Universidad de Santiago de ChileDepartamento de Ingeniería en Obras Civiles Hormigón Armado Resumen y Ejercicios Propuestos Curso de Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Estudiante de Ingeniería Civil en Obras Civiles Versión 2.0 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Página I Índice Pagina Prologo Bibliografía 1-. Compresión Simple Ejercicio 1 Ejercicio 2 2-. Flexión Simple Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 3-. Diseño Armadura de Corte Ejercicio 1 4-. Flexo - Compresión Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 5-. Diseño de Losas Ejercicio 1 Ejercicio 2 I II 2 3 4 6 9 12 16 18 20 22 31 36 41 44 51 53 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Página I Prologo Los siguientes apuntes son un resumen de la materia que se ve en el curso de Hormigón armado de la carrera de ingeniería civil en obras civiles de la USACH, están basados en los apuntes de clase de la profesora Silvana Cominetti y ACI 2008. Estos solo representan un resumen de los pasos para poder desarrollar el diseño de elementos de H.A., lo que no indica que sean la única manera de realizar dichos diseños, y se recomienda revisar factores y consideraciones de acuerdo a los códigos de diseños que estén vigentes en el país. Se recuerda que se presentan métodos basados diseño LRFD y bajo indicaciones de ACI. También se sugiere revisar manuales de diseño que entregan empresas dedicadas al tema. Se recomienda al estudiante desarrollar sus propias planillas digitales para el diseño de elementos, ya un buen uso de herramientas computacionales puede favorecer el trabajo a realizar. Finalmente se recuerda a los alumnos que esta versión puede estar sujeta a mejoras, por lo que es importante que quienes puedan realizar su aporte a esta, estarán ayudando a los futuros alumnos de la carrera y que bajo ningún punto de vista, es suficiente para la aprobación de la asignatura. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Página II Bibliografía Apunte de Hormigón Armado, Profesora Silvana Cominetti Cotti-Cometti ACI 318 – versión 2005 ACI 318 – versión 2008 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Compresión Simple Página 2 1-. Compresión Simple Consideraciones Previas - Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones - Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión del código ACI Vigente. Pu | Pn · s (1.1) Pu: Carga obtenida ya mayorada a través de combinaciones de norma NCh3171 y efectos del pandeo Pn: Carga Nominal que puede resistir el elemento (Carga que resisten materiales) ϕ: Factor de seguridad. ϕ=0.65 Pn 0.85Ac f´c · As fy · + (1.2) Pn 0.85Ag As ÷ ( )f´c As fy · + (1.3) Ag: Área global del elemento (área transversal) Ac: Área de Concreto (Área Global menos Área Acero, (2) equivalente a (3)) As: Área de Acero (transformar al final a áreas comerciales) f´c: Resistencia a compresión del hormigón en probeta cilíndrica fy: Limite de fluencia del acero Nota: Pu debe mayorarse por un factor ω, para prevenir problemas de pandeo. Este factor ω se obtiene de tablas aunque en algunos textos den ecuaciones para determinarlo, y además el ACI para evitar riesgos por posibles excentricidades se disminuye la resistencia del hormigón a un 80%, por lo que la ecuación (1) puede reescribirse como: e Pu · 0.8| Pn · s (1.4) Tabla 1.1: Factor ω por pandeo También es bueno verificar que se esté bajo la carga crítica de pandeo, dado que esta dependerá de condiciones geométricas del elemento. Pu e · Pcrit s (1.5) Pcrit t 2 Ec · I · K l · ( ) 2 (1.6) Ec: Modulo de elasticidad del Hormigón (Se puede aproximar entre 15000*f´c^.5 a 15400*f´c^.5) I: Inercia de la Sección K: Factor de Largo de Empotramiento l: Largo del elemento Se recomienda verificar en ambos sentidos pandeo, dado que si bien se puede tomar la inercia menor, el factor K puede tomar relevancia en cuanto a la diferencia de resultados Según ACI 2008 en su punto 10.9.1, las cuantías mínimas y máximas son de 0.01 y 0.08 respectivamente. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Compresión Simple Página 3 Ejercicio 1 Para la estructura mostrada en la figura determine la máxima sobrecarga que puede resistir el elemento central indicado en esta si se está utilizando H30 y A63-42. No considere falla por funcionamiento de la losa y verifique la carga crítica de pandeo para el caso más favorable y desfavorable. Desarrollo 1-. Se debe determinar el facto ω, para esto se debe determinar el caso más desfavorable, dado que no hay mayor información, para esto se considerara K=0.5 (si la losa aporta rigidez suficiente junto a los otros elementos para empotrar la columna en la parte superior) y K=2 (si la columna se comporta como voladizo) l 2.2m := b 30cm := h 30cm := | 0.65 := Si K 0.5 := Caso más favorable l K · ( ) b 3.667 = ==> e 1 := (de tabla 1.1) Si K 2 := Caso más desfavorable l K · ( ) b 14.667 = ==> e 1 := (de tabla 1.1) 2-. Calculo de Pn Ag 900cm 2 := As 4 2.54 · cm 2 := fy 4200 kg cm 2 := f´c 250 kg cm 2 · := Pn 0.85Ag As ÷ ( )f´c As fy · + := Pn 231763kg · = 3-. Calculo de SC max: Viendo las combinaciones de la NCh3171of2010, se tiene que el caso más desfavorable será: Pu max=1.2PP+1.6SC Para la carga de PP será necesario Cubicar el AREA TRIBUTARIA que descarga al elemento Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Compresión Simple Página 4 ¸horm 2500 kg m 3 := Plosa 9m 2 0.15 · m ¸horm · := Plosa 3375kg = Ppilar 0.3m 0.3 · m 2.2 · m¸horm · := Ppilar 495kg = PP Plosa Ppilar + := PP 3870kg = se considera peso pilar porque es el caso más desfavorable para este Pumax 0.8Pn | · := Pumax 120516.76kg = SCmax Pumax 1.2PP ÷ ( ) 1.6 := SCmax 72420.475kg = Pero la SC debe darse distribuida en el Área Tributaria SC SCmax 9m 2 := SC 8046.719 kg m 2 = 4-. Calculo de Cargas Críticas de Pandeo I b h 3 12 · := I 67500cm 4 · = Ec 15000 kg cm 2 f´c cm 2 kg · := Ec 237170.825 kg cm 2 · = K 0.5 := Pcrit1 t 2 Ec · I · K l · ( ) 2 := Pcrit1 13058082.596kg = K 2 := Pcrit1 t 2 Ec · I · K l · ( ) 2 := Pcrit1 816130.162kg = Nota: Se ve que la carga crítica de pandeo es muy superior a la carga que se resiste por materiales Ejercicio 2 Determine la armadura para una columna de 6 m de alto, de sección bruta de 30x30, libre en su extremo superior y empotrada en el extremo inferior, sometida a una carga ultima de 50 toneladas, con acero A44-28, y hormigón H25. L 6m := f´c 200 kg cm 2 := fy 2800 kg cm 2 := | 0.65 := At 30cm 30 · cm := Ac cm 2 = Ac Ast := w* Pu 0.8| Pn · s w=3 (a=2, L*a/b=40) Pn 0.85f´c · At Ast ÷ ( ) · fy Ast · + := Ast Pu 50000 kg := Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Compresión Simple Página 5 Ast 51.506cm 2 = Asmin 0.01At := Asmin 9cm 2 = Asmax 0.08At := Asmax 72cm 2 = Por lo que se está dentro de los rangos permitidos. La armadura se escogerá de la siguiente tabla obtenida de Gerdau Aza Con 12 ϕ28 se tiene un área de: 12 4.83 · cm 2 57.96cm 2 = Se obtiene con un recubrimiento de 2 cm una separación libre entre refuerzos de 5cm aproximadamente, con el siguiente esquema de diseño: Recordar que no deben existir refuerzos a distancias mayores a 30cm, no obstante cuando se trabaja con compresión simple se asumen deformaciones planas, por lo que todos los elementos de refuerzo se consideran, por lo que si se agregan estos aumentan la cuantía de trabajo del elemento Ast wPu 0.8 | 0.85 f ´ c · At · ÷ fy 0.85 f ´ c ÷ := Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 12 2-. Flexión Simple Consideraciones Previas - Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones - Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión del código ACI Vigente. Armadura Simple I) Caso 1: Cálculo de Resistencia a) Calculo de Equilibrio de fuerzas (2.1) (2.2) (1) Rectángulo de compresión según ACI (2) Área de Hormigón Comprimida (cambia para viga no rectangular) T: Tracción C: Compresión As: Área de Acero (de manuales comerciales) fy: Limite de fluencia del Acero f´c: Resistencia en probeta cilíndrica del Hormigón a: Altura que alcanza la compresión del Hormigón b: Ancho Viga b) Determinar a y con esto c (C=a/β1, donde β1 depende de f´c) c) Determinar el momento nominal de la viga Mn d a 2 ÷ | \ | | . As · fy · (2.3) Mn: Momento nominal que resiste la viga d: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento d) Calcular el Momento Ultimo de la viga Mu | Mn · (2.4) ϕ: Factor de reducción que minora resistencia de la viga. ϕ=0.9 Fig. 2.1 a ( ) b ( ) c ( ) Fig. 2.1 (a): Esquema básico viga con armadura simple. Fig. 2.1 (b): Diagrama deformación viga Fig. 2.1 (c): Esquemas de tensiones en viga Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 13 II) Caso 2: Diseñar la Armadura a) Determinar Mu al cual está sometida la viga. Se recomienda mayoría los momentos para cada punto y no las cargas, con los factores dados por NCh3171 b) Con la ecuación dada a continuación obtener armadura necesaria (y la cuantía): (2.5) µ As b d · (2.6) As: Área de armadura necesaria para satisfacer el momento que solicita la viga fy: Limite de fluencia del Acero f´c: Resistencia en probeta cilíndrica del Hormigón b: Ancho Viga d: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento ρ: Cuantía Nota: - Si As es mayor que 0, se debe verificar los límites máximos y mínimos de armadura - Si As es menor o igual a 0, no requiere armadura, no obstante se utiliza armadura mínima - Si As es un n°complejo, se requerirá refuerzo de acero a compresión. c) Determinar la cuantía de balance µbal 0.85 f´c · |1 · fy 0.003Es fy 0.003Es + · (2.7) ρbal: Cuantía de Balance Es: Modulo de elasticidad del Acero d) Comparar Cuantía obtenida µmax 0.75µbal CasoEstatico if 0.025 Caso Sismico · if µmin max 14 fy 0.8 f´c fy , | \ | | . (2.8) (2.9) Nota: - Si As es menor a ρmin, se utiliza armadura mínima - Si ρ es mayor que ρmax, se aumenta sección, o se aumenta calidad del acero, o se cambia a armadura doble - Se aclara que la armadura que estamos diseñando es para la zona en Tracción, dado que se asume que la resistencia del hormigón a tracción es cero As 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mu · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 14 Armadura Doble Nota: Se mantiene Nomenclatura utilizada para Armadura Simple y principios utilizados en esta. I) Caso 1: Cálculo de Resistencia La resistencia de la viga se lograra mediante un proceso iterativo, del cual se describen los pasos a continuación. a) Realizar equilibrio de fuerzas y con esto determinar a Cc Cs + Ts (2.10) 0.85f´c · a · b · As´ fs´ · + As fs · (2.11) a As fs · As´ fs´ · ÷ ( ) 0.85f´c b · (2.12) Nota: aquellos términos con ´ en su final son para denotar la armadura que trabaja a compresión, en este caso además, se desconoce la tensión de trabajo del acero. Para la primera iteración se ingresa con fs=fs´=fy b) Determinar c=a/β1 c) Realizar diagrama de deformación unitaria, y obtener deformación unitaria del acero. Se recomienda usar congruencia de triángulos Fig. 2.2 a ( ) b ( ) c ( ) Fig. 2.2 (a): Esquema básico viga con armadura doble. Fig. 2.2 (b): Diagrama deformación viga Fig. 2.2 (c): Esquemas de tensiones en viga d) Verificar hipótesis de que acero trabaja a fluencia, de no ser así se debe volver al paso a), donde el valor para fs=εs*Es y fs´=εs´*Es (si fs o fs´ mayor a fy, usar fy para este) e) Iterar entre el paso a) y el paso d), hasta que converjan los valores de fs´ y fs. f) Determinar el momento que resiste la viga, para esto hay diversa ecuaciones. Mn 0.85 f´c · a · b · c a 2 ÷ | \ | | . · As´ fs´ · c h1 ÷ ( ) · + As fs · d c ÷ ( ) · + (2.13) h1: Distancia entre As´ y borde de la viga. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 15 II) Caso 2: Determinar Armadura de la viga (método recomendado) a) Determinar una armadura base sobre la cual se comienza a trabajar, esta debe estar contenida entre As máxima y As mínima para armadura simple. b) Determinar el momento nominal que resiste la viga con esta armadura, con ecuaciones de armadura simple c) Determinar el ΔMn requerido AMn Mu | Mn ÷ | \ | | . (2.14) d) Determinar armadura que falta para cumplir con momento requerido Asr AMn d d´ ÷ ( ) fy · (2.15) Asr: Armadura necesaria Agregar, esta se agrega tanto en zona de compresión como en zona de tracción. d´: Distancia entre borde viga y armadura de refuerzo a compresión (generalmente igual a recubrimiento) e) Verificar: As 2Asr + 14 fy > (2.16) µc µt ÷ 0.75µbal < (2.17) ρc: Cuantía Armadura a compresión ρt: Cuantía Armadura a Tracción Nota: - La distribución de armaduras debe mantenerse para las condiciones aquí dadas, es decir, se deben repartir a la altura utilizada en las ecuaciones, o estas dejan de ser válidas. - En la sección transversal no deben haber fierros a una distancia mayor a 30 cm entre ellos. - La armadura longitudinal se debe diseñar para más de un punto, para lo cual se utiliza la envolvente de momentos, escogiendo para cada punto el momento positivo y negativo máximo, analizando todas las combinaciones, por esto es que se aconseja utilizar una armadura base y calcular refuerzos en zonas requeridos (usar traslape de 40ϕ es recomendado). - Para diseño sísmico la resistencia para momentos positivos la resistencia no debe ser menor que la mitad de los momentos negativos en los apoyos y en los tramos no debe ser menor que un cuarto de la resistencia en los apoyos para momentos positivos o negativos Fig. 2.3: Envolvente de momentos Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 16 Ejercicios 1-. Determine el momento máximo que puede resistir una viga V30/40, cuyo recubrimiento es de 2 cm, una armadura inferior de 14cm2, y superior de 8cm2, considere H30 con acero A63-42 Es=2.1x10^6 As 14cm 2 := As´ 8cm 2 := d 38cm := b 30cm := d1 2cm := f´c 250 kg cm 2 := fy 4200 kg cm 2 := Es 2.1 10 6 · kg cm 2 := cc 0.003 := a As fs · As´ fs´ · ÷ ( ) 0.85f´c b · c a |1 es cc d c ÷ ( ) c · es´ cc c d1 ÷ ( ) c · fs es Es · fs´ es´ fs´ · Mu 0.9 0.85 f´c · a · b · c a 2 ÷ | \ | | . · As´ fs´ · c h1 ÷ ( ) · + As fs · d c ÷ ( ) · + ¸ ( ( ¸ · Iter. fsi fs'i a c es e's fss fs's Mn Mu 1 4200 4200.00 3.95 4.65 0.02151 0.00171 45178.13 3590.63 21236860.5 19113174.4 2 4200 3590.63 4.72 5.55 0.01754 0.00192 36833.79 4029.80 16943933.6 15249540.2 3 4200 4029.80 4.17 4.90 0.02026 0.00178 42539.26 3729.51 19873068.6 17885761.7 4 4200 3729.51 4.54 5.35 0.01833 0.00188 38488.47 3942.71 17790235.9 16011212.3 5 4200 3942.71 4.28 5.03 0.01966 0.00181 41290.96 3795.21 19229718.7 17306746.8 6 4200 3795.21 4.46 5.25 0.01872 0.00186 39316.26 3899.14 18214671.3 16393204.2 7 4200 3899.14 4.33 5.09 0.01938 0.00182 40690.11 3826.84 18920506.5 17028455.9 8 4200 3826.84 4.42 5.20 0.01892 0.00185 39725.70 3877.59 18424850.5 16582365.4 9 4200 3877.59 4.36 5.13 0.01924 0.00183 40398.49 3842.18 18770541.2 16893487.1 10 4200 3842.18 4.40 5.18 0.01901 0.00184 39927.09 3867.00 18528283.9 16675455.5 11 4200 3867.00 4.37 5.14 0.01917 0.00183 40256.38 3849.66 18697488.6 16827739.7 12 4200 3849.66 4.39 5.17 0.01906 0.00184 40025.87 3861.80 18579030.2 16721127.2 13 4200 3861.80 4.38 5.15 0.01914 0.00183 40186.99 3853.32 18661825.9 16795643.3 14 4200 3853.32 4.39 5.16 0.01908 0.00184 40074.25 3859.25 18603890 16743501 15 4200 3859.25 4.38 5.15 0.01912 0.00184 40153.08 3855.10 18644397.9 16779958.1 16 4200 3855.10 4.39 5.16 0.01909 0.00184 40097.93 3858.00 18616059.5 16754453.6 17 4200 3858.00 4.38 5.16 0.01911 0.00184 40136.50 3855.97 18635876.6 16772289 18 4200 3855.97 4.38 5.16 0.01910 0.00184 40109.52 3857.39 18622014.7 16759813.2 19 4200 3857.39 4.38 5.16 0.01911 0.00184 40128.39 3856.40 18631709.2 16768538.2 20 4200 3856.40 4.38 5.16 0.01910 0.00184 40115.19 3857.10 18624928.3 16762435.5 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 17 fss y fs´s de la fila i se copian en fsi y fs´i de la fila i+1 respectivamente, y se itera nuevamente hasta converger Se ve con cada iteración se acerca más a un valor, lo cual se puede observar en los siguientes gráficos 3550.000 3600.000 3650.000 3700.000 3750.000 3800.000 3850.000 3900.000 3950.000 4000.000 4050.000 0 5 10 15 20 f´s (kg/cm2) vs N° Iteraciones 1892000.00 1894000.00 1896000.00 1898000.00 1900000.00 1902000.00 1904000.00 1906000.00 1908000.00 0 5 10 15 20 25 Mu (kgcm) vs Iteracion Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 18 2-. Para una viga V25/45 determine la armadura necesaria si se usa hormigón H30 y Acero A63-42, si se presenta la siguiente tabla de momentos punto 1 2 3 4 5 Comb1 320711 416732 873529 750316 537703 Comb2 300916 169501 50133 132 139669 Comb3 903512 50713 163021 290332 330735 *Momentos en Kg*cm Desarrollo f´c 250 kg cm 2 := fy 4200 kg cm 2 := b 25cm := d 43cm := d1 2cm := |1 0.85 := Es 2.1 10 6 · kg cm 2 := a) Se calculara armadura base: Asmin max 14 kg cm 2 | \ | | . b · d fy · 0.8 f´c kg cm 2 · fy b · d · , ¸ ( ( ( ( ¸ := Asmin 3.583cm 2 · = Asmax 0.75 0.85 f´c · |1 · 0.003 · Es · ( ) fy fy 0.003Es + ( ) · · b · d · := Asmax 20.804cm 2 · = se utilizaran 2ϕ16 para enseñar a usar refuerzo de armadura a compresión. As 2 2 · cm 2 := tabla obtenida de www.gerdauaza.cl b) Se determina momento que puede resistir la viga con esta armadura a As fy · 0.85f´c b · := a 3.162cm · = c a |1 := c 3.72cm · = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 19 Mn As fy · d a 2 ÷ | \ | | . · := Mn 6.958 10 5 × kg cm · · = Mu 0.9Mn := Mu 6.263 10 5 × kg cm · · = c) La envolvente queda: punto 1 2 3 4 5 Mu 903512 416732 873529 750316 537703 Por lo que se requeriría refuerzo en los puntos 1, 3 y 4 AMn1 903512 0.9 kg cm · Mn ÷ := AMn1 3.081 10 5 × kg cm · · = AMn3 873529 0.9 kg cm · Mn ÷ := AMn3 2.748 10 5 × kg cm · · = AMn4 750316 0.9 kg cm · Mn ÷ := AMn4 1.378 10 5 × kg cm · · = Asr1 AMn1 d d1 ÷ ( ) fy · := Asr1 1.789cm 2 · = Asr1 1|16 Asr3 AMn3 d d1 ÷ ( ) fy · := Asr3 1.596cm 2 · = Asr3 1|16 Asr4 AMn4 d d1 ÷ ( ) fy · := Asr4 0.801cm 2 · = Asr4 1|12 Nota: Podrían reajustarse las áreas de la armadura a tracción y compresión determinando el nuevo momento máximo de la viga, ya que está claro que por varios motivos en la zona superior de la viga debería ir armadura, la cual para este caso se omitirá. El diseño queda Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 20 3-. Para la viga mostrada en la figura, y en función de los datos entregados determine el valor de t para que el área comprimida quede solo en la parte superior de la viga. Determine además el momento último que resiste. Datos: f´c 250 kg cm 2 := As1 10cm 2 := As2 8cm 2 := fy 2800 kg cm 2 := As3 6cm 2 := r 2cm := |1 0.85 := Desarrollo i) Determinar ecuaciones que se utilizaran Equilibrio de fuerzas Cc Cas3 + Tas1 Tas2 + ==> 0.85f´c · a · b · As3 fs3 · + As1 fs1 · As2 fs2 · + a As1 fs1 · As2 fs2 · + As3 fs3 · ÷ ( ) 0.85 f´c · b · c a |1 tal que c<t Compatibilidad de deformaciones d h r ÷ ===> d 50 t + r ÷ c1 cc d c ÷ ( ) c · fs1 Es c1 · c2 cc d c ÷ 5 ÷ ( ) c · fs2 Es c2 · c3 cc c r ÷ ( ) c · fs3 Es c3 · Momento ultimo Mu | As1 fs1 · d c ÷ ( ) · As2 fs2 · d c ÷ 5 ÷ ( ) · + As3 fs3 · c r ÷ ( ) · + 0.85 f´c · b · a · c a 2 ÷ | \ | | . · + ¸ ( ( ¸ · con ϕ=0.9 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 21 Se obtiene la siguiente tabla de iteraciones i ter fs1i fs2i fs3i a c t d es1 es2 es3 fs1s fs2s fs3s Mu 1 4200 4200 4200.00 3.9529 4.6505 5 53 0.03119 0.02796 0.00171 65498.44 58725.00 3590.63 3319907 2 4200 4200 3590.63 4.2397 4.9879 5 53 0.02888 0.02587 0.00180 60642.14 54326.85 3773.88 3313009 3 4200 4200 3773.88 4.1535 4.8864 5 53 0.02954 0.02647 0.00177 62032.06 55585.64 3721.43 3315183 4 4200 4200 3721.43 4.1781 4.9155 5 53 0.02935 0.02630 0.00178 61628.39 55220.05 3736.66 3314569 5 4200 4200 3736.66 4.1710 4.9070 5 53 0.02940 0.02635 0.00178 61745.14 55325.78 3732.26 3314748 6 4200 4200 3732.26 4.1731 4.9095 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61711.33 55295.17 3733.53 3314697 7 4200 4200 3733.53 4.1725 4.9088 5 53 0.02939 0.02634 0.00178 61721.12 55304.03 3733.17 3314712 8 4200 4200 3733.17 4.1726 4.9090 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.28 55301.46 3733.27 3314707 9 4200 4200 3733.27 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61719.10 55302.21 3733.24 3314708 10 4200 4200 3733.24 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.87 55301.99 3733.25 3314708 11 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.94 55302.05 3733.25 3314708 12 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 13 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 14 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 15 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 16 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 17 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 18 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 19 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 20 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 21 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 22 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 23 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 24 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 25 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708 * Todo en cm y kg según sea el caso Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 6 3-. Diseño Armadura de Corte Como es habitual, en el diseño a corte también debemos verificar que el corte que resiste el elemento Vn (Corte nominal), al ser disminuido por un factor de seguridad sea mayor a la máxima solicitación, lo cual queda expresado por la ecuación 2.1 Vu | Vn · s (3.1) Vu: Corte Ultimo que existe en el elemento Vn: Corte Nominal que resiste el elemento ϕ: Factor de Seguridad que reduce resistencia del elemento Nota: El diseño de armadura de corte debe ser determinada para cada uno de los puntos de interés (según se explicara a continuación), respetando las consideraciones de la combinación que predomine para el diseño. Consideraciones especiales a tomar - Corte sísmico se obtiene por capacidad aportada por armadura longitudinal - Se diseña para caso más desfavorable (Vu=max(Vcomb1, Vcomb2,... ,Vcomb n)) - Por seguridad se busca que se produzca rotula plástica en vigas y no en columnas - Corte por momento plástico no se mayora en combinaciones de NCh3171, ACI y NCh433 - Buscando el caso más desfavorable, en zona rotula plástica (ZRP) se despreciara resistencia del Hormigón a la resistencia al corte que posee elemento - fy debe ser siempre menor o igual a 4000 kg/cm2 - Ante situaciones que no se pueda asegurar 100% la simetría de las condiciones del elemento, se debe calcular la acción de Sismo a la izquierda y a la derecha Vn Vs Vc + (3.2) Resistencia al corte total elemento Vs Av fy · d · ( ) s (3.3) Resistencia al corte por Acero Vc 0.53 b · d · f´c · (3.4) Resistencia al corte por Hormigón Av: Área de Acero requerida (Av=2As) As: Área de Acero de Estribo fy: Limite de fluencia del acero d: Altura sección transversal libre de grietas b: Ancho del elemento s: Separación entre estribos (recordar que esta se debe definir para que sea constructiva, se recomiendan múltiplos de 5cm) Nota: - Recordar que en ZRP Vc=0 - Si se está fuera de ZRP, aunque no se requiera armadura (Vc>Vu/ϕ) se debe usar cuantía minima Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 7 Fig. 3.1: Alcance ZRP Consideraciones de espaciamiento de estribos y condiciones de resistencia i) En ZRP Smax min d 4 30cm , | \ | | . (3.5) y 3.5 b · d · Vs kg ( ) s 2.1 f´c b · d · s (3.6) ii) Fuera de ZRP Smax min d 4 30cm , | \ | | . (3.7) si Vs kg ( ) 1.1 f´c b · d · > (3.8) Smax min d 2 60cm , | \ | | . (3.9) si Vs kg ( ) 1.1 f´c b · d · s (3.10) Nota: Siempre se debe cumplir Avmin 3.5 b · s · fy (3.11) y Vs kg ( ) 2.1 f´c b · d · s (3.12) Calculo de Vu Para calcular Vu, se debe tener el corte estático y el corte sísmico. El corte estático viene del análisis estructural por cargas tales como PP, SC, etc..., destacándose que los cortes obtenidos deben ser mayorados de acuerdo a las indicaciones de la NCh3171. El corte sísmico se calcula por capacidad y a continuación se indican los pasos para este. i) Determinar cuantías µsi Assi b d · (3.13.a) µsd Assi b d · (3.13.b) µii Assi b d · (3.13.c) µid Assi b d · (3.13.d) µxy ==> x: Superior o Inferior y: Izquierda o Derecha Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 8 ii) esi 1.25 µsi · fy f´c · (3.14.a) esd 1.25 µsi · fy f´c · (3.14.b) eii 1.25 µsi · fy f´c · (3.14.c) eid 1.25 µsi · fy f´c · (3.14.d) exy ==> x: Superior o Inferior y: Izquierda o Derecha iii) Calculo de Momento Plástico MPdsi eid b · d 2 · f´c · 1 0.59eid ÷ ( ) · (3.15.a) MPisi esi b · d 2 · f´c · 1 0.59esi ÷ ( ) · (3.15.b) MPdsd esd b · d 2 · f´c · 1 0.59esd ÷ ( ) · (3.15.c) MPisd eii b · d 2 · f´c · 1 0.59eii ÷ ( ) · (3.15.d) MPxsy ==> x: En la izquierda o En la derecha sy: Por sismo a la derecha o a la izquierda iv) Calculo de corte sísmico Vsi MPisi MPdsi + ( ) L (3.16.a) En L se recomienda tomar L* dado que aumenta el corte sísmico Vsd MPisd MPdsd + ( ) L (3.16.b) Nota: Aquí se ve que reforzar excesivamente los elementos de hormigón armado con armadura a la flexión no es lo más favorable para esta. Cuando se analizan los diagramas de corte finales para el diseño de estribos, también se debe desarrollar una envolvente para cada punto, pero esta vez se debe tomar el modulo para cada valor, como se ve en el ejemplo que se presenta a continuación: Fig. 3.2: Ejemplo envolvente de Corte Hay que recordar que lo que uno diseñe debe ser construible (no solo su instalación, sino también que se respete las condiciones impuestas en el diseño) y fácilmente entendible, por lo que se recomienda que diámetros de enfierradura y distancias se mantengan constante en su zona de acción. Para el ejemplo se recomienda diseñar para el punto (1) la ZRP1, con (2) la zona central y con (3) la ZRP2. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 9 Ejercicio Para la viga mostrada en la figura se pide diseñar la armadura de corte. Use H30 y A63-42 Considere sc 12 kg cm 2 := Desarrollo i) Se calculara la carga de PP ¸horm 2500 kg m 3 := pp ¸horm 0.25 · m 0.35 · m := pp 2.188 kg cm · = ii) Se pueden asumir los diagramas de corte estático como Diagramas por cortes de PP y SC iii) Se calculan los cortes sísmicos µ As b d · e 1.25 µ · fy f´c · MP e b · d 2 · f´c · 1 0.59e ÷ ( ) · Vs MPi MPd + ( ) L L 4.3m := b 25cm := d 33cm := f´c 250 kg cm 2 := fy 4000 kg cm 2 := Punto As r w Mp Vs SI 6.03 0.007309 0.146182 909138.28 ID 6.03 0.007309 0.146182 909138.28 SD 4.02 0.004873 0.097455 625161.46 II 6.03 0.007309 0.146182 909138.28 4228.55 3568.14 Diagramas de corte por sismo (capacidad) Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 10 iv) Se debe tener el Corte Para cada punto de relevancia, se tomaran los apoyos, fin de las ZRP y en el centro. (Para los cortes estáticos en este caso se pueden obtener por congruencia de triángulos) Punto Vpp Vsc Vsi Vsd Apoyo 1 470.42 2580 4228.55 3568.14 ZRP1 398.216 2184 4228.55 3568.14 Centro 0 0 4228.55 3568.14 ZRP2 -398.216 -2184 4228.55 3568.14 Apoyo2 -470.42 -2580 4228.55 3568.14 v) Se calculan las combinaciones Se ve que se tomara ambos sismos con valor positivo y negativo, dado que así buscamos obtener los valores mas extremos en solicitudes, no obstante, se recuerda que si existe simetría los cálculos se pueden resistir Punto Apoyo 1 ZRP1 Centro ZRP2 Apoyo2 1.4PP 658.59 557.50 0.00 -557.50 -658.59 1.2PP+1.6SC 4692.50 3972.26 0.00 -3972.26 -4692.50 1.2PP+SC+VSI 7373.05 6890.41 4228.55 1566.69 1084.05 1.2PP+SC+VSD 6712.64 6230.00 3568.14 906.28 423.63 1.2PP+SC-VSI -1084.05 -1566.69 -4228.55 -6890.41 -7373.05 1.2PP+SC-VSD -423.63 -906.28 -3568.14 -6230.00 -6712.64 0.9PP+VSI 4651.93 4586.94 4228.55 3870.16 3805.17 0.9PP+VSD 3991.52 3926.53 3568.14 3209.74 3144.76 0.9PP-VSI -3805.17 -3870.16 -4228.55 -4586.94 -4651.93 0.9PP-VSD -3144.76 -3209.74 -3568.14 -3926.53 -3991.52 SE TOMA 7373.05 6890.41 4228.55 -6890.41 -7373.05 vi) Se diseñara para Apoyo 1, Apoyo 2 y ZRP1 para determinar la separación de los estribos se debe calcular: 1.1 f´c · b · d · 1.1 250 · 25 · 33 · 14348.835 = Dado que este determina la separación en el centro del elemento También debe verificare que no se exceda 2.1 f´c · b · d · 2.1 250 · 25 · 33 · 27393.23 = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 11 Punto Apoyo 1 ZRP1 Apoyo2 Comentario Vu 7373.05 6890.41 7373.05 Maximo Corte Vn 9830.74 9187.21 9830.74 Ver 2.1 Vc 0.00 6913.53 0.00 De acuerdo a diseño sismico Vs 9830.74 2273.68 9830.74 ver 2.2 1.1raiz(f´c)bd Limite para 2.5 a 2.9 s 8.25 16.5 8.25 Separacion Requerida sreal 5 15 5 Separacion para construccion Av 0.372 0.258 0.372 Ver 2.3 As 0.186 0.129 0.186 Area estribo f 0.487 0.406 0.487 Diametro estribo Avmin 0.109 0.328 0.109 Area min Estribo (2.11) freal 0.8 0.8 0.8 Diametro Comercial Estribo Asreal 0.50 0.50 0.50 Area Real Estribo Avreal 1.01 1.01 1.01 Area real resistente al corte Vsreal 26540.17 8846.72 26540.17 Resistencia real al corte (Acero) 14348.83 |8a5 |8a15 |8a5 Diseño Final Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 22 4-. Flexo - Compresión 4.1-. Flexo- Compresión (Métodos Analíticos) Consideraciones Especiales: Siempre se prefiere una falla dúctil sobre una falla frágil Toda Ecuación puede ser determinada a partir del equilibrio de fuerzas y momentos Al momento de diseñar la armadura se estará penalizando el momento máximo que pueda resistir dicho elemento. Se considerara armadura As=As' Las consideraciones de diseño, verificación u otras no modificaran las ecuaciones del diseño de flexo-compresión, no obstante, los criterios pueden variar, de acuerdo a lo que demande la situación. Se recuerda que el diseño de hormigón armado debe obedecer a las estipulaciones del código ACI en su versión actualizada, y las normas chilenas que hagan inferencia en algún punto especial del diseño. 1-. Diseño de armadura i) Lo primero es saber que existe un punto de balance que nos determina dos zonas en una curva de interacción de P vs M, independiente a si se considera cargas nominales o cargas últimas, para determinar el punto de balance en que trabaja el elemento (pb, Mb) se sabe: Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · (4.1) Mb 0.85f´c · b · a · d d´´ ÷ 0.5a ÷ ( ) · As fy · d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + As fs · d´´ · + (4.2) a 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + |1 · d · (4.3) Dónde: f´c: Resistencia en Probeta cilíndrica del Hormigón b: Ancho del elemento a: Largo área comprimida del Hormigón d: Largo Libre de grietas del elemento (sección Transversal) As: Área de Acero que posee el elemento (Parte sup. o inf) d': H-d d'': H/2-d' fy: Limite de fluencia del Acero fs: Esfuerzo al cual está sometido acero a compresión, para la condición de balance fs=fy ii) Analizar si se está sobre o bajo el punto de balance: Fig 4.1: Falla del elemento según tipo de solicitación Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 23 ii.1) Si se está bajo el punto de balance: a Pu | 0.85f´c · b · (4.4) ** fs=fy (4.5) As Mu | 0.85f´c b · a · d d´´ ÷ 0.5a ÷ ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ fy d d´ ÷ ( ) · ii. 2) Si se está sobre el punto de balance: - Existen dos formas de resolverlo, una es a través de un sistema iterativo, y otra es a través de la resolución de la ecuación propuesta por P. Pizarro, donde la tecnología actual permite realizarlo fácilmente Para la ecuación de P. Pizarro se determinó que la única incógnita es fs, la cual se determina mediante: Pu Mu | 0.85f´c 0.003Es |1 · d · fs 0.003Es + | \ | | . · b · d d´´ ÷ 0.003Es |1 · d · 2 fs 0.003Es + ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ · ÷ ¸ ( ( ¸ | · fy fs ÷ ( ) fs d´´ · fy d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + · 0.00255Es |1 · d · f´c · b · | · fs 0.003Es + + (4.6) Luego con fs determino a a |1 d · 0.003Es fs 0.003Es + | \ | | . · (4.7) Luego con Pu | 0.85f´c · a · b · As fy fs ÷ ( ) · + [ ] · Se determina el valor de As. Se recomienda verificar el valor de las deformaciones para cumplir todos los supuestos, por ejemplo, f´s>fy. De no cumplirse deben utilizarse las ecuaciones de diseño y en forma iterativa determinar el valor de f´s y fs ii. 3) Para diseño se debe considerar lo siguiente: - Sobre el punto de balance, ϕ toma el valor de ϕreal - Bajo el punto de balance, ϕ toma el valor ϕreal. La explicación viene del análisis de una curva de interacción, al momento de diseñar para seguridad se busca obtener la máxima resistencia la cual está relacionada a la cuantía, si para un elemento se trazaran diversas curvas para diferentes armadura (manteniendo calidad de acero), a mayor cuantía se vería mayor resistencia a carga axial y , por lo que se busca que para una carga axial se resista menos momento, luego al dividir las solicitaciones ultimas por un factor menor a uno vemos que estos se alejan del origen y coinciden con un una curva de mayor cuantía. El valor de ϕreal es dado por: | 0.9 0.2Pu · 0.1f´c · Ag · ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · > (4.8) | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · < (4.9) Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 24 Fig. 4.2: Comparación resultado para obtener armadura Destáquese que las variables independientes son Pu y Mu, y la variable dependiente es Pn y Mn Notar que el valor de ϕ varía entre 0.65 y 0.9 que son los valores de ϕ para compresión simple y flexión simple respectivamente 2) Análisis de un elemento ya existente Cuando tenemos un elemento ya con su armadura el cálculo del área de esta deja de ser nuestra incógnita y pasa a ser la resistencia de esta, no obstante la resistencia del elemento puede utilizarse para dos ámbitos: i) Se puede utilizar para el diseño de armadura de corte de este, dado que al igual que en condiciones de flexión simple el corte sísmico en el elemento no queda determinado por el análisis estructural de la estructura sino por la capacidad plástica del elemento, las consideraciones tomadas por el diseño de armadura de corte no cambian, no obstante para el corte por capacidad se debe considerar que sobre el punto de balance el ϕ a tomar equivale a ϕ=1 y bajo el punto de balance ϕ=ϕreal, la explicación es inversa al diseño, ya que de esta manera obtenemos mayores momentos en el elemento, los cuales son nombrados como momento plástico. Fig 4.3: Análisis uso de ϕ para momentos plásticos Nótese que el factor de ϕreal modifica a la carga axial, pero no al momento (Mp son con ϕ=1) por lo que Mn=Mu pero Pu no es igual Pn Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 25 Como resumen podemos determinar los momentos plásticos de la siguiente manera: a) Bajo Pb: | |real a Pu |real 0.85f´c · b · (4.10) f´s 0.003Es a |1 d´ · ÷ a · (4.11) Verificar f´s>fy Si f´s es menor que fy, se debe iterar con las siguientes ecuaciones (4.12) f´s 0.003Es a |1 d´ · ÷ a · (4.13) Verificar f´s>fy a Pu |real As f´s fs ÷ ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ 0.85f´c · b · Mp 0.85f´c · a · b · d d´´ ÷ a 2 ÷ | \ | | . · As f´s · d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + As fy · d´ · + (4.14) Se asume que fs>fy, por la zona en que nos encontramos b) Sobre Pb: | 1 a Pu 0.85f´c · b · (4.15) f´s 0.003Es a |1 d´ · ÷ a · (4.16) Verificar f´s>fy fs 0.003Es d |1 · a ÷ ( ) a · (4.17) Si c<d Verificar si fs>fy fs 0.003Es d c · (4.18) Si c>d Verificar si fs>fy Si alguna de las hipótesis no se cumple, se debe iterar, se recalcula a con: f´s 0.003Es a |1 d´ · ÷ a · (4.20) Verificar f´s>fy a Pu |real As f´s fs ÷ ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ 0.85f´c · b · (4.19) fs 0.003Es d |1 · a ÷ ( ) a · (4.21) Si c<d Verificar si fs>fy fs 0.003Es d c · (4.22) Si c>d Verificar si fs>fy Mp 0.85f´c · a · b · d d´´ ÷ a 2 ÷ | \ | | . · As f´s · d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + As fs · d´´ · + (4.23) Se recuerda que con los momentos plásticos se puede determinar los cortes por capacidad del elemento ii) La segunda opción que tenemos es la verificación del criterio de viga débil fuerte impuesta por el código ACI, para esto debemos comprobar: EMe 6 5 EMg > (4.25) Me: Momentos en el centro de la unión, aportados por las columnas Mg: Momentos en el centro de la unión, aportados por las vigas Mg deben ser determinados bajo los criterios de flexión simple Me deben calcularse con los métodos de flexo-compresión, la importancia es que en este punto el valor de ϕ sobre el punto de balance es ϕ=ϕreal, y bajo el punto de balance ϕ=1, dado que en esta condición tenemos el caso más desfavorable para comprobar el criterio (ver Fig 4.3), los momentos se multiplican por ϕreal. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 26 Para calcular Me en una columna debo: i) Determinar el punto de balance: Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · (4.26) Mb 0.85f´c · b · a · d d´´ ÷ 0.5a ÷ ( ) · As fy · d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + As fs · d´´ · + (4.27) a 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + |1 · d · (4.28) ii) si Pu<Pb a Pu 0.85f´c · b · (4.29) ** fs=fy Mu |real 0.85f´c b · a · d d´´ ÷ 0.5a ÷ ( ) · fy d d´ ÷ ( ) · + [ ] · (4.30) iii) Si Pu>Pb Con un método iterativo determino el valor de fs (se asume f´s>fy, aunque al final puede comprobarse y si no cumple debe también ser recalculado) a |1 d · 0.003Es fs 0.003Es + | \ | | . · (4.31) Pu | 0.85f´c · a · b · As fy fs ÷ ( ) · + [ ] · (4.32) Mu | 0.85f´c · b · a · d d´´ ÷ 0.5a ÷ ( ) · As fy · d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + As fs · d´´ · + [ ] · (4.33) Nota: El criterio de viga débil - columna fuerte debe determinarse para sismo a la izquierda y sismo a la derecha. Consideraciones especiales en diseño El momento que se obtiene del cálculo estructural debe ser amplificado por un factor δ, este se puede determinar mediante: Estructuras sin desplazamiento lateral (ACI 2008 10.12) o Cm 1 Pu | Pc · ÷ 1 > (4.34) Cm 0.6 0.4 M1 M2 + 0 > (4.35) Con M1<M2 | |real Recordar que ϕ varía entre 0.65 y 0.9 M2 Pu 1.5 0.03h + ( ) · > Con 1.5 y h en centímetros ACI 2008 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 27 M1 M2 Es mayor a 0 si la curvatura es simple y menor a 0 si es de doble curvatura. Para elementos con cargas laterales en los apoyos Cm=1 Pc: Es la carga critica propuesta por Euler para pandeo Pc t 2 EI ( ) · K Lu · ( ) 2 (4.36) K: es el factor que modifica el largo del elemento llevándolo al largo de pandeo, obteniendo la longitud efectiva del elemento. Lu: es el largo del elemento EI: puede describirse como la rigidez del elemento, el código ACI dice que puede ser calculado como: EI Ec Ig · ( ) 2.5 1 1 |dns + · (4.37) Según ec. 10-12 ACI 2008 Ec: Modulo de elasticidad del hormigón, el cual se calcula según lo estipulado en 8.5.1 en código ACI 2008. Puede tomarse como: Ec wc 1.5 0.136 · f´c · (4.38) Ec en Kg/cm2 y con wc entre 1440 y 2560, ACI recomienda Ec 15100 f´c (4.39) Ig: Inercia global de la columna Ig b h 3 · 12 (4.40) βdns: Es la relación entre la máxima carga axial mayorada sostenida dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada a la misma combinación de carga. Debe ser mayor a 1 Según ACI 10.10.1 si K lu r · 34 12 M1 M2 ÷ s 40 s Se puede despreciar la magnificación del momento r 0.3b (4.41) Estructuras con desplazamiento lateral (10.10.7 ACI 2008) Para estas se tiene: M1 M1ns os M1s · + (4.42) M2 M2ns os M2s · + (4.43) Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 28 M1 = el menor momento mayorado de uno de los extremos de un elemento en compresión, debe tomarse como positivo si el elemento presenta curvatura simple y negativo si tiene curvatura doble M1ns = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M1, y que se debe a cargas que no causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden M1s = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M1, y que se debe a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden M2 = el mayor momento mayorado de uno de los extremos de un elemento en compresión, siempre positivo M2, min = valor mínimo de M2 M2ns = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M2, y que se debe a cargas que no causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden M2s = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M2, y que se debe a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden ACI 2008, Definiciones δs puede calcularse directamente con: ACI 2008: os 1 1 EPU |real EPc ÷ (4.44) Pc t 2 EI ( ) · K Lu · ( ) 2 Al igual que caso anterior Para determinar el factor K se debe seguir el punto 10.10.4 del ACI, a continuación se expone una metodología simplificada - Se debe determinar el factor Ψa y Ψb en los extremos de la columna (4.45) + E Ec Ic Lc · | \ | | . E Ec Iv Lv · | \ | | . Ec: Modulo elasticidad hormigón (véase que si todo es del mismo hormigón puede simplificarse) se calcula con la ec. Ya propuesta Ic: Inercia Columna Lc: Largo Columna Iv: Inercia Viga Lv: Largo Viga Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 29 El código ACI en 10.10.4.1 (b), permite determinar en forma simplificada Ic e Iv como: Ic 0.7Igc (4.46) Iv 0.35Igv (4.47) Nota: Si existen cargas laterales, Ic debe dividirse Ic por (1+βd) - Luego con Ψa y Ψb se entra en el siguiente ábaco y se determina K Fig. 4.4: Ábacos para obtener K Nota: El valor de K se calcula por cada plano de análisis, por lo que solo aportan elementos en el plano analizado para determinar Ψa y Ψb Finalmente como ultima indicación de consideración dada por ACI, el elemento con su 80% de resistencia a compresión debe resistir los esfuerzos de compresión simple (ACI 2008 10.3.6.3) Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 30 4.2-. Flexo- Compresión (métodos Gráficos) Para determinar armaduras y resistencias de elementos sometidos a flexo-compresión, se permite el uso de ábacos. En estos las consideraciones expuestas anteriormente no cambian, la diferencia es que la obtención de resultados no se basara en ecuaciones, sino en gráficos. Dichos gráficos están aceptados por el ACI y la NCh 427 of 76 i) Lo primero es determinar el ábaco a utilizar, dependiendo de la calidad del acero ii) Se debe analizar que estoy haciendo: a) si estoy diseñando mis variables conocidas son P y M (nominales o últimos), de ser así, debo determinar: k´ Pn f´c b · h · Pu | f´c · b · h · (4.48) Si Pu>Pb ϕ=ϕreal Si Pu<Pb ϕ=ϕreal (4.49) k´e h Mn f´c b · h 2 · Mu | f´c · b · h 2 · Con estos valores los intersecto en el gráfico y determino la curva ρ*μ, con esta determino la armadura con: µ µ · o (4.50) µ 2 As b h · (4.51) µ fy 0.85f´c · (4.53) As o 0.85f´c · b · h · 2fy · (4.54) b) Si estoy determinando los Momentos plásticos, mi incógnita es el momento y mis variables son P y mi armadura, con esto debo determinar: Si Pu<Pb ϕ=ϕreal Si Pu>Pb ϕ=1 µ 2 As b h · (4.55) µ fy 0.85f´c · (4.56) k´ Pn f´c b · h · Pu | f´c · b · h · (4.57) Con µ µ´ · 1.25µ µ · Determino mi curva, y junto a k´ determino k´e y con este Mu Mp k´e f´c · b · h 2 · (4.58) (Para Mp ϕ=1) c) Si estoy comprobando el criterio de columna fuerte - viga débil, mi incógnita es el momento y mis variables son P y mi armadura, con esto debo determinar: Si Pu>Pb ϕ=ϕreal Si Pu<Pb ϕ=1 µ 2 As b h · (4.59) µ fy 0.85f´c · (4.60) k´ Pn f´c b · h · Pu | f´c · b · h · (4.61) Con µ µ · Determino mi curva, y junto a k´ determino k´e y con este Mu Mu k´e|real · f´c · b · h 2 · Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 31 Ejercicios 1-. Para un 20x40, sometida a una carga de 100 ton, y un momento de 15ton*m y 13ton*m, con curvatura simple y sin desplazamientos laterales, se pide determinar la armadura para que resista dicha solicitación, si se utilizara H30 y A44-28 (tomar wc=2300). La situación de la columna es la mostrada en la figura. Considere βd=1, si no se puede utilizar A44-28 diga por qué y de solución fy 2800 kg cm 2 := f´c 250 kg cm 2 := Pu 100000kg := Mu 15ton m · o · := o wc 2300 := Ec wc 1.5 0.136 · f´c kg cm 2 · · := Ec 237192.344 kg cm 2 · = H 40cm := b 20cm := |d 1 := Lo primero es determinar el factor δ, para esto necesito K ¢a Ec 0.7 · b H 3 · ( ) 12 300 · 1 |d + ( ) · ¸ ( ( ¸ Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · + ¸ ( ( ¸ := ¢a 3.467cm 4 · = ¢b Ec 0.7 · b H 3 · ( ) 12 320 · 1 |d + ( ) · Ec 0.7 · b H 3 · ( ) 12 300 · 1 |d + ( ) · + ¸ ( ( ¸ Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · + ¸ ( ( ¸ := ¢b 6.717cm 4 · = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 32 Con esto K 0.91 := Para ver si se considera efectos de esbeltez K lu r · 34 12 M1 M2 ÷ s 40 s Lu 300cm := Ig b H 3 12 · := K Lu 0.3b · · 45.5 = Por lo que si se considera efectos de esbeltez EI Ec Ig · ( ) 2.5 1 1 |d + · := EI 5060103336.319kg cm 2 · · = Pc t 2 EI ( ) · K Lu · ( ) 2 := Pc 670091.081kg = M2 15ton m · := M1 13ton m · := Cm 0.6 0.4 M1 M2 + := Cm 0.947 = |1 0.85 := Tomamos d´ 2cm := d 38cm := d´´ 18cm := Es 2100000 kg cm 2 := Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · := Pb 95036.538kg = Calculando ϕreal: | 0.9 0.2Pu · 0.1f´c · Ag · ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · > | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · < Ag b H · := Ag 800 cm 2 · = 0.1f´c · Ag · 20000kg = | 0.9 0.2 Pu 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.1 ÷ = Pb | · 9503.654 ÷ kg = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ := | 0.599 = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := o Cm 1 Pu | Pc · ÷ := o 1.229 = Luego tenemos: Pu 100000kg = Mu 1500000kg cm · o · := Mu 1843174.209kg cm · · = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 33 Luego con la ec. De P. Pizarro determinamos fs Pu Mu | 0.85f´c 0.003Es |1 · d · fs 0.003Es + | \ | | . · b · d d´´ ÷ 0.003Es |1 · d · 2 fs 0.003Es + ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ · ÷ ¸ ( ( ¸ | · fy fs ÷ ( ) fs d´´ · fy d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + · 0.00255Es |1 · d · f´c · b · | · fs 0.003Es + + Resolviéndolo se determina fs 1341.6 kg cm 2 := a |1 d · 0.003Es fs 0.003Es + | \ | | . · := a 0.266m = As Pu | 0.85f´c · a · b · ÷ | \ | | . fy fs ÷ := As 27.888cm 2 · = As b d · 0.037 = Esto cumple con una cuantía estática y sísmica en su extremo, al pasar está a área real tenemos con 4ϕ36 Asreal 4 7.99 · cm 2 := Asreal 31.96cm 2 · = µreal Asreal b d · := µreal 0.042 = Si calculamos con fy=4200kg/cm2 fy 4200 kg cm 2 := f´c 250 kg cm 2 := Pu 100000kg := Mu 28ton m · o · := wc 2300 := Ec wc 1.5 0.136 · f´c kg cm 2 · · := Ec 237192.344 kg cm 2 · = H 40cm := b 20cm := |d 1 := Lo primero es determinar el factor δ, para esto necesito K ¢a Ec 0.7 · b H 3 · ( ) 12 300 · 1 |d + ( ) · ¸ ( ( ¸ Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · + ¸ ( ( ¸ := ¢a 3.467cm 4 · = ¢b Ec 0.7 · b H 3 · ( ) 12 320 · 1 |d + ( ) · Ec 0.7 · b H 3 · ( ) 12 300 · 1 |d + ( ) · + ¸ ( ( ¸ Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · Ec 0.35 · 20 20 3 · ( ) 12 260 · + ¸ ( ( ¸ := ¢b 6.717cm 4 · = Con esto K 0.91 := Para ver si se considera efectos de esbeltez Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 34 K lu r · 34 12 M1 M2 ÷ s 40 s Lu 300cm := Ig b H 3 12 · := K Lu 0.3b · · 45.5 = Por lo que si se considera efectos de esbeltez EI Ec Ig · ( ) 2.5 1 1 |d + · := EI 5060103336.319kg cm 2 · · = Pc t 2 EI ( ) · K Lu · ( ) 2 := Pc 670091.081kg = M2 15ton m · := M1 13ton m · := Cm 0.6 0.4 M1 M2 + := Cm 0.947 = |1 0.85 := Tomamos d´ 2cm := d 38cm := d´´ 18cm := Es 2100000 kg cm 2 := Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · := Pb 82365kg = Calculando ϕreal | 0.9 0.2Pu · 0.1f´c · Ag · ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · > | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · < Ag b H · := Ag 800 cm 2 · = 0.1f´c · Ag · 20000kg = | 0.9 0.2 Pu 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.1 ÷ = Pb | · 8236.5 ÷ kg = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ := | 0.553 = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := o Cm 1 Pu | Pc · ÷ := o 1.229 = Luego tenemos: Pu 100000kg = Mu 1500000kg cm · o · := Mu 1843174.209kg cm · · = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 35 Luego con la ec. De P. Pizarro determinamos fs Pu Mu | 0.85f´c 0.003Es |1 · d · fs 0.003Es + | \ | | . · b · d d´´ ÷ 0.003Es |1 · d · 2 fs 0.003Es + ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ · ÷ ¸ ( ( ¸ | · fy fs ÷ ( ) fs d´´ · fy d d´ ÷ d´´ ÷ ( ) · + · 0.00255Es |1 · d · f´c · b · | · fs 0.003Es + + Resolviéndolo se determina fs 1758.7 kg cm 2 := a |1 d · 0.003Es fs 0.003Es + | \ | | . · := a 0.253m = As Pu | 0.85f´c · a · b · ÷ | \ | | . fy fs ÷ := As 19.059cm 2 · = As b d · 0.025 = Con este acero obtenemos una armadura menor, la cual puede ser 5ϕ25 Utilizando ábacos podemos decir Para fy=2800kg/cm2 fy 2800 kg cm 2 := k´ Pu | f´c · b · H · := Pu | f´c · b · H · ( ) 0.769 = k´e h | \ | | . Mu | f´c · b · H 2 · := k´e h Mu | f´c · b · H 2 · ( ) 0.354 = o 1.05 := Excede el máximo por lo cual se debería modificar el elemento, no obstante se continuara As o 0.85f´c · b · H · 2fy · := As 31.875cm 2 · = Para fy=4200kg/cm2 fy 4200 kg cm 2 := k´ Pu | f´c · b · H · := k´e h | \ | | . Mu | f´c · b · H 2 · := k´e h Mu | f´c · b · H 2 · 0.354 = o 1.05 := As o 0.85f´c · b · H · 2fy · := As 21.25cm 2 · = Se ve que el método gráfico es más conservador Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 36 2-. a) Determine para una columna 20x30, con una armadura de 10 cm2 en cada extremo, el diagrama de la curva de interacción Pn vs Mn para un acero A63-42, A44-28, A42-27. Utiliza un método analítico b) Determine con esta el momento plástico para una carga equivalente de Pu1=70000kg y Pu2=30000kg, para fy=4200kg/cm2 Recubrimiento de 2 cm, hormigón H30 Desarrollo Para realizar estas curvas debemos realizar la siguiente tabla, dado que trabajaremos con resistencias nominales podemos hacer valer ϕ=1 para todos los casos, dado que no sabemos si estamos diseñando o analizando otro caso. As 10cm 2 := f´c 250 kg cm 2 := H 30cm := b 20cm := d 28cm := d´ 2cm := d´´ 13cm := |1 0.85 := cc 0.003 := Caso 1: fy 4200 kg cm 2 := Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · := Pb 60690kg = Caso 2: fy 2800 kg cm 2 := Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · := Pb 70026.923kg = Caso 3: fy 2400 kg cm 2 := Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · := Pb 73246.552kg = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 37 Tabla Caso 1 Pn fs a=0.003Es b1 d /(fs+0.003Es) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 60690 4200 14,28 60690 1569023,4 Pn fs a=0.003Es b1 d /(fs+0.003Es) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 206040 -1904,94 34,12 206040 0,16 200000 -1760,92 33,03 200000 104168,69 185000 -1371,14 30,42 185000 340546,49 170000 -931,01 27,93 170000 547988,69 155000 -434,92 25,56 155000 730399,21 143150 0,00 23,80 143150 859565,00 140000 122,33 23,35 140000 891986,20 125000 745,15 21,28 125000 1037115,92 110000 1436,68 19,38 110000 1170118,36 95000 2198,41 17,64 95000 1295070,25 80000 3030,04 16,07 80000 1415593,84 65000 3929,49 14,66 65000 1534709,56 Pn fs a= Pn/ (0,85*f´c*b) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 60000 4200 14,12 60000 1568470,59 45000 4200 10,59 45000 1528764,71 30000 4200 7,06 30000 1436117,65 15000 4200 3,53 15000 1290529,41 0 4200 0,00 0 1092000,00 Pb Sobre Pb Bajo Pb Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 38 Tabla Caso 2 Pn fs a=0.003Es b1 d /(fs+0.003Es) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 70026.9 2800 16,48 70026,92 1201489,73 Pn fs a=0.003Es b1 d /(fs+0.003Es) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 181273 -1643,18 32,20 181273 0,00 170000 -1343,43 30,25 170000 173234,97 155000 -899,74 27,77 155000 378882,98 140000 -399,73 25,41 140000 559771,68 129150 0,00 23,80 129150 677565,00 125000 161,77 23,20 125000 720124,95 110000 789,09 21,15 110000 864313,11 95000 1485,27 19,26 95000 996656,04 80000 2251,69 17,53 80000 1121206,05 Pn fs a= Pn/ (0,85*f´c*b) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 60000 2800 14,12 60000 1204470,59 45000 2800 10,59 45000 1164764,71 30000 2800 7,06 30000 1072117,65 15000 2800 3,53 15000 926529,41 0 2800 0,00 0 728000,00 Pb Sobre Pb Bajo Pb Tabla Caso 3 Pn fs a=0.003Es b1 d /(fs+0.003Es) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 73246.6 2400 17,23 73246,55 1091515,06 Pn fs a=0.003Es b1 d /(fs+0.003Es) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 181273 -1559,06 31,63 174004 0,00 170000 -1452,94 30,93 170000 61704,16 155000 -1023,34 28,42 155000 274632,82 140000 -538,88 26,03 140000 461721,02 125150 0,00 23,80 125150 625565,00 125000 5,76 23,78 125000 627125,92 110000 615,17 21,68 110000 775196,46 95000 1292,78 19,75 95000 910286,99 80000 2040,43 17,98 80000 1036542,10 Pn fs a= Pn/ (0,85*f´c*b) Pn=0,85f´c a b + As (fy-fs) Mn=0,85f´c a b (d-d´´-0,5a) +Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´ 60000 2400 14,12 60000 1100470,59 45000 2400 10,59 45000 1060764,71 30000 2400 7,06 30000 968117,65 15000 2400 3,53 15000 822529,41 0 2400 0,00 0 624000,00 Pb Sobre Pb Bajo Pb Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 39 Con las tablas Obtenidas podemos realizar el siguiente gráfico: 0 50000 100000 150000 200000 1,00 500001,00 1000001,00 1500001,00 P n ( k g ) Mn (kg*cm) Curvas Pn vs Mn fy=4200kg/cm2 fy=2800kg/cm2 fy=2400kg/cm2 b) Para calcular los momentos plásticos para Pu1=70ton y Pu2=30ton tenemos Pu1 70000kg := Esta sobre Pb | 1 := Por gráfico tenemos MP: 1490000 kg*cm Pu2 30000kg := Esta sobre Pb | |real := |real | 0.9 0.2Pu · 0.1f´c · Ag · ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · > Ag b H · := Ag 600 cm 2 · = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · < 0.1f´c · Ag · 15000kg = | 0.9 0.2 Pu 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.433 ÷ = Pb | · 31740.172 ÷ kg = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ := | 0.51 = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := Pu2´ Pu2 | := Pu2´ 46153.846kg = Por gráfico tenemos MP: 1525000 kg*cm Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 40 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 41 3-. Para la sección mostrada en la figura, diseñe la armadura para flexo-compresión, compruebe el criterio de viga débil - columna fuerte, y determine el corte por capacidad que produce en la columna la armadura de flexo-compresión, desprecie efectos de esbeltez. Considere hormigón H25 y fy=2800 kg/cm2. Se recomienda usar ábacos. (Asuma columna sup armada igual a columna inferior As1 10cm 2 := As2 8cm 2 := Comb. PU (kg) Mu (kg*cm) 1 30000 987400 2 35600 763000 3 42000 859000 4 70000 679000 Combinaciones no sujetas a las propuestas por ACI, NCh3170 u otras. Desarrollo Se utilizara ábacos para resolver el problema, por lo que primero haremos el diseño |1 0.85 := b 20cm := d 28cm := H 30cm := f´c 200 kg cm 2 := Es 2100000 kg cm 2 := fy 2800 kg cm 2 := Pb 0.85|1 · f´c · b · d · 0.003Es · ( ) 0.003Es fy + · := Pb 56021.538kg = ϕreal se calcula solo para PU=70ton, dado que es el único que lo utiliza | 0.9 0.2Pu · 0.1f´c · Ag · ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · > Ag b H · := Ag 600 cm 2 · = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · < 0.1f´c · Ag · 12000kg = | 0.9 0.2 Pu 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.767 ÷ = Pb | · 42949.846 ÷ kg = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ := | 0.39 = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 42 Comb Pu Mu f k´ k´e/h rm As 1 30000 987400 0.65 0.385 0.4220 0.93 16.94 2 35600 763000 0.65 0.456 0.3261 0.66 12.02 3 42000 859000 0.65 0.538 0.3671 0.82 14.94 4 70000 679000 0.65 0.897 0.2902 0.94 17.12 Asreal 17.9 6f22 Criterio columna fuerte - viga débil Dada la simetría, sismo a la izquierda equivale a sismo a la derecha Se repite ϕreal solo para C4 µ 2 19cm 2 b H · · := µ 0.063 = µ fy 0.85f´c · := µ 16.471 = µ µ · 1.043 = Columnas Comb Pu f k´ rm k´e/h Mu 1 30000 1 0.250 1.043 0.43 1006200 2 35600 1 0.297 1.043 0.44 1029600 3 42000 1 0.350 1.043 0.443 1036620 4 70000 0.65 0.897 1.043 0.313 732420 Me 2 732420 · kg cm · := Para vigas tenemos: Mp As fy · dc 0.59As fy f´c b · ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ · dc 28cm := d de las columnas = d Vigas Mp1 0.9As1 fy · dc 0.59As1 fy f´c b · ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ · := Mp2 0.9As2 fy · dc 0.59As2 fy f´c b · ( ) · ÷ ¸ ( ( ¸ · := Mg Mp1 Mp2 + := Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 43 Me 1.2Mg 1.11 = Por lo que se cumple el criterio, finalmente la cuantía es 19cm 2 b d · 0.034 = Esta está entre 0.01 y 0.06 Límites permitidos por ACI en su punto 21.6.3.1 Ahora debemos determinar los momentos plásticos, para esto debemos recalcular ρ*μ µµ´ 1.25µ µ · := µµ´ 1.304 = Ahora se debe calcular ϕreal para C1, C2, C3 | 0.9 0.2Pu · 0.1f´c · Ag · ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · > Ag b H · := Ag 600 cm 2 · = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ Si | Pb · 0.1f´c Ag · < 0.1f´c · Ag · 12000kg = C1: Pu1 30000kg := | 0.9 0.2 Pu1 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.4 = Pb | · 22408.615kg = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := C2: Pu2 35600kg := | 0.9 0.2 Pu2 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.307 = Pb | · 17179.938kg = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := C3: Pu3 42000kg := | 0.9 0.2 Pu3 0.1f´c · Ag · ( ) ÷ := | 0.2 = Pb | · 11204.308kg = | 0.9 0.2Pu 0.7Pb ÷ := | 0.39 = Pero ϕmin: 0.65 | 0.65 := Para las columnas se tendrá: Comb Pu f k´ rm ´ k´e/h Mu 1 30000 0.65 0.385 1.304 0.452 1627200 2 35600 0.65 0.456 1.304 0.456 1641600 3 42000 0.65 0.538 1.304 0.440 1584000 4 70000 1 0.583 1.304 0.420 1512000 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 44 5-. Diseño de Losas Consideraciones previas Las losas podrán ser trabajadas de manera distinta de acuerdo a las condiciones geométricas y de entorno en el cual se encuentren, no siendo necesariamente los métodos exclusivos entre ellos. El diseño deberá seguir respetando las condiciones de ACI en su versión más actualizada, por lo que ciertos valores pueden estar desactualizados, pero no por esto el método deja de ser válido. El diseño de losas, como el diseño de otros elementos no solo debe respetar condiciones de cálculo y diseño estructural, sino también de servicialidad con lo que todo esto lleva. Finalmente recordar, que las condiciones que uno impone al diseño y cálculo se correspondan, dado que si uno para calculo estructural impone losas rígidas que relacionen grados de libertad de los elementos unidos a través de estas, se debe cumplir para mantener las hipótesis dadas, destacándose para losas de formas complejas como se solicita en la NCh 433. Las losas son placas de pequeño espesor, que generan un alto % del peso de un edificio, por lo que no se puede incrementar su espeso en manera indiscriminada por las cargas sísmicas que esto genera (recordando el método estático de diseño tenemos un ejemplo de esto) Tabla 5.1: Espesores mínimos de losa, según tabla 9.5 (c) ACI, sin embargo L/36 es un valor aceptado y usado como base en este apunte A demás debe cumplirse que el espesor sea mayor a 11 cm, por la ley de venta de pisos 5.1-. Diseño de Losas Aisladas Fig. 5.1: Ejemplo Losa aislada Debe cumplirse h<<a h<<b Δmax/h < 1/5, para deformaciones pequeñas Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 45 5.1.1-. Diseño de Losas Aisladas que trabajan en 1 dirección Para esto deberán respetarse que el lado mayor (a) y el lado menor (b) respeten la condición de: a b 2 > (5.1) Una vez cumplido esto el análisis se nos simplifica, dado que estructuralmente la losa solo necesitara armadura en la sección corta, dejando la dirección larga solo con armadura mínima por retracción, que según ACI será: Tabla 5.2: Cuantía mínima en losas. Las cuantías indicadas en ningún punto deben ser menores a 0.0014, según se dice en 7.12.2.1 ACI 2005. La separación máxima será de 450 mm o 5 veces el espesor. No obstante a lo anterior se tomara una cuantía mínima de diseño de ϕ8@25 como criterio Para diseñar la armadura se de tomar una franja de esta, de 1m de ancho, la cual se debe modelar como una viga, para esto se analizan las condiciones de borde de la losa, como se indican a continuación: Fig. 5.2: Modulación losa Luego el diseño se realiza bajo las condiciones de flexión simple, donde el largo de la viga es el largo de la modulación (para determinar momentos máximos se recomiendan tablas de vigas tipos), la altura es el espesor de la viga, y el ancho es de 1m. El largo de la viga de modulación se debe tomar de acuerdo a recomendaciones incluyendo altura de losa o distancia entre ejes, o según el caso en particular, aquí se tomara como simplificación la distancia entre ejes dados. La armadura se calcula mediante As 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mu · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ (5.2) µmax 0.75µbal CasoEstatico if 0.025 Caso Sismico · if µmin max 14 fy 0.8 f´c fy , | \ | | . (5.3) (5.4) Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 46 ACI permite en que la cuantía requerida sea menor que la mínima usar 1.33As, siempre y cuando no sea menor que la de retracción Como se sabe, el peso del acero es aproximadamente 3 veces el del Hormigón, por lo que para disminuir pesos y costos, se recomienda trazar en el elemento la armadura mínima de retracción y completar las áreas requeridas con suples, dándoles traslapos de 40ϕ. Se deben diseñar las armaduras para los momentos positivos y negativos por separado. 5.1.2 Diseño de Losas Aisladas que trabajan en 2 direcciones Las condiciones de diseño se mantiene constante, independiente de la clasificación de la losa en cuestión, lo que varía es la forma en que se determinan los esfuerzos máximos. Para losas que trabajan en dos direcciones utilizaremos el método de Marcus en una forma simplificada, sabiendo que su deducción proviene de la teoría de placas. Para estas se cumple: a b 2 < (5.5) Se define una dirección X e Y en la losa para la cual la carga ultima queda determinada según la dirección de análisis, luego se determinan los momentos máximos y se diseña la armadura al igual que el caso anterior. Siendo q q ult (5.6) q x q y + q (5.7) q x q 1 o x o y l x l y | \ | | | . 4 · + ¸ ( ( ( ¸ 1 ÷ (5.8) q y q 1 o y o x l y l x | \ | | | . 4 · + ¸ ( ( ( ¸ 1 ÷ (5.9) La Fig. 5.3 muestra ejemplos de cómo obtener los coeficientes αx y αy Fig. 5.3: Ejemplos de coef. α Nótese que con (5.8) y (5.7) se puede obtener (5.9). Posterior a la obtención de las cargas se utiliza la ecuación 5.2 para determinar el área de acero necesaria. 5.2-. Diseño de Campos de Losas Continuas Cuando existen diversas cantidades de losas pertenecientes a un mismo campo de losa debemos determinar la solicitaciones en las dos direcciones de estas, el problema surge al hacer las diferentes combinaciones, ya que puede que estas se comporten como la modelación de una viga continua con varios apoyos, complicando la obtención de momentos de tramos y momentos en apoyos o vigas centrales. Cabe destacar que dentro de las losas continuas podemos realizar la separación entre losas semejantes y no semejantes, sin que las segundas excluyan a las primeras, es decir, los campos de losas semejantes son un subtipo de campo de los, cuyo análisis es más sencillo. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 47 5.2.1-. Diseño de Campos de Losas Continuas, con Losas Semejantes Para que un campo de losas se considere semejante se debe cumplir que para cada losa la relación entre el lado largo (a) y el lado corto (b) sea menor o igual a 1.2, es decir: a b 1.2 < (5.10) Una vez teniendo esto, se definen 3 casos: Caso 1 o Estado "0": en todos los bordes internos se considerara que están empotrados, y se cargara el campo de losas con una carga q, tal que: q PP SC 2 + (5.11) Caso 2 o Estado "1": en todos los bordes internos se considerara que están con un apoyo simple, y se cargara el campo de losas con una carga q, tal que: q SC 2 (5.12) Caso 3 o Estado "2": En los apoyos que se esté buscando se considerara que están empotrados, y se cargara el campo de losas con una carga q, tal que: q SC 2 (5.13) Nótese que apoyos externos respetan condiciones previamente impuestas en el modelo Luego de tener los casos listos, debemos obtener los momentos de tramos y apoyos para cada losa, para lo cual se utilizan tablas donde se obtienen los factores η para determinar los momentos, antes de explicar el uso de tablas se explicara la nomenclatura que es utiliza Fig. 5.4: Nomenclatura de términos Nota: La dirección mostrada aquí como a, puede ser a o b indicando si es el lado largo o corte, sin decir que sea X o Y necesariamente, también en ocasiones se indica como ij, que indica que el coeficiente o momento está en la dirección que describen la losa i hacia la losa j. Luego para obtener los momentos debemos realizar los cálculos: Momentos de Tramo: Estado (0) + Estado (1) losa i Momentos en apoyos: [(Estado (0) + Estado (1) losa i)+ (Estado (0) + Estado (1) losa j)]/2 Momentos en empotrados externos: max (Estado (0) + Estado (1) losa i, Estado (0) + Estado (2) losa i) Claro está, referido a los que se está buscando. Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 48 Casos Fig. 5.5: Casos para coeficientes η Tabla 5.3: Valores para coeficientes η Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 49 Luego de obtener los esfuerzos máximos (positivos y negativos), se diseña como ya se ha explicado antes 5.2.2-. Diseño de Campos de Losas Continuas, con Losas no Semejantes Cuando la relación entre el lado mayor y el lado menor de las losas (cualquiera) es mayor a 1.2, la metodología cambia, para esto se propone el método aproximado en el cual se debe: i) Calcular los coeficientes α, β, γ y δ, que se obtienen al dividir la dimensión de la losa (según sea el caso) por la de la losa adjunta, luego se debe cumplir o | < ¸ < o < (5.14) ii) Con estos determinar la forma de obtención de los esfuerzos internos con la siguiente tabla: Tipo Definicion Mon. Tramo Mom. Apoyo A a<1,25 ; d>0,8 Tabla q/g q/g B a>1,25 ; d>0,8 Tabla qf/g q/g C a<1,25 ; d<0,8 Tabla q/g Losa Aisl., Empo. Periferico D a>1,25 ; d<0,8 Tabla qf/g Losa Aisl., Empo. Periferico Tabla 5.4: Método determinación esfuerzos internos, campos de losas no semejantes. q SC (5.15) g PP SC + (5.16) Los valores de qf se obtienen al considerar el coeficiente α por el largo de la losa, dado que estos en losas de mayor longitud incrementan los momentos en tramo. Valor qf/g 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,2 0,38 0,42 0,47 0,50 0,53 0,56 0,59 0,61 0,3 0,47 0,51 0,55 0,58 0,61 0,64 0,67 0,69 0,4 0,56 0,60 0,64 0,67 0,69 0,72 0,74 0,76 0,5 0,65 0,68 0,72 0,75 0,78 0,80 0,82 0,84 Mayor valor entre losas continuas a q/g III) Para determinar los momentos, a diferencia del caso de losas semejantes, el caso "0" debe definirse como: Caso 0: empotramiento entre losas continuas (pp+sc/2) Caso 1: empotrado solo entre las losas que se desean determinar los esfuerzos para los apoyos (exceptuando condiciones naturales de empotramiento). (sc/2) Con esto los momentos de tramo se obtienen al igual que losas semejantes y momentos de apoyos como el promedio de momentos del apoyo en cuestión (como se especificó para losas semejantes) Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 50 Empalmes de refuerzos Para calcular empalmes utilizaremos como simplificación las siguientes longitudes de momentos Fig. 5.6: Viga simplemente apoyada, solo momento positivo Fig. 5.7: Viga doblemente apoyada, 40% momento negativo aproximadamente Fig. 5.8: Viga con empotrado y apoyo simple, se aproxima como un promedio Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 51 1 -.Diseñe la losa mostrada en la figura, utiliza A63-42 y H30 (utilize largos de losa dados). La sobrecarga es de 300 kg/m^2 Desarrollo Datos L1 2m := L2 4.6m := f´c 250 kg cm 2 := fy 4200 kg cm 2 := L2 L1 2.3 = Esto implica losa aislada que trabaja en una sola dirección Espesor losa: L2 36 12.778cm · = e 13cm := Peso propio: PP 2500 kg m 3 e · := PP 325 kg m 2 · = Sc 300 kg m 2 := Comb1 1.4PP := Comb1 455 kg m 2 = Comb2 1.2PP 1.6Sc + := Comb2 870 kg m 2 = q max Comb1 Comb2 , ( ) := q 0.087 kg cm 2 · = Para diseñar para 1m de losa: Q 100cm q · := Q 870 kg m · = Modelación Viga: b 100cm := d 11.5cm := Recubrimiento de 1.5 cm Ejercicios Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 52 Mpos 9 128 Q · L1 2 · := Mpos 24468.75kg cm · · = Mneg 1 8 Q · L1 2 · := Mneg 43500kg cm · · = Asinf 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mpos · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ := Asinf 0.566cm 2 · = Assup 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mneg · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ := Assup 1.01cm 2 · = fy 4200 := f´c 250 := µmin max 14 fy 0.8 f´c fy , | \ | | . := Asmin µmin b · d · := Asmin 3.833cm 2 := 1.33Asinf 0.753cm 2 · = 1.33Assup 1.343cm 2 · = ϕ8@25 dan un área de 2 cm2, y como se dijo que sería la armadura mínima el diseño queda Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 53 2-. Diseñe la Armadura para la losa mostrada en la figura. Utilize H30 y A63-24. La sobrecarga es de 1100 kg/m2 Desarrollo Datos L1 6m := L2 8m := f´c 250 kg cm 2 := fy 4200 kg cm 2 := L2 L1 1.333 = Esto implica losa aislada que trabaja en dos direcciones Espesor losa: L2 36 22.222cm · = e 23cm := Peso propio: PP 2500 kg m 3 e · := PP 575 kg m 2 · = (Carga Distribuida) Sc 1100 kg m 2 := Comb1 1.4PP := Comb1 805 kg m 2 = Comb2 1.2PP 1.6Sc + := Comb2 2450 kg m 2 = q max Comb1 Comb2 , ( ) := q 0.245 kg cm 2 · = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 54 Modelación Viga X: b 100cm := d 21.5cm := Recubrimiento de 1.5 cm Modelación Viga Y: Lx L1 := Ly L2 := ox 1 384 := oy 2 384 := qx q 1 ox oy Lx Ly | \ | | . 4 · + ¸ ( ( ¸ 1 ÷ := qx 2115.346 kg m 2 = qy q 1 oy ox Ly Lx | \ | | . 4 · + ¸ ( ( ¸ 1 ÷ := qy 334.654 kg m 2 = qx qy + 2450 kg m 2 = Qx 1m qx · := Qy 1mqy · := Mposx 1 24 Qx · L1 2 · := Mposx 317301.855kg cm · · = Mnegx 1 12 Qx · L1 2 · := Mnegx 634603.71kg cm · · = Asinfx 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mposx · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ := Asinfx 3.979cm 2 · = Assupx 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mnegx · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ := Assupx 8.116cm 2 · = Mposy 9 128 Qy · L1 2 · := Mposy 84709.37kg cm · · = Mnegy 1 8 Qy · L1 2 · := Mnegy 150594.435kg cm · · = Asinfy 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mposy · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ := Asinfy 1.048cm 2 · = Assupy 0.85 f´c · b · d · fy 0.85 f´c · b · d · fy | \ | | . 2 1.89 Mnegy · b · f´c · ( ) fy 2 ÷ ÷ := Assupy 1.87cm 2 · = Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 55 Fy 4200 := F´c 250 := |1 0.85 := Es 2.1 10 6 · kg cm 2 := µmin max 14 Fy 0.8 F´c Fy , | \ | | . := Asmin µmin b · d · := Asmin 3.833cm 2 := Asmax 0.0025b · d · := Asmax 5.375cm 2 · = µba 0.85 f´c · |1 · fy 0.003Es fy 0.003Es + · := 0.75 µba · b · d · 41.608cm 2 · = 1.33Asinfy 1.394cm 2 · = 1.33Assupy 2.487cm 2 · = ϕ8@25 dan un área de 2 cm2, y como se dijo que sería la armadura mínima el diseño queda Armadura en X inferior: ϕ8@25+suple ϕ8@25 Armadura en X superior: ϕ8@20+ suple ϕ12@20 Armadura en Y inferior: ϕ8@25 Armadura en Y superior: ϕ8@20 Largos Suples Armadura en X inferior 0.66 · m 2 8 · mm40 · + 424 cm · = Armadura en X superior 15cm 20cm + 0.26 · m + 8mm40 · + 187 cm · = Detalle Losa Detalle Armadura en X Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Diseño en Hormigón Armado Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 56 Detalle Armadura en Y