Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRESIII.1. ETUDE ET CALCUL DES PLANCHERS: III.1.1.INTRODUCTION : Les planchers sont des éléments en plan horizontaux qui ont le rôle de : Résister aux charges Permettre une isolation thermique Assurer la compatibilité des déplacements horizontaux Les planchers dans notre structure sont réalisés en : Dalle à corps creux Dalle pleine III.1.2.PLANCHERS A CORPS CREUX: Ce type de plancher est constitué de deux systèmes : Système porteurs c.à.d des poutrelles et une dalle de compression de5 cm d'épaisseur. Système coffrant c'est-à-dire des corps creux de dimension (20 20 65) cm2. 5cm 20cm 65cm Figure III.1.1: Coupe du plancher en corps creux III.1.2.1. ETUDE DES POUTRELLES : Les poutrelles sont des éléments préfabriqués ; leurs calculs sont assimilés à celui d’une poutre semi encastrée aux poutres de rives. Dans notre projet on a deux types de poutrelle : 1- poutrelle a deux travées 2-poutrelle a trois travées Dans notre projet on a deux blocs - BLOC A : deux type de poutrelle (type1, type2) - BLOC B : une seule type de poutrelle (type 2) A. DIMENSIONNEMENT DE LA POUTRELLE: On : ht = 25cm; avec h0 = 5 cm; h=20cm b On a: b0 = 12 cm, b=65cm c= (b-b0)/2=26,5cm h0 B. CALCUL DES POUTRELLES: c c h Le calcul des poutrelles se fait en deux étapes : Avant le coulage de la dalle de compression. Après le coulage de la table de compression b0 FigureIII.1.2 : dimensions de la poutrelle. PFE 2006/2007 33 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES ere b.1) 1 étape de calcul (avant coulage) : Avant coulage de la table de compression, la poutrelle est considérée comme une poutre simplement appuis et elle supporte : Son poids propre Le corps creux La surcharge due à l'ouvrier qui travaille Q=1KN/m2 B.1.1. Evaluation des charges et surcharge : Charges permanentes : -poids propre de la poutrelle : 0,12 0,05 25 = 0,15 kN/m -poids propre du corps creux : 0,65 0,2x14 = 1,82 kN/m GT = 1,97 kN/m Charge d'exploitation : - plancher terrasse : Q = 0,65 1 = 0,65 kN/m B.1.2 Sollicitation: ELU : 1,35G + 1,5Q ELS : G + Q On a : Lmax = 5,60m Plancher terrasse : qu = 1,35G + 1,5Q = 3,63kN/ml qS = G + Q = 2.62 kN/m Mu = MS = B.1.3. Ferraillage : La poutrelle travaille en flexion simple, et les dimensions sont : h = 5 cm ; b = 12 cm ; d = 0,9h = 4.5 cm ; bc = 14,17 MPa ; S 348MPa µ= AS’ 0. Donc les armatures de compression sont nécessaires ; mais il impossible de placer du point de vue pratique car la section du béton trop faible On prévoit donc des étaiements pour aider la poutrelle à supporté les charge qui lui revenant avant et leur coulage sans qui elle fléchisse. ème B.2) 2 Etape de calcul (après coulage) : Après le coulage et durcissement du béton de la dalle de compression, la poutrelle travaillera comme une poutre en"Té" 0 0 t t b = 65cm ; b = 12cm ; h = 5cm ; h = 20cm ; h = 25cm ; d = 0,9 h = 22,5cm. B.2.1.Evaluation des charges : ► Plancher terrasse : PFE 2006/2007 34 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES G=6,73x0, 65=4,37kN/ml Q=1x0, 65=0,65 kN/ml ► Plancher courant ▪ Plancher courant d habitation : G=5.74x0.65=3.73kN/ml Q=1.5x0.65=0.98kN/ml ▪ Plancher courant de service : G=5.74x0.65=3.73 kN/ml Q=2.5x0.65=1.63 kN/ml B.2.2. Charges sollicitant les poutrelles : ► Plancher terrasse : ELU : qu = 1,35G + 1,5 Q qu = 6.87kN/ml. ELS: qs = (G + Q). qs = 5.02kN/ml. ► Plancher courant : ▪ Plancher courant d'habitation : ELU : qu = (1,35G + 1,5 Q). qu = 6,51kN/ml. ELS: qs = (G + Q). qs = 4.71kN/ml. ▪ Plancher courant de service : ELU : qu = (1,35G + 1,5 Q). qu = 7.48kN/ml. ELS: qs = (G + Q). qs = 5.36kN/ml. Conclusion : On calcule deux types de poutrelle : Poutrelle pour le plancher courant (bureaux) et de plancher terrasse Poutrelle pour plancher courant d'habitation. 1- poutrelle pour le plancher courant (bureaux) et de plancher terrasse On calcule le poutrelle avec les charges de étage de service qui le plus sollicité. On a deux types de poutrelle : 1èr TYPE : poutrelle à deux travées. Q G A C B 5.6m 5,6m Figure.III.1.3 : Schéma statique de la poutrelle à deux travées A. choix de la méthode de calcul : Pour le calcul des efforts internes dons les poutrelles sont considérés comme poutres continues sur plusieurs appuis, on utilise l'une des 02 méthodes simplifiées. - La méthode forfaitaire. - La méthode de caquot. On peut utiliser aussi la méthode des 03 moments, mais cette méthode peut être critiquée pour les raisons suivantes : Elle suppose que la section résistante est homogène et constante. Pour une section en Té la table n'intervient pas sur les appuis (moment négatif- béton tendu), et intervient au maximum en travée. Les conditions d'exécution par phase finale que le béton peut avoir des caractéristiques différentes selon les zones. L'expérience montre qu'on obtient des moments trop fortes sur appuis et trop faibles en travées. PFE 2006/2007 35 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES A.1. Méthode de forfaitaire:[1] Cette méthode est applicable si les quatre hypothèses suivantes sont vérifiées : 1) Q max (2G ; 5 kN/m²) 2) Les moments d'inerties des sections transversales sont les mêmes dans les différents travées. Ln 3) Le rapport de longueur entre deux portées successives doit vérifier : 0,8 1,25 Ln 1 4) Fissuration peu nuisible. ▪ Application : 5 kN/m2 1) Q = 2.5kN/m2< 2G = 7.46 kN/m2 ………… condition vérifié. 2) Les moments d'inerties des sections transversales sont les mêmes dans les différents travées. Ln 3) = 0,8 < ,1< 1,25 ………….condition vérifié Ln 1 4) La fissuration est peu nuisible. Alors cette méthode est applicable. A.2. Principe de la méthode de forfaitaire : [1] Cette méthode consiste à évaluer les moments maximum sur appuis et en travées; fixés forfaitairement par rapport à la valeur du moment isostatique M0 dans la travée. Q GQ Mw Me Mt ≥ max (1,5M0; (1+ 0,3α) M0) - 2 M0 (1) (1 + 0,3 α) 2 Mt ≥ M 0 (2) (1,2 + 0,3 α) 2 (1) : Travée intermédiaire. (2) : Travée de rive. Avec : M0 : valeur maximale du moment fléchissant dans chaque travée (moment isostatique). (Mw; Me) : valeur absolue des moments sur les appuis de gauche et droite respectivement dans la travée considérée. Mt: moment maximal dans la travée considérée. Moment sur appui : M = 0,2 M0 appuis de rive. M = 0,6 M0 pour une poutre à deux travées. M = 0,5 M0 appuis voisins des appuis de rive d'une poutre à plus de deux travées. M = 0,4 M0 les autre appuis intermédiaires d'une poutre à plus de trois travées. B. Calcul des moments : B.1. ELU: Travée A-B PFE 2006/2007 36 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES M0 = Travée B-C: M0 = Moment sur appuis: Ma = 0,2 M0 = 5,86 kN.m Mb = 0,6 M0 = 19,59 kN.m Mc = 0,2 M0 = 5,86 kN.m Moment en travée: Travée A-B et Travée B-C : 1,05 M0 Mt ≥ max - (1 + 0,3 α) M0 Mt ≥ (1,2 + 0,3 α) Donc : α=QB/ (QB+QG) α=0,3 Mt = 20,23 kN.m B.2. ELS : Travée A-B: q s .L2 5,36 (5,6) 2 M0 = 21,01kN .m 8 8 Travée B-C: q s .L2 5,36.(5,6) 2 M0 = 21,01kN .m 8 8 Moment sur appuis : Ma = 0,2 M0 = 4,20 kN.m Mb = 0,6 M0 = 12,60 kN.m Mc = 0,2 M0 = 4,20 kN.m Moment en travée : Travée A-B et Travée B-C : 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1,2 + 0,3 α) 0 2 Donc : Mt = 14,49kN.m Sur Appuis: Ma (kN.m) MB (kN.m) MC (kN.m) ELU 5,86 17,59 5,86 ELS 4,20 12,60 4,20 Tableau III.1.1 : Moments sur appuis (kN.m) PFE 2006/2007 37 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES En Travée : MAB (kN.m) MBC (kN.m) ELU 20,23 20,23 ELS 14,49 14,49 Tableau III.1.2 : Moments en travée. 17,59 ELU: 5,86 5,86 A B C 20,23 20,23 ELS: 12,6 4,2 4,2 A B C 14,49 14,49 FigureIII.1.4. : Diagrammes des moments (kN.m) 2ème TYPE : Poutrelle a trois travées Q G , Q 4 m 5,60 5,60 5,60 A B C D Figure III.1.5: schéma statique de la poutrelle à trois travée Condition d'application de méthode forfaitaire: 5 kN/m2 2 1) Q = 2,5kN/m < 2G = 7,46 kN/m2 …………. condition vérifiée 2) Ma = Mc = 0,2 M0 PFE 2006/2007 38 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Ln 5,6 3) = 5,6 1 0,8 < ,1< 1,25 ………….condition vérifiée Ln 1 4) La fissuration est peu nuisible. Alors cette méthode est applicable A. Calcul des moments: A.1. ELU: Travée A-B q .L2 7,48 (5,6) 2 M0 = u 29,32kN .m 8 8 Travée B-C: qu .L2 7,48 (5,6) 2 M0 = 29,32kN .m 8 8 Moment sur appuis : Ma = 0,2 M0 = 5,86 kN.m Mb = 0,5 M0 = 14,66 kN.m Md = 0,2 M0 = 5,86 kN.m Mc =0,5M0=14,66kN.m Moment en travée: Travée de rive (A-B) et (C-D): 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M0 Mt ≥ (1,2 + 0,3 α) 2 Donc : α=QB/ (QB+QG) α=0,3 Mt = 21,69 kN.m Travée intermédiaire (B-C) : 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1 + 0,3 α) 0 2 Donc : α=QB/ (QB+QG)=0,3 Mt = 21,69kN.m A.2. ELS: Travée A-B : q s .L2 5,36.(5,6) 2 M0 = 21.01kN .m 8 8 Travée B-C : M0 = Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Moment sur appuis : Ma = 0,2 M0 = 4.20 kN.m PFE 2006/2007 39 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Mb = 0,5 M0 = 10,5 kN.m Md = 0,2 M0 = 4.20 kN.m Mc = 0,5 M0 = 10,5 kN.m Moment en travée: Travée (A-B) et Travée (B-C) : 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1+ 0,3 α) 0 2 Donc : Mt = 14,66kN.m Sur Appuis: Ma (kN.m) MB (kN.m) MC (kN.m) MD (kN.m) ELU 5,86 14,66 14,66 5,86 ELS 4,2 10,5 10,5 4,2 Tableau III.1.3 : Moments sur appuis En Travées : MAB (kN.m) MBC (kN.m) MCD (kN.m) ELU 21,69 21,69 21,69 ELS 15,54 15,54 15,54 Tableau III.1.4 : Moments en travées. B. Calcul de ferraillages :[1] On considère pour le ferraillage le type de poutrelle le plus défavorable c'est-à-dire que le moment le plus grand en travée et sur appuis, et le calcule se fait à l'ELU en flexion simple. B.1.Sollicitations : Les efforts max en travée et sur appuis sont : ▪ ELU : En travée : Mmax =21,69KN.m Sur appui : Mmax=17,59kN.m ▪ ELS : En travée : Mmax =15,54KN.m Sur appui : Mmax=12,60kN.m B.2. ferraillages en travée : h=25cm; h0=5cm; b=65cm; bo =12cm;d=0,9h=22,5cm; bc 14,2 MPa ;fe=400MPa fc28=25MPa; ft28=2,1MPa le calcul des sections en( Té) se effectué différemment selon que l'axe neutre est dans la table ou dans la nervure . -si MU < Mtab : l'axe neutre est dans la table de compression. -si MU >Mtab : l'axe neutre est dans la table ou dans nervure. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. On a : MU <Mtab Alors l'axe neutre est dans la table de compression. Comme le tendu n'intervient pas dans les calculs de résistance , on conduit le calcul comme si la section était rectangulaire de la largeur constante égale à la largeur de la table (b) donc la section étudiée est assimilée à une section rectangulaire (bxh) en flexion simple . PFE 2006/2007 40 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES D'après l'organigramme donnant le ferraillage d'une section soumise à la flexion on aura: Tableau III.1.5 : tableau récapitulatif de calcul des sections d'armatures en travée Mu (kN.m) µ µ< µR Z (cm) µ<0,186 s (MPa) As (cm2) A'S (cm2) 21,69 0,048 Oui 0,062 21,90 oui 348 2,84 0 ▪ Condition de non fragilité : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. As = MaxErreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.=2,84cm2 Choix : 3HA12=3,39cm2 B.3. Ferraillages sur appuis : On a: Mmax=17,59kN.m< Mtab=92,10KN.m - l'axe neutre est dans la table de compression donc la section étudiée assimilé comme une section rectangulaire (b0xh) en flexion simple. Tableau III.1.6 : tableau récapitulatif de calcul des sections d'armatures sur appui Mu (kN.m) µ µ< µR Z (cm) s (MPa) As (cm2) A'S (cm2 17,59 0,221 Oui 0,317 19,64 348 2,57 0 ▪ Condition de non fragilité : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. As = MaxErreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.=2,57cm2 Choix : 2HA14=3,07cm2 B.4.Vérifications : ► Vérifications à l'ELU : [1] ♦ Effort tranchant : Pour l'effort tranchant la vérification de cisaillement se fera dans le cas le plus défavorable. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. On doit vérifiée que u u f u Min 0,2 c 28 ;5MPa 3,33MPa.................. Fissuration peu nuisible b Tel que: Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. ……...…………..condition vérifiée ♦ Au voisinage des appuis : •Vérification de la comprissions de béton : Tu fc28 b 0,4 0,9 b0 d b Avec : Tu=20,94kN b 0,863MPA 6,67 MPa …………… condition vérifiée •vérification des armateurs longitudinale : Tu As =3,07cm 2 fe =0.60cm2………………. condition vérifiée s ► Vérification a ELS :[1] PFE 2006/2007 41 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES La fissuration est considéré peu nuisible, donc pas de vérification a faire a l’état de l'ouverture des fissure est elle se limite à celle concernant de compression de béton ♦ Vérification de contrainte du béton : Mser bc y I On doit vérifier que bc bc 0,6 f c 28 15MPa Détermination des l’axe neutre : On suppose que l’axe neutre se trouve dans la table de compression Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Es Avec n= 15 ; b=65cm (travée) ;b 0 =12cm(appuis) ;c=c’=2,5cm Eb Y=est la solution de l’équation de deuxième degré suivant puis on calcul le moment d’inertie Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. b 3 y 15 As d y 15 As ' y c' 2 2 I 3 .si y h0 l’hypothèse est vérifié. .si Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. la distance (y) et de moment d’inertie (I) calculé par la formule suivante ; b0 y 2 2 b b0 h0 30 As AS ' Y b b0 h 0 30 d As C ' As ' 0 2 2 b0 3 b b0 3 15 As d y AS ' y d ' h h0 b b0 y 0 2 2 I y 3 12 2 Tableau III.1.7 : Tableau récapitulatif pour la vérification a l’ELS Mser As (cm As’ (cm Y (cm) I (cm ) 4 bc MPa Obs (kN.m) 2 ) 2 ) travée 15,54 3,39 1.54 4,88 17271,69 4,39 Vérifie appuis 12,6 3,07 3,39 8,12 13151,60 7,77 Vérifie Vérification de la flèche [1] ;[6] ;[15] La valeur de la flèche n’est pas nécessaire si les trois conditions sont vérifiées : Les conditions ont vérifié : h 1 l 16 As 4,2 b0 d fe h Mt l 10M 0 Avec h=25cm, b 0 =12cm ; d=22.5cm : l=5.60m ; M tser =15,54kN.m ; M 0 =21,01kN.m ; As=12cm; fe=400MPa Alors : h 1 0,0446 0,0625............................... condition non vérifie l 16 As 0,011 0,0105 …………………condition non vérifie b0 d Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.……………………condition non vérifie PFE 2006/2007 42 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Les trois conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calcule la flèche Flèche totale : f t f v f i f Fi i : la flèche due aux charges instantanée. Fv v : la flèche due aux charges de long durée. Position de l’axe neutre : h hh y1 b h0 0 h h0 b0 0 h0 15 As 1 2 2 b h0 h h0 b0 15 As Moment d’inerte de la section totale homogène I 0 : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Calcul des moments d’inerte fictifs: Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. 1,1 I 0 , Ifv 1 v Avec Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. : coefficient pour la déformation instantanée 0,02 ft 28 v b : Coefficient pour la déformation différée 2 3 0 b Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. : Pourcentage des armateurs 1,75 ft 28 1 4 s fc 28 Mser Contrainte de traction dans l’armateur correspondant au cas de charge étudiée, s As.d Les résultats sont récapitulés dans le tableau ci dessous : Tableau III.1.7 : Tableau récapitulatif pour la vérification de la flèche. Mser As Y1 S Io Ifi Ifv i v µ (kN.m) (cm²) (cm) (MPa) (cm4) (cm4) (cm4) 15,54 3,39 0,0116 8,94 219,95 3,54 1,42 0,672 8660,4 4004,34 9076,2 Calcul des modules de déformation : Eij=11000Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. MPa Evj=3700Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. =10818 ,9 MPa Calcul de la flèche due à la déformation instantanée: Mser l 2 fi 3,8cm ,l=5,60m 10 Ei Ifi Calcul de la flèche due à la déformation différé: Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. l=5,60m f t fv fi 1,02cm PFE 2006/2007 43 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. l =0,5+ f 0,5 0,56 1,06cm 1000 : D’où la flèche est vérifié. ft f C.Ferraillge transversale:[1] ;[2] L'acier choisit pour les armatures transversales est de type rond lisse de nuance FeE24 (fe = 235 MPa). Le ferraillage transversal est calculé suivant les deux règlements suivants : Selon le BAEL 91 : At u 0,3. f tj .K Avec : K 1 pasderéprisedebetonage Erreur ! Des objets ne b0 .S t f 0,9. e peuvent pas être créés à partir S S t min 0,9.d ; 40 cm des codes de champs de mise en forme. At . f e Max U ; 0,40 MPa Selon le RPA 99 : b0 .S t 2 At 0,03.b0 St h S t min ; 12.1 zone nodale 4 h St zone courante 2 Avec : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.: Diamètre minimum des armatures longitudinales 1 min 0,71cm,1cm,1,2cm 0,71cm On adopte Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Donc : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Choix de l’armature : On adopte : 2HA8=1,004cm 2 Espacement : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Donc : St=5cm en zone nodale St=10cm en zone courant 2-Poutrelle pour plancher courant d'habitation: On a deux types de poutrelle : 1èr TYPE : poutrelle à deux travées. Q G A C B 5.6m 5,6m Figure III.1.5 : Schéma statique de la poutrelle à deux travées PFE 2006/2007 44 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES A.1. Méthode de forfaitaire: [1] Cette méthode est applicable si les quatre hypothèses suivantes sont vérifiées : 1) Q max (2G ; 5 kN/m²) 2) Les moments d'inerties des sections transversales sont les mêmes dans les différents travées. Ln 3) Le rapport de longueur entre deux portées successives doit vérifier : 0,8 1,25 Ln 1 4) Fissuration peu nuisible. Application : 5 kN/m2 1) Q =1.5kN/m2 < 2G = 7.46 kN/m2 ………… condition vérifier. 2) Les moments d'inerties des sections transversales sont les mêmes dans les différents travées. Ln 3) =Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en Ln 1 forme. 0,8 < ,1< 1,25 ………….condition vérifier. 4) La fissuration est peu nuisible. Alors cette méthode est applicable. B. Calcul des moments : B.1. ELU: Travée A-B qu .L2 6,51 (5,6) 2 M0 = 25,50kN .m 8 8 Travée B-C: qu .L2 6,51 (5,6) 2 M0 = 25,5kN .m 8 8 Moment sur appuis: Ma = 0,2 M0 = 5,1 kN.m Mb = 0,6 M0 = 15,31 kN.m Mc = 0,2 M0 = 5,1 kN.m Moment en travée: Travée A-B et Travée B-C: 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1,2 + 0,3 α) 0 2 QB Donc : α= QB QG α=0.2 Mt = 16,84 kN.m B.2. ELS : Travée A-B: PFE 2006/2007 45 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES q s .L2 4,71.(5,6) 2 M0 = 18,46kN .m 8 8 Travée B-C: q s .L2 4,71.(5,6) 2 M0 = 18,46kN .m 8 8 Moment sur appuis: Ma = 0,2 M0 = 3,69 kN.m Mb = 0,6 M0 = 11,08kN.m Mc = 0,2 M0 = 3,69 kN.m Moment en travée : Travée A-B et Travée B-C: 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1,2 + 0,3 α) 0 2 Donc : Mt = 12,18kN.m Sur Appuis: Ma (kN.m) MB (kN.m) MC (kN.m) ELU 5,10 15,31 5,10 ELS 3,69 11,08 3,69 Tableau III.1.8 : Moments sur appuis (kN.m) En Travées : MAB (kN.m) MBC (kN.m) ELU 16,84 16,84 ELS 12,18 12,18 Tableau III.1.9 : Moments en travée. 15,31 ELU: 5,10 5,10 A B C 11,08 16,84 16,84 3,69 3,69 ELS: A PFE 2006/2007 B C 46 12,18 12,18 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Figure III.1.6 : Diagrammes des moments (kN.m) 2ème TYPE : Poutrelle a trois travées Q G , A B C D 5,60 5,60 5,60 Figure III.1.6 : Schéma statique de la poutrelle à trois travées A. condition d'application de méthode forfaitaire:[1] 5 kN/m2 2 1) Q = 1.5kN/m < 2G = 7.46 kN/m2 …………. condition vérifiée 2) Ma = Mc = 0,2 M0 Ln 5 .6 3) = 1 0,8 < ,1< 1,25 ………….condition vérifiée Ln 1 5.6 4) La fissuration est peu nuisible. Alors cette méthode est applicable. B. Calcul des moments: B.1. ELU: Travée A-B qu .L2 6,51 (5.6) 2 M0 = 25,50kN .m 8 8 Travée B-C: qu .L2 6,51 (5.6) 2 M0 = 25,50kN .m 8 8 Moment sur appuis : Ma = 0,2 M0 = 5,10 kN.m Mb = 0,5 M0 = 12,76 kN.m Md = 0,2 M0 = 5,10 kN.m Mc =0,5M0=12,76kN.m Moment en travée: Travée de rive (A-B) et (C-D): 1,05 M0 PFE 2006/2007 47 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1,2 + 0,3 α) 0 2 QB Donc : α= QB QG α=0.2 Mt = 18,10 kN.m Travée intermédiaire (B-C) : 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M0 Mt ≥ (1 + 0,3 α) 2 Donc : α=QB/ (QB+QG) α=0.3 Mt = 18,10kN.m B.2. ELS: Travée A-B : q s .L2 4,71.(5,6) 2 M0 = 18,46kN .m 8 8 Travée B-C : q s .L2 4,71 (5,6) 2 M0 = 18,46kN .m 8 8 Moment sur appuis : Ma = 0,2 M0 = 3,69 kN.m Mb = 0,5 M0 = 9,23 kN.m Mc = 0,5 M0 = 9,23 kN.m Md = 0,2 M0 = 3,69 kN.m Moment en travée: Travée (A-B) et Travée (B-C) : 1,05 M0 Mw Me Mt ≥ max - 2 (1 + 0,3 α) M0 M Mt ≥ (1+ 0,3 α) 0 2 Donc : Mt = 13,10kN.m Sur Appuis : Ma (kN.m) MB (kN.m) MC (kN.m) MD (kN.m) PFE 2006/2007 48 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES ELU 5,10 12,76 12,76 5,10 ELS 3,69 9,23 9,23 3,69 Tableau III.1.10 : Moments sur appuis En Travée : MAB (kN.m) MBC (kN.m) MCD (kN.m) ELU 18,10 18,10 18,10 ELS 13,10 13,10 13,10 Tableau III.1.11 : Moments en travées. C. Calcul de ferraillages :[1] On considère pour le ferraillage le type de poutrelle le plus défavorable c'est-à-dire que le moment le plus grand en travée et sur appuis, et le calcule se fait à l'ELU en flexion simple. C.1.Sollicitations : Les efforts max en travée et sur appuis sont : ▪ ELU : En travée : Mmax =18,10KN.m Sur appui : Mmax=15,31kN.m ▪ ELS : En travée : Mmax =13,10KN.m Sur appui : Mmax=11,08kN.m C.2. ferraillages en travées : h=25cm; h0=5cm; b=65cm; bo =12cm;d=0,9h=22,5cm; bc 14,2 MPa ;fe=400MPa fc28=25MPa; ft28=2,1MPa Le calcul des sections en (Té) se effectué différemment selon que l'axe neutre est dans la table ou dans la nervure. -si MU < Mtab : l'axe neutre est dans la table de compression. -si MU >Mtab : l'axe neutre est dans la table ou dans nervure. h M tab b h0 bc d 0 92,10kN m 2 On a : MU <Mtab Alors l'axe neutre est dans la table de compression. Comme le tendu n'intervient pas dans les calculs de résistance , on conduit le calcul comme si la section était rectangulaire de la largeur constante égale à la largeur de la table (b) donc la section étudiée est assimilée à une section rectangulaire (bxh) en flexion simple . D'après l'organigramme donnant le ferraillage d'une soumise à la flexion on aura: Tableau III.1.12. : Tableau récapitulatif de calcul des sections d'armatures en travée Mu (kN.m) µ µ< µR Z (cm) µ<0,186 s (MPa) As (cm2) A'S (cm2) 18,10 0,038 oui 0,048 22,07 oui 348 2,34 0 ▪ Condition de non fragilité : f As min 0,23 b d t 28 1,76cm 2 fe As = Max 1,76,2,34 cm 2 =2,34cm2 Choix : 3HA10=2,36cm2 C.3. Ferraillages sur appuis : On a: Mumax=15,31kN.m< Mtab=92,10KN.m PFE 2006/2007 49 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES - l'axe neutre est dans la table de compression donc la section étudiée assimilé comme une section rectangulaire (b0xh) en flexion simple. Tableau III.1.13 : tableau récapitulatif de calcul des sections d'armatures sur appui Mu (kN.m) µ µ< µR Z (cm) s (MPa) As (cm2) A'S (cm 15,31 0,177 oui 0,246 20,30 348 2,16 0 ▪ Condition de non fragilité : f As min 0,23 b0 d t 28 0,31cm 2 fe As = Max =2,31cm2 Choix : 2HA12=2,26cm2 C.4.Vérifications :[1] ► Vérifications à l'ELU : ♦ Effort tranchant : Pour l'effort tranchant la vérification de cisaillement se fera dans le cas le plus défavorable. q L 6,51 5,60 TU max 18,22kN 2 2 On doit vérifier que: u u f u Min 0,2 c 28 ;5MPa 3,33MPa.................. Fissuration peu nuisible b Tel que: u u ……...…………..condition vérifiée ♦ Au voisinage des appuis : •Vérification de la comprissions de béton : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Avec : Tu=18,22kN b 0,749MPA 6,67 MPa …………… condition vérifiée •vérification des armateurs longitudinale : 2 As =2,26cm Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.=0.52cm2………………. condition vérifiée ► Vérification a ELS : [1] La fissuration est considéré peu nuisible, donc pas de vérification a faire a l’état de l'ouverture des fissure est elle se limite à celle concernant de compression de béton ♦ Vérification de contrainte du béton : On doit vérifier que : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Détermination des l’axe neutre : On suppose que l’axe neutre se trouve dans la table de compression PFE 2006/2007 50 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES b 2 y n As ' ( y c ' ) n As ( d y ) 0 2 Es Avec n= 15 ; b=65cm (travée) ;b 0 =12cm(appuis) ;c=c’=2,5cm Eb Y=est la solution de l’équation de deuxième degré suivant puis on calcul le moment d’inertie b y 2 30 As As ' y 30 d As C As ' 0 b 3 y 15 As d y 15 As ' y c' 2 2 I 3 .si Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. l’hypothèse est vérifié. .si y h0 la distance (y) et de moment d’inertie (I) calculé par la formule suivante ; Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Tableau III.1.14 : Tableau récapitulatif pour la vérification a l’ELS Mser As (cm As’ (cm Y (cm) I (cm ) 4 bc MPa obs (kN.m) 2 ) 2 ) Travée 13,10 2,36 1,13 4,25 14389,11 3,86 vérifié Appuis 11,08 2,26 2,36 7,46 10199,77 8,10 vérifié Vérification de la flèche [1] ; [15] La valeur de la flèche n’est pas nécessaire si les conditions sont vérifiées : Les conditions ont vérifié : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. h Mt l 10M 0 Avec h=25cm, b 0 =12cm ; d=22.5cm : l=5.60m ; M tser =11,08kN.m ; M 0 =18,46kN.m ; As=2,36cm; fe=400MPa Alors : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.……………………condition non vérifie …………………condition vérifie Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. ……………………condition non vérifie Deux conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calcul la flèche Flèche totale : f t f v f i f f i : la flèche dues aux charges instantanée. f v : la flèche dues aux charges de long durée. Position de l’axe neutre : h hh y1 b h0 0 h h0 b0 0 h0 15 As 1 2 2 b h0 h h0 b0 15 As Moment d’inerte de la section totale homogène I 0 : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. PFE 2006/2007 51 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Calcule des moments d’inerte fictifs: 1,1 I 0 Ifi , Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de 1 i mise en forme. Avec Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. : coefficient pour la déformation instantanée Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. : Coefficient pour la déformation différée As Pourcentage des armateurs b0 d Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Contrainte de traction dans l’armateur correspondant au cas de charge étudiée,Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Les résultats sont récapitulés dans le tableau ci dessous : Mser As Y1 S Io Ifi Ifv i v µ (kN.m) (cm²) (cm) (MPa) (cm4) (cm4) (cm4) 13,10 2,36 0,0087 7,40 246,7 4,72 1,89 0,89 38414,28 8124,85 15754,71 Tableau III.1.15: Vérification de la flèche Calcul du module de déformation: Eij=11000Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. MPa Evj=3700 3 fc 28 =10818 ,9 MPa Calcul de la flèche due à la déformation instantanée: Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. ,l=5,60m Calcul de la flèche due à la déformation différée: Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. l=5,60m f t fv fi 0,87cm Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. =0,5+Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.: d'ou la condition de flèche est vérifie d. Ferraillage transversale:[1] ;[2] L'acier choisit pour les armatures transversales est de type rond lisse de nuance FeE24 (fe = 235 MPa). Le ferraillage transversal est calculé suivant les deux règlements suivants : SELON LE BAEL 91 : At u 0,3. f tj * .K Avec : K 1 pasderepri sedebétonage b0 .S t f 0,9. e S S t min 0,9.d ; 40 cm At . f e Max U ; 0,40 MPa b0 .S t 2 At 3 2 S 1,72.10 cm PFE t 2006/2007 52 St 20,25 cm At 12.10 3 cm St Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES ELON LE RPA 99 version 2003 : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Avec : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.: Diamètre minimum des armatures longitudinales 1 min 0,71cm,1cm,1,2cm 0,71cm On adopte t 0,8 cm 8 mm Donc : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Choix de l’armature : On adopte : 2HA8=1,004cm 2 Choix des espacements: Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. Donc : St=5cm zone nodale St=10cm zone courant St=10cm zone courant En travées Sur appuis 1HA14 2HA14 HA 8 HA 8 7 3T12 3HA12 12 12 Figure III.1.7 : Ferraillages des poutrelles (plancher des étages de service et plancher terrasse) En travées Sur appuis 1HA12 2HA12 HA 8 HA 8 5 3T10 3HA10 12 12 PFE 2006/2007 53 Figure III.1.8 : Ferraillages des poutrelles (plancher d'habitation) Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES e) Ferraillage de la dalle de compression :[14] Le ferraillage de la dalle de compression doit se faire par un quadrillage de laquelle les dimensions des mailles ne doivent pas dépasser : 20 cm : dans le sens parallèle aux poutrelles. 30 cm : dans le sens perpendiculaire aux poutrelles. L1 50 L1 80 cm A1 4. avec : L1 en cm . fe Si : 200 L1 50 cm A1 fe Avec : L1 : distance entre l’axe des poutrelles (L1=60 cm). A1 : diamètre perpendiculaire aux poutrelles (A.P). A2 : diamètre parallèle aux poutrelles (A.R). A2=A1/2 Fe=520 MPa ‘quadrillage de T.S.TIE 520. On a : L1=65cm A1 0,5 cm 2 / ml 5T 6 A1 1,41 cm 2 100 St 20 cm 5 f) Armature de répartition : A2=A1/4=0,71 cm2 Soit 5T6 A2 1,41 cm 2 et St=20 cm. Pour le ferraillage de la dalle de Compression, On adopte un treillis Soudés dont la dimension des Mailles est égale à 20cm suivant les deux sens. TSØ6 St St/2 TSØ6 100 St/2 St 100 PFE 2006/2007 Figure III.1.9 : Disposition constructive des 54 armatures de la dalle de compression Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES III.2. PLANCHER EN DALLE PLEINE DE RDC : Les dalles pleines sont des éléments d’épaisseur faible par rapport aux autres dimensions, chargée perpendiculairement à leur plan moyen reposant sur deux, trois ou quatre appuis et même des dalles pleines en porte à faux (console). Dans notre structure, on a des dalles pleines sous forme rectangulaire qui repose sur quatre appuis, pour le calcul on choisi la dalle la plus sollicitée. III.2.1. EVALUATION DES CHARGES : 5,25 m 5,25 m Figure III.2.1 : Dimensions de la dalle rectangulaire G=7,56kN/m2 , Q=2,5kN/m2. ELU : qu=1,35G+1,5Q=13,95kN/m2 ELS :qser=G+Q=10,06kN/m2 L x 5,25 0,4 1 1 La dalle travaille dans les deux sens. L y 5,25 III.2.2. CALCUL DES MOMENTS :[1] Dans le sens de la petite portée : M x x qu L x 2 Dans le sens de la grande portée : M y y M x Lx Les coefficients μx et μy sont fonction de et de ν. Ly 0 à l ' ELU ν : Coefficient de poisson 0,2 à l ' ELS μx et μy sont donnés par l’abaque de calcul des dalles rectangulaire . PFE 2006/2007 55 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES x 0,0368 1 y 1 M x x qu L2x 14,14 kNm M y y M x 14,14kNm Moments en travées : Mtx=0,75Mx=10,61kN.m Mty=0,75My=10,61kN.m Moments sur appuis : Max=May=0, 5Mx=7,07kN.m III.2.3. FERRAILLAGE DE LA DALLE : [1] b=100cm ; h=20cm ; d=0,9h=18cm ; fe=400MPa ; fc28=25MPa ; ft28=2,1MPa ; σs=348MPa Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant : Tableau III.2.1 : Ferraillage de la dalle pleine Mu As’ Ascal Asadp Esp Sens μ 2 Α Z(cm) 2 Choix (kNm) (cm ) (cm ) (cm2) (cm) x-x 10,61 0,023 0 0,029 17,78 1,71 4T8 2,01 25 Travée y-y 10,61 0,023 0 0,029 17,78 1,71 4T8 2,01 25 x-x Appuis 7,07 0,015 0 0,019 17,86 1,13 5T6 1,41 20 y-y Espacement : En Travée : 100 Sens x-x : esp 25cm Min 3h;33cm 33cm................Vérifier 4 100 Sens y-y : esp 25cm Min 4h;45cm 45cm................Vérifier 4 Sur Appuis : 100 Sens x-x : esp 25cm Min 3h;33cm 33cm................Vérifier 4 Sens y-y : III.2.4. CONDITION DE NON FRAGILITÉ: [1] On a : 12cm e 30cm h=e=20cm; b=100cm A 3 bh 1,60cm2 x 0 2 0 0,8 0 00 pour les barres à haute adhérence A bh 1,60cm 2 Avec : Lx y 0 L 1 y En Travée : Sens x-x : Ax 2,01cm 2 Asmin 1,60cm 2 ...............Vérifiée PFE 2006/2007 56 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Sens y-y : Sur Appuis : Sens x-x : 100 On prend : 4 HA8 2,01cm esp 25cm 2 4 Sens y-y : A y 1,41cm 2 Asmin 1,60cm 2 ............... Non vérifiée 100 On prend : 4 HA8 2,01cm 2 esp 25cm 4 III.2.5. CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES: [1] Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si la condition ci après est vérifiée : Tumax u u 0,05 f c 28 1,25MPa bd qu Lx L y 13,95 x5,25 x5,25 Tx 24,41kN 2 Lx L y 2 x5,25 5,25 qu L x Ty 24,41kN 3 Tumax MaxTx ; T y 24,41kN 24,41.10 3 u 0,135MPa u 1,25MPa..................Vérifier 1000 x180 III.2.6. VÉRIFICATION À L’ELS: [1] a. Evaluation des sollicitations à l’ELS : Lx x ,0 0441 0,9 Ly y 1 M x x q ser L2x 11,36kNm M y y M x 11,36kNm M tx 0,75M x 8,52kNm M ty 0,75M y 8,52kNm M a 0,5M x 5,68kNm b. Vérification des contraintes : Il faut vérifier que : bc bc 0,6 f c 28 15MPa Le tableau suivant récapitule les résultats trouvés : Tableau III.2.2 : Vérification des contraintes à l’ELS PFE 2006/2007 57 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Mser As Y σbc bc Sens I(cm4) observation (kNm) (cm2) (cm) (MPa (MPa x-x 8,52 2,01 2,92 7713,19 3,22 Travée 15 vérifié y-y 8,52 2,01 2,92 7713,19 3,22 x-x Appuis 5,68 2,01 2,92 7713,19 2,15 15 vérifié y-y c. Vérification de la flèche : [1] Il n’est pas nécessaire de faire la vérification de la flèche, si les trois conditions citées ci dessous sont vérifiées simultanément : h Mt Les trois conditions sont vérifiées, donc le calcul de la 1 flèche n’est pas nécessaire. Lx 20M x 0,038 0,037...................vérifie III.2.7. PLANCHER 5,25m EN DALLE PLEINE DE SOUS h 1 1 SOL : 2 à 0,038 0,028à0,037.........vérifie Lx 27 35 3 3 1,12.10 5.10 .............vérifie A 2 3 bd fe 5,25m Figure III.2.2 : Dimensions de la dalle rectangulaire III.2.7.1. EVALUATION DES CHARGES : G=5,20kN/m2, Q=3kN/m2. ELU : qu=1,35G+1,5Q=11,52kN/m2 ELS : qser=G+Q=8,20kN/m2 Conclusion; On remarque que la dalle de sous sol et de même dimension que la dalle de RDC et charge moins que la dalle de RDC; Dalle sous sol : qu =11,52 kN/m2 ; qser=8,20kN/m2 2 Dalle de RDC : qu=13,95kN/m ; qser=10,06kN/m2 PFE 2006/2007 58 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Donc on adopte le même ferraillage que la dalle de RDC En travée : sens lx= 4HA8 sens ly=4HA8 Sur appui : sens lx= 4HA8 sens ly=4HA8 4HA8 4HA8 4HA8 5,25 4HA8 5,25 FIGURE III.2.3. Ferraillage de la dalle pleine RDC et SOUS SOL III.3. ETUDE DE LA DALLE MACHINE : III.3.1. INTRODUCTION La dalle machine est une dalle pleine, qui reprend un chargement important par rapport à celle des dalles de l’étage courant ou terrasse, cela est due au mouvement de l’ascenseur ainsi qu’à son poids, en tenant compte de la variation des efforts de la machine par rapport à la dalle. III.3.2. PRÉDIMENSIONNEMENT: [14] La dalle d’ascenseur doit avoir une certaine rigidité vu le poids de la machine. 5,25 m 5,25 Figure III.3.1 : Dimensions de la dalle rectangulaire Nous avons deux conditions à vérifier : PFE 2006/2007 59 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES a. Résistance à la flexion : Lx L 120 120 e x e 50 40 50 40 2,4cm e 3cm b. Condition de l’E.N.A : L’entreprise nationale des ascenseurs (E.N.A) préconise que l’épaisseur de la dalle machine est e 25cm On prend : e=25cm III.3.3. DÉTERMINATION DES CHARGES ET SURCHARGES: a. Charges permanentes : - Poids de la dalle machine supportée…………………….50,00kN/m2 - Poids propre de la dalle………………………....0,25x25=6,25kN/m2 - Gravillon de protection (e=5cm)…………………………0,85kN/m2 - Etanchéité multicouche(S36) …………………………….0,12kN/m2 - Forme de pente…………………………………………...2,20kN/m2 - Isolation thermique (liège)……………………………..0,16kN/m2 - Enduit de plâtre …………………………………0;20kN/m2 G=59,78kN/m2 b. Surcharge d’exploitation : Q=1kN/m2 III.3.4. COMBINAISON DES CHARGES : E.L.U : qu=1,35G+1,5Q=82,2kN/m2 E.L.S : qser=G+Q=60,78kN/m2 PFE 2006/2007 60 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES III.3.5. CALCUL DES EFFORTS :[5] Le calcul des efforts de la dalle se fait selon la méthode de calcul des dalles reposantes sur 4 côtés. Calcul de « ρ » : L x 5,25 0,4 1 1 L y 5,25 La dalle travail dans les deux sens. M x x qu L2x M y yM x E.L.U : x 0,0368 M x 83,38kN .m y 1 M y 83,38kNm Selon les conditions d’encastrement d’appuis, on obtient les moments suivants : Moments en travées : Mtx=0, 75Mx=62, 53kNm Mty=0, 75My=62, 53kNm Moments sur appuis : Max=0,5Mx=41,68kN.m May=0,5My=41,68kN.m Ma=Max (Max ; May)=41,68kN.m III.3.6. FEERRAILLAGE DE LA DALLE :[1] Le ferraillage de la dalle machine se fait comme suit : Pour une bande de 1m, on aura une section (b x h)= (100x25) cm2 qui travaille en flexion simple. III.3.6.1. FERRAILLAGE EN TRAVÉE : a. Dans le sens « Lx » : On a: b=100cm; h==25cm; d=0, 9h=22,5cm; c=2cm; σbc=14,2MPa; σs=348MPa Tableau.III.3.1: Tableau récapitulatif des résultats de ferraillage en travée (sens Lx) Mtx μ A’s α Z (cm) Acals(cm2) Choix As adopté (kNm) (cm2) (cm2) 62,53 0,086 0 0,113 21,47 8,36 6T14 9,24 Espacement : 100 Esp 20cm Min 3h;33cm 33cm................vérifée 5 b. Dans le sens « Ly» : On a : b=100cm ; h==25cm ; d=dx-Øx=21,1cm ; c=2cm ; σbc=14,17MPa ; σs=348MPa Tableau.III.3.2: Tableau récapitulatif des résultats de ferraillage en travée (sens Ly) Mty μ A’s α Z (cm) As cals Choix As adopté 2 2 (kNm) (cm ) (cm ) (cm2) PFE 2006/2007 61 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES 62,53 0,098 0 0,130 19,94 8,98 6T14 9,24 Espacement : 100 Esp 20cm Min 4h;45cm 45cm................vérifée 5 III.3.6.2. FERRAILLAGE SUR APPUIS : On a : b=100cm ; h==25cm ; d=22,5cm ; c=2cm ; σbc=14,17MPa ; σs=348MPa Tableau.III.3.3 : Tableau récapitulatif des résultats de ferraillage sur appuis Ma μ As'(cm2) α Z (cm) As cal Choix As adp (kNm) (cm2) (cm2) 41,68 0,057 0 0,074 21,82 5,48 6T12 6,79 Espacement : 100 5 20cm Min 3h;33cm 33cm( sens x x) .................vérifiée Esp 100 20cm Min 4h;45cm 45cm( sens y y) ................vérifiée 5 III.3.6.3 CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES : Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si la condition ci-dessous est vérifiée : Tumax u u 0,05 f c 28 1,25MPa bd qu Lx L y Tx 143,85kN 2 Lx L y qu Lx Ty 143,85kN 3 Tumax Max(Tx ; T y ) 143,85kN 143,85.10 3 u 0,64 MPa u 1,25MPa....................vérifiée 1000 x 225 III.3.6.4. VÉRIFICATION À L’ELS: [1] a. Vérification des contraintes : Béton : M b ser y bc 0,6 f c 28 15MPa I Acier : M s ser d y s I La fissuration est considérée comme préjudiciable. 2 s Min fe;150 240 MPa 3 Avec : η =1,6 pour HA ; fe=400MPa PFE 2006/2007 62 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Lx 1 ; q ser 60,78kN / m 2 Ly M x x q ser L2x M y yM x E.L.S : x 0,0441 M x 73,87kNm y 1 M y 73,87kNm Moments en travées : Mtx=0,75Mx=55,41kNm Mty=0,75My=55,41kNm Moments sur appuis : Ma=Max (0,5Mx; 0, 5 My) =36,94kNm a.1.Détermination de la valeur de « y » : b 2 y nAs y c nAs d y 0 avec : n 15 2 b.2.Moment d’inertie : by 3 nAs d c nAs d y 2 2 I 3 Les résultats trouvés en travée et sur appui dans les deux sens sont regroupés dans le tableau suivant : Tableau.III.3.4 : Vérification des contraintes de la dalle en travée et sur appuis dans les deux sens Mt(kNm) As(cm2) Y(cm) I(cm4) σbc(MPa) bc bc σs(MPa) s s Travé (x-x) 55,41 9,24 6,09 87654,67 3,85 155,60 e (y-y) 55,41 9,24 6,09 87654,67 3,85 vérifiée 155,60 vérifiée Appuis 36,94 6,79 5,15 93458,82 2,03 102,86 b. Vérification de la condition de non fragilité: h=25cm ; b=100cm A 3 bh 2,00cm 2 x 0 2 A bh 2,00cm 2 y 0 0 0,8 0 00 pour les barres à haute adhérence Avec : Lx L 1 y Sens Lx-x : PFE 2006/2007 63 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Sur appuis : A x =6,79cm2/ml>2,00cm2………………vérifiée En travée : A x=9,24cm2/ml>2,00cm2………………vérifiée Sens Ly-y : Sur appuis : Ay=6,79cm2/ml>2,00cm2………………vérifiée En travée : Ax=9,24cm2/ml>2,00cm2………………vérifiée c. Vérification de la flèche : Il n’est pas nécessaire de faire la vérification de la flèche, si les trois conditions citées ci- dessous sont vérifiées simultanément : h Mt Lx 20M x 0,047 0,0375....................vérifiée h 1 1 à 0,047 0,028à0,037..........vérifiée Lx 27 35 4,10.103 5.103............vérifiée As 2 bd fe Conclusion : Les trois conditions sont vérifiées donc le calcul de la flèche n’est pas nécessaire. PFE 2006/2007 64 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES COUPE A-A HA12 e=20cm HA12 e=20cm HA14e=20cm HA14 e=20cm 5,60 FERRAILLAGE DE LA DALLE MACHINE III.4. PLANCHER EN DALLE PLEINE INCLINE : Les dalles pleines sont des éléments d’épaisseur faible par rapport aux autres dimensions, chargée perpendiculairement à leur plan moyen reposant sur deux, trois ou quatre appuis et même des dalles pleines en porte à faux (console). Dans notre structure, on a des dalles pleines sous forme rectangulaire qui repose sur quatre appuis, pour le calcul on choisi la dalle la plus sollicitée. Epaisseur de la dalle:[10] 5,60m e 0;018 l 3 25e q q=3Kn/m2 e 20cm III.4.1. EVALUATION DES CHARGES : 5,60m Figure III.4.1 : Dimensions de la dalle rectangulaire inclinée G=5,20kN/m2, Q=3kN/m2. q ELU : qu=1,35G+1,5Q=11,52kN/m2 ELS : qser=G+Q=8,20kN/m2 L1=560m III.4.2. CALCUL DES MOMENTS : En travée: PFE 2006/2007 65 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES qu l 2 M0u= =45,15kN/m2 8 q ser l 2 M0ser= =32,14kN/m2 8 Sur appuis:on considérant que la dalle elle est encastré à deux extrémités donc Mappui= 200/0M0 Mu=0,20.45,15=9,03kN/m2 Mser=0,20.32,14=9,0kN/m2 III.4.3. FERRAILLAGE DE LA DALLE : [1] b=100cm ; h=20cm ; d=0,9h=18cm ; fe=400MPa ; fc28=25MPa ; ft28=2,1MPa ; σs=348MPa Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant : Tableau III.4.1 : Ferraillage de la dalle pleine Mu As’ Ascal Asadp Esp μ Z(cm) Choix (kNm) (cm2) 2 (cm ) (cm2) (cm) traveé 45,15 0,098 0 0,129 17,06 7,60 7T12 7,91 15 Appuis 9,03 0,019 0 0,024 17,82 1,13 4T8 2 25 As Armateur de répartition:As As=1,97cm2 4 Soit: 4HA8=2,01cm2 Espacement : Travée : 100 esp 15cm Min 3h;33cm 33cm................Vérifier 6 Appuis : 100 esp 25cm Min 3h;33cm 33cm................Vérifiée 4 Armateur de répartition: 100 esp 25cm Min 4h;45cm 45cm................Vérifiée 4 III.4.4. CONDITION DE NON FRAGILITÉ: [1] ft 28 Amin=0,23.b.d. =2,17cm2 fc 28 En travée : As 7,91cm 2 Asmin 2,17cm 2 ...............Vérifiée Sur appuis : As 2,00cm 2 Asmin 2,17cm 2 ...............Non vérifiée 2 100 On prend : 5T 8 2,51cm esp 20cm 5 Armateur de répartition: As 2,00cm 2 Asmin 2,17cm 2 ...............Non vérifiée 2 100 On prend : 5T 8 2,51cm esp 20cm 5 III.4.5. CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES: [5] Les armatures transversales ne sont pas nécessaires si la condition ci après est vérifiée : T max u u u 0,05 f c 28 1,25MPa bd PFE 2006/2007 66 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES qu l Tumax= =32,25kN 2 32,25 10 3 u 0,179 MPa 1,25MPa.........verifiée 1000 180 III.4.6. VÉRIFICATION À L’ELS: [1] b. Vérification des contraintes : Il faut vérifier que : bc bc 0,6 f c 28 15MPa Le tableau suivant récapitule les résultats trouvés : Tableau III.4.2 : Vérification des contraintes à l’ELS σbc bc Mser As Y I(cm4) (MP observation (kNm) (cm2) (cm) (MPa a Travée 32,14 7,91 5,26 33747,25 5,01 15 vérifié Appuis 6,42 2,51 3,02 39745,65 0,42 15 vérifié c. Vérification de la flèche :La valeur de la flèche n’est pas nécessaire si les conditions sont vérifiées : Les conditions ont vérifié : h 1 l 16 As 4,2 b0 d fe h Mt l 10M 0 Avec h=20cm, b=100cm ; d=18cm : l=5.60m ; M tser =32,14kN.m ; M 0 =32,14kN.m ; As=7,91cm2; fe=400MPa Alors : h 0,0357 0,0625 ……………………condition non vérifie l As 0,0043 0,0105 …………………condition vérifie bd h 0,0357 0.1 ……………………condition non vérifie l Les trois conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calcule la flèche Flèche totale : f t f v f i f f i : la flèche dues aux charges instantanée. f v : la flèche dues aux charges de long durée. Selon B.A.E.L91 Moment d’inerte de la section rectangulaire homogène I 0 : bh 3 h 2 h 2 I0 15 As d ' A' s d 12 2 2 Calcule des moments d’inerte fictifs: 1,1 I 0 1,1 I 0 Ifi , Ifv 1 i 1 v PFE 2006/2007 67 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES 0,05 ft 28 i Avec b : coefficient pour la déformation instantanée 2 3 0 b 0,02 ft 28 v b : Coefficient pour la déformation différée 2 3 0 b As Pourcentage des armateurs b0 d 1,75 ft 28 1 4 s fc 28 Mser Contrainte de traction dans l’armature correspondant au cas de charge étudiée, s . As.d Les résultats sont récapitulés dans le tableau ci dessous : Mser As S Io Ifi Ifv i v µ 4 4 (kN.m) (cm²) (MPa) (cm ) (cm ) (cm4) 32,14 7,91 0,0043 225,73 4,77 1,91 0,872 76669,86 16346,13 31639,93 Calcul de la flèche de déformation instantanée: Mser l 2 fi 1,92cm ,l=5,60m 10 Ei Ifi Calcul de la flèche de déformation différé: Mser l 2 fi 2,94cm l=5,60m 10 Ev Ifv f t fv fi 1,02cm l f =0,5+ f 0,5 0,56 1,06cm 1000 ft f : D'ou la condition de flèche est vérifié III.5. ACROTÈRE III.5.1. INTRODUCTION L’acrotère est un élément non structural, il sera calculé comme une console encastrée au niveau du plancher terrasse qui est la section dangereuse, d’après sa disposition, l’acrotère est soumis à une flexion composée due aux charges suivantes : PFE 2006/2007 68 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Son poids propres sous forme d’un effort normal vertical. Une force horizontale due à une main courante Q=1kN/ml. Le calcul se fait pour une bande de 1m de largeur dont les dimensions sont les suivantes : - Largeur b=100cm - Hauteur H=60cm - Epaisseur e=10cm 10 cm 10 cm 1 KN 2cm 8cm 60cm G Figure III.5.1 : Dimensions de l’acrotère 1 KN III.5.2. EVALUATION DES CHARGES a. Charges permanentes : Surface de l’acrotère : S 0,1x0,6 0,1x0,08 0,1x0,02 0,069cm 2 2 G Poids propre de l’acrotère : G b xS 25 x0,069 1,725kN / ml Revêtement en ciment (e=2cm ; ρ=14kN/m3) : G ci xexPcme 14 x0,02 x 60 10 x 2.10 2 0,392kN / ml G=2,117kN/ml FigureIII.5.2 : sollicitations b. Charge d’exploitation :Q=1,00kN/ml L’action des forces horizontales Qh : (Fp) [2] L’action des forces horizontales est données par :Fp=4.A.Cp.Wp Avec :A : Coefficient d’accélération de zone Pour la zone et le groupe d'usage appropriés. [A=0,25]…………………………………groupe 2. Cp : Facteur de force horizontale donnée par le tableau (6-1)………. [Cp=0,8]. Wp : Poids de l’acrotère =2,117kN. Fp=4x0, 25x0, 8x2, 12=1,694kN. PFE 2006/2007 69 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Qu=Max (1,5Q ; Fp) Fp 1,694kN Qu Qh 1,694kN 1,5Q 1,5kN Donc pour une bande de 1m de largeur : G=2,117kN/ml et Q=1,694KN/ml III.5.3. CALCUL DES EFFORTS : Pour une bande de 1m de largeur : E.L.U : Nu=1,35G=2,858kN 1 KN Mu=Qhh=1,525kNm Tu=Qh=2,541kN E.L.S : Nser=G=2,117kN Mser=Qhh=1,016kNm Tser=Qh=1,694kN G (-) (+) (+) N T M FigureIII.5.3 : diagrammes des efforts internes III.5.4. FERRAILLAGE DE L’ACROTÈRE: [1] h=10cm ; b=100cm ; fc28=25MPa ; σbc=14,17MPa ; c=c’=2cm ; fe=400MPa A's 10cm As ▪ Calcul de l’excentricité : 100cm M 1,525 e0 u 53,35cm N u 2,858 h e 0 c' Section partiellement comprimée. h 10 c' 2 3cm 2 2 2 Le centre de pression se trouve à l’extérieur de la l’acrotère. Les armatures seront calculées à la flexion simple en équilibrant le moment fictif Mf. ▪ Calcul du moment fictif « Mf » : PFE 2006/2007 70 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES h M f M u Nu c' 1,611kNm 2 Mf 0,014 bd 2 bc R 0,392 As' 0 Les armatures comprimées ne sont nécessaires. 1,25 1 1 2 0,0176 Z d 1 0,4 8,937cm fe 0,014 0,186 s 10% et s 348MPa s Asf f M f Mf Asf 51,80mm 2 Z s As1 As 0 Nu As 2 Asf 43,60mm 2 s As1 0cm 2 Donc : As 2 0,43cm 2 III.5.5.VÉRIFICATION DE LA SECTION D’ACIER SELON « BAEL 91 MODIFIÉ99 »:[1] Il faut vérifier As avec la section minimale imposée par la règle du millième et par la règle de non fragilité : ﾵﾧ Avec : ft28=2,1MPa ; fe=400MPa ; b=100cm ; d=9cm ﾵﾧ Donc : on opte finalement pour 6HA6=1,70cm2 Avec un espacement ﾵ ﾧ III.5.6. ARMATURES DE RÉPARTITIONS : [1] ﾵﾧ On choisi 4HA6=1,13cm2 avec un espacement ﾵ ﾧ III.5.7. VÉRIFICATION À L’ELS : [1] Yc c<0 ﾵﾧ Axe neutre Yser 10cm On a : ﾵ ﾧ La section est partiellement comprimée As (SPC). 100cm C : La distance entre le centre de pression et la fibre la plus comprimée. C=d -eA Avec :ﾵ ﾧ D’après le « BAEL 91 modifié 99 », on doit résoudre l’équation suivant : ﾵﾧ yc : Distance entre le centre de pression et l’axe neutre. PFE 2006/2007 71 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Avec : ﾵﾧ La solution de l’équation du troisième degré est obtenue par : ﾵﾧ La solution qui convient est : yc=46,13cm Car : 0<yser=yc+c<d 0<yser=46,13-43=3,13cm<9cm Donc :ﾵ ﾧ Calcul du moment d’inertie : ﾵﾧ III.5.8. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES : [1] a. Contrainte du béton : ﾵﾧ b. Contraintes de l’acier : ﾵ ﾧﾵ ﾧ III.5.9. VÉRIFICATION DE L’EFFORT TRANCHANT : [1] La contrainte de cisaillement est donnée par la formule suivante : ﾵﾧ III.5.10. Schéma de Ferraillage : 10 cm 10 cm HA6 2cm 8cm 2x4HA6 e=20cm 60cm HA6 e=20cm 6HA6/ml e=20cm 6HA6/ml e=20cm Figure : III.5.4 : Ferraillage de l'acrotère PFE 2006/2007 72 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES III.6. BALCONS: III.6.1. INTRODUCTION: Le bâtiment étudié comporte un seul type de balcon, il est en porte a faux, et se calcul comme une console de dalle pleine encastré à une extrémité et libre à l'autre, soumise a : ♦ son poids propre ♦ la sur charge d'exploitation ♦ charge concentre a son extrémité Le calcule se faite pour un bonde de 1m de largeur . 2,35 III.6.2. EVALUATION DES CHARGES:[3] Charge permanente: -Carrelage (ep=2cm)………………………0,40kN/m2 -mortier de pose …………………………...0,40KN/m2 -lit de sable ………………………………..0,54kN/m2 -dalle pleine(ep=16cm)……………………4,00kN/m2 -enduit de ciment …………………………0,36kN/m2 G=5,70kN/m2 Charge d'exploitation: Q=3,50kN/m2 Charge concentrée "F": (Poids du mur) -enduit de ciment …………………………0,36kN/m2 -maçonnerie (ep=10cm)……………………0,90kN/m2 - enduit de ciment …………………………0,36kN/m2 f=1,62kN III.6.2.1. SCHÉMA STATIQUE: q f 2,35m III.6.2.2. COMBINAISON DES CHARGES: Tableau.III.6.1 : Combinaison des charges ELU ELS 9,2q(kN/ml) F(kN)12, 2,19 1,62 945 III.6.2.3. CALCUL DES EFFORTS INTERNES: La section dangereuse est au niveau de l'encastrement. q 2 Moment fléchissant: M x x Fx 2 Effort tranchant: T x qx F PFE 2006/2007 73 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Tableau.III.6.2: Calcul des efforts internes ELU ELS M (kNm) -40,89 -29,21 T (kN) 32,61 23,24 Diagramme des efforts internes: 32,36 40,89 E.L.U: (-) (+) M(kN.m) T(kN) 29,21 23,24 E.L.S: (-) (+) M (KN.m) T(kN) Figure III.6.3. Diagramme des efforts internes: III.6.3. CALCUL DE FERRAILLAGE:[1] Le calcul se fait en flexion simple pour une bande de 1ml. fc28=25MPa ; ft28=2,1MPa ; σbc=14,2MPa ; b=100cm ; h=16cm ; d=14,4cm ; fe=400MPa Tableau.III.6.3: Ferraillage du balcon Mu(kNm) µ µ<µR A's(cm2) α Z(cm) Acals(cm2) Choix Aadps(cm2) Esp(cm) 40,89 0,138 Oui 0 0,187 13,31 8,82 6HA14 9,23 17 * Espacement: 3h;33cm. . . . . . . . . pour une ch arg e répartie St Min 2h;22cm. . . . . . . . . pour une ch arg e concentrée 33cm St Min St 17cm. . . . . . . vérifiée 22cm * Armatures de répartitions: PFE 2006/2007 74 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES As A Ar s 2,30cm 2 Ar 4,61cm 2 4 2 Le choix est de:4HA10/ml=3,14cm2/ml; avec: St=25cm III.6.4. VÉRIFICATIONS: [1] a. Condition de non fragilité: f t 28 As Asmin 0,23bd fe As 9,23cm 2 Asmin 1,74cm 2 ..............vérifiée b. Vérification de l'effort tranchant: On doit vérifier que: u u Avec: u Min 0,1 f c 28 ;4MPa 2,5MPa (Fissuration préjudiciable). Tumax 32,61.10 3 u 0,226 MPa u 2,5MPa.................vérifiée bd 1000 x144 c. Vérification de l'E.L.S: On considère que la fissuration est préjudiciable. c.1. Vérification des contraintes: Position de l'axe neutre "y": b 2 y nAs y c nAs d y 0 2 Moment d'inertie "I": b 3 y nAs y c nAs d y 2 2 I 3 Avec: n=15 ; c'=2cm ; d=14,4cm ; b=100cm ; A's=0 On doit vérifier que: M ser bc I y bc 0,6 f c 28 15MPa s n M ser d y s Min 2 fe;15 240MPa I 3 Les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous: Tableau.III.6.4: Vérification des contraintes du balcon Mser(kNm) As(cm2) y(cm) I(cm4) σbc(MPa) bc bc σs(MPa) s s 29,21 9,23 5,08 16395,9 9,05 vérifié 249,05 non vérifiée Donc l'état limite de service vis-à-vis les fissure ne pas vérifie on redimensionne la section d'armature tendue Redimensionnent a L'E.L.S selon B.A.E.L 91: [1] 30 Mser 1 1,176 s bd 2 3 Cos θ= 2 θ=38,360 1 2 cos 240 0 0,358 3 PFE 2006/2007 75 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES bc s 8,92MPa n 1 bc bc ..................verifie Calcul de la section d'armatures: b d 2 As= 9,58cm 2 30 1 On adopte: 7HA14 =10,78cm2/ml; St=14cm c.2. Vérification de la flèche : [1] h 1 16 0,068 0,0625...............vérifiée L 16 235 Une condition n'est pas A 4,2 10,78 vérifiée; donc la s 0,0074 0,0105......nonvérifiée vérification de la flèche bd fe 100 x14,4 est nécessaire. h Mt 0,068 0,1...........................vérifiée Selon B.A.E.L91 : [1] L 10 M 0 Moment d’inerte de la section rectangulaire homogène I 0 : bh3 h 2 h 2 I0 15 As d ' A' s d 12 2 2 Calcul des moments d’inertie fictifs: 1,1 I 0 1,1 I 0 Ifi , Ifv 1 i 1 v Avec : coefficient pour la déformation instantanée 0,02 ft 28 v b : Coefficient pour la déformation différée 2 3 0 b As Pourcentage des armateurs b0 d 1,75 ft 28 1 4 s fc 28 Mser Contrainte de traction dans l’armateur correspondant au cas de charge étudiée, s As.d Les résultats sont récapitulés dans le tableau ci dessous : M As S Io Ifi Ifv ser i v µ (cm²) (MPa) (cm4) (cm4) (cm4) (kN.m) 29,21 10,78 0,007 203,57 3 1,2 0,528 40756,57 17349,93 35767,34 Calcul du module de déformation 1 Ei=11000 fc 3 32164,20 MPa 28 3 Ev=3700 fc 28 =10818 ,9 MPa Calcul de la flèche due à la déformation instantanée Mser l 2 fi 0,289cm ,L=2,35m 10 Ei Ifi PFE 2006/2007 76 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Calcul de la flèche due à la déformation différée: Mser l 2 fi 0,416cm L=2,35m 10 Ev Ifv f t fv fi 0;127cm l Elément console avec: L>2m f = f 0,94cm [1] 250 : d'ou la condition de flèche est vérifie ft f d. Vérification à la torsion: [7] La poutre est une section pleine qui doit être assimiler à une section creuse " (d'après le formulaire en béton armé) d'une épaisseur de paroi égale à b0" : a 35 b0 5,83cm 6 6 La contrainte tangente de torsion "τut" doit être cumulée avec la contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant "τuv". On doit vérifier: ut uv lim 2 2 2 Tu Avec: ut (Contrainte de torsion) 2b0 V 55 uv u (Contrainte de cisaillement) bxh lim 5MPa (Contrainte limite) Tel que: Tu: Moment de torsion. 35 Vu: Effort tranchant. Ω: Aire du contour à mi-épaisseur de la paroi. b0: Epaisseur de la paroi. b: Largeur de la poutre. h: Hauteur de la poutre. Ω=((35-5,83)x(55-5.83)=1434,28cm2 40,89.10 6 ut 0,407 MPa 2 x1434,28.10 2 x350 32,61.10 3 uv 0,169 MPa 350 x550 2 2 ut uv 194 MPa 25MPa............vérifiée e. Plan de ferraillage: 7HA14/ml; St=20cm 4HA10/ml; St=25cm 4HA10/ml; St=25cm 7HA14/ml; St=20cm 2,35m PFE 2006/2007 Figure:III.6.4. ferraillage des balcons. 77 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES III.7. CALCUL DES ESCALIERS : III.7.1. Définition : Les escaliers sont des éléments constitués d’une section de gradins et permettant le passage à pied entre les différents niveaux du bâtiment. Dans notre ouvrage, nous avons plusieurs types d'escaliers : Dans le bloc A : il y a un escalier important réalisée en béton armé coulé sur place dans le noyau centrale par conséquent la hauteur des étages h est varie. Pour ce la nous avons choisi d'étudié (04 types) d'escaliers qui se trouves dans le RDC et étages courant. - type (01) et (02) pour RDC - type (03) pour étage service - type (04) pour étage habitation Dans le bloc B : on a 02 types d'escaliers: Escalier en forme en forme droit (paliers /volées) réalisés en béton armé servent à relier les planchers à partir de niveau (-6.12) à niveau (+17.34) Escalier secondaire en bois à deux volées (étages habitation) III.7.2. Escaliers de bloc A: III.7.2.1. Pré dimensionnement et évaluation des charges : A. Escalier de RDC (type 01et02): 5, 10 6x 30 3, 91 3, 23 6x 30 Type 02 2, 04 e Type 01 6x3 0 0, 85 PFE 2006/2007 78 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES ▪ vue en élévation ▪ Schéma statique: On considère deux schémas statiques : Escalier type 01 Escalier type 02 A.1. type 01 +2,04 +0,85 Epaisseur de l'escalier :[10] Selon l'ouvrage de HENRY THONIER (conception et calcul des structure du bâtiment), On calcul l'épaisseur de l'escalier par tâtonnement selon la formule suivante : e 0,018 L 3 25e Q Avec : L : longueur horizontale de l'escalier. PFE 2006/2007 79 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES e : épaisseur de l'escalier. Q : charge d'exploitation de l'escalier (Q=2,5kN/m2 étage service (bureaux)) L=5,60m Pour : e=0,16m0,16# 0,018 5,60 3 25 0,16 2,5 e=0,17m0,17# 0,018 5,60 3 25 0,17 2,5 =0,19m e=0,18m0,18# 0,018 5,60 3 25 0,18 2,5 =0,19m e=0,19m0,19 0,018 5,60 3 25 0,19 2,5 =0,195m D’où : on prend l'épaisseur d'escalier (paillasse et palier) : e=20cm Hauteur de la contre marche : 14cm h 20cm h =17cm Longueur de la marche : 22cm g 33cm g =30cm H=0,17x nombre de contre marche. H=0,17.7=1,19m. Nombre de marche : m=6 marche. Vérification de la loi de BLONDEL On doit vérifier que : 59cm g 2h 66cm g 2h 30 2 17 64cm 59cm 64cm 66cm ………………….. Condition vérifiée. D’où : e=20cm h=17cm g=30cm Lhorizontale=5,60m 33,47 0 EVALUATION DES CHARGES :[3] a. Palier : 1. Charge permanente : - Carrellage (e=2cm)……………………………........ 0,02.20 = 0.40 kN/m2 - Mortier de Pose (e =2cm)…………………………. 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - poids propre de palier (Dalle pleine) (20cm) …25.0, 20 = 5.00 kN /m2 - enduit de ciment (2cm) ………………………(0,02) .(10) = 0,20 kN/m2 G1= 6,16 kN /m2 2 2. Charge d’exploitation : Q1= 2,50 kN/m b. Paillasse : 1. Charge permanente : - Poids propre de la paillasse………….… (0,20). (25).cos33, 470 = 4,17 kN/m2 - Poids propre de la marche …………….…… (0,17). (25)/2 = 2,125 kN/m2 - Mortier de pose ……………………………….... 0,02. (20 = 0,40 kN/m2 - Carrelage ………………………………............ 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - Enduit de ciment ……………………………....... ....0,02. 18 = 0,36 kN/m2 - Garde corps en maçonnerie……………………….. Q=2,50kN/ml =1,62 kN/m 2 G2 =9,075 kN/m2 2 2. Charge d’exploitation : Q2 = 2,50kN/m c. calcul des efforts internes : g0=6,16kN/ml g=9,075kN/ml Schéma statique: PFE 2006/2007 80 L1=1,90m L1=1,80m L1=1,90m Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Le chargement est donné pour une bande de 1ml de largeur. g0=6,16kN/ml A l'ELU : ♦ moment fléchissant :[10] g 0 L1 2 M u 1,35 g L 2 L L2 Q L2 1,50 2 8 8 6,16 1,9 2 9,075 1,80 2 5,60 1,80 1,50 2,50 5,60 2 M u 1,35 2 8 8 M u 55,62kN m ♦ Effort tranchant :[10] QL Tu 1,35 g 0 L1 0,50 g L2 1,50 2 2,50 5,60 Tu 1,35 6,16 1,90 0,50 9,075 1,80 1,50 2 Tu 31,42kN m Notre escalier est encastré à deux extrémités. Donc: Mappui=0,5Mu Mappui=27,81kN.m Mtravée=0,85Mu Mtravée=47,28kN.m A.2.type 02: Pour le pré dimensionnement on adopte même dimension de type (01). EVALUATION DES CHARGES : a.Charges permanentes: ► paillasse: G=9,075kN/m2 ► Palier gauche: – carrellage (2cm) …………………….20X0, 02=0,40 kN/m2 – mortier de pose (2cm)………………. 20X0, 02=0,40 kN/m2 – poids propre de palier (Dalle pleine) (20cm) …25.0, 20 = 5.00 kN /m2 – enduit de ciment (2cm)……………. 18x0, 02=0,36 kN /m2 – poids du marche…………………. (0,17/2) x25=2,125 kN /m2 G= 8,285 kN /m2 ► Palier droite: G= 6,16 kN /m2 PFE 2006/2007 81 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES b.Charges d'exploitation: Q=2,50 kN /m2 c. calcul des efforts internes : Schéma statique: Le chargement est donné pour une bande de 1ml de largeur. qu3 qu1 qu2 L1=1,90m L1=1,80m L1=1,90m Sollicitations: Qu1=1,35. (8,285)+1,5. (2,50)=14,93 kN /ml Qu2=1,35. (9,075)+1,5. (2,50)=16,0 kN /ml Qu3=1,35. (6,16)+1,5. (2,50)=12,07kN /ml ♦ moment fléchissant : M max u 52,57 kN m Notre escalier est encastré à deux extrémités. Donc: Mappui=0,50Mu max=26,29 kN .m Mtravée=0,85Mu max=44,68 kN .m ♦ Effort tranchant : Tu 31,42kN Conclusion: on remarque que l'escalier de type (01) est plus sollicité; donc le calcul de ferraillage se fera avec ce type pour l'étage de RDC III.7.2.2. CALCUL DES ARMATURES : [1] Le ferraillage se fait en flexion simple pour une bande de 1ml de largeur. Pour le béton : f c 28 25 MPa ; f t 28 2,1 MPa ; f bc 4,2 MPa Pour l’acier (FeE400) : f e 400 MPa s 348 MPa h =20 cm ; d = 18cm. ; b = 1m (ferraillage pour 1 ml) A. Armature principale: ♦ En travée : Mu 47,28.10 6 0,103 b d ² f bc 1000 180² 14,2 0,103 R 0,392 A's 0 0,135 ; z 17,03 cm As 7,98 cm² / ml Choix : 8HA12=9,05cm2/ml; St=10cm ♦ Sur appui : Mu 27,81.10 6 0,0604 b d ² f bc 1000 180² 14,2 0,0604 R 0,392 A' s 0 0,0779 ; z 17,44 cm As 4,58 cm² / ml PFE 2006/2007 82 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Choix : 6HA10=4,71cm2/ml; St=20cm B. Armature de répartition : ♦ En travée : As As 9,05 9,05 AArep A Arep 2,26cm 2 AArep 4,53cm 2 4 2 4 2 100 On prend: As 6 HA8 3,02 cm² / ml S t 20 cm 5 ♦ Sur appui: As As 4,71 4,71 AArep AArep 1,18cm 2 AArep 2,36cm 2 4 2 4 2 100 On prend: As 4 HA8 2,01 cm² / ml S t 25 cm 3 C. Vérifications : [1] C.1.Vérification de la contrainte de cisaillement (effort tranchant) : Pour des fissurations préjudiciable, on doit vérifier que : T f u u u min 0,15 c 28 ;4 MPa bd b Tu max 31,42 kN 3 31,42 10 u 0,174 MPa 2,5 MPa La contrainte est vérifiée vis-à-vis de 1000 180 cisaillement. C.2Vérification de la condition de non fragilité : min f t 28 On doit vérifier que : As As 0,23 b d fe min 2,1 As 0,23 1000 180 2,17 cm² As Ok 400 ▪ En travée : As=9,05cm2>Asmin=2,17cm2………………vérifiée ▪ Sur appui : As=4,71cm2>Asmin=2,17cm2……………vérifiée C.3 :Vérification au voisinage des appuis : Vérification de la compression du béton: Tu f On doit vérifier que: b 0,4 c 28 0,9 b d b 31,42 f b 0,194 MPa 0,4 c 28 6,66 MPa …………….vérifiée 0,9 1000 180 b Vérification des armatures longitudinales: MU Tu On doit vérifier que: As 0,9 d s 27,81 10 6 31,42 10 3 0,9 180 ……….vérifiée As 4,71cm 2 4,03cm 2 348 PFE 2006/2007 83 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Vérification des armatures transversales: f At e On doit vérifier que: s u 0,3 f t 28 b St 0,9 2,01 348 0,174 0,3 2,1 0,279MPa 0,51MPa ……… vérifiée 100 25 0,9 C.4.Vérification à l'ELS: [1] Vérification des contraintes ▪ Position de l'axe neutre : b / 3 y ² 15 As d y 0 ▪ Moment d’inertie I : I b / 3 y 3 15 As d y ² ▪ Vérification de la contrainte du béton : M b ser y b 0,6 f c 28 15MPa I ▪ Vérifications des contraintes de l'acier : s n M ser d y 2 f e ;150 240MPa s min I 3 Tous les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : g L 2 2 0 1 g L 2 L L2 Q L 40,11kN m 2 Avec : M ser 2 8 8 En travée: Mser=0,85.40,11=34,09kN.m Sur appui : Mser=0,50.40, 11=20,06kN.m Sur appui En travée Mser (kN.m) 20,06 34,09 As (cm2) 4,71 9,05 d (cm) 18 18 Y (cm) 4,39 5,76 I (cm4) 15906,80 26707,84 b (MPa) 5,53 7,35 b (MPa) 15 15 s (MPa) 257,45 234,35 s (MPa) 240 240 observation vérifié Tableau III.7.1 Vérification des contraintes Remarque: la contrainte de l'acier n'est pas vérifiée sur l'appui donc on augmente la section : On prend: As=8HA10=6,28cm2/ml Y=4, 96cm; I=20085, 38cm4 s n M ser d y 2 f e ;150 240MPa s min I 3 2 s 195,35MPa s min f e ;150 240MPa ………………..vérifiée 3 Vérifications de la flèche :[1] PFE 2006/2007 84 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Selon l’article 8-7-5 (CBA 93), on peut admettre qu’il n’est pas nécessaire de procéder au calcul des flèches si les conditions suivantes sont satisfaites. h Mt 0,20 0,85 0,0357 0,085 .................................. condition non vérifiée L 20.M 0 5,60 10 As 4,2 10,78 4,2 0,00598 0,0105 ........................... condition vérifiée b.d fe 100.180 400 h 1 0,0357 0,085............................................................condition non vérifiée L 16 Les trois conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calculer la flèche Flèche totale : f t f v f i f f i : la flèche dues aux charges instantanée. f v : la flèche dues aux charges de long durée. Position de l’axe neutre : h hh y1 b h0 0 h h0 b0 0 h0 15 As 1 2 2 b h0 h h0 b0 15 As Moment d’inerte de la section totale homogène I 0 : b 3 b b b0 I 0 y1 0 h y1 y1 h 0 15 As d y1 3 3 2 3 3 3 Calcule des moments d’inerte fictifs : 1,1 I 0 1,1 I 0 Ifi , Ifv 1 i 1 v 0,05 ft 28 i Avec b : coefficient pour la déformation instantanée 2 3 0 b 0,02 ft 28 v b : Coefficient pour la déformation différée 2 3 0 b As : Pourcentage des armateurs b0 d 1,75 ft 28 1 4 s fc 28 Mser Contrainte de traction dans l’armateur correspondant au cas de charge étudiée : s As.d Les résultats sont récapitulés dans le tableau ci dessous : Tableau III.7.2 : Tableau récapitulatif pour la vérification de la flèche. Mser As Y1 S Io Ifi Ifv i v µ 4 4 (kN.m) (cm²) (cm) (MPa) (cm ) (cm ) (cm4) 34,09 9,05 0,0050 10,51 209,27 4,17 1,67 0,418 74802,45 29996,68 64332,35 Calcul des modules de déformation : PFE 2006/2007 85 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES 1 Ei=11000 fc 3 32164,20 MPa 28 Ev=3700 3 fc 28 =10818 ,87 MPa Calcul de la flèche due à la déformation instantanée Mser l 2 fi 1,134cm , L=5,60m 10 Ei Ifi Calcul de la flèche due à la déformation différée Mser l 2 fv 1,54cm L=5,60m 10 Ev Ifv f t fv fi 0,402cm l f =0,5+ f 0,5 0,56 1,06cm 1000 ft f : D’où la flèche est vérifiée. Ferraillage d’escalier : type 01 2HA8 St = 20 cm Ø6 0.5 5 0.05 0.0 5 H A8 S t = 25 cm H A12 St = 10 c m 2.0 5 0.1 5 0.6 0 2 .35 0 .60 0.1 5 H A 12 St = 10 cm 1.5 0 HA10 S t = 10 c m 2HA 8 S t = 20 c m 0.15 2. 72 0.1 5 2 .15 HA 8 St = 20 c m 9, 18 58 5x 30 58 7, 99 6x 30 Type 03 B.Escalier de type 03(étage service): 58 6, 46 e 6x3 0 5,10 PFE 2006/2007 86 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES ▪ vue en élévation ▪ Escalier type 03 1,53 29,91 1,47 2,66 1,47 Remarque: on garde même dimensions pour tous les types d'escaliers (e=20cm; h=17cm; g=30cm) Evaluation des charges et surcharges: a. Palier : •Charge permanente : - Carrellage (e=2cm)……………………………........ 0,02.20 = 0.40 kN/m2 - Mortier de Pose (e =2cm)…………………………. 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - poids propre de palier (Dalle pleine) (20cm) …25.0, 20 = 5.00 kN /m2 - enduit de ciment (2cm) ………………………(0,02) .(10) = 0,20 kN/m2 g0= 6,16 kN /m2 •Charge d’exploitation : Q1= 2,50 kN/m2 b. Paillasse : •Charge permanente : - Poids propre de la paillasse………… (0,20). (25).cos (29, 910) = 4,33 kN/m2 - Poids propre de la marche ………… (0,17). (25)/2 = 2,125 kN/m2 - Mortier de pose …………………… 0,02. (20 = 0,40 kN/m2 - Carrelage …………………………… 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - Enduit de ciment …………………… 0,02. 18 = 0,36 kN/m2 Q=2,50kN/ml - Garde corps en maçonnerie…………….. =1,62 kN/m2 g =9,24 kN/m2 2 •Charge d’exploitation : Q2 = 2,50kN/m Calcul des efforts internes : Schéma statique: Le chargement est donné pour une bande de 1ml de largeur. PFE 2006/2007 87 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES g0=6,16kN/ml ELU : ♦ moment fléchissant :[10] g L 2 2 L L2 1,50 Q L2 M u 1,35 0 1 g L 2 8 8 6,16 1,47 2 9,24 2,66 2 5,60 2,66 1,50 2,50 5,60 2 M u 1,35 2 8 8 M u 59,11kN m ♦ Effort tranchant : [10] QL Tu 1,35 g 0 L1 0,50 g L2 1,50 2 2,50 5,60 Tu 1,35 6,16 1,47 0,50 9,24 2,66 1,50 2 Tu 39,31kN Notre escalier est encastré à deux extrémités. Donc: Mappui=0,5Mu Mappui=29,551kN.m Mtravée=0,85Mu Mtravée=50,24kN.m Calcul des armatures : [1] Le ferraillage se fait en flexion simple pour une bande de 1ml de largeur. Pour le béton : f c 28 25 MPa ; f t 28 2,1 MPa ; f bc 4,2 MPa Pour l’acier (FeE400) : f e 400 MPa s 348 MPa h =20 cm ; d = 18cm. ; b = 1m (ferraillage pour 1 ml) A. Armature principale:[1] ♦ En travée : Mu 50,24.10 6 0,109 b d ² f bc 1000 180² 14,2 0,109 R 0,392 A' s 0 0,145 ; z 16,96 cm As 8,51 cm² / ml Choix : 8HA12=9,05cm2/ml; St=10cm PFE 2006/2007 88 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES ♦ Sur appui : Mu 29,55.10 6 0,064 b d ² f bc 1000 180² 14,2 0,064 R 0,392 A' s 0 0,083 ; z 17,40 cm As 4,88 cm² / ml Choix : 7HA10=5,50cm2/ml; St=15cm B. Armature de répartition : ♦ En travée : As As 9,05 9,05 A Arep A Arep 2,26cm 2 AArep 4,53cm 2 4 2 4 2 100 On prend: As 6 HA8 3,02 cm² / ml S t 20 cm 5 ♦ Sur appui: As As 5,50 5,50 AArep AArep 1,37cm 2 A Arep 2,75cm 2 4 2 4 2 100 On prend: As 4 HA8 2,01 cm² / ml S t 25 cm 3 C. Vérifications: [1] C.1. vérifications à l' ELU Vérification de la contrainte de cisaillement (effort tranchant) : Pour des fissurations préjudiciable, on doit vérifier que : Tu f u u min 0,15 c 28 ;4 MPa Tu max 39,31 kN bd b 39,31 10 3 u 0,218 MPa 2,5 MPa La contrainte est vérifiée vis-à-vis de 1000 180 cisaillement.. Vérification de la condition de non fragilité : min f t 28 On doit vérifier que : As As 0,23 b d fe min 2,1 As 0,23 1000 180 2,17 cm² 400 ▪ En travée : As=9,05cm2>Asmin=2,17cm2………………vérifiée ▪ Sur appui : As=5,50cm2>Asmin=2,17cm2……………vérifiée Vérification au voisinage des appuis : Vérification de la compression du béton: Tu f On doit vérifier que: b 0,4 c 28 0,9 b d b 39,31 f b 0,243MPa 0,4 c 28 6,66MPa …………….vérifiée 0,9 1000 180 b Vérification des armatures longitudinales: PFE 2006/2007 89 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES MU Tu On doit vérifier que: 0,9 d As s 29,55 10 6 39,31 10 3 0,9 180 ……….vérifiée As 5,50cm 2 4,23cm 2 348 Vérification des armatures transversales: f At e On doit vérifier que: s u 0,3 f t 28 b St 0,9 2,01 348 0,243 0,3 2,1 0,279 MPa 0,43MPa ……… vérifiée 100 25 0,9 C.1. Vérifications à l' ELS: Vérification des contraintes g L 2 2 0 1 g L 2 L L2 Q L 42,70kN m 2 Avec : M ser 2 8 8 En travée: Mser=0,85.42,70=36,29kN.m Sur appui : Mser=0,50.42,70=21,35kN.m Sur appui En travée Mser (kN.m) 21,35 36,29 As (cm2) 5,50 9,05 d (cm) 18 18 Y (cm) 4,39 5,76 I (cm4) 15906,80 26707,84 b (MPa) 5,53 7,83 b (MPa) 15 15 s (MPa) 236,09 249,47 s (MPa) 240 240 observation vérifié Tableau III.7.3 :Vérification des contraintes Remarque: la contrainte de l'acier n'est pas vérifiée en travée donc on augmente la section : On prend: As=7HA14=10,78cm2/ml Y=6, 01cm; I=30482, 06cm4 s n M ser d y 2 f e ;150 240MPa s min I 3 2 s 214,12MPa s min f e ;150 240 MPa ………………..vérifiée 3 Vérifications de la flèche :[6] Selon l’article 8-7-5 (CBA 93), on peut admettre qu’il n’est pas nécessaire de procéder au calcul des flèches si les conditions suivantes sont satisfaites. PFE 2006/2007 90 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES h Mt 0,20 0,85 0,0357 0,085 .................................. condition non vérifiée L 20.M 0 5,60 10 As 4,2 10,78 4,2 0,00598 0,0105 ........................... condition vérifiée b.d fe 100.180 400 h 1 0,0357 0,085............................................................condition non vérifiée L 16 Les trois conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calculer la flèche Tableau III.7.4 : Tableau récapitulatif pour la vérification de la flèche. Mser As Y1 S Io Ifi Ifv i v µ 4 4 (kN.m) (cm²) (cm) (MPa) (cm ) (cm ) (cm4) 36,29 10,78 0,0060 10,60 187,02 3,50 1,40 0,558 76241,35 28400,09 63898,48 Calcul de la flèche due à la déformation instantanée Mser l 2 fi 1,245cm , L=5,60m 10 Ei Ifi Calcul de la flèche due à la déformation différée Mser l 2 fv 1,645cm L=5,60m 10 Ev Ifv f t fv fi 0,401cm l f =0,5+ f 0,5 0,56 1,06cm 1000 : D’où la flèche est vérifiée. ft f Remarque:pour l'escalier de 4èmetype (étage habitation) on adopte même ferraillage de RDC. III.7.4. ESCALIERS DE BLOC (B): + III.7.4.1.PRE DIMENSIONNEMENT ET EVALUATION DES CHARGES 2 , D. Escalier de RDC du bloc B: 5 Schéma statique: 5 Escalier type 01 Epaisseur de l'escalier :[10] PFE 2006/2007 91 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Selon l'ouvrage de HENRY THONIER (conception et calcul des structure du bâtiment), On calcul l'épaisseur de l'escalier par tâtonnement selon la formule suivante : e 0,018 L 3 25e Q Avec : L : longueur horizontale de l'escalier. e : épaisseur de l'escalier. Q : charge d'exploitation de l'escalier (Q=2,5kN/m2 étage service (bureaux)) L=5,60m Pour : e=0,16m0,16# 0,018 5,60 3 25 0,16 2,5 e=0,17m0,17# 0,018 5,60 3 25 0,17 2,5 =0,19m e=0,18m0,18# 0,018 5,60 3 25 0,18 2,5 =0,19m e=0,19m0,19 0,018 5,60 3 25 0,19 2,5 =0,195m D’où : on prend l'épaisseur d'escalier (paillasse et palier) : e=20cm Hauteur de la contre marche : 14cm h 20cm h =17cm Longueur de la marche : : 22cm g 33cm g =30cm *nombre de contre marche:255/17=15 contre marche *Nombre de marche : m=14 marche. Vérification de la loi de BLONDEL On doit vérifier que : 59cm g 2h 66cm g 2h 30 2 17 64cm 59cm 64cm 66cm ………………….. Condition vérifiée. D’où : e=20cm h=17cm g=30cm Lhorizontale=5,60m 31,26 0 Evaluation des charges : a. Palier : 3.Charge permanente : - Carrellage (e=2cm)……………………………........ 0,02.20 = 0.40 kN/m2 - Mortier de Pose (e =2cm)…………………………. 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - poids propre de palier (Dalle pleine) (20cm) …25.0, 20 = 5.00 kN /m2 - enduit de ciment (2cm) ………………………(0,02) .(10) = 0,20 kN/m2 G1= 6,16 kN /m2 2 2.Charge d’exploitation : Q1= 2,50 kN/m b. Paillasse : 2.Charge permanente : - Poids propre de la paillasse………….… (0,20). (25).cos31, 260 = 4,27 kN/m2 - Poids propre de la marche …………….…… (0,17). (25)/2 = 2,125 kN/m2 - Mortier de pose ……………………………….... 0,02. (20 = 0,40 kN/m2 - Carrelage ………………………………............ 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - Enduit de ciment ……………………………....... ....0,02. 18 = 0,36 kN/m2 - Garde corps en maçonnerie……………………….. =1,62 kN/m2 G2 =9,18 kN/m2 PFE 2006/2007 92 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES 2. Charge d’exploitation : Q2 = 2,50kN/m2 c. Calcul des efforts internes : Schéma statique: Le chargement est donné pour une bande de 1ml de largeur. q=2,5kN/ml g=9,18kN/ml g0=6,16kN/ml Combinaison des charges E.L.U : qu1=1,35g+1,5Q qu2=1,35g0+1,5Q E.L.S : qser1=G1+Q1 qser2=G2+Q2 Le chargement de la rampe pour une bande de 1m est donné par le tableau suivant : q1 (KN/ml) q2 (KN/ml) ELU 12,06 16,14 ELS 8,66 11,68 Tableau III.7.5 : sollicitations Remarque : Lorsque L’escaliers est simplement appuis on adopte le moment sur appuis de30%de moment de travée ELU ELS Moment en travée (kN.m) 61,29 44,33 Moment sur appuis (kN.m) 18,39 13,30 Effort tranchant (kN) 44,48 32,18 Tableau III.7.6 : sollicitations III.7.3.2. CALCUL DES ARMATURES:[1] - Le calcul se fait pour une section rectangulaire de dimension (b x h) Tel que : b=100cm ; h=20cm - Le ferraillage se fait en flexion simple pour une bande de 1m de largeur (organigramme I, voir annexe) f c 28 25MPa ; f bc 14,17 MPa ; f t 28 2,10MPa ; b 1,5 ; d=0,9h=18cm s 348MPa ; s 1,15 ; fe=400MPa PFE 2006/2007 93 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Sur appui En travée Mu(KNm) 18,39 61,29 0,039 0,133 R oui oui As' (cm²) 0 0 0,049 0,179 Z(cm) 17,65 16,71 cal A / ml (cm²) s 2,99 10,53 Choix 4HA10 10HA12 adp As / ml (cm² 3,14 11?31 Tableau III.7.7 : Ferraillage de l’escalier Espacement : 100 En travée : esp 11,11cm 9 On prend : esp=10cm 100 Sur appui : esp 33,33cm 3 On prend : esp=30cm Armature de répartition : As A En travée : Ar s 2,82cm² / ml Ar 5,65cm² / ml 4 2 Le choix est de 5T10=3,93cm² avec St=25cm As A Sur appui : Ar s 0,785cm² / ml Ar 1,57cm² / ml 4 2 Le choix est de 3T8=1,50cm² avec St=50cm III.7.3.3. VÉRIFICATIONS : [1] a. vérifications à l' ELU: Condition de non fragilité : f t 28 As Asmin 0,23bd 2,17cm² fe En travée : As 6,79cm 2 Asmin 2,17cm 2 ..................vérifiée As reparte= 3,93cm As 2,17cm ..................vérifiée 2 min 2 Sur appui : As 11,31cm 2 Asmin 2,17cm 2 ..................vérifiée As reparte 1,50cm 2 Asmin 2,17cm 2 ..................nonvérifiée On adopte 5T8=2,51cm Effort tranchant : On doit vérifier que : u u f Min 0,2 c 28 ;5MPa 3,33MPa ………………(Fissuration peu nuisible) b Tumax 44,48 10 3 0,247 MPa u 3,33MPa....................vérifiée bd 1000 180 Influence de l’effort tranchant au voisinage des appuis (vérification de l’ancrage) : PFE 2006/2007 94 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Les armatures longitudinales tendues inférieures doivent être ancrées au-delà de l’appui, pour équilibrer l’effort de traction. Mu -Si : Tu 0 les armatures ne sont soumises à aucun effort de traction. 0,9d Mu Tu M 0,9d -Si : Tu u 0 il faut satisfaire la condition suivante : As s 0,9d 6 Mu 18,39.10 Tu 44,48.10 3 69,33KN 0 0,9d 0,9 180 Les armatures ne sont soumises à aucun effort de traction. Vérification des armatures transversales : max T u 0,247 MPa 0,05 f c 28 1,25MPa.................vérifiée bd Donc les armatures transversales ne sont pas nécessaires b-Vérifications à l’E.L.S : La fissuration est considérée comme peu nuisible, donc il n’est pas nécessaire de vérifier la contrainte des armatures tendues. Vérification des contraintes du béton : - Position de l’axe neutre : b y ² nAs' ( y c ' ) nAs (d y ) 0 2 - Moment d’inertie : b 3 I y nAs' ( y c ' )² nAs (d y )² 3 Avec : n=15 ; c’=2cm ; d=18cm ; b=100cm On doit vérifier que: M bc ser y bc 0,6 f c 28 15MPa I Tous les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous Tableau III.7.8 : Vérification à l’E.L.S Mser As bc (MPa Y(cm) I(cm4) bc bc (KNm) (cm²) ) Travée 44,33 11,31 6,06 32380,46 8,29 Vérifiée Appui 13,30 3,14 3,17 11652,70 3,62 Vérifiée Vérification de la flèche : [1] Il n’est pas nécessaire de calculer la flèche si les inégalités suivantes sont satisfaites : PFE 2006/2007 95 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES h 1 20 560 0,0357 0,0625 non vérifiée L 16 As 4,2 11,31 0,00628 0,0105 vérifiée 100 18 bd fe h Mt 1 0,0357 0,1 non vérifiée 10 L 10M 0 Deux conditions ne sont pas vérifiées, donc il est nécessaire de calculer la flèche Flèche totale : f t f v f i f f i : la flèche dues aux charges instantanée. f v : la flèche dues aux charges de long durée. M ser L2 f i 10 E I i fi M ser L2 Avec : f v ; L=5,60m>5m 10 Ev I fv L f 500 Moment d’inertie de la section homogène I0 : 2 2 bh 3 h h I0 15 As d 15 As d 12 2 2 11, I0 I fi 1 i Moment d’inerties fictives. I I0 fv 1 v Avec :Mser =0,85.44,33=37,68kN.m 0,05 f t 28 As i 3b b0 d 2 0 b 1,75 f t 28 ; 1 0,02 f t 28 4 s f t 28 v 3b0 M ser 2 s b As d Les résultats sont récapitulés dans ce tableau : Tableau III.7.9: Vérification de la flèche de l’escalier Mser As s I0 Ifi Ifv i v µ (KNm) (cm2) (MPa) (cm4) (cm4) (cm4) PFE 2006/2007 96 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES 37,68 11,31 0,006 185,08 3,34 1,4 0,498 80538,67 35958,90 49924,78 PFE 2006/2007 97 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Calcul de la flèche due à la déformation instantanée: Mser l 2 fi 1,02cm , L=5,60m 10 Ei Ifi Calcul de la flèche due à la déformation différé: Mser l 2 fv 2,1cm L=5,60m 10 Ev Ifv f t fv fi 1,08cm l f =0,5+ f 0,5 0,56 1,06cm 1000 ft f : D’où la flèche est vérifiée. Escalier des étages de service bloc B: Schéma statique: 1. Epaisseur de l'escalier: [10] Selon l'ouvrage de HENRY THONIER (conception et calcul des structure du bâtiment), On calcul l'épaisseur de l'escalier par tâtonnement selon la formule suivante : e 0,018 L 3 25e Q Avec : L : longueur horizontale de l'escalier. e : épaisseur de l'escalier. Q : charge d'exploitation de l'escalier (Q=2,5kN/m2 étage service (bureaux)) L=5,60m Pour : e=0,16m0,16# 0,018 5,60 3 25 0,16 2,5 e=0,17m0,17# 0,018 5,60 3 25 0,17 2,5 =0,19m e=0,18m0,18# 0,018 5,60 3 25 0,18 2,5 =0,19m e=0,19m0,19 0,018 5,60 3 25 0,19 2,5 =0,195m D’où : on prend l'épaisseur d'escalier (paillasse et palier) : e=20cm Hauteur de la contre marche : 14cm h 20cm h =17cm Longueur de la marche : : 22cm g 33cm g =30cm -Nombre de contre marche:2,04/17=12 contre marche -Nombre de marche : m=11 marche. Vérification de la loi de BLONDEL On doit vérifier que : 59cm g 2h 66cm g 2h 30 2 17 64cm 59cm 64cm 66cm ………………….. Condition vérifiée. D’où : e=20cm h=17cm g=30cm Lhorizontale=5,60m 31,72 0 2. Evaluation des charges : PFE 2006/2007 96 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES A. Palier : 1.Charge permanente : - Carrellage (e=2cm)……………………………........ 0,02.20 = 0.40 kN/m2 - Mortier de Pose (e =2cm)…………………………. 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - poids propre de palier (Dalle pleine) (20cm) …25.0, 20 = 5.00 kN /m2 - enduit de ciment (2cm) ………………………(0,02) .(10) = 0,20 kN/m2 G1= 6,16 kN /m2 2 2.Charge d’exploitation : Q1= 2,50 kN/m B. Paillasse : 1.Charge permanente : - Poids propre de la paillasse………….… (0,20). (25).cos31,720 = 4,25 kN/m2 - Poids propre de la marche …………….…… (0,17). (25)/2 = 2,125 kN/m2 - Mortier de pose ……………………………….... 0,02. (20 = 0,40 kN/m2 - Carrelage ………………………………............ 0,02. 20 = 0,40 kN/m2 - Enduit de ciment ……………………………....... ....0,02. 18 = 0,36 kN/m2 - Garde corps en maçonnerie……………………….. =1,62 kN/m2 G2 =9,16 kN/m2 2 2. Charge d’exploitation : Q2 = 2,50kN/m 3. calcul des efforts internes : Schéma statique: Le chargement est donné pour une bande de 1ml de largeur. Combinaison des charges: E.L.U : qu1=1,35g+1,5Q qu2=1,35g0+1,5Q E.L.S : qser1=G1+Q1 qser2=G2+Q2 Le chargement de la rampe pour une bande de 1m est donné par le tableau suivant : q1 (KN/ml) q2 (KN/ml) ELU 12,06 16,12 ELS 8,66 11,66 Tableau III.7.10 : sollicitations PFE 2006/2007 97 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Remarque : Lorsque L’escaliers est simplement appuis on adopte le moment sur appuis de30pour cent de moment de travée ELU ELS Moment en travée (kN.m) 59,97 43,34 Moment sur appuis (kN.m) 17,99 13,00 Effort tranchant (kN) 41,01 29,98 Tableau III.7.11 : sollicitations Conclusion : on a les efforts internes dans l’escaliers des étages de service est égale que RDC donc on adopte le même section d’armateurs dont l’escaliers de bloc B. 02 nappes en HA8 e =25 cm 5 HA8e=25cm HA104e=30cm 9 10 HA8 HA10 e=25cm2 3 HA10 HA12 e=10cm 1 plan de ferraillage d'escaliers III.7.4.ETUDE DE LA POUTRE PALIERE : Le calcule de la poutre palière comme poutre simplement appuyée et uniformément chargé. III.7.4.1.PRE DIMENSIONNEMENT: On prendre la dimension de la poutre secondaire :h=50cmet b=35cm III.7.4.2.EVALUATION DES CHARGES : La poutre palière et sollicite par les charge suivante : -poids propre ………………………0,5x0,35x25=4,375 kN/ml -poids du palier ……………………6,16x1,40=8,62 kN/ml -poids propre de paillasse …………9,18x1,40=12,85 kN/ml GT=25,85 kN/ml PFE 2006/2007 98 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES Charge d’exploitation……………………Q=2,5x2,8=7 kN/ml COMBINAISON DES CHARGES E.L.U : qu1=1,35GT+1,5Q E.L.S : qser=GT+Q q1 (KN/ml) M0(kN.m) Mt(kN.m) Ma(kN.m) ELU 45,40 177,96 151,27 53,39 ELS 32,85 128,77 109,45 38,63 Tableau III.7.12 : Efforts Interne III.2.4.3.Calcul des armatures: Données : b=35cm, h=50cm f c 28 25MPa ; f bc 14,17 MPa ; f t 28 2,10MPa ; b 1,5 ; d=0,9h=45cm s 348MPa ; s 1,15 ; fe=400MPa Mu As' Z Ascal / ml Asadp / ml R Choix (KNm) (cm²) (cm) (cm²) (cm²) Travé 151,27 0,15 Oui 0 0,204 41,32 10,51 6T16 12,05 Appuis 53,39 0,053 Oui 0 0 ,068 43,77 3.50 4T12 5,52 Tableau III.7.13 : Ferraillage de la poutre palière a. Vérifications à l'ELU: : condition de non fragilité f t 28 As Asmin 0,23.b.d 2,11cm² fe En travée : As 12,05cm 2 Asmin 2,11cm 2 ..................vérifiée Sur appui : As 4,52cm 2 Asmin 2,11cm 2 ..................vérifiée Effort tranchant : On doit vérifier que : u u f Min 0,2 c 28 ;5MPa 3,33MPa ………………(Fissuration peu nuisible) b Tmax=127,12kN Tumax 127,12 10 3 0,807 MPa u 3,33MPa....................vérifiée bd 350 450 Vérification des armatures transversales : Tumax 0,807 MPa 0,05 f c 28 1,25MPa.................vérifiée bd Donc les armatures transversales ne sont pas nécessaires b.Vérification à l’E.L.S : La fissuration est considérée comme peu nuisible, donc il n’est pas nécessaire de vérifier la contrainte des armatures tendues. b.1. Vérification des contraintes du béton : - Position de l’axe neutre : b y ² nAs' ( y c ' ) nAs (d y ) 0 2 PFE 2006/2007 99 Chapitre III: CALCUL DES ELEMENTS SECONDAIRES - Moment d’inertie : b 3 I y nAs' ( y c ' )² nAs (d y )² 3 Avec : n=15 ; c’=5cm ; d=45cm ; b=35cm On doit vérifier que: M bc ser y bc 0,6 f c 28 15MPa I Tous les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous Tableau III.7.14 : Vérification à l’E.L.S Mser(KNm) As(cm²) Y(cm) I(cm4) bc (MPa) bc bc Travée 109,45 12,05 15,81 209861,99 8,24 Vérifiée Appui 38,63 5,52 10,39 117532,79 3,41 Vérifiée b.2. Vérification de la flèche : Il n’est pas nécessaire de calculer la flèche si les inégalités suivantes sont satisfaites : h 1 50 560 0,0892 0,0625 vérifiée L 16 As 4,2 12,05 0,00765 0,0105 vérifiée 35 x 45 bd fe h Mt 0,85 0,0892 0,085 vérifiée 10 L 10M 0 Les trois conditions sont vérifiées, donc la fleche vérifiées Ferraillage de la poutre palière 4HA12 3HA12 HA8 HA8 3HA16 6HA16 SUR APPUIS EN TRAVEE PFE 2006/2007 100
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