Cálculo de Una Variable - 6ta Edición - James Stewart

Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page i CÁ L C U L O DE UNA VARIABLE Trascendentes tempranas S E X TA E D I C I Ó N J A M E S S T E WA RT McMASTER UNIVERSITY Traducción: Jorge Humber to Romo M. Traductor Profesional Revisión técnica: Misael Flores Rosas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page ii Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page iii PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM PARA JACKIE Y NINO Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page iv Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page v CONTENIDO Prefacio xi Al estudiante xix Exámenes de diagnóstico xx PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 10 1.1 Cuatro maneras de representar una función 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 1.5 Funciones exponenciales 1.6 Funciones inversas y logaritmos Repaso 11 37 46 59 73 LÍMITES Y DERIVADAS 76 82 2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 2.2 Límite de una función 2.3 Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites 2.4 Definición exacta de un límite 2.5 Continuidad 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 2.7 Derivadas y razones de cambio 83 88 99 109 119 130 143 Redacción de proyecto Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes & 2.8 La derivada como una función Repaso 24 52 Principios para la resolución de problemas 2 2 153 154 165 Problemas adicionales 170 v Preliminares.qk vi |||| 01/21/2008 7:06 PM Page vi CONTENIDO m=0 m=1 3 REGLAS DE DERIVACIÓN y 3.1 π 2 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa m=_1 0 172 182 & π y 3.2 Las reglas del producto y el cociente 3.3 Derivadas de las funciones trigonométricas 3.4 La regla de la cadena 183 189 197 Proyecto de aplicación ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso? & 0 π 2 π 206 3.5 Derivación implícita 207 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 3.9 Relaciones afines 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales & 3.11 Funciones hiperbólicas Repaso 215 233 247 253 254 261 Problemas adicionales 265 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos 270 271 Proyecto de aplicación El cálculo de los arcoíris & 279 4.2 Teorema del valor medio 4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráfica 4.4 Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital 280 Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l‘Hospital & 4.5 Resumen de trazo de curvas 4.6 Trazado de gráficas con cálculo y calculadoras 4.7 Problemas de optimización & 4.8 Método de Newton 4.9 Antiderivadas 340 347 Problemas adicionales 351 334 298 307 307 322 Proyecto de aplicación La forma de una lata Repaso 221 241 Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor 4 173 333 315 287 Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page vii CONTENIDO 5 INTEGRALES 354 5.1 Áreas y distancias 355 5.2 La integral definida 366 Proyecto para un descubrimiento Funciones de área & 379 5.3 El teorema fundamental del cálculo 379 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio total Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo & 5.5 399 La regla de la sustitución 400 Repaso 408 Problemas adicionales 6 391 412 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 6.1 Áreas entre curvas 6.2 Volúmenes 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 6.4 Trabajo 6.5 Valor promedio de una función 414 415 422 433 438 442 Proyecto de aplicación ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas? & Repaso 446 Problemas adicionales 7 446 448 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 452 7.1 Integración por partes 453 7.2 Integrales trigonométricas 460 7.3 Sustitución trigonométrica 467 7.4 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 7.5 Estrategia para integración 7.6 Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos 483 Proyecto para un descubrimiento Patrones de integrales & 494 489 473 |||| vii Preliminares.qk viii |||| 01/21/2008 7:06 PM Page viii CONTENIDO 7.7 Integración aproximada 7.8 Integrales impropias Repaso 508 518 Problemas adicionales 8 495 521 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 8.1 Longitud de arco 524 525 Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco & 8.2 Área de una superficie de revolución 532 Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente & 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería & 8.4 Aplicaciones a la economía y a la biología 8.5 Probabilidad 9 550 555 562 Problemas adicionales 564 ECUACIONES DIFERENCIALES 566 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 9.2 Campos direccionales y método de Euler 9.3 Ecuaciones separables 567 572 580 Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque? 588 Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 590 & & 9.4 Modelos de crecimiento poblacional Proyecto de aplicación Cálculo y béisbol & 9.5 Ecuaciones lineales 9.6 Sistemas predador-presa Repaso 614 Problemas adicionales 618 602 608 601 538 539 Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias Repaso 532 591 550 Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page ix CONTENIDO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 621 Proyecto de laboratorio Círculos que corren alrededor de círculos & 10.2 Cálculo con curvas paramétricas 630 Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier 639 & 10.3 Coordenadas polares 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 10.5 Secciones cónicas 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares Repaso 639 654 662 672 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 11.1 650 669 Problemas adicionales 11 629 Sucesiones 674 675 Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas & 687 11.2 Series 687 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 11.4 Pruebas por comparación 11.5 Series alternantes 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 11.7 Estrategia para probar series 11.8 Series de potencias 11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 705 710 723 & 734 748 Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial & Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749 Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas & Repaso 758 Problemas adicionales 761 714 721 Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo 11.11 697 757 748 728 |||| 620 ix Preliminares.qk x |||| 01/21/2008 7:06 PM Page x CONTENIDO APÉNDICES A1 A Números, desigualdades y valores absolutos B Geometría de coordenadas y rectas C Gráficas de ecuaciones de segundo grado D Trigonometría E Notación sigma F Pruebas de teoremas G El logaritmo definido como una integral H Números complejos I Respuestas a ejercicios de número impar ÍNDICE A112 A2 A10 A16 A24 A34 A39 A48 A55 A63 Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page xi PREFACIO Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O LYA El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco ediciones, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la belleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante comparta en algo esa emoción. El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formuló como su primera recomendación: Concentrarse en entender conceptos He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimentación numérica y gráfica, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. VERSIONES ALTERNATIVAS He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profesores. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables. & & & Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre. Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de exposiciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web. Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Capítulo 3. xi Preliminares.qk xii |||| 01/21/2008 7:06 PM Page xii PREFACIO & & Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopédico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados. Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo. LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas: & & & & & & Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Se dan las respuestas y el estudiante que no lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apéndices, secciones de repaso del Capítulo 1, y la web). En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada es más breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola sección llamada Derivadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio. La sección de Derivadas de Orden Superior del Capítulo 3 ha desaparecido y ese material está integrado en varias secciones de los Capítulos 2 y 3. Los profesores que no cubren el capítulo sobre ecuaciones diferenciales han comentado que la sección sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro, al Capítulo 3. Este movimiento precipita una reorganización de los Capítulos 3 y 9. Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola sección, con un tratamiento más breve de problemas de optimización en finanzas y economía. Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo había descrito la serie del binomio en su propia sección para destacar su importancia pero me enteré que algunos profesores estaban omitiendo esta sección, de modo que decidí incorporar la serie del binomio en la 11.10. & Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposición. & Se han vuelto a dibujar nuevas figuras. & Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser más oportunos. & & & & & Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2 de la página 185 se cambió porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el que se presentan. Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes. Más del 25% de los ejercicios de cada uno de los capítulos es nuevo. He aquí algunos de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30. También hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adicionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la página 413, el Problema 13 de la página 450, y el Problema 24 de la página 763. El nuevo proyecto de la página 550, Tazas de café complementarias, proviene de un artículo de Thomas Banchoff en el que él se preguntaba cuál de dos tazas de café, cuyos perfiles convexo y cóncavo ajustaban perfectamente, contendría más café. Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page xiii PREFACIO & |||| xiii El capítulo de Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC, por sus siglas en inglés) se ha rediseñado por completo y está accesible en el Internet en www.stewartcalculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones de diversas figuras del texto. Vea la descripción en la página 14. SECCIONES EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma más importante de favorecer la comprensión de conceptos es por medio de los problemas que dejamos de tarea, para cuyo fin hemos ideado diversos tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los significados de los conceptos básicos de la sección. (Vea, por ejemplo, los primeros ejercicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso empiezan con una Revisión de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios someten a prueba la comprensión de conceptos mediante gráficas o tablas (vea Ejercicios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2). Otro tipo de ejercicio emplea la descripción verbal para probar la comprensión de conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro los problemas que combinan y comparan métodos gráficos, numéricos y algebraicos (vea Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2). CONJUNTO DE EJERCICIOS CALIFICADOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se califica cuidadosamente, avanzando desde ejercicios básicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de mayor grado de dificultad que comprenden aplicaciones y pruebas. DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y oficinas gubernamentales, y buscando información real en Internet para presentar, motivar e ilustrar los conceptos de cálculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejercicios hablan de funciones definidas por esta información numérica o gráficas. Vea, por ejemplo, la Figura 1 de la Sección 1.1 (sismógrafos del terremoto en Northridge), el Ejercicio 2.8.34 (porcentaje de población de menos de 18 años), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Sección 5.4 (consumo de energía eléctrica en San Francisco). PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizá en grupos) en proyectos prolongados que den la sensación de un logro importante cuando se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicación que comprenden aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de estudiantes. El proyecto después de la Sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en alcanzar su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.) Los Proyectos de Laboratorio se refieren a tecnología; el que sigue de la Sección 10.2 muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Redacción de Proyectos piden a estudiantes comparar métodos actuales con los de los fundadores del cálculo: el método de Fermat para hallar tangentes, por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan resultados que se discuten más adelante o estimulan el descubrimiento por medio del reconocimiento de figuras (vea la que sigue a la Sección 7.6). Se pueden hallar proyectos adicionales en la Guía del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posición desde muestras). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es común que los estudiantes tengan dificultades con problemas para los que no hay un solo procedimiento bien definido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolución de problemas en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versión de sus principios para la resolución de problemas después del Capítulo 1. Se aplican, tanto implícita como Preliminares.qk xiv |||| 01/21/2008 7:06 PM Page xiv PREFACIO explícitamente, en todo el libro. Después de los otros capítulos he puesto secciones llamadas Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cómo atacar los desafiantes problemas de cálculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presente el consejo de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrarnos.” Cuando pongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes los califico de forma diferente. Aquí recompenso muy bien a un estudiante por sus ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de tecnología no hace menos importante sino más importante entender claramente los conceptos que son las bases de las imágenes que aparecen en pantalla. Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de gráficas y las computadoras son poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar con o sin tecnología y aquí uso dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo se requiere un tipo particular de máquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma definitiva requiere el uso de esta tecnología, pero no es para indicar que no se puede usar también en los otros ejemplos. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como Derive, Maple, Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. A veces son preferibles los cálculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cuándo es apropiada la mano o una máquina. TOOLS FOR ENRICHING CALCULUS El TEC es un compañero de este libro de texto y está pensado para enriquecer y complementar su contenido. (Ahora está accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.) Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, el TEC utiliza un método de descubrimiento y exploración. En algunas secciones de este libro en donde la tecnología es particularmente apropiada, los iconos situados a los márgenes dirigen a estudiantes a módulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de figuras del texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden escoger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estudiante a usar Visual y Module para exploración independiente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. El TEC también incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo general de números impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir en rojo el número del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas y tratan de imitar un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como profesor particular silencioso. Los ejercicios están construidos para no revelar más de la solución real de lo que es el mínimo necesario para avanzar más. W EB A SSIGN MEJORADO La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, sobre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, precisión en calificación y confiabilidad. Con la sexta edición hemos estado trabajando con la comunidad de cálculo y WebAssign para crear un sistema de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables a tareas en línea, incluyendo formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes diversas. Algunas preguntas son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en el material didáctico paso a paso por ejemplos del texto, con vínculos al libro de texto y soluciones en video. Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page xv PREFACIO PÁGINA WEB www.stewartcalculus.com |||| xv Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente: & Repaso de álgebra & Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo & Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios web históricos & & & Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el resto del semestre en series de Taylor, rotación de ejes Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) Problemas de desafío (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones anteriores) & Vínculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web & Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints CONTENIDO Exámenes de diagnóstico El libro empieza con cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Presentación preliminar del cálculo Éste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 3 & Funciones y modelos Desde el principio, se destacan representaciones múltiples de funciones: verbales, numéricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemáticos lleva a un repaso de las funciones estándar, incluyendo funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 & Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un examen ya anterior de problemas de la tangente y velocidad. Los límites se tratan aquí desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La Sección 2.4, que trata de la definición precisa de e-d de un límite, es una sección opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se refieren a derivadas (en especial con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de tratar las reglas de derivación en el Capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Sección 2.8. Reglas de derivación Todas las funciones básicas, incluyendo funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se derivan aquí. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de aplicación, a los estudiantes se les pide explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se tratan ahora en este capítulo. & 4 & Aplicaciones de la derivación 5 & Integrales Los datos básicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teorema del Valor Medio. Graficar con tecnología destaca la interacción entre cálculo y calculadoras y el análisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimización importante, incluyendo una explicación de por qué es necesario levantar la cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida, con la notación sigma introducida según sea necesario. (Un tratamiento completo de la notación sigma se da en el Apéndice E). Se hace énfasis en explicar los significados de integrales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas. Las primeras cuatro de cinco secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones diferenciales La creación de modelos es el tema que unifica este tratamiento de introducción a las ecuaciones diferenciales.qk xvi |||| 6 & 01/21/2008 Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de integración. estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como una integral. área. de manera que los métodos cualitativo. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor. las dos que aquí se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bézier.mexicoca@cengage. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de gráficas. Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Este capítulo introduce curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo a ellas. póngase en contacto con el área de servicio a clientes en las siguientes direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica Cengage Learning Caribe Cengage Learning Cono Sur clientes. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia.caribe@cengage. Se destacan métodos generales. Hay aquí más aplicaciones de las que en realidad se puedan cubrir en un curso determinado. Para mayor información. trabajo. Estos métodos se aplican a los modelos experimental. Cada parte se ha diseñado para mejorar la comprensión del estudiante y para facilitar una enseñanza creativa. La meta es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en partes pequeñas. el desafío real es ser capaz de reconocer cuál técnica se usa mejor en una situación dada. está apoyado por un conjunto completo de materiales auxiliares creados bajo mi dirección. los cuales están disponibles en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. en la Sección 7. volumen. Sexta edición. numérico y analítico reciben igual consideración. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. De conformidad con esto.conosur@cengage. Técnicas de integración Se tratan todos los métodos estándar pero. & 8 9 10 & Page xvi PREFACIO 7 11 7:06 PM & & & MATERIAL AUXILIAR Cálculo: Trascendentes tempranas. economía y física (fuerza hidrostática y centros de masa). Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea página 697) así como pruebas formales.5 presento una estrategia para integración.com .com clientes. es decir. Los profesores deben seleccionar aplicaciones apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse. Más aplicaciones de la integración Aquí están las aplicaciones de integración —la longitud de arco y el área superficial— para las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración. logístico y otros para crecimiento poblacional.6. valor promedio. También he incluido una sección sobre probabilidad. así como aplicaciones a la biología. El uso de un sistema computarizado de álgebra se ve en la Sección 7.Preliminares. que razonablemente se pueden hacer sin técnicas especializadas de integración. Los campos de dirección y el método de Euler se estudian antes que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explícita.com clientes. Las curvas paramétricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio. Una sección final opcional utiliza modelos de predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. Un breve tratamiento de secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el Capítulo 13. por supuesto. Bob Pirtle. Armstrong Atlantic State University He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de matemáticas en el negocio por más de dos décadas: Ron Munro.com Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro: http://latinoamerica. California State Polytechnic University.pactoandino@cengage. Gary Ostedt y ahora.cengage. Georgia College and State University Paul Triantafilos Hadavas.com clientes. Pomona Martin Nakashima.paraninfo@cengage. REVISIÓN DE LA SEXTA EDICIÓN Marilyn Belkin. Bob continúa en esta tradición de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda. JAMES STEWART .com/stewart6 Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por Cengage Learning Latinoamérica. Miami University Nets Katz. confían en mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir. Jeremy Hayhurst. Pomona Lila Roberts. Hilary Davies. Florida State University Amy Elizabeth Bowman.Preliminares. Craig Barth. California State Polytechnic University. Harry Campbell. Indiana University Bloomington James McKinney.qk 01/21/2008 7:06 PM Page xvii PREFACIO Cengage Learning Paraninfo Cengage Learning Pacto Andino |||| xvii clientes. Bowers. por lo que ésta no es responsable de los cambios o actualizaciones de las mismas. University of Alabama in Huntsville M. University of Alaska Anchorage Frederick Gass. Villanova University Philip L. Preliminares.qk 01/21/2008 7:06 PM Page xviii . JAMES STEWART xix . Obtendrá mucho más de ver la solución si lo hace así. o incluso un libro de física. Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de tarea y leen el texto sólo si se atoran en un ejercicio. El cálculo es una materia extraordinaria. Recomiendo que conserve este libro como referencia después que termine el curso. o la TI-89/92). como este libro contiene más material del que se puede cubrir en cualquier curso.Preliminares. se hace referencia mediante el símbolo TEC y se puede tener acceso al mismo en www. En particular. papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagrama o hacer un cálculo. Con todo. No se desanime si tiene que leer un pasaje más de una vez para entenderlo. indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso ya sea de una calculadora de gráficas o una computadora con software de gráficas. en el apéndice I. Espero que el lector descubra que no es sólo útil sino también intrínsecamente hermoso. He puesto este símbolo en márgenes en situaciones donde he observado que una gran parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. puede servir como un valioso recurso para cualquier científico o ingeniero. Maple. entonces tiene razón y racionalizar el denominador demostrará que las respuestas son equivalentes. a veces hay varias formas diferentes en las cuales se expresa una respuesta numérica o algebraica. El lector tiene que seguir cada una de las sugerencias de una manera activa con papel y lápiz para trabajar los detalles. si la respuesta dada en la parte final de este libro es s2  1 y usted obtiene 11  s2. Dirige al estudiante a módulos en los que puede explorar aspectos de cálculo para los que la computadora es particularmente útil. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y entender una sección del texto antes de abordar los ejercicios. También. justamente considerada como uno de los mayores logros de la mente humana. . Al Tools for Enriching Calculus. En estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta. Por ejemplo. el estudiante debe leer las definiciones para ver los significados exactos de los términos. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como el Derive.com. no sólo una hilera de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Debe tener lápiz. Mathematica. que es compañero de este libro. Además.qk 01/21/2008 7:06 PM Page xix AL ESTUDIANTE Leer un libro de cálculo es diferente a leer un periódico o una novela. También encontrará el símbolo | que advierte para no cometer un error. El icono . El TEC también da Homework Hints para ejercicios representativos que están indicados con un número de ejercicio impreso en rojo: 15. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz de resolver un problema.stewartcalculus. Las respuestas a los ejercicios de números impares aparecen al final de este libro. de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta definitiva. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con frases explicativas. puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. esto no significa que los aparatos de gráficas no se puedan usar para comprobar el trabajo en los otros ejercicios. el libro servirá como un útil recordatorio cuando necesite usar cálculo en cursos subsiguientes. sugiero que llegue hasta la solución y trate de resolver el problema por sí mismo. Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar en realidad su respuesta. Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para pensar de una manera lógica. Debido a que es probable que el lector olvide algunos de los detalles específicos del cálculo. Algunos ejercicios piden una explicación verbal o interpretación o descripción. de modo que si su respuesta difiere de la mía no suponga de inmediato que está en un error. Y antes de leer cada ejemplo. com .http://libreria-universitaria.blogspot. . . . blogspot.com .http://libreria-universitaria. . . . . blogspot.com .http://libreria-universitaria. . . . . blogspot.http://libreria-universitaria.com . . . . . http://libreria-universitaria.blogspot.com . . . . . com .http://libreria-universitaria.blogspot. . . . . blogspot.com .http://libreria-universitaria. . . . . com .blogspot.http://libreria-universitaria. . . . . com .http://libreria-universitaria.blogspot. . . . . blogspot.com .http://libreria-universitaria. . . . . blogspot.http://libreria-universitaria.com . . . . . http://libreria-universitaria.blogspot.com . . . . . http://libreria-universitaria.com .blogspot. . . . . com .blogspot.http://libreria-universitaria. . . . . com .http://libreria-universitaria.blogspot. . http://libreria-universitaria.blogspot.com . http://libreria-universitaria.com .blogspot. . . . http://libreria-universitaria.com .blogspot. . . . . 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