UNIVERSIDAD DE CHILEESCUELA DE SALUD PUBLICA - °1 6 \ BIDESTADISTICA para carreras del area de la salud It J N 0 J C E 1. La investigaci6n cientifica 2. Niveles de medici6rl 3. Errores de la informacion estadistica 4. Tab1as estadisticas 5. Graficos 6. Indicadores de salud 7. Medidas de resumen 8. La distribucion normal 9. Probabilidad 10. Distribucion binomial 11. Inferencia 12. Estimacion de la tasa del universo (P) basada en la tasa muestral (p) 13. La prueba de significacion estadlstica de diferencias entre tasas. EI metodo general seguido en la prueba 14. Prueba X 2 (Ji cuadrado) 15. Introducct6n a la tecnica de ffil.)estreo 16. Regresion lineal 17. Correlacion lB. 'rtiblal:; Normal Distribucion de student Distribucion X 2 Pags. 1 7 10 14 21 32 42 52 56 63 71 76 81 91 98 104 113 i I I ! I ! i I I I I I I I ! I •. I , , I I ! I I i I l I , I i , ~ . i I , , ! FE DE ERRATAS PAGINA LINEA DICE DEBE DECIR 19 19 40:9 45.9 ,/ ,. , . . -./ I 43 15 flxl+f 2xZ··· +fkxk flx.+f 2x2,·· +fkxk ~ 52 40 0.973697.3'-' 0 . 9 9 7 6 9 9 . 7 ~ ",,/ • 54 25 -0.3085 ·0.3313 ...... 54 26 0.6915 0.6687 54 28 69:15% 66.87% 62 27 40 50 72 Desviaci 6n Error • 7J 3 10.000 10.000 25"+-g- ~ 10.000 + 10.000 25 25 78 8. 24.5 IJ24.S 89 \I sin con 89 12 con s in 90 5 2. 29 2.08 93 24 (1-1804) 106 15 "fJ y / x ' '" 5 ,,/(x=5) i 106 16 q Y/; = 5 <r /(x: 5) I , I II 20 Vi V I Yi Vi I 11 2 2 0.009 0.0009 117 31 2 98 . ---_._. __ .. _-- --_ .. -- .. _.- - .. - - LA INVESTIGACION CIENTIFICA A) Necesi dad del canacimienla Cie nt i I ica El hombre Qspire a captor el ordon que exists en el JIIundo de loa feno ... menos para hacerlos inteligibles. dar una explicacion lucionol de ellos y hacerlos manejables 0 previsibles uno vez que Canuee sus causas. En e1 cam- po biologico. los hechoa 86 nos of recen a IIH:itUudo cOluple j uS y variables. in- fluidos por CQlI;SaS multiples y unidos por relacione::;. algunos de las cuales son esenciales y permanentes. en tanto que otros son fortuitas y circunstaociales. Suponqawos poc ejewplo que entre las antecedentes de un enferrno de difterio este e1 hecho de heber t en ida c ontucto con otro cqso de difteria. y que 10 enfermedad se Inie16 un martes 13. Es tarea propio de 10 ciencia, adecuadamente los hechos. discernir qud elementos son I constantes en elIas y determi nar las leyes que los rigen. es decir. sus re w lac iones constontes y universales. Es el metoda propio a 10 c iencio, el ME. TODD CIENTlfICO. el que nos permite, en el ejewplo anterior. negar influen- cia cil clio que 10 8upersticion supone malefico y afirlllar an cambia, que uno de 100s factores que pueden determinar una difteri.a c lilli :0 es 10 exposicion 01 contagia. B) EI Metoda Cientif ico ' Metoda Cien t if ico es un procedimiento que se apl Lea al cicIo completo de una investigacion. desde el enunciodo del problema Lasta 10 evaluacion de los resultados obtenidos. . En forma esquematica. y con las limitaciones que ealo aupone. podemos dlatinquir diver.os elapas en el metoda cientlfico. I. Eleccion y Enunciado del problema La eleccion de un problema con el fin de averiguor sus causas 0 de en. contrarle Soluclones, dependera de los juicios de valor del investigador y de las condiciones socioles. politicas y en las cuales se desa- rrollo 10 ciencio. Una vez elegido as necesario definir'con precision.el problema que se vo a investigar para tener un marco de referencia en todas las etapas pos- teriores. E1 enuncj.odo puede hacerse a traves de 10 descripcion de Ia 5i- bUQcion problema 0 mediante e1 plant&amiento de una pregunta. Un problema de interes podria ser por ejemp10 e1 de la cole1iti08i5 (calculos biliores). enfermedad q\le es frecuente en Chi,le, COnsume gran con tidad ae recursos· medic!os y ex pone a los que· de ella sufren. a graves riesgps para su salud. . El probleDIQ a es tlldiar ·padric ser: se dl:!sconocen los factores causales de 10 colelitiasi::; o. 5i se deseo .plantaar como pregunta: LCuales son los factores causales de 10 co lelitiasis? 2: .forolulacion de una Hipotesis La hipotesia && una expllcacion poaibh. dB 10 .i tUQQlon p-obltllUQ 0 una reapufiJsta Rosibla a 10 prel)unto planteoda. Sa formula en terminos afirmat i vos re1aciones entre varia. 61es pertinentes. frente 01 problema que siivio de ejemp1o. una hipatesis podrio ser: un foc i·or causal de la coleli tias.is es e1 al to contenido en sales mineralt.:;s del 19ua de bebida. Esta afirmacion sera sometiQQ a prueba. En Ia hip6teiOis se baaa en 01 conoci"miEluto cientifico uxiaten ... en 10 experiencia previa del investigador 0 dn 1a observacion de hechos re lacionados can e 1 problema:. Excepciono.lnlen te un inves ti9odor f ormulara .. , ., hipbtesis que no se basan en el conocimiento existente sino que son el re- 8ultado de una originalidad genial que puede hacer cambiar 91 curso de la ci.encia. 3. Deduccion de consecuenclas verificables de la Hipotesis Siendo 10 hipbtesis una explicacion 0 una respuesto general. muchas ve- e •• no •• pOlibl. inve.tigar directament •• u veracidad. Sa procede en sstos casos a deducir en forma logical consecuencias particulares de 10 hip6te- sis. De la hipatesis mas arriba enunciada puede deducirse par ejemplo que. regiones con agua dura tendran mayor morbilidad por colel1tia815 que regio- nes can agua blanda. 4. Verlflcaclon de 10 HlpotBsis La verificacion puede hacerse. sabre todo en las ciencias exactas, me- diante demoBtraciones teoricaa baaadaa an relacione. aceptadas en e1 8stado actual del conocimiento. En e1 campo biologico 10 verificacion se hace. a troves de recoleccion de informacion 0 de observacion de los fenomenos. Esto implica 10 apiiaa- cion de una serie de procedimientos estadistic os. En e1 ejemplo de to colelitiasis 10 verificacion podria consistir en e1 anal isis del agua y la recoleccion de datos sabre frecuencio de cole11tio- sis en diferentes regiones, estableciendo relaciones entre ambos variables. 5. Interpretacion de tos resul tadol Con los datos obtenidos en 10 etopo anterior se decide s1 se ha de re- chazar 0 no la hipatesis en estudio. 51 las consecuenc1as particulares de la h1p6tesis fueron deducidas 10- gicamente y los hech05 no estan de acuerdo con 10 esperado, en principia debemos rechazar la hipbtesis. Si par ejemplo 10 frecuencia de colelitios15 es semejante en regione5 con agUG dura y aqua blanda, deberemos rechazar 10 hipotesis de 10 cuol se dedujo 10 conaecuencia eatudiado. Debe tenerse culdado, sin embargo, de conelderar en •• te co.c. que la dllrezlJ del agua podria no •• r 81 unico fac- tor causal, siendo posible 10 existencia de otros factores que encubrieran el verdadero efecto de las sales minerales del agua. 5i por ejemplo. los que v1ven en sitios de agua dura. consumen menos grasa que los otr05 y 51 el de gresas ·fuera otro factor causal, un efecto real del agua drla quedar contrarrestado par el efecto de la dieta que esta actuando en sentido contrario. Si los hechos se muestran de acuerdo con 1Q hipbtesis y sus consecuen- cias, no rechazaremos 10 h1patesis. Este actitud tambien esta expuesto a error. 5i 10 verdadera Causa de 10 colelitiasia radicara en el con sumo de grOSQ y en las regiones con agua du- ra se consumieca mOs grasa, una mayoc f recuencio de coleli ticsis en e5as ce .. giones se interpretor.a erroneamente como consecuencia del contenido mineral del agua par ser esa la variable considerada de acuerdo a la hip6tesis. Tanto e1 rechazo como e1 no rechazo de 10 hipotesis 11evan a 10 re1n1- ciocion del cicIo de investigacion descrito mOs S1 la hipote&is ha sido rechazada. el problema persists y habra que guir investigondo esta 0 nuevQs hip6tesis. Si 10 hipatesis "no se rechaz6 habra que seguir eportando mayores ev1- denclas a su veracidad. La vsrdad absoluta. le9uira siendo la meta final y desconocida del ma. todo cientlfico. Los · 10gr05 se reduciran a con5tru1r un cuerpo de conoei .. mientos con estructura 10gica y soportes recionales que resista 1a verifi- cacion empirica. "La ciencia es una escuela de modestia. de valor intelectual y de rancia: muestra que el pensamiento es un proceso. que no hoy un gran hombre que no se hoya que no hay dogma que no se haya desmoronado ante 2 el embat C. EI Me Es u tenc16n El c" aqual d. d. j . Sa c 1. F Mie, realizQc ficacior 1. .1 ,Debt talladao par qu", que por modificc cucion f . . Fon or1gen ( canteatc En cias qUE 1.2 El I se refe) Asi j uven tue lena y de ella 1.3 Con todo e. fio de 01 zacion ( 1.4 La j pos can con divl de estuc posee. I mien to ( Pare en 10 V( alec tor. los expE I .5 Tier hles. Er dis tin tc podr fa I ofros a - ',,'- '1',-,'0;-·" '. '''\''''.' d:;q .w, .... , "'U I' I ,. .. ----------------- .--... -.---. Ie son el re- curso de 10 1. muchas ve .. ::ede en estos Ie la hip6t.- ejeruplo que. is que reqio- exoctas. me ... el estado e recoleccion ca la aplica- msistir en e1 de colelitia .. laS variables. Se ha de re- dedueidas 10- en pr inc ipi 0 e en regiones de 10 cuol se n embargo. de e1 tioico fae- 1e encuhr ie ran ejemplo, los los ...... tros y si 1 d agua po- :0 <ibtuondo en us consecuen- ra causa de 10 s con agua du- is en esas ra .. tenido mine ral hipolesis. an a 10 f81nl- , habra que se .. nocide del me- ["po de conoei- Ita 10 verifi- :ual y de tole- un gran hombre ante el embate de lOB nuaVOM hi/ohos". (Emesto SObato en: Uno y al UniviJruo). C. EI Metoda Estadlsl\co E. un oonjunto d. p,·oaedilniento. aplioadoa •• ouencia 10qico Q 1a ob .. t8n010n y an611818 datos lnfluido8 por faotoras. , . El metodo estadl.tlco proporeiona las teeniea. para 11avar a 10 praetl- Co aquel1aa etapas del wetodo eientlfico que requieren reeoleccion y anoll- .i. de informacion. . . Sa divide en una et?pa de planificacion y una etapa de ejecucion. I. Plani ficacion Mientros mejor planeada este una investigacion. mas se facilitara au realizocion. Es convenien.te consideror los siguientes aspectos en 10 plani .. diseno de una investigacion. 1..1 Definicion de Db.jetivQs . Debe ser el primer paso de tode investigacion. Conslste en senalor de· tallaclomente .10 que se prefende 'el que. CPUlO, d6nde. cuando. y por qu',. Los objetivos podran ulodificarse en las etapiIs siguientes si se Ve que por alguna circunstoncia no sera cumplirlo$. modificacion debecl<;l hOl.:erse en 10 etopa de planificacion paca quE:' 10 eje ... cucion se ,realice con objetivos definitivos. . .. Formalmente 'pueden cor responder a "10 descripcion "del que do origen 0 1'0 investigocion a a las preguntas que 10 investigacion pretende contestar. En los casas en que existe hipatesis', a 105 cansecuen- cias que se han derivado de ella. 1.2 Definicion del Universo E1 univer1to 0 poblaci6n del cual S8 ex'traenl 10 informaciQn . r a b eual se referiran los resultados debe quedar cloramente definido. · ... .;. . . ASl par ejemplo si se deBeo describir e1 problema las 'dr'o<jas en .10 juventud chilena sera importante definir que se- entendera par juventud chi ... lena y si no es posible abarear a toda 10 juventud. deli",i tar a que 'parte de ella se refiere el estudio. 1.3 Diseno de la MUBstra Con frecuencia es imposible. innecesario 0 poco practico el estudio de todo el universo. En estas casas se estudiara una muestra que. 8i sa dise ... fio de acuardo 0 cierto. principlos probobilisticos. permitiro 10 general!- zacion 01 universo de origen de los resultados ella obtenidos. 1.4 Definicion del Grupo Control La investigacion de hipotesis hace necesaria la comparacion entre gru- pas con y sin 10 variable en estudio, a bien entre unidades de observacion con diversos valores de esta variable. En el primer easo se 11amaro grupo de estudio al que posee la variable t grupo control 0 testigo. al que no la posee. El . grupo de estudio puede ser por ejemplo el que recibe un trota- miento cuyo efeeto desao aver i9uac y gr.upo .control el qua no 10 recibli. Para que 10 coulpol'oc16n aaa valida, ambos qrupo8 debieran diferir a610 en 10 val' iaLle bajo Un modo eficQz de -loqrarlo es 10 adjudicacion aleato-f-ia del a las unidades .de observacion, posible solo en los experimentos. . . 1.5 Definicicin de las Unidades de Dbservacion Tiene importancia tener claro en que elementos se estudiaran las varia- En una misma investlgacion coda obJetivo requerir efitudio de diatintas unidades. As! por ejemplo en una investigacion sobre Inorbilidad povdria habet· aspectos que se rafleron a 10 familia. otros a 10 vivienda y otros a 90da de lu familia. 3 • --- 1;6 Determinacion de la Informacion Necesaria Con a1 fin de aimplificar laa etapaa de reoolecoion y anali.i. d.b. ha- cerse una cuidadosa seleccion de 10 informacion a reeoger. Esta debe ser 10 minima suiiciente pora cumplir 108 objetivos. debe ser accesible y medible con un error minimo. 1.7 Determinacion de la Fuente de Origen de la Informacion Padro abstenersede registros como 10 son por ejemplo las fichas clinicas de un hospital. e1 Registro Civil. etc. Son datos te obtenibles pera tienen el defecto de no haber aida recogidoB, 10 d. la8 vee •• , para loa objetivoa d. 1a inve at igaci6n. Entre las formas mas frecuentea de obtener informacion para determinado estudio estan 10 entrevista para las encuestas, y 10 observocion y medicion para los est udi os C110ic05 y de laboratorio . I.B Fijacion de Unidades de Medida y Escalas de Clasificacion Esta determinare 10 mane ra de registrar y tabular 10 informa- cion. Si por ejemplo en una investigacion 10 edad de los individuos solo re- quiere ser conocida an au diatribucion en grandea grupes no habra nec8sidad de registrar 10 edad exoqto sino que el grupo al que pertenece 10 persona. Debe tenerse presente que una decision de este tipo hace que 10 informacion detallada se pierda deCinitivamente en esta investigacion. 1.9 Elaboracion del Plan de Tabulacion y Analisis Muchas veees se revisara 10 informacion que se estimo necesaria 01 co- agregando 0 suprimiendo datos: en el momenta de c larifiear 10 forma en que se presentara y analizara esta informacion. 1.10 Orianlzacion de la Invesligacion Comprende todos los aspectos practicos. Habra que determinor 10 crono- logia. estimando 10 duracion aproximada de diverses etapas de 10 ejecucion. La eleccion del personal que debe intervenir y su adiestramiento sera otro pUll t o importonte. Deberen fijarse los pracedimientos de anelisis: manual. computaci6n con equipo5 convencionales 0 e1ectronicos. POT fin debere es tiworse e1 cos to de 10 investigocion por conceptos de remuneraciones. obtencion de !nuestro. moteriales. usa de equipo, etc. 2. Ejecueion Consiste en l1evar a 10 p-octica 10 que se planif ico. Pueden meneionor ... se algunos subetopos: 2.1 Recoleecl6n de la Informacion Debera hacerse siguiendo criterios e ins trucciones uniformes, sebre to- do cuunclo hoy varias investigadores. 2.2 Haboracion de la Informacion La informacion se rev·isora respecto Q su integridad yolo existencia de erroces. Lue90 se las unidades de observacion de acuerdo a las escalos elaborados previamente y se hara e1 recuento de unidades en ca- do categoria. La presentacion tabular y graf ica facilitora 10 descripcion y analisis. E1 resumen de los datos mediante medidas adecuadas permitira 1a des- cripci6n y comparacion de los grupos en estudio. 2.3 Analisis de los resullados Cuondo un estu"dio es 'solo descr iptivo. esta etapa consiste en 10 pre .. sentocion de los hechos encontrodos. Cuando existe uno hlpotesi s t s e evalua e1 cumplimiento de los s upuestos teoricos a la luz de 1a inferencia esta- distica. Los resultados obtenidos nos 11evaran a rechazar 0 no. 10 hip6tesis en estudio, co; diseilo de Ie D. lipos de Un mismo vestigacion 10 investig dato •• 81 a ble •• A conti usadas can f I. Retro Con res informacion averiqua he cambia, va r , Con res retro.pecti "efecto" y 1 sumiblemente tiva la sal y luego ' Ejemplo: ce 10 aparic caria a loa rencio en &1 o muertos de.! 2. Trans\ La in'ves l nado momen to Pueden compa chos respecU Ejemplo: I posible hace j feren tes respues to al i lar el" desad en intervalqs: 3. Deseri' La .invest 10 explicat i v Los origen a una tifico . Ejemplo: ve"s t igacion d pulmon y el h, 4. Experi l La invest t igador mane j t Las unidc diferentes co efectos que s puede closi f j - ---- ---- Liaia debe ha .. :a debe ser la .ble y .. edible in r ejemplo las :::Ites Hi cilmen- :>8. 10 mayoria ra determinado ion y medicion acion :u i nf armo- iduos solo re- abra necesidad :::e 10 persona. 10 informacion cesur io 01 co - f iear 10 foclIIa ioor 10 crono .. 10 e jecuc ion, tromiento sera 'omputocion can r conc,",pto. d" po. etc. ,den"'- nJencionar ·wes. sabre to .. la exiHlencia n de acue rdo a midades en co- '1 descripci6n y nitira la des- ste en la pre .. !sis. se evalua fsrencla esto .. .0 hipotesis en "'--' .... ---.... . .. . --.-.-.. -I estudio, can de aceptadas, siempre que e1 diaono de 10 investigacion perwlta este analis1s. D. Tipos de Investigaciones Un mi8mo problema puede de distintas moneras. El tipo.de in- vestigacion que se realiee dependera entre otras: cosas de: los obJetlvos de 10 investigaci6n. 10 existencia da hipotesis. 10 fuente de origen de los datos. e1 orden en que se recoge la informacion y e1 manejo de las varia- bles. A continuQcion se muestran algunos elasificaciones de investigaciones usadas can frecuencia en medicina. I. Relrospectiva y ProspeCli 'va Con respecto a 10 relacion entre tiempo de ocurrencia y registro de 10 informacion se define a 10 investigocion retrospectiva como aquella que averigua hechos en el pasado. 10 investigacion prospective. en cambia, va registranda· 10 informacion a medida que se vo produciendo. , Con respecta a 10 relocion entre causa y efecta. en 10 inves tigacion retrospectiva, las unidades de observacion se clasifican segun 10 variable "efecto" y luego se averigua 10 existencia a intensidad de la variable pre- sumiblemente causal en las diferentes closes. En 10 investigaciori prospec- tivo 10 primera clasificacion se hace segun la variable que se supone cau- sal y luego se va registrando La ocurrencia 0 del efecta. Ejemplo: frente a 10 hip6tesis de que e1 consumo de ciga,rillo8 favore- C8 la aparicion de cancer pulmonClr 10 illvestigacion retrospectivQ clasifi .. caria a los individu05 en cancerosos y sanos y averiguaria 5i existe en e1 habito de Iumor entre los dos grupos. En ' una investigacion prospectivo se observoria si en un grupo de fumadores aparecen mas enfermos o muertos de concer pulmonar que en un grupo de po fuwodores. 2. Transversal y longitudinal La invesligacion transversal estudia las diversas variables en de termi- nado momento, 10 longitudinal estudia"las variables a traves del tiempo. compararse a una fotografia instantanea y a una pvlicu1a de loa he_ choti reapectivamente. Ejemplo: Para determinar el crecimiento ponderal de niiios normales es posible un estudio transversal en que se pesan ninos normoles de di- {erentes edades. El promedi o de peso de los ninos de sucesivas edodes da respuesta 01 problema. El estudio longitudinal del problema implica contro- lor e1" desar.rollo, ponderal de un grupo de a partir de su nacimiento en tiempo determinados. 3. Descripliva y Explicaliva La inveatigacic5n descriptiva tiene CODIO objetivo mostrar una situaci6n. Ie explicativa. pretende averiguar 10 veracidad de una hipOteHis. Los resullados obtenidos en una investigacion descriptiva pueden dar or1gen a una hipotesis y cUlup1ir aSl con 10 primera etapa del wetodo " cien .. tifico. " Ejemplo: El estudio del crecimiento pandera1 del nino sano es una in- vestigacian descriptiva. en cambia. averiguar 10 relacion entre cancer de pulman y e1 h6.bito de fumar es una investigacion explicativa. 4. Experimental y no Experimental La investiqacion exper imen tal tiene como caracteristica que el inves- tigador maneja 10 variable i ndependiente. Las unidades experimentales son en forma aleatoria a las diferentes categorias del factor presumiblemente causal. estudiandose los efectos que se producen. En las investigaciones no experimenta1es solo se puede clasificar el material de estudio en diferentes categorias de los 5 • ! !' I ! t I I I . f actor.ss causa y efecto,· estudiando la relacion e;,tre amb,?s. " LQs conclusiones de estudio8 experimsntales blen disenados son mas va- lidas que las conclusione. que se obtengan de buenos estudios no experimen- tales. El experimento es e1 mejor camino para acercarse cientificamente a la verdad en la investigacion de relaciones causales porque permite conocer la probabilidad del error que pueda cometerae en laa concluaione., EJemplo: Para a.tudiar al electo de la dieta sobre el desarrollo inte- lectual puede hacerae un con ratones. 51 se dispone de dos die· taa. una completa y otra carenciudo. podrla UBorae el siguiente procedi- miento aleatorio (a1 azar) para determiner cuaies animales recibiran una y otro die.la: se tomon tontcs fich.:Js como animales haya en e1 experimentp, 10 mited de color rojo. simbolizondo 10 dieta completa y 10 otro mited azul, simbolizando 10 dieta carenciada. Frente a cada raton se saca a ciegas una ficha cuyo color indicara .10 dieto que se Ie suministrara.- Se espero que e1 hayd repartido todd. caraoter£.ticaa de loa animal •• en forma'e. quitativa entre los dos grupos, de modo que sean fundamentalmente seme,an- tes. diferenciandose solawente en 10 dieta. Se estudiara luego e1 desarro- llo intelectual a traves de pruebas de aprendizaje u otros procedimientos en ambos grupoa para ver 8i existen diferenciaa entre e110a. Un estudio no exper{mental del mismo tema consistiria en estudiar par ejemplo 10 capacidad intelectual de nincs que hayan sido calificados Icomo desnutridos en comparaci6n con la capacidad intelectual de ninos bien nu- tridos. Si 10 desnutricion estuviera ligada a mal cuidado de 10 madre por un bajo desarrollo de ella, va a ser diffeil aeparar e1 factor hereditario del factor nutricional y 8i bien se pueden hacer comparaciones entre bien y mal nutridos en diferentes subgrupos de la poblacion gada, estas subdivisiones estaran sujetas a1 criterio del investigador y . nunea estdrem08 seguros q4e no se Ie ha escapado e1 verdcdero fac.tor causbl en la clQsificacion que ha hecho. De esta manero. los mentales. los unicos· posibles muchas veces por razones eticas. 5.010 pueden indicarnos posibles relaciones entre las variables. Las distintas clasificaciones no son mutuamente exclu·yentes e in(:lu8o 10 pertenencia a una categoria puede determinar que una investigacion debq. ser necesariamente de determinado grupo en las atras clasificaciones. Es aSI por ejemplo que e1 experimento sera prospectivo. longitudinal y expli- cativo en cambio la investigacion no experimental puede ser de cualquier tipo en las oteos 6 l Para des( cia a laa pre sarBe en eBC( El nive l siguientes f, cos en 10 me. 10 medicion 1 Una vez I piedad. las, dl feren te. G( Consider posible. sat f undamen t ar 1 Es c alos Escal a Horni II< Las dife que se les O! Son e jewf te de las de : e1 estado ch No existe denomiento e: dades del us, La den om. En el ejempl, f e rmedades il p1azada por I se Ie puede ( al de tUmoree Estos nut mane ra de ref bolo numer icc Escala Drdin, Esta esc( , permi te indi< 1· dos. Canstitt: cion de un fe Son ejelllf 110 de un pa. La caliL categorias dE o mOs atr ibut fleje jerarq' uno a una ." ,,,., .. , , .. .. ,.,., s son mas va- ' no experimen- tHl.ca ... nt. a -rmi te conocer • nes. arrollo inte- ," de doe die- ente procedi .. ·cibinm una y :perimentl" 10 a lliitad azul. I a ciegas una espera que a1 s en forma " e- lente seme1an- 10 e 'esarro- Ifoce .... Lmientos l'estudiar par .ificados leoma linos bien nu- l 10 madre por lrar 81 factor comparaciones lcion investi- nvestigador y . factor causlll ios ho. .. · · s, s,olo 1 taa e inblu.o • tiqQcion a.b'l. ; icacionea. E. :linal y expli- . de cualquier NIVELES DE MEDICION Para describir un objeto, lin indiviuuo U otro entidad, hacemos referen .. cia a las propiedades 0 ati'ibutoH que posee. Estos atriuutos pueden expre- sarse en escalos de diferente nivel de medicion. (.) El nivel de medicion puede depender entre atros, de uno a mas de los siguientes factores: naturaleza del atributo, avances cientificos y teeni- cos en la medicion del utributo, disponibilidad de recursos para efectuar la medicion y precision requerida en 10 medicion . Una vez que se ha elegido al nivel de medicion para el atributo 0 pro- pi.dad. loa entidades 0 unidaJew de obat:lrvac ion puedt:u ser asignados a las diferentes categorios de las escCllas correspondientes. COllsiderarewos e1 siguiE:tllte que sin ::Jer el unico posible. sat is face nuestras naces ldades de conceptuuliL0ci6n b6sica para funciamentar diferentes tecnicas en la presentacion y e1 01101isi5 de datos: Escalus Escala Nominal { Nominal Ordinal intt::(valos r Discontinua 0 discrete L Can tinua Las diferentes cotegorias de la es ca la se distinguen por el "nombre" que se les asigna. Son ejewplos de datos clasificables en esta escala, las causas de muer- te de las defunciones. 10 circunsc ripcion en que oeurren los nacimi e ntos, el estado civil de Ius personas. No exists jararqula entre las di ferentea closes de esta eacola y 8U or- denamiento as acbltrario, dependiendo de las preferencios 0 ue laB necBsl- dadea del usuario de 10 informacion. La denominacion de cada clase se pu'ede haeer con una palabra 0 f rase. En el ejemplo de las causas de muecte los grupos' podrian denominarse: en- fermedades infec;ciosas, tumores, etc. Esta palabra a frase puede ser reem- plazada par un. s.lmbolo cualesquiera 0 par un codigo numerica. Por ejemplo se le puede asign(ll- 0 1 grupo de enfermedades infecciosas el codigo 0::0-136, al de tuwores 140-239, etc . EatoH llUllI"rO, no tlenen un IIIlgnlfioado cuantitative, sino que son una manera de reemplazar un simbolo verbal, como 10 es 10 pa1abra, par un sim- bolo numerieo. Escala Ordinal Esto escolu Ileva iwpllci to Ju de jerurquizac i6n 0 de "'orden" que permite indicur la posicion relativa de los distintos elementos clasifica- . daB. Constituye de eata manera una stopa de hacia 10 cuantifica- " cion de un f en6meno • Son ejewplos de datos clasificables en esta escala e1 grado de desarro- llo de un pais, 10 gravedud de una enfermedad, la intensidad de un dolor. La calificacion de una entidad con al fin de asignarla a alguna de las categorias de estas a.calos, puede ser a1 resultado de la evaluacion de uno a mas atributos. En ultimo coso deban resumirse en un indice que re- fleje jerarquio. Este procedimiento es wuy usado en ciencias sociales, en ,.J M_dJcJ6n os 01 proceso d. odmeros 0 en correspond.ncla d. uno a uno a objctos U observQciones. (Sidney Siegel.) 7 i r pBlcologia y tambi.en Uene utilidad en olinica. Sa puede definir par eJam- plo la gravedad d,. una tubbrculosis puJ.monar, par la extension de la lesion en la placa radio lrafido. e 1 examen bacteriologico de 10 "expectoracion y el estado general deJ paciente. Si en cada una de estas variables asumimos 10 existencia de t r e. lrodos: I, 2, Y 3, que a au vez constituyen categorias de eacala de tipo o. Unai. un paciente podrii quedar catalogado, por suma de estos grados en una el:)Cu.1fl entre 3 y 9 siempre que se suponga 10 equivalen- cia de 10 importancia de estas variables . . Se debe entender olaramente que en muchoB caeoa d ••• calae ordinal •• en que a las dife rent es categorias se Ie asignan valores numericos. estos slm. bolos no gazen de todas las propiedades de los numeros. As! un grado 3 no liens el significado de ser tres veces e1 grado lode estar a igual dis- tancia del grado 2 que este del grado 1. S610 se exige que se cumpla una relac ion de orden en que por ejemplo 1 as menos que 2 y 3 e s mas que 2. Escalas de Inlervalos Las eaaalos de sa caracterizan porque lOB numeroB asignadoe a las di feren t es categor ias tienen un s ignif icado c uan t i tati vo claro. r es- pec to 0 10 dist anc ia que existe entre dos observaci ones dife r en tes. As! por ejemplo. 10 difere ncio en t re una per s ona que mide 1,65 m y otra que mide 1.67 m es igual a 10 que existe entre una persona que mide 1,72 my otra que mide 1.74 m. En ambos casas el intervalo entre las mediciones es de 0,02 m. Para nuestras neces·iclacles de deser ipcion y on01i8is de datoe. noa basta dlatlnguir en loa •• cala. d. intervalo. 10. que .on diseontinuaa 0 diacre- tas de las que s on continuos. Escala Oisconlinua 0 Oi·screla Esta escola se refiere a datos que resulton del recuento de elementos pertenecientes a 10 unidad de observaci on. Asi por e jemplo e l numero de ca- mas de los hospitales. e1 numero de hijos vivos de las mujeres, etc. La escolo tiene explicito 10 relacion de orden entre sus diferentes ca- tegorios. Asi par ejelDplo una mujer con tr •• hijoa tiene tr •• vec •• me. hie joa que la que tiene 1. 5e llama escala discre ta 0 discontinua porque sus diferentes categorias son los numeros naturales inc luyendo al O. Escala Conlinua Corresponde a datos que son e1 resultado de mediciones, como por ejem. pIc al peso. 10 longi lud • .I n teulperatura. etc. Su curac.:l e r l Bt.i t.: u t!s 1u posiuilidud de exist el lc iu de infinitos valores intermedios entre una divi s ion de 10 escolo de medida y 10 proxima. La rea- triccioll para 10 coutinuidad perfecta en 1a practica depende de 10 preci. sion del instruruento de medida, y de las necesidades del usuario. Asi por ejemplo el peso de un nino recien nacido se expresanl a 10 mas con e1 deta. lIe de unidades de 10 gramos. aunque entre un peso de 2.950 y 2.960 grs. hay iufinitos pesos posibles. Por las limitaciones del instrumento de medicion. las es calos continuos en 10 practica aparecen como discretos. sin en su presentacion y analisis prevo Ieee e1 criteria de su continuidad t eorica. Relacion enlre Escalas de Di fereille Hive I de Medicion Se puede observar que el orden en que se han presentado las diferentes escalas, refleja grados de complejidad y de prec ision dentro de la natura_ laza del fenomeno rnedido . 8 .... . ... E. podb cala ordinal de longitud , ord.i.nal 8i a· duos, se les altos. El paso c cuente. Un ej la continua, bien simple del. color de El proce clasH icados de mayor pre, Por ill ti maclon que a no es netes i 80 •. En gener de una ampl categorla, c deben consi cuan tif icaci capacidad de La vent vidad que se major compar Vos que" la fit!acion d 1------·-·--··-··-·-·-----.. -._ .. _ .. -.... ...... .. -..... --........ . . inir por ejem- m de 10 les ion Ie t oracion y 81 bS aaumimoa let yen categorias 10. por suma de 1 10 equivo!en- IS ordinales en ; 05. estQs srm- un grada 3 no I · Q igual dis- se cUUlpla una u.os que 2. le ros asignados .vo ..::; laro, res- (en tea. As! par otra que mide 1.72 m y otra jiciones es de ltos, nos basta Lnuos a discre- :0 de elementos 1 nuwero de ca· es, etc. diferentes ca- s veces ruas hi ... ntes categorias COIlIO por .. f ioi tos valoJ"es roximo. La res ... itt de 10 preci ... war io. Asi par as can e1 deta- .0 y 2.960 9rs. co las can t Inuas presentacion y las diferentes ode· 10 notura- I Es posible que de una escala de intervalos continua. se boje a una es ... cola ordinal. Par ejemplo, 10 estotura que por 10 naturoleza de 10 medlda de longitud corresponde a una escala continua, puede expresarse en escola ordinal 51 01 poner en orden Qscendente de eatatura, a un grupo de indivi- duos, se les colifica par alguna division arbitraria en bajos. medianos y 01 tos. El paso de una escala de 1ntervalos a una escala nomina.l as menos fre- cuente. Un ejemplo podr..i.a ser el de 105 pueden expresarse en esca .. la continua. \lsanpo 10 longitud de onda de luces de distintos colores. a bien simplemente en una Bacola nominal que describa 10 percepcion visual del. color de un objeto. El prOC8S0 inverso no as posible y una yez que los datos han quedado c1aaificado8 en una ·eacola de, menor precision, no es posible pasar a una de mayor Por ultimo debe reflexionarse ·sobre e1 hecho que la cantidad de infor- macion que aporta coda nivel de meqicion las unidades ·de observacion no es equivalente a 10 precision que se obtiene en cada ca- so •. En general 10 asignacion a una categoria en una escala nominal requiere de una amplia definicion de los atrihutos que tienen los objetos en coda categoria, como puede suceder por ejewplo con un diagnostico c1inico en que I deb"en conaiderarae multiples elementos. A medida que se progreso en 10 cuantificocion. 10 atencion. se restringe Q mencs elementos medidos con mas capacidad de diacriminacion. La ventaja de 10 cuantificocion reside mds que noda en la mayor objeti. vidad que se lagro a traves de estas 10 que a su vez permite una mejor comparacion de diferentes unidades de observacion. Es par estos moti. vos que· la aspiracion de toda disciplina cientifica es lle90r a la cuanti- ficacion de las variables que utiliza. 9 • t /I" ·· 1 ' I , . ) , I • • ERRORES DE LA INFORMACION ESTADISTICA "El eatadiatico ha dejado de ser un alquimista del cual 8e eapera que praduzca oro a porti ,. de cualquier matuial .in valor. E. ma. bien un qu!- mica capaz de detenlinar exactamente cuanto contiene de valioso. y capaz tamhien de extraer esa cantidad y no mas • En estas circunstancias seria absurdo alabar a un estadistico porque sus resultados son precisos 0 reprobarlo porque no 10 son. 5i es competente en Sll afieio, e1 valor de los resultados depende exclusivamente del valor del material que se Ie ha entregado. Contiene esa cantidad de informacion y no mas. Su unica tarea es praducir 10 que contiene". m.A. fisher.) E.ta. palabra. del mg. iwportante •• tadiatico de nU8atroa tiempol tie- nen interes sabre tode para aquallos que. sin pretender llegor a ser aspe. claliatoY. estucllau algunos principios boslcoB de 8stadistica 0 recurren a1 estadistico para resolver problemas de interpretacion de datos. Una informacion de buena calidad deheria ser EXACTA. en otras palabras. deberia reflejar 10 verdad. Sin embargo en el campo de las ciencias aplica- dos. 10 eXQctitud s e ve amenazada por multiples factores q ue van desde e1 diseno de 10 investiqacion hasta e1 regis tr o de los datos. Llamaremos ERROR It 10 diferencia entre 10 roedida asignada a un objeto y su valor verdadero. I.us posiblea cau.as asi como 108 mediae para reducir 0 evitar los errores Han faciles de imaginar. Sin embargo 10 frecuencia con que a pesoe de eso jllGurrimos en elIas. hace aconsejable discutirlos breve- mente. En el marco del ',e/odo cientifico el proceso de OBTENCION DE INFORMA- C ION consiste en ql" • de· acuerdo a un plan preestablecido. un observador fija su atencion. ell una propiedad del objeto 0 unidad de observacion y la mide pOI media de ins trumentos. El PLAN preeatablecido para 10 observacion sera parte 10 cion de 10 investigac ion. Comprende al enunciado de las definiciones q uti- lizar. 10 especificac ion de las condiciones en que se horn 10 observoci on y 10 descr ipcion de 1(J 5 proced imien tos de medicion. Llaruareruos OBsr l ll'ADOH a toda persona que intervi e ne en e1 proces'o de obtericion de intormcu:.: ion desde 10 inapeccion. interrogacion. examsn 0 medi- cion del objeto hasta el registro del dat.o. El OBJETO es todo 10 que puede ser mat,eria de conocimienlo 0 sensibJli .. dad de parte del observador. Defin:iremos a 1" UNIDAD DE OBSERVACrON como 10 menor division del maleri.al er. ' esludio ,sometido ci observacion. ' . El INSTRUNCNTO e s e1 media utilizado para realizt?r 10 observacion. po- drCi ser uno de 1m' . Jallos de los · sentidos del observador. un aparato 'cmo": lizador. una pipt: LU 6 UHfI regIa. etc. Cuont o mayor seQ el pader tOI'"io del l(llito JIlaS PRe e ISA sel,'j 10 observacion. . A excepcion de ., Igul)as roedid.as que tan de 10 oparacion de contar, 98 iwposib1e en 10 conoear' 1a verdad ccerce de un objeto. La, pre. sencia de ecrOT sol e sc deteota 0 travesde las INCONSIST£NCIAS DE CLASIf'I .. CAcrON. as decir, CII ' ·ldo, se cxljudicc ' una m'isma unidacl de' a di- fecentes categ::J cl.(" U t\U cscala de clasificucion, cuando. esta adjudic.a ... cion se realiza ell . . i.'.; de una oportunidad. . Inter,taremos Junas clasificaciones de errores que Son arbitrarias y no son las unicas . ibles pero servirQR para definir un lenguafe comun y pura sistematizar l .. 5. la obaervacion c La rALTA DE i e.calas nominal gene ral a un COl vez deben quada enCermos por die de examenes se deCinir que se cuando los Cac t ficil en casos ordinal si se d Cuan to mas exha datos obtenidos menor Importanc ain embargo en dudas. como por vo de orina, se colonia. En las definida como s La H£T£ROG£ MI£NTOS DE MEDI ra de las eaeal A.l por aJe as examinado co la calificacio flulda por el c de 1a ropa que cacion respecto dicion -se: vera 1 . Qbserval Los ,errorea y habj,lidades. I tre observadore jeto :"0 examen- teB oportunidad i'caciones I lac1on· qUe aseg l unida Las diferenl de" previsihles. que haca camhic v iduo puede val respuestas a les. etc. La v9 de evi pel d'ltermina[ au nes sucesi vas, I de error. I Del ERRORES ORIGI NADU , Las in cons' euen tes. mclxime EN ELEMENTOS DEL PROCESO DE 08TENCION DE INfORMACION nos de 108s8nl En la plani ' <1n Lo planificac i l,r .. . :8f iciente puede causar errares por falta de ciones precisCls Y FOI' I· ": ' )" ogeneidad en las condic:iones e n qut:: se 10 en eacalQ nomir i· servadar·. y en defini- Los instru r e alize pueden tener d I ---_._----- - -------, leA se espera que :18 bien un qUl- 1110110. Y capaz ldis tieD porque i es comrtente Den te de valor de informacion Fisher . ) as tiempos tie .. gar n ser espe- ;0 c. ;curren 01 :05. otros palabras. :iencias aplica- lJe van desde e1 lu a un objeto y i para reduci r 0 frecuencia con ;cutirl os breve- ION Df INfORMA· , un observador y 10 le 10 planif ica. inicionea q uti- la observacion y 'r! e 1 proces'o de • exarnen 0 medi .. la obaervacion 0 de 108 procedimientos de La fALTA DE DEflNIeIONES afecta sobre todo a las variables medidaa en ,acalas nominal y ordinal. en que coda categoria de la escala representa en general a un conjunto de propiedades de 10 unldad de observaclon que a ell I vez deb.n quedar definidas. As! Ear 01 clasificar a un grupo de 80£arm08 por diagnoatico. debe deflnirsil que sl.ntomcs. sign08 y de examenes se consideraran proples de cad a enferwedad. Adamas se debara definir que se entendera par determinado sintama 0 signa. Esto facil cuando los factores son pocos y precisos, pera puede ser di- flcil en oa808 oomplejo •• Una aituacion similar se observa en una eacala I ordinal si se deseo clasificar enfermos segun 10 grovedad de un sintowa. ! Cuanto mas exhaustivas sean las definiciones tanto mas pr ecisos seran los I datos obtenidos. En las escalas de" intervalos diseretas 10 de finic ion tiene , lienor ilDpor taneia por tratarse de· dot as que son e 1 resul t ado dE;! reeuen tos. sin embargo en situaeione s en que los elewentos eontados pueden prestarse a dudas. como par e)emplo en e1 recuento de colonias microbianas en un c ulti .. vo de orina. sera necesario definir los criterios de 10 que se de nominara colonia. En las escalas continuos en general la.unidad de medida esta bien definida como sucede al medir longitud. peso. etc. La HETEROG£N£IDAD EN LAS CONDICIONES DE OBS£RVACION Y EN LOS P·ROCEDI. U£NTOS DE MEDICION puede influir en 10 exactitud .de los datos en cualquie. ra de las escalas de clasificacion. Asi por ejemplo. una ictericia puede posar desapercibida 51 el paciente e. examinado con luz artificial y detectarse al examinarlo con luz natural. 1a calificacion de una persona a traves de unG entrevista puede verse in- fluida por el cansancio del entrevistador. el peso de un individuo depende de ia ropa que lleva pue.ta. Todo e.fuerzo que se haga durante la planiC;. cacion re.pacto a e.pecificar las condiciones en que debe realizarse la me- dicion vera recompensado par la obtencion de datos mas exactos. Del qbservador errores debidos 01 OBS£flVADOH estan relacionados can sus destrezas y ... CO" .14 experienala y con .u QQi>cloaidad. La YAR1ABlI.!DAD en. tre observOdores 0 del mismo observador se detecta a1 someter 01 mismo ob .. jeto:··o examen· por varios observadores 0 par e1 wismo observador en diferen. tes oportunidades respectivamente.Si se encuentran discrepancies entre las nto _, sensibili.! como 10 r 6n. calificaciones habra que adiestrar 01 observador hasta conseguir una nive- laciorr asegure limites tolerables de variacion. unidad de observaci6n . Laa diferentes variables que Ber objeto de medicion en 10 unidad de" ob •• rvaclon •• t6n .uJetaa a varlaclon ... qua no Blempren Bon t!vltab1ea 0 previsibles. Asi por ejemplo •. en · un enfermo puede aperecer un nuevo sintoma que hace cambiar el primitivo. 10 presion arterial de un indi- viduo pllede variar par ·diferentes motivos en e1 tronscurso del dio, las respuestas a un de inteligencia pueden depender de factores emociona· les, etc. La 4e 10 unided de observacion practicamente no pue- de pero· debe tenerse presente al analizar los dat os can el fin de au mognitud. cuando parezca necasario. a traves de observacio .. nee 8uceaivaa. en que Be aaegure 10 estabilidad de otros posibles (aetoces d. error i oUti6rvao16u. pc. un oparata oder uc..:ion ,Je contar. I objdo . La. pre· i Df bservac ion a di ... • 8Hta aciJudica- I on y.\ lengue j"e cornun y Del inslrumenlo Las inconsistencias causadas par e1 instrumento de medicion son fre- cuentes. maxime si ine1uimos en la denominacion de instrumentos a los orga- IN DE INFORMACION ! nos de 165 sentidos del obsarvador. Estos influyen sobre todo en los datos en nominal u ordinal. en que la varia de uno 0 otro ob. servador. y en e1 miswo observador en distintas circunstancias . . talta de ddfinl- Loti Inatrumentos de mddlda tales como pipetas. reglos. balunzus. etc. n se realizQ \ pueden tener defectos en au CALIBRACIOH que tieJ?en como consecuencia una I 11 I I ; • • I j /' i t , , inconsistencia en la determinacion de la variable cuando es medida con dos instrumentos diferenles. Hay lnstrumentos muy sensibles que se descalibran facilmente ante vario·.;ioiles de las condiciones atmosfericas y que deben ca- librarse periodicnmente para evitar inconsistencias en las mediciones con e1 mismo instrumento. 'Errores Sistematicos y Aleatorios Loa errores analizndos mQs arriba pueden ser todos clasificados en do. categorias: sistematicos y aleatorios. Se habla de ERROR SISTEMATICO cuando cada.valor de una serie de abaer- vaciones tiene unc::J desviacion en una direccion. ya sea en terminos de cuencia 0 que todos los valores osten aUDlentodoa 0 di&minuidos, con re8pec. to a su valor verdaue.-o. Este tipa de error ocurre ell todas las esca1as. En 1a esca1a NOUINAL se manifieste a "tt"Uvell de una may.or fz'ecuencia de clasificacion de las unida .. dea en determinudo rubro. ABi por ejemplo S6 ho visto en 10 revision de cousas de muerte no certif icadas prj! medico que hay una ocepeticion de de- tarminada causa 'de wuert"e en algunos circunscripciones. de los diagnosticos preferenciales '1"e hace e1 oheia1 de Registro Civil a base de la descripcion de la causa de rouer te hecha por los tes tigos. En la escala OIWINAL as posible que en ausencia de def iniciones precisQs para distintos grados de intensidad hay a d.ifel·encia sistematica entre 108 observadorea para calificar 1a intensidud de un sintoma. En 1a 'esea1a de INTE/lVALOS DIS- CRETA al recuento de colonias roicrobianns par ejemp10 puede tener variacion sistematica entre Ull ohsel"vador y otro 01 mirar las mismas placas. poi- dis- tinta apreciucion de 10 que es una colonia. En l.?s esca1as c0ftrINuAs en que interviene un instrumento de lUedicion, 10 defectuosa colibrocion de ona ba .. lanza a de una pipeto produce errores , sistem6:ticos en un sentido con re's_ peeto a instrumentos con otra colibracion. Las CAUSAS de 105 errores sistematieos son en resumen 10 falta de defi- niciones precisas. 10 uiversidad de criterios 0 10 mala calibracion de in8- trumentos. Oependen ell consecuencia del ob.ervador 0 del instrumento y ra .. raments de la unidad de observacion. Para REDUCIRLOS a evitarlos deberoJl unificarse las definiciones y cali .. brarse correctomente los .instrumentos. Si 5e descubre el defecto de coli- bracion y se Ie puede asignar \Iii valor. es posible corregirlos sumando 0 restanda una cantidad fi·ja a coda observacion segun el senticlo en que haya actuodo 10 "mala calibracion. Los ERROH£S AL£ATORTOS se deben a mu ltiples faetares f "generalmente no identif ieados y que producen ven locion en was 0 menos respecto a1 verdadero valor. Se pssqujson sobre todo en datos en escola de intervalos en que para .uceaivos lecturos 0 medlcioneft de I!n OJiSUlO objeto 8& obaerva una disper_ sion de los valores ° Se esludioll de preferencia en medidos en escalo con .. tinua. Son de errores la dispersion que se encuentra cuando di. observadores miden una miRlna recta 0 cuando un mismo observador repi te la medicion de Practicamente no lilly "medias ef icaces par-a ev itor los. Se podr-ou reducir haciendo mediciones cl1i.)adoso::;. La mclS frccuente es que sa describa su mag .. nitud a traves de JlI()("ieloB teodcos de 10 conducta del error. que permlten obtener un valor centnd" porn 10 medicion y una magnitud para 10 dispel' • • ion. EQuivocaciones Usaremos esta denominaclo11 para errores que se pa:oducen par la inco .. rrecto aplicacion un p" ·(X dlllliento 0 de una !lorma. 12 .... _ ...... --... --.----- Son co, aaignacion Por defini' par falta de ac operacionea rut La manara d racione. raali: persona, ya que ; coolon. i Loa p-oced.l investigacion i ser las ! ; medida can das se descalibran y que deben ca· medici ones con ;ificados en dos aerie de obaer- :enninos de f !'e- jos. can respec- 3CO., JOMINAL se ,n de las unido- 10 revision de peticion de de· )endiendo de los Civil a base de -s. En 1a escala i para distintos os observadores INTEjlVALOS DIS. tener variaci6n Jlacas, por dis- :UNT1NUAS en que lelon de ona ba- entido can re"s- I Son de equivocacion los errores de reeuento, ealeulo aritmeti. co, aBignacion de c6digoB, regiatro de datos, etc. Par definicion se deben a1 OBSERVADOR y genera1mente son oeasionados I por falta d. aouoiolidad en 81 trabajo 0 par oan.ancia en la repeticion d. r operacionea rutlnarloa. La manara de evitar equivocaciones es la REVIS'ION cuidadosa de las ope- raciones realizadas ya aea por e1 miemo ohservador 0 mejor por otra l ya que ea poco probable que dos personas cometan la misma F caClon. : Los procedimientos de revision eston contemplados en todo huen plan de , investigacion y deberon ser tWlto mas completos cuanto mas graves pueden ,jer las consecuencias de la equi vocacion . ) falta de defi. ibracion de ins- Istrumento y ra- '; ; liciones y cali- 'j ef, ) de "dali. f, ir 1 __ 8UlIlan 0 0 "r : ida en que haya I generalmente no ,to 01 verdadero )los en que poro rva una disper- :m escala can. :tntra cuando di- ismo observador , pod ran reducir 1escriba su mag. r. que perm! ten para 1a disper. en pOl' 10 inco- r 13 , I f r TABLAS ESTAOISTICAS tancla qu ; Cuando un t : tabla 1. tabla : numero compi Las tablas nidos en algun Las etopes estadlsticQS sirven para presentar lOB datos rtumericos estudio. ',en forlOa ordenada. abte.jabre .1 a a1 pJ principales en la construccion de una tabla Bon: 3) AsiKnar las 1 ) 2) 3) 4) Definir los propositos de 10 tabla Colocar un titulo a 1a tabla Asignar las escaIas de clasificacion a filas y columnas Colocar los datos numericoB obtenidos del material en estudio torlos con porcentajes 8i es necesario. Cuando hay I colocara 1a esccl clas1 f icacion pc: y comple- I) Definir los proposilos de la labia SegUn los propOsitos distinguimos tab las de DISTRIBUCION D£ FR£CU£NCIAS en que e1 material se c,lasifico seguo un solo criterio y tablas de ASOCIA .. CION en que se deseo mostrar 10 relacion entre dos 0 mas variables en los unidade8 de observacion. La definicion de los propositos ayuda a determinar los CRIT£RIOS DE CLASIFICACION a usar en' las tobIas y el S£NTIDO en que deben analizarse los ' Cuanda hay datos. NUMERO D£ GRUPO Si e1 proposito es por ejemplo wostrar las edades de un grupo de enfer. a un dgrdupo de '1 1 ' t ' d I ' f' , , I ddt' grave a • mos 80 0 emp earemos un erlO e c aSl lcaCI0n. a ea. y cons rUlremos una tabla de distribuci6n de frecuencias. Si e1 proposito es. en cambio, wostrar 10 reiacion que existe entre 1a edad y 1a gravedad de la enfermedad haremos una tabla de asociacion can dos criteria. de c1aaificacion. 1a .dad y la gravedad. La manera mas practica para de f illir 108 proposi tOB de una tabla es a troves de 10 formulacion de 10 0 las preguntas que se intenta contes ter con la tabla. Es asi como en el primer ejemplo se podria preguntar: icua1 es 1. distribucion par edad de los enfermos? yen el segundo: ihay relacion en- tre 1a edad de los enfen.os y su gravedad? 2) Colocar el titulo Las tobIas deben tener un titulo complete que especifique: QUE se presenta. Par e jemplo: en fennos. operados. diagnosticos. etc. Cuando ha ( COltlO se clasifican lus unidQdea de observacion. POI" ejemplc: en fermos segull:lentes y 10 if grtupos de edades. operac iones segun resultados. diagnostico segun gravedad'1a c.olumna d: : e c. ' 1 d '. _ . , eJemp 0, eBeamc DOND£ fueron reg>strados los , datos. Par eJemplo: Departamen to de ,CHugl<'enfetmedad en del HospItal A .• AsIS hmCIQ PublIca de Santlago. etc. CUANVO se reglstrar0ll;:onsecuencia. los datos: 1972. de 1940 a 1970. etc. Hay algunos CAs as £SPECIALES en que no es necesario cenirse mente a estos datos en e l titul o 0 en que deben agregarse otros e l ementos: Los -TI·TULOS CON MENOS DATOS se podron coiocar cuando en una misma lnvesti· gocion se presentan vorins tobias que se han originado t odas en e l mis mo luqcar y en e1 misJUo tiampo. l::.tO& dolos opaCttCerall en e1 lex to del trabajo y no sera necesar io r epa t iT los en coda tabla. Entre los elementos agregodos tenemos las NOTA S AL PIE que debe ran co. locarse por ejemplo cuande el origen de los datos es otr o estudio cuya ferencia debe quedar anotado. Como las referencias en general son largos y Ie restar1.an claridad '01 titulo se puede colocar alIi un signe y coloool frente a1 mismo signo en el pie de la pagina. la referencia comple ta. La t bl b " l' l ' ddb f ,saas{ len se co cearan notas a pIe euan 0 e e explicarse 10 orma de d 1 t d '1" dId P , 1 S ' , . es e ec un o e ana e as atos. or eJemp 0: e excluyo en e1 analisis 10 cate'ac' S ' 'd 'd E l' b' d ' .ones. on u gor1a: esconocl. os. n genera sera 0 Jeto e una nota al pie Tal 14 I i llrcunBtancia que requiera una aclaracion. Cuando un trabajo contiene vdrias tablas conV1ene colocarle. NUMEROS, .tabla 1. tabla 2. etc. Eato faollita la referencia a la tabla en el texto. numaro complementa al titulo. Y Be coloca independiente de al. ya Bea b obra .a 0 al pi" d .. la tabla. . num'rico. 0 te- 1 3 ) Aslinar las escalas de clasi Ilcacion a Ii las y columnas ion: Cuando hay solo crite ria de clasificacion de las observaciones se colocara la eBcala de claaifioacion en la primera ·columna. En al ejemplo de !Clasihcacion por edad: . 3tudio y compIe- I N rRECUENCIAS l 1 ]blas de ASOCIA- TU[ iables en las : i Edades 0 - 4 5 - 9 10 -14 . N! de Observ. 10 14 25 . as CRITERI OS DE , Cuando hay MAS DE UN criterio se preferira colocar la escala con MAYOR n anallzarse lOB NUMERO DE GRUPOS en la primera columna. Al clasificar por edad y gravedad IQ un grupo de enfermos Bon m4s loa grupoB de edaQ que las categorias de grupo de enfer -, d d . IjIrave a • y conatrulrsm08 . existe entre 10\ ociacion con dos ; . i una tabla es OJ .to contes tar con Itar: icua1 es 10: huy relacion en .. 1 , i jue "'. j Edades 0 - 4 5 - 9 10 -14 Gravedad Leve Graye 13 20 11 18 14 23 . . . ;os. etc. .' Cuando hay dos escalas de clasificacion y una se refiere a losantece- ): en!ermos segundentes y la otra a las consecuencias,preferimos eolocar los antecedentes en ) segun gravedad' la columna de 10 y 10 con&ecuencia en 10 fila superior . 5i por ej_mp1o, d ••• Qmo ••• 1a reloolon entre trotgmiento y d ••• nlac. d. una lua nto de .Clrug{°J!'oferlDedad en que e1 tratalliento es el antecedente y e1 resultado es 10 )0 se reglstfafonpoosecuencia. 10 tabla se haria en 10 enirse estricta .. j otros elementos: : .0 Dlisma inves ti .. ; odos en e 1 mismo. :exto del trabajO I : que debe ran CO • • estudio euya fe.1 !rol son largos V: Tratamientos A B Total Resultado Vivo Muerto signQ y colocar; _CI completa. Las tabias de mas de dos criterios de clasificacion present an dificul- obtencionfades de lectura y debieran evitarse como tablas de presentacion en publi- 10 Son iltiles como tablas de referencia para colocarlas en anexos ,1 p,e trabgjo. TambieD airVVD como tabla. d. trabajo para r •• umir tedo. 10. I 15 ! • i I t I I ! r ! , . \ I datos y peder extraer de elIas tab las mas sencil1as. 4) Colocacion de los datos numericos 4. Datos numor Se es tudio un '0 hay un orden pI e frecuencia a e: ugar. Para mayor Una vez que setienen claros 108 propositos de la tabla. se ha eoloeaG e1 titulo y aa han aaiqnado las escalas de claaificacion a las filas y 1a columnaR es util disponer de una columna 0 fila 0 de amhQ8 con los totale marginales que se obtienen por suma horizontal 0 vertical de los valores d los casilleros. Diagnostieo efi Se caleularan PORCENTA]ES y se coloearan al lado de los val ores absolu tos respectivos can dos objetivos: Destacar la fRECUENCfA de un heeho en u total 0 COMPARAH la ocurrencia de un mismo hecho en dos 0 mas grupos. E mos focil entender que 83,4% del total de enfermos mejorb que decir mejora ron 176 de 211 enfermos. DIAGNOS Resultado de Tratam. A y B Tratam. Total Mejorados , A 83 72 B 128 104 Total 211 176 Resultado de Tratam. A y B , Tratam. Total Mejorado % A 83 72 86 , B 128 104 81: Total 211 176 83,: Ulcera duoden Cirrosis hep6: Ulcera gastri Gastritis era Esofagitis er Yeyunitis hem No preeisado Tot a 1 ablas de Asoclac No usaremos porcentajes cuando el numero de casas es muy reducido. S par ejemplo se somete a tratamiento a 5 enferroos coda uno de ellos N 1 senta un del total . . Si en este coso heblamos de exito en el de 10 casas deremos una falsa impresion de estabilided de nuestra informacion 1 I. Proposito que no refleja 10 realldad de nuestro experiencia. . Mostrar el sf Podriamos fijar arbitrariamente 10 cantidad de 20 como limite entre nuermos de angina mero recluciclo en que no calculamos porcentajes y numero grande en que 51 1 TItulo calculamos. Indica QUE se Para el CALCULO DE.PORCENTA]ES se divide el numero de obs. del efeeto de I cuya freeuencio se requiere destacar par el total del cual proviene y lueq 10 droga pero s 5e I1ultiplica por 1m. En nuestro ejemplo 10 mejoria con tratamiento A &studiado el grup obtuvo en 72 de los 83 tratados. 3. Eseal as de 72 : 83 = 0,867 Distribucion de Ejemplo N.!! 1 0,867 x 100 = 86, 7l Hay dos eritel Ejemp10s de Tablas Ilacebo y lCdinal que deter, In orden crecien tl Segun 10 regl Jumero de iucion del dolor. ;arece menos cIa I. PropOsllo Mostrar la distribucion de hemorragia digestivQ alta. 2. Titulo frecuencia de diagnostlco 'enfermos CQ,a primara 4. Datos nume S1 bien en e ... Indica QUE se p{egunta: enfermos con hemorragia digestiva alta; COMO que no hace clasifican: segun diagnostico; DONDE fueron estudiados: en el servicio »omparac ion. : CUANDO fueron estudiados: ana 1972. El sentido en 3. Escalas de clasi licacion Hay un aolo crlterio d" claslflcaclon: colocoremos en 10 primera columna • ,1 propOs ito de 1 !ejoran. siguen i el diagnostlco, por 10 tanto Jaran. por 10 tan :acion se har 1a I ' . ''' -' " ... .. ....... __ .. _. _--. 4. Datos numericos Se estudio un total de 350 enfermos. Por tratarse de una escala nominal hay un orden preestablecido de las categorias y se colocaran par orden f a frecuencia a excepcion del rubra fino precisado" que se deja en ultimo ugar. Para mayor claridad se calcularan porcentajes sabre a1 total. Q. se he colocad a las filas y la Tabla N2 1 is con los tatale de los val ores d(l Diagnostico en enfermos con Hemorrogia Digestiva alta Servicio X b i Ano 1972 )5 vaIore's a solut de un hecho en Ul , E' DIAGNOSTICO o mas grupos. t que decir mejorat , 1'1 .. un.AyB Ulcera duodenal Cirrosis hepatica -- Ulcera gastrica )tal Mejarado Gastritis erosiva N2 % Esofagitis erosiva Yeyunitis hemorragica 83 72 86. No precisado lZ8 104 81. Tat a 1 211 176 83. tablas de Asociacion . lOuy reducido. S. ) en a1 806 de 10: " . ENFERMOS N2 % 180 51.5 60 17.1 42 12.0 21 6.0 16 4,6 11 3,1 20 5.7 350 lm,O ,ra iufarDlQcion 1; I. Proposl to ,a de ellos reprel· jempla N 2 1 Mcstrar e1 efeota de das tratamienlos en 10 evolucion del dolor en en- o limite entre nU,ermos de angina de pecha. ronde en que sl 1) 2. T i lui 0 . Indica QUE se presenta: enfermo de angina de pecha: COMO se clasifican: de obs. del efecto de la draga X y de un placebo (sustancia similar en apariencia 1 proviene y luegp 10 droga perc sin contener su principia activo) sobre e1 dolor; DONDE fue t lmiento A .ststudiado e1 grupo de enfermos Y CUANDO se estudio. J 3.Escalasda claslflcaclon 100 = 86 Hay dos criterios de clasificacion: tratamiento,que puede ser droga X a . , placebo y evolucion del dolor que se clasH ica en t'res tipos en una escala prdinal que determina 10 secuencia en que se anotaron las categorias ya sea pn orden creciente 0 decreciente del efecto. ! Segun 10 regIa anteriormente mencionada. de eclocae 10 escola con mayor ?umero de categorias en 10 primera columna. deberiamos colocar alIi 10 evo- del dolor. (Tabla 2). sin esta forma de presentar los datos i 'arece menos clara que si seguimos el criteria de calocar t!l antecedante en :0 Etn c 0 primera columna y 10 consecuencio en 10 primara fila (Tabla 3). , 4. Datos numericos I Si bien en este caso los dos grupos son de igua1 tamano: 35 pacientes, tiva alta; COMO 4 0 que nO,hace indispensable el calculo de porcentajes, estos facilitan la en e1 servicio x;omparaclon. : El sentido en que deben calcularse los porcentajes esta especificodo en Jl proposito de 10 tabla: deseomos saber la frecuencia can que los enfermos ej9ran. siguen igual 0 empeoran de su dolor en cadQ tralamiento. Se calcu_ o. por 10 tanto loran, par 10 tanto. sabre a1 total de cada grupo de tratodos. La interpre- acion se haria muy engorrosa s1 los porcentajes se calcularan en e1 otro 17 I f I !, . . - , alntido. puea noa dirion cuantoa de 101 snferm08 que mejoran. aiguen o Imptoran han lido tratadoa can drogo 0 can placebo. Tabla 2 Efacto. de dror;a X y d.e placebo Bobre .1 dolor en enfarmo8 can angina d. pecho. Servicio X, anb Y - Tratamiento 3. Esoalas de Son tre8: pel iguo m hombres intere ,edente maa gene. ,riteri08 8e calc que 8S consecuencia q I 4. Datos Para cada •• x i t C on a 0 muer e. Lo uno de estos , (Tabla N g 5) ae d Efecto Droga X Placebo . Total N2 % % . MeJo'ran 23 6.5.7 15 42,S • , S.i,guen igual 10 28,6 16 45,7 Empeoran 2 5,7 4 11,4 T a ta 1 35 100,0 35 100,0 Tabla N!! 3 Efecto de droga X y de placebo Bobre e1 do lot en con angina de pecha, Servicio X, ano Y Efecto Mejoran Siguen igua 1 Empeoran Tratamiento DrogCl X 23 Placebo 15 T a t a 1 38 Eje .. pio N2 2 to % 65,7 42,9 54,3 % % 10 28,6 2 5,7 16 45,7 4 11,4 26 37,1 6 8,6 N!! 38 54. 26 37, 6 70 100 enfer-mos Total Nl! 35 10 35 10 70 10 MostrJr si la mortalidad· de prematuro. depende del peso 01 nacer y d, sexo. 2. Tftulo 'Especifica tada la informacion que se presenta en 10 tabla. 18 r·· Mortal •• Ve • Peso a1 naCE 1001 - 1500 150l - 2000 2001 - 2500 T a t a 1 Mort aev, Peso 01 I nocer 1001 - 1500 1501 - 2CXXl 2001 - 2500 Tot CI 1 ... ........ .... .. .. .... · .... "" .... "".., .... "'" • .. ... , I i i oran, 8 iguen n enfermos { .. , .. --.. .. -.. - I [ f 3, Escalas de clasiflcacion . Son tres. paso, sax a y morta1idad. Debido a qua tanto an mujeres como 19ual en hombres in teresa 10 mortalidad en relocion 01 peso, e1 peso es e1 ante. maa general y 10 colocaremos en 10 prim&ra columna. Los atros dos sa colocaran arriba comenzando par a1 segundo en 1m- '\Portancia que es el sexo y colocando dabojo e1 criteria que corresponds a ,Ie con8aouenoia que e. la mortalidad. , 4, Datos numaricos 1 Para cada sexo y en coda grupo de peso e1 desen1ace puede ser sobrevi- 0 muerte Con e1 fin de no recargar 10 tabla sera preferible co10cur so . - 10 uno de estes datos (Tabla N2 4). Se va que 01 hacer la tabla completa (Tabla N R 5) as dificulta el anali.i •. Total N.9. Tabla - , Mor talidad de prematuros con trastornos respiratorios 38 54·1 severos segun peso 01 nacer y sexo Servicio A, 19 .. 26 . ! 37" 6 sJ M u j e res H 0 ill b res Muertos Muertos 70 100.' Pes 0 a1 nace r Total N2 % Total N2 % .o' r • 'l I 1001 - 1500 37 17 40,9 . 28 13 46,4 1501 - 2000 25 5 20,0 38 13 34,2 i i 2001 - 2500 20 5 25,0 42 8 19,0 III enfermos t - y , I T 0 t a 1 82 27 32,9 108 34 31,5 _I Total - Yo - N2 Tabla 5 7 35 Mortalidad de prematuros con trastornos respiratorios severos segun peso 01 nacer y sexo Servicio A. 19 .. 4 35 lOf I 70 M u j ere 8 11 0 m b r e • 6 -- Peso al Vivos Muertos Total Vivos Muertos Total nacer N2 % N2 % N2 % N2 % N2 % N2 % 1001 1500 20 54 17 46 37 100 15 54 13 46 28 100 pello Ql nacer y 1501 • 2= 20 OC) 5 20 25 100 25 66 la a4 as 100 I 2001 - 2500 15 75 5 25 20 100 34 81 8 19 42 100 , a tabla, Tot a 1 55 67 27 33 82 100 74 68 34 32 108 1m 19 , Caso Especial Cuando una misrna unidad de observacion puede presentar mas de un atr!' buto de 10 e,cala de clasificacion. se present a 81 problema de que la SUg total de casos no \ :orresponde a1 numero de unidades de observacion. Est sucede por ejemplc, a1 haeer una distribucion de frecuencia de slntomas de complicaciones lie una enfermedad, en que cada po"ciente puede preasnta mas de un sintorna 0 comp1icacion.·En estos casas debera especificarse en e El grafico e, titulo que se estan clasificando slntomas y oelarar con una nota a1 pie efin de obt r d · . 'h 1 bl ene un proce lmlento que se usc para acer a ta C.' facilite BU rapid Tabla N!! 6 frecuencia de sintomas suhjetivos en 126 enfermds con cuadros neur6ticos y neurovegetativos funcie- Cosulstica X ano Y Cas S.lntomos N£ .. Tension 96 Angustia 78 Insomnia 70 Folta de memoria 61 Nerviosismo 52 Astenia 53 Hipocondr {a 47 Depresion 47 Cefalea 38 Inhibicion del contacto social 15 . (*) % sobre el total de enfermos. o s % 76 • .2 61.9 55,6 48,4 41.3 42,1 37,3 37.3 30.2 1l.9 i Los objetivol de f recuee yestigadas en las Requisitos genel, 1. Pebe ser sene No debe ·tener ila vista ni meno: 'sentada: titulos. 2.. Debe presen to I Se evi toran d (*) . : . Ejemplo: Ba; vista • , I , ; i , TASA 200 150 100 50 o Y I 81 La SUD:lQ numero de casos es 557 y 9orresponde en realidod 01 numef de' sintomas·· quehubo. El tl tula es:peqifica claramente 'Cj,ue se trata" de slm tomas en 126enfermos. Ademas se hace referencia a troves de 10 11amada (I frente 01 porcentaj" a la nota aclGlratoria al ·pie de 1a tabla •• En este caso no se coloca total bajo las columnas: 2 3 4 20 En la compar de un matiz sobrE ique entre negro' fpareceran menos j i Ej emplo: Los fal Bo ! •. lr rna. d. un atri .ma de que la au observacion, Est lcia de slntomas :e puede presenta! GRAFICOS specificarse 6 1 E1 grafico as 10 representacion de datos numericos en e1 plano con e1 lno nota 01 ple elfin de abtener una impresion visual de conjunto material presentado que foci lite su fopida comprension. '. , Los objetivos de 10 mayoria de los graficos son representor distribu- ciones de frecuencias 0 mostrar 10 asociacion entre dos 0 mas variables in- V8stigadas en las unidades de observacion. ermos nei' Requisitos generales de un grafico ,1. Debe ser 8enci110 y autoexplicativo. i la No debe ·tener mas elementos que los que puedan'captarse comodamente con . vista ni menos que los que permiten 10 identificacion del material pre- _______ --c:-\sentado: titulos, escalas numericas y leyendas, 2 .. Debe presentar fielmente los hechos. a 50S Se evitaran distorsiones por escalas exageradas. % (.) Ejamp1o: Baja da un indica en e1 lapso de 10 anos desde dos puntos de 76,2 61,9 55,6 48,4 41,3 42,1 37,3 37,3 30,2 11,9 VISION DEL SENOR A VISION DEL SENOR B rASA 200 190 160 170 realidad 01 numerl e se trato' de sin! de 10 llamada ('1< abla, • 1 BO.'C 0 2 3 4 5 6 7 6 9 10 ANO I , En 10 comparaoion de grupoa debe evitarae e1 predolDinio de un color 0 Ide un maliz sabre otro. Es preferible e1 contraste entre distintos roy ados que entre negro y blanco ya que en e1 61 timo caso las secciones blancos 0- !pareceran menos importantes. i Ejemplo: Los hombres parecen menos importantes en al grafico A que en el B. 21 .. , , " j. I (ree, GRAFICO "A" DISTRIBUCION POR SEX OS DE ENFERMEOADES C Y D c o Pif) IIUJERES o HOMBRES Ire ' . • GRAFICO "S" DISTRIBUCION POR SEXOS DE ENFERMEDADES C Y 0 c o IIUJERES HOMBRES '. Grat i cos de Oi Barras simplel Se usa para p Bcales nominal. ( Coda categor i.e lie a el numero ( os barras es cant elas de. in tervcil, prras hneales, . El orden de 1 uen·cia mas logic recuencia de sin· aoion por Erecutt : umera de hijos d. e las barras s eg Coda barra del enta. Si los t . ransversoles si :0' colococ16n de I 110 dificulta la t08 p . nUUle rOB sob e ellas. . I borras pu jiindolas de negro \referencia para luhlicaciones yo En los graficos de barras los rayados se haran de preferencia color debe ser porque las rayes horizontaies a verticales distorsionan e1 ancha y e1 largo .Jemplos: de 10 barra. 3. Debe sac agradabla a 10 vista. Se reeomienda en 10 posible 10 proporcion de 1:1.5 entre 10 longitud de los ejas que cor responde aproximaclomente a lo seecien aurea. Para categorias de una miama variable ft!"presentadas por barras se usara un solo color 0 un solo tipo de rayado ya que la profusiQn de colores 0 ra- yodas fuera de resultar antiestetica quita claridad a la presentacion. El grafico debe ser limpio. de trazos netos. titulos escritos con .tetra caligrafiea 0 a maquina y 1eyendas ubicadas en lugares apropiados. [tapas en la construcci6n.de un grificD 1. Definicion de objetivos. Se debe especificar que se deBeo moatrar. para que, a quienea y donde. 2. Eleeeion del tipo de griifico. Depende de las escalas de clasificaeion de los datos y de los objetivos del grai leo. 3. Construccion propiamente tal. 1- Decision sobre tamano. y proporciones. Adaptacion de las eReolas Q aa- tus proporciones. Inscri'pcion de puntos y dibujo del grafico. Colocacion de Titulos a1 grafico y a sus elementos. que especifiquen claramente 10 que se esta presentando. Tipos de erilicos La mayoria de los groficos utilizaclas con fines de presentacion de tos estadisticos se bas an en un sistema de ejes perpendiculares orientados ell los que se inscr iben las esealas de clasificacion a las f recuencias. 22 . , I SIIHOIUS IIIETEORISIIIO INSOMNIO DOlOR AmNIA £111.1&10S eEfALEAI ""USEAS PAlPITACIOH[ S PIAOSIS __ · __ ·_'_·_·_. __ . ...... _ .. .......... -... -.. --.--.. ..... -- ...... -.. _._.- --- :-...., · .,, - ... .. •• '" ...... • . , • ..if·" • .• s.; . it , ICO "S" r------· , Graficos de Sarras Barras simples Sa usa para presenluf 10 disll'ibucion de fl"eCllencius dto! variables en Bcalos nominal. ordinal y de in tervalos discoll tinuo. IN POR SEXOS JADES C y 0 t Cada categoria se r epresenta por una barra cuyo largo indica 10 frecuen- \ iO a el numero de cases pertenecientes a eso categoria. E1 cncha de as barras es constanta 01 igual que los espacios e"ntre las barras. En es- o KOMaRES erencia ohlicuos anello y el largo ·e 1a longi tud de •• harras se usara de colores a ra- "esen tacion. .eri ' <; con letra )pic.. ..i. quienes y donde. de los objetivos las escalas a es- :lCO . Colocacion :::JarCUDEto te 10 que . alas de interyalos discretas con muchas categorias., es frecuente el USa de arras lineales-. . I E1 orden de las borras puede estor dado por su longi tud a par 10 se- uencia mas logico de las categorias. As.1. por ejemplo al r e presentor la recuencia de sintomas de una enfermedod podria 5tH mas adecuada UDa orde- OClon por frecuencia, en cambia. s1 se desea representor LJ frecuencia de pmero de hijos de los mujeres de una poblac ion. sera mej or una ordenac1on e las barras segun .es te nume fa, Coda barro deLe tener un litulo que especifique 10 categorio que repre- ente. 5i los titul os son largos conviene hacer el graf ico can borros ransve rsaLes s1 son cortos se pre fer iran barras ve:rticales . Debe evitarse a colocaci6n de claves a las barras con una interpretac ion adjunta ya que ill? 10 rapidu c;:ompnlnliion dtll 9r6f100. No deb&ll colocarae titu. 08 p numeros sabre '0 dentro de las borras porque distorsionan 10 magnitud eellos. Las borras pueden insc ribirse marcando s610 su contarno 0 bien relIe- 'cndolos de negro a con rayados ablicuos. Las barros en color se uson de referenci a para graficos de presentacion 01 publico y no convienen para ·ublicaciones ya que el casto de impresion es alto. Tanto el rayado como I color debe ser el mismo para todas las bar-ras de este tipo de grafico. jemplos: I $ IIITOMAS IIEHIIRISIIO 1111"1110 OOLoa ImNIl [RUe IDS tffAlUS KlUSEAS !IIrl*ls 1M 100 ems Of COLON IRWlilE fREGUENGt' II III 20 30 411 50 811 10 60 ..:::::::.::::'. ':f,·{t·J ::: € .:J PAl P II ACI ONt s ::' .. "ROUS OISIRIBUCIOM 01 JOO 08URas S!&IIN NomO Of H liDS flBRICI I OBRERAS .. 10 8. 0': SO .'} ...' .... " " 10 10 :} de do-I .llares or ien tados frecuencias. 0 IIUIIERO DE HilUS I 23 • "',' " ..J , Barras agrupadas .ubdlvldl Se usa para mostro' 1u (lsociaClOn 0 relacion entre dos 0 mas E. un grafie· en escalas nominal y o,di.nul y en algunos cas os de escalas de intervalblatlntaa catego discretas. ' arra porque se Se dibujan grupos de barras que correspondan a subdivisiones de en algulna clasi f icacion mas generaL ' peee a uno e 0 : Sl queremos representur por ejemplo e1 resultado en terminos de q se y musrte de tres tl'oturuientos: A. Bye, podremos construir parQ 'oada' rt-rjaa 1. una • 1 sultado e1 tr io de barcas ' porrespondiente a los tratamientos. 0 bien emp 0: truir para cada e1 par de borras correspondiente a los difere tes resultados. Las barras de coda grupo debe ran tener rayados diferent para cada subdivision con una interpretacion de la.clave en un lugar apr piodo del grafico, Sera preferible hacer 10 clasificacion priDiaria por variable con maS categories con e1 fin de disminuir el numero de claves n cesarios para 10 interpretacion. 0 wenas que can esle agrupacion se pierd claridad en 10 deruostracion de los hechoa que se presentan 0 no se cump con e1 objetivo r ea l del ynlfico. r::ebe tenerse pres'ente que las variables cuyacomparacion sea de llIay in teres se deben co l ocor dentro de un mismo grupo de barras. Ejemplos: La relaci a n entre c ondiciones higienicas. edad y frecuencia anticuerpos paro virus de poliomielitis puede estudiarse en los dos graf cos que siguen. El grafieo A destoce 10 comporacion entre condiciones gienicas. e1 grafieD B. 10 comparacion entre edacles. Debe notarse que eate . coso la variahle" edad, que por su noturaieza debiera estor en eseG con t inuo. se mane j a como discon tinua can 3 grupos en que e I ul t imo no t if limite superior deCinido . CRIFICO "I" CRIFICO "B" .; .t 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 o PORCENIAIE OE IMOIVIDUOS COM INIICUIRPOS SECUN CONOICIONES HICIENICIS IN OlfiRINTfS JOIOI S PORCINIIJI 01 INDIVIOUOS CON INIICUIRPOS SIGUN 1010 IN DlflRINllS CONDICIONES HICIINICIS 2. Graficos SI 100 so '0 40 10 I DO 80 60 ' 0 10 . Por su . ogro{ I::lon 01 publico. tros. con 10 1 il total. Es t( circulo total q rrespondien te. Ejemplo: 0, 9 10- I 9 1010 10 Inil S SUOIA HIDIINI KIGIEH. E 8UINI HIGIEHI lSI Mill HICIINI . __ ._. __ ._------_ ..• _.,--- - - - 24 D·9 anos 10'.19 ''os _ 20 IUS ailos frat. A ! ' . , ..... ..-_ .... , '" . _."' .. M ..... __ .... ,",.""".,. . ' . ..... ....... "" .... - ...... - It .. I I I parras subdivididas d ' 'bl\ Es un grafico muy apropiado para mostrar 1a compoaici6n proporcional de as a maa var 10 d' , "N' h "d t bd' .. d d de interval'blat1utas 1 0 colnvlene "mas E e I es su .1Vllslotnes, de. cOda \ arra porque se 1 to a comporoClon. sta especla men e 1n lca 0 ,cuando en algunas categorias a1 100% de las unidades de observacion parte- Ibdivisiones de a uno de los subgrupos. caso en e1 que para un grafico de barras agru- t'r inOB de mejotpadas se encuentra 61 de no tenar fracuencia para una d. laa ba- t e .m do' : r rra. de una de laa categon.as • . rU.lr ppca . co . j'ompio: Ll:1n tOB. 0 blen con , ' iente 0 108 difer royados diferent Ie en un lugar apr :i60 orimaria por ' num de cloves gn'lpacion s e ple rd . :Ii tan 0 no se c ump roc ion sea de may )(lrras. y frecuencia se en los dos gr61: tre condiciones Debe notorse que I tera en e el ultimo no COH IHlICUERPOS ES COH.OICIONES S % 100 90 so 70 60 50 40 30 20 10 o A PORCENTAJE DE MEJORIA DE lA ENFERIIEOAOX CON TRA- TAIIIENTOS A, B, C Y 0 8 C o TRnAlI1 ENTOS MEJOR IE] IGUAl '\1 .• ,;r , ....... " ,.,,, . " Por 8U agradable aparlenCla Ion adecuados sob're todo para 10 presenta- ;016n al publico. Sa uti11zan para los misinos casas que los gr6ficos de ba- trras, can la limitante que toda frecuencia debe expresarse como proporcion ,del total. Esta proporcion determina el Cingulo con respect" a los 360 v del ULI HIGIEIE J S total que debe limitar el sector que representa la frecuencia co- rrespondien te. " jellplo: . RESULTADOS OBTENIOOS CON TRATAYIENTOS A Y 8 fTI - BUENO m\1 MOOERAOO II MAlO Trat. A T r at. 8 25 • I , I 3, Hislogramas con ten, p1egir como unid, s. uaan para pr ••• ntar dato. en •• aala. d. intervalo. continua.. Con)$ vaca. r •• pect aisten en una aerie de rect6ngulo8 adyacentes cuyas 8uperficies J 10 frecuencia en cada categoric de 10 eecala de clasificacion. an 0 Cuanda el material de estudia esta clasificada en intervaloa igualea,altura de los re, los rectangulos tienen todos el miamo ancha y au altura corresponde direc. ______ __ tomente a 10 frecuencia observada en e1 intervalo. Para 10 distribucion por eclades que se muestra en la siguiente tabla, e1 grafico adjunto es un ejemplo de histograma. Edad , (1) o 4 5 14 15 24 25 - 39 FRfCUUtCIA , La posibilid ltidadea hace nec] I1nidad de in terv dable agregar un para u1 f FRECUENC '" '00 f " " 1\ , 10 " " Ailos Of eOAD ! 5i en el ejemplo anterior, en vez de 10 'clasificacion en grupos quinl quena188 in teresaran los 8 iguientea in tervalo8 : 0 .. 4. 5 .. 14. 15 .. 24 Y .. 39. los frecuencias en estas nuevas categories seran 10 sumo de las fre. cuencias que existion en las que le dieron origen; Edad en onos Frecuencla 25 1 20 15 1 10 1 51 01 I : 1: m 1 Cuando una I 15 24 160 Hene limites 25 39 132 10 "ltilla cl V h ' 1 't 1 d' 1 ' , • d ,J r!lc'u!lncia !In e J amos que a ora os 1n Brva 08 son eSlgua es, SltUQC10n que se d 1 . d 11 mostrar en 01 hiatogramo correspondiente 0 troves del diferente ancho I(Q °t a Pdl!! e 1 • 1 bPI • 1 f.-on orno e eaG ! r ectangu as 0t a 1 rra f s. que 105 una sluper 1al limite no def Cl e que represen "e a recuenClO rea. sera necesar!o oJustar su a tura a ' ' ancho de los El grafico resultante se llama llISTOGRAMA A)USTA DO. Como primer paso en su construccion se elige una unidad de interva11 26 . . _-. __ ._- _._--_._--- - -------_ . . _._ .. . --- -.-. __ .. __ ......... ... ... - •... . - - ._- .... _- -- I . . ' que e.te centenida en tedas las claBe.. En el presente ejemple pedemes \818gir ceme unidad, un intervalo de 1 ane, que eetara contenide 5, 10, 10 Y . C 15 vee .. uspeetivamente en las aucesivas clasos do la tabla. Las frecuen- I continuas. on· , b d di ·d l' d ·dad · ·d d r" . t loias 0 aarva as 86 VI en por e numero e unl as contenl as en co a ca- represen an,"t8 g oria, dando 10 frecuen9ia por intervalo8 de 1 ano 10 que determina la -t lon . 1 19 al.. altura d. lei r.otan9ulel. erva o. u • . . ;orresponde dirac - I siguiente tabla . Edad , Frecuencici Unidados Frecuencia (l) (2) do 1 ana ajuBtada a (3) un aoo(2) / (3) (4) o - 4 125 5 25.0 5 - 14 192 10 19.2 15 - 24 160 10 16.0 25 - 39 132 15 8.8 , La posibilidad de exprosar laa frecuencias ajuBtadas por diferente. u. necesario que en a1 eje vertical del se 1a ·unldad de Intervalo en 10 que se expresa 10 frecuenelo. Ademas es recomen- dable agre9ar un rectangulo con una unidad de superficie traducida a fre- puencia. para una mas facil interpretacion del grafieo. r I fRECUENCIA POR 1 NTERVALOS DE 1 AND. 25 20 · 15 · 10 · o 5 PERSONAS on en grupos qUiP '! - 14. 15 - 24 Y 2t u suma de las f 5 - f r I f I o o • 5 10 15 20 25 35 40 ANOS DE EDAO Cuanda una 0 ambos closes extremas de la distribucion de frecuencias no \tiene limltea preciao8. como aucede a veC8a con distribuclones por edod en ,que 1" ultima clase puepe ser por ejemp10: 65 y mas aoos. debe ajustarse 1a d b 'frecuencia en esa clase a un intervalo arbitrario que debe quedar especifi- que se h e d fcado al pie del grof ieo. Ademes se hara notar eata 5i tuacion , dibujando a1 dlferente anc 0 f,'pontorne de ese rectangulo eon linea interrumpida 0 dejandola abierta hacia :engan una super 1 1 limite ne definido. . IUS tar au altura a ' IIIS'I' OGRAMA A]USTA ID id"d de in torval , 27 • / ., " l :i , " j -';O' j " I '. , 4, Polfgonos de frecuencia f r. Cuando I. t de8conoce 10 in Sa utilizan de prefere ncia para la comparaclon de distribuciones de ,.dependiente cor frecuencios en escolas de interval os conti nu".. Eato vale sobre Son una variedad de histograma simple a ajustado en que e l contor110 de do a otro auele 10. regton9u1oa •• ("t) " mplQzu por un poi.1gono que \lUe 108 punto. medioa dfl 81 pc:lra la sus hordes Buped o res . De e sta moner o Ius de l os distin t os r ectangu- varios fenamenc los se compenSQn aproximadamente . color. Cuando los grupos a c omparar s on de taDiano dife rente l as frecueneias I Cuondo se c absolu t as de 10 distribucion debe r an conve rti rse en fr ecuenc iusre lativas, se usaran esccd por c ent uales. relativos Es eonveniente que <:1 eomi ell zo y el fina l de l poligono llegue 01 punto l godtmieo. e.on media del primer y {ill ,lltla i ntervalo e n que s e observur on fr ecuenci as res- ; cala logar ftmic pec tivomente. Lo de I ns lineus hosl u 1u fl' oclltl nci a 0 a u el .· lor de Ie variQ punto medic de l os udyacentes puede 11evCJ r a una r e pre s e ntacion 1 mortalidad por falsa de loa hechos. Lsta ocurre BoLr·e lodo c uaudo 10 eecala har-izontal ' fi08 .e puede ex c omienza en 0 y c uando ·lu pnJ l ongac i on hac ia 10 jzqui e rda implic ari a 10 cada anD respec exi stencia de val ore s negat ivQs, 10 que a veces es imposib.l e . . so ambos lineaE Ejemplo - . Los grafie, r infontil y de I , El grafico PESO DE ADULTUS HORMALES Y DE AOULTOS HIPOTIROIOEOS FRECUEHCIA NO RMALES HIPOTIROIDEOS PESOS 5. Graficos lineales I en esce 10 logal boe indioea. I I I \ t Eston indicados cuando sa debe represe ntor 10 entre dUB varia .. bles en· escala de int e rval oscontinuaS J por e j emplo : c oncentrac iOh :·;\lug ulnea en funeion de desis tusa de mo r talidad infanlil a tloVOt:i de los 10 a fios. e tc . , La varia ble Independi e nte se inscr i be e n e l ej e ho ri z ont a l y 10 va riaJ ble e n el e je ve rt ical. La escula en e l ej e vertical debe co- me nzar en O. S1 est"b i mplic a que un s egmento impor tont e del e je no s e uti- li za y que 10 esca la pi erde det a lle. se podro inter r urupir este ej e medi ante d as I1neas. Fran te al valor de ·10 variable i ndepe ndiente de una unidad de cian se inBc ribira con un punto. e1 valor de 10 variable dependiente rrHspond i en t e . Los punt a s c on t iguo8 se unen por I1neas rec tas. 28 t ( .. . ---.-.-.---.--.. -----.-_ ... ___ : ____ ... _ l .. ", .•. - --- '- - - - --------- ------- Cuando ae -tiene una aerie de intervalo. iguales y por algun motivo .e deBconoce 1a informacion frente a a1guno de loa valore. de la variable in- \ ' dependiente conviene indicar eate hecho cbn una interrupcion de la linea. _ Elto vale Bobra todo para •• ,1 •• , crono16gicaa en que los ' datos'de un perio- do a otro .uelen aufrir qrand •• fluctuaclones. Jistlibuciones de Ille contorllO de puntos medics de t stintos rectangu- II S1 para 1a misma escala de -la variable independiente se quieren mostraT varioa fenomenoa, cada uno se inscribira con lineas de diferente trazado 0 , color. . e las frt!Cuencias :IlenG i os r e l at i vas. i Cuando se desea conocer la conducta del fenoweno en terminos absolutos Ie usaran escalas en ejes. Si se desea investigar cam- biOI de la va[iaQl. dependiente •• a util usar vI 9rafico gar1tmico. con el eje hori.zontal en escala aritmetica y e.1 vertical en es-. cola logarItmica. £1 lJ.ltimo 'obJetivo -tambien se lagro expresando cada va- lor de 10 variable dependiente en relacion a un :valor base. por ejemplo. la mortolidad por enfermepodes infecciosas y 10 mortolidad por cancer en 20 0- nos se puede expresar en terminos del porcentaje que son es tas mortalidades cada ano respecto a la mortalidad del anD inieial del periodo. En este co- so CI.QlOOS lineas par ten de 1 I 10 lleglle 01 pun to f , f r el..:uenc ios res - \-- r e cuencia 0 e n el IIlU r' >oresentac ion eSC hor i zan tal I fda 'i lupli c aria 10 . o::iible. I :os I ;n entr,_ dos vOI-io- wtraciol1 :"unyuinea .il a de los .zantal y 10 varia- I I vertical debe co- : del aJe no Be uti- r este eje mediante ' i unidad de obs&,-"a-" 1e dapendiente CL- ectas. Los grafic08 A y B se bason en los mismos datos. Tasas de mortalidad infantil y de mortalidad general en Chile a partir de 1930. El A en eacalas aritmetica8 mueatra los cambiol ahaoluto8, al B en eacala logaritmica para las tasas, mueetra 10 reduccion relativa de am. bos indices_ '" '" ". '". ". '" '" 10' .. .. " u fl AFlCO A JJ If It 4.l 4. S U 51 '4. 51 6Q 6) '6 69 n AA:O$ 1000 200 ' 00 .. ORAf"ICO e Jl 36 3i 4.2 .. s .. , 51 S4 57 60 61 66 6\1 12 "NOS 29 ---_ ... , , I I I I I I I I I I I I II , ' ... 1, I , ! I " 8. Griff 008 da 00rralaol6n 0 Dlaaramal de dispersion , Obedece a 105 mismos principlos que 106 gr6:ficos lineales, pera en V4' de tener una observacion frente a cada valor de la variable independiente pueden tener varios. Sirven para estudiar la relacion entre dos variable en escala continua. Los ejes vertical y hO'rizontal deben tener aproximadamen'te la mis. longitud y s610 comprenderan e1 intervalo en que existen observaciones si necesidad de indicar ' un corte de los ejes. Lospuntos no se unen entre ai. Lo que se observa en estos graficoB i 10 forma de 10 nube puntas: mientras mas se acerca a una distribucio lineal mas estrecha es 10 relaeion entre ambos variables. Ejemp1os: 4 r VARIABLE Y • • •• • • GRAflCO "A" • • • • • • • • • • • VARIABLE Y GRAflCO "B" • • •• • ••• ••• •• ••• ••• • • • • i I f r , VARIABLE X VARIABLE X, l f r f Se observa que 10 relae ien entre var lable X eYes mas estrecha en e' grafico B que en e1 grafico A. 1. Pictogramas Se utiiizan paro ' presentaciones 01 publico 0 fines cos. en que el objetivo principal es 10 atencion. ! I pl'opagandistt- Se puede representor , por ejemplo e1 numero de defunciones por ataude! 1a frwcuencia de enfermedadea cardiovaaculares, hepatica. y cerebrales pc CiluB de corazones. higados y cerebros en que cada uno de estos 6rganos re presenta un determinado numero de enfermos. Se puede comparar 10 poblaciO de distintos poises por files de hombrecitos eQ que cado uno represento VQ rias miles de habitantes, etc. Ejemplo: representando cada 5% de tasa de letalidad por un ataud completo 30 Edad I 0- 6-' 16-; 31-2 40-€ . Las indi 9 continuaci6n j las escalas c Nominal Ordinal Intervalo Intervalo ... . ," .. -.... ...,.. ...- .... -' .- .,.' __ .... ...... ........ ---. .. -.--.----.-.- . -_.- - - -- ----_ .. _ .. _ .. _- --- ------_. -olea. pera en v', .:' ,Ie independien t . ' tre do. voriobl Idamen"te 10 mism ' obse rvacione s 8i . estos gr6f i cos _; una distr i bucio / ;,' s . iRAflCO "0" • • •• ••• • • • • VARIABLE X \ I 6s es lrec ha e n e les propagandis t i " .one s par otaudes ': , y ce·r e brole s pot , . es t os organos Jural' 10 Jno representa vaf .m atQud comple to TASA DE LETA LI DAD POR GHU POS DE EDADES Edad en Aiios 0-5 6-15 16-30 31-39 40-65 2,5% 5,6% '1eJ!j =13,7 % 'I = 29,6" • Las indi cuc l enes mas comunes de los graficos anali zados se presentan a continuac i on en un esquema que con templu l os obj et ivos de los graficos y l as escalos de c i f ieaciOn. . OB) ET I vos : r epresentor ESC AlAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS f--- -----.- - - -- Nominal Ba rras silUples e Ordinal Pi c togramas Intervalo discre te Intervale COllliUUQ IHs togramos 0 Pol igollos de f r ecua llC in L-_____ ___ . .. __ _ 31 ASOCIACION Barras agru- padus Lineal 0 Conelacion • ., .t .,. •.. __ .. . .. .. INDICADORES DE SALUD TASAS. RAZONES Y PROPORCIONES Cifras absolutas y frecuencias relativas I Las estadisticas que resultan de las tabulaciones de diferentes tipo[ de datos (nacimientos, defunciones, casas de enfermedad, consultas, egr& 50S hospitalarios, etc .. ) proporcionan numeras absolutos que son muchas. VI ces utilizables directarnente en Sa Iud Publica. Por ejemplo, el numero & con&ulta8 otor9adas en un consultorio externo permite al administrador _ aalud eatimar la de recurS08 necesario8 para dar una atenc16n ficiente; e1 nUmera de nacimientos es un data v,alioso para los programai de atencion materno-in'fantil; el numero de egresos de Wl hospital muestrl el volumen de hospitalizaciop y sirve para calcular y rendUment98 Sin embargo, a pesar de 1a importancia de las eifras absoiutas, las 6JteC'.uenc.itt6 Jtet'iLttviU las que tienen una mayor utilidad. esta .. nominacion se incluyen las tasas, proporciones, porcentajes y simples zones. Las relativds tienen 1a ventaja de facilitar 1a pre· sentacion de las relaciones que existen entre dos 0 mas datos y haeer mi· seno"illa 18 comparacion de resultados. 1. Razones !. Son cUQcientes entre dos cantidades de 19ual 0 distinta naturaleza. diean cuantas veces sucede e1 hecho que esta en el numerador can res pecto a1 hecho esta en e1 denominador. Ejempto : N0 de hombres Razon de masculinidad = N° de mujeres Indica cuantos hombres hay por cada mujer. 5i se amplifiea se sabra cuantos hombres hay por cada 100 mujeres, en Chile bia 96 hombres por cada 100 mujeree. , 5.521.067 1 5 Ch11e 1982 5.754.373 x 00 9 .9 O.vW ejempto: por 1982 100 h. \ En e1 programa tre controles y Salud en 1982. de atencion maternal se desea comparar la consultas de morbilidad otorgadas en dos relacion en' SERVICIO ATENCION DE ,SALUD CONTROLES ORIENTE 75.154 SUR 72.029 MATERNAL CONSULTAS MORBILlDAD 72.568 B7.041 Servicios d t· . t, ' I i , E1 examen de estas cifras absolutas hace un poco diflcil la comparai.· 016n. En una forma grue8 ••• puede decir que ambo. Servicio. 4iea igual numero de controles y que, en cambia I e1 n6mero de consultas p: morbilidad fue muy superior en el Servicio Sur. Rasulta mas clara I comparaci6n a1 se calculan los cuocientes entre al. nGmero de contr! les y e1 nGmero de consu1tas en cada uno de los Servicios. Servicio Oriente 72.154/72.568 = 1 control por cada consulta. Servicio Sur 72.029/87.041 = 0.8 con troles par cada consulta. 32 , { Sa establece ta que el Se Propore i ones soh cUOCieUt.09 fraccion que senta con re sultado de e que es fa 60 Ejelllpio: En contro16 e] an .1 mi .• II,,"1 gual edad. cional se pu de esta Regi De este modo en cont:.t.·ol 11 na. Es importan t dar como los modo e1 resul merador tiel} Los , ta ser1es que t : que en este conoce r si 1 tancia CQll r 110 calcular res de 28 d'ii no. PROVINC' CONCEPC: En la presentan el i la pr9vincia l , , l imitaciones I A pcsar tudian, por i des en un pa i . .... ,-. , . _ . • . _. r ..••• .... ..• __ ... ___ .. .. ______ diferentes I consultas, egre1 que son muchas.v! nplo, e1 numero l administrador una atencion sw ara 108 programa . o he .tal muestr 7 rendbma nt 9 8 s absoiutas, so idad. Ba je esta d :. ajes y simples ra facilitar la prel' datos y hacer rna nta naturaleza. D numerador con resl I .mplifica per lOO( en Chile 1962 ha', :ar' relaci6n eJ a Servicios S IV iflc il 1a camparat s Servicios dierQ erc de consultas esul ta roSs clara .numero de contrl rvicioa. " cada consulta. ' por cada consulta .... · - -.--,.-- -- . .••. ,._. ",,- - ---. _ .. ·-'-·· ....... ---1 Se establece qUI;: el Se.("vicio Ol:ieHtE: 110 dudu ulas pur UOIH;.ul ta que e1 Sur. Proporciones Son c llocienl es entre CaflLid c.dt..:b lJt,; j yu"l II .:.i.LHt "d.l I,. : :!.... '1 a trboc16n yU\; Ulid J dtl tJU\:u!J\.l:ll t.J.UO l j CJHl,"i:lIlI C I. IIlWllo.\l.·cHJvJ:: )."t::pre- st:nta con 1 Lo tal dt.: de iqudl indo le. Cuaudo el suI tado de cuoc se Hul tjpl .k.;l pur 100 j;"e:;;;ulld. un porcentaje, que es ea. nO'wla Iwhi.tuaf.. de t:!!::Ita l: elativd. Ejelllp.iu: Ell Chile: !;{I 1982 el Nac.i011dl Se';:' vivius dt::: Salud controle el estado nUl:.l"leiollal de uiiios me lh.Jces de 6 dnos. En el mismo ana 1;;.. !<t}yion HetroV01itc1lla con tro16 390.464 ninu:=; de i- qual edad. Como]a tCti UilCl pan.of.; del Sistema Na- c1ol\ctl ae put:de calculd.l.· t.:1 qUi.: l : t:lJ)':\.!S..:lltCt\1 10:3 COil troles de esta Region con rt;!!";pt:::cto i.J1 tutdl (j ••;] 390.464 - ---- --. X 100 1.160.813 De este mode. se salJ€: que 34'b del Lotal U1I10'::; uk;Ch)L·\ .!::I de seis anos en control nutJ:it.:.i ollu l E::n e1 pais, !'t3:l:: t\;.;(n:Cc(} a 10 HCIJi6n na. Es tai\t.u los he:chos figunm em el numera- dar como los d..:l dehominador deuen de igual naturaleza. De este modo el resultada expresa la importancia relativa que el data del nu- merador tiene con respeclo al total. Los pol'Centajes tienen la ventaja de pe:rmitir una comparacion facil de series tienen totales diferentes, al referirlos a una base comun que en e:;;te caso eS 100. Si supO.l1emCl!::i dos Pr"ovincii:l.s e n que se desea CC)110Cer ::;i la lnoI:t dl idd.J del menor d{;: :.:!8 dias es en impor- tun..:.:ia COlt l:(;SPc.cto al total uinos menores de 1 a.ilu, es lnas sene i- 110 cdlcular 10fj POJ:ct':lltajes qUe l:"epri::::tCntCin las de meno- res de 28 dids con al lltLa l de defWlciones de de 1 a no. PROVINCIA CONCEPCION BIn IjJO ----------.----. '--. __ ._-'-- ---- DElo"UNC ION E8 DE ME:NOI<ES DE 1 ANO 502 DEF'UNC10NIlS DE DB 28 Gl AS N° 48,2 4S,6 -_ .. ---- - .-- - -- . -- ---------... .. _ ..•.. _------_ . . . - -- Ell la provincia lie COllCt.:I)cion deiullc.liones de menOl:es de 28 mas re presentan el 4B/ lotal de in£a.ntil es , en canlbio en ) Ii provincia de ld.o-Bio )':'epz:esentan .:1 45.6%.; limitaciones de los y dd cii·lculo dl': t.sas A peSdl" de .!;:)u uliliddd, los pD.l:cenLajei. lii.!llt:l1 liml.l.a...:.: i ol"lcs . tii se es tudian I i'''Ji" ejelll.l:J1o I 1 <I::; mUer-tes pur ac..:ciucllltt::S t:u doS..i g.l.-Up0S de e:da:" des ell Ull paIs X nos con 10 silj"l..tieuLe: GRUPO DE TOTAL DE DEFUNCIONES POR ACCIDENTE EDAD DEFUNCIONES N' , 15 a 24 48 . \199 12.763 26.0 65 a 74 . 306.025 11. 425 3;7 En este caso podria concluirse que los accidentes son un peligro mas; serio para l os javenes, en l os que mas de una c uarta parte de las de- funciones 5e debe a accidentes, que para las personas de mayor edad I 8n las que l os accidentes causan menoa del 4' de laa defuncionas. Las cifras anteriores no "expresan realmente e1 JL..iugo de. molLiJr. por &£ c idente, sino 1a i mportanc ia relativa que esta c ausa tiene en e1 to- tal de de funciones de cada grupo de edad. El conocimiento del rlesgo no s e obtiene con e l calculo de l os porcentajes ; para ella hay que in troducir en la comparacion un elemento importante que es 1a poblaci6n expuesta a1 riesgo de sufrir accidentes. El resultado que se obtiene al dividir el nurnero de muertes debidas a accidentes per la poblacion expuesta a1 riesgo de sufrir un accidente as 10 que se denomina tasa de mortalidad per aeeidente . 3. Tasas Una tasa es un e u ac i e nte farmado par tres elemento6: -Un numerador, que consiste en e1 nurnero de veces que oeurrio un terminade heche en un periedo de tiempo dado y en un area da. Par ejemplo , el numera de cases de una enfermedad que se registr6 en' un area durante un ana. ; -Un denominador, que es 1a poblacion expuesta a1 riesgd de que 1e ceda e1 feuameno qUL aparece en e 1 numerador. - Una consta·l te per la c ual s e multipliea el cuociente. Debido a que e1 euociel te resultante en una tasa es siempre de val or inferior a la unidad, este se multipliea par 100, 1.000, 10.000 0 100.000 de modo de tener cifras s upcriores a la unidad, 10 que fac ilita 1a interpre w tacion. En efec lo, e s mas fac i1 entender que 1a tasa de mortalidad de una region es a par 1.000 habitantes que decir que as ,(L008par h! Requisitos de las tasas nec.ulllLio que en UIlil .taM haya eoneolLcianc.ia. en.tILe e1 numeIW.dolL y eI denominadolL en tres asp e ctos importantes: la naturaleza del hec ha, li zona geografica y e) periodo de tiernpo dentra del c ua l ocurre e l he· c h o . En relacion ,,: ()II 1a , naturaleza del hecha, debe u s arse en e1 denomina dor 1a poblaei6n de 1a eual hays emanado e1 hQcho ael numeraaor. A.1, no pedr1amos tenez' I llla tasa de morta11dad per cancer de 1a pr6stata 8J en e1 denominador ,:'Jgura 1a poblacion femenina. El area geograf i c r; Jebe ser la misma para el nwnerador que p ara e1 dE nominador . Can respecto a l t iempo , l as tasas se calculan generalmente sobre una base anual. Se presenta un pr oblema en auanta a1 ·denominador de la ta sa , ya que d e bido que la poblacion vari.a a 10 largo del ano , puede; hacerse d1stintas ,;.;; timaeiones de ella. 51 la pob1acion se estima a1 34 comienza del . en esta pob] te e1 afio . fio sucede 1, llecido y 1, De aqui que dia expuesti 30 de junio Tipos de En general I a. Tasas crt. b. Tasas e Sf Cuando en e) taaas crudat etc. Ea un£ Cuando en e ] por ejemplo, rar el hech( de tasas est yor exact i b riesgos son Par y la tasa C l sas espec i fj pec ifica. '1 t el."l1lina da , I das las deft da In poblac fica. Las tasa's ql.: mortalidad , 3.1. Tasa t Su tHUI sexos I de 1:( largo de UII la pob l acior decir, al 3( Bas de mort.: morir s610 t daria, e1 dE ner cifras E c iones y pol: 1.000 'rasa hruta c NQ total c Pobl ac ic Segall Cllt1.6{1 Tasa de mOl ' t Defunc i onE Pobl o El denominac tal y por cc de causas e!: La c on struc , ,.-----------." .. . - ... - -- -.- .- -_. -- - , , "' .• ' . ..... , - ..... ..".. .,. u ... .• ·.I 1 · ."' 'l· · · .' .r ... .-....... ....... "J'''' : __ ......... w,,_ ... - ' ••• - 'II'"' .... ... ' --. -------. \ un peligro parte de las de- I 'yor edad , de hr..clones. I de maltiJt par ac{ t iene en e1 to=l del riesgo l ella hay que in ) as la poblaci6n " 10 que se obtiene por 1a ie denomina I ; ocurri6 un de-i 1 area Ie se reg istro en, ,go de que le su-I =. Debido a que! :i!o nferior a lat lOv-. de modo. I ita la interpre-! de mortalidad oe es I) .008 par e.t. nunHuutdo't y elto del h_cho, 1, ', al ocurre e1 he- en e1 denomina "'1 1 numerador. AS1, . de la prostata 81 or que para e1 Imente sobre un} nominador de la t"* o del ana I cion se estima al! comienll.o del Ft::ridu 110 l ' l::lpl.'t:tiUlIt" t.adet let F0Llacioll ya <'J.uo<: en eeta poblacion n() tigU:LclH pOl." d-jemplo, nino s que naceran duran to 01 ano. .sf 1u VolJ1c,1cion qUti Ul:la. 1(;1. b6timuda al tinal del no suc(jde 10 wu,.lr<ill:h .. , y", 4,uu no Gil )al.-uu",("'n pu ella. las qU4it h.n ttl.- llecido y lOJ:j quu han t:::mlgrtluu en el cursu dol ana. De aqul que es de UBU hdlJilU(ll como rl::,lJre:dentativa de 1a poblacion me dia expuesta al l;"ie!:>go 10. estimaci6n a mitad del pel:"iodo, es decir, aT 30 de junio del ana en estudio. Tipos de tasas En, general puedt:n di::;linguil:se do s tipos pL"iucipales de tasas: a. Tasas crudas 0 brutdS. b. Tasas especificas cuanao el daumuini'.\dul" f.i':jUli1 (:)1 .-("v,ct(f. dti U4 l'uuldcion habla de tasas crudas pOl:que 110 caracterl.sticas como ectad, sexa, etc. Es una medicion gl.-uesa de la fuerz:l de ocurrencia de un he c ho. Cuando en el denominador se usa solo cierto .6ee.toJt. de fa pohfac..i.6n, por ejemplo, la poblacion de 20 a 25 dilOS (tn" el numerador debe figu- rar el hecho referido que ai'ecta a t:!ste grupo de edad) se habla de taaas eept::c.:1f1cas. tatH.tS rt:finud.:1s y miden con ma- yor exactitud e t ricsyo yue cono..:;:er, ya que en general los riesgoa SOH diferentes segun las de las personas. Por ejemplo, la ll)ortalidad es rnuy diferellte en alguH0s grupos de edad y la tasa cruda as s610 una as(Ji:H::ie df::! las diferentes ta- sas especifica::;. A vece s se h<.l.uld imlJropiamelltl.:: d e que una tasa es es pecifica . 'fal": 5 el de l a tasd d8 mortalidad por un.a causa de=- terminada., por r.:!jelHplo tu..)erc:ulol:iis. 5i en. el numerador figuran to- das las defunciones por tuberculosis en el denominador debe estar to- dd la poblacion y os por 10 tanto una t.asa c.f"uda por una c.au..6a espec..! fica. Las tasas que hQuitualmellte SI2; usan en Salud publica se" refieren a la mortalidad, 1a rnorbilidad, la l etalidad y 1a fecundidad. 3.1. Tasa bruta de mortalidad !:iu Jlumerador int.::luye la totalidad de las d(;:f wlc i ones de ambos de las y por todas las causas, registradas a 10 ld.rgo d\;t un arll.) calendar io en Ul1 area decexminada . SU der.ominador es Id lJobl"cion total de lIIislUd area estimada a u\itad de [H:riodo, cs decir, dl )u d..: jUliio d<::l anu. 't'Lll OCU1"re CUll loddS las ta sas de mOI:ta1idad, debido a que en 1a poblaci6n expuesta al riesgo de morir solo algunos individuos han muerto en el termino del ana calen- daria, el 12!S siempL' a mayor que el numt:::rador y, para obte- Her cifl"dS ellteras es necesarj o amplificar el " cuociente entre de fun- cionell Y IX)ulac.;161l Pt},r una c.:olll::lldute qua, el la btuta es 1.000 Tasa bruta de mortalidad ::;; N° tvtal de defWlciones en un ared y anu Poblacion total del area a1 30 de junio de ese ano x 1.000 Segall e.m6Ci Tasa de mo!"talidad por causa = Oefuncione:::; pOl.- una cau sa en un area y ano der.enuinados Poblacion total al 3a/jun10 de ese ano' y Srea " 100.000 El denominador c'ttt las por causa, general, es la polJlacion to tal y par consiguiente SE: trata de .ta.6a.6 c.JlUdll.6 por una causa a grup; de causas especificas. La construcci6n de estas t.asas impli.ea separar el con junto de todas 35 ."._--- - _. _, • W i' ! ! , " .. -.... t i las muertes diversos subconjuntos atendiendo a la causa de muarte. DiJ chaa muert88, 8i no hay otra &apacifioacion adlQional, incluyen 18. d. funciones de cualquier edad y ambos sexos que han ocurrido por una mi! rna causa 0 grupo de causas. Debido a la necesidad de disponer de tasas par causas de muerte cuya magnitud en la pablacJon puede ser muy pequefia y a fin de que la mai nitud de las tasas de martalidad par las diferentes causas sea f'cil- mente comparable,.la constante que en elIas se utiliza as 100.000. TS8A de mortalidad materna - HUertas debidas a complicaciones del embarazo, parto o puerperia Nacidos vivos en ese anc y area x 1.000 (6 x 10.000). Se denominan muertes maternas aquellas cuya causa esta complicaciones del embaraz0, parto 0 puerperio y elIas relacionada con constituyen e1 numerador de lil teisa. Su denominador podr1an' las mujeres et;ltre 15 , Y 49 afios pera el ries' go especif ico que indica el numerador solo afecta a aque1.1as que en di cho ano'han tenidQ un embarazo, por 10 tanto 10 adecuado ser1a c£ locar .1 nG.mero d. embo.razada.. Como habitualmente no se dispone de informacion fidedigna respecto a este data, se ha convenida interna - cionalmente uti1izar como denorninador e1 nGmero de nacidos vivos misma ana en que sucedieron las muertes del numerador. La tasa de mo rtalidad materna se define como 1a relacion entre e1 nu- mero de por causae relacionadas con las complicaciones embarazo, parte 0 puerperia ocurridas en un ana y area dadas y el nu- mero de nacidos vivos en el mismo ana y area. Se puede expresar pOI 1.000 6 por 10 . 000. I . 3.2. Tasas especHkas de OIortal1dad S"911" 4"XO: E1 riesga de marir difiere segun e1 sexa. Par ello es niente medir por separado 1a rnortalidad de hombres y de mujeres. Tasa Mortalidad Masculina = Defunciones masculinas en un area y ano deter minados - x 1.000 Poblac ion masculina al 30/VI Je ese ana y area Tasa Mortalidad Femenina = Defunciones femeninas en un area y ano determinados Poblacion femenina a1 30/VI de ese ana y Srea Igual qua 1e t •• a brute de mortalidad, ambae tasdS 8e 1.000. x 1.000 amplitican pOI ,. Debido a que sus denominadores son deferentes estas das tasas no se j , pueden directarnente para reconstruir 1a tasa Lruta de dad. SI1.91111 I1.dad : t Por eso corr ien teJ-;' La mortalidad difiere marcadamente segUn 1a edad. mente la medicien de 1a mortalidad requiere medir el riesgo de muertf por edades. Al elaborar las tasas de mortalidad par edad puede lIe .', garse a tal qrado de especificacien que los suboonjuntos de defuncio- nes inc1uyan H610 edades simples, es decir, se elabore una tasa para cada ana de edad. Sin embargo , 10 habitual es que se trabaje can gn pas de edades, usandose frecuentemente grupos quinquenales - bien grupos de mayor amplitud. S610 para las edades' mas jovenes, eD que el riesgo de J'!K>rir cambia mas rapidarnente con la edad, est§. just! ficado construir tasas de mortalidad por edades s imples a aun in: tervalos que sean menos amplios que 1 ana. 36 t I ! Tasa de Dlllfuno Pabl Tadas la tasa& se sas la d defuncio TaSdS mo Defunc Poblac Un caso tuyen siderabl guientes Es preci los efec cion de ind1oado lao Tasa de J Defunc aBo ' de' Tal como sexo y e. El numer, nea de al no ealen. plido su sa d&: mo: por edad poblacioJ calendar todologi, der . Ent re es' se amite tra edad en l a s e: tas que I menores \ tendenc L grupos d. bles a Ii preceden' Es por e : entre 1 0l tuac i onet venido i1 mortal i di poblacioi La tasa I Tasa de I Defunc ana de ' · a de muarte. Di- incluyen las d!.l 'rido per una mi! /, de muerte cuya n de que la mas. .llsas sea facil- , es 100.000. " 1. 000 (0 x 10.000). relaciDnada con constituyen el tnos el r ie.! . lue"llas que en di lecuado seria c£ ) se dispone de renido interna - :ido5 vivos l6n entre e1 nu- )mplicac iones del .I. dadas y e1 n(l.- Ie por es conve-l ie mujeres. I ! x 1.000 x JDO amplifican porf ::.s tasas no set uta de rna.tali -r r eso corr iente-II riesgo de muerte edad puede lle -f tas de defuncioJ e una tasa parat con gru' nales c" edad 01 mas jovenes. an, edad, est' just.:.' es 0 aun p:lr in·· "-- -_._------_._ ---_._--._--- - _._-- _._ .. Tasa de mortalidad por edad Defunciones de un grupo de edad en un area y fino pOblacilSn de eSf! gl'Upo de edad a) 3D/VI de ese ano y !rea. Tadas las tasdS de wortalidad por edad se amplifican por 1.000. Estas tasas se pueden calcular separadamente para cada sexo. En tales ca- sas 1a dab1e especificacion de sexo y edad debe hacerse tanto para las defuncianes parfl 1a p.oblacion. Ejemplo: Tasas de 20 - :24 afios ;;:; mascu11nas dl.l 20-24 en un at:ea y ana determinados 1000 Poblacion masculina de 20-24 aoos al 30/VI para ese ana y area x Un caso especial dentro de las tasas de par edad 10 canst! tuyen lilS lIluerles de los menores de un ano. E1 riesge de marir es con mas alto en ei- primer ana de vida que en las edades sI guientes, salvo las edades lOuy avanzadas. Es precisamente en esta edad cuando la mor talidad es mas sensible a los efectos del ambiente y 5i las tasa5 son altas una buena propor- cion de estas defunc iones son evitables. ella esta medida es un indicador usual del nivel de salud e inteJ:esa par ticularmente conocer lao Tasa de mortalidad infantil ;;:; Defun.;::iones de niiios menores de 1 ano en un area y ana daterm1nados Nacidos vivos en ese ano y area x 1.000 Tal como en 1a tasa bruta de mortalidad y las tasas de mortalidad par sexo y edad, la constante que se utiliza en esta t(;lsa es 1.000. El numerador de 1a tasa de mortalidad infantil inc]uye las defuncio - nes de ambos Y 1-'or t odas las causas que ocun en dentro de un a- no calendario y un area determinada en los ninos que aun no han plido su pri.mer ana de vida. Dada 1a naturaleza de su numerador 1a sa de ffiOl:talidad infantil tiene el {.;arac.;ter de una tasa de mortalidad por edad. Pur 10 tanto, que au denominadorfuera 1a poblacion de menores de 1 ano de edad, estimada a mitad del mismo ana calendario a que se las muertes. Sin elflbargo, hay razones me todo16gicas por las c uales !je hace necesario el usa de otro dor. Entre estas razones esta el hecho de que Ia poblacion menor de 1 ano se omite en l os censos en una proparcion mayor que l a de cualquiera 0 tra cdctd, y por ello tiU UHH.:lnO, l'a..a:a UII ano l.:cll!5al y con mayor razon t:m la::i estilnaciones para los ano:;; posteriores al cell so, son lllas inexa£ tas que para los grupos de edades mayores. Per otra parte, loe ninos de 1 aoo qUd t:Jxlsten t!n uoa. poblaci6n dupende del n1yei y 'las de Id natdli.da d tm anos recientes. En cambia, 'en los grupas de edade s mayores los efectivos de poblacion son menDS sensi - bles it las modificaciones de la natalidad en los anos inmediatamente precedentes. Es por csto, que para estar a cubierto de las variaciones que existen entre los paises respe{.;to a la cabalidad de l os censos y de las fluc- tuaciones que puede experime:ntal.' el nivel de la natalidad, se ha con- venido intel.-nac.: ioHttlmente en utilizar como de la t.asa de mortalidad infantil 1a cifra de nacidos del ano, en lugar de 1a poblacion estimada de menores de 1 ano. La tasa de lIloJ.: talidad infcmtil f:ie subdivide -en dos componentes. Tasa de mort a lidad neonatal Defunc iones ninos menores de 28 ds ell un area y ana determinddos Nacidos vivos en ese ano y area x 1.000 37 • I ··· ,{ ' " .. . ' \, l Esta tasa mide 1a frecuencia de muertes que ocurren en 28 dias en un ana c- .31enda r io y en un area determinada ; los menores de t. _ d 1 000 ' concepcion el nacidos vivos en e ,--,e mismo ana y area. Tasa de mortalidad infant il tardia = por ca a • Md' -- ; 3.3. e lC10' j El estu( Defunciones ·-o.e nifios de 2Bdsa 11 rna en un 'rea. y ano determinados 1.000 Nacidas en ese ano y area I .. · luaqo, a difel It manto bien de: l ' rrir varias VI La tasa de mort a lidad infantil tardia mide la frecuencia de muertes ;' . que ocurren en el primer ana de vida a partir del 28° dia, en un ana cal e ndario y area dada par 1.000 nac idos vivos en ese ana y area . . Asi como entre l as muertes d e l p rimer a no es convelliente distinguir " las que ocurren en las primeras 4 s e rnanas del resta de l as muertes fantil •• , t.&mbHin 'I" u til analizar lieparadamCiintil las mUCilrtofi dlil la pri : mera semana'de vida' d e las c orrespondientes a las 3 semanas s i guien':' : teB. 51 88 reflertm t;)stOB IIUUVOB d(.l8 8ubconJuutu8 a 1a Inhuna c ifra de ! nacidos vivos del ana se obtienen dos nuevas tasas que sumadas l en a la tasa de mOf="talidad neonatal. Ambas se expresan igua lmente : por 1 .000. La tasa de mor t alidad de la primera semana se denomina ta · ..6a de ma.1Ltaf .i.dad nculla.ta.f pILecuz y l a de 1a sequuda a CUd l " ta semalla to. de taAdia. en un area y misma enfermel de!:fl tener duri En 10 que se 1 guir tres tiPl 1 . persQnas e! Par e jemplo , I dios' d1a,rreic( a. 'perBona -en: por' est.; moti' rnie,nda que en te .;i 'eual· de ( En la medio iol cuenc ia de l a 3.3,·.a.· Medic· .. : ' . . Sa di. -T aAa de: mC-t< Tasa de mortalidao neonatal precoz Defunciones de menores de 7 dias ana deterrninados. Nacidos vivos en ese a no y area x 1. 000 Esta tasa mide la frecuenc ia de muertes que ocurren en mana de vida en un ana calenda rio y area dada par cada I ' Se dehomina -U un periodo de te un periodo 1a primera se- J 1. 000 nacidos . tos que ocurrt vivos del misma ana y area. Tasa de mortalidad neonatal Defunciones de ninas de 7 _ y ana determinados tardia = a 27 dras en un area x 1.000 i. cluyen en el I 1. gistrado s duri cion estimada - Nacidos vivo.s en ese ana y area Hide la frecuencia de muertes que ocurren entre la segunda y cuarta 5=' mana de vida en un ana calenda rio y area dados por cada 1.000 nacidos vivos del ana y area. Tasa de mortalidad fetal tardia (0 mor tinata lidad ) Defunciones fetales tanl1as ( 28 y + SelTlilll as de gestacioL1) t · ... en un area y anc' dete.r.minados x 1.000 f. Nacidos vivos ese ana y 'rea .j pueden am nidad de tiem) Tasa de incidl Numero de Ci PoblacioJ La tasa de inl el riesgo de I vado. - T lUa de pltev. P JLe. va-f. en e.<a. : tran en un ti, o el 61 timo d. segun-el momento de:]a gestae ion en que se produce la muerte del pro- f dueto de la concepcion, las defunciones fetales se clasifican en pre- coces (menes de 20 semana s d e gestae ion) i nterrnedias (20 a 27 sernanas) y tardlas ' (28 y bias de gestacion). Las defunciones fetales tardl.as correspond,;,! t..I. 10::; mort inatos y las precoces e interlnedias tiempo. La to los abortos. to: sos que est'n El registro de las. ·t'uHc ione s f etales tiene una omision importante .. 1> 016n estimada. Esta omision afec t r I, dnc j pdlrnente a las defunciones fetales p reco _( de preva. c es . l Numero de co Para las de funcianl:!.: fe L<!l es tardias e n cambia , e1 regi stro pra porcio< p, na una informacion, _is <..:ulllpleta, a Ullq ue s i empre subestima la magnitud. , La tasa pr, r ea l del p roblema . , .j (it.'lLominador tambien son l o s nacido s vivo s par;: hIe a 1a lnfo 5610 10 que e : tar que en el ciaron antes l as razone s , ell ]a tasa de mortalidad materna. 'rasa de mortalidad J' !c ina l a l == Oefunc iones fetalcti tdlClias + defunciones de nines menores de 7 dfaa en un Ai'. .. .. _______ _ ' I cen en iii 8" 11"10 X 1. 000 I:t Tratandase de Nacj ,g vi V()5 en ese ano y area Es ta ta sd mide e1 ' .q • . de mue rte que imp1i c a para e l producto de la! la i ncidencia 3.3.h. Medic Un as 36 n los meno res de por cada 1.000 ,00 :nc ia de muertes d l.a, en un ana di'm 'i area. .tm le distinguir Ie las muertes 1:1. lIluertes de 1a pr i It=md.HtlS aigulen- la cifra de s lresan igualmente 1(1 f::ie denomina :til.. ,"" "" .. '" I lOa !n la primera se- t 1::1 1.000 nae idos } I ,000 Ii y cuarta . lda 1.000 nacidos : aciP·) f _ -.0- x 1. 000 i lI1uerte del pro- lasifican en pre- (20 a 27 semanas) f unciones fetales e intermedias a 5ion impartante preco ::1gi s tro pcaporc i.£ 5timil .1" magnitud : vivos pori' Ih L I me llores f .. xl. 000 el produc to de la concepcion el paso de la vida intrauterina a la vida ext r auterina. 3.3. Medicion de la 1II0rbilidad El estudio de la morbilidad tiene serias dificultades. Desde Iuego l a difereneia de la muerte que ocurre una s o la vez y en un mo- menta bien definido y es un heeho permanente, la enfermedad puede ocu rrir varias veces en la vida de un individuo, ya que se trata de una enfermedad 0 de enfermedades distintas y par ultimo ellas pue- den tener duracion variable. En 10 que se refiere a 1a medicion de la enfermedad se {Jueden distin- guir tra9 tipos de 1. pers9,nas 2. enfermedades, 3. e pisodios de enfermeda d. Par ejemp10, si una persona tiene durante e1 aop 2 resfrios y 3 dics' f .se con tabil izar§.; at persona ·enferma; .b. 2 enfermedades; c . 5 episodios. Par ' este motivQ e1 Comite de Expertos en Estadisticas de Salud reco- miend.a que en las estadisticas de morbilidad se· especifique claramen- te cual de estos tres criterios se refieren los datos. En la medicion de la morbi1idad interesa fundamentalrnente medir la fre cuencia de la enfermedad en la poblacion, su du'raci6n y su qravedad.- 3.3 .•. , Med1c16n de la frecuenc1a de la enferllledad Se distinguen dos tipos: la incidencia y la prevalencia. - T (J.4a de ,wudenw Se denomina al numero de casos nuevos que se presentan en un periodo de tiempo. Se refiere a enfermedades que comienzan duran- te un periodo definido y la tasa mide la frecuencia de acontecimien- tOg que oeurren durante el periodo. En 1a tasa de incidencia se in- c luyen en el numerador los casa s nuevas (enfermedades 0 enfermos) re- gistrados durante el periodo y el denominador se refiere a 1a pobla- c16n estimada. en &1 punto media del veriodo. Las tasas ae incideneia pueden ser pero taluhifn pueden referirse a cualquiera otra u- nidad de tiempo. Tasa de incidenc ia Numero de casas nuevos en el perlodo 00 0 pob1aeion a mitad del periodo x 1 .00 La tasa de incideneia muestra 1a dinamica de 1a enfermedad y expresa el riesgo de enfermar que tiene 1a poblacion durante el periodo obser vade. - de pJLevalenc-i.a PILe.vafe.nc...Ul: es 81 numero de cascs (nuevos y antiguos) que se regis tran en un tiempo 0 momenta dado, por ejemplo, .el primer dla de un mes o el 61 timo dia de un ano 0 el promedio mario dentro de un perlodo de tiempo. La tasa de prevalenc ia tiene como numera dor el numero de ca- 50S que estan presentes en ese momento y como denominador la pobla- cion estimada para e1 mismo momenta. Tasa de prevalencia = Numero de casos existentes en un mOmento dado x 100.000 Poblacion en ese momento La tasa de prevalencia es una medida relativa cuyo sentida es campara ble a la informacion qUt:! proporcionao los eensos poblac ion y mide s610 10 que existe 0 prevalece en ese momento. Es necesario hac er no tar que en el numerador figuran todos los casas tanto los que se ini cia ron autes del momenta de rnedicion como l o s casas nueva s que apare- cen en ese momenta. Tratonduuw aQ tillhu;madtldflilii cr6nil;;tUi ld prlivalencia .&;"tjfliijy ffilijor qUQ lill incidenc ia la magnitud del problema en la comunidad. 3.3.b. Medicion de la gravedad de la enfermedad Un aspecto de la morbilidad cuyo conacimie nto tiene gran iote 39 · ----- ........ I . I rh .. la quv.dad d. 1a .nhrm.dad. Ell. pu.d. m.diraa an tun d. la 11 de la incapacidad "que produce. Per ejemplo, una enfermadad menar 81 016n par ed' I' aquella que no es causa de ausencia del trabajo. Eeto hace lola determ: tener una escala de incapacidad para mad!r la severidad del cuadra. I . demas la medicion tiene el problema. de que la gravedad depende no s& Bs 'sta una I 10 de.la sino que tambien de las caracterlsticas de los II . cion potene: dividuos que la padecen. Par ejemplo, un resfr!o cornun puede ser poblacion ft : tivo para qua una pereona quarde a.rna, ·mientr •• otro indiviauo oon vi. '1" .... de feo1! 1 resfrio de iguales condiciones continua desarrollando sus NacidoEl v: des . !- ' . ; par' estas el in dice de <;Invedad de una enfermedad que mO\\:-t ' en eae anel se utiliza es la de letalidad, que establece la relacion entrl, Al tamar en 10. , fallecic!o. por una .nfarm.dad y lOB anfeJ:lnOB que eBa en·, puesto al r;' ! zonas a com]1 'Tasa: de 'letalidad H" de. Oe.CI. Numero de defuncione8 per una enfeX"medad dada x 100 t· ·" \' Bsta talla Numero de enfermos de esa enfermedad en cuenta nj Hide la frecuencia con que se produce 1a muerte en una enfermedad. en su numer' ta es 1a tasa que permite establecer el pronostico de las enfermedades. 3.3.c. Medicion de la duracion de la enfEmnedad Tasa de fecl La duracion de 1a enfermedad es un date que interesa medir, er Nacides v: tre otras razones/ porque 1a enfermedad de mayor duracion significa un area yor costo. Puede ' hacerse esta medicion en forma de uu'promedio. POI" Poblacion &jemplo, 60 &nfermos' de tifoidea estuvieron en cama un total de en eaa anI dlas, la duracion de 1a enfermedad es entonces: Ejemplo: _Na,1 ' 1.080 d' d' Duracion = ---.-- 18 en prome LO Para 1a medicion de la duracion es necesario definir previamente qJ I se en'tiende per enferrnedad. En este case 1a duracion se refiere al Por 10 gen: tiempo promedio de estada en cama de los enfermos. Otras pos nes podrian t omar en cuenta, por ejemplo, e1 dla de , los primeros sin! decir, sa c tom •• 0 .1 d1. en que ye hizo .1 eto; , E1" prom. tHo puede obtenera8 no 8610 en a 108 enfermoB (60 Ell." . el e"jemplo anterio r) sino que puede obtenerse para' episodi os de enfer ,de las tas medad,. Par ejemp1o: en una escuela se registraron los r esfrios de 101 tan de medi alumnos y se tuvD , un total de 100 resfr:los en el ano . La durac ion tl blacion hacj tal de los resfrios de 500 dias. La duracion media de cada pqrcion de I dio fue, por 10 de 5 dias. Como se tra 3.4. Medicion de la fecundidad t 1 t La medicien de 1a fecundidad hace a traves de diferentes t/ os eXOS I pas de tasas que tratan de medir los nive1es del fenemeno en un area, T Ma bJw.ta de "a.taUdad Es una tasa simple' que relaciona los nacidos vivos registrados en w area geografica durante un ana con la pOblaci6n total de esta area. Tasa bruta de natalidad _ Nacidos vivos en ' un area y ano determinados I - pob1ac ion total al 30/VI en ese ana y area x 1.000 Como incluye a 1a poblac ion total (de todas las edades y de ambo s se-: X05) no puede interpretarse como una probabilidad porque en e1 denoR nadcr hay poblacion que no esta expuesta al ri e sgo de tener un Ul.no Expresa mas bien la frecuencia de los nacimientos per cada 1,000 tent-ea. , Las tasas de natalidad son practicamente las unicas medidas de fecun' didad que es posible calcular para areas geograficas pequenas y pera te estudiar las tendencias del fenomeno en un area determinada. ' Cuando se comparan areas diferentes hay que ser extremadament'e cuida doso en la interpretacion porque puede haber di ferenc ias en la estru u!dir •• en enfermedad manor ea , E.ta hag. n.o •• Ir ido.d del cuadra. 1 'edad depende no eo: :erl.eticas de los in! - d ... comun pue e ear :ro individuo con wf mdo sus activida-. , enferlOedad que ! l a relacion entre iua padecen eiia. ]00 I una enfermedad. Es lu latj enfermedaaes: I Je interesa medir, en, lurac ion signifi.Ca Rl!- Ie un ·promedio. POI-. 'd un total de 1.08 1 lir previamente qul I.e i6n se ref iere ai Otras le l os pr-imeros sin} l os enfermos (60 e.: 1 epi.sodios de enfer 1 los resfrios de ino. ¢l. dur<.l cion tc' IUcd.l:l:l de Gada ;s de diferentes tir :enomeno en un :i registrados en de esta area. ,000 u jades y de ambos se· porq"4e en .J de tenee un Hino ! par cada 1.000 hab 3.S medidas de fec.:un, ;as pequenas y per 3. deteIll\inada . • tremadamente cuida ' , r encias en la estr .. - -... - - _.- ... . ------- -- _ .. ----._ ... ----------_._ ._-------------, tura de 1a poblac16n especlalmente en 10 ci6n por edad de 14 poblac16n femenin4 y .01. dif.r.no1.. en 1.. t •••• que se refiere a 1a compos i- esta dlferencia puede par a1 de n .. tal1dad. , Es esta una tasa mas especifica ya que' un denominador la pobla- ai6n potencialmente expuesta a1 riesgo de tener, ' un nacido vivo: 1a poblaci6n femenina en edad fertil. Tasa de fecundidad general = Nacidas vivos en un area y ano determinadas x 1.000 ""' Poblacion femenina de 15 a 49 afios al 3D/VI . . - en ase ana y area Al tamar en cuenta salamente .a las mujeres pu •• t.o &1 rieago lUi una tae. lnAB util para zonas a comparaciones internacionales. y en el grupo de edad ex- hacer entre T iUQ de 6 ecuncUdad pM edad Esta tasa tiene un nuevo refinamientq y es mas especifica ya toma en c uenta no solo e1 sexo, sino la composici6n pqr edad. En en su numerador se anotan los nacimientos dernadres de un grupo de e- dad de1;:.errp,inad.A y en e1 denominador 1a femen1na de eea edad Tasa de fecWldidad par edad = Nacidos vivoB de mujeres de un grupe de edad en un area y ana determinados x POb1aci6n femenina de ese grupo de edad al 30/VI l.OPQ, .. en ese ana y area . Ejemplo: Nacidos vivos de mujeres area y ana determinados poblac ion femenina de 15 ese ana y area de 15 a 19 anas en un x 1.000 a 19 anos al 3D/VI en Par 10 general las tasas de fecundidad par edad se calculan . pora gru- pes quinquenales de edades comprendidas entre l os 15 y los 49 anos, es declr , se ca1culan 7 tasas de fecundidad par O.tJtiU med.ida4 de 6eCWlcUdad . Los estudios demograficos mas fines de la fecundidad utilizan ademas ·de las tasas anteriores, las llamadas tasas de reproduce ion que tan de medir a1 aporte futuro de 1a fecundidad al reemplazo de 1a po- blac16n hacienda una en los nacimientas utilizando la pro- . parclon de nacimientos femeninos. h Como se trata de tasas usadas par especialistas remitimos al lector a los texos de Demografia para ' su estudio. 41 I ; I ' I I i I ' I . I r·· , MED IDAS DE RESlllEN t ' . La sumo algeb " resp8oto a au " . ".. ' . . . . ' En e1 ejemplc Una de las caracterlstlcas de los fenomenos blOloglcos es su variabil dad. Asi por ejemplo, el peso 0 la presion arterial varian de persona persona y tambien varian para un mismo individuo en diferentes momentol Sin embargo es posible determinar los valors. esperados de estas medidl para distintos grupos y fijar limites a su variacion habitual cuando se noce au conducta a distribucion. Se sabe por ejemplo que los enfermo. de hipertitoidismo tienen en geni ral un peso inferior a1 de 108 indlvlduo8 normal •• y que ' en alguna. enE.1 medades canales eeta aUllentada 10 preeion arterial; Por otra parte, $1 I dice que e1 peso normal para un adulto de 170 cm de estatura es66,6 Kg, no 8e e.pera que todo adulto de •• to •• taturo tango' •• e peBO aino que I acepton variaciones entre 59.8 y 74.7 Kg. La estodistica nos proporciona tecnicas que permiten describir 10 ubi caclon de un grupo respecto. a u.na eacola de medicion y cuantificor 10 VI riabilidad de los valores individuales mediante las medidas de posicion de di8pera!On reap8ctivamente. Medidas de posicion '2. Tienen por objeto la obtencion de un valor que resuma en 81 todas Ii medicione •. La mayoria de ellaa tratan de ubicar el centro d. 10 diatrih cion. por 10 que tambiem reciben e1 nombre de medidoB de tendenc!a centrel Menc ionaremos aqul a t promedio aritmetico. la mediana. los percentiles y l mode. Promedio 0 media ari Imelica , 50 25 45 20 30 16 - 9 11 -14 - 4 o Si f1 nume l .. H f k nU1I1I es: Se' def ine como 1a suma de los valores de todas las observaciones divf', dido por el numer o de observaciones Se representa por el x cuaJalculo del prom se reCiere a una muestra y por cuando se refiere a un universo. 5i los datos pacemos e1 valor 'Cuentra. Por 10 eado ' intervalo. Pura un grupo de observacioneB: )( = en que; L n Xi n J ' on tenidas. Se " 1mbolizaremos : va de 1 a k s. CorrespollC l!mites reales. , .dad 'eu grupes , que denota .".a de loa valor •• que aiquen anaa. Por conver numero de obaervacion.. " i - t d" a . valor de 10 variable x 'en 10 i eaima observaoion. El Bubindic.& no en {Q d al va de 1 a n, por 10 tonto el valor de 10 pr illera observacion L..: ue cump . os b 1 1 d 110S preo .... l..4l- 'l se I sim 0 iza por Xl. e e 1a segunda. por x2 Y aSl de cluse hasta x • n Ejemp1o: Las edades de 5 enfermes son: SO. 25. 45. 20. 30. e 1 promedio e8: x = 50 + 25 + 45 + 20 + 30 - 170 = 34 aiioa 5 5 1. ! l Propiedades del promedio 0 media arilmelica "-: 9tros cc CEircana como su as el em •• una 'l6I em. y una q En este caso uri iS4.5 Y su cent En t re las pro,piedodes de " 10 media des tacaremOB dos: 42 , .-----, .. .. .. ....... coda valor de una serie con o • La _ .. _ ...... iueioae...!! de . raapecto q ... -aia es c:ero: (Xi - x) = En el ejeooplo aoterior: icos es au v_ar.o"""lt, var ian de pe H xi- x dos de .ata. abi tual cuando di,smo tienen en lue . en algunas lor otra parte. ,statura as 66,6 'acribir 1a y tifioar la ,edi as de posicion en si todas entro de 1a distr de tendenc,ia cen 108 percentiles y B observaciones 2. 50 16 25 - 9 45 11 Esto S6 put:dtt demoslrar de 1u aiguiente manera: 20 -14 30 - 4 0 L: (x - x) = i = Si f 1 numeros tienen media xL' f k l1umeros tienen media xk. es: Xi - 11 x = L Xi - ,>! LXi = 0 Ii £2 numeros tienen wedia x 2 # •••• entances la media de todos los numeros r e1 X CUanR" promedio en series agrupadas 10 universo, Si los datos estan agrupados en una disllibucion de frecuencios no co ... "c,comoo e1 valor de oqdu obattrvu(;ion, Bolo BUUt;IUOa en que intervalo se en- Por 10 tqnto (Jura culcuhn el prolliedio liubra que determinar._ intervalo. un vulor que represente a todas Ius observaciones en el , tenidas. Se elige. para este efecta e1 cent.ro a marco de clase quelo tiwbolizaremos pOl' x· j para indicar que es el centro de 10 clase j en que va de 1 a k siendo k el nuruero de clases. a intervalos de la clasifica ... ,cion. Corresponde· 01 punta media del intervalo y se calcu1a Promediando sus reales. Supongamos por ejeruplo que teneruos una clasi(icacion por en grl.l.IQIi qul'-lqueuu1es de anoB. Y 01 primel· jntervalo es de 0 a 4 :Jue siguen filos. Par convene ion 1a edud se aproxima 01 valor inferior de wanera que un ., . nino tendra a anos basta e1 mallll':nto en que cUlllple 1 afio,tendra 1 ano hasta El cumpla dos y aSI sllcesivarueJlte. Lo::.; Ilmites reolt':s del intervalo que .lwera obaerVQClOn os seran entonces: 0,,1 inferior y 5 superior. Por 10 tanto e1 y a.! de cluse sera: 45, 20. 30. = 12Q = 34 aiios 5 • do.: 0+5 x'l :: = 2.5 a nos 2 I En atros casas es posible que 10 aproxirnacioll se hClga a 10 unidad mas 'Cercana COluO !:>uGede pOl: ejemplo a1 delenilinar estutunJ. Si 10 uBidad us ada el CIII •• UI1Cl paujollu que lIlide H")i.4 Cill. un valor aproximado de ;161 CWo y ulla qUIiI 1I1itlu 161.8 CUI •• Ull valor de 162 01 haeer 10 aproximaci6n. n este caso una clase de 160 a 164 eIO. tendril como l.imites reales: 159.5 y .64.5 y su centro sera 162 CIll • 43 f J 1. Ordenar I", 2. Determinar .. cion (n + J El hecho de tomdr el centro del intervalo como valor para lal ohlerv:! Ubicar el ciones del grupo ae bosa en el supuesto que los valore .. individuales • el N° de 0 distribuyen en forma aimetrica alrededor de este. de modo las subest! t cw , • 1 b " U obt 'd 1 en es e maClones se compensan con as 80 reestlmaClones. na vez ,en1 0 e centr d' d •• t, de coda clase estas S8 muitiplican por la frecuencia de observacionea en tEJ claae correapondiente. 10 da 1a Buma 'de valoree de loa observacio emp.c • . nes en e1 intervalo. Si las frecuencias se simholizan por f j la suma en e S1 1a ptimer intervalo aera: I·. 45. 43. 4: para obtener , f 1 x'1 • en el segundo: fZx'Z • etc, 'hitud; I '· 43. 43. 4: La media de eata distribucion es: ..... 1(1 aediana 00 dio entre 10 flx\ + f 2 x' 2 + .. ··fkx· k = L fjx' j {. r.tl = (45 . x = L f , ) Icalculo de la t, Cuando la Ejemplo: f too Una forma los de Clases bargo si se sl ! todas las obsj fe' na I, 5i por ej. ! les son 55 y observacio 1 io 8ea, Ie cor 1" La ubicac ;' una determin hervalos indi l,dos por magni :' tara ubicada .frecuencias t ra 1101>1 a 4:JO cas 'i:I'; {,na ' in te r qvos del Gramos de proteiDa por litro 40- 44 45 - 49 50- 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69 Total L fj x = lied i ana Protelnas . totales del plasma en prematuros normales de 15 dias de edad = = Frecuencias Centro de clase f. x' ) j 2 42 6 47 12 52 13 57 5 62 2 67 40 L f',x' . j ) 2175 40 = 54.4 gramos. . :; f .x· . ) ) 84 282 624 741 310 134 2.175 , i 1, I ,t',., , " '; " t i' Se define como el valor que deja igual nw...ro de observaciones de vaU", ' res iguales 0 por debajo de como valores iguales 0 superil res por encima de e1. 108 valores de 1a variable estan ordenados a . gun magpitud. La simbolizatemo8 por Md. Para su oalculo se debe preceder de lasiguiente forma: E 1 t. •• 10 'o"®lo .... [2. Determinar la posicion correspondiente a 10 mediana. as decir. 1a posi- t cion (n + 1)/2. en que n repre_enta &1 numero de observaciones: lor pa.ra ,la,_ ob_ervG,3. Ubicar el valor correspondiente a la (n+1)).2 ava observacion. Cuando ores lndlvldua1es e1 N° de observaciones es par no hay una ob_ervacion central 8ino dos. nodo que ,las subesU en eate caso se adopta e1 criterio de deEnir la mediana como e1 prome- ez a1 cent, dio de estas dOB observaciones centrales. . e observaclones en e' 1 de las observaci . Jemp 0: por f. 10 sumo' en Q. Si 10 'edad de 6 enfermos ea:: J '45. 43. 47. 52, 43, 55 uros f .x· . J J 84 282 624 741 310 134 " 2.175 Fro obtener lamediana. debemos en primer lugar ardenar 10 serie segun mag- nitud; , 43. 43, 45, 47. 52, 55 la mediana ocupara e1 lugar {n + i)/2 = 7/2 = 3.5, es decir sera el prome_ :4io entre 10 tercera y cuarto Md = {45 + 47)/2 = 46 an os Calculo de la mediana en serie agrupada Cuando 10 serie es muy largo. 10 parte mas ,laboriosa as a1 ordenamien .. ! to. Una forma de facilitor e1 calculo as agrupar 10 serie, 10 cual mocifico ; el procedimiento de colculo. Cuando los datos eston agrupados en intervo - los de closes. 10 mediana no puede ser con exactitud. Sin em- 'jbOrgO si se supone que cada intervale as compartido en partes iguales por que en el se se puede obtener una "bue- no aproxlwaclon. ! 5i por ejemplo en una close de edad de 55 a 64 onos (cuyos limites rea- lIes. son 55 y 65) se encuentran 270 observaciones. debemos suponer que a co- '!" da observocion le pertenece un 270 avo del encha del intervQlo de 10 anos, o sea. 1e cor responde un intervalo de O.OC7 onos. 1 La ubicacion del valor. de 10 mediana ya no correspondera en este caso a I una determinada observacion sino que a un valer que deja un sara de los in- ! tervalos individuales par deboja y un 5ClYo par encima. cuendo estan ordena- j dos par magnitud. Para n observaciones habra n intervalos y 10 mediana es· : tara ubicada en n/2. En la siguiente serie agrupada en la columna de ·1' frecuencias acumuladas: Ij. 10 mediana estara en 1a clase ,55 a 64 en , se encuentra n/2 - 975/2 - 487.5. Como en las edades lnferlores a 55 anos i habia 430 casos acumulados deberemos Hegar hasta el punto 487,5 por medio l de una interpolacion lineal determinando 81 va10r corr •• pondiente a 57.5/ avol del intervalo de 10 ana., entre S5 y 64. I, Distribucion de 975 individuos segun r edad. lugar X. fecha Y E dad e 8 fj fj 15 - 24 40 40 25 - 34 67 107 I l ,bservaciones de val{ es iguales 0 e es tan ordenados SI ' 35 - 44 45 - 54 55 - 64 143 250 180 430 27Q 700 65 - 74 275 975 Tot a 1 975 \ orma: 45 Md = 55 + (487,5 - 10 270 = 55 + lZ..J.. 10 = 57.1 270 En general. la for,lUla de la Mediana sera: l!:. - S) W Md = L.inf. fMiI Donde: t k .. , ; L. inf. = 1 i , n p S t = n = po = s a W a fp -- f p el ejemplo: L. inf n S = limite real inferior del intervalo que cont1ene la MedianI- = numero total de observaciones i :.: suma de frecuencias acumuladas hasta e1 intervale anteri a, = 55 + \ W 01 que 10 mediana. = omplitud del intervalo que contiene a 10 medidna f Md - frecuencia de observaciones en e1 intervale que contiens G 10 p = 55 + f 67 decites y cuarlites r t Signif iea gl Ademas de 10 mediana puede caicular forma similar otros. das inferior a 63, res que unidos a ella dividen la serie en 4 partes iquales de 25% de 101 Para el cal casos cada una y que se denominan cuartiles. En igual forma pueden larse los deciles que dividen la serie en 10 partes iguales de cada unG y los percentiles que la dividen en 100 partes iquales de 1% de los casolModo t··· . Calculos de percentiles' .. ".' .. Ellllodo de • or f recuencia. En cada serie ordenada los percentiles mantieqen una posicion En una ?ist As! por ejemplo. e1 PEircentil 59 divide 10 serie en dos partes: una lnte contiene e1 5'9% de las las de valores menores, y 10 otra. elcuenclo. En ,un 41% restante. La mediana divide 10 serie en dos grupos, cada uno de loicorrespolldera a cuales contiene e1 50% de las observaciones. De. eate modo tamblen se lora. puede llamar percentil 50, 0 decil 5 0 cuartil 2. " En ulla dist SUpOngase por otra parte. que es necesario saber que valor es sobrepaJtegorias tienen . do no mas de 33% de las 'Veces; en otra, palabras eual as e1 valor del per,idefinicion. die centil 67. En una serie simple. este valor cor responde 0 10 tos tienden a c observacion. Donde p cor responde al percentil buscado. (n + 1) • ..1'..... 1m En series agrupadas el intervalo que contiene a1 percentil hUBendo Una distrib Cuando el II 10 unico lIIed identifico de 10 misma monera que 10 hacemos para 10 mediana. Se calculoMedidas de disp n 100 • P y se ubica en la columna de frecuencias acumuladaa en que Una medida t d&bidO a que no ae encuentra eate valor. los fencmenos b En 10 serie agrupada del ejemplo anterior esta observacion cae en e tanto una descI intervalo 55 • 64 ya que el 67% de 975 es 653. Utilizando e1 mismo razona'l d -d d - tid 1 d' 1- d ah '1' a me 1 a e pc mlen 0 que en e cas 0 e a me l.ona ap lca a ora a percen tl. es se t1.ene'd' - • p p = L. in f • + J", W fp p 46 ----- _.----_._--.. _'------ , lsperSlon mene t dClrd • " j f, t ......,........ .. "',, .. , • .0 = 57.1 = limite real inferior del interva10 que contiene el percen- til. = numero total de observaciones = percentil buscado = suma de frecuencias acumuladas hasta el intervale anterior a1 que contiene al percentil ::: amplitud del intervalo que contiene,al percentil - frecuencia de observaciones en 10 clase del percentil :Paro el ejemplo: COl, ,Ina 1a Medianq . _ 430] 10 1 intervalo anterior \ 10 mediclna rvolo que contiene P = 55 + 67 270 P 67 = 55 + 8,3 = 63,3 QnOS [ Significa que 67% de las personas de cliche 'grupo tienen una edad igual oilar otros dos valo'fO InferIor 063,3 anos. Jual,es 25% de los; Para el co1cu10 de cuartiles y daciles. se consideran los percentiles forma pueden calc4 porrespondlentes. ,ales de lor, coda uQ 5 de 1% de los caso Modo E1 modo de una serie de valores es aquel valor que se presenta con ma .. yor frecuencia. Par ejemplo en 10 serie: 2. 4, 5, 5. 5. 7. 8 el modo es 5. . En una distribucion de frecuencias can intervolos de closes iguales. ma POSlClon pt"eClsa" d 1 1 ' "1" f d rt a' una que llamaremoa inlervalo 0 close mo a 0 a categorlo que tiene 0 ma:x.lma re- y 8 10 0 otra elcuencia. En un histograma sera f6cil visualizar esto close modal porque "ja uno de '10 ,correspondero al intervalo frente 01 cuol el grofico l1ego a su mayor altu .. e tambien se l ra. " En una dis triLucion puede DeUfr if que no exista modo. si todas las co .. ue valor es sohrepas ·tegorias tienen iguol frecuencia 0 puede haber varies modas si ampliamos 10 es el valor del perl,definiCion. diciendo que cor responde a un valor alrededor del cual los da- a 10 -tos tiendell a concentrarse. Una distribucion que tiene un solo' modo se llama unimodal. ercentil buaoado o Cuando el nivel de de la variable astudiada es nominal e1 modo /rs 10 unica rncdida dOe posicion que se pueqe determinar. percentil huscndo . . , mediana. Se calcultedldaS de dispersion ldas en que iDtervah-·' Una medida de posicion no es suficiente para describir una distribucion I 'debido a que no considera 10 variabilidad de los valores. caracterlstica de , fenomenos bio1ogicos y"que ya ha sido menci"onoda anteriormente. Por 10 baervacion oae en e\l tanto una descr ipcion completa de una dlstr lbucion requlere que edemas de ando e1. mismo medida de posicion se cuantifique 10 dispersion. Entre las medidas de ;>ercentl188 sa diapersion menciouClreruoB 10 amplilud. 108 pel"centiles y 10 desviacion stan- : 47 Ampl i tud 5e define como 10 diferencia entre e1 valor maximo y e1 valor L. tanza se calc lai V idiendo por minime una serie. 82 : 82 = Ejemplo: en 10 serie,2, 5, 6, 9, 10, 13 10 amplitud es: 13 - 2 = 11 i ,La c Es una medida de fecil obtencion y comprension. Sin embargo por medlda la solo de los dos va10res extremos tiene serias limitaciones. ASI por ejel da pIo, es posible que aparezca en una serie un valor muy bajo 0 muy alto, a una que tendrla como consecuencia una amplitud grande que no reflejarfa 10 vet e y a as ? e. daclera variabilidad de los valeres. Esto podria subsanarse eliminando va.mos por u 81. 01 lores extremos IllUY alejados, pero las reglas para hocer esta eliminacif' serian de di f lei 1 f ormulacion y se pres tar ian a interpretaciones sub jeti vai' Percenti I.es I: f i. Al estudior las medidas de posicion se definio el percentil. Es facf imaginar que 10 distancia entre dos parcentiles deterOl.inado6 servinl par comparar la variabilidad de diferentes series de valores. Par ejemplo. ito 10 diferencia entre los valores del percentil 95 y el percentil 5 es de !do unidades IDra una serie y de 70 para otra sabremos que los valores de I. segundo serie son mas variables. Una diferencio particular entre percent] les es 10 llamada AMPLITUD INTERCUARTlLICA que se define como 10 diferenc\ entre e1 cuortil 3 (0 percelltil 75) y el cuartil 1 (0 percelllil 25). . Cuando se I La desviacj 01 promedio hay poco di Ci Sin embargo no es este el uso mas importante de los percentiles COl medidas de dispersion. Es en la determinacion de los Ilmites de variaci.+I--____________ habitual que los percentiles adquieren su maxima utilidad. ASl par ejel pIa. si'se necesita saber cual as 10 temperatura que se puede acei tar como normal antes de declarar que una personatiene fiebre es hacer un estudio de -10 temperatura de un grupo de individuos normales. S- en este grupo de wediciones detenuinamos 10 temperatura correspondiente a percentil 99 por sabremos que temperaturas de esa magnitud 0 SU? riores s610 se observan en un .1% de las p!'rsonas normales. 0 en otrol:l 4 8 10 bras aon raras en una persona normal. y es liei to entonees catalogar las 11 f iebre. El percen ti 1 que se usara de l.imi te en t re 10 que se vaya a consi derar normal 0 habitual y 10 que se considerare anormal es arbitrario y ______ 1_7 ____ pandera.de se poco 0 raro. fr:cuente e 2 percentll 95 0 el 99 como hll\lte superlOr y el percentll 1 0 5 como hmil Xi 50 inferior. Cuando en una distribucion se ha usodo 10 mediana como posicion se usaron los percentiles como medida de dispersion. Desviacion standard . t Para medir 10 dispersion de los valores de un grupo de datos en que ,.;"'" .l: Xi =.Ii usode e1 promedio como medida de pas icion corresponde indicar como rlan las observaciones con respecto oeste prolDeclio. Podria pensarse ql n 10 sumo de las desviaciones de 10 media serio una medida adecuada perc J hernos vista que esta sumo es siempre igual a cera. (Propiedod 1 de la me' dia.) Estu dificu1tad se puede obviar 01 cuadrado cada difere_ cia. Tenemos entonce&:i(x ... )1.) 2. Pero este valor edemas de de pender j" 10 distoncio de los valore; con respecto a su media. depende del' numero d observaciones realizadas. Esta se soluciona dividiendo For e1 numero d observaciones 10 que :1105 do lIna medida 11amada varianza y que simbolizan Cuando ten :engorrosa Y COl mas por (J 2 : u2 = L (Xi - IL) 2/N. Cuando se trata de una muestra 10 v('· 48 , .. " . i .. rionza se colcula con las diferencias cuadraticos de 10 media muestral x y .4ividiendo por (n • I), simbolizandose por: ; y el valor minima . - 82 ; 82 = L (xi· x) 2/ (n • 1) " 13 • 2 = 11 . . " I La unidad de medida de esta expresion es el cuadrado de 10 unidod en que elllbargo por depende-attl medido la variable (8i ejemplo trabajaaios con cm, 10 varionza nes Asi por expresada en cm 2 ). 5i obtenemos 10 raiz cuadrado de 10 varianza nos .ob ". It J' queda una medida de 10 dispersion en 10 wisma unidad de medido de 10 varia ... , OJ" 0 muy" 0, Ll ". 1 11 d""" d d 1 "b I" fl ' • 1 ! f.,l e y a esta expreslon a amafemos eSVlaClon stan ar y a Slm 0 lzare ... ]0 fe ejafla a ve. .. . 1 "" d . JIIos por U S1 cor responde a un un1 verso. marse e lmlnan 0 v cer esta subjetivqs, percentil. Es ulinados servira pal'. 'es. Por ejernplo, (0 percentil 5 es de do ue los valores de 1 :ular entre pe. rcentl' ne como 10 di ferenc t percentil 25). los ,percentiles co, limi tes de variaci' idad. ASl por eje rIct que se puede ace ne fiebre es posib a • J i. v iduos normales. correspondiente S , I i • esa magnitud 0 supe les, 0 en otras (Xll )fICf'''' catalogar las qu vaya a cons 1 es arbitrario y d :s frecuente usar :il 1 6 5 como liml ediona como medida .; r ersion. .- ,x )0 de datos en que ·nde indicar como .. Podria penaarse q . idu adeouada pero )ropiedad 1 de 10 m, adrado cada difereD\ =mas de de pender J B lepende del numero Cuando se trota de una muestra, se usara La desviacion standard refleja la dispersion de los valores con respec- 01 promedio: es grande cuando hay mucha dispersion y es pequeno cuan- hay poco dispersion. CO:lculo de 10 desviacion ·standard en serie simple Si 10 edod de 5 enfermos es 4.8,10.11.17 - ;) 2 x· Xi'" x (x i . '1 4 . 6 36 8 . 2 4 10 0 0 11 1 1 17 7 49 Xi = 50 0 90 = L(Xi-;)2 L Xi = 50 = 10 = -- n 5 = = odo fOr el numero y que simbol izare Cuando tenemos muchos datos, esta manera de hacer los calculos es muy y conviene usar otra formula f una mueatra 1a v. 49 , , I· t { ,1 I f I I , , ' (2x,)2 a Xi 2 ___ n_1_ n • 1 Clilculo de la desviacion standard en sarie agrupada Cuando tenemos una serie agrupada podemos hacer los calculos en sin necesidad de conacer los valoree individuales. 2: • 2 2:f. • -2 2: f ,x' , 2 ( fj x j) (x j - x) J J . 2: f' ) o bien s J s 2: f, - 1 2: fj - 1 J Eje mpio: t f; de las I . " , Ul\ 6riterio ae ia variable. modo de J elfkero·poslble dar 'to en la elasifi '".' ,En escala 0: lei d" 61o!unp \II. persi6ni. i .: . Cuando las m 1 verdadero pre o. ·que podro do ivas de deseri stand 'OJi·' .tn' este: casb alores.que dese .j d .t d " V II Gramos fCote.lna x' , L f x' , x' ,2 L x' ,2 ,p /-n cuando as ash aila el-cenUles. Es ado porcentaje lias y nos dara por litro J 40 • 44 • 49 50 • 54 55 . 59 60 - 64 65 - 69 2: L - 1 J 42 47 52 57 62 67 4.730.625 119. 665 - 40- = ------'''''-- 39 1.399.375 = = 35,88 39 8 = 5.99 J J J 2 84 1.764 6 282 2.209 12 624 2.704 13 741 3.249 5 310 3.844 2 134 4.489 40 2.175 2.175 2 U9.665 - 40 = = 39 119.665 - 118.265.625 = = J J 3.528 13.254 32.448 42.327 19.220 8.978 119.665 I, f4 If,! Para utiliza n gr\lpo de date is t r ibucion s i abera ser s'ime t ante por distri ue entre el pre alores de aprox el' 95% de los , tcmdard y que I ntre los limite Il :q fard. J t, , I: os calculos en ell • j- .- .2 f. x' .2 J J J 764 3.528 209 13.254 .704 32.448 .249 42.327 .844 19.220 .489 8.978 119.665 = 25 = Ii,. £leool6n de las medidas de poslol6n y dlspersi6n Al tratar de describir un grupo de datos nos'encontrarnos con el proble- UlQ de decidir cualea de las medidas deban usarse para caracterizar su dis .. tribucion. Un criteria para 10 eleccion de estes ruedidas sera e1 nivel de medicion de 10 variable. Sabemos que en una escola nOUlinal solo se podro nar a1 modo de la distribucion, as decir, 10 categori.a mas frecuente. y no §erG posible dar una medida de dispersion yo que no existe un orden implic! to en 10 clasificacion. En escala ordinal edemas del medo se podro' calcular 10 mediana y los percentiles que sean de interes. En este tipo pe eacola evidentemente se prefer ira 10 descripcion con mediona y percentiles yo que asi se 10gro no ,polQ una descripcion de 10 posicion del grupo sino que taUibiem de BU dis .. persion. , Cuando las mediciones se han hecho en escala de intervalos se presenta el verdadero problema de e1eccion de las medidas. Dejaremos aparte a1 mo- do. ·que podra dorse como informacion odicional y discutiremos las alterna. tivas de describir una serie can mediana y percentiles 0 can promedio y desviacion standard. En e&te caso sera fiUY importante e1 tipo de distribucion que tengan los valores que deseamos describir. Cuando hay distribucion nos es desconocida a cuondo es osimetrica. can acumulacion de valores en uno de los extremos de 10 distribucion. 10 indicado sera su descrippi6n a troves de mediana y percentiles. Estos medidos nos aseguran cuulquier coso que un determi- nada parcentaje de las obssrvaciones tiene val ores iguales a inferiares a y nos doran una imagen facilmente comprensible de 10 distribucion. Para utilizar el promedio y 10 desviacion standard en 10 descripcion de \.In grupo de datos es neceaario que estos cump!an ciertos requisitos en eu giatribucion s1 quut"emoa que estas medluos teugan sentldo. La distribuclon debera ser simetrica y unlmodal y parecerse a 10 que conoceremos mas ade ... lonte por distribucion normal. En una distribucion de este tipo sucedera que entre el p-omedio mas menos una desviacion standard se encontraran los va!ores de aproximadamente dos tercios de las observaciones, que del 95% de los valores esta entre el promedio lIIas menos dos desviaciones standard y que practicamente todas las observaciones quedan comprendidas entre limites dodos por e1 promedio mas. menos tres desviaciones ston_ .' 51 f I I ! \ t, f t .",t ... Un problema frecuente y mas especific=ente en I: ,, " campo ffi&diao, as detQrminar &1 un individuQ 88tO aano Q anfarmo. 8i ea nOl malo se aparta de 10 normalidad. Para llegar a tal decision gene raIment se widen algunos caracteristicas del individuo y s1 los valores encontrado son los habituales en personas sanas se Ie considera como tal, considera", dolo como enfermo 0 anormal en caso contrario. As! por ejemplo. considera, r.lamas normal que un adul to tuviera una presion arterial de 130 mm y anor mal que tuviera una presion de 210 mm, porque es te ill timo valor es raro \\ encontrar en adultos.sanos. }, Para establecer los limites entre 10 habitual y 10 foro es necesari conoeer 10 distribucion de 10 variable en estudio. en individuos normelel £1 gr6fico que se utiliza paro representer una distribucion de frecuen cias de datos en esca10 de intervalos continua es e1 histograma. En est grafico 10 frecuencia en cada categoria de 10 escala esta representada po el area de 10 barra correspondiente, y e1 total a lCXJ'/o de las observacione por 10 suma de las superficies de todas las barras. 1-'-3 -3 Supongamos que conocemos 10 distribucion de los volores de glucose sw , guinea de un qrupo de individuos sanos y que lerepresentarnos en Ull; de area graruc. Ba.adoll en a.to dilltribucion •• pOllibl. fijar 108 limite. entre 10 Supongomos que se' encuentra 10 mayoria de las personas sanas y fuera de los cuales que decid encuentrcm muy pecos individuos. 1- Se sabe que Existe una distrihucion de frecuencias teoricas 11alUada distrihuci(completa tiene I normal. que puede considerarse como modelo adecuado ,para 10 distrihucion que t un gran numero de variables en el campo biologico, en e1 sentido que si lsi es hobi t,ual aumenta e1 numero de observaciones y se disminuye el tamano de los intervtdebemos conocer los de clasificacion; e1 gr6fico se asemeja al de 10 distribucion normal. Para calcul, distribucion que tiene las 'siguientes caracterl.Bticaa: :lor de la varia 14 Su grafico semeJa una campana simetrica cuyas colas se extienden hac{mal. Para evitl e1 infinito tanto en direccion negativa como positive (as reducida. ( respecto 0.1 eje 4 • • .'. • {\lsar estas tabu 2. El promedlo, la medlana y e1 modo de 1a d,str,buc,on tienen el estan dodos valor.. ., . . . I<lat"d tengan est 3. La dIS tnbuclOn queda comp1etamen te deflnida por e1 promedlO y la debie normal stane viacion standard. El prome4io nos informa sobre 10 posicion 0 Ubi 1 ' cion de 10 distribucion en el eje horizontal y 10 deaviacion atanda ,,' rafleja 10 dispersion de los valores con respecto 01 promedio. '. Z::: .1L..:..H: 4. £1 area bajo 10 curva comprendida entre los valores de a x fL - a y fL + a es aproximadamente 0.683 6 68,3 % fL - 20' Y I" + 20' 0.954 6 95,4 % fL-3O' Y fL +30' cualesquiera searl los va lares de J.J- Y 0- Aunque teoricamente 10 distribucion l1ega a - co y a + 00 10 t iea no se encuentrcm' volores a nias de 3 desviaciones standard del 52 En Ijl ptobl, sanguinea e ,:;:. , .... '. , meal,o. ',', En le tabla, .. " especificamente en 'f o enfermo •• 1 .a nor decision generalmen as valores encontra como tal. considera or ejemplo. consider rial de 130 mm y ana' 1 t.; valor es raro t , !. 10 raro es individu08 normal •• strlbuoion d. freeue histograma. En 8S esta representada p de las observacion .. K' DE MUESIRIS w 3a I -3 alores de glucosa s . ,.elltamos en un hist "Cal cui 0 de areas 1'--2 a Jot-n' pt3 a I -1 -I o los limites entre I ' [uera de los euales Supongamos que frent e a una de t e rminacion qe glucosa e n 10 sangre ten- gQJJK)S que decidi ,r 5i este valor eS normal 0 no,' Se sabe que ' midiendo 10 gluCOSQ sanguinea. en mg por 100 ml de 11olAoda dlatribucl ' cOlllpleta t.ient! distribuc ion normal con promedio .83 y desviacion standard 4 . ora 10 distribucion Supongomos que en un poci ente se encuentra un valor de 90. Para determinar 1 e1 sentido que si si es habitual tener un valor de e ste mognitud a superior, estando sana, tomano de los interv debemos canacer 10 prababil i dad can que esto ocurre. , distribucion Para ca1culor e1 area bajo 10 curVQ normal a partir d.e determino.do va - lor de 10 variable x s erio necesario integI"or 10 funcion de densidad nor· las se extlenden hael mal. Para evitar este trabajo se han construido tablas de areaa de 10 nor- sitiva (ea o8int6tl ' mal reducido. que tiene promedio 0 y desviacion standar'd 1: Para poder uci . ,usar estas tabulaciones es necesor io transformer 10 variable original en tienan a1 que eston dados los datos de monero que Sli promedio y su desviacion stan .. promedio y la d. ! 10 posicion 0 ubic _a desviacion standa 01 promedio. 8a de 0.683 (, 68,3 % 0,954 (, 95,4 % O. 973 - 6 9'h-fr--%·- ".1(, ,/ ·dord tengan (istos ,val ares. Ealla variuultJ transformuda sa 11uIII0 vqria .. hie normal stcmdord y s e simuolizara por z en que z:.:.: o En e 1 problema que coso sWlgulnea de 9). nos preocupabo. habiamos encontrado E1 valor de z correspondiente es: z = .90 - 83 4 '" -+ = 1.75 un valor de glu- ya+oo standard del 1 ' quiere decir que 90 se encuentra a 1.75 desviaciones standard del a pro media. En 10 tabla. z aparece has ta con dos deciruales, indicandose los en teras . y el primer decimal en 10 primera columna y el segundo decimal en 10 prime. ,fa fila, El centro de 10 tabla contiene los vol ores de la superficie bajo 53 III t f I; , f la curva. expresada en relacion a 1 desde el valor de z hasta infinito. t" 1 1 h 10 misma direccion. Es decir, para un z positivo, desde z hasta + CD Y p,riotr P1ara 0 . d d h ua y raro. ra un z negatlVO. es e z asta ... 00. d 1 En nuestro ejemplo, en que z : + 1.75, e1 area cor responde a1 val d't al vee anotado en 10 interseccion de 10 fila correspondiente a 1.7 Y 10 column 0.05 y es 0.0401. Esto significa que segun el modelo de la s El normal que la probabilidad de encontror valores iguales a superiores Iitt r. 1 n e c 0.0401 a bien que hay un 4.01% de valores iguales a superiores a 90 mg poc arm narlamods 100 1 d ue correspon e m. e samF e • hfarior. Para S1 defl.llieramos como raros, aquellos valores que ocurren menos de 5% \l" 1 d l' las veces en este caso deberiamos declarar anormal 10 glicemia encontradQj VpQ or e z_ t ' La b1 . d t . b b'1'd d . 1 tara encon I to a permlte e erffilnar atros pro all a ee, por eJemp 0, 1a formula de de encont,rar valor •• en d.terminado Inter:,a.lo de 1a varl.able x, para If cual habra que tener presente que la superflcle total vale 1. i Si par ejemplo q-uisieramos conocer la probabilidad de encontrar valor(' = K - jJ- de glicemia entre 75 y 85mg, buscariamos z y su area para ambos valorel z -u-- = 75 83 z = = -2 1 4 4 P1 = 0.0228 z2 = 85 - 83 = 2 = 0.5 - 4 4 En el grafico , las areas correspondientes se indican par 10 parte breada. 15 I -2 f = 83 = 1.6 1 15 "II U p ='. 83 I e1 gr&fico Ip s valores ,raro , _ .' J , j I' - 1.0 que nos interesaba, sin embargo, era el area en areua eXlnHntlS y rt:3stanc)olus Cl lu superficie lolal 1 bilidad buscado. t, blanco. Suruando I! \. Como se encolllruUIOS 10 probfit oonsiderara l 1% etc. deper 0.0228 + 0.3085 0.3313 1.= :. ,.' ,.' 0.6915 41tlmo d cion que se I 1. '. Lo.s requis intervalo!! 00 De modo que 10 probabilidad de encontrarvalores entre 75 y 85 es de se o 10 que es 10 mismo. esperCBllOS que el 69,15% de los individuos san os tenln los dlst.lnto: glicemia entre 75 y:85. i?1D8nte con las La tabla Bolucionar no solo problemas relativos a la probabiDBncia se dad de encontrar valores de z superiores. inferiores 0 entre eate memento. valor es de z sino que sirve tambien para encontrar los valores de z y secuentemente los de x que delimitan areas preestoblecidas. Supongamos q en e1 problema de 10 glicemia quisiercunos establecer limites inferior y 8' , hasta "'rior para 10 habitual. En primer lugar habria que definir e1 criteria de e z hasta ro Y p qbitual y raro. Supongamos que consideramos raro un hecho que ocurre 0610 n 5% de lao veceo. Aplicado eete a1 limite inferior de 1a gliee- orresponde a1 1 010 ia , debemos encontrar e1 valor de z bajo e1 cual queda 'e1 5% del area de a 1.7 Y.lo co distribuci6n. 0 en otras pa1abras que tiene 0.05 de oeu- de 10 rir. En eat. C080 buacaremo. en 81 centro de la'tabla el valor 0,0500 y les. a Buperlores e '.terminarlomo8 a que' z corresponde. La mas proximo a eate valor as 0.0505 )erlore·s a 90 mg P \18 corresponde a z .:. 1,64. Eate z tendra valor para e1 Ilmite .nferior. Para el limite superior. rigiendo e1 mismo criteria, tendremos urren de 5% n valor de z limite de + 1.64. 111cemla Para eneontrar los valores de x correspondiente s610 reeta despejar x par eJemplo. ela formula de z: var l.oble x. para \ . ale 1. de :ion t rar valor ambos valore , j x. f In z sup x.up " 83 - 1.64 " 1.64 = " 83 + 1.64 x - 83 - 1.64 " 4 (4) = 76.44 x - 83 4 (4) = 89.56 n el grafico los valores habituales corresponden \11 area sombreada (9ClY.) y :an por 10 parte iii pi valorea rarOB en peraonca normales, 01 area en' blanco (lm). 5 -l. 64 3 I o 89.56 I I. 64 x z Como se puede desprender del ejemplo. el limite que 5e fije para 10 que considerara habitual y raro es arbitrario. Podria haberse dado un 2%. 1% etc. dependiendo del criteria del investigador. lanco. Sumando 1. ncontramos 10 Por ultimo debe quedar en claro que. por muy atractivo que cesulta aste etodo para csiqner probabiliclades a un intervalo de valores 0 para deter· inar limite. de variaci6n habitual. esto 5610 tiene sentido cuando los da- as con que se trabaja se conducen segun al modelo de 10 distribucion nar- 01. Los requisitos que deben cumplir son: que sea una variable en escala 75 Y 85 es de 0.69 dividuos sanos ten e intervalo. oontinua, que lu distribuci6n sea unimodal y simetrlca. que u histogram se asemeje a1 de 10 distribucion normal y que las frecuencias n los distintos lntervalos de 10 variable estudiacla coincidan aproxima- awente con las que se esperan par 10 distribucion normal. Esta coinci _ ivos 0 la prababif se puede evaluar con otros metodos estcdisticos que no se detailen o entre determina n momento. vulores de z y co dos. Supongamos q mite. inferior y • 55 , I I ...... __ ._. __ .- .... -.- PROBAB III DAD Imbo,oKfa: n Un conceplo usado corrienlemenle en la vida diaria ,= num . m A = num de Un caracter comun a 10. hecho. cuya frecuencia •• expreaQ en termi,", P(A) = de probabilidad. e"s 1a incerticlumbre previa sobre 10 ocurrencia del hee; en un caso particular. A pesce de ella, la necesidad de decir e1 resultado para adoptar una declsIon. Por ejemplo, cada vez que} P(A hace un viaje en avian no 88 conOC8 con certeza .i ocurrira 0 no Un ace, dente: hay una pequeno probabilidad de que "ste ocurra y; complementari .. . _ mente, una alta probabilidad de que no suceda. Tomar la decision de el viaje supane predecir que no habra Un accidente en su curso, predicq . que se baaa en la probabilidad antedicha. f LA PROBABIL NUESTRAL Por que interesa en medicina U TOTAL DE P Aun con las tecnicas actuales, no es posible identificar y Pfuntos od 1 f '1 t· 1 1 . d t . 1 . 1.enClQ or man t os os aetores, mU Ip es y comp eJos. que e ermlnan a ocurrenClQ "E.pacio mu. loa hecho. bio!oqico8. Con e}tn.lca y ante un enfer'ual uier resuj nos vemos forzados a hacer un dlGgnostlCo y pronostLco probab1es, y a II 1 q . t 1 . p. 1 d 1 f ,. e con J un o. mu ar un trotauuento. or eJemp o. uno e os aetores pronostlcoS en luaatral" .. per.ona quemado. e8 la extension de 10 quemadura. La experiencia mue., En nu;stro que euonde esta no excede al 2c::Po de 10 superficie corporal. falleeen 1CR,os al azar E los enfermos; euendo 10 quemadura aleanza 10 mitad de toda 10 superfiYaris sin 6scc corparel, la mortalidad llega a 95%. Ante una persona que tiene una qUI!!. ('1· -os). . d d . . - d · ' 1'· b· >Os n n • ca ura e eseasa lrlomos que e p-onostlco es enlgno porque , . La definici mas probable es que sobreviva; este pronostico no tiene seguridad la t tal enfermo podria ser precisamente uno de los que mueren a pesar de .e loa quemaduraa no 80n extenao.. El es cio m Lo importante 88 que es po.ibis hacer predicciones probdb111sticas. -pa base a la experiencia anteric.r. PR£DICCION£S Que SON VALIDA S . con restri ciones, PARA GRUPOS DE INDIVIDUOS. Por ejemplo: 10 tasa de mortalid·,d I neral en Cllile fluctua alrededor de 9'/0 y esto significa que de cada 1,( chilenos van a mor,i r 9 en e1 plazo de un ana; esta prediccion se cumpli con bastante exactitud sin que seamos capaces de predecir qUienes son 1 que viviran y quienes morireD. Definicion y medicion de probabilidad Ejemp1o: .. En un estudio hecho en e1 Hospital Calvo Mackenna sobre cia de parasitos en ninos se encuentra: 22 casas de ascaris 178 casos sin ascaris 200 ninos estudiados El modelo q. ual probabilid U eleccion I!S , , . '9tese qae se c [!''tcfa, la prol l :, ....• S1 se eliqe a1 azar uno de estos este infestado eate para.ito? 200 ninos tcual es 1. ,"- n - : probabilidad ,'\': p (A) = Adaptacl&n de enteroparaslta16giea en Hospital 801. Chile. Para.sit. X.V,II: · 93-100. Oct.-die. 1962. Calvo Nacke n , ·' ·f .•.... .I i Qsleller. Rau . l 96l • I· 56 , .. .. . ____ . ___ ._t, ,,'II' . mboloafa: n = num.ra de ninas de caSOB posibles = numero probabilidad ss 8studia = de puntas en e1 = numefo d. ninos numero de cas os probabilidad de e expresa en termi .• PtA) = ocurrencia del he examinadoa = numero espacio muestral. con heeho A cuya "favorables lt • ocurrencia de A. 10 de P ntonces: 3mplo, cada vez que curriro 0 no un ac §:i ra y complemen tar ,;'" .. P(A) = 22/200 = 0.11 0 bien 11% la decision de hoOf I" I C I on: 1 5\1 curso, predicc'" LA PROBABILIDAD DE QUE UN HECIIO A ES LA RAlON UNTOS NUESTRALES QUE COIIRESPONDEN A LA OCUHRENCIA DE A TOTAL DE PUNTOS (CASaS POSIBLES). ENTRE EL NUMERO DE (CASOS fAVORABLES) ltificor y cuantifi ninan 10 ocurrencia co y ante un enfer probables. y Q f res pronostlcos en .Q exper iencia mues poral. falleeen de toda la superfi a que tiene una que ) as benigno porque ne aeguridad abaolu mueren a pesar de les probabi lis t ieos VALIDAS, con restr' tasa de mortalid,d : lea que de cada 1. )red; 88 cumpl ,dec quienea Bon sabre free es 1. prQbabi1idad puntas que represent an todos los posibles resultados de una expe- ,iencia forman e1 espacio muestral. "Espacio muestral de un experimento es un conjunto que .ualquier cesultada del experimento cor responde exactamente a un elelllento 'l conjunto. Un elernento en e1 espacio muestral se designa como punta .'hestral". " En nuestro ejemplo e1 experimento consiste en elegit uno de los 200 ni- 08 01 azar. El casulteda del experimento puede ser de dos tipos: con as- sin ascaris. E1 espccio muestral asta constituido por 200 elemen- (ninos); Gada nino es un punto muestral. La qat in1cion -de probabilidad que hamos <;lado as de caracter aplicado y ,"presento 10 frecuencia relative con que ocurre determinado hecho si e1 xperimento se repite indefinidamente. . El espocio muestral puede representarse graficamente: ... ':: ... <.: . . . . ' .' . ..' . ., ...... : . . . .. . . ". '.: ......... ' .. : :'. . .. . . '.' . " .. . El modelo que se esta explicando se cacacterizQ porque se asigna una i- ual probabilidad a todos los puntos: cualquier nino puede ser elegido y eleccion es igualmente probable. En este prim 7 r esquema, 01 simple, Otell8 que 86 conaidera un 8010 hecho; inte.tacion por ascaria. En conse- la probabilidad de que A no aeontezca (no infestaeion) es: (. PIA) = = 1 - PIA) = 1 - 0.11 = 0.89 1 n n Esto significa que las fI'obabilidades complemental"ias suman uno.cons .. certeza. spitQl CoJVQ Macken j!o.t.Jlor, Tllomas: "Probability and Statistics", Addisoll .. Wesley. pSI. 57 III ", f PIA) + ptA) = 1 . I " puede ve , Q d I b · . . f t d ' . 0,41 0,05:: Si en elA t10tal e 2(0 niiiosdno lU lera lnpe(sA)a:! aBC PtA) = 0, a lnversa, Sl to as tuvleran aSCOrlS, -. n cons'f, (A B) 1 cuencia toda probabiLidad tendra un valor entre 0 y l: h 0 A B es ( ec os , • , . O:;;P:;;l si P ::: 0 hay imposibilidad de ocurrencia r Si compara1, r (AB) dif lare d, si P 1 hay certeza de ascpris los A veces 10 probabilidad puede ser determinada "a priori". Por ejemp1P(B) 'en: que en en e1 lanzamiento de Ull dado tacias las caras tienen igual probabilidad Jlos 10 casos qUI ocurrencia y podemos. e.sl ablecer de antemano todos los casos posibles y 10' Luego: favorables. Par ejemplo, 10 probabilidad de obtener un seis es 1/6, porq. los casos posibles en un lanzomien to son: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6, y el onie caso favorable es 6. rCA 0 B) = P(AB Ip ( A 0 B ) En muchas otras a:::asiones 10 probabilidad se determina "a posteriori'\' en base a 10 frecuencia relativa observacla en experiencia previa. Por e: jemplo.- en 1958 81 total de nacido8 vivos en OdIe fue de 250.247. De 1 11os, 127.432 fueron hombres y 122.815 fueron mujeres. De estos datos de ducimos que la de que un nacido vivo sea hombre es de: 'Este es e1 127.432/250.247 = 0,5092 (50,92%) Teorema de adicion de probabilidades gue oeurra par ilidades simples .fP:le ambos oeur n Petra nues t rc u. t . P (A 0 B) '" A (Denudo inter.aa la ocurrencio de Ul6. de un hecho. En e1 ejemp10 r do an ter iormen te. se" inves t igo tamblen 10 axis tencia de at roO perosi to. Gra fieamen t ranera: 1emblia .. con los rest,1 tados siguien les: Infestacien Infestacien por lamblias por ascaris s1 no total si 10 12 22 no 82 96 178 Total 92 _L lO8 __ 2CD Originalmente ten.i.amos dos probabilidades: que un nino elegido ascaris [P(A) = 0,11] 0 que no los tuviera Ambos probabi l.idades sutl!oban 1. Vemos que 01 agregar Un dato mas a nuestro una ser i"e de at fOS prohaL il iclades. DenolllinelDos par A y til dti taller lombIiaa par B. l!'Oi) investigacion han e1 hecho de tener 1 ,1 i it "1, , .. , - , .j La certeza actual::: I, est6 constituida par la suma de las siguient probll.bilidades: . f P (AS) ;:; de tener ascaris y no tener lamblias = 12/200 ::: 0 , P (AB) ;:; probabilidad de leller lamblios y no tener ascaris:::: 82/200 = 0:( . Es posible { P (AID ::: probabilidad de tener Jalliblios yascaris = 10/2eD = ... r. que fl? pue P (AB) = probabiLidad de no tener lamblias ni ascaris = 9612CD = 0:1; eoremil de Adicj 58 Total . '1 ' :: r '. ' j ;?, . _.\,. , '·· .."f·,-·,'.,"w .. "!.,.,· ..:.-................ l Se puede ver facilmente que la probabilidad un_nino elegido ten- 1 9a cualquiere 0 ambos porasitos es la suma,de P(AB) + P(AB) + P(AB) = 0,06 f d ' . + 0,41 + 0,05 = 0,52. Simbolizaremos esta situacion por PIA 0 B) en que "0" n asta 0 con ascarIS . .. ,.. .' . P(A) = 1 E plgnlflCa! ascarIS a lambllos 0 ambos. Esto es equl.valente Q declf que , • n conse (A Q B) es la probabilidad da que oeurra POR LO MENOS UNO de los : A, B. [encia _Si comparamos con las probabilidades simples origina1es. vemos que f(AB) difiar. de PIA) en que en el numerador S0 he restado_a los 22 casas co{} ascaris los 10 que ademas ten ian lamblias. A su vez peAB) difiere de prl.Oll. . Por ejemplP(B) en que en e1 Q los 92 cas os con lamblias se les ho restado igual probabilidad JOB 10 casos que ademas tenlon ascaris. ; casos posihles y 1 Luego; un seis es 1/6 I porq' 4 ) - 6. Y el uni (A 0 B) = P(AB) + P(AB) + P(AB) = @(A) - P(AB] lp ( A 0 B ) = P(A) + P(B) - p(ABll rmina a pas ter ior i", . encia previa. Por e; ue de 250.247. De.; ). De es tos datos de . Este es el teorema de adieion de probabilidades: la probabilidad de que ocurra por 10 menos uno de los hechos A a B es la suma de las probabi- lidades simples de ocurrencia de cada uno de elIas menos 10 probabilidad de 'que ambos ocurran simultaneomente. hombre es de: , Para nuestro ejewplo: P (A 0 B) = 221200' 92/200 - 101200 = 0.52 o. En e1 ejemplo us ,; I de'otro' parasito. 1 Gr6ficarnente se puede representor e1 espucio muestral de 10 siguiente onera: Ai! AB AB AB I 1 ...... ,/1 7j / .'J. , olfio alegido umo de las siguien t, .. -. stigacion han surgid: 8cho de tener ascar)' . . " Iblias = 1212m = 0, . , ;car is = 82/2m = , Es poslble que los dos hechos A y B sean MUTUAMENTE "YENTES. es de- = 10/2m = 0 Clr, que no pueden aeontecer conjuntamente. En tal easo P(AB) = 0 y el = 96/2m = Teoremq de Adieion se simplifiea a: . 1. 59 'II I . P (A a B) = PtA) + PCB) .i A. B mutuamente exeluyente8 Graficamente e1 e.pacio muestra1 serla: If) 'I . " , ,. J;, ' , f Dividiend P(AIB) Luego: E.te reau \ Este es E ! COIiPUESTA 0 C .. Habriamoe i punto de vis t [v1omente se c f: P(AB) = P Este teorema se puecle a mas de dos hechoa. Per Indape 1963 •• notificaron 28.543 casoll de Sarampion en Chile, de 1011 cual! 13.768 Deurrieren en Santiago. 2.709 en Valparaiso y 2.186 en 008 • IDa Estos eventos son mutUQmente excluye ntes. La probabilidad de que un e110s no afec de sarampion haya ocurr i do ep Santiago. Valparaiso 0 Concepcion es: • En tal co = 18,663/ 28.543 = 0,65 I' P(AIB) = Teorema de Composicion de Probabilidades 10 c\lQl e 13.768/ 28.543 + 2. 709/28.543 + 2.186/28.543 Entendewos por probabilidad cOlDpuesta 0 eonjunta, 1a = f que dos 0 ma. hech08 ocurran simultaneamente. En nuestro ejewplo seria .! LOS H£CH probabilidad de que un nino tuviera 01 mismo tie ropo ascaris y lamblias, ." Siendo PtA) D to es, P(AB). l.alesde otro pI Con e1 fin de dedueir una formula para P(AB) es neee"ario introducirf la ocun'·encit concepto de PROBABILIDAD CONDICIONAL. Esta es, 1a de que OCI: cluyentes. es rra un hecho cuando se establece como concilclon que hoya CO. rem rrida oteo hecho. En sImbolos se r e presenta por: P(AIB} = prohabilidad;: cuando = 10 ( ' que ocurra A habiendo ocurrido previawente B. . If. En una 81 En nuestro ejemplo P(A/B) serla 10 probabilidad de eucontrar un D .:'- tritivo en r. infestado por ascaris en c ircunstanc ias de haberse comprobado que port : Sa define lawblias. El mue.tral de caeoa pOlllblea ae reduce entone •• a _ . 92 ninos Infestados por lcunblias y los casos favorables son 105 10 nii A = homb que adicionalwente tienen ascaris: ' = muje A P(A/ B) ",-- = 10/ 92 = O.1087x(10.B7 %) '. 81 el rei 60 It ' " I " ; , . S .. , i " . " Dividiendo numerador y denominador del termino derecho por n tenemoa: P(AIB) "AB/n P(AB) = = '"BIn P (B) Luego: &) = P(B) P(AIB) I = = (0,46) (0,1087) = = 0,05 (5 %) Este resultedo es equivalente a 10/ 200 = 0,05 Eats 88 el r£OR£NA DE NULTIPLICACIOH DE PROBABILI DADES 0 PROBABILIDAD CONPUESTA 0 CON]VNTA . Habriaao8 lleqado 01 alemo resultado apllcando eate teorema desde el punlo de visla de 10 probabilidad condicional de lener lamblias cuando pre- viamente se 1a existencia de ascaris: . P(AB) = PtA) , P(B/A) = 221200 • 10/22 = (0,11) (0,4545) = 0,05 (5%) has. Par ejemplo, • "echos independientes :hi I e . de los eual 2.186 en Concepci ' I Do. 0 .Cia hecho. aon •• cuand'o la ocurrencia de uno de ilidad de que un c el108 no afecta lq probabiliQad de ocurrencia de, al 0 de los otros. :oncepcion es: En tal C080, 8& claro que: ,63128.543 = 0,65 P(AIB) = P(A} y can 10 cnal el teorema de P (B/A) =, P(B) composicion de prohahilidades sa transforma en I P(AB) = PtA) '. PCB) a1 A y B son independientesl LOS HECHOS INDEPEHDI£NTES lAMAS PUEDEN SEn MUTUANENTE EXCLUY£NTES. '. 10 probobilidad dtro &Jewplo serio icaris y. lowblios, Siendo PIA) mayor que 0 y P(B) mayor que 0, su producto nunca podro ser O. Desde otro punto de vista: 81 la ocurrencia de un hecho hiciera iUlposible introducir 10 ocurrencia de otro hecho. COiDO sucede en aeontecilllientos wutuamente ex- bnbi l idud que 0 ' cluyentel, datal hecho. logicamente no son independientes. oc Comparemos ahara 10 que sucede cuando dos hechos son independientes y lB) - probab111dad cuando no 10 son. d8 encon t rar un n' omprobado que port reduce entonees a :)1es son loa 10 n1 - , (10,87 %) , " , , ', ' En una escuela se examino tritivo en a1 aexo. 58 define: A = hombre A = mujer Si e1 resultedo es: 1.500 alumnos estcblecer su estado nu- B = deanutricion B = ausencia de desnutricion 61 • II I I I i ' ( • N° a1umnos Hombres I.CID Mujeres 500 Total 1.500 <Son A y B independientes? P(B/A) = loo/1.CID = 0,10 Desnutridos N° % 100 10 SO 10 150 10 I prDblema ,Con ci'lrta f d,un del • cualn el he pt ejemplo: Be se1eccionan PUE "Seensaya una I blaslfican en' I Be inoculan 20 se rva en cada ( ·' i,'. Enioficies Blire P (B) = 1&0/1.500 0_10 Luego A y B 80n indapendiente. La probabilidad de que un nino elegido a 1 azar de esta escuela sea bre y desnutrido sera por 10 tanto: h n ·numero dado d; om .. rimento con la pn la droga has Oenfetmofl debel or que la an t ig' P(AB) = P(A) , P(B) = (l.CID/1.5OO) (150/1.500) = 2/3 , l/10=2/30=0,!ll7 Sit en cambia. e1 resu1tade hubiera side e1 siguiente: Deanutr ido. f'jQ alumnos N2 % Hombres 1.CID 50 5 Mujeres 500 50 10 Total 1.500 100 6,7 , e 15 por mera st ptpblemas de i, $j ! "'(!" ',' .' '\ .,' . qui $1 los 'para L <1; nebe haber 100 escolare, 2; En cada '8 " " do s, a me'nudo t f,.u idea de hi hlcticq los resu heinaH.;as el m 'un tratamientc muertej pod stantes. ' En este coso P(B/A) = 50/1.CID " 0,05 ,> Por, "lemplo, P (B) = 100/1.500 = 0,067 Luego A y B no son inde_ pendientes, es decir, la desnutricion depende del sexo. ue sea positivo. La probabilidad de que un niiio elegido sea hombre y desnutrido sera e.', tonces: P(AB) = P(AJ P(B/AJ = ,(1.=/1.500) (50/1.=) = Es erraneo. en cambia: 50/1.500 = 0,033 P(AB) = P(A) P(B) " (l.CID/1.5OO) (100/1.500) = 2/45 = 0,044 En realidad sabemos que la situacion conjunta de ser hombre y desnut do oeurre solo en 40 ninos de un total de 1,500, y su probabilidad es 11.500 = 0,033. 62 ensayo liSl';;b/;hI:iia;;ld,f 0 :'1 d 10 del s ta prot el' segul • 4' o o o endientes es to escue la sea hom, . 1/lCF2/3CFO.067 ute: .s % 5 LO 6. B no son inde .. dvsnutrido •• ro en iCD = 0.033 = 0.044 hombre y J probabilidad es 5 DISTRIBUCION BINOMIAL I problema Con cierto frecuencia en medicinu una lnvestigacicn -.:il J." oh .. ancien de un determinodo numero de unidades de observacion. en coda una de as cuoles el hecho en estudio puede expresarse en 5610 dos alternativas. or ejemplo: Se seleccionan 100 escolares a quienes se les una reaccion de tuber- :gue put::de ser "positiva" 0 "negative" . . Se ensaya llno nueva droga en 3q enfermos y los resultados individuales se clasifican en "curacion" 0 "frucaso". ,. Sa inoculon 20 ratas con una substanciu presumiblemente toxico y se servo en cada ani mol si "muere" 0 "sobrevive".' Entonces surge 10 pregunta de cucil es la probabil1dad de que se observe n ,numero dado de veces una de eslus alternativas. Por ejemplo. en el ex- rimento con 10 nueva droga se observan 20 curociones (67% de curaciones); on 10 droga haste ahora usada las cliraciones eran habitualmente sac; y en o enfermos deberiamos esperat' IS curaciones. Si la nueva droga no es me .. 0[" que 10 antigua, (,cuon es que se registren 20 mejorias en vez ,6 15 por mera suerte en una experiencia con solo 30 enfermos? Problemas de esta especie pueden" ser resueltos utilizando 10 distribu- lon binp,icd, si se curnplen detenuinados requisitos. pquisitos para utilizar la distribucion binomial 1. Debe haber' un numero Ii jo de "ensayos" 1m escalares, 30 enfermos. 20 rutas. etc. 2. En cada 'ensayo, los resultados posibles son necesariamente s610 dos, a menudo denolllinados "exilo" y La idea de binomio indica justumente dos nombres. dos terminos. En 10 ractica los resultados posibles podriun ser mas' perc si se agrupan en dos Iternulivas el modelo, es aplicable. POl' ejemplo. los resultados c1inicos e un tratamiento podrien ser: Guracion. mejoria. estacionamiento. agrava ... +00, pod,"iomos llamor "exilo" (] 106 dOB primeros y "fracaso" a los 3. La probabilidad de "exito" debe ser igual en todos los ensayos Por ejemplo, 8i se sabe que el porcentaje de' ninos tuberculino _ posi .. tivos en las escuelas primarias de Santiago es 30% y se taman 01 azar 10 de 110s. podemos suponer que 10 probabilidud 01 elegir coda nino es 0.3 de pe ,sea positivo. 4. los ensayos ueben ser Inuepenulentes entre sf Esto es, la ocun-encia de ulla alternativa en un ensayo no debe efectar a probabilidad de ocurrenciu de ella ell ninguno de los otros ensayos. En 1 ejemplo de in droga ensaynda en 30 diferentes enfermos. la probabilidad e curacion del segundo enfermo es igual haya 0 ilO curado e1 primer enfer .. ' 0 • 8i estu probabilidud fuera 0.70. entonces 10 probubilidod de que el rimero y el segundo enfermo curen sera (0.70) (0.70) = 0.49. IQIbQlogia n ::: mime ro de ensayos. s itmdo n :;.. 1 p = probabilidad de .. exi to" en un ensoyo; 0 ...::: p < 1 q = 1 - p = probabi lidaJ de .. f rucaso" en un ensayo x = numero de exi tos en n ensayos = 0,1. 2. . .......... n 63 r """ '_. ' I ': "j , " I I I Ii I • I ! , 1"\ I I Un ejemplo. En 1a d1fter1a lar!ngea 1a leta1idad e. hab1tua1mente de 81 •• ligen dos de estos enfermos al azar. ,-Cual es la probabilidad de que -de elIas muera y e1 otro sobreviva? En este caso e1 numero de ensoyos es das enfermos. e1 curso de 10 fermedad puede terminar en sobrevida (8) 0 mUllrte (M), 8e han elegido casos cualquiera a los cuales podemos atribuir una probabilidad "0 de sobrevivir iguo1. y 10 que suceda a1 primer enfermo no afecta 10 cion del segundo. Luego: n - 2 p = probabilidad de sobrevivir = 0,90 q = probabilidad de morir = 0,10 x numero de exitos, este es, sobrevivientes Se pide P(x = 1) = probubilidad de observar un sobreviviente. El numero de muestra1es es 4, porque e1 primer enfermo brevivir 0 morir (dos alternativas) y el segundo tarnbiem (dos alte vas), 10 que da 2 x 2 :;:;: 4 resultados posihles. E1 eapae'io muestral as: E = (SS. SM. MS. 1Vf,1) Coda uno de estos puntos representa una probabilidad conjunta sss hechos independientes. que corresponde 01 producto de las simples. Por ejemplo: P(SS) = P(S) PIS) = p.p (0, 0Cl) (0, SO) = 0,81 De modo similar se obtiene: Punto muestrul SS SM MS Numero de "exilos" 2 1 o P r 0 b a b iIi dad p2 - (0. SO) (0. SO) "" 0.81 pq - (0. SO) (0.10) = 0,09 qp = (:).10) (0.9J) = 0.09 q2 = (0.10) (0.10) = 0.01 --- 1.00 ----"--------------- Se ha pediclo 10 probabilidad de obtener un sobreviviente. Aplicando teorema de adicion de probabllidades (que hay a un sobreviviente. sea primer enferlllo 0 e1. segundo). en hechos que son mutUQlIlente excluyentes, obtiEine: P(x = 1) = P(SMVMS) = P(SM) j P(M'3) = 2 pq = 2(0,09) = 0,18 Se ve de inmediato que. tratandose de 2 ensoyos. 10 probabilidod ner 2. 1 60 exitos, ,se obtiene por los de expansion del b (p + q) 2 = p2 + 2. pq + '12 S1 se huLieran elegido, en simi lares condiciones, 3 enfermos. (n :: e1 esraeio muestral tendrio: 2 x 2 x 2 ::; 2 3 ;:: -8 puntos, cuyas probabilidades son: 64 -El-hecho de ·probabilidc probab i lida, to. Hemos vis to los -un sob rev i vier difetentes: ·Es neeesari( un punto mue tintoa de n , de n e p3 Pro b a b 1 1 1 dad e a - (0.90)3 =0.729 =0.243 . =3 (0, 90) (0.10) 2=3 (0.009) =0.027 =(0.10)3 =0.001 Tot a 1 Jidad eonjuntu de d,,\ Es decir, cuando n = 3. se obt ienen las probabilidades de 3. 2. 100 de las probabll1dad por la expansion del eubo del binomio: 0 ,81 0) (0,90) = 0,81 0) ''1,10) = 0,09 :11 '10,901 " 0,09 :J) (0. 10) = 0.01 --- " (p + q) 3 = p3 + + 3pq 2 + q 3 caso general para n ensayos ,,-Cue l es 10 probabi lidad de obtener en gene tal x exi tos en n ensayos si Q de exito es p? Designemos as ta probabilidad por: PIx, n, p) Si en n ensayos hay x ex itos. debe haber tambit?n (n -x) fracases . La frobabilidad de obtener x exitos, puesto que se trato de hechos indepen- rdientes. es p multiplicado x vecas por si mismo. es decir pX, De igual Eodo , la probabilidad de obtener exaetamente (n - x) fracasos eS qn-x, De ; p"q (n-x) (1) . .. , .•... ste modo. la probabilidad de obtener. EN CUALQUIER ORDEN. exac tamente x _,X it os y (n .. x) f rocusos es: El hecho de que el orden en que aparecen exitos y fracasos no altera ivi en te. Aplieando e r sta probabilidad depende de que 1a independeficia impliea multiplieaeion de :.ourevlv iente. sea e Oti probahilidade s simples, y e l orden de estos fce tares no altera el pro .. 1.00 Jluent e excluyentes. ueto. Hemes vista que existen varies modos diferentes por los cuales pueden ,09) = 0,18 resentarse los x exi tas y los (n .. x) fracasas. Por ejemplo. dos muertes un aobreviviente en a1 ejemplo antedicho_ puei:len presentarse de tres mo- diferentes: to probabilidad de te , 0. <pans i on del binorui 3 enfermos. (n m: = Es necesario eompletar la formula (1). que espeeifiea la probabi1idad 3)de un punto muestral. con un coe ficient e que indique todos l os arreqlos istintas de n ensoyas con x exitos . Este numero cor responde a las aciones de n elementos de doa clas8&. de 108 cualss x 80n de un tipo y 65 , , I ",h: l'· ," ! I' l <! . ,. r·' :"./ . . , .' • • (n - x) son de o tre; e ste coeficiente corresponde tambi en a las nes de n elementos tornados de a x c oda ve z : nl =--- xl (n-x)! nl es el aimbolo para n factorial que significa n(n-l) (n-2) ........ (n Para el ejemplo anterior en que n = 3, x = 1. n - x = 2 = 3. 2 . 1 1 (2. l) = 3 Por definicion 01 = 1. de modo que las mane res de optener 3 exit os en 3 ! 3 . 2. I ensayos ;;;: = = = I 3! O! (3. 2. 1) (1) In) d ' . Existen pues x puntas que correspon en a exactamente x eXltos f orman el subconjunto de hecho. "favorables". Cada punto tiene 10 probabi lidad indicada en (1) •. La probabilidad total de x exitos en n en.ayoa obtiene' por 10 sumo de es tas probabilidode s. x = 0.1. 2, ... .. n (2) Por ejemplo. en e 1 coso de los tres enfermos de difterla, 10 prob,abiil dad de obtener un solo sobreviviente (exito) y por tanto dOB muerte. CQ.o.) •• : P(1.3. 0.90) = (;) (0.90)1 (0.10)2 = 3(0.90) (0.01) = 0.027 = p[ embargo q = 0.5 = . . e j e mplo r 6 caras '9flaJ.CJ on se ob ·ida Aa . . es recesivo a Loa gra f icol 0,5. El aum : estes v Pera s ' En 10 serie de terminos obtenidos por el desarrollo del binomio ( el e xponente de p disminuye de x = n hasta x = O. 5i pes 10 probabi •• de axito, los terminos .expresan ordenadamente las probabilidades de ob n, n·l. n-2, ....... 0 exitos. En "el ejemplo utilizado: (ptq) 3 = p3 + 3 pZq + 3 P q2 + q3 reemplaz<mdo : (0.90 + 0.10) 3 = (0.90) 3 + 3 (0. 90) 2 (0.10) t. 3 (0. 90) (0. !Or t (0,10) Pr obabilidad de ohtener x s obre vivien- t es x = 3 x = 2 En general, ai p =. probabilidad de e xita: 66 x = 1 x = 0 :ambien a las combinaci (p+q) 0 = pO + (0) ........ (0) pX q (n-x) + ..... qO 1 x obabilidad 0 obtener exitos 0-1 exitos x exitos o exites }.1) (n.2) .......• (n-n+ , El hecho de que (p + q) n ::::. 1. indica que sus termines corresponden a = 2 probabilidades de todes los puntas muestrales. Estos puntas son 2 n , n • x orqu. en cada enaayo. por definioion, exiaten doa alternativa.: 'xito 0 "ener 3 exi los en xactamente x exitos q 1 punto tiene 10- prebab exites en n ens ayes n (2) difteriu, 1a probabil tanto dos muertes (fr 01) "0,027 ro1 __ · del bioomio (p+q Si p es la probabilid .robabi1idades de obten :ado: 1 x " 0 raCGSo. E1 numero total de terminos. que es e1 numero total de resultados posi. les del experimental es n + 1. Para cad a termino. los expanentes de p y ·e q. que son x y (n-x), suman n. puesto que el total de ensayos se compone 010 de exitos y fracasos. Los coeficientes son simetricos. porque: 01 01 = x! (n-x)! (0 - x)! x! Sin embargo, 10 distribucion de probabilidades no es simetrica. a menos ue p "q = 0,5. Entooces: pX qO-X = (O,5)x (O,5)0-x = (0,5)0 Par ejemp1o. si se lanzan a1 aire 6 monedes, es igualmente probable ob- teoer 6 caras que obtener 6 sel10s, y esta probabi1idad es (0,5)6, E.ta ond1cion se observa en algunos experimentos en genetica. Si se tiene un ibrido Aa, es igua1mente probable que uo gameto reciba e1 gene dominante A e1 recesivo a. Los graficos que siguen muestran en (1) y (2) 10 simetria producida par 0,5. E1 aumeoto de 0 = 10 a 0 = 30 aumeota 1a amp1itud en el numero de 'xitos: estos varian entre 1 y 9 en el primer coso. entre 9 y 21 en el se- undo. Pera 81 e1 numera de exltos se expresa como un porcentaje. se va ue el aumento en el tamaho de 10 muestra reduce 10 variacion. Para n = 10 sta variacion es de 10 a 90%. es decir, 8OYo. para n = 30 varia entre 30 y es decir, 40%. Esto eSt 51 hacewo5 una exper1encia con un mayor nume- ,,0 de enfermos f 108 resul todos porcen tuoles obtenidoB seran men os variables or 10 influencia del azar. En el grafico (3) se observa una di5trihucion muy asimetrica para p = ,2 Y n 10. Sin embargo, si n aumenta a 30. 10 distribucion "tiende a 10 imetda. En general. puede decirse que 10 distribucion binomial puede conside- arse simetrica 51: op 5 y nq 5 E.ta propiadad tiene importancia porque permite utilizar la curva oor- 01 como una aproximacion del binomia, bajo determinadas 67 I r I , .. , I , , ' - , .. , ) . ! .) .. j LI I I · , ', 1 \<1. I ) " PROBABllIOAO P 0,5 n 15 10 15 10 - 5 . I 0 0 I 1 3 4 5 6 1 3 I PROBABILIOIO 30 -..... ' . - . ~ - - - - - - - - - - - . - - - - ..... , - ~ . - . - . - - , - - • 2) P lIOAO 10 15 10 15 10 5 I . 0 B 9 10 X 9 10 4 ) PROBIBlliOIO 30 68 · 11 cao 16" a u p 0,5 n .. 30 111 1 13141 5 16 11 18 19 20 2 ' 0 l ' o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 _. "'--' " , .. ,.,." ... . Cd' Q,5 n 30 1 l 13 1,41 5 1617 1819 20 11 1,2 n 30 I I 4 5 6 7 8 9 ro II 12 I rPIlcaCi6n a un experimento de muestreo ! En un trabajo practico se ha hecho un experimento que co06istio en ob. ;tener repetidas muestras aleatorias de 10 bol,itea de un saco que contiene Ool1t08 y de laB cuales tienen determinado color. Supanemoa que rapr ••• nta 10 extracclon de mueatco8 aleatorias de 10 ninos. de una !..Beuala donde se sabia que existia un 4CPo de nines tuberculino -positivQS proposito era ver 5i e1 porcentaje de observado en cada mues- 1ra podia diferir por simple azar de 10 proporcion exi stente en 10 Escuela. diferenc ia 8S importante porque en 10 prac tica e 1 problema consiste en "stimac 10 proporcion desconocida que existe en un universo 0 poblaci6n. solo en los resultados .de una mue stra. La distribuc ion obtenida en P70 muestras se preaenta en la tabla adjunta. Laa probabilldadea obtenlda. por el desarrollo del binomlo , prsasntan en la tabla y ae que coinciden boatante bien con 108 reaul- gelo. cla1 experi ... nto: . I I Positivos I N° % ., 0 0 1 2 10 20 3 30 4 5 6 7 8 1· 9 . ,10 .; 40 50 60 70 80 ro 100 T e r m i n 0 del binomio (0.6) 10 10(0.4) (0.6)9 4510.4)2(0.6)8 120(0.4) 3(0.6)7 210(0.4)4(0.6)6 25 2 (0. 4)5 (0.6) 5 210 (0.4)6 (0.6) 4 120(0. 4)7 (0.6)3 45(0.4)8(0.6)2 10(0.4)9(0.6) (0. 4) 10 Probabilidad en (%) Binomi al Experimento 0.6 0.5 4.0 2.8 12.1 12.6 21.5 22,3 25.1 25.1 20.1 20.2 11.2 11.8 4.2 4.2 1.1 0 . 5 0 .2 - 0.0 - . Sa observa que en e1 experioento e n 80lo 25.1% de las muestraa se obtu wo 01 de po.itlvoe existentes en la Escuela. 51 hub1eramoa inducido a la Escuela los resultados de una de estas en 100¥0 • 25.1% = de las veces habriamos llegada a una c on. luaion erroneo . , Eate error deriva del hecho mismo de usar una muestra (ERROR DE MUfS- . neo) : desaparecerla si pudieramas examinar a toda e1 universo 0 poblacion. De acuerdo 01 experimento. este error es freeuente e inevitable. Esto ignifica que toda induccion cientifico tiene'cierto grado de incertidum_ ., " .( 69 I , [i ! \ .. '.:1 , i t· .: i ! ! ' I I, " j ' d " I 1' - - . ) : -, :.'- 1 i: ' ! ' . ' '' -_-J , . ''''I La diatdbucion obtenlda as unimodal y cantrooa an el % exiatenta 8n Escuela: de todos 108 resultados posible •• al mOs probable a8 la tasa vel. dodara, . La diatr ibucion es aproximadamente simetr ica, A lDedida que al porce( Se .define taje de la muestra 8e distancia mas del 40% (e. decir. a medida que el estadistic rror de mue.treo Qumenta), 10 frecuencia de las mus.tras ea menor. --:YQ,,,,,tado8 gbt . ••• la probabll1dad d. oo .. ter grand •• error •••• baJa: •• maa probable Ooe 80n 10 taner una .ue.tra que coincida con 10 tosa existeote en 10 EBcuela 0 que docimasia d. sea muy diferente de ella, astadis Si las bolita. 8e han extraido una a una. reponiando la bolita al aaco deliPues de cada ensayo para mantener constante p = 0.4. es Antes de e: que · esta es una distribucion binomial donde: ia de hip n = 10 p = 0.4 q = 0.6 EN SUMA. 10 induco16n ba.ada en musatras •• ta expueata inevitalbl".", a error de mueatreo. No obstante . diaponemos de una teoria 'de probabil que permite a.timor eete error. 8i .e cumplen determinado8 8upuestol. ejemplo. lcual es e1 riesgo de obtener una muestra que difiera en 3QVo 0 de la verdadera tasa existente en la Escuela en el experimento que se liza? Estas muestras seran las que t engan O. 1. 7. 8. 9" 10 posit Se Halla p, Luego. la probabilidad de cometer este error es: la suma de las dades individuales de los terminos de l binomio correspondientes: 0.6 + 4.0 + 4.2 + 1.1 + 0.2 = 1O.JJ> La aplicocion de la teoria de 1a probabilidad a 10 induccion mueatraa ea 10 que .e conoce como inferencia eatadiatica. 70 .),. ... .. - •. ... ; .. .. __ . __ ·., .... ,n e1 % existente en obab1e es 1a taaa vo! INFERENCIA ,medida que .1 pore. Se define 10 inferencia estadistica como aquel10 pOite de 10 metodolo- ir, a Inedida que e1 _ gia estadistica que, a troves de un razonamiento inductivo, extiende los 38 tres es menor. Es r asultado8 obtenidos en las mues tres a su wli verso de origen. ia; es mas probable 01' Dos son ios objetivos de 10 inferencia: 10 estimacion de parametros y en 10 Escuela 0 que la docimasia de hipotesis. esta ultima mas conocida como prueba de signifi" coo ion estadisticu. mdo 10 bolita extra!". Antes de explicar en que consisten 10 estimacion de parametros y 10 do ... te p = 0.4. es eviclen ·pimusia de hipotesis conviene definir algunos tenninos. Se llama PAH.4JoI'£TflO a una rnedida que describe un universa. Cuando 10 me ... dido correapondiente describe una UlUestra se 10 denomina ESTADISTICA., , , Supongamos por ejeUlplo que se Conoeell las de todos los Indl'" :pUl. ; inevi toblemen V iduos de un universe. Si quisieramos una wedida que describa la posicion teor-1.ode probabilid pentral de eate unive'rso calculariaruos el promedio de todas las estuturas, linados 8upuestos. P '!Q cons tituiria e1 parametro I-ix. Si solo tuvieramos informacion _sohre 1e difiera en 3C»6 0 .'las estaturas de una muestra extraida' de este universa, el promedia x cal ... que. s,: an . \llqda en 10 muestra serio 10 estadistica correspondiente. 8, 90 10 Si par otra parte nos interesara 10 dispersion de los valores indivi- sumo de las prohahll duales de las estaturas, calculariawos 10 desviacion standard, que para e1 :lpondientes:!' fliverso se simbolizara por ax y para 10 mueetra por tl x • El procedimlento 10 induccion tica .• calculo del parametro ax difiere en este caso del de la estadistica Sx a que en esta ultima la suma de las desviaciones cuadraticas se divide por (n ... 1) en vez de dividir por Neoma se hace en el Aceptando estas definiciones -la £STIMACION'DE PARAM£TROS consiste en el calculo de estaqisticas pora muestras. con al fin de obtaner informacion ,obre el valor de lOB parametres del universo. Esta in4uccion se basa en 10 ,taorio de probabilidades y. s610 es posible cuando se canoce 10 'conducta 0 "distribucion muestral" de las estadisticas. . CUande en una investigacion explicativa se verifica la veracidad de 10 'hip6tesis, los procedimientos estadisticos ewpleados en 10 prueha de Sig111-- ficacion ayuden a1 cientifico a tomar una decision respecto a 10 hipotesis 1anteada. . La DOCIMASIA DE HIPOTESIS cODsiste en determiner 10 probabilidad de pcurrencia del resultado obtenido en 10 investigacion. basandose en la dis. wuestral de la estadistica utilizada para medir tal resultado. istribuciones muestrales Tanto para 10 estiwacion pcJcametros Como para 10 docimaala de hip6 .. teal!» &8 Jaltllciono 10 de conoear las distribuciones Uluestrales4 fstas adoptlln diferentes fonnus segun las estad.isticas invtwtigadas. f'Jra tlDhlll,deJ' 10 que es dlatrtbuclon muestrul anallzoJ:remoB un ejem ... 10 cOllcreto. Stpongamoa que disponelDos de un uni versu dt: f ichas que llevan cada una l./.Q que cor responde a1 valor de una val'iable distribuida normalmente on. fL:A. ;,,0 500 ya x .; 1m. S1 de este universe extraemas repetidas muestras de t<".1I1aiio n = 2S (reponiendo Cnd(I ficha a1 univerdo antes de soca'r la pro ... il.ll<l) y pura cada ruuestra Gu1culamos el pr0iUedio de los v-alores que opere ... en tm 1<1/11 fichas. ocurriro que 10 JUoyorlu <Iii:' los prcJulildioa estaran carCQ .1 J;" d.l univer.o. ft. dtocir de 500, Y pOGUti t:stOl'Q{l /II II l' alejQdos de este alar. 5i 105 resultados se llevan " un grafico este histograruQ tendra el 'apecto de W1Q curvo normal. Por 10 tlluto podrl.amos describil esta distri .. ucion con e1 y 1a desvi<lcioll standard de los proIGedios IUllestr(!. liS. Veremos que en nuestro el pro,nedi" de los prom"dios estura 71 , I ! .. 1 ( t cereade sm y au de.viacien .tandard tendra un valor cereano a 20. fk En al pre, A traves de la' teorla estadlstlca se puede demostrar que 81 se todas las distintas muestras posibles de tamano n de un universo con!lx. Promedio: lTx conocidos, los 'promedios de es tas mues tras se dis t r ibuyen normalment con prqmedio: J1. x = J1. x lTX Y Error Standard: lTx = --"-- en e1 presente ejemplo Promedio: J1. X = 500 . Y Error Standard: eriC 20 :' .' . #JillI · .:I'" inues , d. Uki -# ';·:i f,'; 'j', . " Promedio: iF ; . ,. . .; Supongamos oh9ra que e n vez de tener un universo de fichas con en escola de intervalos continua tuvieramos un universo con una variable.: I escala nominal, por eJ' emp10 un uni verso de boli tas en que e1 40%: de las i' , . Promedio: litas iueran azules y el 60%: grises. En este coso e1 parametro del uni •• r. 8. P = 0.4 10 pt9Porcion 0 taBQ de boli taa azulea. aiendo Q su complemenf . 1 - p, 10 proporeion de boli tas gr ises. . . Al aaear repetidas mu".tras de tamafio n = 20 d ••• te univer.o (re, L niendo lao bolita. deapu8s de cada extraccion) 1a proporeion p de , Qzules de las muestras s e distribuica en forma aproximadamente normal 1 Promedio: J1. p' = P Y Error Standard: IT p en e1 preaente ejemplo: Promedi 0 : J1. p = 0,4 Error Standard IT P =V_O_'4 __ X_O_'_6 20 = O. . 'ue ell la ' pra '.' t!!IJI!t4Jolll!be' 1 -,·"· , Nota: Es .aceptable describir esta distribucion cOIla normal siempre que" ./ -V·< - ". , muestra tenga tamano suficiente para q'ue nP y nQ tengan valores iguale,;. _ Sx superiores a 5. =, _,--. Estos dos de de un nOB serviran para en3tl¥ .., .. , .. .. v: :' dec e1 procedlID18nto de 8&tl110010n d. para •• troe. Para comprender loa d -,,' tribucionea mueatrales que .e ut'l11zan en 10 docimClala de hipoteaia util considerar los siguientes casos: .';lrmal y 10 v Supongamos que en vez de extraer cada vez una muestra de nuestro ,'.'- . verso de fic hes, s eCQlDOS pares de muestras de 25 fichas cada una y que .1 tudiamos 10 diferencia entre los promedios de_estos pares. Si a1 promedio de 1a primera muestra2el y x2 a1 promedio de la . muestro. ocurre que 10 estadistica Xl - X2 Be distribuye normalmente Promedio Xi -x2 = 0 y Er ror St andard: IT 2 IT_ '" X x Xl -"2 + nl n2 72 " .. " .. .... ... . ...... ..... ... -----'-------... -... ---.... -... .. cercano a 20. En el presento ejomple: trar que 8i se extr "'. ! un universo con stribuyen normalmeD Promedio: fl - - = 0 Xl·X2 y Error SluClJard: D - - 20 :5 de fichas con valo '50 con una variable = 10 .(XX) + 10. (XX) 28 25 25 Si igual procedimi e nto se siyue en e 1 univers o de holitas. ex trayendo ures de muestras de tomono n =:: 20 10 dislribnc i on de dife rencias entre .orcenlajes de fXlres de tendra una distribuc i on norma l con Promedio: " Jl:el ejeQlplo: I que el 4m de las parametro del unive . '.f iendo Q su complemen ,- , . Promedie: =0 y Error Standa,-d: d Pl • P2 teat. universo (r. roporcion p de boli ximadamente normal .. I '" VO'4 x 0,6 + 20 0,4 x 0,6 = 0.16 20 Por los ejemplos plldielo quedar 10 impres i on que loda distri. pucion muestral es una di s t rilluc i ou UOl" mol. £5to 110 es efec tivo. As! por ,jellplo 10 estadistica up para extraidas Gon r e posic i on tlene dis ... t r ibucion binomial. Una d. la8 diM t ,-ibuciunes maa importcm to. en inferencia 1°,4 x 0,6 = 0,1\ 10 distribucion t de Student. CUQndo se desconoce el ax de l univer.so, 10 oJ , 'que en 10 practice es 10 8i tuac ion luas corrisnte. el error standard del debe culculurli6 <.J partir de 1u deoviacion standard de 1u ll;Iuestra: normal siempra qua I :' Igon valoree iguale. ' ; s aerviran para ent. i · s x = En este caso ya no a s llcito trabajar con 1u distri b ucion ra coaprender 108 dl sia de hipotaais , orlDal y 10 variable no.' ma l s t cmdur d x ... IL ",s tra de DUSS tro UI\ ons coda una y qua pares, 5i 110.0.05 ,romedio de 10 segun uye normalmente con rd: a 2 x a 2 x z = ipo 'lue 5e trabajora c on 10 variable t .. a-- x x - que ti ene una distribucion s- x arecida a 10 normal pero Ull poc o mas Ulllr1iu. Lof:. valores de t de pe llde n del ! de 9rados de libertud. loti r.lt::: dottll"Luiuon u pca til" de l Humero usado n el denominador para el ·ca1c u1o de s x ' So oLserva por e j emp l o que 01 per. 97 f 5 que an 10 curva non ual a uu valor de z ::; 1 96 e n i;! < , , '! 73 I r I la distribucion'de t para 24 grados de libertad corresponde a un t 2.064. Para n infinito 10 distribucion t es igual a 10 normal pero en practica cuando el numero de observaciones as superior a 30 los valoree z y t aon tan parecido8 que ae puede utilizar como aproximaclon la bucion normal. comunmenl <:-CInEllste • 18 alt", provieno tad,t.tt, Aforlunadamente 10 mayoria de loa diotribucloneo muestrales parecerse a la normal cuando el tamano de 1a muestra es grande. fstimacion de parametros Al estudiar las distribuciones muestrales se han elaborado extraacion de mU8atraa d. univeraoa conocidoa. En Ia practioa consiste en cambla, en obtener informacion sabre un universo dese a mas de basandose en los resultados obtenidos en una sola muestra. En otras de cal bras. se deseaestimar los parametros del universo a partir de las Donald.ral tioaa mue.troles. realmente Se vio en el ejemplo de 10 distribucion de promedios muestrales maxima frecuencia de muestras este frente a1 parometIa del universal que significa que fLx es el valor mas probable de obtener como mU88trcl. Por 10 tanto 01 disponer de una sola muestra. 10 satad!. sera la mejor estimacion de J-lx. Este praceso se llama Itestimacion ya que se refiere a un punto en 10 escala de medicion. El mismo to se puede aplicar a 10 estimacion de P a traves de 10 estadistica p. " Es evidente que la estimacion puntual da una informacion inoomple, porque no toma en considerocion 10 dispersion de La distribucion muest ' Al afirmor que 10 distribucion de los promedios muestroles, par pIa. es normal se deduce que aproximadamente un 95% de mU8atras aleatorics extrrfldas del universo no se alejari mas de 2 er standa'rd del promedio !1- x del universo. A la inversa se puede decir 95% de las veces,que se obtiene una muestra del universo, su no,queddt9 0 una distancia mayor que das errores standard del muestral x. Existe por 10 tanto una probabilidad de 0.95 de incluir a el intervalo cons.truido con J:' ± dos errores standard. p = 0.95 En otros polabras tenemos confianza que de coda 100 predicciones hagomos en esta forma, 95 de elIas incluiran el verdadero valor del , so y solo fracasaremos en 5. Este p"rocedimiento se llama "estimacion: intervale'· y se habla de intervdlos de cenfianza de 95%, de 99%. etc. pendiendo de 10 ssquridad que 8e qUiera ,dar a la .atimacion. Docimalia de hipritesis La docimasia de hipotesis se reHere generalmente a 1a dos 0 mas grupos sometidos a diferentes. Vimos que para el i so de das grupos es cenocida 10 distribucion muestral de las diferenciaa promedlos 0 de poroentojes de pares de muestras provenientes de un mit universo y que ambos estan centrodas en O. Aplicando los conocimientoai; bra distripucion normal se puede predeeir que en estas distribucione.' t rara encontrar diferenoias muy alejadas de 0 cuando las muestras provii' del mismo universp y que es posible adjudicar probabilidades a las des de las diferencias haciendo uso de la variable z. E1 conocimiento!, estos hechos ha dado lugar 01 procedimiento para docimar hipotesis 10 i 711 ';(" orresponde a un t la normal pero en If a 30 los valoree )foximaeion 10 dis comunmente se eonoes como 10 prueba de significacion estadistica. Con_iste en plalltear dos hip"tesis: la hip"tesis de nulidad Ho Y la hi· alternativa HI" En 10 hipotesis de nulidad se plantea que las mues ... provienen del wismo univenw y por tunto conocemos 10 distribucion de estadistica bajo este supuesto. En 10 hipOtesis se plantea muestrales provienen de diferentes universos. Cuando 10 diferencio grande. 8a tan grande que bajo el supu&slo de l.a hipotesiii de nulidad es ... hecho e. poco probable, se rechuza 10 hipota_i. da nulidod y en camhio ncepta 1a hipetesis alternativa. La cali f ieaci"n de poco probable arbi t .-ac ia y poe cos tUDlbce se ce· e1abocado a una pcobabilidad de 5% 0 de 1%. Esto es 10 que se llama el Divel de I practice u." •• ,qn.loficacion. Si para una diferencia entre dos grupos se encuentra que eSa universo a mas de 2 errores standard de 0 sabew.os que eato ocurre 0 10 mas en al leat En otros de los cas os en que se extraen muestros de Wl miSlno universo. Como esto part. ... de las as consideramos improbable rachazawos asta procedencia comun y oceptamos realmente provienen de universos diferentes. P,or eate motivo en las pu- :lios muestrales que 1I •• cientificas aparece con frecuencia 10 anotaciOD al lade de una co f1x del universo, Her.neia: nDiCerencia eetadisticamente signiflcativa, p < 0,05" a bien )blenec como pc < 0,01" 10 que se ref ieee 01 pccceDtaje de 5% 0 1% habitual paca el ni- tea. 1a es tOOis t qe signif icacion. a "estimacion pun 0' E1 mismo 10 estadistica p. nformacion incompl, distribucion muest per ej de promed lejari mas de 2 er se puede decir lvereo. su standard del ),95 de inc1uir ),95 l 100 prediccioDes adero valor del llama "estimacion ° 95%, de 99%, etc. imocion. Ite a 10 • Vim as que paca 1 de las diferEIDc1o. de un ) los conocimiento8 tas nistribuciones las •• tl'a. ·ilidades a z. E1 conoc,mien t •• )cimar hipotelia 10 75 • !: '. n j. -... .... -------.------.-----------r------ ESTIMACION DE LA TASA DEL UNIVERSO (P) BASADA EN LA TASA MUESTRAL (p) [I problema Con el propos ito de evaluar un programa de ateneion materno-infantil se deBea eonocer la tasa de mortalidad neonatal • de la poblaeion sometida a .It. programa. Para el10 se tomb una mu •• tra d. nacldo8 vivos d ••• ta poblac16n y 8e regl$tro el N2 de defunciones ocurridas antes de los 29 dias de vida. Estas fueron 16 10 que da una tasa de mortalidad neonatal de Aunque este valor no as necesariamente igual a 10 tasa de mortalidad tal de la poblaeion. 55 10 podemoB utilizar como una e5timaeion ella. Eslimacion punlual La distribuclon de las tasas (p) de muestras aleatoriaa extraidas de un universo donde 1a taaa ea P. &8 apro,ximadamente una curva normal con: promedio error standard = p a p Podemos decir, pues, que 10 tasa observada. 20%0, e8 una estimaci on de 10 desconocicla tosa de mortalidad neonatal de 10 poblacion sometida a este programa materno-infantil. . Estimac.i6n por Considerando la freeuente disparidad entre la tasa muestro1 y 1a del universo. parece mejor establecer un intervalo, para estimar 10 lasa de 10 pob1aci6n. De acuerdo al teorema referido. repetidas muestras de tamano n = 800. obtenidas aleatoriomente de u"n universo en e1 cual 10 tasa de mortalidad neonatal es P. se distribuyen aproximadamente de acuerdo a una curva nor ... lRal. con promedio y error standard yo indicadoso Debereruos esperar que e1 95% de las muestras, aproximadamente tengon tosas (p) comprendidas entre los limites: (P 2.5% 1. 96 0- ) P y (P + 1. 96 a ) p 95% de lasa de mues- lras comprendidas eS!os I imi les. p / P + 1.96 up • La tasa d e Dlortaj1dod neonatal dioll por 1000 naci dos vivos: el NP de de menOTes de 28 76 Ln l.l:1l [tlera de es Est os limit pacte de la ta, pueden eatablec (p 1. 96 Pues to que mas de 1.96"0 e universo (Pl" er Por ella se ha proxima pagina) En 5 de cad mas de 1.98 0 f entre sus limPt 1m % - 95 p IL (p) Ifanti! se ometida a 'B de esta IS 28 diaB 11 de 20%. lad necna ... ella. das de un 'on: wcion de :10 a este y la del Jsa de la n " 800. ,rtalidad (rVa 11or- iC que el as entre !S de 28 Lt; (.:dl\$eCuencia, solo 5°'; df.! las rnue!'Jtras corresponder6n a tasas que es- tU11 fuera de estes limites. Estos limitee no son determinables, puesto que P 9S desconocido. S1 Be pOi'te de 10 tasa de 10 muestra, que si es conocide .(en eete caso = 2CtYoo), pueden establecerse los limites.: (p y (p + Puesto que 10 tasa de 10 muestra no diferira de 10 tasa del Universo en mas de 1.9600 en 95% de Ius muestros, estes limites incluiran 10 tasa del universo (P)' en 95 de cada 100 intervalos que construyamos de este modo. Por ella se habla de INTERVALDS DE 95% DE CONfIANZA. (Ver esquema de 10 proxima pagina). En 5 de cada 100 veces, 10 tasa de 10 muestra diferira del universo en mas de y los que constrllyamos con este'p no incluiran entre sus 11m tes Itt toso del un1verso. Este error acontecera en: 100 % .. 95 5% 95\ p p 85 , d. I" intervalos de p confianza in 8 clui ran la sa del univel so. I I I ! • d. I" p .I i ntervalos de confianza no incluyen P. p' 77 , !l II : I ." i' , ,. Para eAtoe lrll· il eR neC88itamo8 determinar el error standard. up = IjPnQ Se ve que este valor no es determinable porque requiere el valor de p. que es precisomente 10 taso de"conocida del universo. Nos vemos obligados a estimarlo basados en 10 muestra y designaremoB e1 efror standard estimado por fl p . V ;O" 980 = 800 V I9 • Goo = 800 24.5 = 4.95 5 El intervalo d. oonflan"o de 95% queda determlnado en •• t. eJemplo por los siguientes limites: p + 1. 96 s = 20 + 1.96(5) = 29.8 %, 30 %0 p p - 1. 96 s = 20 - 1.96·(5) '" p . 10,2 %" !. 10 %, EN SUMA. basados en una exper iencia de 800 recJ.en podemos de- cir con una c onfianza del 95%., que 10 tosa mortalidad neonatal en 1"0 po- blacion oeneficiaria de este programa este comprendida entre 29,B%o Seguridad y precision de la eslimacion Hay dos elementos de interes practico en la eBtimacion de 10 toea del universo. La S£GURIDAD 0 CONrrANZA es 10 probabilidad de que sett correcto un intervalo de conficrnza calculado con el metodo indicado, esto es, que inciuya -entre sus limites a 10 tosa del universo; En este ejem. plo. 10 seguridad es de 95%. La confianza del intervalo esta determinada por el valor z que hayamos elegido. que en este caso ha sido 1.96. Por otro parte. con esto confianzo qe 95% afirmamos que la taaa de 10 muestra no debe diferir de 10 toso del universo en maS de 1.96. En este ejemplo. en mas de ± 1.96 (5) '" ± 9.8%,. Este valor mide la PRECISIO" de 10 estimacion. Diriamos que una eatimaaion de 10 v.rdadera ta.a d. morta- lided n.onato1 d. 10 pohlac16n a programa'serla ma. precisa sr. por ejempl o. pudieramos afirmar que 10 taso de 10 muestra no difiere de la tasa del uni verso en mas de 5% . La conFianza del intervalo puede aumentarse utilizando mayores valores para z. Por ejemplo, para de conFianza de 99%, z = + 2.58 ·z '" - 2.58 puesto que dentro de estos limites se encuentran aproximadame:n,te el 99% de las muestras. El intervalo es ahora: p + 2.58 2.58 p s '" 20 + 2.58(5) p = 32,9 %0 s '" 20 - 2.58(5) '" P 7.1 78 .!. 33%0 7%0 Hernos qanadc que ahora: en tan to que en ± zs '" ± 1. : p El modo de g' tar el tamano de tasas varla inve: gamos que 10 expE Se ve que au. eate error stand( raiz cuadrado. Los limites d 95 % 99 % EN IIESUJrE". 1, 8on: Confianza 95 % Determinacion del De todo es to t decidir sobre el objetlvos que se h intervalo de conf j masludo ampllo par clones. Podria pI taria. lCU61 serra Supongamos que mac ion de la verda - Segur idad : i n te - Precision: que en m .... .•... -.. .... -----.... I .. ---.. - ... ---.... - .... _____ """. ..... ··.",·,..-,:u,, .. ,. t erminer e1 valor de p. lS obligados Ird es tlmado 1.95 - 5 ejemplo por podemos de- II en fa po- .2%.y 29.8%. la taea del eo cor recto sto es, que este ejem ... deter . ,ada 16. tasa de la 3. En este de a de morta_ )recisa sr, fiere de la res valores • el 99% de Hemos ganado aSI seguridad. pero a costa de sacrificar precision. por. que ahora: ± zs = ± 2.58(5) = ± 12.9 p en tanto que en los Ifmites de confianza de 95% era: ± zs = ± 1.96(5) = ± 9.8 P El modo de ganar precision sin perder seguridad (y viceversa) es aumen- tar el tamano de la muestra. puesto que la magnitud del error standard de tasas varia inversamente donde·o es e1 tamono de 10 muestra. Supan- games que 10 experiencia se hubiera hecho con 3.200 nines: 20 x 980 3.200 = V12.6OO =\ I6.l = 3.200 V 2.47 :!: 2.5 Se ve que aumentar la muestra en 4 veces " (3.200/800) ha hecho reduelr este error standard a la mitad (5/2.5) debido a que n se encuentra bajo la rai.z cuadrado. Los limites de confianza son ahora: son: (20 + 1.96(2.5) ,; 25 95 % . (20 - 1.96 (2.5) 15 (20 + 2.58(2.5) .. 26.45 ; 26 99 % (20 • 2.58(2.5) = 13.55 14 EN ltESUJrEN, los tervalo£ de conf ianza para las si tuaciones es tudiadas Confianza 95 % 99 % n = am 10 - 30 7 - 33 n = 3.200 15 - 25 14 - 26 Determinacion del tamano necesario de 13 muestra De todo esto resulta que es conveniente. al iniciar una investigacion. decidir sobre e1 tomano que deberfa tener la muestra para satisfacer los ohjetivos que se han determinado. Por ejemplo. podria considerarse que e1 intervalo de confianza que se ha calculado basado en BOO ninos. parece de- maslado ampllo para reBolver sobre la exten.16n del programa Q otrdft pobla- olon... Podria planearse entonce. hacer una segunda experiencia complemen- taria. LCUal seria el numero de observaciones que deberiamos realizar? Supongamos que se especifican las siguientes condiciones para 10 esti· macion de la verdadera tasa de mortalidad neonatal: _ Seguridad: intervalo de confianza de 95% - Precision". que la tasa de la m t d'f' d 1 t d 1 ues ra no e a asa e universe en mas de ± 4%QI 79 • I , i' '. • :' i.' El requisito de seguridad 0 confianza se cumple utilizando un valor d. z tal que el 95% de las muestros esten incluidas entre (P - z U ) y (P + z up)' este coso: p z=± 1.96=2 El requisite de precision se haclende p-P=±4 %. Es necesario ademas tener alguna idea sobre el posible valor dp. 1u U1S0 de mortalidad neonatal que se trata de estimar <Pl. Basados en 10 expe. riencia anterior. usorfomos 10 tasa observada = 20%0. como estlmacion de P. Entonces: p - P z" --- sp 980 = siendo 4 2 = 2 20 x 980 :;: 22::: 4 n n = 20 x 980 4 = 19.600 · 4 = 4.900 Una muestra de aproximadamente 5.000 ninos satisfaria los requisitos establecidos. 80 _._ .... . _-". _, .. ....... - . . -----... '---"--"" . ...... , I LA PRUEBI I Problema En al proc cia se trata f caracterlstic( trae de univeJ cias. el proLl dad de tales d mueatreo pued!!! rencias recies bleme que resl teorie de la pre Requlal to grupos que se 8i los grt cion. en otro! ellos es resp< En general han sido adjud semejantes en { nes de obse rvOf do se t rata d, do 101 ebeervOf Exlaten Inu< aleator ia de If Uble "ntonee. como Bea posib: grupos en los I estudio. Por € rio. podrio uU programo y que Bociales, econ, con e1 per iede tantea faetore. 016n. Aun OBl., eE iguales. Por, droga A en la I cion con lin gru mas que s e obse Si stl cedi81 que los del gru be (1 1a mayor , t ratodos can el en el mismo sen Por el cont as! el grupo tu' ba de "ignif ieo • Conven c:,! 'onc:rl me cUra acelon "9 lD valor de ,l y de 10 Lusa in 10 expe .. acion de P. requisi tos LA PRUEBA DE SIGNIFICACION ESTADISTICA DE UIFERENCIAS ENTRE TASAS EL METODO GENERAL SEGUIOO EN LA PRUEBA Problema En e1 proceso de investigar 1a veracidad de llna hipOtesis, con frecuen .. cia se trata de comprobar s1 existen 0 no diferencias en alguna 0 algunas caracteristicas de dos 0 mas grupos. Estos grupos son habitualmente mues- tras de universes en estudio. Cuando 10 investigocion comprueba diferen ... cias. e1 problema que resta es pronunciarse, per iqduccion. sobre 10 reali ... dad de tales diferencias en los universos de origen. puesto que e1 error de mU8streo puede producir dlferencios fl)ueatralee que no Gorreaponden a dire .. renolas realea en 1aa poblaclones e unlversos orlginales. Este es el pro. blema que resuelve 10 PRUEBA DE SIGNTrICACION ESTADIS1'ICA. usando de la teoria de la probabilidad. Requisito previo a 10 prueba de significacion es 10 similitud de los grupos que se comparan. Si los grupos difieren ademas del factor que es motivo de investiga- cion, en otros atributos, es evidente que no podemos establecer cual de ellos es responsable de la diferencia observada. En general aceptamos 10 similit.ud de los grupos 8i los "tratamientos"· han sido adjudicodos aleatoriamente a las unirlades de observacion y si son semejantes en ambos grupos las definiciones. metodos de medicion, condicio- nes de observocion. etc. Estos requisitos son mas fociles de cumplir cuon- do se trata de- un experimentol esto eSt cuando e1 .investigodor ha provoco- do las observaciories. Existen muchas si tuaciones practicas en que no es posible 10 asignacien aleatorio de los tratamientos a las unidades de observacion. Solo es fae- tible entonces buscar un grupo de control tan parecido al grupo "tratado" como Beo poaible. En tal caso, Be requlere Investlgar 10 similitud de los grupes en los atributos reglstrables y que sean at1ngentes 01 fenemeno en estudio. Por ejemplo, 81 se deseo evaluar 10 acelen de un programo sanita- ria. padria utilizaree una poblaci6n testlgo en 10 que no se desarrol1e tal programa y que tenga similores caracteiisticas demograficas, sanitarian. sociales. economicas. etc. 0 bien utilizar la misma comunidad. comparando con el perfodo anterior al programa. siempre que todo indique que los res- tantes footores q\le influyen en el nivel de salud no hayan tenido varia- cion. Aun osl. es posible que se encuentre que los grupos no son enterarnente iguoles. Por ejemplo. supongamos que se investiga 10 aecion de una nueva drogo A en 10 tosa de eurocian de una determinada enfermedod par compara- cion con un grupe de control que recihe 10 droga convencional B. Suponga- mos que se observa una mayor toea de eurocian con A que can B. 8i sucediero ooemas que los cases tratados con A fueran menos graves que los del grupo de control, no podriomos precisar si 10 diferencia se de ... be (1 10 mayor ClCcion del tratcrmiento A 0 01 caracter mas benigno de lOB tratados con elf En este caso e1 factor que perturba e1 experlmento opera en e1 rnismo sentido que el efecto que se intenta detector. Por e1 contrario, si los casos tratados con A fueran mas graves y aun aSI el grupo tuviera una tosa de curacion maS alta que el control, lcr prue- ba de significaci6n. si se cumplen las condiciones que se establecen mas "Convencionalmente se habla de '"Tratamie,tlto" para referirse q .los (actores cura aecl&n S8 per comparac16n de grupos. 81 \ 'I i ( " i, "'; ;1 !. t ' " \.;\ <. i ::1 • adelante. podria llevarnos a aceptar la meJor aeclon de A. Esto es po.ible porque e1 factor que diferencia los grupos tiene una acolon inverso 01 efecto investigado. Naturalmente. el efeeto revelado por e1 experimento eerla menor que el real. Cuando es po sible individualizar los faetores que haeen que loa grupos no sean similares r estes factores pueden ser neutralizados y restablecer asi la eondieion de similitud. Por ejemplo. en el experimento que se eo- menta podrfa B9f factible dividir los caROB aegun gravedud, y comparar laB dos drogas en dos qrupos de graved ad semejante. La prueba de significacion estadistica I) Planteamiento de hipotesis Toda prueba de significacion estadistica se plantea en terminos de una disyuntiva entre dos hipotesis referentes a 0 los universos en estudio: 10 hip6tesis de nulidad y 10 hip6tesis alternative. Se enuncian en 10 gulente Corma general: Hipotesis de nul idad (Ho) Los grupos comparados no difieren en 10 caracteristica (parametro) es- tudiado. Por 10 tanto, 10 'diferencia observada en 10 investigacion es con· secuencia del error de muestreo. Hipiitesis alternativa (H,) Los grupos difieren en 10 caracteristica (parametro estudiado. Por 10 tanto 10 diferencia observada es consecuencia de efectivas diferencias en· tre los universos de origen: Ejemplo, Un investigador estudia 1a viru1encia de dos cepas microbianas (A y B) por inoculacion 0 dos grupos de animales, registrando 10 toso de letalidad (% de muertes) en 10s animales inoculados. Sea: P ,-, A toso de letalidad en universo de animales Inoculadoll con capa A. P B '" tasa de letalidad en universo de animales inoculados con cepo B. Las hipotesis son las si.guientes: Hipotesis de nul idad La tasa de letalidad de animales inoculados es igual con amba8 cepas. Esto equivale a negar una diferencia real de virulencia entre las dos ce· pas. II P - P 0 bien P - P '" 0 O'A B A B Hip6tesis alternativa La letalidad de ani males inoculados con 10 capo A ee diotinto que 1a letalidad induclda pC'r 10 cepa B. Esto es 10 mlsmo que aceptar que 10 vi· rulencia de las dos capas e, diferente. o E1 metodo para resolver esta disyuntiva de hipotesis es el siguiente. 5e aeepta por un momento que la hipotesis de nulidad es cierta. Es posible entonces estimor 10 probahil-idad de obtener una diferencia de igual 0 mayor 82 -._---- magnitud qu mueBtros 01 sis. 8i 10 5i la proba yunti va que, 2) Hive De aCHe sino de pro: Aadh<lM babi I idad a, na prebabi I heche de qu que oeu rro siendo esta El nive entre otTOM un nivel de para" rechaz! 108 datoR Y Podrfa I este error, cometer un E zar una hip posibles "8 Deei No r Rech 3) Deter La regii extremos qUE! de que 10 mu La local de HI' 5i H entonces se diferencia. E'jemplo: la/2 El area ,s posible Iversa 01 perimento 08 grupos stablec .. r ue se co- 'parar las lOS de una I es-tudio: en 10 si- letro) ell_ , :m es con- >. Por 10 :mcias en- .crobianos la tasa de a A. a B. bas cepas. as dos ce- nta que 10 que la vi- siguiente. Es posible ,al 0 mayor \ , '. magnitud que 10 observoda. puesto que se conoee 10 distribucion teorica de muestras aleatorias obtenidos en las condiciones que establece la hip6te- sis, Si la probabilidad es muy baja, rechazamOB 10 hipotesis de nulidad. Si la probabilidod es mayor no rechazamo8 10 hipotesis de nulidad y 10 dis- yuntiva queda sin resolver. 2) Hivel de signi ficacion De acuerdo oeste razonamiento la decision que se tomo no es de certezo sino de probabi.lidad; en consecuencia. esta sometida a error. Aechozare mos 1.a hip6tesis de nutided si 10 pr,ueba da un valor cuya pro- ba bilidud asociado de ocurrencia bajo H es igual 0 mellor que alguna peque- no probahilidad simbolizada por u. que llamaremos nivel de significacion. El hecho de que e1 volor sea poco probable, no quiere decir imposibilidad de que ocurra par azar, luego, corremos un riesgo conocido de rechazar H siendo esta verdadera. Este es e1 e rror t ipo I. que designamos como n. a El nivel de significacion es fijado par e 1 investigador. considerando entre otras factores. los consecue'ncias del e rror. Habitualmente se fija un nive l de 5% ( a _ 0,05) 0 de 1% (ll._ 0.01). En todo coso, el criterio para' rechazar la hip6teaiB nu1a debe establecerse previamente a1 examen de los datos y no subordinaTse a los hal1azgos de .La investigacion. Podria pensarae que e1 procedimlento mae segura es reduclr a un minima 8ste error, pero este requisito signiflcaria aumentar 10 probabilidad de cometer un segundo tipo de error. designado que es e1 error de no recha- zar una hip6tesis nula siendo esto falsa. El esquema de las situaciones posibles es el siguiente: Decision Realidad de hip6tesis de nulidad Verdadera FalBO No rechazar Ho Decision correct a Error f3 Rechazar Ho Error a correcta J) Determinaci6n de la regi6n de rechazo de hip6tesis nula La region de rechazo con_iate en un eonjunto de valoree poalbl •• tan extremos que, cuando H o ' es verdadera, es muy pequena la probabilidad de que la muestra observada produzca un valor que este entre el10s. La localizacion de la region de rechazo es afectada por 10 naturalezQ de H l • Si HI indica la direccion predicha de 10 diferencio. (HI: P A > PB) entonces se requiere una prueba unilctteral. si no indica 10 direccion de 10 diferencia. (Hi: P A t Ps) entonces se requiere una prueba bilateral. Ej emplo: l0/2 Ho : P A = PH Hi : P A " P B -l (J/ 2 Ho: P" = PH HI : P A > P B E1 area sombreada muestra 1a region de rechazo de Ho' Th ambos casos. 83 'I , ", 11 1 "1 . II '.'" ;f· J" .• I '; . ,;1::. , , , , , . ... . , i • La determinacion de 10 zona de de 10 hlpot •• h nula a. baaa en 1e dlotrlbuoion t.6rloa d. 10 dlf.ronaia entre mueotra •• ia auai d.pend. d. lae condiciones del experimento. E. diferente. por eJempio. Ii 101 di. fereneia •• on entre proporeionel. promediol. eoefieientea de regreli6n. etc •• ai las muestras son dependiente. 0 independientea: .1 Ie comparan dOl o ma. grupos: .i 10 de.viaeion standard del universo eS conocida 0 descono. cida, etc. 4. Interpretacion de los resultados de la prueba Oiferencias estadfsticamente significativas: Interpretacion correcta 5i la hipotesis nula fuera verdadera. es improbable. de aeuerdo al ni- vel de significacion establecido t que se hubiera obtenido una diferencia igucrl 0 mayor que 10 diferencia Por 10 tanto, aceptamos que ' se origina en el efeeto de un factor difereneial entre los grupo •• Interpretaclones Incorrectas a) "Es imposible que de esto magnitud se produzcan por error de muestreo. b) La significacion estadistica prueba que el factor en estudio ha causado la diferencia registrada: 01 ferencias estadfsticamente no signi ficativas: Interpretacion correcta De acuerdo al nivel de s'ignificacion que se ha preestableeido, no hay suficiente evideneia para reehazar la posibilidad de que 10 diferencia ob. servada se debo a error de muestreo. es decir. 10 posibilidad de que no exista realmente en los universos en estudio. Interpretaciones incorrectas a) El experimento prueba que e1 factor en estudio no tiene ereeto diferen- cial en los grupos. A continuacion veremos algunos pruebos de significacion estadistica. Prueha de significacion estadlstica de diferencias entre la tesa del uni- (P) y la tasa de una muestra (p) EI problema La tasa de 1etaiidad de 11] Hebre tif:>idea antes del usa de 10 ·clorc·nli .. ceti na era de HJ!b (P.,). segun 10 muestra una larga experiencia hospitala- ria. Los primE'ros 1& casos tratados con este antibi6tico revelan una Ie. talidad de 2% (Pt) ,Puede aceptarse la dlferencia lOY. - 2% = 8% como una evidencia del mejor .efecto del nuevo tratamiento? previo de los datos 'disponlbles Deberiamos estor ciertos que e1 grupo tratado can cldromicetina no di- f i ere de 10 'experiencia hespitalaria anterior en ningun factor atingente a 10 letolidad. excepto en at heche de no haber recibido e1 antibiotico. Po .. drlan ser factores de no eomparabilidad. entre otros, la menor gravedad de 84 108 cas os t.n 1a virulenclo La simiJi vidido en gru lldad. Por, los P!JE las tasas de cad a grupo. Si los fa r-d. exper .t a df'! h abo, r' I" que sera odmi to a 10 mi tad SnUsfed], Fp.duc(' .La 1(' t cion a portir expuest.a 0] e ClIIP linn 11' posihle .imrJqi l sualmel1te. "I'" Clar if i.cor e" I ha de signific La prueba de I. Form,,1 Hipotesis de n La taAD dl 10J;;. iguol qlli' It] c lOTom ice lj En simbolc H • P ,- o' t Esto es p- error de muest Hipotesis aile La tOS(1 df. menor que 1.0 t- En s.i.mbolo: Hl : PI: < Es to es erp vas di f ere'lc io: 2. N I ve I I Podemos elf re deci r que f: decl r. recllaz( aceptor que .10 realmente no 1< Si somos ' m 1%, par e j empl 1a •• bala a1 depende ai la8 di- oeqredon. mparan d08 o descono- rdo al ni- liferencia nos C" " ' se r error de 1Q causado 10. no hay ob- de que no :> diferen .. lstic'-... I del uni- lciororo i- lospitala- tn una 1" .. ; como una ina no di- :inqente a tieo. Po- :avedad de I :' los casos tratados: diferencias entre criterios diognosticos 0 cmnbios en 10 virulenci a del germen. La similitud de los grupos podria ser si e 1 JlHll f' rial es vidido en grupos segun e1 factor ajeno 01 tratamienlo que Ctf l1{'L' 1 (I Ja leta .. lided. Por ejemplo, si s e trata de 10 gravedad inlciill de lu I.":, nfermedad, los casos pueden ser c lnsificados en leves. de medinnn grl'Jvednd y graves: las tasas de letolidod para trat.adoa y con troles ·podr.ltJll flar comparadoll en cado qr.upo. Si los fac toTes que hacen clisimi les a los grupos no pueden ser detecta- dos. el expe r.imen to no pue de 11egar a una cone I usian uti 1. Sa ve 10 Yen to .. j a de haber 10 d iseiiCldo me j or : par e j emp.la. de f inienda un grupo de en fermos que sera adln it ida en 10 expe r iencia y as ignondo oleo tor iamen te e1 t ratamien .. to a 10 tnilad de elIas para dejar 1" otra mitod como grupo testigo. Satisfechas estas condiciones, asegurar que 10 c 1oromicetino reduce 10 letolirlad 0 Z'-6 en cuolqujer CQSO de {jehre trntaclo en condiciones similares? La i de a de "cualquier casq" implieD una generalize ... cion a partir de una muelStra de 100 COBOII. Sabemoa que toda mU9atra @lItd expuesta a1 error de muestreo • . aunque sea uno muestra aleatoria. Podrio ser que una nueva experiencia mostrora una letalidad de 4% 0 de 1%. Aun es posibl e imaginar que el antibi6tico no fuer a realmente efectivo y que, co ... sualmente, hemos obtenido una muestra con una tasa excepcionalmente. bajo. Clarificar es ta duda. en terminos de probabliidad. es e1 objeto de 10 prue- ba de signiflcacion estadis tica. . La prueba de significacion esladfsllca 1. formulacion de hipolesis Hipolesi s de nul idad: La tasa de letolidod de tifoideos tratadas con clorornicetino (P t ) es laC;. iguo1 que 10 tasa de letalidad de 10 fiebre tifoidea antAs del lISC de 10 (Pc)' .En ,elmboloB: Esto es equivolente a decir que 10 diferenclo abservada se debe 01 error de muestrea. Hipolesis aiternat'iva La toso de l e talidod de tifoideas tratados c-on c lor omi ce tino (P t ) es menor que In to sa de· letlllidod de l os no tratados (Pc )' En s;rnbolos: Hl : P t < Pc 0 bien HI: P t - Pc < 0 E:;t:o os equivalente a decir que 10 dif e rencia observada traduce efecti- vas di ferEmcias en las poblaciones ol"iginales. 2. Hivel de significacion Pademos eleqir un nivel de signifieac ion de 5% (l = 0.05). Esto quie- re decir que fijalilos en 5% e 1 riesgo de comet e r el primer t i po de error, es deeir, rechazar 10 hipotesis nul a siendo e sto verdadera, en este coso, aceptor que 10 cloromicetincr es mejor tratamiento que e1 antiguo. cuando realmente no 10 es. Si somos mas exigentes y trabajamos con un nivel de significacion de 1%, . por ejemplo, ·habremos reducido el primer tipo de error pero aumentado 85 I ' ' ; I. ;. j (, i el legundo Upo de error·, que conlilte en declarar qua a1 nuevo tratamlento no eR efectivo, "cuando en la realldad eR meJor que e1 antiguo. 3. Determlneclon de Ie zone de rechno de HQ Aoeptamo. por un momento que Ho (P t = Pc = e. verdadera. En tal caso podemos tomar 10& 100 tratados con cloromicetlna como una mu •• tra d, un universo con tasa de letalidad para 10 fiebre tifoidea de 10V0. Teorema La distribucion de porcentajes (tasas) de muestras de tamafio n. extrai. das de un universo con una tasa igual a P, es aproximadamente una normal con! promedio -= taMa d"l universe == P error standard = a p = \/ donde Q = 1 • P En este ejemplo. de acuerdo con 10 hipotesis de nulidad: P = tosa de 1etalidad de tifoideas, tratados o no con cloromicetina = 1m: (0.10) • Q = tosa de sobrevivencia de estes enfermos = SCF<; (0.90) n = tamano de 10 muestra ibo COSOS Definidos el promedio y 10 desviacion standard de 10 curvo normal, es posible utilizar la tabla de area de esta curva. Se trata de encontrar que tosas muestrales. menoras que el promedio, difieren d. '.te en tal magnitud que la probabllldad de obtener, par simple azar, esas tasas a una menor en 10 muestra. no exceda 5%. Se requlere definir. pues. un area en e1 extremo Izquierdo de 10 dis .. tribucion que equivale 0 5% del areo total bajo 10 curvo. En 10 tabla 'correspondiente se observa que e1 area a la lzquier'dn de z = -1.65 es igual a 0.05 (5%). De acuerdo con e1 nivel de significaci6n preestablecido. esta sera de r€chazo de 10 hipotesis nula. l0'13 de de Ho -, "65 D I 86 Por 10 tc t ros datos 4. Reso I S610 res! de rechazo de z = p- o Sabre I a COliC Esta Calle rias limitaci Desde llle deo y recho7.o mas un riesgo es posible. cr de muestreo. dumhre y es s similores, qUI te juicio: es de tal modo q 10 tifoidea. La prueba grupos son en mente las con t lene aplicoc terminos de c De 19l1al • las medici onE pueden llevar nlficacion no Notese. p droga en term no modi f leata (reduccion de El juicio sob. Prueba dOe" sig tras. Problema En un con de terreno en sectores en ql tes, a los cue tores en que J cilia de lOR 1 Log resul t tratatlll.nto 'a, En tal mueotra de n. extraf .. una normal .tina = normal, e. contrar que a1 magnitud no menor en de 10 dis- I de lcoc16n a, I , , Por 10 tanto redwzaremos It • sj el 7. que c alc HlamoA CJ partir de hues. tre e datos es menor 0 i gual que °_1.6 5 . 4. Resolviendo sobre la diferencia observada. Solo resta ahora establecer si 10 diferenc ia observada cae en 10 zona de rechazo de H • cal c ulando el c orrespontiie nte z: o z p-p cr p 2 - 10 3 = -8 - 2.6 3 El zobs es menor 4ttP. ... 1,65 .por 10 tanto, de cicuerdo obj e tivos p[ eestahlec idos . rechazamos 10 hipcSte sis nula . Sobre la conclusl6n alcanzada los criterios (P t P = , C Esta conc lusion. Qunque obtenida por una me t odologia. tiene va- rias limitaciones que deben tene rse s iempre pr esentee Desde 111ego, 01 oceptor lin real efecto de 10 cloromicetino en 10 t Hoi- deo y rechazar 10 hip6tesis que 10 diferencla observada s ea casual. corre .. mas un rie sgo calculado de error. Basados solo en una experiencia de 100. A8 posible. aunque sen poco probable. que 10 dlfel'encia fuera simple error de muestreo. La induccion basada en 10 muestra no liene c aracter de certi- dumbre y es s olo tm in i cio de probabilidmi. La repetlclon de exper l enclos similares, que coinc idon similar c onclusio n. afia'1zaron coda vez mas es- t e juicio: e s to 10 que ha sucedido en 10 practica con 10 claromicetino de tal modo que no panemas ahara en duda 10 e fi caciade este tratamiento en 10 tifoideo . La prueba de significacion t rabaja can e l supuesto impl.icito que ambos grupos s on en teramen t e i guales. 5i e 1 grupo tes t no c umple rozonable- mente las condiciones de similaridad con el grup9 tratodo. esta teoria no tiene aplicacion. Por eso e1 di.ena del experimento y e1 estudio de loe terminos de c omparacion son asuntos previos a la prueha de significaci6n. 'De igual modo, 108 e rrores de observacion,definiciones deticientes, rna .... las medieiones. criterios no uniformes. sesgo de los observadores. etc. pueden 11e vclr a una conc lusion e rronea, que 10 teor.ia de 10 prueba de sig .. nificacion no evitar. N6tese.por otra pa rte, que se juzga en este ejemplo e1 efecto de 10 droga en terminos' de r educe ion Je 10 letalidad. Pudiera se r que una droga no modificatcr est a toso. PbCO sin embargo fuero efectiva en otros aspectos (reducci on de l tiempo de enfermedad. menor frecuencia de secuelos. ,etc.). El juicio sobre,la en consecuencia. depende del indicador usado. Prueba d'e o sigllificacion estadisti ca rle dilerencia 'entre tasas de dos mues- t r as. Problema En un coosultori o se deseohn estudiar e l impacto que tiene e1 trabajo de terreno en e 1 es tado nutri.tivo de l iac t ant e. Con tal objetivo. en los aeetares tl n que no hay programa de terreno, se tomb un a muestra de laetan .. tes, a los cnales se califico su eslado nutritivo, 10 mi sma se hizo en sec- tores en las auxiliares de enferrneria hacen visitas pe riodicas 01 darnl .. ci1io de los 10ctantes . Los r esultados fueron los siglJientes: 81 oj I i· II \I (' (! ., I .l \ >' .' • :-",:, Sectores Con programa Sin .programa Tot 0 i E.tado nutritivo de lactante. en .ectore. con y sin programa de terreno Estado Nutritivo Eutr6fico. De.nutrido. N° % N° % 120 80.0 30 20.0 126 70.0 54 30.0 246 74.5 84 25.5 Total N° % 150 100.0 180 100.0 330 iOO.O ;,Es realmente mayor 10 tasa de desnutricion en los sectores sin progra- ma? Anal isis previo de los datos disponibles Antes de prooeder a lo·pruebo d. oiQnificooicn •• tad •• tioo d.bt.ra existir una razonable aeguridacl de que los sectores con y sin programa no difieren en otros aspectos que pueden influir en e1 estado nutritivo del lactonte. El hecho de existir tales dlferencias podria impedir .oear con- c lusiones respecto 01 fact or trabajo de terreno que es e1 que n08 in,teresa en es teo caso. La prueba de signi licacion estadislica I. Formulacion de hipotesis Hlpotesis de nulidad La tdsa de desnutricion en el universe de lactantes sin programa: PI' es igual a 10 del universo de lactantes con programa: P . Esto equivale a decir que 10 diferencia debe a1 error de muestreo. En simbolos: Ho : PI '= P 2 Hlpotesis alternatlva o bien: In tasa de desnutricion real de los loctantes sin programa es mayor que 10 de los lactantes con programa. Esto equivale a decir que 10 diferencia observada traduce diferencias recles entre las poblaciones oriqinales. En simbolos: HI : PI > P 2 o bien 2. Hlvel de signilicacion Podemos elegir un nivel de significacion de 5%. esto equivale a decir que estamos aceptando un riesgo de un 5%. de rechazar 10 hipotesis nula slendo esta verdadera. 88 , , -----,-- 3. Deter Suponien PI = P2 = P Teorerna Al extral renclas entt'l Como una non promedio error st l En eete ejem} n = numero 1 O 2 = numero p = tasa d. CanUel. co1're8f De eata m • DefioidoB tobia de area en tre taaDa mt bilidad de obi cion Hjndo). derecho de 10 En 10 tabla c (Zcrit) es igt tal % " 100.0 100.0 IcY' 'J 8in progra- 'co dehiera rograma no ritivo del BaCor con- s in,teresa )groma PI' al error de 8 mayor que Hferencias Ie a dee!r ;tesis nula .. _ .1 . "';" 3. Delerminaciin de la zona de rechazo de la hip61esis nula Suponiendo que la hipotesis nula fuera verdadera tendriamos que, PI = P 2 = P. Teorema Al extraer pares de muestras de un universe con porcentaje P. las dife- reneias entre los porcentaje8 de las mueBtras Se aproximadamente como una normal can : promedio = 0 error standard = En eete ejemp1o: n 1 n 2 p = = = numero de lactantes en la muestra del sector sin programa = 150 numero de 1actantes en 1a muestro del sector con proqroma = 180 taea d. deanutricion en el universe de lactantes con 0 sin programa. Cantidad desconocida y que habria que estimar. La mejor estimacion corresponde a 10 tasa de desnutricion del total de ninDs estudiados. x 100 = 25.5 % De esta manera a PI-P2 queda estimado por: • = + = 25.5 • 74.5 + 25.5 • 74.5 = 4.8 ISO 180 Definidos el promedio y la desviacion standard. es posible utilizar la tabla de area de la euna normal. Se trata de encontrar que diferenc ias entre tasas muestrales. mayo res que 0 tienen una magnitud tal que 1a proba- bi1idad de obtenerlas por simple azar sea menor que 5% (nivel de signifiea- cion fiJado). Se requiere determinar por 10 tanto un area en 81 extremo darecho de 10 distribucion que equivale al 5% del area total bajo 1a curva. En 1a tabla correspondiente se observa que el area a la derecha de 1.65 (Z "t) es igual a 5%. en 89 • , I \ , . , " 1 '. i \ 1 I.'.i' I " ',',1:;;,.1 1:; 'I' '-1 iI,' )' I • Zona de Rechazo "0 1,65 Z Por 10 tanto para todo z '(observado) 1.65 rechazaremoo Ho' 4. Resolviendo sobre I a di lerencia observada Necesitamos saber si 10 diferencia observada cae en 10 zona de rechazo, ,por 10 tanto, es nece.ario calcular el z (observado). = 10 4.8 = 2,29 El Z b > Z it par 10 tanto se rechaza 1,0 hipoteds nula. La tdsa de desnufrfcion e;rmaYor en lao sectores oin programa. 90 Las prueba miten tornar de 10 menos una, menudo nos en mas de dos tas Ejemplo. : 1. Comparar I Sant 1090 . 2. Comparar e 3. troles dp. 4. Estudiar s fumat. 5, Estudiar s Problemas nificacion est U 80 de 1a "db •• Pi.alamo. a ac Distribution • A. Caract , 1. Es una 2. S610 t las x I 3. Est" c lib .. rt 4. El 6r .. En ia figu l nos val ore. de 8. Api i eae Entre las 0 de 10 ."lud, po B.lo Prueb B.Z. Prueb P r u eba de Asoc i Esta prueba nados anterior (., Esttr pruebc br. de "t ob J , . de rechazo. ala. La tdsa I PRUEBA "X,2 (J I CUADRADO) Las pruebas de significacion estadistica presentadas anteriormente per- miten tamar decisiones sobre diferencias entre "dos" tosas, de las euoles a 10 menos una, es una tasa muestral, sin embargo en el campo de 10 salud. a menudo nos enfrentdmos con problemas en los cuales es necesario comparar mas de dos tasas. Ejemplos: 1. Comparar porcentajes de desnutridos de las distlntas comunas del Gran Santiago. 2. Comparar efectiviclad de varies tratamientos para una misma enfermedad. 1. Estudiar 8i 10 mortalidad neonatal es independiente del numere de con- troles de la madre durante el embarazo. 4. Estudiar si hay asociacion entre muerte par, cancer pulmonar y habito de fumat. 5. Estudiar si hay asociacion entre tipo de ulceras y ubicacion de elIas. Problemas de estQ naturalezQ son resueltos mediante una prueba de sig- nificacion estadistica denominada "Prueba Ji-cuadrado" y en 10 eual Be hace U80 de la "distribucion Ji-cuadrado". cuyas caracteristicas principales. senalanoB a con tinuacion: Oistribucion 'X,2 A. Caracterlsticas 1. Es una distribueion asimetrlca 2. Solo toma valores poaiilvos y es asintotiea con respecto al eje de las x posi ti vas (0 < < ro ) • 3. EstCi: caracterizada por un unieD ;'n" llamado "grados de libertad" • 4. El orea comprendida entre 10 curva y el eje de leis x eB 1 " lCXlY.. En la figura adjunta. aparecen grafico8 de esta distribuciori para algu- nos valoree de "n". K! dl muutru n = B. Api icaciones Entre las aplicaciones mas frecuentes de esta distribucion. en el' orea de la salud. podemos senalar: B.l. Prueha de aoociacion B.Z. Prueba de "bondad de ajuste" Prueha de ASDciacion • Esta prueba, como se nados anteriormente" puede visualizer 0 troves de los ejemplos menclo. permite 01 el1nleo 0 Investigador determinar s1 (., e.ta pru.ha t ta.hif" en 1a 1Jt.ratora •• con .1 br. 4. d. eontJagencJo-. 91 :: , ' ; '1 . i·, I , j':'; . I i' : " ; , il\' , ;y, : .: exlste a.oelaeion entre dos variables con eseala de medieion nominal u or. dinal. Estudlaremos 10 aplieaelon de esta prueba. a troves de 10 resolueion de un problema. Problelll8 Los datos que Be presentan a continuacion corresponden a un estudio anat6mico de ulceraciones gastricos benignas y malignas realizadas entre 1940 y 1950 en el Boston City Hospital. UBlCACICN T i 0 , d e U 1 c era I:E lA Beni<:J1a ign a rotAL lJI..CERA N!! % N9. % Nil " Prepilorica 100 62.5 (!O 37.5 160 100 del Cuerpo 70 70.0 30 30.0 100 100 Cardial 30 75.0 10 25.0 40 100 1UI'AL 200 66.7 100 33.3 300 100 iSe podria decir que hay asociaclon entre la ubicacion de 10 ulcera y e 1 tip<> de "s to? Solucion i) Planteamlenlo de Hipotesis ilUla: (Ho) Simb61icamente. Ho las hlpolesis No hay a.oclacion entre ubicacion de 10 tipo de "sta. es decir. el porcentrije de molignae es e1- lIiama ya sea la ublcacion prepiloriCXJ • en el cuerpo 0 cordial. p = prep p =p Cller car ulcera y u!ceras de o;sta Hipotasis alternativa (Hi) Hay aooelaelon entre ubleacl6n de 10 ulcera y :tipo de "sta. as decir. el porcentaje de Hce- ras malignas es dlferente en por 10 menos una de las ubicaciones. Simboiiccmente. Hl 1 p l p y/o . prep cuer pip y/o prep . car ii) Mivel de significacion: = 0.05 (arbitrario) III) Esladfsllc8 8 ulillzar: f • e en que i-I 92 °1 = fn El =(n , f • e = nur nur a) Calculo da ULCERA UBIClICICN 1 prep116r i- b ca del m cuerpo b cordial m b, In' JUrAL 2 'X, ob = 3 . 2! OOfA: Bajo la I cacion de es ta, m ismo para las I en coda celda 1, pectivamente. 1 por diferencia ( b) -x,2 c/fU co E1 'X,2 cri tic de la fila neal lihertad (9'1.). tlenen mul tlplic f Has men os 1 (f para esh _) 2 1; ,c 't 2 c lominal u or- :,esolucion de a un esttidio izadas entre JfAL % ) 100 100 100 , 10 ulcera y , ,. .' , ;. I 10 , de :10n \ ulcera y ulceras de 8ata 10 ulcera y taje de ulce- Lo menos una '/0 / , ,., 0 1 = frecuencla ob.arvada en 10 caldo 1 E i = frecuendo esperada en 10 calcla 1 f • c = numero de celdo •• se obtlene multipl1cando numero de fllao (f) por numaro de columnaa (c). En este problema. fc .6 I) Celculo de 1L2 obsefvado r---------,------ --,-.-------,------. .,-------, ULCERA fRECUENCIA - (0. • E. ) 2 «(). _ E. ) 2 1 1 1 1 UBlCACHN TIro Observoda Esperada O. E. E, 1 1 1 prep1l6ri- benigno 100 101 .7 .6.7 44.9 0.42 co del maligne 60 53.3 6.7 44.9 0.84 cuerpo benigna 70 66.7 3.3 10.9 0.16 cordial maligna 30 33.3 -3.3 10.9 0.33 benigna 30 26.7 3.7 13.7 0.51 maligna 10 13.3 .3.1 13.7 1.03 JUrAL 300 300 0.0 X 3.29 .. 2 = '" ob 3.29 NOTA: Bajo 10 hipOtesis nul a no hay asociacion entre tipo de ulcera y ubi- cacion de eata, por 10 tanto a1 pomntaje de uleeraa maliqnaa, deb •• er e1 liame para las tree ubicaciones ( • 33,l% Y 10 frecuencia esperada (E.) en coda celda la obtenemos aplic 0 este porcentaje a 160. 100 y 40 pectivamente. La frecuencia esperada para las oenignas se pueden obtener por diferencia 0 aplicando a las mismas frecuencias anteriores 66.7%. b) 1L 2 c f i ti co El 1,2 edtieo se observa en 10 tabla de 1. 2 (1-1804) ell la ' interseccion de 10 fila n con 10 columna probabilidad. En que: -) n: son los grados de libertad (g.I.). En una tabla de alociacion. 101 grados de 1ibertad oe ob- tienen multip11cando el numero de columnas menos 1 (c • 1) pOT el numero de lil08 menos 1 If - 1). I g.l " If - 1) . Ie - 1) I , para este problema: g.1 " (3 - 1) (2 • 1) g.1 := 2 -) probabi lidad : corresponde al nivel de significacion a ... 2 't' -2 crl lCO, .para n - y a " 0.05 es 5.991 .. 2 't' = 5 991 IV cn leo • 93 • I· i ! i I i , I ': i . r,' • r i' • ". ' • Iv) Reglon , de Rechazo : R La re g ion 2 de rechazo. R. esta const ituldo par todos 108 valoree de 1t 2 mayores que crl.tico. de muestlBs R = { 'X2 1,2 > ':f.v2 critioo } R = { 1.J 'X.,2 > 5.991 } 'X 7. t R oL v) Conclusion Como 'Xl b es menor que 'X,2 critico. concluimos que no hay evidencia para rechazar 1& hlp6tesis nula. 'pora aflrmar que &1 tlpo de ulcera. dependa de 10 ubicaci(,n de ella. B.2. Prue.ba de bondad de ajuste La prueba de bondcrd de ajuste. permite afirmar can un cierta nivel de confianza. si lasdistribuciones de lOB universos de orlgenes de muestro8 en estudio. se "ajustan" ,a algun" distribucion de inten's tal como: normal t. binomial. 9 : 3 : 3 : I; etc. a f i n de utili"or las propiedades de eB- gq tal clhtrlbJo tener un numt! en una generc EJempl"l 1. Sa podri< dl.trlbuc es normal coda que norlllOlida 2. En genetJ de origen dos eston Veremos c resolucic Problema 'Segun una y ri zado8 ex t zado .extremo. iSi en un suave y ' 20 DC Mendel? Solucion i . Plant l Hipot, Hipot i i. Hivel iii. Es t ad 'X} i E. = fre 1 °i = fre k = num alores de 'YJ ridencia parc::i o de ulc;:'era, rta nivel de de muestras 'omo : normal clades de es- taa diltribucionas 0 como en ganetioa. conducir experimental de modo de ob- tener un numero dado de fenotipol a predac1r la estructura de 10 poblacion en una generaeion dada. . EJemplol 1. Se pod ria realizar una prueba de bondad de ajuste para estudiar si la distribucien de los pesos de hombres sanos de una esttitura determinada es normal con peso promedio igual aMY desviacion standard Verifi - cado que 10 diatribucion es normal, Be podrio establecer l!mitea de normolidad para el peso. 2. En genetica es usual verificar 8i las distribuciones de 108 universos de origenes de las muestras son mendelianos 0 si los resultados obteni- dos estan de Qcuerdo a los modelos geneticos. Veremos como se resueive un problema de bondad de ajuste. 10 resoInden de un problema del segundo tipo: Problema 'Sequn una de 10. leyes de Mendel. e1 entre pollos normales y rizados extremo. debeproducir en 10 segundo generacion (FZ) pollos : ri- zado,extremo, rizado suave y normal en 10 proporcion I : 2 : 1. en un cruzamiento, se obtuvo en F2 : 23 rizado extremo. 50 rizudo suave y 20 normal. se pod rio decir que esta distribucion es 10 dada por Mendel? Solucion i. Planteamiento de las hipotesis HipoteaiB nula: La mueatra proviene de un univerBo. donde laB pro_ (Ho). babilidades de ocurrencia de los diversos fenbti- pos es tan en 10 proporcion 1 : _2 : 1. Hipotesis Alternativa: La muestra proviene de un universa, donde las probabilidades de ocurrencia de los (HI) diversos no est<i'n en 10_ pro- porcion 1 : 2 : 1 ii. Hivel de significacion iii. Estadistica a utilizar: a = 0.01 k =c (bi - Ei)2 en que: i " 1 Ei Ei = frecuencia esperada. segun tea ria. en 10 clase i 01 k = = frecuencla obaervada en lo clase 1 numero de clases 95 • • C<ilculo de: a) X, 2 observado FmJrlFO O. - E. (0. - E.)2 1 1 1 1 °i Ei . . Rlzado ex- 23 23.25 0.Cll25 tremo Rizado 50 46.50 3.5 12.25 euave Normal 20 23;25 .-3.25 10.56 IDl'AL 93 93 0.00 >< NorA:" La frecuencia esperada de cada fenotipo. se obtiene tal observado. las proporciones. predicha por 10 teoria. 10 proporcion del. fenotipo : rizado extremo e. 1. 4 rizado suave es 4 normal es 1 4 (0. - E. j2 1 . 1 Ei 0.0027 0.1899 0.4543 0.6449 aplicando al to- En este ejemplo luego. las frecuencias esperadas. se obtienen multiplicando por cada una de es tas propoiciones .. b) t 2 cd tico En general. en problemas de bondad de ajuste. en que no hay estimor parametros. los grados de liberta:l eston dados por e1 numero de closes me- nos uno. g.! = k - 1 En este problem9 k = 3 y tanto g.l = 2. . , EJ x,2 critico, se observo" en la tabla de 't 2 • en 10 intereeccion de .la r Ua n=2 con la columna a = 0 .01 • . 'Y 2 ,. 9 210 IV cntlco = . Iv) R'egion de R La de rechazo esto ·constituida por todos los valoree de J3 mayo- res .. que 'X. err ticos. 96 o. v. Conclusion Como X. 2 < que la distr"lbu. ObserV3ciones 1. La estructu yor sea 10 ( yor sera e1 zar 10 hipa! 2. Tambien oe I cerD 0 cere n·ingUn vale clases adyc 3. ta resolver i pacas . ?br j correCClon la mul tin om: 4. Siempre que de que 1a 9' las r recuen< s. Para el calc absolutas y " - E. i 2 • " 1 .0027 .1899 .454::' .6449 cando al to- late. ejemplo lor coda que estimar ! closes me- ·ccion de lo de 'X3 mayo- I N£ de muestrss R = {X} I x., 2 > 9.210} -x. 2 ob 4 R Y. Conclusion Como x., 2 0b < critico, concluimos que no hay evidencia para suponer. que la distribucion de los fenotipos sea diferente de I : 2 : 1 Obse rvac i ones 1. La estructura de 10 estadi8tica, nos permits que mientros ma- yor sea 10 dlferencia entre los valoree observados y los esperados. ma- yor sera el valor del? y aumentara por tanto la probabilidad de recha- zar la hip6tesis nula. 2. Tambien S6 puede observar, que 81 en alguna close e1 valor esperado es cero 0 cercano acero, el valor d .. 12 tendera a 00. Se recomienda que ningUn valor esperado sea menor que 5. y cuando esto suceda. juntar closes adyacentes. 3. Como 'X,2 es una variable aleatoriC- continua. y 10 utilizando pa- problemas de variable discrete, es nece80r10, para e1 caso de pOCOS observaciones. usar una correccion de continuidad, denominada "correccion de Yates" 0 bien utilizar 10 distribucion exacta, que sera 10 multinomial, 0 una prueha no parametrica. 4. Siempre que se utiliza alguna de las pruebas 12. debe tenerse cuidado de que la suma"" de las frecuencias observadas, coincida con la suma de las frecuencias esperadas. s. Para el calculo del x.2 observado. 88 d.ebe trabajar con loa frecuenciaa absolutas y no can los porcentaje •• 97 :' , I I, I I,H I . ' ' :f , I 1·1 . ... i i . ' ; .; , ' lit i '.: ! , " J INTRODUCCION A LA TECNICA DE MUESTREO Entre las'caracterlsticas importantes del hombre, figura su capacidad para generalizar. En 1a busqueda de l conoc imiento de su media, pone en practica inconcientemente este proceeo, aun cuando no 10 designe como tal y 10 realiza desde e1 nivel mas elemental. 1\S1 par ejemplo, es posible formarse una Jdea buena 0 mala de una pe!, sona al tratarla una sola ve z. Tambien 5e generaliza cuando 5e examina u na pequena cantidad de sangre de una persona y se supone que toda su san: gre tiene esa misma composi.cion. Es diffcil comprenoer este procedimiento es arriesgado y a veces peligroso, ya que puede cameter un gran error. Las unidades con que se toma contacto son solo a veces muy pequena, del total 0 universo y 10 que se hace no es otra cosa que reconstruir una caracteristica del uni verso en base a Ia formacion proporcionada por algunos representantes -; los cuales constituyen muestra. :;1 el universo ea r.:ua 1 ql1.i ar mUI!!Ist rl!l. prc"nt'c inn" el miflm() r! y e1 procedlmiento de selecci6n careee de importaneia. Pero euan de el universe es he terogenea como sucede en la mayoria d e los casas, eT procedimiento mediante e1 cual se obtiene 1a muestra es decisi.vo y se ha- ce necesario utilizar un.procedimiento que nos indique to mar, como seleccionar1as de modo que 59 pueden obtener conclusiones val!: das para el total. Dicho procedimiento es e1 que se desarrol1a a conti- nuacion en forma muy general. Definiciones 1. Unidad de Las unidades de analisis son las unidades para cuales se de sea obtener informaci6n. Estas pueden ser personae, hospitales, ciudades. 2. Poblacion 0 Universo: La poblacion 0 universo es e1 grupo completo oe todas las unidades de anal isis cuyas caractertsticas 5e desea estu diar. Los siguientes conjuntos podran constituir universos para nos estudios. Enfermos hospitalizados en e1 Hospital "EI Salvador" entre e1 10 y 15 de marzo de 1976 . ocurrida8 en chile en e1 AAo 1975. En 1a definici6n del universa, Be debe indicar la unidad de dcnde se investiga (lugar) y cuando se investiga (tiempo) dejando cl! rc:'lmente especifi c ado.estos aspec t os . 3. T)n .i. c1.-"!:d Huest reo: La unidad de muestreo es una unidad selecciona- dd del m<lrcc de muesf;reo. Puede ser igua1 a 1a unidad de C'lnru.isis aun que 11('· necesariamentJ.. Por ejemplo. para obtener i nformacion sobre pe r.sonas, se uti) izar una lista completa de un censo y seleccio nor una mlJestr". de l/? rsonas directamente. Sin embargo, t.ambHin FJe p£ sel"?cc.lona.r , ' na de hoga res e incluir en la muestra 2l to- das laB penmn<:',s los hogares seleccionados. La elecci6n de 1a ·\lfli oad de muestx-ef) m;l..o; eficiente, es una de las consideraciones mas im- portante en el de 1a muestra. 4. f.1arc o de muestr (!" : La totalidad de las unidades de muestreo, entre las cuales se se \ u.:c i onara 1a muestra, se denominara marco de mues- tree . El marco f'lW r],·! ser un listado de personas, de viviendas oun ma pa rlonde estan todas unidades de muestreo. 5 . Es un c onjnnto de llni dac1es de ana1isis extraidas del uni- verso, con el fin (1 10.' conocer una 0 mas caracteristicas de el. Diremos 98 . • que una r· des de 1m tra, 1a TI POS DE ERR( Sesgo de SelE Se entier. de las unidac del universo vel socioecon muestra a pat familiae de 1 que habrlan a muestra. Error de Hues tJiferenci mente sucede archivo con 5 menino y los tra de 50 fic res y 20 de h 21 de hombres bab1e de: 29 50 x estll dife: rlime1:ro (60\) Aparerttemf un grave incot que cuando USt error. Procedimiento Huestreo Aleal Se ctenomir des de entre " n, tengan igua En 1a pd.c Las unidades E va de "1" a UN 111" Y UN" a pa miento que aBe En el mues mo !Ie ma unidad en 1 tuida por "nit La probabi 9i6n: "f" 0::: !l N denominada fra tra y ItN" e1 d su capacidad io, pone en igne como tal la de una pe!. se examina u toda su san=- do y a veces des con que se o universo y stica del uni rese r ' .,tes , na el mismo re a. Pera euan as CBecs, e1 siva y se ha- as unidades to usiones vali:- 11a a conti- nidadslI para er perBonae , upo completo : se desea estu 50S para alg.!!. re el 10 y 15 de a) '. &119i9, de janr'to c d s e lecciona- e a nalisis aun acion sabre s o y tamblt;n Sf! p.:.1. uestra a t .o- i6n de la uni ones mSs 1m=- streo, entre co de mues- iendas 0 un rna das del un i- eel. Diremos , r ,. que una muestra e8 representatlva del universo cuando todas las unida des de muestreo tienen una probabilidad conocida de entrar en 1a muei tra, 1a que debe eer diatinta de cero. TIPOS DE ERRORES Sesgo de Selecc16n: Se entiende par tal a un error sistematico 0 dirigido en la selecci6n de las unidades, con 10 eual se obtiene una informaci6n parcial re.peeta del universo que se investiga. Por ejempl0, can e1 fin de conocer e1 ni- vel socioeconomico los habitantes de una ciudad, se se1eccionara una muestra a partir de la gu1a telefonica de la misma y se entrev.UrtarS a las familias de las seleccionadas, se 8star1a cometiendo un sesgo, ya que habrlan algunas familias que no tendrian posibilidad de entrar en la muestra. Error de Huestreo: Diferencia entre 10 que informa 1a muestra (estimacionl y 10 que rea! mente sueade en e1 universo As! par ejemplo, s1 tenemoe un arch iva can 500 casos clinicos de los cuales 300,corresponden a1 sexo fe- menina y los 200 restantes al sexo masculino y ai tomamos a1 azar una mue.!. tra de 50 fichas es muy "poco probable" que obtengamos 30 fichas de muje- res y 20 de hombres. Podemos obtener par ejempl9 29 fichas de mujeres y 21 de hombres-, 10 que indicara que en este kardex hay Wla proporcion pro- bable de: 29 SO x 100 = 58\ de mujeres, cuando efectivamente hay 60t Esta diferencia entre 1a 8atlmaoi6n dada per 1a mu •• tra (59') y .1 r'metro (60', as 10 que se denomlna error de Aparentemente pareciera que 1a presencia del error de muestreo serta un grave inconveniente para el usa de muestreo, pero esto no es as1, ya que cuando usamoa muestras probabl11sticas podemos controlar eate tipo de error. Procedimiento de Selecci6n Muestreo Aleatorio Simple: Se c1enomina mue"treo aleatorio a un m8todo para eeleooionar "nlt unida des de entre "N", de modo que cada una de las muestras posihles de tamano n, tengan iqual posibilidad de ser seleccionadas. En la practica una muestra a1eatoria es extratda unidad par unidad. Las unidades en la pbblacion Bon previamente numeradas en forma correlati va de "1" a "Nt!. A continuacion se extraen un" numeroa aleatorios entr; "1" y UN" a partir de una tabla de nGmeros aleatorios, 0 can otro proced,! miento que Asegure igual de ae1ecci6n para cads unidad. En a1 mueetreo aleatorio simple, 0 mu •• treo aleatorio irr •• trlcto, co mo se Ie denomina, no es permitida 1a dob1e inclusion de una mis= rna unidad en 1a Beto elgnifica que la mu •• tra debe •• tar canst! tuida por "n" unidades diferentes. La probabilidad de ee1ecci6n en cada unidad dada por 1a expre- allln. "f" == n N denominada fracei6n de muestreo'J tra y "Nil e1 del universo_ donde "n" representa el tamafio de ]a mue..! 99 I,: I j;;, r· . I 1 1 ,1 I , , I f "!, i . '. i ' -,_ .' i I I,! ' • • Seleccl0n Es el procedimiento mas aplicado per su sencillez y r.apidez. racterlst ica es la seleccion de unidades tomando una de cada k siendo k el espaciamient,Q de mueetr.eo, dado par la expresitSn t k = h Su ca- unidad •• dande tra. "Nil corresponde al tamaiio de la poblacion y "n" al tamafio de la mue! El procedimiento consiste en tamar un nUmera en forma aleatoria den- tro de las k primeras unidades. A esta primera unidad de muestreo selec- cionada 1a denominaremos unidad de arranque. Para seleccionar las siguien tes unidades que formaran 1a muestra, Be Ie Burna a la unidad de arranque k, 2k, 3k, etc. hasta obtener e1 tamano de muestra deBeado. Sea por ejemplo 1a s8t'ie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11, 1.2, que rl presents a las dnce unidades de una poblaci6n determinada. Sup6ngase qu; deseamo8 tamar mueatra de tamafio 4, ten.moB entona.. que e1 a.pao!a miento de muestreo k es !qual a 3. Por 10 tanto, debemos eleqir un nGme= ro en f o rma aleatoria entre 1 y ) '. Suponga'mos que el numero elegido sea 2, 1a muestra queda constituida par las unidades de muestree 2, 5, By 11. Notese que para 1a segunda unidad de ana:lis is (5), se sumO a 1a unida d de arranque (2) el intervale de muestreo (3), procediendose en forma analoga para todas las unidades seleccionadas. Es c laro que a1 fijar e1 numero de arranque, e1 resto de las unidadeB que inqresan a 1a quedan seleccionadaB en forma eimultSnea, as mo eortellr un grupo completo. Lt5gicamente que s1 siempre se partiera de 9610 podr1an entrar en la muestra las unidades 2, 5, a, 11 y e1 resto quedar1a con probabilidad "eerb ll de 8e1ecoi6n, en ouyo C890 serta una mue! tra eesgada. De aqui que es necesario sortear 1s primers unidad en forma aleatoria. Las ventajas de este metoda radican como se dijo a1 Inleio en la rap! dez y sencil1ez de su operatoria. No necesita numeracion de las unidade87 sino solamente un ordenami.ento f1sieo que permita a1 recuento. Puede pr! senter al.gunas desventajas. Una de e118.9 se refter. a 1e. p08tbll existencia de 01010s en 1& inform8.ci6n y conjugAndoee con ella la poe1b1- Ildad de que k coincida can dlcho cicIo. Un ejemplo claro 10 presentan las d!arreae infant!le.. Tienen un ci- cIo anual con m&ximo de ver8.no y minima en invierno. S1 para hacer un estudio en rel8.ci6n a diarreas infantiles, se nortel ra un mes del ana y se hicleran observaciones cada 12 meBes, obtendrI una informacion falsa aUn ' cuando e1 procedimiento estuviera bien emp1ea- do, t-:j€'mplo: feb., fen., ............... . h:b. t::Jl este caso se nV:r:rt ndrl8. un resumen 8610 de lOB indicGI!I elBvadoi . Par eeta razon J.mp01: t .llnte averlgual.· 1a posibillda..-l de ..... lCis tE!:n,cia de y ", ' g,ue rle ser as!, Be puede recurrir a diverSOR F mlen'tos Entre ellos figt1ra el doble sorteo utili"..ar 1. n(ul\er'DQ :," .-:;. a tor.ios entre 1 y de muest.reo pa.J:a UTl(1 de elIoA 2k. cedimientos tMS Muestreo Estratificadu Simple de n6mero8 de arranque, es 2k y utilizar como eapaciamiento Rare. vez as neceaario ut.i.1.i.v.ar pr2 Muchas vecee ll\:g caract.e.t:i9tlc8a que !Ie estudian en una poblaci6n, va rlan de muy distinta m:s.nera entre loe dlverl!lol!l indlviduo. 0 unidadee de ! nlilis1e, decir. r se t.:lene una poblaci6n lnUy heter09'nea • 100 81 no t( que nuestrn! los verda del Una manf su1tadoB es nes y muestl blaciones ir Los diet muestreo qUE les se Ie dE Una vez del nlimero d fijacion), e es tomar un neo, pero su este caso .! mas sencillo fio (N° de un afijaci6n pr La estra zones para 5 1. S1 Be de aconse:'a mente ta 2. Ventajas ficacion ner ofic. cuesta pi 3. La estral La idea I en Bubpo) eat« 8Uq, pae. Sf rian poce de cualq\ estrato. Muestreo de ( Puede sue aial por ejemplo • miliaree 0 en hospitales, c 51 nos in 1ftII!ramente com dividuos, par a todos 0 par otras vee de la poblaci dronamientos, do enseguida rior; Debido a1 z. SU oa- k unidadea o de 1a mues teria den- tree 8e1ec- las .e arranque 12, que re pong' "que e1 1..., ,rlacia ir un nUma=- legido sea ,5,Byll. se sumO a .iendose en ' as unidades _anea, es ·artiera de y .,1 reato ·ta una mU8.! lad en forma I en la rapi 18 wlidad •• -; Puede pre I 1a po.ibi. 1a poeibi- .enen .., 01- I , 88 sort •• 9'" obtendrI den emplea- 3.aS elevados. i dad de "xis :sO::J r es docir, Ipaciamiento utillzar ,blac i6n , va ddades de ! s1 no tomamos en consideraci6n esta "heterogeneidad" es muy posible que nuestras estimaciones a base de 14 mUestra difieran de los verdaderoe valores en 1a poblaci6n. Una manera de evitar la influenc ia de esta heterogeneldad en los re - sultados es agrupar los individuos mas 0 menos semejantes en subpoblacio- nes y rnuestrear cada una de las subpoblaciones como si se tratara de po- blaeiones independientes. Los distintos grupos formados se denornlnan estratos y al proceso de muestreo que procede a agrupar los individuos en estos estratos especia- lea se I e denomina estratificacion . Una vez que se han fijado los estratos, se procede a 1a determinacion del nGmero de individuos qu@ deben aeleccionarse de cada uno de ellos (a- fijacion), existen diferentes formas de fijar estos tamafios, una de ella9 es tomar un tamafio de muestra mayor en aquel estrato que sea m!s heteroge neo , pero sucede muchas veces que no se tiene una medida aceptahle de 1-; variabl1idad de la caracteristica estudiada en los diversos estratos, en eete easo 8i queremos una muestra del 10' de la ·pablaei6n por ejemplo, 10 mSe sencill0 ser!a tomar dentro de cads estrato tambien un 10% de su tama fio (N° de unidades que·contiene), a este tipo de afijaci6n sele afijacion proporcional. La estratificacion es una tecniea muy cornun.: Entre las princ.!pales ra Eones para su usa se encuentran 188 siguientes: 1. Si se desean resultados para ciertas subpoblaciones de la pob1acion es aconsejable considerar cada subpoblacion como una upob1aci6n u propia- mente tal, y tamar una muestra independiente en cada una de ellas. 2 . Ventajas de tipo administrativo pueden aconsejar el usc de 1a estrat! flcacian, por ejemplo, la institucion que realiza la encuesta puede te ner oficinas regiona les, cada una de las cuales puede supervisar la en cuesta para una parte de la poblacion. - La estratificacion puede contribuir a disminuir el error de muestreo. La idea b4eica e8 14 que ea pOBible dlvidir una poblaoi6n heterog'nea en subpoblaciones, cada una de elIas homogenea en su interior . Esto estS eugerido por e1 nombre de estrato, que impliea la diviai6n en ca pall. Si cada eetrat.o es homo91neo en e1 sentido de que 1.&s medidae va rtan poco de una unidad a otra, una estimacion precisa del de cualquier estrato puede obtenerse en base· a una p-equena muestra del estrato. Muestreo de Conglomerados Puede suceder en 1a practi ca que las unidades de an'118i9 no se en- aialadas, sino formando 9rupos 0 Tal eB e1 c aso por ejemplo, de 108 habitant.es de una c1.udad que'. viven ya aea en gntpos t,! ml1iares 0 en agrupaciones especiales como ser; residenciales, hote les, hospitales, cSrceles, internados, etc. Si nos interesa saber 10 que pasa con el individua, se puede p 41 meramente cane unidades de muestreo estos nGcleos 0 IIconglomerados" de ii! dividuos, para enseguida t omar dentro de los conglomerados de la muestra a todos 0 parte de los individuos que en ellos se encuentran. Otras veces, por rezones de orden econ6mieo" se agrupan 108 individuos de 1a poblaci6n en "oonglomerados" •• pec!al"., tale. como aon •• 4_ empa- dronamientos, par ejemplo, a divisione s administrativas pequenas, do enseguida.un proceso de seleccion, como e1 indicado en e1 parrafo rior. Debido al usc de "conq1omerados" como unidades (prim"rias) de mues- 101 I ., ! i 1" I i t " ,', ' I I j h' 'I'" • • A. Piii - treo, e1 proceso de muestreo que hace usc de esta modalidad de 8grupac!iSn de las unidades de analisis, recibe e1 Hombre de "nuU.tJt.ea de. c.ongiome/Ul- dOJ,II. Ventajas del usa del Muestrea: Hay sels razones basir:as para e1 usa de muestreo: Una muestra puede ahorrar dinero comparado con e1 costo de un censo. Una muestra tjempo, cllando e1 hecho a estud!ar presenta varia- clones relativamente rapidas a traves del este poco consume de tiempo p.n obtener. loa d'ltos cobr.a espacial importancia puss permite completar In de ellcs ante9 que se preeenten variaoiones de importancia. Una muestra penri..te cOIlcentrar la atencion en casos individuales, e1 tener que analizar un niimero reducido de individuos permite obtener rna yor a elIas can todD e1 detalle que es necesario de acuerdo a los Jbjeti"vos. 4. Una muestra permite e1 usc oe poco personal y espacio. En general bas ta con un numero rp.OllG 100 ne nebldBmenta entrenadas y que pu.! dan trnbnjar en un mAs 'que e1 que 5e necesitarta pa- ra un trabajo de tipo censal. 5. Una muestxa permite obtener resultados de mejor calldad, e1 usa de P£ co personal permite un mejor entrenamiento de elIas, junto a1 hecho de que se rechace 1a variac ion can que puede presentarse por e1 observa- dor mismo. Toaos estos hechos redundan en una mejor chlidad de los re sultados. 6. Una muestra, muchas veces es la unica posibilidad ra2ionab1e de ahall .. sis, en muchas oportunidades e1 eXR.men de lOB elementos que forman u- na poblacion 0 t1ni'trer9o ex.tge AU destrucoi6n 0 inutil!zaci6n, como ee e1 examen rutinarlo de leche embotel1ada, conservas, etc., por 10 tan to, es absurdo todo el lote de producci6n para tener una in- formacion respecto a su·calidad. Desventajas del Muestrea: A pesar de las ventajas' del muestreo muchas veces no 99 realizar una investigaGion a base de muestras. CaSDS de este siguientes: aconsejable tipo son los a. Cuando 5e necesitan ORtos para Bubdivisiones muy pequenas de la pobla cion, se requieren muestras desproporcionadamente grandes,pues 1a pre ci!=l:ion de ,ma mucst.ra dependp. frecuentemente del tamaiio de Ia muestra y '_-,13 Ia frace ion de muestreo. En este caso de muestreo puede ser casi '.an costoso como un censo completo. h. Cu·,ndo se requiere un inventario para cada uno de los elementos de la poblacion, ejt.:'mplos de tlpo es 1a ficha _c11nica de hospital que tienen que exjst.:l.r para todos los paeientes, no solo para un grupo de ellos. ApI icaciones de En e1 campo sanitar:.i..o el muestren tiene multiples aplicaciones, que son par ejemplo: a. La obt.encion an inrnurv:I.-:.ion a las personas que vivan en el '- rea de un centxo ,,1111:1 con e] objetQ de elaborar 0 transformar un programa. b. Probar Ia eficlencia OP. un metoda antes de aplicarlo a1 total de]a P:2. blacion . 102 C. Determ da, de d. Evalua 19rupacion ongiomeJra- m censo. Ita varia- :onsumo de permite lriaciones lales, e1 obtener rna necesario mer'at- bas 3 Y que pue ltarla pa=- usa de po . hecho de l observa- de las re : de I forman u- , como es or 10 tan r \lJ'\a _1n- onsejable son los 1a l.---_.Jla le8 14 pri a muestra .uede ser tos de la . ital que 1 de les, que 1m en e1 , formar Wl ,1 de la P£ c. Determinar ne ces idade s de recur s os me dic os, asi stenciales, de vivien- da, de saneamiento dentro del area del Centro de Salud. d. Evalua r los resultados que e s ta dando un programa en e jecucion. 103 , i "I I ' 1 >- I REGRESION LINEAL EI problema Se investiga 10 capacidad vital en 8 ninos d" diferentes edades, con los siguien tes resuJ. todos: . f.dad (unos) Capucidad Vital (x) (y) ----- 4 0.79 5 0.93 6 1.15 7 1.29 8 1.47 1 1.71 lU 1.87 11 1.99 Los datos se caHlcter izan porque en coda unidad de observacion (nIno) se hacen dos mediciones: edad (x) y capacidad vital (1'), Se dispone de B pares de observaciones: Nino I Xl = 4 Yl = 0.79 2 x2 = 5 Y2 " 0.93 etc. En general. ,para 10 observacion i == 1,2, •.• ,n, en que n 8S a1 numero de observaciones eJ par de mediciones es (xj: Vi)' Observ9se-que Id variable x (edad) no as (Jlecrtor ia, porque los nlnos han side elegidos en ciertae edades; es 10 variable independiente. La variable capacidad vital (y) eB aleator ia y es la variuble dependiente •. fundamentalmente se trata de con· testar las slguientes pregl1ntos: 1. 10 capaciddd vltal de la edad del nino? ;J)epende y de x? 2., :."'; 1u es afirmativQ9 i,CuCiI es la forma de esta dependencia. 0 bir-'ll l.05mo 5e y en funcion de x? Este Urn de prohTpm(] es frecuente en medicina. Ejemplos: iCual es 10 curva pondered. de lm j) ina saho? ieomo varia la concentracion sanguinea de un antibiotico d8SPU0S de adrninistracion oral? LQue relacion hay entre el de i.ndividuos inmunizados en una poblacion y e1 numero de ca .. sos de una enferruedad infecciosn? i>Cual es el valor predictivo que tiene e1 exnmen de selp.cr.i(,n de Medicina respecto a las calificaciones del primer ano de est\1dio(; . La utUidad d" 1 ll,,,todo "" mul tiple. Si se construye un modelo con e1 peso de n UiOf; SCTrlOS mt- fl1ncion de 10 edad. sera posible saber cu6l ea e1 peso normal oe lln ,liflo pelro lmet pdod determinada, 10 que ayuda a1 diagoos", tico. El usc del ex"metl de seJp.ccion llevo implicita 10 idea que ea capaz de predeci r los resllJ todos de los estudios unlversi tarios. La expresion mntematica de 1" "';Q1'iocion de dos variables facilita el resumen de muchas 1011 observQcior cion y expr lar hipotee EI grafico El pri • riable depE en el de In En eete la edad. de. con ciertas men09 rectd, EI modelo de La ecuac (1) a = interce b p"ndien • £'1 n"llIbrl!' todo. f.n r Jo homhre. dlll_ men!")!'! medIa. est. 10 normolj, odes, con Lon (nino) 'pone de 8 numero de a variable tn cJ ':0. tal (T/ e. to de con- Ie x? mdencia. 0 'Cu61 .. 1a :guinea de hay entre nero de co- que tiene del primer 'elo con el ulil es el 1 diagnos- e es capaz expresion de muchas observaciones y su aplicaci6n. Por ultimo, precisar que existe una asocia- cion y expresarlo cllcmtitativamente es muchas veces un paso previo a formu- lar hipotesis sobre su causa. EI grafico y su descripcion El primer paso en este tipo de problema 'es haver un grafico con 10 va- riable dependiente en el eje de 10. ordenodo. y 10 variable independiente en e1 de las abscisQs. capacidad v; tal • • • • • • • • En eete ejemplo. el grafico muestra que la capacidad vital aumenta con la edad. desde 0.79 a los 4 an09 de edad hasta 1.99 a los 11 anos. Aunque con ciertas irreqularidades. lOB puntos tienden a seguir una linea mas 0 menos recta. UsaremoB. pues. el mOdelo de regresion lineal, • EI modelo de regreslon lineal La ecuaclon general de una linea recta as: (1) y = a + bx Siendo a = Intercepto = valor de y pnra x = 0 b pendiente cambio en y por unidad de cambio en x. a &J noebre de derlva de Uoa de Jos prl.eras opJleaeiones del .e- todo. en un estudlo de 10 relae16n entre 10 deJ padre y del hI. Jo hombre. S9 encontro que los Jd}os de padres lI.uy altos eran. en proll._ dIo, J'lenos alto.'!!!, y que 105 hlJos de padre$ llIuy baJos alcanzaban. en medio, estaturas mas 01 tos que sus padres. Esto es. hat regreslon a 10 normalldad en sucesivas 105 ! ., I 'I: .. 'i .. ' · . r: , . ; Ft- , . ! I • • y I I I I I , , , , I I I I I I , I • , I I , I t I I I _. a + bx x tC6mo Be oplico este modelo en ,,1 campo multivorioble de 10 medicina? 9upuestos 0 condiciones. Be ""epta 01 aplicar lo? LC6mo · se interpretan los parametros de 10 ecuacion? . 51 hubleramo8 examinano un numero de ninos. no habriamo8 obtenido para coda edad exact<lmente 1a capacldad detnminooaen .. 1 pequeno grupo de e observaciones. Poe ejemplo • . para 10 edad 5 anos (x == 5). habr!amo8 obte- nido capacidodes vitales variableA aunque mas 0 menoa cercona. a y = 0.93. Por ello, en e1. modelo se ocepta que existe una familia de poblacione8, ca- do una determinada por un valor fijo y conocido de x. Coda una de e8tas poblaciones tiene una distribucion normal. definida por un promedio y una distribucion standard que designaremos: I" v/x = promedio de los yalores de y para x dooo u y/x =. desviaciob standard de 109 volores de y para x dena En el ejemplo. esto .ignifica que paro 10 edod 5 afios (x = 5). el pro- medio de las vitales es = 5. Y 10 dispersion para este va- lor puede expresarse por ay/.x = 5. En un grafico tridimensional 10 repre- sentacion es 10 siguiente: 106 De acuard tribuciones s (2) a 0 promedio ra edod 0 f3= cambio er. ejemplo. Finalment ciOn standard 0- y/x e. En el eje dual en 10 co En 10 apl mar la atenci 1. Se acepto plo anoli ano de ed 9ioo. per tervo-los pacidod v vida hume 2. Si 10 cap fica que Por 10 to x. Si Ie taL pare toncea a y nee de pr rio. que Es te car l fuentes '1 bx - x .edicina? ;erpretan obtenido grupo de nos obte- I = 0,93. ones, -"I- de e ..... _-'s lia y una f el pro- este va- 10 repre- 1(1/1) 8 7 8 8 18 " II dId De acuerdo al modelo de regreslon lineal. los promedios de f)stos tribuciones se disponen en una linea recta, cuya ec:uaci6n es: (2) fly/x = a. + f3 x dande a.:: promedio de y para x = 0 (en este ejemplo, capacidad vi tal 'ja .. ra edad 0, es deelr, at nacimiento). cambia en e1 prantedio de Y clIando x (Iumenta .in una unidad. (Ell " s t· , ejemplo. aumento de la capacidcd vital pl'omedio pOl' ano de edad) Finalmente. es necesario aceptor que, .para coda valor de x, 10 dat1v\IJ - oion standard de 10 dletrlbuclon de y e8 10 miema. E8 deeir, 0- y/x e8 constante para todo x En el ejemplo presente. esta condicion dice que 10 variabilidad indivi . dual en 10 capaeidad vital es para todas las edodes. En la apHeaeLon de un modelo matemaUeode esta espeCie conviene .1.1., .. mar 10 atencion sabre los siguientes hechos: I 1. Se aeepta que el cambio de y es constante pOl' unidad de x; en el eje", . plo cmalizado. que e1 aumento en 10 capacidad vital f:rS igu01 por cad":! af\o d. edad oUillplldo. Esta.1 tUClc16n no ell habitual en el orea h1010· · gica. perc e1 supuesto es <r:eptable muchas veces para determinadoli in · tervalos en e1 eje de las x. En e1 caso que -se discute. aunque 10 Cu'" pacidad vi tal no fuera una funcian lineal de 10 edod a 10 largo de J.1 vida humano. podria serlo en las edodes consideradas. 2. Si 10 capacidad vital es variable en sujetos de igual edad. esto signi- fica que esta determinada AD£H'AS por otros faelores qu.e no sQn 10 edad. Por 10 tanto, 0y/x expresa una variacion de y que es independiente de x. Sl 10 edad tllera e1 unlcc factor que determinara la capacidad vi- tal, para una edad deteminada habria una capacldad vital uniea. En- tonce. = 0 y todo. 108 puntos correeponderlan exactamente a 10 li- nea de promedios. La habitual en el ern,po biologieo es, por e1 eontra- rio. que 10 variable y dependa no solo de x sino de multiples factores. Eate coracter multifactoriul y los errores de medieion son las dos fuentes que expliccm 10 variccion residual alrE!dedor de 10 linea de re- 107 .. 'J ;1' '., ; ~ ' ! ;, p , . f ' :i i , • gresi6"n. Tratandose de una muestra, Veremos maB adelante que e1 error de muestreo es otra causa de esta dispersion. Tocla 10 disdlsion anterior se refiere a los datos de 10 poblacion del universe de ninos. Lo cierto es que solo disponemos de datos de una peque- no muestra de B medicionee de 10 capacidad vital, una para cada edad entre 4 y 11 anos. "COmo podemos estimar los va10res desconocidos de a y de ~ , que definen 1a linea recta que expresa 10 capacidad vital como funcion li- neal de 10 edad? Aj us Ie de una I fnea recta por el metodo de los cuadrados mfnimos Para referirnos a 10 recta ajustada a los datos disponibles (0 10 mues- tra) usaremos 10 simbologfa: Hay multiples lineas rectos que pueden ajustarse a los datos de este ejemplo, as ,decir, multiplp.B valoref:! dp. a y de h. DefIJde luego, coda par de puntos define ':Ina recta: 10 recta, por otra parte, pqede no pasar por los puntos observados. El mejor ajuste se obtiene por e1 criterio de cuadrados minimos! es 1a recta que hace minima 10 surna de las diferencias cuadraticos entre cada volor de Yi y el valor predicho en Xi por 10 linea de regresion. Es decir: I (y. y.)2 minimo 1 1 En e1 grofieo siguiente se muestran cada una de estas diferencias como un trazo vertical: YI 1.00 1,80 1.80 Y 1.40 1. 1(1 1,00 0.80 0.60 0.40 0.10 108 1.5 .. 10 II E. te oj cada conjun tante. a y /3. reapeoti Los val mos se obti llamada. EC pecto 0 a Las ecu no + b Esta ul decir. por y = Para el guiente: x 11 1 61 Ie e1 error .lacion del una peque .. edad entre , a y de /3. Funci6n 11- (a la mues- too Q ...... .:3.te "ada par de sar por los e cucdrados cuadraticas . regreolon. encial como --Xi .'. Eate ajuBte de cuadrado. Minimo. tlene laB propiedade. de deflnir para cada conjunto de puntos observados una linea unica y de hacer que 10. cons- tante. a y b de la mueetra sean la mejor eetimacion de 10. parametros a y ~ , respectivamente. Lo. va1ore. de a y b que .atiafocen 10. condiciones de cuodrodoa mini- mOl ee obtlenen por 1a reloluclon 11mult6nea de las ecuaclon •• aiquientea, llamadas ECUACIONES NORMALES Y que reBultan de la derivQcion parcial res- pecto a 0 y b de 1a funcion. Las ecuaciones normales son: = b = a = y Esta ultima eCUaClon muestra que 1a recta pasa por e1 punto (x.y). es j dO";o ~ ' :' " ' , ~ 100 doo "'''''''''''_0 0 _.,. "". Para e1 ejemp10 de la capacidad vi tal. el ca1culo del ajuste"es e1 si- guiente: Xi Yi xiYi xi 2 4 D.7S 3.16 16 5 0.93 4.86 25 6 1.15 6.90 36 7 1.29 9.03 49 8 1.47 11.76 64 9 1.71 15.39 81 10 1.87 18.70 100 11 1.99 2i.S9 121 60 11.20 91.48 492 109 J , J d " ! I ' 1 " j ., ) , I.' i' ij'! • • n = 8 L X.Y i 91.48 = . 1 2 Lx. = 60 2: xi 492 1 = 2 60 2 L y. = 11.20 (L x. ) = = 3.600 1 1 n L X.y. L x. ? y. 8 (91. 48) - 60 (11. 20) 1 1 1 1 b= = = n L Xi 2 (Lx.) 2 8 (492) (60) 2 1 731, 84 672 59.84 = = - - -- = 0.18 3936 36CO 336 a = y bx - 11.20 (0.18) 60 =1.40 - 0.18 (7.5) 8 8 = 1.40 1.35 = 0.05 Y 1 = 0.05 + 0. 18 Xi De acuerdo a esta funcion. por coda anD de &dad la capacidad vital Ie incrementa en 0.18 unidades entre las edades de 4 y 11 anos. Extrapolando, la capacidad vital media para el nacimIento seria 0.05. La ecuaci6n permi- te predecir 10 capacidad vital promedio para cualquier valor de x. Por ejemplo. para los 5 aDos y medio seria:' y 5.5 = O.OS + (0.18) 5.5 = 1.04 El resumen de 10 regresl on en dos constantes permite tamblen compara- clones ent re grupos. Por ejemplo, 5i se estuviera estudiando 10 capaci dad vital en funcion de 10 edad en tre grupos raciales. la' comparacion de inte r .. ceptos permitiran 51 hay diferencies en 10 capacidad vital 01 nacimiento entre lOB diversoB grupos, y 10 camparacion de las constant es b haria posible analizar si 10 raza tiene algun efecto en determinor un rente incremento de 10 copacidod , vital per ano de edod. La variabilidad alrededor de la linea de regresian Hemo. dicho que la dispersion de puntos respecto a la linea de regre- sion puede expresor que y "depende de otros factores edemas de x, que hay errores en 10 medicion y que los datos de 10 mue stra difieren accidental- mente de la verdadera dis tri bucion en 10 poblacion 0 universo de origen. 110 ' Por a.ta. y , En 1a ap de los va. promedio Los valO1 nea de regre: DARD DF. I.A r" n = numf= ObaerveSf descripcion ( Las difel 1. Las difel promedio coda x., 2. Se divia, es conver. En el ej. 0.79 0.93 1.15 1. 29 1.47 1. 71 1.87 1.99 ... :.--_ .. . _- . .... . .... . - . .. --.. ..... = 5) ,d vi tal ae trapolando, 016n perml. d. x Por '-- In compara- , capacidad 1 de inter .. ,d vital a1 .nstantes b ]r Un diCe- : de regre- x. que hoy :cciden to 1. de odgen. I Por estos y otros razones. intereso muchos veces medir eata variabilidad. En 10 aplicaci6n del modelo lineal se ha aceptado que para cada valor de los valores de y tienen una distribucion normal con promedio = Ily/x desviacion standard _ 0 - y/x Los valoree de 11. I eon estJmoclos por lOB correspondientes Y i de 10 II. nea de regresi 6n . estimar u y / x de modo s,imllar por e1 [RROR STAN .. DARD DE LA ESTIMACI0N. s y/x .----- y.) 2 1 1 n 2 n = numero de pares de observaciones. Observese que 5 he tiene tIna estructura semejante a Sx utilizado en 10 descripcion de 10 vXrlabilidad de una serie de meqidas: s x LaB diferenalas Bon las elguientea: 1. Las diferencios cuadraticas de coda valor observado no se refieren al promedio fijo del grupo observado, sino a un promedio que varia para cada x .• . y que est a dado por la linea de regresion (Y.). 2. Se par (0 - 2) en vez de (n - 1). por razones teoricas que no es cooveniente explicor aqui. En e1 ejemp10 desarro11odo. e1 calcu10 de S I es el siguiente y l< J 1 Y i (Y. - Y. ) (y. _ Y ) 2 1 1 1 1 0.79 0.77 + 0.02 0.CXD4 0.93 0.95 - 0.02 0.CW4 L1s 1.13 + 0.02 0.CW4 1.29 1.31 - 0.02 0.CW4 1.47 1.49 - 0.02 0.CW4 1. 71 1.G7 + 0.04 O.mlG 1.87 1.85 + 0.02 0.CXD4 1.99 2.03 - 0.04 O.mlG 111 I • • s y/x = \ 0Y i - Y i ) 2 =Vo. OOS6 Y-n-2 6 112 = 0.0056 = 0.03 El analis variahle:;. F variables en ' vacion. POl mide A 1 p e ~ : ; o de la tempera se cuen to e J frutos. Simbolizo objetivo del, res de "x" er. estas unidade si . hombres COl server si a1 I aumento; obse dio de lOA fr Presentacion I) Tabla: SegUn el I a) IIna Ii b) una ta 0) La li.ta . lor de ca· Ejemplo: ·Rel . Fami 1 i · 1 2 3 4 5 6 7 B 9 10 l.l En este • Be idp.n t.i fj co cuol de las f llamar "x" a las hermanas. b) La tabla r os en I e cion que corr' , .'- . "" CORRElACllJI El an61isis de correlacion estudia el de dos variables. Para peder hacerlo es necesario medir simultaneamente las dos variables en coda uno de los elementos de un conjunto de unidades de obser- vacion. Por ejemp.lo, en cada individuo de un grupo de hombres odultos se nide el peso y 10 estat. llrn, en coda enfermo de un grupo de pacientes mi .. de 10 temperatura axilar y 10 presion sistolica. en cada arhol de un huerto .se cuento e1 numero de (rutes Y He det.ermine e1 promedlo de tamano de las 'frutas. Simbolizaremos por "x" a uno de las variables y por "yO a 10 otra. El objetivo del estudio de 10 correlacion es determinar 8i 01 varier los valo- res de "x'· en determinado sentido en las unidades de observacion. "y" en estos unidades aumenta. disminuye 0 mantiene i ,gnal . Ejemplos: observer 5i, hombres con mayor estaturn pescm mas que hombres con men or estat · ..... a: ob- servor si 01" haber mayor temperatura corppral. 10 presion sist61ica tamb1en - aumenta: observar s1 a mayor numero de frutas en e1 arbol el tamano ·prome- dib de la8 frutas disminuye. · Presentacion de los datos 1) Tabla: SegUn e1 de observaciones puede -ser: a) una 'lista b) una tabla de datos agrupados a) La lista consiste en colocar frente ·a coda unidod de observacion e1 lor de cac.l'c· una d'; las variables medidas. Ejemplo: Relacion entre estatura de herman os y hermartas Familia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Hermmlos X 1.71 1.68 1.66 1.67 1.70 1.71 1.70 1. 73 1.72 1.65 1.66 Hermanae y 1.69 1.64 1.65 1,63 1.65 1,62 1.65 1.64 1,66 1.59 1,62 En este ej emplo 10 unidad de observacion es 10 familia. Coda familia se Identific6 arbitrariamente por un numero. En eate ca80 8S indlferente a eual de las estaturos desiqnemos por "x" y a cual .'y". Deeidimos . llamar "x" a las estaturas de los hermanos y Ilamar "y" a 10 estatura de las hermanas. bl La tabla de datos agrupados 0 tabla de correlacion dispone de casille- ros en los cuales quedan ubi c adas las diferentes unidades de observa- cion que corresponden a ellos. Este tipo de labIa permite 10 visualizacion 113 I , I 1& Inmedlata de la r"lad6n exhtent" entre las varlable8 en eatudlo. Ejernplo: Con sumo de ° 2 (Centros de closes y) 150 170 190 210 230 250 270 290 310 330 Total Con sumo de 02(cc. por min.) y peso en 136 individuos nonnales Peso corporal (Centro de clases xl 1--- - 35 45 5$ 65 75 85 95 105 1 1 1 3 3 1 1 23 9 1 1 13 23 4 2 3 13 6 1 2 11 1 1 4 1 4 1 1 1 6 43 52 24 8 1 1 Total 1 2 7 34 43 23 15 9 1 1 136 Se aprecia facilmente que a medidn que aumenta e1 peso de los indivi- duos aurnenta tambi;;n"l consurno de ° 2 , • 2) . La manera mas sencilla de presentar y analizar.la relocian entre dos variables es e1 grafieo de correlacion. La tecnica para construir eate grofieo es 10 slguiente: en cada uno de los ejes perpendiculares se coleca una de las variables estudiadas. La va· riable cmotada en e1 eje horizontal se denomina "x" y 10 del eje vertical "y". La escala de variables 'en cdda eje flucbJO entre e1 valor minimo y el maximo de 10 serie. sin necesidad de comenzar en O. Se proporcionaran las escalas de manera que ambos ejes tenqan igual longitud. Una: vez trazados los ejes y sus escalas se procede a inscribir cada unidad observada, representandola por un punto en la interseccion de per. pendiculares imagi nar ias levan tadas en los valores que Ie corresponden a1 ir'1;viduo para cada variable. 5e rogra asi 11n grafieo de puntos euya dis .. f 1 'cIon nos inforrno sobre 1a existencia 0 no de correlacion. El grCifico puede hacerse ry partir de una 1ista de los individuos. no de una tabla de COI relacion. Ej amplo: En 19 alumnos de primer ano de una escuela 5e ha hecho un entudio de corre1acion entre e1 test que mide e1 coeficiente intelectual (CI) y las notas obtenida,s, P.T1 los examenes de primer ano. Los datos son los siguien- tes: CI x 107 120 114 Examen y 59 60 Examen 90 eo 70 80 50 40 30 • 20 70 80 En 10 tabla es riables. el grafic ilas notas son tambj 11 E1 9r6 fico de F nen en una nube ell l puede ser positivcr ,rresponden valoree .01 tos de y. Es ne, I idisminuyen. La auseneia de ':cion circular. hori I i ... 14 ........... "' ...... " .... -•• "" .. · "'*"Jl"" .. ......... ...... ......_ ..:.. •• . :, . ) •. "-'_ ."-'-'-0,:.,., .• " ....• ::...., "_., ',. I indivi- ntre do. a uno de La va_ vertical limo y e1 oran las blr _,Ja de per- ,onden a1 :uya dis- , grafico ma tabla ,tudio de :1) y las siguien ... Examen 90 80 70 80 50 40 30 • 20 70 80 • • 90 77 136 111 140 97 117 126 92 90 110 123 110 103 96 133 102 • • • • 100 • • • • • • • 110 120 26 80 66 66 SO 68 67 31 40 41 57 50 44 43 72 32 • • 130 • • 140 150 CI En 10 tabla es muy diffeil ver 10 relacion que existe entre ambos va- riables. e1 grafico en cambio, nOB muestra inmediatamente que a mayor CI las notall son tambien mayores y viceversa. , E1 gr6fico de puntos nos revela correlacion cuando los puntos se dispo ... nen en una nube eliptica y ohIieua con respecto a los eje's. La correlacion puede ser positivQ 0 negativa. Es positiva cuando a valores bajos de x co- rresponden valores bajos de y. y a valores altos de x corresponden valores altos de y. Es negatlva s1 a1 aumentar los valores de x los valoree de y disminuyen. La ausencia de correlacion se manifiesta en el grafico por una disposi- cion circular, horizontal 0 vertical de los puntos. 115 .; II I • ii III I y Laa imogene a de loa aituaciones descritas son: correlacion pullin X .. . . . . cOlreiacion n'Katin X ., . . . . . . . . . . . X X . . . . . . ... . • U I • n C I I d. CDr r I I • c I Ii n Contam08 lue,? ;en dOB cuadran tes !a 10 que se encue I Podemps resUll) asociacion. En [ 'de 10 medicma Biu !guiente tabla: i Notas de ex amen -! Altos Boias El grado de co rre lacion se revela en el qrafico por 10 mayor 0 menor dispersion de los puntos alrededor del eje mayor de la elipse. La correlacion perfecta se revelarte por una disposicion lineal de 108 puntas. Cuando es dificil veT si existe correlacion. es una ayuda trazar per- pendicularea a los ajas en 108 valora. correspondientee a loa medianae de las variables. En el grafico del presente ejemplo. trazamos una linea ver- tical que deje 9 puntos a su izquierda y 9 a Sll derecha con 10 que obtene- mos 10 mediana del cr. luego trazamos una horizontal _que deje 9 puntes orr iba y 9 abajo dando mediana de las notas de examen. En este coso particular 10 aa y 10 lOa observacion ordenada segun CI eston ambos frente 01 valor HO y por 10 tanto 10 vertical pas oro por ambos puntos. Adjudiea- remos dos mitades hacia la izquierda de 10 vertical y dos mitades hacia la derecho. Exama" • • 80 8 • • • • • 70 60 • • , • 50· • • 40 6 • • 30 • • • • 20 -.- , 10 80 90 100 110 120 130 140 150 116 ! Total Se observa 1. :ambas mediciones EI coaficlanta dE Tan to el ana: nas solo apl 'falta de correIa! sis. Par el coO' tamos alguna ,med clente de correl !RaQU lal tOI para I. Para que el , flO que: ia) La correl act, ib) aaa una ( I El primer re 18umible en una 1 i El rE "aita I 'de corre. lc.. ... l.on F Se va en esc cad a valor de p< , lesbozo se per fee . En general s • ble verificarlo • dos "no pqrametr . , CIon • Calculo de r :"0 formula p l - - --. c .• - ... - .' . .• _ _ ...... . . , . _.". __ " . -,1_., '''_ .,,, .,-.. -.--." .,... -,- ' Ia'h-' ""W,,¢,u"··W...,..'V.I .. ... .... ..l'''''''''.... • ..... .. , .. _ ..... · . . . . · . . · • . • x c i 6 n r 0 menor , Contamos luego los puntes en cada uno de los obtenidos. Si !n dos cuadrantes diagonalmente 10 ccmtidad de puntos es superior 10 que se encuentra en el otro septido decimos que hay correlacion. Podemps e1 resu1taclo del rn1alisis por medicmas en una tabla de osociacion. En nuestro ejemplo definiremos los valores a uno u otro lado de Ie mecliana simplemente como altos 0 bajos con 10 que' ohtencll-etnos 10 .i .. guiente tabla: He locicn en t re CI y notas de examen ------ --------_._._-_ . . Notas de ex amen Altas BaJas Total Nivel de CI Bajo Alto 1 8 8 1 ---_._---_.- 9 9 Tot a I 9 9 . -. ,-, -,--_._---_._._------_.---.- ---- 18 al de los Se observa 10 mayor frecuencia de inclivicluos en los casilleros en que azar per- ambos mediciones coinciden 10 que nos revelo correlacion positivd. dianas de .inea ver .. ,e obtene- 9 puntos "ete ca80 las frente Adjudica- I hacia la EI coeficienle de correlacion Hr" Tanto e1 analisis del grafico como e1 del trazaclo de las media- nas son solo aproxlmados para medir e1 grado de correlaci6n. Cuando 10 (alta de correlacion es evidente no se justifica seguir adelante e1 on6:1i ... sis. Por e1 contrario, si estos metodos sugieren una cprrelacion. necesi- tamos alguna medida para apreciar su magnitud y esta medida es el coefi- ciente de correlacion r. ReQuisitos para el calculo de r. Para que e1 coefioiente de correlacion sea una buena meclida'es necesa- rio que: . a) La correlaoi6n taorica sea una linearecla. b) sea una diatribuci6n bivariable. normal. El primer requisita se cumple coda vez que 1a nube de puntas fuera re- sumible en una linea recta. El requisito de ser normal bivariante. se puede exp1icar can la tabla de correlacion para peso corporal y consumo de oxigeno en 10 pagina 2. Sa ve en esa tabla que hay un esbozo de distribucion normal frente a cada valor de peso y 10 mlBmo frente a cada ,valor de c:onsumo de 02' Eats el!lbozo se per feccionClTla a medida que fuera aumentando el numero de obeer .. vaciones. En general se supone que estos requisi tos se cumplen ya que no es posi .. hIe verificarlo. Si evidentemente no se cumplen. hay olros metodos llama- dos "no parametricos" que pueden utilizarse para medir el grado de corre1a- cion. Calculo de r , formula para e1 ca1culo de res: 117 I I '1 I , '-. I ,j J r I • :j ". j , , 1 < ·1 , .,: de r ::: 1 El valor de r k r se obtiene al I Parct obtener las cantidades necesarias necesitamos las columnas indica- 7 dos a contlnuaclon. Para nuestro ejemplo: . Xi Yi xi Yi x.2 y i 2 1 L(X - 107 59 6.313 11.449 3.481 r = V fi,(x 120 60 7.200 14.400 3.600 - x) 77 26 2.cx:Y2 5. 929 676 136 80 10.880 18.496 6.400 111 66 7.326 12.321 4.356 Ii 140 66 9.240 19.600 4.356 97 50 4.850 9.409 2.5(0 117 68 7.956 13.689 4.624 126 67 8.442 15.876 4.489 92 31 2. 852 8.464 961 00 40 3.600 8.100 1.600 110 41 4.510 12.100 1.681 123 57 7.011 15.129 3.249 110 50 5.500 12.100 2.500 103 44 4.532 10.609 1.936 ! 96 43 4.128 9.216 1.849 L En 10. cuadrar 133 72 9.576 17 .689 5.184 los cuadrantes 102 32 3.264 10.404 1.024 3el numerador sera hayor. menor 0 ig' 1.900 952 109.182 224.980 54.466 H 0 O. i La correlaci6n De esta II'Onera: I - 1 ::: correIa I n ::: 18 L x. 2 ::: 224.980 1 0= ausenci 1 I + 1 ::: correlc L Xi ::: 1.900 L Yi 2 = 54.466 (L x.) 2 I. . . .- L Yi ::: 952 ::: 3.960.100 I gn I , Ie ac Ion 1 .I L x.y. ::: 109.182 (2 y.) 2 ::: 906.304 I 1 1 1 I Para poder de rignifi c ativo. es que: 18 (109) - (1.900) (952) 1 Ho: p': 0 r ::: au Vfl.8 (224.980.98:) - (54.666) - J HI: p l' a ex ! Donde p e. el La di.tribuci[ r ::: 70.706 ::: 0.869 trada en p ::: a y 81.444.42 r ::: 0.87 118 ! de r El valor de r puede variar entre -1 y +1. Una vi sualizacion del valor ,e r se obtiene 01 analizar otro formula para r en pre sencia de un qr6:fico . as i ndica- : y.2 1 3. ""-' 3,0-... .J 676 6. 400 4.356 · 4.356 2.500 4.624 4.489 r Signos de l os pr oduc tos (x-x) (y- y) y II I ( - ) + (y-y » 0 - x) (y - y) = V U:(X - ;)3 li(y - y III IV ( + ) ( - ) (y_y) < O x (x-x) < 0 x (x-x » 0 En los cuadrantes I y III los productos (x _ x) (Y . - y ) Bon positivos. 961 1.681 3.249 2.500 1.936 1.849 5.184 1.024 In los cuadrante. II y IV 80n negatlvo.. Asi podemoe entender que la suma tel numerador sera (+" (-) 00 aegun si el numero de s umandos es menor 0 igual 01 de sumandos negativos. 10 que hara que r sea (+). 54.466 (-) 0 O. La correlaci6n 8S mas estrecha mlentraa mas cercano a -1 0 a +1 este r. --------'-' le est a monera: 24.980 54.466 60.100 :xl.304 - 1 0 + 1 = = = correlacion inversa 0 negat i va perfecta, ausenc ia abs oluta de correlacion corre lac i on directa 0 positivQ pe rfe cta. Ii gni Ii cacion Para pade r determinar si e l valor de r encontrado es estadistic amen te significativo, es necesario hac er una prueba de significacion e stadist ica lue: Ho :P 0 ausencia de correlacion HI :p 1 0 existenc ia de corre1acion Donde p e8 e1 coef iciente de correlacion poblacionaL La distrlbucion muestral de r e! aproximodamente una curva normal cen· trada en p = 0 y con error standard. es deci r 119 i J I i " ;' ! , ! i \ \. \ • i-'r = a Sr = I I 3 ) I ,'0. I E1 azar ne mani fiesta Con 10 cllal podemos Construl'r 1 a estadis tica Conclusion I genl rv,,-:-; ; 1 _ r2 que tiene una distribuci.on t de Student con n _ 2 grados de l.i.bertad. Del. eieml'la unteIior tenema .. : r '" 0.87 n = 18 en es te caso t = 0.87 Vl6 V 1- 0.87 2 = 7.059 ! La pr-:!senc. automat j camen t 'tener o1"mpre J l El hecho \ ion Bean de t er ,la corte laciot 'pale .. eB util 'V di.sti.ntoB I pna!' que 'les dan Can 16 grados de 1ibertad. Las tobIas de 10 t de Student muestran los val ores para diferentes percentiles de la diotribuc16n. 'S1 a fuera 0.05 tratandose de una pr'ueba de siqnificaclon bilateral. debemo8 buscor ef valor de t correspondiente 01 percentll 97,5 0 como aparece en 10 ta- bla • . para .975 10 que nos do t = 2.120. Para a" 0.01 buscaremos bajo 995 10 que do t = 2.921. Interpretacion de la existencia de correlaclon i Una vez que hayamos concluido que existe correlacion .debf.!m08 hacer unOl en terminoB del problema que analizamos. Las siguientes' circunstanciae pueden provocar la correlacion entre' dos' variables : 1 1) Una voriabJe causa de 10 otra. Por ejemplo: 10 correlacic5n entre aumento de peso y cantidad de calodas ingeridas pueden se;- de <' ste ti- ' po. 2) Ambos son consecuencia de una tercera. Pbr ejemplo: 10 co.\ rrelacion entre mortalidad infcmtil y porcentaje de nHios matriculodos ell In eRcuela difl:-nmtes paises tiene una correlacion inverso explicada p·.; t que ambos :-.:: on consecuencia de un hajo nivel de vi.da. 3) La r:ortf> 1 (lei ,':,,.., hn producido por uzor. Esto pueda suceoP,r scbre todo cuanda pi : , ( r. t ' 1' " de ' ,\hservaciones as escaso. lie 'Ia Rllsencia de correlaclon 1) No hay C('lTi !)], "·.iQn p.ntre las variables 2) Hay corrf'lor.: i.6n pero esta encubierta por una variable que tiene corre· lcrci on o p ue!Jlo . Por ejemplo; 1<:1 ve1ocidoo desarrollada en una carrera y e1 numero d.e por minuto deberion estar correlacionoooB direc· tamentR pc!ro es pORihle qllP. mas veloces sean atletas . que se vean men os I afectados po r e l esfuel'7.o f lS1CO y por 10 tanto reaCClonen como egcaso ' aumento del numero df" pl.J 1 saciones. 120 .--_. - -_._----- - J) El azar nos he presentado oquellos casos en que 10 correlacion no se manifiesta. Esto puede suceder 3i el numero de observaciones es I , Conclusion general rtad. uestran los a fuera '8 buscar ei !8 en 10 ta- OB bajo 995 La presencia a ausencia de oorrelacion entre dos variables no significa lutomat!camente 1a exiatencia 0 no de una relacion cauaa-efecto. Debemoa tftner siempre presente loa otras exp1ioaciones que hamos senalado. El hecho de que las conclusiones que sacomos a partir de una correla- ,ion .ean de tipo inductivo no Ie re.ta importancia al metodo. Hay mucha. situaciones en que el unico estudio posible. en una primera etopa es el de La correlacion. Asi por ejemplo. en 10 investigacion de causes de enferme- es util estudiar 10 correlacion entre 10 frecuencia de 10 enfermedad y distintos factore.s arnbientales. Asl. S8 puede descu:brir importantes he- chos que pueden comprobors8 posteriormente con procedimientoB experlmenta- 1es que dan mayor seguridad en la interpretacion. IS hacer una; In entre'dos ; aci6ri- -entre, de <'ste ti·· .pio: In co- !Iatr iculcidos ,a explicadd 10. r sobre todo tiene corre-! una carrerai nados direc. : • vean men os ; como escoso I 121 I , I I , ; L I GRADDS 4, OE LI8ERTAO (IS (m 1 . IGB D1STRIBUCION NORMAL (UNA COLA). IIROPORCION 2 . H2 DEL AREA QUE QUEDA A LA DERECHA DE LA ORDENADA MAS ALLA 3 . 137 DE Z = +(x - ,.)/,,' 4 .134 5 .132 Z · 0.00 o.ot 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 6 . 131 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.480\ 0.476\ 0.472\ 0.468\ 0.464\ 7 . 130 0.1 0.4602 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 8 . 130 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 9 . 12Q 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3869 0.3832 0.3594 0.5557 0.3520 0.3483 10 · 129 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 $.3156 0.3121 11 . 129 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 12 . 128 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2546 0.25\4 0. 2483 0.245\ 13 . 12R 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2297 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 14 · 128 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1 977 0. 1949 0.1922 0.1894 0. 1867 0.9 0. \841 0.\814 0.\ 788 0.\762 0.\ 736 0.1711 0.\685 0.\660 0.\635 0. \611 15 . 128 1.0 0.1587 0.1562 ' 0. \.539 0. \515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0. 1379 16 .128 1.1 0. \357 0.1335 0. \3\4 0. \292 0. \271 0.1251 0.1230 0. \2\0 . 0.1190 O. \170 17 . 123 1.2 O. \15\ 0.1131 0. 11\2 0.1093 0. 1075 0. 1056 0.\038 0. 1020 0. 1003 0.0985 18 .127 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.090\ 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 19 . 121 1'.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 20 . 127 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 21 . 127 \.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 22 . 127 J.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.040\ 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.035\ 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.030\ 0.0294 23 . 127 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 24 . 127 2.0 0.0228 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 . 25 · 127 2. 1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0\50 0.0146 0.0\43 26 · 127 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 27 . 127 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 28 . 127 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 29 . 127 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.004n 30 . 127 2.6 0.0047 0.0045 O.OOH 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 ., · 126 2. 7 0.0035 0.003'1 0.0013 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.00\9 .2.9 0.0019 0.0018 O.OOIR 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 00\3 o.oon 0.0013 0.0012 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.00\0 0.0010 j ,1 I • :1 1 ,_ . . .-_ .. -____ ._._._ L i ) L • -.---.. RCION : ALL' 0.09 0,464\ 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 0,2776 0:2451 0,2148 0,1867 0.161\ I 0,\379 ) 0.1170 ! 0.0985 I 0.0823 I 0.0681 I 0.0559 I 0.0455 I o.r I 1 0.0233 I 0.0183 ! 0.0143 ! 0.0110 7 0.0084 0.0064 j 0.0048 7 0,0036 7 0.0026 0.0019 I 0.0014 0.0010 GRADOS DE LIBEATAo (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 }6 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 DISTRIBUCIDN DE STUDENT (I) l,u t.eo t,1II t. 10 t.n t,to ,I.. (.0 t... t,l1e (u I. .. , t ... u .158 325.510.7271.001.38 1963086.3112731.863.7637 . H2 .289 .445 .617 .816 I. 06 I. 39 I. 89 2.92 .\.. 30 6.96 9.92 31. 6 .137 .277 .424 .58,1 .765 .9781.251.612.353:184.5·15.8412.9 .134 .271 .414 .569 .741 .941 1.19 1.53 2.13 2.783.754.608.61 .132 .267 .408 .559 .727 .9201.161.482.012.573.364.036.86 .131 .265 .40,1 .553 .718 .9061.131.441.942.453.143.71 5.96 .130 .263 .402 .519 .711 .8961,)2) ,42) .902.36 a.oo a.50 5,40 .130 .262 ,399 .516 .706 .8891.11 1.40 1.862.312.903.365.01 .129 .261 .398 .543 .703 .8831.101.381.832.262.1123.254.78 .129 .26(1.397 .5,12 .700 .8791.091.371.812,232.763.17 4.59 .129 .260 .396 .540 .697 .8761.09 1.36 1.802 20 2 72 3.11 4.4-1 .128 .259 .395 .539 .695 .8731.081.361.782.182683064.32 .128 .259 .39·1 .538 .69·1 .8701.081.351.772.162.653.014.22 .128 .258 393 .537 .692 .8681.081.341.762.142.622.984.14 .128 .258 .393 .536 .691 .8661.071.341.752.132.602.954.07 ,128 .258 .392 .535 .690 .8651.071.341.752 '122.582,924.02 .128 .257 .392 .534 .689 .8631.071.331.742.11 2.572.903.96 .127' .257 .392 .534 .688 .8621.071.331.732.102.552.88 3.92 .127 .257 .391 .533 .688 .861 1.07 1.33 1. 732.092.54 2.863.88 .127 .257 .391 .533 .687 .8601.061.321.722.092.532.843.85 .127 .257 .391 .532 .686 .8591.061.321.722 .. 082.522.833.82 .127 .256 .390 .532 .686 .8581.061.321.722.072.51 2.823.79 .127 .256 .390 .532 .685 .8581.061.321.712.072.502.81 '3.77 .127 .256 .390 .531 .685 .8571.061.321.712.062.492.803.74 .127 .256 .390 .531 .684 .8561.061.321.712.,062,482,793.72 .127 .256 .390 .531 .684 .8561.061.321.71 2.b6 2.482.783.71 .127 .256 .389 .531 .684 .8551.061.31 1.702.052.472.773.69 .127 .256 .389 .530 .683 .8551.061.31 1.702.052.472.763.67 .127 .256 .389 .530 .683 .854 1.05 l.31 I. 70 2.M 2.46 2.763.66 .127 .256 .389 .530 .683 .854 \,05 1.31 1.702,042.462.753.65 .• . - - : - - ~ ..... ~ - ~ . - ~ - - - - - - . . ... '" .... A i ,- j '. I:. --: 6'_:;J 2 X 2 ;t X a. GRA De s DISTRffiUCION DE x'. DE L I 9E i1 , .. i) a. ($) ------- in) 99.5 99 9"., 95 90 75 50 25 10 5 2.5 I 05 0. 1 n 1 O.Dl6 0. 102 0.455 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 10.8 1 2 0.010 0.020 0051 0.103 0.211 0.575 1.39 2..77 4.61 5.99 7.38 9.2 1 10.6 13.8 2 3 . . 0.072 O.IJ5 0. 216· 0.352 0.584 1.21 2.37 . 4. 11 · . 6.25 7.81 ·9.35 11.3 12.8 · lbT 3 . ~ 0.207 0.297 0.434 0.7 11 1.06 1.92 3.36 5.39 7. 78 9.49 11.1 13.3 14.9 18.5 4 5 0.412 0.554- 0.831 U5 1.61 2.67 4.35 6.63 9. 24 11.1 12.8 15.1 16. 7 20.5 5 6 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5 22.5 6 i 0.989 1.24- 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.0 14.1 16.0' 18.5 20.3 24.3 7 8 1.34 1.65 2.1 8 2. 73 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17:5 20.1 22.0 26.1 8 9 1.73 2.09 2.iO 3. 33 4. 17 5.90 8.34 11.4 14. 7 16.9 19.0 21.7 23. 6 27.9 !l I 10 2. 16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 ZO. 5 23.2 25.2 29.6 10 11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.3 13.7 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8 31.3 11 I 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.3 14.8 18.5 21.0 23.3 26. 2 28.3 32.9 12 13 357 4. 11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.3 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8 3+.5 13 I 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.2 13.3 17. 1 21.1 23.7 !!!i. 1 29. 1 31.3 36. 1 14 I 15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.0 14.3 11.2 22.3 25.0 27.5 30. 6 32.8 37.2 15 16 5.14 . 5.81 6.91 7.96 9.31 11.9 15.3 1M 23.5 26.3 28.8 32.0 34.3 39.3 16 i 17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.8 16.3 ZO.5 24.8 27.6 30.2 33. 4 35.7 40.8 17 18 6.26' 7.01 8.23 9.39 10.9 13.7 17.3 21.6 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2 42.3 18 19 6.84 7.63 8.9 1 10. 1 11.7 14.6 18 ..3 22.7 27.2' 30.1 32.9 36.2 38.6 43.8 19 I 20 7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 15.5 19.3 23.8 28.4 3 1.4 3+.2 37.6 40.0 45.3 20 21 8.03 8.90 10.3 U.6 13.2 16.3 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4 46.8 21 . , 22 8.64 9.54 11.0 12,3 14.0 17.2 21.3 !!!i.0 '30.8 33.9 36.8 40.3 42.8 43.3 22 I I 23 9.26 10.2 11.7 13.1 I .... 18. 1 22.3 27.1 32.0 35.2 38.1 4 1.6 44. 2 49.7 23 24 9.89 10.9 1 =.4 13.8 1S.7 19.0 23.3 28.2 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6 51.2 24 -; ~ I 25 10.5 l1.l 13. 1 1·4.6 16..5 19.9 24.3 29.3 34.4 37.7 40.6 44.3 46.9 12.6 25 26 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 20.8 25.3 30.+ 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3 54. 1 26 27 . 11.8 1%.9 j 4.6 16.2 18.1 21. 7 26.3 31.5 36.7 40.1 43.2 47.0 49.6 SS.5 27 I 28 12.5 13.6 15.3 16.9 18.9 22.7 27.3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0 56.9 28 29 13.1 14.3 16.0 17.7 19.8 23.6 28.3 3S.7 39. 1 42.6 45. 7 49.6 52.3 58.3 29 30 13.8 15.0 16.8 18.5 ZO.6 24..5 29.3 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7 59.7 30 --- -- . _-- .. _-- _ . ._ - -,- ~ - .. "