1Análisis matricial de estructuras por el método de la rigidez Apuntes Resolución de problemas Introducción a los Elementos finitos Brayan D. Novely ? = −∫ ? ?? + ?? ?? Edición revisada Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 2 Análisis matricial de método de la rigidez estructuras por Apuntes Brayan D. Novely Cabrales Ingeniero Civil, Universidad de Pamplona Especialista en Análisis y Diseño de estructuras, Universidad del Norte Revisión técnica Andrés Fernando Guzmán Guerrero, Dr. Ing. Docente asociado a Universidad del Norte Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Colombia Magíster en Ingeniería Civil, Universidad de los Andes Doctor en Ingeniería, Universidad de los Andes Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos el 3 Acerca del autor Brayan D. Novely (Riohacha, 1989) es un ingeniero civil joven egresado de la Universidad de Pamplona, Colombia, facultad de ingenierías y arquitectura, Especialista en análisis y diseño de estructuras de la Universidad del Norte. Ha realizado diversos trabajos de consultoría en el área de evaluación sísmica y diseño estructural en concreto reforzado. Ostenta trabajos de investigación en su alma mater relacionados con la evaluación del módulo de elasticidad estático del concreto, presentando modelos matemáticos para la obtención de este parámetro vital en el análisis y el diseño de estructuras de hormigón reforzado. Actualmente se desempeña como consultor en la ingeniería estructural e instructor en el Servicio Nacional de aprendizaje (SENA), en el programa de obras civiles. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos ya sea electrónico. por registro u otros métodos.edu.4 Catalogación bibliográfica Análisis Matricial de estructuras por el método de la rigidez Problemas Resueltos e introducción a los elementos finitos Autor: Novely Cabrales. Derechos de autor reservado Correo electrónico:
[email protected] Editor: INDEPENDIENTE Colombia. No está permitido el tratamiento informático. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS 2016 Impreso en Colombia Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Brayan D.0 cm x 25. mecánico. por fotocopia.0 cm Esta obra se realizó de forma libre y abierta con la intención de apoyar la formación y enseñanza académica en la disciplina de estructuras específicamente el análisis estructural a estudiantes de pregrado y postgrado. con fines comerciales sin la autorización del autor.co bryannovely@gmail. 2015 Área: Ingeniería Estructural Formato: Carta 20. ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio. El método de los elementos finitos es realmente una extensión del método de la rigidez ya que requiere subdividir la estructura en elementos discretos y sus extremos definidos como nodos. por lo tanto la solución puede ser de manera automática mediante el uso de programas o software de ordenadores que es la práctica habitual hoy en día. se realizó con el fin de plasmar el ejercicio académico desarrollado en este y contribuir a modo de apoyo a estudiantes y profesores de ingeniería civil a nivel de Pregrado y Postgrado en el aprendizaje y enseñanza del análisis estructural. que consiste en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas deformaciones. Se denomina análisis estructural al cálculo de las fuerzas internas y deformaciones que desarrollan los elementos de una estructura cuando ésta se ve sometida a la aplicación de cargas externas. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la carga.5 Prólogo Este texto. La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas. estos elementos no solo son de tipo barra sino que pueden ser tridimensionales de distintas formas geométricas que modelan en mayor complejidad un problema físico. que a su vez describen ecuaciones de equilibro en todos los nudos de la estructura. propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los desplazamientos desconocidos. En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales. originado a partir de las notas de clase del módulo de Análisis estructural en el Postgrado de Análisis y diseño de estructuras de la Universidad del Norte. Novely A Dios. En los capítulos 2. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . El texto se divide en cinco capítulos. En el capítulo 5 se presentan problemas que permiten vislumbrar los conceptos y la filosofía del método de los elementos finitos y la confiabilidad del método de la rigidez y límites de su aplicabilidad en estructuras cuyos elementos son en concreto. ANSYS. Brayan D. ETABS. ya que se basan en esta teoría. MIDAS GEN entre otros.6 El texto de conceptualización general y sentido práctico. además lleva al lector a comprender la forma en que operan programas de diseño reconocidos como SAP2000. vigas y pórticos respectivamente con su metodología de análisis teniendo en cuenta las condiciones de frontera propuesta en los ejercicios.3 y 4 se analizan ejercicios de cerchas. esta enfatizado en la resolución de una diversidad de ejercicios y presenta una metodología sencilla con el fin encontrar la respuesta en base a las propiedades elásticas de la estructura. COMSOL. fuente de mi inspiración. viga o pórtico con la matriz de transformación de coordenadas con su respectiva demostración y su aplicabilidad para cada elemento. En el capítulo 1 se exponen los conceptos generales del método así como la matriz de rigidez para cada tipo de elemento sea armadura. continua y variable.1 Matriz de rigidez local 1.1.3 Matriz de rigidez global de los elementos 18 CAPÍTULO 2 19 CERCHAS 19 2.2 Elemento tipo viga 1.1 Ejercicio 1.7 Índice de contenido CAPÍTULO 1 9 CONCEPTOS GENERALES 9 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados 2. 59 3. Cercha rectangular con elementos inclinados 19 38 CAPÍTULO 3 59 VIGAS 59 3.3 Elemento tipo pórtico 9 9 11 13 1.1. Viga de dos luces y sección en voladizo 72 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1 Elemento tipo cercha 1. Viga de tres luces con cargas puntual.2 Ejercicio 2.2 Matriz de transformación de coordenadas 15 1.1.2 Ejercicio.1 Ejercicio. 77 4.2 Ejercicio 5. 112 5. 96 CAPÍTULO 5 111 INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS 111 5. 179 APÉNDICE A 197 Momentos de empotramiento en vigas 197 BIBLIOGRAFIA 198 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en el reglamento NSR-10. 153 5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado.8 CAPÍTULO 4 77 PÓRTICOS PLANOS 77 4.1 realizado en sap2000 versión académica 131 5.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una columna. 1.1 Matriz de rigidez local 1.1-a.1.1 Elemento tipo cercha Un elemento tipo cercha (Fig. Excel. Para el elemento mostrado a continuación la matriz de rigidez será la presentada en la figura 1. viga y pórtico con la representación de los grados de libertad para cada elemento.1-a) solo presentará fuerzas axiales internas siempre y cuando las cargas externas sean aplicadas en los nudos de la cercha y los apoyos sean rotulados para que no se desarrollen momentos flectores. Para el completo entendimiento de la metodología presentada es necesario tener conocimientos previos de álgebra matricial y el manejo de a lo sumo un programa donde se puedan operar eficientemente matrices como Matlab. entre otros. Scilab.1-b.1. 1. Mathcad. Se incluye la matriz de transformación de coordenadas locales a globales con su respectiva demostración la cual se utilizará en la resolución de los diferentes ejercicios. Elemento tipo cercha Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 1.9 Capítulo 1 CONCEPTOS GENERALES Este capítulo presenta la matriz de rigidez local de los elementos planos tipo cercha. 1.1. Elemento tipo cercha con los gdl representados numéricamente Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1.1.1-c.1-c. solo consideración axial Dónde: A: es el área de la sección transversal del elemento E: módulo de elasticidad del material L: longitud del elemento Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto. la numeración de los grados de libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se representan de manera numérica (Figuras 1.10 X1 Y1 0 0 0 X2 0 Y2 0 X1 0 Y1 0 X2 Y2 [k]= - 0 0 0 0 0 1 2 3 4 Figura 1. Figura 1.1-b.1. Matriz de rigidez para un elemento tipo Cercha.1-d).1. 1. 2-a) sin consideración de la rigidez axial será la presentada en la figura 1. Figura 1.1. 1.1.1-d.2 Elemento tipo viga La matriz de rigidez de un elemento viga (figura 1.1.1.1. Matriz de rigidez de un elemento tipo cercha Representado por los grados de libertad numéricamente.2-a.11 Figura 1.2-b. Elemento tipo viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto se trabajaran los grados de libertad de manera numérica en coordenadas locales del elemento (figuras 1. Dónde: Iy: es el momento de inercia de la sección transversal del elemento con respecto al eje y. La matriz mostrada en la Figura 1.2-b. para este sistema de referencia.1.2-c.1.2-d.12 Z1 Y1 Z2 Y2 - Z1 - Y1 [k] = - - - Z2 Y2 Figura 1. Figura 1. solo sería aplicable para vigas sin el estudio de la rigidez axial.2-d). En caso de tener cargas inclinadas sobre la viga y se desean conocer la fuerzas axiales se utiliza la matriz de rigidez de un elemento pórtico que si involucra esta variable. la principal solicitación para estos elementos es a cortante y flexión. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin consideración axial ni aportes de cortante.1. 1. Elemento tipo viga representado numéricamente Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1.2-c.1. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin consideración axial ni aportes de cortante representada numéricamente 1.3-a) sin la consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 1. Elemento tipo pórtico. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1.1. Figura 1.3-b.1.2-b.13 1 2 3 4 - 1 - 2 [k] = - - - 3 4 Figura 1.1.3-a.3 Elemento tipo pórtico La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1.1. 3-d.1.14 X1 [k] Z1 Y1 0 0 X2 - Z2 Y2 0 0 X1 0 0 - Z1 0 0 - Y1 = 0 0 0 - 0 - 0 - 0 0 0 - X2 Z2 Y2 Figura 1.1. Elemento tipo pórtico representado numéricamente Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .3-b. Figura 1.3-c y 1.3-c.1. Para facilitar las operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas locales del elemento como se aprecia en las figuras 1.1. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la consideración de aportes de cortante Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas. 15 1 [k] 2 3 0 0 4 - 5 6 0 0 1 0 0 - 2 0 0 - 3 = 0 0 0 - 0 - 0 - 0 0 0 - 4 5 6 Figura 1.2-a. Tx= Tx’cos Ɵ – Tz’sen Ɵ Tz= Tx’sen Ɵ + Tz’cos Ɵ Figura 1. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la consideración de aportes de cortante representada numéricamente 1. Y y Z.2 Matriz de transformación de coordenadas La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales establecidas X.1. se dará uso de la matriz de transformación de coordenadas obtenida de la figura 1.2-a. por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de cada elemento al global.3-d. Para este fin. Rotación del sistema coordenado local a global Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 16 Matricialmente se obtiene Tx cosƟ -senƟ Tx' senƟ cosƟ Tz' = Tz Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del sistema. Tx cosƟ -senƟ 0 Tx' Tz = senƟ cosƟ 0 Tz' 0 1 ɸ ɸ 0 Despejando en coordenadas locales. de esta manera se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad (caso elemento de pórticos). resulta -1 Tx' Tz' ɸ = cosƟ -senƟ 0 Tx senƟ cosƟ 0 Tz 0 0 1 ɸ Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . se concierne que el giro del eje local coincide con el global. la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo pórtico mostrado en la Figura 1.2-b. será: Tx1' cosƟ senƟ 0 0 0 0 Tx1 Tz1' -senƟ cosƟ 0 0 0 0 Tz1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosƟ senƟ 0 Tx2 Tz2' 0 0 0 -senƟ cosƟ 0 Tz2 ɸ2' 0 0 0 0 0 1 ɸ2 ɸ1' Tx2' = * ɸ1 Figura 1.17 Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema Tx' cosƟ senƟ 0 Tx Tz' = -senƟ cosƟ 0 Tz 0 1 ɸ ɸ 0 Locales Matriz de rotación Globales Matriz de rotación Por lo tanto.1. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento tipo pórtico Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .3-a. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento tipo cercha Para los elementos tipo viga la matriz de rigidez local coincidirá siempre con la global ya que este tipo de elementos por lo general no tienen inclinación. Tx1' Tz1' Tx2' = cosƟ senƟ 0 0 -senƟ cosƟ 0 0 0 0 cosƟ senƟ 0 0 -senƟ cosƟ Tz2' Tx1 * Tz1 Tx2 Tz2 Figura 1.2-c.2-c. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 1. es decir el ángulo será igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar la matriz de transformación de coordenadas.3 Matriz de rigidez global de los elementos La matriz de rigidez global de un elemento está dada por: K global= [T’]*[K local]*[T] Dónde: [T]: es la matriz de rotación del sistema [T’]: es la transpuesta de T [k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio.18 La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será el presentado en la figura 1. Considere A=1 cm2 y E=200 000 MPa. Determine el desplazamiento horizontal y vertical en el punto D y la fuerza interna del elemento AC.0001 m2 E=200 000 000 kPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Cercha asimétrica con elementos inclinados Para la cercha mostrada en la figura 2. Resolución: Propiedades de los elementos A=0.19 Capítulo 2 CERCHAS 2.1-a. Figura 2.1-a.1 Ejercicio 1. 20 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha La numeración de los grados de libertad en una estructura será arbitraria. pero los que estén asociados a las restricciones cinemáticas (reacciones).1-b. deberán estar agrupados preferiblemente al inicio o al final de la numeración para facilitar el desarrollo de las operaciones matriciales. Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 2. 56° Elemento 4 0.47 116.00010 4. Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha La matriz de rigidez local de un elemento cercha expresando sus grados de libertad numéricamente como se expresó en capítulo 1.43° Elemento 3 0.12 75.00010 2.83 135° Elemento 2 0.00 90° Elemento 5 0.96° Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo hasta el eje local longitudinal positivo del elemento (anti horario).21 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha Área (m2) L (m) ángulo Elemento 1 0.00010 4.00010 2.00010 2. está dada por 1 2 0 0 0 3 0 4 0 1 0 2 0 3 4 [k]= 0 0 0 0 0 1 2 3 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .24 63. 83 m A= 1.36 rad ?? ?.36 rad).22 Donde A: es el área de la sección transversal del elemento E: módulo de elasticidad del elemento L: longitud del elemento Remplazando los valores de área. ??? ??/? ? Asociando la rigidez a axial (EA/L) en kN/m a la Matriz de rigidez en coordenadas locales presentada en la figura 1. ????? ∗ ??? ??? ??? = ? ?.00 ° Ѳ= 2. Elemento 1 Angulo de rotación 135° (2.1-d resulta: Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . E= 200000000 kpas L= 2. ?? ?? = ???? .0 cm2 A= 0.0001 m2 Ѳ= 135. longitud y módulo de elasticidad de los elementos se obtiene la matriz de rigidez local de los elementos.1. 71 0.14 0 1 0 0 0 0 2 -7072.14 0 -7072.71 -0.71 0 0 -0.71 Realizando la operación matricialmente K global = [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 135°). se obtiene cosƟ [T] = senƟ 0 0 -senƟ cosƟ 0 0 cosƟ senƟ 0 0 0 0 -senƟ cosƟ Se obtiene [T]= -0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .71 0.14 0 3 0 0 0 0 4 La numeración representa los grados de libertad locales descritas en el primer capítulo.71 -0.” ya que el elemento fue girado”. la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la Figura 2. Para un Angulo de rotación de 135° medido desde el eje global X positivo al eje longitudinal del elemento (antihorario) y sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas para un elemento cercha.14 0 7072.71 0 0 -0.71 0 0 0 0 -0.1-b.23 [ k1 ] = 1 2 3 4 7072. 07 -3536.07 3536.07 3536.07 4 [T'][k][T] = 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Matriz de rigidez global del elemento 1 en kN/m resulta Locales 1 2 3 4 Globales 5 6 3 4 Globales Locales 3536.07 6 2 -3536.07 3 3 3536.07 5 1 -3536.07 3536. por que los grados de libertad 3 y 4 permanecen igules en la matriz global y la forma en que opera la matriz de rotación del sistema resuelta en el primer capítulo.07 3536.07 -3536.07 -3536.07 3536.24 En la siguiente ilustracion se puede apreciar la correspondencia de los grados de ibertad locales y globales.07 -3536.07 -3536.07 3536.07 -3536. 0 4 Matriz de rotación para 63.0 0.0 0.54 0.00 0.0 0.0 1 0.43° (2.894 0.447 0.447 0.0 0. E= 200000000 kpas L= 2.54 0.894 0.36 rad).447 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 2 -8944.0 0.54 0.0 0.0 cm2 A= 0.24 m A= 1.00 0.25 Elemento 2 Angulo de rotación 63.447 0.0 -0.43 ° Ѳ= 1.00 8944.00 0.0 3 0.0 -0.0 0.894 0.00 -8944.0001 m2 Ѳ= 63.54 0.0 0.0 0.43° [T]= 0.11 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales kN/m será [ k2 ] = 1 2 3 4 8944.894 0. 27 0.00 0.28 7155.00 4472.02 2 Elemento 3 Angulo de rotación 116. E= 200000000 kpas L= 4.00 -4472.00 2 -4472.47 m A= 1.53 -3578.00 0.28 -7155.02 6 -1789.00 0.28 7155.53 -3578.03 rad).00 0.03 rad Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 4472.56° (2.28 -1789.27 0.00 1 0.00 0.02 3578.27 0.53 3578.53 3578.0001 m2 Ѳ= 116.26 Matriz de rigidez global del elemento 2: K [K2] = global= [T’]*[K local]*[T] 5 6 1 2 1789.56 ° Ѳ= 2.00 0.28 -7155.28 1789.0 cm2 A= 0.02 -3578.00 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .27 0.28 5 3578.28 1 -3578.00 3 0. 67 3578.67 -894.67 3 1788.67 -3578.00 ° Ѳ= 1.14 1788.57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0. E= 200000000 kpas L= 2.0 -0.894 -0.67 894.447 0.14 -1788.14 -1788.894 0.67 3578.27 Matriz de rotación para 116.00 m A= 1.0 0.0 -0.57 rad).13 8 -894.13 -1788.67 -3578.0 cm2 A= 0.0001 m2 Ѳ= 90.0 0.13 1788.0 0.0 -0.894 -0.447 0.0 0.67 -1788.894 0.56° [T]= -0.14 1788.447 Matriz de rigidez global del elemento 3 en kN/m [K3] = 7 8 3 4 894.13 7 4 Elemento 4 Angulo de rotación 90° (1.447 0. 0 0.0 10000.0 0.0 0.00 0 10000.0 0.0 0.0 0.0 10000.0 0.0 -1.0 0.0 1.0 Matriz de rotación para 90° [T]= Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 4 en kN/m [ K4 ] = 7 8 5 6 0.0 0.0 6 7 -10000.0 -1.0 0.00 0 1 0 0 0 0 2 -10000.0 -10000.0 0.28 Matriz de rigidez local en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 10000.0 5 0.00 0 -10000.0 0.0 0.00 0 3 0 0 0 0 4 0.0 0.0 0.0 8 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0. 00 4 0.00 -4850.00 0.0 0.00 1 0.96° [T]= Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 -0.00 2 -4850.29 Elemento 5 Angulo de rotación 75.0001 m2 Ѳ= 75.00 4850.0 0.33 rad).970 0.243 0.84 0.00 0.00 3 0.33 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 4850.0 cm2 A= 0.0 0.84 0.0 0.0 0. E= 200000000 kpas L= 4.243 0.00 0.243 0.00 0.970 0.96 ° Ѳ= 1.0 -0.84 0.970 0.12 m A= 1.96° (1.84 0.243 Matriz de rotación para 75.0 0.00 0.00 0.970 0. 37 -1141. 7 e5 K 8.00 + 0. es decir matriz de K8x8.00) + 1141.30 Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 5 en kN/m [ K5 ] = 7 8 1 2 285.43 4565.46 2 Matriz de rigidez de la cercha Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura. 5= 0.24 kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . por lo tanto se suma la rigidez que aporta cada elemento de su matriz de rigidez global. 5= K 8.37 1141.0) + (3578) K1. Ejemplo: e1 e2 K1.46 -1141. 5 K 8.00 + 0. 7 e1 + K 8.67) + (0.2 K1.0) + + e4 K1.43 K 8.37 1141. 7 e2 + K 8. 7= -647.00 e4 e5 + K1.46 1141.00 K 8. 7 e3 + K 8. 5 + 0.00 + (-1788.2 (0. se tendrá en cuenta que la rigidez concentrada en un nodo es la suma de las contribuciones de la rigidez de todos los elementos estructurales conectados a tal nodo.43 4565.00 kN/m e2 + + e3 K1.00 K 8.2 (0.2= (0.46 8 -285.00 + 0.43 -285. 7= K 8. 5= 0. 7= 0.2= 4720 kN/m K 8.43 285.43 1 -1141.43 -4565. 5 e3 + K 8.0) + K 8.37 -1141.43 -4565. al final esta será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de libertad establecidos en la numeración de la estructura.43 7 1141.2= (K1. 5 e5 + 0.2) + K1.2 + (1141) + K 8. 7 e4 + K 8. 5 e1 + K 8. 5 2 0.1 -3536.6 42.1 1788.7 11720.7 3 0.0 -3578.6 8 Los grados de libertad entre 1 y 4.0 -1789.5 -3578.1 3536.0 4430.1 3536.31 De esta manera se suman todas las rigideces que aportan cada elemento y se ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura.5 -3578. las fuerzas Bx.5 0.7 0.0 6 -285.7 0.4 -4565.2 -5324.7 -3578. están asociados a las fuerzas desconocidas de la cercha y sus desplazamientos serán 0.5 1788. la matriz esta en unidades de kN/m. y corresponden a las reacciones.5 -647.7 -3536. Matriz de rigidez global de la cercha [ Ke ] = 1 2 3 4 5 6 7 8 2074.3 -285.9 4719.0 -5324.3 -7155.0 0.0 0.2 7 -1141.1 4 -1789.0 -10000.3 -3536.1 -3536. Vector de fuerzas actuantes en la cercha (F) en kN gdl fuerzas 1 Bx 2 By Fuerzas Desconocidas 3 Ax (Reacciones) 4 Ay 5 0 6 0 7 0 8 -90 Fuerzas Conocidas Solo en el grado de libertad 8 existe una fuerza externa. Ax y Ay son desconocidas. por lo tanto los otros grados de libertad donde se presentaran desplazamiento no hay fuerzas externas.1 1788.4 -4565.0 0.0 0.7 7114.0 -10000.3 -7155.2 20691.0 -647.7 -3578.4 1 4719.0 5 -3578.0 0.4 -1141.4 -894.1 0.2 0.2 18143. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1 0. By.1 1788.0 0.1 5325.0 3536.0 -1141.1 -894.2 3536.0 1179.4 -1141.1 42. 0 4 U5 5 U6 6 4719.0 1 0.1 0.1 5325.0 0.2 18143.4 K0t K00 Figura 2.7 3 U0.0 5 -3578.0 4430.1-c.5 1788.3 -7155.5 2 2 0.2 -5324.3 -285.4 0.0c 0.7 -3578.0 0.9 4719.4 -894.3 -3536.2 3536.1 3536.1 1788.1 42.5 -3578.1 -3536.32 Vector de desplazamientos Se sabe que La rigidez (K) está dada por: ?= Donde F es la carga y U el desplazamiento elástico que produce dicha carga.1 0.0 0.1 -3536.0 -4565.1 4 0.1 -894.1 1788.7 0.0 1179.0 6 -1141.0 -1789.4 -1141.0 = Fc [U] 1 Ktt 11720.7 7114.2 7 UUd 7 7 -4565.0 -5324. ? ? La matriz de rigidez global de la cercha está estructurada como se muestra en la figura 2. Representación general de la matriz de rigidez global de la estructura Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .4 -1141.5 -647.4 1 0.0 -10000.2 0.1 3536. conforme a la distribución de los grados de libertad establecidos en la discretización Fuerzas Rigidez F desconocidas Desplazamientos Ktt Kt0 0 K0t K00 U = F conocidas Representado la ecuación F=K*U con los esquemas matriciales del ejercicio resulta gdl fuerzas 1 Bx 2 By 3 Ax 4 Ay 5 0 6 0 7 0 8 -90 Fd 2 3 4 5 6 7 8 2074.0 x 3 -1789.7 -3536.0 -3578.5 Kt0 -1141.0 0.5 -3578.0 -647.1-c.6 8 U8 8 -285.6 42.7 -3578.1 1788.0 3536.2 20691.7 0.3 -7155.0 0.0 -10000.7 0. 2 Despejando los desplazamientos desconocidos (Ud) de la ecuación 2. [K00]= 5 6 7 8 5325.08 0.33 Resolviendo la matriz.00 6 0.00 1179. 1 0 FC = [K0t] [0] + [K00][Ud] FC= [K00][Ud] ecu.00 -647.00 0.00 -10000.60 8 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .51 -647.21 0.59 42. se obtiene 0 Fd = [Ktt] [Uc] + [Kto] [Ud] Fd= [Kto][Ud] ecu.21 20691.24 7 0.00 0.00 -10000.00 5 42.24 18143. Se obtiene: [Ud] = [K00]-1[FC] (Desplazamientos para las fuerzas conocidas) Y las fuerzas desconocidas (Reacciones) serán la aplicación de la ecuación 1 [Fd]= [Kt0] [Ud] (Reacciones de la estructura) Se sustrae la sub matriz de rigidez donde están asociadas las fuerzas conocidas (K00) para calcular los desplazamientos que estas producen en la cercha aplicando la ecuación anterior. 00004236 0 7 -0.00003731 Fc gdl 0 5 0 6 X -0.00006636 0.00002047 0.00003731 0.00007719 -90 8 Resolviendo matricialmente se obtiene: U5= U6= U7= U8= 0.00000030 0.0038120 m -0.00000030 [U]= -0.00003731 6 -0.00002047 0.00000030 0.00004236 0.00000016 -0.00000053 0.00003731 0.00000053 -0.00007719 8 = Los desplazamientos generados por las fuerzas externas aplicadas sobre la cercha serán: [U]= [K00]-1 [P] 5 6 7 8 0.00087105 0.00000053 -0.81 mm H ◄ U8=-0.0038120 m ≈ 3.00018778 -0.00000016 0.00000030 5 [K00] -1 -0.947 mm V ▼ Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00000016 -0.00004236 0.00006636 0.00087105 0.0000266 m -0.00002047 0.0069469 m ≈ 6.0033575 m -0.00018778 -0.00004236 7 -0.00000016 0.00000053 0.0069469 m El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo D será: U7=-0.00002047 0.34 Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 5 6 7 8 0. U5= U6= U3= U4= 0. Deformada de la cercha debido a la aplicación de la carga de 90 kN en el nodo D.00335751 m 0 0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .35 Figura 2.1-c.00002661 m -0. Fuerza interna del elemento AC Se sustraen los desplazamientos globales del elemento AC (elemento 1) teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad. 36 Es necesario conocer los desplazamientos locales del elemento para determinar su fuerza axial interna, así como establecer si el elemento está sometido a esfuerzos de tracción o compresión, para lo anterior se multiplica matricialmente la matriz de rotación del elemento por los desplazamientos globales calculados, de esta manera se obtiene [U Locales]= [T]*[U Globales] Donde la matriz de rotación “T” es cosƟ [T] = senƟ 0 0 -senƟ cosƟ 0 0 cosƟ senƟ 0 0 0 0 -senƟ cosƟ Se establece la operación matricial [U] = u1= u2= u3= u4= -0,707 0,707 0,000 0,000 -0,707 -0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,707 0,707 0,000 0,000 -0,707 -0,707 -0,002393 0,002355 0,00000 0,00000 m m m m X Ug gdl 0,000027 5 -0,003358 6 0,000000 3 0,000000 4 Estos son los desplazamientos locales del elemento 1. Para obtener la fuerza axial interna del elemento se parte de la hipótesis principal del método, donde la rigidez es igual a una fuerza F sobre el desplazamiento elástico que esta produce. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 37 ?= F U F = [K local]* [U local] (elemento 1). Se obtiene [f]= UL gdl -0,002393 1 0,002355 2 7072,14 0,00 -7072,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -7072,14 0,00 7072,14 0,00 0,000000 3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000000 4 X Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza interna del elemento: Bx= -16,92 kN By= 0 kN Ax= 16,92 kN Ay= 0 kN Teniendo en cuenta que los valores obtenidos anteriormente corresponden a la fuerza interna del elemento en sus coordenadas locales se determina el tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento, en este caso son de tensión, ya que f1 es negativo es decir actúa en dirección contraria a la supuesta inicialmente, mientras que f3 es positiva como se observa en la figura 2.1-d, como se esperaba las fuerzas f2 y f4 serán cero porque es la funcionalidad de este tipo de elementos. Figura 2.1-d Fuerza axial del elemento será 16,92 kN (Tensión) Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 38 2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados Para la cercha mostrada en la figura 2.2-a. Determine el desplazamiento vertical en el nudo C y la fuerza interna del elemento BF, Considere A=1.27 cm2 y E=200 000 MPa. Figura. 2.2-a Resolución: Propiedades de los elementos A=0,000127 m2 E=200 000 000 kPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 00 0 Elemento 8 0.000127 1.000127 1.20 90 Elemento 2 0.194 Elemento 5 0.44 56.56 50.20 90 Elemento 4 0. Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha Area (m2) L (m) Angulo Elemento 1 0.20 90 Elemento 6 0.80 0 Elemento 9 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .000127 0.1-b.000127 0.00 0 Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo al eje longitudinal del elemento.000127 1.000127 1.000127 1.000127 1.80 0 Elemento 7 0.000127 1.39 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha Figura 2.309 Elemento 3 0. 00 21166.67 0.40 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1.00 -21166.270 cm2 A= 0.00 0.67 0.57 rad ?? ?. ?????? ∗ ??? ??? ??? = ? ?.00 0.0001270 m2 Ѳ= 90.00 0.0 0. ? Por lo tanto la rigidez axial del elemento 1 será: ?? = ?? ???.0 3 0. ?? ??/? ? Sustituyendo el valor en la Matriz de rigidez local en kN/m se obtiene [ k1 ]= 1 2 3 4 21166.0 0.0 0.67 0.0 1 0.57 rad).0 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 ° Ѳ= 1.20 m A= 1. E= 200000000 kpas L= 1.0 2 -21166.67 0. 309 ° Ѳ= 0.00 3 21166. [T]= 0.000 0.0001270 m2 Ѳ= 56.67 4 Elemento 2 Angulo de rotación 56.98 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.309° (0.67 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 1.000 -1.000 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K1 ]= 1 2 3 4 0.57 rad).67 2 0.67 0.270 cm2 A= 0.00 0.000 1.00 -21166.00 21166.000 0.00 0.00 0.00 0.000 0.98 rad).00 1 -21166.000 0.00 0.000 -1.000 0.000 0.00 0. E= 200000000 kpas L= 1.41 Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 90° (1.000 0.4420 m A= 1. 84 5420.000 0.832 0.000 -0.84 5 12194.84 1 -12194.0 3 0.09 -8129.832 0.84 -5420.0 0.000 0.42 0. [T]= 0.42 Matriz de rigidez local en kN/m [ k2] = 1 2 3 4 17614.0 1 0.42 0.000 0.34 -8129.09 -8129.84 12194.34 2 8129.0 0.000 -0.84 8129.555 0.000 0.309° (0.84 -5420.00 0.555 0.000 0.0 4 Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 56.09 -8129.832 0.0 0.555 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K2] = 1 2 5 6 5420.00 -17614.832 0.09 8129.00 0.84 -12194.34 8129.000 0.34 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .98 rad).00 17614.00 0.42 0.42 0.555 0.0 2 -17614. 67 0.0 0.43 Elemento 3 Angulo de rotación 90° (1.0 0.57 rad Matriz de rigidez local del elemento en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 21166.0 2 -21166.0 1.0 -1.0 0.0 0.000 ° Ѳ= 1.0 -1.2000 m A= 1.00 0.0 4 Matriz de rotación del elemento para 90° [T]= 0.0 0.67 0.00 -21166.0 3 0.57rad).0 1 0.00 21166.00 0.0 1.0 0.0001270 m2 Ѳ= 90.0 0.67 0.0 0.67 0.0 0. E= 200000000 kpas L= 1.0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.270 cm2 A= 0.0 0.0 0.0 0.00 0.0 0. 5620 m A= 1.20 0.00 0.20 0.00 0.19° (0.20 0.20 0.0 2 -16261.0 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 -21166.00 0.0 0.00 16261.67 0.67 12 0.67 0.00 -16261.0 1 0.00 0.0 3 0.00 5 21166. E= 200000000 kpas L= 1.00 0.00 0.0001270 m2 Ѳ= 50.00 0.44 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K3 ] = 11 12 5 6 0.0 0.88 rad Matriz de rigidez local del elemento en kN/m [ k4] = 1 2 3 4 16261.00 0.00 0.67 6 Elemento 4 Angulo de rotación 50.00 0.194 ° Ѳ= 0.00 0.0 0.00 21166.00 11 -21166.88 rad).270 cm2 A= 0. 34 6664.34 -9596.640 0.000 0.34 -9596.55 -7997.66 8 Elemento 5 Angulo de rotación 90° (1.55 7997.34 -6664.55 7997.768 0.19° [T]= 0.640 0.45 Matriz de rotación del elemento a 50.000 ° Ѳ= 1. E= 200000000 kpas L= 1.57 rad).2000 m A= 1.768 0.640 Matriz de rigidez global en kN/m [ K4] = 11 12 7 8 6664.66 7997.000 -0.000 -0.000 0.55 -7997.57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0001270 m2 Ѳ= 90.34 11 7997.768 0.34 9596.270 cm2 A= 0.000 0.34 9596.66 12 -6664.34 7 -7997.768 0.000 0.640 0.000 0.000 0.66 -7997. 0 3 0.0 0.0 0.0 1 0.0 0.67 0.0 0.0 0.0 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K5 ] = 9 10 7 8 0.0 1.0 0.0 -1.0 0.00 0.0 0.0 4 Matriz de rotación del elemento a 90° [T]= 0.0 21166.0 0.7 0.0 0.00 0.7 0.7 8 9 10 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .67 0.0 0.0 21166.0 0.0 0.67 0.0 0.0 7 0.0 2 -21166.46 Matriz de rigidez local en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 21166.0 0.0 0.0 0.00 -21166.0 1.00 21166.0 0.0 0.7 0.0 -21166.0 -1.0 0.00 0.0 0.67 0.0 -21166. 0001270 m2 Ѳ= 0.0 0.0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 31750.00 0.0 0. multiplicando matricialmente por la matriz de rigidez local del elemento se obtendrá la misma matriz de rigidez local.0 1.0 0.0 -31750.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0. como no hay rotación del elemento la matriz de rotación tendrá solo el valor de uno en su diagonal (matriz identidad).00 -31750.8000 m A= 1.0 0.0 0.0 0.270 cm2 A= 0.00 0.0 0.00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k6 ] = 1 2 3 4 31750.0 0.0 0.47 Elemento 6 Angulo de rotación 0° (0 rad).000 ° Ѳ= 0.0 1.0 1.0 0.0 0.00 0.00 0. [T]= 1.00 0. E= 200000000 kpas L= 0.0 0.0 1 2 3 4 Matriz de rotación.0 0.00 0. 00 0.00 0.0001270 m2 Ѳ= 0.0 4 Elemento 7 Angulo de rotación 0° (0 rad).00 5 0.00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k7 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 3 0.00 25400.0 0.0 0.00 0.00 -31750.0 2 -25400.00 4 -31750.00 0.00 0.00 0.000 ° Ѳ= 0.0 1 0.00 0.48 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K6 ] = 3 4 5 6 31750.00 0.00 0.00 0.270 cm2 A= 0.0 0.00 0.00 31750.00 0.00 0.0 3 0.00 0. E= 200000000 kpas L= 1.00 -25400.00 0.0000 m A= 1.00 6 1 2 3 4 25400.00 0.00 0. 000 0.00 0.000 0.000 0.000 ° Ѳ= 0.00 0.000 0.000 Matriz de rigidez global del elemento en kN/m [ K7 ] = 5 6 7 8 25400.00 0.000 1.00 5 0.000 0.000 1.00 7 0.0001270 m2 Ѳ= 0.000 0.000 1.000 0.49 Matriz de rotación del elemento para 0° [T]= 1.00 0.000 0.000 0.00 0.00 0.00 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.000 0.00 8 Elemento 8 Angulo de rotación 0° (0 rad).000 0. E= 200000000 kpas L= 0.000 0.00 -25400.00 6 -25400.00 0.8000 m A= 1.00 25400.00 0.270 cm2 A= 0.00 0. 00 12 [T]= Matriz de rigidez global en kN/m [ K8 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.0 2 -31750.00 0.00 0.0 0.0 3 0.00 0.00 0.00 0.0 0.0 0.00 31750.00 1 0.00 0.00 0.0 0.00 0.0 4 Matriz de rotación del elemento para 0° 1.00 0.0 0.00 0.00 31750.0 1.50 Matriz de rigidez local en kN/m [ k8 ] = 1 2 3 4 31750.0 0.00 11 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.00 0.0 1.0 1 0.0 0.0 1.0 0.00 2 -31750.0 0.0 0.0 0.0 0.00 -31750.0 1 2 11 12 31750.00 -31750.00 0. 0 0.0 0.51 Elemento 9 Angulo de rotación 0° (0 rad).000 0.000 1.000 0.0 25400.0 2 -25400.000 0.0 4 1.00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k9 ] = 1 2 3 4 25400.0 0.0 0.000 0.0 0.000 0.000 Matriz de rotación para 0° [T]= Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.000 0.000 0.0 0.000 1.0 0.0001270 m2 Ѳ= 0.000 0.270 cm2 A= 0.000 ° Ѳ= 0.0000 m A= 1.0 0.000 0.000 1.000 0. E= 200000000 kpas L= 1.0 -25400.000 0.0 3 0.0 0.0 1 0.000 0. 0 0.7 0.0 0.0 0.3 0.0 0.00 0.3 -9596.8 33361.0 0.0 -25400.52 Matriz de rigidez global en kN/m [ K9 ] = 11 12 9 10 25400.7 0.0 0.0 1 8129.0 0.00 0.0 -21166. [KE]= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37170.3 0.5 7997.0 9 0.0 0.0 0.0 0.7 -8129.0 -21166.0 -6664.0 -5420.0 25400.0 0.0 0.3 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 4 -5420.3 7 0.0 -21166.0 0.7 -7997.0 0.00 0.0 32064.0 62570. se ensambla de igual manera como efectuó para el ejercicio 1.0 -21166.0 -21166.0 0. sumando los aportes de rigidez global de cada elemento a los nodos de la misma.0 7997.0 0.0 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.8 -12194.3 11 0.1 -8129.0 0.5 -7997.00 -25400.0 0.0 0.8 -31750.8 0.0 0.0 0.0 0.0 7997.0 0.0 0.00 11 0.0 0.00 0.0 0.1 8129.7 0.0 0.1.0 5 -8129.0 0.00 10 Matriz de rigidez global de la cercha (kN/m) La matriz de rigidez de toda la cercha o armadura.0 0.0 0.0 0.0 0.1 -8129.0 0.0 -31750.00 9 0.5 7997.0 0.0 31750.0 0.0 0.0 0.3 0.7 0.0 0.3 0.0 0.8 -25400.0 0.8 -12194.3 30763.0 0.00 12 -25400.0 0.3 -9596.0 0.3 30763.0 0.0 2 0.0 -25400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 8 0.0 0.5 -7997.0 0.0 63814.1 8129.0 0.0 0.00 25400.0 0.0 -21166.0 8129.7 0.0 0.8 33361.8 0.0 0.00 0.0 21166.3 -25400.0 0.7 -7997.00 0.0 -6664.0 0.0 0.0 10 -31750.0 0.00 0.0 0.0 0.00 0.00 0.0 0.0 0.0 0.7 6 0.0 3 0.0 0.0 0.0 -31750.0 0.0 21166. los cuales estarán dados por: [U]= [K00]-1 [FC] Fc: son fuerzas conocidas Se sustrae la sub matriz de rigidez (K00) que asocia las fuerzas externas conocidas y los desplazamientos desconocidos (ver figura 2.1). en la dirección de la gravedad. Vector de desplazamientos Para obtener los desplazamientos se aplica el procedimiento del ejercicio anterior. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . en nuestro sistema de referencia será negativo.53 Vector de fuerzas actuantes gdl Fuerzas 1 Ax 2 Ay 3 Bx 4 By 5 0 6 -15 7 0 8 -10 9 0 10 -15 11 0 12 0 El vector describe las fuerzas externas que actúan sobre la estructura y el grado de libertad asociado a esa fuerza.1-c del ejercicio 1. por ejemplo en el grado de libertad vertical No 8 actúa 10 kN. 00003 0.00010 -0.00 -21166.000000 -0.00011 0.000021 0.000080 0.00016 0.000021 0.00000 11 -0.00040 0.00 -21166.00008 0.32 12 [K00]= Obteniendo la inversa de la matriz Kc: [KOO ]-1= 5 6 7 8 9 10 11 12 0.00002 0.00000 -0.000114 0.000000 0.00008 0.000000 9 -0.000080 0.00 63814.00003 -0.00 32064.00000 0.00 0.00005 0.00000 0.00000 0.55 7997.000021 0.00005 0.00002 0.000161 8 -10 8 0 9 X 0.000354 0.55 -7997.000161 0.000114 -0.000026 0.000096 6 -15 6 0.00016 8 0.000031 -0.000000 0.00003 0.000000 0.000047 0.00000 9 -0.00003 0.00000 -0.00 0.000096 -0.54 5 6 7 8 9 10 11 12 62570.000000 -0.00 0.000354 0.00000 0.00 0.00 0.000000 -0.67 0.000080 0.00003 0.00 0.000021 5 0 5 -0.000031 -0.00 0.000047 0.00 0.00 0.00 9 0.000026 0.000114 -0.000000 0.000026 0.000000 0.000026 0.00000 0.00 0.000000 11 0 11 -0.00 -21166.09 8129.00003 0.34 7 0.67 0.84 33361.00 21166.34 -9596.00002 0.00014 12 Los desplazamientos generados por las fuerzas actuantes en la estructura estarán dados por: [U]= [KOO]-1 [FC] [U]= Fc 5 6 7 8 9 10 11 12 0.00011 -0.000047 0.000161 10 -15 10 0.00 0.00 0.00002 0.000021 0.00 0.00035 0.000401 0.00005 0.00 0.55 -7997.00003 0.32 0.00003 -0.00010 6 0.34 -25400.000026 0.00002 7 -0.00010 -0.000071 -0.00007 -0.000026 0.00007 0.000071 0.34 30763.000000 0.00011 -0.000000 -0.00000 0.00 -6664.000031 -0.00011 0.00016 0.00003 0.00003 0.55 7997.00 5 8129.000161 0.67 -7997.34 0.00008 0.00 0.00003 0.000031 0.00 -6664.000143 12 0 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .34 11 0.000000 0.000114 0.00035 0.00016 10 0.00 0.00 0.000000 0.000031 0.00 0.00 7997.00003 0.00003 -0.00 7997.00 -21166.00000 0.00005 0.00000 0.000047 0.00000 0.000096 -0.000000 0.00 -25400.000080 0.67 6 -25400.00 25400.67 -7997.000021 7 0 7 -0.00002 0.00000 -0.000026 0.00 0.00000 0.34 -9596.00 0.00003 0.00 0.000026 0.00035 0.66 0.00002 0.00 0.00002 5 -0.00 0.00 0.00008 0.84 -25400.000021 0.000031 0.00000 -0.000000 0.66 8 0.000021 0.000354 0.34 30763.00 10 0. si se conocen los desplazamientos. Deformada de la cercha debido a las cargas Calculo de las reacciones de la cercha Las reacciones se calculan igual que el ejercicio anterior.656 mm H ◄ U10= -0.000656 U12= -0.001496 U6= -0.000656 m ≈ 0.55 U5= 0.005459 m m m m m m m m El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo C será: U9= -0.20 mm V ▼ Figura 2.011250 U11= -0.004278 U7= 0. se obtiene Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .010541 U9= -0.000656 U10= -0. estos se multiplican matricialmente por la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas desconocidas (K0t) Fd= [Kt0]*[U] donde Fd son las fuerzas desconocidas (Reacciones) Aplicando la ecuación anterior.0112 m ≈ 11.2-c.002316 U8= -0. 0 0.56 [U] 0.2-d.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.01054 8 X 3 4 4x8 -0.0 0.8 0.0 -8129.00546 12 8x1 Ax= 47.0 0.0 kN Figura 2.001496 5 [F]= 5 6 7 8 9 10 11 12 -5420.1 -8129.8 -12194.0 0.0 0.0 -0.0 0.00428 6 0.0 -31750.0 0.002316 7 1 2 -0.0 0.0 0.0 0.0 0. Reacciones en los apoyos de la cercha Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .01125 10 -0.0 0.0 0.00066 9 -0.5 kN Ay= 40.0 0.3 -31750.0 0.0 0.5 kN By= 0.0 0.0 0.0 kN Bx= -47.0 0.00066 11 -0.0 0. 000 0.768 0.00461 -0. se obtiene U11= -0.640 -0.002316 U8= -0.010541 4x4 u1= u2= u3= u4= -0.768 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .000 0.000 -0.000 0.00299 -0.000 0.002316 -0.00661 -0. [U local]= [T]*[U global] De esta manera se establece la operación matricial como sigue U [ u4 local] = 0.000 -0.19° (0.005459 U7= 0.000656 X -0.640 0.57 Fuerza axial del elemento BF Sustrayendo los desplazamientos globales del elemento BF (elemento 4) y teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad.000656 U12= -0.00853 m m m m globales 4x1 Estos son los desplazamientos locales del elemento 4.005459 0.768 0.000 0.640 0.000 0.88 rad).010541 m m m m Se calculan los desplazamientos locales del elemento dando uso a la matriz de rotación para el ángulo de este elemento que es 50.640 0.768 0. 2-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 4x4 locales -0.00 0.00 0.54 kN 0.00 1 0.00461 1 -0.20 0.00 Mediante la resolución de la fuerza interna del elemento se observa que está sometido a esfuerzos de compresión. en cuanto a las fuerzas f2 y f3.00 16261.00299 2 3 -0.20 0.1-e.20 0.00 0. Figura 2. serán cero puesto que se trata de una cercha y solo se considera el aporte axial como se mencionó en el capítulo 1 de presente texto.0 -32.20 0.00661 3 4 -0.00 0.54 kN 0.00853 4 X 4x1 Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza axial interna del elemento: f1= f2= f3= f4= 32.00 0. como se observa en la figura 2.00 -16261.00 0.58 Para calcular la fuerza interna del elemento se multiplica matricialmente la matriz de rigidez local del elemento por sus desplazamientos locales respectivamente. ?= F U f = [K local]* [U local] Se obtiene la operación matricial [f 4 ]= U 1 2 3 4 16261.00 0.00 2 -16261. 1-a.1 Ejercicio.10 m2 Iy=0.001333 m4 E=20 000 000 kPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 3. Viga de tres luces con cargas puntual.59 Capítulo 3 VIGAS 3. continua y variable. Para la viga en concreto mostrada en la figura 3. encontrar las reacciones y el giro en el punto D. considere E= 20 GPa.1-a Resolución: Propiedades de la sección de la viga A=0. como se aprecia en la figura 3. al final las fuerzas actuantes serán la suma de los efectos de las cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . estas actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción.1-c. B. por lo tanto se llevaran las fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los elementos a cada nodo. La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden agrupados aquellos que no tienen restricción cinemática y los demás corresponderán a las reacciones de la viga. C y D.1-b Figura 3.1-b Discretizacion de la viga Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres elementos conectados por sus nodos A. como no existen cargas con componentes en la dirección X.60 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la viga estará sometida solo a fuerzas cortantes y flexión como se mencionó en el primer capítulo. para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los elementos y se calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la figura 3. la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero. 1-c Las fuerzas que actúan en los grados de libertad establecidos para el presente análisis son las que se presentan en la figura 3.1-d y 3. y aplicación de la estática en el elemento 3 para obtener las reacciones verticales. después de realizar la suma de los efectos debido a las cargas.1-e.1-d Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 3.61 Figura 3. 00 ° Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0013333 Ѳ= 0. L=5.62 Figura 3.25 m H 0.0 rad).000 kpas L= 5. Fuerzas actuantes en los nodos de la viga De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga.1-e.40 m A= 0. Elemento 1 Angulo de rotación 0° (0. Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen los valores de E.1000000 I= 0. Iz y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para vigas. estas actúan en la dirección opuesta a reacción idealizada.00 m B 0.00 E= 20000000.0 m E= 20000. La dirección predominante de la carga corresponde a la de mayor magnitud. 00 21333.67 -6400.00 21333.67 2 -2560.00 -2560.00 2560.00 -2560.00 6400.00 10666.00 -6400.00 2560.00 21333.00 3 6400. [ K1 ] = 1 2 3 8 2560.00 6400.00 10666.00 6400.00 -6400.67 2 -2560.00 6400.33 kN/m Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 2560. siendo directamente la matriz de rigidez local la global.63 12EIy/L3= 2560 kN/m 6EIy/L2= 6400 kN/m 2EIy/L = 10666.00 3 6400.00 21333.33 8 1 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 -6400. solo se agrega la correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga según el elemento.33 4 1 Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden.33 -6400.33 -6400.00 10666.00 6400.00 6400.67 -6400.00 -6400.67 kN/m 4EIy/L = 21333.00 10666. E= 20000.23 3 7901.85 -7901.0 rad).23 7901.50 m B 0.23 11851.70 -7901.23 23703.66 7901. Solo se realiza la correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga según el elemento.25 m H 0.00 ° Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 3511.66 7901.23 11851.1000000 I= 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .85 2 -3511.64 Elemento 2 Angulo de rotación 0° (0.66 -7901.23 3511.70 4 1 Al igual que el elemento 1.40 m A= 0.66 -7901.23 -3511.23 23703. el No 2 está alineado horizontalmente por lo tanto no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden.00 E= 20000000.000 kpas L= 4.0013333 Ѳ= 0. 37 5289.25 m H 0.23 4 7901.0 rad).70 7 3 Elemento 3 Angulo de rotación 0° (0.85 -7901.94 -5289.97 2 -1923.26 19393.26 9696.23 7901.23 23703.00 ° [ k3 ] = 1 2 3 4 1923.26 3 5289.97 -5289.40 m A= 0.66 -7901.23 3511.94 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .26 1 5289.65 Matriz de rigidez en coordenadas globales [ K2 ] = 3 8 4 7 3511.66 7901.23 11851.26 9696.23 11851.26 19393.23 23703.26 1923.85 8 -3511.23 -3511.0013333 Ѳ= 0.50 m B 0.37 -5289.1000000 I= 0.0 kpas L= 5.37 5289.26 -1923. E= 20000000.66 7901.37 -5289.70 -7901.66 -7901. 26 4 5289.3 elemento2 (7901.26 19393.3511.26 1923.37 5289.26 9696.37 -5289.4= (0.3= (-6400.94 6 Ensamble de la matriz de rigidez de la viga Ejemplo: K3.26 -1923.37 -5289.37 5289.26 5 5289.3 elemento1 + K8.37 5289.26 9696.26 9696.37 -5289.26 19393.4= K3.0) Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .94 -5289.97 7 -1923.26 9696.0) K8.26 19393.94 6 Matriz de rigidez en coordenadas globales [ K3 ] = 4 7 5 6 1923.37 5289.97 -5289.4 elemento2 (-3511.66 kN/m K8.23 kN/m K3.97 7 -1923.26 1923.26 19393.23) + + + + K3.4= .0) + K3.4 elemento1 + K3.26 5 5289.3= K8.26 4 5289.66) K8.37 -5289.97 -5289.26 -1923.66 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ K3 ] = 4 7 5 6 1923.00) + K8.3= 1501.3 elemento3 (0.94 -5289.4 elemento3 (0. 0 0.0 6400.0 0.0 6071.0 0.2 -2612.3 -5289.3 0.9 45037.2 -7901.7 0. en este caso existen fuerzas que actúan en los nodos donde se presentaran las reacciones de la viga y que actúan en el sentido contrario a la misma reacción.0 0.3 -6400.0 -1923.0 43097.0 6400.0 0.0 -6400.0 -3511.9 9697.3 -2612.67 Matriz de rigidez de la viga [Kviga] = 1 2 3 4 5 6 7 8 2560.4 5289.7 1501.1-f.0 1 6400.0 5 0.7 5435.2 3 0.4 -5289.3 19393.0 -5289.3 9697.0 10666.0 0.0 11851.9 7 6400.2 1501. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 21333.6 11851.0 -7901.0 10666. por lo tanto afectara la magnitud final de cada una.7 -3511.0 6 0.7 2 -2560.0 -2560.0 7901.2 4 0.0 8 Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 8 están asociados a las fuerzas externas conocidas.0 5289.2 0.0 0.0 -1923.0 0.0 0.0 0. como se observa en la figura 3. Vector de fuerzas A diferencia de los ejercicios anteriores.0 0.0 0. mientras que los cinco primeros grados de libertad corresponden a las fuerzas desconocidas que son las reacciones de la viga.0 0.0 0.3 -5289.0 0.4 1923.0 0.0 0.0 7901. 875 3 By-51.1458333 8 -3.25 4 Cy-50.5 2 Ma-21.25 7 5.50 6 30.250 5 Dy-38.68 Figura 3.1-f Vector de fuerzas sobre la viga en kN gdl Fuerzas 1 Ay-17.4375 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamientos aplicando la ecuación No 3. 6 7 8 19393.000007 7 0.97 43097.9 9696.000014 0.9 0 11851. ?= F U [U]= [K]-1 [F] ecu 3.000059 -0.000014 0.000028 -0. resulta [K00]-1= 6 7 8 0.000004 -0.9 45037 7 8 Obteniendo la inversa de la matriz [K00].000024 8 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .6 11851.000007 0.000004 6 -0.69 Vector de desplazamientos Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento elástico que produce.97 0 6 [K00] = 9696. 0000083 U8 3x1 5x3 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . con los desplazamientos calculados.25 6 5.000014 0.15 7 -3.000014 0.0000083 rad 30.000028 -0.000004 -0.000007 0.00169 rad Reacciones en la base Las reacciones de la viga serán el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas. [F]= [Kt0]*[U] [F] = 6 7 8 0 0 6400 1 [U] 0 0 10667 2 0.70 Los desplazamientos serán [U] = Fuerzas 6 7 8 0.000024 8 X 3x3 U6= 0.000004 6 -0.0016889 rad U7= -0.0002583 U7 -0.0002583 rad U8= -0.44 8 3x1 El giro en el punto D será: U8= 0.0016889 0 7901 1501 3 5289 -2612 -7901 4 -5289 -5289 0 5 X U6 -0.000059 -0.000007 7 0. 25 9. Reacciones de la viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .5668 kN Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue -0. Ay= 17.786 kN.089=Ma-21. By= 49.50 .6738 kN -7.053 kN 9.6738=Cy-50.197 kN . Ma= 21. Cy= 59.447 kN .5 -0.92 kN .m .1-g.250 -7.053=Ay-17.053 kN -0.93 kN Figura 3.875 -2.089 kN -2.053=By-51.71 Las fuerzas en la base serán: F1= F2= F3= F4= F5= -0.566=Dy-38. Dy= 30. Viga de dos luces y sección en voladizo Para la viga en acero cuya sección transversal es de tipo cajón como se aprecia en la figura 3. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2 Ejercicio.2-a Resolución: Propiedades de la sección de la viga A=0. Asumir Es=200.72 3. encontrar la carga (P) aplicada en el punto C para que el giro en B sea 0.00004619 m4 E=200 000 000 kPa Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga Para la discretización de la viga solo se tendrán en cuenta los grados de libertad rotacionales del nudo A y B ya que se obtendría el momento y el giro respectivamente.5° en el sentido horario.2-a.0104 m2 Iy=0. para obtener las reacciones verticales en esos mismos nudos se calcularían por estática.000 MPa Figura 3. 73 Figura 3.2-b La carga P por la longitud del elemento BC sería el momento equivalente debido a esa carga que actúa en B.2-c Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 3. recordando que se asume la condición de empotramiento perfecto en los nudos de la viga como se muestra a continuación. Fuerzas actuantes en los nodos A y B de la viga Como la viga solo tendrá un desplazamiento angular en el apoyo B la matriz de rigidez se puede determinar cancelando los renglones y filas asociados a los desplazamientos verticales de dicho elemento.74 Figura 3. se obtiene Z1 Y1 Z2 Y2 - Z1 - Y1 [k] = - - - Z2 Y2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-d. se tiene Cancelando los renglones y filas expuestos anteriormente. 75 De este modo, la matriz de rigidez será: [k]= 1 2 Reemplazando los valores de E,I y L se obtiene la matriz de rigidez en kN/m: 1 2 14780,80 7390,40 1 [k]= 7390,40 14780,80 2 El vector de desplazamiento ya es conocido, será 0 en el empotramiento y en B no podrá girar más de 0,5° (0,00872 rad) según la magnitud de la carga. 0 1 -0,0087 2 [U]= Y el vector de fuerzas será igual a: [F]= Ma - 0,781 1 2P - 0,781 2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 76 Teniendo en cuenta que K=F/U y despejando la fuerza F= [K]*[U], se obtiene entonces: Ma - 0,781 14780,80 7390,40 2P - 0,781 0 x = 7390,40 14780,80 -0,00872 Resolviendo la matriz, se obtiene Ma – 0,781= 14781*0 2P - 0,781= 7390*0 - 7390,4*0,00872 (1) 14781,8*0,00872 (2) Ma – 0,781= - 64,44 (1) 2P - 0,781= - 128,88 (2) Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el momento en A y la carga para que se dé la condición inicial. Ma= -63,66 kN.m P= 64,06 kN La carga para que se presente una rotación de 0,5° en el nudo B deber ser de 6,6 toneladas. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 77 Capítulo 4 PÓRTICOS PLANOS 4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. Para el pórtico mostrado en la figura 4.1-a determine las reacciones en la base, desplazamiento horizontal y vertical en el punto C, así como las fuerzas internas del elemento AB. Los elementos CD y BD articulan independientemente en el nodo D. Considere E=200 GPa Fig. 4.1-a Resolución: Propiedades del perfil W14x132 A= 0,0248 m2 Iy= 0,000636 m4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos las cuales actuarán en esos nudos como fuerzas equivalentes del pórtico en el sentido opuesto de la reacción. mas no tendrá el mismo ángulo de giro.1-b. se llevan las fuerzas actuantes a cada uno. se asume la condición de empotramiento perfecto en sus extremos y se calculan sus reacciones como se observa en la figura 4.b Establecidos los nudos de pórtico (A.78 Para enumerar los grados de libertad del pórtico es necesario tener claridad sobre los posibles desplazamientos y giros que se puedan presentar en los nudos para cada elemento. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Ejemplo: los elementos que convergen en el nodo D comparten los mismos grados de libertad horizontales y verticales. B. Figura 4. C y D). Debido a que se cuenta con un elemento con carga distribuida. teniendo en cuenta las condiciones de frontera. por lo tanto cada uno tendrá un grado de libertad rotacional diferente como se observa en la figura 4.1-c.1. 79 Figura 4. Figura 4.c Las fuerzas equivalentes que actúan en los nodos del pórtico formaran parte del vector de fuerzas en el arreglo matricial.1–d.1.d Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1. y se resumen en la figura 4. 02480 m2 I= 0. Matriz de rigidez local y global de los elementos del pórtico Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se reemplazan los valores de A.57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1.80 Se sabe que la matriz de rigidez de un elemento en el sistema global está dado por: K global= [T’]*[K local]*[T] Donde T es la matriz de rotación de coordenadas presentada en el capítulo 1 par elementos tipo pórticos. E= 200000000 kpas L= 3. Iz y L de la matriz de un elemento pórtico establecido en el primer capítulo. E.57 rad).00 m A= 0.0006360 Ѳ= 90.00 ° Ѳ= 1. 00 56533.0 0.00 0.0 1.00 -56533.0 0.00 0.0 1.33 -84800.00 -56533.33 84800.0 -1.33 0.00 84800.33 84800.0 0.00 2 0.0 0.00 0.00 84800.81 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 1653333.00 0.0 -1.00 4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 6 La numeración representa los grados de libertad locales del elemento. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .33 0.0 0.0 0.00 84800.00 169600.0 0.00 56533.0 1.0 0.00 1653333. Para un ángulo de rotación de 90° medido desde el eje global positivo (X) al eje local positivo longitudinal del elemento y sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas.00 -84800.0 0.0 0.33 -84800.00 -1653333.0 0.0 1. se obtiene [T]= 0.0 0.00 3 -1653333.00 0.00 169600. la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura 4.0 0.0 0.00 5 0.0 0.00 0.33 0.0 0.0 0.00 -84800.0 0.0 0.1.0 0.0 0.0 0.0 0.b.00 1 0.00 84800.0 0.00 0.33 0.00 0.0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°). 00 0.33 0. E= 200.82 Se obtiene entonces: [ K1 ] = 1 2 3 11 12 13 56533.00 2 -84800.00 56533.40 ° Ѳ= 2.00 84800.43 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .4° (2.00 -84800.00 0.609 m A= 0.43 rads).00 12 -84800.33 0.33 0.00 -56533.00 169600.00 1 0.00 -1653333.00 -84800.00 84800.02480 m2 I= 0.00 84800.33 0.00 3 -56533.00 84800.33 0.00 13 Elemento 2 Angulo de rotación 139.00 1653333.00 11 0.33 0.00 1653333.00 0.00 -1653333.00 0.33 0.00 0.00 0.00 84800.00 84800.0006360 Ѳ= 139.00 Gpas E= 200000000 kpas L= 4.33 0.00 169600. 43 rads) en sentido anti horario se obtiene -0.00 -1076155.58 11 524040.759 0.000 0.000 0.35 0.44 524040.35 -464746.98 -27278.00 0.08 -35927.98 27278.35 23380.000 0.000 0.00 -35927.58 -27278.08 35927.58 626998.000 -0. asociado a los grados de libertad globales será: [ K2 ] = 4 5 7 11 12 13 626998.000 0.000 0.35 -23380.651 -0.71 13 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .000 0.58 27278.00 1076155.000 0.000 0.58 27278.71 23380.00 -15590.44 -524040.000 0.33 55196.33 110392.00 4 0.35 -464746.000 0.35 7 -626998.000 0.71 6 Para el Angulo de rotación 139.000 0.59 55196.98 27278.00 1 0.000 0.98 -27278.33 0.000 -0.000 0.59 110392.000 0.35 0.58 4 -524040.651 -0.59 524040.759 0.00 0.35 0.35 0.000 -0.00 15590.33 5 0.59 -524040.000 0.35 23380.58 -626998.000 0.000 0.00 15590.33 2 0.59 12 -23380.44 -524040.651 0.759 0.000 [T]= Matriz de rigidez global del elemento 2.759 0.08 35927.59 55196.35 23380.33 0.59 5 -23380.35 464746.33 110392.33 55196.4° (2.000 0.000 1.35 0.08 -35927.00 -35927.35 3 -1076155.00 -15590.000 1.58 -27278.000 0.71 0.35 -23380.00 0.35 464746.00 35927.000 0.44 524040.651 0.59 110392.00 35927.00 0.83 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 5 6 1076155. 00 m A= 0.00 0.00 5 0.33 0.00 0.33 84800.33 0.00 0.00 0.00 56533.00 0.57 rads).00 -84800.00 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 84800.00 ° Ѳ= 1.84 Elemento 3 Angulo de rotación 90° (1.33 -84800.33 -84800.00 -84800.00 169600.57 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 5 6 1653333.0006360 Ѳ= 90.00 Gpas E= 200000000 kpas L= 3.00 1 0.00 84800.33 84800.00 0.00 169600.33 0.00 1653333.33 0. E= 200.00 3 -1653333.00 2 0.00 0.00 4 0.02480 m2 I= 0.00 84800.00 56533.00 -56533.00 -56533.00 -1653333.00 0.00 84800. 00 -1.33 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0. Para el Angulo de rotación 90° (1.00 1653333.00 5 -84800.00 9 -84800.00 0.00 84800.00 0.00 0.00 -56533.00 0.57 rads).00 169600.00 -84800.00 0.00 84800. se obtiene: [T]= 0.00 169600.33 0.00 1.00 0.33 0.00 0.00 4 0. del sistema.00 8 0.00 0.00 1653333.33 0.00 0.00 0.00 1.00 84800.00 0.00 -1653333.00 10 Elemento 4 Angulo de rotación 0°.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 -84800.00 0.00 84800.00 -1.00 84800.85 Matriz de transformación de coordenadas.33 0. como no existe rotación rigidez local coincide con la global del elemento.00 1.00 -1653333.00 84800.00 0.00 0.00 0.00 Matriz de rigidez global del elemento No 3.33 0.00 0.00 56533.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0. la matriz de Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0. asociado a los grados de libertad globales será: [ K3 ] = 4 5 6 8 9 10 56533.00 6 -56533. 00 0.04 72685.00 0.86 0.00 0.17 62302.00 0.00 62302.00 [T]= Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .43 0.00 0.00 -35601.00 1.00 0.0006360 Ѳ= 0.02480 m2 I= 0.00 0.00 0.00 1.17 -62302.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 0.17 -62302.00 0.00 -62302.04 145371.00 35601.00 -1417142.00 Gpas E= 200000000 kpas L= 3.00 0.71 3 -1417142.00 0.17 62302.71 0.04 2 0.00 0.00 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 5 6 1417142.00 0.00 0.00 1417142.00 ° Ѳ= 0.00 0.50 m A= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1 0.00 1.86 E= 200.04 145371. para el ángulo de rotación=0°.86 0.04 72685.00 0.00 0.04 5 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 4 0. se obtiene 1.00 62302.86 0.43 6 Matriz de transformación de coordenadas.00 35601.00 0.04 0.00 -62302.00 -35601.86 0. 87 Matriz de rigidez global del elemento No 4.00 35601.7) + K11.12 elemento2 (0. asociado a los grados de libertad globales.71 13 -1417142.71 0.86 0.00 -1417142.1-b. es decir M13x13.4) K13.13 elemento4 + (145371.04 0.12= K11.04 72685.00 11 0.13 elemento1 + K13.17 62302.00 62302.04 12 0.0) + (-524040) K11.00 0.00 0.04 0. Ejemplo: K11.00 -62302.13= (169600.00 -35601.86 0.12 elemento1 + K11.86 0.13 elemento2 K13.00 0.4 kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . [ K4 ] = 11 12 13 8 9 10 1417142.00 -62302.00 35601.43 10 Matriz de rigidez de la estructura Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura se suma la rigidez que aporta cada elemento.12= K11. al final la matriz será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de libertad establecidos en la numeración de la figura 4.17 -62302.13= K13.12 elemento4 + (0.43 0.00 -35601.04 145371.00 62302.00 8 0.00 1417142.0) + (110392.13= 425363.04 145371.12= -524040 kN/m K13.17 -62302.00 0.17 62302.0) + K13.04 9 0.86 0.04 72685. 42 Fuerzas desconocidas (Reacciones) Fuerzas Conocidas Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 13 -20.00 10 20.42 11 100. Vector de fuerzas externas gdl Fuerzas 1 Ax 2 Ay 3 MA 4 Dx 5 Dy 6 0 7 0 8 0 9 -35. mientras que los cinco primeros grados de libertad a las fuerzas desconocidas que son las reacciones en la base de la estructura.88 Matriz de rigidez del pórtico [Ke] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56533 0 -84800 0 0 0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1 0 1653333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2 -84800 0 169600 0 0 0 0 0 0 0 84800 0 84800 3 0 0 0 683532 -524040 -84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 4 0 0 0 -524040 2118080 0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5 0 0 0 -84800 0 169600 0 84800 0 84800 0 0 0 6 0 0 0 -23381 -27279 0 110393 0 0 0 23381 27279 55196 7 0 0 0 -56533 0 84800 0 1473676 0 84800 -1417143 0 0 8 0 0 0 0 -1653333 0 0 0 1688934 -62302 0 -35601 -62302 9 0 0 0 -84800 0 84800 0 84800 -62302 314971 0 62302 72686 10 -56533 0 84800 -626998 524040 0 23381 -1417143 0 0 2100675 -524040 108181 11 0 -1653333 0 524040 -464747 0 27279 0 -35601 62302 -524040 2153681 89581 12 -84800 0 84800 -23381 -27279 0 55196 0 -62302 72686 108181 425364 13 Equilibrio 70.0 1 2 3 4 5 89581 6 7 8 Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 13 están asociadas a las fuerzas externas conocidas.00 12 -35. 0000008 -0.0000001 0.0000005 0. ?= F U [U]= [K]-1 [F] ecu 3.4 2153681.0 -524040.0 84800.0000019 0.0000003 0.0000001 0.0000005 6 0.0 55196.0000004 -0.0000003 0.0000005 -0. Se sustrae la sub matriz de rigidez [K00] donde actúan las fuerzas conocidas para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación No 3.0000000 -0.0 0.0000018 9 10 -0.0 8 0.4 108180.0000040 -0.0 23380.0000001 -0.0000000 -0.0 0.5 89580.0000005 -0.0 0.0 72685.0 -62302.0000012 7 -0.4 0.0000008 -0.0 1473676.0000006 10 -0.0 0.9 0. [K00]= 6 7 8 9 10 11 12 13 169600.0 62302.7 0.4 7 84800.0000001 9 0.89 Vector de desplazamientos Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento elástico que produce.0000005 11 -0.0 6 0.0 0.0 0.0000005 0.0 110392.0000002 12 0.0000006 -0.0 -1417142.0000003 0.4 0.0 0.0000004 0.0000011 8 0.7 10 0.0000019 0.0000026 0.0 -62302.0000000 0.0000000 -0.0000000 0.0 9 84800.0 0.0000003 -0.0000002 -0.6 12 0.0 72685.0 0.6 -1417142.0000000 -0.0000028 13 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0000073 -0.1 13 Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 6 [K00]-1 = 11 12 0.0000005 8 0.0000003 -0.0000002 -0.5 -62302.7 108180.6 27278.0 84800.0000018 0.0000005 0.6 89580.0 1688934.0000000 0.0 23380.0000000 0.2 -62302.0000001 7 -0.0000004 0.0000005 -0.0000001 0.0000005 -0.0000002 -0.9 0.0000006 0.0000002 13 -0.0000002 0.2 0.2 62302.0000002 0.0 0.6 0.0000002 0.0000006 -0.0000000 -0.0 84800.0000011 -0.0000000 0.0000012 -0.6 11 0.6 425364.0000098 -0.0 84800.0000003 0.0 0.0000004 -0.0000019 0.0 0.0 0.0 -35601.0 27278.0 314971.0 2100674.0 0.6 -524040.6 55196.0 -35601. 0000001 -0.000022m≈ 0.0000000 -0.0000000 0.0000297 m U13= -0.0000001 0.0000219 m U10= 0.0001161 rad El desplazamiento horizontal y vertical en el punto C será: U8= 0.0000000 -0.0000003 -0.0000668 U10 4 0.0000005 -0.0000019 0.0000005 -0.0000019 0.0000005 -0.0000000 -0.0000002 0.0001755 U8 -0.0000002 0.0000000 0.0000003 0.0000003 -0.0000004 0.0000005 0.0000000 -0.0000002 -0.0000000 0.00 11 -0.0000012 -0.0000001 0.0000006 -0.0000026 0.0000098 -0.0000127 rad U8= 0.0000000 0.0000018 -0.0000004 -0. con los desplazamientos calculados.0001161 U13 8x1 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0000002 -0.0000006 10 0.0000003 0.0000005 0.0000011 0.0000004 -0.42 10 0.0000006 0.0000002 -20.00 12 0.0000219 U9 0.90 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]-1 [F] 6 [K00]-1 = 7 8 9 10 Fuerzas 11 12 0.0000004 0.0001793 U11 5 0.0000006 -0.176mm H► U9= -0.0000003 0.0000002 12 -35. [U] [F]= 6 7 8 9 10 11 12 13 0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2 0 0 0 0 0 84800 0 84800 3 -84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5x8 x -0.0000019 0.0000040 -0.22mm V ▼ Reacciones en la base Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (K0t).0000005 6 13 0 6 -0.0000005 0.0000002 0.0000011 -0.0001793 m U12= 0.0000001 9 -0.0000005 8 0 8 -35.000121 rad U7= 0. [f]= [K0t]*[U] ecu 4.000176m ≈ 0.0001211 U6 0.0000008 -0.0000028 13 Se obtienen entonces los desplazamientos para cada grado de libertad U6= -0.0000297 U12 -0.0000018 0.0000073 -0.0000005 -0.0000127 U7 0.00 9 20.42 13 X 0.0000012 7 0 7 -0.0000001 0.0000000 -0.0000000 0.0000001 -0.0000008 -0.0000003 0.0001755 m U9= -0.0000002 -0.0000005 11 100.0000668 rad U11= 0. Reacciones de la estructura Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .29 kN -49.36 kN.e.2 kN Figura 4.2 kN 5.1.91 Las reacciones en la base serán: Ax= Ay= MA= Dx= Dy= -0.m -99.7 kN 119. se obtienen desplazamientos locales del elemento para el posterior cálculo de las fuerzas internas de este como se ha realizado en los ejercicios anteriores Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Deformación de la estructura debida a las cargas externas Fuerzas internas del elemento 1 Se sabe que las coordenadas locales del sistema en función de las globales para un elemento tipo pórtico está dada por: Con la matriz de transformación de coordenadas multiplicada matricialmente por los desplazamientos globales del elemento 1.1.92 Figura 4.f. 0 0.0 0.00 3 0.000000 3 0. resulta entonces U global U local = 0.0 0.000116 13 x Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.0 0.0 0.0 1. U global 1 0.0 0.0 1.000116 Para Los desplazamientos en coordenadas locales serán UL= [T]*UG.0 0.0 0.0 0.0 0.000179 11 0.0 0.00 11 0.0 0.0 0.0 0.0 0.93 Desplazamientos locales del Elemento 1 Se sustraen los desplazamientos globales del elemento teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad.0 0.0 1.0 0.0 -1.000000 2 0.0 0.0 0.000030 13 -0.0 0.0 0.0 0.000000 1 -1.0 0.0 0.000030 12 0.0 1.0 0.0 0.0 -0.0 0.0 0.000179 12 0.00 2 0.0 0. 0000000 2 0.00 -56533.29 kN 5.0000297 4 -0.0000000 3 -1653333.18 kN 0.00 84800.00 84800.33 84800.m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 56533.00 -84800.0000000 1 0.00 -0.00 0.0001793 5 -0.36 kN.00 0.0000000 2 0.00 -56533.m 49.00 0.18 kN -0.0000297 4 0.00 0.00 0.94 U local = 0.00 84800.33 0.29 kN -4.33 0.00 56533.33 0.33 0.00 0.33 -84800.0001793 5 0.00 0.00 169600.0001161 6 1 2 Aplicando la ecuación [f]= [k1]*[U1 local] se obtendrán las fuerzas internas del elemento 1: [ f1 ] = 1 2 3 4 5 6 U local 1653333.00 0.00 1653333.0001161 6 6x6 x 6x1 Por lo tanto las fuerzas internas del elemento 1 serán: f internas 1(A1) 2(v1) 3(M1) 4(A2) 5(v2) 6(M2) -49.0000000 3 0.00 -1653333.00 0.33 -84800.49 kN.33 84800.00 169600.0000000 1 0.00 -0.00 0.00 0.00 84800.00 -84800.00 0. 1. Figura 4.95 Como los momentos tienen signos contrarios indica que el elemento se curva simplemente. Fuerzas internas del elemento 1 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .G. Para el pórtico en concreto mostrado en la figura 4.86 MPa Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .636. Asuma f’c=28 MPa y E= 3900√?′? (MPa) Figura 4.2-a determine las reacciones en los nodos A y D.96 4. el desplazamiento horizontal y vertical en los nodos B y C así como las reacciones de la estructura.000675 m4 E=20.09 m2 ?ℎ I= =0.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado.2-a Resolución: Propiedades de la sección A=0. 2-b.97 Discretización del pórtico Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten agrupadas. Elemento 2: W=30 kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-b Para los elementos 2 y 3 con carga distribuida se asume la condición de empotramiento en sus extremos y se llevan las reacciones como fuerzas equivalentes a dichos nodos. Figura 4. en la dirección opuesta a la reacción. para este caso al igual que ejercicios anteriores se numeran de primero como se observa en la figura 4. 87) Wn=37.98 Elemento 3: se calculan las reacciones en la proyección horizontal del elemento es decir L= 2.2-c y 4. Se superponen las fuerzas resultantes de ambos elementos como se observa en las figuras 4. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 m Wn= 0?? cos( .2-d.5 kN/m (Normal al eje longitudinal del elemento). 99 Figura 4.2-d Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-c Figura 4. B y C serán las obtenidas por la suma de los efectos de las cargas teniendo en cuenta su dirección.12.m .2-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Por ejemplo.100 Las fuerzas equivalentes actuantes en los nodos A. en el nodo B se cuenta con un momento resultante horario de 2. así: Nodo B= + 10 kN.2-d).5 kN.5 kN. En la figura 4.m debido a la suma de las acciones opuestas a las reacciones generadas por la carga dentro de cada vano. Se debe tener en cuenta que las acciones externas obedecen al sistema de referencia global.m (ver Figura 4.2-e se presenta el resultado de la suma algebraica de las acciones presentes en cada nodo. Figura 4. 97 0.15 -13372.00 -10698.5 m E= 20636860 kpas L= 2.97 0.30 m H 0.00 1 0.00 0.50 m B 0.15 13372.90 0. L=2.00 -10698.0006750 Ѳ= 90.69 2 0.15 -13372.69 11143.00 10698.69 0.57 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 742926.00 0.00 10698.00 4 0.00 -13372.00 ° Ѳ= 1.00 13372.90 3 -742926.00 -742926.81 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .69 22287.00 0.69 0.30 m A= 0.69 11143.00 13372.69 22287.0900 I= 0.69 5 0.15 13372.97 0.00 -13372.57 rad).81 0.00 742926.00 0.101 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1.97 0. 0 0.0 0.97 0.0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°).0 0.0 0.0 0.0 0.00 742926.0 m E= 20636860 kpas L= 2.30 m H 0.0 0.0 -1.00 7 -13372.69 6 0.00 22287.0 0.69 -10698.15 0.0 0.0 0.0 0.90 13372.00 13372. la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura 4.0 0.0 0. se obtiene [T]= 0.81 5 Elemento 2 Angulo de rotación 0° y L=2.00 -13372.97 0.69 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 11143.0 0.0 0.00 -742926.00 22287.00 -13372.00 742926.0 0.00 0.69 0.69 10698.00 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 -1.0 1.0 0.0 1.69 0.30 m A= 0.15 0.00 ° Ѳ= 0.2.00 0.00 13372.00 m B 0.81 13372.0900 I= 0.69 0.0 0.97 0.90 8 -10698.00 4 -13372. [ K1 ] = 6 7 8 3 4 5 10698.15 0.69 3 0.0 1.00 11143.0 0.00 -742926.0 0.0006750 Ѳ= 0.15 0.0 0.0 0.102 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico.97 0.0 1.b.0 0. 00 0.0 1 0.00 0.82 -20894.82 7 0.8 0.0 0.00 0.7 0.00 1.8 6 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación resulta [T]= 1.88 8 -928658.0 20894.8 27859.82 0.0 -20894.00 0.0 20894.00 1.00 0.00 0.0 4 0.00 0.8 5 0.7 0.0 0.8 20894.00 0.71 0.82 10 0.0 0.00 0.00 Realizando la operación matricialmente K global= [T]*[K local]*[T’] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento la cual coincide con la local ya que el ángulo de giro es 0° [ K2 ] = 6 7 8 9 10 11 928658.00 0.8 27859.0 0.8 2 0.00 0.0 928658.00 0.00 0.00 1.00 0.00 -20894.8 20894.82 13929.00 0.00 0.0 20894.00 0.00 0.9 3 -928658.76 0.00 0.8 13929.00 0.00 0.00 0.8 -20894.00 0.82 13929.82 20894.9 0.00 0.71 0.00 0.00 -20894.0 20894.7 0.82 -20894.00 20894.00 0.0 -20894.00 0.00 1.00 0.00 20894.82 20894.71 0.00 20894.71 0.82 27859.00 0.88 0.7 0.00 20894.8 -20894.00 0.0 -928658.00 -928658.00 6 0.00 928658.0 -20894.00 1.82 27859.76 11 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .8 13929.00 0.00 0.103 [ k2 ] = 1 2 3 4 5 6 928658.8 0.82 0.8 0.0 -20894.00 0.00 9 0.00 -20894.00 0.00 -20894. 00 0.7 5 0.00 0.00 0.1 -13372.7 0.7 11143.00 -0.1 13372.7 22287.30 m H 0.0 -10698.00 0.8 0.00 0.00 0.00 0.0 m E= 20636860 kpas L= 2.60 -0.60 0.13 ° Ѳ= 2.0 -10698.13° y L=2.0900 I= 0.80 0.1 13372.00 0.00 1.80 0.0 13372.0 0.00 0.0 0.00 0.60 -0.7 22287.0 1 0.1 -13372.0 0.7 11143.50 rad Matriz de rigidez local en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 5 6 742927.0 10698.0 4 0.0 13372.0 -13372.30 m A= 0.0 -742927.00 0.00 1.00 0.00 -0.0 0.00 0.0 0.0 0.7 0.00 0.00 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.00 0.0 742927.0006750 Ѳ= 143.104 Elemento 3 Angulo de rotación 143.50 m B 0.00 0.0 -13372.0 10698.8 6 Matriz de transformación de coordenadas [T]= -0.00 -0.80 0.80 0.00 0.60 0.00 0.00 0.7 2 0.9 0.0 0.0 0.00 0.9 3 -742927.00 0. 51 -10698.44 1 -351466.00 0.81 12 1 -10698.62 274289.32 -351466.00 3 0.00 0.62 0.44 10698.61 -351466.61 351466.44 479335.51 10698.00 0.00 -20894.71 0.62 8023.15 0.82 20894.00 0.69 0.51 10698.00 0.00 11143.62 8023.81 11 9 Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura será cuadrada simétrica.90 8023.00 6 0.82 0.44 -351466. La matriz se ensambla sumando la rigidez que aporta cada elemento como se mencionó en los ejercicios anteriores Matriz de rigidez de la estructura (kN/m) [Ke]= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 479335.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.69 0.27 22287.00 0.00 4 0.00 0.62 274289.27 351466.15 0.69 939356.00 0.82 13929.88 8023.00 -928658.00 -742926.90 12 -479335.27 0.97 0.44 -10196.00 0.51 0.00 0.62 -274289.69 0.90 0.00 -20894.00 -20894.00 1407994.00 0.62 274289.62 -274289.00 0.00 13372.44 351466.00 -10698.27 2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .44 -10698.82 0.62 -8023.62 295184.00 0.90 -13372.00 0.00 0.27 0.55 50147.44 9 351466.62 -274289.27 11143.62 -274289.27 22287.97 0.00 351466.00 0.44 -8023.62 -8023.51 0.82 -351466.00 0.61 351466.27 10 -8023.44 -10698.00 0.00 0.00 5 0.00 0.61 351466.00 0.00 0.00 11143.00 0.82 -20894.86 0.00 -13372.61 -351466.00 763821.27 11143.27 -351466.82 13929.00 0.00 -13372.27 0.00 0.00 10698.00 0.62 0.51 -10698.00 13372.88 0.00 742926.62 8023.00 22287.69 -928658.97 0.00 20894.57 0.61 -351466.51 -10698.44 -10698.00 0.27 10 -8023.00 0.27 2 -8023.00 0.00 8 -479335.00 7 0.90 11 -8023.71 0.44 -10698.44 8023.00 -742926.79 20894.00 -479335.00 13372.00 0.82 50147.00 13372.00 8023.00 0.00 0.90 22287.69 0.81 -13372.00 0.44 10698.62 -8023.69 -10698.44 10698.00 0.00 0.105 Matriz de rigidez del elemento 3 en coordenadas globales K global= [T]*[K local]*[T’] [ K3 ] = 1 2 12 9 10 11 479335.00 0.44 -479335.00 0.27 11143.61 351466.81 8023.15 0.00 0.00 0. su tamaño es igual al número de grados de libertad en este caso será de 12x12.57 11143.55 10698.00 0.33 -10196.69 20894. 37.5 12 Donde las fuerzas comprendidas entre los gdl entre 1 a 5 corresponden a las fuerzas desconocidas (reacciones).5 Vector de desplazamientos La rigidez (K) será igual a F U [U]= [K]-1 [F] ?= Se sustrae la sub matriz de rigidez donde actúan las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamientos como sigue Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 7 -30.5 11 -2.0 10 -67.106 Vector de fuerzas actuantes en la estructura para cada grado de libertad gdl fuerzas 1 Ax 2 Ay .5 3 Dx 4 Dy 5 MD 6 0.0 8 -10.0 9 0. 12. 000050 0.000051 0.44 9 -13372.000039 0.71 8 9 10 11 12 0.00 8 8023.81 12 Obteniendo la inversa de la matriz Kc [K00] -1 = 6 7 8 9 10 11 0.82 13929.000008 -0.107 6 7 939356.00 20894.000069 10 0.000037 -0.000086 0.000006 0.000051 0.62 295184.82 20894.000037 -0.79 20894.00 7 0.000064 0.000086 0.000006 -0.000051 0.000052 -0.000001 0.5 12.000106 12 Los desplazamientos en los grados de libertad serán [U] = 6 7 8 9 10 11 12 0.000008 0.82 0.000001 0.000006 -0.000008 0.000026 -0.00 6 0.000038 0.82 -20894.000001 0.000006 0.000002 0.90 11 0.000001 0.000052 0.000064 0.000000 0.00 [K00] = -928658.000052 0.00 8023.000000 -0.82 13929.44 10698.000019 0.000000 0.000000 0.32 -351466.000064 0.000064 0.000001 0.00 -20894.000001 0.00 0.000000 -0.000006 -0.000050 0.000019 -0.000052 0.000064 0.27 10 0.000001 0.000050 0.000000 0.000039 0.000002 0.71 1407994.000039 0.00 -20894.69 20894.000052 0.000026 -0.000052 9 0.000001 0.000038 0.00 0.90 22287.000050 0.000052 -0.55 10698.000064 0.000002 -0.000000 -0.000001 0.000001 0.00 -20894.000000 0.000039 0.00 0.57 11143.000106 Fuerzas 0 -30 -10 x 0 -67.000052 0.82 -351466.000019 0.000069 0.000050 0.000069 -0.000052 6 12 0.44 -10196.86 0.5 -2.27 11143.000069 -0.00 0.000001 0.000001 0.000000 0.88 0.5 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 6 7 8 9 10 11 12 .000001 0.00 0.62 0.000006 0.000064 0.000000 7 0.82 -13372.55 50147.69 -928658.000064 0.88 8023.000050 0.44 8023.000051 -0.000001 0.57 0.000038 0.000051 -0.000051 0.000000 0.000052 0.00 763821.82 50147.000037 8 0.000002 -0.000008 -0.000006 -0.000038 0.000019 11 -0.00 0.000000 -0.000006 0.33 -10196.000037 0. Reacciones de la estructura Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas.00541m≈ 5.00541 -0.00009 -0.41mm H► U10= -0.09mm V ▼ Figura 4.00541m≈ 5.00724 -0.00439 -0.00541 -0.24mm V ▼ Nodo C U6=-0. Deformada de la estructura por la acción de las cargas externas.000819 0.108 U6= U7= U8= U9= U10= U11= U12= -0. con los desplazamientos calculados como se ha visto en los ejercicios anteriores: [F]= [Kto]*[U] Donde Kto será Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00639 m m rad m m rad rad El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo B y C será: Nodo B U9=-0.2-f.00009m≈0.41mm H► U7= -0.00724m≈7. 69 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13372.00 0.00 351466.02 f2 = 27. [U] [F]= -0.00 0.00 0.m A diferencia de las demás reacciones.1.00 4 -0.89kN Dy = 70.00439 U8 -0.00 0.00541 U6 1 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.02kN Dx =-0.00 4 -13372.44 0.00 11143.00009 U7 -10698.97 0.00 -479335.27 2 -0.00 0.15 0.109 [Kto] = 6 7 8 9 10 11 12 0.48kN MD = 23.27 2 5x7 Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos ya calculados mostrado en el ejercicio 1.69 0.44 -8023.27 -10698.00 0.00 -479335.00 0.00541 U9 6 7 8 9 10 11 12 0.97 0.00 3 0.62 -274289.52 kN Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .62 -274289.44 0.00 0.15 0.61 351466.00 -742926.00 0.00 0.61 351466.90 0.00 0.00 0. La vertical en A será a Ay menos la fuerza equivalente que actúa en ese punto y esta diferencia será igual a la fuerza encontrada correspondiente a f2 como sigue f2 – Ay = 27.00 13372.89kN Ay .90 0.62 -8023.00082 U11 0.00 5 1 -10698.36kN.51 -10698.00 3 0.00 0.27 -10698.00724 U10 -13372.00 0.5 = 27.00 0.00 11143.00 -742926.02 + 37.00 0.00 5 -0.00639 U12 5x7 X 7x1 Por lo tanto las fuerzas serán Ax = 0.5 =27.37.00 0.44 -8023.02 f2 – 37.69 0.69 0.62 -8023.51 -10698.00 351466.00 0.5 f2 = 64. 2-g. Reacciones de la estructura Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .110 Figura 4. Fig. Este aproxima las ecuaciones diferenciales gobernantes para sistemas continuos con ecuaciones mediante un número finito de variables discretas que miden los desplazamientos y fuerzas en los nodos. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1 Abstracción o idealización de una estructura aporticada a través de elementos finitos En este capítulo se realizan una serie de ejercicios por el método de la rigidez. pueden ser de tipo plano o tridimensional dependiendo del componente estructural que se vaya a analizar. El método funciona dividendo la estructura en elementos conectados por nodos. 5. que representan de forma general la filosofía de los elementos finitos y una forma introductoria a su comprensión.1). 5. Se pueden emplear elementos finitos unidimensionales para modelar una estructura aporticada con muros (Fig.111 Capítulo 5 INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS El método de los elementos finitos es un método poderoso para analizar los esfuerzos y deformaciones en componentes y sistemas estructurales. 1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal. El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa.1-a Resolución: La viga representa un problema para su cálculo por la variación lineal de la sección a lo largo de toda su longitud.1-a.112 5. recordemos que la matriz de rigidez está en función de la inercia del elemento y esta a su vez del ancho y altura por lo que toda la matriz quedaría en función de una ecuación que representa esa variación y el cálculo sería muy complejo. Figura 5. La solución a este problema está en dividir la viga en una serie de elementos finitos de forma cubica con una única altura equivalente (he) unidos por nodos como se aprecia en la Figura 5. el número de elementos se puede establecer de manera arbitraria siempre dependiendo de la aproximación que se dese del problema.1-b. por lo que se necesita conocer sus reacciones. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la solicitación de las cargas dadas según la figura 5. la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas y en el punto medio de la viga. 1-b. vertical y de giro como se muestra a continuación. Discretización de la viga Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 8 unidos por nodos que tendrán dos posibilidades de desplazamiento.1-c. Idealización de la viga en elementos finitos Para calcular la inercia de cada elemento se realiza con la altura equivalente en el punto medio de cada uno. Figura 5. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . por ejemplo para el elemento 1 será como se muestra en la figura 5.113 La inercia de cada elemento se calcula con una altura equivalente de tal manera que la inercia equivalente y analítica sea igual y no afecte el cálculo de la viga. el ancho de la viga es constante e igual a 0.1-d) Figura 5. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . ∗ 0.4 m.00969 m4 Realizando el cálculo de manera analítica (ver figura 5. 5 I= 0.1-c Por lo tanto la inercia para este elemento seria: = ∗ 0.1-d h varia respecto a x.114 Figura 5. ∗ ∫ (0. ∗ ∫0 (0.000 ? )?? 0 = 30 ∗ [0.7 – 0.000 05 ? 4 ]0 I = 0.075?) ?? = ∗ 0.00972 m4 Se observa entonces que la variación entre la inercia a partir de una altura equivalente y la analítica es muy pequeña.075 x donde hi es la altura inicial de la viga de 0.3 3? − 0.0 8? − 0.075x La inercia de la sección será: = ∗ 0. las cuales se resumen en la siguiente tabla: Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 0 5? + 0. Resolviendo el polinomio.7 − 0. (?????????) m=0.115 La función que describe esta variación será ?= 0.7 − 0.00393 − 0.055 ? + 0.00972 m4 Por lo tanto se calcularan las inercias de los demás elementos con la equivalente para la facilidad del ejercicio. IPOR he= 0.3 3 − 0.7 m h= 0.075 x La ecuación será entonces: h= hi – 0.00970 m4 y IANALITICA= 0. 4 0.5125 0.4 0.4 0.4375 0.0028 Elemento 5 0.0045 Elemento 4 0.4 0. además solo se desean conocer sus giros y desplazamientos verticales en los puntos de aplicación de las cargas y en su centro.5875 0.0097 No obstante.0045 Elemento 7 0.4 0.0028 Elemento 6 0. La matriz de rigidez local será para elemento tipo viga es la presentada en la figura 5.5125 0.6625 0. para un cálculo más estricto seria con las inercias calculadas analíticamente para cada elemento como se expuso en el paso anterior.0068 Elemento 3 0.5875 0.0068 Elemento 8 0.0097 Elemento 2 0.116 Ancho (m) he Inercia (Iz) Elemento 1 0.4 0.4375 0. Matriz de rigidez local y global de los elementos La viga no presenta solicitaciones de carga que generen fuerzas axiales internas en los elementos.1-e 1 2 [k] = - 3 4 - 1 - 2 - - 3 4 Figura 5.4 0.1-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .6625 0.4 0. 56 2326203.52 2 -2326203.56 -1163101.00 m B 0.0096925 Ѳ= 0.52 2 -2326203.52 -1163101.56 5 775401.04 4 Matriz de rigidez asociado a sus grados de libertad globales [ K1 ] = 1 2 5 6 2326203.56 3 775401.117 Elemento 1 E= 20000000.56 -1163101.13 1163101.56 -2326203.56 775401.13 1163101.04 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .56 1 1163101.13 1163101.00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 2326203.13 1163101.56 1 1163101.56 387700.56 2326203.00 KPa L= 1.04 -1163101.04 -1163101.13 1163101.56 387700.52 -1163101.56 775401.13 -1163101.56 -2326203.13 1163101.56 387700.56 387700.13 -1163101.40 m H 0.66250 m A= 0.2650000 I= 0. 38 -811117.19 -1622234.19 270372.19 1 811117.40 -811117.19 3 811117.38 -811117.79 8 Matriz de rigidez global [ K2 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .118 Elemento 2 E= 20000000.40 2 -1622234.38 -811117.19 1622234.2350000 I= 0.40 -811117.19 540744.40 6 -1622234.19 540744.19 270372.19 540744.38 811117.79 4 5 6 7 8 1622234.59 m A= 0.19 5 811117.19 540744.38 811117.00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 1622234.19 -1622234.19 1622234.0067593 Ѳ= 0.00 m B 0.19 7 811117.38 -811117.19 270372.38 811117.40 m H 0.00 KPa L= 1.19 270372.79 -811117.38 811117.79 -811117. 31 9 538445.00 m B 0.54 4 Matriz de rigidez global [ K3 ] = 7 8 9 10 1076890.63 -538445.63 538445.31 358963.51 m A= 0.63 538445.31 358963.31 7 538445.77 -538445.77 -538445.00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 1076890.63 -538445.77 8 -1076890.31 179481.54 -538445.63 538445.63 -538445.31 3 538445.31 1076890.40 m H 0.54 10 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .77 2 -1076890.31 1076890.119 Elemento 3 E= 20000000.31 -1076890.31 179481.54 -538445.31 179481.31 1 538445.2050000 I= 0.31 358963.0044870 Ѳ= 0.63 -538445.31 -1076890.31 179481.00 KPa L= 1.63 538445.31 358963. 94 223307.88 334960.94 1 334960.94 223307.94 223307.88 334960.94 -669921.00 m B 0.88 334960.29 -334960.29 4 Matriz de rigidez global [ K4 ] = 9 10 11 12 669921.94 669921.94 111653.94 3 334960.65 -334960.88 -334960.65 2 -669921.94 223307.94 11 334960.29 -334960.88 334960.94 111653.00 KPa L= 1.65 -334960.88 -334960.65 10 -669921.00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 669921.120 Elemento 4 E= 20000000.94 9 334960.29 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .88 -334960.40 m H 0.88 -334960.0027913 Ѳ= 0.1750000 I= 0.94 -669921.4375 m A= 0.94 669921.94 111653.94 111653. 65 -334960.94 13 334960.88 -334960.94 111653.29 -334960.29 4 Matriz de rigidez global [ K5 ] = 11 12 13 14 669921.94 11 334960.1750000 I= 0.94 223307.88 -334960.94 111653.94 3 334960.121 Elemento 5 E= 20000000.94 223307.4375 m A= 0.00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 669921.94 -669921.00 KPa L= 1.88 334960.88 -334960.88 334960.94 223307.94 669921.29 -334960.40 m H 0.65 12 -669921.94 223307.88 334960.29 14 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .94 1 334960.0027913 Ѳ= 0.88 334960.94 -669921.00 m B 0.94 669921.94 111653.94 111653.65 -334960.65 2 -669921.88 -334960. 122 Elemento 6 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,51 m A= 0,2050000 I= 0,0044870 Ѳ= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k6 ] = 1 2 3 4 1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1 538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2 -1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3 538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4 13 14 15 16 1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 13 538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 14 -1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 15 538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 16 Matriz de rigidez global [ K6 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 123 Elemento 7 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,59 m A= 0,2350000 I= 0,0067593 Ѳ= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k7 ] = 1 2 3 4 1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1 811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2 -1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3 811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4 15 16 17 18 1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 15 811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 16 -1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 17 811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 18 Matriz de rigidez global [ K7 ] = Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 124 Elemento 8 E= 20000000,00 KPa L= 1,00 m B 0,40 m H 0,66 m A= 0,2650000 I= 0,0096925 Ѳ= 0,00 ° Matriz de rigidez local en kN/m [ k8 ] = 1 2 3 4 2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1 1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2 -2326203,13 -1163101,56 2326203,13 1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 17 18 3 4 2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 17 1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 18 -2326203,13 -1163101,56 2326203,13 1163101,56 387700,52 -1163101,56 -1163101,56 3 4 Matriz de rigidez global [ K8 ] = -1163101,56 3 775401,04 4 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 125 Matriz de rigidez de la viga (kN/m) [Ke] = 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2326203 1163102 0 0 -2326203 1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1163102 775401 0 0 -1163102 387701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2326203 -1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203 -1163102 3 0 0 -1163102 775401 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163102 387701 4 -2326203 -1163102 0 0 3948438 -351984 -1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1163102 387701 0 0 -351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 -1622234 -811117 2699125 -272672 -1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 2699125 272672 -1622234 811117 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16 0 0 -2326203 1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234 -811117 3948438 351984 17 0 0 -1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 387701 5 6 811117 270372 351984 1316146 18 Kn La matriz es de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la viga y está en unidades de kN/m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 05 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 -73.126 Vector de fuerzas externas gdl FUERZAS 1 Ay 2 MA 3 Iy 4 MI 5 0 6 0 7 -49. Vector de desplazamientos La rigidez (K) será igual a: ?= F U [U]= [K]-1 [F] Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .575 16 0 17 0 18 0 Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a los grados de libertad de la viga según la discretización. 00000803 -0.00000559 0.00000517 -0.00000166 -0.00000082 0.00000339 0.00000008 0.00002471 0.00000889 -0.00000206 0.00000326 -0.00000082 0.00000339 0.00000136 -0.00000344 -0.00000886 0.00000886 0.00000078 0.00000320 0.00000119 0.00000369 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00000185 -0.00000191 10 0.00000270 0.00000517 -0.00000466 15 -0.00000714 -0.00000244 0.00000022 0.00000579 13 0.00000320 0.00000191 0.00000597 0.00000321 -0.00000722 0.00000559 0.00000326 0.00000466 0.00000886 0.00000492 0.00000031 -0.00000685 -0.00001380 -0.00000166 0.00000320 -0.00000119 0.00000031 0.00000373 -0.00000103 -0.00000023 -0.00000103 0.00000333 0.00001950 0.00000517 11 -0.00000215 -0.00000280 0.00000373 0.00000699 0.00000344 -0.00000270 -0.00000103 0.00000685 0.00000559 0.00000889 0.00000185 0.00000089 -0.00000621 -0.00001014 -0.00000597 -0.00000089 0.00000133 0.00000044 -0.00000136 -0.00000031 0.00001014 0.00000206 16 0.00000022 18 0.00000891 0.00000685 0.00000098 0.00000044 0.00000579 0.00000685 -0.00001014 -0.00000098 0.00000466 0.00000154 -0.00000889 -0.00000154 0.00000185 -0.00000621 0.00000373 0.00000082 6 0.00000559 0.00000326 0.00000517 0.00000082 -0.00000326 -0.00000373 -0.00000136 12 -0.00000082 -0.00000344 0.00000082 -0.00000191 -0.00000031 14 0.00000621 -0.00001950 -0.00000339 0.00000889 0.00000803 0.00000320 -0.00000891 0.00000215 -0.00000492 0.00000206 -0.00000699 -0.00000579 0.00000044 -0.00000280 0.00000078 -0.00000000 0.00000170 0.00000089 -0.00000154 8 0.00001950 0.00000166 -0.00000270 0.00000339 0.00000280 -0.00000191 -0.00000714 11 12 13 14 0.00000215 0.00001380 0.00000270 -0.00000714 -0.00000000 0.00000307 -0.00000119 0.00001884 -0.00000044 5 0.00001014 0.00000886 0.00001096 0.00000215 0.00000279 0.00000185 0.00000154 -0.00000280 -0.00000891 0.00001884 0.00000182 0.00000078 0.00000170 -0.00001950 -0.00001096 -0.00000244 -0.00000133 -0.00000891 0.00000182 0.00000307 0.00000714 0.00000182 17 -0.00000098 0.00000078 -0.00001096 0.00000023 0.00000103 -0.00000579 0.00000089 0.127 Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K 00]-1 [F] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3948438 -351984 -1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 -351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 -1622234 -811117 2699125 -272672 -1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7 811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 -1076891 -538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9 0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11 0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13 0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 2699125 272672 -1622234 811117 15 0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234 -811117 3948438 351984 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 811117 270372 351984 15 16 17 [ K00 ] = 1316146 18 Obteniendo la inversa de la matriz [K00] resulta -1 [ K00 ] = 5 6 7 8 9 10 0.00000307 -0.00000344 9 0.00000170 -0.00000008 0.00000244 -0.00000621 0.00000170 0.00000492 0.00001096 -0.00000333 -0.00000492 0.00000279 -0.00000206 0.00000022 -0.00000008 0.00000244 0.00000369 0.00000466 0.00000166 7 0.00000119 0.00000008 0.00000307 0.00000321 0.00000136 0.00000098 0.00000182 0.00000022 0. 000000 0.000007 0.000009 0.000001 0.000011 -0.000003 -0.000001 0.000000 0.243mm V ▼ U15= -0.000006 0.000000 0.000002 17 0 17 0.000003 0.000006 0.000007 -0.000006 0.000001 -0.575 15 -0.000002 -0.000009 0.000005 0.000006 0.000198 m U6= -0.000001 -0.000009 -0.000006 -0.000004 -0.000009 0.000004 0.000003 0.000002 0.000002 0.000000 0.000003 0.000003 -0.000003 0.000002 0.000007 -0.000001 -0.000639 m U8= -0.000002 0.000020 -0.000002 -0.000002 8 0 8 0.000003 -0.000060 rad U13= -0.000002 0.000002 -0.000001 0.000003 -0.000003 -0.76mm V ▼ U12= -0.000351 rad U7= -0.000000 0.000467 rad U9= -0.000001 0.000512 rad U17= -0.000002 -0.000002 0.000003 -0.000003 0.000002 10 0 10 0.000000 0.000002 0.000005 0.000000 15 16 0.000003 -0.000010 -0.000754 m U16= 0.000639m≈0.000019 0.000004 18 0 18 0.000010 -0.000005 0.000424 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos X .000007 11 12 13 14 0.000002 0.000271 rad U15= -0.000002 0.000007 -0.000010 0.000010 0.000000 0.000002 -0.000001 0.000003 0.000008 0.000009 0.000003 0.000000 0.000009 0.000004 -0.000006 0.000001 0.000001 -0.000004 0.000011 0.000001 0.000000 [U] U5= -0.000002 -0.128 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]-1 [P] = 6 7 8 9 10 0.000020 0.000007 -0.000002 -0.000009 0.000009 0.000006 0.000005 11 0 11 -0.000001 -0.000000 -0.001243 m El desplazamiento vertical en los puntos de aplicación de las cargas y el centro de la viga corresponden a los grados de libertad 7.000003 0.000002 -0.000002 -0.000006 -0.000001 0.000003 0.000007 -0.001243m≈1.000005 -0.000002 0.000001 18 0.000000 -0.000003 -0.000007 0.000001 -0.000003 0.000006 0.000000 0.001042 m U10= -0.000009 0.000002 0.000009 0.000002 0.000006 0.000003 -0.000002 0.000005 0.000000 0.000001 0.000002 16 0 16 0.000020 -0.000000 -0.000001 0.000000 0.000754m≈0.000000 -0.000003 0.000003 0.000001 -0.000001 0.000008 -0.000019 -0.000014 0.639 mm V ▼ U11= -0.000001 0.000000 0.000006 13 0 13 0 14 -73.000007 0.000003 9 0 9 0.000002 7 -49.000014 -0.000001 0.001143 m U14= 0.000000 5 0 5 0.000002 0.000003 -0.000001 6 0 6 0.000001 12 -0.000003 0.000006 -0.000002 -0.000006 0.000005 0.000001 -0.000009 0.000007 0.000006 0.000333 rad U11= -0.000002 0.000025 0.000002 -0.000002 0.000005 15 0.000001 -0.05 7 0.000001 17 Fuerzas 5 0.11 y 15: U7=-0.000002 -0.000242 m U18= 0.000001 0.000002 -0.000003 0.000001 -0.000001 -0.000007 0.000003 0.000005 0.000005 -0.000003 -0.000001 0.000003 0.000005 0.000005 0.000000 14 0.000003 -0.000009 -0.000003 -0.000004 0.000003 0.000003 0 12 0.000003 -0.000011 0.000001 -0.000002 0.000003 0.000020 0.000002 -0.000011 -0.000001 0. Reacciones en los empotramientos de la viga Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kt0).00 0.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00 0.1-f.56 3 387700.129 Figura 5.13 0.00 2 0. Deformada de la viga por la acción de las cargas externas.56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . con los desplazamientos calculados como se observó en los ejercicios anteriores [f]= [Kto]*[U] Donde Kt0 será [ Kt0 ] = 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -2326203.00 0.00 0.52 4 4 x 14 Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos ya calculados.56 -1163101.00 1 -1163101.56 387700.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163101.13 1163101. 00114 13 0.00024 17 0.00 0.56 3 387700.56 -1163101.00033 10 x 4 4 x 14 -0.43 -11.00042 18 14 x 1 Las fuerzas calculadas a partir del producto de la sub matriz K t0 por los desplazamientos conocidos son las se muestran en la tabla 5.1-g.00064 7 -0.00051 16 -0.00 1 -1163101.00104 9 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -2326203.52 -0.1 Figura 5.12 9.130 U globales -0.36 7.00 2 0.m Fuerza ton.1.00 0.00035 6 -0.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163101. Fuerza Fuerza kN.18 f4 -117.27 5.00027 14 -0.13 0.0002 5 -0.56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.13 1163101.00 0.56 387700.33 f2 94.00075 15 0.00124 11 -6E-05 12 -0.m f1 52.00 0.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.60 f3 70.00047 8 [ Kt0 ] = -0. Reacciones en los apoyos de la viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .98 Tabla 5.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203. por lo que se necesita conocer sus reacciones.131 5. El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa.1-a. a modo de comprobación y uso de este reconocido programa de análisis y diseño.1 realizado en sap2000 versión académica Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la solicitación de las cargas dadas según la figura 5.2 Ejercicio 5. la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas y en el punto medio de la viga. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-a Resolución: A continuación se presenta el análisis de la viga mediante el programa sap2000 versión académica. Figura 5. Como son ocho elementos de un metro de longitud. Figura 5. y se le da ok (ver figura 5.2-c Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-b).132 Espacio y generación de la cuadricula de trabajo Click en New Model (ver figura 5. Figura 5. se establecen en el programa (Number of Spans=8) y la longitud de cada vano será un metro.2-b.2-b Se designan las unidades (kN.m) y se seleccionan el modelo de viga (Beam) como se muestra en la figura 5.2-d).2-c y 5. Se seleccionan todos los elementos.133 Figura 5.2-d Sap2000 trabaja en los planos x.2-e Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .z donde x es el plano horizontal y z el vertical. Figura 5. luego click en borrar.2-e. y de manera sencilla se tiene la cuadricula de trabajo para la viga como se observa en la figura 5. 2-g).134 Generación de las propiedades de la viga En el menú Define dando click en Materials. se establece las propiedades del material de la viga (ver figura 5. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-f Se da click en Add New Material y se asignan las propiedades del concreto. Figura 5.2-h).mm que son equivalentes a MPa y se le asigna el nombre de concreto de 28 MPa. Modulo de elasticidad (Ec=20GPa) y resistencia del concreto a la compresión (28MPa). los demás datos se dejan por defecto (ver figura 5.2-g y 5. en unidades de N. 135 Figura 5. Figura 5.2-i.2-h Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-h Geometría de la viga En el mismo menú Define se establecen también las propiedades geométricas de la viga como se aprecia en la figura 5. 2k. como se aprecia en la figura 5. Figura 5.2-k Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-j). inmediatamente se despliega el cuadro frame propierties (ver figura 5. Figura 5.2-j Se selecciona en frame section property type. la opcion concreto luego se selecciona el icono de secciones rectangulares.136 Se da click en section propierties y luego en Frame Sections. 4m que tiene lugar en el centro de la viga como se aprecia en las figuras 5. luego se genera otra seccion de viga cuadrada de 0.2-L y 5.7m que es la geometria de la viga en el empotramiento. como se muestra en la figura 5. se crea una seccion inicial de 0.4m x 0.2-n.4m x 0.2-L Figura 5.2-m Figura 5.2-m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .137 Seleccionada la seccion rectangular. con el material asignado de “CONCRETO 28 MPa” y en property Modifiers se modifican las propiedades de la viga asiganado solo al momento de inercia alrededor del eje 3. Figura 5.7m creada.2-n. Sección de 0. Cuadro de frame propierties con la sección de 0.138 Figura 5.4m Una vez creadas las dos secciones.2-o. Se selecciona en frame section property type. la opción other luego se selecciona el icono de secciones no prismáticas (Nonprimatic). como se aprecia en la figura 5.2-p y 5.4m x 0.2-q.4m x 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . en la cual la sección de inicio (star section) será de 0.2-p. como se muestra en la figura 5.4m la variación de la inercia será designada lineal .2-r.4m x 0.4m x 0.139 Figura 5. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 5.2-q Dentro del cuadro de dialogo Nonprismatic section Definition se genera una sección única nombrada sección 1.7m y al final (End section) de 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .140 Figura 5. sección 1 con la inercia variable generada.2-s.2-r Figura 5. recordando que la viga inicia con una sección de 0.4m que corresponde al centro de la viga (ver figura 5. Figura 5. donde finalice será una sección de 0.4m x 07 m donde primero se da el click.2-t Asignamos sección 1para poderla dibujar.2-u) Figura 5.4m x 0.2-t).2-u Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .141 Dibujo de la viga Pasamos luego a dibujar la viga en el menú Draw frame (ver figura 5. esto no difiere en los cálculos teniendo en cuenta el esquema inicial de la viga expuesto en el planteamiento del ejercicio donde solamente el lado inferior de la viga es a que varía linealmente. Se puede observar como sap2000.142 Figura 5. sección 1 dibujada en la hasta la mitad de la viga. Figura 5.2-v. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .1.2-w.1 hasta E. asimila la variación lineal de la inercia de la viga de manera trapezoidal. Dibujando la sección 1 desde A. Dibujo de la sección faltante de la viga iniciando desde I. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 5.2-y.2-x.1 hasta E.1. Viga dibujada.143 Figura 5. selección de los nodos extremos de la viga Figura 5.2-z. Asignación de la condición d empotramiento en los extremos de la viga Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .144 Figura 5.2-aa. Viga con sección asignada y bien empotrada Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-ab.2-ac. Asignación de la condición de empotramiento en los extremos de la viga Figura 5.145 Figura 5. Figura 5.146 Luego se divide la viga en sus 8 secciones de un metro de longitus. Edit lines y Divide Frame somo se muestra en la figura 5.2-ad.2-ae Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . para ellos se entra al menu Edit. Una vez ingresado en el cuadro divide frames. se divide las dos secciones dibujadas manualmente en 4 de un metro de longitud cada una (ver figura 5. Figura 5.2-ae).2-ad. 2-ag Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-af Asignación de cargas actuantes En el planteamiento del ejercicio se observa que existen solo dos fuerzas que actúan en la dirección gravitatoria a dos metros desde los extremos de la viga.2-af.147 Finalmente se puede observar la viga dividida en los 8 vanos conectados por sus nodos y de un metro de longitud como se muestra en la figura 5. Primero se entra en el menú Assign. join loads y forces ver figura 5. Figura 5.2-ag. Figura 5. y se asignas las fuerzas actuantes (ver figura 5.2-ah Figura 5.m. Cargas actuantes sobre la viga en kN Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 5.2-ai.148 Luego se asignan las fuerzas en los nodos indicados según el ejercicio para ello se cambia en el cuadro de dialogo joint forces las unidades a ton.2-ah). para facilidad y operación del programa ya que no existe la necesidad de realizar el análisis en tres dimensiones (ver figura 5. Set Analysis options (ver figura 5.2-aj).149 Análisis de la viga Finalmente se analiza la viga con las secciones. para ello se adentra en el menú Analyze.2-ak Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2-aj Dentro del cuadro de dialogo del analysis options se le dice a Sap2000 que solo realice el análisis en los plans XZ. Figura 5. Figura 5. materiales y condiciones de carga estipuladas anteriormente.2-ak). 2-aL).2-am corrida del programa Sap2000 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Figura 5.2-aL Figura 5.150 Finalmente se le da correr al programa para que lleve a cabo el análisis de la viga en el menú Analyze o con la tecla F5 (ver figura 5. Diagrama de Momentos de la viga en ton.2-an.2-an. Diagrama de deformación de la viga debido a las cargas impuestas Figura 5.151 Resultados del analisis d ela viga Figura 5.m Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 2-ap.2-ao.1 es mínima. Desplazamientos en el centro de la viga debido a las cargas impuestas Se puede observar que la variación con la resolución analítica de la viga y asumiendo secciones rectangulares con alturas equivalentes asumidas en el ejercicio 5. Reacciones de la viga en ton.m Figura 5. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .152 Figura 5. por lo tanto se puede concluir que el programa realizó el análisis de manera acertada o quizás con mayor precisión por tener en cuenta de manera más analítica la variación inercial de la viga. 153 5.3-a.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en el reglamento NSR-10.3-a Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .5 ton/m Figura 5.21 Hz Carga Muerta: 1.45 s Frecuencia: 2.5 ton/m Carga viva: 0. para lo cual es necesario conocer los desplazamientos relativos de piso debido a la carga sísmica de análisis en la dirección x del sistema de coordenadas establecido. Datos generales Ciudad: Cúcuta Grupo de uso: III Perfil del suelo: Tipo E Periodo efectivo en la dirección x: 0. Se desea diseñar el pórtico de la figura 5. 10 Espectro elástico de análisis (A. Fa y Fv). para un coeficiente de cinco por ciento (5%) del amortiguamiento crítico.25 0.35 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .2. CIUDAD Cúcuta CÓDIGO DEL MUNICIPIO 54001 Aa Av ZONA DE AMENAZA Ae Ad 0.1) La forma del espectro elástico de aceleraciones. que se debe utilizar en el diseño.2. Av. Sa expresada como fracción de la gravedad.6-1.09 m2 Inercia de la sección: 0.2.000675 m4 Resolución: Movimientos sísmicos de diseño para la ciudad de Cúcuta (A.2) Con las especificaciones del reglamento se obtiene los coeficientes que están asociados para los movimientos sísmicos de diseño (Aa.25 Alta 0.6.154 Propiedad del concreto y sección transversal: Módulo de elasticidad del concreto (Ec): 20 GPa Área: 0. se da en la figura A. 25 Alta E 0.15. la aceleración efectiva es igual a: Sa= 1.20 0.35 0.00 0.10 1.45 s.155 Resumen de los Movimientos sísmicos de diseño Ciudad Coeficiente de Importancia (Uso III) Zona Sísmica Tipo de Perfil Aa Av Ae Ad Fa Fv Tc Tl To Cúcuta 1.98 7.25 0.05 3.20 Espectro elástico de aceleraciones Se obtiene entonces que para el periodo de 0. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .25 0. 2464 ton 5.5 x 2= 15.3 x 0.4 del reglamento NSR-10. o Cálculo de la masa total de la estructura Asumiendo un peso específico de 2.3) x 2 x 2.3) x 2 x 2.156 Determinación de las fuerzas sísmicas Las cargas sísmicas se calculan a partir de la fuerza horizontal equivalente como está establecido en el capítulo A.070 kg Por lo tanto el cortante sísmico.070 kg Vs=23.07 toneladas ≈ 20.4 ton/m3 para concreto reforzado se obtiene: Columnas: Vigas: Carga muerta: 6. será igual a: Vs= 1.6568 ton 5.81m/s2 x 20.2 x 1.3 x 0. Vs. en la dirección en estudio.15 x 9.15 x (0.2 x (0.4= 2. se obtiene por medio de la siguiente ecuación: Vs = Sa g M donde M es la masa total de la estructura.1 ton Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .16 ton Masa total= 20. El cortante sísmico en la base (Vs) equivalente a la totalidad de los efectos inerciales horizontales producidos por los movimientos sísmicos de diseño.4= 2. en cualquier nivel x.3642ton respectivamente. Fx.157 o Distribución de las masa por entrepiso Figura 5.2 — La fuerza sísmica horizontal.3. debe determina a partir de la siguiente ecuación: Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . o Calculo de la fuerza sísmica horizontal A.4. Se obtiene que la masa que se concentra a 3 y 6 metros será igual a 10.032 ton y 9.3-b. Distribución de las masas en los entrepisos del pórtico A partir de la figura anterior. para la dirección en estudio. 5 segundos. k = 1.042 8.0 Para T ≤ 0. T.5 segundos. ya que T=0.5 segundos.058 15. k = 0.3642 10.158 Donde k es un exponente relacionado con el período fundamental.19 30.0424 23. de la edificación como sigue (a) Para T menor o igual a 0.5 y 2.1 Distribución de las fuerzas sísmicas sobre el pórtico Figura 5. k = 2.75 + 0.35 1.3-c.0 9.032 56.00 Ʃ fi (ton) Ci (ton) 15.0.5 s hi (m) mi mi*(hi^k) Cvi 6 3.45 s < 0.28 0.5 segundos el exponte k será 1.5*T y (c) Para T mayor que 2.65 0. Distribución de las fuerzas sísmicas en el pórtico Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 (b) Para T entre 0.10 86. 3-d. Figura 5. Discretización del pórtico Cabe mencionar que el análisis se realiza sin tener en cuenta las cargas muertas de la estructura.3-d. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . ya que se pretende mediante el análisis dar la rigidez suficiente para controlar las derivas de piso. como se aprecia en la figura 5.159 Análisis de la estructura Discretización del pórtico Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten agrupadas. 00 m B 0.0 0.0 0.0 9000.0 4 0.0 1 0.0 -9000.0 0.0 0.0 9000.57 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 600000.160 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura Elemento 1 Angulo de rotación 90° (1.0 18000.0 0.0 -6000.0 9000.0 5 0.0 -9000.30 m H 0.00 ° Ѳ= 1.0 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.57 rad).0 0.0 9000.0 0.0 2 0.0 6000.0 0. L=3.30 m A= 0.0 0.0 -6000.0900 I= 0.0 18000.0 9000.0 6000.0 0.0006750 Ѳ= 90.0 600000.0 3 -600000.0 m E= 20000000 kpa L= 3.0 0.0 -9000.0 -9000.0 -600000.0 9000. 0 0.00 -9000.57 rad).00 9000.00 600000.0 0.0 0.57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .161 [T]= 0.0900 I= 0.00 -600000.0 0.00 0.00 0.0 0.0 m E= 20000000 kpas L= 3.00 0.00 1 0.00 0.0 0.00 600000.00 9000.0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°). y asociada a los grados de libertad globales del pórtico.0 1. [ K1 ] = 1 2 3 10 11 12 6000.0 -1.0 0.0 0.0 1.00 11 -9000.0 0.0 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 1.00 18000.0 0.0 0.00 -6000.00 m B 0.00 2 -9000.00 10 0.00 9000.00 -9000.0 0.00 0.0 1.0 0.00 0.30 m A= 0.00 0.0 0. L=3.0 0.0 0.00 18000.00 0.0 0.0 0.0 0.00 9000.0006750 Ѳ= 90.00 3 -6000.0 0.0 0.00 0.00 ° Ѳ= 1.00 6000.00 0.00 -600000.0 -1.0 0.00 0.0 0.30 m H 0.0 0.00 9000.0 0.00 9000.00 0.00 12 Elemento 2 Angulo de rotación 90° (1.00 0. 00 0.00 -9000.00 0.00 0. y asociada a los grados de libertad globales del pórtico.00 0.00 -600000.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 5 -9000.00 0.00 0.00 18000.00 0.00 0.162 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k2 ] = 1 2 3 4 5 6 600000.00 5 0.00 0.00 9000.00 1.00 9000.00 9000.00 -1. [ K2 ] = 4 5 6 7 8 9 6000.00 6000.00 9000.00 18000.00 8 -9000.00 0.00 -9000.00 9000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9000.00 0.00 6000.00 0.00 1.00 -9000.00 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k2][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°).00 -9000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18000.00 4 0.00 0.00 0.00 9000.00 0.00 6 -6000.00 0.00 9 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -6000.00 0.00 9000.00 0.00 0.00 9000.00 4 0.00 600000.00 0.00 0.00 0.00 -6000.00 0.00 0.00 6000.00 0.00 9000.00 3 -600000.00 0.00 -9000.00 600000.00 -6000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7 0.00 18000.00 0.00 1 0.00 -600000.00 -600000.00 2 0.00 0.00 600000.00 0.00 9000.00 9000.00 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene [T]= 0.00 1.00 9000. 00 0.57 rad).00 0.0 0.0 0.00 m B 0.0 0.0 -1. L=3.00 2 0.0 0.0 0.00 -6000.0 0.0 0.0 0.0 0.00 5 0.0 0.00 ° Ѳ= 1.0 0.00 3 -600000.0 0.0 0.0 0.00 0.00 9000.0 0.00 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene: [T]= 0.0 1.0006750 Ѳ= 90.00 9000.0 0.0 1.0 0.00 0.00 9000.00 -9000.0900 I= 0.0 m E= 20000000 kpas L= 3.0 -1.0 0.30 m A= 0.00 -9000.00 0.00 1 0.30 m H 0.0 0.00 0.0 0.00 0.0 1.0 0.00 0.57 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k3 ] = 1 2 3 4 5 6 600000.00 9000.0 0.00 0.00 18000.00 6000.163 Elemento 3 Angulo de rotación 90° (1.00 6000.0 1.0 0.0 0.00 9000.0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 -9000.00 -6000.0 0.0 0.00 600000.0 0.00 18000.0 0.00 0.00 9000.00 -600000.00 0.00 -9000.00 4 0.0 0.00 0. 00 0.164 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k3][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°).00 600000.00 18000.00 9000.00 9000.00 0.00 m B 0.00 0.0900 I= 0.00 -600000.30 m H 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10 0.00 0.00 ° Ѳ= 1.00 0.00 9000.00 18000.30 m A= 0. y asociada a los grados de libertad globales del pórtico.00 16 0.00 17 -9000.00 9000.00 9000.00 0.00 18 Elemento 4 Angulo de rotación 90° (1.00 6000.00 600000.00 -9000.57 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.00 0. [ K3 ] = 10 11 12 16 17 18 6000.00 9000. L=3.0006750 Ѳ= 90.00 0.00 -600000.00 -9000.57 rad).00 12 -6000.00 11 -9000.00 -6000.0 m E= 20000000 kpas L= 3. [ K4 ] = 7 8 9 13 14 15 6000.00 0.00 0.00 0.00 9000.00 Realizando la operación matricialmente K global= [T’][k4][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°).00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0. y asociada a los grados de libertad globales del pórtico.00 18000.00 0.165 Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k4 ] = 1 2 3 4 5 6 600000.00 1.00 13 0.00 0.00 9000.00 0.00 9000.00 0.00 4 0.00 0.00 0.00 18000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -6000.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 18000.00 9000.00 0.00 8 -9000.00 0.00 0.00 1.00 9000.00 0.00 -6000.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 9000.00 -9000.00 0.00 -1.00 18000.00 9000.00 0.00 -9000.00 -9000.00 0.00 0.00 600000.00 -600000.00 0.00 14 -9000.00 6000.00 0.00 5 0.00 -600000.00 9000.00 0.00 -600000.00 9000.00 3 -600000.00 600000.00 9000.00 15 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 -9000.00 6000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -9000.00 0.00 0.00 9000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 600000.00 0.00 1 0.00 -6000.00 9 -6000.00 0.00 0.00 0.00 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene: [T]= 0.00 9000.00 0.00 2 0.00 1.00 -9000.00 0.00 6000.00 7 0. 00 973.69 9818.69 4909.70 -2677.70 -2677.00 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m [ k5 ] = 1 2 3 4 5 6 327272.69 9818.18 0.00 -327272.00 -2677.00 2677.57 rad).00 0.73 0.00 16 0.00 0.0 m E= 20000000 kpas L= 5.00 327272.73 0.00 973.69 17 0.00 -327272.70 2677.69 2 0.69 0.30 m A= 0.00 13 0.73 0.00 -973.50 m B 0.00 0.00 0.0006750 Ѳ= 0.73 0.70 -2677. siempre y cuando se asocien los grados de libertad globales del pórtico a elemento como se muestra en la siguiente matriz.00 -2677. [ K5 ] = 16 17 18 13 14 15 327272.18 6 Dado que no existe rotación del sistema para este elemento.00 0.18 0.00 4 0.69 0.00 0.69 0.00 973.69 5 0.70 -2677.00 1 0.00 -2677.69 4909. la matriz de rigidez global es la misma local.00 327272.30 m H 0.09 0.00 -973.00 -2677.00 2677.73 0.09 3 -327272.73 0.00 2677.00 0.09 18 -327272.166 Elemento 5 Angulo de rotación 0° (1. L=3.70 2677.69 0.00 973.00 -973.00 -973.00 2677.0900 I= 0.69 9818.70 2677.18 15 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .73 0.69 4909.70 2677.09 0.69 14 0.69 9818.00 ° Ѳ= 0.00 0.73 0.69 4909. 00 -2677.00 10 0.70 -2677.09 3 -327272.09 0.00 0.73 0.69 4909.69 4909.18 0.0 m E= 20000000 kpas L= 5.00 2677.69 8 0.69 0.70 2677.00 -973.69 9818.70 2677.00 0.00 973.69 4909.00 -973.73 0.00 2677.0900 I= 0.73 0.00 2677.69 0.18 0.00 -2677.00 -973.69 11 0.00 1 0. para este no existe rotación del sistema por lo tanto la matriz de rigidez global es la misma local.73 0.70 -2677.69 5 0.09 0.09 12 -327272.0006750 Ѳ= 0. siempre y cuando se asocien los grados de libertad globales del pórtico a elemento como se muestra en la siguiente matriz.00 327272.30 m A= 0.73 0.73 0.18 9 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .30 m H 0.69 9818.00 0.00 327272.00 0.73 0.69 4909.00 -2677.00 0.00 -2677.00 0.167 Elemento 6 Angulo de rotación 0° (1.00 -327272.00 7 0.00 rad Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m [ k6 ] = 1 2 3 4 5 6 327272.00 -973.00 ° Ѳ= 0.00 -327272.70 -2677. L=3.70 2677.18 6 Al igual que el elemento 5.69 0.57 rad). [ K6 ] = 10 11 12 7 8 9 327272.00 973.73 0.69 2 0.00 2677.00 0.00 973.00 973.50 m B 0.70 2677.00 4 0.69 9818.69 0.00 0.69 9818.70 -2677. 168 Matriz de rigidez del pórtico (kN/m) [Kp] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 1 0 600000 0 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 0 0 0 0 0 2 -9000 0 18000 0 0 0 0 0 0 9000 0 9000 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 6000 0 -9000 -6000 0 -9000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 600000 0 0 -600000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 -9000 0 18000 9000 0 9000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 -6000 0 9000 339273 0 0 -327273 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 7 0 0 0 0 -600000 0 0 1200974 -2678 0 -974 -2678 0 -600000 0 0 0 0 8 0 0 0 -9000 0 9000 0 -2678 45818 0 2678 4909 9000 0 9000 0 0 0 9 -6000 0 9000 0 0 0 -327273 0 0 339273 0 0 0 0 0 -6000 0 -9000 10 0 -600000 0 0 0 0 0 -974 2678 0 1200974 2678 0 0 0 0 -600000 0 11 -9000 0 9000 0 0 0 0 -2678 4909 0 2678 45818 0 0 0 9000 0 9000 12 0 0 0 0 0 0 -6000 0 9000 0 0 0 333273 0 9000 -327273 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 0 0 0 600974 -2678 0 -974 -2678 14 0 0 0 0 0 0 -9000 0 9000 0 0 0 9000 -2678 27818 0 2678 4909 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6000 0 9000 -327273 0 0 333273 0 9000 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -600000 0 0 -974 2678 0 600974 2678 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9000 0 9000 0 -2678 4909 9000 2678 27818 18 La matriz es simétrica de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la estructura y está en unidades de kN/m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 169 Vector de fuerzas externas gdl Fuerzas 1 Ax 2 Ay 3 MA 4 Bx 5 By 6 MB 7 39,5 8 0 9 0 10 39,5 11 0 12 0 13 73,706 14 0 15 0 16 73,706 17 0 18 0 Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a los grados de libertad de la estructura según la discretización (ver figuras 5.2-b y 5.2-c). Vector de desplazamientos La rigidez (K) está dada por ?= F U [U]= [K]-1 [F] Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 170 Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K 00]-1 [F] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 339272,7 0,0 0,0 -327272,7 0,0 0,0 -6000,0 0,0 -9000,0 0,0 0,0 0,0 7 0,0 -973,7 -2677,7 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8 45818,2 0,0 2677,7 4909,1 9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 1200973,7 -2677,7 0,0 -2677,7 -327272,7 0,0 0,0 339272,7 0,0 -973,7 2677,7 0,0 0,0 -2677,7 4909,1 0,0 2677,7 45818,2 0,0 0,0 -6000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 333272,7 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -9000,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 9000,0 0,0 0,0 0,0 -6000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -600000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -9000,0 0,0 9000,0 0,0 -2677,7 [K00] = 1200973,7 2677,7 9000,0 -327272,7 9000,0 -327272,7 600973,7 -2677,7 0,0 -9000,0 10 0,0 11 9000,0 12 0,0 13 0,0 -973,7 -2677,7 14 27818,2 0,0 2677,7 4909,1 15 0,0 0,0 333272,7 0,0 9000,0 16 -973,7 2677,7 0,0 600973,7 2677,7 17 4909,1 9000,0 2677,7 27818,2 18 -2677,7 Obteniendo la inversa de la matriz K00 resulta [K00]-1 = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00019 0,00000 -0,00001 0,00019 0,00000 -0,00001 7 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 8 -0,00003 0,00000 0,00004 -0,00003 0,00000 0,00001 -0,00007 0,00000 0,00000 -0,00007 0,00000 0,00001 9 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00013 0,00000 -0,00003 0,00019 0,00000 -0,00001 0,00019 0,00000 -0,00001 10 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 11 -0,00003 0,00000 0,00001 -0,00003 0,00000 0,00004 -0,00007 0,00000 0,00001 -0,00007 0,00000 0,00000 12 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00048 0,00000 -0,00006 0,00047 0,00000 -0,00006 13 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 14 -0,00001 0,00000 0,00000 -0,00001 0,00000 0,00001 -0,00006 0,00000 0,00005 -0,00006 0,00000 0,00000 15 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00019 0,00000 -0,00007 0,00047 0,00000 -0,00006 0,00048 0,00000 -0,00006 16 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 17 -0,00001 0,00000 0,00001 -0,00001 0,00000 0,00000 -0,00006 0,00000 0,00000 -0,00006 0,00000 0,00005 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 00000 0.00019 0.00003 0.00000 0.00000 0.00006 0.00000 0.00000 0.00000 0.00047 0.00001 -0.00000 0.00 14 -0.00000 0.01357 rad U10= 0.00000 0.00000 -0.00003 0.00013 0.00000 0.00013 0.00001 7 39.00000 0.00001 0.00001 0.00 15 0.00000 0.706 16 12 x 1 Los desplazamientos se la estructura para cada grado de libertad serán: U7= 0.00013 0.00000 -0.00000 0.00000 0.50 10 0.00001 0.00 9 0.00048 0.00000 0.00007 0.00006 13 X 73.00000 0.00000 0.00000 -0.00 18 12 x 12 73.00028 m U15= -0.00001 0.00003 0.00020 m U12= -0.00000 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00900 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00000 0.00000 -0.00004 -0.00003 0.00019 0.00000 0.00001 10 39.00000 0.00000 0.00001 0.00000 0.00003 0.00000 0.00003 0.00000 0.00019 0.00019 0.00006 0.03922 m U8= -0.00000 0.00000 0.00000 -0.00000 -0.00019 0.00000 0.00007 0.00003 0.50 7 0.00000 0.00000 14 0.00000 0.00000 0.00019 0.00005 -0.00019 0.00000 -0.00000 -0.00001 -0.00005 18 0.00007 0.706 13 0.00000 12 0.00000 0.00000 0.00001 -0.00000 8 0.00 12 0.00000 17 0.00000 0.00000 0.00006 0.08536 m U17= 0.00000 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000 0.00004 -0.00000 0.00006 0.00 17 -0.03922 m U11= 0.00000 -0.00 8 -0.00007 0.00000 15 0.00006 16 0.00 11 -0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.00000 11 0.00048 0.00003 0.00013 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.00000 0.00028 m U18= -0.00000 0.00000 0.00001 0.00007 0.00001 -0.00001 -0.00000 0.00006 0.00000 0.01357 rad U13= 0.00007 0.00007 0.00047 0.00000 0.00000 0.08536 m U14= -0.00001 9 0.00000 -0.00006 0.00000 -0.00007 0.00900 rad U16= 0.00000 0.00020 m U9= -0.00000 -0.00000 -0.171 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]-1 [F] [U] = Fuerzas 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0.00000 0.00000 -0.00019 0.00000 0.00000 0.00000 0. 0 0.0 0.0 0.172 Figura 5.0 9000.0 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0. deformada de la viga por la acción de las cargas externas.0 0.0 9000.0 0.0 1 0.0 0. Reacciones en los empotramientos de la viga Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kto).0 5 9000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0. con los desplazamientos calculados resulta [F]= [Kf]*[U] Donde Kto será [ Kto ] = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0.0 0.0 3 -6000.0 0.0 0.0 0.0 -6000.0 -600000.0 6 6 x 12 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 9000.0 0.0 4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3-e.0 0.0 0.0 0.0 -600000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -9000.0 -9000.0 0. 03922 10 0.0 0.0 0.m) Fuerza (ton.0 0.0 0.0 0.0 0.95 -12.0 0.0 5 -0.0 0.0 0.0 0.0 -6000.21 -11.87 23.0 0.0 -9000.55 Ay -119.0 0.0 3 -0.08536 16 0.56 Bx -113.00028 14 9000.0 0.56 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.0 0.0 4 0.0 0.0 0.0 -9000.0 0.00900 15 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00900 18 X 6 x 12 12 x 1 Por lo tanto las fuerzas serán Fuerza Fuerza (kN.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1 0.0 0.0 0.0 -600000.00020 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.08536 13 0.0 0.0 0.0 0.03922 7 -0.0 0.24 MB 230.0 0.0 0.0 0.0 0.173 Las reacciones en la base del pórtico serán entonces: [U] [ Kto ] = 0.0 0.01357 12 -6000.95 12.0 0.0 0.0 9000.0 9000.55 By 119.0 2 0.21 -11.00020 11 0.01357 9 0.24 MA 230.0 0.0 0.0 0.00028 17 -0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -600000.0 0.0 0.0 0.0 0.87 23.m) Ax -113.0 9000.0 0.0 6 -0. 5.3-f.1 según el reglamento NSR-10 Ec= 4700√?´? en MPa ecu.2.1 Una alternativa es estimarlo a partir del modelo matemático expuesto en los comentarios oficiales del reglamento. pero cuando se exige a tensión su respuesta es deficiente por eso la necesidad del concreto reforzado con barras de acero. cuya expresión es el valor medio Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Ec= 3900√?´? en MPa ecu. El módulo de elasticidad del concreto está dado por la ecuación 5. Reacciones en la base del pórtico El concreto es un material que soporta eficientemente esfuerzos a compresión.2 Y es el producto de la investigación realizada por la universidad de los Andes y Javeriana con diversos agregados del país.174 Figura 5. en el cual se establece que el módulo de elasticidad del concreto será el expresado en la ecuación 5. 5. como se observa en la figura 5. surge entonces un interrogante ¿el módulo de elasticidad del concreto a compresión es el mismo si se calcula a partir de ensayo a tensión? Se ha demostrado a través de ensayos a tensión de cilindros de concreto. ígneo o metamórfico). que el módulo de elasticidad del concreto a tensión en tan pequeño que tiende a cero.3-h Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .3-g). Curvas de esfuerzo deformación del concreto sometido a esfuerzos de compresión Ahora bien.2-g. Figura 5. sin distinguir el tipo de agregado debido a su origen geológico (sedimentario. este módulo de elasticidad se obtiene a partir de ensayos a compresión en el concreto (ver figura 5.175 para toda la información experimental nacional. 3-h. como se ha desarrollado en los ejercicios del texto. 1 [K] 2 3 0 0 4 - 5 6 0 0 1 0 0 - 2 0 0 - 3 = 0 0 0 - 0 - 0 0 0 0 - 4 5 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Concreto sometido a esfuerzos de tensión Revisando la matriz de rigidez de los elementos que involucra esta variable. se aprecia que su valor es constante.176 Figura 5. el módulo de elasticidad dentro de la matriz de rigidez siempre será constante. Una forma de disminuir la incertidumbre. como se observa en la figura 5. en el cual una de las columnas estará sometida a tensión y la otra a compresión para conservar el equilibrio estático.3-i. que la fuerza axial que concentra un elemento por las cargas muertas sea mayor o igual a las fuerzas de tensión que se calculan a partir del análisis sísmico de la estructura dividida entre un factor de seguridad que será mayor o igual a 1. es decir.177 No importa si los elementos se deformen por compresión o tensión. se presentan variaciones en las propiedades mecánicas del concreto ante diversos regímenes de esfuerzos. Cuando se analizan estructuras de concreto como la anterior. automáticamente se calculan desplazamientos a partir de un módulo de elasticidad que para ciertos elementos no resulta real. para controlar derivas y calcular posteriormente las fuerzas internas de diseño teniendo en cuenta la ductilidad de la estructura. por lo tanto cuando las fuerzas internas de elementos en concreto resulten a tensión como el ejercicio anterior. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0) De esta manera se podría tener una aproximación de los desplazamientos de la estructura o se realizaría el análisis de la estructura con las cargas de sismo y cargas muertas. es obtener comparaciones estratégicas de las cargas axiales por sismo y cargas muertas de la estructura.0. PD ≥ PS fs Dónde: PD: fuerza axial por cargas muertas PS: fuera axial de tensión por sismo fs: Factor de seguridad (fs≥ 1. Cargas muertas y de sismo en el pórtico Aun así es necesario establecer nuevas metodologías de análisis para estructuras en concreto que realmente reflejen estas fluctuaciones de las propiedades mecánicas del concreto bajo diferentes estados de esfuerzos y llegar a una aproximación más real del comportamiento de la estructura por la acción de cargas externas. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .3-i. principalmente de sismo.178 Figura 5. 7 m. no considere el peso propio. Figura 5. 2 y 5)= ?ℎ (ver figura 5.7 m h= variable Inercia (elem. El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa. 1.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una columna.3-b) Inercia elementos 3 y 4= variable Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .179 5. Se desea conocer las reacciones y deflexiones de los extremos de los voladizos para las cargas externas a las cuales está sometida la estructura. el ancho de los todos los elementos es de 0.4-a Resolución: E= 20 000 000 KPa b= 0. 180 Discretización de la estructura Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 5 unidos por nodos que tendrán tres posibilidades de desplazamiento.4-b. Realizando el cálculo de manera analítica de los elementos 3 y 4 resulta Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . horizontal. será necesario su cálculo de manera analítica para sustituir luego en la matriz de rigidez de estos elementos. Discretización de la estructura Las variables necesarias para construir la matriz de rigidez local de los elementos están establecidas como lo es E y A pero la inercia de los elementos 3 y 4 son variables. vertical y de giro como se muestra a continuación. Figura 5. 51) 0.5b= 0.0.75=a(2.535x La inercia de la sección será .y) = (2.0. ????)??= 1.25 .36 m2 A= 1.7*∫0 (?. 1 Punto No 3: (x.36 m2 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0938x2 + 0.51=a(1.21b= 0.5 = ∗ 0.464a+1.535x) h= 1.0) 0=a(0)+b(0)+c Por lo tanto c= 0 Punto No 2: (x.51 6. Punto No 1: (x.21)2+b(1.5)2+b(2.y) = (0. b y c.21b= 0.5.535 Por lo tanto la ecuación que describe la variación de la altura del elemento en función de x será: h=1.(-0.181 h varia respecto a x.y) = (1.7 m.754 a= -0.75) 0.25 + 0. La función que describe esta variación será de la forma y= ax2+bx+c Evaluando la ecuación para cada punto se obtienen los coeficientes a. el ancho de la viga es constante e igual a 0.51 Ec.21) 1. 7) Resolviendo la integral.0938x2 -0.5) 6.25a+2. ?????? − ?.0858 m4 .5 A= bh= 0.0938 b= 0.464a+1.7 ∗ ( . 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 1.25a+2. ????) ?? = ∗ 0.754 Ec.7 ∗ ∫0 (?. ?????? − ?. I= 0.5b= 0. ?? + ?. ?? + ?.21. 96 848484.00 0.0 m E= 20000000 kpas L= 5.05833 m4 Ѳ= 90.26 0.00 0.55 0.00 1.00 -231404.00 231404.00 0.50 m B 0.00 -1.00 0.85 6 Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene: [ T] = 0.00 0.00 0.00 84147.00 0.00 0.00 0.00 -2545454.26 -231404.00 0.00 0.55 0.00 1 0.42 3 -2545454. L=3.00 0.00 0.00 84147.96 -231404.00 231404.96 424242.182 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura Elemento 1: Angulo de rotación 90° (1.55 0.96 2 0.00 0.96 0.00 0.00 2545454.00 4 0.00 1.00 0.96 5 848484.00 -1.00 ° Sustituyendo los valores de E.00 0.00 0.26 231404.00 m A= 0.00 -84147.00 0.00 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .00 0.42 0.00 0.85 0.00 -84147.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.96 424242.00 0.00 0.96 0. A y I se obtiene la Matriz de rigidez en coordenadas locales presentada en capítulo 1 del presente texto: [ k1 ] = 1 2 3 4 5 6 2545454.00 1.26 231404.70 m H 1.00 0.7000 I= 0.00 0.55 0.00 -231404.57 rad).00 0.00 0.00 0.00 0. 5 m E= 20000000 kpas L= 2. [ K1 ] = 1 2 3 10 11 12 84147 0 -231405 -84147 0 -231405 1 0 2545455 0 0 -2545455 0 2 -231405 0 848485 231405 0 424242 3 -84147 0 231405 84147 0 231405 10 0 -2545455 0 0 2545455 0 11 -231405 0 424242 231405 0 848485 12 Elemento 2: Angulo de rotación 0°.50 m A= 0.70 m H 0.3500 m2 I= 0.50 m B 0. y asociada a los grados de libertad globales de la estructura.00 ° Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k2] = 1 2 3 4 5 6 2800000 0 0 -2800000 0 0 1 0 112000 140000 0 -112000 140000 2 0 140000 233333 0 -140000 116667 3 -2800000 0 0 2800000 0 0 4 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 5 0 140000 116667 0 -140000 233333 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .183 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento 1 (girado los 90°).00729 m4 Ѳ= 0.L=2. 50 m B 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.70 m H variable A= 1.5 m E= 20000000 kpas L= 2.0 1.0 0.0 0.L=2.0 0.0 0.0 0.0 1. pero asociado a los grados de libertad globales.0 1.0 0.08580 m4 Ѳ= 0.0 0. [ K2] = 4 5 6 7 8 9 2800000 0 0 -2800000 0 0 4 0 112000 140000 0 -112000 140000 5 0 140000 233333 0 -140000 116667 6 -2800000 0 0 2800000 0 0 7 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 8 0 140000 116667 0 -140000 233333 9 Elemento 3: Angulo de rotación 0°.3600 m2 I= 0.0 0.00 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.0 0.0 0.0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local.0 0.0 0.0 0.0 1.00 ° Ѳ= 0.0 0.0 0.0 1.184 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°.0 0.0 0. [ T] = 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0. 0 0.0 3 -13600000.0 1716000.0 8 0.0 -13600000.0 4 0.00 0.0 2574000.00 0.0 0.0 0.00 0.0 0.0 0. pero asociado a los grados de libertad globales.0 0.0 0.0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 10 12 .0 -2574000.00 0.0 2574000.00 0.0 1 0.00 0.00 0.0 0.185 Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k3] = 1 2 3 4 5 6 13600000.00 0.0 2574000.0 -2574000.0 -2574000.00 0.00 0.00 0.00 1.0 1716000.0 -13600000.00 0.0 0.0 0.00 0.00 0.0 3432000.0 5 0.00 0.0 0.0 -2574000.0 2574000.0 13600000.0 0.0 0.00 0.0 0.00 1.0 1716000.00 0. [ T] = 1.0 6 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°.0 0.0 0.00 0.0 2574000.0 0.0 2574000.0 3432000.0 2574000.0 13600000.0 0.0 -2574000.0 -2574000.00 0.0 0.00 1.0 -2574000.00 1.00 0.0 0.0 -2574000.0 9 -13600000.0 0.0 2574000.00 0.0 2574000.00 0.00 0.00 0.0 0.00 0.0 -2574000.00 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local.00 0.0 0.0 -2574000.0 -2574000.0 2574000. [ K3] = 7 8 9 10 11 12 13600000.0 3432000.0 2 0.0 7 0.0 -2574000.00 0.0 3432000.0 2574000.00 0.0 2574000.00 0.00 1.0 1716000.0 11 0.0 0.0 0.00 0. 0 0.00 ° Ѳ= 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 13600000.0 1.0 0.0 3432000.0 2574000.0 -13600000.186 Elemento 4: Angulo de rotación 0°.70 m H variable A= 1.0 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 6 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°.0 0.0 0.0 0.0 0.00 rad Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k4] = 1 2 3 4 5 6 13600000.L=2.0 0.0 0.0 5 0.0 2574000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0. [ T] = 1.0 0.0 0.0 -2574000.0 0.0 2 0.0 1.0 0.0 0.0 2574000.0 0.0 0.0 0.0 -2574000.0 2574000.0 0.0 0.0 0.0 -2574000.0 0.0 1716000.0 0.0 0.0 0.0 3432000.0 4 0.3600 m2 I= 0.0 2574000.0 3 -13600000.0 0.0 1716000.0 0.0 0.0 1 0.0 1.08580 m4 Ѳ= 0.0 0.50 m B 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2574000.0 -2574000.0 0.0 -2574000.0 1.0 -2574000.5 m E= 20000000 kpas L= 2. [ K4] = 10 11 12 13 14 15 13600000.0 0.0 2574000.0 -140000.0 12 -13600000.0 3432000.0 0.0 -2574000.0 13600000.0 1716000.0 2574000.0 140000.5 m E= 20000000 kpas L= 2.0 -2574000.0 2800000.0 -140000.3 6 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 -2574000.0 233333.L=2.3 0.0 0.7 3 -2800000.0 0.0 140000.0 2574000.7 0.0 -112000.0 0.0 -2574000.0 0.50 m B 0.0 112000.0 0.0 140000. pero asociado a los grados de libertad globales.0 2 0.0 0.3500 m2 I= 0.0 2574000.0 0.0 -2800000.0 10 0.0 14 0.0 0.50 m A= 0.0 -2574000.0 0.0 0.187 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local.0 3432000.0 116666.0 11 0.0 -13600000.70 m H 0.0 15 Elemento 5: Angulo de rotación 0°.0 -2574000.0 1 0.0 0.0 4 0.0 1716000.0 -112000.0 0.0 -140000.0 116666.0 13 0.0 0.0 0.0 -140000.00 ° Matriz de rigidez en coordenadas locales [ k5] = 1 2 3 4 5 6 2800000.0 2574000.0 0.0 112000.0 2574000.00729 m4 Ѳ= 0.0 0.0 0.0 140000.0 0.0 5 0.0 233333.0 0.0 0. 0 0.0 1.0 -140000.188 Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento pórtico se obtiene la matriz identidad significa que no hay giro pues el Angulo es 0°.0 116666.0 0.3 0.0 112000.0 140000.0 0.0 0.0 0.7 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 140000.3 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 0.0 233333.0 112000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0. pero asociado a los grados de libertad globales.0 0.0 0.0 -140000.0 233333.0 -112000.0 0.0 1.0 0.0 0.0 -112000.0 0.0 0.0 13 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -140000.0 0.0 0.0 0.0 -140000.0 0.0 0.0 17 0. [ K5] = 13 14 15 16 17 18 2800000.0 0.0 -2800000.0 0.0 140000.0 140000.0 0. [ T] = 1.0 0.0 116666.0 0.0 16 0.0 2800000.0 1.0 0.0 1.7 15 -2800000.0 0.0 0.0 0.0 Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento que coincide con la local.0 14 0.0 0. 189 Matriz de rigidez del pórtico [ Ke] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 84147 0 -231405 0 0 0 0 0 0 -84147 0 -231405 0 0 0 0 0 0 1 0 2545455 0 0 0 0 0 0 0 0 -2545455 0 0 0 0 0 0 0 2 -231405 0 848485 0 0 0 0 0 0 231405 0 424242 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2800000 0 0 -2800000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 112000 140000 0 -112000 140000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 140000 233333 0 -140000 116667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 -2800000 0 0 13680000 0 0 -10880000 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 -112000 -140000 0 1429888 1507360 0 -1317888 1647360 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 140000 116667 0 1507360 2978933 0 -1647360 1372800 0 0 0 0 0 0 9 -84147 0 231405 0 0 0 -10880000 0 0 21844147 0 231405 -10880000 0 0 0 0 0 10 0 -2545455 0 0 0 0 0 -1317888 -1647360 0 5181231 0 0 -1317888 1647360 0 0 0 11 -231405 0 424242 0 0 0 0 1647360 1372800 231405 0 6339685 0 -1647360 1372800 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10880000 0 0 13680000 0 0 -2800000 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1317888 -1647360 0 1429888 -1507360 0 -112000 140000 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1647360 1372800 0 -1507360 2978933 0 -140000 116667 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2800000 0 0 2800000 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -112000 -140000 0 112000 -140000 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 140000 116667 0 -140000 233333 18 La matriz es simétrica de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la viga y está en unidades de kN/m. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 9 6 0 7 0 8 -147 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 -98 15 0 16 0 17 -4.9 18 0 Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a los grados de libertad de la viga según la discretización. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .190 Vector de fuerzas externas gdl fuerzas 1 F1 2 F2 3 F3 4 0 5 -4. 0 -2800000.0 0.0 0.0 1372800.0 0.0 0.0 0.0 -140000.0 0.0 0.0 -140000.0 0.0 -1647360.0 0.0 -140000.0 0.0 14 0.0 -1317888.0 0.0 0.0 233333.0 0.0 0.0 116666.0 231405.0 0.0 231405.0 0.0 0.0 1429888.0 1507360.0 0.8 0.0 233333.0 2978933.0 4 0.0 9 0.0 0.0 0.0 140000.0 13 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -112000.0 0.0 1647360.0 0.0 140000.0 0.0 140000.0 -1317888.0 0.0 -2800000.0 1372800.0 6339684.0 0.0 112000.0 0.0 0.0 21844147.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1507360.0 0.7 15 0.0 0.0 -140000.0 1647360.0 0.0 1647360.0 12 0.0 0.0 0.0 140000.0 0.0 2800000.0 0.3 0.0 -140000.0 -1317888.0 0.0 0.0 0.0 -10880000.5 0.0 0.0 0.7 0.0 0.3 0.0 0.0 -1647360.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 116666.0 0.0 0.0 -10880000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -112000.0 -112000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.191 Vector de desplazamientos La rigidez (K) está dada por ?= F U [U]= [K]-1 [F] Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K]-1 [F] [K00] = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2800000.0 16 0.0 0.0 17 0.0 0.7 0.0 140000.0 0.0 1429888.0 0.0 0.0 0.0 -2800000.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1507360.0 0.0 13680000.0 2978933.0 0.0 0.0 0.0 0.0 116666.0 0.0 112000.0 7 0.0 0.0 -1647360.7 0.0 0.0 -10880000.0 0.0 0.0 0.0 -10880000.0 0.0 -1647360.0 0.0 0.0 0.3 0.0 1372800.0 11 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1317888.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 5 0.0 8 0.0 0.0 -140000.0 5181230.0 1372800.0 0.3 18 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .0 140000.0 116666.0 1507360.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6 -2800000.0 0.0 13680000.0 0.0 0.0 0.0 1647360.0 10 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -112000.0 0. 000013 -0.000013 0.000032 0.000006 -0.000024 5 -0.000024 0.000013 0.000032 -0.000000 0.000006 -0.000012 0.000013 0.000000 0.000013 0.000013 0.000005 -0.000013 -0.000029 0.000032 -0.000014 0.000032 -0.000013 0.000012 0.000032 0.000000 0.000067 0.000048 0.000029 0.000013 0.000032 0.000013 7 0.000006 -0.000012 0.000065 -0.000050 0.000005 9 0.000013 0.000013 0.000029 0.000014 0.000032 -0.000067 -0.000012 -0.000013 0.000048 0.000013 0.000029 -0.000065 -0.000013 -0.000048 -0.000013 0.000013 0.000000 0.000013 13 -0.000000 -0.000014 0.000048 0.000012 -0.000050 0.000032 -0.000006 -0.000048 -0.000065 0.000000 0.000000 -0.000048 0.000000 -0.000005 -0.000065 0.000032 -0.000014 14 -0.000013 0.000000 11 -0.000012 0.000013 0.000065 -0.000048 0.000050 17 -0.000000 0.000059 -0.000013 0.000050 0.000014 -0.000023 -0.000005 6 0.000013 0.000065 -0.000013 0.000059 -0.000013 0.000033 -0.000005 -0.000024 0.000013 0.000012 -0.000024 0.000067 -0.000048 0.000000 -0.000000 0.000048 0.000013 -0.000000 0.000005 -0.000013 0.000013 0.000024 -0.000000 -0.000000 0.000013 10 0.000065 -0.000065 -0.000013 -0.000013 0.000005 -0.000048 -0.000013 0.000048 0.000048 0.000065 -0.000012 0.000000 0.000048 -0.000005 -0.000048 -0.000048 -0.000013 -0.000048 0.000048 0.000000 0.000014 0.000175 0.000048 0.000013 0.000014 0.000013 -0.000006 15 0.000006 -0.000000 0.000032 -0.000048 -0.000024 0.000033 0.000012 0.000013 0.000000 0.000000 -0.192 Obteniendo la inversa de la matriz K00.000032 -0.000024 0.000005 -0.000029 0.000013 -0.000032 -0.000065 -0.000013 0.000065 -0.000013 0. resulta [K00]-1= 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0.000024 0.000013 0.000013 16 -0.000048 -0.000065 -0.000000 0.000067 0.000032 0.000048 0.000000 0.000065 0.000032 -0.000000 -0.000005 -0.000048 -0.000000 0.000032 -0.000065 -0.000013 0.000000 0.000013 0.000005 -0.000013 0.000000 0.000012 0.000117 0.000032 -0.000032 -0.000005 -0.000032 -0.000013 4 0.000065 0.000175 -0.000048 0.000032 0.000000 0.000013 0.000013 -0.000013 -0.000023 18 Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]-1 [P] Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .000048 0.000117 -0.000013 0.000014 0.000005 -0.000005 -0.000059 0.000065 0.000029 -0.000000 0.000024 0.000065 0.000005 12 0.000032 0.000012 8 -0.000065 -0.000005 -0.000024 -0.000005 -0.000065 -0.000024 0.000065 -0.000000 0.000012 0.000059 0.000024 -0.000048 -0.000013 0. 000000 0.000000 0.000013 16 0.000065 -0.000006 15 0.000014 0.000032 -0.000065 -0.000032 -0.000000 11 0.000013 0.000048 0.000059 0.0 8 -0.000032 -0.000024 0.000065 0.000012 -0.000024 0.000032 -0.000013 -0.0 9 0.000065 -0.000013 0.000065 -0.000005 -0.9 5 -0.000067 -0.000023 18 0.000005 -0.000048 -0.000000 -0.000059 -0.000050 17 -4.000005 -0.000013 0.0 18 Los desplazamientos se la estructura para cada grado de libertad serán: U4= -0.000033 0.000000 -0.000013 -0.000006 -0.000000 0.000029 0.000012 0.000013 0.000065 -0.000032 -0.0 7 0.000032 -0.0002673 rad Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos Fuerzas X .000012 0.000024 0.000048 0.000005 9 0.000005 -0.000065 -0.0005775 rad U13= -0.000005 -0.000013 0.0015881 m U5= -0.0 11 -0.0 4 0.000005 -0.000013 -0.000048 0.000032 -0.000000 0.000117 -0.000048 -0.000012 0.000059 0.000005 6 0.000013 0.0020272 m U9= 0.000050 0.000006 -0.000050 0.000048 0.000000 0.000013 -0.0009770 rad U7= -0.000006 -0.000048 -0.000032 -0.000175 0.000067 0.000032 -0.0 16 -0.000067 0.000013 0.000013 13 0.000013 0.000065 -0.000032 -0.0 6 0.0 14 -0.000048 -0.000005 12 0.000000 0.000032 0.000067 -0.0015881 m U17= 0.000013 10 0.000005 -0.000000 0.000013 0.000048 0.000000 0.000024 5 -4.000013 0.000013 0.000013 0.000014 14 -98.000065 -0.000006 -0.000000 0.000013 -0.000013 0.000029 0.000013 0.000000 0.000013 0.000013 0.000013 0.000029 0.000065 0.0 12 0.0043821 m U6= 0.000048 0.000065 0.000000 0.0010090 m U15= 0.000013 0.000012 0.000000 -0.000012 0.000013 -0.000065 -0.000029 0.000023 -0.000048 0.000065 -0.000000 0.0015881 m U11= -0.0001001 m U12= 0.000024 0.000013 0.000000 0.000048 -0.000012 8 -147.000000 0.000175 -0.000014 0.000048 -0.000048 0.000000 -0.000000 -0.000012 0.000032 -0.000013 0.000024 -0.000000 0.000013 0.000005 -0.000012 -0.000013 0.000013 0.000000 0.000032 -0.000048 0.000013 0.000013 -0.0017647 m U18= 0.000000 -0.000005 -0.000013 0.000014 0.193 [U] = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0.000000 0.0003723 rad U16= -0.0015881 m U14= 0.000032 0.000000 0.000050 0.0 10 0.000032 -0.000024 0.000013 4 0.000013 0.000029 -0.000048 -0.000013 0.000013 0.000005 -0.000024 -0.000065 0.000032 0.000032 0.000024 0.000013 0.000065 -0.000032 0.000013 -0.000065 -0.000024 0.000065 -0.000014 0.000014 0.000048 0.000013 0.000013 -0.000013 7 0.000005 -0.000006 -0.0 13 -0.000029 -0.000013 -0.000065 0.000005 -0.000014 0.000048 0.000048 0.000000 0.000012 0.000048 -0.000013 0.000032 0.000024 -0.000013 0.000000 0.000059 -0.000013 0.000032 -0.000005 -0.000012 -0.0015881 m U8= -0.000024 0.000065 0.000013 0.000048 -0.000033 -0.9 17 -0.000000 0.000000 -0.0008720 rad U10= -0.000012 0.000065 -0.000048 -0.000117 0.0 15 0.000048 0.000014 -0.000048 0.000013 0.000048 0.000005 -0. 5 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 231405.0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -2545454. con los desplazamientos calculados [F]= [Kto]*[U] Donde Kto será igual a: [Kto] = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0 0 0 0 0 -84147.4 0 0 0 0 0 0 3 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos .194 Figura 5. Deformada de la estructura por la acción de las cargas externas Reacciones en los empotramientos de la viga Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kt0).0 0 424242.3 0 -231405.4-c. 0 0 424242.00097697 6 -0.0 F3 -122.00158812 4 -0.3 0 -231405.00037226 15 -0.00176468 17 0.00158812 16 0.0020272 8 [F] = 0.00158812 13 0.00158812 7 -0.195 Las reacciones en la base del pórtico serán entonces [U] -0.00026726 18 De la operación matricial anterior resulta Fuerza Asociada Fuerza kN.0005775 12 -0.50 -12.00100902 14 0.00438213 5 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 231405.4 0 0 0 0 0 0 3 2 -0.m F1 0.00158812 10 X -0.m Fuerza ton.0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -2545454.00087197 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0 0 0 0 0 -84147.0 0.0 F2 254.0001001 11 0.80 26.50 Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 196 Figura 5.4-d. Reacciones en la base del pórtico Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 197 Apéndice A Momentos de empotramiento en vigas Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . 2014. Rafael M. 2010. Esperanza y CHIO CHO. y PADILLA. 3 ed. Análisis de Estructuras: métodos clásico y matricial. Norte. p 653 – 711. p 241 – 525. p 9 – 27. Structural analysis program. México D. COMPUTER AND STRUCTURES. Helia M. SAP2000. Universidad industrial de Santander. MOAVENID. INC. Jack. Minnesota State University. AIS. MALDONADO. Notas de clase diseño avanzado de estructuras. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . Universidad de Málaga. 2004. Universidad del HIBBELER. Análisis Estructural con matrices.AIS. Saeed. 2010. Análisis sísmico edificaciones. 2005. Andrés.198 BIBLIOGRAFIA ROJAS.: Prentice-hall. Berkeley. 2015. Normas colombianas de diseño y construcción sismo resistente NSR-10. California. p 231 – 245. Alfaomega. Análisis estático de estructuras por el método matricial.F.: Trillas. José L. Russell. 2015. 1999. 4 ed. Universidad del Norte. Notas de clase Análisis de estructuras. McCORMAC. 2009. FINITE ELEMENT ANALYSIS: Theory and application with ANSYS.F. Bogotá. ASOCIACION COLOMBIANA DE INGENIERIA SISMICA. Análisis Estructural. 1 ed. Gustavo. Antonio. p 133 – 271. México D. GONZALES Antonio y GARCIA-MANRIQUE José M. GUZMÁN. BLANCO. de MERLANO. de presentar un texto que facilite el trabajo de estudiantes y profesores en la compresión y realización de análisis de estructuras como pórticos. De esta manera el ingeniero estructural puede comprobar su funcionamiento y no limitarse a confiar en los resultados que estos arrojan para sus proyectos de diseño. mantiene el propósito del módulo de análisis estructural de la especialización en análisis y diseño de estructuras de la universidad del Norte y del autor. Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos . cerchas y vigas mediante matrices y basado en el método de la rigidez y saber cómo operan los programas computacionales más usados hoy en día en el diseño estructural que se basan en esta teoría.199 Análisis matricial de estructuras por el método de la rigidez Apuntes Resolución de problemas e Introducción a los Elementos finitos Esta primera edición.