INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRASINGENIERIA EN MECATRONICA MATERIA: Análisis de circuitos UNIDAD V “Circuitos Polifásicos” ALUMNO: Everardo Pecina Hernández No. De Control: 13430042 PROFESOR: Ing. Martin Arritola Hernández 1 02-Jun-15 Introducción Un generador de ca diseñado para proporcionar un solo voltaje senoidal por cada rotación de la flecha (rotor) se conoce como generador de ca monofásico. Si el número de bobinas en el rotor se incrementa de una manera específica, el resultado es un generador de ca polifásico, el cual proporciona más de un voltaje de ca por cada rotación del rotor. Por lo común se prefieren los sistemas trifásicos sobre los monofásicos para transmitir potencia por varias razones, entre ellas las siguientes: 1. Pueden utilizarse conductores más delgados para transmitir los mismos kVA en el mismo voltaje, lo cual reduce la cantidad de cobre requerido (alrededor de 25% menos) y a su vez reduce los costos de construcción y mantenimiento. 2. Es más fácil instalar líneas más livianas y las estructuras de soporte pueden ser menos voluminosas, además de estar más separadas entre sí. 3. Tanto equipo como motores han preferido características trifásicas de funcionamiento y arranque en comparación con las de los sistemas monofásicos, debido a un flujo más uniforme de potencia hacia el transductor que el que se puede suministrar con un sistema monofásico. 4. En general, la mayoría de los motores grandes son trifásicos porque son de autoarranque y no requieren un diseño especial o circuitos de arranque adicionales. La frecuencia generada está determinada por el número de polos en el rotor y la velocidad a la cual se hace girar la flecha. En Estados Unidos, la frecuencia de línea es de 60 Hz, mientras que en Europa el estándar seleccionado es de 50 Hz. El sistema trifásico se utiliza en casi todos los generadores eléctricos comerciales. Esto no significa que los sistemas de generación monofásico y bifásico sean obsoletos. El número de voltajes de fase que puede producir un generador polifásico no está limitado a tres. Se puede obtener cualquier cantidad de fases colocando los devanados de cada fase en la posición angular apropiada alrededor del estator. Algunos sistemas eléctricos operan con más eficiencia si se utilizan más de tres fases. Un sistema como ese implica el proceso de rectificación, con el cual se puede convertir una salida alterna en una de valor promedio, o de cd. A mayor cantidad de fases, más uniforme es la salida de cd del sistema. 2 Índice 5.1 Fuente trifásica…………………………………………………………………4 5.2 Cargas delta y estrella………………………………………………………...5 5.3 Análisis de cargas balaceadas………………………………………………15 5.4 Análisis de cargas desbalanceadas………………………………………..18 5.5 Potencia trifásica………………………………………………………………21 Ejemplos……………………………………………………………………………..25 Bibliografía…………………………………………………………………………..28 3 5.1 Fuente trifásica El generador trifásico tiene tres bobinas de inducción colocadas a 120° una de otra en el estator. Como las tres bobinas tienen un número igual de vueltas, y cada una gira con la misma velocidad angular, el voltaje inducido a través de cada una tiene el mismo valor pico, forma y frecuencia. Cuando algún medio externo hace girar la flecha del generador, los voltajes inducidos eAN, eBN, and eCN se generan al mismo tiempo, observe el desplazamiento de fase de 120° entre las formas de onda y la apariencia similar de las tres funciones senoidales. En cualquier instante, la suma algebraica de los voltajes trifásicos de un generador trifásico es cero. En la siguiente grafica se puede apreciar: Que wt = 0 y que también es evidente que cuanto un voltaje inducido es 0, los otros 2 son 86.6% de sus máximos positivos o negativos. Además, cuando cualquiera de los 2 es igual en magnitud y signo, el voltaje inducido restante tiene la polaridad opuesta y un valor pico. Las expresiones senoidales respectivas para los voltajes inducidos son: 4 eAN = Em(AN) sen wt eBN = Em(BN) sen (wt – 120°) eCN = Em(CN) sen (wt – 240°) = Em(CN) sen (wt + 120°) El diagrama fasorial de los voltajes inducidos se puede expresar de la siguiente manera, donde EAN = 0.707m(AN) o EAN = EAN | EBN = 0.707m(BN) o EBN = EBN |_ECN = 0.707m(CN) o ECN = ECN | _0° 120° _120° También podemos realizar la suma fasorial de los voltajes de fase de un sistema trifásico utilizando el triángulo de fuerzas. EAN + EBN + ECN = 0 5.2 Cargas delta y estrella Generado conectado en Y Si las tres terminales indicadas con N se conectan juntas, el generador se conoce como generador trifásico conectado en Y. El punto en el cual todas las terminales están conectadas se llama punto neutro. Si un conductor no está conectado desde este punto a la carga, el sistema se llama generador de tres hilos, trifásico, conectado en Y. Si el neutro está conectado, el sistema es un generador de cuatro hilos, trifásico, conectado en Y. 5 Los tres conductores conectados de A, B, y C a la carga se llaman líneas. Para el sistema conectado en Y, es obvio que la corriente de línea es igual a la corriente de fase para cada fase; esto es: IL = Iϕg Donde ϕ indica una cantidad de fase, y g es un parámetro de generador. El voltaje desde una línea a otra se llama voltaje de línea. En el diagrama, es el fasor trazado del extremo de una fase al otro en sentido contrario al de las manecillas de reloj. Aplicando la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo como se muestra en la siguiente figura, obtenemos: EAB – EAN + EBN = 0 o bien EAB = EAN – EBN = EAN + ENB El diagrama fasorial se traza de nuevo para determinar EAB 6 Como cada voltaje de fase, cuando se invierte (ENB), biseca los otros dos, α = 60° y el ángulo β es de 30°. La longitud x es: x = EAN cos 30° = √3 2 EAN y EAB = 2x = (2) √3 2 EAN = √ 3 EAN La magnitud del voltaje de línea de un generador conectado en Y es voltaje de fase es EL = √ 3 por el √ 3 Eϕ Con el ángulo de fase entre cualquier voltaje de línea y el voltaje de fase mas cercano a 30°. En forma fasorial y senoidal quedaría de la siguiente manera: EAB = EAB |_30° = √ 3 EAN |_30° √ 3 ECN |_150° EBC = √ 3 EBN |_270° ECA = √ 2 EAB sen (wt + 30°) eCA = √ 2 ECA sen (wt + 150°) eBC = √ 2 EBC sen (wt + 270°) eAB = El diagrama fasorial de los voltajes de línea y fase se muestra en la siguiente figura 7 Generador conectado en ∆ En el sistema que se conoce como generador de ca conectado en ∆ de tres hilos, trifásico, los voltajes de línea y de fase son equivalentes e iguales al voltaje inducido a través de cada bobina del generador; es decir: Secuencia de fase ABC EAB = EAN y eAN = EBC = EBN ECA = ECN √ 2 EAN sen wt y eBN = √ 2 EBN sen (wt - 120°) y eCN = √ 2 ECN sen (wt + 120°) O bien EL = Eϕg Observe que sólo hay un voltaje (magnitud) disponible en lugar de los dos de que dispone el sistema conectado en Y. A diferencia de la corriente de línea para el generador conectado en Y, la corriente de línea para el sistema conectado en ∆ no es igual a la corriente de fase. La relación entre las dos se determina aplicando la ley de la corriente de Kirchhoff en uno de los nodos y resolviendo la corriente de línea en función de las corrientes de fase; es decir, en el nodo A, 8 IBA = IAa + IAC o bien IAa = IBA - IAC = IBA + IAC Siguiendo el mismo procedimiento para determinar la corriente de línea que se utilizó para determinar el voltaje de línea de un generador conectado en Y se obtiene lo siguiente: √ 3 IBA |_-30° IBb = √ 3 ICB |_-150° ICc = √ 3 IAC |_90° IAa = En general IL = √ 3 Iϕg Con el ángulo de fase entre una corriente de línea y la corriente de fase más cercana a 30°. Del mismo modo que para los voltajes de un generador conectado en Y, la suma fasorial de las corrientes de línea o de fase para sistemas conectados en ∆ con cargas balanceadas es cero. Secuencia de fases (Generadores conectados en Y) La secuencia de fases puede determinarse por el orden en que los fasores que representan los voltajes de fase pasan por un punto fijo en el diagrama fasorial si los fasores giran en un sentido contrario al de las manecillas de reloj, la secuencia de fases es ABC. Sin embargo, puesto que el punto fijo puede seleccionarse en cualquier parte del diagrama fasorial, la secuencia también puede escribirse como BCA o CAB. La secuencia de fases es muy importante en la distribución de 9 potencia trifásica. En un motor trifásico, por ejemplo, si se intercambian dos voltajes de fase, la secuencia cambiará, y la dirección de rotación del motor se invertirá. La secuencia de fases también puede describirse en función de los voltajes de línea. Trazando los voltajes de línea en un diagrama fasorial, podemos determinar la secuencia de fases haciendo girar de nuevo los fasores en sentido contrario al de las manecillas de reloj. En este caso, la secuencia se determina observando el orden de los primeros o segundos subíndices que pasan. Para una secuencia de ACB, por ejemplo, podríamos escoger EAB como referencia, si buscáramos el diagrama fasorial de los voltajes de línea, o EAN para los voltajes de fase. Para la secuencia indicada, los diagramas fasoriales se verán en la siguiente figura. En notación fasorial: Voltajes de línea EAB = EAB |_0° ECA = ECA |_-120° EBC = EBC |_120° Voltajes de fase EAN = EAN |_0° ECN = ECN |_-120° EBN = EBN |_120° Generador conectado en Y con una carga conectada en Y 10 Las cargas conectadas a fuentes trifásicas son de dos tipos: el Y y el ∆. Si una carga conectada en Y se conecta a un generador conectado en Y, el sistema simbólicamente se representa como Y-Y. Si la carga está balanceada, puede quitarse la conexión neutra sin afectar el circuito en manera alguna; es decir, si Z1 = Z2 = Z3 Observe que para tener una carga balanceada, el ángulo de fase también debe ser el mismo para cada impedancia. En la práctica, si una fábrica, tuviera sólo cargas trifásicas balanceadas, la ausencia del neutro no tendría ningún efecto puesto que, idealmente, el sistema siempre estaría balanceado. Por consiguiente, el costo sería menor ya que el número de conductores requeridos se reduciría. Sin embargo, los sistemas de iluminación y la mayoría de otros equipos eléctricos utilizan sólo uno de los voltajes de fase, e incluso si la carga está diseñada para ser balanceada (como debiera ser), nunca existe un balanceo continuo perfecto puesto que las luces y otros equipos eléctricos se encienden y se apagan, lo que perturba la condición balanceada. El neutro es, por consiguiente, necesario para alejar de la carga la corriente resultante y regresarla al generador conectado en Y. El sistema conectado en Y-Y de cuatro hilos la corriente que pasa a través de cada fase del generador es la misma que su corriente de línea correspondiente, la cual a su vez para una carga conectada en Y es igual a la corriente de la carga a la cual está conectada: I ϕg = IL = Iϕ Para una carga balanceada o una desbalanceada, puesto que el generador y la carga tienen un punto neutro común, entonces: Vϕ = E ϕ 11 Además, como I ϕg = Vϕ/Rϕ, la magnitud de la corriente en cada fase es igual para una carga balanceada y desigual para una carga desbalanceada. Recuerde que para el generador conectado en Y, la magnitud del voltaje de línea es igual a por el voltaje de fase. Esta misma relación puede aplicarse a una carga conectada en Y de cuatro hilos desbalanceada: EL = √ 3 Vϕ Sistema Y - ∆ No hay ninguna conexión neutra para el sistema Y-∆. Cualquier variación en la impedancia de una fase que produzca un sistema desbalanceado, simplemente modifica las corrientes de línea y de fase del sistema. Para una carga balanceada, Z1 = Z2 = Z3 El voltaje que pasa a través de cada fase de la carga es igual al voltaje de línea del generador para una carga balanceada o desbalanceada: Vϕ = E L La relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase de una carga ∆ balanceada se determina siguiendo un método muy parecido para determinar la relación entre los voltajes de línea y los voltajes de fase de un generador conectado en Y. En este caso, sin embargo, se utiliza la ley de la corriente de Kirchhoff en lugar de la del voltaje. El resultado es EL = √ 3 Iϕ 12 Y el ángulo de fase entre una corriente de línea y la más cercana corriente de fase es de 30°. Para una carga balanceada, la magnitud de las corrientes de línea será igual a la de las corrientes de fase. Secuencia de fase (Generador conectado en ∆) Aun cuando los voltajes de línea y de fase de un sistema conectado en ∆ son los mismos, es una práctica normal para describir la secuencia de fases en función de los voltajes de línea. El método que se sigue es el mismo que se describió para los voltajes de línea del generador conectado en Y. Por ejemplo, se muestra el diagrama fasorial de voltajes de línea para una secuencia de fases ABC. Al trazar un diagrama como ese debemos tener cuidado de que las secuencias de los primeros y segundos subíndices sean las mismas. En notación fasorial: EAB = EAB |_0° EBC = EBC |_-120° ECA = ECA |_120° Sistema ∆ - Y Se muestra una fuente conectada en ∆ que alimenta una carga balanceada conectada en Y. Se puede advertir que los voltajes de línea son iguales a los voltajes de fase correspondientes de la fuente. Además, cada voltaje de fase es igual a la diferencia de los voltajes de carga correspondientes, como puede observarse a partir de las polaridades. 13 Cada corriente de carga es igual a la corriente de línea correspondiente. La suma de las corrientes de carga es cero porque la carga está balanceada; así, no se requiere un retorno neutro. La relación entre los voltajes de carga y los voltajes de fase correspondientes (y los voltajes de línea) es: Vθ = √ 3 VZ Las corrientes de línea y las corrientes de carga correspondientes son iguales, y para una carga balanceada, la suma de las corrientes de carga es cero. IL = IZ Cada corriente de línea es la diferencia de las dos corrientes de fase. IL1 = Iθa - Iθb IL2 = Iθc - Iθa IL3 = Iθb - Iθc Sistema ∆ - ∆ Se muestra una fuente conectada en ∆ que alimenta una carga conectada en ∆. Observe que el voltaje de carga, el voltaje de línea, y el voltaje de fase de la fuente son iguales para una fase dada. Vθa = VL1 = VZa Vθb = VL2 = VZb Vθc = VL3 = VZc 14 Desde luego, cuando la carga está balanceada, todos los voltajes son iguales, y se puede escribir una expresión general Vθ = V L = VZ Para una carga balanceada y voltajes de fase de fuente iguales, se puede demostrar que IL = √ 3 IZ 5.3 Análisis de cargas balaceadas Carga balanceada en Y Primero, considere una carga Y. La potencia en cualquier fase es el producto de la magnitud del voltaje de fase Vϕ multiplicada por la magnitud de la corriente de fase Iϕ multiplicada por el coseno del ángulo θϕ entre ellas Ya que el ángulo entre el voltaje de fase y la corriente de fase siempre es el ángulo de la impedancia de carga, la potencia por fase es 15 Donde θϕ es el ángulo de Zϕ. La potencia total es También es práctico tener una fórmula para la potencia en términos de cantidades de línea. Para una carga Y, Iϕ = IL y Vϕ = VL / √ 3 , donde IL es la magnitud de la corriente de línea y VL es la magnitud del voltaje línea a línea. Si se sustituyen estas relaciones se obtiene Esta es una formula muy importante que se usa ampliamente. Sin embargo, observe con cuidado que θϕ es al ángulo de la impedancia de carga y no el ángulo entre VL e IL. La potencia por fase también puede expresarse como Donde Rϕ es el componente resistivo de la impedancia de fase y VR es el voltaje en dicho componente. Por tanto, la potencia total es Potencia reactiva Las expresiones equivalentes para la potencia reactiva son Donde Xϕ es el componente reactivo de Zϕ y VX es el voltaje en el mismo. 16 Potencia aparente Factor de potencia Carga balanceada en ∆ A partir de la siguiente figura Potencia promedio 17 Potencia reactiva Potencia aparente Factor de potencia 5.4 Análisis de cargas desbalanceadas Carga conectada en Y, de cuatro hilos, trifásica, desbalanceada Para la carga conectada en Y trifásica de cuatro hilos, las condiciones son tales que ninguna de las impedancias de carga es igual, de ahí que tengamos una carga polifásica desbalanceada. Como el neutro es un punto común entre la carga y la fuente, independientemente de la impedancia de cada fase de la carga y de la fuente, el voltaje que pasa a través de cada fase es el voltaje de fase del generador: Vϕ = E ϕ Por tanto, las corrientes de fase se determinan por la ley de Ohm: Iϕ1 = V ϕ1 Z1 = E ϕ1 Z1 18 Entonces, la corriente en el neutro para cualquier sistema desbalanceado se determina aplicando la ley de la corriente de Kirchhoff en el punto común n: IN = Iϕ1 + Iϕ2 + Iϕ3 = IL1 + IL2 + IL3 Debido a la diversidad de equipo en un entorno industrial, tanto la potencia trifásica como la potencia monofásica se suelen proporcionar con la fase única obtenida del sistema trifásico. Además, como la carga en cada fase cambia continuamente, se utiliza un sistema de cuatro hilos (con un neutro) para garantizar niveles de voltaje estables y proporcionar una ruta para la corriente resultante de una carga desbalanceada. Un transformador trifásico que reduce el voltaje de línea de 13,800 a 208 V, todas las cargas de demanda de baja potencia, como iluminación, tomas de corriente de pared, seguridad, etcétera, utilizan el voltaje monofásico de 120 V de línea a neutro. Las cargas de potencia más altas, como las de acondicionadores de aire, hornos o secadoras eléctricas, etcétera, utilizan el voltaje monofásico de 208 V disponible de línea a línea. Para motores más grandes y equipo de alta demanda especial, la potencia trifásica total puede 19 tomarse directamente del sistema. Carga conectada en Y, de tres hilos, trifásica, desbalanceada Para el siguiente sistema las ecuaciones requeridas se derivan aplicando primero la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerrado para producir Sustituyendo tenemos 20 Aplicando la ley de la corriente de Kirchhoff en el nodo n se obtiene Sustituyendo Ibn en las ecuaciones anteriores, se obtiene Las cuales se rescriben como Utilizando determinantes, tenemos Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff a los voltajes de línea se obtiene Sustituyendo (EAB + ECB) en la ecuación anterior por Ian resulta 21 5.5 Potencia trifásica Método de los 3 watimetros La potencia suministrada a una carga conectada en Y de cuatro hilos balanceada o desbalanceada puede determinarse por el método de los tres watímetros, es decir, utilizando tres watímetros. Cada watímetro mide la potencia suministrada a cada fase. La bobina de potencial de cada watímetro se conecta en paralelo con la carga, mientras que la bobina de corriente está en serie con la carga. La potencia promedio total del sistema se determina sumando las tres lecturas de los watímetros; es decir, Para la carga (balanceada o desbalanceada), los watímetros se conectan como se muestra en la figura. La potencia total es de nuevo la suma de las lecturas de los tres watímetros: Si en cualquiera de los casos que se acaban de describir la carga está balanceada, la potencia suministrada a cada fase será la misma. La potencia total, por lo tanto, es tres veces la lectura de cualquiera de los watímetros. Método de los 2 watimetros 22 La potencia suministrada a una carga balanceada o desbalanceada conectada en ∆ o en Y, trifásica, de tres hilos, se determina utilizando sólo dos watímetros si se emplea la conexión adecuada, y si las lecturas de los watímetros se interpretan correctamente. Las conexiones básicas de este método de los dos watímetros es que un extremo de cada bobina de potencia se conecta a la misma línea. Entonces se colocan las bobinas de corriente en las líneas restantes. La potencia total suministrada a la carga es la suma algebraica de las lecturas de los dos watímetros. Para una carga balanceada, consideramos ahora dos métodos, en el primero hay que determinar el factor de potencia (de adelanto o de retraso) de cualquier fase de la carga. Una vez que se obtiene esta información, puede aplicarse directamente a la curva Esta es una curva del factor de potencia de la carga (fase) contra la relación Pl / Ph, donde Pl y Ph son las magnitudes de las lecturas más baja y más alta de los watímetros, respectivamente. Observe que para un factor de potencia (de adelanto o de retraso) mayor que 0.5, el valor de la relación es positivo. Esto indica que ambos watímetros están leyendo valores positivos, y que la potencia total es la suma de las lecturas de los dos watímetros; es decir, PT = Pl + Ph. Para un factor 23 de potencia menor que 0.5 (de adelanto o de retraso), la relación tiene un valor negativo. Esto indica que el watímetro de menor lectura está leyendo negativo, y la potencia total es la diferencia de las lecturas de los dos watímetros; es decir, PT = Ph - Pl . El segundo método de determinar si la potencia total es la suma o la diferencia de las lecturas de los dos watímetros implica una sencilla prueba de laboratorio. Para realizarla, ambos watímetros deben tener primero una desviación de escala alta. Para realizar la prueba: 1. Tome nota de cuál línea no tiene una bobina de corriente que detecte la corriente de línea. 2. Desconecte el cable de la bobina de potencial del watímetro de lectura baja que está conectado a la línea sin la bobina de corriente. 3. Tome el cable desconectado de la bobina de potencial del watímetro de lectura baja, y toque un punto de conexión en la línea que tenga la bobina de corriente del watímetro de lectura alta. 4. Si la aguja se desvía hacia abajo (por debajo de cero watts), la lectura promedio del watímetro de lectura baja debe restarse de la del watímetro de lectura alta. De lo contrario, las lecturas deben sumarse. Para un sistema balanceado, puesto que El factor de potencia de la carga (fase) se determina con las lecturas de los watímetros y la magnitud del voltaje y de la corriente de línea: 24 Ejemplos 1.- Una carga equilibrada conectada en estrella de valor 8+6j por fase, se alimenta a través de una red trifásica a cuatro hilos, 400V, 50Hz. Calcular: a) las corrientes de línea b) las potencias en la carga, activa, reactiva y aparente c) el factor de potencia Tómese como origen de referencia la tensión de fase V AO y sucesión de fases ABC Solución: a) b) IA = 23∟-37º ; IB= 23∟-157º ; IC = 23∟83º Potencia activa = 12748 watios Potencia reactiva = 9589 V.A.reactivos c) Potencia aparente = 15934V.A. Factor de potencia = cos 37º = 0,8 2.- Una red trifásica a cuatro hilos 208V, origen de fases V BC , sucesión de fases ABC, alimenta una carga en estrella. Siendo Z A =10∟0º , ZB = 15∟30º y ZC = 10∟-30º. Hallar: a) las corrientes de línea b) la corriente en el neutro c) la potencia total activa absorbida por la carga Solución: a) b) c) IA=12∟90º ; IB = 8∟-60º ; IC = 12∟-120º IN = 5,76∟249,69 Potencia total activa = 3521 Watios 25 3.- Calcular la lectura del watímetro de la figura, siendo la tensión nominal de la red 400V y equilibrada. Despréciense las pérdidas en el watímetro. Tómese como referencia VA0 y sucesión de fases A B C. Solución La lectura del watímetro será de 6000W 4.- Dado el circuito de la fig.y tomando V A0 como tensión de referencia y sucesión de fases ABC . Calcular: a) las corrientes de cada línea b) las potencias medidas por cada watímetro c) la potencia total absorbida por la carga d) las posibles relaciones entre las potencias calculadas en los apartados anteriores. Solución a) IA = 7,22∟21º ; IB = 8∟-133,63º ; IC = 3,42∟108,95º 26 b) W1 = 1000 watios ; W2= 711,62 watios ; W3 = 1274 watios c) PT= 2274 watios = W1 + W3 c.q.d. 5.- La instalación de alumbrado de un inmueble, está alimentada por una red trifásica a 220V con neutro. La instalación conectada en estrella está formada por grupos de lámparas en paralelo cada una de 127W cargadas, 22 en la fase A, 44 en la fase B y 44 en la fase C. Calcular, considerando VBC como origen de fases y ABC como sucesión: a) las corrientes de línea en la entrada al inmueble b) repetir el caso anterior en el supuesto, si se produce la rotura del hilo neutro c) si las lámparas no soportan una sobretensión superior al 15%, cuales quedarán fuera de uso Solución: a) IA = 22∟90º ; IB = 44∟-30º ; IC = 44∟-150º b) IA = 26,41∟90º ; IB = 40,41∟-19,10º ; IC = 40,41 ∟199,1º c) todas las lámparas de la fase A se fundirán 27 Bibliografía Análisis de circuitos teoría y práctica, Allan H. Robins y Wilhelm C. Miller Introducción al análisis de circuitos, Robert L. Boylestad, 12 edición https://es.scribd.com/doc/102714573/Ejercicios-Resueltos-Circuitos-Trifasicos-pdf 28