeJ d'ul/e penurbatiolllllcsllrabie Dans le cas d'une résolution par équations de Riccati (paragraphe 2.2), il con- vient de vérifier l'hypothèse H2, avec en particulier rang ~ D .l'Il' ) = Il),. Or celle-ci correspond fi la transmission directe entre w = (r d)T et y = (g bf. En notant (A:;, 8 3 , C.1' D 3 ) une réalisation de W3(S) , cel1e-ci s'écrÎt: D\'I\' =(1 0 J - 0 D 3 On voit donc que D3 doil être non nulle. De même D 2 (transmission directe de ll'2 (s) ) doit être non nulle comme dans le problème précédent. Les filtres ll'I (s) et w:; (s) seronL choisis comme expliqué au paragraphe 2.5.3. Le filtre \1'3 (s) permet: - de pondérer le rejet de perturbation par rapport au suivi de référence (cas ll'3 (s) = w) constant) de préciser le contenu spectral de la perturbatÎon (cas d'une perturbation agis- sant dans une certaine zone de fréquence). 2.7.2. Utilisatioll d'une meslIre supplémentaire Supposons qu'en plus de la grandeur à asservir z, on dispose d'une mesure sup- plémentaire zs' On peut alors construire le schéma de la ligure 2.12, où li peut être inlerprétée comme une perturbation de mesure. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: ( ) T - \II = r d li comme entrée - e = (el el f comme signal à réguler - Il comme commande - )' = (g Zs f comme mesure Synthèse H 00' approche standard 39 b K( s) 1----'---.......... 1 II -$ Figure 2. J 2 - ASscll'issemenr ill'ec rejet d'une perlurbatioll mesurable En général il suffit de prendre la pondération supplémentaire H'..\ constante. Mais celle-ci ne peut être choisie nulle si l'on fait la résolutÎon par équations de RiccatÎ. En effet la matrice D)'II" s'écrit : ( 1 0 o 0 0' H'4J On ne peUL donc s'affranchir de la présence de la perturbation \.'. Par ailleurs on peUL noter que "'.. permet de réaliser un compromis entre les 2 mesures, donc d'ajuster la dynamique relative de chacune des 1. boucles. Nous présentons au chapitre 7 un cas d'application illustrant celle démarche. 2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté Dans le cas où l'on souhaite dissocier la dynamique du suivi de référence de celle du rejet de perturbation, on peut par exemple construire le schéma de la figure 2.13, dans lequel la référence et la mesure de la grandeur asservie entrent séparément dans le correcteur. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: - li' = (r d \' r comme entrée - c = (el c2 Y comme signal à réguler - 11 comme commande - y = (r :: r comme mesure 40 Commande Roo ct : des outils pour la robustesse r Figure 2. J 3 - Correcteur à 2 degrés de libené De la même façon que dans le problème précédent. la pondération supplémen- taire 11'4 permet de régler la dynamique relative du suivi de consigne et du rejet de perturbation. Chapitre 3 Approche Hoo par "loop-shaping" L'approche proposée dans ce chapitre a été développée à partir de la notion de factorisation première d'une matrice de transfert, et de la stabiiisatÎon d'un système incertain exprimé sous celle forme [GIMc]. Il est toutefois possible de la présenter sans faire appel à ces notions, ce que nous avons choisi de faire ici. Sa mise en œuvre utilise un problème H 00 de structure fixée, le réglage des per- formances étant obtenu par un modelage préalable de la boucle ouverte, suivant les principes de l'Automatique classique. Nous la présentons dans le cadre multivariable, et l'appliquons au problème d'asservissement déjà étudié au chapitre 2. 3.1. Un problème Hooparticulicr Considérons le schéma-bloc de la figure 3.1 : la matrice de transfert cntre les perturbations d et b d'une part, la sortie )' et la commande Il d'autre part, s'écrit: ( Y(S)) ( Ses) U(s) K(s)S(s) S(s)G(s) j\ (D(S)J ( )-1 . S = 1 +GK K (s) Ses) GCs) B(s) , (3.1 ) On peut donc considérer le problème H o:J suivant: chercher un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé, et assurant pour une valeur y > 0 donnée: (3.2) b Figure 3.1 . Problème considéré 42 Commande H'f.] ct Il-analyse: des outils pour la robustesse L'inconvénient de ce problème est qu'il ne donne aucun élément de réglage à l'utilisateur; par contre il représente un compromis naturel entre l'évolution de la sortie et celle de la commande, en réponse à des perturbations en entrée et en sortie. Ce problème présente en outre une propriélé remarquable; sa solution est en effet directement obtenue par le théorème suivant: Théorème 3.1 [OIMe] - Soit (A, B, C) une représentation d'étal du système de transmittanee G(s) 1. Si (A, B) est commandable et (C, A) observable, la valeur minimale de y pour laquelle le système de la figure 3.1 peut être stabilisé par un correcteur K(s) assurant (3.2) est donnée par: (3.3) où Àsup désigne la plus grande valeur propre, et X el Y sont les solutions définies positives des 2 équations de Riccati suivantes: (3.4.a) (3.4.b) Il Contrairement à l'approche standard (chapitre 2), on connaît donc à J'avance la valeur minimale de y que l'on peut atteindre. Le théorème suivant donne un correc- teur solution du problème. Théorème 3.2 [GIMel Pour toute valeur de y supérieure à la valeur y rnin fournie par le théorème 3.1, un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant (3.2) est décrit par la représentation d'élat suivante: { :\:e (t) = Ac .t'cU) + Be y(t) a(t) Cc xeU) Cc BTX Zr = ~ + y X - y2/ t (3.5.a) (3.5.b) Il Remarque: la version en temps discret de ces résultats est donnée dans [Wal]. Un exemple élémentaire est présenté dans le paragraphe suivant, landis que le pa- ragraphe 3.3 propose un moyen d'introduire dans ce problème des éléments de ré- glage. 1 L'l démarche peut ëtre étendue au cas de systèmes non strictement propres [McGII J. Approche Hr:t;) par "Ioop-slmping" 43 3.2. Exemple élémentaire A titre d'exemple simple, considérons le schéma-bloc de la figure 3.1, avec le système: a G (s) = - a > 0 soi t A = 0 B=a c= 1 (3.6) s Cc système est commandable et observable. Les équations de Riccati s'écrivent: x (0) + (O)X - X (a 2 )X + 1 = 0 y(o)+(o)y -Y(I)Y +a 2 =0 Elles ont chacune une solution positive, qui s'écrivent X = lia et Y (l. La valeur minimale de y pour laquelle le problème admet une solution est donc y min .fi. Pour toute valeur de y supérieure à .fi, l'app1icaLÎon du théorème 3.2 fournit la représentation d'état suivante: ou encore la fonction de transfert: K(s) = U(s) Y(s) (3.7) ~ 2 _ 2 J. + 2 a ~ 2 -1 ) (3.8) Comme pour le correcteur calculé dans l'exemple du chapitre 2 (paragraphe 2.3), on constate que le pôle du correcteur tend vers -00 lorsque y tend vers sa valeur optimale .Ji ; lorsque y atteint sa valeur optimale, le terme en s du dénominateur disparaît, el l'ordre du correcteur passe de 1 à O. Comme dans l'approche standard, cette réduction de l'ordre du correcteur pour la valeur optimale est un phénomène général. 3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte Nous avons déjà signalé qu'aucune fonction de pondération ne peut être intro- duite dans le problème (3.2), qui impose une matrice de transfert partÎculière. Pour 44 Commande Hrf) ct : des outils pour la robustesse régler les performances, on peut effectuer un modelage de la boucle ollverte (en anglais "loop-shaping") du processus, avanT de calculer le correcteur. La démarche est la suivante [McGII, McGl21 : i) ajouter à la matrice C(s) du système il réguler un pré-compensateur Wei (s) et 1 ou un post-compensateur W c1 (s) (figure 3.2.a), de sorte que la réponse fréquen- tielle du sysLème augmenté Ci/(s) = W c2 (s) C(s) Wcl (s) présente une forme saLisfaÎ- sante:!. Typiquement: - on assure des gains élevés en basse fréquence (par exemple au moyen d'une ac- tion inLégrale dans Wei (s) ou dans Wc::!. (s) sur la sortie à réguler). - on assure des gains faibles dans les hautes fréquences (par exemple par des fil- tres passe-bas dans Wei (s) ). - on choisit la fréquence de passage à 0 dB (qui correspond à peu près à la bande passante du système bouclé), en ajustant le gain général de l'un des compensateurs. - on donne à la réponse fréquentielle une pente de -20 dB/décade au vOÎsinage de la fréquence de passage à 0 dB (par exemple au moyens de réseaux à avance de phase). il) résoudre le problème H rf) précédent en considérant Co (s) au lieu de C(s) : (3.9) Iii) la structure de correction est obtenue en combinant les tïllres Wei (s) et W c2 (s) déterminés en i) et le correcteur K(s) déterminé en il) (figure 3.2.b): dans le cas où la sorlÎe doiL suivre un signal de référence, on pourra sail prendre pour correcteur en série le produit WeI (s) K(s) W c2 (s) notamment si des actions inté- grales sont incorporées dans W e2 (s) • soit dissocier les 3 éléments - ce qui convient nolammenL quand des actions intégrales sont incorporées dans Wei (s) . On notera que toute la connaissance issue de l'Automatique fréquentielle tradi- tionnelle peut être utilisée lors de la phase 0, où de plus on se préoccupera principa- lement de régler Je gain sans trop s'occuper de la phase. Par aîlIeurs, il n'y a pas de contrainte de stabilité sur les compensateurs W el (s) et W c2 (s). qui peuvent en par- ticulier comporter des actions intégrales. 3.4. Réponses fréquentielles après optimisation H co On peut néanmoins se demander si la réponse fréquentielle de la boucle ouverte finalement obtenue à l'étape iii) correspond au modelage effectué en O. Le raisonne- ment suivant permet de répondre à cette question. 2 Bien sûr, dans le CilS d'un système monovariable. un seul compensateur suffit. Approche HCfJ par "Ioop-shaping" 45 bmule !Jll.ulIIJle gral/LI gain a) modelage du système b) stmclures de correclion possibles Figure 3.2 - SYllthèse H r1"J pal' "/oop-slwpÎug" Supposons calculé un correcteur assurant l'inégalité (3.9). D'après les propriétés de la norme H Cù , chaque fonction de transfert qui compose la matrÎce qui intervient dans (3.9) aura une norme H Cù inférieure à y : (3. JO) Notons que dans Je cas monovariable. la première de ces inégalités assure ainsi que la marge de module du système esL au moins égale à l'inverse de y . Par ailleurs, dans les zones où cr (Gu (jm) K (jeo»)« l (ce qui se produit en gé- néraI en hautes fréquences), S{1(jeo);::::: 1 el K(jw)SIl(jw);::::: K(jeo). D'après la deuxième des inégalités (3.10), on a donc cr (K (jw») < y , et : la même inégal ité étant vérifiée par cr (K (jw) Ga (jw»). Réciproquement. dans les zones où cr(Gt/(jw) K(jw») » 1 (cc qui sc produit cn général en basses fréquences), 46 Commande Ha';) et : des outils pour la robustesse (si 1'on suppose que Ca et K sont currées), d'où l'on déduit: (K . ») 1 1 cr (0 = > - (j a(K(jw») y et: Q(G I1 (jw) K(jW»)2 Q(G lI (jw») Q(K(jw)) > 2. Q(G'J (jw») y la même inégalité étant là aussi vérifiée par QlK(jffi)G(/(jffi»). (3.11.b) Les inégalités (3.11) montrent que dans les zones où la boucle ouverte présente soit un gain élevé, soiL un gain faible, le rapport entre les valeurs singulières obte- nues à l'issue du "Joop-shaping" et celles de la boucle ouverte tinale n'excède pas la valeur y de la norme H co • Notons de plus qu'il est montré dans [McGII, McGI21 que ce rapport tend asymptotiquement vers la valeur (/ 1)1/2 si cr (Ga (jw») -7 a ou si Q(G lI (jffi))-7 00 (figure 3.3). On a donc une garantie que le "loop-shape" obtenu après le choix des compen- sateurs WeI Cs) et W c2 (s) sera globalement respecté pour de faibles valeurs de y, dont, rappelons-le, la valeur minimale y min peut être calculée explicitement avant calcul du correcteur K(s). Cette valeur renseigne donc sur la pertinence des choix effectués lors de l'étape de "Ioop-shapîng". On considère généralement qu'une valeur de y de l'ordre de 2 à 3 est satisfaisante. Figure 3.3 - Comparaison des répoll.'ies fréqllelllielles des bOllcles ouvertes. Approche Hcr.J par "loop-shaping" 47 3.5. Exemple : asservissement de position Nous reprenons avec celle approche l'exemple présenté au paragraphe 2.6. Le système étant monovariable, le modelage de la boucle ouverte peuL être accompli par un seul compensateur Wei (s) . Afin d'assurer le rejet de la perturbation b ct de fil- trer les hautes fréquences, un régulateur PI associé à un filtre passe-bas esl retenu. Son gain est ajusté pour que la boucle ouverte passe à 0 dB pour 110 rdls, soil une valeur légèrement supérieure à la bande passante demandée (figure 3.4) : W ( ) = 17,68 1+s/20 d S s 1 + s 11000 (3.12) On obtient y min = 2,35. Le calcul du correcteur pour le système compensé G(s) Wei (s), et pour y = 1,01 Y min donne: K(s) = 0 467 (1 + s Il 6,7)(1 + s /83,5)(1 + s /999,98) , (1 + s /19,98)(1 + s /342)(1 + s/934 )(1 + s /5585) (3.13) La figure 3.4 montre les réponses fréquentielles du système compensé G(s) W d (s) et de la boucle ouverte G(s) Wei Cs) K(s), landis que la figure 3.5 montre la réponse fréquentielle ùu correcteur total WcI(s) K(s). On voit que la boucle ouverte finale reste proche de la réponse obtenue après le choix de Wei (s) , tandis que l'adjonction de K(s) permet d'assurer des marges de stabilité correctes. Les réponses de la boucle ouverte el du correcteur sonl par aîlleurs très proches de celles obtenues au paragraphe 2.6 (figures 2.8 et 2.9). On peul remarquer que comme avec l'approche standard, la transmiuance K(s) possède un pôle très éloigné de l'origine (en -5585), dont l'influence sur les réponses fréquentielles est négligeable. Par conlre le correcteur obtenu Wei (s) K(s) a un pôle exactement à l'origine, résultant du choix de Wei Cs) . On peut aussi noter que les transmiUances Wei (s) el K(s) font apparaître des termes très proches, donl J'influence devienl négligeable dans le produit W cI (s) K(s) : - 1 + s /20 au numérateur de Wei (s) el 1 + s /19,98 au dénominateur de K (s) - l+sl1000audénominatcurde Wd(s), l+s/999,98 au numérateur de K(s) Ces différentes remarques conduisent à impJanter le correcteur suivant, obtenu en éliminant le pôle en -5585 de K(s) et les termes cités ci-dessus: WcI (s) K(s) ~ K'(s) = 8,26 [1 + - ~ - ' J 1 + s /83,5 1 s 16,7 1 +s/342 l+s/934 (3.14) 48 Commande Hw et Ji-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB) o 10 Phase (degrés) -100 -200 10' 1 0 ~ 1 0 ~ pulsation (rd/sec) 4 10 - 3 0 0 L - ~ - - - - ~ - - - - - - ~ ~ - - - - ~ - - ~ - - ~ ~ ~ 10° 10' 10 2 10 J 10 4 pulsatîon (rd/sec) Figure 3.4 - Réporlsesjréqllclliielles du processus pré-compensé (fin), et de la boucle VIII 'crie finale (gras) correcteur Gain (dB) 20 ~ o - ·20 10' 10 2 pulsation (rd/sec) Phase (deqrés) Cl 10 10' 10' pulsation (rd/sec) - ~ 3 10 3 4 10 10 Figure 3.5 Répollsejréqllentielle du correcteur expression très proche de celle obtenue avec l'approche standard (paragraphe 2.6), et dans laquelle on reconnaît un régulateur PI complété par un réseau à avance de phase et un filtre passe-bas. Chapitre 4 La mise en équation d'un processus physique nécessite des approximations, d'où résultent par conséquent des incertitudes de modèle. Il convÎent donc d'étudier la robustesse de la loi de commande, c'est-à-dire de chercher à garantir la stabilité et un certain degré de performances en dépit de différentes inccrtitudes, quantifiées de façon appropriée. Un formalisme général pcnneUant de représenter les incertitudes de modèle est présenté dans le premier paragraphe. Puis une première condition de robustesse de la stabilité est énoncée, en utilisant la norme H (1) • Celle analyse s'avérant en général trop pessimiste, il convient d'utiliser un outil plus approprié, la valeur singulière structurée, dont la définition et les propriétés importantes sont données au paragra- phe 4.3. Son milisation sur différents problèmes dc robustesse est exposée dans les paragraphes 4.4 à 4.8, ce chapitre se terminant par leur application à l'asservissement de position étudié aux chapitres 2 et 3. 4.1. Description des incertitudes de modèle 4.1.1. Rcpréscntation géllérale par LFT Dans le cadre linéaire, celles-ci sont généralement regroupées en deux classes: les incertitudes paramétriques, qui affectent la valeur d'un ou plusieurs paramètres réels; les dynamiques mal connues ou volontairement négligées dans l'écriture du modèle (intervenant en général en hautes fréquences), représentées par une ou plu- sieurs fonctions de transfert inconnues. Pour y incorporer le concept classique de marges de stabilité, on peut y ajouter des incerlitudes plus globales sur le gain et sur la phase, qui seront représentées par un ou plusieurs paramètres complexes. Une représentation générale d'un système soumis à des incertitudes de modèle est donnée sur la figure 4.1 : toutes les incerLitudes de modèle sont rassemblées dans la matrice 8(s); la matrice de transfert H(s) qui dans le cas d'un syslème asservi dépend évidemment du correcteur - modélise les interconnexions entre les entrées li' • les sorties y, et les signaux v et z qui permettent de faÎre intervenir les incer- titudes. En écrivant les relations entre les différents signaux: 50 Commande HC1J et Il-analyse: des outils pour la robustesse li )' Figure 4.1 - Représentation par LFT des incertitudes de modélisation Z(s) H <:l'(s) V(s) + H <:11'(5) W(s) Y(s) = Hy,,(s) V(s) + Hyll'(s) W(s) V(s) = 8(S) Z(s) on calcule le transfert entre w et e : (4.1) Cette expression est appelée une Transformation Fra ctioll Il a ire Liuéaire, ou LFT (pour l'anglais Linear Fractional Transformation). Elle sera notée Fil (H (s), 8(S)) - l'indice Il indiquant que 8 est connectée sur la partie supérieure de H . Pour écrire J'expression (4.2), il faut que la matrice 1 - H Zl'(S) 8(S) soit inversi- ble pour presque tout s : on dit alors que la LFT Fit (H (S),8(S)) est bien posée. Sans perle de généralité, on peul toujours effectuer des mises à l'échelJe permet- tanl de "normaliser" 8(5)! c'esl-à-dire de se ramener à la condition: !18(S)IICIJ = sup a(8(jm)) < J (Il E R (4.3) Les exemples donnés dans le paragraphe suivant permettent de se familiariser avec ce concept. 4.1.2. Exemples de mise SOIIS forme LFT Considérons un système de fonction de transfert G(s) . Si Go(s) désigne le mo- dèle nominal, el que ce modèle néglige une dynamique qu'on suppose être du pre- mier ordre, avec une constante de temps t < 1" max' on peul écrire: 1 C(s) = Co(s)-- ; t < 1" max 1+1"S (4.4) La connaissance de la valeur 1" max permet d'établir une borne sur l'erreur relative 51 sur la réponse fréquentielle. On a en effet (figure 4.2) : 1 G(jw) lit jw 1 1 Lmax jw 1 Go (jw) - 1 = 1 + t jw :::; 1 + t max. jw On peut donc modéliser la dynamique négligée en écrivant: G(s) _ 1 = lI'l (s) soit G(s) = Go(s) (1 + \1'1 (s») (4.5) Go(s) avec: w i (s) = t max S et V (0 (jro)1 < 1 <::::> (s)/Ioo < 1 1 + tmax S La figure 4.2 représente l'allure du diagramme de Bode de \1'1 (s) ct le schéma-bloc correspondant. En identifiant celui-ci avec le schéma général de la LFT de la figure 4.1, on obtient: [ Z(S)]_H(S)[V(S)]_[ 0 1 ][V(S)] ; (4.6) Y(s) W(s) G o (s)\I'](s) Go(s) W(s) (V 1 lin -I----.J"-----Y Il' Figure 4.2 - Modélisa/ioll d'l/Ile dynamique lIawcsfréqllcllccs 1Iégligée Supposons à présent que Go (s) s'écrive: Go(s) = ( )2 s+a avec an - b < a < ao + b En posant a = an + ob, -) < 6 < +), ct en remarquant que: ( J -I lIb --=-- 1+0-- s+a s+ao s+ao (4.7) 52 Commande Ha) ct M-ana]yse : des outils pour la robustesse on obtient le schéma-bloc de la figure 4.3 qui s'identifie avec la LFT de la figure 4.1 de la façon suivante: -b 1 0 1 1 [ZI(S)J [VI(S) ] S+ClO 1 s+ l1 o [VI (s) J 1 -b -17 1 1 1Ni- H(s) = 1 (s+aof ---1 S+{I() : (s+aof W(s) W(s) (4.8) (s+(Jof ---1 S + {lo : (s + (Jo f deS) = w y Figure 4.3 - II/certitude paramétrique De façon générale. on peut établir [ZhDG] gue toute fonction matricielle dépen- dant rationnellement de variables 8 1 , •••• or peut être écrite sous la forme d'une LFT. avec une matrice H (s) indépendante des Oj' el: Si enfin on souhaitc prendre en comptc une incertitude conjointe sur le gain et sur la phase l , on peut introduire une incertitude complexe, par exemple sous la forme suivante: (4.10) gui correspond à un disgue de centre {1. 0) et de rayon sc' Ce modèle peut lui aussi 1 Celle incer1itude. plus difficile fl appréhender physiquement. peut par exemple être utilisée pour modé- liser une petile incertitude sur le gain !itatiquc, tout en tenant compte de rctards purs parasites. Une autrc ulilisalÎon permettant de garantir des marges de stabilité est donnée au paragraphe 4.7. Il-analyse 53 être facilement identifié avec le schéma général: il correspond à un modèle du type (4.5), en remplaçant Go (s) par l, \VI (s) par Sc et L\I (s) par El' • Une propriété imporlante des LFf est que toute association de LFf est encore une LFT [ZhDG]. Ai nsi si nous considérons une boucle d'asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle (4.5) avec la description (4.7) ct l'incertitude complexe (4.10) (figure 4.4), nous oblenons à nouveau une LFT par identification avec le schéma général de la figure 4.1, uvec : y Figure 4.4 - Boucle d'a.'iscl'l'issemellf avec 3 types d'incertitude 4.1.3. Structure géllérale de la matrice d'incertitude En rassemblant les différenles sources d'incerLitudes de modèle, on obtient une matrice L\(s) , de dimension k 'X k , ayant la structure générale suivante: des) diag {dieS), , .. ,L\q(s), BI111' ... ,Br/rr' EI/C1'· .. • Eele c } (4.12) di (S) E RH co ; {) i ER; E i E C et vérifiant les conditions de normalisation: La matrice des) comprend donc q matrices de transfert stables de structure quel- conque, r blocs réels dits "scalaires répétés" (Je scalaire Bj étant répété ri fois pour tenÎr comple de "incertilude correspondante), et c scalaires complexes répétés. L'étude de robustesse consiste à chercher à garantir une propriélé particulière 54 Commande Hel) et )1-analyse : des outils pour la robustesse (par exemple la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L\(s) décrit par (4.12). On peut imaginer 2 degrés de complexité différents pour aborder cc problème: - sail on ignore la structure de A(s) , en cherchant simplement quel1e est la plus grande valeur admissible de sa nonne. L'outil adéquat pour traiter le problème de cette façon est la norme H cr.) • On obtient dans ce cas (paragraphe 4.2) une condition de robustesse de la stabilité assez simple, mais qui peut s'avérer très pessimiste. sail on prend en compte la structure de A(s) • ce qui conduit à des résultats plus précis. Il faut pour cela définir un nouvel outil: la valeur singulière structurée (para- graphe 4.3). Les analyses correspondantes sont menées dans les paragraphes 4.4 à 4.8. Remarque: si la propriété qu'on cherche à garantir est la stabilité, et si par hypothèse H (s) et A(s) sont stables, la seule source d'instabilité provient du bouclage par A(s) , et il est donc équivalent d'étudier la stabilité du système de la figure 4.5, avec M (s) ::: H 2:1' (s) . z \' Figure 4.5 - Schéma d'analyse de la robustesse de III stabilité 4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée Si on ne lient aucun compte d'une éventuelle structure de la matrice d'incerlitude A(s) , le résultat suivant, connu sous le nom de "théorème du petit gain", conduit à déterminer une valeur maximale pour sa norme H:>:l' Théorème 4.1 (théorème du petit gain) [ZhDG]. Si M(s) et A(s) sont stables, le système de la figure 4.1 esl stable pour tout A(s) tcl que Il A(s) 11r1l < ri si et seule- ment si IIM(s)lloo ~ a - I ,où Atf(s) = Hz1'(s), • Démonstration. On montre d'abord que la condition est suffisante: si "M (s) 11<» ::; a -1 , alors Il A(s) Nf (s) IL ::; Il A(s) liro Il M (s) IL < 1. On a donc: \i ro cr (A(jro) Nf (jro») < 1 :::;> \i ro det (! - A(jro) M (jro») * 0 d , ' (1 5 ') a d'd' l ' l'" {,,«() A(jro) z(t) 1 dl apres .. 1. n en e Ult que e systeme lOemre n a autre z(t) = M (jro) v(t) jl-analyse 55 solution que (z(t) , \1(1))=(0,0), et ce pour tout 00 : en d'uutres termes, il n'exÎste pas de Li(s) pour lequel le système de la figure 4.5 soit oscillateur. Comme ce sys- tème est stable pour Li(s) 0, cela prouve, par continuité, sa stabilité. Pour montrer que la condition est nécessaire, montrons que si Il M (s) IL > Cl. -1 il existe Li(s) de norme H co inférieure à Cl. pour lequel le système est instable. Dans ce cas en effet, soient (00 une pulsation pour laquelle cr (M (jwo») = P > Cl. -1 , et M(jwo)=VIW"', avec :E=diag{p,a2, ... crk} une décomposition en valeurs sin- gulières de M (jro o ). Alors tout Li(s) tel que Li(jw o ) = W diag {P-I ,0, ... 0 }V" et vérifie Il Li(s) Il,,, =p-I <Cl. et det{!-Li(jroo)M(jûJo»)=O: pour ce Li(s) , le système oscille à la pulsation 000' nous avons vu au paragraphe 4.1.2 qu'une dynamique négligée du premier ordre peut être représentée par: Supposons que ce système soit placé dans une boucle de contre-réaction, avec un correcteur K(s) (figure 4.6). On identifie facilement la transmittance M (s) du schéma général de la figure 4.5 à: Nf (s) -w] (s) K(s)G(s) 1 + K(s)G(s) Figure 4.6 - BOllcle d'aSSC'1'Îssement a\'CC dynamique 1légligée D'après le théorème du petit gain, une condition de robustesse de la stabilité s'écrit donc : 56 Commande H::t:J et Il-analyse: des outils pour la robustesse II -W1(S)K(S)G(S) Il I-W,(jù))K(jm)G(jm) 1 <1 <=- \jm . <1 1 + K(s) G(s) ::t:J 1 + K(jm) G(jm) soit encore: \j m 1 K(jro)G(jm) 1 < -:---1--:- 1 + K(jm)G(jm) w] (jw) (4.14) On obtient donc une condition qui peut s'interpréter sous la forme d'un gabarit sur l'un des transferts de la boucle fermée (à noter que cette conditÎon peut être ex- plicitement prise en compte lors d'une synthèse H CI) ). Remarque: il est possible que Jes résultats précédents soient à la base d'un fantasme assez répandu dans la communauté, qui veut que toute synthèse H aJ conduise néces- sairement à une loi de commande robuste. En fait le théorème du petit gain est diffi- cilement utilisable à des fins de synthèse car pour des problèmes réalistes, il conduit généralement à des conditions beaucoup trop sévères. Même utilisé comme outil d'analyse. il est en général trop pessÎmÎste, mais sa présentation est une première . approche. dont J'analyse par la valeur singulière structurée, beaucoup plus pertinente, peut être vue comme une généralisation. 4.3. Valeur singulière structurée 4.3.1. Définition Reprenons la matrice définie par (4.] 2). Soit P E C b -'<: une matrice de mêmes dimensions que Définissons l'ensemble !1 des matrices complexes présentant la même structure que : La valeur singulière structurée de P relatÎve à l'ensemble !1 est définie par: Ill'. (p):= (Înf det (J - p)= o)î- I - ) (4.16) Il à (p ):= 0 si \j E à det (J p) * 0 L'inverse de peut donc être interprétée comme la plus petite norme d'une matrice appartenant à J'ensemble pour laquelle le système linéaire en représenté sur la figure 4.7 devÎent singulier. I I .,. , ... Il-analyse 57 { V = Ll Z (1 -LlJ(l'! (OJ z = Pli<=> - P 1 z) = ° Figure 4.7- Illlelprélatioll de la valcllr singlllière structurée 4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée! Les propriétés suivantes peuvent être démontrées très facilement. Elles permel- tent de se familiariser avec cet outiL Cette propriété découle directement de la définition. A noler toutefois que ~ l ê (p) peut être nulle sans que P soit nulle (exemple: p:::;: j el là = {(5 ER}) : dans le cas général, J.Lê (p) n'est donc pas une norme. Démonstration. Elle est semblable à celle du théorème du petit gain. Pour tout ~ tel que cr(Ll) < lIcr(P) , cr(LlP)<l,etdonc del(I-l!P);!:O.Donc J.Lll (p)::;cr(p). _1 Réciproquement, soit P = V LW· une décomposition en valeurs singulières de P, ct l! = ~ v dillg {cr(p)-I,O, ... O }V*. Alors det(J -,1 p) ° et a(,Cl) = lIcr(P). Donc J.LlI ( p ) ~ a(p). J _1 P3) Si f!2 où PR(P) est appelé "rayon spectral réel"; en posant P T AT- 1 • où A est diago- nale ou sous forme de Jordan, on a en effet det (I LlP) IT(l-(5À;), d'où le ré- sultat. P4) Si f!J :! Suivant le temps dont on dispose. on peut accon1cr plus ou moins d'importance à celle partie. el retenÎr simplement que le calcul de J.L csl un problème dîfricilc, qu'on remplace pur la recherche d'une borne supérieure cl d'une borne inférieure. 58 Commande l/:f.l e1ll-analysc : des outils pour la robustesse où plP) est le rayon spectral de P (même démonstratÎon). Considérons à présent 2 ensembles de matrices c • Dès lors que ces 2 en- sembles vérifient ç; C Ll] . et que la recherche d'un minimum d'une fonction sur un ensemble plus large ne peut conduire qu'à réduire sa valeur, on dé- dUÎt de la définition la propriété suivante: P5) '\1 P E C hk , si Ll/l c Pn(p)::; cr(p) En pratique, sauf dans des cas simples tels que ceux ci-dessus, le calcul de flê (p) est un problème à complexité non polynomiale [BYDM]. On peut par contre chercher à obtenir un majorant el un mÎnorant de J.lb\ (p), en affinant Pencadrement qui vient d'être obtenu. Définissons pour cela les ensembles suivants: D = diag {dtlkl .... , dqIkq' Dl .... ' Dp Dl .... , di ER; di> 0 . D· = D· * > 0 . D! E CCi XCi • D! , 1 1 • 1 • 1 } !(4.J7,(l) >0 1 G = r 0= ding (Okl ,'" 0k q ' 0,,. .. Op 0CI"" OC, l l G i E CrîXfi : G i = G j * U={UELl;U·U=UU+=I k } Q = {L1E Ll; L1/A; = Ai A/ = 1 k) ; 0; E[-l; + 1]; Ej (4.17.b) (4.17.c) (4.17.d) L'ensemble D est constitué de matrices D hermitiennes définies positives, qui commutent avec toute matrice L1 de Ll : D L1 = Ll D . L'ensemble G contient des matrices hermitiennes (non définies (l priori) dont les seuls éléments non nuls cor- respondent aux blocs réels de Ll . L'ensemble U est constitué des matrices unitaires de Ll . Il est contenu dans l'ensemble Q . qui est lui aussÎ sous-ensemble de Ll . On a alors, pour tout (D, L1)E DXLl : det (! - L1 p)= det V - D- 1 L1 D p)= del V - Ll D P D- 1 ) de sorte que (p) Pà (D P D- 1 }:; cr {D P D- 1 ). On a donc: P6) '\1 P E Ck}(k, PA (p)::; min cr (0 P D- 1 ) - DED La recherche de la borne supérieure donnée par la proprîété P6 peUl se faire en remarquant l'équivalence des propositions suivantes: :3 D E D: cr (D P D- 1 ):::-; a :3 D E D: 1(D- 1 p* D D P a 2 :3DED: D- 1 P·D 2 PD- 1 _a 2 / 3DED: P*D 2 p _a 2 D2:::-;0 :3D'ED: P·D'P _a 2 D':s;O 59 (4.18) On peut donc rechercher une borne supérieure de J.IQ. (p) en résolvant le problème d'optimisation suivant: Il_A (p) $ CL • avec a" = min a sous les contraintes: DeD a p"DP-a 2 D:S;0 (4.19.11) (4.19.b) (4.19.c) On peut noter que pour a fixé, l'inégalité (4.19.c) est une inégalité matricielle li- néaire (LMI) en D, tandis que pour D fixé, a est obtenu en calculant la valeur propre qui intervient dans la deuxième des propositions (4.18) : le problème d'opti- misation (4.19) est ainsi un problème dit "quasi-convexe", de sorle que tout mini- mum local est aussi global [YoND].J Toutefois cette borne supérieure ne fait pas la distinction entre les incertitudes réelles ou complexes. Dans le cas où /}. incorpore des blocs réels, elle est donc en général de mauvaise qualité puisqu'elle les assimile à des blocs complexes. L'utilisation conjointe des ensembles D et G permet de l'améliorer. On peut en effet rechercher une borne supérieure de Il Il (p) en utilisant la propriété suivante [FaTD, YoND], dont la démonstration est reportée en annexe de ce chapitre: Il Il (p) :s; .. avec p. = min sous les contraintes: DeD,Gc:G p" D P + j (C P - p" G ) - (j 1 D :s; 0 (4.20.a) (4.20.b) (4.20.c) Là encore, pour (j fixé, l'inégalité (4.20.c) est une LMI en D et G, tandis que pour D et G fixés la recherche de P se résout par un simple calcul de valeur 3 La restriction à des matriœs D > 0 ne modifie pas la borne supérieure obtenue. En dfet, toute matrice complexe D Înversible peul s'écrire sous la forme D = U R avec R = R- > 0, et U unitaÎre ( U· U = U U· = 1 k ), On a alors. d'après la défini lion IllCIllC des valeurs singulières: cr(DM D-l)=a(u RAI R-1U-)=a(u Ri\! R-l)=cr(RM R-l) 60 Commande ct Il-analyse: des outils pour la robustesse propre: le problème d'optimisation (4.20) est lui aussi un problème quasi-convexe. Pour déterminer une borne inférieure, notons que, pour tout EUX!1 det (/ - p) = det (/ - U,. U p) = det (/ - U p) (puisque les matrices U sont unitaires), avec: Il est donc équivalent de chercher annulant det (I - p) ou annulant det p). On a donc = p);?: PR(U P), et par conséquent: Malheureusement, le calcul de celle borne inférieure correspond à un problème d'optimisation qui comprend de nombreux maxima locaux. En utilisant à présent l'ensemble Q , on note que: celle dernière inégalité provenant de ce que la multiplication par Q n'affecte pas la norme des blocs complexes (pleins ou scalaires répétés), mais peut diminuer celle des blocs réels. Dès lors : avec . On a donc 1 / (p) 11 (Q p). et donc (Q p) (p) . Par conséquent: On peut noter que les ensembles U et Q conduisent à des propriétés similaires, (P) étant invariant par multiplication par toule matrice de U mais non par toute matrice de Q. L'intérêt de l'ensemble Q est qu'il est prouvé [YoDo] que l'inégalité dans P8) est en fait une égalité, ce qui n'est pas toujours le cas avec U . Un algorithme permettant de déterminer un maximum local du 1 cr membre de l'inégalité P8) est décrît dans [YoDo]. Il est intéressant de noter que de la matrice Q conespondant à ce maximum, on déduit immédiatement une matrice assurant la singularité de 1 - P en posant = k Q, avec k = ± (p R (Q p»)-1 , le signe de k A étant celui de la valeur propre de Q P qui correspond à P R (Q P) . On a en effet: Il-analyse 6\ Remarque: la matrice a tous ses blocs complexes de norme égale à k , et lous ses blocs réels de norme infériellre ou égale à k . Cela signifie que dans les analyses de robustesse menées dans les paragraphes suivants, les lermes réels d'une matrice d'in- certitude déstabilisante ne sont pas forcément tous situés sur les bornes de leur inter- valles d'incertitude respectifs. 4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée 4.4.1. Généralisatioll du théorème du petit gaiJl De la définition de (p) on déduit le théorème suivant [Day, ZhDG], qui fonde le principe de la JI-analyse: Théorème 4.2 - Si H(s) n'a que des pôles à partie réelle négative, le système de la figure 4.1 est stable pour toute incertitude du type (4.12) telle que Il lico < a si et seulement si : (4.21) Il Démonstration. D'après la définition de Q (M (jw)) , la condition (4.21) est équiva- lente à : 'vi tel que Il IIC() < a, V 00, det (1 - iV! (joo)) ;: 0 { VU) = \'(1) de sorte que si elle est vérifiée, le système linéaire z(t) = A1 (joo) v(t) solution que (::(1) , v(t)) == (0,0). n'a d'autre Réciproquement, s'il existe (ûo telle que (jooo)) = P > a-l, cela signifie qu'il exÎste tel que = p-l et det (J - [\0 A-f (jOO O )) = o. Tout tel que et vérifïe =p-I <a et annule det(J - (jOO O )) : le système oscille à la pulsation 00 0 • Basée sur le théorème 4.2, la consiste à évaluer un réel positif il ' le plus faible possible, qui soit un majorant de sur "axe imaginaire. La pro- cédure usuelle consiste à choisir un ensemble suffisamment dense de valeurs de 00, et à calculer une borne supérieure de pour chaque valeur choisie, en utilisant (4.19) ou (4.20) : on prend alors pour la valeur la plus élevée obtenue. 62 Commande Hw et f.l-analyse : des outils pour la robustesse De la sorte, la robustesse de la stabilité est assurée pour toul L\(s) de norme H <Xl inférieure ou égale il jI-1 . Lorsque la matrice L\(s) incorpore des incerlÎludes réel- les (5 i • on en déduit notamment que le système reste stable pour toUl (5 i de valeur absolue inférieure ou égale à jI-l : on affecte ainsi un intervalle admissible il chaque paramètre. 4.4.2. Exemple élémentaire Considérons un système de fonction de transfert K / p , placée dans une boucle de contre-réaclion de gain 1. Nous supposerons que la valeur nominale de K est égale il 1, mais qu'elle esl entachée d'incertitude, soit: K=l+ab, a>O, SER (4.22) Le schéma d'analyse correspondant est donné sur la figure 4.8. On effectue faci- lement les calculs suivants: -Cl M (s) = -- avec L\(s) s+l 8 d'où det{I-M(jm)S) 1 +_{l_5 jm+ 1 Sachant que SE R , on a 2 cas possibles suivant la valeur de m : -si m=O, det(1-A1(jw)0)=0 pour 0= l/a,onadonc /lê(M(jO»)=a - si m:;t: 0 , det (1 - M (jm)S)-# 0 quel que sail (5. on a donc /l6 (Jllf (jm») = O. La courbe correspondante esl donnée sur la figure 4.8 : /lê (M (jm») étanl majoré par a, on en déduÎt qu'il y a stabilité pour tout 0 dans l'intervalle ] -1/ a ; 1: a [. a 1 Iln (M{j{tl») 1 (u o - - r ~ - - - - - ; ; > - Figure 4.8 - Boucle d'assel1'issCIIWlIlll1'eC incertitude paramétriql/e Remarque. Deux commentaires peuvent être faÎts il partir de cet exemple: - on note toul d'abord que la ~ L -analyse ne donne pas accès au domaine de Il-analyse 63 stabilité complet (un calcul de la fonction de transfert de l'asservissement montre qu'il y a stabi1ité pour tout K > 0, donc pour tout El dans l'intervalle ] -II CI ; + 00 [). Les intervalles déterminés par )l-anaIyse sont en effet les plus grands intervalles centrés sur la valeur 0 et contenus dans le domaine de stabilité. Généralisons cette observation: dans le cas général d'un système à plusieurs para- mètres, le résultat de la sera le plus grand hyper-reclangle centré sur l'ori- gine et contenu dans le domaine de stabilité. - la courbe donnant A (M (j(ù») en fonctÎon de (ù est ici discontinue. Une dis- cussion a ce sujet est reprise le paragraphe suivant. 4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre Comme le montrent les exemples du paragraphe 4.1.2, l'extraction dcs incertitu- des pour obtenir la représentation de la Figure 4.1 n'est pas toujours immédiate. Dans le cas où le modèle du système est affine en les paramètres incertains, une méthode systématique d'extraction a été proposée par Morton [Mor, ZhDG)). Pour un modèle non affine, il n'existe pas à notre connaissance de solution définitive, dans la mesure où les algorithmes proposés notamment par [BeCh], [LTBSJ, [ChDe], rBec], [Fon] ne garantissent pas que la matrice d'incertitudes Ll(s) soÎt de dimension minimale. Par ailleurs, la question de la réduclion d'une LFT, c'est-à-dire de l'obtention d'un modèle dans lequel les paramètres seraient répétés un nombre de fois moins impor- tant, a été notamment abordée dans [WDBG, WoGG, BeDG, HVDE]. Il faul rappeler néanmoins que toule association de LFT est aussi une LFf [ZhDG). Lorsqu'il esl possibJe de décomposer le modèle du système en plusieurs blocs, soit affines en les paramètres incertains, soit d'ordre en s faible, il est assez simple de procéder à l'extraction en truvai11ant sur chaque bloc séparément. puis en rassemblant l'ensemble (on trouvera dans [Fon] l'extraction des incertitudes pour tous les modèles usuels du premier ou du second ordre). Lorsque la matrice .6.(s) incorpore des incertitudes réelles, )l!! (M (jm») peUL être une fonction discontinue de la fréquence, voire des données [PaPa, LeTi] - la pre- mière situation se présente, par exemple. lorsque les variations paramétriques sont telles qu'un pôle traverse l'axe imaginaire à une fréquence fhe. On constate égale- ment que lorsque l'analyse de robustesse incorpore des incertitudes sur des modes de résonance très pOÎntus, la courbe (M (jm») présente des pics très fins. Dans ces 2 cas, la recherche du majorant il, si elle est ef/'cctuée au moyen d'un simple échan- tillonnage en fréquence, peut conduire à sous-estimer gravement Ic maximum de /lA (M (jw)) 1 donc à tirer des conclusions erronées quant à la stabilité. - En présence d'incertitudes réelles, on peut appJîquer une procédure de régulari- sation. Ainsi. Packard el Pandey [PaPaJ proposent de remplacer chaque paramètre réel 0i par un paramètre complexe 0i + a E;, Oj ER, Ei E e,les variations de Bi' et Ei étant indépendantes. On évalue ensuÎte la valeur singulière structurée pour le 64 Commande Ht:t:l el Jl-analysc : des outils pour la robustesse problème modifié par l'adjonction des Ei' Celle-ci est nécessairement une fonction continue des données et de la fréquence, et son maximum tend vers le maximum de ~ Q (M (jrn)) quand a tend vers O. Le paramètre de régularisation a est choisi faible (a ::::: 0,01 par exemple) pour limiter les incertitudes complexes artificiellement introduÎles à une valeur "raisonna- bic". Il faut néanmoins remarquer que l'incorporation des Ej double la dimension de la matrice des incertitudes paramétriques. D'un point de vue pratique, on peut retenir qu'il est peu recommandé de travailler avec uniquement des incertitudes réeJJes. Souvent la présence d'une incertitude com- plexe suffit à donner à Il!l (M (jro)) une allure suffisamment régulière. Enfin différents travaux, qui sortent du cadre de ce cours, ont été proposés pour éliminer l'échantillonnage en fréquence: dans certains d'entre eux [Hel, FrDB] la fréquence est traitée comme un paramètre incertain, et intégrée à l'analyse de robus- tesse. D'autres approches [MaDo, VaDu, FeBi] consistent à rechercher un intervalle de fréquences sur lequel les facteurs d'échelle D el G calculés pour une pulsation ct une valeur ïI données restent valables. 4.6. Robustesse de la position des pôles Un objectif plus ambitieux que la stabilité est de chercher à garder les pôles du système bouclé dans une région n du plan complexe (n -stabilité), correspondant par exemple à une valeur maximale -a < ° de la panie réelle et un amortissement minimal ç des pôles complexes (figure 4.9). L'analyse est une simple extension de celle du paragraphe 4.4 [FFDM] : le domaine autorisé pour les pôles est limité non plus par "axe imaginaire mais par la frontière an de n, et c'est donc sur an qu'on teste la valeur singulière structurée. On obtient ainsi le résultat suivant: Théorème 4.3 - Si H(s) et Ô(s) ont tous leurs pôles dans n, le système de la figure 4.1 a tous ses pôles dans n pour tout Ô(s) du type (4.12) telle que IIÔ(s)llcn < ~ si et seulement si : (4.23) Il 4.7. Robustesse des marges de stabilité L'incorporation d'incertitudes complexes dans une boucle d'asservissement per- mel de garantir des marges de stabilité pour la boucle où elle est introduite: considé- rons par exemple le schéma de la figure 4.10, où A(s) est du type du type (4.12) et représente les incertitudes physiques, E est complexe, et Sc ER. En rassemblant les 2 incertitudes, on conçoit que la valeur singulière structurée doive à présent être calculée relativement à l'ensemble: 1l1:= {Ô' = diag {A, E} ; Ô E Il : E E C } (4.24) 65 " :3 () -1 Q -2 -3 -"1 Re(s) -3 -2.5 -2 -1.5 "1 ·0.5 0 Figure 4.9 - Domaine requis pOlir le placemefll des pôles Supposons que soit vérifiée la condition suivante: (4.25) où M (s) est définie sur la figure 4.10. Alors le système de la figure 4.10 est stable pourlout i.l(s) de type (4.12) tel que Ilil(s)lIco <y,etpourtout E lei que IEI<y. M(s) L---------l K( s) ,....-------....1 Figure 4. JO - lnco1JJOrat;all d';ncertÎmdes complexes en entrée du sJ'stème Or le transfert entre la sortie et l'entrée de l'incertitude complexe s'écrit: (4.26) où Ses) est la fonclion de sensibilité du système. D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.2), on peut déduire du résultat précédent que pour tout il(s) du type (4.12) tel que lIà(s)lIro < y, Sc Ses) a une norme fI inférieure ou égale à y-l, donc que: 66 Commande Ha::; ct 1 .. H.mnlyse : des outils pour la robustesse La quantité l' K(jro) GUoo) 1 représente la distance entre un point du lieu de Ny- quist et le point critique (-1. 0), dont le minimum est la marge de module (figure 4.11). On peut donc conclure que la marge de module est au moins égale à Sc Y , et ce pour toutes les incertitudes physiques vérifiant IIA(s)lla'"J < y :1 lm -1 0 II-KGI - K( jet)) G (jrt» Figll1ë! 4.1 J Marge de module gaf(mlie Dans le cas d'un systèmc présentant plusicurs boucles de on peut généraliser la démarche en incorporant une incertitude complexe de ce type dans chaque boucle. L'analyse permel alors de garantir une marge de module dans cha- cune d'elles simultanément. 4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle On peut enfin étudier par si l'une des réponses fréquentielles de l'asser- vissement respecte un gabarit spécifié (tel que ceux qu'on spécifie en synthèse H a'"J standard). Supposons par exemple qu'on impose au transfert T y, el (s), entre une entrée (ou un vecteur d'entrées) el et une sortie (ou un vecteur de sorties) )'] de l'asservissement, de respecter la contrainte: (4.28) OÙ HI] (s) est une fonction de transfert scalaire dont l'inverse du module joue ]e rôle de gabarit. Nous supposerons dans la suite que el et YI sont de même dimension ..\ Bien que nc constituanl pas une régularisation au sens mathêmaliquc de ce terme, l'incorporation de celle incertitude complexe a en généml pour effet d'adoucir la courbe de Il A (M (jm)) . Il-analyse 67 11) • On construit alors le schéma-bloc de la figure 4.12.a, en isolant les incertitudes physiques d(s) , que nous supposerons normalisées CIId(s)llçr;> < 1 ), en incorporanl le filtre wi (s) , et en définissant E(s) \1'] (s) YI (s). Il faut à présent assurer que le transfert de H' vers e présente une norme fI cr:: in- férÎeure ou égale l, et ce pour tout A(s) tel que IIA(s)IICil < 1 . D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.2), cette condition est obtenue si el seulement sÎ le sys- tème de la figure 4.12.b est stable pour toul A l (s) tel que Il.1 f (s ) I I ~ < 1 . où A f (s) est une incertitude fictive non structurée bouclanl e sur w. Si on définît alors la matrice de transfert M (s) comme indiqué sur la figure 4.12.b, et qu'on calcule ta valeur singulière structurée relativement à l'ensemble: (4.29) on peut donc énoncer que (4.28) est vérifiée pour tout A(s) tel que IId(s)llo') < 1 si et seulement si : a) Scltéllw pour la robllstesse du tramferl de el l'ers YI (4.30) b) Schéma équimlem de robustesse de la stabilité Figure 4.12 - Robustesse d'une répol/sc fréqu(!lIIielle Comme dans le paragraphe 4.7, la valeur singulière structurée permet de trans- former la condition de robustesse de la performance (4.28) en condition de robus- tesse de la stabilité, et de tester ceLLe condition. 68 Commande H'XJ et Il-analyse: des outils pour la robustesse 4.9. Exemple: asservissement de position Nous reprenons dans ce paragraphe l'exemple traité au paragraphe 2.6 du chapi- tre 2. Nous allons étudier les propriétés de robustesse du système muni du corrccteur calculé par l'approche Hm standard. 4.9.1. l1lcertitudes et forme LFT du moteur Nous allons supposer que le moteur est soumis il 2 typcs d'incertitude: - des incertitudes paramétriques sur le gain et la constante de temps principale - une dynamique négligée, correspondant il la constante de temps électrique. La fonction de transfert du processus est donc la suivante: K G(s)=----- s(1+1:s)(l+r's) l' < 1:;n[\x (4.31 ) La dynamique négligée est lout d'abord modélisée, comme expliqué au paragraphe 4.1.2, en écrivant: G(s) Compte tenu de la valeur de la constante de temps négligée, on choisit , 10-' tmax= -s. Supposons de plus que les paramètres K et 1 présentent ± 25% d'incertitude: K Ko+KI OK' Ko = 240rd/sN , KI =60rd/sN, OK E]-1:+1[ t 1'0 + 110, . rD 15-10- 3 S , 1'] =3,75.10- 3 s, 0, E ]-1; +1 [ soit: K E ]180; 300 [rd/sN; tE ]11,25.10- 3 ; 18.75.10- 3 [s. Le processus avec les seules incertitudes paramétriques a pour équations d'état: (4.32) Posons: Il-analyse 69 - ZK (1) W(t) d - z (1) = l' dt La 2Î!n1C équation s'écrit : (4.33) de sorte que la fonction de transfert peuL être mise sous la forme LFf de ln figure 4. J, la partie inférieure, que nous noterons Hp (.'1), étant décrite par les équations d'état suivantes: 1 . d" . d ' ~ . A( A (8 K el a matnce IOcertltu e s ccn vant: L\ s) = L\ J1 = 0 En ajoutant la dynamique négligée, et en bouclant le système avec le correcteur déterminé au chapitre 2, on obtient une nouvelle LFT (figure 4.13), avec une matrice d'incertitude qui siécrit : (4.35) ,. y Figure 4.13 - Forme LFT du système bOl/clé 70 Commande Hm ct Il-analyse: des outils pour la robustesse 4.9.2. Robustesse de la stabilité Le calcul d'une borne supérieure et d'une borne inférieure de (AI! (Jill)) con- duit aux courbes de la figure 4.14. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,401, on en déduit que la stabilité est garantie pour tout < 1/ 0,401 , donc pour le domaine d'incertitudes suivant: qui contient les incertitudes paramétriques initiales et la dynamique négligée. 0.5 0.'1 0.3 0.2 0.1 o • 10 bornes 5upérillurc 01 inférieure tle mu 10 1 10' borne supérieure de mil en w ;; 0 : 0.25 . pulsation (rtlls)10 Figure 4.14 - Robustesse de la stabilité 4.9.3. Robustesse de la positioll des pûles A l'aide du même schéma, on peut chercher à garantir que les pôles du système bouclé reste dans un domaine Q tel que celui définÎ sur la figure 4.9 ( .Q -stabilité), en calculant (M (s)). pour s parcourant la frontière de ce domaine (paragraphe 4.6). Il faul bien sûr que le modèle moyen (correspondant à K 0' 10' et sans dyna- mique négligée) ail tous ses pôles dans .Q . Ceux-ci sont les suivants: Partie réeJle 48,14 - 146,9 - 982,7 -1000 Partie imaginaire ± 9,16 ±39,9 a o Pulsation propre 49,0 152,2 Amortissemen l 0,98 0,96 l-1-ana1yse 71 En choisissant -a = - 30 et ç = 0,3 , on obtienl la courbe de la figure 4.15. La borne supérieure présentanl un maximum de l'ordre de 0,938 1 on en déduil que 1'.0 - stabilité est garantie pour tout IILl(S)llm < 1/0,938, donc pour le domaine d'incertitu- des suivant: K E ]176,0; 304,0 [rd/sN 't E ]11,00.10- 3 ; 19,00.10- 3 [5 et IILl, (s)IIaJ < 1,06 bOlnes 5upérieuro el inférieure de mu ta' 10 2 10' pulsillîan (rtl/s) 10' bOlIIo supariCUlt! dl.) mu en w = 0 : 0.57 Figure 4.15 - Robl/stesse de /a position des pôles 4.9.4. Robustesse de la marge de module Le modèle moyen présentant une marge de module de 0.74, nous allons chercher à garantir une marge de module supérieure ou égale à 0,5 pour le système incertain. Comme expliqué au paragraphe 4.7. on modifie pour cela le schéma de la figure 4.13, en ajoutant une incertitude complexe (figure 4.16). La matrice d'incertitude est maintenant: (4.36) On obtient les courbes de la figure 4.l7. La borne superIeure présentant un maximum de l'ordre de 0,908, on peuL garantir une marge de module au moins égale à 0,5/0,908 = 0,55 , pour tout I I L l ( S ) I L ~ < 1/0,908, donc pour le domaine d'incertitu- des suivant: K E ]173)9; 306,1 [rd/sfV 1: E JI0,87.10- 3 ; 19.13.10- 3 [5 et liAI (s)IL < 1,10 72 Commande HcfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse Figure 4.16 - Schéma d'analyse de la robustesse de la marge de module uorneS stJPëriCUIEl 01 infëriaurl! da mu O " ~ o ' 10' 10' pulsation (rd/5) 10' uorne supÎ!riouro da mu en w .. 0 : 0.25 Figure 4.17 - Ralms/esse de la marge de modllle 4.9.5. Robustesse du suivi de consiglle La ligure 4.18 montre la réponse fréquentielle du transfert entre l'entrée de réfé- rence r et l'erreur d'asservissement E pour le modèle moyen. On peut chercher à garantir pour le système incertain un gabarit tel que celui représenté sur celte même figure, qui correspond à la fonction de transfert : 2,5.'1 + 1 "'2(s) S + 100 (4.37) Comme expliqué au paragraphe 4.8, on modifie pour cela Je schéma de la figure 73 4.13, en ajoutant une dynamique négligée fictive (figure 4.19), avec 1I'2 (s) comme pondération. La matrice d'incertitude est maÎntenant : (4.38) reponSIl nCminill!l Dt gilbmlt choisi 10' ,.------.-----,----...,....----, 10° 1010" 10' 1 10 10' 10' PUl5ilticn ('dis) Figllre 4.18 - SI/li'; de cons;glle f/ominal. et gabarit cho;si Figure 4.19 - Schéma d'analyse de la robmlesse dl/ sllivi de consigne On obtient les courbes de la figure 4.20. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,994, donc inférieur à 1, on en conclut que le gabarit Îni- tialement choisi sera effectivement respecté, ct cc pour tout 116.(s)ll<7) < 11 0,994 donc pour le domuine d'incertitudes suivant: 74 Commande Hrr; eljl-analyse : des outils pour la robustesse K E ] 179,6; 300,4 [rd/sN ; 1" E ]11,23.10- 3 ; 18,77.10- 3 [s et liAI (s)ll", < 1,01 0.7 bernes supèlicur() cl inlârieura de mu 10' pulsalion (rd/5) 10· borna supârieuTo de mu cn w '" 0 : 0"25 Figure 4.20 - Robustesse du suivi de consigne Remarque 1 : si dans ce problème la valeur maximale 11 de la borne supérieure de lM (jro) est supérieure il l, on ne peut garantir le gabarit proposé mais on peut garantÎr le gabarit plus large ft IIw2 (jro)1 ' pour un domaine d'incertitudes réduit dans un rapport il . Remarque 2 : par ailleurs, on prendra soin, dans les Il-analyses, de toujours calculer la valeur de en 00=0. En effet peut présenter une discon- tinuité en ce point lorsque les variations paramétriques amènent un pôle réel il fran- chir l'axe imaginaire (voir l'exemple du paragraphe 4.4.2). Annexe: borne supérieure de Il (p) Nous allons démontrer la borne supérieure (4.20). Rappelons que pour l'établir on considère les deux ensembles de matrices définis par (4.17 .a) et (4.17 .b) reportés ci-dessous: 75 On a alors, pour tout (C,Ô)EG x8: CÔ=Ô*C. On en déduit que pour tout (Il, z) solution du système "- { \l= Ô - z= PI' z • (C Ô Ô" G ) z = 0 <=> z.*Gv l',oGz =0 <=> v,o p,o G l' - v" G P l' = 0 et donc: cette expression ayant pour but d'obtenir une expression où intervienne une matrice G , la présence de j permettant de conserver une matrice hermitienne. Par a iIJe urs , soit v).:::), les vecteurs et la matrice de plus petite norme pour laquelle le système cÎ-dessus est singulier. Comme l') = Ll) P 1'\ • on peut écrire; 1"" Il, P", Il, ,; 0'("" III P", Il,: Il p\',II, rinégalilé provenant de la propriété (1.5j) de ln valeur singulière supérieure, et la dernière égalité de la définition de (p). On il donc: On sait enfin que sÎ H est une matrice hermitienne, ses valeurs propres sont réelles. et la plus grande d'entre clles I(H) vérifie: x" H x -A(ll) max---= . x,,",o x"x En rassemblant ces 3 résultats, on obtient: Si on remplace à présent P par D P D- 1 ,où D est une matrice quelconque de D, on obtient: 76 Commande lltfJ cl Il-analyse: des outils pour la robustesse celte inégalité étant vérifîée pour tout (D, G) E D x G En reprenant le raisonnement ayanl conduit à la borne supérieure (4.19), soit p* le minimum sur (D,G)E DxG du second membre de J'inégalité précédente. Alors: cette dernière inégalité étant obtenue en posant D' = D 2 E D el G':= DG DE G . On obtient ainsi la borne supérieure (4.20). Chapitre 5 POLIr aller plllS loin ... Dans ce cours, nous avons présenté des méthodes de synthèse et d'analyse qui, utilisées conjointement, fournissent des outils permettant d'obtenir des commandes performantes et robustes dans un grand nombre de cas pratiques. L'objet de ce cha- pitre est de donner au lecteur une ouverture sur des techniques voisines ou qui cons- tituent un prolongement naturel, et en particulier sur la -synthèse, qui tente de réaliser de façon "automatique" l'association de la synthèse Ha;) et de la 5.1. Le problème de la "synthèse robuste" 5.1.1. De la synthèse Ha;) à la jJ -synthèse Au vu des développements des chapitres 2 à 4, on peut être tenté de chercher une réponse au problème suivant: peut-on déterminer un correcteur qui garantÎsse que la norme H ctJ d'un système bouclé reste inférieure à un niveau y donné, ce système étallf soumis à différentes illcertitudes de modèle? Pour aborder ce problème, on considère le schéma-bloc de la figure 5.1.a, qui combine le schéma de la synthèse H co standard (figure 2.1) et celui de la (figure 4.1). Comme au chapitre 4, les incertitudes Ll(s) ont la structure générale: Ll(s) ::= diag {Lll (s), ... ,Ll q (s), 0]1 rJ ' ••• ,0 ri rr ' El/Ci"" , E (.' 1 c,_ } Ll i ( S) E RH U] ; 0 i ER; E i E C (5.1 ) ct nous supposerons qu'ellcs vérifient les conditions de normalisation: En supposant de plus que le niveau y à satisfaire est égal à 1 (on peut toujours se ramener à ce cas en intégrant la valeur de y dans la matrice P(s)), le problème est Je suivant: déterminer un correcteur K(s) tel que la norme H Cf) du transfert de \1' vers e soil Înférîeure à l, pour tout Ll(S) du lype (5.1) telle que IILl(.'I)IL < 1 . Comme dans J'analyse de la robustesse d'une réponse fréquentielle (paragmphe 4.8), le théorème du petit gain permet d'établir que cette condition est obtenue si et 78 Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse seulement sÎ le système de la figure 5.I.b est stable pour tout b. f (s) lei que Il.6 l (s)lICf.) < 1 , où b. f (s) esl une incertitude fictive non structurée bouclant c sur \l' . Celle condition est cHe-même équivalente à : (5.3) où l'ensemble L1," (défini comme en (4.29)) tient comple simultanément de la pré- sence de b. l (s) et de la structure de il(s) . Déterminer un correcteur vérifiant (5.3) est appelé un problème de Il-synthèse [Doy]. Malheureusement, en dehors de cas simples, il n'a pas de solution connue à l'heure actuelle. Z \' ..... \1 e w e w y Il Il a - Problème de synthèse robuste b Mi,\"(! en/orme pour la ll-sy11lltèse Figure 5.1 - Approche de III synthèse robl/ste par la p-symhèse 5.1.2. Approche de la Il*syllthèse par la D-K itération Or, pour chaque valeur de ffi, l'inégalité suivante est vérÎtïée : K(jffi))) cr{olll FI (PUffi), K(jW))DI!)-I) (5.4) où DI!} est n'importe queIle matrice inversible qui commute avec toute matrice de la forme diag tb.(jro), il f (jro) J. Remarquons, au vu de la nOle 3 du chapitre 4, que l'on n'esl pas obligé d'imposer à DIJJ d'être hermitienne. Un problème plus réalisle est donc le suivant: Problème 5.1 : Déterminer un correcteur K(s), et une matrice D(s) E RH Cf.) telle que D(S)-lERHCf.) commutant avec toute matrice dîag {il(s),ilr(s)} ,tels que: Pour aller plus loin". 79 En effet, la condition (5.5) assurera que: Notons que la contrainte d'avoir D(s) et D(s)-I appartenant à RHm est nécessaire pour qu'il existe un correCLeur stabilisant la matrice de transfert qui apparaît dans (5.5). Là encore, ce problème n'a pas de solution connue en général, mais on peut tenter de le résoudre en cherchant alternativement les matrices K(s) el D(s) : en effet, calculer K(s) li. D(s) fixé n'est autre qu'un problème H -standard, correspondant au schéma-bloc de la figure 5.2 ; à K(s) tixé, la recherche de D(s) peut être con- duite en calculant la borne supérieure (5.4) pour un ensemble de valeurs de (ù choisi a priori, puis en interpolant les matrices Dm obtenues par une matrice de transfert stable et à inverse stable. Figure 5.2 - Problème H Ct) -standard résolu lors des D-K iléra/iOJlS On obtient ainsi la procédure suivante, appelée D - K itération [Doy, ZhDG] : i) choisir un ensemble inilial de matrices DIlJ (par exemple égales à la maLrice identité) ii) interpoler les matrices DIU par une matrice de transfert D(s) stable et à in· verse stable iii) résoudre le problème HOC) -standard (5.5) à D(s) fixé Iv) pour un ensemble de valeurs de Ol choisi a priori, calculer Dw telle que la borne supérÎeure a(DhIF/(P(jOl),K(jOl»)D w - l ) soit minimale (il s'agit d'un pro- blème du type (4.19» v) comparer les matrÎces Dw avec celles obtenues à J'itération précédente: si elles sont proches (au sens d'un critère donné), arrêter; sinon retourner à l'éLape ii). Pour examiner la convergence de celle procédure, on peut remarquer que: 80 Commande Hm ct ll-ana1yse : des outHs pour la robustesse - le maximum sur ro de lu borne supérieure calculée à ré tape il') est nécessaire- ment plus peLit que la norme obtenue à l'étape iii) - s; Oll était capable d'intelpoler pmfaitemen! les matrices Dm' la norme H tr) obtenue à l'étape iii) serait nécessairement plus petite que le maximum sur ffi de la borne supérieure obtenue à l'étape il') de l'itération précédente. On aurait donc l'assu- rance que la procédure converge vers un minÎmum local. Par ailleurs, le problème H co -standard résolu à l'étape iii) utilise une matrice d'interconnexion PD (s) qui comprend les matrices D(s) ct D(s)-l (figure 5.2) : l'ordre du correcteur obtenu par l'algorithme de Glover-Doyle (paragraphe 2.2) ou la résolution par LMl (paragraphe 2.4) sera donc égal à l'ordre de PD (s) , qui croît de façon polynomiale avec J'ordre de D(s). Le point qui pose problème est donc l'étape d'interpolation ii). En pratique, on se limite souvent à une interpolation grossière. de sorte qu'on perd toute garantie de convergence de la D - K itération. même vers un minimum local. 1 Il faut aussi noter que la procédure présentée ne prend pas en compte la présence éventuelle de paramètres réels dans ô(s) , puisque la borne supérieure (5.4) est aussi valable pour des matrices complexes. Une procédure utilisant des matrÎces D et G telles que celles définies par (4.17) a été proposée sous le nom de (D-G)- K itéra- tion [Vou]. Mais elle est plus lourde à meUre en œuvre. Une alternative plus simple a été proposée dans l T ASN]. Enfin ces procédures sont évidemment d'autant plus lourdes que le nombre d'in- certitudes prises en compte dans .6.(s) est important. Une utilisation intelligente de ces techniques consiste donc à les employer avec un nombre d'incertitudes limité, en ayant pris soin de choisir celles qui sont les plus pénalisantes pour la synthèse. Après quoi on fera une analyse de robustesse beaucoup plus fine, la procédure de )1- analyse développée au chapitre 4 ne présentant pas les mêmes inconvénients. On retrouve donc encore une fois que la mise en pratique nécessite de séparer les phases de synthèse et d'analyse. 5.2. Ouverture sur d1autres techniques Sur le plan méthodologique, ces dernières années ont vu un développement con- sidérable des approches utilisant les Inégalités Mutricielles Amnes (LM!). Lorsqu'il est possible de formuler un problème d'analyse ou de synthèse avec des LM!, on obtienl en effet un problème d'optimisation convex.e (ou quasi-convexe), pour lequel des algorithmes efficaces (avec un volume de calcul qui est une fonction polyno- miale du nombre d'inconnues) sont aujourd'hui disponibles fBoEI, NeNe]. Nous avons mentionné dans ce document que des problèmes tels que la synthèse H 00 ou le calcul de certaines bornes supérieures de )1 entrent dans ce cadre. Mais 1 Notons il cc sujet que, dans le clldrc d'une synthèse H cr: -standard, la procédure peut être utilisée Qvec des matrices Dé) diagonales constuntes [ACGB] : elle permet de trouver une pondémtion "optimale" cntre Jes différents couples entrée-sortie du critère H ~ . Pour aller plus loin... 81 ces problèmes offrent un point de départ à bien d'autres: nous allons présenter briè- vement certains d'entre eux dans ces derniers paragraphes. 5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV On appelle "système LPV" un système qui dépend Linéairement de Paramètres Variant dans le temps, et qui peut donc êlre représenté sous la forme: (5.6) où S(t) (9 1 (t), 9 2 (t), ...• 9 11 (t) Y est un vecteur de panimètres dépendant du temps. Lorsque les différentes matrices de la représentation d'état (5.6) dépendent de 9(t) de façon rationnelle, ce système peul être écrit comme la LFT d'un système linéaire stationnaire (décrit par la matrice P(s) sur la figure 5.3) et d'une matrice G(I) iso- lant les paramètres: (5.7) On peUL chercher pour ce système un correcteur sous la même forme, c'est-ti-dire se présentant comme la LFr d'un système de matrice de transfert K(s) et d'une réplique dc la matrice e(t) (figure 5.3): ce COlTccteur s'adapte de lui-même à l'évolution des paramètrcs (Pac, ApOa, ApBG • ScEI]. L'analyse et la synthèse de ces systèmes peut s'exprimer HU moyen de LM! : ainsi la synthèse de la matrice K(s) peut s'exprimer au moyen de 4 LMI [ApOa] qui se présentent comme une généralisation des LMI (2.14) de la synthèse lI!f2 standard. e ---1 )' tV 1+--- li Figure 5.3 Syslèull.' el corrcClcl/r LPV 82 Commande H:r" et Il-analyse; des outils pour la robustesse 5.2.2. Analyse et synthèse 111l1lti-critère Plus généralement, "évaluation des performances d'un système ou la synthèse d'un correcteur peut se faire suivant différents critères mathématiques. Si nous con- sidérons par exemple le système bouclé de la figure 5.4, on peut imaginer de cher- cher à satisfaire des contraintes prises parmi les spécifications suivantes: - le transfert entre lt':r" et e:r" présente une norme H lT.l inférieure à un niveau 1 ctJ - le transfert entre 1t'2 eL el présente une norme H 2 inférieure à un niveau 12 - le régime transÎtoire du système bouclé est au moins aussi rapide que la fonc- tion e -at (avec ct> 0 ) - le système bouclé a tous ses pôles dans une région convexe du plan complexe (qui peut être une bande, un cône, un disque, un ellipsoïde, ou tOUle intersection de ces régions) - à tout instant la norme d'un signal intermédiaire (le vecteur des commandes par exemple) reste inférieure à une certaine valeur. pour toute condition initiale dans un ensemble convexe donné. Ces différents critères (dont la liste n'est pas limitative) s'expriment en effet par des LMI et peuvent dans certains cas s'étendre au cadre LPV. On trouvera un nom- bre important de critères avec leur mise en forme pour l'analyse eL la synthèse dans les références [Fol, ScGC]. Figure 5.4 - Schéma général de synthèse Signalons pour finir que les LMI permettent également J'extension de la synthèse H CJJ par "Ioop-shaping lt au cadre multi-modèle: les résultats donnés dans [MiVi] permettent en effet de rechercher un correcteur unique, d'ordre fixé, assurant une norme H:r" inférieure à un niveau y pour un nombre fini de modèles. Chapitre 6 Exercices C011 4 igés Nous présentons dans cc chapitre J 2 exercices porlant sur la synthèse H <1J et la Il-analyse, qui peuvent être résolus à la main et servir de base à des séances de Tra- vaux Dirigés. Les corrigés figurent à la lin du chapitre. , Exercice 1 Calculer les valeurs singulières de la matrice de transfert G(s) ( J / s -2/ s 11 .'1). 2/s Exercice 2 On considère un système de fonction de transfert G(s)::::: 1 . On veut détermÎ- s+1 ner un correcteur assurant les performances suivantes: - suivi de consigne avec erreur statique inférieure à 1% Lemps de réponse de l'ordre de 3 s - marge de module au moins égale à 0,5 - gain entre la référence eL la commande inférieur à 2 pour tout ID. Concevoir un problème fI ct;) standard permettant d'assurer ces objectifs. Donner une représentation d'état du système en boucle ouverte sous forme stan- dard. Vérifier que les 2 premières hypothèses requises par l'algorithme de Glover- Doyle sont remplies. Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) Un correcteur solution du problème précédent,l assurant y ::= 0,87 , est: K(s) 1,4 s + 1 .1+0,01 1 L'algorithme de Glovcr-Doyle fournil en fait un correcteur d'ordre 2 (ordre de ln représentatÎon d'étal du système sous fonne standard). Mais le deux.ième pôle est en -BD, el peut donc êlre négligé sans que cela affecte les perrormonces du système. 84 Commande Hr:.o cll .. Hmalyse : des outils pour la robustesse. Calculer les fonctions de transfert S(s), K(s) SCs) et K (s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle. Comment modifier les pondérations pour atténuer le gain du correcteur dans les hautes fréquences? Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) Un correcteur solution du problème précédent,:! avec y = 1,11, est: K( ' 4 s+1 s) = (s+0,01)(s+4) Calculer les fonctÎons de transfert S(s); K(s) Ses) et K(s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle. Le modèle nominal du système néglige une constante de temps secondaire, dont la valeur maximale est estimée à 0,25 s. La présence de celte constante de temps remet-elle en cause la stabilité de j'asservissement? Exercice 5 On considère un système de fonction de transfert G(s) =-----. On veut +0,1 s + 1 déterminer un correcteur K(s) dont la sortie s'ajoute à une perturbation b (voir figure 6.1). Le correcteur doit assurer les performances suÎvantes : - limiter la résonance du transfert entre b ct )' à 1,4. ~ ramener la pulsatÎon propre du système aux alentour de 0,5. - assurer des marges de stabilité correctes. Concevoir un problème H 00 standard permettant d'assurer ces objectifs. Exercice 6 On reprend l'exemple élémentaire du paragraphe 2.3. Ecrire les LMI permcllant la résolution du problème. En déduire la valeur opti- male de y et l'ensemble des matrices R et S admissibles. Discuter l'ordre du cor- recteur. Calculer la matrice X dans le cas d'un correcteur d'ordre 1 \ puis d'un correcteur d'ordre O. Dans ce dernier cas, écrire la LMI permettant de le déterminer. 2 L'algorithme de Glover-Doylc fournit ici un correcleur d'ordre 3 (ordre de la représentation d'état du système sous forme standard) dom le pôle le plus élevé, comme précédemment, peUl être négligé. Exercices corrigés 85 y + 0,1 s+ l Il Figure 6. J Slmet/lre de correctio/l (cxacÏce 5) Exercice 7 SOÎt P = (0 1 2 J. Calculer (p) dans les cas suivants, et comparer les va- -2j leurs obtenues: A = C 2 >,.} - = {dillg {8 1 ;8:J, 8),8 2 E C} - {dÎag {8 J ;b 2 }, 8 1 ,8 1 ER} - f! := {diag {15 ; 81, 15 ER} Exercice 8 Soit P = - : J. Calculer Il (p) dans les cas suivants: - f! {diag {o;8}, 15 ER} - A:=. {diag {8;8}, 8 E C} Exercice 9 Soit le système linéaire d'équations d'étal: = (1 +.81 )X1 + + /1 '\1 - .\( + (1 + 8 1 )'\:2 )' = XI + X 2 )' ExtraÎre les incertitudes, conformément au schéma ci-dessus, cn donnanl la présentation d'étal du système H, el l'expression de f! . 86 Commande el Jl-analyse : des outi1s pour la robustesse Exercice 10 { ot l = (1 +O( )X I + 5)x 2 + Il Même exercice que précédemment, avec ·\:2 XI + (1 + 8 2 )X2 )' x, + x2 Exercice Il M A • , 'cl Y(s) eme exercIce que prece emment, avec -- U(s) Exercice 12 a=1+8. On considère le système décrit par le schéma-bloc de la figure 6.2, avec a=2+0 1l , g 8 a ,OgER. Figure 6.2 - Système lll'CC 2 incertitudes paramétriques y Figure 63 Forme LFT recherchée Extraire les incertitudes 8(1,8 g , conformément au schéma de la figure 6.3, en donnant l'expression de la matrice de transfert fi Cs) et de la matrice A. On note A1 (s) = fi zr (s) . Calculer (jw)) correspondant à cette incertitude. Déterminer par un ensemble de valeurs de a, g pour lesquelles la sta- bilité est garantie. Tracer dans la plan (a, g) le domaine de stabilité réel du système de la figure 6.2, et comparer au domaine déterminé par -analyse. Déterminer par -analyse puis par calcul direct un ensemble de valeurs de {l, g pour lesquelles le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 . Exercices corrigés 87 Corrigé de rexercice 1 On calcule: G(jre)G(-jro/ = ~ ( 1 IÎ 1 (1 -2J =_1 (2 0J 1 re - 2 2) jre 1 2 ro 2 ° 8 Corrigé de "exercice 2 Les 3 premières spécifications concernent la fonction de sensibilité S(s). Elles permettent de fixer respectivement son gain statique (0,01), sa pulsation à ° dB (== 3/3), et son gain maximal (1/0,5), d'où on déduit le gabarit de la figure 6.4 : ') - - D,DI Il s + 1 0,01 Figure 6.4 - Gabarit Sllr S Fig/lre 6.5 - Schéma de synthèse H co La dernière revient à imposer au transfert K(s) Ses) un gabarit constant, égal à 2. On en déduit le schéma de synthèse de la figure 6.5, avec: En écrivant: ( ) -('J S+0,01]-'_05 s+2 \VI s - - - , s+2 s+O,OI ° 0,995 w\(s) = ,5 + --- s+O,Ol y 88 Commande HC1'J ct J.l-analysc : des outils pour ln robustesse on déduit une représentation d'état de Hl) (s) : { dX) --= 0,0) XI +E dt el = 0,995 XI + 0,5 E Une représentation d'élat du système sous forme standard est donc: d[Y] (-1 ° J[YJ [o:lJ[rJ dt XI = -1 -0,01 XI + 1 i ° ~ [ el J [-0,5 0,995J [ J [0,5: ° J( J =: = - ~ I - - - + - ~ : + -H 9 t ;. On vérifie les 2 premières hypothèses de l'algorithme de Glover-Doyle, sOÎt avec les notations du chapi tre 2 : M (Bu A Bu) = esl de rang 2, donc le système est commandablc. ( 1 -lJ ° -1 [ CI' J (-1 0J - - cst de rang 1 : le système est non observable par E, mais la CrA 1 ° partie non observable correspond au filtre \1'1 (s) (évident d'après le schéma) qui est stable, donc le système est délectable. A notcr d'ailleurs que lout système stable est de fait stabilisable el délectable. - Dm [0 J ct D\w = J sont de rang plein (égal à 1). 0,5 - Corrigé de l'exercice 3 On obtient: Ses) s+O,OI, K(s)S(s) = .\"+1,41 s + 1 S 1,4 --et K(s) (s)G(s) =-- s+I,41 s+I,41 Ses) a un gain inférieur à 1 : en lraçanl son diagramme de Bode, on peul cons- tater qu'il est en dessous du gabarit 1/ \\'1 (s). Le diagramme de Bode de K(s) Ses) est effectivement Înfërieur à 2. K(s) S(s)G(s) est le transfert entre r et y (figure 6.5) : la sortie répond à la consigne comme un premier ordre de constante de temps ) 11 AI, d'où un temps de réponse de l'ordre de 3/ l ,14 ;::, 2,2 s. Exercices corrigés 89 Pour atténuer le gain du correcteur en haute fréquence, il faut imposer un gabarit il K(s) Ses) (car en haute fréquence, K(s) Ses) ~ K(s)), lei que celui représenté sur la figure 6.6, avec par exemple Cl = 2 (supérieur à la bande passante obtenue précé- demment) el b = 100 (sufJisamment grand), soit : ( 1 + sIl OOJ-I W.,(s)= 2--- - l+s/2 0.5 1 + s /2 1 +s 1100 Figure 6.6 - Gabarit sur K S Corrigé de l'exercice 4 On obtient: (s+0,01)(s+4) s+1 4 Ses) =., ; K(s)S(s) = 4 ., ; K(s) Ses) G(s) = -., --- s-+4s+4 s-+4s+4 5-+4.'1'+4 Ses) a un gain înferieur à 1 ; Ses) el K(s)S(s) ont leur diagramme de Bode en dessous de leurs gabarits respectifs 1,1 l/lWI (jro)1 et 1,1 J IIw2 (jill)l. K(s) Ses) G(s) est à présent un transfert du second ordre (avec un pôle double en -2). D'après l'exemple du paragraphe 4.2, la slabilité est assurée si Je diagramme de Bode de K(s) Ses) G(s) est en dessous de celui de (-1: max s/{i+tmax .'1 )t l , avec ici II '[max 4. La fonction K(s) Ses) G(s) obtenue vérifie celle condition. Corrigé de l'exercice 5 On utilise le schéma de la figure 6.7, obtenu comme expliqué ci-dessous: - les 2 premières spécilications indiquent qu'on veut garder entre b et y un comportement du second ordre, mais avec une pulsation propre plus faible el un amortissement plus grand. On applique donc à y une pondéraLÎon 11'1 (.'1) d'ordre 2, donl la forme générale est donnée sur la figure 6.8, et qui s'écrit: 90 Commande l-/cn el Jl-analysc : des outils pour la robustesse avec les ordres de grandeur suivants: k 1,2. (01 = l, {Oo = 100 (suffisamment grand) ct ç{) = l;,J :::: 0,7 (pour éviter les résonances, tout en restant au plus près du tracé asymptotique). y S2 +0,1 s+ 1 Figure 6.7 - Schéma de synthèse li:o '*' k -+----.. 1 ~ - - - - ~ ~ - - ~ ~ Figure 6.8 - Gabarit .ml' le transfert de b vers y Figure 6.9 Gabarit SHr le lransfert de b l'crs Il - des marges de stabilité correctes peuvent être obtenues soit en disposant une pondération il J'entrée l' du système (le transfert entre b ct \1 représente la fonction de sensibilité S(s)). soit en disposant une pondération sur la commande (le transfert entre b el li représente la fonction K(s) Ses) G(s) ); nous avons choisi cette der- nière possibilité car elle permet également de limiter le gain du correcteur en haute fréquence. Le gabarit imposé à ce transfert (voir ligure 6.9) a un gain inférieur à 2 (ce qui, d'après l'abaque de Nichols, assure des marges de gaÎn et de phase au moins égales il 6 dB el 30°), et décroît dans les hautes fréquences, soiL : ( 2 l + S/200J- 1 =::: 0.5 1 + .'1/2 1 + s / 2 1 + s / 200 Exercices corrigés 91 - si on utilise l'algorithme de Glover-Doyle, il faut enfin ajouter une perturbation sur la sortie : sans celte pondération en effet la matrice DYII' du problème standard est nulle puisque le transfert entre l'entrée b et la commande Il tend vers 0 en haute fréquence. Physiquement, cette perturbation peut être interprétée comme un biais ou un bruit sur la mesure. Afin de limiter son effet, on lui affecte une pondération H'3 constante choisie faible mais non nune, soit par exemple \\'3 .:::::: 0,01 . Remarque: avec les gabarits cÎ-dessus, l'algorithme de Glover-Doyle fournit un correcteur assurant y = ],00. Corrigé de l'exercice 6 On calcule tout d'abord les "facteurs externes" des 2 premières LMI : D;",)= (1 : 0 1) d'où par exemple N R = [ ~ ~ J -1 0 De même : (C \' Dyll' )= (I : 0 1) d'où N s = N R = [ ~ ~ J . La matrice A -1 0 étanl scalaire, les matrices R et S le sont aussi. La LMI (2.14.a) s'écrit: 1 0:0 O\T 1 0 1 :0 0 1 -1 0:0 0 -----1---- o 0: 1 a 0 [ y -R soit : -1 o 010 1 -R -1 Y 0 o y o a 0: R 0 1 ] o '- 1 0:0 0 1 - - ~ - - - - - - - r - - - - - - - 1 R: -y 0 1 0 0 0 1 :0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 -yl 0 0 -1 0:0 0 <0 --r-------r------- 1 : 0 0: -y 0 -----1---- o 0: 1 0 O! 0 a !' 0 -y 0 O!O 1 La LMI (2.14.b) s'écrit sous une forme identique, el fournit la condition supplémen- taire: Enfin la LMI (2.14.c) s'écrit : 92 Commande Hm el : des outils pour la robustesse ( R 1 J {R 0 {S 0 II S <:::> Le domaine correspondant aux dernières inéquations esl représenté sur la figure 6.10. S 5 \ 1 1 ! i 1 4 -I----:---·--i-r-··- 3.5 \ ! 1 J \ i 1 1. -\ 1---+----_ 1.5" 1 1 R Figl/re 6. JO - Domaine de couples (R, S) admissibles La valeur minimale de y vérifie: y2 -1> min (R 2 , S2)= 1 (minimum atteint pour R = S) d'où y>.fi. Le correcteur est d'ordre égal au rang de 1- R S , soÎl 1 cn général, sauf si l'on choisit S = Il R auquel cas 1- R S = 0 et on peut calculer un correcteur d'ordre O. Un correcteur d'ordre 1 est obtenu en formant la représentation d'état (2.17) : puis en choisissant: M = -N = R S -1 dans (2.18.b), d'où d'après (2.18.c) : Exercices corrigés 93 Les scalaires Ac, Be' C(:, De sont alors obtenus en résolvant la LMI (2.) S.a). Dans le cas d'un correcteur d10rdre 0 (qui se réduit donc au seul De), on a R S = l , X = S , et : Le scalaire De sera obtenu par résolution de la LMI (2.18.a), qui s'écril ici: DeS 0 1 0 De 0 Corrigé de l'exercice 7 On obtient, dans l'ordre de J'énoncé: - llà(P) = 2 (pour 8 2 - 1 (pour 8 1 - j/2) ) ) 1 De 0 0 -y 0 De <0 0 -y 0 De 0 -y Chaque ensemble étant contenu dans le précédent, les valeurs obtenues pour (p) sont décroissantes (non strÎl:temenL). Corrigé de r exercice 8 On obtient respectivement 0 (pas de solution) et 1 (pour tS = - ) / 2 ± jfj /2 ). Corrigé de l'exercice 9 94 Commande HtrJ elll·nnalysc : des outils pour la robustesse el A noter qu'il faut répéter 8 1 dans 6.., car 8, apparaît 2 fois dans les équations, par des termes différents. Corrigé de l'exercice 10 On pose v, = 0, (x, + x2) 8, z, ; v 2 = 8 2 x2 8 2 Z2,' d'où: A noter que, 01 n'intervenant que dans la première équalion. il est possible de ne pas le répéter dans il (rien n'empêche de le faire, bien sûr, mais pourquoi faire com- pliqué sÎ l'on peul faire simple ?). Corrigé de l'exercice Il Cette fonction de transfert correspond à l'équation dinërentielle : On pose \'1 = 0)' = 0:1 ; 1'2 = 0 (5' + 2)' + vI) = 8 :2 1 d'où: Exercices corrigés 95 et A noter que la mise en facteur de 0 dans l'équation différentielle permet d'avoir une matrice ,1 de dimensîon 2 (on peuL aussi, plus brutalement, développer l'équa- tion et poser successivement "1 = 6 S, = 8 ZI 1 \12 = 28 Y = 262:2' v] = 6 2 y 5 Z] avec 2:3 = li 4 ,et v 4 = 0 y = 0 Z:4 ' ouf! Mais alors est de dimension 4, cl pourquoi faire compliqué si ... ). Corrigé de l'exercice 12 Le schéma-bloc peut être redcssiné sous la forme de la figure 6.11. y Fig/lre 6.11 Système bO/fclé avec 2 illcertÎwdes pommétriques d'où l'on déduit facilemenl ; -) 1 1 --1 s+3 s+3: ..\'+3 1 -1IS+2 ____ 1_- .s±l __ .t±J_L.:Ltl -1 1: 1 --1 s+3 s+3! s+3 On a alors, avec AI(s) = H ::\,(5) : det(I:! -/'d(jw),1) Comme 6 11 et 6 t-: sont réels, ce déterminant ne peul s'annuler que pour (0 = 0, pour 0(1 et 51: vérifiant: 0a+og+3=O.Comme a(,1) eSl 96 Commande Ht1j el : des outils pour la robustesse maximalcpour 8'1 ::::-3/2.0nadonc: fl(M (jro)} 0 si m;: 0 (j0)) = 2/3 On en déduit que la stabilité est garantie pour Lous i\ et 8 g tels que 18 a l < 3/2 et \8 KI < 3/2 , soÎt pour tout (a, g) E ] 0,5 ; 3,5 [x ] - 0,5; 2,5 [ (tïgure 6.12.a). L .. . d • ,1 ,Y(s) . bl a 10nctlOn c translcrl uU systeme est --= • qUI est sta e pour R(s) s+a+g a + g > 0 . Le domaine déterminé par -analyse est le plus grand carré centré sur le point nomÎnal et contenu dans ce domaine (figure 6.12). Si on cherche à présent à garantir par Il que le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 , on doit résoudre: ( ) 8" + dct/ 2 -!vl(s)A =1+ =0 avec s=-I+jro s+3 soit -1 + jCi) + 8 a + Ô,Ii + 3 = O. Là encore celle équation n'a de solution que pour m 0, auquel cas O:(A) est maximale pour 8(/ :::: 5.t: = -1 . On a donc: ( -1 + jro)) 0 si ro:;t 0 (-1 + jO)) = 1 L' n -stabilité est donc garantie pour tout (5 1" 5 11 )e ] -1 ; + 1 [2 , soit pour tout (a, g )E ]1 ; 3 [x ]0 ; 2 [. Le domaine réel est décrit par II + g > 1 (figure 6.12.b). g 1 ·2 ·3 ·1 INS i 1 )oinl :n0l linhl i 1 '" 1 ! étJnniné ,,1 ùOll!.Ulle "- 1 TARL , i 1 Cl li) s/abilité g ·1 ·2 ·3 ·1 ! ! 1 1 1 nominlll tpaint T délc rllliné 1 1 1 a b) n -stabilité Figure 6.12 - Résultats de fl-al/alyse dans le plan (a, g) Chapitre 7 Etllde d'tIn cas d'application L'objet de ce chapitre est de présenter les concepts de synlhèse H <X.l standard, de synthèse H t:r) par "loop-shaping" et de J.l-analyse sur un cas d'application réalîstc, il savoir la commande d'un bras relié à une plate-forme par une transmission élastique. Nous nous sommes basés sur la description fournie dans [Rotl. Les synthèses eL les analyses correspondantes ont été réalisées sous MATLAB/SIMULINK, en utilisant les modules COllfrol Tao/box el ~ l AllalysÎs and SynthesÎs Tao/box. Cette étude a été traitée de façon à servir de matière à l'établis- sement de séances de Travaux Pratiques.) 7.1. Présentation du problème Le processus ~ l asservir est représenté schématiquement sur la figure 7.1 : il est constitué d'une plate-forme ("body") aClionnée par un moteur électrique; un bras ("arm") est fixé sur cette plate-forme au moyen de 2 ressorts. Un bras plus petit (" extra foad") peut lui-même être attaché à l'extrémité du bras principal. Différents points d'attache sont possibles pour les ressorts ainsi que pour le bras supplémentaire, ce qui modifie l'élasticité de la lransmission et l'inertie totale: de la sorte, le dispositif est représentatif d'un système flexible dont les caractéristiques changent en cours d'utilisation (bras de robot saisissant une charge par exemple). L'objet du problème que nous envisageons ici est de calculer un correcteur uni- que permettant d'asservir l'extrémité du bras avec des performances satisfaisantes, quels que soient les points d'attache; la commande est la tension éleclrique envoyée sur le moteur; 2 mesures sont disponibles, à savoir l'angle de rotation de la plale- forme f) , et l'angle de déviation du bras par rapporl à la plate-fonne a (la grandeur à asservir est l'extrémité du bras, donc la somme 0 + a). Le dispositif peut être décrit par les équations suivanles : { J, IJilIJ (ë(t) + ëi(t)) + K stijf a(t) = 0 (J l l/lb +J/out! )ë(t) + J 10lUI aU):::::: y(1) 1 les fonctions mises en œuvre peuvent être demandées à.
[email protected]. (7.1 ) 98 Commande HrrJ eL }..t-unalysc : des outils pour la robustesse Body Anchor Polo"" Ann 0 a 000 o o o o Extr. I..o.d Figure 7.1 Processus cl llssel1 J ir où y(t) est le couple appliqué à la plate-forme, J lowl est J'inertie du bras, J III/b est l'inertie du moteur et de la plate-forme, Kstijj représente l'élasticité des ressorts ct dépend des dimensions R • d , r (figure 7.1). L'équation électrique du moteur complète la modélisation: (7.2) où RIlI est la résistance du moteur, K c et KI! sont les constantes de couple et de f.c.e.m., N est le rapport du réducteur mécanique. On obtient à partir de ces équations la représentation d'état: 0 0 1 0 0 0 0 0 : [1](1)+ 0 cl a 0 K.\1!l1 (NK('KtJ v(t) (7.3) dt : = l'l11b RI/IJ ,Jllh Rm.l Iwb 0 _ K'\'liH _ K.\tilf (NKeKe) l/twd .1 Jill/! Rm.llJ/lb Rm.lllII/! où les paramètres fixes ont les valeurs suÎvantes : (7.4.t:l) et les 2 paramètres variables (en utilisant les ressorts nO 2 de la documentation cons- tructeur) peuvent prendre les valeurs suivantes: Etude d'un eus d'application 99 J/{)tIIl E {O,002l; 0,0042; 0,0048; 0,0059} Kg m 1 K,\'/Ij/ E {1,044; 1,159; 1,280; 1,318; 1,466; 1,609; 1,627; 1,779; I,973} N III (7A.b) Pour le calcul de l'asservissement, on sc donne les objectifs suivants: - en réponse à un échelon de consÎgne, un Lemps d'établissement de J'ordre de 1 s et un dépassement inlërieur à 20% - en réponse à un échelon unité de perturbatÎon ajouté à la commande, la réponse devra être en dessous de 0,1 après 1 s - une marge de module de l'ordre de 0,4 - un gain entre la référence et la commande inférieur à 1 au delà de 100 rdls ces performances étant obtenues pour toutes les valeurs données par (7 A.b). Les schémas de synthèse suivants seront successivement considérés: - synthèse H ct:) standard en utilisant comme entrée du correcteur l'erreur = r - (8 + a) • où r est la consigne de position de l'extrémité du bras (correcteur 1 entrée - 1 sortie) - synthèse H 00 standard en utilisant comme entrées du correcteur g et 8 (cor- recteur 2 entrées - 1 sortie) - synthèse fi cr.J standard en utilisant comme entrées du correcteur g, 8 et ct (correcteur 3 entrées - 1 sortie) - synthèse H:û "Ioop-shaping" en utilisant comme entrées du correcteur g, 8 et a (correcteur 3 entrées - 1 sorLÏe) Dans chaque cas, le correcteur issu de la synthèse sera réduit de manière à con- server les dynamiques prépondérantes sans dégradation nOlable du comportement fréquentiel. Chaque synthèse sera suivie d'une pour des incertitudes couvrant la plage de variation de l'éhlSticîté et de l'inertie, et avec une marge de module garantie. Ce dernier point étant commun à toutes les synthèses et demandant quelques expli- cations, nous allons le détailler de prime abord. 7.2. Etablissement du schéma de j.l-analyse Les 2 paramètres incertains sont K,lIiff ct J l/lad . Le schéma devant comporter un bloc d'incertitudes de laille la plus faible possible, il convient de remanier les équa- lions en ce sens. On obtient tout d'abord, à partir des équations (7.3) el en posant y=0+a: KXfifl -----a J 'oad (7.5) 100 Commande Ht1J et : des oUlils pour la robustesse On pose alors: j K'Wi1f = K.I"/îlTo + K s/ îlT 1 Ô K 1 1 1 --=-- +-- 8) puis: J l{joLl J !ootl () J /omJ 1 { ZI = KJ'iff 1 Ci Z2 =_1_ (K s / UIo a+v l ) J/l/{lIJ 1 de sorte que les équations (7.3) s'écrivent: y = - [_1- +_1_ 8) J (KJ/ijlo + K,I"(f!1 8 K )a = J load 0 J load 1 =_[_1_ +_1_ ÔJ](Ks/îJIO Ci+l'I)= J IrJ/ld 0 J fond 1 = __ 1_ (K J / UTo a+v\)-v 2 J/OIllJ 0 Ci = - (_1_ + _1_ +_1_ B J ] (K,ç'!lrO + OK)a J II/Ih 1 food 0 l'oad 1 { NK c K e)2 (" .) (NKcKe) + y-a \1= Rm1J/IIb =- +_1_ 01J (K.flilf'o a + VI) lllllh 1 {oad 0 1 Joad 1 (7.6) (7.7) (7.8.a) (7.8.b) En ajoutant une incertitude complexe, pour garantir une marge de module mini- male, cn sortie du correcteur : (7.9) on peut connecter le correcteur entre les mesures et la commande, pour obtenir un schéma du type de la figure 4.1, avec une matrice d'incertitude: Etude d'un cas d'application 101 (7.10) Le schéma Simulink correspondant (en considérant le cas le plus général où le correcteur a 3 entrées) est représenté Compte tenu des valeurs indiquées en (7A.b), on prendra: COllecteur KSfijJ 0 1,5085 _1_ =322,85 1 [(Jad 0 1 = 0,4645 _1_ =153,35 l'mu[1 Figure 7.2 Schéma de p-analyse 7.3. Synthèse H cD standard dlun correcteur 1 entrée - 1 sortie (7.11) Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinfl gui) est donné sur la figure 7.3 : le modèle de synthèse correspond à des valeurs moyennes des 2 paramètres variables compte tenu des valeurs données par (7 A.b), à savoir K SlifJ = 1,4665 N m eL .l'om/ = 0,0042 Kgm 2 . Les sorlies du problème standard correspondant sont l'erreur de consigne filtrée par W 1 et la commande filtrée par W2 ; ses entrées sont le signal de référence et une 102 Commande Hw el Il-analyse: des outils pour la robustesse perturbation slajoutant à la commande après passage par un filtre W3. L'unique me- sure (entrée du correcteur) est l'erreur d'asservissement. FÎ1;ure 7.3 . Synthèse H:>'.l Jtalldard d'llII correcteur J entrée - J Jor/iI.! Chaque pondéraLÎon Wi est un filtre du premier ordre, défini par 3 paramètres: son gain statique, son gain à l'infini, et sa pulsation à 0 dB (bien sûr les 2 premiers paramètres doivent être l'un supérieur. l'autre inférieur à l, sauf s'ils sont identiques, auquel cas la pondération devient constante). Les différents pavés permettent d'effcctuer les fonctions suivantes: - le calcul du correcteur central par l'algorithme de Glover-Doyle (Synthèse Hin- fini) - le tracé des réponses fréquentielles et de leurs gabarits, du correcteur, et de la boucle ouverte (Analyse fréquentielle) le lracé des réponses temporelles du modèle de synthèse bouclé par le correc- teur (Simularion) - la réduction du correcteur par la mélhode de troncature des valeurs singulières de Hankel (Rédllction) - la sauvegarde des matrices d'état du C01Tccleur (Smt\'egarde) la Il-analyse, comme indiqué au paragraphe 7.2 (Mil-analyse) - le tracé des valeurs propres et des réponses temporelles du système bouclé, el de la réponsc fréquentielle de la boucle ouverte, pour 28 modèles correspondant à différentes valeurs de l'élasticité el de l'inertie (Réponses) Etude d'un cas d'application 103 les différents tracés pouvant être effectuées dans un ordre arbitraire, avant comme après la réduction du correcteur. Nous donnons ci-dessous les résultats correspondant à un jeu de paramètres par- ticuliers. Il va de soi que nous ne prétendons nullement que ce réglage soit le meilleur! Les paramètres choisis apparaissent dans le tableau 7.1 (les paramètres dont le choix est le plus sensible sur les performances de l'asservissement apparaissent en gras). Wl W2 W3 ordre 1 1 1 Gain slatique 100 0.1 0.7 Gain à l'infini 1/2 10 100 Pulsation de coupure 5 100 4 Tableau 7.1 - Paramètres des/ol/ctiol/s de pondéra/ion La synthèse conduit à y 1,189. La Jïgure 7.4.a montre comment les gabarits choisis agÎssent sur les différents transferts: sur S el K SGen moyenne fréquence, sur SGen basse et moyenne fréquence, sur K S en haute fréquence. Le correcteur initial, d'ordre 7, a été réduit à l'ordre 4 avec conservation du gain statique, sans dégradation notable de la réponse fréquentielle (figure 7 .4.b). On peut vérifier qu'il présente un gain élevé en basse fréquence (de façon à rejeter la pertur- balion de commande), et que son gain décroît fortement dans les hautes fréquences (effet de roll-off). Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.4.c) permet de conlrôler les marges de stabilité: on voit notamment que la marge de gain est assez faible. La a été effectuée en choisissant une marge de module minimale de 0,3 (la marge de module du système nominal étant de 0,629). On obtÎent les bornes supérieure ct inférieure représentées sur la figure 7.4.d. Le maximum de la borne supérieure étant égal à 0,824, on peut garantir une marge de module au mOÎns égale à 0,3/0,824:::.: 0,36 pour toute valeur des paramètres dans des intervalles dilatés d'un 1/0,824:::.: 1.21, soit: K.\"Iij{ E [0,945 ; 2,072] N m, et lIJ/ lJud E[136,8; 508,9] (Kgm 2 )-1 , soÎt J/ olld E[0,00197; 0,00731] Kgm 2 Enfin les figures 7.4.e à 7.4.11 montrent respectivement le diagramme de Black de la boucle ouverte, la position des valeurs propres de la boucle fermée et les ré- ponses temporelles à un échelon de référence el à un échelon de perturbation de 104 Commande Ha) et Il-analyse; des outils pour la robustesse commande. Bien que ces tests ne fournÏssent pas les mêmes garanties qu'une analyse, ils rendent compte d'une relative invariance du comportement pour les différentes charges ct élasticités. 1fwdwJ. y/W'/WJ et db Gain(d3) Hw.. {W, et dr 50 100 40 0 20 -100 0 -, , 2 l -100 0 -200 0 10' 10 10 10 10 10 10 l/w, • y/w? et u/r 50 0 -50 0 0 10 10 Figure 7A.a - Principaux transferts. et gabarils correspondants Gain (dB) 100 50 1 i r----- .', ---' /'" ./ -50 1 t '\ -100 -ISO ·200 V (1 - - ;-- _.n __ ... __ ---- --,--,,- .. - ·450 -400 -350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 Phase (degrés) Figure 7.4.c Diagramme de Black de la bOllcle Oll\'er/e corrigée, avant et après ré- duc/ioll PulsaUm (r<:d'sec) 10' -, 10" 1 10" 10 10 Pulsalim (mcVsec) Figure 7.4.b Diagramme de Bode du correcteur, QI'mll el après rédllctioJl 8amos supérieure ollnhlrlouro de mu borna 5upôriouro de mu en w '" 0 -> 0.475 Figllre 7.4.d - Résultats de jl-tll/alyse J 10 GaÎn (dB) 40 JO 20 10 ·10 ·20 -3D ·40 ,.50 -60 '----'-_-'-_-'--_L.......----'-_--'-_........&l'"--'--........J ·400 ·350 <100 ·250 ·200 -ISO -100 -50 Phase (degrés) Figure 7.4.e - Diagrammes de Black dl.' la boude Ol/verte corrigée commande ':R 00 1 2 -1 !hela 1.";(----------, 2 o 2 OAEjarPhil 0.2 ° -0.2 -0.4 0 1 2 Figure 7.4.g - Réponses li la référence Etude d'un cas d'application 105 \I,llours propres en B.F. Figure 7.4..f - V(llnErs propres Cil bOlicle fermée Ob commande 0.4 -0.5 0.2 -1 00 1 2 -1.5 0 1 2 thela 2 Figure 7.-1.11 Réponses il /a perturbation On remarque notamment que les réponses en boucle ouverte évitent correctement le point critique; les réponses indicielles présentent un dépassement modéré maÎs un retour assez lent vers la valeur de consigne. En raison de ce dernier point, les per- formances demandées ne sont pas obtenues. 7.4. Synthèse fI:o standard d'un correcteur 2 entrées - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf2gui) est donné sur la figure 7.5. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du 106 Commande Hr:r.J ct J.l-annlysc : des outils pour la robustesse correcteur l'angle et considéré après une perturbation filtrée par W4 2, Le problème standard a donc maintenant 3 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans le cas précédenl. Figure 7.5 - Sylllhèse H Œl standard d',m correcteur 1 ellfrées • J sortie Les pondérations et les fonctions représentées par les différents pavés sont les mêmes que pour le problème précédent. Nous avons repris pour les filtres Wl, W2, W3 les pondérations choisies au paragraphe 1.3. La synthèse s'effectue donc uni- quement par itération sur W4, qui sera choisi constant. On observe que pour de fortes valeurs de W4, le correcteur ignore la mesure supplémentaire e, qui est fortemenl perturbée: on retrouve donc le comportemenl oblenu avec le correcteur précédent En diminuant W4, la mesure supplémentaire est progressivemenl prise en comp- le. On observe notamment une augmentation du gain en basse fréquence des fonc- tions de transfert vIe et V 1 a du correcteur, une légère diminution des marges de stabilité, une diminution du dépassement sur la réponse à la consigne el une réponse moins forte et plus rapide à la perturbation. On choisit finalemenl W 4 0,5, La synlhèse conduit à 'Y = 1,117 . Comme pré- cédemment, le correcteur initial d'ordre 7 a été rédui l à l'ordre 4. La figure 7.6.(/ montre comment les gabarits choisis agissent sur les diflërents transferts, Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.6.b) mel en évi- dence une politique de conection en haute fréquence différente du cas précédent. :! La présence de cette perturbation est nécessaire pour satisfaire les hypothèses de Glover-Doyle. Elude d'un cas d'application 107 La -analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment On obtient quasiment les mêmes résultats, avec un maxÎmum de la borne supérieure égal à 0,824 (ligure 7.6.c). l/w, , y/w. el rJr o 10 1/W2 , y/W2 et u/r o ·50 10° 1/w1/w3 . ï/Wl/Wl el db 0 ·50 ·100 ·150 " 10 l/w-;,/wJ , y/w;,JwJ et u/b 100 0 ·100 ·200 0 10 FigIlre 7.6.{/ . Principal/x /mw,fcrt.\', et gaharits correspolldaJlts Gain (dB) 50 .---.-•.. -.. -... ----... +----.. --.......... _".--.... -... ---.--.... - .-.. -- i ( 1 o -50 -100 _._1.___ _ _____ 1 1 ---.. -----t-----.- ----... -----.... - -600 1 1 ·500 -400 -300 -200 ·100 Phase (denrés) Figl/re 7.6.b - Diagrammes de BI{/ck de III boucle oUI'eJ'te corrigée, (/l'atll et après ré· dllC/ioll Bornes supérieure el inlérieure de mu O.Br---f----t-++ 0.2 " 10 10' borne supérieure de mu en w :0 0 --> 0.475 Figllre 7.6.c . Ré.\'III/{/ts de ·analyse Les réponses en boucle ouverte Uigure 7.6.d) évitent correctement le point criti- que, les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.6.e) occupent des positions assez voisines de celles obtenues par la synthèse précédente. On note l'amélioration des réponses indicielles (ligures 7.6/ et 7.6.g), qui présentent un dépassement et un 108 Commande H rfJ et )l.analyse : des outils pour la robustesse temps de réponse plus faibles, de sorte que les performances demandées sont main- tenant obtenues. Gain (dB) 40 30 20 10 o -10 -20 -30 -40 -50 -350 -300 -250 -200 -150 -, 00 -50 o Phase (denrés) -50 -50 valeurs propres en B.F. -40 -30 -20 -10 o Figure 7.6.tI· Diagral/lmes de Black de la boucle ouverte corrigée Fig/lre 7.6.e . Valeurs propres en bOllcle fermée 1.s§an Q I: total 3§com T ande , 2 ...... __ ....... ; ... _............ 0.3 .. . ...... ;,............... : , .... : : ! -0.5' ........... : ............... . t 1" .......... (............. 0.2' .......... : 0.5" ··········T·············· 0 .....; 0.1' ......... ,. ;............... -, .......... ,!" ... o' -1' 0' -1.5 . o 1 20 1 20 1 20 , 2 theta 0.2" ........ t .. · .. ···· .... . 0.1 ............ L 00 1 2 2 Figure 7.6.f - Rêpomes cl la référe1lce Figure 7.6.g . Réponses à la perturhatio1/ 7.5. Synthèse HOC) standard d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf3gui) est donné sur la figure 7.7. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du Etude d'un cas d'application 109 correcteur l'angle a. considéré après une perturbation filtrée par W5 3. Le problème standard a donc maintenant 4 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans les 2 cas précédents. Figure 7.7 - Synllrèse H ctJ standard d'lfu correC1ClIr 3 entrées - J sortÎe Nous avons repris pour les nitres W l, W2, W3 et la constante W 4 les pondéra- lions choisies au paragraphe 7.4. La synthèse s'effectue donc uniquement par itéra- tion sur W5, qui sera lui aussi choisi constant. On observe que pour de fortes valeurs de W5, le correcteur ignore la mesure supplémentaire a. qui est fortement perturbée: on retrouve donc le comportement obtenu avec le correcteur précédent. En diminuant W5, la mesure supplémentaire est progressivement prise en comp- te. On observe une modification légère des réponses fréquentielles du correcteur dans la zone de la résonance. Mais l'effet sur le lieu de Black est important puis- qu'elle éloigne la réponse en sortie de bande passante de la zone critique. L'effet est assez négligeable sur les réponses du modèle de synthèse, mais très important sur l'allure des réponses des autres modèles, qui gagnent en amortissement. On choisit finalement W5 0,1. La synthèse conduit à y = 1,106. Le correcteur initial d'ordre 7 est réduit à l'ordre 4. La figure 7.8.a montre comment les gabarits choisis agissent sur les différents transferts. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.8.b) montre une amélioration notable de la marge de gain par rapport aux cas précédents. 3 Là encore, la prést:ncc de ceHe pt:rturbation permet de satisfaire Ics hypothèses de Glover-Doyle. 110 Commande HCfl et Il-analyse: des outils pour la robustesse La Il-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment. On obtient des résultats un peu meilleurs, puisque Je maximum de la borne supérieure est égal à 0,760 (figure 7.S.c) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,39 pour toute valeur des paramètres dans Jes intervalles suivants: K s1ill E [0,897 ; 2,119] N m et J lOdd E [0,00191 ; 0,00826] Kg m 2 Les réponses fréquentielles en boucle ouverte évitent toujours correctement le point critique mais surtout le déplacement de la résonance siefTectue loin de celui-ci (figure 7.8.d). Les valeurs propres de la boucle fermée présentent de meilleurs amortissements que lors des synthèses précédentes (figure 7.8.e). Les réponses indi- cielles (figures 7.8/ eL 7.8.g), présentent un dépassement CL un Lemps de réponse faibles, et sont surtout moins oscillantes et plus homogènes que dans les synthèses précédentes. Les performances demandées sont ainsi atteintes. On peut donc conclure que la prÎse en compte des 3 mesures r, a et El comme entrées indépendantes du correcteur apporte un gain significatif en termes de per- formance et de robustesse. 1/w, ,·lw, et rJr 1/W,/W3 1 y/w,/wJ el rJb 50 0 -50 -100 -150 10 0 10 n 1 j w ~ , y/w;; et u/r 1/W2/WJ , y l W ~ / W l el u/b 50 50 0 a -50 -50 0 -100 0 10 10 Figure 7.B.a - Principaux 1 ral/sferts, el gabarits c01TeSpol1dallts Gain (dB) 100 50 or .. ·500 ·400 -:300 ·200 -100 PhasD (degrés) Figl/re 7.B.b DÙlgrammes de Black de la boucle oHl'erle conigée, avcml et après réduction Gain (dB) ·350 ·300 ·250 -200 -150 -100 -50 0 Phase (deÇJrés) Figure 7.B.t! Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée Etude d'un cas d'application 111 10' 10' 10 l borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475 Figure 7.B.c - Résullals de J-l-analyse valeurs propres en B.F. -30 -20 -10 o Figure 7.B.e - Valcurs propres en boucle fermée J 12 Commande Ha;, ct J.1-ilnalyse : des outils pour la robustesse : glo" , 1 00 1 2 0,1"'-- 1 00 1 2 2 2 Iheta 1':8 1 , 0.5 .. 1 00 1 2 alpha ______ ---- 0.1 - L __ _ 1 -0.0 0 0 1 2 -0.1 0 1 2 2 Figllre 7.SJ - Réponses à la référence Figure 7.8.g - Réponscs il la per/lll'batioll 7.6. Synthèse fI cr] par "Ioop-shaping" d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie Rappelons que cette approche demande tout d'abord de choisir un précompensa- teur et un poslcompensateur, avant optimisation H Xl' Le schéma adopté (schéma Simulînk hlsgui) est donné sur la figure 7.9. Les différents fillres onL élé choisis à partir des considérations suivantes: erreur alpha Figure 7.9 - Synthèse H o:l par "'oop-shapÎl1g" d'ull correcteur 3 clltrées - 1 sor/ie Etude d'un cas d'application 113 - le précompensateur W 1 est un mtre passe-bas destiné à liltrer les hautcs fré- quences pour produire un effct de roll-off: on a donc choisi sa fi'équence dc coupure au-delà de la bande passante de l'asservissement. - le postcompensateur W2 cst composé d'un Pl sur l'cHctlf d'asservisscment, et de gains sur les mesures supplémentaires 0 et a. On constate que la constante d'action intégrale du premier joue son rôle habituel: si elle diminue. la réponse à la perturba- tion rcvient plus rapidement à 0, et l'erreur de traînage sur la réponse à une rampe diminue. - le deuxième terme de W2 permet d'ajuster le compromis entre dépassement sur la réponse à l'échelon et erreur de traînage sur la réponse à une rampe. - le troisième terme de W2, comme dans la synthèse H cr:J standard, permet d'éloigner la réponse en sortie de bande passante de la zone critique dans le plan de Black, et donc d'améliorer la robustessc. On a ainsi choisi: 10 Wd s )=-- s+IO { 4s+8 l W:!(s) = diag -.s-' -; 1 ; 20 f (7.12) La synthèse conduit à y min = 2,663, soit une valeur considérée comme asscz fai- bIc dans cette méthode. Le corrcctcur H cr.: initial d'ordre 5 est réduit à l'ordre 2 (l'ordre du correcteur total passe donc de 7 à 4). La figure 7.1 O.a montre le module de la boucle ouverte avant optimisation H en 1 comparé au même tracé à l'issue de l'optimisation J-J C1l ' avant et après réduction du correcteur. Elle permet de vérifier que le calcul du correcteur (ainsi que la phase de réduction) ne modifie pas fondamentalc111cntl'allure du tracé obtenu par le choix des pré- et postcompensateurs. La figure 7.1 O.b montre les principaux transferts obtenus, qui ont des allures comparables à celles obtenues en synthèse standard. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (ligure 7.1 O.c) met en évidence des marges de stabilité satisfaisantes pour le modèle de synthèse. La a été effectuée dans les mêmes conditions que pour les synthèses précédentes. On obtient pour la robustesse les meilleurs résultats de toutes les syn- thèses, puisque le maximum de la borne supérieure est égal à 0,601 (figure 7.1 O.t!) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,49 pour loute valeur des paramètres dans les intervalles suivants: K.\.tij( E [0,746 ; 2,270] Nm et l'oad E [0,00174 ; 0,01400] Kgm 2 Les réponses fréquentielles en boucle ouverte sont très homogènes avec des ré- sonances qui restent loin du point critique (figure 7.10.e). Les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.1 Of) présentent d'excellents amortissements, les réponses indicielles (figures 7.1 O.g et 7.1 0.1t), présentent des dépassements ct des temps de 114 Commande HO') ct Il-analyse: des ouli1s pour la robustesse réponses un peu plus importants que ceux demandés, el qui étaienl oblenus par la synthèse standard effectuée dans des consÎtions comparables; par contre elles sont moins oscillantes el plus homogènes. 1/) rir rlb ! I l -100 0 -150 Cl 10' 10 1 10" 10 10 ,; S:0 W ' -100 1d -50 0 ·200" Hi' 16' 10'" ·C la·' 1()' 10 10' Figllre 7./O.a - COlllrôle du "loop-shape" Gain (dB) 100 50 -501-··---+---!- -600 -500 -400 -200 -100 Phase (degrés) Figure 7./D.c Diagrammes de Black de la boucle Olll'erte corrigée, am/If cr après ré- duc/ion 0,7 0.6 0.5 04 0.3 0.2 10 10 Figure 7. JO.b Principal/x transferts, et gabarits correspondanrs Bornes supérîeure el inférieure de mu i i ! 1 1 li ! li f 1 ! .ill il i 1 _ 1 !I l· o .) 1 Il / i 1 1 II ! 1 ! ! t 1 ! l,II 1 11 1 1 0.1 Il 10 10' borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475 Figure 7./0.d - RésullClts de J-l-clIlalyse Gain (dB) 40 30 20 10 o ·10 -20 -3D -40 ·50 ·350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 ·50 o Phase (de\jres) Figure 7.10.e • Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée Elude d'un cas d'application 115 ·40 -30 ·20 -iD o Figl/re 7.10/ - V,J1curs prol'I'l'S CI! boucle jCl1llt!t.! 1.5 b 'no" 10'" ::m-- o·:w· .. ....... . 1 ............. ; . ......... : : : i 1 ............ .,................ 0.2' ....... ..,............... ·0.5' ,..,. .. ............. . 0.5" ............ :................ 0 ........... : 0.1' ............. ;. ........... -1 ............. ! ............ . O· ·1 . 0 . -1.5 . o 1 2 a 1 20 1 20 1 2 0.3 ... ..····r· .... · ...... ·.. 0.05' ......... .............. .. 0.2" ........ ··ô···· .... ······· O' . 0.1 ........ ,. .... : ........... -0.0 ............................. . o 41 Ihela 1.5§: 1 .............. ; ...... . 05:" o alpha o 1 2 2 o 1 201 2 Figure 7. JO.g - Répollses il I{/ Figure 7./0.11 - RépOIl.H!S cl la perturbatioll 7.7. Conclusion Les deux méthodes de synlhèse fi CF,) (synthèse H -standard ou H":l par "loop- shaping") ont été appliquées sur ce cas d'étude. Le choix de l'une ou l'autre mélhode peUL être guidé par les connaissances que l'on a li pr;cJri sur le processus. La possibi- lité d'ajout progressif d'entrée ou de sortie dans le crilère fail de la synthèse H':Fj- standard une très bonne approche pour un problème nécessitant des pondérations diverses, par exemple en présence de bruits ou même de non-linéarités, ou encore pour oplimiser une partie du cahier des charges (telle que le classique compromis entre robustesse el temps de réponse). 116 Commande Hen et )l-analyse : des outils pour la robustesse La synthèse H en par "Ioop-shaping" est très cfficace lorsqu'on veut réutiliser les connaissances acquises tors de synlhèses de correcteurs classiques. Ellc pcrmet sou- vent d'cn améliorer les qualités ou de pouvoir simplement, à partÎr de correcteurs classiques disposés dans chaque boucle de commande, passer à un correcteur multi- variable. Enfin ces deux méthodes peuvent en partie être utilisées de façon complémen- taire, chacune offrant un point de départ à l'auLre si le besoin s'en rait senlir. Bibliographie [ACOB1 P. Apkarian, J.P. Chrétien, P. Gahinet, J .M. Biannic. " by D- K Iterations wiLh Constant Scaling". Americal1 COll/roi pp. 3192- 3196, San Francisco, 1993. [ApBO] P. Apkarian, J.M. Biannic, P. Oahinet. "Self-Scheduled fief) Control or Missile via Linear MaLrix Inequalities". J. of Cuid[lIlce, Control and Dy- lIamics, vol. 18 nO 3, pp. 532-538, 1995. [ApOal P. Apkarian. P. Oahinet. "A Convex Characterization of Gain-Schedulcd fi (JJ Controllcrs". IEEE Tra 11 S. Auton1. Co III ro l, AC 40 nO 5, pp. 853-864, 1995. [BccJ C. Beek. "MinÎmality for Uncertain Systcms and IQC's". 33 rd COllf 01/ Decision ami Control, pp. 3068-3073, Lake Buena Vista, Floride, 1994. [BeCh] C.M. Belcastro, B.C. Chang. "On ParameLrÎc UncerLninly Modeling for Real Parameler Variations". 3 1'" COIll on Decision al/d COlltrol, pp. 674- 679, Tucson, Arizona, 1992. [BeDOj C. Beck, J. Doyle, F. Glover. "Model ReducLion of MuHi-Oimensional and Um.:crlain Systems". IEEE Trans. AllIolll. COl/tml, AC 41 n° 10. pp. 1466-1477, 1996. [BEFBJ S. Boyd, L. El Ohaoui, E. Féron, V. B411akrislman. Linear Matrix Ine- qualities ilI Systems wul COlltrol Theory, SIAM Publications, 1994. [BeGAJ 1. Bernussou, G. Garcia. D. Arzelicr. "Placement de Pôles Robuste". In J. Bernussou (Coord.), COlllmande Robuste: Développements et Applica- tions. pp. 355-382, Hcrmès, 1996. [BePal G. Becker. A. Packard. "Robust Performance of Linenr Parametrically Varying Systems using ParametrîcaIly-Oependent Linear Fecdback". Systems & Control Lelters, vol. 23, pp. 205-215. 1994. [BoEIl S. Boyd, L. El GhaouÎ. "Melhod of Centers for Minimizing Generalizcd Eigenvalues". Linear Aigebra and Applications, voL 188, pp. 63-111, 1993. [BYDM] Braatz, R.D., P.M. Young, J.C. Doyle and M. Morari. "Computation al Complexily of J..! Calculation, IEEE Trans. Autom. Con/roi, AC 39 n° 5, pp. 1000-1002,1994. [ChDe] Yi Cheng, B. De Moor. liA Mu1tidimensional Realization Aigorithm for Parametric Unccrlainty Modelling and Multiparameter Margin Problems". IlIt. J. COll/roi, vol. 60, pp. 789-807, 1994. [OaDe] J. David, B. De Moor. "Designing Rcduced Order Output Feeclback Con- trollcrs Using a Potential Reduction Method". AlIlerÎcllll Control COllf, pp. 845-849, BalLimore, Maryland, ] 994. 118 Commande Hoo et . des outils pour la robustesse [Day} R.L. Dayley. "Lecture Notes for the Workshop on Her.; and ,LI Methods for Robust Control". 30 lh Conf on Decision and COl/frol, Brighton. An- gleterre, 1991. [DGKF] J.C. Doyle, K. Glover, P.K. Khargonekar, B.A. Francis. "Slate-Space Solutions Lo Standard H',2 and fier.; Control Problems". IEEE Trans. Autol//. Control, AC 34 na 8, pp. 83] -846, 1989. [Doy] J.e. Doyle. "Structured Uncertainty in Control Systems Design". 011 Decision alld Control, pp. 260-265, Ft Lauderdale, Floride, 1985. [EIOAJ L. El Ghaoui, F. Oustry, M. AitRami. "A Cone Complementary Lineari- zution Algorithm for Static Output Feedback and Relaled Prob1ems" , IEEE Tralls. Autom. Control, AC 42 na 8, 1997. [EIScJ L. El Ghaoui, G. Scorletti. "Control of Rational Systems usîng Linear- fractional Representations and Linear rvratrix Inequalitics". Awolllatica, voL 32 na pp. 1273-1284, 1996. [FaTD] M.K.H. Fan, A. Tîts, J.C. Doyle. "Robustness in the Presence of Mixed Parame tric Uneertainty and Unmodeled Dynamics ll • IEEE Trans. A/ltom. COlltrol, AC 36 na l, pp. 25-38, 1991. [FeBi] G. Ferreres, J.M. Biannic. liA Technique without Frequency Gridding". Americall Control Conf., pp. 2294-2298, Philadelphie, Penn- sylvanie, 1998. [FFDM] G. Ferreres, V. Fromion, G. Duc, M. M'Saad. "Application of RcallMixed Jl Techniques to a Missile Autopilot". Int. J. of Robllst and NOl/lil/ear Control, vol. 6 n 0 8, pp. 743-769, 1996. [Fol] J.P. Fokhcr. Approche Mtllticrilère par Formulation LMI de la Com- mande des Systèmes. Thèse de Doctorat, Université Paris VI, 1997. [Fon] S. Font. Méthodologie potlr Prendre en Compte la Robustesse des Systèmes Assclï'i.\· : Optimisation H IX et Approche Symbolique de la Forme Standard. Thèse de Doctorat, Supélec et Paris-Sud, 1995. [FrDB] J.P. FrÎang. G. Duc, J.P. Bonnet. "Robust Autopilot for a Flexible Missile: Loop-Shaping Her.; Design and Real v-Analysis". 1111. J. of RobuSl & NOIl- lilleal' Control, voL 8, pp. 129-153, 1998. [GaAp] P. Gahinet, P. Apkarian. HA Lincar Matrix Incqualîty Approach ta H;n Control". lm. J. Rob"st & Non/il/ear ContI'. , vol. 4, pp. 421A48, ] 994. [Gah] P. Gahînet. "Explicit Controller Formulas for LMI-based Her.; Synthcsis". Americ1l11 C01l1rol COIlf., pp. 2396-2400, Baltimore, Maryland, 1994. [Galg) P. Gahinct, A. Ignat. "Law-Order floo Synlhesîs via LMIs". AmerÎcan Control COllf, pp. 1499-1500, BaJLimore, Maryland, 1994. [GIDo] K. Glover, J.C. Doyle. "StaLc-Space Formulae for aIl Stabilizing Control- lers That Satisfy an Her.;-Norm Bound and Relations to Risk Sensitivily". Systems & COlltrol Letters, vol. l L pp. 167-172, 1988. [GIMe] K. Glover, D. McFarlane. "RobusL StnbîlizaLÏon of Normalized Coprime Factor Plant Description with HCf.)-Bounded Unccrtninty". IEEE Tralls. AUlOl1l. Control, AC 34 n° 8, pp. 821-830, 1989. Bibliographie 119 [Hel} A. Helmersson. liA FinÎte Frequency Mcthod for 3 r t! Euro- pean Control pp. 171-176, Rome, 1995. [HoJoJ R.A. Horn, C.R. Johnson. klalrix Analj'sis. Cambridge University Press, 1985. [HVDB] A. Hiret, C. Valentin-Charbonnel, G. Duc and J.P. Bonnet. "Different Multidimensional Reduction AJgorithms for the LFr Model of a Missile", 2 1111 IMACS Intenl. MulticOliferellce CESA '98. Nabeul-Hammamet, Tu- nisie, 1998. [IgGl] P.A. Iglcsias, K. Glover. "Slatc-space Approach ta Discrcle-Timc Hm Control".lnt. J. Comrol, vol. 54, pp. 1031-1073,1991. [IwSk1] T. lwasaki, R.E. Skelton. "AlI COl1trollers for the General fI if.l Control Problem: LMI Existence Conditions and Slnte-Space Formulas". AlltO- II/mica, vol. 30 n° 8, pp. 1307-1317, 1994. [IwSk2] T. lwasaki. R.E. Skelton. "The XY-CenLring Algorithm for Dual LMI Problems: A New Approach to Fixed-Order Control Design". 1111. J. Con- trol, vol. 62, pp. 1257-1272, J 995. [Kwa] H. Kwakernaak. IIThe Polynomial Approaeh to HO)-Optimal Regulation". In E. Mosca et L. Pandollï (Eds.), Hw-Colltrol. COIIIO 1990. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag, 1990. [LeTi] L. Lee, A. Tits. "On Continuity/Discontinuity in Robuslness InJicators". IEEE Trans. AI/tom. Control, AC 38 n° 1 0, pp. 1551-1553, 1993. [LiGWJ DJ.N. Limebeer, M. Green, D. Walker. "Discrete Time Hm Control". 28 111 IEEE on DecisÎon and C011lml, pp. 392-396, Tampa, Floride, 1989. [LTBS] P. Lambrechts, 1. Terlouw, S. BCllnani, M. Stcinbuch. "Parametric Un- certainty Modeling using LFfs". Americ{lII COl1trol COI{t:, pp. 267-272, San Francisco, Cali romic, ] 993. [MaDo] lF. Magni, C. Dôll, p-analysis for Flexible System.\'. Rapport technique, ONERA-CERT, soumis pour publication, 1998. [McGI]] D. McFariane, K. Glover. Ro/mst COlltroller Design USÎllg Norlllalized Coprillle Factor Piani Descriptions. Lecture Notes in Control and Infor- mation Sciences, Springer Verlag, 1990. [McGI2] D. McFarlane, K. Glovcr. HA Loop Shaping Design Procedure Using Ha:; Synthesîs". IEEE Trans. AlliO/il. COlltrol, AC 37 n° 6, pp. 759-769, 1992. [MiSB] G. Michailesco, J.M. Siret, P. Bertrand. "Modélisation de Grands Systèmes par Agrégation". RAIRO Automatique/Systems Analysis alld Control, vol. pp. 159- 170. 1979. [MiVi] S. Miyamoto, G. Vinnicombe. "Fixed Struclure Hif.l Control Design for Multiple Plant. A Coprime Factorisation LMI Based Approach". Euro- pean Control Conf. Bruxelles, 1997. [Mor] B.G. Morton. "New Applications of J.1 to Real Parameter Variation Prob- lems". 24 '11 IEEE COI{f on Decision and Control, pp. 242-250, Ft Lauder- dale, Floride, 1985. [NeNe] Y. Neslerov, A. Nemirovsky. InteriO/' Point Polyno1Jlial A4et/lOds in Con- l'ex Programll/ing: TheO/'y and Applications. SIAM, 1993. 120 Commande Hefl Cl )..t-llnlllyse : des outils pour ln robustesse fPac] A. Packard. "Oain Seheduling via Linear Fraclional Transformations". Systems & Control Letter.\', vol. 22, n° l, pp. 79-92, 1994. [PaPa] A. Paekard, P. Pandey. "Conlinuity Properties of the Real/Complex Struclurcd Singular Value". IEEE Trans. Alltom. Control, AC 38 nO 3, pp. 415-428, 1993. [PZPB] A. Packard, K.zhou, P. Pandey, O. Becker. HA Collect.ion of Robust Control Problems Leadîng ta LMI's". 30 1 i! IEEE on Decision and Com roi, pp. 1245-1250, Brighton, Angleterre, 1991. [Rot] Rotary A1otioll Experiments: Rotat)' Flexible Joill1. Nole technique, Adaptech. [SaLC] M.O. Safonov, DJ.N. Lîmebeer, R.Y. Chiang. "Simplifying the Hoo The- ory via Loop-ShifLing, Matrix-Pencîl and Descriptor Concepts". Int. J. Co 111 ro l, voL 50 n°6, pp. 2467-2488, 1989. [SaPO] R. Samar, 1. Postlethwaite, D.W. Ou. "Model Reduclion with Balanced RealizatÎons". lm. J. Control, vol. 62, pp. 33-64, 1995. [ScEI] G. Scorletti, L. El Ghaoui. "Improved Lîncar Matrix Inequality Condi- tions for Gain Scheduling". 34 1h IEEE C01if. 011 Decision ami C01l1rol, pp. 3626-3631, New-Orleans, Louisiane, 1995. [SeGCI C. Scherer, P. Gahinet. M. Chilali. "Multiobjective Output-Feedback Control via LMI Optirnizalion". IEEE Trans. Autolll. Contr., AC 42 nO 7, pp. 896-911, 1997. [Stol A.A. Sloorvogcl. 'The Discrete Timc l-/oo Control Problem with Meas- urernent Fecdbnck". SIAM. J. COl1frollllld Optimizatioll, vol. 30, pp. 202,1992. [TASNj S. T0ffner-Clauscn, P. Andersen, 1. Soustrup, H.H. Niemann. nA New Approach to for Mixcd Perturbation Sets", 3 rlf Europea1l Collfrol CO/if., pp. 147-152, Rome, 1995. [VaDu] C. Valentin-Charbonnel, G. Duc. "Optirnising Il-Ana1ysis withoul Frc- quency Gridding. Application to a Satellite Attitude Control Law". Sil European Control COllf, Karlsruhe, 1999. [Val] C. Valentin-Charbonnel. Commande Robuste avec Contrainte d'Ordre. par la Norme H Xl el le Formalisme LMI. Application au Contrôle tilde d'llIl Satellite d'Obserl'{lIion de la Terre. Thèse de Doctoral, Supélec et Paris-Sud, 1998. [Wal] D. J. Walker. "Robust Stabilizability of Discretc-time Systems with Nor- malized Stable Factor Perturbation". lm. J. COlltrol, vol. 52, pp. 441-455, 1990. [WDBO] W. Whang, J. Doyle, C. Beek, K. Glover. "Model Reduction of LFf Systems", 30 lil IEEE COllf O/I DeCÎûoll and COll/roi, pp. 1233-1238, Brighton, Angleterre, 199 J. [WoGG] G.D. Wood, P.J. Goddard, K. Glover. "Approximation of Linear Pa- rameter-Varying Systems". 35 1 " IEEE CO/if. 011 Decision and COl1trol, pp. 406-411, Kobe, Japon, 1996. Bibliographie 121 [YoDo] P.M. Young, J.C. Doyle. nA Lower Bound for the Mixed ~ l Problern". IEEE Trans. AIi/DlIl. Colllr., AC 42 nO 1. pp. 123-128, 1997. [YoND] P.M. Young, M.P. Newlin, J.C. Doyle. "Computing Bounds for the Mixcd J1. Problem". IIlt. J. of RobuSI & NOlllillear Control, vol. 5, pp. 573-590, 1995. lYou-1 P.M. Young. "Conlroller Design with Real Parame tric Uncertainty". IIlI. J. Control, vol. 65, pp. 469-509, 1994. [ZhDG] K. Zhou, J.C. Doyle, K. Glover, Robust and Optimal COlltrol. Prentice- Hall, 1996. © HERMES Science Publications. Paris. 1999 HERMES Science Publications 8, quai du Marché-Neuf 75004 Paris ISBN 2-7462-0041-4 Serveur web: http://ww.\v.editions-hermes.fr http://www.hermes-science.com Catalogage Electre-Bibliographie Duc, Gîlles >"Font, Stéphanc Commande Hx et JL-anaJyse : des outils pour la robustesse - Paris, Hermès Science Publications, 1999. ISBN 2-7462-0041-4 RAMEAU: Commande BOl:' codes con'cctcurs d'en'curs (théorie de l'infOlmalÎon) commande automatique 378.51 : Enseignement supédeur. Mathématiques, DEWEY: Statistique 515: Analyse mathématique Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement J'éservées il l'usage privé du copiste et non destinées à L1ne utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses elles courtes citations dans un but d'exemple et d'U1ustrallon, "taule représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4), Celle représentation ou reproduction, pm' quelque procédé que ce soil, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par Jes articles L 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle, Commande Hoo et ~-analyse des outils pour la robustesse Gilles Duc Stéphane Font COLLECTION PÉDAGOGIQUE n'AUTOMATIQUE SaliS la direction de Alain Ot.tstaloup La collection pédagogique d'automatique du Club EEA, â laquelle appm1ient cel ouvrage, est dirigée par Alain Oustaloup, Enserb. L'objectiF de cette collectiol1 est de (ol/mir aux: enseignants et étudiants les éléments de base, théoriques et appliqués, en automatique. A cette lIn, les ouvrages de cette collection compremw1tt une partie cours, Hile partie travallX: dirigés et 1lne partie travaiL'\: pratiques. EXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL Identification des systèmes, loan D. LANDAU, 1998. Les micromachines, Patrice MINOITI, Antoine FERREIRA, 1998. AUTOMATIQUE pour les classes préparatoires - cours el exercices corrigés, Claude FOULARD, Jean-Mane FLAUS, Mireille JACOMINO, 1997. Elémenls de logique floue. Louis G/\CÔGNE, 1997. Le micro-contrôleur 68HCll, Bernard BEGHYN, 1997. Machines à commande numérique, Bernard MÊRY, 1997. Automatique - commande des systèmes linéaires, 2e édition revue el augmenlée, Philippe de LARMINAT, 1996. Détection el estimation des signaux. David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996. Le filtrage des signaux, David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996. Le signal aléatoire, David DECLERCQ, André QUINQUIS. 1996. Le signal déterminÎste, David DECLERCQ, André QUINQUIS, 1996. Identification et commande des systèmes, 2e édition revue et augmentée. lmm D. LANDAU, 1993. Du Grafcet aux réseaux de Petri. 2e édition revue et augmentée, René DAVlD, Hassanc ALLA, 1992. Table des Inatières Introduction. ................ ................................ ................. .............................. .......... 9 Chapitre 1. Valeurs singulières et norme H CX) ... .......................... ....................... Il Il 14 16 1.1. Valeurs singulières d'une matrice de transfert............................................. 1.2. Norme H"" d'un système linéaire invariant................................................ 1.3. Propriétés de la norme H C1:> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 2. Synthèse H CX) , approche standard............... .................................... 17 17 18 21 23 26 26 27 28 31 32 37 2.1. Problème standard ................... .................. ....................... ........................... 2.2. Résolution du problème fi ~ standard par équations de Riccati................. 2.3. Exemple élénlentaire ................................................................................... 2.4. Résolution du problème fi"" standard par inégalités matricielles affines... 2.5. Mise en œuvre ............................................................................................. 2.5.1. Mise en forme pour la synthèse............................................................ 2.5.2. Objectifs de synthèse............................................................................ 2.5.3. Mise en œuvre par l'introduction de fonctÎons de pondération............. 2.5.4. Mise sous forme standard ..................................................................... 2.6. Exemple: asservissement de position ......................................................... 2.7. Autres exemples de mise en œuvre ............................................................. 2.7.1. Rejet ù'une perturbation mesurable ...................................................... 2.7.2. Utilisation d'une mesure supplémentaire .............................................. 2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté ........................................................... 37 38 39 Chapitre 3. Approche H 00 par {( loop-shaping }} ................................................ 41 3.1. Un problème fi ct:J particulier ...................................................................... 41 3.2. Exemple élémentaire ................................................................................... 43 3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte...................................... 43 6 Commande JJc:J) el Jl-analysc : des outils pour la robustesse 3.4. Réponses fréquentielles après optimisation FI 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Exemple: asservissement de position ......................................................... 47 Chapitre 4. Il-analyse .................................... ....................................................... 49 4.1. Description des incertitudes de modèle.. ............................ ......................... 4.1.1. ReprésenLation générale par LFT ............................... .......................... 4.1.2. Exemples de mÎse sous forme LFT ...................................................... 4.1.3. Structure générale de la matrice d'incertitude....................................... 4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée ...................................... 4.3. Valeur singulière structurée......................................................................... 4.3.1. Définition ............................................................................................. 4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée ......................................... 4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée ............................................. 4.4.1. GénérnlisalÎon du théorème du petit gain ............................................. 4.4.2. Exemple élémentaire ............... ............................................................. 4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre ................................................... 4.6. Robustesse de la position des pôles................................. ...................... ...... 4.7. Robustesse des marges de slabilité.............................................................. 4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle ....................................................... 4.9. Exemple: asservissement de position ......................................................... 4.9.1. IncertÎtudes et forme LFf du moteur ................................................... 4.9.2. Robustesse de la stabilité...................................................................... 4.9.3. Robustesse de la position des pôles...................................................... 4.9.4. Robustesse de la marge de module....................................................... 4.9.5. Robustesse du suivi de consigne .......................................................... Annexe: borne supérieure de Il Q (p) ................................................................ 49 49 50 53 54 56 56 57 61 61 62 63 64 64 66 68 68 70 70 71 72 74 Chapitre 5. Pour aller plus loin... ....................................................................... 77 5.1. Le problème de la "synthèse robuste" ......................................................... 5.1.1. De la synthèse H cJ'J à la ~l-synthèse...................................................... 5.1.2. Approche de la ~L-synthèse par ]a D-K itération ................................... 5.2. Ouverture sur d'autres techniques................................................................ 5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV .................................................. 5.2.2. Analyse et synthèse multi-crilère.......................................................... 77 77 78 80 81 82 Chapitre 6. Exercices corrigés.................................... ...... ................................... 83 Exercice J ................. ........................................................... ............................... Exercice 2..... .............................. ................ ....................................... ................. Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) .......................................................... Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) ........................................... 83 83 83 84 ............. Etude d'un cas d'application ........................ Synthèse H C1l standard d'un correcteur 2 entrées ............... Synthèse H standard d'un correcteur 3 entrées ................1 sortie ......................................................... Corrigé de l'exercice 2............................................... Corrigé de l'exercice 8 ................................................................................................................................................................ 7..................................................................... 117 ....................................4................. Synthèse H <Xl standard d'un correcteur 1 entrée ..................................................... Corrigé de l'exercice 1............. .............................................. Exercice 12......... Corrigé de J'exercice 7 ....... 7......6.......................................1....................... Corrigé de l'exercice 9 .....2...................1 sortie ......................................................................................................... .............................................................................................................................3...................................................................................... ..............................1 sOrLie ............................................ Corrigé de l'exercice 10........................ Exercice 1O.................................... .......................................................................................................................... Corrigé de l'exercice 4..................................... Conclusion ............... . ............................. Corrigé de l'exercice 6.......... Corrigé de J'exercice 11........ 7.................................................................................7.......................................................................................5............................ Corrigé de l'exercice 12.....................Table des matières 7 Exercice 5.............................................................. Corrigé de l'exercice 5.......... <t.............................................. ............................................................................. Exercice 8................................1 sortie ..................................... 7..... Exercice 11............................................................................. Présentation du problème ......... 84 84 85 85 85 86 86 86 87 87 88 89 89 91 93 93 93 94 94 95 Chapitre 7..................................................................................................................... 7..... 7............. .............................................. Exercice 7............................................. Synthèse H'1J par « loop-shaping ) d'un correcteur 3 entrées ... 97 7..) 97 99 101 105 108 112 115 Bibliographie ...................... ......................................................... Etablissement du schéma de ~-analyse...... Exercice 9............................................. Corrigé de l'exercice 3......... .................................................................................................... Exercice 6...... . précision. et vis-à-vis de quelles incertitudes). . du fait que les phénomènes physiques ne peuvent être qu'imparfaitement traduits par des modèles mathématiques. Ceux-ci peuvent être issus de la description des phénomènes physiques. qui ne permettent pas de prendre en compte la nature physique des incertitudes. jusqu'à ce que les résultats obtenus soient jugés satisfaisants. que les paramètres de ces modèles ne sont connus qu'avec une certaine précision. ) est robuste si cette propriété est maintenue en présence d'incertitudes de modèle décrites et quantifiées de façon appropriée (notons à ce propos que parler de "commande robuste" ne veut rien dire si on ne précise pas de quelle propriété il s'agit. Notons qu'il est rare que tous les objectifs d'un cahier des charges puissent être prÎs en compte explicitement lors de la synthèse. . ou d'expériences permeLLant de caractériser son comportement entrée-sortie.. Une vision plus réaliste est de considérer celte approche comme une façon particulière de calculer un correcteur.. puisqu'on travaille sur des modèles donl la validité est limitée. performances dynamiques. on va donc concevoir une loi de commande pOUf assurer stabilité. sans que toutes les demandes de performance et de robustesse soient prises en . Ceux-ci seront donc vérifïés a posteriori. on dira qu'une propriété de l'asservissement (stabilité. précision.Introduction La synthèse d'une loi de commande permettant de réaliser l'asservissement d'un processus passe par l'utilisation de modèles mathématiques. c'est-à-dire être capable de garantir la stabiJîté el certaines performances vis-à-vis d'incertitudes de modèles. temps de réponse. et aussi qu'il ne sert à rien (et qu'il serait même nuisible) de travailler avec des modèles très précis et donc très complexes.. marges de stabilité. en utilisant en général un modèle plus précis que celui utilisé pour calculer la loi de commande. Plus précisément. Celte vision s'est trouvée rapidement limitée à des descriptions grossières d'incertitudes de modèle. Historiquement. Sur la base d'un modèle imparfait. l'approche est née d'essais de prise en compte a priori d'objectifs de robustesse lors d'une synthèse. Par ailleurs. On peUl Lout de suite noter que ces modèles ne représentent qu'imparfaitement la réalilé : il y aura toujours des Încertitudes et des erreurs de modélisation. Le calcul d'une loi de commande alternera donc les 2 étapes de synthèse d'un COfrecteur et d'analyse des propriétés du système commandé. il faudra se préoccuper de la robustesse de la loi de commande obtenue. Le premier chapitre de cet ouvrage présente les outils nécessaires à cette approche: les valeurs singulières d'une matrice de transfert. . qui tous peuvent être traités à la main. Il s'adresse à des étudiants possédant déjà de bonnes bases en Automatique fréquentielle et connaissant les notions liées à la représentation d'état. qui comprend une brève ouverture sur des techniques voisÎnes ou qui constituent un prolongement naturel. ct des exemples de mise en œuvre. Enfin le chapitre 7 est consacré à une étude de cas sous Matlab. Nous concluons celle partie consacrée au cours dans le chapitre 5.1. de garantir des marges de stabilité. présente la notion de problème standard. montre comment des analyses de robustesse peuvent être conduites grâce à la représentation par LFT et la valeur singulière structurée J.10 Commande HCfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse compte a priori. Le chapitre 3 s'intéresse à une approche particulière dc la synthèse fI co . et la norme H cr" d'un système linéaire. on montrera qu'elle permet de modeler différents transferts du système asservi. et l'École Spéciale de Mécanique et d'Électricité (ESME-Sudria). Le chapitre 4. Plus spécifiquement dédiée aux concepts de robustesse ct utilisant des notions très proches. Le chapitre 2.. Cet ouvrage est issu d'enseignements dispensés dans différentes écoles d'ingénieur. et d'assurer la robustesse aux dynamiques négligées. notamment l'École Supérieure d'Électricité (Supélec).1-analyse. deux méthodes de résolution. . Le chapitre 6 comprend douze exercices corrigés. ]e contrôle d'attitude de satellite. dédié à la synthèse fI cr" standard. dédié à]a J. appelée synthèse fI co par "loop-shaping". Le cours magistral (hors chapitre 5) cOlTespond à un volume de 15 heures environ. Le parti pris adopté dans ce livre est ainsi de montrer que l'association synthèse fI:::l + ~l-ana1yse fournit des outils puissants permettant de déterminer des lois de commande efficaces.1-analyse permet quant à elle d'effectuer a posteriori des études de robustesse très fines. et en particulier sur la fl-synthèse. par un retour dynamique de sortie. l'École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA). la J. qui constitue la matière de séances de Travaux Pratiques. ce que les auteurs ont pu vérifier sur de nombreuses applications telles que le pilotage de missile. et constituent ainsi une base pour la conception de Travaux Dirigés.. la commande de paliers magnétiques. Dans cet ouvrage. Un même exemple d'application est conduÎt dans les chapitres 2 à 4. Valeurs singulières dlune matrice de transfert Considérons un système linéaire invarÎant avec un vecteur d'entrée eU) et un vecteur de sortie sU) de dimensions respectives m el p.1 ) Pour un système monovariable.joo)' GUm) sont des matrices hermitiennes semi-définies positives. p) On peut remarquer que les produits G(joo) G(.1. Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls. Dans le cas multivariable.2) i = l. min (m. elles peuvent être classées. Elles permeUent aussi de définÎr la norme H 00 d'un système linéaire. En réponse à une excitation harmonique e(t) = E e 1UH . 1. s(r) = GUm) E e jw1 ( 1. Soit G(s) sa matrice de la sortie transfert.jmr el G(. définies comme les racines carrées des valeurs propres de GUro) multipliée par sa transconjuguée : O'i(GUro»):= ~Ài(GUm)G(. on définit à partir de celte relation le gain du système à la pulsation ro par le module lü(jm)l. Le chapitre s'achève sur quelques propriétés importantes de celte norme.Chapitre 1 ValellfS singlllières et norme Hoo Ce chapitre présente les principaux outils utilisés dans ce cours. dont les valeurs propres sont par conséquent réelles positives ou nulles: il est donc licite d'utiliser leur racine carrée (par aîlleurs les valeurs propres non nulles de ces deux matrices sont identiques). Les valeurs singulières d'une matrice de transfert permettent de généra1iser la notion de gain aux systèmes mullivariables. On notera (J'tG) la plus grande valeur singulière el g(G) la plus petite: .jw)T GUro») ( 1. on utilise la notion de valeurs singulières.jro)T )= ~Ài(G(. E E du système s'écrit: cm . 12 Commande HCfJ cl ~L-analy5c : des outils pour la robustesse Remarque: on peUl vérifier que pour un système monovariable.5.cr fi} O(p-m}~111 opx(m-p)) SI p<11l ( 1.51). indiquent que crtA) est une norme.5. (diag !: b-).51) 9: ( ) = XEC A ml~JI si A est inversible. il n'existe qu'une seule valeur singulière.b) cr(A+B) $ cr(A) + cr(B) ( 1. on peut se référer à un ouvrage d'algèbre matricielle.cr"J si p=m A=V2:W" avec 2::.11) cr(E)<Q(A) ( 1.5.5.1)= Q(A. qui est telle que: (l.···.. ou les relations (1.(A) (1.a.cI) ( 1.c) ( 1.g) g:(A)cr(A.4) Quelques propriétés des valeurs singulières sont indiquées ci-dessous (pour plus de précision.!:lrrlllp: la relation (1.:: Q( A) Q( B ) cr (A ) max xr:C'" Il Ax 112 Il xii:! (1. cl Ilxl :2 Jx" x = ~ X x T est la norme eucl idienne usuelle : cr(A)=O <=> A=O 'VÀeC O"j(ÀA)=IÀla.a) (1.a".1 )cr(A) = 1 => deL(A+E):. .5.5. .d) montre que cette norme est multiplicative.6) (diag {a] .5. IJ lm' si p>m et V et W unitaires: VV* V*V = lp el WW" =WW· ." A -11-11-x::! xll~ ( 1. .5. qui s'écrit: }: diag {crl.5.éQ ( 1.c).5."'. tel que [Halo]) .e) cr(A B) $ cr(A )cr(B) Q(AB) .. A et B sont des matrices complexes de dimensions compatibles. Enfin toute matrice complexe A de dimensions p x III admet une décomposition en valeurs singulières. la relation (1.0 ptTI.b. Valeurs singulières et norme Hcr. Les relations (1.5.. le "gain" à une fréquence donnée dépend donc en faiL du vecteur complexe E. Pour un système muitivarinble. Notons par contre que la notion de phase n'a pas de généralisation multivariable simple.) d'l/lle J1la(rice de trallsfert Exemple: la figure 1. ct que le gain est fort si Q(C(jro)) est "grand".7) Les valeurs singulières cri lCUw)) constituent donc une généralisation aux systèmes multivariables de la notion de gain.1).g) permettent d'écrire: ( 1. Elles peuvent être représentées dans le plan de Bode (figure 1.Valeurs singulières et norme Hw 13 Revenons à présenl à la relation (1. j(t.8) On retrouve des tracés qui s'apparentent à ceux observés usuellement pour les systèmes monovariables (noter en partÎculier la résonance au voisinage de la pulsation propre . . On dira par exemple que le gain est faible à la pulsation (ùsi ëf(C(jw)) est "petit"./ .2 montre les 2 valeurs singulières de la matrice de transfert: ( 1.!t G(' )E }(jll E~ ~{) e ~1_G(s)1 ~ IIGIIC1J Figure J.1). De nombreuses propriétés qui s'expriment en terme de gain pour les systèmes monovnriables s'étendent aux systèmes multivariables en considérant les valeurs singulières cr(CUffi)) ct Q(C(jw)).JïO du dénominateur des 4 termes).5j) et (1. et sera compris entre les valeurs singulières inférieure et supérieure. A t 1 B + D . Norme Hel) d'un système linéaire invariant Soit un système linéaire invariant décrÎt par la représentation d'état: 1 r.i:(t) = A . Sur la base de la définition (1. Mais si celui-ci présente un CJ:) • maximum très flpointu".2 .l(t) + B s(r) eU) = C xU) + D e(t) C ( 1.~! ~ - t 1: t - 10 -~ '--~_~~~'-'--_~~~~-'-'-_~~~-'-'--'-L.1) : sup appelée norme H 00 cr(G (jrn )) (1. la propriété suivante fournit un majorant y de la norme .10) fiER Il G(s) 1100 est donc la valeur la plus élevée du gain du système sur l'ensemble des pulsations (pour un système monovariable. L'cnsemble des matrices de transfert G(s) correspondant il un système stable est noté usuellement Pour toute matrice G(s) dans et notéc C(J' RH on définit une norme. c'est la valeur la plus élevée de IG(jOJ)I).10) pour un ensemble de valeurs de choisies a priori.9) à laquelle correspond la matrice de transfert G(s) (s / .8) 1. on risque de sous-évaluer la nonne H Par ailleurs.14 Commande HÇjJ el '~leurs ~-ann1yse : des outils pour la robustesse Singuli~re~ 10o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~' . - .Valcurs sillgulières de la matrice de lrall~retl (1.. Il G(s) 11Ci) . on peut obtenir facilement une borne inférieure de Il G(s) l eo en recherchant la valeur la plus élevée du 2 ù) èlllC membre de (1. de la manière suivante (tigure 1.2. ferons l'hypothèse que le système est stable.J 10" Pulsation 10 ' {rt'ld/~èC} Figllre 1. "" =1 :.. Nous R.H Ci) .10). 11 ) S DDT y2/ nia pas de valeur propre sur l'axe imaginaire. Comme cD(j 00) Il C(s) IL < y iii sÎ et =. de sorte que <})(s) n'a pas de zéro imaginaire pur. Alors il existe un vecteur . D avec: J.Valeurs !oîinguIîères el norme Hoo Propriété 1. c:I>(jru) > 0 pour tout ru E n.\') II~ < y si et seulement si R = DT D-y2J la matrice hamiltonienne: (1. B=[y-l~:. Soit c])(s) = y2/ G( -s{ C(s).jwo I)XJ (AT + jwo / )X2 0 = YCT ~-1 _y-2 D R. on obtient Xl =0 et Xl =0. Il est claÎr que seulement si èP(jco) > 0 pour tout ru ER.1 ~ SOÎt un réel positif 15 y> cr(D). D=-r' (1. C. ou encore que <D(s) -1 n'a pas de pôle Îmaginaire pur.12) La propriété est donc établie si cette représentation d'élat n'a pas de mode non commandable ou non observable sur l'axe imaginaire.\2 T ) non Ces équations conduisent à : DT C XI + Y B Tx 2 =0 (A . Démonstration. On prouve de la même façon que la représentation d'état (1. :J La propriété 1.I DT)c XI = _y-tCTC x) Comme A n'a pas de valeur propre imaginaire pure. ce qui contredit l'hypothèse de déparl.. mais devient rapidement impraticable pour des systèmes d'ordre supérieur à 1). Supposons donc que jw o soit une valeur propre de Hy non observable (de sorte que jwo n'est pas un pôle de <P(s) -1 nul tel que: ).12) nia pas de mode non commandable sur l'axe imaginaire.1 conduit soit à rechercher de façon explicite Je plus petit majorant possible en calculant les valeurs propres de H r (c'est ce qui est fait à Litre i11ustratif dans l'exemple ci-dessous. A H.R-} C=(R-'DTC yr'BT). . Or il est facile d'établir que <P(s)-' admet pour représenlatîon d'état tA. soil à affiner le majorant en ulilisant cette propriété de façon itérative.R > 0 et que c})(jm) est une fonction conLinue de ru. Alors Il G(. B. si et seulement si (P(jru) est non singulière pour tout ru ER U {oo}.rD'" = ('" T . 14. qui correspondent à la mise en parallèle de 2 systèmes avec une entrée ou une sortie commune. Les inégalités (1. en w O. Propriétés de la norme H r:r.11 G(s) ILJ (1.3.5}) : Il F(s) G(s) I aJ : :.~:2: sup (II F(s) IL . on obtÎent forcément un gaÎn maxÎmal plus faible..14.10) et de la propriété (1.14. indiquent qu'en ne considérant qu'une purtie de celte association. Les propriétés suivantes peuvent être aisément démontrées à partir de la définÎtian (1. 1. Il F(s} IL Il C(s) t ( 1.14.c).14.b) et (1.13) On obtienl successivement: Hy= et donc H y n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire si et seulement si : li résultat qui peut être aisément confirmé par le tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert C(s) .b) Il (F(s) G(s»).a) (LI4. .16 Commande Hef) el Jl-analyse : des outils pour la robustesse Exemple: considérons le système du premier ordre: _r(t) = -a x(t) { s(t) = x(t) + eU) a>O soit C(s)=-s+a 1 ( 1.c) Intuitivement.0) exprime que le gain maximal de la mise en série de 2 systèmes est inférieur au produit de leurs gains maximaux respectifs. dont le module a effectivement pour maximum 1/ a . l'inégalité (1. approche standard La synthèse HOC) propose un cadre général pour le calcul d'un correcteur. Puis la mise en œuvre par l'introduction de pondérations fréquentielles est détaillée. les signaux e sont choisis pour caractériser le bon fonc~ tionnemenl de }' asservissement.1 : la matrice de transfert P(s) modélise les interactions dynamiques entre 2 ensembles d'entrées et 2 ensembles de sorties: le vecteur IV représente des entrées extérieures. en manipulant des concepts fréquentiels. nous nous sommes limités au cas d'un système monovariable (1 commande ct 1 sortie régulée. mais éventuellement plusieurs mesures). 2.1. Ce chapitre expose tout d'abord la notion de problème standard.1 . perturbations. e y HI li Figure 2. vOÎre certains objectifs de robustesse. qui est représenté sur la figure 2.Problème fI a:l standard . en retour dynamique de sortie. Le chapitre s'achève sur un aperçu des principales possibilités de mise en œuvre. Les résultats obtenus sur un problème œasser~ vÎssement en position œun moteur électrique sont ensuite présentés. bruits. Pour simplifier l'exposé. telles que signaux de référence. le vecteur Il représente les commandes. Toutefois la synthèse H 00 permet de traiter des problèmes multivariablcs. ct les 2 méthodes de résolution les plus utilisées. Problème standard La synthèse H ctJ utilise la notion de problème standard. au prix de quelques ajustements mineurs.Chapitre 2 Synthèse Hoo. enfin y représente les mesures disponibles pour élaborer la commande. de marges de stabililé et de modelage de différents transferts. Elle permet de prendre en compte des objectifs de stabilité. R Il.4) . que nous écrivons sous la forme suivante: K(s»)IL i 1] [A [ y(t) = ~. qui est appelée Transformalion Fractiollnaire Linéaire (LFT) inférieure: ECs) F.1 ) on calcule aisément la matrice de transfert cnLre w et e du système bouclé. . K(s»)W(s) := p/!\\. et assure Il Fr(p(s). )' E R "\' . W E R "Il . DGKF]. déterminer qui stabi- <y.1 : P(s) ~'11 (S)] PylICs) (2. dans laquelle la valeur optimale de y est recherchée par dichotomÎe. (P(s).-analysc : des outils pour la robustesse En effccluantune partÎtion de la matrice P(s) de façon cohérente avec les dimensions de H'. Ces 2 méthodes utilisent une représentation d'état de la matrice d'interconnexÎon P(s). Soient P = pT. lise Je système bouclé de la figure 2.(s) + Pell (s) K{s) (/. y sur la figure 2.1.(S) K(~') (2..Pyu (s) K(s) FI (P(s). Résolution du problème H co standard par équations de Riccati Celte méthode. Il.2) La synthèse H co du correcteur est définie par Je problème suivant: Problème H:o standard: P(s) eL y> 0 étanL donnés. ou LMI). Les correcteurs assurant la plus petite valeur de y possible seront dits "optimaux".2.18 Commande Hw el jJ. Différentes méthodes peuvenL être envisagées pour résoudre le problème fi co standard. Q = QI des matrices de mêmes dimensions que A . Elle reste aujourd'hui la méthode de résolution In plus utilisée. Nous présentons ci-dessous l'approche par équations de Riccati. 2. aussi connue sous Je nom d'algorithme de Glover-Doyle. K(s») )-1 PylI. est apparue à la fin des années 80 [GIDo. Il E R Il. et l'approche par Inégalités Matricielles Affines (en anglais Lincar Nlatrix fneqllalilÎes.. e E X(/) ] w(f) [ (2.3) /tU) avec XE R Il. On note: x = Ric ( A _Q P _AT J (2. C. H3 entraîne que Pell (s) n'a pas de zéro sur l'axe imaginaire (mais la réciproque "e " n'est pas vraie si la représentation d'état utilisée pour décrire Peu (s) n'est pas minimale). les hypothèses H2.3) [Day.5) telle que toutes les valeurs propres de A . De même pour H4 el Pyl\'(s). fl4 sont propres à cette méthode de résolution. Remarquons que le fait d'avoir Dell de rang plcin signifie que toutes les commandes interviennent dans les variables régulées e. fl3. en appliquant une série de transformations au système (2. . B II ) est stabilisable et fl2) rang (Dell):::: nll et (C y .\" H3) '\/m E R rang ( A . on suppose satisfaites les hypothèses suivantes: fil) (A.Synthèse Hct:J' approche standard quand elle existe. Remarque: si l'hypothèse Hl semble indispensable compte tenu de la façon dont est posé le problème. ZhDG] de se ramener au cas où les conditions suivantes sont vérifiées :1 Dl'W=O D~.. Quelques commentaires sur ces hypothèses: . Il est toujours possible. H2 est une condition suffisante pour que la matrice de transfert du correcteur soit propre. SaLe.J = (0 Ill. la solution symétrique de l'équation de Riccati: 19 (2.jro III B Il ) :::: Il + nu Cc Dell R rang ( A jroln Bw :::: C)' Dy\!' H4) '\lm E J J1 + Il y .) (2. H2 suppose implicitement que ~ 11 et 1lU' 2: "y .. Par ailleurs.Hl est l'hypothèse classique de toute méthode de synthèse utilisant les variables d'état (commande modale ou LQG par exemple) : elle est nécessaire pour obtenir la stabilité du système bouclé. . (Cl' D. A) est détectable rang (D)w)= ".6) (~:J Dr" (~'" J Le théorème suivant permet de tester ln faisabilité du problème standard: IOn peut aussi sc reporter il [GIDo] ou [McGIll si l'on souhaile éviter ces lransformations. Pour résoudre le problème fi 00 standard.P X ont une parLÎe réelle strictement négative. a) où <P(s) fiant E RH!Xl est une matrice de transfert de dimensions "/1 x ")' arbitraire véri- !1ct>(s)llco < y .2 .7. K(s))IL < y sonl décrits par la LFI': (2.7. (2. le problème fi standard a une solution si et seulement si les 5 conditions suivantes sont rem~ plies: Y l'axe ÎmagÎnaÎre il) il existe une matrice X co = iii) la matrîce -2 B Il' B T -B B T \ Il' T Il Il -A J n'a pas de valeur propre sur Ric(H Cf).'C L.1.6).Sous 'es conditions du théorème 2. et Kil (s) est décrit par la représentation d'état suivante: XII (t)] o [ y(t) )'0(1) (2.b) • En particulier. Enfin la solution du problème standard est donnée par Je théorème suÎvant : Théorème 2.1 <:tJ Sous les hypothèses Hl .H4 et les conditions (2. les correcteurs rationnels K(s) stabilisant le système et satisfaisant Il F/(p(s). n a pas de valeur propre sur 1 l'axe imaginaire il') il existe une matrice Y(l} = RieU Cf)). appelé correcteur central.20 Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la rnbuslc~se Théorème 2.8) .:: 0 • v) p(Xa:Yco)<y2 où p () désigne le module de la plus grande valeur propre. le correcteur correspondant à ClJ(s) admet la représentation d'état: 0.:: 0 y. -A 2 J ct:l = AT ( -BwBw T c~c\'J ' .C. ! On peut vérifier que les hypothèses Hl à H4 sont remplies: Hl) rang (Bu) = rang ( 1) 1 donc H2) te \" )= rang ( 1) =1 donc rang (. La représentation de )a matrice P(s) du problème standard correspondant s'écrit: y Y composé de 2 perturbations. approche standard 21 La mise en œuvre de celte solution consiste donc à uliliser Lout d'abord les ré~ sultats du théorème 2...2 . rrl1'''': la synthèse en temps discret a été notamment envisagée par [LîGW].Synthèse HC1J . Exemple élémentaire Considérons le système de la figure 2.. .3. à con- x (0 )x+ (1 0)( ~ ) + (I)u (2. Il . Exemple élémel1laire.".. dans lequel on considère un vecteur d'entrées w = (b li trôler e (z Il comprenant la sonie à asservir cL la commande..2 .. 2.2.) = rang (0 1) =1 = Il Y Il.1 pour approcher la valeur optimale de y par dichotomie (procédure appelée couramment y -itération").9) (~) (~}+(~ ~J(~)+[~} )' (l)x+(O It)+(O)1I x Il Figure 2.. On calcule ensuile le correcteur central en appliquanLle théorème 2. Bu ) commandable tel" A) observable el rang (0".. Tn . et forme standard corre'\lJ(Jf/dollfl.l = rang ( ~) 1 = rang (A. [IgGl] ou encore [Sto). Cl un vecteur de signaux.. ~(~ ~J ]D\ll.Îi) : de sorte que i) et ii.1.. Les équations de Riccati des conditions ii) ct iv) s'écrivent: Xcrl(O)+(O)X + X ctJ ct) &-2 -l)\'Ofj +1 =0 -lYC1J +1 =0 .W 0 ~ J~ 2 = Il + "" 'J R rang [ A-..-) de sorte que v) est vérilïée pour y > XctlY"" = .....10) Dy\\'· 0J(OJ=(OJ 1 1 1 Testons les conditions du théorème 2.i1W 1 0J = 01- = JI + Il y Par ailleurs ce problème vérifie directement les conditions de normalisation: D. On a.T =(1 0 DYII =0 D.) sont vérifiées pour y> 1 .1 Y.-) .. Les résultats du théorème 2.i W/1l Cl' H4) \iWE Dell B"J=rang[-. pour les conditions i) eL .' (e. [ Bl\' D.iW/I/ Cy BII'] D. Y- Yctl (0)+ (O)yO"} + Y<Yl &-2 de sorte que ii) et iv) sont vérilïées pour y> ]...l w = rang '-' (-. et fournissent: X ctl =yctl = ~>O y et VY.Ji.)~ (0 (G ~) = (0 1) (l. .22 Commande Hoo et ~l-analyse : des outils pour la robustesse H3) \iwER rang(A-. Cette dernière valeur constitue donc la valeur minimale.2 permettent de calculer le correcteur central pour . la synthèse par LM! fournit une autre façon de résoudre le problème standard [lwSk l.-2 s+2-Y--". La faisabilité du problème standard est testée au moyen du lhéorème suivant: . lorsque y alteint sa valeur optimale. le terme en s du dénominateur disparaît. le pôle du correcteur tend vers -00. la diminution d'ordre étant égale à la perte de rang de Zoo : lorsque y tend vers sa valeur optimale. 2.4. Dans le cas contraire. il y a réduction de l'ordre du COiTecteur fKwa]. Celte constatation a une portée générale: elle est liée au fait que pour la valeur minimale de y • la matrice ZefJ devient singulière.8) ne sont plus applicables. À j'optimum.1l) lIU)= qui correspond à la fonction de transfert: K(s) = U(s) = Y(s) ( 1) 2_ 1 ~ y. Elle est plus générale..12) Un fait intéressant mérite d'être signalé: on voit que lorsque y tend vers sa valeur optimale Ji . de sorte que les équalÏons (2. dont la représentation d'état s'écrit : (2.J2 . dans la mesure où elle ne nécessite pas le respect des hypothèses H2-H4 (1 'hypothèse Hl reste nécessaire). on observe ainsi qu'au moins un des pôles du correcteur tend vers l'infini.Synthèse li CfJ' approche standard 23 y> .Dyull dans ses équations d'élat. Nous limiterons l'exposé au cas où la condition: (2. et on modifie a posteriori le correc- teur obtenu en effectuant le changement de variable y = 5'. GaAp]..y--l y (2. Résolution du problème H en standard par inégalités matricielles affines Apparue plus récemment. et J'ordre du correcteur passe de 1 à O.13) est vériJiée. on résout tout d'abord le problème en considérant des mesures fictives 5' correspondant il ce cas. 14.14. différentes procédures peuvent être envisagées pour former un correcteur: des formules explicites sont données notamment dans [IwSkl.3 . c) sont vérifiées par des matrices R et S qui satisfont de plus la condition supplémentaire: (2. b.(1.24 Commande Hoo et j. Soit: J.1-analyse : des outils pour la robustesse Théorème 2. tandis que [GaAp 1 proposent une résolution par LMI./ 1 [0' Ce N T Il1t o J< 0 (2.14.14. Elle est en tout point comparable. en résolvant le problème suivant. c) remplacent les conditions i) à v) du théorème 2.SA 1 Bn' S n~ SB\I' -Y/Il". °r[ATS.b) (/~ .a. des correcteurs d'ordre r< Il existent si el seulement si les LMI (2.13). Gah].14. b.1.a. b. vérifiant les 3 LMI suivantes: RC c T (2. C C Del\' -Y/lit D. qui est un problème d'optimisation convexe: min R=RT.S=ST Y sous (2. De plus. On peut également rechercher directement la valeur optimale de y.J~O où (2.a) (N.ic(t) lu(t) = Acxc(t) + Bcy(t) = Ccxc (t) + Dcy(t) (2.d) Il Dans celle formulation.14.14. c) (2. les inégalités (2.15) La version en temps discret de ces résultats est également donnée dans [GaAp].16) .c) NR et Ns constituent une base des noyaux de ~1/ T Dt'u T ) et (C y D )'1I') res- pectivement. qui peut être résumée comme suit.Sous l'hypothèse Hl el la condition (2. le problème H cD standard a une solution si et seulement si 2 matrices symétriques R et S existent. A panir des matrices R et S solutÎons des problèmes précédents. 18. La recherche dc correcteurs d'ordre réduit solution du problème standard pour une valeur donnée de y amène à donc considérer le problème suivant: min R=RT. dont la résolution fournit donc un corrccteur. Il cherché. sans garantie de convergence vers le minimum global. EIOA. K(s») a pour représentation d'état: et.(p(s). Il est toulefois exceptionnel que la condition (2.c) où kl + désigne la pseudo-inverse de /'.a) est alors une LM! en Ac' Be ' Cc' Dc.Synthèse Hco' approche standard 25 avec Xc ERr.d) semble suggérer la possibilité de synthétiser des correcteurs d'ordre inférieur à l'ordre de la matrice d'interconnexion P(s). h.b) qui permettent de déterminer: (2.Cc 1 De' Une matrice X qui convient peut être obtenue en effectuant une décomposition en valeurs singulières de In-R S . Ac' Be .a) qui est une inégalité matricielle bilinéaire en X. c) (2. En fait son intérêt est ailleurs: nous venons .l4. en vertu du "Bounded Real Lemma u [BEFB]. sa norme H <Xl est inférieure à y si et seulement si il exÎste une matrice X = XI> 0 vérifiant: (2. Remarque: la solution par LMI du problème H 00 standard apparaît plus complexe que la solution par équations de Riccati. Val].19) A la différence du problème (2.15).18. IwSk2. N E R")( r de rang plein vérifiant: (2. une représentation d'état du correcteur d'ordre r:::. ce problème n'est pas convexe.14.a. Différentes possibilités ont été examinées pour tenter de le résoudre [Galg.1 (Iv! of" M =1r)' L'inégalité (2.18.18. Le système bouclé F. DaDe.14. d'où on déduit 2 matrices M.d) soit spontanément remplie. Enfin la condition (2. S""Sl "rang (III - R S) sous (2. dans ee cadre. Mise Cil forme pOlir la synthèse Un exemple de mise en œuvre.G(s) B(s») (2.Z(s»)) E(s) R(s) ..C(s) (-R(s) + K(s) (R(s) . d'où avec Urs) = K(s) E(s) : . le calcul d'un correcteur variant avec des paramètres du système (" gain scheduled conlroller") [Pac.Z(s») = R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) E(s») On a donc: E(s) = (J + C(s)K(s)r J (R(s) l C(s) R(s») = S(sJ(R(s) . le problème fI o:l standard peul être vu comme un cas particulier d'une classe de problèmes beaucoup plus vaste [PZPB.1. l'erreur d'asservissement E et la commande Il d'autre part: Z(s) = C(s) (.5. 2. BeGA].. BEFB].26 Commande Hw et ~-analysc : des outils pour la robustesse de voir par exemple qu'elle sert de base à la recherche d'un correcteur d!ordre réduit.3 . ScEI]. pour asservir la sortie z sur la référence r. l'analyse et la eonunande de systèmes dont la représentation d'état est linéaire en Il et rationnelle en x [EISe]. la recherche d'un correcteur minimisant une norme fI 2 sous contrainte de type fi OC! [ScGCl.I:J z Figure 2.Analyse d'/III sysli!nw asservÎ Calculons la matrice de transfert entre les signaux d'entrée r et b d'une part. (. ApGa.B(s) + K(s)(R(s) . Le signal b est une perturbation.B(s) + U (s)) = C(s) (.20) où S = (1 + CKt est la fonction de sensibilité de l'asservÎssement.5. qui peut être considéré comme l'un des problèmes de base de la synthèse H 1 prend comme point de départ le schéma-bloc de la figure où C(s) est un modèle du système à asservir. qui inclut par exemple la stabilisation quadratique par retour dynamique de sonie lBePa. lVlise en œuvre 2. el K(s) le correcteur à déterminer. Plus généralement. . 23. approche standard 27 E(S)]_M(S)(R(S)]_( S(s) (Urs) B(s) K(s) S("') S(s)G(s) K(s) S(s) G(s) J(R(. en considérant le cadre standard introduit ci-dessus. mais aussi de la commande: on veul en effet que ['erreur reste faible.')J B(s) (2. et les transferts Ses) et S(s)G(s) onl un zéro en 0. ce qui signifïc l'absence d'erreur statique pour des signaux r el b constant.22) Dans ce problème.2. Deux démarches peuvent être envisagées pour contourner cet obstacle. appliqués à 2 endroits différents de l'asservissement. Ainsi: a) si le gain de la boucle ouverte est grand soit /G(jro)K(jro)I» 1 (2.Synthèse HO). b) si [e gaÎn de la boucle ouverte est faible soil IG(jw)K(jw)I« 1 f1iJ (jro) :::: ( l K (jro) G(jro) K(jro)G(jro) J (2.21 ) et donc. on lient compte en effet de 2 signaux d'entrée. et on surveille l'évolution de l'erreur. Toutefois ceUe formulation s'avère en pratique trop rîgide car elle ne laisse aucun élément de choix à l'utilisateur. Le problème ci-dessus se présente donc comme la recherche d'un compromis entre l'objectif recherché et les moyens nécessaires. el assurant: (2. Objectifs de synthèse On peut tout d'abord déduire [e comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M (s) en faisant des hypothèses sur le gain de la boucle ouverte.5. La première est présentée dans les paragraphes qui suivent: la seconde sera exposée au chapitre suivant 2.11) . un problème intéressant consiste à chercher un nombre}' > 0 el un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé. tandis qu'il est sans effet sur les transferts de r vers Il eL de b vers 11 • Cette approximation intervient notammenl en basse fréquence: par exemple si K(s) présente un pôle en 0. mais au prix de commandes raisonnables. le gain de la boucle ouverte tend vers l'infini en basse fréquence.23.a) On voiL donc que K(s) agit sur les transferts de r vers e et de b vers €. c'est-à-dire la distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1 . où Tm désigne le temps de passage au premier maximum de la réponse à l'échelon). qui prendront la forme de liltres permettant. 2.28 Commande Hoo ct Il-analyse: des outils pour la robustesse On voit donc que K (s) agit sur les lransferts de r vers .3. on peut rappeler que la marge de module.24) S CfJ (! +GKt l Le problème H standard qui en découle est le suivant: déterminer un nombre y>O.re avec la fréquence. on peut introduire des pondérations sur les différents signaux. est l'inverse du maximum de IS(Jw)l. et le correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant: (2. et l'entrée de perturbation b est la sortie d'un filtre Il') (s) .25) . Alise Cil œuvre par l'introductioll de jOllctions de pondération Reprenons le schéma-bloc de la figure 2. afin d'éviter d'exciter inutilement la commande en dehors de la bande passante de l'asservissement. tandis qu'il est sans effet sur les lrunsferls de r vers E et de b vers E. eHe conespond à la limite entre les 2 approximations Cl) el b) ci-dessus).4. Enfin la pulsation au gain unité mo de la boucle ouverte (IG(jù)o) K(jmo)1 =1) donne une image de la bande passante de l'asservissement (dans le cas simple où IG(jm) K(jm)1 est monotone décroissante. Considérons à celle fin le sché· ma de la figure 2. suivant le signal auquel elles s'appliquent. On obtient à présent. on évite de la sorte de solliciter des dynamiques mal modélisées. les résultats du chapitre 4 permettenL d'établir que la robustesse de la stabililé vis-à-vis des dynamiques négligées peUL être garantie en imposanl un gabarit d'atténuation à K(s)S(s)G(s) en haules fréquences: intuitivement.5. Pour compléter ce raisonnement asymptoLÎque. et de b vers Il . en considérant r et d comme entrées et CI et e 2 comme signaux à surveiller: El W1 (s) Ses) ( E?(s) :::: tl'1(s)K(s)S(s) CS)] [ w) (s) Ses) G(s) 1I'J (s) 'J[R(S)] D(s) w2{s) K{s) Ses) G(s) w3(s) (2. dans lequel l'erreur E est pondérée par le filtre \v.. (s) • la commande Il par HI:! (s) . et conditÎonne fortement le temps de réponse (en première approximation.. Cette approximaLion intervient notamment en haute fréquence car le gain du système non con'igé a naturellement tendance à décroÎt. de privilégier un domaine de fréquences particulier. Par ailleurs. et r on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences. Pour atteindre les objectirs du paragraphe précédent. le produit 00 0 (Ill reste voisin de 3.3. alors les 4 conditions suivantes le sont aussi: a-:J (1.4 Mise Cil place des fJollllémtiotlS L'avantage de considérer ce problème. La pulsation (01 pour laquelle le gabarit coupe l'axe o dB peUL être interprétée comme la bande passante minimale souhaitée pour l'asservissement. plutôt que le problème plus simple (1.26.le gabarit sur S esl fixée à une valeur k l faible en basse fréquence. pour assurer les objectifs de précision. La figure 2. . compte tenu de la discussion du paragraphe 2. K S .25) est vérinée.Synthèse H::r:J' approche slandard 29 Figure 2. SC et K SC : les propriétés de la norme H (chapitre 1) assurent cn effet que si la condition (2.b) On voit donc que la réponse fréquentielle de chacune des fonctions S.5 montre J'allure typique que l'on choisit pour les différents gabarils. W2(S) . ce qui impose une marge de module au moins égale à 1/ KI' Enfin aucune contrainte n'est imposée à S en haule fréquence.26.22).a) IIw2 K SIIC1J < y (2.5. La valeur KI du gabarit en haute fréquence limite le maximum de la réponse fréquentielle de S (c'est-il-dire sa norme H co ). est que les fi1Lres wds) .2 : 1 . K S SC et K SC est contrainte par un gabarit qui dépend des nItres choisis. ll'3(s) permettent de modeler les différenls transferts S. Choix des pOlldérat. au-delà de la bande passante choisie pour l'asservissement. tandis que la valeur k 2 impose une contrainte en haute fréquence. il suffit de prendre w3 (s) constant.enfin le gabarit sur K SC.l-annlysc : des outils pour la robustesse la valeur K:2 du gabarit sur K S ne lui impose aucune contrainte en basse fréquence. plus ou moins sévère suivant la valeur choisie pour {J}2 (en pratique. si les filtres 11'\ (5).30 Commallde Hoo el J. Mais dans certains cas. 1 1 S(jm) 1 \1'3 constant oo _ _ _ K1 __ 1_ _ _ _ _ _ _ _ 1 -:r--c-_ _ _ _ (J) a) gabarit sur S c) gaharit sur sa b) gabarit sur KS d) gabarit S1lr KSG Figure 2. Dans certains cas. est évidemment détclminé. 11'1 (s) et w) (s) ont été choisis d'après lcs considérations précédentes.le gabarit sur SC dépend des 2 filtres 1\'1 (s) et 11'3 (s) . tandis que le paramètre le plus ulile est ru '2. on peut préférer ajuster par Hi) (s) le gabarit sur K SC plutôt que le gabarit sur SC afin par exemplc de satisfaire un gabarit d'atténuation assurant la robus(esse de la stabilité aux dynamiques négligées.5 . Mais WJ (s) permet également de modifier le comportement de SC en moyenne fréquence. . ce qui peut s'avérer utile pour obtenir un comportcmenl transitoire correct en réponse à une perturbation. les valeurs K 2 et k 2 onl en général assez peu d'importance. ) . ce qui permet de régler l'atténuation en basse fréquence.ollsji'éque1l1Îclles . Si ceux-ci ont été définis d'après les objectifs de l'asservissement. ll':!(S).4) (figure 2.1 et 2.5.] (.1) = = .1 ) = (.27.enlrées : signaux surveillés: li' (figure 2.b) (2.4) (figure 2. ~Jise SOliS forme standard Une fois choisis les tlltres WI (s).1) sortie du corrccteur: Il sur les 2 figures. \1'2 (s).Synthèse H:!J' approche standard 31 En pratique.4.27. \Ill (s). la valeur de y n'est pas connue à l'avance. \\'3 (s) d'après ces considérations. \1'2 (s).a) (2.26).:] e (figure 2. il reste à mettre le problème ainsi défini sous forme standard. c'est-à-dire à identi fier les schémas-blocs des figures 2. Identifions tout d'abord les différents signaux: .c) (2. sortie z ) : i = Ax +B(II-b) { z=Cx (2. mais elle intervient dans les gabarits (2.b.l correspondant. ~1'3(S).4) e (figure 2.entrée du correcteur: y (figure 2. 11'3(5) : G(s) : (entrée u .4.27. 2. on choisit les filtres \1'1 (S).3) utilisée pour résoudre le problème fi 00 est obtenue en considérant une représentation d'état pour chaque fonction de transfert G(s) .d) soit finalement: . Bien entendu. qui donne la valeur de y et le correcteur.27. La représentation (2. on essaie donc en général d'orientcr le choix des filtres de façon à avoir une valeur de y proche de 1. et on résout le problème fI:t. A) observable (ce que nous supposerons pour la suite).) 0 (w] (s) aurait alors un pôle en . B2 0 (.15) sera égal à la somme des ordres de C(s) et des filtres \l'I(S). or D 2 est le gain pour ru -) 00 de la lransmiltance w 2 (s) C 2 (.'1 = 0). \1'3(. donc une erreur statique nulle (on peut toutefois obtenir une erreur statique arbitrairement faible).~I '\2 0 0 . lV 2 (S) . L'hypothèse H2 impose donc de choisir w2(P) avec un gain non nul à l'infini. On peut enfin noter que l'ordre du correcteur K(s) donné par le théorème 2..32 Commande Hw el f.4. ce qui signifie qu'on ne peut imposer des transferts Ses) el Ses) C(s) nuls en Cl) = 0. ne sont pas modifiées par le bouclage).2 ou solution du problème (2. U':! (s) (les dynamiques de ces 3 filtres. l'hypothèse H2 impose que D 2 soit de rang plein.6. L'hypothèse Hl impose donc de choisfr des pondérations stables. On notera que le choix de pondérations stables interdit en particulier que le gain de 11 \VI (s) tende vers 0 pour (ù . el décril par les équations suivantes: .'Il A2 t l B2 + D 2 .:) {~IC E ~I :.l-ana1ysc : des outils pour la robustesse [ '~l= [-~\tC .'1')· 2.6). ~] [~l [~I ~] (~J + + [.. Exemple : asservissement de position Nous présentons dans ce paragraphe les résultats obtenus sur un banc-lest constitué à partir d'un moteur à courant continu (figure 2.\"3 0 B. B) est commandab1e et (C.} (2. Par ailleurs.\2 0 0 d A3 . la partie non commandable du problème est constituée par le filtre H'J(S) . Si (A. et la partie non observable par les filtres Hil (s).28) [-C 0 0 o][x~l+[l '\2 O](r]+[O]1I d Xj Reste à voir si l'hypothèse Hl (et les hypothèses H2-H4 si on utilise l'algorithme de Glovcr-Doylc) sont vérifiées.\') 0 0 A2 0 ~ -~CJl['~~l+[:1 -~D]l(rJ+[~lu 0 . d'après le schéma-bloc de la figure 2. marges de stabilité : ~G ~ 15dB. la mesure de position et une perturbation constante (tension d10ffset d'un ampli par exemple).Asserl'issemelll ell POSiTiofJ t/'/IIlIlIOIeW' il couralll colllÎml Les objectifs de l'asservissement sont les suivants: . Z et b représentent ln commande.erreur statique due à b inférieure à 1% Pour effectuer la synthèse de l'asservissement. e(t) N 1 • n et e représentent respectivement le courant d'induit. L J =15. obtenu en considérant L ~ 0 dans les équations (2. la vitesse de rotation.K/:J.10.aQ(t) dl n(t) = de dt z(t) (2.024 Vs ampli 0.30) I 5.o réducteur ( ~) ---t---~ V---~ cap"1/. Les valeurs nominales des paramètres sont les suivantes: R =5. et la position angulaire du moteur.10-7 Kgm 2 A = 10 (2.= KJ(t) . Le processus a alors pour transmittance : lo"::j .29) = 1.29).6 .. L1<p ~ 50" • amplitude de la commande "raisonnable" .Synthèse H<p' approche standard 33 & L .H 3 a = 10. z 1 Figure 1.bande passante : (j) c 100 rdls ..024 NmA -1 = 4 Vrd- 11 b moteur n. Les tensions li.= -R l(t) .Nms K L' ::: 6 N 7 ~ Ke = 0.8 0. J .(t) + A (u(t)+b ) dt dO. nous utiliserons un modèle simplifié. <rj .31 ) La constante de temps ainsi négligée est peu différenle de L / R = 0. en veillant toutefois à ce que celui-cl ne dépasse pas excessivement la valeur 1 : on oblient y 1. afin de limiter la sensibilité au bruît et de tenir compte du fait que le modèle utilisé devient Încertain dans celle zone.7 de façon à limiter la norme H S ct à garantir ainsi une marge de module de l'ordre de 0. une avance de phase au voisinage de la bande passante et un filtrage des hautes fréquences. pour laquelle la norme y = 0. ceux-ci sont légèrement dépassés). les filtres w2 (s) et w3 (s) sont choisis constants.présente un gain en haute fréquence de 1.15 (2. Les figures 2.6. avec 2 H'.10-3 S .10 pour w3 0.075 (1 + s /26)(1 + s /64)(1 + s /50000) (1 +.coupe l'axe 0 dB à 100 rd/s (bande passante demandée) . L'objectif est d'obliger le gain du correcteur à chuter dans les haules fréquences. A nouveau on fait en sorte de ne pas augmenter de façon trop importante la valeur de y .862. qui respectenlle cahier des charges: la pulsation au gain unilé est égale il 100 rd/s. Le correcteur présente un gain élevé en basse fréquence (ce qui assure une erreur statique vis-à-vis de b négligeable). très faible ( w3 = 10. Le filtre w 1 (s) a été choisi afin que Je diagramme de Bode de 1/lwI (jw) 1 : .17 pour un correcteur d'ordre 4.34 Commande Hel) et J.\'/375)(1 +s/931)(I+s/22500) (2.présente un gain suffisamment faible en basse fréquence Dans un premier temps. Enfin on introduit une atténuation en haute fréquence sur le gabarit] /11VZ (jw) 1.32) On obtient y = 1.675 s+0.957 . ct les marges de gain et de phase sont égales à 20 dB et 55° respectivement. de fonction de transfert: K(s) = 9.7 donne les modules des transferts qui interviennent dans le problème H comparés aux gabarits initialement définis (la valeur de y étant légèrement supérieure à l.7 (s+0.8 et 2. le calcul du correcteur tient compte de la référence r.:.9 montrent les réponses de la boucle ouverte G(s) K(s) et du correcteur. Les filtres ainsi choisis sont: lt'I(S) =-~----:- s+128 1+s/l 000 1+ s /50000 Wj 1.par exemple) : en d'autre terme.075) 0. mais ignore la perturbation b.15. La valeur de Wz est ajustée afin que la fonction de sensibilité S suive au plus près le gabarit 1/ Wt • La de la matrice (2.33) La figure 2. .5 a été retenue. IX) de .25) est valeur w} = 0. On augmente ensuite progressivement la valeur de "'3' jusqu'à ce qu'un effet significatif apparaisse sur la valeur de y ..l-analyse : des outils pour la robustesse G(s) = Zen U(s) 240 (2. Synthèse Hoo. approche standard Set 1/w1 KS el1/w2 35 10 10 10 0 10 0 ·2 10 ·2 -4 10 10 10 2 0 10 4 SG el 1/w1/w3 10 10 KSG et 1/w2lw3 0 5 1d 10° 10 10 0 .~ Il 10 ·4 10 0 10 5 Figure 2.7 - Réponsesfréqllelllielles des IrallsmÎUOllces S, KS, SG et KSG Gain r-~-------.-----------r--------~ 10 Phase (degrés) 0 10 2 10~ pulsation (rad/sec) pulsation (rad/sec) Figure 2.8 - Répollscjréquemiellc de III boucle oU\'erle corrigée On peut noter que le correcteur a un pôle en -0,075, donc très proche de l'origine. Comme indiqué au paragraphe 2.3, le correcteur a également un pôle très loin dans le demi-plan gauche, en -22 500. Son influence est négligeable sur les réponses fréquentielles. L'implantation du correcteur a été réalisée en effectuant les modifications cidessous, qui découlent des 2 remarques précédentes el n'entraînent aucune modification des réponses fréquentielles dans une large zone de part el d'autre de la pulsation mc: 36 Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB) ·20 -2 10 ::Eê~ 10 a 10 2 10 4 pUlsation (rad/sec) Phase (degrés) 90 i - o -,o~ -1 BO ---l --- 10 -2 10 0 10 2 10 4 pulsation (rad/sec) Figure 2.9 - Répoflsefréquefltielle dll correctellr - remplacement du pôle en -0,075 par un pôle en 0, afin de disposer d'une véritable action intégrale. - suppression des polynômes ] + s / 50 000 et 1 + s / 22500 du numérateur ct du dénominateur de K(s), ce qui diminue d'une unité l'ordre du correcteur sans changer en rien ses perfonnances. Notons que celle étape de réduction du correcteur est souvent nécessaire, la commande H <Xl produisant des correcteurs d'ordre relativement élevé puisqu'égal à la somme des ordres de C(s) et des différents Iï1tres (paragraphe 2.5.4). Elle peut être réalisée de façon plus systématique en utilisant des méthodes appropriées [MiSB, SaPG], ou de façon plus rigoureuse en résolvant le problème (2.19). On implante donc finalement le correcteur ci-dessous, lequel peut être écrit sous la forme du produit de 3 fonctions de transfert correspondant respectivement à un correcteur PI, un filtre à avance de phase et un filtre passe-bas intervenant au-delà de la bande passante: K'(s)= 9,675 (l+s/26) l+s/64 s l+s/3751+s/931 (2.34) Les réponses de l'asservissement il un échelon de consigne et de perturbation apparaissent sur la figure 2.10. Sur la première réponse, on obtient un dépassement d'environ 25%, avec un temps de 1cr maximum qui vérifie la relation empirique werm ~ 3, sans erreur statique, et avec une commande du même ordre de grandeur que la référencc. La seconde montre qu'une modification de b n'introduit pas d'erreur statique. Synthèse HY.l' approche standard 37 -1V (" -c! ----1-- o +-I-f--H o - 1 - --;..-- - . _,= _.-- 1-- échelon tic cOI/signe échelon de perturha/ion Figllre 2.JO - Répollses de /'asservisscmellt 2.7. Autres exemples de mise en Œuvre La mise en œuvre détaillée dans le paragraphe 2.5 COlTcspond à un problème de base. La souplesse du cadre H:1) permet en effet d'imaginer de nombreux prolongements, en adaptant le schéma précédent à la spécificité du problème. De façon générale, on peUl tenir compte d'entrées agissant en différents endroits de la chaîne d'asservissement, et contrôler différents signaux. Les paragraphes qui suivent donnent quelques exemples. 2.7.1. Rejet d'flue perturbatioll mesurable Supposons que la perturbation b du schéma précédent soit mesurable. On a évidemment intérêt à en tenir compte dans l'élaboration de la commande. On peul à cette fin construire le schéma de la figure 2.11. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: - \\' (r - e = (el - Il )' =: cl y comme entrée el Y comme signal à réguler Y comme mesure comme commande (g b 2.2.e = (el el .7.3. (s) seronL choisis comme expliqué au paragraphe 2.38 Commande H(f. où li peut être inlerprétée comme une perturbation de mesure. En notant (A:.2). on dispose d'une mesure supplémentaire zs' On peut alors construire le schéma de la ligure 2.11 .) cL ). 8 3 .Il f comme signal à réguler comme mesure comme commande Zs . Or celle-ci correspond fi la transmission directe entre w = (r d)T et y = (g bf.l-anulyse : des olllils pour ILl robustesse Figure 2. Les filtres ll'I (s) et w:.. De même D 2 (transmission directe de ll'2 (s) ) doit être non nulle comme dans le problème précédent.\II =( r d li ) T comme entrée .5.1' D3 ) une réalisation de W3(S) .Asserl'ÎSsemenl avec rejeJ d'ul/e penurbatiolllllcsllrabie Dans le cas d'une résolution par équations de Riccati (paragraphe 2. Le filtre \1'3 (s) permet: ll'3 (s) . Utilisatioll d'une meslIre supplémentaire Supposons qu'en plus de la grandeur à asservir z. C. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: .12.l'Il' ) = Il). avec en particulier rang ~D . cel1e-ci s'écrÎt: D\'I\' =(1 D 0 0 3 J On voit donc que D3 doil être non nulle. il convient de vérifier l'hypothèse H2.de pondérer le rejet de perturbation par rapport au suivi de référence (cas = w) constant) de préciser le contenu spectral de la perturbatÎon (cas d'une perturbation agissant dans une certaine zone de fréquence)..)' = (g f . dans lequel la référence et la mesure de la grandeur asservie entrent séparément dans le correcteur.li' = (r d \' r comme entrée . on peut par exemple construire le schéma de la figure 2..1 II -$ Figure 2.7..... J2 .. donc d'ajuster la dynamique relative de chacune des 1.y= (r :: r comme mesure . Mais celle-ci ne peut être choisie nulle si l'on fait la résolutÎon par équations de RiccatÎ.13. boucles..c = (el c2 .ASscll'issemenr ill'ec rejet d'une perlurbatioll mesurable En général il suffit de prendre la pondération supplémentaire H'. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: ...\ constante.'. permet de réaliser un compromis entre les 2 mesures. En effet la matrice D)'II" s'écrit : 1 0 (o 0 0' H'4J On ne peUL donc s'affranchir de la présence de la perturbation \.Synthèse H00' approche standard 39 b K( s) 1----'---...3.11 comme signal à réguler comme commande Y . Par ailleurs on peUL noter que "'. 2. Nous présentons au chapitre 7 un cas d'application illustrant celle démarche. Correcteur à 2 degrés de liberté Dans le cas où l'on souhaite dissocier la dynamique du suivi de référence de celle du rejet de perturbation. . J3 .Correcteur à 2 degrés de libené De la même façon que dans le problème précédent.40 Commande Roo ct ~-j]nalyse : des outils pour la robustesse r Figure 2. la pondération supplémentaire 11'4 permet de régler la dynamique relative du suivi de consigne et du rejet de perturbation. s'écrit: Y(S)) ( U(s) ( Ses) K(s)S(s) S(s)G(s) j\ (D(S)J B(s) K (s) Ses) GCs) .Chapitre 3 Approche Hoo par "loop-shaping" L'approche proposée dans ce chapitre a été développée à partir de la notion de factorisation première d'une matrice de transfert. Sa mise en œuvre utilise un problème H de structure fixée. Problème considéré . et de la stabiiisatÎon d'un système incertain exprimé sous celle forme [GIMc]. Un problème Hooparticulicr Considérons le schéma-bloc de la figure 3. la sortie )' et la commande Il d'autre part.1. (3. Il est toutefois possible de la présenter sans faire appel à ces notions.1 .1 ) On peut donc considérer le problème H o:J suivant: chercher un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé. le réglage des performances étant obtenu par un modelage préalable de la boucle ouverte. S = (1 +GK )-1 .2) b Figure 3. 00 3. ce que nous avons choisi de faire ici. et assurant pour une valeur y > 0 donnée: (3. suivant les principes de l'Automatique classique.1 : la matrice de transfert cntre les perturbations d et b d'une part. Nous la présentons dans le cadre multivariable. et l'appliquons au problème d'asservissement déjà étudié au chapitre 2. 42 Commande H'f.3 propose un moyen d'introduire dans ce problème des éléments de réglage. 1 L'l démarche peut ëtre étendue au cas de systèmes non strictement propres [McGII J. C) une représentation d'étal du système de Si (A.2) est donnée par: (3.t'cU) + Be y(t) { a(t) Cc xeU) Cc (3. et X el Y sont les solutions définies positives des 2 équations de Riccati suivantes: (3. la valeur minimale de y pour laquelle le système de la figure 3. on connaît donc à J'avance la valeur minimale de y que l'on peut atteindre. B. un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant (3.b) Il Contrairement à l'approche standard (chapitre 2). sa solution est en effet directement obtenue par le théorème suivant: Théorème 3.1 peut être stabilisé par un correcteur K(s) assurant (3. Le théorème suivant donne un correcteur solution du problème. par contre il représente un compromis naturel entre l'évolution de la sortie et celle de la commande. A) observable. (A. en réponse à des perturbations en entrée et en sortie.3) où Àsup désigne la plus grande valeur propre. landis que le paragraphe 3.2 [GIMel Pour toute valeur de y supérieure à la valeur y rnin fournie par le théorème 3. Ce problème présente en outre une propriélé remarquable. Un exemple élémentaire est présenté dans le paragraphe suivant.Soit transmittanee G(s) 1. B) est commandable et (C.4.] ct Il-analyse: des outils pour la robustesse L'inconvénient de ce problème est qu'il ne donne aucun élément de réglage à l'utilisateur.b) Il Remarque: la version en temps discret de ces résultats est donnée dans [Wal].5.1 [OIMe] .4.a) (3. .2) est décrit par la représentation d'élat suivante: :\:e (t) = Ac .1.a) BTX Zr =~ + y X - y2/ t (3. Théorème 3.5. . Les équations de Riccati s'écrivent: x (0) + (O)X . Exemple élémentaire A titre d'exemple simple. cette réduction de l'ordre du correcteur pour la valeur optimale est un phénomène général. lorsque y atteint sa valeur optimale. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte Nous avons déjà signalé qu'aucune fonction de pondération ne peut être introduite dans le problème (3. qui impose une matrice de transfert partÎculière.3).2.) par "Ioop-slmping" 43 3.2 fournit la (3.6) Cc système est commandable et observable. avec le système: G (s) = s a a >0 soi t A=0 B=a c= 1 (3. Pour .2). considérons le schéma-bloc de la figure 3.X (a 2 )X + 1= 0 y(o)+(o)y -Y(I)Y +a 2 =0 Elles ont chacune une solution positive.1.Ji . le terme en s du dénominateur disparaît. el l'ordre du correcteur passe de 1 à O.fi.7) ou encore la fonction de transfert: K(s) = U(s) Y(s) ~2 _ 2 J.8) Comme pour le correcteur calculé dans l'exemple du chapitre 2 (paragraphe 2. + 2 a ~2 -1 ) (3. l'app1icaLÎon du théorème 3.fi.Approche Hr:t.3. Comme dans l'approche standard. qui s'écrivent X = lia et Y (l. La valeur minimale de y pour laquelle le problème admet une solution est donc y min Pour toute valeur de y supérieure à représentation d'état suivante: . 3. on constate que le pôle du correcteur tend vers -00 lorsque y tend vers sa valeur optimale . 44 Commande Hrf) ct Il~anillysc : des outils pour la robustesse régler les performances, on peut effectuer un modelage de la boucle ollverte (en anglais "loop-shaping") du processus, avanT de calculer le correcteur. La démarche est la suivante [McGII, McGl21 : i) ajouter à la matrice C(s) du système il réguler un pré-compensateur Wei (s) et 1 ou un post-compensateur W c1 (s) (figure 3.2.a), de sorte que la réponse fréquentielle du sysLème augmenté Ci/(s) = W c2 (s) C(s) Wcl (s) présente une forme saLisfaÎsante:!. Typiquement: - on assure des gains élevés en basse fréquence (par exemple au moyen d'une action inLégrale dans Wei (s) ou dans Wc::!. (s) sur la sortie à réguler). - on assure des gains faibles dans les hautes fréquences (par exemple par des filtres passe-bas dans Wei (s) ). - on choisit la fréquence de passage à 0 dB (qui correspond à peu près à la bande passante du système bouclé), en ajustant le gain général de l'un des compensateurs. - on donne à la réponse fréquentielle une pente de -20 dB/décade au vOÎsinage de la fréquence de passage à 0 dB (par exemple au moyens de réseaux à avance de phase). il) résoudre le problème H rf) précédent en considérant Co (s) au lieu de C(s) : (3.9) Iii) la structure de correction est obtenue en combinant les tïllres Wei (s) et Wc2 (s) déterminés en i) et le correcteur K(s) déterminé en il) (figure 3.2.b): dans le cas où la sorlÎe doiL suivre un signal de référence, on pourra sail prendre pour correcteur en série le produit WeI (s) K(s) W c2 (s) notamment si des actions intégrales sont incorporées dans We2 (s) • soit dissocier les 3 éléments - ce qui convient nolammenL quand des actions intégrales sont incorporées dans Wei (s) . On notera que toute la connaissance issue de l'Automatique fréquentielle traditionnelle peut être utilisée lors de la phase 0, où de plus on se préoccupera principalement de régler Je gain sans trop s'occuper de la phase. Par aîlIeurs, il n'y a pas de contrainte de stabilité sur les compensateurs Wel (s) et Wc2 (s). qui peuvent en particulier comporter des actions intégrales. 3.4. Réponses fréquentielles après optimisation H co On peut néanmoins se demander si la réponse fréquentielle de la boucle ouverte finalement obtenue à l'étape iii) correspond au modelage effectué en O. Le raisonnement suivant permet de répondre à cette question. 2 Bien sûr, dans le CilS d'un système monovariable. un seul compensateur suffit. Approche HCfJ par "Ioop-shaping" 45 bmule !Jll.ulIIJle gral/LI gain a) modelage du système b) stmclures de correclion possibles Figure 3.2 - SYllthèse H r1"J pal' "/oop-slwpÎug" Supposons calculé un correcteur assurant l'inégalité (3.9). D'après les propriétés de la norme H Cù , chaque fonction de transfert qui compose la matrÎce qui intervient dans (3.9) aura une norme H Cù inférieure à y : (3. JO) Notons que dans Je cas monovariable. la première de ces inégalités assure ainsi que la marge de module du système esL au moins égale à l'inverse de y . Par ailleurs, dans les zones où cr (Gu (jm) K (jeo»)« l (ce qui se produit en généraI en hautes fréquences), S{1(jeo);::::: 1 el K(jw)SIl(jw);::::: K(jeo). D'après la deuxième des inégalités (3.10), on a donc cr (K (jw») < y , et : la même inégal ité étant vérifiée par Réciproquement. dans général en basses fréquences), cr (K (jw) Ga (jw»). les zones où cr(Gt/(jw) K(jw») » 1 (cc qui sc produit cn 46 Commande Ha';) et ~Hmulyse : des outils pour la robustesse (si 1'on suppose que Ca et K sont currées), d'où l'on déduit: - cr (K (j .(0 ») = 1 > 1 a(K(jw») y et: Q(G I1 (jw) K(jW»)2 Q(G lI (jw») Q(K(jw)) > 2. Q(G'J (jw») y (3.11.b) la même inégalité étant là aussi vérifiée par QlK(jffi)G(/(jffi»). Les inégalités (3.11) montrent que dans les zones où la boucle ouverte présente soit un gain élevé, soiL un gain faible, le rapport entre les valeurs singulières obtenues à l'issue du "Joop-shaping" et celles de la boucle ouverte tinale n'excède pas la valeur y de la norme H co • Notons de plus qu'il est montré dans [McGII, McGI21 que ce rapport tend asymptotiquement vers la valeur (/ 1)1/2 si cr (Ga (jw») -7 a ou si Q(G lI (jffi))-7 00 (figure 3.3). On a donc une garantie que le "loop-shape" obtenu après le choix des compensateurs WeI Cs) et Wc2 (s) sera globalement respecté pour de faibles valeurs de y, dont, rappelons-le, la valeur minimale y min peut être calculée explicitement avant calcul du correcteur K(s). Cette valeur renseigne donc sur la pertinence des choix effectués lors de l'étape de "Ioop-shapîng". On considère généralement qu'une valeur de y de l'ordre de 2 à 3 est satisfaisante. Figure 3.3 - Comparaison des répoll.'ies fréqllelllielles des bOllcles ouvertes. 8 et 2. (1 + s /19. dont l'influence sur les réponses fréquentielles est négligeable.7)(1 + s /83.J par "loop-shaping" 47 3.l+sl1000audénominatcurde Wd(s).14) .12) On obtient y min = 2. un régulateur PI associé à un filtre passe-bas esl retenu.5. la transmiuance K(s) possède un pôle très éloigné de l'origine (en -5585).68 s 1+s/20 1+ s 11000 (3.5 montre la réponse fréquentielle ùu correcteur total WcI(s) K(s). On peut aussi noter que les transmiUances Wei (s) el K(s) font apparaître des termes très proches. Afin d'assurer le rejet de la perturbation b ct de filtrer les hautes fréquences.35.98) .1+ s /20 au numérateur de Wei (s) el 1+ s /19. l+s/999.13) La figure 3. résultant du choix de Wei Cs) . donl J'influence devienl négligeable dans le produit WcI (s) K(s) : . On peul remarquer que comme avec l'approche standard.9).6 (figures 2.4 montre les réponses fréquentielles du système compensé G(s) Wd (s) et de la boucle ouverte G(s) Wei Cs) K(s). soil une valeur légèrement supérieure à la bande passante demandée (figure 3.Approche Hcr.98)(1 + s /342)(1 + s/934 )(1 + s /5585) (3.98 au dénominateur de K (s) . landis que la figure 3.5 s 16. obtenu en éliminant le pôle en -5585 de K(s) et les termes cités ci-dessus: WcI (s) K(s) ~ K'(s) = 8. Les réponses de la boucle ouverte el du correcteur sonl par aîlleurs très proches de celles obtenues au paragraphe 2. Exemple : asservissement de position Nous reprenons avec celle approche l'exemple présenté au paragraphe 2. Son gain est ajusté pour que la boucle ouverte passe à 0 dB pour 110 rdls. le modelage de la boucle ouverte peuL être accompli par un seul compensateur Wei (s) .26 [1 +-~-' J1+ s /83.5)(1 + s /999. tandis que l'adjonction de K(s) permet d'assurer des marges de stabilité correctes. Le calcul du correcteur pour le système compensé G(s) Wei (s). Le système étant monovariable.98 au numérateur de K(s) Ces différentes remarques conduisent à impJanter le correcteur suivant. et pour y = 1. Par conlre le correcteur obtenu Wei (s) K(s) a un pôle exactement à l'origine.6.7 1 1+s/342 l+s/934 (3. On voit que la boucle ouverte finale reste proche de la réponse obtenue après le choix de Wei (s) .4) : Wd (S ) = 17.01 Y min donne: K(s) = 0 467 (1 + s Il 6. 48 Commande Hw et Ji-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB) 10 o 10' 10~ pulsation (rd/sec) 10~ 10 4 Phase (degrés) -100 -200 -300L-~----~------~~----~--~--~~~ 10° 10' 10 pulsatîon (rd/sec) 2 10 J 10 4 Figure 3. et dans laquelle on reconnaît un régulateur PI complété par un réseau à avance de phase et un filtre passe-bas. . et de la boucle VIII 'crie finale (gras) Gain (dB) correcteur 20 o ·20 ~ 10' 10 2 - ~ 10 3 pulsation (rd/sec) Phase (deqrés) 10 Cl 10' 10' pulsation (rd/sec) 10 3 10 4 Figure 3.Réporlsesjréqllclliielles du processus pré-compensé (fin).6).5 Répollsejréqllentielle du correcteur expression très proche de celle obtenue avec l'approche standard (paragraphe 2.4 . en utilisant la norme H Celle analyse s'avérant en général trop pessimiste.Chapitre 4 ~-analyse La mise en équation d'un processus physique nécessite des approximations. dont la définition et les propriétés importantes sont données au paragraphe 4. la matrice de transfert H(s) qui dans le cas d'un syslème asservi dépend évidemment du correcteur . (1) • 4. il convient d'utiliser un outil plus approprié.8. Un formalisme général pcnneUant de représenter les incertitudes de modèle est présenté dans le premier paragraphe.1.3. Rcpréscntation géllérale par LFT Dans le cadre linéaire.1. qui affectent la valeur d'un ou plusieurs paramètres réels. représentées par une ou plusieurs fonctions de transfert inconnues. Son milisation sur différents problèmes dc robustesse est exposée dans les paragraphes 4. les dynamiques mal connues ou volontairement négligées dans l'écriture du modèle (intervenant en général en hautes fréquences).1 : toutes les incerLitudes de modèle sont rassemblées dans la matrice 8(s). En écrivant les relations entre les différents signaux: . Il convÎent donc d'étudier la robustesse de la loi de commande. d'où résultent par conséquent des incertitudes de modèle. on peut y ajouter des incerlitudes plus globales sur le gain et sur la phase. et les signaux v et z qui permettent de faÎre intervenir les incertitudes. Puis une première condition de robustesse de la stabilité est énoncée.modélise les interconnexions entre les entrées li' • les sorties y. Une représentation générale d'un système soumis à des incertitudes de modèle est donnée sur la figure 4. qui seront représentées par un ou plusieurs paramètres complexes. ce chapitre se terminant par leur application à l'asservissement de position étudié aux chapitres 2 et 3. la valeur singulière structurée.4 à 4. celles-ci sont généralement regroupées en deux classes: les incertitudes paramétriques. quantifiées de façon appropriée.1. Pour y incorporer le concept classique de marges de stabilité. c'est-à-dire de chercher à garantir la stabilité et un certain degré de performances en dépit de différentes inccrtitudes. Description des incertitudes de modèle 4. 50 Commande HC1J et Il-analyse: des outils pour la robustesse li )' Figure 4. Pour écrire J'expression (4.2). ou LFT (pour l'anglais Linear Fractional Transformation).(s) V(s) + Hyll'(s) W(s) H <:l'(s) V(s) (4. t < 1" max (4. Si Go(s) désigne le modèle nominal. 4.1 .4) La connaissance de la valeur 1" max permet d'établir une borne sur l'erreur relative .Représentation par LFT des incertitudes de modélisation Z(s) + H <:11'(5) W(s) Y(s) = Hy. el que ce modèle néglige une dynamique qu'on suppose être du premier ordre.3) Les exemples donnés dans le paragraphe suivant permettent de se familiariser avec ce concept.H Zl'(S) 8(S) soit inversible pour presque tout s : on dit alors que la LFT Fit (H (S). Exemples de mise SOIIS forme LFT Considérons un système de fonction de transfert G(s) .8(S)) est bien posée.2.. il faut que la matrice 1 . avec une constante de temps t < 1" max' on peul écrire: C(s) = Co(s)-- 1 1+1"S . Sans perle de généralité.1) V(s) = 8(S) Z(s) on calcule le transfert entre w et e : Cette expression est appelée une Transformation Fra ctioll Il a ire Liuéaire.1. 8(S)) - indiquant que 8 est connectée sur la partie supérieure de H . Elle sera notée l'indice Il Fil (H (s). on peul toujours effectuer des mises à l'échelJe permettanl de "normaliser" 8(5)! c'esl-à-dire de se ramener à la condition: !18(S)IICIJ = (Il sup E R a(8(jm)) < J (4. 7) En posant a = an + ob.Modélisa/ioll d'l/Ile dynamique lIawcsfréqllcllccs 1Iégligée Supposons à présent que Go (s) s'écrive: Go(s) = (s+a )2 avec an . ~(s)=~](s) W(s) (4.b < a < ao + b (4.J"-----Y Il' Figure 4.1 = 1+ t jw :::.2) : G(jw) l i t jw 1 1 Lmax jw 1 1 Go (jw) . jw On peut donc modéliser la dynamique négligée en écrivant: G(s) _ 1 = lI'l Go(s) (s)~1 (s) S soit G(s) = Go(s) (1 + \1'1 (s)~1 (s») <::::> (4.1. On a en effet (figure 4. ct en remarquant que: -I --=-- l I b s+a s+ao ( 1+0-s+ao J .6) (V 1 lin -I----.2 représente l'allure du diagramme de Bode de \1'1 (s) ct le schéma-bloc correspondant.5) avec: wi (s) = t 1+ tmax max et S V (0 I~I (jro)1 < 1 11~1 (s)/Ioo < 1 La figure 4. 1+ t max. En identifiant celui-ci avec le schéma général de la LFT de la figure 4. -) < 6 < +). on obtient: Z(S)]_H(S)[V(S)]_[ 0 [Y(s) W(s) Go(s)\I'](s) 1 Go(s) ][V(S)] .~-analysc 51 sur la réponse fréquentielle.2 . par exemple sous la forme suivante: (4.3 . •••• peut être écrite sous la forme d'une LFT. on peut établir [ZhDG] gue toute fonction matricielle dépendant rationnellement de variables 8 1 .\2 W(s) [VI(S) ] S+ClO 0 1 1 = -b -17 1 ---1 S+{I() : ---1 1 1 1 1 s+ l1 o 1 --~b-----:b--T---ï--- (s+aof (s+aof [VI (s) J V~(s) W(s) (4.1 de la façon suivante: -b [ZI(S)J 1NideS) H(s) ~~~. tout en tenant compte de rctards purs parasites.3 qui s'identifie avec la LFT de la figure 4.II/certitude paramétrique De façon générale. Une autrc ulilisalÎon permettant de garantir des marges de stabilité est donnée au paragraphe 4. avec une matrice H (s) indépendante des Oj' el: or Si enfin on souhaitc prendre en comptc une incertitude conjointe sur le gain et sur la phase l .52 Commande Ha) ct M-ana]yse : des outils pour la robustesse on obtient le schéma-bloc de la figure 4.10) gui correspond à un disgue de centre {1.7. 0) et de rayon 1 sc' Ce modèle peut lui aussi Celle incer1itude.8) (s+(Jof S + {lo : (s + (Jo f = (~ ~J w y Figure 4. peut par exemple être utilisée pour modéliser une petile incertitude sur le gain !itatiquc. on peut introduire une incertitude complexe. plus difficile fl appréhender physiquement. . . \VI (s) par Sc et L\I (s) par El' • Une propriété imporlante des LFf est que toute association de LFf est encore une LFT [ZhDG]. .5) avec la description (4.12) RH co . avec un correcteur K(s) appliqué au modèle (4. ayant la structure générale suivante: des) diag {dieS).5).Br/rr' EI/C1'· .4 . r blocs réels dits "scalaires répétés" (Je scalaire Bj étant répété ri fois pour tenÎr comple de "incertilude correspondante).. et c scalaires complexes répétés. en remplaçant Go (s) par l. • Eele c } {) i (4.1. de dimension k 'X k .3. Ei E C et vérifiant les conditions de normalisation: La matrice des) comprend donc q matrices de transfert stables de structure quelconque. .. nous oblenons à nouveau une LFT par identification avec le schéma général de la figure 4.L\q(s). Structure géllérale de la matrice d'incertitude En rassemblant les différenles sources d'incerLitudes de modèle. L'étude de robustesse consiste à chercher à garantir une propriélé particulière . di (S) E BI111' . ER.Boucle d'a.10) (figure 4. uvec : y Figure 4.'iscl'l'issemellf avec 3 types d'incertitude 4.7) ct l'incertitude complexe (4. ... Ai nsi si nous considérons une boucle d'asservissement.4). on obtient une matrice L\(s) .Il-analyse 53 être facilement identifié avec le schéma général: il correspond à un modèle du type (4.1. Schéma d'analyse de la robustesse de III stabilité 4. Il A(s) liro Il M (s) IL \i ro cr (A(jro) Nf (jro») < 1 :::. z \' Figure 4. mais qui peut s'avérer très pessimiste.sail on ignore la structure de A(s) .2.5.où Atf(s) Démonstration.2) une condition de robustesse de la stabilité assez simple. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée Si on ne lient aucun compte d'une éventuelle structure de la matrice d'incerlitude A(s) . et si par hypothèse H (s) et A(s) sont stables. Remarque: si la propriété qu'on cherche à garantir est la stabilité. "M (s) 11<» = Hz1'(s).) • sail on prend en compte la structure de A(s) • ce qui conduit à des résultats plus précis. On a donc: • On montre d'abord si ::.1 (théorème du petit gain) [ZhDG]. en cherchant simplement quel1e est la plus grande valeur admissible de sa nonne.1 esl stable pour tout A(s) tcl que Il A(s) 11r1l < ri si et seulement si IIM(s)lloo ~a-I . Si M(s) et A(s) sont stables.54 Commande Hel) et )1-analyse : des outils pour la robustesse (par exemple la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L\(s) décrit par (4. et il est donc équivalent d'étudier la stabilité du système de la figure 4.12).4 à 4..3). alors Il A(s) Nf (s) IL ::. que la condition est suffisante: < 1.«() ' e Ult lOemre z(t) = A(jro) z(t) n1a dl autre M (jro) v(t) . la seule source d'instabilité provient du bouclage par A(s) .apres (1 . cr. le résultat suivant..5 . Il faut pour cela définir un nouvel outil: la valeur singulière structurée (paragraphe 4. conduit à déterminer une valeur maximale pour sa norme H:>:l' Théorème 4. L'outil adéquat pour traiter le problème de cette façon est la norme H On obtient dans ce cas (paragraphe 4.> \i ro det (! - A(jro) M (jro») *0 ' 5 ') d.8. avec M (s) ::: H 2:1' (s) . le système de la figure 4. a -1 . On peut imaginer 2 degrés de complexité différents pour aborder cc problème: . Les analyses correspondantes sont menées dans les paragraphes 4. connu sous le nom de "théorème du petit gain". a n en d'd' que le systeme l'" {.1. une pulsation pour laquelle cr (M (jwo») = P> Cl. une condition de robustesse de la stabilité s'écrit donc : .0). soient (00 Cl.. cela prouve. le système oscille à la pulsation ~~~: <Cl. il n'exÎste pas de Li(s) pour lequel le système de la figure 4.2 qu'une dynamique négligée du premier ordre peut être représentée par: Supposons que ce système soit placé dans une boucle de contre-réaction. On identifie facilement la transmittance M (s) du schéma général de la figure 4. Dans .5 à: Nf (s) -w] (s) K(s)G(s) 1+ K(s)G(s) Figure 4.jl-analyse solution que (z(t) . Alors tout Li(s) tel que Li(jw o) = W diag {P-I . sa stabilité. 0 }V" et cr(Li(jû}»)~cr(Li(jroo») vérifie Il Li(s) Il. Pour montrer que la condition est nécessaire. crk} une décomposition en valeurs singulières de M (jro o ). -1 il pour lequel le système est instable.. avec un correcteur K(s) (figure 4. et det{!-Li(jroo)M(jûJo»)=O: ~ 000' nous avons vu au paragraphe 4. par continuité..0. et ce pour tout tème est stable pour Li(s) 00 : 55 en d'uutres termes. avec :E=diag{p.6). Il M (s) IL > Cl. =p-I pour ce Li(s) .5 soit oscillateur.1... -1 et M(jwo)=VIW"'.. . Comme ce sys- 0.BOllcle d'aSSC'1'Îssement a\'CC dynamique 1légligée D'après le théorème du petit gain. .a2.6 . \1(1))=(0. montrons que si existe Li(s) de norme H co inférieure à ce cas en effet. (jù))K(jm)G(jm) <1 .3. CI) ) ... 1 1 + K(jm) G(jm) soit encore: \j m 1 K(jro)G(jm) 1 + K(jm)G(jm) 1 < -:---1--:w] (4.3. (p):= (Înf àE~ Il à (p ):= 0 si (cr(~): det (J . Définissons l'ensemble !1 des matrices complexes présentant la même structure que ~(s) : La valeur singulière structurée de P relatÎve à l'ensemble !1 est définie par: Ill'. . mais sa présentation est une première . Soit P E C b -'<: une matrice de mêmes dimensions que ~(s). Définition Reprenons la matrice ~(s) définie par (4.56 Commande H::t:J et Il-analyse: des outils pour la robustesse -W1(S)K(S)G(S) Il <1 ::t:J II 1 + K(s) G(s) <=. .7 devÎent singulier.\jm I-W.1. Même utilisé comme outil d'analyse. approche. il est en général trop pessÎmÎste. II . peut être vue comme une généralisation. En fait le théorème du petit gain est difficilement utilisable à des fins de synthèse car pour des problèmes réalistes.. 4. Valeur singulière structurée 4.14) (jw) On obtient donc une condition qui peut s'interpréter sous la forme d'un gabarit sur l'un des transferts de la boucle fermée (à noter que cette conditÎon peut être explicitement prise en compte lors d'une synthèse H Remarque: il est possible que Jes résultats précédents soient à la base d'un fantasme assez répandu dans la communauté. .~ p)= o)î\j ~ E à det (J ~ p) * 0 ) I (4. dont J'analyse par la valeur singulière structurée.. il conduit généralement à des conditions beaucoup trop sévères. qui veut que toute synthèse H aJ conduise nécessairement à une loi de commande robuste. beaucoup plus pertinente.16) L'inverse de ~l ~(p) peut donc être interprétée comme la plus petite norme d'une matrice ~ appartenant à J'ensemble ~ pour laquelle le système linéaire en représenté sur la figure 4.] 2). A noler toutefois que ~l ê (p) peut être nulle sans que P soit nulle (exemple: p:::. là = {(5 ER}) : dans le Démonstration. Propriétés de la valeur singulière structurée! Les propriétés suivantes peuvent être démontrées très facilement. qu'on remplace pur la recherche d'une borne supérieure cl d'une borne inférieure. O }V*.2. Donc J. J.Il-analyse 57 { V= z = Pli<=> Ll Z (1P -1LlJ(l'! =(OJ z) ° Figure 4. soit P = V LW· une décomposition en valeurs singulières de P. cr(LlP)<l. _1 P3) Si J f!2 est appelé "rayon spectral réel".7. ct l! = ~v dillg {cr(p)-I.Lê (p) n'est donc pas une norme.Donc J.O.1 p) ° et a(.. d'où le ré- f!J :! Suivant le temps dont on dispose. el retenÎr simplement que le calcul de J. .LlI (p)~ a(p).Illlelprélatioll de la valcllr singlllière structurée 4. Alors det(J -. en posant P où PR(P) T AT. _1 Réciproquement.Lll (p)::.1 • où A est diago- nale ou sous forme de Jordan. Elle est semblable à celle du théorème du petit gain.L csl un problème dîfricilc. on peut accon1cr plus ou moins d'importance à celle partie.3.etdonc del(I-l!P). P4) Si (I LlP) IT(l-(5À.Cl) = lIcr(P).. Pour tout ~ tel que cr(Ll) < lIcr(P) .!:O. . on a en effet det sultat.).: j el cas général.cr(p). Elles permeltent de se familiariser avec cet outiL Cette propriété découle directement de la définition. 1 ) ~l~ (p) Pà (D P D.L1 p)= det V. Il est contenu dans l'ensemble On a alors.17.c) (4. sauf dans des cas simples tels que ceux ci-dessus...1L1 D p)= del V. Op 0CI"" OC. cr {D P D. E[-l..17. (D.58 Commande l/:f.. On peut par contre chercher à obtenir un majorant el un mÎnorant de J. cr(p) En pratique. le calcul de flê (p) est un problème à complexité non polynomiale [BYDM]. dqIkq' Dl ....b) U={UELl..U·U=UU+=I k } (4.J7. en affinant Pencadrement qui vient d'être obtenu. qui commutent avec toute matrice L1 de Ll : D L1 = Ll D .l e1ll-analysc : des outils pour la robustesse où plP) est le rayon spectral de sembles vérifient ~2 ç. + 1]. et que la recherche d'un minimum d'une fonction sur un ensemble plus large ne peut conduire qu'à réduire sa valeur. min DED cr (0 P D.. 0. Définissons pour cela les ensembles suivants: D = diag {dtlkl .. G i E CrîXfi : G i = G j * l l (4.1 ). on dédUÎt de la définition la propriété suivante: P5) '\1 P E C hk . L'ensemble U est constitué des matrices unitaires de Ll . ~~Jp)::. Ej L'ensemble D est constitué de matrices D hermitiennes définies positives. si Ll/l c ~/J' Pn(p)::.. = D·1* > 0 di ER. ~tI P (même démonstratÎon). L1)E DXLl : (! .1 }:.(l) • D! 1 D~'" >0 1 G = r 0= ding (Okl . = Ai A/ = 1k) . D! E CCi XCi • 1 } • !(4. Considérons à présent 2 ensembles de matrices ~tI c ~b • Dès lors que ces 2 enC ~!J ~ Ll] .. L1/A. D·1 .17..Ll D P D.1 ) La recherche de la borne supérieure donnée par la proprîété P6 peUl se faire en remarquant l'équivalence des propositions suivantes: .'" 0k q ' 0. di> 0 .D..d) Q = {L1E Ll. P6) '\1 P E PA (p)::. . pour tout det de sorte que Q .(p)::. qui est lui aussÎ sous-ensemble de Ll . L'ensemble G contient des matrices hermitiennes (non définies (l priori) dont les seuls éléments non nuls correspondent aux blocs réels de Ll . On a donc: Ck}(k. ~b\..lb\ (p). .' Dp Dl . tandis que pour D et G fixés la recherche de P se résout par un simple calcul de valeur 3 La restriction à des matriœs D > 0 ne modifie pas la borne supérieure obtenue.1P·D 2 PD.18) : le problème d'optimisation (4.c) est une LMI en D et G.19. = min DeD. En dfet. et U unitaÎre (U· U= UU· =1k ).Gc:G ~~O ~ sous les contraintes: (4.c) p"DP-a D:S. ~ . elle est donc en général de mauvaise qualité puisqu'elle les assimile à des blocs complexes.0 2 On peut noter que pour a fixé. 0 (4. a D1 :3 D E D: 1(D. Dans le cas où /}. tandis que pour D fixé. toute matrice complexe D Înversible peul s'écrire sous la forme D =U R avec R =R. d'après la défini lion IllCIllC des valeurs singulières: cr(DM D-l)=a(u RAI R-1U-)=a(u Ri\! R-l)=cr(RM R-l) .J Toutefois cette borne supérieure ne fait pas la distinction entre les incertitudes réelles ou complexes.IQ. avec p.20.1 _a 2 / ~O 3DED: P*D p _a D2:::-. L'utilisation conjointe des ensembles D et G permet de l'améliorer. pour (j fixé. a est obtenu en calculant la valeur propre qui intervient dans la deuxième des propositions (4.c) est une inégalité matricielle linéaire (LMI) en D.20.a) (4. l'inégalité (4. dont la démonstration est reportée en annexe de ce chapitre: Il Il (p) :s.> 0.20.O 2 2 (4. (p) en résolvant le problème d'optimisation suivant: Il_A (p) $ CL • avec a" = min a a sous les contraintes: (4.p" G ) .18) On peut donc rechercher une borne supérieure de J.p* D D P D-I)~ a 2 :3 D E :3DED: D.0 :3D'ED: P·D'P _a 2 D':s. On peut en effet rechercher une borne supérieure de Il Il (p) en utilisant la propriété suivante [FaTD.19.20.19) est ainsi un problème dit "quasi-convexe".19.19.b) (4. de sorle que tout minimum local est aussi global [YoND].. YoND]. On a alors.~-ilnillysc 59 D: cr (D P 1 ):::-. l'inégalité (4. incorpore des blocs réels.11) DeD ~O (4.(j D :s.b) 1 p" D P + j (C P .c) Là encore. avec k ~ ~~ (P) étant invariant par multiplication par toule matrice de U Q conespondant à ce maximum. ce qui n'est pas toujours le cas avec U . notons que. avec: Il est donc équivalent de chercher ~ annulant det det (l-~'U (I .~) EUX!1 det (/ - ~ p) = det (/ .60 Commande H~ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse propre: le problème d'optimisation (4.~ U. Pour déterminer une borne inférieure. Il est intéressant de noter que de la matrice singularité de 1 . le A signe de k étant celui de la valeur propre de Q P qui correspond à P R (Q P) .~' U p) (puisque les matrices U sont unitaires). mais non par toute matrice de Q. pour tout (U..~ P en posant ~ = k Q. et par conséquent: Malheureusement. Dès lors : avec cr(~') ~ cr(~) . on déduit immédiatement une matrice ~ assurant la = ± (p R (Q p»)-1 .20) est lui aussi un problème quasi-convexe. et donc ~à (Q Par conséquent: p) ~ ~à (p) .?: PR(U P). On peut noter que les ensembles U et Q conduisent à des propriétés similaires. Un algorithme permettant de déterminer un maximum local du 1cr membre de l'inégalité P8) est décrît dans [YoDo]. On a donc ~.~Jp) = ~à(U p). On a donc 1/ ~là (p) ~ 11 ~à (Q p). L'intérêt de l'ensemble Q est qu'il est prouvé [YoDo] que l'inégalité dans P8) est en fait une égalité. on note que: celle dernière inégalité provenant de ce que la multiplication par Q n'affecte pas la norme des blocs complexes (pleins ou scalaires répétés).~ p) ou ~' annulant p). En utilisant à présent l'ensemble Q . U p) = det (/ . On a en effet: . le calcul de celle borne inférieure correspond à un problème d'optimisation qui comprend de nombreux maxima locaux. mais peut diminuer celle des blocs réels. La procédure usuelle consiste à choisir un ensemble suffisamment dense de valeurs de utilisant (4. D'après la définition de ~ Q (M (jw)) .20) : on prend alors pour ~ la valeur la plus élevée obtenue. les lermes réels d'une matrice d'incertitude déstabilisante ne sont pas forcément tous situés sur les bornes de leur intervalles d'incertitude respectifs. V 00.2 . qui fonde le principe de la JI-analyse: Théorème 4.1. Tout ~(s) 11~(s)ll<1J =p-I <a et 00 0 • det(J .4. Cela signifie que dans les analyses de robustesse menées dans les paragraphes suivants. s'il existe (ûo telle que ~l~(Atf (jooo)) = qu'il exÎste ~o tel que cr(~o) P> a-l. et lous ses blocs réels de norme infériellre ou égale à k .4. le système de la figure 4. ZhDG]. det (1 - ~(joo) iV! (joo)) . et à calculer une borne supérieure de ~Q(!l1(joo)) pour chaque valeur choisie.1 est stable pour toute incertitude ~(s) du type (4.21) est équivalente à : 'vi ~(s) tel que Il ~(s) I C() < a.~(jOOo)M (jOO O )) le système oscille à la pulsation Basée sur le théorème 4. en .2. plus faible possible.: 0 VU) = ~(joo) \'(1) n'a d'autre { z(t) = A1 (joo) v(t) de sorte que si elle est vérifiée. le système linéaire solution que (::(1) . 4.0). la condition (4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée 4. qui soit un majorant de ~l~(iVl(s)) sur "axe imaginaire. cela signifie tel que annule = p-l et det (J - [\0 A-f (jOO O )) ~(jooo)=~() et a(~(joo))~a(~(jooo)) : vérifïe = o. la ~l-analyse consiste à évaluer un réel positif il ' le 00. Réciproquement.21) Il Démonstration.Si H(s) n'a que des pôles à partie réelle négative.Il-analyse 6\ Remarque: la matrice ~ a tous ses blocs complexes de norme égale à k .12) telle que Il ~(s) lico < a si et seulement si : (4. v(t)) == (0.19) ou (4. Généralisatioll du théorème du petit gaiJl De la définition de ~Q (p) on déduit le théorème suivant [Day. a>O.Boucle d'assel1'issCIIWlIlll1'eC incertitude paramétriql/e Remarque.si m:.>Figure 4.l-analyse : des outils pour la robustesse De la sorte. la robustesse de la stabilité est assurée pour toul L\(s) de norme H <Xl inférieure ou égale il jI-1 .22) Le schéma d'analyse correspondant est donné sur la figure 4.on note toul d'abord que la ~L -analyse ne donne pas accès au domaine de .8 : /lê (M (jm») étanl majoré par a. on a 2 cas possibles suivant la valeur de m : l/a.M (jm)S)-# 0 quel que sail (5. La courbe correspondante esl donnée sur la figure 4. mais qu'elle esl entachée d'incertitude. 1: a [. det (1 . Lorsque la matrice L\(s) incorpore des incerlÎludes réelles (5 i • on en déduit notamment que le système reste stable pour toUl (5 i de valeur absolue inférieure ou égale à jI-l : on affecte ainsi un intervalle admissible il chaque paramètre. On effectue facilement les calculs suivants: M (s) = .8 .2. det(1-A1(jw)0)=0 pour 0= . placée dans une boucle de contre-réaclion de gain 1. soit: K=l+ab. SER (4. Nous supposerons que la valeur nominale de K est égale il 1. on a donc /l6 (Jllf (jm») = O.onadonc /lê(M(jO»)=a -si m=O.. Exemple élémentaire Considérons un système de fonction de transfert K / p .4. Deux commentaires peuvent être faÎts il partir de cet exemple: .62 Commande Hw et f.8. a 1 1 Iln (M{j{tl») (u o --r~-----. on en déduÎt qu'il y a stabilité pour tout 0 dans l'intervalle ] -1/ a . 4.t: 0 .s+l Sachant que SE -Cl avec L\(s) 8 d'où det{I-M(jm)S) 1 +_{l_5 jm+ 1 R . Quelques réflexions sur la mise en œuvre Comme le montrent les exemples du paragraphe 4. Lorsqu'il esl possibJe de décomposer le modèle du système en plusieurs blocs. il est assez simple de procéder à l'extraction en truvai11ant sur chaque bloc séparément. Dans ces 2 cas. WoGG. On évalue ensuÎte la valeur singulière structurée pour le . l'extraction dcs incertitudes pour obtenir la représentation de la Figure 4. 4.Il-analyse 63 stabilité complet (un calcul de la fonction de transfert de l'asservissement montre qu'il y a stabi1ité pour tout K > 0. Oj ER. c'est-à-dire de l'obtention d'un modèle dans lequel les paramètres seraient répétés un nombre de fois moins important.les variations de Bi' 1 et Ei étant indépendantes. par exemple.la première situation se présente. le résultat de la ~l-analyse sera le plus grand hyper-reclangle centré sur l'origine et contenu dans le domaine de stabilité. HVDE]. BeDG. LeTi] .6. soit d'ordre en s faible. On constate également que lorsque l'analyse de robustesse incorpore des incertitudes sur des modes de résonance très pOÎntus. [Fon] ne garantissent pas que la matrice d'incertitudes Ll(s) soÎt de dimension minimale. Généralisons cette observation: dans le cas général d'un système à plusieurs paramètres. la courbe ~!! (M (jm») présente des pics très fins. soit affines en les paramètres incertains. dans la mesure où les algorithmes proposés notamment par [BeCh]. rBec]. Une discussion a ce sujet est reprise le paragraphe suivant. Les intervalles déterminés par )l-anaIyse sont en effet les plus grands intervalles centrés sur la valeur 0 et contenus dans le domaine de stabilité. il n'existe pas à notre connaissance de solution définitive. on peut appJîquer une procédure de régularisation. Packard el Pandey [PaPaJ proposent de remplacer chaque paramètre réel 0i par un paramètre complexe 0i + a E. a été notamment abordée dans [WDBG. [LTBSJ. lorsque les variations paramétriques sont telles qu'un pôle traverse l'axe imaginaire à une fréquence fhe. Ei E e. Il faul rappeler néanmoins que toule association de LFT est aussi une LFf [ZhDG).1 n'est pas toujours immédiate.En présence d'incertitudes réelles. .5. Dans le cas où le modèle du système est affine en les paramètres incertains. la question de la réduclion d'une LFT.(s) incorpore des incertitudes réelles. + 00 [). . Lorsque la matrice . puis en rassemblant l'ensemble (on trouvera dans [Fon] l'extraction des incertitudes pour tous les modèles usuels du premier ou du second ordre).la courbe donnant ~l A (M (j(ù») en fonctÎon de (ù est ici discontinue. [ChDe]. )l!! (M (jm») peUL être une fonction discontinue de la fréquence. la recherche du majorant il.1. voire des données [PaPa. si elle est ef/'cctuée au moyen d'un simple échantillonnage en fréquence. Ainsi. donc pour tout El dans l'intervalle ] -II CI . ZhDG)). peut conduire à sous-estimer gravement Ic maximum de /lA (M (jw)) donc à tirer des conclusions erronées quant à la stabilité.. Pour un modèle non affine.2. Par ailleurs. une méthode systématique d'extraction a été proposée par Morton [Mor. Robustesse de la position des pôles Un objectif plus ambitieux que la stabilité est de chercher à garder les pôles du système bouclé dans une région n du plan complexe (n -stabilité).Si H(s) et Ô(s) ont tous leurs pôles dans n.01 par exemple) pour limiter les incertitudes complexes artificiellement introduÎles à une valeur "raisonnabic". et intégrée à l'analyse de robustesse. Souvent la présence d'une incertitude complexe suffit à donner à Il!l (M (jro)) une allure suffisamment régulière. on peut retenir qu'il est peu recommandé de travailler avec uniquement des incertitudes réeJJes. ont été proposés pour éliminer l'échantillonnage en fréquence: dans certains d'entre eux [Hel.4 [FFDM] : le domaine autorisé pour les pôles est limité non plus par "axe imaginaire mais par la frontière an de n. Le paramètre de régularisation a est choisi faible (a ::::: 0.10. FeBi] consistent à rechercher un intervalle de fréquences sur lequel les facteurs d'échelle D el G calculés pour une pulsation ct une valeur ïI données restent valables. on conçoit que la valeur singulière structurée doive à présent être calculée relativement à l'ensemble: 1l1:= {Ô' = diag {A. D'autres approches [MaDo.9). E est complexe. Robustesse des marges de stabilité L'incorporation d'incertitudes complexes dans une boucle d'asservissement permel de garantir des marges de stabilité pour la boucle où elle est introduite: considérons par exemple le schéma de la figure 4.24) . E} . et c'est donc sur an qu'on teste la valeur singulière structurée.64 Commande Ht:t:l el Jl-analysc : des outils pour la robustesse problème modifié par l'adjonction des Ei' Celle-ci est nécessairement une fonction continue des données et de la fréquence. qui sortent du cadre de ce cours. le système de la figure 4. Il faut néanmoins remarquer que l'incorporation des Ej double la dimension de la matrice des incertitudes paramétriques. VaDu. et Sc ER. L'analyse est une simple extension de celle du paragraphe 4. En rassemblant les 2 incertitudes. FrDB] la fréquence est traitée comme un paramètre incertain. correspondant par exemple à une valeur maximale -a < de la panie réelle et un amortissement minimal ç des pôles complexes (figure 4. Enfin différents travaux.6. et son maximum tend vers le maximum de ~ Q (M (jrn)) quand a tend vers O.3 .12) telle que ° IIÔ(s)llcn < ~ si et seulement si : (4. Ô E Il : E E C } (4.7. D'un point de vue pratique. 4. où A(s) est du type du type (4.1 a tous ses pôles dans n pour tout Ô(s) du type (4.12) et représente les incertitudes physiques. On obtient ainsi le résultat suivant: Théorème 4.23) Il 4. Alors le système de la figure 4.12) tel que Ilil(s)lIco <y.. on peut déduire du résultat précédent que pour tout il(s) du type (4.----~~-------. donc que: Sc Ses) a une norme fI ~ inférieure ou égale à y-l..2)..26) où Ses) est la fonclion de sensibilité du système..~) " .all d'.1 Figure 4..5 "1 ·0.lnco1JJOrat.5 0 Figure 4.etpourtout E lei que IEI<y. :3 () -1 -2 Q Re(s) -3 -"1 -3 -2. .l(s) de type (4. JO .12) tel que lIà(s)lIro < y.. D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.Domaine requis pOlir le placemefll des pôles Supposons que soit vérifiée la condition suivante: (4.25) où M (s) est définie sur la figure 4..~L-analyse 65 Im(.10.10 est stable pourlout i. M(s) L---------l K( s) .-------.5 -2 -1.ncertÎmdes complexes en entrée du sJ'stème Or le transfert entre la sortie et l'entrée de l'incertitude complexe s'écrit: (4.9 .. on peut généraliser la démarche en incorporant une incertitude complexe de ce type dans chaque boucle. ct 1H. On peut donc conclure que la marge de module est au moins égale à Sc Y . el (s). L'analyse permel alors de garantir une marge de module dans chacune d'elles simultanément. de respecter la contrainte: (4.K( jet)) G (jrt» Figll1ë! 4. Nous supposerons dans la suite que el et YI sont de même dimension .28) OÙ HI] (s) est une fonction de transfert scalaire dont l'inverse du module joue ]e rôle de gabarit. entre une entrée (ou un vecteur d'entrées) el et une sortie (ou un vecteur de sorties) )'] de l'asservissement. Supposons par exemple qu'on impose au transfert T y. et ce pour toutes les incertitudes physiques vérifiant IIA(s)lla'"J < y :1 lm ----~--~rA~r-------~---~Re -1 0 II-KGI . 4. \ Bien que nc constituanl pas une régularisation au sens mathêmaliquc de ce terme. l'incorporation de celle incertitude complexe a en généml pour effet d'adoucir la courbe de Il A(M (jm)) .8.mnlyse : des outils pour la robustesse . 0). Robustesse d'une réponse fréquentielle On peut enfin étudier par ~L-analyse si l'une des réponses fréquentielles de l'asservissement respecte un gabarit spécifié (tel que ceux qu'on spécifie en synthèse H a'"J standard).1 J Marge de module gaf(mlie Dans le cas d'un systèmc présentant plusicurs boucles de contre~réaction.66 Commande Ha::. dont le minimum est la marge de module (figure 4. La quantité l' K(jro) GUoo) 1 représente la distance entre un point du lieu de Nyquist et le point critique (-1. .11). 12. où A f (s) est une incertitude fictive non structurée bouclanl e sur w.a. cette condition est obtenue si el seulement sÎ le système de la figure 4. en incorporanl le filtre wi (s) . Il faut à présent assurer que le transfert de H' vers e présente une norme fI cr:: inférÎeure ou égale l.12. et qu'on calcule ta valeur singulière structurée relativement à l'ensemble: Il. que nous supposerons normalisées CIId(s)llçr.29) on peut donc énoncer que (4. la valeur singulière structurée permet de transformer la condition de robustesse de la performance (4. et de tester ceLLe condition.12. Si on définît alors la matrice de transfert M (s) comme indiqué sur la figure 4.12 . et ce pour tout A(s) tel que IIA(s)IICil < 1 .28) est vérifiée pour tout A(s) tel que et seulement si : IId(s)llo') < 1 si (4. et en définissant E(s) \1'] (s) YI (s).b est stable pour toul A l (s) tel que f (s )II~ < 1 . en isolant les incertitudes physiques d(s) . D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.7.2).b. .Robustesse d'une répol/sc fréqu(!lIIielle Comme dans le paragraphe 4.1 (4.30) a) Scltéllw pour la robllstesse du tramferl de el l'ers YI b) Schéma équimlem de robustesse de la stabilité Figure 4.Il-analyse 11) • 67 On construit alors le schéma-bloc de la figure 4.> < 1 ).28) en condition de robustesse de la stabilité. . comme expliqué au paragraphe 4.10-3 [s. tmax= 10-' -s.1.9.6 du chapitre 2.75.68 Commande H'XJ et Il-analyse: des outils pour la robustesse 4. en écrivant: G(s) Compte tenu de la valeur de la constante de temps négligée.1. tE ]11. .des incertitudes paramétriques sur le gain et la constante de temps principale . =3. 4. l1lcertitudes et forme LFT du moteur Nous allons supposer que le moteur est soumis il 2 typcs d'incertitude: . Exemple: asservissement de position Nous reprenons dans ce paragraphe l'exemple traité au paragraphe 2. 1'] OK E]-1:+1[ + 110. correspondant il la constante de temps électrique. KI =60rd/sN.une dynamique négligée.75. La fonction de transfert du processus est donc la suivante: K G(s)=----- s(1+1:s)(l+r's) l' < 1:. +1 [ soit: K E ]180.31 ) La dynamique négligée est lout d'abord modélisée.32) Posons: .n[\x (4.10-3 s. 0.2. 18.9. 1 Supposons de plus que les paramètres K et présentent ± 25% d'incertitude: K t Ko+KI OK' 1'0 Ko rD = 240rd/sN 15-10-3 S .25. Nous allons étudier les propriétés de robustesse du système muni du corrccteur calculé par l'approche Hm standard. E ]-1. 300 [rd/sN.10-3 . Le processus avec les seules incertitudes paramétriques a pour équations d'état: (4. on choisit . la partie inférieure. étant décrite par les équations d'état suivantes: . on obtient une nouvelle LFT (figure 4.13). J.Forme LFT du système bOl/clé .13 . que nous noterons Hp (. y Figure 4.Il-analyse 69 . ~. A( A K . et en bouclant le système avec le correcteur déterminé au chapitre 2.'1)..ZK (1) W(t) -z l' (1) = d dt La 2Î!n1C équation s'écrit : (4. el 1 matnce d" IOcertltu de s 'ccn vant: L\ s) = L\ J1 = (80 a En ajoutant la dynamique négligée. avec une matrice d'incertitude qui siécrit : (4.35) .33) de sorte que la fonction de transfert peuL être mise sous la forme LFf de ln figure 4. Q .0 152.9 Pulsation propre 49. Il faul bien sûr que le modèle moyen (correspondant à K 0' 10' et sans dyna- mique négligée) ail tous ses pôles dans .98 0. 0 : 0. on en déduit que la stabilité est garantie pour tout 11~(s)ll11'.Q -stabilité).2 Amortissemen l 0..16 ±39.9. pour s parcourant la frontière de ce domaine (paragraphe 4.146.25 10' pulsation (rtlls)10 .14. Ceux-ci sont les suivants: Partie réeJle 48. on peut chercher à garantir que les pôles du système bouclé reste dans un domaine Q tel que celui définÎ sur la figure 4.14 . Figure 4. Robustesse de la positioll des pûles A l'aide du même schéma.401 .2. donc pour le domaine d'incertitudes suivant: qui contient les incertitudes paramétriques initiales et la dynamique négligée. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0.96 a o .2 0.9.5 0.9 ( .) < 1/ 0.982.9 .7 -1000 Partie imaginaire ± 9.Robustesse de la stabilité 4.401.1 o • 10 10 1 borne supérieure de mil en w .14 .'1 0. Robustesse de la stabilité Le calcul d'une borne supérieure et d'une borne inférieure de ~l ~ (AI! (Jill)) conduit aux courbes de la figure 4.3 0.6). bornes 5upérillurc 01 inférieure tle mu 0. en calculant Jl~ (M (s)).3.70 Commande Hm ct Il-analyse: des outils pour la robustesse 4. Comme expliqué au paragraphe 4.) mu en w =0 : 0.10-3 [5 et liAI (s)IL < 1. on modifie pour cela le schéma de la figure 4. on obtienl la courbe de la figure 4. 19. La matrice d'incertitude est maintenant: (4.7. en ajoutant une incertitude complexe (figure 4. on peuL garantir une marge de module au moins égale à 0.938 on en déduil que 1'.87.908.0 stabilité est garantie pour tout IILl(S)llm < 1/0.55 .1 [rd/sfV 1: E JI0.13.30 et ç =0.57 10' pulsillîan (rtl/s) 10' Figure 4.10-3 .0 [rd/sN 't E ]11.74.4.13.5 pour le système incertain.Robl/stesse de /a position des pôles 4. La borne superIeure présentant un maximum de l'ordre de 0.15 .06 bOlnes 5upérieuro el inférieure de mu ta' 2 10 bOlIIo supariCUlt! dl.908 = 0. La borne supérieure présentanl un maximum de l'ordre de 0.908. nous allons chercher à garantir une marge de module supérieure ou égale à 0. 19.938.3 .10-3 .l-1-ana1yse 71 En choisissant -a =. (s)IIaJ < 1.5/0. 304.15. Robustesse de la marge de module Le modèle moyen présentant une marge de module de 0. donc pour le domaine d'incertitudes suivant: 1 K E ]176.00. 306.00. pour tout IILl(S)IL~ < 1/0.l7.16).9.0.36) On obtient les courbes de la figure 4.10 .10-3 [5 et IILl. donc pour le domaine d'incertitudes suivant: K E ]173)9. .9. On peut chercher à garantir pour le système incertain un gabarit tel que celui représenté sur celte même figure.25 Figure 4.'1 + 1 "'2(s) S + 100 (4.8. 0 : 0.37) Comme expliqué au paragraphe 4.Ralms/esse de la marge de modllle 4.72 Commande HcfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse Figure 4.18 montre la réponse fréquentielle du transfert entre l'entrée de référence r et l'erreur d'asservissement E pour le modèle moyen.Schéma d'analyse de la robustesse de la marge de module uorneS stJPëriCUIEl 01 infëriaurl! da mu O"~o' 10' 10' pulsation (rd/5) 10' uorne supÎ!riouro da mu en w .5. on modifie pour cela Je schéma de la figure . qui correspond à la fonction de transfert : 2.17 .5. Robustesse du suivi de consiglle La ligure 4.16 . glle f/ominal. . donc inférieur à 1. de cons.19)..994 donc .20. .. . avec pondération. et gabarit cho.19 . ..38) reponSIl nCminill!l Dt gilbmlt choisi 10' .si Figure 4. .SI/li'.. . en ajoutant une dynamique négligée fictive (figure 4.13. ct cc pour tout pour le domuine d'incertitudes suivant: 116.18 . ... . La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0. ......994.... . 10° ~~--~---~---~--~ 1010" 1 10' 10' 10' 10 PUl5ilticn ('dis) Figllre 4..~~analysc 73 4.Schéma d'analyse de la robmlesse dl/ sllivi de consigne On obtient les courbes de la figure 4. on en conclut que le gabarit Înitialement choisi sera effectivement respecté.(s)ll<7) < 11 0. .. La matrice d'incertitude est maÎntenant : 1I'2 (s) comme (4. .... 20). 1" E ]11. < 1. En effet 1l~(M(jw)) peut présenter une discontinuité en ce point lorsque les variations paramétriques amènent un pôle réel il franchir l'axe imaginaire (voir l'exemple du paragraphe 4.2).17 . dans les Il-analyses.17 .23.a) et (4.20 .01 bernes supèlicur() cl inlârieura de mu 0. on ne peut garantir le gabarit proposé mais on peut garantÎr le gabarit plus large ft IIw2 (jro)1 ' pour un domaine d'incertitudes réduit dans un rapport il .10-3 . Annexe: borne supérieure de Il ~ (p) Nous allons démontrer la borne supérieure (4.Robustesse du suivi de consigne Remarque 1 : si dans ce problème la valeur maximale 11 de la borne supérieure de ~l ~ lM (jro) est supérieure il l. 18.b) reportés ci-dessous: .10-3 [s et liAI (s)ll". on prendra soin. 300.6. eljl-analyse : des outils pour la robustesse K E ] 179. Remarque 2 : par ailleurs.7 10' pulsalion (rd/5) 10· borna supârieuTo de mu cn w '" 0 : 0"25 Figure 4. de toujours calculer la valeur de 1l~(M(jro)) en 00=0. Rappelons que pour l'établir on considère les deux ensembles de matrices définis par (4.4 [rd/sN .4.77.74 Commande Hrr. II. x. 4'~. Comme l') = Ll) P 1'\ • on peut écrire.o x"x En rassemblant ces 3 résultats.. on obtient: .:::). On il donc: On sait enfin que sÎ H est une matrice hermitienne. on obtient: Si on remplace à présent P par D P D. Il. 0'("" III P".o G l' . Ô - On en déduit que pour tout (Il.où D est une matrice quelconque de D. rinégalilé provenant de la propriété (1.".. soit v). . et la dernière égalité de la définition de J.oGz =0 <=> v. pour tout (C. z) \l= solution du système Ô" G ) z { z= PI' "- z• (C Ô =0 <=> z.*Gv l'.o p. la présence de j permettant de conserver une matrice hermitienne.v" G P l' = 0 et donc: cette expression ayant pour but d'obtenir une expression où intervienne une matrice G . P".Ô)EG x 8: CÔ=Ô*C.~HlI1alyse 75 On a alors.l~ (p). ses valeurs propres sont réelles. et la plus grande d'entre clles I(H) vérifie: x" H x max---= -A(ll) .1 .5j) de ln valeur singulière supérieure.: 1l~I(Pl Il p\'. ~I les vecteurs et la matrice de plus petite norme pour laquelle le système cÎ-dessus est singulier. Par a iIJe urs . 1"" Il. Il. 20). E D el G':= DG DE G . Alors: cette dernière inégalité étant obtenue en posant D' = D 2 On obtient ainsi la borne supérieure (4. G) E D x G p* En reprenant le raisonnement ayanl conduit à la borne supérieure (4. .19).76 Commande lltfJ cl Il-analyse: des outils pour la robustesse celte inégalité étant vérifîée pour tout (D. soit le minimum sur (D.G)E DxG du second membre de J'inégalité précédente. 1.Ll q (s). on peut être tenté de chercher une réponse au problème suivant: peut-on déterminer un correcteur qui garantÎsse que la norme H ctJ d'un système bouclé reste inférieure à un niveau y donné. Comme dans J'analyse de la robustesse d'une réponse fréquentielle (paragmphe 4.0 ri rr ' El/Ci"" Ll i ( S) E RH 0 i E R .1). . ce système étallf soumis à différentes illcertitudes de modèle? Pour aborder ce problème. on considère le schéma-bloc de la figure 5.1) et celui de la ~l-analyse (figure 4. le problème est Je suivant: déterminer un correcteur K(s) tel que la norme H vers e soil Înférîeure à l.1) telle que Cf) du transfert de \1' IILl(. qui tente de réaliser de façon "automatique" l'association de la synthèse Ha. 5.Chapitre 5 POLIr aller plllS loin . .) à la jJ -synthèse Au vu des développements des chapitres 2 à 4. 0]1 rJ ' ••• .1 ) ct nous supposerons qu'ellcs vérifient les conditions de normalisation: En supposant de plus que le niveau y à satisfaire est égal à 1 (on peut toujours se ramener à ce cas en intégrant la valeur de y dans la matrice P(s)).1. L'objet de ce chapitre est de donner au lecteur une ouverture sur des techniques voisines ou qui constituent un prolongement naturel.a. De la synthèse Ha.1.. Comme au chapitre 4.'I)IL < 1 . les incertitudes Ll(s) ont la structure générale: Ll(s) ::= diag {Lll (s). E (. .. nous avons présenté des méthodes de synthèse et d'analyse qui. fournissent des outils permettant d'obtenir des commandes performantes et robustes dans un grand nombre de cas pratiques. Le problème de la "synthèse robuste" 5._ } (5. Ei E C U] .' 1c.) et de la ~l-analyse. le théorème du petit gain permet d'établir que cette condition est obtenue si et .. qui combine le schéma de la synthèse H co standard (figure 2. utilisées conjointement.8).. et en particulier sur la ~1 -synthèse. Dans ce cours. pour tout Ll(S) du lype (5.1. 6 l \l' .Approche de III synthèse robl/ste par la p-symhèse 5.. (s)lICf. \' \1 e y Il w e Il w a . Approche de la Il*syllthèse par la D-K itération Or. Déterminer un correcteur vérifiant (5.4) où DI!} est n'importe queIle matrice inversible qui commute avec toute matrice de la J..1 . Malheureusement. il f (jro) cr{olll FI (PUffi).Problème de synthèse robuste b Mi. l'inégalité suivante est vérÎtïée : ~LQ. Remarquons.) < 1 . K(jW))DI!)-I) (5. f (s) lei que Il.I.) commutant avec toute matrice dîag {il(s).\"(! en/orme pour la ll-sy11lltèse Figure 5.3) est appelé un problème de Il-synthèse [Doy]. f (s) esl une incertitude fictive non structurée bouclant c sur Celle condition est cHe-même équivalente à : (5.." (défini comme en (4.(jro).tels .29)) tient comple simultanément de la présence de b. pour chaque valeur de ffi. il n'a pas de solution connue à l'heure actuelle.(F/(P(jffi).. l (s) et de la structure de il(s) . au vu de la nOle 3 du chapitre 4.ilr(s)} que: . et une matrice D(s) E RH Cf.78 Commande Hoo et j.1 : Déterminer un correcteur K(s). Z .. K(jffi))) ~ forme diag tb.b est stable pour tout b. Un problème plus réalisle est donc le suivant: Problème 5.3) où l'ensemble L1.) telle que D(S)-lERHCf. où b.1.2. que l'on n'esl pas obligé d'imposer à DIJJ d'être hermitienne.1-analyse : des outils pour la robustesse seulement sÎ le système de la figure 5. en dehors de cas simples. 2 . calculer Dw telle que la l ) borne supérÎeure a(DhIF/(P(jOl). 79 En effet.K(jOl»)Dw blème quasi~convexe du type (4. la condition (5.Pour aller plus loin". puis en interpolant les matrices Dm obtenues par une matrice de transfert stable et à inverse stable. arrêter. mais on peut tenter de le résoudre en cherchant alternativement les matrices K(s) el D(s) : en effet.5) à D(s) fixé Iv) pour un ensemble de valeurs de Ol choisi a priori.2 . correspondant au schéma-bloc de la figure 5. Pour examiner la convergence de celle procédure. calculer K(s) li.5). à K(s) tixé. D(s) fixé n'est autre qu'un problème H ~ -standard. la recherche de D(s) peut être conduite en calculant la borne supérieure (5. on peut remarquer que: .4) pour un ensemble de valeurs de (ù choisi a priori.5) assurera que: Notons que la contrainte d'avoir D(s) et D(s)-I appartenant à RHm est nécessaire pour qu'il existe un correCLeur stabilisant la matrice de transfert qui apparaît dans (5.K itération [Doy. appelée D .Problème H Ct) -standard résolu lors des D-K iléra/iOJlS On obtient ainsi la procédure suivante. Là encore. Figure 5. ce problème n'a pas de solution connue en général. ZhDG] : i) choisir un ensemble inilial de matrices DIlJ (par exemple égales à la maLrice identité) ii) interpoler les matrices DIU par une matrice de transfert D(s) stable et à in· verse stable iii) résoudre le problème HOC) -standard (5. sinon retourner à l'éLape ii).19» soit minimale (il s'agit d'un pro- v) comparer les matrÎces Dw avec celles obtenues à J'itération précédente: si elles sont proches (au sens d'un critère donné). (s) est important. Une procédure utilisant des matrÎces D et G telles que celles définies par (4.80 Commande Hm ct ll-ana1yse : des outHs pour la robustesse . puisque la borne supérieure (5. Par ailleurs. Une utilisation intelligente de ces techniques consiste donc à les employer avec un nombre d'incertitudes limité. Mais 1 Notons il cc sujet que. NeNe]. On aurait donc l'assurance que la procédure converge vers un minÎmum local. 5. qui croît de façon polynomiale avec J'ordre de D(s). Mais elle est plus lourde à meUre en œuvre. Après quoi on fera une analyse de robustesse beaucoup plus fine. Une alternative plus simple a été proposée dans lT ASN]. dans le clldrc d'une synthèse H cr: -standard.K itération [Vou].4) est aussi valable pour des matrices complexes. 1 Il faut aussi noter que la procédure présentée ne prend pas en compte la présence éventuelle de paramètres réels dans ô(s) . Le point qui pose problème est donc l'étape d'interpolation ii). on se limite souvent à une interpolation grossière.le maximum sur ro de lu borne supérieure calculée à ment plus peLit que la norme obtenue à l'étape iii) ré tape il') est nécessairetr) .4) sera donc égal à l'ordre de PD (s) . Ouverture sur d1autres techniques Sur le plan méthodologique. le problème H co -standard résolu à l'étape iii) utilise une matrice d'interconnexion PD (s) qui comprend les matrices D(s) ct D(s)-l (figure 5.K itération.e (ou quasi-convexe).2) ou la résolution par LMl (paragraphe 2. la procédure de )1analyse développée au chapitre 4 ne présentant pas les mêmes inconvénients.s. la procédure peut être utilisée Qvec des matrices Dé) diagonales constuntes [ACGB] : elle permet de trouver une pondémtion "optimale" cntre Jes différents couples entrée-sortie du critère H ~ . ces dernières années ont vu un développement considérable des approches utilisant les Inégalités Mutricielles Amnes (LM!).2) : l'ordre du correcteur obtenu par l'algorithme de Glover-Doyle (paragraphe 2. Oll était capable d'intelpoler pmfaitemen! les matrices Dm' la norme H obtenue à l'étape iii) serait nécessairement plus petite que le maximum sur ffi de la borne supérieure obtenue à l'étape il') de l'itération précédente. . En pratique. en ayant pris soin de choisir celles qui sont les plus pénalisantes pour la synthèse. même vers un minimum local. On retrouve donc encore une fois que la mise en pratique nécessite de séparer les phases de synthèse et d'analyse. de sorte qu'on perd toute garantie de convergence de la D . pour lequel des algorithmes efficaces (avec un volume de calcul qui est une fonction polynomiale du nombre d'inconnues) sont aujourd'hui disponibles fBoEI. on obtienl en effet un problème d'optimisation convex. Nous avons mentionné dans ce document que des problèmes tels que la synthèse H 00 ou le calcul de certaines bornes supérieures de )1 entrent dans ce cadre. Lorsqu'il est possible de formuler un problème d'analyse ou de synthèse avec des LM!.2.17) a été proposée sous le nom de (D-G).6. Enfin ces procédures sont évidemment d'autant plus lourdes que le nombre d'incertitudes prises en compte dans . 3): ce COlTccteur s'adapte de lui-même à l'évolution des paramètrcs (Pac. Analyse et synthèse de systèmes LPV On appelle "système LPV" un système qui dépend Linéairement de Paramètres Variant dans le temps. .6) dépendent de 9(t) de façon rationnelle.2.3 Syslèull. L'analyse et la synthèse de ces systèmes peut s'exprimer HU moyen de LM! : ainsi la synthèse de la matrice K(s) peut s'exprimer au moyen de 4 LMI [ApOa] qui se présentent comme une généralisation des LMI (2. 81 ces problèmes offrent un point de départ à bien d'autres: nous allons présenter brièvement certains d'entre eux dans ces derniers paragraphes.' el corrcClcl/r LPV . et qui peut donc êlre représenté sous la forme: (5.7) On peUL chercher pour ce système un correcteur sous la même forme. 9 2 (t).6) où S(t) (9 1(t). 5. ApOa.. Lorsque les différentes matrices de la représentation d'état (5... ApBG • ScEI]. c'est-ti-dire se présentant comme la LFr d'un système de matrice de transfert K(s) et d'une réplique dc la matrice e(t) (figure 5.1.• 9 11 (t) Y est un vecteur de panimètres dépendant du temps.. ce système peul être écrit comme la LFT d'un système linéaire stationnaire (décrit par la matrice P(s) sur la figure 5.Pour aller plus loin. e ---1 )' 1+--- tV li Figure 5.14) de la synthèse lI!f2 standard.3) et d'une matrice G(I) isolant les paramètres: (5. 4 . un disque.Schéma général de synthèse Signalons pour finir que les LMI permettent également J'extension de la synthèse H par "Ioop-shaping au cadre multi-modèle: les résultats donnés dans [MiVi] permettent en effet de rechercher un correcteur unique. un cône.82 Commande H:r" et Il-analyse. on peut imaginer de chercher à satisfaire des contraintes prises parmi les spécifications suivantes: . Figure 5.2. Si nous considérons par exemple le système bouclé de la figure 5. Analyse et synthèse 111l1lti-critère Plus généralement. Ces différents critères (dont la liste n'est pas limitative) s'expriment en effet par des LMI et peuvent dans certains cas s'étendre au cadre LPV.2. ou tOUle intersection de ces régions) . assurant une norme H:r" inférieure à un niveau y pour un nombre fini de modèles. pour toute condition initiale dans un ensemble convexe donné. On trouvera un nombre important de critères avec leur mise en forme pour l'analyse eL la synthèse dans les références [Fol. un ellipsoïde.l inférieure à un niveau 1 ctJ 1t'2 présente une norme H 2 inférieure à un niveau 12 . "évaluation des performances d'un système ou la synthèse d'un correcteur peut se faire suivant différents critères mathématiques.le transfert entre .4.le système bouclé a tous ses pôles dans une région convexe du plan complexe (qui peut être une bande.le transfert entre lt':r" et e:r" présente une norme H eL el lT.à tout instant la norme d'un signal intermédiaire (le vecteur des commandes par exemple) reste inférieure à une certaine valeur. lt CJJ . ScGC]. d'ordre fixé.le régime transÎtoire du système bouclé est au moins aussi rapide que la fonction e -at (avec ct> 0 ) . des outils pour la robustesse 5. 01 1 L'algorithme de Glovcr-Doyle fournil en fait un correcteur d'ordre 2 (ordre de ln représentatÎon d'étal du système sous fonne standard). Les corrigés figurent à la lin du chapitre.4 s + 1 .87 .marge de module au moins égale à 0. Mais le deux.l assurant y ::= 0.suivi de consigne avec erreur statique inférieure à 1% Lemps de réponse de l'ordre de 3 s .gain entre la référence eL la commande inférieur à 2 pour tout ID. el peut donc êlre négligé sans que cela affecte les perrormonces du système. .Chapitre 6 Exercices C011 igés 4 Nous présentons dans cc chapitre J 2 exercices porlant sur la synthèse H <1J et la Il-analyse.5 . . est: K(s) 1.ième pôle est en -BD. On veut détermÎs+1 . Donner une représentation d'état du système en boucle ouverte sous forme standard. Vérifier que les 2 premières hypothèses requises par l'algorithme de GloverDoyle sont remplies. Concevoir un problème fI standard permettant d'assurer ces objectifs.1+0. Exercice 1 Calculer les valeurs singulières de la matrice de transfert G(s) ( s 11 .) Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) Un correcteur solution du problème précédent. -2/ s 2/s J/ Exercice 2 On considère un système de fonction de transfert G(s)::::: ner un correcteur assurant les performances suivantes: 1 . ct. qui peuvent être résolus à la main et servir de base à des séances de Travaux Dirigés.'1). assurer des marges de stabilité correctes.. Comment modifier les pondérations pour atténuer le gain du correcteur dans les hautes fréquences? Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) Un correcteur solution du problème précédent. Calculer les fonctions de transfert S(s). Concevoir un problème H 00 standard permettant d'assurer ces objectifs.5.11.25 s. La présence de celte constante de temps remet-elle en cause la stabilité de j'asservissement? Exercice 5 On considère un système de fonction de transfert G(s) = .1 s + 1 déterminer un correcteur K(s) dont la sortie s'ajoute à une perturbation b (voir figure 6. Analyser leur réponse fréquentielle. K(s) SCs) et K (s) Ses) G(s) . K(s) Ses) et K(s) Ses) G(s) .. En déduire la valeur optimale de y et l'ensemble des matrices R et S admissibles. ..o cll.:! avec y = 1.limiter la résonance du transfert entre b ct )' à 1. Le modèle nominal du système néglige une constante de temps secondaire. Calculer la matrice X dans le cas d'un correcteur d'ordre 1\ puis d'un correcteur d'ordre O. On veut +0.84 Commande Hr:. Discuter l'ordre du correcteur. Exercice 6 On reprend l'exemple élémentaire du paragraphe 2. peUl être négligé.1). Hmalyse : des outils pour la robustesse.4. comme précédemment. Dans ce dernier cas. est: ' 4 K( s) = s+1 (s+0. Analyser leur réponse fréquentielle.3. dont la valeur maximale est estimée à 0. Le correcteur doit assurer les performances suÎvantes : . Ecrire les LMI permcllant la résolution du problème. .. ~ ramener la pulsatÎon propre du système aux alentour de 0. 2 L'algorithme de Glover-Doylc fournit ici un correcleur d'ordre 3 (ordre de la représentation d'état du système sous forme standard) dom le pôle le plus élevé. écrire la LMI permettant de le déterminer..01)(s+4) Calculer les fonctÎons de transfert S(s). Exercices corrigés 85 y + 0.b 2 }.8 2 E C} . J Slmet/lre de correctio/l (cxacÏce 5) Exercice 7 SOÎt 1 P= (0 >.\( XI + (1 + 81 )'\:2 )' )' = + X2 ExtraÎre les incertitudes. conformément au schéma ci-dessus.8 1 ER} .8}. 15 ER} . 15 ER} A Exercice 8 Soit P = (~ . 81.1 s+ l Il Figure 6. re~ . el l'expression de f! .:J. 8 E C} Exercice 9 Soit le système linéaire d'équations d'étal: { '~1 = (1 +.~ = {dillg {8 1 .8:J.} 2 -2j J..A:=. cn donnanl la présentation d'étal du système H.~ {dÎag {8 J . Calculer Il ~ (p) dans les cas suivants: {o.8}. et comparer les va- leurs obtenues: =C 2 . {diag {8.8 1 )X1 + 02'~2 + /1 '\1 .f! := {diag {15 . 81. Calculer ~là (p) dans les cas suivants.. 8).f! {diag . Tracer dans la plan (a. + x2 Exercice Il 'cl Y(s) Meme exercIce que prece emment. en donnant l'expression de la matrice de transfert fi Cs) et de la matrice A.OgER. Déterminer par ~ -analyse puis par calcul direct un ensemble de valeurs de pour lesquelles le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 . g =l+o. Exercice 12 On considère le système décrit par le schéma-bloc de la figure 6. {l. g) 6. avec { ·\:2 XI + (1 + 82 )X2 )' x.2.~. On note A1 (s) = fi zr (s) .86 Commande H~ el Jl-analyse : des outi1s pour la robustesse Exercice 10 otl = (1 +O( )X I + 5)x 2 + Il Même exercice que précédemment.Système lll'CC 2 incertitudes paramétriques Figure 63 Forme LFT recherchée Extraire les incertitudes 8(1. U(s) a=1+8. et comparer au domaine déterminé par -analyse.8 g . avec .A • . y Figure 6.3. 8 a .2. avec a=2+0 1l . conformément au schéma de la figure 6. g . Calculer ~l-analysc ~l(M (jw)) correspondant à cette incertitude. g pour lesquelles la stale domaine de stabilité réel du système de la figure ~ bilité est garantie. Déterminer par un ensemble de valeurs de a.2 . 01 Figure 6.OI En écrivant: w\(s) = ° 0. Elles permettent de fixer respectivement son gain statique (0. égal à 2. avec: \VI ()-('J s - S+0.Ol .Exercices corrigés 87 Corrigé de rexercice 1 On calcule: G(jre)G(-jro/ =~( 1re -2 1 2) IÎ 1 -2J jre 1 2 (1 =_1 (2 8 0J ro ° 2 Corrigé de "exercice 2 Les 3 premières spécifications concernent la fonction de sensibilité S(s).5 + .Gabarit Sllr S Fig/lre 6.4 .995 .Schéma de synthèse H co La dernière revient à imposer au transfert K(s) Ses) un gabarit constant.5.4 : ° ') - - D... s+2 s+O. On en déduit le schéma de synthèse de la figure 6.- s+O.5).01). d'où on déduit le gabarit de la figure 6. sa pulsation à dB (== 3/3).DI Il y s +1 0. et son gain maximal (1/0.01]-'_05 s+2 .5 . 2.5) : la sortie répond à la consigne comme un premier ordre de constante de temps ) 11 AI.Dm [0 J ct D\w = 0.41 Ses) s +1 S 1. d'où un temps de réponse de l'ordre de 3/ l ..s+I.14 .41 s+I. (s) (évident d'après le schéma) qui est A notcr d'ailleurs que lout système stable est de fait stabilisable el délectable. . cst de rang 1 : le système est non observable par E.995J [ J [0. K(s) S(s)G(s) est le transfert entre r et y (figure 6. mais la \1'1 partie non observable correspond au filtre stable.4 . on peul constater qu'il est en dessous du gabarit 1/ \\'1 (s).OI. sOÎt avec les notations du chapi tre 2 : M (Bu A Bu) CI' CrA - [ J 1 (° -lJ (-1 ° 0J = -1 1 esl de rang 2.995 + 0.0) = 0.5 - J sont de rang plein (égal à 1). Corrigé de l'exercice 3 On obtient: s+O. .01 J[YJ + [o:lJ[rJ -1 ° 1 i° ~ XI XI [ =: -~I---+.~: el J [-0. K(s)S(s) = .41 Ses) a un gain inférieur à 1 : en lraçanl son diagramme de Bode. Le diagramme de Bode de K(s) Ses) est effectivement Înfërieur à 2.. donc le système est commandablc.2 s.88 Commande HC1'J ct J.::. donc le système est délectable.5: °J( J = + -H9t .l-analysc : des outils pour ln robustesse Hl) on déduit une représentation d'état de dX) (s) : --= { dt el 0.et K(s) (s)G(s) = .\"+1.5 XI XI +E E Une représentation d'élat du système sous forme standard est donc: dt d[Y] = (-1 -0.5 0. On vérifie les 2 premières hypothèses de l'algorithme de Glover-Doyle. 1 J IIw2 (jill)l. K(s)S(s) s+1 = 4 ..Gabarit sur K S Corrigé de l'exercice 4 On obtient: Ses) =. ..Exercices corrigés 89 Pour atténuer le gain du correcteur en haute fréquence.6 . La fonction K(s) Ses) G(s) obtenue vérifie celle condition. lei que celui représenté sur la figure 6. mais avec une pulsation propre plus faible el un amortissement plus grand.01)(s+4) s-+4s+4 . avec par exemple Cl = 2 (supérieur à la bande passante obtenue précédemment) el b = 100 (sufJisamment grand).(s)= - 1+ sIl OOJ-I 0. la slabilité est assurée si Je diagramme de Bode de K(s) Ses) G(s) est en dessous de celui de (-1: max s/{i+tmax .5-+4..'1) d'ordre 2. soit : W.6. donl la forme générale est donnée sur la figure 6.2.1 l/lWI (jro)1 et 1. Ses) el K(s)S(s) ont leur diagramme de Bode en dessous de leurs gabarits respectifs 1. obtenu comme expliqué ci-dessous: . l . (s+0.5 1+ s /2 --( 2l+s/2 1+s 1100 Figure 6. D'après l'exemple du paragraphe 4.. et qui s'écrit: .'1'+4 Ses) a un gain înferieur à 1 .7. K(s) Ses) G(s) s-+4s+4 = -. il faut imposer un gabarit il K(s) Ses) (car en haute fréquence.'1 )t II '[max 4. On applique donc à y une pondéraLÎon 11'1 (. K(s) Ses) G(s) est à présent un transfert du second ordre (avec un pôle double en -2).-4.8. K(s) Ses) ~ K(s)). avec ici Corrigé de l'exercice 5 On utilise le schéma de la figure 6.les 2 premières spécilications indiquent qu'on veut garder entre b et y un comportement du second ordre. 7 (pour éviter les résonances.9 Gabarit SHr le lransfert de b l'crs Il .des marges de stabilité correctes peuvent être obtenues soit en disposant une pondération il J'entrée l' du système (le transfert entre b ct \1 représente la fonction de sensibilité S(s)). (01 = l.Gabarit . 1~----~~--~~ '*' Figure 6. soit en disposant une pondération sur la commande (le transfert entre b el li représente la fonction K(s) Ses) G(s) ).8 . {Oo = 100 (suffisamment grand) ct ç{) = l.1 s+ 1 Figure 6.2.Schéma de synthèse li:o k -+----. d'après l'abaque de Nichols.90 Commande l-/cn el Jl-analysc : des outils pour la robustesse avec les ordres de grandeur suivants: k 1.J :::: 0.'1/2 1 + s / 200 .. et décroît dans les hautes fréquences. Le gabarit imposé à ce transfert (voir ligure 6.5 1 + .. assure des marges de gaÎn et de phase au moins égales il 6 dB el 30°). nous avons choisi cette dernière possibilité car elle permet également de limiter le gain du correcteur en haute fréquence. soiL : 1 2 l + S/200J( 1+ s / 2 =::: 0. y S2 +0. tout en restant au plus près du tracé asymptotique).7 .9) a un gain inférieur à 2 (ce qui.ml' le transfert de b vers y Figure 6. 14.)= (1 : 0 1) d'où par exemple N R = [~ ~J -1 0 La matrice A De même : (C \' Dyll' )= (I : 0 1) d'où N s = N R =[ ~ ~J. el fournit la condition supplémentaire: Enfin la LMI (2.00.14. il faut enfin ajouter une perturbation sur la sortie : sans celte pondération en effet la matrice DYII' du problème standard est nulle puisque le transfert entre l'entrée b et la commande Il tend vers 0 en haute fréquence.01 .b) s'écrit sous une forme identique.".:::::: 0. on lui affecte une pondération H'3 constante choisie faible mais non nune. Corrigé de l'exercice 6 On calcule tout d'abord les "facteurs externes" des 2 premières LMI : D. Remarque: avec les gabarits cÎ-dessus.14. Physiquement.si on utilise l'algorithme de Glover-Doyle. La LMI (2. l'algorithme de Glover-Doyle fournit un correcteur assurant y = ].c) s'écrit : .a) s'écrit: 1 -----1---- 0 -1 0 o '. soit par exemple \\'3 .Exercices corrigés 91 . -1 0 étanl scalaire. les matrices R et S le sont aussi. cette perturbation peut être interprétée comme un biais ou un bruit sur la mesure.1 0 1 ] 0:0 O\T 0: R 1 1 --~-------r------1 :0 0 R:1 -y 0 111 0 0 0 1 1 -1 0 1 0 -yl 0 0 0:0 0 0: 1 0:0 0 1 1 :0 0 1 o a 1 010 --r-------r------1 : 0 0: -y 0 0 a !' 0 -y O! 0:0 0 <0 -----1---o 0: 1 0 0 O!O 1 y -R -1 soit : [ -R -1 Y o 0 y o o a La LMI (2. Afin de limiter son effet. Domaine de couples (R. JO .b). {R ~ 0 <:::> RS-l~O<:::> {S ~ 0 RS-l~O Le domaine correspondant aux dernières inéquations esl représenté sur la figure S 5 \ 4. Un correcteur d'ordre 1 est obtenu en formant la représentation d'état (2.c) : .18.R S = 0 et on peut calculer un correcteur d'ordre O.5-f---~--+·_-.R S . S) admissibles La valeur minimale de y vérifie: y2 -1> min (R 2 .fi. Le correcteur est d'ordre égal au rang de 1.10.5" -\ 1.17) : puis en choisissant: M = -N = ~ R S -1 dans (2.92 Commande Hm el ~l-analysc : des outils pour la robustesse (R 1J II S 6. sauf si l'on choisit S = Il R auquel cas 1.--- 1 1 4 3. soÎl 1 cn général.5 J i -I----:---·--i-r-··! 1 \ \ 225~L ! i 1 1 1. 1---+----_ 1 o:---~~---r_--1 R Figl/re 6. d'où d'après (2. S2)= 1 (minimum atteint pour R= S) d'où y>.18. a).llà(P) = 2 (pour 8 2 . De sont alors obtenus en résolvant la LMI (2. Corrigé de r exercice 8 On obtient respectivement 0 (pas de solution) et 1 (pour tS = .92 .a).Exercices corrigés 93 Les scalaires Ac.) S. et : Le scalaire De sera obtenu par résolution de la LMI (2. les valeurs obtenues pour ~là (p) sont décroissantes (non strÎl:temenL). on a R S = l .) / 2 ± jfj /2 ).~à(P)=PR(P)=1 Chaque ensemble étant contenu dans le précédent. X = S . Dans le cas d'un correcteur d10rdre 0 (qui se réduit donc au seul De). dans l'ordre de J'énoncé: -llê(P)=cr(P)~2. Corrigé de l'exercice 9 .~à(P)= 1 (pour 8 1 ) j/2) ) . qui s'écril ici: 1 0 De 0 DeS 1 0 0 0 -y 0 0 De <0 0 -y 0 De De -y Corrigé de l'exercice 7 On obtient.18. Be' C(:. apparaît 2 fois dans les équations.. car 8. . 1'2 = 0 (5' + 2)' + vI) = 8 :2 d'où: 1 . par des termes différents.' d'où: A noter que. il est possible de ne pas le répéter dans il (rien n'empêche de le faire. Corrigé de l'exercice Il Cette fonction de transfert correspond à l'équation dinërentielle : On pose \'1 = 0)' = 0:1 . + x2) 8..94 Commande HtrJ elll·nnalysc : des outils pour la robustesse el A noter qu'il faut répéter 8 1 dans 6. 01 n'intervenant que dans la première équalion. =0. v2 = 8 2 x2 8 2 Z2. (x. Corrigé de l'exercice 10 On pose v. mais pourquoi faire compliqué sÎ l'on peul faire simple ?). bien sûr. z. et v4 faire compliqué si .11. a(.11 Système bO/fclé avec 2 illcertÎwdes pommétriques d'où l'on déduit facilemenl .:Ltl --1 1: 1 s+3! s+3 On a alors.1 de dimensîon 2 (on peuL aussi. -) --1 1 1 ____ 1_- s+3 1 -1 s+3 s+3: . = 8 ZI 1 \12 = 28 Y = 262:2' ~ v] =6 y 2 5 Z] = 0 y = 0 Z:4 ' ouf! Mais alors est de dimension 4. avec AI(s) = H ::\. a(.s±l __. développer l'équation et poser successivement avec 2:3 = li4 . ce déterminant ne peul s'annuler que pour pour 0(1 et 51: vérifiant: 0a+og+3=O. plus brutalement. cl pourquoi Corrigé de l'exercice 12 Le schéma-bloc peut être redcssiné sous la forme de la figure 6.(5) : det(I:! -/'d(jw). y Fig/lre 6.1) Comme 6 11 et 6 t-: sont réels..\'+3 -1IS+2 .Comme (0 = 0..t±J_L.18t-:1).. "1 = 6 S.1) eSl .1)=suP~o(/I.Exercices corrigés 95 et A noter que la mise en facteur de 0 dans l'équation différentielle permet d'avoir une matrice . ). • L a 10nctlOn d c translcrl uU .12). On a donc: ~l(M (-1 + jro)) 0 si ro:.12.5 [ (tïgure 6.b).t 0 ~l(Nl (-1 + jO)) = 1 L' n -stabilité est donc garantie pour tout (5 1" 5 11 )e ]-1 . Si on cherche à présent à garantir par Il ~analyse que le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 . g )E ]1 .t: = -1 . g i 1 g i )oinl :n0l linhl I~ ! ! 1 1 1 tpaint nominlll ~ 1 INS TARL ·2 ·3 '" . on doit résoudre: ( dct/ 2 -!vl(s)A ) =1+ 8" + =0 avec s=-I+jro s+3 soit -1 + jCi) + 8a + Ô. soÎt pour tout (a.12. Là encore celle équation n'a de solution que pour m 0.Résultats de fl-al/alyse dans le plan (a.96 Commande Ht1j el Jl~analyse : des outils pour la robustesse maximalcpour 8'1 ::::8~ ::::-3/2. 3 [x ]0 . auquel cas O:(A) est maximale pour 8(/ :::: 5. 3. Le domaine réel est décrit par II + g > 1 (figure 6.a).= ~L -analyse s+a+g • qUI. 2. Le domaine déterminé par est le plus grand carré centré sur le point nomÎnal et contenu dans ce domaine (figure 6. .5 .: 0 ~L(M (j0)) = 2/3 On en déduit que la stabilité est garantie pour Lous et \8 KI < 3/2 . 2 [.0nadonc: fl(M (jro)} 0 si m. .1 i\ et 8 g tels que 18 a l < 3/2 g) E ] 0. + 1[2 .5. .1 1 1 ! ùOll!..Ii + 3 = O. .12 . est stabl e pour a + g > 0 . soit pour tout (a.5 [x ] R(s) 0.Y( .. I~ i 1 1 I~l- 1 1 ·2 ·3 I~ a ·1 ·1 Cl li) s/abilité b) n -stabilité g) Figure 6.Ulle ~ "·1 étJnniné I~ ~omaîhc délc rllliné 1 T ~ .) systeme est s . Différents points d'attache sont possibles pour les ressorts ainsi que pour le bras supplémentaire. en utilisant les modules COllfrol Tao/box el ~l AllalysÎs and SynthesÎs Tao/box. Gilles. donc la somme 0 + a).l standard. la commande est la tension éleclrique envoyée sur le moteur. un bras ("arm") est fixé sur cette plate-forme au moyen de 2 ressorts. et l'angle de déviation du bras par rapporl à la plate-fonne a (la grandeur à asservir est l'extrémité du bras. 2 mesures sont disponibles. quels que soient les points d'attache. Un bras plus petit (" extra foad") peut lui-même être attaché à l'extrémité du bras principal.l-analyse sur un cas d'application réalîstc. de synthèse H par "loop-shaping" et de J. il savoir la commande d'un bras relié à une plate-forme par une transmission élastique. ce qui modifie l'élasticité de la lransmission et l'inertie totale: de la sorte.fr.Duc@supelec. Les synthèses eL les analyses correspondantes ont été réalisées sous MATLAB/SIMULINK. Le dispositif peut être décrit par les équations suivanles : J. Cette étude a été traitée de façon à servir de matière à l'établissement de séances de Travaux Pratiques.1 ) 1 les fonctions mises en œuvre peuvent être demandées à. Présentation du problème Le processus ~l asservir est représenté schématiquement sur la figure 7.IJilIJ (ë(t) + ëi(t)) + K stijf a(t) = 0 { (J l/lb +J/out! )ë(t) + J aU):::::: y(1) l 10lUI (7.1. à savoir l'angle de rotation de la plaleforme f) . le dispositif est représentatif d'un système flexible dont les caractéristiques changent en cours d'utilisation (bras de robot saisissant une charge par exemple). Nous nous sommes basés sur la description fournie dans [Rotl.) t:r) 7.Chapitre 7 Etllde d'tIn cas d'application L'objet de ce chapitre est de présenter les concepts de synlhèse H <X. L'objet du problème que nous envisageons ici est de calculer un correcteur unique permettant d'asservir l'extrémité du bras avec des performances satisfaisantes.1 : il est constitué d'une plate-forme ("body") aClionnée par un moteur électrique. . t-unalysc : des outils pour la robustesse Extr.1).lllII/! l/twd .t:l) et les 2 paramètres variables (en utilisant les ressorts nO 2 de la documentation constructeur) peuvent prendre les valeurs suivantes: .2) où RIlI est la résistance du moteur.\tilf (NKcK~.o.YRm.Jllh dt : = 0 0 : [1](1)+ (NK('KtJ Rm. Kstijj représente l'élasticité des ressorts ct dépend des dimensions R • d .e.4.1 Jill/! où les paramètres fixes ont les valeurs suÎvantes : (7.llJ/lb (NKeKe) Rm. r (figure 7.98 Commande HrrJ eL }. Ann 0 I.. L'équation électrique du moteur complète la modélisation: (7. K c et KI! sont les constantes de couple et de f.1 Processus cl llssel1 Jir où y(t) est le couple appliqué à la plate-forme. N est le rapport du réducteur mécanique.l Iwb v(t) (7. On obtient à partir de ces équations la représentation d'état: 0 0 0 K.m.\1!l1 l'l11b 1 0 ~al cl a 0 0 0 0 RI/IJ ..c.d a o o o o Body Anchor Polo"" 000 Figure 7.3) _ K'\'liH _ K. J lowl est J'inertie du bras. J III/b est l'inertie du moteur et de la plate-forme.. 1 sortie) cr.627. il convient de remanier les équalions en ce sens. Ce dernier point étant commun à toutes les synthèses et demandant quelques explications.973} N III (7A. 1.un gain entre la référence et la commande inférieur à 1 au delà de 100 rdls ces performances étant obtenues pour toutes les valeurs données par (7 A. I.synthèse fi standard en utilisant comme entrées du correcteur (correcteur 3 entrées . 1.b) Pour le calcul de l'asservissement.044.1 sorLÏe) Dans chaque cas. 1.0042.en réponse à un échelon de consÎgne. 0.5) .0048.Etude d'un eus d'application 1 99 J/{)tIIl E K. On obtient tout d'abord. Chaque synthèse sera suivie d'une ~l-analyse.4 .synthèse H:û "Ioop-shaping" en utilisant comme entrées du correcteur 8 et a (correcteur 3 entrées .(8 + a) • où r est la consigne de position de l'extrémité du bras (correcteur 1 entrée . ct .1 sortie) ct:) ~ .609. 1.l-analyse Les 2 paramètres incertains sont K.3) el en posant y=0+a: KXfifl -----a J 'oad (7. Etablissement du schéma de j. nous allons le détailler de prime abord.0059} Kg m {1. un Lemps d'établissement de J'ordre de 1 s et un dépassement inlërieur à 20% . la réponse devra être en dessous de 0. Le schéma devant comporter un bloc d'incertitudes de laille la plus faible possible. 1.280.1 sortie) 00 g et 8 (corg. pour des incertitudes couvrant la plage de variation de l'éhlSticîté et de l'inertie.synthèse H standard en utilisant comme entrées du correcteur recteur 2 entrées . 1.002l.466.J 8 et g. 1. et avec une marge de module garantie.\'/Ij/ E {O. .en réponse à un échelon unité de perturbatÎon ajouté à la commande.779.2. 0. à partir des équations (7. le correcteur issu de la synthèse sera réduit de manière à conserver les dynamiques prépondérantes sans dégradation nOlable du comportement fréquentiel.b).lIiff ct J l/lad . on sc donne les objectifs suivants: .une marge de module de l'ordre de 0. 0.1 après 1 s .159. 7. Les schémas de synthèse suivants seront successivement considérés: .318.synthèse H standard en utilisant comme entrée du correcteur l'erreur = r . 8.6) J l{joLl J !ootl J /omJ 1 = KJ'iff 1 Ci =_1_ J/l/{lIJ 1 puis: (K s/UIo a+v l ) (7.7) de sorte que les équations (7. cn sortie du correcteur : (7.a) =_[_1_ = __ +_1_ 0 ÔJ](Ks/îJIO Ci+l'I)= 1 J fond J / 1_ (K 0 J/ OIllJ UTo a+v\)-v 2 Ci = - (_1_ + _1_ +_1_ BJ J II/Ih 1 food 0 l'oad 1 ] (K.\'/~{fl OK)a + {NK c K e)2 (" .3) s'écrivent: y= - [_1J load J IrJ/ld +_1_ 0 J load 1 8) J (KJ/ijlo + K.8) () 1 (7..) y-a Rm1J/IIb (NKcKe) \1= =- [~+~ lllllh 1 {oad 0 +_1_ 01J 1 Joad 1 (K.I"(f!1 8 K )a = (7.100 Commande Ht1J et J.ç'!lrO + K.8. pour obtenir un schéma du type de la figure 4..1~analyse : des oUlils pour la robustesse On pose alors: j ZI { Z2 K'Wi1f = K.1. pour garantir une marge de module minimale.9) on peut connecter le correcteur entre les mesures et la commande. avec une matrice d'incertitude: .flilf'o a + VI) (7.b) En ajoutant une incertitude complexe.I"/îlTo + K s/îlT 1 Ô K 1 --=-- 1 + . l'om/ = 0. Les sorlies du problème standard correspondant sont l'erreur de consigne filtrée par W 1 et la commande filtrée par W2 .3.2 Schéma de p-analyse 7.Etude d'un cas d'application 101 (7. ses entrées sont le signal de référence et une . à savoir K SlifJ = 1.1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinfl gui) est donné sur la figure 7.b). Compte tenu des valeurs indiquées en (7A.4665 N m eL .85 1 [(Jad 0 _1_ =153.b).5085 K~ti1f 1 = 0.0042 Kgm 2 .35 l'mu[1 COllecteur Figure 7. on prendra: KSfijJ 0 1. Synthèse H cD standard dlun correcteur 1 entrée .3 : le modèle de synthèse correspond à des valeurs moyennes des 2 paramètres variables compte tenu des valeurs données par (7 A.10) Le schéma Simulink correspondant (en considérant le cas le plus général où le correcteur a 3 entrées) est représenté ci~dessous.4645 (7.11) _1_ =322. le calcul du correcteur central par l'algorithme de Glover-Doyle (Synthèse Hinfini) .la sauvegarde des matrices d'état du C01Tccleur (Smt\'egarde) la Il-analyse.l Jtalldard d'llII correcteur J entrée . et de la boucle ouverte (Analyse fréquentielle) le lracé des réponses temporelles du modèle de synthèse bouclé par le correcteur (Simularion) . Les différents pavés permettent d'effcctuer les fonctions suivantes: . el de la réponsc fréquentielle de la boucle ouverte. sauf s'ils sont identiques. auquel cas la pondération devient constante). défini par 3 paramètres: son gain statique. son gain à l'infini. comme indiqué au paragraphe 7.ure 7. L'unique mesure (entrée du correcteur) est l'erreur d'asservissement.2 (Mil-analyse) .3 .! Chaque pondéraLÎon Wi est un filtre du premier ordre. pour 28 modèles correspondant à différentes valeurs de l'élasticité el de l'inertie (Réponses) .102 Commande Hw el Il-analyse: des outils pour la robustesse perturbation slajoutant à la commande après passage par un filtre W3. FÎ1.le tracé des valeurs propres et des réponses temporelles du système bouclé. du correcteur.la réduction du correcteur par la mélhode de troncature des valeurs singulières de Hankel (Rédllction) .le tracé des réponses fréquentielles et de leurs gabarits. Synthèse H:>'.J Jor/iI. et sa pulsation à 0 dB (bien sûr les 2 premiers paramètres doivent être l'un supérieur. l'autre inférieur à l. Wl ordre Gain slatique Gain à l'infini Pulsation de coupure W2 1 0. Le correcteur initial. d'ordre 7.Etude d'un cas d'application 103 les différents tracés pouvant être effectuées dans un ordre arbitraire.629). a été réduit à l'ordre 4 avec conservation du gain statique. avant comme après la réduction du correcteur.Paramètres des/ol/ctiol/s de pondéra/ion La synthèse conduit à y 1.\"Iij{ E [0. Le maximum de la borne supérieure étant égal à 0.a montre comment les gabarits choisis agÎssent sur les différents transferts: sur S el K SGen moyenne fréquence.: 1. sur K S en haute fréquence.1 (les paramètres dont le choix est le plus sensible sur les performances de l'asservissement apparaissent en gras).d. on peut garantir une marge de module au mOÎns égale à 0. sur SGen basse et moyenne fréquence.b).4. Nous donnons ci-dessous les résultats correspondant à un jeu de paramètres particuliers.1 .4.072] N m. 508. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.4. Il va de soi que nous ne prétendons nullement que ce réglage soit le meilleur! Les paramètres choisis apparaissent dans le tableau 7.945 .4.4.189.36 pour toute valeur des paramètres dans des intervalles dilatés d'un fa~teur 1/0. On obtÎent les bornes supérieure ct inférieure représentées sur la figure 7. On peut vérifier qu'il présente un gain élevé en basse fréquence (de façon à rejeter la perturbalion de commande).824. lIJ/ lJud E[136. 0.00197.11 montrent respectivement le diagramme de Black de la boucle ouverte. 2.00731] Kgm 2 Enfin les figures 7.824:::. sans dégradation notable de la réponse fréquentielle (figure 7 .1 10 W3 1 1 100 0.4.824:::. et que son gain décroît fortement dans les hautes fréquences (effet de roll-off).7 100 1/2 5 100 4 Tableau 7.3/0.c) permet de conlrôler les marges de stabilité: on voit notamment que la marge de gain est assez faible. et .: 0. soit: K. La ~l-analysc a été effectuée en choisissant une marge de module minimale de 0.8.3 (la marge de module du système nominal étant de 0. la position des valeurs propres de la boucle fermée et les réponses temporelles à un échelon de référence el à un échelon de perturbation de .e à 7. La Jïgure 7.9] (Kgm 2 )-1 soÎt J/ olld E[0.21. 4.--. (1 V -50 . avant et après ré- .d . • y/w? et u/r 50 0 -50 10 0 0 10 ~~ 10' 10 -. {W.a .. 10' 10 .Principaux transferts.---.n __.- .. Bien que ces tests ne fournÏssent pas les mêmes garanties qu'une ~l ~ analyse.'./ /'" _.. et dr 50 100 0 -100 -100 10 1fwdwJ. ils rendent compte d'une relative invariance du comportement pour les différentes charges ct élasticités.~'.. 10" 10 Pulsalim (mcVsec) 1 10" 10 J Figure 7A.4. et gabarils correspondants Figure 7. QI'mll el après rédllctioJl Gain (dB) 100 8amos supérieure ollnhlrlouro de mu 50 ~-li 1 r----. y/W'/WJ et db 40 20 0 0 -200 10 0 10 Rase(~) -.4.475 ·200 ·450 Phase (degrés) Figure 7. 10 2 10 l PulsaUm (r<:d'sec) l/w. ---' (~ ~ ..Résultats de jl-tll/alyse bOllcle Oll\'er/e corrigée.__ ---- -100 -ISO t 1 '\ -400 -350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 borna 5upôriouro de mu en w '" 0 -> 0. Gain(d3) Hw.c Diagramme de Black de la duc/ioll Figllre 7. des outils pour la robustesse commande.- .104 Commande Ha) et Il-analyse.b Diagramme de Bode du correcteur.. ..2 ° 1 2 2 2 -0.Etude d'un cas d'application GaÎn (dB) 40 JO 105 \I.----'-_--'-_...' la boude Ol/verte corrigée Figure 7.f . on introduit comme entrée supplémentaire du .Réponses li la référence Figure 7. 7.4.11 Réponses il /a perturbation On remarque notamment que les réponses en boucle ouverte évitent correctement le point critique..". les réponses indicielles présentent un dépassement modéré maÎs un retour assez lent vers la valeur de consigne.(----------. OAEjarPhil 0.&l'"--'--.4.Diagrammes de Black dl.50 1 2 1....-1..F. les performances demandées ne sont pas obtenues. En raison de ce dernier point. Par rapport au problème précédent.J ·400 ·350 <100 ·250 ·200 -ISO -100 -50 Phase (degrés) Figure 7.. Synthèse fI:o standard d'un correcteur 2 entrées ...4.4.50 -60 '----'-_-'-_-'--_L.1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf2gui) est donné sur la figure 7..e ......5 Ob commande Cil bOlicle 0.6~angleIOla! 0.4 -0...2 -1 '----~-----' o 2 -1 1 thela 2 00 2 -1. 20 10 ·10 ·20 -3D ·40 .2 -0.5.llours propres en B.g ...40 Figure 7.V(llnErs propres fermée ':R 05~ 00 1 !hela commande Q. Comme précédemment. e. qui sera choisi constant.Sylllhèse H Œl standard d'. :! La présence de cette perturbation est nécessaire pour satisfaire les hypothèses de Glover-Doyle.b) mel en évidence une politique de conection en haute fréquence différente du cas précédent. le correcteur ignore la mesure supplémentaire qui est fortemenl perturbée: on retrouve donc le comportemenl oblenu avec le correcteur précédent En diminuant W4. La synthèse s'effectue donc uniquement par itération sur W4. Le problème standard a donc maintenant 3 entrées.5. la mesure supplémentaire est progressivemenl prise en comple. La synlhèse conduit à 'Y = 1. On choisit finalemenl W4 0. une diminution du dépassement sur la réponse à la consigne el une réponse moins forte et plus rapide à la perturbation. W2.5 .l-annlysc : des outils pour la robustesse correcteur l'angle et considéré après une perturbation filtrée par W4 2.3.(/ montre comment les gabarits choisis agissent sur les diflërents transferts. W3 les pondérations choisies au paragraphe 1.J ct J.6. le correcteur initial d'ordre 7 a été rédui l à l'ordre 4. On observe que pour de fortes valeurs de W4.6. une légère diminution des marges de stabilité.m correcteur 1 ellfrées • J sortie Les pondérations et les fonctions représentées par les différents pavés sont les mêmes que pour le problème précédent. ses 2 sorties étant les mêmes que dans le cas précédenl.106 Commande Hr:r. Figure 7. La figure 7.117 . Nous avons repris pour les filtres Wl. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7. On observe notamment une augmentation du gain en basse fréquence des fonctions de transfert vIe et V 1a du correcteur. . Principal/x /mw.--..\'III/{/ts de ~l ·analyse Les réponses en boucle ouverte Uigure 7. 1 -100 1 ·1~900 -600 ·500 -400 -300 -200 ·100 Phase (denrés) 0.. Ré. -.6... qui présentent un dépassement et un .___ _ _____.-.. ï/Wl/Wl el db 0 ·50 ·100 10 1/W2 ._".Br---f----t-++ o -50 _.---.Diagrammes de BI{/ck de III boucle oUI'eJ'te corrigée...--.6. i 1 1 1 O. l/w.6./wJ .c ...-•.475 Figl/re 7.. y/w..g)..6..d) évitent correctement le point critique.2 " 10 10' borne supérieure de mu en w :0 0 --> 0.-----t-----. -----.. .6._1..{/ ...824 (ligure 7... el rJr 50r-----~------~ 1/w1/w3 .6.JwJ et u/b o ·100 ·50 '------~----------' 10° ·200 0 10 FigIlre 7..---. -.e) occupent des positions assez voisines de celles obtenues par la synthèse précédente.. y/W2 et u/r 50r-------------~ o ·150 100 0 10" l/w-.----... les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.c).~~ :-2~~~' ~_ ---.. --. avec un maxÎmum de la borne supérieure égal à 0.Elude d'un cas d'application 107 La ~ -analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment On obtient quasiment les mêmes résultats.. y/w. .b .6/ et 7.----.\'. -(..fcrt.. (/l'atll et après ré· dllC/ioll Figllre 7.6.. -. et gaharits correspolldaJlts Gain (dB) 100r---~----r----r----r----r--~ Bornes supérieure el inlérieure de mu 50 . +----. On note l'amélioration des réponses indicielles (ligures 7.. . o' o 20 -1' 1 20 0 ' 1 -1..: total 3§com 0......... ... .. ..5.. . (. . .6.1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf3gui) est donné sur la figure 7.. on introduit comme entrée supplémentaire du .... Valeurs propres en bOllcle fermée 1. .. Par rapport au problème précédent. .... ......... .!" . .. : ....analyse : des outils pour la robustesse rfJ temps de réponse plus faibles. . de sorte que les performances demandées sont maintenant obtenues.. Synthèse HOC) standard d'un correcteur 3 entrées .....tI· Diagral/lmes de Black de la boucle ouverte corrigée Fig/lre 7. .. 2 00 1 2 Figure 7. .....2" 0.. .........~. ..........Rêpomes cl la référe1lce Figure 7... . . . . L . .... 0... . ···· .5 20 2 theta 0. ..e .. ....g ... 0..1' . ·. : -.......4~anÇ]ljtotal... .. 0. Q ande o~comTande -0... .5' .3lli~ t.1 ......f .108 Commande H et )l. _ . : . .2' ! ... 00 -50 o Phase (denrés) -50 -50 -40 -30 -20 -10 o Figure 7.5" 1" : ....6...6..7... 40 30 20 10 o -10 -20 -30 -40 -50 -~200 -350 -300 -250 -200 -150 -... ··········T·············· 1 0 .... I........T. .. .......... Réponses à la perturhatio1/ 7.6.......3 ...._..F.s§an 2... : t 0.. . 0. Gain (dB) valeurs propres en B. La synthèse s'effectue donc uniquement par itération sur W5.b) montre une amélioration notable de la marge de gain par rapport aux cas précédents. L'effet est assez négligeable sur les réponses du modèle de synthèse. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.Etude d'un cas d'application 109 correcteur l'angle a. considéré après une perturbation filtrée par W5 3. La figure 7. . W2.1. mais très important sur l'allure des réponses des autres modèles. W3 et la constante W 4 les pondéralions choisies au paragraphe 7. Le problème standard a donc maintenant 4 entrées.a montre comment les gabarits choisis agissent sur les différents transferts. On observe que pour de fortes valeurs de W5.106. On observe une modification légère des réponses fréquentielles du correcteur dans la zone de la résonance. On choisit finalement W5 0.8. la prést:ncc de ceHe pt:rturbation permet de satisfaire Ics hypothèses de Glover-Doyle. La synthèse conduit à y = 1. la mesure supplémentaire est progressivement prise en compte.J sortÎe Nous avons repris pour les nitres W l. Mais l'effet sur le lieu de Black est important puisqu'elle éloigne la réponse en sortie de bande passante de la zone critique. Le correcteur initial d'ordre 7 est réduit à l'ordre 4. qui est fortement perturbée: on retrouve donc le comportement obtenu avec le correcteur précédent. qui sera lui aussi choisi constant. le correcteur ignore la mesure supplémentaire a. Figure 7.7 .8.4.Synllrèse H ctJ standard d'lfu correC1ClIr 3 entrées . En diminuant W5. qui gagnent en amortissement. ses 2 sorties étant les mêmes que dans les 2 cas précédents. 3 Là encore. 897 ./wJ el rJb 50 -50 -100 -150 10 50 0 1jw~ .8.g). Les performances demandées sont ainsi atteintes. .8. On obtient des résultats un peu meilleurs. 0.c) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0./W3 1 y/w.8. y/w.8/ eL 7.·lw. 2. el gabarits c01TeSpol1dallts .B.a .760 (figure 7. et rJr 0 1/W.39 pour toute valeur des paramètres dans Jes intervalles suivants: Ks1ill E [0. a et El comme entrées indépendantes du correcteur apporte un gain significatif en termes de performance et de robustesse. Les réponses indicielles (figures 7. ylW~/Wl el u/b n a -50 -50 -100 0 0 10 10 Figure 7.d).. puisque Je maximum de la borne supérieure est égal à 0.e).S.Principaux 1ral/sferts. Les valeurs propres de la boucle fermée présentent de meilleurs amortissements que lors des synthèses précédentes (figure 7.00191 .00826] Kg m 2 Les réponses fréquentielles en boucle ouverte évitent toujours correctement le point critique mais surtout le déplacement de la résonance siefTectue loin de celui-ci (figure 7. et sont surtout moins oscillantes et plus homogènes que dans les synthèses précédentes.110 Commande HCfl et Il-analyse: des outils pour la robustesse La Il-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment. On peut donc conclure que la prÎse en compte des 3 mesures r.119] N m et J lOdd E [0. présentent un dépassement CL un Lemps de réponse faibles. et u/r 50 0 10 1/W2/WJ . 1/w. F.-I.e .Résullals de J-l-analyse Gain (dB) valeurs propres en B.B.Etude d'un cas d'application Gain (dB) 111 100 50 -----~--~----_+----~----~~__4 or.t! Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée Figure 7.--'--.b DÙlgrammes de Black de la boucle oHl'erle conigée.c .Valcurs propres en boucle fermée . ·350 ·300 ·250 -200 -150 -100 -50 0 -30 -20 Phase (deÇJrés) -10 o Figure 7. avcml et après réduction Figure 7..B.-·---·-r-----~-----+ ·500 ·400 -:300 ·200 -100 10' 10' 10 l PhasD (degrés) borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.B.B.475 Figl/re 7. 5 . ct J.9 .1 - 0. Les différents fillres onL élé choisis à partir des considérations suivantes: --'""'-~D erreur alpha Figure 7.1 sor/ie .g . 00 1 Iheta 1 .Réponses à la référence Figure 7.6.ooo..0 2 -0. Synthèse fI cr] par "Ioop-shaping" d'un correcteur 3 entrées ..Réponscs il la per/lll'batioll 7.1 sortie Rappelons que cette approche demande tout d'abord de choisir un précompensateur et un poslcompensateur.m·_·.~.·~IP~a ______---0.8.SJ .1-ilnalyse : des outils pour la robustesse :glo".1"'-1 1':8 2 2 alpha 00 1 2 2 :':§a-~~.~~_I~:~:~_0.10 1 1 1 1 2 2 00 2 Figllre 7.9. 00 L __ _ 1 -0.Synthèse H o:l par "'oop-shapÎl1g" d'ull correcteur 3 clltrées . 1 ~:m"" . avant optimisation H Xl' Le schéma adopté (schéma Simulînk hlsgui) est donné sur la figure 7.J 12 Commande Ha. 663. la réponse à la perturbation rcvient plus rapidement à 0.s+IO 10 W:!(s) = diag { -. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (ligure 7.: initial d'ordre 5 est réduit à l'ordre 2 (l'ordre du correcteur total passe donc de 7 à 4). On constate que la constante d'action intégrale du premier joue son rôle habituel: si elle diminue. présentent des dépassements ct des temps de .\. soit une valeur considérée comme asscz faibIc dans cette méthode.le postcompensateur W2 cst composé d'un Pl sur l'cHctlf d'asservisscment.Etude d'un cas d'application 113 .1 O.g et 7. On obtient pour la robustesse les meilleurs résultats de toutes les synthèses.1 O. qui ont des allures comparables à celles obtenues en synthèse standard. 1 .b montre les principaux transferts obtenus. La figure 7.le précompensateur W 1 est un mtre passe-bas destiné à liltrer les hautcs fréquences pour produire un effct de roll-off: on a donc choisi sa fi'équence dc coupure au-delà de la bande passante de l'asservissement. et donc d'améliorer la robustessc.le troisième terme de W2.1 O.49 pour loute valeur des paramètres dans les intervalles suivants: 1 K. . comme dans la synthèse H cr:J standard.tij( E [0.1 O.1t).s-'-.le deuxième terme de W2 permet d'ajuster le compromis entre dépassement sur la réponse à l'échelon et erreur de traînage sur la réponse à une rampe.c) met en évidence des marges de stabilité satisfaisantes pour le modèle de synthèse.t!) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0.et postcompensateurs. 20 4s+8 lf (7. 0.a montre le module de la boucle ouverte avant optimisation H en comparé au même tracé à l'issue de l'optimisation J-J C1l ' avant et après réduction du correcteur.00174 . .270] Nm et l'oad E [0.e).12) La synthèse conduit à y min = 2. La ~l-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que pour les synthèses précédentes.10.601 (figure 7. et l'erreur de traînage sur la réponse à une rampe diminue. On a ainsi choisi: Wd s ) = . Les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.1 0. puisque le maximum de la borne supérieure est égal à 0.1 Of) présentent d'excellents amortissements. les réponses indicielles (figures 7. 2. Elle permet de vérifier que le calcul du correcteur (ainsi que la phase de réduction) ne modifie pas fondamentalc111cntl'allure du tracé obtenu par le choix des pré.1 O. permet d'éloigner la réponse en sortie de bande passante de la zone critique dans le plan de Black.746 . Le corrcctcur H cr. La figure 7.01400] Kgm 2 Les réponses fréquentielles en boucle ouverte sont très homogènes avec des résonances qui restent loin du point critique (figure 7. et de gains sur les mesures supplémentaires 0 et a. . a .d .6 50 0.II 1 Phase (degrés) borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.114 Commande HO') ct Il-analyse: des ouli1s pour la robustesse réponses un peu plus importants que ceux demandés.) 1 ~ 1 i i ! f _ ! 1 1 1 li li ! i 1 ~V1'~ 1 1 ./0.b Principal/x transferts./O.7 100 0..RésullClts de J-l-clIlalyse ./D.5 04 -501-··---+---!0.. ! 1 l· 1 .475 Figure 7. et gabarits correspondanrs Gain (dB) Bornes supérîeure el inférieure de mu 0.~ !I Il ! II 11 ! 1 -1~90o -600 -500 -400 -200 -100 0. / i ~.!.1 Il 10 !t 10' 1 l.3 0. S:0 l -100 0 ! 'SO~"00~ -150 Cl :~s:P\l 10 10 I W ' I~BU/b -100 10'" ~-W~~~Ull'~~~~~~~~~~ ·C 1()' la·' 10' 10 1d -50 10 0 ·200" 10 Figllre 7.c Diagrammes de Black de la boucle Olll'erte corrigée.. 1/) 10' 10 1 rir rlb 10" Hi' 16' .COlllrôle du "loop-shape" Figure 7. el qui étaienl oblenus par la synthèse standard effectuée dans des consÎtions comparables. par contre elles sont moins oscillantes el plus homogènes. JO. am/If cr après réduc/ion Figure 7.ill o ~f.2 il . ..... 0. . .....: 1 .cJri sur le processus....7.... JO.... ......Elude d'un cas d'application Gain (dB) 40 115 30 20 10 o ·10 -20 -3D -40 ·50 '~2oo ·350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 ·50 o ·40 Phase (de\jres) -30 ·20 -iD o Figure 7. · : w · : ·0... -1........... ............ CF...5§: 1.. :...5' ...... par exemple en présence de bruits ou même de non-linéarités.......... ~ ·····~·~~r. ......... : . 0 .....10/ ......COI"d~ : 1 .....5 !..1' ...............2' ../0... La possibilité d'ajout progressif d'entrée ou de sortie dans le crilère fail de la synthèse H':Fjstandard une très bonne approche pour un problème nécessitant des pondérations diverses...11 - RépOIl..... .. .........e • Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée Figl/re 7.. Conclusion Les deux méthodes de synlhèse fi (synthèse H ~ -standard ou H":l par "loopshaping") ont été appliquées sur ce cas d'étude... .... 0......... 10'" 1 ..1 ......) ..........10...0 ..n~~ .. 0... 0......H!S cl la perturbatioll 7.. OA~lhela O'ffia'~hil ..5 .....J1curs prol'I'l'S CI! boucle jCl1llt!t... : ::m-·"~t'~'~' 0... Le choix de l'une ou l'autre mélhode peUL être guidé par les connaissances que l'on a li pr.. -1 ...5" . ou encore pour oplimiser une partie du cahier des charges (telle que le classique compromis entre robustesse el temps de réponse).... .... ······· 05:" o o 1 2 0..... . 1 alpha 20 1 20 1 2 1 ......2" 0... o. ·.g . o ·1 1 Ihela 2 a . .. . ........ .... ...05' O' ..... 'no" i :m..Répollses il I{/ r~réreJ/ce Figure 7.. O· ............ .... ........ -0................ ··ô···· .! b 1................ ...V...····r·....... .... ·..3 ..~........ 2 o o 41 201 2 Figure 7..... 0 . à partÎr de correcteurs classiques disposés dans chaque boucle de commande. Enfin ces deux méthodes peuvent en partie être utilisées de façon complémentaire. passer à un correcteur multivariable. .116 Commande Hen et )l-analyse : des outils pour la robustesse La synthèse H en par "Ioop-shaping" est très cfficace lorsqu'on veut réutiliser les connaissances acquises tors de synlhèses de correcteurs classiques. Ellc pcrmet souvent d'cn améliorer les qualités ou de pouvoir simplement. chacune offrant un point de départ à l'auLre si le besoin s'en rait senlir. 1994. 1000-1002. Arzelicr. In J. [BEFBJ S. David. COlllmande Robuste: Développements et Applications. [OaDe] J. G. P. Bernussou (Coord.C. 1994.M. pp. El Ohaoui. 1996. J. 18 nO 3. 3068-3073. pp. Beek. Arizona.. 674679. of Cuid[lIlce. J. Biannic. AllIolll. IEEE Tra 11 S. Becker. AC 40 nO 5. [BccJ C. Garcia. 845-849. AC 39 n° 5. Floride. Biannic. B. [BeDOj C. pp. Chang. IEEE Trans. "On ParameLrÎc UncerLninly Modeling for Real Parameler Variations". "Computation al Complexily of J. "Robust Performance of Linenr Parametrically Varying Systems using ParametrîcaIly-Oependent Linear Fecdback". B. V. De Moor. "Model ReducLion of MuHi-Oimensional and Um. [ApOal P. Bernussou. 532-538. 33 rd COllf 01/ Decision ami Control. "Self-Scheduled fief) Control Missile via Linear MaLrix Inequalities".Bibliographie [ACOB1 P. Morari. 63-111.M. E. 1996. [BeCh] C. (JJ or . San Francisco.! Calculation. IEEE Trans. Doyle and M. Féron. pp. Control and DylIamics. 23. 1993. Belcastro. IlIt. F. "MinÎmality for Uncertain Systcms and IQC's". Auton1. Glover. pp. Doyle. Americal1 COll/roi COI~f. 60. pp. Boyd. Young. " ~l-Synthesis by DK Iterations wiLh Constant Scaling".). COl/tml. 3 1'" COIll on Decision al/d COlltrol. De Moor. voL 188.M. 205-215.:crlain Systems". "Placement de Pôles Robuste". 1995. Chrétien. 789-807. COll/roi. 1994. A. Autom. L. pp. AC 41 n° 10. BalLimore. Hcrmès. vol. El GhaouÎ. J. 1466-1477. Lake Buena Vista. Apkarian. [BoEIl S. 1994. pp.. Beck. Oahinet. Linear Aigebra and Applications. Co III ro l. P. 1993.D. R. Packard. J . vol. Systems & Control Lelters. SIAM Publications. Maryland. 31923196. D. 853-864. Tucson. P. J. [BYDM] Braatz. B. Con/roi.. Linear Matrix Inequalities ilI Systems wul COlltrol Theory. ] 994. pp. [ApBO] P. 355-382. AlIlerÎcllll Control COllf. pp. [BePal G. J. [BeGAJ 1. [ChDe] Yi Cheng. Apkarian.M.P. L. Oahinet. J. pp. B411akrislman. 1995. Apkarian. "Designing Rcduced Order Output Feeclback Controllcrs Using a Potential Reduction Method". "Melhod of Centers for Minimizing Generalizcd Eigenvalues". liA Mu1tidimensional Realization Aigorithm for Parametric Unccrlainty Modelling and Multiparameter Margin Problems".C. pp. vol. Gahinet. Boyd. "A Convex Characterization of Gain-Schedulcd fi Controllcrs". P.1994. 1992. vol.. Fokhcr. pp. Floride. 129-153. 1997. pp. FrÎang. P. McFarlane. [GIMe] K.K. Synthcsis". F. Oustry. [EIScJ L.M. "Robustness in the Presence of Mixed Parame tric Uneertainty and Unmodeled Dynamics IEEE Trans. Ignat.)-Bounded Unccrtninty". AUlOl1l. A/ltom. [FFDM] G. Ferreres. lm. B. [FeBi] G. AC 34 na 8. Gahinet. pp. "RobusL StnbîlizaLÏon of Normalized Coprime Factor Plant Description with HCf.. ] 994. l L pp. Méthodologie potlr Prendre en Compte la Robustesse des Systèmes Assclï'i. 25-38. [EIOAJ L.118 Commande Hoo et J. 6 n0 8. AitRami. Baltimore. 743-769.. [FaTD] M. Université Paris VI.. Maryland. Duc. [Galg) P. M. [GaAp] P. AmerÎcan Control COllf. 1995. IEEE Tralls. HA Lincar Matrix Incqualîty Approach ta H. A. . "Lecture Notes for the Workshop on Her. IEEE Tralls. J. "Explicit Controller Formulas for LMI-based Her. AC 34 n° 8.. Autom.P. Dayley. G. [FrDB] J. [Fol] J. [Doy] J. Approche Mtllticrilère par Formulation LMI de la Commande des Systèmes. 1985. Glover. 1499-1500. pp. 1991. D. Maryland. Awolllatica. [Gah] P. Philadelphie. Glover. 1996. Brighton. Thèse de Doctorat. (~r Rob"st & Non/il/ear ContI'. J. Control Problems". "Robust Autopilot for a Flexible Missile: Loop-Shaping Her. Bonnet. 1998. 260-265. 167-172.2 and fier.. P. 1997. 4. Doyle.n Control". Pennsylvanie. Int. "Application of RcallMixed Jl Con~putational Techniques to a Missile Autopilot". J. [Fon] S. El Ghaoui. Khargonekar.' C01~t: 011 Decision alld Control. 1989. "Control of Rational Systems usîng Linearfractional Representations and Linear rvratrix Inequalitics". AC 36 na l. J.LI Methods for Robust Control".A.e. Supélec et Paris-Sud. 30 lh Conf on Decision and COl/frol.K. 821-830. pp. voL 32 na 9~ pp. Systems & COlltrol Letters. Glover. 83] -846. liA ~l-analysis Technique without Frequency Gridding". 2396-2400. V. Tîts. voL 8. "A Cone Complementary Linearizution Algorithm for Static Output Feedback and Relaled Prob1ems" . 2~1. BaJLimore. Fan. [DGKF] J.C.1~analyse . pp. G. pp. [Day} ll • . El Ghaoui. Angleterre. des outils pour la robustesse R. 1998. Apkarian. IEEE Trans.. 1994. 2294-2298. and .-Norm Bound and Relations to Risk Sensitivily". M'Saad. 1988. 1111. [GIDo] K. K.P. AC 42 na 8. of RobuSl & NOIllilleal' Control. Autol//.P. Ft Lauderdale. Doyle. "Slate-Space Solutions Lo Standard H'.L.\· : Optimisation H IX et Approche Symbolique de la Forme Standard. Control. 1996. 1989. Thèse de Doctorat. Design and Real v-Analysis". Control. Font. 1991. Francis. J.C. Doyle. "Structured Uncertainty in Control Systems Design". J. 1994. pp. Gahinct. vol. pp. vol.. Ferreres. Control. COlltrol. 1273-1284. Doyle. G. pp. Americall Control Conf. Biannic. Fromion.C.H. Gahînet. Scorletti. M. Duc. J. A. Americ1l11 C01l1rol COIlf. "StaLc-Space Formulae for aIl Stabilizing Controllers That Satisfy an Her. 421A48. "Law-Order floo Synlhesîs via LMIs". of Robllst and NOl/lil/ear Control. 1993.E. AlltOII/mica. Glover. vol. 1551-1553. J. Horn.lnt. K. D. Tits. Johnson. 1257-1272. McFariane. pp. Ro/mst COlltroller Design USÎllg Norlllalized Coprillle Factor Piani Descriptions. ONERA-CERT. [NeNe] Y. 159. 1993. 392-396. Nemirovsky. [MiSB] G.A. RAIRO Automatique/Systems Analysis alld Control. [IgGl] P. MulticOliferellce CESA '98. Stcinbuch. Walker. Miyamoto. [LTBS] P. Siret. 1998. 1111. 24'11 IEEE COI{f on Decision and Control.N. A Coprime Factorisation LMI Based Approach". "The XY-CenLring Algorithm for Dual LMI Problems: A New Approach to Fixed-Order Control Design". [Mor] B. Tunisie. COlltrol.1 to Real Parameter Variation Problems".G. [HVDB] A. 1031-1073. Control. R. Duc and J. Americ{lII COl1trol COI{t:. pp. [HoJoJ R. A. Lecture Notes in Control and Information Sciences. McFarlane. C. "Slatc-space Approach ta Discrcle-Timc Hm Control". Green. Kwakernaak. pp. 1307-1317. 759-769. Skelton.l Control Problem: LMI Existence Conditions and Slnte-Space Formulas". Rapport technique. K. [LeTi] IEEE Trans. 1997. 1994. Dôll. Hw-Colltrol. Morton. [IwSk2] T. AC 38 n° 10. 2 1111 IMACS Intenl. "Parametric Uncertainty Modeling using LFfs". 267-272. AC 37 n° 6. pp. Rome. pp. pp. Lecture Notes in Mathematics. pp.\'. pp. Cali romic. liA FinÎte Frequency Mcthod for ~l-Analysis". Cambridge University Press. J. Lee. M. San Francisco. SIAM.Bibliographie 119 A. "Different Multidimensional Reduction AJgorithms for the LFr Model of a Missile". IIThe Polynomial Approaeh to HO)-Optimal Regulation". In E. COIIIO 1990. Control. "Discrete Time Hm Control". Helmersson. [LiGWJ DJ. Skelton. 242-250.E. klalrix Analj'sis. "New Applications of J. "On Continuity/Discontinuity in Robuslness InJicators". 1.l Control Design for [MiVi] Multiple Plant. P. J995. A. [MaDo] lF. pp. 1995. Bonnet. J. K. soumis pour publication. Neslerov. Glover. 1989. AlliO/il. p-analysis for Flexible System. Michailesco. R. Synthesîs". 1998. "Modélisation de Grands Systèmes par Agrégation". Comrol.170. 3r t! European Control CO/~f. Floride. ] 993. Bertrand. Tampa. C. M.A. 171-176. 1990.R. Glovcr. vol. BCllnani. 1992.). 1985. European Control Conf. 1985. 30 n° 8. [IwSk1] T. S. [Kwa] H. lwasaki. HA Loop Shaping Design Procedure Using Ha:. 1990. Pandollï (Eds. lwasaki. L.P. Magni. Bruxelles. IEEE Trans. AI/tom. pp. G. Nabeul-Hammamet. vol. Ft Lauderdale. Iglcsias. [Hel} . [McGI2] D. 62. Springer Verlag. Lambrechts. Springer Verlag. "Fixed Struclure Hif. "AlI COl1trollers for the General fI if. 1979. InteriO/' Point Polyno1Jlial A4et/lOds in Conl'ex Programll/ing: TheO/'y and Applications. 54. Mosca et L. Floride. Terlouw. vol. Valentin-Charbonnel. Hiret. Vinnicombe. G.M. S. Limebeer. C. [McGI]] D. 28111 IEEE COI~r on DecisÎon and C011lml.1991. Andersen. 3626-3631. Autolll. Japon. 62. [Rot] Rotary A1otioll Experiments: Rotat)' Flexible Joill1. Postlethwaite.A. Kobe. 147-152. Chilali. Lîmebeer. "Improved Lîncar Matrix Inequality Conditions for Gain Scheduling". K. Sloorvogcl.H. 406-411. 22.N. Matrix-Pencîl and Descriptor Concepts". Pandey. Systems & Control Letter. [Val] C. AC 42 nO 7. Scorletti. 1990. 1. Walker. pp. pp. T0ffner-Clauscn. Gahinet. 1997. Commande Robuste avec Contrainte d'Ordre. Louisiane.\'. Int. [PZPB] A. pp. 1991. 'The Discrete Timc l-/oo Control Problem with Measurernent Fecdbnck".Y. 79-92. Angleterre. Chiang.. J. pp. P. 30lil IEEE COllf O/I DeCÎûoll and COll/roi. Packard. pp.zhou. [VaDu] C. IEEE Trans. P. fPac] . Soustrup. 1998. vol. Contr. Supélec et Paris-Sud. Application au Contrôle d~fti tilde d'llIl Satellite d'Obserl'{lIion de la Terre. C. Application to a Satellite Attitude Control Law". P. "Multiobjective Output-Feedback Control via LMI Optirnizalion". J. Valentin-Charbonnel. "Optirnising Il-Ana1ysis withoul Frcquency Gridding. pp. 011 Decision and COl1trol. pp. J. 301i! IEEE C01~f on Decision and Com roi.ion of Robust Control Problems Leadîng ta LMI's". 1993.1992. "Conlinuity Properties of the Real/Complex Struclurcd Singular Value". [WoGG] G.W.. 199 J. Pandey. Sil European Control COllf. vol. Brighton. Control. Duc. pp. "Simplifying the Hoo Theory via Loop-ShifLing. Valentin-Charbonnel. 2467-2488. 011 Decision ami C01l1rol. 1989. [Stol A. COlltrol. SIAM. El Ghaoui. Co 111 ro l. HA Collect. Goddard. New-Orleans. Rome. H. lm. K. [SaPO] R. "Model Reduclion with Balanced RealizatÎons". G. Packard. [PaPa] A. Beek. Scherer. M. 1994. 1233-1238. pp. 30. 1995. 1995. Whang. pp. Adaptech. 52. Glover.120 Commande Hefl Cl ). Niemann. Safonov. Nole technique. lm.. 441-455. 1. P. K.t-llnlllyse : des outils pour ln robustesse A. voL 50 n° 6. vol. J. Doyle. O. Thèse de Doctoral. 1999.O. Alltom. 1245-1250. Glover. Ou. [SeGCI C. vol. 33-64. 1996. Angleterre. R. COl1frollllld Optimizatioll. J. [SaLC] M. pp. D.D.J. 1995. 415-428. [TASNj S. AC 38 nO 3. 182~ 202. nA New Approach to ~l-Synthesis for Mixcd Perturbation Sets". 35 " IEEE CO/if. 3 rlf Europea1l Collfrol CO/if. 341h IEEE C01if. L. DJ. par la Norme HXl el le Formalisme LMI. Samar. P. pp. 896-911. [ScEI] G. [Wal] D. IEEE Trans. "Robust Stabilizability of Discretc-time Systems with Normalized Stable Factor Perturbation". Becker. "Oain Seheduling via Linear Fraclional Transformations". J. Control. "Model Reduction of LFf Systems". Paekard. Brighton. [WDBO] W. "Approximation of Linear Pa1 rameter-Varying Systems". n° l. Wood. Karlsruhe. 65. AC 42 nO 1. J. Problem".C. Young. Glover. K. pp.M. "Conlroller Design with Real Parame tric Uncertainty". pp. IIlI. nA Lower Bound for the Mixed ~l Problern". of RobuSI & NOlllillear Control. Young. 573-590. Zhou. 5. 1997. J. 1995. J. Young. P. M.Bibliographie 121 [YoDo] [YoND] lYou-1 [ZhDG] P. Doyle. vol.. Colllr.M. P. Newlin.M. PrenticeHall.P. IIlt. "Computing Bounds for the Mixcd J1.C. IEEE Trans. pp. Control. 1994. K. Robust and Optimal COlltrol. J. Doyle. vol. 469-509.C. 123-128. AIi/DlIl. J. 1996. . Doyle. Documents Similar To Commande Hinf et mu anlyse intereSkip carouselcarousel previouscarousel nextCommande RobusteCommande Lineaire Des Systemes MultivariablesCours de Commande Robuste - H InfiniCours_Commande_2009_2010Bode Graphla commande prédictiveAVComRobTheorie Des ProbabilitesLa Logique Floue Ct191Commande__floueCommande OptimaleCommande des systèmes linéaires à plusieurs entréesobservateurscommande_robusteModélisation et commande de la machine asynchrone Par Jean-Pierre Caron-Jean-Paul HautierATTOU RMG MSAPCommande Electrique Des MachinesCommande Des MachinesCommande_electrique82017248 Commande Par Mode Glissant Multimodele Application Sur Un Sous MarinElectronique.pratique.N330.Septembre.2008Commande Floue Adaptative par Mode Glissant d’une Classe des Systèmes Non LinéairesTD Microprocesseur 80852electronique de PuissanceSystèmes Non Linéaires,– Cours Et Exercices CorrigésModélisation et commande de la machine asynchroneThese El+OugliCommande Stabilisante par Mode Glissant de Niveau et de Débit pour un Double Réservoirspolycopie2stepro11-12realisation et commande d'un pendule inversé par logique floueMore From Péguy ImmataSkip carouselcarousel previouscarousel nextOPTICast Workbook 7-0-2 3-5-07OpenGL3DVisual c++ KeyWind Turbine TechnologyFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersLegalTermsPrivacyCopyrightSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK