TALLER DE PERMUTACIONESRazona Matemáticas Lic. Sigifredo Herrera Cruz email :
[email protected] Análisis combinatorio 1 Factorial de "n" . Se define de la siguiente manera: n! = n x (n - 1) x (n - 2)x ... x 3 x 2 x 1 Donde 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 7! = 7 x 6 x 5 x 4 X 3 x 2 X 1= 5040 PERMUTACIONES Se define así a los diferentes ordenamientos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto. Al momento de estudiar las permutaciones veremos tres tipos: Permutación lineal Permutación circular Permutación con elementos repetidos PERMUTACIÓN LINEAL Se origina cuando los elementos (número, letras, personas, animales y objetos) son distintos y se ordenan en línea abierta. En general: Pn = n! Vivian, Cristhian y Melissa van al cine con tres amigos y desean sentarse todos juntos en una misma fila. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en una fila de seis asientos si Vivian y Melissa desean sentarse juntas a.240 b. 120 c.234 d.128 e.250 8. ¿Cuántas palabras distintas y sin importar si tienen sentido o no, se pueden formar con las letras de la palabra "TERRITORIO"? a.72240 b. 76120 c.72600 d.75600 e.62250 9. 10. Calcula el número de palabras con o sin sentido que se pueden formar con las letras de la palabra "REGLA" a. 48 b.120 c. 240 d. 720 e. 24 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en una banca de 6 asientos, si dos de ellas tienen que sentarse juntas? a. 40 b. 120 c.240 d. 220 e. 140 11. 12. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en una banca de 6 asientos, si se sabe que Jorge y Carlos tienen que sentarse en los extremos? a.48 b. 12 c. 24 d. 364 e.720 13. En un grupo de personas formado por 2 puneños, 3 piuranos y 4 limeños, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar en una fila para un concierto, si se sabe que las personas del mismo departamento tienen que sentarse juntas? a. 864 b.1 728 c. 688 d. 892 e. 1 700 14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 lapiceros de diferente color si el rojo y el rosado no pueden estar juntos? a. 720 b. 120 c. 240 d.480 e. 360 15. ¿Cuántas palabras diferentes con o sin significado se pueden formar con las letras de la palabra "ANÁLISIS"? a.5040 b. 40320 c. 34980 d. 720 e. 1440 16. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 7 sitios en fila si 4 de ellos son de color blanco y los otros 3 son marrones? a. 42 b.35 c. 120 d. 240 e. 48 17. Al lanzar 6 veces una moneda, ¿de cuántas maneras diferentes se puede obtener 2 caras y 4 sellos como resultados? a. 30 b. 18 c.15 d. 24 e. 48 18. ¿Cuántos números de 6 cifras existen en el sistema decimal, de tal manera que el producto de sus cifras sea 35? a. 15 b. 24 c.30 d. 60 e. 48 19. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas en una mesa redonda de 6 asientos? a. 720 b. 120 c. 240 d. 48 e. 144 20. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 niños y 4 niñas para jugar a la ronda, si las personas del mismo género no pueden estar juntas? a. 5040 b. 120 c. 48 d.144 e. 72 21. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 personas alrededor de una mesa redonda, si 3 de ellas siempre tienen que estar juntas? a. 144 b. 72 c. 54 d. 18 e.36 22. Alrededor de una mesa de 9 asientos se quiere ubicar a 4 niños y 4 niñas de modo que el asiento vacío esté entre Joaquín y Gabriel. ¿De cuántas maneras diferentes puedo ubicarlos? a. 720 b.1440 c. 480 d. 120 e. 2 160 Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra "lapicero"? Solución: Para formar nuevas palabras, debemos permutar las letras: 1, a, p, i, c, e, r, o = 8 letras :. Se pueden formar 40320 palabras. PERMUTACIÓN CIRCULAR Se da cuando los elementos son distintos y se ordenan formando una circunferencia (alrededor de un objeto). Para deducir la fórmula, analicemos el siguiente ordenamiento circular. En general: Pc(n) = (n - 1)! PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Se da cuando los elementos que se van a ordenar se repiten al menos 1 vez. En general donde a, b, c, ... es el número de veces de los elementos repetitivos: PROBLEMAS DE APLICACIÓN ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en una banca que tiene capacidad para 6? a.720 b. 120 c.634 d.128 e.250 1. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 personas en una banca que tiene capacidad para 7 personas, si dos de ellas siempre van juntas? a.240 b. 120 c.1440 d.128 e.250 2. 3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar en fila 4 varones y 4 mujeres, si se sabe que las personas que pertenecen al mismo género no pueden pararse juntas? b. 1120 c.1234 d.1152 e.250 a.2410 4. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 5 amigos para jugar a la ronda? a.240 b. 720 c.24 d.128 e.250 ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 8 personas alrededor de una mesa si 3 de ellos tienen que estar siempre juntos? a.240 b. 120 c.234 d.128 e.720 6. Se tiene los siguientes bloques lógicos: 5. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar en una hilera? a.1680 b. 1220 c.2534 d.1428 e.2500 ¿Cuántos números de 6 cifras cumplen con la condición de que el producto de sus cifras sea 6? a.24 b. 12 c.36 d.18 e.25 7. Cuatro chicas y 2 varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila. con significado o sin él. ¿De cuántas maneras distintas pueden unir estas 7 esferas de distinto color? a.250 29. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ordenar. 120 c.5 040 e. 5 pantalones y 4 pares de zapatos? a. ¿De cuántas maneras 6 soldados pueden formar una fila? 720 a. ¿De cuántas maneras se puede disponer los jugadores de un equipo de fútbol de 11 jugadores? a. ¿'De cuántas maneras se pueden sentar en una carpeta de 4 asientos en fila 2 hombres y 2 mujeres.48 d.240 b. 6 b.128 e. 3· 10! e. ¿De cuantas formas pueden sentarse un padre.12 c.240 b. 50 b. ¿De cuantas maneras puede hacerlo? A) 15 B) 25 C) 35 D) 40 E) 55 51. 2· lO! b.128 e. 180 47.6· lO! 44.144 43.240 b. 60 c. 2 de RV. Con las letras de la palabra "padre". si Ana quiere ocupar uno de los extremos del banco de 5 asientos? a. Si "Caballo Loco" fue descalificado.11! e. 240 c. 4.120 b.234 d. 2 162 45. Ana y Juana van al cine con 3 amigos. ¿De cuántas maneras 8 personas se pueden sentar en una fila con 8 asientos vacíos. 32660 e. 40320 b. Dora y Emilia. 11 C. 60 o 120 31. 96 e. en una fila de 7 asientos numerados del 1 al 7. 120 c.128 e. 360 d.120 c.48 c.250 26. 24 d. 12! d. Para una ceremonia se nombra una delegación de 4 cadetes militares y 2 civiles. con los colores del arco iris ¿Cuántas banderas bicolores distintas se pueden formar? A) 36 B) 42 C) 48 D) 56 E) 63 34. lO! b. ¿De cuántas maneras pueden formarse? a. 6 b. 120 c. ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar en una fila de 5 asientos donde Ana y Juana deben estar juntas? a. Lulú y Débora se van al teatro con Manolito. 720 e. 20 42.120 b. 120 c. 24 b. 11! C. 120 d.720 e. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse si las 4 chicas quieren estar siempre juntas?144 a.144 d. En el hipódromo en la primera carrera corren 8 caballos. 72 e. ¿De cuántas maneras se puede ordenar la palabra importar su significado? a. 9 c4 d. 8 e . En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4. donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten siempre juntos? a. 24 b.28800 d. 30 240 c. si 2 de ellas no pueden estar juntas? a.1 720 c. 720 d. 120 c. 48 c. ¿de cuántas maneras distintas pudieran llegar los restantes? a. en un estante 5 libros distintos? a. 12 c.240 b. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 2. 96 e. 10! 30. En un estante se van a acomodar 3 libros de RM. ¿Cuántas palabras diferentes que terminen en "O" pueden obtenerse con todas las letras de la palabra "PATIÑO" sin que se repita ninguna letra y sin importar las palabras tienen o no sentido? a.128 e. 96 37.TALLER DE PERMUTACIONES Razona Matemáticas Lic.5040 e. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si 3 de ellos deben estar juntos? a. si estos deben ocupar los lugares pares? a. 720 36. ¿cuántos ordenamientos distintos se pueden hacer sin importar si la palabra carece de significado. su esposa y sus 3 hijos en una fila de 5 asientos? A) 32 B) 24 C) 100 D) 120 E) 150 49.234 d. Beto.48 d. pueden con las letras de la palabra "MUSA"? a. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse Ana. ¿De cuántas maneras se puede ordenar de tal manera que los libros de los mismos cursos vayan juntos?6912 a.234 d. 120 c. Carlos. 60 33. 2 chilenos y 3 sudafricanos.240 b. 24 d.240 b. ¿de cuántas formas diferentes podrán sentarse en estas butacas. 240 d. 1 728 c. Si hay exactamente 4 butacas vacías.250 27. 4 de Álgebra y 1 de Historia. 1440 41.24 c. 24 c. 120 c. ¿Cuántas palabras. 72 d. Marcos y Mirco van al cine y encuentran cuatro asientos consecutivos vacíos. 24 b. 24 e. ¿De cuántas formas diferentes se podrían ubicar.128 e. 12! d. 1 260 d. 24 b. 720 d. 3. ¿De cuántas maneras se pueden alinear 5 varones y 5 mujeres de tal forma que aparezcan alternados?28800 a. 40320 35.6 formarse 240 38. 10080 46. 18 d. Se forman todos en una fila. 70 d. 120 c. 6 b.250 28. ¿De cuantas formas pueden sentarse en una mesa circular un presidente con sus 6 vocales? A) 12 0 B) 720 C) 840 D) 960 E) 5020 50. 480 e. Maritza. 12 b. ¿De cuántas maneras pueden sentarse? 24 a. 4 mujeres y 3 varones. de tal forma que las 2 mujeres siempre estén juntas? a. si la palabra debe comenzar por vocal?48 a. 120 c. 60 d 48 e. 720 32.12 40. 1 440 e. 5 y6? A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 120 48.com 23. 6 b. En una reunión hay 4 peruanos.250 24. si Manolito nunca está junto a Lulú? a. y deben quedar los civiles juntos. 24 b. 720 "PADRE" sin e. Manuel. 1 024 b. 140 e. Un fabricante de collares para damas emplea esferas de los 7 colores básicos del espectro solar unidas con un hilo. ¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen 5 alumnos al sentarse en 5 sillas en línea recta? a. 24420 d. Sigifredo Herrera Cruz email : sigifredoherreracruz@hotmail. 120 . 72 d. 40320 39.6912 b.24 25. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir una chica que tiene 7 polos. Tres mujeres y 2 hombres van al cine y encuentran 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse. Una alumna tiene 12 stiker para colocar en la pasta de su cuaderno: pero solo tiene espacio para 8. Un comerciante le muestra 8 minifaldas y 7 blusas de colores diferentes en los modelos que a Silvia le gusta. En una competencia automovilística intervienen 5 autos A. Con 8 pantalones diferentes los cuales deben ser colocados en una bolsa. 10 corredores ¿De cuantas maneras diferentes pueden obtener 3 premios distintos? A) 560 B) 640 C) 700 D) 720 E) 840 08. ¿De cuantas maneras puede formarse dicha comisión? A) 14 B) 21 C) 42 D) 30 E) 56 13. Silvia desea comprar una minifalda y una blusa. ¿De cuantas maneras se podrá extraer en sucesión y sin reemplazarlo 3 de estas bolitas? A) 100 B) 105 C) 120 D) 130 E) 150 09. Una persona puede viajar de “A” hacia “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres ¿De cuantas maneras distintas puede realizarse el viaje? A) 15 B) 8 C) 13 D) 24 E) 36 11. permanece fija en su asiento? A) 6 B) 12 C) 18. C. si las tres mujeres no quieren estar juntas? A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24 25. ¿De cuantas maneras distintas pueden llegar a la meta. 12! D) 3!. si le llega uno a continuación del otro? A) 36 B) 24 C) 64 D) 120 E) 720 12. ¿De cuantas maneras se podrá realizar esto si los de aritmética siempre se ubican a los extremos? A) 5040 B) 2520 C) 1080 D) 1520 E) 2060 28. D y E ¿De cuantas maneras diferentes podrán culminar la competencia si el coche A siempre llega adelante del coche B? A) 12 B) 24 C) 18 D) 36 E) 48 27. B. De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra “MATEMÁTICA”. ¿De cuantas maneras se pueden colocar 12 libros diferente sobre un estantería de manera que 3 de ellos siempre deben estar juntos? A) 3!. 3 libros de química. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden embolsar 3 pantalones si en dicha bolsa solo caben 3 pantalones? A) 24 B) 36 C) 48 D) 56 E) 64 07. si “A” quiere ocupar uno de los extremos del banco? A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 56 18. 3 rojas y 4 negras. 12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos juntos mas. ¿Cuántos paralelogramos se pueden formar al contar un sistema de 8 rectas paralelas con otro sistema de 5 rectas paralelas? A) 80 B) 160 C) 180 D) 280 E) 320 22. ¿De cuantas formas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa circular si una de ellas. y 2 de aritmética.TALLER DE PERMUTACIONES Razona Matemáticas Lic. ¿Cuántos comités de 3 miembros se pueden elegir con 12 personas? A) 105 D) 320 B) 210 E) 420 C) 220 D) 39 E) 42 19. En una carrera participan 5 atletas. ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse? A) 15 B) 25 C) 30 . D y E . ¿De cuantas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila? A) 1050 B) 1150 C) 1260 D) 1320 E) 1480 15. ¿De cuantas maneras distintas pueden sentarse las personas A . ¿De cuantas maneras pueden colocar 3 hombre y 3 mujeres alrededor de una mesa circular de tal manera que cada mujer este entre 2 hombre? A) 4 B) 18 C) 24 D) 14 E) 8 21. En un campeonato de fútbol. D) 24 E) 36 26. ¿De cuantas maneras se pueden formar grupo de 3 o 2 elementos con dichos lápices? A) 35 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72 17. A) 130200 B) 148600 C) 149700 D) 150300 E) 151200 14. si ene le se quiere ordenar 4 libros de física.com 06. Un grupo esta conformado por 7 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. Se tiene 9 banderillas donde 2 son blancas. Con 8 hombres y 7 mujeres. si hay disponibles 7 colores diferentes. ¿De cuantas maneras puede seleccionar que no va a colocar? A) 365 B) 385 C) 425 D) 495 E) 545 24. B . ¿De cuantas maneras distintas puede escoger lo que desea comprar? A) 42 B) 48 C) 56 D) 63 E) 35 10. ¿De cuantas maneras 5 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar. Se tiene un estante con capacidad para 9 libros. ¿De cuantas maneras puede colorear el mapa? A) 1050 B) 1220 C) 840 D) 1520 E) 1680 29. 9! B) 3! 10! C) 3!. Se tienen lápices de 7 colores. Se va a colocar un mapa de 4 países con colores diferentes para cada país. Sigifredo Herrera Cruz email : sigifredoherreracruz@hotmail. En una urna se encuentran 6 bolos numerados del 1 al 6.11! E) 3!.7! 23. C. si estas parejas siempre deben almorzar juntos? A) 576 B) 648 C) 756 D) 768 E) 780 20. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar de modo que este conformado por 3 hombre y 2 mujeres? A) 648 B) 948 C) 1058 D) 1176 E) 1234 16. 220 (0 320 d. 2 b. 14 e. 18 b. 12 e 24 d. 64 e 120 d. 12 b. 144 20. 22 B. 16 e 18 @ 20 e. 16 .TALLER DE PERMUTACIONES Razona Matemáticas Lic. 12 e 24 @ 120 e. 56 21. 3 pantalones y 2 pares de zapatos. 11 ~ 12 e 13 d. De Chorrillos a Miraflores puede hacerlo con 5 diferentes líneas de ómnibus y de Miraflores al Callao con 4 líneas diferentes. 16 e 24 d. 32 @ 48 4. 120 b. ¿Decuántas maneras diferentes puede ir y regresar de Chorrillos al Callao. 11 e. 21 2. ¿De cuántas maneras se puede trepar y descender con la condición de que el ascenso y descenso sean por distintos caminos? a. camisas. Sigifredo Herrera Cruz email : sigifredoherreracruz@hotmail. ¿de cuántas maneras diferentes puede lucir una vestimenta constituida por camisa. A. 11 e 18 d. ¿De cuántas maneras podrán ocupar los 6 primeros puestos? a. Un alumno tiene que llenar un cuestionario con sí o no. De una ciudad "A" a una ciudad "B" hay 4 caminos diferentes y de la ciudad B a la ciudad "C 3 caminos diferentes. 36 @ 42 7. 5 b. En una carrera de caballos participan 6 de estos ejemplares. 5 pantalones y 3 pares de zapatos. 16 © 32 d. 260 e. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar este viaje? a. 40 e 60 d. Juanito tiene 4. 30 14. ¿Decuántas maneras diferentes pueden caer? a. ¿Porcuántos caminos diferentes se podrá ir de "A"a "C" pasando por "B"? a. 64 e. 24 e. 486 b. 8 e. existen? a. 380 0 400 C. 200 b. De "A" hacia "B" hay 3 caminos diferentes y de "B" a re: existen 4 caminos también diferentes. Una persona desea trasladarse de Chorrillos al Callao y no hay un carro directo. Se lanza un dado y se hace girar un trompo de 8 caras. 72 3. 240 e. Si todas las prendas son diferentes. Madahi desea viajar desde Lima a Trujillo. ¿Decuántas maneras diferentes puede ir y regresar de Chorrillos al Callao? a. 8 b. 567 0512 18. Hans posee 3 camisas. Un vendedor de cerveza visita dos veces a la semana a un distribuidor. si el cuestionario tiene 5 preguntas? a. 280 e 320 d. 24 e 30 d. Ocho amigas disponen de una mesa redonda para merendar. ¿Decuántas formas se podrán ubicar 6 soldados en fila? G) 720 b. 14 b.90 e72 d. 5 b. 720 10. ¿Decuántas maneras se puede viajar de "A" a "C" pasando por "B"? a. pero de regreso usa el mismo ómnibus? a. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras existen? a. 280 5. 30 045 16. 180 e 60 @720 e. ¿De cuántas maneras distintas puede contestar. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 3 parejas de novios alrededor de una mesa circular? a. ¿De cuántas maneras diferentes puede trasladarse de Chorrillos al Callao? a. 64 11. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse alrededor de ella? a. 3 líneas aéreas y 2 rutas marítimas. 15 19. 250 b. 495 17. 80 @ 120 6. ¿De cuántas formas pueden vestirse alternando estas prendas? a. 648 e 729 d. 64 e. ¿De cuántas manera podrá el vendedor escoger dichos días de visita? G) 42 b. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes que no sean múltiplos de 5. 18 e. Para ir hacia una montaña solo hay 7 caminos.com 15. 7 ~ 12 e 14 d. 12 @ 24 e 36 d. 8! ~ 5 040 e 256 d. 8 (0 10 d. 20 13. 20 b. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en una banca? a. pantalón y zapato? a. para lo cual dispone de 5 líneas terrestres.