cinemática

05CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL. ELEMENTOS Y MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento es importante: es el fenómeno más corriente y fácil de observar en la Naturaleza. Todo el Universo está en constante movimiento: los astros que se desplazan por el cielo, un niño que juega, un pájaro que vuela, etc. Los conceptos de vida y movimiento van íntimamente unidos, hasta el punto que consideramos su capacidad para moverse por sí mismos como una de las características más evidentes de los seres vivos. En esta Unidad estudiarás los elementos y las magnitudes que utiliza la Cinemática para determinar el movimiento de una partícula. Y los conocimientos adquiridos te permitirán analizar los movimientos más corrientes que tienen lugar en nuestro entorno. 188 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento ■ Para repasar… Movimiento (4.°) Movimiento es un cambio de posición respecto de un punto fijo que se toma como referencia. Trayectoria (4.°) Recibe el nombre de trayectoria el conjunto de las sucesivas posiciones que va tomando el móvil. Dependiendo de la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos. • Velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido por el móvil y el tiempo empleado en recorrerlo. • Velocidad instantánea es la velocidad que posee el móvil en un momento dado. La velocidad se mide en m/s (SI) y en km/h. Aceleración (4.°) • Aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad que ha experimenvt – v0 . tado un móvil y el intervalo de tiempo que ha empleado en dicha variación, a = –2 t Se mide en m s . • Aceleración instantánea es la aceleración que tiene un móvil en un momento dado. Movimiento rectilíneo y uniforme (4.°) Un móvil tiene movimiento rectilíneo y uniforme cuando se desplaza en línea recta con velocidad constante. El espacio recorrido se obtiene con la ecuación e = v t. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (4.°) Este movimiento tiene lugar cuando el móvil se desplaza en línea recta con aceleración constante. Sus ecuaciones son: • vt = v0 + a t, para hallar la velocidad en cualquier instante. • e = v0 t + 1/2 a t2, para hallar el espacio recorrido. Caída libre de cuerpos Cuando un cuerpo se mueve bajo la acción de la gravedad se dice que tiene movimiento de caída libre. Es un caso particular del movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (a = g = –9,8 m s-2). Movimiento circular (4.°) Un móvil tiene movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Si lo hace con velocidad constante, el movimiento recibe el nombre de circular uniforme. La velocidad angular es el ángulo recorrido en la unidad de tiempo. Se mide en vueltas o revoluciones por minuto, (rpm) y en radianes por segundo. Radián es el ángulo en que el arco correspondiente tiene una longitud igual a la del radio con que se ha trazado dicho arco. Una circunferencia (360°) corresponde a 2 p radianes. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 189 Cuestiones básicas 1> ¿En qué tipo de movimiento la velocidad media coincide con la velocidad instantánea? Inténtalo Recuerda que si una magnitud es constante, tendrá siempre el mismo valor en cualquier momento. 7> Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 36 km/h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración? ¿Qué distancia ha recorrido en el tiempo indicado? Inténtalo Observa que el ciclista parte del reposo; este hecho equivale a un dato numérico. Suponemos que la calle es recta. Una vez identificado el movimiento del ciclista, utiliza las ecuaciones correspondientes. 2> Se dice que el guepardo es un animal capaz de llegar a correr a 30 m/s. Calcula su velocidad en km/h. Inténtalo Para utilizar los factores de conversión, recuerda las equivalencias: 1 km = 1 000 m; 1 h = 3 600 s 8> Un avión que parte del reposo acelera uniforme- 3> ¿Cuánto tiempo tardará el guepardo en recorrer 1 km si mantiene la velocidad de 30 m/s? Inténtalo Ten en cuenta el tipo de movimiento con que se desplaza el guepardo y utiliza la ecuación correspondiente. mente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 10 s. ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión? ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta despegar? Inténtalo Se trata de un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Utiliza los factores de conversión para el cambio de unidades. 4> Desde un puente dejas caer un objeto y observas que tarda 1,5 s en llegar al agua. ¿Cuál es la altura del puente? Inténtalo Se trata de una caída libre. En este caso toma el valor de la gravedad como positiva. 9> Un disco gira a 30 rpm. Calcula esta velocidad en radianes por segundo. Calcula la frecuencia y el periodo de este movimiento. Inténtalo Recuerda cuántos radianes tiene una circunferencia. Período es el tiempo en segundos que tarda en dar una vuelta. El valor de la frecuencia coincide con el inverso del período. 5> Un automóvil pasa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s. ¿Qué aceleración tiene el coche? Inténtalo Te piden la aceleración media. Recuerda que se mide en m s–2. 10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de radio de un velódromo con velocidad constante de 36 km/h. ¿Qué longitud de pista recorre en un minuto? ¿Qué tiempo tarda en dar una vuelta a la pista? ¿Cuántas vueltas da en 10 minutos? Inténtalo Aunque el movimiento es circular, te piden el espacio recorrido con velocidad constante. Todas las preguntas las puedes calcular utilizando la ecuación del espacio en un movimiento uniforme. Recuerda el valor de la longitud de la circunferencia. 6> Un coche parte del reposo con aceleración constante de 1,8 m s . Después de 20 s de estar acelerando, ¿qué distancia habrá recorrido el vehículo? Inténtalo De acuerdo con el tipo de movimiento, utiliza la ecuación correspondiente. –2 190 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento La Cinemática estudia el movimiento sin tener en cuenta sus causas. La Dinámica estudia el movimiento y analiza sus causas. ■ 5.1 Dos ciencias para estudiar el movimiento Supongamos que en un momento dado un avión sobrevuela tu casa. Si tienes curiosidad por conocer mejor este fenómeno, puedes plantearte una serie de preguntas sobre él, como ¿cuánto tiempo tardará el avión en desaparecer por el horizonte?, ¿qué distancia recorrerá en un minuto?, ¿lleva siempre la misma velocidad?, etcétera. Para contestar a estas preguntas no necesitas saber por qué se mueve el avión. En cambio, hay preguntas más complejas, como ¿qué fuerza ejerce el motor?, ¿qué potencia desarrolla?, ¿qué energía consume?, etc., cuya respuesta requiere más información. Debes conocer, ante todo, las características de los motores, que son los causantes del movimiento del avión. Como ves, hay dos formas de estudiar el movimiento: prescindiendo de las causas que lo originan, que es lo que hace la Cinemática, y teniendo en cuenta estas causas, como ocurre con la Dinámica. Dedicaremos una Unidad a cada una de estas dos ciencias del movimiento. ■ 5.2 Qué es el movimiento? ¿ Fig. 5.1. Rotación y traslación. Cuando la polea se mueve no cambia de lugar. Pero sí lo hace el cubo cuando asciende. P1 P 2 Desde muy pequeños tenemos un concepto intuitivo que nos permite afirmar si un cuerpo, en un momento dado, está en reposo o en movimiento. ¿Qué criterio empleamos para distinguirlo? Se suele decir que un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar. Sin embargo, este criterio no es preciso, porque existen cuerpos que se mueven sin cambiar de lugar. Por ejemplo, la polea de la Figura 5.1, cuando gira alrededor de su eje, permanece siempre en el mismo sitio. Debemos distinguir, pues, entre dos tipos diferentes de movimiento: el de traslación y el de rotación. Un cuerpo tiene movimiento de traslación cuando todo él, tomado en su conjunto como un solo punto, cambia de lugar o de posición. Eje Fig. 5.2. Rotación. En un movimiento de rotación, los puntos del sólido que gira cambian de lugar describiendo circunferencias. En cambio, en el movimiento de rotación son los distintos puntos P1, P2... del cuerpo los que cambian de lugar (Fig. 5.2), pero no lo hace el cuerpo en su conjunto. Un punto solamente puede tener movimiento de traslación. En general, cuando un cuerpo gira en torno a un eje fijo se mueve, pero no se desplaza. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rotación. Por tanto, si consideramos que el cuerpo que se mueve es un punto, el criterio que dimos anteriormente sería correcto. En este curso solamente trataremos del movimiento de traslación. Por eso estudiamos la Cinemática del punto material. Más adelante explicaremos qué se entiende por punto material. A Fig. 5.3. Traslación. El automóvil se mueve porque se aleja del semáforo. Si de un automóvil (Fig. 5.3) solamente tenemos en cuenta su movimiento de traslación, lo estamos considerando como un punto que cambia de posición respecto a, por ejemplo, un semáforo. Si esa posición no varía, diremos que está en reposo respecto al semáforo. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 191 No olvides que… • La localización de un punto en el espacio respecto de otro punto que tomamos como referencia recibe el nombre de posición. • Movimiento de un punto es un cambio de posición respecto de otro punto que se toma como referencia. • Reposo y movimiento son dos términos relativos, puesto que dependen del objeto que se tome como referencia (una farola está en reposo respecto de la calle, pero está en movimiento si tomamos el Sol como referencia). • Movimiento absoluto es aquél en el que el punto de referencia se supone fijo respecto del punto que se mueve. • Movimiento relativo es aquél en el que el punto cambia de posición respecto de otro que también se mueve. A CT I VI D A D E S 1> Indica qué afirmaciones son correctas. El movi- miento es: a) Un cambio de lugar. b) Un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material. c) Un desplazamiento. d) Un cambio de posición. otros tantos de movimientos relativos. 3> Señala las afirmaciones correctas. El movimiento a) Rotación b) Traslación c) Absoluto d) Relativo de un coche que se desplaza por una carretera es respecto de una gasolinera: 2> Escribe tres ejemplos de movimientos absolutos y 4> Indica si el coche de la actividad anterior, respec- to de un camión al que pretende adelantar, tiene movimiento absoluto o relativo. ■ 5.3 lementos fundamentales E del movimiento En todo movimiento hay que distinguir tres elementos básicos: el objeto que se mueve, el sistema de referencia que se utiliza y la trayectoria seguida por el móvil. El objeto que se mueve: un punto material Para conocer el movimiento que realmente tiene un cuerpo habría que conocer el de todos sus puntos. Cuando un automóvil se desplaza por una carretera, además del movimiento de traslación que se observa, posee otros movimientos: el de balanceo al tomar una curva, el de cabeceo en un cambio de rasante, etc., y el movimiento particular de los distintos componentes: volante, ruedas, pistones, etcétera. No nos interesa tener en consideración estos movimientos, por lo que prescindiremos de todos los componentes del coche y sus dimensiones, y lo trataremos como si fuese un punto material. Como en la Naturaleza no existe un móvil con masa y sin dimensiones, esto es, en realidad, una idealización o un modelo ideal de la existencia, los científicos recurren con frecuencia a modelos físicos para simplificar el estudio de la Naturaleza. Hay muchos objetos que en su movimiento se comportan como puntos materiales. Todo depende del sistema de referencia elegido. Por ejemplo, un automóvil no se comporta como un punto para el que lo conduce; sin embargo, sí lo hace con respecto al agente de tráfico que sobrevuela la carretera en helicóptero. Un modelo es una idealización mental o gráfica que permite simplificar el estudio de un fenómeno. Aunque es un producto de la imaginación, el modelo tiene una gran ventaja: es lo suficientemente sencillo como para analizar cómo afectan las leyes fundamentales de la Física a su comportamiento. Para que un modelo cumpla bien su misión es necesario que sea sencillo, esté de acuerdo con los hechos experimentales y sea extrapolable; es decir, que permita aplicar sus conclusiones a otros fenómenos hasta formular nuevas leyes. Llamamos punto material a un cuerpo cuyas dimensiones no se tienen en cuenta. 192 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento En resumen: • Partícula material o punto material es un término relativo que depende de las dimensiones que intervengan en cada problema concreto. • Un cuerpo, por grande que sea, se considera un punto si sus dimensiones son despreciables, comparadas bien con la distancia que hay desde él al punto de referencia o bien con la trayectoria. Así, un barco se puede considerar como un punto respecto a la costa. Un coche se puede considerar como un punto respecto a la longitud de la carretera. La Tierra en su movimiento de traslación se puede considerar como un punto. El sistema de referencia Para determinar la posición de un punto en cualquier instante es necesario fijar otro punto en el espacio como referencia. El punto de referencia elegido se toma como origen O de tres ejes cartesianos (Fig. 5.4), que constituyen un sistema de referencia cartesiano. Así, la posición del punto P vendrá determinada por las coordenadas x, y y z de dicho punto. No olvides que: Fig. 5.4. Sistema cartesiano de referencia. Este sistema está formado por un punto del espacio y tres ejes cartesianos concurrentes en dicho punto. • El punto O de referencia puede ser cualquier objeto, real o imaginario, que esté en reposo relativo respecto al punto P. • Un sistema de referencia es inercial cuando el punto O está en reposo o se mueve con velocidad constante. • La Tierra se puede considerar como un sistema de referencia inercial, aunque realmente no lo es, ya que tiene movimiento de rotación sobre sí misma. Sin embargo, este movimiento nos pasa inadvertido. ACTIVID AD E S 5> Indica si es falso o verdadero: a) Se puede estudiar el movimiento prescindiendo del sistema de referencia. b) El movimiento es un cambio de lugar. c) Un punto solamente puede tener movimiento de traslación. d) La Tierra se puede considerar un punto material cuando se mueve alrededor del Sol. a) Tiene movimiento relativo respecto del agua y de la orilla. b) Tiene movimiento absoluto respecto de la orilla y relativo respecto del agua. c) La barca solamente tiene movimiento absoluto. 7> Para determinar la posición de un punto sobre un plano, ¿cuántos ejes cartesianos necesitas? 6> Observa la barca de la Figura 5.5 e indica cuál es la afirmación correcta: 8> Para determinar la posición de un barco en el océano, ¿cuántas coordenadas necesitas? ¿Qué nombre reciben? 9> Un coche parte desde un semáforo y se mueve por una calle recta. ¿Cuántas coordenadas necesitas para determinar la posición del automóvil respecto al semáforo? Fig. 5.5. El movimiento relativo de la barca depende del punto de referencia. 10> Además del punto material, ¿qué otros modelos utilizados por la Física o la Química conoces? cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 193 Trayectoria Fíjate en el punto P (x, y, z) de la Fig. 5.6. Este punto estará en reposo respecto al punto O si sus coordenadas permanecen constantes con el tiempo, y estará en movimiento cuando al menos una coordenada varíe con respecto a él. Cuando el punto P se mueve, sus coordenadas van tomando distintos valores. El conjunto de puntos correspondientes a estos valores forman una línea que recibe el nombre de trayectoria. Fig. 5.6. Coordenadas de un punto en el espacio. Si ese punto se mueve, sus coordenadas varían, dando lugar a una línea llamada trayectoria. Trayectoria es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio. E J E M P L O 1 Un punto se mueve en el plano Oxy según las ecuaciones: x = t – 1; y = 2 t a) ¿Qué significado tienen estas ecuaciones? b) Dibuja la trayectoria de ese punto. Solución a) Al moverse el punto en un plano, su posición en todo momento viene determinada por dos coordenadas (x, y). Las ecuaciones dadas indican cómo varía esa posición con el tiempo. Por tanto, las distintas posiciones que va tomando el punto en el transcurso del tiempo se obtienen dando valores a t en dichas ecuaciones. http://teleformacion.edu. aytolacoruna.es/FISICA/ document/applets/Hwang/ ntnujava/vector/vector_s.htm Se trata de una simulación applet para sumar vectores en dos y tres dimensiones. t x y 0 –1 0 1 0 2 2 1 4 3 2 6 b) Las posiciones (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) son puntos de la línea que forma la trayectoria (Fig. 5.7). Se trata de una recta. Fig. 5.7. Trayectoria rectilínea del punto descrito en el Ejemplo 1. Las magnitudes son las variables que intervienen en un fenómeno o las características de un cuerpo que se pueden medir. Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales. 194 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento ■ 5.4 Magnitudes del movimiento Ya sabes que existen ciertas características de los cuerpos y de los fenómenos naturales, llamadas magnitudes, que se pueden medir o evaluar en todo momento. Para entender el movimiento es importante que conozcas las magnitudes que utiliza la Cinemática en su desarrollo. Además del tiempo, son las siguientes: posición, desplazamiento, espacio recorrido, velocidad y aceleración. El espacio recorrido es una magnitud escalar, mientras que las demás son magnitudes vectoriales. Fig. 5.8. Vector de posición. La posición de un punto P queda definida por el vector que une el punto O con el punto P. Posición Ya hemos dicho que la posición de un punto P es su localización en el espacio. Existen dos formas de localizar un punto en el espacio: mediante tres coordenadas cartesianas P (x, y, z) ⎯→ → y mediante un vector r , o también OP , que une el origen del sistema de referencia con el punto P y que recibe el nombre de vector de posición. El origen de este vector se halla siempre en el origen de coordenadas y su extremo coincide en cada instante con la posición del punto móvil (Fig. 5.8). Ambas formas están relacionadas. Para que comprendas la relación que existe entre las coordenadas x, y, z de un punto y su vector de posición, debes recordar algunas nociones de cálculo vectorial. Fig. 5.9. Un vector se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido. Unas nociones de cálculo vectorial Un vector u se dice que es unitario cuando su módulo vale 1: |u | = 1. Supongamos que el → vector a de la Figura 5.9 tiene cinco unidades de longitud. Por tanto, su módulo es cinco → veces mayor que el módulo del vector unitario u . De acuerdo con esto, se puede escribir: → → |a | = 5 · |u | = 5. En general, un vector cualquiera se puede expresar en función de un → → vector unitario que tenga su misma dirección y sentido mediante el producto v = |v | → → → → u , siendo |v | el módulo o longitud del vector v y u el vector unitario de igual dirección → y sentido que v . → → → Si llamamos u x, u y y u z a los vectores unitarios que tienen la misma dirección y sentido que los semiejes cartesianos (Fig. 5.10), podremos expresar el vector de posición de un punto en función de dichos vectores. → → La suma de dos vectores v 1 y v 2 viene dada por la diagonal del paralelogramo construido sobre dichos vectores, tomándolos como lados que parten del mismo vértice (Fig. 5.11): → → → → s = v 1 + v 2. La posición del punto P (x, y) de la Figura 5.12 viene determinada por el vector r . → → Fig. 5.10. Representación de los vectores unitarios según los ejes cartesianos. v Fig. 5.11. Suma de vectores. Se aplica la regla del paralelogramo. v Fig. 5.12. El vector r en función de los ⎯⎯ ⎯⎯ → ⎯→ ⎯→ vectores OA, OB: r = OA + OB . → El vector r es la diagonal del paralelogramo OAPBO. Por tanto, se cumple que: ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎯→ → → → → r = OA + OB = |OA | u x + |OB | u y = x u x + y u y ⎯→ ⎯→ ya que |OA | = x, |OB | = y. Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular el módulo de un vector si cono→ → cemos x e y, ya que |r |2 = x2 + y2 → |r |= Î x2 + y2. → cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 195 En el espacio, el vector de posición del punto P (x, y, z) será r = x u x + y u y + z u z. Cuando el punto P se mueve, su vector de posición variará con el tiempo, lo que se puede expresar de la siguiente forma: → → → → → r (t) = x (t) u + y (t) u + z (t) u → x → y → z El vector es un segmento que está orientado: Esta expresión recibe el nombre de posición instantánea. Dando valores a t se obtienen las distintas posiciones de la partícula móvil durante un intervalo de tiempo. Tiene un punto de origen, O, y un extremo, P, que determina el sen⎯→ tido del vector OP . La dirección de un vector viene determinada por la recta sobre la que se apoya. El módulo es un número real positivo que indica la longitud del vector y que determina el valor de la magnitud asociada. Una magnitud vectorial se representa algebraicamente → con una flecha sobre su valor, v , o bien escribiéndolo en negrita, v. En este libro hemos optado por la primera fórmula por considerarla más fácil de reconocer. E J E M P L O 2 El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4 t, y = 2 t – 2, en donde x e y se miden en metros y t, en segundos. Calcula: a) La posición de la partícula en cualquier instante. b) La posición en los instantes t = 0, t = 2. c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 segundos? d) ¿A qué distancia del origen del sistema de referencia se encuentra la partícula en ese instante? Solución a) La posición de la partícula en → cualquier instante viene determinada por el → → → → vector de posición: r = x u x + y u y = 4 t u x + (2 t – 2) u y. b) En la expresión anterior sustituimos los valores del tiempo que nos indican: Para t = 0 Para t = 2 → 0 → 2 r = (4 · 0) u x + (2 · 0 – 2) u y = –2 u y r = 8 ux + 2 uy → → → → → En los instantes t = 0 y t = 2 s, la partícula se encuentra en los puntos P0 (0, –2), P2 (8, 2). c) A los 5 s la partícula se encontrará en la posición r5 = 20 ux + 8 uy, es decir, en el punto (20,8). d) La distancia pedida viene dada por el módulo del vector r5: |r5| = Î x2 + y2 = Î202 + 82 = 21,5 m → → → → → A C T I VI D A D E S 11> Escribe los vectores de posición correspondientes a los siguientes puntos respecto al origen: a) P1 (2, –3, 5) b) P2 (–1, 0, 6) c) P3 (0, 0, –2). a) Completa la siguiente tabla de valores: 12> Un punto móvil se desplaza en el espacio de acuerdo con las siguientes ecuaciones expresadas en el SI: x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t2 t x y z 0 1 2 3 4 b) Halla la posición del punto móvil para t = 15 s. c) Escribe el vector correspondiente a esa posición. 196 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Desplazamiento Si en un instante dado un móvil se encuentra en la posición P0 (x0, y0, z0) y al cabo de un tiempo su posición es P1 (x1, y1, z1), diremos que el móvil se ha desplazado desde el punto P0 al punto P1. Este desplazamiento viene definido por un vector, llamado vector → desplazamiento, Dr, que tiene las siguientes características: Tiene su origen en el punto de partida o posición inicial y su extremo en el punto de ⎯⎯ → llegada o posición final, P 0 P1 (Fig. 5.13). El desplazamiento entre dos posiciones es siempre el mismo, cualquiera que sea la trayectoria que una dichas posiciones (Fig. 5.14). Fig. 5.13. Vector desplazamiento. Une la posición inicial y final del móvil. Fig. 5.14. Diferentes trayectorias para un mismo desplazamiento. Fig. 5.15. Vector desplazamiento. Se obtiene restando los vectores de posición correspondientes al punto de llegada y al punto de partida. El vector desplazamiento se obtiene restando del vector de posición final el vector de posición inicial (Fig. 5.15): → → → Dr = r1 – r0 Por tanto, si → → → → → → → → r1 = x1 u x + y1 u y + z1 uz r0 = x0 u x + y0 u y + z0 uz el vector desplazamiento será: → → → → → → → Dr = (x1 – x0) u x + ( y1 – y0) uy + (z1 – z0) u z = Dx u x + Dy u y + Dz u z siendo Dx = x1 – x0; Dy = y1 – y0; Dz = z1 – z0. Esto quiere decir que el desplazamiento total equivale a la suma de desplazamientos parciales a lo largo de los ejes cartesianos. E JE M P L O 3 Un automóvil se mueve en línea recta por una carretera. A las nueve de la mañana se encuentra en el punto kilométrico 40 y media hora más tarde se encuentra en el punto kilométrico 100. Calcula el desplazamiento que ha experimentado el coche en el tiempo indicado. Solución Si el coche se mueve en línea recta, podemos tomar como sistema de referencia el punto kilométrico 0 y la dirección de la carretera → como eje cartesiano Ox. Por → tanto, el vector de posición en este caso será: r = x ux. El coche en media hora se ha desplazado desde el punto P0 (40 km, 0) al punto P1 (100 km, 0) (Fig. 5.16). Por tanto, el desplazamiento será: → → → → → Dr = r1 – r0 = (x1 – x0) u x = 60 u x km El coche se ha desplazado 60 km alejándose del origen. x Fig. 5.16. Representación del movimiento del automóvil del Ejemplo 3. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 E J E M P L O 4 197 Una partícula material se mueve en el espacio de forma que su posición en cualquier instante viene dada por las ecuaciones x = t2; y = t – 2, expresadas en el SI. Calcula: a) Dónde se encuentra la partícula en los instantes t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s. b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo comprendido entre cero y dos segundos. Solución a) La posición de la partícula en → cualquier instante → → viene dada por el vector r = (t2) u x + (t – 2) u y, que → 1 para → instantes dados toma los valores r0 = –2 u y; los → → → r = u x – u y; r2 = 4 u x. Es decir, se encuentra en los puntos (0, –2), (1, –1) y (4, 0), respectivamente. → → b) → →hallar el desplazamiento basta restar los vectores Para → → → → → → → r2 y r0 : Dr = r2 – r0 = (4 – 0) u x + (0 – (–2)) u y = 4 u x + 2 u y A CT I VI D A D E S 13> Carlos sale de su casa a comprar el periódico en una a) Carlos se ha desplazado 120 m. b) Carlos se ha desplazado 240 m. c) Carlos no se ha desplazado. d) Carlos ha recorrido 240 m. papelería situada a 120 m de la vivienda y luego regresa a su casa. ¿Qué afirmación es la correcta? 14> Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1 250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición situada a: a) 750 m del punto de referencia. b) 1 250 m del punto de referencia. c) 500 m del punto de referencia. d) No se puede hallar la posición de partida. Elige la respuesta correcta. Espacio recorrido No debes confundir espacio recorrido con desplazamiento. Espacio recorrido es la longitud de trayectoria que ha seguido el móvil. Es una magnitud escalar que coincide con el módulo del desplazamiento, solamente en el caso de que el movimiento sea rectilíneo y que además no cambie de sentido. Si lanzas una pelota hacia arriba, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento mientras la pelota está subiendo; pero cuando inicia el descenso, el desplazamiento disminuye, y cuando la pelota llega al punto de partida, el desplazamiento es nulo. En cambio, el espacio recorrido es igual al doble de la altura alcanzada. E J E M P L O 5 Una persona sale de paseo. Recorre 2 km hacia el norte, después se dirige hacia el este y recorre 1 km, y por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 km. Calcula: a) ¿Qué espacio ha recorrido? b) ¿Cuánto vale el desplazamiento? Solución a) En la Fig. 5.17 están representados los distintos desplazamientos. El espacio total recorrido es de 7 km. b) El desplazamiento es un vector con sentido sur-este, y vale: ⎯⎯ → → |P 0 P1| = |Dr | = Î(4 – 2)2 + 12 = Î5 = 2,24 km Fig. 5.17. Desplazamiento total. ⎯→ ⎯ Corresponde al vector P0 P1. 198 05 ACTIVID AD E S cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 15> Una vez iniciado el movimiento, ¿el espacio reco- b) Cuando se halla en el punto B. c) Cuando se encuentra en C. d) Cuando ha dado una vuelta completa. rrido puede ser cero? ¿Puede ser cero el desplazamiento? Cita un ejemplo en que el espacio recorrido y el desplazamiento tengan el mismo valor. dio partiendo del punto O en el sentido que indica la flecha de la Fig. 5.18. Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento: a) Cuando el ciclista está en el punto A. 16> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de ra- Fig. 5.18 Velocidad http://newton.cnice.mec. es/4eso/trayectoria/trayec0.htm En esta página se recoge una explicación con simulaciones interactivas de la diferencia entre desplazamiento y trayectoria (espacio recorrido). Para determinar el movimiento de una partícula es necesario conocer cómo varía la posición de esa partícula en el transcurso del tiempo. A la variación de la posición la hemos llamado desplazamiento. Para relacionar el desplazamiento que ha experimentado un móvil con el tiempo transcurrido introducimos una magnitud muy importante en Cinemática: la velocidad. Podemos distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea. Velocidad media La velocidad media se define como el desplazamiento que experimenta el punto móvil en la unidad de tiempo. Es un vector que resulta de dividir el desplazamiento producido entre el intervalo de tiempo empleado y que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento, ya que el tiempo es una magnitud escalar positiva. → → v = Dr Dt E JE M P L O 6 Si r (t) representa la posición del → punto móvil en el instante t y r (t + Dt) representa la posición al cabo de un intervalo de tiempo Dt, la velocidad media también se obtiene: → v = Dr = r (t + Dt) – r (t) → → → → Dt Dt Una araña se mueve sobre el cristal de una ventana siguiendo una trayectoria definida por x = t2 e y = t + 2 en el SI. Calcula: a) El vector de posición de la araña en cualquier instante. b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 s y t = 3 s. c) La velocidad media con que se ha desplazado la araña durante ese tiempo. Solución → → → → → a) El vector de posición viene dado por r = x ux + y uy = t2 ux + (t + 2) uy b) Hallamos las posiciones correspondientes a los instantes que se indican: → → → → → r1 = ux + 3 uy Para t = 3 s; r3 = 9 ux + 5 uy Para t = 1 s; El desplazamiento será: Dr = r3 – r1 = (9 – 1) ux + (5 – 3) uy = 8 ux + 2 uy → → → → → → → → → → → Dr 8 ux + 2 uy → → = c) La velocidad media vendrá dada por: v = = 4 ux + uy m/s Dt 2 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 E J E M P L O 7 199 Una partícula se mueve a lo largo del eje Ox según la ecuación x = t2 + 2. Calcula su velocidad media. Solución → En este caso, el vector de posición es r (x, 0) y no se especifica el intervalo de tiempo. Por ello hallaremos la velocidad media utilizando la expresión: [(t + Dt)2 + 2 – (t2 + 2)] t2 + 2 t Dt + (Dt)2 + 2 – t2 – 2 |Dr | |r (t + Dt) – r (t)| = = = = 2 t + Dt |v | = Dt Dt Dt Dt → → → → Observa cómo el resultado es indeterminado porque depende de dos variables: el instante t y el intervalo de tiempo Dt. Si el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño → (Dt → 0), la velocidad media toma el valor |v | = 2 t y solamente depende del instante que se considere. Por ello recibe el nombre de velocidad instantánea. Y se suele definir como el valor que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a → → Dr 0: v i = lim · Este límite se conoce en Matemáticas como la derivada del vector de Dt→0 Dt posición respecto al tiempo. Velocidad instantánea En la resolución del ejemplo anterior se ha visto cómo la velocidad media, en general, es indeterminada. Además, nos da poca información del movimiento que tiene lugar. Solamente relaciona el desplazamiento total producido con el intervalo de tiempo empleado. No nos dice nada sobre la trayectoria que ha seguido la partícula, ni si ha llevado la misma velocidad durante todo el intervalo de tiempo. Por ejemplo, si un coche ha tardado 5 horas en desplazarse desde Madrid a Valencia, a 350 km de distancia, diremos que ha hecho el recorrido con una velocidad media de 70 km/h. Pero este dato no nos responde a preguntas como: ¿ha sido ésa la velocidad real del coche?, ¿ha hecho el recorrido manteniendo siempre la misma velocidad?, ¿qué carretera ha seguido?, ¿qué velocidad tenía el coche cuando pasó por el punto kilométrico 100?, ¿y cuando faltaban 20 minutos para llegar a Valencia? La verdadera velocidad del coche es la que marca el velocímetro en el instante en que observas dicho aparato (Fig. 5.19). El velocímetro mide el módulo de la velocidad instantánea. En general, la velocidad media depende del instante inicial y del intervalo de tiempo considerados. Si estos valores están determinados, la velocidad media toma un valor concreto, como ha ocurrido en el Ejemplo 6. Pero si el instante inicial y el intervalo de tiempo no están definidos, la velocidad media es indeterminada, como sucede en el Ejemplo 7. Velocidad instantánea es la que tiene una partícula en un instante determinado o en un punto determinado de la trayectoria. La velocidad instantánea es un vector cuyo módulo recibe el nombre de rapidez y representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo, cuya dirección es tangente a la trayectoria y cuyo sentido coincide con el sentido del movimiento. Fig. 5.19. Velocímetro. Instrumento que mide el módulo de la velocidad instantánea del vehículo. A CT I VI D A D E S 17> La rapidez de un móvil se mide en m/s en el SI, y en la práctica, en km/h. Expresa en m/s la rapidez con la que se mueve un coche que va a 144 km/h. 18> Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿cuál será la velocidad de un avión en km/h cuando rompe la barrera del sonido? 200 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Aceleración Cuando un automóvil se desplaza no siempre lo hace con la misma velocidad. Cuando un coche, por ejemplo, aumenta de velocidad decimos que acelera. Si el aumento de velocidad se produce en menos tiempo, intuitivamente decimos que el coche tiene mayor aceleración. Por tanto, la aceleración relaciona la velocidad con el tiempo. La velocidad es una magnitud vectorial. Por tanto, existirá aceleración siempre que la velocidad varíe en cualquiera de sus elementos: módulo, dirección o sentido. Aceleración, en general, es la variación de la velocidad con el tiempo. Mediante algunos ejemplos, vamos a ver cuándo un movimiento tiene aceleración: 1. Se lanza una pelota a 10 m/s contra la pared de un frontón. La pelota rebota y sale a 10 m/s en la misma dirección. ¿La velocidad es la misma antes y después del rebote? No, la pelota se mueve con la misma rapidez antes y después del rebote, pero no con la misma velocidad. Existe aceleración porque la velocidad ha cambiado de sentido. 2. Un coche se mueve por una pista recta. En un momento dado su velocímetro marca 90 km/h y en un instante posterior 100 km/h. Existe aceleración porque ha cambiado el módulo de la velocidad. El coche no se mueve con la misma rapidez. 3. El coche anterior toma una curva con una rapidez constante de 45 km/h. Existe aceleración porque la dirección de la velocidad está cambiando continuamente. ACTIVID AD E S 19> Cita algún ejemplo en que la velocidad de un vehículo cambia en módulo y dirección. 20> En el movimiento de un péndulo, ¿qué elementos de la velocidad se modifican? Aceleración media y aceleración instantánea Para determinar el movimiento de una partícula no basta saber que la velocidad varía. Es necesario saber cómo se produce esta variación en el transcurso del tiempo. Por ello, se introducen los conceptos de aceleración media y aceleración instantánea. La aceleración media se define como el vector que resulta de dividir la variación de la velocidad que se ha producido en un intervalo de tiempo entre el valor de dicho intervalo: El módulo de la aceleración se mide en m/s2. a= → Dv v –v = 2 1 Dt Dt → → → Si la pelota del ejemplo citado anteriormente ha estado en contacto con el frontón durante una décima de segundo, ha experimentado una aceleración media: → 1 → v = +10 ux m/s → 2 → → → → 2 v = –10 ux m/s → → a= → v – v1 (–10 ux) – (10 ux) = = –200 ux m/s2 Dt 0,1 s cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 201 La aceleración instantánea es el valor límite que toma la aceleración media cuando el intervalo de tiempo es extremadamente pequeño. → → a = lim Dv i Dt→0 Dt Este límite recibe el nombre de derivada del vector velocidad respecto al tiempo. Componentes intrínsecas de la aceleración Sabemos que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria (Fig. 5.20). Por tanto, en cada punto se conoce bien su dirección. Pero ¿cuál es la dirección de la aceleración instantánea? ¿Es también tangente a la trayectoria? En la Figura 5.21 se ha obtenido gráficamente el vector Dv . Se observa cómo este vector no es tangente a la trayectoria. Su dirección es variable. Pero cualquiera que sea→esta dirección, siempre se puede descomponer en dos vectores: → uno en la dirección de v1 y otro perpendicular a v1 (Fig. 5.22). Si elegimos el sistema de referencia formado por un punto de la trayectoria y dos vec→ → tores unitarios, uno t con la dirección de la tangente y el otro n con la dirección de la normal (perpendicular) a la tangente en dicho punto, hemos definido un sistema de referencia ligado a la propia trayectoria y que recibe el nombre de sistema de referencia intrínseco a la trayectoria (Fig. 5.23). Utilizando este sistema de referencia, podemos escribir: Dv = Dvt + Dvn. Por tanto, la aceleración será: → → → → → → → → → → Dv Dvt Dvn = + = at + an = |at| t + |an| n a= Dt Dt Dt La aceleración se puede descomponer en dos, una en la dirección de la tangente (aceleración tangencial) y otra en la dirección de la normal (aceleración normal) en cada punto de la trayectoria. Estas aceleraciones reciben el nombre de componentes intrínsecas de la aceleración. La aceleración tangencial es debida a la variación de la rapidez o módulo de la velocidad. La aceleración normal es la que se debe al cambio de dirección de la velocidad y recibe el nombre de aceleración centrípeta. Su módulo vale v2 , siendo v la rapidez y R el radio de la curva. R Para restar dos vectores se traslada uno de ellos sobre su paralela de manera que coincidan los orígenes de ambos. El vector diferencia es el que une el extremo del vector → → sustraendo, v1, con el vector minuendo, v2. → → → → Fig. 5.20. Dirección de la velocidad instantánea. Fig. 5.21. La variación de la velocidad se obtiene gráficamente uniendo los → → extremos de las velocidades v1 y v2. Fig. 5.22. Descomposición de la variación de la velocidad. Fig. 5.23. Sistema de referencia intrínseco a la trayectoria. A CT I VI D A D E S 13> El automóvil anterior toma una curva de forma que al principio de ella el velocímetro marca 90 km/h y al final 30 km/h. a) ¿Tiene aceleración tangencial el coche? ¿Por qué? b) ¿Tiene aceleración normal? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de aceleración hubiera tenido el coche si durante toda la curva se hubiera desplazado a 30 km/h? c) ¿Cuánto vale la aceleración media? 202 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento ■ 5.5 Clasificación de los movimientos más relevantes Los movimientos que tienen lugar en nuestro entorno se pueden clasificar atendiendo a dos criterios principales: la trayectoria (Fig. 5.24) y la aceleración (Fig. 5.25). Según la trayectoria, los movimientos pueden ser rectilíneos y curvilíneos. Como ejemplo más sencillo de estos últimos está el movimiento circular. De acuerdo con la aceleración, los movimientos pueden ser uniformes y acelerados. De los últimos, los que más vamos a tener en cuenta en este primer curso de Bachillerato son los llamados uniformemente acelerados. SEGÚN LA TRAYECTORIA Fig. 5.24. Clasificación de los movimientos según su trayectoria. Fig. 5.25. Clasificación de los movimientos según su aceleración. ■ 5.6 Movimientos rectilíneos Los movimientos rectilíneos se caracterizan porque su trayectoria es una línea recta. Por tanto, la dirección de la velocidad se mantiene constante. v O x La caída libre de un cuerpo, la propagación del sonido, el desplazamiento de un avión por una pista antes de despegar de un aeródromo, etc., son ejemplos de movimientos rectilíneos. El estudio de estos movimientos resulta sencillo si utilizamos un sistema de referencia adecuado: situamos el origen O del sistema sobre la trayectoria y además hacemos que ésta coincida con uno de los ejes cartesianos (Fig. 5.26). Con este sistema de referencia, todas las magnitudes del movimiento tienen la misma dirección del eje elegido y, por tanto, una sola componente: Vector de posición r (x, 0, 0) → → Fig. 5.26. Movimiento rectilíneo. En estos movimientos se puede tomar la trayectoria como eje de referencia. |r | = x |Dr | = Dx → → Vector desplazamiento Dr (Dx, 0, 0) Vector velocidad v (vx, 0, 0) Vector aceleración a (ax, 0, 0) P (x, 0, 0) O → → → → |v | = vx = v |a | = ax = a De todo ello podemos sacar las siguientes conclusiones: x El módulo de estos vectores coincide con el valor de su única componente. El sentido lo expresaremos mediante un signo (+, –) según sea el sentido del movimiento. Por ejemplo: en lugar de r emplearemos (+x) o (–x), en lugar de v utilizaremos (+v) o (–v), etc., de acuerdo con el criterio de signos que te daremos. En la Fig. 5.27 se pone de manifiesto la única componente que posee el vector de posición. → → Fig. 5.27. Vector de posición de un punto P. Este vector tiene una sola componente. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 203 En general, en los movimientos rectilíneos, el módulo del desplazamiento coincide con el espacio recorrido si no se invierte el sentido del movimiento (Fig. 5.29). Criterio de signos para las ecuaciones del movimiento rectilíneo Recuerda que la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales cuya dirección coincide con la trayectoria y cuyo sentido viene determinado por los signos + y –. Para averiguar qué signo tienen en cada problema concreto utilizaremos el siguiente criterio: – Para la posición. El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes cartesianos, como se deduce de la Fig. 5.28. – Para la velocidad. La velocidad es positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido del semieje Ox o del semieje Oy (hacia la derecha o hacia arriba), y es negativa si se desplaza en sentido contrario (hacia la izquierda o hacia abajo). – Para la aceleración. Una aceleración es positiva si su sentido coincide con el de la velocidad positiva y es negativa si su sentido es contrario a la misma. a) b) c) Fig. 5.29. Módulo del desplazamiento. En el movimiento rectilíneo, el módulo del desplazamiento casi siempre coincide con el espacio recorrido, x1 – x0 = s. Fig. 5.28. Criterio de signos: a) para la posición en movimiento horizontal; b) para la posición en movimiento vertical; c) para la velocidad. ACTIVIDADES 22> Escribe el signo correspondiente a la posición y a la velocidad en los siguientes casos: a) La partícula de la figura se encuentra en el punto P1, a 20 m del punto O que se toma como referencia. b) La partícula se halla en P2, a 10 m del punto O. c) El coche de la Fig. 5.26 se aleja del punto O con una rapidez de 20 m/s. d) Dicho coche retrocede a 2 m/s. 204 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Cinemática del movimiento rectilíneo y uniforme (MRU) En el MRU, normalmente, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento. Por tanto, la ecuación x t = x 0 + v t también se puede escribir: s = xt – x0 = v t que recibe el nombre de ecuación horaria del movimiento rectilíneo y uniforme. Un móvil posee MRU cuando se desplaza en línea recta y sin aceleración, es decir, manteniendo constante la velocidad. En este movimiento, la velocidad media coincide con la velocidad instantánea. Ecuación del MRU Se trata de obtener una expresión matemática que permita hallar en cualquier instante la posición de un móvil si conocemos la posición inicial y la velocidad. Fíjate en el sistema de referencia (Fig. 5.30): la posición del punto móvil P1, en cualquier instante, viene dada por la distancia x que hay entre él y el origen de coordenadas. Supongamos que inicialmente, cuando empezamos a cronometrar el intervalo de tiempo transcurrido, el móvil se encuentra en el punto P0, cuya posición viene dada por x0, posición inicial. Si este punto se desplaza a lo largo del eje Ox con una velocidad v, al cabo de un tiempo t la posición del móvil será xt. El desplazamiento habrá sido Dx = xt – x0. xt – x0 De la definición de velocidad media, v = , se deduce: t xt = x0 + v t que es la ecuación del MRU, donde: xt es la posición en cualquier instante t; x0 es la posición inicial, para t = 0; v es la velocidad constante del movimiento y t es el tiempo transcurrido. Fig. 5.30. Posición de partida o posición inicial. Es la distancia x0 (para t = 0). Diagramas del movimiento rectilíneo y uniforme Las gráficas se usan para determinar la relación que existe entre dos magnitudes. Si hablamos de movimiento, los diagramas son representaciones gráficas, en función del tiempo, de las magnitudes posición, velocidad y aceleración. Fig. 5.31. Diagrama x-t del MRU. El MRU tiene dos diagramas, x-t y v-t, puesto que no tiene aceleración. • Diagrama x-t. Se trata de representar gráficamente la ecuación del movimiento tomando la posición instantánea como función y el tiempo como variable independiente: xt = x0 + vt. La línea obtenida es una recta cuya ordenada en el origen es la posición inicial y cuya pendiente es la velocidad (Fig. 5.31). • Diagrama v-t. Es la representación gráfica de la función v = f (t). Se trata de una recta paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.32). El área contenida debajo de la línea de la velocidad representa el desplazamiento: Dx = base · altura = t v = v t. AC T I V I D A D E S Fig. 5.32. Diagrama v-t del MRU. El área del recinto en color representa el desplazamiento. 23> Un coche pasa por un punto A situado a 20 km del punto de referencia. ¿En qué punto se encontrará media hora más tarde si se desplaza con una velocidad media de 100 km/h? cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 205 E J E M P L O 8 El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x-t de la Fig. 5.33. Calcula: a) La velocidad media durante los dos primeros segundos. b) La velocidad media en el intervalo de 0 a 5 s. c) El desplazamiento total que ha experimentado la partícula. d) Describe el movimiento de la partícula. Solución a) De acuerdo con la Fig. 5.33, para t0 = 0, la partícula se encuentra en la posición x0 = 2 m, y en el instante t1 = 2 s se encuentra en la posición x2 = 4 m. Dx x1 – x0 4m–2m Luego, la velocidad media será: v = = = = 1 m/s Dt t1 – t0 2s b) En el instante t5 = 5 s la partícula se halla en la posición x5 = 0. Por tanto, durante el intervalo de tiempo t5 – t0 = 5 s la velocidad media ha sido: v= x5 – x0 0–2m = = –0,4 m/s t5 – t0 5s Fig. 5.33. Movimiento de la partícula del Ejemplo 8. c) Recuerda que el desplazamiento viene dado por la diferencia entre las posiciones final e inicial: x5 – x0 = 0 – 2 m = –2 m. d) Según la Fig. 5.33, la partícula inicia el movimiento desde un punto situado a 2 m del sistema de referencia. Permanece en movimiento durante 1 s hasta llegar a un punto situado a 4 m del sistema de referencia; en ese punto permanece parada durante 2 s más. Al cabo de ese tiempo, la partícula se mueve en sentido contrario dirigiéndose hacia el punto de referencia, adonde llega en el instante t = 5 s. A CT I VI D A D E S 24> Dado el diagrama de la Fig. 5.34, indica qué afirmaciones son falsas: 25> El movimiento rectilíneo de una partícula está descrito en el diagrama x-t de la Fig. 5.35. Fig. 5.34 Fig. 5.35 a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s. b) En el tramo AB la velocidad es 4/5 m/s. c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s. d) En el tramo AB el móvil está parado. a) ¿Qué representa el valor x = 5 m? b) ¿Qué significa el tramo horizontal? c) ¿Qué velocidad tiene la partícula en los intervalos de t = 0 a t = 2 s y de t = 2 s a t = 4 s? d) ¿Qué distancia recorre la partícula en 4 s? 206 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) Es un movimiento rectilíneo que se realiza con aceleración constante. Por tanto, la aceleración media y la aceleración instantánea coinciden. y Ecuaciones del MRUA Supongamos que en la posición P1 de la Fig. 5.36, una partícula tiene una velocidad instantánea v0 y en otro punto P1 de la trayectoria la velocidad es vt. Si ha empleado un tiempo t en desplazarse desde P0 hasta P1, la aceleración media de la partícula habrá sido: vt – v0 a= m/s2 t Ésta es la velocidad en cualquier instante, conocida la aceleración: vt = v0 + a t (1) P0 (x0) O v0 P1 (x1) vt x Fig. 5.36. Aceleración media. Entre las posiciones P0 y P1 la aceleración es constante. La velocidad media aritmética de la partícula entre las posiciones P0 y P1 viene dada por: v0 + vt v0 + (v0 + a t) 1 – v= = at = v0 + 2 2 2 Sin consideraciones vectoriales, y como la velocidad media es constante en el intervalo, podemos aplicar la ecuación del MRU para hallar la posición instantánea: xt = x0 + v t = x0 + v0 + – ( 1 a t t → xt = x0 + v0 t + 1 a t2 2 2 ) (2) En resumen, si conoces la aceleración constante con que se mueve una partícula, puedes averiguar la velocidad que posee en cualquier instante utilizando la ecuación (1). Además, mediante la ecuación (2) puedes hallar también la posición. Eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene una tercera ecuación muy útil que permite calcular la velocidad en cualquier posición, si no conoces el valor del tiempo: 2 vt2 – v0 = 2 a (xt – x0) (3) EJEMPL O 9 Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en situación de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza una velocidad de 108 km/h. Calcula: a) El valor de la aceleración, que se supone constante. b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada. Solución Tomamos la gasolinera como sistema de referencia. Empezamos a contar el tiempo cuando el coche. Posición final xt = 200 m Posición inicial x0 = 0 Velocidad al final de los 200 m, vt = 108 km/h = 30 m/s Velocidad inicial v0 = 0 2 a) De acuerdo con estos datos, la aceleración se obtiene a partir de la ecuación: v2 – v 0 = 2 a (xt – x0). t 2 (30 m/s)2 – 0 900 m2/s2 v2 – v0 t a= = = 2,25 m/s2 = 400 m 2 (x1 – x0) 2 (200 m – 0) vt – v0 30 m/s – 0 b) El tiempo transcurrido lo despejamos en la ecuación: vt = v0 + a t; t = = = 13,3 s 2,25 m/s2 a cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 E J E M P L O 1 0 207 Un coche al pasar por un punto A de una carretera se desplaza a 120 km/h y al hacerlo por otro punto B de la misma carretera la velocidad es de 90 km/h. Si ha tardado 5 s en desplazarse desde A hasta B, calcula: a) El valor de la aceleración, que se supone constante. b) La distancia entre A y B. c) ¿A qué distancia de A se detendrá el automóvil? Solución Tomamos el punto A como sistema de referencia. Empezamos a cronometrar cuando el coche pasa por dicho punto. De acuerdo con esto, conoces: – La posición inicial x0 = 0. – La velocidad inicial v0 = 120 km/h = 33,3 m/s. – El tiempo transcurrido t = 5 s. – La velocidad en el punto B vt = 90 km/h = 25 m/s. a) La aceleración se obtiene a partir de la ecuación vt = v0 + a t vt – v0 25 m/s – 33,3 m/s a= = = –1,7 m/s2 t 5s b) La distancia entre A y B viene dada por la posición del coche al cabo de 5 s: 1 1 xt = x0 + v0 t + a t2 = 33,3 m/s · 5 s + · (–1,7 m/s2) · (5 s)2 = 145,3 m 2 2 c) El coche se detendrá cuando su velocidad sea cero, y eso ocurre en una posición xt que se obtiene despejando de 2 siendo vt = 0 v 2 – v 0 = 2 a (xt – x0) t 2 2 2 v t – v0 0 – (33,3 m/s) xt – x0 = = = 326 m; x = x0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m 2a 2 (–1,7 m/s2) Diagramas del MRUA Diagrama a-t. Es la representación gráfica de la función a = f (t). Al ser constante la aceleración, la gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos (Fig. 5.37). El área contenida debajo de la aceleración representa el incremento de la velocidad: Dv = base · altura = t a = a t. Diagrama v-t. Es la representación de la función v = f (t) = v0 + a t. Es una recta cuya ordenada en el origen es la velocidad inicial y cuya pendiente representa la aceleración (Fig. 5.38). Aquí el área es el vector desplazamiento: 1 1 Dx = rectángulo + triángulo = v0 t + (vt – v0) t = v0 t + a t2 2 2 1 2 Diagrama x-t. Es la representación de la función xt = x0 + v0 t + at . Se trata de una 2 parábola. El diagrama x-t de un movimiento no representa la trayectoria, solamente indica cómo varía la posición del móvil con el tiempo. x (m) Fig. 5.37. Diagrama a-t del MRUA. El área de color representa el incremento de v. Fig. 5.38. Diagrama v-t del MRUA. El área en color representa el desplazamiento. O t (s) 208 05 ACTIVID AD E S cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 26> Un cuerpo que se mueve en línea recta posee una velocidad que varía con el tiempo, según el diagrama de la Figura 5.39. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) Durante todo el recorrido ha tenido un MRUA. b) La aceleración media es 4 m/s2. c) La velocidad máxima es 72 km/h. d) La distancia recorrida en los diez primeros segundos es de 100 m. e) En el intervalo de 0 a 5 s el cuerpo está parado. f) En el intervalo de 10 s a 15 s el cuerpo se mueve sin aceleración. 27> Un vehículo se mueve sobre una pista rectilínea durante 5 s con aceleración constante. Sigue con velocidad constante durante 15 s y luego frena de manera constante hasta parar, lo que consigue en 20 s. Dibuja los diagramas a-t y v-t de este movimiento. Fig. 5.39 ■ 5.7 La caída libre: un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado El 2 de agosto de 1971, estando en la superficie de la Luna, el astronauta David Scott dejó caer simultáneamente un martillo de geólogo y una pluma de halcón y observó que ambos cuerpos tocaban simultáneamente la superficie lunar. Había comprobado en la Luna la hipótesis de Galileo: «En ausencia de la fricción con el aire, todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración». El movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad, despreciando la resistencia del aire, recibe el nombre de caída libre. En la caída libre no importa el movimiento inicial que tenga el cuerpo. Todos aquellos objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, y los que se dejan caer a partir del reposo, caen libremente. Una vez que se encuentran en caída libre, todos los cuerpos están sometidos a la aceleración de la gravedad. En las proximidades de la Tierra esta aceleración es prácticamente constante. Criterio de signos para la caída libre – La posición es positiva si el móvil está por encima del nivel Ox. – La velocidad es positiva si el cuerpo sube y es negativa si el cuerpo baja. – La aceleración de la gravedad es siempre negativa. La caída libre es un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado. Si tomamos como punto de referencia un punto O de la trayectoria vertical y como eje Oy dicha trayectoria (Fig. 5.40), las ecuaciones que definen este movimiento son: 1 at 2 1 a t2 2 Velocidad media Velocidad instantánea Posición instantánea Fig. 5.40. Sistema de referencia para un movimiento en caída libre. v = v0 + – vt = v0 + a t v2 – v2 = 2 a (yt – y0) t 0 yt = y0 + yt = y0 + v0 t + En donde a = g = –9,8 m/s2. 1 (v0 + vt) t 2 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 E J E M P L O 1 1 209 Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura dejas caer una pelota. a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? Solución Tomamos un punto del suelo que esté en la vertical de caída de la pelota como sistema de referencia. Por tanto, la posición inicial del cuerpo es 20 m. Si la pelota se suelta, quiere decir que inicia la caída partiendo del reposo (v0 = 0) y con aceleración constante. a) La pelota llegará al suelo cuando la posición final sea cero. Por consiguiente, el tiempo transcurrido se obtiene resolviendo la ecuación: 0 = y0 + v0 t + De donde se deduce que t = 1 a t2 2 0 = 20 m + 1 (–9,8 m/s2) t2 2 Î 20 m 4,9 m/s2 = 2 s. b) La velocidad con que llega a la calle será: vt = v0 + a t = 0 + (–9,8 m/s2) · 2 s = –19,6 m/s El signo menos indica el sentido descendente. E J E M P L O 1 2 Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan? Solución Tomamos el suelo como referencia. Datos Posición inicial (y0) Velocidad inicial (v0) Aceleración (a) Tiempo transcurrido (t0) Primer objeto y0 = 80 m v0 = 0 m/s a = –9,8 m/s2 t1 = t s Segundo objeto y0 = 0 m v0 = 20 m/s a = –9,8 m/s2 t2 = (t – 2) s Los dos objetos se cruzarán cuando estén a la misma altura. Es decir, en la misma posición: 1 y = y0 + v0 t + a t2 2 2 2 Objeto 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s · t Objeto 2: y = 20 m/s · (t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s2 · (t – 2 s)2 Al ser común la posición de los dos objetos, la podemos eliminar igualando las dos ecuaciones: 80 m – 4,9 m/s2 · t2 = 20 m/s · (t – 2 s) – 4,9 m/s2 · (t – 2 s)2 De donde se obtiene que se cruzan al cabo de 3,5 s desde que salió el primero. Sustituimos este valor en la ecuación del primer objeto: y = 80 m – 4,9 m/s2 · t2 = 80 m – 4,9 m/s2 · (3,5 s)2 = 20 m Se cruzarán, pues, a 20 m del suelo. 210 05 ACTIVID AD E S cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 28> En la Figura 5.41 está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. Tomando para la gravedad el valor –10 m/s2, indica qué afirmaciones son falsas: a) La aceleración cambia de sentido a los 2 s. b) La velocidad cambia de sentido a los 2 s. c) La altura máxima se alcanza a los 2 s. d) El objeto a los 3 s se encuentra a 10 m del suelo. e) La máxima altura alcanzada fue de 20 m. f) A los 4 s llega al suelo. Fig. 5.41 ■ 5.8 Movimiento circular. Magnitudes angulares El movimiento circular se caracteriza porque su trayectoria es una circunferencia. Si tomamos el centro de la circunferencia como punto de referencia, el vector de posición de la partícula gira cambiando cada instante de dirección (Fig. 5.42), aunque su módulo → permanece constante: |r | = R. Fig. 5.42. Movimiento circular. Este movimiento viene dado por un vector de posición giratorio. El ángulo w girado está relacionado con el espacio recorrido s. Si la partícula inicia el movimiento desde un punto P1 de la trayectoria y después de un tiempo t la partícula se encuentra en el punto P2, al espacio s recorrido por la par→ → tícula le corresponde un ángulo w comprendido entre los vectores r1 y r2 (Fig. 5.42). Si la longitud del arco s es igual al radio de la circunferencia, entonces el ángulo subtendido w se dice que mide un radián (rad) (Fig. 5.43). De acuerdo con esto, el valor de un ángulo en radianes se obtiene dividiendo su arco entre el radio de la circunferencia correspondiente: s w (rad) = → s = w R R Se define la velocidad angular v como el ángulo girado por el vector de posición en la unidad de tiempo: v= w t Fig. 5.43. Radián. Si s = R, el ángulo w mide un radián. Se mide en rad/s, aunque en la práctica también se utilizan las revoluciones por minuto (rpm). 1 rev 1 min 2 p rad p = rad/s · · 1 rev 30 min 60 s w s De las igualdades v = y v = y de s = w R se obtiene la importante relación: t t Entre ambas unidades existe la relación: 1 rpm = v=vR En el movimiento circular se distinguen dos velocidades: la velocidad v, que recibe el nombre de velocidad lineal y es tangente a la trayectoria, y la velocidad angular v. A una circunferencia completa (360°) le corresponde un ángulo de: s 2pR = 2 p radianes w= = R R cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 211 Movimiento circular uniforme Este movimiento se caracteriza porque la circunferencia se recorre siempre con la misma rapidez; es decir, el módulo de la velocidad lineal permanece constante, siendo en todo momento tangente a la trayectoria (Fig. 5.44). Si la partícula inicia el movimiento desde un punto A de la trayectoria (Fig. 5.45), el espacio recorrido al cabo de un tiempo t será: s=vt o bien w = v t si queremos hallar el ángulo descrito correspondiente al espacio s. El módulo de la velocidad se obtiene de la expresión anterior: 2pR s = v= T t donde T representa el tiempo que se tarda en dar una vuelta y recibe el nombre de periodo. Se denomina frecuencia, f, al número de vueltas dadas en un segundo. El periodo y la frecuencia son inversos: T f = 1. Recuerda, sin embargo, que este movimiento tiene aceleración normal o centrípeta, porque la velocidad varía cada instante, cambiando de dirección. La aceleración centrípeta viene dada por: an = v2 R Fig. 5.44. Velocidad tangencial. Vt es tangente a la trayectoria en cualquier punto. Fig. 5.45. En un movimiento circular la longitud s del arco descrito representa el espacio recorrido. Si no existiera la aceleración centrípeta, una partícula no podría describir una trayectoria circular. Si en un momento dado la aceleración centrípeta se redujera a cero, la partícula se movería en línea recta, siguiendo la dirección de la tangente. E J E M P L O 1 3 Calcula la velocidad con que se desplaza un automóvil sabiendo que sus ruedas tienen un diámetro de 80 cm y giran a 500 rpm. Solución En primer lugar expresamos la velocidad de las ruedas en rad/s: rev 1 min 2 p rad = 52,4 rad/s · · 500 rpm = 500 1 rev min 60 s La rapidez de las ruedas coincide con la rapidez del coche: v = v R = 52,4 rad/s · 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h El movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial, pero sí aceleración normal. A CT I VI D A D E S 29> Calcula la aceleración centrípeta de un objeto que Calcula: a) La velocidad angular en rpm. b) La rapidez, en km/h, con que gira la piedra. c) La aceleración centrípeta a que está sometido el cuerpo. se mueve sobre una circunferencia de 10 m de radio a 90 km/h. 30> Una piedra se ata a una cuerda de 1 m de longitud y se la hace girar describiendo circunferencias con una frecuencia de cinco vueltas por segundo. 212 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Movimiento circular uniformemente acelerado Si la velocidad angular instantánea cambia desde un valor v0 hasta vf en el intervalo de tiempo Dt, la partícula que describe la circunferencia posee aceleración angular. La aceleración angular media se define como el cociente entre la variación de la velocidad angular y el tiempo transcurrido. Se mide en rad/s2. a= vt – v 0 t De esta expresión se obtiene el valor de la velocidad angular para cualquier instante t: vt = v0 + a t (1) El movimiento circular uniformemente acelerado tiene at = a R v2 . y an = R La velocidad angular media entre dos instantes t0 y t también se puede expresar como una media aritmética: v0 + vt v0 + (v0 + a t) 1 – = = v0 + at v= 2 2 2 Teniendo en cuenta que este valor medio es constante en el intervalo de tiempo indicado, podemos aplicar la ecuación del movimiento circular uniforme para hallar el desplazamiento angular: 1 – (2) w = v t = v0 + a t t → w = v0 t + 1 a t2 2 2 La aceleración normal no es constante porque varía v sin variar R. ( ) • Si conoces la aceleración angular con que se mueve una partícula, puedes averiguar la velocidad angular que posee en cualquier instante utilizando la ecuación (1). • Además, mediante la ecuación (2) puedes hallar también el ángulo girado. • Si eliminas el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores, obtienes una tercera ecuación que permite calcular la velocidad en función del ángulo girado: v2 – v2 = 2 a w t 0 (3) • Si no conoces la aceleración, puedes aplicar la siguiente ecuación, que se obtiene a partir de la velocidad media: w = 1/2 (v0 + vt) t (4) Observa la semejanza que existe entre las ecuaciones del movimiento rectilíneo y del movimiento circular, que se hace patente en la Tabla 5.1. Movimiento rectilíneo Debes poner como unidades del radio en las fórmulas m/rad, aunque el rad no tiene en sí sentido físico. Al fin y al cabo, el radio representa los metros que tiene un radián. v = v0 + a t 1 a t2 x = x0 + v0 t + 2 v2 – v2 = 2 a (x – x0) 0 1 (v0 + vt) t x = x0 + 2 Tabla 5.1. Comparación entre movimiento rectilíneo y circular. Movimiento circular vf = v0 + a t 1 a t2 w = v0 t + 2 v2 – v2 = 2 a w t 0 1 (v0 + vt) t w= 2 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 E J E M P L O 1 4 213 Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con una velocidad constante de 2 m/s. En un instante dado frena con una aceleración constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. Calcula: a) La velocidad angular en rpm de la partícula antes de empezar a frenar. b) La aceleración de la partícula antes de empezar a frenar. c) La aceleración 2 s después de empezar a frenar. d) La aceleración angular mientras frena. e) El tiempo que tarda en parar. f) El número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se para. Solución a) La velocidad angular se obtiene de la relación v = v R. v= v 2 m/s 0,4 rad/s · 60 s/min = = 0,4 rad/s = = 4 rpm R 5 m/rad 2 p rad/rev b) Antes de empezar a frenar, el módulo de la velocidad es constante. Por tanto, la única aceleración que tiene es la aceleración normal: v2 4 m2/s2 = = 0,8 m/s2 an = R 5 m/rad c) En este instante también tiene aceleración tangencial at = –0,5 m/s2. an = v2 (v0 + a t )2 (2 m/s – 0,5 m/s2 · 2 s)2 = = = 0,2 m/s2 R R 5 m/rad Por tanto, la aceleración de la partícula será: a = Îa2t + a2n = Î(–0,5 m/s2)2 + (0,2 m/s2)2 = 0,54 m/s2 d) La aceleración angular se puede obtener de la relación: at –0,5 m/s2 = = –0,1 rad/s2 R 5 m/rad e) De la ecuación v = v0 + a t despejamos el tiempo: at = a R → a = t= Comprueba que sale lo mismo utilizando t = f) Número de vueltas: n= O bien n= w v0 t + 1/2 a t2 0,4 rad/s · 4 s – 1/2 · 0,1 rad/s2 · 16 s2 = = = 2p 2p 6,28 rad/vuelta = 1,6 rad – 0,8 rad = 0,13 vueltas 6,28 rad/vuelta s v0 t + 1/2 a t2 2 m/s · 4 s – 1/2 · 0,5 m/s2 · 16 s2 = = 0,13 vueltas = 2pR 31,4 m/vuelta 2pR vt – v0 0 – 2 m/s = =4s a –0,5 m/s2 vt – v0 a 214 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento ■ 5.9 Composición de movimientos Observa la Fig. 5.46; en ella se representa una pelota que se desliza por el tablero de una mesa. ¿Qué ocurre con el movimiento de esta pelota cuando alcanza el borde A de la mesa? ¿Por qué toma una trayectoria parabólica? Fig. 5.46. Superposición de movimientos. La trayectoria parabólica de la pelota es el resultado de dos movimientos independientes: uno horizontal uniforme y otro vertical uniformemente acelerado. A estas preguntas dio respuesta Galileo en 1633 con las siguientes palabras: «... entonces la partícula que se mueve, que imaginamos pesada, al sobrepasar el borde del plano, además de su perpetuo movimiento uniforme previo, adquiere una propensión hacia abajo debido a su propio peso; de forma que el movimiento resultante, que llamaré proyección, está compuesto de uno que es uniforme y horizontal y otro que es vertical y acelerado naturalmente». De acuerdo con las ideas de Galileo, un movimiento parabólico es el resultado de componer dos movimientos rectilíneos perpendiculares entre sí: uno uniforme y otro uniformemente acelerado. Mientras la pelota está en contacto con la mesa solamente existe un movimiento, que es uniforme porque suponemos que no interviene ningún tipo de rozamiento; pero cuando la pelota abandona la mesa empieza a actuar la gravedad originando un movimiento de caída libre. La fuerza vertical de la gravedad no influye en el movimiento horizontal; de igual manera, la existencia del movimiento horizontal no cambia el efecto de la fuerza gravitatoria sobre el movimiento vertical. En otras palabras, los movimientos horizontal y vertical son independientes. La independencia de estos movimientos se pone de manifiesto en la Fig. 5.47. En ella aparecen las distintas posiciones de dos pelotas de golf. Fig. 5.47. Exposición múltiple de dos pelotas de golf. Una cae libremente partiendo del reposo y la otra ha sido lanzada horizontalmente. Las líneas horizontales están separadas 15 cm entre sí y los intervalos entre cada dos exposiciones son de 1/30 s. La bola 1 se ha dejado caer libremente, sin ningún tipo de velocidad inicial. La bola 2 se ha lanzado horizontalmente en el mismo instante en que se deja caer la bola 1. Se observa cómo las dos caen con la misma aceleración, llegando al suelo al mismo tiempo. La pelota 2 cae verticalmente con aceleración constante, aunque simultáneamente tenga otro movimiento horizontal. Por tanto, la fuerza gravitatoria produce la misma aceleración vertical independientemente de que el cuerpo posea movimiento horizontal o no. Principio de superposición Además del movimiento parabólico, existen otros ejemplos de composición de movimientos. Todos los casos se resuelven aplicando el siguiente método, que recibe el nombre de principio de superposición y que dice: Componer dos movimientos equivale a sumar sus magnitudes homólogas: r = r1 + r2 v = v1 + v 2 a = a1 + a 2 → → → → → → → → → Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales. ¿Cómo se suman vectorialmente dos movimientos? Sencillamente, sumando por separado las posiciones, los desplazamientos, las velocidades, etcétera. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 215 E J E M P L O 1 5 Un barquero quiere cruzar un río de 120 m de anchura; para ello va a remar perpendicularmente a la corriente. Si la velocidad que imprime a la barca es de 2 m/s respecto a la corriente y el agua del río desciende a 1 m/s, el barquero quiere saber: a) ¿Cuántos movimientos posee la barca? ¿Son o no independientes? b) ¿Con qué velocidad se mueve la barca respecto de la orilla del río? c) ¿Cuánto tiempo tardará en cruzar el río? ¿Necesitaría el mismo tiempo si el agua estuviera en reposo? d) ¿En qué punto de la orilla opuesta desembarcará? e) ¿Habrá recorrido 120 m cuando la barca haya cruzado el río? Solución Elegimos el sistema de referencia en el punto O de salida de la barca, de forma que el eje Ox sea la dirección de la corriente y el eje Oy perpendicular a ésta (Fig. 5.48). a) La barca está sometida a dos movimientos rectilíneos y uniformes:→ movimiento el → producido por los remos v 1 y el de arrastre debido al agua v 2 (Fig. 5.48). Ambos son perpendiculares entre sí e independientes: la barca sería arrastrada con la misma velocidad si el barquero dejase de remar y el barquero impulsaría la barca con la misma velocidad aunque no hubiera corriente. El movimiento global de la barca es la suma de dichos movimientos, cuyas ecuaciones son: Movimiento según el eje Ox: x = vx t, siendo vx = 1 m/s. Movimiento según el eje Oy: y = vy t, siendo vy = 2 m/s. b) La velocidad que realmente tiene la barca es la suma de la velocidad relativa respecto del agua más la velocidad con que es arrastrada por la corriente (Fig. 5.48): → → → v = v1 + v2 → → De acuerdo con el sistema de referencia elegido, se cumple que v 1 (0, vy) y v 2 → → → → → (vx, 0). Luego, la velocidad resultante será: v = |vx| u x + |vy| u y = u x + 2 u y m/s, cuyo módulo es: v = Î v2 + v2 = Î5 m2/s2 = 2,24 m/s x y Por tanto, la barca avanzará con una rapidez de 2,24 m/s. c) El tiempo que tarda en cruzar el río solamente depende de la anchura de éste y de la velocidad vy. La barca llegará a la otra orilla cuando y = 120 m. y 120 m = = 60 s t= vy 2 m/s d) Mientras la barca está recorriendo los 120 m, es arrastrada por el agua con una velocidad vx = 1 m/s. Por tanto, la distancia que es arrastrada por la corriente será: x = vx t = 1 m/s · 60 s = 60 m El barquero desembarcará en un punto situado a 60 m aguas abajo del punto P de referencia (Fig. 5.49). e) El desplazamiento real de la barca es igual a la suma de los desplazamientos según los ejes x e y, de acuerdo con el principio de superposición: Dr = 60 u x + 120 uy m cuyo módulo vale |Dr | = Î602 + 1202 = 134,2 m, que es la distancia real recorrida por la barca hasta llegar a la orilla opuesta. → → → → Fig. 5.48. Figura correspondiente al Ejemplo 15. El módulo del vector v se representa de dos maneras: |v | y v → → Fig. 5.49. Figura correspondiente al Ejemplo 15. 216 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento E JE M P L O 1 6 Cuando lanzamos un objeto, la fuerza de lanzamiento se conserva o permanece en el proyectil, actuando continuamente. Esto es falso Porque la fuerza que ejerce la mano es una fuerza de contacto; por tanto, cesa en cuanto desaparece el contacto entre el proyectil y la mano. Lo correcto sería… El tiempo que ha durado el contacto origina un impulso (I = Ft) que produce una cantidad de movimiento o momento lineal p = m v, que sí queda almacenada en el cuerpo, y que tiende a conservarse de forma que, si no existiera ningún tipo de obstáculo o rozamiento, la velocidad horizontal sería constante indefinidamente. Una partícula está sometida a dos movimientos definidos por las siguientes ecuaciones expresadas en el SI: x=4t y = 2 t2 – 1 a) Clasifica los movimientos de la partícula. b) ¿Dónde se encuentra la partícula y qué velocidad tiene en el instante t = 2 s? c) Dibuja la trayectoria. Solución a) Se trata de dos movimientos independientes. La ecuación del primero es del tipo x = x0 + v t. Se trata, pues, de un movimiento rectilíneo y uniforme cuya posición inicial es cero y la velocidad constante vale 4 m/s. La ecuación del segundo es del tipo y = y0 + v0 t + 1/2 a t2. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo y0 = –1 m; v0 = 0; a = 4 m/s2. b) De acuerdo con las ecuaciones dadas, la partícula tiene dos velocidades: vx = 4 m/s; vy = v0 + a t = 4 t m/s. El movimiento resultante se obtiene aplicando el principio de superposición. Posición: r = x ux + y uy = (4 t) ux + (2 t2 – 1) uy m. Esta expresión te permite calcular la posición de la partícula en cualquier instante. Para t = 2 s la partícula se encuentra en el punto P2 (8, 7). Velocidad en cualquier instante: → → → → → → v = v1 + v2 = 4 ux + (4 t) uy m/s → → → → → → que para t = 2 s toma el valor v = 4 ux + 8 uy m/s. Su módulo vale v = 8,9 m/s. c) Para dibujar la trayectoria obtenemos las distintas posiciones que va tomando la partícula en el transcurso del tiempo: para t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s, etcétera. Las posiciones obtenidas son: P0 (0, –1), P1 (4, 1), P2 (8, 7), P3 (12, 17), etcétera. Fig. 5.50. Trayectoria del movimiento descrito en el Ejemplo 16. Si unes estos puntos obtenemos la trayectoria. Se trata de un movimiento parabólico (Fig. 5.50). ACTIVID AD E S 31> Calcula la velocidad de la barca del Ejemplo 15 en el caso de que el barquero: a) Reme a favor de la corriente. b) Reme contra la corriente. 32> Representa gráficamente la trayectoria del movimiento definido por x = 2 + t2 y = –1 + 2 t cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 217 ■ 5.10 Movimiento de proyectiles El ser humano, desde siempre, ha lanzado objetos con el fin de hacer blanco en algún punto determinado, sea por motivos bélicos, cinegéticos, deportivos, etcétera. Balística es la ciencia que estudia el conjunto de técnicas y conocimientos teóricos encaminados a aumentar la precisión del tiro de un proyectil. Recibe el nombre de proyectil todo cuerpo que, una vez disparado (o proyectado, como decía Galileo), se mueve bajo la acción de la gravedad, en caída libre (Fig. 5.51). Un proyectil se puede lanzar de tres formas: – Verticalmente: es el caso de caída libre que ya hemos visto. – Horizontalmente: tiro horizontal. – Formando un ángulo con el horizonte: tiro oblicuo. Fig. 5.51. Flecha lanzada por un arquero. Se trata de un ejemplo de proyectil que se mueve por la acción de la gravedad. Tiro horizontal Supongamos que se lanza horizontalmente un objeto desde el punto A con una velocidad vx. Si el rozamiento con el aire es despreciable, el objeto conservará esta misma velocidad mientras no colisione con otro objeto. Simultáneamente, su velocidad vertical descendente aumenta con el tiempo debido a la caída libre. De acuerdo con el sistema de referencia indicado en la Fig. 5.52, las ecuaciones que definen estos movimientos son: • Movimiento horizontal uniforme: – Velocidad en cualquier instante: vx = v0 – Posición en cualquier instante: x = vx t • Movimiento vertical de caída libre: – Velocidad en cualquier instante: vy = –g t 1 – Posición en cualquier instante y = y0 – g t2 2 0 Fig. 5.52. Tiro horizontal. Este tipo de lanzamiento presenta dos movimientos independientes y perpendiculares entre sí. E J E M P L O 1 7 Una fuente tiene el caño a una distancia vertical del suelo de 70 cm. El chorro del agua da en el suelo a 1 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el líquido? (Fig. 5.53). Solución El agua, una vez que abandona el caño, describe una parábola. Esto quiere decir que el líquido tiene dos movimientos: 1) horizontal uniforme producido por la presión del agua, y 2) vertical de caída libre, cuyas ecuaciones son: x=vt siendo v la velocidad de salida 1 2 y = y0 – g t siendo y0 = 0,70 m 2 y Cuando el agua llega al suelo, y = 0, la posición x = 1 m 1m=vt 0 m = 0,70 m – 4,9 m/s2 t2 O x Este sistema de ecuaciones te permite calcular la velocidad v con que sale el agua y el tiempo que tarda en caer al suelo. De donde v = 2,65 m/s. Fig. 5.53. ⎫ ⎬ ⎭ 218 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Tiro oblicuo Si queremos que el proyectil alcance mayor distancia, lo lanzaremos un poco hacia arriba. En efecto, si la velocidad tiene una componente inicial hacia arriba, tardará más tiempo en caer al suelo y, por tanto, tendrá más tiempo para desplazarse horizontalmente. El tiro oblicuo tiene lugar cuando la velocidad inicial de lanzamiento forma un ángulo a con el horizonte. Este ángulo recibe el nombre de ángulo de tiro o ángulo de elevación (Fig. 5.54). Fig. 5.54. Tiro oblicuo. Es el lanzamiento de un objeto cuya velocidad inicial forma un ángulo a con la horizontal. Para estudiar el movimiento parabólico que tiene lugar tomamos el punto de lanzamiento como origen de los ejes cartesianos: como eje Ox, la horizontal (el suelo); como eje Oy, la vertical (Fig. 5.54). Según este sistema de referencia, la velocidad inicial tiene ahora dos componentes: v0x = v0 cos a v0y = v0 sen a y los dos movimientos independientes están definidos por las ecuaciones: El alcance máximo para una velocidad de lanzamiento determinada tiene lugar cuando el ángulo de elevación vale 45°. Además, salvo para 45°, es posible conseguir el mismo alcance para dos valores complementarios del ángulo de elevación, tales como 75° y 15° (Fig. 5.55). Para un mismo alcance, el ángulo mayor nos permite superar una altura mayor (si hubiera obstáculos intermedios), mientras que el menor nos permite alcanzar el objetivo en menos tiempo. • Movimiento horizontal uniforme: – Velocidad: vx = v0 cos a – Posición: x = (v0 cos a) t • Movimiento vertical de caída libre: – Velocidad: vy = v0 sen a – g t – Posición: y = y0 + (v0 sen a) t – 1/2 g t2 Estas ecuaciones, entre otras cosas, te permiten calcular: 1. La altura máxima que alcanza el proyectil. El proyectil está en el punto más alto de su trayectoria cuando su velocidad vertical es cero. Para calcular la altura máxima despejas el tiempo en la ecuación: 0 = v0 sen a – g t, y lo sustituyes en la ecuación de la posición vertical 2. Alcance máximo. Recibe el nombre de alcance máximo la distancia horizontal desde el punto de partida al punto en el cual el proyectil vuelve a alcanzar su altitud inicial. Es decir, cuando se cumple y = y0. En la Fig. 5.54 el alcance máximo viene dado por D. Para hallar el alcance máximo despejas el tiempo en la ecuación 0 = (v0 sen a) t – 1/2 g t2 y lo sustituyes en la ecuación de la posición horizontal. 3. Tiempo de vuelo. Es el tiempo durante el cual el proyectil está en el aire. Cuando éste toca el suelo se cumple y = 0 en la ecuación de la posición vertical. 4. Ecuación de la trayectoria. Se obtiene eliminando el tiempo t entre las ecuaciones que determinan las posiciones horizontal y vertical. Fig. 5.55. Para ángulos de elevación complementarios el alcance es el mismo. 5. Ángulo que describe la trayectoria del proyectil en cualquier instante. El ángulo en que se encuentra el proyectil con respecto a la horizontal viene dado por: vy tg a = vx ACTIVID AD E S 33> ¿Cuáles de los siguientes objetos tendrán una trayectoria parabólica aproximada? b) Un avión a reacción. a) Una pelota lanzada en una dirección arbitraria. c) Un paquete que se suelta desde el avión anterior. d) Un cohete que sale de la plataforma de lanzamiento. e) La lámpara que se desprende del techo de un vagón del AVE cuando éste se mueve a 200 km/h. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 219 E J E M P L O 1 8 Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60° con respecto al horizonte y con una velocidad de 60,0 m/s. Calcula: a) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria. b) La altura máxima alcanzada. c) El alcance máximo. Solución a) Se trata de un tiro oblicuo con un ángulo de elevación de 60°. El movimiento parabólico de la pelota, en todo su recorrido, viene definido por las ecuaciones: – Movimiento horizontal: x = x0 + (v0 cos a) t – Movimiento vertical: y = y0 + (v0 sen a) t + vx = v0 cos a 1 g t2 vy = v0 sen a + g t 2 Tomamos el punto de lanzamiento como origen del sistema cartesiano de referencia. En este caso, pues, se cumple que x0 = 0, y0 = 0 (Fig. 5.56). Cuando la pelota se encuentra en el punto más alto, la velocidad vy = 0. En ese punto solamente posee velocidad horizontal, que es constante, y vale: vx = v0 cos a = 60,0 m/s · cos 60° = 30,0 m/s b) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto se obtiene de vy = v0 sen a + g t, cuando vy = 0 t= vy – v0 sen a 0 – 60,0 m/s · sen 60° = 5,3 s = g –9,8 m/s2 Fig. 5.56. Figura correspondiente al Ejemplo 18. x 60° Los vectores que definen el movimiento parabólico de un proyectil tienen dos componentes: Aceleración: ax = 0, ay = –g Velocidad: vx = v0 cos a, vy = v0 sen a – g t Posición: x = (v0 cos a) t, y = (v0 sen a) t – 1 g t2 2 y La altura máxima se obtiene sustituyendo el tiempo anterior en la ecuación que nos da la posición vertical en cualquier instante: y = (v0 sen a) t + 1/2 g t2 = = 60,0 m/s · sen 60° · 5,3 s – 1/2 · 9,8 m/s2 · (5,3 s)2 = 138 m c) El alcance máximo tiene lugar cuando la pelota vuelve al suelo. Es decir, cuando y = 0. El tiempo que tarda en volver al suelo se obtiene de la ecuación 1 y = (v0 sen a) t + g t2, haciendo y = 0 2 t= –2 v0 sen a –2 · 60,0 m/s · sen 60° = = 10,6 s g –9,8 m/s2 Observa cómo este tiempo es el doble del tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima. La pelota tarda lo mismo en subir que en bajar. El alcance máximo se obtiene sustituyendo el tiempo hallado anteriormente en la ecuación del desplazamiento horizontal: x = (v0 cos a) t = 60,0 m/s · cos 30° · 10,6 s = 318 m 220 05 EJEMPL O 19 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Un bombero desea apagar el fuego de una casa. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo apuntándola bajo un ángulo de 60° hacia la fachada, que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua? ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar a la ventana? Solución Tomamos O (Fig. 5.57) como punto de referencia. Por tanto, x0 = 0, y0 = 1 m. Las ecuaciones que definen el movimiento parabólico del agua son: x = x0 + (v0 cos a) t 1 y = y0 + (v0 sen a) t + g t2 2 El agua entrará por la ventana cuando x = 15 m, y = 10 m. Sustituimos estos valores en las ecuaciones anteriores: 15 m = (v0 · cos 60°) · t 10 m = 1 m + (v0 · sen 60°) · t – 4,9 m/s2 · t2 Si despejas el tiempo en la primera: t= 15 m , v0 · cos 60° y lo sustituyes en la segunda ecuación, obtendrás el valor de la velocidad v0 = 16 m/s. El tiempo transcurrido será: t= 15 m 15 m = = 1,9 s v0 · cos 60° 16 m/s · 0,5 y v O Fig. 5.57. x AC T I V I D A D E S 34> Desde lo alto de una torre de 50 m se deja caer un objeto; en el mismo instante se dispara contra él una bala a 200 m/s desde un punto del suelo situado a 100 m de la base de la torre. ¿Hará blanco la bala? En caso afirmativo, ¿en qué punto? cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 221 Ciencia, tecnología y sociedad Velocidad y seguridad vial Los países desarrollados tienen en la carretera una de las principales causas de defunción. Esto es debido a las altas velocidades que pueden alcanzar los vehículos modernos. ¿Cómo tratan de resolver la Ciencia y la Tecnología este grave problema que afecta a nuestra sociedad? Entre otras cosas, mejorando constantemente el sistema de frenado y utilizando el airbag. Historia y eficacia del sistema de frenos La historia de los frenos está íntimamente ligada a la historia de la velocidad. En los vehículos de tracción animal el frenado era muy simple: se aplicaba un patín de madera sobre la llanta metálica de una de las ruedas. Esto bastaba para detener un vehículo que no alcanzaba una velocidad superior a 25 km/h. A finales del siglo xix, con la aparición de los neumáticos, los automóviles comenzaron a alcanzar velocidades más altas; a partir de 1899 se franqueaba ya la barrera de los 100 km/h. Estos vehículos usaban frenos de tambor que rozaban sobre las cadenas de transmisión. Al desaparecer la transmisión por cadena, hacia 1907, las superficies de rozamiento pasarán a ser dos zapatas articuladas. En el año 1909 nace el ferodo, una guarnición compuesta de una capa de amianto con hilo de latón entrecruzado e impregnado de resina. Se había descubierto el material más adecuado para los frenos, pero faltaba un sistema de mando eficiente. En 1922, M. Loughead utiliza por primera vez un mando hidráulico. Este sistema se extenderá poco a poco, hasta el punto de que en el año 1950 la casi totalidad de los vehículos lo tienen instalado. Pero al ser las velocidades cada vez más altas, surge un nuevo problema: el aumento de la cantidad de calor a disipar en el frenado. La solución a este problema la trajo un Jaguar equipado con frenos de disco, ganador de las 24 horas de Le Mans de 1953. Actualmente, los fabricantes de coches de alta cilindrada están muy sensibilizados con la seguridad vial. Por ello, a los frenos de disco se añaden sistemas basados en la electrónica que permiten evitar el blocaje de las ruedas: son los frenos ABS. Un buen freno debe retener y parar un vehículo en un tiempo y sobre una distancia mínimos, conservando la trayectoria del vehículo y con el menor esfuerzo posible por parte del conductor. Que esto se consiga o no depende de tres factores: el automóvil, o factor mecánico, la carretera, o factor físico y el conductor, o factor humano. Factor mecánico. Se trata de crear una fuerza que se oponga al avance del vehículo. ¿Cómo? Utilizando el rozamiento entre un elemento fijo del chasis y un elemento de la rueda en movimiento (zapatas-tambor, pastillas-disco). Esta fuerza de rozamiento disminuye la velocidad. Factor físico. Un factor fundamental del frenado es la adherencia de las ruedas al pavimento. Si a la rueda se le aplica el frenado muy bruscamente, bloca y se desplaza sin girar. El vehículo continúa avanzando. Se dice entonces que la rueda no tiene adherencia o que el vehículo derrapa. La adherencia del vehículo depende de su peso, de las características y estado de los neumáticos y de la naturaleza y estado de la carretera. Una buena adherencia permite transmitir una fuerza mayor de la rueda a la calzada. Si la adherencia es grande, tanto más corta será la distancia de frenado. Pero si la adherencia es pequeña, bien sea por la presencia de hielo o porque las ruedas se bloquean, pueden surgir situaciones comprometidas: – Si efectuamos una frenada brusca, el vehículo tiende a cruzarse. Este fenómeno se produce por la diferencia de adherencia antes y después del bloqueo. – Con las ruedas bloqueadas, el vehículo continúa su trayectoria y gira sobre sí mismo. – Si se desbloquean las ruedas, el vehículo toma una trayectoria diferente a la primera. – Si las ruedas delanteras se bloquean, la dirección se vuelve inoperante. Factor humano. Un factor fundamental en la frenada de un automóvil es el tiempo de reflejo del conductor. Se llama así al tiempo de reacción que transcurre entre el instante en que la causa del frenado aparece (percibir el obstáculo) y el instante en que el conductor interviene activamente (comienza el frenado). Este tiempo, variable según los individuos y según su estado general, es por término medio de 0,75 s. Si la velocidad del vehículo es muy alta, éste puede recorrer durante el tiempo de reflejo una distancia no prevista por el conductor, produciéndose así la colisión. En la tabla adjunta se muestra la distancia de parada en función de la velocidad durante el tiempo de reflejo sobre un suelo seco y con una deceleración de 5 m/s2. Velocidad (km/h) 50 70 90 110 120 130 150 170 Distancia recorrida en el tiempo de reflejo (m) 10,3 14,6 18,7 23 25 27,1 31,3 35,4 Distancia total para que el vehículo se detenga (m) 29,5 52,4 81,2 116,3 136 157,5 214 258,4 222 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Ciencia, tecnología y sociedad Teorías sobre la caída libre de los cuerpos El estudio del comportamiento de los cuerpos en caída libre es un excelente ejemplo de la diferencia que existe entre un análisis científico riguroso y un tratamiento hecho sin tener en cuenta la realidad. Los filósofos antiguos, Platón y Aristóteles sobre todo, trataron el movimiento de los cuerpos como algo metafísico; así, para explicarlo se sirvieron de ideas tan vagas como acción, causa eficiente, fin y posición natural de los cuerpos, etc. Todo esto era completamente inútil para Galileo, que no deseaba estudiar por qué ocurría el movimiento, sino cómo tenía lugar. Los conceptos de espacio y tiempo tenían una categoría muy secundaria en el pensamiento aristotélico, y solamente con Galileo toman el carácter fundamental que han conservado en la Ciencia física hasta nuestros días. Vamos a describir tres formas de entender la caída de los cuerpos. • Platón La caída y elevación de los cuerpos era explicada por este filósofo suponiendo que los cuerpos de naturaleza semejante tendían a estar juntos. Así, una parte de cualquier objeto tendía a reunirse con la masa principal: una piedra caía hacia la esfera terrestre situada en el centro del Universo; el fuego se elevaba para alcanzar la esfera ígnea, en el límite más externo del Universo. • Aristóteles La explicación de Aristóteles es muy semejante a la teoría platónica. Supone que los cuerpos están formados por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. Los que están constituidos primordialmente por tierra y agua tratan de alcanzar su estado natural de reposo. Esto ocurre cuando están en contacto con la Tierra. Por eso caen. Los objetos que se componen de aire y fuego tratan de subir a su estado natural de reposo: el cielo. Los cuerpos pesados caen más deprisa que los ligeros. • Galileo En 1250 comenzó a surgir la Ciencia tal como la conocemos hoy día. Roger Bacon (1214-1294) fue uno de los primeros en afirmar que la experiencia (o conocimiento experimental) es necesaria para la formulación de teorías acerca del comportamiento de la Naturaleza. En 1605, Francis Bacon (1561-1626) insistió, en contra de las tendencias aristotélicas predominantes de su época, que las teorías debían fundarse en hechos determinados mediante experimentos. Fue Galileo (1564-1642) (Fig. 5.58) quien, finalmente, abrió el camino al desarrollo de la verdadera ciencia, realizando multitud de experimentos que confirmaban sus hipótesis. Galileo centra su atención en el movimiento observado realmente en la Naturaleza. En su obra Dos ciencias nuevas escribe: «Porque cualquiera puede inventar un tipo de movimiento y estudiar sus propiedades... Pero hemos decidido considerar los fenómenos de los cuerpos que caen con una aceleración, tal como ocurre realmente en la Naturaleza.» Y concluía afirmando que había tenido éxito al hacerlo así por el acuerdo exacto de su definición con los resultados de los experimentos de una bola que caía por un plano inclinado. Galileo deja, pues, toda consideración filosófica y se centra en la descripción de lo que observa. Para éste, la caída de los cuerpos y el movimiento ascendente de los proyectiles lanzados hacia arriba deben expresarse según la misma ley. La oscilación de un péndulo, sobre la cual meditó largamente, le mostró que el movimiento hacia arriba es una réplica invertida del movimiento hacia abajo. En 1604, en una carta a Paolo Sarpi, afirma que la caída de los cuerpos está regida por la siguiente ley: Los espacios recorridos en tiempos iguales son como los números impares ab unitate. Años más tarde describe que la velocidad de caída crece con el tiempo, llegando a la conclusión de que todos los cuerpos caen libremente con movimiento uniformemente acelerado, y además, que el peso de los cuerpos no influye en su aceleración a condición de que sean despreciables los efectos de la fricción del aire. Aunque los métodos de la ciencia se han refinado con los años, el experimento sigue siendo parte esencial de dichos métodos. Recuerda que para que las teorías científicas tengan valor deben basarse en hechos experimentales. Fig. 5.58. Galileo Galilei. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 223 Experiencia de laboratorio Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento Objetivo Distinguir entre distancia recorrida y desplazamiento utilizando planos a escala para calcular distancias y suma de vectores para calcular el desplazamiento. Material • Un lapicero bien afilado. • Un papel. • Una regla graduada. Procedimiento En la Figura 5.59 se representa un plano parcial de la ciudad de Pamplona. Una persona se ha desplazado desde San Miguel hasta San Francisco Javier. a) Ha seguido el siguiente itinerario: calle Francisco Bergamín, calle Francisco Gorriti y calle Olite. Dibuja este itinerario, y usando la escala que se indica en el mapa, calcula en metros la distancia recorrida. b) Repite la experiencia, pero con el siguiente itinerario: calle Francisco Bergamín, calle Tafalla. Calcula la distancia recorrida. c) Une, usando una regla, San Miguel con San Francisco Javier. Dibuja el vector desplazamiento y calcula su módulo usando la escala. d) Calcula el módulo de desplazamiento utilizando el teorema de Pitágoras. Analiza y responde 1. ¿La distancia recorrida es la misma en los dos itinerarios? ¿Por qué? 2. ¿Qué representa en esta experiencia la distancia entre las dos iglesias? ¿Esta distancia depende del itinerario seguido? ¿Por qué? 3. ¿Cuántas distancias recorridas puede haber? ¿Cuántos desplazamientos? 4. Compara los valores del desplazamiento utilizando primero la escala y luego la suma de vectores. 5. Observa la Fig. 5.60: ¿El desplazamiento P1 P 2 coincide con la suma de las distancias → b, c, d? ¿Coincide con a, → → → la suma de los vectores a , b , c , d ? ⎯⎯ → Fig. 5.60 Fig. 5.59 224 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Experiencia de laboratorio Estudio del MRUA Objetivo Estudiar el movimiento uniformemente acelerado utilizando un plano inclinado. Material • Un carril de aluminio de unos 3 m de longitud, aproximadamente. • Bolas de acero de diferente masa. • Un cronómetro. • Papel milimetrado. Montaje Coloca el carril como indica la Figura 5.61 y señala en él posiciones de 50 en 50 cm. Procedimiento a) Deja rodar una de las bolas por el carril y toma el tiempo cuando pase por la primera posición señalada de 50 cm. b) Mide el tiempo cuatro veces y calcula el tiempo medio. c) Repite la misma operación para las posiciones 100, 150... d) Completa la tabla siguiente: s 50 cm 100 cm 150 cm t1 t2 t3 t4 t2 1 t2 2 t2 3 t2 4 s/t2 1 s/t2 2 s/t2 3 s/t2 4 0m 0,5 m 1m 1,5 m 2m 2,5 m 3m Fig. 5.61 Analiza y responde 1. Dibuja utilizando papel milimetrado el diagrama s-t. ¿Qué representa la pendiente de la curva obtenida? Calcula la velocidad en los puntos 50, 100 y 150 cm. 2. Dibuja el diagrama s-t2. ¿Qué curva se obtiene? 3. Existe alguna relación entre la pendiente de la curva anterior y los valores s/t2 que has obtenido en la tabla? 4. Representa el diagrama v-t del movimiento. 5. ¿Cuánto vale la aceleración? 6. ¿Variarán los resultados si utilizas bolas de distinta masa? cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 225 Problemas propuestos Para afianzar 6> De las siguientes afirmaciones, indica cuáles son falsas: a) Si la velocidad de un cuerpo es nula, la aceleración también lo es. b) Si la aceleración de un cuerpo es nula, la velocidad también lo es. c) La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección, aunque su sentido puede ser diferente. 1> Indica qué afirmaciones son verdaderas. La velocidad media de una partícula en un intervalo de tiempo es: a) El cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo. b) El cociente entre el espacio recorrido y el intervalo de tiempo. c) Es igual cualquiera que sea la trayectoria. d) Depende de la trayectoria. 2> Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con 7> Un tren marcha a una cierta velocidad y en un moa) Un observador que va en el tren. b) Un observador que estuviera parado fuera del tren. una rapidez constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? a) El coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante. b) El coche tiene aceleración tangencial. c) La aceleración del coche vale 1 m/s2. mento dado se desprende del techo de un vagón una lámpara. Di cómo observaría este fenómeno: 8> En una de las Fig. 5.62 y 5.63 está representado el 3> En un campeonato de esquí alpino un esquiador rea- diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. liza el descenso haciendo muchas «eses», mientras que otro lo realiza en línea recta. Señala las afirmaciones falsas: a) Los dos han realizado el mismo desplazamiento. b) Los dos han recorrido la misma distancia. c) Los dos han seguido la misma trayectoria. d) Bajaron con la misma velocidad media si tardaron el mismo tiempo. 4> Un automóvil toma una curva disminuyendo el móa) Solamente existe aceleración tangencial. b) Solamente existe aceleración normal. c) Existen las dos aceleraciones anteriores. d) La aceleración normal es constante. dulo de su velocidad. Indica qué afirmaciones son verdaderas: Fig. 5.62 5> Un compañero te dice: «Lanza una piedra vertical- mente hacia arriba con todas tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado utilizando un cronómetro». Lanzas la piedra y tu compañero observa que la piedra tarda 8 s en volver al suelo. a) ¿Con qué velocidad lanzaste la piedra? b) ¿Qué altura alcanzó ésta? Fig. 5.63 Indica qué afirmaciones son falsas: a) El diagrama que representa dicho movimiento es B, no es A. S: v = 39 m/s; h = 78 m. 226 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Problemas propuestos b) La aceleración cambia de sentido a los 2 s. c) La velocidad cambia de sentido a los 2 s. d) La altura máxima se alcanza a los 2 s. e) El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m de altura. f) La altura máxima alcanzada fue de 20 m. g) A los 4 s llega al suelo. Datos: g = 10 m s–2. a) ¿Cuánto ha variado la rapidez de la pelota? b) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración media? S: a) 15 m/s; b) 275 m/s2. 14> Un automóvil que se mueve en línea recta acelera en un momento dado a razón de 2 m/s2. ¿Durante cuánto tiempo debe estar acelerando para que el velocímetro pase de 90 km/h a 120 km/h? S: 4,2 s. 9> Un móvil describe una trayectoria circular de 1,0 m de radio treinta veces por minuto. Calcula: a) El periodo. b) La frecuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de este movimiento. S: a) 2 s; b) 0,5 vueltas/s; c) 3,14 rad/s; d) 3,14 m/s, 9,9 m/s2. 15> Un automóvil, al pasar por un punto A, tiene una ve- locidad de 128 km/h, y cuando pasa por otro punto B, distante 120 m del anterior, la velocidad es de 35 km/h. Calcula: a) El valor de la aceleración. b) Cuánto tiempo tarda el auto en pasar de A hasta B. c) A qué distancia de A se detendrá el automóvil. S: a) –4,9 m/s2; b) 5,3 s; c) 129 m. Para repasar 10 > Un avión se ha desplazado 600 km hacia el norte, 1 000 km hacia el sur y 500 km hacia el norte. a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento total del avión? b) ¿Qué distancia ha recorrido? c) ¿Cuál ha sido su velocidad media si ha empleado 5 h en el recorrido? S: a) 100 km hacia el norte; b) 2 100 km; c) 20 km/h. 16> Un avión que parte del reposo acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 5,0 s. a) ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión? b) ¿Cuál es su aceleración? c) ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta despegar? d) ¿Qué distancia recorre en el último segundo? S: a) 270 km/h; b) 15 m/s2; c) 188 m; d) 68 m. 11> Una persona está sentada en un banco del parque público. En un momento dado decide dar un pequeño paseo: recorre 100 m hacia el oeste, se para y luego recorre 60 m hacia el este. a) ¿Cuál es la posición final de la persona respecto del banco? b) ¿Cuál es el desplazamiento? c) ¿Qué espacio ha recorrido? S: a) 40 m al oeste del punto de partida; b) 40 m hacia el oeste; c) 160 m. 17> Un ventilador gira a 360 rpm. En un momento dado a) ¿Qué aceleración angular tiene? se desenchufa de la corriente y tarda 35 s en pararse. b) ¿Con qué velocidad gira 15 s después de apagarlo? c) ¿Cuántas vueltas da hasta que se para? S: a) –1,1 rad/s2; b) 22 rad/s; c) 105 vueltas. 12> Un ciclista acelera durante 10 s pasando de 5 m/s a 36 km/h. Calcula su aceleración media. S: 0,5 m/s2. 18> Una fuente tiene el caño a una distancia vertical del suelo 0,50 m. El chorro del líquido, que sale horizontalmente, da en el suelo a 0,80 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el agua? S: 2,5 m/s. 13> Una pelota de tenis llega a un jugador con una ra- pidez de 20 m/s. Este jugador golpea la pelota de manera que ésta sale en la misma dirección, pero en sentido contrario, a 35 m/s. Si la pelota ha estado en contacto con la raqueta durante 0,2 s, calcula: 19> Teniendo en cuenta el diagrama de la Fig. 5.64, indica qué afirmaciones son correctas: cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 05 227 Problemas propuestos Para profundizar 24> Un vehículo viaja por una calle a 50 km/h. De repente A B C Fig. 5.64 un niño atraviesa corriendo la calzada. Si el conductor tarda 0,8 s en reaccionar y oprimir los frenos: a) ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a frenar? b) Una vez que pisa los frenos, ¿podrá parar en 0,5 m, supuesta una aceleración de frenado de –20 m/s2? S: a) 11 m; b) No. a) En el tramo AB el móvil está parado. b) En el tramo BC la aceleración es 1 m/s2. c) La distancia recorrida en el tramo BC es de 50 m. d) En el tramo BC el movimiento es uniforme. 25> Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 20> Dado el diagrama de la Fig. 5.65, indica qué afirmaciones son falsas: 100 km/h, ve de repente las luces de señalización de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Si tarda 0,75 s en pisar el pedal de los frenos y la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s2: a) ¿Chocará con la valla? Si es así, ¿a qué velocidad? b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil sin que colisione con la valla? S: a) 70 km/h; b) 78 km/h. A B C 26> Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s2, mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después de que éste ha recorrido 50 m. a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión? b) ¿Qué distancia separa los dos semáforos? c) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados? S: a) 9,1 s; b) 50 m; c) 39 km/h, 79 km/h. Fig. 5.65 a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s. b) En el tramo AB la velocidad es 0,8 m/s. c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s. d) En el tramo AB el móvil está parado. 21> Un avión vuela horizontalmente a 900 m del suelo con una velocidad constante de 540 km/h. ¿A qué distancia de la vertical sobre un claro de la selva debe lanzar una caja de ayuda humanitaria para que llegue a su destino? S: 2 040 m. 27> Dos jóvenes se mueven en la misma dirección, di- 22> El récord mundial de salto de altura vertical está S: 6,92 m/s. en 2,44 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima del saltador para sobrepasar dicha altura? rigiéndose el uno al encuentro del otro. Inician el movimiento al mismo tiempo desde las porterías de un campo de fútbol con velocidades medias respectivas: v1 = 3,5 m/s y v2 = 5,0 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de partida del primero, determina: a) El tiempo transcurrido hasta que se encuentran. b) La longitud del campo de fútbol. S: a) 8 s; b) 68 m. 23> El récord mundial de salto de longitud está en 8,95 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima de un saltador, cuya trayectoria forma un ángulo de 45° respecto al suelo, para sobrepasar dicha distancia? S: 9,37 m/s. 28> Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,5 m/s2 durante 10,0 s y luego con 2,0 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se 228 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Problemas propuestos acerca a la estación B. En ese momento frena uniformemente hasta pararse en 10,0 s. El tiempo total desde A hasta B ha sido de 60,0 s. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B? S: 675 m. c) La longitud de pista recorrida en los 50 s. d) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista con velocidad constante. e) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento. S: a) 0,2 m/s2, 4 · 10–3 rad/s2; b) 2 m/s2; c) 250 m; d) 31 s; e) 18 vueltas. 29> Desde lo alto de una torre de altura h se deja caer un objeto. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo? S: 3/4 h. 35> Se dispara un proyectil con una velocidad inicial 30> Lanzas un cuerpo verticalmente hacia arriba de forma que tiene una velocidad de 8,0 m/s cuando ha alcanzado la mitad de la altura máxima a la que puede subir: a) ¿Con qué velocidad se lanzó? b) ¿A qué altura sube? c) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado? S: a) 11,3 m/s; b) 6,5 m; c) 1,5 m/s. de 500 m/s batiendo un objetivo situado a 1 200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación. S: 1,34° (1° 20’) o 88,66° (88° 40’). 36> Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con que se lanzó. S: 29 m/s. 37> Un motorista asciende por una rampa de 20° y 31> Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla, calcula: a) La velocidad con que se lanzó. b) La velocidad con que golpeó el agua. S: a) 11 m/s; b) –28 m/s. cuando está a 2 m sobre el nivel del suelo «vuela» a fin de salvar un río de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la orilla sin mojarse? S: 10 m/s. 38> Desde la cima de un acantilado se lanza horizontal- 32> Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto al mis- mo tiempo que se deja caer otro desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo? S: 15 m/s. mente un proyectil y se observa que tarda 3 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula: a) La altura que tiene el acantilado. b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil. c) Con qué velocidad llega al agua. → S: a) 44 m; b) 20 m/s; c) |v | = 36 m/s. 33> Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido en el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿a qué profundidad está el agua? S: 24 m. 39> Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 34> Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que, a los 50 s de iniciada la marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula: 0,90 m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa? S: 3,5 m/s. 40> Un atleta quiere batir el récord del mundo de lanza- a) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento. b) La aceleración normal en el momento de cumplirse los 50 s. miento de peso, establecido en 23,0 m. Sabe que el alcance máximo se consigue con un ángulo de 45°. Si impulsa el peso desde una altura de 1,75 m, ¿con qué velocidad mínima debe lanzar? S: 14,5 m/s. cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento 229 Problemas de PAU resueltos 1> Un terremoto produce ondas longitudinales y transversales. En la corteza terrestre, las primeras se propagan con una velocidad de 8,0 km/s, mientras que las segundas lo hacen a 5,0 km/s; si en un observatorio sísmico los dos tipos de ondas se reciben con 200 s de diferencia temporal, determina la distancia del observatorio al hipocentro del terremoto. Solución Como ambos son movimientos rectilíneos uniformes, se pueden describir con la fórmula: x = x0 + v t Representando el momento en que las dos ondas llegan al observatorio, y considerando el hipocentro del terremoto como origen de coordenadas, que se encuentra a d km del hipocentro, tenemos: d (km) = 0 + v1 t (s) Sustituyendo d (km) = 0 + v2 (t + 200 s) d (km) = 0 + 5 d (km) = 0 + 8 km · t (s) s d (km) = 8 km · t (s) s km · (t + 200) s s d (km) = 5 km · t (s) + 1 000 km s Despejando t en la primera y sustituyendo en la segunda: d s ⎯→ 8 km d 5d · s + 1 000 km ⇔ d – = 1 000 km ⇔ 3 d = 8 000 km ⇔ x = 2 670 km d (km) = 5 s 8 8 t= 2> Una partícula de carga q = 1,6·10–19 C se mueve describiendo una circunferencia con un periodo de 3,2 · 10–7 s y una velocidad de 3,8 · 106 m s–1. Calcula el radio de la circunferencia descrita. Solución Como se mueve con un movimiento circular uniforme, se cumple que: v= e , tomando una vuelta completa t v= 2pR , de donde despejamos R T m 3,8 · 106 — · 3,2 · 10–7 s vT s = R= = 0,19 m 2p 2p 230 05 cinemática del punto material. elementos y magnitudes del movimiento Conceptos básicos Movimiento. Cambio de posición respecto de un punto de referencia. Puede ser de rotación o traslación. Un punto sólo puede tener movimiento de traslación. Cinemática. Ciencia que estudia el movimiento prescindiendo de las causas que lo originan. Dinámica. Ciencia que estudia las causas del movimiento. Punto material. Cuerpo del que no se tiene en cuenta sus dimensiones, o éstas son despreciables comparadas con el sistema de referencia. Sistema de referencia. Un punto en el espacio y tres ejes cartesianos concurrentes en él. Sistema de referencia inercial. Cuando está en reposo o se mueve con velocidad constante. Espacio recorrido. Longitud de la trayectoria que ha descrito el móvil. Es, como el tiempo, una magnitud escalar. Trayectoria. Lugar geométrico de las distintas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio. Vector de posición. Une el punto fijo de referencia con el punto que ocupa el móvil. Determina la posición del móvil en cualquier instante. Vector desplazamiento. Une dos puntos de la trayectoria: el punto de partida con el punto de llegada. Velocidad media. Se obtiene dividiendo el desplazamiento entre el intervalo de tiempo transcurrido. Velocidad instantánea. La que tiene un móvil en cualquier instante o en cualquier punto de la trayectoria. Aceleración media. La variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Aceleración instantánea. Valor límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño. Componentes intrínsecos de la aceleración. Existen la aceleración tangencial, que ocasiona variaciones en la rapidez, y la aceleración normal o centrípeta, causante de los cambios de dirección del móvil. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Es un movimiento sin aceleración. x = x0 + v t; v = cte; a = 0 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Es un movimiento con at = cte y ac = 0. 1 x = x0 + v0 t + a t2; v = v0 + a t 2 1 v2 – v2 = 2 a (x – x0); x = x0 + (v + v0) t 0 2 Caída libre. Es el movimiento de un cuerpo bajo la acción de la gravedad. Se trata de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado. Sus ecuaciones son las mismas que las del MRUA, con una aceleración siempre negativa (g = –9,8 m/s2). Movimiento circular uniforme (MCU). Es un movimiento cuya at = 0, mientras que su ac = cte y vale v2 = v2 R ac = R w = w0 + v t; v = cte s = w R; v = v R Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA). Es un movimiento cuya at = cte y tiene una ac que es variable. 1 w = v0 t + a t2; v = v0 + a t 2 v2 – v2 = 2 a w 0 1 w = (v + v0) t; at = a R 2 Principio de superposición. Una partícula se mueve con un movimiento que es la suma de todos los movimientos elementales independientes a los que está sometida tanto para el vector de posición como para la velocidad y la aceleración. Tiro horizontal. Es un caso particular del movimiento de un cuerpo dotado de una velocidad inicial horizontal y otro de caída libre. Eje Ox: x = v0 t; vx = v0 1 Eje Oy: y = y0 – g t2; vy = –g t 2 Tiro oblicuo. Es un caso particular del movimiento de un cuerpo que posee una velocidad inicial que forma un ángulo respecto a la horizontal y un movimiento de caída libre. Eje Ox: vx = v0 cos a x = (v0 cos a) t Eje Oy: vy = v0 sen a – g t 1 y = y0 + (v0 sen a) t – g t2 2