EJERCICIOS CAPITULO 61. El menú de la cafetería de José contiene toda una variedad de cafés, pastas y sándwiches. El producto marginal de un trabajador más es el número de clientes a los que puede atender en un determinado período de tiempo. José ha venido empleando a un trabajador, pero está considerando la posibilidad de contratar un segundo y un tercero. Explique por qué el producto marginal del segundo trabajador y del tercero podría ser más alto que el del primero. ¿Por qué sería de esperar que el producto marginal de los trabajadores adicionales acabara disminuyendo? El resultado del producto marginal del segundo y del tercer trabajador puede ser más alto porque existe un mayor rendimiento, se produce una mejora en el aprendizaje de los procesos. Asimismo si se contrata a más trabajadores el producto marginal de los trabajadores va a disminuir, ya que se produciría un agotamiento del esfuerzo de los trabajadores y además de un cambio en el clima laboral. 2. Suponga que un fabricante de sillas está produciendo a corto plazo (con la planta y el equipo que tiene). Ha observado los siguientes niveles de producción correspondiente a diferentes cantidades de trabajadores: PME. El producto marginal del trabajo puede ser negativo cuando hay congestión en la fábrica de sillas. Rellene los huecos del cuadro adjunto: . El cuadro adjunto indica los cálculos relevantes. b. el trabajo muestra rendimientos decrecientes. c. 3. del trabajo El producto medio del trabajo. ¿Muestra esta función de producción rendimientos decrecientes de escala del trabajo? Explique su respuesta. Calcule el producto medio y marginal correspondiente a esta función de producción. En este proceso de producción. PM. se molestan por lo que disminuye la producción. El producto marginal del trabajo. es igual a ΔQ/ ΔL. Cada unidad adicional de trabajo genera un aumento menor de la producción que la anterior. es igual a Q/L. Explique intuitivamente que podría hacer que el producto marginal del trabajo se volviera negativo. A medida que aumenta el número de trabajadores que utilizan una cantidad fija de capital.a. característicos de todas las funciones de producción en las que hay un factor fijo. debe contratar un número cada vez mayor de trabajadores temporales para mantener el mismo nivel de producción. Una empresa solo puede contratar trabajadores a tiempo completo para producir o alguna combinación de trabajadores a tiempo completo y a tiempo parcial. Describa la función de producción de votos. La pendiente de la isocuanta mide la cantidad de trabajadores a tiempo parcial que pueden ser intercambiados por trabajadores a tiempo . El director de la campaña entonces debería gastar el presupuesto de la campaña para la combinación de las dos entradas van a esto maximizar el número de votos. El encargado de una campaña política tiene que decidir si recurre más o los anuncios televisivos o al envío de cartas a los votantes potenciales. El empleo de estas entradas requiere el conocimiento de las posibilidades de substitución entre ellos. las líneas de las cantidades iguales son líneas directas. las líneas de las cantidades iguales tendrán una forma convexa. publicidad televisiva y cartas. ¿Qué puede decir sobre la relación marginal de sustitución técnica en cada caso? a. y el director de la campaña debería usar sólo la entrada menos cara en este caso.4. 5. Si las entradas no son substitutos perfectos. La función de producción tiene dos entradas. Si las entradas son substitutos perfectos por ejemplo. ¿Cómo podría ayudar la información sobre esta función (como la forma de las isocuantas) al encargado de la campaña a planificar su estrategia? La solución a la preocupación del director de la campaña es el número de votos. Por cada trabajador a tiempo completo que deja que se marche. Trace una isocuanta representativa para cada uno de los ejemplos siguientes. Si la empresa siempre pueden operar dos unidades de trabajo por una unidad de capital entonces la RMST es constante e igual a 1/2. La isocuanta por lo tanto. La relación marginal de sustitución técnica RMST. A medida que se asciende en la isocuanta y renuncia a los trabajadores a tiempo completo. Para calcular la . Una empresa tiene un proceso de producción en el que los factores son perfectamente sustituibles a largo plazo. Una empresa observa que siempre puede cambiar dos unidades de trabajo por una de capital y mantener la producción constante. las isocuantas serán lineales. y las isocuantas son en forma de L. y la isocuanta es lineal. es el valor absoluto de la pendiente de una isocuanta. en el punto A. La RMST es infinita(o indefinido) a lo largo de la parte vertical de la isocuanta y cero en la parte horizontal. es convexa y hay una disminución de la relación marginal de sustitución técnica RMST. Esta empresa opera con una tecnología de proporciones fijas. ¿Puede decir si la relación marginal de sustitución técnica es elevada o baja o necesita más información? Analice su respuesta. b. es necesario contratar a más y más trabajadores a tiempo parcial para sustituir a cada uno de los trabajadores de tiempo completo. Si los factores son sustitutos perfectos. Una empresa necesita exactamente dos trabajadores a tiempo completo para manejar cada máquina de la fábrica. 6. c. La empresa no puede sustituir cualquier trabajo por el capital y aún así mantener la producción porque debe mantener una proporción fija 2:1 del trabajo al capital.completo manteniendo el mismo nivel de producción. La pendiente aumenta (en términos de valor absolutos) a medida que avanzamos por la isocuanta. Se necesita más información. el isocuanta se encuentra en el máximo de trabajadores a tiempo completo (toca el eje). ya que es posible producir con los trabajadores a tiempo completo solamente y sin trabajadores a tiempo parcial. La relación marginal de sustitución técnica mide la cantidad de unidades de capital que pueden ser canjeados por una unidad de trabajo. manteniendo la producción. Al extremo inferior de la isocuanta. Todo lo que sabemos es que es un número constante. se sustituye los valores dados en la siguiente fórmula: RMST = PML PMK PMK= PML RMST PMK= 50 1/4 PMK=200 Entonces el producto marginal del capital es de 200 chips por hora. Tenemos que conocer el producto marginal de cada factor para poder determinar la RMST. constantes o crecientes?¿Que ocurre con el producto marginal de cada factor cuando se incrementa ese factor y se mantiene constante el otro? . 8. necesitamos conocer la relación a la que un factor puede ser sustituido por otro. 7. ¿Cuál es el producto marginal del capital? La tasa marginal de sustitución técnica RMST se define en la relación de los dos productos marginales. Aquí. es decir el producto marginal del trabajo PML y el producto marginal del capital PMK. no sabemos si la RMST es alto o bajo. El producto marginal del trabajo en la producción de chips para computadoras es de 50 chips por hora. se nos da el producto marginal del trabajo y la relación marginal de sustitución técnica. y por lo tanto la RMST.¿Muestran las siguientes funciones de producción . La relación marginal de sustitución técnica de las horas de máquina – capital por horas de trabajo es 1/4. Para determinar el producto marginal del capital. rendimientos decrecientes de escala . En este caso..pendiente de la isocuanta. Si L = 6 y K = 4. Cuando K se incrementa en 1. entonces q = 4. entonces q = 4.8 . Ejemplo. Por lo tanto. Por ejemplo. cuando L aumenta en 1. Si L es 4 y K es 4.24. Por ejemplo. la producción se duplicará. mientras la otra entrada se mantiene constante . si L es 2 y K es 2 entonces q es 10. Por ejemplo.. si L es 2 y K es 2 entonces q es 2. MPL disminuye a medida que aumenta L. q =3L(K)2 . q se incrementará en un 3.. Esto se puede determinar utilizando el cálculo mediante la diferenciación de la función de producción con respecto a cualquiera de las entradas. Si L = 5 y K = 4. ya que L se hace más grande. entonces q es 20.23. c.q= 3L + 2K Esta función presenta rendimientos constantes . entonces q es 4.a. Cuando se duplican los insumos.q= (2L + 2K)1/2 Esta función presenta rendimientos decrecientes . el producto marginal del trabajo es Donde L está en el denominador. la producción se incrementa en menos del doble. Producto marginal del trabajo cae desde 0. Si L es 4 y K es 4. manteniendo constante K a 4 unidades. entonces q = 4. se puede elegir varios valores de L . si L = 4 y K = 4.47.24 hasta 0. Cada producto marginal es constante para esta función de producción. el producto marginal se hace más pequeño. b. El producto marginal de cada entrada está disminuyendo. encontrar los valores de q correspondientes y ver cómo el producto marginal cambia. q se incrementará en un 2. Cuando se duplican los insumos. el producto marginal del capital es PMK = 6LK. Si L es 4 y K es 4. si L es 2 y K es 2 entonces q es 2. Cuando se duplican los insumos. PMK aumenta. λ. obtenemos lo siguiente: . entonces q es 192. El producto marginal del trabajo es constante y el producto marginal del capital es creciente. entonces q es de 24. Cuando se duplican los insumos. A medida que aumenta K. Podemos fijar el valor de L. Note también que si aumentamos cada entrada por el mismo factor de λ entonces obtenemos lo siguiente: Desde λ se eleva a una potencia superior a 1. Hagamos esto unas cuantas veces más y se puede calcular el producto marginal Esta función presenta rendimientos constantes a escala. Si L es 4 y K es 4. y encontrar q. a continuación. Para cualquier valor dado de K. Por ejemplo. Por ejemplo. la producción se eleva a más del doble. Ahora aumenta K en 1 unidad y encontrar el nuevo q. vemos rendimientos crecientes a escala. Usando el cálculo. que es un número constante. q va a subir por unidades 3K2. entonces q es 4. si L es 2 y K es 2. elijiendo un valor inicial de K. cuando L se aumenta en 1 unidad. la producción es exactamente el doble.Esta función presenta rendimientos crecientes a escala. Observamos también que si aumentamos cada entrada por el mismo factor. por ejemplo. Cuando se duplican los insumos. entonces q = 8.47 = 0. cuando K aumenta en 1 unidad.66-8 = 1. entonces q es de 24.47.90 . El producto marginal de la quinta unidad de K es 4.43.47. Fijemos el valor de L. si K es 5. q sube en 4 unidades.66. y el producto marginal de la sexta unidad de K es 4. si L = 2. elijamos un valor inicial de K.Desde λ es elevado a la potencia 1. la producción aumenta menos del doble.27. y el producto marginal de la tercera unidad de trabajo es desde 10. y si K es 6 entonces q es 4. Por ejemplo. entonces q es 4. Si L = 1. Si L es 4 y K es 4. existen rendimientos constantes a escala.93. q =4L 1/2 + 4K Esta función presenta rendimientos decrecientes a escala. El producto marginal del trabajo es cada vez menor. entonces q = 9.66. Usando el cálculo. y encontraremos q. El producto marginal del trabajo es decreciente y el producto marginal del capital es constante.66.4. El producto marginal de la segunda unidad de trabajo es 9. Por lo tanto tenemos un producto marginal decreciente del capital. el PMK disminuirá. e. a medida que aumenta K. si L es 2 y K es 2 entonces q es 13. entonces q = 10. y si L = 3. el producto marginal del capital es: Para cualquier valor dado de L.93 hasta 9.90. que es un número constante. entonces q es 4. Para ver que el producto marginal del trabajo es decreciente.66 = 1. fijemos K = 1 y seleccionemos valores para L.47-4 = 0. Para cualquier valor dado de L. El producto marginal del trabajo es decreciente y el producto marginal del capital es decreciente. . dejemos L = 4. Si K es 4. viene dada por: q= 10K0. q2. las dos empresas no producirían el mismo nivel de salida.5 + 0. pero la oferta de trabajo es ilimitada .5 donde q es el número de computadoras producidas al día . Inc.4) = 10X. q2> q1. Inc. ambas empresas generan el mismo resultado con los mismos insumos.5X0. Entonces. b. Inc.si las dos compañías utilizan las mismas cantidades de capital y trabajo ¿ cual produce más? Dejemos que q1 sea la salida de DISK.Suponga que el capital se limita a 9 horas-máquina . . a continuación.. El competidor de DISK . está utilizando la función de producción : q=10K0.5) = 10X q2 = 10X0.5 L0.6 L0.. las horas de trabajo.La función de producción de computadoras personales de DISK .9.6 + 0. y X las mismas cantidades iguales de capital y mano de obra para las dos Empresas. De hecho. de acuerdo con sus funciones de producción.. K representa las horas de uso de la máquina y L . pero la cantidad de capital no era igual a la cantidad de trabajo. Debido a que q1 = q2.4 a. Explique su respuesta.. q1 = 10X0. FLOPPY .4 = 10X(0. Inc.5 = 10X(0.6X0. sea el resultado de FLOPPY. Tenga en cuenta que las dos empresas utilizan la misma cantidad de capital y la misma cantidad de trabajo.. . y si L> K entonces q1> q2. si K> L . ¿ En que compañía es mayor el producto marginal del trabajo?. Con un capital limitado a 9 horas .97. DISK. PML = 14. Para la empresa 1. y para la empresa 2. . PML es mayor para la empresa 2 (FLOPPY.1) = 0. la productividad marginal del trabajo es mayor para la primer empresa.95L-0.máquina.5. Inc. o L = 0.).5 = 14.5 y q2 = 37. L(0.4 . Despejando L. la empresa 1 (DISK.97.6.) tiene la mayor productividad marginal del trabajo. Inc.97. tenga en cuenta la siguiente tabla: Para cada unidad de trabajo superior a 1. las funciones de producción se convierten en q1 = 30L0. Inc. para L <0.95L-0.6. PML = 15L-0. hagamos estos productos marginales iguales entre sí. Para determinar la función de producción con la más alta la productividad marginal del trabajo. pero para cualquier valor de L mayor que 0. podemos determinar el punto exacto en el que los productos marginales son iguales. Por lo tanto.997.37L0. 15L-0. los productos marginales del capital y marginal del trabajo disminuyen.8 )(490. Para el trabajo fijo y capital variable: K = 4 ⇒q = (100)(40.94 K = 7 ⇒q = (100)(70.22 L = 50 ⇒ q = (100)(40.8L0.8 )(490.25 ⇒MPK = 129..2 ) = 789.8 )(520.¿Muestra esta función de producción rendimientos crecientes de escala .2) a.2 ) = 665. el producto marginal del trabajo disminuye a medida que aumenta la cantidad de mano de obra.8 )(490.Comenzando con una cantidad de capital de 4 y de trabajo de 49.3.67 L = 51 ⇒ q = (100)(40.8 )(490.10.22 K = 5 ⇒q = (100)(50.2 ) = 662. decrecientes o constantes ? Rendimientos constantes a escala implica que los aumentos proporcionales en insumos deben conducir a los mismos (más que. b.. Por tanto. .85. el trigo se produce de acuerdo con la función de producción : Q=100(K0.89 ⇒ MPL = 2.03 K = 6 ⇒q = (100)(60.2 ) = 913.11 ⇒ MPL = 2.63 L = 52 ⇒ q = (100)(40.2 ) = 660.2 ) = 668.En el ejemplo 6.2 ) = 1.59. Para el capital fijo y trabajo variable: L = 49 ⇒ q = (100)(40. En este caso.033.2 ) = 660.8 )(510.52 ⇒ MPL = 2.8 )(490.19 ⇒MPK = 123. Así que el producto marginal del capital disminuye a medida que aumenta la cantidad de capital.. demuestre que el producto marginal del trabajo y el producto marginal del capital son ambos decrecientes.8 )(500.04 ⇒MPK = 119. esta función de producción presenta rendimientos constantes a escala. . hay rendimientos constantes a escala.2. Ahora duplicamos las dos entradas para K = 8 y L = 20. Entonces Q = 480.8 + 0. a continuación. El nuevo valor de q es 960.90.2) = λq Por lo tanto. Si incrementamos el trabajo y el capital por el mismo importe proporcional (λ) en esta función de producción. o q′ = 100K0. sea K = 4 y L = 10. que es exactamente el doble de la producción. la producción cambiará por la misma cantidad proporcional: q′ = 100(λK)0.2 λ(0. Por ejemplo.8 (λL)0.menos que) aumentos proporcionales de la producción.8 L0. el doble de K y los valores de L para ver qué pasa con q. Por lo tanto.45. También podemos determinar esto si se conecta en los valores de K y L y calculamos q y.