2ème AnnéeAlain HUARD Email : [email protected] Calcul différentiel et intégral F.Bernis, J. L. Dunau, E. Fouassier, J. Monnier, V. Roussier-Michon, D. Sanchez, S. Scott... 2016-2017 Table des matières I Calcul différentiel 2 1 Fonctions de Rn à valeurs dans Rp 3 1 Rappels sur l’espace Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Fonctions de Rn dans Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Fonctions composantes, fonctions partielles . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Exemples, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Différentielle 7 1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Différentielle de f en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Interprétation de Df (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Différentielle de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Lien dérivée/ différentielle des fonctions de R dans Rp . . . . . . . . 9 2.2 Exemples des applications constantes, linéaires, multilinéaires . . . . 9 2.3 Exemple du carré de la norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Différentielle de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Dérivées partielles 13 1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Liens différentielle/dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Matrice jacobienne, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Matrice jacobienne et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Gradient de f : Rn ! R (cas p = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Réécriture du théorème de différentiation des fonctions composées . . . . . . 17 5 Dérivées partielles d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.1 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 4 Extrema d’une fonction de Rn dans R 20 1 Condition nécessaire d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Condition suffisante d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites 23 1 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II Calcul intégral 27 6 Intégrale dépendant d’un paramètre 28 1 Intégrale définie dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Bornes fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Bornes dépendant du paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Intégrale impropre dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Un exemple : la fonction Gamma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 Définition sur R+⇤ , premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Prolongement de à R \ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Etude de Gamma et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Un autre exemple : la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7 Intégrale multiple 40 1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.1 Intégrale sur un compact élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Théorème de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1 Changement de variables affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Mesure des boules en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Première partie Calcul différentiel 3 . .. 4 . x > . . On rappelle les définitions des normes usuelles k k1 .. y >= xj yj et kxk22 =< x. < em m m m Le résultat suivant permet de travailler avec une norme quelconque sur Rn et Rp . . kxk2 = t xj . . v m uX X um 2 kxk1 = |xj |. Elles ne dépendent pas de la norme considérée.Chapitre 1 Fonctions de Rn à valeurs dans Rp 1 Rappels sur l’espace Rm Soit m 2 N⇤ .. < ei . Il est muni de la base canonique Bm = (emj )1jm . Dans cette base. On appelle norme sur E toute application N : E ! R+ telle que i) N (x) = 0 () x = 0.. ii) pour tout x 2 E. xm ). on écrira x 2 R comme : m m X x = (x1 . ej >= 1 si i = j. N (x + y) N (x) + N (y) (inégalité triangulaire). . i . xj . Il existe de nombreuses normes sur Rm . Soit E un espace vectoriel sur R. ej >= 0 sinon. différentiabilité.e. ou x = xj em j . kxk1 = max |xj |. On note Rm l’espace euclidien canonique de dimension m. . y) 2 E 2 . quand il s’agit d’étudier les propriétés locales des fonctions de Rn dans Rp du type : existence de limite.1 (Norme). . L’espace Rm est un espace vectoriel normé. i. j=1. N ( x) = | |N (x).m j=1 j=1 La norme 2 a un statut particulier car c’est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel de Rm : pour x 2 Rm et y 2 Rm . . k k2 et k k1 : pour x 2 Rm . tout 2 R. m X < x. continuité. iii) pour tout (x. j=1 On rappelle que la base canonique Bm est orthonormée pour ce produit scalaire. j=1 Définition 1. . i. a = (x0 . Le sous-ensemble ⌦ de Rm est appelé ouvert de Rm si a) ⌦ = . . On définit fea.2. t. y) au lieu de f (x1 . fp (x1 . . xj . Exercice 1. . . r) = {y 2 Rm /kx yk r} la boule fermée de centre x 2 Rm de rayon r > 0. B(a. . Soit f une fonction définie de Rn à valeurs dans Rp .8. . . . xn ) . Au contraire. aj+1 .j (t) = f (a1 . y0 ). f (x. . Déterminer l’ensemble de définition. . . . . x3 ). Dessiner la boule unité B(0. à valeurs dans Rp . k k = | |). On note ⇣ ⌘ f (x) = f (x1 . et 8a 2 ⌦. si p > 1 on parlera de fonction vectorielle. r) ⇢ ⌦. Exercice 1.7. . an ). . . .5 (Ouvert). . Les applications partielles de f sont des fonctions d’une seule variable réelle. . Les fonctions fi sont appelées les fonctions composantes de f . fi (x1 . y. Si p = 1. On notera k kRm l’une quelconque des normes de Rm et. 1) de R2 pour les trois normes définies ci- dessus.j : R ! Rp par fea. . on écrira souvent f (x. On notera B(x. Ce sont des fonctions à valeurs réelles. Définition 1. . alors il existe deux constantes c. C > 0 telles que pour tout x 2 Rm . xn ) = f1 (x1 . . s’il n’y a pas de risques de confusion. . Si n = 2. f (x. . . . x2 .6. . . aj 1 . ou b) ⌦ 6= . 5 . .. Définition 1. . n}.3 (Boules). on allègera cette notation en k k (dans R. Soit a = (a1 . cN1 (x) N2 (x) CN1 (x). . . on dira que f est une fonction scalaire. et si n = 3. toutes les normes sont équivalentes. 2 Fonctions de Rn dans Rp Soient n et p deux entiers 1. r) = {y 2 Rm /kx yk < r} la boule ouverte de centre x 2 Rm de rayon r > 0 et B(x. La fonction fea. . . y) = e2x+y . .Théorème 1. z) au lieu de f (x1 . si N1 et N2 sont deux normes sur Rm . . xn ). . x2 ). xn ). Définition 1. x2 y . . Définition 1. Soit f : Rn ! Rp . 2. 9r > 0.4. . Dans Rm . xn ). . fonctions partielles On utilisera souvent la notation f (x) = f (x1 . .1 Fonctions composantes. les applications composantes et les applications partielles au point a de la fonction f : R2 ! R2 .e. . . Soit f : Rn ! Rp . . . . . .j s’appelle la j ème application partielle de f au point a. an ) 2 Rn et j 2 {1. Si on fixe une norme k kRn sur Rn et une norme k kRp sur Rp . 9⌘ > 0 | 8x 2 ⌦. On dit que f est une application affine de Rn dans Rp si : 9a 2 Rp et ' 2 L(Rn . Définition 1. On dit que ' est une forme bilinéaire si p = 1. 3 Limite. . ' : Rn1 ⇥ Rn2 ! Rp est une application bilinéaire si pour tout x 2 Rn1 . . On le note (Rn )⇤ . x!a c’est-à-dire si et seulement si 8" > 0.Rp ) = sup . f (x) = a + '(x).x6=0 kxkRn 2. Exemple : f (x. Rp ) tels que 8x 2 Rn . z) = (2 x + 3y + z. f (x. z) = 2x2 3y 2 + 2xy 3yz. b 2 Rp . xj . . à valeurs dans Rp . 1 + x z). x). On appelle forme linéaire sur Rn toute application linéaire de Rn dans R. n X X q(x) = q(x1 . où n et p sont deux entiers naturels non nuls. On note L(Rn . kx ak < ⌘ =) kf (x) bk < " Définition 1.9.2. R) s’appelle l’espace dual de Rn . y. continuité Dans la suite. . On dit que f est continue au point a si et seulement si lim f (x) = f (a). z) = (2x + 3y + 5z. 5. Rp ) l’ensemble des applications linéaires de Rn dans Rp . . . Rp ) relative à ces deux normes par la norme triple d’application linéaire : kf (x)kRp k|f k| = kf kL(Rn . . Exemple : f : R3 ! R3 . Soit a 2 ⌦. L’espace vectoriel L(Rn . 4. 3. x 7! '(x. y) est linéaire et pour tout y 2 Rn2 . q(x. xn ) = ajj x2j + 2 aij xi xj . y z). y. y) est linéaire. x2Rn .2 Exemples. on peut définir une norme sur L(Rn . ⌦ désigne un ouvert non vide de Rn et f désigne une fonction définie sur ⌦. j=1 1i<jn Exemple : q : R3 ! R. On dit que f tend vers b quand x tend vers a et on note lim f (x) = b si et seulement si x!a 8" > 0. y ! 7 '(x. notations 1.10. Une forme quadratique sur Rn est une application q : Rn ! R telle qu’il existe ' une forme bilinéaire symétrique telle que q(x) = '(x. kx ak < ⌘ =) kf (x) f (a)k < " 6 . . C’est un espace vectoriel sur R. y. x y + z. 9⌘ > 0 | 8x 2 ⌦. Les réels suivants sont égaux : kf (x)kRp sup = sup kf (x)kRp = sup kf (x)kRp x2Rn . Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. Soit f : Rn ! Rp une application linéaire. y) = 6 (0.12. la fonction partielle fea. Démonstration : Voir cours du premier semestre.15. y) = x2xy +y 2 pour (x. on a le théorème suivant Théorème 1. k| · k| est une norme sur L(Rn . définie par f (x. Démonstration : Voir cours du premier semestre. Montrer que les deux applications partielles de f sont continues en 0. 7 . mais que f n’est pas continue en (0. 4 Continuité des applications linéaires Le cas particulier des applications linéaires est très important pour ce cours sur la dif- férentielle. Il existe M 0 tel que pour tout x 2 Rn . Théorème 1. Rp ). Nous rappelons donc ici ce qui a été vu au premier semestre de 2MIC sur la continuité des applications linéaires dans un espace vectoriel normé.14. 2. . 2. Soit f : R2 ! R.x6=0 kxkRn kxkRn =1 kxkRn 1 Notant k|f k| leur valeur commune. ⇤ Comme Rn est un espace vectoriel de dimension finie. 0) et f (0.13.Définition 1. .j est continue au point aj . 0). ⇤ Attention ! La réciproque est fausse ! Exercice 1. on a 1. ⇤ Théorème 1. Soit a 2 ⌦. f est continue sur Rn . Soit f : Rn ! Rp une application linéaire. pour tout x 2 Rn . kf (x)k k|f k|kxk. Démonstration : Voir cours du premier semestre. Théorème 1. . Si f est continue en a alors pour tout j 2 {1. ⇤ Attention : la valeur de la norme k|f k| dépend des normes choisies sur Rn et Rp . kf (x)kRp M kxkRn . On dit que f est continue sur ⌦ si et seulement si f est continue en tout point de ⌦. 0) = 0. Toute application linéaire de Rn dans Rp est continue. Démonstration : faite en cours.16. .11. n}. 3. f : R ! Rp . On la note Df (x). Faites attention : à x fixé. On pourrait donc donner la définition suivante. ⌘ > 0 et " : BRn (0. On pourra donner sa matrice dans la base canonique de R2 . Les autres notations possibles pour Df (x) sont Dfx . y) de f en tout point (x. Définition 2. avec n et p deux entiers naturels non nuls. h!0 On remarque que l’application définie de R dans Rp par h 7! lh est linéaire. Soit f la fonction définie de R2 dans R2 par f (x. avec "(h) ! 0. on dit que f est dérivable en x si la limite du taux d’accroissement en x existe. df (x) ou dfx . h!0 On appelle la différentielle de f en x. Exercice 2. f : ⌦ ⇢ R ! Rp est dérivable en x s’il existe : R ! Rp linéaire. ⌘ > 0 et " :] ⌘. ⌘[! Rp telles que pour tout h 2] ⌘. y) de R2 . Remarque 2. h!0 Cette dernière définition peut se généraliser au cas d’une fonction de Rn dans Rp .1. f (x + h) = f (x) + (h) + khk"(h). y 2 + 2x). Df (x) est une application linéaire de Rn dans Rp . Calculer la différentielle Df (x. Avec la notation Df (x).4. Définition 2. 1 Définition. on écrit donc : 8 . ⌘[. On dit que f est différentiable en x s’il existe : Rn ! Rp linéaire. premières propriétés 1.e. ⌘). y) = (x2 + xy. ⌘) ! Rp telles que pour tout h 2 BRn (0. i. ou encore si f peut s’écrire pour h suffisament petit f (x + h) = f (x) + lh + h"(h) où lim "(h) = 0 et l 2 Rp . à valeurs dans Rp .Chapitre 2 Différentielle Dans ce chapitre. Soit x 2 ⌦. avec "(h) ! 0.2.1 Différentielle de f en un point Lorsque la variable x est scalaire. ⌦ désigne un ouvert non vide de Rn et f une fonction définie sur ⌦. f (x + h) = f (x) + (h) + h"(h). ⇤ 1. µ 2 R. on a f (x+h) = f (x)+Df (x)(h)+khk"(h).3 Interprétation de Df (x) Le développement f (a + h) = f (a) + Df (a)(h) + khk"(h) où lim "(h) = 0. f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + khk"1 (h). h!0 Cela signifie que f +µg est différentiable en x avec D( f +µg)(x) = Df (x)+µDg(x). ⌘) ! Rp telles que pour tout khk < ⌘. avec "1 (h) + µ"2 (h) ! 0. il existe ⌘ > 0. 9 . alors pour tous . f est approchée par l’application affine f (a) + Df (a)(x a) : on a linéarisé f . ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ( f + µg)(x + h) = ( f + µg)(x) + Df (x)(h) + µDg(x)(h) + khk "1 (h) + µ"2 (h) . Démonstration : 1) et 2) faites en cours. on a pour khk < ⌘. s’interprète en disant qu’au voisinage de a. pour tout . t!0 t 2) (Continuité) Si f est différentiable en x alors f est continue en x. c’es-à-dire que si f. 1) (Unicité) Si f est différentiable en x. qui se réécrit h!0 f (x) = f (a) + Df (a)(x a) + kx ak"(h). ⌘) ! Rp et "2 : BRn (0. f est différentiable en x si et seulement si pour h petit. avec "(h) ! 0. avec "1 (h) ! 0 h!0 g(x + h) = g(x) + Dg(x)(h) + khk"2 (h). 3) (Linéarité) L’ensemble des applications différentiables est un espace vectoriel. "1 : BRn (0. 3) Les applications f et g étant différentiables en x.5. f + µg est différentiable en x et D( f + µg)(x) = Df (x) + µDg(x). pour laquelle la meilleure approximation à l’ordre 1 est donnée par la droite d’équation y(x) = f (a) + f 0 (a)(x a). h!0 1. µ 2 R. la différentielle de f en x est unique et est définie par : f (x + th) f (x) Df (x)(h) = lim .2 Premières propriétés Proposition 2. g : ⌦ ⇢ Rn ! Rp sont différentiables en x 2 ⌦. avec "2 (h) ! 0 h!0 Alors. On retrouve le même résultat que pour une fonction d’une variable réelle dérivable au point a. Xk )(H1 . kx yk < ⌘ =) k|Df (x) Df (y)k| < ". alors on peut définir l’application différentielle de f par Df : ⌦ ! L(Rn . ⇤ 2. Hk ) 2 Rn1 ⇥ . alors f et différentiable en tout point de ⌦ et Df (x) = 0 pour tout x 2 ⌦ (i. X2 )k = max(kX1 k. . . 8y 2 ⌦. linéaires. 1) Si f : ⌦ ! Rp est constante. On dit que f est de classe C 1 sur ⌦ si f est différentiable en tout point de ⌦ et si Df : ⌦ ! L(Rn . Rp ) est continue. k X Df (X1 . Si ⌦ est un ouvert de R. . . j=1 Démonstration : 1) et 2) faites en cours. Soit f : ⌦ ! Rp .9. pour tout (H1 . 3) Démontrons le point 3) dans le cas k = 2. ⇥ Rnk . et l’on a 8h 2 R . C’est un espace vecto- riel réel et f 7! Df est linéaire (cf Proposition 2. .8. X2 ) 2 Rn1 ⇥ Rn2 . H2 ) + f (H1 .3)). si 8x 2 ⌦. Df (x) : Rn ! Rp est l’application nulle).2 Exemples des applications constantes. . .6. 9⌘ > 0. . . . . Xj 1 . Démonstration : faite en cours. Hk ) = f (X1 .7. Hj . Xk ). Alors. . X2 + H2 ) = f (X1 . f (X1 + H1 . H2 ) 2 Rn1 ⇥ Rn2 . 10 . .4 Différentielle de f Définition 2.e. . . Définition 2. alors f est différentiable en tout point. . Rp ) l’ensemble des applications différentiables sur ⌦. . ⇥ Rnk . Xj+1 . 2 Exemples 2. . multilinéaires Proposition 2. f : ⌦ ! Rp est différentiable en x 2 ⌦ si et seulement si f est dérivable en x. . Soit (X1 . X2 ) + f (X1 . On utilise sur Rn1 ⇥Rn2 la norme k(X1 . . H2 ). . . f 0 (x) = Df (x)(1) 2 Rp . . 2) Si f : Rn ! Rp est linéaire. 3) Si f : Rn1 ⇥ . .1 Lien dérivée/ différentielle des fonctions de R dans Rp Proposition 2. kX2 k). . . tout (H1 . X2 ) + f (H1 . i. . Xk ) 2 Rn1 ⇥ . Rp ) x 7! Df (x) On note D(⌦. Df (x)(h) = hf 0 (x). . ⇥ Rnk ! Rp est multilinéaire.5. et pour tout (X1 . Si f : ⌦ ! Rp est différentiable en tout point de ⌦. .e.1. . 8" > 0. alors f est différentiable en tout point x 2 Rn et Df (x) = f pour tout x 2 Rn . donc kf (H1 . H2 ) est linéaire car f est bilinéaire. Démonstration : Soit x 2 ⌦ tel que les hypothèses du théorème soient vérifiées.3 Exemple du carré de la norme euclidienne Proposition 2. q trois entiers 1. Si f est de classe C 1 sur ⌦ et si g est de classe C 1 sur ⌦0 . X2 ) + f (X1 . Soit n. Si f est différentiable en x et si g est différentiable en f (x). H2 )k 2. f est différentiable sur Rn et 2 n X n n 8x 2 R . Comme f est bilinéaire sur Rn1 ⇥ Rn2 . p. Df (x)(h) = 2 xj hj = 2 < x. Alors. h > . Soit ⌦ un ouvert de Rn . alors g f : ⌦ ! Rq est différentiable en x. H2 ) 7! f (H1 . H2 ) tend vers 0. f : ⌦ ! Rp . kf (H1 .L’application (H1 . ⇤ k(H1 . ⇤ 3 Différentielle de fonctions composées 3.10. où "1 (h) ! 0 h!0 g(f (x) + k) = g(f (x)) + Dg(f (x))(k) + kkk"2 (k).1 Théorème Ce théorème est un théorème fondamental. alors g f est de classe C 1 sur ⌦. kH2 k)2 . On a pour h. qui a de nombreuses applications. H2 )k Ainsi.e. le quotient tend vers 0 quand (H1 . ⌦0 un ouvert de Rp .11. On suppose que f (⌦) ⇢ ⌦0 . 8h 2 R . avec D(g f )(x) = Dg f (x) Df (x) ⇥ ⇤ i. f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + khk"1 (h). Théorème 2. D(g f )(x)(h) = Dg f (x) Df (x)(h) . elle y est continue. pour tout h 2 Rn . où "2 (k) ! 0 k!0 11 . j=1 Démonstration : faite en cours. H2 )k kf kkH1 kkH2 k kf k max(kH1 k. Soit f : P Rn ! R la fonction définie par le carré de la norme euclidienne sur Rn : f (x) = kxk2 = nj=1 x2j . Soit x 2 ⌦. g : ⌦0 ! Rq . k assez petits. 2 Applications Différentielle de la norme euclidienne Théorème 2. Soit f : ⌦ ! Rp où ⌦ est un ouvert de Rn . u : [0. Or khk h!0 kkk k"3 (h)k kDg(f (x))kk"1 (h)k + k"2 (k)k khk ⇣ ⌘ kDg(f (x))kk"1 (h)k + kDf (x)k + k"1 (h)k k"2 (k)k. Comme k ! 0 quand h ! 0. g(f (x + h)) = g(f (x) + k) ⇣ ⌘ = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + khk"1 (h) + kkk"2 (k) ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + khkDg(f (x)) "1 (h) + kkk"2 (k) ⇣ ⌘ = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + khk"3 (h) ⇣ ⌘ kkk avec "3 (h) = Dg(f (x)) "1 (h) + "2 (k). On a kkk kDf (x)k + k"1 (h)k khk. On pose . ⇤ h!0 h!0 3. Démonstration : faite en cours.12. Reste à montrer que "3 (h) ! 0.13. on a "2 (k) ! 0 donc "3 (h) ! 0. avec u0 (0) = Df (a)(h). 1] ! Rp t 7! f (a + th) Si f est différentiable en a. donc k ! 0 quand h ! 0. avec u0 (t) = Df (a + th)(h). Si f est différentiable en tout point de ⌦. ⇤ Auxiliaire "universelle" Théorème 2. kxk2 Démonstration : faite en cours. tout h 2 Rn . Soit a 2 ⌦ et h 2 Rn tels que [a. 1]. < x. avec pour tout x 6= 0. a + h] ⇢ ⌦. alors u est dérivable sur [0. k k2 est différentiable sur Rn \ {0}.On écrit cette ⇣ dernière ligne avec⌘k = k(h) = Df (x)(h) + khk"1 (h). l’auxiliaire u est dérivable en 0. h > D(k k2 )(x)(h) = . ⇤ 12 . 15. b] ⇢ ⌦.Inégalité des accroissements finis Théorème 2. de différentielle nulle. alors pour tout a. on a kf (b) f (a)k kb ak sup k|Df (x)k|.14. b 2 ⌦ tels que [a. x2[a. alors f est constante sur ⌦. Si ⌦ est convexe et si f : ⌦ ! Rp est différentiable sur ⌦. [a. Si f : ⌦ ! Rp est de classe C 1 . 13 . ⇤ Corollaire 2.b] Démonstration : faite en cours. b 2 ⌦. b] ⇢ ⌦. Un ensemble ⌦ est convexe si pour tout a. ou une dérivée partielle par rapport à xj en a. Si f admet une dérivée partielle d’indice j en tout point x 2 ⌦. Si f˜a. . En particulier. . n}. @xj Exercice 3. @xj j=1 14 . @xj t!0 t @f @f On remarque que (a) 2 Rp .2. n}. à valeurs dans Rp . par @xj @f : ⌦ ! Rp @xj @f x 7 ! (x).3. on dit que f admet une dérivée partielle d’indice j en a. . .j (aj ) (a) = @xj f (a) = lim . On note cette dérivée @f f˜a.j (aj + t) f˜a. . la dérivée partielle d’indice j de f sur ⌦. pour tout h2R . Si f est différentiable en un point a.4. 1 Définitions Définition 3.j : R ! Rp . y) = (e2x+y . et @x j (a) = Df (a)(ej ). alors pour tout j 2 {1. est dérivable en aj .Chapitre 3 Dérivées partielles Soit f une fonction définie sur l’ouvert non vide ⌦ de Rn . 2 Liens différentielle/dérivées partielles Proposition 3. la jème application partielle de f en a. x2 y). (a) est un réel. @f f admet une dérivée partielle d’indice j en a. si f est scalaire. @xj @xj Définition 3.n Xn @f Df (a)(h) = hj (a).1. De plus. . . Calculer les dérivées partielles de la fonction f définie de R2 dans R2 par f (x. on définit @f l’application . . Soit a 2 ⌦ et j 2 {1. a2 +h2 ) f (a1 . a2 ) et h = (h1 . 0). a2 + h2 ) t (a). ' est dérivable. car f admet une dérivée partielle par rapport à x1 sur ⌦. @x1 @f 2 (h) = f (a1 .6. @x1 @x2 On écrit @f @f f (a+h) f (a) (h) = f (a1 +h1 . que f admet des dérivées partielles en x et en y en (0. @x2 (On "sépare" les variations selon la première et la deuxième variable). Soit f définie sur R2 \ {0} par f (x.5. a2 + h2 ) (a) @x1 @x1 15 . 0). Si f admet des dérivées partielles sur ⌦ et si celles-ci sont continues en a. Le candidat linéaire pour la différentielle de f en a est : R2 ! Rp définie par @f @f (h) = h1 (a) + h2 (a). On utilise ici la norme du sup kxk = max(|x1 |. avec @f @f '0 (t) = (a1 + t. @xj j=1 Démonstration : 1) Cas n = 2 : Soit a = (a1 . @x1 Alors. a2 + h2 ) h1 (a). Soit ⌦ un ouvert non vide de Rn . a2 + h2 ) f (a1 . alors f est différentiable en a. y) = et f (0. mais que f n’est pas différentiable en (0. a2 + h2 ) f (a1 . Xn @f Df (a)(h) = hj (a). et pour tout h 2 Rn . ⇤ Attention ! La réciproque n’est pas vraie en général. 0). 0) = 0. h2 ). L’existence de toutes les dérivées partielles de f en a n’entraîne pas nécessairement la différentiabilité de f en a ! x3 y Exercice 3. a2 ) h1 (a) h2 (a) = 1 (h)+ 2 (h) @x1 @x2 où @f 1 (h) = f (a1 + h1 . Théorème 3. a2 ) h2 (a). Cependant. De plus. définie pour t assez petit.Démonstration : faite en cours. Montrer x4 + y 2 que f est continue en (0. 1 (h) = '(h1 ) '(0). On introduit la fonction auxiliaire. on a le résultat suivant. @f '(t) = f (a1 + t. a 2 ⌦ et f : ⌦ ! Rp . |x2 |). a2 ) < "|t|. pour khk < min(⌘.h1 ] @x1 @x1 @f Soit " > 0. . . h1 ]. @x1 @x1 Supposons khk ⌘. Comme la dérivée partielle est continue en a.1jn 16 . ⌦ ouvert de Rn . on utilise la continuité de . alors @f t (a1 .On applique l’inégalité des accroissements finis à ' : @f @f k 1 (h)k = k'(h1 ) '(0)k |h1 | sup k'0 (t)k |h1 | sup (a1 + t. alors (a1 + x1 . donc il existe ⌘ 0 > 0 tel que si @x2 t!0 t |t| < ⌘ 0 .e... a2 + h2 ) (a) . Pour esti- @f @f mer 1.1 Matrice jacobienne et jacobien Définition 3. il existe ⌘ > 0 tel que si @x1 @f @f kxk ⌘. ⇤ @xn Corollaire 3.. on a kf (a + h) f (a) (h)k < 2"khk. avec Df (a) = . 2) Cas général : On décompose comme précédemment (h) = 1 (h) + . ⌘ 0 ). . On la note Jf (a). n 1 . @x2 Ainsi.8 (Jacobienne).h1 ] t2[0. f est différentiable en a. . . k'0 (t)k " et k 1 (h)k "|h1 |. a2 + t) f (a1 . Si f : ⌦ ⇢ Rn ! Rp est différentiable en a. @f f (a1 . (a1 . gradient 3. f est de classe C 1 sur ⌦ si et seulement si f admet des dérivées partielles sur ⌦ et les dérivées partielles de f sont continues sur ⌦.. a2 + x2 ) (a) ". Jf (a) est une matrice de taille p ⇥ n. Soit f : ⌦ ! Rp . a2 ) = lim . + n 1 (h) + n (h). a2 ) f (a1 . ✓ ◆ @fi Jf (a) = (a) . t2[0. a2 ) D’autre part. a2 + t) + f (a1 . Pour t 2 [0. pour khk < ⌘ 0 . . @xj 1ip. on appelle jacobienne de f au point a la matrice de Df (a) dans les bases canoniques de Rn et Rp . l’existence de @x1 @xn 1 @f (a). et pour n. En conclusion. ⇤ 3 Matrice jacobienne. k 2 (h)k "|h2 |.7. i. . Démonstration : faite en cours. . Jf (a) = Mat(f. Le gradient est une notion très utilisée en physique. (⇢. Définition 3. Bp ). Remarque 3. on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice jacobienne de f au point a. Bn . Bn . On peut donc dire que la variation de f au voisinage de a est maximale suivant le vecteur u et minimale suivant le vecteur u. le ! champ electrostatique E dérive d’un potentiel electrostatique V : ! E = rV = grad V 17 . Soit f : ⌦ ! R une fonction scalaire et a 2 ⌦. Df (a)(h) =< rf (a). Df (a) = f et 8a 2 Rn . Si f : ⌦ ⇢ Rn ! Rn est différentiable au point a 2 ⌦. — Si f est une application linéaire alors 8a 2 Rn . sa variation est la plus forte au point a quand on se déplace dans la direction du gradient de T en a.Exemples : — Si f est une fonction scalaire Jf (a) est une matrice ligne. . différentiable en a telle que rf (a) 6= 0Rn .2 Gradient de f : Rn ! R (cas p = 1) Définition 3. (a)ej = B rf (a) = grad f (a) = n C @xj @ A j=1 @f (a) @xn La notation r peut se lire gradient ou nabla. ou rf (a). fn ) det Jf (a) = (a). Remarque 3. C B . D(x1 . Alors pour tout vecteur v tel que kvk = 1. y = ⇢ sin ✓). 3. Df (a) = et Jf (a) = Mat( .10. . ✓) 7! (x = ⇢ cos ✓. Soit 1 u= rf (a). . f = c + où c 2 Rp et 2 L(Rn . Soit f : ⌦ ⇢ Rn ! R.9 (Jacobien (n = p)). . — Si f est une fonction affine. Par exemple. on appelle gradient de f en a le vecteur de Rn ayant pour composantes dans la base canonique Bn les dérivées partielles de f au point a. . krf (a)k Df (a)(u) Df (a)(v) Df (a)(u). Exercice 3.12..11.13. On le note grad f (a). On peut écrire la différentielle de f en a à partir du gradient : pour tout h 2 Rn . Bp ). Calculer la matrice jacobienne de f et le jacobien de f en tout point de R2 . C . Exemple : si T désigne une température. 0 1 @f (a) Xn B @x1 C @f B . h > . Rp ) alors 8a 2 Rn . Il est noté D(f1 . . xn ) Le jacobien apparaît lors des changements de variables dans les intégrales multiples (voir chapitre II de ce cours). Soit f : R2 ! R2 . Si f admet des dérivées partielles en a. . ⌦0 un ouvert de Rp . F = g . Soit f une application bijective de ⌦ ⇢ Rn dans ⌦0 ⇢ Rn . (x) sera notée (x).18. Plus généralement. Soit n. On dit que f : ⌦ ! Rp est de classe C k sur ⌦ si toutes ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues sur ⌦. . . @xi1 . Démonstration : de la réécriture faite en cours. On suppose que f (⌦) ⇢ ⌦0 . Montrer que est de classe C 1 sur ⌦. Alors. ⇤ ⇣ y⌘ Exercice 3.16. Soit ⌦ = R+⇤ ⇥ R+⇤ . Soit g : ⌦ ! Rp de x classe C 1 . y) 7! xy.4 Réécriture du théorème de différentiation des fonctions composées On peut réécrire le théorème de différentiation des fonctions composées (Théorème 2. . Rn ) alors pour tout a 2 ⌦. 18 . Soit ⌦ un ouvert de Rn . Rq ). Soit k 1.11) à l’aide des dérivées partielles. : ⌦ ! ⌦. cela s’écrit Jg f (x) = Jg (f (x)) Jf (x). Supposons que existe sur ⌦. Soit f 2 C 1 (⌦. 1 i q. on définit par récurrence les @kf dérivées partielles de f d’ordre k : (x). Démonstration : faite en cours. F = g f 2 C 1 (⌦. C’est une @xj application de ⌦ dans ✓ R◆. 1. On note f 1 sa réciproque. Si f 2 C 1 (⌦. C’est par définition la dérivée partielle @xk @xj @xk @xj de f d’ordre 2 d’indice k. Rp ) et g 2 C 1 (⌦0 . j au point x. Si cette application p admet une dérivée partielle d’indice k en un @ @f @2f point x 2 ⌦. Rq ) et pour tout x 2 ⌦. ⇤ Proposition 3. X @gi p @Fi @fk pour tout 1 j n.14. @F @F @g @g 2. @x @y @x @y 5 Dérivées partielles d’ordres supérieurs @f Définition 3. en fonction de et . 1 Jf 1 (f (a)) = (Jf (a)) . Théorème 3. (x) = (f (x)) (x) @xj @yk @xj k=1 En terme de jacobienne. F : ⌦ ! Rp . q trois entiers naturels non nuls.15.17. Soit f : ⌦ ⇢ Rn ! Rp . p. (x. Exprimer . @xik Définition 3. Rn ) et si f 1 2 C 1 (⌦0 . a2 + ⌧ ) ⌧ K @x Alors. |⌧ | < r : '(t) = f (a1 + t. @x@y @y@x @2f @2f Notons K = (a) et L = (a). @x@y @y@x On fixe u = (u1 . y) L ". a2 ) tu2 K @f ✓t (⌧ ) = (a1 + t. @2f Et à |t| < r fixé. à valeurs dans Rp . y) 2 B(a. de plus. (u) = '(u1 ) '(0) + Ku1 u2 et '0 (t) = ✓t (u2 ) ✓t (0). |y|).1 Théorème de Schwarz Le théorème suivant permet de commuter les indices de dérivation dans certaines condi- tions. y) K " et (x. @2f @2f (x. On utilise les auxiliaires suivantes. ✓ ◆ @2f Hf (a) = (a) @xi @xj 1i. Soit f : ⌦ ! Rp une fonction définie sur un ouvert ⌦ de Rn . Soit a 2 ⌦.20. Soit f : ⌦ ⇢ Rn ! R. On utilise la norme k(x. a2 + u2 ) f (a1 + t. r). Si f admet des dérivées partielles secondes @2f @2f et sur ⌦ et si. il existe r > 0 tel que B(a. a2 ). Par continuité. a2 ) f (a1 . donc k✓0 (⌧ )k ". Théorème 3. Définition 3. alors @xk @xj @xj @xk @2f @2f (a) = (a). On appelle hessienne de f en a la matrice des dérivées partielles secondes de f en a. r). La composée de deux applications C k est de classe C k . a2 + u2 ) f (a1 + u1 . a2 + ⌧ ) K. ces fonctions sont continues en a. pour tout |⌧ | < r. y)k = sup(|x|.jn 5. @2f @2f On suppose que et existent sur ⌦ et qu’elles sont continues en a = (a1 .19.21 (Théorème de Schwarz). @xk @xj @xj @xk Démonstration : Il suffit de démontrer le théorème dans le cas où n = 2. définies pour |t| < r. On pose (u) = f (a1 + u1 . ✓t0 (⌧ ) = (a1 + t. a2 ). u2 ) 2 B(0. a2 + u2 ) + f (a1 .Proposition 3. @x@y @y@x Soit " > 0. @y@x 19 . On la note Hf (a). On considère ici le cas p = 1. r) ⇢ ⌦ et pour tout (x. ⇤ 5. ⇤ Corollaire 3. h > + (1 t)hT Hf (a + th)hdt 0 où rf (a) est le gradient de f en a et Hf (a) la matrice Hessienne de f en a . D’où. Démonstration : faite en cours. h > + hT Hf (a)h + khk2 "(h) 2 où rf (a) est le gradient de f en a. à valeurs dans R. h >= hT Hf (a)h Démonstration : faite en cours. Alors. 1 f (a + h) = f (a)+ < rf (a). on a pour tout h 2 Rn . Alors.u1 ] ⌧ 2[0.24 (Formule de Taylor-Young dans le cas p = 1 et k = 2).22. a + h] ⇢ ⌦. h!0 Démonstration : admise. On considère ici le cas p = 1. Hf (a) est une matrice symétrique. Qf (a)(h) =< Hf (a)h. On obtient k'(u1 ) '(0)k |u1 | sup k'0 (t)k t2[0.2 Formules de Taylor Théorème 3. En choisissant u tel que u1 6= 0 et u2 6= 0. h 2 Rn tels que [a. on déduit k(L K)k 2". k(L K)u1 u2 k 2"|u1 ||u2 |. Soit f une application de classe C 2 sur ⌦. Ceci étant vrai pour tout " > 0.u2 ] "|u1 ||u2 | On obtient donc k (u) Ku1 u2 k "|u1 ||u2 |.On applique maintenant l’inégalité des accroissements finis à ' puis à ✓t . De la même manière. h 2 Rn tels que [a. on montre que k (u) Lu1 u2 k "|u1 ||u2 |.23 (Formule de Taylor avec reste intégral dans le cas p = 1 et k = 2).u1 ] ⇣ ⌘ |u1 | sup |u2 | sup k✓t0 (⌧ )k t2[0. Z 1 f (a + h) = f (a)+ < rf (a). ⇤ 20 . Si on note Qf (a) la forme quadratique associée à Hf (a). Soit a 2 ⌦. a + h] ⇢ ⌦. Hf (a) la matrice Hessienne de f en a et " est une application définie sur un voisinage de 0 dans Rn . Soit a 2 ⌦. En tout point a 2 ⌦. qui vérifie "(h) ! 0. on conclut que L = K.u1 ] |u1 | sup k✓t (u2 ) ✓t (0)k t2[0. ⇤ Théorème 3. Soit f : ⌦ ⇢ Rn ! R de classe C 2 . Soit f : ⌦ ⇢ Rn ! R de classe C 2 . Chapitre 4 Extrema d’une fonction de Rn dans R Définition 4.4. f admet un minimum local en a. On appelle point critique de f tout point a 2 ⌦ tel que Df (a) = 0 ou bien tout point a 2 ⌦ où toutes les dérivées partielles s’annulent. 2 Condition suffisante d’extremum Pour la réciproque. Soit a 2 ⌦. alors.3. Si f admet un extremum au point a et si f est différentiable en a. f 00 (a) va être remplacé par le deuxième terme du développement de Taylor-Young : la hessienne de f en a. r) \ {a}.jn 21 . 8x 2 B(a. r). On rappelle sa définition : Proposition-Définition 4. r) ⇢ ⌦ telle que : 8x 2 B(a. si f 0 (a) = 0 et f 00 (a) > 0. reprenons le cas d’une variable réelle : f 0 (a) = 0 n’entraîne pas que f admet un extremum en a. r). Ceci se démontre en écrivant le développement de Taylor de f en a. alors a est un point critique de f . Démonstration : faite en cours. ✓ 2 ◆ @ f Hf (a) = (a) @xi @xj 1i. f (x) f (a) (minimum).1. Mais si f est deux fois dérivable en a. Soient ⌦ un ouvert de Rn et f : ⌦ ! R. On dit que f admet un extremum local (maximum ou minimum) au point a s’il existe une boule B(a. Soit f : ⌦ ⇢ Rn ! R. Soit f : ⌦ ! R et a 2 ⌦.2. ⇤ ATTENTION ! Cette condition n’est pas suffisante. Pour une fonction de ⌦ ⇢ Rn ! R. On la note Hf (a). 1 Condition nécessaire d’extremum Définition 4. f (x) f (a) (maximum). On dit que l’extremum est strict si les inégalités ci-dessus sont strictes pour tout x 2 B(a. On appelle hessienne de f en a la matrice des dérivées partielles secondes de f en a. Proposition 4. 6. ou négative sans être définie. Démonstration : faite en cours. on dit que f admet un point selle ou un point col en a. Théorème 4. alors f admet un minimum local en a. Soit g : R3 ! R. s= (a). ⇤ Exercice 4. alors f admet un minimum strict au point a. iv) Si Qf (a) est positive sans être définie. Etudier les extrema de g. et r > 0. on ne peut pas conclure.5 (Condition suffisante d’extremum strict). ii) Si Qf (a) est définie négative. Alors Qf (a)(h) = hT Hf (a)h pour tout h 2 Rn . Soient f 2 C 2 (⌦. Cas particulier. On dit que f admet un point selle ou un point col en a. iii) Si Qf (a) n’est ni positive ni négative. i) Si Qf (a) est définie positive. Considérons f 2 C 2 (⌦ ⇢ R2 . @x2 @x@y @y 2 Alors. alors on ne peut rien affirmer. et r < 0. i) si rt s2 > 0. iv) si rt s2 = 0. Hessf (a) est une matrice symétrique et on note Qf (a) la forme quadratique associée. alors f n’admet pas d’extremum en a.Si f est de classe C 2 .7. R) et a 2 ⌦ un point critique de f . y. alors f n’admet pas d’extremum en a. R) et a 2 ⌦ un point critique de f . Notons @2f @2f @2f r= (a). iii) si rt s2 < 0. alors f admet un maximum local en a. alors f admet un maximum strict au point a. par le théorème de Schwarz. ii) si rt s2 > 0. t= (a). z) 7! (x + y + z)2 + x3 + y 3 + 3z. Démonstration : faite en cours dans le cas n = 2. ⇤ 22 . (x. n = 2 Théorème 4. Minimum local : cas i) Maximum local : cas ii) Point selle : cas iii) Aucune conclusion possible : cas iv) 23 . . Soit U un ouvert de Rn . . an ) 2 U et b = f (a). Soit a = (a1 . > . . . Soient U et V deux ouverts de Rn et k 2 N⇤ . On dit que f : U ! Rn est un difféomorphisme de classe C k au voisinage de a s’il existe un ouvert ⌦ ⇢ Rn tel que i) a 2 ⌦ ⇢ U ii) ⌦0 = f (⌦) est ouvert. Définition 5. Considérons le système d’équations 8 < f1 (x1 . outre la régularité.2. k 2 N⇤ . ii) f est de classe C k sur U . f est un C k -difféomorphisme au voisinage de a. . .3 (Inversion locale (admis)). Corollaire 5.4. . . xn ) = yn 24 . xn ) = y1 > . théorème des fonctions implicites 1 Difféomorphismes Définition 5.1 (Difféomorphisme). Soit U un ouvert de Rn et f : U ! Rn de classe C k sur U. le cas continu seulement. Alors. Pour k = 0.e. a 2 U et k 2 N⇤ . i. on dit que f est un homéomorphisme. On dit que f : U ⇢ Rn ! V ⇢ Rn est un difféomorphisme de classe C k si : i) f est une bijection de U ⇢ Rn dans V ⇢ Rn . . Soit U un ouvert de Rn et f : U ! Rn de classe C k sur U.. il suffit de vérifier que l’application linéaire Df (a) est bijective pour en déduire que f elle-même est une bijection au voisinage de a. .Chapitre 5 Théorème d’inversion locale. : fn (x1 . 2 Théorème d’inversion locale Théorème 5. k 2 N⇤ . . . Autrement dit. iii) la restriction f : ⌦ ! ⌦0 est un difféomorphisme de classe C k . Soit a 2 U tel que Df (a) : Rn ! Rn soit bijective (ce qui équivaut à det Jf (a) 6= 0). iii) f 1 est de classe C k sur V . v) dant. . . ⇤ Exercice 5. Elle se calcule facile- ⇢ @x @y u = u(x. De plus. v) = I2 . les x1 . on peut calculer les dérivées partielles des fonctions en inversant y = y(u. ✓) = (r cos ✓. 25 . si (u. . . ⇡[) et montrer que f : R+⇤ ⇥] ⇡. . . On a montré que pour tout b 2 f (U ). Soient ⌦1 et ⌦2 deux ouverts de Rn . y)J' 1 (u. Ainsi. . y)C J' 1 (u. alors i) f (U ) est un ouvert. v) = @ @y @y A (u. y). Théorème 5. xn solutions sont des fonctions C k de y1 . Si pour tout x 2 U . On note f 1 : f (U ) ! U son inverse. y) impossible) à inverser explicitement : on ne peut expliciter ⇢x. . f 1 est de classe C k sur f (U ). v. r sin ✓) (coordonnées po- laires). ⇡[! R2 . y). . Démonstration : Soit b 2 f (U ). yn ) 2 ⌦0 . y) est J' (x. Il existe a 2 U tel que b = f (a). il existe un ouvert contenant b inclus dans f (U ) . La 0 1 @u @u B @y C jacobienne de ' au point (x. le système y = f (x) possède une unique solution x dans ⌦. . y)). ⌦0 ⇢ f (U ). Déterminer V = f (R+⇤ ⇥] ⇡. y). v(x. . il existe un ouvert ⌦ contenant a. elle est bijective de U dans f (U ). Soit f : R+⇤ ⇥] ⇡. Supposons par exemple n = 2. f 1 coïncide avec f1 1 . . v) = '(x. xn ) que pour tout y = (y1 . . Le théorème d’inversion globale donne un critère pour vérifier si une application est un changement de variables. Sur ⌦0 . Un C 1 -difféomorphisme ' : ⌦1 ! ⌦2 est aussi appelé un changement de variables. c’est-à-dire que si x = (y) alors 2 C k (⌦0 ). . D(f1 . . v) = @@ @v @v A A @u @v @x @y On obtient les dérivées partielles de ' 1 sans expliciter ' 1. '(x. ce qui veut dire que f (U ) est ouvert. donc 0 1 00 1 1 1 @x @x @u @u B @u @v C BB @x @y C (x. Cepen- x = x(u. on a J' (x. y) = @ @x @v @v A (x. Soit U un ouvert de Rn et f : U ! Rn injective. un ouvert ⌦0 contenant b. de classe C k sur U. y en fonction de u. y) ment si l’on dispose de Il arrive souvent que ce système soit difficile (ou v = v(x. k 2 N⇤ . . yn .5 (Inversion globale). f étant injective. . .6. donc est de classe C k . . En effet.7. tels D(x1 . On applique le théorème d’inversion locale en a : il existe un ouvert ⌦ ⇢ Rn contenant a et un ouvert ⌦0 ⇢ Rn contenant b tels que la restriction f1 : ⌦ ! ⌦0 soit un C k -difféomorphisme. Ceci étant vrai au voisinage de tous les points de f (U ). f (r. 3 Changements de variables Définition 5. fn ) Si (a) 6= 0. y) = (u(x. v) la jacobienne. ii) la restriction f : U ! f (U ) est un C k -difféomorphisme. ⇡[! V est un C 1 -difféomorphisme. Df (x) est bijective. . ✓) cos ✓ (r. ✓) d’après le théorème d’inversion globale. y) ' est injective sur R+⇤ ⇥] ⇡. ✓) ' est un changement de variables de R+⇤ ⇥] ⇡.9. Le système donnant x et y en fonction de r et ✓ est impossible à inverser en toute généralité. y = r sin ✓ ' est bien définie sur R2 . ✓) = (r. y) = (u. 0) | x 2 R }. 0) | x 2 R }. En effet. Soit ' : R2 ! R2 . . 0) | x 2 R }. y) = (r. . ✓) = .1) @x @r @x @✓ @x @r @✓ r @f @g @r @g @✓ @g @g cos ✓ (x. @f @g @r @g @✓ @g @g sin ✓ (x. et (a. ✓) + (r. On pose g = f '. ✓) = (r. g(r. ⇡[ = R2 \ {(x. sin ✓ r cos ✓ D(r.8. ✓) = (x. ✓) = @ @✓ @✓ A = sin ✓ cos ✓ @x @y r r Soit f une fonction définie sur un ouvert de R2 inclus dans R2 \ {(x. Soit ⌦ un ouvert de R2 .3) @x @y 4 Théorème des fonctions implicites Corollaire 5. f : ⌦ ! R de classe C k (k 1).e. par le théorème de différentiation des applications composées. y) = (r. Donner les applications f définies sur l’ouvert ⌦ = R+⇤ ⇥ R de R2 . Exercice 5. donc D(r. ✓) . ⇡[ et son jacobien = r est non nul pour r 6= 0. (5.2) @y @r @y @✓ @y @r @✓ r Ces relations permettent de résoudre quelques équations aux dérivées partielles (EDP). C 1 sur cet ouvert telles que @f @f x +y = x2 + y 2 (5. ⇡[ dans R2 \ {(x. ' est un C 1 -difféomorphisme de R+⇤ ⇥] ⇡. elle est C 1 sur R2 et on a ✓ ◆ cos ✓ r sin ✓ D(x. ✓) sin ✓ + (r. D(x. ✓) = f (r cos ✓. On peut cependant calculer les dérivées partielles de l’inverse en inversant la jacobienne de ' : 0 1 @r @r ! B @x @y C cos ✓ sin ✓ J' 1 (r. v = x+y @x @x @y @y Montrer que ' est un changement de variables de R2 dans Im'.b)=0. ✓) . 26 . r sin ✓) = f (x. . v).10 (Théorème des fonctions implicites dans le cas n = p = 1). ⇢ u = ex + ey Exercice 5. Déterminer . On calcule alors. ✓) + (r. i. y) J' (r. On suppose i) f(a. (5. y) définie par . b) 2 R ⇥ R. y). = r. ⇡[ dans ' R+⇤ ⇥] ⇡. '(x. @u @v @u @v Exemple : Changement de variables ⇢ polaires x = r cos ✓ Soit '(r. a + A[. a + A[. De plus. Démonstration : faite en cours. On suppose de plus que @y f (a. il existe • A > 0. @y (x. • ' :]a A. Considérons l’équation f (x. il existe A > 0. pour tout x 2]a A. Corollaire 5. a + A[!]b B. quitte à diminuer A > 0. c’est-à-dire que f (a. Cette situation est très courante en théorie de l’optimisation que vous aborderez en 3MIC. y) = 0 au voisinage de (a. @f @x (x. B > 0 tels que pour tout x 2]a A. y) = 0 () y = '(x) pour tout x 2]a A. '(x)) '0 (x) = @f . B > 0. a + A[. b) = 0. Alors. 27 . b) 6= 0. l’équation possède une unique solution y dans ]b B. Soit (a. ⇤ Une application de ce théorème est le résultat sur les extrémas liés ou multiplicateurs de Lagrange qui intervient quand on cherche les extremas d’une fonction tout en vérifiant une contrainte. b) une solu- @ tion de cette équation. b + B[ de classe C k telle que i) '(a) = b ii) f (x. @ ii) @y f (a. y) = 0 où f 2 C k (R2 ).11. '(x)) On dit que ' est la fonction implicite définie par f (x. b) 6= 0. b + B[ (et y dépend de x de façon C k ). Alors. b). Deuxième partie Calcul intégral 28 . b]. A x fixé.Chapitre 6 Intégrale dépendant d’un paramètre 1 Intégrale définie dépendant d’un paramètre 1. on étudie les propriétés de la fonction g en fonction de celles de f . alors on peut définir 8 < g : [c. donne une condition suffisante assurant qu’une fonction est uniformément continue.1 Continuité uniforme Définition 6. Soit f : ! R. y) 2 ⌦2 . Le théorème de Heine. à valeurs réelles. b] ⇥ [c. On note = [a. d] ! R Z b : x 7! f (t. bi ].2. la fonction [a. Une fonction f : ⌦ ! R est dite uniformément continue sur ⌦ si elle vérifie 8" > 0. Si une fonction f est continue sur un domaine ⌦ = ni=1 [ai .2 Bornes fixes Soient a < b et c < d des réels. 1. alors f est uniformément continue sur ⌦. 9⌘ > 0 tel que 8(x. qu’on énonce maintenant. x) une fonction définie sur . x) 7! f (t. (t. Si elle est continue sur [a. kx yk ⌘ =) |f (x) f (y)| ". Soit ⌦ un domaine de Rn . b] ! R. vous a été définie l’intégrale sur un segment. on peut définir Z b g(x) = f (t. x) est une fonction d’une seule variable réelle. généralisation du théorème de Heine démontré en première année.1. a Si t 7! f (t. En première année. x) est continue sur [a. Dans ce paragraphe. t 7! f (t. x)dt. b] pour tout x 2 [c. au sens de Riemann. d] ⇢ R2 . des fonctions continues d’une variable réelle. d]. Q Théorème 6. x)dt a On dit que g est définie comme une intégrale dépendant d’un paramètre (le paramètre x). 29 . Montrer que g : R ! R. si k(t0 . x)dt est définie et a continue sur [c. Soit f : = [a. a @x @x @f Or est continue sur le fermé borné . on applique la formule des accroissements finis à la fonction d’une va- riable réelle x 7! f (t. d] ! R. Il existe ⌘ > 0 tel que pour tout (t. on a |✓h (t) x| < ⌘. x)dt.5 (Classe C 1 ). Pour tout t 2 [a. x 7! g(x) = dt est définie et continue 0 1 + t2 sur R. b] ⇥ [c. x)k < ⌘ @f 0 0 @f alors (t . la fonction g : [c. d] ! R. x ) (t. x 7! f (t. b]2 . x) = h t. x + h[ tel que @f f (t. x) dt. x) < ". Ceci h!0 a @x pour tout x 2 [c. @x @x Soit |h| < ⌘. x + h) f (t. x0 ) 2 [c. b] ⇥ [c. x + h] : il existe ✓h (t) 2]x. x)dt. @f ii) existe et est continue sur . Z b @f En conclusion. d]. d] ! R. d]. t0 ) 2 [a. lim A(h) = 0. Théorème 6. Supposons que i) f est continue sur . b] fixé. g est dérivable en x. d]. a @x Z b g(x + h) g(x) @f Démonstration : Soit x 2 [c. A t 2 [a. Prenons pour k k la norme du sup. Démonstration : faite en cours. donc g est dérivable sur [c. x 7! f (t. ✓h (t) . x)dt est de classe C 1 sur [c. Z b Si f est continue sur .4. donc elle y est uniformément continue. Z b 0 @f g (x) = (t. Soient a < b et c < d des réels. i. alors la fonction g : [c. b]. d]. tout (x. d]. x) sur l’intervalle [x. 30 . d]2 . Soient a < b et c < d des réels. @x Soit " > 0.3 (Continuité).e. d] et pour tout a x 2 [c. @x Z b✓ ◆ @f @f A(h) = (t. Ainsi. x0 ) (t. ⇤ Z 1 cos(tx) Exercice 6. On obtient A(h) < "(b a).Théorème 6. @x Z b Alors. avec g 0 (x) = (t. d] ! R. Soit f : = [a. x)dt ! h a @x h!0 0. Montrons que A(h) = (t. ✓h (t)) (t. tout |t t0 | < ⌘.6. ⇤ Z 1 cos(tx) Exercice 6. x 7! g(x) = 2 dt. d]. Zc u ii) h : ! R. d] ! R. d] ! R. x)dt dx = f (t. @x g est donc de classe C 1 . d] et l’on peut calculer a son intégrale sur [c. |f (t. x > 0. d]. @f De plus. a On veut montrer que H1 (d) = H2 (d). Soit f : = [a. c u Comme f est continue sur le fermé borné de R2 . c c a a c En d’autres termes. g 0 est continue sur [c. d]. par le théorème précédent. x 7! f (t. Zc b iii) H2 : [c. d]. Montrer que g est de classe C 2 0 1 + t sur R et que g est solution de l’équation différentielle : 8 > sin x > > y”(x) + y(x) = . H10 (u) = g(u). u 7! H2 (u) = h(t. u)dt . < x ⇡ lim y(x) = . x) f (t0 . Démonstration : On définit les Z trois u fonctions suivantes : i) H1 : [c. donc il existe ⌘ > 0 tel que pour tout x 2 [c. d] car g est continue sur [c. d] . Pour cela. u) 7! h(t. u) = f (t. puis que H1 et H2 sont de classe C 1 . x 7! f (t. x) est continue sur [c. x)| < ". cela suffit bien à montrer que H1 (d) = H2 (d). Soient a < b et c < d des réels. ii) h est bien définie car pour tout t 2 [a. elle y est uniformément continue. > > x!0+ 4 > : lim y 0 (x) = 0. b]. i) H1 est bien définie sur [c. b] et sur [c. On a Z u Z u0 0 0 0 |h(t. u0 ) 2 . Montrons que h est continue sur . b] ⇥ [c. u )| |f (t. Soit g : R ! R.7 (Théorème de Fubini). on peut "intervertir" les intégrales sur [a. H1 est une primitive de g donc elle est de classe C 1 et pour tout u 2 [c. d]. d]. (t0 . x)dt est continue sur [c. d] ! R continue sur . 31 . x)dx. x)dx dt. H10 (u) = H20 (u). d] ! R. x)|dx + |f (t0 . est continue sur donc. Prenons pour k k la norme du sup. d] comme suit : Z d Z d ✓Z b ◆ Z b ✓Z d ◆ g(x)dx = f (t. x)|dx . Vérifions tout d’abord que ces trois fonctions sont bien définies. x!0+ Théorème 6. u) h(t . Z b Alors la fonction g : [c. u). x) f (t . Soit " > 0. et qu’elle admet une dérivée partielle par rapport à u continue sur [c. Soit (t. d]. on montre que pour tout u 2 [c. u 7! H1 (u) = g(x)dx. (t. Comme H1 (c) = H2 (c) = 0. x 7! dt. iii) Par le théorème 6.) est une primitive de f (t. b] ⇥ [c. En utilisant ce théorème et le résultat sur la dérivation des fonctions composées. d trois réels tels que c < d. Montrer que g(x)dx = dt. . b]. H2 est de classe C 1 sur [c. Soit g : [0. soit égal à +1). c. u0 )| (u c)" + kf k1 |u u0 | < (d c + kf k1 )". Si f 2 C([a. à t fixé.10. u)dt = f (t. Z b Z b @h H20 (u) = (t. qui est bien continue @u sur . . 0 1 + t2 0 0 t(1 + t2 ) 1. u). b]. avec a 2 R [ { 1}. pour |t t0 | < ⌘ et |u u0 | < ". x) 7! f (t. b]) et pour tout x 2 [a. Soit b 2]a. 1] ! R. Soit g : R ! R. De plus. Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles définie sur [a. 1] et calculer g . x 1 + t2 Montrer que g est dérivable sur [0. d] et pour tout u 2 [c. on peut définir F sa primive qui s’annule en a par 8 < F : [a. d]. +1[[{+1} (b est soit un réel > a. 0 2 Intégrale impropre dépendant d’un paramètre Soient a. on peut traiter le cas des intégrales dont une borne au moins dépend d’un paramètre.) donc la dérivée partielle de h par rapport @h à u existe. H10 = H20 .8. h(t. (t. ⇤ Z 1 Z 1 Z 1 cos(xt) sin t Exercice 6. d]. x).Ainsi. b]).5. Ce qui signifie que h est continue sur . b[⇥[c. d] ! R. b[⇥[c. d]. et pour tout t 2 [a. On pourrait tout aussi bien considérer f définie sur ]a. (t.9. ce qui termine la preuve du théorème.3 Bornes dépendant du paramètre On rappelle que Théorème 6. 32 . tout u 2 [c. F 0 (x) = f (x). d] : f : [a. u)dt = g(u). u) h(t0 . u) = f (t. b] ! R Z x : x 7! f (t)dt a Alors F 2 C 1 ([a. on obtient |h(t. Z x2 cos(tx) Exercice 6. a @u a Ainsi. x 7! g(x) = dt. d]. x)dt a On dit que g est définie comme une intégrale impropre (ou généralisée) dépendant d’un paramètre (le paramètre x). |f (t.14. b[! R+ telle que . +1[[{+1}. ⇤ Z +1 t tx e e Exercice 6. la fonction [a. alors on peut définir 8 < g : [c. b[ pour tout x 2 [c. d]. ou intégrale généralisée. d]. Soient a. x)dt est continue sur [c.3 et 6. cette intégrale coïncide avec l’intégrale de Riemann de f sur [a.12. Si t 7! f (t. Théorème 6. b[. Soit f : [a.5 ne suffisent plus ici pour étudier la régularité de l’intégrale impropre à paramètre. Z b . Montrer que g :]0. Soit b 2]a. Il faut ajouter une condition de domination (voir hypothèse ii) dans le théorème 6. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g définie par g(x) = e e tx dt ? 1 t Les hypothèses faites aux théorèmes 6. x) est continue sur [a. a Démonstration : faite en cours. la fonction définie par g : [c. Z b g(x) = f (t. d trois réels tels que c < d. d] ! R Z b : x 7! f (t. x ! f (t. t 7! f (t. +1[.13 et hypothèses ii). b[⇥[c. c. tout x 2 [c.11. b[! R. 33 . iv) dans le théorème 6.pour tout t 2 [a. Z b Définition 6. a Z b Alors. et que f (t. x)| '0 (t). d]. x)dt. b[⇥[c. d] ! R. Supposons que i) f est continue sur [a. d] ! R. b[. x) est prolongeable par continuité en b.13 (Théorème de continuité). a (Si t 7! f (t. d].15) pour obtenir le résultat de continuité ou de dérivabilité. ii) il existe '0 : [a.A x fixé. x)dt a converge pour tout x 2 [c. l’intégrale impropre. si elle converge. '0 (t)dt converge. Cette hypothèse de domination assure que l’intégrale impropre converge uniformément par rapport au paramètre x. x 7! g(x) = dt est continue 1 t sur ]0. +1[! R. on peut définir. Si f est continue sur [a. x) est une fonction d’une seule variable réelle. Exercice Z +1 t 6. b]). d].5 à g̃ (f satisfait les hypothèses du théorème 6. il existe ⌘ > 0 tel que pour |h| < ⌘. @x Z b✓ ◆ @f @f R(h) = (t. @x Z b . x)dt b 0 h @x On peut appliquer le théorème 6. |f (t. et a pour tout x 2 [c. ii) il existe '0 : [a. h a @x h!0 Soit " > Z0. b[. x) = h t. @x iv) il existe '1 : [a.pour tout t 2 [a. d]. Pour cela. Z b b Comme 1 (t)dt converge.5 sur [a. x)dt ! 0. x) dt. à t 2 [b0 . ✓h (t)) (t. b0 34 . '0 (t) dt converge. d]. x) sur l’intervalle [x. x) @f R(h) = (t. Z b . a @f iii) existe et est continue sur [a. x)| '0 (t). b[! R telle que @f . b[⇥[c. Ainsi.pour tout t 2 [a. b[⇥[c. x)dt h a @x a Z b✓ ◆ f (t. x + h] : il existe @f ✓h (t) 2]x. tout x 2 [c. a Z b Alors. Il reste à majorer R(h). x) '1 (t). d]). d] ! R. h!0 |Ã(h)| < ". Supposons que i) f est continue sur [a. Ainsi. '1 (t)dt converge. Montrer que g est dérivable en x équivaut à montrer Z b g(x + h) g(x) @f que A(h) = (t. g̃(x) = f (t. a @x Démonstration : Soit x 2 [c. (t. b0 ] ⇥ [c. x ! f (t. a b0 On décompose A(h) = Ã(h) + R(h) avec Z b0 Z b0 g̃(x + h) g̃(x) @f Ã(h) = (t. tout x 2 [c.15 (Théorème classe C 1 ). Z b 0 @f g (x) = (t. x)dt est de classe C 1 sur [c. il existe b 0 2 [a. d]. x)dt.Théorème 6. On obtient lim Ã(h) = 0. b[! R telle que . b0 @x @x On utilise maintenant la condition de domination sur la dérivée partielle de f par rapport àx: Z b |R(h)| 2 1 (t)dt < 2". b[. b[ tel que 1 (t)dt < ". d]. d]. la fonction définie par g : [c. x + h[ tel que f (t. x)dt. ✓h (t) . x + h) f (t. d]. x + h) f (t. b[ fixé. on applique la formule des accroissements finis à la fonction d’une variable réelle x 7! f (t. premières propriétés Z +1 Proposition-Définition 6. Montrer que g :]0. d]. x 7! g(x) = dt est de classe 1 t C 1 sur ]0. avec g 0 (x) = (t. @f De plus. Ceci h!0 a @x pour tout x 2 [c. g 0 est continue sur [c. |A(h)| < 3" pour |h| < ⌘. donc g est dérivable sur [c. i. 3. ⇤ Z +1 t tx e e Exercice 6. g est donc de classe C 1 sur [c. a) (1) = 1. par le théo- @x rème précédent. x)dt.16. Pour tout x > 0. est continue sur et vérifie une condition de domination donc. au voisinage de 0. en statistique notamment. Z b @f En conclusion.18. 3 Un exemple : la fonction Gamma d’Euler La fonction gamma se range parmi les fonctions spéciales les plus élémentaires. D’une part. Un grand nombre d’intégrales en analyse peut être exprimé au moyen de la fonction gamma. (n + 1) = n!. b) Pour tout x > 0.17. g est dérivable en x. mais en même temps les plus importantes. La fonction gamma intervient dans de nombreuses estimations asymptotiques des "grands nombres".e. lim A(h) = 0. D’autre part. La connaissance de ses propriétés est essentielle pour l’étude des autres fonctions spéciales. +1[! R. ⇤ Proposition 6. d].Ainsi. il existe C > 0 tel que pour tout t 1. c) Pour tout n 2 N⇤ . d]. 35 . On appelle fonction Gamma d’Euler la fonction 8 < : R+⇤ ! R Z +1 : x 7! (x) = tx 1 e t dt 0 Démonstration : Soit x > 0.1 Définition sur R+⇤ . l’intégrale tx 1 e t dt est conver- 0 gente. donc 0 R1 x 1 t x 1 0 t e dt converge. d]. +1[ et calculer sa dérivée. (x + 1) = x (x). on a tx 1 e t ⇠ tx 1 . donc tx 1 e t Ce t/2 et l’intégrale tx 1 e t dt t!+1 1 converge. t Cet/2 Z +1 (on a en effet lim tx 1 e t/2 = 0). avec x + 2 2]0. En admettant e u du = ⇡ (on le démontrera plus loin dans ce 0 ✓ ◆ 1 cours). 1[.19. 3. 1[. c[ et croissante sur ]c. 36 . Z +1 2 p Exercice 6. on déduit à partir de b) toutes les valeurs de pour x > 0. x(x + 1) . 0[. x (x + 1) (x + 2) — Si x 2] 2. est définie sur R \ Z . 0[ donc on peut définir (x) = = x x(x + 1) (x + 2) (x) = .20 (Etude de sur R+⇤ ). f est infiniment @kf dérivable par rapport x dans R+⇤ et pour tout k 2 N⇤ . on a x + 1 > 0. i) La fonction est de classe C 1 sur R+⇤ . . x) = @xk (ln t)k tx 1 e t. 2[ telle que est décroissante sur ]0. (t.Démonstration : La relation b) s’obtient en intégrant par parties. On pose (x + 1) — Pour x 2] 1. x) = tx 1e t. x!+1 x!0 Démonstration : i) Notons f : R+⇤ ⇥ R+⇤ ! R. (x + n) Ainsi. n 2 N. ii) Il existe une constante c 2]1. +1[. (x + n + 1) — Si x 2] n 1. si on connait les valeurs de sur ]0. :R\Z ! R 8 Z +1 > > < tx 1 e t dt si x > 0 x 7! (x) = 0 > > (x + n + 1) : si x 2] n 1. n 2 N x(x + 1) . . n[. on pose (x) = . 1]. ⇤ En conséquence. tout (t. . f (t. on a x+1 2] 1. x(x + 1) — etc. iii) lim (x) = lim (x) = +1. x) 2 R+⇤ ⇥R+⇤ . calculer pour tout n 2 N. donc on peut définir (x) = . (x + n) Attention ! ne s’écrit sous la forme d’une intégrale que pour x > 0. .. et c) est une consé- quence directe de a) et b).2 Prolongement de à R \Z On prolonge la fonction à R \ Z en utilisant la relation : 8x > 0.. n[. (x + 1) = x (x).3 Etude de Gamma et courbe représentative Proposition 6. n+ . 2 3. la fonction vérifie : continue. (x + n 1) x! n+ lim (x) = +1. et le dénominateur est un produit de n + 1 termes x! n négatifs. alors . (1).+1[ tb 1 e t := 'l (t). x(x + 1) . x) 2 @xl R+⇤ ⇥ [a. alors . lim (x) = 1. .la fonction admet un maximum relatif sur ] n 1.21 (Etude sur R \ Z). b]. dont l’un tend vers 0. (x + n) donc lim (x + n + 1) = (1) = 1 . . b] ⇢ R+⇤ et pour tout k 2 N⇤ . . +1[. i) Si n est pair. Z +1 (k) (x) = (ln t)k tx 1 e t dt. x! n x! n+ .Soit 0 < a < b deux réels. 0 ii) Comme est strictement positive sur R+⇤ . ii) Si n est impair. 0 0 est strictement négative sur ]0. (x + n + 1) Pour tout x 2] n 1. avec pour tout k 2 N⇤ . @lf ⇣ ⌘ l (t.1] ta 1 e t + 1]1. . x! n x! n+ . n[. . il tend donc vers 0 . Ainsi. Cela montre que lim (x) = +1. +1[. lim (x) = 1. dont l’un tend x!0+ vers 0. x! n+ Sur ] n 1. n + 1[. on a lim = +1. On en déduit que est de classe C k sur [a. x) (ln t) 1]0. b]. Montrons que est de classe C k sur [a. 2[ tel que (c) = 0. n[. n[. lim (x) = +1. Or lim (x + n) = x(x + 1) . n[. Il existe un entier n 2 tel que n! > M . Soit n 2 N. on peut appliquer le théorème de Rolle à sur [1.lim (x) = 1. Soit k 2 N⇤ . k}. Ainsi. b]. De plus. c[ et strictement posi- tive sur ]c. on a (x) = . iii) Soit M > 0. Pour tout x n + 1. b]. . . il tend donc vers 0+ . x!+1 (x + 1) Comme (x) = pour tout x > 0. et le dénominateur est un produit de n termes négatifs. 00 comme (2) = 1. @xl Z +1 L’intégrale 'l (t)dt converge. (x) (n + 1) = n! > M . pour tout (t. on a (x) = . lim (x) = 1 et lim (x) = x!( n 1)+ x! n 37 . Or est continue sur R+⇤ . 2] : il existe c 2]1.lim (x) = +1. ⇤ x x!0+ Proposition 6. 0 est strictement croissante.la fonction admet un minimum relatif sur ] n 1. c[ et strictement croissante sur ]c. Démonstration : Nous prouvons le résultat pour n pair. De plus. est de classe C 1 sur R+⇤ . est continue sur R+⇤ ⇥ [a. . x! n (x + n) Pour tout x 2] n. Ainsi. @lf Pour tout l 2 {0. lim (x) = +1. On en déduit que est strictement décroissante sur ]0. 0 Ceci étant vrai pour tout [a. étant continue sur le segment [ n 1 + ⌘. Si la transformée inverse existe. on la note L 1 (F ) = f. n[ pour tout x 2] n 1. condition suffisante d’existence de L[f ] Proposition 6. n ⌘] tel que f (x0 ) = M . n ⌘]. transformée de Laplace Définition 6. Notons M = sup (x). En effet. f est absolument intégrable au voisinage de 0+ 38 . n ↵] donc bornée). Ainsi. et continue sur le fermé borné [ n 1 + ↵.1 Définition Soit f une fonction définie de R dans R telle que 8t < 0. f (t) = 0. 1. n[. n 1 + ↵[[] n ↵. et f admet un maximum relatif sur ] n 1. n[. on remarque tout d’abord que est majorée sur ] n 1. Il existe ⌘ > 0 tel que x2] n 1. dans le cadre de la théorie des probabilités. 4. Comme la plupart des opérations courantes sur la fonction originale f (dérivation.23. n[. elle y atteint ses bornes : il existe x0 2 [ n 1 + ⌘. f est continue sur ]0. n[ (il existe ↵ > 0 tel que (x) < 0 pour tout x 2] n 1. f (x) f (x0 ). Cette transformation fut introduite pour la première fois par Pierre-Simon de Laplace en 1774. cet outil est souvent utilisé en automatique. Si les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1. retard) ont une traduction plus simple sur la transformée de Laplace. H est appelée échelon unité ou fonction de Heaviside. (x) < M/2. pour tout x 2] n 1.22. n[. La transformée de Laplace peut également s’interpréter comme une généralisation de la transformée de Fourier que nous aborderons dans le chapitre d’analyse harmonique. c’est-à-dire une opération associant à une fonction f une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de f via une intégrale à paramètres. électronique ou mécanique pour résoudre des équations différentielles. On appelle transformée de Laplace de f la fonction F = L[f ] de la variable complexe p définie par l’intégrale impropre de paramètre p : Z +1 F (p) = L[f ](p) = f (t)e pt dt 0 La fonction f est appelée l’originale et F l’image. ⇤ 4 Un autre exemple : la transformée de Laplace La transformée de Laplace d’une fonction f est une transformation intégrale. n 1 + ⌘[[] n ⌘. +1[ 2. Cela suffit à montrer que admet un maximum relatif. On note H la fonction définie par H(t) = 1 si t 0 et H(t) = 0 si t < 0. Théorème 6. Théorème 6. Alors L[f 0 ](p) = pL[f ](p) f (0+ ) si toutes ces transformées sont bien définies. Démonstration : faite en TD pour p réel.23. ) 2 C2 . Soit g la fonction f retardée de ⌧ : g(t) = f (t ⌧ )H(t ⌧ ). 3. Soit ⌧ 2 R et f une fonction. L[↵f + g] = ↵L[f ] + L[g] si toutes ces transformées sont bien définies. ⇤ table des fonctions usuelles fonction f (t)H(t) F (p) domaine de cv dirac (t) 1 p2C échelon K K p Re(p) > 0 puissance tn n! pn+1 Re(p) > 0 exponentielle e at 1 p+a Re(p) > a approche exponentielle 1 e t/⌧ 1 p(1+⌧ p) Re(p) > 0 exponentielle monome e ↵t tn n! (p+a)n+1 Re(p) > a sinus sin(!t) ! p2 +! 2 Re(p) > 0 p cosinus cos(!t) p2 +! 2 Re(p) > 0 sinus hyperbolique sinh(!t) ! p2 ! 2 Re(p) > |!| p cosinus hyperbolique cosh(!t) p2 ! 2 Re(p) > |!| decroissance exp d’un sin e at sin(!t) ! (p+a)2 +! 2 Re(p) > a p+a decroissance exp d’un cos e at cos(!t) (p+a)2 +! 2 Re(p) > a 4. Alors la transformée de Laplace d’un retard est la multiplication par une exponentielle : ⌧p L[g](p) = e L[f ](p) si toutes ces transformées sont bien définies. t > A ) |f (t)| < Ce alors f admet une transformée de Laplace F pour p 2 C tel que Re(p) > . il existe trois constantes strictement positives A. C et telles que t 8t 2 R . g) . La transformée de Laplace est linéaire : 8(f. On suppose que f 2 C 1 (R) telle que f et f 0 vérifient les hypothèses du théorème 6.24 (linéarité). 39 .25 (théorème du retard).26 (Dérivation).2 Propriétés Théorème 6. 8(↵. Soient ⌧ et A deux réels. On suppose que f 2 C 0 (R+ ⇤ ) vérifient les hypothèses du théorème 6.27 (Intégration). 4.23.Démonstration : faite en TD. t 2 R.3 Applications Exercice 6. ⇤ Théorème 6.28. Alors Z t L[f ](p) L f (u)du (p) = 0 p si toutes ces transformées sont bien définies. 40 . Résoudre à l’aide de la transformée de Laplace l’équation différentielle ⌧ f 0 (t) + f (t) = A sin(!t)H(t) . . alors l’intégrale de f sur A est définie par Z Z f (x)dx = f (x1 .1. au sens de Riemann. On appelle compact élémentaire de Rn tout sous ensemble de Rn défini par des inégalités ax (1) b f1 (x (1) ) x (2) g1 (x (1) ) . gn sont continues. . f (x1 .Chapitre 7 Intégrale multiple Dans ce chapitre. . En dimension supérieure. .2. . L’une des difficultés est de déterminer les ensembles sur lesquels on peut intégrer. on définit l’intégrale de Riemann sur un intervalle fermé borné. x (n 1) ) où a. xn )dx1 .1 Intégrale sur un compact élémentaire Définition 7. . . La construction. g1 . on peut définire l’intégrale d’une fonction continue sur un ensemble mesurable. xn )dx (n) . . . qui n’est pas explicitée ici. . .x (n 1) ) = dx (1) dx (2) . f1 . . Pour les fonctions d’une seule variable.. on définit l’intégrale des fonctions continues de Rn dans R.. Si A est un compact élémentaire de Rn et f : A ! R est continue. fn . .. . . b 2 R. . On se limitera ici aux compacts élémentaires. . Définition 7.. .. 1 Définition et premières propriétés 1. . . dxn A A Z b Z g1 (x (1) ) Z gn 1 (x (1) . . . se fait comme pour l’intégrale sur R et se généralise sans difficulté aux fonctions continues de Rn dans Rp . ... . a f1 (x (1) ) fn 1 (x (1) . . . n} dans lui-même. et est une permutation de {1. . fn 1 (x (1) .. x (n 1) ) x (n) gn 1 (x (1) . . . . .. . .x (n 1) ) Cas particulier Si f est constante égale à 1 sur A. on obtient la mesure de A (son aire si n = 2. son volume 41 . A1 [A2 A1 A2 Remarque ZZ 7.2 Premières propriétés Proposition 7. R). y) 2 R2 . L’intégrale ainsi définie a les propriétés suivantes. y) 2 R2 . x2 + y 2 1 ? 4 b) Même question avec D2 = (x. Z 1 i) il existe x0 2 A. R). Calculer xdxdy. iii) (Majoration) Pour tout A compact élémentaire. y x et x + y 2 et y 0}. g).7 (Théorème de la moyenne). Alors. x2 + y 0 et y x 0 . y. A 1. A A iv) (Additivité) Pour tous Zcompacts élémentaires Z A1 et A2Zd’intérieurs disjoints. ZA b) Soit B = {(x. on notera souvent f= f (x. pour tout f 2 C(A. Calculer ex+y dxdy. y) 2 R2 . z)dxdydz. µ(A) A Théorème 7. y)dxdy. B 2 Théorèmes 2. On parle d’intégrale double. On appelle valeur 1 moyenne de f sur A le réel f. f (x) g(x) alors A f (x)dx A g(x)dx. y) 2 R2 . Z Z f (x)dx |f (x)|dx µ(A)kf k1 .5. si 8x 2 A. Exercice 7.4. Soit A un compact élémentaire de Rn et f : A ! R une fonction continue. Exercice 7.3. Si l’intégrale porte sur un compact élémentaire de R . A A Z ZZZ Si l’intégrale porte sur un compact élémentaire de R3 . µ(A) A 42 . A A On parle d’intégrale triple.6. ii) (Positivité) Pour tout A compact R élémentaire R et tout couple de fonctions (f.si n = 3) : Z |A| = µ(A) = 1dx. on notera souvent 2 Z f= f (x. Z i) (Linéarité) Pour tout A compact élémentaire. R). f 7! f (x)dx est linéaire sur A C(A. Z a) Soit A = {(x. tel que f (x)dx = f (x0 ). f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. pour tout f 2 C(A1 [ A2 . ⇢ 1 a) Quelle est la mesure de D1 = (x. x 0 et y 0 et x + y 1}.1 Théorème de la moyenne Soit A un compact mesurable de RZn et f : A ! R une fonction continue. Z a) Calculer ex+y dxdy.10. n. Soit f : P ! R et g : Q ! R deux fonctions continues. m 1. m 1. Exercice 7. y) une fonction continue. (A) A 43 . y) ! f (x. n. Soit P un pavé de Rn et Q un pavé de Rm . y)dy dx = f (x.11 (admis). Z ✓Z ◆ ✓Z ◆ f (x)g(y)dxdy = f (x)dx g(y)dy . Soit f : (A) ! R continue. y)dxdy = f (x. ii) en notant Jac( ) le jacobien de . [0. Z [0.3 Théorème de changement de variables Théorème 7. Nous ne le démontrerons pas dans le cas général.7). Alors. P ⇥Q P Q Dans ce cas. il existe x0 2 A. Z Z 1 f (x)g(x)dx = f (x0 ) g(x)dx .2] b) Calculer x sin(x2 + y)dxdy. Soit ⌦ un ouvert de Rn . l’intégrale double se ramène au produit de deux intégrales simples. ⇤ Corollaire 7. Z Z ✓Z ◆ Z ✓Z ◆ f (x.9 (Cas des fonctions à variables séparées). Alors. P ⇥Q P Q Q P Démonstration : Ce théorème a été démontré dans le cas n = m = 1 (cf Théorème 6. si n = m = 1. Soit P un pavé de Rn et Q un pavé de Rm . y)dx dy. (x. Théorème 7. Soit f : P ⇥ Q ! R. Soit A un compact élémentaire inclus dans ⌦. : ⌦ ! Rn un difféomorphisme de classe C 1 de ⌦ sur (⌦). µ(A) A A Démonstration : Admise. Alors.1]⇥[1. ⇤ 2. i) (A) est un compact élémentaire. Z Z f = (f )|Jac( )|.8 (Intégrale sur un produit de pavé).2 Théorème de Fubini Nous n’énonçons ce théorème que dans des cas particuliers. ii) pour tout g : A ! R continue et positive.1]2 2. . y)dxdy = f (r.2 Coordonnées polaires Notons U = R+⇤ ⇥] ⇡. . xn ) En pratique : notons y = (x). . Calculer l’aire du compact délimité par l’ellipse + 2 = 1. . dxn . . dyn = dx1 . . Par exemple. Alors est un C 1 -difféomorphisme de U dans (U ) et |det J (⇢. . . . . . . . . .e.12.1 Changement de variables affine Prenons un changement de variables affine 8 < y1 = b1 + m11 x1 + . . ⇡[. . . . . . Dans une transformation affine. . D(x1 . . . Le jacobien du changement de variables ' est. D(x1 . . avec M une matrice inversible. . pour tout A compact mesurable de R2 . ⇢ sin ✓). a2 b 3. . . + m1n xn > . yn ) dy1 . n (x1 . inclus dans (U ). pour tout compact mesurable A de Rn . i. . '(X) = B + M X. . xn ) 3 Exemples 3. : yn = n (x1 . Ainsi. . > . . ✓) = (⇢ cos ✓. Z Z f = | det M | f '. xn ) Le théorème de changement de variables se réécrit Z Z D(y1 . la mesure (aire. l’homothétie de rapport k multiplie les mesures pas k n . Y = B + M X. . A 1 (A) 44 . Soit : U ! R2 . yn ) = det M. . avec f = 1. . . . . en tout point de Rn . . x2 y 2 Exercice 7. . . on obtient µ('(A)) = | det M |µ(A). volume. . . xn ) dx1 .. . . . dxn . D(y1 . . Notons ' : Rn ! Rn . . . (⇢. yn )dy1 . . . vectoriellement. dans Rn . . . . . + mnn xn soit. . '(A) A En particulier. . . . > . xn ). . xn ) Il suffit donc de retenir D(y1 . : yn = bn + mn1 x1 + . . .. xn ) Ainsi. ZZ ZZ f (x. . . yn ) f (y1 . . dyn = f 1 (x1 . ✓)rdrd✓. (A) A D(x1 . 8 < y1 = > 1 (x1 . ✓)| = ⇢. ) est multipliée par le déter- minant de la transformation. y = ⇢ sin ✓. + x2n 1}. tout R > 0 (homothétie et translation). 3. z)rdrd✓dz. ') 7! (x = ⇢ cos ✓ sin '. z). ✓. ✓. On pose : U ! R3 . z = ⇢ cos '). Calculer le volume de la boule de centre 0 et de rayon R dans R3 . Soit f : RZ2 ! R. on a pour tout n 3.3 Coordonnées cylindriques Notons U = R+⇤ ⇥] ⇡.15. (⇢. ')r2 sin ' drd✓d'. y. z) 7! (x = ⇢ cos ✓. . A 1 (A) Exercice 7. 1 1 x21 1 x21 x22 45 . . ✓. pour tout A compact mesurable de R3 .13.4 Coordonnées sphériques Notons U = R+⇤ ⇥] ⇡. z)| = ⇢. E effet. ⇡[⇥R. ✓. y)dxdy. . ✓. y) 2 R2 . est un C 1 difféomorphisme de U sur (U ) et |det J (⇢. est un C 1 -difféomorphisme de U sur (U ) et |det J (⇢. z)dxdydz = f (r. ZZZ ZZZ f (x. on calcule µn par récurrence sur n : par le théorème de Fubini. 1) = {x 2 Rn | x21 + . Ainsi. ')| = ⇢2 sin '. et de hauteur comprise entre 0 et h. 3. z)dxdydz = f (r. ⇡[⇥]0. ne contenant pas l’origine. On a µ1 = 2 et µ2 = ⇡. f (x. inclus dans V .14. Calculer f (x. Calculer le volume de la portion de cylindre de révolution de rayon R. y) = xy et A = {(x.5 Mesure des boules en dimension n Notons µn la mesure de la boule unité de Rn . On montre que les boules Bn (x. . R) ont pour mesure µn (R) = Rn µn pour tout x 2 Rn . A 1 (A) Exercice 7.Exercice 7. Alors. ✓. ZZZ ZZZ f (x. (⇢. Soit : U ! R3 . y = ⇢ sin ✓ sin '. y. x 0 et y 0 et x2 + y 2 1}. Z 1 Z p 2 1 x1 Z p 2 2 ! 1 x1 x2 µn = dx1 p dx2 p dx3 . Ainsi. Bn (0. ⇡[. A 3. pour tout A compact mesurable de R3 . . n 4⇡ On en déduit µ3 = . etc. Z 1 Z p1 x21 ✓q ◆ µn = dx1 p dx2 µn 2 1 x21 x22 1 1 x21 Z 1 Z p1 x21 n = µn 2 dx1 p (1 x21 x22 ) 2 1 1 1 x21 Z 2⇡ Z 1 n = µn 2 d✓ (1 r2 ) 2 1 rdr (changement de variables polaires) 0 0 2⇡ = µn 2. 3 46 . . Dunod. Krief et B. Volume 2 : Fonctions de plusieurs variables. Haykin. Presses polytechniques et universitaires romandes. Communication Systems. John Wiley and Sons. Cepadues. Touzillier. Gasquet. [2] J.Bibliographie [1] J-M. Labarrere et J. [3] J. 1994. L. 1988 [8] S. Stewart. [6] M. Reinhard. 1990. 2011 . Witomski. Zwahlen. 2000. [7] M. 2006. [5] H. Mathématiques du signal : rappels de cours et exercices résolus. 1995. B. 2008. Analyse : concepts et contextes. Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d’une ou de plusieurs variables réelles. Cepadues Editions. P. Dunod. Analyse de Fourier et applications. Masson. 47 . [4] C. Douchet. 2ème année MP-PSI-PC-PT : cours et 500 exercices corrigés. Le filtrage et ses applications. Analyse harmonique. Monier. Samuelides. Analyse 4. De Boeck.P. Gimonet.