,MISCELANEA Problemas Resuel liD PROBLEMA .. Asomb - a '[ 5' -126./3] Encontrar el área sombreada • 1• 1 Al a 2 (21f._ ./3)/4 llfl PROBLEMA El hexágono regular inscrito en la circunferencia tiene como apotema "a". Calcula r e l área de la sombreada~....iIi.~---, región B) a 2 (n - 2./3)13 C) a 2 {5lt - sJ 3 )112 D) a 2 (./3 - 11)/4 E) a 2(3./3 + 11)/5 RESOLUCiÓN : 2.' - 3./31 Al -(, 3 C) a 2(}!" - 3,/3) 2a 2 r.: El T (lf - 3 v3) RESOLUCiÓN : Asomb = Aw + A.b Asomb = ~ - ~ ... (1) =~ - 6 A II equilaterQ =nr2 6r 2 .[3 ; como r =2al,[3 4 Entonces : A ~b A~, JJ ._,---12 3 2 rra 2 na 2 a2 A$OITlb = Asomb (732.]'[ 2.' (21l =""3 1! - -3./3' 2-, ) PROBLEMA I!! Perímetro de la región sombreada:: AP + AP En la fi gura, ASCO es un cuadrado . Determine la razó n entre el perímetro de la parte sombreada y el lado del cuadrado. = 4 + '::' x4 • 3 = 4 + 4Jt :: 4(3 ¡ Tt) B A 1'-----,. 3 T , ~1 e PROBLEMA 3 liI:'I Para hallar el perímetro de la figura: , a , b , a , D a , el 3 Bl 2 Al 1 El 6 Dl 4 RESOLUCiÓN : Perímetro parte sombreada = 2(AB + Be) :: 2{2x) :: 4x 4, Razón=- : 4 , 1. 10 b 1, a e , Necesito conocer "a" 11. Necesito conocer "b" PROBLEMA 111. Necesito conocer "e" mi Hallar el períme tro de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 4 cm . Al Sólo I Bl Sólo 11 D) Sólo I y 11 El NA el Sólo I y 111 RESOLUCiÓN: p En el gráfico notamos que siendo a+b+a=10=c, entonces tenemos información suficiente. No se necesita mas información. PROBLEMA A "----------' D Al 2(1r + 3) B)4(J!'+3) e) 2(3 + r.: )f3 O) (3 + :r)/3 llIll Hallar el área ~~ o~ m:b~,e~a~d~a~.~::=;CC,..-, El 4(3 + Jr )/3 RESOLUCiÓN: A====~ 18=====D~~~L-- PR01ll.EMAS RBSUlILT'O$ • , Al 27 [2 + ~) el 71 [2+~) El 92 [2 - ~) BI O) 42[2 - ~) Por Pilágoras: L = J4,80.2 + 3,60 2 _ 6m 81(2-%) PROBLEMA I!lll ¿Que parte del área lolal representa el área sombreada? RESOLUCiÓN: Para obtener el area sombreada restamos del area del triángulo rectángulo (BAO), el área de un 1/8 de circulo con radio 18. 18 2 2 18 71 ¡ Areasomb=T - -B-' = 8\2 - PROBLEMA n) 2 Al lIiil La escalera mostrada tiene 12 peldaños. Hallar la longulud "L" de la escalera. B) 1/5 1/3 O) 2/7 El 2/5 RESOLUCiÓN: De la fig. Al = 56a y Asomb Paso: 0,40 m PROBLEMA B) Sm O) 4,8 m El 8,4 m C) 6 m Si juntamos lodos los pasos tendremos un cateto ::le 4 ,8 m, si juntamos los contrapasos, otro cateto 2 7 m: Dado el sistema de coordenadas, halle el área de la región sombreada. RESOLUCiÓN: de 3,6 m. = 16 a 16a 56a Contrapaso: 0,30 m Al4m C)1f7 3 ) A) Jt-2 D) 1f B) + 17,5 Ir +5,5 C) 1f -3,5 E) 22 ,5 + 211" = altura de la pirámide BA = c Volumen de la pirámide = área de la base x altura • RESOLUCiÓN: 12 x b -.c A$OIllD = AAB + A OE +A SCO + A BOE = '1((1)2 +'1( 1)2 + 2 AGE x BA => 72m3 . ---,2,-;;-_ 3 5 x 3 +~x 2 2 (2) 3 A(2 ; 1), B(2 ; 3), C(4,5; 6), 0(7 ; 3), E(7 ; 1) 3 Operando · 2 6be 72=-3- => b . c = 36 = '1( +7 ,5+10=17,5+ '1( Volumen del paralelepípedo PROBLEMA lIil = 12" b·c= 12 " 36= 432 m l a siguiente figura es un para leleplpedo rectángular de dimensiones 12 m, "b" m y "c" m. Si hay una pirámide cuya ba se es la zona sombreada y con vértice en el punto "P" tienen volumen del paraleplpedo es : A) 216 m3 3 D) 432 m B) 288 m 3 3 E) 576 m ID PROBLEMA Calcular el area dellriángulo sombreado. A (·5;-4) C) 360 m 3 RESOLUCiÓN: 3 A) 31,5 B) 32,5 O) 44,5 E) 29 C) 33,5 RESOLU CiÓN: B (1;8) O ~--22=::3I:= lE "Rotando" convenientemen te el sólido para una mejor vIsión del problema Nólese que PF = DE = BA '" CG = DE C(2;")J,8h· 5 -5;-4) l -1 -4 16 4 A=-3 8:::25 Luego : 1 ~33 - 251 Ssomb = 58 = 29 2 2 lI:l PROBLEMA Determine el perim~tro de la figura. Si MN = lI/5 cm. A) 40 BI 80 D) 60 E) 90 e) 100 RESOLUCiÓN: A) 12 lf B) 22 lt C) 12lt + /iSlt D) lf(12+/5 + 2/iS) E) Del gráfico : lt(6 + /5 + 2/iS) A somb = 2(a + b) RESOLUCiÓN: 2 Como : A somb =- At = 80 3 MN = 11/5 => PN =!!... /5 ; MP = !!..../15 2 2 Perimetro total = P 1 + P2 .. . (1) PROBLEMA P 1 = figura izquierda P2 = figura derecha P1 = 2 (511 + u: Hallar el área sombreada siendo P, Q Y R puntos medios. Además, el triángulo es equilátero de I %J15)= Ji5 + %Ji5) rc/5 P2 = 2(%/5 10 lt + lt lt + = + 21"t + 1"t./15 . Pf = 12n + rcJ5+2n./15 B) - PROBLEMA e Hallar el área~ la Erte sombreada, si el área total es 20 y CE = 2AE . DI 4 (21"t- L' ~(n - ./31 12 --) RESOLUCiÓN : Dl PROBLEMA En la figura mostrada, seis cajas cada una de ancho "a" y altura "h", ¿cual es el largo tata) de la linea gruesa en términos de "a" y "h'". La zona sombreada podria plantearse de la forma mostrada: A)6h+3a B)5h+3a el D) 3h+3a 6h + 2a E) F. D. RESOLUCiÓN : En total se recorre 6h (3h en cada lado de subida y bajada). En total se recorre "2a"' horizontalmente (en cada lado "a"), En el nivel superior "a" horizontalmente, e PROBLEMA .. 6h+3a. En la fig, hallar el área del círculo. S; A{6; 8) Y 8(9,12) Las circunferencias del gráfico tienen un radio de 10 m. el recorridoAC es igual a: a/ 2 '" D) 25:tu 2 Bl El e , O Al 9 ltU 2 C) 16 ltu 2 36ltu 2 Al 19, Dl 20 lt RESOLUCiÓN : AS =)(9 _ 6)2 + (12 _8)2 AIJJ '" lt (5)2 ", 25lt E PROBLEMA Y '" J25 '" 5 Bl El 25, C) 70" 30, RESOLUCiÓN: El recorrido estará dado poc do, semicircunferencias (una circunferencia) más 1/4 de ci rcunferencía íC =2;¡R + JlR -= 5ñR 2 2 PROBLEMA lIi =:; 51t(10) 2 = 25,T AD Sabiendo que Be - 3 El área sombreada será- o A) 29¡r2 Bl3S¡r2 D) 46 1(2 El 49 1(2 C) 391(2 RESOLUCiÓN : e 30' =:~Ai'~~;;~2~6~<3~3:;;;;;~IE A) ./1312 u2 Bl 14./13/3 u2 2 C) 13/14/9 u E) D) 2./14/3 u 2 M /3 u2 Asomb o:A e _A e RESOLUCiÓN : Asomb=1'!R2-1I~ , (1) AE = L = 26.[3 ::) AD =39 -2 1 13 BC = -,39 = 13 .::::> BQ = QR = RC .. - 3 - . - -- 3 PQ 1 BC .::::> PQ = 5 - As.omb ., PQ"QR 2 PROBLEMA 3 ffHl' f! 13 2 -- MO :: AO "ON ... (11) = 56 ""9 En (11) : (PO PM)2 ., R x (00 - NO) (R_4)2=R(R_S) R2 _8R+1S=R 2 _SR::) IS=2R 8=R 13M 2 o: - - u 9 lE También Enlonces ' Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que "O" es cenlro del circulo mayor, AO = OO ,.. 8 y AN = AO+ON =8+2 Además ' MP = 4u , NO",Su 2 AN 10 El radio del circulo pequeño será: ) AN 10 c - = S " !uegor =5 2 2 . En (1) : RESOLUCiÓN : El perimetre es : 4a = 16.!2 ;::::. a ", PROBLEMA 4,fi . Hallar el area de la reg ión sombreada. $i:a=300; A8 = lu . ~:.---1 D PROBLEMA es ASCO un paralelogramo, semicircunferencias son congruentes A) (11 - 2 B) (lt - ./3)12 u ./3) u2 C) (21[ - ./3)u2 O) (2./3 _ las y sus radios miden 18 cm. A, M Y D son centros. 11)U 2 E) ('1f./ 2) - 43 u 2 RESOLUCiÓN: ABC = 900; Cl=30o; BAC = 60", l '"' 2 ::::) Be ='!:J3 ::::) Be z J3 2 b = ~ _ A~ = lI r2 A _ bh =lt - J3 222 2 10m AB = ~ Al l8n Bl 211( O) 43 1t El 561t C) 39 1( Hallar el perrmetro de la región sombreada. RESOLUCiÓN : PROBLEMA E --PSomb = BP + -Be- En la figura, si el perimetre del cuadrado ABCO es 16 J2 unidades , el área sombreada es : 11 + pe = '3x 18 + 11: (18) 1l 150)( 1800 )( 18 .. 61t + l8n: + 151t Psomb = 39 n: PROBLEMA E Si el perimetre del cuadrado es 24 m, hallar el perimetre de la región sombreada _________-,-__ ...._wt·:·ii.lit.íh¡.,¡,·'. J Al 211"m Bl D) 6ifm El 8J1"m C) 5 Km 3Jrm Al 20 JI" + 24 Bl 2111" + 24 C) 22 Jr+24 D) 23 Jf '" 24 RESOLUCiÓN : E) 24 JC+24 A.islamos un sector Circular y con trazos auxiliares con l =6cm. RESOLUCiÓN : Ar-__ - , BO = L = -(6) = 6 1l .... L= JI Perímetro región 50mb = 22( If ) + 24 PROBLEMA o Por simetría: =---=- 8 - - OM : ON : -, (6m) m Si el perimetro del penlagono ASeDE es 40 cm y R 9 cm. calcular el perimetro de la reglón sombreada = (las curvas son semicircunferencias) 3 =27tm , MN = -(6m) 6 = llm P IOlal PROBLEMA = 57tm El Si el lado del cuadrado ASCD mide 12 cm. calcular el perimetro de la región sombreada A) 291!cm Bl 4911"cm D) 19lrcm El14lrcm el 38 ITcm RESOLUCiÓN : Perimetro _ = 40 => L=8 Perimetro región sombreada = 2 ".(9) ... 20 = 38 Jt Jr m PROBLEMA RESOLUCiÓN : Se desea alfombrar la escalera Que se mueslra en la figura (la escalera consta de 20 escalones), si el metro cuadrado de alfombra cues ta 10 dólares, calcular el costo de la alfombra. l'. f p Propiedad $, r7Yl ...... 10 9 • A .•••..., •• 2 1~=-;;-:11=~I A) $1 000 B) $1600 O) $2000 El $2400 10 = 200 SK = 10 m PROBLEMA El área de la alfombra estará dado por: >C 5 K +A= 10 +A C) $1800 RESOLUCIÓ N: (1 1 + 9 ~ D (propiedad) En la figura se muestra al triángulo ABC cu ya área es 84 cm 2, calcular el área de la región no sombreada. Si : AB + BC = 2(AC) = 28cm El costo será : 200 >C 10 = S2000 PROBLEMA El Del gráfico ' ASCO es un cuadrado. Además: PC CO 5 1 = 8m 2; 52 2m 2, calcular: · 5)(" = = B) 14 cm 2 2 E) 80 cm A) 10 cm 2 O) 12 cm 2 RESOLUCiÓN : 2x AC = 28 => AC :: 14 ABxr + BC x r = 84 ==> r(AB+BC) . 84 2 2 2 r(28) = 84-H = 6 2 ~ => 75=84 =:> S= 12 PROBLEMA El 1) 12a(a + 2b) En la figura, ¿qué porcentaje del área total es el área sombreada? ASCD = cuadrado; AB = 8 u . 11) 24a(a + bl2) 11 1) 18a(a + b) • A) B) 11 D) 1, 11 E) 1,111 C) 111 RESOLUCiÓN : Sparalelogramo = (3a)(4a) + (6b)(4a) = 12a(a + 2b) PROBLEMA Enla y BM C) m I área del paralelogramo es 12m2 ;:::;~.::: el área sombreada es: (20 -%1f)uZ E) (%1f -10)u2 RESOLUCiÓN : Por "inspección·' de la figura tenemos que : A!KKT1b .. 4 [ A- A - J+ IA - A _¡ .. (1) 2 3 e SA - -A • ... (1) 2 RESOLUCiÓN : 232 2 3 2 A!KKT1b = 5(2) --1'1:(1) ", 20 - -11 PROBLEMA m I\BCD es un paralelogramo que se ha dividido en 2 rectángulos como indica la figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones representan la superficie del paralelogramo? AABCO = 3ah:= 12 ~ ah = 4 .. . (1) Además : AS omD = AAMND - AAOD 6a 1: A somb " (a+3a)h 2 Asomb = 2ah - 12/4 Asomb = 2(4) - 3 = Sm , e • E1l PROBLEMA Encontrar el área sombreada, si el l!.ABC es equilátero de lado "L': A A) ,'(¡+1] ( ( R' 2, 2 B) x 1 _ _ R' 2, E) "(2+¡J e) A) L2(fr+2)/4 2 C) L (2Jr E) Lfi B) L2(r. 3,/3)/6 ,/3)/3 D) (LJ3+Ir)/2 x 2 2 +- D) " (2 ~;] RESOLUCiÓN : Perim Ir 2 =Ac + BC +AB .. (1) = "::"x 2 + x 2 + x 2 =..:: x2 + 2 X2 4 4 RESOLUCiÓN: PROBLEMA lEE El rectángu lo ABCD se ha formado con 5 cuadrados iguales. Si : 2 0 ,RR 60 360 _ AD = 30 m, el área sombreada será: R2J3 .(1) 4 RL2 L2J3 18 12 RESOLUCiÓN: PROBLEMA ES Hallar el perímetro de la figura ABC, si AB BC X2 (AC es 1/4 de circunferencia). I~i , 75~ e EF 15 30 75 I'iEF M -lI ADM~- .- => EF=6 m PROBLEMA La figura ABCO es un cuadrado y los triángulos • equilateros Si AH = 4 cm. ABS y BHC son Calcular el area de la región sombreada luego Asombleada =' 6"15 -2- m PROBLEMA En la figura, hallar el area de la región sombreada sIendo ABC un triangulo Isósceles. OEFG = cuadrado RESOLUCiÓN: O) 1I3u 2 E) .. J3 u2 RESOLUCiÓN : De la figura AH 2 Asomb 4 4 =!:iD =HS = OS ./3 PROBLEMA S~, 4 ,, 2 - 2x 1,, 1 _ 3u2 2 2 4./3 cm 2 m Hallar el perimetro de la reglón sombreada. ABCO es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm SI It ZP2Wi.WP¿I.¡.,mtn"M- ) Perímelro = 611"r = 611"(6) = 3611" • E PROBLEMA Calcular el área de la superficie sombreada ON=NA=2J3m. A) 16cm B) 32cm C) 1611"cm D) 32 Ifcm E) 16(1I"+1)cm RESOLUCiÓN : Perímelrode la regíón somb. = S ~r + 2(2Jlr) + 16 =4I1" r +4I1"r+ 16 = 8l1"(2) + 16 =16{1I"+1) B) A) (211"- C) (4 11"-3.13 )m E) (SII"_SJ3)m ,",e- ,," D) (SIf- 6 J3 )m 2 2 2 RESOLUCiÓN: PROBLEMA TAr--- En la figura , ABCDE y F son vértices de un 2.J3 hexágono regular de lado 12 cm. Hallar el tN~ perímetro de la regíón sombreada, Sí AB, BC , CD, DE y AF . Son diámetros. (cm) 2.J3 1 A5Omb=A AOP-{A ANM+Ab:::::..PNO) b:::::..ONP es notable (30 0 y 60°) QP = 2(ON) :::> NP = S A 50mb'" A) 30 tr B) 32l1" Dl 36 tr E) 37 lI"600 (4.13)2 2.13 ,,6 3600 2 Cl 3411" tr RESOLUC iÓ N: La región sombreada está limitada por seis semicircunferencias. A somb ", SlI"-S.!3 -3l1" .. A somb = SJl-6J3 4 PROBLEMA PROBLEMA Si eltado del cuadrado mide 2 rn. hallar el area sombreada. Si el triangulo ~mbreado se desplaza hasta que "M" ocupe el centro del rectángulo de área "A", o el área del ser;.~,_.., I B Al !! Bl +2 C) ,T - 2 (11"+2)/4 O) 2(11" + 2) El4( 1f- 2) Al A14 Bl Ai5 DI Af7 El Al8 RESOLUCiÓN : Con siderando que el desplazamiento del triángulo es paralelo a los lados del rectángulo, se tendrá la posición final. RESOLUCiÓ N: A {x) = A ¡ector AED - A segmenlo AB A 45n(2) 2 4. AED = C)N6 360 o •• "~J'¡_ (1) ~(II) r e O -Be 11 Be, pQ S'C' a , al A -.8 8 OAM = 45° y OA = QM Asegmento.AM = A sedor AOM - ~"ángulo ACM A.,¡""",oÁM = n( 1)' 4 (11 ) Y (111) en (1) : _ ~ .. (111) 2 ..... :-'-= 2 :. Asomb ., (a/2)(U2) Para el segmento CIrcular AM . c' PROBLEMA EII Calcular el área de la región sombreada, si el triángulo ABe es equilátero y los 3 arcos son igu al e~ ,_ . _ __ RESOLUCiÓN: D) 311"m 2 El 4 11" m 2 RESOLUCiÓN: B Asomb = 12I+1S1 - 4 ~ PMa A 4-13 M Asomb = 2 [O - 0] - 4~PMa Por ser "O" baricentro del AABC : Se cumple OAG A 30° Entonces como AM = 2 ~O M =2[62 _ ,(3.[2)2]_ 4(6 - 3.[2>' 2 2 J3 "" Asomb = 2 36.1'1' - -9 .2-2] - 2(6 - 3012) = 2 yOA= 4 Además OA somb [ =OB =4 ::::>4+ x=5::::>x =1 ::::> A = II" m PROBLEMA 2 lE La figuraABCO es un cuadrado de lado 6m, ¿El PROBLEMA lE Hallar el área sombreada de la lúnula de radio "R" , área de la región sombreada esrá? A) 2(5-18.[2 - ,) B) 2(10-9.[2 -9,) e) 2(10-8.[2 -9,) D) 2(5-18.[2 -9,) El 18(4./2 -2-.1'1') A) R 2 2 Dl R + 4 RESOLUCiÓN: al R212 El3R 2 ·.. Apedlda = 4A(D '" (1) ACI) = A llBOG - A llfOG • .• (11) OB= BD/2 =6./212= 3./2 OG = OF = EGI2 = 4 ./2/2 = 2./2 A óBOG = OB x OG "" 3./2 x 2./2 '" 6 A 2 OFxOG óFOG '" Pero : 2 2 = En (1) : A 1 2 Apedida = 4A(1) =8m 2 PROBLEMA PROBLEMA El Hallar el area sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 6m. y EFGH es un cuadrado de lado4m nl En la fig . mostradaA8CO es un cuadrado de lado " L", hallar el area sombreada. RESOLUCiÓN : D) 10m 2 E) 12m 2 RESOLUCiÓN: A.-:-_ _----: ,"""'---~c _L. hl ~ A50mb --+ 2 2 Asomb = E PROBLEMA L Calcular el área d~ la región sombreada. Radio de la circunferencia = 1 u. E PROBLEMA Si el area sombreada es: '¡n 3 u2 Además, CM '" M5 '" AÑ - NO, hallar AC Al J3 14 u2 8) O) ,f5 12 u2 El J3 13 u2 J2 15 u2 C) J2 13 u 2 RESOLUCiÓN : A) .[2 D) 2.[2 K Bl J2 /2 E) K Ir C) Ir 12 RESOLUCiÓN : En el b::::. OPB (30 0 Y 60°) : 08 ", 2 En el b:::::.. GAG (30 0 Y 60°) : OC = 2 Luego el triángulo OBe: equilátero. En ellriángulo OBe: "G" es baricentro . 3 Ir 3 = -frr 3 2 4 4 Simplificando : r = - Ir PROBLEMA Entonces : AB = 211 AC = 2n./2 E El área de la parte sombreada corresponde al desarrollo de: ~~~===~=~==~~=~R:E:S;OLUCIÓN: - ", -OB =-4DB =_2,/2 . ,/2 MB 2 2 Al (a+b +C)z_(a _ b+C)2 Bl (a _ b+c)2_ a z _ b2 _ c 2 C) (a+b _ c) z _a z_ bz_ cz D) a2 + b2 + el_ (a + b _ c)z El {a+b+c)z_ az _b z _ c 2 RESOLUCiÓN : SAMN=2; (1_~r . v .. (1) SOMN = X. Luego: 2X+2Y ", a2 _ ; ( a~r . (11) En (11) : Rx+ 2y= 2 2 _21f De Iy 11 Ssomb =4x Asomb :::(a+b+ c)z_ (A , +Az +Al) = (a + b + C)2 _ a2 _ bz_c z PROBLEMA lIIi :. S$OI'1lb = 2Z( 2./2 - 1- llI: PROBLEMA la figuraABCD es un cuadrado de lado 2u, hallar el área de la regi ón sombreada. ~) En la figura, calcular el area de la zona sombreada. ::::r----~-1--0 --j j 1-- , Al (,/2 - ;l,lu' C) 4 (2./2 - 1 - ~)U 2 El (.Ji - 1- rz}U Z Bl 2(,/2 - 1+ Y,lu' Dl 2(,/2 - 1- Y,lu' Al 3i1¡{ Dl 4./3 a 2 Bl El --j ./ial{ na/{ el .fia~ ) 3=x-2 :o x=5. RESOLUCiÓN: El punto es : C(5 . 3) - A -'- Be '" 3 : BA Enlonces 3 u2 3x3 A_ somb='~ABC= - 2--= 4.5 . lE PROBLEMA En la figura las coordenadas de los puntos A y B son (3 ; y (3 , 3) respectivamente, el área de la parte rayada será ./3) m PROBLEMA Hallar el área de la región sombreada formada por las rectas. )( = 2: y= 3; y=x - 2. y=3+---l. Al 3-./3 u2 el 1/3+ D) 6u 2 2 2 B) 4,5 u E) 12u J3 J3 u2 D) 312 (3 - ,/3) El NA x=2 Al 2U Bl 312 - C) 5,4 u2 2 RESOLUCiÓN : De la figura: . 3 • Tg BOC '" - '" 1:0 BOC = 45° 3 RESOLUCiÓN: T9 AÓC "" B ;¡ ~ AÓC 30° Area rayada =Ac::::"BOC - A~ACO 3>13 3 x ./3 9 - 3./3 2 2 2 . -- - - - = Los puntos B y A son respectivamente ' el y'l - 4y+ 6)( - 14 = O Cálculo de "C" . = 3 con 2 En la figura , V es el vértice de la parábola P B(2. 3) Y A(2 ; O) Interseclando y PROBLEMA " y= le - 2 Calcular el área de la región sombreada. A) x2 _ 16y +64=0 Cl x2 -12y+60=O ~Ii u2 B) !...,fi u2 O) 7./2 u2 E) ?..,fi u2 A) 2 2 C) 5/2 u' El B) x2 - 14y + 42=O O) i - 16y+ 48=O i + 18y-64=O RESOLUCiÓN: 3 y RESOLUCiÓN: p ly-2}=-6I'-3} ~A¡; p·(-2)3=~(a_3) a=713 Be P (b-2)2=~(-3) ~ b=2+3,fi 14p} 12p} = 128 p=4 VIO,4} 2 P :X = 4(4)(y_ 4) x2 -16y+64=O PROBLEMA m Hallar el área de la reglón sombreada que se muestra en la figura y En la figura, el área de la región rectángular sombreada es 128 u 2 Hallar la ecuación de la parábola P de foco F y jlrectriz al eje x. ) A) 18u 2 2 D) 21 u C) 20u 2 Bl 24u 2 2 E) 40u m, a, es: y = 2JX ; Y = 2x-4 Yla ecuación de a2 es Y - 4 '" - ~ 2JX = 2x - 4 ::::> JX = x- 2 i ::::) x=46x=1 (x - O) es decir x=4 ::> y= 4 x+2y - 8=0. B ~ a-8= ,-- ~ x=2 Para el punto B 4- 0 . 1 = --- ", 2~ pendiente a2 es m 2 ",--; 0 - (- 1) • 2 ComoC(a ; O)e a2 0 = 2x - 4 ... A = (2,0) RESOLUCiÓN : Como la pendiente de Si y=O::> O~ a =8 . =(4 ; 4) - 2. 4 2 BP = 4 ::::) Asomb " ' - - Luego: A . "2(OB)(AC) = 20 u2 m PROBLEMA Calcular el área de la región sombreada PROBLEMA liD En la figura se muestra un paquete cúbico que ha sido envuelto con una cin ta de 1m de longitud. Si en el nudo se han u!llizado 20 cm. de dicha cin ta. ¿Cuál es el área total del paquete (cm 2)? D) 4u 2 E) 5u 2 RESOLUCiÓN : A) 800 B) 500 D) 600 E) 100 C) 400 RESOLUCiÓN : Sea: "r = Longitud del paquete 81 +20= 100 ::) 81 =80 ::!> l =10 Punto : V=(O; O) Para el punto A : Área = 6(10)2 :: 600 cm 2 m PROBLEMA A) 12ncm La figura es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada . Al a2 + ac - bc 2 BI 2 el El a +cb-b 2 DI a 2 + ab - ac 2 aZ+ ac - bc 1 B) 13 ncm 2 El 16Jtcm 2 e) 14ncnl 2 RESOLUCiÓN: Esbozamos un gráfico, para mejor presentación dibujamos más pequeñas las láminas . Luego el área de la región generada (A~ será : Ar o:: A o + 3 ASeco6n .... (1) 1 21tr aZ+ ac-bc 1 2m Como n = - - =:> 3 '" - - =:> L = 671: 3 Luego : ASecc = 6Jt x2:: 12 TI (pues 2 = diámetro) RESOLUCiÓN: ASomt> ", ADAsco - (A bABP + AtECE) =az_(a2b + (a - b~a - C») = a 2 _( ab + a2 _ ~c - ab +bC) 2a 2 _ a 2 + ac _ bc a 2 + ac - bc 2 2 PROBLEMA D) 15rrcm 2 En(I) : A,= n +12n =13ncm PROBLEMA 2 Illll Hallar el perímetro de la región sombreada, si los 8 circulas son iguales de radio 5. m Una lámina circular de 1cm de radio se desplaza tangencialmente sobre una superficie recta, como muestra la figura. Si la rueda da 3 vueltas, ¿cuál es el área de la región generada por la lámina? A) 60n D) 90n Bl 70n El 40n C) 80lt RESOLUCiÓN: Perimetro de la región sombreada =8x2n =8x2n(5l= n
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Report "Áreas de Regiones sombreadas - Problemas Resueltos"