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Álgebra para estudiantes de Ciencias Económicas Comité editorial: Prof. Carlos Bulcourf Lic. Alejandro García Venturini Dr.. Axel Kicillof Act. Alberto Landro C.P. Juan Carlos Seltzer COLECCIÓN: EL NÚMERO DE ORO Director: Act. Alberto Landro Acerca de la Probabilidad – 2da. edición Alberto Landro Álgebra, para Estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E.García Venturini – Axel Kicillof Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E.García Venturini – Axel Kicillof Análisis Matemático II para Estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof Los matemáticos que hicieron la historia Alejandro E. García Venturini Análisis de Series de Tiempo, univariadas y multivariadas Heriberto Urbisaia – Juana Brufman Decisión Estadística Bayesiana, a modo de introducción Emma Fernández Loureiro de Pérez Estadística no Paramétrica, a modo de introducción Emma Fernández Loureiro de Pérez Teoría de los Conjuntos Borrosos Emma Fernández Loureiro de Pérez Estadística: Herramientas de Inferencia Gabriela Kurincic Estadística: Probabilidades y Distribuciones Gabriela Kurincic Los Métodos Cuantitativos en las Ciencias Sociales Alejandro E. García Venturini – Federico Castelli Aplicaciones del Análisis Matemático a la Economía Blanca R. Vitale Modelos para el Análisis de Series de Tiempo Juan Carlos Abril Alejandro E. García Venturini - Axel Kicillof Álgebra para estudiantes de Ciencias Económicas 2ª EDICIÓN Ediciones Cooperativas es un emprendimiento cooperativo de docentes de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires para difundir sus trabajos e investigaciones Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de cubierta puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infracción está penada por las leyes 11723 y 25446. García Venturini, Alejandro Ezequiel .- Kicillof, Axel Algebra: para estudiantes de ciencias económicas. – 2ª. ed. – Buenos Aires: Ediciones Cooperativas, 2009. 280 p.; 21x14 cm. ISBN 987-98315-5-7 1. Algebra. I. Título CDD 515 © 2009, Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof Derechos exclusivos © 2009, Ediciones Cooperativas Tucumán 3227, (1189) Buenos Aires Argentina Tel.: 54 11 15 4 198 5667 [email protected] www.edicionescoop.gov.ar Colección: El número de oro Director: Act. Alberto Landro HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723 1º edición, Agosto 2000 2º edición, Marzo 2009 Editorial asociada a: IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINE Prólogo La publicación de esta obra es en realidad la culminación de un proyecto iniciado hace cerca de ocho años. En aquella ocasión nos planteamos elaborar un material acorde a las necesidades de los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires que cumpliera con un doble requisito: ser accesible desde el punto de vista expositivo y de alta calidad académica. El resultado de ese esfuerzo se plasmó en la Serie Notas Teóricas, publi- cada por la Secretaría de Cultura del Centro de Estudiantes de la Facultad de Cien- cias Económicas a partir de 1993. Trabajamos conjuntamente en tres títulos: Análisis Matemático I, Análisis Matemático II y Álgebra, con la pretensión de hacer un aporte original, en especial en el complejo problema del tratamiento de los temas económi- cos en materias de la rama matemática. Allí es donde resultó provechoso el inter- cambio entre las perspectivas aportadas por cada uno de nosotros, desde su respec- tiva especialidad. Inmediatamente las publicaciones tomaron vida, nutriéndose de los comenta- rios de estudiantes y profesores que las hicieron propias, transformándolas. Por nuestra parte el compromiso se renovaba, a lo largo de las casi veinte ediciones y los más de 10.000 ejemplares impresos, a través de un proceso de actualización permanente. En la presente edición se han agregado algunos temas y reformulado otros A pesar de que en la reforma de 1997 se suprimió del programa de Algebra, en forma inexplicable, la unidad de Transformaciones Lineales, nosotros decidimos mantenerla en este texto, no sólo por su importancia y porque permite comprender el sentido de otras unidades, como la de Espacios Vectoriales, sino también porque es de suma utilidad para la comprensión de otras materias como Matemática para Economistas. El haber convertido en libro lo que nació como un simple material de estu- dio nos llena de orgullo ya que corona un esfuerzo de muchos años. Para nosotros ese esfuerzo no es más que una forma de reafirmar nuestro compromiso con la Universidad Pública, a la que este trabajo va dedicado. Agradecemos a todos los que han contribuido a que este libro hoy pueda ponerse a consideración de alumnos y colegas. Los autores Agosto 2000 . Determinante de una Matriz. Matriz Compleja. Matriz Adjunta. Matrices Especiales. Matriz Inversa. Matriz Simétrica y Antisimétrica. Matriz Transpuesta. . propiedades. de Hermite.Capítulo 1 Matrices Definición de Matriz. Aplicaciones a la Economía y a la leoría de Gráficos. Operaciones con Matrices. . a 2 n ¸ A =¨ ¸ ¨ . Abogado.. § 1 − 1 3· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas...j) / i∈Im ∧ j∈In}.2. que desarrolla la Matrices reales geometría proyectiva. plican) en 1858. MATRICES Intervalo natural inicial Es el conjunto formado por CAYLEY. Está considerado el tercer escritor más prolífico Imx In= {(i. columna 3 recibe el nombre de a23 y así sucesivamente... rales: In={1. La matriz tiene m filas y n columnas. (como se suman y multi- Calculamos el producto car. lo mismo que su extensión pluridimensional. luego de Euler y Cauchy.. ¸ ¨¨ ¸¸ © a m1 a m 2 .. tesiano de El nombre de matriz se debe a él. También hizo aportes a la teoría de los deter- Si ahora establecemos una minantes. § a11 a12 . matemático inglés que nació en Richmond..3.. Fue también pintor a la acuarela y función que va de ImxIn → ℜ un estudioso de la botánica.j) es un número real que se denomina aij.. © 4 0 2¹ 9 . ex- pone el concepto de inva- riancia en 1845 y desarro- Consideramos dos intervalos lla la teoría de matrices naturales iniciales Im e In. . de matemática. Arthur (1821-1895): los n primeros números natu. El elemento que está en la fila 2..a mn ¹ La imagen de cada (i.n} cerca de Londres..a1n · ¨ ¸ ¨ a 21 a 22 . se obtiene una tabla de valo- res ordenada por filas y columnas que recibe el nombre de matriz.. .ann) Traza de una matriz cuadrada: es el número que se obtiene de sumar los elementos de la diagonal. y a sus elementos se los denomina genéricamente aij. B..... + ann. a33... a22. (a11. § 1 2· Ejemplos: A = ¨¨ ¸¸ es de orden 2x2. etc.. § 1 0 − 1· § 1 2· ¨ ¸ Ejemplos: A = ¨¨ ¸¸ que ∈ 2x2 B = ¨ − 1 3 2 ¸ que ∈ 3x3 © 3 1¹ ¨¨ ¸ © 3 2 1¸¹ Diagonal de una matriz cuadrada: está formada por los elementos en los cuales i = j. Una matriz que tiene m filas y n columnas es de orden mxn (m por n). García Venturini El elemento a12 = –1. etc. 10 . Se la designa como N o simplemente 0. C∈ 3x2 ¨¨ ¸ © 4 5 ¸¹ Matriz nula: recibe este nombre aquella matriz en la cual todos los ele- mentos son 0. el a23 = 2.. Las matrices se representan con letras mayúsculas A. bij. Alejandro E..... Orden: se llama orden de la matriz al número de filas y de columnas que posee. (∀i ∀j: nij = 0). B∈ © 2 − 1 3¹ § 1 2· ¨ ¸ C = ¨ −1 3 ¸ es de orden 3x2. A∈ 2x2 © −1 3¹ § −1 3 0· 2x3 B = ¨¨ ¸¸ es de orden 2x3. el a13 = 3 etc. Matriz cuadrada: es aquella en la cual el número de filas m es igual al número de columnas n.. El conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con elementos reales se denomina como mxn. Tr (A) = a11 + a22 +.. Matrices Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la cual los elementos que no pertenecen a la diagonal son nulos: i ≠ j Ÿ aij = 0. a1n) Ejemplo: A = (2 –3 1)∈ 1x3 Matriz columna: es la que tiene una sola columna. § 1 0 0· § 4 0· ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ ∈ 2x2 B = ¨ 0 3 0¸ ∈ 3x3 © 0 −1¹ ¨¨ ¸¸ ©0 0 0¹ Matriz escalar: es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal son iguales. es de orden 1xn. . § 1 0 0· § 1 0· ¨ ¸ Ejemplos: I 2 = ¨¨ ¸¸ I 3 = ¨ 0 1 0 ¸ reciben el nombre de I. es de orden mx1. §− 2 0 0· ¨ ¸ Ejemplo: B =¨ 0 −2 0¸ ¨¨ ¸ © 0 0 − 2 ¸¹ Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar en la cual los elemen- tos de la diagonal son 1. © 0 1¹ ¨¨ ¸¸ © 0 0 1¹ Matriz fila: es la que tiene una sola fila. . ∈ 1xn A = (a11 a12 . A∈ mx1 11 . § 1 0 0· § 0 1 / 5 4 / 5· ¨ ¸ Ejemplos: A = ¨¨1 / 4 0 3 / 4¸ ¸ B = ¨1 / 4 1 / 2 1 / 4 ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸¸ ©1 / 2 1 / 2 0 ¸¹ ©1 / 6 2 / 3 1 / 6 ¹ Propiedad: el producto de matrices de probabilidad da otra matriz de probabilidad. b) la suma de los elementos de cada fila es igual a 1.¸ ¨ ¸ © a n1 ¹ § 2· ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨ − 1¸ ∈ ℜ3 x1 ¨¨ ¸¸ © 3¹ Vector: se denomina vector a toda matriz fila o columna Matriz opuesta: la matriz opuesta de A es B ⇔ ∀i ∀j: bij =– aij. §1 4· § −1 − 4· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ ∈ 2x2 − A = ¨¨ ¸¸ ∈ 2x2 © 3 − 2¹ © −3 2¹ Matriz de probabilidad Es una matriz cuadrada en la cual: a) cada elemento es no negativo. Igualdad: dos matrices son iguales si son del mismo orden y ∀i ∀j: aij = bij. Alejandro E. es decir que los elementos que ocupan la misma po- sición son iguales.¸ ¨ ¸ ¨ . se de- nomina como –A. García Venturini § a11 · ¨ ¸ ¨ a21 ¸ ¨ ¸ A = ¨ . 12 . A – B = A + (–B). b) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) c) Conmutativa: A + B = B + A d) Existencia de neutro: A + 0 = 0 + A = A (0 es la matriz nula) e) Existencia de simétrico: A + (–A) = (–A) + A = 0 (–A es la matriz opuesta) f) Tr (A + B) = Tr A + Tr B Resta: Restar A y B equivale a sumar a la matriz A la matriz opuesta de B. El resultado da otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando entre sí los elementos que ocupan la misma posición. en lugar de sumar los términos que ocupan la misma posición se restan. A – B = C / ∀i ∀j: cij = aij – bij A. En la práctica se procede igual que para la suma. B y C ∈ mxn § 1 2 − 1· § 0 1 − 2· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ B = ¨¨ ¸¸ AyB∈ 2x3 ©4 0 3¹ © 4 8 − 3¹ § 1+ 0 2 +1 − 1+ (− 2 )· § 1 3 − 3 · A+ B = C = ¨ ¸= ¨ ¨ ¸¸ C∈ 2x3 ¨4+ 4 © 0+8 3 + (− 3)¸¹ © 8 8 0¹ Propiedades de la suma a) Ley de cierre: la suma de matrices da otra matriz del mismo orden. A + B = C / ∀i ∀j : cij = aij + bij A. También deben ser del mismo orden. B y C ∈ mxn 13 . Matrices OPERACIONES ENTRE MATRICES Suma: sólo se pueden sumar matrices del mismo orden. (− 3) 3. con α ≠ 0.1 3.A = ¨ 3. Alejandro E. α.A = N ⇔ α = 0 ó A = N d) 1.A = N b) α.(A+B) = α.A g) Tr (α.2 ¹ © 0 6 ¹ Propiedades a) 0.aij AyB∈ mxn § 1 2· § 3.Tr (A) Cociente de una matriz por un escalar α: equivale a multiplicar la 1 matriz por .A) = α.A = B / ∀i ∀j: bij = α.2 · § 3 6 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨ − 3 4 ¸ 3.A + ß.N =N c) Si α. Es una ley externa.0 3. α 14 .A + α.A = A e) Distributiva respecto de la suma de matrices: α. García Venturini §2 3 − 1· § 2 1 − 3· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ B = ¨¨ ¸¸ AyB∈ 2x3 © 5 −1 2¹ © 4 3 − 3¹ §2 − 2 3 −1 − 1 − (− 3)· § 0 2 2· A − B=C=¨ ¸= ¨ ¨ ¸¸ ¨5 − 4 © −1− 3 2 − (− 3)¸¹ © 1 − 4 5 ¹ Producto de un escalar por una matriz: para multiplicar un escalar (número) por una matriz se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz.B f) Distributiva respecto de la suma de escalares: (α+ß).4 ¸ = ¨ − 9 12 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 0 2¹ © 3.A = α. c12 se obtiene sumando los productos de la fila 1 de A por la columna 2 de B y así sucesivamente. las intersecciones de filas y columnas indican como se obtiene cada ele- 15 . cij = ¦a k =1 ik .B = C / A∈ mxn . es decir que el número de columnas de la 1º matriz debe ser igual al nú- mero de filas de la 2º matriz. A. c11 se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila 1 de A por la columna 1 de B. El resultado es una matriz de 2x3. = = ¨¨ ¸¸ © − 3 5¹ 3 3 © − 1 5 / 3¹ Producto de matrices Dadas dos matrices A∈ mxn y B∈ pxq se pueden multiplicar si n=p. El orden de la matriz producto es mxq. Si adoptamos la siguiente disposición práctica. §3 2· §2 3 1· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ B = ¨¨ ¸¸ © 1 − 2¹ © 1 −1 2¹ El producto se puede realizar porque coincide el número de columnas de la 1º matriz con el número de filas de la 2º matriz. B∈ pxq . Hay que calcular 6 elementos de la matriz C. que es 2. Cálculo de los cij Cada cij de la matriz producto se obtiene de sumar los productos término a término de los elementos de la fila i de la matriz 1º factor por los ele- n mentos de la columna j de la matriz 2º factor. Matrices Ejemplo § 2 4· ¨ ¸ § 2 4· A ¨© − 3 5 ¸¹ § 2 / 3 4 / 3 · A = ¨¨ ¸¸ . bkj . C∈ mxq La matriz producto tiene tantas filas como la matriz 1º factor y tantas columnas como la matriz 2º factor. B = 0 y A ≠ 0 y B ≠ 0 f) A.2 1 − 2 1.B ± A.1+ 2.( −1 ) 1.C) = (A.1 − 2.B).1 3.C b) No conmutativa: A.3 + 2.C) = (A.1 1.2 · § 8 7 7· Ÿ C 2 x 3 = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © 1.B ≠ B.2 + 2.1 + 2.3 + ( −2 ). A|C 2 3 1 1 −1 2 3 2 3.( −1 ) 3.2 § 3.C d) Existencia de elemento neutro (para matrices cuadradas): I.C y B ≠ C Ejemplos Veamos algunos ejemplos de estas propiedades a) dadas §−1 2 1 · § 2 −1· §−1 3 2 · ¨ ¸ A = ¨¨ ¸¸ .3 − 2.A = A.2 + 2.2 − 2.I = A I (matriz identidad) e) A.1 1.2 + ( −2 ).(B.A En muchos casos el producto en el otro sentido no se puede realizar.1 3.1 1.(B. c) Distributiva respecto de la suma y resta: A.1 3.B).3 + 2.2 ¹ © 0 5 − 3 ¹ Propiedades a) Asociativa: A.B = A.C 16 . García Venturini |B mento de C. Alejandro E.1 + ( −2 ). B = ¨¨ ¸¸ y C = ¨ 2 1 − 2 ¸ © 3 − 2¹ © 4 1 − 2¹ ¨1 0 3 ¸ © ¹ verificamos que: A. En otros casos se puede realizar pero da resultados diferentes.(B ± C) = A. B = ¨¨ ¸¸.C § 2 0 1 · § − 1 3 2 · §1 3 3 · A+B = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ © − 3 − 2 − 1 ¹ © 4 1 − 2 ¹ © 1 − 1 − 3 ¸¹ § −1 2 1 · §1 3 3 ·¨ ¸ § 8 5 4 · (A+B).(B.C = ¨¨ ¸¸. B = ¨¨ ¸¸ y C = ¨ 2 1 − 2 ¸ .C = ¨¨ ¸+ ¨ ¸=¨ ¸Y © − 2 − 8 − 2 ¸¹ ¨© − 4 9 − 4 ¸¹ ¨© − 6 1 − 6 ¸¹ 17 . © − 3 − 2 − 1¹ ©4 1 − 2¹ ¨1 0 3 ¸ © ¹ verificamos que: (A+B).¨ 2 1 − 2 ¸ = ¨¨ ¸¸ Ÿ © 4 1 − 2¹ ¨ 1 0 3 ¸ © − 4 9 − 4¹ © ¹ § 2 − 1 · § 9 1 − 1 · § 22 − 7 2 · A.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ X ­ © 3 − 2 ¹ © − 4 9 − 4 ¹ © 35 − 15 5 ¹ § 2 −1 · § −1 3 2 · § − 6 5 6 · A. Matrices §−1 2 1 · §−1 3 2 · ¨ ¸ § 9 1 −1· B.C) = ¨¨ ¸¸.¨ 2 1 − 2 ¸ = ¨¨ ¸¸ Y ® © − 11 7 10 ¹ ¨ 1 0 3 ¸ © 35 − 15 5 ¹ © ¹ § −1 2 1 · § 2 0 1· § −1 3 2 · ¨ ¸ b) dadas A = ¨¨ ¸¸.¨ 2 1 − 2 ¸ = ¨¨ ¸¸ X ­ ©1 − 1 − 3 ¹ ¨ 1 0 3 ¸ © − 6 1 − 6 ¹ © ¹ § −1 2 1 · § 2 0 1 ·¨ ¸ § −1 4 5 · A.B).C = ¨¨ ¸¸.C = ¨¨ ¸¸.C = ¨¨ ¸¸.C = A.C + B.C + B.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © 3 − 2 ¹ © 4 1 − 2 ¹ © − 11 7 10 ¹ X=Y §−1 2 1 · § − 6 5 6 ·¨ ¸ § 22 − 7 2 · (A.¨ 2 1 − 2 ¸ = ¨¨ ¸¸ © 4 1 − 2¹ ¨ 1 0 3 ¸ © − 4 9 − 4¹ © ¹ § −1 4 5 · § 9 1 −1 · § 8 5 4 · A.C = ¨¨ ¸¸.¨ 2 1 − 2 ¸ = ¨¨ ¸¸ X=Y © − 3 − 2 − 1¹ ¨ 1 0 3 ¸ © − 2 − 8 − 2 ¹ © ¹ § −1 2 1 · § −1 3 2 · ¨ ¸ § 9 1 −1 · B. . Se define el producto escalar o producto interno entre dos vectores co- & mo la sumatoria de los productos entre los elementos del vector v y los & correspondientes elementos del vector w .B = ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © 2 0¹ ©1 0¹ © 0 0¹ Una aplicación del producto de matrices.w1 + v2 . + vn . w2.B = 0.v2..wn Se puede hallar el producto escalar considerando dos matrices columnas 18 . Alejandro E.vn} y w = {w1.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ = A ©0 1¹ © 4 1¹ © 4 1¹ §1 0· § 0 0· d) Dadas A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ .wn}. y © 2 0¹ ©1 0¹ A≠0yB≠0 § 1 0· § 0 0· § 0 0· A.... & & v . verificamos que A.w2 + .A = A © 4 1 ¸¹ § − 3 2· §1 0· § − 3 2· A.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ = A © 4 1¹ ©0 1¹ © 4 1¹ §1 0· § − 3 2· § − 3 2· I.I = I.. el producto escalar & & & & Sean dos vectores v y w de n componentes: v = {v1.. verificamos que A.I = ¨¨ ¸¸.A = ¨¨ ¸¸.. w = v1 . García Venturini § − 3 2· c) dada: A = ¨¨ ¸ ... −2. Ejemplo § 1· § − 1· & & ¨ ¸ ¨ ¸ Dados v = (1.W = (v1 v 2 .2 ) Ÿ V = ¨ − 2 ¸ y W = ¨ 3 ¸ Ÿ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 3¹ © 2¹ § − 1· & & ¨ ¸ v .¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ . 19 .¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © wn ¹ © wn ¹ Obsérvese que el producto escalar o interior da un número real o un escalar. v .W = (1 − 2 3).¸ y ¨ ¸ ¨ . Matrices § v1 · ¨ ¸ ¨ v2 ¸ & & ¨ ¸ cuyas componentes sean v y w que llamaremos V y W: V = ¨ . de allí su nombre.3.¸ ¨ .3) y w = (− 1.¸ ¨ ¸ © vn ¹ § w1 · § w1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ w2 ¸ ¨ w2 ¸ ¨ ¸ & & ¨ ¸ W = ¨ .¸ . v n ). w = V t .¨ 3 ¸ = − 1 t ¨¨ ¸¸ © 2¹ Potencias de una matriz cuadrada Sólo se pueden elevar matrices cuadradas por las reglas vistas para el producto de matrices.¨ . . w = V . A. A es involutiva ⇔ A 2 = I § 1 0· § 1 0· § 1 0· § 1 0· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ Ÿ A2 = ¨¨ ¸¸ . A2 = A x A §1 2· §1 2· § 1 2· § 7 − 2· Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ Ÿ A2 = ¨¨ ¸¸.A)n = kn..A. ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ = I © 0 − 1¹ © 0 − 1¹ © 0 − 1¹ © 0 1¹ Nota: la matriz identidad es involutiva e idempotente.A (n veces) Propiedades: a) I n = I b) N n = N c) (k. Potencia enésima: An =A. A es idempotente ⇔ A2 = A Ejemplo §1 1 · §1 1 ·§ 1 1 · §1 1 · ¨ 2 2¸ 2 ¨ 2 2¸ ¨ 2 2¸ ¨ 2 2¸ A= ¨ ¸Ÿ A =¨ ¸. Alejandro E.An 20 .. García Venturini Cuadrado: elevar una matriz cuadrada al cuadrado equivale a multipli- carla por sí mismo. ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ©3 − 2¹ © 3 − 2 ¹ © 3 − 2 ¹ © − 3 10 ¹ Matriz idempotente: una matriz es idempotente si su cuadrado es igual a la matriz.¨ ¸= ¨ ¸= A ¨1 1 ¸ ¨1 1 ¸¨ 1 1 ¸ ¨1 1 ¸ © 2 2¹ © 2 2¹ © 2 2¹ © 2 2¹ Matriz involutiva: una matriz es involutiva si su cuadrado es igual a la matriz identidad. A.(A–B) = A2 – A.«¨¨ ¸¸ − ¨¨ ¸¸» = ¬© 2 − 1¹ © − 1 − 1 ¹¼ ¬© 2 − 1¹ © − 1 − 1 ¹¼ § 3 3 · § − 1 7 · § 6 21· = ¨¨ ¸¸.B + B. veamos: a) (A+B)2 = (A+B). Matrices Cuidado con la potencia de las matrices Cuando trabajamos con números reales vemos que: a) (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b) (A+B).A.A – B2 ≠ A2 – B2.B no es necesariamente igual a B.(A+B) = A2 + A.(A–B) =A2 – A. (A+B) = A2 + A.B + B. por lo tanto: (A+B)2 = (A+B). A. por lo tanto: (A+B).(A–B) = A2 – B2 Pero que ocurre cuando A y B son matrices cuadradas.B + B.A.B + B2 b) (A+B).A + B2 expresión que obtenemos aplicando la propiedad distributiva Pero como el producto de matrices no es conmutativo.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ™X ©1 − 2¹ © 3 0¹ © − 7 7 ¹ 21 .A – B2 expresión que obtenemos aplicando la propiedad distributiva Pero como el producto de matrices no es conmutativo. Ejemplo §1 5 · § 2 − 2· Dadas A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ © 2 − 1 ¹ © − 1 − 1 ¹ ª§ 1 5 · § 2 − 2 ·º ª§ 1 5 · § 2 − 2 ·º (A+B) (A–B) = «¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸».B no es ne- cesariamente igual a B.B + B.A + B2 ≠ A2 +2 A. ¨ ¸» = ¬© 2 − 1¹ © 2 − 1¹¼ ¬© − 1 − 1 ¸¹ ¨© − 1 − 1 ¸¹¼ §1 + 10 5 − 5 · § 4 + 2 − 4 + 2· = ¨¨ ¸¸ − ¨¨ ¸= © 2 − 2 10 + 1¹ © − 2 + 1 2 + 1 ¸¹ š §11 0 · § 6 − 2 · § 5 2· = ¨¨ ¸¸ − ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ Y © 0 11¹ © − 1 3 ¹ © 1 8 ¸¹ X≠Y TRANSPOSICIÓN-SIMETRÍA Matriz transpuesta: de una matriz A es la matriz que se obtiene de per- mutar en la matriz A las filas por columnas.A)t = k. 22 . § 2 − 4· § 2 3 1· ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨¨ ¸¸ ∈ℜ2x3 Ÿ At = ¨ 3 2 ¸ ∈ℜ3x2 © − 4 2 0¹ ¨1 0 ¸¹ © Las filas se transforman en columnas. A t es de orden nxm. Propiedades: a) (A t)t = A b) (A+B)t =At +Bt la transpuesta de la suma es la suma de las transpuestas. Si la matriz A es de orden mxn. Se de- nomina A t.¨¨ ¸¸» − «¨¨ ¸.At e) (An)t = (At)n Ejemplos Veamos algunos ejemplos de estas propiedades. At la transpuesta de un producto es igual al producto de las transpuestas en or- den inverso. c) (A. Alejandro E. García Venturini ª§ 1 5 · § 1 5 ·º ª§ 2 − 2 · § 2 − 2 ·º A2 – B2 = «¨¨ ¸¸. d) (k.B)t = Bt. ¨ ¨ ¸ ¸ » = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ X ¬© 2 4 ¹ © 5 2 ¹¼ © − 2 + 20 6 + 8 ¹ ©18 14 ¹ © 9 14 ¹ t t X=Y − 1 3 · § 1 3 · § − 1 5 · § 1 2 · §14 18 · ii) B .At © 2 4¹ t t ª § 1 3 ·º § 2 t 6· § 2 4· (2A) = «2.¨¨ ¸¸» = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ­ X ¬ © 2 4 ¹¼ © 4 8¹ ©6 8¹ t X=Y §1 3· §1 2· § 2 4· t 2. Matrices §1 3· § −1 3· a) dadas A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ .B)t = ª§ 1 3 · § − 1 3 ·º § − 1 + 15 3 + 6 · §14 9 · §14 18 · ¨ «¨ ¸ ¸ . ¨¨ ¸=¨ ¸ ®Y © 2 4¹ ©3 4 ¸¹ ¨© 6 8 ¸¹ §1 3· c) dados A = ¨¨ ¸¸ y n =2. verificamos que: © 2 4¹ © 5 2¹ (A.¨ ¸=¨ ¸®Y ©3 4 ¸¹ ¨© 3 4 ¸¹ ¨© 3 4 ¸¹ ¨©15 22 ¸¹ 23 .At t t t i) (A.A)t = k. ¨ ¸ ® © ¹ © ¹ © ¹© ¹ © ¹ §1 3· b) dados A = ¨¨ ¸¸ y k =2.A = §¨ t t ¨ 5 2 ¸ ¨ 2 4 ¸ = ¨¨ 3 2 ¸¸. verifcamos que: (An )t = (At )n © 2 4 ¹ § 1 3 · § 1 3 · § 7 15 · i) A2 = ¨¨ ¸¸.B)t = Bt.A = 2.¨¨ 3 4 ¸¸ = ¨¨ 9 14 ¸¸ Y ¸ . verifcamos que: (k. ¨¨ ¸¸ = 2.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © 2 4 ¹ © 2 4 ¹ ©10 22 ¹ t § 7 15 · § 7 10 · (A2)t = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ­ X ©10 22 ¹ ©15 22 ¹ X=Y t §1 3· §1 2· ii) At = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ ©2 4¹ ©3 4 ¸¹ 2 §1 2· §1 2 · § 1 2 · § 7 10 · (At)2 = ¨¨ ¸ =¨ ¸. para toda matriz cuadrada A. Propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas a) A + At es simétrica. los elementos simétricos respecto de la dia- gonal deben ser opuestos y los elementos de la diagonal deben ser 0: ∀i ∀j: (i = j Ÿ aij = 0. A∈ nxn es simétrica ⇔ A =At § 1 − 2 3· ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨ − 2 4 1¸ = At ¨¨ ¸ © 3 1 0 ¸¹ la matriz debe ser cuadrada y los elementos simétricos respecto de la diagonal deben ser iguales: ∀i ∀j: aij = aji. 24 . i ≠ j Ÿ aij = – aji). García Venturini Matriz simétrica: una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta. para toda matriz cuadrada A. Alejandro E. (A + A ) = A + (A ) = A + A Ÿ A + A t t t t t t t es simétrica. Matriz antisimétrica: una matriz es antisimétrica si es igual a la opuesta de su transpuesta. A∈ℜnxn es antisimétrica ⇔ A = – At § 0 2 − 3· § 0 −2 3· ¨ ¸ ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨− 2 0 1¸ At = ¨ 2 0 − 1¸ = − A ¨ ¸ ¨¨ ¸ © 3 −1 0¹ ©−3 1 0 ¸¹ la matriz debe ser cuadrada. b) A– At es antisimétrica. (A − A ) = [A + (− A )] = A + [(− A )] = A − A = − (A − A ) t t t t t t t t t Ÿ A − At es antisimétrica. b) 2 2 § 1 −4 3· § 1 2 5· ¨ ¸ ¨ ¸ Ejemplo: A= ¨ 2 6 2 ¸ Ÿ At = ¨ − 4 6 4¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸¸ ©5 4 − 6 ¸¹ © 3 2 − 6¹ § 1 −1 4· § 0 − 3 − 1· A + At ¨ ¸ A − At ¨ ¸ = ¨ −1 6 3¸ y =¨ 3 0 − 1¸ Ÿ 2 ¨¨ ¸ 2 ¨¨ ¸ © 4 3 − 6 ¸¹ © 1 1 0 ¸¹ § 1 −1 4 · § 0 − 3 − 1· § 1 − 4 3· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ −1 6 3¸ + ¨ 3 0 − 1¸ = ¨ 2 6 2¸ = A ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 3 − 6 ¸¹ ¨© 1 1 0 ¸¹ ¨© 5 4 − 6 ¸¹ e) la condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matri- ces simétricas sea simétrica es que A y B sean conmutables.A ) = (A ) .A = A . d) Toda matriz cuadrada se puede descomponer en suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.At es simétrica para toda matriz A.B es simétrica ⇔ ( A. por prop. es antisimétrica.A = A .A t = B. por prop. a). no necesariamente cuadrada. A. Matrices c) A. A + At A − At A= + 2 2 A+ At A− At es simétrica.B Ÿ ( A.B 25 . B ) t= A. (A.A t t t t t t t es simétrica.A Ÿ A. B ) t = B t . A −1 −1 ) . B = B −1 .B )−1 26 . A−1 = A−1 . B ) = B −1 . B ) = B −1 . A−1 . ( A. A .A−1 −1 Dem: ( ) ( ) B −1 . A−1 . Alejandro E. García Venturini OTRO TIPO DE MATRICES Matrices triangulares Triangular superior: una matriz cuadrada es triangular superior ⇔ i > j Ÿ aij = 0 Triangular inferior: una matriz cuadrada es triangular inferior ⇔ i < j Ÿ aij = 0 Ejemplos § −1 2 − 3· ¨ ¸ A= ¨ 0 4 1¸ es triangular superior ¨¨ ¸ © 0 0 1¸¹ § −1 0 0· ¨ ¸ A= ¨ 2 4 0 ¸ es triangular inferior ¨¨ ¸ © 3 1 5 ¸¹ Matriz inversa La matriz A∈ nxn es inversible. es no singular o admite matriz inversa si existe una matriz que denominamos A 1 que multiplicada a izquierda y – derecha por A da la matriz identidad. A−1 = ( A. La matriz debe ser cuadrada: A . B = I ( Ÿ B .B ) = IŸ B −1 . I . ( A. es única.B = B −1 . si existe. Propiedades: a) A−1 ( ) −1 =A b) ( A . A = I . La matriz inversa. ¨ ¸ ¨ 3 1 ¸ © 2 2 ¹ § 1 − 3 · § 1 3 · ¨ 2 2¸ ¨ 2 2 ¸ § 1 0· t A.A−1 = I ⇔ (A . Matrices ( ) c) A−1 = (At ) t −1 Dem: A .A = ¨ ¸ . si k∈ –{0} – – – Matriz ortogonal Una matriz cuadrada es ortogonal si y sólo si su inversa es igual a la transpuesta.B )t Ÿ A.A 1.At = ( A. At = I § 1 ¨ − 3 ·¸ 2 2 Ejemplo: A =¨ ¸.: ( A. At = I ⇔ A−1 t = At t −1 d) (k.A−1 = B t . ¨ ¸= ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© 0 1¸¹ ¨ 3 1 ¸ ¨− 3 1 ¸ © 2 2¹ © 2 2¹ Propiedad: el producto de dos matrices ortogonales del mismo orden es otra matriz ortogonal.B )−1 = B −1 .A) 1 = k 1. A es ortogonal ⇔ A . Dem. A es ortogonal ⇔ A−1 = At De lo que se deduce que una matriz es ortogonal si el producto de una matriz por su transpuesta da la identidad.B es ortogonal 27 . A ) = I −1 t t ( ) ( ) ( ) ⇔ A−1 . §2 + i 2 − 3i · ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨ − 2 1+ i i ¸ ¨ 3 − 1 − i 4 ¸¹ © Matriz conjugada: es la que se obtiene de reemplazar cada elemento por su conjugado.B c) A + B = A + B Matriz asociada: se llama así a la conjugada de la transpuesta. A∈ mxn. García Venturini MATRICES COMPLEJAS Se llaman así aquellas matrices cuyos elementos son números comple- jos. §2 + i 2 · ¨ ¸ §2 + i − 2 3 · Ejemplo:.B = A. §2 − i 2 3i · ¨ ¸ Ejemplo: tomando el ejemplo anterior A = ¨ − 2 1− i − i¸ ¨ 3 © − 1 + i 4 ¸¹ t Propiedades: a) At = A b) A. ¨ 3 − 1 − i ¸¹ © 2 1+ i −1− i¹ © §2 − i − 2 3 · A = A = ¨¨ * t ¸¸ © 2 1− i −1+ i¹ 28 . A = ¨ − 2 1+ i ¸ t A = ¨¨ ¸¸ . Alejandro E. Se denomina A . se la denomina A* = At . 29 . 2) Multiplicación o división de una línea por un escalar no nulo.B )* = B * . A=¨ i −2 − 3 − 2i ¸ ¨ 2 − i − 3 + 2i 3 ¸¹ © se puede verificar que es hermitiana OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE UNA MATRIZ Son las siguientes: 1) Permutación de dos líneas paralelas entre sí. matemático francés al cual se debe la resolución de la ecuación de 5º grado A es hermitiana ⇔ A = A* por métodos no algebraicos en 1858. Es § 1 −i 2+i · ¨ ¸ conocido por sus matrices hermitianas. Matrices a) (A* ) = A * Propiedades: b) ( A + B ) = ( A + B ) = ( At + B t )= At + B t = A* + B* * t c) ( A. 3) Adición de una línea a otra paralela multiplicada por un escalar. Demuestra en Ejemplo 1873 que e es irracional. Charles (1822-1902): es igual a su asociada. A* d) (α . Fue profesor de Matemáti- ca en la Escuela Politécnica de París.A) = α . Matrices equivalentes Dos matrices son equivalentes si se puede pasar de una a otra a través de un número finito de operaciones elementales.A* con α∈ * Matriz hermitiana (o de Hermite) Una matriz es hermitiana si HERMITE. García Venturini Ejemplo §−1 2 − 3· A = ¨¨ ¸¸ multiplicamos la 1º fila por 2. Alejandro E. Propiedad: las matrices equivalentes tienen el mismo rango. a) Es el mayor número de vectores columna o vectores fila linealmente independientes que tiene la matriz. b) Es el orden del determinante de mayor orden no nulo que se puede obtener con los elementos de la matriz (lo veremos más adelante). (el concepto de independencia lineal se verá en otro capítulo). RANGO DE UNA MATRIZ Hay muchas formas de definir el rango de una matriz. Vector canónico Son vectores en los cuales todos los elementos son iguales a 0 excepto uno que vale 1. 30 . © 0 4 1¹ La matriz A es equivalente a la matriz B y a la matriz C porque se ha pasado de una a otra a través de operaciones elementales A ~ B ~ C. se obtiene la matriz © 0 4 1¹ §− 2 4 − 6· B = ¨¨ ¸¸ © 0 4 1¹ Si ahora a la 1º fila le sumamos la 2º fila multiplicada por 3 se obtiene la § − 2 16 − 3 · matriz C = ¨¨ ¸¸ . c) Es la mayor cantidad de vectores columna canónicos distintos que se pueden obtener en una matriz aplicando sucesivas operaciones elementales. por ejemplo una de orden 3x4: § a11 a12 a13 a14 · ¨ ¸ A = ¨ a21 a22 a23 a24 ¸ ¨a © 31 a32 a33 a34 ¸¹ Elegimos un elemento no nulo (preferentemente un 1) que llamamos pivote.a12 a23 . todo dividido por el pivote (operación 3). excepto el pivote que se transforma en 1.a a33 − 32 23 a34 − a32 .a12 · ¨ a11 − 21 12 a12 − a13 − a14 − ¸ ¨ a22 a22 a22 a22 ¸ ¨ a21 a23 a24 ¸ A=¨ 1 ¸ ¨ a22 a22 a22 ¸ ¨ a − a21 . Matrices MÉTODO DE GAUSS-JORDAN El método consiste en obtener una matriz equivalente a la dada en la cual aparezcan la mayor cantidad posible de vectores columna canóni- cos aplicando operaciones elementales. 31 . por ejemplo a22 y obtenemos una matriz equivalente a la matriz A aplicando las siguientes operaciones elementales: 1) La fila del pivote se divide por el pivote.a32 a . Dada una matriz no nula A ∈ ℜ mxn . Se obtiene así un vector canónico en la columna del pivote.a a22 .a32 a32 − a22 .a12 a24 . se transforman en 0.a24 ¸ ¨ 31 a22 a22 a22 a22 ¸¹ © Vemos que los elementos de la columna del pivote. (operación 2) 2) Cada elemento que está en una fila que no es la del pivote se transfor- ma restándole a cada elemento el producto de los elementos que están en su fila y columna y en la fila y columna del pivote. Tomando como pivote a22 se obtiene: § a . de la cual fue director. 1876 hasta 1912. impresionado por su inteligencia científica le costeó sus estudios. primero en la escuela y luego en la Universidad de Gotinga. Fue Observamos en la matriz origi. Calificó a la Matemática como Reina de las ciencias y a él se lo llamó el Príncipe de los matemáticos. está sobre un pedestal cuya sección es un polígono regular de 17 lados. En su tesis doctoral de 1799 demuestra el Teorema Fundamental del Alge- bra. García Venturini GAUSS.a a23 .a 0 a33 − 32 23 a34 − a32 . El monumento levantado en su homenaje en la Universidad de Go- tinga. fue astrónomo. En 1870 na del pivote forma con éste la fue galardonado con el premio Poncelet de la diagonal de un rectángulo. Camile (1838-1922): matemático francés. Los Academia de Ciencias por otros dos vértices determinan su Tratado de las Sustitu- lo que llamamos contradia. Sus padres lo destinaron al trabajo manual pero trabó amistad con el duque Wihelm que. Trabajó particularmente en la teoría de grupos finitos. 32 . gonal. ciones y las Ecuaciones Algebraicas. Alejandro E. hijo de un jornalero pobre. A los 18 años crea un método para el trazado gráfico del eptadecágono con regla y compás.a24 ¸ ¨ 31 a22 a22 a22 ¸¹ © Regla del rectángulo JORDAN.a12 a24 . Newton o Einstein). Profesor de la Escuela nal que todo elemento que no Politécnica de París desde figura en la fila ni en la colum.a12 · ¨ a11 − 21 12 0 a13 − a14 − ¸ ¨ a22 a22 a22 ¸ ¨ a21 a23 a24 ¸ A=¨ 1 ¸ ¨ a22 a22 a22 ¸ ¨ a − a21 . Karl Friedrich (1777-1855): fue uno de los más grandes científicos de la historia (sus parangones hay que buscarlos en Arquímedes. Introduce los números complejos en el Análisis y realiza un estudio riguroso de las series. De origen muy humilde. físico y matemático alemán excepcional. § a .a32 a . Dice que: el transformado de un elemento es igual a la resta del producto de los elementos de la diagonal y el producto de los elementos de la con- tradiagonal. 2) La fila del pivote se divide por el pivote. 5) Se repite el procedimiento eligiendo otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote elegido anteriormente.a24 Ejemplo: a34' = a22 Síntesis 1) Se elige el pivote (distinto de 0. excepto el pivote que se transforma en 1. dividido todo por el pivote. 3) Los elementos de la columna del pivote se transforman en 0. Ejemplo § 1 −1 1 · ¨ ¸ ¨ 2 1 − 2¸ hallar el rango de A = ¨ 1 1 −1 ¸ ¨ ¸ ¨ −1 2 © 1 ¸¹ 33 . a22 .a34 − a32 . preferentemente un 1). Matrices § a11 a12 a13 a14 · ¨ ¸ A = ¨ a21 a22 a23 a24 ¸ ¨ ¸ ¨a © 31 a32 a33 a34 ¸¹ La regla del rectángulo permite obtener el transformado de cualquier elemento que no pertenece ni a la fila ni a la columna del pivote. 4) Los demás elementos se transforman por la regla del rectángulo. Alejandro E. Queda: I | A−1 Nota: si a la izquierda se obtienen los vectores canónicos pero no en el orden que están en la matriz identidad. se obtiene una matriz de orden nx2n. 34 . Para eso se escribe a la derecha de A de orden n la matriz identidad de orden n. García Venturini 1 −1 1 | 2 1 −2 | 1 1 −1 | 1 0 3 | −1 2 1 | 0 0 1 | − − − − 0 | 0 1 1 −1 1 | 0 1 2 | 0 3 −4 | − − − − Ÿ ρ ( A) = 3 1 0 0 | 0 2 −2 | 0 0 0 | 0 1 2 | 0 0 1 | − − − − 0 1 0 | 1 0 3 | 0 0 − 10 | dividiendo por –10 0 0 −6 | dividiendo por – 6 0 1 2 | Cálculo de la inversa por Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan también sirve para calcular la inversa de una matriz cuadrada no singular. En ese caso la otra matriz es A| I la inversa de A. ésta se obtiene permutan- do las filas de dicha matriz. Se aplica el método de Gauss-Jordan hasta que la matriz A se haya transformado en la matriz identidad. Matrices Condición de existencia: A∈ mxn admite inversa ⇔ ρ (A) = n § 1 0 − 1· ¨ ¸ Ejemplo A = ¨ 1 2 − 2¸ ¨ ¸ © 2 −1 1¹ 1 0 −1 | 1 0 0 1 2 −2 | 0 1 0 2 −1 1 | 0 0 1 . . . . . - 1 0 0 | 0 1 2 5 5 0 1 0 | −1 3 1 5 5 0 0 1 | −1 1 2 5 5 35 . . - 1 0 −1 | 1 0 0 0 2 −1 | −1 1 0 0 −1 3 | −2 0 1 . . .. | . § · ¨ 0 1 2 ¸¸ 1 0 −1 | 1 0 0 ¨ ¨ 5 5¸ ¨ ¸ 0 1 1 | 1 1 0 − − Ÿ A = ¨¨ − 1 -1 3 1¸ 2 2 2 ¸ ¨ 5 5¸ ¨ ¸ 0 0 5 | 5 1 1 − ¨−1 1 2¸ 2 2 2 ¨ ¸ © 5 5¹ . . .. . . . A = ¨¨ ¸¸ .B ) −1 = «¨¨ ¸¸. García Venturini Ahora que hemos visto como se calcula la matriz inversa de una matriz. Alejandro E. verificamos que: © 2 4¹ © 5 2¹ ( A. verificamos que (A-1)t = (At)-1 © 2 4¹ −1 -1 §1 3· §− 2 3/ 2 · -1 t § −2 1 · i) A = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ Ÿ (A ) = ¨¨ ¸¸ ©2 4¹ © 1 − 1/ 2 ¹ © 3 / 2 − 1/ 2 ¹ X t −1 §1 3· §1 2· t -1 § 1 2 · §−2 1 · X=Y ii) At = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ Ÿ (A ) = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ Y ©2 4¹ ©3 4¹ ©3 4¹ © 3 / 2 − 1/ 2 ¹ 36 .¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸Y © 5 /17 1/17 ¹ © 1 − 1/ 2 ¹ © − 9 /17 7 /17 ¸¹ §1 3· b) dada A = ¨¨ ¸¸ . podemos verificar algunas de las propiedades de la inversión de matrices: Ejemplos Veamos algunos ejemplos de estas propiedades: §1 3· § − 1 3· a) dadas A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ .¨¨ ¸¸ = © 5 2¹ © 2 4¹ X=Y § − 2 /17 3 /17 · § − 2 3 / 2 · § 7 /17 − 9 / 34 · = ¨¨ ¸¸.¨¨ ¸¸» = ¨¨ ¸¸ = ¬ © 2 4 ¹ © 5 2 ¹¼ © − 2 + 20 6 + 8 ¹ −1 §14 9 · § 7 /17 − 9 / 34 · = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ X ©18 14 ¹ © − 9 /17 7 /17 ¹ −1 −1 −1 −1 § −1 3· §1 3· ii) B .B )−1 = B −1 . A −1 −1 −1 ª§ 1 3 · § − 1 3 ·º § − 1 + 15 3 + 6 · i) ( A. C X = A −1 . A−1 X = A−1 . B .A = B. A.A)-1 = k-1.C X .¨¨ ¸ =¨ ¸ ® 2 © 2 4¹ 2 © 1 − 1 / 2 ¸¹ ¨©1 / 2 − 1 / 4 ¸¹ Y ECUACIONES MATRICIALES Veamos como se pueden resolver ecuaciones donde aparecen invo- lucradas matrices.¨¨ ¸¸ = .B ( ) X . A−1 . X . con A∈ . B∈ y no singulares Primero debemos premultiplicar por A-1 para eliminar la matriz A del primer miembro y luego posmultiplicar por B-1 para eliminar la matriz B.I = B .B X = B . Matrices § 1 3· c) dados A = ¨¨ ¸¸ y k =2. A−1 −1 I . A.X.B −1 = A −1 . A−1 nxn nxn c) A.B = C.C . X = A−1 . X = A −1 −1 .C . A. a) A−1 .B −1 37 .B = A−1 . A−1 = B.B = A−1 . A−1 (A . A.X = B b) X. nxn a) A.¨¨ ¸¸» = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ­ X ¬ © 2 4 ¹ ¼ © 4 8 ¹ © 1 / 2 − 1 / 4 ¹ −1 X=Y 1 § 1 3· 1 § − 2 3/ 2 · § −1 3/ 4 · 2-1.C X .C . X .B = A −1 −1 . Para obtener la matriz X debemos premultiplicar o posmultiplicar (según corresponda) por A-1. X .B X .B −1 I .B b) X . A).A-1 © 2 4 ¹ −1 −1 ª § 1 3 ·º -1 § 2 6· § −1 3/ 4 · (2A) = «2.B = A−1 . A−1 = B . verifcamos que: (k.B.B −1 (A . A).A-1 = .B −1 = A −1 .B −1 X .C ( ) X . X = A .I = A −1 . con A∈ y no singular.C . Ÿ © 0 − 1¹ © − 1 2¹ © − 1 0¹ − 1 ·¸ § − 1 3 · §¨ 15 − 1 5 ·¸ §¨ 20 §1 3 3 · −1 X = A .B = ¨ ¨ 2 −1 2 ¨ .¨ ¸¸ = ¨ 4 ¨ 0 − 4 ¸¸. García Venturini Ejemplos § 2 −1· § 1 3 · § 2 − 1 · § 17 − 4 ·¸ a) §¨ 1 3 · X = A−1 .a21 . = 5 ¸ ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ − ¸ © 0 − 1 ¹ © − 1 0 ¹ © 10 1 2 5 ¹ © 5 1 1 5¹ DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada A se llama determinante a una función de ℜ n x n → ℜ de modo que la imagen de cada matriz es un número real que se denomina determinante de A. Ÿ ¨ ¨0 − 1 ¸ © 3 − 4¹ ¨ − 3 1 ¸ © ¹ © ¹ © 4¹ © 4 ¹ b) §¨¨ 2 − 1·¸¸.§¨¨ 4 2· § − 1 3· ¸¸ = ¨¨ ¸¸. ¨a ¸ © 21 a22 ¹ a21 a22 38 .X . f : ℜ n x n → ℜ / f (A) = ¨A¨ Veamos ahora algunos ejemplos: 1x1 a) A∈ A = a11 Ÿ A = a11 = a11 2x2 b) A∈ § a11 a12 · a a12 A= ¨ ¸ Ÿ | A |= 11 = a11 .C .X = ¨¨ 3 − 4 ¸¸.B = ¨ 4 ¸. Dicho número se obtiene realizando ciertas operaciones preestablecidas entre los elementos de la matriz. Se representa como ¨A¨o det (A).a22 − a12 . Alejandro E.¨ ¸ . que es la siguiente regla para calcular su determinante.a31 a31 a32 a33 −a13 .4 − 3.a33 + a13 .a33 Ejemplos a) A = (3) Ÿ A = 3 § −1 3· −1 3 b) A = ¨¨ ¸¸ Ÿ A = = −1. veremos otra forma más sencilla.a22 . Luego veremos algunas propiedades de los determinantes que nos permitirán calcularlos de otras formas.a21 .5 − (− 3).a23 .2 = −4 − 6 = −10 © 2 4¹ 2 4 § 2 1· 2 1 c) A = ¨¨ ¸¸ Ÿ A = = 2.a21 .a32 − a12 .a23 . Matrices 3x3 c) A∈ § a11 a12 a13 · ¨ ¸ A = ¨ a21 a22 a23 ¸ Ÿ ¨a a32 a33 ¸¹ © 31 a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 = a11 .1 = 10 + 3 = 13 © − 3 5¹ −3 5 Si A∈ 3x3.a22 . 39 . espe- cialmente los de orden superior a 3.a31 − a11 .a32 + a12 . SARRUS. 40 .a21 .a33 − a11 a12 a13 + − a21 a22 a23 + Ejemplo 1 −2 −1 | A| = − 2 0 − 2 = 0 + 6 + 4 − (0 − 6 − 4 ) = 20 1 3 −1 1 − 2 −1 −2 0 −2 Veremos otras formas de calcular determinantes además de la ya vista que es utilizando la definición. pero no es muy práctica. a11 a12 a13 | A |= a21 a22 a23 a . Matemática.a . Alejandro E. Pedro Federico (1798- ra calcular determinantes de tercer 1861): matemático francés.a31 − a31 a32 a33 + = 11 22 33 −a13 . Ahora veremos otra forma de definir la función de- terminante.a22 . cias de Estraburgo.a32 − a12 .a23 .a31 − a11 . OTRA FORMA DE DEFINIR LA FUNCIÓN DETERMINANTE Vimos que el determinante de una matriz cuadrada es un escalar que se obtiene efectuando ciertas operaciones preestablecidas entre los elemen- tos de la matriz. la regla que lleva su nombre para Los productos correspondientes a resolver determinantes y por haber los signos + se suman y los otros obtenido en 1842 el Gran premio de se restan.a + a13 . es conocido por Se repiten las dos primeras filas.a23 . profesor de Análisis de la Facultad de Cien- orden.a32 + a12 .a21 . García Venturini Regla de Sarrus Es una regla práctica que sirve pa. Matrices Dada una matriz cuadrada se llama determinante a una función de ℜ n x n → ℜ de modo que la imagen de cada matriz es un número real que se obtiene sumando todos los productos posibles de n elementos elegidos entre los n2 de la matriz dada. y de clase impar si forman un número impar de inversiones. siempre son de un orden inferior al orden de la matriz cuadrada. Se lo denomina α ij . § a11 a12 a13 · ¨ ¸ a21 a23 a11 a12 Ejemplo: si A = ¨ a21 a22 a23 ¸ α12 = α 23 = ¨ ¸ a31 a33 a31 a32 ¨a a32 a33 ¸¹ © 31 a12 a13 α 31 = . en este caso son 9. anteponiendo a cada producto el signo más o el signo menos según que las permutacio- nes que indican las filas y las columnas sean de clase par o impar. Hay tantos menores complementarios como elementos tenga la matriz.… a22 a23 Si la matriz es de orden 3. § 1 3 2· ¨ ¸ −1 3 1 2 Ejemplo: A = ¨ − 1 4 3 ¸ α12 = = −6 α 23 = =5 ¨ ¸ 2 0 −1 3 © 2 1 0¹ 41 . MENOR COMPLEMENTARIO Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz cuadrada de orden n al determinante asociado a la matriz cuadrada de orden n–1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j. los menores complementarios son determi- nantes de orden 2. Nota: son de clase par si ordenados los elementos según los primeros subíndices. los otros subíndices forman un número par de inver- siones (no están en el orden natural). siempre que en cada producto haya un factor de cada fila y un factor de cada columna. porque (− 1)i + j = 1 Si i + j es impar: Aij = −α ij . = −4 A13 = (− 1) . MATRIZ ADJUNTA Es la matriz transpuesta de la que se obtiene de reemplazar en una matriz cuadrada cada elemento por su adjunto. = −9 3 2 0 −3 y así sucesivamente se pueden calcular los restantes adjuntos. ¨ ¸ 0 1 © 0 − 3 1¹ 5 2 0 4 3 4 A32 = (− 1) . 42 .α ij . Se denomina Adj A. Al adjunto del elemento aij se lo denomina Aij Ÿ Aij = (− 1) . hay 9. García Venturini 3 2 α 21 = = −2 1 0 ADJUNTO DE UN ELEMENTO Se llama así al número que se obtiene de multiplicar al menor comple- mentario α ij por (− 1)i + j . Alejandro E. = −3 . porque (− 1)i + j = −1 § 2 −1 0· ¨ ¸ 3 2 Ejemplo: ¨ 3 4 2 ¸ A12 = (− 1)3 . i+ j Si i + j es par: Aij = α ij . B22 = (− 1) . B 31 = (− 1) . 5 6 =2 0 2 0 1 § 2 2 4· ¨ ¸ Ÿ Adj B = ¨ 6 6 − 4 ¸ ¨ ¸ ©−3 5 2¹ Veremos ahora propiedades que nos permitirán resolver determinantes de orden superior de una forma más sencilla. 2 1 2¸ =2 ¨ ¸ −1 0 © 3 −1 0¹ 0 2 0 1 B12 = (− 1) . = −3 3 4 =6 3 0 3 −1 1 −2 2 −2 B 21 = (− 1) . B13 = (− 1) . = −4 B 33 = (− 1) . 43 . 3 4 =2 =6 −1 0 3 0 2 1 1 −2 B 23 = (− 1) . 5 4 =5 =4 3 −1 1 2 2 −2 2 1 B32 = (− 1) . Matrices § 1 3· Ejemplos: a) A = ¨ ¸ A11 = 4 A12 = 2 A21 = −3 A22 = 1 © − 2 4¹ § 4 2· Ÿ Adj A = ¨ ¸ © − 3 1¹ §2 1 − 2· ¨ ¸ 1 2 b) B = ¨ 0 B11 = (− 1) . | A |= a21 a22 a23 = Hizo múltiples aportes a distintas áreas de la matemática y la física.a21 .a31 = | A | 2) Si en una matriz una línea es 0. del Interior.(a21 . supóngase que a ij = 0 . 3.a23 .a31 ) + a13 . 44 . a11 . fue objeto de elementos de una línea cualquiera honores por Napoleón multiplicados por sus correspon. Es decir. Los Bor- a11 a12 a13 bones lo hicieron mar- qués.a23 . …. Pierre Simon de (1749- 1827): matemático El valor de un determinante es igual francés de origen cam- a la suma de los productos de los pesino. = a32 a33 a31 a33 a31 a32 a11 . Alejandro E.A12 + a13 .A11 + a12 .a22 . entre los cuales a31 a32 a33 está su regla para resolver determinantes y sus famosas transformadas.(a22 . del que fue ministro dientes adjuntos.a33 − a11 . Supóngase que la i-ésima fila de A contiene solamente ceros.a33 − a23 − a32 ) − a12 .A13 = a22 a23 a21 a23 a21 a22 = a11 . 1) Desarrollo de un determinante por elementos de una línea Regla de Laplace LAPLACE. García Venturini PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Cálculo de determinantes de orden superior Demostraremos la validez de las propiedades para determinantes de 3º orden.a33 − a23 . − a12 + a13 .a31 + + a13 .n.a31 ) = a11 .a32 − a22 .a32 − a13 . pero su validez se puede generalizar. si j = 1. Luego fue senador y presidente del Senado. 2.a21 .a32 − a12 .a33 + a12 .a22 . su determinante vale 0.(a21 . a21 .a 21 .a31 − a11 .a23 .a23 .a23 .a33 = a 31 a 32 a 33 =−A 45 . Matrices Entonces A = a i1 .a23 . + a in .a22 .a23 .a33 a 21 a 22 a 23 | A1 |= a11 a12 a13 = a12 .a22 .a 22 .a33 + a13 .a32 + a13 .a32 + a12 ..a21 .a33 + a13 .a 22 ..a22 .a22 . 4) Si en una matriz se permutan dos líneas paralelas los correspondien- tes determinantes tienen signos opuestos.a33 + a11 .a32 − a12 .a31 a13 a 23 a 33 −a13 .a32 + a12 . Ai 2 + .a31 a31 a32 a33 −a13 .a33 vemos que son iguales Ÿ | A |= | At | .a 32 − a11 .a21 .a22 . + 0 = 0 La misma demostración es válida si la j-ésima columna está formada por ceros.a31 −a12 .. Ain = 0 + 0 + .a 21 .a32 − a12 .a32 + a12 . Ai1 + a i 2 .a32 − a12 .a31 a31 a32 a33 −a13 .a21 . 3) Si en una matriz se permutan filas por columnas los correspondientes determinantes son iguales.a 23 .a21 ..a31 − a11 .a21 .a31 − a11 .a23 .a33 + a13 .a 31 − a13 . a11 a12 a13 | A |= a21 a22 a23 = a11 .a 23 .a33 a11 a 21 a 31 | A t |= a12 a 22 a 32 = a11 .a22 . a11 a12 a13 | A |= a21 a22 a23 = a11 . a22.a11. García Venturini 5) Si en una matriz dos líneas paralelas son proporcionales.a33 = k.a 33 + a13 .a23.a 23 = a11 .a22 .A = k n .ka 21 .k.a32 + a12 .k. a11 a12 a13 | A |= a21 a22 a23 = a11 .a 22 k .k .a13 = a11 .a12 .a31 − a11 .k .k .a13 a 31 a 32 a 33 −a13.k.k.a32 − a12 .a21 . a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 46 .a32 − a12.a33 + a13 .a23 .k.a 32 + a12 .a13.a22 .a 22 .k .a21.a 31 a 31 a 32 a 33 −a13. A 7) Si los elementos de una línea de una matriz se descomponen en n sumandos. su determi- nante vale 0.a23 .a12.a31 − a11. a 21 k . su determinante puede descomponerse en n determinantes que tienen las restantes líneas iguales.a32 − a12.a 22 .k. Alejandro E. A Consecuencia: si A∈ nxn Ÿ k .a31 a31 a32 a33 −a13 .a31 − a11.a 33 + a13 .a12 k .a33 a11 a12 a13 | A1 |= k .a 32 + a12 .a11 k .ka11 .a21 .a33 = 0 6) Si en una matriz se multiplican todos los elementos de una línea por una constante el determinante de la matriz queda multiplicado por la constante. a11 a12 a13 | A |= k . a 23 A1 = a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 k . que estudió junto a Abel y se publican en 1829. A12 + a13 . destacado te k el determinante de la ma. A11 + (a12 + b12 ). A12 + (a13 + b13). de origen judío. 47 . Se le deben estudios sobre determinantes funcionales. A11 + a12 . A11 + b12 .a 21 a12 + k . A12 + b13 . Combinando esta propiedad con la de Laplace se pueden calcular determinantes de orden superior con cierta facilidad. Astronomía. A13) + (b11 . A13 = (a11 .a 22 a13 + k . Son reconocidos mundial- a11 a12 a13 mente sus estudios sobre las | A |= a 21 a 22 a 23 . Karl Gustav Jacob (1804-1851): famoso matemático alemán multiplicada por una constan. multiplicada por k. por sus aportes en Física y triz no varía. funciones elípticas. A los 21 años era profesor de Konigsberg.a 22 k . uno a la 1º F le sumamos la 2º F de los cuales se llama jacobiano debido a él.a 23 a11 a12 a13 = a 21 a 22 a 23 + a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 + 0 = A a 31 a 32 a 33 a 31 a32 a 33 a 31 a 32 a 33 Esta propiedad permite fabricar ceros. el cálculo de va- riaciones y la teoría de números. a 31 a 32 a 33 las ecuaciones diferenciales. Matrices (a11 + b11). A13) a11 a12 a13 b11 b12 b13 = a21 a22 a23 + a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 8) Propiedad invariante-Teorema de Jacobi Si en una matriz a una línea se le suma una línea paralela JACOBI. a11 + k .a 21 k . − 3 5 − 8 + 0 + 0 + 0 2 1 8 − 13 48 . en las posiciones a 31 y a 41 formamos ceros aplicando el teorema de Jacobi.(− 2).(− 1) . Hacemos las siguientes sustituciones: 3º F = 3º F +1º F. el determinante de 4x4 queda reducido a uno solo de 3x3. Si. Alejandro E. . uno de los términos del desarrollo de Laplace se anula y sólo quedan 3 determinantes de 3x3. García Venturini Ejemplo 1 1 −2 4 0 1 1 3 A= 2 −1 1 0 3 4 2 −1 Si aplicamos directamente la regla de Laplace el determinante de 4x4 se puede reducir a 3 o a 4 de 3x3 según la línea que se elija. Si se elige una línea que contiene el 0. por ejemplo. el determinante que se obtiene es el siguiente: 4º F = 4º F + 1º F .(− 3) 1 1 −2 4 0 1 1 3 A= 0 −3 5 −8 0 1 8 − 13 1 1 −2 4 0 1 1 3 Si aplicamos la Regla de Laplace: A = 0 −3 5 −8 0 1 8 − 13 1 1 3 = 1. A23 = ¨ ¸ ¨a a33 ¸¹ © 31 a32 a12 a13 a11 a13 a11 a12 = a11 (− 1)3 . Ahora se puede volver a aplicar el método o aplicar la regla de Sarrus. − a12 .(− 1)4 .a33 − a12 .a33 + a11 . − 3 5 − 8 = −65 − 72 − 8 − 15 + 64 − 39 = −135 2 1 8 − 13 9) En una matriz la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera multiplicados por los adjuntos de los elementos corres- pondientes a una paralela a ella es igual a 0.a31 ) − a13 .(a12 . a11 0 0 Ejemplo: | A |= a21 a22 0 = a11 .a32 + a13 .a12 . = a32 a33 a31 a33 a31 a32 − a11 .a32 + a12 .a32 − a12 . § a11 a12 a13 · ¨ ¸ Dada A = ¨ a21 a22 a23 ¸ calculamos a11 .a33 a31 a32 a33 49 .a31 ) = = −a11 .A21 + a12 .a11 .a32 ) + a12 .a11 .(− 1)5 . Matrices De esta manera se redujo un determinante de 4x4 a sólo uno de 3x3.a13 .a12 .(a11 .a13 . + a13 .a33 − a13 .a31 − − a13 .a22 .a33 − a12 .A22 + a13 . 1 1 3 = 1.a31 = 0 10) El determinante de una matriz cuadrada triangular superior o infe- rior de orden nxn es igual al producto de los elementos de la dia- gonal principal.(− 1) .(a11 . B = 7 Ÿ A .B = ¨¨ ¸¸. § 1 2· § 2 − 2· Ejemplo: dadas A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ © 2 3¹ ©1 3 ¹ 1 2 2 −2 3 0 + ≠ 2 3 1 3 3 6 − 1 + 8 ≠ 18 7 ≠ 18 b) | A. Alejandro E.B |= | A | .¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ Ÿ A.B = 20 − 90 − 70 © 3 4 ¹ © 3 2 ¹ ©18 5 ¹ 50 . § 1 2· § 2 − 2· Ejemplo: dadas A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ © 2 3¹ ©1 3 ¹ A = −10 . García Venturini 11) Determinante de una suma y de un producto a) | A + B | ≠ | A | + | B | El determinante de una suma de matrices no es igual a la suma de los determinantes.| B | El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes. B = (− 10 ) − 7 = −70 § − 1 2 · § 2 − 1· § 4 5 · A. A22 + a13 .A23 a11 .A12 + a13 . ( Adj A) = ¨ a21 a22 a23 ¸ . Matrices CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO LA MATRIZ ADJUNTA Otra forma de obtener la matriz inversa es de la siguiente forma: Adj A A−1 = . 3) Se divide la matriz así obtenida por el determinante de la matriz A. ¨ ¸ ¨A A23 A33 ¸¹ © 13 § a11 a12 a13 · § A11 A21 A31 · ¨ ¸ ¨ ¸ Si multiplicamos A .A23 a31 .A21 + a12 .A + a .A31 + a22 . si A ≠ 0 | A| 1) Se obtiene la matriz de los adjuntos. pero se puede genera- lizar.A a31 .A32 + a23 . 2) Se obtiene la matriz transpuesta de ésta. § a11 a12 a13 · ¨ ¸ A = ¨ a21 a22 a23 ¸ . es decir la matriz adjunta. consideramos su matriz adjunta: ¨ ¸ ¨a a33 ¸¹ © 31 a32 § A11 A21 A31 · ¨ ¸ Adj A = ¨ A12 A22 A32 ¸ .A33 · ¨ ¸ = ¨ a21 .A22 + a33 .A13 a21 .A13 a11 .A12 + a23 .A33 ¸¹ © 31 11 32 12 33 13 51 .A21 + a32 .A11 + a12 .A33 ¸ ¨ ¸ ¨ a .A22 + a23 .A21 + a22 .A31 + a12 .A + a . ¨ A12 A22 A32 ¸ = ¨ ¸ ¨ ¸ ¨a a33 ¸¹ ¨© A13 A33 ¸¹ © 31 a32 A23 § a11 .A32 + a13 .A23 a21 . Demostración Hacemos la demostración para una matriz de 3x3.A31 + a32 .A11 + a22 .A32 + a33 . García Venturini Observamos que los elementos de la diagonal son iguales al determinan- te de A por ser el producto de los elementos de una línea por sus adjuntos (Regla de Laplace). | B |= 0 1 2 = 6 + 6 + 4 = 16 3 −1 0 § 2 2 4· ¨ ¸ § 2 2 4 · § 1 1 1 · ¨ 6 6 − 4 ¸ ¨ 16 16 16 ¸ ¨ 8 8 4¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © −3 5 2¹ ¨ 6 ¸ ¨ ¸ −1 ŸB = = 6 − 16 = 4 3 3 8 − 4¸ 1 16 ¨ 16 16 ¸ ¨ 8 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨− 3 5 2 ¸ ¨− 3 5 1 ¸ © 16 16 16 ¹ © 16 16 8¹ 52 . El resto de los elementos es 0. mul- | A| ¨ ¸ ¨ 0 © 0 A ¸¹ Adj A tiplicando a ambos miembros por A-1 queda A−1 = | A| Ejemplo: calculamos la inversa de la matriz B de la cual ya calculamos su adjunta. I de donde I= . ( Adj A) A . § 2 2 4· ¨ ¸ Adj B = ¨ 6 6 − 4 ¸ ¨ ¸ ©−3 5 2¹ 2 1 −2 Calculamos el determinante de B. Alejandro E. ( Adj A) = ¨ 0 A 0¸= A. por ser la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela. §A 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ A . ( Adj A) =| A | . B ≠ 0 Ÿ A. ( Adj A) b) A ≠ 0 Ÿ A .A−1 = I A. | A| 1 Teorema 2: Si A es inversible Ÿ A−1 = A Demostración 1 A. A−1 = 1∴ A−1 = A Teorema 3: Si A y B son matrices cuadradas inversibles entonces A. Ÿ A. At = I Ÿ A At = 1 Ÿ A = 1∴ A = ±1 53 .A−1 = I Ÿ A . A−1 = 1 Ÿ A ≠0 A . B es inversible Ÿ B ≠ 0 A. At = I Ÿ A. Demostración A es inversible Ÿ A ≠ 0 .I Ÿ I = | A| Adj A multiplicando a ambos miembros por A-1 queda A−1 = . Matrices Teorema 1: A∈ mxn es inversible ⇔ A ≠ 0 Demostración a) A es inversible Ÿ A.B es inversible (por Teorema 1) Teorema 4: El determinante de una matriz ortogonal vale 1 o –1 Demostración 2 A ort. A−1 = I = 1 Ÿ A . A−1 = I Ÿ A.B = A .B es inversible. Con los años las ideas de el primero. h: mer amor fue la música y se dedicó a la matemática recién 1 1 1 .. h n −1 applicable à l'état actuel de la musique en la Academia de Ciencias. se obtiene: adeptos y en el siglo XIX la Academia de Ciencias separó la sección de Música de la sec- 1 1 1 1 ción de Matemática y la incor- 0 b−a c−a d −a poró a la sección de Arte.(c − a ) d ... que está formado por VANDERMONDE. .. sica. Dos años después Veamos el caso particular de n = 4 presentó la segunda parte.(b − a ) c..(b − a ) c . 1 a los 35 años.. excepto sicos.. c. García Venturini DETERMINANTE DE VANDERMONDE Entre los determinantes especiales está el de Vandermonde. Estudió la teoría de las ecua- a b c .(d − a ) 0 b . h2 presentó la primera parte de un trabajo sobre teoría de la mú- . Système d'harmonie a n −1 b n −1 c n −1 .. V = 0 b.(d − a ) 2 2 Aplicando la propiedad 6 de los determinantes y la regla de Laplace queda: 54 . Por el V = 2 2 2 contrario la idea fue decirle a a b c d2 los músicos que ignoraran toda a3 b3 c3 d3 teoría de la música y que usa- ran sus entrenados oídos para juzgar la música. b.. . . Alexandre: Théophile (1735-1796) potencias sucesivas de n números distintos Matemático francés cuyo pri- a..(c − a ) d 2 . como se podía esperar de un a b c d experto en ambas áreas.... Este trabajo no presenta una teoría 1 1 1 1 matemática de la música. Alejandro E. restando a cada fila la anterior Vandermonde fueron ganando multiplicada por a. Esto generó Para resolverlo se reducen a cero los una controversia entre los mú- elementos de la primera columna.. En 1778 Vandermonde |V |= a2 b2 c2 . . h ciones y trabajó en determi- nantes. = c d = (b − a )(.(− 1)2 = c. 1 1 1 (b − a )(. c − a )(. y así hasta llegar a uno de segundo orden. (b − a )(. c − a )(. d − a ). c − a )(. d − a )( .(c − b )(. c − b )( . Matrices 1 1 1 1. ahora a cada fila se le resta la anterior multiplicada por b. c − a )(. d − a ). utilizando las propiedades vistas. d − b )( . 55 . d − c) CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR TRIANGULACIÓN Se puede calcular un determinante triangulando la matriz. Veamos como se hace.(c − b ) d . este determinante también es 2 2 b c d2 de Vandermonde.1. 0 c−b d −b = 0 c(c − b ) d (d − b ) c−b d −b = (b − a )(. y luego calcular el determinante de una matriz triangular (propiedad 10). d − a ). b 2 c d . EL RANGO DE UNA MATRIZ Y LOS DETERMINANTES Al definir el rango de una matriz vimos que se lo puede definir como el orden del determinante de mayor orden no nulo que se puede obtener con los elementos de la matriz sin alterar sus filas o columnas.(− 1) . d − a ).(d − b ) 1 1 (b − a )(. c − a )(. d − b ). sim- plemente suprimiendo alguna de ellas. se procede de la misma manera. La matriz que se obtiene como intersec- ción de k filas y k columnas se llama submatriz cuadrada de orden k. 2 y 3 con las columnas 2. Subdeterminante de orden k Es el determinante de una submatriz cuadrada de orden k. Alejandro E. García Venturini Submatriz de orden k Sea una matriz de orden mxn. 3 y 4 se §3 − 2 6· ¨ ¸ obtiene la submatriz cuadrada de orden 3: ¨ 1 6 2 ¸ ¨1 5 2¸ © ¹ En este ejemplo no existen submatrices de orden mayor a 3. 56 . ρ ( A) ≥ k ⇔ A tiene un subdeterminante de orden k ≠ 0. Ejemplo §1 3 − 2 6· ¨ ¸ A = ¨ 3 1 6 2¸ ¨ 4 1 5 2¸ © ¹ a) Cada elemento de A es una submatriz de orden 1. b) Con la intersección de las filas 1 y 3 con las columnas 3 y 4 se § − 2 6· obtiene la submatriz cuadrada de orden 2: ¨¨ ¸¸ © 5 2¹ c) Con la intersección de las filas 1. −2 6 Ejemplo: = −4 − 30 = −34 5 2 Teorema 1 A∈ mxn . Ejemplos § 1 2 5· ¨ ¸ a) A = ¨ 2 4 10 ¸ ¨ ¸ © 3 6 15 ¹ Para calcular su determinante primero buscamos el de la submatriz de mayor orden posible. Matrices Teorema 2 A∈ mxn. En este caso es fácil verificar que todos los subdeterminantes 2 4 de 2º orden son nulos. Buscamos los subdeterminantes de 2º orden. por ejemplo: 1 2 −1 3 1 5=0 1 −3 7 Se puede verificar que todos los subdeterminantes de 3º orden son nulos. por ejemplo: 1 2 = 0 . Buscamos uno de 2º orden: 57 . es el determi- nante de A. por ser cuadrada. Por lo tanto el rango de la matriz A es 1: ȡ(A) =1. que en este caso. Este determinante vale cero. por tener dos líneas proporcio- nales (1º y 2º fila) (propiedad 5). §1 2 −1 4· ¨ ¸ b) A = ¨ 3 1 5 2¸ ¨ ¸ © 1 − 3 7 − 6¹ Comenzamos por los subdeterminantes de 3º orden. ρ ( A) = k ⇔ A tiene al menos un subdeterminante de orden k ≠ 0 y todo subdeterminante de orden k +1 es 0. la red de vuelos comerciales que conectan ciertas ciudades o la dispersión de las enfermedades transmisibles. la medicina y otras áreas. 58 . las ciencias sociales. Veremos la relación entre la teoría de gráficas y la teoría de matrices. Alejandro E. 0 −1 TEORÍA DE GRÁFICAS: UNA APLICACIÓN DE LAS MATRICES Las gráficas son auxiliares en el estudio de las relaciones entre los com- ponentes de las redes que surgen en el comercio. calculamos ahora uno de 2x2. 2 −4 2 −4 = −2 ≠ 0 Ÿ ρ ( A)= 2 . García Venturini 1 2 = −5 ≠ 0 Ÿ ρ ( A) = 2 3 1 § 1 − 2 1· ¨ ¸ c) A = ¨ 2 − 4 2 ¸ ¨ ¸ © 0 − 1 3¹ Calculamos el determinante de 3x3: 1 −2 1 | A |= 2 − 4 2 = −12 − 2 + 2 +12 = 0 0 −1 3 Por ser 0 el determinante de 3x3 el rango no puede ser 3. 1 −2 = −4 + 4 = 0 . buscamos otro determinante de 2x2. Sirven para establecer los lazos familiares de una tribu. 1 2 3 4 5 1 * * 2 * * 3 * 4 * 5 * Los * indican las estaciones que se relacionan. Esta misma información se puede representar mediante una gráfica dirigida. . Vn. V2. En la tabla se indican las líneas dispo- nibles hacia y desde las estaciones... 2 1 3 5 4 Gráfica dirigida Es un conjunto de n puntos llamados vértices expresados como V1.. 59 . Matrices Representación de un sistema de comunicación mediante una gráfica Supongamos un sistema de comunicación mediante conexiones telefóni- cas en el cual hay 5 estaciones. junto con un número finito de bordes que unen diversos pares de vértices. En el caso visto los vértices que están unidos lo están a través de un solo borde. Alejandro E. La matriz que corresponde a este caso es la siguiente: §0 1 0 0 1· ¨ ¸ ¨0 0 1 1 0¸ ¨ ¸ A= ¨ 0 1 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 1¸ ¨¨ ¸¸ ©0 0 0 1 0¹ Veamos otros ejemplos: N 2 Q 1 3 P M 4 O Las matrices correspondientes son: §0 1 1 0 0· §0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 0 0 0 0¸ ¨1 0 1 0¸ ¨ ¸ A= ¨ ¸ A= ¨ 0 1 0 1 0¸ ¨0 0 0 0¸ ¨0 ¨ ¸ 0 1 0 0¸ ©1 1 1 0¹ ¨¨ ¸¸ ©0 1 0 1 0¹ 60 . García Venturini Toda gráfica dirigida se puede representar por una matriz cuadrada de nxn en la cual el número que se halla en la posición ij es el número de bordes que unen el vértice i con el vértice j. alguna de estas dos condiciones no se cumplen. En este curso ve- remos el caso de matrices de incidencia. por ejem- plo. entre V1 y V4. Veamos algunas conclusiones que se pueden obtener de la gráfica y que no son tan evidentes. obtener la gráfica a partir de la matriz. aunque los otros casos también se pueden tratar. N §0 1 1 0· ¨ ¸ ¨0 0 1 0¸ Dada la matriz A = ¨ ¸. Para eso daremos las siguientes definiciones. Sin embargo se puede enviar una comunicación entre ellos a través de V2 o de V5. Matrices Veamos el caso inverso. V1 → V2 → V4 o V1 → V5 → V4 61 . Matriz de incidencia Es una matriz correspondiente a una gráfica dirigida que verifica dos condiciones: a) ningún vértice está conectado consigo mismo. Trayectoria o cadena Si observamos la primera gráfica vemos que no hay un borde. ¨1 0 0 1¸ M O ¨ ¸ ©1 1 1 0¹ P buscamos la gráfica que debe tener 4 vértices. Si hubiese un 1 en la diagonal o un entero mayor que 1 en alguna posi- ción. b) dos vértices están unidos a lo sumo por un sólo borde. Para esto observemos lo siguien- te: obtendremos A2. y así sucesivamente. Por ejemplo para ir de V1 a V4 de la siguiente manera: V 1 →V 2 →V 3 →V 2 →V 4 . Uno de los temas que interesa es determinar la trayectoria más corta en- tre dos vértices de una gráfica dirigida.4) indica que del vértice 1 al 4 se puede llegar a través de 2 cadenas de 2 bordes ( V1 → V2 → V4 y V1 → V5 → V4 ). Por ejemplo el 1 en la posición (1. § 0 1 0 0 1· § 0 1 0 0 1· § 0 0 1 2 0· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 1 1 0¸ ¨ 0 0 1 1 0¸ ¨ 0 1 0 0 1¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 1 0 0 0¸ = ¨ 0 2 A = ¨ 0 1 0 0 0 ¸.¨ 0 0 1 1 0¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 1¸ ¨ 0 0 0 0 1¸ ¨ 0 0 0 1 0¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ©0 0 0 1 0¹ © 0 0 0 1 0¹ © 0 0 0 0 1¹ Los elementos de A2 indican el número de 2-cadenas que hay entre los vértices. El 2 en la posición (1. Estas ca- denas se llaman 2-cadena porque se utilizan dos bordes. García Venturini Una ruta de un vértice a otro se llama trayectoria o cadena.3) indica que del vértice 1 al 3 se puede llegar a través de 1 cadena de 2 bordes: V1 → V2 → V3 . En general una ruta de n bordes se llama n-cadena. Alejandro E. 62 . De V3 se puede enviar un mensaje a V5 a través de V2 y V4: V3 → V2 → V4 → V5 Cadena redundante Se llama así a una cadena en la cual se pasa dos veces por el mismo vértice. Para determinar en un grupo quien ejerce control directo o indirecto sobre quien hay que calcular las potencias de la matriz de incidencia A. Si aij de la matriz Ar para todo r > n es 0.. entonces el ele- mento aij de la matriz An indica el número de cadenas de n bordes que hay para ir del vértice i al vértice j. Las gráficas dirigidas y la sociología En los grupos habitualmente algunos integrantes dominan o tiene algún tipo de influencia sobre otros miembros. Veamos el siguiente ejemplo de 5 personas en el cual se ha establecido. Es decir si Juan domina a Pedro y Pedro a su vez domina a Claudia. Matrices Teorema Si A es la matriz de incidencia de una gráfica dirigida. entonces Juan ejerce un cierto control indirecto sobre Claudia. Otra propiedad Si A es la matriz de incidencia de una gráfica dirigida entonces A + A2 + . quién domina a quién.. + An representa el número total de cadenas de 1 hasta n vértices. por ejemplo a través de un test. 63 . entonces la cadena más corta del vértice i al j es una n-cadena. Hacemos la gráfica y la matriz: §0 0 1 1 0· P3 P2 ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 1¸ ¨ ¸ A = ¨ 0 1 0 1 0¸ P1 ¨ 0 1 0 0 0¸ ¨¨ ¸¸ P4 P5 © 0 0 0 0 0¹ Significado de una cadena en este caso Una cadena que no es un borde representa un control indirecto de una persona sobre otra. Que la matriz A3 sea nula indica que no hay influencias a través de 3- cadenas y por lo tanto tampoco habrá de orden mayor a 2-cadenas. García Venturini Ejemplo Describir las dominaciones directas e indirectas correspondientes a la siguiente gráfica: Determinamos la matriz de incidencia y sus potencias: P2 §0 1 0 0 0 0· P6 ¨ ¸ ¨0 0 0 0 0 0¸ ¨ ¸ 0 1 0 0 1 1¸ A= ¨ . o sea a través de la persona 6 y de la persona 1. A = ¨ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©0 0 0 0 0 0¹ ©0 0 0 0 0 0¹ Veamos las interpretaciones: La matriz A indica los dominios directos. Alejandro E. Ve- mos que la persona 3 ejerce una influencia indirecta sobre la persona 4 a través de 2 cadenas de 2 bordes. o sea a través de 2-cadenas. La matriz A2 indica los do- minios indirectos a través de 1 persona. P3 ¨0 0 0 0 0 0¸ ¨ ¸ P5 P4 ¨0 0 0 1 0 0¸ ¨ ¸ P1 ©0 1 0 1 0 0¹ §0 0 0 0 0 0· §0 0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ 0 1 0 2 0 0¸ 3 ¨ 0 0 0 0 0 0¸ A =¨ ¸ . 64 . por ejemplo. que la 1º persona del 1º grupo contagió a la 1º persona del 2º grupo (a11=1) y que la 4º persona del 1º grupo contagió a la 1º y a la 3º del 2º grupo (a41=1 y a43=1). lo que quiere decir que. Y tenemos otro grupo B de. §1 0 2· ¨ ¸ ¨1 1 0¸ A. por ejemplo la siguiente: A = ¨ ¸ ¨ 0 0 1¸ ¨ ¸ © 1 0 1¹ Esto quiere decir. por ejemplo. de por ejemplo 3 personas y que entre ellos se efectúan algunos contagios que quedan definidos a través de una matriz § 0 0 1· ¨ ¸ B de 3x3: B = ¨ 1 1 0 ¸ ¨ ¸ © 1 0 1¹ Por ejemplo. esto queda definido a través de una matriz de contacto directo A de § 1 0 1· ¨ ¸ ¨ 0 1 0¸ orden 4x3. El número de filas de la matriz A indica el número de personas del 1º grupo y el número de columnas indica el número de personas del 2º grupo.B = C = ¨ ¸ . Supongamos ahora que el 2º grupo de 3 personas a su vez entra en contacto con un 3º grupo. etc. la 1º persona del 2º grupo contagia a la 3º del 3º grupo (a13=1). Las filas de esta matriz C representan a los miembros del 1º grupo y las columnas a los del 3º grupo. Algunas de las personas del grupo A contagian a las del grupo B. Matrices Otra aplicación: al contagio de enfermedades Supongamos un grupo de personas. la 3º ¨1 0 1¸ ¨ ¸ ©1 0 2¹ 65 . por ejemplo de 4 personas. etc. por ejemplo 3 personas. in- fectado por una enfermedad. Si queremos determinar la matriz de contactos indirectos entre el 1º grupo y el 3º debemos efectuar el producto entre las matrices A y B que denominamos C. la 3º persona del grupo 3 tuvo 5 contactos indirectos (2+1+2). García Venturini persona del 3º grupo es contagiada indirectamente dos veces por la 1º del 1º grupo (c13=2). obtenemos el nú- mero de contactos indirectos que tuvo cada persona del grupo 3. 66 . Por ejemplo. Toda esta información se puede obtener analizando las matrices. Además si sumamos los términos de cada columna. Uno de estos contagios se hace a través de la 1º del 2º grupo y la otra a través de la 3º del 2º grupo. Alejandro E. La empresa lleva la información de cuántas unidades de cada producto se vendieron en un determinado período a través del siguiente cuadro: Buenos Aires Puertas Ventanillas Frenos Motores Ford 50 60 45 70 Renault 40 60 50 80 Fiat 100 120 140 90 3x4 Esta información se puede expresar a través de una matriz A∈ § 50 60 45 70 · ¨ ¸ A = ¨ 40 60 50 80 ¸ ¨100 120 140 90 ¸ © ¹ Por fila leemos cuántas autopartes se vendieron por marca. Por otro lado la empresa recibe la información de las ventas de Córdoba. desde una forma sencilla y ordenada de brindar información hasta operaciones más complejas como la matriz insumo-producto que veremos en otro capítulo. expresada a través de la siguiente tabla. Matrices APLICACIONES ECONÓMICAS Son muchas las aplicaciones económicas que tienen las matrices. La matriz como forma ordenada de brindar información Supongamos una empresa de autopartes que en Buenos Aires vende 4 productos de 3 marcas de automóviles diferentes. por columna cantidad vendida por producto. Buenos Aires Puertas Ventanillas Frenos Motores Ford 40 70 40 30 Renault 50 50 70 40 Fiat 100 120 100 50 67 . solo tenemos que obtener la matriz transpuesta.A = 1.¨ 40 60 50 80 ¸ = ¨ 48 72 60 96 ¸ ¨100 120 140 90 ¸ ¨120 144 168 108 ¸ © ¹ © ¹ Volvamos al ejemplo de la matriz A que por fila nos indica las ventas por marca y por columna las ventas de cada autoparte. es decir que por fila nos indique las ventas por auto- parte y por columna las ventas por marca.2. § 50 40 100 · ¨ ¸ ¨ 60 60 120 ¸ A =¨ t 45 50 140 ¸ ¨ ¸ ¨ 70 80 90 ¸¹ © 68 . Podemos obtener la nueva matriz de ventas de A1 multiplicando a la matriz A por 1.2. § 50 60 45 70 · § 40 70 40 30 · § 90 130 85 100 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ = ¨ 40 60 50 80 ¸ + ¨ 50 50 70 40 ¸ = ¨ 90 110 120 120 ¸ ¨100 120 140 90 ¸ ¨100 120 100 50 ¸ ¨ 200 240 240 140 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Supongamos ahora que hubo un aumento general de las ventas en Buenos Aires del 20%. Axel Kicillof Esta información también se puede expresar a través de una matriz § 40 70 40 30 · ¨ ¸ B∈ 3x4 : B = ¨ 50 50 70 40 ¸ ¨100 120 100 50 ¸¹ © Algunas operaciones sencillas Si la empresa quisiera saber cuáles fueron las ventas totales de ese pe- ríodo todo lo que tiene que hacer es sumar las matrices y obtener la ma- triz Venta Totales: VT = A + B . § 50 60 45 70 · § 60 72 54 84 · ¨ ¸ ¨ ¸ A1 = 1. Si quisiéramos que fuese al revés.2. 400 ¸ ¨100 120 140 90 ¸ ¨ 40 ¸ ¨ 20.500 · ¨ ¸ ¨ 20 ¸ ¨ ¸ Axp = ¨ 40 60 50 80 ¸ x¨ ¸ = ¨ 10.000 ¸ © ¹ ¨100 ¸ © ¹ © ¹ Lo que quiere decir por autopartes Ford se recaudaron 11.000. Matrices Si además se conocen los precios de venta de cada autoparte (todas las marcas tienen el mismo precio) dados a través de la matriz columna § 30 · ¨ ¸ ¨ 20 ¸ p=¨ . Vemos así algunas de las aplicaciones que las operaciones entre matri- ces tienen en la economía. Se establece así una correspondencia entre los vectores con origen en O y los puntos del espacio considerado. podemos establecer una relación entre los vectores y los números reales (coordenadas del punto). Antes de ver otras aplicaciones recordaremos algunos conceptos del álgebra vectorial. Pero como a la vez existe una correspondencia entre los puntos y los números reales. ya sea un par o una 69 . § 30 · § 50 60 45 70 · ¨ ¸ § 11. Breves conceptos de álgebra vectorial A cada punto P del espacio (2 o 3 dimensiones) se le puede hacer corresponder un vector OP llamado vector posición del punto que tiene como origen en el punto O (centro de coorde- nadas) y como extremo al punto P.400 y por autopartes Fiat 20.500. por auto- partes Renault se recaudaron 10. para saber los ingresos que se obtuvieron por cada marca 40 ¸ ¨ ¸ ¨100 ¸ © ¹ sólo debemos multiplicar A x p. .…. p2. x2. Xn en cantida- des x1..Pt. a2 ) ó a = (a1 .…. a2 ) = A = ¨¨ ¸¸ © a2 ¹ § a1 · ¨ ¸ a = ( a1. se puede considerar como una matriz fila o columna según convenga. como una matriz fila o una matriz columna: § a1 · a = (a1 . Vector de producción – Vector de costos – Costo de producción Supongamos que una empresa produce bienes X1. a2 . cuyos precios son respectiva- mente p1.. c2. cn. a2 ) = A = (a1 a2 ) ó a = (a1 . pn.…. Este vector. a3 ) = A = (a1 a2 a3 ) ó a = ( a1.. a2 . Axel Kicillof terna de números reales según la dimensión del espacio considerado. p2 . Si pensamos a ambos vectores como matrices fila ∈ 1xn a las que denominamos respectivamente como P y C. pn ) . el vector de precios es aquél en el cual aparecen expresados los precios de los distintos bienes: p = ( p1. a3 ) = A = ¨ a2 ¸ ¨a ¸ © 3¹ Estos conceptos se pueden generalizar a vectores de n componentes.... 70 . el costo total se obtiene multiplicando P. Xn.Ct o C.. c2 . como ya vimos. A su vez cada vector se puede considerar.. según convenga.. xn ) .…. Llamaremos vector de producción al vector cuyas componentes son las cantidades que se producen de cada bien: P = ( x1. a3 ) . Veamos ahora otras aplicaciones económicas. X2. a2 .. X2. a = (a1 . El vector de costos es el vector que tiene por compo- nentes los costos unitarios de producción de cada bien: C = (c1.…. Vector de precios Dado un conjunto de bienes X1. x2 .. cn ) . xn respectivamente cuyos costos de producción unitarios son c1. p2 + .. r2 ..…. p t = ( x1 x2 . pn ¨ . Llamaremos vector de demanda al vector cuyas componentes son las cantidades que se demandan (y que se producen) de cada bien: D = ( x1. Si pensamos a ambos vectores como matrices fila ∈ 1xn a las que denominamos respectivamente como D y p. como ya vimos. pn.¸ Costo total = CT = P .. es el vector que tiene por componentes los precios unitarios de cada bien: p = ( p1.c1 + x2 .. Para dicha producción tiene asignados presupuestos r1 para X1.. + xn .. x2 .¸ ¨ ¸ ¨ . p2..... p2 .c2 + . § p1 · ¨ ¸ ¨ p2 ¸ ¨ . X2. x2.Dt. X2.. Queda así definido un vector de pre- supuestos R = (r1.. rn ) .¨ ¸ = x1 . xn respectivamente cuyos precios de venta son p1..pt o p. rn para Xn .…. xn ).cn ¨ . ¸ ¨ ¸ ¨ ..…. + xn .. el ingreso total se obtiene multiplicando D. Xn con un presupuesto R. Los insumos fundamentales para producir los bienes los indicamos como aij. Se desea saber qué precios unitarios 71 . ¸ Ingreso total = I T = D. Matrices § c1 · ¨ ¸ ¨ c2 ¸ ¨ ..….¨ ¸ = x1 .. ¸ ¨p ¸ © n¹ Sistemas de precios a) Supongamos que una empresa produce bienes X1. El vector de precios.…..C t = ( x1 x2 . xn ). pn ) . Xn en cantida- des x1. r2 para X2. p1 + x2 . Cada aij representa la cantidad del insumo j para producir el bien Xi..¸ ¨c ¸ © n¹ Vector de demanda – Vector de precios – Ingreso Total Supongamos que una empresa produce bienes X1. xn ) .. 72 .. lo que es igual a la matriz columna o vector de gastos G.R ¨ ¸¨ ..¨ .. llamada matriz de gastos. pn ) t . a2 n ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ...….R ¨ ¸ . . xn. Se obtiene así la matriz columna o vector correspondiente a los presu- puestos. Se quiere saber cuántas unidades de cada bien se han producido en un período determinado dada la matriz G y la matriz A. a1n · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ p ¸ ¨r ¸ ¨ a21 a22 .p = A-1. ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ∴ p = A-1. ¸ ¨ . ¸. ¸ ¨ . . Xn en canti- dades x1....….A. indica el total gas- tado en cada uno de los insumos. § p1 · § r1 · § a11 a12 .. . La matriz columna G = ( p1 p2 .p = R Ÿ A-1.. ¸ = ¨ . Axel Kicillof puede pagar la empresa por cada insumo para cumplir con el presu- puesto R. Para resolverlo se efectúa el producto entre la matriz de requerimientos de insumos aij (que denominamos A) y la matriz columna o vector correspondientes a los precios de cada insumo p.. x2. . ann ¹ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © pn ¹ © rn ¹ Es decir que los precios que se deben pagar por cada insumo se obtienen multiplicando la matriz inversa de la matriz de insumos por la matriz columna de los presupuestos asignados a cada bien. . Para resolverlo se efectúa el producto entre la matriz A de requerimientos de pagos de insumos por la matriz columna o vector de las cantidades de cada bien X. © an1 an 2 . Los aij representan ahora el precio del insumo i pa- ra producir una unidad del bien Xj.. b) Supongamos que una empresa produce bienes X1. X2. ¸ Ÿ A. De esta ecuación se despeja el vector de cantidades X. $1m2 y $2.X = A-1.100 t ¨ 4¸ © ¹ III) Sistema de precios a) Una empresa produce robots..2 ¸ = 1.. § 2 · ¨ ¸ Costo total = I T = P . El costo de producción unitario para cada bien es de $2...5 ¸ © ¹ II) Ingreso La empresa del caso anterior vende cada producto a $3.¨ . .5.G ¨ ¸¨ . ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ∴ X = A-1. .. a2 n ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ . p = (300 200 150 ). Se pide cal- cular el costo total mensual de producción de dicha empresa.000 para armazones. . © an1 an 2 . Matrices § x1 · § p1 · § a11 a12 . flancitos y gelatinas.000 para la compra de motores.000 destina- dos a microchips y $100.X = G Ÿ A-1.215 t ¨ 2.. 200 y 150 unidades respectivamente.¨ 3 ¸ = 2.. 73 . Dispone de $250.. licuadoras y lavarropas en serie. ¸ ¨ . . ¸ ¨ .C = (300 200 150). los microchips y los armazones si la matriz de requerimientos de insumos A es la siguiente. $3 y $4 respec- tivamente..¨ 1. En un mes se producen 300.G ¨ ¸ . . $220.. ¿Qué precios unitarios debe pagar por los motores. § 3· ¨ ¸ Ingreso total = I T = D .A. ¸ = ¨ . Se pide calcular el ingreso total mensual de dicha empresa. a1n · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨ p 2 ¸ ¨ a21 a22 . ¸. ann ¹ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © xn ¹ © p n ¹ Ejemplos I) Costo de producción Una empresa alimenticia produce yoghurts. ¸ Ÿ A. 000 por cada motor. en chapa $220 y en motores $100. Los motores cuestan $10. mientras cada camión necesita $40 y cada con- vertible $20.000 ¸ = ¨ 10 20 10 ¸ ¨ 100. 3 camiones y 2 convertibles. Alejandro E.000 ¸¹ © 5 10 10 ¹ Se deben pagar $2. El costo en pintura para producir un tractor es $20.¨ 220 ¸ = ¨ 3 ¸ 2 ¸ ¨ 10 20 10 ¸ ¨ 110 ¸ ¨¨ 1 1 − 7 ¸ ¨© 100 ¸¹ ¨© 2 ¸¹ © ¹ © ¹ © 5 10 10 ¹ Se produjeron 2 tractores.000 por cada microchip y $2. para producir un camión es $50 para el caso del convertible es $30.¨ 220 ¸ = ¨ − 110 − 110 1 ¸.000 · § 2. cuántos camio- nes y cuántos convertibles produjo la empresa en el período.000 ¸¹ ¨© 2.¨ 220.000 · −1 ¨ ¸ ¨ ¸ P = A . $3. b) Una empresa produce triciclos amarillos. García Venturini § 20 50 30 · ¨ ¸ A = ¨ 30 40 20 ¸ ¨ 10 20 10 ¸ © ¹ −1 § 20 50 30 · § 250. X = A−1 . camiones verdes y conver- tibles rojos.000 ¸ 2 ¸ ¨ ¨ 1 1 − 7 ¸ ¨© 100. $20 y $10 respectivamente.000 por cada armazón.000 ¸ © ¹ © ¹ § 0 1 − 1 · § 250. chapa y motores. 74 . Los insumos que utiliza son pintura.¨ 220.000 · ¨ 10 5 ¸¨ ¸ ¨ ¸ = ¨ − 110 − 110 1 ¸.G −1 § 20 50 30 · § 250 · §¨ 0 1 − 1 · § 250 · § 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ 10 5 ¸¨ ¸ ¨ ¸ X = ¨ 3 0 40 20 ¸ . se quiere averiguar cuántos tractores. En chapa. Si los gastos totales en pintura fueron de $250.000 ¸ = ¨ 3.R Ÿ P = ¨ 30 40 20 ¸ . cada tractor insume $30. 50 y $1.400)¨ 0. 700. demanda y costo. c) Obtener.10 · ¨ ¸ ¨ ¸ (1.80 ¸ © ¹ © ¹ 75 .50 ¸ = 4.400 dulces por semana. Los precios de venta unitarios son $1.I u − D t C = § 1.400)¨ 0.80 ¸ − (1.1.500 700 1.500 700 1.500 gaseosas.10.65 · § 1. d) B = D t .¨ 0.70 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ § 1. el ingreso total y el costo total.(I u − C ) = D t . $ 0.10. 0. p = (1.50 ¸ ¨ 1.400) C = (1.50 respec- tivamente.65 · § 1.80) § 1.¨ 0.80.80.535 t ¨ 2. Matrices Otro ejemplo Un supermercado vende 1.50 ¸ ¨ 1.65 · ¨ ¸ c) I T = D . A su vez los costos unitarios son respectivamente $1.500 700 1.10 · § 0.55 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ b) Bu = I u − Cu = ¨ 0. multiplicando matrices.80 ¸ ¨ 0.520 t ¨ 1.50.80 ¸ = 6.400 ).10 · ¨ ¸ CT = D. b) Obtener.80 ¸ − ¨ 0.500. 2. 700 jugos y 1. a) Indicar los vectores de precios. 0.50) D = (1.C = (1. d) Obtener el beneficio total aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta de matrices.500 700 1.65. $0.535 − 4.520 = 2. el beneficio unitario.1.30 ¸ ¨ 2. como resta de matrices columna. & & & a) p = (1.80 ¸ © ¹ En el caso de ventas el costo se obtiene multiplicando a la matriz de demanda (en lugar de la matriz de producción) por la matriz transpuesta de la matriz de costos.015 ¨ 2.80 y $2.50 ¸ = 6.400 ).65.50 ¸ = ¨ 0.50 ¸ © ¹ § 1. Alejandro E. 5) Dadas las matrices A. hallar a) A + B – C b) M / A + C – B + M = 0 §1 2 3 · §6 3 1· §3 4 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A = ¨5 0 9 ¸ B=¨ 4 0 8 ¸ C = ¨1 2 0 ¸ ¨ 4 −1 − 7 ¸ ¨ − 1 2 − 1¸ ¨ 0 3 − 5¸ © ¹ © ¹ © ¹ § 2 − 1 5· §− 2 0 3· 6) Si A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ . García Venturini EJERCICIOS PROPUESTOS Matrices 1) Escribir explícitamente las matrices definidas por: a) A∈ 3x3 / aij = (− 1)i + j b) A∈ 4x4 / aij = i + j ­i! si i < j c) A∈ 5x5 / aij = ® ¯ j! si i ≥ j §x y· § x 6 · § 4 x + y· 2) Hallar x. hallar C = A − 2 B . hallar a) A – B b) A+3B © 3 2 1¹ © 1 − 4 − 1¹ 76 .¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸ © z w ¹ © − 1 2w ¹ © z + w 3 ¸¹ 2x2 2x2 3) Determinar dos matrices X∈ e Y∈ tales que: ­ § 5 2· °3 X + 4Y = ¨¨ ¸ ° © − 12 9 ¸¹ ® °− 2 X + 3Y = §¨ 8 − 7· ¨−9 ¸ ° ¯ © − 6 ¸¹ 4) Siendo las matrices A∈ 2x3 y B∈ 2x3 cuyos elementos genéricos son: aij = 2i − j y bij = 1 − i 2 . B y C. y. z y w si: 3. B. clasificar la matriz A 2 ¨0 0 1¸ © ¹ § 3 1 · 11) Sea A = ¨¨ ¸¸ a) Si f ( x ) = −3 X 2 + 2 X − 5I . Matrices 7) Dadas las matrices A. A + 8. (A – B) ≠ A2 – B2 9) Verificar que (A. At 77 .I = 0 B = ¨¨ ¸¸ B = B © − 2 2¹ © −1 − 2¹ §1 3· § −1 3· 13) Dadas las matrices A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ calcular: © 2 4¹ © 5 2¹ a) ( A. 0 = matriz nula 12) Verificar si las siguientes matrices satisfacen las relaciones indica- § 1 3· 2 §3 6 · 2 das: A = ¨¨ ¸¸ A − 3. C y D. A + β . A)t c) B t . I = matriz identidad.I = 0 .C) si: §1 − 3 2 · §1 4 1 0· § 2 1 −1 − 2· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A = ¨ 2 1 − 3¸ B = ¨ 2 1 1 1 ¸ C = ¨ 3 − 2 − 1 − 1 ¸ ¨ 4 − 3 −1¸ ¨ 1 − 2 1 2¸ ¨ 2 − 5 −1 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ § − 1 − 1 − 1· ¨ ¸ 10) Obtener A si: A = ¨ 0 1 0 ¸ .B) = (A. hallar a) A x B b) A x C c) (A+D) x C §1 2 3 4 · § − 2· §1 0 − 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ § 1 3 −1· A = ¨¨ ¸¸ B = ¨ 1 0 1 − 2 ¸ C = ¨ 2 ¸ D = ¨¨ ¸¸ ©1 2 − 2 ¹ ¨ 0 −1 −1 1 ¸ ¨ 3 ¸ © 0 2 − 3¹ © ¹ © ¹ § 1 3· § 2 1· 8) Dadas las matrices A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ © − 2 0¹ © −1 2¹ verificar que (A+B).B )t b) (B. hallar f (A) © − 2 2¹ b) hallar α y β tal que: A2 + α . B )t = B t . t b) A + At da una matriz simétrica. Alejandro E. García Venturini § −1 −1 1 · § 1 −1 2· ¨ ¸ ¨ ¸ 14) Dadas las matrices A = ¨ 0 1 0 ¸ y B = ¨ 2 0 1 ¸ hallar: ¨ 3 1 2¸ ¨0 3 1¸ © ¹ © ¹ t a) A y B t b) verificar que ( A + B ) = A + B t t t c) ( A. entonces la matriz 2 A es involutiva. 1 b) ( I − A) es idempotente. 17) Analizar si las siguientes matrices son simétricas o antisimétricas § 1 2 − 3· § 1 −1 0· §0 1 − 2· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A = ¨− 2 1 5 ¸ B = ¨ −1 2 3¸ C = ¨ −1 0 3 ¸ ¨ 3 − 5 −1¸ ¨0 3 0 ¸¹ ¨ 2 −3 0 ¸ © ¹ © © ¹ § 1 3 − 1· ¨ ¸ 18) Dada A = ¨ 2 5 4 ¸ verificar que: ¨7 2 3 ¸ © ¹ a) A − A da una matriz antisimétrica. c) descomponerla en suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica. At 15) Indicar cuales de las siguientes matrices son idempotentes y cuales involutivas: § 2 − 2 − 4· § 2 − 3 − 5· ¨ ¸ §1 0 · ¨ ¸ A = ¨ −1 3 4 ¸ B = ¨¨ ¸¸ C = ¨ −1 4 5 ¸ ¨ 1 − 2 − 3¸ © 0 − 1¹ ¨ 1 − 3 − 4¸ © ¹ © ¹ 16) Demostrar que si: a) (I − A). entonces la matriz A es involutiva. 78 .(I + A) = 0 . 21) Demostrar que si una matriz cuadrada es simétrica. entonces An también lo es.At es simétrica b) A + At es simétrica c) B – Bt es antisimétrica d) (A. las matrices inversas de: § 1 −1 0 · § 1 0 −1 · § 1 −1 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A = ¨ 0 1 − 1¸ B = ¨ 1 2 − 2 ¸ C = ¨ 0 1 − 1¸ ¨ −1 0 2 ¸¹ ¨ 2 −1 1 ¸ ¨ −1 0 1 ¸ © © ¹ © ¹ 79 . verificar si: ¨ 2 − i − 3 + 2i 3 ¸¹ © a) A es hermítica () b) At = A t c) 2A es hermítica d) iA es hermítica 25) Obtener. es ¨ 0 0 1 ¸¹ © ortogonal. At 20) Demostrar que si A es simétrica.At es simétrica. b) Bt. Matrices §2 3 · §1 5· 19) Dadas las matrices A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ verificar que: © 0 − 1¹ © 2 4¹ a) A.B)t = Bt. © 3 2 − 3¹ ©1 − i 3i 5i ¹ calcular: a) At + B t y b) ( A + B )t § 1 −i 2+i · ¨ ¸ 24) Si A = ¨ i −2 − 3 − 2i ¸ . entonces: a) A.A. § co sα − sen α 0· ¨ ¸ 22) Probar que toda matriz A = ¨ sen α co sα 0 ¸ donde α∈ℜ. si existen. § 2 1 − 3· §1 + i 2 − 4 · 23) Dadas las matrices A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ .B es simétrica cualquiera sea la matriz B cuadrada. 27) Demostrar que si: A es una matriz de orden 2x1 y B es una matriz de orden 1x2. entonces su producto es una matriz no inversible.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © 0 − 1¹ © − 1 2 ¹ © − 1 0 ¹ § −1 0· 29) Hallar todas las matrices B∈ 2x2 no nulas / B −1 . § −1 0 2· §2 − 3 1· ¨ ¸ ¨ ¸ 32) Hallar X∈ 3x3 / ¨ 0 2 1 ¸. X = ¨ 2 0 1 ¸.¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © −1 2¹ © 2 0¹ § 2 − 1· § 4 2 · § − 1 3 · b) ¨¨ ¸¸. A.B = ¨¨ ¸¸ © 0 6¹ §1 2· si A = ¨¨ ¸¸ . hallar A-1 en función de A. 31) Demostrar que si A∈ 3x3 es una matriz diagonal.B) –1 = B–1. ¨ 0 1 1¸ ¨ 1 − 2 2¸ © ¹ © ¹ 80 . siendo los ele- mentos de la diagonal no nulos. entonces A es no singular y su in- versa es la matriz formada por los inversos de los elementos de la diagonal. X . Alejandro E. § 3 1 · § − 2 3· 28) Hallar X∈ 2x2 / a) X . García Venturini § 3 − 2 0 −1 · §1 2 3 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 2 2 1 ¸ D = ¨1 3 3 ¸ E =¨ ¨1 2 4 ¸ 1 − 2 − 3 − 2¸ © ¹ ¨ ¸ ¨ 0 −1 2 1 ¸¹ © § 3 1· § 2 0· 26) Dadas las matrices A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ verificar que: © −1 2¹ © − 3 1¹ (A. ©5 4¹ 30) Si A∈ nxn / A3 = 2 A + I . A–1. Matrices 33) Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales también lo es.B t + 2C y clasificar la matriz obtenida si §1· § − 1· § 1 − 2 2· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A = ¨ 0¸ . B = ¨ 2 ¸ y C = ¨ 1 0 4¸ ¨ 3¸ ¨0¸ ¨ 3. §1 2 1 − 1· §1 2 3· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 1 0 2¸ 34) Determinar el rango de: A = ¨ 2 3 4 ¸ B = ¨ ¨3 5 7¸ 0 1 2 − 1¸ © ¹ ¨ ¸ ¨2 2 © − 1 2 ¸¹ § 1 2 0 −1· §− 2 4 2 − 2· ¨ ¸ ¨ ¸ C = ¨ 2 6 − 3 − 3¸ D = ¨ −1 −1 1 0 ¸ ¨ 2 10 − 6 − 5 ¸ ¨− 2 1 2 − 1 ¸¹ © ¹ © ( ) 35) Hallar M-1 si M = A. X + (ad − bc ). §1 1 0 1· § 1 1 −1 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨3 2 −1 3¸ ¨k 1 1 1 ¸ A=¨ B=¨ k 3 −2 0¸ 1 − 1 3 − 3¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ −1 © 0 −4 3 ¸¹ ¨4 2 0 © k ¸¹ §a b · 37) Demostrar que A = ¨¨ ¸¸ satisface la ecuación ©c d¹ X 2 − (a + d ). hallar p y q tales que A3 = pA2 + qA .5 7 8 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 36) Determinar si existe k∈ para que las matrices A y B tengan el mismo rango igual a 3. §1 0 1· ¨ ¸ 38) Si A = ¨ 0 1 0 ¸ .I = 0 . ¨1 0 1¸ © ¹ 81 . © − 2 − 3¹ 46) Demostrar que si: a) A es simétrica y ortogonal. entonces A es ortogonal. expresar todas las soluciones posibles. diet. b y c tales que a. si A es una matriz diagonal de orden 2 y satisface esta relación. leche. G es idempotente y F.G = I. A2 + b. ©1 1 ¹ § 3 4 · 45) Verificar que la matriz A = ¨¨ ¸¸ es igual a su inversa. determinar X2 si: © 3 2 ¹ © 1 4 ¹ (X . b) A es simétrica e involutiva. García Venturini § 2 − 1· § − 2 3· 39) Si A = ¨¨ ¸¸ y B = ¨¨ ¸¸ . 42) Si F es involutiva. ©2 0 ¹ §5 2· 41) Si A = ¨¨ ¸¸ encontrar todos los k para que A sea solución de la ©0 k ¹ ecuación X 2 − 7. §1 − 1· 44) Encontrar a.I = 0 . de bajo tenor graso). Alejandro E. La empresa lleva la infor- mación de cuántas unidades de cada producto produce en un deter- minando período a través del siguiente cuadro: 82 . entonces A es simétrica. demostrar que (F − G )2 = G . A−1 = A − 4 I .(I − F ) 43) Si 5.I = 0 si A = ¨¨ ¸¸ . A + C . entonces A es involutiva. leche cultivada y dulce de leche) y que los productos pueden ser de 3 tipos (enteros. X + 10. A. X . X = At si A = ¨¨ ¸¸ . c) A es ortogonal e involutiva. § 3 − 1· 40) Hallar X / X −1 . Aplicaciones económicas 1) Supongamos que la empresa La Serenísima tiene una planta proce- sadora en Vicente Casares que produce 4 productos (yogurt. A ) −1 −1 = B −1 . b) expresar el número de empleados de cada categoría por una matriz columna. Matrices Vicente Casares Yoghurt Leche Leche cultivada Dulce de leche Enteros 800 900 700 1.000 Diet 600 600 400 500 Bajo tenor graso 1.200 1.000. cada uno de los 20 pro- fesores recibió $20. En un mes se fabrican 3.000 y 60 acciones.800 1. y $3.000 1. $3. Se pide plantear el cálculo del costo total mensual de producción de la empresa como producto de matrices y calcularlos.700 1. El costo de producción unitario para cada bien es $4. 2.900 Por otro lado la empresa recibe la información de la producción en Navarro expresada a través de la siguiente tabla Navarro Yoghurt Leche Leche cultivada Dulce de leche Enteros 400 700 400 300 Diet 500 500 700 400 Bajo tenor graso 1. cada uno de los 3 vice- rrectores recibió $35. b) Si se aumenta la producción en Navarro un 30%.000 y 40 acciones. c) utilizar la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y acciones que gastó el colegio en el pago a sus funcio- narios ese año.000 y 30 acciones y el secretario general recibió $25. Un determinado año el rector recibió $50. 83 . 3) Una empresa alimenticia produce dulces. a) expresar los pagos de dinero en acciones y en acciones por medio de una matriz de 2x4. indicar la nueva matriz de producción.000 1.500 y 1. quesos y mermeladas.500 unidades respectivamente.000 y 80 acciones.000 500 a) Obtener la matriz que indique la producción total. 2) Un colegio paga a los empleados su sueldo y les concede una parti- cipación en las acciones como gratificación anual. 000 lapiceras 3.000 lapiceras en 3 unidades monetarias. En plástico. Gráficas dirigidas 1) Dada la siguiente gráfica dirigida de rutas de una aerolínea: a) hallar la matriz de incidencia M b) hallar la matriz que indica las rutas con 1 escala O c) ¿cuántas rutas con 1 escala hay para ir de 3 a 2? d) ¿cuántas rutas con 1 escala hay para ir de 4 a 2? N e) ¿entre las localidades hay 2 rutas con P 1 escala? 84 . Los insumos que utiliza son pintura.000 reglas insumen 1 unidad monetaria. Dispone de $170. 1.000 desti- nados a ruedas y $200.000 biromes 3 y 1. Si los gastos totales en pintura fueron 390. plástico y mano de obra. para producir 1. 2 y 4 respectivamente.000 para armazones. 1. García Venturini 4) Una empresa produce triciclos. determinar cuántas reglas. El costo en pintura para producir 1.000 para pago de mano de obra.000 reglas es 1.000 unidades.000 biromes es 2 y para producir 1. para cada 1. cuán- tas biromes y cuántas lapiceras se produjeron (en miles). 1. las ruedas y los armazones si la matriz de requerimientos de insumos A es la siguiente? § 15 20 30 · ¨ ¸ A = ¨ 20 10 10 ¸ ¨ 15 25 35 ¸ © ¹ 5) Una empresa produce reglas. Alejandro E. bicicletas y ciclomotores en serie. en plástico 400 y en mano de obra 500. $120. biromes y lapiceras. ¿Qué precios unitarios debe pagar por la mano de obra. Los gastos en mano de obra son. c) ¿entre qué ciudades existen 2 ser- vicios con 1 escala? Q Determinantes 1) Resolver los siguientes determinantes: 1 1 −2 4 2 −1 1 2 1 2 0 1 1 3 a) 3 0 − 2 b) 0 3 − 1 c) 2 −1 1 0 1 −3 5 4 1 1 3 4 2 −1 5 4 2 1 1 2 3 4 −2 4 0 2 3 1 −2 2 3 4 1 d) e) f) 1 5 0 −5 −7 −3 9 3 4 1 2 0 6 −2 1 − 2 −1 4 4 1 2 3 85 . b) hallar la matriz que indica las in- O fluencias directas a través de 1 per- sona. P b) obtener la matriz que indica el ser. Matrices 2) Dada la siguiente gráfica dirigida que representa las influencias de un grupo: a) hallar la matriz que representa los N dominios o influencias directas dentro del grupo. Se pide: a) construir la matriz de incidencia. M c) ¿cuántas personas ejercen influen- cias indirectas a través de 1 persona P sobre la 4? Q 3) La figura es un diagrama e redes que muestra la estructura de rutas de una M empresa de transporte que da servicio a 5 ciudades. O vicio con 1 escala que existe entre N todas las ciudades. A 6) Demostrar que si A∈ 3x3 es una matriz triangular superior entonces su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal. demostrar que A2 = a 2 + b 2 ) 2 © ¹ 86 . § a b· 7) Si A = ¨¨ − b a ( ¸¸ . García Venturini 1 1 1 1 a+b c 1 1 1+ b 1 1 g) h) b + c a 1 1 1 1+ c 1 c+a b 1 1 1 1 1+ d 2) Hallar x para que: 2x −1 1 x−2 −3 x−5 7 a) = b) x 2 4 =0 −4 x −1 −1 x+3 0 −3 −2 1 0 x c) 0 x − 1 − 1 = 2 1 x +1 1 3) Hallar x real o complejo para que la matriz A sea singular: § x 2 − 1· ¨ ¸ A = ¨8 − 2 x ¸ ¨4 x 0 ¸¹ © a b c a b c 4) Si d e f = −5 . hallar a − 2d b − 2e c − 2 f g h i g h i 5) Si A∈ 4x4 y k∈ demostrar que k . A = k 4 . Alejandro E. hallar r tal que: A2 − (a + d ). 11) Si a. hallar x para ¨0 0 1 ¸ ¨ x 1 2¸ © ¹ © ¹ los cuales C es inversible. entonces el determinante de su inversa es igual al inverso de su determinante. calcular: a) k .c.B. Matrices a b c 1 a b c b c a 1 8) Calcular a) a + 3d b + 3e c + 3 f b) si a + b + c = 3 c a b 1 d e f 1 1 1 1 §1 2 1 · § x 1 1· ¨ ¸ ¨ ¸ 9) Dadas A = ¨ 0 − 1 − 1¸ y B = ¨ 0 1 x ¸ .I = 0 © c d ¹ ¿qué relación tiene r con la matriz A? 14) Si A∈ 4x4 y A = −2 . b) 2 A . b. c y d son los elementos de la diagonal de una matriz cuadra- da de cuarto orden.d § a11 a12 a13 · § 13 a13 2a11 − 4a13 − 6a12 · ¨ ¸ ¨ ¸ 12) Dada A = ¨ a21 a22 a23 ¸ y B = ¨ 13 a23 2a21 − 4a23 − 6a22 ¸ y ¨a a32 a33 ¸¹ ¨1a 2a31 − 4a33 − 6a32 ¸¹ © 31 © 3 33 1 A= k ≠ 0 . 87 . At k §a b · 13) Dada la matriz A = ¨¨ ¸¸ . calcular: a) 2 A−1 . demostrar que si A es diagonal.B b) B −1 . si C = A. 10) Demostrar que si A es una matriz cuadrada no singular. Justifique cada paso. A−1 . A + r .b. entonces A = a. c) −1 (2 A)−1 . A .At = A . hallar la matriz adjunta y verificar que: ©c d¹ a) la que Adj ( AdjA) = A . ¨ 4 1 2¸ © ¹ 17) Si A∈ 3x3 y A = 5 y a la 1º fila se le resta la 3º multiplicada por 2.A .y = 28 18) A = ¨¨ ¸¸ .x + B. β.C . γ ∈ §1 1 −2 4 2· ¨ ¸ A=¨2 1 3 −1 1 ¸ ¨α β γ α β ¸¹ © 88 . resolver: ° ® © 2 2¹ ©6 4¹ −1 °¯ C . García Venturini §a b · 15) Si A = ¨¨ ¸¸ . B = ¨¨ ¸¸ y C = 8 . verificar que A. § 3 2· §5 2· ­ A .x + B −1 . Alejandro E. y = 176 Y ahora un problema tomado en el ingreso a la Facultad Superior de Economía en la Universidad de Rumania Determinar el rango de la matriz A para distintos valores de α. Determinar justificando la respuesta B = 5 . se obtiene la matriz B. b) ( Adj A)t = Adj (At ) § 2 2 2· ¨ ¸ 2 16) Para la matriz A = ¨ 1 0 2 ¸ . Matrices RESPUESTAS Matrices §2 3 4 5· § 1 −1 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨3 4 5 6¸ 1) a) A = ¨ − 1 1 − 1¸ b) A = ¨ ¨ 1 −1 1 ¸ 4 5 6 7¸ © ¹ ¨ ¸ ¨5 6 7 8 ¸¹ © §1 1 1 1 · 1 ¨ ¸ ¨1 2 2 2 ¸ 2 c) A = ¨1 2 6 6 ¸ 6 ¨ ¸ ¨1 2 6 24 24 ¸ ¨ ¸ ©1 2 6 24 120 ¹ § −1 2· § 2 − 1· 2) x = 2. α = –5. w = 3 3) X = ¨¨ ¸¸ Y = ¨¨ ¸¸ © 0 3¹ ©−3 0 ¹ §4 1 3 · § 2 − 3 − 3· § 1 0 − 1· ¨ ¸ ¨ ¸ 4) C = ¨¨ ¸¸ 5) a) A = ¨ 8 − 2 17 ¸ b) M = ¨ − 2 − 2 − 1 ¸ ©9 8 7 ¹ ¨ 3 − 2 − 3¸ ¨ − 5 0 11 ¸ © ¹ © ¹ § 4 −1 2· § − 4 − 1 14 · 6) a) A − B = ¨¨ ¸¸ b) A + 3B = ¨¨ ¸¸ © 2 6 2¹ © 6 − 10 − 2 ¹ §1 3 4 3 · § − 5· § − 4· 7) a) A x B = ¨¨ ¸¸ b) AxC = ¨¨ ¸¸ c) ( A + D )xC = ¨¨ ¸¸ ©3 4 7 − 2¹ © − 4¹ © − 9¹ § − 20 − 13 · 10) A2 = I Ÿ A es involutiva 11) f ( A) = ¨¨ ¸¸ . z = 1. β = 8 © 26 − 7 ¹ §14 18 · 13) ( A.B )t = ¨¨ §5 9 · ¸¸ . At = ¨¨ ¸¸ © 9 14 ¹ © 9 23 ¹ © 9 14 ¹ 89 . A)t = ¨¨ ( ) §14 18 · ¸¸ B t . y = 4. (B. B = ¨ − 1 0 3 ¸ t ¨ 1 0 2¸ ¨ 2 −1 1¸ © ¹ © ¹ 15) A y C son idempotentes. b) sí.I 32) X = ¨ 1 2 − 1¸ © − a b 2 ¹ ¸ ¨ 0 −4 3 ¸ © ¹ 90 . García Venturini § −1 0 3· § 1 2 0· ¨ ¸ ¨ ¸ 14) A = ¨ − 1 1 1 ¸ . B es simétrica. Alejandro E. C es antisimétrica § 1 5 3· § 0 1 − 4 ·¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 18) A = ¨ 5 5 3¸ + ¨ − 1 0 1 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 3 3 3¸ ¨ 4 −1 0 ¸ © ¹ © ¹ §3 + i 4−i · ¨ ¸ 23) A + B = ( A + B ) = ¨ 3 t t t 2 + 3i ¸ 24) a) sí. B es involutiva 17) A no es nada. d) no ¨ − 7 − 3 + 5i ¸ © ¹ § 2 2 1· §0 1 2 · ¨ ¸ ¨ 5 5¸ −1 25) A = ¨ 1 2 1¸ B −1 = ¨ − 1 3 5 1 5 ¸ . c) sí. C no admite inversa ¨ 1 1 1¸ ¨ ¸ © ¹ ¨ −1 1 2 ¸ © 5 5¹ § 1 −5 −4 · § 6 − 2 − 3· ¨ 3 −2 3¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 0 − 1 ¸ D −1 = ¨ − 1 1 0 ¸ E −1 = ¨ 3 3 ¸ ¨ −1 0 1 ¸¹ ¨ −1 3 3 2 ¸ © ¨ 2 − 17 − 10 ¸ © 3 −6 3¹ § −1 11 · §3 3 · 28) a) X = ¨ 7 7¸ b) X = ¨ 20 5¸ ¨4 −2 ¸ ¨ 1 −1 ¸ © 7 7¹ © 5 5¹ §− 2 − 5 5 · § a b · ¨ ¸ 29) B = ¨¨ 5 ¸ 31) A−1 = A2 − 2. 500 y $500 respectivamente 5) 40 reglas.300 650 ¸ © ¹ §1· ¨ ¸ § 50.100 900 ¸ ¨ 2.400 ¸ © ¹ § 520 910 520 390 · ¨ ¸ b) P = ¨ 650 650 910 520 ¸ ¨1.100 1. ρ(D) = 2 35) ∃/M −1 .000. 10 biromes y 110 lapiceras 91 .300 1.200 1.000 35. −2a . es singular § 5 8· § 3b − d b ·¸ 36) ∃/k 38) p = 3.000 2. ρ(C) = 3. Matrices 34) ρ(A) = 2.000 20. $ 5.000 4) $3.000 · c) ¨¨ ¸. 2a )} Aplicaciones económicas § 1.300 · ¨ ¸ 1) a) Pt = ¨ 1.000 3. =¨ ¸ © 80 60 30 40 ¸¹ ¨ 20 ¸ ¨© 900 ¸¹ ¨ ¸ ¨1¸ © ¹ 3) $24.560 1.000 35.000 25000 · ¨3¸ 2 a) ¨¨ ¸¸ b) ¨ ¸ © 80 60 30 40 ¹ 20 ¨ ¸ ¨1¸ © ¹ §1· ¨ ¸ § 50. q = –2 39) X 2 = ¨¨ ¸¸ 40) X = ¨ 2 ¨ b d ¸¹ ©14 7 ¹ © §5 0· § 5 0 · § −1 0 · § −1 0· 41) k = 2 43) A1 = ¨¨ ¸¸ A2 = ¨¨ ¸¸ A3 = ¨¨ ¸¸ A4 = ¨¨ ¸ ©0 5¹ © 0 − 1 ¹ © 0 − 1 ¹ ©0 5 ¸¹ 44) S = {(a .000 25000 · ¨ 3 ¸ § 580.700 2.100 1.100 1. ρ(B) = 3.600 1.000 20. c) x1 = 1.12)} 2 Problema rumano: α = β = γ = 0 Ÿ ρ(A) = 2. 9) x ≠ 0 12) a) –k3. 17) B = 5 . Alejandro E. 4 y 2. 15) Adj A = ¨¨ ¸¸ 32 32 ©− c a ¹ 16) A − At = A = 100 . 18) S = {(8. 8) a) 0. c) -135. si α ∨ β ∨ γ ≠ 0 Ÿ ρ(A) = 3 92 . b) − . c) − . d) 38. x2 = 1+ 3i x3 = 1− 3i 4) 10. h) 0 2) a) x = –2. g) bcd. b) -20. b) 0. x2 = 2 3) x1 = –2. b) − 1/ 4 13) r = A . García Venturini Gráficas dirigidas §0 1 0 0· §1 0 1 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 0 1 0¸ ¨0 2 0 1¸ 1) a) A = ¨ b) A = ¨ 2 c) 1 d) ninguna 0 1 0 1¸ 1 1 1 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 © 1 0 0 ¸¹ ¨1 © 0 1 0 ¸¹ e) entre 2 y 2 §0 1 1 0 0· §1 1 0 2 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 1 0¸ ¨0 0 1 0 0¸ 2) a) A = ¨ 1 1 0 1 0¸ b) A = ¨ 0 2 1 2 1 0¸ c) 4 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 1 0 0¸ ¨1 1 0 1 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©1 0 1 0 0¹ ©1 2 1 1 0¹ §0 1 0 1 0· §1 0 2 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 1 0 0¸ ¨0 1 0 1 1¸ 3) a) A = ¨ 0 1 0 1 ¸ 1 b) A = ¨ 1 0 2 3 1 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 0 1 0 0¸ ¨0 2 0 2 1¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©0 0 1 1 0¹ ©1 1 1 1 1¹ c) entre 1 y 3. 4 y 4 Determinantes 1) a) -4. b) x = 0. e) 160. 1 1 § d − b· 14) a) –8. f) 28. Matriz Insumo Producto. Método de Gauss-Jordan. Clasificación de los sistemas: Teorema de Rouché-Frobenius. Método de Eliminación de Gauss. Método de la Matriz Inversa.Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales. Notación matricial. Aplicaciones Económicas: Equilibrio entre oferta y demanda. Métodos de resolución: Teorema de Cramer. . . .. 95 . x1 + a12 .x1 + a m 2 . …. adición a una ecuación de otra multiplicada por un escalar) se obtiene un sistema de ecuaciones lineales equivalente. …. multipli- cación de una ecuación por un escalar no nulo. x n = b1 °a . S2. Sistemas equivalentes: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Consideremos un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones y n in- cógnitas: ­a11 . °. + a mn . ° °¯a m1 ..xn). Si a un sistema de ecuaciones lineales se le aplican operaciones elemen- tales definidas para las matrices (permutación de ecuaciones. x 2 + .x 2 + . Ejemplo ­ x1 + x2 − x3 = 2 Dado el siguiente sistema ® . x n = bm Una solución del sistema: es un conjunto de valores (x1.. x + . Conjunto solución: es el conjunto formado por todas soluciones del sistema: S = {(S1. + a1n . veamos como se obtienen ¯3 x1 + x2 + 2 x3 = 1 otros sistemas de ecuaciones lineales equivalentes a éste (tienen el mis- mo conjunto solución)..…)}. ….x + a . S1 = (x1. x2.Sn.xn) que son solución de todas las ecuaciones.. + a . x = b °° 21 1 22 2 2n n 2 ® . x2. 2º) resolverlo: encontrar las soluciones. puede admitir una única solución o infinitas solucio- nes. si no tiene solución de denomina incom- patible. luego se resuelve. Si tiene solución única se llama sistema compatible determinado. Alejandro E. si las tiene. ¯ x1 + x2 − x3 = 2 ­2 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 4 Multiplicando la 1º ecuación por 2: ® . ¯3 x1 + x2 + 2 x3 = 1 ­4 x1 + 2 x2 + x3 = 3 A la 1º ecuación le sumamos la 2º ecuación: ® . Si es compatible. Todos estos sistemas de ecuaciones lineales tienen el mismo conjunto solución. Primero se analiza el sistema. y así ¯3x1 + x2 + 2 x3 = 1 sucesivamente. Si un sistema tiene solución se llama compatible. Dado un conjunto de ecuaciones lineales se plantean dos problemas: 1º) analizarlo: determinar si tiene solución y cuántas tiene. utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius 96 . ­ ­Determinado °Compatible ® Sistema ® ¯Indeterminado °Incompatible ¯ Para analizarlo. Análisis de un sistema Un sistema de ecuaciones puede tener solución o no. se llama sistema compatible indeterminado. si tiene infinitas soluciones. García Venturini ­3x1 + x2 + 2 x3 = 1 Permutando ecuaciones: ® . . Eugene A =¨ ¸ (1832-1910) ¨ . Ferdinand ROUCHÉ . X a la matriz columna de las trabajos sobre incógnitas. ¸ ¨ ¸ ¨ . descomposi- ción en series....X = B.. a2 n b2 ¸ A' = ¨ . a 2 n ¸ ROUCHÉ. ... a mn ¹ teoría de funciones. integrales definidas...¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ . forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales. conocido por sus cientes.¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © xn ¹ © bm ¹ El sistema se puede expresar matricialmente de la siguiente forma: A. ¨ ¸ ¨ a 21 a 22 . § a11 a12 .. a1n · donde trabajó con Weierstrass. ¸ Matemático francés. Sistemas de ecuaciones lineales TEOREMA DE FROBENIUS.. ¸ ¨ ¸ © am1 am 2 . a1n b1 · ¨ ¸ ¨ a21 a22 .. ... amn bm ¹ 97 . y B a la matriz columna de teoría de grupos. ..FROBENIUS Georg (1849-1917): matemático alemán nacido en Berlín muy Si llamamos A a la matriz de los coefi..¸ ¨ . .. . § x1 · § b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨ b2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ X = ¨ . los términos independientes: Se doctoró en la Universidad de Berlín en 1870 § a11 a12 .. Llamamos A' a la matriz ampliada que se obtiene de agregarle a la ma- triz A la columna de los términos independientes.¸ B = ¨ . Realizó im- ¨ ¸ portantes investigaciones sobre © a m1 a m 2 . Se presentan tres casos: que las rectas tengan un único punto de inter- sección.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. en cuso caso el sistema tiene infinitas soluciones (SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. S. o que sean rectas parale- las no coincidentes. una recta. García Venturini Enunciado: la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que la matriz A y la matriz A’ tengan el mismo rango. en este caso.C. que sean coin- cidentes. Veamos los gráficos correspondientes a cada caso. 98 .D. en cuyo caso el sistema no tiene solución (SISTE- MA INCOMPATIBLE).I. Alejandro E.). Si el sistema tiene dos ecuaciones y dos incógnitas puede tener la si- ­a11 x + a12 y = b1 guiente estructura: ® ¯a21 x + a22 y = b2 Cada ecuación representa gráficamente.).h Consecuencia: si ρ ( A) ≠ ρ ( A' ) Ÿ el sistema es incompatible Otra consecuencia: si el sistema de ecuaciones tiene más incógnitas que ecuaciones no puede ser compatible determi- nado. S. Resol- ver el sistema de ecuaciones significa encontrar el punto de intersección de las rectas.C. en cuyo caso el sistema de ecuaciones tiene solución única (SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Si además: ρ ( A) = ρ ( A' ) Ÿ el sistema es compatible ρ ( A) = ρ ( A' ) = n Ÿ el sistema es compatible determinado ρ ( A) = ρ ( A' ) = h < n Ÿ el sistema es compatible indeterminado y el grado de indeterminación es n . CASO PARTICULAR: SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS . ­3x − y = 1 ­ y = 3x − 1 Ejemplo ® Ÿ ® ¯− x + y = 1 ¯y = x +1 Igualamos las ecuaciones: 3x – 1 = x + 1 2x = 2 Ÿ x = 1. Se obtiene así el valor de una incógnita. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA A) Regla de Cramer Sea el sistema de ecuaciones lineales A. y A un matriz cuadrada no singular. Las rectas se cortan en el punto P = (1. Entonces el sistema tiene solución única y cada incógnita es igual al cociente de dos determinantes. de donde S = {(1. 99 . luego reemplazan- do en cualquiera de las ecuaciones se obtiene el valor de la otra incógnita.2). En el denominador.2)}. Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualamos sus expresiones. Sistemas de ecuaciones lineales y y r2 r1= r2 y r1 r1 r2 x x x Hay muchos métodos que habitualmente se ven en la escuela secundaria para resolver este tipo de sistemas de dos ecuaciones lineales.X = B. el determinante de la matriz de los coeficientes Δ y en el numerador el determinante que resulta del anterior al reemplazar la columna de los coeficientes de la incógnita considerada por la columna de los términos independientes Δxi. reemplazando obtenemos y = 2. por el ejemplo el método de igualación. ¸ Ÿ ¨ . bn Demostración A. . x2 = ..b + . .¨ 2 ¸ = Δ Δ¨ .. a1n a11 b1 ..X = B Ÿ A-1.b2 + . bn an2 .B Adj A X = A-1. .¨ . a n1 a 2n ..B ) = ..B I. ... . ...b1 + A21 .b2 + . ¸ = Δ .B Δ § A11 A21 .. An 2 ¸ ¨b ¸ X = ( Adj A. a 2 n a 21 b2 .¨ ¸.bn ¸ 1 ¨ Δx 2 ¸ ¨ x 2 ¸ ¨ Δx 2 ¸ Δ¨ . Δx 2 = . . b2 Δx n = 21 .. x n = siendo: Δ Δ Δ b1 a12 .....bn · § Δx1 · § x1 · ¨ Δ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 ¨ A12 ... ¸¨ .... ... . . An1 ·§b · ¨ ¸¨ 1 ¸ 1 1 ¨ A12 A22 .X = A-1...b1 + A22 .. + An 2 .bn ¸¹ ¨ Δx ¸ ¨ x ¸ ¨ Δx ¸ © 1n 1 2n 2 © n¹ © n¹ ¨ n ¸ © Δ ¹ 100 . ..A.. a nn a n1 bn ..…...... García Venturini Δx1 Δx 2 Δx n x1 = . a 2 n Δx1 = . b1 a a 22 .X = A-1. Ann ¹© n ¹ § Δx1 · ¨ ¸ § A11 . ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ b ¸ © A1n A2 n . a nn a11 a12 .. ¸ ¨ A . Alejandro E... a1n b2 a 22 . ¸ = ¨ Δ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ .b + A .B Ÿ X = . + An1 . + Ann ... . 101 . Camile (1838-1922)].− .− ¸¾ 5 5 ¯© 5 5 5 ¹¿ B) Método de Gauss. n = 3 incógnitas x ° 1 + x 2 − x3 = 2 °¯− x1 + 2 x2 + x3 = 1 1 [GAUSS.Jordan1 Por el método de Gauss – Jordan se calculan los rangos de las matrices A y A’. luego se aplica el teorema de Rouché – Frobenius para analizarlo y luego se obtienen las soluciones. francés. Sistemas de ecuaciones lineales ­3x1 + x 2 + x 3 = 1 ° Ejemplo: ® x1 − x 3 = 5 ° x − x = −5 ¯ 2 3 3 1 1 Δ = 1 0 − 1 = 5 ≠ 0 Ÿ se puede aplicar la regla de Cramer 0 1 −1 1 1 1 3 1 1 5 0 −1 1 5 −1 − 5 1 −1 16 0 − 5 −1 34 x1 = = x2 = =− 5 5 5 5 3 1 1 1 0 5 0 1 −5 9 ­§ 16 34 9 ·½ x3 = =− Ÿ S = ®¨ . alemán. JORDAN. Kart Friedrich (1777-1855). ­ x1 − x2 + x3 = 4 °2 x + x − 2 x = 3 ° 1 2 3 Ejemplos: a) ® m = 4 ecuaciones. 2)} 0 2 −2 −2 0 0 1 2 0 1 2 5 0 1 0 1 1 0 3 9 0 0 − 10 − 20 dividiendo por -10 0 0 − 6 − 12 dividiendo por . García Venturini 1 −1 1 4 1 0 3 9 2 1 −2 3 0 0 1 2 1 1 −1 2 0 0 1 2 −1 2 1 1 0 1 2 5 ρ ( A) = ρ ( A' ) = 3 Ÿ 1 −1 1 4 1 0 0 3 sistema compatible determinado 0 3 −4 −5 0 0 0 0 la solución es x1=3. x2=1 x3=2 S={(3.1. 102 . Alejandro E.6 0 1 2 5 ­3 x1 + 2 x2 + x4 = 0 m = 3 ecuaciones ° b) ® x1 + 2 x2 + x3 = 1 n = 4 incógnitas °5 x + 6 x + 2 x + x = 2 ¯ 1 2 3 4 3 2 0 1 0 1 2 1 0 1 5 6 2 1 2 0 −4 −3 1 −3 1 2 1 0 1 0 −4 −3 1 −3 ρ ( A) = 2 = ρ ( A' ) < 4 Ÿ 0 −4 −3 1 −3 sistema compatible indeterminado 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 El sistema tiene infinitas soluciones. las otras dos son las variables no principales: x2 y x3. Las variables que intervienen en los vectores canónicos x1 y x4 son las variables principales. Sistemas de ecuaciones lineales ­ x1 = 1 − 2 x 2 − x 3 °x = x ° 2 2 La solución es: ® ° x3 = x3 °¯ x 4 = −3 + 4 x 2 + 3 x3 Para cada valor de x2 y x3 se obtienen las infinitas soluciones. S = {(1 − 2 x2 − x3 . x3 . Premultiplicando por A–1 queda: 103 . existe A–1.X = B. Si A es cuadrada no singular. −3 + 4 x2 + 3x3 )/ x2 ∈ ℜ ∧ x3 ∈ ℜ} ­ x1 + x2 − 3 x3 = −1 1 1 −3 −1 1 0 0 0 °2 x + x − 2 x = 1 2 1 −2 1 0 0 0 1 ° 1 2 3 c) ® ° 1x + x 2 + x3 = 3 1 1 1 3 0 0 1 1 °¯ x1 + 2 x2 − 3 x3 = 1 1 2 −3 1 0 1 0 2 1 −3 1 −1 1 0 0 0 m = 4 ecuaciones n = 3 incógnitas 0 −1 4 3 0 0 0 1 0 0 4 4 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 −3 −3 0 0 4 5 ρ ( A) = 3 0 0 4 4 ρ ( A' ) = 4 Ÿ 0 1 0 2 sistema incompatible C) Inversión de matrices Se parte de la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales A. x2 . A). entonces aij = 0. García Venturini A−1 .B −1 I . D) Método de Eliminación Gaussiana a) Consiste en reducir la matriz ampliada mediante operaciones elementales de fila a una matriz escalonada por filas donde si i > j.B (A .B ­2 x1 − x2 + x3 = 6 ° Ejemplo: ®3 x1 − 2 x3 = 8 A = −4 ≠ 0 . X = A −1 −1 . Si el sistema de ecuaciones es cuadrado. A. Ejemplos de matrices reducidas § − 6 2 − 2· §1 −1 6 4 · ¨ ¸ ¨ ¸ § 1 0 8 5· ¨ 0 9 7 ¸ ¨ 0 1 2 − 8¸ ¨¨ ¸¸ ¨ 0 0 3 ¸ ¨0 0 0 1 ¸ © 0 0 1 3¹ © ¹ © ¹ 104 . X = A−1 . X = A . Alejandro E.B X = A−1 . ° x − 3x + 5 x = 6 ¯ 1 2 3 § − 6 2 2· 1¨ ¸ calculamos A = − ¨ − 17 9 7 ¸ -1 4¨ ¸ © − 9 5 3¹ § x1 · § − 6 2 2· § 6· § 2 · ¨ ¸ 1¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ X = ¨ x2 ¸ = − ¨ − 17 9 7 ¸.¨ 8 ¸ = ¨ − 3 ¸ ¨x ¸ 4¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 3¹ © − 9 5 3¹ © 6¹ © −1¹ Este método sólo sirve para sistemas compatibles determinados. entonces la matriz de los coeficientes se transforma en una ma- triz triangular superior. y por último x1.−3.1 = 11 Ÿ x1 = 2 0 9 − 13 − 40 Ÿ S = {(2. La sustitución hacia atrás consiste en obtener primero xn. Sistemas de ecuaciones lineales b) Una vez reducida la matriz ampliada a la forma escalonada por fila se utiliza la sustitución hacia atrás para obtener el valor de cada incógnita siempre y cuando el sistema sea compatible.(− 3) + 3. ­ x1 − 2 x2 + 3x3 = 11 ° Ejemplo: ®4 x1 + x2 − x3 = 4 °2 x − x + 3x = 10 ¯ 1 2 3 1 −2 3 11 4 1 −1 4 F2 = F2 + F1(–4) 2 −1 3 10 F3 = F3 + F1(–2) 4 4 1 −2 3 11 − x3 = − Ÿ x3 = 1 3 3 0 9 − 13 − 40 9 x2 − 13.1)} 4 4 0 0 − − 3 3 ­ x1 + 2 x2 − 2 x3 = 3 ° b) ®2 x1 − 5 x2 + 4 x3 = 6 °− x + 16 x − 14 x = −3 ¯ 1 2 3 1 2 −2 3 2 −5 4 6 F2 = F2 + F1(–2) 0 x3 = 0 Ÿ − 1 16 − 14 − 3 F3 = F3 + F1 sistema compatible 1 2 −2 3 indeterminado 0 −9 8 0 8 x2 = x3 0 18 − 16 0 F3 = F3 +2 F2 9 1 2 −2 3 0 −9 8 0 0 0 0 0 105 .1 = −40 Ÿ 9 x2 = −27 0 3 − 3 − 12 F3 = F3 –1/3 F2 Ÿ x2 = −3 1 −2 3 11 x1 − 2. luego xn–1. 5 1 − 2 x 2 + x 3 = −5 Ÿ x 2 = + x3 2 2 x1 + 5 + x 3 − x3 = 4 Ÿ x1 = −1 ­§ 5 1 · ½ S = ®¨ − 1.I . x3 ¸ / x3 ∈ ℜ¾ ¯© 9 9 ¹ ¿ ­ x1 + 2 x2 − x3 = 4 c) ® ¯3 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 7 1 2 −1 4 3 4 −2 7 F2 = F2 + F2(–3) 1 2 −1 4 0 −2 1 −5 ρ ( A) = ρ ( A' ) = 2 < 3 Ÿ S . Alejandro E. x3 ¸ / x3 ∈ ℜ¾ ¯© 2 2 ¹ ¿ SISTEMAS HOMOGÉNEOS Si B es una matriz nula. Podemos expresarlo como A. el sistema de ecuaciones se denomina homogé- neo. ­§ 2 8 · ½ S = ®¨ 3 + x3 . 106 .X = 0. + x 3 .C . x3 . García Venturini ­ 16 2 ° x1 = 3 − 9 x3 + 2 x3 = 3 + 9 x3 ° ° 8 La solución es: ® x2 = x3 ° 9 ° 3 x = x 3 ° ¯ Para cada valor de x3 se obtienen las infinitas soluciones. .. expresar la solución como una combinación lineal de la solución general del sistema homogéneo asociado y una solución particular del sistema no homogéneo. x = 0 ° 21 1 22 2 2n n ® ° . x1 + a21 . Propiedad La solución general de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo compatible indeterminado se puede expresar como combinación lineal de la solución general del sistema de ecuaciones homogéneo asociado y una solución particular del sistema de ecuaciones no homogéneo.. + a1n . °¯am1 .x1 + am 2 .. Nota: un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es cuadrado.x2 + . Ejemplo Resolver el siguiente sistema..xn = 0 ° a . Sistemas de ecuaciones lineales ­ a11 . xn = 0 El sistema homogéneo siempre admite al menos una solución que es la §0· ¨ ¸ ¨0¸ matriz nula: X = ¨ . Un sistema homogéneo por lo tanto no puede ser incompatible. 107 . Si ade- más de la solución trivial el sistema admite otras soluciones es compati- ble determinado.x + . + amn . x + a . + a . ¨ ¸ ¨. tiene solución única y ésta es la solución trivial si el determinante de la matriz A es no nulo.¸ ¨ ¸ ©0¹ Esta solución recibe el nombre de solución trivial.. ¸ . x2 + . 4 x1 . −1. Alejandro E. −1 + 4 x1 . −1)} que es una combinación lineal de la solución general del sistema homo- géneo asociado y una solución particular del sistema no homogéneo (la que se obtiene de darle a x1 valor 0). García Venturini ­3x1 − 2 x2 + x3 = 1 ° ® x1 + x2 − x3 = 0 ° x − 4 x + 3x = 1 ¯ 1 2 3 Resolvemos el sistema 3 −2 1 1 1 1 −1 0 1 −4 3 1 3 −2 1 1 S = {( x1 . 4 x1 . 5 x1 ) + (0. −1 + 5 x1 )/ x1 ∈ ℜ} 4 −1 0 1 −8 2 0 −2 −5 0 1 −1 0 0 0 0 −4 1 0 −1 Si planteamos el sistema homogéneo asociado queda: ­3 x1 − 2 x2 + x3 = 0 ° ® x1 + x2 − x3 = 0 ° x − 4 x + 3x = 0 ¯ 1 2 3 La solución general es S h = {( x1 . 108 . 5 x1 )/ x1 ∈ ℜ} La solución S se puede expresar como S = {( x1 . La intersección de la curva de oferta con la de demanda. La conducta de los consumidores en el mercado se representa mediante la curva de demanda que indica la cantidad de producto que están dispuestos a adquirir a cada nivel de precios. queda determinada una cantidad ofrecida (sobre la curva de oferta) y una cantidad demandada. Esta afirma- ción es aceptable incluso desde un punto de vista meramente intuitivo. en cambio. Tomando un precio arbitrario. determina simul- táneamente el precio y la cantidad de equilibrio (q*. Equilibrio entre oferta y demanda Una de las preocupaciones fundamentales de la Economía desde su na- cimiento fue la de explicar el mecanismo de los precios de las mercancí- as. La curva de demanda tiene.p*). el comportamiento de los productores se encuentra implícito en la curva de oferta. por ejemplo p1. pendiente negativa. ya que lo único que implica es que ante un aumento en el precio de un bien. Para la escuela de pensamiento económico actualmente más difundida. vemos que la cantidad 109 . por medio de sus más desta- cados representantes. los precios se fijan en el mercado a partir de la interacción entre los oferentes (vendedores – productores) y los deman- dantes (compradores – consumidores). Adam Smith y David Ricardo. Aplicaciones económicas APLICACIONES A LA ECONOMÍA El funcionamiento del mercado. la corriente neoclásica. en general. La curva de oferta se representa. ya que los produc- tores estarán dispuestos a vender cantidades mayores cuánto mayor sea el precio del producto. que la fuente del valor de las mercancías debía buscarse en el trabajo humano. Si observamos el gráfico vemos que para todo nivel del precio. con pen- diente positiva. La Economía Política Clásica sostenía. Por su parte. la cantidad que los consumi- dores están dispuestos a demandar será menor. Estas curvas reúnen los planes óptimos de producción y con- sumo. en el que no hay exceso de oferta ni de demanda. hay sólo una en que la curva de oferta coincide con la de demanda. En el punto de equilibrio (q*. y todo el que quiere comprar.q*. Damos así un nuevo significado al punto de equilibrio (q*. en el punto p1 que mencionáramos. el hecho de que la cantidad ofrecida sea mayor a la demandada desencadena un pro- ceso de ajuste hacia el equilibrio. Cada punto de estas curvas implica una conduc- ta optimizadota. en el que no hay incentivos para incrementar ni disminuir el precio. En efecto. ya que se registra exceso un exceso de oferta. sin intervención explícita del hombre. De las infinitas combina- ciones entre precio y cantidad. ¿Qué hay por detrás de estas curvas? INDIVIDUOS AISLADOS que to- man decisiones RACIONALES: Las curvas de oferta y de demanda no son más que la representación matemática del comportamiento de los agentes (productor y consumidor). reina la armonía. El exceso de demanda pondría en marcha un movimiento ascendente del precio. El único punto estable. La escuela neoclásica muestra que este punto. compra. lo hace en la cantidad que desea. el precio tiende a bajar.p*): es el único punto donde se cumplen simultáneamente los planes de oferen- tes y demandantes. El ingreso en ese punto es I = p*. La intersección entre ambas curvas se llama punto de equilibrio. Si todos los mercados se encuen- tran en equilibrio. en el que sus decisiones son consistentes.p*) la cantidad ofrecida es igual a la demandada. Lo contra- rio sucedería si el precio fuese menor al de equilibrio. Cuando lo que se ofrece es mayor que lo que se demanda. A ese nivel de precios todo el que quiere vender. Productores y consumidores actúan de modo racional (y su racionalidad está postulada) si “hacen lo mejor posible dado lo que tienen”. desde esta perspectiva tan atractivo y deseable. es el de equilibrio. 110 . es el punto hacia el que el precio y la cantidad marchan inexorablemen- te. ya que nadie es privado de la posi- bilidad de hacer lo mejor posible. Axel Kicillof ofrecida (qs) es mayor que la demandada (qd). calculan origen ruso que para un período de tiempo. de la economía ni del monto de bienes intermedios utili- zados. No se tienen en cuenta las Mía en 1973 por el desarrollo del compras y ventas de insumos que se análisis en entra- realizan entre las empresas. la cifra final a la que llegaríamos sumaría dos veces a estos productos. Se logra así das y salidas pu- una magnitud del valor agregado en un blicado en Nueva Cork en 1966 en período determinado. si mía norteamericana en 1941. Por ende.su obra Input. S: q = p + 2 D: q = – 3p + 10 Resolviendo el sistema se obtie- nen los valores para p y q de equilibrio.Nobel de Econo- te el período.Output Análisis. los contabilizáramos ambas veces. Es decir. p* = 2 q* = 4 MATRIZ INSUMO PRODUCTO El cálculo de las cuentas nacionales con- LEONTIEF. Aplicaciones económicas Desde el punto de vista matemático. 111 . teamericano de al producto y al gasto. la cantidad ganó el Premio de bienes y servicios producidos duran. las cuentas nacionales no reflejaban la interrelación entre los distintos sectores. Fue profesor de Harvard y publicó ciones. la determinación del punto de equili- brio puede plantearse como un sistema de dos ecuaciones lineales (bajo el supuesto de que las curvas de oferta y demanda son lineales). Como los insumos utilizados por su primer estudio sobre la econo- una empresa son producidos por otra. libre de duplica. Wassily W. siste tradicionalmente en la mediación (1906-1999): economista nor- de las magnitudes agregadas al ingreso. Para facilitar la exposición trabajaremos con una economía cerrada (sin intercambio con el sector externo) y con tres sectores. Cada uno de estos sectores elabora un solo tipo de producto final. En las filas se registra el destino de las mercancías y servicios elaborados por cada sector (producción o output). En la cuarta columna se registra la parte de la producción de cada sector que es destinada a la demanda final. Por ejemplo. el resto se destina a la demanda final (consumo de las familias más inversión). Los sectores están relacionados ya que cada sector debe utilizar como insumo productos de otros sectores. Axel Kicillof Las investigaciones que emprendió el profesor Wassily Leontief desembo- caron en lo que hoy se conoce como modelo o tabla de insumo producto (en inglés input – output table). parte de la producción del sector industrial es utilizada como insumo por los demás sectores. se denomina intrainsumo. Tabla de Insumo – Producto (en $) Compras Agricultura Industria Servicios Demanda Valor Bruto final = de la Pro- Ventas consumo + ducción inversión Agricultura 90 200 15 235 500 Industria 70 350 230 350 1000 Servicios 100 300 110 445 955 Valor agregado 280 150 600 Valor Bruto de 500 1000 955 2455 la Producción 112 . Características básicas y forma de lectura La tabla se presenta en forma de cuadro de doble entrada. a tal punto que hoy se considera al a matriz de insumo – pro- ducto parte de las cuentas nacionales. en las columnas se puede observar cómo esos productos son adquiridos por los mismos sectores para la pro- ducción (como insumos o input). La parte de la producción que un sector se vende a sí mismo. A partir de entonces muchos países comenzaron la tarea de compilación de información. El resto de la producción industrial ($305) es absorbido por la demanda final. ésta vende (lectura de la fila 2) $70 al sector agrícola. Así. en la práctica. De la misma forma. al de servicios por $300 y a sí mismo. compra (lectura de la columna 2) al sector agrícola por $200. 113 . para aumentar el producto de un sector. tierra y capital). es posible agregar a la tabla las transacciones con el sector externo (importaciones y exportaciones). Por otro lado. Las columnas nos brindan información sobre la estruc- tura de costos de cada sector. responden al pago a los factores de producción (traba- jo. la lectura de la tabla por filas o columnas es la siguiente: • en las FILAS leemos a qué se destina la producción de cada sector (insumos de otros sectores y demanda final). Aplicaciones económicas En resumen. para el caso de la industria. Los $150 restantes. Un aumento de un 10% en la producción del sector Industria reque- rirá un aumento del 10% de todos sus insumos. Esta tabla desagrega (es decir divide) a la economía en sólo tres sectores. Para utilizar la tabla debemos recurrir a dos supuestos básicos: -Hipótesis de homogeneidad: cada sector elabora un solo producto con una sola estructura de insumos. la desagregación puede ser todo lo grande que se desee o que se requiera para el análisis encarado. • en las COLUMNAS se refleja qué insumos utiliza cada sector para su producción. Es decir. -Hipótesis de proporcionalidad: los insumos de cada sector son función lineal del producto de ese sector. se vende $350 a sí mismo (ciertas industrias utilizan como insumos productos de otras industrias) y vende $230 al sector servicios. debe producirse un aumento proporcional de los insumos de ese sector. se demanda $350. °. Estos registran la necesidad de insumo de cada sector para producir una unidad del producto que dicho sector produce. Si representamos la tabla como un sistema de ecuaciones tenemos: ­ x11 + x12 + . Si se divi- de cada insumo por el valor bruto de producción. + x + Y = X °° 21 22 2n 2 2 ®. ° °¯ x n1 + x n 2 + . S1 S2 … Sn DF VBP S1 x11 x12 x1n Y1 X1 S2 x21 x22 x2n Y2 X2 . Sn xn1 xn2 xnn Yn Xn VA VA1 VA2 VAn VBP X1 X2 Xn ¦X Donde xij representa el valor del insumo i que utiliza el sector j.. + x nn + Yn = X n Coeficientes técnicos o de utilización directa Cada columna representa la estructura de costos de cada sector. .. 114 . Axel Kicillof La tabla expresada como sistema de ecuaciones En primer lugar reemplazaremos los números y sectores de nuestra tabla por letras genéricas.. se obtienen los coeficien- tes técnicos... + x1n + Y1 = X 1 ° x + x + .. ...21 0.11 0. X n + Yn = X n Llamamos A a la matriz de coeficientes técnicos.. X j .. a mn ¹ ¨ ¸ ¨ ¸ © xn ¹ © Yn ¹ 115 . X + a .24 Servicios 0. Xj La regla práctica para obtener los coeficientes técnicos o directos con- siste en dividir cada número por el total de esa columna. X 1 + a12 . + a nn . ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ .15 0. a1n · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨ Y2 ¸ ¨ a 21 a 22 . X n + Y1 = X 1 °a .¸ Y = ¨ . X + .12 xij Como a ij = Ÿ xij = a ij ..35 0. °. COEFICIENTES TÉCNICOS Agricultura Industria Servicios Agricultura 0.¸ © a m1 a m 2 ..30 0..20 0.¸ ¨ . X 1 + a n 2 . se puede reexpresar el sistema de ecua- Xj ciones: ­a11 . Y al vector de las deman- das finales y X al vector de productos de cada sector.....02 Industria 0.¸ ¨ . + a .. + a1n .. § x1 · § Y1 · § a11 a12 . X 2 + . ° °¯a n1 . . X + Y = X °° 21 1 22 2 2n n 2 2 ®. Aplicaciones económicas xij a ij = donde el subíndice i es la industria vendedora y j la compradora. X 2 + . a 2 n ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A =¨ ¸ X = ¨ . A través de la matriz insumo producto se puede elaborar un modelo que permite calcular las necesidades de produc- ción de cada sector ante un incremento de la demanda final. Y La matriz (I – A) es la llamada matriz de Leontieff. Axel Kicillof El sistema de ecuaciones expresado en forma matricial es: X = AX + Y Coeficientes directos e indirectos Los coeficientes técnicos no tienen en cuenta la forma en que cada sector está relacionado con los demás. a partir de una variación de la demanda final (Y*). Es decir. que aumentar su producción. llegamos a un modelo a través del cual. a su vez. un aumento en la demanda final de un sector re- percute directamente sobre la producción de ese sector e indirectamente sobre todos los sectores que proveen insumos a ese sector. X = (I – A) –1. Para medir las repercusiones directas e indirectas que resultan del aumento de una unidad de la demanda final recurrimos a la matriz de requerimien- tos directos e indirectos. X = Y Ÿ (premultiplicando por (I – A) –1 X = (I – A) –1. La matriz inversa de esta matriz es la matriz de los coeficientes directos indirectos. X = AX + Y Ÿ X – AX = Y (I – A). Con los coeficientes directos podemos averiguar en qué medida deberá incrementar su demanda de insumos para satisfacer el nuevo nivel de demanda final. Llegamos a ella algebraicamente. va a demandar mayor cantidad de insumos de cada uno de los sectores (incluso de sí mismo). Si para el sector Industrial se produce un aumento de la demanda final. éste debe incrementar su producción. Teniendo en cuenta los supuestos ya estudiados. Es decir. Y 116 . Así. el sector agrícola y el de servicios van a tener. Utilizando los coeficientes técnicos es posible construir la nue- va tabla. po- demos obtener un nuevo vector de producción (X*) acorde con este cambio. V.F. Aplicaciones económicas Ejemplos a) Dada la matriz insumo producto correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 . S1 4 4 4 12 S2 6 6 12 24 V.P.A. construir la del §10 · año para la cual la demanda final es: Y* = ¨¨ ¸¸ ©15 ¹ S1 S2 D. 2 14 V. 12 24 36 A partir de la tabla construimos la matriz de los coeficientes directos o técnicos: 4 1 6 1 4 1 6 1 a11 = = a 21 = = a12 = = a 22 = = 12 3 12 2 24 6 24 4 §1 1 · A=¨ 3 6¸ ¨1 1 ¸ © 2 4¹ Calculamos la matriz de Leontieff (I – A): 6¸ = ¨ 3 − 6¸ § 1 0 · §¨ 1 3 1 · § 2 1 · I − A = ¨¨ ¸¸ − © 0 1 ¹ ¨© 1 2 1 ¸ ¨− 1 3 ¸ 4¹ © 2 4 ¹ A partir de este matriz obtenemos la matriz de requerimientos direc- tos e indirectos: §9 2 · (I − A)−1 = ¨¨ 6 5 5¸ 8 ¸ © 5 5¹ 117 .P.B.B. 24 = 12 x 22 = a 22 . Xj 1 1 x11 = a11 . evaluar que impacto tendría una expansión de la demanda final de un 100% para el sector 1 y del 200% para el sector 2.B.F. necesario para satisfacer el nuevo nivel de demanda final.F.P. Axel Kicillof §10 · El vector de demanda final Y* es.36 = 6 3 6 1 1 x 21 = a 21 . teniendo en cuenta los supuestos antes enuncia- § x1 · §9 2 · §10 · § 24 · dos es: X * = ¨¨ ¸¸ = (I − A)−1 .¨ ¸ = ¨ ¸ . 4 5 V.B. X 2 = . Y* = ¨¨ ¸¸ . 4 21 V.24 = 8 x12 = a12 .A.Y * = ¨ 5 5 ¸.P. 20 25 45 118 . V. © x2 ¹ ¨6 8 ¸ ¨©15 ¸¹ ¨© 36 ¸¹ © 5 5¹ A partir de la matriz de los coeficientes técnicos.A. V. X 2 = . según el enunciado.B. ©15 ¹ El nuevo vector de producción X*.P.36 = 9 2 4 S1 S2 D. X 1 = . S1 8 6 10 24 S2 12 9 15 36 V. X j . Dada la siguiente tabla de insumo producto. podemos reconstruir la x ij tabla de insumo producto ya que: a ij = Ÿ xij = a ij . S1 S2 D.P. S1 4 10 6 20 S2 12 10 3 25 V.B. X 1 = . 24 36 60 b) Supongo una economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 . Y = ¨¨ ¸¸ Ÿ Y* = ¨¨ ¸¸ © 3¹ ©9¹ El nuevo vector de producción X*.¨ ¸ = ¨ ¸ . § 6· §12 · obtenemos Y*. necesario para satisfacer el nuevo nivel de demanda final. Aplicaciones económicas A partir de la tabla construimos la matriz de los coeficientes directos o técnicos: 4 1 12 3 10 2 10 2 a11 = = a 21 = = a12 = = a 22 = = 20 5 20 5 25 5 25 5 §1 2 · A=¨ 5 5¸ ¨3 2 ¸ © 5 5¹ Calculamos la matriz de Leontieff (I – A): § 1 0 · §¨ 1 5 2 · § 4 − 2 ·¸ I − A = ¨¨ ¸¸ − 5¸ = ¨ 5 5 © 0 1 ¹ ¨© 3 5 2 ¸ ¨− 3 5¹ © 5 3 ¸ 5 ¹ A partir de este matriz obtenemos la matriz de requerimientos direc- tos e indirectos: §5 5 · (I − A)−1 = ¨¨ 5 2 3¸ 10 ¸ © 2 3¹ El vector de demanda final Y varía según lo expresado en el enunciado.Y * = ¨ 2 3 ¸. teniendo en cuenta los supuestos antes enuncia- § x1 · §5 5 · §12 · § 45 · dos es: X * = ¨¨ ¸¸ = (I − A)−1 . © x2 ¹ ¨ 5 10 ¸ ¨© 9 ¸¹ ¨© 60 ¸¹ © 2 3¹ 119 . P.60 = 24 5 5 3 2 x 21 = a 21 . X 1 = . Axel Kicillof A partir de la matriz de los coeficientes técnicos. 9 12 V.45 = 27 x 22 = a 22 .45 = 9 x12 = a12 . X 2 = .60 = 24 5 5 S1 S2 D.A. X 2 = . X j . V. S1 9 24 12 45 S2 27 24 9 60 V. podemos reconstruir la xij tabla de insumo producto ya que: a ij = Ÿ xij = a ij . 45 60 105 120 . Xj 1 2 x11 = a11 . X 1 = .F.B.B.P. Sistemas de ecuaciones lineales INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación lineal con dos incógnitas ya sabemos que representa una recta. Ejemplo Consideremos la inecuación y > x + 2. El conjunto solución corresponde al semi- y<x+2 plano sombreado. { } S = ( x. Sabemos que la representación gráfica de esta igualdad es una recta. el que no contiene al par (0. y Elegimos el origen de coordenadas. el conjun- to solución está formado por uno de los semiplanos y la recta borde. no in- cluye la igualdad que corresponde al borde. De lo contrario el conjunto solución es uno de los semiplanos. tenemos dos o más semiplanos y en este caso el conjunto solución es la parte común a dichos semiplanos. En este caso la recta borde va punteada porque la inecuación es de >. el par (0. Si tenemos dos o más inecuaciones. y ) ∈ ℜ 2 / y > x + 2 . es decir la intersección de los mismos. Hay que de- terminar cual de los dos semiplanos corresponde a la solución. Esta recta divide al plano en tres sectores. es decir y = x + 2.0).0) y vemos si verifica la inecua- y > x +2 2 ción: Es ¿0 > 0 + 2? La respuesta es y=x+2 no. 121 . Representamos gráficamente la igualdad. por lo tanto el semiplano que co- -2 rresponde al conjunto solución es el x otro. Si la desigualdad es de ≤ o de ≥ . Veremos ahora como se determina gráficamente este semiplano. una inecuación lineal con dos incógnitas representa un semiplano. dos semiplanos y la recta borde. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Vimos que el conjunto solución de cada inecuación es un semiplano. Alejandro E. ¯ 2 x El conjunto solución está formado por lo puntos pertenecientes al trián- gulo sombreado. 122 . García Venturini Veamos el siguiente ejemplo: y 4 En este caso las líneas ­ y ≥ −x + 2 van completas porque las ° 2 ® y ≤ 4 − 2x inecuaciones son de ≥ y °y ≤ x + 2 de ≤. Sistemas de ecuaciones lineales EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Analizar y resolver si es posible aplicando el método de GAUSS- JORDAN ­ x1 + 2 x 2 + 3x3 = 2 °x − x + x = 0 ­4 x1 + x 2 − 5 x3 = 10 ° 1 2 3 ° a) ® b) ® x1 − 2 x 2 + x3 = 1 ° x1 + 3x 2 − x3 = −2 °5 x − x − 4 x = 3 °¯3x1 + 4 x 2 + 3 x3 = 0 ¯ 1 2 3 ­ x1 − 2 x 2 + 4 x 3 − 2 x 4 = 2 °3x + x − 2 x + 4 x = 4 ­− x1 + 4 x 2 − 3x 3 = 0 °° 1 2 3 4 °2 x + 3 x = −2 ° 3 1 c) ® 1 1 d) ® ° 2 x1 − x 2 − 2 x3 + x 4 = −3 2 ° 1 x + 3 x 2 + 5 x3 = 3 ° °¯− 2 x1 + 6 x 2 − x3 = 8 °¯2 x1 + 3 x 2 + x3 + 8 x 4 = 17 ­2 x1 + x 2 − 11x 3 = −33 ­ x1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 0 °− x + 2 x = 7 °2 x + x − 2 x = 0 ° 1 3 ° 1 2 3 e) ® f) ® ° x1 − x 2 + 5 x3 = 12 °3x1 + 4 x 2 − 6 x3 = 0 °¯7 x1 − 2 x 2 = −11 °¯3x1 − 11x 2 + 12 x 3 = 0 ­ x1 + 2 x 2 + 10 x 3 + x 4 − 2 x5 = 1 ° °− x1 − 2 x 2 − 10 x3 − 4 x 4 − 19 x5 = 1 °° 2 g) ® 3 °3x 4 + 3x 5 = 2 ° °5 x + 10 x + 50 x − 5 x + 1 x = − 7 °¯ 1 2 3 2 4 2 5 4 123 . Alejandro E. xi −x 3 = 41 °¯ i =1 124 . x i = 6 ° i =1 ° 2 ¦ ° 2i . x i = 10 ° i =1 °° 3 ¦ r) ® i 2 . García Venturini ­ x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 = 1 ­ x1 + 2 x 2 − 5 x3 + 4 x 4 = 0 ° ° h) ®2 x1 − x 2 + 2 x3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 2 i) ®2 x1 − 3 x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0 °3 x + 2 x − 4 x − 3 x − 9 x = 3 °4 x − 7 x + x − 6 x = 0 ¯ 1 2 3 4 5 ¯ 1 2 3 4 ­ x1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 4 °x + x + x − x = 6 ­ x1 + 2 x 2 + x3 = 0 ° 1 2 3 4 ° j) ® k) ®2 x1 + 5 x 2 + 3x 3 = 13 ° x1 − 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = −1 ° x + 3x + 2 x = 8 °¯2 x1 − 3 x 2 + 3 x3 + 5 x 4 = 3 ¯ 1 2 3 ­ x1 + x 2 − x 3 = −1 ­x − y + z = 4 °2 x + x − 2 x = 1 °2 x + y − 2 z = 3 ° 1 2 3 ° l) ® m) ® ° x1 + x 2 + x 3 = 3 °x + y − z = 2 °¯ x1 + 2 x 2 − 3 x3 = 1 °¯− x + 2 y + z = 1 ­x + y = 0 ­3x + 2 y + w = 0 ° ° n) ®2 x + 2 y = 0 o) ® x + 2 y + z = 1 °4 x + 4 y = 0 °5 x + 6 y + 2 z + w = 2 ¯ ¯ ­4 x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 3 ­ x + 2 y − 2 z + 3w = 2 °x − 2x − x + 2x = 2 ° ° 1 2 3 4 p) ®2 x + 4 y − 3z + 4w = 5 q) ® °5 x + 10 y − 8 z + 11w = 12 °2 x1 + 5 x 2 − x 4 = −1 ¯ °¯3 x1 + 3 x 2 − x 3 − 3 x 4 = 1 ­ 3 ¦ ° i . Sistemas de ecuaciones lineales 2) Analizar y resolver si es posible aplicando la regla de CRAMER ­2 x1 + x 2 − 2 x3 = 10 ­4 x1 + 5 x3 = 6 ° ° a) ®3x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 b) ® x 2 − 6 x3 = −2 °5 x + 4 x + 3x = 4 °3x + 4 x = 3 ¯ 1 2 3 ¯ 1 3 ­2 x1 + 3x 2 − x3 = 5 ­ x + 2 y + 3z = 0 ° ° c) ®− x1 + 2 x 2 + 3x 3 = 0 d) ®2 x + y + 3 z = 0 °4 x − x + x = −1 °3x + 2 y + z = 0 ¯ 1 2 3 ¯ 3) Analizar y resolver si es posible aplicando el método de INVERSIÓN DE MATRICES ­2 x1 + x 2 − 3x3 = 5 ­x + 3 y − 2z = 0 ­ x + 2 y − 3z = −1 ° ° ° a) ®3x1 − 2 x 2 + 2 x3 = 5 b) ®2 x − 3 y + z = 0 c) ®3x − y + 2 z = 7 °5 x − 3x − x = 16 °3x − 2 y + z = 0 °5 x + 3 y − 4 z = 2 ¯ 1 2 3 ¯ ¯ 4) Analizar los siguientes sistemas para distintos valores de k ­ x1 + x 2 + kx3 = 2 ° ­ x + 2 y + kz = 1 a) ®3x1 + 4 x 2 + 2 x3 = k b) ® °2 x + 3 x − x = 1 ¯2 x + ky + 8 z = 1 ¯ 1 2 3 ­x + y + z = 1 ­kx + y + z = 1 ° ° c) ® x + ky + z = 2 d) ® x + ky + z = 1 °2 x + y + kz = k ° x + y + kz = 1 ¯ ¯ ­kx + y = 1 ­x + y + z = k ­2 x1 − x 2 + x3 + x 4 = 1 ° ° ° e) ®3x + 2 y = 0 f) ® x + y + kz = 1 g) ® x1 + 2 x 2 − x3 + 4 x 4 = 2 ° x + ky = 1 ° ° x + 7 x − 4 x + 11x = k ¯x + y + z = k 2 ¯ ¯ 1 2 3 4 125 . para que P. García Venturini 5) Hallar las condiciones que deben cumplir a. ¨ − 6¸ © ¹ §1 1· ¨ 0 ¸ § x1 · ¨ ¸ ¨2 2¸ 3 1 1¸ 9) Hallar X = ¨ x 2 ¸ . § x1 · §−3 2 − 1· ¨ ¸ ¨ ¸ 8) Hallar X = ¨ x 2 ¸ .X = K. b) infinitas soluciones. c) ninguna so- lución.X = 0 es un sistema ¨ 1 −1 k ¸ © ¹ que admite soluciones no triviales. ­ x + 2 y − 3z = a ­x − 2 y + 4z = a ° ° a) ®2 x + 6 y − 11z = b b) ®2 x + 3 y − z = b °x − 2 y + 7 z = c °3 x + y + 2 z = c ¯ ¯ ­ x1 + x 2 + kx3 = 2 ° 6) Dado ®3x1 + 4 x 2 + 2 x3 = k para qué valores de k: a) ρ ( A) ≠ ρ ( A' ) °2 x + 3 x − x = 1 ¯ 1 2 3 b) existe A-1 § 3 −1 4· ¨ ¸ 7) Dada A = ¨ − 2 0 3 ¸ .X = X. si P = ¨ − 4 5 2 ¸ y ¨x ¸ ¨ 1 − 3 − 5 ¸¹ © 3¹ © § − 4· ¨ ¸ K = ¨ − 8¸ . para qué valores de k A. para que P. Exprese la solución. si P = ¨ . ¨x ¸ ¨4 8 8¸ © 3¹ ¨1 4 ¸ ¨ 0¸ ©5 5 ¹ 126 . b y c para que los siste- mas tengan a) solución única. Alejandro E. es una solución particular de A. c) ninguna solución. hallar la § 2 1 − 11· ¨ ¸ ¨−1 0 2 ¸ solución general si: A = ¨ 1 −1 5 ¸ ¨ ¸ ¨ 7 −2 0 ¸ © ¹ ­° X . B = ¨ 0 ¸ y X = ¨ x2 ¸ .X = B. x2 =16.=B admite: a) solución única. x3 =5. A = X t t 12) Resolver: ® t si: °̄C . X = (1) § 2 1 − 1· § x1 · § 3· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a) A = ¨ − 2 − 1 2 ¸ . b) infinitas soluciones. X = ¨ x 2 ¸ y C = ¨1¸ ¨ −1 1 2 ¸¹ ¨x ¸ ¨ 2¸ © © 3¹ © ¹ §1 1 · ¨ 0¸ ¨2 2 ¸ § x1 · ¨ ¸ § 1· ¨ ¸ ¨ 1 1 1¸ b) A = . 127 . ® x + ty + z = 0 °tx + y + z = 0 ¯ 11) Si x1 =3. X = ¨ x2 ¸ y C = ¨ 1¸ ¨4 4 2¸ ¨x ¸ ¨ 1¸ ¨1 1 1¸ © 3¹ © ¹ ¨ ¸ ©3 3 3¹ § 1 k 1· § 2k · § x1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 13) Dadas las matrices: A = ¨ 1 1 k ¸ .X. Sistemas de ecuaciones lineales 10) Determinar valores de t para los cuales el sistema admite soluciones no ­ x + y + tz = 0 ° triviales. ¨k +1 k 1 ¸¹ ¨k ¸ ¨x ¸ © © ¹ © 3¹ hallar los valores de k para los cuales el sistema A. ¨1 1 ¸ © 2 2¹ 15) Demostrar que si S1 y S2 son soluciones particulares del sistema A.900 dirhams con 100 billetes? 18) Se compran 3 tipos de alimentos.(A–I) = 0. El alimento I tiene una unidad de vitamina A. Se necesitan 11 unidades de vitamina A. b) si el alimento I cuesta $0.500.60 y los otros cuestan $0. b) S1 – S2 no es solución del sistema si B ≠ 0.900 y uno con 20 años de antigüedad gana $3. 128 . tres y cinco respectivamente. 17) ¿Cuántos billetes de 10 dirhams y de 25 dirhams son necesarios para reunir 1. entonces a) S1 – S2 es solución del sistema si B = 0. Se desea determinar si hay combinaciones de los tres grupos que aprovechen al máximo las capacidades semana- les de los tres departamentos. 16) Una empresa tiene un salario constituido por un básico y una bonifi- cación por año de antigüedad. Además lasa capacidades se- manales se expresan para cada departamento en términos de horas de trabajo disponibles. donde §1 1 · X ∈ ℜ2x1 y A = ¨ 2 2¸ . tres de la C y ninguna de la vi- tamina B. García Venturini 14) Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo X t . El alimento III tiene tres unidades de A. Si un empleado con 4 años de anti- güedad gana $1. determinar cuál es el sueldo básico y cuál la bonificación por año. a) Hallar todas las cantidades posibles de los tres alimentos que proporcionan esa cantidad de vitaminas. Alejandro E. 9 de vitamina B y 20 de vitamina C.X =B. El alimento II tiene dos.1 cada uno. tres unidades de vitamina B y cuatro unidades de vita- mina C. ¿hay solu- ción posible para un costo de 1 peso? 19) Una compañía elabora tres productos que se procesan en tres depar- tamentos. En la tabla se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento. Hallar el ingreso total en el punto de equilibrio.400 Aplicaciones económicas Oferta – Demanda .A. ­ p = 10 − 2q ° ­ p=6 ­ 2 p + 3q = 10 a) ® 3 b) ® c) ® °¯ p = 2 q + 3 ¯q = 3 p − 3 ¯ q − 4 p = −6 3) Dada la matriz insumo producto correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 . 20 24 129 .B. ­ D = − 2 p + 30 ­ D = − 10 p + 200 ­ D + 3p − 630 = 0 a) ® b) ® c) ® ¯ S = 2 p − 10 ¯ S = 6 p − 40 ¯ S − p +170 = 0 2) Dadas los siguientes pares de funciones determinar cual es la de ofer- ta y cual la de demanda. V. construir la del § 26 · año para la cual la demanda final es: Y* = ¨¨ ¸¸ © 39 ¹ S1 S2 D. Hallar el ingreso total en el punto de equilibrio.Matriz de insumo-producto 1) Determinar las cantidades intercambiadas y el precio de equilibrio pa- ra los mercados en los cuales se verifican las siguientes leyes de ofer- ta y demanda.B. 5 12 V.5 3 1.5 2 1.200 B 3 2. hallar el precio de equilibrio y las cantidades intercambiadas si p es el precio y q la cantidad demandada u ofrecida.500 C 4 3 2 1. Sistemas de ecuaciones lineales Producto Departamento Horas disponibles 1 2 3 A 2 3.P.F.P. S1 5 3 12 20 S2 10 9 5 24 V. a) completar la tabla si: i) el sector 1 utiliza insumos del sector 2 por un valor de 26.B. construir la del § 21· año para la cual la demanda final es: Y* = ¨¨ ¸¸ ©14 ¹ S1 S2 D.P. V. § 24 · b) construir la del año para la cual la demanda final es: Y* = ¨¨ ¸¸ © 12 ¹ 6) Dada la matriz insumo producto correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 .B. 130 . García Venturini 4) Dada la matriz insumo producto correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 .F. 100 55 5) Dada la matriz insumo producto correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 .P. ii) el sector 2 tiene una demanda final de 10. 13 V. iv) el producto bruto total de la economía es 100. Alejandro E.B. V.P.F.P. S1 40 44 16 100 S2 40 0 15 55 V.B.A. S1 18 21 S2 12 V.A. 20 11 V. iii) el sector 1 utiliza para sí 13 unidades de su propia produc- ción. S1 S2 D. F.F.P.160) . V.A. ii) el sector 2 tiene una demanda final de 19. S1 S2 V. iii) el sector 1 utiliza para sí 32 unidades de su propia producción.B. S1 S2 D. V. V.P. S1 S2 D.B. S1 28 36 S2 7 V.A.B. 8) La matriz de coeficientes técnicos correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 es: §2 4 · A=¨ 5 5¸ ¨2 0 ¸ © 5 ¹ 131 .P.B. § 48 · b) construir la del año para la cual la demanda final es: Y* = ¨¨ ¸¸ © 20 ¹ 7) La matriz de coeficientes técnicos correspondiente al año base para la economía de un país dividida en dos sectores S1 y S2 es: §1 1 · A=¨ 4 2¸ ¨1 1 ¸ © 3 4¹ Completar la tabla si la demanda final es: Yt = (210. Sistemas de ecuaciones lineales a) completar la tabla si: i) el sector 1 utiliza insumos del sector 2 por un valor de 16. 48 V. iv) el producto bruto total de la economía es 138.P. P.B.B. V. García Venturini Completar la tabla si la producción total es: Xt = (200.P.A. S1 S2 V.110 ) .F. Alejandro E. 132 . V. S1 S2 D. I.D n) S = {(− y . − + x1 . −3)} . ¯© 4 4 4 ¹¿ 3) a) S = {(1. 2)} . y ) / y ∈ ℜ} S. S. S. x 2 . b) S. y .1. S. 4 y + 3z − 3) / y ∈ ℜ ∧ z ∈ ℜ} S. − ¸¾ . − x 4 .C. z . S. c) S = ®¨1. 0. x3 ) / x3 ∈ ℜ}. .C. S. x3 . − ¸ / x 2 ∈ ℜ ∧ x3 ∈ ℜ¾ . . 7.I. d) S = {(0. y . 0. Sistemas de ecuaciones lineales RESPUESTAS ­§ 1 ·½ 1) a) S = {(− 1. −3)} .C.C.1 + 2 w. x3 ¸ / x3 ∈ ℜ¾ . 2) a) S = {(1. l) S. ¸¾ .C. −6)} . S. 0)} . − x 4 .C. . ¯© 5 5 5 5 ¹ ¿ r) S = {(5.C.I. −3x5 . 0. S.I.D. −3.C. x5 ) / x3 ∈ ℜ ∧ x5 ∈ ℜ}.D ¯© 2 ¹¿ d) S. S. 2 x3 . 0 ¸ / x1 ∈ ℜ¾ .I.D.I. S.C.C. ¯© 3 3 3 ¹¿ m) S = {(3. −19 + 7 x3 . x3 . 2.I.1)} . 2. p) S = {(4 − 2 y + w.D.C. ­§ 2 6 · ½ f) S = ®¨ x 3 .D.D. ­§ 1 2 8 9 · ½ q) S = ®¨ x1 .I.C.D. c) S.C.I ¯© 3 6¹ ¿ h) S = {(1. ¯© 5 5 ¹ ¿ ­§ 2 1· ½ g) S = ®¨ − 2 x 2 − 10 x3 . x 4 ¸ / x 4 ∈ ℜ¾ .C.I. ­§ 1 5 3 ·½ c) S = ®¨ . e) S = {(− 7 + 2 x3 . S. 3. ­§ 19 53 79 · ½ i) S = ®¨ − x 4 . ¯© 3 11 33 ¹ ¿ ­§ 11 22 7 ·½ j) S = ®¨ − .C.D.D k) S.C.C. 0. S.C. S. S. b) S = {(9.I.I.D. − ¸¾ . w) / y ∈ ℜ ∧ w ∈ ℜ} S. S. x3 . −38.C.I. S.C. 133 . 0)} . − − x1 . o) S = {(1 − 2 y − z . −2)} . S. S. b) S = {(0.I. Alejandro E. García Venturini 4) a) k ≠ 3 S.C.D. b) k ≠ 4 S.C.I. c) k ≠ 1, k ≠ 2 S.C.D. k = 3 S.C.I. k = 4 S.I. k = 1, k = 2 S.I. d) k ≠ 1, k ≠ –2 S.C.D. e) k ≠ 1 S.I. f) k ≠ 1, k ≠ 0 S.I. k = 1 S.C.I. k = 1 S.C.I. k = 1, k = 0 S.C.I. k = –2 S.I g) k ≠ 5 S.I. k = 5 S.C.I. 5) a) –5a +2b + c ≠ 0 S.I. b) siempre tiene solución única –5a +2b + c = 0 S.C.I. ­§ 3 17 · ½ 6) a) no existe k, b) k ≠ 3 7. k =7, S = ®¨ x3 ; x 3 ; x 3 ¸ / x 3 ∈ ℜ¾ ¯© 2 2 ¹ ¿ § − 50 · § x1 · ¨ 7¸ ¨ ¸ ¨ 8) X = − 7 68 ¸ 9. X = ¨ x 2 ¸ 10. t = 1, t = –2 ¨ ¸ ¨x ¸ ¨ 6 ¸ © 3¹ © ¹ 11) S = {(− 7 + 2 x 3 ; −19 + 7 x3 ; x3 ) / x3 ∈ ℜ}, S.C.I. 12) a) S = {(2 / 7;1 / 7; 0)} b) S = {(4 /11; 4 /11; 3 /11)} 13) a) k ≠ ±1, k ≠ 0, b) k = –1, k ≠ 0, c) k = 1 § a · 14) X = ¨ 3 a ¸ 16) $1.500 y $100 17) 40 y 60 respectivamente ¨ ¸ ©2 ¹ 18) a) S = {(− 5 + 2k ; −3k + 8; k ) / k ∈ ℜ} b) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2 19) x1 = 200, x2 = 100, x3 = 150 134 Sistemas de ecuaciones lineales Aplicaciones económicas 1) a) p = 10, q = D = S = 10. I = 100 b) p = 15, q = D = S = 50, I = 750 c) p = 200, q = D = S = 30, I = 6.000 3 2) a) S: p = q + 3 , D: p = 10 – 2q, p = 6, q = D = S = 2, I = 12 2 b) S: q = 3p – 6, D: p = 6, p = 6, q = D = S = 15, I = 90 c) S: q – 4p = – 6, D: 2p + 3q = 10, p = 2, q = D = S = 2, I = 4 3) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 13 13 26 52 S2 26 39 39 104 V.A. 13 52 V.B.P. 52 104 156 4) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 46 48 21 115 S2 46 0 14 60 V.A. 23 12 V.B.P. 115 60 175 5) a) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 13 18 21 52 S2 26 12 10 48 V.A. 13 18 V.B.P. 52 48 100 135 Alejandro E. García Venturini b) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 15 21 24 60 S2 30 14 12 56 V.A. 15 21 V.B.P. 60 56 116 6) a) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 32 28 36 96 S2 16 7 19 42 V.A. 48 7 V.B.P. 96 42 138 b) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 40 32 48 120 S2 20 8 20 48 V.A. 60 8 V.B.P. 120 48 168 7) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 150 240 210 600 S2 100 120 160 480 V.A. 350 120 V.B.P. 600 480 1080 8) S1 S2 D.F. V.B.P. S1 80 88 32 200 S2 80 0 30 110 V.A. 40 22 B.P. 200 110 310 136 Capítulo 3 Estructuras Algebraicas Leyes de composición internas y externas. Definiciones, ejemplos. Estructuras algebraicas: grupo conmutativo, anillo y cuerpo. Propiedades El cuerpo de los números reales. LEYES DE COMPOSICIÓN LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A como resultado de la operación. La ley interna va de A x A → A. Es decir que: ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A Ÿ a * b = c / c ∈ A Ejemplos a) la suma, resta, multiplicación de números reales Si sumamos, restamos o multiplicamos un par de números reales, ob- tenemos como resultado de otro número real: Al par de números reales (3;5) la ley interna + le asigna como resulta- do el número real 8. Al par de números reales (3;5) la ley interna – le asigna como resulta- do el número real –2. Al par de números reales (3;5) la ley interna • le asigna como resulta- do el número real 15. b) la suma, resta de matrices del mismo orden. Si sumamos, restamos matrices del mismo orden, obtenemos como re- sultado otra matriz del mismo orden. No son leyes internas: a) la resta y cociente de números naturales. Si restamos o dividimos un par de números naturales, no siempre ob- tenemos como resultado otro número natural. 139 ∀ b ∈ A. Propiedad asociativa Una ley interna en un conjunto A es asociativa ⇔ ∀a ∈ A. ∀c ∈ A : (a * b )* c = a * (b * c ) Ejemplos La suma y multiplicación de números reales son leyes asociativas. no así la resta y la división.(a + b) 140 . a + (b + c) = (a + b) + c a • (b • c) = (a • b) • c a – (b – c) ≠ (a – b) – c a : (b : c) ≠ (a : b) : c Otros ejemplos a) analicemos la ley * definida en de la siguiente manera: a*b=a+b+2 (a * b) *c = (a + b + 2) * c = a + b + 2+ c + 2 = a + b + c + 4 X a * (b * c) = a * (b + c + 2) = a + b + c + 2 + 2 = a + b + c + 4 Y X=Y Ÿ * es asociativa b) analicemos la ley * definida en de la siguiente manera: a * b = 2.5) la ley : le asigna como resultado el número 3/5 que no es natural. García Venturini Al par de números naturales (3. Alejandro E.5) la ley – le asigna como resultado el número –2 que no es natural. Al par de números naturales (3. Propiedades y elementos distinguidos de una ley de composición interna 1. es único y debe serlo a izquierda y derecha. a+0=0+a=a b) el vector nulo para la suma de vectores. a+b=b+a a•b=b•a a–b≠b–a a:b≠b:a 3. Existencia de elemento neutro Se llama así a un elemento e que compuesto a izquierda y derecha con cualquier otro no lo altere.a = a. Estructuras algebraicas (a*b)*c = [2. Propiedad conmutativa Una ley interna en un conjunto A es conmutativa ⇔ ∀a ∈ A. ∀b ∈ A : a * b = b * a La suma y multiplicación de números reales son leyes conmutativas. ∀a ∈ A / a * e = e * a = a Ejemplos: a) el 0 para la suma en . e∈A es elemento neutro para la ley * ⇔ ∃e ∈ A. 1.(b+c)] = 2.1 = a Nota: el neutro debe pertenecer al conjunto A.(a+2b+2c) = 2a+4b+4c Y š X≠Y Ÿ * no es asociativa 2.(2a +2b +c) = 4a+4b+2c X ™ a*(b*c) = a*[2.(a+b)]*c = 2 [2. 141 .(b+c)] = 2[a +2.(a+b)+c]=2. & & & & & v + 0= 0+ v = v c) el 1 para la multiplicación en . no así la resta y la división. a + (–a) = (–a) + a = 0 Ejemplos: a) el opuesto (–a) para la suma en . & & & & & v + (− v ) = (− v ) + v = 0 c) el inverso (a-1) para la multiplicación en –{0}. 142 . Existencia de elementos regulares Que un elemento sea regular quiere decir que es simplificable Si * es una ley de composición interna en A. a −1 .a −1 = ∀a ≠ 0 d) La matriz opuesta (–A) para la suma de matrices A + (–A) = (–A) +A = N Propiedad: para cada elemento. Alejandro E.a = a. etc. el simétrico. el elemento a∈A es regu- lar a izquierda ⇔ a * b = a * c Ÿ b = c. es único. García Venturini Demostración de la unicidad Suponemos que hay dos neutros. 5. Existencia de elemento simétrico en una ley con neutro Dado un elemento a ∈ A se llama simétrico de a y se lo denomina a' a un elemento que compuesto a izquierda y derecha con a de el neutro. Para cada matriz. a ′ ∈ A es elemento simétrico de a para la ley *. e y e' Si e es neutro: e' * e = e * e' = e' Ÿ e = e' Si e’ es neutro: e * e' = e' * e = e 4. existe una única matriz opuesta. a + (–a) = (–a) +a = 0. para cada número real existe un única inverso multiplicativo o un único opuesto. si existe. b) el vector opuesto para la suma de vectores. a = 0. Estructuras algebraicas De la misma manera decimos que el elemento a∈A es regular a dere- cha ⇔ b * a = c * a Ÿ b = c. Veamos otro ejemplo: Dada la ley * definida en ℜ / a * b = 2 (a + b). Ejemplos Para la suma de números reales todos los elementos son regulares: a + b = a + c Ÿ b = c. veremos si es cancela- tiva. 143 . Sí lo son los demás número reales.. ∀a ∈ ℜ − {0} : a • b = a • c Ÿ b = c 6. En ambos casos decimos que hemos simplificado la a.Propiedad cancelativa Una ley * es cancelativa en un conjunto A si todos sus elementos del conjunto A son regulares. Ejemplos Son cancelativas la suma y la resta en el conjunto de los números re- ales. lo mismo si b + a = c + a Ÿ b = c En cambio eso no sierre se verifica para la multiplicación de números reales: 0. a * b = a * c Ÿ b = c.b ∧ a ≠ b El cero no es un elemento regular para la multiplicación de reales. La multiplicación es en ℜ –{0}. Un elemento es regular si lo es a izquierda y a derecha. a+b a b (a + b) : c = a : c + b : c. 144 . Ejemplo de ley distributiva sólo a derecha La división respecto de la suma es un ejemplo de ley que es distributi- va sólo a derecha.(a + b) = 2. Ejemplos a) La multiplicación de números reales (•) respecto de la suma de números reales (+). Propiedad distributiva Dadas dos leyes de composición interna * y ♦: ♦ es distributiva a izquierda respecto de * ⇔ a♦(b*c) = (a♦b) * (a♦c) ♦ es distributiva a derecha respecto de * ⇔ (b*c)♦a = (b♦a) * (c♦a) Se dice que una ley es distributiva si lo es a izquierda y a derecha. a • (b+c) = (b+c) • a = (a•b) + (a•c) b) La intersección de conjuntos respecto de la unión de conjuntos A∩(B∪C) = (B∪C)∩A = (A∩B) ∪ (A∩C) Nota: si la ley es conmutativa ♦ alcanza con verificar la distributivi- dad solo a izquierda o a derecha. Alejandro E. García Venturini 2.(a + c) a + b = a + c cancelando el 2 b=c cancelando la a 7. = + (c ≠ 0) c c c a : (b + c) ≠ a : b + a : c. En este capítulo veremos la estructura de grupo.v = w / w ∈V .(a. una ley de composición externa es una operación que va de A x V → V. Estructuras algebraicas LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA En este caso se opera con elementos de dos conjuntos. c) el producto de un escalar por un polinomio de otro polinomio. b) el producto de un escalar por un par ordenado: α.α. de tal manera que el resultado sea un elemento de uno de ellos. A y B son matrices.b).b) = (α. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Una estructura algebraica es un objeto matemático que consiste de un conjunto no vacío y leyes de composición interna o externa. Es decir que: ∀α ∈ A. Dados dos conjuntos no vacíos A y V. se obtienen los distintos tipos de estructuras algebraicas.A = B α es un escalar.a. ∀ v ∈V : α . Según sean las propiedades que satisfagan dichas leyes de composición. anillo y cuerpo y más adelante la de espacio vectorial. 145 . A los elementos del conjunto A se los denomina habitualmente escala- res. Ejemplos a) el producto de un escalar por una matriz: α. y a los del conjunto V se los denomina vectores. Ejemplos ABEL.*) tiene estructura de nacido en Bourg-la- grupo sí y solo sí: Reine. Tuvo u- con la suma ordinaria de nú. García Venturini ESTRUCTURA DE GRUPO GALOIS. etc. Este real. na vida corta pero fructífera. de donde fue ex- d) * admite simétrico pulsado en 1830 por sus simpatías republicanas. ya vimos que la mul- 146 . Dijo las series divergentes son un tiene elemento neutro que es invento del diablo. exceptuando el cero con la mul- tiplicación ordinaria de números reales. Esto lo involucró en Grupo abeliano agitaciones políticas por lo que estu- vo preso dos veces. Evariste (18011-1832) Matemático francés. integrales. los números reales. A Si además la ley * es conmutativa. Vemos que cumple con las cinco condiciones: es ley interna ya que el producto de números reales es otro número real. A pesar de sus habilidades matemáticas a) * es ley interna no pudo ingresar a la Escuela Politécnica de b) * es asociativa París e ingresó a la Escuela Normal c) * admite neutro Superior en 1829. A los 21 años muere en un duelo por una mujer. simétrico que es el opuesto (a' = – a) y también sabemos que la suma de números es conmutativo.•). Murió de tuberculosis a los 27 años y tuvo que hacerse car- Vemos que cumple con las go de una familia numerosa cinco condiciones: es ley in. Niels Henrik (1802-1829): fue un matemático noruego a) (ℜ. b) ( –{0}. los números reales que con Galois inicia el nuevo enfoque del Algebra. el 0 (e = 0). al morir su padre. Alejandro E. meros reales. En 1824 de- terna ya que la suma de nú- mostró que las ecuaciones de grado mayor a 4 meros reales es otro número son irresolubles por fórmulas radicales. El par (A. Sus aportes se refieren a la teoría de series. ya vimos que la suma descubrimiento ya lo había apuntado Gauss de números es asociativa.+). él se deben el concepto y el nombre el grupo se denomina Abeliano. en 1799. c) (V2. los segmentos orientados del plano con la suma de seg- mentos orientados. 147 . ya hemos visto que la suma de matrices es asociativa. el conjunto de las matrices del mismo orden con la suma de matrices Vemos que cumple con las cinco condiciones: es ley interna ya que la suma de matrices del mismo orden da otra matriz del mismo orden. Vemos que cumple con las cinco condiciones: es ley interna ya que como vimos en el capítulo introductorio la suma de segmentos orien- tados en el plano da otro segmento orientado. Estructuras algebraicas tiplicación de números es asociativa. la suma de segmentos orientados es asociativa.+). los pares ordenados de números reales con la suma de pa- res ordenados que definimos de la siguiente manera: (a. es fácil comprobar que es asociativa. tiene elemento neutro que par ordenado de números reales.b) + (c. d) (ℜ2. simétrico que es el par opuesto (a ' = (–a. tiene elemento neutro que es el 1 (e = 1). tiene elemento neutro que es la matriz nula (e = N). es fácil comprobar que es asociativa. simé- trico que es la matriz opuesta (a' = – A) y también vimos que la suma de matrices es conmutativa.+). que existe para todos para todos los números reales excepto el 0) y también sa- bemos que la multiplicación de números es conmutativo. –b)) y también es fácil verificar que la suma de pares ordenados es conmu- tativa. simétrico que es el segmento opuesto (a' = – v ) y también sabemos que la suma de segmentos orientados es conmutativa. tiene elemento neutro que es el segmento nu- & * lo (e = 0 ).+). e) ( mxn. simétrico que es el inverso multiplicativo (a' = a–1. tiene elemento neutro que es el par (0.d) = (a+c.0).b+d) Vemos que cumple con las cinco condiciones: es ley interna ya que la suma de pares ordenados de números reales da otro par ordenado de números reales. a) Ley interna Debemos asegurar que el compuesto de todo par de números enteros a través de * da otro número entero. esto es válido porque la suma en es conmutativa (a + b = b + a). a * e = a Ÿ a + e – 5 = a Ÿ e = 5 (vemos que el neutro es único y ∈ ). b) Asociatividad: ∀a ∈ Z . d) Existencia de neutro ∃e ∈ Z .*). ∀b ∈ Z . García Venturini Analicemos un ejemplo donde la operación no es una operación cono- cida: ( . Esto se debe a que la suma y resta de números enteros da siempre un número entero. Debemos ver si el conjunto de los números enteros con la operación * tiene estructura de grupo abeliano. ∀a ∈ Z / a * e = e * a = a Por haber verificado la conmutatividad buscamos neutro y simétrico sólo a derecha. donde a * b = a + b – 5. ∀b ∈ Z : a * b = b * a a * b = a + b – 5 = b + a – 5 = b * a. Alejandro E. e) Existencia de simétrico ∀a ∈ Z . ∃ a′ ∈ Z / a * a′ = a′* a = 5 a*a' = 5 Ÿ a + a ' – 5 = 5 Ÿ a' =10 – a vemos que cada número entero tiene su simétrico que también es ente- ro: 3' = 7 8' = 2 23' = –13 148 . ∀c ∈ Z : (a * b )* c = a * (b * c ) (a * b) * c = (a + b – 5) * c = a + b – 5 + c – 5 = a + b + c – 10 (1) a * (b * c) = a*(b + c – 5) = a + b + c – 5 – 5 = a + b + c – 10 (2) De (1) y (2) surge que la ley * es asociativa c) Conmutatividad: ∀a ∈ Z. Demostración Componiendo a ambos miembros de la igualdad con a'. Estructuras algebraicas Por lo tanto ( . c) Todos los elementos de un grupo son regulares para la ley que los define: a * x = b * x Ÿ a = b y x * a = x * b Ÿ a = b. Esta es la importancia de trabajar con estructuras. Eso quiere decir que cualquier conjunto que con respecto a una operación tenga estructura de grupo verifica estas propiedades. b) El simétrico del compuesto de dos elementos es el compuesto de los simétricos en orden cambiado: (a * b)' = (b' * a'). queda: a' * (a * x) = a' * b (a ' * a ) * x = a ' * b Ÿ x = a ' * b Estas propiedades se verifican independientemente del significado de los elementos y de la operación involucrada. ahora vemos que no sólo valen para las matrices sino para cualquier grupo. Algunas de estas propiedades las vimos en el capítulo 1 para las matrices. Sólo basta con demostrar que con un conjunto dado con una operación cualquiera tiene estructura de grupo para que se verifiquen estas pro- piedades. Propiedades de los grupos Además de la unicidad del neutro y del simétrico ya mencionadas po- demos agregar las siguientes propiedades que se verifican si (A.*) tiene estructura de grupo abeliano. a) El simétrico del simétrico es el mismo elemento: (a')' = a.*) tie- ne estructura de grupo. De esta manera se hace una sola demostración para la estructura en lugar de hacerlo para cada conjunto. 149 . d) La ecuación a * x = b siempre tiene solución única. cosa que se verifica en este caso. Por lo tanto el elemento b es el neutro.*) es semigrupo ⇔ * es ley interna en A y es asociativa. por ejemplo. Así vemos que el simétrico de c es a y el de a es c. Por ejemplo. b * c = c. En este caso en la columna y en la fila correspondientes al elemento b se repiten el conjunto A. La ley es conmutativa si los elementos simétricos respecto de la di- agonal son iguales. los elementos que aparecen en la tabla deben pertenecer al conjunto. Alejandro E. debemos verificar que: 150 . etc. debemos encontrar los simétricos. Lo más difícil de verificar es el cumplimiento de la propiedad asocia- tiva. Debemos buscar en las casillas donde figura el neutro. se puede definir la operación a tra- vés de una tabla de manera tal que el resultado de operar dos elemen- tos a y b con la operación * se coloca en la intersección de la fila de a con la columna de b. c} * a b c a c a b b a b c c b c a De esta tabla surge. hay que verificar cada caso. cosa que también se verifica. OPERACIONES DEFINIDAS POR TABLAS A veces. b. Hay elemento neutro si hay una columna y una fila en la cual se repite el conjunto A y ambas están encabezadas por el mismo elemento. si el conjunto A es finito. Como no hay una ley general. Para que se verifique la ley interna. Ejemplo: Dado el conjunto A = {a. Por eso es que en algunos casos se informa que la ley es asociativa. lo cual es un poco engorroso. Habiendo neutro. García Venturini Estructura de semigrupo El par (A. que a * b = a. además el simétrico de b es b. *. En este caso se verifica que la ley es asociativa. Estructuras algebraicas a * (b * b ) = (a * b ) * b a * (c * a) = (a * c) * a . Anillo con unidad Si además • admite elemento neutro entonces el anillo es un anillo con unidad.+. etc.•) es semigrupo. b) (A.•) el conjunto de los números enteros con la suma y la multiplicación. Por lo tanto en esta tabla aparece representada una estructura de grupo. Definición La terna (A.•) es un anillo ⇔: a) (A. c) • es distributiva respecto de *. haya o no ele- mentos repetidos. ESTRUCTURA DE ANILLO Sean un conjunto no vacío A y dos leyes: * y •.*) es grupo abeliano. 151 . Anillo conmutativo Si además • es conmutativa el anillo es conmutativo. a * (b * b ) = a * b = a a * (c * a ) = a * b = a (a * b) * b = a * b = a (a * c) * a = b * a = a Y así deberíamos verificar con todas las ternas posibles. Ejemplo: ( . •) es grupo abeliano.+. El cuerpo de los números Reales ( . c) • es distributiva respecto de +. García Venturini ESTRUCTURA DE CUERPO La terna ( .•) son algunos ejemplos de estructuras de cuerpo.+. c) La multiplicación de números reales es distributiva respecto de la suma de número reales.•) Veremos ahora que el conjunto de los números reales con las opera- ciones suma y multiplicación.+. Por lo tanto ( . como también ya vimos.•) y ( . que es la que más utilizaremos en este texto. Vamos a analizar en particular la estructura de cuerpo de los números reales.+. b) ( –{0}. a) ( . entre ellas la regla de los signos. Ejemplos: ( . b) ( –{0}.•) es un cuerpo. algunas propiedades conocidas.•).+). 152 . Nota: 0 es el neutro en ( .•) es un cuerpo si y sólo si: a) ( . tiene estructura de cuerpo. UNA APLICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS Las estructuras algebraicas permiten justificar.+. es un grupo abeliano. es grupo abeliano.+). Alejandro E.+) es grupo abeliano. como ya vimos. a.(1 – 1) (por propiedad distributiva) a – 1.b = – (a.a).(–b) = a.a – 1.b (por asociati- vidad) (–a).b) 153 .b) (por asociatividad) (–a).(–b) = 1.b = – (–1).a = a.(–a) = – (a.b = –1.a = a.(a.b = b.a.0 = 0 (por neutro) (– 1).b Dem: (–a). (–1.a (por ser 1 el neutro) a – 1.a = –a c) – (–a) = a Dem: a + (–a) = 0 a + (–a) – (–a) = 0 – (–a) a + [(–a) – (–a)] = – (–a) (por asociatividad) a + 0 = – (–a) (por propiedad del inverso aditivo) a = – (–a) (por ser 0 el neutro) La regla de los signos a) (–a).b b) (–a).b = (–1.b) Dem: (–a). Estructuras algebraicas a) a * 0 = 0 Dem: 0 + a * 0 = a * 0 (por ser el 0 neutro en +) 0 + a * 0 = a * (0 + 0) (por ser el 0 neutro en +) 0 + a * 0 = a * 0 + a * 0 (por propiedad distributiva) a * 0 = 0 (por propiedad cancelativa) b) (–1).b) = [(–1).a = –a Dem: a – 1.(–b) = (–1.a = 1.a.b = a.a). (–1)]. d) ( .+).*) tiene estructura de grupo. Alejandro E. García Venturini EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Analizar qué propiedades cumplen los siguientes pares a) ( 0. Indicar el elemento neutro y los elemen.+). 154 . en b 6) Probar que la adición y la multiplicación son leyes de composición interna en el conjunto de los números pares.+). Analizar si tiene estructura de P grupo abeliano.+). en 1 b) a * b = a + .b} y que b es el neutro. a) completar la tabla. I tos simétricos. e) ( . 4) Sabiendo que (C. c) ( .•) 2) Analizar si las siguientes tablas correspondientes a leyes asociativas tienen estructura de grupo abeliano: a) Δ p q r b) * 0 1 * a b c d p p q r 0 0 1 a a b c d q q r p 1 1 2 b b c d a r r p q c c d a b d d a b c d) * Ο Δ O O Δ Δ Ο Δ Δ O 3) Completar la siguiente tabla si P son los números pares e + P I I son los números impares. a b) ¿es grupo abeliano? b 5) Verificar si * es asociativa si: a) x * y = x2 + y2.–). que * a b C = {a.•). b) ( . f) ( . g) ( –{0}. b + a') b) (a. Probar que ( . d) (M2. + es la suma de segmentos orientados.b).b + 1 d) a * b = a 2 − b 2 e) a * b = a + b + a. B = x / x = 2k .•).c. Indicar los elementos si: a) a * b = a + b − 5 b) a * b = 2. M 2 = matrices cuadradas de orden 2. 155 . analizar las propiedades.2.a'. c) (V2.8}. b.+). A = {x / x = 3k . b.*) no es grupo. + es la suma de matrices. se define: a) (a.*). k ∈ Z} . • es el producto ordinario de nú- meros reales. k ∈ Z} . f) (A.+). a * b = m.b)*(a'. V2 = segmentos orientados del plano. b) (B. • es el producto ordinario de números enteros.a' + b') c) (a. Estructuras algebraicas 7) Determinar si ( .b') = (a + b'.b') 10) En se toma la ley de composición interna x * y = – y.m.+). ( 2 son los pares ordenados de números reales).(a + b ) c) a * b = a.4. + es la suma ordinaria de números enteros. { } e) (B.b)*(a'.*).•). k ∈ Z .a'.b)*(a'.*) tiene estructura de grupo abeliano. A = {1. indicar sus elementos y dar la estructura a) (A. (a.b') = (a.b 8) Dados los siguientes pares. 9) En ( 2.b') = (a. B = {x / x = 2k + 1. b') = (a + a'. 2 son los pares ordenados de números enteros y se define: (a.(a – b) a b = a2 + b2 Analizar distributividades de: a) O respecto de * por izquierda b) Δ respecto de por derecha 13) Verificar si ( 2. 12) Dadas: a * b = 2. a. Además s * p = r y s * r = q.0) b) (a. Alejandro E.Δ.a'.b)  (a'. f2 (x). García Venturini 11) Dadas las siguientes funciones definidas de –{0} → –{0} 1 1 f1 (x) = x f2 (x) = –x f3 (x) = f4 (x) = − x x Analizar si (A:o) es grupo si A = { f1 (x).Δ.b) ⊕ (a'.b' + b. r r Completar las tablas y calcular: s s a) (p * q) Δ (s Δ p) b) (r * q–1) Δ [(–s) * p)] 156 . ).b') = (a.b)  (a'.Δ.b a O b = 5.) son anillos y clasificarlos. b + b') y: a) (a. es un cuerpo y se sabe Δ p q r s * p q r s que p es el elemento neutro en p p q r s p q *. f3 (x). se sabe que Δ 1 2 1 2 A = {1.b') = (a. f4 (x)} y o es la composición de funciones.(a + b) a Δ b = a + b + a.a'.*).2} y que las operaciones: Δ y 1 1 2 1 1 1 están definidas por las siguientes tablas: 2 2 1 2 1 2 a) verificar que (A.a') 14) Dada la estructura (A. ) es un anillo b) determinar si es anillo unitario 15) (A.⊕. . a' = –a. r' = q. c' = c. conm. no tiene simétrico 157 . e) no.. li. grupo abeliano. c) no es li. q' = r. es conmut. asoc.. a' = –a. b) li. b) ( . 8) a) grupo abeliano. asoc. b' = b * a b I I P a b a b a b 5) a) no es asociativa. d) ( . e = 0. (monoide). no tiene simétrico.+). no es asoc.. e = 1. sin neutro. e = p. f) ( . grupo abeliano. es conmut. e = Δ. no tiene simétrico. b) no. sin neutro. ' = O. e = 0 . es li. es li. asoc. a' = 2–k f ) no es grupo. d) no. e = a. a 2) a) sí. a' = . (semigrupo conmutativo con unidad). sin neutro. conm.. li. e = 1. e = 1 = 20.. e = 0... no tiene simétrico.+). a' = a. conm.. es li. li. e = 5. p' = p.. a' = – A e) grupo abeliano. asoc.. e = N.. & & c) grupo abeliano. b) no. d) grupo abeliano. (semigrupo conmutativo) c) ( . Δ' = Δ 3) grupo abeliano. no es conmut. e) ( . a' = a. a' = –3k. li. d ' = b d) sí. es conm. c) sí. b' = d. 1 g) ( –{0}. e = P. no es li.. sin neutro.•).+). e = 0.•). e = 0. no asoc.–).. es conm. a' = 10 – a.. e = 0.+). Estructuras algebraicas RESPUESTAS 1) a) ( 0.... grupo abeliano. P' = P. no tiene simétrico. (semigrupo con- mutativo con unidad). O' = . a' = – v . e = b. es asoc. no es asoc. e = 1. b) no es asociativa 7) a) sí. I' = I + P I P P I 4) b) sí. e = (1. b) no se verifica 13) ( 2. b) r 158 .1).+) es grupo abeliano. Alejandro E.. sin simétrico. no tiene neutro b) li. 1/x' =1/ x. 15) a) p. no asoc.) es anillo conmutativo con unidad. 11) es grupo abeliano.. no conmut. e = (1. –1/x' = –1/ x 12) a) no se verifica. asoc.0) 14) es anillo unitario.. e = 2. conm. –x' = –x..0).. solamente lo tienen los pares ≠ (0..⊕. c) li. sin simétrico.) es anillo conmutativo sin unidad b) ( 2. a' = (–a. asoc.b). x' = x. García Venturini 9) a) li. no conmut.⊕. –b) a) ( 2. e = (0. e = x. e = (1..0). Dependencia e independencia lineal de vectores. Sistema de generadores.Capítulo 4 Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial. Base y dimensión de un espacio vectorial. cambio de base. ecuaciones presupuestarias. Interpretación vectorial de fenómenos económicos: vector de precios. . Subespacios. Ejemplos y propiedades. Coordenadas de un vector. recta y plano de balance. . que cumple las siguientes pro- piedades: a) ∀v∈V: 1v = v siendo 1 el neutro para (K.d)] = Į(a+c.b)] ⊕ [Į(c.b) 161 . ∀v∈V: Į(ȕv) = (Į • ȕ)v Los elementos del conjunto V reciben el nombre de vectores y los de K el nombre de escalares. donde ⊕ es la ley interna en V. . ∀Į∈K: Į(v⊕w) = (Įv) ⊕ (Įw) d) Asociatividad mixta ∀Į∈K.) es un espacio vectorial si se cumplen las si- guientes propiedades: 1) (V. ∀ȕ∈K.•) es un cuerpo.b) = (1•a.b+d) = [Į•(a+c).⊕.b) 2) (Į+ȕ)(a. donde + y • son las leyes internas en K.b)] ⊕ [ȕ(a.ȕ•b) = (Į•ȕ•a. ESPACIOS VECTORIALES La cuaterna (V. 3)  es una ley externa de KxV → V.+.Į•d) = [Į(a.d)] 4) Į[ȕ(a.) donde 2 son los pares ordenados de números reales.+.Į•b) ⊕ (ȕ•a. 2) (K. ∀ȕ∈K.⊕) es un grupo abeliano.Į•b+Į•d) = (Į•a. producto de un esca- lar por un par ordenado.•) b) Distributividad respecto de la suma de escalares: ∀Į∈K. Ejemplo: ( 2. ∀w∈V.⊕. ( .(Į•ȕ)•b] = (Į•ȕ)(a.b) = [(Į+ȕ)•a.(Į+ȕ)•b] = (Į•a+ȕ•a.Į•ȕ•b) = [(Į•ȕ)•a.b)] = Į(ȕ•a.K.1•b) = (a.Į•b) ⊕ (Į•c.Į•b+ȕ•b) = = (Į•a.ȕ•b) = [Į(a. ( 2. donde ⊕ es la suma de pares ordenados. ⊕) es un grupo abeliano.b) ⊕ (c.  es la ley externa.Į•(b+d)] = (Į•a +Į•c. ∀v∈V: (Į+ȕ)v = (Įv) ⊕ (ȕv) c) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀v∈V.•) es un cuerpo donde + y • son respectivamente la suma y el producto de números reales. Además: 1) 1(a.b)] 3) Į[(a. : si Į = 0 ya está demostrado. Alejandro E.⊕. ⊕) & & & dem. 0 es el neutro en (V.) es a su vez un espacio vectorial. (W. .⊕. ( mxn.⊕.).) si (W.⊕. .: ∀v∈V: Įv = (Į+0)v Ÿ (Įv) ⊕ 0 = (Įv)ҏ ⊕ (0v) Ÿ & 0 = 0v & & & 2) ∀Į∈K: Į 0 = 0 0 es el neutro en (V.K.) es un subespacio vectorial de (V.⊕.) donde son los números complejos.K. ( .⊕. . ⊕ es la suma de matrices.: ∀Į∈K: Įv = Į(v⊕ 0 ) Ÿ (Įv) ⊕ 0 = (Įv) ⊕ (Į 0 ) & & 0 = Į 0 & & 3) Si Įv = 0 Ÿ Į = 0 ∨ v = 0 dem.⊕) (vector nulo).K.  es la ley externa producto de un escalar por una matriz.+).: [(–Į)v] ⊕ (Įv) = (–Į + Į)v = 0v = 0 & [(–Į)v] ⊕ Įv) = 0 & [(–Į)v] ⊕ (Įv) \ (Įv) = 0 \ (Įv) (–Į)v = \ (Įv) SUBESPACIO VECTORIAL Dado el espacio vectorial (V.) y el conjunto no vacío W⊂V.K. donde mxn son las matrices reales. García Venturini Otros ejemplos: (V2. & dem. donde V2 son los segmentos orientados del plano y ⊕ la suma de segmentos orientados. & si Į ≠ 0 Ÿ ∃Į-1 / Į–1  (Įv) = Į–1 0 & (Į–1 • Į)ҏv = 0 & & 1v = 0 Ÿ v = 0 4) ∀Į∈K ∧ ∀v ∈V: (–Į)v = \ (Įv) & dem.). Propiedades & & 1) ∀v∈V: 0v = 0 (0 es el neutro en (K.  es la ley externa producto de un escalar por un seg- mento orientado.⊕. 162 . 1) W⊂V & 2) W ≠ ∅ que es equivalente a 0 ∈W El neutro en V∈W 3) ∀x∈W ∧ ∀y∈W: x ⊕ y ∈W W es cerrado para la suma 4) ∀Į∈K ∧ ∀x∈W: Į  x ∈W W es cerrado para el producto por escalares Si se verifican estas 4 condiciones. Las leyes de cierre se cumplen por hipótesis 3 y 4.⊕. por & propiedad 1.⊕. Espacios vectoriales Teorema Todo & subespacio no vacío W de un espacio vectorial V contiene a 0 ∈W.K. ∀x∈W.⊕.x = x) también se cumplen (por herencia).K. alcanza con que se veri- fiquen estas cuatro condiciones.V.). por propiedad 4 de los espacios vectoriales –x = (–1). & Dem.) es un subespacio vectorial de (V. También se verifica.x ∈W. con lo cual queda demostrado que para justificar que un subconjunto de V es un subespacio de éste. 163 .K. Veamos ahora la demostración. & Además 0 ∈W por hipótesis 2. para poder justificar que con las hipótesis dadas (W. conmutatividad. distribu- tividad e identidad multiplicativa (1.: ∀x∈W: 0x ∈W (por ser W espacio vectorial). por hipótesis 4. y 0x = 0 . Demostración Debemos probar los axiomas de E. que (–1). por lo tanto 0 ∈W. Condiciones suficientes El cumplimiento de estas cuatro condiciones asegura que W es un sub- espacio de V.x∈W.) es un subespacio vectorial. se puede asegurar que (W. las leyes de asociatividad. Como los vectores de W tam- bién están en V. debemos probar que Į.K.x2+y2). debemos probar Į. c) si x = (x1.(x1.0)∈W porque 0 = 2. x2)∈W. debemos probar que x1+y1 = 2 (x2+y2).).K. de lo son toda recta o plano que pase por el origen.). d) si x = (x1. Subespacios propios Son todos aquellos que no son los subespacios triviales. con lo que queda demostrado que W es un subespacio de 2. es decir el subespacio cuyo único elemento es el vector nulo. 2 3 Ejemplos: de lo son toda recta que pasa por el origen. Į. & & & & & & dem. pero x1 = 2x2 e y1 = 2y2 por ser x e y elementos de W. x2)∈W.x2.⊕.2x2= 2Į.K.x1=Į.y2) = (x1+y1. es decir el mismo espacio vectorial & b) ({ 0 }.(x1.x2)=(Į.y2) ∈ W debemos probar que x + y ∈W.x2) ∈ 2 / x1 =2x2} es un subespacio de 2 Debemos verificar las 4 condiciones: a) W ⊂ 2 por definición.K.: se verifica que 0 + 0 = 0 y Į.x2)∈W e y = (y1. García Venturini Ejemplo Determinar si W= {(x1. b) (0.Į. sumando miembro a miembro: x1 + y1 = 2 x2 + 2y2 = 2 (x2+y2). Subespacios triviales Dado un espacio vectorial (V. son subespacios vectoriales triviales los siguientes: a) (V. x + y = (x1. porque es un conjunto formado por pares or- denados.0.).⊕. queda que Į. pero como x1 = 2x2 multiplicando a ambos miembros por Į.⊕. Alejandro E. con lo que queda demostrado.⊕.x2).x1.) es subespa- cio de V.x1 =2Į. Deben pasar por el origen porque en el conjunto debe estar el vector nulo. 0 = 0 Ÿ ({ 0 }.x2. 164 . x2) + (y1. ).x∈S2 Ÿ α. Espacios vectoriales OPERACIONES CON SUBESPACIOS Unión Si S1 y S2 son dos subespacios de (V.) entonces S1 ∪ S2 no da necesariamente otro subespacio vectorial de (V.K. y∈S1 ∧ y∈S2 Ÿ x+y ∈S1 ∧ x+y ∈S2 Ÿ x+y ∈ S1∩S2 Ÿ (x+y) ∈S d) S es cerrado para el producto por escalares α∈K ∧ x∈S Ÿ α∈K ∧ x∈S1∩S2 Ÿ α∈K ∧ x∈S1 ∧ x∈S2 Ÿ α. ⊕.⊕.x ∈ (S1 ∩S2) Ÿ α. .) da otro subespacio vectorial de (V. Ejemplo: si en ( .K.x∈S 165 .x∈S1 ∧ α.⊕.) consideramos 2 dos rectas que pasan por el ori- gen (cada una de ellas constitu- 2 ye un subespacio de ) la u- nión de los subespacios es el par de rectas.K.). Vemos que si to- mamos un vector de cada recta y los sumamos da un vector que no pertenece a la unión.K. Intersección La intersección S = S1∩S2 de dos subespacios de un espacio vectorial (V. Demostración a) S ⊂ V S1⊂V ∧ S2⊂V Ÿ S1 ∩S2 ⊂ V Ÿ S ⊂ V & & & & & b) 0 ∈S 0 ∈S1 ∧ 0 ∈S2 Ÿ 0 ∈ S1 ∩ S2 Ÿ 0 ∈S c) S es cerrado para la suma: x∈S ∧ y∈S Ÿ x∈S1 ∧ x∈S2.⊕. Por lo tanto no cumple la condición de un subespacio que debe ser cerrado para la suma.⊕. x2 ∧ α.. García Venturini Suma Primero definimos la suma de dos subespacios S1 y S2 de (V.2).–3) = (8.u Ÿ i=1 i i se dice que u es una combinación lineal del conjunto A.x2∈S2 Ÿ α.u2+.u1 + Į2. x+y = x1+x2 + y1+y2.Įn ∈ K / dado cualquier u∈V éste n se puede expresar como: u = Į1. Ejemplo: dado A= {(1.-3)}.⊕...un} ⊂ V y ∃ Į1.(2.) S = S1 + S2 = {x∈V / x = x1+x2 ∧ x1∈S ∧ x2∈S} o sea que: S = {x∈V / ∃x1∈S1 ∧ ∃x2∈S2 ∧ x = x1+x2} El conjunto suma está formado por todos los vectores que se puedan obtener como suma de algún vector de S1 y algún vector de S2. Į2. i=1 i i 166 ..(1...K.+Įn.x1+α.. pero x1+y1 ∈S1 ∧ x2+y2 ∈S2 Ÿ x+y∈S d) S es cerrado para el producto de escalares: x = x1+x2 ∧ x1∈S1 ∧ x2∈S2. Propiedad: La suma de dos subespacios de V es un subespacio de V a) S⊂V ∀x∈S: x = x1+x2 / x1∈S1 Ÿ x1∈V ∧ x2∈S2 Ÿ x2∈V x1+x2 ∈V Ÿ S⊂V & & & & & & & b) 0 ∈S 0 ∈S1 ∧ 0 ∈S2 Ÿ 0 + 0 = 0 Ÿ 0 ∈S c) S es cerrado para la suma: x = x1+x2 ∧ x1∈S1 ∧ x2∈S2.x1∈S1 ∧ α..un = ¦ α . y = y1+y2 ∧ y1∈S1 ∧ y2∈S2. u = 2..u2.2) +3. α.x = α.x ∈S COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Si A={u1. (2. Combinación lineal convexa n Si la ¦ α = 1 ∧ ∀i : α > 0 la combinación lineal es convexa. Alejandro E..–5) es una combinación lineal del conjunto A. u2. Espacios vectoriales Ejemplo: dado A= {(1. ¸ es una combinación line- 3 3 ©3 3 ¹ 1 2 1 2 al convexa del conjunto A porque + = 1 y > 0.(1.0) ­ α1 − α 2 = 0 queda un sistema de ecuaciones: ® Ÿ Į1 = Į2 = 0 Ÿ que ¯2α1 + 3α 2 = 0 los vectores u1 y u2 son linealmente independientes...) si la única forma de expresar el vector nulo como com- binación lineal de ellos es a través de la combinación lineal trivial.(1.2) + Į2. 0 = 0. 1 2 §5 −4· u = .un..3) = (0. & A = {u1. 167 .+Įn.2) y u2 = (–1. Esto quiere decir que uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 3 3 3 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE UN CONJUNTO DE VECTORES El vector nulo se puede expresar como combinación lineal de cual- quier & conjunto de vectores.–3)}.un y ∃i: Įi = 0 Un conjunto de vectores es linealmente dependiente sí y solo sí al plantear la combinación lineal de los vectores Į1.u2+.. Ejemplos: analizar la dependencia lineal de: a) u1 = (1.+ 0. > 0..I.(2. (2...2).3) se forma la combinación lineal y se calculan los Įi: Į1.un e igualarla al vector nulo existe algún escalar de dicha combinación no nulo.(–1....u1 + Į2.un}⊂V es linealmente independiente si: 0 = Į1.u1 + Į2. Si todos los escalares son nulos la com- binación lineal se llama trivial.–3) = ¨ .u2 + .u2. Un conjunto de vectores A={u1..u2 +..2) + ..u1 + 0.. es decir que existe Įi ≠0.un}⊂V es linealmente indepen- diente (L. + Įn. ..2) y u2 = (2.u} es L. por ejemplo: u2 = 2u1..v2 n c) Si B={v1.D...v2.. Si esto se puede hacer..u2.2) + Į2.x2) se puede expresar 168 . ⇔ v1 ≠ k. ⇔ v1 = k.) es un sistema de generadores de V si ∀v∈V. A = {v1.vn} es L. Un vector se puede expresar en función del otro.x2) = Į1..1) + Į2.3) para eso debemos poder expresar los Įi en función de x1 y x2. Propiedades & & a) A={v} es: L.v2.v2.vn. 0 } es L.(1... Por lo ¯ 2α1 + 4α 2 = 0 tanto existen valores de Į ≠0 que satisfacen el sistema.I. entonces es L. SISTEMA DE GENERADORES Un conjunto no vacío de vectores A = {u1.4) = (0.D. Į1.un} Ÿ n ∀v∈V: v = ¦ α ..I. quiere decir que cualquier (x1..D..un} de un espacio vec- torial (V.v2} es: L. por lo tanto los vectores u1 y u2 son linealmente dependientes.3)} es un sistema de generadores de debemos ver si cualquier vector de 2 se puede expresar como combi- nación lineal de A.1).v2 y L. i i i=1 2 Ejemplo: A = {(1.u2. y u = ¦ α .(2..0) ­ α + 2α 2 = 0 queda un sistema de ecuaciones: ® 1 Ÿ Į1 = 2Į2.I. ⇔ v ≠ 0 y L...u .vn. ⇔ v = 0 b) A={v1.v i=1 i i entonces B={v1.4).. (2.. (x1. García Venturini b) u1 = (1..K. d) Si un conjunto de vectores contiene & como elemento al vector nulo.D.D.(1.⊕.. v se puede expresar como combinación lineal de A = {u1.(2. Alejandro E. 1)} es la base canónica de 2. ¨¨ ¸¸¾ es la base canóni- ¯ © 0 0 ¹ © 0 0 ¹ © 1 0 ¹ © 0 1 ¹¿ 2x2 ca de . (1.1) + Į2 . Į2 = x2–x1 Ÿ (x1. ¨¨ ¸¸.(0. ­ α1 + 2α 2 = x1 ® ¯2α1 + 3α 2 = x2 Ÿ Į1 = 3x1–x2.(1. (2.0). ¨¨ ¸¸.0.3) son ® Ÿ Į1 = Į 2 = 0 Ÿ ¯ α1 + 3α 2 = 0 linealmente independientes Base canónica: si los vectores que la forman son los vectores canónicos.(2.0) ­ α1 + 2α 2 = 0 que los vectores (1. Į1 . Ya vimos que es un sistema de generadores.(0.1) + (x2–x1).(0.1) – 4.(2. Ejemplos: B = {(1.0).3) Por ejemplo: (5.(1.0).1.x2) = (3x1–2x2).1) = 13. (2.3)} es una base de 2. Espacios vectoriales como combinación lineal de (1. 169 .1) y (2.1) y (2. DIMENSIÓN Un espacio vectorial es de dimensión n si existe una base que consta de exactamente n vectores.0.3) = (0.1). ­§ 1 0 · § 0 1 · § 0 0 · § 0 0 ·½ B = ®¨¨ ¸¸. B = {(1.3) BASE A ⊂ V es una base de V si A es sistema de generadores y linealmente independiente Ejemplo: A={(1.3). veremos ahora que es linealmente independiente.1)} es la base canónica de 3. 3)}.un.un} es base sí y sólo sí B es L.(2. al conjunto formado por todos los vectores que se pueden expresar como combi- nación lineal del conjunto A.. 170 . Ejemplos: vimos que B={(1...4)}⊂ 2 ­ α + 2α 2 = x1 (x1. c) Todas las bases de un espacio vectorial tienen exactamente n vec- tores. (1. b) A = {u1. pero no L. En ge- neral. sobran vectores.. (1. Nota: Una base contiene la menor cantidad de vectores necesarios pa- ra generar un espacio vectorial V.(1..4).x2) = Į1. {} & d) Si V = 0 .. pero no S.3)} es una base de 2. y por lo tanto no es base de V.u2.: A = {(1.G.2). (2. la dimensión de n es n.u2.G.D... no tiene base y la dim V = 0.. por lo tanto la dimensión de 2 es 2 por existir una base que tiene dos vectores. Ej.2).I. queda B = {(1.I.3)} que sigue siendo S. García Venturini Propiedades: si la dimensión de un espacio es n: a) B = {u1.. Si se suprime el (2..I. no genera a todos los vectores de V.2).G. o S.G..un}⊂ V se denomina espa- cio o subespacio generado por A y se designa como A . Si el conjunto es L. Alejandro E. (2.2) + Į2. Ejemplo: determinar el espacio o subespacio generado por A = {(1.4) Ÿ ® 1 Ÿ el sistema tiene ¯2 α1 + 4α 2 = x2 solución si x2 = 2x1. (2. Cualquier base de 2 tiene dos vectores. genera a todos pero el conjunto tiene vectores de más. Si es S.G.1)..4).u2.un+1} es L. ESPACIO O SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES Dado un conjunto de vectores A = {u1. En este caso se pueden suprimir vectores y el conjunto sigue siendo S. por lo tanto la combi- nación lineal es única...v n & Restando queda: (α1 − β1 ).v 2 + ..v 2 + . Tres vectores de generan a ⇔ son L. Supongamos que existe otro conjunto de escalares (ßi).v1 + (α 2 − β 2 ).v2 + . Espacios vectoriales 2 Vemos que el conjunto A genera el subespacio de / x2 = 2x1.v1 + α 2 . A ={(x1..2x1).vi Ÿ v[B]= « » i=1 « .. de lo contrario generan a 3 3 ⇔ n n un subespacio de éste y en general n vectores de generan a son L..) entonces cada vector v puede expresarse de modo único como combinación lineal de la base.vn = ¦ α i .. y por lo tanto constituyen una base del mismo. + β n .I.I.v 2 + . COORDENADAS DE UN VECTOR Si B={v1.⊕. ª α1 º « » n «α 2 » v = α1 . de lo contrario generan a un subespacio de éste.» « » «¬α n »¼ [B ] Los escalares Įi se denominan coordenadas del vector v respecto de la base dada.I.I. Demostración Por ser B una base. 2 Si los vectores de A hubiesen sido L. pero como los vi son L.v n = β 1 . hubiesen generado al espacio 2 vectorial y no a un subespacio de éste...x2)∈ / x2 = 2x1}. + (α n − β n ). como en este caso.. + α n ..v1 + β 2 . 171 .v1 + α 2 . por lo tanto hay por lo menos un con- junto de escalares (Įi)..vn} es una base de (V. entonces queda: v = α 1 .+ α n ..v2. Įi – ßi = 0 Ÿ Įi = ßi (∀i). es de- cir pares ordenados de la forma (x1.K.v n = 0 . genera a V.. 0)}. García Venturini Ejemplo 2 Determinar las coordenadas de v = (–2.0). ya que el mé- todo se basa justamente en partir de una base. por ejemplo en el método Simplex.1) + Į2. Alejandro E. 3) Se determinan las posibles bases que se pueden formar teniendo en cuenta que puede sustituirse cualquier vector cuyo coeficiente en la combinación lineal sea distinto de 0.) respecto de la base B={(1. Hay que determinar qué vector puede salir. 172 .1) ª 4º Ÿ v[B]= « » ¬ 3¼ [B ] REEMPLAZO DE UN VECTOR EN UNA BASE – CAMBIO DE BASE Dada una base de un espacio vectorial se trata de elegir otro vector del espacio que no pertenezca a la base y sustituir uno de los vectores de la base por éste de tal forma que el nuevo conjunto de vectores siga siendo una base. (1. 2) Se determinan los coeficientes de la combinación lineal y se obtienen así las coordenadas del nuevo vector respecto de la base original. Para asegurar que el nuevo vector constituye con los que quedaron una nueva base se deben cumplir las siguientes condiciones: 1) Se escribe el vector que se va a introducir como combinación lineal de la base.(1.3) ­α1 + α 2 = −2 ª 3º ® Ÿ α1 = 3. Ejemplo: B = {(1. Este tema es de suma utilidad. Propiedad: si la base es canónica las coordenadas del vector son sus propios componentes.⊕.3) perteneciente a ( .0) = (–2. Į1. (0.(1.(1.1)} y v = (4.1).3).0) + 3. α 2 = − 5 Ÿ v[B]= « » ¯ α1 = 3 ¬ − 5¼ [ B ] Las coordenadas de v respecto de la base B son 3 y -5. (0. e ir sustituyendo un vec- tor a la vez y obtener así nuevas bases. . v = 4. 2.–5).1).1).1).u 2 + . Para eso expresamos a x como combinación lineal de la base: x = Į1.u1 + α 21 .1.v2... Lo haremos mediante una ma- triz que denominamos matriz de cambio de base. ª α 11 º v1 = α11 .un = « » « α 21 » « » «.2..5)} y B2 = {(1.1). queremos introducir el vector x = (1.. Espacios vectoriales Ejemplo Tenemos la base B = {(1.3.1.. Por lo tanto pueden constituirse dos posibles nuevas bases: B1={(1.0). Veremos ahora como se determinan las coordenadas de un vector cuando se produce un cambio de base...(1.1.. las coordenadas de un vector varían cuando se cambia una base por otra. (1. (4.3.5..0) + Į2.3.» « » ¬« α n1 ¼» [ A] 173 .α 3 = − 1 ° α + 5α = −5 ¯ 2 3 Como Į2 = 0.–5).3. Debemos ver qué vector puede salir de la base para que los vectores que quedan con el que entra sigan constituyendo una base.vn} dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V de dimensión n. (2.3. α 2 = 0..2...(2. (4. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE De acuerdo con lo visto sabemos que en un espacio vectorial existen diferentes bases y que en general.1) + Į3.5) Ÿ ­ α 1 + 4α 2 + 2α 3 = 1 ° ®2α1 + 3α 2 + α 3 = 5 Ÿ α 1 = 3.. no puede salir (4.–5)}.5.5)}.(4.un} y B={v1. (4.u2. Sean A={u1. en particular cada vector de la base B se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base A.5. (2.. Como todo vector de V se puede expresar como combinación lineal de una base de V...0).+ α n1 . ..X[B] 174 ..» « » ¬« α nn ¼» [ A] Cada coeficiente tiene dos subíndices.. entonces P es una matriz cuadrada de orden n no singular... α nn ¸¹ Propiedad: si P es una matriz de cambio de base en un espacio vecto- rial V de dimensión n.. α1n · ¨ ¸ ¨α α 22 .+ α n2 . La matriz formada por las coordenadas de los vectores vi respecto de la base A se llama matriz de cambio de base de la base B a la base A y se expresa como PAB...u1 + α 22 ..... utilizando la matriz de cambio de base PAB el vector de coordenadas X respecto de la base A: X[A] = PAB. Las coordenadas de cada vector constituyen una columna de la matriz de pasaje..... ¨ ¸ ¨α © n1 α n 2 .. Así la matriz de pasaje es: § α11 α12 .. Alejandro E.... Por ejemplo el a12 es el coeficiente del 1º vector de A (u1) correspon- diente al transformado del 2º vector de B (v2)..+ α nn ....» « » «¬α n 2 »¼ [ A] .. Veremos ahora como conocido el vector de coordenadas X respecto de la base B es posible hallar....... ...u2 + . asociado a cada vector de la base A y el segundo en correspondencia con el vector de la base B...u 2 + .u1 + α 2 n . ..u n = «α 22 » « » «.. ª α 1n º « » vn = α1n .u n = « α 2n » « » «..... α 2 n ¸ PAB = ¨ 21 ¸ .... El primero... García Venturini ª α 12 º « » v2 = α12 . (–1.11. § 3· (1.X[A]. PBA = (PAB ) −1 175 .0) = ¨¨ ¸¸ Ÿ PAB © 1¹ [ A ] § 3 − 1· = ¨¨ ¸¸ © −1 1 ¹ § 1· Ahora.(–1.2) y (–1.(0.22.1) + Į. La matriz de cambio de la base B a la base A es PAB y se obtiene hallando las coordenadas de los vectores de la base B respecto de la base A.1) + Į.1) Ÿ (1. Espacios vectoriales Ejemplo: sean A = {(0. ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ © − 1 1 ¹ © 2 ¹ [B ] ©1¹ [ A] El problema inverso Si conociéramos el vector de coordenadas X respecto de la Base A y quisiéramos hallar el vector de coordenadas X respecto de la base B.2) = ¨¨ ¸¸ © −1¹ [ A] § − 1· (–1. si un vector de coordenadas X respecto de la base B es ¨¨ ¸¸ . © 2 ¹ [B ] el vector de coordenadas X respecto de la base A es: X[A] = PAB.21. Propiedad: la matriz PBA es la matriz inversa de la matriz PAB.0)} dos bases de 2 .(0.X[B] § 3 − 1· § 1· §1· Ÿ X[A] = ¨¨ ¸¸ .0) = Į.1)} y B = {(1.12. utilizando la matriz de cambio de base de la matriz A a la matriz B podríamos proceder de forma similar a la anterior y obtendríamos la expresión: X[B] = PBA.2) = Į.1) Ÿ (–1.1) y (–1. x1 = Į.x2. luego hallar una base y su dimensión.x2.x3) + (y1. debemos probar Į.x2. x+y = (x1.x2 y que Į. debemos probar que x1+y1 = x2+y2 y que x3+y3 = 2(x1+y1).1.1. multiplicando por Į queda que Į.G.2).Į.x3)∈W e y = (y1.x2. con lo que queda demostrado. hallar una base y su dimensión. x3 = 2x1 e y3 = 2y1.2x1) que se puede expresar como x1. 176 . / x1=x2 y x3=2x1} demostrar que W es un subes- 3 pacio de .x3 = 2Į. por ser un elemento único no nulo.x1. por lo tanto B={(1.x1.x2. por ejem- plo de x1 y éste a su vez se puede expresar como combinación lineal del (1.x3)∈W.2)} es una base de W y la dimen- sión del subespacio es 1.y3)∈W debemos probar que x+y ∈W. es linealmente independiente. sumando miembro a miembro queda x1+y1 = x2+y2 y además. Además.x3).Į. (x1. Es decir que el vector (1.2).I. d) si x = (x1.x3) = (x1.y3) = (x1+y1. Buscamos ahora una base.y2. c) si x = (x1.x2. Alejandro E. para lo cual debemos encontrar un conjunto de vectores que sea sistema de generadores de W y L.x1 = Į.x3+y3).x3)∈W. y Į. y1 = y2. García Venturini EJEMPLO INTEGRADOR 3 Si W ={(x1. Debemos verificar las 4 condiciones de subespacio.2) genera a W y es por lo tanto un S. por ser x e y elementos de W. por la misma razón.1.0.x1. Para eso debemos expresar un elemento genérico de W en función de la menor cantidad posible de incógnitas: (x1.x2. Pero x1 = x2. debemos probar que Į.1. a) W∈ por definición.x3) = (Į. Es decir que todo vector que pertene- ce a W se puede expresar en función de una sola incógnita.x2.x2+y2.x3)∈ .x1 con lo que queda demostrado que W es un sub- 3 espacio de .0.x3 = Į.0)∈W porque 0 = 0 y 0 = 2. porque es un conjunto formado por ternas or- 3 denadas.(1.2x1 = 2Į. también sumando miembro a miembro queda x3 + y3 = 2x1 + 2y1 = 2(x1+y1).(x1. Pero como x1=x2 y x3=2x1. b) (0.y2. Į.x2. X = 0. Espacios vectoriales LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS Y LOS ESPACIOS VECTORIALES Teorema El conjuntos de vectores solución de un sistema de ecuaciones linea- n les homogéneo es un subespacio de . Dem.x = 0 y A.: Debemos demostrar que si sumamos dos vectores del conjunto solución se obtiene otro vector que también es solución del sistema y que si multiplicamos un vector solución por un escalar se obtiene otro vector que también es solución del sistema. Ahora debemos probar que Į.0 = 0.(Į.x también es solución: A.x´= 0.x + A.(x + x´) = A. encontrar una base y la dimensión del subespacio vectorial que constituye el conjunto solución. Debemos probar que x+x´ también es solución: A.(A. donde n es el número de in- cógnitas del sistema. Sean x y x´ dos vectores del conjunto solución Ÿ A.x) = Į. Ejemplo Resolver el siguiente sistema. El subespacio W se denomina espacio solución del sistema A.x) = Į.x´ = 0 + 0 = 0. ­3x1 + 2 x2 + x3 = 0 3 −2 1 0 ° b) ® x1 + x2 − x3 = 0 1 1 −1 0 ° x − 4 x + 3x = 0 ¯ 1 2 3 1 −4 3 0 3 −2 1 0 4 −1 0 0 ρ ( A) = 2 = ρ ( A' ) < 3 Ÿ −8 2 0 0 sistema compatible −5 0 1 0 0 0 0 0 −4 1 0 0 177 . bn −1 .ao) 178 . dim S = 1... a1 . Alejandro E. a1 + b1 .. (x1.. a0 ) Ejemplo: p2 (x ) = 3x 3 − 2 x + 1 = (3..4..5x1) = x1. (an . (Pn(x).x n −1 + . García Venturini El sistema tiene infinitas soluciones.. El polinomio es de grado n..α. pn (x ) = (an . a1 . an −1 . an −1 + bn −1 .4.0. a0 ) ⊕ (bn .5x1)/ x1 ∈ }⊂ 3 3 S es un subespacio de . .1) Se puede demostrar así que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n con el polinomio nulo con el cuerpo de los núme- ros reales tiene estructura de espacio vectorial...).. ⊕ es la ley interna en Pn(x) y es la suma de polinomios que equivale a sumar n-uplas. equivalente a multiplicar un escalar por una n-upla.−2.. b1 .(1. an −1 .x + a0 con an ≠ 0.. b0 ) = (an + bn ... a0 ) = (α. an es el coeficiente principal.an... Los polinomios y las n-uplas Un polinomio de grado n se puede asociar a una n-upla de n+1 com- ponentes. a1 ..an–1. S = {(x1.. la otra es la variable no principal: x1.⊕. + a1 ..x n + an −1 . a0 + b0 ) α (an ..5)}.4x1. La ley externa  es el producto de un número real por un polinomio.5) Ÿ B = {(1. Las variables que intervienen en los vectores canónicos x2 y x3 son las variables principales. LOS POLINOMIOS Y LOS ESPACIOS VECTORIALES Se llama polinomio a una expresión algebraica racional entera de la forma: pn (x ) = an ..... an −1 ..α.4x1. Dependencia e independencia lineal Un conjunto de elementos es linealmente independiente si ninguno de ellos se puede obtener a partir de los demás. por ejem- plo: combinación lineal. Sistema de generadores Un conjunto de elementos A constituye un sistema de generadores de otro conjunto V si cualquier elemento de V se puede expresar como combinación lineal de los elementos de A. mayonesa} es L D. base y dimensión. Por el contrario. Algunos de los conceptos que veremos aquí apa- recen muy vinculados a la estructura de espacio vectorial. aceite. En general podemos decir que cualquier plato de comida es una combinación lineal de sus ingredientes. dependencia e independencia lineal. Por ejemplo: A={azúcar. Po- demos pensar al dulce de leche como una combinación lineal de la leche y el azúcar.. a cualquier elemento como una combi- nación lineal de las partes que lo componen. dulce de leche} es L D. Espacios vectoriales UNA INTERPRETACIÓN DISTINTA DE LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL Veremos ahora algunas interpretaciones domésticas de la estructura de Espacio Vectorial. sistema de generadores. leche} es LI. aceite} es LI. pero B={ huevos. a la mayonesa como una combinación lineal del aceite y los huevos. 179 . La combinación lineal Podemos pensar en elementos que se obtengan a partir de la participa- ción de otros.. en general. si algún elemento del conjunto se puede obtener a partir de los otros. ya que el dulce de leche se puede obtener a partir del azúcar y de la leche.. leche. En este caso los coefi- cientes son las cantidades con que intervienen. Lo mismo ocurre con este caso: A={huevos. ese con- junto de elementos es linealmente dependiente. pero B={azúcar. y así acercarnos al concepto de combinación lineal. Si un conjunto de elementos es S. 180 .G. Así el conjunto de ingredientes con que trabaja el cocinero constituye un sistema de ge- neradores del menú que ofrece el restaurante. poder generar todo el menú sin repetir elementos.I. como la mayonesa en el ejemplo anterior. quiere decir que ese conjunto de elementos no alcanza para generar todos los elementos del conjunto.. puede generar todos los platos del menú. Si es L. no está traba- jando con una base. quiere decir que el conjunto de ingredientes con el que se está tra- bajando no es un sistema de generadores. pero no repite elementos. Podemos decir que para que un conjunto de ingredientes sea una base debe permitir generar to- dos los platos de comidas (es decir ser sistema de generadores). Cambio de base Cambiar la base en un restaurante significa cambiar los ingredientes. pero además no debe haber elementos que se puedan obtener a partir de otros. Base Este es otro concepto muy importante vinculado a la estructura de los espacios vectoriales. aunque si sea un sistema de generadores. pero cumpliendo las condiciones antedichas. Si un restaurante trabaja con aceite. pero no es base. Es decir que trabaja con la cantidad mínima de ingredientes necesarios para cumplir con el menú. Alejandro E. pero no es base. Decimos que un conjunto es una base si es lineal- mente independiente y sistema de generadores. Cuando un restaurante trabaja con una base.. Este concepto podemos trasladarlo a un restaurante. huevo y mayonesa. García Venturini Así podemos pensar que el conjunto (A) de ingredientes que un ama de casa tiene en su hogar es un sistema de generadores del conjunto de platos de comida (V) que pueda ofrecer a su familia. Si al llegar a un restaurante y pedir un plato éste no estuviese disponi- ble. quiere decir que hay elementos que sobran. Si el conjunto de empleados es L. Si una empresa trabaja con un conjunto de empleados que es una base. Pero podemos pensar en otros ejemplos. cuando el conjunto de áreas o funcionarios no es L. que a veces depende de muchos ministerios o secretarías a la vez. pero no L.G. quiere decir que trabaja con la cantidad mínima necesaria para poder generar el conjunto de tareas que realiza la empresa. es decir que no es una base. hay tareas que los empleados no alcanzan a realizar.. Si pensamos en las áreas de un gobierno ocurre lo mismo. 181 . Otro ejemplo Estas son simplemente algunas ideas para desestructurar un poco la estructura de Espacio Vectorial y algunos conceptos vinculados a ella. (es muy fácil en- contrar estos ejemplos en algunas empresas públicas). hay áreas que se superpo- nen.I.I. Si el conjunto de empleados es un S. sobra gente. quiere decir que hay tareas que se superponen. Espacios vectoriales Dimensión La dimensión evidentemente es la cantidad de ingredientes con los que trabaja el restaurante cuando lo hace con una base. por ejemplo el área de Acción Social. pero no S... Esta superposición de fun- ciones hace que se pierda eficiencia en el rol que cumplen.I. obviamente con ciertas licencias y sin exigirle a estos ejemplos que cumplan rigurosamente los axiomas vistos. Y así podríamos seguir pensando en otros ejemplos de aplicaciones de estos conceptos a la vida diaria..G. con a ∈ ℜ ∧ b ∈ ℜ¾ ¯ © a 3b ¹ ¿ a) verificar si (W.) b) en caso afirmativo hallar una base de W y su dimensión.3b ¸¹ debemos probar que Į. ⊕.¨¨ ¸¸ © a 3b ¹ © 0 3b ¹ © a 0 ¹ ©1 0 ¹ © 0 3¹ 182 . © a 3b ¹ © α . Sacando factor común –2 y 3 respectivamente es fácil ver que ambas relaciones se verifican.0 = 0 y 3.K.¨¨ ¸¸ + b.3b = 3Į.¨¨ ¸¸¾ ¯© 0 3 ¹ © 1 0 ¹¿ a) i) W ⊂ 2x2 por definición de W. García Venturini EJERCICIOS GENERALES RESUELTOS ­ § b − 2a · ½ 1) Sea W = ® A ∈ ℜ 2 x 2 / A = ¨¨ ¸¸ . debemos probar que Į.a α . § b − 2a · § α . § 0 0· ii) ¨¨ ¸¸ ∈W porque 0 = –2.0 = 0.K.b α .b. § 1 − 4· c) ¿la matriz A = ¨¨ ¸¸ es un elemento de W? ©2 3 ¹ d) en caso afirmativo dar sus coordenadas en la base ­§ 1 0 · § 0 − 2 ·½ B = ®¨¨ ¸¸ .a. § b − 2a · § b 0 · § 0 − 2 a · §0 − 2· §1 0· b) ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ = a. y que 3b1+3b2 = 3.X = ¨¨ ¸ ∈W. y que Į.(− 2a )· iv) Si X = ¨¨ ¸¸ .(a1+a2). Aplicando la propiedad asociativa y conmutativa de la multiplica- ción de números reales se verifican fácilmente las igualdades.(–2a) = –2Į. © 0 0¹ § b − 2a1 · § b − 2a2 · iii) Si X = ¨¨ 1 ¸¸ ∈W e Y = ¨¨ 2 ¸¸ ∈ W debemos probar © a1 3b1 ¹ © a2 3b2 ¹ § b + b − 2a1 − 2a2 · que X + Y = ¨¨ 1 2 ¸¸ ∈W © a1 + a2 3b1 + −3b2 ¹ debemos probar que a1–2a2 = –2. Alejandro E. ⊕.) es un subespacio de ( 2x2.(b1+b2). Espacios vectoriales ­§ 1 0 · § 0 − 2 ·½ Ÿ que B = ®¨¨ ¸¸ ,¨¨ ¸¾ , es un sistema de generadores de ¯© 0 3 ¹ © 1 0 ¸¹¿ W, por tener 2 elementos no proporcionales es L.I. y por lo tanto constituye una base de W. La dim de W = 2. c) Sí, se puede expresar como combinación lineal de B, §1 0· § 0 − 2· A = 1.¨¨ ¸¸ + 2.¨¨ ¸¸ © 0 3¹ ©1 0 ¹ §1· d) Las coordenadas son A[B]= ¨¨ ¸¸ © 2¹ 2) Dado el conjunto A = {(3;0;–2), (2;–1;–5)} ⊂ . 3 3 a) ¿A genera ?, b) si no, ¿qué subespacio genera? Hallar una base y su dimensión. 3 Debemos ver que ternas de se pueden expresar como combinación lineal de A. ­ 3α1 + 2α 2 = x1 ° (x1;x2;x3) = α1.(3;0;–2) +α2.(2;–1;–5) Ÿ ® − α 2 = x2 °− 2α − 5α = x ¯ 1 2 3 Resolvemos el sistema 3 2 x1 0 −1 x2 −2 −5 x3 3 0 x1 + 2 x2 0 1 − x2 −2 0 x3 − 5 x2 0 0 x1 − 11 x2 + 3 x3 2 2 0 1 − x2 1 0 5 x −1 x 2 2 2 3 183 Alejandro E. García Venturini Para que el sistema tenga solución se debe verificar que: x1 − 11 x2 + 3 x3 = 0 Ÿ x1 = 11 x2 − 3 x3 2 2 2 2 {( ) Por lo tanto A = 11 x2 − 3 x3 ; x2 ; x3 / x2 ∈ ℜ ∧ x3 ∈ ℜ , A es un 2 2 } 3 subespacio de . (11 2 x − 3 2 x : x ; x ) = (11 2 x ; x ;0)+ (− 3 2 x ;0; x ) = 2 3 2 3 2 2 3 3 x .(11 ;1;0 ) + x .(− 3 ;0;1) Ÿ B = {(11 ;1;0 ), (− 3 ;0;1)} 2 3 2 2 2 2 es un sistema de generadores de A , además, por ser un conjunto for- mado por dos vectores no proporcionales es L.I., por lo tanto es una base. Dim A = 2. 3) Dado el conjunto A = {(1;2;2), (2;1;1), (3;3;k)} ⊂ , 3 a) calcular los valores de k para que el subespacio generado por A sea de dimensión 2. b) indicar una base del mismo. a) para que el subespacio generado por A sea de dimensión 2 se debe 1 2 2 verificar que: 2 1 1 = k + 12 + 8 − 6 − 3 − 4k = 0 Ÿ k = 3. 3 3 k A = {(1;2;2), (2;1;1), (3;3;3)} b) buscamos una base del subespacio generado por A, para lo cual ne- cesitamos ver que vectores genera A. (x1;x2;x3) = Į1. (1;2;2) + Į2. (2;1;1) + Į3. (3;3;3)Ÿ ­ α1 + 2α 2 + 3α 3 = x1 ° ®2 α1 + α 2 + 3α 3 = x2 °2 α + α + 3α = x ¯ 1 2 3 3 184 Espacios vectoriales 1 2 3 x1 2 1 3 x2 2 1 3 x3 1 2 3 x1 0 −3 −3 x2 − 2 x1 0 −3 −3 x3 − 2 x1 − 3 x1 − x2 + 4 x1 1 0 0 −3 x2 − 2 x1 0 1 1 −3 − 3 x3 + 6 x1 + 3x2 − 6 x1 0 0 0 −3 Ÿ el sistema tiene solución si − 3 x3 + 6 x1 + 3 x2 − 6 x1 = 0 x3 – x2 = 0 Ÿ x3 = x2 . 3 Vemos que el conjunto A genera el subespacio de / x3 = x2, es decir 3 ternas ordenadas de la forma (x1;x2;x2). `={(x1;x2;x3)∈ / x3 = x2}. (x1;x2;x2) = (x1;0;0) + (0;x2;x2) = x1.(1;0;0) + x2.(0;1;1) Ÿ B ={(1;0;0), (0;1;1)} 185 Axel Kicillof APLICACIONES ECONÓMICAS Vector de precios – Ecuación presupuestaria – Plano de balance Dado un conjunto de bienes X1, X2,…,Xn, cuyos precios son respecti- vamente p1, p2,…,pn, el vector precios, como ya vimos, es aquel en el cual aparecen expresados los precios de los distintos bienes: & p = ( p1 ; p2 ;...; pn ) . La ecuación de presupuesto es, dado un cierto ingreso I, que supone- mos se gasta en su totalidad, x1.p1 + x2.p2 +…+ xn.pn = I, donde x1, x2, …,xn son respectivamente las cantidades de los bienes X1, X2,…,Xn, que pueden adquirirse con ese ingreso. Esta ecuación indica las distintas combinaciones de las cantidades de los bienes que se pueden obtener con un ingreso fijo conocidos sus precios y suponiendo que se utiliza todo el ingreso. En el caso de dos bienes y dos precios tenemos la ecuación de una recta, que recibe el nombre de recta de balance o línea de posibilidades de con- sumo: x1.p1 + x2.p2 = I. Vemos que el ingreso, conocidos los precios de los artículos, se puede expresar como combina- ción lineal de las cantidades de los bienes consumidos. Si son tres los bienes, tenemos una ecuación pre- supuestaria que es: x1.p1 + x2.p2 + x3.p3 = I, cuya representación grá- fica es un plano que recibe el nombre de plano de balance, que en su forma segmentaria es x1 x x I + 2 + 3 = 1 , donde i representa la I1 I2 I3 pi p1 p2 p3 cantidad del bien Xi que se puede obtener si todo el ingreso se utilizara para comprar únicamente ese bien. Geométricamente representa el 186 Espacios vectoriales punto de intersección del plano de balance (o recta) con cada eje coor- denado. Propiedad El vector de precios es perpendicular al plano de balance. Esto surge de la ecuación del plano vista en el apéndice ya que los precios son los coeficientes de la ecuación. Ejemplos 1) Un consumidor tiene un ingreso I = 3.000 que quiere destinarlo a la compra de dos bienes cuyos precios son respectivamente p1=100 y p2=300. Vamos a obtener: a) el vector de precios, b) las posibles combinaciones de las cantidades de bienes si I > 0, c) la recta de balance o línea de posibilidades de consumo, d) el vector posición de cualquiera de sus puntos como combinación lineal de los vecto- §I · § I · res ¨¨ 1 ;0 ¸¸ y ¨¨ 0; 2 ¸¸ . © p1 ¹ © p2 ¹ & a) p = (100;300) b) los puntos se encuentran sobre el semiplano: 100.x1 + 300.x2 ≤ 3.000. En ese caso no hay porque utilizar todo el ingreso. x x c) 100.x1 + 300.x2 = 3.000 Ÿ 1 + 2 = 1 30 10 d) Recordemos que una combinación lineal es convexa si sus coeficientes son no negativos y la suma de los mismos da 1. Primero debemos obtener esos vectores que son: (30;0) y (0;10) ­ x1 ­ x1 = 30α1 °°α1 = 30 (x1;x2) = α1.(30;0) + α2.(0;10) Ÿ ® ∴ ® ¯ x2 = 10α 2 °α = x2 °¯ 2 10 187 Axel Kicillof x1 x Ÿ (x1;x2) = .(30;0) + 2 .(0;10), que corresponde a una combina- 30 10 ción lineal convexa ya que, por la ecuación segmentaria de la recta x x sabemos que 1 + 2 = 1 . 30 10 2) El plano de balance que contiene todos los presupuestos para un gasto de 50.000 correspondiente a tres bienes, en su forma segmen- x x x taria es 1 + 2 + 2 = 1 , vamos a: 50 100 250 a) b) Para obtener la ecuación presupuestaria debemos primero obtener 50.000 los precios: = 50 Ÿ p1 = 1.000 p1 50.000 50.000 = 100 Ÿ p2 = 500 = 250 Ÿ p3 = 200 p2 p3 La ecuación presupuestaria es 1.000x1 + 500x2 + 200x3 = 50.000 & c) p = (1.000;500;200 ) 3) Un cierto consumidor pretende gastar en el mercado de los produc- tos A, B y C, la cantidad de 1.000 euros. Los precios de los pro- ductos en el mercado son: pA = 5, pB = 2, pC = 4. Hallar: a) la ecua- ción del plano de balance y graficarlo, b) decir si pertenece al pla- no de balance la combinación: (200;0;0), c) ¿cuál es el significado económico de esta combinación?, d) hallar el vector de precios. 188 & d) p = (5.240 Ÿ 270 k = 3.0. p2 . p3 ) = k.240 189 .4). una de las posibi- lidades de consumo es (x1.2.x2) = (20.240.000 Ÿ + + =1 200 500 250 b) El punto (200.108.20 + 9k.15 = 3.10.10 + 4k.240 ∴ k = 12 & p = ( p1 .(6:9.48).15) y el ingreso es $3. p2 . & El vector de precios es p = ( p1 .4) . 4) Si el vector de precios es un múltiplo de (6:9. Espacios vectoriales A B C a) 5A + 2B + 4C = 1. Por lo tanto: 6k.4). c) Significa que gasta todo su dinero en consumir el bien A.x2. calcular la ecuación presupuestaria. p3 ) = (72. La ecuación presupuestaria es 72x1 + 108x2 + 48x3 = 3.0) pertenece al plano de balance. x2.y2) = (x1+y1+3.0)} 3) Dados los siguientes subconjuntos W de 3 o .⊕.) / A={(x1. Alejandro E. .⊕. determinar si 4 3 4 (W. .x3)∈ 3 / x1 + 3x2 – 1 = 0} f) W6 = {(x1.x2)∈ / x12+x22 = 0} 2 2 e) W5 = {(x1.) respectiva- mente.x2.x3)∈ 3 / x1+3x2 = 0 ∧ x3 = x2} g) W7 = {(x1.⊕. García Venturini EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determinar si los siguientes conjuntos constituyen.x2.) y representar en el plano 2 2 a) W1 = {(x1.x2+y2) ∧ Į(x1.x2) ii)(x1.x3) c) (A.x3)∈ 3 / x3 = 0} d) W4 = {(x1. con las opera- ciones indicadas. espacios vectoriales a) ( 2.x4)∈ 4 / x1 + x2 = x3 ∧ x4 = 2x1 – x2} h) W8 = {(x1.x3)∈ 3 / x1+x2+x3 = 0} si ⊕ y  son la suma habitual de ternas y el producto habitual de un escalar por una terna respectivamente.x2. .x3)∈ 3 / 2x1 + x2 – x3 = 0} c) W3 = {(x1.⊕.x2)∈ / x1.x4)∈ 4 / 3x1 + x2 – x3 = 2x2 + x3 = 0} 190 . .) o ( .x2.x2.x2) = (Į.) es subespacio de ( .x3) ⊕ (y1.x2)∈ /x1+x2–1= 0}d) W4 = {(x1.x2 = 1} g) W7 = {(0.x2+y2. determinar si (W.⊕. .x2) = (Į.) si: i) (x1.x2+y2) ∧ Į(x1.x2.y2) = (x1+y1.x2) ⊕ (y1. a) W1 = {(x1.x2.x3.x1.x2) b) ( 3. .x1–1.x2)∈ / x2 = 0} b) W2 = {(x1.x1.x3.) 2 es subespacio de ( .⊕.y3) = (x1+y1.x2.) si: (x1.x2)∈ / x2 ≥ 0} f) W6 = {(x1.x2)∈ / x1–x2 = 0} 2 2 c) W3 = {(x1.x2.y2.x3)∈ 3 / x1 = x3 ∧ x2 = x1 + x3} b) W2 = {(x1.x3) = (Į.⊕.x2.x3)∈ 3 / x1 + x2 = 2x3} e) W5 = {(x1.Į. .⊕.Į+Į.Į.x2. .x2)⊕(y1.x3+y3)ҏҏ Į(x1. 2 2) Dados los siguientes subconjuntos W de . a) u = (k.0) A = {(2. . (2. 6) Hallar los valores de k∈ para los cuales el vector u es combi- nación lineal del conjunto A.–5).k) A = {(1.1).) ­ §a b· ½ a) W1= ® A = ¨¨ ¸¸ ∈ ℜ 2 x 2 / a + b = 0 ∧ c = d ¾ ¯ ©c d¹ ¿ ­ §a b· ½ b) W2= ® A = ¨¨ ¸¸ ∈ ℜ 2 x 2 / | A |= 0 ¾ ¯ ©c d¹ ¿ ­ §a b· ½ c) W3= ® A = ¨¨ ¸¸ ∈ ℜ 2 x 2 / a = 3b ∧ c = d = 0 ¾ ¯ ©c d¹ ¿ ­ §a b· ½ d) W4= ® A = ¨¨ ¸¸ ∈ ℜ 2 x 2 /A = At ¾ ¯ ©c d¹ ¿ 5) Si p1(x) = x+1.2. p2(x) = x2+1. (3.⊕.–1)} 191 .–2.1. (–3.1+k. (2.0)} d) A={(3.2.2)} c) A={(0. .3).2.1)} c) u = (k.1 2 ¹ ¿ 7) Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente indepen- dientes o dependientes i) V = 2 a) A={(–2.–1). ¨¨ ¸¸ ¾ ©k 1¹ ¯ © 2 .⊕.3).2.1)} §1 k· ­ § 1 0 · § 0 1· ½ d) U = ¨¨ 2 ¸¸ A = ® ¨¨ ¸¸ . (3.1)} b) u = (1.–2)} b) A={(–3. determinar si (W.1).(–1. p3(x) =7 son polinomios pertenecientes a Pn(x).–1).) es subespacio de ( 2x2. escribir p(x) como combinación lineal de los vectores p1(x).(2.1¹ © .k).k2) A = {(1.(5. Espacios vectoriales 2x2 4) Dados los siguientes subconjuntos W de .5)} e) A={(–2. p2(x) y p3(x) si p(x) = 2x2+3x+33. (2.–1). (6. ¨¨ ¸¸ .k.(–2.2).1. García Venturini ii) V = 3 a) A={(1.4.2.1 0 · § 1 1· § 0 1· ½ a) A = ®¨¨ ¸¸ . ¨¨ ¸¸ ¾ © − 1 9 3¹ ¯© 1 1 5 ¹ © − 2 3 − 6 ¹ ¿ 9) Determinar valores de k para los cuales los siguientes vectores son linealmente independientes a) {(1.–7x+8x2} 2x2 iv) V = ­§ 1 .0.1.–1)} e) u = (1.–2)} b) A={(1.2).1)} iii) V = Pn(x) a) A = {x3+3x.3)} ⊂ b) {(1+k.3).0).1· § .x2+1} c) A = {x–2x2.1.2) A={(1.3.2) A={(1.1. (3.1. (0. ¨¨ ¸¸ ¾ ¯© 0 6 ¹ © 3 1¹ © .2. a) u = (1. (3.1–k).2.–3)} e) A={(–2.10) A={(1.3).(3.2x3+4x} b) A = {x+3.1+k)} ⊂ 2 2 c) {(1.1).5. (k. (0.–16).4).3)} d) A={(2. (2.4.3.–3) A={(1.2.2. Si fuese posible estudiar la unicidad de los coeficientes e indicar la combinación lineal.k).3)} b) u = (1.2).0.2)} § 1 − 3· ­§ 1 − 3 · § 1 − 3 · § 1 3 · ½ g) U = ¨¨ ¸¸ A= ®¨¨ ¸¸ .(1.4)} c) A={(1.0).1).1 0 · § 3 1· ½ b) A = ®¨¨ ¸¸ .1).1).–1).7) A={(1.2.1).x2–4x.2.2)} f) u = (9. (2. ¨¨ ¸¸ ¾ ¯© 2 6 ¹ © 0 1¹ © 1 2 ¹ ¿ 8) Indicar en cada caso si el vector u se puede expresar como combi- nación lineal del conjunto A.1 2 ¹ © 1 0 ¹ ¿ ­§ 1 2 · § . (1. Alejandro E.1. ¨¨ ¸¸ .0.k)} ⊂ 3 d) {(1. (2.2.k)} ⊂ 3 192 .2)} c) u = (5. (2.1. (0.0).2.–3) A={(1. ¨¨ ¸¸ ¾ ©2 0¹ ¯© − 2 0¹ © − 3 0¹ © 2 0¹ ¿ § − 3 2 8· ­§ − 1 0 4 · § 0 1 − 2 · ½ h) U = ¨¨ ¸¸ A= ®¨¨ ¸¸ .(–1.(2.3x. ¨¨ ¸¸ .2x+5. ¨¨ ¸¸ .–1.(–2.4)} d) u = (1. (1–k.2.2.–3).5).1. (2. –4) a W? f) expresar cualquier vector de W como combinación lineal de {(1.2. 2 3 a) A={(2.0).4)}⊂ 193 .3).6) b) ¿cuántos vectores hay en W? c) ¿cuántos vectores hay en {(1. (3.6)}? d) describir geométricamente a W e) ¿pertenece (5. 14) De los conjuntos indicados en los ejercicios 2.0. (0. (a–1.–1)} 12) Si W = gen {(1.2)} 13) Demostrar que los vectores u1=(0.2).2).6)} a) encontrar un vector de W diferente de (1.2).2).0) y u2=(0. indicar una base y su dimensión.0.a.–1)} a) encontrar un vector de W diferente de (1.–1) b) ¿cuántos vectores hay en W? c) ¿cuántos vectores hay en {(1.2) o (3.1.a+2.–4) a W? f) expresar cualquier vector de W como combinación lineal de {(1. (3.2). 15) Hallar espacio generado por A en cada caso.–1)}? d) describir geométricamente a W e) ¿pertenece (5. (–1.1.1. (3. (3.1) generan el espacio W={(0.3.–3)}⊂ b) A={(1.1). Espacios vectoriales 10) Indicar para qué valores de a el siguiente sistema de generadores 3 es base de 3 A = {(2.b) / a∈ ∧ b∈ }. 3 y 4 que sean sub- espacios de los mismos indicar una base y su dimensión.0)}⊂ 11) Si W = gen {(1.2) o (3.a+3). (3. (3. hallar las coordenadas de A = ¨¨ ¸¸ en la base © 4¹ ­ § 2· §0· ½ B= ® ¨¨ ¸¸ .1)} ⊂ 4 16) Sea W ={(x1. a) hallar k para que B = ¨1¸ sea ¨2 2 © 0 − 2 ¸¹ ¨1¸ © ¹ combinación lineal de las columnas de A.x3)∈ / 2x1–x2 +x3 = 0 ∧ 3x1–x2+2x3 = 0}. Hallar una base de W y su dimensión. .⊕. ¨¨ ¸¸ ¾ ⊂ 2x2 ¯ © − 2 0 ¹ © 2 0 ¹ ¿ d) A = {(1.) es subespacio de ( .0.2.). 3x3 §1 3 − 2 1 · §1· ¨ ¸ ¨ ¸ 20) Dada A = ¨ 0 − 1 k − 1 ¸ .2. . 2x1 § 3· 17) Dado ( . .x2. b∈ } 2x2 a 3 b ¸ © ¹ a) verificar que (S. .⊕. ¿cómo resulta A. Probar 3 3 que (W.) es un subespacio de ( 2x2. .1). ¨¨ ¸¸ ¾ .⊕. (3. (1.)? Si lo es hallar una base y su dimensión.).⊕.) b) hallar una base de S y su dimensión §1 2 2 · c) ¿la matriz A = ¨¨ ¸ es un elemento de S? 2 3 ¸ © ¹ d) en caso afirmativo dar sus coordenadas en la base ­ 4 0 § 13 6 ·¸ ½° °§ · ¨ B = ®¨¨ ¸¸ .3). b) para los valores de k ha- llados en a).X=B? 194 . Alejandro E.⊕.⊕.0.0. ¨ ¸¾ °¯© 0 12 ¹ ¨© 3 1¸¹ °¿ 19) ¿Es S = {A∈ / A es antisimétrica ∧ a12 + 2a13 – 4a23 = 0} subes- 3x3 pacio de ( . .1. García Venturini ­ § 1 − 3· § 1 3· ½ c) A = ® ¨¨ ¸¸ . ¯ © 1¹ © 1¹ ¿ §b a 2 · 18) Sea S = {A∈ / A= ¨¨ ¸ . con a∈ . ¨¨ ¸¸¾ ¯© 4 1¹ © 1 k ¹ © 7 − 5 ¹¿ { } 26) Dado el conjunto A = ax 2 − ax + 4.I. Espacios vectoriales 3 21) Dado el conjunto A = {(3. .v2. entonces {v1. si a.D. indicar una base y su dimensión. b) si no.v1} es L. b) hallar uno de dichos subespacios e indicar una base del mismo.v2} es L.I. & & c) {v1} es L.D. entonces {v1+v2. c) indicar si existen valores de a para que el subespacio sea de dimensión 2. ¨¨ ¸¸ .v2+a.v2} es L.–2). v1 = 0 d) si {v1.v2} es L.–1.).). .k.b≠1 24) Dados lo siguientes sistemas de ecuaciones lineales hallar el con- junto solución.v3} es L. indicar una base y su dimen- sión.I. A = ®¨¨ ¸¸ . a) cal- cular los valores de a para que el subespacio de p2[x] generado por este conjunto sea de dimensión 1. ¿qué subespacio de 3 genera? 22) Determinar si los siguientes subconjuntos de 3x3 son subespacios de ( 3x3.− x 2 + x − a.⊕. 195 .⊕.I. ­ x1 + x2 + 3x3 = 0 ­3 x1 − 2 x2 + x3 = 0 ° ° a) ®3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0 b) ® x1 + x2 − x3 = 0 °2 x + 3 x − x = 0 ° x − 4 x + 3x = 0 ¯ 1 2 3 ¯ 1 2 3 25) Hallar los valores de k para los que el conjunto generado por A tiene ­§ 2 − 1· § − 2 − 3 · § 6 1· ½ dimensión 3.–5)}. En caso de serlo.(2. x 2 − x + a . ⇔ v1 ≠ 0 y es L.0. a) ¿A genera a ?.v3+b.I. a) Matrices simétricas b) Matrices antisimétricas c) Matrices diagonales d) Matrices triangulares inferiores e) Matrices triangulares superiores 23) Demostrar que: a) {v1. b) si {v1. determinar si los mismos son un subespacio de ( 3.v3. 28) Dada las bases A= {(0.–1. ¸¸ si consume todo el © p1 ¹ © p2 ¹ ingreso.4). a) hallar k para si una posibilidades consumo 25 40 z es (5.0 ¸¸ y ¨¨ 0.1)} de 2.(2.0.200 ) . b) escribir la ecua- 5 10 20 ción presupuestaria. determinar cuá- les son las posibles nuevas bases que se pueden formar si se cam- bia la base introduciendo el vector x = (2. 31) El plano balance que contiene todos los presupuestos con un gasto de $45.22. b) el semiplano de posibilidades si no consume todo su ingreso.(–1. 196 .1). a) representarlo.1). Alejandro E. hallar los va- ¯© k 0 ¹ © 1 3 ¹ © − 1 4 ¹¿ lores de k para que A sea una base de las matrices simétricas de 2x2. c) hallar el vector de precios.1)} y B = {(0.(–1. ¨¨ ¸¸¾ .3).8) en la base B.000 para la adquisición de tres bienes en su forma segmen- x1 x 2 x3 taria es: + + = 1 .2)} de 3. 32) El plano balance que contiene todos los presupuestos con un gasto de $600 para la adquisición de tres bienes en su forma segmentaria x x x es: 1 + 2 + 3 = 1 .0. a) obtenga la matriz de cambio de base PAB. ¨¨ ¸¸ .–1. b) determine los coor- §1· denadas del vector XA = ¨¨ ¸¸ en la base B. cuyo vector de precios es p = (150.1). Hallar y representar: a) la recta de balance de consumo y obtener el vector posición de cualquiera de sus puntos como combinación lineal § I · § I · convexa de los vectores ¨¨ .(0. García Venturini 27) Dada la base B= {(1. 2© ¹ ­§ − 1 k · § 0 1· § 2 − 1·½ 29) Dado el conjunto A = ®¨¨ ¸¸ . 30) Un consumidor tiene un ingreso $3. b) escribir la ecuación presupuestaria que resuelta en la forma implícita.000 y lo destina a la compra & de dos bienes. 2) = 75 . iii) a) L..1. d) k ≠ 0 10) a ≠ 1.4). c) L.I.1)}.2. (1 . d) = g) no tiene base. f) sí.(2.2.0) + b.(1.I. b) L. d) sí 5) 2x2 + 3x +33 = 3. (0 . dim W2 = 1. c) sí. ii) no. ii) a) L. Espacios vectoriales RESPUESTAS 1) a) i) sí.(x+1) + 2. 1 . d) sí. d) no se puede e) (1. c) k ≠ 3.7) = –3.D.(0. iv) a) L.−1) 7 7 2 12) a) cualquier vector de de la forma x2 = 2x1 b) infinitos c) 2 d) la recta x2 = 2x1 e) no f) (x1. c) sí. e) no. 3 ) b) no se puede.D..2) + k.D. 4) a) sí. b) L.2) § 1 − 3· § 1 − 3· § 1 − 3· § 1 3· g) ¨¨ ¸¸ = 5. g) sí 3) a) sí. ¨¨ ¸¸ © − 1 9 3¹ © 1 1 5¹ © − 2 3 − 6¹ 9) a) k ≠ 32 . g) sí. la combinación lineal no es única.3 ) + 74 .x2) = x1. f) no..2) 13) (0.b) = a. ¨¨ ¸¸ + 2 . d) L.10) = (5–2k). d) sí. a ≠ –3 11) a) cualquier vector de 2 b) infinitos c) 2 d) todo el plano (x1.. c) L. 2) f) (9.−1 ) − 1 . b) k ≠ 0. d) k = 1 7) i) a) L. 1 ) + 15 .a. c) no. b) sí. ¨¨ ¸¸ − 4.1) 14) 2) a) B = {(1.. k = –1.(x2 +1) + 4. ¨¨ ¸¸ + 0 .0.. (−2 .–3) = − 17 .I.I.. b) B = {(1.2) + 2 x1 − x2 (3. b) L. − 1 .D. e) no. dim W1 = 1..(0. no cumple con la distributividad respecto de la suma de esca- lares..(6. ¨¨ ¸¸ ©2 0¹ ©− 2 0¹ ©− 3 0¹ © 2 0¹ § − 3 2 8· § −1 0 4· § 0 1 − 2· h) ¨¨ ¸¸ = 3 . e) L.–1) + 2. a ≠ –2.I. b) no.D.I. c) k = –2. c) sí 2) a) sí.D. 8) a) (1.4. e) L. (2 .x2) e) sí f) (x1. b) k ≠1. b) sí. no cumple con que el 1 es neutro b) no. c) (5.D.2. (1 .I..x2) = x1 + 3 x2 (1. b) L. h) sí. dim = 0 197 . k∈ .0)}.I.(1..(1. c) L.7 6) a) k = 0. d) L. 2 . 1)}.5 ¹ 198 . ¨¨ ¸¸ . (0.x3) / x2∈ ∧ x3∈ } B = {(4. B = (1 .0. B= °®§¨¨ 1 ¸¸ .–1)}. (0.0).0.–1. dim W6 = 1 g) B = {(1.0. (0.–1)}.0). °̄¨© 23 b 0 ¸¹ °¿ °̄© 0 0 ¹ ¨© 23 0 ¸¹ °¿ dim A = 2 d) A = {(x1. dim W4 = 3 ¯© 0 0 ¹ © 1 0 ¹ © 0 1¹ ¿ 15) a) A ={(x1.1· § 0 0 · ½ 4) a) B = ®¨¨ ¸¸ . Alejandro E. dim A = 2 16) B = {(1.0)}.–1. dim W2 = 2.x3)∈ 3 / x1 = 4x2–3x3} = = {(4x2–3x3.2). (0. c) B = {(1.x2. h) B = {(1.2).2.2.0.1. ¨¨ ¸¸ ¾ . ¾. dim W4 = 2.− 32 x1 ) / x1 ∈ ℜ} . dim W3 = 2 d) B = {(1. dim W8 = 2 ­§ 1 .0.0).0.0.x4)∈ 4 / x4 = –x1 +2x2 ∧ x3 = 0} = {(x1.1. dim W1 = 1.1.1)}.1)}.1. ¨¨ ¸¸ ¾ .0.0. García Venturini 3) a) B = {(1.1)}. dim W7 = 2.1.2.2)}.1)}.x2.0. − 32 ) .1. (0.x2.5 · 17) ¨¨ ¸¸ © 2. f) B = {(–3.x3.x2. dim A =2 ­°§ a b · ½ ­ 0 · §¨ 0 1·¸ ½° c) A = ®¨ ¸ / a ∈ ℜ ∧ b ∈ ℜ °¾ .–x1+2x2) / x1∈ ∧ x2∈ } B = {(1. dim W = 1 § 1. (0.0. dim A =1 b) A = {(x1.1.–1). dim W1 = 2 ¯© 0 0 ¹ © 1 1¹ ¿ ­§ 3 1·½ c) B = ®¨¨ ¸¸¾ . b) B = {(1.1.1)}. (–3.0).x2)∈ 2 / x2 = − 32 x1 }= {(x1 . dim W3 = 1 ¯© 0 0 ¹¿ ­§ 1 0 · § 0 1· § 0 0 · ½ d) B = ®¨¨ ¸¸ . x2 . x2 . x3 ¸ / x2 ∈ ℜ ∧ x3 ∈ ℜ¾ ¯© 2 2 ¹ ¿ ­§ 1 0 0 · § 0 1 0 · § 0 0 1 · § 0 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 ·½ 22) a) B= °®¨¨ 0 0 0 ¸¸ . dim S = 2.¨ 0 0 1 ¸¾ .¨¨ 0 0 1 ¸¸ .¨¨ 1 0 0 ¸¸ . b = 1.¨ ¸¸ ¾ .¨¨ 0 ¸¨ ¸° 0 0 ¸. Espacios vectoriales ­°§ 0 2 · § 1 0 · ½° 18) b) B = ®¨ ¸ . A = ®( x1 .¨¨ 0 1 0 ¸¸ . °̄¨© 1 ¸ ¨ 0 ¹ © 0 3 ¹ °¿ § 2 3 · ¨ ¸ d) ¨ 3 ¸ ¨9−2 3¸ ¨ ¸ © 36 ¹ ­§ 0 4 0 · § 0 − 2 1 ·½ °¨ ¸¨ ¸° 19) Sí. dim S = 2 °¨ 0 − 1 0 ¸ ¨ − 1 0 0 ¸ ° ¯© ¹© ¹¿ 20) k ≠ 1.¨¨ 0 1 0 ¸¸. ¨ 2 0 0 ¸ ¾ . es subespacio. dim MAS = 3 °¨ 0 ¯© 0 0 ¸¹ ¨© − 1 0 0 ¸¹ ¨© 0 − 1 0 ¸¹°¿ ­§ 1 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 ·½ c) B = °®¨¨ 0 0 0 ¸¸ . c) sí. para a = 2. ­ 11 3 ½ 21) No. dim MD = 3 °¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸° ¯© ¹© ¹© ¹¿ 199 . B = ®¨ − 4 0 1 ¸. x3 ) ∈ ℜ3 / x1 = x2 − x3 ¾ = ¯ 2 2 ¿ ­§ 11 3 · ½ = ®¨ x2 − x3 .¨¨ 0 0 0 ¸¸°¾ °¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 1 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸° ¯© ¹© ¹© ¹© ¹© ¹© ¹¿ dim MS = 6 ­§ 0 1 0· § 0 0 1 · § 0 0 0 ·½ b) B = °®¨¨ − 1 0 0 ¸¸ .¨¨ 0 0 0 ¸¸ . el sistema es compatible indeterminado.¨¨ 0 0 0 ¸¸°¾ . 2. b) S = {p2[x]=α. b) XB = ¨ ¸ © −1 1 ¹ ¨7 ¸ © 2¹ 29) k ≠ 7/6.1)}. García Venturini ­§ 1 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 ·½ d) B= °®¨¨ 0 0 0 ¸¸ .000 o + =1. x2 ) =.1).¨¨ 0 1 0 ¸¸ . b) 24x1 + 15x2 + 50x3 = 600 200 .¨¨ 1 0 0 ¸¸ .–1.¨¨ 0 0 0 ¸¸°¾ °¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 1 0 0 ¸ ¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸° ¯© ¹© ¹© ¹© ¹© ¹© ¹¿ dim MTI = 6 ­§ 1 0 0 · § 0 1 0 · § 0 0 1 · § 0 0 0 · § 0 0 0 · § 0 0 0 ·½ e) B= °®¨¨ 0 0 0 ¸¸. x1 x2 30) a) 150x1 + 200x2 = 3.(0.(2.500x2 + 2. Alejandro E.¨¨ 0 0 0 ¸¸.0) + 2 .(0.000 a) & c) p = (9.2)} B2 = {(1.000 31) b) 9.¨¨ 0 0 0 ¸¸ .–1.–2}.4x1.5x1)/ x1 ∈ }. dim S=1.–1. 20 15 x1 x (x1 .(2.000x1 + 4.¨¨ 0 0 0 ¸¸ .¨¨ 0 0 0 ¸¸°¾ °¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸° ¯© ¹© ¹© ¹© ¹© ¹© ¹¿ dim MTS = 6 24) a) S ={(–10x1.8).(2. B = {(1.7x1.¨¨ 0 1 0 ¸¸.8)} §3 · § 3 − 1· ¨ 2¸ 28) a) PAB = ¨¨ ¸¸ .0.15) 20 15 b) 150x1 + 200x2 ≤ 3. 27) B1 = {(1. dim S = 1 b) S = {(x1. dim S = 1 25) k ≠ 7 26) a) a = ± 2.(20.1).250) 32) a) k = 12.5x1)/ x1 ∈ }.¨¨ 0 0 1 ¸¸ .4.¨¨ 0 0 0 ¸¸ .0. B = {(–10.500.4.4).250 x3 = 45. B={(2x2–2x+4)} c) a∈ –{2.7.5)}.(2x2–2x+4)}.0.000. Núcleo e imagen. Espacio vectorial de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Teorema fundamental de las transformaciones Iineale'S.Capítulo 5 Transformaciones Lineales Definición de transformación lineal. Propiedades y ejemplos. epimorfismos. automorfismos. . 'Transformación lineal inversa. Clasificación: isomorfismos. Composición de transformaciones lineales. endomorfismos. Aplicaciones económicas: transformación del vector de producción en un vector de insumos. . y2.L.(x1.y3) vemos que se verifica la 1º condición ii) T(Į.x2.x2. una función T: V → W es una transformación lineal si cumple con las siguientes condiciones: a) T(x+y) = T(x) + T(y) ∀x∈V.) dos es- pacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K.x3) = = (Į.x3) + T(y1.L.x3) = Į. a) T(x1.x2–Į.x3) vemos que también se verifica la 2º condición por lo tanto T es una T.K.x2–x3) = Į.(x1–x2.x2–x3) + (y1–y2.T (x1.) y (Wѽ⊕.Į.x3)] = T(Į.K. ). T(x)∈W y T(y)∈W V es el espacio dominio o de partida y W es el espacio de llegada.y2.ҏ⊕. .x) = Į.T(x) ∀x∈V.ҏ⊕.x1–Į. 203 . vemos si las siguientes funcio- nes son T.y3)] = T(x1+y1.x2–x3) i) T[(x1. . Ejemplos 1) Sean ( 3.x3+y3) = = (x1+y1–x2–y2.x2.x3) + (y1.y2–y3) = = T(x1.x1.x2. TRANSFORMACIONES LINEALES Definición Sean (V.x2.x2+y2.x2+y2–x3–y3) = (x1–x2.Į.⊕.x2. ∀Į∈K.x2. ∀y∈V b) T(Į.) y ( 2.x) = T[Į.x3) = (x1–x2.Į. se obtiene v′ = ¨¨ ¸¸ © y′ ¹ x = r. Alejandro E.v) = Į.T(v) 4) Transformación de rotación § x· Si v = ¨¨ ¸¸ rota en el plano xy un ángulo © y¹ § x′ · Į.cos Į – y.v = Į.y2.x3+y3) = = (x1+y1–x3–y3.cos (Į+ß) = r.sen ß.x2–x3+1) i) T[(x1.T(v) 3) Transformación identidad T: V → V / T(v) = v es una transformación lineal a) T(v1+v2) = v1 + v2 = T(v1) + T(v2) b) T(Į.cos Į.cos ß – r.L.cos ß + r.y2–y3+1) = = (x1–x3+y1–y3.x2–x3+1) + (y1–y3.sen Į y' = r.x2.sen Į.x3) + (y1.sen (Į+ß) = r. 2) Transformación cero (o nula) T: V → W / T(v) = 0w (elemento neutro en W).cos Į = x. García Venturini b) T (x1.cos Į 204 .x2.x2–x3+y2–y3+2) (2) (1) ≠ (2) Ÿ T no es T.sen Į. a) T(v1+v2) = 0w = 0w + 0w = T(v1) + T(v2) b) T(Į.sen ß x' = r.y3) = (x1–x3.x2.y3)] = T(x1+y1. para todo v∈V es una T.sen ß = x.sen Į + y.cos ß y = r.x2+y2.x2+y2–x3–y3+1) (1) ii) T(x1.y2.x3) = (x1–x3.L.0w = Į.x3) + T(y1.v) = 0w = Į. Transformaciones lineales Se obtiene así la transformación lineal que caracteriza a una rota- ción. 5) Operador de transposición T: mxn → mxn / T(A) = At es otro ejemplo de T. Dem.v) = 0.At = Į. y A cada vector de 2 le hace corresponder como imagen otro vector de 2 que es el reflejado (o simétrico) respecto del eje y. Propiedades x Sea T: V → W una transformación lineal. Se puede expresar en forma matricial. 6) Transformación de reflexión respecto del eje y § x· §− x· Sea T: 2 →ҏ 2 definida por T ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ . T(v) = 0.: T(0v) = T(0. T se denomina operador de transposición. entonces se verifica que: 1) T(0v) = 0w el transformado del neutro en V es el neutro en W.v.L. Se puede demostrar que corresponde a una transformación lineal. ¨¨ ¸¸ © y ¹ © y′ ¹ © sen α cos α ¹ © y ¹ La transformación queda entonces: T(v) = AĮ.A) = (Į.T(A). a) T(A+B) = (A+B)t = At +Bt = T(A) + T(B) b) T(Į. se puede demostrar fá- © y¹ © y¹ cilmente que es una transformación lineal. por propiedades vistas en el ca- pítulo de matrices. § x · § x′ · § cos α − sen α · § x · T ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ . donde AĮ es la ma- triz de rotación de ángulo Į.w = 0w 205 .A)t = Į. + Įh.: T(Į1.v2.Įn} ⊂ K Ÿ T (Į1.T(v2) + .v1 + Į2.v2 + .v1) + T (Į2.T(vh+1) 206 . + Įn..+Įh.v1+Į2.Į2. + Įh.vn) = Į1... + Įh..vh+1) = = T(Į1.T(v1) + Į2.T(vh)+Įh+1.v2+. Alejandro E...T(v1) + Į2.T(v2) + ... 2) 4) Si {v1.v2 + .v2) = Į1.v) = –1.T(v) = – T(v) 3) ∀u∈V. + Įh.T(v2) + . García Venturini 2) T(–v) = –T(v) el transformado del opuesto es el opuesto del transformado Dem.: T(–v) = T(–1..T(v1) + Į2..T(vn) Esta propiedad se demuestra por el principio de inducción comple- ta (ver capítulo introductorio) n=2 T (Į1..vh+Įh+1. + Įn.T(v2) se verifica n=h T (Į1..vh+1) = Į1..T(v1) + Į2..vh) = Į1.v1 + Į2...vh + Įh+1.v1 + Į2.v2 + .+Įh. ∀v∈V: T(u–v) = T(u) – T(v) Dem..T(vh) n=h+1 T(Į1..v1 + Į2.vh+1) = = Į1.T(vh+1) Dem.vh) +T (Įh+1....v2+...T(vh) + Įh+1.: T(u–v) = T [u+(–v)] = T(u) + T(–v) = T(u) – T(v) (por prop.v1+Į2.vn} ⊂ V y {Į1.T(v2) + .. + Įh..T(v1) + Į2.v2) = T (Į1.. ⊕. Tesis: (N(T). Hipótesis: T: V → W es una T. al con- junto de vectores de V cuyas imáge- nes son el vector nulo en W (0w).K.K. 207 .L. es un subespacio de V.0w = 0w Ÿ T(Į. T: V → W.⊕. Transformaciones lineales NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Definición Consideramos una T. se denomina núcleo de la T.L.ҏҏ ) N(T) = Ker (T)* = {v∈V / T(v) = 0w} Propiedad El núcleo de toda transformación lineal entre dos espacios vectoria- les.) Demostración a) N(T) ⊂ V por definición de N(T) b) N(T) ≠ φ ya que 0v ∈N(T) pues T(0v) = 0w c) x∈N(T) ∧ y∈N(T) Ÿ T(x) = 0w ∧ T(y) = 0w Ÿ T(x) +T(y) = 0w Ÿ T(x+y) = 0w ∴ (x + y) ∈N(T) d) Į∈K ∧ x∈N(T) Ÿ Į∈K ∧ T(x) = 0w Ÿ Į.) es un subespacio de (V.x)∈N(T) * La denominación Ker se debe al término alemán Kern (médula o núcleo).L. de V → W.x) = 0w ∴ (Į.T(x) = Į. es un subespacio de W.u ∧ Į.ҏ) es un subespacio de (W. García Venturini IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Se denomina imagen de una T. Alejandro E.u ∈ Im(T) Nulidad y rango de una transformación lineal nulidad (T) = n(T) = dim N(T) rango de (T) = r(T) = dim Im(T) 208 . T: V → W al conjunto de vectores de W que son imagen de algún vector de V.) Demostración a) Im(T) ⊂ W por definición de Im(T) b) Im(T) ≠ҏφ ya que 0w ∈ Im(T) pues T(0v) = 0w c) u ∈ Im(T) ∧ v∈Im(T) Ÿ ∃x ∧ ∃y ∈ V / T(x) = u ∧ T(y) = v Ÿ T(x) + T(y) = u + v Ÿ T(x + y) = u + v ∧ (x + y)∈V Ÿ (u + v) ∈ Im(T) d) Į∈K ∧ u ∈ Im(T) Ÿ Į∈K ∧ T(x) = u ∧ x∈V Ÿ Į.u Ÿ T(Į.T(x) = Į.x) = Į.L. de V→ W. Im (T) = {w ∈ W / ∃ v ∈V ∧ T (v )= w} ) Propiedad La imagen de toda transformación lineal entre dos espacios vecto- riales.K.K.L. ⊕.x ∈V Ÿ Į. Tesis (Im(T). Hipótesis T: V → W es una T.ҏ⊕. x 2 ) ∈ 2 / T (x1 .x2) = A} §a b· A = ¨¨ ¸¸ ∈ Im(T ) Ÿ ∃ ( x1 .–x1) / x1∈ } Im (T) = {A∈ 2x2 / T(x1. x2 ) = ¨¨ ¸=¨ ¸ Ÿ © 0 x1 + x 2 ¸¹ ¨© 0 0 ¸¹ x1 + x2 = 0 Ÿ x1 = –x2 Ÿ N(T)={(x1. la imagen. ) dim N (T )+ dim Im (T )= dim V Determinación del núcleo. x2 ) = A ©c d¹ § x + x2 0 · §a b · Ÿ ¨¨ 1 ¸=¨ ¸ © 0 x1 + x2 ¸¹ ¨© c d ¸¹ Ÿ x1 + x2 = a ∧ x1 + x2 = d ∧ c = b = 0 Ÿ a = d = x1 + x2 ∧ c = b = 0 ­§ a 0 · ½ Ÿ Im(T) = ®¨¨ ¸¸ / a ∈ ℜ¾ ¯© 0 a ¹ ¿ 209 . Transformaciones lineales Teorema de la dimensión Dada T: V → W. la suma de las dimensiones del núcleo y de la imagen de T es igual a la dimensión de V (siempre que éste sea un espacio vectorial de dimensión finita). x2 ) ∈ N(T) Ÿ T (x1 . Im(T). x2 ) / T (x1 . x2 )= ¨¨ ¸¸ ¾ ¯ © 0 0¹ ¿ § x1 + x 2 0 · § 0 0· Si (x1 . la base y la dimensión de los res- pectivos subespacios si T: § x1 + x 2 0 · a) T:ҏ 2 → 2 / T (x1 . la nulidad y el rango Ejemplos: hallar N(T). x2 ) = ¨¨ ¸ © 0 x1 + x 2 ¸¹ ­ § 0 0· ½ N(T) = ®(x1 . además es L. ∀v∈V N(T) = {0v}. por lo tanto es una base. Base de Im(T) § a 0· § 1 0· ­§ 1 0 ·½ ¨¨ ¸¸ = a. dim Im(T) = n Ÿ r(T) = n. Alejandro E.L.L.–x1) = x1. 210 .. CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Si T es una T. ¨¨ ¸¸ Ÿ B= ®¨¨ ¸¸¾ es un sistema de generado- © 0 a¹ © 0 1¹ ¯© 0 1¹¿ res. . dim Im(T) = 1 Ÿ r(T) = 1 n(T) + r(T) = 1 + 1 = 2 = dim 2 (se verifica el teorema de la dimensión) b) T es la transformación identidad. por estar formado por un único vector no nulo. n(T) + r(T) = 0 + n = n = dim V..(1. García Venturini Base de N(T) (x1.v2. base de Im(T)={v1. por lo tanto es una base.I. no tiene base.I. dim N(T) = 0 Ÿ n(T) = 0 Im(T) = V. (es una T. además es L. T: V → V / T (v) = v. de V → W. tenemos un automorfismo. por estar formado por un único vector no nulo. dim N(T) = 1 Ÿ n(T) = 1.–1) Ÿ B = {(1.. T es una función que puede ser: inyectiva ⇔ T es una monomorfismo sobreyectiva ⇔ T es un epimorfismo biyectiva ⇔ T es un isomorfismo Si T: V → V.–1)} es un sistema de generadores.vh}. Más ejemplos resueltos al final del capítulo. de un espacio vectorial en sí mismo) entonces se denomina endomorfismo y cuando éste es biyectivo. x3 ) = (x2 . x3 + y3 ) = = (x2 . w3 ) . T (x1 . Transformaciones lineales T es inyectiva ⇔ ∀x∈V. x3 ) = = (w1 . ∃x∈ 3 / T(x) = w Ÿ T (x1 . y3 ) = T(x1 . a) inyectiva ∀x∈ 3. x2 + y2 .− x1 . w3 ) / T (x1 .T(x) 2.x3 ) = α . x2 .(x2 . x3 )] = T[(α . x2 . x3 ) = ( x2 . x2 . y2 . y3 ) = = T(x) + T(y) b) T(Į. y3 ) Ÿ x2 = y2 ∧ x1 = y1 ∧ x3 = y3 Ÿ (x1 .α . x3 ) = T( y1 . y3 )] = T [(x1 + y1 .− x1 . x3 ) + ( y2 . 1. x3 + y3 )] = (x2 + y2 . x3 ) ∈ 3 = (− w2 . probar que es un auto- morfismo. Ejemplo: Sea T: 3 → 3 / T ( x1 . x3 ) .− x1 − y1 . y3 ) Ÿ x = y b) sobreyectiva ∀w∈ 3. ∀y∈V: T(x) = T(y) Ÿ x = y. ∃x∈V: T(v) = w Ÿ Im (T) = W.x1 . x2 . w2 . y2 .− x1 . x3 ) + T( y1 . w3 ) Ÿ x2 = w1 ∧ x1 = − w2 ∧ x3 = w3 Ÿ ∀ (w1 . x2 . 3 Con lo que queda demostrado que T es un automorfismo de .x2 . x3 ) + ( y1 . w3 ) ∈ 3 ∃ (x1 . x3 ) = Į. y2 . x2 . x3 ) = α . x2 . 211 . T es sobreyectiva ⇔ ∀w∈W.−α . x2 .− x1 .− y1 .(x1 . Debemos verificar que es biyectiva.x3 )] = (α .α . x2 .x2 . x3 ) = ( y2 . w1 . a) T(x+y) = T [(x1 . Debemos verificar que es una T. y3 ) Ÿ (x2 . w1 . y2 .α .− x1 .x1 .− y1 . w3 ) = (w1 . w2 . x3 ) = T (− w2 . x3 ) = ( y1 .L. w2 .x) = T[α . x2 . ∀y∈ 3: T(x) = T(y) Ÿ T(x1 . T(x) = T(0v) Ÿ x = 0v (por ser T in- yectiva). García Venturini Propiedades a) Del núcleo de un monomorfismo T: V → W es una T. ∧ N(T) = {0v} T) T es inyectiva (∀x∈V. 212 . inyectiva ⇔ el único elemento del núcleo es el vector nulo de V. L. entonces T es inyectiva. inyectiva ⇔ N(T)={0v} Primero demostramos que si T es inyectiva entonces N(T)={0v} H) T: V → W es inyectiva (es un monomorfismo) T) N(T)= {0v} Dem.L. Alejandro E. Con lo cual queda demostrado que T es un monomorfismo sí y sólo sí N(T) = {0v}. por lo tanto {0v}⊂ N(T) b) Si x ∈ N(T) Ÿ T(x) = 0w.: para demostrar la tesis debemos probar que: a) {0v} ⊂ N(T) ∧ b) N(T) ⊂ {0v} a) T{0v} = 0w Ÿ 0v ∈ N(T).L. ∀y∈V: T(x) = T(y) Ÿ x = y) Dem. Por lo tanto (x – y) ∈N(T) ={0v} Ÿ x – y = 0v ∴ x = y. Nota: esta propiedad permite investigar la inyectividad con sólo analizar el núcleo. Es decir que T: V → W es una T. H) T: V → W es una T. Ahora falta demostrar que si N(T)= {0v}. por lo que x ∈{0v} Ÿ N(T) ⊂ {0v}.: T(x) = T(y) Ÿ T(x) – T(y) = 0w Ÿ T(x – y) = 0w. .vn = 0v ∧ ∀i / αi = 0 213 . entonces su imagen es un con- junto de vectores linealmente dependiente en W.T(v1) + α2.L.….T(vn) = 0w llamando T(v1) = w1...w2 + …+ αn.D.y {v1. queda: α1.y {v1. T(v2).I. vn} ⊂ V es L. T(v2).…. T) {T(v1). T(vn) = wn. queda: α1.T(v2) + …+ αn. v2. v2. vn} es L.…. T(v2)..vn) = T(0v) = 0w por ser una T. H) T: V → W es T. Ÿ α1.D.. {T(v1).….wn = 0w con αi ≠ 0 por lo que {T(v1).v1 + α2.L.L.….. vn} es L. vn} es un conjunto de vectores de V tales que sus imágenes constituyen un conjunto de vectores li- nealmente independiente en W.T(v1) + α2. …. v2.L. c) De los vectores cuyas imágenes son un conjunto linealmente independiente Si T: V → W es una T.v2 +…+ αn. T(v2) = w2.. entonces {v1.D Ÿ α1. Transformaciones lineales b) De la imagen de un conjunto de vectores linealmente inde- pendiente Si T: V → W es una T.…. v2.w1 + α2. es decir.T(v2) + …+ αn. T) {v1.: {v1. v2.T(vn)} ⊂ W es L. y {v1.D.I: en V.. H) T: V → W es una T.v1 + α2. T(vn)}⊂ W es L. (α1.vn = 0v ∧ ∃i / αi ≠ 0 aplicando T queda: T(α1. vn} es un conjunto de vec- tores de V linealmente dependiente. ….v2 + …+ αn..T(vn)} es L.I. v2.T(vn) = 0w ∧ ∃i / αi ≠ 0) Dem.L.v2 +…+ αn. vn}⊂ V es L.v1 + α2. inyectiva. inyectiva Si T: V → W es una T.vn) = 0w por definición de núcleo α1. Alejandro E. Por ser T una T. v2.T(v2) + …+ + αn.I.T(vn)} ⊂ W es L.. entonces ∀i: αi = 0. α1.. vn} ⊂ V es L. Por lo tanto el conjunto de vectores {v1. v2.v2 + …+ αn.v1 + α2.v2 + …+ αn. N(T) = {0v} Ÿ α1.I.v1 + α2..T(vn) = 0w como los vectores {T(v1).….: consideramos una combinación lineal con escalares a deter- minar de los {T(v1). García Venturini Dem.vn = 0v Si demostramos que los αi son todos 0.L.L. entonces su imagen es un conjunto de vectores L.T(v1) + α2.L.L.L.I. vn} es un conjunto de vectores de V linealmente independiente en V... α1.T(vn)} que sea igual al vector nulo de W.I.. T(v2).v2 + …+ αn.: consideramos una combinación lineal con escalares a deter- minar de los {v1.v1 + α2.…. H) T: V → W es una T.….vn = 0v 214 . T) {T(v1). vn} es L...…. inyectiva y {v1. en W.I.vn) = T(0v) = 0w Por ser T una T. queda: T(α1. T(v2). Aplicando T queda: T(α1. en W. d) De la imagen de un conjunto linealmente independiente de una T..T(v1) + α2.v2 + …+ αn. Ÿ α1.T(v2) + …+ αn. T(v2).T(vn) Si demostramos que los αi son todos 0.T(vn) = 0w ∧ ∀i / αi = 0 Dem.T(v1) + α2. {v1..v1 + α2..vn ∈ N(T) por ser T inyectiva. habremos demostrado la propiedad.v1 + α2. queda: α1. v2. v2.T(vn)} son L. vn} que sea igual al vector nulo de V..v2 + …+ αn. habremos demostrado la propiedad.T(v2) + …+ + αn. 2. T(v2).w1 + α2. v2. Dem.wn Definimos T: V → W / T(x) = α1. ….….⊕. wn} son n vectores de W tales que T(vi) = wi.wn) + (β1..v1 + (α2+β2).K.. vn} una base de V. 3.vn e y = β1. Si {w1. 3.L. I.…. n. T) ∃ una T.K. wn}⊂ W /T(vi) = wi ∀i = 1.⊕. n.v2 +…+ βn.vn] = (α1+β1). a) T (x+y) = T (x) + T (y) ∀x∈V. Probaremos que la función T es una T.w1 + α2.) y (Wѽ⊕. n.w2 + …+ αn. 1) T es T.w2 + …+ βn. entonces existe una única transformación lineal T: V → W tal que T(vi) = wi. v2.K. ….L. ∀i = 1.wn = (α1. única.v1 + α2.) son espacios vectoriales y B = {v1. v2.v2 +…+ αn. ∀i = 1.w2 + …+ αn. T: V → W que es única tal que T(vi) = wi.….v1 + α2.⊕.T(vn)} es L.w1 + (α2+β2).…. H) (V. vn} es L.L.) y (W.vn T (x+y) = T (α1. Transformaciones lineales pero como {v1.v2 +…+ βn.v1 + α2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Sean (V.) dos espacios vectoriales y B = {v1.w2 +…+ (αn+βn)..: ∀x∈V.I.….vn) = T[(α1+β1). por lo tanto {T(v1).wn) = T (x) + T (y) 215 . 2.K.. 3.v2 +…+ (αn+βn).v2 +…+ αn.w1 + β2.vn.v1 + β2. vn} una base de V y {w1. w2.v2 + …+ αn.. ….vn + β1. ∀i / αi = 0. 2. ∀y∈V: x = α1.v1 + β2. existen y son únicos los αi / x = α1. w2. wn = α1.x) = α.wn = α.1) = (1.αn.wn = 1.w1 + 0. 2.w2 + …+ α. Alejandro E.1. Sea h: V → W una T.v2 +…+ αn.wi +… + 0. (1.v1 + α2. T(1.vn T(vi ) = 0.2).v2 +…+ αn.(α1.h(v2) + …+ αn. existe y es única.vn) = T (x) Ÿ T (x) = h (x).wi-1 + 1.wi = wi 3) Ahora debemos probar la unicidad.1) hallar la T.vn)] = T (α.w2 + …+ αn. Por lo tanto T es única.w2 + …+ αn.wn) = α.T(x) de a) y b) surge que T es una T. 3.0).α1. Ejemplo Sea T: 2 →ҏ 2.2). n Ÿ T (vi) = wi vi = 0.vn) = α1.L.x) = T [α. y si T(1.T(vn) = T (α1.v1 + α2.v2 + …+ α.L.T(v2) + …+ αn. ….v1 + 0.L.αn.T(x) T(α.vi-1 + 1.(α1.vi +… + 0.1.w1 + α. 216 .vn) = α.1). Es decir que conociendo las imágenes de una base de V podemos determinar la imagen de cual- quier vector de V.w1 + α2.T(v1) + α2.L. 2) Si i = 1. …. 3.0. García Venturini b) T(α.h(vn) = α1.v2 +…+ αn.0) = (1. n h (x) = h (α1.α2. (1.w1 + α2. Como {(1.α1. Conclusión: este teorema asegura que toda transformación lineal entre dos espacios vectoriales que da unívocamente determinada por las imágenes de cualquier base del primero. 2.v2 + …+ 0.w2 + …+ 0.α2.1. es decir que si T(vi) = wi entonces T es única. T(1.v1 + α. / h(vi) = wi ∀i = 1. por el teorema la T.0.v1 + α2.1.0) = (–1.h(v1) + α2.0)} es una base de 3 y conocemos los transformados e la base. (1. α3 = x1 – x2 °x = α ¯ 3 1 Entonces: (x1.(x3.T(1.1) T(x1.1.x) = T2[T1(α.x2. Dem.1.2) + (x1 – x2).0.T2oT1(x) De a) y b) surge que la composición de transformaciones lineales es otra transformación lineal.1.0)] T(x1.x3) = T[x3.x3) = x3.L.x2.x3) = α1.0) T(x1.x2.x2. La función compuesta T2oT1: V→W se define como T2[T1(x)].(1.(1.T1(x)] = α.0) + (x1 – x2). (1.0) + (x1 – x2). (1. x1 + x2) Hemos encontrado la función que por el teorema sabemos que es una T.x3) = (2x2 –x1.(1. (x1.0.T(1.x2.: a) T2oT1(x+y) = T2[T1(x+y)] = T2 [T1(x) + T1(y)] = T2 [T1(x)] + T2 [T1(y)] = T2oT1(x) + T2oT1(y) b) T2oT1(α.2x2 –2x3) + (–x1+x2.(1.(1.0. (1.L.T(1.x2.0.1) + (x2 – x3).2x3) + (x2 – x3.x3) =.0) + (x1 – x2).L.0) + α3. (–1.0) ­ x1 = α1 + α 2 + α 3 ° ® x2 = α 1 + α 2 Ÿ α1 = x3.1.1.1.(1.L.T2[T1(x)] = α.2 + (x2 – x3).x1 – x2) T(x1.x2.x3) = x3.1) + (x2 – x3).x3) = x3. única.0) T(x1. Propiedad: la composición de T.x2. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES Sean T1: V→U y T2: U→W dos T. α2 = x2 – x3.1) + α2. Transformaciones lineales Por lo tanto cualquier vector (x1.x)] = T2[α. 217 .x3) ∈ 3 se puede inscribir como combinación lineal de los mismos.1.1. es otra T.(1.1) + (x2 – x3). (w1 . x3 ) a través de T. x2 . x2 .x1 = = α. x3 ) es la imagen (w1 .T-1(w1) Ejemplo: hemos probado que T: 3 →ҏ 3 / T1 (x1 . x3 ) = (x2 . x2 . w2 .0). por lo tanto (x1 . no singular ⇔ ∃T-1 / T-1oT = Iv y T-1oT = Iw Propiedad La inversa de una transformación lineal no singular es una transformación lineal H) T: V→W es T. w2 .L.w1) = T-1[(α.L. x2 . T2oT1 (x1 . Dem. definidas por T1 (x1 . son únicos x1 y x2 / T(x1) = w1 ∧ T(x2) = w2 ∧ x1 = T-1(w1) ∧ x2 = T-1(w2) a) T-1(w1+w2) = T-1[T(x1)+T(x2)] = T-1[T(x1+x2)] = T-1oT(x1+x2) = x1+x2 = T-1(w1) + T-1(w2) b) T-1(α.: Consideramos w1 y w2 en W. x2 . Alejandro E. x2 .− x1 .L. Por ser T biyectiva.L. w3 ) a través de T-1. 218 .x1) = α. García Venturini Ejemplo Sean T1: 3 → ҏ ∧ T2: → ҏ 2 dos T.T(x1)] = T-1[T(α.0) TRANSFORMACIÓN LINEAL NO SINGULAR T: V→W es una T.x1)] = T-1oT(α. x3 ) = T2 [T1 (x1 . x3 ) = x1 − x2 + x3 y T2(y) = (y. x3 ) es un automorfismo (ver pági- na 210). w3 ) es la imagen de (x1 . no singular T) T-1: W→V es una T. x3 )] = T2 (x1 − x2 + x3 ) = (x1 − x2 + x3 . para obtener T-1 debemos despejar x1.2x1–x2) = (w1.W) al conjunto de todas las transformaciones lineales entre los espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo K: L(V.W) definimos la suma de funciones y el producto de escalares por funciones de la siguiente manera: a) (T1 + T2)(x) = T1(x) + T2(x) b) (α. Ejemplo: Sea T: 2 →ҏ 2 / T(x1.T)(x) = α. –x1 = w2.L.W). w2 . x3 ) = (w1 . x2 . w2 y w3: x1 = –w2.} es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. w3 ) = (x1 .− x1 . x2 = w1 y x3 = w3 Ÿ la expresión de la transformación lineal in- versa es T-1 (w1 . w1 .K. w2 ) = ¨ 1 . w + w2 § w + w2 · x1 = 1 ∧ x2 = w1 Ÿ T -1 (w1 .W) = {T: V→W / T es una T.x2) = (x2.2x1–x2) Probaremos que es no singular simplemente probando que es inyectiva. x2 . w2 .x2) = (x2. w1 ¸ = (x1 . por lo tanto T es no singular Ÿ ∃ T-1. x2 y x3 en función de w1. ⊕. 219 .[T(x)] Demostraremos que {L(V. Propiedad Si T: V→V es suficiente que T sea inyectiva o sobreyectiva para ser no singular. Para eso calculamos el núcleo de T: N (T) = {(0. x3 ) = (x2 . T(x1.} En L(V.0)} Ÿ T es inyectiva. w3 ) Ÿ x2 = w1. x2 ) 2 © 2 ¹ ESPACIO VECTORIAL DE TRANSFORMACIONES LINEALES Si llamamos L(V. Transformaciones lineales T1 (x1 . x3 = w3 .w2) Ÿ x2 = w1 ∧ 2x1–x2 = w2. w3 ) . x3 ) = (w2 . wm} una base de W.L. García Venturini 1.x)] = α.x) = (T2)(α. Sean Bv = {v1.L. El vector nulo de L(V.x) = α.[T(x+y)] = α.T)(x) + (α. 220 .L. La suma de dos T. entonces queda determinada una matriz A de orden mxn que caracteriza a la transformación lineal T: V→W. de V→W es una T.[(T1 + T2)(x)] 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean T: de V→W y V y W dos espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m respectivamente.T)( x) Además las definiciones a) y b) permiten comprobar que L(V.(α. v2. 1.x) = α.T(y) = (α. de V→W. Si tenemos una base de cada espacio Bv y Bw. El producto de cualquier escalar por cualquier T.T)(β.β). [T(x)] = (β.L.….b) (T1 + T2)( α.W) es un espacio vectorial sobre K. Alejandro E.[β. vn} una base de V y Bw = {w1.L.[T(β.[T(x) + T(y)] = α.L. w2. de V→W es una T.a) (T1 + T2)( x+y) = T1 (x+y) + T2 (x+y) = T1(x) +T1(y) +T2(x) +T2(y) = (T1 + T2)(x) + (T1 + T2)(y) 1. respecto del par de bases dadas.[(T1)(x) + (T2)(x)] = α.x) = (T1)(α.T(x) + α.….b) (α.T)(x+y) = α.W) es la transformación cero (ver página 204).T(x)] = (α.T)(y) 2. como imagen un vector T(vi) = yi∈W que por pertenecer a W se puede ex- presar como combinación lineal de Bw.[(T1)(x)] + α. Dicha matriz A se llama matriz asociada a la T. de V→W. A cada vi ∈ Bv le corresponde a través de la T.a) (α. 2.α).[(T2)(x)] = α.[T(x)] = β. a 2 n ¸ A =¨ ¸ ¨ .0).1.. ¸ ¨¨ ¸¸ © a m1 a m 2 . + am1 ..w2 + .. °. cuya matriz transpuesta es la matriz A ∈ mxn que caracteriza a la transformación lineal T respecto de las bases Bv y Bw. (1. Ejemplo: sea T. Los mxn escalares (aij ) que figuran en las combinaciones lineales de los vectores que son imágenes de los elementos de la base de V constituyen una matriz.0)}.. Luego la matriz transpuesta de la matriz de los coeficientes de las combinaciones linea- les es la matriz A∈ mxn.w1 + a21 .1)} 221 ..w2 + .1). + amn . Por ejemplo el a23 es el coeficiente del 2º vector Bw (w2) correspondien- te al transformado del 3º vector de Bv (v3). § a11 a12 ..w1 + a22 . asociado a cada vector de la base Bw y el segundo en correspondencia con el vector de la base Bv..a1n · ¨ ¸ ¨ a 21 a 22 . para hallar la matriz que caracteriza a una T. + am 2 .x2–x3) Bv = {(1. ° °¯T (vn ) = yn = a1n . El primero.. .0. Transformaciones lineales ­T (v1 ) = y1 = a11 ..0). (1..wm °T (v2 ) = y2 = a12 .wm Asignamos a cada escalar aij (coeficientes de la combinación lineal) un doble subíndice.: n → m se determinan las imágenes de los vectores de Bv y se expresan cada una de estas imágenes en la base Bw.x3) = (x1+x3.a mn ¹ Por lo tanto.wm ° ° ®.x2.. (0.L.1..: 3 → 2 / T(x1.. Bw = {(2.w1 + a2 n .w2 + .. (2.1.1. (1.(1.1.1) = .XBv. (2.0) = (3. Alejandro E.1.1.1.1) = (3.(1.1. –1) + . Bw = {(1.(2. (2.2).1. hallar A y T(1.: 3 → 2 / T(x1. entonces la ima- gen de x a través de T expresada en función de los elementos de la base de W (Bw) se obtiene multiplicando la matriz A por la matriz XBv: T(x)Bw = A.(0.–1).1) 2 1 §1 1 1 · T(1.2) = α1.0) = (1.0) = 1.3) 7 4 T(1. (1.3) 5 5 16 2 §3 7 16 · T(1.0.1) = (4. Ejemplo: sea T.(0. –1) + 0.0) + 0.2) es necesario determinar las coordenadas de x respecto de las base de Bv.1.x2.0. T(1.3)}.(1.(0.0) + α3.1.(1. Nota: Si la bases Bv y Bw son las bases canónicas entonces se cumple que T(x) = A. (2.1) 222 .x2–3x3) Bv = {(1.1) = .1) = (2. (1.0).0. (2. (1.0) = .2) = .0) + 0.1.0) + 1.1)}.x3) = (2x1+x2+x3.1) 1 T(1. (1.(2. García Venturini T(1.3) Ÿ A = ¨ 5 5¸ 5 5 ¨0 4 2 ¸ © 5 5¹ Para hallar T(1. –1) + .0.X. –3) = 3.1).0) = (1.1) Ÿ A = ¨ 2 2¸ 2 ¨0 1 0 ¸¹ © Propiedad Si A es la matriz asociada a la transformación lineal T: V→W res- pecto de las bases Bv y Bw y XBv es la matriz columna cuyos ele- mentos son las coordenadas de x respecto de Bv. donde X es la matriz columna cuyos ele- mentos son las componentes del vector x.1) + α2. X. Transformaciones lineales ­1 = α1 + α 2 + α 3 ° ®1 = α 2 + α 3 Ÿ α1 = 0. Como ya vimos.(2.¨¨ ¸¸ = ¨ x1 − 2 x2 ¸ ¨ 2 1 ¸ © x2 ¹ ¨ 2 x + x ¸ © ¹ © 1 2¹ es decir la T: → / T(x1.2) la transformación lineal T se obtiene: T(x) = T(1.–5) que expresado en función de los elementos de Bw § 5· (5. –5) Verificación: si aplicamos a x = (1.2x1+x2) 2 3 Propiedad: el rango de una T. –5) = 5.2) = 5. Otra forma es a través de las matrices.3) = (5.L.1. respecto de las ba- ses canónicas.1.x2) = (2x1–x2. α2 = –1 y α3 = 2 °2 = α + α ¯ 1 3 §0· §3 7 16 · §¨ 0 ·¸ § 5 · ¨ ¸ ¨ 5 5 ¸. − 1 = ¨ ¸ X Bv = ¨ − 1¸ Ÿ T(x)Bv = A.X Bv = ¨0 4 2 ¸ ¨ ¸ ¨© 0 ¸¹ ¨2¸ © 5 5 ¹ ¨© 2 ¸¹ Bw © ¹ Ÿ T(1. 223 .x1–2x2.(1. es igual al rango de la matriz aso- ciada a la misma.x2) = ¨ 1 − 2 ¸.1.2) = (5.: n → m / T(x) = A. –1) + 0.3) Ÿ wBv = ¨¨ ¸¸ © 0 ¹ Bw Otra forma de definir una T. § 2 −1 · ¨ ¸ Ejemplo: A = ¨ 1 − 2 ¸ define a la T: 2 → 3 / ¨2 1 ¸ © ¹ § 2 −1· § 2x − x · ¨ ¸ § x1 · ¨ 1 2 ¸ T(x1.L. toda matriz A∈ mxn define una T. –1) + 0.L.(1.(2. 0. 224 . Bv = {v1.2x) Debemos seleccionar una base para cada espacio. Bu = {1} en y Bw = {(2.1). por ejemplo: Bv = {(1.wm} las bases de V.2) = . U y W res- pectivamente. García Venturini MATRIZ ASOCIADA A LA COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES Sean T1: V → U y T2: U → W dos T. (0.0) + 1.A = ¨ 2 ¸.0)..x3) = x1+x2–x3 ∧ T2: → 2 T(x) = (x.x3) = T2 [T1 (x1.(2. (0. Bu = {u1.0.w2.….….(1 1 − 1) = ¨ 2 2 2 ¨ 1 ¸ ¨ 1 1 − 1 ¸¹ © ¹ © Debemos definir ahora T2oT1: 3 → 2 T2oT1 (x1.x3)] = T2 (x1+x2–x3) = = (x1+x2–x3.x2.0) = 1 = 1.2x1+2x2–2x3) Buscamos la matriz asociada y verificaremos que coincide con C.u2.1)} en 3.A / C∈ mxn. Ejemplo Sea T1: 3 → T(x1.x2.1 T(0. Alejandro E. Si las transformaciones T1 y T2 quedan caracteriza- das por las matrices A∈ pxn y B∈ mxp respecto de las bases dadas en cada espacio entonces la transformación lineal compuesta T2oT1: V→W está asociada a la matriz C = B.2)} en 2.2) Ÿ B = ¨ 2 ¸ 2 ¨ 1 ¸ © ¹ §1 · §1 1 − 1 ·¸ C = B.up} y Bw ={w1.1 Ÿ A = (1 1 − 1) T(0. vn}. (0.L.1) = –1 = (–1).0) = 1 = 1.….1.0.1. 1 1 §1 · T2(1) = (1.(0.x2. v2.0. Debemos determinar las matrices asociadas a T1 y T2 T(1.0). 0. T-1: W→V / T-1(x)Bv = A-1.0) +1.X = B equivale a encontrar el sub- conjunto de todos los vectores de V cuya imagen a través de la T. equivale a encontrar el nú- cleo de la transformación lineal asociada a la matriz A.1. Transformaciones lineales 1 T2oT1 (1.2) = .1) = (–1.(0.0) = (1.(0.2) 2 MATRIZ ASOCIADA A LA TRANSFORMACIÓN LINEAL INVERSA Sea T: V→W una T. resolver el sistema de ecuaciones lineales A. T: V→W es posible hallar la matriz asociada respecto de un par de bases.w2. Si la transformación T está aso- ciada a la matriz A∈ nxn no singular.XBv La imagen de w a través de T-1 expresada en función de los ele- mentos de la base de V (Bv) se obtiene multiplicando la matriz A-1 por la matriz XBw.0.X = 0.L. sea el vector B de W y resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo A. entonces la transformación li- neal inversa está asociada a la matriz A-1.–2) = – .…. Si A es la matriz asociada respecto de las bases ca- nónicas.2) ŸC =¨ 2 2 2 2 ¨ 1 1 − 1 ¸¹ © 1 T2oT1 (0.(2.0) + (–1). entonces se cumple que T(X) = AX. 225 .(2.0) + 1. Bv = {v1. v2.….0) = (1.(2.2)= . vn} y Bw = {w1.(0. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Dada una T.L. Por lo tanto.L.wn} las bases de V y W respectivamente.. asociada a la matriz A.2) 2 1 §1 1 − 1 ·¸ T2oT1 (0. 0) Ÿ ° x1 .x2 + x3 = 0 ¯ x2 = x3 0 -1 1 0 | 0 0 -2 2 0 | 0 (x1 .x1–x4.1.x3.1) = (0. . - 1 0 0 -1 | 0 0 -1 1 0 | 0 0 0 0 0 | 0 Ÿ N(T) = {x = (x4.x2.0.x +x . T(x1.0. .(1.1.0..x1–x4.x2. . . .x 4 = 0 ® ° x . .x 4 = 0 (x1+x2–x3–x4.I: Į1.0.0).0) + Į2.0. por lo tanto B es base de N(T) y Dim N(T) =2. x3 . x4 ) = (x4 .x =0 ¯ 1 2 3 4 1 1 -1 -1 | 0 1 0 0 -1 | 0 1 -1 1 -1 | 0 . Dar bases del Núcleo e Imagen de las siguientes transformaciones lineales y verificar la relación de las dimensiones: 4 3 a) T: → / T(x1.x2.G.1)}.0) Ÿ Į1 = Į2 = 0 Ÿ B es L.x4) = (0. x2 .0.x4)} = = {x2.0.1.(0. x2 .x4)∈ 4} = {(0.x4) = (x1+x2–x3–x4.0.x2. Alejandro García Venturini EJERCICIOS GENERALES RESUELTOS 1) Sean V y W dos espacios vectoriales.x3.1.x 3 .0. . verificamos que B es S.0.x4 = 0 ­ x1 = x4 ® Ÿ ® 1 1 -1 -1 | 0 ¯.(1. 226 .x2.1..x1–x2+x3–x4) Primero buscamos el núcleo.1)} B = {(0.0) + (x4.0.I.0) ­ x1 + x 2 .(1. ­ x1 .1. x2 .0.(0. x4 ) .x1–x2+x3–x4) = (0.0) + x4. debemos verificar que es L.x2.. y3) = y2.x4) = (x1+x2–x3–x4. debe cum- plirse que: y1+y3–2y2 = 0 Ÿ Im (T) ={y = (2y2–y3.y1 0 -2 2 0 | y 3 .y3) = (2y2. .. Transformaciones lineales Buscamos la Imagen: T(x) = T(x1.x1–x2+x3–x4) = (y1.0. .y2.(–1.1.0) + (–y3. .2 y 2 Para que existan las imágenes el sistema debe tener solución.x3. - 1 0 0 -1 | y2 0 -1 1 0 | y2 0 0 0 0 | y1 + y 3 .1) Ÿ B = {(1.0. - 1 1 -1 -1 | y1 0 -1 1 0 | y 2 .x2.y2.y3) Ÿ ­ x1 + x2 − x3 − x4 = y1 ° ® x1 − x4 = y2 ° x −x +x −x = y ¯ 1 2 3 4 3 1 1 -1 -1 | y1 1 0 0 -1 | y2 1 -1 1 -1 | y3 . .y2.y2.0) + y3.0.y3) ∈ 3} Buscamos ahora una base y la dimensión de Im (T) (2y2–y3.. .(2.1.1).y1 .x1–x4.(2.0)} 227 . . I.(2.0.x3) = (x1+x2–x3.1) + Į2. debemos demostrar que es L.(–1.2 x3 = y 3 °¯ x1 + 2 x 2 .x1+2x2–x3) Primero buscamos la imagen T(x1.x2.x2+x3–x1.y3. ­ − α1 + α 2 = 0 ° Į1. Veamos el si- guiente ejemplo: b) T: → 3 4 / T(x1.I.0) Ÿ ® α 2 = 0 ° α =0 ¯ 1 Ÿ Į1 = Į2 = 0 Ÿ los vectores de B son L.x3) = (x1+x2–x3.x1+2x2–x3) = (y1.x1 + x 2 + x3 = y 2 ® ° x1 + x 2 .1. Ÿ B es una Base de Im (T).x1–2x3+x2.x2. Por lo tanto si comenzamos buscando la imagen.x3 = y1 ° ° .y4) ­ x1 + x 2 . tendremos que resolver un solo sistema de ecuaciones.y2.x1–2x3+x2. para asegurar que es una base. Dim Im (T) =2.0) = (0. n(T) + r(T) = 2 + 2 = 4 = dim V NOTA: Vemos que para buscar el núcleo debemos resolver el sistema de ecuaciones homogéneo asociado al sistema de ecuaciones que se resuelve al buscar la imagen.x2+x3–x1. Alejandro García Venturini Ya demostramos que B es sistema de generadores.0.x3 = y 4 228 . y1 0 1 0 | y 4 . - 1 0 -1 | 2 y1 . . .y 4 0 0 0 | 3 y1 . .2 y 4 + y 2 0 0 1 | y1 . - 1 1 -1 | y1 0 2 0 | y 2 + y1 0 0 -1 | y 3 ..y 3 . .y3.y1 Para que existan las imágenes el sistema debe tener solución.y1 0 1 0 | y 4 .y4)∈ } 4 229 .. .y 3 0 1 0 | y 4 ..2y4–3y1. .2 y 4 + y 2 0 0 -1 | y 3 .y 4 0 0 0 | 3 y1 . debe cum- plirse que: 3y1–2y4+y2 = 0 Ÿ Im (T) ={y = (y1. Transformaciones lineales 1 1 -1 | y1 1 1 1 | y2 1 1 -2 | y3 1 2 -1 | y4 .y1 .y1 . - 1 0 0 | 3 y1 . x1 +2x2–x3) = (0.0.0.2y4.(0.0) + (0.1. Para determinar el núcleo planteamos: T(x1.0.0)} Ya demostramos que B es sistema de generadores.0).1). 230 .0) + Į2.(0.0.0.x2.0.(0.2y4–3y1.–3.(1.0.1.0.0. ° α3 = 0 ¯ B = {(1.y3.0.2.2.–3y1.x1 + x 2 + x 3 = 0 Ÿ ® ° x1 + x 2 .(0.0)} es una base de Im (T). Dim Im (T) =3.0.x 3 = 0 ° ° .(1. para asegurar que es una base.0) Ÿ ­ α1 = 0 ° ®− 3α1 + 2 α 3 = 0 Ÿ Į1 = Į2 = Į3 = 0 Ÿ los vectores de B son L.0.–3. teniendo en cuenta que trabajamos con el sistema homogéneo asociado.I.y3.x1–2x3 + x2. Alejandro García Venturini Buscamos ahora una base y la dimensión de Im (T) (y1.y4) = = y1.0) + (0.0) + y4.x3) = (0.(0.0.1.0.0.0).0.(0.0) = (0.(0.0.1) + y3.I.y4) = (y1.2.x 3 = 0 Para calcularlo analizamos la última tabla del sistema de ecuaciones ya resuelto.(0. debemos demostrar que es L.2 x 3 = 0 °¯ x1 + 2 x 2 .1.0) ­ x1 + x 2 .1).0.0.0) Ÿ B = {(1.1) + Į3.x2 + x3–x1.0.0) (x1 +x2–x3.0. Į1.2.–3.–3. .x2. . n(T) + r(T) = 0 + 3 = 3 = dim V c) T: 2 → 2 / T(x1.0.0.x2) = (x1+x2.x2) = (x1+x2.2)}. Transformaciones lineales 1 0 0 | 0 0 0 0 | 0 Ÿ (x1.2x1+2x2) = (y1. .Ÿ (y1. No tiene base.0) Ÿ N(T) = {(0.2y1)∈ 2 }={y1.x3) = (0.2)} Ÿ B={(1.(1.x2) = (x1+x2.2x1+2x2) Nuevamente buscamos primero la imagen ­ x1 + x2 = y1 T(x) = T(x1.0)} 0 0 1 | 0 0 1 0 | 0 Dim N(T) = 0. Dim Im (T)= 1 Para determinar el núcleo planteamos: ­ x +x =0 T(x1.y2) Ÿ ® Ÿ ¯2 x1 + 2 x2 = y2 1 1 | y1 2 2 | y2 .y2) ∈ Im (T) ⇔ y2 –2y1 = 0 ⇔ y2 = 2y1 1 1 | y1 0 0 | y2 − 2 y1 Ÿ Im (T) = {y = (y1.2x1+2x2) = (0.0) Ÿ ® 1 2 ¯2 x1 + 2 x2 = 0 231 . –1)} Ÿ B = {(1. 1 1 | 0 0 0 | 0 x2 = –x1 Ÿ N(T) = {x = (x1.–1)} Dim N(T) = 1.(1. n(T) + r(T) = 1 + 1 = 2 = dim V § x11 x12 · d) T: 2x2 → 4 / T(x) = T ¨ ¸ = (x21. Alejandro García Venturini Para calcularlo analizamos la última tabla del sistema de ecuaciones ya resuelto.x11+x21+x22) = (y1.y4) Ÿ ¨x x22 ¸¹ © 21 ­ x21 = y1 ° ° − x21 = y 2 ® ° x11 + x22 = y3 °x + x + x = y ¯ 11 21 22 4 232 .x11+x22.x11+x22.–x21.y3. teniendo en cuenta que trabajamos con el sistema homogéneo asociado.y2.–x21.–x1) ∈ 2 }={x1.x11+x21+x22) ¨x x22 ¸¹ © 21 Empezamos por la imagen: § x11 x12 · T(x) = T ¨ ¸ = (x21. Transformaciones lineales 0 0 1 0 | y1 0 0 -1 0 | y2 1 0 0 1 | y3 1 0 1 1 | y4 .. . ..–y1. .y1+y3) ∈ 4 ® } ° y 1 = y1 ° y =y ¯ 3 3 233 . - 0 0 1 0 | y1 0 0 0 0 | y2 + y1 1 0 0 1 | y3 1 0 0 1 | y4 − y1 . por lo tanto: 1 1 0 0 | 0 ­ y 2 + y1 = 0 ® Ÿ −1 0 −1 1 | 0 ¯ y 4 − y1 − y 3 = 0 − − − − − − ­ y 2 = − y1 ° ° y 4 = y1 + y3 Ÿ Im (T) = { y = (y1. . .y3. . - 0 0 1 0 | y1 0 0 0 0 | y2 + y1 1 0 0 1 | y3 0 0 0 0 | y4 − y1 − y3 Para que haya imagen el sistema debe tener solución. (0.1) = (0. x21 = 0 Ÿ N(T) = ® x = ¨ ¸ ∈ ℜ 2 x 2 °¾ °̄ ¨© 0 − x11 ¸¹ °¿ § x11 x12 · § x11 0 · § 0 x12 · § 1 0· § 0 1· ¨ ¸ =¨ ¸ +¨ ¸ = x .1) + (0. ¨¨ ¸¸ Ÿ ¨ 0 −x ¸ ¨ 0 −x ¸ 0 ¨ ¸ ¨ © 11 ¹ © 11 ¹ © 0¹ © 0 −1¹ ©0 0¹ ­§ 1 0 · § 0 1·½ B= ®¨¨ ¸¸.2)} sea base de N (T) y {(–1.0. ¯© 0 − 1¹ © 0 0 ¹¿ 2) Construir una T: 2x2 → 2 / {(1.–1.0. Alejandro García Venturini Buscamos una base y la dimensión de Im (T) (y1. 2 Buscamos una base de .1.(0.0. Hay infinitas T.y1) + (0.0.0. que cumplen con las condiciones establecidas.0) Ÿ Į1=0 ∧ Į2= 0 Ÿ B es una base de Im (T) Dim Im (T) = 2.–y1.0.0.¨ ¸¸ + x12 .1.0.1.y1+y3) = (y1.–1.y3.1)} sea base de Im (T).1) + y3. 234 . tomamos la última tabla del sistema de ecuaciones ya resuelto: 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 | 0 1 0 0 1 | 0 0 0 0 0 | 0 ­° § x11 x12 · ½ Ÿ x11 = –x22.–1.0. Į1.(1.1) Ÿ B = {(1.(1. ¨¨ ¸¸¾ Ÿ Dim N(T) = 2.I. Ahora buscamos el núcleo. bus- camos una de ellas.y3.y3) = y1.1) + Į2.–y1.0.1)} Verificamos que B es L.L. 1.(1.2) + ß.1) son L.1).2) ∈ N (T) Ÿ T(1.1). con (1.2) y (0.1.(1. debemos expresar Į y ß en función de x1 y x2. Buscamos ahora la T. es T(x1.–2x1+x2) Ÿ T: 2 → 2 / T(x1.) Ÿ T(0.(0.2).x2) = x1.0) + (–2x1+x2). (0.0.–1.I.–2x1+x2) 3) Construir una T: 4→ 3 / {(1.2)} es base de N (T) Ÿ (1.T(1. buscamos una de ellas.(0. que cumplen con las condiciones esta- blecidas.1).1) (porque (1.I. 2 Para obtener la T. por ejemplo.L.L.1) = (2x1–x2.1).0. Transformaciones lineales Si {(1.2).2) = (0.2) + (–2x1+x2).L.L. Sabemos que hay infinitas T.(–1.: Para eso primero expresamos un elemento cualquiera (x1. (x1.x2) = (2x1–x2. v = (0. Elegimos como v un elemento que sea L.2) + (x2–2x1).–1.(1. Tomamos.0). 235 .(0. 4 Buscamos una base de .I.2) + (–2x1+x2).1) ¯2Į + ȕ = x2 La T. Si {(–1.1)}. necesitamos una base del espacio de salida ( ).1) = (–1. T(0. ­ Į = x1 ® Ÿ Į =x1 y ß = x2–2x1 Ÿ (x1. Para obtener una base del espacio de salida a la base del núcleo se le agregan tantos vectores como sea necesario siempre que sean L. para que ambos 2 puedan constituir una base de .1)} sea base de N (T) y {(2.0).(0.x2) = Į.1)] = = x1.(0.(0.1) = x1.1)} es base de Im (T) Ÿ ∃v∈ 2 / T(v) = (–1.x2) del espacio de salida en función de la base.1)} sea base de Im (T).x2) = T [x1. con la base del núcleo. 2 Una base de es B = {(1. (0.1) + Į3.0.–1.x2. para que los cuatro puedan constituir una base de 4.0.0) Si {(2.0. x4.0.0) + Į4.1. con (1.0) = (2.0) y v2 = (1.I. Para obtener una base del espacio de salida a la base del núcleo se le agregan tantos vectores como sea necesario siempre que sean L.1).1)} es base de N (T) Ÿ (1.x3.) Ÿ T(0.–1.(0.0) ∧ (0.L.0.1.(1.x4) del espacio de salida en función de la base.x3. por ejemplo.1.0.: Para eso primero expresamos un elemento cualquiera (x1.1.1)} es base de Im (T) Ÿ ∃v1 ∧ ∃v2 ∈ 4 / T(v1) = (2.0. necesitamos una base del espacio de salida ( 4). con la base del núcleo.I. (0.0) = T(0.0.1).1.0).0) + + (x1 – x2).0).0) son L.1.1).0.(1.0) y (1.0.0).0.(0. x2.(0. Elegimos como v1 y v2 a elementos que sean L.(1. debemos expresar Į1.1.(0.1. Į2 = x4.(1.0.0. Į3 y Į4 en función de x1.0).I.x2.0. x3.x4) = Į1. Alejandro García Venturini Si {(1.–1.0.0. Į2.1) = (0.0.1.–1.1.1).x3.0.0.1) ∧ T(1.0.0. (0.1.(0.0.1.0).0)} Buscamos ahora la T.1. ­ Į1 + Į 4 = x 1 ° ° Į1 = x 2 ® Ÿ Į1 = x2. es: 236 .0.0) + Į2.0.0.0) + x4.1.1.1)∈ N (T) T(1.(0.1) Para obtener la T.0.1.1.x2.0.0) = (0.L.0.(0.L.0) ∧ (0.0).1) + (x3 – x4). (x1. v1 = (0.0. La T.0.–1.0.1.1.1.0.(1.1.x4) = x2. Į3 = x3 – x4 ∧ Į4 = x1 – x2 Ÿ °Į 2 + Į 3 = x 3 °¯ Į 2 = x 4 (x1.–1.0) (porque (1. Tomamos.0. 4 Una base de entonces es B = {(1.1.1).1) ∧ T(v2) = (0.0.0. 1) + (x3 – x4).1.x2.x2 +(2x2 – x3).¨ x2 ¸ = ¨ a2 ¸ Ÿ ® 2 x2 − x3 = a1 ¨ 1 1 − 1¸ ¨ x ¸ ¨ a ¸ ° x + x − x = a © ¹© 3¹ © 3¹ ¯ 1 2 3 0 237 .0.1)=(3.(1.0) = x2.0.(0.(0.1. ¨ x2 ¸ = ¨ a2 ¸ } 2 3 ¨ x ¸ ¨a ¸ © 3¹ © 3¹ § 2 0 3 · § x1 · § a1 · ­ 2 x1 + 3 x3 = a2 ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ 0 2 − 1¸.1) = 2.0) – 1.0) = (0.(1.0.0.T(0.T(0.0) = (2.0.0) – 1.0.1.1.x4) = x2.x3.(0.(0.–1)=3.0.1) Ÿ A= ¨ 0 2 − 1¸ ¨ 1 1 − 1¸ © ¹ Buscamos la imagen utilizando la matriz asociada a la transformación lineal: § x1 · § a1 · ¨ ¸ ¨ ¸ Im(T) = {y = a2.x1+x2–x3).0.(0.0.(0.x4) = (2x3 –2x4.0) + 0.a1.x1–x2+x3–x4) T: 4 → 3 / T(x1. Para facilitar el trabajo podemos asociar el polinomio a la n–upla: (2x1+3x3.1)} T(1.x2.0.–x1+x2 – x3 + x4.0.0) + 1.1) + (x1 – x2).0.L.1.x +(x1+x2–x3).1) = (2x3 –2x4.0) + x4.(0.(1. respecto de las bases canóni- cas: Bv = Bw = {(1.0). Transformaciones lineales T(x1.(0.1) T(0.1) = 0.0) + 1.x1–x2+x3–x4) 4) Dada T: 3→ P2 / T (x1.x2.0.1.–1.x + a1.0.0) + + (x1 – x2).(2. Clasificarla y si es posible hallar T–1.0) + 2.a0) ∈ P2 / ∃x∈ : A.–1.T(1.0. hallar N(T) e Im(T).1.(0.0) + (x3 – x4).(0.0. Planteamos la matriz asociada a la T.x +a0 = (a2.0.–x1+x2 – x3 + x4.x3) = (2x1+3x3).x3.T(1.1) §2 0 3 · ¨ ¸ T(0.2x2 –x3.0.–1.2.0) + x4. T–1oT y ToT–1.(0.1.0). trabajando con la matriz asociada a la transformación lineal. x2. - 0 8 0 | 5a1 + a2 − 2a0 0 −2 1 | − a1 1 −1 0 | a0 − a1 . .0)} § 2 0 3 · § x1 · § 0 · ­ 2 x1 + 3x3 = 0 ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ° Ÿ ¨ 0 2 − 1¸. .x2.x3)∈ / A.x3) = (0.0.. Alejandro García Venturini 2 0 3 | a2 0 2 −1 | a1 1 1 −1 | a0 . ... 3 Buscamos ahora el núcleo N(T) = {(x1. - 0 1 0 | 5 8 a1 + 18 a2 − 14 a0 0 0 1 | 1 4 a1 + 14 a2 − 12 a0 1 0 0 | 3 4 a0 − 83 a1 + 18 a2 este sistema siempre tiene solución por lo tanto el conjunto imagen es el conjunto P2. - 0 −2 5 | a2 − 2a0 0 2 −1 | a1 1 1 −1 | a0 . Como el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada.¨ x2 ¸ = ¨ 0 ¸ Ÿ ® 2 x1 − x3 = 0 ¨ 1 1 − 1¸ ¨ x ¸ ¨ 0 ¸ °x + x − x = 0 © ¹© 3¹ © ¹ ¯ 1 2 3 238 .(x1. . la transformación es sobreyectiva. . . 0 1 0 0 0 0 1 0 Ÿ (x1.x2.[x]) = (A–1.x2 + a1.0.x2.x2.x2.x3)] = f –1 (A.x2 + a1.x3) = (x1. § a2 · § a2 · ¨ ¸ ¨ ¸ f : P2 → –1 3 / f ¨ a1 ¸ = A–1. 1 0 0 0 La transformación lineal es por lo tanto biyectiva Ÿ admite transforma- ción lineal inversa.0) Ÿ T es inyectiva.[x] = [x] ∧ ҏf –1o f : 3→ 3 / f –1o f (x1. a = ¨ 8 8 4¸ ¨ 1 ¸ ¨ 8 ¸ ¨ ¸ ¨1 1 − 1 ¸ © a0 ¹ ¨ a2 + a1 − 2a0 ¸ © 4 4 2¹ ¨ ¸ © 4 ¹ Calculamos ahora f –1o f f –1o f : 3→ 3 / f –1o f (x1.[x] = I.x3) = f –1 [f (x1.x3).A).x3) = (0.[x]) = = A–1 (A. De la misma manera se demuestra que: f o f –1: P2 →ҏP2 / f o f –1 (a2. Analizamos la última tabla.x + a0) = a2. Transformaciones lineales que es el sistema de ecuaciones homogéneo asociado al sistema utili- zado para calcular la imagen.x2.x + a0 239 . –1 ¨ a1 ¸ ¨a ¸ ¨a ¸ © 0¹ © 0¹ § a2 − 3a1 + 6a0 · §1 −3 3 · §a · ¨ 8 ¸ ¨ 8 8 ¸ 4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ ¨ a2 + 5a1 − 2a0 ¸ = ¨1 5 − 1 ¸ . .T(X) Veamos entonces los siguientes ejemplos: A) Transformación de un vector de producción en un vector de insumos Un fabricante produce artículos X1.…. . x2. xn para los cuales utiliza insumos Q1.…. 240 . Buscamos entonces una función que. queremos obtener las cantidades de cada insumo que podemos expresar a través de la matriz columna Q (vector de insumos).(α. Xn en cantidades x1. Se puede obtener así la matriz A de requerimientos de insumos. a partir de la matriz X∈ nx1 nos permite obtener la matriz Q∈ mx1.X. donde cada aij representa la cantidad de insumo Qi que se requiere para producir una unidad del producto Xj § a11 a12 .X) = α. Demostración 1) T(X+Y) = A. se puede demostrar que T: nx1→ mx1 / T(X) = A.a 2 n ¸ A =¨ ¸ ¨ .Y = T(X) + T(Y) 2) T(α.(X+Y) = A. qm.a1n · ¨ ¸ ¨ a 21 a 22 .X) = α..X + A.. es una T.a mn ¹ Si las cantidades que se quieren producir de cada artículo se expresan a través de la matriz columna X (vector de producción).L.. X2. ¸ ¨¨ ¸¸ © a m1 a m 2 ..…. Qm en cantidades q1. si se consideran los espacios vectoriales nx1 y mx1 . q2.( A. Q2.….X) = A. Dada la matriz A∈ mxn.. Axel Kicillof APLICACIONES ECONÓMICAS Veamos ahora algunas aplicaciones a la economía que tienen las trans- formaciones lineales... ¸ © a m1 a m 2 .¨ ¸ = ¨ ¸ ¨ . La matriz de requerimientos de insumos es: § 1 2 1· A = ¨¨ ¸¸ © 2 1 3¹ Buscamos la transformación lineal que nos permitirá encontrar la matriz Q. ¸ ¨ .L.X = Q.¨ 20 ¸ = ¨¨ ¸¸ ¨ 30 ¸ © 2 1 3 ¹ ¨ 30 ¸ © 130 ¹ © ¹ © ¹ Por lo tanto se utilizarán 80 unidades del insumo 1 y 130 unidades del insumo 2. expresados en la matriz columna X (vector de producción). ¸ ¨ .….. § 10 · § 10 · ¨ ¸ § 1 2 1 · ¨ ¸ § 80 · T( X ) = T¨ 20 ¸ = ¨¨ ¸¸. T: 3x1 → 2x1 / T(X) = A.X = Q.... 20 y 30 respectivamente. Tenemos también la matriz A de requerimientos de 241 . § x1 · § q1 · § a11 a12 . xn. Transformaciones lineales Dicha función es una T. a 2 n ¸¨ . x2... ¸ ¨ . ¸ T ( x )= ¨ ¸.. a1n ·¨x ¸ ¨q ¸ ¨ ¸¨ 2¸ ¨ 2 ¸ ¨ a 21 a 22 . ¸¨ .. B) Transformación de un vector de producción en un vector de gastos Supongamos que una empresa tiene que producir bienes X1. y es la siguiente: T: nx1 → mx1 / T(X) = A.…. . X2 y X3 en cantidades 10. Xn en cantidades x1. a mn ¹ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © xn ¹ © qm ¹ Ejemplo Una empresa produce 3 artículos X1. X2. ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ . Queremos obtener la matriz G de gastos que es la matriz columna que indica el total pagado por cada uno de los insumos. Buscamos entonces una función que. ¸ ¨ ... . Los aij representan ahora el precio del insumo i para producir una unidad del bien Xj.L. Dicha función es una T. y es la siguiente: T: nx1→ mx1/ T(X) = A. a 2 n ¸¨ . Axel Kicillof pagos de insumos.. ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ..L. a partir de la matriz X∈ nx1 nos permita obtener la matriz de gastos G∈ mx1. ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ . ¸ ¨ .. y es la siguiente: T: nx1→ mx1 / T(X) = A.¨ ¸ = ¨ ¸ ¨ . ¸ ¨ .. ¸ ¨ . a 2 n ¸¨ . Buscamos entonces una función que. ¸ © a m1 a m 2 .. ¸ T ( x )= ¨ ¸..¨ ¸ = ¨ ¸ ¨ .X=G.. ¸ T ( x )= ¨ ¸. queremos obtener las cantidades de cada insumo que podemos expresar a través de la matriz columna Q (vector de insumos).. Dicha función es una T.. ¸ ¨ . ¸¨ . a partir de la matriz X∈ nx1 nos permite obtener la matriz Q∈ mx1.. .. a1n ·¨x ¸ ¨q ¸ ¨ ¸¨ 2¸ ¨ 2 ¸ ¨ a 21 a 22 . a1n ·¨x ¸ ¨ g ¸ ¨ ¸¨ 2¸ ¨ 2 ¸ ¨ a 21 a 22 .. ¸ © a m1 a m 2 .. a mn ¹ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © xn ¹ © qm ¹ Si las cantidades que se quieren producir de cada artículo se expresan a través de la matriz columna X (vector de producción). § x1 · § q1 · § a11 a12 . ¸ ¨ . ¸¨ . § x1 · § g1 · § a11 a12 .. a mn ¹ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © xn ¹ © g m ¹ 242 .X = Q. 1.300 ¸ © ¹ ¨5 ¸ © 300 ¸¹ ¨ ¸ © 1 1 ¸¹ ¨1. 200 y 300 que utilizan 4 insumos cuyos precios están dados por la siguiente ma- §2 1 1· ¨ ¸ ¨2 2 3¸ triz A de requerimientos de pagos de insumos: A = ¨ .500.¨ 200 ¸ = ¨ ¨ 300 ¸ ¨ 4 3 1¸ ¨ 1. §2 1 1· § 700 · § 100 · ¨ ¸ § 100 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨2 2 3¸ ¨ ¸ ¨1. T: 3x1→ 4x1 / T(X) = A. 1. Transformaciones lineales Ejemplo Una empresa produce 3 bienes X1.000 unidades monetarias respectivamente en cada insumo. X2 y X3 en cantidades 100. 4 3 1¸ ¨ ¸ ¨5 1 1 ¸¹ © Buscamos la transformación lineal que nos permitirá encontrar la matriz G. 243 .300 y 1.X = G.000 ¸ © ¹ Por lo tanto se invertirán 700.500 ¸ T( X ) = T¨ 200 ¸ = ¨ . x2–2x1) g) T: 3 → 3 / T (x1.x1–x2.0) b) T : → 2 / T(x 1.x2+3) e) T: 3 → 2 / T(x1.B donde B = ¨¨ ¸¸ © 0 1¹ e) T: 4 → 2 / T (x1.3x) g) T: 2 → / T (x1.0) d) T: 2 → 2/ T(x 1.x3) = (x3.x 2) = x1 +x2 c) T: 3 → 2 / T(x1. una base cada uno.x 2) = (x1–x2.x2.0) f) T: 2 → 3 / T (x 1.x2) = x1–x2 h) T: → 2 / T(x) = (x. Verificar el teorema de la dimensión. la imagen.x2. hallar el núcleo.x4) = ¨ ¸ ¨ x1 − x3 ¸¹ © 2) Dadas las siguientes T.x2) = (x1.x3) = (x1–x2.x2) § 1 2· d) T : 2x2 → 2x2 / T(A) = A.x3) = (x3–x2. x22) 2 c) T: 2 → 2 / T (x 1.x2+x3) § x1 x 2 · j): 2x2→ / T ¨ ¸ = x2 + x3 ¨ x x ¸ © 3 4 ¹ k) T: 2x2 → / T(A) = A Ҙ Ҙ l) T: 2→ 3 / T(x1.x2.x 2) = (x1. Alejandro E.0) b) T : 2 → / T(x1. la nulidad y el rango. García Venturini EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determinar cuáles de las siguientes transformaciones son lineales: a) T: 2 → 2 / T (x1 .x2.x3) = (x1+1. –2x1+3x2.x4) = (x1–x2–x3+x4.x2) = (x1–2.x2.3x2) § x3 + x 4 x2 · m) T: 4→ 2x2 / T(x1.L.x2.x2) = ( x12 . x 2) = (x1 .x2) = (x1+x2.x3. x1+ x2) f) T: → 2 / T(x) = (2x.x1–3x2+x3) h) T: 3 → 2 / T (x1. a) T: 2 → 2 / T(x 1.x3.x2.x3–x2) 244 .x3) = (x3.0.x2.1) i) T: 3 → 2 / T(x1. 2). si no justifique porqué no existe. T(0.0.0).–1.0) = (–1.1) = (0. T(0.2.3) =3? Si existe.2) y T(2.3) y T(0.0. T(0.0) = (2.0) 245 . a) expresarla b) hallar T(2. –1).0) = (0.0.0) = (1. 7) ¿Existe una T.2. encontrarla.2) = –2.3).–1) = (–2.4).–1.2). T : 2 → 2 / T(1. –2).1) = (5.4). T (1.0.1) c) T: 3→ 2 / T(1.L. encontrarla.L.–1.–1.1) y T (–1.2) = (–3.1) = (–2.0. T(0.1. T: 2→ 2 / T (1.2) = (–1.0). 9) Extender por linealidad a todo el espacio las siguientes T.1) = (1. Transformaciones lineales 3) Probar que existe una única T.L.2).L.1.x2) = (0.3).0) = (–1.1) = (1.0.2.1.1)? Si existe.L. y T (1. –3) d) T: 3→ 4 / T(0.–2.0) = (1.0) = (–1.2) = (3.3).3) c) ¿qué pares (x1.1.5. si no justifique porqué no existe. T: 3→ / T (1. T (–1. T(0.3). T (1.–1). T: 3→ 2 / T (1.0) = (–1.5) y T(–3.2) = (3. si no justifique porqué no existe. T(0.0.0)? d) hallar Im(T) 4) Dada la T. 5) Probar que existe una única T.1).1. T: 3 → 2 / T(1.1) = (0.2) y T(4. encontrarla. T(–1. T: 2→ 3 / T(1.0) = (1.x2.1)? Si existe.2).-1. 8) ¿Existe una T.L.0.x3) = (0.2.1. T (1.L.1.3.0) = (0. T (–1.0.x2.1.x2) cumplen que T(x1. hallar T(3.1.2) c) ¿qué terna (x1.0) = (1. a) expresarla b) hallar T (4. defini- das sobre las bases indicadas a) T: 3 → 3 /T(1.0.0)? 6) ¿Existe una T.x3) verifican que T (x1.1) = (2.1) = (2.3) b) T: 2→ 3 / T(1. 0)}.x2.3)} 12) Sea T: 3→ 2 /T(1.2.–3.x3) = (x1–x2+2x3. (1.1.4x1–2x2+6x3. una base de cada uno.1.2) b) T: 3 → 3 / T (1. hallar la matriz que caracteriza a la transformación lineal.1) = (2. (2. b) imagen. Hallar núcleo. la imagen.0) = (0. T (–1.1) = (2. T(–1.x2. una base de cada uno. nulidad y rango.1) = (1.1.–2) T2(1.1).1) = (4. 11) Hallar la matriz asociada a cada una de las siguientes transforma- ciones lineales considerando las bases canónicas a no ser que se in- dique otra.0) = (5. (1. 13) Dada T: nxn → nxn / T(A) = A–At. 14) Dadas las siguientes T.1) = (–2. hallar: a) núcleo. Alejandro E. (1.1. T(–1.0.–2).1.1.4) T2(0.2x1-x2-x3.x2.1).x3) = (x1-x2.x3) = (x1–x2+x3.1) T1 (–1.2. 3 2 Bv={(1. (2.0) = (–3.2.0) = (3. (3.–6x1+3x2–9x3) d) T: 32 → / T (x1.1) = (0.2x1+x2).2.1) = (2.x2+x3. la nulidad y el rango. Bw={(1.0). Determinar si definen la misma transformación lineal si se sabe que: T1 (1.4)}.0.–7).0.-x1+x2) b) T: 3 → 4 / T (x1.5) y Bv={(1.2) = (1.–2x1+2x2–2x3) e) T: 33 → / T (x1.0. Bw={(2.-x1+x2+2x3) c) T: 3 3 → / T (x1. (3.x2.x2) = (x1–2x2.x3) = (2x1–x2+3x3.–1) 246 . hallar el núcleo.0) y T(2.0.1.2.x2.0.4).–2).1. a) T: 2 → 2 / T (1.–1.0.0) = (1.–2) T1 (1.x2–3x3).5x1–x2+8x3) f) T: 22 → / T (x1.1).–3) Si fuesen la misma transformación lineal indicarla.–1).2)} g) T: → / T (x1. Bv={(1.3.–1.1) = (4.1). a) T: 2 → 2 / T (x1. T(1.2)}.4.0).3x1+x2+4x3.x3) = (2x1+x2+x3. imagen.x2) = (x1-2x2. (1. Bw={(1.1. García Venturini 10) Sean T1 y T2 dos transformaciones lineales definidas de 3→ 3.1.–2).–4) T2(1.L.1)}. I.I. en W.x3) 17) Dadas las siguientes T.vn} es un conjunto de vectores L. cuales epimorfismos.2)} sea base de N (T) y {(1. en W. x1+x2. en V. en V. b) Si T: V → W es una T..–x2) T3: 3 → 3 / T (x1. hallar a) T1oT2(x).L. b) T2oT3(x). es inyectiva ⇔ N(T) = {0v}.x3+ x1) f) T: 3 → 3 / T (x1.x3) = (x1+x3.L.x3) = (x2. 247 . 16) Dadas las siguientes transformaciones lineales probar que son automorfis- mos y hallar sus inversas a) T: 2 → 2 / T (x1.L..I.x2 + x3) 18) Probar que: a) Si T: V → W es una T.L...x3) = (x1+x2.–x2) e) T: 3 → 3 / T (x1.. d) Si T: V → W es una T.I. entonces { v1.....x3) = (x3.. x2+x1.–x3. entonces su imagen es un conjunto de vectores linealmente dependiente en W.x2.v2..x1–x2) c) T: 3 → 3 / T (x1. inyectiva y {v1.x2+x3. 19) Construir una T. c) verifi- car que la matriz asociada a la transformación lineal compuesta es el producto de las matrices asociadas a cada transformación lineal en el orden correspondiente.x2. y {v1.–1)} sea base de Im(T).x2.v2..vn} es L.x2...x3) = (x1–3x2–2x3.x2–x1) b) T: 2 → 2 / T (x1. y cuales automorfismos. x1) T2: 3 → 2 / T (x1..vn} son vectores de V tales que sus imágenes constituyen un conjunto de vectores L..v2..L. Transformaciones lineales 15) Determinar cuáles de las transformaciones lineales del ejercicio dos son monomorfismos.v2.x2) = (2x1.L.x2) = (x1+x2.x2) = (x1+x2.x2–4x3.vn} es un conjunto de vec- tores de V linealmente dependiente.: 2 → 2 / {(–1.x2.–x3) d) T: 3 → 3 / T (x1. y {v1.x3) = (2x1.x2. entonces su imagen es un conjunto de vec- tores L. T1: 2 → 2 / T (x1. c) Si T: V → W es una T. b) de 3 → 3 .L. 24) Determinar la transformación lineal definida por la matriz A res- pecto de la base canónica. García Venturini 20) Construir una T. 21) Construir una T. (2.(0. indicar el núcleo y la imagen: §0 1 1 · § 1 1 −1 · ¨ ¸ ¨ ¸ a) ¨ 1 0 3 ¸.: 4→ 3 / {(1. 22) Construir una T. b) ¨ 3 − 3 − 3 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸ ©1 −2 1 ¹ © −2 4 2 ¸¹ 248 .L.1.: 2 → 3 / N(T) = {x∈ 2 / x1 + 2x2 = 0} y que Im (T) = 3.1) .–4.0). / N(T) = Im(T). 23) Construir una T. Alejandro E. a) de 2 → 2 .1.: 3→ 3 / N (T) = x∈ 3 /x1 + x2 + x3 = 0} y que Im (T) = {y ∈ 3 / y1 + y2 = y2 + y3 = 0}.1.0.0)} sea base de N(T) y {(3.L.1.L.–1)} sea base de Im(T). –4).0.–1)}.0). d) no.–x1).0)}. m) sí 2) a) N(T) = {(0. l) sí.0. x4). x2∈ } B = {(2. n(T) = 1 Im(T) = B = {(1)}.x2) = ¨ − x1 + x 2 . n(T) = 1 Im(T) = 2 B = {(1.y2. x3. r(T) = 1 f) N(T) = {(0 .0)}. g) sí.5) = (–2. e) sí. T(–3. x2. y1∈ } B = {(1.0). (1. k) no.0)}. c) no. y1∈ } B = {(1.0).–y2).x2). n(T) = 1 Im(T) = 2 B = {(1. ¨¨ ¸¸. n(T) = 1 Im(T) = {(y1.0).–4y1. f) sí.3) = (8.1.–1)}. r(T) = 2 § 7 1 · 3) a) T (x1.1)}.0) = (0. i) no. j) sí. r(T) = 1 b) N(T) = {(x1.0)}. x3∈ ∧ x4∈ } B = {(1.0.1)}. x1∈ } B = {(1.1. b) no.3) © 3 3 ¹ 2 c) T(0.0)}. No tiene base n(T) = 0 Im(T) = {(y1.x2).0).1)}. y1∈ ∧ y2∈ } B = {(1.0)}. h) no. x 2 ¸ b) T (2. x2∈ . x2∈ } B = {(0. r(T) = 2 g) N(T) = {(2x2.5). (0. r(T) = 2 ­§ 0 0 ·½ d) N(T) = ®¨¨ ¸¸¾ No tiene base n(T) = 0 ¯© 0 0 ¹¿ 2x2 ­§ 1 0 · § 0 1 · § 0 0 · § 0 0 ·½ Im(T) = N(T) = ®¨¨ ¸¸.x2.0. ¨¨ ¸¸.0) d) Im(T) = 249 . Transformaciones lineales RESPUESTAS 1) a) sí. x1∈ } B = {(1. ¨¨ ¸¸¾ ¯© 0 0 ¹ © 0 0 ¹ © 1 0 ¹ © 0 1 ¹¿ r(T) = 4 e) N(T) = {(x2+x3–x4. (0.1. r(T) = 1 c) N(T) = {(x1. n(T) = 3 Im(T) = {(y1. 2x1+3x2.x1–x2+2x3.0.x1–3x2) ­§ 1 − 2 ·½ 11) a) A = ®¨¨ ¸¸¾ . 3 8) Sí.0.–1.1. Alejandro E.x3) = (x2+x3. N(T) = {(0.0.2)} no es base.0. n(T) = 0 2 − 1 − 1¸ ¨ ¸ ¨−1 1 2 ¸ © ¹ Im(T) = {(y1.2) = (7.1.I. T(0. b) T (4.–1)}. no tiene base. y1∈ ∧ y2∈ ∧ y3∈ } B = {(1.2.0.0)}.x2–x3. (1.x2.1.x2.3)} no es base.x2.4x1–3x2+2x3).5.(0.x1+x2–2x3.–1) = ¨ .2.2x3+2x1.(–1.1). r(T) = 2 § 1 −1 0 · ¨ ¸ ¨0 1 1¸ b) A = ¨ .(0.y2.x3) = (x1–x2+2x3.0)} es una base de . no es L.3) = (–1. N(T) = {(0 .y1+y2–y3).1).1).G.0).–3x1) 10) Son la misma T. García Venturini §2 2 5· 4) T(3.x2.x2) c) T(x1. 9) a) T(x1.y3.–1). porque {(1.0)}.− ¸ ©3 3 3¹ 5) a) T (x1.2). x3 ¸ / x3 ∈ ℜ¾ ¯© 4 ¹ ¿ 6) No existe porque {(1.(1. no tiene base.3x1+4x2–3x3) d) T(x1. (0. n(T) = 0 ¯© − 1 1 ¹¿ 2 Im(T) = .3x3+2x2–2x1) b) T(x1.− x3 . T(x1. no es S.x2) = (x1.x2.1)}.x3) = (x1+x2.0..1). .5) ­§ 5 · ½ c) N(T) = ®¨ x3 .(4. 7) No existe porque {(1.x3) = (2x1–x2+5x3.x3) = (3x1+2x2–x3.L.2). (–1.0). r(T) = 3 250 . B = {(1.1. 2. N(T) = {(–x3. Transformaciones lineales § 2 −1 3 · ¨ ¸ c) A = ¨ 4 − 2 6 ¸ .5y1–y2) ∧ y1∈ ∧ y2∈ }.0).1. B = {(1.2y1. r(T) = 1 § 1 −1 1 · d) A = ¨¨ ¸¸ .x1+2x2.x2. r(T) = 2 ­§ 5 − 13 ·¸½° ° f) A = ®¨ 4 4 .(–1.x2) ∧ x1∈ ∧ x2∈ } © − 2 2 − 2¹ B = {(1. r(T) = 1 Im(T) = 2.3. B = {(1.3.0)}.–1)}.2x1+3x3. r(T) = 2 §1 12 − 5 ·¸ 12) A = ¨ 7 7 ¨0 − 3 10 ¸ © 7 7¹ 251 . r(T) = 1 Im(T) = {(y1–y2.3x3. r(T) = 1 § 1 −1 2 · ¨ ¸ e) A = ¨ 3 1 4 ¸ .1.0). B = {(1.3.1. N(T) = {(x1.0)}.0). ¨¨ ¸¸ ©5 −1 8 ¹ B = {(–3.x3) ∧ x1∈ ∧ x3∈ } ¨¨ ¸¸ ©− 6 3 −9 ¹ B = {(1.–2)}. N(T) = {(x1.1.x3) ∧ x3∈ } 5 ¨0 4 2 ¸ © 5 5¹ B = {(–2. (0.1)}.(0.2.–3y1). B = {(1.–3)}. N(T) = {(–3x2. r(T) = 2 Im(T) = {(y1.1)}.1)}. no tiene base.2x2) ∧ x2∈ }. r(T) = 2 Im(T) = {(y1.0). n(T) = 0 ¨5 3 ¸¾ °̄© 4 4 ¹°¿ 2 Im(T) = . (1. y1∈ }.5).1)}. N(T) = {(0 .3y1+y2 .–2y1). r(T) = 2 §1 7 16 · g) A = ¨ 5 ¸ . y1∈ }. B = {(1.(0.2)}. w2.x1+3x3. 1 ¸ © 2 2 ¹ c) T (w1. r(T) = 3 15) monomorfismos: d).2)}.− w1 ) § w1 − w2 + w3 w2 + w1 − w3 w2 − w1 + w3 · e) T-1(w1.–x1) ∧ x1∈ }. r(T) = 1 b) N(T) = {(0. García Venturini nxn 13) a) N(T) = {A∈ / A es simétrica} nxn b) Im(T) = {A∈ / A es antisimétrica} 14) a) N(T) = {(x1. 234-236 22) No existe porque dim 2 =2≠1+3 23) a) hay infinitas.0).w3) = (w2 + 3w2 + 14w3 .5.− w3 .–x3. B = {(1.w3) = (w2 + w3 .x2.0).x3) = (x1+x2–x3. f) epimorfismos: b).–1)}.w2) = ¨ 1 .0. . ¸ © 2 2 2 ¹ f) T-1(w1. w1 . (0. ¸ © 2 2 ¹ § w w − 2w2 · b) T-1(w1.− w3 ) -1 d) T-1(w1. c).0 .w3) = (w2 − w1 .. (0.3x1–3x2–3x3.L. n(T) = 0 Im(T) = 3.w2.w2.–2x1+4x2+2x3) N(T)={(x1.2y1) ∧ y1∈ }. B = {(1.1. b) no existe porque las dimensiones deberían ser 1. ver ejemplos resueltos en pág. d). no tiene base. w2 + 4w3 . n(T) = r(T) = 1.x1) ∧ x1∈ } Im(T)={(y2+y3.0)}.1.x1+x3) b) T2oT3(x) = (2x1+x3+x2.x3) 19) 20) 21) hay infinitas T. Alejandro E.w2.x3) = (x2+x3.x3) ∧ x3∈ } Im(T)={(y1.y2. 24) a) T: 3→ 3 / T(x1.0.w3) = ¨ .x2. w3 ) 18) a) T1oT2(x) = (x1+x3–x2.y3) ∧ y1∈ ∧ y3∈ } b) T: 3→ 3 / T(x1.y3) ∧ y2∈ ∧ y3∈ } 252 .w2) = ¨ . B = {(1.0)}.x1–2x2+x3) N(T)={(–3x3.y3+2y1 . r(T) = 1 Im(T) = {(y1. h) automorfismos: d) § w1 − w2 w2 + w1 · 16) a) T-1(w1. Capítulo 6 Programación Lineal Introducción. análisis de sensibilidad. El problema dual. costo de oportunidad. Método Simplex. Posoptimización: precios sombra. . Resolución gráfica de problemas de maximización y minimización. . Todo problema de programación lineal consta de estas 3 partes. c) una función que hay que optimizar (es decir obtener de ella un máximo o un mínimo) llamada funcional o función objetivo. La Programación Lineal es un modelo que se utiliza en Investigación Operativa y trata aquellos problemas que pueden ser expresados a tra- vés de relaciones lineales (es decir con exponentes iguales a 1) que vinculan a las distintas variables con los datos. la defensa. Inglaterra no sabía donde ubicar sus tropas. etc. Las tropas se debían ubicar de manera tal que pudieran acudir eficazmente a cualquier punto. benefi- cio. el comercio. Eso quiere decir: obtener el mayor beneficio. En el posible ataque de Alemania. b) restricciones de no negatividad (las variables no pueden ser negati- vas). que son las restricciones del problema. Se trata de la asignación de recursos limitados (de ahí las restriccio- nes) orientada a maximizar o minimizar alguna función: costo. ingreso. En un problema de Programación Lineal nos encontramos con: a) un conjunto de inecuaciones. Su objetivo es el asesoramiento en la toma de decisiones para obtener los mejores resultados posibles. Se trata de optimizar los resultados. Actualmente la Programación Lineal se utiliza para resolver proble- mas que se plantean en la industria. etc. PROGRAMACIÓN LINEAL Introducción El problema de la Programación Lineal forma parte de la Investiga- ción Operativa que tiene su origen en la segunda Guerra Mundial. 255 . etc. Veremos en primer lugar un ejemplo sencillo que podemos resolver gráficamente. el menor costo. el mejor ren- dimiento. 000 °10S + 20T ≤ 20.000 Cantidad de unidades 1. Por otro lado tenemos las restricciones de no negatividad (ninguna de las variables que interviene puede ser negativa). Alejandro E. Todos estos valores están dados por la siguiente tabla. Cada alimento tiene un costo de mano de obra y de materia prima. Además la venta de cada producto genera un beneficio. García Venturini Un ejemplo sencillo . 20.resolución gráfica Un frigorífico cría truchas y salmones.000 Materia prima 10 20 20. 256 . lo que si sabemos es que no podemos consumir más que los que tenemos disponible.000 para invertir en mano de obra.500 Beneficio por unidad 60 80 ¿̛Cuántas truchas y cuántos salmones conviene criar para obtener el máximo beneficio? Vemos que tenemos recursos escasos.000 °° ® S + T ≤ 1. Productos S T Disponibilidad Recursos Mano de obra 5 6 15. Toda esta información podemos expresarla como un sistema de in- ecuaciones: ­ 3S + 6T ≤ 15. Y además tenemos que obtener el máximo de la función beneficio. 15.500 es la capaci- dad máxima de producción. También hay una determinada capacidad de producción. Las desigualdades se deben a que no hay necesidad de consumir todos los recursos.500 ° S ≥0 ° °¯ T ≥0 En este sistema de inecuaciones tenemos expresadas las condiciones a) y b) señaladas.000 para invertir en materia prima y que 1. que se complica cuando el número de variables aumenta. En esto consiste básicamente un problema de programación lineal. aquel que haga máximo el beneficio. de todos los valores de S y T que satisfacen el sistema de inecuaciones. Resolución Las condiciones de no negatividad restringen el problema al primer cuadrante. Hay que buscar. que en este caso es un po- lígono convexo y cerrado (en otros casos es abierto). Los puntos que satisfacen todas las inecuaciones pertene- cen a la intersección de dichos semiplanos. por lo menos dos de ellas deben corresponder a vértices adya- centes del polígono de soluciones factibles y también serán extremo todas las soluciones factibles que sean combinación lineal convexa de los mismos. Si hay más de una solución factible que sea ex- tremo. Programación lineal Nos falta determinar cual es el funcional. 257 . Resolveremos este caso grá- ficamente y luego plantearemos el problema general de la programa- ción lineal y su forma de resolverlo: el método Simplex. Solución factible: es cualquier conjunto de valores de las variables que cumple con todas las restricciones. Teorema: si hay una solución única que maximiza o minimiza el fun- cional entonces tal solución corresponde a un vértice del polígono de soluciones factibles. La función beneficio es: B = 60S + 80T. Los puntos que satisfacen cada inecuación pertenecen a un semiplano. 000.000 En (1000.0) B = 60x0 + 80x0 = 0 En (0.500) B = 60x1000 + 80x500 = 100.0) B = 60x1500 + 0x0 = 90. Alejandro E. la fabricación de una moto requiere de 4 horas en la central 1 y 10 horas en la central 2. Evaluamos el funcional en cada vértice.000 En (1500. La manufactura de un triciclo requiere 6 horas de la central 1 y 3 horas de la central 2. si desti- nar las horas disponibles de cada central para producir motos o bici- cletas. ° T ≥ 0. Si el beneficio por cada triciclo es de U$S 45 y por cada moto es de U$S 55.000 salmones y 500 truchas y el beneficio asciende a 100. Otro ejemplo Un fabricante produce triciclos y motos. García Venturini Por lo tanto para determinar la solución óptima es necesario evaluar la función objetivo o funcional solamente para soluciones que corres- pondan a vértices del polígono de soluciones factibles. En (0. M ≥ 0 ¯ 258 . Acá estamos nuevamente frente a una asignación de recursos. los cuales se procesan a tra- vés de dos centrales de producción mecánica. Vemos que el polígono tiene 4 vértices. La primera tiene un máximo de 120 horas disponibles. Según el teorema la solución debe hallarse en uno de esos vértices. Cualquier otra combinación de truchas y salmones genera una ganancia inferior. Planteamos el sistema de inecuaciones: ­ 6T + 4 M ≤ 120 ° ®3T + 10 M ≤ 180 B = 45T + 55M es el funcional.1000) B = 60x0 + 80x1000 = 80.000 Lo que significa que la mayor ganancia se obtiene cuando se crían 1. determinar el número de triciclos y de motos que se deben fabricar para obtener el máximo beneficio. y la segunda tiene un máximo de 180 horas disponibles. se debe minimizar el funcional y el polígono es no acotado. Según el teorema la solución debe hallarse en uno de esos vértices. Éste asciende a 1.15) B = 45x10 + 55x15 = 1. También en la matriz figura la cantidad mínima que necesita una persona de cada vitamina para seguir una dieta equilibrada y el precio unitario de cada alimento. B y C en las cantidades que se indican en la matriz. Debemos determinar qué cantidad de cada alimento debe tener la dieta de tal manera que el costo de seguir la dieta sea el mínimo posible.18) B = 45x0 + 55x18 = 990 En (10. Programación lineal Donde T es el número de triciclos y M el de motos que han de produ- cirse. Alimentos X Y Cantidad mínima Vitaminas necesaria Vitamina A 3 1 12 Vitamina B 3 4 30 Vitamina C 2 7 28 Costo por unidad 3 2 Expresamos las inecuaciones y formamos la función objetivo.0) B = 45x0 + 55x0 = 0 En (0. Dos alimentos X e Y contienen vitaminas A. Vemos que el polígono tiene 4 vértices.275 dólares. que en este caso hay que minimizar.0) B = 45x20 + 0x0 = 900 T Vemos que el mayor beneficio se obtiene si se fabrican 10 triciclos y 15 motos. Ahora un ejemplo distinto Veremos ahora un ejemplo donde las restricciones son desigualdades de ≥. 259 . Evaluamos el funcional en cada vértice.275 En (20. En (0. Si la hay debe ser un vértice adyacente al dado. en caso de haber varios vértices adyacentes. Si no es óptimo entonces se pregunta a cual vértice adyacente puede pasar mejorando el funcional.6) z = 3x2 + 2x6 = 18 En (7. Evaluamos el funcional en los vértices.0) z = 3x14 + 0x0 = 42 Vemos que el menor costo que permite hacer la dieta es 18 consu- miendo 2 unidades del alimento X y 6 del alimento Y. Trata de pasar a aquel vértice adyacente que lo mejora lo más posible. MÉTODO SIMPLEX Cuando hay más de dos variables no se puede resolver el problema gráficamente y se debe recurrir a otros procedimientos. García Venturini ­ 3 x + y ≥ 12 °3 x + 4 y ≥ 30 ° ® el funcional es z = 3x +2y °2 x + 7 y ≥ 28 °¯ x ≥ 0 . y ≥ 0 Las restricciones ahora son de mayor o igual porque lo que hay que garantizar es el mínimo de vitaminas que exige la dieta. Vemos que el polígono ahora es no acotado y que hay 4 vértices.12) z = 3x0 + 2x12 = 24 En (2. Veremos ahora el método Simplex que consiste en ubicarse en una solución factible que a veces será el origen (no necesariamente) y preguntarse si la so- lución es óptima. En (0. 260 . aquel que de el mayor salto inmediato.2) z = 3x7 + 2x2 = 25 En (14. Representamos el polígono y de- terminamos los vértices en los cua- les luego hay que evaluar el fun- cional. Si no es única busca qué otras son óptimas. Si lo es se pregunta si es única. Alejandro E. A) Desigualdades de ≤ En general podemos plantear matricialmente este caso de la progra- mación lineal así: A. haciendo B = x1 y M = x2 el sistema queda: ° B ≥ 0. Programación lineal Al pasar a un nuevo vértice se repite el procedimiento. El método busca sobre los vér- tices. Los Cj indican el beneficio o la ganancia que se obtiene al vender una unidad del producto j. x ≥ 0 ¯ 1 2 Se transforma el sistema de inecuaciones en un sistema de ecuaciones porque es más sencillo trabajar con ecuaciones que con inecuaciones. ­ 6 B + 4 M ≤ 120 ° ®3B + 10 M ≤ 180 .X → maximizar donde A es la matriz de los coeficientes de las inecuaciones o restric- ciones. X es la matriz columna de las incógnitas o variables de decisión (productos a producir) y C es la matriz fila de los coeficientes de la función objetivo o funcional.X ≤ B X≥0 z = C. M ≥ 0 ¯ ­ 6 x1 + 4 x2 ≤ 120 ° ®3 x1 + 10 x2 ≤ 180 ° x ≥ 0. el de las bici- cletas y las motos. si alguno lo fuese se multiplica la inecuación por (–1). el cual se agota porque el número de vértices es finito. B es la matriz columna de los recursos (los elementos de B no deben ser negativos. 261 . es la contribución por unidad a la ganancia de cada producto. Veamos el siguiente ejemplo ya resuelto gráficamente. 20. Podemos expre- sar algunas variables en función de las otras. Si la desigualdad es de ≤ la variable de holgura se suma.–20. Alejandro E. en inglés). Al agregar más variables que ecuaciones queda un sistema de ecua- ciones con infinitas soluciones de la cual debemos buscar la óptima. si es de ≥ la variable de holgura se resta. por ejemplo S1={(10. Las variables de holgura. El sistema queda: ­ 6 x1 + 4 x 2 + s1 = 120 ® ¯3 x1 + 10 x 2 + s 2 = 180 Tenemos un sistema con m ecuaciones (m es el número de recursos o restricciones) y n+m variables (a las n variables originales se suman m variables de holgura). Si en la solución óptima la variable de holgura vale 0. Todas las variables deben además ser no negativas. ­ s1 = 120 − 6 x1 − 4 x2 ® ¯s2 = 180 − 3 x1 − 10 x2 262 .20. ese recurso está saturado (se ha utilizado totalmente). –50)} es solución pero no es factible porque tiene valores negativos. representan los recur- sos disponibles no utilizados. Hay tantas variables de holgura como recursos tenga el problema. En este ejemplo agregamos una variable de holgura a cada inecuación que denominamos s1 y s2 respectivamente. Solución básica Este sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. García Venturini Para ello se agrega a cada ecuación una variable positiva denominada de holgura (slack. En cambio S2={(10. Una solución factible es ahora un conjunto de valo- res que satisfacen todas las ecuaciones y las condiciones de no negati- vidad. Las varia- bles de holgura tienen coeficiente 0 en el funcional porque no contri- buyen al valor del mismo.20. en la solución óptima. Por ejemplo podemos despejar las variables de holgura y expresarlas en función de x1 y x2.50)}. En este caso tenemos dos ecuaciones (hay 2 recursos) y 4 variables (las 2 originales y las 2 de holgura). 0. Concepto de base en el simplex Al agregar las variables de holgura queda un sistema de ecuaciones cuya matriz de coeficientes es de orden m x n+m con m vectores co- lumna canónicos. entra una no básica y sale una básica. Se obtiene así una solución básica que es cualquier solución que se obtenga de hacer 0 n de las m+n variables. Obtenemos así una solución básica factible (básica porque dos variables son 0 y factible porque satisface todas las restricciones). 263 . Para empezar y obtener así la solución inicial del problema hacemos x1 = x2 = 0. variables no básicas. Se puede demostrar que la solución óptima de un problema de programación lineal es una solu- ción básica. Variable que entra hasta encontrar la base que optimiza el funcional. Las variables básicas son las que corresponden a los vecto- variables no res canónicos. La variable no básica que entra se transforma en variable básica y la variable básica que sale en variable no básica. Estos vectores canónicos Variable que sale constituyen una base de m. Las variables básicas iniciales son las que toman valores no nulos en la solución inicial.180)}. en este caso s1 y s2. En este caso variables básicas B = {s1. es decir que tiene n variables nulas. básicas siste en ir cambiando las va- riables de la base.s2}. Esta primera solución básica se denomina solución básica inicial y es S0 = {(0. Hay que determinar cuales son factibles y de ellas cuál optimiza el funcional. El método con. en la solución inicial.120. Las otras variables (x1 y x2) son. Programación lineal Si le asignamos valores arbitrarios a x1 y x2 vamos obteniendo las infi- nitas soluciones del sistema. es decir que contribuya a la ganancia con un mayor valor. x1 x2 s1 s2 bi 6 4 1 0 120 3 10 0 1 180 Cj 45 55 0 0 Partimos de la solución inicial: S0 = {(0. Dicha línea recibe el nombre de Cj (Cj son los coeficientes del funcional). Además. Al pasar a la tabla siguiente sale una variable básica y entra una varia- ble no básica que al entrar se transforma en variable básica. como ya vimos. las variables básicas iniciales son las variables de holgura. Se obtiene así la base inicial. Ci xi x1 x2 s1 s2 bi 0 s1 6 4 1 0 120 0 s2 3 10 0 1 180 Cj 45 55 0 0 264 . a la izquierda de la matriz se escribe una columna con los nombres de las variables básicas en la solución inicial (xi) y a su izquierda la columna de coeficientes que esas variables tienen en el funcional (Ci). Alejandro E.180)}.120. Así se van recorriendo los distintos vértices. Veremos luego como se determina cuál sale y cuál entra. Conven- drá que ingrese la variable no básica cuyo coeficiente en el funcional sea mayor. Debajo de la matriz se colocan los coeficientes del funcional que utili- zando todas las variables (las originales y las de holgura) queda z = 45x1 + 55x2 + 0s1 + 0s2.0. García Venturini En busca de la primera tabla del método simplex Una vez transformado el sistema de inecuaciones en un sistema de ecuaciones formamos la matriz de los coeficientes incluyendo los tér- minos independientes. es decir la contribución por unidad a la ganancia para las variables de la base. En la primera tabla del simplex. este valor debe ir aumentando. el cambio en el valor ac- tual del funcional si la variable en esa columna aumenta de valor en 1 unidad. En el caso de un máximo. Los zj arrancan de valores z0 (al inicio son todos 0 porque al no producirse nada no se pierde) y van variando conforme va cambiando la base. Ésta es la dife- rencia entre la pérdida (zj) y la ganancia (Cj) que se produce al fabricar una unidad más de xj. Programación lineal Pasamos ahora a la siguiente tabla. es decir que esa fila refleja la mejora neta que se da en la función objetivo por un aumento de una unidad de cada variable. Para la columna de los bi se obtiene el zj sumando los productos entre los Ci y los bi. Una es zj. Cada zj–Cj representa (con signo contrario). Por eso ingresa la variable a la cual le corresponde el negativo de mayor valor absoluto. Cuando todos los coeficientes son no negativos no se puede aumentar el funcional y se llegó a la solución óptima. En esta tabla aparecen dos filas más. que se obtiene sumando los productos de los coeficientes en la columna Ci (coeficientes de las variables de la base) por los coeficientes de la columna asociada con la variable respectiva. La última fila de la tabla (zj–Cj) es la resta de ambos. Si el problema es de minimización ingresa la variable a la cual le co- rresponde el positivo de mayor valor absoluto y el proceso se acaba cuando todos los coeficientes son no positivos. Los z0 (zj iniciales) se obtuvieron de la siguiente manera: para x1: 0x6 + 0x3 = 0 para x2: 0x4 + 0x10 = 0 para x3: 0x1 + 0x0 = 0 para x4: 0x0 + 0x1 = 0 para b: 0x120 + 0x180 = 0 Los zj correspondientes a las variables indican la pérdida que se pro- duce por cada unidad que se fabrica de cada producto (es el costo uni- tario de producción). 265 . El zj correspondiente a la columna de los bi indica el valor que va to- mando el funcional a medida que vamos pasando de un vértice a otro (ahora vale 0). 120 180 Se hace = 30 y = 18 . Los cocientes entre los bi y los coeficientes de la variable que entra representan el valor con que se incorporaría la variable a la base si sale la que corresponde a esa fila. Esa es la variable que debe salir porque al hacerse 0 se * Si no hay algún cociente no negativo y aún no se llegó a la solución (por haber zj–Cj negativos). La variable que entra. Alejandro E. Debemos determi- nar qué variable no básica entra y qué variable básica sale de la base para ir mejorando el funcional. Al haber valores de zj–Cj negativos el método continúa buscando un vértice adyacente que mejore el valor del funcional. de lo contra- rio se corre el riesgo de que la nueva solución no sea factible. el problema no tiene solución acotada. Falta determinar quién sale. 266 . Sale la variable a la cual le corresponde 4 10 el menor cociente. es la que le corresponde el mayor valor absoluto de los zj–Cj no positivos. por eso se toma el menor cociente. como ya vimos. Hay que determinar qué variable básica (s1 o s2) se hace primero 0 al ingresar x2. Para eso se divide cada valor de los bi por el coeficiente de la variable entrante (siempre que éstos sean no negativos*). Ver situaciones especiales en pági- na 292. Este valor conviene que sea lo más alto posible sin que ninguna varia- ble se haga negativa. Por eso que conviene que entre x2. En este caso entra x2 que pasa a ser variable básica. García Venturini Veamos la siguiente tabla y luego la analizaremos: Ci xi x1 x2 s1 s2 bi 0 s1 6 4 1 0 120 0 s2 3 10 0 1 180 → Cj 45 55 0 0 z0 0 0 0 0 0 z0–Cj -45 -55 0 0 ↑ En este caso por cada unidad de x2 que entre el funcional se incremen- ta en 55 unidades y por cada unidad de x1 que entre el funcional se incrementa en 45 unidades. la solución sería básica pero no factible: S={(0. Los vectores de la base forman siempre una matriz unitaria positiva. La columna del pi- vote se transforma en un vector canónico. las nuevas variables no básicas son s1 = x1 = 0 y s2 =–120.0.18.–120)}. En la matriz de la izquierda apa- rece ahora la variable que entró (x2) en lugar de la que salió (s2). las nuevas variables no básicas son s2 = x1 = 0 y s1 = 48. La intersección entre la variable que entra y la que sale determina un valor que se denomina pivote. s1 decrece 72 unidades y s2 decrece 180 unidades a partir de los valores iniciales 120 y 160. Si x2 fuese 30. s2 se hace negativa y estaríamos en una solución no factible. La nueva base es B = {s1. Veamos la si- tuación: s1 = 120–6x1–4x2 y s2 = 180–3x1–10x2. s2 = 0. Esto se verá reflejado en la siguiente tabla. Por eso x2 debe entrar con valor 18. es decir que se deben producir.48.x2}. por cada unidad de x2 que ingresa.30. en este punto. En este caso pueden entrar 18 o 30 unidades de x2. que s1 decrece 4 unidades y s2 10 unidades. La siguiente tabla de la derecha se obtiene aplicando a ésta el método de Gauss-Jordan visto en el capítulo de matrices. por lo tanto el funcional debe aumentar en 990 unidades. Programación lineal transforma en no básica. El 4 y el 10 en la columna de la variable entrante indican. Pero si x2 = 18. Queda S1 = {(0. la fila del pivote se divide por el pivote y el resto de los elementos se transforman aplicando la regla del rectángulo (ver página 32). 18 unidades de x2 y debe salir de la base s2 que pasa a ser variable no básica. En este caso es el 10 que se obtiene de intersecar la fila correspondiente a la variable que sale (s2) con la co- lumna correspondiente a la variable que entra (x2). Vimos que por cada unidad de x2 que entra el funcional aumenta en 55 unidades. s1 se hace 0.0)} que es una solución básica factible. por lo tanto como entran 18 unidades de x2. Ci xi x1 x2 s1 s2 bi 0 s1 24/5 0 1 -2/5 48 → 55 x2 3/10 1 0 1/10 18 Cj 45 55 0 0 z1 33/2 55 0 11/2 990 z1–Cj -57/2 0 0 11/2 267 . Si x2 = 30. Las varia- bles no básicas son x1 y s2. Para esta nueva solución el funcional vale 990. es decir x1. Entra la única variable a la que le corresponde un zj–Cj negativo. Nue- vamente hay que elegir la variable que entra y la que sale. sale la que le corresponde el cociente no negati- 24 3 5 10 24 vo más pequeño. Alejandro E. García Venturini Los zj se obtuvieron de la siguiente manera: 24 3 33 para x1: 0x + 55x = 5 10 2 para x2: 0x0 + 55x1=55 para x3: 0x1 + 55x0=0 § 2· 1 11 para x4: 0x ¨ − ¸ +55x = © 5¹ 10 2 para b: 0x48+55x18 = 990 Las variables básicas ahora son s1 y x2 que toman valores 48 y 18 res- pectivamente.x2}. = 60 . Ci xi x1 x2 s1 s2 bi 45 x1 1 0 5/24 -1/12 10 55 x2 0 1 -1/16 1/8 15 Cj 45 55 0 0 z2 45 55 95/16 25/8 1275 z2–Cj 0 0 95/16 25/8 268 . Estas variables toman valor 0 en la nueva solución.48)}. valores que se pueden leer en la columna bi. Como todavía hay valores de zj–Cj negativos debemos continuar.0. El pivote ahora es .18. Para determinar quién sale debemos efectuar los cocientes entre los bi y los coeficientes de la variable que entra (x1). es decir s1. 48 18 = 10 . Volvemos a trans- 5 formar la matriz de la derecha aplicando el método de Gauss-Jordan. A la base entre x1 que se convierte en variable básica y reemplaza a s1 que pasa a ser variable no básica. La nueva base es B = {x1. por lo tanto la nueva solución básica es S1 = {(0. Las variables de holgura. el vértice es el (0. Ésta se obtiene teniendo en cuenta los valores correspondientes a las variables originales. El vértice es por lo tanto el (10.18). Maximizar z = x1 + x2 sujeta a: ­ 2 x1 + 8 x 2 ≤ 24 ° 4 x + 3 x ≤ 16 ° 1 2 ® ° 10 x1 + x 2 ≤ 40 °¯ x1 ≥ 0. (0.0)}. s2 y s3 para trans- formar el sistema de inecuaciones en uno de ecuaciones. al no figurar en la base. es de- cir que s1 = s2 = 0. x1 y x2 no aparecen. ­ 2 x1 + 8 x2 + s1 = 24 ° ® 4 x1 + 3x2 + s2 = 16 . Otro ejemplo En este ejemplo partimos del sistema de inecuaciones. en ese caso s1. al no aparecer x1 ésta tiene valor 0. x 2 ≥ 0 Agregamos las variables de holgura. En la primera base.0).0). en este caso es 1275. Programación lineal Al ser todos los valores de zj–Cj no negativos (positivos o 0) hemos llegado a la solución del problema que es x1=10 y x2=15. por lo tanto sus valores son 0. El valor del funcional lo da el zj correspondiente a la columna de los bi. en la columna de los bi cuan- do éstas aparecen en la base. (10. el vértice es (0. Conviene producir 10 bicicletas y 15 motos. En la tercera base aparecen x1 y x2 con valores en la columna de los bi de 10 y 15 respectivamente. Tenemos 3 in- ecuaciones y 2 incógnitas. En la segunda base aparece x2 a la cual le corresponde en la columna de los bi el valor 18.15).15). La secuencia de los vértices que se recorrieron es: (0. Esto significa que todos los recursos están saturados.18). en este caso x1 y x2.0. La nueva solución es S2 = {(10. Veamos otro ejemplo. el nuevo funcional es z = x1 + x2 + 0s1 +0s2 +0s3 ° 10 x + x + s = 40 ¯ 1 2 3 269 .15. toman valor 0. 40:10 = 4). 16:4 = 4. Entra la variable x1 que se transforma en variable básica y sale la va- riable s2 que pasa a ser variable no básica. s2 y s3.0.0)}. s2. s3}. Entra la variable x1 (podría haber entrado x2 porque tienen el mismo valor de z2–Cj). Como hay valores negativos de los zj–Cj debemos pasar a otro vértice.0.40)}.16.0. Veamos como queda la nueva tabla.s3} y la solución es S1 = {(4. García Venturini Formamos la primera tabla para lo cual tomamos como solución inicial S0 = {(0.16. que es 4). es decir tomando como variables básicas iniciales a s1.0). el funcional vale 0. Esta se obtiene dándole a x1 y x2 valor 0. Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 0 13/2 1 -1/2 0 16 → 1 x1 1 3/4 0 1/4 0 4 0 s3 0 -13/2 0 -5/2 1 0 Cj 1 1 0 0 0 z1 1 3/4 0 1/4 0 4 z1–Cj 0 -1/2 0 1/4 0 ↑ 270 .24. El pivote es el 4 que corresponde a la intersección de la fila s2 (variable que sale) y la columna x1 (varia- ble que entra). La nueva base es B1 = {s1. El nuevo vértice es (4.x1. Alejandro E. Para determinar quién sale debemos efectuar los cocientes en- tre los bi y los coeficientes de x1 (24:2 = 12. El menor cociente no negativo corresponde a s2 (podría haber sido s3 porque tiene el mismo cociente.0). Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 2 8 1 0 0 24 0 s2 4 3 0 1 0 16 → 0 s3 10 1 0 0 1 40 Cj 1 1 0 0 0 z0 0 0 0 0 0 0 z0–Cj -1 -1 0 0 0 ↑ Estamos ubicados en el vértice (0. B0 ={s1. por lo tanto se ha llegado a la solución que es 28 32 60 x1= y x2 = y el funcional vale . s3=16. Agregamos las variables de holgura.65=2.75= 5. Veamos como queda la siguiente tabla al entrar x2 y ­§ 28 32 ·½ salir s1. corresponde a recur- 13 13 13 sos no utilizados.0.46.46. La nueva base es B2 = {x2. corresponden a recursos saturados. Tene- ­ 3x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 ° mos 2 inecuaciones y 3 incógnitas. 271 . 4:0. Hay que continuar. .16 ¸¾ . en este caso s1 y s2 para trans- formar el sistema de inecuaciones en uno de ecuaciones. 0:–0. x ≥ 0. ¯© 13 13 ¹¿ Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 1 x2 0 1 2/13 -1/13 0 32/13 1 x1 1 0 -3/26 4/13 0 28/13 0 s3 0 0 1 -3 1 16 Cj 1 1 0 0 0 z2 1 1 1/26 3/13 0 60/13 z2–Cj 0 0 1/26 3/13 0 No hay zj–Cj negativos. Entra ahora x2 y para saber cual sale volvemos a efectuar los cocientes entre los bi y los coeficientes de x2 (16:0. que es 2. La nueva solución es S 2 = ®¨ .33.x1.65=0).s3}. x ≥ 0 ¯ 1 2 3 El funcional que hay que maximizar es z = 2x1 + x2 + 3x3. Programación lineal Vemos que hay valores negativos en el renglón de los zj–Cj.0. En este caso sale x3 ya que le corresponde el menor cociente no negativo. Las variables no básicas son s1 y s2 que toman valor 0. ® x1 + 4 x2 + 2 x3 ≤ 12 ° x ≥ 0. Veamos ahora un ejemplo con 3 variables En este ejemplo también partimos del sistema de inecuaciones. Le toca salir a s1 que es a la que le corres- ponde el menor cociente entre los bi y los coeficientes de x1. Vemos como queda la nueva tabla. s2}. Para eso hacemos x1 = x2 = x3 = 0. 272 . La nueva base es B1 = {s1. Para determinar quién sale debemos efectuar los cocientes entre los bi y los coeficientes positivos de x3. El menor cociente positi- vo corresponde a s2. que es 6.5 2 1 0 0. Ahora entra x1 que es la única con zj–Cj negativo.0). La so- lución inicial es S0 = {(0.5 ↑ La nueva solución básica es S1 = {(0.6. Como hay valores negativos de los zj–Cj debemos pasar a otro vértice.5 0 0 1 -0.0.0.0.5 18 z1–Cj -0.0. x3}.4.10. Entra la variable x3.0)}.6). García Venturini ­ 3x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10 ® . el funcional queda z =2x1 + x2 +3x3 + 0s1 + 0s2 ¯ x1 + 4 x2 + 2 x3 + s2 = 12 Formamos la primera tabla tomando como variables básicas iniciales a las variables de holgura s1 y s2. El pivote es el 2 que corresponde a la intersección de la fila s2 (variable que sale) y la columna x3 (variable que entra).5 6 Cj 2 1 3 0 0 z1 1.5 5 0 0 1.5 6 3 0 1. x3} y el nue- vo vértice es (0. La nueva base es B2 = {x1. Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 0 s1 2.0. La base inicial es B0 = {s1. el funcional vale 0. Alejandro E.12)}. Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 0 s1 3 2 1 0 0 10 0 s2 1 4 2 1 0 12 → Cj 2 1 3 0 0 z0 0 0 0 0 0 0 z0–Cj -2 -1 -3 0 0 ↑ Estamos ubicados en el vértice (0.5 4 → 3 x3 0. las variables de holgura quedan negativas y no conviene trabajar con variables negativas. Además.8 z2–Cj 0 5 0 0. se agrega al lado izquier- do de la desigualdad una variable artificial no negativa (las designa- mos como ai). En este caso las variables de holgu- ra indican lo que la cantidad de insumo utilizada excede a la cantidad mínima.2 Cj 2 1 3 0 0 z2 2 6 3 0. x2=0 y x3=5.0)}. La solución es x1=1. Veamos la nueva tabla: Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 2 x1 1 0 0 0. Así se asigna a la variable artificial en la función objetivo un valor de contribución marginal que impide su aparición en la solución final.4 -0.8. lo que quiere decir que to- dos los recursos están saturados. Esto se debe a que de lo contrario.0.4 18. al tomar como solu- ción factible inicial el vector nulo.6.5. que es la intersección entre la fila s1 (variable que sale) y la columna x1 (variable que entra).4 La nueva solución básica es S2 = {(1.6.2 1.2 y el funcional vale 18. para obtener una solución factible.2 1. Programación lineal El pivote es 2. Dichas va- riables artificiales tienen coeficiente –M en la función objetivo si el problema es de maximización y +M si el problema es de minimiza- ción.2 1. las variables de holgura se restan y to- man valor 0 en la solución inicial. Las variables de holgu- ra s1 y s2 valen 0 por no figurar en la base.5. 273 .2. solo se suma la variable artificial (ver ejemplo de la página 288).6 3 x3 0 2 1 -0.2 0. siendo M un valor positivo muy grande. Si la restricción es de igualdad no hace falta sumar ni restar la variable de holgura.6 5. B) Desigualdades de ≥ o restricciones de = Al ser las desigualdades de ≥.0. En este caso hemos llegado a la solución por no haber zj–Cj negativos. Ejemplo: x1 –2x2 ≤ 3 Ÿ x1 –2x2 +s1 = 3 2. denominada variable artificial. al lado izquierdo de la restricción se le resta una variable no negativa. El miembro derecho de una restricción no puede ser negativo. al lado izquierdo de la restricción se le suma una variable no negativa. habitualmente el origen. se multiplica la inecuación por (–1) Ejemplo: 2x1 –x2 ≥ – 2. Si el miembro derecho fuese negativo. Por cada restricción de ≤. su úni- ca función consiste en ofrecer un punto de arranque adecuado (solu- ción inicial) para el método simplex. Alejandro E. García Venturini SÍNTESIS DEL MÉTODO SIMPLEX Requisitos: 1. Esta variable cumple la función de equilibrar ambos miem- bros de la ecuación y representa los recursos no utilizados. denominada variable de holgu- ra. 3. Ejemplos: 2x1 +2x2 – x3 ≥ 4 Ÿ 2x1 +2x2 –x3 –s1 + a1 = 4 x1 +2x2 – x3 = 5 Ÿ x1 +2x2 –x3 –s1 + a1 = 5 274 . Esta variable cumple la función de equilibrar ambos miembros de la ecuación. Todas las variables están restringidas a valores no negativos. 3. denominada variable de holgura. Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones. La variable artificial carece de significado real en el problema. 2. queda –2x1 +x2 ≤ 2 Transformación de las inecuaciones en ecuaciones 1. Por cada restricción de ≥. Por cada restricción de ≥ y por cada restricción (=) al miembro izquierdo de la restricción se le suma una variable no negativa. Los valores de las variables básicas se obtie- nen reemplazando en el sistema de ecuaciones. Si en la restricción figuran sólo variables de holgura. x2 ≥ 0. Las variables originales y las de holgura que no forman la base son las variables no básicas y por lo tanto valor 0 en la solución inicial. La base inicial En todo problema de programación lineal las variables básicas son aquellas a las que le corresponden los vectores canónicos en la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones. Ejemplo ­ 3x1 + 2 x2 + x3 ≤ 5 ° ° x1 + 4 x2 + 2 x3 ≥ 12 Maximizar: 2x1 + x2 + x3 sujeta a: ® ° x1 + x2 − x3 = 4 °¯ x1 ≥ 0. x3 ≥ 0 Para obtener la solución inicial despejamos las variables básicas en función de las no básicas. Si hay una de holgura y una artificial. ­ s1 = 5 − 3 x1 − 2 x2 − x3 ° ®a1 = 12 − x1 − 4 x2 − 2 x3 + s2 ° a2 = 4 − x1 − x2 + x3 ¯ 275 . va la artificial. Programación lineal ¿Cómo se obtiene la solución inicial? Hay una variable básica por restricción. x3 ≥ 0 ­ 3x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 5 ° ° x1 + 4 x2 + 2 x3 − s2 + a1 = 12 Transformando las restricciones: ® ° x1 + x2 − x3 + a2 = 4 °¯ x1 ≥ 0 . O sea aquellas variables que toman valores no nulos en la solución inicial. va la de holgura. x2 ≥ 0 . la variable de holgura s2 toma valor – 20.12.6. Si no le sumamos la variable artificial. La base inicial es B0 = {s1. coeficiente +M. García Venturini Le damos a las variables no básicas valor 0. obtenemos así la solución inicial: S0 = {(0.5. al darle a las variables originales x1 y x2 valor 0. La segunda in- ecuación es de ≥ por lo tanto para transformarla en una ecuación hay que restarle una variable de holgura (s2) y sumarle una variable artifi- cial (a1). x ≥ 0 ¯ 1 2 Para transformar el sistema de inecuaciones en uno de ecuaciones hay que tener en cuenta que la primera inecuación es de ≤.a1.a1}. La solución inicial es S0 = {(0. Final- ­ 2 x1 + x2 + s1 = 6 mente el sistema queda así: ® ¯5 x1 + 4 x2 − s2 + a1 = 20 El funcional es: z = 2x1 +10x2 + 0s1 + 0s2 + Ma1 Para obtener la primera solución básica factible debemos tener en cuenta que las variables no básicas son x1. por ser un problema de minimización.0.20)} y la base inicial es B0 = {s1. por lo tanto se la transforma sumándole una variable de holgura (s1). Para evitar esto se le suma la variable artificial a1. x2 y s1.0.4)}. Ejemplos resueltos ­ 2 x1 + x2 ≤ 6 ° a) Buscamos el mínimo de z = 2x1 +10x2 sujeta a que ®5 x1 + 4 x1 ≥ 20 ° x ≥ 0. Alejandro E. Cuando en una ecuación hay una variable de holgura y una variable artificial la que interviene en la base inicial es la artificial ya que en la solución inicial la variable de holgura toma valor 0 porque resta. La primera tabla es la siguiente: 276 .0.0.a2}. y la arti- ficial. Las variables de holgura en el funcional llevan coeficiente 0.0. 0.a1}. Entra la variable x1 que es a la que le corresponde el zj–Cj positivo de mayor valor absoluto (tener en cuenta que M es un valor muy grande). Entra la única variable a la que le corresponde un zj–Cj positivo que es x2.0.5M 1-2.5M -M 0 ↑ Queda aún un zj–Cj positivo.5M -M M 6+5M z1-Cj 0 1. Al haber valores positivos con- tinuamos. Sale a1 que es a la que le corresponde el único cociente entre los bi y los coeficientes de x2 positivo.5 0.5M-9 1-2.5 0 0 3 M a1 0 1. Para determinar quien sale hacemos los cocientes entre los bi y los coeficientes de x1 (6:2=3.5 -1 1 5 → Cj 2 10 0 0 M z1 2 1+1. Programación lineal Ci xi x1 x2 s1 s2 a1 bi 0 s1 2 1 1 0 0 6 → M a1 5 4 0 -1 1 20 Cj 2 10 0 0 M zo 5M 4M 0 -M M 20M zo-Cj 5M-2 4M-10 0 -M 0 ↑ Como estamos minimizando.5 -2. Vemos que sale x3 porque le co- rresponde el cociente positivo más pequeño que es 3. Debemos ver quién entra y quién sale.0.5)} y B1 = {s1. La siguiente tabla es: 277 . La siguiente solución es y la siguiente base son S1 = {(3. Veamos como queda la próxima tabla: Ci xi x1 x2 s1 s2 a1 bi 2 x1 1 0. recordemos que la búsqueda se acaba cuando todos los zj–Cj son negativos. 20:5=4). debemos continuar la búsqueda. Alejandro E. x ≥ 0 ¯ 1 2 Para transformar el sistema de inecuaciones en uno de ecuaciones hay que tener en cuenta que las dos inecuaciones son de ≥. Recordemos que las variables de holgura que restan (s1 y s2) también toman valor 0 en la solución inicial.0.2)}. La nueva solución ­§ 4 10 ·½ es S= ®¨ . Por lo tanto la solución inicial es S0 = {(0. La primera tabla es la siguiente: 278 .0.3. por lo tanto se transforman restándoles una variable de holgura y sumándoles una variable artificial a cada una (s1 y a1 a la 1º y s2 y a2 a la 2º). hemos llegado al final. En la base inicial intervienen las variables a1 y a2 que toman valores 3 y 2 en la solución inicial y tienen coeficiente M en el funcional.a2}. .0. Para obtener la primera tabla debemos tener en cuenta que las variables básicas iniciales son a1 y a2. ¯© 3 3 ¹¿ ­5 x1 + 6 x2 ≥ 3 ° b) Buscamos el mínimo de z = 2x1 + x2 sujeta a que ® 4 x1 ≥ 2 ° x ≥ 0. Final- ­5 x1 + 6 x2 − s1 + a1 = 3 mente el sistema queda así: ® el funcional es: ¯ 4 x1 − s2 + a2 = 2 z = 2x1 + x2 +0s1 + Ma1 + 0s2 + Ma2. 0. la variable que interviene en la base inicial es la variable artificial. y el valor del funcional es 36. B0 = {a1. García Venturini Ci xi x1 X2 s1 s2 a1 bi 2 x1 1 0 4/3 1/3 -1/3 4/3 10 x2 0 1 -5/30 -2/3 2/3 10/3 Cj 2 10 0 0 M z2 2 10 -14 -6 6 36 z2-Cj 0 0 -14 -6 6-M Al no haber zj–Cj positivos. Recordemos que cuando en una ecuación hay una variable de holgura y una artificial. 0 ¸¾ . 0)} y B1 = {a1.25M+0.6.25 0.25 0.5. Programación lineal Ci xi x1 x2 s1 a1 s2 a2 bi M a1 5 6 -1 1 0 0 3 M a2 4 0 0 0 -1 1 2 → Cj 2 1 0 M 0 M z0 9M 6M -M M -M M 5M z0-Cj 9M-2 6M-1 -M 0 -M 0 ↑ Como estamos minimizando.5 -1.25 0. 2/4=0.5). Entra la variable x1 que es a la que le corresponde el zj–Cj positivo de mayor valor absoluto (tener en cuenta que M es un valor positivo muy grande).5M+1 z1-Cj 0 6M-1-M 0 1. Debemos ver quién entra y quién sale.x1}. recordemos que la búsqueda se acaba cuando todos los zj–Cj son negativos.5 → 2 x1 1 0 0 0 -0.5.0.0. Entra la variable a la que le corresponde el zj–Cj positivo de mayor valor abso- luto que es x2.5 ↑ La solución ahora es S1 ={(0.x1} y la siguiente tabla es: 279 .5 Cj 2 1 0 M 0 M z1 2 6M -M M 1. Para determinar quien sale hacemos los cocientes entre los bi y los coeficientes de x1 (3/5=0.25M-0.25 -1.25M-0.5 -2. Veamos como queda la próxima tabla: Ci xi x1 x2 s1 a1 s2 a2 bi M a1 0 6 -1 1 1. Quedan aún zj–Cj positivos.5 0.25M+0. Vemos que sale a2 porque le corresponde el cociente positivo más pequeño que es 0.0.0. Sale a1 (que es a la que le corresponde el menor cocien- te entre los bi y los coeficientes de x2 positivos). debemos continuar la búsqueda. La nueva base es B2={x2.5. Al haber valores positivos con- tinuamos. le corresponde un segundo problema de tal programación que recibe el nombre de dual.X ≤ B At.25 0. EL PROBLEMA DUAL A cada problema de programación lineal. si el problema primal plantea la maximización del beneficio.Y → mín Si el problema primal tiene la siguiente forma estandar: A.0.5 Cj 2 1 0 M 0 M z2 2 1 -1/6 1/6 -7/24 7/24 13/12 z2-Cj 0 0 -1/6 1/6-M -7/24 7/24-M Al no haber zj–Cj positivos.25 0. Alejandro E.Y ≤ C X≥0 la forma estandar del dual es: Y≥0 z = C.X → mín z*= B. El número de variables originales del problema dual es igual al número de restricciones del problema primal y el número de restricciones del problema dual es igual al número de variables del problema primal.0)} . el dual es de minimización y viceversa. La solución es S = {( 12 . que denominamos primal.X → máx z* = B.X ≥ B At.0. Cuando el primal es de maximización. el problema dual plantea la minimiza- ción del costo. García Venturini Ci xi x1 x2 s1 a1 s2 a2 bi 1 x2 0 1 -1/6 1/6 5/24 -5/24 1/12 2 x1 1 0 0 0 -0. y el valor del funcional es 13/12.Y → máx 280 . 121 .Y ≤ C X≥0 la forma estandar del dual es: Y≥0 z = C. Si el problema primal tiene la siguiente forma estandar: A. Por ejemplo. hemos llegado al final.0. el valor mínimo que toma la función objetivo z* del problema dual coincide con el valor máximo que toma la función objetivo z en el problema original o primal. d) Los coeficientes del funcional del problema original son los térmi- nos independientes de las restricciones del dual y los términos in- dependientes de las restricciones originales son los coeficientes del funcional del problema dual. dual y pri- mal. Ejemplo ­− 3 x1 − 2 x2 ≥ − 6 ° 5 x + x ≥ 10 ° 1 2 Minimizar 5x1 + 9x2 sujeta a: ® ° 1x + 10 x2 ≥ 9 °¯ x1 ≥ 0 . b) El dual tiene tantas restricciones como variables existen en el pro- blema primal. que suele ser más complicado por la intervención de las variables artificiales. en lugar de resolver problemas de minimización con restricciones de ≥. NOTA: A veces. f) Las desigualdades tienen sentidos inversos en el problema dual y en el problema original. Programación lineal Síntesis de las características del problema dual a) El dual tiene una variable para cada restricción en el problema pri- mal. c) El dual de un problema de maximización es un problema de mini- mización y viceversa. Teorema fundamental de la dualidad Si existe un valor óptimo para cada uno de los problemas. conviene resolver el problema dual que es de maximización con restricciones de ≤. x2 ≥ 0 281 . e) Los coeficientes de una variable cualquiera en las inecuaciones del problema original aparecen como coeficientes de una inecuación en el dual. pero transpuestos. 0. que es 1. La primera solución es el S0 = {(0. Agregamos ­ − 3 y1 + 5 y2 + y3 + s1 = 5 las variables de holgura s1 y s2: ® . El pivote es el 5 que corresponde a la intersección de la fila s1 (variable que sale) y la columna y2 (varia- ble que entra).s2} Veamos la primera tabla: Ci yi y1 y2 y3 s1 s2 bi 0 s1 -3 5 1 1 0 5 → 0 s2 -2 1 10 0 1 9 Cj -6 10 9 0 0 z0* 0 0 0 0 0 0 z0*-Cj 6 -10 -9 0 0 ↑ Como hay valores negativos de los z*j–Cj debemos pasar a otro vérti- ce.9)}.0.5. 282 . y ≥ 0. Para determinar quién sale debemos efectuar los cocientes entre los bi y los coeficientes de y2. Entra la variable y2. Vemos como queda la nueva tabla. el funcio- ¯− 2 y1 + y2 +10 y3 + s2 = 9 nal es z* = –6y1 +10y2 + 9y3 + 0s1 + 0s2. La nueva base es B1 = {y2. El menor cociente no negativo corresponde a s1. La base inicial es B0 = {s1.s2}. Alejandro E. García Venturini Planteamos el problema dual que es: maximizar z* = –6y1 + 10y2 + 9y3 ­ − 3 y1 + 5 y2 + y3 ≤ 5 ° sujeta a: ® − 2 y1 + y2 +10 y3 ≤ 9 ° y ≥ 0. y ≥ 0 ¯ 1 2 3 Resolvemos este problema aplicando el método Simplex. 2 0.y3}.816 Cj -6 10 9 0 0 z2 -4.7. La nueva base es B1={y2.718.2 1 8 → Cj -6 10 9 0 0 z1* -6 10 2 2 0 10 z1*-Cj 0 0 -7 2 0 ↑ La nueva solución es S1 = {(0.836 9 y3 0.2 0 1 0 s2 -1.204 -0.4 0 9.8 -0.577 0 0 1.836 e y3 = 0. A partir de esta solución se obtiene la solución del proble- ma original.7. El pivote es 9. como indica el teorema de las dualidad vale también 15. Ahora entra y3 que es la única con zj–Cj negativo.102 0. Para verificar este resultado reemplazamos estos valores en el funcional del problema original 5x1+9x2 = 15.8.0. y2 = 0.718 La nueva solución es S2 = {(0. En este caso hemos llegado a la solución por no haber zj–Cj negativos.02 0. que es la intersección entre la fila s2 (variable que sale) y la columna y3 (variable que entra).02 0.836.8)}.0. es decir la solución del problema de maxi- mización.0)}.0. Le toca salir a s2 que es a la que le corresponde el menor cociente entre los bi y los coeficientes de y3.423 10 9 1. El funcional. Esta es la solución del dual.1.718 15. La solución es y1 = 0.0.86 0.86 0. Programación lineal Ci yi y1 y2 y3 s1 s2 bi 10 y2 -0. Los valores de las variables x1 y x2 del problema origi- nal también se encuentran en la tabla bajo las columnas correspon- dientes a las variables de holgura s1 e s2. Es decir x1=1.7 z2-Cj 1.86 y x2 = 0. Veamos la nueva tabla: Ci yi y1 y2 y3 s1 s2 bi 10 y2 -0. en la fila zj.143 0 1 -0.816.816 y el funcional vale 15.7. 283 .6 1 0.0.571 1 0 0. Agregamos las variables de holgura: ­ 2 x1 + 4 x2 + s1 = 500 ° x + x + s = 200 ° 1 2 2 ® .0.s3}.500. La base inicial es B0 = {s1. García Venturini Otro ejemplo ­2 x1 + 4 x2 ≤ 500 ° x + x ≤ 200 ° 1 2 Maximizar 20x1 + 40x2 sujeta a: ® ° x2 ≤ 100 °¯ x1 ≥ 0 .Veamos la primera tabla: Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 2 4 1 0 0 500 0 s2 1 1 0 1 0 200 0 s3 0 1 0 0 1 100 → Cj 20 40 0 0 0 z0 0 0 0 0 0 0 z0-Cj -20 -40 0 0 0 ↑ 284 . Alejandro E.s2. el funcional es z = 20x1 + 40x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3.100)}. y ≥ 0.200. x2 ≥ 0 La primera solución es S0 = {(0. el funcional vale 0. x2 ≥ 0 Planteamos el problema dual que es: minimizar 500y1 + 200y2 + 100y3 ­ 2y1 + y2 ≥ 20 ° sujeta a: ® 4 y1 + y2 + y3 ≥ 40 ° y ≥ 0. ° x2 + s3 = 100 °¯ x1 ≥ 0 . y ≥ 0 ¯ 1 2 3 Resolvemos el problema primal (de maximización) aplicando el méto- do Simplex a partir del cual obtendremos la solución del problema de minimización. El pivote es el 1 que corresponde a la intersección de la fila s3 (variable que sale) y la columna x2 (variable que entra). s2 = 50.100. x2 = 100 y el funcional vale 5.s2.000 z2-Cj 0 0 10 0 0 La nueva solución es S2 = {(50. Le toca salir a s1 que es a la que le corresponde el menor cociente entre los bi y los coefi- cientes de x1. En este caso hemos llegado a la solución por no haber zj–Cj negativos.50. valor que corresponde a recursos no utilizados.5 0 -2 50 0 s2 0 0 -0. La siguiente solución es S1 = {(0.x2. La nueva base es B1 = {x2.0.100)}. El pivote es 2.100.s3}.0. decir vamos en busca de una nueva solución.0)} y ahora la nueva base es B2 = {x1. La solución es x1 = 50. El menor cociente positivo corresponde a s3.s2}. Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s3 2 0 1 0 -4 100 → 0 s2 1 0 0 1 -1 100 40 x2 0 1 0 0 1 100 Cj 20 40 0 0 0 z1 0 40 0 0 40 4000 z1-Cj -20 0 0 0 40 ↑ Ahora entra x1 que es la única con zj–Cj negativo.100. Programación lineal Como hay valores negativos de los zj–Cj debemos pasar a otro vértice. que es la intersección entre la fila s1 (variable que sale) y la columna x1 (variable que entra). Veamos la nueva tabla: Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 20 x1 1 0 0. que es 100. Para determinar quién sale debemos efectuar los cocientes entre los bi y los coeficientes de x2. 285 . Vemos como queda la nueva tabla.000. Entra la variable x2.5 1 1 50 40 x2 0 1 0 0 1 100 Cj 20 40 0 0 0 z2 20 40 10 0 0 5. Interpretación del problema dual Como en todo problema económico el objetivo es producir la mayor cantidad de bienes posibles con una cantidad de recursos dados o bien. xn) de n productos debemos producir para maximizar la ganancia sujetos a restricciones de m insumos. Los valores de las variables y1. Correspondencia de las variables Hemos visto que existe una relación entre los valores que toman las variables de ambos problemas en la solución óptima. Para verificar este resultado reemplazamos estos valores en el funcio- nal del problema dual: 500y1 + 200y2 + 100y3 = 5. 286 . utilizar la menor cantidad de recursos para fabricar una cantidad de bienes determinada. y2 = 0 e y3 = 0. sd2 = 0. En este caso en el problema primal buscamos cuantas unidades (x1. …. sd1 = 0. García Venturini Esta es la solución del primal.000. es decir la solución del problema de maximización. s2 y s3. en la fila zj. x2. El funcional. En el primer caso estamos en el problema primal y en el segundo caso en el problema dual. Los valores de las variables de holgura del problema dual se encuentran bajo las columnas correspondientes a las variables originales en el renglón zj–Cj . y2 e y3 del proble- ma original también se encuentran en la tabla bajo las columnas co- rrespondientes a las variables de holgura s1. A partir de esta solución se obtiene la solución del problema dual. Alejandro E. A las variables originales del problema primal le corresponden las va- riables de holgura del dual y a las variables de holgura del problema primal le corresponden las variables originales del problema dual. como indica el teorema de las dualidad vale también 5. Es de- cir y1=10.000. En el problema dual buscamos minimizar la cantidad de los insumos para tener una ganancia mayor o igual a la de la función objetivo del problema primal. quedan disponibles 4 unidades de ma- no de obra y 3 de capital. tenemos las siguientes restricciones y el siguiente ­5 x1 + 4 x2 ≤ 120 ° funcional: ®2 x1 + 3 x2 ≤ 80 . cada unidad de X1. 287 . quedan disponi- bles 5 unidades de mano de obra y 2 de capital. genera una ganancia de 3$ y cada uni- dad del bien X2 una ganancia de 10$. z = 3x1 + 10x2 → máximo ° x ≥ 0. x ≥ 0 ¯ 1 2 Veamos ahora el problema dual de éste. Cada unidad del bien X2 requiere 2 unidades de mano de obra y 3 unidades de capital. puede producir 2 bienes. Programación lineal Un ejemplo económico del problema dual Veamos el siguiente problema: Un empresario. Por cada unidad del producto X2 que no se produce. el empresario I debe obtener por la opera- ción por lo menos lo mismo que obtiene por fabricar sus productos. A su vez. X1 y X2. Por cada unidad del producto X1 que no se produce. El empresario II debe determinar cuánto va a pagar por cada unidad de mano de obra (y1) y por cada unidad de capital (y2) que alquila para minimizar su costo. con una disponibilidad de 120. Cada unidad del bien X1 requiere 5 unidades de mano de obra y 2 unidades de capital. Se plantea qué cantidades de los bienes X1 y X2 debe producir el empresario I para maximizar su ganancia. y capital. Pero para que la opera- ción de alquiler se realice. Otra opción que tiene el empresario I es alquilar la mano de obra y el capital disponible a un empresario II. z* = 120 y1 + 80 y2 → mínimo Esto desde el punto de vista del empresario II. Los insumos que requiere son mano de obra. que denominamos I. con una disponibilidad de 80. Dado este problema. 0)}.4 -0. B) Desigualdades de ≥ o restricciones de = Al ser las desigualdades de ≥.6.2 0.8. Si la restricción es de igualdad no hace falta sumar ni restar la variable de holgura. las variables de holgura se restan y to- man valor 0 en la solución inicial.2 y el funcional vale 18.6 3 x3 0 2 1 -0.0. Además. La solución es x1=1.2 Cj 2 1 3 0 0 z2 2 6 3 0. x2=0 y x3=5. lo que quiere decir que to- dos los recursos están saturados. las variables de holgura quedan negativas y no conviene trabajar con variables negativas.2 1. En este caso hemos llegado a la solución por no haber zj–Cj negativos. Dichas va- riables artificiales tienen coeficiente –M en la función objetivo si el problema es de maximización y +M si el problema es de minimiza- ción.8 z2–Cj 0 5 0 0. Así se asigna a la variable artificial en la función objetivo un valor de contribución marginal que impide su aparición en la solución final.2 1. Las variables de holgu- ra s1 y s2 valen 0 por no figurar en la base.4 La nueva solución básica es S2 = {(1.6. se agrega al lado izquier- do de la desigualdad una variable artificial no negativa (las designa- mos como ai).6 5. 273 . solo se suma la variable artificial (ver ejemplo de la página 288).2. que es la intersección entre la fila s1 (variable que sale) y la columna x1 (variable que entra).2 1. Esto se debe a que de lo contrario.5. al tomar como solu- ción factible inicial el vector nulo.0. para obtener una solución factible.5. En este caso las variables de holgu- ra indican lo que la cantidad de insumo utilizada excede a la cantidad mínima.4 18. siendo M un valor positivo muy grande. Veamos la nueva tabla: Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 2 x1 1 0 0 0. Programación lineal El pivote es 2. x1}.4.0.6)}.6)}.0. Veamos la primera tabla Ci xi x1 x2 s1 a1 s2 a2 bi 0 s1 1 -1 1 0 0 0 4 -M a1 -1 1 0 1 0 0 4 → -M a2 1 0 0 0 -1 1 6 Cj -3 2 0 -M -M -M z0 0 -M 0 -M -M -M -10M z0-Cj 3 -M-2 0 0 0 0 ↑ La única variable con coeficiente negativo en el renglón de zj–Cj es x2.x2. en este caso s2. La solución inicial es S0 = {(0. La base inicial es B0 = {s1.8. Ci xi x1 x2 s1 a1 s2 a2 bi 0 s1 0 0 1 1 0 0 8 2 x2 -1 1 0 1 0 0 4 -M a2 1 0 0 0 -1 1 6 → Cj -3 2 0 -M 0 -M z1 -2-M 2 0 2 M -M 8-6M z1-Cj 1-M 0 0 2+M M 0 ↑ La nueva solución es S1 = {(0. La nueva base es B2={s1. Programación lineal El funcional queda: z = –3x1 + 2x2 + 0s1 – Ma1 + 0s2 – Ma2 → máximo.0.4. Recordemos que las variables de holgura que restan.a1. entra x1 y sale a2. son variables no básicas y por lo tanto en la solución inicial valen 0. 289 . por lo tanto entra x2 y le corresponde salir a a1 que es la única variable a la que le corresponde un coeficiente positivo de x2.x2.0. Veamos la siguiente tabla.a2}. La nueva base es B1 = {s1.a2}.4. 5)}.0)}. x ≥ 0 ¯ 1 2 3 Transformamos las desigualdades en igualdades.0. Por ser las desigualda- des de ≥. que es la solución óptima porque ya no quedan coeficientes negativos en el último renglón. Además la variable de holgura s1 vale 8 y correspon- de a recursos no utilizados. Veamos la primera tabla: 290 . son variables no bá- sicas y por lo tanto en la solución inicial valen 0. ­ x1 + x2 − 2 x3 − s1 + a1 = 2 El sistema de restricciones queda: ® ¯− x1 + x2 + x3 − s1 + a2 = 5 El funcional queda: z = 12x1 + 12x2 – 12 x3 + 0s1 + Ma1 + 0s2 + Ma2 → mínimo La solución inicial es S0 = {(0. Recordemos que las va- riables de holgura que restan. lo que significa que el recurso 1 está saturado.0. en este caso s1 y s2.0. La base inicial es B0 = {a1. ­ x1 + x2 − 2 x3 ≥ 2 ° b) Minimizar z = 12x1 + 12x2–12 x3 sujeta a: ® − x1 + x2 + x3 ≥ 5 ° x ≥ 0.a2}. Alejandro E. a cada una le restamos una variable de holgura (s1 y s2 respecti- vamente) y le sumamos una variable artificial (a1 y a2 respectivamente).0. x ≥ 0.0.8.0.2. García Venturini Veamos la nueva tabla: Ci xi x1 x2 s1 a1 s2 a2 bi 0 s1 0 0 1 1 0 0 8 2 x2 0 1 0 1 -1 1 10 -3 x1 1 0 0 0 -1 1 6 Cj -3 2 0 -M 0 -M z2 -3 2 0 2 1 -2 2 z2-Cj 0 0 0 2+M 1 -2+M La nueva solución es S2 = {(6.10. s2 = 0. El funcional vale 2. 0.0.2.0. La nueva base es B1 = {x2. Programación lineal Ci xi x1 x2 x3 s1 a1 s2 a2 bi M a1 1 1 -2 -1 1 0 0 2 → M a2 -1 1 1 0 0 -1 1 5 Cj 12 12 -12 0 M 0 M z0 0 2M -M -M M -M M 7M z0-Cj -12 2M-12 -M-12 -M 0 -M 0 ↑ La única variable con coeficiente positivo en el renglón de zj–Cj es x2. La nue- va base es B2={x2.a2}. entra x3 y sale a2. Veamos la nueva tabla: Ci xi x1 x2 x3 s1 a1 s2 a2 bi 12 x2 -1/3 1 0 -1/3 -1/3 -2/3 2/3 4 -12 x3 -2/3 0 1 1/3 -1/3 -1/3 1/3 1 Cj 12 12 -12 0 M 0 M z2 4 12 -12 -8 8 -4 4 36 z2-Cj -8 0 0 -8 8-M -4 4-M 291 .0. Ci xi x1 x2 x3 S1 a1 s2 a2 bi 12 x2 1 1 -2 -1 1 0 0 2 M a2 -2 1 3 1 -1 -1 1 3 → Cj 12 12 -12 0 M 0 M z1 12-2M 12 -24+3M -12+M 12-M -M M 24+3M z1-Cj -2M 0 -12+3M -12+M 12-M -M 0 ↑ La nueva solución es S1 = {(0.3)}. por lo tanto entra x2 y le corresponde salir a a1 que es la variable a la que le corresponde el menor cociente positivo.x3}. Veamos la siguiente tabla. 4. SITUACIONES ESPECIALES Veamos algunas situaciones especiales que se pueden plantear al apli- car el método simplex. Además las variables de holgura valen 0. El problema tiene situaciones óptimas alternativas A veces la solución óptima del problema.0)}.000 °6 x + 4 x ≤ 2.000 0 s2 6 4 0 1 0 2.1. lo que significa que los recursos están saturados.000 0 s3 2 4 0 0 1 800 → Cj 200 400 0 0 0 z0 0 0 0 0 0 0 z0-Cj -200 -400 0 0 0 ↑ Pasamos a la siguiente tabla: 292 . Supongamos el siguiente ejemplo: ­2 x1 + 4 x2 ≤ 1. Veamos como se detecta esa situación en la tabla final del simplex.0.000 ° 1 2 Maximizar z = 200 x1 +400 x2 sujeta a: ® °2 x1 + 4 x2 ≤ 800 °¯ x1 ≥ 0. El funcional vale 36. x2 ≥ 0 Procedemos a resolver el problema aplicando el método simplex: Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 2 4 1 0 0 1.0. Alejandro E. no es única. García Venturini La nueva solución es S2 = {(0.0. que es la solución óptima porque ya no quedan coeficientes positivos en el último renglón. Cuando esto ocurre quiere decir que hay otra solución óptima o una solución óptima alternativa. En esta solución se produce solo el producto 2 (200 unidades) y so- bran 200 unidades del recurso 1 y 1.0)}.200. Veamos como queda la nueva solución que se obtiene haciendo entrar a x1. A ambas soluciones óptimas le corresponde el mismo funcional. la solución óptima no es única.000 z1-Cj 0 0 0 0 100 Hemos llegado a la solución óptima que es S1 = {(0. hay infinitas soluciones óptimas que son todas las combinaciones lineales convexas entre ambas solu- ciones. tal cual lo plantea el teorema formulado en la página 257. que surge de hacer entrar a la variable x1. Habi- tualmente a las variables no básicas le corresponde valor no nulo en el renglón zj–Cj. Veamos como queda la nueva solución que se obtiene haciendo entrar a x1: Nota: Si hay 2 soluciones óptimas alternativas.200 400 x2 1/2 1 0 0 1/4 200 Cj 200 400 1 0 0 z1 200 400 0 0 100 80.200.200 unidades del recurso 2. Aquí hay 3 variables bási- cas y 4 ceros. Nota: para que la solución óptima sea única en el renglón zj–Cj debe haber tantos ceros como variables básicas. Programación lineal Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 0 0 1 0 -1 200 1 s2 4 0 0 1 -1 1.1. Lo que pasa es que el funcional no va a mejorar.200. Pero vemos en este caso que a la variable no básica x1 le corresponde el valor 0 en el renglón zj–Cj. 293 . 50. si consideramos que socialmente es impor- tante producir ambos productos para no generar un desabastecimiento (por ejemplo de un medicamento).0. Una elección con criterio “ético-social” Cuando hay soluciones óptimas alternativas.000.50) . en este caso. 300. Por ejemplo. Si el recurso 2 fuese “mano de obra”. a veces se puede elegir la opción más adecuada teniendo en cuenta un criterio “ético-social”. La contribución marginal de cada artículo es de $6 y $8 por uni- dad para x1 y x2 y respectivamente. debemos elegir la segunda opción. que es donde se producen ambos productos. El funcional vale lo mismo que antes.0)}. En esta solución se pro- ducen ambos productos y sobran 200 unidades del recurso 1. García Venturini Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 0 0 1 0 -1 200 200 x1 1 0 0 1/4 -1/4 300 400 x2 0 1 0 -1/8 3/8 50 Cj 200 400 1 0 0 z2 200 400 0 0 100 80.200. Veamos otro ejemplo Una empresa elabora 2 productos x1 y x2 para lo cual utiliza 3 insu- mos.200) + (1 − α1 )(. Alejandro E. 0 ≤ α1 ≤ 1.(0. también conviene elegir la se- gunda opción porque no queda gente desocupada.000 z2-Cj 0 0 0 0 100 Ahora tenemos una nueva solución óptima que es S2 = {(300. Si ahora entrara s2 volveríamos a la solución óptima anterior. Las infinitas soluciones se pueden expresar: α1 . 80. La matriz de requerimientos de insumos por unidad de artículo y la disponibilidad de los mismos se da en la siguiente tabla: 294 . Programación lineal Productos x1 x2 Disponibilidad Recursos Mano de obra 1 3 210 (horas-hombre) Materia prima 3 4 330 (unidades de materia prima) Maquinaria 3 1 240 (horas máquina) Procedemos a resolver el problema aplicando el método simplex: Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 1 3 1 0 0 210 0 s2 3 4 0 1 0 330 0 s3 3 1 0 0 1 240 → Cj 6 8 0 0 0 z0 0 0 0 0 0 0 z0-Cj -6 -8 0 0 0 ↑ Pasamos a la siguiente tabla: Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 0 0 1 0 -1 200 1 s2 4 0 0 1 -1 1.000 z1-Cj 0 0 0 0 100 Ausencia de solución factible Analicemos el siguiente ejemplo: ­ x1 + x2 ≤ 5 ° Maximizar z = 10 x1 +20 x2 sujeta a: ® x1 + x2 ≥ 20 ° x ≥ 0. x ≥ 0 ¯ 1 2 295 .200 400 x2 1/2 1 0 0 1/4 200 Cj 200 400 1 0 0 z1 200 400 0 0 100 80. Veamos un ejemplo: 296 . ­ x1 + x2 + s1 = 5 ® ¯ x1 + x2 − s2 + a1 = 20 El funcional queda: z = 10 x1 +20 x2 + 0s1 + 0s2 – Ma1 Ci xi x1 x2 s1 s2 a1 bi 0 s1 1 1 1 0 0 5 → -M a1 1 1 0 -1 1 20 Cj 10 20 0 0 -M z0 -M -M 0 M -M -20M z0-Cj -M-10 -M-20 0 M 0 ↑ Pasamos a la siguiente tabla: Ci xi x1 x2 s1 s2 a1 bi 0 x2 1 1 1 0 0 5 -M a1 0 0 -1 -1 1 15 Cj 10 20 0 0 -M z1 20 20 20+M M -M -15M+100 z1-Cj 10 0 20+M M 0 No hay valores negativos. Transformamos les inecuaciones en ecuaciones. lo cual significa que la solución no es factible. El problema no tiene solución. pero la variable a1 tiene valor 15 y el funcional vale –15M+100. Soluciones no acotadas o solución infinita Esto se da cuando el conjunto de soluciones factibles es abierto o no acotado. García Venturini Evidentemente este problema carece de solución factible. La situación se manifiesta en el método simplex cuando debe ingresar una variable y no existe un cociente entre los bi y los coefi- cientes de la variable entrante que sea positivo. por lo tanto estaríamos ante la solución óptima. Veamos qué ocurre con el simplex. Alejandro E. Luego trabajó para la Fuerza Aérea como asesor matemático. Sin saberlo. x ≥ 0 ¯ 1 2 Ci xi x1 x2 s1 s2 bi 0 s1 1 0 1 0 10 0 s2 2 -1 0 1 30 -2 3 0 0 z0 0 0 0 0 0 z0-Cj 2 -3 0 0 Debería entrar x2 pero no existe ningún coeficiente positivo de x2 que permita determinar la variable que sale. entrenamiento y suminis- tro logístico. Programación lineal ­ x1 ≤ 10 ° Maximizar z = –2 x1 +3x2 sujeta a: ®2 x1 − x2 ≤ 30 ° x ≥ 0.2005) y la programación lineal Estudió en la Universidad de Maryland donde se graduó en 1936 e hizo estudios de posgrado en la Universidad de Michigan. En cuanto a la terminología un Simples es un tipo especial de conjunto convexo polié- drico. Así desarrolló su método Simples que vio rápidamente que podía aplicarse a objetivos no únicamente militares sino a distintos problemas de planificación. El problema no tiene una so- lución acotada. En este trabajo hizo sus grandes descubrimientos. z se hace infinito. había resuelto dos problemas famosos de la Estadística que hasta ese momento no tenían solución (no eran problemas de tarea). Luego hízo el doctorado de Estadística. Una de las cosas que más sorprendió del método Simples es la rapidez con que se reco- rren los vértices para problemas de muchas variables. es un problema de solución infinita. Los resolvió y los entregó a su profesor. Siempre sostuvo que los estudios que había hecho de Matemática eran demasiado abstractos y no tenían aplicaciones. 297 . DANTZIG. Geeorge Bernard (1914. La Fuerza Aérea necesitaba una forma más rápida de calcular el tiempo de duración de las etapas de un programa de despliegue. Un día llegó tarde a su clase de Estadística y encontró en el pizarrón dos problemas que creyó que era una tarea para el hogar aunque eran problemas un poco más difíciles de los habituales. el famoso Jerzy Neymann. hemos visto que obtenemos las cantidades de cada producto que conviene producir para obtener. su precio sombra es 0 porque no tiene sentido pagar por un recurso que sobra y por lo tanto la contribución marginal de ese recurso es 0 (ad- quirir mayor cantidad de ese insumo no mejora el funcional). Pero hay otros análisis que se pueden hacer a partir de la última tabla del simplex que permiten sacar conclusiones interesantes. y cuáles no (varia- ble de holgura no nula). Estos valores surgen de la última tabla del simplex. qué recursos están saturados (variable de holgura cero). Analicemos la última tabla del problema planteado en la página 271. También determinamos. se plantea el problema de ver en cuánto se incrementa la función objetivo en una unidad dicho recurso. Veamos algunas de ellas. Si un insumo no se utiliza totalmente (es decir que o está saturado). es decir. El precio sombra es el máximo precio que conviene pagar por agregar una unidad de un recurso saturado. Ese precio se deno- mina precio sombra. Alejandro E. es decir que la variable de holgura correspondiente es 0. Esto se denomina contribución marginal del recurso o ren- dimiento marginal del recurso. que se utilizan totalmente. por ejemplo. Veamos ahora cómo se obtienen los precios sombra. aplicando el método sim- ples. a partir de los valores de las variables de holgura. LA CONTRIBUCIÓN MARGINAL DEL RECURSO LOS PRECIOS SOMBRA Cuando en la solución óptima un recurso está saturado. 298 . También interesa saber hasta qué pre- cio conviene pagar por esa unidad que se agrega. García Venturini EL MÉTODO SIMPLEX – ANÁLISIS DE POSOPTIMIZACIÓN Al resolver un problema de optimización. Evidentemente ese precio es igual a la contribución marginal del recurso ya que no conviene pagar pro esa unidad adicional más de lo que se incrementa la función objetivo. Lo ideal es pagar por debajo del precio sombra. el mayor beneficio y a cuánto asciende éste. Es decir que el costo de incrementar en una unidad un recurso saturado deberá ser inferior a la contribución marginal para que se justifique hacerlo. 3/13 y 0 respectivamente. s2 y s3 respectivamente. Por lo tanto también 299 . la del recurso 2 es 3/13 y la del recurso 3 es 0. Los valores de las contribuciones marginales están en el renglón zj–Cj y corresponden a las columnas de las variables de holgura s1. Los precios sombra son 1/26. Es decir que si se incrementa en 1 unidad el recurso 1. la función objetivo se incrementa en 1/26 unidades monetarias. La solución ópti- ma se obtiene si se producen 28/13 unidades de x1. Además sobran 16 unidades del recurso 3. si se incrementa en 1 unidad el recurso 2. También surge de la tabla que la contribución marginal del recurso 3 es 0. O sea que la contribución marginal del recurso 1 es 1/26. Veamos ahora cual es la contribución marginal y los precios sombra de esos recursos. Estos son los máximos valores que se paga por incorporar 1 unidad adicional de cada recurso. Es decir que los recursos 1 y 2 están saturados. la función objetivo se incrementa en 3/13 unidades monetarias. cosa que ya sabíamos por ser un recurso no saturado. El costo de oportunidad determina como influye en z la decisión de producir una unidad de un producto que no conviene producir. Programación lineal Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 1 x2 0 1 2/13 -1/13 0 32/13 1 x1 1 0 -3/26 4/13 0 28/13 0 s3 0 0 1 -3 1 16 Cj 1 1 0 0 0 z2 1 1 1/26 3/13 0 60/13 z2–Cj 0 0 1/26 3/13 0 En este problema hay tres recursos y dos productos. es decir cuánto se pierde (disminuye el fun- cional) por producir una unidad de ese producto. 32/13 unidades de x2 y se obtiene una ganancia de 60/13. COSTO DE OPORTUNIDAD A veces vemos que conviene no producir algún producto (en la solu- ción óptima alguno de los x es 0). Alejandro E.2. por ejemplo. Vemos que no conviene producir el producto 2. Por lo tanto la ganancia debe se mayor que 6.4 -0.8 z2–Cj 0 5 0 0. por ejemplo: z = 2x1 +7x2 +3x3.6 3 x3 0 2 1 -0.5. En este caso el costo de oportunidad de x1 es 0.6.2 0. Si la ganancia que se obtiene por ven- der una unidad de x2 aumentará a más de 6. Vemos que los cos- tos de oportunidad de los productos que conviene producir son 0. es decir en cuanto debe aumentar la ganancia que vender una unidad del producto genera (cuánto debe incrementarse el coeficiente de ese producto en el fun- cional). el problema planteado en la página 273 y su última tabla. 300 . Analicemos.4 18. el de x2 es 5 y el de x3 es 0. entonces se justifica pro- ducir una unidad de x2.2 1. El funcional debería ser. es decir que la ganancia que genera la producción de una unidad de x2 debe incrementarse en más de 5 unidades monetarias para compensar la disminución en 5 unidades monetarias del funcional.2 1.4 La solución óptima es S = {(1.2 Cj 2 1 3 0 0 z2 2 6 3 0. mientras que el del producto que no conviene producir es 5.0. Los costos de oportunidad de cada producto se encuentran en las fila zj–Cj y corresponden a las columnas de cada xi. El costo de oportunidad de los productos que se producen siempre es 0 porque por el hecho de producirse no generan disminución del funcio- nal y por lo tanto no es necesario que se incremente la ganancia. García Venturini indica en cuánto debería modificarse (como mínimo) la contribución del producto para que convenga producirlo.2 1. Veamos cuál es el costo de producir 1 unidad del producto 2 (producto que no conviene producir). Es el mercado el que determinará si el producto se puede vender gene- rando una ganancia superior a 6. Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 2 x1 1 0 0 0.6 5.0.0)}. 5 1 1 50 40 x2 0 1 0 0 1 100 Cj 20 40 0 0 0 z2 20 40 10 0 0 5. 0 y 0 respectivamente. Si la variable forma parte de la solución óptima no tiene sentido modificar la cantidad pro- ducida ni esperar un aumento en la ganancia para justificar su produc- ción. x2. El tema que se plantea es que pasa si alguno de esos pa- rámetros varía. en este caso sd1 = sd2 = 0. Pero vemos que la solución del problema dual coincide con los precios sombra del problema primal. Además los costos de oportunidad coinciden con los valores de las variables de holgura del problema dual. LOS PRECIOS SOMBRA Y EL COSTO DE OPORTUNIDAD EN EL PROBLEMA DUAL Si analizamos la tabla final del problema planteado en la página 285. es decir de los diferentes coeficientes que aparecen en las inecuaciones. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD La solución óptima surge de los diferentes parámetros que tiene el problema.5 0 -2 50 0 s2 0 0 -0. que si por ejemplo cambia la ganancia que 301 .000 z2–Cj 0 0 10 0 0 Los precios sombra son 10. Ahora podemos decir que la solución el problema dual está dada por los precios sombra del pro- blema primal y viceversa. Programación lineal Que genera su venta para justificar producirlos. los que coinciden con la solución óptima del problema dual. valo- res que coinciden con los costos de oportunidad de los productos x1. Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 20 x1 1 0 0. Es decir. observamos que a partir de esta tabla obtuvimos la solución del pro- blema dual. Esto es lógico ya que ambos productos integran la solución óptima. 6 5.2 1. El tema es ver cuánto debe variar ese coeficiente para que convenga producir ese producto. El análisis de sensibilidad va a indicar un límite inferior y un límite superior. Si el análisis revela que la solución óptima es afectada ligeramente por importantes cambios de los valores de los parámetros. Cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable no básica Veamos qué ocurre si cambia el coeficiente en la función objetivo de una variable no básica. Alejandro E.2 Cj 2 1 3 0 0 z2 2 6 3 0.4 18. Este análisis recibe el nombre de análisis de sensibilidad. valores entre los cuales puede variar el parámetro sin que se altere la solución óptima.6 3 x3 0 2 1 -0. Se trata de ver hasta que punto pueden variar los coefi- cientes involucrados en el problema sin que varíe la solución óptima. Interesa particularmente el análisis hecho sobre los coeficientes de la función objetivo y las constantes del miembro derecho de las restric- ciones (recursos). Si la varia- ble no pertenece a la base no conviene producir ese producto.2 0.2 1. García Venturini genera la venta de un producto o algunas de las cantidades de los in- sumos. determinar el rango de valores que puede tomar un determi- nado coeficiente sin alterar la solución óptima. Veamos la siguiente tabla final del simplex: Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 2 x1 1 0 0 0.8 z2–Cj 0 5 0 0. Pero si la solución óptima varía ante pequeños cambios en los parámetros se dice que la solución óptima es sensible. Es decir.4 302 . Se plantean los siguientes casos. etc. es decir que no pertenece a la base.4 -0.2 1. se dice que la solución es insensible. entonces se podría producir x2 pero no aumentará el fun- cional y por lo tanto se puede mantener la solución óptima anterior. lo mismo que si las ganancias aumentan en una cantidad inferior a zj– Cj. es decir C2. va a llegar un momento en que convendrá producir x2 y por lo tanto la solución dejará de ser óptima. Es evidente que si C2 empieza a crecer. O sea para que no convenga producir x2. Si C2* fuese > 6. en nuestro ejemplo C2*= 1+ΔC2. entonces convendrá producir x2 y la solución óptima cambiará. Por lo visto el análisis de sensibilidad para el caso del cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable no básica es bastante simple. en el funcional para que esta solución siga siendo óptima. Sola- mente si la contribución a las ganancias aumenta en una cantidad que sea mayor que el valor actual de zj– Cj cambia la solución óptima. Es posible determinar cuán grande puede ser ΔC2 teniendo en cuenta que para que x2 no entre a la base (y por lo tanto no convenga producir- lo) debe ser z2– C2* ≥ 0. El nuevo coeficiente es: C2* = C2+ΔC2. Esto es lógico si se tiene que en cuenta que una variable no está en la so- lución óptima porque la ganancia que se obtiene al venderla es inferior al 303 . Programación lineal Vemos que no conviene producir el producto x2. Si C2* fuese 6. no hay cambio en la solución óptima. 6 – (1+ΔC2) ≤ 0 Ÿ ΔC2 ≤ 5 ∴ C2* ≤ 6. Buscamos determinar cuánto puede variar el coeficiente de x2. En este caso analizamos C2. Si la utilidad de la variable no básica disminuye (en el ejemplo fuese menor que 1). por lo tanto le agregamos ΔC2. La sensibilidad de la solución óptima a cambios de los coeficientes de la función objetivo puede determinarse añadiendo una cantidad ΔCj al coeficiente Cj que se quiere analizar. En general podemos decir que para que una variable no básica siga siendo no básica debe verificarse que ΔCj ≤ zj– Cj. También. por lo tanto debe aumentar la ganancia de venderla para justificar su producción. por lo tanto en este caso sólo interesa el límite superior. El tema es ver cuánto debe variar ese coeficiente para que no convenga producir ese produc- to y por lo tanto cambie la solución óptima. Si el coeficiente de contribución de la variable básica disminuye. 304 . Para analizar el efecto que producen los cambios en los coeficientes del funcional de variables básicas también añadimos un coeficiente ΔCj al coeficiente Cj que queremos estudiar. entonces es posible que la variable tuviera que dejar la base puesto que tal vez no fuera suficientemente redituable para se- guir siendo básica. entonces puede producirse uno de dos resultados. a diferencia del otro caso. A diferencia de los cambios en los coeficientes para variables no bási- cas. Alejandro E. Por otro lado si la contribución a las ganancias aumenta podría obtenerse un mayor nivel de producción para la va- riable que se considera (aumenta el valor de x en la solución óptima). los cambios en las contribuciones a las ganancias para una variable básica influirán sobre la solución óptima existente. Cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica Veamos qué ocurre si cambia el coeficiente en la función objetivo de una variable básica. García Venturini costo de producirla. Si la ganancia disminuye (ΔCj < 0) seguirá no siendo conveniente producirla. En este caso interesará el límite inferior y el límite superior. es decir que pertenece a la base. Si la variable per- tenece a la base conviene producir ese producto. Si cambia la contribución de una variable básica a las ganancias (cam- bia el coeficiente en el funcional). en el caso de variables básicas deben considerarse tanto aumentos como disminuciones en los coeficientes del funcional. Debemos tener en cuen- ta que Cj interviene también en la base. para determinar los límites de ΔCj se deben examinar todos los valores de zj– Cj que se vean afectados por ΔCj. puede resultar afectada más de una columna.2+4ΔC1 1. Volvamos al ejemplo anterior y analicemos las variaciones en el coefi- ciente C1 y C3 que corresponden a las variables básicas. para eso veamos la siguiente tabla. donde se ha incorporado ΔC1. la solución sigue siendo óptima.2ΔC1 Para que la solución siga siendo óptima debe verificarse que: 0.5 y 9.2 1.5 ≤ C1 ≤ 9 Si C1 varía entre 1.2+4ΔC1 ≥ 0 y que 1. Además vemos que el funcional puede variar entre 18 y 30. –0.2ΔC1 18. Programación lineal En el caso de la variable no básica el ΔCj afectó sola una columna de la tabla.2ΔC1 ≥ 0 Ÿ ΔC1 ≥ –0. Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 2+ΔC1 x1 1 0 0 0.4-0.4 -0.6 5. de lo contra- rio cambia.5 y ΔC1 ≤ 7. Sin embargo.2 0.4–0.2+4ΔC1 1.6 3 x3 0 2 1 -0. Comencemos por analizar las variaciones de C1. Por eso.8+1. en el caso de una variable básica.4-0.2 Cj 2+ΔC1 1 3 0 0 z2 2+ΔC1 6 3 0. 305 .6ΔC1 z2–Cj 0 5 0 0.5 ≤ ΔC1 ≤ 7 Ÿ 1. Luego haremos un análisis similar para C3. 2 1.4+0.6ΔC3 Para que la solución siga siendo óptima debe verificarse que: 5 + 2ΔC3 ≥ 0 Ÿ ΔC3 ≥ –2.2-0.2 0.6 5.2ΔC3 ≥ 0 Ÿ ΔC3 ≤ 1 1.6 3+ΔC3 x3 0 2 1 -0.8+5. García Venturini Veamos ahora el análisis para C3: Ci xi x1 x2 x3 s1 s2 bi 2 x1 1 0 0 0.6ΔC3 ≥ 0 Ÿ ΔC3 ≥ –2. 306 .2-0.4 + 0.2ΔC3 1.5 y 24.33 ≤ ΔC3 ≤ 1 Ÿ 0.2 Cj 2 1 3+ΔC3 0 0 z2 2 6+2ΔC3 3+ΔC3 0.2ΔC3 z2–Cj 0 5+2ΔC3 0 0.67 ≤ C3 ≤ 4 Además vemos que el funcional puede variar entre 7.2ΔC31.33 De estas restricciones surge que –2.5 0.6ΔC3 18.2 – 0.4 -0. Alejandro E.4+0. Programación lineal EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Representar gráficamente el conjunto soluciones factibles y obtener el punto óptimo a) Maximizar z = 3x1 +6x2 b) Maximizar z = 3x1 +10x2 ­20 x1 + 50 x2 ≤ 3. x ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. x ≥ 0 ° x ≥ 0.300 ­20 x1 + 50 x2 ≤ 3.300 ° ° sujeta a: ® 4 x1 + 3x2 ≤ 380 sujeta a: ® 4 x1 + 3 x2 ≤ 380 ° x ≥ 0. x ≥ 0 ° ¯ 1 2 ¯° x1 ≥ 0. x2 ≥ 0 e) Maximizar z = 2x1 +3x2 f) Maximizar z = 4x1 +3x2 ­ x1 + x2 ≥ 5 ­ x1 + x2 ≤ 4 ° ° sujeta a: ®2 x1 + 3x2 ≤ 6 sujeta a: ®2 x1 + x2 ≤ 5 ° x ≥ 0. x ≥ 0 ¯ 1 2 ¯ 1 2 c) Minimizar z = 300x1 +500x2 d) Maximizar z = 2x1 +3x2 ­ x1 + x2 ≥ 10 ° x1 ≤ 5 °° ­ x1 + x2 ≥ 5 ° sujeta a: ® x2 ≤ 10 sujeta a: ®3 x1 + x2 ≥ 6 ° x2 ≥ 6 ° x ≥ 0. x2 ≥ 0 ¯ 1 2 307 . x ≥ 0 ¯ 1 2 ¯ 1 2 g) Maximizar z = 2x1 +3x2 h) Minimizar z = 4x1 +5x2 ­ x1 + x2 ≤ 4 °2 x + 3x ≤ 10 ­ x1 + 2 x2 ≥ 4 ° 1 2 ° sujeta a: ® sujeta a: ® x1 + x2 ≥ 3 ° 1 2 ≤6 2 x + x ° x ≥ 0. x ≥ 0 ° x ≥ 0. x2 ≥ 0 ¯ 1 2 k) Maximizar z = 2x1 +x2 l) Minimizar z = 2x1 +3x2 ­ x1 + x2 ≥ 1 ­ x1 + 2 x2 ≤ 6 °2 x + 4 x ≥ 3 ° ° 1 2 sujeta a: ®− x1 + x2 ≥ 4 sujeta a: ® ° x ≥ 0. El ali- mento II cuesta $1 el kilo y contiene 60% de carbohidratos. Por cada mesa se necesitan 50 dm2 de madera y e horas de mano de obra. x ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. ¿Cuántas mesas y cuántas sillas conviene fabricar para obtener la máxima ganancia posible suponiendo que se venden todos los artículos fabricados? b) Dos alimentos sólo contienen carbohidratos y proteínas. El alimen- to I cuesta $0. x ≥ 0 ° 1 x + 4 x2 ≥8 ¯ 1 2 °¯ x1 ≥ 0.50 el kilo y contiene 90% de carbohidratos. x2 ≥ 0 2) Plantear el sistema de inecuaciones correspondiente a los siguientes problemas. ¿Qué combinación de estos costos dos alimentos suministra por lo menos 2 kilos de carbohidratos y 1 kilo de proteínas? ¿Cuál es el costo por kilo de esta combinación? 308 . representar gráficamente el conjunto solución y obtener analíticamente el punto óptimo.300 dm2 de madera y una planta laboral que le proporciona 380 horas de mano de obra. Por cada silla se necesitan 20 dm2 de madera y 4 horas de mano de obra. El fabricante posee 3. Además se sabe que por cada silla vendida obtiene una ganancia neta de 3 dólares y por ca- da mesa una ganancia neta de 6 dólares. García Venturini i) Maximizar z = 5x1 +3x2 j) Minimizar z = 3x1 +7x2 ­10 x1 + x2 ≤ 10 ° x + 10 x ≤ 10 ­ 5 x1 + x2 ≥ 1 ° 1 2 ° sujeta a: ® sujeta a: ®2 x1 + 3x2 ≥ 2 °2 x1 + 3x2 ≤ 6 ° x ≥ 0. a) Una compañía de muebles fabrica mesas y silla. Alejandro E. B y C respectivamente. La siguiente tabla in- dica las restricciones y los requerimientos de mano de obra.000 Maquinaria 4 4 6. y 1 uni- dades de los alimentos A. Se desea saber cuántas hectáreas de cada cultivo habrá que plantar para obtener el máximo beneficio. Una presa de la especie I suministra 5. Productos Autos Ciclomotores Disponibilidad Recursos Mano de obra 5 6 15. 160 días-hombre para cultivarlo y $1. un animal necesita 10 unidades del alimento A. ¿Cuántas presas de ca- da especie debe capturar el animal para satisfacer sus necesidades alimentarías con un mínimo gasto de energía? d) Una industria produce autos y ciclomotores. mate- ria prima y maquinaria. B y C respectivamente. Determinar cuántos ciclomotores y cuántos autos conviene produ- cir para obtener el mayor beneficio. La soja requiere 1 día-hombre y una in- versión de $10 hectárea. 2.500 Materia prima 10 20 20. El maíz requiere 4 día-hombre y una inversión de $20 por hectárea. Una presa de la especie II suministra 1. Programación lineal c) En su consumo diario promedio de alimento. 309 .100 para invertir. Desea sembrar dos cultivos: soja y maíz. 2. Capturar una presa de la especie I requiere 3 uni- dades de energía. Estos requerimientos se satisfacen cazando dos ti- pos de especies. el gasto de energía correspondiente a capturar una presa de la especie II es de 2 unidades. 12 unidades del alimento B y 12 unidades del alimento C. También figura en la tabla el beneficio que se obtiene al vender 1 unidad de cada producto. y 4 unidades de los alimentos A.000 Beneficio 3 4 e) Un chacarero tiene a su disposición 100 hectáreas de tierra. produce un beneficio de $40 por hectárea. produce un beneficio de $120 por hectárea. 310 .000 para gastos de escenografía. García Venturini f) Un granjero tiene 100 hectáreas para plantar trigo y alpiste.000 para sueldos de actores y 50. Alejandro E.000 leguas de viaje submarino Presenta un cuadro con los costos de producción de cada episodio para cada uno de los proyectos.000. La se- milla de trigo cuesta $4 por hectárea y la semilla de alpiste cuesta $6 por hectárea.000 y cada capítulo del proyecto 2 a 20. ¿qué can- tidad de capítulos de cada proyecto conviene producir para optimi- zar el beneficio? h) Una empresa de bicicletas produce dos modelos. basadas en la obra de Julio Verne. Espera tener un benefi- cio de $110 por hectárea de trigo y $150 por hectárea de alpiste. profesional y fa- miliar. El modelo profesional requiere 8 horas de fabricación y 4 horas de armado.000 para gastos de la- boratorio.400 en mano de obra. El costo total de mano de obra es de $20 por hec- tárea de trigo y $10 por hectárea de alpiste. Se disponen de 80 horas para la fabricación de piezas y 60 horas para el armado. Cada capítulo del proyecto 1 se puede vender a 15. Cada bicicleta profesional genera una ganancia de $260 y cada familiar una ganancia de $225. Si no desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1. 40. ¿cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plan- tar para obtener la máxima ganancia? g) Un director cinematográfico presenta dos proyectos para la realización de dos miniseries en episodios.000. El modelo familiar re- quiere 5 horas de fabricación y 5 horas de armado. PROYECTO 1: Viaje al centro de la tierra PROYECTO 2: 20. PROYECTO 1 PROYECTO 2 Escenografía 2 4 Sueldos de actores 2 2 Gastos de laboratorio 4 3 (en millones de dólares) El productor dispone de 50.000.000.000.000. x2 ≥ 0.5 puntos. 3) Resolver los problemas a. Programación lineal ¿Cuántas bicicletas de cada modelo conviene armar para obtener el máximo beneficio? i) Un alumno debe preparar sus exámenes de Economía y Contabili- dad para los que dispone de 36 horas. x3 ≥ 0 ¯ 1 2 3 311 . Determinar co- mo distribuir sus horas de estudio para obtener el máximo promedio general. f. g. x ≥ 0. Cada hora dedicada a Eco- nomía le rinde 0. e i del punto 1 aplicando el méto- do Simplex. 5) Obtener el óptimo de las siguientes funciones objetivo sujetas a las restricciones indicadas aplicando el método Simplex. Ambas se aprueban con 4 puntos. y h del punto 2 aplicando el mé- todo Simplex. 4) Resolver los problemas a.25 puntos y cada hora dedicada a Contabilidad le rinde 0. b. a) Maximizar z = x1 +2x2 + 2x3 b) Maximizar z = x1 – x2 + x3 ­ x1 + x2 + 2 x3 ≤ 5 ­ x1 + 3 x2 + 6 x3 ≤ 12 ° 2x + x + x ≤ 7 °3 x + 2 x + 4 x ≤ 10 °° 1 2 3 ° 1 2 3 sujeta a: ® sujeta a: ®2 x1 − x2 + 3 x3 ≤ 8 ° − x1 + 2 x2 + x3 ≤ 5 °x + 2x + 5x ≤ 9 °¯ x1 ≥ 0. f. x2 ≥ 0. x3 ≥ 0 ° 1 2 3 °¯ x1 ≥ 0. g. d. x3 ≥ 0 c) Maximizar z = x1 + x2 – 3x3 d) Maximizar z = 2x1 + x2 – x3 ­ x1 + x2 + x3 ≤ 5 °x − 2x + 2x ≤ 6 ­ x1 + x2 ≤ 1 ° 1 2 3 ° sujeta a: ® sujeta a: ® x1 − 2 x2 − x3 ≤ −2 ° 2 x1 − x2 + x3 ≤ 4 ° x ≥ 0. x ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. x2 ≥ 0. x ≥ 0. x3 ≥ 0 ¯ 1 2 3 312 . x2 ≥ 0. x3 ≥ 0 g) Maximizar z = 10x1 + 3x2 + 4x3 h) Maximizar z = 2x1 +12 x2 + 8x3 ­8 x1 + 2 x2 + 3x3 ≤ 400 ­ 2 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 100 ° 4 x1 + 3 x2 ≤ 200 ° x − 2 x + 5 x ≤ 80 ° ° 1 2 3 sujeta a: ® sujeta a: ® ° x3 ≤ 40 °10 x1 + 5 x2 + 4 x3 ≤ 300 °¯ x1 ≥ 0. x2 ≥ 0. x2 ≥ 0 k) Minimizar z = x1 – x2 – x3 l) Maximizar z = 4x1 + x2 +2x3 ­ x1 + 2 x2 + x3 = 4 ° ­2 x1 + x2 + x3 ≤ 10 ° x2 + x3 = 1 ° sujeta a: ® sujeta a: ® x1 − x2 + x3 = 4 ° x1 + x2 ≤ 6 ° x ≥ 0. x2 ≥ 0. x2 ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. García Venturini e) Maximizar z = 5x1 + x2 + 3x3 f) Maximizar z = 2x1 + x2 – 4x3 ­ x1 ≤ 3 °4 x + x ≤ 2 ­6 x1 + 3x2 − 3 x3 ≤ 10 °° 2 3 ° x − x + x ≤1 ° 1 2 3 sujeta a: ® x1 − x2 ≤ 0 sujeta a: ® ° 2 ° 1 2 x − x + 2 x3 ≤ 12 x3 ≤ 1 ° °¯ x1 ≥ 0. x2 ≥ 0. x2 ≥ 0. Alejandro E. x3 ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. x ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. x3 ≥ 0 i) Maximizar z = 10x1 +15 x2 j) Maximizar z = 15x1 +20x2 ­ x1 + x2 ≥ 20 °2 x + x ≤ 48 ­ x1 + x2 ≥ 48 °° 1 2 °6 x + 9 x ≤ 216 ° 1 2 sujeta a: ® x1 ≤ 20 sujeta a: ® ° x + x ≤ 30 15 ° 1 x + 10 x2 ≤ 360 ° 1 2 °¯ x1 ≥ 0. x3 ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. b) hallar el máximo por el método simplex indicando la solución óptima. x ≥ 0 ° x1 − x3 ≤ 1 ¯ 1 2 °¯ x1 ≥ 0. d) determinar las contribuciones marginales de cada in- sumo. a) Minimizar z = 4x1 +5x2 b) Minimizar z = 3x1 +4x2 +6x3 ­ x1 + 3x2 ≥ 3 ­4 x1 + 7 x2 + x3 ≥ 3 °3 x + x ≥ 3 ° x + 3x + 5 x ≥ 7 ° 1 2 ° 1 2 3 sujeta a: ® sujeta a: ® ° x1 + x2 ≥ 7 2 ° 1 2 x + x + 4 x 3 ≥ 10 °¯ x1 ≥ 0. Programación lineal m) Maximizar z = x1 + x2 – 3x3 n) Maximizar z = x1 + x2 +x3 ­ x1 + x2 + 2 x3 ≤ 5 ­2 x1 + x2 ≤ 10 ° x −x +x ≤3 ° ° 1 2 3 sujeta a: ®3 x1 − x2 ≥ 9 sujeta a: ® ° x ≥ 0. Indicar las soluciones de ambos problemas. x2 ≥ 0. x2 ≥ 0. x ≥ 0 ° 2 x1 + x2 ≤ 4 ¯ 1 2 °¯ x1 ≥ 0. x3 ≥ 0 6) Determinar el problema del mínimo dual de los siguientes proble- mas de maximización. x3 ≥ 0 7) Determinar el problema del máximo dual de los siguientes proble- mas de minimización. A partir de las siguientes tablas iniciales del simplex se pide: a) com- pletar la tabla. x3 ≥ 0 8) Supongamos un problema con 3 recursos escasos y 2 productos. x2 ≥ 0. c) determinar el costo de oportunidad de cada producto. 313 . x2 ≥ 0 °¯ x1 ≥ 0. a) Maximizar z = 2x1 +3x2 b) Maximizar z = 3x1 +2x2 ­ x1 + 2 x2 ≤ 5 ­ − x1 + x2 ≤ 5 °3x + 4 x ≤ 8 ° ° 1 2 sujeta a: ®2 x1 − 3 x2 ≤ 6 sujeta a: ® ° x ≥ 0. Indicar las soluciones de ambos problemas. Alejandro E. x2 ≥ 0. 314 . x3 ≥ 0 a) Indicar la solución óptima b) Indicar la solución del problema dual c) Indicar los costos de oportunidad de cada producto d) Indicar los precios sombra e) Determinar la sensibilidad de la solución óptima a cambios en los coeficientes de contribución de cada una de las tres varia- bles e indicar cuáles son variables básicas y cuáles no básicas. García Venturini a) Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 1 2 5 3 2 7 1 1 1 Cj 2 5 b) Ci xi x1 x2 s1 s2 s3 bi 1 2 40 2 1 50 2 2 80 Cj 100 20 9) Dado el siguiente problema: maximizar z = 50x1 + 84x2 + 60x3 suje- ­3 x1 + 4 x2 + 2 x3 ≤ 60 ° 2 x + x + 2 x ≤ 36 ° 1 2 3 ta a: ® ° 1 x + 3 x 2 + 2 x3 ≤ 62 °¯ x1 ≥ 0. 0 .. z = 525. z = 660. l) (0. 2) a) 65 sillas y 40 mesas. 2 3 . i) (0.3). especie II = 5. 1 4 .45).2. costo por kg.0).5.0. f) (1.30.000 autos y 500 ciclomotores. = 8 3 c) especie I = 1. z = 7. 0.0).30). z = 80 11 j) (1. n) (1. z = 450 ( ) j) sin solución. de Viaje al centro de la tierra y 10 cap.40). z = 15 2 ( ) b) 13 4 .30). z = 4.0) y (0. z = 660. z = 9 2 f) 13 9 . b) (0.000 h) 5 profesionales y 8 familiares. z = 13. 4 9 .000 leguas. y ≥ 0 ¯ 1 2 ¯ 1 2 3 315 .35. z = $5.1).0).000. ( ) i) 1011. z = 10 3 g) (27. b) alimento I = 2 3 kg.2).400 f) 45 hectáreas de trigo y 50 de alpiste. 0 . z = 58 3 ( ) m) 19 5 . z = 2 e) 1 4 . h) (2.. z = 5. z = 6. 1 2 . y ≥ 0 ° y ≥ 0. d) sin solu- ción.4. z = $3. 25 8 . (4. 12 5 . z = $12.100 i) 16 horas a Economía y 20 horas a Contabilidad. z = 10. z = 3. 1011 . z = 0.450 g) 5 cap.5. 0 . z = 435. k) (3. alimento II = 7 3 kg.1 .6).2). z = 15 4 c) (3.0. z =11. h) (0. z = U$S 275. e) sin solución. de 20. z = 7 ( ) 5) a) 5 4 . y ≥ 0.200. 10 3 y (2. z = 5 6) a) Minimizar z*=5y1+6y2 b) Minimizar z*=5y1+6y2 ­ − y1 + 2 y2 ≥ 2 ­ y1 + 3 y2 + 2 y3 ≥ 3 ° ° sujeta a: ® y1 − 3 y2 ≥ 3 sujeta a: ®2 y1 + 4 y2 + y3 ≥ 2 ° y ≥ 0. l) 14 3 .000 e) 60 hectáreas de soja y 25 hectáreas de maíz.0). g) cualquier punto de la recta ( ) 2x1+3x2=10 entre 0.1). hay infinitas soluciones que pertenecen al seg- mento que une ambos puntos. z = 435 U$S. Programación lineal RESPUESTAS 1) a) (65. energía = 13 unidades d) 1. k) (1.5). z = 5 ( ) ( ) d) (1.66). z =13. = 28. x2 = 0 . x2 = 1 . sd2 = 0. s3 = 30. s3 = 10. s3 = 0. x2 = 0 . de op. de x2 = 0. y3 = 1. y3 = . sd2 = 3. de op. de x1 = 3. s1 = 3 . y2 ≥ 0. x2 = 0 . z = 1.5 z = z* = 15 8) a) x1 = 0 .10 −7 .143 . Cmg de s3 = 5 b) x1 = 25 . Cmg de s1 = Cmg de s2 = 0.43 s1 = 4 . de x1 = 0. y2 = 0 . sd1 = sd2 = 0 5 5 z = z* = 532 7) a) Maximizar z*=3y1+3y2+7y3 b) Maximizar z*=3y1+7y2+10y3 ­ 4 y1 + y2 + 2 y3 ≤ 3 ­ y1 + 2 y2 + y3 ≤ 4 °7 y + 3 y + y ≤ 4 ° ° 1 2 3 sujeta a: ®3 y1 + y2 + y3 ≤ 5 sujeta a: ® ° y ≥ 0. y3 = 0 . C.5 z = z* = 28 sd1 = sd3 0. 12 y 0 respectivamente e) Variable no básica: –∞ ≤ c1 ≤ 78 Variables básicas: 30 ≤ c2 ≤ 120. y ≥ 0 ° y1 + 5 y2 + 4 y3 ≤ 6 ¯ 1 2 3 °¯ y1 ≥ 0. 42 ≤ c3 ≤ 168 316 . x2 = 8 . García Venturini 8 4 9 no tiene solución x1 = . x2 = . sd1 = 28. C. de op. sd1 = 0. sd2 = 1 y1 = 1. x3 = 2. y3 ≥ 0 x1 = 7 .512 b) y1 = 18 . z* = 1. Alejandro E.28. C. de op. sd2 = 2. s3 = 0 y1 = y2 = 0 . de x2 = 30. de op. s2 = 18. s1 = 0 . s2 = s3 = 0 5 5 5 1 6 y1 = 0 . y2 = 12 . s2 = 0. s1 = . y2 = . s2 = 0. y3 = 4 . 0 y 0 respectivamente d) Precios sombra = 18. y ≥ 0. s2 = 5. x1 = 0. Cmg de s1 = Cmg de s3 = 0. s1 = 15 . s2 = 5.08. s3 = 0 s1 = 4 . x3 = 14 . C. Cmg de s2 = 50 9) a) x1 = 0 .512 c) C. Apéndice 1 Algunos conceptos matemáticos básicos . . . las ecuaciones de la recta en el plano y en el espacio.5} ~={(1. en parte.3. las principales operaciones matemá- ticas y sus propiedades.B. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya pri- mera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B. Repasamos aquí algunos de esos símbolos.y)/ xEA A yEB} Ejemplo: A={1.(3.2). las ecuaciones del plano.(5.5} B={2. delta mayúscula <p phi p. siy sólo si <* está incluído en e para todo v existe al menos 1 . Veremos temas como el lenguaje matemático.¡ aproximoJIamente igual ¡¡¡ no existe ~ no pertenece ~ # (se lee cardinal y es el número de elementos de un conjunto) Letras griegas más utilizados ex alpha o delta minúscula p rho e epsilon B betha .(5. 7 es mayor que 5 7> 5 2 es menor que 6 2 < 6 el 5 está entre 2 y 8 2 <5 < 8 valor absoluto de x Ixl x es mayor o igual que 3 x~3 x es menor o igual que 6 x s 6 3 es un número natural 3EN ! es un número racional !EQ 3 3 /2 es un número real ..(3.6. EL LENGUAJE MATEMÁTICO En matemática se utiliza un lenguaje propio que ya habrás.2).fi E R -5 no es natural -5 ~ N 9 es múltiplo de 3 9=3 el 3 divide a 12 3 112 y A o v implica .5).C.5). AxB={(x. algunas nociones sobre los vectores en el plano y el espacio.. Apéndice En este apéndice haremos un repaso de temas que no son específicos del curso de Algebra pero cuyos conocimientos son fundamentales para abordar los temas que desarrollaremos en este texto. utilizado en la escuela secundaria o en el C.5)} Nota: Si #A=m y #B=n . mu 'Y gamma A lambda 11" pi PRODUCTO CARTESIANO Una operación muy importante que se define entre dos conjuntos es el producto cartesiano que se denomina como AxB.(1. #AxB= mxn 319 .2).. entre otros temas. Vn impar 320 .:2.. de cuadrados: a2 . j) [ i ) -1 b =¡z b a" Diferencio..b) Propiedades de la radicación (va > O. vb > O) . n g) (a"')" = (a")'" . ) " =~ n c) a-n =2. Propiedades de la Potenciación a) (a.b" b) [ E. García Venturini LOS CONJUNTOS NUMÉRIcos Repasemos ahora los distintos conjuntos numéricos No .j Naturales (N) RIlcionales (Q) Enteros (Z) O Reales(R) Ellteros Negattvos Complejos (e) (Z-) Fraccionarios Irracionales Imaginarios (I) ALGUNAS OPERACIONES Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES Ahora veremos una síntesis de las principales operaciones y sus propiedades.. "R '" x.-" =br. (a . Vn par. b 2 = (a + b).<.b)n = a n . [a) 1) . .1 f) a " " ' - ':la h) "[xli '" Ixl.O b b" an f) (a"')"=a m . Va. Alejandro E. .. a+c<b+c b) a<b . Es decir que la propiedad de caerse se cumplirá para todas. +a". Para eso deben cumplirse las siguientes condiciones: 321 .. • Por ejemplo.i actúa i=1 como un contador. Apéndice Operaciones con fracciones adición ~+~ = a.:E i=1 ¡-l ai n • n 3) :E j. No genem propiedades pero sí permite su demos- tración cuando éstas se refieren a los números naturales. Supongamos un conjunto de ~ de dominó en una fila.. e b e '4 Desigualdades a) a<b .É.. Propiedades de la sumatoria • 1) :E k=n.. =1.= ~ ~. -a>-b c) a>b'" -a<-b d) a:S:b'" a<b o a=b e) a~b . 2) :E k. evidentemente se cae la de atrás. entonces se caerán todas. + :E b¡ . se utiliza la notación :E ai .a.d+b.l (ai+b~ =:E a.k i=1 n .d división . a>b o a=b f) a<b<c'" a+x<b+x<c+x g) !!>O . (a>OAb<O) Y (a<OAb>O) b b LA SUMATORIA El símbolo sumatoria 1: se utiliza para abreviar la anotación de una suma cuyos términos admiten una cierta ley de formación. para indicar la suma al +~+3s ... Veamos un ejemplo intuitivo de como funciona este principio.=1 '=1 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA Concepto El principio de inducción completa proporciona un método de demostración por recurrencia de múltiples aplicaciones en matemática.... Si se cae la pri- mera.c sustracción mnll:iplicaciÓD b d b. Si una se cae.(a>OAb>O) Y (a<OAb<O) h) !!<O .. (h+l) 2 c) Tesis inductiva Debemos demostrar que se verifica para n =h + 1 p(h+l) 1+2+3+. se cae la primera ficha) b) si se cumple para uno cualquiera (se cae una ficha). Principio de inducd. algunas lo hacen a partir de otros valores. se cumple para el siguiente (se cae la de atrás) En estas condiciones podemos afirmar que se cumple para todas (todas se caen).(n+l) 2 a) p(l) 1 = 1+1 =1 .) de una propiedad debe demostrarse que ésta se verifICa para ese valor inicial. 3. García Venturini a) la propiedad se cumple para un valor inicial (en el ejemplo el 1..(h+2) 2 Demostración 1+2+3+••• +h+h+l = h. si esta cumple que: a) p(l) es V b) Si p(h) es V entonces p(h+ 1) también es V c) Entonces p(n) también es V "nEN. se verifica para n=l 2 b) Hip6tesis inductiva Suponemos que se cumple para n=h p(h) 1+2+3+. reemplazamos pOr la hipótesis inductiva los pri- meros términos y luego sumamos el término h+ l. Luego operamos hasta demostrar la tesis. I?¡jemplos 1) Demostrar que la suma de los D primeros números naturales es n.ón completa Dada una propiedad.(h+l) = (h+l). por e- jemplo el 2.(h+l) +h+l = h. +h+h+l = (h+l)....(h+l)+2. etc. 322 .. y luego aceptando que se verifica para uno cualquiera (h) demostrar que se verifica para el siguiente (h+ 1). Para demostrar la validez general para todo número natural a partir de uno inicial (no todas las propiedades se verifican a partir del 1. +h = h. Alejandro E.(h+2) 2 2 2 Partimos del enunciado de la tesis inductiva. = 2-~ =.l h 2 2 2 2 2 3 4 h 2" h+2 .= 1+2+.27 +2".•.reemplazando 2h por 1) 323 .=2-- 2" e) p(h+ 1) Demomación 3) Demostrar que 'In € N: 32ft+! + 2"+2 = '7 a) p(1) b) p(h) 1) e) p(h+l) Demostración 32h +3 +2h+3 = 32h. 2 2 2 1 2 3 4 b) p(h) L -zii = -+-+-+-+ j. +n = n(n+l) 2 2) t ¡=1 ~ =2_n+2 2' 2" a) p(1) .8 = .. .!.. + .!. Apéndice Finalmente podemos afirmar que para todo número natural se verifica que: S.. a) p(l) 2=2 b) p(h) 2+6+18+ .(n-l)! "n."1 = 3n . +2... + (5n-3) = .2. ..1 5) Demostrar que 2+7+12+ .2..3.rfi slmp 1 lcar: 7! = 51" S! 7.. +2. e IDlelon: 0!=1 1! = 1 Ejemplos: S!= 5. García Venturini 4) Demostrar que 2+6+18+ .(Sh-1) e) p(h+1) 2+7+12+ .(Sh+4) 2 2 2 FUNCIÓN FACTORIAL Factorial de un número Se llama factorial de un número natural mayor que 1 al producto de los números naturales desde n hasta l.5! 76 .l .3.(n-l). + (5h-3) + (Sh+2) = ~ .!!.3. 2 a) p(l) 2=2 b) p(h) 2+7+12+ ..1 e) p(h+1) 2+6+18+ .(n-2) . 42 324 .31>-1 + 2. + (Sh-3) = ~ .3h = 3h+1 .3h = 3.(n-2)! Es decir que los factoriales se pueden desarrollar hasta un determinado término.1 Demostración 2+6+ 18+ .3b-l + 2...1 = 24 Propiedad: n! = n...(Sh-1) + Sh+2 = h. 1 + 2.(Sh+2) = 5h 2 +9h+4 = (h+l).1 = 120 4!= 4.3h ..31>-1 = 3h . (Sh+4) Demostración 2+7+12+ . +2. 1 = 3b+l ..4.(n-l). 1 es válido VnEN...-.(5n-1) es válido vnEN. Esto permite .2.. .(Sh-l) +2.6. n! = n... 3.. Alejandro E..3h = 3h . +2.. + (Sh-3) + (Sh+2) = h.1 Por dfi . Vectores paralelos: son todos aquellOs vectores incluidos en una mis- ma recta o en rectas paraIelas. Vector nulo: es aquel en el cual A=B. sentido y módulo. Aplicación: hallar x si (x+l)! = 4 x! Comenzamos a desarrollar el mayor de los factoriales.pero sentido opues- to. Apéndice Siempre se comienza a desarrollar el mayor. Podemos distinguir los siguientes elementos: ¡dirección: reCÚl de acción que lo contiene sentido: lo determiruz la flecha módulo: es la longitud del segmento: Ial Vectores equipolentes: son los que tienen la misma direc- ción. (x+ l). Se representa como v . Definición: defmimos a un vector como un segmento orientado. en este caso (x+l)! . Se puede expresar como A1J o como a .x=3 x! ALGEBRA VECTORIAL VECTORES Primero veremos a los vectores como entes geométricos y luego como entes algebraicos. tiene módulo 0.x! = 4 => x+ 1 = 4. 325 . El punto A es el origen y el punto B es el extremd. Vector opuesto: de un vector a se denomina -a y es el que tiene igual dirección y módulo que a . se representa como O Versor: es un vector de módulo 1. La ley del paralelogramo Otro procedimiento es la ley del paralelogramo. Propiedades: a) Conmutativa: 6+b = b+6 b) Asociativa: 6 +(b+C) =(6 +8) +c c) Existencia de elemento neutro: O: 0+6=6+0 =6 d) Existencia de elemento simétrico: -il: (-aJ+6=6+( -aJ =0 326 . para formar el paralelogramo. Alejandro E. El vector suma es la diagonal del paralelo- gramo que tiene por lados a los dos vectores. En este caso. deben coincidir los orígenes de los vectores. García Venturini OPERACIONES Suma Para sumar dos vectores se procede de la siguiente manera: la suma de 6 + b (coinci- diendo el origen de b con el extremo de 6 ) es otro vector que tiene como origen el ori- gen del 10 y como extremo el extremo de 2 o • NoUl: si el extremo del 2 o vector no coincide con el origen del 10 vector se trabaja con vec- tores equipolentes. < O módulo: IbI=Ia..(lLa) b) Distnbutiva respecto de la suma de vectores: a.á =á . fi).l. todo vector por O da el vector nulo... a.es igual a otro vector b tal que: b= j dirección: i(flUll al de á sentido: i(fIUIl al de b si a..á+fi.á d) 1.á= a. Apéndice Resta Definimos la resta de dos vectores como la suma del 10 más el opuesto del 2 0 • á-b =á+(-b) r~ i-6[/ Producto de UD escalar por un vector El producto de un escalar por un vector.á=a. a.. elles el neutro en (R. > O.. 327 . Ejemplo: Propi«/lllIes a) Asociatividad mixta: (a. opu4&UJ si a.(á+G) . todo escalar por el vector nulo da el vector nulo.á .b e) Distnbutiva respecto de la suma de escalares: (a. +fi).0=0.) e) O. f) a...lál .á+a. ..á=O. Alejandro E. García Venturini VERSOR ASOCIADO A UN VECTOR A cada vector a se le puede hace corresponder un versar llamado versor a80ciad0 denomi- nado ii que es el vector de módulo 1 que tiene la misma dirección y sentido que el vector a. De esta manera, por lo visto anteriormente, todo vector se puede expresar como producto de su módulo por su versor asociado. a=lal.ii-ii= a lal El versor aso«iado a un vector se obtiene dividiendo el vector por su módulo. COMBINACION LINEAL Si elegimos 2 vectores no paralelos (y no nulos) pertenecientes a un mismo plano al y a; y trazamos por un punto O cualquiera del plano los vectores equipolentes a ellos, todo Vector a del plano puede expresarse en función de los 2 Vectores dados. Se dice que el vector a es combinación li- neal de al y a; VERSORES FUNDAMENTALES Vimos ya el concepto de versor asociado a una dirección. Se l1aman versores fundamentales a los versores asociados a los ejes coordenados. Se los designa respectivamente como: iJ,f I r o 1 o; i 1 x Veremos ahora a los vectores como entes algebraicos. 328 Apéndice EXPRESION DE UN VECTOR POR SUS COORDENADAS A cada punto P del espacio (1, 2 o 3 dimensiones) se le puede hacer corresponder un vector OP llamado vector posición del punto que tiene como origen al punto O (centro de coordenadas) y como extremo al punto P. Se establece así una correspondencia entre los vectores con ori- gen en O y los puntos del espacio considerado. Pero como a la vez existe una corresponden- cia entre los puntos y los números reales, podemos establecer una relación entre los vectores y los números'reales (coordenadas del punto), ya sea uno, un par o una terna de números re- ales según la dimensión del espacio considerado. EN UNA DIMENSION A todo punto P sobre el eje x le corresponde un vector posición con origen en O y extremo en P que se puede expresar como el producto de su coordenada (x) por el versar [ . e i A B ;: A=(l)=o:A-[ B=(2) =OB=2[ -2 o 2 C=(-2)=oC=-2[ P=(x) =OP=x[ y EN DOS DIMENSIONES p= (a1 ;a2) a2 ..-..--...-...---...-----. , A todo punto del plano (xy), P=(a.¡;aJ, le corresponde un vector posición que se puede expresar como combi- nación lineal de los versares fundamentales [y ¡ . j ~~~------~----~ O a1 x al t y a.j son las componentes del vector (vectores que sumados dan ti ) a. y a, son las coordenadas del vector. y~ I P=[3.21 Ejemplo: ti =(3;2) =3[+21 Módulo: ¡ti¡=a=+Jai+a; ~1Z: 01 i 1 3 JI Aplicando el teorema de Pitágoras se puede obtener la expresión del mó- dulo de un vector en función de sus coordenadas. 329 Alejandro E. García Venturini Angulos directores Un vector forma con los semiejes positivos de los ejes coordenados x e y ángulos Ci y B lla- mados ángulos directores porque indican la dirección del vector. Los ángulos directores son mayores o iguales que 00 y menores o iguales que 180 0. Y1 ~. <.I : j ¡i' o: i a.-, o x p=(a1 ; 8 2 )\ ¿ Cosenos directores Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos directores. al ~ cosa=- cosJ3=- a a PropüuIad La suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a 1 a: COI?- a. = - a2 Operaciones en función de las coordenadas Si a=(al;a:z) y 6=(b¡;b2 ) 19uaJdod: a = 6 ... al =b¡ A ~ =b2 SU11Ul: a+ 6= (a¡ +b¡;~+b2) Producto de un vector por un escalar: a..a= (a..a¡;a..a:z) 330 Apéndice GENERALIZACION A 3 DIMENSIONES z A todo punto del espacio P=(a¡;az;as) le corres- a3· ponde un vector posición que se puede expresar como combinación lineal de los versores funda- mentales r,f y f . y ar,./-.. . . ._._. ._. . . . _.....................................,. x al { , a,.f y ~f son las componentes del vec- tor (vectores que sumados dan a), al> lIz y as son las coordenadas del vector. Módulo: Ial =a = +Ja; +ai +a; Cosenos directores a,. cos~=­ cos y = ~ => cos2 a +c0s2 j3 +c0s2 y =1 a a Operaciones en función de las coordenadas Si a=(al;a,.~ y b=(b1;bz;bJ 19uoldad: a=b - a1=bl A a,.=bl A ~=b3 Suma: a+b=(al+bl;a,.+bl~+bJ Producto de un escolar por un vector: a.a = (a.a t ;« .a,. ;« . as> GEOMETRÍA ANALÍTICA Vamos a recordar las distintas ecuaciones de la recta, en el plano y en el espacio, y luego las ecuaciones del plano. Empezamos por las ecuaciones de la recta en el plano, es decir por la función lineal. 331 Alejandro E. García Venturini Función lineal f: R.....R / f(x)=mx+b Im=R La representación gráfica de la función lineal es una recta. Observamos que si x =0, entonces y=b, es decir que b indica la intersección de la recta con el eje y, es la ordenada al origen. Veremos que mide m. Si consideramos dos puntos de la recta P1 =(X1 ;Yl) y Pz=(xz;yJ tenemos que: JPr ~, r yz=mxz+b ~1 =mx1.±!L- yZ-Yl=m(xZ-x1):> m= !2l ..,-,", ¡ l -i ¡ Vemos que m mide la pendiente de la recta, es decir la ......."-"'Ck-t-_--;-;-'-i--::i;-_ _ _~) tangente del ángulo que ésta forma con el semieje posi-' ! X 1 X2 X tivo de las x. Ejemplo f: R-R/f(x)=2x+l Im=R Es una función lineal cuya gráfica es una recta que corta al eje y en y 1 = 1 Ytiene pendiente 2. Para representarla gráficamente parti- mos de la ordenada al origen (Yl = 1) Y a partir de allí TOmamos 1 X unidad a la derecha y 2 unidades bacia arriba (para que la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las x sea 2). Cero: x1 =-O,5. No tiene paridad. Casos particulares m=O: si m=O la recta es horizontal y la función se denomina función consttmte. La función es de la forma: f; R.....R / f(x)=k 1m = {k} b=O si b=O tenemos una recta que pasa por el origen de coordenadas. La función es de la forma: f: R.....R / f(x)=mx Im=R. Ecuodón de la recta conocida m y un punto Po=(XoiyJ: Ecuodón de la recta por 2 puntos Po=(x,;yJ y Pl=(Xl;yJ: Forma segmentoria .E + L = 1 , donde p y q representan los puntos de intersección de la p q recta con los ejes x e y respectivamente, (p;éO y q;éO). 332 Apéndice ECUACIONES DE LA RECTA EN 1.3 Ecuaciones cartesianas paramétricas: ¡ X=XO+l..U1 y =yo +l.oUz. z=Zo+l.~ Ecuaciones simétricas: x-xo = Y-Yo = z-Zo Recta que pasa por dos puntos Po=(Xo;Ya;Zo) y p¡=(X1;Yl;Z:!) EcuodDn vecIDrÜll: OP =OPO+l..POP1 - (x;y;z) =(Xo;yo;Zo) + l. . (Xl -Xo;Y1 -YO;Zl -Zo) ECUACIONES DEL PLANO a) General La ecuación general del plano en el espacio es: ax +by + ex +4 =0 a,b Y e son las componentes de un vector perpendicular al plano. Si d=O,'" el plano pasa por el origen de coordenadas. 333 Alejandro E. García Venturini b) Plano que pasa por un punto Po=(x,¡y,¡zJ y es perpendicular a un vector ñ=(a;b;c) a(x-Xo) + b.(y-yo) + c.(z-~) = O X-X¡¡ Y-Yo z-Zo Se obtiene resolviendo el siguiente determinante aparente: X1-XO YI-YO ZI-Zo = O d) Ecuación segmentarla del plano ~+1.+.!=1 a b e donde a, b y e representan los puntos de intersección con cada uno de los ejes coordenados. 334 Apéndice II Misceláneas Las misceláneas que incluimos son algunas notas ilustrativas extraídas de Modem Algebra, Structure and Method, del Profesor Bolciani. . 337 . Soon Mohammedan scholars were engaged in !he serious study of mathe- matia. Among these scholars was the ealiph's son. Bag- dm:I was the "ntu of learning.abr far short. in the words of The Arabian Nights (for AI-Mamun also figures in thase toles).these names are familiar fa you from The Arabian Nights. When tbis pie- ture was mIlJle. and Harun al-Rashid . and lhe de- velopment of algelna nuuIe pOssible' in- creased knowledte of astronomy. he also encouroged his nobles fa study scienee and mathematia. as recorded in The Book of a Thousand Nights af!d a Night. the spelling has changed.THE HUMAN EQUATION At the Court o{ the Calíphs Aladdin. During his reign the Mohammedans were invading and conquering the non- Moslem lanels' fa !he west of them. !here was.al:!out among his subjecfs. One of A1-Mamun's schoIarly courtiers . By th. A1-Mamun. Arabion scholar8 at work. He wrote a book with this tifle: ¡1m a/-.abr wa'l muqaba/ah.the greatest mathematiclan in 011 Arabia . Sindbad. 1his shortened tifle has been used for many baaks from A1-KhawarUzmi's day fa the presento Of course. Have you supposed them to be the names of mythieal eharacters' Harun al-Rashid. It was Harun al-Rashid who eaused them fa be translated into Arabic.was A1-lChowarazmi. He reigned in Bagdad from 796 fa 808. Interest in astronomy mIlJle knowledge of aigebra necasary. time he sueeeeded his father as ealiph. wOs real. ineluding northem Africa. lbe book was ~lled a1-. Now it is usually spelled a/gebra. He not only went ." It was only natural that hil court should indude many leamed men. "none more aecomplished in all bronches of knowledge Iban he. at least. lbus the leaming that eentered at the University of A1exandria beeame a prize af war: baalcs in Greek were brought to Bagdad from A1exandria. is known loday q. Ihere was pracfically no use of signs and symbols. bolh sides se nI Iheir messages in eode lo hide Iheir plons from Ihe enemy. multiply.to show whether to add. As in every war. France and 5pain were al war. Ihey read Ihe message as aecurately as any 5paniard eould have read it. secrecy was important. How could this thing be? lhe 5paniards knew Iheir eodes were baffling. Far Vieta was a lawyer with a hobby.in words. Vieta introduced Ihe use of letfers as var- iables (he used vowels for unknown numbers and consonants for known numbers). the French lawyer who used algebra ior code-breaking. Before his lime. 50melh~ng more than man must be ai work. Code- breaking was nothing lo him bul solving equations. So great were Ihese ond olher eontribulions that Vieta. He used signs of opera- tion . But the Pope was too wise to inter- fere. Ihough only an amaleur. oÍ" divide. everything was done the hard way . 338 . bul by mathematics. he simplified the whole subjeet of algebra. for it was nol Ihe Devil who was breaking"tRe codes. Not Ihat Ihe 5paniards didn'l try. lhe Freneh king owed Viela a debl of gralilude." A portrait oi Vieta. Obviously. For Viela nol only broke Ihe 5panish code. But Ihe 5panish secret could nol be kepl. THE' HUMAN EQUATION The Amateur Father of Algebra lhe time was the si:deenth century. When the French eaptured o 5panish messenger. sub- tract. it was a Freneh lawyer named Vieta. Nor was it by magic that he did his work. how eould any man. eomplained to the Pope.s "the father of algebra. lhey musí be using black magic! lhe 5paniards. and his hobby was algebra. lhe Freneh must be in league wilh Ihe Devil. unless he had the key? lhe eonclusion was obvious. How could a mere Frenchman de- cipher them? In fact. 50 do generalions of alge- bra sludents. .......................................................................................................................................... 103 339 ................................................................................................................................... 76 Respuestas ...................................... 22 Matriz Simétrica-Antisimétrica ............................................................................... 58 Aplicaciones económicas ...................... 41 Adjunto de un elemento................................................................................. 9 Definición de matrices .................... 51 Determinante de Vandermonde ......... 101 Método de la Matriz Inversa..................................................................................................................................................................................................................................................... ÍNDICE MATRICES ......................................................................................................... 37 Determinantes........... 38 Menor complementario.............. 27 Matriz Compleja-Matriz de Hermite .................................................................. 97 Regla de Cramer.......................................................................................... 42 Matriz Adjunta ........... 54 Teoría de Gráficas .......................................................................................................... 89 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .......................................................................................................... 29 Rango de una Matriz................. 67 Ejercicios propuestos ....................... 44 Teorema de Jacobi ................... 93 Teorema de Rouché-Frobenius.......................... 42 Propiedades de los determinantes...................................................................................................... 44 Regla de Laplace ................ 24 Matriz Triangular ........................................ 26 Matriz Ortogonal..................................................................................................... 9 Operaciones entre matrices ......................................................... 26 Matriz Inversa....................................................................................................................................................................................................... 28 Operaciones elementales sobre una matriz ................................................................................ 47 Cálculo de la matriz inversa utilizando la matriz adjunta ..........................................................DETERMINANTES ............ 99 Método de Gauss-Jordan ................................................................. 30 Método de Gauss-Jordan ........................... 31 Ecuaciones matriciales........................................................... 13 Matriz transpuesta ................................................................................................... ...165 Combinación lineal.152 Ejercicios propuestos.......................115 Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas...............................................................................................173 340 ..........................................................................................104 Sistemas Homogéneos................................................................................................................... por un conjunto de vectores .................................123 Respuestas.................................................................171 Reemplazo de un vector en una base ........................Cambio de Base .........................................................162 Operaciones con subespacios...161 Subespacio vectorial .......................145 Estructura de Grupo.................................146 Estructura de Anillo........................................................................................................141 Leyes de Composición externa ......................145 Estructuras algebraicas .....151 Estructura de Cuerpo ..172 Matriz de cambio de base .......................................................................................................................................................................................................154 Respuestas............................................................................109 Equilibrio entre la oferta y la demanda...........................133 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS....................................................................................................169 Espacio o subespacio generado........................................................................................159 Definición ............................................167 Sistema de generadores ....................................................................................................................................168 Base ..............................................................................................................................................157 ESPACIOS VECTORIALES ...................................................169 Dimensión........139 Leyes de Composición interna.........................................Método de Eliminación Gaussiana .................................................................................................................................................139 Leyes de Composición ..............................................................................................170 Coordenadas de un vector .................166 Dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores .................................................................................................................................................................................................................................................................................................152 Una aplicación de las estructuras .....121 Ejercicios propuestos........................109 Matriz Insumo-producto....111 Coeficiente técnicos..............................................................................................106 Aplicaciones económicas. .................... 205 Núcleo (Kern)..................................................... 186 Ejercicios propuestos ............................................... 201 Definición ....................................................................... 176 Los sistemas de ecuaciones homogéneos y los espacio vectoriales ........................................................................... 253 Introducción........................ 215 Composición de Transformaciones Lineales ........................... 220 Matriz asociada a la composición de transformaciones lineales ............................................................... 255 Un ejemplo sencillo .......................................... 207 Imagen de una transformación lineal.....resolución gráfica.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 179 Ejercicios generales resueltos ............ 182 Aplicaciones económicas ...................... 224 Matriz asociada a la transformación lineal inversa ................................ 219 Matriz asociada a una Transformación Lineal .............................................................. 190 Respuestas ............................................................................................................................................................................................................................... 177 Los polinomios y los espacios vectoriales ................................................................................Ejemplo integrador ...................................................................................................................... 256 Método simplex.......................................... 208 Nulidad y Rango ............... 249 PROGRAMACIÓN LINEAL............................................................................... 178 Una interpretación distinta de la estructura de espacio vectorial............................. 244 Respuestas ................................... 262 Concepto de base..................................................... 217 Transformación Lineal no Singular.............................................. 240 Ejercicios propuestos ......................................... 197 TRANSFORMACIONES LINEALES................... 263 Problema dual................................................. 260 Solución básica.................................................................. 225 Ejercicios generales resueltos ........... 209 Clasificación de las transformaciones lineales.......................... 218 Espacio vectorial de Transformaciones Lineales.... 226 Aplicaciones económicas ......................................................................................... 203 Propiedades ....... 280 341 ........... 210 Teorema Fundamental ........................................................ ..........315 APÉNDICE I – Repaso de temas generales de matemática .................................341 INDICE .................................................................................................................296 Análisis de posoptimización..................................................................................................................288 Situaciones especiales...........................................................................................................286 Más problemas resueltos ........................................................320 Algunas operaciones y sus principales propiedades......................................................................................................................................................324 Algebra vectorial............317 El lenguaje matemático……………………………………………… 319 Producto cartesiano...............................................................299 Análisis de sensibilidad ...........................................345 342 ...............................................295 Soluciones no ecotadas o solución infinita .................................301 Ejercicios propuestos .............................320 Principio de Inducción Completa.......335 BIBLIOGRAFIA.........................................................321 Función factorial.......333 APÉNDICE II – Misceláneas...........281 Interpretación del problema dual.............................325 Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio .........................................................................................307 Respuestas ................................................Los precios sombra .......................................................................................................................................................................................................................................298 la contribución marginal del recurso ..................................................................292 Ausencia de solución factible.........Teorema fundamental de la dualidad................................................................................298 Costo de oportunidad........................................................319 Los Conjuntos numéricos... McGraw Hill. Mckeown (1984). Howard (1991). Rumania. Buenos Aires. Algebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamericana. McGraw Hill. Introducción al Algebra Lineal. ƒ Valeriú Mangu (1993). ƒ Grossman. Fundamental Methods of Mathematical Economics. El Ateneo. Nueva York. economía y ciencias sociales.BIBLIOGRAFÍA ƒ Anton. alpha (1974). México. ƒ Budnick. Seymour (1992). Modelos cuantitativos para administra- ción. Editorial Limusa. ƒ Lipschutz. Algebra Lineal. Armando (1985). Algebra II. Bucarest. México. Stanley I. México. Matemática subietce date la concursurile de admitere in invatamintul superior din Romania intre ani 1980- 1990. Matemáticas aplicadas a la administra- ción. (1991). Editura Garamond. Nueva York. McGraw Hill. ƒ Davis. España. McGraw Hill. ƒ Chiang. Frank (1990). 343 . ƒ Rojo. . De los mismos autores y de la misma editorial Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias Económicas Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias Económicas De García Venturini y de la misma editorial Los Matemáticos que hicieron la Historia Los Métodos Cuantitativos en las Ciencias Sociales .