Álgebra linear com aplicações - 10º edição

DÉCIMA EDIÇÃO By João P.https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Álgebra Linear COM APLICAÇÕES Howard Anton Chris Rorres https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ A634a Anton, Howard. Álgebra linear com aplicações [recurso eletrônico] / Howard Anton, Chris Rorres ; tradução técnica: Claus Ivo Doering. – 10. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2012. Editado também como livro impresso em 2012. ISBN 978-85-407-0170-0 1. Matemática. 2. Álgebra linear. I. Rorres, Chris. II. Título. CDU 512 Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107 Howard Anton Chris Rorres Professor Emérito da Drexel University University of Pennsylvania https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Tradução técnica: Claus Ivo Doering Professor Titular do Instituto de Matemática da UFRGS Versão impressa desta obra: 2012 2012 https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Obra originalmente publicada sob o título Elementary Linear Algebra: Applications Version, 10th Edition ISBN 9780470432051 / 0470432055 John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 2010 by Anton Textbooks, Inc. All rights reserved. This translation published under license. Capa: Rogério Grilho (arte sobre capa original) Leitura final: Renata Ramisch Coordenadora editorial: Denise Weber Nowaczyk Projeto e editoração: Techbooks https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à BOOKMAN COMPANHIA EDITORA LTDA., uma empresa do GRUPO A EDUCAÇÃO S.A. Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana 90040-340 – Porto Alegre – RS Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora. Unidade São Paulo Av. Embaixador Macedo Soares, 10.735 – Pavilhão 5 – Cond. Espace Center Vila Anastácio – 05095-035 – São Paulo – SP Fone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 – www.grupoa.com.br IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Para Minha esposa, Pat Meus filhos, Brian, David e Lauren Meus pais, Shirley e Benjamin Meu benfeitor, Stephen Girard (1750-1831), cuja filantropia mudou minha vida Howard Anton Para Billie Chris Rorres Esta página foi deixada em branco intencionalmente. OS AUTORES Howard Anton graduou-se pela Lehigh University, fez mestrado na University of Illinois e doutorado na Polytechnic University of Brooklin, sempre em Matemática. No começo dos anos 1960, trabalhou em problemas matemáticos relacionados ao programa espacial tripulado norte-americano na Burroughs Corporation e na Avco Corporation, em Cabo Canaveral, na Flórida. Em 1968, entrou para o Departamento de Matemática da Drexel University, onde lecionou em tempo integral até 1983. Desde então, passa a maior parte de seu tempo escrevendo livros didáticos e elaborando projetos para associações mate- máticas. Ele foi presidente da Associação Americana de Matemática (MAA) da seção do leste do estado da Pennsylvania e do estado de Delaware, atuou no Conselho Diretor da MAA e orientou a criação de Associações de Estudantes na MAA. Além de vários artigos pedagógicos, publicou inúmeros trabalhos de pesquisa em Análise Funcional, Teoria de Aproximação e Topologia. Ele é mais conhecido pelos seus livros didáticos de Matemáti- ca, que estão entre os mais utilizados no mundo. Atualmente existem mais de 150 versões de seus livros, incluindo traduções para espanhol, árabe, português, italiano, indonésio, francês, japonês, chinês, hebreu e alemão. Para relaxar, o Dr. Anton gosta de viajar e fotografar. Chris Rorres graduou-se pela Drexel University e fez doutorado em Matemática no Courant Institute of New York University. Por mais de 30 anos, foi um membro do De- partamento de Matemática da Drexel University onde, além de lecionar, desenvolveu pesquisa aplicada em engenharia solar, espalhamento acústico, dinâmica populacional, confiabilidade de sistemas computacionais, geometria de sítios arqueológicos, política ótima de criação de animais e teoria de decisão. Tendo se aposentado em 2001 como Professor Emérito da Drexel University, atualmente é consultor matemático e tem um cargo de pesquisador na Escola de Medicina Veterinária da University of Pennsylvania, onde está envolvido com modelagem matemática de epidemias de animais. O Dr. Rorres é um renomado conhecedor da vida e da obra de Arquimedes, tendo aparecido em vários documentários para a televisão sobre esse assunto. Seu site, muito louvado e dedicado a Arquimedes (http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/contents.html, em inglês), é um livro virtual que se tornou uma ferramenta de ensino importante na história da Mate- mática para estudantes de todo o mundo. Esta página foi deixada em branco intencionalmente. PREFÁCIO Este livro é uma versão expandida da décima edição da obra Elementary Linear Algebra, de Howard Anton. Os nove primeiros capítulos deste livro são idênticos aos nove primei- ros capítulos daquele texto; o décimo capítulo deste livro consiste em vinte aplicações da Álgebra Linear, escolhidas entre Administração, Economia, Engenharia, Física, Ciência da Computação, Teoria da Aproximação, Ecologia, Demografia e Genética. As aplicações são completamente independentes uma da outra e cada uma inclui uma lista de pré-requi- sitos matemáticos. Assim, cada professor tem a flexibilidade de escolher aquelas aplica- ções que são adequadas para seus estudantes e de incorporar as aplicações em qualquer parte da disciplina, depois de satisfeitos os pré-requisitos. Os Capítulos 1 a 9 incluem tratamentos simplificados de algumas das aplicações estudadas com maior profundidade no Capítulo 10. Esta edição oferece um tratamento elementar da Álgebra Linear que é conveniente para estudantes universitários de primeiro e segundo anos. Seu objetivo é apresentar os fundamentos da Álgebra Linear da maneira mais clara possível – a maior preocupação é com a pedagogia. Embora a disciplina de Cálculo não seja um pré-requisito, há algum material opcional claramente assinalado para aqueles estudantes que tenham conheci- mento dessa disciplina. Se for preciso, esse material pode ser omitido sem perda de con- tinuidade. Também não são requeridos recursos computacionais para usar este texto, mas para os professores que quiserem utilizar MATLAB, Mathematica, Maple ou calculadoras com funcionalidade de Álgebra Linear, publicamos algum material de apoio (em inglês) que pode ser acessado no site: www.bookman.com.br Esta edição apresenta uma revisão substancial das edições anteriores. Além de incluir al- Resumo das mudanças nesta gum material novo, todo o texto foi revisado de modo a garantir que todos os tópicos mais edição importantes possam ser tratados numa disciplina padrão. As mudanças mais significativas são as seguintes. • Vetores nos espaços de dimensão 2, 3 e n Os Capítulos 3 e 4 das edições anterio- res foram combinados num único capítulo. Isso nos permitiu eliminar certas exposi- ções duplicadas e justapor conceitos no espaço de dimensão n com os dos espaços bi e tridimensionais, de forma a transmitir mais claramente como as ideias de espaços de dimensões superiores generalizam as noções já conhecidas pelos estudantes. • Novos elementos pedagógicos Cada seção passou a terminar com uma Revisão de Conceitos e uma lista de Aptidões Desenvolvidas, que dão ao aluno uma referência conveniente para as principais ideias desenvolvidas naquela seção. • Novos exercícios Foram acrescentados muitos exercícios novos, inclusive um gru- po de exercícios do tipo verdadeiro/falso ao final da maioria das seções. • Tratamento antecipado de autovalores e autovetores O capítulo que trata de au- tovalores e autovetores era o Capítulo 7 nas edições anteriores, mas agora é o Capí- tulo 5. • Espaços vetoriais complexos Revisamos completamente o capítulo intitulado Es- paços Vetoriais Complexos da edição precedente. As ideias mais importantes agora são apresentadas nas Seções 5.3 e 7.5, no contexto de diagonalização matricial. Uma breve revisão de números complexos foi incluída num Apêndice. • Formas quadráticas Esse material foi totalmente reescrito e padronizado para en- focar mais precisamente as ideias mais importantes. • Novo capítulo sobre métodos numéricos Na edição anterior, havia uma coleção de tópicos no último capítulo. Aquele capítulo foi substituído por um novo capítulo, que trata exclusivamente de métodos numéricos da Álgebra Linear. Os tópicos da- quele capítulo que não eram relacionados com métodos numéricos foram deslocados para outras partes deste texto. x Prefácio • Decomposição em valores singulares Em virtude de sua crescente importância, acrescentamos uma seção de Decomposição em valores singulares ao capítulo de métodos numéricos. • Busca na Internet e o método das potências Uma nova seção intitulada O método das potências e sua aplicação aos mecanismos de busca na Internet foi acrescentada ao capítulo de métodos numéricos. Características marcantes • Relações entre os conceitos Um dos nossos principais objetivos pedagógicos é transmitir ao estudante que a Álgebra Linear é um assunto coeso e não só uma cole- ção de definições e técnicas isoladas. Uma maneira pela qual alcançamos isso é uti- lizando um crescendo de teoremas de Afirmações Equivalentes, que continuamente revisam relações entre sistemas de equações, matrizes, determinantes, vetores, trans- formações lineares e autovalores. Para ter uma ideia de como essa técnica é utilizada, veja, por exemplo, os Teoremas 1.5.3, 1.6.4, 2.3.8, 4.8.10, 4.10.4 e então o Teorema 5.1.6. • Transição suave para a abstração Como a transição do R n para os espaços veto- riais abstratos é difícil para muitos estudantes, dispensamos um considerável esforço para explicar a motivação subjacente a essa abstração e auxiliar o aluno a “visualizar” ideias abstratas por meio de analogias com ideias geométricas conhecidas. • Precisão matemática Tentamos ser matematicamente precisos dentro do razoável. Para nos manter no nível do público estudantil, as demonstrações são apresentadas num estilo paciente, que convém a iniciantes. Há uma pequena seção nos Apêndices que trata de como ler afirmações em demonstrações, e também há vários exercícios em que o leitor é guiado ao longo dos passos de uma demonstração e em que são pedidas justificativas. • Adequação a vários públicos Este texto foi projetado para garantir as necessida- des de estudantes das Engenharias, da Ciência da Computação, da Biologia, da Físi- ca, da Administração e da Economia, bem como aqueles da Matemática. • Notas históricas Para oferecer aos alunos uma percepção da história da Matemá- tica e transmitir que os teoremas e as equações que estão estudando foram criados por pessoas reais, incluímos inúmeras Notas históricas, que colocam em perspectiva histórica o tópico estudado. Sobre os exercícios • Conjunto de exercícios graduados Cada grupo de exercícios começa com proble- mas rotineiros de treinamento e avança até problemas com maior substância. • Exercícios de verdadeiro/falso A maioria dos conjuntos de exercícios termina com problemas do tipo verdadeiro/falso projetados para conferir o entendimento con- ceitual e o raciocínio lógico. Para evitar simples adivinhação, pede-se que os alunos justifiquem suas respostas de alguma maneira. • Conjunto de exercícios suplementares Ao final da maioria dos capítulos, apresen- tamos um grupo de exercícios suplementares que tendem a ser mais desafiadores e obrigam o aluno a usar conceitos de todo o capítulo e não de uma só seção específica. Um guia para o professor Embora as disciplinas de Álgebra Linear variem muito em termos de conteúdo e filosofia, a maioria das disciplinas oferecidas se encaixa em uma de duas categorias: aquelas com aproximadamente 35–40 aulas e aquelas com aproximadamente 25–30 aulas. Em vista disso, criamos uma sequência longa e uma curta como possíveis pontos de partida para construir um cronograma. É claro que estas sequências são apenas guias, e cada pro- fessor certamente irá personalizá-las de acordo com seus interesses e exigências locais. Nenhuma destas sequências inclui aplicações, que podem ser acrescentadas, se desejado, conforme permita o tempo. Prefácio xi Sequência longa Sequência curta Capítulo 1: Sistemas de equações lineares e matrizes 7 aulas 6 aulas Capítulo 2: Determinantes 3 aulas 3 aulas Capítulo 3: Espaços vetoriais Euclidanos 4 aulas 3 aulas Capítulo 4: Espaços vetoriais Arbitrários 10 aulas 10 aulas Capítulo 5: Autovalores e autovetores 3 aulas 3 aulas Capítulo 6: Espaços com produto interno 3 aulas 1 aula Capítulo 7: Diagonalização e formas quadráticas 4 aulas 3 aulas Capítulo 8: Transformações lineares 3 aulas 2 aulas Total 37 aulas 30 aulas Uma vez que tiver sido coberto o material central, o professor pode escolher aplicações Uma sequência orientada dos nove primeiros capítulos ou do Capítulo 10. A tabela a seguir classifica cada uma das para aplicações 20 seções do Capítulo 10 de acordo com sua dificuldade. Fácil: O estudante médio que tenha os pré-requisitos listados deveria ser capaz de ler o material sem ajuda do professor. Moderado: O estudante médio que tenha os pré-requisitos listados pode precisar de al- guma ajuda do professor. Mais difícil: O estudante médio que tenha os pré-requisitos listados provavelmente vai precisar de ajuda do professor. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 FÁCIL MODERADO MAIS DIFÍCIL Gostaríamos de expressar nosso agradecimento às pessoas a seguir, cuja orientação dedi- Agradecimentos cada melhorou em muito este texto. Don Allen, Texas A&M University Revisores e colaboradores John Alongi, Northwestern University John Beachy, Northern Illinois University Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Robert Buchanan, Millersville University of Pennsylvania Ralph Byers, University of Kansas Evangelos A. Coutsias, University of New Mexico Joshua Du, Kennesaw State University Fatemeh Emdad, Michigan Technological University Vincent Ervin, Clemson University Anda Gadidov, Kennesaw State University Guillermo Goldsztein, Georgia Institute of Technology Tracy Hamilton, California State University, Sacramento Amanda Hattway,Wentworth Institute of Technology Heather Hulett, University ofWisconsin–La Crosse David Hyeon, Northern Illinois University Matt Insall, Missouri University of Science and Technology Mic Jackson, Earlham College Anton Kaul, California Polytechnic Institute, San Luis Obispo Harihar Khanal, Embry-Riddle University Hendrik Kuiper, Arizona State University Kouok Law, Georgia Perimeter College James McKinney, California State University, Pomona Eric Schmutz, Drexel University Qin Sheng, Baylor University xii Prefácio Adam Sikora, State University of NewYork at Buffalo Allan Silberger, Cleveland State University DanaWilliams, Dartmouth College Colaboradores matemáticos Agradecimentos especiais são devidos a muitos professores e matemáticos talentosos que forneceram orientação pedagógica, ajudaram com respostas e exercícios ou fizeram uma conferência ou revisão minuciosa. John Alongi, Northwestern University Scott Annin, California State University, Fullerton Anton Kaul, California Polytechnic State University Sarah Streett Cindy Trimble, C Trimble and Associates Brad Davis, C Trimble and Associates A equipe de apoio da Wiley David Dietz, Editor Jeff Benson, Editor Assistente Pamela Lashbrook, Assistente Editorial Janet Foxman, Editor de Produção Maddy Lesure, Projetista Laurie Rosatone, Vice-Presidente Sarah Davis, Gerente de Vendas Diana Smith, Assistente de Publicidade Melissa Edwards, Editor Lisa Sabatini, Gerente de Projeto Sheena Goldstein, Editor de Fotografia Carol Sawyer, Gerente Administrativo Lilian Brady, Revisão Colaboradores especiais A produção de um livro como este requer o talento e a dedicação de muitos indivíduos, e tivemos a sorte de nos beneficiar com a experiência das seguintes pessoas. David Dietz, nosso editor, por sua percepção, seu julgamento sólido e sua fé em nós. Jeff Benson, nosso editor assistente, que fez um trabalho incrível na organização e coor- denação dos muitos fios necessários para tornar esta edição uma realidade. Carol Sawyer, do The Perfect Proof, que coordenou a miríade de detalhes do processo produtivo. Dan Kirschenbaum, da The Art of Arlene and Dan Kirschenbaum, cujo conhecimento técnico e artístico resolveu certos assuntos difíceis e críticos de ilustração. Bill Tuohy, que leu partes do manuscrito e cujo olho crítico para o detalhe teve uma in- fluência importante na evolução deste texto. Pat Anton, que revisou o manuscrito, quando necessário. Maddy Lesure, nossa projetista do texto e da capa, cuja infalível percepção estética está aparente nas páginas deste livro. Rena Lam, da Techsetters, Inc., que fez um trabalho maravilhoso para atravessar um atoleiro de pesadelo de decisões editoriais, garranchos em bilhetes e mudanças de última hora, e produziu um livro lindo. John Rogosich, da Techsetters, Inc., que competentemente programou os elementos do projeto editorial do livro e resolveu inúmeros problemas tipográficos espinhosos Lilian Brady, nossa revisora de muitos anos, cujo olho para a tipografia e conhecimento da linguagem são maravilhosos. A Equipe da Wiley Há muitas pessoas na Wiley com as quais temos uma dívida de gra- tidão: Laurie Rosatone, Ann Berlin, Dorothy Sinclair, Janet Foxman, Sarah Davis, Harry Nolan, Sheena Goldstein, Melissa Edwards e Norm Christiansen. Muito obrigado a vocês todos. SUMÁRIO CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 1 1.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 2 1.2 Eliminação gaussiana 11 1.3 Matrizes e operações matriciais 25 1.4 Inversas; propriedades algébricas das matrizes 38 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A⫺1 51 1.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis 60 1.7 Matrizes diagonais, triangulares e simétricas 66 1.8 Aplicações de sistemas lineares 73 1.9 Modelos econômicos de Leontief 85 CAPÍTULO 2 Determinantes 93 2.1 Determinantes por expansão em cofatores 93 2.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 100 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 106 CAPÍTULO 3 Espaços Vetoriais Euclidianos 119 3.1 Vetores bi, tri e n–dimensionais 119 3.2 Norma, produto escalar e distância em R n 130 3.3 Ortogonalidade 143 3.4 A geometria de sistemas lineares 152 3.5 Produto vetorial 161 CAPÍTULO 4 Espaços Vetoriais Arbitrários 171 4.1 Espaços vetoriais reais 171 4.2 Subespaços 179 4.3 Independência linear 190 4.4 Coordenadas e bases 200 4.5 Dimensão 209 4.6 Mudança de bases 217 4.7 Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo 225 4.8 Posto, nulidade e os espaços matriciais fundamentais 237 4.9 Transformações matriciais de Rn em Rm 247 4.10 Propriedades das transformações matriciais 263 4.11 A geometria de operadores matriciais de R2 273 4.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 282 CAPÍTULO 5 Autovalores e Autovetores 295 5.1 Autovalores e autovetores 295 5.2 Diagonalização 305 5.3 Espaços vetoriais complexos 315 5.4 Equações diferenciais 327 xiv Sumário CAPÍTULO 6 Espaços com Produto Interno 335 6.1 Produtos internos 335 6.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 345 6.3 Processo de Gram-Schmidt; decomposição QR 352 6.4 Melhor aproximação; mínimos quadrados 366 6.5 Ajuste de mínimos quadrados a dados 376 6.6 Aproximação funcional; séries de Fourier 382 CAPÍTULO 7 Diagonalização e Formas Quadráticas 389 7.1 Matrizes ortogonais 389 7.2 Diagonalização ortogonal 397 7.3 Formas quadráticas 405 7.4 Otimização usando formas quadráticas 417 7.5 Matrizes unitárias, normais e hermitianas 424 CAPÍTULO 8 Transformações Lineares 433 8.1 Transformações lineares arbitrárias 433 8.2 Isomorfismo 445 8.3 Composições e transformações inversas 452 8.4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 458 8.5 Semelhança 468 CAPÍTULO 9 Métodos Numéricos 477 9.1 Decomposição LU 477 9.2 O método das potências 487 9.3 Serviços de busca na Internet 496 9.4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 501 9.5 Decomposição em valores singulares 506 9.6 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares 514 CAPÍTULO 10 Aplicações da Álgebra Linear 519 10.1 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados 520 10.2 Programação linear geométrica 525 10.3 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 536 10.4 Interpolação spline cúbica 543 10.5 Cadeias de Markov 553 10.6 Teoria de grafos 563 10.7 Jogos de estratégia 572 10.8 Modelos econômicos de Leontief 581 10.9 Administração florestal 590 10.10 Computação gráfica 597 10.11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 605 10.12 Tomografia computadorizada 615 10.13 Fractais 626 10.14 Caos 641 Sumário xv 10.15 Criptografia 654 10.16 Genética 665 10.17 Crescimento populacional por faixa etária 676 10.18 Colheita de populações animais 686 10.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 693 10.20 Deformações e morfismos 700 APÊNDICE A Como ler teoremas 711 APÊNDICE B Números complexos 713 Respostas dos exercícios 720 Índice 760 .Esta página foi deixada em branco intencionalmente. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes CONTEÚDO DO CAPÍTULO 1. porque os computadores são muito bons para manipular tabelas de informações numéricas. mas também ocorrem em vários contextos matemáticos.9 Modelos econômicos de Leontief 85 INTRODUÇÃO Muitas vezes na Ciência. Contudo.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 2 1. . veremos neste capítulo que toda a informação necessária para resolver um sistema de equações tal como 5x ⫹ y ⫽ 3 2x ⫺ y ⫽ 4 está encorpada na matriz e que a solução do sistema pode ser obtida efetuando operações apropriadas nessa matriz.8 Aplicações de sistemas lineares 73 • Análise de redes (fluxo de trânsito) 73 • Circuitos elétricos 76 • Equilibrando equações químicas 78 • Interpolação polinomial 80 1. triangulares e simétricas 66 1.2 Eliminação gaussiana 11 1. começamos nosso estudo de matrizes. Neste capítulo. Por exemplo. as matrizes não são simplesmente uma ferramenta de notação para resolver sistemas de equações.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis 60 1. que tem uma grande variedade de aplicações práticas.4 Inversas.7 Matrizes diagonais. na Administração e na Matemática.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A⫺1 51 1. existindo uma teoria rica e importante associada a elas. Isso é particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equações lineares. propriedades algébricas das matrizes 38 1. formando agrupamentos retangulares denominados “matrizes”. Com frequência. É o estudo de matrizes e tópicos relacionados que constitui a área matemática denominada “Álgebra Linear”. a informação é organizada em linhas e colunas. elas também podem ser vistas como objetos matemáticos de vida própria.3 Matrizes e operações matriciais 25 1. essas matrizes aparecem como tabelas de dados numéricos que surgem em observações físicas. Equações lineares Lembre que uma reta num sistema bidimensional de coordenadas retangulares xy pode ser representada por uma equação da forma ax  by  c (a e b não ambos iguais a 0) e que um plano num sistema tridimensional de coordenadas retangulares xyz pode ser representado por uma equação da forma ax  by  cz  d (a. a2. um sistema linear. . Nesta primeira seção.  E X E M P L O 1 Equações lineares Observe que um sistema linear não envolve produtos ou raízes de variáveis. costumamos usar variáveis sem índices e escrevemos as equações lineares como a1x  a2y  b (a1 . simplesmente.1 Introdução aos sistemas de equações lineares Os sistemas de equações lineares e suas soluções constituem um dos principais tópicos estudados neste livro. logarítmicas ou exponenciais. . a Equação (1) tem a forma a1x1  a2x2 · · ·  anxn  0 (4) que é denominada equação linear homogênea nas variáveis x1. o sistema (5) a seguir tem incógnitas x e y. x2 e x3. como argu- mentos de funções trigonométricas. a primeira sendo uma equação linear nas variáveis x e y. b e c não todos iguais a 0) Esses são exemplos de “equações lineares”. . por exemplo.2 Álgebra Linear com Aplicações 1. As equações seguintes são lineares As seguintes não são lineares. . . an e b são constantes. e o sistema (6) tem incógnitas x1. (5-6) . y e z. definimos uma equação linear nas n variáveis x1. a2. . introduzimos alguma terminologia básica e discutimos um método para resolver tais sistemas. . uma equação linear nas variáveis x. . sendo que nem todos os a são nulos. .  Um conjunto finito de equações lineares é denominado um sistema de equações lineares ou. x2. Nos casos especiais em que n  2 ou n  3. e a segunda. a2 não ambos iguais a 0) (2) a1x  a2y  a3z  b (a1. . Todas as va- riáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem. xn. Mais geralmente. As variáveis são denominadas incógnitas. x2. Por exem- plo. . . a3 não todos iguais a 0) (3) No caso especial em que b  0. xn como uma equação que pode ser expressa na forma a1x1  a2x2 · · ·  anxn  b (1) em que a1. 1 Introdução aos sistemas de equações lineares 3 Um sistema linear arbitrário de m equações nas n incógnitas x1. Assim. . . então a ênupla é deno- minada par ordenado e. . 2) e (1. dizemos que a ênupla é um terno ordenado. uma infinidade de soluções. 1. De modo mais geral. Uma solução de um sistema nas n incógnitas x1. Sistemas lineares em duas Por exemplo. s2. não . o sistema em (5) tem a solução x  1. . . s2. sn) que é denominada uma ênupla ordenada. um sistema linear consistente de duas equações em duas incógnitas tem uma solução ou uma infinidade de soluções. . xn  sn de um sistema linear em n incógnitas pode ser escrita como (s1. . . 1.1). x2  s2. . . xn  sn faz de cada equação uma afirmação verdadeira. uma solução x1  s1. 3. caso em que não há interseção e. . . . a12 está na primeira equação e multiplica x2. e o segundo indica qual é a incógnita que está sendo multiplicada. x2  2. fica entendido que todas as variáveis aparecem na mesma ordem em cada equação. . 1) em que omitimos os nomes das variáveis. x2. não existe solução. dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução e inconsistente se não tiver solução. 2. consequentemente. considere o sistema linear e três incógnitas a1x  b1y  c1 a2x  b2y  c2 em que os gráficos das equações são retas no plano xy. sn para os quais a substituição x1  s1. Cada solução (x. . caso em que o sistema tem exatamen- te uma solução. As retas podem ser paralelas e distintas. de modo que há três possibilidades (Fi- gura 1. x3  1 Essas soluções podem ser escritas mais sucintamente como (1. Os sistemas lineares em duas incógnitas aparecem relacionados com interseção de retas. x2  s2. xn pode ser escrito O índice duplo dos coeficientes como aij das incógnitas dá sua posição no sistema. Se n  2. xn é uma sequência de n nú- meros s1. 2. se n  3. . . Com essa notação.1. Por exemplo. . O primeiro índice indica a equação em que ocorre (7) o coeficiente. Em geral. y  2 e o sistema em (6) tem a solução x1  1. . As retas podem coincidir. Assim. caso em que existe uma infinidade de pontos de interseção (os pontos da reta comum) e. . . As retas podem intersectar em um único ponto. . Essa notação nos permite interpretar essas so- luções geometricamente como pontos nos espaços bi e tridimensionais. x2. . y) desse sistema corresponde a um ponto de interseção das retas. . consequen- temente. Todo sistema de equações lineares tem zero. corres- pondem aos pontos em que os três planos se intersectam. (dois planos paralelos. uma ou uma infinidade de soluções.1. de modo que. uma solução ou uma infinidade de soluções. As soluções do sistema. vemos que há somente três possibilidades: nenhuma solução. O mesmo vale para um sistema linear de três equações em três incógnitas a1x  b1y  c1z  d1 a2x  b2y  c2z  d2 a3x  b3y  c3z  d3 em que os gráficos das equações são planos.1. como segue. (sem interseção comum) (dois planos coincidentes.4 Álgebra Linear com Aplicações y y y x x x Nenhuma solução Uma solução Uma infinidade de soluções (retas coincidentes)  Figura 1. sem interseção comum) sem interseção comum) paralelos ao terceiro.2 Mais adiante. se as houver. sem interseção comum) Uma solução Uma infinidade de soluções Uma infinidade de soluções Uma infinidade de soluções (a interseção é um ponto) (a interseção é uma reta) (todos os planos coincidem. (dois planos coincidentes.1 havendo outra possibilidade. (Figura 1. Não existem outras possibilidades. a interseção é um plano a interseção é uma reta)  Figura 1. provaremos que nossas observações sobre o número de soluções de sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas e de sistemas de três equações lineares em três incógnitas são válidas em geral.2). Nenhuma solução Nenhuma solução Nenhuma solução Nenhuma solução (três planos paralelos.1. . novamente. ser omitida. portanto. Isso fornece o sistema simplificado A segunda equação é contraditória. Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas.  E X E M P L O 3 Um sistema linear sem soluções Resolva o sistema linear Solução Podemos eliminar x da segunda equação somando 3 vezes a primeira equa- ção à segunda. as soluções do sistema são os valores de x e y que satisfazem a única equação 4x  2y  1 (8) Geometricamente. Uma maneira de descrever o conjunto de soluções é resolver . Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas ou. isso significa que as retas representadas pelas equações do sistema in- tersectam no único ponto . isso significa que as retas correspondentes às duas equações do siste- ma original são coincidentes. mostrar que as retas têm a mesma inclinação. então.  E X E M P L O 4 Um sistema linear com uma infinidade de soluções Resolva o sistema linear Solução Podemos eliminar x da segunda equação somando 4 vezes a primeira equa- ção à segunda. Isso fornece o sistema simplificado Da segunda equação. Assim. de modo que o sistema dado não tem solução.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 5  E X E M P L O 2 Um sistema linear com uma solução Resolva o sistema linear Solução Podemos eliminar x da segunda equação somando 2 vezes a primeira equa- ção à segunda. obtemos e substituir esse valor na primeira equação fornece . o sistema tem a solução única Geometricamente. Geome- tricamente. Isso fornece o sistema simplificado A segunda equação não impõe quaisquer restrições a x e y e pode. 1. isso significa que as retas correspondentes às equações do sistema original são paralelas e distintas. Assim. mas cortam o eixo y em pontos distintos. pois a segunda e a terceira equa- ções são múltiplos da primeira. isso significa que os três planos coin- cidem e que aqueles valores de x. então. Assim. denominada matriz aumentada do sistema. As contas que precisa- com linhas mos fazer podem ficar mais tratáveis simplificando a notação e padronizando os procedi- mentos. Isso nos permite expressar a solução pelo par de ramétricas das soluções resol.  E X E M P L O 5 Um sistema linear com uma infinidade de soluções Resolva o sistema linear Solução Esse sistema pode ser resolvido mentalmente. Isso pode ser feito resolvendo (9) para x em termos de y e z.  Matrizes aumentadas e À medida que cresce o número de equações e de incógnitas num sistema linear. 0). também pode. Por exemplo.6 Álgebra Linear com Aplicações No Exemplo 4. essa equação para x em termos de y. zs Soluções específicas podem ser obtidas escolhendo valores numéricos para os parâmetros r e s. basta encontrar as soluções de (9). y  r. Podemos obter soluções numéricas específicas dessas equações substituindo o parâmetro cas resultantes teriam parecido por valores numéricos. Por exemplo. Por exemplo. então. tomando r  1 e s  0. equações (denominadas equações paramétricas) vendo (8) para y em termos de x e tomando x  t como o pa- râmetro. do as coordenadas nas equações dadas. Por exemplo. 1. O leitor pode confirmar que essas são soluções. estudaremos essas matrizes detalhadamente. Geometricamente. associar a y um valor ríamos ter obtido equações pa. cresce operações elementares também a complexidade da álgebra envolvida em sua resolução. a matriz aumentada do sistema mas por enquanto só estaremos de equações interessados em matrizes au- mentadas de sistemas lineares. o termo “matriz” é utilizado na Matemática para denotar uma coleção retangular de números. dá a solução (6. t  1 dá a solução e diferentes. expressar a solução por meio das três equações paramétricas x  5  r  2s. arbitrário t (denominado parâmetro). y e z que satisfazem a equação x  y  2z  5 (9) automaticamente satisfazem as três equações. substituin- mesmo conjunto de soluções. As equações paramétri. das variáveis e das igualdades no sistema linear podemos abreviar a escrita do sistema escrevendo apenas a tabela retangular de números Como já observamos na introdu- ção. depois atribuir valores arbi- trários r e s (parâmetros) a essas duas variáveis e. mantendo na memória a localização das somas. mas elas definem o t  1 dá a solução . . t  0 dá a solução . Em outras seções. obtendo e. Geografia. 2. ilustramos como usar as operações elementares com as linhas de uma matriz aumentada para resolver sistemas de equações lineares em três incógnitas. Zoologia. 3. 1. Filosofia. resolvemos o mesmo sistema operando nas linhas da matriz aumentada. não é preciso ficar preocupado sobre o porquê dos passos tomados nesse exem- plo.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 7 O método básico de resolver um sistema de equações lineares é efetuar operações algébricas no sistema que não alterem seu conjunto de soluções e que produzam uma su- cessão de sistemas cada vez mais simples. Somamos 2 vezes a primeira equação à se. na coluna da direita. Essas operações são denominadas operações elementares com linhas de uma matriz. Multiplicar uma equação inteira por uma constante não nula. Somar uma constante vezes uma equação a uma outra equação. quais são suas soluções. 2. Como na próxima seção desenvolveremos um procedimento sistemático de resolução de sistemas. As operações típicas são as seguintes. Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no sistema associado. Química. arte e música. num manuscrito chinês intitulado Nove Capítulos de Arte Matemática. O objetivo aqui deveria ser simplesmente entender as contas. O uso do termo matriz aumentada parece te sido introdu- zido pelo matemático norte-americano Maxime Bôcher em seu livro Introdução à Álgebra Superior. 1. Os coeficientes foram arranjados em colunas e não em linhas. Somamos 2 vezes a primeira linha à segunda gunda para obter para obter Nota histórica O primeiro uso conhecido de matrizes aumenta- das apareceu entre 200 e 100 a. publicado em 1907. 3.  E X E M P L O 6 Usando operações elementares com linhas Na coluna da esquerda. Maxime Bôcher [Imagem: cortesia da American Mathematical Society] (1867–1918) . cujos textos ele- mentares eram muito apreciados pelos estudantes e continuam sendo procurados até hoje. ele foi um excelente expositor de Matemática.C. Multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha. como hoje. resolvemos um sistema de equações lineares operando nas equa- ções do sistema e. Além de ter sido um pesquisador matemático destacado e um conhecedor profundo de latim. até alcançar um ponto em que se possa decidir se o sistema é consistente e. No exemplo seguinte. 1. mas impressionantemente o sistema foi resolvido efetuando uma sucessão de operações com colunas. Meteorologia. essas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas da matriz aumentada. se for. Trocar duas linhas entre si. Trocar duas equações entre si. Somamos 3 vezes a primeira linha à terceira ceira para obter para obter Multiplicamos a segunda equação por para obter Multiplicamos a segunda linha por para obter Somamos 3 vezes a segunda equação à tercei. agora. Somamos 3 vezes a segunda linha à terceira ra para obter para obter Multiplicamos a terceira equação por 2 para Multiplicamos a terceira linha por 2 para obter obter Somamos 1 vez a segunda equação à primeira Somamos 1 vez a segunda linha à primeira para obter para obter Somamos vezes a terceira equação à pri. evidente.  Revisão de conceitos • Sistema linear consistente • Equação linear • Sistema linear inconsistente • Equação linear homogênea • Parâmetro • Sistema de equações lineares • Equações paramétricas • Solução de um sistema linear • Matriz aumentada • Ênupla ordenada • Operações elementares com linhas . z  3 é. Somamos vezes a terceira linha à primeira e meira e vezes a terceira equação à segunda vezes a terceira equação à segunda para obter para obter A solução x  1. y  2.8 Álgebra Linear com Aplicações Somamos 3 vezes a primeira equação à ter. 8. 1. 1) (b) (3. • Encontrar a matriz aumentada de um sistema linear. é consistente. encontre o conjunto de soluções da equação linear usando um parâmetro. • Encontrar o conjunto das soluções de um sistema linear • Encontrar o sistema linear correspondente a uma dada consistente. 5.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 9 Aptidões desenvolvidas • Efetuar operações elementares com as linhas de um • Determinar se uma dada equação é linear. 1) (c) (13. (a) (a) (b) (c) (5. Para cada sistema do Exercício 2 que for linear. 7. x2 e 5. Em cada parte. determine se as equações formam um sistema (c) uma infinidade de soluções linear. Em cada parte. 1. Em cada parte. se necessário. 4. determine se a equação é linear em x1. matriz aumentada. 5) 8. Escreva um sistema de equações lineares constituído de três (c) x1  7x2  3x3 (d) x12  x2  8x3  5 equações em três incógnitas com (e) x13/5  2x2  x3  4 (a) nenhuma solução (f) (b) exatamente uma solução 2. • Determinar se um sistema linear é consistente ou inconsistente. Em cada parte. se necessário. Em cada parte. Em cada parte. (a) (b) x1  3x2  x1x3  2 6. (b) 3v  8w  2x  y  4z  0 .1 1. Para cada sistema do Exercício 3 que for linear. • Determinar se uma dada ênupla é uma solução de um sistema linear. sistema linear e as correspondentes nas linhas da matriz aumentada. determine se x 3. determine se o terno ordenado dado é uma so- lução do sistema linear 3. 1) (b) (d) (e) 9. determine se (a) 3x1  5x2  4x3  7 é consistente. Conjunto de exercícios 1. 2) (d) (d) (e) (17. 1. Em cada parte. determine se o terno ordenado dado é uma so- (a) (b) lução do sistema linear (c) (a) (3. (a) 7x  5y  3 (c) (d) x1  x2  x3  x4 (b) 8x1  2x2  5x3  6x4  1 10. determine se as equações formam um sistema linear. encontre o conjunto de soluções da equação linear usando um parâmetro. 7. Em cada parte. encontre a matriz aumentada do sistema de tente. (d) Uma equação linear só. então o sistema deve ser inconsis- 14. Explique por que cada uma das operações elementares com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear. Mostre que se as equações lineares x1  kx2  c e x1  lx2  d têm o mesmo conjunto de soluções. (a) (b) não pode ter uma única solução. (f) Se cada equação de um sistema linear consistente for multi- (a) (b) plicada por uma constante c. (x2.  Figura Ex-15 respondente à matriz aumentada dada.10 Álgebra Linear com Aplicações 11. b e c são uma solução do sistema de equações lineares cuja respondente à matriz aumentada dada. encontre um sistema de equações lineares cor. (b) Multiplicar uma equação inteira por zero é uma operação ele- mentar com as linhas aceitável. y3). determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (a) (b) 17. y1) (x2. independentemente do valor (c) de k. equações lineares dado. encontre a matriz aumentada do sistema de (c) O sistema linear equações lineares dado. (a) Um sistema linear cujas equações são todas homogêneas (d) deve ser consistente. y1). Em cada parte. com duas ou mais incógnitas. Em cada parte. pontos (x1. a. y3) (d) (x1. Em cada parte. (d) x1  x5  7 (e) Se o número de equações de um sistema linear exceder o número de incógnitas. encontre um sistema de equações lineares cor. y2) e (x3. k  l e c  d). (h) O sistema linear de matriz aumentada correspondente (d) 15. 16. Mostre que os coeficientes . então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do siste- ma original por c. 13. sempre deve ter uma infinidade de soluções. matriz aumentada é (a) (b) (c) y y  ax2  bx  c (x3. y2) x 12. justificando sua resposta. (c) Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(h). A curva y  ax2  bx  c mostrada na figura passa pelos é consistente. então as duas equações são idênticas (isto é. (c) (g) As operações elementares com linhas permitem que uma equação de um sistema linear seja subtraída de uma outra. y e z Formas escalonadas reduzindo a matriz aumentada à forma a partir da qual ficou evidente a solução x  1. z  3. As matrizes a seguir estão em forma escalonada. tempo de solução e assim por diante. 2. mas não reci- procamente. O procedimento é baseado na ideia de efetuar certas operações nas linhas da matriz aumentada que a simplifiquem até uma forma em que a solução do sistema possa ser visualizada. Isso é um exemplo de uma matriz que está em forma escalonada reduzida por linhas. Se existirem linhas constituídas inteiramente de zeros. No Exemplo 6 da seção anterior. (Assim. 1. Esses sistemas grandes requerem técnicas especiais para tratar dos problemas de tamanho de memória. é importante Considerações sobre a distinguir entre sistemas grandes. então o primeiro número não nulo da linha é um 1. 1. mas não reduzida. Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedades está em forma escalo- nada por linhas. uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada. quase todos os métodos que são utilizados com sistemas grandes têm por base as ideias desenvolvidas nesta seção.)  E X E M P L O 1 Formas escalonada e escalonada reduzida por linhas As matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida por linhas. 3. um ma- triz deve ter as propriedades seguintes. desenvolvemos um procedimento sistemático para resolver sistemas de equações lineares. Quando consideramos métodos para resolver sistemas de equações lineares. Por exemplo. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só em zeros. Tais técnicas são estudadas na área de Análise Numérica e serão apenas tocadas neste texto Contudo. e sistemas resolução de sistemas pequenos. erros de arredon- damento. resolvemos um sistema linear nas incógnitas x. . 4. que podem ser resolvidos a mão. y  2. então elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. Se uma linha não consistir inteiramente em zeros. Para ser dessa forma. Dizemos que esse número 1 é um pivô. há muitas aplicações que levam lineares a sistemas em milhares e até milhões de incógnitas. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas. que precisam ser resolvidos por computador.2 Eliminação gaussiana 11 1. em forma escalonada.2 Eliminação gaussiana Nesta seção. o pivô da linha inferior ocorre mais à direita do que o pivô da linha superior. ou simplesmente. x2. 5). Todas as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada reduzida por linhas. x3  0. podemos.  E X E M P L O 4 Sistemas lineares em três incógnitas Em cada parte. 0. Resolva o sistema. x1  3. suponha que a matriz aumentada de um sistema linear nas incógnitas x. Assim. uma matriz em forma escalonada tem zeros abaixo de cada pivô. (a) (b) (c) .12 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 2 Mais sobre formas escalonada e escalonada reduzida por linhas Como ilustra o exemplo anterior. expressar a solução mais sucintamente como a 4-upla (3. Assim. x4  5. x3 e x4 tenha sido reduzida por operações elementaresa Essa matriz está em forma escalonada reduzida por linhas e corresponde às equações No Exemplo 3. Vejamos alguns exemplos.  Se a matriz aumentada de um sistema de equações lineares for colocada em forma escalonada reduzida por linhas por meio de uma sequência de operações elementares nas linhas. 1. colocando qualquer número real no lugar dos asteriscos. enquanto uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abai- xo e acima de cada pivô. y e z tenha sido reduzida por operações com linhas à forma escalonada reduzida por linhas dada. o sistema tem uma única solução. x2  1. todas as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada.  E X E M P L O 3 Solução única Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear nas incógnitas x1. tam- bém. então o conjunto de soluções está visível ou pode ser obtido convertendo certas equações lineares à forma paramétrica. é conveniente x  4  5s  t. obtemos a solução x  1. têm um nome especial. com o que o sistema linear associado à matriz aumentada consiste na única equação x  5y  z  4 (1) a partir da qual vemos que o conjunto de soluções é um plano no espaço tridimensional. obtemos Dessas equações podemos ver que a variável livre z pode ser tratada como um parâmetro ao qual podemos atribuir um valor arbitrário t. mas tam- bém podemos usar quaisquer A partir dessa equação. s. Fórmulas como (2). letras que não entrem em confli- digamos. o conjunto de soluções to com os nomes das variáveis. dizemos que essas são as variá- veis líderes. logo.2 Eliminação gaussiana 13 Solução (a) A equação que corresponde à última linha da matriz aumentada é 0x  0y  0z  1 O sistema é inconsistente. vemos que podemos atribuir quaisquer valores às variáveis livres. As demais variáveis (nesse caso. t3. t. Embora (1) seja uma forma válida do conjunto de soluções. z0 e tomando t  1. determinam o valor de x. y  2  4t. a partir dessas equações. que. que expressam o conjunto das soluções de um sistema linear de como t1. tomando t  0. puderem ser obtidas todas as soluções pela substituição dos parâmetros por valores numéricos.. forma paramétrica. y e z. existem muitas aplicações nas quais é preferível dar as soluções em forma paramétrica. y  s. o conjunto de soluções pode ser representado pelas equações paramétricas x  1  3t. . z1 Solução (c) Conforme explicamos na parte (b). z  t. y  s. y e z. Assim. Resolvendo para as variáveis líderes em termos das variáveis livres. t2. então um con- junto de equações paramétricas é denominado uma solução geral do sistema se. y  2. determina os valores de x e y. então. que. podemos omitir as equações correspon- dentes às linhas nulas. zt Substituindo vários valores de t nessas equações. 1. o sistema linear correspondente à matriz aumentada é Como x e y correspondem a pivôs na matriz aumentada. Assim. . porque não impõe restrições sobre x. Solução (b) A equação que corresponde à última linha da matriz aumentada é 0x  0y  0z  0 Essa equação pode ser omitida.. . Podemos converter (1) à forma Os parâmetros de uma solução paramétrica resolvendo para a variável líder x em termos das variáveis livres y e z para obter geral costumam ser denotados x  4  5y  z pelas letras r. podemos obter as várias soluções do sistema. então. só z) são ditas variáveis livres. Por exemplo... zt  (2) usar índices para os parâmetros. DEFINIÇÃO 1 Se um sistema linear tem uma infinidade de soluções. pode ser dado parametricamente por Em sistemas com mais do que três incógnitas. . y  6. obtemos a solução x  4. . porque essa equação não é satisfeita por valor algum de x. Agora daremos um procedimento de eliminação passo a passo. se necessário. Continuamos dessa maneira até que toda a matriz esteja em forma escalonada. Coluna não nula mais à esquerda da submatriz A primeira linha da submatriz foi multiplicada por para introduzir um pivô. Permutamos a primeira linha com uma outra linha. Passo 3. 2 vezes a primeira linha da matriz precedente foi somada à terceira linha. para obter uma entrada não nula ao topo da coluna encontrada no Passo 1. A primeira linha da matriz precedente foi multiplicada por . À medida que enunciamos cada passo. Localizamos a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros. Se a entrada que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 1 é a. Passo 1. Coluna não nula mais à esquerda Passo 2. Foram permutadas a primeira e a segunda linhas da matriz precedente.14 Álgebra Linear com Aplicações Métodos de eliminação Acabamos de ver como é fácil resolver um sistema de equações lineares tão logo sua matriz aumentada estiver em forma escalonada reduzida por linhas. Passo 4. Passo 5. Somamos múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixo do pivô. mul- tiplicamos a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô. que pode ser usado para reduzir qualquer matriz à forma escalonada reduzida. ilustramos a ideia reduzindo a matriz seguinte à forma escalonada reduzida por linhas. Agora escondemos a primeira linha da matriz e recomeçamos aplicando o Pas- so 1 à submatriz resultante. . Agora toda a matriz está em forma escalonada. O procedimento (ou algoritmo) que acabamos de descrever. 1. Para obter a forma escalonada reduzida por linhas. em que os zeros são Nota histórica Embora versões do método da eliminação gaussiana fossem conhecidas muito antes. ou direta. Ele designou o objeto por Ceres e fez um número limitado de medições sobre sua posição antes de perdê-lo de vista. dada sua proximi- dade ao Sol. precisamos de mais um passo. o poder desse método só foi reconhecido quando o grande matemático alemão Karl Friedrich Gauss o utilizou para calcular a órbita do asteroide Ceres a partir de dados muito limitados. A linha superior da submatriz foi tratada e retornamos ao Passo 1. publicado em 1888. O trabalho de Gauss causou uma sensação quando Ceres reapareceu. Começando com a última linha não nula e trabalhando para cima. Esse algoritmo consiste em duas partes: uma fase para a frente. Gauss tomou a si a tarefa de calcular a órbita a partir dos dados muito limitados com o procedimento que agora denominamos eliminação gaus- siana. A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas.2 Eliminação gaussiana 15 5 vezes a primeira linha da submatriz foi somada à segunda linha da submatriz para introduzir um zero debaixo do pivô. 6 vezes a terceira linha foi somada à primeira linha. o astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi (1746–1826) observou um pequeno objeto celeste que ele acreditou que pudesse ser um “planeta que faltava”. intitulado Handbuch der Vermessungskunde. e uma fase para trás. ou inversa. na qual os zeros são introduzidos abaixo dos pivôs. vezes a terceira linha da matriz precedente foi somada à segunda linha. que reduz uma matriz à forma escalonada reduzida por linhas. na constelação Virgem. [Imagens: Coleção Granger (Gauss) e wikipedia (Jordan)] . Coluna não nula mais à esquerda da nova submatriz A primeira (e única) linha da nova submatriz foi multiplicada por 2 para introduzir um pivô. 5 vezes a segunda linha foi somada à primeira linha. somamos múltiplos convenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir zeros acima dos líderes. é denominado eliminação de Gauss-Jordan. O que aconteceu foi isso: em 1º de janeiro de 1801. praticamente na posição exata predita por Gauss! O método foi subsequentemente popularizado pelo engenheiro ale- Carl Friedrich Gauss Wilhelm Jordan mão Wilhelm Jordan em seu livro de geodesia (a ciência de medir as formas (1777–1855) (1842–1899) terrestres). um ano depois. Passo 6. pois não há zeros acima dos pivôs.  E X E M P L O 5 Eliminação de Gauss-Jordan Resolva por eliminação de Gauss-Jordan. Por exem- plo. Somando 3 vezes a terceira linha à segunda linha e depois somando 2 vezes a segunda linha da matriz resultante à primeira linha. produz uma forma escalonada por linhas.16 Álgebra Linear com Aplicações introduzidos acima dos pivôs. . nos cálculos precedentes. obtivemos uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas no final do Passo 5. obtemos a forma escalonada reduzida por linhas Isso completa a fase inversa. então o procedimento. dá Multiplicando a segunda linha por 1 e depois somando 5 vezes a nova segunda linha à terceira linha e 4 vezes a nova segunda linha à quarta linha. Se usarmos somente a fase direta. dá a forma escalonada Isso completa a fase direta. pois não há zeros abaixo dos pivôs. Solução A matriz aumentada do sistema é Somando 2 vezes a primeira linha à segunda e à quarta linhas. dá Permutando as terceira e quarta linhas e então multiplicando a terceira linha da matriz resultante por . denominado eliminação gaussiana. x6   Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se os termos constantes são todos Sistemas lineares zero. xn  0 como uma solução. considere o exemplo seguinte de quatro equações em seis incógnitas. são ditas não triviais. b1 não ambas nulas) a2x  b2y  0 (a2. Para ver o motivo disso. .1). o sistema tem a forma homogêneos Cada sistema de equações lineares homogêneo é consistente. quaisquer outras solução. s e t às variáveis livres x2. Por que podemos fazer isso? Resolvendo para as variáveis líderes. obtemos Finalmente. . x2  0. se as houver. 1. . x5  t. x4 e x5. Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula. respectivamente.2. ignora- mos a linha toda constituída de (3) zeros na matriz aumentada cor- respondente.2 Eliminação gaussiana 17 O sistema de equações correspondente é Observe que. y y a1x  b1y  0 x x a1x  b1y  0 a 2 x  b2 y  0 e a 2 x  b2 y  0 Somente a solução trivial Uma infinidade de soluções  Figura 1. só há duas possi- bilidades para suas soluções. sempre que o sistema envolva mais incógnitas que equações. a saber. e a solução trivial corresponde ao ponto de corte na origem (Figura 1.1 Há um caso em que pode ser garantido que um sistema homogêneo tenha soluções não triviais. • O sistema tem somente a solução trivial. . Isso fornece x1  3r  4s  2t. No caso especial de um sistema linear homogêneo de duas equações em duas incógnitas. x2  r. ou seja. expressamos a solução geral do sistema parametricamente associando os va- lores arbitrários r. . x4  s. b2 não ambas nulas) os gráficos das equações são retas pela origem. • O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial. na construção do sistema linear em (3). digamos a1x  b1y  0 (a1.2. pois todos esses sistemas têm x1  0. x3  2s. Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial. (4) Solução Inicialmente. A matriz aumentada do sistema homogêneo dado é (5) que é igual à matriz aumentada do sistema do Exemplo 5. x3  2s. de modo que a forma escalonada reduzida de (5) é dada por (6) O sistema de equações correspondente é Resolvendo para as variáveis líderes. respectiva- mente. Assim. os dois sistemas diferem apenas pelas constantes do lado direito. pensando um pouco. Quando construímos o sistema linear homogêneo correspondente à matriz aumentada (6). x5  t. agora. Contudo. Assim. s e t às variáveis livres x2. x4 e x5. de modo que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada de um sistema homogêneo tem uma coluna final de zeros. x6  0 Note que a solução trivial é obtida com r  s  t  0. Isso implica que o sistema linear correspon- dente à forma escalonada reduzida é homogêneo. exceto pela última coluna. ou seja. x2  r. a forma escalonada reduzida dessa matriz é igual à da matriz aumentada do Exemplo 5. x4  s. Nenhuma operação elementar com as linhas altera uma coluna de zeros de uma matriz. dependendo da forma escalona- da reduzida por linhas da matriz aumentada de um sistema linear homogêneo ter ou não . exceto pelos zeros na última co- luna. obtemos (7) Associando. os valores arbitrários r. porque a equação correspondente 0x1  0x2  0x3  0x4  0x5  0x6  0 não impõe condição alguma sobre as incógnitas. podemos concluir que uma coluna de zeros não é alterada por qualquer operação elementar com as linhas.18 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 6 Um sistema homogêneo Resolva o seguinte sistema homogêneo com eliminação de Gauss-Jordan. podemos expressar o conjunto de soluções parametricamente por x1  3r  4s  2t. observe que os coeficientes das incógnitas desse sistema são iguais àqueles do Exemplo 5. exatamente como o sistema original. 2.  Variáveis livres em sistemas O Exemplo 6 ilustra dois aspectos importantes sobre a resolução de sistemas lineares lineares homogêneos homogêneos. ignoramos a linha de zeros. 1. em geral é mais eficiente usar a eliminação gaussiana (redu- ção à forma escalonada por linhas). e se m < n. incógnitas do que equações for consistente.2. 兺( ) denota uma soma que envolve as variáveis livres. e isso homogêneo com mais incógnitas implica que o sistema tem uma infinidade de soluções. Mais precisamente. Assim. que exigem utilização de computadores. o teorema implica que há pelo menos uma variável livre.2 Eliminação gaussiana 19 alguma linha de zeros. então o sistema terá uma infinidade de soluções. ou igual a. poderíamos ter antecipado que o sistema homogêneo do Exemplo 6 tem uma infinidade de soluções.2 Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações ma não homogêneo com mais tem uma infinidade de soluções. prova- remos adiante que se um siste- TEOREMA 1. Em retrospecto. para completar o processo de resolução do sistema. O pró- ximo exemplo ilustra essa ideia. o número de equações do sistema original. O Teorema 1.2. temos o resultado a seguir. Resumindo. Nesse caso. e como a cada pivô corresponde uma variável líder. (7)].1 tem uma consequência importante para sistemas lineares homo- Note que o Teorema 1. que equações não precisa ser consistente. Agora considere um sistema linear homogêneo em n incógnitas e suponha que a for- ma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tenha r linhas não nulas. ou retrossubstituição. se hou- ver [ver. uma forma escalonada da matriz aumentada é .1 Teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos Se um sistema linear homogêneo tiver n incógnitas e se a forma escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas não nulas. o sistema é da forma (8) em que. Assim. o sistema homogêneo correspondente à forma escalonada reduzida da matriz aumentada deve ter r variáveis líderes e n  r variáveis livres. temos o resultado seguinte. seguida por uma técnica conhecida por substituição inversa. Contudo. por ter quatro equações e seis incógnitas. se um sistema linear cável somente a sistemas homo- homogêneo tiver m equações em n incógnitas. A eliminação de Gauss-Jordan (redução à forma escalonada reduzida por linhas) é um Eliminação gaussiana e procedimento útil com sistemas lineares pequenos que são resolvidos a mão (como a retrossubstituição maioria dos sistemas deste texto). por exemplo. com sistemas lineares grandes. o número de equações no sistema correspondente à forma esca- lonada reduzida é menor do que. 1. Um sistema que não é n (por quê?). em cada equação. TEOREMA 1.2 é apli- gêneos com mais incógnitas do que equações. Como cada linha não nula tem um pivô. então também é verdade que r < gêneos.  E X E M P L O 7 O Exemplo 5 resolvido por retrossubstituição Pelas contas do Exemplo 5.2.2. então o sistema tem n  r variáveis livres. No entanto. x2 e x3 correspondem a pivôs e. x2. Atribua valores arbitrários às variáveis livres. s e t a x2. respectivamente. a solução geral é dada pelas fórmulas x1  3r  4s  2t. mas não reduzida. x2  r. Solução (b) A última linha corresponde à equação 0x1  0x2  0x3  0x4  0 que não afeta o conjunto de soluções. x6  Isso confere com a solução obtida no Exemplo 5. são variáveis líderes. x3  2s. Começando com a equação de baixo e trabalhando para cima. x4  s. Passo 2. A variável x4 é uma variável . portanto. Todas essas matrizes estão em forma escalonada por linhas.20 Álgebra Linear com Aplicações Para resolver o sistema de equações correspondente procedemos como segue. Substituindo x6  na segunda equação. Resolva as equações para as variáveis líderes. x3 e x4. as variáveis x1. substitua suces- sivamente cada equação em todas as equações acima dela. x4 e x5. x5  t. Atribuindo os valores arbitrários r. Passo 1. dá Substituindo x3  2x4 na primeira equação. Solução (a) A última linha corresponde à equação 0x1  0x2  0x3  0x4  1 a partir da qual é evidente que o sistema é inconsistente.  E X E M PLO 8 Suponha que as matrizes dadas sejam matrizes aumentadas de sistemas lineares nas in- cógnitas x1. Discuta a existência e unicidade de soluções dos sistemas lineares corres- pondentes. se houver. Nas três equações restantes. dá Passo 3. O problema é que os e instabilidade 1 Uma prova desse resultado pode ser encontrada no artigo “The Reduced Row Echeleon Form of a Matrix Is Unique: A Simple Proof”. As colunas de pivô são as colunas 1. podemos expressar as variáveis líderes em termos da variável livre e. Vol. Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas. . de Thomas Yuster. No. 1984. e as Erro de arredondamento eliminações gaussiana e de Gauss-Jordan são bons exemplos disso. Alguns fatos sobre as como segue. o sistema tem uma solução única.  E X E M P L O 9 Posição e coluna de pivô Anteriormente. Os pivôs ocorrem nas posições (linha 1. ou seja. obtendo um valor numérico único para x2 e. Essas são as posições de pivô. ou seja. 2. é possível ver que podemos continuar esse processo e substituir os valores conhecidos de x3 e x4 na equação correspondente à segunda linha. em Mathematics Magazine. Assim. Assim. podemos associar qualquer valor. 57. 2. mas que não serão demonstrados. substituir os valores conhecidos de x4 x3 e x2 na equação correspondente à primeira linha para obter um valor numérico único para x1. 1. a saber. indepen- dentemente de utilizar eliminação de Gauss-Jordan ou uma outra sequência qualquer de operações elementares. Embora as formas escalonadas por linhas não sejam únicas. o sistema deve ter uma infinidade de soluções. Solução (c) A última linha corresponde à equação x4  0 que nos dá um valor numérico para x4. diferentes sequências de operações com linhas podem resultar em formas escalonadas diferentes. obtivemos uma forma escalonada de a saber. há uma lacuna entre a teoria matemática e sua implementação prática. à variável livre. e os pivôs sempre ocorrem na mesma posição das formas escalonadas por linhas de A. páginas 93-94. Substituindo esse valor na terceira equação. formas escalonadas 1. Com alguma álgebra.2 Eliminação gaussiana 21 livre. Essas posições são denominadas posições de pivô de A. x3  6x4  9 obtemos x3  9.  É importante conhecer três fatos sobre as formas escalonadas e escalonadas reduzidas. coluna 1). no final sempre chegamos à mesma forma escalonada re- 1 duzida por linhas. finalmente. nesta seção (imediatamente depois da Definição 1). coluna 5). Dizemos que uma coluna que con- tenha uma posição de pivô é uma coluna de pivô de A.  Muitas vezes. Agora. coluna 3) e (linha 3. 3 e 5. 3. As formas escalonadas por linhas não são únicas. todas as formas escalo- nadas por linhas de uma matriz A têm o mesmo número de linhas nulas. (linha 2. Por exemplo. ambas ou nenhuma. a eliminação de Gauss-Jordan envolve aproximadamente 50% a mais de operações do que a eliminação gaussiana. suponha que a matriz aumentada de um siste- ma de equações lineares tenha sido reduzida à dada forma es- calonada por meio de operações elementares sobre as linhas. Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Forma escalonada reduzida por linhas • Reconhecer se uma dada matriz está em forma • Forma escalonada por linhas escalonada. para sistemas lineares grandes. • Fase inversa. determine se a matriz está em forma escalona- da. • Pivô • Construir soluções de sistemas lineares cuja matriz • Variável líder aumentada correspondente está em forma escalonada ou • Variável livre escalonada reduzida. determine se a matriz está em forma escalona- da. (f) (g) (a) 2. Em cada parte. (a) (b) (c) (b) . • Eliminação de Gauss-Jordan • Usar a eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a • Fase direta.22 Álgebra Linear com Aplicações computadores em geral aproximam os números e. em forma escalonada reduzida. Em cada parte. para trás • Analisar sistemas lineares homogêneos usando o teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos. para frente solução geral de um sistema linear. Resolva o sistema. a menos que sejam tomadas precauções. por isso. a maioria dos algoritmos de computador tem por base a eliminação gaussiana. Existem várias técnicas para minimizar os erros de arredondamento e a instabilidade. esses erros podem se propagar em contas sucessivas e podem acabar corrom- pendo uma resposta a ponto de torná-la inútil. • Sistema linear homogêneo • Solução trivial • Solução não trivial • Teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos • Retrossubstitução Conjunto de exercícios 1. introduzem erros de arredon- damento. pode ser mostrado que. ambas ou nenhuma. Os algoritmos (procedimentos) em que isso pode ocorrer são ditos instáveis. forma escalonada reduzida ou nenhuma dessas. Em cada parte. Alguns des- ses tópicos serão considerados no Capítulo 9.2 1. • Solução geral de um sistema linear • Usar a eliminação gaussiana para encontrar a solução • Eliminação gaussiana geral de um sistema linear. em forma escalonada reduzida. com isso. (d) (e) (a) (b) (c) (f) (g) (d) (e) 3. (c) 16. 19. (d)  Nos Exercícios 17–24.  26. Exercício 6 11.  4. 1. (d) 23.2 Eliminação gaussiana 23 14. Resolva o sistema.  25. 6. resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.  Nos Exercícios 13–16. 20.  5. 15. 17.  Nos Exercícios 9–12. 28. resolva o sistema linear dado por qual- quer método. Exercício 8 27.  13. uma infinidade de soluções. 9. resolva o sistema linear por eliminação gaussiana. tem exatamente uma solução ou tem 8. (a) 21.  Nos Exercícios 5–8. Exercício 7 12. 18. (b) (c) 22. Em cada parte. determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução. suponha que a matriz aumentada de um siste. determine se o sistema homogêneo tem soluções não triviais. sem utilizar papel e lápis. 24. ma de equações lineares tenha sido reduzida à dada forma es- calonada por meio de operações elementares sobre as linhas. .  Nos Exercícios 25–28. Exercício 5 10. 7. 29.] reduzida por linhas de 36. b. qual é o número máximo possível de pivôs em sua forma esca- lonada reduzida? (b) Se B for uma matriz com três linhas e seis colunas. 32. Se o sistema linear a1x  b1y  c1z  0 a2x  b2y  c2z  0 a3x  b3y  c3z  0 [Sugestão: comece com as substituições x  sen ␣. 11) (4. c e d tais que a curva mostrada são constantes. Mostre que o sistema não linear a seguir tem 18 soluções se 0 (4. 7) x 31. Encontre os coeficientes a. (b) Use o resultado da parte (a) para mostrar que se ad  bc  0. y última coluna só tem zeros. 39. b. 33. 41. 5) à forma escalonada reduzida sem introduzir frações em está. o que pode ser dito sobre as solu- e z  tan ␥. qual é o número máximo pos- e z. cuja 35. 38. b e c 37. c e d tais que a curva mostrada na nadas distintas. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares para x.] ções do sistema a seguir? 34. Reduza y (2. y  cos ␤.24 Álgebra Linear com Aplicações  Nos Exercícios 29–30. (a) Mostre que se ad  bc  0. 14) 20  Figura Ex-37 Esse exercício mostra que uma matriz pode ter formas escalo. em que a. resolva o sistema dado. 10) (1. tiver somente a solução trivial. 3)  Figura Ex-38  ␣  2␲. 30. sível de parâmetros da solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada é B? (c) Se C for uma matriz com cinco linhas e três colunas. 7) (4. (a) Se A for uma matriz com três linhas e cinco colunas.  na figura seja o gráfico da equação y  ax3  bx2  cx  d. Encontre os coeficientes a. então a forma escalonada Z  z2. 0  ␤  2␲ e 0  ␥  2␲. qual é o número mínimo possível de linhas inteiras de zeros em qualquer forma escalonada de C? [Sugestão: comece com as substituições X  x2. Y  y2. . Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nos a1x  b1y  c1z  3 ângulos incógnitos e . y 20 (0. figura seja dada pela equação ax2  ay2  bx  cy  d  0. com e a2x  b2y  c2z  7 a3x  b3y  c3z  11 40. Resolva o sistema a seguir para x. x gios intermediários. Encontre duas formas escalonadas por linha diferentes de 2 6 (3. y e z. então o sistema linear ax  by  k cx  dy  l tem exatamente uma solução. (a) Se uma matriz estiver em forma escalonada reduzida por li. (g) Se um sistema linear homogêneo de n equações em n incóg- (a) (b) nitas tiver uma matriz aumentada correspondente com uma forma escalonada reduzida com n pivôs. Contudo. definindo sobre elas as operações de adição. Na Seção 1. Dom. então o sistema Nas partes (a)-(i). Notação e terminologia tadas. cx  dy  0 e ex  fy  0 se (a) o sistema tiver apenas a solu- ção trivial e (b) o sistema tiver soluções não triviais. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. não só como a matriz aumentada de um sistema de equações lineares.3 Matrizes e operações matriciais 25 42. ficamos com a seguinte coleção retangular de números com três linhas e sete colunas. então cada entrada que não for um pivô 43. ax  by  0 (d) Um sistema linear homogêneo em n incógnitas cuja matriz cx  dy  0 aumentada correspondente tem uma forma escalonada redu- ex  fy  0 zida com r pivôs tem n  r variáveis livres. então o sistema li- near só tem a solução trivial. denominadas matrizes aumen. fazemos a seguinte definição. justificando sua resposta. Por exemplo. Nesta seção. a seguinte coleção retangular de três linhas e sete colunas pode descrever o número de horas que um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana. usamos coleções retangulares de números. a matriz resultante ainda estará em forma escalonada. Mais geralmente. então também estará em forma escalonada por linhas. 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Sáb. subtração e multiplicação. (e) Todos os pivôs de uma matriz em forma escalonada por li- Discuta as posições relativas das retas ax  by  0 e nhas devem ocorrer em colunas distintas. Matemática 2 3 2 4 1 4 2 História 0 3 1 4 3 2 2 Línguas 4 1 3 1 0 0 2 Suprimindo os títulos. 1. essas coleções matricial retangulares de números ocorrem também em outros contextos. começamos a estudar matrizes como objetos independentes. (h) Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de Exercícios verdadeiro/falso um sistema linear tiver uma linha de zeros. deve ter uma infinidade de soluções. Descreva todas as formas escalonadas reduzidas possíveis de será nula. denominada “matriz”. nhas. . (i) Se um sistema linear tem mais incógnitas do que equações.2. Considere o sistema de equações (c) Cada matriz tem uma única forma escalonada por linhas. (b) Se efetuarmos uma operação elementar com as linhas de uma matriz em forma escalonada. então o sistema deve ter uma infinidade de soluções. 1. para abreviar a escrita de sistemas de equações lineares. (f) Se cada coluna de uma matriz em forma escalonada por li- nhas tiver um pivô.3 Matrizes e operações matriciais Coleções retangulares de números reais aparecem em muitos contextos. Numa descrição de tamanho. usamos a notação cij. ou vetor linha. Por exemplo. As outras matrizes do Exemplo 1 têm tamanhos 1  4.26 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 1 Uma matriz é um agrupamento retangular de números. o de colunas. do Exemplo 1 tem três linhas e duas colunas. é costume dizer que as quantidades numéricas são escala- res. Assim. assim. tor- nando impossível saber. A entrada que ocorre na linha i e coluna j de uma matriz A é denotada por 3  4. na argumentação. A entrada na linha i e na coluna j de uma matriz A também é comumente denotada pelo símbolo (A)ij. 3  3. seu tamanho é 3 por 2 (e escreve- mos 3  2). saber o ta- manho da matriz. Salvo menção explícita em contrário. escalares são números reais. para uma matriz B. a matriz precedente pode ser escrita como [aij ]mn ou [aij ] sendo utilizada a primeira notação quando for importante. a matriz 1  4 é um vetor linha e O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas (fileiras hori- a matriz 1  1 é um vetor coluna zontais) e de colunas (fileiras verticais) que ela contém. assim. temos (A)ij  aij . (1) Quando for desejada uma notação mais compacta. pois geralmente é possível ver a qual dos dois nos estamos e uma matriz arbitrária m  n como referindo a partir do contexto. portanto. costumamos usar bij para a entrada na linha i e na coluna j e para uma matriz C. por exemplo. a primeira matriz e também um vetor linha. se o símbolo 4 denota o número “quatro” ou a matriz [4]. uma matriz arbitrária 3  4 pode ser escrita como chetes de matrizes 1  1. Em geral. o primeiro número sempre denota o número de linhas e o segundo. respectivamente. No Exemplo 1. Dizemos que os números nesse agrupamento são as entradas da matriz. 2  1 e 1  1. Isso raramente causa proble- mas. e a segunda quando o tamanho não necessitar ênfase. podemos escrever Quando discutimos matrizes. e uma matriz com somente uma linha  é denominada matriz linha. Utilizamos letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotar quantidades numéricas.  E X E M P L O 1 Exemplos de matrizes Alguns exemplos de matrizes são Uma matriz com somente uma coluna é denominada matriz coluna. a matriz 2  1 é um vetor coluna. escalares comple- xos serão considerados mais adiante no texto. para a matriz (1) acima. combi- namos a letra denotando a matriz com a letra denotando suas entradas. As- É prática comum omitir os col- sim. ou vetor coluna. Não existe valor de x com o qual A  C. O restante desta seção será dedicado a desenvolver essa aritmética. e é prática comum denotá-los por letras minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. ann em (2) constituem a diagonal principal de A. para a matriz temos (A)11  2. (2) Até aqui. então. usamos matrizes para abreviar o trabalho de resolver sistemas de equações li.  ou. Operações com matrizes neares. se A  [aij ] e B  [bij ] têm o mesmo tamanho. DEFINIÇÃO 2 Duas matrizes são definidas como sendo iguais se tiverem o mesmo tamanho e suas entradas correspondentes forem iguais. contudo. mas para todos os outros valores de x. . subtraídas e multiplicadas de alguma ma- neira útil. pois A e C têm tamanhos diferentes. e a diferença A são válidas com quaisquer valo-  B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A. a22. res de i e j. aij  bij DEFINIÇÃO 3 Se A e B são matrizes de mesmo tamanho. pois nem todas as suas entradas coincidem.3 Matrizes e operações matriciais 27 e. Para tais matrizes. é desejável desenvolver uma “aritmética de ma- trizes” na qual as matrizes podes ser somadas. as matrizes A e B não são (A)ij  (B)ij iguais. . Em notação matricial. (A)12  3. Vetores linha e coluna são de importância especial. . . então A  B. Assim. (A)21  7 e (A)22  0. um vetor linha 1  n arbitrário a e um vetor coluna m  1 arbitrário b podem ser escritos como Dizemos que uma matriz A com n linhas e n colunas é uma matriz quadrada de ordem n e que as entradas destacadas a11. entendendo-se que as igualdades triz obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de A.  E X E M PLO 2 Igualdade de matrizes A igualdade de duas matrizes Considere as matrizes A  [aij ] e B  [bij ] de mesmo tamanho pode ser ex- pressa escrevendo Se x  5. então (A  B)ij  (A)ij  (B)ij  aij  bij e (A  B)ij  (A)ij  (B)ij  aij  bij . é desneces- sário usar índices duplos para as entradas. 1. então a soma A  B é a ma. Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtraídas. Para outras aplicações. destacamos a linha i de A e a coluna j de B.28 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 3 Adição e subtração Considere as matrizes Então As expressões A  C. então o produto AB é a matriz m  n cujas entradas são determinadas como segue.  Até aqui. então o produto cA é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por c. se A  [aij ]. definimos a multiplicação de uma matriz por um escalar. Dizemos que a matriz cA é um múltiplo escalar de A. B  C. A  C e B  C não estão definidas. DEFINIÇÃO 5 Se A for uma matriz m  r e B uma matriz r  n. de multiplicação de matrizes. Contudo. muito mais útil. Multiplicamos as en- tradas correspondentes da linha e da coluna e então somamos os produtos resultantes. Como as matrizes são somadas somando as entradas corres- pondentes e subtraídas subtraindo as entradas correspondentes. então (cA)ij  c(A)ij  caij  E X E M PLO 4 Múltiplos escalares Para as matrizes temos É usual denotar (1)B por B.  E X E M PLO 5 Multiplicando matrizes Considere as matrizes . A experiência levou os matemáticos à seguinte definição.  DEFINIÇÃO 4 Se A for uma matriz e c um escalar. Em notação matricial. mas não a multi- plicação de duas matrizes. Para obter a entrada na li- nha i e coluna j de AB. ocorre que tal definição não seria muito útil na maioria dos problemas. pareceria natural definir a multiplicação de matrizes multiplicando as entradas correspondentes. Contudo. [Imagem: Wikipedia] Gotthold Eisenstein (1823–1852) . porque viveu doente toda sua vida e faleceu aos 30 anos. que introduziu a ideia em torno de 1844. Então. (3) Nota histórica O conceito de multiplicação matricial é devido ao ma- temático alemão Gotthold Eisenstein. publicada em 1858. escrever o tamanho do se- gundo fator. o produto não estará definido. A ideia. à direita. os números internos coincidirem. o produto AB é uma matriz 2  4. Para determinar. o potencial de Eisenstein nunca foi realizado. foi expandida e formalizada por Cayley em sua obra Memoir on the Theory of Matrices (Ensaio sobre a Teoria de Matri- zes).3 Matrizes e operações matriciais 29 Como A é uma matriz 2  3 e B é uma matriz 3  4. As contas para as demais entradas são  A definição de multiplicação de matrizes exige que o número de colunas do pri- meiro fator A seja igual ao número de linhas do segundo fator B para que seja possível formar o produto AB. para simplificar o processo de efetuar substituições em sistemas lineares. Uma maneira conveniente de determinar se o produto de duas matrizes está ou não definido é escrever o tamanho do primeiro fator e. então. Se. a entrada na linha 2 e coluna 3 de AB. então o produto estará definido. que o qua- lificou como sendo do nível de Isaac Newton e Arquimedes. multiplicamos as entradas corres- pondentes e somamos esses produtos. A entrada na linha 1 e coluna 4 de AB é calculada como segue. como ilustrado. Se essa condição não for satisfeita. como em (3). por exemplo. destacamos a linha 2 de A e a coluna 3 de B. Eisenstein foi um aluno de Gauss. 1. BC está definido e é uma matriz 4  3. Por exemplo. cujas provas são deixadas como exercício. Os produtos AC. ou subdividida. uma das quais sendo encontrar colunas e linhas uma linha ou coluna específica de um produto matricial AB sem calcular todo o produto. conforme destacado em (4). as fórmulas seguintes. as seguintes são três partições possíveis de uma matriz 3  4 arbitrária A: a primeira é uma partição de A em quatro submatrizes A11. Multiplicação matricial por A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades. a terceira é uma partição de A em seus vetores coluna c1. se A  [aij ] é uma matriz m  r e B  [bij ] é uma matriz r  n.  Em geral. (4) a entrada (AB)ij na linha i e coluna j de AB é dada por (AB)i j  ai1b1 j  ai2b2 j  ai3b3 j  · · ·  airbr j (5) Matrizes em blocos Uma matriz pode ser particionada. o produto AB está definido e é uma matriz 3  7. mostram como vetores coluna individuais de AB podem ser obtidos particionando B em . por (3). e CA está definido e é uma matriz 7  4. Mais especificamente. em blocos de matrizes menores in- serindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas selecionadas. A12. r2. CB e BA não estão definidos. c2. e r3. então. A21 e A22. c3 e c4. B e C sejam matrizes de tamanhos Então.30 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 6 Determinando se um produto está definido Suponha que A. a segunda é uma partição de A em seus vetores linha r1. . Ar são matrizes de mesmo tamanho e se c1. . cr são escalares. A2. cr. . . . . essas fórmula afirmam que j-ésimo vetor coluna de AB  A [j-ésimo vetor coluna de B] (8) i-ésimo vetor linha de AB  [i-ésimo vetor linha de A]B (9)  E X E M P L O 7 De novo o Exemplo 5 Se A e B são as matrizes do Exemplo 5. . . coluna por coluna e linha por linha. . Ar com coeficientes c1. a saber. DEFINIÇÃO 6 Se A1. . Produtos matriciais como trada. . 1. por (8). A2.3 Matrizes e operações matriciais 31 vetores colunas e como vetores linha individuais de AB podem ser obtidos particionando A em vetores linha. . . entrada por en. então. o segundo vetor coluna de AB pode ser obtido calculando Segunda coluna Segunda coluna de B de AB e. A definição seguinte fornece mais uma maneira combinações lineares de ver o produto matricial. . o primeiro vetor linha de AB pode ser obtido calculando  Primeira linha de B Primeira linha de AB Discutimos três métodos para calcular um produto matricial AB. . c2. c2. por (9). . AB  A[b1 b2 · · · bn]  [Ab1 Ab2 · · · Abn] (6) (AB calculado coluna a coluna) (7) (AB calculado linha a linha) Em palavras. . então uma expressão da forma c1A1  c2A2  · · ·  crAr é denominada combinação linear de A1. 1 Sejam A uma matriz m  n e x um vetor coluna n  1. digamos.32 Álgebra Linear com Aplicações Para ver como o produto de matrizes pode ser visto como uma combinação linear. Então (10) Isso prova o teorema seguinte.3.3. As contas são as seguintes.1 que o j-ésimo vetor coluna de AB pode ser ex- presso como uma combinação linear dos vetores coluna de A em que os coeficientes da combinação linear são as entradas da j-ésima coluna de B.  E X E M PLO 8 Produto matricial como combinação linear A matriz produto pode ser escrita como a combinação linear dos vetores coluna  E X E M PLO 9 Colunas de um produto matricial como combinações lineares Mostramos no Exemplo 5 que Segue da fórmula (6) e do Teorema 1. sejam A uma matriz m  n e x um vetor coluna n  1. . Então o pro- duto Ax pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores coluna de A em que os coeficientes são as entradas de x. TEOREMA 1. suas entradas correspondentes são iguais. . 1. podemos substituir as m equações desse sistema por uma única equação matricial A matriz m  1 à esquerda dessa equação pode ser escrita como um produto. Transposta de uma matriz mética de números reais. a matriz A barra vertical em [A | b] é aumentada é só uma maneira conveniente de visualmente separar A de b. A matriz au- mentada do sistema é obtida pela adjunção de b a A como a última coluna. Forma matricial de um Considere um sistema de m equações lineares em n incógnitas sistema linear Como duas matrizes são iguais se. respectivamente. x e b.3 Matrizes e operações matriciais 33  A multiplicação matricial tem uma importante aplicação a sistemas de equações lineares. resultando Denotando essas matrizes por A. assim. não tendo significado matemático. Concluímos esta seção definindo duas operações matriciais que não têm análogos na arit. o sistema original de m equações em n incógnitas pode ser substituído pela única equação matricial Ax  b A matriz A nesta equação é denominada matriz de coeficientes do sistema. e somente se. Sylvester comunicou seu trabalho com matrizes ao colega mate- mático e advogado inglês chamado Arthur Cayley. pensando que havia matado o aluno.34 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 7 Se A for uma matriz m  n qualquer. Assim. podemos ver que A também pode ser obtida “refletindo” A em torno de sua diagonal principal. Sylvester nunca se formou. então a transposta de A. publicado em 1858. ou seja. a primeira coluna de AT é a primeira linha de A. fugiu de volta para a Inglaterra no primeiro navio dis- ponível. a entrada na linha i e coluna j de A é a entrada na linha j e coluna i de A.  T T Observe que não só as colunas de A são as linhas de A. o aluno não morreu. é definida como a matriz n  m que resulta da troca das linhas com as colunas de A. a segunda coluna de AT é a segunda linha de A. (AT )ij  (A)ji (11) Observe a reversão de índices. que definiu o termo em 1850 como “um arranjo oblongo de números”. (12) Permutamos entradas posicionadas simetricamente em relação à diagonal principal. mas também as linhas de A T são as colunas de A. sendo judeu.  E X E M P L O 1 0 Algumas transpostas Alguns exemplos de matrizes e suas transpostas são os seguintes. Nota histórica O termo matriz foi usado pela primeira vez pelo matemático inglês James Sylvester. porque. ou seja. só estava em choque! [Imagem: Coleção Granger. Ele foi nomeado para uma cátedra na Uni- versity of Virginia. e assim por diante. Nova York] James Sylvester Arthur Cayley (1814–1897) (1821–1895) . Como curio- sidade. recusou-se a assinar o exigido juramento à igreja Anglicana. Em (12). Sylvester. nos Estados Unidos. Felizmente. deno- tada por AT. No caso especial em que a matriz A é uma matriz quadrada. que então introduziu algumas das operações matriciais básicas num livro intitulado Memoir on the Theory of Matrices (Ensaio sobre a Teoria de Matrizes). a transposta de A pode ser obtida pela troca das entradas posicionadas simetricamente em relação à diagonal T principal. mas renunciou depois de espancar com sua bengala um aluno que estava lendo um jornal em aula. denotado por tr(A). Para as que estão definidas. • Método das colunas • Calcular a transposta de uma matriz. das colunas e das linhas. • Matrizes iguais multiplicação por escalar e produto de matrizes. Conjunto de exercícios 1. • Matriz quadrada • Identificar os vetores linha e coluna de uma dada matriz. determine se a expressão matricial dada está definida. B.3 1. (a) BA (b) AC  D (c) AE  B (d) AB  B (e) E(A  B) (f) E(AC) (h) (A  E)D T T (g) E A . Revisão de conceitos • Matriz de coeficientes de um sistema linear • Matriz • Transposta • Entradas • Traço • Vetor coluna (ou matriz coluna) Aptidões desenvolvidas • Vetor linha (ou matriz linha) • Determinar o tamanho de uma dada matriz. diferença. • Método das linhas • Calcular o traço de uma matriz quadrada. 1.3 Matrizes e operações matriciais 35 DEFINIÇÃO 8 Se A for uma matriz quadrada. é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. desenvolvemos alguma prática com as operações de transposição e traço. C. subtração.  E X E M P L O 1 1 Traço de uma matriz Alguns exemplos de matrizes e seus traços são os seguintes. • Operações matriciais: soma. escalar • Calcular um produto matricial usando os métodos linha- • Combinação linear de matrizes -coluna. D e E sejam matrizes de tamanhos Em cada parte. tr(A)  a11  a22  a33 tr(B)  1  5  7  0  11  Nos exercícios. dê o tamanho da matriz resultante. Suponha que A. então o traço de A. • Produto de matrizes (multiplicação matricial) • Expressar o produto de uma matriz com um vetor coluna • Matriz em blocos como uma combinação linear das colunas da matriz. O traço de A não é defi- nido se A não for uma matriz quadrada. multiplicação por • Determinar se está definido o produto de duas matrizes. • Submatrizes • Expressar um sistema linear como uma equação matricial • Método linha-coluna e identificar a matriz de coeficientes. • Diagonal principal • Efetuar as operações aritméticas de adição. x e b que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação (d) (AB)C (e) A(BC) (f ) CCT T T T matricial Ax  b e escreva essa equação matricial. Usando as matrizes do Exercício 7. (a) (a) 2AT  C (b) DT  ET (c) (D  E)T (d) BT  5CT (e) CT  A (f) B − BT (g) 2E  3D (h) (2E  3D ) T T T T T (i) (CD)E (b) T (j) C(BA) (k) tr(DE ) (l) tr(BC) 5. (a) expresse cada vetor coluna de AB como uma combinação Em cada parte. 9. (a) EA (b) AB T (c) B (A  E ) T T (b) a terceira coluna de BB. x e b que expressem o (j) tr(D  3E) (k) 4 tr(7B) (l) tr(A) sistema de equações lineares dado como uma única equação 4. (a) a primeira coluna de AB. 10.36 Álgebra Linear com Aplicações 2. (g) (DA) (h) (C B)A (i) tr(DDT ) (a) (b) (j) tr(4ET  D) (k) tr(CTAT  2ET) (l) tr((ECT)TA) 6. em cada parte. Em cada parte. (a) (2DT  E)A (b) (4B)C  2B 13. C. (a) D  E (b) D  E (c) 5A (b) expresse cada vetor coluna de BA como uma combinação (d) 7C (e) 2B  C (f) 4E  2D linear dos vetores coluna de B. em cada parte. encontre matrizes A. (a) expresse cada vetor coluna de AA como uma combinação linear dos vetores coluna de A. Para as que estão definidas. (b) a terceira linha de AB. (b) expresse cada vetor coluna de BB como uma combinação linear dos vetores coluna de B. Suponha que A. Usando as matrizes do Exercício 3. (g) (BDT)CT (h) DC  EA (d) a primeira coluna de AA. (a) AB (b) BA (c) (3E)D 12. D e E sejam matrizes de tamanhos (a) a primeira linha de AB. (d) 2A  C (e) (C  D)B T T (f) CD  BT ET (c) a segunda linha de BB. Em cada parte. determine se a expressão matricial dada está ou das colunas (como for apropriado) para encontrar definida. (g) 3(D  2E) (h) A  A (i) tr(D) 11. Usando as matrizes do Exercício 3. B. expressão dada (se possível). (c) a segunda coluna de AB. calcule a expressão dada (se possível). Usando as matrizes A e B do Exercício 7. em cada parte. 3. (e) BT(CCT  ATA) (f) DTET  (ED)T 7. dê o tamanho da matriz resultante. (e) a terceira linha de AA. Em cada parte. calcule a matricial Ax  b e escreva essa equação matricial. Usando as matrizes A e B do Exercício 7. 8. (d) a primeira coluna de BA. linear dos vetores coluna de A. (f) a primeira linha de BA. calcule a expressão dada (se possível). Considere as matrizes (e) a terceira linha de AB. encontre matrizes A. (f) a terceira coluna de AA. use o método das linhas Em cada parte. expresse a equação matricial como um sistema (c) (AC)T  5DT (d) (BAT  2C)T de equações lineares. Usando as matrizes do Exercício 3. calcule a expressão dada (se possível). Sejam (a) (b) Use o método das linhas ou das colunas (como for apropria- do) para encontrar . Em cada parte. com quaisquer escolhas de x. Considere a função y  f(x) definida com matrizes x de tama- nho 2  1 por y  Ax. Como você ver. então k  0 ou A  0. Prove que se A e B são matrizes n  n. então AB e BA são matrizes quadradas. Seja 0 a matriz 2  2 com todas as entradas nulas. (b) Existe alguma matriz A de tamanho 2  2 tal que A  0 e AA  A? Justifique sua resposta.  Mostre que AI  IA  A. cujas entradas satisfazem a condição dada. sendo (b)  Nos Exercícios 15–16. (a) Mostre que se A tem uma linha de zeros e B é uma matriz com quaisquer escolhas de x. Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma ma- AB também tem uma linha de zeros. (b) Encontre um resultado análogo para uma coluna de ze- ros. 17. Mostre que se kA  0. Em cada parte. c e d. resolva a equação matricial em termos de a. triz A se BB  A. b. Dê respostas tão gerais quanto possível. 28. Em cada parte. (a) aij  i  j (b) aij  i j1 (a) (c) 25. . encontre todos os valores de k. Esboce f(x) juntamente com x em cada caso dado. se hou. 23. então B é uma matriz n  m. Quantas matrizes A de tamanho 3  3 você consegue encon- (b) Mostre que se A for uma matriz m  n e A(BA) estiver trar tais que definida. usando letras em vez de números para entradas não trar de ? nulas específicas. com qualquer matriz n  n A. então 29. Seja I a matriz n  n cuja entrada na linha i e coluna j é  Nos Exercícios 17–18. encontre a matriz A  [ai j ] de tamanho 4  4 de equações lineares. Sejam A uma matriz m  n e 0 a matriz m  n com todas as entradas nulas. 1. (a) aij  0 se ij (b) aij  0 se i j (c) Você acha que qualquer matriz 2  2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Explique seu raciocínio. y e z? finidos. 20. (a) Mostre que se os produtos AB e BA estiverem ambos de. expresse a equação matricial como um sistema 24. (d) aij  0 se |i  j | 1 (a) Existe alguma matriz A de tamanho 2  2 tal que A  0 e AA  0? Justifique sua resposta. y e z? qualquer para a qual o produto AB está definido. encontre uma matriz [ai j ] de tamanho 6  6 (b) Quantas raízes quadradas distintas você consegue encon- que satisfaz a condição dada. então tr(A  B)  tr(A)  tr(B) 22. 27. 21. (c) aij  0 se ij 30. 26.3 Matrizes e operações matriciais 37 14. (c) (d) 16. (a) Encontre duas raízes quadradas de .  descreveria a ação de f ? (a) (b) 15. 19. que satisfazem a equação. Quantas matrizes A de tamanho 3  3 você consegue encon- trar tais que 18. então A  B. então. vale (A )  A. Veremos que muitas das regras básicas da aritmética de números reais também valem para matrizes. sempre que o produto (g) Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem. é uma matriz 2  6. então A  B. (o) Se B tiver uma coluna de zeros. AB também tem. (h) Dada qualquer matriz quadrada A. A prova da lei da . C  B  C. T T (n) Se B tiver uma coluna de zeros. então.4. então tr(cA)  c tr(A). mas também que algumas não valem. (k) Se A. Propriedades das adição O teorema seguinte lista as propriedades algébricas básicas das operações matriciais. (a) A  B  B  A [Lei da comutatividade da adição] (b) A  (B  C)  (A  B)  C [Lei da associatividade da adição] (c) A(BC)  (AB)C [Lei da associatividade da multiplicação] (d) A(B  C)  AB  AC [Lei da distributividade à esquerda] (e) (A  B)C  AC  BC [Lei da distributividade à direita] (f) A(B  C)  AB  AC (g) (B  C)A  BA  CA (h) a(B  C)  aB  aC (i) a(B  C)  aB  aC (j) (a  b)C  aC  bC (k) (a  b)C  aC  bC (l) a(bC)  (ab)C (m) a(BC)  (aB)C  B(aC) Para provar qualquer uma das igualdades nesse teorema. então estiver definido. (l) Se A. discutimos algumas das propriedades algébricas das operações matriciais. justificando sua resposta. BA também tem. (m) Se a soma de matrizes AB  BA estiver definida. 1.4 Inversas. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. matricial e multiplicação por escalar TEOREMA 1. portanto. (j) Se A for uma matriz n  n e c um escalar. sempre que o produto (f) Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem. (a) A matriz não tem diagonal principal. tr(AB)  tr(A)tr(B). então A e B devem ser matrizes quadradas de mesmo tamanho. valem as seguintes regras da aritmética matricial. (e) Dada qualquer matriz A. provamos a parte (d) como amostra. (c) Se A e B forem matrizes 2  2. devemos mostrar que a ma- triz do lado esquerdo tem o mesmo tamanho que a matriz do lado direito e que as entradas correspondentes dos dois lados são iguais. então m  4 e n  2. (AB)T  ATBT. A maioria das provas segue o mes- mo padrão geral.38 Álgebra Linear com Aplicações (i) Se A for uma matriz 6  4 e B uma matriz m  n tal que B A T T Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(o). B e C forem matrizes quadradas de mesma ordem tais que AC  BC. então AB  BA. (d) O i-ésimo vetor linha de um produto matricial AB pode ser calculado multiplicando A pelo i-ésimo vetor linha de B. propriedades algébricas das matrizes Nesta seção. então estiver definido.1 Propriedades da aritmética matricial Supondo que os tamanhos das matrizes sejam tais que as operações indicadas possam ser efetuadas. vale tr(AT )  tr(A). B e C forem matrizes de mesmo tamanho tais que A  (b) Uma matriz m  n tem m vetores coluna e n vetores linha. as leis da associatividade garantem que sempre será alcançado o mesmo resultado final. de modo que seu tamanho é da forma r  m. considere Então Assim. temos correspondentes são iguais. conforme garante o Teorema 1. ou provamos que os vetores coluna são iguais. ou seja. Suponha que A  [aij ]. como A  B  C e ABC sem a inserção de parênteses. podemos omitir ou inserir pares de parênteses em qualquer lugar da expressão sem afetar o resultado final. Queremos mostrar que as entradas cor- Existem três maneiras básicas respondentes de A(B  C) e de AB  AC são iguais. e de modo que (AB)C  A(BC). ou provamos que os vetores linha são iguais. A(B  C) e AB  AC têm o mesmo tamanho. e então a matriz A deve ter m colunas. Prova (d) Devemos mostrar que A(B  C) e AB  AC têm o mesmo tamanho e que as entradas correspondentes são iguais. Isso se justifica pelo seguinte fato: onde quer que os parênteses sejam inseridos. Para formar A(B  C). dados qualquer soma ou qualquer produto de matrizes. Em geral.4 Inversas. Pela definição de soma e produto matriciais. 1. Isso faz de A(B  C) uma matriz r  n.  . as matrizes B e C devem ter o mesmo tamanho. digamos. que de provar que duas matrizes [A(B  C)]ij  [AB  AC]ij do mesmo tamanho são iguais. Ou provamos que as entradas para todos valores de i e j. consequentemente.  E X E M P L O 1 Associatividade da multiplicação matricial Como uma ilustração da lei da associatividade da multiplicação matricial. Segue que AB  AC também é uma matriz r  n e.1(c). as leis da associatividade (b) e (c) nos permitem escrever somas e produtos de três matrizes. propriedades algébricas das matrizes 39 associatividade da multiplicação é mais complicada do que o resto e será delineada nos exercícios. Observação Embora as operações de adição matricial e de multiplicação matricial tenham sido definidas para pares de matrizes. B  [bij ] e C  [cij ].4. m  n. Se ocorrer que AB  BA. AB e BA podem ambas estar definidas. Como as afirma- ções devem ser evidentes.2 Propriedades de matrizes zero Se c for um escalar e se os tamanhos das matrizes forem tais que as operações possam ser efetuadas. se A é uma matriz 2  3 e B é 3  2). mas têm tamanhos diferentes (por exemplo. O exemplo não proíbe a possibilidade de AB e BA serem iguais em certos ca- sos. Assim. obtemos em todos os casos. Como já sabemos que a lei da comutatividade da aritmética dos números reais não vale na aritmética matricial. caso em que a matriz m  n é denotada por 0mn . 2. mas as matrizes po- dem ser diferentes (conforme ilustrado no exemplo seguinte). então (a) A  0  0  A  A (b) A  0  A (c) A  A  A  (A)  0 (d) 0A  0 (e) Se cA  0. a menos que seja importante enfatizar seu tamanho. então c  0 ou A  0. . AB e BA podem ambas estar definidas e ter o mesmo tamanho. sabemos que na aritmética real sempre vale que ab  ba. TEOREMA 1.4. considere as duas leis da aritmética dos números reais seguintes. que é a lei da comutatividade da multiplicação. AB  BA. dizemos que as matrizes A e B comutam. então A00AA Assim. contudo. Na aritmética matricial. a igualdade de AB e BA pode não ser válida por três razões possíveis. é denominada matriz zero ou matriz nula. omitimos as provas formais. Deveria ser evidente que se A e 0 forem matrizes de mesmo tamanho. 3.40 Álgebra Linear com Aplicações Propriedades da Não deixe o Teorema 1. 1.  E X E M PLO 2 A ordem é importante na multiplicação matricial Considere as matrizes Não veja mais do que está es- crito no Exemplo 2. Por exemplo. Alguns exemplos são Denotamos uma matriz nula por 0. nessa equação matricial. não deveria ser surpreendente que há outras regras que também fa- lham. O teorema seguinte lista as propriedades básicas das matrizes nulas. Por exemplo.1 iludi-lo a acreditar que todas as leis da aritmética real sejam multiplicação matricial válidas na aritmética matricial. AB pode estar definida e BA não (por exemplo. somente que não são iguais Multiplicando.  Matrizes zero Uma matriz cujas entradas são todas nulas. se A é uma matriz 2  3 e B é 3  4).4. a matriz 0 desempenha o mesmo papel que o número 0 na equação numérica a  0  0  a  a. Para explicar o papel das matrizes identidade na aritmética matricial. ou seja. Alguns exemplos são Uma matriz identidade é denotada pela letra I. consideremos o efeito de multiplicar uma matriz A de tamanho 2  3 nos dois lados por uma matriz identidade. então.  Uma matriz quadrada com entradas 1 na diagonal principal e demais entradas nulas é Matrizes identidade denominada matriz identidade. a lei de cancelamento não é válida. o cancelamento de A de ambos lados da equação AB  AC levaria à conclusão incorreta que B  C. propriedades algébricas das matrizes 41 • Se ab  ac e a  0. 1. se A for uma matriz m  n. Se for importante enfatizar seu tamanho.  E X E M P L O 4 Um produto nulo com fatores não nulos Aqui temos duas matrizes tais que AB  0. [A lei de cancelamento] • Se ab  0. AIn  A e ImA  A .4 Inversas. mas A  0 e B  0. obtemos e multiplicando pela esquerda pela matriz identidade 2  2. então b  c. obtemos O mesmo resultado vale em geral. Assim. na multiplicação matricial. escrevemos In para a matriz identidade de tamanho n  n. então pelo menos um dos fatores à esquerda é 0. Os dois exemplos a seguir mostram que essas leis não são universalmente verdadeiras na aritmética matricial. em geral. Multiplicando à direita pela matriz identidade 3  3.  E X E M PLO 3 A lei de cancelamento não vale Considere as matrizes Deixamos para o leitor confirmar que Embora A  0.  . se AB  BA  I dizemos que A e B são inversas uma da outra. cada uma de suas n linhas tem um pivô. apresentamos a definição a seguir. Se não.42 Álgebra Linear com Aplicações Assim. Com esse objetivo. R deve ser In. Observação A relação AB  BA  I permanece inalterada pela troca de A por B. então diremos que A é invertível (ou não singular) e que B é uma inversa de A. Como esses pivôs ocorrem progressivamente para a direita à medida que desce- mos pelas linhas. TEOREMA 1. cada um deve ocorrer na diagonal principal.4. Nosso próximo objetivo é desenvolver para a aritmética matricial um análogo desse resultado. então ou R tem uma linha de zeros ou R é a matriz identidade In . Assim. Prova Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas de A seja De duas uma: ou a última linha dessa matriz é constituída inteiramente de zeros ou não.3 Se R é a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz A de tamanho n  n.  E X E M PLO 5 Uma matriz invertível Sejam Então Assim. cada número não nulo a tem um recíproco a ( 1/a) com a propriedade a · a1  a1 · a  1 1 O número a também é denominado inverso multiplicativo de a. Como mostra o teorema seguinte. Como as demais entradas na mesma coluna são zeros. Se não puder ser encontrada uma tal matriz B. as matrizes identidade desempenham nas equações matriciais o mesmo papel que o número 1 desempenha na equação numérica a · 1  1 · a  a. Assim. a matriz não contém linhas nulas e. as matrizes identidade surgem naturalmente no estudo da forma escalonada reduzida por linhas de matrizes quadradas. A e B são invertíveis e uma é inversa da outra. consequentemente.  1 Inversa de uma matriz Na aritmética real. então também vale que B é invertível e que A é uma inversa de B. DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz quadrada e se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal que AB  BA  I. de modo que se A for invertível e B uma inversa. ou R tem uma linha de zeros ou R  In. diremos que A é não invertível ou singular. 4 Inversas. portanto. Por enquanto. desenvolveremos um método para encontrar a inversa de matrizes in- vertíveis de qualquer tamanho.4. que especifica condi- ções sob as quais uma matriz 2  2 é invertível e fornece uma fórmula simples para a inversa.  É razoável perguntar se uma matriz invertível pode ter mais de uma inversa. podemos escrever o produto BA como BA  B[c1 c2 0]  [Bc1 Bc2 0] [Fórmula (6) da Seção 1. de modo que C  B.4. dá (BA)C  IC  C. TEOREMA 1.  Como uma consequência desse importante resultado. Para ajudar a entender por que isso ocorre. caso em que a inversa é dada pela fórmula rema 1. no Memoir on the Theory of Matrices (Ensaio sobre a Teoria de Matrizes). mostrando 1 1 que AA  A A  I. Nota histórica A fórmula para A1 dada no Teorema 1.3] A coluna de zeros mostra que BA  1 e. Por enquanto. propriedades algébricas das matrizes 43  E X E M P L O 6 Uma classe de matrizes singulares Em geral. TEOREMA 1. Prova Como B é uma inversa de A. então B  C. devemos mostrar que não existe matriz B de tamanho 3  3 tal que AB  BA  I. o leitor deveria pelo menos confirmar a validade da Fórmula (2). Multiplicando ambos lados à direita por C. dada qual- quer matriz B de tamanho 3  3. então sua inversa será denotada pelo símbolo A1. O próximo Propriedades das inversas teorema mostra que a resposta é não – uma matriz invertível tem exatamente uma inversa.5 A matriz A quantidade ad  bc no Teo- é invertível se. 1. temos o teorema seguinte.4 Se B e C são ambas inversas da matriz A. uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros é singular. Na próxima seção. Assim. Mas também vale que (BA)C  B(AC)  BI  B. podemos agora falar “da” in- versa de uma matriz invertível.4. ad  bc  0. sejam c1. AA1  I e A1A  I (1) A inversa de A desempenha na aritmética matricial praticamente o mesmo papel que o 1 1 1 recíproco a desempenha nas relações numéricas aa  1 e a a  1. c2 e 0 os vetores coluna de A. . temos BA  I. porque estudaremos uma versão mais geral desse teorema adiante. O resultado mais geral descoberto por Cayley será estudado adiante. Assim.4. alternativamente. Para isso.5 apareceu pela primeira vez (numa forma mais geral) em 1858. Se A for invertível. de Cayley.5 é denominada deter- minante da matriz A de tamanho (2) 2  2 e é denotada por det(A)  ad  bc ou. que A é singular. e só se. por Omitimos a prova. considere a matriz Para provar que A é singular. substituímos as duas equações pela equação matricial única que podemos reescrever como Supondo que a matriz 2  2 seja invertível (isto é. que ad  bc  0). podemos reescrever essa equação como .  E X E M P L O 8 Solução de um sistema linear por inversão matricial Um problema que surge em muitas aplicações envolve resolver um par de equações da forma u  ax  by v  cx  dy para x e y em. sua inversa pode ser obtida trocando as entradas da diagonal. Solução (b) A matriz não é invertível porque det(A)  (1)(6)  (2)(3)  0. Se for. As- sim. que é não nulo. se for invertível.5.4. esse procedimento é um pouco confuso. então podemos mul- tiplicar à esquerda ambos lados pela inversa e reescrever a equação como que simplifica para Usando o Teorema 1.4.1 ilustra que o determinante de uma matriz A de tamanho 2  2 é o det(A) = = ad – bc produto das entradas da diagonal principal menos o produto das entradas fora da diagonal principal.  E X E M P L O 7 Calculando a inversa de uma matriz 2 ⴛ 2 Em cada parte. trocando o sinal das entradas fora da diagonal e multiplicando todas as entradas pelo recíproco do determinante de A. calcule sua inversa. Figura 1. o Teorema 1. c d Em palavras.5 afirma que uma matriz A de tamanho 2  2 é invertível se. Solução (a) O determinante de A é det(A)  (6)(2)  (1)(5)  7.4. termos de u e v. Uma abordagem é tratar isso como um sistema linear de duas equações nas incógnitas x e y e usar eliminação de Gauss-Jordan para resolver para x e y. determine se a matriz é invertível.4. como os coeficientes das incógnitas são literais em vez de numéricos. Como uma abordagem alternativa.1 seu determinante é não nulo e. Contudo. A é invertível e sua inversa é Deixamos para o leitor confirmar que AA1  A1A  I.44 Álgebra Linear com Aplicações a b Observação A Figura 1. e só se.  E X E M PLO 9 A inversa de um produto Considere as matrizes Deixamos para o leitor mostrar que Se um produto de matrizes for singular. Por quê? e. se A for invertível. definimos as potências inteiras não negativas de A por Potências de uma matriz A0  I e An  AA · · · A [n fatores] e. valem as leis usuais de poten- ciação. então AB é invertível e 1 (AB)  B1A1 Prova Podemos mostrar a invertibilidade e obter a fórmula enunciada ao mesmo tempo mostrando que 1 1 1 1 (AB)(B A )  (B A )(AB)  I No entanto.6 Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho. O produto de um número qualquer de matrizes invertíveis é invertível.4 Inversas.4.  Se A for uma matriz quadrada. . então definimos as potências inteiras negativas de A por An  (A−1)n  A1A1 · · · A1 [n fatores] Como essas definições acompanham as de números reais. também. temos as propriedades seguintes de potências de expoentes negativos. (B A )(AB)  I. 1 1 1 1 1 (AB)(B A )  A(BB )A  AIA  AA  I −1 1 1 e. esse resultado pode ser estendido três ou mais fatores. por exemplo. (AB)1  B1A1. analogamente. 1. TEOREMA 1.  Embora não o provemos. então pelo menos um dos fatores deve ser singular. ArAs  Ars e (Ar)s  Ars Além dessas. e a inversa do produto é o produto das inversas em ordem inversa. como garante o Teorema 1.6. que Assim. propriedades algébricas das matrizes 45 da qual obtemos  O próximo teorema considera a inversa do produto matricial.4. em que temos a comutatividade da multiplicação. (b) An é invertível e (An)1  An  (A1)n. confirmando o Teorema 1. digamos n  n.  E X E M P L O 1 1 O quadrado de uma soma matricial Na aritmética real. então definimos a matriz p(A) de tamanho n  n por p(A)  a0 I  a1 A  a2 A  · · ·  am A 2 m (3) . deixando as provas das partes (a) e (b) como exercícios. ou seja.4.7(b). analogamente.4. Assim. (c) kA é invertível com qualquer escalar não nulo k e (kA)1  k1A1. portanto. (k A )(kA)  I. em que não temos a comutatividade da multiplicação.7 Se A for uma matriz invertível e n um inteiro não negativo.1 implicam 1 1 1 1 1 1 (kA)(k A )  k (kA)A  (k k)AA  (1)I  I 1 1 1 1 1 e. o melhor que podemos escrever é (A  B)  A  AB  BA  B 2 2 2 Somente no caso especial em que A e B comutam (ou seja. kA é invertível e (kA)  k A . Prova (c) A propriedade I e (m) do Teorema 1. na aritmética matricial. podemos escrever (a  b)2  a2  ab  ba  b2  a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2 Contudo. AB  BA) é que podemos ir um passo adiante e escrever (A  B)  A  2AB  B  2 2 2 Polinômios matriciais Se A for uma matriz quadrada.46 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 1.4. Demonstramos a parte (c). então (a) A1 é invertível e (A1)1  A. Então Também. e se p(x)  a0  a1x  a2x  · · ·  am x 2 m é um polinômio qualquer.   E X E M P L O 1 0 Propriedades de potências Sejam A e A1 as matrizes do Exemplo 9. a parte (b) assegura que somar duas matrizes e depois trocar entre si as linhas e colunas dá o mesmo resultado que trocar entre si as linhas e colunas antes de somar.  E X E M PLO 12 Um polinômio matricial Encontre p(A) com Solução ou. p(A)  0. temos p1(A)p2(A)  p2(A)p1(A) (4) O próximo teorema lista as principais propriedades da transposta. então (a) (AT)T  A (b) (A  B)T  AT  BT (c) (A  B)  A  B T T T (d) (kA)T = kAT (e) (AB)T = BTAT Lembrando que a transposição de uma matriz troca entre si suas linhas e colunas. a parte (a) afirma o fato óbvio que trocar duas vezes entre si as linhas e as colunas de uma matriz deixa a matriz inalterada. propriedades algébricas das matrizes 47 em que I é a matriz identidade n  n. quaisquer dois polinômios matriciais em A também comutam. 1. o que pode ser enunciado como segue. Ou seja. Propriedades da transposta TEOREMA 1. Por exemplo.  Observação Segue do fato de que ArAs  Ars  Asr  AsAr que as potências de uma matriz quadrada comutam e. mas tampouco apresentamos sua prova. A transposta de um produto de um número qualquer de matrizes é igual ao produto de suas transpostas em ordem inversa. como um polinômio matricial em A é constituído de potências de A.4 Inversas.4. . o leitor não deveria encontrar dificuldade alguma para visualizar os resultados das partes (a) até (d). dados polinômios p1 e p2. O resultado dessa parte pode ser estendido para incluir três ou mais fatores. Uma expressão como (3) é denominada polinômio matricial em A. O teorema a seguir estabelece uma relação entre a inversa de uma matriz invertível e a inversa de sua transposta. A parte (e) não é tão óbvia. ou seja.8 Se os tamanhos das matrizes são tais que as operações indicadas podem ser efetuadas. Omitimos as provas formais. mais sucintamente. p(A) é a matriz obtida substituindo x por A e o termo constante a0 pela matriz a0 I. 8 e o fato de que I  I.9. • Matriz identidade • Ser capaz de reconhecer quando duas matrizes quadradas são uma a inversa da outra. • Leis da distributividade à direita e à esquerda • Conhecer as propriedades das matrizes nulas. temos T 1 1 A (A )T  (A A)  I  I T T T 1 T T 1 (A ) A  (AA )T  I  I T o que completa a prova. seu determinante ad  bc é não nulo.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Lei da comutatividade da adição matricial • Conhecer as propriedades aritméticas das operações • Lei da associatividade da adição matricial matriciais. Segue do Teorema 1.4. então A também é invertível e T 1 (A )  (A1)T Prova Podemos estabelecer a invertibilidade e obter a fórmula ao mesmo tempo mos- trando que 1 1 T T A (A )T  (A ) A  I T No entanto. • Lei da associatividade da multiplicação matricial • Ser capaz de provar propriedades aritméticas de matrizes. Mas o determinante de AT também é ad  bc (verifique).   E X E M P L O 1 3 A inversa de uma transposta Considere uma matriz 2  2 invertível qualquer e sua transposta Como A é invertível.9 Se A for uma matriz invertível. Assim. • Inversa de uma matriz • Ser capaz de determinar se uma matriz 2  2 é invertível.4. • Matriz invertível • Ser capaz de resolver um sistema linear de duas equações • Matriz não singular em duas incógnitas cuja matriz de coeficientes é • Matriz singular invertível.48 Álgebra Linear com Aplicações T TEOREMA 1. • Determinante • Ser capaz de provar as propriedades básicas envolvendo • Potência de uma matriz matrizes invertíveis.4. • Matriz zero • Conhecer as propriedades das matrizes identidade. de modo que AT é invertível. pela parte (e) do Teorema 1.5 que que é a mesma matriz que resulta se A1 for transposta (verifique). T 1 (A )  (A1)T conforme garante o Teorema 1. . • Polinômio matricial • Conhecer as propriedades da matriz transposta e sua relação com matrizes invertíveis.4. (c). (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz 4. 24. (d). Repita o Exercício 18 com a matriz 2.com. 5. com a matriz dada. (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz 3.4 Inversas. Mostre que se (AB)1  B1A1. Sejam 16.5 para calcular a inver- sa da matriz dada. Usando as matrizes e escalares do Exercício 1.br/ Conjunto de exercícios 1. então p(A)  0. verifique que (a) a(BC)  (aB)C  B(aC) (b) A(B  C)  AB  AC (c) (B  C)A  BA  CA (d) a(bC)  (ab)C 20. onde p(x)  x3  2x  4 (d) a(B  C)  aB  aC 19.  Nos Exercícios 14–17.  9. A matriz A do Exercício 18. 12. Repita as partes (a). sejam p1(x)  x2  9. use a informação dada para encontrar A. 8. onde p(x)  x  2 (a) A  (B  C)  (A  B)  C (e) p(A). 15. Use as matrizes A e B dos Exercícios 4 e 5 para verificar que 26. p2(x)  x  3 e p3(x)  x − 3. . calcule a quantidade dada. 1. A matriz A do Exercício 21.4. propriedades algébricas das matrizes 49 https://livros-pdf-ciencias-exatas. (d). 25. 7. B e C dos Exercícios 4 a 6 para verificar cd) e que (ABC)1  C1B1A1.  21. Encontre a inversa de 22. Repita as partes (a). então p(A)  0. Mostre que se p(x)  x2  (a  d)x  (ad  bc) e 10. 17. Use a matriz B do Exercício 5 para verificar que (BT)1  (B1)T. use o Teorema 1. 4 1. p(x)  x3  (a  b  c)x2  (ab  ae  be  cd)x  a (be  13. Mostre que p1(A)  p2(A)p3(A). onde p(x)  2x2  x  1 (b) (AB)C  A(BC) (c) (a  b)C  aC  bC (f) p(A). Use a matriz A do Exercício 4 para verificar que (AT)1  (A1)T. 6. Uma matriz quadrada A arbitrária. verifique que (a) (AT)T  A (b) (A  B)T  AT  BT (c) (aC)  aC (d) (AB)T  BTAT T T  Nos Exercícios 4–7. (a) A3 (b) A3 (c) A2  2A  I Mostre que (d) p(A). 23.  14. Use as matrizes A. (c). 18. Encontre a inversa de  Nos Exercícios 22–24. 11. Usando as matrizes e escalares do Exercício 1.blogspot. Seja A a matriz Em cada parte. (k) A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sem- 46. será 1 verdade que (An)T  (AT)n? Justifique sua resposta. então B  C. (h) Se A for uma matriz invertível. encontre sua inversa. 45.8. 52. pode se invertível.  é invertível se. 1 1 1 1 1 1 justificando sua resposta. Dizemos que uma matriz A é idempotente se A2  A. Prove a parte (b) do Teorema 1. determine se A é invertível e. sua inversa. 1 A B ? 1 solva para D. 53. então ter uma inversa. (f) A matriz 38.  Nos Exercícios 39–42. 31. 42. então A1  3I  A.4. Simplifique Nas partes (a)-(k). (b) O que o resultado da parte (a) nos diz sobre a matriz 30. 49.4. AB  BA  0. 35.1. 40.8. [Sugestão: resolva AX  I para X igualando (b) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho. então p(I)  a0  a1  a2  · · ·  am. então (kA)n  knAn. Prove o Teorema 1. Prove a parte (c) do Teorema 1. Prove a parte (e) do Teorema 1. use o método do Exemplo 8 para en- contrar a única solução do sistema linear dado. (a) Mostre que uma matriz com uma linha de zeros não pode mesmo tamanho. 37.2. então (kA  B)T  kAT  BT. Mostre que se A for uma matriz quadrada tal que Ak  0. re. (AC ) (AC )(AC ) AD (a) Duas matrizes A e B de tamanho n  n são inversas uma da outra se. CTB1A2BAC1DA2BTC2  CT 55. e só se. . então AB é invertível e vale (AB)1  A1B1. então a matriz I  A é invertível e 32.4. (b) Explique por que a parte (a) e o Exemplo 3 não são con- em que a11a22 · · · ann  0.4.]  vale (A  B)2  A2  2AB  B2. (d) Se A e B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho. 36.50 Álgebra Linear com Aplicações 27. (i) Se p(x)  a0  a1 x  a2 x2  · · ·  am xm e I for uma matriz identidade. 51. (I  A)  I  A  A2  · · ·  Ak1 33.4. Verifique a Fórmula (4) do texto calculando diretamente. então 2A  I é invertí- solva para D. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. 41. e só se. (a) Mostre que se A for invertível e AB  AC. (j) Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não 44.2.1. re. então AT também é invertível. (e) Se A e B forem matrizes tais que o produto AB está definido. Prove a parte (f) do Teorema 1.1. com qualquer valor inteiro de n. Considere a matriz 47. então I  A também é. Prove a parte (a) do Teorema 1. 48.4.  0. Prove a parte (c) do Teorema 1. pre é invertível. Se A for uma matriz quadrada e n um inteiro positivo. entradas correspondentes de ambos lados. se for.  Nos Exercícios 35–37. Prove a parte (d) do Teorema 1. (b) Mostre que uma matriz com uma coluna de zeros não A(A1  B1)B(A  B)1  I pode ter uma inversa. Mostre que se A for invertível e k um escalar não nulo qual- 28. com algum inteiro positivo k. 43.2. (g) Se A e B forem matrizes de mesmo tamanho e k uma constan- te. (a) Mostre que se A. Simplifique (AB)1(AC1)(D1C1)1D1 Exercícios verdadeiro/falso 34. Supondo que todas as matrizes sejam n  n e invertíveis.4. Mostre que A é invertível e encontre traditórios. vel e sua própria inversa. ABC DBA C  AB T T T (a) Mostre que se A for idempotente. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfizer A2  3A  I quer. 50. então vale (AB)T  ATBT. (c) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho. vale A2  B2  (A  B)(A  B).4. Supondo que todas as matrizes sejam n  n e invertíveis. (b) Mostre que se A for idempotente. ad  bc  0 39. 54. B e A  B forem matrizes invertíveis de 29. então somamos c vezes r1 à linha r2.1. 1. colocamos a definição a seguir. Multiplicar uma linha por uma constante não nula c. se denotarmos por B a matriz que resulta de A efetuando uma das operações dessa lista. 2. se B for obtida de A efetuando uma sequência de operações elementares com linhas. 1. 3. então existe uma segunda sequência de operações elementares com linhas que. ambas) pode ser obtida a partir da outra por uma sequência de operações elementares com linhas. Multiplicamos Permutamos a Somamos 3 vezes Multiplicamos a segunda linha segunda linha de a terceira linha de a primeira linha de I2 por 3. Na Seção 1. DEFINIÇÃO 2 Uma matriz n  n que pode ser obtida da matriz identidade In de tama- nho n  n efetuando uma única operação elementar sobre linhas é denominada matriz elementar.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A1 51 1. 2. Se B resultou da soma de c vezes a linha r1 de A com a linha r2. Trocar as mesmas duas linhas entre si. então a matriz A poder ser recuperada de B efetuando a opera- ção correspondente da lista seguinte. desenvolvemos um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz e discutiremos algumas das propriedades básicas de matrizes invertíveis. definimos três operações elementares com as linhas de uma matriz A. 3. Multiplicar uma linha por 1/c. Nosso próximo objetivo é mostrar como a multiplicação matricial pode se usada para efetuar uma operação elementar com as linhas. recupera A (Exercício 43). DEFINIÇÃO 1 Dizemos que as matrizes A e B são equivalentes por linhas se uma de- las (portanto. Trocar duas linhas entre si.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A1 Nesta seção. de I3 por 1.  E X E M P L O 1 Matrizes elementares e operações com linhas Abaixo listamos quatro matrizes elementares e as operações com linhas que as produzem. 1. I3 à primeira. Em virtude disso. Deveria ser evidente que.  . Somar uma constante c vezes uma linha a uma outra linha. I4 com a quarta. sendo aplicada a B. Segue que. mas em termos de contas. . Tabela 1 Operações com as linhas Operações com as linhas de I que produzem E de E que produzem I Multiplicar a linha i por c  0 Multiplicar a linha i por 1/c Trocar entre si as linhas i e j Trocar entre si as linhas i e j Somar c vezes a linha i à linha j Somar c vezes a linha i à linha j  E X E M P L O 3 Operações e operações inversas com linhas Em cada um dos exemplos a seguir. A Tabela 1 lista essas operações. cuja prova é deixada como exercício. a mesma matriz que resulta somando 3 vezes a primeira linha de A à terceira linha. mostra que quando uma matriz A é multiplicada à esquerda por uma matriz elementar E. então o produto EA é a matriz que resulta quando essa mesma operação com linhas é efetuada em A. As operações do lado direito da tabela são denominadas operações inversas das correspondentes operações do lado esquerdo. que é. precisamente. que se E é uma matriz elementar que resulta de efetuar uma operação elementar com linhas aplicada a uma matriz identidade I.  Sabemos. então existe uma segunda operação elementar com linhas que.5. da discussão no início desta seção.1 é uma ferra- menta útil para desenvolver no- vos resultados sobre matrizes.1 Operações com linhas por multiplicação matricial Se a matriz elementar E é o resultado de efetuar uma certa operação com as linhas de Im e se A é uma matriz m  n. aplicada a E. produz de volta a matriz I. O produto EA é O Teorema 1.  E X E M PLO 2 Usando matrizes elementares Considere a matriz e considere a matriz elementar que resulta de somar 3 vezes a primeira linha de I3 à terceira linha. TEOREMA 1. o efeito é o de efetuar uma operação elementar com as linhas de A.5. em seguida.52 Álgebra Linear com Aplicações O teorema seguinte. foi efetuada uma operação elementar na matriz iden- tidade 2  2 para obter uma matriz elementar E e. em geral é preferível efetuar opera- ções com linhas diretamente. E foi restaurada à matriz identidade aplicando a operação com linhas inversa.  À medida que progredimos neste texto.2 Qualquer matriz elementar é invertível.1 e lembrando que operações e suas inversas se cancelam mutuamente. Prova Se E é uma matriz elementar. 1. Aplicando o Teorema 1.5. a matriz elementar E0 é a inversa de E. um dos nossos objetivos é mostrar como se rela. segue que E0E  I e EE0  I Assim. então as seguintes afirmações são equivalentes. e a inversa também é uma matriz elementar. formas escalonadas reduzidas por linhas e matrizes elementa- res. . (b) Ax  0 tem somente a solução trivial. ou seja. segunda linha por . (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. linha à primeira. Permutamos a Permutamos a primeira linha primeira linha com a segunda.5. Somamos 5 Somamos 5 vezes a segunda vezes a segunda linha à primeira. com a segunda. Teorema da equivalência cionam várias ideias da Álgebra Linear que não parecem estar relacionadas. TEOREMA 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A1 53 Multiplicamos a Multiplicamos a segunda linha por 7. então E é o resultado de alguma operação elemen- tar com as linhas de I.3 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n. é o nosso primeiro passo naquela direção. que relaciona resultados que obtivemos sobre invertibilidade de matrizes. TEOREMA 1.5. Mais afirmações serão acrescentadas a essa lista ao longo do nosso estudo.  O próximo teorema é um resultado crucial sobre a invertibilidade de matrizes elemen- tares. siste- mas lineares homogêneos. O próximo teorema. são todas verdadeiras ou todas falsas. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . Ele será a pedra fundamental de muitos dos resultados que seguem. Seja E0 a matriz que resulta quando é efetuada a operação inversa em I. (a) A é invertível. 5. (2) Assim. a matriz aumentada de (1) pode ser reduzida à matriz aumentada de (2) por uma sequência de operações elementares com linhas. aparente se escrevermos as im- plicações (a) ⇒ (b) Suponha que A seja invertível e que x0 seja uma solução qualquer de Ax  0. Ax  0 tem somente a solução trivial.54 Álgebra Linear com Aplicações A lógica da nossa prova do Prova Provamos a equivalência dessas afirmações estabelecendo a cadeia de implica- Teorema 1. Ek tais que Ek · · · E2 E1 A  In (3) . (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (a) Multiplicando ambos lados dessa equação pela matriz A1. cada uma dessas operações pode ser efetuada por uma matriz elemen- tar apropriada. Assim. Desconsiderando a última coluna (de zeros) em cada uma dessas matrizes.1. Pelo Teorema 1. -Jordan. o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida por linhas da portanto. . podemos encontrar matrizes elementares E1. .3 pode ficar mais ções (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (a). dá A1(Ax0)  A10. e suponha que o sistema só admita a solução trivial. ou seja. (c) ⇒ (d) Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas de A seja In. ou Ix0  0. ou (A1A) x0  0. de modo que A pode ser reduzida a In por uma sequência finita de operações elementares com linhas. poderemos concluir que a forma escalo- nada reduzida por linhas de A é In. E2. (a) (b) ⇒ (c) Seja Ax  0 a forma matricial do sistema (d) (b) (c) (1) Isso torna visualmente aparente que a validade de qualquer uma das afirmações implica a vali. Resolvendo por eliminação de Gauss- dade de todas as demais e que. a falsidade de qual.5. x0  0. . matriz aumentada será quer uma implica a falsidade das demais. Assim. . 2. juntamos a matriz identidade à direita de A. ⴚ1  E X E M PLO 4 Usando operações com colunas para encontrar A Encontre a inversa de Solução Queremos reduzir A à matriz identidade por operações com linhas e. Multiplicando ambos lados dessa equação à direita por A1 e simplificando.5. Um método para inverter ritmo) que pode ser usado para determinar se uma dada matriz é invertível e. encontre uma sequência de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e de- pois efetue essa mesma sequência de operações em In para obter A1. suponha. E21. pelos Teoremas 1. simulta- neamente. .5. com o que produzimos uma matriz da forma [A | I] Em seguida. essas operações converterão o lado direito a A . Para conseguir isso. estabelecemos o seguinte resultado. E2. de modo que a matriz final terá a forma 1 [I | A ] . aplicar essas operações a I para produzir A1.  Como uma primeira aplicação do Teorema 1. Um método simples para executar esse procedimento é dado no próximo exemplo. efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo 1 esteja reduzido a I. . Multiplicando ambos lados da Equação (3) pela esquerda sucessivamente por Ek1. (d) ⇒ (a) Se A for um produto de matrizes elementares.3. Ek são invertíveis.2. obtemos 1 1 1 1 1 1 A  E1 E2 · · · Ek In  E1 E2 · · · Ek (4) Pelo Teorema 1. cal. provisoriamente. . . desenvolvemos um procedimento (algo. .5.7 e 1. Assim.4. que A seja uma matriz n  n invertível. se for. Algoritmo da inversão Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A. as matrizes elementares efetuam uma sequência de operações sobre linhas que reduzem A a I. . as matrizes E1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A1 55 Pelo Teorema 1. é invertível. Para deduzir esse algoritmo. E11. obtemos 1 A  Ek · · · E2 E1 In Essa equação nos informa que a mesma sequência de operações elementares com linhas que reduz A a In também reduz In a A1.2. 1. então. portanto.5. essa equação expressa A como um produto de matrizes elementares. matrizes cular sua inversa. segue que a matriz A é um produto de matrizes invertíveis e. Na Equação (3). .  E X E M PLO 5 Mostrando que uma matriz não é invertível Considere a matriz . Assim. se A não for invertível. não se sabe de antemão se uma dada matriz A é ou não invertível. pelas partes (a) e (c) do Teorema 1.3. Isso se tornará visível em algum ponto do algoritmo de inversão com o aparecimento de uma linha de zeros no lado esquerdo das matrizes juntadas.com. Somamos 2 vezes a primeira linha à segunda e 1 vez a primeira linha à terceira. https://livros-pdf-ciencias-exatas. será im- possível reduzir A a In por operações elementares com linhas.br/ 56 Álgebra Linear com Aplicações As contas são as seguintes. então. Somamos 2 vezes a segunda linha à terceira.  Muitas vezes.5. Se isso ocorrer. Somamos 3 vezes a terceira linha à segunda e 3 vezes a terceira linha à primeira. No entanto. podemos interromper as contas e concluir que A não é invertível.blogspot. Somamos 2 vezes a segunda linha à primeira. Multiplicamos a terceira linha por 1. 5.  E X E M P L O 6 Analisando sistemas homogêneos Use o Teorema 1.3.5. ao passo que o sistema (b) tem soluções não triviais. um sistema linear homogêneo tem somente a solução trivial se. Assim. o sistema (a) tem apenas a solução trivial. Aptidões desenvolvidas • Usar o algoritmo da inversão para encontrar a inversa de uma matriz invertível. • Determinar se uma dada matriz quadrada é elementar. • Expressar uma matriz invertível como um produto de • Determinar se duas matrizes quadradas são equivalentes matrizes elementares. Pelos Exem- plos 4 e 5. • Matriz elementar • Aplicar operações elementares para reduzir uma dada matriz quadrada à matriz identidade. • Operações inversas • Entender as relações entre afirmações equivalentes à • Algoritmo de inversão invertibilidade de uma matriz quadrada (Teorema 1. sua matriz de coeficientes for invertível. .3 para determinar se o sistema homogêneo dado tem soluções não triviais. Como obtivemos uma linha de zeros no lado esquerdo. 1. Solução Pelas partes (a) e (b) do Teorema 1. por linhas. e só se. Somamos a segunda linha à terceira.5. a matriz de coeficientes do sistema (a) é invertível e a do sistema (b) não é. obtemos Somamos 2 vezes a primeira linha à segunda e somamos a primeira linha à terceira.3). A não é invertível.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A1 57 Aplicando o procedimento do Exemplo 4.  Revisão de conceitos • Efetuar a inversa de uma dada operação elementar com as • Matrizes equivalentes por linhas linhas. (c) (a) (b)  Nos Exercícios 7–8. aplicando essas operações a A. decida se a matriz é elementar. decida se a matriz é elementar. 10.5 1. use o algoritmo de inversão para encon- trar a inversa da matriz dada. respondentes a E e mostre que. são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A. 11. se essa inversa existir. (a) (b) (a) (c) (d) (b) 3. (a) EA  B (b) EB  A (c) (d) (c) EA  C (d) EC  A 8.58 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 1. (c) (d) 4.  (a) 9. Em cada parte. Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação. . Em cada parte. (c) EB  F (d) EF  B pondentes a E e mostre que. encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade. 5. Em cada parte. aplicando essas operações a A.  Nos Exercícios 9–24. Em cada parte. Escreva as operações elementares com linhas cor- 2. são dadas uma matriz elementar E e uma ma. Escreva as operações elementares com linhas corres. Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação. (a) (b) 7. o resultado é o produto EA. use as matrizes a seguir. (a) EB  D (b) ED  B triz A. Em cada parte. (b) (a) (b) (c) (c) (d) 6. resultado é o produto EA. encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade. Em cada parte. com.  Nos Exercícios 33–36. então A e B são  Nos Exercícios 27–28.  Nos Exercícios 37–38. 15. 32.  16. então existe uma se- gunda sequência de operações elementares com linhas que. em cada parte. e só se. (a) (b) não é invertível. 27.  da terceira linha deve ser nula. 35. se 24. Prove que se A e B forem matrizes m  n. 33. então B também é invertível.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A1 59 29. Prove que se A for uma matriz invertível e B for equivalente por linhas a A. 21. A matriz do Exercício 31. 23. com qualquer valor das entradas. em que k1. encontre todos os valores de c. equivalentes por linhas se. https://livros-pdf-ciencias-exatas. A matriz do Exercício 30. k4 e k são todos não nulos. A e B têm a mesma forma ver. 31. 38. 41. k3. 42. Mostre que se B for obtida de A por meio de uma sequência de operações elementares com linhas. e encontre uma sequência de operações elementares com linhas que produza B a partir de A.  escalonada reduzida por linhas. encontre a inversa da for uma matriz elementar. 37. escreva a inversa da matriz dada como um produto de matrizes elementares. 40. 17. 22. to de matrizes elementares. 34. 28. Mostre que. 13. Mostre que 25. se hou.  Nos Exercícios 29–32. 18. 14. 36.br/ 1. 30. k2. 43. produz A.  20.  Nos Exercícios 25–26. A matriz do Exercício 29. 39. (a) (b) 26. com os quais a matriz dada é invertível. então pelo menos uma das entradas matriz 4  4 dada. escreva a matriz dada como um produ- aplicada a B. 19. mostre que as matrizes A e B dadas são equivalentes por linhas. 12.blogspot.  . A matriz do Exercício 32. e um múltiplo da primeira (b) Toda matriz elementar é invertível. TEOREMA 1. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.6. A prova estará completa se conseguirmos mostrar que o sistema tem uma infinidade de soluções no caso (c). linear Ax  0 tem uma infinidade de soluções. O teorema seguinte fornece. então o sistema Nas partes (a)-(g). então para cada matriz b de tamanho n  1.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis Nesta seção.1 Um sistema de equações lineares tem zero.1.2 Se A for uma matriz invertível n  1. então No entanto. uma ou uma infinidade de soluções. Ax0  A(x1  x2)  Ax1  Ax2  b  b  0 Se k for um escalar qualquer. o sistema de equações Ax  b tem exatamente uma solução. (g) É única a expressão de uma matriz invertível A como um pro- duto de matrizes elementares.1.1. a saber. linha de A for somado à segunda linha. Como x0 é não nula e existe uma infinidade de escolhas para k. Suponha que Ax  b tenha mais de uma solução e seja x0  x1  x2. estudamos dois procedimentos para resolver sistemas lineares. além disso. isso significa que x1  kx0 é uma solução de Ax  b. mostramos como a inversa de uma matriz pode ser usada para resolver um sistema linear e desenvolvemos mais resultados sobre matrizes invertíveis.60 Álgebra Linear com Aplicações Exercícios verdadeiro/falso (d) Se A for uma matriz não invertível n  n. (b) o sistema tem exatamente uma solução ou (c) o sistema tem mais de uma solução. o sistema Ax  b tem uma infinidade de soluções. vale exatamente uma das afirma- ções: (a) o sistema não tem solução. então a matriz obti- (a) O produto de duas matrizes elementares de mesmo tamanho é da pela troca de duas linhas de A não pode ser invertível.6.  Resolvendo sistemas lineares Até aqui. efetiva- mente. então a matriz resul- tante é invertível. ou uma infinidade de solu- ções. Como x1 e x2 são distintas. então A e C são equivalentes por linhas.2) que todo sistema sistema linear linear tem ou nenhuma solução. (e) Se A for uma matriz não invertível n  n. onde x1 e x2 são duas soluções distintas quaisquer. uma matriz elementar. a saber. Número de soluções de um Na Seção 1. afirmamos (tomando por base as Figuras 1. . 1 x  A b. Prova Se Ax  b é um sistema de equações lineares. ou exatamente uma solução. (f) Se A for uma matriz invertível. a matriz x0 é não nula. 1. (c) Se A e B são equivalentes por linhas e B e C são equivalentes por linhas. a elimi- por inversão matricial nação de Gauss-Jordan e a eliminação gaussiana.1 e 1. justificando sua resposta. uma fórmula para a solução de um sistema linear de n equações em n incógnitas no caso em que a matriz de coeficientes for invertível. Agora estamos em condições de provar esse resultado fundamental. TEOREMA 1. Ax  b3. Multiplicando ambos lados dessa equação por A1. . Esse método tem a vantagem adicional de poder ser aplicado mesmo se A não for invertível. podemos resolver todos os k sistemas de uma só vez. . ou x1  1. . segue que x  A b é uma solução de Ax  b. e a matriz de coeficientes for invertível. x3  2. em seguida. x2  1. obtemos x0  A1b. . 1. então as soluções 1 x1  A b1. . reduzir (1) à forma escalonada reduzida por linhas com eliminação de Gauss-Jordan. . Se x0 for uma solução qualquer. então Ax0  b. Para mostrar que essa é a única solução. . Ax  b2. x0 é a solução A1b.2. . . mostramos que A é invertível e que Pelo Teorema 1. Se A for invertível.   E X E M P L O 1 Solução de um sistema linear usando A1 Considere o sistema de equações lineares No formato matricial. . xk  A1bk podem ser obtidas com uma inversão matricial e k multiplicações de matrizes. em que No Exemplo 4 da seção precedente. Ax  bk comum cada um dos quais tem a mesma matriz de coeficientes A. . esse sistema pode ser escrito como Ax  b. x3  A1b3. e. a solução do sistema é Não esqueça que o método do Exemplo 1 só pode ser aplicado quando o sistema tiver o mesmo número de equações e incógni- tas. x2  A1b2. . necessariamente.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis 61 1 1 Prova Como A(A b)  b. bk.6. nos deparamos com a resolução de uma sequência de sistemas Sistemas lineares com uma matriz de coeficientes em Ax  b1. Uma ma- neira eficiente de fazer isso é formar a matriz em blocos [A | b1 | b2 | · · · | bk] (1) em que a matriz de coeficientes A foi “aumentada” por todas as k matrizes b1. b2. Dessa forma.  Com frequência. . vamos supor que x0 seja uma solução arbitrária e mostrar que. então a outra condição é automaticamente válida.5. Seja x0 uma solução qualquer desse sistema. Assim. x3  1. x2  0. TEOREMA 1. a prova poderá ser completada multiplicando BA  I de ambos lados por A1 para obter 1 BAA  IA1 ou BI  IA1 ou B  A1 Para mostrar que A é invertível. Prova (a) Suponha que BA  I. então B  A1. se obtivermos uma matriz B de tamanho n  n satisfa- zendo qualquer uma dessas condições. x3  1 e a do sistema (b) é x1  2. obtemos Reduzindo essa matriz à forma escalonada reduzida por linhas. . o sistema de equações Ax  0 tem somente a solução trivial. Se conseguirmos mostrar que A é invertível.62 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 2 Resolvendo dois sistemas lineares de uma só vez Resolva os sistemas (a) (b) Solução Os dois sistemas têm a mesma matriz de coeficientes. Ix0  0 ou x0  0. obtemos (verifique) Segue das duas últimas colunas que a solução do sistema (a) é x1  1. (a) Se B for uma matriz quadrada satisfazendo BA  I. tem sido neces- invertíveis sário encontrar uma matriz B de tamanho n  n tal que AB  I e BA  I O próximo teorema mostra que.3). para mostrar que uma matriz A de tamanho n  n é invertível.  Propriedades de matrizes Até aqui.3 Seja A uma matriz quadrada.5. obteremos BAx0  B0. Multiplican- do ambos lados de Ax0  0 à esquerda por B. é suficiente mostrar que o sistema Ax  0 tem só a solu- ção trivial (ver Teorema 1. Provamos a parte (a) e deixamos a parte (b) como exercício. x2  1. então B  A1.3.6.  Teorema da equivalência Agora estamos em condições de acrescentar mais duas afirmações equivalentes às quatro dadas no Teorema 1. (b) Se B for uma matriz quadrada satisfazendo AB  I. Aumentando essa matriz de coeficientes com as colunas das constantes à direita desses sistemas. Reciprocamente. .6. .5 Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho. o teorema a seguir mostra que se o produto de matrizes qua- dradas for invertível.  Sabemos de trabalho anterior que fatores matriciais invertíveis produzem um produto invertível. são consistentes os sistemas Sejam x1. respectivamente. (e) ⇒ (a) Se o sistema Ax  b for consistente. . é suficiente provar que (a) ⇒ ( f ) ⇒ (e) ⇒ (a). .6. C tem a forma C  [x1 | x2 | · · · | xn] Como já discutimos na Seção 1.3 já provamos que (a). (b). então Ax  b será consistente. xn soluções desses sistemas. (f) ⇒ (e) Isso é quase evidente. 1. então A e B também serão invertíveis.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis 63 TEOREMA 1. pois. (c) e (d) são equivalentes. com cada matriz b de tamanho n  1. e formemos uma matriz C de tamanho n  n tendo essas soluções como colunas.6. com cada matriz b de tamanho n  1.]. Assim. se conseguirmos mostrar que Ax  b tem pelo menos uma solução. (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. x2.5. com cada matriz b de tamanho n  1. então os próprios fatores devem ser invertíveis. se Ax  b tiver exatamente uma solução.6.3. então as seguintes afirmações são equivalentes.2. (f) Ax  b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n  1. (a) ⇒ (f) Isso já foi provado no Teorema 1. Ax2. Axn [ver Fórmula (8) da Seção 1. Prova Como no Teorema 1. então.3. A é invertível. TEOREMA 1. com cada matriz b de tamanho n  1. . . (a) A é invertível. Segue da equivalência das partes (e) e (f) que. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . Assim. Se AB for in- vertível.4 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n. Assim. . então podemos concluir que há exatamente uma solução. (e) Ax  b é consistente com cada matriz b de tamanho n  1. as sucessivas colunas do produto AC são Ax1. (b) Ax  0 tem somente a solução trivial.3. Pela parte (b) do Teorema 1. . . em particular. segue que C  A1. com cada matriz b de tamanho n  1. 2 resolve esse problema completamente afirmando que.6. Encontre todas as ma- trizes b de tamanho m  1 tais que o sistema Ax  b seja consistente. o Teorema 1. o sistema linear Ax  b tem a única solução x  A1b. e só se. Se A não for quadrada.  E X E M P L O 3 Determinando consistência por eliminação Quais condições devem satisfazer b1.2 não pode ser aplicado. Nesses casos. Se A for uma matriz invertível. que o sistema tem uma solução se. com qualquer matriz b de tamanho m  1. e b3 para garantir que o sistema de equações seja consistente? Solução A matriz aumentada é que pode ser reduzida à forma escalonada. pela terceira linha da matriz. 1 vez a primeira linha foi somada à segunda e 2 vezes a primeira linha foi somada à terceira. . b é uma matriz da forma em que b1 e b2 são arbitrários. Agora é evidente. e só se. geralmente a matriz b deve satisfazer certas condições para garantir que Ax  b seja consistente. A segunda linha foi somada à terceira. b2. Ax  b é consistente se. Um problema fundamental Seja A uma matriz m  n fixada. b2 e b3 satisfazem a condição b3  b2  b1  0 ou b3  b1  b2 Para expressar essa condição de uma outra maneira. como segue. O próximo exemplo ilustra como os métodos da Seção 1. b1. A segunda linha foi multiplicada por 1.2 podem ser usados para determinar tais condições. mas não invertível. então o Teorema 1.64 Álgebra Linear com Aplicações O problema fundamental a seguir ocorrerá com frequência em vários contextos no nosso trabalho. ou se A for quadrada.6. x2  13b1  5b2  3b3. não há restrições sobre b1. Conjunto de exercícios 1.  Aptidões desenvolvidas • Resolver simultaneamente sistemas lineares múltiplos • Determinar se um sistema de equações lineares não tem com a mesma matriz de coeficientes. 10.6. 4. . 6. solução. 5. b2 e b3. obtemos (verifique) (2) Nesse caso. enunciadas no Teorema de Equivalência.com.6  Nos Exercícios 1–8.blogspot.br/ 1.  lineares reduzindo a matriz aumentada apropriada. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 7. resolva o sistema invertendo a matriz de  Nos Exercícios 9–12.2.  1. tem exatamente uma solução ou uma infinidade • Conhecer as condições adicionais de invertibilidade de soluções. 3. resolva simultaneamente os sistemas coeficientes e usando o Teorema 1. 11. 2. 8. 9. x3  5b1  2b2  b3 (3) nos diz sobre a matriz de coefi- cientes do sistema? com quaisquer valores de b1. de modo que o sistema tem a única solução O que o resultado do Exemplo 4 x1  40b1  16b2  9b3. b2 e b3.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis 65  E X E M P L O 4 Determinando consistência por eliminação Quais condições devem satisfazer b1. b2 e b3 para garantir que o sistema de equações seja consistente? Solução A matriz aumentada é Reduzindo essa matriz à forma escalonada reduzida por linhas. • Resolver sistemas lineares invertendo a matriz de coeficientes. Mostre que se k for um inteiro positivo qualquer.  Nos Exercícios 19–20. lineares Ax  0 e Bx  0 têm o mesmo conjunto de soluções. para x. O sistema linear Ax  4x tem uma 19. arbitrário e x1 uma solução fixada. Se A ou B (ou ambas) não for invertível. (a) É impossível que um sistema de equações lineares tenha exa- tamente duas soluções.6. solução única se. e se o sistema linear Ax  b tem uma única solução. e só se. (QA)x  0 13. Seja Ax  0 um sistema homogêneo de n equações lineares em n incógnitas cuja única solução é a trivial. (e) Sejam A uma matriz n  n e S uma matriz n  n invertível. então X. Considere as matrizes Nas partes (a)-(g). então o sistema Akx  0 tam- bém só tem a solução trivial. tem somente a solução trivial. que qualquer 17. se houver. 16. . discutimos matrizes que têm vários formatos especiais.7 Matrizes diagonais. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Matrizes diagonais Uma matriz quadrada em que todas as entradas fora da diagonal principal são zero é de- nominada matriz diagonal. triangulares e simétricas Nesta seção. resolva a equação matricial dada para Se x for uma solução do sistema linear (S1AS)x  b. em que x0 é a solução de Ax  0. Mostre.3 para provar a parte (b). as condições que as constantes b devem satisfazer para garantir a consistência do 22. Exercícios verdadeiro/falso 18. (g) Sejam A e B matrizes n  n. Essas matrizes surgem numa grande variedade de aplicações e desempenham um papel importante no nosso trabalho subsequente. matriz dessa forma é uma solução. (d) Se A e B são matrizes equivalentes por linhas. Sejam Ax  0 um sistema homogêneo de n equações lineares sistema linear dado. determine. Sejam Ax  b um sistema de equações lineares consistente 15. (b) Se A é uma matriz quadrada. Mostre que Ax  0 tem somente a solução trivial se. A  4I for uma matriz invertível. 14. Use a parte (a) do Teorema 1. então o sistema linear Ax  c também (a) Mostre que a equação Ax  x pode ser reescrita como tem uma única solução. então os sistemas (b) Resolva Ax  4x. justificando sua resposta.  Sx será uma solução do sistema linear Ay  Sb. Mostre que qualquer so- lução do sistema pode ser escrita na forma x  x1  x0. e só se.66 Álgebra Linear com Aplicações 12. Aqui temos alguns exemplos. 20. (A  I)x  0 e use esse resultado para resolver Ax  x (c) Se A e B são matrizes n  n tais que AB  In. então tampouco AB será invertível. 24. 21. 1. então BA  In.  em n incógnitas e Q uma matriz invertível n  n. também. (f) Seja A uma matriz n  n. 23.  Nos Exercícios 13–17. para multiplicar A à direita por D. podemos multiplicar as colunas sucessivas de A pelas entradas sucessivas na diagonal de D. 1. e só se. triangulares e simétricas 67 Uma matriz diagonal arbitrária D de tamanho n  n pode ser escrita como (1) Uma matriz diagonal é invertível se.7 Matrizes diagonais. a inversa de (1) é trando que DD1  D1D  I (2) As potências de matrizes diagonais são fáceis de calcular. podemos multiplicar as linhas sucessivas de A pelas entradas sucessivas na diagonal de D e. Por exemplo. para multiplicar uma matriz A à esquerda por uma matriz diagonal D. . Em palavras. então (3)  E X E M PLO 1 Inversas e potências de matrizes diagonais Se então  Os produtos de matrizes que envolvem fatores diagonais são especialmente fáceis de calcular. todas as suas entradas na diagonal são não Confirme a Fórmula (2) mos- nulas. nesse caso. deixamos para o leitor ve- rificar que se D for a matriz diagonal (1) e k um inteiro positivo. suas entradas diagonais são todas não nulas.1).com. e só se. Propriedades de matrizes O Exemplo 2 ilustra os quatro fatos seguintes sobre matrizes triangulares que enunciamos triangulares sem demonstrações formais. O teorema a seguir lista algumas das propriedades de matrizes triangulares. a i–ésima linha começa com.  Figura 1. onde teremos as ferramentas necessárias para provar esses resultados de maneira mais eficiente. i  1 zeros. (d) A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é triangular inferior. inferior 4  4 arbitrária. pois transpor uma matriz quadrada corresponde a refletir suas entradas em torno da diagonal principal. a prova para ma- trizes triangulares superiores é análoga. e só se. para cada j. e a trans- posta de uma matriz triangular superior é triangular inferior.1). pelo menos. Dizemos que uma matriz triangular inferior ou triangular superior é triangular. ou seja. omitimos a prova formal. para cada i. todas as entradas à esquerda da diagonal principal são nulas. aij  0 com i > j (Figura 1. pois tem zeros abaixo da diagonal principal. ou seja. Prova (b) Provamos o resultado para matrizes triangulares inferiores.1 • Uma matriz quadrada A  [aij] é triangular inferior se. e a inversa de uma matriz triangular superior invertível é triangular superior.  E X E M PLO 2 Matrizes triangulares superiores e inferiores  Uma matriz triangular Uma matriz triangular superior 4  4 arbitrária.blogspot.7. pois têm zeros acima e abaixo da diagonal principal. i j • Uma matriz quadrada A  [aij] é triangular superior se. TEOREMA 1. aij  0 com i < j (Figura 1. • Uma matriz quadrada A  [aij] é triangular superior se.7.7. (b) O produto de matrizes triangulares inferiores é triangular inferior. (c) Uma matriz triangular é invertível se. mas vamos adiar as provas de (c) e (d) para o próximo capítulo. A parte (a) é evidente. e só se. e uma matriz quadrada com todas as entradas abaixo da diago- nal principal nulas é denominada triangular superior.1 (a) A transposta de uma matriz triangular inferior é triangular superior. pelo menos. e só se. Observe também que uma matriz quadrada em forma escalonada é triangular superior. a j–ésima coluna começa com. Sejam A  [aij] e B  [bij] matrizes n  n trian- .br/ 68 Álgebra Linear com Aplicações Matrizes triangulares Uma matriz quadrada com todas as entradas acima da diagonal principal nulas é denomi- nada triangular inferior.7. todas as entradas à ij direita da diagonal principal são nulas. Provamos (b). e o produto de matrizes triangulares superiores é triangular superior. e só se. Observação Observe que matrizes diagonais são triangulares inferiores e superiores. https://livros-pdf-ciencias-exatas. j  1 zeros. • Uma matriz quadrada A  [aij] é triangular inferior se. e só se. triangulares e simétricas 69 gulares inferiores e seja C  [cij] o produto C  AB. .   E X E M P L O 3 Contas com matrizes triangulares Considere as matrizes triangulares superiores Segue da parte (c) do Teorema 1. têm essa propriedade. os termos dessa expressão podem ser agrupados como segue. o teorema também nos diz que A1. Dei- xamos para o leitor a confirmação dessas três afirmações. pela definição de multiplicação matricial. se. Todas as matrizes diagonais. que é o que queríamos mostrar.1 que a matriz A é invertível. Assim.3 que uma matriz quadrada A  [aij] é simétrica da matriz do Exemplo 4. todos os fatores de a são nulos. com i < j. Mas. mas as entradas que estão posicionadas simetri- camente em relação à diagonal principal devem ser iguais. AB e BA são triangulares superiores. O teorema seguinte lista as principais propriedades algébricas das matrizes simétri. pois B é triangular inferior e. já que cada uma delas é igual à sua transposta (ve- rifique). 1.7. plo 4. mas a matriz B não é. mostrando que  Matrizes simétricas DEFINIÇÃO 1 Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A  A . como a terceira matriz do Exem- cas. Além disso. no segundo agrupamento. As provas são consequências diretas do Teorema 1. cij  ai1b1j  ai2b2j  · · ·  ainbnj Supondo que i < j. todos os fatores de b são nulos. Podemos provar que C é triangular inferior mostrando que cij  0. É fácil reconhecer visualmente a simetria de uma matriz: as en-  tradas na diagonal principal não têm restrições.4.7 Matrizes diagonais. Se- gue uma figura usando a segun- Observação Segue da Fórmula (11) da Seção 1. T  E X E M P L O 4 Matrizes simétricas As seguintes matrizes são simétricas. (A)ij  (A)ji (4) com quaisquer valores de i e j.8 e são omitidas. cij  0. Termos com o número de Termos com o número de linha de b menor do que linha de a menor do que o número de coluna de b o número de coluna de a No primeiro agrupamento. pois A é triangular inferior.  T T Produtos AAT e ATA Numa variedade de aplicações. Para ver por que isso ocorre.4.7. (AB)  AB se. e só se. as matrizes comutam.blogspot.3 O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se.4. TEOREMA 1. Pelo Teorema 1.4 Se A for uma matriz simétrica invertível. Prova Suponha que A seja simétrica e invertível. de modo que ambos produtos AAT e T ATA são matrizes quadradas. A e B comutam.9 e pelo fato de que A  AT. Não é verdade. Em resumo. (b) A  B e A  B são simétricas.7. (c) kA é simétrica. então A é uma matriz n  m.com. Contudo. uma matriz simétrica não precisa ser invertível. mas que os da segunda comutam. TEOREMA 1.  Invertibilidade de matrizes Em geral. isto é. mas não é invertível. Deixamos para o leitor verificar que isso ocorre. AB  BA. e só se. que o produto de matrizes simétricas seja uma matriz simé- trica. Se A for uma matriz m  n. Esses produtos são sempre simétricos.2 Sendo A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho e k um escalar qualquer. sejam A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho. surgem produtos matriciais da forma AA e A A. Concluímos que os fatores da primeira equação não comutam. e só se. então (a) AT é simétrica. por exemplo. se. pois (AA )  (A ) A  AA (ATA)T  AT(AT)T  ATA T T T T T T e . em geral.8 e a simetria de A e B. Pela parte (e) do Teorema 1.br/ 70 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 1.  E X E M P L O 5 Produtos de matrizes simétricas A primeira das equações a seguir mostra um produto de matrizes simétricas que não é uma matriz simétrica.7.https://livros-pdf-ciencias-exatas. então A1 é simétrica. temos (AB)T  BTAT  BA Assim. então sua inversa também é simétrica. a matriz AAT de tamanho m  m e a matriz ATA de tamanho n  n. decorre 1 T T 1 1 (A )  (A )  A provando que A1 é simétrica. e a segunda mostra um produto de matrizes simétricas que é uma matriz simétrica. uma matriz qua- simétricas drada com um zero na diagonal principal é simétrica. T obtivemos o resultado seguinte. o próximo teorema mostra que se ocorrer que uma matriz simétrica é invertível. pelo Teorema 1. então AAT e ATA também serão inver- tíveis. Conjunto de exercícios 1. Prova Como A é invertível.  T Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Matriz diagonal • Determinar se uma matriz diagonal é invertível sem fazer • Matriz triangular inferior contas. 2. neste texto.7 Matrizes diagonais. • Entender como a inversão afeta matrizes diagonais e triangulares. . no caso especial em que A é quadrada. TEOREMA 1. • Matriz triangular superior • Calcular mentalmente produtos matriciais envolvendo matrizes diagonais.4.9. determine se a matriz dada é invertível. Assim. como se esperava. 1. Contudo. por serem produtos de matrizes invertíveis. • Matriz triangular • Determinar se uma matriz é triangular. 1.7. determine o produto por inspeção.  5. triangulares e simétricas 71  E X E M PLO 6 O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica Seja A a matriz 2  3 Então Observe que ATA e AAT são simétricas. 7. • Matriz simétrica • Entender como a transposição afeta matrizes diagonais e triangulares.   Nos Exercícios 5–8.7  Nos Exercícios 1–4. • Determinar se uma matriz é simétrica. temos o seguinte resultado.  T T Adiante. AAT e A A são invertíveis. obteremos condições gerais sobre A sob as quais AA e A A são invertíveis. 6. 4. 3.5 Se A for uma matriz invertível. também AT é invertível. então A1 é antissimétrica. encontre todos os valores das constan. [Suges-  Nos Exercícios 25–26. decida por inspeção se a matriz é in. com qualquer escalar k. 35. (b) Se A e B são antissimétricas. encontre por inspeção A2. 33. encontre todos os valores de x que tor. 27. 15. então A é simétrica e A  A2. A  B e kA. Verifique o Teorema 1. projete um teste geral que possa ser aplicado a uma fórmula para aij para deter-  Nos Exercícios 23–24. 14. A  B. 12. (a) Mostre que A2 é simétrica. Prove cada afirmação dada. (a) Se A for uma matriz antissimétrica invertível.7. 9. vertível. tão: observe a identidade . (c) Toda matriz quadrada A pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica. 21. Em cada caso.  26.  Nos Exercícios 27–28. 17. Encontre todas as matrizes diagonais A de tamanho 3  3 que satisfazem A2  3A  4I  0. Prove que se ATA  A. Seja A  [aij] uma matriz n  n. Usando sua experiência com o Exercício 35. encontre uma matriz diagonal A que satisfaz a condição dada. Em cada parte. 31.  .com. 10.  13.] nam a matriz A invertível. Verifique o Teorema 1.  Nos Exercícios 20–22. 28. 34. minar se A  [aij] é simétrica. 32.  Nos Exercícios 9–12. com  Nos Exercícios 13–19.7. tes desconhecidas que tornam a matriz A simétrica.br/ 72 Álgebra Linear com Aplicações 8.  (b) Mostre que 2A2  3A  I é simétrica. Seja A uma matriz simétrica n  n. (a) aij  i2  j2 (b) aij  i2  j2 22.1(b) para o produto AB. 23. (a) (b) 18.blogspot. então também o são AT. decida se a matriz é simétrica.1(d) para as matrizes A e B do Exer- 16.https://livros-pdf-ciencias-exatas.  11. 20.7. 30. (c) aij  2i  2j (d) aij  2i2  2j3 36. 19. determine se A é simétrica. 25. A2 e Ak (sendo k um inteiro qualquer). verifique o Teorema 1.  37. cício 29. 24. 29.4 para a matriz dada. Dizemos que uma matriz quadrada A é antissimétrica se AT  A. (a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal. todas as entradas Passo 1. rior é uma matriz triangular inferior. tissimétrica. Encontre todos os valores de a. e só se. (l) Se A2 for simétrica. então A será uma matriz simétrica. 1. Nas partes (a)-(m). (c) A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior é uma matriz diagonal. Mostramos no Teorema 1. Em cada parte. 37 para a definição de antissimétrica. Se a matriz A de tamanho n  n pode ser expressa como terminadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal A  LU. para citar apenas alguns. Os ramos. dois passos. matriz triangular superior. Exercícios verdadeiro/falso 40. c e d com os quais A é an. ou conexões financeiras pelas quais flui dinheiro. como segue. de modo que LUx  b pode ser escrito diagonais são positivas. então A (b) será uma matriz simétrica. as matrizes comutam. discutiremos resumidamente algumas aplicações de sistemas lineares. preencha as entradas marcadas com 43. justificando sua resposta.8 Aplicações de sistemas lineares Nesta seção. sistema dado.7.8 Aplicações de sistemas lineares 73  Nos Exercícios 38–39. Seja Ux  y. Os ramos da maioria das redes se encontram em pontos denominados nós ou vértices. b. em que L é uma matriz triangular inferior e U é uma e acima dela.3 que o produto de matrizes simé- tricas é uma matriz simétrica se. uma rede é Análise de redes um conjunto de ramos através dos quais “flui” algum meio. Encontre uma matriz triangular superior que satisfaça um  para produzir uma matriz antissimétrica. O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. canos através dos quais flui água ou petróleo. Essa é apenas uma pequena amostragem da ampla variedade de problemas do mundo real aos quais é aplicável nosso estudo de sistemas lineares. 39. Em termos gerais.] (e) Todas as entradas de uma matriz triangular superior são de- 42. Por exemplo. então A e B são simétricas. (d) Todas as entradas de uma matriz simétrica são determinadas Será o produto de matrizes antissimétricas que comutam uma pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima matriz antissimétrica? Explique. use esse método de dois passos para resolver o (i) Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal. 1. (g) Uma matriz diagonal é invertível se. então A e B são triangulares superiores. numa rede elétrica. (j) Se A e B são matrizes n  n tais que A  B é simétrica. os nós ocorrem onde três ou . po- dem ser fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica. (m) Se kA for uma matriz simétrica com algum k  0. resolvido em matriz triangular superior. ruas de uma cidade pelas quais fluem veículos. nos quais o fluxo divide. e só se. então o sistema Ax  b pode ser (f) A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é uma expresso como LUx  b e pode ser. por exemplo. como Ly  b. Resolva o sistema Ux  y em x. portanto. 41. (h) A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular infe- Passo 2. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (b) A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.  38. (a) (k) Se A e B são matrizes n  n tais que A  B é triangular supe- rior. [Observação: ver Exercício dela. Resolva esse sistema. 8. em veículos por hora. pois o fluxo naquele ramo é para dentro do nó A. Vamos restringir nossa atenção às redes em que há conservação do fluxo em cada nó. eles ocorrem em centros bancários. x2  10. Deixamos para o leitor confirmar que a solução é x1  40. e numa rede financeira. associamos sentidos arbitrários para as taxas de fluxos x1. existe. a Praça 15.1 x1  x2  30 Analogamente.8. x3  45 Como x2 é negativo. No estudo de redes. e o diagrama indica o número médio de veículos por hora que se espera ter nas ruas que circundam o complexo da praça. pois 15 um sentido incorreto acabará recebendo um valor negativo para a taxa de fluxo quando tivermos resolvido para as incógnitas.74 Álgebra Linear com Aplicações mais fios se juntam. nos quais o dinheiro é distribuído a indivíduos ou outras instituições.1 mostra uma rede de quatro nós com indicação de algumas taxas de fluxo e sentido do fluxo ao longo de ramos. alguma medida numérica da taxa segundo a qual o meio flui ao longo do ramo.8.  E X E M P L O 2 Projetando padrões de tráfego A rede da Figura 1. é medido em ampères. x2 e x3. . e a taxa do fluxo de moeda europeia.  E X E M P L O 1 Análise de redes usando sistemas lineares 30 A Figura 1. vemos que o sentido do fluxo naquele ramo da Figura 1. o fluxo de uma corrente elétrica. com o que queremos dizer que a taxa de fluxo para dentro de qualquer nó é igual à taxa de fluxo para fora desse nó.2 está in- correto. a taxa de fluxo da água ou petróleo.8. tentar resolver para as taxas de fluxo desconhecidas. em geral. o sistema é suficientemente simples para resolvê-lo sem fazer contas (de baixo para cima). 60 Segue da conservação do fluxo no nó A que  Figura 1. Um problema comum na análise de redes é usar taxas de fluxo conhecidas em certos ramos para encontrar a taxa de fluxo em todos os demais ramos da rede. obtemos 30 x2  x3  35 (nó B) x3  15  60 (nó C) x2 x1 x1  15  55 (nó D) A 35 B D 55 Essas quatro condições produzem o sistema linear x3 C 15 60  Figura 1. na rede do trânsito. Isso garante que o meio não se acumula nos nós e não impede o movimento livre do meio ao longo da rede.8. 35 55 Solução Como ilustra a Figura 1. nos demais nós. em milhões de euros por dia. Encontre as taxas de fluxo e o sentido do fluxo nos demais ramos. Nesse caso particular.8. Aqui temos um exemplo. Todas as ruas são de mão única.2 que podemos. Não precisamos nos preocupar com a veracidade desses sentidos. em geral. O plano prevê a instalação de um semáforo computadorizado na saída norte da Rua Lavradio. Por exemplo. a do fluxo do trânsito.3 mostra uma proposta de fluxo de tráfego de uma certa cidade em torno de uma de suas praças. agora.2. eles ocorrem em cruzamentos de ruas. em litros por minuto. 3 (a) (b) Solução (a) Se x for o número de veículos por hora que o semáforo deve deixar passar. Solução (b) Para evitar congestionamentos de trânsito. e uma taxa de fluxo negativa indicaria um fluxo na contra- mão. Para isso acontecer. pois es- tamos supondo ruas de mão única. x4  t (1) Contudo. o que pode ser dito sobre o número médio de veí- culos por hora que circulará pelas ruas que circundam o complexo? N 200 Semáforo 200 x O L S Rua do Mercado Rua da Matriz Rua Lavradio C x3 B 500 400 500 400 Praça x4 x2 15 700 400 700 400 Rua do Comércio D x1 A 600 600  Figura 1. nesse exemplo. as taxas de fluxo médias devem ser não negativas.8 Aplicações de sistemas lineares 75 (a) O semáforo deveria deixar passar quantos veículos por hora para garantir que o nú- mero médio de veículos por hora que entra no complexo seja igual ao número médio de veículos que sai do complexo? (b) Supondo que o semáforo tenha sido ajustado para equilibrar o fluxo total para dentro e para fora do complexo da praça. então o número total de veículos por hora que entra e sai do complexo da praça será Para dentro: 500  400  600  200  1. Cruzamento Fluxo para dentro Fluxo para fora A 400  600  x1  x2 B x2  x 3  400  x C 500  200  x3  x 4 D x1  x 4  700 Assim. o fluxo para dentro de cada cru- zamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento. 0  x4  700  .8.3(b). 300  x2  1. vemos de (1) que t pode ser qualquer número real que satisfaça 0  t  700. Portanto. como calculamos na parte (a). Deixamos para o leitor mostrar que esse sistema tem uma infinidade de soluções e que estas são dadas pelas equações paramétricas x1  700  t.700 Para fora: x  700  400 Igualando os fluxos para fora e para dentro. pois há restrições físicas a considerar. conforme Figura 1. Por exemplo. obtemos o sistema linear seguinte.000. 1. o que implica que a taxa de fluxo média ao longo das ruas ficará dentro das cotas 0  x1  700.8. 0  x3  700. x3  700  t. as condições seguintes devem estar satisfeitas. o parâmetro t não é completamente arbitrário. vemos que o semáforo deveria deixar passar 600 veículos por hora. x2  300  t. com x  600. Quan- do a chave está fechada. A corrente elétrica.4 seta na figura). e é usual- mente medida em ampères (A). Um ponto no qual três ou mais fios da rede se encontram é um nó da rede. por isso. Tam-  Figura 1.4 mostra o diagrama esquemático de um circuito com um capacitor (representado pelo símbolo ). e costuma ser medida em ohms ( ). O capacitor tem um polo positivo () e um polo negativo ().5 tem dois nós e três laços fechados. como uma lâmpada.76 Álgebra Linear com Aplicações Circuitos elétricos Em seguida. que enunciamos para redes gerais. que usualmente é medida em volts (V). e de volta ao polo negativo do capacitor (indicado pela  Figura 1. e um laço fechado é uma sucessão de ramos + – + – conectados que começa e termina no mesmo nó.8.6 satisfazem a equação I1  I2  I3. Lei das correntes de Kirchhoff A soma das correntes fluindo para dentro de qualquer nó é igual à soma das correntes fluindo para fora do nó.8. o circuito elétrico da Fi-  Figura 1.8. então o resultado é uma queda da tensão elétrica de E volts. dois internos e um externo. Um capacitor funciona como uma bomba que cria “pressão elétrica” para aumentar a taxa de fluxo dos elétrons. é + – + – costume atribuir sentidos arbitrários aos fluxos das correntes nos vários ramos e deixar Convenção de laço fechado os cálculos matemáticos determinarem se os sentidos atribuídos estão corretos. A Figura 1. Por exemplo. e um resistor age como uma restrição num cano que reduz a taxa de fluxo dos elétrons. mostramos como a análise de redes pode ser usada para analisar circuitos elétricos constituídos de capacitores e resistores.5 gura 1. que é um fluxo de elétrons por fios.7 bém introduzimos as seguintes convenções. sempre tomaremos esse sentido como sendo o horário (Figura 1. tem um comportamento mui- to parecido com o do fluxo de água por canos. O comportamento da corrente nos nós e em torno de laços fechados é governado por duas leis fundamentais.8.7). por exemplo. a lei das tensões de Kirchhoff requer um sentido arbitrários atribuídos às de percurso para cada laço fechado.8. mas para obter alguma correntes nos ramos consistência. ou seja. À medida que a corrente flui pelo circuito elétrico.8. O efeito preciso de um resistor é dado pela seguinte lei. Em geral.  Figura 1. que é o produto da corrente pela resistência. ela passa por aumentos e diminuições de tensão elé- trica. respectivamente. Lei de Ohm Se uma corrente de I ampères passa por um resistor com uma resistência de R ohms. Assim. não é possível saber de antemão os sentidos nos quais estão fluindo as correntes em circuitos com vários laços e capacitores. I2 I1 Lei das tensões de Kirchhoff Em uma volta em torno de qualquer laço fechado. E  IR Uma rede elétrica típica possui vários capacitores e resistores ligados por alguma configuração de fios. Além de horário com sentidos atribuir sentidos aos fluxos de corrente.6 A lei das correntes de Kirchhoff é uma versão para circuitos elétricos do princípio da conservação do fluxo num nó. e um resistor é um elemento que dissipa energia elétrica.8. Um capacitor é uma fonte de energia + – elétrica. Um ramo é um fio ligando dois nós. um resistor (representado pelo símbolo Chave ) e uma chave.8. como uma bateria. consideramos a corrente elétrica fluindo a partir do polo positivo do capacitor. através do resistor. A resis- tência é o quanto o resistor reduz a tensão elétrica. A taxa de fluxo dos elétrons num fio é denominada a intensidade de corrente. que são as elevações e as quedas de voltagem. as correntes no nó superior da Figura 1. A escolha é sempre arbitrária. O termo técnico para a pressão elétrica é tensão elétrica. a I3 soma das elevações de voltagem é igual à soma das quedas de voltagem. na análise de circuitos. . está correto o sentido atribuído ao fluxo da corrente. pela lei das tensões de Kirchhoff. essa voltagem é E  IR  6V– 3 3I. e aquelas cujos sentidos de fluxo foram atribuídos incorretamente serão negativas. I2 e I3 do circuito mostrado na Figura 1. então ocorre uma queda de voltagem no capacitor. então ocorre uma queda de voltagem no resistor e. 1. Seguindo essas convenções ao calcular intensidades de correntes.8 Aplicações de sistemas lineares 77 • Se o sentido associado à corrente através do resistor for o mesmo que o sentido asso- ciado ao laço. segue que 3I  6  Figura 1. + temos uma queda de voltagem no resistor. as correntes cujos sen- tidos de fluxo foram atribuídos corretamente serão positivas.8.9 I1  I 2  I 3  0 (2) Nota histórica O físico alemão Gustav Kirchhoff foi um aluno de Gauss.9. como o sentido do laço é de  para  no capacitor. I Solução Como o sentido atribuído à corrente pelo resistor é igual ao sentido do laço.8.  E X E M P L O 4 Um circuito com três laços fechados Determine as correntes I1. en- tão ocorre uma elevação de voltagem no capacitor e.  E X E M P L O 3 Um circuito com um laço fechado Determine a corrente I do circuito mostrado na Figura 1. temos um aumento de voltagem de 6 volts no capacitor. se o sentido associado à corrente através do laço for de  para  num capacitor. a lei das correntes de Kirchhoff I1 A I2 fornece uma equação para cada nó: I3 Nó Corrente para dentro Corrente para fora 5 20 10 A I1  I2  I3 B I3  I1  I 2 + – B + – 50 V 30 V Contudo. Assim. • Se o sentido associado à corrente através do laço for de  para  num capacitor. voltagem e resistência de circuitos elétricos. essas equações realmente são iguais. Solução Usando os sentidos atribuídos às correntes. Pela lei de Ohm.8.8 e concluímos que a corrente é I  2A. Além disso. [Imagem: ©SSPL/The Image Gustav Kirchhoff Works] (1824–1887) . Seu trabalho sobre as leis que levam seu nome. Como I é positivo. foi um avanço considerável no cálculo de cor- rentes. Kirchhoff era severamente incapacitado. anun- ciado em 1854. então ocorre uma elevação de voltagem no resistor. pois ambas podem ser escritas como  Figura 1.8. se o sentido asso- ciado à corrente através do resistor for o oposto do sentido associado ao laço.8. ten- do passado a maior parte de sua vida de muletas ou em cadeira de rodas. Contudo. Quando combinamos compostos químicos sob condições corretas. que obtemos com a lei das tensões de Kirchhoff. Isso é indicado pela equação química CH4  O2 CO2  H2O (4) As moléculas à esquerda da seta são denominadas reagentes.8. e água (H2O). precisamos de três átomos de oxigênio para cada átomo de carbono. Deixamos para o leitor resolver esse sistema e mostrar que I1  6A. vemos. pois deixa de mencionar as proporções de moléculas necessárias para uma reação completa (sem sobra de reagentes). Assim. que há três laços fechados: um laço interno à esquerda com um capacitor de 50 V. a fórmula química da água é H2O. combinando (2) e as duas primeiras equações de (3). . Num percurso horário dos laços. Contudo. Podemos ver. um laço interno à direita com um capacitor de 30 V e o laço externo que contém ambos capacitores. no lado esquerdo de (4). Por exemplo. podemos ver. o sinal de mais serve somente para separar as moléculas e não tem conotação de operação algébrica. vemos que o sentido da corrente é o oposto do indicado na Figura 1. no lado direito de (4). para ter uma reação com- pleta. na queima de me- tano. Por exemplo. pelo diagrama do circui- to. que uma molécula de metano e uma molécula de oxigênio estável têm somente dois átomos de oxigênio para cada átomo de carbono. por ser a diferença das duas primeiras. essa equação não conta toda a história. a razão de metano para oxigênio estável do lado dos reagentes não pode ser de um para um. Elevação de voltagem Queda de voltagem Laço interno à esquerda 50 5I1  20I3 Laço interno à direita 30  10I2  20I3 0 Laço externo 30  50  10I2 5I1 Essas condições podem ser reescritas como (3) Contudo. Como I2 é negativo.78 Álgebra Linear com Aplicações Para encontrar valores únicos para as correntes. obtemos o sistema linear de três equações em três incógnitas que segue. pois é composta de dois átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio. I2  5 A e I3  1A. as quedas e as elevações de voltagem nesses três laços são como segue. pois é composto de dois átomos de oxigênio. Assim. e as à direita são os produ- tos. ou gás carbônico. e a fórmula quí- mica do oxigênio estável é O2. para produzir uma molécula de dióxido de carbono e uma molécula de água. que.9. a última equação é supérflua. Por exemplo. vamos precisar de mais duas equações. Nessa equação. Assim. os átomos de suas moléculas se rearranjam e formam novos componentes. o metano (CH4) e o oxigênio estável (O2) reagem para formar dióxido de carbono (CO2). a lei das tensões de Kirchhoff de fato fornece três equações.  Equilibrando equações Os componentes químicos são representados por fórmulas químicas que descrevem a químicas composição atômica de suas moléculas. Para ilustrar o método. x4  t em que t é arbitrário. Existem vários métodos que podem ser usados.8 Aplicações de sistemas lineares 79 Dizemos que uma reação química está equilibrada se aparecer o mesmo número de átomos em cada lado da seta para cada tipo de átomo na reação. vamos reexaminar a Equação (4). x3  t/2. x2  t. pois substituindo esses valores em (6). Por exemplo. x3 e x4 tais que x1 (CH4)  x2 (O2) x3 (CO2)  x4 (H2O) (6) Para cada um dos átomos da equação. 1. x4  2. A Equação (4) é suficientemente simples para ser equilibrada por tentativa e erro. Isso confere com nossa conclusão anterior. precisamos encontrar inteiros x1. multiplicando todos os termos por 2. Para equilibrar essa equação. x2  2. obtemos a equação química equilibrada 2CH4  4O2 2CO2  4H2O Contudo. obtemos (5). . mas equações químicas mais complicadas requerem um método mais sistemático. mas veremos um que usa sistemas de equações lineares. x2. Por exemplo. Poderíamos perfeitamente multiplicar toda a equação por qualquer inteiro positivo. de modo que podemos equilibrar a equação tomando x1  1. x3  1. Expresso em formato tabular. é convenção padrão utilizar os menores inteiros positivos que equilibram a equação. temos Lado esquerdo Lado direito Carbono x1  x3 Hidrogênio 4x1  2x4 Oxigênio 2x2  2x3  x4 de onde obtemos o sistema linear homogêneo A matriz aumentada desse sistema é Deixamos para o leitor mostrar que a forma escalonada reduzida por linhas dessa matriz é da qual concluímos que a solução geral desse sistema é x1  t/2. a versão equilibrada da Equação (4) é CH4  2O2 CO2  2H2O (5) com a qual queremos indicar que combinamos uma molécula de metano com duas de oxigênio estável para produzir uma molécula de gás carbônico e duas moléculas de água. o número de átomos à esquerda deve ser igual ao número de átomos à direita. Os menores valores inteiros positivos para as incógnitas ocorrem quando tomamos t  2. 80 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 5 Equilibrando equações químicas usando sistemas lineares Equilibre a equação química [ácido clorídrico] [fosfato de sódio] [ácido fosfórico] [cloreto de sódio] Solução Sejam x1. x3  1 e x4 = 3. tomamos t  3. y2) do plano xy (Figu- x ra 1.8. y1) e (x2. e resulta x1  3. Para obter os menores valores inteiros positivos que equilibram a equa- ção.10 em sistemas lineares que pode ser adaptado à interpolação polinomial geral.10). x4  t onde t é arbitrário. x3  t/3. tal polinômio é dito polinômio y interpolador dos pontos. O leitor provavelmente aprendeu vários métodos da Geometria Analítica para encontrar a equação de uma reta por dois pontos. x2  t/3. y2) p(x)  ax  b (8) (x1. resulta 1x1  3x3 Hidrogênio (H) 1x1  1x4 Cloro (Cl) 3x2  1x4 Sódio (Na) 1x2  1x3 Fósforo (P) 4x2  4x3 Oxigênio (O) do que obtemos o sistema linear homogêneo Deixamos para o leitor mostrar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é da qual concluímos que a solução geral desse sistema é x1  t.8. y1) cujo gráfico passe por dois pontos distintos conhecidos (x1. . O exemplo mais simples de um problema desses é encontrar um y  ax  b polinômio linear (x2. mas aqui daremos um método com base  Figura 1. obtemos a equação equilibrada 3HCl  Na3PO4 H3PO4  3NaCl  Interpolação polinomial Um problema importante em várias aplicações é encontrar um polinômio cujo gráfico passe por uma coleção de pontos especificados no plano. x2. Substituindo esses valores em (7). x3 e x4 inteiros positivos que equilibram a equação x1 (HCl)  x2 (Na3PO4) x3 (H3PO4)  x4 (NaCl) (7) Igualando o número de átomos de cada tipo de ambos lados. x2  1. . y1) e (x2. y1). por exemplo. a reta y  ax  b que passa pelos pontos y (2. y1)  (2.11). 1) x Portanto. (x3. TEOREMA 1. 1) e (5. yn) (10) Como temos n condições a satisfazer. como poderíamos encontrar o polinômio interpolador (11) cujo gráfico passa pelos pontos de (10).11 (Figura 1. vamos permitir que an1 e outros coeficientes em (11) sejam nulos. então. y3). o valor de a pode ser substituído em qualquer uma das duas equações para encontrar b. existe um úni- co polinômio de grau n  1 ou inferior cujo gráfico passa por esses pontos. 4) (2. a intuição sugere que comecemos procurando por polinômios da forma p(x)  a0  a1x  a2x2  · · ·  an1x n1 (11) já que um polinômio dessa forma tem n coeficientes que estão à nossa disposição para satisfazer as n condições. a equação da reta é yx1  Figura 1. y2). (xn. Assim. para essa reta passar pelos pontos (x1. 1. 4) y=x–1 podem ser obtida tomando (x1.8. é o resultado fundamental da interpolação polinomial. . Como o gráfico desse polinômio é o gráfico da equação y  a0  a1x  a2x2  · · ·  an1xn1 (12) . (x2. agora. Deixamos para o leitor encontrar a e b e mostrar que podem ser expressos na forma (9) desde que tenhamos x1  x2. que será provado mais adiante. O próximo teorema. o que tornaria possível utilizar algum polinômio de grau menor do que n  1. queremos permitir os casos em que alguns pontos estejam alinhados ou então satisfaçam alguma outra configuração.8. devemos ter y1  ax1  b e y2  ax2  b Portanto. y2)  (5. 1) e (x2. .1 Interpolação polinomial Dados quaisquer n pontos no plano xy que têm coordenadas x distintas.8. assim. Vejamos. agora. o valor de a pode ser ob- tido subtraindo as equações para eliminar b e. Consideremos. Contudo. . caso em que (9) fornece (5. os coeficientes incógnitos a e b podem ser obtidos resolvendo o sistema linear ax1  b  y1 ax2  b  y2 Não precisamos de métodos geniais para resolver esse sistema. 4).8 Aplicações de sistemas lineares 81 O gráfico de (8) é a reta y  ax  b e. y2). o problema mais geral de encontrar um polinômio cujo gráfico passe pelos n pontos de coordenadas x distintas (x1. a1.12 O gráfico desse polinômio e os pontos dados aparecem na Figura 1. .−2). y3  5. utilizamos um polinômio interpolador de grau n  3.  . a1  3. . 0) Solução Como há quatro pontos. de modo que podemos ver esse sistema como um sistema linear nas incógnitas a0.8. portanto. (3. (4. x4  4 e y1  3. 3).blogspot. .com. Assim.−5). y2  2. segue de (14) que a matriz aumentada do sistema linear nas incógnitas a0. Desse ponto de vista. Denote esse polinômio interpolador por p(x)  a0  a1x  a2x2  a3x3 e denote as coordenadas x e y dos pontos dados por x1  1. podemos encontrar o polinômio interpolador reduzindo essa matriz à forma escalonada reduzida por linhas (eliminação de Gauss-Jordan). a3  1. a2 = 5. x2  2. a1. .12. x3  3. o polinômio interpolador é -5 p(x)  4  3x  5x  x 2 3  Figura 1. y4  0 Assim.  E X E M P L O 6 Interpolação polinomial por eliminação de Gauss-Jordan Encontre um polinômio cúbico cujo gráfico passa pelos pontos (1. an1. https://livros-pdf-ciencias-exatas.br/ 82 Álgebra Linear com Aplicações segue que as coordenadas dos pontos satisfazem (13) Estamos supondo que os valores dos x e y sejam conhecidos nessas equações. (2. a matriz aumentada do sistema é (14) e.8. a2 e a3 é y 4 Deixamos para o leitor confirmar que a forma escalonada reduzida por linhas dessa matriz é 3 2 1 x -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 da qual segue que a0  4. resistor. x2  0. f(0. negativo). • Nó • Encontrar a quantidade de corrente fluindo através das partes de um circuito elétrico. x1  0. de modo que a aproximação é bastante boa. Os valores de nesses pontos são. os gráficos de f e de p se ajustam muito bem no intervalo sen (␲x2/2) [0. f(0. tensão elétrica.75.25)  0.098796x  0.5.14429x  2. considere os cinco pontos x0  0.8 Aplicações de sistemas lineares 83 Observação Adiante veremos um método mais eficaz para encontrar polinômios interpoladores. lei das tensões de Kirchhoff • Encontrar um polinômio interpolador para um gráfico passando por uma dada coleção de pontos.25. lei das correntes de Kirchhoff. f(0)  0. 1] em quatro subintervalos de mesmo tamanho. • Conservação do fluxo • Escrever uma equação química equilibrada para uma dada • Circuitos elétricos: capacitor.25 p(x) Como mostra a Figura 1.762356x  2.8.25 0.8.5 e x (16) 0. Essa integral poderia ser aproximada pela regra de Simpson ou algum método comparável. • Equações químicas: reagentes. que é mais recomendado nos problemas em que é grande o número de pontos dados. pois não existe maneira de expressar a antiderivada do integrando em termos de funções elementares.13.  E X E M P L O 7 Integração aproximada REQUER CÁLCULO E CALCU LADORA Não há como calcular a integral diretamente.382683. f(0.75)  0. mas uma abordagem alternativa é aproximar o integrando por um polinômio intepolador e integrar o polinômio aproximante. x3  0. 1]. equações equilibradas • Interpolação polinomial .00544x 2 3 4 (15) 0.13 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Rede • Encontrar as taxas de fluxo e os sentido do fluxo nos • Ramo ramos de uma rede. produtos. x4  1 que dividem o intervalo [0. f(1)  1 y 1 O polinômio interpolador é (verifique) p(x)  0.098017.77301.5 0. aproximadamente.5)  0. lei de Ohm. 1. Por exemplo. polo (positivo e reação química.75 1 1.   Figura 1. 10 V – I3 10 V + zido em virtude de uma obra. (c) Encontre as taxas de fluxo e os sentidos do fluxo se 2 I1 2 I2 I3 4 x4  50 e x6  0. analise os circuitos elétricos dados en- refinaria de petróleo. (b) Resolva o sistema para as taxas de fluxo desconhecidas. As taxas de fluxo – 1V+ 2 ao longo das ruas são medidas pelo número médio de veículos por hora. escreva uma equação equilibrada para a (a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de reação química dada. A figura dada mostra algumas taxas de fluxo de hidrocarbo- netos para dentro e para fora de uma rede de canos de uma  Nos Exercícios 5–8. I4 I5 + I1 20 I2 20 – (c) Se o fluxo ao longo da rua de A para B precisar ser redu. + – (b) Resolva o sistema para as taxas de fluxo desconhecidas. A figura dada mostra uma rede na qual são conhecidos a taxa (b) Resolva o sistema para as taxas de fluxo desconhecidas. 5V 3 + – A x2 x4 I1 400 B 200 4 x1 – + 100 300  Figura Ex-3 4V I2 5 4. qual será o fluxo mínimo I6 necessário para manter o tráfego fluindo em todas as ruas? 20 400 750 300 x3 250 8. de fluxo e o sentido do fluxo em alguns ramos.84 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 1. obra e manter o tráfego fluindo em todas as outras ruas? Explique.  fluxo desconhecidas. 9. x6 + 2V 200 6 25 x2 – 175  Figura Ex-2 I2 4 I1 3. x3 – + 200 150 6V x5 x1 x4 6. 20 fluxo desconhecidas.8 1. (a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de 7.  (a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de 5. As taxas de fluxo ao longo das ruas são medidas pelo número médio de veículos por hora. Encontre as (c) É possível fechar a rua de A para B em virtude de uma taxas de fluxo e os sentidos do fluxo nos demais ramos. 8V fluxo desconhecidas. contrando as correntes desconhecidas. A figura dada mostra uma rede viária de ruas de mão única – + 3V I3 com fluxo de tráfego nos sentidos indicados. 50 300 200 100 500 A x1 x2 600 B 30 60 x3 x4 x5 50 400 450 x6 x7 40  Figura Ex-1 350 600 400  Figura Ex-4 2. A figura dada mostra uma rede viária de ruas de mão única I3 com fluxo de tráfego nos sentidos indicados.  Nos Exercícios 9–12. C3H8  O2 → CO2  H2O (queima de propano) . Usando uma ferramenta de busca na pontos (0. uma economia simples pode estar dividida em três se. 0). CO2  H2O → C6H12O6  O2 (fotossíntese) (b) Esboce quatro curvas da família obtida a mão ou com a 13. 1 (d) Uma equação química está equilibrada se o número total de 1 2 3 4 5 6 7 8  Figura Ex-16 átomos em cada lado da equação for o mesmo. [Sugestão: a equação deve incluir um 11. Nesta seção. discutiremos algumas das ideias desenvolvidas por Leontief. podemos imaginar uma economia como uma rede na qual fluem os insumos e os produtos entre os setores. (1. 5). 1). 3). 16. ocorre um au- 5 mento da tensão elétrica no circuito. C6H12O6 → CO2  C2H5OH (fermentação do açúcar) (0. Por exemplo. economia tores: manufatura. (1. A figura dada mostra o gráfico de um polinômio cúbico. mas requer insumos dos outros setores e de si mesmo. Encontre o polinômio cúbico cujo gráfico passa pelos pontos mas ao mundo real. (0. Assim. 1). agricultura e serviços. na Segunda Guerra Mundial. Selecione alguma de seu interesse e redija (1. ou milhões de dólares. 9 (a) Numa rede qualquer. 18. (a) Encontre uma equação que represente a família de todos grau n  1 ou inferior cujo gráfico passa por esses pontos. 7 6 (b) Quando uma corrente passa por um resistor. (2. Isso produziu uma demanda inesperadamente grande por certos componentes elétricos à base de cobre que. Por exemplo. os Estados Unidos da América tiveram uma demanda por 50. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(e). CH3COF  H2O → CH3COOH  HF parâmetro arbitrário que produza os membros da família quando variar. Encontre o polinômio quadrático cujo gráfico passa pelos de sistemas lineares. pontos (1. que denotamos simplesmente pelo cifrão $). que exigiu a construção de muitas novas fábricas de alumínio. por sua vez. Os insumos e os produtos em geral são medidos em unidades monetárias (dólares.9 Modelos econômicos de Leontief 85 10. tente encontrar mais algumas aplicações desses siste- 15. (4.000 novos aviões. mas requer insumo de máquinas agrícolas do setor manufa- tureiro. os polinômios de grau dois que passam pelos pontos 1.9 Modelos econômicos de Leontief Em 1973. O problema acabou sendo resolvido utilizando prata como substituto de cobre. selecionamos apenas algumas poucas aplicações 14. um parágrafo a respeito. energia elétrica do setor de serviços e alimento de seu próprio setor para alimentar seus trabalhadores. 1). 2) e (3. (e) Dados n pontos do plano xy. produziu uma escassez de cobre. 1). En- contre o polinômio. 1).] 12. 1) e (1. 2). a soma dos fluxo para fora de algum nó 8 deve ser igual à soma dos fluxos para dentro do nó. 1. o setor agrícola pode produzir trigo como produto. existe um único polinômio de 17. Internet. Nesta seção. 10 justificando sua resposta. 1) e (1. Os fluxos entre os setores de uma economia real não são sempre óbvios. no qual utilizou métodos matriciais para estudar as relações entre diferentes setores de uma economia. o estudo desses fluxos é denominado análise de insumo-produto. Uma maneira de analisar uma economia é dividi-la em setores e estudar como os setores Insumo e produto numa interagem entre si. Por exemplo. sendo a prata tomada emprestada das . um setor produz certos produtos. 4 (c) A lei das correntes de Kirchhoff afirma que a soma das cor- 3 rentes fluindo para dentro de qualquer nó é igual à soma das 2 correntes fluindo para fora do nó. o economista Wassily Leontief foi agraciado com o Prêmio Nobel pelo seu trabalho em modelagem econômica. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Encontre o polinômio quadrático cujo gráfico passa pelos ajuda de uma ferramenta gráfica. por exemplo. Tipicamente. mas também são possíveis outras medidas. 9.10 $ 0. Foi para os Estados Unidos da América em 1931. Suponhamos que insumos e produtos sejam me- didos em unidades monetárias ($) e que os insumos requeridos pelos setores produtivos para produzir uma unidade monetária de valor de produto estão de acordo com a Tabela Manufatura Agricultura 1 a seguir.86 Álgebra Linear com Aplicações reservas governamentais depositadas em Fort Knox. Aqueles setores que não produzem produtos são denominados setores abertos.50 $ 0. Economias sem setores abertos são denominadas economias fechadas.10 $ 0. onde obteve seu doutorado em 1928.1).10 Fornecedor Agricultura $ 0. e econo- mias com um ou mais setores abertos são denominadas economias abertas (Figura 1. Nesta seção. Tabela 1 Insumo requerido para produzir $1 Setor Manufatura Agricultura Serviços aberto Manufatura $ 0.1 Geralmente suprimimos as legendas da tabela e expressamos essa matriz como (1) Essa é denominada a matriz de consumo da economia (ou.30 Serviços $ 0. agricultura e serviços.20 $ 0. depois. por seu trabalho que lançou os modernos métodos para analisar economias de mercado abertas. acabou na cadeia por atividades anticomunistas e. O modelo de Leontief de uma Consideremos uma economia aberta simples com um setor aberto e três setores produti- economia aberta vos: manufatura. Leontief foi um estudante precoce que entrou na Universidade de Leningrado aos 15 anos. Os vetores-coluna Nota histórica Não deixa de ser um pouco irônico que tenha sido Wassily Leontief.50 $ 0. mas podem existir se- tores que consomem produtos sem produzir nenhum produto (por exemplo. Inco- modado pelas restrições intelectuais do regime soviético.9. vamos nos ocupar com economias de um setor aberto.30 $ 0. quem recebeu o Prêmio Nobel de Economia de 1973. e nosso objetivo prin- cipal será determinar os níveis de produção necessários para o setor produtivo sustentar a si mesmo e satisfazer a demanda do setor aberto. a matriz tecnológi- ca). foi para a Universidade de Berlim. ocupando uma cátedra na Universidade de Harvard e. o setor dos consumidores). [Imagem: ©Bettmann/©Corbis] Wassily Leontief (1906–1999) . depois. É bastante provável que uma análise de insumo-produto moderna teria antecipado aquela escassez de cobre. na Universidade de Nova York.40 Serviços  Figura 1. nascido na Rússia. às vezes. A maioria dos setores de uma economia produzirá produtos. d1 unidades monetárias de bens manufaturados d2 unidades monetárias de produtos agrícolas d3 unidades monetárias de serviços O vetor coluna d que tem esses números como componentes sucessivos é denominado vetor demanda externa. produtos agrícolas e serviços com os valores em unidades monetárias seguintes. . agricultura e serviços. c1 nos diz que para produzir $1.975 de serviços. Como os setores produtivos consomem alguns de seus próprios produtos. $3. no valor de $0. Suponhamos que os valores necessários para con- seguir isso sejam x1 unidades monetárias de bens manufaturados x2 unidades monetárias de produtos agrícolas x3 unidades monetárias de serviços O vetor coluna x que tem esses números como componentes sucessivos é denominado vetor de produção da economia. Continuando com o exemplo acima.9 Modelos econômicos de Leontief 87 de C listam os insumos necessários para os setores de manufatura.900 de produtos manufaturados.00 de valor de pro. Para a economia com matriz de consumo (1). se o vetor demanda externa for d. o setor manufatureiro requer produtos no valor de $0.50 do setor manufatureiro. produzirem $1.10 do setor de serviços. linha da matriz de consumo? duto.950 de produtos agrícolas e $1. Suponhamos que o setor aberto tenha uma demanda no valor de $7. 1. Qual é o significado econômico respectivamente. Assim. Uma vez atendida a demanda intermediária. vamos supor que o setor aberto necessita que a economia forneça bens manufaturados.  E X E M P L O 1 Satisfazendo a demanda externa Considere a economia descrita na Tabela 1.20 do setor agrícola e no valor de $0. (a) A economia conseguirá atender essa demanda? (b) Se conseguir. então x deve satisfazer a equação Quantidade Demanda Demanda produzida intermediária externa (I  C)x  d (2) A matriz I  C é denominada matriz de Leontief e (2) é denominada equação de Leontief. a porção do vetor de produção x que será consumido pelos três setores produtivos é As frações As frações As frações consumidas consumidas consumidas pela manufatura pela agricultura pelos serviços O vetor Cx é denominado vetor demanda intermediária da economia.00 de produto. a porção da produção que resta para satisfazer as necessidades da demanda externa é x  Cx. Esses vetores são denominados vetores das somas das entradas de uma de consumo dos setores. encontre um vetor de produção x que atenda exatamente essa demanda. Por exemplo. o valor em unidades monetárias de seus produtos precisa cobrir suas próprias necessidades mais a demanda externa. a matriz de consumo. o vetor de produção e o vetor demanda externa são (3) Para atender essa demanda. produzindo um valor total de $27. consideramos uma economia aberta com três setores produti- produtivas vos.500 de produtos manufaturados. então essa equação tem a solução única 1 x  (I  C) d (5) . um vetor de produção x que atenda a demanda d do setor externo deve satisfazer a equação de Leontief (I  C)x  d Se a matriz I  C for invertível.  Economias abertas Na discussão precedente. as mesmas ideias se aplicam a economias com n setores produtivos.750 de produtos agrícolas e $24.750 de serviços. o problema se reduz a resolver o sistema linear (4) (se for consistente). o vetor x deve satisfazer a equação de Leontief (2). Conforme discutido no exemplo precedente. e que o i-ésimo vetor linha de C contém os valores monetários exigidos do i-ésimo setor pelos outros setores para que cada um deles possa produzir um produto no valor de uma unidade monetária. portanto. o vetor de produção e o vetor demanda externa têm a forma em que todas as entradas são não negativas e cij  ao valor monetário do produto do i-ésimo setor que é necessário para o j-ésimo setor produzir um produto no valor de uma unidade monetária xi  ao valor monetário do produto do i-ésimo setor di  ao valor monetário do produto do i-ésimo setor que é necessário para atender a demanda do setor aberto Observação Observe que o j-ésimo vetor coluna de C contém os valores monetários que o j-ésimo setor necessita dos outros setores para produzir um produto no valor de uma unidade mo- netária. Nesse caso. $33. Deixamos para o leitor verificar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é Isso nos diz que (4) é consistente e que a economia consegue atender exatamente a de- manda do setor aberto.88 Álgebra Linear com Aplicações Solução A matriz de consumo. As economias nas quais (I  C)1 tem entradas não negativas são ditas produtivas. é um vetor de produção válido para a economia. o Teorema 1. 1 No caso em que I  C for invertível. cuja prova pode ser encontrada em muitos livros de Economia. nesse caso dizemos que o j-ésimo setor é rentável.1 afirma que se todos os setores produtivos de uma economia aberta forem rentáveis. pelo formato de (5). para cada vetor demanda d. então a economia é produtiva. pedimos para o leitor mostrar que uma eco- nomia é produtiva se todas as somas das entradas de linhas de C forem menores do que 1 (Exercício 11).9 Modelos econômicos de Leontief 89 para cada vetor demanda d.  E X E M P L O 2 Uma economia aberta com todos os setores rentáveis As somas das entradas de colunas da matriz de consumo C em (1) são menores do que 1. de modo que (I  C)1 existe e tem entradas não negativas. as entradas de (I  C) são não negativas e a economia é produtiva.  . pois a demanda pode ser sempre atendida por algum nível de produção apropriado. Use uma ferramenta compu- tacional para confirmar isso e use essa inversa para resolver a Equação (4) no Exemplo 1. de modo que o problema de importância na Economia é deter- minar condições sob as quais a equação de Leontief tem uma solução com entradas não negativas. Observação A soma das entradas da j-ésima coluna de C representa o valor total de insumo em unidades monetárias que é necessário para o j-ésimo setor produzir $1 de produto.1 Se C for a matriz de consumo de uma economia aberta e se todas as somas das entradas de colunas forem menores do que 1. uma economia aberta será rentável se ou a soma das entradas de todas as colunas de C for menor do que 1 ou a soma das entradas de todas as linhas de C for menor do que 1. Assim. é evidente. portanto. então a matriz I  C é inver- 1 tível. Solução Deixamos para o leitor mostrar que Essa matriz tem entradas não negativas e que é consistente com a solução do Exemplo 1. Tais economias são particularmente desejáveis. o vetor x correspondente tem entradas não negativas e. para x ser um vetor de produção válido. O próximo teorema. 1.9.9. Nos exercícios. dá condições sob as quais são produtivas as economias abertas. ele deve ter entradas não negativas. então. Assim. TEOREMA 1. Contudo. que se (I  C) tem entradas não negativas. então o j-ésimo setor precisará de menos de $1 de insumo para produzir $1 de produto. de modo que se a soma das entradas da j-ésima coluna for menor do que 1. 000.90 Álgebra Linear com Aplicações Revisão de conceitos • Vetor de produção • Setores • Vetor demanda intermediária • Insumos • Matriz de Leontief • Produtos • Equação de Leontief • Análise de insumo-produto Aptidões desenvolvidas • Setor aberto • Construir uma matriz de consumo para uma economia.10 $ 0. de produção. 6.400 de projetos de web. para encontrar um vetor de produção que atenda exatamente (b) Quais valores de M e L devem ser produzidos para essa essa demanda.000.10 $ 0.30 (b) Quais valores de alimento e moradia devem ser produzi.860 de alimento e $5.000.20 dos para essa economia gerar negócios de $130. Use redução por linhas para encontrar um vetor de produção que atenda essa demanda exatamente.00 de moradia requer Projeto de web Software Rede $0.20 $ 0. • Economias: aberta. $0.20 $ 0. L utiliza $0. 4. 7. Duas oficinas de conserto de veículos.20 segundo setor. consumo C.00 de serviços mecâ- nicos e $14. economia gerar negócios de $7. $2.25 dos serviços de L e. Considere a economia aberta descrita pela tabela dada.40 (a) Mostre que a economia pode atender uma demanda de Alimentação $ 0.00 de serviços de lataria? Tabela Ex-4 2.00 de negócios que M faz.00 de alimento requer $0.40 $ 0. de $1.00 de alimento e $130. onde o insumo é em mecânica (M) e outra de lataria (L). Considere a companhia como uma mica para o resultado da parte (a).30 $ 0. • Vetor demanda externa Conjunto de exercícios 1.30 d1  2 unidades do primeiro setor e d2  0 unidades do Serviços $ 0.50 de seus próprios serviços e $0. uma que trata da parte economia aberta descrita pela tabela dada.60 de moradia. .  (b) Suponha que o setor aberto tenha uma demanda no valor 5.00 de produto.00 de negócios que L faz.00 de moradia? 3. use inversão matricial para encontrar de produto. Uma companhia produz projetos de web. Uma economia simples produz alimento (A) e moradia (M). Rede $ 0.10 $ 0. Fornecedor Projeto de Web $ 0.25 dos serviços de M. (b) Suponha que os consumidores (o setor aberto) tenham uma para cada $1.790 de serviços.35 $ 0.700 de próprios serviços e $0.00  Nos Exercícios 5–6. onde o insumo é em unidades monetárias ($) necessárias para $1.40 $ 0. A produção de $1.30 de alimento e Insumo requerido para produzir $1 $0.10 de moradia. Software $ 0. demanda externa. • Vetor de consumo demanda intermediária.10 de seus demanda no valor de $5. $3. Para cada $1.20 de alimento e $0. Considere uma economia aberta com matriz de consumo Tabela Ex-3 Insumo requerido para produzir $1 Moradia Alimentação Serviços Fornecedor Moradia $ 0.45 (a) Construa uma matriz de consumo para essa economia. mas não consegue atender uma demanda de d1  2 unidades do primeiro setor e d2  1 unidades do segundo setor.60 $ 0. Use redução por linhas (a) Construa uma matriz de consumo para essa economia. e a produção de $1. software e $900 de serviços de rede.9 1. desenvolve software (b) Dê uma explicação matemática e uma explicação econô- e presta serviços de rede. utilizam uma os serviços unidades monetárias ($) necessárias para $1.15 $ 0. M utiliza (a) Encontre a matriz de consumo para essa economia.930 de moradia. fechada • Entender as relações entre os vetores de um setor de uma • Matriz de consumo (tecnológica) economia: consumo.30 $ 0.000. o vetor de produção x que satisfaz a demanda d para a matriz de (a) Encontre a matriz de consumo para essa economia. da outra. Encontre inteiros positivos que satisfaçam tada de um sistema linear.  1. C cujas somas das entradas de coluna são menores do (d) Se a soma das entradas das colunas da matriz de consumo são que 1 e seja x o vetor de produção que satisfaz a demanda menores do que 1. Introduza parâmetros livres se necessário. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. qual desses setores deve quer A. justificando sua resposta. (c) uma solução a dois parâmetros. ou seja. 5. por 1 unidade e deixando as outras entradas fixas. Se o setor aberto demanda o mesmo valor em unidades mo. (a) Os setores produtores da economia são denominados setores abertos. 5 e 10 centavos tem 13 moedas totalizando 83 centavos. Encontre os valores de a e b com os quais o sistema tem (a) uma única solução. (a) Considere uma economia aberta com matriz de consumo tos de um setor da economia. 1. (c) As linhas de uma matriz de consumo representam os produ- 10. 3. . a matriz aumentada de um sistema linear. ção única com cada vetor demanda d se c21c12  1  c11. Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x e y em ter- mos de x e y. 4. [Sugestão: (AT)1  (A1)T para uma matriz invertível qual- netárias de cada setor produtivo. 8. Mostre que a equação de Leontief x  Cx  d tem uma solu. Prove que o vetor de produção xj que atende essa demanda é xj  j-ésimo vetor coluna de (I  C)1 Capítulo 1 Exercícios suplementares  Nos Exercícios 1–4. Uma caixa contendo moedas de 1.] produzir o maior valor monetário para atender a demanda da economia? Exercícios verdadeiro/falso 9. 7. então a matriz de Leontief é invertível. Considere uma economia aberta com matriz de consumo Nas partes (a)-(e). Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. (d) nenhuma solução. Prove que se C for uma matriz n  n cujas entradas são não negativas e cujas somas das entradas de linhas são menores do que 1. Seja dj o vetor de- (e) A equação de Leontief relaciona o vetor de produção de uma manda que é obtido aumentando a j-ésima entrada de d economia com o vetor demanda externa.9 Modelos econômicos de Leontief 91 8. a matriz dada representa uma matriz aumen. (I  C) 1d  x. (b) Uma economia fechada é uma que não tem setores abertos. externa d.] 11. qual é o significado econômico do j-ésimo vetor coluna de (I  C)1? [Sugestão: observe o vetor xj  x. então I  C é invertível e tem entradas não negativas. Quantas moedas de cada tipo há na caixa? 9. Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x e y em ter- (b) uma solução a um parâmetro. mos de x e y. Para qual(is) valor(es) de a o sistema a seguir tem zero. 10. Seja 2. uma ou uma infinidade de soluções? 6. Considere uma economia aberta com matriz de consumo (b) Em palavras. Encontre valores de a. 3). então definimos (b) (c) Mostre que. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz a equação (a) (C1  D1)1  C(C  D)1D A3  4A2  2A  7I  0 (b) (I  CD)1C  C(I  DC)1 T então A também satisfaz essa equação.92 Álgebra Linear com Aplicações 11. 22. trar que fico do polinômio p(x)  ax2  bx  c passa pelo ponto (1. 6) e (2. e só se. Como deveriam ser escolhidos os coeficientes a. n1 se A 15. então (a) Mostre que (I  A)1  I  A  A2  A3 se A4  0. Prove: se B for invertível. então AB1  B1A se. (c) (C  DDT)1D  C1D(I  DTC1D)1 . sendo 19. 23. (a) são funções deriváveis de x. Supondo que as inversas envolvidas existam. então Enuncie todas as hipóteses necessárias para obter essa fór- mula. então A  B e I  BA1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis. Em cada parte. 18. 9). e c tais que o gráfico do polinômio (c) p(x)  ax2  bx  c passe pelos pontos (1. prove as igual- dades a seguir. 24. 2). Encontre uma matriz K tal que AKB  C. Mos- tre que se n > 1. estão definidas. y  1 e z  2? 13. AB  BA. se as entradas de A e B forem funções deriváveis de x e os tamanhos das matrizes forem tais que as operações 14. (Requer Cálculo) Encontre valores de a. b. b e c para que o sistema em que é a média das entradas na i-ésima linha de A. Seja A uma matriz quadrada. Prove: se A for invertível. 0) e tem uma tangente horizontal em (2. Seja Jn a matriz n  n com todas as entradas iguais a 1. b. 20. (Requer Cálculo) Use a parte (c) do Exercício 22 para mos- 16. e c tais que o grá. então 12. (a) (b) Mostre que (I  A)1  I  A  A2  · · ·  An (b)  0. resolva a equação matricial para X. 21. (Requer Cálculo) Se as entradas da matriz tenha a solução x  1. (1. Prove: se A for uma matriz m  n e B. a matriz n  1 com todas as entradas iguais a 1/n. 17. 3 Propriedades dos determinantes. Isso nos dará condições para obter uma fórmula específica para a inversa de uma matriz invertível. nosso interesse predominante nos determinantes deriva do fato de relacionarem vários conceitos da Álgebra Linear e fornecerem uma fórmula útil para a inversa de uma matriz. como f(x)  x2. Ainda que possam ser úteis na resolução de sistemas lineares muito pequenos (digamos. Para isso. denotando uma matriz 2  2 por . mais precisamente. em duas ou três incógnitas).5.1 Determinantes por expansão em cofatores 93 2. 2.1 Determinantes por expansão em cofatores Nesta seção.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 100 2. quando até agora só dispomos de um procedimento computacional para encontrá-la. é conveniente usar entradas com índices ao escrever matrizes ou determinantes. e que a inversa de A pode ser expressa em termos do determinante por (2) Um dos principais objetivos deste capítulo é o de obter análogos da fórmula (2) que sejam Menores e cofatores aplicáveis a matrizes quadradas de todas as ordens. “funções determinante”. Essa fórmula. não são mais usados com esse propósito nas aplicações do mundo real. definimos a noção de “determinante”. Diferentemente de funções reais. CAPÍTULO 2 Determinantes CONTEÚDO DO CAPÍTULO 2. Lembre. que esse determinante é denotado escrevendo não esquecer que det(A) é um número. as funções determinante associam um número real f (A) a uma variável matricial A. vai acabar fornecendo uma fórmula para a resolução de certos tipos de sistemas lineares. por sua vez. Embora os determinantes tenham surgido primeiro no contexto de resolução de sistemas de equações lineares. que diz que a matriz 2  2 é invertível se ad  bc  0 e que a expressão ad  bc é denominada determinante da ADVERTÊNCIA É importante matriz A. Assim. regra de Cramer 106 INTRODUÇÃO Neste capítulo. estudamos “determinantes” ou. que associam um número real f(x) a uma variável real x. Lembre-se do Teorema 1. também.4. enquanto A é uma ma- det(A)  ad  bc ou (1) triz. quadrado. mesmo que se- jam números e não matrizes. que escreveu o seguinte num artigo científico publicado em 1850: “Agora conceba uma linha e uma coluna quaisquer sendo canceladas..com.br/ 94 Álgebra Linear com Aplicações as duas equações em (1) tomam a forma Definimos o determinante de uma matriz A  [a11] de tama- nho 1  1 por (3) det[A]  det[a11]  a11 A definição seguinte é fundamental para o nosso objetivo de definir o determinante de uma matriz de ordem superior.” . cada um dos quais representa o que eu vou denominar “Primeiro Determi- nante Menor” relativo ao determinante principal ou completo. que o utilizou para “determinar” as propriedades de certos tipos de funções. o menor da entrada a32 é O cofator de a32 é C32  (1) M32  M32  26  32 Nota histórica O termo determinante foi introduzido pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss. Nota histórica Aparentemente. variando a linha e coluna excluídas dentre todas as seleções possíveis. em 1801 (ver nota à página 15). o termo menor é devido ao matemático inglês James Sylvester (ver nota à página 34). então o menor da entrada a i j é denota- do por M i j e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.blogspot.. e obtemos um . por serem as matrizes consideradas um recipiente de determinantes.  E X E M PLO 1 Encontrando menores e cofatores Seja O menor da entrada a11 é ADVERTÊNCIA Seguimos a convenção padrão de usar letras maiúsculas para denotar meno- res e cofatores. O número (1)ij Mi j é denotado por C i j e é denominado cofator da entrada a i j . É interessante observar que o termo matriz deriva da palavra em latim para “ventre”.https://livros-pdf-ciencias-exatas. com um termo a menos em largura e profundidade do que o quadrado original. O cofator de a11 é C11  (1) M11  M11  16 11 Analogamente. DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz quadrada. obtemos n desses quadrados menores. e supondo que o quadrado original consista em 2 n linhas e n colunas. realmente nunca é preciso calcular (1)ij para encontrar Cij: basta cal- cular o menor Mij e ajustar o sinal. Definição de um monstração.  E X E M P L O 2 Expansão em cofatores de uma matriz 2 ⴛ 2 O padrão de tabuleiro de xadrez de uma matriz A  [aij] de tamanho 2  2 é de modo que C11  M11  a22 C12  M12  a21 C21  −M21  a12 C22  M22  a11 Deixamos para o leitor usar a Fórmula (3) para verificar que det(A) pode ser expresso em termos de cofatores das quatro maneiras a seguir. que enunciamos sem de. na terceira. todas elas vêm da primeira coluna de A. Em cada expansão de cofatores. . de acordo com o padrão do tabuleiro de xadrez. Assim. Esse resultado nos permite apresentar a próxima definição. Por exemplo. todas elas vêm da segunda linha de A. (4) Cada uma das quatro últimas equações é denominada expansão em cofatores do det(A). sempre obteremos o mesmo número multiplicando as entra- das daquela linha ou coluna pelos cofatores correspondentes e somando os produtos obtidos. C21  M21. e na quarta.  A Fórmula (4) é um caso especial do resultado geral seguinte. todas elas vêm da segunda coluna de A. então independentemente de qual linha ou coluna escolhermos. Teste isso no Exemplo 1. e que o sinal (1)ij que os relaciona é 1 ou 1 de acordo com o padrão de tabuleiro de xadrez Por exemplo. na segunda.1 Se A for uma matriz n  n. C11  M11. C22  M22 e assim por diante. na primeira equação. 2. todas as entradas e os cofatores vêm da primeira linha de A.1 Determinantes por expansão em cofatores 95 Observação Observe que um menor Mij e seu cofator correspondente Cij são ou iguais ou nega- tivos um do outro. se necessário. todas as entradas e os cofatores vêm da mesma linha ou coluna de A. determinante geral TEOREMA 2.1. que foi o autor de Alice no País das Maravilhas e Pelo Espelho sob o pseudônimo de Lewis Carroll. det(A)  a1jC1j  a2jC2j  · · ·  anjCnj (5) [expansão em cofatores ao longo da coluna j] e det(A)  ai1Ci1  ai2Ci2  · · ·  ainCin (6) [expansão em cofatores ao longo da linha i]  E X E M P L O 3 Expansão em cofatores ao longo da primeira linha Encontre o determinante da matriz expandindo em cofatores ao longo da primeira linha. porque o terceiro foi mul- tiplicado por zero. ou seja. As próprias somas são denominadas expansões em cofatores de det(A). Nota histórica A expansão em cofatores não é o único método para expressar o determinante de uma matriz em termos de determinantes de ordens menores. Solução  E X E M P L O 4 Expansão em cofatores ao longo da primeira coluna Seja A a matriz do Exemplo 3. [Imagem: Time & Life Pictures/Getty Images. denominado “condensação”. o matemático inglês Charles Dodgson. inventou um tal método. só Solução dois. Isso está de acordo com o resultado obtido no Exemplo 3. enquanto no Exemplo 3. no Exemplo 4.96 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 2 Se A for uma matriz de tamanho n  n. Calcule det(A) expandindo em cofatores ao longo da pri- Observe que. Por exemplo. precisamos calcular três cofato- res. a melhor estratégia para calcular uma expansão em cofatores é expandir ao longo de uma linha ou coluna com o maior número de zeros. Inc.] Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll) (1832–1898) . embora não seja muito bem conhecido. meira coluna de A. então o número obtido mul- tiplicando as entradas de uma linha ou coluna qualquer de A pelos cofatores corres- pondentes e somando os produtos assim obtidos é denominado determinante de A. Como uma regra geral. Esse método foi recentemente ressuscitado da obs- curidade por ser especialmente adequado para o processamento paralelo em computadores. 2.2 Se A for uma matriz triangular n  n (triangular superior. det(A)  a11a22 · · · ann . então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal da matriz. inferior ou diagonal).1. Cada parte da conta usa uma expansão em cofatores ao longo da primeira linha. Os determinantes de matrizes 2  2 e 3  3 podem ser calculados muito eficientemente Uma técnica útil para calcular usando o padrão sugerido na Figura 2. que é a que tem mais zeros.  E X E M P L O 6 Determinante de uma matriz triangular inferior As contas a seguir mostram que o determinante de uma matriz triangular inferior 4  4 é o produto de suas entradas diagonais. ou seja. No caso 3  3.  O método ilustrado no Exemplo 6 pode ser facilmente adaptado para provar o próxi- mo resultado geral.1. a maneira mais fácil é usar expansão em cofatores ao longo de sua segunda coluna. TEOREMA 2. determinantes 2  2 e 3  3 a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32  Figura 2.1 No caso 2  2.1. que é a que tem mais zeros.1 Determinantes por expansão em cofatores 97  E X E M P L O 5 Uma escolha esperta de linha ou coluna Se A for a matriz 4  4 então a maneira mais fácil de calcular det(A) é expandir em cofatores ao longo da segunda coluna. primeiro copiamos as primeira e segunda colunas conforme indicado na figura e depois podemos calcular o determinante somando o produto das entradas nas setas para a .1. o determinante pode ser calculado formando o produto das entradas na seta para a direita e subtraindo o produto das entradas na seta para a esquerda. Para o determinante 3  3. nantes de matrizes 2  2 e 3  3.  E X E M PLO 7 Uma técnica para calcular determinantes 2 ⴛ 2 e 3 ⴛ 3  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Determinante • Encontrar os menores e cofatores de uma matriz quadrada. • Menor • Usar a expansão em cofatores para calcular o • Cofator determinante de uma matriz quadrada. Seja matriz A. (b) M23 e C23. • Encontrar mentalmente o determinante de uma matriz triangular superior. Esse procedimento setas só funciona com determi. Encontre 2. (d) M21 e C21. executa as seguintes contas. (c) M22 e C22. inferior ou diagonal. Conjunto de exercícios 2.1  Nos Exercícios 1–2. • Usar o determinante de uma matriz invertível 2  2 para encontrar a inversa dessa matriz. encontre todos os menores e cofatores da 3. que estão de acordo com a expansão em cofatores ao longo da primeira linha. • Expansão em cofatores • Usar a técnica de setas calcular o determinante de uma matriz 2  2 ou 3  3. .  1.98 Álgebra Linear com Aplicações ADVERTÊNCIA A técnica de direita e subtraindo os produtos das entradas nas setas para a esquerda. (a) M13 e C13. 15.br/ 2. (d) M24 e C24. 17. use a Equação (2) pra encontrar a inversa.com.https://livros-pdf-ciencias-exatas.  11. 26. calcule det(A) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.  Nos Exercícios 9–14. e só se. 29. (b) M44 e C44. Seja  Nos Exercícios 21–26. 28. 16. obtenha por inspeção o determinante da matriz dada. calcule o determinante da matriz.  Nos Exercícios 27–32.  31. 23. 27. Calcule o determinante da matriz do Exercício 12 usando uma comutam se. Mostre que as matrizes (a) da primeira linha (b) da primeira coluna (c) da segunda linha (d) da segunda coluna (e) da terceira linha (f) da terceira coluna 20.1 Determinantes por expansão em cofatores 99 4. (c) M41 e C41. expansão em cofatores ao longo (a) da primeira linha (b) da primeira coluna (c) da segunda linha (d) da segunda coluna (e) da terceira linha (f) da terceira coluna . 14.  21. 8. Encontre (a) M32 e C32. Mostre que o valor do determinante independe de ␪. Se a matriz for invertível.  Nos Exercícios 15–18.  9. 6. 19. 5. use a técnica de setas para calcular o determinante da matriz. 10. 12. 22. 32.blogspot. encontre todos os valores de ␭ com os quais (A)  0. 18. 24. 30. Calcule o determinante da matriz do Exercício 13 usando uma expansão em cofatores ao longo 34. 33. 13.  25.  Nos Exercícios 5–8. 7. b1) e (a2. mostramos como calcular um determinante por meio da redução da matriz associada à forma escalonada por linhas. Mostre que justificando sua resposta. 37. y3) são colineares se. descubra uma relação entre os determinantes 42. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. então det(A)  0. (x2. Prove que os pontos (x1. e só se.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas Nesta seção. então 38. ter sem ter determinante zero? Explique seu raciocínio. (b) Duas matrizes quadradas A e B podem ter o mesmo determi- para qualquer matriz A de tamanho 2  2. com quaisquer i e j. temos 41. podemos usar a linha ou coluna de zeros. (g) Dados uma matriz quadrada A e um escalar c quaisquer. e só se. Um teorema básico Começamos com um teorema fundamental que nos leva a um procedimento eficiente para calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer tamanho. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz 4  4 pode dente da linha ou coluna escolhida para a expansão.1 Seja A uma matriz quadrada. (d) Se A for uma matriz simétrica de tamanho 3  3. então Bij é triangular superior se i  j. com todas as entradas iguais a 1? Explique seu raciocínio. Sem fazer contas. (f) O determinante de uma matriz triangular inferior é a soma 40. te- mos det(cA)  c det(A). ter sem ter determinante zero? Explique seu raciocínio. y2) e (x3. portanto. Prova Como o determinante de A pode ser obtido por uma coleção de expansões em cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna.100 Álgebra Linear com Aplicações 35. esse método requer menos cálculos que a expansão em cofatores e é. temos det(A  B)  det(A)  det(B) (i) Dada qualquer matriz A de tamanho 2  2. O que pode ser dito sobre um determinante de enésima ordem (c) O menor Mij é igual ao cofator Cij se. e só se. (a) O determinante da matriz de tamanho 2  2 é ad  bc. das entradas ao longo de sua diagonal principal. i  j for par. TEOREMA 2. 36. (h) Dadas quaisquer matrizes quadradas A e B. Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros. (a1. Prove que se A for uma matriz triangular superior e se Bij for a matriz que resulta quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Exercícios Verdadeiro/Falso Nas partes (a)-(j). Prove: a equação da reta que passa pelos pontos distintos det(A2)  (det(A))2. (e) O valor da expansão em cofatores de uma matriz A é indepen- 39. y1). Em geral. o método preferido para matrizes grandes. forem de mesmo tamanho.2. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz 3  3 pode Cij  Cij. nante se. . b2) pode ser escrita como 2. . determinante.3. (c) Se B for a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado a uma outra linha. C13 ao longo dessa linha (já que esses cofatores dependem somente das entradas nas duas . det(B) = det(A) Verificamos a primeira equação da Tabela 1 e deixamos as outras duas para o leitor.1 que det(A)  0 · C1  0 · C2  · · ·  0 · Cn  0  O teorema útil a seguir relaciona o determinante de uma matriz com o determinante de sua transposta. Assim. C2. a expansão em cofatores de A ao longo de qualquer linha é igual à expansão em companheira sobre as colunas.  O próximo teorema mostra como uma operação elementar com as linhas de uma matriz Operações elementares com quadrada afeta o valor de seu determinante. . quase todo teorema sobre as linhas de um Prova Como transpor uma matriz troca suas colunas para linhas e suas linhas para co.2. então det(B)  k det(A). então det(B)  det(A). fornecemos as linhas uma tabela para ilustrar as ideias no caso 3  3 (ver Tabela 1). determinantes tem uma versão lunas. (b) Se B for a matriz que resulta quando duas linhas ou colunas de A são permutadas. mostra que podemos trazer um fator de qualquer linha (ou co- luna) de um determinante para fora do determinante. denotando os cofatores de A ao longo dessa linha ou coluna por C1.2. Essa é det(B) ⴝ kdet(A) uma maneira ligeiramente dife- A primeira e a segunda linhas de A são rente de interpretar a parte (a) permutadas.2 Seja A uma matriz quadrada. TEOREMA 2. ou quando um múltiplo de uma coluna de A é somado a uma outra coluna. do Teorema 2. TEOREMA 2. ambas matrizes têm o mesmo vice-versa. . então det(B)  det(A) Tabela 1 Relação Operação O primeiro painel da Tabela 1 A primeira linha de A é multiplicada por k.2. e cofatores de AT ao longo da coluna correspondente. (a) Se B for a matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multipli- cada por um escalar k. .2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 101 Assim. Cn. 2. de modo que esses determinantes têm os mesmos cofatores C11.3 Seja A uma matriz n  n. Para começar. observe que os determinantes dos dois lados da equação diferem apenas em sua primeira linha. Então det(A)  det(A ). então segue da Fórmula (5) ou (6) da Seção 2. C12. T Como transpor uma matriz troca suas colunas para linhas e suas linhas para colunas. Em vez de uma prova formal. det(B) = −det(A) Um múltiplo da segunda linha de A é somado à primeira linha. 3 9 1 5 3 9 1 5 portanto. Nesse caso especial. TEOREMA 2. e E (em vez de B) denota a matriz elementar que resulta de efetuar a operação ele- mentar com a linha de In. Mas somar um múltiplo de uma linha ou coluna a uma outra não muda o determinante.  A segunda linha de I4 7 vezes a última linha A primeira e última foi multiplicada por 3.  E X E M P L O 1 Determinantes de matrizes elementares Os determinantes de matrizes elementares seguintes.2. (b) Se E resulta da permutação de duas linhas de In. então det(A)  0. então det(E)  k. de modo que. Matrizes com linhas ou Se uma matriz quadrada A tem duas linhas proporcionais.4. o Teorema 2.2. então det(E)  1. pelo Teorema 2.102 Álgebra Linear com Aplicações linhas de baixo). somamos –2 vezes a primeira linha à segunda para 1 1 4 8 1 1 4 8 introduzir uma linha de zeros. devemos ter det(A)  0. (c) Se E resulta da soma de um múltiplo de uma linha de In com uma outra linha.3 em que A  In é a matriz identida- de n  n.1. . uma matriz elementar não pode ser zero.2. Assim. TEOREMA 2.2. então det(E)  1.  E X E M P L O 2 Introduzindo linhas de zeros O próximo cálculo mostra como introduzir uma linha de zeros quando há duas linhas proporcionais. de I4 foi somada à linhas de I4 foram primeira linha. obtemos Matrizes elementares É útil considerar o caso especial do Teorema 2. (a) Se E resulta da multiplicação de uma linha de In por um número não nulo k.3 implica o resultado seguinte. permutadas. 1 3 2 4 1 3 2 4 2 6 4 8 0 0 0 0  0 A segunda linha é 2 vezes a primeira. Analogamente para colunas. Isso prova o teorema seguinte.5 Se A for uma matriz quadrada com duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais.2. expandindo o lado esquerdo em cofatores ao longo da primeira linha.4 Seja E uma matriz elementar n  n. Observe que o determinante de ilustram o Teorema 2. que são calculados mentalmente. então pode ser introduzida colunas proporcionais uma linha de zeros somando um múltiplo conveniente de uma das duas linhas à outra.2. sendo Solução Vamos reduzir A a uma forma escalonada (que é triangular superior) e. agora. 0 1 5 3 6 9 det(A)  3 6 9  0 1 5 A primeira e segunda linhas de A foram permutadas. 2 6 1 2 6 1 Mesmo com os computadores 1 2 3 mais velozes de hoje. Vejamos um exemplo. aplicar o Teorema 2. expansão em cofatores.  E X E M P L O 3 Usando redução por linhas para calcular um determinante Calcule det(A). foi somado à terceira linha. Para determi- nantes pequenos (como os deste 1 2 3 texto). uma escolha razoável é a 3 0 1 5 10 vezes a segunda linha expansão em cofatores. então. 2. levaria milhões de anos para calcular 3 0 1 5 Um fator comum de 3 da um determinante 25  25 por primeira linha foi trazido 2 6 1 para fora do determinante.  Veremos. motivo pelo qual. muitas 3 0 1 5 2 vezes a primeira linha vezes. assim. métodos com base em re- foi somado à terceira linha. 0 10 5 dução por linhas. finalmente. cada uma tem determinante zero. 0 0 55 1 2 3  (3)(55) 0 1 5 Um fator comum de 55 da última linha foi trazido para 0 10 5 fora do determinante. um método para calcular determinantes que envolve substancialmente Calculando determinantes menos cálculos do que a expansão em cofatores. para determinantes 1 2 3 grandes.2. depois cal- cular o determinante da matriz triangular superior (uma conta fácil) e.1. relacio- nar esse determinante com o da matriz original.  (3)(55)(1)  165  E X E M PLO 4 Usando operações com colunas para calcular um determinante Calcule o determinante de .2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 103 Cada uma das matrizes a seguir tem duas linhas ou colunas proporcionais. são utilizados. A ideia do método é reduzir a matriz com redução por linhas dada ao formato triangular superior por operações elementares com as linhas. Essa ideia é ilustrada no próximo exemplo.104 Álgebra Linear com Aplicações Solução Esse determinante poderia ser calculado como o anterior. obtemos 0 1 1 3 1 2 1 1 det(A)  0 0 3 3 0 1 8 0 1 1 3  0 3 3 Expansão em cofatores ao longo da primeira coluna. • Usar operações com as colunas para calcular o • Conhecer o determinante dos três tipos de matrizes determinante de uma matriz. Às vezes. . 18 Aptidões desenvolvidas • Usar a redução por linhas para calcular o determinante de • Conhecer o efeito de operações elementares com linhas uma matriz. a expansão em cofatores e as operações com linhas e colunas podem ser usadas em combinação para fornecer um método eficaz de calcular determinantes.  E X E M PLO 5 Operações com linhas e expansão em cofatores Calcule det(A). somando 3 vezes a primeira à quarta colunas para obter O Exemplo 4 ressalta a utilidade de manter a atenção voltada às  operações com colunas que po- dem encurtar nossas contas. • Combinar o uso de redução por linhas e expansão em • Saber como introduzir zeros nas linhas ou colunas de uma cofatores para calcular o determinante de uma matriz. no valor do determinante. mas podemos colocar A em forma triangular inferior em um passo. 0 9 3 3 3 (1) Expansão em cofatores ao 9 3 longo da primeira coluna. 1 8 0 1 1 3  0 3 3 Somamos a primeira linha à terceira. com Solução Somando múltiplos convenientes da segunda linha às demais linhas. elementares. matriz para facilitar o cálculo de seu determinante. usando operações elementares com linhas para reduzir A à forma escalonada. https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 2.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 105 Conjunto de exercícios 2.2  Nos Exercícios 1–4, verifique que det(A)  det(AT ).  18. Repita os Exercícios 10–13 usando uma combinação de ope- rações com linhas e expansão em cofatores. 1. 2. 19. Repita os Exercícios 14–17 usando uma combinação de ope- rações com linhas e expansão em cofatores. 3. 4.  Nos Exercícios 20–27, calcule o determinante, sabendo que   Nos Exercícios 5–9, calcule por inspeção o determinante da matriz elementar dada.  20. 21. 22. 5. 6. 23. 24. 7. 8. 25. 26. 9. 27. Nos Exercícios 10–17, calcule o determinante da matriz dada 28. Mostre que reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.  (a) 10. 11. 12. 13. (b) 29. Use redução por linhas para mostrar que 14. 15. 16.  Nos Exercícios 30–33, confirme as identidades sem calcular o determinante diretamente.  30. 17. 31. 106 Álgebra Linear com Aplicações Exercícios verdadeiro/falso 32. Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se A for uma matriz 4 ⫻ 4 e B a matriz que resulta se trocar- mos entre si as duas primeiras linhas de A e depois trocarmos 33. entre si as duas últimas linhas de A, então det(B) ⫽ det(A). (b) Se A for uma matriz 3 ⫻ 3 e B a matriz que resulta se multi- plicarmos a primeira coluna por 4 e a terceira coluna por , 34. Encontre o determinante da matriz então det(B) ⫽ 3 det(A). (c) Se A for uma matriz 3 ⫻ 3 e B a matriz que resulta se somar- mos 5 vezes a primeira linha à segunda e à terceira linhas de A, então det(B) ⫽ 25 det(A). (d) Se A for uma matriz n ⫻ n e B a matriz que resulta se multi- plicarmos cada linha de A pelo índice dessa linha, então Nos Exercícios 35–36, mostre que det(A) ⫽ 0 sem calcular o determinante diretamente.  (e) Se A for uma matriz quadrada com duas colunas idênticas, então det(A) ⫽ 0. 35. (f) Se a soma do segundo com o quarto vetor linha de uma ma- triz A de tamanho 6 ⫻ 6 for igual ao último vetor linha, então det(A) ⫽ 0. 36. 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer Nesta seção, desenvolvemos algumas propriedades fundamentais dos determinantes e utilizamos esses resultados para deduzir uma fórmula para a inversa de uma matriz invertível e fórmulas para as soluções de certos tipos de sistemas lineares. Propriedades básicas dos Suponha que A e B sejam matrizes n ⫻ n e que k seja um escalar qualquer. Começamos determinantes considerando as possíveis relações entre det(A), det(B) e det(kA), det(A ⫹ B), e det(AB) Como um fator comum de qualquer linha de uma matriz pode ser trazido para fora do determinante e como cada uma das n linhas de kA tem o fator k em comum, segue que det(kA) ⫽ kn det(A) (1) Por exemplo, Infelizmente, em geral não existem relações simples entre det(A), det(B) e o determi- nante da soma det(A ⫹ B). Em particular, enfatizamos que det(A ⫹ B) geralmente não é igual a det(A) ⫹ det(B). Isso é ilustrado pelo próximo exemplo. https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 107  E X E M PLO 1 det(A ⴙ B)  det(A) ⴙ det(B) Considere Temos det(A)  1, det(B)  8 e det(A  B)  23; assim, det(A  B)  det(A)  det(B)  Não obstante o aspecto negativo do exemplo precedente, existe uma relação útil que trata de somas de determinantes e que é aplicável quando as matrizes envolvidas são iguais exceto por uma linha (ou coluna). Por exemplo, considere as duas matrizes seguin- tes, que só diferem na segunda linha. Calculando os determinantes de A e B, obtemos Assim, Esse é um caso especial do resultado geral que segue. TEOREMA 2.3.1 Sejam A, B e C matrizes n  n que diferem somente em uma única linha, digamos, a r-ésima, e suponha que a r-ésima linha de C possa ser obtida soman- do as entradas correspondentes nas r-ésimas linhas de A e B. Então det(C)  det(A)  det(B) O mesmo resultado vale para colunas.  E X E M P L O 2 Somas de determinantes Deixamos para o leitor confirmar a igualdade seguinte calculando os determinantes.  Considerando a complexidade das fórmulas de determinantes e multiplicação matricial, Determinante de um produto poderia parecer improvável que existisse alguma relação simples entre esses conceitos. matricial Isso é o que faz tão surpreendente a simplicidade do nosso próximo resultado. Mostrare- mos que se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho, então det(AB)  det(A) det(B) (2) A prova desse teorema é razoavelmente complexa, de modo que vamos precisar desenvol- ver primeiro alguns resultados preliminares. Começamos com o caso especial de (2) em que A é uma matriz elementar. Como esse caso especial é só um prelúdio para (2), vamos denominá-lo lema. 108 Álgebra Linear com Aplicações LEMA 2.3.2 Se B for uma matriz n  n e E uma matriz elementar n  n, então det(EB)  det(E) det(B) Prova Consideramos três casos, um para cada uma das operações com linhas que pro- duzem a matriz E. Caso 1 Se E for o resultado da multiplicação de uma linha de In por k, então, pelo Teo- rema 1.5.1, o resultado da multiplicação da linha correspondente de B por k é EB; logo, pelo Teorema 2.2.3(a), temos det(EB)  k det(B) Mas, pelo Teorema 2.2.4(a), sabemos que det(E)  k, portanto, det(EB)  det(E) det(B) Casos 2 e 3 As provas dos casos em que E é o resultado da troca de duas linhas de In entre si ou da soma de um múltiplo de uma linha com uma outra linha de In seguem o mesmo padrão do Caso 1 e são deixadas como exercícios.  Observação Da aplicação repetida do Lema 2.3.2 segue que se B for uma matriz n  n e se E1, E2, . . . , Er forem matrizes elementares n  n, então det(E1E2 · · · Er B)  det(E1) det(E2) · · · det(Er ) det(B) (3) Teste do determinante para a Nosso próximo teorema fornece um critério importante para determinar se uma matriz é invertibilidade invertível. Também nos leva um passo mais próximo de mostrar a Fórmula (2). TEOREMA 2.3.3 Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, det(A)  0. Prova Seja R a forma escalonada reduzida por linhas de A. Como um passo preliminar, vamos mostrar que det(A) e det(R) são ambos nulos ou ambos não nulos. Sejam E1, E2, . . . , Er as matrizes elementares que correspondem às operações elementares com linhas que produzem R a partir de A. Assim, R  Er · · · E2E1A e, por (3), det(R)  det(Er ) · · · det(E2) det(E1) det(A) (4) Na nota marginal que acompanha o Teorema 2.2.4, observamos que o determinante de uma matriz elementar é não nulo. Assim, segue da Fórmula (4) que det(A) e det(R) são ambos nulos ou ambos não nulos, o que dá a fundamentação para a parte principal da pro- va. Supondo que A seja invertível, então, pelo Teorema 1.6.4, segue que R  I, de modo Segue dos Teoremas 2.3.3 e que det(R)  1 ( 0) e, consequentemente, det(A)  0, que é o que queríamos provar. 2.2.5 que uma matriz quadrada Reciprocamente, suponha que det(A)  0. Disso decorre que det(R)  0, o que nos com duas linhas ou duas colunas diz que R não pode ter uma linha de zeros. Assim, segue do Teorema 1.4.3 que R  I, de proporcionais é não invertível. modo que A é invertível pelo Teorema 1.6.4.  2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 109 E X E M P L O 3 Testando invertibilidade por determinantes Como a primeira e terceira linhas de são proporcionais, det(A)  0. Assim, A não é invertível.  Agora estamos prontos para o principal resultado relativo a produtos de matrizes. TEOREMA 2.3.4 Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho, então det(AB)  det(A) det(B) Prova Dividimos a prova em dois casos, dependendo de A ser invertível ou não. Se a matriz A for não invertível, então, pelo Teorema 1.6.5, o produto AB também não é. As- sim, pelo Teorema 2.3.3, temos det(AB)  0 e det(A)  0, e segue que det(AB)  det(A) det(B). Suponha agora, que A seja invertível. Pelo Teorema 1.6.4, a matriz A pode ser expres- sa como um produto de matrizes elementares, digamos A  E1E2 · · · Er (5) e, portanto, AB  E1E2 · · · Er B Aplicando (3) a essa equação, obtemos det (AB)  det(E1) det(E2) · · · det(Er ) det(B) e aplicando novamente (3), resulta Augustin Louis Cauchy (1789–1857) det (AB)  det (E1E2 · · · Er ) det(B) Nota histórica Em 1815, o grande que, por (5), pode ser reescrito como det (AB)  det (A) det (B).  matemático francês Augustin Cau- chy publicou um artigo de pesquisa fundamental, no qual apresentou o primeiro tratamento sistemático e  E X E M PLO 4 Verificando que det(AB) ⴝ det(A) det(B) moderno de determinantes. Foi na- Considere as matrizes quele artigo que o Teorema 2.3.4 foi enunciado e provado pela primeira vez em toda sua generalidade. Casos especiais do teorema já haviam sido enunciados e provados antes, mas foi Deixamos para o leitor verificar que Cauchy quem finalizou o resultado. [Imagem: The Granger Collection, det(A)  1, det(B)  23, e det(AB)  23 New York] Assim, det(AB)  det(A) det(B), como garante o Teorema 2.3.4.  110 Álgebra Linear com Aplicações O próximo teorema dá uma relação útil entre o determinante de uma matriz invertível e o determinante de sua inversa. TEOREMA 2.3.5 Se A for invertível, então Prova Como A−1A  I, segue que det (A1A)  det(I). Logo, devemos ter det(A1) det(A)  1. Como det(A)  0, a prova pode ser completada dividindo ambos os lados dessa equação por det(A).  Adjunta de uma matriz Na expansão em cofatores, calculamos det(A) multiplicando as entradas de uma linha ou coluna pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes. Ocorre que se multipli- camos as entradas de uma linha qualquer pelos cofatores de uma outra linha diferente, a soma dos produtos resultantes é sempre zero. (Esse resultado também vale para colunas.) Mesmo omitindo a prova geral, o próximo exemplo ilustra a ideia da prova num caso especial.  E X E M PLO 5 Entradas e cofatores de linhas diferentes Seja Considere a expressão a11C31  a12C32  a13C33 que é formada multiplicando as entradas da primeira linha pelos cofatores das entradas correspondentes da terceira linha e somando os produtos resultantes. Usando o artifício a seguir, mostramos que essa quantidade é zero. Construa uma nova matriz A substituindo a terceira linha de A com uma cópia da primeira linha, ou seja, Sejam C31, C32 e C33 os cofatores das entradas da terceira linha de A. Como as duas pri- meiras linhas de A e A são iguais e como os cálculos para obter C31, C32, C33, C31, C32 e C33 envolvem somente as entradas das duas primeiras linhas de A e A, segue que C31  C31, C32  C32 e C33  C33 Como A tem duas linhas idênticas, segue de (3) que det(A)  0 (6) Por outro lado, calculando det(A) por expansão em cofatores ao longo da terceira linha, dá det(A)  a11C31  a12C32  a13C33  a11C31  a12C32  a13C33 (7) De (6) e (7), obtemos a11C31  a12C32  a13C33  0  2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 111 DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz n  n qualquer e Cij o cofator de aij, então a matriz é denominada matriz de cofatores de A. A transposta dessa matriz é denominada ad- junta de A e denotada por adj(A). E X E M PLO 6 A adjunta de uma matriz 3 ⴛ 3 Seja Os cofatores de A são Leonard Eugene Dickson (1874–1954) de modo que a matriz dos cofatores é Nota histórica O uso do termo ad- junta para a transposta da matriz dos cofatores parece ter sido introduzido pelo matemático norte-americano L. E. Dickson num artigo científico publi- cado por ele em 1902. e a adjunta de A é [Imagem: cortesia da American Mathematical Society]  No Teorema 1.4.5, apresentamos uma fórmula para a inversa de uma matriz 2  2 in- vertível. Nosso próximo teorema estende aquele resultado para matrizes invertíveis n  n. TEOREMA 2.3.6 A inversa de uma matriz usando sua adjunta Se A for uma matriz invertível, então (8) Segue dos Teoremas 2.3.5 e 2.1.2 que se A é uma matriz triangular invertível então, Prova Em primeiro lugar, mostramos que A adj(A)  det(A)I Além disso, usando a fórmula da Considere o produto adjunta, é possível mostrar que são realmente as entradas diago- nais sucessivas de A1 (compare A com A1 no Exemplo 3 da Se- ção 1.7). 112 Álgebra Linear com Aplicações A entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna do produto A adj(A) é ai1Cj1  ai2Cj2 · · ·  ainCjn (9) (ver as linhas destacada nas matrizes). Se i  j, então (9) é a expansão em cofatores de det(A) ao longo da i-ésima linha de A (Teorema 2.1.1) e se i  j, então as entradas da matriz A e os cofatores provêm de linhas diferentes de A, de modo que o valor de (9) é zero. Portanto, (10) Como A é invertível, det(A)  0. Portanto, a Equação (10) pode ser reescrita como Multiplicando ambos lados à esquerda por A1, resulta   E X E M P L O 7 Usando a adjunta para encontrar uma matriz inversa Use (8) para encontrar a inversa da matriz A do Exemplo 6. Solução Deixamos para o leitor conferir que det(A)  64. Assim,  A regra de Cramer Nosso próximo teorema usa a fórmula da inversa de uma matriz invertível para produzir uma fórmula, conhecida como regra de Cramer, para a solução de um sistema linear Ax  b de n equações em n incógnitas no caso em que a matriz de coeficientes A for in- vertível (ou, equivalentemente, se det(A)  0). TEOREMA 2.3.7 Regra de Cramer Se Ax  b for um sistema de n equações lineares em n incógnitas tal que det(A)  0, então o sistema tem uma única solução. Essa solução é em que Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 113 Prova Se det(A)  0, então A é invertível e, pelo Teorema 1.6.2, x  A1b é a única solução de Ax  b. Portanto, pelo Teorema 2.3.6, temos Multiplicando as matrizes, resulta Portanto, a entrada na j-ésima linha de x é (11) Seja, agora, Como Aj difere de A somente na j-ésima coluna, segue que os cofatores das entradas b1, b2, . . . , bn de Aj coincidem com os cofatores das entradas correspondentes da j-ésima coluna de A. A expansão em cofatores de det(Aj ) ao longo da j-ésima coluna é, portanto, det(Aj )  b1C1j  b2C2j  · · ·  bnCnj Substituindo esse resultado em (11), obtemos  Gabriel Cramer (1704–1752) Nota histórica Variações da Regra  E X E M P L O 8 Usando a regra de Cramer para resolver um sistema linear de Cramer eram razoavelmente co- nhecidas antes do matemático suíço Use a regra de Cramer para resolver Gabriel Cramer discuti-la num traba- lho publicado em 1750. Foi a notação superior de Cramer que popularizou o método e levou os matemáticos a associar seu nome à regra. [Imagem: Granger Collection] Solução Com n > 3, a eliminação de Gauss-Jordan é, em geral, mais eficiente para resolver um sis- tema linear de n equações em Portanto, n incógnitas do que a regra de Cramer. O uso mais importan- te dessa regra é na obtenção de propriedades de soluções de um sistema linear sem precisar  resolvê-lo. 114 Álgebra Linear com Aplicações Teorema da equivalência No Teorema 1.6.4, listamos cinco resultados que são equivalentes à invertibilidade de uma matriz A. Concluímos esta seção juntando o Teorema 2.3.3 àquela lista para obter um teorema que relaciona todos os principais tópicos que estudamos até aqui. TEOREMA 2.3.8 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n, então as seguintes afirmações são equivalentes. (a) A é invertível. (b) Ax  0 tem somente a solução trivial. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. (e) Ax  b é consistente com cada matriz b de tamanho n  1. (f) Ax  b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n  1. (g) det(A)  0. OPCIONAL Agora dispomos de toda a maquinaria necessária para provar os dois resultados seguintes, que enunciamos sem provar no Teorema 1.7.1. • Teorema 1.7.1(c) Uma matriz triangular é invertível se, e só se, suas entradas diago- nais são todas não nulas. • Teorema 1.7.1(d) A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior invertível é triangular superior. Prova do Teorema 1.7.1(c) Seja A  [aij ] uma matriz triangular, com entradas diagonais a11, a22, . . . , ann Pelo Teorema 2.1.2, a matriz A é invertível se, e só se, det(A)  a11a22 · · · ann for não nulo, o que vale se, e só se, as entradas diagonais forem todas não nulas. Prova do Teorema 1.7.1(d) Provamos o resultado para matrizes triangulares superiores e deixamos o caso de triangulares inferiores como exercício. Suponha que A seja triangu- lar superior e invertível. Como podemos provar que A1 é triangular superior mostrando que adj(A) é triangular superior ou, equivalentemente, que a matriz de cofatores é triangular inferior. Isso pode ser feito mos- trando que é nulo cada cofator i < j, com i < j (ou seja, acima da diagonal principal). Como Cij  (1)ijMij é suficiente provar que é nulo cada menor Mij, com i < j. Para verificar isso, seja Bij a ma- triz obtida suprimindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A, ou seja, Mij  det(Bij ) (12) Da hipótese i < j, segue que Bij é triangular superior (ver Figura 1.7.1). Como A é triangu- lar superior, sua (i  1)-ésima linha começa com i zeros, pelo menos. Mas a i-ésima linha de Bij é a (i  1)-ésima linha de A com a entrada na j-ésima coluna removida. Como i < j, nenhum dos primeiros i zeros foi removido quando omitmos a j-ésima coluna; assim, a i-ésima linha de Bij começa com i zeros, pelo menos, o que implica que essa linha tem um zero na diagonal principal. Segue agora, pelo Teorema 2.1.2, que det(Bij )  0 e, por (12), que Mij  0.  https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 115 Revisão de conceitos • Usar o determinante para testar uma matriz quanto à • Teste do determinante para invertibilidade invertibilidade. • Matriz de cofatores • Conhecer a relação entre det(A) e det(A1). • Adjunta de uma matriz • Calcular a matriz de cofatores de uma matriz quadrada A. • Regra de Cramer • Calcular adj(A) de uma matriz quadrada A. • Afirmações equivalentes sobre uma matriz invertível • Usar a adjunta de uma matriz invertível para encontrar sua inversa. Aptidões desenvolvidas • Usar a regra de Cramer para resolver um sistema de • Saber como os determinantes se comportam em relação equações lineares. às operações aritméticas básicas, conforme Equação (1), • Conhecer as caracterizações equivalentes da Teorema 2.3.1, Lema 2.3.2 e Teorema 2.3.4. invertibilidade de uma matriz dadas no Teorema 2.3.8. Conjunto de exercícios 2.3  Nos Exercícios 1–4, verifique que det(kA)  kn det(A).  13. 14. 1. 2.  Nos Exercícios 15–18, encontre os valores de k com os quais 3. A é invertível.  15. 16. 4. 17. 18. Nos Exercícios 5–6, verifique que det(AB)  det(BA) e deter- mine se vale a igualdade det(A  B)  det(A)  det(B).   Nos Exercícios 19–23, decida se a matriz é invertível e, caso for, use o método da adjunta para encontrar a inversa.  5. 19. 20. 6. 21. 22. Nos Exercícios 7–14, use determinantes para decidir se a ma- triz é invertível.  23. 7. 8.  Nos Exercícios 24–29, resolva usando a regra de Cramer, 9. 10. quando aplicável.  24. 25. 11. 12. 26. 27. 116 Álgebra Linear com Aplicações 28. 36. Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 4  4 com det(A)  2. (a) det(A) (b) det(A1) (c) det(2AT ) (d) det(A3) 37. Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma 29. matriz 3  3 com det(A)  7. (a) det(3A) (b) det(A1) 1 (c) det(2A ) (d) det((2A)1) 30. Mostre que a matriz 38. Prove que uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, ATA é invertível. 39. Mostre que se A for uma matriz quadrada, então det(ATA)  det(AAT ). é invertível com qualquer valor de ␪; em seguida, encontre A1 Exercícios verdadeiro/falso usando o Teorema 2.3.6. Nas partes (a)-(l), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, 31. Use a regra de Cramer para resolver em y sem resolver nas justificando sua resposta. incógnitas x, z e w. (a) Se A for uma matriz 3  3, então det(2A)  2 det(A). (b) Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho tais que det(A)  det(B), então det(A  B)  2 det(A). (c) Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho e A for invertível, então det(A1BA)  det(B) 32. Seja Ax  b o sistema do Exercício 31. (d) Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, det(A)  0. (a) Resolva o sistema pela regra de Cramer. (e) A matriz de cofatores de A é precisamente [adj(A)]T. (b) Resolva o sistema por eliminação de Gauss-Jordan. (f) Para cada matriz A de tamanho n  n, temos (c) Qual método envolve menos contas? 33. Prove que se det(A)  1 e todas as entradas de A são números A · adj(A)  (det(A))In inteiros, então todas as entradas de A1 também são inteiros. (g) Se A for uma matriz quadrada, e o sistema linear Ax  b tiver 34. Seja Ax  b um sistema de n equações lineares em n incóg- soluções múltiplas para x, então det(A)  0. nitas com todos os coeficientes e as constantes números intei- (h) Se A for uma matriz de tamanho n  n, e existir uma matriz ros. Prove que se det(A)  1, então a solução x tem entradas b de tamanho n  1 tal que o sistema linear Ax  b não tem inteiras. soluções, então a forma escalonada reduzida de A não pode 35. Seja ser In. (i) Se E for uma matriz elementar, então Ex  0 só tem a solu- ção trivial. (j) Dada uma matriz invertível A, o sistema linear Ax  b tem somente a solução trivial se, e só se, o sistema linear Supondo que det(A)  7, obtenha A1x  0 tem somente a solução trivial. (a) det(3A) (b) det(A1) (c) det(2A1) (k) Se A for invertível, então adj(A) também será invertível. (l) Se A tem uma linha de zeros, então adj(A) também tem. 1 (d) det((2A) ) (e) 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 117 Capítulo 2 Exercícios suplementares  Nos Exercícios 1–8, calcule o determinante da matriz usando  Nos Exercícios 17–24, use o método da adjunta (Teorema (a) a expansão em cofatores e (b) as operações elementares com as 2.3.6) para encontrar a inversa da matriz dada, se existir.  linhas para introduzir zeros na matriz.  17. A matriz do Exercício 1. 18. A matriz do Exercício 2. 19. A matriz do Exercício 3. 20. A matriz do Exercício 4. 1. 2. 21. A matriz do Exercício 5. 22. A matriz do Exercício 6. 23. A matriz do Exercício 7. 24. A matriz do Exercício 8. 25. Use a regra de Cramer para resolver x e y em termos de x e y. 3. 4. 5. 6. 26. Use a regra de Cramer para resolver x e y em termos de x e y. x  x cos ␪  y sen ␪ y  x sen ␪  y cos ␪ 7. 8. 27. Examinando o determinante da matriz de coeficientes, mostre que o sistema dado tem uma solução não trivial se, e só se, ␣  ␤. 9. Calcule os determinantes nos Exercícios 3–6 usando a técnica das setas (ver Exemplo 7 da Seção 2.1). 10. (a) Construa uma matriz 4  4 cujo determinante seja fácil de calcular usando expansão em cofatores, mas difícil de calcular usando operações elementares com linhas. 28. Seja A uma matriz 3  3 com todas as entradas iguais a 0 ou 1. Qual é o maior valor possível para det(A)? (b) Construa uma matriz 4  4 cujo determinante seja fácil de calcular usando operações elementares com linhas, 29. (a) Para o triângulo da figura dada, use trigonometria para mas difícil de calcular usando expansão em cofatores. mostrar que 11. Use o determinante para decidir se as matrizes dos Exercícios b cos ␥  c cos ␤  a 1–4 são invertíveis. c cos ␣  a cos ␥  b 12. Use o determinante para decidir se as matrizes dos Exercícios a cos ␤  b cos ␣  c 5–8 são invertíveis. e, então, aplique a regra de Cramer para mostrar que  Nos Exercícios 13–15, encontre o determinante da matriz usando qualquer método.  (b) Use a regra de Cramer para obter fórmulas análogas para 13. 14. ␤ e ␥. ␥ b a ␣ ␤ 15. c  Figura Ex-29 30. Use determinantes para mostrar que, com qualquer valor de ␭, a única solução de 16. Resolva para x. é x  0, y  0. 118 Álgebra Linear com Aplicações 31. Prove: se A for invertível, então adj(A) é invertível e (b) Use o resultado da parte (a) para encontrar a área do tri- ângulo de vértices (3, 3), (4, 0), (2, 1). C(x3 , y3) 32. Prove: se A for uma matriz n  n, então det[adj(A)]  [det(A)]n1 B(x2 , y2) 33. Prove: se a soma das entradas em cada linha de uma matriz A A(x1 , y1) de tamanho n  n for sempre zero, então o determinante de A é zero. [Sugestão: considere o produto matricial AX, em que X é a matriz n  1 com todas as entradas iguais a 1.] D E F  Figura Ex-34 34. (a) Na figura dada, a área do triângulo ABC pode ser expres- sa como 35. Sabendo que 21.375, 38.798, 34.162, 40.223 e 79.154 são to- área ABC  área ADEC  área CEFB  área ADFB dos divisíveis por 19, mostre, sem calcular diretamente, que o Use isso e o fato de que a área de um trapézio é igual à determinante metade da altura vezes a soma dos lados paralelos para mostrar que é divisível por 19. [Observação: na dedução dessa fórmula, os vértices foram denotados de tal modo que quando passamos de 36. Sem calcular diretamente o determinante, mostre que (x1, y1) para (x2, y2) para (x3, y3), o triângulo é percorrido no sentido anti-horário. Para uma orientação horária, o determinante acima dá o negativo da área.] CAPÍTULO 3 Espaços Vetoriais Euclidianos CONTEÚDO DO CAPÍTULO 3.1 Vetores bi, tri e n–dimensionais 119 3.2 Norma, produto escalar e distância em R n 130 3.3 Ortogonalidade 143 3.4 A geometria de sistemas lineares 152 3.5 Produto vetorial 161 INTRODUÇÃO Os engenheiros e os físicos fazem uma distinção entre dois tipos de quantidades físicas: os escalares, que são quantidades que podem ser descritas simplesmente por um valor numérico, e os vetores, que são quantidades que requerem não só um valor numérico, mas também uma direção e um sentido para sua descrição física completa. Por exemplo, a temperatura, o comprimento e a velocidade escalar são escalares, porque podem ser completamente descritos por um número que diz “quanto”, digamos, uma temperatura de 20°C, um comprimento de 5 cm ou uma velocidade de 75 km/h. Por outro lado, a velocidade e a força são vetores, porque requerem um número que diz “quanto” e uma direção e um sentido que diz “para onde”, digamos, um barco se movendo a 10 nós (ou milhas náuticas por hora, a maneira tradicional de medir velocidade na água) numa direção de 45° no sentido do nordeste ou uma força de 100 kgf agindo verticalmente para baixo. Embora as noções de vetores e escalares que estudamos neste texto tenham suas origens na Física e na Engenharia, aqui estaremos mais interessados em utilizá-los para construir estruturas matemáticas e em aplicar essas estruturas a áreas tão diversas como Genética, Ciência da Computação, Economia, telecomunicações e Ecologia. 3.1 Vetores bi, tri e n–dimensionais A Álgebra Linear se ocupa de dois tipos de objetos matemáticos: as “matrizes” e os “vetores”. Já nos familiarizamos com as ideias básicas sobre matrizes, portanto, nesta seção, introduzimos algumas das ideias básicas sobre vetores. À medida que progredirmos neste texto, veremos que os vetores e as matrizes estão muito relacionados e que uma boa parte da Álgebra Linear se ocupa dessa relação. Os engenheiros e os físicos representam vetores em duas dimensões (no espaço bidi- Vetores geométricos mensional) ou em três dimensões (no espaço tridimensional) por flechas. A direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor, e o comprimento da flecha descreve seu comprimento, ou magnitude. Os matemáticos dizem que esses vetores são geométricos. A cauda da flecha é o ponto inicial do vetor, e a ponta da flecha é seu ponto final (Figura 3.1.1). Ponto final Neste texto, denotamos vetores com letras minúsculas em negrito, como a, b, v, w e x, e escalares com minúsculas em itálico, como a, k, v, w e x. Quando quisermos indicar que um vetor v tem ponto inicial A e ponto final B, então, conforme Figura 3.1.2, escrevemos Ponto inicial  Figura 3.1.1 4a).2 denominamos esse vetor de vetor zero ou vetor nulo. direção e sentido.1. todas originando das leis da Física. como os da Figura 3.4b). Vetores equivalentes Uma outra maneira de formar a soma de dois vetores é a seguinte. como segue.1. são v ditos equivalentes. w e v  w estiverem posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem.  Figura 3. a translação de w por v. construímos as somas v  w e w  v pela regra do triângulo.1. 1. O ponto terminal de v  w é o ponto que resulta da translação do ponto terminal de v na direção e sentido de w por uma distância igual ao comprimento de w (Fi- gura 3.3 Regra do triângulo para a adição vetorial Se v e w forem vetores no espaço bi ou tridimensional posicionados de tal modo que o ponto inicial de w é o ponto terminal de v. Adição vetorial Existem várias operações algébricas importantes efetuadas com vetores.120 Álgebra Linear com Aplicações B Vetores com o mesmo comprimento. Na Figura 3.5a).1. . convencionamos que ele tem a direção e o sentido que forem convenientes para os nossos propósitos.5b). então. dizemos que v  w é a translação de v por w ou.1. Também dizemos que vetores equiva- A lentes são iguais.3. Regra do paralelogramo para a adição vetorial Se v e w forem vetores no espaço bi ou tridimensional posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam. direção e sentido.4(c). Como queremos que um vetor seja determinado somente pelo seu comprimento.  Figura 3.1. e o denotamos por 0. 2.1. w w v v+w v v v+w v v+w w+v w w  Figura 3. o que indicamos escrevendo v = AB vw O vetor cujos pontos inicial e terminal coincidem tem comprimento zero. O ponto terminal de v  w é o ponto que resulta da translação do ponto terminal de w na direção e sentido de v por uma distância igual ao comprimento de v (Fi- gura 3.1. portanto. consideramos vetores equivalentes como sendo o mesmo vetor. então os dois vetores formam lados adjacentes de um paralelogramo. e a soma v  w é o ve- tor representado pela flecha desde o ponto inicial comum de v e w até o vértice oposto do paralelogramo (Figura 3. Essa construção torna evidente que vwwv (1) e que a soma obtida pela regra do triângulo coincide com a soma obtida pela regra do paralelogramo. então o ponto terminal de v  w pode ser entendido de duas maneiras.4 (a) (b) (c) A adição vetorial também pode ser vista como um processo de translação de pontos. embora possam estar em posições diferentes.1. A adição vetorial vista como translação Se v. então a soma v  w é o vetor representado pela flecha desde o ponto inicial de v até o ponto terminal de w (Figura 3. Em vista disso. Como o vetor nulo não possui direção ou sentido naturais. 1.6b ou. e o produto 2v denota o vetor de mesma direção de v. Embora o vetor 0 não tenha direção e sentido .1. mas sentido oposto. mas tem sentido oposto (Figura 3. posicionando w e v de tal modo que seus pontos iniciais coincidam e traçando um vetor do ponto terminal de v ao ponto terminal de w (Figura 3. então definimos kv como sendo 0. Multiplicação por escalar primento e trocar seu sentido. mas cujo comprimento é |k| vezes o comprimento de v e cujo sentido é o mesmo que o de v se k for positivo e o oposto do de v se k for negativo. Como um exemplo. então o múltiplo escalar de v por k.6c). mas com o sentido oposto e o dobro do comprimento. Em geral.8a). um escalar não nulo. 2v (–3)v A Figura 3. mas com o dobro do comprimento. Se um dos Vetores paralelos e colineares vetores for um múltiplo escalar do outro.1. A única saída é concordar que os termos paralelo e colinear significam a mesma coisa quando aplicados a vetores. v w w–v w w–v –v –v v v  Figura 3. e o vetor diferença de v com w. é o vetor que tem o mesmo comprimento e direção de v. portanto.7 (1)v  v (3) Sejam v e w vetores bi ou tridimensionais com um ponto inicial comum.1. Isso é alcançado com um tipo de multiplicação na qual ve- tores são multiplicados por escalares.6 (a) (b) (c) Às vezes. ocorre a necessidade de mudar o comprimento de um vetor ou mudar seu com. Subtração vetorial O negativo de um vetor v.6a).1. Se k  0 ou v  0. se transladarmos um dos vetores. Em particular. é definido como sendo a soma w  v  w  (v) (2) A diferença de v com w pode ser obtida geometricamente pelo método do parale- logramo mostrado na Figura 3. conforme indicado na Figura 3. Isso cria um problema linguístico. denotado por w  v.1 Vetores bi. de modo mais direto. podemos escrever a  b  a  (b). observe que (1)v tem o mesmo comprimento e direção de v. temos o seguinte. Contudo.1. denotado por  v.1.5 (a) (b) Na aritmética comum de números.  Figura 3.7 mostra a relação geométrica entre um vetor v com alguns de seus múl- tiplos escalares. utilizamos a ideia corres- pondente. tri e n–dimensionais 121 v v+w v v+w w w  Figura 3. então os vetores estão numa reta comum e. então os vetores são paralelos.8b.1.1. denotado por kv. Na aritmética de vetores. assim. o produto 2v denota o vetor de mesma direção e sentido de v. 3. é o vetor 1 2 v de mesma direção do que v. que expressa Subtração vetorial a subtração em termos da adição. já que um vetor não muda com uma translação. é razoável dizer que são colineares (Figura 3. mas não mais colineares. Multiplicação por escalar Se v for um vetor não nulo do espaço bi ou tridimensional v (–1)v e k. 0. vetor zero no espaço bidimen. v2) e v  (v1. tanto faz quais dos dois somamos pri- meiro.1.1.1. discutimos vetores sem referência alguma a um sistema de coordenadas. nentes (v1. temos u  (v  w)  (u  v)  w Segue disso que não há ambiguidade na expressão u  v  w. v2. pois obtemos o mesmo resultado.8 (a) (b) bem definidos. Dizemos No formato de componentes.9 (a) (b) (c) Vetores em sistemas de Até aqui.9c). v e w são vetores tridimensionais com um ponto inicial comum. Esse método de colocar ponto inicial no final do anterior também torna evidente que se u.1. como veremos em breve. y z (v1. v2. então u  v  w é a diagonal do paralelepípedo que tem os três vetores como arestas adjacentes (Figura 3.10).9a).br/ 122 Álgebra Linear com Aplicações kv kv v v  Figura 3. v2. v2) (v1. v3). 0) e no espaço tes (v1. os cálculos com vetores são efetuados muito mais sim- plesmente se tivermos um sistema de coordenadas à nossa disposição. v e w. Escrevemos v  (v1.10 . digamos. Uma maneira simples de construir o vetor u  v  w é colocar os vetores cada um com o ponto inicial no ponto final do anterior e então traçar o vetor do ponto inicial de u até o ponto final de w (Figura 3. No coordenadas entanto. consideramos esse vetor como sendo paralelo a todos os vetores. ou seja.9b). v3) v v y x x  Figura 3.blogspot. u. que significa que mais vetores quando somamos três vetores. então o vetor estará com- pletamente determinado pelas coordenadas de seu ponto final (Figura 3. Somas de três ou A adição vetorial satisfaz a lei da associatividade da adição vetorial. v2) para denotar um vetor v do espaço bidimensional de componen- sional é 0  (0.1.https://livros-pdf-ciencias-exatas.com.1. v w x v+ u u+v u+ x v v+ w u + w w v w u + (v + + w) v (u + v) + w +w u u  Figura 3. Se um vetor v qualquer do espaço bi ou tridimensional for posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares.1. 0). quando for conveniente. v3) para denotar um vetor v do espaço tridimensional de compo- tridimensional é 0  (0. Esse método também funciona com somas de quatro ou mais vetores (Figura 3. independentemente da maneira como agrupamos os vetores. o que essas coordenadas são os componentes de v em relação ao sistema de coordenadas. Ambas são interpretações geométricas válidas. Algebricamente.11 O par orde- v1  w1. e só se. os físicos que trabalham na área de teoria de cordas utilizam um espaço de dimensão 11 em sua busca por uma teoria unificada com a qual pretendem explicar como funcionam as forças fundamentais da natureza. Assim. de modo que a interpretação apropriada depende do ponto de vista geométrico que queremos enfatizar (Figura 3. e só se. precisamos considerar vetores cujos pontos iniciais não estão na origem. 5. y2  y1) (4) P1(x1.1. 8) são v  (7  2. A maior parte do resto desta seção é dedicada a estender a noção de espaço a n dimensões. Os conjuntos de todos os pares ordenados de números reais e o de todos os ternos ordenados de números reais são denotados por R2 e R3. z2) são dados por  Figura 3. y1) e ponto final P2(x2. Observação Já pode ter ocorrido ao leitor que um par ordenado pode representar tanto um vetor de componentes v1 e v2 quanto um ponto de coordenadas v1 e v2 (e analogamente para ternos or- denados). eles têm o mesmo ponto final quando seus pontos (v1. 6. v2) pode representar um ponto ou um vetor. até o leigo está familiarizado com a noção do tempo como uma quarta dimensão. Hoje. w3) do espaço tridimensional são equivalentes se. Por exemplo. v3  w3 nado (v1. na Figura 3. respectiva- . os vetores x v  (v1.11). de modo que x  (x2. Para continuar explorando essas ideia. (8)  4)  (5. cujo ponto inicial não está na tes desse vetor são dados pela fórmula origem y P2(x2. seus componentes correspondentes forem iguais.12  (x2  x1. y2  y1) v = P1P2 = OP2 – OP1 Como era de se esperar. 1. tri e n–dimensionais 123 Deveria ser geometricamente evidente que dois vetores no espaço bi ou tridimen. z2  z1) (5)  E X E M P L O 1 Encontrando os componentes de um vetor Os componentes do vetor v  de ponto inicial P1(2. y2. Atualmente. o vetor é a diferença dos vetores e .1. então os componen. v3) e w  (w1.1. 3. e só se.1 Vetores bi. O expoente reforça a ideia intuitiva de que a reta é unidimensional. y1) v OP1 Ou seja. os componentes de são obtidos subtraindo as coordenadas do ponto inicial OP2 das coordenadas do ponto final. uma ideia usada por Albert Einstein no desenvol- vimento da teoria da relatividade geral. Se Componentes de um vetor denota o vetor de ponto inicial P1(x1. y2  y1. y1)  (x2  x1. y sional são equivalentes se. 5  (1). v2) iniciais estiverem colocados na origem. y2)  (x2  x1. denominada reta real e denotada por R ou R1. por exemplo. Às vezes. isso significa que dois vetores serão equivalentes se. 4) e ponto terminal P2(7. O conjunto de todos os números reais pode ser visto geometricamente como uma reta.12. os matemáticos e os físicos estavam explorando o uso de espaços de “dimen- sões maiores” na Matemática e na Física. z1) e ponto final P2(x2. começamos com alguma terminologia e no- tação. os componentes de um vetor do espaço tridimensional com ponto inicial P1(x1. v2. y2). y1. v2  w2. y2)  (x1. 12)  A ideia de usar pares e ternos ordenados de números reais para representar pontos e vetores O espaço n-dimensional nos espaços bi e tridimensionais era bem conhecida nos séculos XVIII e XIX.1. w2. No início do século XX.  Figura 3. v4) de R num vetor de resposta w ⫽ (w1. s2. a saturação e o brilho do pixel. . . e assim por diante) e medir o produto de cada setor com um valor monetário. . b) na qual x e y são as coordenadas do pixel na tela e h. 4 3 • Imagens Digitalizadas – Uma maneira pela qual são criadas as imagens coloridas nas telas dos monitores de computadores é associar a cada pixel (que é um ponto endereçável da tela) três números. Vejamos algumas aplicações típicas que levam a ênuplas. Assim. . x2 é o número de caminhões no segundo terminal e assim por diante. Observação Podemos pensar nos números de uma ênupla (v1. . w3) de R . . s e b são o matiz (com a inicial do termo em inglês hue). • Circuitos Elétricos – Um certo tipo de microprocessador eletrônico é projetado para receber quatro voltagens de entrada e produzir três voltagens em resposta. a saturação e o brilho. . O resultado de cada experi- mento pode ser pensado como um vetor y ⫽ (y1. . . • Transporte e Armazenamento – Uma companhia nacional de transporte de cargas tem 15 terminais com depósitos de armazenamento de carga e oficinas de manutenção de seus caminhões. vn) como as coordenadas de um ponto generalizado ou como os componentes de um vetor generalizado. a pontos do espaço tridimensional. h. nascido na Alemanha. v2. Enquanto o universo espaço-tempo de Einstein era de dimensão 4. Recentemente. • Economia – Uma abordagem da Análise Econômica é dividir uma economia em se- tores (manufatura. a distribuição dos caminhões nos terminais pode ser descrita por uma 15-upla x ⫽ (x1. DEFINIÇÃO 1 Se n for um inteiro positivo. . Nota histórica O físico Albert Einstein. essa escolha não faz diferença matemática alguma. s10 são os produtos dos setores individuais. O conjunto de todas as ênuplas ordenadas é denominado o espaço de dimensão n e é denotado por Rn. . serviços. o microprocessador pode ser visto como um aparelho que transforma cada vetor de entrada v ⫽ (v1. v2. v2. . conhecida como a teoria das cordas. . • Dados Experimentais – Um cientista realiza uma série de experimentos e toma n medições numéricas a cada realização do experimento. os físicos progredi- ram no problema utilizando uma nova abordagem.124 Álgebra Linear com Aplicações mente. . Os expoentes reforçam a ideia de que pontos ordenados correspondem a pontos do espaço bidimensional (um plano) e ternos ordenados. y. . x15) na qual x1 é o número de cami- nhões no primeiro terminal. y2. A definição seguinte estende essa ideia. então uma ênupla ordenada é uma se- quência de n números reais (v1. Einstein trabalhou sem êxito durante as três últi- mas décadas de sua vida na tentativa de produzir uma teoria do campo unificado. . . yn) em R . v3. . w2. que é o foco de muita pesquisa atual. mas laços que se comportam como cor- das vibrantes. vn). que estabeleceria uma relação subjacente entre as forças da gravidade e do eletromagnetismo. n yn são os valores medidos. os componentes menores e indivisíveis do universo não são partículas. . . Assim. . s2.. . que descrevem o matiz. dependendo da ima- gem geométrica que queremos utilizar. s10) na qual os números s1. As voltagens de entrada podem ser consideradas como vetores de R4 e as de resposta. onde se estabeleceu na Princeton University. emi- grou aos Estados Unidos da América em 1935. as cordas vivem num mundo de dimensão 11. no qual y1. [Imagem: ©Betmann/©Corbis] Albert Einstein (1879–1955) . o produto total de toda a economia pode ser representado por uma 10-upla s ⫽ (s1. . numa economia com 10 setores. utilidades. x2. . . . Nessa teoria. Assim. uma imagem colorida completa pode ser vista como um conjunto de 5-uplas da forma v ⫽ (x. pois são as propriedades algébricas das ênuplas que nos interessam. s. y2. . como vetores 3 de R . Em cada instante de tempo. w2) w + y v w (kv1. . . x3. v6. Essas operações serão extensões Operações com vetores em Rn naturais das operações conhecidas dos vetores de R2 e R3. 0) é o vetor zero ou nulo. w2  v2) (9) y (v1 + w1. v2) kv2 v (v1. wn) de Rn são ditos equivalentes (ou. então. t) 13 de R . 4. x5. v2. 7) se.1 Vetores bi. apresentamos a definição seguinte. . kv2) (7) Em particular. x4. n Nosso próximo objetivo é definir operações úteis em R . . segue de (7) que v  (1)v  (v1. v1. kv2) w2 kv (v1. 0. . no instante t. . v1. então v  w  (v1  w1.  E X E M PLO 2 Igualdade de vetores (a. b. x2. v2. . . . DEFINIÇÃO 2 Dois vetores v  (v1. . . v2  w2. 2 3 Observamos anteriormente que dois vetores em R ou R são equivalentes (iguais) se. Esse vetor é denominado o estado do sistema de partículas no instante t. . x6 e suas velocidades. tri e n–dimensionais 125 • Sistemas Mecânicos – Suponha que seis partículas se movam ao longo da mesma reta coordenada de tal modo que.  Nosso próximo objetivo é definir as operações de adição. c. iguais) se v1  w1. e só se. v2. . é possível deduzir que se v  (v1. . v5. Denotamos um vetor v de Rn usando a notação v  (v1. vn) e dizemos que 0  (0. que w  v  w  (v)  (w1  v1. Para motivar essas ideias. 2. d)  (1. subtração e multiplicação n por escalar para vetores em R . v2.13 . respectivamente. . v3. w2. v2  w2) (6) kv  (kv1. Observando a Figura 3. portanto. . x2. . 3.13. vn) e w  (w1. . . x6. consideramos como essas opera- ções podem ser efetuadas com componentes usando vetores em R2. . . e só se a  1. suas coordenadas sejam x1. v2 + w2) v2 (w1. . . . v2) e w  (w1.1.1. seus componentes correspondentes são iguais. v4. w2). v2) (8) e. . c  2 e d  7. v2) v2 v x x v1 v1 w1 kv1  Figura 3. b  4. v6. Assim. Essa informação pode ser repre- sentada pelo vetor v  (x1. . . vn  wn Indicamos essa equivalência escrevendo v  w. . . . vn) e w  (w1. vn) (12) w  v  w  (v)  (w1  v1. n TEOREMA 3. . .126 Álgebra Linear com Aplicações Motivados pelas Fórmulas (6)-(9). 3. . DEFINIÇÃO 3 Se v  (v1. vn  wn) (10) kv  (kv1. vn) e w  (w1. . . . . w2  v2. v e w são vetores em R e se k e m são escalares. . . . . apresentamos a definição a seguir. . . . 2) e w  (4. . . 1). v2. wn) são vetores em R e se n k é um escalar qualquer. . então: (a) 0v  0 (b) k0  0 (c) (1)v  v . n TEOREMA 3. Então [Adição vetorial] [Adição vetorial] [Reagrupando] [Adição vetorial] As propriedades adicionais seguintes dos vetores em Rn podem ser deduzidas facil- mente expressando os vetores em termos de componentes (verifique). wn  vn) (13) Dito em palavras. . e um vetor é multiplicado por  E X E M P L O 3 Operações algébricas usando componentes um escalar pela multiplicação Se v  (1. . . kv2. . . . . . . Prova (b) Sejam u  (u1. wn). . v2. un).2 Se v é um vetor em R e se k é um escalar. . v  (v1. vetores são somados (ou subtraídos) pela adição (ou subtração) de seus componentes correspondentes. . .  O próximo teorema resume as propriedades mais importantes das operações vetoriais. . w2. . então de cada componente por esse escalar. u2. kvn) (11) v  (v1.1 Se u. então: (a) uvvu (b) (u  v)  w  u  (v  w) (c) u00uu (d) u  (u)  0 (e) k(v  w)  kv  kw (f) (k  m)v  kv  mv (g) k(mu)  (km)u (h) 1u  u Vamos provar a parte (b) e deixar algumas das outras partes como exercícios. v2  w2. . definimos v  w  (v1  w1.1.1. w2. 2. v2. . Por componentes n exemplo. ele se torna importante quando encontrarmos tipos mais gerais de vetores. Esses escalares são denominados coeficientes da sistente com a dada no contexto combinação linear. 1) Magenta Branco (1. Por exemplo. 0) Vermelho Amarelo  Figura 3.1. g e b usando coeficientes entre 0 e 1. . suponha que x. Assim. n DEFINIÇÃO 4 Dizemos que um vetor w em R é uma combinação linear dos vetores n v1. nal entre preto e branco representam tonalidades de cinza. 0. subtração e multiplicação por escalar são usadas.14 (1. Seção 1. Poderíamos fazer isso como segue. conjunto de todas essas cores é o espaço RGB ou. 0. kr são escalares.1] xba [Parte (c) do Teorema 3. 1) (0. 1) (1. O base o assim chamado modelo de cores RGB. . 1. de modo de matrizes (ver Definição 6 na uma combinação linear de um vetor só é simplesmente um múltiplo escalar desse vetor. 1. No caso em que r  1. 0. o vermelho (com a inicial R do inglês red). 1) r  (1. xab [Dado] (x  a)  (a)  b  (a) [Somamos o negativo de a em ambos lados] x  (a  (a))  b  a [Parte (b) do Teorema 3. 0. 0. 0.1 Vetores bi.1.  (k1. 0) (1. . ciano e amarelo. esses coefi.14). Uma maneira de fazer isso é identificar as cores primárias com os vetores c  k1r  k2g  k3b  k1(1. 1) (azul puro) representam as cores primárias puras junto com as cores preto. apresentamos a definição seguinte. k2. Os vetores ao longo da diago- de r. 0) (vermelho puro). a de cores RGB (Figura 3. As cores nesse sis. cubo pode ser expresso como uma combinação linear da forma cial G do inglês green) e o azul (com a inicial B do inglês blue). 0. se v1.1. v2 e v3 são vetores dados. . os vértices do cubo b  (0.1 e 3. Em geral. 0. v2. inclusive. Combinações lineares cia. 0)  k2(0.2 é que esses resultados nos Calculando sem permitem efetuar cálculos com vetores sem expressá-los em termos de componentes. . k3) g  (0. 1. Aplicação de combinação linear a modelos de cor As cores nas telas dos monitores de computadores costumam ter por cientes representam a porcentagem de cada cor pura na mistura.1] x0ba [Parte (d) do Teorema 3. 0) (0. então os vetores u  2v1  3v2  v3 e w  7v1  6v2  8v3 foram formados dessa maneira. As operações de adição. . 1) Preto Verde (0. o cubo tema são criadas juntando porcentagens das três cores primárias.3). magenta. . 1. Azul Ciano (0. cada vetor de cor c nesse saber. 0) . 1.1. mais adiante no texto. 0)  k3(0.1] Mesmo que esse método seja obviamente mais desajeitado que calcular com componen- tes de Rn. a e b sejam vetores em R e que queiramos resolver a equação vetorial x  a  b para o vetor x sem usar componentes. então.1. 1. k2. em combinação para formar novos vetores. vr em R se w puder ser expresso na forma w  k1v1  k2v2  · · ·  krvr (14) Observe que essa definição de uma combinação linear é con- em que k1. Como indicamos na figura. o verde (com a ini. com frequên. tri e n–dimensionais 127 Uma das consequências importantes dos Teoremas 3. onde 0  ki  1. a Fórmula (14) se torna w  k1v1.1. de R3 e criar todas as outras cores formando combinações lineares branco. .1. 3. 0) (verde puro). • Adição vetorial. Por exemplo. Contudo. • Vetor zero • Efetuar operações algébricas com vetores: adição. • Comprimento • Combinação linear de vetores • Ponto inicial Aptidões desenvolvidas • Ponto final • Efetuar operações geométricas com vetores: adição. Revisão de conceitos • Espaço de dimensão n • Vetor geométrico • Operações vetoriais no espaço de dimensão n: adição.1. 3) (f) (0. . às vezes. 3. (a) (3.  1. em cada parte. v2. o vetor em (15) pode ser escrito como v  [v1 v2 · · · vn] (16) que é denominada forma matriz linha. muitas vezes. 5) (c) (3. 0) coordenadas são dadas. uma ques- tão de gosto ou conveniência. • Subtração vetorial • Determinar se dois vetores são colineares.1  Nos Exercícios 1–2. 4. 5) (f) (3. 0.10) e marque. • Negativo de um vetor • Esboçar vetores cujos pontos inicial e terminal sejam • Multiplicação por escalar dados.1. A escolha de notação é. 4. . • Direção e sentido subtração e multiplicação por escalar. 4. paralelos) • Encontrar componentes de um vetor cujos pontos inicial e • Componentes de um vetor terminal sejam dados. ou como (17) que é denominada forma matriz coluna. 0. 3) (b) (3.1 e 3. 0. 3. a natureza de um problema sugere uma notação específica. 5) (d) (3. qualquer notação que exiba esses componentes em sua ordem correta é uma maneira válida de representar o vetor. regra do paralelogramo e regra do subtração e multiplicação por escalar. temos escrito vetores em Rn usando a notação vetores v  (v1. 4. 0) (c) (3. 5) (b) (3. (a) (0. vn) (15) n Dizemos que essa é a forma de ênupla. o ponto cujas (d) (3. mas.2). 4. • Vetores colineares (ou seja.1. .128 Álgebra Linear com Aplicações Notações alternativas para Até aqui. As três notações (15). desenhe um sistema de coordenadas 2. • Coordenadas de um ponto • Provar as propriedades algébricas básicas de vetores (Teoremas 3. (16) e (17) serão utilizadas em vários lugares do texto. 3. • Vetores equivalentes subtração e multiplicação por escalar. • Ênupla Conjunto de exercícios 3. 3) (e) (0. . 5) . 4. como um vetor em R é simplesmente uma lista de n componentes ordenados de uma maneira específica. 0) (como na Figura 3. triângulo • Determinar se dois vetores são equivalentes. 5) (e) (3. 0). 4. 3. P2(4.1 Vetores bi. 0) ponto inicial P(1. mas sentido oposto ao de (a) (4. P2(2. 2) e w  (7. 2) (a) v  w (b) 2u  7v (c) u  (v  4w) (d) 6(u  3v)  Nos Exercícios 5–6. 5) tal que 24. 1. 4. 1. 5. 5). 0) (f) v6  (1. 4)  (1. 2) (e) 3(v  8w) (f) (2u  7w)  (8v  u) 4. o vetor dado é paralelo u  (1. 1. 7). 2. 3) Encontre os componentes de (e) v5  (0. 2). 8). Encontre os com- u  (1. escalares a e b tais que au  bv  (8. res a e b tais que au  bv  (1. Sejam u  (5. 3. (a) Encontre o ponto final do vetor que é equivalente a 20. 7. 1. 4) (c) w  3(v  u) (d) 5(v  4u  w) (c) P1(1. Encontre um ponto final Q de um vetor não nulo u  de (c) (0. mas sentido oposto ao de 25. 0. 2) 12. 2. 7) que satisfaz 5x  2v  2(w  5x). 3. 1.  16. 2. 1) e v  (2. 2) w  (6. 1)  c3(0. 0. 1. 2) v  (4. 1. 4. 3. 1. Sejam u  (1. 3. Sejam v e w os vetores do Exercício 15. 2. 1. 1. 2. 0. 1. 2. 1) (c) (2u  7w)  (8v  u) 9. 0. 2) e (b) P1(5. 1). 2) (b) (8t. Sejam u  (4. 2. Encontre escala- v  (6. 1. 2. 3. 0. (a) P1(5. 6) (b) v2  (4. 3. 2). v e w os vetores do Exercício 19. 0. 0) 18. P2(2. P2(3. 0). t2) com ponto final Q(3. 1)  (0. P2(1. Sejam u  (2. 1. 1) (a) v  w (b) 6u  2v (b) P1(0. 0. Encontre os 26. 2) e w  (5. 6. u  (2. 4. 0) 15. 0). 0. 7. Encontre os componentes de 6. 2). Sejam u  (1. 5). Encontre todos os escalares c1. 0) (c) 2(u  5w) (d) 3v  2(u  2w) 27. 2. v  (0. 4. tri e n–dimensionais 129  Nos Exercícios 3–4. 5) e w  (3. 2. 8) e w  (6. 3) e cujo ponto inicial é A(0. 1. Sejam u. 19) . 0. 8. Sejam u  (3. 10. 1. 1)  c3(0. 3). Sejam u  (3. 1)? (b) u tem a mesma direção. 7. v  (4. P2(0. 5) e v  (2. v e w os vetores do Exercício 18. 4. v  (4. 3. 0. 1)? 11. 4). 1. 1). 3) (d) v4  (3. (a) P1(6. 0). 2. (a) P1(3. 21. P2(2. Qual(is) dos vetores em R6 dados é(são) paralelo(s) a (a) u tem a mesma direção e sentido de v  (4. (b) P1(3. 0. com ponto inicial (e) v  w (f) (6v  w)  (4u  v) na origem. a u  (4. 7x  w. 2) e cujo ponto final é B(2. Sejam u. 6. 2). u  (1. 0)  c2(3. Encontre (a) u tem a mesma direção e sentido de v  (6. Sejam u  (3. 7) (d) v4  (0. 1. se houver. 3. 7) 17. Com qual(is) valor(es) de t. 1). 0). 0) e (c) P1(3. 0). 1). 0)  c2(2. 6. 5. (a) v1  (5. 1. 2). 3. Encontre os componentes de 8. em cada parte encontre os componentes (a) v  w (b) 3(2u  v) do vetor . 5. 3). En- ponto inicial na origem. 2). (a) v1  (3.  contre os componentes de 3. v  (4. 1) (f) v6  (2. 0. 1. P2(0. (b) u tem a mesma direção. 1. 5. 2. 0. 1. 2. 3). 0) (e) 2(3w  v)  (2u  w) (f) (w  5v  2u)  v (d) P1(2. 8) (a) v  w (b) 6u  2v (c) v3  (4. 8. em cada parte esboce. c2 e c3 tais que (e) 3(w  2u  v) (f) (2u  v)  5(v  3w) c1(1. 0. 8. 13. P2(4. P2(3. 18). 2. Encontre todos os escalares c1. Encontre o vetor x 5. 2. 4. 1. 2). 2t) (c) (1. 5) (c) v  u (d) 5(v  4u) (e) v5  (3. 3). Encontre os com- 10.4). 7. 2) e cujo ponto inicial é A(1. 7. 3. 3). c2 e c3 tais que componentes de (a) u  w (b) v  3u c1(1. 1. 0). v  (0. 10. 1. 0. 1. 4. 3) e cujo ponto final é B(1. 2. (a) P1(4. 1). 4) w  (4. P2(3. 2). 0. o vetor determinado pelos dois pontos dados. (b) Encontre o ponto final do vetor que é equivalente a 22. 1. 8) 19. 0. 3. v  (1. ponentes do vetor x que satisfazem a equação 3u  v  2w  (b) Encontre o ponto inicial do vetor que é equivalente a 3x  2w. 5). 5) tal que 23. Encontre um ponto inicial P de um vetor não nulo u  (a) (8t. em cada parte esboce o vetor dado com 14. 1). 3. 4) (b) v2  (3. 1) (a) w  u (b) 2v  3u (b) P1(0. Encontre os componentes de  Nos Exercícios 7–8. 0. 0.  (c) (3u  v)  (2u  4w) 7. 0. (c) v3  (0. (a) Encontre o ponto inicial do vetor que é equivalente a ponentes do vetor x que satisfazem a equação 2u  v  x  u  (1. 2. 9. (b) (4. 3). 3. 2)  c3(1. 1. 3). (c) e (d) do Teorema 3. justificando sua resposta. y. e só se. pode ser resolvida para x. Considere a Figura 3. Encontre todos os escalares c1. e c3 tais que (h) Se (a. v3) em R . c1(1. 5)  (0. 2. a2. 1). determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. 34. 1.2. k  0. o comprimento ou a magnitude de v (sendo que o termo “norma” é um sinônimo matemático comum para comprimento). v2) de R2 é (1) 3 Analogamente. 4. Norma de um vetor Neste texto. 3.1. então 32. apresentamos a seguinte definição. b. então v e kv são paralelos se. (b) Encontre o ponto no segmento de reta que liga P a Q que está a do caminho de P a Q. 2)  c2(2. Sejam u1  (1. produto escalar e distância em R Nesta seção. c1(1. e c3 tais que (f) Se a e b forem escalares tais que au  bv  0. c2 e c3 tais que (b) Os vetores (a. 7). 4) (d) Os vetores v  (u  w) e (w  v)  u são iguais. Discuta uma interpretação geomé- trica do vetor (a  b)(u  v)  au  bv (j) Dados vetores v e w. 0) são equivalentes. (i) Se a e b forem escalares e u e v vetores. 2). b. quem é Q? 35. 0). Prove as partes (e)-(h) do Teorema 3. c)  (x. 29. c2. 6) for o ponto mé- dio do segmento de reta que liga P e Q. 1). 36. Mostre que não existem escalares c1. c2. 5. Prove as partes (a).2 Norma. 2. 37. . 5. b. n 3. 31. 0. 2. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(k). a equação vetorial 3(2v  x)  5x  4w  v 33. a3 e a4 tais que a1u1  a2u2  a3u3  a4u4  (0. z). segue pelo Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor (v1. e u4  (6. 4. 2) e Q o ponto (7. 2)  (1. 0. denotamos o comprimento de um vetor v pelo símbolo ||v|| e dizemos que este é a norma. u2  (2. um vetor. 3. b) e (a. 1)  c3(1. então v  w. v2. vamos tratar das noções de comprimento e distância em relação a vetores. então (a. 6. Como sugere a Figura 3. 1. (e) Se u  v  u  w. 0. y.1. 1)  c3(2. 30. Sejam P o ponto (2.1. 6)  c2(3. (a) Encontre o ponto médio do segmento de reta que liga P a Q. Se o ponto (4. 9.12. Começamos discutindo essas ideias em R2 e R3 e depois as estendemos algebricamente ao Rn.1b e duas aplicações do Teorema de Pitágoras que ||v||  (OR)  (RP)  (OQ)  (QR)  (RP)  v1 + v2  v3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 de modo que (2) Motivados pelo padrão das Fórmulas (1) e (2).1. Mostre que não existem escalares c1. 2. Prove as partes (a)-(c) do Teorema 3. Encontre escalares a1.1. 4) (c) Se k for um escalar e v.1. 7. para um vetor (v1. segue da Figura 3. z)  (x. (a) Dois vetores equivalentes sempre têm o mesmo ponto inicial. 3. c) necessaria- c1(2. 2. 0)  c2(1. 3) (g) Vetores colineares de mesmo tamanho são iguais. 1. 1)  (6.2. Seja P o ponto (1. u3  (7. (k) As combinações lineares a1v1  a2v2 e b1v1  b2v2 só podem ser iguais se a1  b1 e a2  b2. 4) mente é o vetor nulo.130 Álgebra Linear com Aplicações 28. 0. 0. 12.1a. então u e v são vetores paralelos. 2. 0.2. 2. 1. não há garantias de que também valham em Rn. Sua validade deve ser demonstrada usando as propriedades algébricas das ênuplas. . então (a) ||v||  0 (b) ||v||  0 se. • Multiplicar um vetor por um escalar multiplica seu comprimento pelo valor absoluto daquele escalar.2. vn) for um vetor em R . Podemos obter um vetor unitário numa direção desejada escolhendo qualquer vetor não nulo v nessa direção e multiplicando pelo recíproco de seu comprimento. 2.1 n Nosso primeiro teorema nesta seção generaliza ao R os três fatos familiares seguintes. 3. 1) em R3 é y O S Q x R e segue da Fórmula (3) que a norma do vetor v  (2. se v for um vetor de comprimento 2 em R2 ou R3. portanto. v2. então kv  (kv1. .1 Se v for um vetor em R e k um escalar qualquer. É importante reconhecer que só porque essas propriedades valem em R2 e R3. Mais geralmente. Esses vetores são úteis para especificar Vetores unitários uma direção quando o comprimento não for relevante para o problema em consideração. . . . vn). 5) em R4 é (b)   Figura 3. • O vetor zero é o único vetor de comprimento zero. 3. e só se. • Distâncias são números não negativos. . kvn). . produto escalar e distância em R n 131 y DEFINIÇÃO 1 Se v  (v1. então a norma de v (tam- n (v1. n TEOREMA 3. v2. . . .2. relativos a vetores em R2 e R3. v2. então v é um vetor unitário de mesma direção e sentido de v. então (4) . v3) ||v|| Segue da Fórmula (2) que a norma do vetor v  (3. kv2. . Um vetor de norma 1 é denominado vetor unitário. 1. v2) bém denominada comprimento ou magnitude de v) é denotada por ||v|| e definida pela ||v|| v2 fórmula x v1 (3) (a) z  E X E M P L O 1 Calculando normas P(v1. Por exemplo. v  0 (c) ||kv||  |k| ||v|| Provamos a parte (c) e deixamos (a) e (b) como exercícios. se v for um vetor não nulo qualquer em Rn. Prova (c) Se v  (v1. .2 Norma. j  (0. 1. y2) forem pontos em R2. . . 0. Em R2. 0) expresso como uma combinação linear dos vetores unitários canônicos.2. 1) x (Figura 3. . se P1(x1. obter um vetor unitário é denominado normalização de v. 0. . 0) e j  (0. 1. 0. 0)  v2(0. 1. Especificamente. Cada vetor v  (v1. 1)  v1i  v2 j (5) z (0.3). 0) e k  (0. então a Fórmula (4) da Seção 3.1 implica (9) . 0. . . 1). vn)  v1e1  v2e2  · · ·  vnen (8)  E X E M PLO 3 Combinação linear dos vetores unitários canônicos  2 3 Distância em Rn Se P1 e P2 forem pontos em R ou R . 2. 0)  v2(0. . . então o comprimento do vetor é igual à distân- cia d entre os dois pontos (Figura 3.2). 0. 0)  v3(0. temos O leitor pode querer confirmar que ||u||  1. . e2  (0. v2. . 1) 3 e. podemos generalizar essas fórmulas para R definindo os vetores unitários j y canônicos em Rn i (0. 0). . v2. .132 Álgebra Linear com Aplicações ADVERTÊNCIA Às vezes. que não preten- de dar a entender que v está sen- do dividido por ||v||. Solução O vetor v tem comprimento Assim. v3) em R pode ser 2 3 i (1. v2) em R e cada vetor v  (v1. v3)  v1(1. v2. . .2. . y1) e P2(x2. . 1) v  (v1. . 0. em R . ve- define um vetor unitário de mesma direção e sentido de v. por (4). 0). .2. . neira mais compacta de escrever aquela fórmula. 0) x caso em que cada vetor v  (v1. 0). en  (0.  E X E M P L O 2 Normalizando um vetor Encontre o vetor unitário u que tem a mesma direção e sentido de v  (2. 0. 0) e1  (1. . vn) em R pode ser expresso como n (b)  Figura 3. v2)  v1(1. 1) (7) (1.2. 0. v2. esses vetores são denotados por y i  (1. são denotados por j i  (1. .2 v  (v1. Podemos confirmar que (4) é remos a Fórmula (4) expressa um vetor unitário aplicando a parte (c) do Teorema 3. dizemos que canônicos os vetores unitários nas direções positivas dos eixos coordenados são os vetores unitários canônicos. 1. 0. 1) (0. . . 0. escrevendo (a) v  (v1.  2 3 Os vetores unitários Quando introduzimos um sistema de coordenadas retangulares em R ou R .1 com k  1/||v|| para obter como O processo de multiplicar um vetor não nulo pelo recíproco de seu comprimento para Isso é simplesmente uma ma. . 0. 1)  v1i  v2 j  v3k (6) n k Além disso. . produto escalar e distância em R n 133 Essa é a conhecida fórmula da distância da Geometria Analítica. antes de mais nada. z2) em R é P1 (10) d = ||P1P2|| Motivados pelas Fórmulas (9) e (10). y1. vn) forem pontos em Rn. 7) e v  (0. Na Definição 2. Definimos o ângulo entre u e v como o ângulo  determinado por u e v que satisfaz as desigualdades 0     (Figura 3. que definimos por Observamos na seção anterior (11) que uma ênupla pode ser vista como vetor ou como um ponto em Rn. .2. introduzimos a definição seguinte. Para isso. v2. . . O sinal do produto escalar revela uma informação sobre o ângulo  que pode ser ob- tida reescrevendo a Fórmula (12) como (13) Como 0    . v). sejam u e v vetores não nulos em R2 ou R3 posicionados de tal forma que seus pontos ini- ciais coincidam. Para isso. . u2. Analogamente. . definir exatamente o que se entende por “ângulo” entre dois vetores em R2 e R3. a distân.2 Norma. 3. segue da Fórmula (13) e das propriedades da função cosseno estudadas na Trigonometria que •  é agudo se u · v  0. 2. •  é obtuso se u · v  0.4). P2 3 d cia entre os pontos P1(x1. precisamos.  Figura 3. 7.  Figura 3.  E X E M PLO 4 Calculando distância em Rn porque parece ser a interpreta- Se ção mais natural. u u    v v v u v u  O ângulo  entre u e v satisfaz 0    . 2) então a distância entre u e v é  Nosso próximo objetivo é definir alguma operação de multiplicação útil com vetores em Produto escalar R2 e R3 e então estender essa operação ao Rn.4 DEFINIÇÃO 3 Se u e v forem vetores não nulos em R ou R e se  for o ângulo entre 2 3 u e v. 2. então denotamos a distância entre u e v por d(u. . então o produto escalar (também denominado produto interno euclidiano) de u e v é denotado por u · v e definido por u · v  ||u|| ||v|| cos  (12) Se u  0 ou v  0. .3 DEFINIÇÃO 2 Se u  (u1. y2. un) e v  (v1. z1) e P2(x2. u  (1. 3. escolhe- mos descrevê-la como ponto. •   /2 se u · v  0. definimos u · v como sendo 0.2.2. . 6 d  (k. v2. v2. 0). 0) Solução Seja k o comprimento de uma aresta e introduza um sistema de coordenadas x (k. Sejam u  (u1. (0. k. 0. que foi publicado em 1901 por Gibbs com coautoria de um de seus alunos. Segue da Fórmula (13) que o ângulo  entre d e a aresta u1 satisfaz Com a ajuda de uma calculadora. segue da Fórmula (12) que z (0. então a lei dos cossenos resulta em P(u1.2. [Imagem: The Granger Collection. obtemos Observe que o ângulo  obtido no Exemplo 6 não envolve k. sendo denominado produto direto.2. 0.2. 2) v Solução Os comprimentos dos vetores são (0. não centrado vertical- mente como hoje em dia. sendo análoga a dedução para vetores em R . o produto era escrito  Figura 3. Por que isso é o esperado?  O produto escalar em termos Para fins de cálculo de produtos.2. 0) retangulares conforme indicado na Figura 3. u2. Denotando u1  (k.7 como um ponto final na altura da linha. k)  E X E M PLO 6 Um problema de geometria resolvido com produto d escalar u2 y Encontre o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas. k.2. k). 1) u  = 45° y e o cosseno do ângulo  entre eles é x  Figura 3.134 Álgebra Linear com Aplicações z  E X E M P L O 5 Produto escalar Encontre o produto escalar dos vetores mostrados na Figura 3. é desejável ter uma fórmula que expresse o produto de componentes escalar de dois vetores em termos de componentes. 0.5 Assim. 0) e u3  (0. 2. conforme indicado na Figura 3. 0. Se o ângulo entre u e v z for . u2  (0. v3) dois vetores não nulos. Gibbs fez contribuições importantes na teoria dos campos de Termodinâmica e Eletro- magnetismo e é geralmente considerado o maior físico norte- -americano do século XIX. k) u3 (k. O panfleto de Gibbs acabou sendo incorporado num livro inti- tulado Vector Analysis. Originalmente.6. Vamos deduzir uma tal fórmula para 3 2 vetores em R . u3) e v  (v1. New York] JosiahWillard Gibbs (1839–1903) .2. 0.7.5. então o vetor  Figura 3. u1  (0. k. k. Willard Gibbs x num panfleto distribuído entre seus alunos da Universidade de Yale nos anos 1880. k)  u1  u2  u3 é a diagonal do cubo. u2. v3)  y Nota histórica A notação de produto escalar foi introduzi- da pelo matemático e físico norte-americano J. u3) (14) u v Q(v1. introduzimos a definição seguinte. 0. 0) Solução (a) Em termo de componentes. obtemos a relação Propriedades algébricas do produto escalar (18) Isso fornece a fórmula seguinte para expressar o comprimento de um vetor em termos do produto escalar. . 7).2 Norma. DEFINIÇÃO 4 Se u  (u1. un) e v  (v1. multiplicamos componentes correspondentes u · v  u1v1  u2v2 · · ·  unvn (17) dos vetores e somamos os pro- dutos resultantes. . 2 A fórmula companheira para vetores em R é ocorre que essas fórmulas tam- bém são aplicáveis se u  0 ou u · v  u 1 v1  u 2 v2 (16) se v  0 (verifique). 3.  E X E M P L O 7 Calculando produtos escalares usando componentes (a) Use a Fórmula (15) para calcular o produto escalar dos vetores u e v do Exemplo 5. . . podemos reescrever (14) como ou Substituindo e ||v  u ||  (v1  u1)  (v2  u2)  (v3  u3) 2 2 2 2 e. 1) e v  (0. simplificando. obtemos Embora tenhamos deduzido a Fórmula (15) e sua companhei- u · v  u 1 v1  u 2 v2  u 3 v3 (15) ra bidimensional sob a hipótese de que u e v fossem não nulos. . . . Assim. Motivados pelo padrão nas Fórmulas (15) e (16). 2. (19) . u2. . Solução (b) u · v  (1)(3)  (3)(4)  (5)(1)  (7)(0)  4  No caso especial em que u  v na Definição 4. para calcular o então o produto escalar (também denominado produto interno euclidiano) de u e v é produto escalar (produto inter- denotado por u · v e definido por no euclidiano). u · v  (0)(0)  (0)(2)  (1)(2)  2 que confere com o resultado obtido no Exemplo 5. 5. 4. v2. 1. 2). vn) forem vetores em Rn. v  (3. 3. temos u  (0. produto escalar e distância em R n 135 Como . (b) Calcule u · v com os vetores em R4 u  (1. Em palavras. As provas podem ser obtidas expressando os vetores em termos de componentes ou.2 Se u.3. .2 e 3.1 e do fato de que v · v  v1v1  v2v2  · · ·  vnvn  v1  v2  · · ·  vn  ||v||  2 2 2 2 O próximo teorema fornece propriedades adicionais do produto escalar. . . As outras provas são deixadas como exercícios. . v e w forem vetores em R e se a for um escalar.2. n TEOREMA 3. un) e v  (v1. então (a) u·vv·u [Simetria] (b) u · (v  w)  u · v  u · w [Distributividade] (c) a(u · v)  (au) · v [Homogeneidade] (d) v · v  0.2. usando propriedades algébricas estabelecidas no Teorema 3. u2.2.2.2.2. Então Prova (d) O resultado segue das partes (a) e (b) do Teorema 3. v  0 [Positividade] Vamos provar as partes (c) e (d) e deixar as outras provas como exercícios. v e w forem vetores em R e se a for um escalar. então. . então (a) 0·vv·00 (b) (u  v) · w  u · w  v · w (c) u · (v  w)  u · v  u · w (d) (u  v) · w  u · w  v · w (e) a(u · v)  u · (av) Mostremos como o Teorema 3. sendo v · v  0 se.2.2 pode ser usado para provar a parte (b) sem passar para os componentes dos vetores.2. vn).  E X E M PLO 8 Calculando com produto escalar . Prova (c) Sejam u  (u1. .136 Álgebra Linear com Aplicações O produto escalar tem muitas das mesmas propriedades algébricas do produto de números reais.3 Se u. tornam pos- sível usar técnicas algébricas familiares para trabalhar com expressões envolvendo o produto escalar. e só se. v2. Prova (b) As Fórmulas (18) e (19). . . n TEOREMA 3. juntamente com os Teoremas 3. TEOREMA 3. como consequência do resultado fundamental seguinte. un) e v  (v1. então (22) ou. Como já definimos o produto escalar n e a norma para vetores em R . teremos estabelecido todos os resultados necessários para usar a Fórmula (20) como nossa definição de ângulo entre dois vetores não nulos u e v em Rn. começamos com a fórmula Cauchy-Schwarz e ângulos em Rn (20) 2 3 que já derivamos para vetores não nulos em R e R . dividimos ambos lados da Fórmula (22) pelo produto ||u|| ||v|| para obter ou. essas desigualdades são válidas com quaisquer vetores não nulos em R .2. . . v2. poderia parecer que essa fórmula tem todos os ingredientes para servir como uma definição do ângulo  ente dois vetores u e v em Rn. equivalentemente. (23) Omitimos a prova desse teorema porque. . até desigualdade de Bunyakovsky. pode ser chamada de desigual- dade de Cauchy. desigualdade de Schwarz ou. em termos de componentes. Contudo. Para isso. Nota histórica A desigualdade de Cauchy-Schwarz ho- menageia o matemático francês Augustin Cauchy (ver pá- gina 109) e o matemático alemão Hermann Schwarz. produto escalar e distância em R n 137 n Nosso próximo objetivo é estender ao R a noção de “ângulo” entre vetores não nulos u e Desigualdade de v. às vezes. do que segue (21). conhecido como desigualdade de Cauchy-Schwarz. Varia- ções dessa desigualdade aparecem em muitas situações distintas e sob vários nomes.2 Norma. cerca de 25 anos antes de Schwarz. Uma vez conseguido isso. . Para provar que as desigualdades em (21) valem com vetores não nulos quaisquer em Rn. [Imagens: Wikipedia] Hermann Amandus Viktor Yakovlevich Schwarz Bunyakovsky (1843–1921) (1804–1889) . . demonstraremos uma versão mais geral da qual esse será um caso particular. há um problema: o arco cosseno da Fórmula (20) só está definido se seu argumento satisfizer as desigualdades (21) n Felizmente.4 Desigualdade de Cauchy-Schwarz Se u  (u1. em reconhecimento ao matemático russo que publicou sua versão da desigualda- de em 1859. Dependendo do contexto em que a desigualdade ocorre. . . . vn) forem vetores em Rn. adiante neste texto. 3. u2. Nosso objetivo imediato é usar esse teo- rema para provar que as desigualdades (21) valem com vetores não nulos quaisquer em Rn. Aqui temos dois teoremas fundamentais da Geometria Plana cuja validade se estende ao Rn.2. então n  Figura 3. igual ao uv comprimento do terceiro (Figura 3. mas os que já vimos deveriam ser suficientes para convencer o leitor n 2 3 que o R não é tão diferente de R e R .2.138 Álgebra Linear com Aplicações Geometria em R n No início desta seção. v e w forem vetores em R . mesmo se não o conseguirmos visualizar direta- mente. então (24) Prova Poderíamos enunciar e provar muitos outros teoremas da Geometria Plana que gene- n ralizam para o R .6 Identidade do paralelogramo com vetores Se u e v forem vetores em Rn.2.2. v)  d(u. em qualquer paralelogramo. w)  d(w. O teorema seguinte generaliza esses resultados para o Rn. estendemos ao Rn vários conceitos com a ideia de que resultados que podemos visualizar em R2 e R3 possam ser válidos também em Rn. .8). v • A distância mais curta entre dois pontos é obtida com uma reta.5 Se u. O próximo teorema estabelece uma relação fundamental entre o produto escalar e n a normas em R .9  Na Geometria Plana.10 TEOREMA 3. • A soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é.2. prova-se que. v) Prova (b) Segue da parte (a) e da Fórmula (11) que  Figura 3. u ||u  v||  ||u||  ||v|| TEOREMA 3. a soma dos quadra- uv dos das diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados (Figura 3.8 (a) [Desigualdade triangular para vetores] (b) [Desigualdade triangular para distâncias] v Prova (a) Propriedade do valor absoluto Desigualdade de Cauchy-Schwarz w u d(u.10). u  Figura 3.2. O teo- v n uv rema seguinte generaliza esse resultado ao R .2. pelo menos. então segue da primeira linha da Tabela 1 e das propriedades da transposta que . do que (25) decorre facilmente. Aqui multiplicação matricial estão as possibilidades. então (25) Prova Observe que a Fórmula (25) ex- pressa o produto escalar em ter- mos de normas. O produto escalar como Essas fórmulas dependem de expressar os vetores como matrizes linha ou coluna.2.2 Norma. produto escalar e distância em R n 139 n TEOREMA 3. 3.  Há várias maneiras de expressar o produto escalar de vetores usando notação matricial. Tabela 1 Forma Produto escalar Exemplo u e v como u · v  uTv  vTu matrizes coluna u como matriz linha e v como u · v  uv  vTuT matriz coluna u como matriz coluna e v como u · v  vu  uTvT matriz linha u e v como u · v  uvT  vuT matrizes linha Se A for uma matriz n n e u e v forem matrizes n 1.7 Se u e v forem vetores em R com o produto escalar. cn os vetores coluna de B. então a ij- escalar -ésima entrada de AB é ai1b1j  ai2b2j · · ·  airbrj que é o produto escalar do i-ésimo vetor linha [ai1 ai2 · · · air ] de A com o j-ésimo vetor coluna de B. . Assim. c2. ponto de vista do produto Lembre que se A  [aij ] for uma matriz m r e B  [bij ] uma matriz r n.140 Álgebra Linear com Aplicações As fórmulas resultantes. T  E X E M PLO 9 T Verificando que Au · v = u · A v Suponha que Então do que obtemos Assim. Deixamos para o leitor veri- ficar que (27) também vale. vale Au · v  u · AT v.  A multiplicação matricial do O produto escalar fornece uma outra maneira de pensar sobre a multiplicação matricial. se r1. r2. . Au · v  u · AT v (26) u · Av  AT u · v (27) fornecem uma ligação importante entre a multiplicação por uma matriz A de tamanho n n e a multiplicação por A . então podemos escrever o produto matricial AB como (28) . rm forem os vetores linha de A e c1. …. . como garante a Fórmula (26). . 3.2. 0. produzindo um resto c. então o depósito pode dígitos do ISBN como um vetor b de R9 e seja a o vetor usar esse procedimento para verificar se o dígito de verificação é a  (1. 4) e w  (3. 1. Então o dígito de verificação c é calculado pelo procedimento se- guinte. Seja v  (2. 2)  Nos Exercícios 5–6.2. (a) ||3u  5v  w|| (b) ||3u||  5||v||  ||w|| 2. 1). 6. International Standard Book Number). obtemos um quociente de 7 e um resto de 6.  1. 3) 5.2 Norma. 2. Seja v  (1. 3). e o terceiro identifica o título do próprio livro. Calcule o produto escalar a · b. denominado dígito de verificação. calcule a expressão dada com u  (2. nove primeiros e é utilizado para garantir que não haja erro numa de modo que o dígito de verificação é c  6. 4. rede de livrarias encomendar o Aurélio por meio de um pedido Para explicar como isso é feito. Se uma loja de uma transmissão eletrônica do ISBN. 3. 2.3 e 3. pela Internet. (a) ||u||  2||v||  3||w|| (b) ||u||  ||2v||  ||3w||  Nos Exercícios 3–4. • Distância entre pontos em Rn • Calcular o produto escalar de dois vetores em Rn. (a) ||u  v|| (b) ||u||  ||v|| ||kv||  5. 2. pois originou o livro. 5. Encontre todos os escalares k tais que 3. assim. 1). 6). considere os nove primeiros transmitido eletronicamente ao depósito. 1. numérico utilizado internacionalmente para a identificação de Por exemplo. 7. 8. 7) e w  (6. O décimo e último a · b  (1. que consiste em dez dígitos. 3. 3. 8.2. O dígito de verificação é tomado como Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Norma (ou comprimento ou magnitude) de um vetor • Calcular a norma de um vetor em Rn. 9) · (8.1–3. é calculado a partir dos Dividindo 83 por 11. (a) ||u  v  w|| (b) ||u  v|| de mesma direção e sentido de v e um vetor unitário de mesma (c) ||3v  3v|| (d) ||u||  ||v|| direção e sentido oposto de v. 1. 4. 5. 12) (b) v  (1. encontre a norma de v. denominado ISBN (das ini- ciais em inglês. produto escalar e distância em R n 141 Uma aplicação do produto escalar ao números do ISBN Embora o sistema tenha sido alterado recentemente. 0)  83 dígito. 7. 3. 4). • Vetores unitários canônicos • Determinar a distância entre dois vetores em Rn. 0. (a) v  (5. • Desigualdade de Cauchy-Schwarz • Desigualdade triangular • Identidade do paralelogramo de vetores Conjunto de exercícios 3. 3. inclusive. v  (3. • Produto escalar (ou produto interno euclidiano) de dois • Provar as propriedades básicas relativas a normas e vetores em Rn produtos escalares (Teoremas 3. (c) ||2u  2v|| (d) ||3u  5v  w|| 8.2  Nos Exercícios 1–2. • Vetor normalizado • Normalizar um vetor não nulo. 5. 1. 2. 2. 1. 0. 0. 3. 2. • Vetor unitário • Determinar se um dado vetor em Rn é unitário. calcule a expressão dada com (c) ||||u  v||w|| u  (2. que é um inteiro entre 0 e 10. 5. 1. 4. o segundo identifica a editora que o publicou.7). • Ângulo entre dos vetores em Rn • Calcular o ângulo entre dois vetores não nulos em Rn. 2. 2. digamos. reduzir a possibilidade de erro na remessa. Isso é consistente com os o primeiro grupo representa o país ou grupo de países no qual se nove primeiros dígitos do ISBN. o ISBN do Novo Aurélio Século XXI é livros. v  (1. 2. 3. Os nove 85-209-1010-6 primeiros dígitos desse número estão divididos em três grupos: com um dígito de verificação igual a 6. . um vetor unitário 4. 6.2. 9) consistente com os nove primeiros dígitos transmitidos e. com a ressalva de trocar 10 por X para evitar mais de dos livros publicados nos últimos 25 anos possui um indicativo um dígito. (a) v  (4. 3) (b) v  (2. Divida a · b por 11. 1.  7. 1.5–3. 6. Encontre todos os escalares k tais que ||kv||  4. 9. 1. a maioria sendo c. 2) (c) ||||u||v|| (c) v  (2.  (c) v  (1. 5). 1) 6. 1) tuso ou reto. 1. 3)  Nos Exercícios 25–26. Em cada parte. 1. 4. 3). . Enuncie um procedimento para encontrar um vetor de um 9. v  (3. 2. 1) possíveis de ||v  w||? Interprete seu resultado geometricamente. 0. 1. Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores de cada parte do Exercício 11 e decida se o ângulo encontrado é agudo.  Nos Exercícios 11–12. 3) (b) (0. 2. 5. 3. 1. 1. 5) de 9 unidades e aponte na direção que faz um ângulo de 120° no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo e que um 27. (b) u  (3. v  (2. (a) u  (4. 4. encontre o cosseno do ângulo  entre u e v. 0). (a) u  (3. 1. Descreva o conjunto de vetor b daquele plano tenha um comprimento de 5 unidades e todos os pontos (x. Prove as partes (a) e (b) do Teorema 3. v2) na Fi- 16. 4). 3. 4) (com 0    ) entre u e v. 5. 2) e (3. 13. encontre u · v. 0) e (1. 1. 4. v (2. 3. 3). 1. 3. 24. 2. (a) u  (3. 2. v  (3. A desigualdade triangular (Teorema 3. 1. Se ||v||  2 e ||w||  3. y0. Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores de cada parte (c) u  (0. 2. 0. 1.  v 17. 1. 1. v  (0. 20. 31. 1. v  (4. y. 1. 7)  Figura Ex-28 (c) (d) (1. 3. 3. 1. v  (1. encontre a distância euclidiana entre u (a) u  (2. 1) do Exercício 12 e decida se o ângulo encontrado é agudo. 1.−2) 22.2.1.142 Álgebra Linear com Aplicações  Nos Exercícios 9–10. 3. 4). 5) 29. 0. encontre a medida em radianos do ângulo  v  (4. 3). 3) tuso ou reto. faz um ângulo de 47° no sentido anti-horário a partir do eixo x (b) Sejam u e v os vetores na Figura Ex-28b. (a) u · (v · w) (b) u · (v  w)  x 45° x 30° (c) ||u · v|| (d) (u · v)  ||u|| 2 3 18. 4. 0. 0) 11. 0. Encontre a · b. 11. z) para os quais ||p  p0||  1. 1.−2. 3. 5. 7.  (b) u  (6. 7) e (21. 2. 0. 0) v  (2. 7. y. sentido oposto ao do vetor. 3) (b) u  (0. Suponha que um vetor a do plano xy aponte na direção que gura Ex-28a são v1  ||v|| cos  e v2  ||v|| sen . v  (0. 4) (c) u  (1. (a) ||u|| · ||v|| (b) (u · v)  w (c) (u · v)  k (d) k · u 19. 0) e (0. 2). Prove as partes (a) e (c) do Teorema 3. 7) e v.  13. 2. u · u e v · v. (a) u  (1. 12. 1) 23. 2. (c) (1. 2. 0. (a) (12. 2. 25. 3.2.  21. 0. 2. O que pode ser dito sobre o valor de a · b? y y v = (v1.1. 0). 1. ob. 2). z0) e p  (x. 2. 1. aponte na direção e sentido do eixo y positivo. 1. explique. 2. 3) (b) u  (2. 5). 4) (c) u  (3. 2) (a) (1. Em cada parte. Prove as partes (d) e (e) do Teorema 3. 3). 2. v  (5. v  (1. 1. 1. (b) u  (1. (a) u  (1.−4) comprimento especificado m que aponte na mesma direção e sentido de um vetor v dado. 1. encontre um vetor unitário de mesma direção e 30. 5) (b) (3. v  (1. v  (4.2. 28.2. 5. 5. (a) Mostre que os componentes do vetor v  (v1. (a) u  (3. (b) u  (1. 2. (b) u  (2. (a) (4. 2. 0. 8) (d) sob quais condições? Explique sua resposta geometricamente.3. 1. 0. encontre um vetor de mesma direção e sentido (a) (b) do vetor. 2. 2. faz um ângulo de 43° no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. v2)  Nos Exercícios 17–18. 1). 1) (c) u  (0. 1). 3) (b) (1. verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz. v  (1. 1). 3. 2) 15. v  (5. 26. 1) (d) (1. quais são os maiores e menores valores 10. 1. 1. Em cada parte.3. v  (2. Use o resultado positivo e que um vetor b daquele plano aponte na direção que da parte (a) para encontrar os componentes de 4u  5v. ob. v  (2. Em cada parte. 1. 2. Sejam p0  (x0. 3). 3) 32. Se não fizer. 1). 3) 14. 6). 4. 4) (d) u  (2. v  (1.5a) é uma igualdade (c) (6. 2). 2). 3. 5. determine se a expressão faz sentido u matemático. 2. z). v  (1. 1). 3. Suponha que um vetor a do plano xy tenha um comprimento (c) u  (1. 1. 6. b e c. obtemos a definição seguinte. (h) Se u · v  0. se u estiver no primeiro quadrante e v no terceiro qua- Exercícios verdadeiro/falso drante. Nas partes (a)-(j). (a.  E X E M P L O 1 Vetores ortogonais (a) Mostre que u  (2. (f) Ambas expressões (u · v)  w e u · (v  w) fazem sentido e (b) Qual relação deve ser verificada para que o ponto p  são iguais. (a) Qual relação deve ser verificada para que o ponto p  vetores unitários paralelos a v. DEFINIÇÃO 1 Dizemos que dois vetores não nulos u e v em Rn são ortogonais (ou perpendiculares) se u · v  0. k} dos vetores unitários canônicos é um conjunto ortogonal em R3. (i) Em R2. (b) Em R2. 3. j. então v  w. na Fórmula (20) da seção anterior. (j) Dados quaisquer vetores u. a nor- ma desse vetor é duplicada. Também convencionamos que o vetor nulo em Rn é ortogonal a cada vetor em Rn. u · v  0. tratamos da noção de “perpendicularidade”. definimos a noção de “ângulo” entre vetores em Rn. b. positivos e negativos de a. Solução (a) Os vetores são ortogonais pois u · v  (2)(1)  (3)(2)  (1)(0)  (4)(1)  0 . então o ângulo entre u e v Garanta que a relação enunciada seja válida para valores mede /3 radianos. ||u  v  w||  ||u||  ||v||  ||w|| (a) Se cada componente de um vetor em R3 for duplicado. (b) Mostre que o conjunto S  {i. Um conjunto não vazio de vetores em Rn é denominado ortogonal se dois quaisquer de seus vetores forem ortogonais.3 Ortogonalidade 143 33. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. e só se. Lembre que. (a. então u  0 ou u  0. ||v||  1 e u · v  1. Os vetores perpendiculares em Rn desempenham um papel importante numa grande variedade de aplicações. v e w em Rn. b e c. O que pode ser dito sobre dois vetores não nulos u e v que (c) Cada vetor em Rn tem norma positiva. 2. Um conjunto ortogonal de vetores unitários é dito ortonormal. Assim. os vetores de norma 5 cujo ponto inicial esteja na ori- gem têm ponto final num círculo de raio 5 centrado na origem. 1) são vetores ortogonais em R4. 3. 3. então u · w não pode ser positivo. 4) e v  (1. c) esteja equidistante da origem e do plano xz? (e) Se ||u||  2. c) esteja mais distante da origem do que do plano (g) Se u · v  u · w. 0. b. 1. xz? Garanta que a relação enunciada seja válida para va- lores positivos e negativos de a. Nesta seção. definimos o ângulo  entre dois vetores Vetores ortogonais não nulos u e v em Rn pela fórmula Segue disso que   /2 se.3 Ortogonalidade Na seção anterior. existem exatamente dois 34. temos justificando sua resposta. satisfazem a equação ||u  v||  ||u||  ||v||? (d) Se v for um vetor não nulo em Rn. y) da reta ou (x. Por exemplo. y0. dade de conferir que ou seja. y z (a. z) n n P0(x0. z0) y x x  Figura 3. a Figura 3.blogspot. e que um plano em R3 é determinado de maneira única por sua “inclinação” e um de seus pontos. O vetor pode ser dado em termos de componentes como [reta] [plano] Assim. c) P(x.2. c). b) e o plano pelo ponto P0(x0. não há necessi- Solução (b) Devemos mostrar que todos os pares de vetores distintos são ortogonais. z0) de normal n  (a. em R2. y0) de normal n  (a. Uma maneira de especificar essas incli- nações é utilizar um vetor não nulo n. b. b.3. y) (a. a Equação (1) pode ser escrita como a(x  x0)  b(y  y0)  0 [reta] (2) a(x  x0)  b(y  y0)  c(z  z0)  0 [plano] (3) Essas equações são denominadas equações ponto-normal da reta e do plano.1  E X E M P L O 2 Equações ponto-normal Segue de (2) que. y0) P0(x0. Tanto a reta quanto o plano são representados pela equação vetorial (1) em que P é um ponto arbitrário (x.  2 Retas e planos determinados Aprende-se na Geometria Analítica que uma reta em R é determinada de maneira única por pontos e normais por sua inclinação e um de seus pontos. que seja ortogonal à reta ou ao plano em questão. i·ji·kj·k0 j·ik·ik·j0 pois isso segue das contas feitas Isso é geometricamente evidente (Figura 3. y. mas pode ser visto também pelas contas no exemplo e da propriedade de simetria do produto escalar.1 mostra a reta pelo ponto P0(x0. y.2). y0. denominado normal.3.com. a equação 6(x  3)  (y  7)  0 . https://livros-pdf-ciencias-exatas. z) do plano. b) P(x.br/ 144 Álgebra Linear com Aplicações No Exemplo 1. 1). b) formado pelos coeficientes da equação é ortogonal à reta. 3  E X E M P L O 3 Vetores ortogonais a retas e planos pela origem (a) A equação ax  by  0 representa uma reta pela origem em R2. 3. 1) e segue de (3) que. então uma equação da forma ax  by  cz  d  0 (5) representa um plano em R de normal n  (a.3. isso é a forma 3 vetorial de uma reta pela origem e. Solução Resolvemos ambos os problemas simultaneamente. b. ou seja. Em R . a 3 equação 4(x  3)  2y  5(z  7)  0 representa um plano pelo ponto (3. z)  0 Essas equações mostram que n1 é ortogonal a cada vetor (x. b) · (x. Isso leva ao resultado a seguir. ou três incógnitas podem ser escritas na forma vetorial de que outras maneiras podemos escrever (6) se n e x forem da- n·x0 (6) dos em forma matricial? 2 em que n é o vetor de coeficientes e x é o vetor das incógnitas. y)  0 e n2 · (x. y. y. 2 (b) Se a. y) na reta e que n2 é ortogonal a cada vetor (x. b). Mostre que o vetor n2  (a. 0. TEOREMA 3. 7) de normal n  (4. como n1 · (x. em R . y. c) formado pelos coeficientes da equação é ortogonal ao plano. 2. y)  0 e (a. então uma equação da forma ax  by  c  0 (4) representa uma reta em R de normal n  (a. podemos multiplicar todos os termos nas Equações (2) e (3) e combinar as constantes. ortogo- nal a cada vetor ao longo da reta. é a forma vetorial de um plano pela origem.1 (a) Se a e b forem constantes não ambas nulas. ou seja. (b) A equação ax  by  cz  0 representa um plano pela origem em R3. O Exemplo 3 ilustra que equações homogêneas em duas Usando a Tabela 1 da Seção 3. b e c forem constantes não todas nulas. em R .3 Ortogonalidade 145 representa a reta pelo ponto (3.  Vimos que ax  by  0 e ax  by  cz  0 são ditas equações homogêneas. c) · (x. z)  0 ou.3. 5).2. 7) de normal n  (6. As duas equações podem ser escritas como (a. alternativamente. b.  Quando for conveniente. ortogonal a cada vetor que fica no plano. z) no plano (Figura 3. Mostre que o vetor n1  (a. c). b. . um deles sendo um múltiplo escalar de um vetor não nulo especificado a e o outro.3.2 e 3. k deve satisfazer a equação u · a  k ||a|| 2 da qual obtemos . Como w1  w2  w1  (u  w1)  u obtivemos uma decomposição de u numa soma de dois vetores ortogonais. o primeiro deles sendo um múltiplo escalar de a e o segundo sendo ortogonal a a.2 Nas partes (b) até (d). TEOREMA 3. perpendicular a a.3. se u e a são vetores em R2 posicionados com seus pontos iniciais coincidindo num ponto Q. O próximo teorema mostra que o resultado precedente.146 Álgebra Linear com Aplicações Projeções ortogonais Em muitas aplicações.2). é necessário “decompor” um vetor u na soma de dois componen- tes. então u pode ser escrito de maneira única na forma u  w1  w2. u u u u w2 w2 w2 Q a Q w1 a Q a w1 w1 Q a (a) (b) (c) (d )  Figura 3.2.3 para obter u · a  (ka  w2) · a  k ||a||  (w2 · a) 2 (9) Como w2 é ortogonal a a.2 Teorema da Projeção Se u e a forem vetores em Rn e se a 0. Prova Como o vetor w1 deve ser um múltiplo escalar de a. também é válido em R . u  w1  w2. a última parcela em (9) deve ser 0 e. em que w1 é paralelo a a e w2 é ortogonal a a. em que w1 é um múltiplo escalar de a e w2 é ortogonal a a. Por exemplo. portanto. podemos criar uma tal decomposição como segue (Fi- gura 3. que foi apresentado usando 2 n vetores em R .2. • Baixamos uma perpendicular da ponta de u para a reta ao longo de a. • Construímos o vetor w2  u  w1.3. • Construímos o vetor w1 de Q ao pé da perpendicular. deve ter a forma w1  k a (7) Nosso objetivo é encontrar um valor do escalar k e um vetor w2 que seja ortogonal a a e tal que u  w1  w2 (8) Podemos determinar k usando (7) para reescrever (8) como u  w1  w 2  k a  w 2 e então aplicar os Teoremas 3. o que se faz mostrando que w2 · a  0 (deixamos os detalhes para o leitor). Encontre o componente vetorial de u ao longo de a e o componente vetorial de u ortogonal a a. sen )  sen . 1) sobre a reta L que faz um ângulo  com o eixo x positivo em R2. Solução Conforme ilustrado na Figura 3. temos [componente vetorial de u ao longo de a] (10) [componente vetorial de u ortogonal a a] (11)  E X E M P L O 4 Projeção ortogonal sobre uma reta Encontre as projeções ortogonais dos vetores e1  (1. 1) L (cos .3 Analogamente. o componente vetorial de u ao longo de a é e o componente vetorial de u ortogonal a a é Para conferir.3. componente vetorial de u ao longo de a e o vetor w2 é denominado componente vetorial de u ortogonal a a. caso em que segue de (8) que w2  u  projau. 3. O vetor w1 costuma ser denotado pelo símbolo projau. sen ) é um vetor unitário ao y longo de L. 0)  Figura 3. 1.3. 1) · (cos . de modo que nosso primeiro problema é encontrar a projeção ortogonal de e1 sobre a. então. a  (cos . O vetor w1 é denominado proje- ção ortogonal de u sobre a ou.  . Solução Assim.3.  Os vetores w1 e w2 no teorema da projeção têm nomes.3 Ortogonalidade 147 como o único valor possível de k. segue da Fórmula (10) que  E X E M P L O 5 O componente vetorial de u ao longo de a Sejam u  (2. A prova pode ser concluída reescrevendo (8) como e confirmando que w2 é ortogonal a a. Como e2 = (0. 0) e e2  (0. 1. Resumindo. 3) e a  (4. o leitor pode querer verificar que os vetores u  projau e a são perpendicu- lares mostrando que seu produto escalar é zero. 2). como e2 · a  (0. sen ) segue da Fórmula (10) que essa projeção é 1 sen   x cos  e1 = (1. 2. 0.5).3 Teorema de Pitágoras em Rn u+v v Se u e v forem vetores ortogonais em Rn com o produto escalar.br/ 148 Álgebra Linear com Aplicações u Às vezes. do que segue que ||u  v||  (u  v) · (u  v)  ||u||  2(u · v)  ||v||  ||u||  ||v||  2 2 2 2 2  E X E M P L O 6 O teorema de Pitágoras em R 4 No Exemplo 1. como usar projeções ortogonais para resolver os três problemas de dis- Problemas de distância tância seguintes. mostramos que os vetores u  (2. Problema 3. u (12) ||u||  a Se  denota o ângulo entre u e a. Encontre a distância entre dois planos paralelos em R3. 3. Problema 2.4. Problema 1. Encontre a distância entre um ponto e uma reta em R2.  a ||u|| cos   em que a segunda igualdade decorre da parte (c) do Teorema 3. 4) e v  (1.4 (Verifique. temos u · v  0. Uma fórmula para essa norma pode ser de- ||u|| duzida como segue. estamos mais interessados na norma do componente vetorial de u ao longo de a do que no próprio componente vetorial.) Uma interpretação geométrica desse resultado é dada na Figura 3. https://livros-pdf-ciencias-exatas.  OPCIONAL Vejamos.3.blogspot. então u · a  ||u|| ||a|| cos . 2. observamos que muitos teoremas sobre vetores em R e R também são vá- n lidos em R .5 Prova Como u e v são ortogonais. 1.com. Um outro exemplo disso é a generalização seguinte do Teorema de Pitágoras (Figura 3. Encontre a distância entre um ponto e um plano em R3. 1) são ortogonais.3. agora.3.3. 2 3 O teorema de Pitágoras Na Seção 3. . Assim.3. Verifique o teorema de Pitágoras com esses vetores. TEOREMA 3.1 e a terceira do fato de (a) 0    2 que ||a||2  0. então ||u  v||  ||u||  ||v|| 2 2 2 (14) u  Figura 3. de modo que (12) pode também ser escrito na forma – ||u|| cos   (b)  ||projau||  ||u|| |cos | (13) 2  Figura 3.2. Solução Deixamos para o leitor confirmar que Assim. ||u  v||2  ||u||2  ||v||2. 3.3 Ortogonalidade 149 O próximo teorema fornece um método para resolver os dois primeiros problemas. Como as provas das duas partes são análogas, provamos a parte (b), deixando a parte (a) como exercício. TEOREMA 3.3.4 (a) Em R2, a distância D entre o ponto P0 (x0 , y0 ) e a reta ax  by  c  0 é (15) (b) Em R3, a distância D entre o ponto P0(x0 , y0 , z0 ) e o plano ax  by  cz  d  0 é (16) Prova (b) Seja Q(x1, y1, z1) um ponto qualquer no plano e posicionemos a normal n n  (a, b, c) de tal forma que seu ponto inicial esteja em Q. Conforme ilustrado na Figura P0(x0, y0, z0) 3.3.6, a distância D é igual ao comprimento da projeção ortogonal sobre n. Assim, projn QP0 segue da Fórmula (12) que D D Q(x1, y1, z1) No entanto, Distância de P0 até o plano.  Figura 3.3.6 Assim, (17) Como o ponto Q(x1, y1, z1) está no plano, suas coordenadas satisfazem a equação desse plano; logo, ax1  by1  cz1  d  0 ou d  ax1  by1  cz1 Substituindo essa expressão em (17), obtemos (16).  E X E M P L O 7 Distância entre um ponto e um plano Encontre a distância D entre o ponto (1, 4, 3) e o plano 2x  3y  6z  1. Solução Como as fórmulas de distância no Teorema 3.3.4 exigem que as equações da reta e do plano estejam escritas com um zero do lado direito, começamos reescrevendo a equação do plano como 2x  3y  6z  1  0 a partir do que obtemos  150 Álgebra Linear com Aplicações P0 O terceiro problema de distância proposto é encontrar a distância entre dois planos paralelos em R3. Conforme sugerido na Figura 3.3.7, a distância entre um plano V e um V plano W pode ser obtida encontrando um ponto P0 qualquer em um dos planos e calculan- do a distância entre esse ponto e o outro plano. Vejamos um exemplo. W  E X E M PLO 8 Distância entre planos paralelos  Figura 3.3.7 A distância Os planos entre os planos paralelos V e W é igual à distância entre P0 e W. x  2y  2z  3 e 2x  4y  4z  7 são paralelos porque suas normais, (1, 2, 2) e (2, 4, 4), são vetores paralelos. Encontre a distância entre esse planos Solução Para encontrar a distância D entre os planos, podemos selecionar um ponto arbitrário em um dos planos e calcular sua distância ao outro plano. Tomando y  z  0 na equação x  2y  2z  3, obtemos o ponto P0(3, 0, 0) nesse plano. Usando (16), a distância entre P0 e o plano 2x  4y  4z  7 é  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Vetores ortogonais (perpendiculares) • Determinar se dois vetores são ortogonais. • Conjunto ortogonal de vetores • Determinar se um dado conjunto de vetores forma um • Conjunto ortonormal de vetores conjunto ortogonal. • Normal a uma reta • Encontrar equações de retas (ou planos) usando um vetor normal e um ponto da reta (ou plano). • Normal a um plano • Encontrar a forma vetorial de uma reta ou plano pela • Equações ponto-normal origem. • Forma vetorial de uma reta • Calcular o componente vetorial de u ao longo de a e • Forma vetorial de um plano ortogonal a a. • Projeção ortogonal de u sobre a • Encontrar a distância entre um ponto e uma reta em • Componente vetorial de u ao longo de a R2 ou R3. • Componente vetorial de u ortogonal a a • Encontrar a distância entre dois planos paralelos em R3. • Teorema de Pitágoras • Encontrar a distância entre um ponto e um plano. Conjunto de exercícios 3.3  Nos Exercícios 1–2, determine se u e v são vetores ortogo- (c) u  (1, 5, 4), v  (3, 3, 3) nais.  (d) u  (2, 2, 3), v  (1, 7, 4) 1. (a) u  (6, 1, 4), v  (2, 0, 3)  Nos Exercícios 3–4, determine se os vetores formam um con- (b) u  (0, 0, 1), v  (1, 1, 1) junto ortogonal.  (c) u  (6, 0, 4), v  (3, 1, 6) 3. (a) v1  (2, 3), v2  (3, 2) (d) u  (2, 4, 8), v  (5, 3, 7) (b) v1  (1, 1), v2  (1, 1) 2. (a) u  (2, 3), v  (5, 7) (c) v1  (2, 1, 1), v2  (1, 0, 2), v3  (2, 5, 1) (b) u  (6, 2), v  (4, 0) (d) v1  (3, 4, 1), v2  (1, 2, 5), v3  (4, 3, 0) https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 3.3 Ortogonalidade 151 4. (a) v1  (2, 3), v2  (3, 2)  Nos Exercícios 29–32, encontre a distância entre o ponto e a (b) v1  (1, 2), v2  (2, 1) reta.  (c) v1  (1, 0, 1), v2  (1, 1, 1), v3  (1, 0, 1) 29. 4x  3y  4  0; (3, 1) (d) v1  (2, 2, 1), v2  (2, 1, 2), v3  (1, 2, 2) 30. x  3y  2  0; (1, 4) 5. Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a 31. y  4x  2; (2, 5) u  (1, 0, 1) quanto a v  (0, 1, 1). 32. 3x  y  5; (1, 8) 6. (a) Mostre que v  (a, b) e w  (b, a) são vetores ortogo-  Nos Exercícios 33–36, encontre a distância entre o ponto e o nais. plano.  (b) Use o resultado na parte (a) para encontrar vetores que 33. (3, 1, 2); x  2y  2z  4 sejam ortogonais a v  (2, 3). 34. (1, 1, 2); 2x  5y  6z  4 (c) Encontre dois vetores unitários ortogonais a (3, 4). 35. (1, 2, 1); 2x  3y  4z  1 7. Verifique se os pontos A(1, 1, 1), B(2, 0, 3) e C(3, 1, 1) formam os vértices de um triângulo retângulo. Explique sua 36. (0, 3, 2); x  y  z  3 resposta.  Nos Exercícios 37–40, encontre a distância entre os planos 8. Repita o Exercício 7 com os pontos A(3, 0, 2), B(4, 3, 0) e paralelos.  C(8, 1, 1). 37. 2x  y  z  5 e 4x  2y  2z  12  Nos Exercícios 9–12, encontre uma forma ponto-normal da 38. 3x  4y  z  1 e 6x  8y  2z  3 equação do plano que passa por P e tem n como normal.  39. 4x  y  3z  0 e 8x  2y  6z  0 9. P(1, 3, 2); n  (2, 1, 1) 40. 2x  y  z  1 e 2x  y  z  1 10. P(1, 1, 4); n  (1, 9, 8) 11. P(2, 0, 0); n  (0, 0, 2) 41. Sejam i, j e k os vetores unitários ao longo dos eixos x, y 12. P(0, 0, 0); n  (1, 2, 3) e z positivos de um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional. Se v  (a, b, c) é um vetor não  Nos Exercícios 13–16, determine se os planos dados são nulo, então os ângulos ,  e  entre v e os vetores i, j e k, paralelos.  respectivamente, são denominados ângulos diretores de v 13. 4x  y  2z  5 e 7x  3y  4z  8 (Figura Ex-41), e os números ,  e  são os cossenos dire- 14. x  4y  3z  2  0 e 3x  12y  9z  7  0 tores de v. 15. 2y  8x  4z  5 e x = z  y (a) Mostre que cos   a||v||. 16. (4, 1, 2) · (x, y, z)  0 e (8, 2, 4) · (x, y, z)  0 (b) Encontre cos  e cos . (c) Mostre que v||v||  (cos , cos , cos ).  Nos Exercícios 17–18, determine se os planos são (d) Mostre que cos2   cos2   cos2   1. perpendiculares.  17. 3x  y  z  4  0, x  2z  1 z 18. x  2y  3z  4, 2x  5y  4z  1 Nos Exercícios 19–20, encontre ||projau||.  k v 19. (a) u  (1, 2), a  (4, 3)  (b) u  (3, 0, 4), a  (2, 3, 3)  j y 20. (a) u  (5, 6), a  (2, 1)  i (b) u  (3, 2, 6), a  (1, 2, 7) x  Figura Ex-41  Nos Exercícios 21–28, encontre os componentes vetoriais de u ao longo de e ortogonal a a.  21. u  (6, 2), a  (3, 9) 22. u  (1, 2), a  (2, 3) 42. Use o resultado do Exercício 41 para estimar, até o grau mais próximo, os ângulos que a diagonal de uma caixa de 10 cm 23. u  (3, 1, 7), a  (1, 0, 5) 15 cm 25 cm faz com as arestas da caixa. 24. u  (1, 0, 0), a  (4, 3, 8) 43. Mostre que se v for perpendicular a ambos w1 e w2, então v é 25. u  (1, 1, 1), a  (0, 2, 1) ortogonal a k1w1  k2w2, com quaisquer escalares k1 e k2. 26. u  (2, 0, 1), a  (1, 2, 3) 44. Sejam u e v vetores não nulos no espaço bi ou tridimensional 27. u  (2, 1, 1, 2), a  (4, 4, 2, 2) e sejam k  ||u|| e l  ||v||. Mostre que o vetor w  lu  kv 28. u  (5, 0, 3, 7), a  (2, 1, 1, 1) bissecta o ângulo entre u e v. 152 Álgebra Linear com Aplicações 45. Prove a parte (a) do Teorema 3.3.4. (d) Se a e b forem vetores ortogonais, então dado qualquer vetor 46. É possível ter não nulo u, temos projau  projua? proja(projb(u))  0 Explique seu raciocínio. (e) Se a e u forem vetores não nulos, temos proja(proja(u))  proja(u) Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, (f) Se a relação justificando sua resposta. projau  projav (a) Os vetores (3, 1, 2) e (0, 0, 0) são ortogonais. for válida com algum vetor não nulo a, então u  v. (b) Se u e v forem vetores ortogonais, então dados quaisquer es- (g) Dados vetores u e v quaisquer, vale calares não nulos r e s, os vetores ru e sv são ortogonais. (c) A projeção ortogonal de u sobre a é perpendicular ao compo- ||u  v||  ||u||  ||v|| nente vetorial de u ortogonal a a. 3.4 A geometria de sistemas lineares Nesta seção, utilizamos métodos paramétricos e vetoriais para estudar sistemas gerais de equações lineares. Nosso trabalho nos permitirá interpretar conjuntos de soluções de sistemas lineares em n incógnitas como objetos geométricos em Rn, da mesma forma que interpretamos conjuntos de soluções de sistemas lineares em duas e três incógnitas com pontos, retas e planos em R2 e R3. Equações paramétricas e Na seção anterior, deduzimos as equações de retas e planos determinados por um ponto vetoriais de retas em R2 e R3 e um vetor normal. Contudo, há outras maneiras úteis de especificar retas e planos. Por exemplo, uma reta em R2 ou R3 é determinada de maneira única por um ponto x0 na reta e um vetor não nulo v paralelo à reta, e um plano em R3 é determinado de maneira única por um ponto x0 no plano e dois vetores não nulos v1 e v2 paralelos ao plano. A melhor maneira de visualizar isso é transladar os vetores de tal modo que seus pontos iniciais sejam x0 (Figura 3.4.1). y z v1 v x0 y v2 x0 x – x0 x x0 L x y v x x  Figura 3.4.1  Figura 3.4.2 Comecemos com a dedução de uma equação para a reta L que contém o ponto x0 e é paralela a v. Se x for um ponto qualquer dessa reta, então, conforme ilustrado na Figura 3.4.2, o vetor x  x0 será algum múltiplo escalar de v, digamos, x  x0  tv ou, equivalentemente, x  x0  tv À medida que a variável t (denominada parâmetro) varia de a , o ponto x percorre toda a reta L. Dessa forma, obtemos o resultado seguinte. 3.4 A geometria de sistemas lineares 153 2 3 TEOREMA 3.4.1 Seja L a reta em R ou R que contém o ponto x0 e é paralela ao vetor Embora não esteja enunciado não nulo v. Então, uma equação de L é dada por explicitamente, fica subentendi- do que, nas Fórmulas (1) e (2), x  x0  tv (1) o parâmetro t varia de a . Se x0  0, então a reta L passa pela origem, e a equação tem a forma Isso vale para todas as equações vetoriais e paramétricas deste x  tv (2) texto, salvo menção contrária. Passamos, agora, a deduzir uma equação do plano W que contém o ponto x0 e é paralelo Equações paramétricas e aos vetores não paralelos v1 e v2. Conforme indicado na Figura 3.4.3, se x for um ponto vetoriais de planos em R3 qualquer desse plano, então, formando múltiplos escalares convenientes de v1 e v2, diga- mos, t1v1 e t2v2, podemos criar um paralelogramo de diagonal x  x0 e lados adjacentes t1v1 e t2v2. Assim, temos z W x  x0  t1v1  t2v2 ou, equivalentemente, x  x0  t1v1  t2v2 x À medida que as variáveis t1 e t2 (denominadas parâmetros) variam de a , o ponto x percorre todo o plano W. Em suma, obtemos o resultado seguinte. t2v2 t1v1 y x0 3 TEOREMA 3.4.2 Seja W o plano em R que contém o ponto x0 e é paralelo aos vetores x não nulos v1 e v2. Então, uma equação de W é dada por  Figura 3.4.3 x  x0  t1v1  t2v2 (3) Se x0  0, então o plano W passa pela origem e a equação tem a forma x  t1v1  t2v2 (4) Observação Observe que a reta por x0 representada pela Equação (1) é a translação por x0 da reta pela origem representada pela Equação (2), e que o plano por x0 representado pela Equação (3) é a translação por x0 do plano pela origem representada pela Equação (4) (Figura 3.4.4). y z x0 x = x0 + t1v1 + t2v2 x = x0 + tv x0 v2 x = t1v1 + t2v2 x = tv v x v1 y x  Figura 3.4.4 Motivados pelas Fórmulas (1) a (4), podemos estender as noções de reta e plano ao Rn por meio das definições seguintes. n DEFINIÇÃO 1 Se x0 e v forem vetores em R e se v for não nulo, então a equação x  x0  tv (5) define a reta por x0 que é paralela a v. No caso especial em que x0  0, dizemos que a reta passa pela origem. 154 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 2 Se x0, v1 e v2 forem vetores em Rn e se v1 e v2 forem não colineares, então a equação x  x0  t1v1  t2v2 (6) define o plano por x0 que é paralelo a v1 e v2. No caso especial em que x0  0, dizemos que o plano passa pela origem. As Equações (5) e (6) são denominadas formas vetoriais de uma reta e de um plano em Rn. Se os vetores nessas equações forem dados em termos de seus componentes, e os componentes correspondentes de cada lado forem igualados, obtemos as equações para- métricas da reta e do plano. Vejamos alguns exemplos.  E X E M P L O 1 Equações vetoriais e paramétricas de retas em R e R 2 3 (a) Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas da reta em R2 que passa pela origem e é paralela ao vetor v  (2, 3). (b) Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas da reta em R3 que passa pela origem e é paralela ao vetor v  (4, 5, 1). (c) Use a equação vetorial obtida na parte (b) para encontrar dois ponto na reta que sejam distintos de P0. Solução (a) Segue de (5) com x0  0 que uma equação vetorial da reta é x  tv. To- mando x  (x, y), essa equação pode ser expressa em forma vetorial como (x, y)  t(2, 3) Igualando componentes correspondentes dos dois lados dessa equação, obtemos as equa- ções paramétricas x  2t, y  3t Solução (b) Segue de (5) que uma equação vetorial da reta é x  x0  tv. Tomando x  (x, y, z) e x0  (1, 2, 3), essa equação pode ser expressa em forma vetorial como (x, y, z)  (1, 2, 3)  t(4, 5, 1) (7) Igualando componentes correspondentes dos dois lados dessa equação, obtemos as equa- ções paramétricas x  1  4t, y  2  5t, z  3  t Solução (c) Um ponto da reta representada pela Equação (7) pode ser obtido pela substi- tuição do parâmetro t por um valor numérico específico. Contudo, como t  0 fornece (x, y, z)  (1, 2, 3), que é o ponto P0, esse valor de t não serve para nosso propósito. Tomando t 1 produzimos o ponto (5, 3, 2), e tomando t  1 produzimos o ponto (3, 7, 4). Também poderíamos ter tomado qualquer outro valor distinto de t (exceto t  0).   E X E M P L O 2 Equações vetoriais e paramétricas de um plano em R3 Encontre equações vetoriais e paramétricas do plano x  y  2z  5. Solução Primeiro encontramos as equações paramétricas. Isso pode ser feito resolven- do a equação para qualquer uma das variáveis em teremos das outras duas e então usando essas duas variáveis como parâmetros. Por exemplo, resolvendo para x em termos de y e z, obtemos x  5  y  2z (8) 3.4 A geometria de sistemas lineares 155 e então, usando y e z como parâmetros t1 e t2, respectivamente, obtemos as equações pa- Poderíamos ter obtido equações ramétricas paramétricas e vetoriais distintas x  5  t1  2t2, y  t1, z  t2 no Exemplo 2 se tivéssemos re- solvido (8) para y ou z em vez Para obter uma equação vetorial do plano, reescrevemos essas equações paramétricas de x. Contudo, pode ser mostra- como do que, nos três casos, resulta o mesmo plano quando o parâme- (x, y, z)  (5  t1  2t2, t1, t2) tro varia de a . ou, equivalentemente, (x, y, z)  (5, 0, 0)  t1(1, 1, 0)  t2(2, 0, 1) E X E M P L O 3 Equações vetoriais e paramétricas de retas e planos em R4 (a) Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta pela origem em R4 que é paralela ao vetor v  (5, 3, 6, 1). (b) Encontre equações vetoriais e paramétricas do plano em R4 que passa pelo ponto x0  (2, 1, 0, 3) e é paralelo a ambos vetores v1  (1, 5, 2, 4) e v2  (0, 7, 8, 6). Solução (a) Tomando x  (x1, x2, x3, x4), a equação vetorial x  tv pode ser expressa como (x1, x2, x3, x4)  t(5, 3, 6, 1) Igualando componentes correspondentes, obtemos as equações paramétricas x1  5t, x2  3t, x3  6t, x4  t Solução (b) A equação vetorial x  x0  t1v1  t2v2 pode ser expressa como (x1, x2, x3, x4)  (2, 1, 0, 3)  t1(1, 5, 2, 4)  t2(0, 7, 8, 6) que fornece as equações paramétricas Se x0 e x1 forem dois pontos distintos em Rn, então a reta determinada por esses pontos é Retas por dois pontos em Rn paralela ao vetor v  x1  x0 (Figura 3.4.5), de modo que segue de (5) que a reta pode ser expressa em forma vetorial por x  x0  t (x1  x0) (9) ou, equivalentemente, por x1 v x0 x  (1  t) x0  tx1 (10)  Figura 3.4.5 Essas equações são denominadas equações vetoriais com dois pontos de uma reta em Rn. E X E M P L O 4 Uma reta por dois pontos em R2 2 Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta em R que passa pelos pontos P(0, 7) e Q(5, 0). Solução Veremos adiante que não interessa qual ponto é tomado como sendo x0 e qual como sendo x1, de modo que escolhemos x0  (0, 7) e x1  (5, 0). Segue que x1  x0  (5, 7) e, portanto, que (x, y)  (0, 7)  t(5, 7) (11) y)  (5.  O ponto x  (x.6).156 Álgebra Linear com Aplicações que pode ser reescrita em forma paramétrica como x  5t. então as equa- ções vetoriais resultantes teriam sido y (x. y) nas Equações (9) e (10) traça toda uma reta em R2 à medida que o parâmetro t varia no intervalo (. y  7  7t Se tivéssemos invertido nossa escolha e tomado x0  (5.4. y  7t 4 3 (verifique). Isso pode ser constatado eliminando o parâmetro t das equações paramé-  Figura 3. 7) (12) 7 6 e as equações paramétricas 5 7x + 5y = 35 x  5  5t. 0) e x1  (0.6 tricas (verifique). 0)  t(5. ambas expressam a reta cujas equa- 2 ções em coordenadas retangulares é 1 x 7x  5y  35 1 2 3 4 5 6 (Figura 3. Embora (11) e (12) pareçam diferentes.4. 7). . . . Em vista disso. O ponto x começa em x0 com t  0 e termina em x1 com t  1. se restringirmos o parâmetro a variar de t  0 até t  1. a2. . apresentamos a definição seguinte. . 3) até x1  (5. mas só o segmento de reta que liga os pontos x0 e x1. xn tem a forma a1x1  a2x2  · · ·  anxn  b (a1. an) e x  (x1. então x não percorre a reta toda. an não todos nulos) (16) Essas equações podem ser reescritas em forma vetorial considerando a  (a1. 6) pode ser representado tanto pela equação x  (1. . . n DEFINIÇÃO 3 Se x0 e x1 forem vetores em R . Lembre que uma equação linear nas variáveis x1. . Isso nos levará a alguns resultados importantes sobre ortogonali- dade e sistemas lineares. . . então as equações x  x0  t (x1  x0) (0  t  1) (13) definem o segmento de reta de x0 até x1. a Equação (13) pode ser reescrita como x  (1  t)x0  tx1 (0  t  1) (14)  E X E M PLO 5 Um segmento de reta de um ponto até um outro ponto em R2 Segue de (13) e (14) que o segmento de reta em R2 de x0  (1. 3)  t (4. x2. Contudo. 9) (0  t  1) quanto por x  (1  t)(1. Quando for conveniente. . an não todos nulos) (15) e que a equação homogênea correspondente é a1x1  a2x2  · · ·  anxn  0 (a1. . x2. . . a2. . . xn) . . 6) (0  t  1)  Sistemas lineares usando Nosso próximo objetivo é mostrar como equações e sistemas lineares podem ser dados produto escalar por produtos escalares. . . 3)  t(5. .). . . a2. 2s. 3. . rm.3. 0) De acordo com o Teorema 3.4 A geometria de sistemas lineares 157 caso em que a Fórmula (15) pode ser escrita como a·xb (17) e a Fórmula (16). r2.4. a Fórmula (18) é a extensão ao R da Fórmula (6) da Seção 3. . o vetor x deve ser ortogonal a cada um dos vetores linha . Essa equação revela que cada vetor solução x de uma equação homogênea é ortogonal ao vetor de coeficientes a.4.  E X E M P L O 6 Ortogonalidade de vetores linha e vetores solução Mostramos. x6  0 que pode ser reescrita em forma vetorial como x  (3r  4s  2t.2. no Exemplo 6 da Seção 1. que a solução geral do sistema linear homogêneo é x1  3r  4s  2t. como a·x0 (18) n Exceto por uma mudança de notação de n para a. pode- mos reescrever esse sistema em forma de produto escalar como (19) de onde podemos ver que cada vetor solução x é ortogonal a cada vetor linha da matriz de coeficientes. . então o conjunto de soluções do sistema linear homogêneo Ax  0 consiste em todos vetores em R que são ortogonais a cada n vetor linha de A. x3  2s. Resumindo. considere o sistema homogêneo Denotando os vetores linha sucessivos da matriz de coeficientes por r1. s. r.3 Se A for uma matriz m n. x5  t.3. Levando essa observação geométrica um passo adiante. x4  s. . t. TEOREMA 3. x2  r. temos o resultado seguinte. W o conjunto das soluções de Ax  0 e x0  W o conjunto de todos os vetores que resultam somando x0 a cada vetor em W. que x seja um vetor em x0  W. TEOREMA 3. Esse é um caso especial do resultado geral a seguir. Ax  A(x0  w)  Ax0  Aw  b  0  b o que mostra que x é uma solução de Ax  b.  A relação entre Concluímos esta seção explorando a relação entre as soluções de um sistema homogêneo Ax  0 e Ax  b Ax  0 e as soluções (se houver) de um sistema linear não homogêneo Ax  b com a mesma matriz de coeficientes. então x é solução de Ax  b e. cada solução de Ax  b está no conjunto x0  W.4 A solução geral de um sistema linear consistente Ax  b pode ser obtida somando uma solução específica qualquer de Ax  b à solução geral de Ax  0. primeiro.4. Isso implica que x pode ser escri- to na forma x  x0  w. Para motivar o resultado que procuramos. Esses dois sistemas são denominados correspondentes. Prova Sejam x0 uma solução específica qualquer de Ax  b. Precisamos mostrar que se x for um vetor em x0  W. O produto escalar de r1 com x é r1 · x  1(3r  4s  2t)  3(r)  (2)(2s)  0(s)  2(t)  0(0)  0 estabelecendo a ortogonalidade. podemos reescrever essas equações como As Fórmulas (20) e (21) revelam que cada solução do sistema não homogêneo pode ser obtida somando o vetor particular à solução correspondente do sistema homogêneo.2. comparamos as soluções dos sistemas li- neares correspondentes Mostramos.158 Álgebra Linear com Aplicações Verificamos que x é ortogonal a r1 e deixamos para o leitor verificar que x também é orto- gonal aos outros três vetores linha. em que Ax0  b e Aw  0. Suponha. Assim. . que a solução geral desses sistemas lineares pode ser reescrita de forma paramétrica como que podemos reescrever em forma vetorial como Repartindo os vetores do lado direito e juntando os termos de mesmo parâmetro. reciprocamente. nos Exemplos 5 e 6 da Seção 1. ções de Ax  0.4 A geometria de sistemas lineares 159 Reciprocamente. Ponto: (0. Ponto: (0. z)  (4t. Isso pode ser feito tomando w  x  x0. vetores: v1  (0. 3.  4. 0) ortogonais a v em R3.  5. seja x uma solução qualquer de Ax  b. 1. 4  3t) 15. 5) [Sugestão: construa dois vetores não paralelos 7. Ax  0). 1.] 8. y.7. vetores: v1  (6. encontre equações vetoriais e paramé- 3.4. v  (3.  . 1) tricas da reta em R2 que passa pela origem e é ortogonal a v. encontre a solução geral do sistema cas do plano contendo o ponto e paralelo aos vetores. • Equações vetoriais de dois pontos de uma reta • Expressar a equação de uma reta contendo dois pontos em • Equações vetoriais de uma reta R2 ou R3 usando equações vetoriais ou paramétricas. 1. 3.−8) 12. vetor: v  (4. • Usar uma solução específica do sistema não homogêneo Ax  b e a solução geral do correspondente sistema linear Ax  0 para obter a solução geral de Ax  b.   Nos Exercícios 15–16. vetores: v1  (0. 5. como na Seção 3. vetor: v  (1. 0) e v2  (1. v  (4. 1. 3) 14. devemos mostrar que x pode ser escrito da forma x  x0  w (22) em que w está em W (ou seja. encontre equações vetoriais e paramé- tricas do plano em R3 que passa pela origem e é ortogonal a v. Para mostrar que x está no conjunto x0  W. 0. 4). vetor: v  (0.4  Nos Exercícios 1–4. Conjunto de exercícios 3. 3. x  (1  t)(4.4 tem uma interpretação geométrica útil ilustrada na Figura 3. • Verificar a ortogonalidade dos vetores linha de um sistema de equações lineares e um vetor solução. 0) 13. 1). v  (2. 1) e v2  (0. 1). 6. v  (1. 2) ortogonais aos vetores solução. o teorema afirma que se das soluções de Ax  b é a x0 for qualquer solução específica de Ax  b. 0). vetor: v  (3. Ponto: (1. 0) cas da reta contendo o ponto e paralela ao vetor. 1.  Figura 3. 6)  Nos Exercícios 9–12. 2) 2. 2). Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Parâmetros • Expressar as equações de retas em R2 e R3 usando • Equações paramétricas de retas equações vetoriais ou paramétricas. pois x0 Aw  A(x  x0)  Ax  Ax0  b  b  0  Ax = 0 0 Observação O Teorema 3. 2)  Nos Exercícios 13–14. Esse Ax = b vetor obviamente satisfaz (22) e está em W. Ponto: (0. 1) 16.1. • Equações vetoriais de um plano • Encontrar as equações de uma reta ou segmento de reta. 4). 4). x  (3  5t. 7.4.4. 0. 3.  11. (x. 4)  Nos Exercícios 5–8. 0). x  (1  t)(0. Ponto: (4. Ponto: (2. 6) e v2  (5. • Equações paramétricas de planos • Expressar as equações de planos em Rn usando equações vetoriais ou paramétricas. 3. encontre equações vetoriais e paramétri-  Nos Exercícios 17–20. use a equação da reta dada para encontrar um ponto na reta e um vetor paralelo à reta. 5) e v2  (1. então todo o conjunto das soluções de Ax  b pode translação do espaço das solu- ser obtido transladando o conjunto das soluções de Ax  0 pelo vetor x0. 6. Ponto: (9. 3. 10. 6  t) 6. 6)  t(2. 9.  linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são 9. 1) 1. Ponto: (3.7 O conjunto Interpretando a adição vetorial como uma translação. encontre equações vetoriais e paramétri. 0. 0. 5. vetores: v1  (0. 2).4. (a) A equação x  y  1 pode ser vista como um sistema solução geral do sistema não homogêneo. pode ser obtida somando b à solução geral do sistema linear (b) Confirme que x1  1. (b) O espaço das soluções é que tipo de objeto geométrico? (c) Encontre uma solução geral do sistema obtido na parte (a) e confirme a validade do Teorema 3. 24. .3. (c) Encontre uma solução geral do sistema obtido na parte justificando sua resposta. 2. e só se. (d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente o sistema não homogêneo. (b) A equação vetorial de um plano pode ser determinada a partir de um ponto qualquer no plano e um vetor não nulo paralelo ao plano. 0).3. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. em três incógnitas cujo espaço de soluções consista em todos os vetores em R3 ortogonais a a  (3. x2  1. x3  1 é uma solução do sistema não homogêneo. x2  0. (a) Encontre um sistema linear homogêneo de duas equações 28. associado. (a) A equação x  y  z  1 pode ser vista como um siste- ma linear de uma equação em três incógnitas. (b) Dê uma interpretação geométrica do resultado da parte (a). (d) Todos os vetores solução do sistema linear Ax  b são orto- gonais aos vetores linha da matriz A se. 1) e b  (2. 3. e 20. 18. (c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma 22. (a) Encontre um sistema linear homogêneo de duas equações mogêneo associado e uma solução particular do sistema dado. 27. 26. Considere os sistemas lineares de um ponto qualquer na reta e um vetor não nulo paralelo à reta.160 Álgebra Linear com Aplicações 17. então x1  x2 é uma solução do sistema linear homo- solução geral do sistema não homogêneo. x3  1 é uma solução do homogêneo Ax  0. gêneo correspondente. linear de uma equação em duas incógnitas. (a) A equação vetorial de uma reta pode ser determinada a partir 25. Expresse uma solução geral dessa equação como uma solução (a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo. (a) e confirme a validade do Teorema 3. e (c) Todos os pontos de uma reta pela origem em R2 ou R3 são múltiplos escalares de qualquer vetor não nulo na reta. 2. b  0. 21. 1) e b  (0. sistema não homogêneo. Expresse uma solução geral dessa equação como uma solução particular (d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente somada com uma solução geral do sistema homogêneo o sistema não homogêneo. encontre uma solução geral do sistema (b) Dê uma interpretação geométrica do resultado da parte (a). Exercícios verdadeiro/falso (b) O espaço das soluções é que tipo de objeto geométrico? Nas partes (a)-(f). (e) A solução geral do sistema linear não homogêneo Ax  b (a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo.4. e use essa solução para encontrar uma solução geral do sistema ho- 23. Considere os sistemas lineares 19. 1.  Nos Exercícios 27–28. (b) Confirme que x1  1.  em três incógnitas cujo espaço de soluções consista em todos os vetores em R3 ortogonais a a  (1. (f) Se x1 e x2 são duas soluções do sistema linear não homogêneo (c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma Ax  b. particular somada com uma solução geral do sistema ho- mogêneo associado. omita a primeira coluna e tome o determinante. Gibbs se referia ao produto vetorial com “produto torcido. • Para obter o primeiro componente de u v. então o produto vetorial u v é o vetor definido por u v  (u2v3  u3v2. mas que é aplicável somente a vetores do espaço tridimensional. Esta seção pode ser omitida. já que as demais não dependem deste conteúdo. apresentamos as propriedades de vetores no espaço tridimensional que são importantes para físicos e engenheiros. e damos uma interpretação geométrica de determinantes 3 3. Na Seção 3. (1) Observação Em vez de memorizar (1). v2. 0. 2. Entre outras coisas. Agora definiremos um tipo de multiplicação vetorial que produz um vetor como produto.  E X E M P L O 1 Calculando um produto vetorial Encontre u v. para obter o terceiro componente. de Edwin Wilson (1879-1964). 2) e v  (3.br/ 3. u2. omita a segunda coluna e tome o negativo do determinante e. u3v1  u1v3. DEFINIÇÃO 1 Se u  (u1.” . Originalmente.com. definimos uma operação que fornece uma maneira de construir um vetor no espaço tridimensional que seja perpendicular a dois dados vetores.5 Produto vetorial 161 3. para obter o segundo componente.5 Produto vetorial Nesta seção opcional. definimos o produto escalar de dois vetores u e v no espaço de dimensão n.https://livros-pdf-ciencias-exatas. u1v2  u2v1) ou. e também mostra que u v é ortogonal a ambos u e v. v3) forem vetores no espaço tridimen- sional. u3) e v  (v1. temos O teorema a seguir dá algumas relações importantes entre os produtos escalar e veto- rial. Nota histórica A notação A B do produto vetorial foi introduzida pelo físico e matemático norte-ame- ricano J. Willard Gibbs (ver página 134) numa série de notas de aula para seus alunos na Universidade de Yale. sendo u  (1.2. um dos alunos de Gibbs. omita a terceira coluna e tome o determinante. • Forme a matriz de tamanho 2 3 cuja primeira linha contenha os componentes de u e cuja segunda linha contenha os componentes de v. Solução Usando (1) ou o mnemônico da observação precedente. em notação de determinante. Essas notas apareceram publicadas pela primeira vez na segunda edição do livro Vector Analysis. o leitor pode obter os componentes de u v como segue.blogspot. 1). Produto vetorial de vetores O resultado daquela operação é um escalar. que o cobriu de honrarias. [Imagem: ©SSPL/The Image Works] Joseph Louis Lagrange (1736–1813) . 6) Como u · (u v)  (1)(2)  (2)(7)  (2)(6)  0 e v · (u v)  (3)(2)  (0)(7)  (1)(6)  0 resulta que u v é ortogonal a ambos u e v.1 Relações entre os produtos escalar e vetorial Se u. Embora seu pai quisesse que ele se tornasse um advogado. 1) No Exemplo 1.   E X E M PLO 2 u ⴛ u é perpendicular a u e a v Considere os vetores u  (1. Um dos trabalhos mais famosos de Lagrange é o tratado Mécanique Analytique. v2. Lagrange foi atraído para a Matemática e para a Astronomia depois de ler um trabalho do astrônomo Halley. No ano seguinte. Apesar de sua fama. u3) e v  (v1.1. Esses métodos e sua aplicação a problemas de Mecânica Celeste foram tão monumentais que. 2) e v  (3. v e w forem vetores do espaço tridimensional. 7. foi de- signado para um cargo de professor na Escola de Artilharia Real de Turim.162 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 3. v3). Prova (d) e (e) Veja o Exercícios 38 e 39.5.  Nota histórica Joseph Louis Lagrange foi um matemático e astrônomo franco-italiano. 2. então (a) u · (u v)  0 (u v é ortogonal a u) (b) u · (u v)  0 (u v é ortogonal a v) (c) ||u v||  ||u|| ||v||  (u · v) 2 2 2 2 (Identidade de Lagrange) (d) u (v w)  (u · w)v  (u · v)w (relação entre os produtos vetorial e escalar) (e) (u v) w  (u · w)v  (v · w)u (relação entre os produtos vetorial e escalar) Prova (a) Sejam u  (u1. u2. 0. Prova (c) Como ||u v||  (u2v3  u3v2)  (u3v1  u1v3)  (u1v2  u2v1) 2 2 2 2 (2) e ||u|| ||v||  (u · v)  (u 1  u 2  u 3)(v1  v 2  v 3)  (u1v1  u2v2  u3v3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3) a prova pode ser concluída desenvolvendo os lados direitos de (2) e (3) e verificando sua igualdade. Quando morreu. mostramos que u v  (2. aos 25 anos. começou a estudar Matemática por conta própria e. em que ele reduziu a teoria da Mecânica a umas poucas fórmulas gerais das quais todas as demais equações podiam ser deduzidas. Um grande admirador de Lagrange foi Napoleão. foi enterrado com honras no Pantheon. aos 19. Aos 16 anos. Lagrange foi um homem tímido e modesto.5. ele resolveu alguns problemas famosos usando métodos novos que acabaram florescendo numa área da Matemática chamada Cál- culo das Variações. conforme garante o Teorema 3. Lagrange era considerado por muitos de seus contemporâneos como o maior matemático vivo. Então Prova (b) Análoga a (a). 0). vemos que o produto vetorial de dois vetores consecutivos tomados no sentido horário é o vetor se. 0. 3. 0)  v2(0. 0) i Por exemplo. k j guinte. 1) z Cada um desses vetores tem comprimento 1 e está ao longo dos eixos coordenados (Figu- ra 3. v2. Prova (a) A troca de u com v em (1) troca as linhas dos três determinantes no lado direito de (1) e.1). 1)  v1i  v2j  v3k (0.  As provas das demais partes são deixadas como exercícios. 1. Conforme vimos na Seção 3.2 Propriedades do produto vetorial Se u. pois podemos escrever j y v  (v1. 0. 0.2 é útil para lembrar desses resultados.5. 0. então (a) u v  (v u) (b) u (v  w)  (u v)  (u w) (c) (u  v) w  (u w)  (v w) (d) a(u v)  (au) v  u (av) (e) u 0  0 u  0 (f) u u  0 As demonstrações seguem imediatamente da Fórmula (1) e das propriedades dos determi- nantes. eles são denominados vetores unitários canôni. obtemos  O leitor não deveria encontrar dificuldades para estabelecer os resultados seguintes.5. 1. u v  (v u). Assim. portanto. 4)  2i  3j  4k  Figura 3.2 .  Figura 3. por exemplo. a parte (a) pode ser demonstrada como segue.  E X E M PLO 3 Vetores unitários canônicos Considere os vetores i  (1. v e w forem quaisquer vetores do espaço tridimensional e a um escalar. v2. TEOREMA 3. 1.1 Os ve- tores unitários canônicos. 0. 0)  v3(0. (0. 0.2. e o produto vetorial de dois vetores consecutivos tomados no sentido anti-horário é o negativo do vetor seguinte. i A Figura 3.5. (1.5. troca o sinal de cada componente do produto vetorial.5 Produto vetorial 163 As principais propriedades aritméticas do produto vetorial estão enumeradas no pró- ximo teorema. k  (0.5. v3)  v1(1. De (1). v3) do espaço tridimensional pode ser expresso em termos de i. 0) x (2. 1) k cos do espaço tridimensional. Cada vetor v  (v1. 0). Olhando para o diagrama. 3. j  (0. j e k. ADVERTÊNCIA Não é verdade. portanto. a área A desse paralelogramo é dada por A  (base)(altura)  ||u|| ||v|| sen   ||u v|| .5. segue que sen   0 e. Se u e v forem vetores não nulos. k ij Interpretação geométrica do Se u e v forem vetores no espaço tridimensional. isso pode ser reescrito como  u ||u v||  ||u|| ||v|| sen  (6) ||u||  Figura 3. dada no Teorema 3. que u v é ortogonal a ambos u e v.5. por (6). j k  i.4). do Teorema 3. que u (v w)  (u v) w. então o que confere com o resultado obtido no Exemplo 1.5. afirma que ||u v||  ||u|| ||v||  (u · v) 2 2 2 2 (5) Se  denota o ângulo entre u e v.164 Álgebra Linear com Aplicações O produto vetorial em Também vale a pena notar que um produto vetorial pode ser representado simbolicamente formato de determinante no formato (4) Por exemplo. Por exemplo. 1). então a norma de u v tem uma inter- produto vetorial pretação geométrica útil. em geral.5. Se os dedos da mão direita se fecharem apontando no sentido dessa rotação.5. então u · v  ||u|| ||v|| cos . se u  (1. pode ser mostrado que o sentido de u v pode ser determinado usando a “regra da mão direita” (Figura 3.4 Mas ||v|| sen  é a altura do paralelogramo determinado por u e v (Figura 3.3): seja  o ângulo entre u e v e suponha que u seja gi- u rado pelo ângulo  até coincidir com v. então o polegar indica (aproximadamente) o sentido de u v. 2. Assim. de modo que (5) pode ser reescrito como v ||v|| ||v|| sen  Como 0    .1. A identidade de Lagrange.  É instrutivo treinar essa regra com os produtos v  Figura 3.5.3 i j  k. i (j j)  i 0  0 e (i j) j  k j  i de modo que i (j j) (i j) j u×v Sabemos. 0. 2) e v  (3.1. 2. 0).   0. w2. z  E X E M P L O 4 Área de um triângulo Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P1(2.5. Assim. v  (v1. 0. consequentemente. w3) pode ser cal- culado a partir da fórmula (7) Isso segue da Fórmula (4). Solução A área A do triângulo é da área do paralelogramo determinado pelos vetores P2(–1. teremos u v  0.5). pois  E X E M P L O 5 Calculando um produto misto Calcule o produto misto u · (v w) dos vetores u  3i  2j  5k. pois nesse caso o paralelogra- mo determinado por u e v terá área zero e. Segue que y x P1(2. 4. 4. TEOREMA 3. P2(1. 3. 2) e P3(0. v e w. nesse caso. 0.5. u3). 3) e (Figura 3. u2. O produto misto de u (u1. 0) (verifique) e. 2) P3(0. w  3j  2k .3 Área de um paralelogramo Se u e v forem vetores do espaço tridimensional. já que. 2. obte- mos e . 3).1. v e w forem vetores do espaço tridimensional.5  DEFINIÇÃO 2 Se u.5. por (6).5 Produto vetorial 165 Esse resultado também é válido se u e v forem colineares. v  i  4j  4k. v3) e w  (w1. v2. que  Figura 3. obtemos o teorema seguinte. então ||u v|| é igual à área do para- lelogramo determinado por u e v. Usando o método discutido no Exemplo 1da Seção 3. dizemos que u · (v w) é o produto misto de u. 4 (a) O valor absoluto do determinante é igual à área do paralelogramo no espaço bidimensional determinado pelos veto- res u  (u1.5. Assim.5. v2. w2. v  (v1.5. v2).3. v2.5. em geral.) Essas relações podem ser lembradas movendo os vetores u. Contudo. Assim.5.7a. caso em que esses vetores são escritos como u  (u1. v2) são vetores do espaço bidimensional. porque não podemos formar o produto ve- torial de um escalar com um vetor. Interpretação geométrica de O próximo teorema fornece uma interpretação geométrica útil de determinantes 2 2 e determinantes 3 3. enquanto u  (u1. (Ver Figura 3. 0) e v  (v1. u2) e v  (v1.7c).7b. (Verifique. v e w no sentido horário em torno dos vértices do triângulo da  Figura 3.) Prova (a) A chave para essa prova é usar o Teorema 3. u3). w3). não há ambiguidade em escrever u · v w em vez de u · (v w). u Segue de (7) que u · (v w)  w · (u v)  v · (w u) pois os determinantes 3 3 que representam esses produtos podem ser obtidos um w × v do outro por duas trocas de linhas.5.166 Álgebra Linear com Aplicações Solução Por (7).5. Observação O símbolo (u · v) w não faz sentido. . No entanto. u2. 0). mantemos os parênteses. Para superar esse “problema de dimensão”.6. TEOREMA 3. por clareza.) (b) O valor absoluto do determinante é igual ao volume do paralelepípedo no espaço tridimensional determinado pelos vetores u  (u1. u2. esse teorema é apli- cável a vetores no espaço tridimensional. (Ver Figura 3. v3) e w  (w1. veremos u e v como vetores do plano xy de um sistema de coordenadas xyz (Figura 3.6 Figura 3. u2) e v  (v1. u2.8 e.5 Produto vetorial 167 y z z (v1. w v h = ||projv × wu|| Segue que o volume V do paralelepípedo é  Figura 3. u2) x u x w (v1. v2. segue das Fórmulas (7) e (8) que (9) Desse resultado e da discussão que segue a Definição 3 da Seção 3. Segue do Teorema v×w 3.3 que a área da base é ||v w|| e. pela Fór- mula (12) da Seção 3. 3. podemos concluir que u · (v w)  V em que os resultados  ou  dependem de u fazer um ângulo agudo ou obtuso com v w.5.5.7 Decorre.8.5. w3) u (u1. a altura h do u paralelepípedo é o comprimento da projeção ortogonal de u sobre v w. agora.5. v2. v e w. v3) y v (u1. (8) completando a prova.8. que a área A do paralelogramo determinado por u e v é completando a prova. do Teorema 3. Como três vetores não coplanares determinam um paralelepípedo . tomamos o paralelogramo determinado por v e w como a base do paralelepípedo determinado por u.5.3 e do fato de que ||k||  1. conforme ilustrado na Figura 3. A Fórmula (9) leva a um teste útil para verificar se três vetores dados ficam num mesmo plano ou não. u2.2. 0) (w1. 0) x (a) (b) (c)  Figura 3. v e w. u3) y v u v (v1.  Observação Se V denotar o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u. Prova (b) Conforme mostrado na Figura 3. Logo. v2) (u1.5.3. w2. por (7). portanto. 5) . encontre a área do triângulo com os  Nos Exercícios 3–6. v  (3. v  (v1. Q (0. (a) (u v) (v w) (b) u (v  2w) 12. 2). u  (1. u  (1. 2). 4).2). 3. 3). use o produto vetorial para encontrar um vértices dados. P3(9. 0. P3(4. 3) 4. P4(4. 1. 3. v3) e w  (w1. espaço tridimensional são colineares ou não. u e v. v e w estão num mesmo plano. sejam u  (3. 2).5 Se os vetores u  (u1. u  (3. P2(5. 0). 2)  Nos Exercícios 7–10. 2. 2) (c) (u v)  2w  Nos Exercícios 13–14. 1. 2) 15. u  (3. temos o resultado seguinte. P1(3. 2) 3. u  (2. Revisão de conceitos • Calcular o produto misto de três vetores no espaço • Produto vetorial de dois vetores tridimensional. (a) v w (b) u (v w) (c) (u v) w 11. encontre o volume do paralelepípedo 7. 2). 6. A (2. 4). 1) e v  (0. 1. 2. 8) 17. P2(4. 5). v2. 16. v  (0. 2)  Nos Exercícios 15–16. 1). 2. TEOREMA 3. 1. • Produto misto • Calcular as áreas de triângulos e paralelogramos determinados por dois vetores ou três pontos nos espaços Aptidões desenvolvidas bi e tridimensional. Conjunto de exercícios 3. 1. u3). 5). P (1.  13. 4. 4). 6. 2. 2).5  Nos Exercícios 1–2. u2. encontre a área do paralelogramo com Em cada parte. v  (3.  vetor que seja ortogonal a u e v. • Produto vetorial em forma de determinante • Conhecer a interpretação geométricas do produto misto. P4(7.  6. 4). C (3. • Calcular o produto vetorial de dois vetores u e v em R3. 2).5. 1) de arestas u. 1). 1).  os vértices dados. v  (0. 6. 1. encontre a área do triângulo no espaço 5. 1). w  (2. 8) minado pelos vetores u e v dados. 2. 2). 2. 5. u  (2. • Usar o produto misto para determinar se três vetores no • Conhecer as relações geométricas entre u v. 2). decorre de (9) que | u · (v w)|  0 se. e só se.  Nos Exercícios 11–12. 2) 18. 5) 14. 4. 1. 4). u  (2. u  (6. u  (1. B (2. C (1. v e w. e só se. calcule o vetor indicado. Assim. 2). B (3. 0). v  (6. 3) tridimensional com os vértices dados.   Nos Exercícios 17–18. 3) 2. v  (4. 2. então esses vetores são coplanares se. P1(2. P1(1. 3. • Conhecer as propriedades do produto vetorial (listadas no Teorema 3. w3) tiverem o mesmo ponto inicial. 1. os vetores u. A (1. P2(1. 3.168 Álgebra Linear com Aplicações de volume positivo. 4) 9. 1. P3(7. 1. v  (1. 1. w  (1. v  (0. encontre a área do paralelogramo deter. 4) 10. v  (3. 1). R (6. w2.5. 1). 4). 2). 4. v  (2. u  (3.  8.  1. w  (5. então ||v u|| 34. 4. u  (a. 3. Mostre que (a  d) · (b c)  a · (b c)  d · (b c) Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(f). use o resultado do Exercício 36 para encontrar 21. 28. u  (1. 3). Mostre que (a) O produto vetorial de dois vetores não nulos u e v é um vetor não nulo se. c) (b) P (0. b. (a b) (c d)  0.5. 1.5. tg   ||u v|| / (u · v). 0. mas tais que dois quaisquer não são colineares. 0). v  (2. (a) a parte (b) do Teorema 3. b  (b1. por último. 1. 22. 2. 4.] 26. 2) 38. Prove: Se a. (a) u · (w v) (b) (v w) · u (c) w · (u v) escrevendo w  w1i  w2j  w3k. u e v não forem paralelos. 1). 2).5. 0) a b  Figura Ex-36  Nos Exercícios 21–24. 0). 0). 6). depois no caso w   Nos Exercícios 25–26. 1. em cada parte calcule a expressão.1. 3. 0. v e w quaisquer do espaço tridimensional.blogspot. c  (c1. R e S.5. 29.2. 4.1. 1). determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (e) Dados vetores u. (a) do Teorema 3. 3. 3). 2. 0). 1. 1) o volume do tetraedro de vértices P. d  (d1. 3. 30. Final- pondo que u · (v w)  3. a2. calcule o produto misto u · (v w). b e c é |a · (b c)| (ver figura). w  (1. Prove: Se  for o ângulo entre u e v e se u · v 0. Q (1. Em cada parte. 1). no caso w  k  (0. e só se. v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial justificando sua resposta. (a) Obtenha a área do triângulo de vértices A(1. 1. Q. 0). dois colineares. determine se u. 2).5. Prove a parte (e) do Teorema 3. su. . j  (0.5. Sejam u. 0. 1).5. b3). 4. 0. R (1. então u (v w) está no plano determinado (f) Se u. duto vetorial de dois vetores não nulos e não colineares que 32. b. w  (5. v  (3. b2. no espaço tridimensional. 4). Prove vértice C ao lado AB. 4) 24.5 Produto vetorial 169  Nos Exercícios 19–20. [Sugestão: aplique a parte 27. S (1. c2. Use esse resultado para provar que o volume de um tetraedro cujos lados são os vetores a. 2. 2.2. R (3. w  (5. c3) e (e) a parte (f) do Teorema 3. 2. v  (1. (d) Se u e v forem vetores do espaço tridimensional.5.2.com.] (b) Use o resultado da parte (a) para encontrar a altura do 40. prove a identidade. 1). 6). 0) e. 1). 3) e C(2. 1. v  (4. w2. (c) a parte (d) do Teorema 3. w  (0. 0) c 20. Prove a parte (d) do Teorema 3. 0.2 ao resultado da parte (d) do Teorema B(0. Em cada parte. Mostre que se u. (a) (u  kv) v  u v (c) O produto misto de u. 0. então v  w. 31. v e w forem vetores em R que não são dois a os vetores (u v) w e u (v w) são iguais. v e w são coplanares desde que posicionados com seus pontos iniciais coincidindo. d3) . 1. (a) v · (u w) (b) (u w) · v (c) v · (w w) 39. 3) 23. (d) a parte (e) do Teorema 3.br/ 3. 0. v e w. 36. Use o produto vetorial para encontrar o seno do ângulo entre (b) a parte (c) do Teorema 3. u  (1. 0. S (3. v  (0. os vetores u  (2. c e d estão num mesmo plano.5. u  (2. 2. (b) Um vetor normal a um plano pode ser obtido tomando o pro- (b) (u v) w está no plano determinado por u e v. É um teorema da Geometria Sólida que o volume de um tetra- edro é dado por (área da base) · (altura). então u. 1. Sejam a  (a1. w3) 25. 0).1.2. u  (5. 1). 3. (a) u (v w) está no plano determinado por v e w. d2. v e w forem vetores em R3. v  (3. 3 35. w  (1. a3). 1). então é igual à área do paralelogramo determinado por u e v. 2. 6) e v  (2.  19. Q (2. [Sugestão: prove o resul- tado primeiro no caso w  i  (1. u w. com u não nulo e u v  por v e w.  37.https://livros-pdf-ciencias-exatas. 1). Simplifique (u  v) (u  v). 5) (a) P (1.2. prove no caso de um vetor arbitrário w  (w1. u  (3. v e w determina um vetor cujo compri- (b) u · (v z)  (u z) · v mento é igual ao volume do paralelepípedo determinado por 33. 2. estão no plano. 0. 6).  mente. Verdadeiro ou falso: se u é ortogonal a v  w. y. b2 são escalares quaisquer. v3} e {w1. A reta em R2 de equação y  3x  5. 4. 1. 7. 1. Mostre que os planos 3x  y  6z  7 e 6x  2y  12z  1 (f) (5v  w) ((u · v)w) são paralelos e encontre a distância entre eles. então os 9. 4. 1. v  (3. 0. 4. Considere os pontos P(3. 2). Ax  By  0 representa uma reta pela origem em R2. (1. a3. Prove que se dois vetores u e v em R2 forem ortogonais a um gonal a v e w. 0) e é paralelo ao ortonormal. então u e v são múltiplos es- 11. 5. gulo formado pelos vetores e . (32. (1. 1). contre o ponto S em R3 cujo primeiro componente seja 1 e 28. 5. gonais. 19). 0. 0. Repita o Exercício 1 com os vetores u  3i  5j  k. Usando os pontos do Exercício 12. encontre o cosseno do ân. 2. z)  (1. v3} é ortonormal. (a) Que tipo de objeto geométrico é o conjunto de todos os vetores em R2 ortogonais a um vetor não nulo?  Nos Exercícios 23–25. encontre uma equação ponto-normal do plano dado. y  2t e z  7. 1. 4. 0) e é ortogonal à reta de equações paramétricas x  3  5t. 1. . 5). O plano representado pela equação vetorial (x. Repita as partes (a)–(d) do Exercício 1 com os vetores 18. (d) projwu (e) u · (v w) 16. 5. 6). encontre equações vetoriais e paramé- v  2i  2k e w  j  4k. 6. 3) e R(0. 4). v  (1. com quaisquer i e j. 3) e o plano (c) a distância ente 3u e v  5w. normalize cada vetor para formar um conjunto 20. 1). O plano em R3 que contém o ponto P(2. 2). Suponha que {v1. 1). 3). 0. 5. 1. A reta em R2 que é paralela ao vetor v  (8.  3. 6. Se A e B não forem ambos nulos. Encontre a distância entre o ponto P(3. 2) e R(5. e só se. Q(0. (2. 1. 1. 0). 0. 1. determine se o conjunto de vetores dado ponto P(0. calares um do outro. 12. 1. Sejam u  (2. O plano em R3 de equação 2x  6y  3z  5. 3)  t2(2. representa essa equação em R3. é ortogonal. vetores tais que vi e wj são ortogonais. u e v são vetores tal que seja paralelo a . 1. Q(1. 1. (1. 6. 5. 1.  Nos Exercícios 17–22. Encontre o ponto S em R4 cujo terceiro compo. 4). 8. 1. 0) e w  (9. O que nente seja 6 e tal que seja paralelo a .  (b) Que tipo de objeto geométrico é o conjunto de todos os vetores em R3 ortogonais a um vetor não nulo? 23. 0). a2.br/ 170 Álgebra Linear com Aplicações Capítulo 3 Exercícios suplementares 1. v  (3. 1. (a) 3v  2u (b) ||u  v  w|| 15. (3. Prove que ||u  v||  ||u||  ||v|| se. w  (4. O plano que passa pelos pontos P(9. Repita as partes (a)–(d) do Exercício 1 com os vetores 17. 5). Considere os pontos P(3. 6. v2. e u  (2. 2. 1) e contém o  Nos Exercícios 5–6. 6)  t1(0. Se for. paralelos. https://livros-pdf-ciencias-exatas. O plano em R3que contém os pontos P(2. 8. 6. 2) 22. então u é orto- 27. 0) e é ortogonal ao u  (0. 2) 19. 0. encontre o cosseno do ân- Calcule gulo formado pelos vetores e . 1) e R(3. 1. 0. 2). Mostre que e são vetores ortonormais e encontre um terceiro vetor v3 com o qual o con. A reta em R3 que contém o ponto P(1. 0. 6. b1. do Ax  By  0z  0? Explique. v2. 5x  z  3y  4. w2} sejam dois conjuntos de junto {v1. 1. 2). 3). En. (d) Que tipo de objeto geométrico é o conjunto de todos os vetores em R3 ortogonais a dois vetores não colineares? 25. Q(6. se pensarmos nela como sen- 13. 6). então u e v são ortogonais. 6) e w = (2. então a equação R(4. 5. O plano que contém o ponto P(5.blogspot. tricas da reta ou plano dados. 0. 4). 14. 2. 2) 21. 1. 1. Verdadeiro ou falso: se u e v forem vetores não nulos tais que vetores v  a1v1  a2v2  a3v3 e w  b1w1  b2w2 são orto- ||u  v||2  ||u||2  ||v||2. 6. Q(1. 2) e 29. 1. Prove que se a1. 0) e plano 4x  z  5.  plano 8x  6y  z  4. 10.com. Usando os pontos do Exercício 11. 26. terceiro vetor não nulo w em R2. (c) Que tipo de objeto geométrico é o conjunto de todos os vetores em R2 ortogonais a dois vetores não colineares? 24. É importante lembrar que não se demons- tra axiomas. quando satisfeitos por um conjunto de objetos. usando as propriedades algébricas mais importantes dos vetores em Rn como axiomas.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 282 INTRODUÇÃO Começamos nosso estudo de vetores visualizando-os como segmentos de reta orientados (setas). teremos a garantia de que esses objetos se comportam como vetores conhecidos.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 273 4. Ao desenvolver as propriedades desses vetores. estendemos o conceito de vetor mais uma vez.8 Posto.1 Espaços vetoriais reais 171 4. CAPÍTULO 4 Espaços Vetoriais Arbitrários CONTEÚDO DO CAPÍTULO 4. nos permitirão pensar nesses objetos como vetores. 4.1. os axiomas são hipóteses que servem como ponto de partida para provar teoremas.10 Propriedades de transformações matriciais 263 4. Depois estendemos essa ideia introduzindo sistemas de coordenadas retangulares.6 Mudança de bases 217 4. oito dos quais são propriedades de vetores Axiomas de espaço vetorial em Rn que foram enunciados no Teorema 3.4 Coordenadas e bases 200 4. Neste capítulo.9 Transformações matriciais de R n em R m 247 4. havia padrões que nos permitiram estender a noção de vetor a ênuplas de números reais. A próxima definição consiste em dez axiomas. se esses axiomas forem satisfeitos por algum conjunto de objetos. nulidade e os espaços matriciais fundamentais 237 4.7 Espaço linha. em várias fórmulas. observamos que. o que nos permitiu ver vetores como pares e ternos ordenados de números reais.2 Subespaços 179 4.1 Espaços vetoriais reais Nesta seção. elas nos deram uma ferramenta valiosa para entender e estudar sistemas de equações lineares. estendemos o conceito de vetor usando as propriedades básicas de vetores em Rn como axiomas.3 Independência linear 190 4.1. espaço coluna e espaço nulo 225 4. Esses axiomas. Mesmo que as ênuplas nos tenham levado para fora do mundo da “experiência visual”.5 Dimensão 209 4. . e que u  (u)  (u)  u  0. Para mostrar que um conjunto com duas operações é um espaço vetorial Passo 1. 4. complexos. denominado soma de u com v. aqueles com escalares comple- xos são ditos espaços vetoriais 6. v e w em V e quaisquer escalares a e b. uvvu 3. nem das operações. denominado múltiplo escalar de u por a. no qual considerava sistemas abstratos de elementos não especificados com os quais definiu ope- rações formais de adição e multiplicação por escalar. Verifique a validade dos Axiomas 1 e 6. 1u  u Observe que a definição de um espaço vetorial não especifica nem a natureza dos vetores. e que a multiplicação de um vetor em V por um es- calar também produz um vetor em V. 1. Os espaços ve. A única exigência é que os dez axiomas de espaço vetorial sejam satisfeitos. Os espa- ços vetoriais complexos serão 9. a(bu)  (ab)u considerados mais tarde. então au é um objeto em V. Identifique as operações de adição e multiplicação por escalar. 2. 7. [Imagem: ©Sueddeutsche Zeitung Photo/The Image Works] Hermann Günther Grassmann (1809–1877) . tal ditos espaços vetoriais reais. então u  v é um objeto em V. Existe um objeto 0 em V. questionaram sua originalidade. Se u e v são objetos em V. e as operações de adição e multiplicação por escalar podem não ter relação alguma com as operações usuais em Rn. Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor. toriais com escalares reais são 5. Nos exemplos seguintes. existe algum objeto u. por multiplicação por escalar entendemos uma regra que associa a cada escalar a e cada objeto u em V um objeto au. 5. Por enquanto. ou seja. denominado vetor nulo de V. Se a for qualquer escalar e u um objeto em V. Se os axio- mas seguintes forem satisfeitos por todos os objetos u. a adição e a multiplicação por escalares. Grassmann. O Axioma 1 é denominado fechamento na adição e o Axioma 6. a(u  v)  au  av os nossos espaços vetoriais são 8. (a  b)u  au  bu exclusivamente reais. ou vetor zero. diremos que V é um espaço vetorial e que os objetos de V são vetores. Passo 3. 8.172 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 1 Seja V um conjunto não vazio qualquer de objetos no qual estejam defini- das duas operações. fechamento no produto escalar. A ideia crista- lizou-se com o trabalho do matemático alemão H. inclusive Augustin Cauchy (ver página 137). que publicou um artigo científico. utilizamos quatro passos básicos para mostrar que um conjunto com duas operações é um espaço vetorial. 10. tal que ou complexos. Passo 4. denominado negativo de u. todos 7. Passo 2. em 1862. O trabalho de Grassmann levantou controvérsias e alguns. 3. G. 9 e 10. que a soma de dois vetores em V produz um vetor em V. 0  u  u  0  u. Confirme que valem os Axiomas 2. u  (v  w)  (u  v)  w Os escalares de um espaço ve- torial podem ser números reais 4. Dado qualquer u em V. Nota histórica A noção de “espaço vetorial abstrato” evoluiu ao longo de muitos anos e teve contribuições de várias pessoas. Identifique o conjunto V de objetos que serão os vetores. Por adição entendemos uma regra que associa a cada par de objetos u e v em V um objeto u  v. com qualquer u em V. porque as operações que acabamos de definir produzem ênuplas. Dizemos que esse é o espaço vetorial nulo.  E X E M P L O 1 O espaço vetorial nulo Seja V um conjunto que consiste num único objeto. . mas sim pela relação entre as propriedades das operações matriciais e as matrizes como um todo. é uma sequência infinita de números reais.  E X E M P L O 2 R é um espaço vetorial n Seja V  Rn e defina as operações de espaço vetorial em V como as operações conhecidas de adição e multiplicação por escalar de ênuplas. 8. O conjunto V  Rn é fechado na adição e na multiplicação por escalar.1. porque matrizes são compostas por linhas e colunas que.1. e definamos 000 e a0  0 com escalares a quaisquer. V é um espaço veto- rial.  No próximo exemplo. . Denotamos esse espaço vetorial pelo símbolo R. . . u2. un. 4. . isso pode parecer um pouco confuso. . aqui não nos interessamos por linhas ou colunas individuais. e definimos a adição e a multiplicação por escalar por Deixamos como um exercício confirmar que. . 9 e 10 por virtude do Teorema 3. nossos vetores são matrizes. . ou seja. 5.) em que u1.1 Espaços vetoriais reais 173 Nosso primeiro exemplo é o mais simples de todos os espaços vetoriais. É fácil verificar que todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos. u2. por sua vez. Contudo.  n Nosso próximo exemplo é uma generalização de R em que permitimos que os veto- res tenham uma infinidade de componentes. . que denotamos 0. o conhecido n n espaço R . com essas operações.  Nosso segundo exemplo é um dos mais importantes espaços vetoriais. . Inicialmente. Não deveria causar surpresa que as operações de R satisfazem os axiomas de espaço vetorial.  E X E M PLO 3 O espaço vetorial das sequências infinitas de números reais Seja V o conjunto de objetos da forma u  (u1. e essas operações satisfazem os Axiomas 2. 4. 3. Como o Axioma 4 exige que cada espaço vetorial contenha um vetor zero. 7. . . pois esses axiomas tiveram por base as propriedades operacionais conhe- cidas de Rn. o objeto deverá ser esse vetor. . por conter somente um objeto. un. são vetores (vetores linha e coluna). . Definimos duas se- quências infinitas como sendo iguais se seus componentes correspondentes forem iguais. . restam os Axiomas 4. u  0  u. o Axioma 2 segue do Teorema 1. devemos encontrar uma matriz 0 de tamanho 2  2 com a qual 0  u  u  0  u com cada matriz 2  2 em V. porque as operações matriciais usadas nessa definição produzem matrizes 2  2 como resultado final. . 8 e 9 seguem das partes (b). Para confirmar que o Axioma 4 está satisfeito. (h) (j) e (e). pois Analogamente. 5. analogamente. (u)  u  0. matrizes e a operação de adição de números reais. ou seja. os Axiomas 3. e. Assim.174 Álgebra Linear com Aplicações Note que a Equação (1) envolve  E X E M P L O 4 O espaço vetorial das matrizes 2 ⴛ 2 três tipos diferentes de opera. resta confirmar que valem os Axiomas 2. por exemplo. a operação de adição de cação matricial por escalar. respectivamen- te. 5 e 10. 3. 8. 9 e 10.4. O leitor não deveria encontrar dificuldades em adaptar as argumentações daquele exemplo para mostrar que o conjunto V de todas as matrizes m  n é um espaço vetorial com as ope- rações usuais de adição matricial e multiplicação matricial por escalar. Algumas destas são proprie- dades conhecidas de matrizes. analogamente. 7. e. Assim. 7. o Axioma 10 é válido porque  E X E M P L O 5 O espaço vetorial das matrizes m ⴛ n O Exemplo 4 é um caso especial de uma classe mais geral de espaços vetoriais. Por exemplo. o espaço vetorial no Exemplo 4 é denotado por M22. Podemos fazer isso tomando Com essa definição. Finalmente. Para verificar que o Axioma 5 vale. Denotamos esse espaço vetorial pelo símbolo Mmn. Seja V o conjunto de todas as matrizes 2  2 com entradas reais e tomemos as operações ções: a operação de adição de de espaço vetorial em V como sendo as operações usuais de adição matricial e a multipli- vetores. (1) O conjunto V é fechado na adição e na multiplicação por escalar. 4. Isso pode ser feito definindo o negativo de u como Com essa definição.1a. Para conferir. daquele teorema (verifique). devemos mostrar que cada objeto u em V tem um negativo u em V tal que u  (u)  0 e (u)  u  0. 3. o gráfico da função 0 é a reta que coincide com o eixo x. O gráfico de f pode ser obtido refletindo o tos usados naquele exemplo são gráfico de f em torno do eixo x (Figura 4. produza f de volta como resultado. Se f  f (x) e g  g (x) forem duas funções em V e se a for um escalar qualquer. ). somada com qualquer outra função f em F(. ). Por exemplo. caso em que as Equações (2) e (3) afirmam que duas funções são somadas somando os componentes correspondentes. Isso segue de (a. os argumen- por f(x)  f(x) tem essa propriedade. aplicáveis igualmente em todos os subintervalos de (. ).1 É importante reconhecer que não podemos impor quaisquer duas operações em qualquer conjunto V e esperar que os axiomas de espaço vetorial estejam satisfeitos. porque se u for uma ênupla não nula em V. 10: A validade de cada um desses axiomas segue de propriedades como algum intervalo fechado dos números reais. então V não é fechado na multiplicação por escalar. ). a soma e qualquer múltiplo escalar dessas funções também estarão definidos em cada x do intervalo (. ). . 4. A função cujo valor é zero em cada ponto x do intervalo (. ). tomando duas funções quais- quer que estejam definidas em cada x do intervalo (. Por exemplo.1.1. e que uma função é multiplicada por um escalar multiplicando cada componente por esse escalar. propriedade dos números reais. Essa ideia está ilustrada nas partes (a) e (b) da Figura 4. A prova das demais partes é deixada como exercício. Isso decorre das Fórmulas (2) e (3). definimos as operações de adição e multiplicação por escalar por (f  g)(x)  f(x)  g(x) (2) (af)(x)  af(x) (3) Uma maneira de pensar nessas operações é interpretar os números f(x) e g(x) como “com- ponentes” de f e g no ponto x. b] e em que a primeira e a última igualdades decorrem de (2). Podemos provar que isso é um espaço vetorial como segue. A função definida (. 8. Axioma 4: Esse axioma exige que exista alguma função 0 em F(. dada qualquer função f em F(. ) que. respectivamente.1 Espaços vetoriais reais 175  E X E M P L O 6 O espaço vetorial das funções reais Seja V o conjunto das funções reais que estão definidas em cada x do intervalo (. produza a função 0.1c). então o Axioma 2 [a. se V for o conjunto das ênuplas de componentes positivos e se usarmos as ope- rações padrão de Rn. b). No Exemplo 6. somada à função f.1.1. as funções estão Axioma 5: Esse axioma exige que. exatamente n  como em R e R . e a igualdade central é uma F(a. b] ou algum intervalo aberto exige que f  g  g  f. então (1)u tem pelo menos um componente negativo e. ). Axiomas 2.  y y y f+g g f(x) + g(x) f g(x) af af(x) f (x) x f f (x) f f(x) 0 x x –f –f(x) x x (a) (b) (c)  Figura 4. ). ) tem essa propriedade. Contudo. Axiomas 1 e 6: Esses axiomas de fechamento exigem que. O conjunto V com essas operações é denotado pelo símbolo F(. Geometricamen- te. ) que. b). 7. exista alguma definidas em todo o intervalo função f em F(. ). se f e g forem funções em F(. Denotaremos os espaços (f  g)(x)  f(x)  g(x)  g(x)  f(x)  (g  f)(x) vetoriais das funções definidas nesses intervalos por F[a. 9. pois • Axioma 7 – Temos a(u  v)  (uv)a  uava  (au)  (av). Como pode vetores ser observado.  E X E M P L O 7 Um conjunto que não é um espaço vetorial Seja V  R2 e defina as operações de adição e multiplicação por escalar como segue: se u  (u1. que incluímos para mostrar a variedade permitida pelo conceito de espaço vetorial. se u  (2. 0)  u Assim. 0) Por exemplo.176 Álgebra Linear com Aplicações portanto. deixando os demais como exercício. existem certos vetores com os quais o Axioma 10 falha. sendo cada passo justificado por algum axioma de . u2)  (1 · u1. Nos exercícios. V não é um espaço vetorial com as operações fornecidas. pois u1u·1u • Axioma 5 – O negativo de um vetor u é seu recíproco (ou seja. 4). por- tanto. um espaço vetorial. 5 e 7. v  (3. mas mesmo assim o conjunto V com essas operações satisfaz os 10 axiomas de espaço vetorial e é.  Nosso exemplo final é um espaço vetorial incomum. Como os objetos desse espaço são números reais. então 1u  1(u1. 0  1). No entanto. Confirmamos os Axiomas 4. • Axioma 4 – O vetor zero nesse espaço é o número 1 (ou seja. pedimos para o leitor mostrar que os nove primeiros axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos.  E X E M P L O 8 Um espaço vetorial incomum Seja V o conjunto dos números reais positivos e defina as operações de V por u  v  uv [A adição vetorial é a multiplicação numérica] au  u a [A multiplicação por escalar é a exponenciação numérica] Assim.  Algumas propriedades de O seguinte é o nosso primeiro teorema sobre espaços vetoriais arbitrários. então A adição é a operação de adição padrão em R 2. u  1/u). mas a operação de multiplicação por es- calar não é. a prova é muito formal. Um exemplo menos óbvio é o seguinte. defina au  (au1. em que somente um dos axiomas de espaço vetorial deixa de valer. por exemplo. Por exemplo. se u  (u1. é importante prestar atenção se a operação pretendida é a do espaço veto- rial ou a operação usual dos números reais. u2) e v  (v1. u2  v2) e se a for um número real qualquer. u2) for tal que u2  0. 0)  (u1. 5) e a  7. 1  1  1 e (2)(1)  12  1. Muito estranho. não está em V. defina u  v  (u1  v1. v2). Provamos as partes (a) e (c) e deixamos a prova das demais partes como exercícios.1 diz sobre o espaço vetorial no Exemplo 8.1 Sejam V um espaço vetorial. Como consequência. ao mesmo tempo estaremos descobrindo um novo teorema sobre vetores geo- métricos. Para ver isso. considere o que o resultado aparentemente inocente dado na parte (a) do Teorema 4. então a  0 ou u  0. Lembrando que os vetores daquele espaço são números reais positivos. Somando esse negativo a ambos os lados acima. observe que Esta seção do texto é muito importante para o plano geral da Álgebra Linear. Uma observação final cer um elo comum entre objetos matemáticos tão distintos como vetores geométricos. o vetor 0u tem um negativo. sequência infinitas. u um vetor em V e a um escalar. TEOREMA 4. Para ilustrar essa ideia. Então (a) 0u  0 (b) a0  0 (c) (1)u  u (d) Se au  0.1 Espaços vetoriais reais 177 espaço vetorial ou alguma propriedade conhecida de números reais.1. Prova (a) Podemos escrever Pelo Axioma 5.1. sempre que descobrirmos um novo teorema sobre espaços vetoriais arbitrários. a equação 0u  0 é uma afirmação do fato de que se u for um número real positivo. resulta [0u  0u]  (0u)  0u  (0u) ou Prova (c) Para mostrar que (1)u  u. que a multiplicação por escalar signi- fica exponenciação numérica e que o vetor nulo é 1. 4. então u 1 0 . mas a incluímos para reforçar a ideia de que todas as propriedades conhecidas de vetores podem ser deduzidas dos axiomas de espaço vetorial. por estabele. vetores em Rn. para mencionar alguns poucos. Não haverá muitas provas estritamente formais como esta neste texto. sequência infinitas. devemos mostrar que u  (1)u  0. bem como qualquer outros novos tipos de vetores que possamos descobrir. ve- tores em Rn. 0u. matrizes e funções reais. matrizes e funções reais. e só se. drão de adição e multiplicação por escalar se.  rial dado no Exemplo 6.178 Álgebra Linear com Aplicações Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Espaço vetorial • Determinar se um dado conjunto com duas operações é • Fechamento na adição um espaço vetorial. y)  (1. au  (0. Verifique os Axiomas 1. 13. 12. Quais são esses axiomas? (d) Mostre que valem os Axiomas 7. 3. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x. y )  (1. Verifique os Axiomas 3. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (1. com u  (1. mostre que V  R2 satisfaz os Axiomas 4. y. as operações dadas é um espaço vetorial. 8. a2y. 10. au2) a(x. 7. Mostre que o conjunto de todos os pontos em R2 que estão 6. y)  (1. 0) de 1 até 9. 2. . e (e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam k(a0  a1x)  (ka0)  (ka1)x válidos. u2  v2). 4). identifique os axiomas que falham. v  (3. O conjunto de todas as matrizes 2  2 da forma 2 (c) Como a adição de V é a operação de adição padrão de R . (b) Mostre que (0. z)  (a2x. nidas no Exemplo 7. a2z) (a) Calcule u  v e au. 8 e 9. v2) por definida por u  v  (u1  v1. . Conjunto de exercícios 4. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números to da reta real e tais que f(1)  0. O conjunto de todos os ternos de números reais com a ope- reais e considere as operações de adição e multiplicação por ração padrão de adição. com as operações padrão de R2. escalar definidas em u  (u1. 17. com as operações do Exem- reais e considere as operações de adição e multiplicação por plo 6. com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação (e) Mostre que o Axioma 10 falha e que. x) com as operações padrão de Rn. au2) (1. O conjunto de todas as matrizes 2  2 invertíveis com as ope- (b) Explique por que V é fechado na adição e multiplicação rações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar. . portanto.−1)  0. a reta passa pela origem. por escalar. O conjunto de todos os números reais com as operações pa- 15. 6. 8 e 9 com o espaço vetorial dado  Nos Exercícios 3–12. Com as operações de adição e multiplicação por escalar defi- drão de adição e multiplicação. 3. u2) e v  (v1. V não é por escalar. Verifique os Axiomas 1. 0)  0. 3. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma numa reta é um espaço vetorial em relação às operações pa- (x. O conjunto de todas as funções reais f definidas em cada pon- 2. rial dado no Exemplo 8. 7. 9 e 10 com o espaço veto- 5. 9 e 10 com o espaço veto- ços vetoriais. u2). v2) por 11. ay) (a) Calcule u  v e au. u2  v2  1). . 16. um espaço vetorial com as operações dadas. u2) e v  (v1. com u  (u1. determine se o conjunto equipado com no Exemplo 4. au  (au1. com u  (0. 9. x.1 1. Para os que não são espa- 14. 4) e a  3. 2. (d) Mostre que vale o Axioma 5 fornecendo um par ordenado (a0  a1x)  (b0  b1x)  (a0  b0)  (a1  b1)x u tal que u  (u)  0. certos axiomas de espaço vetorial valem para V por vale- rem em R2. y  y ) e a(1. y). O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x. mas com multiplicação por escalar escalar definidas em u  (u1. 8. com as operações padrão de R2. x) com as operações u  v  (u1  v1  1. em que x  0. 8. v  (1. • Fechamento na multiplicação por escalar • Mostrar que um conjunto com duas operações não é um espaço vetorial provando que pelo menos um dos axiomas • Exemplos de espaços vetoriais falha. . O conjunto de todos os polinômios da forma a0  a1x com as operações (c) Mostre que (−1. 2). 3) e a  2. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números 7. No entanto. Seja v um vetor qualquer num espaço vetorial. 27.  (2)  au 19. O conjunto de todas as sequências infinitas de números reais (5) a0  (au  (au))  au  (au) com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas (6) a0  0  0 no Exemplo 3. Prove que (c) Um vetor é um elemento qualquer num espaço vetorial. o plano Conclusão: então a0  0. Prove que v  (1)v. dois vetores distintos. 0 o num plano é um espaço vetorial em relação às operações pa. justifique ao passos dados preenchendo as lacunas. Prova:  Nos Exercícios 19–21. [Sugestão: mostre espaço vetorial V tais que u  w  v  w. então u  0.1. pois isso vale para todos os vetores de V. Justifique cada passo afirmando que é verdadeiro (e) O conjunto de polinômios de grau exatamente 1 é um es- por hipótese ou especificando qual dos dez axiomas de espaço paço vetorial com as operações definidas no Exemplo 12. (7) a0  0 21. O conjunto Mmn de todas as matrizes m  n com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. au está em V. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. 24.1. passa pela origem. discutimos como reconhecer tais espaços vetoriais e apresentamos uma variedade de exemplos que serão utilizados mais adiante. inclusive os de W.] cado. (a) Um vetor é um segmento de reta orientado (seta). Em geral. Nesta seção. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(e). então. é ne- . Prove: se u for um vetor num espaço vetorial V e a um escalar 23. O resultado segue. não é necessário conferir que u  v  v  u vale em W.1. DEFINIÇÃO 1 Um subconjunto W de um espaço vetorial V é denominado subespaço de V se W for um espaço vetorial por si só com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V. Começamos com alguma terminologia. 26. vetor nulo de V e a um escalar. (3) Como au está em V. 4. então u  v (a lei que se au  0 e a  0. devemos verificar os dez axiomas de espaço vetorial para mostrar que um conjunto W com duas operações forma um espaço vetorial. justificando sua resposta. O conjunto V  {0} com as operações de adição e multiplica.1. O argumento a seguir prova em sete passos a parte (b) do Teo.2 Subespaços É possível para um espaço vetorial estar contido num outro espaço vetorial. ção por escalar dadas no Exemplo 1. O argumento a seguir prova que se u. se W for parte de um espaço vetorial V conhecido. e só se. de cancelamento para a adição vetorial). pois eles são “herdados” de V. Conforme exemplifi- como uma consequência lógica. vetorial é aplicável.2 Subespaços 179 18. (a0  au)  (au)  au  (au). prove que o conjunto com as operações (1) a0  au  a(0  u) dadas é um espaço vetorial. Por exemplo. Por outro lado. 20. 22. (4) Portanto. (d) Existe um espaço vetorial consistindo em exatamente 25. (b) Um vetor é uma ênupla de números reais. Seja v um vetor qualquer num espaço vetorial. então ou a  0 ou u  0. 0v  0. então certos axiomas não precisam ser verificados. v e w forem vetores num tais que au  0. 4. Mostre que o conjunto de todos os pontos em R3 que estão Hipótese: sejam u um vetor qualquer num espaço vetorial. Prove a parte (d) do Teorema 4. drão de adição e multiplicação por escalar se. rema 4. 1 Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V. então W é um subespaço de V se. TEOREMA 4. então u  v está em W. o Teorema 4.   E X E M P L O 1 O subespaço zero Se V for um espaço vetorial qualquer e se W  {0} for o subespaço de V que consiste Observe que cada espaço veto- somente no vetor nulo. 3. 9 e 10 são herdados de V.2. então W é fechado na adição e na multiplicação por escalar. inclusive os Axiomas 1 e 6. que são exatamente as condições (a) e (b).2. o vetor au está em W.2. basta mostrar que afirma que W é um subespaço de V se. seja u um vetor qualquer em W. as condições seguintes forem válidas. mostrando que os Axiomas 4 e 5 valem em W. Em particular. segue do teorema seguinte que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W.  E X E M P L O 2 Retas pela origem são subespaços em R e R 2 3 2 3 Se W for uma reta pela origem de R ou R . . Dizemos que W é o subespaço zero ou nulo de V.2 para 3 uma ilustração em R ).1 Axiomas 1 e 6 e como os Axiomas 2. com qualquer escalar a.1 Os vetores u W e v estão em W.2. então todos os axiomas de espaço vetorial são satis- feitos.2.  u estão em W. já que rial tem pelo menos dois subes- paços. ele mesmo e seu subespa. então a soma de dois vetores na reta W ou a multiplicação de um vetor na reta W por algum escalar produz um outro vetor na reta W.180 Álgebra Linear com Aplicações cessário verificar que W é fechado na adição e multiplicação por escalar. for fechado na os Axiomas 4 e 5 valem em W. e só se. suponha que valham as condições (a) e (b). Contu- do. então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e. já que é possível que a soma de dois vetores em W ou a multiplicação de um vetor em W por algum escalar produza um vetor em V que esteja fora de W (Figura 4. Para isso. e só se. (b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W. u+v au u v  Figura 4. não precisam ser verificados. dado qualquer escalar a. de modo que W é fechado na adição e na multiplicação por escalar (ver Figura 4. Prova Se W for um subespaço de V. Da condição (b) adição e na multiplicação por segue que. Reciprocamente. 0u  0 e (1)u escalar. então au está em W. mas os vetores V u  v e au não estão. 000 e a0  0 ço nulo. (a) Se u e v forem vetores em W. portanto. 8. Como estas são os Em palavras.1). 7. Os axiomas que não são herdados por W são Axioma 1 – Fechamento na adição Axioma 4 – Existência de vetor zero em W Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. 2.2. e que um múltiplo escalar de uma matriz n  n simétrica é simétrica. Ilustramos isso com um exemplo em M22 que pode ser adaptado facilmente a Mnn.4). escalar. por não ser fechado na adição nem na multiplicação por escalar.3). não é invertível. e a matriz U  V tem uma coluna de zeros.3 Ambos os Tabela 1 vetores u  v e au estão no Subespaços de R2 Subespaços de R3 mesmo plano de u e v. Assim. sabemos que a soma de duas matrizes n  n simétricas é simétrica. Considere as matrizes A matriz 0U é a matriz 2  2 nula e.2. W é fechado na adição e na multiplicação por escalar. Adiante veremos que esses são os únicos subespaços de R2 e R3.2. o conjunto de  Figura 4. o conjunto das fechado na multiplicação por matrizes triangulares superiores. • {0} • {0} • Retas pela origem • Retas pela origem • R2 • Planos pela origem • R3  E X E M P L O 4 Um subconjunto de R2 que não é um subespaço Seja W o conjunto de todos os pontos (x. 1) não é.  u au 2 3 A Tabela 1 seguinte dá uma lista de subespaços de R e R que encontramos até aqui. y) em R2 tais que x  0 e y  0 (a região des.  E X E M P L O 3 Planos pela origem são subespaços de R3 Se u e v forem vetores num plano W pela origem de R3.2 Subespaços 181 W W u+v au v u u (a) W é fechado na adição. com qualquer escalar a (Figura v 4. portanto. Esse conjunto não é um subespaço de R2.2 por escalar. Por exemplo.7. 1) W na multiplicação por escalar. falhando duas vezes.2. W  Figura 4.4 W não é todas as matrizes simétricas n  n é um subespaço de Mnn. mas (1)v  (1. tampouco é invertível. Assim. v  (1.  E X E M P L O 6 Um subespaço de Mnn que não é um subespaço O conjunto das matrizes n  n invertíveis não é um subespaço de Mnn. 1) é um vetor em W. então é geometricamente evidente u+v que u  v e au também estarão nesse mesmo plano W. Analogamente.2. triangulares inferiores e diagonais são subespaços de Mnn. x  E X E M P L O 5 Subespaços de Mnn (–1. 4. . –1) Pelo Teorema 1. y tacada na Figura 4. portanto. pois não é fechado (1. (b) W é fechado na multiplicação  Figura 4. b]. porque esse conjunto não é fechado na adição.  E X E M P L O 1 0 O subespaço dos polinômios de grau n tante 0. os polinômios de grau menor do que ou igual a n formam um subespaço de F(. um subespa- Neste texto. consideramos somente funções definidas em todos os pontos do intervalo (−.182 Álgebra Linear com Aplicações REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 7 O subespaço C(ⴥ. Às vezes. ). Assim. ou o intervalo aberto (a. as constantes como sendo poli- nômios de grau zero. respectivamente. Assim. ). Por exemplo. ). ) é um subespaço de F(. que alguns autores não associam um grau à cons. ). bem como é um subespaço o conjunto das funções com deri- vadas de todas as ordens contínuas em (. b] e C(a. sendo que o expoente 1 enfatiza que a primeira derivada é contínua. consideramos todas ço de F(. Denotamos esse espaço por C1(. ). e que uma constante vezes uma função continuamente derivá- vel é continuamente derivável. Denotamos esses espaços por Cm(. e que uma constante vezes uma função contínua é contínua.5. as funções que são continuamente deriváveis em (. ⴥ) Existe um teorema no Cálculo que afirma que a soma de funções contínuas é contínua.  A hierarquia de espaços de Prova-se em Cálculo que os polinômios são funções contínuas que têm derivadas con- funções tínuas de todas as ordens em (. Denotamos esse subespaço por C(. o intervalo fe- chado [a. fixado qualquer inteiro não negativo n. o conjunto das funções com derivadas até ordem m contínuas em (. portanto. ) é um subespaço de F(. ). esse polinômio tem grau n. Assim. adaptamos a notação correspondentemente. REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 8 Funções com derivada contínua Dizemos que uma função com derivada contínua é continuamente derivável. digamos. o que é verdade é que. ). ). como observamos no Exemplo 9. Observe. ). por exemplo. ) e C(. não só de  F(. Existe um teorema no Cálculo que afirma que a soma de duas funções continuamente deriváveis é continuamente derivável. mas também um subespaço de C (. Denotamos esse espaço por P. . ). É evidente que a soma de dois polinômios é um polinômio e que uma constante vezes um polinômio é um polinômio. No entanto. Deixamos para o leitor verificar que os espaços vetoriais discutidos nos Exemplos 7 a 10 estão “aninhados” um no outro. b] é o espaço das funções contínuas de [a. se an  0 na Fórmula (1). b). Nesses casos. Por exemplo. ) formam um subespaço de F(. ). Observação Nos nossos exemplos anteriores. Enunciado na linguagem de espaços vetoriais. conforme ilustrado na Figura 4. a1. b) é o espaço das funções contínuas de (a. ). queremos considerar funções que estão definidas somente em algum subintervalo de (−. . . ambos os polinômios 1  2x  3x2 e 5  7x  3x2 têm grau 2. an constantes. ). o conjunto das funções contínuas em (. . ). Não é verdade que o conjunto dos polinômios de grau positivo n seja um subespaço de F(.2. . mas sua soma tem grau 1.  E X E M P L O 9 O subespaço de todos os polinômios Lembre que um polinômio é uma função que pode ser expressa na forma p(x)  a0  a1x  · · ·  anxn (1) com a0. C[a. ). segue que P é um subespaço. o conjunto de todos os polinômios é fechado na adição e na multiplicação por escalar e é. b). no entanto. Lembre que o grau de um polinômio é a maior potência da variável que ocorre com coe- ficiente não nulo. e conforme ilustrado na Figura 4. Assim.2. Levando isso um passo adiante.5. que denotamos por Pn. 2. toda a argumentação subsequen- te poderia estar logicamente cor- Às vezes. 4. . segue que u e v também estão em cada um desses subespaços. Wr . que é uma generalização da Definição 4 da Seção 3. um vetor. também sua interseção tem o vetor nulo. Esse conjunto não é vazio por- que. . Isso prova que W é fechado na adição. ) C (–. espaço vetorial V. . . . ) O teorema a seguir fornece uma maneira útil de criar novos subespaços a partir de subes. Isso é xamos para o leitor provar que W é fechado na multiplicação por escalar. . Wr forem subespaços de um espaço vetorial V. . sua interseção W também contém esse vetor. no sentido de que qualquer outro subespaço de V que contenha todos aqueles vetores contém W.2. a2. nha todos os vetores de algum conjunto que nos interesse. Como W é a interse- Observe que o primeiro passo na ção de W1. . Wr . DEFINIÇÃO 2 Dizemos que um vetor w num espaço vetorial V é uma combinação linear dos vetores v1. . . portanto. demonstração do Teorema 4. TEOREMA 4. W2. . é convenien- te apresentar a seguinte definição. )  Figura 4.1. . . . ar são escalares.2 Subespaços 183 Pn C ∞(–. Se r  1. caso em que a combinação linear é só um TEOREMA 4. caso contrário. w2.22. falta mostrar que W é fechado na adição e na multiplicação por escalar. Como esses subespaços são fechados na adição. Dei. Para conseguir isso. . Construindo subespaços paços conhecidos.3 Seja S  {w1. (a) O conjunto W de todas as combinações lineares possíveis de vetores em S é um subespaço de V. . foi estabelecer que W continha. . . W2. Devemos mostrar que W é fechado na adição e na multiplicação por escalar.2. todos contêm o vetor u  v e.5 F(–. . pelo menos. queremos encontrar o “menor” subespaço de um espaço vetorial V que conte- reta. sejam u e v vetores em W. então a interseção desses subespaços também será um subespaço de V. Assim. sejam u  c1w1  c2w2  · · ·  crwr e v  k1w1  k2w2  · · ·  krwr . (b) O conjunto W da parte (a) é o “menor” subespaço de V que contém todos os ve- tores de S. Prova Seja W a interseção dos subespaços W1. ) m C 1(–. Para provar o fechamento na adição. vr em V se w puder ser expresso na forma w  a1v1  a2v2  · · ·  arvr (2) em que a1. .wr } um conjunto não vazio de vetores num múltiplo escalar de v1. . Esses escalares são denominados coeficientes da combinação linear. ) C(–. v2. . então a Fórmula (2) tem a forma w  a1v1.W2 . .2 Se W1 . Para provar o fechamento na adição. como cada um desses subespaços contém o vetor nulo de V. Prova (a) Seja W o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de vetores em S. pois. . mas desprovida de sentido.  importante. . Embora tenha sido tecnicamente um matemático. . e dizemos que os vetores em S geram esse subespaço. 1. portanto. en . W. . . c)  a(1. Assim. em vez do ambiente acadêmico.  A definição seguinte dá a notação e a terminologia relevantes relacionadas ao Teo- rema 4. . 0). 0)  b(0. . 0. e trabalhou quase que totalmente na teoria das órbitas planetárias. Assim. que o introduziu num artigo científico sobre movimento planetário. . b. . Deixamos para o leitor provar que W também é fechado na multiplicação por escalar. w2. Como W é fechado na adição e na multiplicação por escalar. . .2. DEFINIÇÃO 3 Dizemos que o subespaço de um espaço vetorial V que é formado com todas as combinações lineares possíveis de vetores de um conjunto não vazio S é gerado por S. pois cada vetor v  (v1. então ger{v}. 0. en  (0. É inte- ressante saber que aparentemente ele devolveu seu salário de professor. e2. 0. . publicado em 1907. 0.wr}. . wr} ou ger(S)  E X E M P L O 1 1 Os vetores unitários canônicos geram Rn Lembre que os vetores unitários canônicos em Rn são e1  (1. 0). George William Hill [Imagem: Cortesia da American Mathematical Society] (1838–1914) .  E X E M P L O 1 2 Uma visão geométrica de espaço gerado em R2 e R3 (a) Se v for um vetor não nulo em R2 ou R3 com ponto inicial na origem. Segue que sua soma pode ser escrita como u  v  (c1  k1)w1  (c2  k2)w2  · · ·  (cr  kr )wr que é uma combinação linear dos vetores em W. v2. w2. . por alguns anos. lecionar na Columbia University. . 1) Esses vetores geram R . W é fechado na adição. . . . vn) em R pode ser expresso como n n v  v1e1  v2e2  · · ·  vnen que é uma combinação linear de e1. denotamos o gerado de S por ger{w1. Prova (b) Seja W um subespaço qualquer de V que contenha os vetores em S. . Hill foi um “eremita” que preferia trabalhar em sua casa. 1. . . 0. c) nesse espaço pode ser expresso como 3 v  (a. contém W. 0. . 1) geram R . . . O termo com- binação linear é devido ao matemático norte-americano G.3. j  (0. um subespaço de V. Hill mostrava pouco interesse nos modernos desenvolvimentos dos matemá- ticos. 0. . . 0)  c(0. e2  (0. pois cada vetor v  (a. 1. sendo. em West Nyack. os vetores i  (1. . 1)  ai  bj  ck. portan- to. embora tenha tentado. k  (0. no estado de Nova York. contém todas as combinações lineares de vetores em S e. . 0). . por exemplo. 0. publicado em 1900. . b.184 Álgebra Linear com Aplicações dois vetores em W. 0. Se S  {w1. é a reta pela origem determina- Nota histórica Os termos linearmente independente e linearmente de- pendente foram introduzidos por Maxime Bôcher (ver página 7) em seu livro Introduction to Higher Algebra. indicando que não precisava do dinheiro e não queria ser incomodado cuidando dele. . . 0). . Hill. que é o conjunto de todos os múltiplos escalares de v. blogspot. x.6a. 2. determine se v é uma com- n n binação linear de vetores de S. 7)  k1(1. 2.https://livros-pdf-ciencias-exatas. pois cada polinômio p em Pn pode ser escrito como p  a0  a1x  · · ·  anx n que é uma combinação linear de 1. . 2.2. • Dado um conjunto S de vetores em R e um vetor v em R . . . k1  2k2) . v2} k1v1 + k2v2 kv k2v2 v v2 y k1v1 y v1 x x (a) Ger{v} é a reta pela origem (b) Ger{v1. z z ger{v} ger{v1. determine se os vetores geram Rn. 2k1  4k2.2. (b) Se v1 e v2 forem vetores não nulos em R3 com pontos iniciais na origem. x2. . x. xn. 1) e v  (6. 2) ou (9. . . Podemos denotar isso escrevendo Pn  ger{1. 2).6b. . . que consiste em todas as combinações lineares de v1 e v2. .2 Subespaços 185 da por v. ou seja. 7) é uma combinação linear de u e v e que w  (4. v2}. 4. determinado por v1 e v2. (9. xn geram o espaço vetorial Pn definido no Exemplo 10. x2. 4. . é o plano pela origem determinado por esses dois vetores. . Solução Para que w seja uma combinação linear de u e v. 1)  k2(6. 8) não é uma combinação linear de u e v. 2. 7)  (k1  6k2. • Dado um conjunto S de vetores em Rn. Isso pode ser visualizado na Figura 4. Mostre que w  (9. x }  2 n Os dois exemplos seguintes se referem a dois tipos de problema importantes.com.  E X E M P L O 1 3 Um conjunto gerador para Pn Os polinômios 1. então ger{v1. 1. v2} é o plano pela origem  Figura 4. Isso pode ser visualizado na Figura 4. observando que o ponto final do vetor kv pode ser feito coincidir com qualquer ponto da reta escolhendo o valor de k de maneira apropriada.6 determinada por v. observando que o ponto final do vetor k1v1  k2v2 pode ser feito coincidir com qualquer ponto do plano ajustando apropriadamente os escalares k1 e k2 para encom- pridar.br/ 4. encurtar ou reverter o sentido dos vetores k1v1 e k2v2. devem existir escalares k1 e k2 tais que w  k1u  k2v.  E X E M P L O 1 4 Combinações lineares Considere os vetores u  (1.2. x. 2. x . . de modo que não existem tais esca- lares k1 e k2. 8)  (k1  6k2. b3) em R3 pode ser expresso como uma combinação linear b  k1v1  k2v2  k3v3 dos vetores v1. para que w seja uma combinação linear de u e v. 2k1  k2  3k3) ou Assim. deixamos para o leitor confirmar que det(A)  0. 8)  k1(1. k2  2. b2. k1  k3. w não é uma combinação linear de u e v. obtemos Resolvendo esse sistema com eliminação gaussiana. b3)  k1(1.  . Uma maneira de verificar isso é usar as partes (e) e (g) do Teorema 2. 3) geram o espaço vetorial R3. (4. sua matriz de coeficientes tem um determinante não nulo.3. b2 e b3. devem existir esca- lares k1 e k2 tais que w  k1u  k2v. 0. obtemos k1  3. v2 e v3 não geram R3.8. 2) ou (4. 4. 1. de modo que w  3u  2v Analogamente. 2. de modo que v1. Escrevendo essa equação em termos dos componentes.  E X E M P L O 1 5 Testando o gerado Determine se v1  (1. e só se. 1. k1  2k2) Igualando componentes correspondentes. b3)  (k1  k2  2k3. b2. v2  (1. 3) ou (b1. 2)  k2(1. que afirma que o sistema é consistente se. ou seja. 1) e v3  (2. Solução Devemos determinar se um vetor arbitrário b  (b1. b2. 0. 1. Mas isso não ocorre. 1. 1. −1)  k2(6. v2 e v3.186 Álgebra Linear com Aplicações Igualando componentes correspondentes. 1)  k3(2. 1. 2). Consequentemente. nosso problema se reduz a determinar se esse sistema é consistente para quaisquer valores de b1. obtemos Esse sistema de equações é inconsistente (verifique). temos (b1. 2k1  4k2. Prova Seja W o conjunto de soluções do sistema. O conjunto W não é vazio porque contém pelo menos a solução trivial x  0. de modo que o espaço solução é todo o R3. é costume di- A(kx1)  kAx1  k0  0 zer que esse conjunto é o espaço solução do sistema. que Como o conjunto das soluções A(x1  x2)  Ax1  Ax2  0  0  0 de um sistema homogêneo em n incógnitas realmente é um de modo que W é fechado na adição. zt do que segue que x  2y  3z ou x  2y  3z  0 Essa é a equação de um plano pela origem com vetor normal n  (1. Para isso. temos Ax1  0 e Ax2  0 Segue dessas equações e da propriedade distributiva da multiplicação matricial.2. 1). z  0. O teorema a seguir fornece uma visão útil da estrutura sistemas homogêneos geométrica do conjunto de soluções. de modo que o espaço solução é {0}. Espaços de soluções de n dem ser vistas como vetores em R .2 Subespaços 187 As soluções de um sistema linear homogêneo Ax  0 de m equações em n incógnitas po. TEOREMA 4. y  0. y  s. (b) Deixamos para o leitor verificar que as soluções são x  5t . y e z. 4. zt que são equações paramétricas da reta pela origem paralela ao vetor v  (5. 1. Analogamente.4 As soluções de um sistema linear homogêneo Ax  0 em n incógni- tas é um subespaço de Rn.  . 3). então subespaço de Rn. (d) Esse sistema linear é satisfeito por quaisquer valores reais de x. Como esses vetores são soluções de Ax  0.   E X E M P L O 1 6 Espaços solução de sistemas homogêneos Considere os sistemas lineares (a) (b) (c) (d) Solução (a) Deixamos para o leitor verificar que as soluções são x  2s  3t . y  t . de modo que W é fechado na multiplicação por escalar. (c) Deixamos para o leitor verificar que a única solução é x  0. Para mostrar que W é um subespaço de Rn. se k for um escalar qualquer. sejam x1 e x2 dois vetores em W.−2. precisamos mostrar que é fechado na adi- ção e na multiplicação por escalar. 2. Conjunto de exercícios 4.188 Álgebra Linear com Aplicações Observação Enquanto o conjunto das soluções de cada sistema homogêneo de m equações em n n incógnitas é um subespaço de R .2. então o con- junto de soluções não será fechado nem na adição.2. O próximo teorema. (d) Todos os vetores da forma (a. e cada vetor em S é uma combinação linear dos vetores em S. . Observação final É importante reconhecer que os conjuntos geradores não são únicos. b. . . nem na multiplicação por escalar (Exercício 18). (c) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n  n tais (b) Todos os vetores da forma (a. espaço vetorial V geram o mesmo subespaço de V. 0.1 para determinar quais dos seguintes são (b) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n  n tais subespaços de R3. então ger{v1. vr} e S  {w1. 0). . .2. vr}  ger{w1. enuncia condições sob as quais dois conjuntos de vetores geram o mesmo espaço. c). (e) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n  n tais que AT  A. • Subespaço nulo • Mostrar que um subconjunto não vazio de um espaço vetorial não é um subespaço demonstrando que o • Exemplos de subespaços conjunto não é fechado na adição ou não é fechado na • Combinação linear multiplicação por escalar. v2. 1). • Determinar se um subconjunto de um espaço vetorial é • Determinar se dois conjuntos não vazios de vetores num um subespaço. o sistema pode não ter quaisquer soluções. 0) diagonais. 0. (g) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n  n tais (a) O conjunto de todas as matrizes (a. Use o Teorema 4.5 Se S  {v1. e só se. e quaisquer dois vetores não colineares no plano da Figura 4. Use o Teorema 4. . que det(A)  0. c). (e) Todos os vetores da forma (a. . . TEOREMA 4. w2. • Espaço solução determinar se v é uma combinação linear dos vetores em S.2. que AB  BA com alguma matriz B fixada.6b geram aquele plano. subespaços de Mnn. . b. . . cuja prova é deixada como exercício. cada vetor em S é uma combinação linear dos vetores em S . com b  a  c. . wk} são conjuntos não vazios de vetores num espaço vetorial V. . w2. • Dado um conjunto S de vetores em Rn. (c) Todos os vetores da forma (a. Há dois cenários possíveis: primeiro. • Gerado • Dado um conjunto S de vetores em Rn e um vetor v em Rn. determinar se os Aptidões desenvolvidas vetores em S geram Rn.6a gera aquela reta. qual- quer vetor não nulo na reta da Figura 4. com b  a  c  1. .2 1. . (d) O conjunto de todas as matrizes n  n simétricas. que tr(A)  0. v2. (a) Todos os vetores da forma (a. Por exemplo. b. 0). (f) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n  n com 2. nunca é verdade que o conjunto das soluções de um sistema não homogêneo de m equações em n incógnitas seja um subespaço de Rn. 1. . . e segundo. wk} se. se houver soluções. Revisão de conceitos • Mostrar que um subconjunto de um espaço vetorial é um • Subespaço subespaço.1 para determinar quais dos seguintes são as quais Ax  0 só tem a solução trivial. 2) (b) (3. se for uma (d) Todas as sequências em R cujos componentes são nulos reta. (Requer Cálculo) Mostre que o conjunto das funções f  f (x) contínuas em [a. v3}. (a) 9  7x  15x2 (b) 6  11x  6x2 19. 0. 3). 5). . 3. um plano pela origem ou somente a origem. mostrando que se v1  (x1. 17. 2. v2  (2. a0  a1  a2  a3  0.2 Subespaços 189 3. Prove o Teorema 4. 4. (c) (1. p2  1  x  3x2 e p3  3  2x  5x2. 16v. 1. )? (a) (2. 4. b] tais que (a) (b) (c) (d) é um subespaço de C[a. 1. 9). 1. Quais dos seguintes são subespaços de R? (a) Todas as sequências v em R da forma 14. 6) (a) Todas as funções contínuas em (. . 1. então kv1 e v1  v2 (c) (d) também são pontos em L. 7. 3.5.). obtenha equações paramétricas dessa reta. . 1) (d) (4. .2. 0) 8. 11. 2). 8) (b) Todos os polinômios a0  a1 x  a2 x2  a3 x3 com (c) v1  (3. 1. (c) Todas as funções f em F(−. Expresse os seguintes como combinações lineares de 16. 7. mam um subespaço de Rn. v4  (3. 15. 6. z1) e v2  (x2. 8v. ções são subespaços de F(. 1)? (a) (2. v. 0. 4). a1. 0. . 3). 4). 0. 1. 1. 6). 8. ). z2) forem pon- tos em L e k for um número real qualquer. 1) (c) Todos os polinômios da forma a0  a1 x  a2 x  a3 x 2 3 (d) v1  (1. 1). . são números reais. 6.2. ) tais que f (0)  1. Quais dos seguintes são subespaços de F(−. 0. Quais dos seguintes são combinações lineares de (c) Todas as funções deriváveis em (. y  bt e z  ct. 0. 1. b]. 4v. 13. a partir de algum ponto. v3  (4. 3) (b) (0. 2. 4. Use essas equações para mostrar que L é um subespaço de R3. v2  (3. 3. 1. 3). 2.). (d) Todos os polinômios de grau 2. v3  (8. . 1. ). (a) (9. y1. 3. 5) (d) (0. 11. ) tais que f (x)  f (x). 0) (d) (7. 0. 1. 0. Sejam f  cos x e g  sen x. 3) e w  (3. 0. 2. Em cada parte. Quais dos seguintes são combinações lineares de u  (0. em que a0. 2) e v  (1. (a) Todos os polinômios a0  a1 x  a2 x  a3 x com 2 3 (a) v1  (2. 5. v3  (5. Sejam v1  (2. 1. v4  (1. a2 são inteiros. 1. ) que satisfazem f  2f  0. 2. espaço gerado por f e g? (b) Todas as sequências v em R da forma (a) cos 2x (b) 3  x2 (c) 1 (d) sen x (e) 0 v  (v. Determine se os polinômios dados geram P2. Mostre que os vetores solução de um sistema não homogêneo 10. v  (1. 1. 1). 5. Use o Teorema 4. 5) (e) (f) (c) (0. v2  (4. v. 13. . 18. v2  (0. 1) a0  0. . 4) (b) Todas as funções f em F(−. (Requer Cálculo) Mostre que os seguintes conjuntos de fun- u  (2. 2). Se v  (v. 2v. 2. 4. v2. ) tais que f (0)  0. (c) (0. Em cada parte. v. Determine se o espaço solução do sistema Ax  0 é uma reta (c) Todas as sequências v em R da forma pela origem. y2. 1. 3. 2. (b) v1  (2. 0) (a) Todas as funções f em F(−. Uma reta L pela origem em R3 pode ser representada por (a) (b) equações paramétricas da forma x  at. 2) e v3  (1. 1) (d) Todos os polinômios da forma a0  a1 x em que a0 e a1 12. expresse o vetor como uma combinação linear e consistente de m equações lineares em n incógnitas não for- de p1  2  x  4x2. 15) (b) (6.). Quais dos seguintes estão no 2 2 v  (v. 5). 9) (b) Todas as funções deriváveis em (. . obtenha uma equação desse plano. v3  (0. for um plano. 7. 1). v. decida se o vetor está em ger{v1. 0. determine se os vetores dados geram R3. 4. v2  (3. 9.1 para determinar quais dos seguintes são (c) 0 (d) 7  8x  9x2 subespaços de P3. ). Em cada parte. 9) geram o mesmo subespaço de R3. 4.3. (d) O conjunto R2 é um subespaço de R3.1 y Enquanto a Fórmula (1) mostra a única maneira de escrever o vetor (3. (k) Os polinômios x  1. paço vetorial. 6. n w2  (0. V é um subespaço vetorial de V. (x  1)2 e (x  1)3 geram P3. . j e w.2. torial V é um subespaço vetorial de V. (i) Dois subconjuntos de um espaço vetorial V que geram o mes- (b) Cada espaço vetorial é um subespaço de si mesmo. v3  (1. Exercícios verdadeiro/falso (g) A interseção de dois subespaços quaisquer de um espaço ve- Nas partes (a)-(k).2.2 Resumindo. subespaço do espaço vetorial de todas as matrizes n  n. um es. (e) O conjunto das soluções de um sistema linear consistente Ax v2  (2. 2)  3(1. ou mais. pode ser expresso como uma combinação linear dos outros. há uma infinidade de maneiras de escrever esse vetor como uma combinação linear de i. criamos a complicação de ter múltiplas ma- neiras de associar coordenadas aos pontos do plano. o vetor unitário ao longo do eixo w é i 3  Figura 4. cada vetor no plano pode ser expresso de exatamente uma maneira como combinação linear dos vetores unitários canônicos. ao introduzir um eixo supérfluo.3. 8. mo subespaço de V devem ser iguais.3. justificando sua resposta. w √2 √2 x 45˚  Figura 4. Vetores irrelevantes Num sistema de coordenadas retangulares xy.5 para mostrar que os vetores v1  (1. (c) Cada subconjunto de um espaço vetorial V que contenha o (j) O conjunto de matrizes n  n triangulares superiores é um vetor zero de V é um subespaço de V. 2) como uma combinação linear de y i  (1. 4).3 Independência linear Nesta seção.3. Use o Teorema 4. 0) e j  (0. Três possibilidades são 1 1 . 5).1). Por exemplo. porque a existência de tais relações muitas vezes indica que podem ocorrer certos tipos de complicações. 2) j (Figura 4. 2) como uma com- w binação linear de i e j. Denotemos esse eixo por w. 4. 0)  2(0. consideramos o problema de decidir se os vetores de um dado conjunto estão inter-relacionados. Conforme j x ilustrado na Figura 4. 1)  3i  2j (1) 2 (3. 1). 2. ele mesmo. Entretanto. 1) é (3. (h) A união de dois subespaços quaisquer de um espaço vetorial (a) Cada subespaço de um espaço vetorial é. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Isso é importante nas aplicações. vejamos o que ocorre se introduzirmos um terceiro eixo coor- +2 3i denado que faz um ângulo de 45° com o eixo x. w1  (1.190 Álgebra Linear com Aplicações 20. (f) O gerado de qualquer conjunto finito de vetores em um espa- ço vetorial é fechado na adição e na multiplicação por escalar. 2. no sentido de que um deles. O que torna o vetor w supérfluo é o fato de que ele pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores i e j. a única maneira de escrever o vetor (3. 5) e  b de m equações em n incógnitas é um subespaço de R . a saber. os vetores são linearmente independentes. . DEFINIÇÃO 1 Se S  {v1. . . 2. 2. 1)  k3(3. dizemos que S é um mos linearmente independente e conjunto linearmente independente. .  E X E M P L O 2 Independência linear em R3 Determine se os vetores v1  (1. . . 0. 0. v2  (5. 0. Se essa for a única solução. 0. k2. 3)  k2(5. Isso implica que (2) só tem a solução trivial e que. de k1(1. vr } for um conjunto não vazio de vetores num Independência e espaço vetorial V. e2  (0. . 1)  (0. 1) 3 são linearmente independentes ou dependentes em R . . provemos a independência linear em R de i  (1. 0). . . 1. . 1. v3  (3.  E X E M PLO 1 Independência linear dos vetores unitários canônicos n em R O conjunto linearmente independente mais básico de Rn é o conjunto dos vetores unitários canônicos e1  (1. obtemos o sistema linear homo- gêneo (4) . . . en  (0. k3)  (0. 0) de modo que k1  k2  k3  0. . v2. dependente com os próprios ve- mos que S é um conjunto linearmente dependente. . equivalentemente. . 1) A dependência ou independência linear desses vetores é determinada pela existência ou não de soluções não triviais da equação vetorial k1i  k2j  k3k  0 (2) Em termos de componentes. 6. 0. . . j  (0. 0). Se existem outras soluções além da trivial. . 0) Igualando componentes correspondentes dos dois lados. tores em vez do conjunto. pelo menos. k  (0. a saber. 1) 3 Para simplificar a notação. . utilizamos os ter- Dizemos que essa é a solução trivial. . portan- to. 0. 0. k2  0. k1  0. 3).3 Independência linear 191 Assim. 2. . então a equação vetorial dependência linear k1v1  k2v2  · · ·  krvr  0 tem uma solução. . 0. 6. 1). essa equação é (k1. 0). 0. kr  0 Muitas vezes. . uma das nossas tarefas nesta seção é desenvolver maneiras de descobrir se um vetor de um conjunto S é uma combinação linear dos demais vetores em S. 0). 2. Solução A dependência ou independência linear desses vetores é determinada pela existência ou não de soluções não triviais da equação vetorial k1v1  k2v2  k3v3  0 (3) ou. 4. dize. . Isso mostra que o sistema tem soluções não triviais e que. k3  0 do que podemos concluir que v1. 9. e os vetores são linearmente dependentes. Solução A dependência ou independência linear desses vetores é determinada pela existência ou não de soluções não triviais da equação vetorial k1v1  k2v2  k3v3  0 ou. equivalentemente.. . 8. 4). 2. v3  (5.8. uma possibilidade é simplesmente resolver o sistema. v2. 9. 9. 5) 4 em R são linearmente dependentes ou independentes. .3. Solução Por conveniência. os vetores são linearmente dependentes. 4)  k3(5. 9. 2. Há vá- rias maneiras de fazer isso.. 9.. obtemos o sistema homogêneo Deixamos para o leitor verificar que esse sistema só tem a solução trivial k1  0. 0. por- tanto. 1)  k2(4. de k1(1. 9. p2  x . Um segundo método de obter o mesmo resultado é calcular o determinante da matriz de coeficientes No Exemplo 2. x. qual é a relação que pode ser observada entre os componentes de v1. 2 pn  x n Devemos mostrar que a equação vetorial a0 p0  a1 p1  a2 p2  · · ·  an pn  0 (5) tem somente a solução trivial a0  a1  a2  · · ·  an  0 . v2 e v2 e as colunas da matriz de coeficien- tes A? e usar as partes (b) e (g) do Teorema 2. obtendo (omitimos os detalhes). v2  (4. x.  E X E M P L O 3 Independência linear em R4 Determine se os vetores v1  (1. xn formam um conjunto linearmente independente em Pn. 8.192 Álgebra Linear com Aplicações Assim. . Deixamos para o leitor verificar que det(A)  0.  E X E M P L O 4 Um conjunto linearmente independente importante em Pn Mostre que os polinômios 2 1. denotemos os polinômios por p0  1. k2  0. 5)  (0. 2. p1  x. e v3 são linearmente independentes. 1). 2. 0. nosso problema reduz a determinar se esse sistema tem soluções não triviais. do que segue que (3) tem soluções não triviais.. 0) Igualando os componentes correspondentes dos dois lados. e só se. da Álgebra. No Exemplo 5. portanto. e só se. O próximo da independência linear teorema. que um polinômio não nulo de grau n tem. devemos mostrar que isso vale se. (b) linearmente independente se. o lado esquerdo da equação seria um polinômio não nulo com uma infinidade de raízes distintas. torna essa ideia mais precisa.3. cuja demonstração adiamos para o final desta seção. equivalentemente. TEOREMA 4.  O próximo exemplo mostra que o problema de determinar se um dado conjunto de vetores em Pn é linearmente dependente ou independente pode ser reduzido a determinar se um certo conjunto de vetores em Rn é linearmente dependente ou independente. e só se. o conjunto {p1. cada coeficiente em (6) deve ser nulo. Assim. lembramos. 4. (5) só tem a solução trivial. Dessa forma. n raízes distintas. p3} é linearmente dependente. a dependência ou inde- pendência linear dos polinômios dados depende de o sistema linear seguinte ter ou não solução não trivial. . ou mostrando que a matriz de coeficientes tem determinante nulo. Para isso. p3  1  3x  x2 são linearmente dependentes ou independentes em P2. pois. cada coe- ficiente em (6) for nulo. ou re- solvendo diretamente. caso contrário.  E X E M P L O 5 Independência linear de polinômios Determine se os polinômios p1  1  x. Solução A dependência ou independência linear desses vetores é determinada pela existência ou não de soluções não triviais da equação vetorial k1 p1  k2 p2  k3 p3  0 (7) Essa equação pode ser rescrita como k1(1  x)  k2(5  3x  2x )  k3(1  3x  x )  0 2 2 (8) ou.  Os termos linearmente dependente e linearmente independente pretendem indicar se os Uma interpretação alternativa vetores de um dado conjunto estão inter-relacionados de alguma maneira. p2. cada coeficiente deve ser zero (conforme explicado no exemplo precedente). qual é a relação que pode ser observada entre (9) os coeficientes dos polinômios dados e os vetores colunas da matriz de coeficientes do siste- ma (9)? Deixamos para o leitor mostrar que esse sistema tem alguma solução não trivial. nenhum vetor em S pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em S. como (k1  5k2  k3)  (k1  3k2  3k3)x  (2k2  k3)x  0 2 Como essa equação deve ser satisfeita com qualquer x de (−.1 Um conjunto S de dois ou mais vetores é (a) linearmente dependente se. ).3 Independência linear 193 Mas (5) é equivalente à afirmação de que a0  a1 x  a2 x  · · ·  an x  0 2 n (6) com qualquer x em (−. pelo menos um dos vetores de S pode ser ex- presso como uma combinação linear dos outros vetores em S. no máximo. p2  5  3x  2x2. ). Assim. Assim. e só se. e grande parte realmente estivesse errada. nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro.1 que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.3. mostramos que os vetores unitários canônicos em Rn são linearmente in- dependentes. Para ilustrar isso em R3. não há como expressar k como uma combinação linear de i e j.3. Nota histórica O matemático franco-polonês Józef Hoëné de Wron´ski nasceu como Józef Hoëné e adotou o nome de Wron´ski depois de ca- sar. segue do Teorema 4. vimos que os vetores v1  (1. 1). Sua vida foi repleta de controvérsia e conflito. [Imagem: Wikipedia] Józef Hoëné deWro ski (1778–1853) . 3). k2. Embora o trabalho de Wron´ski tenha sido ignorado como irrelevante por muito tempo. Assim. em termos de componentes. 0. por exemplo. que alguns atribuem a suas tendências psicopatas e a seu exagero na atribuição de impor- tância a sua própria obra. Assim. e só se.1 que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. que (0. e j não pode ser expresso como uma combinação linear de i e k. 6. que  Conjuntos de um ou O teorema a seguir se refere à dependência e à independência linear de conjuntos de um dois vetores ou dois elementos e conjuntos que contenham o vetor nulo. TEOREMA 4. (c) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se. 1) são linearmente dependentes. Seus últimos anos foram vividos na pobreza. 1)  (k1. 2.  E X E M P L O 7 De novo o Exemplo 2 No Exemplo 2. por exemplo. 2. Analogamente. 0) Como essa equação não pode ser satisfeita com quaisquer valores de k1 e k2. Deixamos para o leitor confirmar que esses vetores satisfazem a equação do que decorre.2 (a) Um conjunto finito que contenha 0 é linearmente dependente. v3  (3. Entre outras coisas. que k  k1 i  k2 j ou. i não pode ser expresso como uma combinação linear de j e k. suponha.3. v2  (5. segue do Teorema 4. esse vetor não é 0. algumas de suas ideias continham luminosidade es- condida e sobreviveram. (b) Um conjunto de exatamente um vetor é linearmente independente se.194 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 6 De novo o Exemplo 1 No Exemplo 1. Wron´ski projetou um veí- culo movido a lagarta para competir com trens (que nunca foi fabricado) e pesquisou o famoso problema da determinação da longitude em alto mar. o conjunto S  {v1. pois nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. . no máximo. Caso contrá- rio. Aquele resultado é uma consequência do próximo teorema. Prova (a) Dados quaisquer vetores v1.3. Por outro lado. 4. v2.  2 3 A independência linear tem a seguinte interpretação geométrica útil em R e R . um deles seria um múltiplo escalar do outro (Figura 4. vr . Caso contrário. . z z z v 2 v 1 v v v 1 1 2 y y y v 2 x x x  Figura 4. vr . . .3.3. z z z v1 v3 v3 v2 v2 v2 y y y v1 v1 v3 x x x  Figura 4. . . pelo menos um deles seria uma combinação linear dos outros dois (Figura 4.3. . observamos que um terceiro eixo coordenado em R2 é supér- fluo. que mostra que um conjunto linearmente independente em R n pode conter.4 (a) Linearmente dependentes (b) Linearmente dependentes (c) Linearmente independentes No início desta seção. ). . os vetores não 2 3 da independência linear ficam numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem. as duas funções g1  sen 2x e g2  sen x cos x são linearmente dependentes.3 Independência linear 195 Provamos a parte (a) e deixamos o resto como exercício. n vetores. Uma interpretação geométrica • Dois vetores em R ou R são linearmente independentes se.3). v2. 0} é linearmente dependente. e só se.   E X E M P L O 8 Independência linear de duas funções As funções f1  x e f2  sen x são vetores linearmente independentes em F(. os vetores não ficam num mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem. pois a equação 0v1  0v2  · · ·  0vr  1(0)  0 expressa 0 como uma combinação linear dos vetores em S com coeficientes não todos nulos. e só se. mostrando que um vetor unitário ao longo de um eixo desses seria uma combinação linear dos vetores unitários ao longo dos eixos x e y. pois a identidade trigonométrica sen 2x  2 sen x cos x revela que g1 e g2 são múltiplos escalares uma da outra.3 (a) Linearmente dependentes (b) Linearmente dependentes (c) Linearmente independentes • Três vetores em R3 são linearmente independentes se.4). . existe um teorema que é útil para estabelecer a dependência linear em certas circunstâncias. fn  fn(x) forem funções n  1 vezes de- riváveis no intervalo (. . f2. obtemos o sistema exemplo. . A definição seguinte é útil para discutir esse teorema. . Se r  n. S  {v1. Portanto. . 2 f2  cos2 x e f3  5 formam um conjunto linearmente dependente em F(. podemos deduzir a dependência linear de funções a partir de identidades conhe- Independência linear de cidas.3 Seja S  {v1. ). . então o determinante é denominado wronskiano de f1. vr} é um conjunto linearmente dependente. ). f2 e f3 com coeficientes não todos nulos. . fn. por componentes correspondentes.196 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 4. . .2 que o sistema tem soluções não triviais. . . . kr.2. Isso é um sistema homogêneo de n equações nas r incógnitas k1. .3. . . Por exemplo. . DEFINIÇÃO 2 Se f1  f1(x). . não existe um método geral que possa ser usado para determinar se um conjunto de funções é linearmente dependente ou independente. pois a equação expressa 0 como uma combinação linear de f1. Como r > n. então S é linearmente dependente. No entanto.3.3. segue do Teorema 1. . as funções funções f1  sen x.  REQUER CÁLCULO Às vezes. v2. Infelizmente. . . Prova Suponha que e considere a equação k1v1  k2v2  · · ·  krvr  0 Expressando ambos os lados dessa equação em termos dos componentes e igualando os Segue do Teorema 4. e um con- junto em R3 com mais de três ve- tores é linearmente dependente. v2. . f2  f2(x). . vr } um conjunto de vetores em Rn. que um conjunto em R2 com mais de dois vetores é line- armente dependente. . então essas funções formam um conjunto linearmente independente de ve- tores em C (n1)(. Como esse determinante é o wronskiano de f1. ). a dependência linear de f1. No Exemplo 8. Solução O wronskiano é Essa função não é identicamente zero no intervalo (. . mostramos que x e sen x são funções linearmente independentes ob- servando que nenhuma é um múltiplo escalar da outra. fn tiverem n  1 derivadas contínuas no intervalo (. por enquanto. o resultado é o sistema linear Assim. . equivalentemente. . ). para certos valores dos coeficien- tes. . . ). . f2. por exemplo. 4. o pro- cedimento é mais complicado). . f2  f2(x). Mas isso implica que o determinante da matriz de coeficien- tes de (10) é zero em cada um desses x. Isso implica que. fn implica que o sistema linear (10) tem uma solução não trivial. TEOREMA 4.  E X E M P L O 9 Independência linear usando o wronskiano Use o wronskiano para mostrar que f1  x e f2  sen x são linearmente independentes. . ). O próximo exemplo mostra como obter o mesmo resultado usando o wronskiano (se bem que. ). . que f1  f1(x). e se o wronskiano dessas funções não for identicamente zero em (. . Usando essa equação juntamente com as equa- ções obtidas por n  1 sucessivas derivações. . as funções são linearmente independentes. ). estabelecemos o seguinte resultado. . Assim. f2.3 Independência linear 197 Suponha.3. . . fn  fn(x) sejam vetores linear- mente dependentes em C(n1)(. nesse caso particular. f2. . que a equação k1 f1(x)  k2 f2(x)  · · ·  kn fn(x)  0 é satisfeita com qualquer x em (. . fn.4 Se as funções f1. porque. a equação vetorial k1f1  k2f2  · · ·  knfn  0 tem alguma solução não trivial ou. . . . existem escalares k1. tais que k1v1  k2v2  · · ·  krvr  0 (11) Para sermos específicos. .198 Álgebra Linear com Aplicações ADVERTÊNCIA A recíproca  E X E M P L O 1 0 Independência linear usando o wronskiano do Teorema 4. Então (11) pode ser reescrita como que expressa v1 como combinação linear dos outros vetores em S. ). k2  c2. se kj  0 em (11) com algum j  2. . suponha que k1  0.3. Se o Use o wronskiano para mostrar que f1  1. f2  ex e f3  e2x são linearmente independen- wronskiano de f1. kr  cr que não são todos nulos. v1  c2v2  c3v3  · · ·  crvr  0 Segue que S é linearmente dependente. A prova é análoga no caso em que algum outro vetor. suponha que v1  c2v2  c3v3  · · ·  crvr e. vr} um conjunto com dois ou mais vetores. portanto. ). .  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Solução trivial • Determinar se um conjunto de vetores é linearmente • Conjunto linearmente independente dependente ou independente. . Prova do Teorema 4. .1. Analogamente. não todos nulos. suponha que pelo menos um dos vetores em S possa ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores. . . Essa função obviamente não é identicamente zero em (. Reciprocamente.1(a) Seja S  {v1. f2 e f3 formam um conjunto linearmente independente. Para sermos específicos. então vj pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em S. v2. . .  OPCIONAL Terminamos esta seção provando a parte (a) do Teorema 4. então nada pode ser concluído Solução O wronskiano é sobre a independência linear de {f1.…. fn for tes. . . pois a equação k1v1  k2v2  · · ·  krvr  0 é satisfeita por k1  1. 3. . . • Usar o wronskiano para mostrar que um conjunto de funções é linearmente independente.4 é falsa. fn}. • Conjunto linearmente dependente • Expressar um vetor em um conjunto linearmente dependente como uma combinação linear dos outros • Wronskiano vetores no conjunto. e não v1. f1. .3. r. Supondo que S seja linearmente dependente. . . podendo esse conjunto de vetores ser linear- mente independente ou linear- mente independente. kr . identicamente zero em (. . f2. portanto. puder ser escrito como combinação linear dos outros vetores de S. k2. Deixamos a prova da parte (b) como exercício. f2.3. . 1). (d) (3. 5  6x  3x . 0). (a) (3. . . 1. 4). Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R4 são linear. 0) z z (b) v1  (2. 2) 19. Sob quais condições é um conjunto de um único vetor linear- (a) v1  (2. 2) dependente de vetores num espaço vetorial V e se v4 for um 3. Prove: o espaço gerado por dois vetores em R3 é uma reta pela ciais na origem. 1. então também o é qualquer (b) (3. então também o são {v1. 0. v2  (6. . 1) 12. . (c) 6  x2. ciais na origem. v2  (4. u3  (4. Mostre que qualquer conjunto com mais de três vetores em P2 4. 2. vn forem vetores quaisquer em V que não estão em (c) (0. 6. . (3. 6). (a) (b) v2  (0. (1. (b) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinação dependente. ou a própria origem. 3. vr . determine se os três vetores estão num mesmo plano. v2. (5. 1. v3} é line- (b) 3  x  x2. (a) u1  (1. . v  w e w  u formam um conjunto li- (d) 1  3x  3x . 1. v2}. 2. 8). 1. vr} for um conjunto line- armente dependente de vetores num espaço vetorial V e se (b) (0. 3. 7  2x  x 2 2 2 2 nearmente dependente. . (3. então {v1. v3  (2. mente dependentes? 11. Mostre que se S  {v1. 3) formam um conjunto  Figura Ex-19 linearmente dependente em R4. Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente in. v2 e v3 sejam vetores em R3 com pontos ini- 17. 1. 18. 2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R são linear- {v2. 0. Os vetores v1. 0. v2. 1. 5. 10. x  4x . S. 4). {v1. (c) (8. 2). 4. v2. 0. 0. 1). 3. 4) v2 7. v2}. 3) formam um conjunto y v1 v2 y linearmente dependente em R4. . 2). um plano pela origem. 3) subconjunto não vazio de S. 0. 1). 6). Mostre que se {v1. . x x 8. (4.) linear dos outros dois. 0. 1). (1. Mostre que se S  {v1. 4. 4) e u2  (5. . mente dependentes? 15. v4} mente dependentes? também é linearmente dependente. 7. então {v1. 20) em R3 9. 1). 0). 3).3 Independência linear 199 Conjunto de exercícios 4. v3}. {v2} e {v3}. Mostre que se {v1. 2). 0. 2  10x  4x2 dente e v3 não pertencer a ger{v1. 2. 6). vn} também é linearmente (0. é linearmente dependente. 3. (0. 2. 1. 0. . 2). v3. então {v1. vetor qualquer em V que não está em S. v2  (2. 6) v3 v3 (c) v1  (4. v2 e v3 na parte (a) da figura dada são linear- 6. v2. 2. v3} for um conjunto linearmente inde- 3 pendente de vetores. v2. (2. 2. 5). v2  (6. 10. 1) 14. v3  (2. 3. 3. 4) dependente. vr} for um conjunto linear- (a) (4. . 1) e v3  (1. u2  (4. 6). 4). 2. mente independentes? E os da parte (b)? Explique. 3. 4  3x2 armente independente. v2. 7. v2} for um conjunto linearmente indepen- (a) 2  x  4x2. 6). Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P2 são linear. determine se os três vetores origem. v2  (3. Prove: dados quaisquer vetores u. . 1  x  4x2 16. 3) 13. 0). (1. Em cada parte. 2) mente independente de vetores. 3).3 1. . 3. (a) Mostre que os três vetores v1  (1. 3). vr1. Mostre que se S  {v1. 0. 4). 0. 7) em R2 te em R3 com quais valores reais de ␭? (c) p1  3  2x  x2 e p2  6  4x  2x2 em P2 (d) 10. 2. 1. (2. 6. . Suponha que v1. os vetores u  v. Suponha que v1. 2. 3. 1). . 0. v2  (2. 4) mente independente? (b) v1  (6. (a) Mostre que os três vetores v1  (0. v3  (4. 4). 4. 2). . 8. (1. v2 e v3 sejam vetores em R3 com pontos ini. 2. 5. v1 (b) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinação linear dos outros dois. 2. 1. 5). 2  x  5x2. v3} for um conjunto linearmente (d) (2. 1. 4. 1) e v3  (4. . (0. 7. Em cada parte. 1. 7. 3). . (2. (Resolva o problema inspecionando o conjunto. 3  6x  2x2. . 1. 2. 3. 0. (4. Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependen- (b) u1  (3. v2. (6. {v1}. 2. 4. v e w num espaço vetorial V. (0. 1) vr1. 5. . 1. v3  (3. (7. 4). 0. v3  (2. v3}. (a) v1  (1. 3. 8. estão num mesmo plano. 3. 2. (Requer Cálculo) Em cada parte. . costumamos especificar sistemas de coordenadas usando vetores em vez de eixos coordenados. x. kv2.4.4. vk1.4. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. 24. mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente inde. (a) Um conjunto que consiste num único vetor é linearmente de- 22. .200 Álgebra Linear com Aplicações 20.1 para provar a parte (b). deter. dependentes em F(. então pelo menos um vetor vk é uma combinação linear dentes em F(. dependente de vetores em R3. . Será que qualquer conjunto mine quais dos conjuntos de vetores em F(. o conjunto de vetores {v. vn forem vetores não nulos linearmente dependen- f1(x)  ex. Nesta seção. 27. então. (d) Se o conjunto de vetores {v1.4 Coordenadas e bases Costumamos pensar numa reta como sendo unidimensional. Embora os sistemas de coordenadas retangulares sejam comuns. ex (b) 1. Sistemas de coordenadas na Na Geometria Analítica. j e k formam um conjunto linearmente in- 4. 5 2 2 (f) 0. onde necessário. Confirme a independência linear usando o justificando sua resposta. ) porque nenhuma das duas é um múltiplo Nas partes (a)-(h). . (g) Os três polinômios (x  1)(x  2). ortogonais i. junto linearmente independente? Justifique sua conclusão (a) 6. 25.3. a Figura 4. sen x. o conjunto (a) 1. pendente. . Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções (e) Se v1. v3} for linearmente indepen- pendente. associando coordenadas a um ponto P usando os coeficientes escalares nas equações e . eles não são essenciais. kv} é line- usando o teste do wronskiano. f2(x)  xex e f3(x)  x2ex são linearmente indepen. Use a parte (a) do Teorema 4. independentes em F(.3. tes. x. cos ␲x. Por exemplo. ). Na Álgebra Linear. . sen 3␲x 3 5 21. x(x  2). Prove a parte (b) do Teorema 4. As funções f1(x)  x e f2(x)  cos x são linearmente indepen. (h) As funções f1 e f2 são linearmente dependentes se existirem um número real x e escalares k1 e k2 tais que k1 f1(x)  k2 f2(x) 28. discutimos sistemas de coordenadas em espaços vetoriais arbitrários e preparamos o terreno para uma definição precisa de dimensão na próxima seção. bem como entre os pontos do espaço tridimensional e os ternos ordenados de números reais (Figura 4. aprendemos a usar sistemas de coordenadas retangulares para Álgebra Linear criar uma correspondência bijetora entre os pontos do espaço bidimensional e os pares ordenados de números reais. Por exemplo. dado qualquer escalar não nulo k. . num plano. As funções f1(x)  sen x e f2(x)  cos x são linearmente in. use o wronskiano para (c) Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero. escalar da outra.3. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções (f) O conjunto das matrizes 2  2 que contém exatamente dois 1 f1(x)  sen x. sen 2x (d) cos 2x. 23.2. x2 {kv1. como tridimensional. armente dependente. x  6x. ) dados são de vetores mutuamente ortogonais em R3 forma um con- linearmente dependentes. linearmente independentes. recriamos os sistemas de coordenadas dados na Figura 4. 2 cos2 x (b) x. cos x geometricamente. (a) Mostramos no Exemplo 1 que os vetores mutuamente  0. f2(x)  cos x e f3(x)  x cos x são linearmente e dois 0 é linearmente independente em M22. Exercícios verdadeiro/falso dentes em F(. Utilizando identidades apropriadas. como bidimensional e no espaço à nossa volta. 3 sen2 x.2 mostra sistemas de coordenadas nos espaços bi e tridimensionais em que os eixos coordenados não são mutuamente perpendiculares. (c) 1. Confirme a independência linear (b) Dado qualquer escalar k. ). [Sugestão: use produto escalar. sen2 x. v2.1).2 usando vetores unitários para identificar os sentidos positivos nos eixos e. única de v1. kv3} também é linearmente dependente.4. . O objetivo principal desta e da próxima seções é tornar mais precisa essa noção intuitiva de dimensão. dente. então. na Figura 4. teste do wronskiano. e x(x  1) são 26.] (e) (3  x) . ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. cos2 x (b) Justifique sua conclusão algebricamente. Em problemas geométricos.4. c) b y b x a a O x As coordenadas de P num sistema As coordenadas de P num sistema de coordenadas retangulares de coordenadas retangulares no espaço bidimensional no espaço tridimensional  Figura 4. .blogspot. Isso é menos importante naquelas aplicações em que as coordenadas representam quantidades físicas com unidades diversas (por exemplo. . DEFINIÇÃO 1 Se V for um espaço vetorial qualquer e S  {v1. c) v2 O v2 bv2 v1  Figura 4. Alguns autores dizem que isso é uma (a) S é linearmente independente. . c) b y b x a a O x As coordenadas de P num sistema As coordenadas de P num sistema de coordenadas não retangulares de coordenadas não retangulares no espaço bidimensional no espaço tridimensional  Figura 4.br/ 4. tempo em segundos num dos eixos e temperatura em graus Celsius num outro). A esses vetores. v2. são os sentidos dos vetores de base que estabelecem o sentido positivo nos eixos. gia não será utilizada aqui. b) P(a. na Definição 1.4. b) v3 P(a. e é seu comprimento que estabelece a escala. Para acomodar esse nível de generalidade. A definição seguinte torna as ideias precedentes mais precisas e nos permite estender o Bases de um espaço vetorial conceito de sistema de coordenadas a espaços vetoriais arbitrários.4. nos referimos como sendo os “vetores de base” do sistema de coordenadas. tentamos utilizar a mesma unidade de medição em cada eixo para evitar a distorção do formato das figuras. mero finito de vetores. mas essa terminolo- (b) S gera V. https://livros-pdf-ciencias-exatas.com.4 Coordenadas e bases 201 z y c P(a. base finita. ou seja. exigi- conjunto finito de vetores em V. o espaçamento entre os pontos inteiros nos eixos (Figura 4. b.2 cv3 bv2 P(a.4.3 O v1 av1 av1 Ingredientes essenciais de qualquer sistema de coordenadas são as unidades de medi- ção. deixamos de exigir que sejam unitários os vetores utilizados para identificar os sentidos positivos dos eixos e exigimos somen- te que sejam linearmente independentes. . Resumindo. b) P(a.1 z y c P(a. . b. dizemos que S é uma base de V se valerem as duas mos que bases tenham um nú- condições a seguir.4). vn} for um Note que. b. Vejamos alguns exemplos. xn} é uma base do espaço vetorial Pn dos polinômios de grau no máximo n. 0. e2  (0. Denotemos esses polinômios por p0  1.2. então a parte (a) da definição garante que não há inter-relações entre os vetores de base. j  (0. . . que são linearmente independentes. pn  xn Mostramos no Exemplo 13 da Seção 4. 2. . 4) formam uma base de R3. 0.  E X E M P L O 3 Uma outra base de R 3 Mostre que os vetores v1  (1. 1. . Solução Devemos mostrar que esses vetores são linearmente independentes e que ge- ram R3.4. en  (0. esses vetores formam uma base de Pn que denominamos base canônica de Pn. 0). . . . pelo Exemplo 1 da Seção 4. . devemos mostrar que a equação vetorial c1v1  c2v2  c3v3  0 (1) 3 só tem a solução trivial. . . x2. . i  (1. 1). .2. . 0.  E X E M P L O 1 A base canônica de R n Vimos. . . . . . Solução Devemos mostrar que os polinômios em S são linearmente independentes e que geram Pn. 0. 1) 3 é a base canônica de R . b3) de R3 pode ser expresso como c1v1  c2v2  c3v3  b (2) . 0).3. . 1) n geram R e. no Exemplo 4 da Seção 4. . .3. 0). . 1. 9. Assim. Assim. e a parte (b) garante que há vetores de base em número suficiente para fornecer coordenadas para todos os vetores em V. que esses vetores geram Pn e. esses vetores formam uma base de Rn que denominamos base canônica de Rn. 0. b2. 0). no Exemplo 11 da Seção 4. k  (0. 3.4 Pensando numa base como descrevendo um sistema de coordenadas para um espaço vetorial V. Em particular. devemos mostrar que cada vetor b  (b1. x. 0) e v3  (3. 0. p1  x. v2  (2. Para mostrar a independência linear. sabemos que são linearmente independentes. e para provar que esses vetores geram R . p2  x2. . .202 Álgebra Linear com Aplicações y y y y 4 2 4 2 3 3 2 1 2 1 1 1 x x x x –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –1 –1 –2 –1 –2 –1 –3 –3 –4 –2 –4 –2 Escalas idênticas Escalas diferentes Escalas idênticas Escalas diferentes Eixos perpendiculares Eixos perpendiculares Eixos oblíquos Eixos oblíquos  Figura 4. 0. que os vetores unitários canônicos e1  (1.  E X E M P L O 2 A base canônica de Pn Mostre que S  {1.  E X E M P L O 4 A base canônica de Mmn Mostre que as matrizes formam uma base do espaço vetorial M22 das matrizes 2  2. c4  d . e que o sistema não homogêneo (5) é consistente com quaisquer valores de b1. Para mostrar a independência linear. devemos mostrar que cada matriz 2  2 pode ser expressa como c1M1  c2M2  c3M3  c4M4  B (5) As formas matriciais das Equações (4) e (5) são e que podem ser reescritas como Como a primeira equação só tem a solução trivial c1  c2  c3  c4  0 as matrizes são linearmente independentes e. Deixamos para o leitor confirmar que det(A)  1.4 Coordenadas e bases 203 Igualando componentes correspondentes dos dois lados. c3  c. em que 0 é a matriz nula 2  2. essas duas equações podem ser expressas como os sistemas lineares (3) (verifique). 4. v2 e v3 formam uma base de R3. Mas os dois sistemas (3) e (5) têm a mesma matriz de coeficientes de modo que segue das partes (b). (e) e (g) do Teorema 2.3. o que prova que os vetores v1. c2  b. b2 e b3. Assim.8 que podemos provar ambos resultados simultaneamente mostrando que det(A)  0. como a segunda equação tem a solução c1  a. e para provar que essas matrizes geram M22. reduzimos o problema a mostrar que o sistema homogêneo (3) só tem a solução trivial. devemos mostrar que a equação vetorial c1M1  c2M2  c3M3  c4M4  0 (4) só tem a solução trivial. Solução Devemos mostrar que as matrizes são linearmente independentes e que geram M22. . n. M3. v2. M4 formam uma base de M22. Para ver que só existe uma maneira de expressar um vetor como uma combinação linear dos vetores em S.  Não é verdade que todo espaço vetorial tenha uma base no sentido da Definição 1. que não contém conjuntos linearmente junto vazio como sendo uma base do espaço vetorial nulo. então cada vetor em V pode ser expresso na forma v  c1v1  c2v2  · · ·  cnvn de exatamente uma única maneira.  E X E M P L O 5 Um espaço vetorial que não tem conjunto gerador finito Mostre que o espaço vetorial P de todos os polinômios com coeficientes reais não tem conjunto gerador finito. S  {p1. ) e C (. . . por sua vez. . Nosso próximo objetivo é precisar essa ideia definindo a noção de sistema de coordenadas em espaços vetoriais arbitrários. ao passo que um que pode é de dimensão finita. . portanto. Mostramos no Exemplo 5 que o espaço vetorial P não é gerado por um número finito de vetores e. Isso prova que as matrizes M1. não tem base. .4.  E X E M P L O 6 Alguns espaços de dimensão finita e infinita n Nos Exemplos 1. p2. é de dimensão infinita. digamos. porque não pode ser gerado por um número finito de vetores. implicaria que qualquer combinação linear de polinômios em S teria grau n. Assim. C(.  Por motivos que serão esclarecidos em breve. no má- n1 ximo. esses espaços vetoriais são de dimensão finita. Pn e Mmn. . encontramos bases para R . Mais geralmente. independentes e. suponha que um certo vetor v possa ser escrito como v  c1v1  c2v2  · · ·  cnvn e também como v  k1v1  k2v2  · · ·  knvn . ). portanto. vn} for uma base de um espaço vetorial V. a base canônica de Mmn consiste nas mn matrizes distintas com uma única entrada 1 e todas as demais entradas iguais a zero. . O Alguns autores definem o con- exemplo mais simples é o do espaço vetorial nulo. C (. O espaço vetorial do exemplo seguinte não tem mas aqui não faremos isso. pr}. digamos. ).  m Coordenadas em relação a No começo desta seção. segue da definição de conjunto gerador que cada vetor de V pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em S. M2. ) têm dimensão infinita. estabelecemos uma analogia entre vetores de base e sistemas de uma base coordenadas. 2 e 4. TEOREMA 4. pedimos ao leitor mostrar que os espaços vetoriais R . Solução Se existisse algum conjunto gerador finito.204 Álgebra Linear com Aplicações essas matrizes geram M22.  F(. Prova Como S gera V. não haveria como expressar o polinômio x como uma combinação linear de polinômios em S.1 Unicidade da representação em base Se S  {v1. base no sentido da Definição 1. o que contradiria a hipótese de que os vetores de S geram P. dizemos que um espaço vetorial que não pode ser gerado por um número finito de vetores é de dimensão infinita. então os graus dos polinômios em S teriam um valor máximo. O teorema a seguir é nosso primeiro passo nessa direção. Nos exer-  cícios desta e da próxima seções. portanto. Isso. 6 V Rn  E X E M P L O 7 Coordenadas em relação à base canônica de Rn No caso especial em que V  Rn e S for a base canônica. c2. Uma bijeção v (v)S  Figura 4. 4. 1. b. . então uma troca na ordem em que escrevemos os vetores trocaria a ordem das entradas em (v)S. o vetor de coordenadas (v)S é igual ao vetor v. . a ordem dos vetores em S permanece inalterada. c) ou seja. . . . o Teorema 4. cn  kn  0 k (0. em qualquer discussão envolvendo uma base S. cn) em R construído com essas coordenadas é denominado vetor de coordenadas de v em rela- ção a S e é denotado por (v)S  (c1. . Alguns autores dizem que um conjunto de vetores de base com essa restrição é uma base ordenada. . . v2. . se S  {v1. para os vetores (v)S escritos com mo se esses elementos estiverem escritos em alguma outra ordem. a indepen. aqui só utilizaremos essa ter- minologia quando a ênfase na ordem for necessária para o entendimento. caso em que utilizamos colchetes em sua no- v  c1v1  c2v2  · · ·  cnvn tação. 1) (a.4. . c1  k1. uma vez fornecida uma base S de um espaço vetorial V. c2. No entanto. introduzimos a convenção de que. . . . b. as coordenadas (a. for um conjunto de vetores de base. . mes. . 0. . c2  k2  0. 0) x ai Agora dispomos de todos os ingredientes necessários para definir a noção de “coor- denadas” num espaço vetorial arbitrário. .1 estabelece uma bijeção entre os vetores em V e os vetores em Rn (Figura 4. No entanto. cn) (6) Dizemos que [v]S é a matriz de coordenadas e reservamos a ter- minologia vetor de coordenadas Observação Lembre que dois conjuntos são considerados iguais se têm os mesmos elementos.5 exemplo. é adequado escrever um vetor de coordenadas como DEFINIÇÃO 2 Se S  {v1. . como em é a expressão de um vetor v em termos da base S.4. 0) (0. . n Observe que (v)S é um vetor em R . . . c) de um vetor v são precisamente os coeficientes na fórmula v  ai  bj  ck 3 que expressa v como uma combinação linear dos vetores canônicos de R (ver Figura 4. Às vezes. Para motivar o conceito. por  Figura 4. v  (v)S . cn  kn j y Assim. . . obtemos 0  (c1  k1)v1  (c2  k2)v2  · · ·  (cn  kn)vn Como o lado direito dessa equação é uma combinação linear dos vetores em S. observe que em R3. . produzindo possivelmente um vetor de coordenadas diferente. vn} vírgulas. as duas expressões para v são a mesma. v2. então os escalares c1.6).4.  i bj (1.4 Coordenadas e bases 205 Subtraindo a segunda equação da primeira. 0. cn são n denominados coordenadas de v em relação à base S. c2. z dência linear de S implica ck c1  k1  0. . de modo que. . .4. . vn} for uma base de um espaço vetorial V e se uma matriz coluna. Para evitar essa complicação.5). O vetor (c1. c2  k2.4. A definição seguinte generaliza essa ideia. b. c2. Assim. v2. o vetor de coordenadas de p em relação a S é (p)S  (c0. x2. 4) formam uma base de R3. 0). d)  E X E M P L O 9 Coordenadas em R 3 (a) Mostramos no Exemplo 3 que os vetores v1  (1. precisamos encontrar valores de c1. xn}. (b) Encontre o vetor em R3 cujo vetor de coordenadas em relação à base S é (v)S  (1. precisamos primeiro expressar v como uma combina- ção linear dos vetores em S. em termos de componentes. 9. . . v2  (2. que é igual ao vetor v. ou seja. (5. c). . 3. 1. 9. Encontre o vetor de coordenadas de v  (5.206 Álgebra Linear com Aplicações Por exemplo. . c. c) de um vetor como combinação linear dos vetores na base canônica S  {i. . . c2 e c3 tais que v  c1v1  c2v2  c3v3 ou. x.  E X E M P L O 8 Vetores de coordenadas em relação a bases canônicas (a) Encontre o vetor de coordenadas do polinômio p(x)  c0  c1x  c2x2  · · ·  cnxn em relação à base canônica do espaço vetorial Pn. 9) em rela- ção à base S  {v1. b. 1)  c2(2. 2. 4) . Solução (a) Para encontrar (v)s. Solução (a) A fórmula dada de p(x) expressa esse polinômio como uma combinação linear dos vetores da base canônica S  {1. c1. 1. 0)  c3(3. 3. 3. v3  (3. . 9)  c1(1. k} é v  ai  bj  ck de modo que o vetor de coordenadas em relação a essa base é (v)S  (a. (b) Encontre o vetor de coordenadas de em relação à base canônica de M22. v3}. 2). 1). . cn) Solução (b) Mostramos no Exemplo 4 que a representação de um vetor como uma combinação linear dos vetores da base canônica é de modo que o vetor de coordenadas de B em relação a S é (B)S  (a. em R3. 2. a representação v  (a. b. j. (1. 5  2x  x2 . 8  4x  x2 (a) u1  (1. (d) {(1. 6  5x  2x2. (3. 1. 4. 1)} 8. 1. x  x2. 8)} 7. w  (a. u2} de R2. 1). (4. obtemos Resolvendo esse sistema. 2). 1). 0. 1  4x  2x2. explique em palavras por que os vetores dados (c) 1  x  x2. • Dimensão finita • Encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. v3} não é uma base de V. (3. 7. 0). (a) {(2. 3. 1) (b) 4  6x  x2. obtemos  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Base • Mostrar que um conjunto de vetores é uma base de um • Bases canônicas de Rn. (4. 2. 1) (a) 1  3x  2x2. • Vetor de coordenadas Conjunto de exercícios 4. 9). Em cada parte. • Dimensão infinita • Encontrar o vetor de coordenadas de um vetor em relação • Coordenadas a uma base. 1).4 1. 6. 1. 3)} (d) {(3. u3  (2. (a) Mostre que S  {v1. (7. 4). 1) (b) {(3. 2) Solução (b) Usando a definição de (v)S. 8)} (c) u1  (1. Seja V o espaço gerado por v1  cos2 x. 2. 1). 8). (b) u1  (1. 2). w  (3. Em cada parte. 3. (1. 0)} (b) {(4. Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M22. Portanto. (1. 4. 1). (2. encontre o vetor de coordenadas de w em rela- (c) {(0. 7) para R 2 5. 4). 6). (2. u2  (3. u2  (6. 4). Em cada parte. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R3? (a) u1  (1. 5)} (a) u1  (1. u2  (1. 4. 1). (0. (v)S  (1. u2  (1. 1). 1). w  (1. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P2? (b) u1  (1. 5. 3. 3). v2. c3  2 (verifique). 12)} ção à base S  {u1. 0) 4. u2  (1. encontre o vetor de coordenadas de w em rela- ção à base S  {u1. u2  (0. (2. 1).4 Coordenadas e bases 207 Igualando os componentes correspondentes. 0). x2 não são uma base do espaço vetorial dado. w  (1. v2  sen2 x. 0). u2  (0. u2  (0. b) (c) {(2. w  (1. 1. Pn. 0). 3. 1). 1). p2  x  1 para P2 (d) 6. 2. w  (0. obtemos c1  1. Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R2? (b) Encontre uma base de V. Mmn espaço vetorial. 1  x  4x2. u2} de R2. 1  7x (c) u1  (1. 2). 7) (a) {(1. v3  cos 2x. 1). (d) 4  x  3x2. 1). c2  1. 1) para R3 (c) p1  1  x  x2. 3)} (b) u1  (2. . encontre as coordenadas x y dos pontos cujas (d) O vetor de coordenadas de um vetor x em Rn em relação à coordenadas xy estão dadas. p1  1  x. v2. A2. (a) (b) (1. base canônica de Rn é x. (a) (1. v1  (1. mostre que {p1. 0). Prove que R tem dimensão infinita. 3). p2. 2. . Em cada parte. p2  x. i  Figura Ex-17 18. Em cada parte. 0). . . p  2  17x − 3x2 (b) Cada subconjunto linearmente independente de um espaço 15. em matrizes invertíveis? Justifique sua resposta. 3) (b) v  (5. p3  3  3x  4x2. . p2  x  x2. vn} for uma base de um espaço vetorial V. A3. encontre o vetor de coordenadas de v em y y relação à base S  {v1. A2. . p3}. A4} é uma base j e u2 de M22 e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base.br/ 208 Álgebra Linear com Aplicações 9. uma unidade. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. então {v1. 1) (d) (a. 3. v2  (4.  u1 30˚ x 12. . 3). p  7  x  2x2 vetorial V é uma base de V. p3} é uma base de P2 Nas partes (a)-(e). (a) Se V  ger{v1. 1. en- xy e um sistema de coordenadas x y com eixos oblíquos. 12. 0. . 14. . 1) (d) (a. 2. v2. A4}. A3. . vn} é uma base de V. encontre o vetor de coordenadas de p em  Figura Ex-16 relação à base S  {p1. b) (e) Cada base de P4 contém pelo menos um polinômio de grau 3 ou menor. A base de M22 dada no Exemplo 4 consiste em matrizes não invertíveis.blogspot. 8. p1  1  2x  x2. 0) (c) (0. 1) (b) (1. A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares (c) Se {v1. 9) 45˚ x e x 10. p2  2  9x. b) y e y x  Nos Exercícios 12–13. v3  (7. v1  (1. 16. 0) (c) (0. p1  1. . https://livros-pdf-ciencias-exatas. p1  1  x  x2. tão cada vetor em V pode ser expresso como uma combinação Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de linear de v1. e expresse p como uma combinação linear dos vetores da base. Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base e um sistema de coordenadas x y determinado pelos vetores S  {A1. p2. 5. (a) v  (2. vn. v3  (3. 6). . p2  1  x2. (a) p  4  3x  x2. p3  x2 17. . Exercícios verdadeiro/falso  Nos Exercícios 14–15. v2  (2. p3  x2. unitários i e j de uma outra base.com. A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares (b) p  2  x  x2.  justificando sua resposta. . v2. mostre que {A1. Será que existe alguma base de M22 consistindo 13. . 19. . . v3}. 3). vn}. p3  x  x2 xy determinado pelos vetores unitários i e j da base canônica 11. Encontre as coordenadas x y dos pontos cujas coordenadas xy estão dadas. então a independência linear de S implica que qualquer conjunto em V com mais de n vetores é linearmente dependente. mostramos que a base canônica de Rn tem n vetores e que. . . (b) Um conjunto com menos de n vetores não gera V.5. parece haver alguma relação entre o número de vetores em uma base e a dimensão do espaço vetorial.5 Dimensão 209 4. Além disso. mos o espaço vetorial nulo como tendo dimensão zero. na introdução desta seção. um plano como bidimensional e uma reta como unidimensional. .5. então S é automaticamente uma base de ger(S) (por quê?) e isso implica dim[ger(S)]  r . . . a base canônica de R2 tem dois vetores. Nesta seção. . a junto vazio como sendo uma noção intuitiva de dimensão coincide com o número de vetores numa base. . pois. Para provar esse teorema. . vn} uma base qualquer de V. mensão 0. vr} for um conjunto linearmente independente no espaço vetorial V. se S  {v1. A definição base do espaço vetorial nulo.  E X E M PLO 1 Dimensões de alguns espaços vetoriais familiares dim(R )  n n A base canônica tem n vetores.5. Nosso primeiro objetivo nesta seção é estabelecer o teorema fundamental que segue. Número de vetores em uma base TEOREMA 4. defini. v2.5 Dimensão Na seção anterior. Isso é consistente com a nossa definição de dimensão. . Agora não é difícil ver por que vale o Teorema 4. e qualquer conjunto em V com menos de n vetores não gera V.  E X E M P L O 2 Dimensão de ger(S) Se S  {v1. . desenvolvemos essa ideia. Assim. v2. TEOREMA 4. e a base canônica de R1( R) tem um vetor. v2. Os engenheiros costumam usar dim(Pn)  n  1 A base canônica tem n  1 vetores. o termo graus de liberdade dim(Mmn)  mn A base canônica tem mn vetores. portanto. cuja prova é deixada para o final desta seção. Alguns autores definem o con- Notamos. (a) Um conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente. vemos que um conjunto em V não pode ser base a menos que tenha exatamente n vetores. . Como pensamos no espaço como sendo tridimensional. que para certos espaços vetoriais familiares. seguinte torna precisa essa ideia. . vn} for uma base arbitrária de V. vamos precisar do resultado preliminar seguinte.2 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e {v1. a base canônica de R3 tem três vetores. DEFINIÇÃO 1 A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita V é denotada e o espaço vetorial nulo tem di- por dim(V) e é definida como o número de vetores numa base de V.1 Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita têm o mes- mo número de vetores. 4.1. pois o conjunto vazio não tem vetores. como sinônimo de dimensão. portanto.  Observação Pode ser mostrado que. t) ou. s. x2  r. formam uma base do espaço solução. v3  (2. a dimensão do espaço gerado por algum conjunto linearmente independente de vetores é igual ao número de vetores naquele conjunto. x2. mostrando que nenhum deles é combinação linear dos outros dois (mas veja a observação a seguir). x3  2s. 2. x4  0. x6  0 que pode ser escrita em forma vetorial como (x1. 0. 0. r. 1. 1. 0) geram o espaço solução. 0. 0. 1.2. Deixamos para o leitor verificar que esses vetores são linearmen- te independentes. 0). 0. x3  t. x4. 0. 0. Omitimos a prova formal. 0). 0. também são line- armente independentes e. v2  (4. Como nenhum desses vetores é um múltiplo escalar do outro. x2. 0. s. 0. 0.210 Álgebra Linear com Aplicações Em palavras. alternativamente. o método do exemplo anterior sempre produz uma base do espaço solução do sistema. x5  t que pode ser escrita em forma vetorial como (x1. 0. 0. 1. t. x3. x5. 0. 0) Isso mostra que os vetores v1  (3. Assim. x3. Assim. 2s. 0)  t(2. o espaço solução tem dimensão 3. 0. o espaço solução tem dimensão 2. t. x5  t. x4. x5)  r(3. 0)  t(1. 1. 0. . x6)  (3r  4s  2t. x3. x4  s. 0. 2. 0)  s(4. 1) Isso mostra que os vetores v1  (1. 0. 1. x5)  s(1. alternativamente. x2. 1. 0. x3. x2. como (x1. 0.  E X E M P L O 4 Dimensão de um espaço solução Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo Solução No Exemplo 6 da Seção 1.  E X E M P L O 3 Dimensão de um espaço solução Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo Solução Deixamos para o leitor resolver esse sistema com eliminação de Gauss-Jordan e mostrar que sua solução geral é x1  s  t. 0) ou. x2  s. 0. 1. 0. x4. 1. 1) geram o espaço solução. como (x1. x5)  (s  t. para sistemas homogêneos. 0. 0) e v2  (1. 0. 0. 1. x4. vimos que a solução desse sistema é x1  3r  4s  2t. 5. pois nenhum de seus vetores é um múltiplo escalar do outro. Enunciado informal- mente. e se S  {v} denotar o conjunto obtido removendo v de S.5.3 Teorema do mais/menos Seja S um conjunto não vazio de vetores num espaço vetorial V. Esse é o conteúdo do teorema a seguir. . ou seja. v2. . p2. Como o vetor p3 não pode ser expresso como combinação linear dos vetores em S (por quê?). 4. gerando o plano. então o conjunto S 艛 {v} que resulta do acréscimo de v a S ainda é linearmente independente. então esse vetor pode ser removido de S sem afetar o gerado por S (Figura 4. p2  2  x2 e p3  x3 são vetores linearmente independentes. para mostrar que um conjunto de vetores {v1.1). vn} tem o número correto de vetores de uma base). então S e S  {v} geram o mesmo espaço. v2. devemos mostrar que os vetores são linearmente independentes e que geram V. . base e dimensão. No entanto. se soubermos que V tem dimensão n (de modo que {v1. . gerando o plano. (b) Se v for um vetor em S que pode ser expresso como combinação linear dos outros vetores de S. Solução O conjunto S  {p1. p3}. .5 Dimensão 211 Dedicamos o restante desta seção a uma série de teoremas que revelam as inter-relações Alguns teoremas sutis entre os conceitos de independência linear. sem afetar sua independência dois restantes continuam e os dois restantes continuam linear. ger(S)  ger(S  {v})  E X E M P L O 5 Aplicando o teorema mais/menos Mostre que p1  1  x2. (a) Se S for um conjunto linearmente independente e se v for um vetor em V que está fora do ger(S).  Em geral. pode ser juntado a S para produzir um conjunto linearmente independente S  {p1. .5. p2} é linearmente independente. Esses teoremas não fundamentais são simples exercícios de matemática teórica. começando com um conjunto linearmente independente S e juntando a S um vetor que não é uma combinação linear dos de S.  Figura 4. começando com um conjunto S de dois ou mais vetores no qual um dos vetores é uma combinação linear dos outros.1 TEOREMA 4. então o conjunto aumentado ainda continua linearmente independente. Começamos com um teorema (demonstrado no final desta seção) que trata do efeito sobre a independência linear de um conjunto não vazio de vetores e do espaço por ele gerado se um vetor for juntado a esse conjunto ou removido dele. e os colineares pode ser removido. então basta verificar ou que são linearmen- te independentes ou que geram. pois. eles são essenciais para o entendimento de espaços vetoriais e das aplicações com eles construídas. a outra condição é automaticamente satisfeita. dessa forma. . O vetor fora do plano pode Qualquer um dos vetores Qualquer um dos dois vetores ser juntado aos dois outros pode ser removido. vn} é uma base de um espaço vetorial V. . Além disso. . pois o Teorema 4. v3} é uma base de R3. 7) e v2  (5. Assim. explique por que v1  (2. 7) e v3  (1. portanto. mas não for uma base de V. O vetor v3 está fora do plano xz. . 1. Cada conjunto gerador de um subespaço ou é uma base desse subespaço ou contém nele uma base. v3} tam- bém é linearmente independente. S é linear- mente independente.5. pelo Teorema 4. 1. v2  (4. v2. TEOREMA 4. então S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de S.   E X E M P L O 6 Base por inspeção (a) Por inspeção. S gera V. segue do Teorema 4.3a que o conjunto resultante de n  1 vetores ainda é linearmen- te independente. Para provar que S é uma base.5. (b) Por inspeção. (b) Se S for um conjunto linearmente independente.5. Acrescentando esse vetor a S. 2. Cada conjunto linearmente independente num subespaço ou é uma base desse subes- paço ou pode ser estendido a uma base dele.4 Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e S um conjunto em V com exatamente n vetores. Prova Suponha que S tenha exatamente n vetores e que gere V. Mas isso é impossível.4.212 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 4. 4) for- mam uma base de R3.4. pois segue do Teorema 4. Solução (a) Como nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro. os dois 2 vetores formam um conjunto linearmente independente no espaço R de dimensão 2 e. mas não for uma base de V. 5) formam uma base de R2. S gera V ou S é linear- mente independente.5. (a) Se S gerar V.2a afirma que nenhum con- junto com mais de n vetores em um espaço vetorial de dimensão n pode ser linearmente independente. então algum vetor v em S é uma combinação linear dos demais vetores. Solução (b) Os vetores v1 e v2 formam um conjunto linearmente independente no plano xz (por quê?). constituem uma base. portanto. Se esse não for o caso. Removendo esse vetor de S. segue do Teorema 4.  O próximo teorema (cuja prova é adiada para o final desta seção) revela dois fatos importantes sobre os vetores num espaço vetorial de dimensão finita. então existe algum vetor v de V que não está no ger(S). Como R3 tem dimensão 3. Para provar que S é uma base. 1). Se esse não for o caso. 0. devemos mostrar que S gera V. o conjunto {v1. explique por que v1  (3.5.3b que o conjunto restante de n  1 vetores ainda gera V. 0. o Teorema 4. Então S é uma base de V se.5.5. devemos mostrar que S é um conjunto linearmente independente. Mas isso é impossível. v2. e só se.5 Seja S um conjunto finito de vetores num espaço vetorial V de di- mensão finita. Assim. Suponha que S tenha exatamente n vetores e que seja um conjunto linearmente inde- pendente. então S pode ser ampliado a uma base de V acrescentando vetores apropriados a S.2b que nenhum conjunto com menos do que n vetores pode gerar um espaço vetorial de dimensão n.5 implica que {v1. . w2. TEOREMA 4.6 Se W for um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita. Prova (b) A parte (a) mostra que W tem dimensão finita. Prova (a) Deixamos a prova dessa parte como exercício. então (a) W tem dimensão finita. .5.5. Se for. pode ser ampliado a uma base de V pela parte (b) do Teorema 4. o que significa que dim(V)  dim(W). (c) W  V se. Se não for. (b) dim(W) dim(V ). . como S é um conjunto linearmente independente. e só se. 4. o que implica que dim(W) .5 Dimensão 213 Concluímos esta seção com um teorema que relaciona a dimensão de um espaço ve- torial com as dimensões de seus subespaços. dim(W)  dim(V ).5. wm} Ou S também é uma base de V ou não. . então dim(V)  m. de modo que possui uma base S  {w1. .5. dim(V).5.2 ilustra as relações geométricas entre os subespaços de R em ordem de dimensão crescente. . cada wi pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em S.5. . .5. com m  n. vn} é uma base. 4. Mas isso significaria que dim(V) > dim(W).2 (dimensão 3) Concluímos esta seção com as provas opcionais dos Teoremas 4. então. . . . em ambos casos.2(a) Seja S  {w1. . OPCIONAL Prova do Teorema 4. Queremos mostrar que S é linearmente dependente. w2.  3 A Figura 4. . Prova (c) Suponha que dim(W)  dim(V) e que S  {w1. Como S  {v1. digamos. o que significa que W  V. .5. Assim. Assim. por ser linearmente independente. Se S não fosse também uma base de V. (1) . mostramos que dim(W) dim(V ). S deve ser também uma base de V.2.5. . S poderia ser ampliado a uma base de V pela parte (b) do Teorema 4. contradizendo nossa hipótese. wm} um conjunto qualquer de m vetores em V.wm} seja uma base de W.3 e 4. w2.5. Reta pela origem (dimensão 1) Plano pela A origem origem (dimensão 0) (dimensão 2) R3  Figura 4. .5. v2.5. . pois o Teorema 1. . km não todos zero. (3) tem mais incógnitas do que equações. o problema de provar que S é um conjunto line- armente independente se reduz a mostrar que existem escalares k1. pela independência linear de S. . . Prova do Teorema 4.5. .2(b) Seja S  {w1. com m . . . km não todos zero. . wm} um conjunto qualquer de m vetores em V. tais que k1w1  k2w2  · · ·  kmwm  0 (2) Usando as equações em (1). . que satisfaçam (3) No entanto. podemos reescrever (2) como Assim. .214 Álgebra Linear com Aplicações Para mostrar que S é linearmente dependente. de modo que a prova está completa. devemos encontrar escalares k1. . k2.2. k2.2 garante a existência de soluções não triviais. w2. . Assim. a conta que nos levou a (3) agora fornece Esse sistema tem mais incógnitas do que equações e. n. deve- mos mostrar que os únicos escalares que satisfazem a equação k1v1  k2v2  · · ·  krvr  kr1v  0 (6) . . . Faremos isso mostrando que a suposição de que S gere V leva a uma contradição da independência linear de {v1. Se S gera V. . vr . .2. Em particular. . k2. então cada vetor em V é uma combinação linear dos vetores em S . tais que k1v1  k2v2  · · ·  knvn  0 (5) No entanto. . portanto. exceto pela permutação de m com n e dos vetores w com os vetores v. kn não todos zero. v2. tem soluções não triviais pelo Teorema 1. Para mostrar que S  {v1. . vr } seja um conjunto linear- mente independente de vetores em V. v} é um conjunto linearmente independente. cada vetor vi da base é uma combinação linear dos vetores em S . .5. . . . . Queremos mostrar que S não gera V. e que v seja um vetor em V que está fora do ger(S).2. . Prova do Teorema 4. vn}. v2. . mostraremos que existem escalares k1.3(a) Suponha que S  {v1. . (4) e (5) têm a mesma forma que (1) e (2). digamos. (4) Para obter nossa contradição. v2. . .5. Se S não gerar V. . . vr1} ainda gera ger(S). . . que k1  k2  · · ·  kr  0 Prova do Teorema 4. devemos mostrar que cada vetor w em ger(S) pode ser expresso como uma combinação linear de {v1. (6) simplifica para k1v1  k2v2  · · ·  krvr  0 (7) o que implica. então podemos remover algum vetor apropriado de S para obter um conjunto S que ainda gera V. v2. podemos acrescentar v a S e o conjunto S resultante ainda é linearmente independente. v2. . existe algum vetor v em V que não está no ger(S). .4.5. . ou seja. .5.5 Dimensão 215 são k1  k2  · · ·  kr  kr1  0. . vr1}. então w pode ser expresso na forma w  k1v1  k2v2  · · ·  kr1vr1  krvr ou então.3(b) Suponha que S  {v1. Se S for linearmente dependente. podemos remover v de S e o conjunto S resultante ainda gera V. mas não é uma base de V. v2.  . . pela independência linear de {v1. v2. . Esse subconjunto de S é uma base de V. . . Pelo Teorema de Mais/Menos (4. . portanto. vr  c1v1  c2v2  · · ·  cr1vr1 (8) Queremos mostrar que se vr for removido de S. Assim. v2. . . Se S for linearmente independente. então S é uma base de V e podemos parar. v2. Se S gerar V.5.3a). então S é uma base de V e podemos parar. vr. Se S é um conjunto linearmente independente que ainda não é uma base de V. w  k1v1  k2v2  · · ·  kr1vr1  kr (c1v1  c2v2  · · ·  cr1vr1) o que dá w como uma combinação linear de v1. Prova do Teorema 4.5. . Pelo Teorema de Mais/Menos (4. . digamos.5(b) Suponha que dim(V)  n. . v2.5(a) Se S for um conjunto de vetores que gera V. contradizen- do a nossa suposição de que v está fora do ger(S). finalmente. vr1. poderíamos resolver (6) em v como uma combinação linear de v1. então S não gera V e. caso contrário. pois. Mas se w for um vetor em ger(S). num conjunto de vetores em S que é linearmente independente e que gera V. Podemos continuar acrescentando vetores dessa maneira até chegar num conjunto de n vetores linearmente independentes em V. . . . Esse conjunto será uma base de V pelo Teorema 4. vr } seja um conjunto de vetores em V e (para sermos específicos) suponha que vr é uma combinação linear de v1. algum vetor v em S pode ser expresso como uma combinação linear dos demais vetores em S. Assim. Podemos continuar removendo vetores dessa maneira até chegar. então podemos acres- centar algum vetor apropriado a S para obter um conjunto S que ainda é linearmente independente. substituindo (8). então S é um conjunto linearmente dependente. 4. Mas certamente temos kr1  0. .3b). vr1. . . . Prova do Teorema 4.5. vr }. então o conjunto restante {v1. . . (c) A reta x  2t . linearmente independentes. 3) são linearmente 7. (a) Mostre que. 0). das (v1)S. encontre um vetor da base canônica de R3 que pode ser acrescentado ao conjunto {v1. (a) O plano 3x  2y  5z  0. . 1. Os vetores v1  (1. Encontre vetores da base canônica de R4 que podem ser acres- centados ao conjunto {v1. 2. 18. . b. 2. 17. 1. para cada inteiro positivo n. u2  v1  v2 e u3  v1  v2  v3. e c  a  b. . Em cada caso. sendo u1  v1. em que de dimensão infinita. (vr )S formam um conjunto linearmente independente em Rn e reciprocamente. v2  (3. . Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de R4. dimensão • Usar a dimensão para determinar se um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial de dimensão finita. 14. c. 3) são (b) O plano x  y  0. 4. . (b) Use o resultado da parte (a) para provar que F(. v2  (1. v2} para formar uma base de R3. b. z  4t. . 2. Usando a notação do Exercício 18. vr formarem um conjunto linearmente riais. Seja {v1. trar n  1 vetores linearmente independentes em F(. . Aumente {v1. Em cada caso. base e um sistema linear homogêneo. Mos- 9.216 Álgebra Linear com Aplicações Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Dimensão • Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução de • Relação entre o conceitos de independência linear. ) e Cm(. ). tre que se v1. Conjunto de exercícios 4. ) são espaços vetoriais (c) Todos os vetores da forma (a. Aumente {v1. Encontre bases dos seguintes subespaços de R3. 2. 3) e v2  (0. 3  3x  6x2. u3} também é uma base. encontre uma base do espaço solução do (b) Faça uma conjectura sobre a dimensão de W. v2. u2. então os vetores de coordenadas superiores. (c) Prove que C(. (vr )S geram Rn e reciprocamente. . [Sugestão: procure polinômios. podemos encon- (d) Todos os vetores da forma (a.5  Nos Exercícios 1–6.] (a) Todos os vetores da forma (a. (a) Mostre que o conjunto W de todos os polinômios em P2 (a) 1  x  2x2. mostre que se os vetores (c) O espaço vetorial de todas as matrizes n  n triangulares v1. v3} uma base de um espaço vetorial V. 3. 1. 8. vr gerarem V. 3). 10. v2} até uma base de R3. 16. 6. . (v1)S.  (c) Confirme sua conjectura encontrando uma base de W. (b) O espaço vetorial de todas as matrizes n  n simétricas. independente de vetores em V. 2. independentes. . • Estender um conjunto linearmente independente a uma base. (a) v1  (1. c) com b  a  c. 1. 13. d). b. 3). v2} até uma base de R4. v2. Encontre a dimensão de cada um dos seguintes espaços veto. b. 11. ) (b) Todos os vetores da forma (a. pelos vetores dados. . v2. . (v2)S. 2) (b) v1  (1. . 19. . em que d  a  b tem dimensão infinita. Mostre que {u1. então os vetores de coordena- (a) O espaço vetorial de todas as matrizes n  n diagonais. 2) 4. 5. 2. 0). encontre uma base do subespaço de P2 gerado dos os polinômios a0  a1x  a2x2  a3x3 com a0  0. Os vetores v1  (1. sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço. 9 tais que p(1)  0 é um subespaço de P2. 2. c. . 12. . a  b  c  d. Seja S uma base de um espaço vetorial V de dimensão n. y  t . v2  (3. 6) 5. Encontre a dimensão do subespaço de P3 consistindo em to- 20. 5) e v2  (0. (v2)S. 8. d). 4. c. 3. 15. v2} para formar uma base de R4 v1  (1. . então. Dizemos que (1) é a aplicação de coordenadas Aplicação de coordenadas n de V em R . Nesta seção. a mudança de bases é relacionada à mudança de eixos coordenados em R2 e R3. (g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em Rn sitiva. . a aplicação v → (v)S (1) cria uma conexão (uma bijeção) entre os vetores do espaço vetorial arbitrário V e os n vetores do espaço vetorial familiar R . estudamos problemas relativos à mudança de bases.4. Rn. c2. é conveniente expressar os vetores de coordenadas em formato matricial [ ]S c1 v c2 . vn} for uma base de um espaço vetorial V de dimensão finita e se Aplicação de coordenadas (v)S  (c1. . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.2 em forma contrapo. An forem matrizes justificando sua resposta. . de coordenadas em relação a S como nos Exercícios 18 e 19. . Como a base é a generalização de coordenadas para um espaço vetorial. Se S  {v1.6 Mudança de bases 217 (b) 1  x. A2. acaba sendo importante saber como se relacionam as coorde- nadas de um vetor fixado em relação a cada um desses sistemas de coordenadas. . . 2  2  6x . . Nesses casos. . . (h) Existe alguma base de M22 consistindo em matrizes invertí- Exercícios verdadeiro/falso veis. Isso nos leva ao problema seguinte. Nas partes (a)-(j). . dente. An } é linearmente indepen- (a) O espaço vetorial nulo tem dimensão zero. . 4. cn) for o vetor de coordenadas de v em relação a S. A2. 21.] (e) Cada conjunto de cinco vetores que gera R5 é uma base de R5. 2 (i) Se A tiver tamanho n  n e In . Prove: qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão (f) Cada conjunto de vetores que gera Rn contém alguma base de finita tem dimensão finita. está contido em alguma base de Rn. 4. Existem muitas aplicações em que é necessário trabalhar com mais de um sistema de Mudança de bases coordenadas. de forma que é um procedimento comum no estudo de espaços vetoriais a mudança de uma base para uma outra. 2  2x2. . Enuncie as duas partes do Teorema 4. 22.1 em que os colchetes enfatizam a notação matricial (Figura 4. qual é a relação entre os vetores de coordenadas [v]B e [v]B ? .6 Mudança de bases Uma base conveniente para um problema pode não ser conveniente para um outro.6. (b) Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes (j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distin- em R17. cn (2) V Rn  Figura 4. v2.1). Nesta seção. . x2. como observamos na Seção 4. 3  3x  9x 2 x 2 2 (d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em [Sugestão: seja S a base canônica de P2 e trabalhe com os vetores R5 é uma base de R5. 2 distintas. .6. A. então {In. . 3x (c) Existe um conjunto de 11 vetores que gera R17. . A. (c) 1  x  3x . Problema da mudança de base Se v for um vetor num espaço vetorial V de dimensão finita e se mudarmos a base de V de uma base B para uma base B . tos de P2.5. . substituímos (4) em (6). Para simplificar. . Precisamos dos vetores de coordenadas dos veto- res da base nova em relação à base velha. o velho vetor de coordenadas [v]B está relacionado com o novo vetor de coordenadas [v]B pela equação [v]B  P[v]B (7) onde as colunas de P são os vetores de coordenadas dos vetores da base nova em rela- ção à base velha. un}. . Isso fornece v  k1(au1  bu2)  k2(cu1  du2) ou v  (k1a  k2c)u1  (k1b  k2d)u2 Assim. u 2} as bases velha e nova. . . resolvemos esse problema em espaços bidimensionais. de modo que v  k1u 1  k2u 2 (6) Para conseguir encontrar as coordenadas velhas de v.218 Álgebra Linear com Aplicações Observação Para resolver esse problema. u2} e B  {u 1. Assim. respectivamente. un} para uma base nova B  {u1. . Para isso. devemos expressar v em termos da base velha B. [u n]B (8) . (4) Seja. . nosso objetivo é encontrar a relação entre as coordenadas velhas e novas de um vetor v em V fixado. A solução para espaços de dimensão n é análoga. ou seja. é conveniente dizer que B é a “base velha” e B a “base nova”. pode ser escrito como Essa equação afirma que o velho vetor de coordenadas [v]B é o resultado da multiplicação do novo vetor de coordenadas [v]B à esquerda pela matriz Como as colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores da base nova em relação à base velha [ver (3)]. Solução do problema de mudança de base Se mudarmos a base de um espaço vetorial V de alguma base velha B  {u1. Sejam B  {u1. . v um vetor qualquer em V e seja (5) o novo vetor de coordenadas. os vetores coluna de P são [u 1]B. então. dado qualquer vetor v em V. . . o velho vetor de coordenadas de v é que. . por (5). u2. . Suponha que sejam (3) isto é. temos a solução seguinte para o problema de mudança de base. . agora. [u 2]B . u2. u2  (0. Queremos encontrar os vetores de coordenadas dos vetores u 1 e u 2 da base velha em relação aos vetores u1 e u2 da base nova. portanto. Matrizes de transição fatizar. 0). Segue de (8) que essa matriz pode ser expressa em termos de seus vetores coluna como (9) Analogamente. e os vetores da base nova são u1 e u2. que  . Na Fórmula (9). que Solução (b) Aqui. Para isso. portanto. Assim. 1) (a) Encontre a matriz de transição PB →B de B para B. ambas fórmulas podem ser reescritas como segue.  E X E M P L O 1 Encontrando matrizes de transição Considere as bases B  {u1. 1). a base velha é B e a nova é B. Como na parte (a). Para isso. u 2} de R2. para en. a base velha é B e a nova é B . u2} e B  {u 1. os vetores da base velha são u1 e u2 e os vetores da base nova são u 1 e u 2. a matriz de transição de B para B pode ser expressa em termos de seus vetores coluna por (10) Observação Há uma maneira simples de se lembrar dessas fórmulas usando os termos “matriz velha” e “matriz nova” definidos na observação precedente. muitas vezes denotamos por PB →B. 4. u 2  (2. (b) Encontre a matriz de transição PB→B de B para B . observamos que do que segue e. queremos encontrar os vetores de coordenadas dos vetores u1 e u2 da base velha em relação aos vetores u 1 e u 2 da base nova. As colunas da matriz de transição de uma base velha para uma base nova são os veto- res de coordenadas da base velha em relação à base nova. os vetores da base velha são u 1 e u 2. onde u1  (1. Solução (a) Aqui. ao passo que na Fórmula (10). observamos que do que segue e. u 1  (1.6 Mudança de bases 219 A matriz P na Equação (7) é denominada matriz de transição de B para B que. 1). como segue. Em Rn. e PB→B transforma vetores de coordenadas em relação à base B em vetores de coordenadas em relação à base B . todos com a mesma matriz de coeficientes (por quê?). precisamos fazer a transição de B para B. . Como o efeito final das duas operações é deixar cada vetor de coordenadas no lugar em que se encontrava. Por exemplo. ou seja.6. somos levados a concluir que PB→B deve ser a matriz identidade. sabendo que Solução Para encontrar [v]B. Uma maneira eficiente de fazer isso é com o método ilustrado no Exemplo 2 da Seção 1. com as matrizes de transição obtidas no Exem- plo 1. TEOREMA 4. isso envolve resolver n sistemas lineares em n incógnitas. Use uma fórmula apropriada para encontrar [v]B. obtemos o teorema a seguir. depois. temos Segue de (13) que PB →B é invertível e que sua inversa é PB→B . Um método eficiente para Nosso próximo objetivo é desenvolver um procedimento eficiente para calcular matrizes calcular matrizes de transição de transição entre bases de Rn. transforma essas coorde- nadas em relação a B de volta nas coordenadas em relação a B. agora. então transição (PB →B) (PB→B )  PB→B já que a multiplicação por (PB →B) (PB→B ) transforma inicialmente as coordenadas de um vetor em relação a B nas coordenadas em relação a B e. o primeiro passo no em R n cálculo de uma matriz de transição é expressar cada vetor da base nova como uma combi- nação linear dos vetores da base antiga. (PB →B) (PB→B )  I (13) (omitimos a prova formal). Como a multiplicação por PB →B transforma vetores de coordenadas em relação à base B em vetores de coordenadas em relação à base B. então P é invertível e P1 é a matriz de tran- sição de B para B . segue que  Invertibilidade de matrizes de Se B e B forem bases de um espaço vetorial V de dimensão finita.1 Se P for a matriz de transição de uma base B para uma base B de um espaço vetorial V de dimensão finita.220 Álgebra Linear com Aplicações Suponha.6. Assim. que B e B sejam as bases de um espaço vetorial V de dimensão finita. segue que para cada vetor v de V temos [v]B  PB →B[v]B (11) [v]B  PB→B [v]B (12)  E X E M P L O 2 Calculando vetores de coordenadas Sejam B e B as bases no Exemplo 1. Conforme ilustrado no Exemplo 1. Da Fórmula (11) e da parte (a) do Exemplo 1. [base nova | base velha]  Reduzindo essa matriz até tornar o lado esquerdo a identidade.  Note que. A matriz resultante é [I | PB→B ]. 1). Esse procedimento é capturado no diagrama seguinte. u2  (0. Solução (a) Aqui B é a base velha e B é a base nova. Passo 4. [base nova | base velha]  Como o lado esquerdo já é a matriz identidade. Solução (b) Aqui B é a base velha e B é a base nova. consideramos as bases B  {u1. Isso ilustra o seguinte resultado geral. os vetores coluna da matriz que faz a transição Transição para a base n da base B para a base canônica foram exatamente os vetores de B escritos em forma de canônica em R colunas. Passo 2. 4. portanto. 1) (a) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição de B para B. 1).6 Mudança de bases 221 Um procedimento para calcular PB→B Passo 1. em que u1  (1. [base nova | base velha] [I | transição da velha à nova] (14)  E X E M P L O 3 De novo o Exemplo 1 No Exemplo 1. Passo 3. 0). Vemos claramen- te que a matriz de transição é que está de acordo com o resultado no Exemplo 1. obtemos (verifique) [I | transição da velha para a nova]  de modo que a matriz de transição é que também está de acordo com o resultado no Exemplo 1. Reduzimos a matriz do Passo 1 à forma escalonada reduzida usando opera- ções elementares com as linhas. não precisamos reduzir. Montamos a matriz [B | B]. u 2  (2. Extraímos a matriz PB→B do lado direito da matriz do Passo 3. u 1  (1. na parte (a) do último exemplo. u 2} de R2. . u2} e B  {u 1. portanto. (b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição de B para B . (b) p  2  x  x . 2). A4} de M22. 0). 12. 0).com.6 1. 8. 5. A3. S  {A1. . . por exemplo. . u3  (3.blogspot. • Usar a matriz de transição para calcular vetores de coordenadas. v3} de R3. 8). https://livros-pdf-ciencias-exatas. 3). 1) (c) u1  (1.5. v1  (1. 2. . un} uma base qualquer do espaço vetorial Rn e S  {e1. então PB →S  [u1 | u2 | · · · | un] (15) Segue desse teorema que se A  [u1 | u2 | · · · | un] é uma matriz n  n invertível qualquer. Em cada parte.br/ 222 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 4. 1). 6). é a matriz de transição da base u1  (1. p2  1  x . . Assim. p1  1. u2} de R2. p3  x2 (a) Encontre w se S for a base no Exercício 2(a). 1). a matriz cuja invertibilidade foi mostrada no Exemplo 4 da Seção 1. 4). 2. 0. 0). u2  (0. e2. . 3). u2  (3. 2. p3} de P2. 1) Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Aplicação de coordenadas • Encontrar diretamente os vetores de coordenadas em • Problema da mudança de base relação a uma base dada. 5. p2. w  (a. encontre o vetor de coordenadas de p em relação à base S  {p1. (a) v  (2. e3 = (0. A2. 1. b) 2. 9) 3. 3. . v3  (7. 0. 1. 3). p3  x  x 2 (c) Encontre B se S for a base no Exercício 4. Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base relação à base S  {u1. un} de R para a base canônica de R . 8) para a base e1  (1. 3) (b) v  (5. e2 = (0. . 0). Em cada parte. p2  x.2 Sejam B  {u1. 0. . . Conjunto de exercícios 4.−7) (b) u1  (2. w  (3. p1  1  x. então A pode ser vista como a matriz de transição n n da base {u1. • Matriz de transição • Encontrar a matriz de transição de uma base para outra. encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S  {v1. (a) u1  (1. v2. en} a base canônica de Rn. 2 2 (b) Encontre q se S for a base no Exercício 3(a). encontre o vetor de coordenadas de w em 4. Se os vetores dessas bases forem escri- tos em forma de colunas. v2  (2. 0). . u2. u2. 1). v2  (4. Em cada parte. (a) p  4  3x  x2. u2  (2. v1  (1. . u2  (0. 3. Considere os vetores de coordenadas v3  (3. . 0). w  (1.6. 5. Sejam S a base canônica de R e B  {v1. v1  (1. em que u1  (1. u3} e B  {u 1. (e) Confira seu trabalho calculando [h]B diretamente. (a) Encontre a matriz de transição de B para B. (d) Seja w  (5. u 2} de R2. Considere as bases B  {u1. (d) Calcule o vetor de coordenadas [h]B . Encontre [w]B1 e use a matriz PB1→B2 para calcular [w]B2 a partir de [w]B1. 15. p2} e B  {q1. g2} para B  {f1. 0) e v3  (3. (b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PS→S. 1) e v2  (3. q2  3  2x (a) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição (a) Encontre a matriz de transição de B para B. 3) e v2  (1. Encontre [w]S e então use a Fórmula (12) para calcular [w]B . 9. (d) Confira seu trabalho calculando [w]B⬘ diretamente. 8. 3. Encontre [w]B e então use a Fórmula (11) para calcular [w]S . v2} as bases de R dadas por 2 (c) Confira seu trabalho calculando [w]B diretamente. Considere as bases B  {p1. u2} e B2  {v1. . v2} as bases de R dadas por 2 10. 4) p1  6  3x. v3} a base dada 3 por v1  (1. (b) Encontre a matriz de transição de B  {g1. 13. q2} de P1. (b) Calcule o vetor de coordenadas [w]B . u2} e B  {u 1. 5. 3) e v2  (1. Sejam B1  {u1.6 Mudança de bases 223 6. Seja V o espaço gerado por f1  sen x e f2  cos x. v1  (1. Considere as bases B  {u1. e use (12) para calcular [h]B . 7. v2} a base dada por 2 mas com v1  (2. 5). e use (12) para calcular [w]B . (a) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição mas com PB2→B1. 2). 5). (e) Seja w  (3. 3). 1). em que p  4  x. 5. Encontre [w]S e então use a Fórmula (12) para calcular [w]B. em que uma base de V. Repita as orientações do Exercício 8 com o mesmo vetor w. 3). PB2→B1. 11. v2. v2  (2. 3. h  2 sen x  5 cos x. 14. 4). 0). 3). Sejam S a base canônica de R e B  {v1. (a) Mostre que g1  2 sen x  cos x e g2  3 cos x formam (c) Calcule o vetor de coordenadas [w]B . (e) Seja w  (3. e use (12) para calcular [p]B . em que e use (10) para calcular [w]B . u 3} de R3. em que (c) Confirme que PB→S e PS→B são inversas uma da outra. 1). em que (b) Encontre a matriz de transição de B para B . (c) Confirme que PB→S e PS→B são inversas uma da outra. q1  2. u 2. 1). (c) Calcule o vetor de coordenadas [p]B . p2  10  2x. em que (d) Seja w  (5. Repita as orientações do Exercício 6 com o mesmo vetor w. 8). (a) Encontre a matriz de transição PB→S por inspeção. PS→B. Sejam B1  {u1. (d) Seja w  (5. Encontre [w]B2 e use a matriz PB2→B1 para calcular [w]B2 a partir de [w]B1. (b) Encontre a matriz de transição de B para B . u2  (2. (c) Encontre a matriz de transição de B para B . (b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição (a) Encontre a matriz de transição de B para B . u2} e B2  {v1. Encontre [w]B e então use a Fórmula (11) para calcular [w]S . u2  (4. u2. (a) Encontre a matriz de transição PB→S por inspeção. 2). u1  (2. (c) Confirme que PB2→B1 e PB1→B2 são inversas uma da outra. 12. 4. 1). (d) Confira seu trabalho calculando [p]B diretamente. f2}. (b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PB1→B2. (e) Seja w  (3. 2. 1). (f) Se A for uma matriz quadrada. 6. . Encontre [w]B1 e então use a ma. é neces- vetor em B1. usando qual é o efeito sobre P de uma inversão da ordem dos vetores certas bases B1 e B2 de Rn. u2. e só quando os vetores de S são refletidos em torno da reta y  x. Sejam S  {e1. [v2]B. e2. 0). 23. 1. e2} a base canônica de R2 e a base que resulta quando os vetores de S são refletidos em torno da reta que faz 27. . 1). 25. Se P for a matriz de transição de uma base B para uma base B. v3} as bases de R3 da. . . . 3). o que pode ser um ângulo ␪ com o eixo x positivo. nica S  {e1. B2 e B3 forem bases de R2 e se justificando sua resposta. . (e) Seja w  (2. então cada vetor em triz de transição de B para C? Qual é a matriz de transição de B2 é um múltiplo escalar de algum vetor em B1 . Prove que os vetores v1. vk 18. (b) Seja P  PB→S e mostre que PT  PS→B . A matriz triz de transição obtida na parte (a) para calcular [w]B2 por multiplicação matricial. v2  (1. (b) Matrizes de transição são invertíveis. 5). qual é a ma- (d) Se PB1→B2 for uma matriz diagonal. . os vetores [v1]B. 1). v2. 7). 0. [vk]B formam um conjunto line- (a) Encontre a matriz de transição PB→S . 2). . .224 Álgebra Linear com Aplicações (b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição de B de v1. 3. . Se valer [w]B  w com qualquer vetor w de Rn. 1. 8. 6. dito sobre a base B? (a) Encontre a matriz de transição PB→S. então existe uma matriz de transição de B1 para B2 . 0. 20. [v2]B. 0). 1. (1. 1. Para escrever o vetor de coordenadas de um vetor. {(1. se. v2. Nas partes (a)-(f). 6. e só se. 1. para qual base B de R3? (b) Seja w  (5. 1). 0. . (b) P é a matriz de transição da base canônica S  {e1. Sejam B1  {u1. é a matriz de transição de qual base B para a base R3 de mas com u1  (2. u3  (1. invertermos a ordem dos vetores de B e de B? (c) Confirme que PB2→B1 e PB1→B2 são inversas uma da outra. 0)}? v1  (3. Sejam S  {e1. (a) P é a matriz de transição de qual base B para a base canô- das por u1  (3. 19. 4) e v3  (2. vk ge- ram Rn se. [vk]B geram Rn. então PB1→B2 é uma matriz diagonal. Encontre [w]B2 e use a matriz PB2→B1 para calcular [w]B1 a partir de [w]B2. e Q a matriz de transição de B para uma base C. . 1. v1? Qual é o efeito sobre P se PB1→B2. os vetores [v1]B. . vn para vn. sário especificar um ordenamento dos vetores das bases. 5). v2  (2. e2. Seja B uma base de Rn. e3} de R3? v1  (6. v2. (c) Se B for uma base do espaço vetorial Rn. Considere a matriz (d) Seja w  (0. (a) Se B1 e B2 forem bases de um espaço vetorial V. 26. 24. . . Seja B uma base de Rn. 17. Prove que os vetores v1. u2  (2. . 3) e v3  (1. armente independente de Rn. C para B ? (e) Se cada vetor em B2 for um múltiplo escalar de algum 22. 2. . então PB3→B1  ____________. u3} e B2  {v1. 2. Se P for a matriz de transição de uma base B para uma base B matriz identidade. Se B1. (c) Confira seu resultado na parte (b) calculando [w]B2 dire- tamente. . 5). u2  (3. . Exercícios verdadeiro/falso (b) Seja P  PB→S e mostre que PT  PS→B . então A  PB1→B2. . . . 1). . 1). e2} a base canônica de R e a base que resulta 2 formam um conjunto linearmente independente de Rn se. . Encontre [w]B1 e use a matriz PB1→B2 para calcular [w]B2 a partir de [w]B1. Repita as orientações do Exercício 16 com o mesmo vetor w. . 1). e3} (a) Encontre a matriz de transição PB1→B2 . então PB→B é a 21. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (1. 16. u3  (1. 7 Espaço linha. estudamos alguns espaços vetoriais importantes associados com matrizes. espaço coluna como vetores linha ou vetores coluna. Aprofundaremos o entendimento das relações entre as soluções de um sistema linear e as propriedades de sua matriz de coeficientes. e os vetores em Rm formados pelas colunas de A são denominados vetores coluna de A. Nesta seção. e espaço nulo DEFINIÇÃO 1 Para uma matriz n  n os vetores em Rn formados pelas linhas de A são denominados vetores linha de A. então o subespaço de Rn gerado pelos vetores linha de A é denominado espaço linha de A. O espaço solução do sistema homogêneo de equações Ax  0. . espaço coluna e espaço nulo 225 4. que é um subespaço de Rn. Lembre que podemos escrever vetores com parênteses e vírgulas ou em forma matricial Espaço linha. utilizamos essas duas últimas formas. 4.7 Espaço linha.  E X E M PLO 1 Vetores linha coluna de uma matriz 2 ⴛ 3 Seja Os vetores linha de A são r1  [2 1 0] e r2  [3 1 4] e os vetores coluna de A são  A próxima definição caracteriza três espaços vetoriais importantes associados com uma matriz. DEFINIÇÃO 2 Se A for uma matriz m  n. é denominado espaço nulo de A. e o subespaço de Rm gerado pelos vetores coluna de A é denominado espaço coluna de A. espaço coluna e espaço nulo Nesta seção. 4. um sistema linear Ax  b de m equações em n incógnitas pode ser escrito como x1c1  x2c2  · · ·  xncn  b (2) do que podemos concluir que Ax  b é consistente se.1 Um sistema Ax  b de equações lineares é consistente se. suponha que Segue da Fórmula (10) da Seção 1.  E X E M P L O 2 Um vetor b no espaço coluna de A Seja Ax  b o sistema linear Mostre que b está no espaço coluna de A expressando b como uma combinação linear dos vetores coluna de A. obtemos (verifique) x1  2.3 que se c1.7. . c2. então o produto Ax pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores com coeficientes de x. b pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores coluna de A. iremos nos ocupar de duas questões gerais. Quais relações existem entre as soluções de um sistema linear Ax  b e o espaço linha. cn denotam os vetores coluna de A.226 Álgebra Linear com Aplicações Nesta seção e na próxima. e só se. x3  3 Disso e da Fórmula (2) segue que  Pelo Teorema 3. Ax  x1c1  x2c2  · · ·  xncn (1) Assim. Quais relações existem entre o espaço linha. Lembrando que o espaço . Isso fornece o seguinte teorema. e só se. . .4. Questão 1. o espaço coluna e o espaço nulo de uma matriz? Começando com a primeira questão. . o espaço coluna e o espaço nulo da matriz de coeficientes A? Questão 2. Solução Resolvendo o sistema por eliminação gaussiana. sabemos que a solução geral de um sistema linear consistente Ax  b pode ser obtida somando qualquer solução específica desse sistema com a solução geral do sistema linear homogêneo Ax  0 correspondente. x2  1. b está no espaço coluna de A. ou seja. TEOREMA 4. . TEOREMA 4.2 Se x0 denotar uma solução qualquer de um sistema linear consis- tente Ax  b e se S  {v1. . então cada solução de Ax  b pode ser expressa na forma x  x0  c1v1  c2v2  · · ·  ckvk (3) Reciprocamente.1). y x0 + x x x0 x Conjunto das soluções de Ax = b Espaço solução  Figura 4. vk} for uma base do espaço nulo de A.7. . .7 Espaço linha. podemos reescrever essa fórmula como segue. e a parte restante da fórmula é denominada solução geral de Ax  0. . ck.4. . A Equação (3) dá uma fórmula para a solução geral de Ax  b. o vetor x dessa fórmula é uma solução de Ax  b. com qualquer escolha dos escalares c1.1 de Ax = 0  E X E M P L O 3 Solução geral de um sistema linear Ax ⴝ b Na subseção final da Seção 3. comparamos as soluções dos sistemas lineares . podemos reescrever aquele teorema neste formato. A solução geral de um sistema linear consistente pode ser expressa como a soma de uma solução particular daquele sistema com a solução geral do sistema homogêneo correspondente. .7. Em palavras. 4. . espaço coluna e espaço nulo 227 nulo de A é igual ao espaço solução de Ax  0. O vetor x0 nessa fórmula é denominado solução particular de Ax  b.7. c2. v2. O conjunto das soluções de Ax  b pode ser visto geometricamente como a transla- ção por x0 do espaço solução de Ax  0 (Figura 4. 7. Contudo. não altera o espaço nulo de A. Os Teoremas 4. Bases dos espaços linha. O resultado que acompanha o Teorema 4.5.7. essa operação mudou o espaço coluna de A. Iniciamos o desenvolvimento de operações elementares com linhas com o propósito de coluna e nulo resolver sistemas lineares. Assim. temos o teorema seguinte. dito de outra forma. pois esse espaço coluna consiste nos múlti- plos escalares de enquanto o espaço coluna de B consiste nos múltiplos escalares de e os dois espaços são diferentes.7.3 é o próximo teorema. TEOREMA 4.7.3 As operações elementares com linhas não alteram o espaço nulo de uma matriz. e nosso trabalho mostrou que efetuar uma operação elementar com as linhas de uma matriz aumentada não altera o conjunto de soluções do sistema linear correspondente.228 Álgebra Linear com Aplicações e deduzimos que a solução geral x do sistema não homogêneo e a solução geral xh do siste- ma homogêneo correspondente (quando escrita como vetor coluna) estão relacionadas por  Pela observação que segue o Exemplo 4 da Seção 4. . Para ver por que isso não é verdade.4 As operações elementares com linhas não alteram o espaço linha de uma matriz. Segue que aplicar uma operação elementar com as linhas de A não muda o conjunto de soluções do sistema linear Ax  0 correspondente ou.7. TEOREMA 4.3 e 4.4 podem levar o leitor a acreditar erroneamente que as ope- rações elementares com linhas não afetam o espaço coluna de uma matriz. compare a matrizes A matriz B pode ser obtida de A somando 2 vezes a primeira linha à segunda. sabemos que os vetores em xh formam uma base do espaço solução de Ax  0. cuja prova fica para os exercícios. conforme vimos no Exemplo 3. Omitimos os detalhes. espaço coluna e espaço nulo 229  E X E M P L O 4 Encontrando uma base do espaço nulo de uma matriz Encontre uma base do espaço nulo da matriz Solução O espaço nulo de A é o espaço solução do sistema linear homogêneo Ax  0 que.5. e os vetores coluna com os pivôs vetores linha formam uma base do espaço coluna de R. A prova envolve um pouco mais do que uma análise das posições das entradas 0 e 1 de R.5 Se uma matriz R está em forma escalonada por linhas. então os vetores linha com os pivôs (ou seja.7 Espaço linha. 4. O próximo teorema torna possível encontrar. tem a base  Observação Note que os vetores da base v1. bases para os espa- ços linha e coluna de uma matriz em forma escalonada. Pelo Teorema 4.7.7. v2 e v3 no último exemplo são os vetores que obtemos quando tomamos sucessivamente um dos parâmetros da solução geral igual a 1 e os demais iguais a 0.  E X E M PLO 5 Bases dos espaços linha e coluna A matriz está em forma escalonada por linhas. apenas por inspeção. TEOREMA 4. os vetores linha não nulos) formam uma base do espaço linha de R. os vetores . Reduzindo A à forma escalonada por linhas. Para tornar isso mais preciso. À primeira vista. w2. w k. ck não todos nulos e tais que c1w1  c2w2  · · ·  ckwk  0 (4) Efetuando uma operação elementar com as linhas de A. suponha que w1. . portanto. formam uma base do espaço linha de A. obtemos (verifique) Pelo Teorema 4.230 Álgebra Linear com Aplicações formam uma base do espaço linha de R e os vetores formam uma base do espaço coluna de R. . pois pode ser provado que esses novos vetores coluna serão linearmente dependentes e. c2.5. poderia parecer possível que os vetores transformados poderiam ser linearmente independentes. . isso não ocorre. . w 2. .  E X E M P L O 6 Bases de um espaço linha com redução por linhas Encontre uma base do espaço linha da matriz Solução Como operações elementares com linhas não alteram o espaço linha de uma matriz. podemos encontrar uma base do espaço linha de A encontrando uma base do espa- ço linha de qualquer forma escalonada por linhas de A. Contudo. . . de fato. a boa notícia é que as operações elementares com linhas não alteram as relações de dependência linear entre os vetores coluna. .7. Esses vetores de base são  O problema de encontrar uma base do espaço coluna da matriz A no Exemplo 6 foi complicado pelo fato de que uma operação elementar com linhas pode alterar o espaço coluna. esses vetores serão alterados em novos vetores coluna w 1. . O fato de as operações elementares preservarem a independência linear entre vetores coluna decorre do fato de essas opera- ções serem reversíveis (por quê?). Contudo. . .wk sejam vetores coluna linearmente dependentes de A. . relacionados por uma equação c1w1  c2w2  · · ·  ckwk  0 que tem exatamente os mesmos coeficientes de (4). de modo que existam escalares c1. O próximo teorema resume todos esses resultados. os vetores linha não nulos de R formam uma base do espaço linha de R e. . a saber. (b) Um conjunto qualquer de vetores coluna de A forma uma base do espaço coluna de A se. os vetores coluna de A correspondentes. e só se. . Lembrando que A e R podem ter espaços coluna distintos. segue do Teorema 4. Esses métodos podem ser facilmente adaptados ao problema mais geral de encontrar n uma base do espaço gerado por um conjunto de vetores em R . não podemos encontrar uma base do espaço coluna de A diretamente a partir dos vetores coluna de R. o conjunto de vetores coluna correspondente de B é linearmente independente.6 Sejam A e B matrizes equivalentes por linhas. temos que os vetores formam uma base do espaço coluna de R.  E X E M P L O 7 Base de um espaço coluna com redução por linhas Encontre uma base do espaço coluna da matriz Solução Observamos no Exemplo 6 que a matriz é uma forma escalonada por linhas de A. espaço coluna e espaço nulo 231 TEOREMA 4.7 Espaço linha. e só se. Como as primeira. focamos nosso estudo em métodos para encontrar bases associadas a matri- zes. 4. então os vetores coluna de A correspondentes formarão uma base do espaço coluna de A. o conjunto de vetores coluna correspondente de B forma uma base do espaço coluna de B.7. Contudo. (a) Um conjunto qualquer de vetores coluna de A é linearmente independente se.  Até aqui. terceira e quinta colunas de R contêm os pivôs dos vetores linha. Assim.7.6b que se encontrar- mos um conjunto de vetores coluna de R que formem uma base do espaço coluna de R. formam uma base do espaço coluna de A. Agora atacamos o problema de encontrar uma base do espaço linha de uma matriz A constituída inteiramen- te de vetores linha de A e uma base do espaço coluna de A constituída inteiramente de vetores coluna de A. procuramos bases sem considerar linha e coluna de uma matriz restrições particulares impostas sobre os vetores individuais na base. 0). uma base do espaço coluna de A constituída de vetores colu- na de A. 1. 3. 2. O próximo exemplo mostra como adaptar o procedimento do Exemplo 7 para encontrar uma base do espaço linha de uma matriz que seja formada por seus vetores linha.  5 Bases formadas com vetores Em todos os nossos exemplos considerados até aqui. w3  (0. de fato. ao passo que o procedimento usado no Exemplo 6 produziu uma base do espaço linha de A. 1. Refletindo sobre o que fizemos anteriormente. com isso. 0. converter o espaço linha de A no espaço coluna de AT. 3). obtemos Os vetores linha não nulos nessa matriz são w1  (1. vemos que o procedimento usado no Exemplo 7 produziu. em seguida. v3 e v4. consequentemente. w2  (0. mas aquela base não consistia em vetores linha de A.232 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 8 Base de um espaço vetorial usando operações com linhas Encontre uma base do subespaço de R5 gerado pelos vetores Solução O espaço gerado por esses vetores é o espaço linha da matriz Reduzindo essa matriz a uma forma escalonada por linhas. formam uma base do subespaço de R gerado por v1. 0) Esses vetores formam uma base do espaço linha e.  E X E M P L O 9 Uma base do espaço linha de uma matriz Encontre uma base do espaço linha de consistindo totalmente em vetores linha de A. v2. Solução Vamos transpor A e. 0. 2. 1. 0. usaremos o método do Exemplo 7 para encontrar uma base do espaço . 3. . vamos transpor de novo para converter os vetores coluna de volta para vetores linha. 1. finalmente. veremos um exemplo que adapta os métodos desenvolvidos acima para n resolver o problema geral em R que segue. (b) Expresse cada vetor não da base como uma combinação linear dos vetores da base. 1. . 4. 4. 2) que forma uma base para o espaço gerado por esses vetores. v3  (0. espaço coluna e espaço nulo 233 T coluna de A e. 3). 5.  E X E M P L O 1 0 Bases e combinações lineares (a) Encontre um subconjunto dos vetores v1  (1. Problema Dado um conjunto S  {v1. 7). v2  (2. 0. .7 Espaço linha. Transpondo A. 1. v2. obtemos As primeira. e r4  [2 6 18 8 6] que formam uma base do espaço linha de A. v5  (5. a saber. vk} de vetores em Rn. 8. 2.  Em seguida. 3. de modo que os vetores coluna de AT T correspondentes formam uma base do espaço coluna de A . . . segunda e quarta colunas contêm pivôs. r2  [2 5 3 2 6]. v4  (2. 6). 0). obtemos os vetores r1  [1 2 0 0 3]. Transpondo de novo e ajustando a notação de acordo. encontre um subconjunto desses vetores que forme uma base de ger(S) e expresse os vetores que não estejam na base como combinações lineares dos vetores da base. obtemos Reduzindo essa matriz a uma forma escalonada por linhas. v2. .234 Álgebra Linear com Aplicações Solução (a) Começamos construindo uma matriz que tem v1. w2. v2. A maneira mais simples de fazer isso é expressar w3 e w5 em termos dos vetores da base com os menores índices. . Os vetores coluna de A corres- pondentes formam uma base de ger(S).5. w2. vk} como vetores coluna.7. . expressaremos w3 como combinação linear de w1 e w2. . {w1. Passo 2. wk. . . Reduzimos a matriz A a uma forma escalonada reduzida por linhas R. . w4 e w5. w4 da base. Base de ger(s) Passo 1. 2 e 4 e. Formamos a matriz A com os vetores em S  {v1. Isso completa a primeira parte do problema. {v1. Solução (b) Começamos expressando w3 e w5 como combinações lineares dos vetores w1. e w5 como combinação linear de w1. (5) A primeira parte de nosso problema pode ser resolvida encontrando uma base do espaço coluna dessa matriz. w2. . Reduzindo a matriz a uma forma escalonada reduzida por linhas e denotando os vetores coluna da matriz resultante por w1. Assim. v5 como vetores coluna. . . Inspecionando (6). Denotamos os vetores coluna de R por w1. Identificamos as colunas de R com os pivôs. pelo Teorema 4. w4} é uma base do espaço coluna de (6) e. apresentamos um resumo dos passos que seguimos no último exemplo para resolver o problema proposto. obtemos (6) Os pivôs ocorrem nas colunas 1. . essas combinações lineares são denominadas equações de dependência. . Passo 3. . w2 e w4. w3. As relações correspondentes em (5) são  A seguir. v4} é uma base do espaço coluna de (5). v2. Passo 4. w2. portanto. como segue. consequentemente. • Encontrar uma base do espaço gerado por um conjunto de coluna e nulos vetores em Rn. 3. espaço coluna e espaço nulo 235 Passo 5. Em cada parte. se estiver. expresse b como combinação linear dos vetores 5. x3  r. coluna e nulo de uma matriz • Vetores linha • Equações de dependência • Vetores coluna Aptidões desenvolvidas • Espaço linha • Determinar se um dado vetor está no espaço coluna de • Espaço coluna uma matriz. expresse o produto Ax como uma combinação (e) linear dos vetores coluna de A. do sistema linear Ax  b dado e depois use o resultado (a) obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de Ax  0. Em cada parte. x4  3 seja uma solução de um sistema linear não homogêneo Ax  b e que o conjunto solução do sistema homogêneo Ax  0 seja dado pelas fórmulas (c) (d) x1  3r  4s. • Relações entre sistemas lineares e espaços linha.7 Espaço linha. (a) (b) (b) (c) (c) . Conjunto de exercícios 4. (a) (b) 4. Em cada parte. • Solução geral • Encontrar uma base do espaço linha de uma matriz. x4  s (a) Encontre a forma vetorial da solução geral de Ax  0. 4. Passo 6. Identifique os vetores linha e os vetores coluna da matriz (d) 2. Revisão de conceitos • Relações entre os espaços linha. • Solução particular • Encontrar uma base do espaço coluna de uma matriz. • Espaço nulo • Encontrar uma base do espaço nulo de uma matriz.7 1. x2  2. Obtemos um conjunto de equações de dependência expressando cada vetor coluna de R que não tem pivô como uma combinação linear de vetores coluna pre- cedentes que contenham pivôs. (b) Encontre a forma vetorial da solução geral de Ax  b. encontre a forma vetorial da solução geral coluna de A. x2  r  s. determine se b está no espaço coluna de A e. x3  4. Isso completa a segunda parte do problema. Suponha que x1  1. Substituímos os vetores coluna de R que aparecem nas equações de depen- dência pelos vetores coluna de A correspondentes. 9. (2. 3). Em cada parte é dada uma matriz em forma escalonada por linhas. 3). 3) 6. 1. e que o espaço coluna consiste em todos os pontos no plano xy (ver figura). Para as matrizes do Exercício 6. 3) (c) v1  (1. 0.com. 6. v4  (0. . 3. (a) Seja (a) (b) Mostre que. Construa uma matriz cujo espaço nulo consista em todas as (e) combinações lineares dos vetores 7. 8) 13. 3. 1.br/ 236 Álgebra Linear com Aplicações (d) 11. 2. encontre uma base do espaço linha e uma base z do espaço coluna da matriz. 1. 9. (a) Encontre todas as matrizes 2  2 cujo espaço nulo seja a 10. (a) v1  (1. 0). 3. Por inspeção. Em cada parte. o espaço nulo (c) (d) de A consiste em todos os pontos no eixo z. 2. 2. 2) (b) (1. 3. 0. v4  (0. 5. 7. em seguida. Em cada parte. (9. em relação a um sistema de coordenadas retangulares xyz no espaço tridimensional. 3. (2. (d) v3  (4. (b) Encontre uma matriz 3  3 cujo espaço nulo seja o eixo 8. Para as matrizes do Exercício 6. 3. 1). 17. v2  (3. 0. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 1. v2  (2. Prove que os vetores linha de uma matriz invertível A de tamanho n  n formam uma base de Rn. v2  (2. 0). encontre uma base do espaço x e cujo espaço coluna seja o plano yz. 0). 3. 15. (2. v3  (1. 1. 2). 0). 0. (a) (1. (c) (1. (b) uma reta. 0. 1. 4. 4. 3) 12. 6). 0. 1. v5  (7. 2). 2). encontre bases dos espaço linha e coluna de A. 18. 4). 2. 5. 14. 4. encontre uma base do espaço reta 3x  5y  0.blogspot. 2. 3). 2. 2. 1. 0. linha de A reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas. (3. 0. 9. Espaço nulo de A (a) (b) y Espaço coluna x de A  Figura Ex-15 (c) (d) 16. 0. 1) (b) v1  (1. encontre uma base do espaço nulo de A. Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma (a) (b) base do espaço gerado pelos vetores. 5. 1). 1. 1. 1). 0. (c) um plano. 0). Em cada parte. linha de A consistindo totalmente em vetores linha de A. (0. Encontre uma matriz 3  3 cujo espaço nulo seja (a) um ponto. 3). (c) v3  (1. encontre uma base do subespaço de R4 gerado pelos vetores dados. (0. 2. expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base. v4  (5. 1 Os espaços linha e coluna de uma matriz têm a mesma dimensão. investigamos as relações entre um sistema de equações lineares e os espaços linha. (b) O espaço coluna de uma matriz A é o conjunto de soluções de Ax  b. Nas partes (a)-(j). Nos Exemplos 6 e 7 da Seção 4. vn. . Segue dos Teoremas 4. e só se. . Os resultados que obteremos nos fornecerão uma visão aprofundada das relações entre um sistema linear e sua matriz de coeficientes. . Expresse a solução geral como uma solução particular mais uma solução geral (f) Se E for uma matriz elementar m  m e A uma matriz m  n.4 e 4. tratamos das dimensões desses espaços. 4. . então o espaço coluna de EA é igual ao espaço coluna de A. . vn é o espaço coluna da matriz cujos ve- tores coluna são v1. .7. então aqueles vetores coluna de R que contêm pivôs formam uma base do espaço coluna de A. linear de uma equação em três incógnitas.6b que dim(espaço linha de A)  dim(espaço linha de R) dim(espaço coluna de A)  dim(espaço coluna de R) . (d) O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz A é uma base do espaço linha de A. 19. coluna e nulo de sua matriz de coeficientes. relacionados os espaços linha de AB e de B. (j) Existem uma matriz invertível A e uma matriz singular B tais justificando sua resposta. nulidade e os espaços matriciais fundamentais Na seção anterior. nulidade e os espaços matriciais fundamentais 237 (b) Esboce o espaço nulo das matrizes dadas.] (g) Se E for uma matriz elementar m  m e A uma matriz m  n. tível. O fato de esses espaços terem a mesma dimensão não é acidental. . do sistema homogêneo correspondente. vimos que ambos os espaços linha e coluna da matriz Os espaços linha e coluna dimensões iguais têm três vetores de base e. então o espaço linha de EA é igual ao espaço linha de A. (i) O sistema Ax  b é inconsistente se. (c) Se R for a forma escalonada reduzida de A. (a) O gerado de v1. .8. Invente e prove um teorema que descreve como estão (h) Se E for uma matriz elementar m  m e A uma matriz m  n. Suponha que A e B sejam matrizes n  n e que A seja inver. (e) Se A e B forem matrizes n  n que têm o mesmo espaço li- 18. vetores na forma de colunas. [Sugestão: escreva os então o espaço nulo de EA é igual ao espaço nulo de A. então A e B têm o mesmo espaço coluna. b não está no Exercícios verdadeiro/falso espaço coluna de A.7. portanto.8 Posto. Nesta seção. que os espaços linha de A e B são iguais.7. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. mas sim uma consequência do teorema seguinte. A equação x1  x2  x3  1 pode ser vista como um sistema nha. 4. Prova Seja R uma forma escalonada de uma matriz A. TEOREMA 4.8 Posto. ambos são tridimensionais. Ocorre que a dimensão do espaço linha de R é o número de linhas não nulas e. Esse sistema pode ser resolvido reduzindo sua matriz aumentada à forma escalonada reduzida por linhas. a dimensão do espaço coluna de R é o número de pivôs. o sistema de equações correspondente será Resolvendo essas equações nas variáveis líderes. Como essa matriz tem dois pivôs. os espaços linha e coluna têm a mesma dimensão. seus espaços linha e coluna são bidimen- sionais e pos(A)  2.5.  Posto e nulidade As dimensões dos espaços linha. exceto que terá uma última coluna adicional de zeros e. coluna e nulo de uma matriz são números tão importan- tes que há uma notação e terminologia associadas. pivôs de qualquer forma escalo- nada de A. Como esses dois números são iguais. A dimensão do espaço nulo de A é interpretado como o número de denominada nulidade de A e denotada por nul(A). portanto.8. DEFINIÇÃO 1 A dimensão comum do espaço linha e do espaço coluna de uma matriz tra que o posto de A pode ser A é denominada posto de A e denotada por pos(A). A matriz resultante será idên- tica a (1). pelo Teorema 4. obtemos (2) do que obtemos a solução geral .1 mos.238 Álgebra Linear com Aplicações de modo que basta mostrar que os espaços linha e coluna de R têm a mesma dimensão. Para encontrar a nulidade de A. A prova do Teorema 4.  E X E M P L O 1 Posto e nulidade de uma matriz 4 ⴛ 6 Encontre o posto e a nulidade da matriz Solução A forma escalonada reduzida por linhas de A é (1) (verifique).7. devemos encontrar a dimensão do espaço solução do sistema linear Ax  0. o sistema linear homogêneo Ax  0 tem n incógnitas (variáveis). dimensão n. Essas variáveis entram em duas categorias: as líderes e as livres.8 Posto. nulidade e os espaços matriciais fundamentais 239 ou em formato de vetor coluna. que é a nulidade de A. e o espaço coluna tem. dimensão m. 4. n) é o mínimo entre m e n. TEOREMA 4.  O teorema seguinte estabelece uma relação importante entre o posto e a nulidade de uma matriz. segue que o posto é. no máximo.8. n) em que min(m. (3) Como os quatro vetores do lado direito de (3) formam uma base do espaço solução.2 O teorema da dimensão para matrizes Se A for uma matriz com n colunas.  E X E M P L O 2 Valor máximo do posto Qual é o valor máximo possível para o posto de uma matriz A de tamanho m  n que não é quadrada? n m Solução Como os vetores linha de A estão em R e os vetores coluna. em R . e o número de variáveis livres é igual ao número de parâmetros na solução geral de Ax  0. temos nul(A)  4. [número de variáveis líderes]  [número de variáveis livres]  n Ocorre que o número de variáveis líderes é igual ao número de pivôs na forma escalonada reduzida por linhas de A. obtemos a Fórmula (4). no máximo. no máximo. Como o posto de A é a dimensão comum dos espaços linha e coluna. o menor dos dois números m e n.   E X E M PLO 3 A soma do posto e a nulidade A matriz . o espaço linha de A tem. Assim. Assim. Isso pode ser denotado por pos(A) min(m. então pos(A)  nul(A)  n (4) Prova Como A tem n colunas. que é o posto de A. (i) Os vetores linha de A são linearmente independentes. (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. interpreta posto e nulidade em termos de sistemas lineares homogêneos. listamos sete resultados equivalentes à invertibilidade de uma matriz quadrada A. há quatro parâmetros.4 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n. (f) Ax  b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n  1.  E X E M P L O 4 O número de parâmetros numa solução geral Encontre o número de parâmetros na solução geral de Ax  0 se A for uma matriz 5  7 de posto 3. (m) Os vetores linha de A formam uma base de Rn.3 Se A for uma matriz m  n. .  Teorema da equivalência No Teorema 2. TEOREMA 4.240 Álgebra Linear com Aplicações tem 6 colunas. pos(A)  nul(A)  6 Isso é consistente com o Exemplo 1. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . onde mostramos que pos(A)  2 e nul(A)  4  O teorema seguinte. (h) Os vetores coluna de A são linearmente independentes.8. (b) Ax  0 tem somente a solução trivial. (g) det(A)  0. portanto. (o) A tem nulidade 0. então (a) pos(A)  número de variáveis líderes na solução geral de Ax  0. (b) nul(A)  número de parâmetros na solução geral de Ax  0. (e) Ax  b é consistente com cada matriz b de tamanho n  1. então as seguintes afirmações são equivalentes. (l) Os vetores coluna de A formam uma base de Rn. que resume os resultados que já obtivemos. TEOREMA 4. (k) Os vetores linha de A geram Rn.8. Agora estamos em condições de juntar mais oito resultados àquela lista para obter um único teorema que resume a maioria dos tópicos que estudamos até aqui. Solução Por (4).8. (a) A é invertível.3. (j) Os vetores coluna de A geram Rn. (n) A tem posto n. nul(A)  n  pos(A)  7  3  4 Assim. 1. (o) ⇒ (n) Teorema 4. nul(A)  0. ou é inconsistente. 4. pois esses. há duas possibilidades: ou o sistema Ax  b é consistente. (n) e (o) são equivalentes provando a se- quência de implicações (b) ⇒ (o) ⇒ (n) ⇒ (b).2.7. pelo Teorema 4.  . Mas pos(A) é o menor dentre os números m e n. os sistemas mais desejáveis são aqueles e subdeterminados que têm o mesmo número de restrições e de incógnitas. então o sistema Ax  b é inconsistente com pelo menos um vetor b em Rn.3b.6 Seja A uma matriz n  n. Se for inconsistente. veis foram omitidas na formula- ção do problema ou que foram incluídas variáveis irrelevantes. para esse b.4 (omitimos os detalhes). Infelizmente. o sistema Ax  b é inconsistente. Em geral. então o Teorema 4.2.8.  TEOREMA 4. onde r  pos(A).8.8.3a implica que há n variáveis líderes (portanto. (n) ⇒ (b) Se A tem posto n.8. é igual a n  r. a equação num sistema linear corresponde a restrições físicas ou Sistemas sobredeterminados condições que devem ser satisfeitas.8. mostraremos que (b).7.8 Posto. Prova Segue do Teorema 4. Assim. Dado qualquer b em Rn. têm uma solução única. portanto.5 Se Ax  b for um sistema linear consistente de m equações em n Muitas vezes. então o Teorema 4. denominados sistemas sobredeterminados. jável. cações. a ocorrência de um sis- tema linear sobredeterminado res que têm mais restrições do que incógnitas. Para completar a prova.8.8.5. denominados sistemas subdeterminados. Prova (b) Suponha que m < n. de modo que os cientistas muitas vezes se deparam com sistemas linea. (a) (Caso sobredeterminado) Se m > n. então. há uma infinidade de soluções. Os sinaliza que uma ou mais variá- dois teoremas seguintes nos ajudam a analisar sistemas sobre e subdeterminados. existe pelo menos um vetor b em Rm m que não está no espaço coluna de A e. m Prova (a) Suponha que m > n. de modo que nrnm0 Isso significa que a solução geral tem pelo menos um parâmetro e que. então a solução geral do sistema contém n  r parâ. pelo Teorema 4. dado qualquer vetor b em Rm. (b) (Caso subdeterminado) Se m < n. tipo de resultado físico indese- metros. portanto. ou subdeterminado muitas vezes ou com menos restrições do que incógnitas. a prova acaba. TEOREMA 4.  Em muitas aplicações. A única possibilidade que resta é solução trivial. então não há parâmetros naquela solução e. o sistema Ax  b é inconsistente ou tem uma infinidade de soluções.2 que o número de parâmetros é igual à nulidade de A que. nem sempre é possível fazer coincidir o número de restrições Na Engenharia e em outras apli- e o de incógnitas. isso leva a algum incógnitas e se A tiver posto r. caso em que os vetores coluna de A não podem gerar R (menos vetores do que a dimensão de R ). não há variáveis livres) na solução geral de Ax  0. Se for consistente. muitas vezes. nulidade e os espaços matriciais fundamentais 241 Prova A equivalência de (h) até (m) segue do Teorema 4. (b) ⇒ (o) Se Ax  0 tem somente a solução trivial.5 implica que a solução geral tem n  r parâmetros. pelo Teorema 4. Os espaços fundamentais Existem seis espaços vetoriais importantes associados a uma matriz A e sua transposta AT. Isso implica que quando o sistema for consistente. b2  4r  3s. b2. Solução (b) O sistema pode ser consistente ou inconsistente. o número de parâmetros na solução geral é n  r  5  4  1. porque há duas linhas não nulas em sua forma escalonada reduzida. mas se for consistente com o vetor b em R5. Com um pouco de reflexão.  E X E M PLO 6 Um sistema sobredeterminado O sistema linear é sobredeterminado. ou seja. b4  r. b3. portanto. e só se. b4 e b5 satisfazem as condições Resolvendo esse sistema linear homogêneo. Podem ser obtidas condições exatas sob as quais esse sistema é con- sistente resolvendo o sistema linear com eliminação de Gauss-Jordan. não pode ser consistente com todos os valores possíveis de b1. para cada um desses b.  Observação A matriz de coeficientes do sistema linear do último exemplo tem n  2 colunas e tem posto r  2. b1. b3  2r  s. Deixamos para o leitor mostrar que a matriz aumentada é equivalente por linhas a (5) Assim. então a solução geral tem n  r  7  4  3 parâmetros. b2. a solução será única. o sistema é consistente se. b4 e b5. o leitor deveria ver que isso ocorre devido a (5). b3.242 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 5 Sistemas sobre e subdeterminados (a) O que podemos dizer sobre as soluções de um sistema Ax  b sobredeterminado de 7 equações em 5 incógnitas em que o posto de A é r  4? (b) O que podemos dizer sobre as soluções de um sistema Ax  b subdeterminado de 5 equações em 7 incógnitas em que o posto de A é r  4? 7 Solução (a) O sistema é consistente com alguns vetores b em R e. b5  s com r e s arbitrários. obtemos b1  5r  4s. de uma matriz o espaço linha de A o espaço linha de AT o espaço coluna de A o espaço coluna de AT o espaço nulo de A o espaço nulo de AT . sua solução geral conterá n  r  0 parâmetros. 7.4. o resultado a seguir não deveria ser surpreendente. então o conjunto de todos os vetores de n R ortogonais a cada vetor em W é denominado complemento ortogonal de W e deno- tado pelo símbolo W. de modo que. T Prova pos(A)  dim(espaço linha de A)  dim(espaço coluna de AT)  pos(AT). nulidade e os espaços matriciais fundamentais 243 No entanto. Mais especificamente. Nosso próximo objetivo é encontrar uma relação geométrica entre os próprios espaços fundamentais. Por exemplo. então o espaço nulo de A con- siste naqueles vetores ortogonais a cada um dos vetores linha de A. lembre que.  Esse resultado tem algumas implicações importantes. vimos que se A for uma matriz m  n. aplicando a fórmula (4) à matriz A e usando o fato de que essa matriz T tem m colunas. pode ser reescrito como pos(A)  nul(AT)  m (6) Essa forma alternativa da Fórmula (4) no Teorema 4. em virtude do Teorema 4.7 Se A for uma matriz qualquer. se pos(A)  r.8 Posto. transpor uma matriz converte vetores linha em vetores coluna e vetores co- luna em vetores linha. então pos(A)  pos(A ). n DEFINIÇÃO 2 Se W for um subespaço de R . Para desenvolver essa ideia. No final desta seção. temos pos(AT)  nul(AT)  m que. somente são distintos os seguintes. o espaço linha T T Se A for uma matriz m  n. e o espaço coluna de A é igual ao espaço linha de A. dos seis espaços listados. no Teorema 3. Como os espaços linha e coluna de uma matriz têm a mesma dimensão e como a transposição converte suas colunas em linhas e suas linhas em colunas. exceto por uma diferença de notação. e o espaço coluna de A e o espaço nulo de o espaço linha de A o espaço coluna de A AT são subespaços de Rm. Para isso. então. são subespaços de Rn.8. tão os espaços linha e nulo de A Assim. se A for uma ma- triz m  n. apresentamos a definição que segue.8. T o espaço nulo de A o espaço nulo de A Esses espaços são conhecidos como os espaços fundamentais de uma matriz A. discutimos as relações entre esses quatro subespaços. então dim[lin(A)]  r dim[col(A)]  r (7) dim[nul(A)]  n  r dim[nul(AT)]  m  r As quatro fórmulas em (7) fornecem uma relação algébrica entre os tamanhos da matriz e as dimensões de seus espaços fundamentais. TEOREMA 4. en- de A é igual ao espaço coluna de A. Enfoquemos rapidamente a matriz AT.82 torna possível expressar as di- mensões dos quatro espaços fundamentais em termos do tamanho e do posto de A. .3. 4. 244 Álgebra Linear com Aplicações O teorema seguinte enumera três propriedades básicas dos complementos ortogonais.4.1 (a) (b) Uma relação geométrica O próximo teorema fornece uma relação geométrica entre os espaços fundamentais de entre os espaços uma matriz. cuja prova deixamos como exercício.8. (a) W é um subespaço de Rn. .2. (b) O único vetor comum a W e W é 0.8. (a) O espaço nulo de A e o espaço linha de A são complementos ortogonais em Rn.8.8. adiante. e a parte (b). z z y 0 T 0 lA y Nu x x Col A Lin A  Figura 4.3 na lin- fundamentais guagem de complementos ortogonais. (c) O complemento ortogonal de W é W.8 Seja W um subespaço de R .1a). segue da parte (a). As ideias fundamentais do teorema estão ilustradas na Figura 4.2 TEOREMA 4. a parte (a) é uma reformulação do Teorema 3.8. o complemento ortogonal de um plano W pela origem complementos ortogonais.9 Seja A uma matriz m  n. Omitimos a prova formal porque.1b).  E X E M P L O 7 Complementos ortogonais O complemento ortogonal de uma reta W pela origem em R2 é a reta pela origem que é Explique por que {0} e Rn são perpendicular a W (Figura 4. (b) O espaço nulo de AT e o espaço coluna de A são complementos ortogonais em Rm. n TEOREMA 4.  y y W W W x x  W z  Figura 4.8. veremos uma versão mais geral deste teorema.8. Essencialmente. em R3 é a reta pela origem que é perpendicular àquele plano (Figura 4. (a) A é invertível. (q) O complemento ortogonal do espaço linha de A é {0}. A ideia essencial em mui- tos esquemas de compressão de dados é aproximar o conjunto de dados original por um novo conjunto de dados de posto menor. (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. de alguma maneira. (k) Os vetores linha de A geram Rn. 4. (j) Os vetores coluna de A geram Rn.8 Posto. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . (h) Os vetores coluna de A são linearmente independentes. que contenha praticamente a mesma informação. e muitas técnicas para melhorar a velocidade de transmissão utilizam. (i) Os vetores linha de A são linearmente independentes. Aplicações do posto des quantidades de informação digital ao longo de linhas de comunicação com capacida- de de transmissão limitada. A informação digital em geral é armazenada em formato ma- tricial. e então eliminar os vetores redundantes no conjunto novo para aumentar a velocidade de transmissão. então as seguintes afirmações são equivalentes. (o) A tem nulidade 0. (f) Ax  b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n  1.4.8. A prova da equivalência dessas duas afirmações às demais é deixada como exercício. o posto de uma matriz. (m) Os vetores linha de A formam uma base de Rn. (b) Ax  0 tem somente a solução trivial. (l) Os vetores coluna de A formam uma base de Rn. A Internet tem estimulado a pesquisa na busca de métodos eficientes para transmitir gran. então n  k dos vetores coluna e m  k dos vetores linha podem ser expressos em termos de k vetores coluna ou vetores linha linearmente independentes. • Sistema subdeterminado • Encontrar a dimensão do espaço linha de uma matriz. • Espaços fundamentais de uma matriz . acrescentamos mais duas afirmações ao Teorema Mais sobre o teorema da 4. O posto tem um papel a desempenhar porque ele mede a “redundância” de uma matriz no seguinte sentido: se A for uma matriz n  n de posto k. (n) A tem posto n.10 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n. (g) det(A)  0. equivalência TEOREMA 4. nulidade e os espaços matriciais fundamentais 245 Como nosso resultado final nesta seção. (e) Ax  b é consistente com cada matriz b de tamanho n  1. Revisão de conceitos • Relações entre os espaços fundamentais • Posto • Complemento ortogonal • Nulidade • Caracterizações equivalentes de matrizes invertíveis • Teorema da dimensão Aptidões desenvolvidas • Sistema sobredeterminado • Encontrar o posto e a nulidade de uma matriz.8. (p) O complemento ortogonal do espaço nulo de A é Rn. é um ou dois? Se existirem. encontre o posto e a nulidade da matriz. Se for. 5. e só se. discuta como o posto de A varia com t. z) em R3 com os quais a matriz (a) A é 4  4 (b) A é 3  5 (c) A é 5  3 6. do 13. 7. Suponha que A seja uma matriz 3  3 cujo espaço nulo é uma reta pela origem no espaço tridimensional. use a informação na tabela para encontrar as dimensões do espaço linha de A. (b) Que espécie de objeto geométrico é o espaço nulo da ma- triz encontrada no item (a)? (c) Que espécie de objeto geométrico é o espaço linha da matriz encontrada no item (a)? . (a) (b) 4. qual é o maior valor possível para seu posto e o menor valor possível para sua nulidade? tem posto 1 é a curva de equações paramétricas x  t. parâmetros em sua solução geral. do espaço coluna de A. 9. Existem valores de r e s com os quais o posto de espaço nulo de A e do espaço nulo de AT. verifique que os valores obtidos satisfazem a Fórmu- la (4) no teorema da dimensão. 3. de pontos (x. o sistema linear Ax  b é consistente. então A e kA têm o mesmo posto. o número de variáveis líderes e o número de parâmetros na solução de Ax  0. use os resultados obtidos para encontrar. um ou mais dos deter- minantes (d) é não nulo. encontre o maior valor possível para o posto 14.blogspot. Em cada parte. encontre a nulida- de de A e determine o número de parâmetros na solução geral do sistema linear homogêneo Ax  0. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 8. Em cada parte. (a) Dê um exemplo de uma matriz 3  3 cujo espaço coluna seja um plano pela origem no espaço tridimensional. dê o número de 15. Use o resultado no Exercício 10 para mostrar que o conjunto de A e o menor valor possível para a nulidade de A. b3. b2. b4 e b5 e para que o sistema linear sobredeterminado 2. Se A for uma matriz m  n. Prove: se k  0. sem resolver o sistema.8 1. 12.com. y  t2. O espaço linha ou (e) o espaço coluna também podem ser uma reta pela origem? Explique. use a informação na tabela para determinar se z  t3. Quais condições devem ser satisfeitas por b1. y. (a) (b) seja consistente? 10. Em cada parte. 16. 11. Para cada uma das matrizes do Exercício 7. Verifique que pos(A)  pos(AT). Em cada parte. Em cada parte do Exercício 2. Seja (c) Mostre que A tem posto 2 se. encontre esses valores. Em cada parte. em seguida.br/ 246 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 4. um. _____. no máximo. Por quê? (c) A nulidade de uma matriz não nula m  n é. pos(A2)  pos(B2). to por um. no máximo. _____. Lembre que uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um. _____. Por quê? justificando sua resposta. e a variável dependente w é um vetor em R m.9 Transformações matriciais de R n em R m 247 17. nas Engenharias. no má. então o posto de A é. mas. então o número de pivôs na e os vetores coluna linearmente independentes é quadrada. elemento de um conjunto B. então o número de pivôs na Exercícios verdadeiro/falso forma escalonada reduzida por linhas de A é. Por quê? (g) Se uma matriz A tiver mais linhas do que colunas. então o número de parâme. no máximo. Por quê? (b) Uma matriz com os vetores linha linearmente independentes (c) Se A for uma matriz 3  5. (a) Se A for uma matriz 3  5. Vamos nos concentrar numa classe especial dessas funções. denominada “transformações matriciais”. (a) Ou os vetores linha ou os vetores coluna de uma matriz qua- tros na solução geral de Ax  0 é. (d) Se A for uma matriz 3  5. forma escalonada reduzida por linhas de A é. em que a variável independente x é um vetor em R n. neste texto. então o número de parâme. máximo. A imagem b = f(a) de f é o subconjunto do contradomínio consistindo em todas as imagens de pontos no domínio. Essas transformações são fundamentais no estudo da Álgebra Linear e têm aplicações importantes na Física. _____.9 Transformações matriciais de R n em R m Nesta seção. estudamos funções da forma w  F(x). Por quê? coluna. então ou os vetores tão W é um subespaço de V. 4. no mínimo. então escrevemos b  f(a) f e dizemos que b é a imagem de a por f ou que f(a) é o valor de f em a. O domínio e o contradomínio de muitas funções comuns são conjuntos de números Domínio Contradomínio reais. mas são retas no espaço tridimensional. Nas partes (a)-(j). Por quê? (i) Não existe matriz 3  3 alguma cujos espaços linha e nulo 19. (b) Se A for uma matriz 3  5. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. linha ou os vetores coluna de A são linearmente dependentes. nas Ciências Sociais e em várias áreas da Matemática. (d) Adicionar uma coluna a mais a uma matriz aumenta seu pos- tros na solução geral de Ax  0 é. Funções e transformações e exatamente um. no máximo. Prove: se uma matriz A não for quadrada. no algum vetor b.  Figura 4. então o posto de A é. no má- T mensão do espaço linha é maior do que a dimensão do espaço ximo. máximo. (a) Se A for uma matriz 3  5. 4. no máximo. então a nulidade de AT é. _____. então a di- (c) Se A for uma matriz 3  5. _____.9.9. O conjunto A é a denominado domínio de f e o conjunto B. m.1). _____. (j) Se V for um subespaço de Rn e W for um subespaço de V. então a nulidade de A é. então A é quadrada. Por quê? (f) Se A for uma matriz quadrada e Ax  b for inconsistente com (b) Se A for uma matriz 3  5. independentes é. no (h) Se pos(AT)  pos(A).1 . estamos interessados em funções cujo domínio e contradomínio A B são espaços vetoriais. então a nulidade de A é zero. (d) Se A for uma matriz 5  3. drada são linearmente independentes. ximo. Encontre matrizes A e B tais que pos(A)  pos(B). Se f associa o elemento b ao elemento a. contradomínio de f (Figura 4. Por quê? (e) A nulidade de uma matriz quadrada com linhas linearmente 18. en- 20. _____. 248 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 1 Se V e W forem espaços vetoriais e se f for uma função de domínio V e contradomínio W. . Com essa notação. obtendo o que se denomina uma transformação matricial (ou operador matricial se m  n). Para ilustrar uma maneira pela qual podem surgir essas transformações. (1) Essas m equações associam um ponto (w1. . xn) em Rn e. que denotamos por TA : R → R . . . . . Nesta seção. também é conveniente denotar (5) de maneira esquemática por (6) que lemos “TA aplica x em w”. digamos. . ou uma aplicação de V em W. x2. a n m Equação (4) pode ser expressa por w  TA(x) (5) Dizemos que a transformação matricial TA é a multiplicação por A e que a matriz A é a matriz canônica dessa transformação. dizemos que f é uma transformação de V em W. sendo que as transformações de espaços vetoriais arbitrários serão consideradas em seções posteriores. . x2. . . wm) Transformações matriciais No caso especial em que as equações em (1) forem lineares. elas poderão ser expressas na forma (2) que. poderemos escrever em formato matricial como (3) ou. temos T : Rn → Rm e T (x1. wm) único em Rm a cada ponto (x1. então. tratamos exclusivamente de transformações de Rn em Rm. . . também dizermos que uma transformação é um ope- rador de V. assim. Às vezes. . xn)  (w1. . como w  Ax (4) Embora possamos ver isso como um sistema linear. vamos interpretar (4) como uma n m transformação que associa o vetor coluna x em R ao vetor coluna w em R pela multipli- cação à esquerda de x por A. f2. fm sejam funções reais de n variáveis. . . . . que denotamos por f:V→W No caso especial em que V  W. . w2. . definem uma transformação de Rn em Rm. Denotando essa transformação por T.w2. . suponha que f1. mais concisamente. temos w1  1. x2. a equação T(x)  [T]x (9) simplesmente afirma que T é a transformação matricial de matriz canônica [T] e que a imagem de x por essa transformação é o produto da matriz [T] pelo vetor coluna x. (a) TA(0)  0 (b) TA(kv)  kTA(v) [Homogeneidade] (c) TA(u  v)  TA(u)  TA(v) [Aditividade] (d) TA(u  v)  TA(u)  TA(v) . a transformação matricial TA : Rn → Rm tem as propriedades seguintes. por (8). alternativamen- te. substituindo em (7). O próximo teorema lista quatro propriedades básicas de transformações matriciais que Propriedades de decorrem de propriedades da multiplicação matricial. w2  3. x3.blogspot. 3.  Às vezes. x4) pode ser calculada diretamente das equações defini- doras (7) ou de (8) por multiplicação matricial.com.https://livros-pdf-ciencias-exatas. transformações matriciais TEOREMA 4. x4)  (1. Por exemplo. denotamos a matriz canônica de T : R → R pelo símbolo [T]. As- n m notação sim. x3.9.1 Dada qualquer matriz A. x2. se (x1. 2) então. 0.br/ 4. Nesses casos. w3  8 (verifique) ou. com quaisquer vetores u e v em Rn e escalar k. queremos denotar uma transformação matricial sem dar algum nome à própria Algumas questões de matriz.9 Transformações matriciais de R n em R m 249  E X E M P L O 1 Uma transformação matricial de R em R 4 3 A transformação matricial T : R4 → R3 definida pelas equações (7) pode ser expressa em forma matricial como (8) de modo que a matriz canônica de T é A imagem de um ponto (x1. 250 Álgebra Linear com Aplicações Prova As quatro partes são reformulações das propriedades conhecidas da multiplica- ção matricial, a saber, A0  0, A(kv)  k(Av), A(u  v)  Au  Av, A(u  v)  Au  Av  Segue do Teorema 4.9.1 que uma transformação matricial faz correspoder a com- n m binações lineares de vetores em R as combinações lineares correspondentes em R , no sentido de que TA(k1v1  k2v2  · · ·  krvr )  k1TA(v1)  k2TA(v2)  · · ·  krTA(vr ) (10) Dependendo da interpretação de ênuplas como vetores ou pontos, o efeito geométrico de uma transformação matricial TA : R → R é o de aplicar cada vetor (ponto) em R num n m n m vetor (ponto) em R (Figura 4.9.2). n R n Rm R Rm x T(x) x T(x) 0 0 0 0 T aplica vetores em vetores. T aplica pontos em pontos.  Figura 4.9.2 O próximo teorema afirma que se duas transformações matriciais de Rn em Rm tive- rem a mesma imagem em cada ponto de Rn, então as próprias matrizes devem ser iguais. TEOREMA 4.9.2 Se TA : R → R e TB : R → R forem transformações matriciais e se n m n m TA(x)  TB(x) com qualquer vetor x em R , então A  B. n Prova Dizer que TA(x)  TB(x) com qualquer vetor em R é o mesmo que dizer que n Ax  Bx n com cada vetor x em R . Isso vale, em particular, se x for um dos vetores e1, e2, . . . , en da n base canônica em R , ou seja, Aej  Bej (j  1, 2, . . . , n) (11) Como cada entrada de ej é nula, exceto a j-ésima, que é 1, segue do Teorema 1.3.1 que Aej é a j-ésima coluna de A e Bej é a j-ésima coluna de B. Assim, segue de (11) que as colunas correspondentes de A e B são iguais, ou seja, que A  B.   E X E M P L O 2 As transformações nulas Se 0 for a matriz zero m  n, então T0(x)  0x  0 n m de modo que a multiplicação por zero transforma cada vetor em R no vetor nulo de R . n m Dizemos que T0 é a transformação nula, ou transformação zero, de R em R . 4.9 Transformações matriciais de R n em R m 251 E X E M P L O 3 Os operadores identidade Se I for a matriz identidade n  n, então TI (x)  Ix  x n de modo que a multiplicação por I transforma cada vetor em R em si mesmo. Dizemos que TI é o operador identidade de R .  n Existe uma maneira de encontrar a matriz canônica de uma transformação matricial de Um procedimento para n m n R em R , considerando o efeito dessa transformação nos vetores da base canônica de R . encontrar matrizes canônicas Para explicar essa ideia, suponha que A seja desconhecida e que e1, e2, . . . , en sejam os vetores da base canônica de Rn. Suponha, também, que as imagens desses veto- res pela transformação TA sejam TA(e1)  Ae1, TA(e2)  Ae2, . . . , TA(en)  Aen Segue do Teorema 1.3.1 que Aej é uma combinação linear das colunas de A, em que os coeficientes sucessivos são as entradas de ej. Como todas as entradas de ej são nulas, exceto a j-ésima, segue que o produto Aej é exatamente a j-ésima coluna da matriz A. Assim, A  [TA(e1) | TA(e2) | · · · | TA(en)] (12) Resumindo, temos o seguinte procedimento para encontrar a matriz canônica de uma transformação matricial. Encontrando a matriz canônica de uma transformação matricial Passo 1. Encontre as imagens dos vetores e1, e2, . . . , en da base canônica de Rn em formato de coluna. Passo 2. Construa a matriz que tem as imagens obtidas no Passo 1 como colunas sucessivas. Essa é a matriz canônica da transformação. 2 3 Entre os operadores matriciais mais importantes de R e R , estão os que aplicam cada Operadores de reflexão ponto na sua imagem simétrica em relação a alguma reta ou plano fixados, que são de- nominados operadores de reflexão, ou reflexões, simplesmente. A Tabela 1 mostra as 2 matrizes canônicas das reflexões nos eixos coordenados em R , e a Tabela 2 mostra as 3 matrizes canônicas das reflexões nos planos coordenados de R . Em cada caso, a matriz canônica foi obtida encontrando as imagens dos vetores da base canônica, convertendo essas imagens em vetores coluna e, então, usando esses vetores coluna como colunas sucessivas da matriz canônica. 2 3 Os operadores matriciais de R e R que aplicam cada ponto em sua projeção ortogonal Operadores de projeção numa reta ou plano fixados são denominados operadores de projeção (ou, mais precisa- mente, de operadores de projeção ortogonal) ou, simplesmente, projeções (ortogonais). A Tabela 3 mostra as matrizes canônicas das projeções ortogonais sobre os eixos coorde- nados em R2, e a Tabela 4 mostra as matrizes canônicas das projeções ortogonais sobre os planos coordenados em R3. 252 Álgebra Linear com Aplicações Tabela 1 Operador Ilustração Imagens de e1 e e2 Matriz canônica y Reflexão no eixo y T(e1 )  T(1, 0)  (1, 0) (–x, y) (x, y) T(x, y)  (x, y) T(e2 )  T(0, 1)  (0, 1) T(x) x x y (x, y) x Reflexão no eixo x x T(e1 )  T(1, 0)  (1, 0) T (x, y)  (x, y) T(e2 )  T(0, 1)  (0, 1) T(x) (x, –y) y y=x (y, x) T(x) Reflexão na reta y  x T(e1 )  T(1, 0)  (0, 1) T (x, y)  (x, y) x (x, y) T(e2 )  T(0, 1)  (1, 0) x Tabela 2 Operador Ilustração Imagens de e1, e2, e3 Matriz canônica z (x, y, z) Reflexão no plano xy x T (e1 )  T (1, 0, 0)  (1, 0, 0) y T (e2 )  T (0, 1, 0)  (0, 1, 0) T (x, y, z)  (x, y, z) T (e3 )  T (0, 0, 1)  (0, 0, 1) x T(x) (x, y, –z) z (x, –y, z) (x, y, z) Reflexão no plano xz T (e1 )  T (1, 0, 0)  (1, 0, 0) T(x) x y T (e2 )  T (0, 1, 0)  (0, 1, 0) T (x, y, z)  (x, y, z) T (e3 )  T (0, 0, 1)  (0, 0, 1) x z (–x, y, z) Reflexão na plano yz T(x) T (e1 )  T (1, 0, 0)  (1, 0, 0) y T (e2 )  T (0, 1, 0)  (0, 1, 0) T (x, y, z)  (x, y, z) (x, y, z) T (e3 )  T (0, 0, 1)  (0, 0, 1) x x 4.9 Transformações matriciais de R n em R m 253 Tabela 3 Operador Ilustração Imagens de e1 e e2 Matriz canônica y (x, y) Projeção ortogonal sobre o eixo x T (e1 )  T (1, 0)  (1, 0) x T (x, y)  (x, 0) T (e2 )  T (0, 1)  (0, 0) (x, 0) x T(x) y Projeção ortogonal sobre o eixo y (0, y) (x, y) T (e1 )  T (1, 0)  (0, 0) T (x, y)  (0, y) T(x) x T (e2 )  T (0, 1)  (0, 1) x Tabela 4 Operador Ilustração Imagens de e1, e2, e3 Matriz canônica z Projeção ortogonal sobre o plano xy T (e1 ) = T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) x (x, y, z) T (e2 ) = T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) T (x, y, z) = (x, y, 0) y T (e3 ) = T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) T(x) x (x, y, 0) z Projeção ortogonal sobre o plano xz (x, 0, z) T (e1 ) = T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) x (x, y, z) T (e2 ) = T (0, 1, 0) = (0, 0, 0) T (x, y, z) = (x, 0, z) T(x) y T (e3 ) = T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) x z (0, y, z) T(x) T (e1 ) = T (1, 0, 0) = (0, 0, 0) Projeção ortogonal sobre o plano yz (x, y, z) T (e2 ) = T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) T (x, y, z) = (0, y, z) x y T (e3 ) = T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) x Os operadores matriciais de R2 e R3 que movem pontos ao longo de arcos circulares são Operadores de rotação denominados operadores de rotação ou, simplesmente, rotações. Vejamos como é possí- vel encontrar a matriz canônica de uma rotação T : R2 → R2 que move os pontos no sen- tido anti-horário em torno da origem por um ângulo ␪ (Figura 4.9.3). Conforme ilustrado na Figura 4.9.3, as imagens dos vetores da base canônica são T (e1)  T (1, 0)  (cos ␪, sen ␪) e T (e2)  T (0, 1)  (sen ␪, cos ␪) de modo que a matriz canônica de T é 254 Álgebra Linear com Aplicações y e2 (–sen ␪, cos ␪) (cos ␪, sen ␪) ␪ 1 1 ␪ x e1  Figura 4.9.3 Mantendo a notação usual, denotamos esse operador por R␪ e dizemos que (13) é a matriz de rotação de R . Se x  (x, y) for um vetor em R e se w  (w1, w2) for sua 2 2 imagem por essa rotação, então a relação w  R␪x pode ser dada em termos de compo- nentes por (14) 2 Essas relações são denominadas equações de rotação em R . Essas ideias estão resumidas na Tabela 5. Tabela 5 Operador Ilustração Equações de rotação Matriz canônica Rotação pelo ângulo ␪ y (w1, w2) w1  x cos ␪  y sen ␪ w2  x sen ␪  y cos ␪ w (x, y) No plano, os ângulos anti-horá- ␪ x x rios são positivos e os ângulos horários são negativos. A matriz de rotação de uma rotação ho- rária de ␪ radianos pode ser obtida substituindo ␪ por ␪ em  E X E M P L O 4 Um operador de rotação (13). Simplificando, obtemos Encontre a imagem de x  (1, 1) pela rotação de ␲/6 radianos ( 30°) em torno da origem. Solução Segue de (13) com ␪  ␲/6 que ou, em notação de vírgulas, R␲/6(1, 1)  (0,37; 1,37).  Rotações em R3 Em geral, descrevemos uma rotação de vetores em R3 em relação a um raio partindo da origem, denominado eixo de rotação. À medida que um vetor gira em torno do eixo de rotação, ele varre alguma porção de um cone (Figura 4.9.4a). O ângulo de rotação, que é medido na base do cone, é descrito como sendo no sentido “horário” ou “anti-horário” em relação a um ponto de vista ao longo do eixo de rotação olhando para a origem. Por exem- plo, na Figura 4.9.4a, o vetor w resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor x em torno do eixo l por um ângulo de ␪. Assim como em R2, os ângulos são positivos se gerados por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no sentido horário. 4.9 Transformações matriciais de R n em R m 255 A maneira mais comum de descrever um eixo de rotação arbitrário é especificando um vetor não nulo u com ponto inicial na origem e apontando ao longo do eixo de rota- ção. O sentido anti-horário para a rotação em torno do eixo pode, então, ser determinado pela “regra da mão direita” (Figura 4.9.4b). Se o polegar da mão direita apontar na direção e sentido do vetor u, os dedos da mão fechada apontam num sentido anti-horário. z z Rotação Eixo de rotação anti-horária x l u ␪ w y y x x  Figura 4.9.4 (a) Ângulo de rotação (b) Regra da mão direita Um operador de rotação em R3, ou simplesmente uma rotação, é um operador matri- cial que gira cada vetor em R3 em torno de algum eixo de rotação por um ângulo ␪ fixado. Na Tabela 6, descrevemos as rotações em R3 cujos eixos de rotação são os eixos coordena- dos positivos. Para cada uma dessas rotações, um dos componentes permanece inalterado, e a relação entre os dois outros componentes pode ser deduzida da mesma maneira que deduzimos (14). Por exemplo, na rotação em torno do eixo z, os componentes z de x e de w  T(x) são os mesmos, e os componentes x e y estão relacionados como em (14). Isso fornece as equações de rotação mostradas na última linha da Tabela 6. Tabela 6 Operador Ilustração Equações de rotação Matriz canônica z w1  x Rotação anti-horária em torno do y w2  y cos ␪  z sen ␪ eixo x positivo pelo ângulo ␪ w w3  y sen ␪  z cos ␪ x ␪ x z w1  x cos ␪  z sen ␪ Rotação anti-horária em torno do x w2  y eixo y positivo pelo ângulo ␪ y ␪ w3  x sen ␪  z cos ␪ x w z ␪ w1  x cos ␪  y sen ␪ Rotação anti-horária em torno do x w w2  x sen ␪  y cos ␪ eixo z positivo pelo ângulo ␪ y w3  z x 256 Álgebra Linear com Aplicações Observamos, para completar, que a matriz canônica de uma rotação anti-horária por um ângulo ␪ em torno de um eixo em R3 determinado por um vetor arbitrário u  (a, b, c), mas unitário, com ponto inicial na origem, é (15) A dedução dessa matriz pode ser encontrada no livro intitulado Principles of Interactive Computer Graphics, de W. M. Newmann e R. F. Sproull, editado em 1979 pela McGraw- -Hill, de Nova York. Pode ser instrutivo para o leitor deduzir os resultados da Tabela 6 como casos especiais desse resultado mais geral. Se k for um escalar não negativo, então o operador T(x)  kx de R ou R tem o efeito de 2 3 Dilatações e contrações aumentar ou diminuir o comprimento de cada vetor pelo fator k. Se 0 k 1, o operador é denominado contração de fator k e, se k  1, dilatação de fator k (Figura 4.9.5). Se k  1, então T é o operador identidade, que pode ser considerado uma contração ou uma dilatação. As Tabelas 7 e 8 ilustram esses operadores. x T(x)  kx x T(x)  kx  Figura 4.9.5 (a) 0 k 1 (b) k  1 Tabela 7 Ilustração Matriz Operador T (x, y) ⴝ (kx, ky) Efeito na base canônica canônica Contração y x (0, 1) de fator k em R2 (x, y) (0, k) (0 k 1) T(x) (kx, ky) x (1, 0) (k, 0) Dilatação y T(x) (kx, ky) (0, k) (0, 1) de fator k em R2 x (k  1) (x, y) x (1, 0) (k, 0) Guinada, arfagem e rolagem Muitas vezes, na Aeronáutica e Astronáutica, a orientação de um única rotação em torno desse eixo para obter a orientação correta. avião ou de um ônibus espacial em relação a um sistema de coor- Tais manobras rotacionais são utilizadas para alinhar uma antena, denadas xyz é descrita em termos de ângulos denominados gui- apontar a nave em direção a um objeto celeste ou posicionar um nada, arfagem e rolagem. Por exemplo, se o plano xy definir a compartimento para carga e descarga. horizontal e um ônibus espacial estiver voando ao longo do eixo y positivo, então a guinada é o ângulo de rotação do avião em z torno do eixo z positivo, a arfagem é o ângulo de rotação em torno Guinada do eixo x positivo, e a rolagem é o ângulo de rotação em torno do eixo y positivo. Uma combinação de guinada, arfagem e rola- gem pode ser obtida com uma única rotação em torno de algum eixo pela origem. Essa é a maneira pela qual um ônibus espacial y efetivamente faz seus ajustes de voo, não corrigindo cada rota- x Arfagem Rolagem ção separadamente, mas sim calculando um eixo e efetuando uma 4.9 Transformações matriciais de R n em R m 257 Tabela 8 Operador Ilustração Matriz canônica z x (x, y, z) Contração de fator k em R3 T(x) (kx, ky, kz) (0 k 1) y x z (kx, ky, kz) T(x) Dilatação de fator k em R3 x (x, y, z) (k  1) y x Numa dilatação ou contração de R2 ou R3, todas as coordenadas são multiplicadas pelo fa- Expansões e compressões tor k. Se somente uma das coordenadas for multiplicada por k, então o operador resultante é denominado expansão ou compressão de fator k. Isso é ilustrado na Tabela 9 em R2. O leitor não deveria encontrar dificuldades para estender esses resultados ao R3. Tabela 9 Operador Ilustração Efeito na base canônica Matriz canônica y 2 (kx, y) (0, 1) (0, 1) Compressão de R na (x, y) direção x de fator k T(x) x x (1, 0) (k, 0) y (x, y) (kx, y) (0, 1) (0, 1) Expansão de R2 na x direção x de fator k T(x) x (1, 0) (k, 0) Operador Ilustração Efeito na base canônica Matriz canônica y (0, 1) Compressão de R na2 (x, y) (0, k) direção y de fator k x (x, ky) x (1, 0) (1, 0) T(x) y (x, ky) (0, k) (0, 1) Expansão de R2 na T(x) (x, y) direção y de fator k x x (1, 0) (1, 0) 258 Álgebra Linear com Aplicações Cisalhamentos Um operador matricial da forma T (x, y)  (x  ky, y) translada um ponto (x, y) do plano xy paralelamente ao eixo x por uma quantia ky proporcional à coordenada y do ponto. Esse operador deixa fixados os pontos do eixo x (pois y  0), mas à medida que nos afastamos do eixo x, aumenta a distância transladada. Dizemos que esse operador é um cisalha- mento de fator k na direção x. Analogamente, um operador matricial da forma T (x, y)  (x, y  kx) é um cisalhamento de fator k na direção y. A Tabela 10 ilustra a informação básica sobre cisalhamentos em R2. Tabela 10 Operador Efeito na base canônica Matriz canônica 2 (k, 1) (k, 1) Cisalhamento de R de (0, 1) fator k na direção x T (x, y)  (x  ky, y) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (k > 0) (k < 0) Cisalhamento de R2 de (0, 1) (0, 1) (0, 1) fator k na direção y (1, k) T (x, y)  (x, y  kx) (1, 0) (1, k) (k > 0) (k < 0)  E X E M P L O 5 Alguns operadores matriciais básicos de R2 Em cada parte, descreva o operador matricial correspondente a A e mostre seu efeito no quadrado unitário. (a) (b) (c) Solução Comparando os formatos dessas matrizes com os das Tabelas 7, 9 e 10, vemos que a matriz A1 corresponde a um cisalhamento de fator 2 na direção x, a matriz A2 corres- ponde na uma dilatação de fator 2, e A3 corresponde a uma expansão na direção x de fator 2. Os efeitos desses operadores no quadrado unitário são mostrados na Figura 4.9.6.  y y y 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3  Figura 4.9.6 OPCIONAL Na Tabela 3, listamos as matrizes canônicas das projeções ortogonais sobre os eixos coor- denados de R . Esses operadores são casos especiais do operador T : R → R mais geral 2 2 2 Projeções ortogonais sobre retas pela origem que aplica cada ponto em sua projeção ortogonal sobre uma rela L pela origem que faz um ângulo ␪ com o eixo x positivo (Figura 4.9.7). No Exemplo 4 da Seção 3.3, usamos https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 4.9 Transformações matriciais de R n em R m 259 a Fórmula (1) daquela seção para encontrar as projeções ortogonais dos vetores da base y 2 canônica de R sobre aquela reta. Em termos matriciais, vimos que essas projeções são x L T(x) Assim, a matriz canônica de T é ␪ x  Figura 4.9.7 Mantendo a notação usual, denotamos esse operador por Incluímos duas versões da Fór- (16) mula (16) porque ambas são muito usadas. Enquanto a pri- meira versão envolve somente o ângulo ␪, a segunda envolve tanto ␪ quanto 2␪.  E X E M P L O 6 Projeção ortogonal sobre uma reta pela origem Use a Fórmula (16) para encontrar a projeção ortogonal do vetor x  (1, 5) sobre a reta pela origem que faz um ângulo de ␲/6 ( 30°) com o eixo x positivo. Solução Como sen(␲/6)  1/2 e cos(␲/6)  , segue de (16) que a matriz canônica dessa projeção é Assim, ou, em notação com vírgulas, P␲/6(1, 5) 艐 (2,91; 1,68).  2 Na Tabela 1, listamos as reflexões pelos eixos coordenados em R . Esses operadores são Reflexões em retas pela casos especiais do operador H␪ : R → R mais geral que aplica cada ponto em sua refle- 2 2 origem xão na reta L pela origem que faz um ângulo ␪ com o eixo x positivo (Figura 4.9.8). Po- y H␪x deríamos encontrar a matriz canônica de H␪ encontrando as imagens dos vetores da base canônica, mas, em vez disso, vamos aproveitar nosso trabalho com projeções ortogonais L e usar a Fórmula (16) com P␪ para encontrar uma fórmula para H␪. O leitor pode ver da Figura 4.9.9 que, com qualquer vetor x em Rn, ␪ x x ou, equivalentemente,  Figura 4.9.8 Assim, segue do Teorema 4.9.2 que y H␪  2P␪  I (17) H␪x L e, portanto, segue de (16) que P␪x ␪ x x (18)  Figura 4.9.9 260 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 7 Reflexão numa reta pela origem Encontre a reflexão do vetor x  (1, 5) na reta pela origem que faz um ângulo de ␲/6 ( 30°) com o eixo x positivo. Solução Como sen(␲/3)  e cos(␲/3)  1/2, segue de (18) que a matriz canônica deixae como está reflexão é Assim, Observe que as matrizes canôni- cas nas Tabelas 1 e 3 são casos especiais de (18) e (16). ou, em notação com vírgulas, H␲/6(1, 5) 艐 (4,83; 1,63).  Revisão de conceitos • Matriz de rotação • Função • Equações de rotação • Imagem • Eixo de rotação no espaço • Valor • Ângulo de rotação no espaço • Domínio • Expansão • Contradomínio • Compressão • Transformação • Cisalhamento • Operador • Dilatação • Transformação matricial • Contração • Operador matricial Aptidões desenvolvidas • Matriz canônica • Encontrar o domínio e o contradomínio de uma • Propriedades de transformações matriciais transformação e determinar se a transformação é linear. • Transformação nula • Encontrar a matriz canônica de uma transformação • Operador identidade matricial. • Reflexão • Descrever o efeito de um operador matricial na base • Projeção canônica de Rn. • Rotação Conjunto de exercícios 4.9  Nos Exercícios 1–2, em cada parte, encontre o domínio e o 5. Em cada parte, encontre o domínio e o contradomínio da contradomínio da transformação TA(x)  Ax.  transformação definida pelas equações e determine se a 1. (a) A tem tamanho 3  2. (b) A tem tamanho 2  3. transformação é linear. (c) A tem tamanho 3  3. (d) A tem tamanho 1  6. (a) (b) 2. (a) A tem tamanho 4  5. (b) A tem tamanho 5  4. (c) A tem tamanho 4  4. (d) A tem tamanho 3  1. (c) 3. Se T (x1, x2)  (x1  x2, x2, 3x1), então o domínio de T é _____, o contradomínio de T é _____ e a imagem de x  (1, 2) por T é ______________. 4. Se T (x1, x2, x3)  (x1  2x2, x1  2x2), então o domínio de T é (d) _____, o contradomínio de T é _____ e a imagem de x  (0, 1, 4) por T é _________________. x2)  (x1  x2. z)  (0. 7x2. z) (e) T (x. encontre a matriz canônica da transformação T definida pela fórmula. Em cada parte. Use multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor (2. x3. (c) T (x1. x1  x2) (a) ␪  30°. x3) 19. 3) 7. y) 2 (e) T (x. x1) 20. x3)  (x1  2x2  x3. 1. y. 2) (c) T (x. x2. z)  (3x  4y. y)  (2x  y.blogspot. 8x3) (a) 30° em torno do eixo x 11. 4) por substituição direta nas equa- ções e também por multiplicação matricial. Em cada parte. 13. por (c) T1(x. x1  x3) (b) eixo y 12. 14. z)  (0. z)  (1.br/ 4. 2x  5z) (a) no eixo x (d) T (x. y. x  y) (a) T (x1. 5. y. 1. x  (1. x1  3x2. encontre a matriz canônica da transformação (c) na reta y  x definida pelas equações. (c) T (x. 0. x2. y e z. x1. 3) no (a) plano xy (c) (d) (b) plano xz (c) plano yz 16. x4)  (7x1  2x2  x3  x4. y. x3)  (2x1  x2  x3. encontre T(x) e expresse a resposta em forma matricial. 1) (1. Use multiplicação matricial para encontrar a projeção ortogo- nal de (2. Em cada parte. x2. y)  (2x. y. x1  5x2. Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R3 por um ângulo de 60° em torno do (c) T (x1. x2. Encontre a matriz canônica do operador T : R3 → R3 definido (a) eixo x por (b) eixo y 17. 0). (c) eixo z 21.com.https://livros-pdf-ciencias-exatas. x2). 2) se for girado por (d) T (x1. Use multiplicação matricial para encontrar a projeção ortogo- nal de (2. z) (a) Mostre que as projeções ortogonais sobre os eixos coor- (d) denados são operadores matriciais e encontre suas matri- zes canônicas. 0. z)  (0. y. T2(x. 4) (d) T (x. x2)  (x2. x3. y. encontre a matriz canônica do operador T 18. 0. Em cada parte. x2. determine se T é uma transformação matricial. x3)  (0. x1. Use multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor (a) (2. 2. 0). (c) plano yz 10. Use multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor definido pela fórmula. 2) se for girado por (a) 30° em torno do eixo x (b) 45° em torno do eixo y (b) (c) 90° em torno do eixo z 22. respectivamente. x) e depois confira o resultado calculando T(x) diretamente. 0) (a) eixo x (d) T (x1. 0) (b) T (x. Use multiplicação matricial para encontrar a reflexão de (a) (b) (2. (b) T (x1. use a matriz canônica de T para encontrar T(x) (a) T (x. z)  (y  1. x1  x2) (c) 90° em torno do eixo z (b) T (x1. (b) ␪  60°. x3)  (4x1. 0. 1. 15. x) (b) no eixo y 8. Em cada parte. Em cada parte. x3.9 Transformações matriciais de R n em R m 261 6. x2  x3. y)  (x . x2. (3. x2. x2  x3. . 0). x  (2. 3) sobre o (a) plano xy (b) plano xz e depois calcule T(1. (d) ␪  90°. y  1) (b) T (x1. x4)  (x4. x2) (c) ␪  45°. 5) sobre o 9. z)  (y2. (b) 45° em torno do eixo y (a) T (x1. y) (b) T (x. 4) se for girado por um ângulo de (a) T (x1. y)  (y. determine se T é uma transformação matricial. 0. Em cada parte. y)  (x. z)  (x. T3(x. y. x2)  (x1. Definimos as projeções ortogonais de R3 sobre os eixos x. x2)  (2x1  x2. 1. y. Use multiplicação matricial para encontrar a reflexão de (a) T (x. en. transformação. Que tipo de objeto geométrico é a imagem rotação satisfaz a equação dessa reta pelo operador T? Explique seu raciocínio. reta. A partir da Fórmula (15). tão o vetor u  Ax  AT x  [1  tr(A)]x determina um eixo (b) Se A for uma matriz m  n. Em cada caso. Seja x0 um vetor coluna não nulo em R2 e suponha que T : R2 → R2 seja a transformação definida pela fórmula T (x)  x0  R␪x. é uma rotação. Descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor que define o eixo de rotação tenha comprimento 1. Dê uma descrição geométrica dessa satisfaz as condições enunciadas. Se a multiplicação por A gira um vetor x do plano xy por um coluna ortonormais e com det(A)  1. dado qualquer multiplicar um vetor x pela matriz A. [Observação: a Fórmula (15) exige que o vetor que define o eixo de rotação tenha comprimento 1. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. então o contradomínio da trans- de rotação quando u for posicionado com seu ponto inicial na formação TA é Rn. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(i). Geometry.blogspot. (a) Mostre que a multiplicação por (d) Se T : Rn → Rm e T (c1x  c2y)  c1T (x)  c2T (y) com quaisquer escalares c1 e c2 e quaisquer vetores x e y em Rn. Pode ser (a) Se A for uma matriz 2  3. 1). No 4. y e z de R3. [Ver o artigo The Axis of Rotation: Analysis. Algebra. (e) Só existe uma única transformação matricial T : Rn → Rm tal que T (x)  T (x) com qualquer vetor x em Rn. e encontre o ângulo de rotação.br/ 262 Álgebra Linear com Aplicações (b) Mostre que se T : R3 → R3 for uma projeção ortogonal 29. então a multipli. em que R␪ é a matriz canônica da rotação de R2 em tor- no da origem pelo ângulo ␪. 30. f será uma transformação matricial em R? cação por A é uma rotação em torno de algum eixo por algum 35. da rotação.com. então T é uma transformação matricial.] tricial. [Observação: a Fórmula (15) exige que o 31. Verifique que raciocínio. Seja A uma matriz 3  3 (diferente da matriz identidade) que justificando sua resposta. os vetores T (x) e x  T (x) são ortogonais. então a multiplicação ângulo ␪. 1).] 26. (g) Se b for um vetor não nulo em Rn. TA é R2. Use a Fórmula (15) para encontrar a matriz canônica de uma rotação de 180° em torno do eixo determinado pelo vetor v  (2. então T (x)  x  b define (b) Encontre um vetor de comprimento 1 que define um eixo um operador matricial de Rn. (f) Só existe uma única transformação matricial T : Rn → Rm tal que T (x  y)  T (x  y) com quaisquer vetores x e y em Rn. 33. vetor em R3. descreva em palavras o efeito geométrico de 23. espaço bidimensional têm o formato . satisfaça as condições enunciadas no Exercício 27. qual é o efeito de multiplicar x por AT? Explique seu por A é uma rotação por algum ângulo ␪. por Dan Kalman. que pertençam ao intervalo [0. (a) (b) (c) Faça um esboço indicando x e x  T(x) no caso em que T é a projeção ortogonal sobre o eixo x. rotações em torno dos eixos x. com a  1. Use a Fórmula (15) para encontrar a matriz canônica de uma (a) (b) rotação de ␲/2 radianos em torno do eixo determinado pelo vetor v  (1. . É costume dizer que uma função da forma f(x)  mx  b é R3. isto é. Pode ser provado que se A for uma matriz 2  2 de vetores 32. em Mathematics Magazine. obtenha as matrizes canônicas das multiplicar um vetor x pela matriz A. O resultado enunciado no Exercício 26 pode ser estendido ao 34. Use a Fórmula (15) para mostrar que esse ângulo de matricial de Rn. Será uma transformação matricial? Explique. origem. 24. 27. substituindo essas soluções na fórmula (15). (c) Encontre todas as soluções da equação do Exercício 27 (h) A matriz é a matriz canônica de alguma rotação. https://livros-pdf-ciencias-exatas. outubro de 1989. Sejam x  x0  tv uma reta em Rn e T : Rn → Rn um operador ângulo ␪. 28. então. 2. pode ser provado que se A for uma matriz 3  3 de uma “função linear” porque o gráfico de y  mx  b é uma vetores coluna ortonormais e se det(A)  1. 62. descreva em palavras o efeito geométrico de sobre um dos eixos coordenados. encontre um ângulo de rotação (i) As matrizes canônicas das reflexões nos eixos coordenados do em torno do eixo da parte (b) que resulta da multiplica- ção pela matriz A da parte (a). 1. 2␲] e. Em cada caso. então T é uma transformação ma- Vol. (c) Se T : Rn → Rm e T(0)  0.] vetor x pela matriz 25. então o domínio da transformação mostrado que se x for um vetor não nulo qualquer em R3. por exemplo.1 . aplica esse vetor no vetor TB(TA(x)) em Rm. ou seja.10. a ordem importa na composição de transformações As composições podem ser definidas com qualquer sucessão finita de transformações matriciais.10 Propriedades das transformações matriciais Nesta seção.10 Propriedades das transformações matriciais 263 4. a transformação TA na fór- mula é aplicada antes. Mostramos. que denotamos pelo símbolo TB TA que se lê “TB bola TA ”. (TB TA)(x)  TB(TA(x)) (1) ADVERTÊNCIA Assim como Essa composição também é uma transformação matricial. matriciais cujos domínios e contradomínios tenham as dimensões apropriadas. TC : Rl → Rm Definimos a composição (TC TB TA) : Rn → Rm por (TC TB TA)(x)  TC(TB(TA(x))) Como antes. considere as transformações matriciais TA : Rn → Rk. então TA aplica esse vetor num vetor TA(x) transformações matriciais em Rk. então o mesmo resultado pode ser obtido por uma única transformação matricial apropriadamente escolhida. Por exem- plo. com matriz canônica CBA e que TC TB TA  TCBA (3) TA TB TB(TA(x)) Rn x Rk TA(x) Rm TB ° TA  Figura 4. e TB. pode ser mostrado que essa transformação é matricial.10. que TB TA  TA TB TB TA  TBA (2) Ou seja. para estender a Fórmula (2) para três fatores. 4. Se x for um vetor em Rn. que AB  BA (TB TA)(x)  TB(TA(x))  B(TA(x))  B(Ax)  (BA)x também não é verdade. em ge- mostrando que é a multiplicação por BA. Isso pode ser resumido na fórmula ral. Conforme ilustrado na Figura 4.1. por sua vez. discutimos propriedades de transformações matriciais. Também exploramos a relação entre a invertibilidade de uma matriz e as propriedades da transformação correspondente. que se aplicarmos várias transformações matriciais em sucessão. pois não é verdade. Suponha que TA seja uma transformação matricial de Rn em Rk e TB uma transformação Composição de matricial de Rk em Rm. TB : Rk → Rl. Esse processo cria uma transformação de Rn em Rm que denominamos a composição ou a composta de TB com TA. em geral. 264 Álgebra Linear com Aplicações Como na Fórmula (9) da Seção 4. Segue que o efeito líquido de T2 T1 é girar cada vetor em R2 por um ângulo ␪1  ␪2 (Figura 4. Essa mesma conclusão pode ser alcançada mostrando que as matrizes canônicas de T1 e T2 não comutam. a fórmula [T2 T1]  [T2][T1] (4) é uma reformulação da Fórmula (2). afirmando que a matriz canônica da composta é o produto das matrizes canônicas na ordem apropriada. de modo que [T2 T1]  [T1 T2]. [T3 T2 T1]  [T3][T2][T1] (5) é uma reformulação da Fórmula (3). o operador (T2 T1)(x)  T2(T1(x)) primeiro gira x por um ângulo ␪ e então gira T1(x) por um ângulo ␪2.  E X E M P L O 2 A composição não é comutativa Sejam T1 : R2 → R2 a reflexão na reta y  x e T2 : R2 → R2 a projeção ortogonal sobre o eixo y.2). A Figura 4. por exemplo. podemos usar colchetes para denotar uma trans- formação matricial sem referência a uma matriz específica. podemos confirmar isso como segue. as matrizes canônicas desses operadores matriciais são Essas matrizes deveriam satisfazer (4).10. Com a ajuda de algumas identidades trigonométri- cas básicas. Assim. Assim.9.3 ilustra graficamente que T1 T2 e T2 T1 têm efeitos diferentes sobre um vetor x. Analogamente.  E X E M P L O 1 Composição de duas rotações Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 os operadores matriciais que giram os vetores pelos ângulos ␪1 e ␪2.10. . Assim. respectivamente. como segue. T1 T2 e T2 T1 são idênticas.10 Propriedades das transformações matriciais 265 y y T1(x) y=x y=x T2(T1(x)) y T2(T1(x)) x T1(x) T2(x) x x x ␪1 + ␪2 x ␪2 T1(T2(x)) ␪1 x T2 ° T1 T1 ° T2  Figura 4. y) x T1(x) x x x T2(x) T1(T2(x)) T2(T1(x)) (–x.10. y) (Figura 4. A igualdade de T1 T2 e T2 T1 também pode ser deduzida mostrando que as matrizes canônicas de T1 e T2 comutam. –y) (–x. ambas aplicando cada vetor x  (x.2  Figura 4. y) (x.10. como segue. Como mostram as contas acima. . Nesse caso. depois reflete o vetor resultante no plano yz e.10.4). y) em seu negativo x  (x. projeta esse vetor ortogonalmente sobre o plano xy.3  E X E M P L O 3 A composição de duas reflexões Sejam T1 : R2 → R2 a reflexão no eixo y e T2 : R2 → R2 a reflexão no eixo x.4  E X E M P L O 4 Composição de três transformações Encontre a matriz canônica do operador T : R3 → R3 que primeiro gira um vetor no sentido anti-horário em torno do eixo z por um ângulo ␪. a matriz canônica desse operador de R2 é y y (x. –y) T1 ° T2 T2 ° T1  Figura 4. finalmente. 4. O operador T (x)  x de R2 ou R3 é denominado reflexão na origem. y) (–x.10. –y) (x. 5. DEFINIÇÃO 1 Dizemos que uma transformação matricial TA : Rn → Rm é injetora se TA aplica vetores (pontos) distintos em Rn em vetores (pontos) distintos em Rm. TA é injetora se a igualdade TA(u)  TA(v) implicar u  v. a projeção ortogonal de 3 R sobre o plano xy não é injetora porque transforma pontos distintos da mesma reta ver- tical num mesmo ponto (Figura 4.10.266 Álgebra Linear com Aplicações Solução O operador T pode ser expresso como a composição T  T 3 T2 T1 em que T1 é a rotação em torno do eixo z. 1.6). 2 e 4 da Seção 4.) Essa ideia pode ser expressa de várias maneiras. segue de (5) que a matriz canônica de T é Transformações matriciais Nosso próximo objetivo é estabelecer uma relação entre a invertibilidade de uma matriz A injetoras e as propriedades da transformação matricial TA correspondente. as matrizes canônicas dessas transformações lineares são Assim. T2 é a reflexão no plano yz.10. Pelas Tabelas 6. .7). TA é injetora se para cada vetor b na imagem de TA existir exatamente um vetor x em Rn tal que TAx  b. Rn Rm Rn Rm  Figura 4.10. (Ver Figura 4. e T3 é a projeção or- togonal sobre o plano xy. Em contrapartida.10. Por exemplo.9.5 Injetora Não injetora As rotações de R2 são injetoras porque vetores distintos que são girados pelo mesmo ângulo têm imagens distintas (Figura 4. 2. O teorema seguinte estabelece uma relação fundamental entre a invertibilidade de uma matriz e as propriedades da transformação matricial correspondente. o leitor deve reconhecer que as afirmações seguintes são simplesmente reformulações da Definição 1. 9.1 Se A for uma matriz n  n e TA : Rn → Rn o operador matricial T(v) T(u) correspondente. portanto. (c) ⇒ (a) Suponha que o operador TA seja injetor. que o sistema linear n n Ax  b é consistente com qualquer vetor b em Rn. o operador T : Rn → Rn que efetua a rotação em R2 pelo ângulo ␪ é injetor. o operador T : Rn → Rn que projeta cada vetor em R3 ortogonalmente no plano xy não é injetor. Confirme que [T] não é invertível. v distintos são girados em veto- res T(u) e T(v) distintos. Solução Pela Tabela 4 da Seção 4. P n (b) ⇒ (c) Suponha que a imagem de TA seja todo o R . o sis- tema Ax  b é consistente com qualquer matriz b de tamanho n  1 em Rn.10 Propriedades das transformações matriciais 267 y TEOREMA 4. o que por sua vez significa que a imagem z de TA é todo o Rn. Pelas partes (a) e (e) do Teorema 4. x  Figura 4. de acordo com o Teorema 4. Assim.10.10.10.7 Os pontos TA(x)  b.7.10. pois  E X E M P L O 6 Propriedades de uma projeção Conforme indicado na Figura 4. a matriz canônica de T é Essa matriz não é invertível.  . dado um vetor b qualquer em TA. distintos P e Q são aplicados no mesmo ponto M.10. existe exatamente um vetor x em Rn tal que  Figura 4. existe um único vetor x em R tal que TA(x)  b.10. a matriz canônica de T é Essa matriz é invertível. decorre que Ax  b tem uma única solução. Solução Pela Tabela 5 da Seção 4. Isso implica que para cada vetor y Q b em R existe algum vetor x em R com o qual TA(x)  b e.6 Vetores u e Prova Vamos estabelecer a sequência de implicações (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (a).   E X E M P L O 5 Propriedades de uma rotação Conforme indicado na Figura 4. ␪ u (c) TA é injetor.9. com qualquer vetor b em Rn.8.1.10. pois det[T]  0. então as afirmações seguintes são equivalentes.6. (a) ⇒ (b) Suponha que A seja invertível.10. ␪ v (b) A imagem de TA é Rn.8. (a) A é invertível. Confirme que [T] é invertível. Isso implica que TA transforma x no vetor arbitrário b em Rn. Deixamos para o leitor completar a n prova usando o Exercício 30.1. para cada vetor b na imagem de TA. Assim. 4. de acordo com o Teorema 4.10. Pela equivalência das partes (e) e (f) M x do Teorema 4. . inverso) de TA. então 1 TA(TA1 (x))  AA x  Ix  x 1 TA1(TA(x))  A Ax  Ix  x y ou. Se TA : R → R n n for um operador matricial injetor e se TA1 : R → R for seu inverso. que é a matriz canônica da rotação pelo ângulo ␪.268 Álgebra Linear com Aplicações Inversa de um operador Se TA : Rn → Rn for um operador matricial injetor. escrevemos essa equação como [T1]  [T ]1 (7) ⴚ1  E X E M P L O 7 A matriz canônica de T Seja T : R2 → R2 o operador que efetua a rotação de cada vetor em R2 pelo ângulo ␪. O operador matricial TA1 :R → R n n que corresponde a A1 é denominado operador inverso (ou.1. no sentido de que se x for um vetor em Rn. Antes de passar aos exemplos. ⴚ1  E X E M P L O 8 Encontrando T Mostre que o operador matricial T : R2 → R2 definido pelas equações w1  2x1  x2 w2  3x1  4x2 é injetor e encontre T 1(w1. Ocorre que isso é exatamente o que o operador T 2 1 faz. então TA1 transfor- TA 1 tran sf o r m a ma w de volta em x. devemos efetuar a rotação 1 de cada vetor em R pelo ângulo ␪.8 (Figura 4. é útil mencionar um assunto de notação. para desfazer o efeito de T.10. equivalentemente. se w for a imagem de x por TA.8).10.9.10. pois a matriz canônica de T é (verifique). (8) É geometricamente evidente que. Essa terminologia é apropriada. sform a x em w TA TA1  TAA1  TI tran TA w TA1 TA  TA1A  TI x x w em De um ponto de vista mais geométrico. pois x TA1 (w)  TA1(TA(x))  x  Figura 4. então as matrizes ca- n n nônicas desses operadores estão relacionadas pela equação TA1  TA1 (6) Nos casos em que for preferível não associar um nome à matriz. w2). porque TA e TA1 cancelam um o efeito do outro. então a matriz A é invertível pelo Teo- matricial injetor rema 4. de modo que. pela Tabela 5 da Seção 4. simplesmente. se f1. . T é injetor). portanto. Reciprocamente. TEOREMA 4. as relações n m seguintes forem válidas com quaisquer vetores u e v em Rn e escalar k. enfocamos exclusivamente as transformações matriciais de R em R . . .2 T : R → R é uma transformação matricial se. e só se.br/ 4. respectivamente. juntamente com a aditividade e a homogeneidade.com. No entanto. .9. suponha que valham as propriedades (i) e (ii).10. só no caso em que essas equações forem lineares é que T será uma transformação matricial. wm).blogspot. Como um primeiro passo. . Contudo. . . https://livros-pdf-ciencias-exatas. pelo que concluímos que  n m Até aqui. xn) no vetor (w1. x2. Por exemplo. e a matriz canônica de T1 é Assim. .1. implicam em T (k1v1  k2v2  · · ·  krvr )  k1T (v1)  k2T (v2)  · · ·  krT (vr ) (9) . . . . . . (i) T (u  v)  T (u)  T (v) [Aditividade] (ii) T(kv)  kT(v) [Homogeneidade] Prova Se T for uma transformação matricial. então as equações definem uma transformação T : Rn → Rm que aplica o vetor x  (x1.9. lembramos que a Fórmula (10) da Seção 4. Questão Existem propriedades algébricas de uma transformação T : Rn → Rm que possam ser usadas para determinar se T é uma transformação matricial? A resposta é dada pelo teorema seguinte. . Devemos mostrar que existe alguma matriz A de tamanho m  n tal que T (x)  Ax n com qualquer vetor x em R . xn. . f2.10 Propriedades das transformações matriciais 269 Solução A forma matricial dessas equações é de modo que a matriz canônica de T é Essa matriz é invertível (e. w2. A questão que passamos a considerar é a seguinte. Propriedades de linearidade n m esses não são os únicos tipos de transformações de R em R . fm forem quaisquer funções reais das n variáveis x1. . x2. então as propriedades (i) e (ii) seguem das partes (c) e (b) do Teorema 4. (h) Os vetores coluna de A são linearmente independentes.8. (j) Os vetores coluna de A geram Rn. . x2. . e que uma transformação que satisfaz essas propriedades é uma transformação linear. . xn de x. (b) Ax  0 tem somente a solução trivial. Usando essa terminologia. . (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In .4 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n.10. Mais sobre o teorema da Como nosso resultado final nesta seção.10. .270 Álgebra Linear com Aplicações com escalares k1. . (q) O complemento ortogonal do espaço linha de A é {0}. reciprocamente. (d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.3. . podemos reformular o Teorema 4. então as seguintes afirmações são equivalentes.10. vr em Rn quaisquer. (m) Os vetores linha de A formam uma base de Rn.1 que Ax é uma combinação linear das colunas de A em que os sucessivos coeficientes são as entradas x1. (f) Ax  b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n  1. (n) A tem posto n.  Dizemos que as propriedades de aditividade e homogeneidade do Teorema 4. Segue do Teorema 1. . Seja A a matriz A  [T (e1) | T (e2) | · · · | T (en)] (10) n em que e1. e2. (p) O complemento ortogonal do espaço nulo de A é Rn.3 Toda transformação linear de R em R é uma transformação ma- tricial e.1 ao Teorema 4. . (r) A imagem de TA é Rn. acrescentamos as partes (b) e (c) do Teorema equivalência 4.10. (g) det(A)  0. (o) A tem nulidade 0. n m TEOREMA 4. . (e) Ax  b é consistente com cada matriz b de tamanho n  1. (i) Os vetores linha de A são linearmente independentes. . Dessa forma. k2.10. . v2. . (k) Os vetores linha de A geram Rn. TEOREMA 4. . podemos reescrever isso como Ax  T (x1e1  x2e2  · · ·  xnen)  T (x) o que completa a prova.10.2 como segue. .2 são as condições de linearidade. Ax  x1T (e1)  x2T (e2)  · · ·  xnT (en) Usando (9). (a) A é invertível. en são os vetores da base canônica de R . kr e vetores v1. . (l) Os vetores coluna de A formam uma base de Rn. . toda transformação matricial de Rn em Rm é uma transfor- mação linear. (s) TA é um operador injetor. 2 T2 : R2 → R2 é a projeção ortogonal sobre o eixo y. 2x1  4x2). seguida de uma reflexão na reta y  x. Sejam T1(x1. • Inversa de operador matricial • Determinar se uma transformação é linear. x2. 6. x3. ângulo ␪2. (c) Use as matrizes encontradas na parte (b) para encontrar 9. (a) Uma rotação de 90° seguida de uma reflexão na reta y  x. seguida de uma projeção orto- gonal sobre o plano xz. T2(x1. (c) T1 : R2 → R2 é a projeção ortogonal sobre o eixo x e T2 : R2 → R2 é a rotação por um ângulo ␪. 4x1  x3). x3)  (x1  2x2. (b) Uma projeção ortogonal sobre o eixo y seguida de uma contração de fator . seguida de uma reflexão no eixo y. seguida de uma fórmulas para T1(T2(x1. x1  3x2) e ortogonal sobre o plano yz. considere os operadores matriciais TA TB (c) Uma rotação de 15°. x1  x2) e 8. 10.10 Propriedades das transformações matriciais 271 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Composição de transformações matriciais • Encontrar a matriz canônica de uma composta de • Reflexão na origem transformações matriciais. 1. • Condições de linearidade • Transformação linear • Caracterizações equivalentes de invertibilidade de matrizes Conjunto de exercícios 4. (a) T1 : R2 → R2 é a projeção ortogonal sobre o eixo x e 5. . sobre o eixo x. 7. x2. (a) Uma reflexão no plano yz. x2. rotação de 30° em torno do eixo z. se for. (c) Uma projeção ortogonal sobre o plano xy. seguida de uma dilatação de fator . T2(x1. Encontre a matriz canônica para a composição dada em R3. x2)  (x1  x2. x2. (a) T1 : R3 → R3 é a dilatação de fator k e T2 : R3 → R3 é a (a) Uma rotação de 60°. (b) Encontre as matrizes canônicas de T2 T1 e T1 T2 . 2x1  x2. x3)  (4x1. Encontre a matriz canônica para a composição dada em R2. Encontre a matriz canônica de TA TB . seguida de uma projeção ortogonal rotação em torno do eixo z por um ângulo ␪.  seguida de uma rotação de 60°. seguida de uma (a) Encontre as matrizes canônicas de T1 e T2 . x3)) e T2(T1(x1. seguida de uma rotação de 105°. (b) T1 : R2 → R2 é a rotação por um ângulo ␪ e T2 : R2 → R2 é a rotação por um ângulo ␪2. x2)) e T2(T1(x1. 3. (b) Uma rotação de 45° em torno do eixo y. (b) T1 : R3 → R3 é a rotação em torno do eixo x por um ângu- (b) Uma dilatação de fator k  2. Encontre a matriz canônica para a composição dada em R3. x2)). seguida de uma reflexão no plano yz. Sejam T1(x1. seguida de uma rota- ção de 180° em torno do eixo z. 2. x3)). seguida de uma rotação de lo ␪1 e T2 : R3 → R3 é a rotação em torno do eixo z por um 45°. encontrar o operador inverso. reflexão em torno do plano xz. fórmulas para T1(T2(x1. rotação de 90° em torno do eixo y. (c) Uma rotação de 270° em torno do eixo x. 4. (c) Uma reflexão em torno do eixo x seguida de uma dilata- ção de fator k  3. (c) Use as matrizes encontradas na parte (b) para encontrar (b) Uma reflexão em torno do plano xy. Encontre a matriz canônica para a composição dada em R . tração de fator . x2)  (3x1. (a) Uma rotação de 30° em torno do eixo x. das matrizes dadas.10  Nos Exercícios 1–2. Determine se T1 T2  T2 T1 . Determine se T1 T2  T2 T1 . seguida de uma projeção 4. seguida de uma con- (b) Encontre as matrizes canônicas de T2 T1 e T1 T2 . • Transformação injetora • Determinar se um operador matricial é injetor e. seguida de uma (a) Encontre as matrizes canônicas de T1 e T2. finalmente. z)  (1. (d) A reflexão no plano xy em R3. y) (a) TA(e1). y) (b) T (x. 23. x) (d) T (x. (d) (b) Uma reflexão no eixo y em R2. em seguida. y)  (x2. em seguida. 14. (c) (d) (c) As projeções em R2 da Tabela 3 da Seção 4.2 e sejam e1. em cada parte. Em cada parte. y. (a) T (x. y. Em cada parte. 18. use o Teorema 4. Em cada parte. (a) T (x. w2). Seja TA : R3 → R3 a multiplicação por (c) A dilatação de fator 3 em R2. (c) (d) contrai esse vetor pelo fator . (b) T : R3 → R3 projeta cada vetor ortogonalmente sobre o plano xz e. (a) T (x. (e) As rotações em R2 da Tabela 5 da Seção 4. se for. w2.10. w3). reflete esse vetor no eixo x.  Nos Exercícios 18–19. (b) T (x. y)  (x  1. determine se o operador matricial T : R2 → R2 definido pelas equações é injetor e. encontre a matriz canônica do operador matri- cial dado. (d) As projeções em R3 da Tabela 4 da Seção 4. y)  (y. encontre o vetor por inspeção. 0) (b) TA(e1  e2  e3) (c) TA(7e3) . em seguida.  (d) Uma contração de fator k > 0 em R . definido pelas equações é injetor e. z)  (3x  4y. use o Teorema 4. em seguida. encontre a matriz reflete esse vetor na reta y  x e. TA(e2) e TA(e3) (c) T (x. y)  (x. reflete esse vetor no plano xz e. Em cada parte. (a) (b) (a) As reflexões em R2 da Tabela 1 da Seção 4. 2x  5z) 12. (b) T (x. 1) (f) Uma reflexão no plano xy em R3.9. res da base canônica. em seguida. canônica do operador inverso e encontre T1(w1. em cada parte. em seguida. (a) T : R3 → R3 reflete cada vetor no plano xz e. encontre a matriz (f) As dilatações e contrações em R3 da Tabela 8 da Seção 4. 2 para determinar se T : R3 → R2 é uma transformação matricial. reflete esse vetor no eixo y. encontre a matriz canônica do operador matri- cial dado. Em cada parte. e2 e e3 os vetores da base canônica de R3. 16. reflete esse vetores no plano yz. determine se o operador matricial T : R3 → R3 (c) T : R2 → R2 dilata cada vetor pelo fator 3. z)  (x. 21. y)  (y.10.9. y) (c) T (x. (c) T : R3 → R3 reflete cada vetor no plano xy.9. (b) As reflexões em R3 da Tabela 2 da Seção 4. (a) (b) (a) T : R2 → R2 projeta cada vetor ortogonalmente sobre o eixo x e. (a) A reflexão no eixo x em R2.9. (e) A contração de fator em R3. (b) T (x. y) 2 (a) Uma projeção ortogonal sobre o eixo x em R .10. x  y  z) (e) Uma rotação em torno do eixo z em R3. use o Teorema 4. Em cada parte.2 (c) Uma reflexão na reta y  x em R2. (b) A rotação por um ângulo ␲/4 em R2.10. 13. (a) (b) 22. encontre a matriz canônica do operador ma- 20.4 para canônica do operador matricial a partir das imagens dos veto- determinar se o operador é injetor. Em cada parte. y. (a) T (x. matricial injetor dado. finalmente.3 para encontrar a matriz tricial definido pelas equações e use o Teorema 4. projeta esse canônica do operador inverso e encontre T1(w1. se for.  Nos Exercícios 16–17. (c) (d) (b) T : R2 → R2 reflete cada vetor na reta y  x e.9.9.  parte. z) = (0. determine por inspeção a inversa do operador sobre o plano xy. y)  (2x. vetor ortogonalmente sobre o eixo y. 0) (g) Uma dilatação de fator k > 0 em R3. determine por inspeção se o operador matricial 17. projeta esse vetor ortogonalmente 15. x  y) é injetor. Em cada para determinar se T : R2 → R2 é um operador matricial. y. y)  (2x  y. 19.272 Álgebra Linear com Aplicações 11. Em cada parte. (a) Se T : Rn → Rm e T(0)  0. mas tal que T não (e) Se T : Rn → Rm for uma transformação matricial e m  n. 1) e (1. Por exemplo. T transforma o vetor nulo de Rn no vetor nulo de Rm. 0).1 mostra uma fotografia famosa de Albert Einstein e três modificações dessa fotografia geradas por computador. en- é uma transformação matricial. (b) A recíproca de (a) não é verdadeira. tão T é injetora. 25.9. • Foi utilizado o programa MATLAB para associar coordenadas e um nível de cinza a cada pixel. (a) Prove que se T : Rn → Rm for uma transformação matri- T (x  y)  0. (c) Se T : Rn → Rm for uma transformação matricial injetora. a Figura 4. • Os níveis originais de cinza foram então associados aos pixels para produzir a figura transformada. e só (f) Se T : Rn → Rm for uma transformação matricial e m < n. matricial injetora com uma transformação matricial que não é injetora? Considere ambas ordens de composição e (b) Se T : Rn → Rm e T (c1x  c2y)  c1T (x)  c2T (y) com justifique sua resposta. (d) Se T : Rn → Rm for uma transformação matricial e m > n. Prove: uma matriz A de tamanho n  n é invertível se.11. Em cada parte. • As coordenadas dos pixels foram transformadas por multiplicação matricial. Na Seção 4. 4. 0) define um operador matricial em R2. 1) não. em seguida. digitalizada para decompô-la num arranjo retangular de pixels. (a) Será injetora a composta de transformações matriciais justificando sua resposta. (c) Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(f). 2 Muitas vezes. o sistema linear Ax  w tem exatamente uma solução com tão T é injetora. que são o resultado de operadores matriciais de R2. 1) do quadrado unitário (Figura 4. y)  (1. então T(0)  0.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 273 29. quaisquer escalares c1 e c2 e quaisquer vetores x e y em Rn. (a) O que pode ser dito sobre a imagem do operador matri- (a) (b) cial T? Dê um exemplo que ilustre sua conclusão. No entanto. Transformação de regiões duais em R2 e R3. Mostre que T (x. então T é uma transformação ma- (b) Pode ser injetora a composta de uma transformação tricial. também é importante entender como esses operadores afe- tam os formatos de regiões. 26. discutimos mais detalhadamente os operadores matriciais de R2. determine se a multiplicação por A é uma transformação matricial injetora. y)  (0. Sejam A uma matriz n  n tal que det(A)  0 e T : R → R a n n 24. . injetoras? Justifique sua resposta.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 Nesta seção opcional. ou seja. Prove: se a transformação matricial TA : Rn → Rn for injetora. Dê um exemplo de uma transformação T tal que T(0)  0. en- tão não existem vetores distintos x e y com os quais 27. o efeito geral de um operador matricial de R pode ser entendido olhando para as imagens dos vértices (0.11. cial. en- se. As ideias aqui desenvolvidas têm aplicações importantes na Computação Gráfica. (b) O que pode ser dito sobre o número de vetores que T aplica em 0? 30. (1. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. multiplicação por A. 4.2). 0). Esses pixels foram então transformados como segue. qualquer vetor w em Rn tal que o sistema seja consistente. enfocamos o efeito que um operador matricial tem sobre vetores indivi. então T é uma transformação matricial. 28. então A é invertível. (0. A figura original foi escaneada e. mas T (x. en- tão T é injetora. destacamos uma metade do quadrado original e a parte correspondente na imagem. https://livros-pdf-ciencias-exatas.br/ 274 Álgebra Linear com Aplicações Digitalização Rotação Cisalhamento horizontal Compressão horizontal  Figura 4.9). 1) y x x x x x e1 Quadrado unitário Quadrado unitário girado Quadrado unitário Quadrado unitário Quadrado unitário refletido no eixo y refletido na reta y  x projetado no eixo x  Figura 4.  .11.9 têm sobre o quadrado unitário.blogspot. No caso especial em que k1 e k2 são iguais. e depois comprimido ou expandido pelo fator k2 na direção y.  E X E M P L O 1 Transformando com matrizes diagonais Suponha que o plano xy seja inicialmente comprimido ou expandido pelo fator k1 na di- reção x. a matriz canônica da composta da operação em x seguida pela operação em y é (1) Isso mostra que a multiplicação por uma matriz diagonal 2  2 com entradas não negati- vas expande ou comprime o plano na direção x e também na direção y.11.1 y y y y e2 (1.com.2 A Tabela 1 mostra o efeito que algumas transformações matriciais estudadas na Seção 4. a Fórmula (1) é simplificada para que é uma dilatação ou contração (Tabela 7 da Seção 4. digamos k1  k2  k. Encontre um só operador matricial que efetue ambas operações. Para isso ficar mais claro. Solução As matrizes canônicas das duas operações são expansão (compressão) em x expansão (compressão) em y Assim. 1) Reflexão no eixo x x x (1. 1) k ⬎ 0 na direção y x x . 1 + k) y Cisalhamento de fator (1. 1) Reflexão na reta y ⫽ x x x (cos ␪ – sen ␪. 1) Reflexão no eixo y x x y y (1. 4. 1) (1. 1) Cisalhamento de fator k > 0 na direção x x x y (1. 1) Expansão na direção x pelo fator k x x (k ⬎ 1) y y (1. 1) (k. –1) y y (1.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 275 Tabela 1 Operador Matriz canônica Efeito no quadrado unitário y y (1. sen ␪ + cos ␪) y y (1. 1) Compressão na direção x pelo fator k x x (0 ⬍ k ⬍ 1) y y (1. 1) (1 ⫹ k. 1) (–1. 1) Rotação anti-horária pelo ângulo ␪ x ␪ y y (1. 1) (k. 276 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 2 Encontrando operadores matriciais (a) Encontre a matriz canônica do operador matricial de R2 que é dado pelo cisalhamento de fator 2 na direção x seguido da reflexão na reta y  x. Esboce a imagem do quadra- do unitário por esse operador.4.  y y y=x y (3. os operadores matriciais.3 e 4.11.11.3 y y y=x y y=x (1. 1) (1. 1) x x x Cisalhamento Reflexão de fator 2 em y  x na direção x  Figura 4.11. a matriz canônica do cisalhamento seguido pela rotação é Solução (b) A matriz canônica da reflexão seguida pelo cisalhamento é Solução (c) Os cálculos nas soluções das partes (a) e (b) mostram que A1A2  A2A1. 1) (1.4 .11. (b) Encontre a matriz canônica do operador matricial de R2 que é dado pela reflexão na reta y  x seguida pelo cisalhamento de fator 2 na direção x. (c) Confirme que o cisalhamento e a reflexão das partes (a) e (b) não comutam. Solução (a) A matriz canônica do cisalhamento é e a da reflexão é Assim. portanto. 3) (3. não comutam. 1) (1. Esboce a imagem do quadrado unitário por esse operador. já que os dois operadores produzem imagens diferentes do quadrado unitário. de modo que as matrizes canônicas e. A mesma conclusão segue das Figuras 4. 1) x x x Reflexão Cisalhamento em y  x de fator 2 na direção x  Figura 4. As primeiras duas matrizes representam cisalhamentos na direção de um eixo coordena- do. 4. dependendo se 0 k . sabemos que uma transformação matricial TA é injetora se. uma reflexão na reta y  x.11.1 Se E for uma matriz elementar. digamos. A puder ser expressa como um produto de matrizes elementares. Pelo Teorema 4. que são importantes por A geometria de operadores aplicarem pontos distintos em pontos distintos. Se k > 0. Assim. podemos analisar o efeito de qualquer transformação injetora TA fatorando a matriz A num produto de matrizes ele- mentares. (b) Uma reflexão na reta y  x. (c) Uma compressão na direção de um eixo coordenado. e só se. uma matriz dessas necessariamente tem um dos forma- tos seguintes (verifique). (d) Uma expansão na direção de um eixo coordenado. TEOREMA 4. (f) Uma compressão ou expansão na direção de um eixo coordenado seguida de uma reflexão num eixo coordenado. então TE : R2 → R2 é um dos ope- radores seguintes. (e) Uma reflexão num eixo coordenado. (a) Um cisalhamento na direção de um eixo coordenado. A  E1E2 · · · Er e expressando TA como a composta TA  TE1E2···Er  TE1 TE2 · · · TEr (2) O teorema seguinte explica o efeito geométrico dos operadores matriciais corresponden- tes a matrizes elementares.10. as duas últimas matrizes representam expansões ou compressões na direção de um eixo coordenado.4 (das afirmações matriciais injetores equivalentes). Prova Como uma matriz elementar 2  2 resulta de uma única operação elementar nas linhas da matriz identidade 2  2. e a terceira.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 277 2 Voltamos nossa atenção aos operados matriciais injetores de R . 1 ou k  1. Se k . No caso em que k   1.1 e da Fórmula (2). as transformações (3) e (4) são simplesmente reflexões nos eixos y e x. o próximo resulta- do decorre do Teorema 4. respectivamente.  Como toda matriz invertível é o produto de matrizes elementares. . com k1  0.11. e (4) representa uma compressão ou expansão na direção y seguida de uma reflexão no eixo x. 0 e se expressarmos k na forma k  k1. então as duas últimas matrizes podem ser escritas como (3) (4) Como k1  0. o produto em (3) representa uma compressão ou expansão na direção x se- guida de uma reflexão no eixo y. e descreva o efeito geométrico da multiplica- ção por A em termos de compressões e expansões. expansões e reflexões. compressões. Somamos 23 Multiplicamos Somamos 22 vezes a primeira a segunda vezes a segunda linha à segunda linha por linha à primeira As três operações sucessivas com as linhas podem ser efetuadas multiplicando A pela esquerda sucessivamente por Invertendo essas três matrizes e usando a Fórmula (4) da Seção 1. temos o que mostra que a multiplicação por A tem o efeito geométrico de comprimir ou expandir pelo fator k1 na direção x e depois comprimir ou expandir pelo fator k 2 na direção y. obtemos Lendo da direita para a esquerda e observando que segue que o efeito de multiplicar por A equivale a .  E X E M PLO 4 Analisando o efeito geométrico de um operador matricial Expresse como um produto de matrizes elementares e então e descreva o efeito geométrico da mul- tiplicação por A em termos de cisalhamentos. então o efeito geométrico de TA é igual ao de uma sucessão apropriada de cisalhamentos. Solução A pode ser reduzida a I como segue. Solução Pelo Exemplo 1. expansões e reflexões. expresse a matriz diagonal como um produto de matrizes elementares.11.2 Se TA : R2 → R2 for a multiplicação pela matriz invertível A.  E X E M P L O 3 Analisando o efeito geométrico de um operador matricial Supondo que k1 e k2 sejam positivos.278 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 4.5. um cisalhamento de fator 3 na direção y. 2). 0). A prova de algumas partes do teorema fica como exercícios. 0). um cisalhamento de fator 2 na direção x. 2.11. muitas imagens são construídas ligando pontos por segmentos Imagens de retas por de retas. y ) sua imagem pela multi- plicação por A.3. –1)  Figura 4. 1) (Figura 4. (2. 2) y (1. 1) (1. seguido por uma expansão de fator 2 na direção y. y) um ponto da reta y  2x  1 e seja (x . então. 4. 1) por x (0. então a imagens de P e Q. (1.11. Observe que.3. seguida por uma reflexão no eixo x e. (2. 1) e (0. O próximo teorema ajuda a entender como os operadores matriciais transformam operadores matriciais tais imagens. (1.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 279 1. (a) A imagem de uma reta é uma reta. (1. 1) x (0. 1) pela multiplicação (0. lelogramos em paralelogramos. 1) e (1.5). multiplicação por A transforma triângulos em triângulos e para- (e) As imagens de três pontos são colineares se. 4.  Na Computação Gráfica. segue que se A for uma (d) A imagem do segmento de reta ligando P e Q é o segmento de reta ligando as matriz 2  2 invertível. Encontre sua equação. 3. Solução Seja (x.11.11. 0) (1. 0).  E X E M P L O 5 Imagem de um quadrado y Esboce a imagem do quadrado de vértices (0. os pontos são colineares.11. (b) A imagem de uma reta pela origem é uma reta pela origem. do Teorema (c) As imagens de retas paralelas são retas paralelas. TEOREMA 4. 0) Solução Como (–1. 0) a imagem do quadrado é um paralelogramo de vértices (0.3 Seja T : R2 → R2 a multiplicação por uma matriz invertível. e somente se. 4. a matriz invertível leva a reta y  2x  1 em alguma outra reta. Então .5  E X E M P L O 6 Imagem de uma reta De acordo com o Teorema 4. y. Em cada parte. encontre a matriz 2  2 que comprime ou torno do eixo x (olhando ao longo do eixo x positivo para expande a origem). (a) pela reflexão no eixo x. 1) pela multiplicação por (b) reflexão no plano xz. Em cada parte do Exercício 1. . Confira suas respostas geometricamente esboçando os pontos (2. y) em torno da origem por (a) 45° (b) 90° (c) 180° (d) 270° (e) 30° 5. ponto (x. Em cada parte. (e) pelo cisalhamento de fator k  3 na direção x. 1) e T(1. 1. • Encontrar a imagem do quadrado unitário por um operador matricial. (b) rotação de cada vetor por 90° no sentido anti-horário em 10. 3. y) na sua torno do eixo y (olhando ao longo do eixo y positivo para (a) reflexão na reta y   x. encontre a matriz canônica do operador T : R3 → R3 que transforma cada ponto (x. equivalentemente. (1. Esboce a imagem do quadrado de vértices (0. use a matriz obtida para (c) pela compressão na direção y de fator . • Imagens de retas por operadores matriciais • Descrever o efeito geométrico de um operador matricial invertível. 1. Encontre a matriz canônica do operador T : R3 → R3 que efetua a 9. (c) reflexão no plano yz. Conjunto de exercícios 4. 0). 1). Esboce a imagem do retângulo de vértices (0. 2. 2) e (0. (1. y ) satisfaz que é a equação procurada. 0). a origem).280 Álgebra Linear com Aplicações de modo que Substituindo em y  2x  1. (a) por um fator na direção y. 1) e T(2. 1).11 1. Em cada parte. 1). a origem). (b) de fator k  2 na direção x. (b) reflexão na origem.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Efeito de um operador matricial no quadrado unitário • Encontrar as matrizes canônicas de transformações • Geometria de operadores matriciais invertíveis geométricas de R2. z) na sua (f) pelo cisalhamento de fator k  2 na direção y. 1) e (0. Assim. 1). (a) reflexão no plano xy. (d) projeção ortogonal sobre o eixo y. 6. 2) (c) projeção ortogonal sobre o eixo x. (1. (b) pela reflexão no eixo y. encontre a matriz 2  2 que efetua um cisalhamento (a) rotação de cada vetor por 90° no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando ao longo do eixo z positivo para (a) de fator k  4 na direção y. 7. (d) pela expansão na direção x de fator k  2. 1. Confira suas respostas geometricamente 8. use a matriz obtida para calcular T(1. encontre a matriz canônica do operador (c) rotação de cada vetor por 90° no sentido anti-horário em T : R2 → R2 que transforma cada ponto (x. Em cada parte. (b) por um fator 6 na direção x. encontre a matriz que faz a rotação de cada esboçando os vetores (1. • Encontrar a imagem de uma reta por um operador matricial. 0). calcular T(2. Em cada parte. obtemos 2x  3y  2(x  y )  1 ou. 0). Em cada parte do Exercício 3. (1. 4. (x . seguida pela reflexão na reta y  x. z z z (c) A transformação inversa da reflexão num eixo coordena- do é a reflexão naquele eixo. seguido Em seguida. x. o cisalhamento de fator k na direção xy é a transfor- (a) O cisalhamento de fator k  3 na direção x. y.11. encontre uma única matriz 2  2 que efetue a tem a equação A x  B y  C = 0. z. encontre uma única matriz 2  2 que efetue a reta. (x. Em cada parte.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 281 11. Em cada parte. y. 0) são transformados em pontos de uma 13. (a) Mostre que a multiplicação por termos de compressões. A  (dA  cB)/(ad  bc) (a) A reflexão no eixo y.11. reflexões e cisalhamentos. expresse a matriz como um produto de matri. z) multiplicação por (x. (a) (b) aplica cada ponto no plano sobre a reta y  2x. use inversão matricial para mostrar a afirma. Isso contradiz a parte (e) do Teorema 4. Encontre a matriz de um cisalhamento na direção x que trans- forma o triângulo de vértices (0. Prove a parte (a) do Teorema 4.) (c) A reflexão no eixo y  x. 0). (2.] 15. 1) e (1. Use o método do Exemplo 6 para mostrar que (b) A expansão de fator 5 na direção y seguida do cisalha. seguida da expansão de fator 5 na e direção x. cial descrito pela figura. com A e B de fator 5 na direção y. Em cada parte. encontre a equação da imagem da reta y  2x pelo operador. Em R3. (b) A transformação inversa de uma compressão na direção de um eixo é uma expansão na direção daquele eixo. com sucessão de operações indicadas. mostre que A e B não são ambos nulos para pela expansão de fator 3 na direção y. (a) (b) (c) 18. y. 14. (e) A rotação de 60° em torno da origem.3? sucessão de operações indicadas. expansões. encontre a matriz canônica do operador matri- flexão na reta y  x. y) (a) (b) (c)  Figura Ex-22 17. a imagem dessa reta pela multiplicação pela matriz invertível mento de fator 2 na direção y. descreva o efeito geométrico da multiplicação (d) A reflexão no eixo y. z) paralelamente (b) A compressão de fator na direção y. 0). mação matricial que aplica cada ponto (x. (c) A reflexão na reta y  x seguida da rotação pelo ângulo de 180° em torno da origem. . (b) A rotação pelo ângulo de 30° em torno da origem. 0) num triân- 12. z) y daquele eixo.3. y  kz. 4. Em cada parte. segui. 23. não ambos zero. (a) A transformação inversa da reflexão na reta y  x é a re. y. por A. Em cada parte. (0. 16. x) (d) A transformação inversa de um cisalhamento na direção (y. z) de um eixo coordenado é um cisalhamento na direção y y (x. 1) e (3. zes elementares e descreva o efeito da multiplicação por A em 19. (c) (d) (b) Segue da parte (a) que os pontos não colineares (1. 20. gulo retângulo com o ângulo reto na origem. ao plano xy no novo ponto (x  kz. Em cada parte.3. Use a sugestão do Exercício 20 para provar as partes (b) e (c) ção.11. do Teorema 4. (Ver figura. 21. concluir que a imagem é uma reta. Encontre a equação da imagem da reta y  4x  3 pela x x x (x. z) (z. (a) Encontre a matriz canônica do cisalhamento de fator k na direção xy. y. Em cada parte. [Sugestão: uma reta no (a) A compressão de fator na direção x seguida da expansão plano tem uma equação da forma Ax  By  C = 0. 22. z). B  (bA  aB)/(ad  bc) da pelo cisalhamento de fator 2 na direção y. Qual é a audiência de cada canal ao final de um ano? Solução Comecemos introduzindo as variáveis Canal 10% Canal x1(t)  fração de audiência do canal 1 no instante de tempo t 1 2 x2(t)  fração de audiência do canal 2 no instante de tempo t 20% que dependem do tempo e o vetor coluna 80% 90% Fração de audiência do canal 1 no instante de tempo t O canal 1 perde 20% e Fração de audiência do canal 2 no instante de tempo t mantém 80%. 4. y.12. Sistemas dinâmicos Um sistema dinâmico é um conjunto finito de variáveis cujos valores mudam com o pas- sar do tempo. (b) Um operador matricial 2  2 invertível tem o efeito geomé- trico de uma sucessão de cisalhamentos. Comecemos com um exemplo. Nosso principal objetivo nesta seção é analisar como o estado de um sistema dinâmico evolui com o tempo. expan- (x. compressões. de Sociologia e da maioria das ciências físicas. e o vetor formado pelos estados é denominado o estado do sistema dinâmico naquele instante de tempo. os canais 1 e 2. y y (c) A imagem de uma reta por um operador matricial injetor é uma reta.  E X E M P L O 1 Índice de audiência como um sistema dinâmico Suponha que cada um de dois canais de televisão concorrentes. (a) A imagem do quadrado unitário por um operador matricial z z injetor é um quadrado. justificando sua resposta. O canal 2 perde 10% e As variáveis x1(t) e x2(t) formam um sistema dinâmico cujo estado no instante de tempo mantém 90%. Suponha que ao longo de cada período de um ano. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. o canal 1 atraia 10% da audiência do canal 2 e o canal 2 capture 20% da audi- ência do canal 1 (ver Figura 4. de Demografia. Tomando t  0 como o ponto inicial no qual ambos canais têm 50% da  Figura 4.1). Os métodos que estudamos aqui têm sido aplicados a problemas de Administração.1 audiência. y + kz. (g) A matriz representa uma expansão. mostraremos como os métodos matriciais podem ser usados para analisar o comportamento de sistemas físicos que evolvem com o passar do tempo. t é o vetor x(t).12. temos que o estado do sistema naquele instante de tempo é . de Ecologia. O valor de uma variável num dado instante de tempo é denominado o esta- do da variável naquele instante de tempo. tenha 50% da audiência num dado instante de tempo inicial. x x (e) A matriz representa uma reflexão numa reta. z) sões e reflexões.  Figura Ex-23 (f) A matriz representa um cisalhamento.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov Nesta seção opcional. z) (x + kz. (d) Toda reflexão de R2 é sua própria inversa. matrizes canônicas dessas transformações matriciais.282 Álgebra Linear com Aplicações (b) Como você definiria o cisalhamento de fator k na direção Exercícios verdadeiro/falso xz e o cisalhamento de fator k na direção yz? Encontre as Nas partes (a)-(g). e assim por diante. Analogamente.1)x2(k) (5) Analogamente.55 (3) Portanto. o canal 2 ganha 20% dos 50% iniciais do canal 1 e retém 90% de seus 50% iniciais.8(0.1(0. obtemos que confere com (4). x1(1)  0. Agora podemos continuar esse processo. Ao longo do ano. Solução Para resolver esse problema.5)  0.5)  0. Isso fornece (verifique) (8) Assim. depois de cinco anos. o canal 1 vai ter um índice de audiência de 36% e o canal 2. x1(k  1)  (0. Assim. A análise é exatamente a mesma que foi usada para obter as Equações (2) e (3).5)  0. o estado do sistema no instante de tempo t  1 é Fração de audiência do canal 1 no instante de tempo t ⴝ 1 (4) Fração de audiência do canal 2 no instante de tempo t ⴝ 1  E X E M P L O 2 Evolução do índice de audiência ao longo de cinco anos Acompanhe os índices de audiência dos canais 1 e 2 do Exemplo 1 num período de cinco anos.5)  0.9(0. usando (1) e (7). Ao longo do ano. Assim.8)x1(k)  (0. usando a Fórmula (7) para calcular x(3) a partir de x(2). o canal 1 retém 80% de seus 50% iniciais e ganha 10% dos 50% iniciais do canal 2.2)x1(k)  (0. um índice de 64%. x2(1)  0. Assim. vamos supor que já calculamos os índices de audiência de cada canal no instante de tempo t  k e que estamos interessados em usar os valores conhecidos de x1(k) e x2(k) para calcular os índices x1(k  1) e x2(k  1) um ano depois. Por exemplo.2(0. 4.9)x2(k) (6) As Equações (5) e (6) podem ser expressas em formato matricial como (7) que fornece uma maneira de usar a multiplicação matricial para calcular o estado do sis- tema no instante t  k  1 a partir do estado no instante t  k. o canal 1 retém 80% de sua fração inicial x1(k) e ganha 10% da fração inicial x2(k) do canal 2.45 (2) Analogamente.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 283 Fração de audiência do canal 1 no instante de tempo t ⴝ 0 (1) Fração de audiência do canal 2 no instante de tempo t ⴝ 0 Vamos tentar encontrar o estado do sistema no instante de tempo t  1 (um ano depois). o canal 2 ganha 20% da fração inicial x1(k) do canal 1 e retém 90% de sua própria fração inicial x2(k). Assim. depois x(4) a partir de x(3).  . x2(k  1)  (0. 5 ou 50%. então as probabilidades desses resultados deverão ser frações não negativas cuja soma é 1. pois dão conta de todas as n possibilidades. a seguinte interpretação desse termo é suficiente. e obtivemos os seguintes vetores de estado (arredondados até a sexta casa decimal): (9) Todos os vetores de estado subsequentes. mas podem ser dados como probabilidades. Por exemplo.1  0. Fizemos isso. quando arredondados até a sexta casa decimal. Em termos informais. o que está além dos propósitos deste livro. ainda nesta seção. portanto vemos que os índices de audiência acabam se estabilizando. queremos dizer que se a moeda fosse lançada muitas vezes sob condições constantes. com o canal 1 mantendo cerca de um terço da audiência e o canal 2. a probabilidade de se obter cara jogando uma moeda honesta também pode ser expressa como 0. As probabilidades são muitas vezes expressas como decimais ou como por- centagens. então esperaríamos que. Assim. Por exemplo. Em geral.6  1 Num processo estocástico com n possíveis estados. dizemos que um vetor é um vetor probabilidade se suas entradas são não negativas e têm soma 1. Contudo. significando “palpite”. quanto maior o número de repetições.284 Álgebra Linear com Aplicações Se quisermos. Se um experimento ou observação tiver n resultados possíveis.3  0. Um estudo detalhado de processos estocásticos requer uma definição pre- cisa do termo probabilidade. podemos continuar a análise de mercado do último exemplo além do período de cinco anos e explorar o que acontece com os índices de audiência a longo prazo. o vetor de estados em cada ins- tante t tem o formato A probabilidade de que o sistema esteja no estado 1 A probabilidade de que o sistema esteja no estado 2 A probabilidade de que o sistema esteja no estado n As entradas desse vetor devem somar 1. três bolas verdes e seis bolas amarelas e se uma bola for retirada aleatoriamente da caixa. se uma caixa contém uma bola vermelha. cerca de dois terços. mais precisamente a probabilidade des- creve a fração das ocorrências. esses sistemas dinâmicos são deno- minados processos estocásticos (da palavra grega stochastikós. As probabilidades são não negativas porque cada uma descreve a fração de ocorrências de um resultado a longo prazo. “conjectura”). e a soma é 1 porque eles dão conta de todos os possíveis resultados. em aproximadamente metade das ocorrências. obte- ríamos cara. Cadeias de Markov Os estados das variáveis em muitos sistemas dinâmicos não são conhecidos com absoluta certeza. quando dizemos que é a probabilidade de se obter cara jogando uma moeda honesta. a probabilidade de um experimento ou de uma observação pro- duzir um certo resultado é aproximadamente a fração de tempo durante a qual esse resultado ocorreria se o experimento fosse repetido muitas vezes sob condições cons- tantes. explicaremos por que ocorre essa estabilização. são iguais a x(40). para o nosso estudo. usando um computador. então as probabilidades dos possíveis resultados são Cada probabilidade é uma fração não negativa e p1  p2  p3  0. . Adiante. o vetor de estado que. também pode ser interpretado como significando que um indivíduo escolhido aleatoriamente é um telespectador do canal 1 com uma probabilidade de 0.9  probabilidade de que um telespectador do canal 2 continue sendo telespectador do canal 2 O Exemplo 1 é um caso especial de uma classe maior de processos estocásticos deno- minados cadeias de Markov. tais matrizes ocorrem em fórmulas que dão os estados sucessivos de um processo estocástico.45 e é um telespectador do canal 2 com uma probabilidade de 0. juntos. e as entradas na coluna 2 dizem que a cada ano o canal 2 mantém 90% de sua audiência e perde 10%. no Exemplo 1.2  probabilidade de que um telespectador do canal 1 passe a ser telespectador do canal 2 p12  0. pela Teoria Quântica e pela Genética! [Imagem: Wikipedia] Andrei Andreyevich Markov (1856–1922) . Markov.  Dizemos que uma matriz quadrada é uma matriz estocástica se cada um de seus vetores coluna for um vetor probabilidade. na qual (10) é uma matriz estocástica. por exemplo. já que as entradas em cada coluna dizem o que ocorre com a audiência de cada canal ao longo de cada ano. Por exemplo. Em geral. que as entradas na coluna 1 indi- cam que a cada ano o canal 1 mantém 80% de sua audiência e perde 20%. foi interpretado como significando que o canal 1 detém 45% da audiência e o canal 2 detém 55% da audiência. Não deveria ser surpreendente que os vetores coluna de P são vetores de probabilidade.8  probabilidade de que um telespectador do canal 1 continue sendo telespectador do canal 1 p21  0. já que a informação sobre a audiência costuma ser obtida por meio de procedimentos estatísticos com incertezas intrínsecas. já que as entradas de cada vetor de estado são os índices de audiência dos canais que.55. que as utilizou para analisar as alterações de vogais e consoantes no poema Eugene Onegin. a saber. p11  0. A. de Pushkin. 4. Markov acreditava que a única aplicação de suas cadeias seria a análise de obras literárias. compreendem toda a audiência. os vetores de estado x(k  1) e x(k) em (7) estão relacionados por uma equação da forma x(k  1). de modo que ele ficaria surpreso se soubesse que hoje sua descoberta é usada pelas Ciências Sociais.1  probabilidade de que um telespectador do canal 2 passe a ser telespectador do canal 1 p22  0. Isso era de se esperar. Assim.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 285  E X E M P L O 3 De novo o Exemplo 1 do ponto de vista probabilístico Observe que os vetores de estado nos Exemplos 1 e 2 são todos vetores de probabilida- de. Além disso. um amante da poesia. é preferí- vel interpretar as entradas de vetores de estado como probabilidades em vez de índices exatos de audiência. Nota histórica As cadeias de Markov são assim denominadas em ho- menagem ao matemático russo A. As entradas em (10) também podem ser vistas como probabilidades.  Figura 4.6 p23  0.3 p33  0. respectivamente.12.2 Reserva Reserva 0.2). no instante t  k e seja o vetor de estado naquele instante.  E X E M P L O 4 Migrações como cadeias de Markov Suponha que um leão marcado possa migrar entre três reservas em busca de comida. os pesquisadores concluem que o padrão mensal de migração do leão pode ser modelado por uma cadeia de Markov com matriz de transição Reserva no instante t ⴝ k Reserva no instante t ⴝ k ⴙ 1 (ver Figura 4. j no instante t  k. nessa definição.4  probabilidade de que o leão migre da reserva 2 para a reserva 3  Figura 4. Solução Sejam x1(k).4 0. 2 e 3.2  probabilidade de que o leão permaneça na reserva 2 quando está na reserva 2 0. x2(k) e x3(k) as probabilidades do leão estar na reserva 1.2 Observação Observe que. Assim. o índice i de linha corresponde ao estado seguinte.5  probabilidade de que o leão permaneça na reserva 1 quando está na reserva 1 0.1  probabilidade de que o leão permaneça na reserva 3 quando está na reserva 3 Se t estiver em meses e sabendo que o leão é largado na reserva 2 no instante t  0.3 p22  0. ao estado anterior (Figura 4.2 0. o vetor de estado inicial é . As reservas são denotadas por 1.286 Álgebra Linear com Aplicações Estado no instante t = k DEFINIÇÃO 1 Uma cadeia de Markov é um sistema dinâmico cujos vetores de es- tado numa sucessão de intervalos de tempo são vetores de probabilidade e para o qual pij Estado no instante os vetores de estado em intervalos de tempo sucessivos estão relacionados por uma t=k+1 equação da forma x(k  1)  Px(k) A entrada pij é a probabilidade de que o sistema estará no em que P  [pij ] é uma matriz estocástica.3 0. 2 e 3 e.3  probabilidade de que o leão migre da reserva 1 para a reserva 3 2 3 0.12.6  probabilidade de que o leão migre da reserva 3 para a reserva 1 Reserva 1 p21  0. e pij é a probabilidade com que o sistema estado i no instante t  k  1 estará no estado i no instante t  k  1 se estiver no estado j no instante t  k.1 p31  0. Como sabemos com certeza que o leão está na reserva 2 no instante t  0.4 p32  0.12.4  probabilidade de que o leão migre da reserva 2 para a reserva 1 p13  0. acom- panhe sua localização provável ao longo de um período de seis meses.2  probabilidade de que o leão migre da reserva 1 para a reserva 2 0.3).3  probabilidade de que o leão migre da reserva 3 para a reserva 2 0.5 p12  0. A matriz se o sistema estiver no estado P é denominada matriz de transição do sistema. e o índice j de coluna. p11  0.12. tendo por base dados sobre os recursos de alimento. esses vetores de estado podem ser expressos em termos do vetor de estado inicial x0 como x1  Px0. é razoável perguntar se todas as prazo de uma cadeia de cadeias de Markov têm essa propriedade. (11) Alternativamente. o vetor de estado inicial e matriz de transição são Deixamos para o leitor calcular P3 e mostrar que o que confere com o resultado em (8). . . do que segue que Note que a Fórmula (12) torna xk  P x0 k (12) possível calcular o vetor de esta- do xk sem precisar calcular antes sem calcular todos os estados intermediários.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 287 Deixamos para o leitor mostrar que os vetores de estado ao longo do período de seis me- ses são Como no Exemplo 2. é costume denotar x(k) por xk. . x4  P(P3x0)  P4x0. aqui os vetores de estado parecem estabilizar ao longo do tempo com uma probabilidade de aproximadamente 0. . x(4)  Px(3). Comportamento a longo tabilizar depois de um certo período de tempo.  Vimos dois exemplos de cadeias de Markov nos quais os vetores de estado parecem es. como é exigido na Fórmula (11). x2  Px1. x4  Px3.  Numa cadeia de Markov com estado inicial x(0). O próximo exemplo mostra que isso não ocorre. . . Solução Por (1) e (7). Markov  E X E M PLO 6 Uma cadeia de Markov que não estabiliza A matriz . x3  Px2. Assim. x2  P(Px0)  P2x0. transição Para simplificar.227 de estar na reserva 2 e uma probabilidade de aproximadamente 0. o que nos permite escrever os sucessivos vetores de estado mais sucintamente como x1  Px0. uma probabilidade de aproximadamente 0.504 de o leão estar na reserva 1. . Adiante discutiremos métodos eficazes de os vetores de estado anteriores. . x3  P(P2x0)  P3x0.269 de estar na reserva 3.  E X E M P L O 5 Encontrando um vetor de estado diretamente de x0 Use a Fórmula (12) para encontrar o vetor de estado x(3) do Exemplo 2. 4. x(2)  Px(1). . x(3)  Px(2). os sucessivos vetores de estado são Cadeias de Markov como potências da matriz de x(1)  Px(0). calcular potências de matrizes que tornam essa fórmula ainda mais útil. . (b) Dado qualquer vetor probabilidade inicial x0. então (a) Existe um único vetor probabilidade q tal que Pq  q. Px0. que enunciamos sem prova. ser considerada como a matriz de transição de uma cadeia de Markov. x0. podemos garantir que os vetores de estado tendem a um limite impondo mais uma condição na matriz de transição de uma cadeia de Markov.12. . diremos que uma sequência de vetores x1. .288 Álgebra Linear com Aplicações é estocástica e pode. Contudo. A matriz é regular porque tem entradas positivas. xk. DEFINIÇÃO 2 Uma matriz estocástica P é dita regular se P ou alguma potência po- sitiva de P tiver todas as entradas positivas. . P x0. Px0. Um cálculo simples mostra que P2  I. . a cadeia de Markov não estabiliza. do que segue que IP P P ··· e P  P3  P5  P7  · · · 2 4 6 Assim. tende a um limite q ou que converge a q se todas as entradas de xk podem se tornar arbitra- riamente próximas das entradas correspondentes de q tomando k suficientemente grande. .  Uma definição precisa do que significa uma sequência de números ou de vetores estabilizar é dada no Cálculo. a sequência de vetores de estado k x0. Vamos denotar isso escrevendo xk → q quando k → .  O próximo teorema. A matriz P no Exemplo 6 não é regular porque P e cada potência positiva de P têm algumas entradas nulas (verifique). x0. . portanto. x2. . pois suas entradas são positi- vas. . TEOREMA 4. . que oscilam entre x0 e Px0.  E X E M P L O 7 Matrizes estocásticas regulares As matrizes de transição nos Exemplos 2 e 4 são regulares. . e uma cadeia de Markov com matriz de transição regular é dita uma cadeia de Markov regular. é o resultado fundamental sobre o comportamento a longo termo de cadeias de Markov. Assim. . In- formalmente. os estados sucessivos na cadeia de Markov com vetor inicial x0 são x0. . . Vimos no Exemplo 6 que os vetores de estado de uma cadeia de Markov não pre- cisam se aproximar de um limite em todos os casos. . Px0. mas aquele nível de precisão não será necessário aqui. . .1 Se P for a matriz de transição de uma cadeia de Markov regular. a menos que ambos componentes de x0 sejam (verifique). converge a q. .  E X E M P L O 8 De novo os Exemplos 1 e 2 A matriz de transição da cadeia de Markov do Exemplo 2 é Como as entradas de P são positivas. Vejamos alguns exemplos. Para encontrar q. portanto. a cadeia de Markov é regular e tem. Substituindo esse valor em (13). q2  s (verifique). resolvemos o sistema (I  P)q  0. obtemos o vetor de estado estacionário o que é consistente com os resultados numéricos obtidos em (9).5s. que pode ser escrito como A solução geral desse sistema é q1  0. Para encontrar q. Esse vetor pode ser encontrado reformulando a equação da parte (a) como (I  P)q  0 e. 4. um único vetor de estado estacionário q. portanto. então.  E X E M P L O 9 De novo o Exemplo 4 A matriz de transição da cadeia de Markov do Exemplo 4 é Como as entradas de P são positivas. um único vetor de estado estacionário q. resolvemos o sistema (I  P)q  0. a cadeia de Markov é regular e tem. que pode ser escrito em formato vetorial como (13) Para q ser um vetor probabilidade. resolvendo essa equação para q condicionada à exigência que q deve ser um vetor probabilidade. que pode ser escrito (usando frações) como (14) . precisamos ter que implica .12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 289 O vetor q desse teorema é denominado vetor de estado estacionário da cadeia de Markov. use as Fórmulas (11) e (12) para calcular estocástica. (a) (b) 5. • Processo estocástico • Calcular os vetores de estado a partir da matriz de • Probabilidade transição e um estado inicial. • Vetor probabilidade • Determinar se uma matriz estocástica é regular. do que segue que (verifique).290 Álgebra Linear com Aplicações (Convertemos tudo para frações para evitar erros de arredondamento neste exemplo ilus- trativo). em cada parte determine se A é uma matriz  Nos Exercícios 3–4.  2. (c) (d)  Nos Exercícios 5–6. (a) (b) (c) (c) (d) 6. o que é consistente com os resultados obtidos no Exemplo 4. • Matriz estocástica • Determinar se uma cadeia de Markov é regular. (a) (b) 3. determine se P é uma ma- triz estocástica regular.12  Nos Exercícios 1–2. Substituindo esse valor em (15). 4. Se A não for estocástica.  1. em cada parte. obtemos o vetor de estado estacionário (verifique). • Matriz estocástica regular Conjunto de exercícios 4. Deixamos para o leitor confirmar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz de coeficientes é e que a solução geral de (14) é (15) Para q ser um vetor probabilidade. precisamos ter q1  q2  q3  1. (a) (b) (c) . explique por que não é. • Cadeia de Markov • Encontrar o vetor de estado estacionário de uma matriz de • Matriz de transição transição regular.  Revisão de conceitos • Cadeia de Markov regular • Sistema dinâmico • Vetor de estado estacionário • Estado de uma variável Aptidões desenvolvidas • Estado de um sistema dinâmico • Determinar se uma matriz é estocástica.  o vetor de estado x4 de duas maneiras diferentes. 12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 291  Nos Exercícios 7–10. com qual probabili- também será boa daqui a dois dias? dade será retornado à agência 1 depois de duas locações? (c) Se hoje a qualidade do ar for má. (b) A longo prazo. tem 50% da audiên- estado 2 na próxima observação? cia. Uma locadora de automóveis possui três agências. Os registros da locadora mostram que os carros são ção? retirados e devolvidos de acordo com as probabilidades se- guintes. Considere um processo de Markov com matriz de transição 1. verifique que P é uma matriz estocás. 10. seu raciocínio. com qual probabilidade escolherá o tipo II daqui a três dias? 9. a cada ano.000 habitantes nos arredores da ci- dade. com qual probabilidade ele estará no de televisão concorrentes. Os registros mostram que quando a qualidade do ar é boa num dado dia. com qual probabilidade 7. Num certo instante de tempo inicial. qual 14. agências. 5% da população da cidade muda para os arredores e 3% da população dos arredores muda para a cidade. com qual probabilidade (b) Supondo que esse sistema dinâmico possa ser modelado também será má daqui a três dias? como uma cadeia de Markov. encontre seu vetor estacio- (d) Se a qualidade do ar tem uma chance de 20% de ser boa nário. (a) Supondo que a população total permaneça constante. (d) Se o tipo I tem uma chance de 10% de ser escolhido hoje. faça (a) O que representa a entrada 0. e se o rato escolhe o tipo II num certo dia. (b) A longo prazo. 2 e 3. então existe uma chance de 95% de que venha a ser boa no próximo dia. A cada período de um ano. a qualidade do ar numa certa cidade é boa ou má. com qual probabilidade também será boa amanhã? (c) Se a locadora possui uma frota de 120 carros. (c) Se inicialmente o sistema estiver no estado 1. (a) Faça uma tabela mostrando a participação na audiência dos dois canais ao longo de um período de cinco anos. o canal 1 atrai 5% da audiên- cia do canal 2 e o canal 2 captura 10% da audiência do canal 12. então a chance de tica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de escolher o tipo II no dia seguinte é de 50%. (b) Se hoje o rato escolher o tipo I. 8.1? dores ao longo de um período de cinco anos (arredonde para o inteiro mais próximo). ficiente espaço para os carros a longo prazo? Explique então a chance de escolher o tipo I no dia seguinte é de 75%. . com qual probabilidade também será escolhido amanhã? 15. com qual probabilidade ele estará no estado 2 na próxima observação? 13.2? uma tabela mostrando a população da cidade e dos arre- (b) O que representa a entrada 0. Um rato num experimento de laboratório pode escolher um deveria ser a quantidade de vagas de estacionamento entre dois tipos de comida a cada dia: o tipo I ou o tipo II.000 habitantes 11. então existe uma chance de 45% de que venha ser má no próximo dia. com qual probabilidade ele estará no estado 2 na próxima obser. e quando a qualidade do ar é má num dado dia. (d) Se o sistema tiver uma chance de 50% de estar inicial- mente no estado 1. A Comissão de Planejamento Regional detectou que. (b) Se hoje a qualidade do ar for boa. hoje. Num dado dia. havia 100. numera- (b) O que representa a entrada 0? das 1. Os em cada agência para haver garantia razoável de ter su- registros mostram que se o rato escolhe o tipo I num certo dia. escolherá o tipo I daqui a dois dias? (c) Se hoje o rato escolher o tipo II. com qual uma das três agências e retorná-lo a qualquer uma das três probabilidade ele estará no estado 1 na próxima observa. Considere um processo de Markov com matriz de transição numa certa cidade e 25. Um cliente pode alugar um carro de qualquer (c) Se inicialmente o sistema estiver no estado 1. 4. 16. Markov associada. qual será a participação na audiência dos dois canais? (a) O que representa a entrada ? 17. cada um de dois canais mente no estado 1. com qual probabilidade (a) Se um carro for alugado na agência 1. (a) Encontre uma matriz de transição para esse fenômeno. os canais 1 e 2. qual será a distribuição da população en- vação? tre a cidade e os arredores? (d) Se o sistema tiver uma chance de 50% de estar inicial. Num certo instante de tempo inicial.  (a) Encontre uma matriz de transição para esse fenômeno. Prove que se P for uma matriz estocástica cujas entradas são todas maiores do que ou iguais a ␳. Mostra-se. AA. 2.292 Álgebra Linear com Aplicações 18. Isso leva a três pareamentos possí- veis. u2  v2. . . P2ei. . (c) Os vetores coluna de uma matriz de transição são vetores probabilidade. (b) Explique em palavras por que V é fechado na adição e na (a) 0x  0y  0z  0 (b) multiplicação por escalar. Pkq. um traço no descendente é determinado por um par de 21. então o descendente terá a probabilidade de genótipo Pei. . Os traços físicos são determinados pelos genes que um des. . 5. u2. cada estacionário q. 0) R3 e. . .1 são esses? . v3) por 2. . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. nótipo AA e de outro escolhido aleatoriamente e de genótipo justificando sua resposta. . . [Sugestão: escreva cada coluna do produto como uma combinação linear das colunas do primeiro fator. Se P for uma matriz estocástica regular com vetor de estado genes. . obtenha equações paramétricas. v  (1. (c) Como a adição em V é a operação de adição padrão de R3. u3) e v  (v1. (a) Mostre que a matriz de transição é regular. dada na próxima tabela. . . desconhecido tem uma chance de 50% de ser AA. no res unitários canônicos em forma de coluna. 8 e 9. o que pode estudo da hereditariedade. 0. 50% de ser Aa e nenhuma chance de ser aa. . P3q. que pode ser vista como uma matriz quando k → . reais e considere as operações de adição e multiplicação por (e) Mostre que o Axioma 10 falha com as operações dadas. . deve ser uma reta pela origem. e encontre seu vetor de estado estacionário. (d) O vetor de estado estacionário de uma cadeia de Markov com matriz de transição P é qualquer solução do sistema linear (I  P)q  0. portanto. 2. P2q. que se um dos ascendentes tiver ser dito sobre o comportamento da sequência genótipo conhecido e o outro ascendente for de genótipo alea- tório. Se o subespaço for um plano. 20. en forem os veto- mesmo traço e são. alguns axiomas de espaço vetorial valem em V porque (c) (d) é sabido que valem em R3. 1  n cujas entradas são todas iguais a 1. (e) O quadrado de qualquer matriz estocástica regular é estocástica. Para cada sistema. indistinguíveis). (b) O que isso diz sobre o comportamento dos vetores coluna de Pk quando k → ? 23. todo o R3 ou só a origem. escalar definidas em u  (u1. u3  v3). . . determine qual (a) Calcule u  v e au com u  (3. . aa quando k → ? 22. então as entradas de P2 serão maiores do que ou iguais a ␳. au  (au1. (a) O vetor é um vetor probabilidade. ples. e2.] 24. Pq. desse plano. Em geral. encontre uma equação a  1. 2) e é o caso. Seja V o conjunto de todos os ternos ordenados de números (d) Mostre que valem os Axiomas 7. portanto. . Encontre as entradas que faltam na matriz estocástica (b) A matriz é uma matriz estocástica regular. denotadas por dutos A e a. n? de transição de um processo de Markov. com i  1. . 19. o descendente de um ascendente de ge- Nas partes (a)-(e). Se P for uma matriz estocástica n  n e se M for uma matriz cendente recebe de seus dois ascendentes. a saber. v2. (b) Encontre o vetor estacionário e discuta sua interpretação física. . No caso mais sim. Em cada parte. um plano pela ori- gem. então MP  _____. um de cada um dos dois ascendentes. o que pode ser dito sobre a sequência de pro- gene num par pode tomar uma de duas formas. que são os alelos. por exemplo. . Pkei. Exercícios verdadeiro/falso Assim. Capítulo 4 Exercícios suplementares 1. (a) Se P for uma matriz estocástica regular n  n com vetor denominados genótipos (os pares Aa e aA determinam o de estado estacionário q e se e1. e se for uma reta. o espaço solução do sistema é um subespaço de u  v  (u1  v1. Prove que o produto de duas matrizes estocásticas é uma matriz estocástica. P3ei. 4). Quais axiomas da Definição 1 da Seção 4. Aa. . onde tem todas entradas iguais a 1. . Seja A uma matriz n  n e sejam v1. 1. (a) Mostre que dado qualquer valor de ␪.…. (c) A matriz tabuleiro n  n. (a) Expresse (4a. use esse critério para encontrar o posto da 8. 16. 2. então valem contre o posto e a nulidade das matrizes X a seguir. a  2b) como uma combinação 11. (b) Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matri- zes 3  3 antissimétricas. (b) A matriz tabuleiro 4  4. exceto nas diagonais principal e secundária. zes 3  3 simétricas. subespaço de Pn e encontre uma base desse subespaço. 1). 2a  b  2c) (a) Todos os polinômios em Pn tais que p(x)  p(x). 1) como uma combinação linear de v1  (1. mostre que o conjunto de polinômios é um linear de (4. seguinte usando determinantes. encontre o posto e a nulidade da matriz tabu. 15. A tem alguma submatriz r  r de determinante (b) Explique por que isso não contradiz o Teorema 4. 1. . a origem ou todo o R3? (c) A matriz X de tamanho (2n  1)  (2n  1). 1). (b) Expresse (3a  b  3c. v2. definimos uma “matriz tabuleiro” como sendo uma matriz quadrada A  [aij ] tal que (c) (d) Em cada caso. vn vetores linear. síveis das matrizes da forma (a) A matriz tabuleiro 3  3. 4b  c) como uma com. (a) Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matri- g1  cos(x  ␪) são vetores em W. 12. (c) Expresse (2a  b  4c. não nulo e todas as submatrizes de tamanho maior têm deter- 7. f1  sen(x  ␪) e 13. prova-se o critério de posto distintas. 0) e v3  (2. Uma base de Pn necessariamente contém algum polinômio de matriz. (a) Expresse v  (1. 1) de duas maneiras 14. . o que A A própria matriz A também é considerada uma submatriz de deve satisfazer? A. a  b. Seja W o espaço gerado por f  sen x e g  cos x. matriz obtida de A por eliminação de linhas ou colunas de A.] Em cada parte.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 293 3. Para uso neste exercício. O posto de uma matriz A é r se. . (b) Todos os polinômios em Pn tais que p(0)  0. (b) Mostre que f1 e g1 formam uma base de W. 6. Avn linearmente independentes. 3a  c. 2) e (1.1. Para ter Av1. 4. . 1. Use o resultado do Exercício 14 para encontrar os postos pos- leiro dada. subespaço de Pn. (a) (b) 9. 4. a  4b  c. mios em Pn que têm uma tangente horizontal em x  0 é um 5. como uma combinação linear de (3. e só se. 4. Com quais valores de s é o espaço solução de (b) uma reta pela origem. (a) (a) (u  v)S  (u)S  (v)S (b) (kv)S  k(v)S . (Requer Cálculo) Mostre que o conjunto de todos os polinô- binação linear de três vetores não nulos. Av2. minante nulo. v2  (3. 1. Prove: se S for uma base de um espaço vetorial V. as relações seguintes com quaisquer vetores u e v e qualquer escalar k. 1) e (0. um plano pela origem. 2). Em Álgebra Linear avançada. n? Justifique sua resposta. [Observação: uma submatriz de A é qualquer mente independentes em Rn expressos como matrizes n  1. grau k com qualquer k  0. . Encontre uma base desse subespaço. Em cada parte.4. Para uso neste exercício. definimos uma “matriz X” como sendo uma matriz quadrada com um número ímpar de linhas e colunas que tem 0 em cada entrada. En. 10. . Esta página foi deixada em branco intencionalmente. . que exemplo. dinâmica populacional. então um vetor não nulo x em Rn é deno- minado autovetor de A (ou do operador matricial TA) se Ax for um múltiplo escalar de x. no caso especial tovetor ser não nulo para evitar em que x for um autovetor de A. Definição de autovalor e autovetor DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz n ⫻ n. vibrações mecânicas. mecânica quântica e até economia. que são especiais por suas características peculiares.3 Espaços vetoriais complexos 315 5. O escalar  é denominado autovalor de A (ou de TA). e dizemos que x é um autovetor associado a . No entanto. a operação Ax ⫽ x comprime ou expande x pelo fator . foi aplicada a matrizes e transformações matriciais e hoje tem aplicações a áreas tão diversas como computação gráfica. foi usada para classificar vários tipos de superfícies e para descrever soluções de certas equações diferenciais. Em geral. Ax ⫽ x com algum escalar .5. em R2 ou R3. sobre a mesma reta pela origem determinada por x. fluxo do calor.1). invertendo o sentido no caso em que  for negativo (Figura 5.1 Autovalores e autovetores Nesta seção. definimos os conceitos de “autovalor” e “autovetor” e discutimos algumas de suas propriedades básicas. No início do século XX. Começamos com a definição principal desta seção. 5. CAPÍTULO 5 Autovalores e Autovetores CONTEÚDO DO CAPÍTULO 5. a imagem de um vetor x pela multiplicação com uma matriz quadrada A Impomos a exigência de um au- defere de x tanto em magnitude quanto em direção e sentido.1 Autovalores e autovetores 295 5. A ideia subjacente surgiu no estudo do movimento rotacional e. a multiplicação por A deixa a direção inalterada. . isto é. mais tarde.4 Equações diferenciais 327 INTRODUÇÃO Neste capítulo. a multiplicação por A aplica cada autovetor x de A (se houver) vale com quaisquer A e .2 Diagonalização 305 5. Por o caso irrelevante A0 ⫽ 0. abordamos as classes de escalares e vetores conhecidas como “autovalores” e “autovetores”. Dependendo do sinal e da magnitude do autovalor  associado a x. TEOREMA 5. então  é um autovalor de A se.1.296 Álgebra Linear com Aplicações x x x x 0 x x 0 0 0 x x (a) 0 ⱕ  ⱕ 1 (b)  ⱖ 1 (c) –1 ⱕ  ⱕ 0 (d )  ⱕ –1  Figura 5. Solução Segue da Fórmula (1) que os autovalores de A são as soluções da equação det(I ⫺ A) = 0. equivalentemente. Use a equação característica para encontrar todos os autovalores dessa matriz.1.4 que isso ocorre se.2 Geometricamente. Começamos com um procedimento para encontrar os autovalores de A. ou. como (I ⫺ A)x ⫽ 0 Para que  seja um autovalor de A. Assim. ␭ satisfaz a equação det(I ⫺ A) ⫽ 0 (1) Essa equação é a equação característica de A. segue das partes (b) e (g) do Teorema 4. e só se.  E X E M P L O 2 Encontrando autovalores No Exemplo 1. observamos que  ⫽ 3 é um autovalor da matriz mas não explicamos como foi encontrado.1  E X E M PLO 1 Autovetor de uma matriz 2 ⴛ 2 O vetor é um autovetor de y 6 3x associado ao autovalor  ⫽ 3.1 Se A for uma matriz n ⫻ n.10. que pode ser escrita como .2). Inicialmente. a matriz de coeficientes I ⫺ A tem determinante nulo.1. observe que a equação Ax ⫽ x pode ser reescrita como Ax ⫽ Ix.1. pois 2 x x 1 3  Figura 5. essa equação deve possuir alguma solução x não nula. a multiplicação por A expandiu o vetor x pelo fator 3 (Figura 5. temos o resultado seguinte.  Calculando autovalores e Nosso próximo objetivo é elaborar um procedimento geral para encontrar autovalores e autovetores autovetores de uma matriz A de tamanho n ⫻ n. No entanto. e só se. as únicas possíveis soluções inteiras de (4) são os divisores de ⫺4. além do autovalor  ⫽ 3 usado no Exemplo 1. Em geral. resulta um polinômio p() de grau n denominado polinômio característico de A. o polinômio característico de uma matriz n ⫻ n é da forma p() ⫽  ⫹ c1 ⫹ · · · ⫹ cn n n⫺1 em que 1 é o coeficiente de n (Exercício 17). Consequen- matrizes grandes. n soluções distintas e. que uma matriz n ⫻ n tem. no máximo. Assim.  Quando o determinante det(I ⫺ A) do lado esquerdo de (1) é expandido. pois agora vamos nos concentrar em exemplos nos quais os autovalores são números reais. ⫾1. os autovalores de A satisfazem a equação cúbica  ⫺ 8 ⫹ 17 ⫺ 4 ⫽ 0 3 2 (4) Para resolver essa equação. Como um polinômio de grau n tem.  E X E M P L O 3 Autovalores de uma matriz 3 ⫻ 3 Encontre os autovalores de Solução O polinômio característico de A é Portanto. no máximo. ( ⫺ 4)( ⫺ 4 ⫹ 1) ⫽ 0 de modo que devem ser usados 2 outros métodos para encontrar Assim. Esses métodos se- rão abordados no Capítulo 9.1 Autovalores e autovetores 297 da qual obtemos ( ⫺ 3)( ⫹ 1) ⫽ 0 (2) Isso mostra que os autovalores de A são  ⫽ 3 e  ⫽ ⫺1. temos que (4) pode ser reescrita como ção característica diretamente. n autovalores distintos. Por exemplo. consequentemente. segue de (2) que o polinômio característico da matriz A de tamanho 2 ⫻ 2 do Exemplo 2 é p() ⫽ ( ⫺ 3)( ⫹ 1) ⫽  ⫺ 2 ⫺ 3 2 que é um polinômio de grau 2. começamos procurando soluções inteiras. as demais soluções de (4) satisfazem a equação quadrática autovalores. Como algumas dessas soluções podem ser números complexos. mesmo se a própria matriz tiver entradas reais. n raízes distintas. ⫾4.  ⫺ 4 ⫹ 1 ⫽ 0 2 . muitas vezes temente. Dividindo ␭3 ⫺ 8␭2 ⫹ 17␭ ⫺ 4 não é factível calcular a equa- por ␭ ⫺ 4. Discutiremos esse assunto numa seção posterior. ou seja. segue que a equação  ⫹ c1 ⫹ · · · ⫹ cn ⫽ 0 n n⫺1 (3) tem. descobrimos o segundo autovalor  ⫽ ⫺1. é possível que uma matriz tenha autovalores complexos. ⫾2. Assim. no máximo.  ⫽ 4 deve ser um fator do lado esquerdo de (4). Substituir sucessiva- Nas aplicações que envolvem mente cada um desses valores em (4) mostra que  ⫺ 4 é uma solução inteira. 5. Essa tarefa pode ser simplificada se lembrarmos do fato de que todas as soluções inteiras (se houver) de uma equação polinomial  ⫹ c1 ⫹ · · · ⫹ cn ⫽ 0 n n⫺1 de coeficientes inteiros são divisores do termo constante cn. 1.  ⫽ a33. (a)  é um autovalor de A.298 Álgebra Linear com Aplicações que pode ser resolvida pela fórmula quadrática. os autovalores de A são  E X E M P L O 4 Autovalores de uma matriz triangular superior Encontre os autovalores da matriz triangular superior Solução Lembrando que o determinante de uma matriz triangular é o produto das entra- das na diagonal principal (Teorema 2. (c) Existe algum vetor não nulo x tal que Ax ⫽ x. (d)  é uma solução da equação característica det(I ⫺ A) ⫽ 0. obtemos Assim.  ⫽ a22.  TEOREMA 5. a equação característica é ( ⫺ a11)( ⫺ a22)( ⫺ a33)( ⫺ a44) ⫽ 0 e os autovalores são  ⫽ a11.1.  ⫽ a44 que são precisamente as entradas na diagonal principal de A. poderíamos ter antecipado o resultado obtido naquele exer- cício. TEOREMA 5.1.  E X E M P L O 5 Autovalores de uma matriz triangular inferior Por inspeção. os autovalores da matriz triangular inferior Se tivéssemos o Teorema 5. (b) O sistema (I ⫺ A)x ⫽ 0 de equações tem soluções não triviais. ou diago- nal).2 Se A for uma matriz n ⫻ n triangular (superior. .3 Se A for uma matriz n ⫻ n. e . inferior. são . são equivalentes as afirmações seguintes.  O teorema geral seguinte deveria ser evidente a partir das contas no exemplo precedente.2). então os autovalores de A são as entradas na diagonal principal de A.1. Assim.2 à nossa disposição no Exemplo 2. Por exemplo. Dizemos Observe que x ⫽ 0 está em cada que esse espaço nulo é o autoespaço de A associado a . Assim. e só se. mesmo não sendo autoespaço de A associado ao autovalor  é o espaço solução do sistema homogêneo um autovetor. x é uma solução não trivial de (I ⫺ A)x ⫽ 0.1 Autovalores e autovetores 299 Agora que sabemos como encontrar autovalores de uma matriz. temos dois autoespaços de A. o autoespaço. Os formatos faciais são representados matematicamente como combinações linea- res das autofaces. Assim. analisando as imagens tridimensionais escaneadas de muitas faces. Por definição. [Imagem: Cortesia Dr. essa equação é dada por Nota histórica Os métodos da Álgebra Linear estão sendo utilizados no novo campo do reconhecimento facial computadorizado. Essas formas são assim denominadas por serem autovetores de uma certa matriz que armazena a informação facial digitalizada. Enunciado de outra forma. quanto um conjunto de variações padronizadas daquele formato. Paul Griffith. são os ve- (I ⫺ A)x ⫽ 0. Dr. é um autovetor de A associado ao autovalor  ⫽ 3 se. vimos que a equação característica de A é ( ⫺ 3)( ⫹ 1) ⫽ 0 da qual obtemos os autovalores  ⫽ 3 e  ⫽ ⫺1.  E X E M P L O 6 Bases de autoespaços Encontre bases dos autoespaços da matriz Solução No Exemplo 1. de- nominadas autofaces (15 das quais estão exibidas na figura dada). Os pesqui- sadores da área estão trabalhando com a ideia que toda face humana num certo grupo racial é uma combinação de umas poucas dúzias de formatos primários. pesquisadores da Universidade Rocke- feller produziram tanto um formato facial médio do grupo caucásico. Norman Redlich e Dr. Joseph Atick. passamos ao problema de Encontrando autovetores e encontrar os autovetores associados. ou seja. 5. denominado face média (à esquerda na linha superior na figura dada). de Se  ⫽ 3. Como os autovetores associados a um autovalor  de bases para autoespaços uma matriz A são os vetores não nulos que satisfazem a equação (I ⫺ A)x ⫽ 0 esses autovetores são os vetores não nulos do espaço nulo da matriz I ⫺ A.] . cada um associado a um autovalor. tores não nulos de um autoespa- ço que são os autovetores. é um autovetor de A associado a  se. fatorada.  E X E M P L O 7 Autovetores e bases de autoespaços Encontre bases dos autoespaços de Solução A equação característica de A é  ⫺ 5 ⫹ 8 ⫺ 4 ⫽ 0 ou. é uma base do autoespaço associado a  ⫽ 3. Por definição. e existem 2 dois autoespaços de A. x2 ⫽ t. Deixamos para o leitor seguir o padrão des- sas contas para mostrar que é uma base do autoespaço associado a  ⫽ ⫺1. Assim. e só se. os autovetores de A associados a  ⫽ 2 são os vetores não nulos da forma Como . a Fórmula (5) se torna Resolvendo esse sistema por eliminação gaussiana. x é uma solução não trivial de (I ⫺ A)x ⫽ 0 ou. x3 ⫽ s Assim.300 Álgebra Linear com Aplicações cuja solução geral é (verifique) ou. obtemos (verifique) x1 ⫽ ⫺s. em forma matricial. Assim. os autovalores distintos de A são  ⫽ 1 e  ⫽ 2. em forma matricial. ( ⫺ 1) 3 2 ( − 2) ⫽ 0 (verifique). (5) No caso  ⫽ 2. pelo Teorema 5. TEOREMA 5. Também mostramos que são autovetores de A associados ao autovetor  ⫽ 2. x3 ⫽ s Assim. então k é um autovalor de Ak e x é um autovetor associado. esses vetores formam uma base do autoespaço associado a  ⫽ 2. 2 2 temos o resultado seguinte. então (5) se torna Resolvendo esse sistema.1. pelo Teorema 5. mostramos que os autovalores de são  ⫽ 2 e  ⫽ 1. 5.1. obtemos (verifique) x1 ⫽ ⫺2s.1.5 Uma matriz quadrada A é invertível se. Em geral. TEOREMA 5. Analogamente. (por quê?). e só se. se  for um autovalor de A e x um autovetor associado. Se  ⫽ 1.4.  um autovalor de uma matriz A e x um autovetor associado. por exemplo. o autovetor de A associado a  ⫽ 1 também é um autovetor de A7 associado a  ⫽ 17 ⫽ 1.  O teorema seguinte estabelece uma relação entre os autovalores e a invertibilidade de uma Autovalores e invertibilidade matriz.  Uma vez obtidos os autovalores e autovetores de uma matriz A. ambos  ⫽ 27 ⫽ 128 e  ⫽ 17 ⫽ 1 são autovalores de A7.4 Se k for um inteiro positivo. os autovetores associados a  ⫽ 1 são os vetores não nulos da forma é uma base do autoespaço associado a  ⫽ 1.1.4. de modo que.  ⫽ 0 não é um autovalor de A. de modo que. é uma questão simples Potências de uma matriz obter os autovalores e autovetores de qualquer potência inteira positiva de A. esses vetores também são autovetores de A7 associados a  ⫽ 27 ⫽ 128.  E X E M P L O 8 Potências de uma matriz No Exemplo 7. . x2 ⫽ s.1 Autovalores e autovetores 301 são linearmente independentes. então A2x ⫽ A(Ax) ⫽ A(x) ⫽ (Ax) ⫽ (x) ⫽ 2x o que mostra que  é um autovalor de A e que x é um autovetor associado. então as seguintes afirmações são equivalentes. cn ⫽ 0. por sua vez. (e) Ax ⫽ b é consistente com cada matriz b de tamanho n ⫻ 1.1. (o) A tem nulidade 0. (h) Os vetores coluna de A são linearmente independentes. cn ⫽ 0 e isso. (b) Ax ⫽ 0 tem somente a solução trivial.1. (j) Os vetores coluna de A geram Rn. Assim. cn ⫽ 0. (g) det(A) ⫽ 0. (f) Ax ⫽ b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n ⫻ 1. o termo constante cn for zero. (k) Os vetores linha de A geram Rn. Esse teorema relaciona todos os principais tópicos que estudamos até aqui. . TEOREMA 5. implica que A é invertível se.6 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n ⫻ n. e só se. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . e só se. (p) O complemento ortogonal do espaço nulo de A é Rn. pois tem autovalores  ⫽ 0 e  ⫽ 2.4. Deixamos para o leitor conferir essa conclusão mostrando que det(A) ⫽ 0. e só se.   E X E M P L O 9 Autovalores e invertibilidade A matriz A no Exemplo 7 é invertível. e só se. (l) Os vetores coluna de A formam uma base de Rn. usamos o Teorema 5. (r) A imagem de TA é Rn. Mas det(I ⫺ A) ⫽  ⫹ c1 ⫹ · · · ⫹ cn n n⫺1 ou. (a) A é invertível. tomando  ⫽ 0. nenhum dos quais é zero. (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. (s) TA é um operador injetor. é suficiente provar que A é invertível se.10. (t)  ⫽ 0 não é um autovalor de A. (n) A tem posto n.302 Álgebra Linear com Aplicações Prova Suponha que A seja uma matriz n ⫻ n e observe primeiro que  ⫽ 0 é uma solu- ção da equação característica  ⫹ c1 ⫹ · · · ⫹ cn ⫽ 0 n n⫺1 se. (i) Os vetores linha de A são linearmente independentes. det(⫺A) ⫽ cn ou (⫺1)n det(A) ⫽ cn Segue da última equação que det(A) ⫽ 0 se. (q) O complemento ortogonal do espaço linha de A é {0}.5 para acrescentar mais equivalência uma parte ao Teorema 4.  Mais sobre o teorema da Como nosso resultado final nesta seção. (m) Os vetores linha de A formam uma base de Rn. Encontre os autovalores das matrizes no Exercício 6. encontre a equação característica da matriz. • Polinômio característico • Encontrar bases dos autoespaços de uma matriz. (a) (b) (c) (e) (f) 16. sendo (d) (e) (f) 4. 8. Dizemos que uma reta pela origem de R2 é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x (c) (d) estiver. sabendo que A tem polinômio característico 7.1  Nos Exercícios 1–2. (a) (b) 15.] 17. Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 9. encontre a equação característica da matriz. encontre os autovalores por inspeção. 5. (b) p() ⫽ 4 ⫺ 3 ⫺ 7 [Sugestão: ver a prova do Teorema 5. Encontre os autovalores das matrizes no Exercício 3.  12. Encontre os autovalores de A9. p(). Em cada parte. (c) 3. (b) Prove que o coeficiente de n no polinômio característico 10. Conjunto de exercícios 5. Seja A uma matriz 2 ⫻ 2. (a) (b) 2. Em cada parte.1 Autovalores e autovetores 303 Revisão de conceitos • Autoespaço • Autovetor • Teorema das equivalências • Autovalor Aptidões desenvolvidas • Equação característica • Encontrar os autovalores de uma matriz.5.1. Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de A25. Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 3. autovetor de A e encontre o autovalor correspondente. encontre a equação característica da matriz. confirme por multiplicação que x é um 11. Em cada parte. Em cada parte. . Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6. 1. Encontre det(A). é 1. obtenha as equações de todas as retas de R2 que são invariantes pela matriz dada. 14. Encontre os autovalores das matrizes no Exercício 9. Em cada parte. Seja A uma matriz n ⫻ n. (a) (b) (c) 13. sendo 6. (a) p() ⫽ 3 ⫺ 22 ⫹  ⫹ 5 9. (a) (b) (a) Prove que o polinômio característico de A tem grau n. 5. Mostre que se b ⫽ 0. forma escalonada reduzida por linhas de A. tem autovalores inteiros. então (c) Se o polinômio característico de uma matriz A for p() ⫽ 2 ⫹ 1. Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se 27. então o sistema linear (I ⫺ A)x ⫽ 0 só tem a solução trivial. qualquer que seja o escalar s. Use o resultado do Exercício 18 para provar que se p() for o não nulo . então (c) Quantos autoespaços tem A? 29. justificando sua resposta. aos auto. então A e AT têm os mesmos autovalores. Prove: se  for um autovalor de uma matriz invertível A com autovetor associado x. (a) Se A for uma matriz quadrada e Ax ⫽ x com algum escalar 21. autovetor associado x. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. [Sugestão: use o resultado do Exercício 20 para en- contrar uma matriz 2 ⫻ 2 tal que A e AT têm autoespaços diferentes. a pergunta e explique seu raciocínio. para distingui-los de autoveto- res à esquerda. então  é um autovalor de sA com autovetor associado x. Prove: se  for um autovalor de A com autovetor associado x. 2 bases dos autoespaços de onde tr(A) é o traço de A. então 1/ é um autovalor de A⫺1 com (f) Os autovalores de uma matriz A são iguais aos autovalores da autovetor associado x.] 28. 22. então A2 é singular. Prove: se  for um autovalor de A com autovetor associado x e (g) Se 0 for um autovalor de uma matriz A. 23. Seja A a matriz do Exercício 19. 24. então  ⫺ s é um autovalor de A ⫺ sI com vetores coluna de A é linearmente independente. que são matrizes coluna x de tamanho n ⫻ 1 são autovetores de A associados. então x é um autovetor de A. 25. Em cada parte responda (a) dois autovalores reais distintos se (a ⫺ d)2 ⫹ 4bc ⬎ 0. (a) A⫺1 (b) A ⫺ 3I (c) A ⫹ 2I 19. respectivamente.304 Álgebra Linear com Aplicações 18. [Sugestão: olhe para a equa- ção característica det(I ⫺ A) ⫽ 0. a saber. (a) Qual é o tamanho de A? (c) nenhum autovalor real se (a ⫺ d)2 ⫹ 4bc ⬍ 0. b. se houver. c e d são números inteiros tais que a ⫹ b ⫽ c ⫹ d. então A é invertível. Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A Use esse resultado para mostrar que A tem seja p() ⫽ ( ⫺ 1)( ⫺ 3)2( ⫺ 4)3. Prove: se a. que satisfazem a equação xTA ⫽ xT com algum escalar . Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de . valores Qual será a relação. então p(A) ⫽ 0. (b) Se  for um autovalor de uma matriz A. então o autoespaço de A associado a  é o conjunto de autovetores de A associa- dos a . então o conjunto de se s for um escalar. Mostre que a equação característica de uma matriz A de tama. polinômio característico de uma matriz A de tamanho 2 ⫻ 2.] (b) Mostre que A e AT não precisam ter os mesmos autoespa- então as soluções da equação característica de A são ços. e use os Exercícios 23 e 24 para encontrar os autovalores e nho 2 ⫻ 2 pode ser expressa como  ⫺ tr(A) ⫹ det(A) ⫽ 0. Às vezes. 1 ⫽ a ⫹ b e 2 ⫽ a ⫺ c. os autovetores que estudamos nesta seção são deno- minados autovetores à direita. entre os autovetores à direita e autovalores correspondentes e os autovetores à esquerda e autovalores correspondentes? e Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(g). (b) um autovalor real se (a ⫺ d)2 ⫹ 4bc ⫽ 0. (d) Se  for um autovalor de uma matriz A. (e) Se 0 for um autovalor de uma matriz A. (b) A é invertível? 20. (a) Prove que se A for uma matriz quadrada. 26. de modo que começamos com alguma terminologia associada. Note que se B for semelhante a A. As provas de alguns desses resultados são dadas nos exercícios. Nesse caso. Por isso. mas por ter uma forma mais simples. Essas bases podem ser usadas para estudar propriedades geométricas de A e para simplificar muitas contas envolvendo A. diagonalização matricial Problema 1 Dada uma matriz A de tamanho n ⫻ n. o Problema 1 é equivalente a perguntar se a matriz A é semelhante a alguma matriz diagonal. se ela for compartilhada por quaisquer duas matrizes semelhantes. A Tabela 1 lista os invariantes de semelhança mais importan- tes. são bastante diferentes. Nesse caso. Nosso primeiro objetivo nesta seção é mostrar que são equivalentes os dois problemas a O problema da seguir que. Essa importante ideia tem uma terminologia associada. abordamos o problema de encontrar uma base de Rn que consista em autovetores de uma dada matriz A de tamanho n ⫻ n. já que podemos expressar A como A ⫽ Q⫺1BQ tomando Q ⫽ P⫺1. As matrizes semelhantes têm muitas propriedades em comum. a matriz diagonal terá todas as propriedades invariantes por semelhança de A.2 Diagonalização Nesta seção. DEFINIÇÃO 2 Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se for semelhante a al- guma matriz diagonal. então decorre que A e B têm o mesmo determinante. existem n autovetores de A line- armente independentes? ⫺1 O produto matricial P AP que aparece no Problema 1 é denominado uma transforma. então também é verdade que A é semelhante a B. . existe alguma matriz invertível P tal que P⫺1 AP é uma matriz diagonal? Problema 2 Dada uma matriz A de tamanho n ⫻ n. dizemos que uma propriedade de matrizes é invariante por semelhança ou que a propriedade é um invariante de semelhança. em geral dizemos que A e B são matrizes semelhantes se uma delas for semelhante à outra. Por exemplo. se B ⫽ Invariantes de semelhança ⫺1 P AP. é mais simples analisar e trabalhar com a matriz diagonal. dizemos que B é semelhante a A se existir alguma matriz invertível P tal que B ⫽ P⫺1 AP. aparentemente. Esses produtos são importantes no estudo de autovetores e autovalores. ou seja. Essas bases também têm significado físico numa variedade de aplicações. se existir alguma matriz invertível P tal que P⫺1AP é diagonal. já que Em geral. 5.2 Diagonalização 305 5. algumas das quais consideramos mais adiante neste texto. Expresso na linguagem de semelhança. DEFINIÇÃO 1 Se A e B forem matrizes quadradas. Semelhança ção de semelhança da matriz A. dizemos que a matriz P diagonaliza A. 2.6 que seus vetores coluna p1. Assim. ⫺1 Invertibilidade A é invertível se. ⫺1 Dimensão de autoespaço Se  for um autovalor de A e. . que o lado esquerdo de (1) pode ser expresso por AP ⫽ A[p1 p2 · · · pn] ⫽ [Ap1 Ap2 · · · Apn] e. . Prova (b) ⇒ (a) Suponha que A tenha n autovetores linearmente independentes p1. . . como observamos logo depois do Exemplo 1 da Seção 1. . O teorema seguinte mostra que os Problemas 1 e 2 colocados no início desta seção são. 2. e só se. sabemos do Teorema 5. . o lado direito de (1) pode ser expresso por PD ⫽ [1p1 2p2 · · · npn] Assim. pn são linearmente independentes (e. .7.2. p2. (a) A é diagonalizável. n.1 é equivalente a dizer que existe al- guma base de Rn consistindo em autovetores de A. ⫺1 Nulidade AeP AP têm a mesma nulidade. . existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P⫺1AP ⫽ D ou. . ⫺1 Posto AeP AP têm o mesmo posto. . de P AP. . . segue de (1) que Ap1 ⫽ 1p1. . . n.1. obtemos . pela Fórmula (6) da Seção 1. Escrevendo P ⫽ [p1 p2 · · · pn ] e denotando por D a matriz diagonal de entradas diagonais sucessivas 1. . pn com autovalores associados 1. . . . (b) A tem n autovetores linearmente independentes. são equivalentes as afirmações seguintes. P AP é invertível. portanto.2. . A parte (b) do Teorema 5. ⫺1 Autovalores AeP AP têm os mesmos autovalores. AP ⫽ PD (1) Denotando os vetores coluna de P por p1. 2. na verdade. então o autoespaço de A associado a  e o autoespaço de P⫺1 AP associado a  têm a mesma dimensão. pn e supondo que as entradas diagonais de D sejam 1. . . .306 Álgebra Linear com Aplicações Tabela 1 Invariantes de semelhança Propriedade Descrição Determinante A e P⫺1 AP têm o mesmo determinante. portanto. .3. . . ⫺1 Polinômio característico AeP AP têm o mesmo polinômio característico. . p2. Apn ⫽ npn (2) Como P é invertível. Por quê? Prova (a) ⇒ (b) Como estamos supondo que A é diagonalizável.1 Se A for uma matriz n ⫻ n. Ap2 ⫽ 2p2. TEOREMA 5. p2. . n segue. não nulos). segue de (2) que esses n vetores coluna são autovetores de A. . ⫺1 Traço AeP AP têm o mesmo traço. equivalentemente. formas diferentes do mesmo problema matemático. Passo 3. .  E X E M P L O 1 Encontrando uma matriz P que diagonaliza uma matriz A Encontre uma matriz P que diagonalize Solução No Exemplo 7 da seção precedente. . . não existe uma ordem preferencial para as colunas de P. de modo que essa última equação pode ser reescrita como P AP ⫽ D.  O teorema precedente garante que uma matriz A de tamanho n ⫻ n com n autovetores Um procedimento para linearmente independentes é diagonalizável. mudar a ordem das colunas de P só muda a ordem dos autovalores na diagonal de P⫺1AP. 5. . Se esse conjunto tiver menos do que n elementos. pn como entradas diagonais sucessivas. Uma maneira de fazer isso é encontrar uma base de cada autoespaço e juntar todos esses vetores num único conjunto S. deixamos para o leitor verificar que  Em geral. a matriz não é diagonalizável. Forme a matriz P ⫽ [p1 p2 · · · pn] que tem os vetores de S como ve- tores coluna. Há um total de três vetores de base. mostrando que A é diagonalizável. . a matriz diagonaliza A.6 ⫺1 que P é invertível.2 Diagonalização 307 Como os vetores coluna de P são linearmente independentes. Confirme que a matriz é realmente diagonalizável encontrando n autoveto- res linearmente independentes. Passo 2. Para conferir. 2. portanto. p2. A matriz P⫺1AP será diagonal com os autovalores 1. verificamos que a equação característica de A é ( ⫺ 1)( ⫺ 2) ⫽ 0 2 e encontramos as seguintes bases dos autoespaços. Como a i-ésima ⫺1 entrada diagonal de P AP é um autovalor do i-ésimo vetor coluna de P. Assim. segue do Teorema 5. Procedimento para diagonalizar uma matriz Passo 1.1. . se ti- véssemos escrito . . . e a prova sugere o método seguinte para diagonalizar uma matriz diagonalizar A. n correspon- dentes aos autovetores p1. demonstrado ao final desta seção. usamos. o autoespaço associado a  ⫽ 1 é unidimensional. bastando encontrar as dimensões dos au- toespaços. os autovalores distintos de A são  ⫽ 1 e  ⫽ 2. a matriz A não é diagonalizável. . A não é diagonalizável.2 traz que a nulida- de dessa matriz é 1 e. sem precisar encontrar uma matriz P que diagonalize A. de modo que o au- toespaço associado a  ⫽ 2 também é unidimensional. Como os autoespaços produzem um total de dois vetores de base. teríamos obtido  E X E M P L O 2 Uma matriz que não é diagonalizável Encontre uma matriz P que diagonalize Solução O polinômio característico de A é de modo que a equação característica é ( ⫺ 1)( ⫺ 2) ⫽ 0 2 Assim.8. O autoespaço associado a  ⫽ 2 é o espaço solução do sistema Essa matriz de coeficientes também tem posto 2 e nulidade 1 (verifique). que são linearmente independentes os vetores coluna de P.  No Exemplo 1. Deixamos para o leitor mostrar que são bases dos autoespaços os vetores Como A é 3 ⫻ 3 e só há um total de dois vetores de base. que consistem em vetores de bases dos vários autoespaços de A. O próximo teorema. sem justificar. então não é necessário calcular bases para os autoespaços. portanto. mostra que isso realmente é justificável. o autoespaço associado a  ⫽ 1 é o espaço solução do sistema Como a matriz de coeficientes tem posto 2 (verifique). sendo necessários três. o Teorema 4. Solução alternativa Se só estivermos interessados em determinar se uma dada matriz é ou não diagonalizável. Nesse exemplo.308 Álgebra Linear com Aplicações no exemplo precedente. 2 é um caso especial de um resultado mais geral.1. .2 Se v1.2 Diagonalização 309 TEOREMA 5. .   E X E M P L O 3 Usando o Teorema 5. é uma matriz diagonalizável de autovalores 1 ⫽ ⫺1.  E X E M P L O 4 Diagonalizabilidade de matrizes triangulares Pelo Teorema 5. Su- ponha que 1.2.2. os autovalores de uma matriz triangular são as entradas na diagonal principal. k sejam autovalores distintos e que escolhamos um conjunto linearmente independente em cada autoespaço correspondente. obtemos o resultado importante a seguir. A é diagona- lizável e com alguma matriz invertível P. Por exemplo. vn são autovetores associados aos autovalores distintos 1. .2. . Omitimos a prova. Assim. .2.2. 4 ⫽ ⫺2.3 Se uma matriz A de tamanho n ⫻ n tem n autovalores distintos. 5. Se quisermos. v1.2.2. como segue.  . uma matriz triangular com entradas distintas na diagonal principal é diagonalizável. .3 Vimos.2. . Prova Se v1. . vk forem autovetores de uma matriz A associados a autovalores distintos. o resultado será um conjunto que ainda é linearmente independente. . 2 ⫽ 3. . v2. 2. n então. . . Se juntarmos todos esses vetores num único conjunto. . Portanto. v2. esco- lhendo três vetores linearmente independentes de um autoespaço e dois vetores linearmente inde- pendentes de um outro autoespaço. que tem três autovalores distintos. pelo Teorema 5. 3 ⫽ 5. Assim.  ⫽ 4.2. Por exemplo. . . . TEOREMA 5. A é diagonalizável pelo Teorema 5. Como uma consequência do Teorema 5. .1. . en- tão A é diagonalizável. no Exemplo 3 da seção anterior. . v2. . . então os cinco vetores juntos formam um conjunto linearmente independente. poderemos obter a matriz P pelo método mostrado no Exemplo 1 desta seção. e . . v2. . . Observação O Teorema 5. 2. vn são linearmente independentes.2. vk} é um conjunto linearmente independente. então {v1. de uma matriz Veremos a seguir que se a matriz for diagonalizável.310 Álgebra Linear com Aplicações Calculando as potências Em muitas aplicações. podemos simplificar as contas dia- gonalizando essa matriz. Para matrizes grandes e potências tem o efeito de elevar seus auto. sendo Solução Mostramos no Exemplo 1 que a matriz A é diagonalizada por e que .  E X E M P L O 5 Potência de uma matriz Use (3) para calcular A13. valores a essa potência. isso envolve substancialmente menos operações que calcular Ak diretamente. se k for um inteiro positi- 2 vo. digamos que A seja uma matriz diagonalizável de tamanho n ⫻ n. Para começar. é necessário calcular potências elevadas de uma matriz quadrada. obtemos Podemos reescrever o lado esquerdo dessa equação como ⫺1 ⫺1 ⫺1 ⫺1 ⫺1 2 (P AP) ⫽ P APP AP ⫽ P AIAP ⫽ P A P 2 ⫺1 2 de onde encontramos a relação P A P ⫽ D . Mais geralmente. que P diagonaliza A e que Elevando ambos os lados dessa equação ao quadrado. elevadas de . então uma conta análoga mostra que que pode ser reescrita como (3) A Fórmula (3) revela que elevar uma matriz diagonalizável A a Observe que o cálculo do lado direito dessa fórmula envolve somente três multiplicações uma potência inteira positiva matriciais e as potências das entradas diagonais de D. somente um autoespaço. Em 2 2 geral.2 Diagonalização 311 Assim. Autovalores de potências de é uma tarefa simples encontrar os autovalores e autovetores de qualquer potência inteira uma matriz positiva de A. consistindo em todos os múltiplos escalares de . Uma vez encontrados os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada A qualquer.1. podemos utilizá-lo para calcular qualquer potência de A.4. para calcular . Alguns problemas em que se utiliza esse teorema estão dados nos exercícios.000 em (4).3 é falsa Considere as matrizes Segue do Teorema 5.2. Uma vez concluído esse trabalho. então k é um autovalor de Ak e não é exigida no Teorema 5. a saber.2. O exemplo seguinte mostra que isso realmente pode ocorrer. portanto. só precisamos trocar os expoentes de 13 para 1. TEOREMA 5. temos o resultado seguinte. Por exemplo. x é um autovetor associado. O Teorema 5. mas não algébrica impede a possibilidade de existirem matrizes diagonalizáveis com menos que n autovalo- res distintos. Deixamos para o leitor resolver as equações características (I ⫺ I)x ⫽ 0 e (I ⫺ J)x ⫽ 0 com  ⫽ 1 e mostrar que.  E X E M PLO 6 A recíproca do Teorema 5. para J é 3 unidimensional. mas que x é um autovetor associado.  ⫽ 1 e. então A x ⫽ A(Ax) ⫽ A(x) ⫽ (Ax) ⫽ (x) ⫽  x 2 2 o que mostra que não só  é um autovalor de A .2.2 que ambas as matrizes têm somente um autovalor distinto.3 não resolve totalmente o problema da diagonalização.2. se  for um autovalor de A e x um autovetor associado. Assim. 5. pois somente Multiplicidades geométrica e garante que uma matriz quadrada com n autovalores distintos é diagonalizável. segue de (3) que (4) Observação A maior parte do trabalho no método do exemplo precedente é diagonalizar A. para I o autoespaço é tridimensional (todo o R ) e que.4 Se  for um autovalor de uma matriz quadrada A com autovetor Note que a diagonalizabilidade associado x e se k for algum inteiro positivo qualquer. . a multiplicidade geométrica é menor do que ou igual à multiplicidade algébrica. O teorema a seguir. . vk são linearmente independentes. mas no Exemplo 2. . Se 0 for um autovalor de uma matriz A de tamanho n ⫻ n. . unidimensional (e. então a dimensão do autoespaço associado a 0 é deno- minada multiplicidade geométrica de 0. {v1} é linearmente independente. OPCIONAL Completamos esta seção com uma prova opcional do Teorema 5.br/ 312 Álgebra Linear com Aplicações Isso mostra que a recíproca do Teorema 5. . . c2. vk autovetores de A associados aos autovalo- res distintos 1. portanto. . . o autoespaço associado a  ⫽ 2 tem dimensão somente 1. Como um autovetor é não nulo por definição.3 é falsa. 2.2. vk} é linearmente dependente.2 Sejam v1. . mas queremos tocar num teorema que é importante para um melhor entendi- mento da diagonalizabilidade. {v1. . uma sendo diagonalizável e a outra não. obtemos c1(1 ⫺ r⫹1)v1 ⫹ c2(2 ⫺ r⫹1)v2 ⫹ · · · ⫹ cr(r ⫺ r⫹1)vr ⫽ 0 . . . .2. e o número de vezes que  ⫺ 0 aparece como um fator do polinômio característico de A é denominado multiplicidade algébrica de ␭0. Prova do Teorema 5. . resume a discussão precedente. k. .2. que apresentamos sem prova. vr} é linearmente independente. resultando na não diagonalizabilidade. v2. exa- tamente unidimensional) e o autoespaço associado a  ⫽ 2 é. no máximo. Vamos supor que v1.5 Multiplicidades geométrica e algébrica Se A for uma matriz quadrada. . existem escalares c1. cr⫹1. ambos os lados de (5) por r⫹1 e subtraindo a equação resultante de (6). Avr⫹1 ⫽ r⫹1vr⫹1 obtemos c11v1 ⫹ c22v2 ⫹ · · · ⫹ cr⫹1r⫹1vr⫹1 ⫽ 0 (6) Multiplicando. o autoespaço associado a  ⫽ 1 é. Pode ser provado que se 0 for um autovalor de A.blogspot. Como estamos supon- do que {v1. v2. . . tais que c1v1 ⫹ c2v2 ⫹ · · · ⫹ cr⫹1vr⫹1 ⫽ 0 (5) Multiplicando ambos os lados de (5) por A e usando o fato de que Av1 ⫽ 1v1. Assim. TEOREMA 5. e só se. . . Assim. . agora. v2. no máximo. . o polinômio característico é ( ⫺ 1)( ⫺ 2) 2 Assim. v2. . então a dimensão do autoespaço associado a 0 não pode exceder o número de vezes que  ⫺ 0 aparece como um fator do polinômio característico de A.2. resultando em diagonalizabilidade.  Uma excursão completa no estudo da diagonalização é deixada para textos mais avançados. v2. . r satisfaz 1 ⱕ r ⬍ k. a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à multiplicidade algébrica. nos Exemplos 1 e 2. Por exemplo. bidimensional. . não todos nulos. Av2 ⫽ 2v2. Seja r o maior inteiro tal que {v1. . pela definição de r. vk sejam linearmente dependentes e obter uma contradição. o autoespaço associado a  ⫽ 2 de fato tem dimensão 2.com. Além disso. . . (a) Dado qualquer autovalor de A. (b) A é diagonalizável se. . v2. Existe alguma terminologia relacionada com esse assunto. . https://livros-pdf-ciencias-exatas. valem as afirmações seguintes. No Exemplo 1. . vr⫹1} é linearmente dependente. . . pois produzimos duas matrizes 3 ⫻ 3 com menos do que 3 autovalores distintos. poderemos concluir que v1. . .2. .  (b) Para cada autovalor . . v2. Seja A uma matriz 6 ⫻ 6 com equação característica  Nos Exercícios 12–15. (a) Encontre os autovalores de A. mostre que A e B não são matrizes seme. 3. minar se a matriz é diagonalizável.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Transformação de semelhança • Determinar se uma matriz quadrada é diagonalizável. vr} é um conjunto linearmente independente. e completamos a prova.2  Nos Exercícios 1–4. lhantes. essa equação implica c1(1 ⫺ r⫹1) ⫽ c2(2 ⫺ r⫹1) ⫽ · · · ⫽ cr(r ⫺ r⫹1) ⫽ 0 e. use o método do Exercício 6 para deter- 2. 1. 14. • Invariante de semelhança • Diagonalizar uma matriz quadrada. c2. 5. que c1. 10. .2 Diagonalização 313 Como {v1. • Matrizes semelhantes • Encontrar potências de uma matriz usando semelhança. . .  7. 13. encontre uma matriz P que diagonalize 2( ⫺ 1)( ⫺ 2)3 ⫽ 0. 15. segue que cr⫹1 ⫽ 0 (8) Mas as Equações (7) e (8) contradizem o que supomos a respeito dessas constantes. 8. . Quais são as possíveis dimensões dos A e calcule P⫺1AP. 9. . . a saber. 2. . . . . 4. 5. . como os 1. • Multiplicidade algébrica Conjunto de exercícios 5. segue que c1 ⫽ c2 ⫽ · · · ⫽ cr ⫽ 0 (7) Substituindo esses valores em (5) obtemos cr⫹1vr⫹1 ⫽ 0 Como o autovetor vr⫹1 é não nulo. Seja 12. • Matriz diagonalizável • Encontrar as multiplicidades geométrica e algébrica de • Multiplicidade geométrica um autovalor. 11.  Nos Exercícios 7–11. cr⫹1 não são todos nulos. r⫹1 são distintos. encontre o posto da matriz I ⫺ A. (c) Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão. .  autoespaços de A? 6. provando. prove que o polinômio carac- terístico de C (e. 17. de A) contém o fator ( ⫺ 0) (a) A é diagonalizável se (a ⫺ d) ⫹ 4bc ⬎ 0. 32. 33. Em cada parte. responda a pergunta e explique seu raciocínio. (a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de A? (b) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços 21. (b) Seja P a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. que a multiplicida- (b) A não é diagonalizável se (a ⫺ d)2 ⫹ 4bc ⬍ 0. (a) Prove que existe alguma base B ⫽ {u1. encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule o Exercício 20 da Seção 5. .000 (b) A⫺1. Este problema conduz a uma prova do fato de que a multipli- 11 cidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho 23. v2. un} de Rn na qual os primeiros k vetores formam uma base do auto- 24. . sendo mesmo autovalor de A. 31. Para isso. sendo n ⫻ n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. seja p() ⫽ ( ⫺ 1)( ⫺ 3)2( ⫺ 4)3. cada um dos quais está associado ao 22. 19. Prove que matrizes semelhantes têm a mesma nulidade. encontre as multiplicidades geométrica 27. Em cada parte. suponha que 0 seja um autovalor de multiplicidade geométrica k.000 (c) A2. assim. Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo traço. A e C têm o mesmo polinômio caracte- rístico. .] de geométrica k. Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A 20. o que pode ser dito sobre esse autovalor? 34. . qualquer que seja o inteiro positivo k.301 (d) A⫺2. Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo posto. Use o método do Exemplo 5 para calcular A .314 Álgebra Linear com Aplicações  Nos Exercícios 16–21. portanto.1. [Sugestão: ver zável. v3} for um conjunto linearmente independente de vetores de A. 30. então Ak é dia- gonalizável. então o posto de A é o número de autovalores não nulos de A. u2.] (c) Use o resultado da parte (b) para provar que A é seme- lhante a 26. . sabendo que A é diagonalizável? (c) Se {v1.  28. portanto. Prove que se A for uma matriz diagonalizável. encontre uma matriz P que diagonalize A. Prove que o produto AP pode ser dado por (a) A1. calcule a potência indicada de espaço associado a 0. Use o método do Exemplo 5 para calcular A10. Se for.] P⫺1AP. No caso em que a matriz A do Exercício 26 for diagonalizá- e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonali.1.301 n 25. Seja e que. de algébrica de 0 é maior do que ou igual à multiplicida- [Sugestão: ver o Exercício 19 da Seção 5. Prove que se A for uma matriz diagonalizável. 2 pelo menos k vezes. Encontre A se n for um inteiro positivo e [Sugestão: compare os k primeiros vetores coluna de am- bos os lados. Mostre que (d) Considerando det(I ⫺ C). vel. 16. 18. 29. Por exemplo.3 Espaços vetoriais complexos As noções de autovalor e autovetor complexos surgem naturalmente.3. Contudo. 5. ou valor absoluto. então Revisão de números • Re(z) ⫽ a e Im(z) ⫽ b são denominados parte real de z e parte imaginária de z. B⫺1 são semelhantes. • ⫽ a ⫺ bi é denominado conjugado complexo de z.3. o polinômio característico da matriz é que tem as soluções imaginárias  ⫽ i e  ⫽ ⫺i. Nesta seção. então A é diagonalizável. justificando sua resposta. precisamos explo- rar as noções de espaço vetorial complexo e algumas ideias relacionadas. então existe uma única matriz P tal que P⫺1AP é uma matriz diagonal. é possível que a equação característica de uma matriz A de entradas reais tenha soluções imaginárias. então A é semelhante a C. então A ⫺1 e brica 1. complexos respectivamente. zável. apresentamos uma revisão das propriedades essenciais dos números complexos. então A é diagonalizável. Para tratar desse caso. (g) Se existir alguma base de Rn consistindo em autovetores de (b) Se A. . 5.1 é um argumento de z. (h) Se todo autovalor de uma matriz A tiver multiplicidade algé- (c) Se A e B forem matrizes invertíveis semelhantes.1 Observamos. semelhante a C. discutimos essa ideia e aplicamos nossos resultados ao estudo mais aprofundado de matrizes simétricas. (a) Toda matriz quadrada é semelhante a si mesma. (d) Se A for diagonalizável. (f) Se A for diagonalizável. então AT é diagonalizável. No final deste texto. |z| • dizemos que o ângulo  na Figura 5. Até aqui. que a equação característica de uma matriz A Autovalores complexos de tamanho n ⫻ n arbitrária tem a forma n ⫹ c1n⫺1 ⫹ · · · ⫹ cn ⫽ 0 (1) em que o coeficiente da maior potência de  é 1.3 Espaços vetoriais complexos 315 Exercícios verdadeiro/falso (e) Se A for diagonalizável e invertível.  Figura 5. então A⫺1 será diagonali- Nas partes (a)-(h). de z. • é denominado módulo. • Re(z) ⫽ |z| cos   • Im(z) ⫽ |z| sen  Re(z) = a • z ⫽ |z|(cos  ⫹ i sen ) é denominada forma polar de z. limitamos nossa discussão a matrizes tais que as soluções de (1) eram números reais. porque a equação característica de qualquer matriz quadrada pode ter soluções complexas. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.1. Lembre que se z ⫽ a ⫹ bi for um número complexo. z = a + bi Im(z) = b • . B e C forem matrizes tais que A é semelhante a B e B é uma matriz A de tamanho n ⫻ n. mesmo no contexto de matrizes de entradas reais. na Fórmula (3) da Seção 5. . . b2. dizemos que v ⫽ (v1. passamos a dizer que uma matriz A é uma matriz real se suas entradas são ne- cessariamente números reais. um vetor v em C está em R se. . . . vn). vn) é um vetor em C n e que v1. Nesta seção. e é a matriz formada tomando o conjugado complexo de cada entrada de A. v2. . . . . . A terminologia usada para ênuplas reais é aplicável igualmente a ênuplas complexas. vn são seus componentes. e todas as propriedades familiares de matrizes continuam valendo. an) e Im(v) ⫽ (b1. por isso. e só se. . se v1. então uma ênupla complexa é uma se- quência de n números complexos (v1. . e uma matriz complexa se suas entradas podem ser números complexos. v2. . dito de outra forma.316 Álgebra Linear com Aplicações Vetores em C n Um espaço vetorial em que os escalares podem ser números complexos é denominado espaço vetorial complexo. . . . . . Nesta seção. . . . . an) ⫹ i(b1. vn forem números complexos. então Re(A) e Im(A) são as matrizes formadas com as partes real e imaginária das entradas de A. . . v2. também precisaremos considerar matrizes com entradas complexas e. DEFINIÇÃO 1 Se n for um inteiro positivo. subtração e multiplicação por escalar são efetuadas componente a componente. a2. .  E X E M PLO 1 Partes real e imaginária de vetores e matrizes Sejam . . Os escalares são os números complexos. . . . an ⫹ bni) n em C pode ser repartido nas partes real e imaginária como v ⫽ (a1. . bn) que também denotamos por v ⫽ Re(v) ⫹ i Im(v) em que Re(v) ⫽ (a1. Assim. Alguns exemplos de vetores em C 3 são Qualquer vetor v ⫽ (v1. a2. . vn) ⫽ (a1 ⫹ b1i. b2. . . . . vamos nos ocupar somente da generalização se- guinte do espaço vetorial real Rn. O conjunto de todas as ênuplas com- plexas é denominado espaço complexo de dimensão n e denotado por C n. bn) O vetor é denominado conjugado complexo de v e pode ser expresso em termos de Re(v) e Im(v) por (2) n n Segue que os vetores em R podem ser vistos como aqueles vetores em C cuja parte n n imaginária é nula. v2. a2 ⫹ b2i. . . . Se A for uma matriz complexa. . v2. . As operações conhecidas com as matrizes reais passam sem modificações para matrizes complexas. . e as operações de adição. v2.  E X E M P L O 2 Produto interno e norma euclidiana complexos Encontre u · v.3. dizemos que v é um vetor unitário em C n se ||v|| ⫽ 1 e dizemos que dois vetores u e v são ortogonais se u · v ⫽ 0.3 Espaços vetoriais complexos 317 Então Os dois teoremas seguintes listam algumas propriedades de vetores e matrizes complexos Propriedades algébricas do que utilizamos nesta seção. então (a) (b) (c) (d) TEOREMA 5. então o produto escalar complexo de u e v. ||u|| e ||v|| com os vetores u ⫽ (1 ⫹ i. 2. . . conjugado complexo n TEOREMA 5. vn) forem vetores em C n. i. . u2. é denotado por u · v e definido por (3) Os conjugados complexos em n Também definimos a norma euclidiana em C por (3) garantem que ||v|| é um nú- mero real. pois sem os conjuga- dos.1 Se u e v forem vetores em C e a algum escalar.2 Se A for uma matriz complexa de tamanho m ⫻ k e B uma matriz complexa de tamanho k ⫻ n. . a quantidade v · v em (4) (4) pode ser imaginária. 5. .3. 3 ⫺ i) e v ⫽ (1 ⫹ i. . . Algumas das provas são deixadas como exercícios. 4i) . un) e v ⫽ (v1. v · u. Como no caso real. também denominado produto interno euclidiano complexo. . então (a) (b) (c) A próxima definição estende os conceitos de produto escalar e norma a C n. Produto interno euclidiano complexo DEFINIÇÃO 1 Se u ⫽ (u1. Cada um desses vetores x é um autovetor complexo de A associado a . plexas. que denominamos a propriedade de antissimetria desse produto. Se A for uma matriz n ⫻ n com entradas com- Explique. precisamos primeiro tomar seu conjugado complexo. então esses autovalores e seus autovetores associados ocorrem em pares conjugados. e o conjunto de todas essas soluções é um subespaço de C n. independência n linear. substitua a por e use o fato de que . existe um vetor não nulo x em C n tal que Ax ⫽ x. O próximo teorema afirma que se uma matriz real tem autovalores complexos. v ⫽ 0 [Positividade] As partes (c) e (d) desse teorema afirmam que um escalar multiplicando um produto escalar complexo de dois vetores pode ser reagrupado com o primeiro vetor. espaço gerado. Como no caso real. as noções de combinação linear. subespaço. denominado autoespaço de A associado a . Os autovetores complexos de A associados a  são as soluções não nulas do sistema linear (I ⫺ A)x ⫽ 0. TEOREMA 5.  é um autovalor complexo de A se.2. vimos que se u e v forem vetores coluna em Rn. (a) [Antissimetria] (b) u · (v ⫹ w) ⫽ u · v ⫹ u · w [Distributividade] (c) a(u · v) ⫽ (au) · v [Homogeneidade] (d) u · av [Anti-homogeneidade] (e) v · v ⱖ 0 e v · v = 0 se. Prova (d) Para completar a prova.318 Álgebra Linear com Aplicações Solução Na Tabela 1 da Seção 3.2. .3. e só se. Provamos a parte (d) e deixamos as demais como exercício. então as raízes complexas da equação característica det(I ⫺ A) ⫽ 0 são denomi- nadas autovalores complexos de A. base e dimensão passam para C sem modificações. mas para reagrupá-lo com o segundo vetor.  Conceitos vetoriais em C n Exceto pelo uso de escalares complexos.3 O produto escalar complexo tem as propriedades seguintes com quaisquer vetores u. a relação correspondente é . e só se. O próximo teorema é o análogo do Teorema 3. v e w em C n e qualquer escalar a. mas no produto escalar complexo. sempre temos v · u ⫽ u · v (a propriedade de simetria).2. No produto escalar em Rn. Os autovalores e autovetores de matrizes complexas são definidos exatamente da Rn será um subespaço de C n? mesma maneira que para matrizes reais. então seu produto escalar poderá ser expresso por u·v⫽u v⫽v u T T n A fórmula análoga em C é dada por (verifique) (5) n O Exemplo 2 revela uma diferença essencial entre o produto escalar em R e o pro- duto escalar complexo em C n. o sistema é dado por (8) Poderíamos resolver esse sistema reduzindo a matriz aumentada (9) à forma escalonada reduzida por linhas usando eliminação de Gauss-Jordan.3. obtemos onde (por quê?). . Por esse motivo. temos (6) Contudo. Com  ⫽ i. segue da parte (c) do Teorema 5.3.4 Se  for um autovalor de uma matriz real A de tamanho n ⫻ n e x um autovetor associado.3.   E X E M P L O 3 Autovalores e autovetores complexos Encontre os autovalores e uma base do autoespaço de Solução O polinômio característico de A é de modo que os autovalores de A são  ⫽ i e  ⫽ ⫺i. mesmo que a aritmética complexa seja um pouco tediosa. Observe que esses autovalores são complexos conjugados. podemos simplesmente igualar a zero as entradas da . portanto. Um procedimento mais simples é observar primeiro que a forma escalonada reduzida por linhas de (9) deve ter uma linha de zeros. 5. Por isso. então também é um autovalor de A. isso significa que é um autovalor de A e que é um autovetor associado. como garante o Teorema 5. e é um autovetor associado. a primeira linha pode ser zerada pela soma com um múltiplo apropriado da segunda linha.3 Espaços vetoriais complexos 319 TEOREMA 5.2 que (7) Juntando as Equações (6) e (7). Para encontrar os autovetores. cada linha de (9) é um múltiplo escalar da outra e. já que A tem entradas reais. portanto. Prova Como  é um autovalor de A e x é um autovetor associado. devemos resolver o sistema com  ⫽ i e depois com  ⫽ ⫺i.4. pois (8) tem soluções não triviais. Ela logo observou que alguns resultados sobre os autovalores de uma certa matriz complexa 6 ⫻ 6 poderiam ser usados para responder ques- tões fundamentais sobre o problema dessas vibrações que. permutar as linhas e então multiplicar a nova primeira linha por para obter a forma escalonada reduzida por linhas Assim. uma solução geral do sistema é Isso nos diz que o autoespaço associado a  ⫽ 1 é unidimensional e que consiste em todos os múltiplos escalares complexos do vetor da base (10) Para conferir. mas discrepantes. Obser- ve que o polinômio característico da matriz Nota histórica Olga Taussky-Todd foi uma das mulheres pioneiras na Análise Matricial e a primeira mulher a ocupar um cargo de professora no Instituto Tecnológico da Califórnia.  Como muitos de nossos exemplos subsequentes envolvem matrizes 2 ⫻ 2 de entradas reais. é útil discutir alguns resultados gerais sobre os autovalores de tais matrizes. pois o Teorema 5. Olga Taussky-Todd [Imagem: cortesia dos Arquivos do California Institute of Technology] (1906–1995) . de outra forma. sobre matrizes para um assunto coerente. mostremos que Ax ⫽ ix. Ela trabalhou no Laboratório Na- cional de Física. que hoje conhecemos como a teo- ria de matrizes. mas isso é desnecessário. ela continuou seu trabalho em assuntos relacionados a matrizes e ajudou a trazer muitos resultados conhecidos. em Londres. afirma que (11) deve ser uma base desse autoespaço. As contas a seguir confirmam que é um autovetor de A associado a  ⫽ ⫺i. Depois da Segunda Guerra Mun- dial. onde foi encarregada de estudar as vibrações em aeronaves supersônicas.320 Álgebra Linear com Aplicações primeira linha.4. exigiriam cálculos trabalhosos. Temos Poderíamos encontrar uma base do autoespaço associado a  ⫽ ⫺i de maneira análoga. durante a Segunda Guerra Mundial.3. os autovalores de A são  ⫽ 2 ⫹ 3i e  ⫽ 2 ⫺ 3i. obtemos Assim. a equação característica de A é  ⫺ 4 ⫹ 13 ⫽ 0 2 Resolvendo essa equação pela fórmula quadrática. b ⫽ ⫺tr(A) e c ⫽ det(A). Solução (b) Temos tr(A) ⫽ 2 e det(A) ⫽ 1. (c) A tem dois autovalores complexos conjugados se tr(A)2 ⫺ 4 det(A) ⬍ 0. use a Fórmula (13) da equação característica para encontrar os autovalores de (a) (b) (c) Solução (a) Temos tr(A) ⫽ 7 e det(A) ⫽ 12.3 Espaços vetoriais complexos 321 é Podemos expressar isso em termos do traço e do determinante de A como det(I ⫺ A) ⫽  ⫺ tr(A) ⫹ det(A) 2 (12) do que segue que a equação característica de A é 2 ⫺ tr(A) ⫹ det(A) ⫽ 0 (13) Agora lembre da Álgebra que se ax ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 for uma equação quadrática de coefi- 2 cientes reais. obtemos o teorema seguinte. portanto.5 Se A for uma matriz 2 ⫻ 2 com entradas reais.3. sua multiplicidade algébrica é 2. obtemos ( ⫺ 1) ⫽ 0. TEOREMA 5. a equação característica de A é  ⫺ 2 ⫹ 1 ⫽ 0 2 Fatorando essa equação. 5. a equação característica de A é  ⫺ 7 ⫹ 12 ⫽ 0 2 Fatorando. portanto.  . portanto. Solução (c) Temos tr(A) ⫽ 4 e det(A) ⫽ 13.  E X E M P L O 4 Autovalores de uma matriz 2 ⴛ 2 Em cada parte. então a equação característica de A é 2 ⫺ tr(A) ⫹ det(A) ⫽ 0 e (a) A tem dois autovalores reais distintos se tr(A)2 ⫺ 4 det(A) ⬎ 0. de modo que  ⫽ 1 é o único autovalor de 2 A. obtemos ( ⫺ 4)( ⫺ 3) ⫽ 0. de modo que os autovalores de A são  ⫽ 4 e  ⫽ 3. b2 ⫺ 4ac ⬎ 0 [Duas raízes reais distintas] b2 ⫺ 4ac ⫽ 0 [Uma raiz real repetida] b2 ⫺ 4ac ⬍ 0 [Duas raízes complexas conjugadas] Aplicando isso a (13) com a ⫽ 1. então o discriminante b2 ⫺ 4ac determina a natureza das raízes. (b) A tem um autovalor real repetido se tr(A)2 ⫺ 4 det(A) ⫽ 0. 3.7 Os autovalores da matriz real (15) são  ⫽ a ⫾ bi.2).3.2 que  Figura 5. Prova A equação característica de C é ( ⫺ a) ⫹ b ⫽ 0 (verifique). portanto. O ponto crucial da prova é considerar as ma- trizes simétricas reais como matrizes complexas cujas entradas têm parte imaginária nula.3 a ⫽ || cos  e b ⫽ || sen  . b) (Figura 5.322 Álgebra Linear com Aplicações Matrizes simétricas têm Nosso próximo resultado. b) || (16)  x onde  é o ângulo do eixo x positivo ao raio que vai desde a origem até o ponto (a. que se refere aos autovalores de matrizes reais simétricas. vemos na Figura 5. TEOREMA 5. Supondo a e b não ambos nulos.6 Se A for uma matriz simétrica real. b). então essa matriz pode ser fatorada y como (a. segue da segunda igualdade em (14) e de propriedades da conjugação que  Uma interpretação O teorema seguinte é fundamental no entendimento do significado geométrico de autova- geométrica de autovalores lores complexos de matrizes reais 2 ⫻ 2.3. os auto- 2 2 valores de C são  ⫽ a ⫾ bi. portanto. Ax ⫽ x onde x ⫽ 0. é im- autovalores reais portante numa grande variedade de aplicações.3. Assim.  Figura 5.3. podemos concluir que  é real mostrando que (14) Mas A é simétrica e tem entradas reais. Multiplicando ambos os lados dessa equação por e usando o fato de que obtemos Como o denominador dessa expressão é real. portanto. esse teorema afirma que a multiplicação por uma matriz da forma (15) Dilatação Cx pode ser vista como uma rotação pelo ângulo  seguida de uma dilatação (ou contração) Rotação de fator || (Figura 5. complexos TEOREMA 5.3.3). O ângulo  é o argumento do autovalor  ⫽ a ⫹ bi. Prova Sejam  um autovalor de A e x um autovetor associado. sendo que ␭ pode ser complexo e x pode estar em C n. seja  o ângulo do eixo x  x x positivo ao raio desde a origem até o ponto (a. então A tem autovalores reais.3. Se a e b não forem ambos nulos.2 y Geometricamente. 3.3 Espaços vetoriais complexos 323 Segue disso que a matriz em (15) pode ser escrita como  O próximo teorema. Im(x)} para a base canônica. 5. Aplicamos x0 das coordenadas canônicas para as coordenadas na base B for- mando o produto P⫺1x0. Aplicamos uma rotação e uma dilatação ou contração ao vetor P⫺1x0 formando o produto SRP⫺1x0. vemos que (18) diz que o cálculo do produto Ax0 pode ser decomposto num processo de três passos. temos Assim. como segue. Passo 3.  Para entender o significado geométrico do Teorema 5. e então usemos (16) para reescrever (17) como geométrica do Teorema 5.3.8. Passo 1. cuja prova é discutida nos exercícios. Solução Para manter a notação do Teorema 5. Se x for um autovetor de A associado a  ⫽ a ⫺ bi. P como a matriz de transição da base B ⫽ {Re(x). como antes). então a matriz P ⫽ [Re(x) Im(x)] é invertível e (17)  E X E M P L O 5 Uma fatoração matricial usando autovalores complexos Fatore a matriz no Exemplo 3 na forma (17) usando o autovalor  ⫽ ⫺i e o autovetor associado que foi dado em (11). multiplicando o lado direito.8. respectivamente. Para esses ␭ e x. TEOREMA 5. denotemos as matrizes do lado Uma interpretação direito de (16) por S e R.8 (18) Interpretando.3.3. de modo que A pode ser fatorada na forma (17) como O leitor pode querer conferir isso. denotemos o autovetor em (11) asso- ciado a  ⫽ ⫺i por x (em vez de . mostra que cada matriz real 2 ⫻ 2 com autovalores complexos é semelhante a uma matriz da forma (15). Aplicamos o vetor girado e dilatado ou contraído de volta às coordenadas canô- nicas para obter Ax0 ⫽ PSRP⫺1x0. Passo 2. agora.8 Seja A uma matriz real 2 ⫻ 2 com autovalores complexos  ⫽ a ⫾ bi (em que b ⫽ 0). . 4 Para entender por que os pontos se movem ao longo de uma trajetória elíptica. . 1 (3) 1 1 (1. Por exemplo. então os pontos se movem ao longo da trajetória elíptica mostrada na Figura 5.3. . .3. preci- samos examinar os autovalores e autovetores de A. se A for matriz canônica de um operador de Rn e x0 algum vetor fixado em Rn. . . se então. Ax0. 2 x –1 x –1 1 2 A x0 A3x0 –1 –1 A4x0 (a) (b) (c)  Figura 5. Deixamos para o leitor mostrar que os autovalores de A são e que autovetores associados são Tomando e em (17) e usando o fato de que || ⫽ 1. Akx0. então podemos estar interessados no comportamento da sequência de potências x0. . A2x0.  1 4 2 1 x 1. com a ajuda de um computador ou calculadora. 1) (2) (1) Ax0 5 1 .4a. Por exemplo. y). podemos mostrar que os cinco primeiros termos da sequência de potências são Com a ajuda de MATLAB ou de algum outro sistema de computação simbólica. obtemos a fatoração (19) em que R é uma rotação em torno da origem pelo ângulo  cuja tangente é . podemos mostrar que se os primeiros 100 termos forem desenhados como pares ordenados (x. y y y 1 x0 = (1. 1) 2 .324 Álgebra Linear com Aplicações Sequências de potências Há muitos problemas nos quais estamos interessados em entender como as sucessivas aplicações de uma transformação matricial afetam um vetor específico. . 0) de modo que o produto Anx0 pode ser calculado transformando primeiro x0 no ponto P⫺1x0 em coordenadas B.] [O ponto é girado pelo ângulo ␾. de modo que quando os pontos da órbita circular são transferidos de volta para as coordenadas canônicas. As contas para a primeira iterada são as seguintes (as iteradas sucessivas estão ilustradas na Figura 5.3.3.3 Espaços vetoriais complexos 325 A matriz P em (19) é a matriz de transição da base y (0.4c).5 pelo ângulo n e finalmente multiplicando Rn P⫺1x0 por P para transformar o ponto resul- tante de volta às coordenadas canônicas.5). Agora observe que se n for um inteiro positivo.3. B é uma base torcida e não ortogonal. Contudo.] Revisão de conceitos • Autovalor complexo • Parte real de z • Autovetor complexo • Parte imaginária de z • Autoespaço em Cn • Módulo de z • Discriminante • Conjugado complexo de z Aptidões desenvolvidas • Argumento de z • Encontrar a parte real. traçando. 1 para a base canônica e P⫺1 é a matriz de transição da matriz canônica para a base B (Figu- ra 5.3. [x0 é transformado nas coordenadas B. • Produto escalar complexo (produto interno euclidiano • Fatorar uma matriz real 2 ⫻ 2 com autovalores complexos complexo) num produto de matrizes de contração ou dilatação e rotação.4b). uma órbita circular em torno da origem. a parte imaginária e o conjugado • Forma polar de z de uma matriz complexa ou de um vetor complexo. • Ênupla complexa • Encontrar produtos internos complexos e normas de • Espaço complexo de dimensão n vetores complexos. • Espaço vetorial complexo • Encontrar o determinante de uma matriz complexa. então (19) implica Re(x) ⫺1 n ⫺1 A x0 ⫽ (PRP ) x0 ⫽ PR P x0 n n x Im(x) (1. cada multiplicação sucessiva por A faz com que o ponto P⫺1x0 avance por um ângulo . 5. sofrem uma distorção da órbita circular para a órbita elíptica percorrida por Anx0 (Figura 5. • Matriz real • Encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços de • Matriz complexa matrizes complexas. depois multiplicando por Rn para girar esse ponto em torno da origem  Figura 5. Agora podemos ver o que está acontecendo geo- metricamente. assim. 1) 1 2. Nas coordenadas B. • Norma euclidiana em Cn • Propriedade de antissimetria .] [O ponto é transformado nas coordenadas canônicas.  3. 6.3. comutativas. Prove a parte (c) do Teorema 5. 25. 5 ⫹ 3i). v ⫽ (1. 16. no Exercício 3. Em cada parte. Resolva a equação em x. sendo u e v os vetores 21.3. Im(u) e ||u||.326 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 5. 3i). (a) Mostre que 2 ⫽ 2x ⫽ 2y ⫽ 2z . v ⫽ (4. então Re(Ax) ⫽ A(Re(x)) e Im(Ax) ⫽ A(Im(x)). 26. 24. Essa relação continuará válida 15. i. a ⫽ 2i 12. 6 ⫺ 2i) Teorema 5. u ⫽ (1 ⫹ i. 32. u ⫽ (2 ⫺ i. Mostre que as matrizes de Dirac são antico- mutativas. 1 ⫹ 4i.3. encontre . Calcule com os vetores u. 1 ⫹ i). 2 ⫹ 3i). Prove o Teorema 5.3. no Teorema 5.1. sendo u e v os vetores no Exercício 4. de Dirac. . 3).2. 2 ⫹ i. 1 ⫹ i) 2. 7. 18. (a) u ⫽ (2i.1 afirma que ||kv|| ⫽ |k| ||v||.  Nos Exercícios 3–4. 2i. Sejam A a matriz dada no Exercício 8 e B a matriz denominadas matrizes spin de Pauli. 20.   Nos Exercícios 7–8. ⫺4i. v e a satisfazem o Teorema Encontre || e o ângulo  tal que ⫺ ⬍  ⱕ . As matrizes 10. 3 ⫹ 2i.3. Im(A). 6i. ⫺6i). mostre que u.  Nos Exercícios 11–12.1. encontre e Re(A). todos os escalares com- 9. são utilizadas na Mecâ- Confirme que essas matrizes têm as propriedades enunciadas nica Quântica para estudar o spin de partículas. a⫽i 19. 14. Se k for um escalar real e v um vetor em Rn. encontre os autovalores e as bases dos autoespaços de A. v ⫽ (i. a ⫽ 1 ⫹ i 13. encontre uma matriz invertível P e uma matriz C da forma (15) tais que A ⫽ PCP⫺1.2. w ⫽ (1 ⫺ i. 2 ⫺ i. v ⫽ (3.3.  5. As matrizes no Teorema 5.3.2. 1 ⫺ i) 28. 4 ⫺ 5i). v e w no Exercício 11. 3i). O 1. se houver. 6 ⫺ 2i). Sejam A a matriz dada no Exercício 7 e B a matriz plexos k com os quais u e v são ortogonais em C3. v ⫽ (1 ⫹ i. se k for um escalar complexo e v um vetor em Cn? Justifique sua reposta. que também são utilizadas na Mecânica Quântica. 4. a ⫽ ⫺i 5. ⫺1.   Nos Exercícios 19–22. Calcule com os vetores u. u ⫽ (6. u · w e v · w e mostre são expressas em termos das matrizes spin de Pauli e a matriz que os vetores satisfazem a Fórmula (5) e as partes (a).  Nos Exercícios 15–18. u ⫽ (i. Resolva a equação em x.2. então o Teorema 3. (b) e (c) do identidade I2 de tamanho 2 ⫻ 2 por Teorema 5. calcule u · v. k) (b) u ⫽ (k. w ⫽ (2 ⫺ i. 1 ⫹ 4i. i ⫺ 3). u ⫽ (6. 2i.  Nos Exercícios 23–26. det(A) e tr(A)  23. v e w no (b) Duas matrizes A e B tais que AB ⫽ ⫺BA são ditas anti- Exercício 12. u ⫽ (3 ⫺ 4i. 4). 4i.3. 17. 8. 22. 4i. 29. 31. ⫺2i. v ⫽ (4.  11. k. Mostre que se A for uma matriz real n ⫻ n e x um vetor colu- Confirme que essas matrizes têm as propriedades enunciadas na em C n. cada matriz C tem a forma (15). 27.7 implica que C é o produto de uma matriz de con- tração ou dilatação de fator || pela matriz de rotação de ângulo .  30. Re(u).3  Nos Exercícios 1–2. 1 ⫹ i). 4. encontre. . digamos v ⫽ 5. justificando sua resposta. Neste problema.8. gestão: se P não for invertível.] |u · v| ⱕ ||u|| ||v|| 35. ções da equação 2 ⫺ tr(A) ⫹ det(A) ⫽ 0. Mostre que a relação Ax ⫽ x implica (c) Matrizes que têm os mesmos autovalores complexos com as Ax ⫽ (au ⫹ bv) ⫹ i(⫺bu ⫹ av) mesmas multiplicidades algébricas têm o mesmo traço. Exercícios verdadeiro/falso (a) Para simplificar a notação. de modo que P ⫽ [u | v]. As equações diferenciais mais simples são as de primeira ordem da forma y⬘ ⫽ ay (1) . A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação.4 Equações diferencias Muitas leis da Física. Prove que se u e v forem vetores em C n. AP ⫽ [Au | Av] ⫽ [au ⫹ bv | ⫺bu ⫹ av] ⫽ PM (e) Todo autovalor de uma matriz complexa simétrica é real. então um de seus vetores Anx0. equações envolvendo funções e suas derivadas.4 Equações diferencias 327 33. . mostre que isso leva a uma contradição. então du. [Nota: isso implica que P ⫽ [Re(x) | Im(x)] é um múltiplo escalar real de uma (c) Tomando k ⫽ (u · v)/(v · v) na parte (b). provando que P é invertível. pertencem a uma elipse. então são  ⫽ cos  ⫾ i sen . da Engenharia e da Economia são descritas em termos de “equações diferenciais”. da Química. então Re(x) e Im(x) são ortogonais e têm o mesmo comprimento. então os vetores x0. As duas partes deste exercício indicam o caminho para provar o Teorema 5. então é um autovalor com- plexo de A e é um autovetor complexo de A associado a . (f) Se uma matriz A real 2 ⫻ 2 tiver autovalores complexos e pois o resultado da parte (a) implica A ⫽ PMP⫺1.3. da Biologia. . . ou seja. O Cálculo é um pré-requisito para esta seção. autovalores e autovetores podem ser aplicados na resolução de sistemas de equações diferenciais.7 que os autovalores da matriz de rotação (a) Prove: se k for um número complexo e u e v vetores em Cn. Substituindo isso nas equações Au ⫽ au ⫹ bv e Av ⫽ ⫺bu ⫹ av obtidas na parte (a). e então iguale as partes real e imaginária nessa equação para (d) Se  for um autovalor complexo de uma matriz real A com mostrar que autovetor complexo associado v. (a) Existe alguma matriz real 5 ⫻ 5 sem autovalores reais. (b) Os autovalores de uma matriz complexa 2 ⫻ 2 são as solu- e escreva u ⫽ Re(x) e v ⫽ Im(x). provamos o análogo complexo da desigual- dade de Cauchy-Schwarz. . Nesta seção. Ax0. Prove que se x for um autovetor (b) Use o resultado da parte (a) para provar que associado a um desses autovalores. 34.3. com o que termina a prova. abordamos uma maneira pela qual Álgebra Linear. seja Nas partes (a)-(f). Uma equação diferencial é uma equação que envolve funções desconhecidas e suas de. mostre que (1 ⫹ d2)bu ⫽ 0. [Su- x0 for um vetor em R2. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Finalmente. A2x0. prove que matriz ortogonal.] 36. Terminologia rivadas. . . 5. Segue do Teorema 5. coluna é um múltiplo escalar real do outro. (b) Mostre que P é invertível. . pelo que concluímos que 0 y ⫽ 6e 5x é a única solução de y⬘ ⫽ 5y que satisfaz (4). (7) . um problema físico que leva a uma equação diferencial impõe algumas condições que nos permitem isolar uma solução particular da solução geral. se exigirmos que a solução (3) da equação y⬘ ⫽ 5y satisfaça a condição adicional y(0) ⫽ 6 (4) (ou seja. Cada função dessa forma é uma solução de (1). vamos nos ocupar com a resolução de sistemas de equações diferenciais da primeira ordem forma (5) em que y1 ⫽ f1(x). e o problema de resolver uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial é denominado problema de valor inicial. y⬘ ⫽ Ay (6) em que a notação y⬘ denota o vetor obtido derivando cada componente de y. mais concisamente. Por exemplo. Por exemplo. essa equação tem uma infinidade de soluções. então substituindo esses valores em (3). Em vista disso. . nado sistema linear de primeira ordem. ou. é deno- minada condição inicial. que y ⫽ 6 quando x ⫽ 0). que especifica o valor da solução geral num ponto. a solução geral da equação diferencial y⬘ ⫽ 5y é y ⫽ ce 5x (3) Com frequência. dizemos que (2) é a solução geral de (1). Como ocorre com a maioria das equações diferenciais. yn ⫽ fn(x) são funções a determinar e os coeficientes a ij são constantes. y⬘ ⫽ dy/dx é sua derivada e a é uma constante. . Uma condição como (4).  E X E M P L O 1 Solução de um sistema linear com condições iniciais (a) Escreva o sistema dado em forma matricial. obteremos 6 ⫽ ce ⫽ c. Em notação matricial. pois y⬘ ⫽ cae ⫽ ay ax e é mostrado nos exercícios que essas são as únicas soluções. y2 ⫽ f2(x). que são as funções da forma y ⫽ ce ax (2) em que c é uma constante arbitrária. Sistemas lineares de Nesta seção. (5) pode ser escrito como Um sistema de equações dife- renciais da forma (5) é denomi.328 Álgebra Linear com Aplicações em que y ⫽ f (x) é uma função desconhecida a ser determinada. . É claro que tal matriz pode existir ou não. na formulação matricial do sistema y⬘ diagonalização ⫽ Ay. y2 ⫽ 4e⫺2x. obtemos de modo que a solução que satisfaz essas condições é y1 ⫽ e .4 Equações diferencias 329 (b) Resolva o sistema. (c) Encontre uma solução do sistema que satisfaça as condições iniciais y1(0) ⫽ 1. (10) Solução (c) Pelas condições iniciais dadas. de modo que. Solução (a) (8) ou (9) Solução (b) Como cada equação em (7) envolve só uma função incógnita. nesse caso. Passamos a considerar uma maneira de resolver um sistema desses. a matriz de coeficientes não é mais diagonal. Resolução por veu somente uma função incógnita. podemos resolver as equações individualmente. Segue de (2) que essas soluções são ou. Uma situação mais complicada ocorre quando uma ou todas as equações do sistema envolvem mais de uma das funções incógnitas. y2(0) ⫽ 4 e y3(0) ⫽ ⫺2. aparece uma matriz de coeficientes A diagonal [Fórmula (9)]. em notação matricial. em notação matricial.  O que facilitou a resolução do sistema no Exemplo 1 foi o fato de que cada equação envol. em que P é uma matriz invertível que diago- naliza A. y3 ⫽ ⫺2e5x 3x ou. 5. pois. A ideia básica para resolver um sistema y⬘ ⫽ Ay cuja matriz de coeficientes A não é diagonal é introduzir um novo vetor incógnito u que esteja relacionado com o vetor in- cógnito y por uma equação da forma y ⫽ Pu. poderemos reescrever a equação y⬘ ⫽ Ay como Pu⬘ ⫽ A(P u) . mas se existir. temos o procedimento seguinte para resolver um sistema y⬘ ⫽ Ay no caso em que A seja diagonalizável. Como os autovalores de A são  ⫽ 2 e  ⫽ ⫺3. Determine y a partir da equação y ⫽ Pu. esse sistema se torna Resolvendo esse sistema. a partir da relação y ⫽ Pu. Resumindo. é um autovetor de A associado a  se. x2 ⫽ t. Resolva u⬘ ⫽ Du. x é uma solução não trivial de Se  ⫽ 2. Passo 2. Encontre uma matriz P que diagonaliza A. Passo 4. de modo que . Agora podemos resolver essa equação em u usando o método do Exem- plo 1 e então obter y por multiplicação matricial. a matriz A será diagonalizável por qualquer matriz P cujas colunas sejam autovetores linearmente independentes de A.  E X E M P L O 2 Solução usando diagonalização (a) Resolva o sistema (b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y1(0) ⫽ 1. essa equação tem a forma u⬘ ⫽ Du com D diagonal. como ⫺1 u⬘ ⫽ (P AP)u Como estamos supondo que P diagonaliza A.330 Álgebra Linear com Aplicações ou. Um procedimento para resolver yⴕ ⴝ Ay se a for diagonalizável Passo 1. y2(0) ⫽ 6. alternativamente. e só se. Por definição. Passo 3. obtemos x1 ⫽ t.2. com D ⫽ P⫺1AP. Faça as substituições y ⫽ Pu e y⬘ ⫽ Pu⬘ para obter um novo “sistema dia- gonal” u⬘ ⫽ Du. Solução (a) A matriz de coeficientes do sistema é Como vimos na Seção 5. obtemos c1 ⫽ 2. diagonaliza A e Conforme observado no Passo 2 do procedimento enunciado acima. . a substituição y ⫽ Pu e y⬘ ⫽ Pu⬘ fornece o “sistema diagonal” Por (2). o leitor pode mostrar que é uma base do autoespaço associado a  ⫽ ⫺3. é uma base do autoespaço associado a  ⫽ 2. Analogamente. que são discutidos em textos dedicados a equações diferenciais. Quando isso não ocorrer. a solução desse sistema é de modo que a equação y ⫽ Pu fornece. como solução para y. c2 ⫽ 4. ou (11) Solução (b) Substituindo as condições iniciais dadas em (11). necessitamos de outros métodos. de modo que de (11) segue que a solu- ção satisfazendo as condições iniciais é  Observação Não esqueça que o método do Exemplo 2 funciona porque a matriz de coeficientes do sistema pode ser diagonalizada. 5. Assim.4 Equações diferencias 331 Assim. obtemos Resolvendo esse sistema. (b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais 8. nação linear de e1x. y⬙ ⫹ y⬘ ⫺ 12y ⫽ 0. 3. 2. f(x)e⫺ax é constante. y2(0) ⫽ 1. . Às vezes. termo é um autovetor associado ao autovalor 2 ⫽ ⫺3. Use sua ideia para resolver a equação. • Solução particular • Encontrar a solução particular de um sistema de equações • Condição inicial diferenciais lineares satisfazendo uma condição inicial.4 1. 2. então a solução geral do sistema pode ser expressa por y ⫽ c1e1x x1 ⫹ c2e2x x2 ⫹ · · · ⫹ cnenx xn sendo 1. (a) Resolva o sistema 9. • Solução geral • Encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares por diagonalização. Explique como o procedimento do Exercício 7 poderia ser usado para resolver y⵮ ⫺ 6y⬙ ⫹ 11y⬘ ⫺ 6y ⫽ 0. . Isso é [Sugestão: considere uma solução y ⫽ f(x) e mostre que um caso especial do resultado geral a seguir. n os autovalores de A e xi um autovetor de A é uma solução do sistema y ⫽ Ay. Use o procedimento do Exercício 7 para resolver y1(0) ⫽ 2. . . enx. (b) Observe que. e o vetor no segundo 5. (a) Resolva o sistema 7. na parte (a). Para a equação diferencial y⬙ ⫺ y⬘ ⫺ 6y ⫽ 0. Mostre que qualquer solução de y⬘ ⫽ ay tem a forma y ⫽ ceax. . Mostre que se A for diagonalizável e Teorema Se a matriz de coeficientes A do sistema y⬘ ⫽ Ay for diagonalizável. Resolva o sistema Essa solução é denominada solução geral do sistema. é possível resolver uma só equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem superior expressan- do-a como um sistema e usando os métodos desta seção. y2(0) ⫽ 0.] 6. de autovalor i. . • Problema de valor inicial • Sistema linear de primeira ordem Conjunto de exercícios 5. 10. 2. o vetor no primeiro termo é um autovetor associado ao autovalor 1 ⫽ 2. . y3(0) ⫺ 0 4. . . onde 1. e2x. mostre que as substi- tuições y1 ⫽ y e y2 ⫽ y⬘ levam ao sistema (b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y1(0) ⫽ 0. . então cada yi é uma combi.332 Álgebra Linear com Aplicações Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Equação diferencial • Encontrar a forma matricial de um sistema de equações • Ordem de uma equação diferencial diferenciais lineares. . . n são os autovalores de A. y2(0) ⫽ 1. (a) Reescrevendo (11) em forma matricial. . (a) Resolva o sistema Resolva esse sistema e use o resultado para resolver a equação diferencial original. mostre que a so- lução do sistema no Exemplo 2 pode ser expressa por (b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y1(0) ⫽ ⫺1. A3. consequentemente. Em textos avançados de Álgebra Linear. Use esse procedimento para calcular A2. Continuando assim. diagonalizáveis. for a equação característica de A.  matriz S tal que S2 ⫽ D. o que deve ser verdade sobre o determi- nante e o traço de A para isso ocorrer? (e) Se A e P forem matrizes semelhantes. então o coeficiente de n⫺1 em que expressa A3 em termos de A2 e A. então A e AT têm o mes- mo polinômio característico. podemos calcular potências sucessivas de A expressando-as em termos de potências menores. então y⬘ ⫽ Ay e u⬘ ⫽ Pu têm as mesmas soluções. Encontre os autovalores de Verifique esse resultado com (a) (b) 3. use o Teorema de Cayley-Hamilton não negativas na diagonal principal. (c) Se x⬘ ⫽ Ax e y⬘ ⫽ Ay então (cx ⫹ dy)⬘ ⫽ A(cx ⫹ dy). então 7. p() é o negativo do traço de A. 8. ou seja.1 para provar o Teorema (b) Mostre que se A for uma matriz diagonalizável com auto. temos A4 ⫽ ⫺c1A3 ⫺ c0A2. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. sendo 9. então existe uma matriz S tal que (b) Prove o Teorema de Cayley-Hamilton com matrizes n ⫻ n S2 ⫽ A. valores não negativos. (a) Use o Exercício 18 da Seção 5. c0I ⫹ c1A ⫹ c2A2 ⫹ · · · ⫹ cn⫺1An⫺1 ⫹ An ⫽ 0 2. (c) Encontre uma matriz S tal que S2 ⫽ A. A2 ⫽ ⫺c1A ⫺ c0I 5. (a) Qualquer sistema de equações diferenciais y⬘ ⫽ Ay tem alguma solução. O Teorema de Cayley-Hamilton fornece um método para calcular potências de uma matriz. Prove: se A for uma matriz quadrada e p() ⫽ det(I ⫺ A) o Multiplicando ambos os lados por A. 12. Com quais valores de a11. (a) Mostre que se D for uma matriz diagonal com entradas  Nos Exercícios 8–10. se A for uma matriz 2 ⫻ 2 de equação característica c0 ⫹ c1 ⫹ 2 ⫽ 0 então c0I ⫹ c1A ⫹ A2 ⫽ 0. A é uma matriz 2 ⫻ 2. em que quaisquer que sejam os escalares c e d. Resolva o sistema não diagonal Capítulo 5 Exercícios suplementares 1. t → ⬁? Em particular. que afirma que uma matriz quadrada A satisfaz sua equação característica. A4 e A5 com não é diagonalizável. (b) Se x⬘ ⫽ Ax e y⬘ ⫽ Ay então x ⫽ y. Exercícios verdadeiro/falso sos discutido antes do Exemplo 2 com Nas partes (a)-(e). então (b) Dê uma explicação geométrica para o resultado na parte (a). a12. autovetores. que expressa A4 em termos de A3 e 6. justificando sua resposta. Prove: se b ⫽ 0. de modo que 4. a22 (d) Se A for uma matriz quadrada com autovalores reais distin- os componentes y1(t ). polinômio característico de A. se c0 ⫹ c1 ⫹ c22 ⫹ · · · ⫹ cn⫺1n⫺1 ⫹ n ⫽ 0 não possui autovalores e. . 11. e multiplicando por A3. temos A3 ⫽ ⫺c1A2 ⫺ c0A. (a) Mostre que se 0 ⬍  ⬍ . Por exemplo. y2(t) das soluções tendem a zero com tos. então A2. prova-se o Teorema de Cayley-Hamilton. 5. então é possível resolver x⬘ ⫽ Ax por diagonalização. então existe uma enunciado no Exercício 7.4 Equações diferencias 333 Prove esse resultado seguindo o procedimento de quatro pas. de Cayley-Hamilton com matrizes 2 ⫻ 2. a21. Prove: se A for uma matriz quadrada. Considere o sistema de equações diferenciais y⬘ ⫽ Ay. [Sugestão: y1(0) ⫽ 5 e y2(0) ⫽ 6. então 1 é o coeficiente de n no polinômio característico de A. O que pode ser dito sobre os autovalores de A? tem polinômio característico 18. Encontre uma matriz A de tamanho 3 ⫻ 3 com autovalores  ⫽ 0 e ⫺1 e autovetores associados 12. Use o método do exercício precedente para calcular A e A (b) Encontre uma matriz cujo polinômio característico seja com p() ⫽ 1 ⫺ 2 ⫹ 2 ⫹ 33 ⫹ 4 13. Uma matriz quadrada A é dita nilpotente se An ⫽ 0 com al- gum inteiro positivo n. (a) Resolva o sistema p() ⫽ c0 ⫹ c1 ⫹ · · · ⫹ cn⫺1n⫺1 ⫹ n Isso mostra que cada polinômio mônico é o polinômio característico de alguma matriz. expandir por cofatores ao longo da primeira coluna. Suponha que uma matriz A de tamanho 4 ⫻ 4 tenha autovalo- res 2 ⫽ ⫺2. Prove: se A for uma matriz n ⫻ n com n ímpar. foi mostrado que se A for uma matriz n ⫻ n. então. Encontre os autovalores da matriz pelo menos um autovalor real. calcule todos os determinantes nesse problema somando um múltiplo da segunda linha à primeira para introduzir um zero no topo da primeira coluna e.) Mostre que a matriz 16. 17. O pode ser dito sobre os autovalores de uma matriz nilpotente? 14.1 para encon- trar det(A). (Um polinômio com essa respectivamente. propriedade é denominado mônico. (a) No Exercício 17 da Seção 5. 15.334 Álgebra Linear com Aplicações 3 4 10.1. então A tem 11. 3 ⫽ 3 e 4 = −3. A matriz nesse exemplo (b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais é denominada matriz companheira de p().] . (b) Use o Exercício 5 precedente para encontrar tr(A). (a) Use o método do Exercício 16 da Seção 5. Seja A uma matriz quadrada tal que A3 ⫽ A. u [Axioma de simetria] utilizamos espaços vetoriais 2.4 Melhor aproximação. v  0 e v. definimos o produto escalar de dois vetores em Rn. v  v. Neste capítulo.3 Processo de Gram-Schmidt. Nosso primeiro objetivo nesta seção é estender a noção de produto escalar para espaços vetoriais arbitrá- rios usando essas quatro propriedades como axiomas. exercícios.5 Ajuste de mínimos quadrados a dados 376 6. v. distância e ortogonalidade. Na Definição 4 da Seção 3. generalizamos aquelas ideias para que sejam aplicáveis a qualquer espaço n vetorial e não só ao R . Uma definição de pro- socia um número real u. o leitor pode supor que.1 Produtos internos Nesta seção. igualmente válidos em espaços vetoriais complexos. ângulo. Como os axiomas de produto interno real têm por base as propriedades do produto escalar. au. v  0 se. v  u · v  u1 v1  u2 v2  · · ·  un vn . decomposição QR 352 6. 6.1 Produtos internos 335 6. CAPÍTULO 6 Espaços com Produto Interno CONTEÚDO DO CAPÍTULO 6. e só se. w  u. distância. Observe que a Definição 1 só contempla espaços vetoriais DEFINIÇÃO 1 Um produto interno num espaço vetorial real V é uma função que as. listamos as quatro propriedades fundamentais desses produtos. sendo satisfeitos pelos vetores num espaço vetorial V. mínimos quadrados 366 6. u. utilizamos as propriedades mais importantes do produto escalar de Rn como axiomas que. permitem a extensão das noções de comprimento. esses axiomas de espaço com produto interno estão automaticamente satisfeitos se definirmos o produto interno de dois vetores u e v em Rn por u. séries de Fourier 382 INTRODUÇÃO No Capítulo 3. v a cada par de vetores em V de tal maneira que os seguintes duto interno em espaços ve- toriais complexos é dada nos axiomas são satisfeitos por quaisquer vetores u. u  v. que alguns dos teoremas sejam terno real. reais. v [Axioma de homogeneidade] te. Apresentamos a seguinte definição.2. Como quase nunca 1.2.2. v  au. mesmo Um espaço vetorial real com um produto interno é chamado espaço com produto in. daqui em dian- 3.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 345 6. w  v. Produtos internos gerais rema 3.6 Aproximação funcional. definimos o produto escalar de vetores em Rn e utilizamos esse conceito para definir as noções de comprimento. v e w de V e qualquer escalar a. ângulo e perpendicularidade a espaços vetoriais arbitrários. todos os espaços vetoriais em 4. v  0 [Axioma de positividade] consideração são reais. Também discutimos várias aplicações dessas ideias. e no Teo. w [Axioma de aditividade] complexos neste texto. Embora o produto interno euclidiano seja o produto interno mais importante do Rn. u). se w1. . mostra que a norma e a distância num espaço com produto interno real têm muitas das propriedades esperadas. com igualdade valendo se. com igualdade valendo se. . Verifique que o produto interno euclidiano ponderado u. Mais precisamente. . Dizemos que o espaço Rn com o produto interno euclidiano é o espaço euclidiano de dimensão n. então a norma (ou com- primento) de um vetor v em V é definida por e a distância entre dois vetores é denotada por d(u.2. vn) forem vetores em Rn. v)  d(v. e só se. do com pesos w1. v)  0. u2. DEFINIÇÃO 1 Se V for um espaço com produto interno real. . v  3u1v1  2u2v2 (2) satisfaz os quatro axiomas de produto interno. v2) vetores em R2. e se u  (u1. . . u  v. u2) e v  (v1. (c) d(u. (d) d(u.  E X E M P L O 1 Produto interno euclidiano ponderado Sejam u  (u1. . O próximo teorema. .336 Álgebra Linear com Aplicações Esse produto interno costuma ser denominado produto interno euclidiano (ou produto interno canônico) em Rn. . . que enunciamos sem prova. . . wn. e só se. v) e definida por Dizemos que um vetor de norma 1 é um vetor unitário. . TEOREMA 6. Nas Fórmulas (11) e (19) da Seção 3. que denominamos pesos. . . un) e v  (v1. pecial de produto interno eucli- diano ponderado em que todos os pesos são iguais a 1. .1. Os produtos internos podem ser usados para definir as noções de comprimento e dis- tância em espaços com produto interno arbitrários da mesma forma que o fizemos com o produto escalar em Rn. v2. . apresentamos a definição seguinte. a norma e a distância podem ser expressas em termos do produto escalar por Motivados por essas fórmulas. w2. (b) ||kv||  |k| ||v||. v  w1 u1 v1  w2 u2 v2  · · ·  wn un vn (1) n Observe que o produto interno define um produto interno em R que denominamos produto interno euclidiano pondera- euclidiano canônico é o caso es. w2. vimos que se u e v forem vetores no espaço euclidiano de dimensão n. para distingui-lo de outros produtos internos que possam ser definidos em Rn. existem várias aplicações nas quais é desejável modificar o produto interno euclidiano ponderando cada termo diferentemente. então (a) ||v||  0.1 Se u e v forem vetores num espaço com produto interno real V e k um escalar. v  0. wn forem números reais positivos. então pode ser mostrado que a fórmula u. w2). Como há um total de m repetições do experimento. x2. . por. então as normas e as distâncias entre vetores também mudam. digamos que x1 ocorra f1 vezes. Por exemplo.1 Produtos internos 337 Solução No Exemplo 1. então não os pesos. 6. v  0. u os componentes do vetor w e Axioma 2: Se w  (w1. 0) e v  (0.  Para ilustrar uma maneira pela qual pode surgir um produto interno euclidiano ponderado. . ou seja. 1) em R2 com o produto interno euclidiano. para os vetores u  (1. Mais especificamente. . xn e que uma série de m repetições do experimento forneçam esses valores com várias fre- quências. tra w com índices para denotar tanto. Se o produto interno for mudado. a média aritmética dos valores numéricos observados (denotada por ) é (3) Se escrevermos então (3) pode ser expresso como o produto interno euclidiano ponderado  E X E M P L O 2 Usando um produto interno euclidiano ponderado É importante não esquecer que a norma e a distância dependem do produto interno que está sendo usado. temos e No entanto. Uma aplicação dos produtos digamos que um experimento físico possa produzir qualquer um entre n possíveis valores internos euclidianos numéricos ponderados x1. v  3(v1v1)  2(v2v2)  3v21  2v22  0. u. Os pesos são os números 2 e 3 na Fórmula (2). e só se. v1  v2  0. v  v. utilizamos a le- Axioma 1: Trocar u e v de lugar na Fórmula (2) não altera a soma do lado direito. obtemos f1  f2  · · ·  fn  m Assim. com igualdade se. v  3u1v1  2u2v2 . x2 ocorra f2 vezes. . e assim por diante. mudando para o produto interno euclidiano ponderado u. Axioma 3: Axioma 4: v. 1 Observação Pode parecer estranho que o “círculo unitário” na segunda parte do exemplo prece- dente tenha um formato elíptico.1a). então o conjunto de todos os pontos em V que em espaços com produto satisfazem interno ||u||  1 y é denominado esfera unitária. elevando ao quadrado ambos os lados. então . sejam u e v vetores em Rn dados em forma de coluna e seja A uma matriz n  n invertível. Produtos internos gerados Os produtos internos euclidiano e ponderado são casos particulares de uma classe geral por matrizes de produtos internos do Rn denominados produtos internos matriciais.2. v  Au · Av (4) n também define um produto interno. Na Tabela 1 da Seção 3. (b) O círculo unitário usando um produto O gráfico dessa equação é a elipse mostrada na Figura 6. (b) Esboce o círculo unitário num sistema de coordenadas xy em R2 usando o produto interno euclidiano ponderado . Isso faz mais sentido se pensarmos em círculos e esferas em es- paços vetoriais arbitrários do ponto de vista algébrico (||u||  1) em vez de geométrico. elevando ao quadrado ambos os lados. (a) O círculo unitário usando um produto Solução (a) Se u  (x. então . do que segue que (4) pode ser expresso por u.1. y). de modo que a equa- 3 ção do círculo unitário é ou. tem o efeito de distorcer o espaço que estamos acostumados a ver com “olhos euclidianos”. não sendo euclidiana. x y 1 2 2 y 2 Como era de se esperar.  interno euclidiano ponderado. denominado produto interno em R gerado por A. y). Pode ser mostrado (Exercício 31) que se u · v denota o produto interno euclidiano em Rn.  E X E M P L O 3 Círculos unitários incomuns em R 2 ||u|| = 1 x 2 (a) Esboce o círculo unitário num sistema de coordenadas xy em R usando o produto 1 interno euclidiano u.1.  Figura 6. de modo que a equação interno euclidiano do círculo unitário é ou.1.1b. vimos que se u e v estiverem em forma de coluna. v  (Av) Au T . x Solução (b) Se u  (x. v  u1 v1  u2 v2. ou círculo unitário.338 Álgebra Linear com Aplicações temos e  Círculos unitários e esferas Se V for um espaço com produto interno. Para definir essa classe de produtos internos. o gráfico dessa equação é um círculo de raio 1 centrado na ||u|| = 1 origem (Figura 6. de V. canônico. A mudança na geometria ocorre porque a norma. então u · v pode ser escrito como vTu. então a fórmula u.  E X E M P L O 5 De novo o Exemplo 1 O produto interno euclidiano ponderado u. observando que (5) simplifica para (6) quando A for a matriz na Fórmula (7). equivalentemente. u.1 Produtos internos 339 ou. Agora conside.3 para uma definição de traço). mas podemos ver por que isso ocorre calculando (8) para as matrizes 2  2 Obtemos U.  E X E M P L O 6 Um produto interno em Mnn Se U e V forem matrizes n  n. então a fórmula U. wn e. . v  vTATAu (5)  E X E M PLO 4 Produtos internos euclidianos ponderados gerados por matrizes Os produtos internos euclidianos canônico e ponderado são exemplos de produtos inter- nos matriciais. v  3u1v1  2u2 v2 discutido no Exemplo 1 Qualquer matriz diagonal de en- é o produto interno de R2 gerado por tradas diagonais positivas gera um produto interno ponderado. . consideramos somente exemplos de produtos internos em R . Outros exemplos de produtos ramos exemplos de produtos internos em alguns dos outros tipos de espaços vetoriais internos discutidos previamente. v  w1u1v1  w2u2v2  · · ·  wnunvn (6) é gerado pela matriz (7) T Isso pode ser visto observando primeiramente que A A é a matriz diagonal cujas entradas na diagonal são os pesos w1. depois. O produto interno euclidiano canônico de Rn é gerado pela matriz identi- dade n  n. V  tr(U V)  u1v1  u2v2  u3v3  u4v4 T . Podemos provar que isso ocorre confirmando que os quatro axio- mas de espaços vetoriais com produtos internos são satisfeitos. 6. pois. tomando A  I na Fórmula (4). . obtemos u. . w2. v  Iu · Iv  u · v e o produto interno euclidiano ponderado u.  Por quê? n Até aqui. V  tr(UTV) (8) define um produto interno no espaço vetorial Mnn (ver a Definição 8 da Seção 1. então a fórmula seguinte define um produto interno em Pn (veri- fique) que denominamos produto interno canônico nesse espaço. então a fórmula p. . p(x0)  p(x1)  · · ·  p(xn)  0 Como um polinômio não nulo de grau n não pode ter mais que n raízes distintas. V  1(1)  2(0)  3(3)  4(2)  16 A norma de uma matriz U em relação a esse produto interno é  E X E M PLO 7 O produto interno canônico em Pn Se p  a0  a1x  · · ·  anx q  b0  b1x  · · ·  bnxn n e forem polinômios em Pn. q e ||p|| com os polinômios p  p(x)  x e q  q(x)  1  x. . portanto. q  a0b0  a1b1  · · ·  anbn (9) A norma de um polinômio p em relação a esse produto interno é  E X E M PLO 8 O produto interno de avaliação em Pn Se p  p(x)  a0  a1x  · · ·  anx q  q(x)  b0  b1x  · · ·  bnxn n e forem polinômios em Pn e se x0. . . p  [p(x0)]  [p(x1)]  · · ·  [p(xn)]  0 2 2 2 com igualdade valendo se. . . Algebricamente. q(xn)) e. xn forem números reais distintos (denominados pontos amostrais). A norma de um polinômio p em relação ao produto interno de avaliação é (11)  E X E M P L O 9 Trabalhando com o produto interno de avaliação Considere em P2 o produto interno de avaliação nos pontos x0  2. provando que é válido o quarto axioma de produto interno. . os três primeiros axiomas de produto interno seguem das propriedades do produto escalar. x1  0.340 Álgebra Linear com Aplicações que é simplesmente o produto escalar das entradas correspondentes das duas matrizes. isso pode ser visto como o produto escalar das ênuplas (p(x0). . Por exemplo. . x1. . . q(x1). e só se. e x2  2 Calcule p. . . se então U. 2 . p(x1). q  p(x0)q(x0)  p(x1)q(x1)  · · ·  p(xn)q(xn) (10) define um produto interno em Pn que denominamos produto interno de avaliação em x0. p. O quarto axioma de produto interno segue do fato de que p. necessa- riamente p  0. xn. . p(xn)) e (q(x0). . x1. . a igualdade na Fórmula (13) vale se. mostra que vale o Axioma 2. b] REQUER CÁLCULO Se C[a. 1. e só se. b] e defina (12) Mostremos que essa fórmula define um produto interno em C[a. g  g(x) e h  h(x) em C[a. porque os polinômios são funções contínuas. mostra que vale o Axioma 1. b] que satisfazem a equação  Observação Observe que o espaço vetorial Pn é um subespaço de C[a. por f ser contínua em [a. b]. mostra que vale o Axioma 3. b]. 3. Assim. b] tem o produto interno definido no Exemplo 10. 6. .1 Produtos internos 341 Solução Segue de (10) e (11) que  E X E M P L O 1 0 Um produto interno em C[a. mostrando que vale o Axioma 4. a função f for identicamente nula em [a. ou seja. b]. b]. se f  0.  E X E M P L O 1 1 Norma de um vetor em C[a. b]. a Fórmula (12) define um produto interno em Pn. 4. 2. então a norma de uma função f  f(x) em relação a esse produto interno é (14) e a esfera unitária nesse espaço consiste em todas as funções f em C[a. b] REQUER CÁLCULO Sejam f  f(x) e g  g(x) duas funções contínuas em C[a. b] verificando os quatro axiomas de produto interno com as funções f  f(x). então (13) pois f 2(x)  0 cada x do intervalo [a. Se f  f(x) for uma função qualquer em C[a. Além disso. b]. b]. w (d) u  v. v  u.1. v  v. 0  0 (b) u. v  w  u. • Produto interno matricial • Mostrar que uma dada fórmula define um produto interno. É instrutivo o leitor justificar cada passo da argumentação a seguir.2. v  u. TEOREMA 6. [Por simetria] [Por aditividade] [Por simetria]  O exemplo a seguir ilustra como o Teorema 6. w  u.2 e as propriedades que definem os produtos internos podem ser usados para efetuar cálculos algébricos com produtos inter- nos. w (c) u. rela- tivo ao produto escalar em Rn. As duas Fórmulas (14) e (15) são bem diferentes. Propriedades algébricas dos O próximo teorema lista algumas das propriedades algébricas de produtos internos que produtos internos seguem dos axiomas de produto interno. que é o comprimento (norma) de f quando f for visto como um vetor em C[a. b] é dado pela fórmula (15) Não confunda esse conceito de comprimento de arco com ||f||. • Círculo (esfera) unitário • Encontrar a distância entre dois vetores.  E X E M PLO 12 Calculando com produtos internos Revisão de conceitos • Exemplos de produtos internos • Axiomas de produto interno • Propriedades de produtos internos • Produto interno euclidiano Aptidões desenvolvidas • Espaço euclidiano de dimensão n • Calcular o produto interno de dois vetores. Esse resultado generaliza o Teorema 3. w (e) k u.3. . v  w  u. • Norma num espaço com produto interno • Mostrar que uma dada fórmula não define um produto • Distância entre dois vetores num espaço com produto interno provando que não vale pelo menos um dos interno axiomas de produto interno. kv Prova Provamos a parte (b) e deixamos a prova das demais partes como exercícios. mostra-se que o comprimento de arco de uma curva y  f(x) ao longo de um intervalo [a.w  v. então (a) 0. • Produto interno euclidiano ponderado • Encontrar a norma de um vetor.2 Se u. v e w forem vetores num espaço com produto interno real V.342 Álgebra Linear com Aplicações Observação No Cálculo.1. v  u. e k for um escalar. (a) (b) 5. calcule p.1 1. Sejam u  (u1.1 Produtos internos 343 Conjunto de exercícios 6. u 12. q usando o produto interno do x0  1. v  2u1v1  3u2v2. v2). Sejam u. v (b) v. rado u. (c) u. x3  2 Exemplo 7. Suponha que M22 tenha o produto interno do Exemplo 6. a expressão 3. Repita o Exercício 5 com o produto interno em R2 gerado por (a) . Repita o Exercício 1 com o produto interno euclidiano ponde. 1). Suponha que M22 tenha o produto interno do Exemplo 6. (a) u. 2). (a) Use a Fórmula (4) para mostrar que 19. Em cada parte. 4. w  v. use o produto interno em R2 dado para calcular (b) p  5  2x  x . 0  0 cada parte. Em cada parte. Calcule as contre d(p. Em (a) u. q (b) ||p|| (c) d(p. 2) e v  (2. w = u. v  3u1v1  5u2v2 (b) u. Suponha que P3 tenha o produto interno de avaliação nos pon- tos amostrais 8. w) (f ) ||v  w||2 6. v com u  (3. 1). v) (f) ||u  kv|| (b) Use o produto interno da parte (a) para calcular u. 5). Sejam u. v 2. Em (e) 0. v o produto interno euclidiano em R2 e dada é um produto interno em R2. v  4u1 v1  5u2 v2. w  (0. Suponha que P2 tenha o produto interno do Exemplo 7. v  (4. 15. w cada parte. 5) . w (a) p  2  3x  2x2 (b) p  4  3x2 (d) au. Encontre a matriz que gera u  (3. v2). (a) p  2  x  3x2. v  au. u2) e v  (v1. (d) ||v|| (e) d(v. v) com u  (1. q) (b) 17. 6. encontre d(A. 7). v  v. 1). (a) Use a Fórmula (4) para mostrar que u. Em (b) u  v. expressões dadas. v  (a) o produto interno euclidiano 9u1v1  4u2v2 é o produto interno em R2 gerado por (b) o produto interno euclidiano ponderado u. v  w = u. Verifique as esse produto interno. w  (1. Em cada parte. Em cada parte. calcule a (a) expressão. (a) u. encontre ||p||. Em cada parte. w (d) ||v|| (e) d(u. En- e u  (2. v  (1. w  (0. v usando o produto interno do Exemplo 6. Use os produtos internos do Exercício 18 para encontrar u. q  4  7x2 18. q  3  2x  4x 2 2 ||w||. 2). v  5u1v1  u1 v2  u2 v1  10 u2 v2 d(u. encontre ||A||. com u  (0. av 13. Repita o Exercício 3 com o produto interno euclidiano ponde- rado u. Encontre p. w (c) u  v. B). v o produto interno euclidiano em R gerado por 2 14. q e ||p|| com p  x  x3 e q  1  x2. x1  0. Sejam u. 9. w (c) u  v. 2). com w  (1. p) com p  3  x  x2. é o produto interno em R2 gerado por v  (3. (c) o produto interno gerado pela matriz (b) Use o produto interno da parte (a) para calcular u. u2) e v  (v1. 16. q  2  5x2 expressões dadas. v  u. 3) e v  (6. (b) 7. 11. v  3u1v1  2u2v2. calcule u. Calcule as expressões dadas. v o produto interno euclidiano em R2 e u  (1. x2  1. (a) p. 1). w cada parte. v (b) kv. v  u. Suponha que P2 tenha o produto interno do Exemplo 7. Suponha que P2 tenha o produto interno do Exemplo 9 e con- sidere p  1  x  x2 e q  1  2x2. 10. 3). com u  (u1. 6) e k  4. v  4u1v1  6u2v2 (a) u. 1) e k  3. 2) e v  (1. v  v. V  u1 v1  u2 v3  u3 v2  u4 v4 não define produto interno em Rn. v  3u1v1  5u2v2 à definição 1.344 Álgebra Linear com Aplicações 20. (f) Se ||v||2. u2. Os demais axiomas permanecem inalterados. x (a) f  cos 2␲x. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (a) em P3 para calcular p. v. Em cada parte. (Requer Cálculo) Em cada parte. v  w (b) 2v  w. v  u21v21  u22v22  u23v23 (c) u. v2. v e w sejam vetores tais que 28. v. (Requer Cálculo) Em cada parte. A definição de espaço vetorial complexo foi dada na primeira expressão é um produto interno em R2 verificando a validade nota marginal da Seção 4. Se não for. Sejam u  (u1. se V for um espaço com produto interno complexo. v2). g  1 31. 27. deter- vetorial complexo com um produto interno complexo é de- mine se a expressão é um produto interno em R3. use o produto interno y 1 em C[0. 4u  v (d) ||u  v|| 29. esboce o círculo unitário em R2 usando o pro- duto interno dado. (d) u. (c) u  v − 2w. q) com p  1 e q  x. u2) e v  (v1. 30. A definição de um produto in- dos axiomas de produto interno. Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer real negativo. g. (c) u. v  u1v1  u3v3 . Prove que a Fórmula (4) define um produto interno em Rn. 23. (g) Se A for uma matriz n  n. q. calcule a expressão. terno complexo num espaço vetorial complexo V é idêntica (a) u. (e) Se u. Sejam e . use o produto interno (e) 2w  v (f) ||u  2v  4w|| 21. Prove que liste os axiomas que não valem. então u  0 ou v  0. v  Au · Av define um Mostre que U. av  a2u. g  ex  Figura Ex-22 (c) f = tg x. Suponha que u. (a) Encontre ||p|| com p  1. ponderado. g  sen 2␲x 3 (b) f  x. espaço com produto interno. nominado espaço com produto interno complexo. então (a) u. v  w  v. (b) u. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em R2 no qual o círculo unitário seja a elipse mostrada na figura dada. q  2  8x2 3 22. Em cada parte. v  2u1v1  u2v2  4u3v3 Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(g). 1] para calcular f. . mostre que a 32. (d) au. u3) e v  (v1. Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer (a) O produto escalar em R2 é um exemplo de produto interno espaço com produto interno. v  4u1v1  u2v1  u1v2  4u2v2 complexos e o Axioma 1 é substituído por . u.1. v  u1v1  u2v2  u3v3 justificando sua resposta. 3u  2w (b) Encontre d(p. (b) (a) p  1  x  x2  5x3. ||u  v||2  ||u  v||2  2||u||2  2||v||2 (b) O produto interno de dois vetores não pode ser um número 26. exceto que os escalares podem ser números (b) u. 25. então v  0. Em cada parte. Um espaço 24. u  w. p  x e p  x2 (a) u  v. (Requer Cálculo) Suponha que P2 tenha o produto interno Em cada parte. Sejam u  (u1. q  x  3x2 (b) p  x  5x . então u. um produto interno em M22. v3). u v. 6. TEOREMA 6. Logo. Expressando os coeficientes a. u v. Na Fórmula (20) da Seção 3. v e t um número real qualquer. Com essa hipótese. u e v.2. segue que Essa desigualdade implica que o polinômio quadrático at2  bt  c não tem raiz real ou tem uma raiz real dupla. estendemos essa ideia a espaços com produto interno arbitrários. u. v|  ||u|| ||v|| (3) Prova Antes de começar. c  v. u v.4) que (2) o que se exige para definir a função arco cosseno. equivalentemente. v são não negativos. obtemos |u. advertimos o leitor que a prova dada aqui depende de um tru- que que não é fácil de motivar.4 nos permite definir o ângulo entre dois vetores em qualquer espaço com produto interno real. v|  ||u|| ||v|| 1/2 1/2 ou. equivalentemente. preparando o terreno para uma variedade de novas aplicações. v |u.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 345 6. A generalização seguinte do Teorema 3.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno Na Seção 3. Como o axioma da positividade afirma que o produto interno de qualquer vetor por ele mesmo é sempre não negativo. basta considerar o caso em que u  0. v. seu discriminante deve satisfazer a desigualdade b2  4ac  0.2. v  u. sejam a  u. v 2 Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados e usando o fato que u. v2  4u. Com isso.2. resulta 4u. v e ||u|| são ambos nulos.2. vimos que o ângulo ␪ entre dois vetores u e v em Rn é Desigualdade de Cauchy-Schwarz (1) A validade dessa fórmula foi garantida porque seguia da desigualdade de Cauchy- -Schwarz (Teorema 3. u.1 Desigualdade de Cauchy-Schwarz Se u e v forem vetores num espaço com produto interno real V. No caso em que u  0. v|  u. b  2u.2. completando a prova. pois u. os dois lados de (3) são iguais.  . definimos a noção de “ângulo” entre vetores em Rn. então |u. Portanto. v  0. b e c em termos dos vetores u e v. Nesta seção. também podemos estender a noção de ortogonalidade. ou. 1. v2  ||u||2 ||v||2 (5) A primeira dessas fórmulas foi obtida na prova do Teorema 6.2 Se u. v2  u. usamos o produto escalar para estender as noções de comprimento e distância e distância em espaços com ao Rn e mostramos que vários teoremas conhecidos permaneceram válidos (ver Teoremas produto interno arbitrários 3.2. podemos mostrar que eles permanecem válidos em quaisquer espaços com produtos internos reais.2. encontre o cosseno do ângulo ␪ entre os 4 vetores u  (4. Isso nos permite definir o ângulo ␪ entre u e v como (8) y 1 ␪ –␲ –␲ ␲ ␲ 3␲ 2␲ 5␲ 3␲ 2 2 2 2 –1  Figura 6. Com ajustes mínimos nas provas daqueles teoremas.2. 3.7).2. 2) e v  (2. Ângulo entre vetores Nosso próximo objetivo é definir o que significa “ângulo” entre vetores num espaço com produto interno real.2. temos a generalização seguinte do Teorema 3.6 e 3. 3) Solução Deixamos para o leitor verificar que do que segue que  Propriedades de comprimento Na Seção 3. v e w forem vetores num espaço com produto interno real. w)  d(w. TEOREMA 6. Por exem- plo.1.346 Álgebra Linear com Aplicações É útil conhecer as duas formas alternativas seguintes da desigualdade de Cauchy- -Schwarz.1  E X E M P L O 1 Cosseno de um ângulo entre dois vetores em R 4 Tomando em R o produto interno euclidiano. 2.5. existe um único ângulo ␪ em radianos com o qual (7) (Figura 6.2. u. v) [Desigualdade triangular de distâncias] . 1.2. v)  d(u. v (4) u. e a segunda é uma va- riação da primeira.2. Como um primeiro passo.1). u v. relativo à desigualdade triangular. 3. deixamos para o leitor usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que (6) Em vista disso.5.2. então (a) ||u  v||  ||u||  ||v|| [Desigualdade triangular de vetores] (b) d(u. A partir da Fórmula (8). as matrizes são ortogonais. a ortogonalidade depende do produto interno.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 347 Prova (a) [Propriedade do valor absoluto] [Por (3)] Extraindo a raiz quadrada. não são ortogonais em relação ao produto interno euclidiano ponderado u. Prova (b) Idêntica à prova da parte (b) do Teorema 3. apresentamos a definição seguinte.2.  E X E M P L O 2 A ortogonalidade depende do produto interno Os vetores u  (1. pois num mesmo espaço vetorial. v  0. pois u · v  (1)(1)  (1)(1)  0 Contudo. pois u. v  3u1v1  2u2v2. só há ocasionalmente a necessi. Um problema de maior interesse em todos os espaços com produtos internos arbitrários é determinar se o ângulo entre dois vetores é ␲/2. u. V  1(0)  0(2)  1(0)  1(0)  0  E X E M P L O 4 Vetores ortogonais em P2 REQUER CÁLCULO Consideremos em P2 o produto interno . 1) e v  (1. que pode ser aplicada mesmo se um dos vetores (ou ambos) for nulo. DEFINIÇÃO 1 Dizemos que dois vetores u e v de um espaço com produto interno são ortogonais se u. podemos ver que se u e v forem dois vetores não nulos. Em vista disso. 1) são ortogonais em relação ao produto interno eucli- diano em R2. dois vetores podem ser ortogonais em relação a um produto interno.5. então o ângulo entre eles é ␪  ␲/2 se. Ortogonalidade 2 3 dade de calcular ângulos em espaços vetoriais distintos de R e R . mas não em relação a um outro. pois U. v  0. v  3(1)(1)  2(1)(1)  1  0  E X E M P L O 3 Vetores ortogonais em M22 Tomando em M22 o produto interno do Exemplo 6 da seção precedente. 6. obtemos ||u  v||  ||u||  ||v||. Como mostra o próximo exemplo.  Embora o Exemplo 1 seja um exercício matemático útil. e só se. v  0 e.  Na Seção 3.2. então ||u  v||  ||u||  ||v|| 2 2 2 Prova A ortogonalidade de u e v implica u. provamos o teorema de Pitágoras para vetores no espaço euclidiano de dimensão n. O próximo teorema estende esse resultado a vetores em qualquer espaço com produto interno real. Então Como p. temos Podemos verificar esse resultado diretamente por integração. mostramos que p  x e q  x2 são ortogonais em relação ao produto interno em P2.348 Álgebra Linear com Aplicações e sejam p  x e q  x2.3 que ||p  q||  ||p||  ||q|| 2 2 2 Assim. q  0.  n Complementos ortogonais Na Seção 4. pelas contas feitas no Exemplo 4.3. os vetores p  x e q  x2 são ortogonais em relação ao produto interno dado.2. como segue. REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 5 O teorema de Pitágoras em P2 No Exemplo 4. portanto. Segue do Teorema 6. TEOREMA 6.8. definimos a noção de complemento ortogonal para subespaços de R e usamos aquela definição para estabelecer uma relação geométrica entre os espaços fun- .3 Teorema de Pitágoras generalizado Se u e v forem vetores ortogonais num espaço com produto interno. então v é ortogonal a si mesmo. dimensão finita ocorrem aos pa- res. Assim. TEOREMA 6. pelo menos. Para ver isso.2. mostramos que W os espaços linha e nulo de uma matriz são complementos ortogonais em relação ao produto n interno euclidiano em R (Teorema 4.  Prova (a) O conjunto W contém. espaços com produto interno de são finita V. ou seja.5 implica que os complementos ortogonais em TEOREMA 6. v. que esse teorema só pode ser aplicado a espaços vetoriais com produto interno de dimensão finita. então o conjunto de todos os vetores em V que são ortogonais a cada vetor em W é denominado complemento ortogonal de W e denotado por W.4 Se W for um subespaço de um espaço com produto interno V.2). suponha que u e v sejam vetores em W. na Seção 4. 6. que enunciamos sem prova. Segue dos axiomas de aditividade e homogeneidade de produtos internos que provando que u  v e au estão em W. No Teorema 4. de modo que.8. generaliza a parte (c) do Teorema 4.8.2. enunciamos três propriedades do complemento ortogonal em Rn. w  0 com qual- quer vetor w em W.5 Se W for um subespaço de um espaço com produto interno de dimen.  O próximo teorema. DEFINIÇÃO 2 Se W for um subespaço de um espaço com produto interno V. temos u. ao passo que o Teorema 4.2. . O exemplo a seguir usa essa informação. entretanto.8. No nosso estudo dos espaços fundamentas de uma matriz. cada um sendo ortogonal ao   (W )  W outro (Figura 6. A definição seguinte estende essa noção para espaços com produto interno arbitrários. (b) W 艚 W  {0}.8. w  0. v  0. então (a) W é um subespaço de V. em W e vice-versa. então o complemento ortogonal de W é W.9). W  E X E M P L O 6 Uma base de um complemento ortogonal Seja W o subespaço de R6 gerado pelos vetores  Figura 6. Observe. Segue do axioma da positividade de produtos internos que v  0. Prova (b) Se v for qualquer vetor em ambos W e W. dado qualquer w em W. w  0 e v.8. O teorema seguinte generaliza as partes (a) e (b) daquele teorema para espaços com pro- duto interno arbitrários.2. ou seja.2.2 Cada vetor em W é ortogonal a cada vetor Encontre uma base do complemento ortogonal de W. o vetor nulo.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 349 damentais de uma matriz.8.8 não tem essa restrição. pois 0.8. resta mostrar que W é fechado na adição e na multiplicação por escalar. O Teorema 6. encontre o cosseno do ângulo entre A e B. v  (4. 3. v  (2. 3) (e) u  (1. v  (2. 1). 1.350 Álgebra Linear com Aplicações Solução O espaço W é igual ao espaço linha da matriz Como o espaço nulo de A é um complemento ortogonal do espaço linha de A. 0). 1). 1. 1) 6. mostramos que formam uma base desse espaço nulo. 9) (b) (d) u  (4.7. v  (1. (a) u  (1. 0. 0. q  2  4x  9x2 (c) u  (u1. v3  (2. 1. v  (3. Em cada parte. 0. 0). encontre o cosseno do ângulo entre p e q. 0). Expressando esses vetores em notação com vírgulas (para combinar com a notação de w1.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Desigualdade de Cauchy-Schwarz • Encontrar o ângulo entre dois vetores num espaço com • Ângulo entre vetores produto interno. u3). u2. v  (0. Considere P2 com o produto interno do Exemplo 7 da Seção (a) u  (1. 4) (a) (b) u  (1. 1. 0. • Complemento ortogonal • Encontrar uma base do complemento ortogonal de um subespaço de um espaço com produto interno. 6. v  (4. 1. 2. 2). R3 e R4 com o produto interno euclidiano. 2. q  7  3x  3x2 (d) u  (4. 0. 2. 9) . 0) em relação ao produto interno euclidiano. v2  (4. Considere M22 com o produto interno do Exemplo 6 da Seção cada parte. 2). 0) (b) p  x  x2. 0. 0. 0. w3 e w4). No Exemplo 4 da Seção 4.2 1. 0). obtemos os vetores de base v1  (3. 0. 2. 0. v  (3. determine se os vetores dados são ortogonais (f) u  (2. Em cada parte. Considere R2. 2). 2. w3 e w4 calculando os produtos escalares necessários. encontre o cosseno do ângulo entre u e v.1.1. • Vetores ortogonais • Determinar se dois vetores num espaço com produto interno são ortogonais. 8). (b) u  (2. 5. 10. 4. 1. Em 3. 3. 0. 7. 6. w2. 0) O leitor pode querer conferir que esses vetores são ortogonais a w1. Conjunto de exercícios 6. 3) 4. 1) (a) p  1  5x  2x2. 3. v  (2. Em cada parte. 0. nosso problema se reduz a encontrar uma base do espaço nulo dessa matriz. 1. w2. v  (1. 0. 3). 1. 8) (c) u  (1. 2. Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é (b) u  (3. (a cos ␪  b sen ␪)2  a2  b2 . Obtenha uma equação de W. 20. Mostre que p  1  x  2x2 e q  2x  x2 são ortogonais em 14. v  (4. 1. v2  (3.1. v  (5. Seja W a reta em R2 de equação y  2x. Obtenha uma equação relação ao produto interno do Exercício 2. 0). da- u  (1. Verifique se existem escalares k e l tais que os vetores do subespaço de Rn gerado pelos vetores dados. 6. verifique se a matriz dada é ortogonal a A em relação ao produto interno do Exercício 3. 4. 3. 0. verifique a validade da desigualdade de ortogonal a cada um dos vetores u1. Mostre que se w for 11. 3) e w  (1. (c) u  (4. ur. b e ␪. 0. verifique a validade da desigualdade de Cau. 2) 21. 3. para W. v  (8.1. y  5t. 2). Suponha que R3 tenha o produto interno euclidiano. (b) Seja W a reta em R3 de equações paramétricas x  2t. então w é ortogonal a k1u1  k2u2. Prove: se u e v forem matrizes n  1 e A uma matriz n  n. 3). 9). 3) sejam mutuamente (a) v1  (1. 1. k. 1. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que. 1). (c) Seja W a interseção dos dois planos (a) (b) xyz0 e xyz0 (c) (d) em R . 4). u2.−2. Obte- nha equações paramétricas de W. 2. . . 0. 4. Em cada parte. 1). 1. (vTATAu)2  (uTATAu)(vTATAv) 13. 3. 0. forem vetores unitários ortogonais em V. terno do Exemplo 6 da Seção 6. 6. Mostre que se u e v são ortogonais. (a) Seja W o plano em R3 de equação x  2y  3z  0. 1. 7. 3 16. Obtenha uma equação de W. v  (1. 2). . 0). . 1. 1. Seja 15. ortogonais a cada um dos vetores da base. 2). Em cada parte. quaisquer que sejam os escalares k1 e k2. 3. 4). 2. 6. 2) e w  (3. 1. w2. 0). (b) v1  (2. 1) interno V. encontre os valores de k com os quais os vetores u e v 17. 5. 1). .  5.2 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 351 (e) u  (0. 1. Prove a generalização do Teorema 6. 2) ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. terno euclidiano. . . v3  (1. 6). então ||v1  v2  · · ·  vr||2  ||v1||2  ||v2||2  · · ·  ||vr||2 (b) . 1) e v  (6. v  (b. 2) com o qual ||au  v||  13. v2  (4. u  (2. . 7. . 2. usando o produto in- terno dado no Exemplo 7 da Seção 6. 5. 2. Mostre que se w for (b) u  (k. ur}. 3. a) no euclidiano. suponha que Rn tenha o produto inter- (f) u  (a. 2. k. 2. v  (2. 0) e w2  (4. v2. 0). (a) u  (2. v  (1. z  4t Em cada parte. b). . k) 18. (d) v1  (1. 5. 2). 1. . Seja V um espaço com produto interno. 0. 9. . 1. . . 22. v4  (2. usando o produto interno do v1. então w é or- Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto in- togonal a cada vetor em ger{u1. v2  (2. usando o produto in- 23. Suponha que R3 tenha o produto interno euclidiano e conside- re u  (1. 1). então . Seja {w1. vr forem vetores dois a dois ortogonais de um es- Exemplo 1 da Seção 6. vale subespaço gerado pelos vetores w1  (1. . 3). 2. . 1). 6) ortogonal a ambos u1 e u2. 1) V. 4. 3) ortogonal a cada um dos vetores da base.3 a seguir. 1). Seja {v1. 5. 4. Mostre que W consiste em todos os vetores de V que são 12. 6. Em cada parte. então (c) p  1  2x  x2 e q  2  4x2. 7. Interprete esse resul- 10. Seja V um espaço com produto interno. 1. 9. v  (k. 5. Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano e seja 24. v2  (5. v3  (7. . 1). Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano. vr} uma base de um espaço com produto (a) u  (3.2. 19. 0)  Nos Exercícios 14–15. . 1. chy-Schwarz para os vetores dados. vetores u  (2. Encontre tado geometricamente no caso em que V for R3 com o produto dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três interno euclidiano. 1. v  (1. encontre uma base do complemento ortogonal 7. 8) parte. Seja V um espaço com produto interno. Se (a) u  (−2. 1) e v = (1. 2. 4. u2. 1. v2. Em cada v3  (1. 4. 15). 2) 8. Determine se o vetor u é ortogonal ao dos quaisquer valores reais de a. . v  (l.1. . paço com produto interno V. 5. wk } uma base de algum subespaço W de (d) u  (0. 2. Encontre um valor de a (c) v1  (1. (Requer Cálculo) Suponha que C[0. 1]. Descreva o subespaço W. . . (e) Se u e v forem ortogonais. Use métodos vetoriais para provar que sempre é retângulo [Sugestão: use a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Prove que a Fórmula (4) é válida com quaisquer vetores u e v ao produto interno euclidiano. v|  ||u|| ||v||. w2. v2. . euclidiano ponderado em relação ao qual u e v sejam vetores unitários ortogonais. então au é  Figura Ex-28 um vetor em W. [Sugestão: expresse os veto. . 2. 2 (c) Se u e v forem vetores em W. . 29. então u  v é um vetor em W. decomposição QR Em muitos problemas envolvendo espaços vetoriais. 27. √3) (a) Se u for ortogonal a cada vetor de algum subespaço W. 31. . (Requer Cálculo) Sejam f(x) e g(x) funções contínuas em [0. (d) Se u for um vetor em W e a um número real. . dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação 32. Conjuntos ortogonais e Na Seção 6. √3) (1. .). então (b) 26. (a) Seja W a reta y  x num sistema de coordenadas xy de u R2. Descreva o subespaço W.] qualquer triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados seja um diâmetro. (–1. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(f). . mostramos como obter tais bases. u e v são linearmente independentes. Prove: se w1. A próxima definição estende a noção de ortogonali- dade a conjuntos de vetores num espaço com produto interno. temos a liberdade de escolher qualquer base para o espaço vetorial que nos pareça apropriada. Em espaços com produto interno.2. a solução de um problema muitas vezes é simplificada enormemente pela escolha de uma base na qual os vetores sejam ortogonais entre si. . 60° então u  0. então |u. (c) Seja W o plano yz num sistema de coordenadas xyz de R3. Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy- -Schwarz se. Os vetores e indicados na figura Descreva o subespaço W. Nesta seção.3 Processo de Gram-Schmidt.352 Álgebra Linear com Aplicações 25. un) e v  (v1. u2. . e só se. y justificando sua resposta. . já definimos que dois vetores num espaço com produto interno são ortogo- ortonormais nais se seu produto interno for nulo. então ||u  v||  ||u||  ||v||. ␲] tenha o produto interno res e da figura dada em termos de u e v. Prove: 6. então fk e fl são vetores ortogonais. Mostre que se k  l. v u x (b) Se u for um vetor em ambos W e W. Encontre um produto interno num espaço com produto interno V. vn) forem dois vetores (a) quaisquer em Rn. 1. . (f) Se u e v forem ortogonais. . A C v  Figura Ex-27 (b) Seja W o eixo y num sistema de coordenadas xyz de R3.] B e seja fn  cos nx (n  0. wn forem números reais positivos e se u  (u1. 30. então u  0. . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. . 28. devemos provar que k1  k2  · · ·  kn  0.3 Processo de Gram-Schmidt. . . portanto. u2  u1. Então o conjunto de vetores S  {u1. 0. então S é linearmente independente. . u3  u2. v3  0 e ||v1||  ||v2||  ||v3||  1  2 Dois vetores não nulos perpendiculares quaisquer em R são linearmente indepen- dentes. u3  0. Prova Suponha que k1v1  k2v2  · · ·  knvn  0 (1) Para demonstrar que S  {v1. vn} é linearmente independente. decomposição QR 353 DEFINIÇÃO 1 Dizemos que um conjunto de dois ou mais vetores num espaço com produto interno real é ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto forem ortogonais. v2. pois u1. v3  v2.1b com k  ||v|| que do que concluímos que multiplicar um vetor não nulo pelo recíproco de sua norma sempre produz um vetor unitário. Essas observações são generalizadas no teorema seguinte. v2.1 Se S  {v1.  E X E M PLO 1 Um conjunto ortogonal em R3 Sejam u1  (0. .3.  E X E M P L O 2 Construindo um conjunto ortonormal As normas euclidianas dos vetores do Exemplo 1 são Consequentemente. v2  v1. mostrando que v1. . em R3. não é alguma combinação dos outros dois). 1) 3 e suponha que R tenha o produto interno euclidiano. u3  (1. . 0). vn} for um conjunto ortogonal de vetores não nulos num espaço com produto interno.1. Esse processo é denominado normalização de v. v3} é ortonormal. 1). . três vetores não nulos mutuamente perpendiculares quaisquer são linearmente independentes. 6. u2 e u3 fornece Deixamos para o leitor verificar que o conjunto S  {v1. Um conjunto ortogonal no qual cada vetor tem norma 1 é dito ortonormal. v2. TEOREMA 6. u2. então segue do Teorema 6. 1. u2  (1. a normalização de u1. . 0. pois nenhum deles é um múltiplo escalar do outro e. Decorre disso que qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos pode ser convertido num conjunto ortonormal normalizando cada um de seus vetores.  Se v for um vetor não nulo num espaço com produto interno. u3} é ortogonal. porque nenhum desses vetores está no plano dos outros dois (e. . .3. . . conjunto ortonormal é linear. esses vetores formam um conjunto linearmente independente e. . vi  0 ou. vn} for uma base ortogonal de um espaço com produto interno V e u for um vetor qualquer em V. . Pelo 3 Teorema 6. a equação precedente implica que cada ki na Equação (1) é zero. . v2. base ortogonal. . . .segue do axioma de positividade dos produtos internos que vi .  E X E M P L O 3 Uma base ortonormal No Exemplo 2. . en  (0. cn. 0.  3 Coordenadas em relação a Uma maneira de expressar um vetor u como uma combinação linear dos vetores de uma bases ortonormais base S  {v1. v3} é uma base ortonormal de R. . como R tem dimensão 3. segue do Teorema 4. . .  Num espaço com produto interno. mostramos que os vetores 3 formam um conjunto ortonormal em relação ao produto interno euclidiano de R . c2. vi  · · ·  knvn. 1.4 que S  {v1. 0). . equivalentemente.1 que todo produto interno euclidiano. . . . que é o que queríamos provar. v2v2  · · ·  u. vn} é converter a equação vetorial u  c1v1  c2v2  · · ·  cnvn num sistema linear e resolver para os coeficientes c1. . vi  0 Pela ortogonalidade de S decorre que vj. . 0. v2. . 1) mente independente. então u  u. uma base consistindo em vetores ortonormais é de- Como todo conjunto ortonormal nominada base ortonormal e uma base consistindo em vetores ortogonais é denominada é ortogonal e como seus vetores n são não nulos (têm norma 1). .354 Álgebra Linear com Aplicações Dado qualquer vi em S. TEOREMA 6.2 (a) Se S  {v1. . v2. vi  0. então (2) (b) Se S  {v1. e1  (1. Um exemplo familiar de base ortonormal é a base canônica de R com o gue do Teorema 6. . a saber. que k1v1. . v1v1  u. segue de (1) que k1v1  k2v2  · · ·  knvn. 0. vi  0. vi  0 com j  i.3. 0). o próximo teorema mostra que os coeficientes podem ser obtidos de uma maneira mais simples calculando certos produtos internos apropriados. se a base for or- togonal ou ortonormal. 0. 0. . Assim. Contudo. .5. se. . vnvn (3) . e2  (0. vi  0 Como os vetores em S são não nulos por hipótese. . de modo que essa equação é reduzida a ki vi . vn} for uma base ortonormal de um espaço com produto in- terno V e u for um vetor qualquer em V. vi  k2v2. . . . v2.1. .3. Para isso.4. pelo Teorema 6. vn) (6)  E X E M PLO 4 Um vetor de coordenadas em relação a uma base ortonormal Sejam É fácil verificar que S  {v1.…. ||v1||  ||v2||  · · ·  ||vn||  1. vn} é (u)S  (u. todos os produtos internos na última igualdade são nulos. vi  ci ||vi|| 2 Resolvendo essa equação para ci. . . Escreva o vetor u  (1. . segue do Teorema 6. obtemos (4). . de modo que a Fórmula (2) simpli- fica e resulta na Fórmula (3). 6. u.2 que o vetor de coordenadas de um vetor u em V em relação a uma base ortogonal S  {v1. v2. o que completa a prova. o vetor de coordenadas de u em relação a S é . vi  ci vi . Assim.3 Processo de Gram-Schmidt. v2. . 1) como uma combinação linear dos vetores em S e encontre o vetor de coordenadas (u)S.3. vn} é (5) e em relação a uma base ortonormal S  {v1. Prova (b) Nesse caso. qualquer vetor u em V pode ser escrito na forma u  c1v1  c2v2  · · ·  cnvn Vamos completar a prova mostrando que (4) com i  1. v2. v3} é uma base ortonormal de R3 com o produto interno euclidiano. 1.2. .3. . . v2. vn} é uma base de V. .  Usando a terminologia e a notação da Definição 2 da Seção 4. decomposição QR 355 Prova (a) Como S  {v1. . portanto. observe primeiro que Como S é um conjunto ortogonal. v2. . . 2. . u. u. n. . . obtemos ou seja. Solução Deixamos para o leitor verificar que Portanto. . exceto o i-ésimo. v1. 0.3. uma base canônica) numa base ortogonal ou ortonormal. TEOREMA 6. w2  (3. 4) como uma combinação linear dos vetores da base orto- normal obtida na parte (a). Geralmente. 2.3. w3  (4. Para explicar exatamente como isso é feito. v2v2  u. portanto. precisamos de algumas ideias preliminares sobre projeções ortogonais.2).3 Teorema da projeção Se W for um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V.2). portanto. Solução (a) Os vetores dados formam um conjunto ortogonal. provamos um resultado que denominamos Teorema da Projeção (ver n Teorema 3. em que w1 é a projeção ortogonal de u sobre algum vetor não nulo a. Aquele resultado é um caso especial do teorema mais geral a seguir. 4) 3 formam uma base ortogonal de R com o produto interno euclidiano. Na Seção 3. Deixamos a cargo do leitor calcular as normas de w1. v1v1  u.1 que esses vetores são linearmente independentes e. e use essa base para encontrar uma base ortonormal normalizando cada vetor. v3v3 Deixamos a cargo do leitor conformar que e. pois w1. .356 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 5 Uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal (a) Mostre que os vetores w1  (0.3. então cada vetor u em V pode ser expresso de maneira única como u  w1  w 2 (7)  em que w1 é um vetor em W e w2 é um vetor em W . 0. w3  0 Segue do Teorema 6.3.5. essas bases são encontradas convertendo alguma base simples (digamos. w2 e w3 e obter a base ortonormal Solução (b) Segue da Fórmula (3) que u  u. que  Projeções ortogonais Muitos problemas nas aplicações são melhor resolvidos trabalhando com vetores de bases ortogonais ou ortonormais. for- 3 mam uma base de R pelo Teorema 4. que trata do problema de decompor algum vetor u em R na soma de dois vetores w1 e w2. 3). w2  0. w3  0. w2. e w2 é ortogonal a w1 (Figura 3.3.4. 2. 0). w1. (b) Expresse o vetor u  (1. .1 (Figura 6. podemos reescrever a Fórmula (7) como 0 projW u u  projW u  projW u (9) W  Figura 6. v1  w2. .3. Usando a notação em (8). v2.3 Processo de Gram-Schmidt. vr} for uma base ortogonal de W e u um vetor qualquer em V.2 que o componente projW u  w1 pode ser expresso em termos dos vetores da base de W como (13) Como w2 é ortogonal a W. segue que w2. . u projW u tivamente. então projW u  u. v2.3. de modo que a Fórmula (13) sim- plifica e resulta a Fórmula (12). 1) em W é . ||v1||  ||v2||  · · ·  ||vr||  1.3. 1. decomposição QR 357 Os vetores w1 e w2 na Fórmula (7) costumam ser denotados por W w1  projW u e w2  projW u (8)  e denominados projeção ortogonal de u em W e projeção ortogonal de u em W . (a) Se {v1. . 1. equivalentemente. vr vr (12) Prova (a) Segue do Teorema 6. respec. então (11) (b) Se {v1.3 que o vetor u pode ser escrito na forma u  w1  w2. TEOREMA 6. vr} for uma base ortonormal de W e u um vetor qualquer em V. como projWu  u  projW u.4 Seja W um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V. como Prova (b) Nesse caso. Além disso. v2v2  · · ·  u. a projeção orto- gonal de u  (1. em que w1  projW u é um vetor em W e w2 é um vetor em W. v1v1  u. 6. também podemos escrever a Fórmula (9) como u  projW u  (u  projW u) (10) O próximo teorema fornece fórmulas para calcular projeções ortogonais. . Pela Fórmula (12).   E X E M P L O 6 Calculando projeções Suponha que R3 tenha o produto interno euclidiano e que W seja o subespaço gerado pelos vetores ortonormais v1  (0. v2  · · ·  w2. e segue do Teorema 6. . .1). .3. vr  0 de modo que podemos reescrever (13) como ou.3. 0) e . O vetor w2 também é denominado componente de u ortogonal a W. TEOREMA 6.358 Álgebra Linear com Aplicações O componente de u ortogonal a W é Observe que projW u é ortogonal a ambos v1 e v2. .3. então v2 não é um vetor de base. ou método. Conforme ilustrado na Figura 6. un}. pois então decorreria da fórmula acima para v2 que o que implica que u2 é um múltiplo de u1.3 para a projeção ortogonal de u sobre a. . . vr } de W. podemos obter um vetor v2 ortogonal a v1 1 tomando o componente de u2 ortogonal ao espaço W1 gerado por v1. . u projv u v2 2 0 projW u W projv u 1  Figura 6. v2. digamos.3. contradizendo a independência linear da base S  {u1. Nosso pró- Gram-Schmidt ximo teorema. que é o resultado principal desta seção. .3. .2 v1 O processo de Vimos que as bases ortonormais exibem uma variedade de propriedades úteis. Mas isso não pode ocorrer. Prova Seja W um subespaço não nulo de dimensão finita de algum espaço com produto interno e suponha que {u1. Seja v1  u1. . obtemos W1 v1 projW u2 1  Figura 6.5 Cada espaço vetorial não nulo de dimensão finita possui alguma base ortonormal. .3. essa é exatamente a Fórmula (10) da Seção 3. . Passo 1.3. . já que fornece um algoritmo. É suficiente mostrar que W tem uma base ortogonal. u2. pois os vetores dessa base podem ser normalizados para pro- duzir uma base ortonormal. Usando a Fórmu- u2 la (11) para fazer essa conta. u2. então a Fórmula (11) só tem uma parcela ortogonal No caso especial em que V for R3 com o produto interno euclidiano. Isso sugere que pode- mos pensar em (11) como a soma das projeções ortogonais sobre os “eixos” determinados pelos vetores da base do subespaço W (Figura 6. A prova desse resultado é extremamente importante.3 É claro que se v2  0.  Uma interpretação Se W for um espaço unidimensional de um espaço com produto interno V. v2 = u2 – projW u2 Passo 2.2). para converter uma base arbitrária numa base ortonormal.3. ur } seja alguma base de W. mostra que cada espaço vetorial não nulo de dimensão finita possui alguma base ortonormal. . de modo que esse vetor é ortogonal a cada vetor no espaço W gerado por v1 e v2. como deveria ser. . . A sequência de passos a seguir produz uma base ortogonal {v1. geométrica da projeção ger{a}. Para construir um vetor v3 que seja ortogonal a ambos v1 e v2. qr}. u2.3. . .4 ponente de u4 ortogonal ao espaço W3 gerado por v1. efetue as seguintes contas. normalize os vetores da base ortogonal para obter uma base ortonormal {q1. . (continue até r passos) Passo opcional. a independência linear de {u1.  Figura 6. obtemos u3 v2 v1 W2 Como no Passo 2. depois de r passos. v1. Para determinar um vetor v4 que seja ortogonal a v1. q3}. 1. Continuando dessa maneira. 1) Passo 2. projW2 u3 Passo 4. . Passo 4. . q2. v3} e. . Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1  (1. 1). 0. Passo 1.3 Processo de Gram-Schmidt.4). v1  u1 Passo 2. Deixamos os detalhes para o leitor. v3}. u2  (0. .3. v2. q2. v1  u1  (1. 6. 1. Solução Passo 1.  E X E M P L O 7 Usando o processo de Gram-Schmidt Considere o espaço vetorial R3 com o produto interno euclidiano. decomposição QR 359 Passo 3. 1. 1) em uma base ortogonal {v1. Passo 3. v2. . depois. un} garante que v3  0. 1). . . Processo de Gram-Schmidt Para converter uma base {u1. . v2 e v3. . . Usando a Fórmula (11) para fazer essa conta. calculamos o com. vr}. Normalizando os vetores da base. Para converter a base ortogonal numa base ortonormal {q1. apre- sentamos um resumo dessa construção. . Como conjuntos ortogonais são linearmente independentes. . . u3  (0. . v2 e v3. Por (11). obtemos um conjunto ortogonal de vetores {v1. . obtemos uma base ortonormal. Para referência futura. ur} numa base ortogonal {v1. calculamos o v3 = u3 – projW2 u3 componente de u3 ortogonal ao espaço W2 gerado por v1 e v2 (Figura 6. . u2. . . esse conjunto é uma base ortogonal do espaço W de dimensão r.  A construção passo a passo para de uma base ortogonal (ou ortonormal) dada na prova precedente é denominada processo de Gram-Schmidt. normalize os vetores da base ortogonal. Durante a maior parte de sua vida. Alternativamente. que ele publicou em 1907. Nota histórica Schmidt foi um matemático alemão que estudou para seu dou- torado na Universidade de Göttingen. No entanto. [Imagem: Arquivos do Mathematisches Forschungsinstitut] Nota histórica Gram foi um atuário dinamarquês cuja educação elementar foi obtida em escolas de aldeias e suplementada com tutoria particular. depois do Passo 2 acima. normalizamos no final para converter a base ortogonal numa base ortonormal. tendo produzido uma variedade de tratados sobre administração florestal dinamarquesa. Assim. Gram passou a interessar-se por Matemática abstrata e recebeu uma medalha de ouro da Sociedade Real Dinamarquesa de Ciências e Letras em reconhecimento pelo seu trabalho. 1. um dos gi- gantes da Matemática moderna. orientado por David Hilbert. formam uma base ortogonal de R3. Mais tarde. poderíamos normalizar cada vetor da base ortogonal à medida que vai sendo obtido. [Imagem: Wikipedia] . esse método geralmente tem a desvantagem de produzir mais raízes qua- dradas para contabilizar. 1) como segundo vetor da base e. com contas feitas a mão. Por exemplo. conseguiu moldar algumas das ideias de Hilbert num único conceito abrangente. Uma variação mais útil é alterar a escala dos vetores da base ortogonal a cada passo para eliminar algumas das frações. No entanto.360 Álgebra Linear com Aplicações Passo 3. que é fundamental no estudo de espaços vetoriais de dimensão infinita. onde. Ele descreveu primeiramente o processo que leva seu nome num trabalho sobre equações integrais. Foi em sua tese que ele formulou suas contribuições ao processo de Gram- -Schmidt. seu interesse pelas aplicações da Matemática nunca diminuiu. produzindo com isso uma base ortonormal passo a passo. Ele obteve Erhardt Schmidt Jorgen Pederson Gram o grau de Doutor em Matemática enquanto trabalhava na Companhia Hafnia de (1875–1959) (1850–1916) Seguros de Vida. denominado espaço de Hilbert. As normas desses vetores são 3 de modo que uma base ortonormal de R é Observação No exemplo precedente. poderíamos ter multiplicado o vetor por 3 para produzir (2. onde se especializou na matemática de seguros de acidentes. além de fazer importantes contribuições em uma variedade de áreas da Matemática. com isso. simplificar as contas do Passo 3. lecionou na Universidade de Berlim. ortonormais nais e ortonormais em espaços com produto interno de dimensão finita. v1  u1  1 Passo 2. Os poli- nômios resultantes que são conhecidos como polinômios de Legendre. sendo  Observação Os vetores da base ortogonal do exemplo precedente costumam ter sua escala alte- rada de tal forma que todos têm o valor 1 em x  1. Assim. desempenham um papel importante numa va- riedade de aplicações. u2  x e u3  x . Temos portanto.5. ␾3(x)}. ␾2(x). 6. x2} de P2 numa base ortonormal {␾1(x). Solução Tomemos u1  1. Na parte (b) do Teorema 4. obtivemos a base ortogonal {␾1(x). ␾2(x). . ␾3(x)}. Temos portanto. O teorema seguinte é o análogo daquele resultado para conjuntos ortogo. Passo 3. vimos que todo conjunto linearmente independente de um Estendendo conjuntos espaço vetorial de dimensão finita pode ser estendido até uma base pela adição de vetores ortonormais a bases convenientes. 2 Passo 1.5. x. decomposição QR 361  E X E M P L O 8 Polinômios de Legendre REQUER CÁLCULO Consideremos o espaço vetorial P2 com o produto interno Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base canônica {1.3 Processo de Gram-Schmidt. o que não altera sua ortogonalidade. qn como No Exemplo 9 da Seção 1.5. conhecido como decom- Decomposição QR posição QR. tem alcançado. . Prova (b) Suponha que S  {v1. . . . Assim. . . . . Problema Se A for uma matriz n  n com vetores coluna linearmente independentes e se Q for a matriz que resulta aplicando o processo de Gram-Schmidt aos vetores co- luna de A. . vs . .6 Seja W um espaço com produto interno de dimensão finita. (b) Qualquer conjunto ortonormal em W pode ser ampliado para uma base ortonor- mal de W. Decorre que essas relações podem ser expressas em forma matricial por . . .2b que u1.3.  OPCIONAL Um algoritmo que tem por base o processo de Gram-Schmidt. Pela parte (b) do Teorema 4. .3. . . pois já são ortonormais. qual relação existe entre A e Q. suponha que os vetores coluna de A sejam u1. .3. inclusive os de calcular autovalo- res de matrizes grandes. A e Q podem ser escritas em bloco como A  [u1 | u2 | · · · | un] e Q  [q1 | q2 | · · · | qn] Segue do Teorema 6.362 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 6. vs não serão afetados. . . mas aqui podemos discutir algumas das ideias subjacentes. qn. . . un podem ser escritos em termos dos vetores q1. v s1. . . (a) Qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos em W pode ser ampliado para uma base ortogonal de W. un e que os vetores coluna ortonormais de Q sejam q1. v2. . vs . . . e o conjunto S = {v1. . Os aspectos técnicos desses algoritmos são discutidos em livros especializados nos aspectos numéricos da Álgebra Linear. . vk} de W. . . v2. Começamos com o seguinte problema. vs} seja um conjunto ortonormal de vetores em W. Aplicando o processo de Gram-Schmidt ao conjunto S . v k} resultante será uma base ortonormal de W. . . q2. . . . u2.5. podemos aumentar S até alguma base S  {v1. nos últimos anos. . . u2. se é que há alguma? Para resolver esse problema. vimos que o j-ésimo vetor coluna de um produto matricial é uma combinação linear dos vetores coluna do primeiro fator com os coeficientes vindos da j-ésima coluna do segundo fator. v2. importância crescente como o fundamento matemático de uma variedade de algoritmos numéricos. Provamos a parte (b). . . vs1. . q2. v2. . deixando a parte (a) como exercício. os vetores v1. Resumindo. uma matriz quadrada tem colunas linearmente independentes se. Dize- mos que a Equação (14) é a decomposição QR de A. colunas linearmente independen- tes tem posto coluna máximo. segue do teo- rema precedente que qualquer matriz invertível tem uma decomposição QR. u2.  E X E M P L O 9 Decomposição QR de uma matriz 3 ⴛ 3 Encontre a decomposição QR de Solução Os vetores coluna de A são Aplicando o processo de Gram-Schmidt com normalização a esses vetores coluna. todas as entradas abaixo da diagonal principal de R são nulas. a Equação (14) é uma fatoração de A no produto de uma matriz Q com vetores coluna ortonormais e uma matriz triangular superior invertível R. já que as entradas na diagonal de R são não nulas. é uma propriedade do processo de Gram-Schmidt que. mais concisamente. TEOREMA 6. decomposição QR 363 ou. e R tem a forma (15) Deixamos para o leitor mostrar que R é invertível. pelo Teorema 5.3. e só se. Lembre que. . for invertível. por A  QR (14) em que R é o segundo fator no produto. .1. . é onde Q é uma matriz m  n com vetores coluna ortonormais e R é uma matriz n  n comum dizer que uma matriz de triangular superior invertível.3 Processo de Gram-Schmidt. o vetor qj é ortogonal a u1.6 (o Teorema da Equivalência). Assim. 6. obte- mos os vetores ortonormais (ver Exemplo 7) . com j  2. uj1. Assim. Assim.7 Decomposição QR Se A for uma matriz m  n com vetores coluna linearmente independentes. então A pode ser fatorada como A  QR Na Álgebra Linear numérica. obtivemos o teorema seguinte. No entanto. . • Processo de Gram-Schmidt • Encontrar as projeções ortogonais de um vetor num • Decomposição QR subespaço.3 1. mais em relação ao produto interno euclidiano de R3? (a) (0. • Encontrar a decomposição QR de um matriz invertível. Em cada parte.1. (a) (c) (d) (0. Mostre que qualquer matriz m  n de vetores coluna ortonormais tem essa proprie- dade. Em cada parte. . • Usar o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortogonal (ou ortonormal) de um espaço com produto interno. 0) 5. (2. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 1 são ortonor- mais em relação ao produto interno euclidiano de R2? (b) 3. • Projeções ortogonais • Calcular as coordenadas de um vetor em relação a uma base ortogonal (ou ortonormal). 4. Em cada parte. 0). togonal em relação ao produto interno de M22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6. Conjunto de exercícios 6. decida se o conjunto de matrizes dado é or- nal em relação ao produto interno euclidiano de R3. segue da Fórmula (15) que R é do que segue que a decomposição QR de A é Mostre que a matriz Q no Exemplo 9 tem a propriedade QQT  I. Em cada parte. decida se o conjunto de vetores dado é ortogo. (a) (a) (b) (b) (c) 7. decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P2 discutido no (b) Exemplo 7 da Seção 6.364 Álgebra Linear com Aplicações Assim. decida se o conjunto de vetores dado é ortogo.1. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonor- nal em relação ao produto interno euclidiano de R2. (0. Em cada parte. 1). 1) 2. 6. Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Conjuntos ortogonais e ortonormais • Determinar se um conjunto de vetores é ortogonal (ou • Normalização de um vetor ortonormal). mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num (d) conjunto ortonormal normalizando os vetores. (a) Mostre que os vetores 17.3. os vetores dados são ortonormal com 4 o produto interno euclidiano. use o Teorema 6. com x  (1. 2.2b para encontrar formam uma base ortonormal de R com o produto interno projW x. 9. 6. Encontre os vetores w1 em W e w2 em W tais que x  w1  w2. 4) (c) v3  (1. 2). (6. No Exemplo 6 da Seção 4.4. em cada parte. 0.9.  18. 5.3. v2  (3.3. (a) v1  (1. 2) (b) (3. 1.3. v3  (1. v2  (3.2b para vetores dados. 1. 1)} é ortogonal com o produto interno u. 1). 1. 1) (b) (b) (c) 11. 1). é dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. 1. 0) (c) 8. 0. v2  (1. 1. 1).3. 0).2b para encontrar o vetor de coordenadas de w em relação a essa base. 1. 1. Verifique que os vetores (b) v1  (0. 1) para expressar o vetor dado como uma combinação linear de (b) v1  (0. os vetores dados são ortogonais com o produto interno euclidiano. Depois.  expressar o vetor dado como uma combinação linear de v1. 5. encontramos a projeção ortogo- nal do vetor x  (1. Use o Teorema 6. 1).2b 14. com x e W dados no (a) Exercício 14(a) (b) (b) Exercício 15(a) 20. 1). v2  (1. 1. decomposição QR 365 (a) (1. 3. (a) formam uma base ortogonal de R4 com o produto interno euclidiano.2b para expressar u  (1. (0. 2. 16. Verifique que o conjunto de vetores {(1. 1). 0.  Nos Exercícios 12–13. 1. use o Teorema 6. v3 e v4. (a) (1. 1) e W o subespaço de R4 gerado pelos euclidiano. Verifique que os vetores  Nos Exercícios 14–15. 0. em cada parte. Encontre os vetores w1 em W e w2 em W tais que x  w1  w2.3 Processo de Gram-Schmidt. 13. (a) gulo de ␲/6 radianos com o eixo x positivo. 5. 5) sobre a reta pela origem que faz um ân- 12. 19. 1. 0. (0. Use o Teorema 6. 1. (a) com x e W dados no (a) Exercício 16(a) (b) Exercício 17(a) . v2. Encontre projW x. 4)  Nos Exercícios 16–17. 1. 2. 1. (a) (a) (1. 2). 7. 7) (b) como uma combinação linear dos vetores da parte (a). 1).  formam uma base ortonormal de R3 com o produto interno euclidiano. 1. 1) 10. 1. v2 e v3. (a) v1  (1. Depois. v  4u1v1  u2v2 de R2 e converta- -o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores. 1. 1.3. (b) Use o Teorema 6. 15. (2. com x  (1. 1) v1. 4. 3) (b) (b) (1. Resolva o mesmo problema usando o Teorema 6. 2) e W o subespaço de R4 gerado pelos vetores dados. 1. 4. 3. se o vetor w  (1. u3  (1. (1. 0. use o processo de Gram-Schmidt para transformar a 31. foi afirmado que “a (b) u1  (1. 2) e u2  normal em relação ao produto interno euclidiano. x. . x2} numa base ortonormal. u2  (2.4 Melhor aproximação. Suponha que R tenha o produto interno euclidiano. u2  (3. (a) u1  (1. 2). parte. (a) 1  x  4x2 (b) 2  7x2 (c) 4  3x 33. 1. (1. Esses sistemas costumam aparecer em aplicações nas quais erros de medição “perturbam” os coeficientes de um sistema consistente a tal ponto que o sistema passa a ser inconsistente. Encontre vetores x e y em R2 que sejam ortonormais em re- lação ao produto interno u. 1.366 Álgebra Linear com Aplicações 2 21 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano. Expres. 26. Em cada Prove essa afirmação. u3  (1. sendo w1 um vetor no (a) Qualquer conjunto linearmente independente de vetores num plano e w2 perpendicular ao plano. u. use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base {u1. (a) (b) (c) (f) Se A for uma matriz n  n com determinante não nulo. encontre a decomposição QR. 3) na forma w  w1  w2. 3). u2  (0. 0. Suponha que R3 tenha o produto interno canônica S  {1. . (Requer Cálculo) Em cada parte. . duto interno é linearmente independente. 1. não nulas. u2} numa base ortonormal e esboce os vetores de (d) (e) (f) ambas as bases no plano xy. 0). Em cada três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que parte. v  3u1v1  2u2v2 mas não em Use o processo de Gram-Schmidt para transformar u1  relação ao produto interno euclidiano. 4. u4} numa base ortonormal. 27. O Exercícios verdadeiro/falso subespaço de R3 gerado pelos vetores e Nas partes (a)-(f). (1. e w2 ortogonal a W. 3). 1). 6. 0. Soluções de mínimos Suponha que Ax  b seja um sistema linear inconsistente de m equações em n incógnitas quadrados de sistemas sobre o qual suspeitamos que a inconsistência tenha sido causada por erros de medição lineares nos coeficientes de A. u3. Prove que as entradas na diagonal de R na Fórmula (15) são base {u1. 0. se houver. 1). 1). determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. vamos pro- curar um vetor x que chegue “tão perto quanto possível” de ser uma solução. v  u1v1  2u2v2  3u3v3 34. (0. 0). mínimos quadrados Nesta seção. 1. No Passo 3 da prova do Teorema 6. u3  (0. Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base 25. u2. 1. no sentido de que esse vetor minimiza ||b  Ax|| em relação ao produto interno euclidiano de Rm.3. 1. Como não é possível encontrar alguma solução exata. 1. u2  (3. u4} numa base ortonormal. sendo (c) Qualquer subespaço não trivial de R3 tem alguma base orto- w1 um vetor no espaço gerado por u1  (1. 1) expressar o polinômio dado como uma combinação linear dos 23. . 2). (a) u1  (1. use o processo de Gram-Schmidt para transformar a segue o Exemplo 8). 1) e u2  (2. 1. finita tem alguma base ortonormal. Em cada parte. base {u1. 1. 1).2a para (b) u1  (1. u2. 1) 32. Em cada parte. u2  (1. 0. Encon- tre uma base ortonormal do subespaço gerado por (0. Pode- . 1). 2) 30. w  (1. use o Teorema 6. un} garante que v3  0”. espaço com produto interno é ortogonal. 7. Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano. 5) 4 independência linear de {u1. Repita o Exercício 26 com u1  (1. u2  (1. 0) numa base ortonormal. (d) Qualquer espaço com produto interno não nulo de dimensão 29. (Requer Cálculo) Suponha que P2 tenha o produto interno 24. 0. Expresse justificando sua resposta. 0) é um plano passando pela origem. u3. 6. 0) na forma w  w1  w2. Suponha que R3 tenha o produto interno euclidiano. 22. 2.5. (e) projW x é ortogonal a qualquer vetor em W. Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano. 0). Suponha que o R3 tenha o produto interno euclidiano. então A tem uma decomposição QR. (b) Qualquer conjunto ortogonal de vetores num espaço com pro- 28. tratamos de sistemas lineares que não podem ser resolvidos exatamente e para os quais é necessário obter alguma solução aproximada. 2. 2. 1. 0). u2. 1a). Problema dos mínimos quadrados Dado um sistema linear Ax  b de m equações em n incógnitas. Isso nos leva ao problema seguinte. suponha que a forma matricial de b  Ax seja O termo “solução de mínimos quadrados” decorre do fato de que minimizar ||b  Ax|| também minimiza . então projW b é a melhor aproximação de b em W.4. qualquer aproximação dessas resulta num “vetor erro” b  w que não pode ser considerado igual a 0.1 (a) (b) Essas ideias geométricas sugerem o teorema geral a seguir.4.1b). no sentido de que ||b  projW b||  ||b  w|| qualquer que seja o vetor w em W distinto de projW b. Prova Dado qualquer vetor w em W. podemos escrever b  w  (b  projW b)  (projW b  w) (1) . Dizemos que um vetor x desses é uma solução de míni- mos quadrados do sistema. melhor a aproximação. P b b–w b b – projW b w projW b Q W W  Figura 6.1 Teorema da melhor aproximação Se W for um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V e b um vetor em V. 6.4 Melhor aproximação. mínimos quadrados 367 mos ver Ax como uma aproximação de b e ||b  Ax|| como o “erro” dessa aproximação: quanto menor o erro. A menos que b esteja em W. Para esclarecer a terminologia dada. 3 Suponha que queiramos aproximar um vetor b em R fixado por algum vetor w de algum Melhor aproximação 3 subespaço W de R . encontre um vetor x que minimiza ||b  Ax|| em relação ao produto interno euclidiano de Rm.4. independentemente do vetor w escolhido (Figura 6. escolhendo w  projW b podemos tornar o comprimento do vetor erro ||b  w||  ||b  projW b|| tão pequeno quanto for possível (Figura 6. No entanto. TEOREMA 6. que b  Ax é o vetor erro de mínimos quadrados e que ||b  Ax|| é o erro de mínimos quadrados.4. TEOREMA 6. caso em que o erro é zero. que ||b  projW b||  ||b  w|| 2 2 Como as normas são não negativas. drados qualquer de Ax  b. A (b  projW b)  0 T Assim.9b que esse vetor está no espaço nulo de A e que. segue do T Teorema 4. podemos simplificar (3) e obter A (b  Ax)  0 T que pode ser reescrito como A Ax  A b T T (4) Dizemos que essa equação é a equação normal ou o sistema normal associado a Ax  b.4. projW b  Ax (6)  E X E M P L O 1 Solução de mínimos quadrados (a) Encontre todas as soluções de mínimos quadrados do sistema linear (b) Encontre o vetor erro e o erro. o vetor projW b  w está em W e. Além disso. segue do teorema de Pitágoras (Teorema 6. como b  projW b é ortogonal a W. podemos evitar o cálculo da projeção reescrevendo (2) como b  Ax  b  projW b T e então multiplicar ambos os lados dessa equação por A para obter A (b  Ax)  A (b  projW b) T T (3) Como b  projW b é o componente de b que é ortogonal ao espaço coluna de A. portanto.2 Dado qualquer sistema linear Ax  b. Vistas como um sistema linear.368 Álgebra Linear com Aplicações Sendo uma diferença de vetores de W. segue (de uma propriedade de desigualdades) que ||b  projW b||  ||b  w||  Soluções de mínimos Uma maneira de encontrar alguma solução de mínimos quadrados de Ax  b é calcular quadrados de sistemas a projeção ortogonal projW b no espaço coluna W da matriz A e depois resolver a equação lineares Ax  projW b (2) Contudo. o sistema normal associado A Ax  A b T T (5) Se um sistema linear for consis.2. segue que o segundo termo nessa soma é positivo e. estabelecemos o seguinte resultado. portanto.8. e todas as soluções de (5) são soluções de mínimos quadrados de tente. é consistente. . se W for o espaço coluna de A e x uma solução de mínimos qua- são iguais às soluções de míni. então suas soluções exatas Ax  b. as equações individuais são denominadas equações nor- mais associadas a Ax  b. os dois termos à direita em (1) são ortogonais. Assim. Resumindo.3) que ||b  w||  ||b  projW b||  ||projW b  w|| 2 2 2 Como w  projW b. então a projeção ortogonal de b em W é mos quadrados. 8. u2 e u3 é o espaço coluna da matriz Assim. Contudo. 6.3. 1). se u for escrito como um vetor coluna. 1) Solução Poderíamos resolver esse problema usando primeiro o processo de Gram-Schmidt para converter {u1. mínimos quadrados 369 Solução (a) É conveniente expressar o sistema no formato matricial Ax  b. u3} numa base ortonormal e depois aplicando o método usado no Exemplo 6 da Seção 6. 9) no subespaço de R4 gerado pelos vetores u1  (3. 1. 3. com Segue que de modo que o sistema normal A Ax  A b é T T Resolvendo esse sistema. 0. 1. 0. podemos obter a projeção ortogonal de u em W encontrando a solução de mínimos quadrados do sistema Ax  u e depois calculan- . 2. obtemos uma única solução de mínimos quadrados. a saber. o método a seguir é mais eficiente. 2.4 Melhor aproximação. O subespaço W de R4 gerado por u1. u3  (1. u2  (1. u2. Solução (b) O vetor erro é e o erro é ||b  Ax||  4.556  E X E M P L O 2 Projeção ortogonal num subespaço Encontre a projeção ortogonal do vetor u  (3. 1). As contas são as seguintes. portanto.  Unicidade das soluções de Em geral. de modo que ou então. isso só ocorreu porque a matriz de coeficientes do sistema satisfaz certas condições que garan- tem a unicidade.370 Álgebra Linear com Aplicações do projW u  Ax a partir dessa solução de mínimos quadrados. deixando a prova de (b) ⇒ (a) como exercício. as condições seguintes são equivalentes. A matriz ATA tem tamanho n  n. Embora mínimos quadrados o sistema linear do Exemplo 1 tenha tido uma solução de mínimos quadrados única. projW u  (2. Nesse caso. (a) Os vetores coluna de A são linearmente independentes. TEOREMA 6.4. Prova Provamos que (a) ⇒ (b). podemos provar sua invertibilidade mostrando que .3 Se A for uma matriz m  n. 3. 0). Nosso próximo teorema mostra quais são essas condições. 4. O sistema Ax  u é portanto. (a) ⇒ (b) Suponha que A tenha vetores coluna linearmente independentes. o sistema normal ATAx  AT u é Resolvendo esse sistema. as soluções de mínimos quadrados de sistemas lineares não são únicas. obtemos como a solução de mínimos quadrados de Ax  u (verifique). em notação com vírgulas. (b) ATA é invertível. 3. sobre retas subespaços de R m pela origem em R3. que segue diretamente dos Teoremas 6.4. o problema de encontrar projeções ortogonais em subespaços de Rm. Pelo Teorema 4. Dado qualquer b em Rm.  O próximo teorema. Passamos a considerar. DEFINIÇÃO 1 Se W for um subespaço de R .3. Além disso.4 implica Ax  0.1.4. a Fórmula (9) pode ser obtida substituindo A  QR em (7) e usando que Q Q  I para obter T Na Seção 4. o sistema linear Ax  b tem Como exercício. mais geralmente. Como A tem vetores coluna linearmente independentes. TEOREMA 6. mas não são eficientes para cálculos numéri. Começamos com uma definição. OPCIONAL cos. o sistema Ax  b tem uma única solução de mínimos quadrados dada por xR Q b −1 T (9) Uma prova desse teorema e uma discussão de sua utilidade podem ser encontradas em muitos livros que tratam de métodos numéricos da Álgebra Linear. Projeção ortogonal em nados de um sistema de coordenadas retangulares em R3 e. 6.3. as soluções de mínimos quadrados de Ax  b costumam ser encontradas O papel da decomposição usando alguma variação da eliminação gaussiana para resolver as equações normais ou QR em problemas de usando a decomposição QR e o teorema seguinte. agora.5 Seja A uma matriz m  n com vetores coluna linearmente indepen- dentes e A  QR uma decomposição QR de A (ver Teorema 6. dá uma fór- mula explícita para a solução de mínimos quadrados de um sistema linear que tenha uma matriz de coeficientes com vetores coluna linearmente independentes. então Ax está no espaço nulo de AT e também no espaço coluna de A.2. mínimos quadrados 371 o sistema linear A Ax  0 tem somente a solução trivial. Mas se x for qualquer solução T desse sistema.8. No entanto. então a transformação linear P : R → W m m m que associa a cada vetor x em R sua projeção ortogonal projW x em W é denominada projeção ortogonal de Rm em W.4. tente usar a uma única solução de mínimos quadrados.8.4.2 e 6. então dada qualquer matriz b de tamanho m  1.4 Se A for uma matriz m  n com vetores coluna linearmente indepen- dentes.4 Melhor aproximação.7). esses espaços são complementos ortogonais.9b. então a projeção ortogonal de b em W é 1 T projW b  Ax  A(A A) A b T (8) As Fórmulas (7) e (8) têm utilidade teórica. Na prática. de modo que a parte (b) do Teorema 6. Essa solução é dada por Fórmula (7) para resolver o pro- 1 T x  (A A) A b T (7) blema na parte (a) do Exemplo 1. se W for o espaço coluna de A. resulta x  0 pelo Teorema 1. mostramos como calcular as projeções ortogonais sobre os eixos coorde. mínimos quadrados TEOREMA 6. . 4. sen ␪) como o vetor da base (Fi- gura 6.4. o teorema da projeção (6. Assim.8.3.372 Álgebra Linear com Aplicações Segue da Fórmula (7) que a matriz canônica da transformação linear P é [P]  A(ATA)1AT (10) y sendo os vetores coluna de A construídos a partir de qualquer base de W.9 que ␪ x cos ␪  Figura 6. bem como os espaços nulo de AT e coluna de A. dado um sistema linear Ax  b em que A é uma matriz m  n. Como W é unidimensional.9. pois os espaços fundamentais não precisam ser unidimen- sionais.3. As- sim.3) nos diz que os vetores x e b podem ser decompostos em somas de termos ortogo- nais do tipo x  xlin(A)  xnul(A) e b  bnul(AT )  bcol(A) em que xlin(A) e xnul(A) são as projeções ortogonais de x nos espaços linha. vimos que os espaços nulo e linha de uma matriz A de tamanho m  mínimos quadrados n são complementos ortogonais. W  E X E M PLO 3 A matriz canônica de uma projeção ortogonal sobre uma w reta 1 sen ␪ Mostramos na Fórmula (16) da Seção 4.4.2). representamos os espaços fundamentais de A por retas perpendicu- lares em Rn e Rm nas quais indicamos as projeções ortogonais de x e b.2 é a matriz canônica da projeção ortogonal sobre a reta W pela origem de R2 que faz um ângulo de ␪ com o eixo x positivo.) A figura mostra Ax como um ponto no espaço coluna de A e indica que bcol(A) é nul(A) col(A) Ax xnul(A) bcol(A) x b T n lin(A) nul(A ) R xlin(A) bnul(AT) Rm  Figura 6. Solução Os vetores coluna de A podem ser formados a partir de qualquer base de W. Deduza esse resultado usando a Fórmula (10). podemos tomar w  (cos ␪. e obtemos Outro ponto de vista de No Teorema 4.4.3 . (É claro que isso é só uma representação visual. e nulo de A e os ve- tores bnul(AT ) e bcol(A) são as projeções ortogonais de b nos espaços nulo de AT e coluna de A. ou seja. Deixamos a cargo do leitor mostrar que ATA é a matriz identidade de tamanho 1  1. a Fórmula (10) simplifica. Na Figura 6. vk} uma base qualquer de W e consideremos a ma- triz M cujas colunas são os sucessivos vetores dessa base.6 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n  n. com algum vetor x em Rm.6. e dizer que MT w2  0 equivale a dizer que MT (u  w1)  0. (r) A imagem de TA é Rn. (l) Os vetores coluna de A formam uma base de Rn. portanto. (k) Os vetores linha de A geram Rn.3 aplicado a matrizes quadradas. .4 Melhor aproximação. (a) A é invertível.3. (g) det(A)  0. (b) Ax  0 tem somente a solução trivial. . Seja {v1. (o) A tem nulidade 0. dizer que w1 está no es- paço coluna de M equivale a dizer que w1  Mx. 6. (p) O complemento ortogonal do espaço nulo de A é Rn. Como nosso resultado final da parte principal desta seção. . (n) A tem posto n. Isso ilustra que as soluções de mínimos quadrados de Ax  b são as soluções exatas da equação Ax  bcol(A). vamos supor que W  {0}. Assim. (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.3 no caso OPCIONAL m especial em que V for o espaço vetorial R .3. A prova da parte (u) segue da parte (h) desse teorema e do Teorema 6. (s) TA é um operador injetor. A prova estará terminada se mostrarmos que qualquer vetor u em Rm pode ser escrito de uma única maneira como u  w 1  w2 em que w1 está no espaço coluna de M e MT w2  0. . Prova do Teorema 6. (h) Os vetores coluna de A são linearmente independentes. v2.1.3 Deixamos o caso W  {0} como exercício e. acrescentamos mais uma parte Mais sobre o teorema da ao Teorema 5. portanto. se soubermos mostrar que a equação M (u  Mx)  0 T (11) . (i) Os vetores linha de A são linearmente independentes. então as seguintes afirmações são equivalentes. mínimos quadrados 373 o ponto de col(A) que está mais próximo de b. equivalência TEOREMA 6. W é o espaço nulo de MT. Agora temos todos os ingredientes necessários para provar o Teorema 6. (j) Os vetores coluna de A geram Rn. W é o espaço coluna de M e.4. (t) ␭  0 não é um autovalor de A. (e) Ax  b é consistente com cada matriz b de tamanho n  1. (u) ATA é invertível. (m) Os vetores linha de A formam uma base de {0}. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In . (f) Ax  b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n  1. Assim.4. No entanto. (q) O complemento ortogonal do espaço linha de A é {0}. 6 e. • Equação normal • Encontrar a matriz canônica de uma projeção ortogonal. encontre a solução de mí- 5. Calcule o erro de mínimos quadrados.4 1. (a) (b) (b) (c) .   Nos Exercícios 2–4. reescrevemos (11) como M Mx  M u T T T Como a matriz M tem vetores coluna linearmente independentes. a matriz M M é inver- tível pelo Teorema 6. encontre o sistema normal associado ao siste- ma linear dado. (b) (a) 3. Em cada parte. então w1  Mx e w2  x  w1 serão vetores determinados de maneira única com as propriedades exigidas. portanto.4. como queríamos mostrar. Em cada parte. encontre o vetor erro e  b  Ax que resulta da solução de mínimos quadrados x e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A. • Erro de mínimos quadrados • Usar as técnicas desenvolvidas nesta seção para calcular • Melhor aproximação projeções ortogonais.  (b) A e b como no Exercício 3(b) 6. (a) (a) (b) (b)  Nos Exercícios 5–6. em cada parte. (a) (b) A e b como no Exercício 4(b) 7. em cada parte.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Problema de mínimos quadrados • Encontrar a solução de mínimos quadrados de um sistema • Solução de mínimos quadrados linear. (a) A e b como no Exercício 3(a) nimos quadrados do sistema linear Ax  b. • Vetor erro de mínimos quadrados • Encontrar o erro e o vetor erro associados a uma solução de mínimos quadrados de um sistema linear. 4. encontre todas as soluções de mínimos qua- drados de Ax  b e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. (a) A e b como no Exercício 4(a) 2. a equação tem uma solução única. • Projeção ortogonal Conjunto de exercícios 6. Para isso.374 Álgebra Linear com Aplicações tem uma única solução para x. 2. 3. 2. (c) Use a matriz obtida na parte (b) para encontrar a projeção paço de R4 gerado pelos vetores v1.9. 1). 4) e o plano (h) Se A for uma matriz m  n com colunas linearmente inde- W e confira seu resultado usando o Teorema 3. (a) Encontre uma base de W. 1) (b) Use a Fórmula (10) para encontrar a matriz canônica da (b) u  (1. justificando sua resposta.3. 1. (e) Se Ax  b for um sistema linear inconsistente. v3  (2. 0). 2. Seja W o plano de equação 5x  3y  z  0. (d) Encontre a distância entre o ponto P0(2. 6. 15. 18. Prove a implicação (b) ⇒ (a) do Teorema 6. (b) Use a Fórmula (10) para encontrar a matriz canônica da (f) Qualquer sistema linear tem uma solução de mínimos qua- projeção ortogonal em W. 2) no espaço e a reta m dada pelas equações solução do sistema linear homogêneo x  s. 2. então A é invertível. 1. então a solução de mínimos quadra- dos de Ax  b e a solução exata de Ax  b coincidem. encontre a projeção ortogonal de u no subes. 1). quadrados. então Ax  b tem uma 16. Seja P : Rm → W a projeção ortogonal de Rm no subespaço W. 3.] independentes. v3  (3.] Nas partes (a)-(h). matriz canônica da projeção ortogonal P : R2 → R2 (b) O que o resultado da parte (a) implica sobre a composta (a) no eixo x. 1. encontre det(ATA)e aplique o Teorema 6.9. 20. 22. 1). (c) Use a matriz obtida na parte (b) para encontrar a projeção (g) Qualquer sistema linear tem uma única solução de mínimos ortogonal de um ponto P0(x0. Em cada parte. ATAx  AT b também é inconsistente. se Ax  b é consistente. (a) u  (6. então ATAx  AT b também é consistente. v1  (1. então a matriz canônica da projeção ortogonal de R3 na reta ger{w} é (a) Se A for uma matriz m  n. para determinar se A tem vetores coluna linearmente indepen. z1 Sejam P um ponto em l e Q um ponto em m. v2  (2. v1  (2. Prove: se A tem vetores coluna linearmente independentes e (a) (b) b é ortogonal ao espaço coluna de A. 0.4. 19.] (a) no plano xz. 21. Seja A uma matriz m  n com vetores coluna linearmente ção 4. y0. 4). 14. 1. 1. v2  (2.3 de t e s que minimizam a distância entre essas retas. v2  (1. 1. z0) em W. x  2t. 3). P P? (b) no eixo y. y0. 7. mínimos quadrados 375 8. (b) no plano yz. então ATA é uma matriz quadra- da. Exercícios verdadeiro/falso [Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Se- ção 4. Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar a (a) Prove que [P]2  [P].4. z  t 10. 9. encontre a projeção ortogonal de u no subes. [Sugestão: comece com a matriz canônica da projeção ortogonal P : R3 → R2 Fórmula (10). 0.4. 12. então ATA é invertível. c) for um vetor não nulo. y  t. v2  (1. então a solução de míni- mos quadrados de Ax  b é x  0. v2 e v3. v1  (1. Mostre que se w  (a. y  2s  1. 1) 17. 0.3. 2. v1  (1. b. 6. 2. . y  t. Considere a reta l em R2 dada pelas equações (b) u  (2.4 Melhor aproximação. 3) e a reta W. (b) Se ATA for invertível. 0). 1. 1). Seja W a reta de equações paramétricas única solução de mínimos quadrados. z0) em W. ortogonal de um ponto P0(x0. 4) projeção ortogonal em W. Encontre a projeção ortogonal de u  (5. Obtenha a matriz canônica da projeção orto- 13. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (d) Se Ax  b for um sistema linear consistente. 1. drados. 6). Em cada parte. 9. 1. Prove: se A tem vetores coluna linearmente independentes e dentes. z  4t paço de R3 gerado pelos vetores v1 e v2. com isso. (a) u  (2. então (a) Encontre uma base de W. pendentes e b for um vetor em Rm. encontre os valores 11. 6. (d) Encontre a distância entre o ponto P0(1. Minimize a dis- tância ao quadrado ||P  Q||2 e. 1). 3) x  t. (c) Se A for invertível. 1. [Observação: compare suas respostas com a Tabela 3 da Se. Em cada parte. 1. (c) Mostre que [P] é simétrica. Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar a gonal de Rn no espaço coluna de A. 376 Álgebra Linear com Aplicações 6. decidimos a forma geral da curva y  f(x) a ser ajustada. usamos nossos resultados sobre projeções ortogonais em espaços com produto interno para obter uma técnica de como ajustar uma reta ou uma outra curva polinomial a um conjunto de pontos no plano determinados experimentalmente. . yn) determinados experimentalmente. .1) (a) Uma reta: y  a  bx (b) Um polinômio quadrático: y  a  bx  cx2 (c) Um polinômio cúbico: y  a  bx  cx2  dx3 Como os pontos são obtidos experimentalmente. y y y x x x  Figura 6. y1).5 Ajuste de mínimos quadrados a dados Nesta seção. . (x2. a reta pas- saria por todos os n pontos.5. . . e os coeficientes incógnitos a e b satisfariam as equações Podemos escrever esse sistema em forma matricial como . muitas vezes temos algum “erro” de me- dição nos dados. Assim. Começamos com o caso mais simples e mais comum: ajus- tar uma reta aos pontos obtidos experimentalmente. (xn. . (x2. y1). . Ajustando uma curva a dados Um problema comum no trabalho experimental é obter uma relação matemática y  f(x) entre duas variáveis x e y através do “ajuste” de uma curva aos pontos no plano que cor- respondem aos vários valores de x e y determinados experimentalmente. Se esses pontos de dados fossem colineares. (x1.5. . digamos. a ideia é escolher a curva (determinando seus coeficientes) que “melhor” ajusta os dados. y2). y2). (xn. Algumas possibi- lidades são (Figura 6. yn) Na base de considerações teóricas ou simplesmente observando o padrão apresentado pelos pontos. tornando impossível encontrar uma curva da forma desejada que passe por todos os pontos.1 (a) y = a + bx (b) y = a + bx + cx2 (c) y = a + bx + cx2 + dx3 Ajuste linear de mínimos Digamos que queiramos ajustar uma reta y  a  bx aos pontos quadrados (x1. 5. os números di podem ser interpretados como a dis- tância vertical entre a reta y  a  bx e os pontos de dados (xi. lembre que uma solução de míni- mos quadrados de (1) minimiza ||y  Mv|| (3) Expressando o quadrado de (3) em termos de componentes. .2. como Mv  y (1) em que (2) Se os pontos de dados não forem colineares. Nesse caso. o sistema é inconsistente. yi).2.5 Ajuste de mínimos quadrados a dados 377 ou. d2  |y2  a  bx2|. yi) do ajuste inexato de y  a  bx a esse ponto dos dados. Essa distância é uma medida do “erro” que resulta no ponto (xi. ou seja. procuramos uma solução de mínimos quadrados Dizemos que uma reta y  a*  b*x é uma reta de regressão dos dados ou um ajuste linear de mínimos quadrados aos dados se os coeficientes da reta provêm de uma solução de mínimos quadrados. mais compactamente. No Teorema 6.4. . .5. yn) yi a + bxi  Figura 6. . Como (3) e (5) são minimizados pelo mesmo vetor v*. dn  |yn  a  bxn| podemos reescrever (4) como (5) Conforme ilustrado na Figura 6. vimos que a solução de mínimos quadrados de (1) pode ser obtida Equações normais resolvendo o sistema normal associado M Mv  M y T T cujas equações são denominadas equações normais. denotando d1  |y1  a  bx1|. o ajuste linear de mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados desses erros estimados. y1) d1 (xn.2 di mede o erro vertical x na reta de mínimos quadrados. Para explicar essa terminologia. e daí o nome ajuste linear de mínimos quadrados. . obtemos ||y  Mv||  (y1  a  bx1)  (y2  a  bx2)  · · ·  (yn  a  bxn) 2 2 2 2 (4) Agora. 6. é impossível encontrar coeficientes a e b que satisfaçam o sistema (1) exatamente. yi) bx a+ di y= dn (x1. y (xi. supondo que os xi sejam conhecidos exatamente e que todo o erro seja prove- niente da medição do yi. .) 5 Solução Temos 4 3 y 2 1 0 –1 0 1 2 3 4 x  Figura 6.  E X E M P L O 2 A constante de uma mola A lei de Hooke. segue pelo Teorema 6. (Ver Figura 6. portanto. afirma que o comprimento x de uma mola uniforme é uma função linear da força y aplicada à mola.5. . 4). . (1. o coeficiente b é denominado constante da mola. Nesse caso. yn ) um conjunto de dois ou mais pontos de dados. os n pontos dos dados não estão numa reta vertical no plano xy. TEOREMA 6. Aplicando forças . (xn. e só se. 3). não todos numa reta vertical.1 se y  0).1 cm (ou seja.5. Além disso.3. (2. 1). 4) e (3. .3 e.378 Álgebra Linear com Aplicações Nos exercícios.5.4 que a solução de mínimos quadrados é única e é dada por 1 T v*  (M M) M y T Resumindo. Suponha que uma determinada mola não estendida tenha um comprimento de 6. Descrevendo essa relação por y  a  bx. (x2.1 Unicidade da solução de mínimos quadrados Seja (x1. x  6. e sejam Então existe um único ajuste linear de mínimos quadrados y  a*  b*x aos pontos de dados. é dado pela fórmula v*  (M M) M y T −1 T (6) que expressa a unicidade da solução v  v* da equação normal M Mv  M y T T (7)  E X E M P L O 1 Reta de mínimos quadrados Encontre o ajuste linear de mínimos quadrados aos quatro pontos (0. a reta procurada é y  1. y1 ). da Física. y2 ).4. será mostrado que os vetores coluna de M são linearmente indepen- dentes se. temos o seguinte teorema.5  x. 4 6 Força y  Figura 6. (xn. yn) Substituindo esses n valores de x e y em (8).4). 6. os Latitude: 67 N dados sugerem fortemente uma relação linear.4 xi yi cm (ver Figura 6. Vamos tentar ajustar um polinômio de grau fixo m y  a0  a 1 x  · · ·  a m x m (8) aos n pontos (x1. Assim. Ajuste polinomial de mínimos raliza facilmente para ajustar um polinômio de qualquer grau especificado a pontos de quadrados dados.5. Descontando o sinal errático inicial.  A técnica descrita para ajustar uma reta de mínimos quadrados a pontos de dados gene. (x2. y2). o valor esti- mado da constante dessa mola é b*  1. obtemos os comprimentos correspondentes de 7.4 e onde os valores numéricos foram arredondados a uma casa decimal.4 kg/cm.5. 6. 30 40 50 60 70 80 90 100 Altitude h (km) Fonte: NASA . y1).6 cm. .1 0 Solução Temos 7.6 2 Comprimento x 8.7 cm e 10. . de modo que foi feito 300 Hora: 22:05 LTST um ajuste linear por mínimos quadrados na parte linear dos dados para 250 obter a equação 200 T  737. estimou-se que a temperatura da su- 100 perfície de Vênus é de T  737. obtemos as n equações ou.4 e 6 kg à mola. . Encontre a constante dessa mola.125h 150 Tomando h  0 nessa equação. . 400 até que deixou de transmitir a uma altitude de aproximadamente 34 km Temperatura T (K) Órbita da Magalhães: 3. y  Mv (9) em que (10) 500 Nota histórica No dia 5 de outubro de 1991. a sonda espacial Ma- Temperatura da galhães penetrou na atmosfera de Vênus e passou a transmitir a tem- 450 atmosfera venusiana peratura T em kelvins (K) em função da altitude h em quilômetros (km).7 4 10.5 K. em formato matricial.213 350 Data: 5 de outubro de 1991 acima da superfície do planeta. 8.5  8.5 Ajuste de mínimos quadrados a dados 379 de 2. 2 pés/segundo 2 . Solução O problema matemático é ajustar a curva quadrática s  a0  a1t  a2 t 2 (13) aos cinco pontos de dados (0. desde o ponto de referência.3. Encontre um valor aproximado de g usando esses dados. 2. as distâncias que o corpo tenha caído em relação a algum ponto de referência fixado. (0.48).73) Com os ajustes apropriados na notação. Digamos que.73 pés. por (11). 0. 2.18.4 e 0. 0. as matrizes M e y em (10) são Assim.31. 0.1. então as equações normais têm uma solução v  v* única. um corpo perto da superfície da Terra cai verticalmente para baixo de acordo com a equação (12) onde s  deslocamento vertical para baixo relativo a algum ponto fixado s0  deslocamento inicial no instante t  0 v0  velocidade inicial no instante t  0 g  aceleração da gravidade na superfície da Terra na Equação (12).4. Por (12) e (13) temos .31).380 Álgebra Linear com Aplicações Como antes. em certos instantes. nos instantes t  0. (0. 0.18). tenha sido observado que o corpo caiu s  0.48 e 3. são discutidas condições que garantem a invertibilidade de M M. (0.5. dada por 1 T v*  (M M) M y T (11)  E X E M P L O 3 Ajustando uma curva quadrática a dados De acordo com a segunda lei de Newton do movimento. 0. Se M M for invertível. sendo desconhecidos o deslocamento e a velocidade iniciais e sendo medidas. 1. (0. 0.5 segundos.1)  32. respectivamente.2. de modo que o valor estimado de g é g  2a*2  2 (16. as soluções das equações normais M Mv  M y T T determinam os coeficientes do polinômio e o vetor v minimiza ||y  Mv|| T T No Exercício 7. Suponha que seja realizado um experimento num laboratório nos Estados Unidos para estimar g usando essa equação. 3.03.2. 1.3.03).1. é necessário efetuar as contas. O dono coloca esses dados num Altitude H gráfico e conjectura que.0. (5. . 5).3 5. . a curva de vendas (milhares pode ser aproximada por um polinômio quadrático.9 16. . 8. xn são distintos.3 4. 10). m raízes distintas. • Usar as técnicas desta seção para resolver problemas de aplicações.4 e $8. Encontre o polinômio quadrático de melhor ajuste aos quatro Número de pontos (2.6 39. xn são distintos. (0.5 5.2 6. 2) e (2. Conjunto de exercícios 6. Encontre o polinômio cúbico de melhor ajuste aos cinco pon- tos (1. Mostre que é invertível é que n > m e que pelo menos m  1 dos números razoável um modelo linear esboçando os pontos de dados e x1.2 62. 1) e (3.1 0.5 0. $4. $6.  0 –1 0 0. dos para obter uma estimativa das vendas anuais com 45 re- mente independentes se. 2). pontos (0. x2. $5. também podemos estimar o deslocamento e velocidade iniciais do corpo. . • Ajuste polinomial de mínimos quadrados • Encontrar o ajuste polinomial de mínimos quadrados a um conjunto de pontos de dados. Encontre de pés) 15 20 25 30 35 40 45 o polinômio quadrático de ajuste de mínimos quadrados à Temperatura curva de vendas e use-o para projetar as vendas no décimo T (°C) 4.1 7. . no máxi. e só se.8 50. (2. Encontre o ajuste linear de mínimos quadrados aos quatro vendas anuais.5 1. Explique como poderíamos usar métodos de mínimos quadra- 5. A Agência Espacial dos Estados Unidos utilizou uma espa- na Equação (10) são linearmente independentes se n > m e çonave experimental leve pilotada remotamente e movida a pelo menos m  1 dos números x1. nos Tabela Ex-10 cinco primeiros meses do ano. . numa série de experi- [Sugestão: um polinômio não nulo de grau m tem. encontre o ajuste linear de mínimos quadrados H  H0  kT. de 1997. presentantes de vendas e discuta as hipóteses utilizadas.4.3 0.5.5 Ajuste de mínimos quadrados a dados 381 Se quisermos. 0). representantes de vendas 5 10 15 20 25 30 Vendas anuais (milhões) 3. as vendas (em milhares) foram $4.5 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Ajuste linear de mínimos quadrados • Encontrar o ajuste linear de mínimos quadrados a um • Reta de regressão conjunto de pontos de dados. (3. (3. . . . Mostre que as colunas da matriz M de tamanho n  (m  1) 10. denominada Pathfinder. Em agosto 7. Uma corporação obtém os seguintes dados relacionando o (0. 22).4 4.5. . x2.5. 0). 1). x2. 0).1 27. energia solar. O dono de um negócio em rápida expansão descobre que. Seja M a matriz da Equação (10). 4 Distância s (em pés) 3 2 1 Na Figura 6. . Encontre o ajuste linear de mínimos quadrados aos três pontos 9. a Pathfinder registrou os dados da tabela dada que mostre que uma condição suficiente para a matriz MTM ser relacionam a altitude H com a temperatura T. 1) e (3. (2.6 Tempo t (em segundos)  Figura 6. . mentos para determinar a viabilidade da utilização de energia mo. pelo resto do ano. 6. esboçamos os cinco pontos de dados e o polinômio aproximante. 7). pelos menos dois dos núme.4 0.2 8.2. 3. (1. Mostre que a matriz M na Equação (2) tem colunas linear. 14). 4). xn são distintos. Usando o Exercício 6.2 0. (1. 76). (Não ros x1. número de representantes de vendas em seu quadro com as 2. 48) e (6.) 6.] solar em voos de grande altitude e longa duração.0. .9 segundo mês do ano. (x2. W é o subespaço de C[0. .1 O desvio tamos pensando em medir o erro num único ponto. entre f e g em x0. b]. 3) e (6. e nossa única preocupação fosse o erro da aproximação num único ponto x0. y2).382 Álgebra Linear com Aplicações 11. O problema da aproximação Dada uma função f contínua num intervalo [a. então di  |yi  (a  bxi)| é mínimo. Esta seção requer Cálculo. . a frase “melhor aproximação em [a. Se fôssemos aproximar f(x) por g(x). pontos de dados (x1. A melhor aproximação Todos os problemas que estudamos nesta seção são casos particulares do seguinte proble- ma geral. sen x. então o sistema (1) é inconsistente. 1] por uma função da forma a0  a1ex  a2e2x  a3e3x. é denominado desvio entre f e g em x0 (Figura 6. vamos mostrar como as projeções ortogonais podem ser usadas para aproximar certos tipos de funções por funções mais simples com as quais seja mais fácil trabalhar. (b) Encontrar a melhor aproximação possível de sen ␲x em [1. . b]. (xn. 1] por um polinômio da forma a0  a1x  a2x2. 7) (3.6 Aproximação funcional. . 2 No primeiro exemplo. não es-  Figura 6. dos pontos de dados (x1. (xn. b]. . mas sim no intervalo inteiro [a. é mínimo. .6. então justificando sua resposta. às vezes. Exercícios verdadeiro/falso (d) Se y  a  bx for o ajuste linear de mínimos quadrados Nas partes (a)-(d). 1) fazendo a substituição X  1/x. ex. precisamos de alguma ma- g neira de quantificar o erro que resulta quando uma função contínua é aproximada por f uma outra em [a. 2␲] por uma função da forma a0  a1 sen x  a2 sen 2x  b1 cos x  b2 cos 2x. qualquer que seja 1  i  n. colineares. 1] gerado por 1. 6. . e2x e e3x. . W é o subespaço de C[1. No entanto. (c) Encontrar a melhor aproximação possível de x em [0. no terceiro exemplo. yn). Es. boce a curva e marque os pontos de dados no mesmo sistema (c) Se y  a  bx for o ajuste linear de mínimos quadrados dos de coordenadas. . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. y2). . (xn.6. b]. x (a) Encontrar a melhor aproximação possível de e em [0. yn).1). y1). en- contre a “melhor aproximação possível” de f entre todas as funções de um subespaço W especificado de C[a. (a) Cada conjunto de pontos de dados tem um único ajuste linear de mínimos quadrados. então seria natural definir o erro como sendo | f (x0) – g(x0)| erro  | f(x0)  g(x0)| [ x0 ] a b que. As ideias abordadas aqui têm aplicações importantes nas Ciências e nas Engenharias. W é o subespaço de C[0. O problema é que uma aproximação pode ter desvio pequeno numa parte do intervalo e . Erro de medição Para resolver problemas de aproximação desses tipos. . y1). x e x . Para isso. séries de Fourier Nesta seção. (x2. yn) não são pontos (1. sen 2x. . y2). y1). b]” deve tornar-se matematicamente precisa. no segundo exem- plo. Vejamos alguns exemplos desses problemas. 1] gerado por 1. 2␲] gerado por 1. Encontre a curva da forma y  a  (b/x) que melhor ajuste os (b) Se os pontos de dados (x1. cos x e cos 2x. (x2. 4. O problema da aproximação de mínimos quadrados Sejam f uma função contínua Aproximação de mínimos no intervalo [a. quadrados o produto interno em C[a. Uma maneira possível de levar isso em conta é integrar o desvio | f(x)  g(x)| no intervalo [a. Encon- tre uma função g em W que minimize Como ||f  g||2 e ||f  g|| são minimizados pela mesma função g. Assim.3 aproximantes . e que em C[a. (1) é a área entre os gráficos de f(x) e g(x) no intervalo [a. Embora (1) seja natural e tenha apelo geométrico. b] tomamos o produto interno Segue que  erro quadrático médio e. b] (Figura g 6. a maioria dos matemáticos e cien.3). tem a vantagem adicional de nos permitir colher frutos da teoria dos espaços com produto interno. b] e definir o erro no intervalo como sendo (1) Geometricamente. pois é elevado ao quadrado e mação de f por g em [a. Para ver como. Mas.6.6. maior o erro total. 2 podemos reformular precisamente o problema de aproximação enunciado informalmente no início desta seção. supomos que f seja alguma função contínua em [a.6. séries de Fourier 383 grande numa outra parte. pelo Teorema 6. denominado erro qua- drático médio. b] e W um subespaço de dimensão finita de C[a.1. b] que quere- mos aproximar por alguma função g em algum subespaço W de C[a. b]. b] mede o erro na aproxi- O erro quadrático médio enfatiza o efeito de erros maiores.6. quanto maior a área.6 Aproximação funcional. b] a ser aproximada g  proj W f  aproximação W de mínimos quadrados subespaço de f em W das funções  Figura 6. [ ] a b erro quadrático médio   Figura 6. b].2 A área entre os gráficos de f e g em [a. 6. esse problema é equi- valente a procurar uma função g em W que esteja mais próxima de f. portanto. b]. f  função em C[a. já sabemos que uma tal função é g  projW f (Figura 6. minimizar o erro quadrático médio é o mesmo que minimizar ||f  g|| . b].2). f tistas costuma preferir a medida alternativa seguinte do erro total. g0 g0  f. portan- to. b]. sen 2x. g2n de W. então a função g em W que minimiza o erro quadrático médio é g  projW f. Uma base ortonormal de W pode ser obtida aplicando o processo de Gram-Schmidt aos vetores de base em (3) usando o produto interno Isso resulta (ver Exercício 6) na base ortonormal (5) . devemos en- contrar uma base ortonormal g0. sen nx (3) Pode ser mostrado que essas 2n  1 funções são linearmente independentes e que. . g1. . . c3  0. 2␲] por algum polinômio trigonométrico de ordem n ou menor. T (x)  2  cos x  3 cos 2x  7 sen 4x é um polinômio trigonométrico de ordem 4 com c0  2. .4b). d1  0. . Consideremos. . d2  0. dizemos que T(x) é de ordem n. Por exemplo.384 Álgebra Linear com Aplicações Assim. a aproximação de mínimos quadrados de f em W é a projeção ortogonal de f em W. g1 g1  · · ·  f. se cn e dn não forem ambos nulos. Séries de Fourier Uma função da forma (2) é denominada polinômio trigonométrico. o problema de encontrar a aproximação de mínimos quadrados de uma função f(x) contínua no intervalo [0. . d3  0.6. sendo a projeção ortogonal em relação ao produto interno Dizemos que a função g  projW f é a aproximação de mínimos quadrados de f em W. b]. cos x. Como observamos. com a qual. . .3. sen x. g2n g2n (4) (ver Teorema 6. formam uma base de um subespaço de dimensão 2n  1 de C[a. . então. cos 2x. temos o resultado seguinte.1 Se f for uma função contínua em [a. . TEOREMA 6. . d4  7 É evidente por (2) que os polinômios trigonométricos de ordem n ou menor são as várias combinações lineares possíveis de 1. cos nx. c1  1. podemos calcular a projeção ortogonal em W pela fórmula projW f  f. Para encontrar essa projeção ortogonal. c2  3. c4  0. agora. b] e W um subespaço de dimen- são finita de C[a. a1. . 2. . (8) Os números a0. Solução (a) (9a) Com k ⫽ 1. . . . séries de Fourier 385 Introduzindo a notação (6) e substituindo (5) em (4). 6. (b) um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.…. . a integração por partes fornece (verifique) (9b) (9c) . bn são denominados coeficientes de Fourier de f. . b1. 2␲] por (a) um polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor.6 Aproximação funcional. obtemos (7) com Em resumo. an. .  E X E M P L O 1 Aproximação de mínimos quadrados Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f(x) ⫽ x em [0. É natural esperar que o erro quadrático médio vá diminuir à medida que aumentar o Essa foi uma das descobertas mais número de termos na aproximação de mínimos quadrados influentes na história da Matemática. sendo a pedra fundamental de muitas áreas de pesquisa matemática e uma ferramenta básica em muitos ramos da Engenharia. (9b) e (9c).386 Álgebra Linear com Aplicações Assim. x  ␲  2 sen x  sen 2x Solução (b) A aproximação de mínimos quadrados de x em [0. passou algum tempo encarcerado quando n → .6. que des. o erro quadrático médio tende a zero sa. Pode ser provado que com funções f em C[0.4. (9b) e (9c). Fourier. por (9a). 2␲] por um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor é ou. por (9a).  Figura 6. 2␲].4 1 2 3 4 5 6 2␲ 7 cobriu as séries de Fourier e ideias relacionadas enquanto trabalhava em problemas de difusão de calor. y y=x 6 ( y = ␲ – 2 sen x + sen2 2x + sen3 3x + sen 4x 4 ) y = ␲ – 2 (sen x + sen 2x 2 + sen 3x 3 ) 5 y = ␲ – 2 (sen x + sen 2x 2 ) 4 y = ␲ – 2 sen x 3 y=␲ 2 Jean Baptiste Fourier (1768–1830) 1 x Nota histórica Fourier foi um ma- temático e físico francês.6. 2␲] por um polinômio trigono- métrico de ordem 2 ou menor é ou. um ativista político durante a Revolução France. a aproximação de mínimos quadrados de x em [0. Os gráficos de y  x e de algumas dessas aproximações aparecem na Figura 6. tornou-se um favorito de Napo- leão. Mais tarde. sendo agraciado com o título de barão.  . [Imagem: The Granger Collection. o que é denotado por por defender vítimas do Terror.. O lado direito dessa equação é denominado série de Fourier de f no intervalo [0. nas Ciências e na Matemática. 2␲]. Es- New York] sas séries são de extrema importância nas Engenharias. o vetor [Sugestão: use o fato de que u. (a) um polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor. • Polinômio trigonométrico • Calcular a série de Fourier de uma função. 2␲] em relação ao produto ␲x no intervalo [1. sen 2x} é um subconjunto orto- (b) Encontre o erro quadrático médio da aproximação. Suponha que M22 tenha o produto interno U. (a) todas as matrizes diagonais. cos 2x. 1. normal do espaço vetorial C[0. b]. (a) Encontre a aproximação de mínimos quadrados de gonal do espaço vetorial C[0. x2. se 0  x  ␲. (b) Encontre um vetor x  (x1. Qual é a série de Fourier de sen(3x)? f(x)  1  x2 no intervalo [0. 6. 0. Seja Ax  0 um sistema de m equações em n incógnitas. sen x. (d) {1. Prove: se u. sen x. 7. . os gráficos de f(x) e g(x) no intervalo [a. 0). 0. séries de Fourier 387 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Aproximação de funções • Encontrar a aproximação de mínimos quadrados de uma • Erro quadrático médio função. se ␲  x  2␲. 1] por um polinômio da forma interno . 3. cos x. • Coeficientes de Fourier • Série de Fourier Conjunto de exercícios 6. x3. . v for o produto interno euclidiano de Rn e se A for uma matriz n  n. 2. 0. cos 2x. 0) e u4  (0. sen x. a intervalo [0. Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano. 2␲]. (a) Encontre a aproximação de mínimos quadrados de x no (a) Se uma função f em C[a. Efetue as integrações indicadas em (9a). 3.1. xn) é ortogonal a cada vetor linha de A em relação ao produto interno euclidiano de Rn. v é uma solução do sistema se. ção g. sen 2x} é um subconjunto linear- mente independente de C[0. . . Encontre a aproximação de mínimos quadrados de 8. Av  AT u. Mos- e tal que o cosseno do ângulo entre x e u2 seja o dobro do tre que cosseno do ângulo entre x e u3. 0. v  u · v  vT u. no intervalo [0. Nas partes (a)-(e). (e) {1. x4) de comprimento 1 (b) todas as matrizes simétricas.] x  (x1. 0. função g  projW f minimiza o erro quadrático médio. 1) e que faça ângulos plemento ortogonal do subespaço de iguais com u2  (0. sen 2x} é um subconjunto orto- 5. e só se. e (b) um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor. 2␲] usando Exercícios verdadeiro/falso (a) um polinômio trigonométrico de ordem 3 ou menor. a0  a1x  a2x2. 2␲] em relação ao produ- to interno . então o erro quadrático médio é igual à área entre (b) Encontre o erro quadrático médio da aproximação. Encontre a aproximação de mínimos quadrados de 10. 4. x2. (b) Encontre o erro quadrático médio da aproximação. 2␲]. 9. cos 2x. V  tr(UTV )  (a) Encontre um vetor em R4 que seja ortogonal a tr(V TU) definido no Exemplo 6 da Seção 6. 2␲].6 Aproximação funcional. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. justificando sua resposta. 6. 0) e u3  (0. • Aproximação de mínimos quadrados • Encontrar o erro quadrático médio da aproximação de mínimos quadrados de uma função. 0. b] for aproximada por uma fun- intervalo [0. cos x. 1] por uma função da forma a  bex. Capítulo 6 Exercícios suplementares 1. Descreva o com- u1  (1. f(x)  0. (c) {1. Encontre a série de Fourier de f(x)  ␲  x no intervalo f(x)  1  x no intervalo [0. 2. que seja ortogonal aos vetores u1 e u4 dados na parte (a) 4. (a) Encontre a aproximação de mínimos quadrados de ex no (b) Dado um subespaço W de dimensão finita de C[a. então u. b]. Use o processo de Gram-Schmidt para obter a base ortonor- mal (5) a partir da base (3). 2␲] por [0. Encontre a série de Fourier de f(x)  1. 1] por um polinômio da forma a0  a1x.6 1. (9b) e (9c). . (b) um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor. cos x. 1. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que (b) (Requer Cálculo) O que acontece com o ângulo ␪ da par- te (a) quando a dimensão n de Rn tende a .388 Álgebra Linear com Aplicações 5. os vetores (k. 1) formem um conjunto ortonor- mal? Justifique sua resposta. 1). Existe algum produto interno euclidiano ponderado em R2 no qual os vetores (1. 9. 1. k). (0. v e u  v podem ser considerados como os lados de 18. . u  v e u  v são orto- quaisquer que sejam os números reais positivos a1. . Mostre que se ␣i 7. gonais. sendo . então a quantidade u. v2 forem dois produtos internos num es- 8. . 15. k. k. então u.…. .? 12. . Mostre que se p e q forem inteiros positivos. (0. an. Analogamente. Prove: se u. Se u e v forem vetores num espaço com produto interno V. 0) e (0. . e só se. . 0.5. ou seja. Prove que a lei dos cosse. prove que ção ao produto interno ||u  v||2  ||u||2  ||v||2  2||u|| ||v|| cos ␪ em que ␪ é o ângulo entre u e v. então tre dois vetores de comprimento 1 que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u1  (1. .…. então a solução de mí- nimos quadrados de Ax  b é x  0.2. Explique seu raciocínio. Sejam u e v vetores num espaço com produto interno. k. 0. k. então as um “triângulo” em V (ver figura). . 0. 14. 0). a2. . . 6. Existe algum valor de s com o qual x1  1 e x2  2 seja a so- lução de mínimos quadrados do sistema linear dado? formem um conjunto ortonormal. . Sejam u um vetor num espaço com produto interno V e {v1. v e u. 19. v  u. . ||cx  y||2  c2||x||2  2cx. (a) Prove que ||u||  ||v|| se. 0. (0. 17. Prove: se A tiver vetores coluna linearmente independentes e b for ortogonal ao espaço coluna de A. .6. 0. u2  (2. 1). funções f(x)  sen px e g(x)  sen qx são ortogonais em rela- nos vale para esses triângulos. v1  u.2. . for o ângulo entre u e vi. vn} uma base ortonormal de V. . 1. Prove o Teorema 6. . k) podem ser considerados como as arestas de um “cubo” com diagonal (k. 2) e (3. Encon. os vetores (k. 10. (a) Conforme pode ser visto na Figura 3. então com o produto interno euclidiano. Suponha que R3 tenha o produto interno euclidiano. então as funções f(x)  cos px e g(x)  sen qx são ortogonais em relação ao v u–v produto interno ␪ u Figura Ex-10  11. 0). y  ||y||2 13. Mostre que cada uma dessas arestas faz um ângulo ␪ com a diagonal. k. 0. Mostre que se p e q forem inteiros positivos distintos. . Encontre um produto interno euclidiano ponderado em Rn tal paço vetorial V. 16. 2) e cos2 ␣1  cos2 ␣2  · · ·  cos2 ␣n  1 u3  (1. v2 que os vetores também é um produto interno. v2. 0. 0). . k) formam as arestas de um cubo em R3 com diagonal (k. . . Mostre que se x e y forem quaisquer vetores num espaço com (b) Dê uma interpretação geométrica desse resultado em R2 produto interno e c um escalar qualquer. 0. k). Assim. se AA  A A  I T T (1)  E X E M PLO 1 Uma matriz ortogonal 3 ⴛ 3 A matriz é ortogonal. Neste capítulo. Começamos com uma definição.4 Otimização usando formas quadráticas 417 7. A é ortogonal se valer AAT  I ou ATA  I. se se uma das igualdades em (1) 1 for válida.3.2 Diagonalização ortogonal 397 7. já vimos que sua inversa. CAPÍTULO 7 Diagonalização e Formas Quadráticas CONTEÚDO DO CAPÍTULO 7. mostramos que qualquer matriz simétrica é diagonalizável.3 Formas quadráticas 405 7.1 Matrizes ortogonais Nesta seção.6. Esse é um resultado extremamente importante. Matrizes ortogonais DEFINIÇÃO 1 Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se sua transposta for No Teorema 1. discutimos a classe das matrizes cujas inversas podem ser obtidas por transposição. encontramos condições que garantem que uma matriz n  n seja diagonalizável. normais e hermitianas 424 INTRODUÇÃO Na Seção 5. por ser utilizado de maneira essencial em muitas aplicações.1 Matrizes ortogonais 389 7. ou. pois .5 Matrizes unitárias. então a outra também A T A será válida. equivalentemente. ou seja. 7. Essas matrizes ocorrem numa variedade de aplicações e também surgem como as matrizes de transição quando passamos de alguma base ortonormal para outra.2. mas não consideramos qual classe ou classes de matrizes efetivamente satisfazem aquelas condições. Isso é uma consequência do teorema a seguir. . . Prova Provamos a equivalência de (a) e (b) e deixamos a equivalência de (a) e (c) como exercício. ortogonais. r2. pois Deixamos para o leitor verificar que todas as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 e to- das as matrizes de rotação na Tabela 6 da Seção 4. r2. rn} for um conjunto ortonormal de R .9. . (b) Os vetores linha de A formam um conjunto ortonormal de Rn em relação ao pro- duto interno euclidiano. . e só se. qualquer que seja a escolha de . . então o produto matricial AAT pode ser expresso por [pela Fórmula (28) da Seção 3. exceto notação.2]. {r1. pela Tabela 5 da Seção 4.3). r1 · r1  r2 · r2  · · ·  rn · rn  1 e ADVERTÊNCIA Observe que uma matriz ortogonal tem linhas ri · rj  0 quando i  j e colunas ortonormais. . Assim. As provas são todas imediatas e deixadas para o leitor. . e não  n simplesmente linhas e colunas que valem se. TEOREMA 7. (c) Os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal de Rn em relação ao produto interno euclidiano. e só se.9 são ortogonais. rn forem os vetores linha de A. Assim.  Observe que nas matrizes ortogonais dos Exemplos 1 e 2. tanto os vetores linha quanto os vetores coluna formam conjuntos ortonormais em relação ao produto interno euclidiano. se r1. (a) ⇔ (b) A entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto AAT é o produto escalar do i-ésimo vetor linha de A com o j-ésimo vetor coluna de AT (pela Fórmula (5) da Seção 1. (a) A é ortogonal. O próximo teorema enumera três propriedades fundamentais adicionais de matrizes ortogonais.1 São equivalentes as afirmações dadas com matrizes A de tamanho n  n.390 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 2 Matrizes de rotação e reflexão são ortogonais Lembre. o j-ésimo vetor coluna de AT é o j-ésimo vetor linha de A.1. que a matriz canônica da rotação anti-horária de R2 por um ângulo  é Essa matriz é ortogonal. No entanto. . . segue que AAT  I se. 2 (a) A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal. Matrizes ortogonais como 2 3 sicos de reflexão e rotação de R e R . e que uma troca de linhas produz uma matriz ortogonal com det(A)  1. Segue da Fór- mula (26) da Seção 3.  Observamos no Exemplo 2 que são ortogonais as matrizes canônicas dos operadores bá. em particular vale sempre que x  (A A  I)y. portanto.1 Matrizes ortogonais 391 TEOREMA 7. Deixamos para o leitor verificar que det(A)  1. Assim. T (A A  I )y · (A A  I )y  0 T T Assim segue do axioma da positividade dos produtos internos que (A A  I )y  0 T Como essa equação é válida qualquer que seja o vetor y em R . 7. A A  I.  T . de modo que A A  I. (b) ||Ax||  ||x||.2 que x · y  x · A Ay T que pode ser reescrito como x · (A Ay  y)  0 ou como T x · (A A  I)y  0 T n Como essa equação é válida qualquer que seja x em R .7. Segue da Fórmula (26) T da Seção 3. (b) Um produto de matrizes ortogonais é ortogonal. Prova Provamos a sequência de implicações (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (a). (c) Ax · Ay  x · y.1. operadores matriciais TEOREMA 7. pois seus vetores linha e coluna formam conjuntos ortonormais de R2. qualquer que seja x em Rn. A é ortogonal. em relação ao produto interno euclidiano. (c) Se A for ortogonal. y em Rn.2. quaisquer que sejam x.  E X E M PLO 3 det(A) ⴝ ⴞ1 se A for uma matriz ortogonal A matriz é ortogonal.1.3 São equivalentes as afirmações dadas com matrizes A de tamanho n  n. (a) ⇒ (b) Suponha que A seja ortogonal. (a) A é ortogonal.2 que ||Ax||  (Ax · Ax)  (x · ATAx)1/2  (x · x)1/2  ||x|| 1/2 (b) ⇒ (c) Suponha que ||Ax||  ||x||. necessariamente A A  I é n T a matriz nula (por quê?) e. O próximo teorema explica por que isso ocorre. Pelo Teorema 3. temos (c) ⇒ (a) Suponha que Ax · Ay  x · y. quaisquer que sejam x e y em Rn. portanto. qualquer que seja x em Rn. então det(A)  1 ou det(A)  1. cuja prova será adiada para o final desta seção.1.4 Se S for uma base ortonormal de um espaço com produto interno V de dimensão n e se (u)S  (u1.5 Seja V um espaço com produto interno de dimensão finita. (v)S) u. . plicação por A. u2} para uma nova B  {u1. Se P for a matriz de transição de uma base ortonormal de V para uma outra base ortonormal de V. muitas fórmulas familiares são válidas com essas bases.1. u2} (Figura 7.1.1b). v  (u)S .1. vn) então (a) (b) (c) Observação Note que as três partes do Teorema 7. Assim. u2. Quando isso é feito.  E X E M P L O 4 Rotação de eixos no espaço bidimensional Em muitos problemas.1. y) em relação ao sistema xy e as coordenadas (xy) em relação ao sistema xy (Figura 7. no Exem- plo 2. v)  d((u)S. . dizemos que TA é um operador ortogonal de Rn. Se A for uma matriz ortogonal e TA : Rn → Rn a multi- 7. (v)S em que a norma. y) e as coordenadas velhas (x. podemos considerar essa rotação como uma mudança de uma base velha B  {u1. o Teorema 7. a saber. girado no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo . Introduzindo vetores unitários u1 e u2 ao longo dos eixos x e y positivos e vetores unitários u1 e u2 ao longo dos eixos x e y positivos. . . As transições entre bases ortonormais de um espaço com produto interno são de im- portância especial na Geometria e em várias aplicações. a distância e o produto interno dos lados esquerdos são em relação ao produto interno de V. un) e (v)S  (v1. então P é uma matriz ortogonal. Mudança de bases As bases ortonormais de espaços com produto interno são convenientes porque. trata dessas transições. as coordenadas novas (x. TEOREMA 7. Por quê? mantêm inalterados os comprimentos de todos os vetores.3 implicam que os operado- res ortogonais mantêm inaltera. como ortogonais mostra o teorema seguinte. A prova é deixada como exercício.3 que os operadores ortogonais de Rn são precisamente os operadores que res.1. do Teorema 7. as matrizes das reflexões e rotações de R2 e R3 resultaram ortogonais. . em relação ao produto interno euclidiano de Rn. Isso explica por que. O próximo teorema.1. as coordenadas (x. v2. Segue das partes (a) e (b) dos os ângulos entre dois veto. TEOREMA 7.1a). produz um novo sistema de coordenadas xy. . . . cada ponto Q do plano tem dois conjuntos de co- ordenadas.392 Álgebra Linear com Aplicações Considerado do ponto de vista de transformações matriciais. y) de um ponto Q estarão relacionadas por (2) . e nos lados direitos. é dado um sistema de coordenadas retangulares xy que.1.3 tem As partes (a) e (c) do Teorema uma interpretação geométrica útil.4 podem ser expressas como ||u||  ||(u)S|| d(u. 1d. Assim. de modo que Assim. y) x x   u1 u1 ( sen  + 2 ) + 2 x  x   sen  x  x u1 cos   ( cos  + 2 ) (a) (b) (c) (d)  Figura 7. y y y y y y (x. a matriz de transição de B para B é (3) Observe que P é uma matriz ortogonal. devemos determinar as matri- zes de coordenadas dos vetores u1 e u2 da base nova em relação à base velha.1 Matrizes ortogonais 393 onde P é a matriz de transição de B para B.1.1  E X E M P L O 5 Rotação de eixos no espaço bidimensional Use a forma (4) das equações de rotação de R2 para encontrar as coordenadas novas do ponto Q(2. 1) se os eixos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares forem girados por um ângulo de   /4. pois B e B são bases ortonormais. vemos que os componentes de u2 na base velha são cos(  /2)  sen  e sen(  /2)  cos . 7. Solução Como a equação em (4) é dada por . por (2). Conforme in- dicado na Figura 7. (5) Essas equações costumam ser chamadas de equações de rotação de R2. como era de se esperar. (4) ou. Para encontrar P.1c. equivalentemente. y) u2 u2 Q u2 (x.1. e. pela Figura 7. os componentes de u1 na base velha são cos  e sen . portanto.1. de modo que Analogamente. as coordenadas novas de Q são . u3}. deveria ser evidente que u1 u2 u1 x  x  Figura 7. y e z positivos.1. pois girar os eixos coordenados por um ângulo  com os vetores de R2 manti- dos fixados tem o mesmo efeito que girar os vetores por um ângulo  com os eixos mantidos fixados.2).5 Suponha que V seja um espaço com produto interno de di- mensão n e que P seja a matriz de transição de uma base ortonormal B para uma base ortonormal B. então e. as coordenadas novas (x. portanto. y. z) por  OPCIONAL Concluímos esta seção com uma prova opcional do Teorema 7.1. u2 e u3 ao longo dos eixos x. u3} para uma y nova B  {u1.2 Além disso. y e z y positivos e vetores unitários u1.  Observação Note que a matriz de coeficientes em (4) é igual à matriz canônica do operador linear que efetua a rotação dos vetores de R2 pelo ângulo  (ver nota marginal da Tabela 5 da Seção 4. y)  (2. Isso era de se esperar.1. podemos u2 considerar essa rotação como uma mudança de uma base velha B  {u1.1. temos Segue que a matriz de transição de B para B é e a matriz de transição de B para B é (verifique). 1). se as coordenadas velhas de um ponto Q forem (x. Assim. Prova do Teorema 7.9). u2 e u3 ao longo dos eixos x.394 Álgebra Linear com Aplicações Assim. u2. Denotemos a norma em relação ao produto interno de V pelo símbolo || ||V . Em vista do Exemplo 4. como u3 se estende ao longo de uma unidade para cima no eixo z positivo.  E X E M P L O 6 Rotação de eixos no espaço tridimensional z z Suponha que um sistema de coordenadas retangulares xyz seja girado em torno do eixo z no sentido anti-horário (olhando para baixo ao longo do eixo z positivo) por um ângulo u3 u3  (Figura 7. z) de um ponto Q podem ser calculadas a partir das coordenadas velhas (x.5. u2. y. Introduzindo vetores unitários u1. (a). x um vetor qualquer em R e seja u o vetor em V cujo vetor de coordenadas em relação à base B é x.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Matriz ortogonal • Ser capaz de identificar uma matriz ortogonal.1 e usando a parte (c) do Teo- rema 7. usando a parte (b) do Teorema 7. Encontre T(x) com o vetor x  (2.9 são ortogonais. (b) Seja T : R3 → R3 a multiplicação pela matriz A da parte 4. (c) (d) (b) Encontre a inversa da matriz A da parte (a). lembre formato de vírgulas. Prove que se A for ortogonal. ou seja. 5). (a) (b) é ortogonal de três maneiras: calculando ATA. • Operador ortogonal • Saber os valores possíveis do determinante de uma matriz • Propriedades de matrizes ortogonais ortogonal. Como um primeiro passo nessa direção. • Propriedades da matriz de transição de uma base ortonormal para outra Conjunto de exercícios 7. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Se- ||T(x)||  ||x||.1. Em cada parte.4a. verifique que 5. coluna. a norma de qualquer vetor u em V em relação a qualquer base que [u]S denota um vetor de co- ortonormal de V é a mesma que a norma do vetor de coordenadas em relação ao produto ordenadas escrito no formato de interno euclidiano de Rn. Usan- do o produto interno euclidiano de R3. ção 4. Se for.1. 2.1. Lembre que (u)S denota um ve- Para provar que P é ortogonal. (a) Mostre que a matriz (e) (f) é ortogonal. 3.1. vamos usar o Teorema 7.1. pelo Teorema 7. determine se a matriz é ortogonal. ao passo que. então AT será ortogonal. • Propriedades geométricas de um operador ortogonal • Encontrar as novas coordenadas de um ponto que resultam de uma rotação de eixos. qualquer que seja o vetor x em Rn.1 1.3 e mostrar que ||Px||  tor de coordenadas escrito no ||x||. por (6). que denotamos por || ||. ||u||V  ||[u]B||  ||[u]B|| ou ||u||V  ||[u]B||  ||P[u]B|| (6) n Seja. [u]B  x.1 Matrizes ortogonais 395 n para distingui-la da norma relativa ao produto interno euclidiano de R . Assim. agora. ||u||  ||x||  ||Px|| provando que P é ortogonal. (a) Mostre que a matriz 3. . 7. obte- nha a inversa. ou seja. (b) Encontre as coordenadas xyz do ponto cujas coordenadas 16. São únicos tais valores de a. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário (a) (b) em torno do eixo x (olhando ao longo do eixo x positivo para a origem) pelo ângulo   3/4. onde (x. Prove a equivalência das afirmações (a) e (c) do Teorema 7. plano coordenado se det(A)  1. trária A  (aij) de tamanho 2  2 e use o fato que os vetores 7.  1 e é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma das xyz são (1. 6). Seja xyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela 15. Seja xyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela se a multiplicação por A é uma rotação ou uma rotação segui- rotação do sistema de coordenadas retangulares xyz no sentido da por uma reflexão. 5). Em cada parte. (b) Dê o nome de dois tipos distintos de operadores que pre- seja ortogonal? servam ângulo. e seja xyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema (a) (b) de coordenadas retangulares xyz no sentido anti-horário em torno do eixo y (olhando ao longo do eixo y positivo para a origem) pelo ângulo de 45°. determine 12. (a) Seja xyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema de coordenadas retangulares xyz no sentido anti-horário em torno do eixo y (olhando ao longo do eixo y positivo para a origem) pelo ângulo . Encontre o ângulo de rotação em em torno do eixo y (olhando ao longo do eixo y positivo para a ambos os casos. Use o fato enunciado no Exercício 18 e a parte (b) do Teorema 7. Quais condições devem satisfazer a e b para que a matriz dar o ângulo entre vetores não nulos.1. y. e é uma rota- ponto nos sistemas xyz e xyz. Dizemos que um operador matricial de R2 é rígido se mantiver nos sistemas xyz e x. anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo ao longo do eixo z positivo) pelo ângulo de 60°. a saber. origem) pelo ângulo   /3. Seja xy o sistema de coordenadas retangulares obtido pela 14. rotação se det(A)  1. z. Encontre a. 2. (a) Use o resultado do Exercício 14 para provar que a multi- rotação do sistema de coordenadas retangulares xyz no sentido plicação por uma matriz ortogonal 2  2 é uma rotação anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo no eixo z ou uma reflexão seguida por uma rotação. nar se a multiplicação por A é uma rotação ou uma reflexão 9. b e c tais que a matriz 11. anti-horário pelo ângulo   3/4.] 8. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário seguida por uma rotação. [Sugestão: comece com uma matriz arbi- xy são (5.1. Em cada parte. como segue. use o resultado do Exercício 15 para determi- xyz são (1. respectivamente. 20. Repita o Exercício 6 com   /3. coluna formam um conjunto ortonormal de R2.2 para mostrar que a composição de rotações pode ser sempre realizada por uma única rotação em torno de algum eixo apropriado. Encontre uma matriz A tal que seja ortogonal. respectivamente. (a) Encontre as coordenadas xy do ponto cujas coordenadas xy são (2. . b e c? Explique. Pode ser provado que a multi- plicação por uma matriz ortogonal A de tamanho 3  3 é uma onde (x. ção em torno de algum eixo seguida por uma reflexão num (b) Repita a parte (a) com uma rotação em torno do eixo x. z) e (xyz) são as coordenadas do mesmo rotação em torno de algum eixo se det(A)  1. 18. z) e (x. Encontre uma matriz A tal que 19.396 Álgebra Linear com Aplicações 6. z) são as coordenadas do mesmo ponto 21. (a) Dê o nome de dois tipos distintos de operadores que são rígidos. (b) Encontre as coordenadas xy do ponto cujas coordenadas onde 0  2. positivo) pelo ângulo   /4. 17. 6. y. y. 10. Prove que uma matriz ortogonal A de tamanho 2  2 é de uma rotação do sistema de coordenadas retangulares xy no sentido de duas formas possíveis. 3). e que preserva ângulo se não mu- 13. O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3  3. y.1. 2). o comprimento dos vetores. (b) Mostre que a multiplicação por A é uma rotação se det(A) (a) Encontre as coordenadas xyz do ponto cujas coordena. Nas partes (a)-(h). Nesta seção. e não preservem ângulo? Que preservem ângulo e não (d) Uma matriz quadrada cujas colunas formam um conjunto or- sejam rígidos? Justifique suas respostas. P AP  D T dizemos que A é ortogonalmente diagonalizável e que P diagonaliza A ortogonalmente. tratamos do problema de diagonalizar uma matriz simétrica A. o lado direito por P e usando o fato de que PP  P P  I. (h) Se A for uma matriz quadrada tal que ||Au||  1. Como um primeiro passo. 7. definimos duas matrizes quadradas A e B como sendo se. A deve ser simétrica. Problemas desse tipo são importantes porque muitas das matrizes que aparecem nas aplicações são simétricas. O problema da melhantes se existir alguma matriz invertível P tal que P1AP  B. (b) A matriz é ortogonal. Dizemos que A e B são ortogonal- mente semelhantes se existir alguma matriz ortogonal P tal que PTAP  B. (det A)2  1. Exercícios verdadeiro/falso (e) Qualquer matriz ortogonal é invertível. esse problema está muito relacionado com o de encontrar uma base ortonormal de Rn que consista em autovetores de A. Para ver por que isso é assim. (a) A matriz é ortogonal. Como veremos. . suponha que P AP  D T (1) onde P é uma matriz ortogonal e D é uma matriz diagonal. qualquer que seja o vetor unitário u. togonal é ortogonal. então A2 será ortogonal e justificando sua resposta.2 Diagonalização ortogonal Nesta seção. podemos rees- T T T crever essa equação como A  PDP T (2) Agora.2. obtemos A  (PDP )  (P ) D P  PDP  A T T T T T T T T portanto. DEFINIÇÃO 1 Sejam A e B matrizes quadradas. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. 7. observe que não há esperança de diagonalizar uma matriz que não seja simétrica. (g) Qualquer autovalor de uma matriz ortogonal tem valor abso- luto 1. digamos. (f) Se A for uma matriz ortogonal. Se A for ortogonalmente semelhante a alguma matriz diagonal. então A será ortogonal. transpondo ambos os lados dessa equação e usando o fato de que uma matriz dia- gonal é igual a sua transposta.2 Diagonalização ortogonal 397 (c) Existem operadores matriciais de R2 que sejam rígidos (c) Uma matriz A de tamanho m  n é ortogonal se ATA  I. Nosso primeiro objetivo nesta seção é determinar quais condições devem ser satis- feitas por uma matriz para que seja ortogonalmente diagonalizável. Multiplicando o lado esquerdo de (1) por P. Na Definição 1 da Seção 5. tratamos diagonalização ortogonal do caso especial em que é possível encontrar uma matriz ortogonal com a qual valha essa relação. de modo que A tem n autovetores ortonormais. (b) Autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais. A prova da parte (a). . Nesse teorema. será discutida na Seção 7. valem as afirmações seguintes.1.  Propriedades de matrizes Nosso próximo objetivo é construir um procedimento para diagonalizar ortogonalmente simétricas uma matriz simétrica. Como mostramos na prova do Teorema 5. mostramos que uma matriz A de tamanho n  n orto- gonalmente diagonalizável é ortogonalmente diagonalizada por uma matriz P de tamanho n  n cujas colunas formam um conjunto ortonormal de autovetores de A. ortogonalmente dia- diagonalização ortogonal gonalizável. Seja D a matriz diagonal D  P AP T do que segue que A  PDP T Assim. p2. (c) A é simétrica. . TEOREMA 7. Queremos mostrar que v1 · v2  0.1 Se A for uma matriz n  n. P é ortogonal e. assim.398 Álgebra Linear com Aplicações Condições para a O próximo teorema mostra que qualquer matriz simétrica é. que requer conhecimentos de espaços vetoriais complexos. (a) ⇒ (c) Na prova de (a) ⇒ (b). (b) ⇒ (a) Suponha que A tenha um conjunto ortonormal {p1. mas antes de poder fazer isso. (b) A tem um conjunto ortonormal de n autovetores. pn} de n autove- tores.1. de fato. existe alguma matriz or- togonal P tal que P1AP é diagonal. Nossa prova disso envolve o truque de começar com a expressão Av1 · v2. a matriz P que tem esses autovetores como colunas diagonaliza A. (c) ⇒ (a) A prova dessa parte está esboçada no Exercício 21. e no restante desta seção.2. os n vetores coluna de P são autovetores de A. precisamos do resultado crítico se- guinte sobre autovalores e autovetores de matrizes simétricas. A  (PDP )  PD P  PDP  A T T T T T T o que mostra que A é simétrica.2 e da simetria de A que Av1 · v2  v1 · A v2  v1 · Av2 T (3) . Prova (b) Sejam v1 e v2 autovetores associados aos autovalores distintos 1 e 2 da ma- triz A. TEOREMA 7.2. . ortogonal significa ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de Rn. então as afirmações seguintes são equi- valentes. Segue da Fórmula (26) da Seção 3.2. Prova (a) ⇒ (b) Como A é ortogonalmente diagonalizável. (a) Os autovalores de A são reais. Como esses autovetores são ortonormais. .2 Se A for uma matriz simétrica. Como mostramos na prova do Teorema 5. esses vetores coluna são ortonormais. Como P é ortogonal. diagonaliza A ortogonalmente.5.2. (a) A é ortogonalmente diagonalizável. 2.2 fornece o procedimento seguinte para diagonalizar uma matriz simétrica. Encontre uma base de cada autoespaço de A. Aplicando o processo de Gram- -Schmidt a {u1.2 garante que autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais.2 Diagonalização ortogonal 399 Como v1 é um autovetor de A associado a 1. 7. já que 1 e 2 são distintos. u2}. O Teorema 7. e aplicar o processo de Gram-Schmidt garante que os autovetores obtidos dentro de um mesmo autoespaço são ortonormais. e v2 é um autovetor de A associado a 2. Forme a matriz P cujas colunas são os vetores de base construídos no Passo 2. Segue que o conjunto inteiro de autovetores obtidos por esse procedimento é ortonormal. Passo 2. e os autovalores na diagonal de D  PTAP estarão na mesma ordem que seus autovetores associados em P. Assim. (6) .1.  E X E M P L O 1 Diagonalizando ortogonalmente uma matriz simétrica Encontre uma matriz ortogonal P que diagonaliza Solução Deixamos para o leitor verificar que a equação característica de A é Assim. pode ser mostrado que (5) formam uma base do autoespaço associado a   2. segue de (4) que v1 · v2  0. Observação A justificativa para esse procedimento deveria estar clara.  O Teorema 7. os autovalores distintos de A são   2 e   8. segue de (3) a relação 1v1 · v2  v1 · 2v2 que pode ser reescrita como (1  2)(v1 · v2)  0 (4) Mas 1  2  0. obtemos os autovetores ortonormais seguintes. Passo 3. Pelo método usado no Exemplo 7 da Seção 5.2. Aplique o processo de Gram-Schmidt a cada uma dessas bases para obter uma base ortonormal de cada autoespaço. Essa matriz diagonaliza A ortogonalmente. Diagonalização ortogonal de uma matriz simétrica n ⴛ n Passo 1. obtemos a fórmula A  1u1uT1  2u2uT2  · · ·  nunuTn (7) ‡ que é denominada uma decomposição espectral de A. 1. . n forem os autovalores de A associados aos vetores unitários u1. u2. . Deixamos para o leitor confirmar que  Decomposição espectral Se A for uma matriz simétrica ortogonalmente diagonalizada por P  [u1 u2 · · · un] e se 1. 27. . . No. 2. onde D é uma matriz diagonal com os autovalores ao longo da diagonal. Segue disso que a matriz A pode ser expressa como Multiplicando essas matrizes. . Vol. . v2 e v3 como vetores coluna. que a introduziu num artigo científico premiado. . January 1996. intitulado “A Singularly Valuable De- composition: The SVD of a Matrix. . usando v1. obtemos Finalmente. então sabemos que D  PTAP.400 Álgebra Linear com Aplicações O autoespaço associado a   8 tem como base.” publicado no College Mathematics Journal. normalizando u3). obtemos que diagonaliza A ortogonalmente. A terminologia decomposição em autovalores se deve a Dan Kalman. ‡ A terminologia decomposição espectral faz referência ao espectro de uma matriz. . un. que é como muitas vezes é denominado o conjunto de todos os autovalores de uma matriz. Aplicando o processo de Gram-Schmidt a {u3} (ou seja. respectivamente. as matrizes 2  2 do lado direito de (8) são as matrizes canônicas das projeções ortogonais sobre os autoespaços associados a 1  3 e 2  2. 7. Escrevendo x em forma de coluna. conforme observado acima. Pode ser de- monstrado (mas não o faremos aqui) que uuT é a matriz canônica da projeção ortogonal de Rn no subespaço gerado pelo vetor u. obtemos de modo que uma decomposição espectral de A é (8) onde.2 Diagonalização ortogonal 401 Observe que cada termo na decomposição espectral de A tem a forma uu .  E X E M PLO 2 Uma interpretação geométrica de uma decomposição espectral A matriz tem autovalores 1  3 e 2  2 com autovetores associados (verifique). Normalizando esses vetores de base. Como u tem tamanho n  1. Aceitando isso. segue que o produto uuT tem tamanho n  n. depois utilizando os autovalores para adequar os tamanhos das projeções e finalmente somando as projeções modificadas. Agora vejamos o que essa decomposição espectral nos diz sobre a imagem do vetor x  (1. 1) na multiplicação por A. Aqui temos um exemplo. a decomposição espectral de A nos diz que a imagem de um vetor x pela multiplicação por uma matriz simétrica A pode ser obtida projetando x ortogonalmente sobre as retas (subespaços unidimensionais) determi- nadas pelos autovetores de A. temos que (9) e de (8) segue (10) . em que u T é um autovetor unitário de A em forma de coluna e  é um autovalor de A associado a u. Consideramos dois teoremas (sem demonstração) que ilustram isso. depois adequando os tamanhos desses vetores com a utilização dos autovalores para obter e e.. A vida de Schur ficou cada vez mais difícil durante o regime nazista e. ele teve de vender seus adorados livros de Matemática e viveu na pobreza até sua morte. Inc. 1) pela multiplicação por A. New York City] (1875–1941) . devido ao matemático alemão Issai Schur. Shur.3 Teorema de Shur Se A for uma matriz n  n com entradas reais e autovalores reais. . n são os autovalores da matriz A repetidos de acordo com a mul- tiplicidade. ainda pode ser possível al- cançar uma simplificação considerável na forma de PTAP pela escolha apropriada da ma- triz ortogonal P. em 1941. então existe uma matriz ortogonal P tal que PTAP é uma matriz triangular superior da forma (11) na qual 1. que se considerava um alemão leal. Sem recursos financeiros.1 1 = –3 O caso não diagonalizável Se A for uma matriz que não é diagonalizável ortogonalmente.1). Suas conferências às vezes atraíam tantos alunos que os que sentavam nas últimas filas utilizavam binóculos para vê-lo. deixou a Alemanha pela Palestina. enquanto a Fórmula (10) nos diz que essa imagem também pode ser obtida pro- jetando (1. . 56 5 6 3 .2. A Fórmula (9) nos diz diretamente que a imagem desse ve- tor é (3. Nota histórica A vida do matemático alemão Issai Schur é uma triste lembrança do efeito que a política nazista teve sobre os intelectuais judeus durante os anos 1930. em vez de judeu. nunca entendeu a perseguição e a humilhação que sofreu nas mãos dos nazistas. O primeiro.2. 52 5 5 Ax = (3. 0) 3 5 .402 Álgebra Linear com Aplicações As Fórmulas (9) e (10) fornecem duas maneiras diferentes de visualizar a imagem do vetor (1. então. Schur foi um matemático brilhante e um expositor famoso que atraiu muitos alunos e professores para a Universidade de Berlim. Em 1939. Issai Schur [Imagem: Cortesia Electronic Publishing Services. 1) 12 . . . – 56  Figura 7.  2 = 2 x = (1. foi forçado a se “aposentar” da universidade por causa de uma lei que proibia não arianos de manter posição de “servidor civil”. somando esses vetores (ver Figura 7. onde trabalhava e lecionava.2. TEOREMA 7. 2. 1) nos autoespaços associados a 1  3 e 2  2 para obter os vetores e . mas isso não impediu seu afastamento completo em 1935. em abril de 1933. – 15 .0). Houve uma revolta por parte de muitos alunos e colegas que o respeita- vam e admiravam. um homem quebrado. afirma que qualquer matriz quadrada A com autovalores reais é ortogonalmente semelhante a uma matriz triangular superior que tem os autovalores de A na diagonal principal. • Decomposição de Shur • Saber que os autovetores de autoespaços distintos de uma • Subdiagonal matriz simétrica são ortogonais. caso em que aquela equação pode ser reescrita como A  PSP T (12) que é. • Conhecer o enunciado do Teorema de Hessenberg.2. em ge- ral. então. • Conhecer o enunciado do Teorema de Shur. diferente das en- tradas em (11). denominada uma decomposição de Hessenberg superior de A. Muitos pacotes computacionais têm comandos próprios para encontrar as decomposições de Schur e de Hessenberg. O próximo teorema. então existe uma matriz ortogonal P tal que PTAP é da forma (13) Observe que. a matriz inicial é primeiro convertida à forma de Hessenberg superior. Observação Em muitos algoritmos numéricos. • Ser capaz de encontrar a decomposição espectral de uma matriz simétrica. Dizemos que uma matriz dessas está em forma de Hessenberg superior. os autovalores de A.2. então. • Decomposição espectral • Saber que os autovalores de matrizes simétricas são números reais.2. • Forma de Hessenberg superior • Ser capaz de diagonalizar ortogonalmente uma matriz • Decomposição de Hessenberg superior simétrica. É comum denotar a forma de Hessenberg superior em (13) por H (de Hessenberg).4 Teorema de Hessenberg  Figura 7. reduzindo com isso a quantidade de cálculos nas etapas subsequentes do al- goritmo.2 Se A for uma matriz n  n com entradas reais. devido ao matemático e engenheiro alemão Karl Hessenberg      (1904-1959). . Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Matrizes ortogonalmente semelhantes • Ser capaz de reconhecer uma matriz ortogonalmente • Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis diagonalizável. caso em que aquela equação pode ser reescrita como A  PHP T (14) que é.           Primeira subdiagonal TEOREMA 7. as entradas na diagonal de (13) não são.2 Diagonalização ortogonal 403 É comum denotar a matriz triangular superior em (11) por S (de Schur). 7. denominada uma decomposição de Schur de A.2). afirma que qualquer matriz quadrada com entradas reais é ortogonalmente      semelhante a uma matriz na qual cada entrada abaixo da primeira subdiagonal é zero      (Figura 7. un} for uma base ortonormal de Rn e se A puder ser expressa como 10.1 para provar o métrica dada e depois. Existe alguma matriz 3  3 simétrica com autovalores 1  1. 9. 2.  2. 1). 16. u2. . 17. 20.2. 21. se a multiplicidade geométrica de 0 for k. 1). então 1 e 1 são seus únicos autovalores possíveis. encontre uma matriz P que diagonaliza A (c) (d) ortogonalmente e determine P1AP. . v3  (0. é simétrica.2 1. Para isso. encontre uma matriz que diagonaliza or- togonalmente a matriz A  1 u1uT1  2u2u2T  …  nunuTn então A é simétrica e tem autovalores 1. riamente simétrica? Explique seu raciocínio. 13. Já mostramos 11. estabelecemos que uma matriz A é ortogo- nalmente diagonalizável se. dos autoespaços. então I  vvT é diagonalizável trando primeiro que A é diagonalizável e depois. (a) Mostre que se v for uma matriz n  1 qualquer e I for a nalizável ortogonalmente. . 1. tomamos uma base ortonormal B0  {u1. . encontre a equação característica da matriz si. Em cada parte. v1  (0. 14.404 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 7. Prove que se A for uma matriz m  n qualquer. 3. 2  3. se não existir.2b? Explique. explique por quê. 3  7 e os autovetores associa- dos sejam v1  (0. (a) Encontre uma matriz 3  3 simétrica cujos autovalores 4. encontre tal matriz e. 0). 3  7 e autovetores associados (a) (b) (c) (d) Se existir. sendo maneira de provar que A é diagonalizável é mostrar que a multiplicidade geométrica de qualquer autovalor 0 é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor. v2  (1.2a com matrizes 2  2 simétricas. 1. (b) Encontre uma matriz P que diagonaliza I  vvT ortogo. 3  7 e autovetores associados 6. 2  3. Procedemos em duas etapas. 1. Use o resultado do Exercício 19 da Seção 5. usando isso. . (e) (f) (a) (b)  Nos Exercícios 2–9. 15. . 1). 1)? Explique seu raciocínio. determine as dimensões Teorema 7. mos- matriz identidade n  n. (b) Existe alguma matriz 3  3 simétrica com autovalo- res 1  1. 7. por inspeção. Seja A uma matriz diagonalizável tal que autovetores associa- dos a autovalores distintos sejam ortogonais. v3  (1. A um conjunto ortonormal de n autovetores. estendemos essa base a uma base orto- . . sejam 1  1. Em cada parte. 0. . (a) Suponha que A seja uma matriz n  n simétrica. Supondo que b  0. 19. 0. e só se. . É verdadeira a recíproca do Teorema 7. 0). então ATA tem que uma matriz diagonalizável ortogonalmente é simétrica. ortogonalmente. 18. Mostre que se A for uma matriz simétrica e ortogonal. Uma nalmente. uk} do autoespa- ço associado a 0. parte mais difícil é provar que uma matriz simétrica é diago- 12. n. mostrando que A é diagonalizável ortogonalmente. A será necessa- 8. . . 5. Neste exercício. . v2  (1. 2  3. encontre a decomposição espectral da matriz. Prove: se {u1. 1.2. u2. então A1 é ortogonalmente diagonalizável. uma forma quadrática arbitrária de R pode ser escrita como a1 x 1  a2 x 2  2a3 x1 x2 2 2 (1) 3 e uma forma quadrática arbitrária de R como a1 x 1  a2 x 2  a3 x 3  2a4 x1 x2  2a5 x1 x3  2a6 x2 x3 2 2 2 (2) Se não fizermos alguma distinção entre o número a e a matriz 1  1 [a]. Use esse fato e o Exercício 34(d) da Seção 5. Se a1. Expressões da forma Definição de uma forma a1 x1  a2 x2  · · ·  an xn quadrática ocorreram no nosso estudo de equações e sistemas lineares. . às vezes. (b) Segue da parte (a) e do Exercício 34(c) da Seção 5. que incluem as vibrações de sistemas mecânicos. .2b e o fato de A ser diagonalizável lores reais. 7. então AAT e ATA serão ortogo- nalmente diagonalizáveis.3 Formas quadráticas 405 normal B  {u1. que X  0. Para evitar duplicação. o produto AP pode ser justificando sua resposta. e não há produtos de variáveis. Agora estudamos formas quadráticas de Rn. . todas as variáveis aparecem na primeira potência. (g) Se A for ortogonalmente diagonalizável. (e) Qualquer autovalor de uma matriz ortogonal tem valor abso- luto 1. escrito como (a) Se A for uma matriz quadrada. (c) Qualquer matriz ortogonal é ortogonalmente diagonalizável. u2.2 para (f) Se A for uma matriz n  n ortogonalmente diagonalizável. . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. a Estatística e a Engenharia Elétrica. . . provar que a multiplicidade algébrica de 0 é igual à então existe alguma base ortonormal de Rn formada de auto- multiplicidade geométrica de 0. no Exercício 34(b) da Seção 5. Essas funções surgem em uma variedade de aplicações.2. que são funções da forma a1 x 1  a2 x 2  · · ·  an x n + (todos os termos ak xi xj possíveis nos quais xi  xj) 2 2 2 Cada termo da forma ak xi xj é denominado termo com produto misto ou. xn .3 Formas quadráticas Nesta seção. diagonalizável. então ||v1  v2||2  ||v1||2  ||v2||2.2. . x2. bem como a Geometria. . para provar que A é ortogonalmente diagonalizável. então essa expressão é uma função real das n variáveis x1. (b) Se v1 e v2 forem autovetores de autoespaços distintos de uma Use o fato de que B é uma base ortonormal para provar matriz simétrica. é costume combinar os termos com produto misto envol- 2 vendo xi xj com os termos envolvendo xj xi Assim. an forem tra- tados como constantes fixadas. a2. denominada forma linear de Rn. então A tem autova- (c) Use o Teorema 7. . un} de Rn e tomamos a matriz P Exercícios verdadeiro/falso cujas colunas são os vetores de B. . então (1) e (2) podem ser dados em formato matricial como . Conforme mostramos Nas partes (a)-(g). e se x denotar o vetor coluna das variáveis.2 que (d) Se A for uma matriz ortogonalmente diagonalizável e tam- o polinômio característico de A é igual ao de bém invertível. . a matriz nula de tamanho n  (n  k)]. Isso estabelece que A é vetores de A. termo misto. Numa forma linear. 7. . utilizamos métodos matriciais para estudar funções reais de várias variáveis nas quais cada termo é o quadrado de alguma variável ou o produto de duas variáveis. Se x Ax for uma forma quadrática de R . Muitas das técnicas para resolver esses problemas têm por base a simplificação da forma quadrática xTAx obtida com uma substituição x  Py (5) . expresse a forma quadrática em notação matricial xTAx.  Mudança de variáveis numa Existem três tipos de problemas importantes que ocorrem nas aplicações de formas qua- forma quadrática dráticas. . então dizemos que a função QA(x)  x Ax T (3) é a forma quadrática associada a A. Problema 1. se A tiver entradas diagonais 1. e as entradas fora da diagonal são a metade dos coeficientes dos termos com produto misto. por exemplo. que tipo de curva ou su- perfície é representada pela equação xTAx  k? T n Problema 2. .406 Álgebra Linear com Aplicações (verifique). quais são seus valores máximo e mínimo se x for condicionado a satisfazer ||x||  1? Consideramos os dois primeiros problemas nesta seção e o terceiro na próxima seção. sendo A simétrica. se A for uma matriz n  n simétrica e x for o vetor coluna n  1 das variáveis. Em geral. 2. Observe que a matriz A nessas fórmulas é simétrica. Quando for conveniente. . portanto. e suas entradas fora da diagonal são a me- tade dos coeficientes dos termos com produto misto. Se x Ax for uma forma quadrática de R . podemos escrever (3) na notação de produto como xTAx  x · Ax  Ax · x (4) T No caso em que A for uma matriz diagonal. a forma quadrática x Ax não tem termos com produto misto. (a) (b) Solução As entradas diagonais de A são os coeficientes dos termos com quadrado. então  E X E M P L O 1 Expressando formas quadráticas em notação matricial Em cada parte. . n. suas entradas na diagonal são os coeficientes dos termos com quadrado. que condições deve satisfazer A para garantir que x Ax tenha valores positivos com x  0? T T n Problema 3. Se xTAx for uma forma quadrática de R2 ou R3. . Solução A forma quadrática pode ser expressa em notação matricial por A equação característica da matriz A é de modo que os autovalores são   0. . denominado teorema dos eixos principais. . Em particular. temos o resultado seguinte. . 2. . . . . . e se P for ortogonal.  E X E M P L O 2 Uma ilustração do teorema dos eixos principais Encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadrática Q  x21  x23  4x1x2  4x2x3 e expresse Q em termos das novas variáveis. o efeito da mudança de variáveis é pro- T duzir uma nova forma quadrática yTBy nas variáveis y1. então a nova forma quadrática será yTDy. 7. ou seja. n são os autovalores de A associados aos autovetores que consti- tuem as colunas sucessivas de P. . yn. TEOREMA 7. Deixamos para o leitor mostrar que bases ortonormais dos três autoespaços são .1 Teorema dos eixos principais Se A for uma matriz simétrica n  n. . . 3. 3. . então a mudança de variáveis x  Py transforma a forma quadrática xTAx na forma quadrática na qual 1.3 Formas quadráticas 407 que expressa as variáveis x1. Fazendo a mudança de coordenadas x  Py na forma quadrática xTAx. então (5) é denominada uma mudança de variáveis. . Se P for invertível. obtemos x Ax  (P y) A(P y)  y P APy  y (P AP)y T T T T T T (6) Como a matriz B  P AP é simétrica (verifique). yn. Assim. dizemos que (5) é uma mudança de variáveis ortogonal. Especificamente. x2. então existe uma mudança de variáveis ortogonal que transforma a forma quadrática xTAx na forma quadrática yTDy sem termos mistos. onde D é uma matriz diagonal com os autovalores de A na diagonal principal.3. se P diagonaliza A ortogonalmente. se esco- lhermos P para diagonalizar A ortogonalmente. y2. xn em termos das variáveis novas y1. . . y2. representa uma seção cônica. Pode ser mostrado que uma mudança de variáveis ortogonal x  Py não altera a imagem de uma forma quadrática. Formas quadráticas na Uma seção cônica ou. uma cônica. Os círculos são casos especiais de elipses. Nesses casos. Círculo Elipse Parábola Hipérbole  Figura 7.  Observação Se A for uma matriz simétrica n  n. é igual ao con- junto de todos valores de yT(P TAP )y. ou seja. que ocorrem quando o plano cortante não passa pelo vértice do cone. cujas possi- bilidades são um ponto.1). Se d  e  0 em (7). As seções cônicas mais importantes são as elipses. então a forma quadrática xTAx é uma função real cuja imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de xTAx. x2  y2  1  0.408 Álgebra Linear com Aplicações Assim. então a interseção resultante é denominada uma cônica degenerada. dizemos que a equação não tem gráfico ou. um par de retas que se cortam ou uma única reta. então ‡ não existem termos lineares. com x variando em Rn. as hipérboles e as parábolas. simplesmente. Se o plano cortante passa pelo vértice.1 As formas quadráticas em R2 surgem naturalmente no estudo de seções cônicas.3. que tem um gráfico vazio. mostra-se em Geometria Analítica que uma equação da forma ax  2bxy  cy  dx  ey  f  0 2 2 (7) com a. Por exemplo. com x variando em Rn. b e c não todos nulos. então. por exemplo. e a equação se reduz a ax  2bxy  cy  f  0 2 2 (8) ‡ Sempre existe a possibilidade de não haver valores reais de x e y que satisfaçam a equação. que resultam quando o plano cortante é perpendicular ao eixo de simetria do cone. com y variando em Rn. é uma curva obtida cortando-se um geometria cone circular reto por um plano (Figura 7. a substituição x  Py que elimina os termos mistos é Isso produz a nova forma quadrática na qual não há termos mistos. . o conjunto de todos os valores de xTAx.3. e dizemos que a equação ax2  cy2  f  0 (9) representa uma cônica central em posição canônica. se b  0 em (8). Essas cônicas incluem os círculos. As cônicas mais importantes desse tipo aparecem na Tabela 1.3 Formas quadráticas 409 denominada cônica central ou reduzida. Além disso. mas não as parábolas. as elipses e as hipérboles. Tabela 1 y y y y     x x x x –  –  –  –  – – – – x2 2 y x 2 2 y x2 y2 y 2 x 2 + =1 + =1 – =1 – =1  2  2  2  2 2  2  2  2 ( . não há termos mistos. 7.  0) ( . Os análogos tridimensionais das equações em (10) são Uma cônica central girada para fora da (11) posição canônica. em que não há termo misto.  0) ( 0. como na Figura 7. mais especificamente. a existência de um termo misto indica que o gráfico da forma quadrática foi girado em torno da origem. em que há o termo misto 2bxy.2.  Figura 7. y podemos reescrever essas equações em formato matricial como (10) x A primeira dessas corresponde à Equação (8). ela está girada. Se b  0. o de identificar a curva ou superfície representada por uma equação x Ax  k T em duas ou três variáveis. então os gráficos dessas equações em R são denomi- nados quádricas centrais. Por exemplo.  0) ( 0. Vamos nos ocupar com o caso bidimensional. b e c não forem todos nulos.3.2 3 Se a. ou reduzidas.3. e. então a cônica está em posição canônica e se b  0. Já observamos que uma equação da forma ax2  2bxy  cy2  f  0 (12) representa uma cônica central. o gráfico da segunda equação é denominado quádrica central em posição canônica. Identificando seções cônicas riormente. Geometricamente. É fácil identificar as cônicas centrais em posição canônica compa- rando sua equação com uma das equações em forma canônica. e a segunda corresponde à Equação (9).  0) Passando a constante f nas Equações (8) e (9) para o lado direito e tomando k  f. a equação 9x2  16y2  144  0 . Agora estamos prontos para considerar o primeiro dos três problemas apresentados ante. com o que eliminamos o termo misto em (13). Se uma cônica central for girada para fora de sua posição canônica.410 Álgebra Linear com Aplicações y pode ser reescrita como 3 x –4 4 que. que é um autovetor unitário associado a 2. Por exemplo.1 é denominado “teorema dos eixos principais”. Para 2 2 x y encontrar uma rotação que elimine o termo misto da equação + =1 16 9 ax  2bxy  cy  k 2 2 (13)  Figura 7. está ao longo do eixo y positivo. nosso problema se reduz a encontrar  que diagonalize A. o que explica por que o Teorema 7. que é um autovetor unitário associado a 1. Como no Exemplo 4 da Seção 7. por comparação com a Tabela 1. 2. O primeiro vetor coluna de P. Esses são os eixos principais da elipse.3.3. se 1. e o segundo vetor coluna de P. então (17) representa uma elipse de eixos medindo na direção x e na direção y. cos ) (cos . resulta que a Equação (14) no sistema de coordenadas xy é dada por (16) onde 1 e 2 são os autovalores de A. podemos identi- –3 ficá-la primeiro girando os eixos coordenados para colocá-la na posição canônica e então comparando sua equação com uma das equações em forma canônica da Tabela 1. A cônica pode agora ser identificada escrevendo (16) na forma 1x  2 y  k 2 2 (17) e efetuando a álgebra necessária para igualá-la a uma das formas canônicas da Tabela 1.3.3.1 vimos que a matriz de transição (15) tem o efeito de girar os eixos xy de um sistema de coordenadas retangulares pelo ângulo . é a elipse mostrada na Figura 7.4.3.3. está ao longo do eixo x positivo.4 . (Ver Figura 7. Fazendo essa mudança de variáveis.3 é conveniente expressar a equação em forma matricial como (14) e procurar uma mudança de variáveis x  Px que diagonalize A e tal que det(P) 1. e k forem positivos.) Autovetor unitário de 2 y y √k/1 x (–sen . sen )  x √k/2 Autovetor unitário de 1  Figura 7. 5). √5 √5 √5 √5 x (3.  26. (0. 7. se b  0. Solução (a) A equação dada pode ser escrita no formato matricial como x Ax  36 T onde O polinômio característico de A é portanto. de modo que sabemos que a substituição x  Px Se tivéssemos tido det(P)  1. executa uma rotação de eixos. 0) x Assim.3.3. Deixamos para o leitor mostrar que bases ortonormais dos autoespaços são Assim. Segue de (16) que a equação da cônica no sistema de co- então trocaríamos as colunas ordenadas xy é para inverter o sinal.5 ax  2bxy  cy  k 2 2 . (b) Encontre o ângulo  pelo qual foram girados os eixos xy na parte (a). os autovalores são   4 e   9. Solução (b) Segue de (15) que y y o que implica 2 1 .6˚ Observação Nos exercícios. pedimos ao leitor mostrar que. por acaso temos det(P)  1. (Figura 7. 2) 1 2 – . que pode ser escrita como Agora vemos da Tabela 1 que a cônica é uma elipse cujo eixo tem comprimento 2  6 na direção x e comprimento 2  4 na direção y. então o termo misto da equação  Figura 7. A é ortogonalmente diagonalizável por (18) Além disso.3 Formas quadráticas 411  E X E M P L O 3 Identificando uma cônica por eliminação do termo misto (a) Identifique a cônica de equação 5x2  4xy  8y2  36  0 girando os eixos xy até colocar a cônica em posição canônica. 412 Álgebra Linear com Aplicações pode ser eliminado por uma rotação de ângulo  que satisfaça (19) Deixamos para o leitor confirmar que isso é consistente com a parte (b) do exemplo anterior. cuja prova é adiada para o final desta seção. todos os autovalores de A são negativos. Formas quadráticas positivas Consideramos.2 Seja A uma matriz simétrica. uma forma quadrática para a qual xTAx . e só se. Por exem- plo. T A terminologia na Definição 1 DEFINIÇÃO 1 Dizemos que uma forma quadrática x Ax é também é aplicada a matrizes. agora. o segundo dos três problemas colocados anteriormente. T (a) x Ax é positiva se. e só se. (b) xTAx é negativa se. e só se. explicamos por que isso seria importante. (c) xTAx é indefinida se. dizemos que uma matriz negativa se x Ax 0 com qualquer x  0 simétrica é positiva. TEOREMA 7.3. o de deter- minar as condições sob as quais xTAx 0. mas antes vamos apresentar alguma terminologia. Valem as afirmações. fornece uma manei- ra de usar os autovalores para determinar se uma matriz A e sua forma quadrática associa- da são positivas. todos os autovalores de A são positivos. A tem pelo menos um autovalor positivo e pelo me- nos um autovalor negativo. O próximo teorema. negativas ou indefinidas. positiva se x Ax 0 com qualquer x  0 T ou seja. Em breve. quaisquer que sejam os vetores não nulos x. Observação As três classificações na Definição 1 não cobrem todas as possibilidades. negativa ou T indefinida se a forma quadráti. T ca associada a essa matriz tiver indefinida se x Ax tem valores tanto positivos quanto negativos essa propriedade. mas não reciprocamente (por quê?). pois seus autovalores são   1. Por quê? Agora podemos ver. mas a matriz é indefinida.3. Ajustando apropriada- mente a prova do Teorema 7. 0 se x  0 é denominada não negativa. mas não reciprocamente. e só se. todos os autovalores de A são não positivos. 2 (verifique). por exemplo. as entradas da matriz são todas não negativas. e cada forma negativa é não positiva. não é possível detectar a classificação de uma matriz simétrica A apenas a partir do sinal de suas entradas. e só se. e uma para a qual xTAx 0 se x  0 é não positiva.  E X E M P L O 4 Formas quadráticas positivas Em geral. Cada forma positiva é não negativa. todos os autovalores de A são não negativos e que é não positiva se. que . 4. Para ver isso de uma outra maneira.2. podemos provar que xTAx é não negativa se. escrevamos a forma quadrática como Matrizes positivas e negativas são invertíveis. Por exemplo. 7.3. x2  1. o que é consistente com o Exemplo 3. a Equação (21) pode ser reescrita como 1/√2 x (22) de modo que os eixos da elipse têm comprimentos e (Figura 7. segue de (21) que os eixos da elipse têm comprimentos e . Além disso.6 O próximo teorema é uma consequência imediata dessa discussão e do Teorema 7. x3  1 T e que x Ax  4 x1  0. (a) x Ax  1 representa uma elipse se A for positiva. agora. (c) xTAx  1 representa uma hipérbole se A for indefinida. efetuamos uma rotação para mostrar que a equação 5x  4xy  8y  36  0 2 2 representa uma elipse com um eixo maior de comprimento 6 e eixo menor de comprimen- to 4. Girando. TEOREMA 7. 1/√1 No caso da elipse. os eixos coordenados para eliminar o termo misto (se houver) dessa equação.3 Formas quadráticas 413 x Ax  4 com x1  0.3. Por exemplo.  Figura 7.3.3. T (b) xTAx  1 não tem gráfico se A for negativa. • xTAx  1 representa uma hipérbole se 1 e 2 têm sinais opostos. x2  1.2. . Esses autovalores são positivos. de modo que a ma- triz A é positiva e a equação representa uma elipse. O tipo de cônica representado por essa equação dependerá dos sinais dos autovalores 1 e 2. podemos dividir tudo por k e rees- T Classificação de seções crever a equação na forma cônicas usando autovalores x Ax  1 T (20) onde A  (1/k)B.6). então a equação da cônica no novo sistema de coordenadas será da forma 1x  2 y  1 2 2 (21) na qual 1 e 2 são os autovalores de A. Valem as afirmações. T y y x • xTAx  1 não tem gráfico se 1 0 e 2 0. No Exemplo 3.3 Seja A uma matriz 2  2 simétrica. x3  1  T com Se x Bx  k for a equação de uma cônica e se k  0. não é difícil ver a partir de (21) que • x Ax  1representa uma elipse se 1 0 e 2 0. Essa conclusão também pode ser obtida reescrevendo a equação na forma e mostrando que a matriz associada tem autovalores e . e só se.2(a) e (b) Segue do teorema dos eixos principais (Teorema 7. Primeira submatriz principal Segunda submatriz principal Terceira submatriz principal Quarta submatriz principal  A O próximo teorema. podemos ter certeza de que todos autovalores de A são positi- vos e que xTAx 0 com x  0. para sermos específicos. segue da invertibilidade de P que y  0 se. fornece um teste para determinar se uma matriz simétrica é positiva. Assim. de modo que os valores de x Ax com x  0 são os mesmos que os valores T de y Dy com y  0. todos os T coeficientes  naquela equação são positivos e que xTAx 0 com x  0 se. Então x Ax 0 se y1  1 e todos os demais y são iguais a 0 T .3. Além disso. todos os  são negativos.  OPCIONAL Concluímos esta seção com uma prova opcional do Teorema 7.4 Uma matriz simétrica A é positiva se. Assim. suponha que 1 0 e 2 0 em (23). e só se.2. segue de (23) que xTAx 0 com x  0 se. Prova do Teorema 7. Por exemplo. portanto. que enunciamos sem prova. é positivas útil aprender um pouco mais sobre elas.3.414 Álgebra Linear com Aplicações Identificando matrizes Matrizes positivas são as matrizes simétricas mais importantes nas aplicações. TEOREMA 7. um critério que pode ser usado para descobrir se uma matriz simétrica é positiva sem precisar encontrar os auto- valores.3. agora. Para isso. x  0. e só se. pois os determinantes são todos positivos. definimos a k-ésima submatriz principal de uma matriz A de tamanho n  n como a submatriz k  k consistindo nas primeiras k linhas e colunas de A. as submatrizes principais de uma matriz 4  4 arbitrária são as seguintes.  E X E M PLO 5 Trabalhando com submatrizes principais A matriz é positiva. Já sabemos que uma matriz simétrica é positiva se. Isso prova as partes (a) e (b). Vejamos. e só se. Prova (c) Suponha que A tenha pelo menos um autovalor positivo e pelo menos um au- tovalor negativo e. seus autovalores são todos positivos.3. o determinante de cada submatriz principal é positivo. e só se.1) que existe uma mudança de variáveis ortogonal x  Py com a qual (23) onde os  são os autovalores de A. expresse a forma quadráti. 7. (a) x2  xy  5x  8y  3  0 (b) 5xy  8 4.  Revisão de conceitos • Forma quadrática indefinida • Forma linear • Forma quadrática não negativa • Forma quadrática • Forma quadrática não positiva • Termo misto • Submatriz principal • Forma quadrática associada a uma matriz Aptidões desenvolvidas • Mudança de variáveis • Expressar uma forma quadrática em notação matricial • Mudança de variáveis ortogonal xTAx. sociada e K é uma matriz apropriada. de modo que pelo menos um dos  em (23) deve ser positivo. escreva a equação quadrática na notação 1 2 3 matricial xTAx  Kx  f  0. o que completa a prova. 10. (a) 2x2  5y2  20 (b) x2  y2  8  0 (c) 7y  2x  0 2 (d) x2  y2  25  0  Nos Exercícios 5–8. (a) 5x  5x1x2 2 1 (b) 7x1x2 (c) x  x  3x  5x1x2  9x1x3 2 2 2  Nos Exercícios 9–10. ou reduzida • Identificar uma seção cônica a partir de uma equação • Posição canônica de uma cônica central girando os eixos para colocar a cônica em posição • Forma canônica de uma cônica central canônica e encontrar o ângulo de rotação.3 Formas quadráticas 415 e x Ax 0 se y2  0 e todos os demais y são iguais a 0 T o que prova que x Ax é indefinida. 5. encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadrática Q e 12.  11. • Cônica central. T Analogamente.  Nos Exercícios 11–12.  9. (a) 4x2  9y2  1 (b) 4x2  5y2  20 expresse Q em termos das novas variáveis. em que A é simétrica. se x Ax 0 com algum x. onde xTAx é a forma quadrática as-  Nos Exercícios 3–4. Q  2x21  5x22  5x23  4x1x2  4x1x3  8x2x3 2. Q  5x21  2x22  4x23  4x1x2 1. se xTAx 0 com algum x. não negativas ou não • Forma quadrática negativa positivas. • Teorema dos eixos principais • Encontrar uma mudança de variáveis ortogonal que • Seção cônica elimine os termos mistos de uma forma quadrática • Cônica degenerada e expressar a forma quadrática em termos das novas variáveis. • Quádrica central • Identificar uma seção cônica usando autovalores. • Eixos principais de uma elipse • Classificar matrizes simétricas e formas quadráticas como • Forma quadrática positiva positivas. encontre uma fórmula para a forma qua. (a) 2x2  xy  x  6y  2  0 (b) y2  7x  8y  5  0 3. Q  2x21  2x22  2x1x2 ca na notação matricial xTAx com uma matriz simétrica A. de modo que pelo menos um dos  em (23) deve ser negativo. identifique o tipo de cônica representa- da pela equação. negativas.  drática que não utilize matrizes.  6. (a) 3x  7x 2 1 2 2 (b) 4x  9x  6x1x2 2 1 2 2 7.  (c) x  2y2 (d) x2  3  y2 . Q  3x21  4x22  5x23  4x1x2  4x2x3 (c) 9x  x  4x  6x1x2  8x1x3  x2x3 2 2 2 1 2 3 8. Conjunto de exercícios 7. então T T y Dy 0 com algum y. indefinidas.3  Nos Exercícios 1–2. em cada parte. então yTDy 0 com algum y. Reciprocamente. Prove: se b  0. com A simétrica. não negativa ou não positiva. . (a) (b) (c) é uma superfície denominada elipsoide central em posição canônica (ver a figura dada).3. 5x  x  kx  4x1x2  2x1x3  2x2x3 2 1 2 2 2 3 28. indefinida.  32. Se um elipsoide central for girado em torno da origem de tal modo que dois ou mais de seus eixos não coincidam (d) (e) com os eixos coordenados. negativa. 34. 2x2  4xy  y2  8  0 14. (a) (b) (c) soide. (x1  x2) 23. . b e c são positivos. o gráfico de uma equação do tipo ax2  by2  cz2  1. 17. então o termo misto pode ser eliminado da (a) Mostre que T(x  y)  T(x)  2xTAy  T(y). 16. negativa. x21  3x22 21. .   Figura Ex-32 27. classifique a forma quadrática como positiva. . (a) Expresse a forma quadrática s2x na notação matricial xTAx. forma quadrática ax2  2bxy  cy2 pela rotação dos eixos co- (b) Mostre que T(cx)  c2T(x). se a matriz (b) s2x será uma forma quadrática positiva? Explique.  19. com A simétrica. x2. indefinida. x2. então a equação resultante terá um ou dois termos mistos. 5x2  4xy  5y2  9 são denominadas. a média amostral e a variância 15. [Sugestão: escreva a equação no formato xTAx  1 e efetue uma mudança de variáveis ortogonal  Nos Exercícios 25–26. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine o ângulo de rotação. . x21  x22 20. em que a.3.] do primeiro o Teorema 7. determine. Expresse a forma quadrática (c1x1  c2x2  · · ·  cnxn)2 na notação matricial xTAx. (a) Mostre que a equação  Nos Exercícios 19–24.2 e depois o Teorema 7. respectivamente.416 Álgebra Linear com Aplicações  Nos Exercícios 13–16. identifique o tipo de cônica representa. para eliminar o termo misto. xn). então xTAx . As interseções do elipsoide ax2  by2  cz2  1 com os eixos coordenados de- terminam três segmentos de reta denominados eixos do elip- 18. . mostre que a matriz A é positiva usan.  (b) Qual propriedade deve ter uma matriz simétrica 3  3 para que a equação xTAx  1 represente um elipsoide? 25. não negativa ou não positiva. x  x 2 2 2 1 2 24.  13. . Num sistema de coordenadas xyz. 11x  24xy  4y  15  0 2 2 amostral de x  (x1. é positiva. 31. Prove que se A for uma matriz n  n simétrica com todos os seus autovalores não negativos. x1x2 de seus eixos. ordenados pelo ângulo  que satisfaz a equação 30. xn e A de tamanho 2  2 para que xTAx  1 represente um círculo? defina T : Rn → R por T(x)  xTAx. (a) (b) y  Nos Exercícios 27–28.  Nos Exercícios 17–18. as quantidades 35. encontre todos valores de k com os x quais a forma quadrática é positiva. 3x  x  2x  2x1x3  2kx2x3 2 2 2 1 2 3 33. Na Estatística. .4. e da pela equação girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Qual propriedade deve ser satisfeita por uma matriz simétrica 29. (a) (b) z 26. (x1  x2)2 representa um elipsoide e encontre os comprimentos 22. sem fazer contas. Isso é a generalização tridimen- (d) (e) sional da elipse ax2  by2  1 do plano xy. Seja xTAx uma forma quadrática nas variáveis x1. com qualquer x não nulo em Rn. 0. . e c  0. Nesta seção.4. então (d) Uma matriz positiva é invertível. (l) Se xTAx for uma forma quadrática positiva em duas variáveis (f) Se A for positiva.4.4 Otimização usando formas quadráticas As formas quadráticas surgem numa variedade de problemas nos quais se exige encontrar o valor máximo ou mínimo de alguma quantidade. A é uma matriz diagonal.4 Otimização usando formas quadráticas 417 Exercícios verdadeiro/falso (h) Se xTAx for uma forma quadrática positiva. y O próximo teorema. então xTA1x tam- Nas partes (a)-(l). negativa ou indefinida. então A será negativa. bém é.4. 7. T Para visualizar esse problema geometricamente no caso em que x Ax é uma forma quadrática de R . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. então A é positiva. justificando sua resposta. xTAx é uma forma quadrática positiva.  Figura 7. (g) x · x é uma forma quadrática. x Círculo unitário cial para resolver esse tipo de problemas. vemos z  x Ax como a equação de alguma superfície num sistema de Máximo 2 T Mínimo z condicionado condicionado coordenadas retangulares xyz e ||x||  1 como o círculo unitário centrado na origem do plano xy.1). (i) Se A for uma matriz que só tem autovalores positivos. discutiremos alguns problemas desse tipo. Problemas T condicionados desse tipo surgem numa ampla variedade de aplicações. (j) Se A for uma matriz 2  2 simétrica com entradas positivas e det(A) > 0. o problema de encontrar os valores máximo e mínimo de xTAx sujeita à condição ||x||  1 equivale a encontrar o ponto mais alto e o mais baixo na interseção da superfície com o cilindro circular reto determinado pelo círculo (Figura 7. cuja prova é deixada para o final desta seção. (e) Uma matriz simétrica é positiva. 7.1 Teorema dos extremos condicionados Seja A uma matriz simétrica n  n cujos autovalores em ordem decrescente de tama- nho são 1 . qualquer que seja x em Rn. (b) x21  x22  x23  4x1x2x3 é uma forma quadrática. Nosso primeiro objetivo nesta seção é considerar o problema de encontrar os valores Problemas de extremos máximo e mínimo de uma forma quadrática x Ax sujeita à condição ||x||  1. Geometricamente. então (a) Uma matriz simétrica com autovalores positivos é positiva. é o resultado cru. (c) (x1  3x2)2 é uma forma quadrática. (k) Se xTAx for uma forma quadrática sem termos mistos. então o gráfico da equação xTAx  c é uma elipse.1 TEOREMA 7. 2 . · · · . Essa restrição também pode ser expressa por xTx  1 ou por x21  x22  · · ·  x2n  1. Então (a) a forma quadrática xTAx atinge um valor máximo e um valor mínimo no conjunto de vetores tais que ||x||  1. (c) o valor mínimo atingido na parte (a) ocorre num autovetor unitário associado ao autovalor n. n. e o valor máximo ou mínimo de xTAx sujeita à restrição é um extremo con- dicionado. um vínculo. . Observação A condição ||x||  1 nesse teorema é denominada uma restrição ou uma condição ou. (b) o valor máximo atingido na parte (a) ocorre num autovetor unitário associado ao autovalor 1. ainda. quando for conveniente. 4.  E X E M P L O 2 Um problema de extremos condicionados Queremos inscrever um retângulo na elipse 4x2  9y2  36. o máximo condicionado z  7 tam- bém ocorre no ponto e o mínimo condicionado z  3 também ocorre no ponto . y Solução A área z do retângulo inscrito é dada por z  4xy.4.4.2 Um retângulo inscrito na e definindo novas variáveis x1 e x2 pelas equações elipse 4x2  9y2  36.1. Use métodos de autovalores para encontrar valores não negativos de x e y que forneçam o retângulo inscrito de área máxima. x o gráfico da equação restrita é uma elipse em vez de ser o círculo unitário exigido pelo Teorema 7.2. ou seja. escrevemos a forma quadrática z  24x1 y1 como .418 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 1 Encontrando extremos condicionados Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática z  5x2  5y2  4xy sujeita à condição x2  y2  1. Solução A forma quadrática pode ser expressa em notação matricial por Deixamos para o leitor mostrar que os autovalores de A são 1  7 e 2  3 e que os au- tovetores associados são Normalizando esses autovetores. de modo que o problema é (x. eles também fornecem os valores máximo e mínimo de z. y) maximizar a forma quadrática z  4xy sujeita à restrição 4x2  9y2  36. x  3x1 e y  2y1 Isso nos permite reformular o problema como segue: maximizar z  4xy  24x1 y1 sujeita à restrição x1  y1  1 2 2 Para resolver esse problema. obtemos (1) Assim. mas isso pode ser remediado reescrevendo a restrição como  Figura 7. conforme a Figura 7. os extremos condicionados são máximo condicionado: z  7 em mínimo condicionado: z  3 em  Observação Como os negativos dos autovetores em (1) também são autovetores unitários. Nesse problema. 1  2 2 √2 √2 4 x +y =1 x 1 1 (– √ 2 .4.5 5x + 5y + 4xy = 3 .4.5. – √2 ) (√ 1 . 7. y) e são denominadas curvas de nível de f (Figura 7. y)  k z = f(x. – 1 ) 2 √2  2 2 Figura 7. encontramos os valores máximo e mínimo x da forma quadrática xTAx = k z  5x2  5y2  4xy sujeita à restrição x  y  1. e os pontos nos quais essas curvas de nível apenas tocam o círculo produzem os vetores que maximizam e minimizam xTAx sujeita à restrição ||x||  1.4 Otimização usando formas quadráticas 419 Agora deixamos para o leitor mostrar que o maior autovalor de A é   12 e que o único autovetor associado com entradas não negativas é Assim. Tipicamente. y x ||x|| = 1  E X E M P L O 3 De novo o Exemplo 1 usando curvas de nível No Exemplo 1 (e na observação subsequente).4 (3) e que o mínimo condicionado z  3 ocorre nos pontos (4) Geometricamente. a área máxima é z  12. tais valores de k produzem curvas de nível que apenas tocam o círculo  Figura 7. Em particular. y) = k rio. √2 √2 1 .4).4. as curvas de nível de k Plano z = k T 2 uma forma quadrática x Ax de R têm equações da forma x Ax  k T (2) y de modo que os valores máximo e mínimo de x Ax sujeita à restrição ||x||  1 são os T maiores e menores valores de k com os quais o gráfico de (2) intersecta o círculo unitá. Isso tudo é consistente com a Figura 7.3 unitário (Figura 7. Essas curvas têm curvas de nível equações da forma z f(x. Mostramos que o máximo condicionado z  7 ocorre nos 2 2 pontos  Figura 7.  y 2 2 5x + 5y + 4xy = 7 1 1 – .4. x Curva de nível f(x.4.4. isso significa que a curva de nível 5x  5y  4xy  7 deveria apenas 2 2 tocar o círculo unitário nos pontos em (3) e que a curva de nível 5x2  5y2  4xy  3 deveria apenas tocar o círculo unitário nos pontos em (4). y) de duas variáveis Extremos condicionados e é considerar as curvas no plano xy ao longo das quais f é constante.3). que ocorre com  Uma maneira útil de visualizar o comportamento de uma função f(x. o próximo Máximo relativo em (0. 0) tos de (x0. y)  0 e fy(x.y) nesses pontos. y0) (5) nos pontos (x. y) que estão suficientemente próximos. y0). vê-se que se uma função f(x. y0) f(x. Nesse caso. y0).4.y). y0) f(x. y0) (Figura 7. 0) fxx(x0. y0)  0 2 Nosso interesse aqui é mostrar como reformular esse teorema usando propriedades de matrizes simétricas. y0) seja um ponto crítico de uma função f(x. y0). pode ser difícil determinar diretamente o sinal de (5). a hessiana de f no ponto em ques- tão. y) que estão próximos. y0) se  Figura 7.420 Álgebra Linear com Aplicações REQUER CÁLCULO Concluímos esta seção mostrando como as formas quadráticas podem ser usadas para Extremos relativos de estudar características de funções reais de duas variáveis reais. y)  f(x. y0)  f xy(x0. y) que estão suficientemente próximos. então f(x0. (b) z TEOREMA 7. y0) f(x. então os máximos e mínimos relativos dessa função. y0). torna possível analisar os pontos críticos usando somente derivadas. y) nos pontos (x. Em geral. y0) f(x.y) nesses pontos. y) com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em alguma região circular centrada em (x0. então existem pontos (x. y0)  f xy(x0.6c). y)  0 Tais pontos são denominados pontos críticos de f.4. y0) se fxx(x0. • Se D(x.4. y0) se Ponto de sela em (0. de (x0. 0) teorema. y0)fyy(x0. se houver. y0) (Figura 7.6b). y) arbitrariamente próximos de (x0. e dizemos que f tem um máximo relati- z vo em (x0. y)  f(x0. mas são distintos. y0) 0 2 (d) O teste é inconclusivo se fxx(x0. (a) • Se D(x. mas são distintos de (x0.6 fxx(x0. O comportamento específico de f num ponto crítico (x0.2 Teste da derivada segunda Suponha que (x0. que é provado em Cálculo. y0)fyy(x0. y) tem valores tanto positivos quanto negativos dentro de qualquer círculo y centrado em (x0. y0) x nos quais f(x0. Para isso. dizemos que f tem um ponto de sela em (x0. y) 0 nos pontos (x. y0)fyy(x0. . ocorrem em pontos nos quais z fx(x. y0)fyy(x0. então f(x0. y0) 0 2 (c) (c) f tem um ponto de sela em (x0. y) arbitrariamente próximos de (x0. em homenagem ao matemático e cientista alemão Ludwig Otto Hesse (1811–1874). y) tem derivadas parciais de primeira or- dem. mas são distin- Mínimo relativo em (0.y) e pontos (x. funções de duas variáveis No Cálculo. y0). y x • Se D(x. y0) (Figura 7. y0) nos quais f(x0. y0)  f xy(x0. y0) é determinado pelo sinal de D(x. Contudo. simplesmente. y0) 0 2 x (b) f tem um máximo relativo em (x0. y0) 0 e fxx(x0. y0)  f xy(x0. e dizemos que f tem um mínimo relativo em (x0.4.6a). Então: y (a) f tem um mínimo relativo em (x0. y0) 0 e fxx(x0.4. consideremos a matriz simétrica que é denominada matriz hessiana ou. y0) for uma matriz positiva. são máximos relativos. Solução Para encontrar tanto os pontos críticos quanto a matriz hessiana.2. se houver algum. y0) têm determinantes positivos. y0) for uma matriz positiva. y0)]  fxx(x0. (c) f tem um ponto de sela em (x0. y0) for uma matriz indefinida. precisamos calcular as derivas parciais de primeira e segunda ordem de f. igualamos fx e fy a zero. (d) O teste é inconclusivo nos demais casos.2. a matriz hessiana é Para encontrar os pontos críticos. Prova (a) Se H(x0.   E X E M P L O 4 Usando a hessiana para classificar extremos relativos Encontre os pontos críticos da função e use os autovalores da matriz hessiana nesses pontos para determinar quais desses pon- tos. y)  x  y  8y  0 e fy(x. y)  2xy  8x  2x(y  4)  0 2 2 A resolução da segunda equação fornece x  0 ou y  4.4 Otimização usando formas quadráticas 421 A notação H(x. y0) for uma matriz negativa. então: (a) f tem um mínimo relativo em (x0.3. Provamos a parte (a). (b) f tem um máximo relativo em (x0. y0).4. y0). y) com derivadas par- ciais de segunda ordem contínuas em alguma região circular centrada em (x0.4. deixando a prova das demais partes como exercício. Essas derivadas são Assim. e det[fxx(x0. substituindo y  4 na primeira equa- ção e resolvendo em x. y0) for a hessiana de f em (x0. 7. y0) se H(x0. mínimos relativos ou pontos de sela. obtemos x  4 ou x  4. Temos interesse na hessiana porque é a expressão que aparece no Teorema 7. obtemos y  0 ou y  8.4 implica que as submatrizes principais de H(x0. Se H (x0. Assim. Assim. y0) pela parte (a) do Teorema 7. Agora podemos reformular o teste da deri- vada segunda como segue. Isso fornece as equações fx(x. y0) 0 de modo que f tem um mínimo relativo em (x0. Substituindo x  0 na primeira equação e resolvendo em y. y0) se H(x0.3 Forma hessiana do teste da derivada segunda Suponha que (x0.4. y0) se H(x0. TEOREMA 7. então o Teorema 7. encontramos os quatro pontos críticos . y0) seja um ponto crítico de uma função f(x. y) enfatiza que as entradas da matriz dependem de x e y. Como A é simétrica. 0) 8 8 Ponto de sela (0. 0).1) implica que existe uma mudança de coordenadas ortogonal x  Py tal que x Ax  1y 1  2y 2  · · ·  n y n T 2 2 2 (6) onde 1.1 O primeiro passo na prova é mostrar que xTAx tem valores máximo e mínimo condicionados em ||x||  1. 4) 8 8 Mínimo relativo (4. 8).3. Suponha que ||x||  1 e que os vetores coluna de P (que são autovetores unitários de A) tenham sido ordenados de tal modo que 1 . (−4.422 Álgebra Linear com Aplicações (0. Ponto crítico (x0. . . (4. 2. . y0) ␭1 ␭2 Classificação (0. n são os autovalores de A. .4. Prova do Teorema 7. (0. 8) 8 8 Ponto de sela (4. 4).4. 4) Calculando a matriz hessiana nesses pontos obtemos Deixamos para o leitor encontrar os autovalores dessas matrizes e deduzir a classificação seguinte dos pontos estacionários. o teorema dos eixos principais (Teorema 7.1. 4) 8 8 Máximo relativo  OPCIONAL Concluímos esta seção com uma prova opcional do Teorema 7. 2 . · · · . Analogamente. y1  y2  · · ·  yn  1 2 2 2 Segue dessa equação e de (7) que e portanto. n (7) Como P é uma matriz ortogonal. se x for um autovetor unitário associado a n.  . a multiplicação por P preserva comprimentos. que n x Ax 1 T Isso mostra que todos os valores de xTAx com ||x||  1 estão entre o maior e o menor auto- valor de A. por (6). Então x Ax  x (1x)  1x x  1||x||  1 T T T 2 o que mostra que xTAx tem 1 como máximo condicionado e que esse máximo ocorre se x for um autovetor unitário de A associado a 1. Isso completa a prova. ou seja. então x Ax  x (nx)  nx x  n||x||  n T T T 2 de modo que xTAx tem n como um mínimo condicionado. e esse mínimo ocorre se x for um autovetor unitário de A associado a n. de modo que ||y||  ||x||  1. Agora seja x um autovetor unitário associado a 1. y)  x3  3xy  y3 14. f(x. 0). eixos coordenados deve ser inscrito na elipse x2  25y2  25. 9. y) de uma placa me- 7. 5x2  5xy 13. 0). 19. encontre os valores máximo e mínimo da  Nos Exercícios 13–16. mínimos relativos ou pontos de sela. 7. y)  x3  6xy  y3 tem pontos 21. xy 20. 2x2  y2  z2  2xy  2xz 18.  vos ou pontos de sela. 5x2  y2 10. esboce o círculo unitário e as curvas de nível correspondentes à forma quadrática dada. mas que o teste da derivada círculo unitário intersecta cada uma dessas curvas em exatamente segunda é inconclusivo nesse ponto. 0) e (2. 5x2  y2 2. 1) e O que pode ser dito sobre a localização e a classificação dos (1.4  Nos Exercícios 1–4. 0). y)  4x2  4xy  y2. xy 3. y)  x4  y4  Nos Exercícios 9–10. y)  4xy  x4  y4 tem pontos críticos em (0. y)  x3  y3  3x  3y x 2  y2  z2  1 17. (a) Mostre que a função f(x. 1) e (1. (a) Mostre que as funções f(x. Quais são a maior e a menor temperaturas 8. y)  x2  2y2  x2y forma quadrática dada sujeita à restrição 16. Um retângulo centrado na origem com lados paralelos aos e determine os valores de x. Suponha que a matriz hessiana de uma certa forma quadrática f(x. y) seja dada por 11. encontre.  tivo em (0. determine esses pontos e verifique que os extremos (b) Dê um argumento que mostre que f tem um mínimo rela- condicionados ocorrem nesses pontos. (1. 3x2  7y2 4.  1. • Curvas de nível • Encontrar os pontos críticos de uma função real de duas variáveis reais e usar os autovalores da matriz hessiana • Ponto crítico nos pontos críticos para classificá-los como máximos • Mínimo relativo relativos. Uma formiga mo e mínimo de xy sujeita à restrição 4x2  8y2  16. y)  x3  3xy  y3  Nos Exercícios 5–6. O que pode ser dito sobre o valor de q se x for um autove- ponto de sela em (0. 2) e um na. se houver. todos pontos crí- forma quadrática dada sujeita à restrição x2  y2  1 e determine ticos de f e classifique-os como máximos relativos. Mostre que o têm pontos críticos em (0. (a) Mostre que a função f(x. y e z nos quais ocorrem esses extre. y)  x4  y4 e g(x. 5. encontre os valores máximo e mínimo da 15. mínimos relati- os valores de x. 1).  Use o método do Exemplo 2 para encontrar valores não negati- vos de x e y que produzam o retângulo inscrito de maior área. pontos críticos de f? 12. q(x)  xTAx (b) Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para onde x é um vetor qualquer em Rn expresso em forma de colu- mostrar que f tem um máximo relativo em (2. • Máximo relativo • Ponto de sela • Teste da derivada segunda • Matriz hessiana Conjunto de exercícios 7. 1) e um ponto de sela em (0.4 Otimização usando formas quadráticas 423 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Restrição • Encontrar os valores máximo e mínimo de uma forma • Extremos condicionados quadrática sujeita a alguma restrição. 0). (b) Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que f tem máximos relativos em (1. f(x. Use o método do Exemplo 2 para encontrar os valores máxi. tor unitário associado a um autovalor  de A? . 2). Sejam A uma matriz simétrica n  n e críticos em (0. f(x. caminhando na placa percorre uma circunferência de raio 5 centrada na origem. y e z nos quais ocorrem esses extremos. Suponha que a temperatura no ponto (x. 0). 0) e que g tem um ponto de sela em (0. tálica seja dada por T(x. f(x. dois pontos. Use o método do Exemplo 2 para encontrar os valores encontradas pela formiga? máximo e mínimo de x2  xy  2y2 sujeita à restrição x2  3y2  16. 9x2  4y2  3z2 6. mos. existe algum vetor unitário xc tal que restrição ||x||  1 ocorre num autovetor unitário associado ao xTcAxc  c. DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz complexa. 7. respectivamente. justificando sua resposta. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (d) Se (x0.  O próximo teorema. . (a) Uma forma quadrática sempre tem algum valor máximo ou mo e mínimo condicionados à restrição ||x||  1 são m e M. y0). y0) for um ponto crítico de uma função f e a matriz hessiana de f em (x0. Uma operação mais útil para matrizes complexas é a dada na definição seguinte. teremos A* . Nesta seção.  E X E M P L O 1 Transposta conjugada Encontre a transposta conjugada A* da matriz Solução Temos e. no caso em que A tiver entradas reais. consideramos o problema de diagonalização de matrizes complexas.424 Álgebra Linear com Aplicações T 22. de modo que A* é igual a AT com matrizes reais. Mostre que dado qualquer número c no (b) O valor máximo de uma forma quadrática xTAx sujeita à intervalo m c M.3. algum valor mínimo. Prove: seja x Ax uma forma quadrática cujos valores máxi. [Sugestão: no caso em que m M. Mostre que xTcAxc  c. sejam um e uM maior autovalor de A. Também. normais e hermitianas Sabemos que qualquer matriz simétrica real é ortogonalmente diagonalizável e que as matrizes simétricas reais são as únicas matrizes ortogonalmente diagonalizáveis. então a transposta conjugada de A. então o mínimo Exercícios verdadeiro/falso de xTAx sujeita à restrição ||x||  1 é negativo. é definida por A* (1) Observação Como a parte (b) do Teorema 5.8). portanto.5 Matrizes unitárias.2 afirma que . autovetores unitários de A tais que uTmAum  m e uTMAuM  M (c) A matriz hessiana de uma função f com derivadas parciais de e tome segunda ordem contínuas é uma matriz simétrica.4. Nas partes (a)-(e). então f não tem um máximo relativo nem um mínimo relativo em (x0. y0) for a matriz nula. não é relevante a ordem em que efetuamos as operações de transposição e conjugação no cálculo de A* . denotada por A*. mostra que as pro- priedades algébricas básicas da operação de transposição conjugada são semelhantes às da transposição (comparar com o Teorema 1.] (e) Se A for uma matriz simétrica e det(A) < 0. Matrizes hermitianas e A operação de transposição é menos importante para matrizes complexas do que para as unitárias matrizes reais. partes do qual são provadas nos exercícios. que é hermitiana. Assim.5. então A*  AT. normais e hermitianas 425 TEOREMA 7.  O fato de que matrizes simétricas reais têm autovalores reais é um caso especial do resultado mais geral a seguir. por exemplo. e as matrizes hermitianas são a generalização complexa das matrizes das como as matrizes quadradas simétricas reais.2 Os autovalores de uma matriz hermitiana são números reais. sem fazer contas. DEFINIÇÃO 2 Uma matriz quadrada complexa A é dita unitária se 1 A  A* (3) ‡ e é dita hermitiana se A*  A (4) Se A é uma matriz real. relativo a matrizes hermitianas. 7.5. TEOREMA 7. B e C são matrizes complexas cujos tamanhos são tais que as operações enunciadas podem ser efetuadas. . cuja prova é deixada como exercício. Assim.5 Matrizes unitárias. ‡ Em homenagem ao matemático francês Charles Hermite (1822-1901).1 Se k for um escalar complexo e se A. podemos dizer. complexas A que satisfazem AA*  A*A  I  E X E M P L O 2 Reconhecendo matrizes hermitianas As matrizes hermitianas são fáceis de reconhecer porque suas entradas na diagonal são reais (por quê?). então: (a) (A*)*  A (b) (A  B)*  A*  B* (c) (A  B)*  A*  B* (d) (kA)*  A* (e) (AB)*  B*A* Observação Note que a relação na Fórmula (5) da Seção 5. as matrizes unitárias são a generalização complexa das matrizes rias também podem ser defini- ortogonais reais.3 pode ser expressa em termos de transposta conjugada por u · v  v*u (2) Agora estamos prontos para definir duas novas classes de matrizes que são importan- n tes no nosso estudo de diagonalização em C . O fato de que autovetores de autoespaços distintos de uma matriz simétrica real são or- togonais é um caso especial do resultado mais geral a seguir. e as entradas posicionadas simetricamente em relação à diagonal princi- pal são números complexos conjugados. caso em que (3) se torna A1  AT e (4) se Observe que as matrizes unitá- torna AT  A. relativo a matrizes hermitianas. pois e.1. Prova Sejam v1 e v2 autovetores de A associados aos autovalores distintos 1 e 2. podemos escrever Isso implica (1  2)(v2 · v1)  0 e. Contudo. que v2 · v1  0 (já que 1  2).  Em geral.1 e 7.   E X E M P L O 3 Autovalores e autovetores de uma matriz hermitiana Confirme que a matriz hermitiana tem autovalores reais e que autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais. Usan- do a Fórmula (2) e os fatos de que . e A  A*. o análogo seguinte dos Teoremas 7.3 Se A é uma matriz hermitiana. parte do qual é provado nos exercícios. As bases dos autoespa- ços de A podem ser obtidas resolvendo o sistema linear com   1 e com   4. Deixamos para o leitor mostrar que as soluções gerais desses sistemas são Assim. não é fácil reconhecer uma matriz unitária sem fazer contas. Solução O polinômio característico de A é de modo que os autovalores de A são   1 e   4. que são reais. fornece uma maneira de decidir se uma dada matriz é unitária sem precisar calcular sua inversa. portanto. então autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais.3. as bases desses autoespaços são Os vetores v1 e v2 são ortogonais.426 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 7. todos os múltiplos escalares desses vetores também são ortogonais.5.1. . portanto. então as afirma- ções seguintes são equivalentes. DEFINIÇÃO 3 Uma matriz quadrada complexa é dita unitariamente diagonalizável se existe uma matriz unitária P tal que P*AP  D é uma matriz diagonal complexa. Aqui está o análogo complexo desse resultado. segue que Deixamos para o leitor confirmar a validade desse resultado mostrando que AA*  A*A  I. (a) A é unitária.5 Matrizes unitárias.5.4 Se A for uma matriz n  n com entradas complexas. Dizemos que qualquer matriz P nessas condições diagonaliza A unitariamente. quaisquer que sejam x e y em C n.  Como as matrizes unitárias são o análogo complexo das matrizes ortogonais reais.  E X E M P L O 4 Uma matriz unitária Use o Teorema 7. (b) ||Ax||  ||x||.4 para mostrar que é unitária e encontre A1. (c) Ax · Ay  x · y. (e) Os vetores linha de A formam um conjunto ortonormal em C n em relação ao pro- duto interno euclidiano complexo.5. qualquer que seja x em C n. 7. . Solução Mostremos que os vetores linha são ortonormais. As contas pertinentes são Como sabemos que A é unitária. a defi. Diagonalizabilidade unitária nição seguinte é uma generalização natural da ideia de diagonalização ortogonal de ma- trizes reais. Lembre que uma matriz simétrica A de tamanho n  n tem um conjunto ortonormal de n autovetores e é ortogonalmente diagonalizável por qualquer matriz n  n cujos veto- res coluna constituam um conjunto ortonormal de autovetores de A. normais e hermitianas 427 TEOREMA 7. (d) Os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal em C n em relação ao produto interno euclidiano complexo. 5. Aplique o processo de Gram-Schmidt a cada uma das bases para produzir bases ortonormais dos autoespaços.4) e diagonaliza A unitariamente. definimos uma matriz quadrada com entradas reais como sendo antissimétrica se A  A. A é unitariamente diagonalizada pela matriz Embora seja um pouco tedioso.7. Encontre uma base de cada autoespaço de A. o leitor pode querer conferir esse resultado mostrando que  Matrizes antissimétricas e No Exercício 37 da Seção 1. Forme a matriz P cujos vetores coluna são os vetores de base obtidos no Passo 2. Passo 3. Uma matriz antissimétrica necessariamente tem entra- T anti-hermitianas .  E X E M P L O 5 Diagonalização unitária de uma matriz hermitiana Encontre uma matriz P que diagonaliza unitariamente a matriz hermitiana Solução Mostramos no Exemplo 3 que os autovalores de A são   1 e   4 e que bases dos autoespaços associados são Como cada autoespaço tem somente um vetor na base. Passo 2. aplicar o processo de Gram-Schmidt significa simplesmente normalizar esses vetores de base.5. Deixamos para o leitor mostrar que Assim. Essa matriz é unitária (Teorema 7. O procedimento para diagonalizar unitariamente uma matriz hermitiana A é exata- mente o mesmo utilizado para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica.428 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 7.5 Qualquer matriz hermitiana A de tamanho n  n tem um conjunto ortonormal de n autovetores e é unitariamente diagonalizada por qualquer matriz P de tamanho n  n cujos vetores coluna constituem um conjunto ortonormal de auto- vetores de A. Diagonalização unitária de uma matriz hermitiana Passo 1. As matrizes antissimétricas não nulas são particu- larmente interessantes por serem exemplos de matrizes reais que não são ortogonalmente diagonalizáveis. [anti-hermitiana] As matrizes hermitianas possuem várias. Esses resultados estão ilustrados esquematicamente na Figura 7. existem matrizes unitariamente diagonalizáveis que não são hermitianas. [antissimétrica] Deixamos para o leitor confirmar que AT  A. Contudo. propriedades de matrizes simé. e os complexos conjugados das entradas posicionadas simetrica- mente em relação à diagonal principal são o negativo uma da outra. pedimos ao leitor Uma comparação de mostrar que os autovalores de matrizes anti-hermitianas são ou nulos ou imaginários pu. as matrizes hermitianas não constituem toda a classe de matrizes complexas uni- tariamente diagonalizáveis. 7. as anti-hermitianas e as unitárias no caso complexo. sabemos que matrizes simétricas reais são ortogonalmente dia- gonalizáveis e que matrizes hermitianas são unitariamente diagonalizáveis. normais e hermitianas 429 das nulas na diagonal principal (por quê?) e cada entrada fora da diagonal principal deve ser o negativo da entrada posicionada simetricamente em relação à diagonal principal. ao passo que as matrizes simétricas reais são as únicas matrizes ortogonalmente diagonali- záveis. autovalores ros (ou seja. e só se. mas são unitariamente diagonalizáveis.5. as antissi- métricas e as ortogonais no caso real.5 Matrizes unitárias. Vejamos um exemplo.5. pode ser provado que uma matriz quadrada complexa A é unitariamente diagonalizável se. Como uma matriz anti-hermitiana A tem a propriedade uma matriz anti-hermitiana necessariamente tem entradas nulas ou imaginárias puras na dia- gonal principal (por quê?). Matrizes normais tricas reais. ou seja. AA*  A*A (5) Matrizes com essa propriedade são ditas normais. e as simétricas. denominadas anti-hermitianas. mas não todas. As matrizes normais incluem as her- mitianas. têm parte real nula) e que os autovalores de matrizes unitárias têm módulo 1. Mais especificamente.1 . O análogo complexo das matrizes antissimétricas são as matrizes tais que A*  A. Vejamos um exemplo. Por exemplo. Nos exercícios. Vimos que matrizes hermitianas têm autovalores reais.1 y Autovalores imaginários puros (anti-hermitiana) || = 1 (unitária) 1 x Autovalores reais (hermitiana)  Figura 7. 1.  Nos Exercícios 21–22.   Nos Exercícios 13–18. • Matriz hermitina • Encontrar a inversa de uma matriz unitária.  15. (b) .5  Nos Exercícios 1–2. (b) 18. colocados no lu- gar dos sinais .  3.  (b) 19.  11. em cada caso.430 Álgebra Linear com Aplicações Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Transposta conjugada • Encontrar a transposta conjugada de uma matriz. (a)  Nos Exercícios 9–12. encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P1AP. mostre que A é unitária e encontre A1. • Matriz unitariamente diagonalizável • Encontrar uma matriz unitária que diagonaliza uma matriz • Matriz antissimétrica hermitiana. mostre que A não é hermi- tiana para qualquer escolha dos sinais . 12. 16. 10. mostre que A não é anti-hermitiana. 13. • Matriz unitária • Ser capaz de identificar matrizes hermitianas. verifique que os autovalores de A são reais e que os autovetores de autoespaços diferentes são ortogo. (a)  Nos Exercícios 19–20.  9.  7.3. 4. de acordo com o Teorema 7. tornem A anti-hermitiana. 20. 14. • Matriz anti-hermitiana • Matriz normal Conjunto de exercícios 7. 2. 5.  Nos Exercícios 7–8.5. encontre A*. 6. 8. nais. tornem A hermitiana. encontre números que. encontre números que.  Nos Exercícios 5–6.  Nos Exercícios 3–4. (a) 17. colocados no lugar dos sinais . 21.  qualquer que seja a escolha dos sinais . Use propriedades da transposição e da conjugação complexa puro. O que pode se dito sobre a inversa de uma matriz A que é her- mitiana e unitária? 37. Use a parte (b) do Exercício 41 para provar as afirmações. Mostre que se A for uma matriz unitária. 32. 41. 26. qualquer que seja o valor de . Prove: se A for uma matriz invertível. Mostre que se u for um vetor não nulo em Cn. 46. Mostre que os autovalores de uma matriz anti-hermitiana são (d) Qualquer matriz unitariamente diagonalizável é hermitiana. é unitária. 7. 42.1. então A* é invertível e (A*)1  (A1)*. é anti-hermitiana. Mostre que se A for uma matriz n  n com entradas comple. Use propriedades da transposição e da conjugação complexa 28. para provar as partes (b) e (d) do Teorema 7. Exercícios verdadeiro/falso (b) Mostre que A  B  iC e A*  B  iC Nas partes (a)-(e). anti-hermitiana A são números imaginários puros. Sob quais circunstâncias é normal a matriz A? 23. Prove que uma matriz A de tamanho n  n com entradas matrizes B e C por complexas é unitária se.  Nos Exercícios 25–26. (e) Uma potência inteira positiva de uma matriz anti-hermitiana 33. então P  uu* é uma matriz hermitiana.  39. (a) Mostre que B e C são hermitianas. (c) A transposta conjugada de uma matriz unitária é unitária. 24. escrito em for- 22. (b) 36. [Nota: ver a Fórmu. (b) Se A for unitária. la (17) no Apêndice B para a definição de ei. à multiplicação pelas matrizes P  uu* e H  I  2uu* nos Exercícios 34 e 35? 40. Que interpretações geométricas plausíveis poderiam ser dadas 25. xas e se u e v forem vetores em Cn dados em forma de coluna. Mostre que a matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante para provar que det(A*) . 31. Encontre uma matriz 2  2 que seja hermitiana e unitária e  Nos Exercícios 23–24. então | det(A)|  1. . Mostre que cada entrada na diagonal principal de uma matriz para provar as partes (a) e (e) do Teorema 7. verifique que os autovalores da matriz cujas entradas não sejam todas números reais. (a) ma de coluna.5. ou nulos ou imaginários puros. (a) Se A for hermitiana.1. anti-hermitiana é igual a zero ou é um número imaginário 44. então A* também será unitária. (b) Use o resultado da parte (a) e o fato de que uma matriz 27.  38. mostre que A é normal. (a) Prove que . escrito em forma de coluna. Mostre que se u for um vetor unitário em Cn. normal? 30. então det(A) será real. Prove que os autovalores de uma matriz hermitiana são reais. Mostre que os autovalores de uma matriz unitária têm módulo 1. (a) A matriz é hermitiana. Seja A uma matriz n  n com entradas complexas e defina as 45. normais e hermitianas 431 34. 35. (c) Que condições devem satisfazer B e C para que A seja justificando sua resposta. então H  I  2uu* é uma matriz unitária e hermi- tiana.5 Matrizes unitárias. as coluna de A formam um conjunto ortonormal em Cn. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.] 43. 29. e só se. então Au · v  u · A*v e u · Av  A*u · v (b) A matriz é unitária.5. Em cada caso. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v veto- res em forma de coluna. espaços da matriz simétrica 11. Q é dada pelo seu cofator se det(Q)  1 e pelo negativo de seu (a) y  x2  0 (b) 3x  11y2  0 cofator se det(Q)  1. verifique que a matriz é ortogonal e encontre 8. Encontre uma matriz unitária U que diagonaliza 3. 6. Prove: se Q for uma matriz ortogonal. 10. T 12. identifique o tipo da seção cônica representada 2. que elimine o termo misto da forma quadrática e expresse a forma quadrática em termos das variáveis novas. (a) Mostre que iA é hermitiana. e determine a matriz diagonal D  U1AU. (a) 3x21  5x22  2x1x2 (a) (b) (b) 5x21  x22  x23  6x1x3  4x1x2 9. cial xTAx.432 Álgebra Linear com Aplicações Capítulo 7 Exercícios suplementares 1. não negativa ou não po- sitiva. Em cada caso. negativa. indefinida. v  uTAv é um produto interno de Rn. Suponha que A*  A. ortogonalmente e determine a matriz diagonal D  P AP. (b) Mostre que A é unitariamente diagonalizável e tem auto- (a) 4x21  16x22  15x1x2 valores imaginários puros. . então u. Em cada caso. Encontre o polinômio característico e as dimensões dos auto. 4. encontre uma mudança de variável ortogonal sua inversa. expresse a forma quadrática em notação matri. (b) 9x21  x22  4x23  6x1x2  8x1x3  x2x3 7. Em cada caso. Mostre que se U for uma matriz unitária n  n e |z1|  |z2|  · · ·  |zn|  1 então o produto 5. Encontre uma matriz P que diagonalize também é unitário. então cada entrada de pela equação. Classifique a forma quadrática x21  3x1x2  4x22 como positiva. 3 Composições e transformações inversas 452 8. a transformação linear é denominada operador linear do espaço vetorial V. as transformações com as propriedades de linearidade T(u  v)  T(u)  T(v) e T(kv)  kT(v) Utilizamos essas duas propriedades como o ponto inicial da definição de transformações lineares mais gerais. estabelecemos.3. estudamos transformações lineares de Rn em Rm. DEFINIÇÃO 1 Se T : V → W for uma função de um espaço vetorial V num espaço vetorial W. nosso estudo de transformações lineares ficou concentrado nas transformações matriciais de Rn em Rm. Os resultados aqui obtidos têm aplicações importantes na Física. nos Teoremas 4. vamos definir e estudar transformações lineares de um espaço vetorial arbitrário V num espaço vetorial arbitrário W. CAPÍTULO 8 Transformações Lineares CONTEÚDO DO CAPÍTULO 8.10. Mostramos como surgem tais transformações e estabelecemos uma relação fundamental entre espaços vetoriais arbitrários de dimensão n e o Rn.1 Transformações lineares arbitrárias Até aqui. (i) T(kv)  kT(v) [Homogeneidade] (ii) T(u  v)  T(u)  T(v) [Aditividade] No caso especial em que V  W. então T é denominada transformação linear de V em W se as duas proprie- dades seguintes forem válidas com quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar k. Neste capítulo.1 Transformações lineares arbitrárias 433 8. Nesta seção. na Engenharia e em várias áreas da Matemática. Na Seção 4.9 e 4.10. ou seja.10. 8.5 Semelhança 468 INTRODUÇÃO Nas Seções 4. definimos uma transformação matricial TA : Rn → Rm como sendo uma Definições e terminologia aplicação da forma TA(x)  Ax em que A é uma matriz m  n.2 Isomorfismo 445 8. que as transformações matriciais são exatamente as transformações lineares de R m em R .4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 458 8. passamos a estudar transformações lineares envolvendo espaços vetoriais arbitrários. Depois disso.9.2 e n 4. . Como 0u  0. k2. .1.1 para provar que T(v)   T(v) T(0)  T(0u)  0T(u)  0 com qualquer v em V. então T(k1v1  k2v2  · · ·  krvr )  k1T(v1)  k2T(v2)  · · ·  krT(vr ) (1) O próximo teorema é um análogo das partes (a) e (d) do Teorema 4.1. provando (a).  E X E M P L O 2 A transformação nula Sejam V e W dois espaços vetoriais quaisquer. (b) T(u  v)  T(u)  T(v). com V  Rn e W  Rm. quaisquer que sejam u e v em V. . se v1 e v2 forem vetores em V e k1 e k2 escalares quaisquer. . observe que T(u  v)  0.9. então (a) T(0)  0. . . v2. Para ver que T é linear. então T(k1v1  k2v2)  k1T(v1)  k2T(v2) Mais geralmente.1 Se T : V → W for uma transformação linear.434 Álgebra Linear com Aplicações A homogeneidade e a aditividade de uma transformação linear T : V → W podem ser usadas em combinação para mostrar que. é a transformação linear denominada transformação nula ou zero. T(v)  0 e T(kv)  0 Portanto. T(u)  0. TEOREMA 8. Prova Seja u um vetor qualquer em V. Deixamos para o leitor verificar a linearidade de I. T(u  v)  T(u)  T(v) e T(kv)  kT(v)  E X E M P L O 3 O operador identidade Seja V um espaço vetorial qualquer. kr forem escalares quaisquer. . Podemos provar a parte (b) reescrevendo T(u  v) como Deixamos para o leitor justificar cada um dos passos dados. segue da homogeneidade na De- Use as duas partes do Teorema finição 1 que 8. vr forem vetores em V e k1. A aplicação T : V → W tal que T(v)  0.   E X E M P L O 1 Transformações matriciais Como utilizamos as propriedades de homogeneidade e aditividade de transformações ma- triciais para definir uma transformação linear arbitrária. . se v1. segue que qualquer transforma- ção matricial TA : Rn → Rm também é uma transformação linear nesse contexto mais geral. A aplicação I : V → V definida por I(v)  v é denomi- nada operador identidade de V. qualquer que seja o vetor v em V.1. . . 8 que de modo que T1 é linear.1. kx x x kx V V Dilatação de V Contração de V  Figura 8. dado qualquer escalar k e quaisquer polinômios p1 e p2. então Dizemos que T é uma contração de V de fator k se 0 < k < 1 e uma dilatação de V de fator k se k > 1 (Figura 8. então a aplicação T : V → V dada por T(x)  kx é um operador linear de V. . temos T(kp)  T(kp(x))  x(kp(x))  k(xp(x))  kT(p) e  E X E M P L O 6 Uma transformação linear usando um produto interno Dados um espaço com produto interno V e um vetor v0 qualquer fixado em V. Essa transformação é linear. dados qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v em V. pois. 8.1 Transformações lineares arbitrárias 435  E X E M P L O 4 Operadores dilatação e contração Se V for um espaço vetorial e k um escalar qualquer.4. dados um escalar c e vetores u e v em V quaisquer. determine se a transforma- ção é linear. seja T : V → R a transformação T(x)  〈x. pois. das propriedades de produtos internos decorre que  E X E M P L O 7 Transformações de espaços matriciais Seja Mnn o espaço vetorial das matrizes n  n.1). pois. v0〉 que associa a cada vetor x o seu produto interno com v0. Em cada parte.1  E X E M P L O 5 Uma transformação linear de Pn em Pn1 Seja p  p(x)  c0  c1 x  · · ·  cn xn um polinômio em Pn e defina a transformação T : Pn → Pn1 por T(p)  T(p(x))  xp(x)  c0 x  c1 x  · · ·  cn x 2 n1 Essa transformação é linear.1. (a) T1(A)  AT (b) T2(A)  det(A) Solução (a) Segue das partes (b) e (d) do Teorema 1. . 0 de modo que T não associa 0 a 0. e se e1. Por exemplo. en forem os vetores da base canônica de Rn. x3  4 e se f (x)  x  1. . . .  Figura 8.2).1. então 2 T(f )  (f (x1). x2.3 que T2(kA)  det(kA)  k det(A)  k T2(A) n n Assim. Essa propriedade é útil para identificar transformações que não são lineares. se n  1. . y  E X E M P L O 8 A translação não é linear x  x0 A parte (a) do Teorema 8. T2 não é homogênea e.1. dados qualquer escalar k e quais- quer funções f e g em V. Dizemos que essa é a transformação de avaliação de V em x1.9 que se T for uma transformação matricial. f (xn)) (2) que associa a f a ênupla de valores dessa função em x2. . ) e números reais distintos x1. Observe que a aditividade também falha. .3 que det(A  B) e det(A)  det(B) não são iguais em geral. por uma x distância ||x0|| (Figura 8. portanto. f (x3))  (0. . então e Encontrando transformações Vimos na Fórmula (12) da Seção 4. . f (x2). . digamos. não é linear. xn . pois T(0)  x0. Dados um subespaço V de F(−. . x2. Assim. 15) A transformação de avaliação em (2) é linear. pois.436 Álgebra Linear com Aplicações Solução (b) Segue da Fórmula (1) da Seção 2. lineares a partir das imagens a multiplicação por A. se x1  1. por exemplo. . | T(en)] . . pois mostramos no Exemplo 1 da Seção 2. Isso não pode ser uma transformação linear. . . . xn.2 T(x)  x  x0 translada cada ponto x  E X E M P L O 9 A transformação de avaliação ao longo de uma reta paralela a x0 por uma distância ||x0 ||. 3. e2. x2  2. . f (x2).1 afirma que uma transformação linear faz corresponder 0 a 0. . . a transformação T(x)  x  x0 x tem o efeito geométrico de transladar cada ponto x numa direção paralela a x0. . . então A de vetores de uma base pode ser expressa por A  [T(e1) | T(e2) | . xn seja T : V → R a transformação n T(f )  (f (x1).1. . x0 fixando um vetor não nulo x0 em R2. Isso é um caso especial do resultado geral seguinte. TEOREMA 8. obtemos T(2. . portanto. . c2  x2  x3. . . c3  x1  x2. 1). . vn} uma base de V. 1. x3) e use essa fórmula para calcular T(2. 0). 0) Seja T : R → R a transformação linear tal que 3 2 T(v1)  (1. c2. Assim. . A partir dessa fórmula. 0)  c3(1.1. x2. T(v3)  (4.   E X E M P L O 1 0 Calculando com imagens de vetores de base Considere a base S  {v1. Solução Inicialmente precisamos escrever x  (x1. cn) em R pela multiplicação n por A pode ser expressa por T(v)  c1 T(e1)  c2 T(e2)  · · ·  cn T(en) Essa fórmula nos diz que a imagem de qualquer vetor por uma transformação matricial pode ser escrita como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. obtemos que dá c1  x3. . v3  (1. v3} de R3 com v1  (1. v2  (1. 0) e equacionando componentes correspondentes. v2 e v3. 5). Escrevendo (x1. v2. 1. x3) como uma combinação linear de v2. x3)  c1(1. 1. 3. T(v2)  (2. . 0. então a imagem de qualquer vetor v em V pode ser escrita como T(v)  c1T(v1)  c2T(v2)  · · ·  cnT(vn) (3) em que c1. 8. V um espaço vetorial de dimensão finita e S  {v1. 5)  (9.1 Transformações lineares arbitrárias 437 Segue disso que a imagem de qualquer vetor v  (c1. 0. x2. v2. 1)  c2(1. 3) Encontre uma fórmula para T(x1. 0). . 1). Prova Escreva v como v  c1v1  c2v2  · · ·  cnvn e use a linearidade de T. 3. . 23) . x2. cn são os coeficientes que expressam v como uma combinação linear dos vetores em S. c2.2 Se V → W for uma transformação linear. . 1. . ). . D é uma transformação linear. dados qualquer constante k e quaisquer funções f e g em V. Seja D : V → W a transformação que associa cada função f  f(x) à sua derivada. ) o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo (. então. Do ponto de vista de transformações matriciais.  E X E M P L O 1 3 Núcleo e imagem de uma transformação matricial Se TA : Rn → Rm for a multiplicação pela matriz A de tamanho m  n. se f (x)  x2. D(f )  f (x) Pelas propriedades da derivação. ) o espaço vetorial das funções com derivadas contínuas em (. temos D(f  g)  D(f )  D(g) e D(k f )  kD(f) Assim. então A transformação J : V → W é linear. o espaço nulo de A consiste em todos os vetores em Rn que a multiplicação por A transforma em 0 e o espaço coluna de A consiste em todos os vetores em Rm que são imagem de pelo menos um vetor em Rm na multiplica- ção por A. ). ⴥ) em F (−ⴥ. pois.1. ) e W  C (. O con- junto de todos os vetores em W que são imagem por T de pelo menos um vetor em V é denominado imagem de T e é denotado por Im(T). O conjunto dos vetores em V que T transforma em 0 é denominado núcleo de T e é denotado por Nuc(T). o espaço coluna de A consiste em to- n dos os vetores b em Rm para os quais existe pelo menos um vetor x em Rn tal que Ax  b. as propriedades da integração garantem que  Núcleo e imagem Lembre que se A for uma matriz m  n. A definição seguinte estende essas ideias a transformações lineares arbitrárias.7. ) o espaço vetorial das funções com derivadas contínuas em (. pelo Teorema 4.438 Álgebra Linear com Aplicações REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 1 1 Uma transformação linear de C1(−ⴥ. então o espaço nulo de A consiste em todos os ve- tores x em R tais que Ax  0 e. REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 1 2 Uma transformação integral Sejam V  C(. ⴥ) Sejam V  C1(. ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em (−. Seja 1 J : V → W a transformação que associa cada função f  f(x) a Por exemplo. e a imagem de TA é o espaço coluna de A. DEFINIÇÃO 2 Seja T : V → W uma transformação linear. isto é. ) e W  F(−. pelo que acabamos de observar. o núcleo de TA é o espaço nulo de A.  Em todos os exemplos dados.1 Transformações lineares arbitrárias 439  E X E M P L O 1 4 Núcleo e imagem da transformação nula Seja T : V → W a transformação nula. foram ou o subespaço nulo ou todo o espaço vetorial.  E X E M P L O 1 6 Núcleo e imagem de uma projeção ortogonal Conforme ilustrado na Figura 8. ). 0. z z y (0. W  F(.1.3  Figura 8. assim. Conforme ilustrado na Figura 8. (b) Im(T) é todo o plano xy. Nuc(T) e Im(T) sempre foram subespaços.  E X E M P L O 1 7 Núcleo e imagem de uma rotação Seja T : R2 → R2 o operador linear que gira cada vetor no plano xy pelo ângulo ␪ (Figura 8. Como I(v)  v com qualquer vetor em V. z) T(v) (x. Como T transforma cada vetor em V em 0. Como cada vetor no plano xy pode ser obtido pela rotação de algum vetor pelo ângulo ␪.1. ambos os quais são 3 subespaços de R .4). 0) T v x x (x. os pontos que T transforma em 0  (0. Além disso.  Figura 8. como 0 é a única imagem por T de vetores em V. T transforma os pontos de R3 no plano xy. ele mesmo). o nú. 0. ) e D : V → W a transformação de derivação D(f )  f (x). 15 e 17. y. ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em (. O núcleo de D é o conjunto de todas as funções em V com derivada zero. Do Cálculo. y. sabemos que esse é o conjunto das funções constantes em (. Nos Exemplos Propriedades do núcleo e 14. Assim. segue que Nuc(T)  V. da imagem cleo foi uma reta pela origem e a imagem foi um plano pela origem. Além disto. o único vetor que gira em 0 é 0. 0. Tudo isso é uma consequência do resultado geral seguinte. 0). qualquer vetor em V é a imagem de algum vetor (a saber. y. portanto.4  E X E M P L O 1 8 Núcleo de uma transformação de derivação REQUER CÁLCULO Sejam V  C1(. 8. Como 0 é o único vetor que I transforma em 0. Nuc(T)  {0}. 0) são exatamente os do eixo z. 0. segue que Im(T)  R2. de modo que Nuc(T) é o conjunto dos pontos da forma (0. ) o espaço vetorial das funções com derivadas contínuas em (.3a.1. . Im(I)  V.  E X E M P L O 1 5 Núcleo e imagem do operador identidade Seja I : V → V o operador identidade. ). z). 0) ␪ x (a) Nuc(T) é o eixo z. Im(T) é o conjunto dos pontos da forma (x. sendo cada ponto desse plano a imagem de todos os pontos da reta vertical acima dele. segue que Nuc(I)  {0}. z) T y y (0. No Exemplo 16. segue que Im(T)  {0}.3b.1.1. (b) A imagem de T é um subespaço de W. Sejam v1 e v2 vetores em Nuc(T) e k um escalar quaisquer. Essas funções são linearmente independentes. então todas as outras soluções podem ser obtidas como combinação linear dessas duas. Também T(kv1)  kT(v1)  k0  0 de modo que kv1 está em Nuc(T).1. Para provar que é fechado na adição e multiplicação pro escalar. Pela parte (a) do Teorema 8. precisamos mostrar que con- tém pelo menos um vetor e que é fechado na adição e na multiplicação por escalar. Então T(v1  v2)  T(v1)  T(v2)  0  0  0 de modo que v1  v2 está em Nuc(T).1.3 Seja T : V → W uma transformação linear. pois nenhuma é um múltiplo escalar da outra e.1. O conjunto de todas as soluções dessa equação no in- tervalo (. existem vetores v1 e v2 em V tais que T(v1)  w1 e T(v2)  w2 As contas a seguir completam a prova. pois T(0)  0.1. de modo que esse conjunto contém pelo menos um vetor. y  c1 cos ␻x  c2 sen ␻x (6) é uma “solução geral” de (5). se w1 e w2 forem vetores em Im(T) e k for um escalar qualquer. então existem vetores a e b em V com os quais T(a)  w1  w2 e T(b)  kw1 (4) Mas. REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 1 9 Aplicação às equações diferenciais As equações diferenciais da forma y  ␻2y  0 (␻ uma constante positiva) (5) surgem no estudo das vibrações. a imagem contém pelo menos o vetor zero de W. de modo que se obtivermos duas soluções linearmente in- 2 dependentes de (5). ) é o núcleo da transformação linear D : C (. no sentido de que qualquer escolha de c1 e c2 produz alguma solução e qualquer solução é dessa forma. pela parte (a) do Teorema 8. Prova (a) Para mostrar que Nuc(T) é um subespaço. Con- tudo. mostrando que os vetores a  v1  v2 e b  kv1 satisfazem as equações de (4). Prova (b) Para mostrar que Im(T) é um subespaço de W.440 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 8. (a) O núcleo de T é um subespaço de V. a saber. como w1 e w2 estão em Im(T).  . portanto. o vetor 0 está em Nuc (T). ) → C(. ) dada por 2 D(y)  y  ␻ y 2 Mostra-se em qualquer livro texto de Equações Diferenciais que o núcleo é um subespaço bidimensional de C (. precisamos mostrar que contém pelo menos um vetor e que é fechado na adição e na multiplicação por escalar.1. devemos mostrar que. ). Deixamos para o leitor confirmar que y1  cos ␻x e y2  sen ␻x são soluções de (5). . (8) pode ser reescrita como T(kr1vr1  · · ·  knvn)  0 . então pos(T)  nul(T)  n (7) No caso especial em que A. .4 Precisamos mostrar que OPCIONAL dim(Im(T))  dim(Nuc(T))  n Vejamos a prova no caso 1 dim(Nuc(T))  n. . dizemos que sua dimensão é a nulidade de T. O teorema seguinte generaliza o Teorema 4. provamos que a soma do transformações lineares posto com a nulidade é n. vn tais que o conjunto aumentado {v1. . conse- quentemente. . Suponha que dim(Nuc(T))  r e seja v1.4 que pos(TA)  nul(TA)  n Prova do Teorema 8. .2. . . . . o núcleo de TA é o espaço nulo de A. . . Suponha que alguma combinação linear de vetores em S seja nula. então. vr . . . .1.5. Como {v1.1. que denominamos teorema da dimensão. . for uma matriz m  n e TA : Rn → Rm a multiplicação por A. temos T(v1)  · · ·  T(vr )  0. T(vn)} formam uma base da imagem de T. . segue do Teorema 8.1 Transformações lineares arbitrárias 441 Na Definição 1 da Seção 4. logo b  T(v)  cr1T(vr1)  · · ·  cnT(vn) Assim. vr1 . . vn} é uma base de V. . O posto de T é denotado por pos(T) e a nulidade por nul(T). Começamos com uma definição. Assim. vr uma base do núcleo. vr . TEOREMA 8. . 8. Disso decorre.1. . Como T é linear. vr são vetores do núcleo de T. Para completar a prova. A seguir. DEFINIÇÃO 3 Seja T : V → W uma transformação linear. . .8 definimos as noções de posto e nulidade de uma matriz m  n Posto e nulidade de e no Teorema 4. Então kr1T(vr1)  · · ·  knT(vn)  0 (8) Precisamos mostrar que kr1  · · ·  kn  0. podemos escrever o vetor v no formato v  c1v1  · · ·  crvr  cr1vr1  · · ·  cnvn Como v1. . . deixando os casos dim(Nuc(T))  0 e dim(Nuc(T))  n para os exercícios. vn} é uma base de V..2 (a prova é opcional).8. Como {v1.8. . e a imagem de TA é o espaço coluna de A. . . S gera a imagem de T. Finalmente mostramos que S é um conjunto linearmente independente e que. .4 Teorema da dimensão para transformações lineares Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial V de dimensão n num espaço vetorial W. o Teorema 4. mostramos que os n  r vetores no conjunto S  {T (vr1). . que dim(Im(T))  dim(Nuc(T))  (n  r)  r  n Primeiro provamos que S gera a imagem de T. forma uma base da imagem de T. . mostramos que esse resultado é um caso especial de um resultado mais geral sobre transformações lineares. dizemos que sua dimensão é o posto de T. . vr} é linearmente independente. Se b for um vetor qualquer da imagem de T. vr1.5b garante que existem n  r vetores vr1. e se o núcleo de T tiver dimensão finita. então b  T(v) com algum vetor v em V. Se a imagem de T tiver dimensão finita. . . . em particular. kr1  · · ·  kn  0.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Transformação linear • Determinar se uma função é uma transformação linear. 0) e T(v2)  (0. sendo v0 um vetor fixado em R3 e T(u)  u  v0. . 4). portanto. 1). T : R3 → R3.442 Álgebra Linear com Aplicações que diz que kr1vr1  · · ·  knvn está no núcleo de T. 3. sendo T(v1)  (1. 1) e v2  (1. 1) 8. sendo F(A)  AT. x2) e use essa fórmula para obter T(2. v2. 2. 4. T : M22 → R. . 2) e T(v2)  (4. Considere a base S  {v1. Considere a base S  {v1. x2) e use essa fórmula para obter T(5. (b) T(a0  a1x  a2x2)  (a0  1)  (a1  1)x  (a2  1)x2 T(v3)  (1. 1. sendo B uma matriz 2  3 fixada e T(A)  AB. 1) T(u)  ||u||. . • Contração • Encontrar uma base da imagem de uma transformação • Dilatação linear. 0) e v3  (1.  v2  (1. • Imagem • Posto • Nulidade Conjunto de exercícios 8. Esse vetor pode. 0) e seja T : R → R o operador linear tal que 2 2 1. 10. T : V → R. Encontre uma fórmula para T(x1. 5. 1. F : Mmn → Mnm. k1v1  · · ·  krvr  kr1vr1  · · ·  knvn  0 Como {v1. . completando a prova. x2. . 0) e seja T : R3 → R3 o operador linear tal que 7. . kr1vr1  · · ·  knvn  k1v1  · · ·  krvr Assim. 1. ) → F(−. determine se a função é uma transforma. 9. 2. sendo V um espaço vetorial com produto interno e T(v1)  (1. 1) e 2 ção linear. ). em que v1  (1. sendo (a) T(a0  a1x  a2x2)  a0  a1(x  1)  a2(x  1)2 T(v1)  (2. 3) e seja T : R2 → R3 a transformação linear tal que 5. • Núcleo • Encontrar a nulidade de uma transformação linear. 3. sendo T(A)  tr(A). . v2} de R . T : P2 → P2. x3) e use essa fórmula (a) T(f (x))  1  f (x) (b) T(f (x))  f (x  1) para obter T(2.1  Nos Exercícios 1–8. em que v1  (1. 11. 0. todos os coeficientes ki são nulos. • Transformação identidade • Encontrar uma base do núcleo de uma transformação linear. T : F(−. T(v2)  (3. sendo Encontre uma fórmula para T(x1. 3). . Justifique sua resposta. vr} da base. 1). v2} de R2. ser escri- to como uma combinação linear dos vetores {v1. • Operador linear • Encontrar uma fórmula para uma transformação linear • Transformação nula T : V → W sendo dados os valores de T numa base de V. 5) (a) Encontre uma fórmula para T(x1. em que v1  (2. • Transformação de avaliação • Encontrar o posto de uma transformação linear. 3). 1). T : Mnn → R. 0. v3} de R3. T : M22 → M23. 4. Considere a base S  {v1. (b) v2  (1. . digamos. vn} é linearmente independente. 6. decida se o vetor está em Im(T). Encontre uma fórmula para T(x1. Sejam V um espaço vetorial qualquer e T : V → V definido por 17. 1) 28. T(v3)  (3. 3. 1. T(v1)  (1. vetorial qualquer. 0) (b) (0. 3. 1). 4) e seja T : R3 → R2 a transforma. 0). (b) da transformação linear do Exercício 16. (b) da transformação linear do Exercício 16. decida se o vetor está em Nuc(T). Encontre uma base da imagem (b) Ax  b será consistente qualquer que seja o vetor b em (a) do operador linear do Exercício 14. x2. T(v2)  (1. (a) (0. 0. . 0) (b) Qual é a imagem de T? 18. em que v1  (1. T(v3)  (0. Seja T : P2 → P3 a transformação linear definida por 29. use a informação dada para encontrar a nulida- T(p(x))  xp(x). 1). 2) (d) o posto e a nulidade de A. Descreva o núcleo e a imagem (a) da projeção ortogonal sobre o plano xz. 31. 0) (c) (2. 8x  4y) Em cada caso.1 Transformações lineares arbitrárias 443 12. Em cada caso. (a) x2 (b) 0 (c) 1  x (b) T : P4 → P3 tem posto 1. Seja A uma matriz 7  6 tal que Ax  0 só tem a solução tri- vial e seja T : R6 → R7 a multiplicação por A. 14. e a nulidade de T. ção y  x. 2). (a) Qual é a dimensão do espaço solução de Ax  0? 21. Sejam v1. 19. Verifique a Fórmula (7) do teorema da dimensão para v2  (2. Seja T : P2 → P3 a transformação linear do Exercício 18. 26. Encontre o posto (a) do operador linear do Exercício 14. 4. T : V → R3 uma transformação linear tal que (b) uma base do núcleo de T. Em cada parte. Nuc(T). 1) (c) (0. y)  (2x  y. 22. 2. 4. para obter T(7. 2). T(v2)  (0. Seja A uma matriz 5  7 com posto 4. (b) da projeção ortogonal sobre o plano yz. 1) 16. (a) x  x2 (b) 1  x (c) 3  x2 (d) T : M22 → M22 tem posto 3. 1) (c) a transformação linear no Exercício 18. Encontre 13. T(x. 0. 0) (c) (3. 12) 15. 6) (b) (1. Encontre uma base do núcleo 30. x3) e use essa fórmula  Nos Exercícios 23–26. (a) o operador linear do Exercício 14. (a) Qual é o núcleo de T? (a) (3. v3} de R3. Seja T : R2 → R2 o operador linear dado pela fórmula 23. Seja T : R3 → W uma transformação linear de R3 num espaço (c) da transformação linear no Exercício 18. 24. Em cada caso. Seja T : R2 → R2 o operador linear do Exercício 14. 13. seja T a multiplicação pela matriz A. 8. 0) e v3  (3. v2 e v3 vetores num espaço vetorial V e seja (a) uma base da imagem de T. 9. v2. decida se o vetor está em Nuc(T). 2) (c) (1. Dê uma descrição geométrica de Nuc(T). Em cada caso. 1. (a) T : R5 → R7 tem posto 3. Considere a base S  {v1. 8. 25. Seja T : R4 → R3 a transformação linear do Exercício 16. decida se o vetor está em de da transformação linear T. cada caso. (a) (5. (c) da transformação linear no Exercício 18. (c) o posto e a nulidade de T. T(v1)  (1. decida se o vetor está em Im(T). Em T(v)  3v. Seja T : R4 → R3 a transformação linear dada pela fórmula 27. 4) (b) (5. (c) da projeção ortogonal sobre o plano definido pela equa- Em cada caso. R5? Explique. 20. ção linear tal que (b) a transformação linear do Exercício 16. (a) (1. 7). 2.  Encontre T(2v1  3v2  4v3). 1. decida se o vetor está em Im(T). 32. (c) A imagem de T : R6 → R3 é R3. 10) (b) (3. 0. 3. (Requer Cálculo) Sejam V o espaço vetorial das funções reais com derivadas contínuas de todas as ordens no intervalo (. então T é a transformação nula. vn}uma base de um espaço vetorial V e (a) Se T(c1v1  c2v2)  c1T(v1)  c2T(v2) com quaisquer veto- T : V → W uma transformação linear. em que A (e) O núcleo de uma transformação linear é um espaço vetorial. 41. a transformação linear definida por T(A)  tr(A). (Requer Cálculo) Sejam V  C[a. b] e T : V → V a transformação definida por tem posto 1. . quaisquer que sejam os vetores T(v1)  v1. w2. 37. wn de de T é 3. . Prove: se {v1. Descreva o núcleo de J. b] o espaço vetorial das funções contínuas em [a. operador linear de R2? Explique. a2x  b2y) sobre a imagem de TA : Rn → Rm? define um operador linear de R2. é uma matriz de entradas reais. a2. T(v2)  w2. (Requer Cálculo) Seja D : P3 → P2 a transformação de deri- 3 rial qualquer em R3. Exercícios verdadeiro/falso (b) A fórmula F(x. v2. . justificando sua resposta. . então T é o operador identidade de V. Será T um operador linear? . a2x2  b2 y2) define um Nas partes (a)-(i). . . . então T é uma T(v1)  T(v2)  · · ·  T(vn)  0 transformação linear. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. vn} for uma base de V e w1.444 Álgebra Linear com Aplicações 33. T(v1)  w1. o que pode ser dito F(x. vação D(p)  p(x). Sejam {v1. . (b) Encontre uma transformação linear T : V → W cujo nú- cleo seja Pn. Descreva o núcleo de D. b1 e b2 forem escalares quaisquer. . então a nulida- 39. . . . ) o espaço vetorial de todas as fun- ções reais definidas em (. então a fórmula 44. (b) Se v for um vetor não nulo em V. então existe al- (h) A função T : M22 → R definida por T(A)  det(A) é uma guma transformação linear T : V → W tal que transformação linear. . 34. ). y)  (a1x2  b1 y2. . então existe exatamente uma transformação linear T : V → W tal que T(v)  T(v). y)  (a1x  b1y. . ) e W  F(. 36. . . 43. então a fórmula 38. v2. Se A for uma matriz m  n e se o sistema linear Ax  b for consistente com qualquer vetor b em Rm. (a) Mostre que se a1. . Nuc(T). Seja T : R3 → R3 a multiplicação por 42. (Requer Cálculo) Seja J : P1 → R a transformação de integra- ção . T(vn)  wn (i) A transformação linear T : M22 → M22 definida por 40. (g) Se T : P6 → M22 for uma transformação linear. vetores em W. (a) Mostre que o núcleo de T é uma reta pela origem e en- contre equações paramétricas dessa reta. T(v2)  v2. Mostre que se (c) Existe exatamente uma transformação linear T : V → W tal que T(u  v)  T(u  v). Sejam {v1. v2. (d) Se v0 for um vetor não nulo em V. (a) Encontre uma transformação linear T : V → W cujo nú- cleo seja P3. . . Mostre que se res v1 e v2 em V e quaisquer escalares c1 e c2. Dado um inteiro positivo n  1 qualquer. T(vn)  vn u e v em V. . (b) Mostre que a imagem de T é um plano pela origem e en- contre uma equação desse plano. seja T : Mnn → R T(v)  v0  v define um operador linear de V. . . Seja T : V → R uma transformação linear de um espaço veto. não necessariamente distintos. 35. . vn} uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear. Determine a dimensão de (f) A imagem de uma transformação linear é um espaço vetorial. Dê uma descrição geométrica de Im(T). Para explicar o que se entende por isso. Como veremos. .1 O próximo teorema fornece uma maneira útil de dizer se uma dada transformação linear é injetora a partir de seu núcleo. por nos permitir efetuar cálculos vetoriais em espaços vetoriais arbitrários utilizando vetores de Rn.10. Prova (a) ⇒ (b) Como T é linear. dizemos que T é uma transformação injetora se T transformar vetores distintos de V em vetores distintos de W. a primeira das quais é uma generalização da Defini- ção 1 das Seção 4. não pode haver outros vetores em V que são transformados em 0.2 Isomorfismo 445 8. precisamos de duas definições.1a. mas não difere em sua estrutura algébrica. V W V W V W V W Imagem Imagem de T de T Injetora. 8. sabemos que T(0)  0 pelo Teorema 8.2 Isomorfismo Nesta seção. de algum vetor em V. DEFINIÇÃO 2 Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial V num espaço vetorial W. algum vetor em V. no sentido de que qualquer espaço desses pode até diferir de Rn na notação usada para representar seus vetores. sobre W. Cada vetor Não sobre W.2. TEOREMA 8. Nem todo em V têm imagens vetores distintos em V em W é a imagem de vetor em W é a imagem distintas em W.1. Injetora e sobrejetora paço vetorial Rn.1. (b) Nuc(T)  {0}. as afirmações seguintes são equivalentes.  Figura 8. o espaço vetorial Rn é a “mãe” de todos os espaços vetoriais reais de dimensão finita. Essa conexão não só tem importância teórica como tem aplicações práticas. de modo que Nuc(T)  {0}. se qualquer vetor em W for a imagem de pelo menos um vetor em V. Embora muitos dos teoremas neste texto tenham se ocupado exclusivamente com o es.2. Existem Sobre W. isso não é tão restritivo como pode parecer. estabelecemos uma conexão fundamental entre espaços vetoriais de dimensão finita e o espaço euclidiano Rn.) DEFINIÇÃO 1 Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial V num espaço vetorial W. (Ver Figura 8.2. Como T é injetora. simples- mente. (a) T é injetora. Vetores distintos Não injetora. dizemos que T é uma transformação sobrejetora ou.1 Se T : V → W for uma transformação linear. com a mesma imagem. 446 Álgebra Linear com Aplicações Prova (b) ⇒ (a) Vamos supor que Nuc(T)  {0}. temos u  v . Dados vetores distintos u e v em V. Isso implica que T(u  v) . 0. segue que T(u)  T(v)  T(u  v) . Nuc(T) conteria um vetor não nulo. caso contrário. 0 pois. Como T é linear. é injetora.1. . 0. nenhum vetor em R é aplicado na sequência (1. . . 0. ou seja. .) são transformados em (0. de modo que basta mostrar que (b) e (c) são equivalentes. (b) Mostre que T2 é sobre. (a) T é injetor. Esse operador não é sobre porque. . 0. ambos os vetores Por que o Exemplo 3 não contra- (1.4. TEOREMA 8. ou seja. . por exemplo. .).2? operador é sobre porque qualquer sequência de números reais pode ser obtida com uma escolha apropriada dos números u2. . . (c) T é sobrejetor. . . . . u3. (b) Nuc(T)  {0}. 0. . 0. portanto. mas não injetor. 0. . 0. Prova Já sabemos que (a) e (b) são equivalentes pelo Teorema 8. e só se.2.1 e considere o operador de translação de V definido por (a) Mostre que T1 é injetor. . pois um vetor v qualquer em V é a imagem do vetor (1/c)v. pode- mos acrescentar uma terceira afirmação àquelas no Teorema 8.  No caso especial em que V for de dimensão finita e T um operador linear de V. . então o operador linear T : V → V definido por T(v)  cv é injetor e sobre. Solução (a) O operador T1 é injetor porque sequências distintas de R claramente têm imagens distintas. Solução (b) O operador T2 não é injetor porque.  E X E M P L O 3 Operadores de translação Seja V  R o espaço de sequências discutido no Exemplo 3 da Seção 4. . Im(T)  V. . . .1. por exemplo.) e (2. . . . . .1. mas não sobre.1. 0. supondo que dim(V)  n e aplicando o Teorema 8.2. 0. Deixamos para o leitor mostrar isso. injetor). . . . . Esse diz o Teorema 8.  E X E M P L O 2 Operadores matriciais Se TA : Rn → Rn for o operador matricial TA(x)  Ax.2. A é invertível. 0. . 0. . .2. . 0.   E X E M P L O 1 Dilatações e contrações são injetores e sobre Mostre que se V for um espaço vetorial de dimensão finita e c algum escalar não nulo. Solução O operador T é sobre (e. as afirmações seguintes são equivalentes. 0 de modo que T transforma vetores distintos de V em vetores distintos de W. . .). então segue das partes (r) e (s) do Teorema 5.6 que TA é injetor e sobre se.2 Se V for um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V for um operador linear. un. . 2 Isomorfismo 447  E X E M P L O 4 Transformações básicas que são injetoras e sobre A transformações lineares T1 : P3 → R4 e T2 : M22 → R4 definidas por são injetoras e sobre (verifique isso mostrando que seus núcleos contêm apenas o vetor nulo).  E X E M P L O 5 Uma transformação linear injetora Seja T : Pn → Pn1 a transformação linear T(p)  T(p(x))  xp(x) estudada no Exemplo 5 da Seção 8. Por exemplo. Nossa próxima definição prepara o terreno para o resultado principal desta seção. e se uma transformação linear transformar um espaço “menor” num espaço “maior”. e também nos dizem que não existe transformação linear alguma de R2 que seja sobre todo o R3. se uma transformação linear transformar um espaço “maior” num espaço “menor”. então T não pode ser sobrejetora. Se p  p(x)  c0  c1 x  · · ·  cn x q  q(x)  d0  d1 x  · · ·  dn xn n e forem polinômios distintos. . 2. Se dim(W)  dim(V ). dizemos que T é um isomorfismo e que os espaços vetoriais V e W são isomorfos. D(x )  D(x  1)  2x  2 2 Nos exercícios. Assim. Isomorfismo DEFINIÇÃO 3 Se uma transformação linear T : V → W for injetora e sobre. ) a transformação de derivação estudada no Exemplo 11 da Seção 8. então eles diferem em pelo menos um coeficiente. que qualquer transformação linear de R3 em R2 deve transformar certos pontos distintos de R3 no mesmo ponto de R2.1. Essa transformação linear não é injetora. lineares 1. T é injetora. Logo. ) → F(. pois transforma po- linômios distintos p e q em polinômios distintos T(p) e T(q). Se dim(V)  dim(W ). Observação Essas observações nos dizem. então T não pode ser injetora. então alguns pontos do espaço “maior” devem ter a mesma ima- gem. T(p)  c0 x  c1 x  · · ·  cn x T(q)  d0 x  d1 x2  · · ·  dn xn1 2 n1 e também diferem em pelo menos um coeficiente. por exemplo. porque transforma funções que diferem por uma constante na mes- ma função.  E X E M PLO 6 Uma transformação que não é injetora REQUER CÁLCULO Seja D : C1(. então devem existir pontos do espaço “maior” que não são imagem de qualquer ponto do espaço “menor”.1. 8. pedimos ao leitor que prove os dois fatos importantes seguintes sobre uma Dimensão e transformações transformação linear T : V → W no caso em que V e W são de dimensão finita. Enunciado informalmente. O Teorema 8. 0. Para mostrar que T é injetora. revela a importância fundamental do espaço vetorial Rn. 4) 2 2 2 (4  2x  3x )  (2  4x  3x )  2  6x (4. e defina a transformação T : V → R por n T(u)  (k1. na Tabela 1 mostramos como o isomorfismo “traduz” as operações de P2 e R3. 3)  (2. Para provar a linearidade. se u e v forem vetores distintos em V. v2. devemos mostrar que. sejam u e v dois vetores de V e a um escalar e sejam u  k1v1  k2v2  · · ·  knvn e v  d1v1  d2v2  · · ·  dnvn (3) as representações de u e v como combinações lineares dos vetores da base. 6.2. Mas se u . sejam mas tem a mesma estrutura algé. v1. que é um dos mais importantes resultados da Álgebra Linear. isso. Tabela 1 Operação em P2 Operação em R3 3(1  2x  3x )  3  6x  9x 3(1. n Prova Seja V um espaço vetorial real de dimensão n.3 nos diz que um devemos encontrar uma transformação linear T : V → R que seja injetora e sobre. 5)  (3. 4. 1. Essa terminologia é apropriada porque.3 Qualquer espaço vetorial real de dimensão n é isomorfo a R .2.448 Álgebra Linear com Aplicações A palavra isomorfo deriva dos radicais gregos iso. mesmo se consistirem em objetos de tipos distintos. 0) 2 2 O próximo teorema. espa- ços isomorfos têm a mesma “forma algébrica”. como veremos agora. Para provar que V é isomorfo a R . Para n espaço vetorial real de dimensão n pode diferir de Rn na notação. uma base qualquer de V e u  k1v1  k2v2  · · ·  knvn (1) a representação de um vetor u em V como uma combinação linear dos vetores da base. Então segue de (1) que e segue de (2) que mostrando que T é linear. . então suas imagens em Rn também o são. k2. . kn) (2) Mostremos que T é um isomorfismo (linear. 9) 2 2 (2  x  x )  (1  x  5x )  3  4x (2. 3)  (2. injetor e sobre). que significa “idêntico” e morfo. . 1. vn brica. . . 1)  (1. 2. que significa “forma”. . 2. . n TEOREMA 8. Para ilustrar essa ideia. . 6. 3)  (3. v e se . 8. então devemos ter ki .2 Isomorfismo 449 as representações desses vetores em termos dos vetores da base forem como em (3). . . Assim. . T(u)  (k1. . k2. di com pelo menos um i. kn) . Mais geralmente. . . por exemplo. . um para cada base distinta. Finalmente. pois. . então segue de (2) que w é a imagem por T do vetor u  k1v1  k2v2  · · ·  knvn  Observação Note que o isomorfismo T na Fórmula (2) da prova precedente é a aplicação de coordenadas que transforma u em seu vetor de coordenadas em relação à base S  {v1. . a3. Podemos construir um iso- morfismo T : M22 → R4 escrevendo primeiro uma matriz A de M22 em termos dos vetores da base como e então definindo T como T(A)  (a1. x. ela transforma a base natural {1. . sobre e linear. v2. . xn1} de P n1 na base canônica de Rn. a transformação T é sobre pois se w  (k1. kn) n for um vetor qualquer de R . . (d1. . k2. . vn}. . .  E X E M PLO 8 O isomorfismo natural de M22 em R 4 As matrizes formam uma base do espaço vetorial M22 das matrizes 2  2. como mostra o cálculo a seguir. a2. a4) Assim. d2. geralmente há muitos isomorfismos entre V e Rn. Como em geral há muitas bases possíveis de um dado espaço vetorial. essa ideia pode ser usada para mostrar que o espaço vetorial Mmn das matrizes m  n com entradas reais é isomorfo a Rmn. . . . dn)  T(v) mostrando que u e v têm imagens distintas por T. x2. Essa transformação é denominada isomorfismo natural de Pn1 em Rn. .  E X E M P L O 7 O isomorfismo natural de Pnⴚ1 em R n Deixamos a cargo do leitor mostrar que a aplicação de Pn1 em Rn é injetora. . se V e W forem espaços com produto interno.450 Álgebra Linear com Aplicações REQUER CÁLCULO  E X E M P L O 9 Derivação por multiplicação matricial Considere a transformação de derivação D : P3 → P2 no espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3. a transformação de derivação produz a transformação matricial Assim. Em Rn. por exemplo. o es- paço com produto interno V tem as mesmas estruturas algébrica e geométrica de Rn. tomamos . bem como a estrutura algébrica. já que as noções de comprimento. a derivada pode ser calculada com o produto matricial Essa ideia é útil na construção de algoritmos numéricos para efetuar cálculos de deriva- ção. gostaría- mos que vetores ortogonais em V tivessem como contrapartida vetores ortogonais em Rn e que conjuntos ortonormais em V correspondessem a conjuntos ortonormais em Rn. cada espaço com produto interno real de dimensão n é uma “cópia carbono” de Rn com o produto interno euclidiano que difere desse espaço apenas na notação usada para representar seus vetores. então a transformação D produz uma transformação matricial corres- pondente de R4 em R3. então ambos V e R têm. v〉  u · v e. Por exemplo. ângulo e ortogonalidade têm por base o produto interno. com produto interno além de sua estrutura algébrica. dizemos que um isomorfismo T : V → W é um isomorfismo de espaços com produto interno se 〈T(u). então existe um iso- morfismo de espaços com produto interno de V em Rn. T(v)〉 = 〈u. é óbvio que ele deve preservar o produto interno. tomamos o produto interno euclidiano 〈u.  E X E M P L O 1 0 Um isomorfismo de espaços com produto interno Sejam Rn o espaço vetorial das ênuplas reais e Mn o espaço vetorial das matrizes reais n  1. respectivamente. Para um isomorfismo preservar a estrutura geométrica. é razoável perguntar se existe um isomorfismo de V em Rn que preserve a estrutura geométrica. Por meio de tal isomorfismo.  n Isomorfismos de espaços Se V for um espaço com produto interno real de dimensão n. v〉 Pode ser provado que se V for um espaço com produto interno real de dimensão n n qualquer e R tiver o produto interno euclidiano (o produto escalar). em Mn. Assim. Nesse sentido. uma estrutura geométrica resultante de seus respectivos produtos internos. Mais especificamente. Assim. Se usarmos os isomorfismos naturais para associar P3 e P2 a R4 e R3. y)  (0. • Transformação sobrejetora • Determinar se uma transformação linear é sobre. A aplicação T : Rn → Mn definida por é um isomorfismo de espaço com produto interno. 4. y  x. com T(x. Conforme indicado na figura. x (a) T : R → R . Quais das transformações do Exercício 3 são sobre? (a) T : Rm → Rm. y. 2x  2y)  Figura Ex-5 (f ) T : R3 → R2. x) 2 2 T(x) (b) T : R2 → R2. (c) T : Rm → Rn. com T(x. determine se a multiplicação por A é uma near que reflete cada ponto no eixo y. (a) y T(x) x (b) x  Figura Ex-6 (c) 7. por(T )  n  1 ortogonal na reta y  x. Em cada parte. seja T : R2 → R2 a projeção (b) T : Rn → Rn. y)  (y. y)  (x. em que u e v são dados em forma de coluna. x  y) (d) T : R2 → R3. um fato que foi utilizado várias vezes neste texto. com T(x. Quais das transformações do Exercício 1 são sobre? 6. • Isomorfismo • Determinar se uma transformação linear é um • Espaços vetoriais isomorfos isomorfismo. 1. y)  (x  y. y. (b) T será injetora? Justifique sua resposta. de modo que a distinção entre o espaço com produto interno Rn e o espaço com produto interno Mn é essencialmente uma diferen- ça de notação. nul(T )  0 5. (d) T : Rn → Rn. Em cada parte. z)  (x  y  z . (a) Encontre o núcleo de T. • Isomorfismo natural • Isomorfismo de espaço com produto interno Conjunto de exercícios 8.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Transformação injetora • Determinar se uma transformação linear é injetora. x  y  z) 2. 2x  3y) x (c) T : R2 → R2. com T(x. encontre Nuc(T) e determine se a transforma- y y=x ção linear é injetora. com T(x. com T(x.2 (b) T será injetora? Justifique sua resposta. Conforme indicado na figura. x  y) (e) T : R2 → R3.2 Isomorfismo 451 o produto interno 〈u. use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora. R(T )  Rn . 8. y)  (x  y. Em cada parte. seja T : R2 → R2 o operador li- 3. v〉  uTv. n  m (a) Encontre o núcleo de T. transformação linear injetora. (T1 T2)(u)  T1(T2(u)) . (e) Existe alguma matriz P de tamanho 2  2 tal que cação matricial para derivar funções do espaço vetorial T : M22 → M22 definida por T(A)  AP  PA seja um ger{1. (Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial C [0. interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos orto- (c) Encontre um isomorfismo entre o espaço vetorial de normais? Explique seu raciocínio. mostre que o ângulo 11. todos os polinômios de grau no máximo 3 e tais que 20. 1 13. cos(2x)}. Prove: só pode haver alguma transformação linear de V sobre W se dim(V ) dim(W). Expli- 9. Prove que um isomorfismo de espaços com produto interno preserva ângulos e distâncias. (a) Os espaços vetoriais R2 e P2 são isomorfos. 14. ou seja. Decida se a fórmu- la T(A)  EA define um operador linear injetor de M22. T : V → R por então T é um isomorfismo. ção . então nenhuma transformação li- near T : V → W é injetora. Exercícios verdadeiro/falso 12. (Requer cálculo) Seja J : P1 → R a transformação de integra. 17. projetado para encontrar a derivada de (f) Existe alguma transformação linear T : P4 → P4 tal que o nú- 3  4 sen(x)  sen(2x)  5 cos(2x). Decida se a fórmula T(v)  a  v define um operador linear injetor de R3. 15. (d) Existe algum subespaço de M23 que é isomorfo a R4. (a) Encontre um isomorfismo entre o espaço vetorial de to- entre u e v em V é igual ao ângulo entre T(u) e T(v) em W e das as matrizes 3  3 simétricas e R6. Seja a um vetor em R3 fixado. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Prove: se V e W forem espaços vetoriais de dimensão finita que seu raciocínio. cos(x)} e R3. (Requer cálculo) Projete um método de usar a multipli. Explique seu raciocínio. (b) Encontre dois isomorfismos diferentes entre o espaço de 19. c)  ax2  bx  c define uma (a) T : P2 → P3 com transformação linear injetora de R3 em P2. A composição definida pela fórmula de T2 com T1 é (T2 T1)(u)  T2(T1(u)) (T2 T1)(u)  T2(T1(u)) (1) enquanto a composição de T1 com T2 é em que u é um vetor em U.3 Composições e transformações inversas Na Seção 4. Esta seção estende algumas daquelas ideias a transformações lineares arbitrárias. Determine se T é injetora e justifique sua resposta. T(f )  f (0)  2f (0)  3f  (1) (c) Qualquer transformação linear de M33 em P9 é um isomorfis- mo. sua resposta. b. Observe que a palavra “com” es. Nas partes (a)-(f). Verifique que T é uma transformação linear. Em cada parte.10. (b) T : P2 → P2 com T(p(x))  p(x  1) 16. denotada por T2 T1 (que lemos “T2 bola T1”) é a aplicação de composição. cleo de T seja isomorfo à imagem de T. Encontre um isomorfismo de espaços com produto interno p(0)  0 e R3.10 a transformações lineares ar- transformações lineares bitrárias. 18.452 Álgebra Linear com Aplicações 8. Justifique justificando sua resposta. Composição de A definição seguinte estende a Fórmula (1) da Seção 4. tais que dim(W) < dim(V). É verdade que um isomorfismo de espaços com produto todas as matrizes 2  2 e R4. Use o método isomorfismo. cos(x). DEFINIÇÃO 1 Se T1 : U → V e T2 : V → W forem transformações lineares. discutimos a composição e a inversa de transformações matriciais. Determine se J é injetora. Explique seu raciocínio. entre P5 e M23. 8. então a tabelece a ordem nas operações composição de T2 com T1. 1] e defina (b) Se o núcleo de uma transformação linear T : P3 → P3 for {0}. Seja E uma matriz elementar 2  2 fixada. 10. Decida se a fórmula T(a. sen(x). determine se a transformação linear T é injetora. que ||u  v||V  ||T(u)  T(v)||W. sen(2x). sen(x). (d) Encontre um isomorfismo entre os espaços vetoriais ger{1. T2 T1 satisfaz as duas exigências de uma transformação linear.1).1). Prova Se u e v forem vetores em U e c um escalar. TEOREMA 8.3 Composições e transformações inversas 453 Observação Note que essa definição exige que o domínio de T2 (que é V) contenha a imagem de T1. T IT e I TT  (2) . Isso é essencial para que a fórmula T2(T1(u)) faça sentido (Figura 8. 8.1 A composição U V W de T2 com T1. dado qualquer vetor v em V.3. ela mesma. Nosso primeiro teorema mostra que a composição de transformações lineares é. então  E X E M P L O 2 Composição com o operador identidade Se T : V → V for um operador linear qualquer e I : V → V o operador identidade (Exemplo 3 da Seção 8. T2 ° T1 T1 T2 u T1(u) T2(T1(u))  Figura 8. ou seja. então segue de (1) e da linearidade de T1 e de T2 que e Assim.1 Se T1 : U → V e T2 : V → W forem transformações lineares.3. uma transformação linear. se p(x)  c0  c1x. temos Segue que T I e I T são iguais a T. então (T2 T1) : U → W também é uma transformação linear.   E X E M P L O 1 Composição de transformações lineares Sejam T1 : P1 → P2 e T2 : P2 → P2 as transformações lineares dadas pelas fórmulas T1(p(x))  xp(x) e T2(p(x))  p(2x  4) Então a composição (T2 T1) : P1 → P2 é dada pela fórmula (T2 T1)(p(x))  T2(T1(p(x)))  T2(xp(x))  (2x  4)p(2x  4) Em particular.3. então. então o domínio de T1 é a imagem de T. T2 : V → W e T3 : W → Y forem transformações lineares.3. segue do Teorema 8. podemos definir a composição com mais do que duas transformações lineares. se T1 : U → V. aplicadas em sucessão e em qualquer ordem. denominada transformação inver- sa de T e denotada por T1.3). Lembre que se T : V → W for uma transformação linear.2. Nosso próximo objetivo é estender a noção de invertibilidade a transfor- mações lineares arbitrárias. Observação É importante notar que se T : V → W for uma transformação linear injetora. caso em que o operador inverso é TA1. Contudo.2 A composição de três transformações lineares. Por exemplo. então x é a imagem por TA1 do vetor w (Figura 4. T v w = T(v)  Figura 8.3. que transforma w de volta em v (Figura 8. Essa unicidade nos permite definir uma nova aplicação. Além disso. é o subespaço de W consistindo em todas as imagens por T de vetores em V.1.3.3.2 que T também deve ser sobre. e só inversas se.10. segue da definição de T1 que T1(T(v))  T1(w)  v (4) 1 T (T (w))  T(v)  w (5) 1 de modo que T e T . no caso especial em que T : V → V for um operador linear injetor e V um espaço vetorial de dimensão n.10. de modo que o domínio de T1 é todo o espaço V.8). ao passo que a imagem pode ou não ser todo o W.454 Álgebra Linear com Aplicações Conforme indicado na Figura 8. deno- tada por Im(T). a matriz A é invertível. Se T for injetora. então a imagem de T. V T Im(T) Pode ser provado (Exercício 19) que T1 : Im(T) → V é uma transformação linear. mostramos que um operador matricial TA : Rn → Rn é injetor se. Depois mostramos que se w for a imagem de um vetor x pelo operador TA. então cada vetor w em Im(T) é a imagem de um único vetor v em V. . então a composição T3 T2 T1é definida por (T3 T2 T1)(u)  T3(T2(T1(u))) (3) (T3 ° T2 ° T1)(u) T1 T2 T3 u T1(u) T2(T1(u)) T3(T2(T1(u))) U V W Y  Figura 8. cancelam uma o efeito da outra. Transformações lineares No Teorema 4.3 A inversa de T –1 transforma T(v) de volta em v.2. no caso em que n 3.9 que a matriz canônica de T é (verifique). Isso é evidente a partir da fórmula de T. mas apenas o subespaço de Pn1 consistindo em todos os polinômios com termo constante zero. x3).2 Se T1 : U → V e T2 : V → W forem transformações lineares injetoras. Nesse caso. x2. encontre T (x1. Composição de ra e relaciona a inversa da composição às inversas das transformações lineares individuais. a imagem de T não é todo o espaço Pn1. x2. a matriz canônica de T 1 é Segue que Expressando esse resultado em notação horizontal. 8. 2x1  4x2  3x3. como segue. assim. 12x1  7x2  10x3)  O próximo teorema mostra que a composição de transformações lineares injetoras é injeto. se for.3 Composições e transformações inversas 455  E X E M P L O 3 Uma transformação inversa No Exemplo 5 da Seção 8. Essa matriz é invertível e. 5x1  4x2  2x3) 1 Determine se T é injetor. mostramos que a transformação linear T : Pn → Pn1 dada por T(p)  T(p(x))  xp(x) é injetora. Solução Segue da Fórmula (12) da Seção 4. x2. T(c0  c1 x  · · ·  cn x )  c0 x  c1 x  · · ·  cn x n 2 n1 Segue que T 1 : Im(T ) → Pn é dada pela fórmula 1 T (c0 x  c1 x  · · ·  cn x )  c0  c1 x  · · ·  cn x 2 n1 n Por exemplo. x3)  (4x1  2x2  3x3. pela Fórmula (7) da Seção 4. 1 T (2x  x  5x  3x )  2  x  5x  3x 2 3 4 2 3  E X E M P L O 4 Uma transformação inversa Seja T : R3 → R3 o operador linear definido pela fórmula T(x1. T tem uma inversa. . 11x1  6x2  9x3. transformações lineares injetoras TEOREMA 8. x3)  (3x1  x2.10. temos 1 T (x1. então (a) T2 T1 é injetora e (b) (T2 T1)1  T11 T21.3.2. 2 afirma que a inversa de uma composição é a composição das inversas na ordem inversa. seja 1 u  (T2 T1) (w) (6) de modo que o nosso objetivo é mostrar que 1 u  (T1 T21)(w) Observe que de (6) segue (T2 T1)(u)  w ou. usando (4). a Fórmula (7) Note a ordem das matrizes nos pode ser escrita como índices dos dois lados de (8). T2(T1(u)) = w 1 1 Agora. aplicando T em cada lado dessa equação. obtemos que T2(T1(u)) e T2(T1(v)) também serão vetores distintos. depois aplicando T1 em cada lado do 2 resultado e. equivalentemente. então T1(u) e T1(v) serão veto- res distintos em V. 1 u  (T1 T21)(w)  Em palavras. TB e TC forem operadores matriciais em R . Para isso. Mas se u e v forem vetores distintos em U. alternativamente. equivalentemente. No entanto. a parte (b) do Teorema 8. Prova (b) Queremos mostrar que 1 1 1 (T2 T1) (w)  (T1 T2 )(w) qualquer que seja o vetor w na imagem de T2 T1. pois T1 é injetora. essas expressões também podem ser escritas como (T2 T1)(u) e (T2 T1)(v) de modo que T2 T1 transforma u e v em vetores distintos em W. por exemplo. 1 1 (TC TB TA)  TA TB1 T C1 ou. obtemos (verifique) 1 1 u  T1 (T2 (w)) ou.456 Álgebra Linear com Aplicações Prova (a) Queremos mostrar que T2 T1 transforma vetores distintos de U em vetores distintos em W. (TCBA)1  TA1B1C1 (8) . então. Usando isso e o fato de que T2 é injetora. (T3 T2 T1)1  T11 T21 T31 (7) n No caso especial em que TA. Esse resultado pode ser estendido a compo- sições de três ou mais transformações lineares.3. 14. .3 10. T(x1. y)  (2x. encontre (a) T1(x. • Encontrar a composição de duas transformações lineares. (c) T(x1. . Sejam T1 : M22 → R e T2 : M22 → M22 as transformações linea- res dadas por T1(A)  tr(A) e T 2(A)  AT. . (a) T1(x. 3y. x  y  z) 11. . . z)  (x  z. . encontre uma fórmula para T 1(x1. y. 3x. (a) T3 T2 T1 é uma transformação linear. x). . y). Seja T : Rn → Rn o operador linear definido pela fórmula T2(p(x))  xp(x). y)  (x  3y. . . T2(x. y. . • Encontrar a inversa de uma transformação linear. y)  (2x. . . y)  (4x  5y. x2. Seja q0(x) um polinômio de grau m fixado e defina a função T em que a1. se for. . z. x2. x). . y. Sejam T1 : Pn → Pn e T2 : Pn → Pn os operadores lineares da. 0). x  y) (b) T1(x. x1) 6. . y)  (2y. . Encontre (T2 T1)(a0  a1x  a2x2). encontre 2. xn). Seja T1 : V → V a dilatação T1(v)  4v. . • Determinar se uma transformação linear tem uma inversa. x2. y. xn)  (a1x1. x  2y) 9. . Em cada parte. . xn)  (0. 4z  x  3y) (a) (b) 3. T3(x. xn)  (xn. (c) (d) (b) Você consegue encontrar (T1 T2)(A)? Explique. anxn) 7. Em cada parte. y. y. y)  (x  y. T2(x. . xn. x1) linear T2 : V → V tal que T1 T2  I e T2 T1  I. Em cada caso. xn). seja T : R2 → R2 a multiplicação por A. . y. Deter- mine se T tem uma inversa. . . z)  (0. x1. . x2. encontre (T2 T1)(x. . x2. (a) Sob quais condições T terá uma inversa? 8. xn1. Encontre injetor. y  z) (a) (b) (c) (d) T1(x. . Deter- 1. T2(x. Use a definição de T3 T2 T1 dada na Fórmula (3) para pro. . xn1) 5. encontre (T2 T1)(x. . seja T : R3 → R3 a multiplicação por A. de domínio Pn pela fórmula T(p(x))  p(q0(x)). z)  (y. Suponha que as transformações lineares T1 : P2 → P2 e T2 : P2 → P3 sejam dadas pelas fórmulas T1(p(x))  p(x  1) e 13. x2. 3y). . (a) T(x1. z)  (3x  2y. x  y). . T2(x. . Seja T : R3 → R3 a projeção ortogonal de R3 sobre o plano xy. 8. . y  z) (b) T1(x. (a) Mostre que T1 e T2 são injetores. encontre T 1(x1. . 3x  6y) (c) T1(x. x). . se tiver. Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 os operadores lineares da- dos pelas fórmulas (c) T3 T2 T1 = T3 (T2 T1). y)  (x  y. se tiver. y)  (2x  y. an são constantes. T1(x. Conjunto de exercícios 8. . a2x2. z)  (0. Mostre que T é uma transformação linear. x3. T2(x. (a) Encontre (T1 T2)(A) com . . y)  (x  y. . x  y  z. Em cada caso. x2. y). . 4. 3y). x  y) e T2(x. y. . . Mostre que T T  T.3 Composições e transformações inversas 457 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Composição de transformações lineares • Encontrar o domínio e a imagem da composição de duas • Inversa de uma transformação linear transformações lineares. Em cada parte. x2. mine se T tem uma inversa. . . xn)  (x2. . z)  (x  y. (b) Supondo que as condições determinadas na parte var que (a) estejam satisfeitas. . Encontre um operador (b) T(x1. (b) T3 T2 T1 = (T3 T2) T1. T2(x. 12. y)  (x  y. . determine se o operador linear T : Rn → Rn é dos por T1(p(x))  p(x  1) e T2(p(x))  p(x  1). T3(x. (T1 T2)(p(x)) e (T2 T1)(p(x)). x  2y). respectivamente. então T1 T2  T2 T1.4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias Nesta seção. ␪1 e T2 : R2 → R2 é a rotação em torno da origem pelo ân- (d) Se uma transformação linear T tiver uma inversa. (a) A composição de duas transformações lineares também é  Nos Exercícios 20–21. B uma base de W e que. T21(p(x)) e (a) f(x)  x2  3x  2 (b) f(x)  sen x (T2 T1)1 (p(x)). qualquer que seja o valor real de k. Nas partes (a)-(h). Sejam TA : R3 → R3. mostramos que uma transformação linear arbitrária de qualquer espaço vetorial de dimensão n num espaço vetorial de dimensão m pode ser considerada como uma transformação matricial apropriada de Rn em Rm.1. p(1)) (a) Encontre T(1  2x). (a) Mostre que D e J são transformações lineares. T1 T2  T2 T1. Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. então tampouco T2 T1 será injetora. justificando sua resposta. y). T2 : R2 → R2 é a projeção ortogonal no eixo y. Suponha também que B seja uma base de V. xz e yz. Verifique a Fórmula mutuamente. Exercícios verdadeiro/falso 19. (a) Encontre fórmulas para T11(p(x)). então ␪1 e T2 : R3 → R3 é a rotação em torno do eixo z pelo ân- T1 : R2 → R2 associa a cada ponto do eixo x uma reta que é gulo ␪2. y). (b) T1 : R2 → R2 é a projeção ortogonal no eixo x e T2 : R2 → R2 é a rotação anti-horária pelo ângulo ␪. 21. determine se uma transformação linear. (c) A inversa de uma transformação linear é uma transformação (b) T1 : R2 → R2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo linear. então T 1 : Im(T ) → V é uma transformação linear injetora. pois os computadores são muito bons em cálculos matriciais. 8. encontre (J D)( f ). dado qualquer x em V. Seja T : R2 → R2 o operador linear dado pela fórmula inversas? T(x. 15. y). cleo de T será o espaço nulo.  (b) Se T1 : V → V e T2 : V → V forem dois operadores lineares 20. W um espaço vetorial de dimensão lineares m e T : V → W uma transformação linear. T21 (x. (Requer Cálculo) Sejam (c) Verifique que (T2 T1)1  T11 T21. Em cada parte. 3) e esboce seu gráfico. 23. (Requer Cálculo) O teorema fundamental do Cálculo implica 16. (T2 T1)1(x. Defina a transformação D : Pn → Pn1 por (8) com esses operadores. (a) T1 : R2 → R2 é a reflexão no eixo x e T2 : R2 → R2 é a re- (f) Se T1 : U → V e T2 : V → W forem transformações lineares e flexão no eixo y. de D e J de tal modo que sejam transformações lineares 18. então o nú- gulo ␪2. (b) Explique por que J não é a transformação inversa de D. (c) f(x)  e  3 x (b) Verifique que (T2 T1)1  T11 T21. Essa ideia é utilizada em cálculos computacionais. (c) T1 : R3 → R3 é a rotação em torno do eixo x pelo ângulo (e) Se T : R2 → R2 for a projeção ortogonal sobre o eixo x. (a) T1 : R2 → R2 é a projeção ortogonal no eixo x e quaisquer. se T1 não for injetora. D(p(x))  p(x) e defina J : Pn1 → Pn por 17. Matrizes de transformações Suponha que V seja um espaço vetorial de dimensão n. y)  (x  ky. (b) Mostre que T é uma transformação linear. TB : R3 → R3 e TC : R3 → R3 as reflexões que a integração e a derivação são ações que se cancelam nos planos xy. a matriz de coordenadas de x e T(x) sejam [x]B e [T(x)]B.4.458 Álgebra Linear com Aplicações (b) Encontre fórmulas para (c) T1 : R3 → R3 é a dilatação de fator k e T2 : R3 → R3 é a 1 rotação anti-horária em torno do eixo z pelo ângulo ␪.1). y) 22. T1 (x. em cada caso. respectivamente (Figura 8. (c) Será possível restringir o domínio ou o contradomínio (d) Encontre T1(2. perpendicular ao eixo x. . Mostre que T é injetor e que T1  T. (c) Mostre que T é injetora. Seja T : P1 → R2 a função definida pela fórmula T(p(x))  (p(0). Sejam T1 : P2 → P3 e T2 : P3 → P3 os operadores lineares da- dos pelas fórmulas T1(p(x))  xp(x) e T2(p(x))  p(x  1) as transformações lineares dos Exemplos 11 e 12 da Seção 8. ou seja. . A[u2]B  [T(u2)]B. . . vm} uma base do espaço vetorial W de dimensão m. sejam B  {u1. Multiplique [x]B à esquerda por A para obter [T(x)]B . Reconstrua T(x) a partir de seu vetor de coordenadas [T(x)]B . Passo 2. . u2.4. A[un]B  [T(un)]B (2) Mas . Encontrando T(x) indiretamente Passo 1. . seremos capazes de executar a transformação linear T usando a multiplicação matricial e o procedimento indireto indicado a seguir.4. .4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 459 T Um vetor x T(x) Um vetor em V em W (de dimensão n) (de dimensão m) Um vetor Um vetor em Rn [x]B [T(x)]B' em Rm  Figura 8.4. . Como a Equação (1) deve valer qualquer que seja o vetor em V. . Passo 3. qualquer que seja o vetor v em V (Figura 8.1 Nosso objetivo é encontrar uma matriz A de tamanho m  n tal que a multiplicação por A transforma o vetor [x]B no vetor [T(x)]B. A[u1]B  [T(u1)]B. 8.2b. então. .2 O passo fundamental para executar esse plano é encontrar uma matriz A de tamanho m  n com a propriedade de que A[x]B  [T(x)]B (1) Para isso. Calcule o vetor de coordenadas [x]B . v2. conforme sugere a Figura 8. Se conseguirmos isso. un} uma base do espaço vetorial V de dimensão n e B  {v1.2a). deve valer em particular com os vetores de base B. T transforma V em W T Cálculo x T(x) x T(x) direto (1) (3) Multiplicação por A [x]B [T(x)]B' [x]B [T(x)]B' A (2) A multiplicação por A transforma Rn em Rm (a) (b)  Figura 8.4. . . . 4.2a é A  [T(u1)]B | [T(u2)]B | · · · | [T(un)]B (3) Dizemos que essa é a matriz de T em relação às bases B e Bⴕ. B e.4.4. o índice da direita é uma base do domínio de T e o índice da esquerda é uma base do contradomínio de T (Figura 8. B . Com essa notação. B [x]B  [T(x)]B (5) contradomínio do domínio Deixamos como um exercício mostrar que. essa matriz tem a propriedade de que Uma base do Uma base [T ]B. B  C (6) [T]B. a matriz A que completa a gráfico na Figura 8. B [x]B = [T(x)]B Cancelamento Observação Observe que na notação [T]B. Além disso. T(un) em relação à base B. . por (1). respectivamente. B  [T(u1)]B | [T(u2)]B | · · · | [T(un)]B (4) [T]B. que denotamos por [T ]B. T(u2). observe como o  Figura 8.4. . então [TC ]B. B . . podemos reescrever a Fórmula (3) como [T ]B.4 índice B parece “cancelar” na Fórmula (5) (Figura 8. Assim. .4).3). no caso especial em que TC : R → R é a mul- n m  Figura 8. .3 n m tiplicação por C e em que B e B são as bases canônicas de R e R .4.460 Álgebra Linear com Aplicações de modo que A substituição desses resultados em (2) fornece o que mostra que as colunas sucessivas de A são os vetores de coordenadas de T(u1). v1  1. O vetor de coordenadas de x  a  bx em relação à base B  {1. x} é Passo 2. obtemos T(a  bx)  0  ax  bx  ax  bx 2 2 . Passo 3. v3} em que u1  1. Reconstruindo T(x)  T(a  bx) a partir de [T(x)]B . u2} e B  {v1. Multiplicando [x]B pela matriz [T]B. v2  x. os vetores de coordenadas de T(u1) e T(u2) em relação a B são Assim.4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 461  E X E M P L O 1 A matriz de uma transformação linear Seja T : P1 → P2 a transformação linear definida por T(p(x))  xp(x) Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas B  {u1. a matriz de T em relação a B e B é  E X E M P L O 2 O procedimento de três passos Considere a transformação linear T : P1 → P2 do Exemplo 1 e use o procedimento de três passos descrito na figura seguinte para calcular T(a  bx)  x(a  bx)  ax  bx 2 Cálculo x T(x) direto (1) (3) Multiplicação por [T]B. u2  x . v2. v3  x2 Solução Pela fórmula dada para T. 8. B [x]B [T(x)]B (2) Solução Passo 1. obtemos Embora o Exemplo 2 seja sim- ples. o procedimento ilustrado é aplicável a problemas de grande complexidade. B encontrada no Exemplo 1. obtemos Por inspeção. . Nesse caso. v2. a segunda em relação às bases B e B fornecidas no exemplo. [T ]B[x]B  [T(x)]B (8) No caso especial em que T : R → R é um operador matricial. obtemos (verifique) T(u1)  v1  2v3. . u2. u2} de R2 e B  {v1. então a Fórmula (7) simplifica para [T ]B  A (9) . digamos a multiplicação n n por A e em que B é a base canônica de Rn. então as Fórmulas (4) e (5) se tornam Dito informalmente. e portanto. é cos- lineares tume tomar B  B na construção de uma matriz de T. v3} de R3. Nesse caso. B . as Fórmu- las (7) e (8) afirmam que a ma- triz de T. sendo Solução Pela fórmula de T.  Observação O Exemplo 3 deixa claro que uma transformação linear específica geralmente tem múltiplas representações. . v2 e v3. Se B  {u1. Matrizes de operadores No caso especial em que V  W (de modo que T : V → V é um operador linear). quando multiplicada [T ]B  [T(u1)]B | [T(u2)]B | · · · | [T(un)]B (7) pelo vetor de coordenadas de x produz o vetor de coordenadas de T(x). Expressando esses vetores como combinações lineares de v1. T(u2)  3v1  v2  v3 Assim. a primeira em relação às bases canônicas de R2 e R3. cada uma dependendo das bases escolhidas. a matriz resultante é denominada matriz de T em relação à base B e costuma ser denotada por [T ]B em vez de [T ]B. ambas as matrizes representam a transformação T. . un}.462 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 3 A matriz de uma transformação linear Seja T : R → R a transformação linear definida por 2 3 Encontre a matriz da transformação T em relação às bases B  {u1.  E X E M P L O 4 Matrizes de operadores identidade Se B  {u1. O exemplo seguinte mostra que se identidade V for de dimensão n. . un} for uma base de um espaço vetorial V de dimensão finita e se I : V → V for o operador identidade de V. . x. . O vetor de coordenadas de p  1  2x  3x em relação à base B  {1. T(x)  3x − 5. x }. 8. I(u2)  u2 .4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 463 Lembre que o operador identidade I : V → V transforma cada vetor de V nele mesmo. então a matriz de I em relação a qualquer base B de V é a matriz identidade n  n. então I (u1)  u1 . . Assim. I (un)  un Segue que  E X E M P L O 5 Operador linear de P2 Seja T : P2 → P2 o operador linear definido por T(p(x))  p(3x  5) isto é. T(1)  1. 2 2 2 T(x ) = (3x − 5) = 9x − 30x + 25 portanto. 2 (b) Use o procedimento indireto para calcular T(1  2x  3x2). Solução (b) Passo 1. u2. . I(x)  x. qualquer que seja o vetor x em V. . Solução (a) Pela fórmula de T. T(c0  c1 x  c2 x )  c0  c1(3x  5)  c2(3x  5) . (c) Confira o resultado em (b) calculando diretamente T(1  2x  3x2). Matrizes de operadores ou seja. 2 2 (a) Encontre [T ]B em relação à base B  {1. x } é 2 2 . x. . . 4. se valerem essas condições equivalentes. de acordo com o resultado em (b). TEOREMA 8.4.464 Álgebra Linear com Aplicações Passo 2.1. em (10). B  [T3]B.1 Se T1 : U → V e T2 : V → W forem transformações lineares e B.  Matrizes de composições e Concluímos esta seção mencionando sem prova dois teoremas que generalizam as Fórmu- de inversas las (4) e (7) da Seção 4.  Figura 8.10. B [T2]B. B e B bases de U. B (12) T1 T2 T3 Base B Base B Base B Base B  Figura 8. então (11) [T2 ° T1]B.5).4. B  [T2]B. obtemos 2 T(1  2x  3x )  66  84x  27x 2 2 Solução (c) Calculando diretamente.4. o índice interno B (a base do espaço intermediário V) pa- rece “cancelar”.5 [T3 T2 T1]B.6). V e W.4. Além disso. B = [T2]B. . (a) T é injetor.2 Se T : V → V for um operador linear e B uma base de V. B [T1]B .6 O próximo exemplo ilustra o Teorema 8. B Observação Observe como. Esse cancelamento de índices internos sugere a extensão seguinte da Fórmula Cancelamento Cancelamento (10) da composição de três transformações lineares (Figura 8. B [T1]B . (b) [T]B é invertível. obtemos Passo 3. então [T2 T1]B. deixando como índices somente as bases do domínio e do contradomínio da com- posta (Figura 8. respectivamente. B (10) TEOREMA 8. Multiplicando [p]B pela matriz [T]B encontrada na parte (a).B [T1]B .4.4. Reconstruindo T(p)  T(1  2x  3x ) a partir de [T(p)]B. as afirma- ções seguintes são equivalentes. B  [(T2 T1)(1)]B | [(T2 T1)(x)]B (16) Usando (13). segue de (14) que (15) Para conferir. Nos 2 Exemplos 1 e 5. o que simplifica a fórmula para [T2 T1]B. x }. B  [T2]B [T1]B. segue que 2 Substituindo em (16). Como B  {1. obtemos (T2 T1)(1)  3x  5 e (T2 T1)(x)  (3x  5)2  9x2  30x  25 Disso e do fato de termos B  {1. B diretamente da Fórmula (4).  . podemos tomar B  B em (10). x}.4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 465  E X E M P L O 6 Composição Sejam T1 : P1 → P2 a transformação linear definida por T1(p(x))  xp(x) e T2 : P2 → P2 o operador linear definido por T2(p(x))  p(3x  5) Então a composição (T2 T1) : P1 → P2 é dada por (T2 T1)(p(x))  T2(T1(p(x)))  T2(xp(x))  (3x  5)p(3x  5) Assim. obtemos que confere com (15). se- gue da Fórmula (4) com u1  1 e u2  x que [T2 T1]B. calculamos [T2 T1]B. x. 8. B (14) Para base de P1 escolhemos B  {1. x }.4. x. assim. P1 desempenha o papel de U no Teorema 8.1 e P2. mostramos que Assim. x} e para base de P2 escolhemos B = {1. se p(x)  c0  c1x. então (13) Nesse exemplo. o de ambos V e W. x3)  (x1  x2. v4} em que (b) Verifique que a matriz [T ]B. v3}. x2. Seja T : R2 → R3 definida por B  {1. v3}.4 1. (b) Verifique que a matriz [T]B obtida na parte (a) satisfaz a Fórmula (8) com qualquer vetor x  a0  a1x  a2x2 em P2. 1). Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por 2. ou seja. (a) Encontre [T ]B. u3} e B  {v1. 0. v2  (0. T(c0  c1x  c2x2)  c0  c1(2x  1)  c2(2x  1)2 4. B em relação às bases T(p(x))  xp(x). x1  x3) T(a0  a1x  a2x2)  (a0  a1)  (2a1  3a2)x (a) Encontre a matriz de T em relação à base B  {v1. em que (a) Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas B  {u1. (b) Use o procedimento de três passos ilustrado no Exemplo 2 para calcular T(1  x  x2). Seja T : P2 → P3 a transformação linear definida por (a) Encontre a matriz [T ]B. 7. (b) Verifique que a Fórmula (8) com qualquer vetor 3. encontre a matriz de T1 em rela- ção à base B. v2. x2. B obtida na parte (a) satisfaz a v1  (1. T(a0  a1x  a2x2)  a0  a1(x  1)  a2(x  1)2 (c) T será injetor? Se for. (b) Verifique que a matriz [T ]B. B em relação às bases B  {1. ou seja. x3}. v3  (1. x. B  {u1. P2. v3. u2} a base em que (c) Confira o resultado obtido na parte (b) calculando direta- mente T(2  3x  4x2). 6. B obtida na parte (a) satisfaz a Fórmula (5) com qualquer vetor x  c0  c1x  c2x2 em (b) Verifique que a Fórmula (5) vale com qualquer vetor em R2. Seja T : R → R o operador linear definido por 2 2 (a) Encontre [T ]B em relação à base B  {1. . 1. x2  x1. x2} e B  {1. encontrar T(x) usando a matriz de T em relação a bases de V e W. 0) Fórmula (5) com qualquer vetor x  c0  c1x  c2x2 em P2. Seja T : P2 → P1 a transformação linear definida por T(x1. u2} e B  {v1. • O procedimento de três passos para encontrar T(x) • Dada uma transformação linear T : V → W. x2}. (a) Encontre a matriz de T em relação à base canônica B  {1. x3) em R3. v2. (a) Encontre [T ]B. u2. x. x2} e 5. v2. (c) Confira o resultado obtido na parte (b) calculando direta- mente T(1  x  x2). x. e seja B  {u1. Seja T : P2 → P3 a transformação linear definida por T(p(x))  xp(x  3). (b) Use o procedimento de três passos ilustrado no Exemplo 2 para calcular T(2  3x  4x2).466 Álgebra Linear com Aplicações Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Matriz de uma transformação linear em relação a bases • Encontrar a matriz de uma transformação linear • Matriz de um operador linear em relação a uma base T : V → W em relação a bases de V e W. Seja T : P2 → P2 o operador linear definido por T(p(x))  p(2x  1). x. Conjunto de exercícios 8. x. x} de P2 e P1 . (a) Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas em que B  {1. 8. 1). Seja T : P2 → P2 o operador linear definido por x  (x1. x2. x2} de P2. T(c0  c1x  c2x2)  x(c0  c1(x  3)  c2(x  3)2) (b) Verifique que a Fórmula (8) vale com qualquer vetor x em R2. 1. T(v2). de um subespaço V do espaço vetorial das funções reais defi- (c) Encontre uma fórmula para T(a0 + a1x + a2x2). la que você enunciou na parte (b). f2  ex . encontre a matriz (d) Use a fórmula obtida em (c) para calcular T(1  x2). em que v1  3x  3x . (b) Encontre T(v1) e T(v2). [T2]B e [T1]B. (d) Repita as instruções da parte (c) para a matriz da parte (b). em (b) Enuncie uma fórmula relacionando as matrizes da parte que (a). x2} e B  {1. x2} as bases canônicas de P1 e 9. T1(c0  c1x)  2c0  3c1x (d) Use a fórmula obtida em (c) para calcular . v3}. 11. (c) Encontre uma fórmula para . [T(v2)]B e [T(v3)]B . Seja a matriz de T : P2 → P2 em re. v2. B . T(v3) e T(v4). (a) p1  1. 17. então a matriz de T em relação a qualquer base de V é um múltiplo escalar positivo da matriz identidade. v4} e B = {w1. v3. Sejam T1 : P1 → P2 a transformação linear definida por (a) f1  1. 19. v3  3  7x  2x2. p3} dada. 18. w3}. p3  x2 (b) p1  2. (c) Verifique que as matrizes da parte (a) satisfazem a fórmu- (a) Encontre [T(v1)]B e [T(v2)]B . (Requer Cálculo) Em cada parte. Nas partes (a). então a matriz de T em relação a quaisquer bases de V e de W é a matriz zero. v2. [T(v3)]B e [T(v4)]B . 15. p3  2  3x  8x2 lação às bases B  {v1. x. . B  {f1. então a matriz de uma transformação linear T : Rn → Rm em relação às bases B e B será a matriz canônica de T. 2 (c) Use a matriz da parte (a) para calcular D(6  6x  24x2). [T(v2)]B . Mostre que se T : V → W for a transformação nula. Mostre que se T : V → V for uma contração de V (Exemplo 4 da Seção 8. f3  cos x T1(p(x))  xp(x) (b) f1  1. B e [T1]B . w2. Seja a matriz de T : R4 → R3 em Sejam B  {1. x. f3  x2e2x e T2 : P2 → P2 o operador linear definido por (d) Use a matriz da parte (c) para calcular T2(p(x))  p(2x  1) D(4e2x  6xe2x  10x2e2x). 14. e T2 : P2 → P3 a transformação linear definida por T2(c0  c1x  c2x2)  3c0x  3c1x2  3c2x3 10. B . T(v2) e T(v3). Sejam e e seja P2. respectivamente. x} e B = {1. B . nidas na reta real. p2  x. (Requer Cálculo) Seja D : P2 → P2 o operador de derivação D(p)  p(x). encontre a matriz de D em relação à base B  {p1. v4} uma base de um espaço vetorial V. (a) Encontre [T(v1)]B . [T2]B. 8. B  {1. Sejam T1 : P1 → P2 a transformação linear definida por (c) Encontre uma fórmula para . Seja B  {v1. T(v2)  v3.4 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 467 Sejam B  {1. 16. (b) e (c). Nas partes (a) e (b). (a) Encontre [T(v1)]B . f2  xe2x. x}. x. do operador derivação D : V → V em relação a B. a matriz de T : R2 → R2 em relação à base B  {v1. v2}. p2  2  3x. v3. T(v4)  v1 . Prove que se B e B forem as bases canônicas de Rn e Rm. v2. B . (a) Encontre [T2 T1]B. v2  1  3x  2x2. (c) Verifique que as matrizes da parte (a) satisfazem a fórmu- la que você enunciou na parte (b). relação às bases B  {v1. f2  sen x. (b) Encontre T(v1). (b) Enuncie uma fórmula relacionando as matrizes da parte (a). 13.1). f3  e2x (c) f1  e2x. f2. (d) Use a fórmula obtida em (c) para calcular . x2. f3} é uma base (b) Encontre T(v1). p2. T(v3)  v4. 12. x3}. Encontre a matriz em relação a B do operador linear T : V → V definido por T(v1)  v2. (a) Encontre [T2 T1]B. 468 Álgebra Linear com Aplicações 20. e2} de R . Um dos problemas fundamentais da Álgebra Linear é escolher uma base de V que torne a matriz de T tão simples quanto possível. ção a certas bases de V e W for .B [x]B [T(x)]B não nulo x em V tal que T(x)  4x. Nesta seção. estudamos esse problema. então a matriz de T1 em relação a B é [T ]B1. Identifique os quatro espa. (2)  Figura Ex-20 (c) Se a matriz de uma transformação linear T : V → W em rela- 21. 8. 2 Comparemos essa matriz à matriz de T em relação à base B  {u1. mensão sete com base T: V → W. preencha a lacuna na equação. ços vetoriais que contêm os vetores dos vértices do diagrama da figura. u2} de R dada por 2 (2) Como segue que de modo que a matriz de T em relação à base B é . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Nas partes (a)-(e). justificando sua resposta. Matrizes simples de As bases canônicas não necessariamente produzem as matrizes mais simples para ope- operadores lineares radores lineares. Por exemplo. uma matriz diagonal ou triangular. Seja V uma transformação linear de um espaço vetorial V de Exercícios verdadeiro/falso dimensão quatro com base B num espaço vetorial W de di. (a) Se a matriz de uma transformação linear T : V → W em re- lação a bases de V e W for . então existe algum vetor Multiplicação por [T ]B. então existe algum vetor x Cálculo T(x) não nulo x em V tal que T(x)  2x. Em cada parte. (e) Se T : V → V for um operador linear invertível e B for uma base de V. então T é injetora. direto (b) Se a matriz de uma transformação linear T : V → W em re- (1) (3) lação a bases de V e W for . então a matriz de S T em relação a B é [T ]B[S]B. (a) (d) Se S : V → V e T : V → V forem operadores lineares e B for uma (b) base de V. consideremos o operador matricial T :R2 → R2 de matriz canônica (1) e interpretemos [T] como a matriz de T em relação à base canônica B  {e1.5 Semelhança A matriz de um operador linear T : V → V depende da base selecionada para V. por exemplo. digamos. u2. . u2. un} e Um novo ponto de vista B  {u1. u2. se houver alguma. Lembre das Fórmulas (7) e (8) da Seção 4. então as matrizes de transição sobre matrizes de transição de B para B e de B para B são (3) (4) em que as matrizes PB→B e PB→B são inversas uma da outra. digamos. . então PB→B  [I ]B. por exemplo). . devemos nos contentar com uma matriz triangular ou de alguma outra forma. B Prova Suponha que B  {u1. qualquer que seja v em V.1. O efeito da mudança de bases nas matrizes de operadores lineares Problema Se B e B forem duas bases de um espaço vetorial V de dimensão finita e T : V → V for um operador linear.  Agora estamos prontos para considerar o principal problema desta seção. . un} forem bases de um espaço vetorial V. Antes de continuar com essa ideia. . .4 que [Fórmula (3) acima] A prova de [I ]B. u2. uma informação que não é de modo algum aparente em [T]. .5. . por ser diagonal. . . Neste texto. un} sejam bases de V.1 Se B e B forem bases de um espaço vetorial V de dimensão finita e se I : V → V for o operador identidade de V. e em seguida modificando a base de uma maneira que simplifique a matriz. tocamos apenas levemente nesse importante tópico. . entre as matrizes [T]B e [T]B ? A resposta a essa questão pode ser obtida considerando a composição dos três operadores lineares de V representados na Figura 8. un} e B  {u1. Usando o fato de que I(v)  v. em que vimos que se B  {u1. . então PB→B [v]B  [v]B (5) PB→B [v]B  [v]B (6) O próximo teorema mostra que as matrizes de transição nas Fórmula (3) e (4) podem ser vistas como matrizes de operadores identidade. quando aplicável.6. Às vezes. B  PB→B é análoga. TEOREMA 8. . . é possível obter uma matriz diagonal (como acima. é de formato mais simples que [T] e transmite claramente que o operador T muda a escala de u1 pelo fator 2 e a de u2 pelo fator 3.5 Semelhança 469 Essa matriz. convém rever alguns conceitos sobre mudança de bases. 8. Também mostramos nas Fór- mulas (9) e (10) daquela seção que se v for qualquer vetor em V. .5. qual é a relação. O problema de encontrar uma base que produza a matriz mais simples possível de um operador linear T : V → V pode ser atacado encontrando primeiro uma matriz de T em relação a uma base qualquer. Um dos principais temas em textos mais avançados de Álgebra Linear é o de determi- nar a forma “mais simples possível” que pode ser obtida para a matriz de um operador li- near pela escolha apropriada da base. uma canônica. . segue da Fórmula (4) da Seção 8. . B e PB→B  [I ]B. outras vezes. .5.4 (com uma adaptação apropriada nos nomes das bases) que [T ]B. [T ]B  [I ]B.5. TEOREMA 8. V). ou seja.1 para reescrevê-la como [T ]B  PB→B [T ]BPB→B (10) Resumindo. v é transformado em T(v) por T e.5.2 Sejam T : V → V um operador linear do espaço vetorial V de dimen- são finita e B e B bases de V. em segui- da. O teorema seguinte é o mesmo Teorema 8. TEOREMA 8.2.2 na linguagem de semelhança. segue de (7) e da Fórmula (12) da Seção 8. [T]B = PB→B [T]B PB→B Advertência Não é fácil lembrar se P  PB→B (correto) ou P  PB→B (errado). B (9) Podemos simplificar essa fórmula ainda mais usando o Teorema 8.470 Álgebra Linear com Aplicações I T I v v T(v) T(v) V V V V  Figura 8. B  [I T I ]B. T(v) é transformado nele mesmo pelo operador identidade. v é transformado primeiro nele mesmo pelo operador identidade. se B  P1AP.1 Base = B Base = B Base = B Base = B Nessa figura. a base B nos espaços inicial e final e a base B nos dois espaços intermediários.5.1. Além disso. Então 1 [T ]B  P [T ]BP (11) 1 sendo P  PB→B e P  PB→B .2 Na terminologia da Definição 1 da Seção 5. B[I ]B. B (8) ou. Como o vetor de partida é v e o de chega- da é T(v).5.5. n existem duas bases de R (uma para A e uma para B) relativas às quais as matrizes A e B representam o mesmo operador linear.2 e observar que os índices externos das matrizes de transição coincidem Índices externos com o índice da matriz que fica ao meio. TI T I (7) Se tomarmos. Pode ser útil usar o diagrama da Figura 8.5. temos o teorema seguinte. conforme aparece na Figura 8. Os quatro espaços vetoriais envolvidos na composição são o mesmo (a saber. essa composição produz o mesmo resultado que aplicar diretamente T. B  [I ]B. finalmente. e só se.3 Duas matrizes A e B de tamanho n  n são semelhantes se. o Teorema 8.5.5. em notação mais simples.  Figura 8.2 nos diz que devem ser semelhantes as matrizes que representarem o mesmo operador linear em bases diferentes. B [T ]B. mas as bases desses espaços variam. então P é a matriz de transição da base que dá a matriz B para a base que dá a matriz A. B [T ]B[I ]B. Solução Precisamos encontrar a matriz de transição P  PB→B  [u1]B | [u2]B em que B  {u1. e2}é a base canônica de R2. Verifique que essas matrizes são seme- lhantes. portanto. definimos um invariante de semelhança como qualquer propriedade que Invariantes de semelhança é compartilhada por matrizes semelhantes. de P AP. então o autoespaço de A associado a ␭ e o autoespaço de P1AP associado a ␭ têm a mesma dimensão. representam o mesmo operador Tabela 1 Invariantes de semelhança Propriedade Descrição Determinante A e P1AP têm o mesmo determinante. e só se. Deixamos para o leitor verificar que e que. 1 Autovalores A e P AP têm os mesmos autovalores. e só se.5. . 1 Dimensão de autoespaço Se ␭ for um autovalor de A e.3 que duas matrizes são semelhantes se. encontrando uma matriz P tal que D  P1CP. Vemos diretamente que do que segue Assim.2. 1 Posto A e P AP têm o mesmo posto.  Na Seção 5. listamos os invariantes de semelhança mais importantes. P AP é invertível. u2} é a base de R2 dada por (2) e B  {e1. portanto. 1 Nulidade A e P AP têm a mesma nulidade. 8. 1 Polinômio característico A e P AP têm o mesmo polinômio característico. Na Tabela 1 daquela seção (reproduzida a se- guir). 1 Invertibilidade A é invertível se. Como sabemos pelo Teo- rema 8. 1 Traço A e P AP têm o mesmo traço.5 Semelhança 471  E X E M PLO 1 Matrizes semelhantes representam o mesmo operador linear Mostramos no início desta seção que as matrizes representam o mesmo operador linear T : R2 → R2. portanto. Também do mesmo exemplo sabemos que o autoespaço de [T ]B associado a ␭  2 tem a base {u1. necessariamente det([T]B)  det([T]B) Segue dessa equação que o valor do determinante depende de T.472 Álgebra Linear com Aplicações linear T : V → V.1). segue que se B e B forem bases de V. mas não da particular base que é utilizada para obter a matriz de T. x2} é Os autovalores de T são ␭  1 e ␭  2 (Exemplo 7 da Seção 5. em que e o autoespaço de [T]B associado a ␭  1 tem a base {u3}. sendo a primeira em relação à base canônica B  {e1. e2} de R e a segunda em relação à base B  {u1. devem ter o mesmo determi- nante. se V for um espaço vetorial de di- mensão finita. u2}. Deixamos para o leitor verificar que  E X E M P L O 3 Autovalores e bases de autoespaços Encontre os autovalores e bases dos autoespaços do operador linear T : P2 → P2 definido por T (a  bx  cx2)  2c  (a  2b  c)x  (a  3c)x2 Solução Deixamos para o leitor mostrar que a matriz de T em relação à base canônica B  {1. o determinante pode ser considerado como uma propriedade do operador linear T. em que . então podemos definir o determinante do operador linear T por det(T)  det([T]B) (12) em que B é uma base qualquer de V. dadas duas bases quaisquer. de fato. têm as mes- mas propriedades invariantes por semelhança. Em particular. Por exemplo. Assim. qualquer que seja a base B de V. u1} 2 em que Isso significa que [T] e [T]B devem ser matrizes semelhantes que.  E X E M P L O 2 Determinante de um operador linear No início desta seção. x. então cada propriedade invariante por semelhança de [T ]B também é um invariante de semelhança de [T ]B . mostramos que as matrizes representam o mesmo operador linear em relação a bases diferentes. 8. p2}  {1  x . (a) posto (b) nulidade (c) invertibilidade . x2. q2  3  2x. encontre det(T). 2. x1  7x2) (b) T : R3 → R3. T : R2 → R2 é definido por T(x)  5x e B e B são as bases no Exercício 2.2 para calcular a matriz de T em relação à base B. Prove que as propriedades seguintes são invariantes de seme- lhança. x3  x1) 3. v2}. q1  2. sendo B e use o Teorema 8. o autoespaço de T associado a   2 tem a base {p1. T : R3 → R3 é definido por 9. Em cada caso. T : R2 → R2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo de (c) T : P2 → P2. T(p2)  2p2 e T(p3)  p3  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Semelhança de matrizes representando um operador • Mostrar que duas matrizes A e B representam um mesmo linear operador linear e encontrar uma matriz de transição P tal • Invariante de semelhança que B  P1AP. p2  x. x} 2 e o associado a   1 tem a base {p3}  {2  x  x } 2 Para conferir. e B  {u1. p2} e B  {q1. x2)  (3x1  4x2.  1. v2. 6. x3)  (x1  x2. sendo T(x1.5  Nos Exercícios 1–7. B e B são as bases no Exercício 1.5. p3  2  x  x2 2 Assim. q2}. Conjunto de exercícios 8. v2}. u2 e u3 são os vetores de coordenadas relativos a B de p1  1  x . T : R2 → R2 é definido por 5. sendo (a) T : R2 → R2. encontre a matriz de T em relação à base e B é a base canônica de R3 e B  {v1. T(p(x))  p(x  1) 4. sendo 45º. p2  10  2x. sendo bases no Exercício 4. 8. T : R2 → R2 é definido por 7. T : R3 → R3 é a projeção ortogonal no plano xy e B e B são as e B  {u1. T : P1 → P1 é definido por T(a0  a1x)  a0  a1(x  1) e B  {p1. v3}. o leitor poderia usar a fórmula de T dada e verificar que T(p1)  2p1. sendo T(x1.5 Semelhança 473 Os vetores u1. sendo p1  6  3x. u2} e B  {v1. • Determinante de um operador linear • Encontrar os autovalores e bases dos autoespaços de um operador linear de um espaço vetorial de dimensão finita. u2} e B  {v1. x2  x3. . Seja T : M22 → M22 definido por (d) Se A e B são invertíveis e semelhantes. (b) Use o resultado da parte (a) para determinar se T é injetor. Já que a base canônica de Rn é tão simples. Mais geralmente. Seja T : P4 → P4 o operador linear dado pela fórmula 17. 14. T1(x)  T2(x). (f) Se T1 : Rn → Rn for um operador linear e se [T1]B  [T2]B em 15. 19. (a) Prove que se A e B forem matrizes semelhantes.B em relação a duas bases B e B de Rn. (c) Exercícios verdadeiro/falso 13. prove (h) Se T : Rn → Rn for um operador linear e se [T ]B. (b) Encontre bases dos autoespaços de T. então A é seme- (a) Encontre os autovalores de T. Encontre duas matrizes 2  2 que não sejam semelhantes e nulidade de T. (b) Se A é semelhante a B e B é semelhante a C. Sejam C e D matrizes m  n e B  {v1. então A1 e B1 são semelhantes. Em cada parte. Suponha que ␭ seja um desses autovalores comuns e x seja um autovetor de A associado. (e) Se T1 : Rn → Rn e T2 : Rn → Rn forem operadores lineares e se [T1]B. Veja se você consegue encontrar um autovetor de B associado a ␭ (expresso em termos de ␭. Complete a prova dada justificando cada passo. digamos. v2. (b) Encontre bases dos autoespaços de T. Mostre que se C[x]B  D[x]B. Conclusão: A e B têm o mesmo polinômio característico. então C  D. explique por que não são semelhantes. en- (a) tão segue do Exercício 19 que A e B têm os mesmos autovalores. depois. vn} uma base T(p(x))  p(2x  1). Prove relação a duas bases B e B de Rn. (b) Se A2 e B2 forem semelhantes. . (a) Prova: (b) 12.B  [T2]B. lação a alguma base B de Rn. (c) Se A e B são semelhantes e B é singular. então B  B. . . matriz de T é diagonal. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. então (a) Encontre os autovalores de T. x e P). Seja T : P2 → P2 definido por Nas partes (a)-(h). 2 11. use-a para encontrar o posto e a 18. lhante a C. decorre que A e B são semelhantes? Explique.B  In em que Ak e Bk são semelhantes. então T é o operador identi- positivo k. (a) Uma matriz não pode ser semelhante a si mesma. por que quererí- amos representar um operador linear de Rn em alguma outra base? 22. justificando sua resposta. encontre uma base de R3 relativa à qual a ma- triz de T é diagonal. Prove que o traço é um invariante de semelhança. então A é singular. de um espaço vetorial V. . então T é o operador identidade 16. 20. dade de Rn. (g) Se T : Rn → Rn for um operador linear e se [T ]B  In em re- los no núcleo de ␭I  T. qualquer que seja o inteiro relação a duas bases B e B de Rn. B  P1AP. então de Rn. Se A e B forem matrizes semelhantes. A2 e B2 também são semelhantes. qualquer que seja o vetor x em Rn. encontre uma base de R em relação à qual a Hipótese: A e B são matrizes semelhantes. (b) 21. que os autovetores de T associados a ␭ são os vetores não nu.474 Álgebra Linear com Aplicações 10. Em cada parte. conveniente e. qual- (a) Encontre uma matriz de T em relação a alguma base quer que seja x em V. Seja ␭ um autovalor de um operador linear T : V → V. (a) Expresse v1. 11. v2. 13. (a) Encontre uma base para o núcleo de T. v2. (a) A equação T(x)  b tem alguma solução. T. u3} uma base de um espaço vetorial V e T : V → V o operador linear dado por T : V → V um operador linear tal que Encontre [T ]B . 12. Sejam A e B matrizes semelhantes. (b) Usando sua resposta na parte (a). (a) Encontre bases para a imagem e o núcleo de T.5 Semelhança 475 Capítulo 8 Exercícios suplementares 1. u3. em que x · vi é o produto interno euclidiano de Rn. . u2. adivinhe o formato da matriz An. Sejam B  {u1. sendo B  {v1. Seja T : V → V definido por T(v)  ||v||v. v1  u1. u2. Prove que 3. v3} a base de V definida (a) Encontre o posto e a nulidade de T. u2. um operador linear de V. 8. v2. u3 como uma combinação linear de v1. função definida por T(x)  (x · v1. 2. (b) Expresse u1. qualquer que 4. Sejam {e1. Sejam v1. vetorial V e 6. então A e C serão matrizes semelhantes. e3. (b) A nulidade de T é positiva: nul(T)  0. Sejam V e W espaços vetoriais. Defina novas transforma- T(x)  Ax  B será um operador linear de Rn? Justifique sua ções T1  T2 e kT pelas fórmulas resposta. . Prove: se A e B forem matrizes semelhantes e se B e C forem matrizes semelhantes. e2. lineares de V em W e k um escalar. (a) Mostre que (b) Mostre que o conjunto de todas as transformações linea- res de V em W forma um espaço vetorial com as opera- ções dadas na parte (a). . Sejam A uma matriz n  n. vm. . . v3 como uma combinação linear de u1. . x · vm). 7. Prove: (a) AT e BT são semelhantes. com n um inteiro positivo qualquer. vm vetores fixados em Rn e T : Rn → Rm a seja o vetor b em V. . (b) Encontre uma base para a imagem de T. . então A1 e B1 são semelhan- tes. 14. B uma matriz n  1 não 8. Seja L : M22 → M22 o operador linear definido por L(M)  MT. 9. Sejam B  {v1. por (b) Determine se T é injetor. T1 e T2 transformações nula e x um vetor em Rn expresso em notação matricial. Sejam B  {u1. . obtenha geometricamente o resultado da parte (b). v3. v4} uma base de um espaço vetorial V e 15. Encontre a matriz de L em relação à base canônica de M22. (b) Se A e B forem invertíveis. . v2. 5. u3} e B  {v1. v3  u1  u2  u3 . v2. v2. v2  u1  u2. (a) Mostre que T é uma transformação linear. Seja T : M22 → M22 o operador linear definido por (b) Mostre que a matriz canônica de T tem vetores coluna v1. 10. v2. . u2. x · v2. e4} a base canônica de R4 e T : R4 → R3 a transformação linear dada por Encontre o posto e a nulidade de T. (c) Considerando o efeito geométrico da multiplicação por A. (O Teorema da Alternativa de Fredholm) Seja T : V → V um operador linear num espaço vetorial de dimensão n. v3} bases de um espaço (b) Encontre o posto e a nulidade de T. . Seja (a) Mostre que (T1  T2) : V → W e kT : V → W são transfor- mações lineares. Mostre que T não é vale exatamente uma das duas afirmações seguintes. Suponha que os vetores em R3 sejam denotados por matrizes 1  3 e defina T : R3 → R3 por a matriz de transição de B para B. v3. mas que não são. Suponha que T : V → V seja um operador linear e B uma base a1P1(x)  a2P2(x)  a3P3(x) de V tal que e os pontos (x1. a2) e (x3. det(T ) . (Requer Cálculo) Sejam p(x) e q(x) funções contínuas e con- sidere o subespaço V de C(. (x2. a1). só se. e (a) Mostre que L é uma transformação linear. a3)? 22. Seja T : V → V um operador linear. L(y(x))  y (x)  p(x)y(x)  q(x)y(x) 18. (d) Qual é a relação entre o gráfico da função 17.476 Álgebra Linear com Aplicações 16. Prove que T é injetor se. Defina L : V → V por Encontre [T]B . Mostre que as matrizes sendo são semelhantes. ) que consiste em todas as funções que são duas vezes deriváveis. ␾(x)  c1 sen x  c2 cos x tão a função D : C2(. x2. ) → F(. quaisquer que sejam os valores reais (b) Encontre uma base do núcleo de D. x2 e x3 números reais distintos tais que formam uma base de Pn. ) e encontre uma base desse subespaço. (b) Considere o caso especial em que p(x)  0 e q(x)  1. . (Requer Cálculo) Seja J : Pn → Pn1 a transformação de inte- gração definida por (a) Mostre que T é uma transformação linear. 0. 0). Mostre que a matriz de D em relação à base C2(. Seja T : P2 → R3 a função definida pela fórmula (a) Encontre T(x2  5x  6). relação às bases canônicas de Pn e Pn1. ) definida por D(f )  f (x) é uma transformação linear. Encontre a matriz de J em (c) Mostre que se a1. (b) Mostre que T é uma transformação linear. . a2 e a3 forem números reais quaisquer. 3. qualquer que seja o número real c dado. está no núcleo de L. (Requer Cálculo) Seja D : Pn → Pn o operador de deriva- equação D(f)  f(x) é um subespaço bidimensional de ção D(p)  p. (d) Encontre T 1(0. Encontre a matriz do operador de derivação do Exercí- x1  x 2  x 3 cio 23 em relação a essa base. 24. xn} é 20. en. (e) Esboce o gráfico do polinômio na parte (d). 21. . 19. . então . x. c1 e c2. em que p  a0  a1x  · · ·  anxn. Sejam x1. e T : P2 → R a função definida pela fórmula 3 25. (b) Mostre que T é injetora. (Requer cálculo) Mostre que a função (a) Mostre que se f  f(x) for duas vezes derivável. (c) Mostre que o conjunto das funções que satisfazem a 23. B  {1. (Requer Cálculo) Pode ser mostrado que os vetores (c) Mostre que T é injetora. 1 Decomposição LU Até aqui. nos ocupamos com a introdução de algumas ideias básicas e a exploração de aplicações contemporâneas importantes que dependem de maneira crucial de ideias numéricas. Nosso primeiro objetivo nesta seção é mostrar como resolver um sistema linear Ax  b de Resolvendo sistemas lineares n equações em n incógnitas fatorando a matriz A num produto por fatoração A  LU (1) em que L é uma matriz triangular inferior e U uma superior. Para todas as seções. conhecido como “decomposição LU ” é a base de muitos algoritmos de computação de uso comum. Esse método. CAPÍTULO 9 Métodos Numéricos CONTEÚDO DO CAPÍTULO 9. a decomposição em valores singulares e a compressão de dados. uma área de estudo que engloba técnicas para resolver sistemas lineares de grande escala e para encontrar aproximações numéricas de vários tipos. Nesta seção. a eliminação gaussiana (redução à forma escalonada por linhas) e a eliminação de Gauss-Jordan (redução à forma escalonada reduzida por linhas). Em vez disso. já que existem muitos livros excelentes dedicados a esse assunto.6 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares 514 INTRODUÇÃO Neste capítulo. a saber. Uma vez entendido como isso é feito.1 Decomposição LU 477 9. exceto a primeira. 9. discutimos um método de resolver sistemas lineares de n equações em n incógnitas que tem por base a fatoração da matriz de coeficientes num produto de uma matriz triangular inferior e uma superior. tratamos de “métodos numéricos” da Álgebra Linear. uso de memória e velocidade do computador. a saber. estivemos focados em dois métodos de resolução de sistemas lineares. discutimos como a própria fatoração pode ser obtida. Supondo que de alguma forma tenhamos obtido a fatoração em (1). nos quais devem ser considerados erros de arredondamento. Nosso objetivo não é discutir algoritmos e questões técnicas detalhadamente. podemos resolver o sistema linear Ax  b por meio do procedimento seguinte.2 O método das potências 487 9. Esses métodos funcionam muito bem com os problemas de pequeno porte deste texto. Mathematica ou Maple.3 Serviços de busca na Internet 496 9. mas não são adequados para problemas de grande escala.5 Decomposição em valores singulares 506 9. . denominado decomposição LU. recomendamos a utilização de algum recurso computacional como MATLAB.4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 501 9. Muitos dos programas naquela biblioteca utilizam os métodos de decomposição que estudamos nesta seção. podemos reescrever esse sistema como (5) Nota histórica Em 1979. Passo 4. Reescreva o sistema Ax  b como LUx  b (2) Passo 2. Contudo. no Laboratório Nacional de Argonne (EUA). Esse procedimento. . como cada um desses sistemas tem uma matriz de coeficientes triangular.1. Defina uma nova matriz y de tamanho n  1 por Ux  y (3) Passo 3. substitui o sistema único Ax  b pelo par de sistemas lineares Ux  y Ly  b que devem ser resolvidos sucessivamente. inclusive por MATLAB.478 Álgebra Linear com Aplicações O método da decomposição LU Passo 1. Substitua y em (3) e resolva em x.1.1  E X E M P L O 1 Resolvendo Ax ⴝ b por decomposição LU Adiante. Mathematica e Maple. Resolver Ax = b x Reso b b lver U r Ly = x= y Resolve y  Figura 9. constituída de programas independen- tes de plataforma. vamos deduzir a fatoração (4) Use esse resultado para resolver o sistema linear Solução A partir de (4). Variações das rotinas LINPAK são usadas por muitos sistemas de computação.1. nesta seção. denominada LINPAK. em geral ocorre que a resolução dos dois sistemas não envolve mais cálculos do que a resolução do sistema original diretamente. ilustrado na Figura 9. foi desenvolvida uma importante biblioteca de programas de Álgebra Linear. Use (3) para reescrever (2) como Ly  b e resolva esse sistema em y. x2  1.] Alan Mathison Turing (1912–1954) . em Bletchley Park. Entre suas muitas realizações nessa área. y2  5. violando os estatutos britânicos da época. ob- tendo o sistema linear ou. Além de ser um matemático brilhante. equivalentemente. ele desenvolveu o conceito de computador internamente programado antes da tecnologia ter alcançado o estágio em que a construção de tal máquina fosse possível. denominado substituição direta. ingerindo uma maçã envenenada com cianureto. exceto que as equações são resolvidas de cima para baixo em vez de resolvidas de baixo para cima. Esse sistema pode ser resolvido por um procedimento parecido com a retrossubstituição. muitas vezes o crédito pela popularização do formalismo matricial da decomposição LU é atribuído ao matemático britânico Alan Turing. Turing foi recrutado secretamente pela Escola de Cifras e Código do governo britânico. definimos y1.1 Decomposição LU 479 Como especificamos no Passo 2 acima. 9. fornece y1  1. por ser homossexual. Inc. substituímos esses valores em (6). Em depressão. Conforme indicado no Passo 4 acima. y2 e y3 pelas equações (6) o que nos permite reescrever (5) como (7) ou. y3  2 (verifique). em 1952. obtemos a solução x1  2. Durante a Se- gunda Guerra Mundial. para ajudar a quebrar os códigos nazistas denominados Enigma. Infelizmente. equivalentemente. Turing foi julgado e condenado por “indecência grosseira”. foi a abordagem estatística de Turing que forneceu a chave. ele cometeu suicídio aos 41 anos. Esse procedimento. Turing foi um dos grandes gênios do século XX e o fundador da área da inteligência artificial. [Imagem: Time & Life Pictures/Getty Images. tendo competido com sucesso em corridas de nível olímpico. pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto. Resolvendo esse sistema por substituição inversa.  Nota histórica Embora as ideias tenham sido conhecidas antes. x3  2 (verifique). Turing foi um atleta de nível internacional. https://livros-pdf-ciencias-exatas. ou uma fatoração LU. E1 j também é triangular inferior. TEOREMA 9. agora. à forma escalonada por linhas U. vamos supor que A tenha sido reduzida por operações elementares com as linhas.1d.br/ 480 Álgebra Linear com Aplicações Encontrando O Exemplo 1 deixa claro que. . Como as permutações de linhas estão excluídas. ou seja. A matriz U é triangular superior porque é uma forma escalonada por linhas de uma matriz quadrada (portanto. veremos que. como obter tal fatoração. o sistema Ax  b pode ser resolvido com uma substituição direta e uma inversa. Segue do Teorema 1. podemos resolver (8) para A como 1 1 1 A  E1 E2 · · · Ek U ou. . . basta provar que cada fator do lado direito de (10) é triangular inferior.7. que existem matrizes elementares E1. pelo Teorema 1. respectivamente. então A necessariamente possui alguma decomposição LU. Contu- do.7. se for possível reduzir uma matriz quadrada A à forma escalonada por linhas com eliminação gaussiana sem permuta de linhas. Ek tais que Ek · · · E2E1A  U (8) Como as matrizes elementares são invertíveis. todas as entradas abaixo da diagonal principal são nulas). pois então o Teorema 1. Começamos com alguma termino- logia. Para ver isso. DEFINIÇÃO 1 Uma decomposição LU. como A  LU (9) onde 1 1 1 L  E1 E2 · · · Ek (10) Agora temos todos os ingredientes para provar o resultado seguinte. Mostremos.1 Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas U com eliminação gaussiana sem permuta de linhas. uma vez fatorada a matriz A em matrizes triangulares infe- decomposições LU rior e superior.5. Não é verdade que qualquer matriz quadrada A tenha uma decomposição LU. então A pode ser fato- rada como A  LU.1 que essas operações podem ser efetuadas pela multiplicação de A à esquerda por uma sequência apropriada de matrizes elementares. Isso completa a prova.1. ou da multiplicação de uma linha de uma matriz identidade por um escalar não nulo. de uma matriz quadra- da A é uma fatoração A  LU em que L é triangular inferior e U é triangular superior. cada Ej resulta da soma de um múltiplo escalar de uma linha de uma matriz identidade a uma linha inferior. Para provar que L é triangular inferior.blogspot.1b implica que L é triangular inferior.com. e sem permuta de linhas. Em ambos os casos. E2. . portanto. em que L é uma matriz triangular inferior. Prova Sejam L e U as matrizes das Fórmulas (10) e (8).   E X E M P L O 2 Uma decomposição LU Encontre uma decomposição LU de . mais concisamente. não necessariamente única. a matriz Ej resultante é triangular inferior e. br/ 9. A  LU.com.1 Decomposição LU 481 Solução Para obter uma decomposição LU. vamos reduzir A à forma escalo- nada por linhas U usando eliminação gaussiana e depois calcular L a partir de (10).blogspot. Os passos são os seguintes. https://livros-pdf-ciencias-exatas. Matriz elementar Redução à forma correspondente à Inversa da escalonada por linhas Operação com as linhas operação com as linhas matriz elementar 2 6 2 –3 –8 0 4 9 2 1 1 2 0 0 2 0 0 × linha 1 Passo 1 2 E1 = 0 1 0 E1–1 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 1 –3 –8 0 4 9 2 1 0 0 1 0 0 Passo 2 (3 × linha 1) + linha 2 E2 = 3 1 0 E2–1 = –3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 1 0 1 3 4 9 2 1 0 0 1 0 0 Passo 3 (−4 × linha 1) + linha 3 E3 = 0 1 0 E3–1 = 0 1 0 –4 0 1 4 0 1 1 3 1 0 1 3 0 –3 –2 1 0 0 1 0 0 Passo 4 (3 × linha 2) + linha 3 E4 = 0 1 0 E4–1 = 0 1 0 0 3 1 0 –3 1 1 3 1 0 1 3 0 0 7 1 0 0 1 0 0 Passo 5 1 7 × linha 3 E5 = 0 1 0 E5–1 = 0 1 0 1 0 0 7 0 0 7 1 3 1 0 1 3 =U 0 0 1 . porque já havia um 1 no final do Passo 2. usamos as operações somar 3 vezes a primeira linha à segunda somar 4 vezes a primeira linha à terceira e. digamos que o multiplicador foi 1. usamos um multiplicador no Passo 1 para introduzir um pivô na primeira linha e um multiplicador no Passo 5 para introduzir um pivô na terceira linha. em (12). a maior parte do trabalho de construir uma decomposição LU é dedicada a calcular L.  Contabilidade Como mostra esse exemplo.482 Álgebra Linear com Aplicações e. vemos que essas entradas diagonais são exatamente os recíprocos dos multiplicadores utilizados para construir U. mas. A primeira operação é usada para introduzir os pivôs e a segunda. No Exemplo 2. a entrada em cada posição abaixo da diagonal principal de L é o negativo do multiplicador da operação que introduziu o zero naquela posição em U. só há dois tipos de operações envolvidas: a multiplicação de uma linha por uma constante não nula (um multiplicador) e a soma de um múltiplo escalar de uma linha a uma outra linha. de modo que é uma decomposição LU de A. usamos a operação somar 3 vezes a segunda linha à terceira Agora note que. Não foi necessário um multiplicador para introduzir um pivô na segunda linha. (11) Também observe no Exemplo 2 que. Como estamos supondo que não foram realizadas trocas de linhas para reduzir A a U. ou seja. No entanto. por (10). para introduzir o zero abaixo do pivô da segunda linha. todo esse trabalho pode ser eliminado com uma contabilidade cuidadosa das operações usadas para reduzir A a U. (12) . para introduzir zeros abaixo do pivô da primeira linha. para introduzir os zeros abaixo dos pivôs. Comparando esses multiplicadores com as entradas diagonais sucessivas de L. por conveniência. isto é. Passo 3. supondo que A possa ser reduzida à forma escalonada por linhas sem permu- tação de linhas. Em cada posição ao longo da diagonal principal de L. mantendo armazenados os multiplicadores utilizados para intro- duzir os pivôs e os multiplicadores utilizados para introduzir os zeros debaixo dos pivôs. Procedimento para construir uma decomposição LU Passo 1. introduzimos uma entrada de L de acordo com o procedimento de quatro passos dado. Aqui. Reduza A à forma escalonada por linhas U por eliminação gaussiana sem troca de linhas. pois já há um pivô na terceira linha. • denota uma entrada desconhecida de L. nenhuma operação foi realizada de fato. coloque o recíproco do multiplicador que introduziu o pivô naquela posição em U. 9. . Passo 2. a cada passo. Em cada posição abaixo da diagonal principal de L. coloque o negativo do multiplicador utilizado para introduzir o zero naquela posição em U. Passo 4.1 Decomposição LU 483 Isso sugere o procedimento seguinte para construir uma decomposição LU de uma matriz quadrada A.  E X E M P L O 3 Construindo uma decomposição LU Encontre uma decomposição LU de Solução Reduzimos A à forma escalonada por linhas U e. Forme a decomposição A  LU. uma decomposição em que U tem entradas iguais a 1 na diagonal prin- cipal. por exemplo. as decomposições LU não são únicas. construímos a decomposição LU Deixamos para o leitor confirmar esse resultado final multiplicando os fatores. Por exemplo. se são únicas e L tem entradas diagonais não nulas. Decomposição LDU O método que descrevemos para calcular uma decomposição LU pode resultar numa “as- simetria”. então podemos empurrar as entradas diagonais do fator esquerdo para o fator direito escrevendo que dá uma outra decomposição LU de A. Contudo. uma matriz triangular inferior 3  3 qualquer. pode ser fatorada como Observe que as colunas de L são obtidas dividindo cada entrada da coluna correspon- dente de L pela entrada diagonal da coluna. a saber. Por exemplo. mas L pode não ter.484 Álgebra Linear com Aplicações Assim. podemos reescrever (4) como . se for preferível ter entradas iguais a 1 na diagonal principal do fator triangular inferior. com entradas não nulas na diagonal principal. Assim.  As decomposições LU não Na ausência de restrições. então podemos “empurrar” as entradas na diagonal de L para uma matriz diagonal D e escrever L como L  LD onde L é uma matriz triangular inferior com entradas iguais a 1 na diagonal principal. todas as matri- zes elementares que produzem uma permutação de linhas e depois executá-las calculando o produto QA.1 1. • Decomposição PLU • Encontrar uma decomposição LDU de uma matriz Aptidões desenvolvidas quadrada. Esse produto pode. É comum ver a Equação (13) escrita como A  PLU (14) 1 em que P  Q . Essa decomposição é denominada decomposição LDU de A. caso em que não há garantia da existência de uma decomposição LU. • Decomposição LDU • Usar o método da decomposição LU para resolver sistemas lineares. segue de (13) que esse último sistema pode ser reescrito como LUx  Qb e. Contudo. • Determinar se uma matriz quadrada tem uma • Encontrar uma decomposição PLU de uma matriz decomposição LU. Use o método do Exemplo 1 e a decomposição LU 2. Essa decomposição é denominada decomposição PLU de A. portanto. Use o método do Exemplo 1 e a decomposição LU para resolver o sistema para resolver o sistema . então. fica garantido que essa matriz possui uma decomposição LU QA  LU (13) Como a matriz Q é invertível (por ser um produto de matrizes elementares). os sistemas Ax  b e QAx  Qb têm as mesmas soluções. Muitos algoritmos de computador que resolvem sistemas lineares efetuam trocas de li. Conjunto de exercícios 9. ou fa- toração LDU de A. portanto. Mais precisamente. em sequência. a ideia é criar uma ma- triz Q (denominada matriz de permutação) multiplicando. é possível driblar essa dificuldade “pré-processando” a matriz de coeficientes A de tal forma que todas as operações sobre as linhas são efetuadas antes de calcular a própria decomposição LU. Mas. quadrada. Revisão de conceitos • Encontrar uma decomposição LU de uma matriz • Decomposição LU quadrada. ser reduzido à forma escalonada por linhas sem trocas de linhas e. então A pode ser fatorada de maneira única como A  LDU onde L é uma matriz triangular inferior com entradas na diagonal principal iguais a 1. D é uma matriz diagonal e U é uma matriz triangular superior com entradas na diagonal principal iguais a 1. resolvido usando a decomposição LU. ou fatora- ção PLU de A. Decomposição PLU nhas para reduzir erros de arredondamento. 9.1 Decomposição LU 485 Pode ser provado que se A for uma matriz quadrada que pode ser reduzida à forma escalonada por linhas sem permuta de linhas. blogspot. 13. A e use-a para resolver o sistema Ax  b.https://livros-pdf-ciencias-exatas. depois. em que L é triangular inferior. usando o método dos Exercícios 15 e 16. em que L1 é triangu- lar inferior com entradas 1 na diagonal principal. 4. (b) Expresse A na forma A  L1DU1 . (a) Mostre que a matriz matriz de coeficientes e.  Nos Exercícios 15–16. U1 é (b) Encontre a decomposição LU descrita na parte (a). (b) Encontre uma decomposição LDU dessa matriz.  fatorada como A  PLU. encontre uma decomposição LU da 14. 10.  3. encontre uma decomposição PLU de 9.br/ 486 Álgebra Linear com Aplicações  Nos Exercícios 3–10. Seja (a) Encontre uma decomposição LU de A.] . encontre a decomposição LDU de 21. use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema. então a matriz A tem uma única decom- posição LU com entradas 1 na diagonal principal de L. então A pode ser A. Seja Ax  b um sistema linear de n equações em n incógni- (c) Expresse A na forma A  L2DU2 . por linhas U de A e efetue todas as trocas de linhas requeridas para reduzir A a U antes. (a) Prove: se a  0. Seja 19. triangular superior. 16. 11.  5.com.  17. [Sugestão: considere a forma escalonada 12. triangular superior e D é uma matriz diagonal. 20. 8. Prove: se A for uma matriz n  n qualquer. em que L2 é triangular tas e suponha que A seja uma matriz invertível que pode ser inferior com entradas 1 na diagonal principal e U2 é reduzida à forma escalonada por linhas sem troca de linhas. use a decomposição PLU dada de A para resolver o sistema Ax  b reescrevendo-o como P1Ax  P1b e resolvendo esse sistema por decomposição LU. U é triangular superior e P pode ser obtida por troca de linhas apropriadas de In. Quantas adições e multiplicações adicionais são exigidas para resolver o sistema pelo método do Exemplo 1?  Nos Exercícios 12–13. 15. não possui decomposição LU. 6. 18. 7.  Nos Exercícios 17–18. . convém introduzir a seguinte definição. mas se os autovalores distintos de uma matriz forem 1  7. A tem uma única decomposição LDU. Contudo. k e |1| for maior do que |2|. Por exemplo. Para esse fim. .  E X E M P L O 1 Autovalores dominantes Algumas matrizes têm autovalores dominantes e algumas não têm. . res.  Os teoremas mais importantes sobre a convergência de sequências de potências são aplicáveis a matrizes n  n que têm n autovetores linearmente independentes (por exem- plo. . . discutimos um algoritmo que pode ser usado para aproximar o autovalor de maior valor absoluto e um autovetor associado. Qualquer autovetor associado a um autovalor dominante é denominado um autovetor dominante de A. matriz triangular superior U. Essa aplicação será discutida na próxima seção. 2  2. . . 3  2. 2  7. 4  3 então 1  4 é dominante. . então o produto L1. então 1 é denominado um autovalor dominante de A. então (a) Toda matriz quadrada tem alguma decomposição LU. A2x0 . . portanto. 3  1. limitamos nossa discussão a esse caso. |k|. justificando sua resposta. pela resolução da equação característica. (b) Se uma matriz quadrada A for equivalente por linhas a uma (e) Toda matriz quadrada tem alguma decomposição PLU. nesta seção. como o Google. . Lk forem matrizes n  n triangulares inferio- Nas partes (a)-(e). Esse autovalor especial e seu autovetor associado são importantes porque surgem naturalmente em muitos processos iterativos. 9. . Lk será triangular inferior. Ax0 . DEFINIÇÃO 1 Se os autovalores distintos de uma matriz A forem 1. se os autovalores distintos de uma matriz forem 1  4. por definição. Dizemos que uma sequência dessas é uma sequência de potências gerada por A. . . . 2. nos ocupamos com a convergência de sequências de potências e a maneira pela qual essas sequências podem ser usadas para aproximar autovalores e autovetores. de modo que não existe autovalor de valor absoluto maior do que o valor absoluto de todos os demais autovalores.2 O método das potências Os autovalores de uma matriz quadrada podem ser encontrados. L2. Nesta seção. matrizes simétricas). . L2. . 4  5 então |1|  |2|  7. Nesta seção. esse procedimento apresenta tantas dificuldades computacionais que quase nunca é utilizado nas aplicações. .2 O método das potências 487 Exercícios verdadeiro/falso (c) Se L1. Os métodos que estudamos nesta seção têm sido recentemente usados para criar programas de busca na Internet. Akx0 . Existem muitas aplicações em que algum vetor x0 de Rn é multiplicado repetidamente por O método das potências uma matriz A de tamanho n  n para produzir uma sequência x0. então A tem alguma decomposi- ção LU. 9. · · · . . determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (d) Se uma matriz quadrada A tiver uma decomposição LU. pois |1|  4 é maior do que os valores absolutos de todos os outros autovalores. . . segue do Teo- rema 7. Ax3 · x3. cada termo de (1) está arbitrariamente próximo de algum autovetor dominante. . Para sermos mais específicos. Não vamos provar o Teorema 9. a hipótese de que x0 seja um vetor unitário que não é perpendicular ao autoespaço associado a 1 implica que x0 não está no autoespaço associado a 2. mas podemos torná-lo geometricamente plausí- vel no caso 2  2 em que A é uma matriz simétrica com autovalores positivos distintos 1 e 2. suponha que 1seja dominante e que 1   2  0 Como estamos supondo que A seja simétrica e tenha autovalores distintos. Se x0 for um vetor unitário de Rn que não é ortogonal ao autoespaço asso- ciado a . respectiva- mente (Figura 9.1 (a) (b) (c) Isso nos permite escrever Ax0 como Ax0  Av0  Aw0  1v0  2w0 (5) ‡ Se o autovalor dominante não for positivo. (2) converge ao autovalor dominante . um dos quais é dominante. .com. Ax2 · x2.2. Assim. .1 Seja A uma matriz simétrica n  n com um autovalor dominante  positivo‡ .2. . Observação Nos exercícios. então a sequência de potências normalizada (1) converge a um autovetor dominante unitário e a sequência Ax1 · x1. pedimos para o leitor mostrar que (1) pode ser expresso como (3) Essa forma da sequência de potências expressa cada iterada em termos do vetor inicial x0.2 que os autoespaços associados a 1 e 2 são retas perpendiculares pela origem.2.blogspot. Axk · xk. convém decompor x0 na soma x0  v0  w0 (4) em que v0 e w0 são as projeções ortogonais de x0 nos autoespaços de 1 e 2. .1. Para ver o efeito geométrico de multiplicar x0 por A. .https://livros-pdf-ciencias-exatas. . .2. para valores suficientemente grandes de k. então a sequência (2) ainda converge ao autovalor dominante.2. 1v0 + 2w0 Autoespaço 2 Autoespaço 1 Autoespaço 2 Autoespaço 1 x0 x0 x0 x1 2w0 x1 1v0 x w0 v0 w0 v0  Figura 9. em vez de utilizar termos de seu predecessor. mas a sequência (1) pode não convergir a um autovetor dominante específico por causa de oscilação de sinal (ver Exercício 11). Mesmo assim.br/ 488 Álgebra Linear com Aplicações TEOREMA 9.1a). Assim. a mudança é maior na direção de v0 do que na de w0. Escolha um vetor não nulo qualquer e normalize. Calcule Ax1 e normalize para obter a segunda aproximação x2 de um auto- vetor dominante unitário. na prática. Continuando assim. ocorre que.1 esta- rão violadas. respectivamente. multiplicando x1 por A e normalizando. Calcule Ax2 e normalize para obter a terceira aproximação x3 de um auto- vetor dominante unitário. em geral.2 O método das potências 489 que nos diz que a multiplicação de x0 por A tem o efeito de uma mudança de escala de fator 1 e 2 sobre v0 e w0 em (4). Calcule Ax3 · x3 para obter a terceira aproximação do autovalor dominante. e a normalização produz um vetor x1  Ax0 / ||Ax0|| que está no círculo unitário e está mais próximo do autoespaço de 1 do que x0 (Figura 9. obtemos uma sequência de vetores xk que estão no círculo unitário e que convergem a um vetor unitário x que está no autoespaço de 1 (Figura 9.2. Essa é uma instância em que os erros ajudam a obter resultados corretos! . O método das potências com mudança de escala euclidiana Passo 1. Além disso.2.1c). Passo 3. Calcule Ax0 e normalize para obter a primeira aproximação x1 de um auto- vetor dominante unitário. a multiplicação de x0 por A “puxa” x0 em direção ao autoespaço de 1. Calcule Ax2 · x2 para obter a segunda aproximação do autovalor dominante.1 fornece um algoritmo para aproximar o autovalor dominante e um au.2. que denominamos método das potências com mudança de euclidiana escala euclidiana. então as hipóteses do Teorema 9. se xk convergir a x. O método das potências tovetor unitário associado de uma matriz simétrica A. 1 é maior do que 2 e.‡  E X E M PLO 2 O método das potências com mudança de escala euclidiana Aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana a Pare em x5 e compare a aproximação resultante com os valores exatos do autovalor e autovetor dominantes. obtemos um vetor unitário x2 que está mais próximo do autoespaço de 1 do que x1. desde que o autovalor dominante com mudança de escala seja positivo. Esse algoritmo. obtemos uma sequência de aproximações cada vez me- lhores do autovalor dominante e de um autovetor unitário associado. 9. Contudo. portanto. O Teorema 9. em geral. ‡ Se o vetor x0 for ortogonal ao autoespaço do autovalor dominante. parece razoável que.1b). Passo 2. então também parece razoável que Axk · xk convirja a Ax · x  1x · x  1||x|| 2  1 que é o autovalor dominante de A. se necessário. Assim. Contudo. Calcule Ax1 · x1 para obter a primeira aproximação do autovalor dominante. para obter um vetor unitário x0 . multiplicando repetidamente por A e normalizando. os erros de arredondamento dos computadores perturbam x0 suficientemente a ponto de destruir qualquer ortogonalidade que possa ter existido e fazem o método funcionar. pode ser descrito como segue. Passo 4.2. Analogamente. e o método pode falhar. e x5 mais de precisão. É acidental que (5) (a quinta aproximação) tenha produzido cinco casas decimais de pre- cisão. obtemos o autovetor dominantes normalizado (7) Agora vejamos o que acontece usando o método das potências começando com o vetor unitário x0.490 Álgebra Linear com Aplicações Solução Deixamos para o leitor mostrar que os autovalores de A são   1 e   5 e que o autoespaço associado ao autovalor dominante   5 é a reta representada pelas equações paramétricas x1  t. n iteradas não precisam produzir n casas deci.  O método das potências Existe uma variação do método das potências em que cada iterada. em vez de ser norma- com mudança de escala de lizada em cada etapa. aproxima o autovetor dominante em (7) corretamente até a terceira casa decimal. Para descrever esse entrada máxima método. x2  t. se . Assim. é conveniente denotar o máximo dos valores absolutos das entradas de um vetor x por max(x). que podem ser escritas em formato vetorial como (6) Tomando . Assim. Em geral. (5) aproxima o autovalor dominante com cinco casas decimais de precisão. por exemplo. é alterada para ter a entrada máxima igual a 1. então não é difícil ver por que (9) converge ao autovalor dominante.1.blogspot.2. Mesmo assim. então a sequência (9) ainda converge ao autovalor dominante.2 Seja A uma matriz simétrica n  n com um autovalor dominante  ‡ n positivo . que denominamos método das potên- cias com mudança de escala de entrada máxima. ‡ Como no Teorema 9. No caso em que  é um autovalor de A e x é um autovetor associado. Se x0 for um vetor não nulo de R que não é ortogonal ao autoespaço asso- ciado a . se o autovalor dominante não for positivo.2 O método das potências 491 então max(x)  7. cada termo de (8) está arbitrariamente próximo de algum autovetor dominante. mas a sequência (8) pode não convergir a um autovetor dominante específico. então a sequência (8) converge a um autovetor associado a  e a sequência (9) converge a .2 fornece o seguinte algoritmo.https://livros-pdf-ciencias-exatas. Vamos precisar da seguinte variação do Teorema 9. mas se aceitarmos que (8) converge a um autovetor de A. se xk convergir a um autovetor dominante x. pedimos para o leitor mostrar que (8) pode ser expresso de forma alternativa como (10) que expressa cada iterada em termos do vetor inicial x0. TEOREMA 9. Observação Nos exercícios.1.2. o quociente de Rayleigh é Assim. .br/ 9. Omitimos a prova desse teorema. então parece razoável que convirja a que é o autovalor dominante. ob- serve que cada termo em (9) é da forma (11) que é denominado um quociente de Rayleigh de A.com.2. Para isso. O Teorema 9. para valores suficientemente grandes de k.2. New York] Pare em x5 e compare a aproximação resultante com os valores exatos e com as aproxima- ções obtidas no Exemplo 2. Escolha um vetor não nulo x0 qualquer. Calcule Ax2 e multiplique isso pelo fator 1/max(Ax2) para obter a terceira (1842–1919) aproximação x3 de um autovetor dominante. Calcule o quociente de Rayleigh de x3 para obter a terceira aproximação do autovalor dominante. Passo 3. Calcule o quociente de Rayleigh de x1 para obter a primeira aproximação do autovalor dominante. por autovalor dominante e de um autovetor associado. em 1904. JohnWilliam Strutt Rayleigh Passo 4. Nota histórica O físico matemáti- Continuando assim. Aplique o método das potências com mudança de escala de entrada máxima a [Imagem: The Granger Collection. sua descoberta do gás inerte argônio. e seu trabalho sobre fenômenos on. obtemos uma sequência de aproximações cada vez melhores do co britânico John Rayleigh recebeu o Prêmio Nobel de Física. Calcule o quociente de Rayleigh de x2 para obter a segunda aproximação do autovalor dominante. .  E X E M PLO 3 De novo o Exemplo 2 usando mudança de escala de dulatórios permitiu-lhe dar a primeira entrada máxima explicação correta de por que o céu é azul. Calcule Ax0 e multiplique isso pelo fator 1/max(Ax0) para obter a primeira aproximação x1 de um autovetor dominante.492 Álgebra Linear com Aplicações O método das potências com mudança de escala de entrada máxima Passo 1. Solução Deixamos para o leitor confirmar que Enquanto o método das potên- cias com mudança de escala euclidiana produz uma sequên- cia de aproximações de um au- tovetor dominante unitário. a mudança de escala de entrada máxima produz uma sequência de aproximações de um autove- tor dominante cujo maior com- ponente é 1. Passo 2. Rayleigh também fez descobertas fundamentais em Acústica e Ótica. Calcule Ax1 e multiplique isso pelo fator 1/max(Ax1) para obter a segunda aproximação x2 de um autovetor dominante. 02  100%  2% Nas aplicações.2 O método das potências 493 Assim.com. a convergência rápida no Exemplo 3 é resultante da razão |1| / |2|  5/1  5. De fato. Nos casos em que a razão estiver perto de 1. então erro relativo de erro percentual de (3)  0.blogspot. Para evitar esse problema. Se  for o valor exato do autovalor dominante e se um método das potências produzir a Critérios de parada aproximação  na k-ésima iteração. existe um problema em calcular o erro relativo em (12). maior será o efeito que a multiplicação por A tem em puxar as iteradas em direção ao autoespaço de 1. que é uma razão bem grande. é costume estimar  como sendo (k) e parar os cálculos quando (13) A quantidade do lado esquerdo de (13) é denominada erro relativo estimado de  e sua (k) forma percentual é o erro percentual estimado de  . encontre o menor valor de k para o qual o erro percen- tual estimado em (k) seja menor do que 0. o objetivo é parar os cálculos das iteradas assim que o erro relativo na aproximação daquele autovalor for menor do que E. se A for uma matriz 2  2 simétrica.  Se A for uma matriz simétrica cujos autovalores distintos podem ser ordenados de tal Taxa de convergência modo que |1|  |2| |3| · · · |k| então a “taxa de convergência” dos quocientes de Rayleigh ao autovalor dominante 1 de- pende da razão |1| / |2|. Por exemplo.2.1 e. se   5 e a aproximação depois da terceira iteração for (3)  5.br/ 9. a convergência do método das potências poderá ser tão lenta que devem ser usados outros métodos. pois o autovalor  é desconhecido.1%.1. geralmente sabemos qual é o erro relativo E que pode ser tolerado no autovalor dominante. portanto. Por exemplo. portanto. mais rápida a convergência. dizemos que é o erro percentual de (k). Escrevendo isso como uma porcentagem.https://livros-pdf-ciencias-exatas. a convergência será lenta se essa razão estiver perto de 1 e será rápida se a razão for grande: quanto maior a razão. então quanto maior for a razão |1| / |2|.  aproxima o autovalor dominante corretamente até a quinta casa decimal e x5 (5) aproxima bem o autovetor dominante que resulta tomando t  1 em (6). maior será a disparidade entre os efeitos da mudança de escala de razão 1 e da de razão 2 na Figura 9. então dizemos que (k) (12) é o erro relativo de (k). Contudo. (k)  E X E M P L O 4 Erro relativo estimado Para as contas feitas no Exemplo 3. . ou seja. • Erro percentual Conjunto de exercícios 9. (b) 1  5. autovalor dominante e o autovetor unitário correspondente. 2  0. 4  1 4. Revisão de conceitos • Erro relativo estimado • Sequência de potências • Erro percentual estimado • Autovalor dominante • Critério de parada • Autovetor dominante Aptidões desenvolvidas • Método das potências com mudança de escala euclidiana • Identificar o autovalor dominante de uma matriz.  Observação Um critério de parada é uma regra para decidir quando parar um processo iterativo.  . começando com x0 e paran- do em x4. Compare a aproximação resultante com o valor exato do 5.  dança de escala euclidiana à matriz A. aplique o método das potências com mu- (b) 1  3.  1. Em cada caso. 3  2. (4)  4. 3  8.494 Álgebra Linear com Aplicações Solução Os erros percentuais das aproximações no Exemplo 3 são os seguintes: Assim. 4  3 dança de escala de entrada máxima à matriz A. Compare a aproximação resultante com o valor exato  Nos Exercícios 3–4. determine se A tem um autovalor domi- nante e. máxima • Encontrar os erros relativo e percentual estimados • Erro relativo associados com os métodos das potências. • Quociente de Rayleigh • Usar os métodos das potências descritos nesta seção para • Método das potências com mudança de escala de entrada aproximar um autovetor dominante. 2  3. matriz A. (a) 1  1. encontre-o. 3  1. aplique o método das potências com mu- do autovalor dominante e o autovetor unitário correspondente.1%.2  Nos Exercícios 1–2. se tiver. Nos exercícios. (a) 1  7. 2  3. 4  5 2. 3  3. 4  2  Nos Exercícios 5–6. 2  2. são dados os autovalores distintos de uma 3. discutiremos critérios de parada para o método das potências que são baseados no autovetor dominante em vez do autovalor dominante.99999 é a primeira aproximação com erro percentual estimado menor do que 0. começando com x0 e parando em x4. . xk. por 10. que xk  Akx0 / ||Akx0||. Escolha seu vetor inicial e pare quando o erro percentual estimado na aproximação do autovalor for menor do que 0. . são dados uma matriz A com um autova. . (b) (c) Encontre o valor exato do autovalor e autovetor aproxi- mados nas partes (a) e (b). .2. (b) Use o resultado da parte (a) e o quociente de Rayleigh para aproximar o autovalor dominante de A. n  n e x0 um vetor unitário em Rn e defina a sequência lor dominante e uma sequência x0. então ATA e AAT têm autovalores dominantes positivos. (Requer Indução Matemática) Sejam A uma matriz  Nos Exercícios 9–10.1%. por indução. mostra que é essencial a exigência. x2. Sejam escala euclidiana para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado da matriz dada. x2. arredonde todos os cálculos em três casas decimais e pare depois de três iterações.1 não converge. Ax0. 16. 12. que onde x0 é um vetor unitário e a  0. Mostre que. Use as Fórmulas x1. Repita o Exercício 12 usando mudança de escala de entrada máxima. embora a matriz A seja simétrica e tenha um autovalor dominante. Comece com x0. Prove que se A for uma matriz n  n não nula. . . use o método das potências com mudança de 7. Repita o Exercício 12. . por indução. . Isso 6. a se- .2 O método das potências 495 quência de potências (1) no Teorema 9. . . . mas dessa vez pare quando todas as en- dominante. . de que o autovalor dominante seja positivo. por (9) e (10) para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado. (d) Encontre o erro percentual na aproximação do autovalor 13. 14. A5x0. 15.01 em valor absoluto. 11. . (a) Use o método das potências com mudança de escala de entrada máxima para aproximar um autovetor dominante (a) de A. naquele teorema. . 9. tradas correspondentes em duas aproximações sucessivas de 8. . (Requer Indução Matemática) Sejam A uma matriz n  n e x0 um vetor não nulo em Rn e defina a sequência x1. Repita as instruções do Exercício 7 com autovalores diferirem por menos de 0. . Em cada caso. xk.  9. Considere as matrizes Prove. . 17. . Prove. 1 seguido de 100 zeros). . por fazer referências e por ser referido. discutimos uma das maneiras como isso é feito. que inclui todos os sites aos quais as páginas de sites em S0 fazem referência.3 Serviços de busca na Internet Os primeiros serviços de busca na Internet funcionavam verificando palavras-chave e frases no título e no conteúdo das páginas de documentos postados. Nota histórica O termo google é uma variação da palavra inglesa googol. o site 1 faz referência aos sites 3 e 4. armazena esses escores como uma matriz e usa os componentes do autovetor dominante dessa matriz para estabelecer a importância relativa dos sites para a busca. Como as palavras podem ter sentidos múltiplos. Google começa usando um serviço de busca de texto padrão para encontrar um conjunto inicial S0 de sites que contêm as páginas relevantes. A premissa subjacente é que o conjunto S conterá os sites mais importantes que estão relacionados à busca. e assim por diante. tipicamente o conjunto S0 contém alguns sites irrelevantes e omite sites relevantes. Para compensar isso. o conjunto S0 é expandido para um conjunto S maior. nos Estados Unidos. Um dado site tipi- camente pode ter propriedades tanto de centro quanto de autoridade.  Um site pode desempenhar um destes papéis básicos no processo de busca: o site pode ser um centro. que representa o número 10100 (ou seja.496 Álgebra Linear com Aplicações 9. o que significa que ele faz referência a muitos outros sites. Nesta seção. o site 2 faz referência ao site 1.  E X E M P L O 1 Matriz de adjacência Aqui temos uma matriz de adjacência típica para um conjunto de busca S de quatro sites. o mais utilizado serviço de busca da Internet. Para sermos mais específicos. enquanto ambos eram pós-graduandos da Universidade de Stanford. foi desenvolvido em 1996 por Larry Page e Sergey Brin. os serviços de busca mais populares usam algoritmos que têm por base o método das potências para analisar as referências (os hyperlinks) entre documentos. Esse termo foi inventado em 1938 pelo matemático norte-americano Edward Kasner (1875-1955). e diz a lenda que o termo nasceu quando Kasner teria pedido a seu sobri- nho de oito anos que desse um nome para um número realmente grande e ele teria respondido “googol”. Kasner continuou então e também definiu um googolplex como sendo 10googol (1 seguido de googol zeros). Esse processo é. então. de modo que todos os elementos na diagonal de A são zero. Depois associa a cada site um escore PageRank. (1) Assim. vamos supor que o conjunto de busca S contenha n sites e vamos definir a matriz de adjacência de S como a matriz A  [aij] de tamanho n  n na qual aij  1 se o site i faz uma referência ao site j aij  0 se o site i não faz uma referência ao site j Vamos supor que nenhum site se refira a si mesmo. O Google. o que significa que ele é referido por muitos outros sites. Hoje. repetido um certo número de vezes para refinar ainda mais a informação buscada. O Google usa um procedimento conhecido como algorit- mo PageRank para analisar como documentos em sites relevantes fazem referência uns aos outros. ou uma autoridade. o site 2 faz referência a um outro site. se A for uma matriz de adjacência. Alternativamente. podemos pensar em a0 como o vetor das somas das entradas de linhas de AT. o site 2 é referido por um outro site. Analogamente. e as somas das entradas de linhas me- dirão o aspecto centro dos sites. Contudo. precisa ser levada em conta a interação que existe entre centros e autoridades. Em vista disso. Por exemplo. com a matriz de adjacência do Exemplo 1 e o vetor autoridade calculado no Exemplo 2.  E X E M PLO 2 Vetores centro e autoridade iniciais de uma matriz de adjacência Encontre os vetores centro e autoridade iniciais da matriz de adjacência A do Exemplo 1. dizemos que o vetor h0 das so- mas das entradas de linhas de A é o vetor centro inicial de A. então as somas das entradas de colunas medirão o aspecto autoridade dos sites. e assim por diante. uma vez que o serviço de busca calculou o vetor autoridade inicial a0. o que acaba sendo mais conveniente para os cálculos.3 Serviços de busca na Internet 497 Em geral. 2 e 3. 1. Assim. e assim por diante. então os sites aos quais esse centro faz referência deve- riam ter maior peso. Em vista disto. então os centros que fazem referência a esse site deveriam ter maior peso e. no processo de busca. se A for uma matriz de adjacência de n sites. as somas das entradas de linhas da matriz de (1) são 2. se o site 4 for considerado o principal centro. o que significa que o site 1 é referido por três outros sites. encare o produto Aa0 como uma combinação linear dos vetores coluna de A com coeficientes de a0 . e o vetor a0 das somas das entradas de colunas de A é o vetor autoridade inicial de A. 1. temos . As entradas do vetor centro são denominadas os pesos de centro e as do vetor autoridade os pesos de autoridade. parece razoável que se o site 1 for considerado a maior autoridade. Por exemplo. 9. por exemplo. Solução As somas das entradas de linhas de A fornecem o vetor centro inicial (2) T e as somas das entradas de linhas de A (que são as somas das entradas de colunas de A) fornecem o vetor centro inicial (3)  A contagem de referências no Exemplo 2 sugere que o site 4 é o principal centro e que o site 1 é a maior autoridade. de modo que o site 1 faz referência a dois outros sites. Para entender como os numeradores efetuam as pon- derações. o número de referências não conta toda a história. as somas das entradas de colunas da matriz em (1) são 3. 2 e 2. ele usa a informação nesse vetor para criar um novo vetor centro h1 e um novo vetor autoridade a1 usando as fórmulas (4) Os numeradores nessas fórmulas fazem as ponderações e as normalizações servem para controlar o tamanho das entradas. podemos reescrever (5) como (8) Observação Nos exercícios. substituindo a expressão de hk na expressão de ak . e a normalização controla o tamanho: Uma vez obtidos um vetor centro h1 e um vetor autoridade a1 atualizados. pedimos para o leitor mostrar que ATA e AAT têm autovalores do- minantes positivos. o serviço de busca repete o processo e calcula uma sucessão de vetores centro e autoridade gerando. obtemos o que significa que podemos reescrever (6) como (7) Analogamente. Assim. o serviço de busca normaliza Aa0 para produzir o vetor centro atualizado O novo vetor centro h1 pode agora ser usado para atualizar o vetor autoridade usando a Fórmula (4). assim. as sequências inter-relacionadas Contudo. O produto ATh1 efetua a ponderação.2. Por exemplo. Para controlar o tamanho das entradas.1 garante que (7) e (8) convergem para os autovetores .498 Álgebra Linear com Aplicações Assim. vemos que as referências a cada site referido são ponderadas pelos valores de au- toridade em a0. o Teorema 9. cada uma dessas sequências é uma sequência de potências disfarçada. respectivamente.3 Serviços de busca na Internet 499 dominantes de ATA e AAT. Deixamos para o leitor mostrar que e que . As entradas desses autovetores são os pesos de autorida- de e de centro que o Google utiliza para ordenar os sites de busca em ordem de importância como autoridades e centros. 9. Solução Tomemos a0 como o vetor normalizado das somas das entradas de colunas de A e então calculemos as iteradas em (7) até que os vetores autoridade pareçam estabiliza- dos.  E X E M P L O 3 Um procedimento de ordenamento Suponha que um serviço de busca produza 10 sites da Internet em seu conjunto de busca e que a matriz de adjacência para esses sites seja Use a Fórmula (7) para ordenar esses sites em ordem decrescente de autoridade. encontre os vetores centro e autoridade 2. Continuando dessa maneira. site 8. • Pesos de centro • Pesos de autoridade Conjunto de exercícios 9.  Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Matriz de adjacência • Encontrar os vetores centro e autoridade iniciais de uma • Vetor centro matriz de adjacência. obtemos as seguintes iterações de autoridade: As pequenas variações entre a9 e a10 sugerem que as iteradas estabilizaram perto de um autovetor dominante de ATA. 6.  1. site 10 e sites 3 e 4 (empate). concluímos que os sites 1. . iniciais da matriz de adjacência A. • Vetor autoridade • Usar o método de Exemplo 3 para ordenar sites.500 Álgebra Linear com Aplicações Assim. 7 e 9 provavelmente são irrelevantes para a busca e que os demais sites deveriam ser acessados em ordem de importância decrescente como site 5. A partir das entradas de a10. site 2.3  Nos Exercícios 1–2. encontre os vetores centro e autoridade 7. Neste livro. Em geral. 4. Isso é especialmente válido na indústria. interpretamos flop como uma unidade de contagem. ) entre dois números reais Flops e o custo de resolução é denominada um flop. No jargão computacional. é dada a matriz de adjacência A de um serviço de busca na Internet. podemos converter. e n é o número de dígitos à direita da vírgula decimal.4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares Existe um velho ditado que diz que “tempo é dinheiro”.000 flops seria executado em 0. em que m é um inteiro denominado mantissa. Use o método do Exemplo 3 para or- denar os sites em ordem decrescente de autoridade. Assim.  5. A matriz do Exercício 1. ‡ Os computadores armazenam os números reais como aproximações numéricas denominadas números ponto- -flutuantes. que é denominado o custo da solução. Nesta seção.4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 501  Nos Exercícios 3–4. *. um algoritmo que custa 1. atualizados h1 e a1 da matriz de adjacência A.0001 segundos. d1d2 · · · dn  10m. muitas vezes. uma operação aritmética (. Assim.‡ de um sistema linear O número total de flops necessários para resolver um problema. Na base 10. 9. o termo flop é utilizado como uma medida de velocidade do processador e significa “operações ponto-flutuantes por segundo”. que é um acrônimo (em inglês) para “operação ponto-flutuante”. A matriz do Exercício 2. um número ponto-flutuante tem a forma  0.000. muitos dos compu- tadores pessoais de hoje são capazes de executar cerca de 10 gigaflops por segundo (1 gigaflop  109 flops). determinado pelo tempo que um computador leva para executar seus cálculos. quando necessário. . Se a velocidade do processador do computador e os aspectos financeiros de suas operações forem conhecidos.  3. o custo em flops para unidades de tempo ou dinheiro. . 9. Por exemplo.  Nos Exercícios 5–8. O valor de n varia com o com- putador. Em alguns livros. discutimos alguns dos fatores que afetam a escolha do algoritmo na resolução de sistemas lineares de grande escala. o tempo de computação depende de dois fatores: a velocidade do processador e o número de operações exigidas pelo algoritmo. fornece uma maneira conveniente de escolher entre vários algoritmos para resolver o problema. 6. a escolha do algoritmo correto tem implicações financeiras importantes num contexto industrial ou de pesquisa. 8. onde o custo de resolver um sistema linear é. (1) (2) Seja Ax  b um sistema linear de n equações em n incógnitas a ser resolvido por eli- minação de Gauss-Jordan (ou. Os diagramas que acompanham a análise a seguir fornecem uma maneira conveniente de contar as operações necessárias para introduzir um pivô na primeira linha e zeros abaixo do pivô. Coluna 1. O procedimento para a coluna 2 é o mesmo que para a coluna 1. o número de flops necessários para a co- luna 1 é n  2n(n  1)  2n  n 2 Coluna 2. o número de flops necessários para introduzir o pivô na linha 2 e os zeros abaixo do . exceto que agora estamos tratando com uma linha a menos e uma coluna a menos. vamos calcular o número de flops neces- sários para resolver um sistema linear de n equações em n incógnitas por eliminação de Gauss-Jordan. de modo que são necessários 2n(n  1) flops para introduzir os zeros abaixo do pivô.” Passo 1. Para simplificar. Na nossa contagem de operações. Combinando os passos 1 e 2. Para isso. como segue. Passo 2. vamos agrupar produtos com divisões como “multiplicações” e somas com subtrações como “adições. utilizamos as seguintes fórmulas para a soma dos n primeiros inteiros positivos e a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos. vamos supor que A seja invertível e que trocas de linhas não sejam necessárias para reduzir a matriz aumentada [A | b] à forma escalonada por linhas. eliminação gaussiana com retrossubs- tituição). São necessárias n multiplicações e n adições para introduzir um zero abaixo do pivô e existem n  1 linhas abaixo do pivô. Assim.502 Álgebra Linear com Aplicações Para ilustrar o cálculo do custo (em flops). equivalentemente. São necessários n flops (multiplicações) para introduzir um pivô na primeira linha. o número de flops necessá- rios para a coluna (n  2) é 2(n  3). como Agora passamos a contar o número de operações necessárias para completar a fase inversa. São necessárias n  1 multiplicações e n  1 adições para introduzir os zeros acima do pivô da enésima coluna. aplicando as Fórmulas (1) e (2).4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 503 pivô pode ser obtido substituindo n por n  1 na contagem de flops da primeira colu- na. Coluna n. Assim. o número de flops necessários para a coluna 2 é 2(n  1)  (n  1) 2 Coluna 3. 9. o número de flops necessários para a coluna (n  1) é 2(n  2). Coluna (n ⴚ 1). O padrão deveria estar claro agora. O número total de flops necessários para completar a fase inversa é 2(n  1)  2(n  2)  2(n  3)  · · ·  2(n  n)  2[n2  (1  2  · · ·  n)] . exceto que agora estamos tratando com uma linha a menos. de modo o número total de flops para essa coluna é 2(n  1). Total. o número de flops necessários para a coluna 3 é 2(n  2)  (n  2) 2 Total para todas as colunas. Assim. Coluna (n  2). O número total de flops necessários para criar os n pivôs e os zeros associados é (2n  n)  [2(n  1)  (n  1)]  [2(n  2)  (n  2)]  · · ·  (2  1) 2 2 2 que pode ser reescrito como 2[n  (n  1)  · · · 1]  [n  (n  1)  · · · 1] 2 2 ou. O procedimento é o mesmo que para o Passo 1. Pelo argumento usado para a coluna 2. O padrão deveria estar claro agora. Pelo argumento para a coluna (n  1). de modo que. quando calculado em valores grandes da variável inde- lineares grandes pendente. os tempos de execução de cada fase são tempo da fase direta  tempo da fase inversa  (101)  101 s  0.000 ( 104) equações em 10. usando (6) e (7).  E X E M P L O 1 Custo de resolver um sistema linear grande Aproxime o tempo necessário para executar cada fase da eliminação de Gauss-Jordan num sistema de 10. os números de 4 gigaflops necessários para as duas fases são dados por gigaflops na fase direta  9 gigaflops na fase inversa  n  10  (10 )  10 = 10 2 4 2 −9 −1 Assim.01 s  Deixamos como um exercício confirmar os resultados na Tabela 1. a fase direta custa mais do que a inversa. Considerações sobre a Os métodos da decomposição LU e da eliminação de Gauss-Jordan diferem na contabili- escolha do algoritmo para dade. podemos usar (3) e (4) para aproximar o número de flops nas duas fases como flops na fase direta  (6) flops na fase inversa  n 2 (7) Isso mostra que. o custo total para resolver um sistema linear pela eliminação de Gauss-Jordan é flops nas duas fases  (5) Estimativas do custo de Uma propriedade dos polinômios é que a maior contribuição para o valor do polinômio resolução de sistemas é dada pelo termo de maior grau. exceto por isso. De fato. Assim. mas. pode ser enorme a diferença do custo entre as duas fases. como mostra o próximo exemplo. usando um computador que consiga executar 10 gigaflops por segundo. para sistemas lineares grandes. para sistemas lineares grandes. mostramos que o número de flops necessários para a eliminação de Gauss-Jordan em suas duas fases é flops na fase direta  (3) flops na fase inversa  n  n 2 (4) Assim. usando a Fórmula (1).000 incógnitas. envolvem o mesmo número de flops na resolução de um único resolução de sistemas lineares sistema linear Ax  b de n equações em n incógnitas. Solução Temos n  10 no sistema dado. nenhum dos dois métodos . como Resumindo. com 10 gigaflops por segundo.504 Álgebra Linear com Aplicações que pode ser reescrito. Assim. 1 1 2n 3 A reduzindo [A | I ] a [I | A ] Cálculo de A1b 2n3 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Flop • Calcular o custo da resolução de um sistema linear pela • Fórmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos eliminação de Gauss-Jordan. a decomposição LU usa somente a matriz A. então existem técnicas que podem ser usadas para reduzir o custo da decomposição LU. O espaço que isso abre pode. nos quais a memória do computador é muito solicita- da. Tabela 1 Custo aproximado para uma matriz A de tamanho n ⴛ n com n grande Algoritmo Custo em flops Eliminação de Gauss-Jordan (fase direta) n3 Eliminação de Gauss-Jordan (fase inversa) n2 3 O custo em flops da eliminação Decomposição LU de A n gaussiana é igual ao da fase di- Substituição direta para resolver Ly  b n2 reta da eliminação de Gauss- Substituição inversa para resolver Ux  y n2 -Jordan. uma vez conhecida essa decomposição. • Custo em flops para inverter uma matriz por redução por • Aproximar o tempo necessário para encontrar a inversa de linhas uma matriz invertível. • A decomposição LU que é calculada para resolver Ax  b pode ser utilizada para calcular A1. ser utilizado para armazenar as entradas de L e. que o tornam o método preferido. dando à decomposição LU uma vantagem sobre a eliminação de Gauss-Jordan. de modo que. • Questões para considerar na escolha de um algoritmo para resolver sistemas lineares grandes . então. podemos dispensar o armazenamento dos pivôs e zeros que aparecem na diagonal principal de U e abaixo dela. com pouco trabalho adicional. • Se A for uma matriz grande consistindo em quase que só zeros e se as entradas não nulas de A estiverem concentradas numa faixa ao longo da diagonal principal. com isso. • Custo em flops da resolução de sistemas lineares grandes • Aproximar o tempo necessário para encontrar uma por vários métodos decomposição LU de uma matriz. podemos utilizá-la com qualquer número de lados direitos. Por outro lado. • A eliminação de Gauss-Jordan e a eliminação gaussiana usam a matriz aumentada [A | b]. um de cada vez. • Fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros • Aproximar o tempo necessário para executar as duas fases inteiros positivos da eliminação de Gauss-Jordan. a decomposição LU tem ou- tras vantagens. se for necessário. • Para sistemas lineares grandes. 9. como segue. portanto precisamos conhecer b. Contudo. já que essas entradas são conhecidas a partir do formato de U. reduzir a quantidade de memória requerida para resolver o sistema.4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 505 tem uma vantagem sobre o outro quanto ao custo. A e B são matrizes n  n e c é um nú- (b) Executar a fase inversa da eliminação de Gauss-Jordan. use a Tabela 1 para obter 6. O computador Roadrunner. Se uma matriz A de tamanho n  n não for simétrica. 8. Em cada caso.000 equações em 100. (d) Encontrar A1 reduzindo [A | I ] a [I | A1].000 incógnitas. gigaflop por segundo.000 equações em 1. (b) Um computador deve ser capaz de executar quantos giga- (c) Um sistema de 1. consegue operar a ve.) (b) Um sistema de 100.) (a) Executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan.000 equações em 10. (Ver Tabela 1. Quantos flops são necessários para calcular cA? (d) Encontrar A1 reduzindo [A | I ] a [I | A1]. (c) Um sistema de 100.5 segundos? (Ver Tabela 1.) 3.000 flops por segundo para encontrar a decomposição LU de incógnitas. de Gauss-Jordan.000 equações em 100. ao armazenamento e à transmissão de informação digitalizada e formam a base de muitos dos melhores algoritmos computacionais que estão atualmente disponíveis para resolução de sistemas lineares.000 em menos de 0. (a) Obtenha uma aproximação do tempo necessário para 2. (b) Executar a fase inversa da eliminação de Gauss-Jordan.506 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 9.2 que qualquer matriz simétrica A pode ser expressa quadradas como A  PDP T (1) em que P é uma matriz ortogonal n  n de autovetores de A e D é a matriz diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores associados aos vetores coluna de P.000. mero real.000 incógnitas. (b) Um sistema de 10. Os computadores pessoais de hoje conseguem executar 70 gi- gaflops por segundo. 7.000 incógnitas. Os resultados que desenvolvemos nesta seção têm aplicações à compressão. Supondo que A seja uma matriz diagonal e k um inteiro positi-  1015 flops). Um computador deve ser capaz de executar quantos teraflops uma estimativa do tempo necessário para executar a operação por segundo para encontrar a inversa de uma matriz de tama- dada com uma matriz invertível A de tamanho 10.000.000  10. da IBM. Em cada caso.000 incóg- tempo necessário para resolver o sistema usando eliminação nitas usando um computador que consiga executar 1 de Gauss-Jordan.  (c) Obter uma decomposição LU de A. então não existe uma decompo- sição em autovalores. flop  1012 flops.000 em menos de 0.000 equações em 100. Nesta seção. tempo necessário para resolver o sistema usando eliminação (a) Executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan. (a) Um sistema de 10. Faça o mesmo com a fase indireta.000 equações em 10. Um certo computador consegue executar 100 gigaflops por executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan segundo. Um certo computador consegue executar 10 gigaflops por estimativa do tempo necessário para executar a operação dada segundo. quantos flops são necessários para calcular Ak? 9. Decomposições de matrizes Vimos na Fórmula (2) da Seção 7.  Nos Exercícios 7–10.000 incógnitas. discutimos uma extensão da teoria de diagonalização de matrizes n  n simétricas para matrizes m  n arbitrárias. 9.000 incógnitas. Em cada caso. (a) Um sistema de 1.5 segundos? (1 tera- 10. vamos dizer que (1) é uma decomposição em autovalores de A (abreviada pelas iniciais em inglês EVD de A).5 Decomposição em valores singulares Nesta seção. 5.000. uma matriz de tamanho 10. Quantos flops são necessários para calcular AB? locidades superiores a um petaflops por segundo (1 petaflop 10. (c) Obter uma decomposição LU de A. Em cada caso.000  100.000. use a Tabela 1 para obter uma vo. mas existe uma decomposição de Hessenberg A  PHP T .000  nho 100. use a Fórmula (5) para encontrar o num sistema de 100.000 equações em 1.4 1.000  100. Quantos flops são necessários para calcular A  B? 4. use a Fórmula (5) para encontrar o com uma matriz invertível A de tamanho 100. T Como os produtos de matrizes do tipo A A desempenham um papel importante no nosso Valores singulares trabalho. 9. pois A Ax0  A (Ax0)  A 0  0 T T T Reciprocamente. Se x0 for uma solução qualquer de Ax  0. existe ainda uma decomposição de Schur A  PSP T em que P é uma matriz ortogonal e S é triangular superior (Teorema 7. se A tiver autovalores reais. então x0 está no espaço nulo de ATA e é. Poderíamos procurar fatorações da forma em que P é invertível. mas são menos importantes numericamente por causa de dificuldades de arredondamento que decorrem da falta de ortogonalidade de P.5 Decomposição em valores singulares 507 na qual P é uma matriz ortogonal e H é uma matriz de Hessenberg superior (Teorema 7. que não serão consideradas neste texto. começamos com dois teoremas básicos relativos a essas matrizes. em homenagem ao matemático francês Camil- le Jordan (ver página 510). Prova (a) Devemos mostrar que cada solução de Ax  0 é uma solução de ATAx  0 e vice-versa. TEOREMA 9. (d) A e ATA têm o mesmo posto. suponha que seja um vetor coluna cujas entradas são conhecidas exatamente e que seja o vetor que resulta quando ocorrem erros de arredondamento nas entradas de . mas não necessariamente iguais. ortogonal a todos os vetores do espaço linha de ATA. Provamos a parte (a) e deixamos as demais provas como exercícios.5. As decomposições em autovalores. (b) A e ATA têm o mesmo espaço linha. então x0 também é solução de ATAx  0. mas também porque as matrizes ortogonais que aparecem nessas fatorações não aumentam os erros de arredondamento. (c) AT e ATA têm o mesmo espaço coluna.4). nos concentramos no segundo caminho. Além disso. denominada forma canônica de Jordan. pela parte (q) do . Se P for uma matriz ortogonal. O primeiro caminho leva a fatorações em que J é ou diagonal ou um certo tipo de matriz diagonal em blocos. mas não necessariamente ortogonal. se x0 for uma solução qualquer de ATAx  0.2. têm importância na teoria e em certas aplicações. então a propriedade de preservação de comprimentos de vetores por transformações ortogonais implica o que nos diz que o erro em aproximar P por Px tem a mesma magnitude que o erro de aproximar por x. H e S têm formatos mais simples do que A.2. Para ver isso. de Hessenberg e de Schur são importantes em algoritmos numéricos não só porque as matrizes D.3). então (a) A e ATA têm o mesmo espaço nulo. ou poderíamos procurar fato- rações da forma A  UV T em que U e V são ortogonais. portanto. As formas canônicas de Jordan. Nesta seção.1 Se A for uma matriz m  n. Existem dois caminhos principais para percorrer na procura de outros tipos de fatora- ção de uma matriz quadrada A arbitrária. Prova (a) A matriz ATA. x0 deve ser ortogonal ao vetor (ATA)x0. . No entanto. provando que x0 é uma solução de Ax  0. . . então. então (a) ATA é ortogonalmente diagonalizável. Prova (b) Como ATA é ortogonalmente diagonalizável.2 e as propriedades do operador de transposição. por ser simétrica. . . podemos reescrever isso como x 0(A A)x0  (Ax0) (Ax0)  (Ax0) · (Ax0)  ||Ax0||  0 T T T 2 o que implica Ax0  0.10. n n forem os autovalores correspondentes. de modo que x0 é ortogonal a cada vetor no espaço coluna de ATA. Se 1.8.  TEOREMA 9. {v1. existe alguma base ortonormal de R consistindo em autovetores de ATA. dado qualquer 1 .2 Se A for uma matriz m  n. (b) Os autovalores de ATA são não negativos.5.2. digamos. . ou seja. vn}. ATA é simétrica. x0 · (ATA)x0  0 Usando a primeira fórmula da Tabela 1 da Seção 3. . v2.1. Em particular. .508 Álgebra Linear com Aplicações Teorema 4. é ortogonalmente diagonalizável pelo Teo- rema 7. 2. i . que são denominados valores singulares de A. . . por que os autovalores de ATA então os números estão nomeados de tal forma que 1 2 · · · n 0 e. . 1 2 · · · n 0  E X E M P L O 1 Valores singulares Encontre os valores singulares da matriz Solução O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz O polinômio característico de ATA é 2  4  3  (  3)(  1) de modo que os autovalores de A A são 1  3 e 2  1 e os valores singulares de A em T ordem decrescente de tamanho são  .  Em toda esta seção. n. n os autovalores de ATA. portanto. 2.2] Segue dessa relação que i 0. DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz m  n e 1. temos [Fórmula (26) da Seção 3. . vamos su. que começa no canto        superior esquerdo e se estende diagonalmente até onde for possível. uk.1.        Agora estamos prontos para considerar o resultado principal desta seção. k. . quando já era um matemático eminen- te. nascido na Inglaterra. . . Essa     fatoração.3 Decomposição em valores singulares     Se A for uma matriz m  n. TEOREMA 9.4 Decomposição em valores singulares (versão expandida) Se A for uma matriz m  n de posto k. .5. Dizemos que as en. m  n e n  n. Definimos a diagonal principal de uma singulares matriz m  n como a fileira de entradas mostrada na Figura 9. uk} é uma base ortonormal de col(A). que diz res. . Os vetores u1. sendo 1. então A pode ser fatorada como Harry Bateman (1882–1946) Nota histórica O termo valor sin- gular é aparentemente devido ao matemático Harry Bateman.        tradas nessa diagonal principal são as entradas diagonais da matriz.             TEOREMA 9. . os vetores singulares à direita de A. na Universidade Johns (b) As entradas diagonais não nulas de  são . 1910. (c) Os vetores coluna de V são ordenados de tal modo que 1 2 · · · k  0. A prova será dada ao final desta seção.5.  e V têm tamanhos m  m. . É interessante . . . . 2. . v2. lecionando na Escola (a) V  [v1 v2 · · · vn] diagonaliza ortogonalmente ATA. . . denominada decomposição em valores singulares de A (que abreviamos com as     iniciais em inglês SVD de A). [Imagem: Cortesia dos Arquivos do (d) California Institute of Technology] (e) {u1. os autovalores não nulos de ATA associados aos observar que ele recebeu seu dou- vetores coluna de V. no Instituto Tec- nológico da Califórnia. finalmente. . . que fornece todos os detalhes.5.     cipal. . Em condições seguintes. . Hopkins e. um} é uma extensão de {u1. respectivamente e satisfazem as go científico publicado em 1908. uk são de- nominados vetores singulares à esquerda de A. vk. que captura a ideia prin. 9. . .        peito a uma maneira específica de fatorar uma matriz A arbitrária de tamanho m  n. . u2. . Bryn Mawr. uk} a uma base m ortonormal de R . . uk1. (f) {u1. e uma expandida. . u2. . u2. . convém estender a noção de “diagonal Decomposição em valores principal” para matrizes que não são quadradas.1 em que U e V são matrizes ortogonais e  é uma matriz m  n cujas entradas diago- nais são os valores singulares de A e cujas demais entradas são nulas. com 60 publicações científicas.5. . e v1. torado em Johns Hopkins em 1913.5 Decomposição em valores singulares 509 Antes de passar ao resultado principal desta seção. . será dada em duas versões: uma curta. que o utilizou num arti- em que U. u2. . Bateman emigrou para os Es- tados Unidos. então A pode ser expressa como Diagonal principal AUV T  Figura 9. . . redescobriu o resultado em 1889 e indicou sua importância. ele transformou-a de uma curiosidade (1835–1900) (1838–1922) matemática numa importante ferramenta prática. Inc. Mais recentemente. New York (Weyl).5. o matemático francês Camille Jordan. em 1873. The Granger Collection. os esforços pioneiros do matemático norte- -americano Gene Golub produziram um algoritmo estável e eficaz para calculá- -la. [Imagens: Wikipedia (Beltrami).510 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 2 Decomposição em valores singulares se A não for quadrada Encontre uma decomposição em valores singulares da matriz Solução Mostramos no Exemplo 1 que os autovalores de A A são 1  3 e 2  1 e que T os valores singulares de A são e 2  1. o matemático inglês James Sylvester (ver página 34). e os matemáticos alemães Erhard Schmidt (ver página 360) e Herman Weyl. Beltrami e Jordan foram os pais da decomposição. os vetores Nota histórica A teoria da decomposição em valores singulares pode ser tra- çada até o trabalho de cinco pessoas: o matemático italiano Eugenio Beltra- mi. Wikipedia (Golub)] Herman Klaus Weyl Gene H.. Weyl mostrou como encontrar a aproximação de posto menor na presença de erro. Beltrami deu uma prova para o caso de matrizes reais invertíveis com valores singulares distintos. sendo que. Jordan refinou a teoria e eliminou as restrições desnecessárias impostas por Beltrami. Cortesia de Electronic Publishing Services. respectivamente. Golub (1885–1955) (1932– ) . Schmidt foi a primeira pessoa a mostrar que a de- composição em valores singulares poderia ser usada para aproximar uma matriz Eugenio Beltrami Camille Jordan por outra de posto menor e. ao fazer isso. Subsequentemente. aparentemente des- conhecendo o trabalho de Beltrami e Jordan. Pela parte (d) do Teorema 9. e que V  [v1 | v2] diagonaliza ATA ortogonalmente.4. Sylvester. New York (Jordan). Deixamos para o leitor verificar que são autovetores associados a 1 e 2. Para estender o argumento para uma matriz m  n. Assim. obtemos Assim. segue do Teorema 9. o vetor u3 deve ser uma solução do sistema linear homogêneo Deixamos para o leitor mostrar que uma solução geral desse sistema é Normalizando o vetor do lado direito. a decomposição em valores singulares de A é O leitor pode querer confirmar a validade dessa equação multiplicando as matrizes do lado direito. .1 que A A também . OPCIONAL Prova do Teorema 9.4. A matriz ATA é simétrica. portanto. n são os autovalores de A A que correspondem em sucessão aos vetores T T coluna de V.5. Como A tem posto k por hipótese. .5. procuramos um vetor unitário u3 ortogonal a Para satisfazer essas duas condições de ortogonalidade. u2} a uma base ortonormal de R3.4 Para simplificar a notação. basta ajustar a notação usada para levar em conta as possibilidades m  n ou n  m. possui uma decomposição em autovalores A A  VDV T T em que os vetores coluna de V  [v1 | v2 | · · · | vn] T são autovetores unitários de A A e D é a matriz diagonal cujas entradas diagonais suces- sivas 1. . os cálculos simplificam se primeiro removermos as incômodas raízes mul- tiplicando u1 e u2 por escalares apropriados. Poderíamos estender o conjunto {u1.5. 2. como esperávamos.  Concluímos esta seção com uma prova opcional do Teorema 9.5 Decomposição em valores singulares 511 são dois dos três vetores coluna de U. Observe que u1 e u2 são ortonormais. Contudo. vamos provar o teorema no caso em que A é uma matriz n  n. 9. . Av2. uk. . Agora considere o conjunto de imagens {Av1. Av2. . uk1. U a matriz ortogonal U  [u1 u2 · · · uk uk1 · · · un] e  a matriz diagonal . . pois. . . Assim. n e estamos supondo que as k primeiras 2 entradas diagonais em (2) são positivas. Avn} (3) Esse conjunto é ortogonal. . . . .6 que podemos estender isso a uma base ortonormal {u1. . . (4) Segue do Teorema 6. Sejam. se i  j. Normalizando esses vetores em S. . sendo um conjunto linearmente independente de k vetores.2b que ||Avi ||  i com i  1. u2. equivalentemente. pois pos(A)  pos(A A)  k T e. . por ser semelhante a ATA e o posto ser um invariante de semelhança. . pois mostramos na prova do Teorema 9. un} n de R . Mas o espaço colu- na de A tem dimensão k. Segue disso que também D tem posto k. . agora. .512 Álgebra Linear com Aplicações tem posto k. então a ortogonalidade de vi e vj implica Avi · Avj  vi · A Avj  vi · j vj  j (vi · vj )  0 T Além disso. obtemos uma base ortonormal {u1. 2. . . S necessariamente é uma base ortogonal de col(A). portanto. . .5. Avk} é um conjunto ortogonal de vetores não nulos no espaço coluna de A. u2.3. . . Assim S  {Av1. os k primeiros vetores em (3) são não nulos. . uk} de col(A) em que ou. . podemos escrever D como (2) em que 1 2 · · · k  0. 14. A  U  V T e B  {v1. . Mostre que   [T]B. . 15.5  Nos Exercícios 1–4. 4. ca. diagonalizável. v2. encontre os valores singulares distintos 16. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. (e) Se A for uma matriz m  n.  canônica A tem uma decomposição em valores singulares 1. 12. (a) Prove a parte (b) do Teorema 9. . respectivamente.  Nos Exercícios 5–12. (b) Prove a parte (c) do Teorema 9. A  [1 2 0] 2. vn} e B  {u1. • Os autovalores de ATA são não negativos Conjunto de exercícios 9. 5. então A é ortogonalmente 11. 8. justificando sua resposta. Prove a parte (d) do Teorema 9. u2. um} os vetores coluna de V e U. então ATA é ortogonalmente diagonalizável. 10. Prove: se A for uma matriz m  n.  Revisão de conceitos • Valores singulares • Decomposição em autovalores • Entradas diagonais de uma matriz que não é quadrada • Decomposição de Hessenberg • Decomposição em valores singulares • Decomposição de Schur Aptidões desenvolvidas • Magnitude do erro de arredondamento • Encontrar os valores singulares de uma matriz m  n. 3.5. 17. Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(g). Mostre que os valores singulares de ATA são os quadrados dos valores singulares de A. . então ATA é uma matriz simétri- 9. encontre uma decomposição em valores 18. .1 usando a parte (a) desse (g) Qualquer matriz m  n tem uma decomposição em valores teorema e o fato de que A e ATA têm n colunas.5 Decomposição em valores singulares 513 Segue de (4) e do fato de que Avi  0 com i  k.5. então os autovalores de ATA são números reais positivos. . singulares. (d) Se A for uma matriz n  n. (f) Os autovalores de ATA são valores singulares de A. então ATA é uma matriz m  n.1 usando a parte (b). • Propriedades comuns a A e ATA • Encontrar uma decomposição em valores singulares de • ATA é ortogonalmente diagonalizável uma matriz m  n. Sejam T : Rn → Rm uma transformação linear cuja matriz de A. 13. B . (a) Se A for uma matriz m  n.1 mostrando primeiro que lin(ATA) é um subespaço de lin(A). . 6. 9. então U diagonaliza AAT ortogonalmente.5. (b) Se A for uma matriz m  n. . 7. então ATA e AAT têm o mesmo posto. pode ser reescrito como A  U V T. Mostre que se A  UV T for uma decomposição em valores singulares de A. usando a ortogonalidade de V. (c) Se A for uma matriz m  n.  singulares de A. que que. . discutimos o papel desempenhado pela decomposição em valores singulares na compressão de dados digitalizados de modo que possam ser transmitidos mais rapidamente e que ocupem menos espaço de armazenamento. as linhas e as colunas nulas da matriz  no Teorema 9. denotamos as matrizes do lado direito de (1) por U1. k  k e k  n. e que T a matriz 1 é invertível. respectivamente. e escreve- T mos essa equação como A  U11V T1 (2) Observe que os tamanhos de U1.6 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares A transmissão e o armazenamento eficientes de grandes quantidades de dados digitalizados têm se tornado um dos maiores problemas de nosso mundo tecnológico. em que u é um vetor coluna em Rm e V é um vetor coluna em Rn. Neste livro. pode ser fatorada como M  uvT.5. ao passo que a decomposição espectral [Fórmula (7) da Seção 7. Nesta seção. Esse resultado é apli- cável a qualquer matriz.4 são supérfluas singulares reduzida e podem ser eliminadas multiplicando-se por extenso a expressão U  V T. por meio de multiplicação em blocos.  E X E M P L O 1 Decomposição em valores singulares reduzida Encontre uma decomposição em valores singulares reduzida e uma expansão em valores singulares reduzida da matriz . e subdividindo-se as matrizes conforme indicado naquela fór- mula. 1 e V 1 são m  k. restando (1) que é denominada uma decomposição em valores singulares reduzida de A. Nesta seção. Os produtos que envolvem blocos nulos como fatores desaparecem. vamos supor que o leitor tenha lido a Seção 9. 1 e V 1. já que suas entradas diagonais são positivas. Observação Pode ser provado que uma matriz M de tamanho m  n tem posto 1 se. uma decomposição em valores singulares reduzida expressa uma matriz A de posto k como uma combinação linear de k matrizes de posto 1. Multiplicando o lado direito de (1) por colunas e linhas. obtemos (3) que é denominada expansão em valores singulares reduzida de A. e só se.514 Álgebra Linear com Aplicações 9.2] é aplicável somente a matrizes simétricas. Assim.5. Decomposição em valores Algebricamente. respectivamente. processamento de imagens missão eletrônica. A imagem pode ser recuperada a partir da matriz A imprimindo ou exibindo os pixels com seus níveis de cinza associados. A figura dada mostra uma impressão digital original e uma reconstrução a partir de informação digital comprimida na taxa de 26:1. 9. em 1993. O primeiro passo na compressão de uma imagem visual é representá-la como uma matriz numérica. uma fotografia em preto e branco pode ser escaneada como um arranjo retangular de pixels (pontos) e armazenada como uma matriz A. o FBI começou a trabalhar com o Laboratório Nacional de Los Ala- mos.  As decomposições em valores singulares podem ser utilizadas para “comprimir” informa. como é de se esperar. o Instituto Nacional de Padrões dos Estados Unidos e outros grupos para conseguir métodos de compressão para arquivar as impressões em formato digital. tendo atualmente mais de 30 milhões de tais impressões arquivadas. o FBI norte-americano começou a colecionar impressões digitais e de mãos. Para reduzir o custo de armazenagem. Se utilizarmos 256 níveis de cinza (sendo 0  branco e 255  preto). Compressão de dados e ção visual com o objetivo de reduzir seu espaço de armazenamento e acelerar sua trans. a partir da qual a imagem possa ser recuperada quando for necessário.5. Original Reconstrução . Nota histórica Em 1924.6 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares 515 Solução No Exemplo 2 da Seção 9. segue de (1) com k  2 que a decomposição em valores singulares reduzida de A correspondente a (4) é Isso fornece a expansão em valores singulares reduzida Observe que as matrizes na expansão têm posto 1. Por exemplo. associando a cada pixel um valor numérico de acordo com seu tom de cinza. encontramos a decomposição em valores singu- lares (4) Como A tem posto 2 (verifique). então as entradas na matriz serão números inteiros entre 0 e 255. a ponto de poderem ser ignorados em (5).6. Por exemplo. assim. Quando for pre- ciso. e produzam. . .1 mostra algumas aproximações de uma imagem digitalizada de um babuíno gigante obtida usando (6). a matriz A (e. .100 números.516 Álgebra Linear com Aplicações Se a matriz A tiver tamanho m  n. então poderíamos armazenar cada uma de suas mn entradas individualmente. a imagem que representa) pode ser reconstruída a partir de (5). uma aproximação aceitável (6) de A e da imagem que A representa. dando uma compressão de quase 80%.000  1)  200.6. ao contrário dos mn números requeridos para um armazenamento entrada a entrada de A. uma aproximação de posto 100 de uma matriz A de tamanho 1. esse método requer espaço de armazenamento para km  kn  k  k(m  n  1) números. • Posto de uma aproximação • Encontrar a expansão em valores singulares reduzida de uma matriz m  n. entretanto. Um procedimento alternativo é calcular a decomposição em valores singulares reduzida (5) na qual 1 2 · · · k e armazenar os números .000  1. portanto. que os valores singulares r1. Suponha. Como cada vetor u tem m entradas e cada vetor v tem n entradas. . Dizemos que (6) é a aproximação de posto r de A. Posto 4 Posto 10 Posto 20 Posto 50 Posto 128  Figura 9. A Figura 9.000  1.000 requer espaço de armazenamento para apenas 100(1. Essa matriz requer espaço de armazenamento para apenas rm  rn  r  r(m  n  1) números. e os vetores u e v. .1 Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas • Decomposição em valores singulares reduzida • Encontrar a decomposição em valores singulares reduzida • Expansão em valores singulares reduzida de uma matriz m  n. k sejam suficien- temente pequenos. ao contrário do milhão de números requeridos no armazenamento entrada a entrada. dizer sobre a convergência dos quocientes de Rayleigh? 8. A matriz A do Exercício 2. xk. uma expansão em valores singulares reduzida da matriz A do Exercício 9. . Discuta o comportamento da sequência de potências 13. O que tem essa matriz para causar o comportamento observado? .5. Suponha que A seja uma matriz 200  500. [Observação: cada matriz aparece no 8.]  devem ser armazenados na aproximação de posto 100 de A? Compare isso com o número de entradas de A. . Encontre uma decomposição LDU da matriz A do Exercício 3.  Nos Exercícios 5–8. . Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(c). (b) Aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana a A e x0. 6. 6. Encontre uma decomposição em valores singulares de 4. Considere a matriz simétrica 12. 5.4.1.  (c) V1 tem tamanho k  n. singulares reduzida de A. justificando sua resposta. 3  2. parando em x5. 1. Compare o valor de x3 11. . A matriz A do Exercício 4. Encontre uma decomposição LU de . 9. da matriz cuja decomposição em valores singulares é dada por (c) Aplique o método das potências com mudança de escala de entrada máxima a A e x0.6  Nos Exercícios 1–4. O que você pode 2. 5. Matrizes ortogonalmente semelhantes têm os mesmos valores singulares? Justifique sua resposta. . . lares reduzida de A. onde foi pedida a decomposição em 9. Sejam e . 7. Encontre uma decomposição em valores singulares reduzida obtido com o autovetor v encontrado na parte (a). A matriz A do Exercício 3. . 4. Encontre uma decomposição em valores singulares reduzida e vas.6 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares 517 Conjunto de exercícios 9. Conjunto de exercícios 9. Capítulo 9 Exercícios suplementares 1. Compare o resultado obtido com o autovetor . . Quantos números valores singulares não reduzida.3 e 4  8. Encontre uma decomposição LU de . encontre uma decomposição em valores 7. A matriz A do Exercício 1. 9. 10. Suponha que uma matriz simétrica A tenha autovalores distin- tos 1  8. 2. parando em x5. posição em valores singulares reduzida de uma matriz A de tama- nho m  n e posto k. Encontre uma decomposição em valores singulares de 3. O que você pode dizer sobre os valores singulares da ma- x0. Suponha que U11V T1 seja uma decom- 3. triz canônica P de uma projeção ortogonal de Rn sobre um subespaço W? com mudança de escala euclidiana com um vetor x0 arbitrário não nulo. . encontre uma expansão em valores singu. 2  1. determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. x1. (a) U1 tem tamanho m  k. Encontre uma decomposição LDU da matriz A do Exercício 1. (a) Identifique o autovalor dominante de A e encontre o auto- vetor unitário dominante v associado de entradas positi. (b) 1 tem tamanho k  k. .Esta página foi deixada em branco intencionalmente. 14 Caos 641 10.20 Deformações e morfismos 700 INTRODUÇÃO Este capítulo consiste em 20 aplicações da Álgebra Linear. Sempre que necessitamos de resultados de outras áreas. de modo que as seções podem ser ignoradas ou permutadas à vontade. CAPÍTULO 10 Aplicações da Álgebra Linear CONTEÚDO DO CAPÍTULO 10.4 Interpolação spline cúbica 543 10.12 Tomografia computadorizada 615 10. com motivação sempre que possível. as provas são muitas vezes omitidas. cada aplicação é uma seção independente.16 Genética 665 10.15 Criptografia 654 10.8 Modelos econômicos de Leontief 581 10. Cada tópico começa com uma lista de pré-requisitos de Álgebra Linear.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 693 10.6 Teoria de grafos 563 10.11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 605 10.17 Crescimento populacional por faixa etária 676 10.2 Programação linear geométrica 525 10. eles são enunciados precisamente.9 Administração florestal 590 10.3 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 536 10. .10 Computação gráfica 597 10. Como o nosso objetivo primordial neste capítulo é apresentar aplicações da Álgebra Linear.1 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados 520 10.18 Colheita de populações animais 686 10.5 Cadeias de Markov 553 10. Com uma única exceção claramente identificada.13 Fractais 626 10. mas geralmente sem prova.7 Jogos de estratégia 572 10. substituindo-os em (1). y1) e (x2. podem ser agrupadas e reescritas como que é um sistema linear homogêneo de três equações em c1. y) da reta satisfaz (4). TEOREMA 10. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Determinantes Geometria Analítica O teorema a seguir segue do Teorema 2. y2) estão na reta.520 Álgebra Linear com Aplicações 10. c2 e c3 não são todos y nulos e que esses coeficientes são únicos a menos de uma constante multiplicativa.1. Observe que c1. de modo que o determinante do sistema deve ser zero.1).1. Ou seja.1. (2) e (3). Uma reta por dois pontos Suponha que (x1. y1) e (x2.8. (1). (4) Consequentemente. reciprocamente. o determinante da matriz de coeficientes é zero. . y) que satisfaz (4) está na reta. Como c1. c2 e c3. pode ser mos- trado que cada ponto (x. Mostremos como esse resultado pode ser usado para determinar as equações de várias curvas e superfícies por pontos especificados. O procedimento também é utilizado para construir planos e esferas no espaço tridimensional que passem por pontos fixados. Existe uma única reta c1x  c2 y  c3  0 (1) que passa por esses dois pontos (Figura 10. c2 e c3 não são todos nulos. obtemos as duas equações (x2. y1) c1x1  c2 y1  c3  0 (2) x c1x2  c2 y2  c3  0 (3)  Figura 10.1 As três equações. o sistema tem uma solução não trivial. y2) (x1. Como (x1. círculos e seções cônicas gerais por pontos especificados no plano. descrevemos uma técnica que utiliza determinantes para construir retas.1 Um sistema linear homogêneo com o mesmo número de equações e de incógnitas tem uma solução não trivial se.1 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados Nesta seção. cada ponto (x. y2) sejam dois pontos distintos no plano.3. e só se. y2) e (x3. Solução Substituindo as coordenadas dos dois pontos na Equação (4). (6. c1(x2  y2)  c2 x  c3 y  c4  0 (5) que passa por esses três pontos (Figura 10. A substituição das coordenadas dos três y pontos nessa equação fornece (x2. y2) (x1. c2.1 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados 521  E X E M P L O 1 A equação de uma reta Encontre a equação da reta que passa pelos dois pontos (2.  E X E M P L O 2 A equação de um círculo Encontre a equação do círculo que passa pelos três pontos (1. 7). Solução Substituindo as coordenadas dos três pontos na Equação (9). Assim. obtemos que se reduz a 10(x  y2)  20x  40y  200  0 2 A forma padrão dessa equação é (x  1)  (y  2)  5 2 2 2 Assim.  Figura 10.2 (9) Essa é a equação do círculo em forma de determinante. 2) e (4. y1).  . 6). c3 e c4. y3) sejam três pontos distintos não colineares do plano.2). o círculo tem centro (1. y1) (6) (7) (8) (x3. obtemos A expansão em cofatores desse determinante ao longo da primeira linha dá 6x  y  11  0  Suponha que (x1. (x2. 7). 10. o determinante da matriz de coeficientes é zero.1. 2) e raio 5. Um círculo por três pontos Da Geometria Analítica sabemos que existe um único círculo.1. as Equações (5) a (8) formam um sistema linear homogêneo com uma solu- ção não trivial em c1. 1) e (3. y3) x Como antes. digamos. 170. Como antes. com o Sol na origem. cinco pontos distintos do plano são suficientes para determinar a y equação da cônica (Figura 10. 2. Isaac Newton propôs e resolveu cinco pontos o problema seguinte (Livro I.3. (10. Entretan- to.375). a equação pode ser posta na forma de (x1.4  E X E M P L O 3 A equação de uma órbita Um astrônomo que deseja determinar a órbita de um asteroide em torno do Sol monta um sistema de coordenadas cartesianas no plano da órbita. D. (11. y2) (x3. a órbita deve ser uma elipse. B. Problema 14): “Descrever uma cônica que deve passar por cinco pontos dados”. Ao logo dos eixos.1.1. ou formas degeneradas dessas) é dada por c1x  c2xy  c3 y  c4 x  c5 y  c6  0 2 2 Essa equação contém seis coeficientes. y3) (x5.025. P e C. Newton resolveu esse problema geometricamente. y4) x (10)  Figura 10. em que traçou uma elipse pelos pontos A. são usadas unidades astronômicas (1 UA  1 unidade astronômica  distância média da Terra ao Sol  149. y5) (x4.267) Encontre a equação da órbita. obtemos . y1) determinante (ver Exercício 7): (x2. 0. Pela primeira lei de Kepler. C P t S T r d R D p e A Q B  Figura 10. 6. Proposição 22. de modo que o astrônomo faz cinco observações do asteroide em cinco tempos distintos e encontra cinco pontos ao logo da órbita. (10.355). Assim. conforme Figura 10. hipérbole ou elip- se.092. mas podemos reduzir o número para cinco se dividirmos tudo por qualquer um que não seja zero. também podem ser aplicados os métodos desta seção.736.310). 8.4).5 milhões de quilômetros). Solução Substituindo as coordenadas dos cinco pontos dados em (10) e arredondando até a terceira casa decimal.202. 3.212). a saber.3 A equação geral de uma cônica arbitrária no plano (uma parábola.1.1. (9. (8. portanto.522 Álgebra Linear com Aplicações Uma cônica arbitrária por Em seu trabalho monumental Principia Mathematica. basta determinar cinco co- eficientes e. 1.998y  17. (x3.1. (2.427. y2. 10.375  0 2 2 A Figura 10. 2) é que se reduz a 2x  y  3z  1  0  No Exercício 9.5 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 No Exercício 8.476.355) 6 4 (11. y2.375) 0 –2 (9.212) 2 Sol (10. junto com os cinco pontos dados.029y  2. Um plano por três pontos nal de equação c1x  c2 y  c3z  c4  0 que passa por três pontos não colineares (x1.109.1. y3. y1. –2.170. pedimos para o leitor mostrar o seguinte: a esfera no espaço tridimensio. z3) é dado pela equação em forma de determinante (11)  E X E M P L O 4 A equação de um plano A equação do plano que passa pelos três pontos não colineares (1.736. (x2. z1). z3) é dada pela equação em forma de determinante (12) .267) –4 –6  Figura 10. 0. z1).092.310) 8 (10.443x  1. pedimos para o leitor mostrar o seguinte: o plano no espaço tridimensio. 9.  10 (8. y1.025.895xy  446.802x  102.1 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados 523 A expansão desse determinante em cofatores ao longo da primeira linha fornece 386. z2) e (x3.202. 1) e (2. 3. 8. (x2. Uma esfera por quatro pontos nal de equação c1(x2  y2  z2)  c2x  c3 y  c4z  c5  0 que passa por quatro pontos não coplanares (x1. z2). 6.5 é um diagrama exato da órbita. y3. 0). 0. 1). 0). 1. 2. 1). (1. Em cada caso. 3. (2. nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí- Em cada exercício.1 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos recurso particular que estiver utilizando. 0). Em geral. 2. (2. 5). (a) (2. 3. No que se transforma a Equação (12) se os quatro pontos fo- rem coplanares? Seção 10. 1. 10. (2. mas também recurso computacional. você estará capacitado a usar seu recurso computacio- calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. 1). Mostre que a Equação (11) é a equação do plano no espaço (b) (2. 1. No que se transforma a Equação (9) se os três pontos distintos plano que passa pela origem e seja paralelo ao plano que forem colineares? passa por três pontos não colineares especificados. (1. (3.1 1. (a) (1. O objetivo destes exer- utilizando um recurso computacional. No que se transforma a Equação (11) se os três pontos distin- (b) Encontre os dois planos descritos na parte (a) correspon. em forma padrão. encontre a equação do plano do espaço tridi. 1). 0 1). (2. 3. (5. Derive ou Mathcad. 3). 2). (1. (2. 1. 3) (a) (1. 13. Em cada caso. (4. 1. Em cada caso. Uma vez dominadas as técnicas nestes pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma exercícios. encontre a equação do círculo que passa pelos 7. (0. 6) tridimensional que passa por três pontos não colineares dados. 3. 2). Mostre que a Equação (10) é a equação da cônica que passa pontos. bola da forma (a) (1. 1. 0). 1. 1). 5) e (4. é (x  2)  (y  1)  (z  3)  9  2 2 2 Conjunto de exercícios 10. 5. 9. 3) 8. 12. (2. 2. Mathematica. (2. Encontre a equação da cônica que passa pelos pontos (0. 1). por cinco pontos distintos dados do plano. 3) é Isso se reduz a x  y  z  4x  2y  6z  5  0 2 2 2 que. tos forem colineares? dentes aos ternos de pontos dos Exercícios 4(a) e 4(b).524 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 5 A equação de uma esfera A equação da esfera que passa pelos quatro pontos não coplanares (0. 1). 6). (1. 2). 1). 1) que passa por três pontos não colineares dados no plano. (1. 1) (b) (0. 1) 2. Maple. (3. (1. Em cada caso. (a) Altere a Equação (11) de tal modo que ela determine o 11. Mostre que a Equação (12) é a equação da esfera no espaço tri- (0. (1. você deverá ler a documentação pertinente do cios regulares. 4. encontre a equação da esfera do espaço tridi- pontos. 2. encontre a equação da reta que passa pelos 6. . 1). dimensional que passa por quatro pontos não coplanares dados. 0) e (5. 0). 1. esse recurso é cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu MATLAB. 1. 2) c1y  c2x2  c3x  c4  0 (b) (2. 1). Encontre uma equação em forma de determinante para a pará- mensional que passa pelos pontos. 1) (b) (0. 1. 3). mensional que passa pelos pontos. (1. xn0) 僆 Rn (a) Mostre que se os nove pontos (xi . 5. mostre que a equa- ção do hiperplano pode ser escrita em forma de determinante como (b) Determine a equação do hiperplano em R9 que passa pe- (b) Use o resultado da parte (a) para determinar a equação da los nove pontos superfície quádrica que passa pelos pontos (1. 3. . está nesse hiperplano se estiverem nessa superfície e se eles determinarem de modo único a equação dessa superfície. xni ). 3. 3). 10). 5. 4. . Nesta seção. . . com i  1. x2i . Hoje. . x30. . com i  1. . 4). (1. 7). 6. descrevemos uma técnica geométrica para maximizar ou minimizar uma expressão linear em duas variáveis sujeita a um conjunto de restrições lineares. 11). 1. x3i . com i  1. 3). . (3. T2. são constantes não todas nulas e xi . (x10. n. 3) e (2. . . x2. 0. (a) Um hiperplano no espaço euclidiano Rn de dimensão n tem uma equação da forma a1x1  a2x2  a3x3  · · ·  anxn  an1  0 10. (0. . são variáveis tais que (x1. 8. . . . pode ser possível deter- minar sua equação. . 2. 2. . . . xn) 僆 Rn Um ponto Dados nove pontos nessa superfície. . . (9. A equação geral de uma superfície quádrica é dada por onde ai . (2. então sua equação pode ser a1x10  a2x20  a3x30  · · ·  anxn0  an1  0 escrita em forma de determinante como Sabendo que os n pontos (x1i . . 2. apresentamos uma abordagem geométrica para a solução de problemas simples de programação linear. . .2 Programação linear geométrica Nesta seção. 9. yi ).2 Programação linear geométrica 525 T1. . n. 1. . 6). . . com i  1. a programação linear é aplicada a uma grande variedade de problemas na indústria e na ciência. 2. . . n  1. 2. Começamos com alguns exemplos. x20. 3. 3. 8). (3. 10. x3. no final da década de 1940. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Desigualdades lineares O estudo da teoria de programação linear foi muito ampliado desde o trabalho pioneiro Programação linear de George Dantzig. estão nesse hiperplano e que eles determinam de modo único a equação desse hiperplano. (4. 000 para investir. devemos ter Além disso. nesta seção. como cada quilograma da mistura A contém meio quilograma de menta e cada quilograma da mistura B contém dois terços de quilograma de menta.00 x1  12.50 o quilo. com rendimento anual de 7%.50 x2 sujeitos às restrições Adiante. como x1 e x2 não podem ser números negativos. O título A é bastante arriscado. 130 quilogramas de bombons de cereja e 170 quilogramas de bombons de menta.526 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 1 Maximizando a receita de vendas Um fabricante de bombons tem bombons de chocolate em estoque.50. veremos como esse tipo de problema matemático pode ser resolvido geometricamente. no mínimo $2. O outro pacote contém uma mistura de um terço de bombons de cereja e dois terços de menta e vende por $12. o total z de vendas (em dólares) será z  20. Depois de algumas considerações. no máximo. o número total de quilogramas de bombons de menta usados em ambas misturas é Como o fabricante pode usar.50 x2 Como cada quilograma da mistura A contém meio quilograma de bombons de cereja e cada quilograma da mistura B contém um terço de quilograma de bombons de cereja. Digamos que B seja a mistura com um terço cereja e dois terços menta e que x2 seja o número de quilogramas dessa mistura que deverá ser preparada. Um pacote contém uma mistura com metade do peso em bombons de cereja e metade em menta e vende por $20.00 e o da mistura B vende por $12. Como o quilograma da mistura A vende por $20. o número total de quilogramas de bombons de cereja usados em ambas misturas é Analogamente. Ele decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes.000 no título A.00 x1  12. O vendedor deveria preparar quantos quilogramas de cada mistura a fim de maximizar sua receita? Formulação matemática Digamos que A seja a mistura com metade cereja e metade menta e que x1 seja o número de quilogramas dessa mistura que deverá ser preparada. o problema pode ser formulado matematicamente como segue: encontrar os valores de x1 e x2 que maximizam z  20. A e B. ela resolve investir no máximo $6. e o título B é rela- tivamente seguro.000 no título B e investir no . com rendimento anual de 10%. devemos ter x1  0 e x2  0 Logo. sendo 130 kg com recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta.00 o quilo. e seu corretor sugere investir em dois títulos.  E X E M P L O 2 Maximizando o rendimento anual Uma mulher tem até $10. 10 x1  0.000 no título A: x1  6.10 por ano e cada dólar investido no título B rende $0. a formulação matemática completa do problema é a seguinte: encontrar os valores de x1 e x2 que maximizam z  0. Ele encontra as seguintes informações nutricionais nas embalagens do leite e dos flocos de milho: Leite Flocos de milho ( xícara) (1 xícara) Custo 7.07 por ano. estamos supondo implicitamente que ambos x1 e x2 são números não negativos: x1  0 e x2  0 Assim.000 Investir no mínimo tanto no título A quanto no título B: x1  x 2 Além disso. ele decide que seu café da manhã deveria supri-lo com pelo menos 9 gramas de proteínas.2 Programação linear geométrica 527 mínimo tanto no título A quanto no título B.000 Investir no mínimo $2. o total do rendimento anual z (em dólares) de ambos títulos é dado por z  0.0 centavos Proteína 4 gramas 2 gramas Vitamina D dos VDR dos VDR Cálcio dos VDR Nada A fim de não ter uma mistura muito empapada ou muito seca.000 no título B: x2  2. Quais quantidades de leite e de flocos de milho ele deve utilizar para minimizar o custo do seu desjejum? . 10.07 x2 sujeitos às restrições  E X E M P L O 3 Minimizando o custo Um estudante quer projetar um desjejum com flocos de milho e leite que seja o mais eco- nômico possível.000 Investir no máximo $6.000 a fim de maximizar o rendimento anual? Formulação matemática Sejam x1 a quantia investida no título A e x2 a quantia inves- tida no título B.000: x1  x2  10. Como cada dólar investido no título A rende $0. Como ela deveria investir seus $10.07 x2 As restrições impostas podem ser formuladas matematicamente como segue: Investir no máximo $10. Levando em conta o que ele consegue comer nas suas outras refeições. pelo menos um terço da necessidade diária recomendada (VDR) de vitamina D e pelo menos um quarto da VDR de cálcio. o estudante decide limitar- -se a misturas que contenham não menos do que 1 e não mais do que 3 xícaras de flocos de milho por xícara de leite.10 x1  0.5 centavos 5. também estamos supondo implicitamente que x1  0 e x2  0. em particular. sendo z o custo do desjejum (em centavos). x2  0 (3) Pode ser usado qualquer um dos símbolos .0x2 sujeitos às restrições  Uma solução geométrica para Cada um dos três problemas precedentes é um caso especial do problema a seguir. As equações (2) e (3) são as restrições ou vínculos.5x1  5. Dizemos que um par de valores (x1. A função linear z em (1) é denominada função objetivo. a formulação matemática completa do problema é a seguinte: encontrar os valores de x1 e x2 que minimizam z  7. Vejamos agora como resolver graficamente um problema de programação linear em duas variáveis. x2) que satisfaz todas as restrições é . Esse problema é denominado problema geral de programação linear em duas va- riáveis. Então. problemas de programação linear Problema Encontrar os valores de x1 e x2 que ou maximizam ou minimizam z  c1x1  c2x2 (1) sujeitos às restrições (2) e x1  0. as equações em (3) são as restrições de não negatividade das variáveis x1 e x2.  ou  em cada uma das m condições de (2).0x2 Pelo menos 9 g de proteína: 4x1  2x2  9 Pelo menos VDR de vitamina D: Pelo menos VDR de cálcio: Pelo menos 1 xícara de flocos de milho por xícara (duas xícaras) de leite: No máximo 3 xícaras de flocos de milho por xícara (duas xícaras) de leite: Como antes. Assim.528 Álgebra Linear com Aplicações Formulação matemática Sejam x1 a quantidade de leite utilizada (medida em metade de xícaras) e x2 a quantidade de flocos de milho utilizada (medida em xícaras). Custo do desjejum: z  7. podemos escrever as restrições seguintes.5x1  5. (b). Uma tal solução é denominada solução ótima. O conjunto de todas as soluções viáveis determina um subconjunto do plano x1x2.2.2. 0) (d) (e)  Figura 10. que é a região indicada na Figura 10. 0) (260. a região viável desse problema é a interseção desses quatro semiplanos. Se a região viável for vazia (ou seja. . ela é ilimitada (Figura 10. x2 390 x2 1 x2 x 2 1 + 13 x2  130 255 1 x + 2 x  170 2 1 3 2 x1  0 260 x1 340 x1 x1 (a) (b) (c) x2 x2 (0. as quatro restrições no Exemplo 1 definem os semiplanos indicados nas partes (a).5). caso contrário.1 Pode ser mostrado que a região viável de um problema de programação linear tem uma fronteira que consiste num número finito de segmentos de retas. 255) x2  0 (180. enquanto cada restrição da forma ai1x1  ai2x2  bi ou ai1x1  ai2x2  bi define um semiplano que inclui a reta de fronteira ai1x1  ai2x2  bi Assim.2. Por exemplo.1e) se puder ser englobada num círculo suficientemente gran- de. a região viável é sempre uma interseção de um número finito de retas e semipla- nos. então as restrições serão inconsistentes e o problema de programa- ção linear não possuirá solução (ver Figura 10.6). Nosso objetivo é encontrar uma solução viável que maximize a função objetivo.2 Programação linear geométrica 529 uma solução viável. observamos que cada restrição do tipo ai1x1  ai2x2  bi define uma reta no plano x1x2. (c) e (d) da Figura 10. Uma região viável é dita limitada (Figura 10. Assim. 10.1e.2.2.1. Para examinar a região viável de um problema de programação linear. não contiver pontos).2. 120) x1 x1 (0. que é a região viável. Se a região viável for ilimitada. (Também podem ser chamados de pontos de esquina ou de vértice. 0) (4) A importância dos pontos extremos de uma região viável é mostrada pelo teorema seguinte. a função objetivo ou cresce ou decresce monotonamente. suas curvas de nível (as curvas ao longo das quais z tem valor constante) são retas.50 x2 atinge tanto um valor mínimo quanto um valor máximo em pontos extremos.2.2. (180. a função objetivo z  20.00 x1  12.2. 255).1 para resolver vários problemas de programação linear e ilustrar as variações que podem ocorrer na natureza das soluções. então a função objetivo pode ou não atingir valores máximo ou mínimo.2. Os quatro pontos extremos e os correspondentes valores de z estão dados na tabela seguinte. x2 z minimizado z decrescente Curvas de nível z crescente z maximizado x1  Figura 10.2. portanto. A Figura 10. os valores máximos e mínimos de z devem ocorrer.) Por exemplo. na Figura 10.  E X E M P L O 4 De novo o Exemplo 1 A Figura 10.1.2.2 sugere a ideia subjacente à prova do teorema.2. (0. (260.2. . pelo Teorema 10. Dentro de uma região viável limitada. Consequentemente. 0). usamos o Teorema 10. contudo.2.2 Nos exemplos seguintes. (0. nos pontos extremos. À medida que nos deslocamos perpendicularmente a essas retas. vemos que a região viável do Exemplo 1 tem quatro pontos extremos.530 Álgebra Linear com Aplicações Os pontos de fronteira de uma região viável que são interseções de dois segmentos de retas de fronteira são denominados pontos extremos.1e mostra que a região viável do Exemplo 1é limitada. como indica a Figura 10.1 Valores máximos e mínimos Se a região viável de um problema de programação linear for não vazia e limitada. Como a função objetivo z  c1x1  c2x2 de um problema de programação linear é uma função linear de x1 e x2 . este ocorrerá num ponto extremo. se atingir um máximo ou um mínimo. TEOREMA 10. 120).1e. então a função objetivo atinge tanto um valor máximo quanto um valor mínimo e esses ocorrem em pontos extremos da região viável. 187.00x1 ⴙ 12.2.00 e a correspondente solução ótima é (260. 0) 7 x1 (0. 2) (9. 6) Ponto extremo Valor de x2 = 6 (x1. 10.50x2 (0. esboçamos a região viável desse problema. o fabricante de balas atinge um máximo de $5. Por ser limitada. x2) z ⴝ x1 ⴙ 3x2 x1 – x2 = 7 (0.00 Vemos que o maior valor de z é 5. x2 2x1 + 3x2 = 24 (0.50 (180. 6) 21 (9. Os valores da função objetivo nos cinco pontos extremos estão dados na tabela seguinte.200.00 (260. 0) (7.200. o valor máximo de z é alcançado num dos cinco pontos extremos. x2) Valor de z ⴝ 20.1 Encontre valores de x1 e x2 que maximizam z  x1  3x2 sujeitos às restrições Solução Na Figura 10. 0) (0.2.2 Programação linear geométrica 531 Ponto extremo (x1. 6) (3. 0).  E X E M P L O 6 Usando o Teorema 10.00 (0.100. 2) 15 (7.  E X E M P L O 5 Usando o Teorema 10. que é alcançado em x1  3 e x2  6. 255) 3.00 de vendas quando produzir 260 quilogramas da mistura A e nada da mistura B. 6) 18 (3. 0) 5.2.2. 0) 0.3 A partir dessa tabela. o valor máximo de z é 21. 120) 5. Assim. 0) 0  Figura 10.3.200.1 Encontre valores de x1 e x2 que maximizam z  4x1  6x2 sujeitos às restrições . 6) e (9. o valor máximo de z é alcançado em todos os pontos do segmento de reta que liga os pontos extremos (3. Como pedimos ao leitor mostrar no Exercício 10. nesse exemplo.4. 2) 48 (7. 2).4 Assim. . portan- to. Os valores de z nos dois pontos extremos estão dados na tabela seguinte. ela tem o mesmo valor em todos os pontos do segmento de reta da fronteira que liga esses dois pontos ex- tremos. x2) Valor de z ⴝ 2x1 ⴚ x2 (6.2. 0) 28 (0. 2) Ponto extremo (x1. 0) 12  Figura 10.2. 6) 48 (9.2.532 Álgebra Linear com Aplicações Solução As restrições nesse problema são idênticas às restrições do Exemplo 5. 0) x1 (3. a região viável é um segmento de reta com dois pontos extremos. Os valores da função objetivo nos pontos extremos estão dados na tabela seguinte. 6) 36 (3. 2) 4 (6. 0) 0 Vemos que a função objetivo atinge um valor máximo de 48 em dois pontos extremos ad- jacentes (3.3. x2 2x1 + 3x2 = 12 2x1 – 3x2 = 0 (3. a região viável deste problema também é dada pela Figura 10. Isso mostra que uma solução ótima num problema de programação linear não precisa ser única. 6) e (9.  E X E M P L O 7 A região viável é um segmento de reta Encontre os valores de x1 e x2 que minimizam z  2x1  x2 sujeitos a Solução A região viável desse problema aparece na Figura 10. o valor máximo de z é 4. 2). se a função objetivo atinge o mesmo valor em dois pontos extremos adjacentes. Como uma das res- trições é uma restrição de igualdade. Ponto extremo (x1. x2) Valor de z ⴝ 4x1 ⴙ 6x2 (0. Assim. que é atingido em x1  3 e x2  2. dizemos que o problema tem uma solução ilimitada.5.2.5  E X E M P L O 9 Usando o Teorema 10. Esse problema não tem solução óti- ma.2. x2 (1. pedimos para o leitor mostrar que a função objetivo desse problema atinge um valor máximo na região . No Exercício 11. 10.2 Programação linear geométrica 533  E X E M P L O 8 Usando o Teorema 10. é fácil verificar que.5.2.2. Em vez disso.2. a região viável desse problema também é dada pela Figura 10. como a região viável contém pontos nos quais ambos x1 e x2 são arbitrariamente grandes e positivos.2. a função objetivo z  2x1  5x2 alcança valores arbitrariamente grandes e positivos.1 não nos garante que a função objetivo atinge algum valor máximo. o Teorema 10.1 Encontre os valores de x1 e x2 que maximizam z  5x1  x2 sujeitos a Solução As restrições dadas são as mesmas que as do Exemplo 8. portanto. 2) –4x1 + x2 = 2 2x1 + x2 = 8 x1  Figura 10.1 Encontre os valores de x1 e x2 que maximizam z  2x1  5x2 sujeitos a Solução A região viável desse problema de programação linear é indicada na Figura 10. Por ser ilimitada. De fato. 6) 2x1 – 3x2 = 0 (3. 6) 1 (3. Conjunto de exercícios 10. esse máximo deve ser atingido num ponto extremo.  x2 3x1 + 4x2 = 24 2x1 – x2 = 4  Figura 10. Pelo Teorema 10. Encontre os valores de x1 e x2 que maximizam 2. x2) Valor de z ⴝ ⴚ5x1 ⴙ x2 (1.534 Álgebra Linear com Aplicações viável. 2) 13 Assim. a interseção dos cinco semiplanos de- finidos pelas cinco restrições é vazio. Encontre os valores de x1 e x2 que minimizam z  3x1  2x2 z  3x1  5x2 sujeitos a sujeitos a . Ponto extremo (x1. x2  6. Os valo- res de z nos dois pontos extremos da região viável estão dados na tabela seguinte.2.6. que é atingido no ponto extremo x1  1.2.  E X E M P L O 1 0 Restrições inconsistentes Encontre os valores de x1 e x2 que minimizam z  3x1  8x2 sujeitos a Solução Como pode ser visto na Figura 10.2 1. Esse problema de programação linear não possui soluções viáveis. o valor máximo de z é 1. pois as restrições são inconsistentes.6 Não há pontos 3x1 + 11x2 = 33 x1 comuns a todos os cinco semipla- nos destacados.2.1. Um fabricante produz sacos de ração para galinhas a partir de dois ingredientes. um ponto (x1. (m) Considere os resultados das partes (a) até (k) como o T1.5 g do nutriente N1. 0  y e computacional. quantos contêineres das companhias A e sujeitos a B o caminhão deveria transportar para maximizar o valor do frete? 8. pelo menos 500 g do nutriente N2 e pelo 4. quanto sua solução. Se a função objetivo de um problema de programação linear comprometem? tem o mesmo valor em dois pontos extremos adjacentes. x2 ) está no segmento de reta que os liga se (c) Com quais valores do lado direito da restrição x2  6 essa restrição passa a não comprometer? Para quais valores o x1  tx1  (1  t)x1 conjunto viável resultante será vazio? e 7. n  1. (j) n  10 e (k) cada exercício. Da mesma forma. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. porque pode ser removida do problema sem afetar ma e o ingrediente B custar 9 centavos o quilograma. Resolva o problema de programação linear proposto no menos 750 g do nutriente N3. 9.] frete da companhia A e $3. a empresa de transporte de carga cobra $2. Cada contêiner da companhia B pesa 50 quilogramas e 11. T2. 125 g do nutriente N2 e 375 5. Dizemos que a restrição x1  x2  7 do Exemplo 5 não com. A contém 125 g do nutriente N1. a restrição x2  6 compromete. Esses valores com o conjunto de desigualdades tendem ao valor determinado na parte (l)? Explique. ração para minimizar seus custos? (a) Quais das demais restrições não comprometem e quais 10. . (g) n  7. (h) n  8. Maximize a função objetivo utilizando um recurso computacional. [Sugestão: conjunto viável resultante será vazio? se (x1. 10.20 de nível da função objetivo. (d) n  4. [Sugestão: examine as curvas de transportado. .000 z  3x1  2x2 decímetros cúbicos. Saben- Seção 10. (e) n calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. Resolva o problema de programação linear proposto no g do nutriente N3. Cada saco deve conter pelo menos 625 g do nutriente N1. (i) n  9. Mathematica.2 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos com k  0. maximize essa função objetivo usando a re- é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso gião viável não linear dada por 0  x. 2. 1]. mos- (b) Com quais valores do lado direito da restrição x1  x2  7 tre que também tem o mesmo valor em todos os pontos do essa restrição passa a comprometer? Para quais valores o segmento de reta que liga os dois pontos extremos. Encontre os valores de x1 e x2 que minimizam do que um caminhão da empresa não pode carregar mais do que 37. Derive ou Mathcad. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma supondo que (a) n  1.00 de frete da companhia B. nutriente N3. .5 g do nutriente N2 e 250 g do 6. O objetivo destes exercícios (l) Em seguida. x2 ) são dois pontos quaisquer do plano. Cada quilograma do ingrediente Exemplo 2. x 2  y2  1 você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. 312.000 quilogramas e não comporta mais do que 54. A cada contêiner máximo na região viável. Repita o Exercício 7 se a empresa de transporte de carga au- mentar o preço do frete de um contêiner da companhia A para $2. 0  y junto começo de uma sequência de valores de zmax . de cada ingrediente o fabricante deveria usar em cada saco de porque sua remoção altera a solução. A e B. Se o ingrediente A custar 8 centavos o quilogra- promete. Considere a região viável que consiste em 0  x. Em  5. (b) n  2. Cada contêiner da companhia A x2  tx2  (1  t)x2 pesa 40 quilogramas e tem um volume de 54 decímetros cú. (c) n  3. Maple. 187. (f) n  6.] bicos. x2) e (x1.50. Em geral. A e B. você deverá ler a documentação pertinente do re. 1. . curso particular que estiver utilizando. Cada quilograma do ingrediente B contém Exemplo 3. .2 Programação linear geométrica 535 3. Repita o Exercício T1 usando a função objetivo z  x  y. esse recurso é z  3x  4y MATLAB. Mostre que a função objetivo do Exemplo 9 atinge um valor tem um volume de 81 decímetros cúbicos. Uma empresa de transporte de carga transporta os contêineres de duas companhias. onde t é um número no intervalo [0. n  11. o acompanhamento de recursos como o trigo e o gado. Substituindo a  1 e d  11/2 . Restringimo-nos a exem- plos anteriores ao ano 500 de nossa era. Sejam a a menor quantidade obtida por algum dos homens e d a diferença comum entre os termos da progressão aritmética. tem cinco metros de comprimento e contém 84 problemas matemáticos curtos. Em muitos casos. (1) A técnica de resolução descrita no papiro é conhecida como o método da posição falsa ou hipótese falsa. Nesta seção. damos alguns exemplos dos tipos de problemas que esses povos costumavam resolver. Então os outros quatro homens recebem a  d. a  3d e a  4d sacos.) Problema 40 do Papiro de Ahmes O Papiro de Ahmes (ou Rhind) é a fonte da maioria de nossas informações sobre os ma- temáticos egípcios da Antiguidade.  E X E M PLO 1 Egito (cerca de 1650 a. As duas condições do problema exigem que Essas equações se reduzem ao sistema linear de duas equações em duas incógnitas seguinte. o cálculo de impos- tos e a divisão de heranças. esses problemas levavam a sistemas de equações lineares.C.. a  1) e substitui esse valor na segunda equação. o que acabou levando. PRÉ-REQUISITO: Sistemas lineares Os problemas práticos das civilizações antigas incluíam a medição de terras.3 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear Os sistemas lineares podem ser encontrados nos escritos mais antigos de muitas civilizações da Antiguidade. Nesta seção. obtendo d  11/2. apresentamos exemplos de cinco culturas antigas distintas que ilustram como os sistemas lineares eram usados e resolvidos. Consequentemente. Esse papiro. O Problema 40 desse papiro é o seguinte. a distribui- ção de bens. que se calcula ser de aproximadamente 1650 a.C. Começa tomando algum valor conveniente de a (no nosso caso. no século XIX. a  2d.536 Álgebra Linear com Aplicações 10. Divida 100 sacos de cevada entre cinco homens em progressão aritmética de tal modo que a soma dos dois menores é um sétimo da soma dos três maiores. ao ramo da Matemática que agora chamamos de Álgebra Linear. assim como suas soluções. já que a linearidade é a relação mais simples que pode existir entre variáveis. nossos exemplos precedem o desenvolvimento da Álgebra pelos matemáticos islâmicos. C. ou seja. uma coleção de 246 problemas e suas soluções.C. O oitavo de seus nove capítulos. um dos quais (denominado Ca MLA 1950) contém o seguinte problema. remonta a pelo menos o início da dinastia Han. foi organizado e colocado em sua forma final por Liu Hui em 263 d. obtemos 60. O enun- ciado do problema está um pouco confuso em virtude das condições do tablete. mas o diagrama e a solução no tablete indicam que o problema é como segue. chegamos ao valor correto de a  5/3. ao passo que o lado direito dá 100. obtemos a solução x  20 e y  12. Seu conteúdo. 30 Tablete de barro babilônico Ca MLA 1950 y 20 Área = 320 x Um trapézio com uma área de 320 unidades quadradas é cortado de um triângulo re- tângulo por uma reta paralela a um de seus lados.) O antigo império da Babilônia floresceu na Mesopotâmia entre 1900 e 1600 a. A solução no tablete usa essas relações para gerar o sistema linear (2) Somando e subtraindo essas duas equações. no segundo século a. . entretanto. Usando semelhança de triângulos. 10. A área do trapézio é sua altura vezes sua largura média. Essa técnica de adivinhar o valor de uma incógnita e depois ajustá-la tem sido usada em muitas culturas ao longo dos tempos. as quanti- dades de cevada recebidas pelos cinco homens são 10/6. tam- bém obtemos . Quais são as larguras superior e inferior do trapézio? Sejam x a largura inferior e y a largura superior do trapézio. contém 178 problemas de palavras que levam a sistemas lineares de três a seis Chiu Chang Suan Shu em incógnitas. Ajustando o valor inicial de a pela multiplicação por 100/60. 65/6.) O tratado mais importante da história da matemática chinesa é o Chiu Chang Suan Shu.C. 120/6. Substituindo isso na segunda equação.C. portanto. sobreviveram muitos tabletes de barro contendo tabelas e problemas matemá- ticos. Daquele período.  E X E M P L O 3 China (263 d. obtemos d  55/6. O outro lado mede 50 unidades de comprimento e a altura do trapézio é de 20 unidades.C. 175/6 e 230/6 sacos.  E X E M P L O 2 Babilônia (1900-1600 a.3 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 537 no lado esquerdo da primeira equação. O procedimento para a solução geral é quase idêntico à técnica da eliminação caracteres chineses . Esse tratado. intitulado “A Maneira de Calcular Usando Flechas”. ou “Os Nove Capítulos da Arte Matemática”. fornecendo . Há três classes de milho. Dois da primeira. e (2) os números da terceira coluna eram subtraídos de três vezes os números da primeira coluna. E um da primeira. no século XIX. (3) A solução descrita no tratado representava os coeficientes de cada equação por um nú- mero apropriado de varas colocadas dentro de quadrados numa tabela de contas. desenvolvida na Europa. sendo que três sacos da primeira classe. três da segunda e um da terceira totalizam 34 medidas. Os co- eficientes positivos eram representados por varas pretas. segunda e terceira classes de milho. com a primeira equação na coluna mais à direita. os coeficientes negativos eram representados por varas vermelhas e os quadrados correspondentes a coeficientes nulos eram deixados vazios. A tabela de contas ficava disposta de tal modo que os coeficientes de cada equação apareciam em colunas. por Carl Friedrich Gauss (ver página 15). Quantas medidas do grão tem cada saco de cada classe? Sejam x. o número de varas dentro dos quadrados eram ajustados com o objetivo de executar os dois passos seguintes: (1) duas vezes os números da terceira coluna eram sub- traídos de três vezes os números da segunda coluna.538 Álgebra Linear com Aplicações gaussiana. O primeiro problema do oitavo capítulo é o seguinte. Então as con- dições do problema levam ao sistema linear de três equações em três incógnitas seguinte. quatro vezes os números da segunda coluna eram subtraídos de cinco vezes os números da primeira coluna. O resultado era a tabela seguinte: Nesta tabela. dois da segunda e três da terceira totalizam 26 medidas. dois da segunda classe e um da terceira totalizam 39 medidas. y e z as medidas das primeira. Em seguida. ó estranho. havia touros em gran- de número. dando separadamente o número dos bem alimentados touros e o de vacas de acordo com cada cor.  E X E M P L O 4 Grécia (terceiro século a. que o número de touros brancos era igual à metade e um terço do número de pretos. nem mesmo se. Se fores diligente e sábio. Alega-se que esse problema foi proposto por Arquimedes como um desafio ao seu colega Erastóstenes. y  17/4 e z  11/4. divididos em quatro manadas de cores diferentes: uma branca como o leite. A notação convencional (em inglês) para as oito variáveis desse problema é W  número de touros brancos B  número de touros pretos Y  número de touros amarelos D  número de touros malhados w  número de vacas brancas b  número de vacas pretas y  número de vacas amarelas d  número de vacas malhadas . o número de bovinos do deus Sol. Se não conseguires dizer com precisão. de modo que não se sabe como. era igual a um quinto e um sexto do número de vacas amarelas. Finalmente. dividido em quatro partes. inclusive os touros. o número de amarelas era igual a um sexto e um sétimo do número de brancas.3 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 539 Essa última tabela é equivalente ao sistema linear Esse sistema triangular era resolvido por um método equivalente à retrossubstituição para obter x  37/4. Saiba ainda que o número dos demais touros. iam pastar juntos. devido a Arquimedes. ó estranho. Em cada manada.C. Entenda. juntamente com todos os amarelos.C. de acordo com estas proporções. ó estranho. enquanto o número de pretos era igual a um quarto e um quinto dos malhados. mas também não serás ainda contado entre os sábios. algum desses dois geômetras o resolveu. enquanto 287-212 a. o número de malhadas. uma terceira amarela e a quarta malhada. os malhados. calcula o número de bovinos do deus Sol que há muito tempo pastavam nos campos da ilha triangular da Sicília. não serás chamado de inapto ou de ignorante com números. era igual a um sexto e um sétimo dos brancos. Agora. outra preta brilhante. As proporções das vacas eram as seguintes: o número de vacas Arquimedes. o número de pretas era igual a um quarto e um quinto das malhadas quando todos. 10. Nenhuma solução conseguiu atravessar o tempo até a nossa época.) Talvez o mais famoso sistema de equações lineares da Antiguidade seja o associado à primeira parte do celebrado Problema da Manada. somados a todos os amarelos. somados a todos os amarelos. aproximadamente brancas era precisamente igual a um terço e um quarto de todas as pretas. (As [vacas] malhadas em quatro partes [ou seja. novamente junto com a to- talidade dos [touros] amarelos. (Os demais touros. (Os touros brancos se igualavam a uma metade e um terço dos [touros] pretos.  E X E M P L O 5 Índia (quarto século d.. Muitos dos problemas são do tipo de equiparação que levam a sistemas de equações lineares. os malhados. (As vacas brancas eram precisamente iguais a uma terça parte e um quarto da totalidade das pretas. ser enunciado como as sete equações homogêneas em oito in- cógnitas seguintes. mostrado no fragmento ao lado.) 4.) 3. em sua to- talidade] se igualavam em número a uma quinta parte e um sexto da manada amarela. se igualavam a uma sexta parte dos [touros] brancos e um sétimo. Encontre o preço de cada animal e o valor total dos animais de cada mercador.. 1. junto com a totali- dade dos [touros] amarelos. . é o seguinte.) 6. Consiste em cerca de 70 folhas de casca de árvore contendo problemas matemáticos e suas solu- ções. agora. (Os [touros] pretos se igualavam a uma quarta parte dos [touros] malhados e um quinto. um para cada um dos outros. esse sistema tem uma infinidade de soluções da forma (4) em que k é um número real qualquer.) O Manuscrito Bakhshali é um trabalho antigo do século IV da Matemática hindu.C. Eles se equiparam nos valores de seus ani- mais se cada um ceder dois animais.) 5. um segundo possui nove cavalos da raça hoya e um terceiro tem dez camelos.540 Álgebra Linear com Aplicações O problema pode. inclusive os touros. uma quinta parte quando todos. dão uma infinidade de solu- ções inteiras positivas do problema. junto com a totalidade dos [touros] amarelos. 2.) 2.) Como pedimos para o leitor verificar nos exercícios.) 7. (As [vacas] pretas se igualavam a uma quarta parte nova- mente das malhadas e com elas. Fragmento III-5-3v do manuscrito Bakhshali Um mercador possui sete cavalos da raça asava. . Um desses problemas. Os valores k  1. embora parte desse material indubitavelmente já fosse conhecido muitos séculos antes. iam pastar. (As [vacas] amarelas se igualavam em número a uma sexta parte e um sétimo da manada branca. sendo que k  1 dá a menor solução. 6. (a) Expresse as Equações (5) como um sistema linear Tome um terço de 18 para obter 6. D dá quatro vezes mais do que C. y e z forem inteiros. enquanto o compri. resolva em (a) B possui o dobro de A. três Onde muitos bois do Sol pastam.3 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 541 Sejam x o preço de um cavalo asava. que fornece x  42.)  Conjunto de exercícios 10. B e C juntos. dessas três classes E ovelhas engordadas. y. z e K) e mostre que o conjunto solução tem um pa- râmetro arbitrário. Tire 10 de 28 para obter 18. . . xn o sistema linear tem quatro vezes mais do que A. A solução apresenta. 168. an. O total das posses deles é 300. . Os dois problemas seguintes são de “Os Nove Capítulos da veis sejam inteiros positivos. Quantas medidas do grão tem cada saco de cada em todos os rebanhos que o de bois em todas as manadas. e dois bois tado nas linhas seguintes do Livro 12 da Odisseia. (Ver Exercício 6 para mais soluções desse problema. (x. Qual classe? é o número total de bois e ovelhas que pertencem ao deus Sol? 5. (5) O método de resolução descrito no manuscrito começa subtraindo a quantidade (x  y  z) de ambos lados das três equações para obter 4x  6y  7z  K  (x  y  z). Resolva-os usando a técnica das tabelas (c) Mostre que a solução dada no Exemplo 5 está entre as descrita no Exemplo 3. de Homero.) ridas”. De bois cinquenta cabeças de milho não são suficientes para totalizar uma medida Em cada manada pastam. Resolva os problemas seguintes do Manuscrito Bakhshali. solução geral. Do Exemplo 5 do Manuscrito Bakhshali. Quais são as posses de A? (b) B dá duas vezes mais do que A. Um precursor do Problema da Manada de Arquimedes é rela. respectivamente. Multiplique 7 por 4 para obter 28. D x1. Um problema num tablete babilônico requer que se encontre o comprimento e a largura de um retângulo sabendo que a soma do comprimento com a largura é de 10. da segunda. 6 e 7.C. . e manadas há sete. Quanto é o presente de A? 3. y  28 e z  24 para os preços e K  262 para o valor equiparado. C tem o triplo de A e B juntos. então os grãos totalizariam uma medida inteira em cada A última linha significa que há o mesmo número de ovelhas caso. . inteira. . que encaixa no padrão da parte (a) e resolva-o usando a da no tablete consiste nas quatro afirmações seguintes. x2. O total de seus presentes é 132. (b) Há três classes de milho. ou quatro sacos. para o valor de K  (x  y  z). Isso mos- tra que. soluções encontradas. (a) Dados os n números a1. a largura. . Arte Matemática”. terceira e primeira classe. homogêneo de três equações em quatro incógnitas Tire 6 de 10 para obter 4.3 1. acrescentando a esses sacos um saco E de suas ovelhas gordas o número é o mesmo. Qual é o valor de cada boi e cada ovelha? Deverás ascender à ilha triangular. ou seja. Os grãos contidos em dois. se os preços x. (b) Encontre a menor solução tal que todas as quatro variá- 4. No entanto. respectivamente. então a quantidade K  (x  y  z) deve ser um inteiro que seja divisível por 4. (b) Identifique um problema deste conjunto de exercícios mento e um quarto da largura somam 7. . a2. 2. Então as condições do proble- ma levam ao sistema de equações seguinte. (a) Cinco bois e duas ovelhas valem 10 unidades. o comprimento. O manuscrito toma o produto desses números. e cinco ovelhas valem 8 unidades. C dá três vezes mais do que B. z o preço de um camelo e K o valor total equiparado dos animais de cada mercador. y o preço de um cavalo haya. Explique como esses passos levam à resposta. 10. que foi um pitagórico do quarto século a. O problema da parte (a) é conhecido como a “Flor de Thyma- (Isso era um problema difícil nos tempos de Homero. . computacional. que isso exige que os valores de k na Equação (4) sejam 3 das cordas de B deixam de alcançar o fundo do poço por restringidos como segue. não foi completamente resolvida até 1965. Essa parte final do problema cada exercício. (a) Desejo que meus dois filhos recebam as mil moedas que (c) Primeira pessoa: eu tenho o que a segunda tem e um ter- eu possuo. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re. 4 das cordas de C deixam de alcançar o fundo do poço por Também encontre o menor número total de touros que uma das cordas de D. afirma que “Quando os touros brancos se misturam com Suponha que um poço seja compartilhado por cinco famílias. k  4. eles ficam parelhos. Em geral. 1  2  3. 2. Resolva os problemas propostos nos três epigramas seguintes. esse recurso é tal forma que seu número. (b) Faça-me uma coroa que pese sessenta unidades (de peso) que aparecem numa coleção intitulada “A Antologia Grega”. 25 e assim por diante. começando em um. A primeira delas primentos das cinco cordas. mas quero que a quinta parte da cota de meu ço do que a terceira tem. satisfaz essa segunda condição. isto é. três quartos. também que e largura”. todos os 206. . e o ouro e o latão juntos. uma infinidade de soluções e encontre aquela que dá os meno- (b) O Problema da Manada tem uma segunda parte em que res inteiros positivos para a profundidade do poço e os com- são impostas duas condições adicionais. Derive ou Mathcad. 9. Segunda pessoa: eu tenho o que filho legítimo exceda em dez moedas a quarta parte do a terceira pessoa tem e um terço do que a primeira tem.456. .542 Álgebra Linear com Aplicações 7. 4.. o ferro. 1  2  3  4. Mostre que esse sistema tem um programa de Álgebra simbólica. deve ser quanto bronze. iguais em profundidade Suponha. . uma das cordas de C. isto é. quanto latão e quanto ferro para fazer a formulada uma pergunta a ser respondida. O objetivo destes exercícios dos.C.” Isso exige que a quantidade pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma Y  D seja um número triangular. calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. que cabe ao ilegítimo. r  1. você deverá ler a documentação pertinente do re. (a) Resolva o Problema da Manada de Arquimedes usando equações em seis incógnitas. lentamente crescia MATLAB. 16. 1. três quintos. Acredita-se que alguns de seus terços. Isso exige que W  B seja um número qua. 5 das cordas de D deixam de alcançar o fundo do poço por uma das cordas de E. . 2 das cordas de A deixam de alcançar o fundo do poço por drado.749r2. O ouro e o bronze juntos devem constituir dois torno do ano 500 de nossa era. . Mostre uma das cordas de B. os pretos. 3. Mathematica. mas também até completar uma figura triangular. [Observação: antes de resolver as partes (a) e (c).. eles ficaram de utilizando um recurso computacional. Diga-me quanto ouro deves colocar. O problema seguinte é de “Os Nove Capítulos da Arte Mate- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. mática” e determina um sistema linear homogêneo de cinco T1. um número da forma 1. quando foram encontra- curso particular que estiver utilizando.545 dígitos do menor núme- é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso ro de touros que satisfaz essa condição. Seção 10. e o ouro e 46 problemas matemáticos remontam ao sexto século a. Em 1  2. misturando ouro e bronze e juntando latão e ferro bem compilada em parte por um erudito chamado Metodorus em fundido. Maple.3 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos e os malhados foram juntados numa só manada. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. T2.] coroa toda pesar sessenta unidades. com um computador. Observação A segunda condição imposta na segunda parte 6 das cordas de E deixam de alcançar o fundo do poço por do Problema da Manada afirma que “Quando os touros amarelos uma das cordas de A. Terceira pessoa: e eu tenho dez unidades e um terço do que a segunda tem. na determinação das Ajuste de curvas relações entre variáveis e na elaboração de projetos é o de ajustar uma curva por pontos especificados do plano. que é torcida para passar pelos pontos a serem interpolados. O spline de esboço é o modelo físico para uma teoria matemática de interpolação que discutimos nesta seção.4 foi desenhada com a ajuda de um spline de esboço (Figura 10. Esse utensílio de desenho consiste numa tira fina e flexível.4. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Álgebra matricial Cálculo diferencial Um problema comum encontrado na análise de dados experimentais.4. Os parâmetros da curva são determinados pela resolução de um sistema linear de equações.4. de madeira ou de outro material.  Figura 10. Uma aplicação muito generalizada é no projeto e na descrição de fontes de computador e de impressora.2  Figura 10.4.4.4 Interpolação spline cúbica 543 10. estão exibidos sete pontos no plano xy e.4. foi desenhada uma curva lisa que passa pelos pontos. a curva é dita curva interpo- ladora desses pontos. 10. utilizamos um utensílio de desenho artístico como um modelo físico para o problema matemático de encontrar uma curva que passa por pontos especificados do plano.1).2.4 .3).4 Interpolação spline cúbica Nesta seção. Pesos deslizantes presos ao longo da tira a mantêm em posição enquanto o artista traça a curva interpoladora.4. Dizemos que uma curva que passa por um conjunto de pontos no plano interpola esses pontos. na Figura 10. Na Figura 10.4.3  Figura 10.1 y y x x  Figura 10. tais como as fontes PostScriptTM e TrueTypeTM (Fi- gura 10.4. A curva interpoladora da Figura 10.4. xn) entre os n pontos. . . S(x) e S(x) devem ser contínuas com x1  x  xn . y1). Em geral. y1) (xn. . isso significa que S(x). yn–1) (x1. É sabido da teoria linear de vigas que. integrando essa equa- ção quatro vezes. mas mudanças súbitas nas derivadas de ordem mais alta não são perceptíveis. embora nossos resultados possam ser facilmente estendidos ao caso de pontos não igualmente espaçados. y3) y = S(x) (x2. . que S(x) deve ser um polinômio cúbico em x em cada um desses interva- los.5). para uma viga que sofre somente a ação de forças externas. em vez de uma sucessão de curvas distintas que foram emendadas.5 Também vamos precisar do resultado da teoria linear de vigas que afirma que. Se tratarmos nosso spline como uma viga fina e observarmos que as únicas forças externas atuantes provêm dos pesos nos n pontos especificados. (xn. A condição de que S(x) seja contínua é o que faz com que um spline de esboço produza uma curva esteticamente satisfatória. No caso da curva interpoladora y  S(x) construída pelo spline de esboço. O olho humano pode perceber mudanças súbitas de curvatura. (x2. no entanto. observamos que. x3). . y (x3. x1  x  xn a curva interpoladora procurada. que desejamos interpolar com uma curva “bem comportada” (Figura 10. temos x2  x1  x3  x2  · · ·  xn  xn1  h Denotemos por y  S(x).4. . yn) h h h h x  Figura 10. a condição de conti- nuidade de S(x) é o requisito mínimo para que uma curva interpoladora seja percebida como uma única curva lisa.4. para pequenos deslocamentos. então segue que S (x) ⬅ 0 (iv) (1) para todos os valores de x nos n  1 intervalos abertos (x1. de modo que S(x) deve ter a forma (2) . pois ela tem curvatura contínua. isto é. Assim. . por ser S(iv)(x) ⬅ 0 nos intervalos entre os n pontos especificados. Para determinar a forma matemática da função S(x). yn ) no plano xy.544 Álgebra Linear com Aplicações Enunciado do problema Suponha que sejam dados n pontos (x1. (x2. tomamos os pontos igualmente espaçados na direção x. . y2) (xn–1. x2). descontinuidades de S(x). y2 ). Por conveniência. (xn1. Vamos supor que essa curva descreva o deslocamento de um spline de esboço que interpola os n pontos quando os pesos que mantêm o spline em posição forem colocados exatamente nos n pontos. S(x) será um polinômio cúbico diferente em cada intervalo. Denotando por h a distância comum entre as coordenadas x dos pontos. decorre. o deslocamento deve ter derivadas segundas contínuas. a quarta de- rivada do deslocamento de uma viga é nula ao longo de qualquer intervalo no eixo x que não contenha forças externas atuando na viga. obtemos (8) . . S(x2)  y2 . . ci . di . 2. . n. 10. dizemos que a curva interpoladora resultante é uma curva spline cúbica. . temos Dedução da fórmula de uma spline cúbica (4) de modo que (5) e (6) Agora usamos essas equações e as quatro propriedades das splines cúbicas enunciadas adiante para expressar os coeficientes desconhecidos ai . . 2. Das Equações (2) e (3). Se escolhermos esses coeficientes de tal modo que S(x) interpola os n pontos especificados no plano. S(xn)  yn (7) Das n  1 primeiras dessas equações e de (4). . temos S(x1)  y1 . . devemos determinar as constantes a. n  1 em termos das coordenadas conhecidas y1 . . Sn1(x) são polinômios cúbicos. Por conveniência. . . e S(x) e S(x) são contínuas. 2. Como S(x) interpola os pontos (xi . . yn . . . yi ). bi . yi ). y2 . S(x) interpola os pontos (xi . . n. . num total de 4n  4 coeficientes. c e d com subscritos.4 Interpolação spline cúbica 545 onde S1(x). . . i  1. escrevemos esses polinômios na forma (3) Para especificar S(x) completamente. . . . . . i  1. S2(x). i  1. . b. 1. . n  1 (10) Caso contrário. x3. bi . . Antes de obter essas equações adicionais. por (4). di . . yn Por exemplo. . S(x) é contínua em [x1 . . segue que ou. . xn]. . segue que. segue de (10) que Si1(xi )  yi . S(x) é contínua em [x1. . da última equação em (4) e lembrando que xn  xn1  h. . podemos simplificar nosso sistema atual expressando as incógnitas ai . Como S(x) é contínua em x1  x  xn. . i  1. . bi . ci e di em termos das novas quantidades incógnitas M1  S(x1). Como S(x) é contínua em x1  x  xn . contudo. . (12) 4. segue que ou. (13) As Equações (8). 2. Como S(x) é contínua em x1  x  xn . por (6). ci . n  1.546 Álgebra Linear com Aplicações Da última equação em (7). . . (12) e (13) constituem um sistema de 4n  6 equações linea- res nos 4n  4 coeficientes incógnitos ai . M2  S(x2). . . de (6) segue que . . xn]. . y2. 3. . Consequentemen- te. devemos ter Si1(xi)  Si(xi ). xn ]. . . S(x) é contínua em [x1 . Mn  S(xn) e as quantidades conhecidas y1. i  2. 3. (11). obtemos an1h  bn1h  cn1h  dn1  yn 3 2 (9) 2. Quando usamos a propriedade de interpolação Si (xi )  yi . precisamos de mais duas equações para determinar esses coeficientes de maneira única. que (11) 3. xn1. . i  2. por (5). em cada ponto xi do conjunto x2. . n  1 ou. . os gráficos de Si1(x) e Si (x) não se ligariam formando uma curva contínua em xi . . (9). d2  y2 . Mn univocamente. n  1.4. ainda precisamos de duas equações adicionais para determinar M1. bi e ci dadas em (14). . .4 Interpolação spline cúbica 547 de modo que Além disso. . (xn. n  1. . Mn determinam de modo único a curva spline cúbica. 10. 2. . . . . M2. Isso é um sistema linear de n  2 equações nas n incógnitas M1. . . em formato matricial. yn) com xi1  xi  h. Assim. obtemos (15) ou. . M2. . . vemos que as quantidades M1 . já sabemos de (8) que d1  y 1 . . TEOREMA 10. substituímos em (12) as expressões para ai . . i  1. Mn .1 Interpolação spline cúbica Dados n pontos (x1. . . M2 . sendo Mi  S(xi ). Depois de alguma simplificação algébrica. . . O resultado final é o seguinte. . i  1. (x2. . a curva spline cúbica que interpola esses pontos tem os coeficientes dados por (14) com i  1. . . . Para encontrar essas quantidades. . y1). y2). . 2. . . . A partir desse resultado. 2. . . n. . dn1  yn1 Deixamos como um exercício deduzir as expressões para os coeficientes a e c em termos dos M e y. . (Os exercícios apresentam mais duas maneiras. Spline cúbica A spline é uma única emendada curva cúbica nos dois primeiros e nos dois últimos intervalos. . Mn que pode ser escrito em forma matricial como Para cálculos numéricos. . junto com (15).548 Álgebra Linear com Aplicações A razão disso é que há uma infinidade de curvas spline cúbicas que interpolam os pontos dados. Tabela 1 Spline natural A derivada segunda da spline é zero nas extremidades. de modo que simplesmente não temos condições suficientes para determinar uma curva spline cúbica única passando pelos pontos. A spline natural As duas condições matematicamente mais simples que podemos impor são M1  Mn  0 Essas condições. . . resultam num sistema linear n n para M1. resumimos essa discussão. M2.) Na tabela a seguir. A seguir discutimos três possíveis ma- neiras de especificar as duas condições adicionais requeridas para obter uma curva spline cúbica única pelos pontos. Spline parabólica A spline se reduz a uma emendada parábola no primeiro e no último intervalos. é mais conveniente eliminar M1 e Mn desse sistema e escrever (16) . A partir de (14). Mn1 . Mn1 e M1 e Mn são determinados por (17) e (18). obteremos o sistema linear de tamanho (n  2) (n  2) (21) em M2. . Fisicamente. por (3). . como o nome sugere. impomos as duas condições adicionais A spline cúbica emendada M1  2M2  M3 (22) Mn  2Mn1  Mn2 (23) Usando essas duas equações para eliminar M1 e M2 em (15). As porções livres nos extremos da spline. então a spline natural precisa ser usada. fazendo com que S(x) se anule nas extremidades x1 e x2 e resultando na condição matemática M1  Mn  0. Mn1 seguinte. (24) . fora dos pontos interpolados. Uma vez determinados esses n  2 valores. a spline parabólica emendada se reduz a uma parábola nesses intervalos extremos. não há termos cúbicos na fórmula para a spline nos intervalos extremos [x1 . Assim. . 10. caem em caminhos retilíneos. É claro que se for exigido que S(x) se anule nos extremos. . podemos obter M1 e M2 de (19) e (20). obtemos o sistema linear de tamanho (n  2) (n  2) em M2. Portanto. o sistema linear (16) de tamanho (n  2) (n  2) pode ser resolvido nos n  2 coeficientes M2. xn ]. . x2] e [xn1 . M3.4 Interpolação spline cúbica 549 junto com M1  0 (17) Mn  0 (18) Assim. M3. A spline natural tende a achatar a curva interpoladora nos extremos. a spline natural resulta quando os extremos do spline de esboço se es- tendem livremente além dos pontos interpolados sem restrições. . Para esse tipo de spline. . . . As duas restrições adicionais impostas para esse tipo de spline são A spline parabólica M1  M 2 (19) emendada Mn  Mn1 (20) Se usarmos essas duas equações para eliminar M1 e M2 em (15). . . M3. vemos que M1  M2 implica a1  0 e Mn  Mn1 implica an1  0. . o que pode ser indesejável. x2] e S (x)  6a2 em [x2 . [Para ver isso. integre S (x) três vezes. Enquanto a spline natural tende a produzir uma curva interpoladora que é achatada nos extremos. x3]. x3] inteiro. x3] em vez de duas curvas cúbicas diferentes juntadas em x2. M3. S(x) consiste numa única curva cúbica no intervalo [x1 . pedimos para o leitor executar contas semelhantes usando uma spline natural e uma spline cúbica emendada para interpolar esses pontos. Ohio. pela Chemical Rubber Pu- blishing Company) dá a densidade da água em gramas por centímetro cúbico para cinco temperaturas igualmente espaçadas no intervalo de 10°C a 30°C. . Interpolemos essas cin- co medidas de temperatura e densidade com uma spline parabólica emendada e tentemos descobrir a densidade máxima da água nesse intervalo encontrando o valor máximo nessa curva spline cúbica. . . EUA. resulta . Consideremos Então e o sistema linear (21) da spline parabólica emendada é Resolvendo esse sistema. Nos exercícios. a spline parabólica emendada é uma opção razoável. editado em Cleveland. . obtemos Usando (19) e (20). Mn1 . podemos usar (22) e (23) para determinar M1 e Mn . Consequentemente. Reescrevendo (22) como M2  M1  M3  M2 segue de (14) que a1  a2.] Uma análise similar mostra que S(x) con- siste numa única curva cúbica nos dois últimos intervalos. vemos que S (x) é constante no intervalo [x1 . Se nenhum desses comportamentos for desejado. Como S (x)  6a1 em [x1 . a spline cúbica emendada tem a tendência oposta: produz uma curva com acentuada curvatura nos extremos. A Tabela 2 (obtida do livro Handbook of Chemistry and Physics.  E X E M P L O 1 Usando uma spline parabólica emendada É um fato bastante conhecido que a densidade da água atinge um máximo a uma tempera- tura ligeiramente acima do ponto de congelamento.550 Álgebra Linear com Aplicações Uma vez resolvido esse sistema para M2. Isso confere com a densidade máxima experimental de 1.99500 –10 0 10 20 30  Figura 10.99900 Densidade (g/cm3) 0. o grama era definido como a massa de um centímetro cúbico de água à densidade máxima.4.)  1. Para encontrar esse máximo. 10] é x  3.0000733  0 Com três dígitos significativos.0000197x  0.99973 20 0.99823 30 0.99567 Resolvendo em termos dos coeficientes a. Observações finais ções são úteis para derivação e integração numérica. temos S(3.6 Temperatura (°C) Além de produzir excelentes curvas interpoladoras.00001.99 e. c e d em (14).99700 0. com esse valor de x. vemos que o máximo é atingido no intervalo [0. . de acordo com nossa estimativa interpoladora.00000 0. 10.6. para a solução numérica de equações diferenciais e integrais e na teoria de otimização. as splines cúbicas e suas generaliza. S(x)  0.99600 0.4.99)  1.98°C. como segue. obtemos a expressão seguinte para a spline parabólica emendada interpoladora: Essa spline está esboçada na Figura 10. a densidade máxima da água é 1.4 Interpolação spline cúbica 551 Tabela 2 Temperatura (°C) Densidade (g/cm3 ) 10 0.00000 g/cm 3 aos 3. A partir dessa figura.99815 0 0. colocamos S(x) igual a zero no intervalo [0. b. (No sistema métrico original.99987 10 0.00001 g/cm 3 atingida a 3. a raiz dessa equação quadrática no intervalo [0.99°C. Assim. 10].000000339x2  0. 10].99800 0. poderá ser encontrada facilmente. . sendo x em radianos.4.71736). 1). (1. (A spline apertada) Suponha que. 2Mn  Mn1  6(yn1  yn  hyn)/h2 4. Maple. além dos n pontos para se- estão em uma única curva cúbica. 7). parabólica as inclinações S(x1) e S(xn) da spline cúbica interpoladora emendada ou cúbica emendada) coincide exatamente com nas extremidades x1 e xn . (A spline periódica) Se for conhecido ou desejado que os n (14) do Teorema 10.5)  0.5. 79). a única curva cúbica na qual estão esses cinco pontos? (a) Mostre que (b) Determine as equações da spline cúbica que você esco- lheu na parte (a) e mostre que ela é uma só curva cúbica 2M1  M2  6(y2  y1  hy1)/h2 que interpola os cinco pontos. 0. . sejam dados valores específicos y1 e yn para (a) Qual dos três tipos de cúbicas spline (natural. 0. 0). 0).56464). esse recurso é resolver um sistema de equações cuja matriz de coeficientes é MATLAB. (0. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios.1. 0) e (1. Seção 10. 0. 0) no gráfico de y  sen(␲x). Repita as contas do Exemplo 1 usando uma spline natural (b) Usando as equações da parte (a) e as Equações (15). 1). 1).5. 0.8. (0.5) em relação ao valor 4M1  M2  Mn1  6(yn1  2y1  y2)/h2 “exato” de sen(0. você deverá ler a documentação pertinente do recurso particular que estiver utilizando.2. (b) Use uma spline natural para interpolar os pontos (0. (c) Explique a natureza pouco usual da resposta obtida na parte (b). mais preciso de spline para trabalhos de interpolação se forem co- (a) Use uma spline natural para interpolar os pontos (0. rem interpolados. então uma curva spline interpoladora S(x) deve satisfazer (0. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear.00000). Mathematica.552 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 10. 8. Em geral. Mantenha uma que precisão de cinco casas decimais em suas contas.0. Na resolução do problema da spline cúbica natural. Em cada exercício. (2. M2.4 1. 1). Os cinco pontos seguintes (15). (1. (0. 0. 0). (1. (1. 6. (0. emendada para interpolar os cinco pontos de dados medidos. M2. Deduza as expressões para os coeficientes a e c nas Equações 7. (1. construa um sistema linear (n  1) (n  1) em (0. (4. y1). yn) a serem interpolados este- 2. . pontos (x1 . . S(x1)  S(xn ) (0. Neste exercício e no próximo. . Os seis pontos jam num só ciclo de uma curva periódica de período xn  x1.5. (a) Encontre a curva spline parabólica emendada que inter. Mn no 5. O objetivo destes exer- cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. (3. . Se conseguirmos encontrar uma fórmula para a inversa dessa nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí.84147) S(x1)  S(xn ) S(x1)  S(xn ) estão no gráfico de y  sen x. Derive ou Mathcad.6. . 1) e Observação A spline apertada descrita nesse exercício é o tipo (2. 0. (x2 . matriz. y1  yn (b) Calcule S(0. Qual M1  Mn é a porcentagem de erro de S(0. . Repita as contas do Exemplo 1 usando uma spline cúbica formato matricial. para interpolar os cinco pontos de dados medidos. . .4  x  0. construa um sistema linear n n em M1. midades. (a) Mostre que essas três condições de periodicidade exigem pola esses seis pontos com 0. é preciso utilizando um recurso computacional.6. nhecidas ou puderem ser estimadas as inclinações nas duas extre- (0.38942). você estará capacitado a usar seu recurso computacio.4 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T1. 0). y2). então a solução do problema da spline cúbica natural cios regulares. .0. 27). (xn .5. .47943? (b) Usando as três equações da parte (a) e as Equações 3. .5) para a spline encontrada na parte (a).5. Mn1 no formato matricial.19867). 1) e (1. 181) M1.4. Considere os cinco pontos (0. aplicamos o modelo a vários problemas concretos.5 Cadeias de Markov Nesta seção. e assim por diante. 5. 3. Isso significa. 3. 1. 10. descubra a conjectura (b) Escrevendo que Dn  4Dn1  Dn2 A1 n  [␣ij ] e a identidade Dn1  Dn1 em formato matricial. Para conseguir isso. irritado ou apreensivo. Em seguida. . Suponha que um tal sistema mude com o tempo de um estado para outro e que. 2. 10. supondo que D0 seja definido como 1. determinamos uma fórmula para calcular A1 n D3  4D2  D1  4(15)  4  56 a partir de Dk com k  0. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Matrizes Compreensão intuitiva de limites Suponha que um sistema físico ou matemático esteja sofrendo mudanças tais que a cada Um processo de Markov momento ele possa ocupar algum entre um número finito de estados. Dn  4Dn1  Dn2 (d) Usando um computador. 4. que denotamos pelo símbolo Dn . confira esse re. D4  4D3  D2  4(56)  15  209 (a) Use um computador para calcular A1 k com k  0. Usando um computador. . 4 e 5. ou seja. que T2. confira esse resultado com 1  n  10. (a) Use a expansão de determinantes em cofatores para mostrar que com n  1. . . obser- vemos o estado do sistema. . . então o processo de mudança de um estado para outro é denominado uma cadeia de Markov ou um processo de Markov. descrevemos um modelo geral de um sistema que muda de estado para estado. n. determinamos primeiro uma expressão para o de- terminante de An . (b) Usando seu resultado na parte (a). em instantes predeterminados. portanto. Como (c) Use os métodos da Seção 5. Neste exercício. Se o estado do sistema em qualquer observação não puder ser predito com certeza. . triste. ou então. mas se a probabilidade de um certo estado ocorrer puder ser predita unicamente a partir do conhecimento do estado do sistema na observação imediatamente anterior. 1. . nublado ou chuvoso. . . 3. 2.5 Cadeias de Markov 553 vamos usar um computador para descobrir essa fórmula. onde ␣ij  ␣ji e mostre que com i  j. Por exemplo. 2. sultado com 5  n  10. . . (c) Use o resultado da parte (b) para calcular A1 7 e compare com o resultado obtido usando o computador. o tempo numa certa cidade poderia estar em um dentre três estados possíveis: ensolarado. com n  3. por exemplo. um indivíduo poderia estar num dentre quatro estados emocionais possíveis: feliz. .2 e um computador para mostrar que vemos que D1  det(A1)  det[4]  4 e e. Um cliente pode alugar um carro de qualquer uma das três lojas e devolver o carro para qual- quer uma das três lojas. 2. então a probabilidade de o sistema estar no estado i em qualquer obser- vação se na observação imediatamente precedente estava no estado j. é denotada por pij e é denominada probabilidade de transição do estado j ao estado i. Isso não é acidental. .6. A partir dessa matriz. p32 é a probabilidade de que o sistema vá mudar do estado 2 para o estado 3. devemos ter p1j  p2j  · · ·  pkj  1 (1) . Se P  [pij ] for a matriz de transição de uma cadeia de Markov qualquer de k estados.  E X E M P L O 1 Matriz de transição da cadeia de Markov Uma locadora de automóveis tem três lojas de atendimento. que identificamos por 1. 2 e 3. numa cadeia de Markov de três estados. A matriz P  [pij ] é denominada matriz de transição da cadeia de Markov. e assim por diante. denotadas por 1. O gerente nota que os clientes costumam devolver os carros de acordo com as probabilidades seguintes. a matriz de transição tem o formato Estado precedente Novo estado Nessa matriz. .8. e que 30% dos que não contribuem num certo ano contribuem no ano seguinte. então. dado qualquer j. a probabilidade de que um carro alugado na loja 3 vá ser devolvido na loja 2 é 0. k. Por exemplo. a secretaria da associação de ex-alunos de uma universidade norte-americana observa que 80% de seus ex-alunos que contribuem ao fundo da associação num certo ano também contribuem no ano seguinte. Alugado da loja Devolvido à loja Essa matriz é a matriz de transição do sistema se ele for considerado uma cadeia de Markov. as matrizes de transição das cadeias de Markov têm a proprie- dade que as entradas em qualquer coluna somam 1. .554 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 1 Se uma cadeia de Markov tiver k estados possíveis. Isso pode ser visto como uma cadeia de Markov de dois estados: o estado 1 corresponde a um ex-aluno que contribui em um ano qualquer e o estado 2 corresponde a um ex-aluno que não contribui naquele ano. a probabilidade de que um carro alugado na loja 1 vá ser devol- vido na loja 1 é 0. A matriz de transição é  Nos exemplos acima. p11 é a probabilidade de que o sistema vá continuar no estado 1 imediatamente depois de ter sido observado no estado 1. e assim por diante.  E X E M P L O 2 Matriz de transição da cadeia de Markov Conferindo os registros de doações recebidas. . ..x . podemos descrever o estado possível do sistema numa certa observação em uma cadeia de Markov com três estados. (Por quê?) Um vetor coluna com essa propriedade é denominado vetor de probabilidade. Desse teorema segue que Dessa maneira. Suponha. então x A prova desse teorema envolve ideias da teoria de probabilidades e não será dada aqui. naquela observação. nas observações subsequentes. Observe que as entradas em qualquer vetor estado de uma cadeia de Markov são não negativas e têm soma 1. .5 Cadeias de Markov 555 porque se o sistema estiver no estado j numa observação.. Uma matriz com a propriedade (1) é denominada matriz estocástica.. x2 é a probabilidade de que ele esteja no estado 2 e x3 é a probabilidade de que ele esteja no estado 3. o vetor estado inicial x(0) e a matriz de transição P determinam x(n) com n  1.x . no i-ésimo estado. Pelo discussão precedente. .  E X E M P L O 3 De novo o Exemplo 2 A matriz de transição no Exemplo 2 foi . temos a definição seguinte. O teorema seguinte nos permitirá determinar os vetores estado (1) (2) (n) x . Em geral..1 Se P for a matriz de transição de uma cadeia de Markov e x o  Px(n). DEFINIÇÃO 2 O vetor estado de uma observação de uma cadeia de Markov com k estados é um vetor coluna x cujo i-ésimo componente xi é a probabilidade de o sistema estar.. 10. por um vetor coluna no qual x1 é a probabilidade de que o sistema esteja no estado 1. segue que a matriz de transi- ção de uma cadeia de Markov deve ser uma matriz estocástica. agora.5. que saibamos o vetor estado x(0) de uma cadeia de Markov em al- guma observação inicial. (n) TEOREMA 10. Em geral. O melhor que podemos fazer é especifi- car probabilidades de cada um dos estados possíveis... matriz de pro- babilidade ou matriz de Markov. não pode ser determinado com certeza o estado de um sistema em uma cadeia de Markov numa observação arbitrária. . Por exemplo. (n1) vetor estado na enésima observação. é certo que estará num dos k estados possíveis na próxima observação. 2. 230 (n) x 3 0 0. os vetores estado convergem a um vetor fixo à medida que cresce o número de observações. o sistema está.271 0.261 0. (Voltamos a discutir isso mais adiante. Depois de três anos.214 0. Em outras palavras. inicial- mente.213 . então o vetor estado inicial será Tabela 1 n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x(n) 1 0 0.553 0.533 0. temos até três casas decimais. depois de três anos.544 0. então. pode-se esperar com probabilidade 0.511 0.217 0. Para tal graduado.232 0.1.556 Álgebra Linear com Aplicações Agora construímos um registro futuro provável de doações de um novo graduado que não tenha doado no primeiro ano após a formatura.233 0.219 0. temos.230 0.214 0.240 0.300 0.200 0.238 0. com certeza no estado 2.370 0.400 0. obtemos os seguintes vetores estado (com até três casas decimais): Com cada n depois de 11. de modo que o vetor estado inicial é Pelo Teorema 10.227 0.252 0.555 0. Assim.500 0.557 (n) x2 1 0.228 0.215 0.231 0.5.550 0.230 0.556 0.525 que o ex-aluno irá fazer uma doação.)  E X E M P L O 4 De novo o Exemplo 1 A matriz de transição no Exemplo 1 foi Se um carro for inicialmente alugado da loja 2.477 0. 105 0.109 0.168 0. suas prováveis localizações. todos os vetores estado são iguais a (11) x até a terceira casa decimal.190 0. Por exemplo.   E X E M P L O 5 Usando o Teorema 10.163 0. deveriam ser observadas duas coisas.107 (n) x2 0 0.133 0.125 0.250 0.106 0. A matriz de transição dessa cadeia de Markov é Cruzamento velho 6 7 8  Figura 10.143 (n) x8 0 0. seu próximo cruzamento poderá ser 2.107 0.146 0.143 (n) x6 1 0.124 0. não foi necessário saber por quanto tempo o cliente permaneceu com o carro. 3 4 5 Todo dia.279 0. com qualquer escolha igualmente provável.178 0.152 0. 10.000 0.050 0.5.138 0.109 0. num pro- cesso de Markov o tempo entre as observações não precisa ser regular.107 (n) x3 0 0.140 0. Nesse exemplo.130 0.143 0.050 0.146 0. 5 ou 8.107 (n) x4 0 0.250 0. são dadas pelos vetores estado da Tabela 2.039 0. cada um com probabilidade .108 0.179 (n) x5 0 0.  Tabela 2 n x(n) 0 1 2 3 4 5 10 15 20 22 (n) x1 0 0.5.1 Cruzamento novo Se a guarda inicialmente começa no cruzamento 5.1.250 0.178 0.179 0. permanecer no mesmo cruzamento ou seguir para um cruzamento adjacente.142 0.250 0.149 0.000 0.108 0. os vetores estado convergem a um vetor fixo à medida que n cresce.144 0.5.107 0.1.073 0.116 0. em seguida. Assim.190 0. ela começa no cruzamento em que parou no dia anterior. se ela estiver no cru- zamento 5.107 .5 Cadeias de Markov 557 Usando esse vetor e o Teorema 10.047 0.107 0. Em segundo lugar.067 0.000 0.115 0. exatamente como no exemplo anterior. 1 2 Para evitar que ela estabeleça um padrão.099 0.179 0. hora a hora. os vetores estado convergem a um vetor fixo à medida que n cresce.1 Uma guarda de transito é designada para controlar o tráfego nos oito cruzamentos indica- dos na Figura 10.113 0. ela deve escolher o novo cruzamento de maneira aleatória. obtemos os vetores estado posteriores listados na Tabela 1.056 0.131 0.187 0. como nos dois primeiros exemplos. todos os vetores estado são iguais a x(22) até a terceira casa decimal.107 0.107 (n) x7 0 0. 4.143 0.113 0.000 0.104 0. Com qualquer valor de n maior do que 11.138 0.123 0.121 0.100 1. Ela é instruída a permanecer em cada cruzamento por uma hora e. Em primeiro lugar.108 0.133 0.000 0.5. Com qualquer valor de n maior do que 22. Ou seja.162 0. o vetor Pnx(0) converge a q quando n aumenta. em que os q são números positivos tais que q1 ⫹ q2 ⫹ · · · ⫹ qk ⫽ 1. Finite Markov Chains. portanto. existe algum inteiro positivo m tal que todas as entradas de Pm são positivas. com qualquer escolha x(0). com n → ⬁. Não provamos esse teorema aqui. Um exemplo simples mostra que isso não ocorre. Uma cadeia de Markov que é governada por uma matriz de transição regular é deno- minada cadeia de Markov regular.  E X E M PLO 6 O sistema oscila entre dois vetores estado Sejam Então. . vimos que os vetores estado convergem a algum vetor fixo à me- vetores estado dida que o número de observações cresce.  No entanto. o de J. se P for uma matriz de transição regular. podemos mostrar que o sistema de aproxima de um vetor estado fixo. a matriz de transição é regular em todos esses exemplos. como P2 ⫽ I e P3 ⫽ P.2 Comportamento de P n quando n → ⴥ Se P for uma matriz de transição regular então. Isso ocorre com as matrizes de transição nos Exem- plos 1 e 2 com m ⫽ 1. 1976. por exemplo. é o caso em que P4 tem todas as entradas positivas. Agora nos perguntamos se os vetores estado sempre convergem a um vetor fixo numa cadeia de Markov.5. Consequentemente. DEFINIÇÃO 3 Uma matriz de transição é regular se uma potência positiva da matriz tem todas as entradas positivas. O leitor interessado pode consultar um texto mais especializado. No Exemplo 5. não converge a vetor fixado algum. New York: Springer Verlag. Essa condição é descrita na próxima definição.558 Álgebra Linear com Aplicações Comportamento limite de Nos nossos exemplos. impondo uma restrição fraca à matriz de transição. Assim. Snell. Veremos que qualquer cadeia de Markov regular pos- sui um vetor estado fixo q tal que. Esse resultado é da maior importância na teoria de cadeias de Markov e tem por base o teorema seguinte. Kemeny e J. temos e Esse sistema oscila indefinidamente entre os dois vetores estado e e. TEOREMA 10. considere a identidade matricial PP  P . Geralmente.5 Cadeias de Markov 559 Definamos Assim. Para ver isso. Cada um é um processo de Markov regular. Uma outra ma- neira de calcular o vetor de estado estacionário é utilizar o teorema seguinte. ambas n n1 iteradas P e P convergem a Q com n → . Qualquer uma das n n1 colunas dessa equação matricial dá Pq  q. temos Isso mostra que Q transforma qualquer vetor de probabilidade x no vetor de probabilidade q fixo. Esse resultado vale.3 Comportamento de P nx quando n → ⴥ Se P for uma matriz de transição regular e x um vetor de probabilidade qualquer en- tão. de modo que n P x → Qx  q com n → . de modo que é garantida a convergência a um vetor de estado estacionário.5. Q é uma matriz de transição com todas colunas iguais ao vetor de probabilidade q. TEOREMA 10.5. Esse resultado leva ao teorema seguinte. Para mostrar que q é o único vetor de proba- .2. cujas entradas são todas positivas.2. O vetor q é denominado vetor de estado estacionário da cadeia de Markov regular. 10. temos PQ  Q. TEOREMA 10. independente de n. com n → . Assim. Pelo Teorema 10. é simplesmente calcular Pnx com algum n grande. o sistema sempre n acaba convergindo para um vetor estado q fixo. em que q é um vetor de probabilidade fixo. implica que P → Q com n → .4 Vetor de estado estacionário O vetor de estado estacionário q de uma matriz de transição regular P é o único vetor de probabilidade que satisfaz a equação Pq  q. a técnica mais eficiente de calcular o vetor de estado estacionário q de sistemas com muitos estados. Nossos exemplos ilustram esse procedimento. A propriedade de Q é que a cada vetor de probabilidade x. para uma cadeia de Markov regular.5. Assim. pois o Teorema 10.5. 4 também pode ser expresso da maneira seguinte.3q2  0 ou q1  1.5. resulta q  r. O sistema linear homogêneo (I  P)q  0 tem um único vetor solução q com entradas não negativas que satisfazem a condição q1  q2  · · ·  qk  1.5.3. Observe que isso confere com o resultado obtido numericamente no Exemplo 3. . quando n → .5  1)  0.  E X E M P L O 8 De novo o Exemplo 1 No Exemplo 1. a lon- go termo. colocando q2  s. qualquer solução de (2) é da forma onde s é uma constante arbitrária. a matriz de transição foi de modo que o sistema linear (I  P)q  0 é . . .  E X E M P L O 7 De novo o Exemplo 2 No Exemplo 2. Consequentemente.5q2 Assim. a matriz de transição foi de modo que o sistema linear (I  P)q  0 é (2) Isso leva a uma só equação independente 0.4. Para fazer do vetor q um vetor de probabilidade. . Então também Pnr  r com n  1. Podemos aplicar essa técnica ao cálculo do vetor de estado estacioná- rio de nossos exemplos. 2. é o vetor de estado estacionário dessa cadeia de Markov regular.560 Álgebra Linear com Aplicações bilidade que satisfaz essa equação. colo- camos s  1/(1. O Teorema 10. Pelo Teorema 10. Isso significa que. 60% dos ex-alunos darão uma doação em algum ano e 40% não. suponha que r seja um outro vetor de probabilidade tal que Pr  r.2q1  0. (Ver Exercício 5. respectivamente. a longo termo. As entradas de q dão as probabilidades de que. um carro qualquer vá ser devolvido à loja 1. não é adequada a estratégia de movi- mentação aleatória com probabilidades iguais para cada cruzamento se o objetivo dela for passar a mesma proporção de tempo em cada cruzamento. 10. em cada cruzamento.  E X E M P L O 9 De novo o Exemplo 5 Não veremos os detalhes das contas. qualquer solução do sistema linear é da forma Para fazer disso um vetor de probabilidade.000 carros.)  . Se a locadora de automóveis tiver 1. Assim. 2 ou 3.5 Cadeias de Markov 561 A forma escalonada reduzida por linhas da matriz de coeficientes é (verifique) de modo que o sistema linear original é equivalente ao sistema Pondo q3  s. deveria projetar suas instalações de modo a ter pelo menos 558 vagas na loja 1. a longo termo. mas simplesmente afirmamos que o único vetor so- lução de probabilidade do sistema linear (I  P)q  0 é As entradas desse vetor indicam a proporção de tempo que a guarda de trânsito perma- nece. pelo menos 230 vagas na loja 2 e pelo menos 214 vagas na loja 3. colocamos Assim. o vetor de estado estacionário desse sistema é Isso confere com o resultado obtido numericamente na Tabela 1. T1. 5 se . 3. Finalmente. . João estar alegre num dado dia qualquer? 8. (c) Qual conclusão do Teorema 10. Se ele estiver alegre num (b) Enuncie por que P é regular e encontre seu vetor de dia. A longo termo. triste no dia seguinte. 4. Derive ou Mathcad. Mathematica. quatro em cinco vezes ele estará alegre no dia seguinte. Em cada exercício. Considere a matriz de transição que a soma das entradas de cada linha é 1. A longo termo. Considere a matriz de transição (a) Mostre que P não é regular. Pnx(0) converge a . 15% mudam para a região 1 e 10% mudam para a região 3.5. 5. x(2) e x(3) com três casas decimais se é regular e use o Exercício 5 para encontrar seu vetor de estado estacionário. 6. encontre o vetor de estado estacionário da ma. 2. Dos moradores da região 2. P4. (b) Mostre que. 7.5 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos com utilizando um recurso computacional. Em cada caso. Considere a sequência de matrizes de transição {P2.562 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 10. O João ou está alegre. . qual porcentagem da população mora em cada uma das três regiões? Seção 10. 10% mudam 4. você deverá ler a documentação pertinente do recurso particular que estiver utilizando. dos moradores da região 3.} e assim por diante. . Observa-se que. O objetivo destes exer- cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. Mostre que se P for uma matriz de transição regular k k tal 2. ou está triste. .5 1. Maple. a cada ano. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. Em geral. qualquer que seja o vetor estado inicial x(0). quais são as chances do triz de transição regular. 5% dos moradores da região 1 mudam para (a) (b) (c) a região 2 e 5% mudam para a região 3. uma em três vezes ele estará 3. Seja P a matriz de transição para a região 1 e 5% mudam para a região 2. P3. então as entradas do vetor de estado estacionário serão todas iguais a 1/k. Um país é dividido em três regiões demográficas. (a) Calcule x(n) com n  1.3 não é válida para o (b) Enuncie por que P é regular e encontre seu vetor de estado estacionário dessa matriz de transição? estado estacionário. esse recurso é MATLAB. Se ele estiver triste num dia. Mostre que a matriz de transição (a) Calcule x(1). quando n cresce. você estará capacitado a usar seu recurso computacio- nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí- cios regulares. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. estado estacionário. P6 P1 P3 desenhamos somente um segmento entre Pi e Pj . qualquer que seja k  2. Veremos agora como a teoria de grafos dirigidos pode ser usada para modelar. potência de Pk com k  2. e a relação entre dois elementos A e B de um tal conjunto poderia ser que a pessoa A domina a pessoa B.6 Teoria de grafos 563 (a) Use um computador para mostrar que cada uma dessas (c) Use um argumento de simetria para mostrar que esse matrizes é regular. Figura Ex-T2 10.1 . companhias. com uma seta apontando de Pi para Pj . sem repetição de pares ordenados. . . arestas dirigidas do grafo dirigido. Por exemplo. bem como alguns  Figura 10. animais. podemos visualizar um grafo dirigido (Figura 10. T2. Pj ) de elementos distintos desse conjunto.6 Teoria de grafos Nesta seção. como mostra a figura dada. . . 4. 3.6. problema pode ser resolvido usando somente uma matriz (b) Verifique o Teorema 10.4. a equipe A sistematica- mente derrota a equipe B. . relações como as dos exemplos precedentes. um grafo dirigido pode ter compo- nentes “separados” de vértices. calculando seus quadrados. PRÉ-REQUISITO: Adição e multiplicação de matrizes Existem inúmeros exemplos de conjuntos com um número finito de elementos nos quais Relações entre os elementos existe alguma relação entre os elementos do conjunto. conforme exige o Teorema 10. o país A apoia militarmente o país B. do vértice Pi até o vértice Pj . países. ou a cidade A possui um voo sem escalas para a cidade B. Geometricamente. 4 5 6 mente provável que o camundongo passe por qualquer uma das portas do compartimento ou que permaneça parado num mesmo compartimento. Suponha que seja igual. Um grafo dirigido é um conjunto finito de elementos {P1.5. introduzimos representações matriciais das relações entre elementos de um conjunto e usamos aritmética matricial para analisar essas relações. mas com setas apontando em ambos os P5 sentidos (como entre P2 e P3 na figura). (b) Determine o vetor de estado estacionário da matriz. Pj ) pertence ao grafo dirigido. . P4 Como ocorre na Figura 10. Pn} juntamente com Grafos dirigidos uma coleção finita de pares ordenados (Pi. 10. 1 2 3 (c) Verifique que a coluna comum qk da matriz limite encon- trada na parte (b) satisfaz a equação Pkqk  qk .6. P2. o conjunto poderia de um conjunto consistir numa coleção de pessoas. por exemplo. 3.2 calculando a centésima 3 3. Em seguida. forneça uma conjectura sobre o valor limite de Pnk quando n → . 4. equipes esportivas ou ci- dades.1) repre- P2 sentando os vértices como pontos no plano e representando a aresta dirigida Pi → Pj por P7 um segmento de reta ou de arco.1. Se ambos Pi → Pj e Pj → Pi forem válidos (caso que denotamos por Pi ↔ Pj ). Um camundongo é colocado numa caixa com nove comparti- mentos. mate- maticamente. . Os elementos do conjunto são denominados vértices e os pares ordenados.5.6. Usamos a notação Pi → Pj (que le- mos “Pi está conectado a Pj”) para indicar que a aresta dirigida (Pi. (a) Construa a matriz de transição 9 9 para esse problema 7 8 9 e mostre que é regular. 5. a companhia A vende seus produtos para a companhia B. que são conectados somente entre si. o animal A alimenta-se do animal B. . j  1.6. Reciprocamente. Para os três grafos dirigidos da Figura 10. numa filha e em dois filhos.2 Por definição. Além disso. M FN  E X E M P L O 1 Influências numa família Uma certa família consiste numa mãe. Dado um grafo dirigido de n vértices. .2. (ii) Todas as entradas na diagonal principal são 0. .4 Se o membro da família A influencia o membro B. tal como P5 .2 mostra diagramas representando outros três exemplos de grafos di- P1 P4 rigidos. denominada matriz de vértices do grafo dirigido. escrevemos A → B. a matriz P4 P1 P2  Figura 10.6. as matrizes de vértices têm as propriedades seguintes: (i) Todas as entradas são 0 ou 1. as matrizes de vér- P2 P4 tices correspondentes são P1 P5 (b) P1 P4 P2 P3 (c)  Figura 10. podemos associar ao grafo dirigido uma matriz M  [mij ] de tamanho n n. .6. que podem não estar conectados com nenhum outro vértice.4 é . sobre cada outro membro da família da seguinte FV maneira: a mãe pode influenciar a filha e o filho mais velho.6. um vértice não pode estar conectado consigo mesmo por um único arco que não passe por nenhum outro vértice.3 determina o grafo dirigido da Figura 10. Os membros da família exercem influência. A Figura 10. o filho mais velho pode influenciar o filho mais novo. . o filho mais novo pode influenciar a mãe. qualquer matriz com essas propriedades determina um único grafo P3 dirigido cuja matriz de vértices é a matriz dada. num pai. o pai pode influenciar os dois filhos.6.564 Álgebra Linear com Aplicações P2 P3 vértices.6. 2. como Pi → Pi não é permitido num gráfico dirigido. a filha pode influenciar o pai.3. Os elementos da matriz são definidos por P3 com i. (a) como segue. ou poder.6. Podemos modelar esse padrão de FA P influência familiar com um grafo dirigido cujos vértices são os cinco membros da família. n. A Figura 10.  Figura 10. Por exemplo. se mi1  m1j  1. A matriz de vértices desse grafo dirigido é  E X E M P L O 2 Matriz de vértices: movimentos de xadrez No jogo de xadrez.6. F → M não é ver- dadeiro. Se for o (i. a filha.6.” No tabuleiro da Figura 10. mi1m1j  1. “desenrolamos” a Figura 10. agora.5.7 FN → M uma conexão de 3 passos.) O número de conexões de 1 passo de Pi para Pj é simplesmente mij .8 . uma técnica para encontrar o número de todas as conexões de r passos (r  1. o pai. consideramos o quadrado da matriz de 5 vértices. o cavalo se move pelo tabuleiro num padrão “L. o pai não pode influenciar diretamente a mãe.6. . dependendo se mij for zero ou um. que o cavalo esteja restrito às nove casas numeradas da Figura 10. Consideremos. dizemos que M → FA é uma conexão de 1 passo.7 ilustra todos os possíveis movimentos que o cavalo pode fazer dentre essas nove casas. temos 6 4 mij  mi1m1j  mi2m2j  · · ·  minmnj (2) (1) 7 9 Agora. ele pode se mover horizontalmente duas casas e depois verticalmente uma casa ou. respectivamente. então. 2 Pi → P1 → Pj é uma conexão de 2 passos se. ) de um vértice Pi para um vértice Pj de um grafo dirigido qualquer.7 para deixar mais claro o padrão de movimentos possíveis.  Figura 10.  Figura 10. Ou 1 3 seja.6. ele pode se mover verticalmente duas casas e depois horizontalmente uma casa. P. então. existe uma conexão de 2 passos Pi → P1 → Pj de Pi para Pj . Analogamente. Assim.6  1 2 3 5 4 6 No Exemplo 1. .6. (Isso inclui o caso em que Pi e Pj forem 8 o mesmo vértice.8. o filho mais velho e o filho mais novo.6. se mi1 ou se m1j for zero. 10. Para o número de conexões de 2 passos. então o grafo dirigido da Figura 10.6. Suponha. 2. FV e FN para denotar a mãe.5 Na Figura 10. Analogamente. j)-ésimo elemento de M2.6.6 Teoria de grafos 565 o grafo dirigido resultante. e assim por diante. e somente se. uma tal conexão de 2 passos não é possível. Se i → j significa que o cavalo pode se mover da casa i para a casa j. A matriz de vértices desse grafo dirigido é dada por 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Figura 10. ou seja. No entanto. Escrevemos isso como P → FN → M e dizemos que isso é uma conexão de 2 passos de 7 8 9 P para M. a partir da casa central branca do tabuleiro. influenciar a mãe. há somente zero ou uma conexão de 1 passo de Pi para Pj . Assim. . Mas o pai pode influenciar o filho mais novo que pode. o cavalo pode se mover para qualquer uma das oito casas pretas marcadas com um cavalo na figura. sendo que usamos as letras M.6.6. FA. agora. P → FV →  Figura 10. existem 3 cone- passo. existe uma conexão de 2 passos e. 2. . P3 e P4 . obtemos conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3 conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3 conexões de 3 passo de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3 P4 → P2 → P1 → P3 P4 → P3 → P1 → P3  Panelas Na linguagem do dia a dia. não é possível acrescentar mais um vértice ao subconjunto e ainda satisfazer a condição (ii). Como m43  1. (iii) O subconjunto é tão grande quanto possível. temos o resultado seguinte. ou seja. ambos Pi → Pj e Pj → Pi são verdadeiros.9. . o lado direito de (1) é o número total de conexões de 2 passos de Pi para Pj. P2 .6. . Na teoria de grafos.6.1 P2 A Figura 10. TEOREMA 10. . Assim. a matriz de vértices é P1 P3 P4 Temos  Figura 10. .9 é o mapa das rotas de uma pequena companhia aérea que atende as quatro cidades P1 . Em geral.566 Álgebra Linear com Aplicações dado qualquer k  1. Para verificar isso. Então mij(r) é igual ao número de conexões de r passos de Pi para Pj . n.6. como m(2) (3) xões de 3 passos. (i) O subconjunto contém pelo menos três vértices. o termo é zero.1 para saber quantas existem. . e só se. .6.1 Seja M a matriz de vértices de um grafo dirigido e seja mij(r) o (i.6. uma “panela” é um grupo coeso de pessoas (em geral três ou mais) que tendem a se comunicar entre si e que não têm lugar para pessoas fora do grupo. damos um sentido mais preciso a esse conceito. r passos de Pi para Pj . como m 43  1. existe uma conexão de um 43  1.9 Se estivermos interessados nas conexões da cidade P4 para a cidade P3. DEFINIÇÃO 1 Um subconjunto de um grafo dirigido é denominado panela se satisfi- zer as três condições seguintes. Pi → Pk → Pj é uma conexão de 2 passos de Pi para Pj se. o termo mikmkj à direita de (1) for igual a um. da Figura 10. caso contrário. Um argumento análogo funciona para encontrar o número de conexões de 3. Como grafo dirigido.  E X E M P L O 3 Usando o Teorema 10. . podemos usar o Teorema 10. . 4. j)-ésimo elemento de Mr.6. (ii) Dado qualquer par de vértices Pi e Pj no subconjunto. as panelas podem ser encontradas por inspeção.6. Para esse propósito.10 (que poderia representar o mapa das rotas de uma companhia aérea) tem duas panelas. caso contrário.11a. Por exemplo. mas. se o grafo dirigido original for o dado na Figura 10. se os vértices representarem cidades e Pi → Pj significar que existe um voo direto de Pi para Pj . Então um vértice Pi pertence a uma panela se.  E X E M P L O 4 Um grafo dirigido com duas panelas P5 O grafo dirigido ilustrado na Figura 10.  P4 P2 Nos grafos dirigidos simples. em grafos dirigidos maiores.10 P1 P5 A matriz S determina um grafo dirigido idêntico ao grafo dirigido dado. P6} P3 P6 Esse exemplo mostra que um grafo dirigido pode conter várias panelas e que um vértice pode pertencer simultaneamente a mais de uma panela. P3 TEOREMA 10.2 Identificando panelas (a) (3) 3 Seja s o (i. a saber. exceto que as arestas com somente uma seta foram suprimidas. então existirão voos diretos em ambos sentidos entre duas cidades quaisquer de uma panela.6. e ij só se. P4} e {P3 . é conveniente definir uma matriz S  [sij ] relacionada ao P1 P7 grafo dirigido como segue.11b. 10. Por exemplo.  Figura 10. O teorema seguinte.6. então o grafo dirigido que tem S como matriz de vértices é dado na Figura 10. P3 . que utiliza a matriz S. j)-ésimo elemento de S .6. {P1 .6. seria desejável ter um procedimento sistemático de detectar panelas. s . P2 .6 Teoria de grafos 567 Essa definição sugere que as panelas são subconjuntos máximos de elementos que estão em “comunicação perfeita” uns com os outros. P4 . é útil para identificar panelas. A matriz S pode ser obtida da matriz de vértices P2 P4 M do grafo dirigido original colocando sij  1 se mij  mji  1 e sij  0. 0. (3) P1 P5 ii Prova Se sii . então sii(3) . Pi deve pertencer a al. Pi → Pj → Pk → Pi . digamos. No entanto. P3 guma panela. A afirmação recíproca. todas as relações dirigidas são bilaterais. 0. de modo que também temos as conexões Pi ↔ Pj ↔ Pk ↔ Pi . Pk} é ou uma panela ou um subconjunto de uma panela. que se Pi pertencer a alguma panela. No grafo dirigido modificado. então existe pelo menos uma conexão de 3 passos de Pi para si mes- (3) P2 P4 mo no grafo dirigido modificado determinado por S. isso significa que {Pi . Em ambos casos. Pj .   Figura 10. 0. (b) segue de maneira similar.11  E X E M P L O 5 Usando o Teorema 10.2 Suponha que um grafo dirigido tenha como matriz de vértices .6.6. às vezes. Agora podemos enunciar e provar um teorema que garante que qualquer grafo dirigido por dominância tem pelo menos um vértice com essa propriedade. quatro e cin- co vértices.2 Suponha que um grafo dirigido tenha como matriz de vértices Então As entradas diagonais de s3 são s(3) (3) (3) 11 . ou B domina A. ou Pi → Pj . dados dois indivíduos A e B quaisquer. . ou Pj → Pi . Como uma panela deve conter pelo menos três vértices. P1. P2 e P4 pertencem a panelas. temos a definição seguinte. ou Pj → Pi . Num torneio esportivo. denominados torneios. a saber. isso significa que dados quaisquer pares de pontos dis- tintos. ou derrotam uma equipe que derrota essa outra equipe. ou A domina B. existe uma ordem de dominação bem direcio- dominância nada entre quaisquer dois de seus membros. DEFINIÇÃO 2 Um grafo dirigido por dominância é um grafo dirigido tal que dado qualquer par de vértices distintos Pi e Pj .2 que o grafo dirigido não possui panelas. mas não ambos. esses vértices correspondem às equi- pes mais “poderosas” que. Nesses três grafos. ou Pi → Pj . Em geral. Ou seja.568 Álgebra Linear com Aplicações Então Como todas as entradas diagonais de S3 são zero. ou derrotam uma outra equipe. {P1 . mas não ambos.6. Se Pi → Pj significa que Pi derrota Pj . Por causa desse aspecto. Um exemplo de grafo dirigido satisfazendo essa definição é uma divisão de n equipes esportivas em que cada equipe joga exatamente uma vez com cada uma das outras e em que não são permitidos empates. o grafo dirigido dado tem somente uma panela.6. os vértices circulados têm a seguinte propriedade interessante: de cada um deles existe uma conexão de 1 ou de 2 passos para cada outro vértice do grafo.12 dá alguns grafos dirigidos por dominância com três.  Grafos dirigidos por Em muitos grupos de indivíduos ou animais. Consequentemente. Em termos de grafos dirigidos nos quais Pi → Pj significa que Pi domina Pj . P2 .6. A Figura 10. s 22 e s 44 . respectivamente. nesse grafo dirigido. no estilo de rodadas eliminatórias de um torneio. P4}. os grafos dirigidos por dominância são. segue do Teorema 10. mas não ambos. é fácil ver que a definição de grafo dirigido por domi- nância está satisfeita.  E X E M P L O 6 Usando o Teorema 10. 3. Então.12  E X E M P L O 7 Usando o Teorema 10.  P2 Essa prova mostra que um vértice com o maior número total de conexões de 1 e de 2 P1 P3 passos para os outros vértices do grafo tem a propriedade enunciada no teorema. Esse vértice Pi P2 também tem.13 A soma das linhas de A é soma das entradas da 1ª linha ⫽ 4 soma das entradas da 2ª linha ⫽ 9 soma das entradas da 3ª linha ⫽ 2 soma das entradas da 4ª linha ⫽ 4 soma das entradas da 5ª linha ⫽ 7 .  Figura 10. Ou seja. uma conexão de 2 passos para todos os vértices para os quais P1 tem P1 P4 uma conexão de 2 passos. podemos supor que P1 seja um tal vértice. Renumerando.6.6. P1 → Pi não é P3 verdadeiro. agora. Suponha que Pi seja um vértice tal que não existam conexões de 1 ou de 2 passos de P1 para Pi . em particular. temos adicionalmente que Pi → P1 é verdadeiro. Então não podemos ter Pk → Pi pois. 10. Pi → Pk é verdadeiro.6.3 Conexões em grafos dirigidos por dominância Em qualquer grafo dirigido por dominância. pela definição de grafo dirigido por dominância. Suponha. No entanto. então P3 P4  Figura 10.6.3 Suponha que cinco tenistas joguem exatamente uma vez entre si e que os resultados sejam os indicados no grafo dirigido por dominância da Figura 10.6. Pi → P1 é ver- dadeiro. de modo que Pi tem mais conexões de 1 e de 2 passos a outros vértices do grafo do que P1 . (b) Isso contradiz a maneira pela qual escolhemos P1 . existe pelo menos um vértice do qual existem conexões de 1 ou de 2 passos para qualquer outro vértice.13. se necessário. Em outras palavras. os vérti. que Pk seja um vértice tal que P1 → Pk é verdadeiro. Assim. A matriz de vértices do grafo é P1 P2 P5 e.6. A soma das entradas na i-ésima linha de M é o número total de conexões de 1 passo de Pi para os outros vértices e a soma das entradas na i-ésima linha de M 2 é o número total de P5 P4 conexões de 2 passos de Pi para os outros vértices. P1 tem uma conexão de 1 passo para todos os vértices para os quais P1 tem uma conexão de 1 passo. P1 P3 Prova Considere um vértice (pode haver vários) com o maior número total de conexões de 1 e de 2 passos para os outros vértices do grafo. P1 → Pk → Pi seria uma conexão de 2 passos de P1 para Pi . pelo que concluímos que não existe o tal vértice Pi para o qual P1 não possui conexões de 1 e de 2 passos. Existe uma maneira simples de encontrar tais vértices usando a matriz de vértices M e seu quadrado M 2. uma linha de A ⫽ M ⫹ M 2 com a maior soma de entradas identifica um vértice com a propriedade enunciada no Teorema 10. de modo que. (a) ces. necessariamente. então.6 Teoria de grafos 569 P2 TEOREMA 10. a soma das entradas na i-ésima linha da matriz A ⫽ M ⫹ M 2 é o número total de conexões de 1 e de 2 passos de (c) Pi para os outros vértices. nesse caso. Consequentemente. P1 e P4 (empatados em terceiro). P4 P1 P6 P5 (a) Desenhe um diagrama do grafo dirigido. (c) (b) Use o Teorema 10. o poder de um vértice Pi é a soma das entradas da i-ésima linha da matriz A  M  M 2. o vértice P2 deve ter uma conexão de 1 ou de 2 passos com cada um dos demais vértices. Isso é facilmente confirmado na Figura 10. Em cada parte.6. de 2 e de 3 passos do vértice P1 ao vértice P2. P1 P2 (a) (b) P3 P1 P4 P5 P2 P3 P4 (c) (a) (b) P2 P3 3.  Informalmente. em que M é a matriz de vértices do grafo dirigido.570 Álgebra Linear com Aplicações Como a segunda linha tem a maior soma de entradas. . Podemos formalizar esse conceito com a definição seguinte. foi sugerido que um vértice com o maior número de conexões de 1 e de 2 passos para os outros vértices do grafo é um vértice “poderoso”. temos Poder do tenista P1  4 Poder do tenista P2  9 Poder do tenista P3  2 Poder do tenista P4  4 Poder do tenista P5  7 Isso mostra que uma classificação dos tenistas de acordo com seu poder é P2 (primeiro).1 para encontrar o número de cone-  Figura Ex-1 xões de 1. Alternati- vamente. DEFINIÇÃO 3 O poder de um vértice num grafo dirigido por dominância é o número total de suas conexões de 1 e de 2 passos para os outros vértices do grafo. P3 (último). pondente à matriz de vértices dada.13. construa a matriz de vértices do grafo dirigido 2. P3 (segundo). desenhe um diagrama do grafo dirigido corres- dado na figura. Pelas contas de soma de entradas naquele exemplo.  Conjunto de exercícios 10.6.  E X E M P L O 8 De novo o Exemplo 7 Vamos classificar os cinco tenistas do Exemplo 7 de acordo com seu poder. Em cada parte.6 1. Seja M a matriz de vértices de um grafo dirigido seguinte. Mathematica. 10. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. dos vértices do grafo dirigido por dominância ilustrado na 5. (a) Calcule a matriz produto MTM com a matriz de vértices M do Exemplo 1. O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. panelas no grafo dirigido correspondente à matriz de vértices (c) Repita a parte (b) para as conexões de 1. de 2 e de 3 pas. Cinco tenistas jogam entre si uma vez com os resultados se- guintes.2 para encontrar todas as as diversas conexões. esse recurso é do a cada outro vértice. Por que vale isso? (c) Encontre uma interpretação análoga dos valores não dia- 7. Derive ou Mathcad. grafos dirigido dado na figura. Em cada parte. Maple.6 Teoria de grafos 571 Confira sua resposta como no Exemplo 3. tem uma matriz de vértices dada por MATLAB. use o Teorema 10. C e D B derrota C e E C derrota D e E P8 P4 D derrota B E derrota A e D Classifique os cinco tenistas de acordo com o poder dos vérti- P7 P6 P5 ces que lhes correspondem no grafo dirigido por dominância que representa o resultado das partidas. Um grafo com n vértices tais que cada vértice esteja conecta- utilizando um recurso computacional. (c)  Figura Ex-5 Seção 10. identifique visualmente todas as panelas do figura. . você deverá ler a documentação pertinente do re- curso particular que estiver utilizando. P1 P1 P1 P5 P2 P4 P4 P3 P2  Figura Ex-7 P4 P2 P3 P3 (a) (b) 8. sos do vértice P1 ao vértice P4 . Em cada exercício. Em cada parte.6 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T1. 4. (a) (b) (b) Verifique que a k-ésima entrada diagonal de MTM é o nú- mero de membros da família que influenciam o k-ésimo membro da família. P1 P2 P3 A derrota B. Construa a matriz de vértices e encontre o poder de cada um gonais de MTM. Em geral.6. dada. listando todas 6. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. (f) Mostre que. 4. mostrando que eles têm todos o mesmo poder. . PRÉ-REQUISITOS: Multiplicação de matrizes Conceitos básicos de probabilidade Teoria de jogos Para introduzir os conceitos básicos da teoria de jogos. 3 e k  2. j)-ésima entrada iguala o número de conexões de k passos de Pi para Pj . numerados 1. mostre que (b) Use os resultados da parte (a) e argumentos de simetria para mostrar que Mkm pode ser escrito como (e) Use os métodos da Seção 5. mostre que k1 de cada jogador. As frações de área ocupadas pelos diversos setores estão indicadas na figura.572 Álgebra Linear com Aplicações k Nesse problema. a3 derrota a4. . vamos denominar a roda do jogador L de roda das linhas e a roda do jogador C de roda das colunas. (a) Use um computador para calcular as oito matrizes Mkn . em seguida. . Considere um torneio eliminatório entre n jogadores (denotados por a1 . 5. todos os vértices desses grafos diri- gidos pertencem a panelas. com isso. [Sugestão: use um computador para estudar os casos n  3. consideramos um jogo que pode ser encontrado em parques de diversões.1. an1 derrota an e an derrota a1. T2. 6. . . Por razões que ficarão claras. a estratégia ótima de cada jogador é encontrada com o uso de técnicas matriciais. Calcule o “poder” (c) Usando o fato que Mnk  MnMn . 3 e 4. desenvolvemos uma fórmula para Mm . . Di- gamos que os participantes do jogo sejam o jogador L e jogador C. .7. 2. A roda das linhas é dividida em três se- tores. se n 2. Cada jogador tem uma roda estacionária com um ponteiro móvel fixado em seu centro. e em que duas pessoas concordam em jogar. como mostra a Figura 10. Para . . (d) Usando a parte (c). 3. mostrar que em que Un é a matriz n n com todas entradas 1 e In é a matriz identidade n n. determine esse poder comum. depois estabe- leça uma conjectura e prove que sua conjectura é verdadeira. a2 derrota a3. cuja com (i. 5. a3 . Em alguns casos.2 para calcular e. discutimos um jogo genérico no qual dois oponentes escolhem estratégias distintas para alcançar objetivos opostos. numerados 1. com n  2. 2 e 3 e a roda das colunas é dividida em quatro setores. an) no qual a1 derrota a2 .7 Jogos de estratégia Nesta seção.] 10. obter expressões para ␣k e ␤k e. a2 . 4. finalmente. . Sendo i  1. dependendo dos movimentos.7 Jogos de estratégia 573 jogar o jogo. pessoas com soma zero sitivo de um jogador é igual ao ganho negativo (perda) do outro jogador. mas qualquer espécie de bem de con- sumo ao qual possamos associar um valor numérico. a soma dos dois ganhos é zero. Contudo. é feita uma compensação do jogador C para o jogador L. . com o que queremos dizer que o jogador L faz um pagamento positivo ao jogador C. . pois cada movi- mento é determinado pela sorte. Nesse jogo. Dessa maneira. . O termo “soma zero” significa que a cada vez que é jogado. n. caso decida jogar. Ou seja. O número do setor no qual cada roda para é denominado o movimento 2 do jogador. escrevemos aij  compensação do jogador C para o jogador L. cada jogador faz um de seus movimentos possíveis e. cada jogador gira o ponteiro de sua roda. Num lance desse jogo. Dependendo do movimento feito por cada jogador. então cada um quererá saber quanto pode esperar ganhar ou perder a longo termo. o ganho po. do jogador C vimento 1) e o ponteiro da roda das colunas parar no setor 2 (o jogador C fez o movimento  Figura 10. então o jogador L paga ao jogador C a quantia de $4. seja m o número de movimentos possíveis do jo- gador L e seja n o número de possíveis movimentos do jogador C. então o jogador C deve pagar $5 ao jogador L. então. de modo que todos os possíveis resultados de cada jogada. se o ponteiro da roda das linhas parar no setor 1 (o jogador L fez o mo. podem ser arranjados em formato tabular ou matricial. como na Tabela 1. 10. se cada jogador puder decidir se ele quer ou não jogar. o jogador L tem três movimentos possíveis e o jogador C tem quatro 1 movimentos possíveis. os jogadores não têm controle sobre seus movimentos. discutimos essa questão e também consi- deramos a situação mais complicada na qual os jogadores podem exercer algum controle sobre seus movimentos por meio de variações nos setores de suas rodas. Por exemplo. Em um jogo arbitrário desse tipo.7. se uma entrada aij for . se o jogador L fizer o movimento i e o jogador C o movimento j Essa compensação não precisa ser em dinheiro. 2. . . . as entradas positivas na tabela são os ganhos do jogador L e as perdas do jogador C. o jogador C faz um pagamento em dinheiro ao jogador L de acordo com a Tabela 1. O termo “jogo de matriz” é utilizado para descrever um jogo de duas pessoas no qual cada jogador tem somente um número finito de movimentos. Algumas das entradas nessa tabela são negativas. indicando que o jogador C faz um pagamento negativo ao jogador L. 3 1/2 Roda das linhas Tabela 1 Pagamentos ao jogador L do jogador L Movimento do jogador C 1 2 3 4 1/4 1/4 Movimento 1 $3 $5 $2 $1 2 1 do jogador L 2 $2 $4 $3 $4 $6 $5 $0 $3 4 3 3 1/6 1/3 Roda das colunas Por exemplo. pondo-o em movimento até parar 1/3 1/6 aleatoriamente.) O jogo que acabamos de descrever é um exemplo de um jogo de matriz de duas pessoas Jogos de matriz de duas com soma zero. (Adiante nesta seção. e as entradas negativas na tabela são os ganhos do jogador C e as perdas do jogador L. m e j  1. pois a entrada correspondente na tabela é $4. Assim.1 2). se a roda das linhas mostrar 2 e a roda das colunas mostrar 4. e os correspondentes ganhos dos jogadores. 2. . Como antes. . Denota- mos essa compensação esperada por E(p. . essa média ponderada é denominada compensação esperada para o jogador L. m) qj  probabilidade de que o jogador C faça o movimento j (j  1. .574 Álgebra Linear com Aplicações negativa. pela Figura 10. Na Teoria de Probabilidades. A compensação para o jogador L para um tal par de movimentos é aij. . para enfatizar que depende das estratégias . para o jogo discutido na introdução. o jogador L fazer o movimento i e o jogador C fazer o movimento j. se o jogo for jogado muitas vezes. 2. Assim. se pi for a probabilidade do jogador L fazer o movi- mento i e.7. qj for a probabilidade do jogador C fazer o movimento j. . Em geral. n) Segue dessas definições que p1  p2  · · ·  pm  1 e q1  q2  · · ·  qn  1 Com as probabilidades pi e qj. Arranjamos essas mn compensações possíveis no formato de uma matriz m n à qual nos referimos como matriz de compensação ou matriz de pagamento do jogo. usamos as definições se- guintes. Pode ser mostrado que. num lance qualquer do jogo. a estratégia do jogador C. Multiplicando cada possível compensação pela corres- pondente probabilidade e somando sobre todas as compensações possíveis. Pela Teoria de Probabilidades. pela Figura 10. formamos os dois vetores Dizemos que o vetor linha p é a estratégia do jogador L e o vetor coluna q. pi  probabilidade de que o jogador L faça o movimento i (i  1.1. 2. Por exemplo. vemos que o jogador L faz o movimento 2 com probabilidade e o jogador C faz o movimento 2 com probabilidade .1 temos para o jogo de parque de diversões descrito acima. a razão da área de um setor para a área da roda seria a probabilidade de que o jogador faça o movimento correspondente àquele setor.7. então piqj será a probabilidade de. é dada por essa expressão. . a compensação média por jogada para o jogador L. independentemente. . cada com- pensação é ponderada de acordo com a probabilidade de sua ocorrência. Cada jogador deve fazer seus movimentos numa base probabilística. Por exemplo. obtemos a expressão a11 p1 q1  a12 p1q2  · · ·  a1n p1 qn  a21 p2 q1  · · ·  amn pm qn (1) A Equação (1) é uma média ponderada das compensações para o jogador L. . q). a longo termo. isso significa que o jogador C recebe do jogador L uma compensação de [aij ].  E X E M P L O 1 Compensação esperada para o jogador L Para o jogo de parque de diversões descrito no início desta seção. (A prova geral. Para ver isso. analoga- mente. precisamos do teorema seguinte. Pela definição da matriz de compensação A e das estratégias p e q. o jogador C tenta escolher uma estratégia q tal que E(p. assim. q*)  E(p. As estratégias p* e q* desse teorema são as melhores estratégias para os jogadores L e C. q*) (3) quaisquer que sejam as estratégias p e q. No entanto. q) seja a maior possível para a melhor estratégia q que o jogador C possa escolher e. provamos esse teorema no caso de jogos estritamente determinados e jogos de matrizes 2 2. será omitida. q)  v. 10. pode ser verificado que podemos expressar a compensação esperada em notação matricial como (2) Como E(p. Também su- pomos que cada jogador vá fazer a melhor escolha possível de estratégia e que o outro jogador sabe disso. q) seja a menor possível para a melhor estratégia p que o jogador L possa escolher. o jogador L pode esperar receber uma média de 18 centavos do jogador C a cada jogada do jogo. com qualquer estratégia q . q) é a com- pensação esperada para o jogador C. q*). Por exemplo.) TEOREMA 10.1 Teorema fundamental dos jogos com soma zero Existem estratégias p* e q* tais que E(p*. a longo termo. discutimos a situação em que cada jogador tem uma estratégia predetermi- nada. A desigualdade do lado esquerdo da Equação (3) então diz que E(p*. no jogo descrito na introdução. Isso muda qualitativamente a natureza do problema e nos coloca firmemente na verdadeira teoria de jogos. q)  E(p*.7.  Até aqui. Agora discutimos a situação mais difícil em que ambos os jogadores podem mudar suas estratégias independentemente. controlar as probabilidades de seus respectivos movimentos. o jogador L tenta escolher uma estratégia p tal que E(p. Assim. respectivamente. temos Assim. escrevemos v  E(p*. permi- timos a ambos jogadores alterar as áreas dos setores de suas rodas e.7 Jogos de estratégia 575 de ambos os jogadores. mais adiante. segue que E(p. q) é a compensação esperada para o jogador L. que envolve ideias da teoria de programação linear. denominado teorema fundamental dos jogos de duas pessoas com soma zero. Para ver que essas escolhas são realmente possíveis. Fica entendido que nenhum dos dois jogadores conhece a estratégia que o outro irá escolher. q*)  E(p**. com qualquer estratégia q Então. Consequentemente. q*) (4) quaisquer que sejam as estratégias p e q. o melhor que o jogador C pode fazer é garantir que a sua compensação esperada tenha pelo menos o valor v. Geralmente. q) v. Dizemos que um jogo cuja matriz de compensação tem um ponto de sela é estritamen- te determinado. devemos encontrar vetores p* e q* que satisfaçam a Equação (4). suponha que exista alguma estratégia p** que o jogador L possa escolher de tal modo que E(p**. então dizemos que (i) p* é uma estratégia ótima para o jogador L.576 Álgebra Linear com Aplicações Isso significa que. Contudo. Para ver isso. Isso realmente ocorre e. Para encontrar estratégias ótimas. que pede v  E(p**. O fraseado nessa definição sugere que as estratégias ótimas não são necessariamente úni- cas. discutimos casos especiais nos quais as estratégias ótimas podem ser encontradas usando técnicas mais elementares. em particular. se o jogador L escolher a estratégia p* . DEFINIÇÃO 2 Uma entrada ars de uma matriz de compensação A é denominada pon- to de sela se (i) ars for a menor entrada em sua linha e (ii) ars for a maior entrada em sua coluna. portanto. q**) (5) O valor de um jogo é. A partir dessa discussão. E(p**. o que pode ser alcançado com a estratégia q*. não interessando qual estraté- gia q o jogador C escolher. Por exemplo. não é possível para o jogador L alcançar uma compensação espera- da maior do que v. chegamos às definições que seguem. Agora introduzimos a definição seguinte. então E(p*. q*) é o valor do jogo. a compensação esperada para o jogador L nunca será menor do que v. isso é feito usando técnicas de Programação Linear. Além disso. . pedimos uma prova ao leitor. Ou seja. q*). q*) v contradizendo a desigualdade do lado direito da Equação (3). q*)  E(p. pode ser demonstrado que quaisquer dois pares de estratégias ótimas sempre resultam no mes- mo valor v do jogo. A seguir. (ii) q* é uma estratégia ótima para o jogador C. no Exercício 2. (iii) a compensação esperada v  E(p*. q)  E(p*. o elemento sombreado em cada uma das matrizes de compensação se- guintes é um ponto de sela. a compensação esperada para o jogador L quando ambos jogadores escolhem quaisquer estratégias ótimas possíveis. o melhor que o jogador L pode fazer é impedir que a sua compensa- ção esperada caia abaixo do valor v. De maneira análoga. q** forem estratégias ótimas. q* e p**. se p*. DEFINIÇÃO 1 Se p* e q* forem estratégias tais que E(p*. estão planejando levar ao ar programas de uma hora de duração para o mesmo horário. Para mostrar que as estratégias acima são ótimas. As estratégias nas quais é possível mais de um movimento são denominadas estratégias mistas. Essas estratégias em que um só movimento é possível são denominadas estratégias puras. q*)  E(p. segue que p* e q* são estratégias ótimas. essas desigualdades implicam E(p*. j)-ésima entrada é a porcentagem da audiência que assistirá à rede L se o programa i da rede L competir. o valor de um jogo estritamente determinado é simplesmente o valor numérico do ponto de sela ars . q)  p*Aq  ars com qualquer estratégia q (7) E(p. em termos de audiência.  E X E M P L O 2 Estratégias ótimas para maximizar uma audiência Duas redes de televisão competidoras. o leitor pode verificar as três equações a seguir (ver Exercício 6). Ambas as redes contratam o mesmo instituto de pesquisa de opinião para lhes dar uma estimativa de como as diversas possi- bilidades de transmitir os dois programas vão dividir a audiência. com o programa j da rede C.7 Jogos de estratégia 577 Se uma matriz tiver um ponto de sela ars . 10. Isso mostra que uma estratégia ótima para o jogador L é fazer sempre o r-ésimo movi- mento e que uma estratégia ótima para o jogador C é fazer sempre o s-ésimo movimento. mas então a unicidade do valor de um jogo garante que o valor numérico de todos os pontos de sela é o mesmo. E(p*. cuja (i. O instituto dá às redes a Tabela 2. Qual programa cada rede deveria levar ao ar para maximizar a audiência? Tabela 2 Porcentagem de audiência para a rede L Programa da rede C 1 2 3 4 1 60 20 30 55 Programa da rede L 2 50 75 45 60 3 70 45 35 30 . Nenhuma das redes sabe qual programa a outra vai levar ao ar. q*)  p*Aq*  ars (6) E(p*. A rede L pode utilizar um entre três progra- mas possíveis. Pela Equação (6). L e C. ocorre que estratégias ótimas para os dois jogadores são as seguintes. q*) quaisquer que sejam as estratégias p e q. q*)  pAq*  ars com qualquer estratégia p (8) Juntas. q)  E(p*. É possível uma matriz de compensação ter vários pontos de sela. Como isso coincide com a Equação (4). e a rede C pode utilizar um entre quatro programas possíveis. obtendo (9) Como p1  p2  1 e q1  q2  1 (10) podemos substituir p2  1  p1 e q2  1  q1 em (9) para obter E(p. Portanto. a estratégia ótima para a rede L é levar ao ar o programa 2 e a estratégia ótima para a rede C é levar ao ar o programa 3. Analogamente. Isso vai resultar em 45% da audiência para a rede L e 55% da audiência para a rede C. É fácil ver que a entrada a23  5 é um ponto de sela da matriz de compensação. pelo menos uma das quatro estradas de A será um ponto de sela e as técnicas discutidas acima poderão. q)  [(a11  a22  a12  a21)p1  (a22  a21)]q1  (a12  a22)p1  a22 (12) Examinando os coeficientes do termo com q1 em (12). ser aplicadas para determinar as estratégias ótimas para os dois jogadores. q)  a11p1q1  a12p1(1  q1)  a21(1  p1)q1  a22(1  p1)(1  q1) (11) Rearranjando os termos da Equação (11). podemos escrever E(p. então. Nesse caso. ou seja. Se o jogo não for estritamente determinado. q) (14) A Equação (14) é independente de q. a matriz de compensação é a matriz 2 2 Se o jogo for estritamente determinado. o jogador C não poderá modificar a compensação esperada por uma variação de sua estratégia. j)-ésima entrada da matriz é a porcentagem da audiência que a rede C perde para a rede L se os programas i da rede L e j da rede C competirem entre si. se o jogador L escolher a estratégia deter- minada por (13).  Jogos de matrizes 2 2 Um outro caso em que podemos encontrar estratégias ótimas por meios elementares ocor- re quando cada jogador tem somente dois movimentos possíveis. vemos que colocando (13) esse coeficiente resulta ser zero e (12) reduz-se a E(p*. calculamos primeiro a compensação esperada com estratégias p e q quaisquer. pode ser verificado que se o jogador C escolher a estratégia determi- nada por (15) .578 Álgebra Linear com Aplicações Solução Subtraímos 50 de cada entrada da tabela e construímos a matriz Essa é a matriz de compensação do jogo de duas pessoas com soma zero no qual con- sideramos que as duas redes de televisão começam com 50% da audiência e em que a (i. O vírus tem dois sorotipos. (15) e (10) são estratégias ótimas para os jogadores L e C.  E X E M P L O 3 Usando o Teorema 10. q)  E(p*. q*)  E(p. indepen- dentemente de qual estratégia for escolhida pelo outro jogador. A eficácia da vacina 1 é de 85% contra o sorotipo 1 e de 70% contra o sorotipo 2. No Exercício 8. A matriz de compensação é . substituindo em (12). obtemos (16) As Equações (14) e (16) mostram que E(p*. q*) (17) quaisquer que sejam as estratégias p e q. TEOREMA 10. respectivamente. pelo menos sempre que o jogo não for estritamente determinado.7.2 Estratégias ótimas para jogos de matrizes 2 ⴛ 2 Num jogo 2 2 que não seja estritamente determinado. Qual política de vacinação deveria ser adotada pelo governo? Solução Podemos considerar isso um jogo de duas pessoas no qual o jogador L (o governo) deseja fazer a maior compensação (a fração dos cidadãos resistentes ao vírus) possível e o jogador C (o vírus) deseja fazer a menor compensação possível. mas é desconhecida a proporção na qual os dois sorotipos ocorrem na população do vírus. as estratégias determinadas por (13). 10. A Equação (17) é interessante. No entanto. escolhendo sua estratégia ótima.7 Jogos de estratégia 579 então. Assim. precisamos mostrar que as entradas nos vetores p* e q* são nú- meros estritamente entre 0 e 1.7. isso não é válido nos jogos em que cada jogador tenha mais de dois movimentos. e obtemos o resultado seguinte. Foram desenvolvidas duas vacinas. A eficácia da vacina 2 é de 60% contra o sorotipo 1 e de 90% contra o sorotipo 2. pois implica que cada um dos jogadores.2 O governo federal deseja vacinar seus cidadãos contra um certo vírus de gripe. e são estratégias ótimas para os jogadores L e C. pedimos ao leitor mostrar que esse é o caso. pode forçar o valor do jogo a ser a compensação esperada. O valor do jogo é Para sermos completos. Verifique as Equações (6). Mostre que as entradas das estratégias ótimas p* e q* dadas no Teorema 10. ótimas não são necessariamente únicas. o jogador C paga ao jogador L a soma dos gador L para maximizar sua compensação esperada? valores numéricos das cartas em dinheiro.7 1. Quais são as estratégias ótimas gador C para minimizar a compensação esperada para o para os dois jogadores e qual é o valor do jogo? jogador L? 6. Construa um exemplo simples para mostrar que as estratégias 7.580 Álgebra Linear com Aplicações Essa matriz não tem pontos de sela.7% dos cidadãos resistirá a um ataque do vírus. Cada jogador seleciona. independentemente da distribuição dos dois sorotipos do vírus. o jogador L paga ao jogador C a soma dos parte (a). Em cada parte. 2. de modo que podemos aplicar o Teorema 10. (a) (b) . O jogador L tem duas cartas de baralho: um ás preto e um jogo? quatro vermelho.2. O jogador C também tem duas cartas: um dois preto e um três vermelho. qual deveria ser a estratégia escolhida pelo jo. 3. Isso vai garantir que cerca do 76. a estratégia ótima para o governo é inocular dos cidadãos com a vacina 1 e dos cidadãos com a vacina 2. uma de suas cartas.7. Observe que uma distribuição de do sorotipo 1 e de do sorotipo 2 do vírus resultará nos mesmos 76. Assim. qual deveria ser a estratégia escolhida pelo jo. secre- (b) Se o jogador C mantiver a sua estratégia fixada como na tamente.7% de cidadãos resistentes. rem de mesma cor. valores numéricos das cartas. (a) (b) (c) (d) (e) respectivamente. encontre uma matriz de compensação com vários pontos de sela iguais. independentemente da política de vacinação adotada pelo governo (ver Exercício 7). Se ambas cartas selecionadas fo- parte (a).7. Em cada parte.2 são números estritamente entre 0 e 1.  Conjunto de exercícios 10. Verifique a afirmação no último parágrafo do Exemplo 3. Suponha que um jogo tenha uma matriz de compensação (c) (d) 4. Por exemplo. encontre estratégias ótimas para os dois joga- (a) Se os jogadores L e C usarem as estratégias dores e o valor do jogo 2 2 com a matriz de compensação dada. qual será a compensação esperada do 5. 8. (7) e (8). Se as cartas forem (c) Se o jogador L mantiver a sua estratégia fixada como na de cores diferentes. encontre estratégias ótimas para os dois joga- dores e o valor do jogo estritamente determinado com a matriz de compensação dada. Consequentemente. o jogador L não vai perder o que mostra que. então C pagará a L a pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma quantia de $(n  1). Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. Considere um jogo entre dois jogadores. pn  [␳i ]1 n e qn  [␳i ]1 n. ou seja. Use um computador para mostrar que Usando esses resultados como guia. esse jogo. Nesta seção. T1. Mathematica. Se i  j for ímpar. você deverá ler a documentação pertinente do re. são dados certos parâmetros que descrevem as inter-relações entre as “indústrias” do modelo econômico sob consideração. 10. então C paga a L a quantia de $1. em geral. ou seja. Em movimentos distintos. Alguns resultados sobre matrizes não negativas são aplicados para determinar as estruturas de preços de equilíbrio e a produção necessária para satisfazer a demanda. Em cada um.7 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2. tais como os pre- ços e níveis de produção. para satisfazer um objetivo econômico desejado. a longo termo. e o modelo aberto. o jogador L não vai perder esse jogo. no qual cada jogador utilizando um recurso computacional. então. ou modelo input-output. a longo termo. no qual cada jogador pode fazer até n movimentos diferentes (n 1). Se ambos os MATLAB. Maple. . prove que. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso Use um computador para mostrar que computacional. Examinamos dois mode- los diferentes. O objetivo destes exercícios pn  [␳i ]1 n e qn  [␳i ]1 n. Em geral. Derive ou Mathcad. discutimos alguns modelos simples baseados nas ideias do prêmio Nobel Wassily Leontief.8 Modelos econômicos de Leontief 581 Seção 10. Se o i-ésimo movimento do jogador L e o j-ésimo movimento do jogador C forem tais que i  j é par. a compensação esperada para o jogador L é Usando esses resultados como guia.8 Modelos econômicos de Leontief Nesta seção. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Matrizes A teoria das matrizes tem tido muito sucesso na descrição da inter-relação de preços. calcular alguns outros parâmetros. 10. mas também jogadores fizerem o mesmo movimento. discutimos dois modelos lineares para sistemas econômicos. então L pagará a C a quantia de $1. ou modelo de produção. esse recurso é pode fazer até n movimentos diferentes (n 1). em geral. mas relacionados: o modelo fechado. ponha que ambos jogadores têm a mesma estratégia. poderemos. então L paga a C a quantia de $1. curso particular que estiver utilizando. Sistemas econômicos produção e demanda em sistemas econômicos. Começamos com o modelo fechado. Su- cada exercício. Suponha que ambos jogadores têm a mesma estratégia. No entanto. sendo ␳1  ␳2  ␳3  · · ·  ␳n  1. sendo ␳1  ␳2  ␳3  · · ·  ␳n  1. prove que. Considere um jogo entre dois jogadores. a compensação esperada para o jogador L é o que mostra que. Usando teoria de matrizes. se os dois jogadores fizerem calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. 582 Álgebra Linear com Aplicações O modelo fechado Inicialmente apresentamos um exemplo simples e. Igualando essas duas expressões. Eles concordam em trabalhar um total de 10 dias cada de acordo com a tabela seguinte. prosseguimos para a teoria (de input-output) de Leontief geral desse modelo. Trabalho executado pelo Pedreiro Eletricista Hidráulico Dias de trabalho na casa do pedreiro 2 1 6 Dias de trabalho na casa do eletricista 4 5 1 Dias de trabalho na casa do hidráulico 4 4 3 Para efeitos de impostos. pretendem fazer consertos em suas três casas. um eletricista e um hidráulico. depois. mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. obtemos a primeira das três equações seguintes. Podemos colocar p1  salário diário do pedreiro p2  salário diário do eletricista p3  salário diário do hidráulico Para satisfazer a condição de “equilíbrio” de que saiam empatados. ou seja. Por exemplo. eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário ra- zoável. As duas outras equações são as equações de equilíbrio do eletricista e do hidráulico. podemos reescrever a Equação (1) como . o pedreiro paga um total de 2p1  p2  6p3 pelos consertos em sua própria casa e recebe um total de 10p1 pelos consertos que faz em todas as três casas. Seus salários diários normais são de aproximadamente $100. Divi- dindo essas equações por 10 e reescrevendo-as em formato matricial.  E X E M P L O 1 Um modelo de input-output Três proprietários de casas. um pedreiro. exigimos que total dos gastos  total do recebido para cada um dos proprietários pelo período de dez dias. mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários diários de tal modo que saiam empatados. obtemos (1) Subtraindo o lado esquerdo do direito. de tal modo que o total que cada um paga seja igual ao total recebido. j  1. 10. 3. podem colocar s  3. Por definição. Como no exemplo. . Nosso problema é determinar “preços” convenientes para esses trabalhos de modo a colocar esse sistema em equilíbrio.8 Modelos econômicos de Leontief 583 A solução desse sistema homogêneo é (verifique) onde s é uma constante arbitrária. a equação matricial seguinte deve ser satisfeita [ver (1)]. cada indústria produz um produto. . . . Uma tal estrutura de preços representa uma posição de equilíbrio para a economia. Para o período fixado de tempo dado. . No modelo geral. Na Equação (1) fundamental.  Esse exemplo ilustra as principais características do modelo de input-output de Leontief. escrevemos pi  preço cobrado pela i-ésima indústria pela sua produção total eij  fração da produção total da j-ésima indústria que é comprada pela i-ésima indústria com i. . a soma de cada coluna da matriz de coeficientes é 1. a saber. temos um sistema econômico consistindo num número finito de “in- dústrias” que identificamos pelos números 1. de tal modo que o gasto total de cada proprietário seja igual ao total recebido em salário. $93. $96 e $108. Ep  p (2) ou (I  E)p  0 (3) . sejam aproxi- madamente $100. 2. que é completamente utilizado de uma maneira predeterminada pelas k indústrias. ou seja. temos Com essas quantidades. que os proprietá- rios podem escolher de acordo com sua conveniência. o total dos gastos se iguale ao total recebido. k. Ao longo de algum período fixa- do de tempo. correspondendo ao fato de que o produto (o “output”) do trabalho de cada um dos pro- prietários está completamente distribuído entre esses mesmos proprietários nas propor- ções dadas pelas entradas da coluna. . Por exemplo. de modo que os correspondentes salários diários. Um problema importante é encontrar “preços” convenientes que devem ser cobrados por esses k produtos de tal maneira que. para que os gastos das indústrias igualem seus rendimentos. . para cada indústria. Essa constante é um fator de escala. k. 3. 2. formamos o vetor preço e a matriz de troca ou a matriz de input-output A condição (iii) expressa o fato de que todas as somas de colunas da matriz de troca são iguais a 1. que pode ser algum bem ou serviço. não ambos nulos. em algumas situações.  E X E M PLO 2 Usando o Teorema 10. a notação A  0 significa que cada entrada de A é não negativa. O Exemplo 3 indica que pode haver várias estrutu- ras disponíveis de preço linearmente independentes. um dos preços precisa ser zero para a condição de equilíbrio ser satisfeita. Assim. No entanto. enunciamos esse fato sem dar a prova. No Exercício 7. Esse sistema tem uma solução não trivial se. Na realidade.8. TEOREMA 10. Nenhuma dessas situações descreve uma estrutura econômica realmente interdependente.1 Seja Então (I  E)p  0 tem a solução geral em que s e t são constantes arbitrárias independentes. se A for qualquer vetor ou matriz. De maneira análoga. Dado qualquer s 0.  O Exemplo 2 indica que. o determinante da matriz de coeficientes I  E for zero. (3) sempre tem soluções não triviais para o vetor preço p. pedimos ao leitor mostrar que isso ocorre com qualquer matriz de troca. isso é válido e. Consideremos alguns exemplos elementares desse teorema. no próximo teorema. então Ep  p sempre tem uma solu- ção não trivial p cujas entradas são não negativas. . Também precisamos que os preços pi dos k produtos sejam números não negativos. Essa condição é expressa por p  0.8.584 Álgebra Linear com Aplicações A Equação (3) é um sistema linear homogêneo para o vetor preço p. e a notação A 0 significa que cada entrada de A é positiva. precisamos de mais do que simplesmente o fato de (3) possuir soluções não triviais para p.8. temos soluções não triviais p  0. para o nosso sistema econômico fazer sentido. Dados quaisquer s  0 e t  0.) Mostrar que (3) tem uma solução não trivial com a qual p  0 é um pouco mais difícil do que simplesmente mostrar que existem soluções não triviais.1 Se E for uma matriz de troca.1 Seja Então (I  E)p  0 é que tem a solução geral em que s é uma constante arbitrária. temos uma solução não trivial p  0.  E X E M PLO 3 Usando o Teorema 10. (Em geral. e só se. A  B significa A  B  0 e A B significa A  B 0. O teorema a seguir dá condições suficientes para excluir ambos os casos. com a qual possa ser satisfeita a demanda externa.8 Modelos econômicos de Leontief 585 m TEOREMA 10.8. no qual os produtos de k indústrias são somente distri. ou de Markov. na qual gastos igualam ganhos. Naquele exemplo. temos a garantia de que existe exatamente uma solução linearmente indepen- dente de (I  E)p  0 que pode ser escolhida tal que p 0. e nosso objetivo é determinar os níveis de produção das indústrias necessários para satisfazer a demanda externa. e ela pode ser escolhida com todas suas entradas positivas.2 está satisfeita com m  1.4. Mais precisamente. a condição Em 0 do Teorema 10. Então existe exatamente uma solução linear- mente independente de (I  E)p  0. essencialmente. As matrizes de troca desta seção são matrizes estocásticas. vimos que é uma tal solução. na Seção 10. 10. escrevemos xi  valor monetário da produção total da i-ésima indústria di  valor monetário da produção da i-ésima indústria necessária para satisfazer a demanda externa cij  valor monetário da produção da i-ésima indústria que é necessária para a j-ésima indústria produzir uma unidade do valor monetário de seu próprio produto Com essas quantidades. O leitor que leu a Seção 10. O modelo aberto buídos entre as próprias indústrias.8. Não daremos uma prova desse teorema. e nosso objetivo é determinar seu preço de modo que seja satisfeita a condição de equilíbrio.5. Uma porção dessa produção ainda pode ser distribuída entre as próprias indústrias. pode observar que esse teorema é.5. alguma produção líquida.2 A matriz de troca do Exemplo 1 foi Como E 0. para mantê-las operacionais. No modelo aberto.8. igual ao Teorema 10. definimos o vetor produção . Medimos os níveis de produção em termos dos seus valores econômicos usando os preços fixos. são os preços que são fixados.5. o modelo aberto tenta satisfazer uma demanda externa (de produção) de Leontief para os produtos.  Ao contrário do modelo fechado. mas deve haver algum excesso.2 Seja E uma matriz de troca tal que todas as entradas de E sejam positivas. dado algum período fixado de tempo. com algum inteiro positivo m.  E X E M P L O 4 Usando o Teorema 10. Por con- sequência. a pro- dução das indústrias é fixada. sobre cadeias de Markov. No modelo fechado. Para produzir $1 de eletricidade. uma usina elétrica e uma rede ferroviária local. $0. Não há demanda externa para a ferrovia.05 da ferrovia para suas neces- sidades de transporte. nos- so objetivo é encontrar um vetor produção x  0 que satisfaça a Equação (4).65 de carvão para combustível. a rede ferroviária precisa de $0. que a i-ésima entrada do vetor coluna x  Cx é o valor do excesso de produção da i-ésima indústria que está disponível para satisfazer a demanda externa. Para fornecer $1 de transporte.25 da ferrovia para suas necessidades de transporte. temos x  0.10 de eletricidade para seu equipamento auxiliar. Consequentemente. a mina recebe pedidos de $50. podemos dizer. Como essa quantidade é sim- plesmente a i-ésima entrada do vetor coluna Cx.55 de carvão para combustível e $0. O valor da demanda externa pelo produto da i-ésima indústria é a i- -ésima entrada do vetor demanda d. além disso. sem sobras nem faltas. somos levados à equação x  Cx  d ou (I  C)x  d (4) para a demanda ser satisfeita exatamente. dados C e d. Quanto cada uma dessas três indústrias deve produzir nessa semana para atender exatamente suas próprias demandas e a demanda externa? Solução Para o período da semana em questão. Para produzir $1 de carvão. Certa semana. a usina requer $0.000 de eletricidade de fora da cidade.  E X E M P L O 5 Vetor produção de uma cidade Certa cidade tem três indústrias principais: uma mina de carvão.25 de ele- tricidade para seu equipamento e $0.586 Álgebra Linear com Aplicações o vetor demanda e a matriz de consumo Pela sua própria natureza. d0 e C0 A partir da definição de cij e de xj . a mina precisa comprar $0.000 de carvão de fora da cidade e a usina recebe pedidos de $25. pode ser visto que a quantidade ci1x1  ci2x2  · · ·  cikxk é o valor da produção da i-ésima indústria que é necessária para todas as k indústrias produzirem um total especificado pelo vetor de produção x. Assim.05 de sua própria eletricidade para equipamento auxiliar e $0. sejam x1  valor da produção total da mina x2  valor da produção total da usina x3  valor da produção total da ferrovia . ) A condição x  Cx significa que existe alguma tabela de produção possível tal que cada indústria produza mais do que consome. TEOREMA 10. qualquer que seja d  0. se a matriz (I  C) tiver somente entradas não negativas. a produção total da usina deveria ser $56. então. Se . e só se.8 Modelos econômicos de Leontief 587 Pela informação fornecida. O Teorema 10.330. poderemos escrever 1 x  (I  C) d (5) 1 Além disso. A matriz de coeficientes à esquerda é invertível e a solução é dada por Assim. A terminologia utilizada para descrever esse caso é dada na definição seguinte.087.8. Essa é uma situação particularmente desejável.8.3 Matriz de consumo produtiva Uma matriz de consumo C é produtiva se. (A prova está delineada no Exercício 9. a matriz de consumo do sistema é O sistema linear (I  C)x  d é.163 e a produção total da ferrovia deveria ser $28. a produção total da mina deveria ser $102. então teremos certeza de que a Equação (5) terá uma única solução não negativa x. existe um vetor produção x  0 tal que x  Cx.3 tem dois corolários interessantes.  Reconsideremos a Equação (4): (I  C)x  d Se a matriz quadrada I  C for invertível. Suponha que todas as somas das entradas de linhas de C sejam menores do que 1. por significar que qualquer deman- da externa pode ser satisfeita. 10. DEFINIÇÃO 1 Dizemos que uma matriz de consumo C é produtiva se existir (I  C)1 e valer 1 (I  C) 0 Consideremos alguns critérios simples que garantem que uma matriz de consumo seja produtiva. O primeiro é dado no teorema seguinte. Consequentemente. as três indústrias são lucrativas. portanto. dos tomates.8. um elétrico (EE) e um mecânico (EM) têm. Que preços os vizinhos devem dar às suas respectivas colheitas para satisfazer a con- dição de equilíbrio de uma economia fechada se a colheita de (a) (b) menor preço deve ter um preço de $100? 5.8. Em cada parte. 2. mostre que existe somente um ve- satisfaçam a condição de equilíbrio (3) com a matriz de troca tor preço linearmente independente para o sistema econômico dada.2. o Corolário 10. Em cada parte.5. C recebe usando o Teorema 10.8.8. a condição do teorema está satisfeita.8. pedimos ao leitor mostrar que esse corolário leva ao seguinte.  E X E M P L O 6 Usando o Corolário 10. O vizinho A planta tomates. fechado dado pela matriz de troca (a) (b) 4. cada um. COROLÁRIO 10.5 A matriz de consumo do Exemplo 5 foi As somas das três colunas dessa matriz são todas menores do que 1 e. COROLÁRIO 10.4 Uma matriz de consumo C é produtiva se a soma das entradas de cada linha de C for menor do que 1.8.588 Álgebra Linear com Aplicações então Cx é um vetor coluna cujas entradas são essas somas de linhas. No Exercício 8.5 Uma matriz de consumo C é produtiva se a soma das entradas de cada coluna de C for menor do que 1. do milho e da alface. de modo que cada um compra uma parte do serviço das outras . do milho e da alface. Lembrando da definição das entradas da matriz de consumo C.3 e seus corolários. Isso significa que x Cx e. a matriz de consumo C é produtiva. (c) A consultoria que prestam é de natureza multidisciplinar. Eles concordam em dividir a colheita entre eles como segue: A recebe dos tomates. Usando o Teorema 10. mostre que a matriz de consumo é produtiva B recebe dos tomates.5 diz que uma matriz de consumo é produtiva se todas as k indústrias do sistema econômico forem lucrativas. Assim. Três vizinhos têm hortas nos fundos de suas casas. Em outras palavras. vemos que a soma das entradas da j-ésima coluna de C é o valor total da produção de todas as k indústrias que é necessária para produzir uma unidade de valor do produto da j-ésima indústria. um engenheiro civil (EC). pelo Corolário 10. encontre vetores preço não negativos que 3. A j-ésima indústria. portanto. chegamos ao corolário a seguir. do milho e da alface.8 1. o vizinho B planta milho e o vizinho C (c) planta alface. Isso também pode ser visto pelas contas no Exemplo 5.8. Três engenheiros.  Conjunto de exercícios 10. é dita lucrativa se essa soma da j-ésima coluna for menor do que 1. uma firma de consultoria. portanto. já que (I  C)1 é não negativa. depois. esse recurso é E22 02.8. 8.8 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos e assim por diante. Enk 0n não é verdadeiro se pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma k  1. En} de matrizes de troca. Considere um modelo de produção aberto com n indústrias e n 1. Mostre que C é uma matriz de consumo produtiva. mostre que dado ao vetor produção x para satisfazer a demanda adi- cional. 2. . O objetivo destes exercícios que lhe permita calcular pn1 facilmente a partir de pn. verificando se E8p8  p8. E55 05 e fazer a conjectura que.40 de serviços do EE. 2. o EC recebe pedidos de consultoria externa de $500.] Seção 10. E3. E5. e que. 10. Em determinar os vetores pn tais que Enpn  pn (com n  2. E44 04.20 C for uma matriz de consumo produtiva. o EE Passo 1. ele compra $0. A partir disso. (a) Suponha que a demanda di para a produção da i-ésima Passo 3. existe algum número ␭ tal que sultoria de cada engenheiro nessa semana? 0  ␭  1 e Cx*  ␭x*.8 Modelos econômicos de Leontief 589 duas firmas. E4. . ou seja. 2. . pedidos de consultoria externa de $600. Use um computador para mostrar que utilizando um recurso computacional. S  I  C  C2  · · · 7. Passo 2. de serviços do EC e $0. . Mathematica.10 de serviços do EE e $0. você deverá ler a documentação pertinente do re. Mostre que. coluna da matriz (I  C)1 é o acréscimo que deve ser Passo 5. (I  E)p  0 tem soluções não triviais p. . você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. Mostre que o Corolário 10. Explique por que a i-ésima Passo 4. use um computador para calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. Usando o fato que as somas das entradas de coluna de uma e que (I  C)S  I. 4. n  1. mostre que existe a produção da mina de carvão para satisfazer a demanda soma infinita de matrizes de uma unidade adicional no valor da produção da usina elétrica. . Mostre que C nx*  ␭nx* com n  1. Mostre que C n → 0 se n → . 6) e. (Requer Cálculo) Prove o Teorema 10. primeiro calculando p8 a partir de computacional. [Sugestão: lembre que (AT )1  (A1)T. . .8.4. E33 03. ele 9. . compra $0. a j-ési- ma indústria precisa gastar $(1/n) com o produto da i-ésima indústria (qualquer i . Considere a sequência {E2. matriz de troca E são todas 1. mas também embora Enn 0n seja verdadeiro. T1. Qual é o valor da con.40 de serviços do EM. mostre que as somas de I  E são 0. 6. 3. portanto. então existe um de serviços do EC e $0. qualquer que seja a matriz invertível A. . . MATLAB. Mostre que S  0 e que S  (I  C)1.30 de serviços do EM. Para cada $1 de consultoria feita pelo EC. Em geral. para cada $1 de consultoria feita pelo EM. (a) Prove a parte “só se” do teorema. depois. Expandindo o produto. com e. 5. cada exercício. veja se você consegue descobrir um padrão curso particular que estiver utilizando. (I  C)(I  C  C2  · · ·  Cn1)  I  Cn (b) Voltando ao Exemplo 5. Passo 8. mostre que se Para cada $1 de consultoria feita pelo EE. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. . Derive ou Mathcad.30 (b) Prove a parte “se” do teorema como segue. Certa semana. vetor x  0 tal que x Cx. Mostre que se existir algum vetor x*  0 tal que recebe pedidos de consultoria externa de $700 e o EM recebe Cx*  x*. . Teste é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso sua descoberta. T2. . . indústria cresça uma unidade. Em seguida. Para poder produzir $1 de seu próprio produto. . use o resultado da parte (a) para com n  1.8. 3.3 como segue. Maple. Finalmente. mostre que I  E tem determinante zero Passo 7.5 segue do Corolário 10. então x* 0. determinar o acréscimo que deve ser dado ao valor da Passo 6. ele compra $0. Fazendo n →  no Passo 5. j). . mostre que é produtiva e . Construa a matriz de consumo Cn . . 3. . mas a j-ésima indústria (com j  1. 2. n) nada gasta com a produção do seu próprio produ- to. . Suponha que existam n classes distintas de preços. existem muitos desses procedimentos de corte sustentável. (Nesse modelo simplificado. Para cada pinheiro cortado. As árvores restantes. Tabela 1 hn–1 Altura da árvore Classe Valor ($) Intervalo de altura hn–2 … 1 (mudas) Nenhum [0.] sua validade. que não foram cortadas.590 Álgebra Linear com Aplicações determine uma expressão para (In  Cn)1. de modo que o corte seja sustentável. a matriz n n com todas as entradas iguais a 1). faça uma conjectura e prove n. des- consideramos as árvores que morrem durante o ano. Ao determinar uma F2n  nFn expressão para (In  Cn)1. há uma distribuição de árvores de várias alturas. correspondendo a certos interva- los de altura. são cortadas. hn  1) Valor da árvore n pn [hn  1 . In e Fn .1. o plantador corta alguns dos pinheiros para vender. Supomos que a altura da árvore quando for cortada e vendida determina seu valor econômico. use um computador para estudar e. conforme mostram a Tabela 1 e a Figura 10. A cada dezembro. o número total de árvores na floresta é sempre o mesmo. PRÉ-REQUISITO: Operações com matrizes Rendimento sustentável Nosso objetivo é introduzir um modelo simplificado para o corte sustentável de uma flo- ótimo resta cujas árvores são classificadas por altura. é plantada uma muda em seu lugar. a floresta cresce livremente e. A enésima classe con- siste em árvores com altura maior do que ou igual a hn1 . Isso determina o rendimento sustentável ótimo da floresta e é o maior rendimento que pode ser obtido continuamente sem dizimar a floresta. h3) h1 0 0 p2 p3 pn–1 pn n1 pn  1 [hn  2. h1) h3 … 2 p2 [h1. então. Desse modo. então. Inicialmente. devem ter a mesma configuração de tamanho que as árvores da floresta original. depois. [Sugestão: se Fn  [1]n n (ou seja.9.9. h2) h2 3 p3 [h2. 4 e 5 e. O modelo Suponhamos que um plantador tenha uma floresta de pinheiros que são vendidos ano após ano como árvores de Natal. discutimos um modelo matricial para administrar uma floresta cujas árvores são agrupadas em classes de acordo com sua altura. algumas das árvores. Por um certo período de tempo. h1) e sem valor econômico.) Árvores de diferentes tamanhos têm valores econômicos diferentes no mercado nata- lino. )  Figura 10. mostre primeiro que 10. de tamanhos variados.1 . expresse sua resposta para (In  Cn)1 em termos de os casos n  2. 3.9 Administração florestal Nesta seção. O que queremos é encontrar um para o qual o valor econômico total de todas as árvores removidas seja o maior possível. A primeira classe consiste em mudas com altura no intervalo [0. Também vamos supor que cada muda plantada sobrevive e cresce até ser cortada. Como veremos. Calculamos o rendimento sustentável ótimo de um corte periódico quando as árvores de diferentes classes de altura podem ter diferentes valores econômicos. uma árvore da i-ésima classe pode crescer e passar a uma classe de maior altura. Para uma política de corte sustentável. Parte do nosso problema é encontrar aqueles vetores de não cor- tadas x com os quais é possível um corte sustentável. Olhando para a Figura 10. n) o número de árvores na i-ésima classe que sobrevivem aos cortes. que denominamos vetor de não cortadas. uma classe para cima. . .2.9 Administração florestal 591 Seja xi (i  1. . Com essa hipótese. podemos colocar x1  x2  · · ·  xn  s (1) em que s fica predeterminado pelo tamanho da terra disponível e pelo espaço que cada árvore requer. as árvores crescem e produzem uma nova configuração antes de cada novo corte. 2. n  1: gi  a fração das árvores da i-ésima classe que crescem para a (i  1)-ésima classe durante um período de crescimento Por simplicidade. uma muda é plantada no lugar de cada árvore removida para a floresta retornar à sua configuração original dada por x. Finalmente. a floresta deve retornar à configuração fixada do vetor de não cortadas x. 10.9. Entre dois cortes. Um certo número de árvo- res é removido de cada classe quando ocorre o corte. Consequentemente. . temos 1  gi  a fração das árvores da i-ésima classe que permanecem na i-ésima classe durante um período de crescimento . supomos que. . Formamos um vetor coluna com esses números. definimos o seguinte parâmetro de crescimento gi com i  1.2 Inicialmente consideramos o crescimento da floresta entre os cortes anuais. . Como o número total de árvores da floresta permanece fixado. a configuração da floresta é dada pelo vetor x. temos a situação seguinte. Árvores removidas Corte Plantação de mudas Crescimento Floresta após crescimento Árvores não removidas Configurações florestais iguais Floresta antes de crescer Floresta depois de cortar (vetor de não cortadas x) (vetor de não cortadas x)  Figura 10. 2. Durante esse período. . uma árvore muda. . durante um período de crescimento. no máximo.9. ou seu crescimento pode ser retardado por algum motivo e ela permanece em sua classe. Depois de cada corte. . Dizemos que o vetor coluna é o vetor de cortadas. que caracterizam uma política de corte sustentável. Assim. um total de y1  y2  · · ·  yn árvores são removidas a cada corte. sejam removidas (i  1.592 Álgebra Linear com Aplicações Com esses n  1 parâmetros de crescimento. formamos a matriz de crescimento n n (2) Como as entradas do vetor x são os números de árvores nas n classes antes do período de crescimento. . o leitor pode verificar que as entradas do vetor (3) são os números de árvores nas n classes depois do período de crescimento. 2. configuração no configuração no reposição final do período corte início do período de mudas de crescimento de crescimento . Suponha que. durante o corte. . Agora estamos prontos para escrever as equações seguintes. Se definirmos a matriz de repo- sição n n por (4) então o vetor coluna (5) especificará a configuração de árvores plantadas depois de cada corte. . n) árvores da i-ésima classe. Esse número também é o total de árvores adicionadas à primeira classe (as novas mudas) depois de cada corte. 10. determinam uma política de corte sustentável para a floresta. Como devemos ter yi  0 com i  2. as Equações (8) exigem que g1 x1  g2 x2  · · ·  gn1 xn1  0 (9) Reciprocamente. Quaisquer vetores x e y com entradas não negativas. Em outras palavras. . . o rendimento total R T do corte é dado por ótimo R T  p2 y2  p3 y3  · · ·  pn yn (10) . (8) Observe que a primeira equação em (8) é a soma das demais n  1 equações. x e y satisfazem a condição de corte sustentável (6). então (7) e (8) definem um vetor coluna y com entradas não negativas. n.9 Administração florestal 593 ou. n) e cada árvore na i-ésima Rendimento sustentável classe tem valor econômico pi . . pode ser verificado que (6) é o formato matricial do conjunto de equa- ções seguinte. Além disso. Como isso não faz sentido. . mais compreensivelmente. supomos que y1  0 (7) Com essa hipótese. 3. . GxyRyx Essa equação pode ser rescrita como (I  R) y  (G  I) x (6) ou. Como removemos yi árvores da i-ésima classe (i  2. então o cortador está removendo mudas sem valor econômico e substituindo-as por mudas novas. . se x for um vetor coluna com entradas não negativas que satisfaz a Equação (9). . tais que x1  x2  · · ·  xn  s que satisfazem essa equa- ção matricial. 3. matematicamente. Note que se y1 0. como Dizemos que a Equação (6) é a condição de corte sustentável. uma con- dição necessária e suficiente para que um vetor coluna x determine uma configuração da floresta que permite um corte sustentável é que as entradas de x satisfaçam (9). . vamos ilustrar o próximo resultado exibindo explicitamente uma política de corte sustentável. Problema Encontre números não negativos x1. esse problema pertence à área de Programação Linear. podemos substituir os yi em (10) e obter R T  p2 g1 x1  (p3  p2) g2 x2  · · ·  (pn  pn1)gn1 xn1 (11) Combinando (11). então. Como nenhuma classe é cortada. obtemos (14) As Equações (14) também podem ser escritas como yk  g1x1  g2x2  · · ·  gk1xk1 (15) . . . x2. xk  xk1  · · ·  xn  0 (13) Substituindo (12) e (13) na condição de corte sustentável (8). . (1) e (9) podemos. .594 Álgebra Linear com Aplicações Usando (8). e o correspondente valor de k será a classe que deveria ser completamente cortada para obter esse rendimento sustentável ótimo. xn que maximizem R T  p2 g1 x1  (p3  p2)g2 x2  · · ·  (pn  pn1)gn1 xn1 sujeito a x1  x2  · · ·  xn  s e g1 x1  g2 x2  · · ·  gn1 xn1  0 Da maneira que foi formulado. . sem utilizar a teoria de Programação Linear. como todas as árvores da k-ésima classe são cortadas.1 Rendimento sustentável ótimo O rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de uma classe de altura específica e nenhuma árvore de qualquer outra classe. 3. . No entanto. Inicialmente denotamos RTk  rendimento obtido cortando todas as árvores da k-ésima classe e nenhuma árvore das outras classes O maior valor de RTk com k  2. o rendimento sustentável ótimo. não restam árvores para cortar na k-ésima classe e nunca há árvores nas classes de altura acima da k-ésima classe. n será. temos y2  y3  · · ·  yk1  yk1  · · ·  yn  0 (12) Além disso. . . exceto a k-ésima.9. Assim. agora. TEOREMA 10. enunciar o problema de maximizar o rendimento da floresta sobre todas as possíveis políticas de corte sustentável como segue. O correspondente valor de k é o número da classe que é comple- tamente cortada. 3.9 Administração florestal 595 da qual segue que (16) Substituindo as Equações (13) e (16) em x1  x2  · · ·  xn  s [que é a Equação (1)]. . TEOREMA 10. . Os parâmetros de crescimento gi também devem ser levados em conta para determinar o rendimento sustentável ótimo.2 Encontrando o rendimento sustentável ótimo O rendimento sustentável ótimo é o maior valor de com k  2. podemos resolver em x1 e obter (17) Para o rendimento RTk . . Assim. . No Exercício 4. . 3. (15) e (17) para obter (18) A Equação (18) determina RTk em termos dos parâmetros econômicos e de crescimento conhecidos com quaisquer k  2. . .9. combinamos (10). o rendimento sustentável ótimo é ob- tido como segue. (12). . .2 implica que não é necessariamente a classe de árvores de maior preço que deve ser totalmente cortada. n. n. 10.9. pedimos para o leitor mostrar que o vetor de não cortadas x para o rendi- mento sustentável ótimo é (19) O Teorema 10. a terceira classe deveria ser completamente cortada a cada seis anos para maximizar o rendimento sustentável. . qual classe deveria ser totalmente cortada 10. 5. . g5  0. B. Uma certa floresta é dividida em três classes de altura e a ma. g2  0. Se todos os parâmetros g1 .” Journal of Applied Ecology.9. p4  $150. . .2 A matriz de crescimento seguinte refere-se a uma floresta de pinheiros escoceses na Es- cócia com período de crescimento de seis anos (ver M.) 3. g2 . corte sustentável seja uma política de corte ótima? (Ver Exer- tada para obter o rendimento sustentável ótimo? cício 3.2? para obter o rendimento sustentável ótimo? Qual é o rendi. Suponha que os preços das árvores nas cinco classes de maior altura sejam p2  $50. qual deve ser a razão 2. p5  $200.) 4.2. Quantas árvores são removidas da floresta em cada corte Se o preço das árvores da segunda classe for de $30 e as da na política de corte sustentável ótima descrita no Teorema terceira classe. 1966. 6.9.37 As Equações (18) fornecem então Vemos que RT3 é a maior dessas cinco quantidades. com k  2. de modo que.7s. g4  0. Obtenha a Equação (19) para o vetor de não cortadas cor- respondente à política de corte sustentável ótima descrita no Teorema 10. p6  $250 Qual classe deveria ser completamente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo e qual é o rendimento? Solução Da matriz G. Vol.25.2. $50. obtemos g1  0. a que nível deve subir o preço das árvores da p2 : p3 : .9 1. . páginas 355-367). with Special Reference to Selection Forests. 6. O rendimento sustentável ótimo correspondente é $14. 4. g3  0. em que s é o número total de árvores na floresta. No Exemplo 1. 3. 3. Usher. 5.31.  Conjunto de exercícios 10. .9. : pn entre os preços para que qualquer política de quinta classe para que esta seja a que deve ser totalmente cor. pelo Teorema 10.596 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 1 Usando o Teorema 10. qualquer política triz de crescimento das árvores entre os cortes é dada por de corte sustentável irá produzir o mesmo rendimento susten- tável ótimo. .9.28. gn1 de crescimento da mento ótimo se houver 100 árvores na floresta? matriz de crescimento G forem iguais. No Exemplo 1. “A Matrix Approach to the Management of Renewable Resources.23. p3  $100. sejam todos iguais? (Nesse caso. qual deve ser a razão p2 : p3 : p4 : p5 : p6 entre os preços das árvores para que os rendimentos RTk . 94. n  1. 1. . Mathematica. 1. 1. 2. 3. 10 use um computador para determinar o número da classe (b) Nos casos que deveria ser completamente cortada para obter um rendimento ótimo e determine o rendimento sustentável ␳  1. k pode use um computador para determinar o número da classe tomar somente valores inteiros.97. . . supomos que uma imagem de um objeto tridimensional seja exibida num monitor de vídeo e mostramos como a álgebra matricial pode ser usada para obter novas imagens do objeto por meio de rotação.10 Computação gráfica 597 Seção 10. 2. 1. onde n (o número total de classes de altura) pode ser escolhido tão grande quanto necessário. 1.1. 7. pk  a(k  1)␳ (a) Mostre que o rendimento RTk é dado por em que a é uma constante (monetária) e ␳ é um parâmetro satisfazendo 1  ␳  2. .10. MATLAB.91.10 Computação gráfica Nesta seção. 1. O objeto que pretendemos mostrar é determinado por um número tridimensional finito de segmentos de reta. considere o tronco de pirâmide reta com base hexagonal ilustrado na Figura 10. T2. 1. k pode tomar somente valores inteiros. 1. 1. 5. mas também (e) Compare os valores de k determinados nas partes (b) e pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma (c) com 1/(2  ␳) e use Cálculo para explicar por que calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. . Maple.1. onde a é uma constante (monetária) e ␳ é um parâmetro satis- lo de altura seja dado por fazendo 1  ␳. 1  ␳/ ln(2) e use Cálculo para explicar por que em suas contas. 1.5. 1. 9.9 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos (d) Mostre que se ␳  2. Lembre que. O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional.0. 1. 1. 10.95. 4. 1.4. Derive ou Mathcad.8. (a) Mostre que o rendimento RTk é dado por (b) Nos casos ␳  1.2. (c) Repita as contas da parte (b) usando ␳  1. 3.99 10. 2. 8.92.96.3. 1. 1. Suponha que o valor de uma árvore no k-ésimo interva. 6. translação e mudanças de escala. Uma certa floresta tem parâmetros de crescimento dados por com i  1. em suas contas. .98. Primeiro introduzimos um sistema de coordenadas . . T1. PRÉ-REQUISITOS: Álgebra matricial Geometria Analítica Queremos visualizar um objeto tridimensional mostrando num monitor de vídeo várias Visualização de um objeto imagens desse objeto. Em geral. Lembre que. .6.93.9 ótimo em cada caso. onde n (o número total de classes pk  a(k  1)␳ de altura) pode ser escolhido como tão grande quanto neces- sário. 3. n  1. esse recurso é mo nunca pode ser maior do que 2as. que deveria ser completamente cortada e determine o (c) Compare os valores de k determinados na parte (b) com rendimento sustentável ótimo em cada caso.7. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. Por exemplo. então o rendimento sustentável óti- utilizando um recurso computacional. 1. Uma certa floresta tem parâmetros de crescimento dados por você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. Suponha que o valor de uma árvore no k-ésimo intervalo de altura seja dado por com i  1. Em cada exercício você deverá ler a documentação pertinente do re- curso particular que estiver utilizando. suponha que a tela tenha 4 unidades de largura e 3 de altura. P2.598 Álgebra Linear com Aplicações xyz no qual mergulhamos o objeto. Deve ser observado que somente as coordenadas x e y dos vértices são usadas pelo siste- ma para desenhar a imagem. construímos uma matriz P de tamanho 3 n. . Pn dos segmentos de reta que determinam a imagem do objeto têm certas coordenadas no sistema de coordenadas xyz. .10. –2 –1 0 1 2 Agora vamos mostrar como formar uma nova imagem do objeto mudando a esca- 1 la.10. rodando ou transladando a imagem original. . Na Imagem 1. Consequentemente. . y P10 P11 P9 P12 P8 z P7 P4 P3 P5 x P2 P6 P1  Figura 10.1. . yn . pois é mostrada somente a projeção do objeto no plano xy. y2 . e que os 12 vértices da pirâmide truncada da Figura 10. Por exemplo.1 As extremidades P1. –1  Imagem 1 . Para isso. digamos. junto com uma especifica- ção de quais pares são conectados por segmentos de reta. No entanto. (x2 . esses 18 segmentos de reta estão mostrados como apareceriam na tela. (x1 . em que Pi ↔ Pj significa que o ponto Pi está conectado ao ponto Pj . Esses 12 vértices são conectados dois a dois por 18 segmentos de reta como segue. . .1 tenham as coordenadas seguintes.10. z1). . orientamos o sistema de coordenadas de modo que sua origem esteja no centro da tela do monitor e o plano xy coincida com o plano da tela. z2). (xn . denominada matriz de coordenadas da imagem. precisamos manter a informação sobre as coordenadas z para efetuar certas transformações que discutiremos adiante. y1 . Como na Figura 10. zn) Essas coordenadas são armazenadas na memória do sistema. um observador somente verá a projeção da imagem do objeto tridimensional no plano bidimensional xy. cujas colunas são as 0 coordenadas dos n pontos de uma imagem. y e z por fatores ␣.10. ␤ e ␥. a matriz de coordenadas P que corresponde à Imagem 1 é a matriz 3 12 Vamos mostrar a seguir como transformar a matriz de coordenadas P de uma imagem na nova matriz de coordenadas P que corresponde a uma nova imagem do objeto.8.  Figura 10.10 Computação gráfica 599 Por exemplo. como segue. Definimos uma 1 matriz diagonal 3 3 1 x 1 z Então.5 e ␥  3. Os segmentos de retas que conectam os vários pontos se movem junto com os pontos quando esses pontos são transformados. O primeiro tipo de transformação que consideramos é a mudança de escala. Exemplificando. ␤  0. que con. ser fornecida ao sistema para produzir a nova imagem do objeto. Isso significa que um ponto Pi de coordenadas (xi . Isso tem o efeito de transformar um cubo unitário da imagem original num y paralelepípedo de dimensões ␣ ␤ ␥ (Figura 10. essa mu- dança de escala é efetuada pela multiplicação matricial. pois vemos somente a projeção do 1 com escala alterada por objeto no plano xy.0 ao longo do eixo z não é visível na Imagem 2. que contém as coordenadas de todos os n pontos da (b) imagem original como colunas. yi .2 –2 –1 0 1 2 1 0 –1 A nova matriz de coordenadas pode. será transformado no novo ponto Pi de coordenadas (␣xi . desde que tenham sido especificados quais pares de pontos são conectados por segmentos de reta na imagem original. ␤  0.10. Matematicamente.5. então.8. esses n pontos podem ser transformados simultaneamente para produzir a matriz de coordenadas P da mudança de escala. Dessa maneira. . respectivamente. como segue. 10. Mudança de escala siste em mudar as escalas da imagem ao longo das direções x.2).0 aplicada à Imagem 1. a Imagem 2 é o resultado da mudança de escala dada por ␣  1. ␤yi . Observe que a mudança de escala  Imagem 2 A Imagem ␥  3.0. cada imagem é determinada univocamen- te pela sua matriz de coordenadas. ␣  1. zi) na imagem original. se um ponto Pi da imagem original for representado pelo vetor coluna (a) y ␣ então o ponto transformado Pi é representado pelo vetor coluna ␤ x ␥ z Usando a matriz de coordenadas P. ␥  3. ␥zi) na nova imagem. No Exercício 7.2. o leitor deveria conseguir deduzir Pi(xi . suponha que queiramos mudar uma imagem existente de tal modo que cada ponto Pi de coordenadas (xi . matricial em vez de adição matricial. Observe. yi . zi) as relações seguintes. Usando a Figura 10.3. O vetor é denominado vetor translação da transformação. portanto. Definindo a matriz 3 n podemos transladar todos os n pontos da imagem determinados pela matriz de coordena- das P pela adição matricial por meio da equação P  P  T –2 –1 0 1 2 A matriz de coordenadas P especifica. novamente.600 Álgebra Linear com Aplicações Translação Em seguida. Dado um ponto Pi de coordenadas (xi . yi . zi) seja movido para um novo ponto Pi de coordenadas (xi  x0 . consideramos a transformação de translação. yi . ␳ Usando um pouco de Trigonometria e a Figura 10. que desloca um objeto para uma nova posição na tela. Por exemplo. zi ) do ponto Pi girado. queremos calcular as novas coordenadas (xi . que a translação por z0  1. zi) Rotação Um tipo mais complicado de transformação é a rotação de uma imagem em torno de um dos três eixos coordenados. zi  z0) x z  Figura 10. y Pi(xi  x0 .4. zi  z0).4. as novas coordenadas dos n pontos.10. yi  y0 . ␳ ␪ ␾ x  Figura 10. se quisermos transladar a Imagem 1 de acordo com o vetor de translação 1 0 –1 então o resultado é a Imagem 3.7 ao  Imagem 3 A Imagem 1 longo do eixo z não aparece explicitamente na Imagem 3. yi .10.4 . Começamos com uma rotação em torno do eixo z (o eixo y Pi(xi . y0  0.10.7. zi ) perpendicular à tela) por um ângulo ␪. yi . é explicada uma técnica de efetuar translações por multiplicação z0  1.3 Pi(xi . transladada por x0  1. yi . yi  y0 . zi) da imagem original.10. y e z por um ângulo de 90°. Analogamente.10 Computação gráfica 601 Essas equações podem ser escritas em formato matricial como Se denotarmos a matriz 3 3 dessa equação por R. então todos os n pontos poderão ser girados pela multiplicação matricial P  RP para fornecer a matriz de coordenadas P da imagem rodada. Rotação em torno do eixo z –2 –1 0 1 2 y 1 cos ␪ –sen ␪ 0 x sen ␪ cos ␪ 0 0 0 0 1 z ␪ –1  Imagem 6 A Imagem 1 girada 90° em torno do eixo z. Rotação em torno do eixo x –2 –1 0 1 2 y 1 ␪ 1 0 0 x 0 cos ␪ –sen ␪ 0 0 sen ␪ cos ␪ z –1  Imagem 4 A Imagem 1 girada 90° em torno do eixo x. Rotação em torno do eixo y –2 –1 0 1 2 y 1 ␪ cos ␪ 0 sen ␪ x 0 1 0 0 –sen ␪ 0 cos ␪ z –1  Imagem 5 A Imagem 1 girada 90° em torno do eixo y. 10. . podemos obter rotações em torno dos eixos x e y e as matrizes de rotação resultantes são dadas nas Imagens 4. 5 e 6 a seguir. respectivamente. Essas novas imagens da pirâ- mide truncada correspondem às rotações da Imagem 1 em torno dos eixos x. Essas imagens foram produ- zidas rodando primeiro a Imagem 7 em torno do eixo y por um ângulo de 3° e transla- dando para a direita e. rodando a mesma Imagem 7 em torno do eixo y por um ângulo de 3° e transladando para a esquerda. essas três rotações 0 sucessivas podem ser encorpadas numa única equação de transformação P  RP.5 centímetros.  Imagem 8 Uma figura estereoscópica da pirâmide truncada. em seguida girada em torno do eixo y por 70°. e finalmente girada em torno do eixo z por 27°. A tridimensio- nalidade do diagrama pode ser vista segurando o livro a cerca de 30 centímetros e focando os olhos à distância. que constituem um par estereoscópico. a distância aproximada entre um par de olhos. as duas imagens do par estereoscópico podem ser combinadas para produzir o efeito desejado. Voltando a olhar para a Imagem 8 sem trocar o foco dos olhos. a Imagem 7 é a Imagem 1 inicialmente 1 girada em torno do eixo x por 30°. em que R é o produto das três matrizes individuais de rotação –1  Imagem 7 Imagem oblí- qua da pirâmide truncada.602 Álgebra Linear com Aplicações –2 –1 0 1 2 As rotações em torno dos três eixos coordenados podem ser combinadas para dar imagens oblíquas de um objeto. em seguida. Matematicamente. apresentamos na Imagem 8 duas imagens separadas da pirâmide truncada. As distâncias de translação foram escolhidas de tal modo que as imagens estereoscópicas estejam afastadas cerca de 6. . na ordem Como uma ilustração final. Por exemplo. –1 3. (a) Se a matriz de coordenadas da Imagem 9 for multiplicada pela matriz (b) Analogamente à parte (a). 1. (c) Analogamente à parte (a). zi ) passa a ter coordenadas (xi  yi . 0) (Exercícios 1 e 2). (1. (a) A Imagem 13 é o resultado da Imagem 1 submetida às cinco transformações seguintes. (1. Se P e P forem as matri- vértices (0.  Imagem 10 A Imagem 9 com 1. Translação de unidade na direção x. zi ). 10. Faça um esboço da Imagem 1 refletida no plano yz. zi ) o ponto (xi . ver Imagem 12). respectivamente. yi . plano xz. –1 4.6 em relação à coordenada x (Exercício 2).10 Computação gráfica 603 Conjunto de exercícios 10. –2 –1 0 1 2 Faça um esboço da imagem transformada. Esboce uma imagem do quadrado da Imagem 9 depois de uma tal transformação de cisalhamento e en- contre as novas coordenadas de seus quatro vértices. defina a reflexão no plano yz e construa a matriz correspondente a essa transformação. Faça um esboço da Imagem 1 refletida no plano xy. encontre uma matriz M tal que P  MP. (d) Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 depois de 1 girada por um ângulo de 30° em torno do eixo z? Faça um esboço da imagem transformada. yi . 0 –1 –2 –1 0 1 2 1  Imagem 11 A Imagem 1 com 0 cisalhamento na direção y de 0. . yi . 0) zes de coordenadas de uma imagem e de sua reflexão no e (0. Mudança de escala de fator na direção x. (1. 1 (b) Quais são as coordenadas dos quatro vértices do quadra- 0 do cisalhado da Imagem 10? –1 –2 –1 0 1 2 1 Imagem 12 A Imagem 1 refle- 0 tida no plano xz (Exercício 3). 0) e (0. Mostre –2 –1 0 1 2 que. 1. (a) A reflexão no plano xz é definida como a transformação que associa a cada ponto (xi . defina a reflexão no plano xy e construa a matriz correspondente a essa transformação. 0. 0. 1.6 em (c) Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 depois de relação à coordenada x (um exemplo aparece na Ima- transladada pelo vetor gem 11). 1.10 1. sob tal transformação. 2 na dire- cisalhamento na direção x por em ção y e na direção z. (1. yi . 0). 0. zi )  Imagem 9 O quadrado de (por exemplo. 0). Uma tal transformação é denominada cisalhamento na direção x de fator em relação à coordenada y. A Imagem 9 é uma imagem de um quadrado de vértices (c) A matriz (0. 0). 0). 2. um ponto de coordenadas (xi . determina um cisalhamento na direção y de fator 0. o resultado será a matriz de coordenadas da Imagem 10. 0). relação à coordenada y (Exercício 2). 0. 2. (a) Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9? (b) Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 depois de uma mudança de escala por um fator de na direção x e na direção y? Faça um esboço da imagem transformada. 1 3. . (a) Associe o ponto (xi . M2 . M4 e M5 associa. 5 e 6. Construa as matrizes M1 . Translação de 1 unidade na direção z. R2 . 6. ortogonal. 1. que é transformada pela rotação de um ângulo ␪ em torno de um eixo pela origem que é especificado pelos dois ângulos ␣ 5. 6. Rotação de 45° em torno do eixo y. M3 . Rotação de um ângulo ␣ em torno do eixo z. Mudança de escala de fator 2 na direção x. . M2 . coordenadas (xi . x ␤ z 5. 0). Rotação de 20° em torno do eixo x. (a) A Imagem 14 é o resultado da Imagem 1 submetida às  Figura Ex-6 sete transformações seguintes. . . Suponha que P seja a matriz de coordenadas de uma imagem 4. Rotação de 90° em torno do eixo z.1. translação e rotação (Dizemos que uma matriz com essa propriedade é uma matriz (Exercício 5). 8. R3 . zi  z0) por meio de multiplicação matricial em vez 3. yi  y0 .) . Rotação de 45° em torno do eixo z. Rotação de um ângulo ␤ em torno do eixo y. Rotação de um ângulo ␣ em torno do eixo z. 2. Translação de 1 unidade na direção x. Rotação de 35° em torno do eixo y.] –1 y  Imagem 13 A Imagem 1 ␪ transformada com mudança de ␣ escala. Se P for a matriz de coordenadas da Construa as cinco matrizes M1 . Para as três matrizes de rotação dadas com as Imagens 4. Este exercício ilustra uma técnica para transladar um ponto de direção y. . Rotação de 45° em torno do eixo x. zi  z0) com o vetor coluna (b) Se P for a matriz de coordenadas da Imagem 1 e P a da Imagem 14. Rotação de um ângulo ␪ em torno do eixo y. 3) para o –1 ponto (1. 1. e R5 tais que (b) Se P for a matriz de coordenadas da Imagem 1 e P a da P  R5R4R3R2R1P Imagem 13. M7 associadas a essas sete transformações. M4 . de adição. M7 e P. 4. M2 .5 na 7. . M2 .3 na direção x e 0. zi ) para um ponto de coordenadas (xi  x0 2. –2 –1 0 1 2 2. 0 5. encontre as matrizes de rotação R1 . M5 e P. imagem girada. expresse P em termos das matrizes M1 . 4. . . zi ) com o vetor coluna 5. Rotação de um ângulo ␤ em torno do eixo y. . translação e rotação (Exercício 4). Mudança de escala de fator 0. yi  y0 . mostre que  Imagem 14 A Imagem 1 transformada com mudança de R1  RT escala. 0 (b) Encontre a matriz 4 4 específica do formato dado acima que efetua a translação do ponto (4. yi . 7. R4 das a essas cinco transformações. yi . e o ponto (xi  x0 . –2 –1 0 1 2 1 Encontre uma matriz M de tamanho 4 4 tal que vi  Mvj . [Sugestão: a rotação procurada pode ser efetuada com os cin- co passos seguintes. M3 . Ver Seção 7. 7. e ␤ (ver Figura Ex-6).604 Álgebra Linear com Aplicações 3. expresse P em termos das matrizes M1 . suponha que as temperaturas em cada aresta sejam . Um vetor v  (x.10 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos e. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. [Sugestão: use que o vetor (a. b e tário para mostrar que nTn  1. 10.1a são Dados de contorno isoladas do calor. valores diferentes de a.] (b) Use um computador para mostrar que det(M)  1. Dependendo da sofisticação do computador que (a) Mostre que M2  I e dê uma razão física por que isso você estiver usando. Use um MATLAB. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Matrizes Compreensão intuitiva de limites Suponha que as duas faces da placa trapezoidal fina mostrada na Figura 10. (c) Use um computador para mostrar que det(R(␪))  1. b. esse recurso é não são afetadas por uma reflexão no plano. z) um vetor. y. O problema se resume a resolver um sistema de equações lineares. b. O objetivo destes exercícios um eixo com vetor unitário (a. Suponha também que tenham sido dadas as temperaturas ao longo das quatro arestas da placa.11 Distribuições de temperatura de equilíbrio Nesta seção. correspondem àqueles vetores cujas direções utilizando um recurso computacional. em que com (a) Use um computador para mostrar que R(␪)R(␸)  R(␪  ␸) e dê uma razão física por que isso deve ser assim. T1. (c) Os autovetores de M satisfazem a equação (b) Mostre também que R1(␪)  R(␪) e dê uma razão físi- ca para isso. c) é uni.11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 605 Seção 10. Também são descritas uma técnica iterativa para resolver o problema e uma abordagem do tipo “caminho aleatório” para o problema. Pode ser mostrado que a ima- gem espelhada do vetor r no plano dado tem coordenadas re  com (xe . mas também computador para determinar os autovetores e autovalores pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma de M e então dê um argumento físico para corroborar sua calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. ye . você deverá ler a documentação pertinente do re. Por exemplo. y. talvez você deva experimentar com deve ser assim. Em geral. Sejam (a. mostramos como pode ser encontrada a distribuição de temperatura de equilíbrio numa placa trapezoidal se forem especificadas as temperaturas ao longo das arestas da placa. yR . z) é rodado por um ângulo ␪ em torno de curso particular que estiver utilizando. T2. ze). portanto. Pode ser mostrado que computacional.11. b. Mathematica. Derive ou Mathcad. c) um vetor unitário normal ao plano ax  by  cz  0 e r  (x. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. zR). Maple. c) formando assim o vetor é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso rodado vR  (xR . Em resposta. 10. cada exercício. Essas técnicas também generalizam para o problema de encontrar a temperatura dentro de um corpo tridimen- sional. TEOREMA 10.11. como na figura. Como veremos. pelas temperaturas ao longo das arestas da placa.75 0. esboçamos algumas isotérmi- cas usando informações que deduzimos mais adiante neste capítulo. 1° e 2°. a temperatura no interior da placa acaba estabilizando. consis- tentemente com as condições de contorno.75 0. 0°. Essa propriedade é uma consequência de certas leis básicas do movimento molecular que não tentaremos deduzir.2 médio determina de maneira única a distribuição de temperatura de equilíbrio de uma placa. nossa “placa” poderia ser o corte transversal de algum objeto sólido se o fluxo de calor perpendicular ao corte for desprezível.2). com valores de 0°. nossas técnicas generalizam facilmente para placas com qualquer formato prático. Essas curvas são denominadas isotér- micas da distribuição de temperatura.606 Álgebra Linear com Aplicações constantes.50 0° 1 1. Em seguida. então a temperatura em P é o valor médio da temperatura no círculo (Figura 10. A represa está exposta a três temperaturas diferentes: a temperatura do solo em sua base.1 poderia representar a seção transversal de uma longa represa. a temperatura da água de um lado e a do ar do outro. Para determinar as tensões termais às quais a represa está sujeita. a temperatura de equilíbrio interior é completamente determinada pelos dados de contorno.11. Embora nossas contas aqui sejam para a placa trapezoidal ilustrada. Na Figura 10.1 (a) (b) A distribuição de temperatura de equilíbrio pode ser visualizada pelo uso de curvas que conectam os pontos com mesma temperatura. Te m pe ra tu Temperatura = 2° ra 2 0.00 Temperatura = 1° 2 䉴 Figura 10.00 = 0° 2. Se C for um círculo qualquer completamente contido na placa e centrado em P.25 0.50 0. ou seja. a Figura 10. Nosso objetivo nesta seção é determinar essa distribuição de temperatura de equilíbrio dos pontos dentro da placa. a propriedade afirma que a energia termal em P C equilíbrio tem a tendência de distribuir-se de modo tão uniforme quanto possível. Na realidade.1 A propriedade do valor médio Seja P um ponto do interior de uma placa em equilíbrio térmico. Pode ser mostrado que a propriedade do valor 䉱 Figura 10.11. . Depois de um certo período de tempo.00 1.11.00 1. A propriedade do valor médio Existem muitas maneiras diferentes de obter um modelo matemático para o nosso proble- ma. Basicamente.1b.00 1. A abordagem utilizada aqui tem por base a propriedade da distribuição de temperatu- ra de equilíbrio que segue.25 1. Por exemplo.11. veremos um certo princípio termodinâmico que caracteriza a distribui- ção de temperatura que estamos procurando.11. é necessário conhecer a distribuição de temperatura dentro da represa. Para uma malha razoavelmente fina. Em (a). 9 e 49 pontos de malha interio- res. a temperatura é aproximadamente a média das tem- peraturas dos quatro pontos de malha vizinhos. respectivamente. (Na Figura 10. Ilustramos essa convergên- cia calculando as temperaturas aproximadas nos pontos de malha dos três espaçamentos de malha da Figura 10. aplicamos a versão discreta da propriedade do valor médio que segue.11. a aproximação melhora à medida que diminuir o espaçamento da malha. as aproximações tendem à distribuição de temperatura exata.3. TEOREMA 10.3 Na formulação discreta do problema. 10. No entanto. cada vez mais finas (Figura 10. rotulamos todos os pontos de malha de contorno com suas tempera- turas correspondentes.3.2 A propriedade discreta do valor médio Em cada ponto de malha interior. De fato.11. É isso o que faremos a seguir. o espaçamento novamente foi reduzido à metade. Esses pontos são classificados em pontos de malha de contorno se estiverem no contorno da placa e pontos de malha interiores se estiverem no interior da placa.3). se o espaçamento da malha tender a zero.11. em problema (b). Essa versão discreta é uma aproximação razoável da verdadeira propriedade do valor médio. como em (c). Os pontos de interseção das linhas da malha são cha- mados pontos de malha. um fato que é provado em disciplinas avançadas de Análise Numérica.11. podemos reduzir o problema à resolução de um sistema linear se nos restringimos a encontrar a temperatura somente num conjunto finito de pontos do interior da placa.11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 607 Infelizmente. A temperatura nos pontos de malha de contorno é fornecida pelos dados de contorno. . ou A formulação discreta do redes. isso já fornece uma excelente representação da verdadeira distribuição de temperatura na placa inteira. mas também fornece somente uma aproximação das verdadeiras temperaturas nos pontos de malha interiores por ser apenas uma aproximação. Nas três malhas escolhidas na figura. não é uma tarefa fácil determinar a distribuição de temperatura de equi- líbrio a partir da propriedade do valor médio. No entanto. existem 1. temos uma malha com a metade do espaçamento da de (a).11.) Nos pontos de malha interiores. e em (c). tentamos encontrar somente as temperaturas nos pontos de malha interiores de uma rede dada. Podemos cobrir nossa placa trapezoidal com uma sucessão de malhas de quadrados. temos uma malha bem grosseira. 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 t1 2 0 2 0 2 0 2 0 t2 t3 2 0 2 0 2 0 t0 t4 t5 t6 2 0 2 0 2 0 2 0 t7 t8 t9 2 0 2 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (a) 1 ponto de malha interior (b) 9 pontos de malha interiores (c) 49 pontos de malha interiores  Figura 10. a propriedade discreta do valor médio imediatamente fornece No caso (b). Escrevendo t0 para a temperatura nesse ponto de malha.) Aplicando a propriedade do valor médio discreto sucessivamente a cada um desses nove pontos. calculando a solução em t por (3).3 é simples.3b. portanto. obtemos as nove equações seguintes. pois só há um ponto de malha in- terior. .11.608 Álgebra Linear com Aplicações O caso da malha (a) da Figura 10. t2 . podemos denotar as temperaturas nos nove pontos de malha interiores por t1 . .11. . Isso realmente ocorre e. 1 t  (I  M) b (3) sempre que a matriz (I  M) for invertível. (A ordem escolhida para esses pontos não é importante. obtemos . reescrevemos essa equação como (I − M)t = b A solução em t é. . como na Figura 10. (1) Isso é um sistema de nove equações lineares em nove incógnitas que podemos reescrever em formato matricial como t  Mt  b (2) em que Para resolver a Equação (2). t9 . Como em (3). Aplicando a propriedade discreta do valor médio a cada um dos pontos de malha. Por exemplo.9014 0.4719 0 2 1.11.7846 0 2 1.7491 0. .2967 0. .11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 609 (4) A Figura 10.4 é um diagrama da placa com os nove pontos de malha interiores mos- trando sua temperatura de acordo com essa solução. . t49 . .5570 0  Figura 10. t2 .3.1383 0. 10. obtemos um sistema de 49 equações lineares em 49 incógnitas. podemos começar no topo da placa e continuar da esquerda para a direita ao longo de cada linha de pontos da malha.11. por t1 . a solução em t é 1 t  (I  M) b (6) .3265 0 2 1. (5) Em formato matricial. as Equações (5) são t  Mt  b em que t e b são vetores coluna de 49 entradas e M é uma matriz 49 49. Denotamos as temperaturas nos 49 pontos de malha interiores.11. como segue.2995 0.4 1 1 1 1 1 Repetimos esse mesmo procedimento no caso (c) da Figura 10. em qualquer ordem. 2 2 0 2 0. 7491 0.5554 .3528 0 2 1.3301 1.5554 0.11.7500 0.2995 1.9548 0. As nove temperaturas não sombreadas nessa figura caem nos pontos de malha da Figura 10.0657 0. comparamos as temperaturas nesses nove pontos de malha interiores que são comuns para os três espaçamentos de rede diferentes usados.4719 0.0605 0.5. 2 2 0 2 0.1533 0.1756 0 2 1.0114 0.3265 0.4844 1.7903 0 2 1.4778 0.6318 0.4778 t4 — 1. exibimos as temperaturas encontradas com a Equação (6) nos 49 pon- tos de malha.7513 0.7896 0.2488 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tabela 1 Temperaturas nos pontos de malha comuns Caso (a) Caso (b) Caso (c) t1 — 0.4508 1.1533 t3 — 0.3078 1.3078 t5 0.3157 t7 — 1.1383 1.9032 t9 — 0.0122 0.8556 0.6409 1.2221 0 2 1.11.3227 0 2 1.5570 0.5214 0.9032 0.4.9210 0.3157 0.1611 0.2162 0 2 1.11.3868 0.6131 1.9014 0.6342 0.8380 0. Na Tabela 1.7846 0.0834 0.1344 0 2 1.8048 t2 — 1.7311 0.2039 1.5994 1.4915 0 2 1.5135 0 䉴 Figura 10.3042 1.5627 1.3625 0.4312 0.8048 0.3042 t8 — 0.2967 1.6426 1.610 Álgebra Linear com Aplicações Na Figura 10.2710 0 2 1.6064 0.7513 t6 — 0.7365 0. Uma rede mais fina pode envolver um sistema linear com centenas ou até milhares de incógnitas. A técnica de gerar aproximações sucessivas para a solução de (7) é uma variação de uma técnica denominada iteração de Jacobi. Como um exemplo numérico. Algoritmos exatos para a solução de sistemas tão grandes são impraticáveis e. Tomando t(0)  0. por essa razão. Não poderemos tratar aqui das considerações teóricas necessárias para mostrar isso. t  Mt  b (2) (1) (9) Continuando dessa maneira. Procuremos uma maneira de gerar aproximações melhores cada vez do vetor t. Basta dizer que. foi necessário resolver um Uma técnica numérica sistema linear em 49 incógnitas. Substituindo t (0) (0) (0) (1) no lado direito de (7) e identificando o lado esquerdo resultante como t . cada aproximação é uma iterada. t . . Para descrever essa técnica. a sequência converge à solução exata com qualquer tamanho de malha e para qualquer aproximação inicial t(0). . Com a aproximação inicial t .3. t . para o problema sob consideração. voltamos a olhar para a Equação (2). podemos tomar t  0 se não tivermos uma escolha melhor. que identificamos (2) como t . temos t  Mt  b (1) (0) (8) (1) Substituindo t no lado direito de (7). (10) (0) (1) (2) É de se esperar que essa sequência de aproximações t . Para obter as 49 temperaturas no caso (c) da Figura 10.11. a Equação (2) fornece . discutiremos agora uma técnica numérica para a solução prática desses sistemas. geramos a sequência de aproximações seguinte. . podemos concluir que as nove temperaturas obtidas no caso (c) estão mais próximas dos valores exatos que as do caso (b). convirja à solu- ção exata de (7).11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 611 Sabendo que as temperaturas do problema discreto tendem às temperaturas exatas à medida que o espaçamento da malha diminui. 10. t  Mt  b (7) O vetor t que estamos procurando aparece em ambos os lados dessa equação. aplicamos a iteração de Jacobi ao cálculo das nove temperaturas dos pontos da rede do caso (b). geramos uma nova aproximação. O esquema de iteração de Jacobi aplicado ao sistema linear (5) em 49 incógnitas produz iteradas que começam a repetir as quatro primeiras casas decimais a partir de 119 iterações. . Isso significa um caminho dirigido ao longo de linhas da rede (Figura 10. .11.3 Propriedade do passeio aleatório 2 t5 0 Seja W1 . Uma técnica de Monte Carlo Nesta seção. . definimos um passeio aleatório discreto na rede. Inicialmente. . t2* . Cada uma das quatro possíveis direções e sentidos de partida de cada ponto de malha ao 2 longo do caminho deve ser igualmente provável. 2 0 2 0 TEOREMA 10.11. Sejam t1* . tn* as temperaturas 2 0 nos primeiros pontos de malha de contorno encontrados ao longo de cada um desses passeios aleatórios. podemos calcular a temperatura em um 2 0 ponto de malha interior específico. Con- sequentemente. W2 .6 .6) que liga uma sucessão de pontos de malha e que é tal que a direção e o sentido de partida de cada ponto de malha são escolhidos aleatoriamente. .612 Álgebra Linear com Aplicações Algumas iteradas adicionais são Todas as iteradas a partir da trigésima são iguais a t(30) até quatro casas decimais. dado na Equação (4). usando passeios aleatórios.  Figura 10. . t(30) é a solução exata até quatro casas decimais. t(119) daria as 49 temperaturas corretas até quatro casas decimais do caso (c). Wn uma sucessão de passeios aleatórios. descrevemos uma assim chamada técnica de Monte Carlo para calcular a temperatura num único ponto de malha interior do problema discreto que não requer o cálculo das temperaturas nos demais pontos de malha interiores. . todos começando num mesmo ponto de malha interior especificado. Então o valor médio (t1*  t2*  · · ·  tn*) dessas temperaturas 1 1 1 1 1 de contorno tende à temperatura no ponto de malha interior especificado quando o número n de passeios aleatórios cresce indefinidamente. Assim. Isso confere com nosso resultado anterior. Utilizando a propriedade enunciada a seguir.11. . Use o Teorema 10. depois de 1. A primeira coluna lista o número n do passeio aleatório. A segunda coluna lista a temperatura t*n do primeiro ponto de malha de contorno encontrado ao longo do passeio aleatório correspondente. 10.11.000 passeios aleatórios. Na Tabela 2. t(3).0000 250 1 0.6 da ma- lha de nove pontos.8050 8 0 1.11. (a) Usando a propriedade discreta do valor médio.0000 50 2 0. t(2).8000 7 2 1. Calcule as duas primeiras iteradas t(1) e t(2) no caso (b) da Fi- (d) Usando certos métodos avançados. pode ser mostrado gura 10. ção encontrada na parte (b)? 3. em que t é a solu- líbrio exata no centro do disco do Exercício 1.11 Distribuições de temperatura de equilíbrio 613 Essa propriedade é uma consequência da propriedade discreta do valor médio satisfeita pelas temperaturas dos pontos de malha. 0 t3 t4 1 mina as temperaturas aproximadas nos quatro pontos de malha interiores. que calculamos anteriormente. exibimos os resultados de um grande número de passeios aleatórios gerados por computador para obter a temperatura t5 do caso (b) da Figura 10.7129. Quais são os er- ros percentuais nos valores encontrados na parte (b)? t(0)  [1 1 1 1 1 1 1 1 1]T .7491. temos a aproximação t5 ⯝ 0.2000 100 0 0.2871 e t2  t4  0. escreva o sistema linear t  Mt  b de tamanho 4 4 que deter.9500 2 2 1.3333 40 0 0.8300 6 0 1. (b) Resolva o sistema linear da parte (a).5000 30 0 0. 0 1  Figura Ex-1 (c) Use o esquema de iteração de Jacobi com t(0)  0 para gerar as iteradas t(1).0000 150 1 0.7550 Conjunto de exercícios 10.11 1. Isso equivale ao valor exato t5  0.8400 5 2 1.0000 1. A prova da propriedade do passeio aleatório en- volve conceitos elementares da Teoria de Probabilidade e não será dada aqui.0000 20 1 0. Tabela 2 n t*n (t*1 ⴙ · · · ⴙ t*n)/n n t*n (t*1 ⴙ · · · ⴙ t*n)/n 1 1 1.1429 200 0 0. Como pode ser visto. Uma placa no formato de um disco circular tem temperaturas 0 1 de contorno de 0 na metade esquerda de sua circunferência e de 1° na metade direita de sua circunferência. t(4) e t(5) do sistema linear da 2.3 com nove pontos de malha interiores [Equação que as temperaturas exatas nos quatro pontos de malha (2)] escolhendo a iterada inicial são t1  t3  0.000 0 0.8250 4 0 1.11.8000 3 1 1.7860 10 0 1. a convergência ao valor exato não é muito rápida.1 para encontrar a temperatura de equi- parte (a). Assim.8240 9 2 1. Qual é o “vetor erro” t(5)  t.1111 500 1 0. A última coluna dá a média acumulada das tem- peraturas de contorno encontradas ao longo dos n passeios aleatórios. Sobrepomos ao disco uma rede com quatro pontos de malha interiores (ver t1 t2 0 1 Figura Ex-1).7550. . Isso completa seu primeiro passeio aleatório. Para tra- calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. . . un. . 3. 2 0 4 5 3. j1  ui. yi )  u(i/n. defina você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. y) ao longo do contorno seja dada por u(x. 3. j  (ui1. Vá à flecha do agrupamento que tem esse número de linha 3 e coluna. . O passeio aleatório ilustrado na Figura Ex-4a pode ser descri. n  1 e j  1. 2 0 2 2. y)  TR . n. siga pelo t5 2 0 6 agrupamento de flechas como você faria para ler um livro 7 (da esquerda para a direita e de cima para baixo). Suponha dada a região quadrada descrita por R  {(x.614 Álgebra Linear com Aplicações 4. . 0)  TB . 1)  TT . 0  y  1} como a matriz (n  1) (n  1) que tem a matriz identidade e suponha que a distribuição de temperatura de equilíbrio n n no canto superior direito. u(x. . O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso com i  1. Calcule a média das 10 temperaturas de contorno registra- é um agrupamento 10 10 de 100 flechas orientadas alea. . Por exemplo. Se as temperaturas nos pontos de malha interiores forem denotadas por ui. (O valor exato é t5  0. do e zeros nas demais entradas. . como aparece na Tabela 2. n e j  0. Em geral. defina cada exercício. Registre  Figura Ex-4 a temperatura do ponto de malha de contorno. j  ui. j  TL . Em tar dos pontos de contorno. j  ui1. n  1 e j  1. .11 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos mostre que utilizando um recurso computacional. das. 3. .) toriamente. . sivos pontos de malha ao longo do passeio. . 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. . . 2. 4. . . Repita esse processo até completar ←↓→→↑→ 10 passeios aleatórios e registrar 10 temperaturas de con- que especificam as direções e sentidos de partida dos suces. Suponha. Agora computacional. 0  TB e ui. 3. 2. . esse recurso é ui. u(0. n  1. ui. você deverá ler a documentação pertinente do re- u0. . Tome os dois últimos dígitos do número do seu telefone. . Retorne ao ponto de malha interior rotulado t5 e comece to por seis flechas onde você parou no agrupamento de flechas. geradas por computador. Usando essa flecha como um ponto de partida.) Seção 10. Derive ou Mathcad. j1) MATLAB. y) | 0  x  1. . continue com a flecha do canto superior esquerdo. Proceda da seguinte maneira. Mathematica. 0 2 0 Use o último dígito para especificar a linha e o outro para 1 especificar a coluna. j  TR . mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma com i  1. n  1.7491. torno. gere seu pró- ximo passeio aleatório. Maple. 1. 2. Use essas flechas para determinar passeios aleatórios para aproximar a temperatura t5 . j  u(xi . Come. . 2. . Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. y)  TL e u(1. T1. um 1 no canto inferior esquer- u(x. 2. j/n) . (a) (b) no. (Se você chegou ao fim do agrupamento de flechas. . A Figura Ex-4b 5. tam- bém. que essa região tenha sido particionada numa malha (n  1) (n  1) usando com i  0. 2. mova-se de ponto de malha para 1 1 1 1 1 ponto de malha até alcançar um ponto de malha de contor. 2 0 çando no ponto rotulado t5 na Figura Ex-4a e usando a 8 sequência de flechas obtida para especificar uma sucessão 9 de direções e sentidos. 1. n  TT curso particular que estiver utilizando. u(0. 4. . j1) com i  1. 2. . .12. aproxi- das uij . escrito como a equação matricial sabendo que Un1  (Mn1Un1  Un1Mn1) u(x. 2. . . A Figura 10. 2. u(1. 2. 2. 3. . . n  1 pode ser Use um computador e esse algoritmo para resolver em u(x. 0)  0. Esses dados são processados por um computador e a seção transversal computada é exibida num monitor de vídeo. Continue esse processo até que seja. Escolha um valor de n e um palpite inicial. . y) no espaço tridi- mensional xyz em que z é a temperatura no ponto (x. A solução exata i  1. 5. 6 e. 3. . T3. y) | 0  x  1. compare seus resultados com os valores de dadas as condições de contorno u(i/6. [Observação: as entradas de esquina de uma matriz são as entradas nas primeira e última linhas e primeira e última colunas. . 3. y)  2 em que apenas consideramos aqueles elementos de Un1 com Escolha n  6 e calcule até chegar a . (c) Esboce várias curvas da temperatura como função de x 2. n  1 e j  1.12 Tomografia computadorizada Nesta seção. 2. 3. u(1. y) da distribuição de temperatura u(0. . j  ui1. PRÉ-REQUISITOS: Sistemas lineares Logaritmos naturais Espaço euclidiano Rn O problema básico da tomografia computadorizada é construir a imagem de uma seção transversal do corpo humano usando dados coletados por uma grande quantidade de fei- xes individuais de raios X que são emitidos ao longo da seção transversal. j1  ui. (d) Esboce várias curvas da temperatura como função de y com x mantido constante. Definindo a matriz (n  1) (n  1) em que Mn1 é a matriz definida no Exercício T1. Apresentamos uma técnica iterativa que fornece uma “solução aproximada” do sistema linear. n  1 e j  1. a matriz zero.] mostre que se Un1 for a matriz (n  1) (n  1) com entra. . 1. j/6) em . 1) = 0. . mostramos como a construção da imagem de um corte transversal de um corpo humano a partir da análise do escaneamento por raios X leva a um sistema linear inconsistente. y)  TL . j/6) com i. 10. j  (ui1. . . u(x. (a) Faça um esboço da superfície z  u(x. y)  TR descrita no Exercício T2. então. . Isso sugere que ui. 10. digamos seguinte. 3. . n  1. . 3. u(x. y) da região quadrada. Os resultados do exercício precedente e a discussão no texto sugerem o algoritmo seguinte para resolver a temperatura de equilíbrio na região quadrada R  {(x. . 3. pode ser expressa como T2. 1)  TT . então o conjunto de equações madamente. u(x. 0)  TB . calcule usando com y mantido constante. j  ui. 1. use um recurso gráfico para fazer o 1. (b) Esboce várias isotérmicas da distribuição de temperatura (que são as curvas do plano xy em que a temperatura é constante). y).12 Tomografia computadorizada 615 e assim por diante. Dado qualquer k  0. Usando a solução exata u(x. j  0.1 é um diagrama do sistema de tomografia computadorizada da . y)  0. Agora ajuste substituindo todas as entradas de esquina pelas entradas de esquina iniciais em . . 0  y  1} Use um computador para calcular u(i/6. No modo paralelo. podem ser usados para resolver es- ses sistemas lineares. por exemplo.4 Modo de leque. . A Figura 10. O primeiro sistema comercial de tomografia computadorizada para uso médico foi desenvolvido em 1971. Na máqui- na original de 1971.12.616 Álgebra Linear com Aplicações General Electric. eram tomadas 160 medidas paralelas ao longo de 180 Detector Conjunto de raios X de detectores de raios X Rotação Rotação Paciente Paciente Tra n sla Fonte de ç raios X ão Fonte de raios X  Figura 10.3 e 10.12.2 mostra uma seção transversal típica de uma cabeça humana produzida por esse método.  Figura 10.12.  Figura 10. M. um único par de fonte e de detector de raios X é transladado através do campo de visão que contém a seção trans- versal e é registrada uma grande quantidade de feixes paralelos. N. que são obtidas projetando os raios X perpendicularmente ao plano da imagem. Certos algorit- mos. o par fonte e detector é girado por um pequeno ângulo e é feito o registro de um novo conjunto de medidas. As Figuras 10. da classe de técnicas de reconstrução algébrica. da firma EMI. Hounsfield..12. Modos de escanear Ao contrário de imagens de raios X convencionais. Como veremos nesta seção. Depois de passar pela seção transversal. na Inglaterra. os tomógrafos são construídos a partir de mi- lhares de feixes finíssimos de raios X que ficam no plano da seção transversal. as intensidades desses feixes são medidas por um detector de raios X.2 fia requer a resolução de um sistema muito grande de equações lineares. e as mensurações são transmitidas a um computador para serem processadas. Ltd. de Tomografia Auxiliada por Computador.12.1 Um sistema desses também é conhecido pelas inicias em inglês CAT. cujas soluções produzem as seções transversais em formato digital.12.3 Modo paralelo. Cormack receberam o prêmio Nobel por seu trabalho pioneiro nessa área. por G. a construção de uma seção transversal ou uma tomogra-  Figura 10. mostrando um paciente preparado para ter uma seção transversal de sua cabeça escaneada por um feixe de raios X. Em seguida. Esse processo é repetido até alcançar o número de medidas desejado.4 ilustram dois modos possíveis de escanear a seção transver- sal: o modo paralelo e o modo de leque. Em 1979.12. Hounsfield e A. 6 mostra um único pixel sendo atravessado. Como os diversos tecidos humanos têm densidades de raios X diferentes.7). Quantitativamente.12 Tomografia computadorizada 617 ângulos espaçados de 1°. então o nú- mero de fótons saindo de um pixel é igual ao número de fótons entrando no próximo pixel O j-ésimo pixel Os fótons entrando Os fótons saindo  Figura 10. cada pixel sendo sombreado com um nível de cinza proporcional à sua densidade de raios X. No sistema da EMI. Para ver como a seção transversal é reconstruída a partir das muitas medidas de feixes. uma única fonte de raios X gera um leque de raios colimados cujas intensidades são medidas simultaneamente por uma coleção de detecto- res do outro lado do campo de visão. Cada escaneamento desses levava cerca de cinco minutos e meio.12. No sistema de tomografia computadorizada da General Electric.144 pixels dispostos num 1º i-ésimo feixe pixel arranjo de 512 512. Aqui o campo de visão no qual está situada a seção transversal foi dividido em muitos pixels quadrados (um pixel é um elemento pictográfico da figura Detector digitalizada) numerados de 1 a N.5 onde o “ln” denota a função logaritmo natural. foram usados 6. Depois de determinar as densidades dos pixels pelo método que descrevemos a seguir. A fonte e o conjunto de detectores são girados por muitos ângulos. Os fótons que constituem o feixe de raios X são absorvidos pelo tecido dentro do pixel numa taxa proporcional à densidade de raios X do tecido. por um feixe de raios X de aproximadamente a mesma largura do pixel.12.12.400 pixels dispostos num arranjo de 80 80. e um conjunto de medidas é tomado em cada ângulo até completar o escaneamento. a imagem no vídeo distingue claramente os diversos tecidos e órgãos na seção transversal. Usando a propriedade logarítmica ln(a/b)  ln(b/a). A Figura 10. que usa o modo de leque. de raios X dade dos raios X de cada pixel. 10.12. elas são reproduzidas num monitor de vídeo. O que queremos é determinar a densi. num sentido paralelo aos lados.800 medidas de intensidade de feixe.12. No modo de leque de escanear. O sistema da General Electric usa 262. cada escaneamento leva um segundo. também temos fração de fótons que passa pelo j-ésimo pixel sem ser absorvida Se o feixe de raios X passa por uma fileira inteira de pixels (Figura 10.6 no j-ésimo pixel do j-ésimo pixel O primeiro O segundo O terceiro O enésimo pixel pixel pixel pixel Os fótons entrando Os fótons saindo no primeiro pixel do enésimo pixel  Figura 10. como indicado.5. a densidade de raios X Enésimo do j-ésimo pixel é denotada por xj e é definida por pixel número de fótons entrando no j-ésimo pixel Fonte de j-ésimo raios X pixel número de fótons saindo do j-ésimo pixel  Figura 10. cada pixel medindo cerca de 1 mm da lado.7 . Dedução das equações considere a Figura 10. num total de 160 180  28.12. se o i-ésimo feixe passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels. . então temos xj1  xj2  · · ·  xji  bi Definindo podemos escrever essa equação como ai1x1  ai2x2  · · ·  aiNxN  bi (3) Vamos dizer que a Equação (3) é a i-ésima equação de feixe. Depois é executado um escaneamento clínico com a seção transversal no campo de visão. segue que x1  x2  · · ·  xn  bi Nessa equação.5. A densidade de feixe do i-ésimo feixe de um escaneamento é denotada por bi e é dada por número de fótons do i-ésimo feixe entrando no detector sem ter a seção transversal no campo de visão número de fótons do i-ésimo feixe entrando no detector com a seção transversal no campo de visão fração de fótons do i-ésimo feixe que passa pela seção transversal (2) sem ser absorvida O numerador da primeira expressão de bi é obtido executando um escaneamento de cali- bração sem ter a seção transversal no campo de visão. então. . então. As medidas que resultam no detec- tor são armazenadas na memória do computador. xn são densidades desconhecidas de pixel que devem ser determinadas. a densidade bi é conhecida pelas medidas de calibração e clínicas que são feitas. sendo calculadas todas as densidades bi e os valores armazenados para processamento adicional. pela propriedade aditiva da função logarítmica. . Mais geralmente. . considere o feixe de raios X da Figura 10. .12. . das Equações (1) e (2). temos número de fótons entrando no j-ésimo pixel número de fótons saindo do enésimo pixel fração de fótons que passa pela fileira de pixels sem (1) ser absorvida Assim. . Se esses pixels são numerados 1. ji . j2 . simplesmen- te somamos as densidades dos pixels individuais. para determinar a densidade de raios X total de uma fileira de pixels. . x2 . 2. . . Para cada feixe que passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels. n. . se o i-ésimo feixe passa paralelo por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de pixels numerados j1 . .618 Álgebra Linear com Aplicações na fileira. Em seguida. devemos ter fração de fótons do fração de fótons do feixe que passa pela feixe que passa pela fileira de pixels sem seção transversal ser absorvida sem ser detectada Assim. . e x1 . em que M N. Consideremos o assim chamado caso sobredeterminado. no qual há mais feixes no escaneamento do que pixels no campo de visão. temos um sistema linear de M equações (as M equações de feixe) em N in- cógnitas (as N densidades de pixel).12.8 Usando qualquer um dos três métodos para definir os ai j na i-ésima equação de feixe. Lendo de cima para baixo. Devido aos erros experimentais e de modelagem inerentes ao problema. 10. Dependendo do número de feixes e de pixels usados. os feixes de um escaneamento não necessariamente passam paralelos por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de pixels. M  N ou M  N.12. que. um feixe típico passa diagonalmente por cada pixel em seu cami- nho. tentamos encontrar uma solução “aproximada” para esse sistema linear. podemos escrever o conjunto de M equações de feixe de um escaneamento completo como (4) Desse modo. Na próxima seção. . Na Figura 10. não deveríamos esperar que o nos- so sistema linear tivesse uma solução matemática exata para a densidade dos pixels. podemos ter M N. cada um dos quais reduz a quantidade aij à definição dada acima quando o feixe passa paralelamente por uma linha ou coluna de pixels.5 vemos entretanto.8 delineamos três métodos para definir as quantidades aij que aparecem na Equação (3). O método do centro do pixel O i-ésimo feixe 1 se o i-ésimo feixe passa pelo centro aij = do j-ésimo pixel 0 caso contrário O j-ésimo pixel O método da reta central Comprimento da reta central comprimento da reta central do i-ésimo feixe aij = que fica no j-ésimo pixel largura do j-ésimo pixel Largura do pixel O método da área A área no A área no numerador denominador área do i-ésimo feixe que fica no j-ésimo pixel de aij de aij aij = área do i-ésimo feixe que ficaria no j-ésimo pixel se o i-ésimo feixe atravessasse o j-ésimo pixel paralelamente aos lados  Figura 10. Há muitas maneiras de lidar com isso. Em vez disso.12 Tomografia computadorizada 619 Olhando para a Figura 10. mas apresenta maior dificuldade computacional. cada método é mais exato que o anterior.12. na terceira x1 rodada.9a.12. L2 Como indicamos na Figura 10. x3(3). Primeiro expressamos a equação a1x1  a2x2  b L3 L1 (c) da reta no espaço x1x2 em forma vetorial por a xb T  Figura 10. L2 e L3.12. x1 Algoritmo 1 L3 L1 Passo 0. Escolhemos algum ponto inicial x0 arbitrário. x3(2). x*1 A seguir.9b). x2) do tri- x1 – 2x2 = –2 ângulo sombreado delimitado por essas três retas estão todos situados “perto” dessas três retas e podem ser considerados como sendo soluções “aproximadas” de nosso sistema. a x2* Ciclo limite segunda converge a um ponto x2* de L2 e a terceira a um ponto x3* de L3 (Figura 10. (5) x2 3x1 – x2 = 3 As retas L1 . L3 determinadas por essas três equações estão esboçadas no plano x1x2 . de x1 + x2 = 2 modo que as três equações não têm um solução exata. respectivamente. Na segunda rodada. estudamos as fórmulas específicas necessárias para aplicar a projeção orto- x1 gonal do Algoritmo 1. (1) Passo 2. Esse algoritmo gera três sequências de pontos L3 L1 (b) x2 L2 que estão nas três retas L1 . em 1937. Projetamos x1 ortogonalmente sobre a segunda reta L2 e denotamos essa pro- L2 (1) jeção por x2 . por x1(3). Kaczmarz. Projetamos x0 ortogonalmente sobre a primeira reta L1 e denotamos essa proje- ção por x1(1). foi o método utilizado na primeira máquina comercializada. a primeira sequência converge a um ponto x1* de L1. O expoente (1) indica que essa é a primeira de uma sucessão de rodadas x2 x0 do algoritmo.12. (a) Passo 1.9 . Para introduzir essa técnica. Tomamos x3 como o novo valor de x0 e repetimos a rodada de passos de 1 a x(2) 1 3. x2(2). Pode ser mostrado que. Pode ser mostrado que o ciclo limite independe do ponto inicial x0. as três retas não têm uma interseção comum. que pode ser visto como derivado de uma técnica iterativa introduzida originalmente por S. x3* Esses três pontos limite formam o que se denomina um ciclo limite do processo iterativo. O procedimento iterativo seguinte descreve uma construção geométrica para gerar pontos na fronteira dessa região triangular (Figura 10. considere o sistema de três equações em duas incógnitas seguinte. x(1) 1 x2 (2) (1) Passo 3. x2(3). (1) (1) x 2 x(1) 3 Passo 4. O algébrica que iremos descrever pertence a uma assim chamada classe de Técnicas de Reconstru- ção Algébrica (TRA). os pontos (x1 .620 Álgebra Linear com Aplicações Técnicas de reconstrução Muitos foram os algoritmos desenvolvidos para tratar o sistema sobredeterminado (4).9c). L2 . Contudo. Projetamos x2 ortogonalmente sobre a terceira reta L3 e denotamos essa pro- (1) x(2) 3 jeção por x3 .12. e assim por diante. Esse método. sempre que as três retas não forem paralelas. denotamos os pontos projetados por x1(2). 22400 (4) x1 1.09092 0.1.92000 x2(3) 0.44000 Usando certas técnicas que são impraticáveis para sistemas lineares muito grandes.22760 (5) x1 1.90800 x2(4) 0.00000 onde p  1 para a primeira rodada de iteração. Ao fim de cada ciclo de iterações. usando o Teorema 10.40920 1.90908 e x3(6) decorre da natureza artificial desse exemplo ilustrativo. Então a projeção ortogonal xp de x* sobre L é dada por xp x1 L  E X E M P L O 1 Usando o Algoritmo 1  Figura 10. TEOREMA 10. na sexta rodada do algoritmo.12.10).9. x3 1.20000 0.41818 x3(6) 1.42000 1.)  .88000 1.41816 ção do ciclo limite.40908 1. x2(6) x1 (6) 1.12 Tomografia computadorizada 621 onde O teorema a seguir dá a fórmula necessária da projeção (Exercício 5).22724 uma solução aproximada do sistema linear.10 Podemos utilizar o Algoritmo 1 para obter uma solução aproximada do sistema linear dado em (5) e ilustrado na Figura 10.41600 (3) x3 1. Essas discrepâncias seriam x2(6) 0. x3 (1) 1.08000 0.12.80000 ponto inicial x0  (1. 10. Escrevendo as equações das três retas como em que então.20000 mos o ciclo seguinte com x0(p1) tomado como x3(p).26000 (3) podemos mostrar que os valores exatos dos pontos do ciclo limite desse exemplo são x1 1.41840 x3(4) 1. p  2 para a segunda rodada de iteração e x1 (1) 0.00000 2.12.90920 Pode ser observado que.09080 0.12. (A grande discrepância nos valores de x1(6). Qualquer uma das três iteradas x1(6).83632 1.83680 1. x2(1) 0.30000 0.09200 0. x2(5) 0.83200 1. ou seja.40800 1.22728 muito menores em problemas práticos.83637 1. depois de calcular x3(p). obtemos uma excelente aproxima.1 Fórmula da projeção ortogonal x2 x* Sejam L uma reta em R2 de equação aT x  b e x* um ponto qualquer de R2 (Figura 10.12.00000 3. 3). inicia. podemos expressar o esquema iterativo do Algoritmo 1 como Tabela 1 x1 x2 x0 1. x2(2) (2) 0.00000 assim por diante. x2(6) ou x3(6) pode ser usada como x3(5) 1.40909 1.90000 A Tabela 1 dá o resultado numérico de seis rodadas de iterações começando com o x1 (2) 1.40000 1. M. Com esses vetores. . Em geral. ao final de cada rodada. M T Cada uma dessas M equações define o que é chamado um hiperplano no espaço euclidia- N no R de dimensão N. Escolhemos algum ponto x0 arbitrário em RN. 2. Consequentemente. esses hiperplanos não têm interseção comum e. . portanto. xM(3). . tomamos p  1. introduzimos os vetores coluna x e ai como segue. A iterada xk(p) no Passo 2 é denominada projeção ortogonal de x(p) k1 sobre o hiperplano aTk  bk . esse algoritmo determina uma sequência de projeções ortogonais de um hiperplano sobre o seguinte até chegar ao último hiperplano quando. calculamos Passo 3. retornamos ao primeiro hiperplano. é esco- lhida uma das iteradas xM(p). a2 . . procuramos um ponto que esteja “razoavelmente” próximo de todos. aM gerarem o RN. . . Aumentamos o número da rodada p por 1 e retornamos ao Passo 2. como no caso bidimensional. Como no caso bidimensional. Denotamos x0(p1)  xM(p). as M equações que constituem o sistema linear (6) podem ser escritas em formato vetorial como a i x  bi . . . Passo 1. . Algoritmo 2 Passo 0. (1) que não depende da escolha do ponto inicial x0. Denotamos essas sucessivas iteradas por a iterada pertencente ao k-ésimo hiperplano gerada durante o p-ésimo ciclo de iterações O algoritmo é o seguinte. . com p suficientemente grande. Passo 2. então as iteradas xM . xM(2). i  1. Na tomografia computadorizada. . . Passo 4. Para a primeira rodada. como uma solução aproximada do sistema linear para as densidades de pixel. no M-ésimo hiperplano convergem a um ponto xM* naquele hiperplano. 2. Um tal ponto será uma solução aproximada do sistema linear. e suas N entradas determinarão densidades de pixel aproximadas com as quais formamos a seção transversal procurada. . Pode ser mostrado que. . introduzimos um processo iterativo que gera ciclos de sucessivas projeções ortogonais sobre os M hiperplanos a partir de um ponto inicial arbi- trário em RN. Com k  1. .622 Álgebra Linear com Aplicações Para generalizar o Algoritmo 1 de tal modo que possa ser aplicado a sistemas sobre- determinados (6) de M equações em N incógnitas. se os vetores a1 . . a quantidade escalar a k ak que aparece na equação do Passo 2 do algoritmo é simplesmente o número de pixels nos quais o k- -ésimo feixe passa pelo centro. nos sistemas comerciais.11 Concluímos esta seção observando que a área de tomografia computadorizada é. (Nos Exercícios 7 e 8.12 Tomografia computadorizada 623 T Observe que.12. Quando for alcançado o último feixe do escaneamento.79 b10 = 7. 10.00 b10 = 10. retornamos ao primeiro feixe e continuamos. uma área de pesquisa bastante ativa. atualmente. (p) (p) mas depois disso dá as iteradas somente de x12 com vários valores de p. A tabela dá os valores de cada uma das iteradas da primeira rodada.00 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 b1 = 13. com 12 feixes cujas densidades de feixe são medidas e indicadas na figura.00 b6 = 3. Contudo. Es- colhemos o método do centro de pixel para montar as 12 equações.31 b10 = 16. todas as novas técnicas remontam ao mesmo problema matemático básico: encontrar uma boa solução aproximada de um sistema sobredeterminado e inconsistente constituído de uma grande quantidade de equações lineares. Analogamente.13 b4 = 14.  E X E M P L O 2 Usando o Algoritmo 2 Podemos usar o Algoritmo 2 para obter as densidades de pixel desconhecidas dos 9 pixels que estão dispostas na Figura 10.51 b5 = 14.00 b7 = 18. As iteradas x12 começam a se repetir até duas casas decimais com p  45.12. note que a quantidade escalar bk  a k x k1 T (p) naquela mesma equação pode ser interpretada como o excesso de densidade do k-ésimo feixe que resulta se as densidades de pixel forem tomadas como sendo iguais às entradas de x(p) k1. Na verdade.81 b9 = 6. . o esquema de TRA discu- tido aqui já foi substituído.11.) Como pode ser conferido.04 1 2 3 b3 = 8. por técnicas mais sofisticadas. Esses 9 pixels são escaneados.  b8 = 12. usando o modo paralelo. x1(1) até x12 (1) .00 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 b2 = 15. de modo que tomamos as en- tradas de x(45) 12 como um valor aproximado das 9 densidades de pixel. pedimos para o leitor montar as equações de feixe usando o método da reta central e o da área. que são mais rápidas e fornecem uma visão mais acurada da seção transversal. Isso fornece a seguinte interpretação do nosso esquema de iteração do tipo TRA para o método do centro de pixel: geramos a densidade de pixel de cada iterada distri- buindo o excesso de densidade de feixe de sucessivos feixes do escaneamento de maneira uniforme entre aqueles pixels nos quais o feixe passa pelo centro. para o método do centro de pixel. as equações de feixe são A Tabela 2 ilustra os resultados do esquema iterativo começando com uma iterada inicial x0  0.00 7 89 7 8 9 78 9  Figura 10. 16 4.49 5.26 7.00 5.11 7.30 5.20 x(1) 9 0.82 (5) x12 1.14 7.00 0.38 0. podemos efetuar um ciclo comple- to de três projeções ortogonais num único passo.37 4. .00 0.00 0.00 0.33 (1) x4 2.49 4.26 (40) x12 1.13 4. [Observação: usando esse par de equações. 2.52 1.33 x(1) 0.67 5.00 0.22 2.67 2.00 5.00 0.74 3.34 7.32 2. xk2 ).49 4.33 4.10 4.76 3.00 4.87 5.85 (10) x12 1.00 5.52 4.13 4. x02 )  x0(1).33 4.58 7.83 5.48 5.71 4. Resolva esse sistema linear em x*3  (x*31.67 2.44 2.03 2.33 0.16 4.42 1. x32 mulas da TRA descritas neste exercício são impraticáveis .05 6.83 5.05 6. [Observação: as simplificações das fór- )  (x31 ) com p  1.14 7.39 2.49 6.29 2.71 (1) x6 0.49 5.00 5.00 x(1) 1 0.25 7.31 (45) x12 1.67 2.33 4.37 5.05 7.44 5.33 4.05 6.49 5.22 6.32 0.60 5.62 1.65 3.67 2.67 2.22 0.49 0.02 6.00 0.00 5.70 7.44 5.67 3. (p1) (p1) (p) (p) em que (x01 .49 4.49 4.71 6.10 4.00 5.93 2.96 (20) x12 1.84 4.20 (1) x8 0.56 3.77 6.32 Conjunto de exercícios 10.68 0.04 3.71 4.22 2.02 6.71 (1) x5 2.] (c) Como x3(p) tende ao ponto limite x3* quando p → .75 3.00 0.31 2.31 0.45 3. x32 )  (x01 (1) (1) .55 5.33 4.00 0.15 7.51 4.37 2.82 0.69 4.49 4. x02 .49 0.06 0.00 0.43 7.11 6.49 0.49 5.85 3.87 4.00 0.58 x(2) 12 2.93 2.10 4.29 6.33 2.12 1.25 6.03 1.00 5.33 4.20 (1) x11 1.59 1.34 2.49 6.13 4.79 3.49 4.86 (4) x12 1.00 0.83 6.00 4.04 6.37 5.03 0.67 5.79 0.71 4.49 0.15 7.22 6.06 0.20 x(1) 10 0.37 3.00 4.49 3.00 0. (a) Escrevendo xk(p)  (x(p) (p) k1 .71 1.59 5.31 0.84 4.15 (30) x12 1.33 Primeira rodada de iterações 2 x(1) 3 2.61 (3) x12 1.59 1.624 Álgebra Linear com Aplicações Tabela 2 Densidades de pixel x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 0.11 6.58 (1) x12 1.02 7.00 0.30 5.73 1.71 (1) x7 0.37 7. .87 5. mostre que as três equações (b) Mostre que os três pares de equações na parte (a) podem de projeção ser combinados para produzir das três retas da Equação (5) podem ser escritas como em que (x31(0) (0) .16 2. as equações na parte (b) ficam quando p → . x*32).11 6.30 5.33 4.49 5.00 7.48 2.77 5.00 0.19 7.61 7.10 5. .78 0.62 1.93 2.00 5.77 5. . acontecer e se for utilizado o método do centro do pixel. . 7.12. determine os três pontos do ciclo limite. . soluções. xp  x* é paralelo a a). (a) Mostre diretamente que os pontos (b) o vetor xp  x* é ortogonal à reta aT x  b (ou seja. . Usando o desenho obtido. mostrando que (c) x0  (148. esse recurso é Isso leva a MATLAB. efetue várias roda- 2. 1) 5. T1. Faça um dese- problemas reais de tomografia computadorizada. dado por exercícios. As retas Seção 10. 1. akx  bky  ck Utilize esse algoritmo para aproximar a solução do sistema com k  1. Construa as 12 equações de feixe do Exemplo 2 usando o [Observação: cada parte deste exercício mostra que as método da área e supondo que tanto a largura de cada feixe projeções ortogonais de qualquer ponto do ciclo limite quanto a distância entre as retas centrais de feixes adjacentes ficam girando indefinidamente pelo ciclo limite. 8. Como foi afirmado no texto. . 0). x3(6) do Exemplo 1 com até cinco casas decimais. .9c).12 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos em i. as iteradas xM(1). 3. . 6. 10. x3(2). n (e n 2). Mathematica. . mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. Construa o centro geométrico desses pontos. . Prove o Teorema 10. . 3. xM(2). n e i  j para obter soluções únicas.12 Tomografia computadorizada 625 para os sistemas lineares grandes que aparecem em do plano x1x2 não têm uma interseção comum. . Em geral. aT xp  b) e 3. . . que denotamos por Em cada exercício. se isso pendiculares a essas retas (Figura 10 12. (a) x0  (0. do com o ponto inicial x0  (0. . Dado o conjunto de equações e use-o como a solução aproximada do sistema original. 0) (b) x0  (1. considere o algoritmo se- guinte para obter uma solução aproximada do sistema. mostre o centro de cada um dos N pixels do campo de visão é atraves- que se . recurso computacional. L2 e L3 e cujos lados são per- se os vetores a1 . . Use o resultado do Exercício 1(b) para encontrar os vetores das da projeção ortogonal descrita no Algoritmo 1. a2 . defi- do ciclo limite do Exemplo 1 formam um triângulo cujos nidas no Algoritmo 2 convergem a um único ponto limite xM* vértices estão nas retas L1 . yij ) recurso particular que estiver utilizando. j  1. . usando os pontos iniciais seguintes. 15) (a) o ponto xp definido no teorema é um ponto da reta aT x  b (ou seja. Uma vez dominadas as técnicas nestes 2. então sado pelo menos por um dos M feixes do escaneamento. . aM gerarem o RN. Mostre que. . graficamente. Maple. 2. você deverá ler a documentação pertinente do (xij .] nho preciso das três retas e. você estará capacitado a usar seu recurso computacio- nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí- cios regulares. . . utilizando um recurso computacional. então (b) Usando as equações obtidas no Exercício 1(a). 4. n e i  j. . j  1. . Construa as 12 equações de feixe do Exemplo 2 usando o método da reta central e supondo que a distância entre as retas centrais de feixes adjacentes seja igual à largura de um único pixel. Derive ou Mathcad. 2. O objetivo destes exer- cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu com i. . 2.] sejam iguais à largura de um único pixel. 3. Resolva todos os possíveis pares de equações ai x  bi y  ci e aj x  bj y  cj e compare o resultado com o obtido nesta seção. xM(3). começan- x3(1). .1. n (e n 2). denominados fractais. são atualmente o foco de muita pesquisa matemática e científica.13. montanhas. . . litorais. utilizamos certas classes de transformações lineares para descrever e gerar conjuntos intrincados no plano euclidiano. Também vamos contar com a percepção intuitiva do leitor para distinguir entre conjuntos sobrepostos e não sobrepostos. Se T : R2 → R2 for o operador linear que modifica a escala pelo fator s (ver Tabela 7 da Seção 4. Hoje. y*) que minimiza essa função.5). esses conjuntos. começaram a aparecer vários conjuntos de pontos do plano euclidiano que eram bizarros e estranhos. descrevemos brevemente certos tipos de fractais no plano euclidiano R2.13 Fractais Nesta seção. denominados frac- tais. Dados um ponto (␣. Muito dessa descrição é devido a dois matemáticos. reconhecemos que eles revelam uma regularidade em fenômenos físicos e biológicos que anteriormente eram descartados como “aleatórios”.2). o conjunto forma- do pelas imagens dos pontos de Q por T. Mandelbrot e Michael Barnsley. .13. Esses conjuntos. Dois conjuntos em R2 são ditos congruentes se pudermos fazê-los coincidir exatamente usando translações e rotações apropriadas do plano (Figura 10. 10. os fractais estão ao nosso redor nos formatos de nuvens. PRÉ-REQUISITOS: Geometria de operadores lineares de R2 (Seção 4. ␤) e a reta ai x  bi y  ci . obtemos o ponto que está mais próximo de cada uma dessas e compare o resultado com o obtido nesta seção. Nesta seção.13.626 Álgebra Linear com Aplicações T2. Benoit B. precisamos introduzir alguma terminologia relati- 2 2 va a conjuntos em R . . “com ruído” ou “caóticos”. Por exemplo. (Requer cálculo) Dado o conjunto de equações retas.9) e Q for um conjunto em R2. y) por Aplique esse algoritmo ao sistema e determinando o ponto (x*. a distância desse ponto à reta é dada por e Definindo uma função f(x. Dizemos que um conjunto em R é limitado se puder ser englobado num círculo suficientemente grande (Figura 10. árvores e samambaias. Mostre que x* e y* são soluções do sistema ak x  bk y  ck com k  1. é denominado uma dilatação do conjunto Q se s 1 e uma contração de Q se 0  s  1 (Figura 10. Em ambos os casos. confor- me ilustrado na Figura 10. 3. ambos pesquisadores ativos nessa área. no sentido de soma de mínimos quadrados. considere o algoritmo de mínimos quadrados seguinte para obter uma solução apro- ximada (x*.13.13. dizemos que T(Q) é uma homotetia de Q de fator s. .11) Espaço euclidiano Rn Logaritmos naturais Compreensão intuitiva de limites Fractais no plano euclidiano Na Matemática do final do século XIX e do início do século XX. estão crescendo rapidamente em importância. Conjuntos autossimilares Para começar nosso estudo de fractais. Embora tenham sido considerados curiosidades matemáticas.4. 2. e dizemos que um conjunto é fe- chado se contiver todos os seus pontos de fronteira (Figura 10. y*) do sistema. ou seja. então o conjunto T(Q).3).1). 13.4 y y  Figura 10.13.13. . defini- mos um conjunto autossimilar em R2 como segue. um segmento de reta é um conjunto autossimilar com k  2 e .  E X E M P L O 1 Segmento de reta (a) Um segmento de reta em R2 (Figura 10. S2 . Se S for um conjunto autossimilar.13.2 Os pontos de fronteira (linha x mais forte) fazem parte do conjunto.13. então dizemos que (1) é uma decomposição de S em conjuntos congruentes não sobrepostos. separamos ligeiramente os dois segmentos de reta para facilitar sua visualização. cada um dos quais é con- gruente à contração de S de mesmo fator s (0  s  1). . .13.1 por um círculo englobado por círculos y y y Conjunto x fechado (a) Conjuntos sobrepostos x Conjuntos congruentes y  Figura 10. Os tipos de fractais que consideramos inicialmente são autossimilares. Na Figura 10. .6 . 10.6b. Em geral.  Figura 10. S3 .13 Fractais 627 y Círculo que y engloba Conjunto limitado Conjunto ilimitado x x (a) Um conjunto englobado (b) Esse conjunto não pode ser  Figura 10. Desse modo. 2 DEFINIÇÃO 1 Um subconjunto fechado e limitado do plano euclidiano R é dito au- tossimilar se puder ser descrito da forma S  S1 艛 S2 艛 S3 艛 · · · 艛 Sk (1) em que S1 . Cada um desses dois segmentos menores é congruente à contração do segmento original pelo (b) fator . Sk são conjuntos não sobrepostos.13.6b).5 x x Uma contração de Q.6a) pode ser expresso como a união de dois segmentos de reta congruentes e não sobrepostos (Figura 10.3 y y x (b) Conjuntos não sobrepostos Q T ( ) x s 0 = 0 s x T(Q)  Figura 10.13.  Figura 10.13. Desse modo.628 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 2 Quadrado Um quadrado (Figura 10.9b).13.8a foi descrito primeiro pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski (1882–1969). esse conjunto é um conjunto autossimilar com k  8 e . cada um dos quais é con- gruente à contração do conjunto original pelo fator . um quadrado é um conjunto autossimilar com k  4 e . o padrão intrincado de triângulos dentro de triângulos continua para sempre em escala cada vez menor. onde de novo separamos ligeiramente os quatro quadrados.13.13.13.7a) pode ser expresso como a união de quatro quadrados con- gruentes e não sobrepostos (Figura 10.13.7b).8b). Como ocorre com o tapete de Sierpinski. Esse conjunto pode ser expresso como a união de oito subconjuntos congruentes e não sobrepostos (Figura 10.  (a) (b)  Figura 10. Cada um dos quatro quadrados é congruente à contração do quadrado original pelo fator .5. Essa diferença será explorada mais adiante.7 (a) (b)  Figura 10.13. (b)  Figura 10.8  E X E M P L O 4 Triângulo de Sierpinski A Figura 10. Dimensão topológica de um Na Seção 4.9 O tapete e o triângulo de Sierpinski têm uma estrutura mais complexa que o segmento de reta e o quadrado.13. (a)  E X E M P L O 3 Tapete de Sierpinski O conjunto sugerido na Figura 10.13. pois exibem um padrão repetido indefinidamente. Desse modo.9a ilustra um outro conjunto devido a Sierpinski.13. definimos a dimensão de um subespaço de um espaço vetorial como o conjunto número de vetores de uma base e descobrimos que essa definição coincide com nossa . Esse conjunto é um conjunto autossimilar com k  3 e (Figura 10. Note que o padrão intrincado de quadrados dentro de quadrados continua para sempre em escala cada vez menor (embora isso somente possa ser sugerido por uma figura como a dada). mas não os dois últimos. n Pode ser provado que a dimensão topológica de um conjunto em R é um número inteiro entre 0 e n. ambos o tapete e o triângulo de Sierpinski têm tantos “buracos” que mais parecem estruturas de redes de segmentos de retas do que regiões do plano e. Assim. a origem em R2 tem dimensão zero. devemos apresentar alguns fatos sobre a dimensão de Hausdorff de um conjunto. contraindo um segmento de reta pelo fator . Conjunto S dT (S) Segmento de reta 1 1 Quadrado 2 2  E X E M P L O 5 Dimensão topológica de conjuntos Tapete de Sierpinski 1 1 A Tabela 1 dá a dimensão topológica de cada um dos conjuntos estudados nos exemplos Triângulo de Sierpinski 1 1 anteriores. Antes de passar aos exemplos. Neste texto. como segue. o matemático alemão Felix Hausdorff (1868–1942) deu uma definição alterna. . Essa definição de dimensão é um caso especial de um conceito mais geral denominado dimensão topo- lógica. para conjuntos autossimilares. “ln” denota a função logaritmo natural. A Equação (2) também pode ser escrita como (3) na qual a dimensão de Hausdorff dH(S) aparece como um expoente. DEFINIÇÃO 2 A dimensão de Hausdorff de um conjunto autossimilar S do formato (1) é denotada por dH(S) e é definida por (2) Nesta definição. reduz-se a algo bem simples. sua medida) decresce por um fator dH(S).13 Fractais 629 ideia intuitiva de dimensão. um conjunto autossimilar mas. ou seja. dT (S)  dH (S). denotamos a dimensão topológica de um conjunto S Tabela 1 por dT(S). sua medida (comprimento) diminuirá por um fator . que é aplicável a subconjuntos de Rn que não necessariamente são subespaços. A Fórmula (3) é mais útil para interpretar o conceito de dimensão de Hausdorff. inclusive. Embora essa definição fuja do escopo deste texto. • uma região em R2 tem dimensão topológica dois. Sua definição é bastante complicada. Enunciado informalmente. mais corretamente. que. portanto. • uma curva em R2 tem dimensão topológica um. as retas pela origem são unidimensionais e o espaço R2 todo é bidimensional. sua medida (área) diminuirá pelo fator . • A dimensão de Hausdorff de um conjunto não precisa ser um número inteiro. Por exemplo. e con- traindo uma região quadrada pelo fator . • As dimensões topológica e de Hausdorff de um conjunto não precisam coincidir. Os primeiros dois resultados dessa tabela são intuitivamente evidentes. podemos enunciar infor- malmente que • um ponto em R2 tem dimensão topológica zero. Uma definição precisa desse conceito é estudada numa área da Matemática denominada Topologia. essa fórmula diz. 10. então sua área (ou. A prova disso não é nada fácil. • A dimensão topológica de um conjunto é menor do que ou igual a sua dimensão de Hausdorff. se contrairmos um conjunto autossimilar pelo fator s  . Dimensão de Hausdorff de n tiva para a dimensão de conjuntos arbitrários de R . têm dimensão topológica igual a um.  Em 1919. por exemplo. veremos adiante que a recí- proca não é verdadeira. Semelhanças Vejamos. . DEFINIÇÃO 3 Um fractal é um subconjunto de um espaço euclidiano cujas dimen- sões de Hausdorff e topológica não são iguais. . mas são desiguais no tapete e no triângulo de Sierpinski. somente utilizamos semelhanças contrativas. Segue da definição precedente que um conjunto cuja dimensão de Hausdorff não for um número inteiro deve ser um fractal (por quê?). uma semelhança é composta de três aplicações mais simples: uma mudança de escala de fator s. Triângulo de Sierpinski 3 ln 3/ln 2  1. A Figura 10. Começamos com uma definição. Essa abordagem também conduz a algoritmos que podem ser explorados para desenhar fractais com computadores. DEFINIÇÃO 4 Uma semelhança de fator (de escala) s é uma aplicação de R2 em R2 da forma em que s. é possível um fractal ter dimensão de Hausdorff inteira. . com o que queremos dizer que o fator s da mudança de escala está restrita ao intervalo 0  s  1. como algumas técnicas de Álgebra Linear podem ser usadas para gerar fractais. vemos que as dimensões de Hausdorff e topológica coin- cidem no segmento de reta e no quadrado. o tapete e o triângulo de Sierpinski são fractais.  Fractais Comparando as Tabelas 1 e 2.630 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 6 Dimensão de Hausdorff de conjuntos A Tabela 2 dá a dimensão de Hausdorff de cada um dos conjuntos estudados nos exem- plos anteriores.10 ilustra o efeito de uma semelhança sobre o quadrado unitário U.13. ␪. Geometricamente. quando nos referirmos a semelhanças. De acordo com essa definição. enquanto o segmento de reta e o quadrado não são fractais. Consequentemente.584 . Benoit B. agora. Contudo.892 . em 1919). Mandelbrot indicou que conjuntos nos quais a dimensão topológica e a de Hausdorff diferem devem ser bem complicados (como Hausdorff já havia sugerido antes. Nas nossas aplicações a fractais. Em 1977. uma rotação em torno da origem pelo ângulo ␪ e uma trans- lação (com e unidades na direção x e f unidades na direção y). Tabela 2 Conjunto S s k Segmento de reta 2 ln 2/ln 2  1 Quadrado 4 ln 4/ln 2  2 Tapete de Sierpinski 8 ln 8/ln 3  1. . Mandelbrot propôs denominar tais conjuntos de fractais e ofereceu a definição seguinte. . ou seja. sempre estaremos pensando em semelhanças sujeitas a essa restrição. e e f são escalares. 11 (6) . Na Figura 10. 0) (4) (a) ambas com s  e ␪  0.12a) e as quatro seme. 1) s T(U) U 1 ␪ (Rotação) (e. 0) S (1.13. 0) T1(S) T2(S) 1 Consideremos o quadrado unitário U do plano xy (Figura 10. (0.0 ) (1. 10. 1) (Mudança de escala) (0. T1 transforma o segmento de reta S no segmento menor T1(S) e T2 transforma o segmento de reta S no segmento menor e não sobreposto T2(S). . S2 . A semelhança T1 transforma U no quadrado menor T1(U) e a semelhança T2 transforma U no quadrado menor T2(U). ou seja. 0) lhanças a seguir. .13. o quadrado. . Se T : R2 → R2 for uma semelhança de fator s e se S for um conjunto fechado e limitado em R2. . Pela definição de conjuntos autossimilares em R2. 0) (a) O quadrado unitário (b) A imagem do quadrado  Figura 10. A união desses dois segmentos de reta menores e não sobrepostos é precisamente o segmento de reta original S. Nos exemplos seguintes.11a). sabemos que um conjunto fechado e limitado S em R2 é autossimilar se puder ser dado da forma S  S1 艛 S2 艛 S3 艛 · · · 艛 Sk em que S1 .13. 1) (1. o tapete e o triângulo de Sierpinski. 12 ) S  T1(S) 艛 T2(S) (5) T1(U) T2(U) x  E X E M P L O 8 Quadrado (0. 1)  E X E M P L O 7 Segmento de reta O nosso segmento de reta em R2 será o segmento de reta S ligando os pontos (0.13 Fractais 631 y y (1. cada um dos quais é congruente à contração de S de mesmo fator s (0  s  1) [ver (1)]. Sk a partir de S para o y segmento de reta. .10 unitário por semelhança As semelhanças são importantes no estudo de fractais por causa do seguinte fato.13. f) x (Translação) x (0.11b. vamos obter as semelhanças que produzem os conjuntos S1 . 0) e (1. S2 . ( 2 . . S3 . . 0) (1. Sk são conjuntos não sobrepostos. mostramos o efeito dessas duas seme- y lhanças sobre o quadrado unitário U. (b)  Figura 10. então a imagem T(S ) do conjunto S por T é congruente à contração de S de fator s. todas com s  e ␪  0. 0) do plano xy (Figura 10. S3 . (0. Simultaneamente. Considere as duas semelhanças U U x (0.13. . 0) (1. 1) (1.0 ) (1.13. 0) As imagens de S por essas oito semelhanças são os oito conjuntos mostrados na Figura (b) 10.14a e as três semelhanças a seguir. 1) (1. 0) T2(S)  Figura 10. (10) . y y T7(S) (0. todas com s  e ␪  0. Assim. 0) S (1. 1) U  T1(U) 艛 T2(U) 艛 T3(U) 艛 T4(U) (7) é uma decomposição de U em quatro quadrados não sobrepostos que são congruentes à U contração de U pelo mesmo fator (s  ). todas com s  e ␪  0.12 S  T1(S) 艛 T2(S) 艛 T3(S) 艛 · · · 艛 T8(S) (9) é uma decomposição de S em oito conjuntos não sobrepostos que são congruentes à con- tração de S pelo mesmo fator (s  ).  Figura 10. y (8) (0.13 (a) (b)  E X E M P L O 1 0 Triângulo de Sierpinski Consideremos o triângulo de Sierpinski S encaixado no quadrado unitário U do plano xy. (0.13. 1) (1. 0) ( 2 . 1) T3(U) T4(U) em que os oito valores de são ( )0.13.13.12b. 0)  E X E M P L O 9 Tapete de Sierpinski (a) Consideremos um tapete de Sierpinski S sobre o quadrado unitário U do plano xy (Figura 10.13.13. U x (0. 12 T1(U) T2(U) x 1 (0. 1) T6(S) T8(S) T4(S) T5(S) T1(S) T3(S) x x (0.13b.632 Álgebra Linear com Aplicações y As imagens do quadrado unitário U por essas quatro semelhanças são os quatro quadrados mostrados na Figura 10.13a) e as oito semelhanças a seguir. conforme Figura 10. Assim. TEOREMA 10. . O conjunto S1 na figura é o resultado de aplicar a S0 as oito semelhanças Ti (i  1. Tk forem semelhanças contrativas de mesmo fator. não existe uma maneira simples de obter diretamente o conjunto S do teorema Algoritmos para gerar fractais precedente. . T2 .14 Nesses exemplos. T3(S).  y y (0. Em seguida. 0) (0. . . circundando um quadrado central vazio. se os conjuntos T1(S). T3(S). então S é autossimilar. .14b. S  T1(S) 艛 T2(S) 艛 T3(S) (11) é uma decomposição de S em três conjuntos não sobrepostos que são congruentes à con- tração de S pelo mesmo fator (s  ).  E X E M P L O 1 1 Tapete de Sierpinski A Figura 10. cada uma de lado com comprimento . Tk(S) são conjuntos não sobrepostos com S  T1(S) 艛 T2(S) 艛 T3(S) 艛 · · · 艛 Tk(S) (12) O teorema seguinte ataca o problema recíproco de determinar um conjunto autossimilar a partir de uma coleção de semelhanças.13. . . temos o conjunto S3. . 12 ) T2(S) T1(S) x x 1 (0. Esse conjunto S1 consiste nas oito regiões qua- dradas. então existe um único conjunto não vazio. T2(S). . agora. 0) ( 2 . . 0) (a) (b)  Figura 10. T3 . 2. T3 . 8) de (8) que determinam um tapete de Sierpinski.1 Se T1 . . Tk(S) forem não sobrepostos. aplicando as oito semelhanças a S2. . a sequência de conjuntos S1 . . . 0) (1.0 ) (1. Analogamente. “convergirá” a um conjunto S que é um tapete de Sierpinski. . . aplicamos as oito semelhanças a S1 e obtemos o conjunto S2 . 1) S U T3(S) (0. . .15 mostra o quadrado unitário S0 do plano xy que serve de conjunto “ini- cial” de um procedimento iterativo para a construção do tapete de Sierpinski. Continuando esse processo inde- finidamente. .  . Em geral. um procedimento iterativo que determina S a partir das semelhanças que o definem. T2 . começamos com um conjunto específico S e mostramos sua autos- similaridade encontrando semelhanças T1 . . 10.13 Fractais 633 As imagens de S por essas três semelhanças são os três conjuntos na Figura 10. fechado e limitado S do plano eucli- diano tal que S  T1(S) 艛 T2(S) 艛 T3(S) 艛 · · · 艛 Tk(S) Além disso. Assim.13. T2(S).13. . Primeiro damos um exemplo do procedimento e depois da- mos o algoritmo para o caso geral.13. S3 . . Descrevemos. S2 . 1) (1. . 1) (0. Tk de mesmo fator e tais que T1(S). 1) x (0. obtemos o conjunto S2 . Por exemplo.13.13. então o conjunto S1 na figura é o conjunto obtido aplicando cada uma das oito semelhanças de (8).15 Observação Embora devêssemos dar uma definição formal do que significa uma sequência de conjuntos “convergir” a um conjunto.16 .13. co- meçando com o conjunto S0 específico mostrado na Figura 10. 0) S0 S1 S2 S3 S4 S  Figura 10. poderíamos ter começado com qualquer conjunto não vazio S0 . Aplicando as oito semelhanças a S1.15 tenhamos começado com o quadrado unitário para chegar a um tapete de Sierpinski. Como antes.13. y (0. Embora na Figura 10. 1) x (0.634 Álgebra Linear com Aplicações y (1. A única restrição sobre o conjunto S0 é que ele seja fechado e limitado. 1) (0. uma interpretação intuitiva é suficiente para o nosso trata- mento introdutório.16. 0) (1. a aplicação indefinida das oito semelhanças produz um tapete de Sierpinski como conjunto limite. 0) (1. 0) S0 S1 S2 S3 S4 S  Figura 10. as quatro primei- ras iteradas S1 . Passo 1.17 mostra um conjunto arbitrário S0 não vazio. . que converge ao conjunto S do Teorema 10. 0) S0 S1 S2 S3 S4 S  Figura 10.  E X E M P L O 1 2 Triângulo de Sierpinski Vamos construir o triângulo de Sierpinski determinado pelas três semelhanças dadas em (10). . . S3 . S4 e o conjunto limite S (o triângulo de Sierpinski). . . Escolha um conjunto não vazio. . Calcule Sn  J(Sn1). . 1) x (0. Dadas semelhanças 2 contrativas T1 . Passo n.13 Fractais 635 O algoritmo geral ilustrado no exemplo precedente é o seguinte.1. definimos o conjunto J(Q) por J(Q)  T1(Q) 艛 T2(Q) 艛 T3(Q) 艛 · · · 艛 Tk(Q) O algoritmo a seguir gera uma sequência de conjuntos S0 . y (0. Algoritmo 1 Passo 0. Passo 3.13. Calcule S1  J(S0).13. e dado um conjunto Q qualquer em R .13. A aplicação de conjuntos correspondente é J(Q)  T1(Q) 艛 T2(Q) 艛 T3(Q). . 0) (1. fechado e limitado. fechado e limitado S0 qualquer em R2. Calcule S3  J(S2). Passo 2. S1 . . . Sn . Calcule S2  J(S1). T2 . .17 . T3 . 10. Tk de mesmo fator. A Figura 10. S2 . 0)  Figura 10. 0) 1 (0. Esses conjuntos foram gerados em computador usando o Algoritmo 1 para os valores de ␪ indi- cados. .6. 0) (0. segue de (2) que a dimensão de Hausdorff desses conjuntos é 1.6. são exemplos de fractais com dimensão de Hausdorff inteira. Como k  2 e s  . 0. . 0) ( 2 .13. .13. Tk semelhanças contrativas de mesmo fator. qualquer que seja o valor de ␪. pois as semelhanças envolvidas devem ser aplicadas a cada um dos muitos pixels de uma tela de monitor em cada iteração.18 (a) (b) (0. Michael Barnsley descreveu um método alternativo e mais prático para gerar um conjunto autossimilar por meio de suas semelhanças. . .19 com vários valores de ␪. A ação dessas duas semelhanças no quadrado unitário U está ilustrada na Figura 10. Aqui. 0. 0)  Figura 10. 0) a (0. Os conjuntos autossimilares gerados por essas duas semelhanças apare- cem na Figura 10. 1) 1 2 T2(U) U (0. 0. Pode ser mostrado que a dimensão topológica desses conjuntos é 1 no caso ␪  0 e é 0 em todos os demais valores de ␪.13. Em particular. Por simplicidade.  y y (0. Em 1985. 12 ) ␪ (0. deixamos de desenhar os eixos x e y.636 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 1 3 Usando o Algoritmo 1 Consideremos as duas semelhanças seguintes. 1) (1. Sejam T1 . enquanto os conjuntos autossimilares com todos os demais valores de ␪ são fractais.18.6)].3) x T1(U) x (1. T3 . É um assim chamado método de Monte Carlo que utiliza probabilidades e Barnsley se refere a ele como o Algoritmo da Iteração Aleatória. mas a origem é sempre o ponto mais abaixo e à esquerda do conjunto.3. o ângulo de rotação ␪ é um parâmetro que variamos para gerar diferentes conjuntos autossimilares. Segue-se que o con- junto autossimilar com ␪  0 não é um fractal [é o segmento de reta de (0.6) (0.19 ␪ = 60° ␪ = 50° ␪ = 40° ␪ = 30° ␪ = 20° ␪ = 10° ␪ = 0° Uma abordagem Monte Carlo A abordagem descrita no Algoritmo 1 para construir conjuntos autossimilares usando funções de conjuntos consome muito tempo de computador.13.1.13. O próximo algo- ritmo gera uma sequência de pontos que converge coletivamente ao conjunto S do Teorema 10. T2 . discutimos fractais que são conjuntos autossimilares de acordo com a definição Fractais mais gerais dada.20 mostra quatro estágios do algoritmo de iteração aleatória que gera o tapete de Sierpinski.13. .13.000 itrerações 15.000 iterações 45. digamos Tk1 . começando com o ponto inicial .000 iterações 100. d.13 Fractais 637 Algoritmo 2 Passo 0. . isso não é um problema sério. 5. podemos geralmente começar com qualquer ponto em R2 e. 2 2 DEFINIÇÃO 5 Uma transformação afim é uma aplicação de R em R da forma em que a. e calcule Passo 2. .20 Observação Embora o Passo 0 requeira a escolha de um ponto do conjunto S que pode até nem ser conhecido antes. b. e e f são escalares. definidas como segue. T2 . digamos Tk2 . o ponto gerado estará tão próximo de S que o algoritmo funcionará corretamente daí em diante. Na prática.1 permanece válido se as semelhanças T1 . Escolha aleatoriamente uma das k semelhanças. Tk forem substituídas por transformações mais gerais. Passo 1. o Teorema 10.13. 10. Escolha aleatoriamente uma das k semelhanças. e calcule Os pixels correspondentes aos pontos gerados por esse algoritmo preenchem os pixels que representam o conjunto limite S numa tela de monitor. . Até aqui. e calcule Passo n. depois de algumas poucas iterações (digamos. digamos Tkn . denominadas transformações afins contrativas. .000 iterações  Figura 10. Escolha aleatoriamente uma das k semelhanças. No entanto. A Figura 10. c. umas 10 iterações). Escolha um ponto arbitrário em S. 50.16 x y + 0.575 –0.04 –0.50. f) x (0.414) (0. 0. . T2 .154) (0.174) (0. 0. Essas quatro transformações. por ter determinante da parte matricial T(U) nulo. Tk determinam um único U conjunto fechado e limitado S satisfazendo a equação S  T1(S) 艛 T2(S) 艛 T3(S) 艛 · · · 艛 Tk(S) (13) x (0.16) (0. 1) (0.180 (0.495) (0. 0) A Equação (13) tem o mesmo formato da Equação (12).26 0. c + d + f) pode ser gerado por quatro transformações afins contrativas.85 x y + 0. T3 . 0) (1.638 Álgebra Linear com Aplicações y A Figura 10.140) T1 ( ) x y = 0.50. Observe como a samambaia (b + e. (e. Uma transformação afim é dita contrativa se a distância (0. A Figura 10. Embora a Equação (13).24 x y + 0. 0) T3 ( ) x y = 0 0 0 0.21 (0.140.23 0.13. não determine um conjunto autossimilar.21 mostra como uma transformação afim transforma o quadrado uni- tário U num paralelogramo T(U).030) (0. transforma a samambaia inteira no pequeno segmento de reta que liga os pontos (0.28 0. 1) (1.600. 0)  Figura 10. 0. 1.50 0 T4 ( ) x y = –0.13.13.855.705. 0.180) (0. 0.20 –0.075 0.990) (b) O quadrado unitário depois da transformação afim  Figura 10.340. 0) (1.13. 0.400.265) (0. Pode ser mostrado que quaisquer k transformações afins contrativas T1 .045) (0.22 x y + 0.15 0. T2 . fica completamente determinada pelas quatro transformações afins T1 .575.086) Michael Barnsley aplicou essa teoria à área de compressão e transmissão de dados. 1) euclidiana entre a imagem de dois pontos quaisquer do plano pela transformação é estrita- mente menor do que a distância euclidiana original entre esses pontos. A samambaia. 0.22 mostra como um con- y junto do plano que parece uma samambaia (um exemplo tornado famoso por Barnsley) (a + b + e.400 0.925.115. d + f) central é a união das quatro samambaias menores que a cercam. Por exemplo. ficam completamente de- .04 0. .22 contém muita riqueza de informação e deveria (a + e.85 0.045 T2 ( ) x y = 0. T4 . –0. 0.086 (0. 0) e (0. o conjunto S formado tem muitas das caracterís- ticas de conjuntos autossimilares.50.965.22 (0.13. c + f) ser estudada cuidadosamente. que são imagens afins ligeiramente sobrepostas.075. que utilizamos para definir con- (a) O quadrado unitário juntos autossimilares. 0.16). 0. que usa transformações afins contrativas. a Figura 10.275) (0. . 0.26 0. 0. por exemplo. por sua vez. . Também note como T3 . 1) (1.425. esse conjunto. Use uma régua para medir a figura e determi- ne um valor aproximado do fator de escala s desse conjunto.584 . RICHTER. 3. . encontre as semelhanças que determinam dos têm dimensão de Hausdorff igual a ln 3 / ln 2  1. n3) de inteiros. .13 Fractais 639 terminadas pelos 24 números dados na Figura 10. Em princípio. inferior esquerda e inferior direita. Sabendo que o canto inferior esquerdo está situado na sulta de três semelhanças de fator de escala . de modo que to- origem do plano xy. H. b. The Science of Fractal Images (Nova York: Springer-Verlag. 1. 1982) 3.22 que definem seus valores de a. Fractals Everywhere (Nova York: Academic Press. 0). 1 1 25  Figura Ex-1 2. 1 1 em que ni é o múltiplo inteiro de 90° correspondente usando a 25 ordem superior direita. e e f. Freeman. BENOIT B. 0. 1988) Conjunto de exercícios 10. n2 . 10. embora não seja fácil determinar quais trans- formações devemos usar. as transformações afins em geral requerem várias ordens de grandeza menos memória de computador que uma descrição pixel por pixel da imagem digitalizada. HEINZ-OTTO PEITGEN e P. qualquer imagem digitalizada numa tela de monitor pode ser descrita por um número finito de transformações afins. . esses 24 números codificam completamente a imagem da samambaia. Por exemplo. uma vez codificadas. Leitura recomendada Os leitores interessados em aprender mais sobre fractais podem consultar os livros seguintes. Dito de outra maneira. MICHAEL BARNSLEY. O conjunto autossimilar da Figura Ex-1 tem os tamanhos indi. 1993) 2. o primeiro dos quais elabora a abordagem por transformações lineares apresentada nesta seção. Mesmo assim. o primeiro conjunto (o triângulo de Sierpinski) gera o terno (0. Cada um dos 12 conjuntos autossimilares da Figura Ex-3 re- cados. Quais são os ângulos de rotação das semelhanças que deter- minam esse conjunto?  Figura Ex-2  Figura Ex-3 . Armazenar esses 24 números num computador requer consideravelmente menos espaço de memória que armazenar uma descrição pixel por pixel da samambaia. Encontre os ângulos de rotação de cada conjunto e expresse-os como ternos ordenados (n1 . H. MANDELBROT. Encontre a dimensão de Hausdorff do conjunto autossimilar da Figura Ex-2. The Fractal Geometry of Nature (Nova York: W. Qual é sua dimensão de Hausdorff? Esse con. d. 1986) 4. Os ângulos de rotação de todas as três semelhanças são múlti- junto é um fractal? plos de 90°. c. The Beauty of Fractals (Nova York: Springer- -Verlag.13 1.13. HEINZ-OTTO PEITGEN e DIETMAR SAUPE. Calcule o lado direito da Equação (2) (ii) os ângulos de rotação ␪ de todas as semelhanças que des.13.] z 7. Quais Hausdorff do quadrado. Mostre que as quatro semelhanças y x  Figura Ex-10 . [Sugestão: expresse o cubo unitário como a união de 8 cubos menores congruentes e não sobrepostos.] 9. encontre: (i) o fator de escala s expressam o quadrado unitário como a união de quatro qua- das semelhanças que descrevem o conjunto autossimilar dado.13.] z (a) (b) 1 y 1 1 x  Figura Ex-9 3 (c) (d) 10. Em cada parte da Figura Ex-4. O conjunto em R da Figura Ex-10 é um conjunto autossimilar denominado esponja de Menger obtido pela remoção de cer-  Figura Ex-4 tos buracos cúbicos do cubo unitário. O quadrado na Figura 10.640 Álgebra Linear com Aplicações 4.13. e (iii) a dimensão de Hausdorff do conjunto. drados sobrepostos. Encontre seu fator de escala s e o ângulo de rotação ␪. Suponha agora que o quadrado seja expresso como a união de 16 quadrados não sobrepostos. Encontre as coordenadas da pontinha da samambaia da Figura 10.22. decida se esse cubo é um fractal. Observe que cada face da esponja de Menger é um tapete de Sierpinski e que os bu- racos do tapete de Sierpinski agora atravessam toda a esponja 5.13. Verifique se sua di- mensão de Hausdorff continua sendo 2. A esponja de ça. para os valores de k e s determinados por essas semelhanças e crevem o conjunto (todos os ângulos de rotação são múltiplos mostre que o resultado não é o valor correto da dimensão de de 90°).7a foi expresso como a união de quatro quadrados não sobrepostos indicados na Figura 10. Mostre que. Determine os valores de k e s para a esponja de Figura 10. conforme determina a Equação (2). [Sugestão: a transformação T2 aplica a ponta da sa- mambaia nela mesma.7b.22. Menger é um fractal? 6. 8. [Observação: este exercício mostra a desses conjuntos são fractais e por quê? necessidade da exigir que os conjuntos sejam não sobrepostos na definição de conjuntos autossimilares e suas dimensões de Hausdorff. somente a transformação T2 é uma semelhan- Menger e obtenha sua dimensão de Hausdorff. das quatro transformações afins mostradas na de Menger. Todos os resultados desta seção podem ser estendidos ao Rn. Calcule a dimensão de Hausdorff do cubo unitário em R3 (ver Figura Ex-9). Sabendo que a dimensão topológica do cubo é 3. num artigo (em Caos inglês) de Tien-Yien Li e James Yorke. 4. de um conjunto cuja dimensão de Hausdorff não coincide com sua dimensão topológica. obtenha a dimensão de Hausdorff do conjunto de Cantor. Use um computador para cons- para mostrar que a esponja de Menger (Exercício 10) é o con- truir o conjunto junto S dado por com semelhanças Ti (e i  1. O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso com computacional. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. 10. Em cada exercício. Em seguida. Em se- guida. S1 . intitulado “Período Três Implica Caos”. usamos uma transformação do quadrado unitário do plano xy sobre si mesmo para descrever o conceito de aplicação caótica. esse recurso é (em R1). considerando o conjunto S dado por pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear.14 Caos 641 11.15. . S3 e S4 da Figura 10. 3. Derive ou Mathcad. S2 . ou . (Esse conjunto famoso foi o primeiro e exemplo que Hausdorff forneceu. Use semelhanças da forma e cada constante a igual a 0. em seu artigo de 1919.11) Autovetores e autovalores Compreensão intuitiva de limites e continuidade A palavra caos apareceu pela primeira vez na literatura matemática em 1975. com isso. 3. mas nunca duas delas iguais a ao mesmo tempo. Calcule as áreas dos conjuntos S0 . . . 2. T1.13. Determine essas semelhanças determinando a co- leção de matrizes 3 1 e. As duas semelhanças determinam um fractal conhecido como conjunto de Cantor. Mathematica. no tapete de Sierpinski (em R2) e na esponja de Men- MATLAB. Seção 10. mas também ger (em R3). esboce os quatro primeiros conjuntos determinados pelo Algoritmo 1.) 12. o termo é utilizado para descrever certas transformações na Matemática e certos fenômenos físicos . 10.14 Caos Nesta seção. você deverá ler a documentação pertinente do re- curso particular que estiver utilizando. 20) convenientemente escolhidas. . Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios.13 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2. determinar o valor de mn com n  2. Generalize ao Rn as ideias envolvidas no conjunto de Cantor utilizando um recurso computacional. Maple. Em geral. Começando com o quadrado unitário U como conjunto ini- cial. obtenha uma expressão para mn . Hoje. PRÉ-REQUISITO: Geometria de operadores lineares em R2 (Seção 4. 0. Os passos são os seguintes.3. é conveniente escrever (1) na forma fatorada que expressa a transformação do gato de Arnold como a composição de um cisalhamento na direção x de fator 1 seguido de um cisalhamento na direção y de fator 1. e que o ponto (x. embaralhar as cartas de um baralho.14. arritmia cardíaca. 0. por exemplo. têm um elemento subjacente de ordem bem determinado (como. y) mod 1 denota o par (x mod 1. a aplicação  transforma cada ponto de R2 num ponto do quadrado unitário S. qualquer que seja o número real x. Nesta seção.1c): (x. Vejamos ambos os métodos. x  2y) mod 1 ou. conhecida como a transformação do gato de Arnold. y). Arnold. 1). y) ou. y) mod 1 é um ponto do quadrado unitário S  {(x. y) → (x  y.7 mod 1  0. Por exemplo. y mod 1).14. começando com a conta mod 1 somente no fim. A transformação do gato de Arnold é a aplicação  : R2 → R2 definida pela fórmula  : (x. Passo 1. 2. 3. na verdade. então a notação x mod 1 denota o único número no intervalo [0. Pode ser mos- trado que não importa quando é feita a conta mod 1. (2. Se x for um número real. Cisalhamento na direção y de fator 1 (Figura 10.3.9) mod 1  (0. 0  y  1} qualquer que seja o par ordenado (x. Cisalhamento na direção x de fator 1 (Figura 10.14. vibração das asas de um avião em voo.1a. A transformação do gato de Para descrever a transformação do gato de Arnold. y) → (x  y. em notação matricial.9. aparece sombreado e contendo a imagem de um gato.3. Note que as arestas superior e da direita do qua- drado não estão incluídas em S. Passo 2. y) for um par ordenado de números reais. se x for um número real não negativo. y) → (x. precisamos de algumas técnicas da Arnold aritmética modular. 7. mas que. Ilustramos o efeito da transformação do gato de Arnold no quadrado unitário S que. parecem ter um comportamento aleatório e desordenado. x  y) ou.1b): (x.3.9 mod 1  0. gera- ção aleatória de números. em notação matricial.642 Álgebra Linear com Aplicações que. Como as contas são feitas mod 1. então a notação (x.3 mod 1  0. então x mod 1 é simplesmente a parte fracionária de x. se depois de cada cisalhamento ou somente no final das contas. mudanças na mancha vermelha de Júpiter e aberrações da órbita de Plutão). 2. à primeira vista. que foi o primeiro a usar o esboço de um gato para a sua descrição. estudamos uma transformação caótica específica. por (1) Para entender a geometria da transformação do gato de Arnold. y) | 0  x  1. 1) que difere de x por um número inteiro. em notação matricial. . Por exemplo.1) Observe que o ponto x mod 1 é um ponto do intervalo [0. Se (x.0 mod 1  0 Observe que. na Figura 10. em referência ao matemático russo Vladimir I. 14. estamos interessados em examinar o efeito de aplicações repetidas.1d.14.14.14. mas o efeito final é o mesmo. y) mod 1 (x. y) → (x. uma colher. a água numa baía é misturada por mudanças repetidas da maré.14 Caos 643 3 3 3 3 3 Passo 1: Passo 2: Passo 3: (x. Ocorrem dois fenômenos interessantes. y) → (x  y. em vez de somente no final. y) → (x. y) → (x + y. Os passos são os seguintes. y) mod 1 O efeito geométrico da aritmética mod 1 é o de quebrar o paralelogramo da Figura 10. as cartas de um baralho são misturadas por embaralhamento repetido. Desse modo.14. obtemos um reagrupamento em cada passo. por exemplo.2b): (x. y) → (x. da transformação do gato de Arnold. Cisalhamento na direção y de fator 1. Cisalhamento na direção x de fator 1. y) mod 1 1 1 1 1 1 (x. y) (x. Reagrupar no quadrado S (Figura 10.1d): (x. Por exemplo. y) → (x. 10. A Figura 10.2c): (x. Dessa maneira. seguido de um reagrupamento em S (Figura 10.14. y) → (x. ou iterações. x + y) 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 (a) (b) (c)  Figura 10. y) → (x. y) (x. Para implementação em computador. y) mod 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 (a) (b) (c) (d)  Figura 10. • O gato retorna à sua posição original na 25ª iteração.2 Aplicações caóticas como a transformação do gato de Arnold em geral surgem em mo. Muito do restante desta seção é dedicado a explicar esses fenômenos.3.1 Passo 3. y) mod 1 Passo 2.14. uma tinta é misturada por movimentos rotatórios repetidos de. Passo 1. é mais conveniente efetuar a aritmética mod 1 em cada passo. y) → (x. mostra o efeito de 25 iterações da transformação do gato de Arnold sobre o quadrado unitário S. x + y) (x.14. • Em algumas das iterações intermediárias. y) → (x + y. Aplicações repetidas delos físicos em que uma certa operação é executada repetidamente. o gato está decomposto em faixas que pa- recem ter uma direção específica. que foi gerada em computador. x  y) mod 1 Passo 1: Passo 2: 2 2 2 2 2 (x. .1c e reagrupar os pedaços de S conforme indicado na Figura 10. seguido de um reagrupamento em S (Figura 10. e assim por diante. como segue. 14. as limitações impostas pelo hardware exigem que a imagem seja repartida em quadrados discretos denominados pixels. nas imagens geradas por computador da Figura 10. Para isso.3 retorna à sua confi- guração original na 25ª iterada. Uma aplicação de pixels é uma associação de cores a pixels para criar uma imagem. Por exemplo.3 Pontos periódicos Nosso primeiro objetivo é explicar por que o gato na Figura 10. Para a geração de imagens numa tela de monitor. ou em qualquer outra digitalização.4 . o quadrado unitário foi dividido num reticulado de 101 pixels por lado.4).14. num total de 10.3. Visão ampliada da cara do gato mostrando os pixels individuais  Figura 10.14.14. convém pensar numa imagem no plano xy como sendo uma associação de cores aos pontos do plano.14.201 pixels. cada um dos quais é preto ou branco (Figura 10.644 Álgebra Linear com Aplicações 101 pixels 101 pixels Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3 Iteração 4 Iteração 5 Iteração 6 Iteração 7 Iteração 8 Iteração 9 Iteração 10 Iteração 11 Iteração 12 Iteração 13 Iteração 14 Iteração 15 Iteração 16 Iteração 17 Iteração 18 Iteração 19 Iteração 20 Iteração 21 Iteração 22 Iteração 23 Iteração 24 Iteração 25  Figura 10. as iterações sucessivas do ponto são . 10. Como a transformação do gato de Arnold transforma cada ponto de pixel de S num 2 outro ponto de pixel de S.5. e como existem somente p pontos de pixel distintos em S. n/101) que identifica o canto inferior à esquerda. . a cada pixel em S podemos associar um único par de coordenadas da forma (m/101. no máximo. 2. por (2) O par ordenado ((m  n)/p. respectivamente. Dizemos que esses pontos são os pontos de pixel. 2. (101m . 100 101 . . .14 Caos 645 Como mostra a Figura 10. (m  2n)/p) é da forma (m/p.14. em que m e n estão no intervalo 0. p2 iterações da transformação do gato de Arnold.5 101 101 101 101 101 101 Sob a ação da transformação do gato de Arnold. 1. Em vez de restringir o estudo ao caso em que S foi subdividido num reticulado de 101 pixels em cada lado. . Os pontos de pixel em S têm coordenadas da forma (m/p. m e n são o resto da divisão de m  n e m  2n por p. 100. em que m e n são números inteiros de 0 a p  1. . n/p) é transformado num outro ponto dessa forma. cada aplicação de 2 pixels de S consiste em p pixels uniformemente espaçados a cada 1/p unidades em ambas direções x e y. . . n/p) do ponto de pixel  é dada. Assim. . . n/p). . . 100  Figura 10. 1. n/p). pois cada um identifica exatamente um único pixel. n 101 . vamos considerar o caso mais geral de p pixels em cada lado. cada ponto de S da forma (m/p. observe que a ima- gem por (m/p.  E X E M P L O 1 Usando a Fórmula (2) Se p  76.14. em formato matricial. e em que m e n são números inteiros do intervalo 0. . Para ver por que isso acontece. cada ponto de pixel de S é transfor- mado num outro ponto de pixel de S. então (2) é dada por Nesse caso. . n 101 ) 3 101 2 101 1 101 0 101 0 1 2 3 m . . Consequentemente. . . Mais especificamente. . p  1. segue que um ponto de pixel arbitrário deve retornar à sua posição original depois de. respectivamente. 1. a Figura 10. dizemos que (p) é o período da aplicação de pixels. A Figura 10. (p) é o menor inteiro divisível por todos os períodos]. Por exemplo. de modo que esse ponto tem período 1.  5 4 8 Em geral.3 voltou à sua configuração inicial em 25 iterações. No Exercício 4. Enquanto a tendência geral do período é crescer com p crescente. Por esse motivo. ambos os pontos retornam às suas posições iniciais em qualquer número de iterações que seja um múltiplo tanto de q1 quanto de q2. Deixamos para o leitor mostrar (Exercício 11) que (0.000 900 800 700 (p) (Período) 600 500 400 300 200 100 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500  Figura 10.8 mostra o famoso matemático húngaro-norte-americano John von Neumann digitalizado numa aplicação de pixels com .7 p (Comprimento. dizemos que o ponto tem período 9 e que o 3 conjunto de nove iteradas distintas é um ciclo de período 9. Segue que a aplicação de pixels retorna à sua posição inicial em (p) iterações da transformação do gato de Arnold (mas não antes).6 mostra a 0 localização desse ciclo com o ponto inicial denotado por 0 e as sucessivas iteradas nume- 7 radas de acordo. de modo que (101)  25. pedimos para o leitor mostrar que.14. Como o ponto retorna à sua posição inicial na nona aplicação da transfor- 2 mação do gato de Arnold (mas não antes). n/p). há uma quantidade sur- preendente de irregularidades nesse gráfico.7 mostra como o período de uma aplicação de pixels varia com p. Em geral. 5 ou 25. se um ponto retornar à sua posição inicial depois de n aplicações da trans- formação do gato de Arnold. assim. se p  101. então P1 retorna à sua pixel posição inicial em q1 iterações (mas não antes) e P2 retorna à sua posição inicial em q2 iterações (mas não antes).14.646 Álgebra Linear com Aplicações 1 6 (verifique).14. Pontos com período 1 também são denominados pontos fixos da transfor- mação.  Figura 10. 0) em (0. várias coisas inesperadas podem ocorrer em iterações intermediárias.14. do lado do quadrado unitário) Embora uma aplicação de pixels com p pixels por lado não retorne à sua configuração inicial até que tenham ocorrido (p) iterações. De fato. dizemos que o ponto tem período n e que o conjunto de n iteradas distintas é um ciclo de período n. Período versus largura de Se P1 e P2 forem pontos de períodos q1 e q2 .14. A Figura 10. não há nenhuma função elementar que especifica esse relacionamento de p com o período (ver Exercício 1). 0). mas não retornar com menos de n aplicações.14.6 A transformação do gato de Arnold transforma (0. denotamos por (p) o menor número inteiro que for um múltiplo comum de todos os períodos de todos os pontos de pixel da aplicação [ou seja. em pixels. então todos os pontos de pixel têm períodos 1. para uma aplicação de pixels de p2 pontos de pixel da forma (m/p. 0) é o único ponto fixo da transformação do gato de Arnold. Isso explica por que o gato na Figura 10. 14. Contudo. a aplicação de pixels retorna à sua configuração inicial. contudo. Se aplicarmos a transformação matricial de (1) ao plano inteiro ladrilhado. Se uma aplicação de pixels de S tem período n. Contudo. no caso de aritmética mod 1. há tantos pontos de pixel com perío- dos que dividem 750 que múltiplas imagens fantasmas do original ocorrem em iterações intermediárias. Pode ser mostrado que (250)  750. de modo a aplicação desses pixels retorna à sua configuração inicial depois de 750 iterações da transformação do gato de Arnold (mas não antes). a aplicação de pixels aparece de ca- beça para baixo e. no caso de ladrilhamento. com 195 iterações. Para ver isso.9). . mas. a transformação do gato de Arnold é uma transformação linear.9. Da maneira como foi definida. convém ver a transformação do gato de Arnold de uma maneira dife- rente.14 Caos 647 p  250.14. cada ponto retorna à sua posição original no fim das n iterações. em vez disso. Dizemos que o plano foi ladrilhado com o quadrado unitário. então pode ser mostrado que a porção da imagem em S é idêntica à obtida usando a aritmética mod 1 (Figura 10. os pontos não precisam retornar à sua posição original. Resumindo. imagine que o quadrado unitário S com sua ima- gem de gato é um ladrilho e suponha que o plano inteiro esteja coberto com tais ladrilhos. É importante entender. Além disso. que o ladrilhamento e a aritmética mod 1 veem a periodicidade de maneira diferente.14. existe uma maneira alternativa de definir a transformação do gato de Arnold que evita a aritmética mod 1 e que resulta numa transformação linear. 250 pixels 250 pixels 5 iterações 10 iterações 75 iterações 125 iterações 195 iterações 250 iterações 375 iterações  Figura 10. cada ponto é substituído por um ponto da mesma cor ao final de n iterações. por causa da aritmética mod 1. depois de 375 iterações. a transformação do gato de Arnold não é uma trans- formação linear. aparecem várias miniaturas do original em filas diagonais. 10. por exemplo.3. como na Figura 10.14. No caso de ladrilhamento. Para isso. o ladrilhamento fornece a mesma aplicação de pixels de S que a aritmética mod 1.8 Nosso próximo objetivo é explicar a causa das faixas retas que aparecem na Figura O plano ladrilhado 10. sem efetuar a aritmética mod 1. depois de outras 375 iterações (para um total de 750). então. outros pontos do plano (com cores correspondentes) fluem em direção daquelas posições iniciais.14. a área do gato (seja lá o que for) é a mesma que a área total das manchas que são sua imagem em cada iteração. Observe que a matriz Arnold que define a transformação do gato de Arnold é simétrica e tem determinante 1. y) → (x + y.3819. Deixamos para o leitor conferir que os autovalores e autovetores correspondentes de C são Em cada aplicação da transformação do gato de Arnold. a área de qual- quer figura no plano e a área de sua imagem são iguais.648 Álgebra Linear com Aplicações Passo 1: Passo 2: Passo 3: (x. . considere S como uma parte do plano ladrilhado e seja p um ponto de S de período n. A Figura 10. y) → (x.6180. . ao mesmo tempo. ou seja. Por ser 1 esse determinante.3.3. . o autovalor ␭1 causa uma dilata- ção na direção do autovetor v1 de fator 2. Por estarmos considerando um ladrilhamento. pois n C q  C (C p)  p n n Assim. A Figura 10. existe um ponto q com a mesma cor de p e que. q  e p  C4 q  . pois o efeito da aritmética mod 1 é a de recortar a figura e reagrupar os pedaços sem sobreposição. . As áreas do quadrado e do retângulo são iguais.11 ilustra isso no caso de n  4.9 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 Propriedades da Para entender a causa das faixas na Figura 10. enquanto.14. completando sua viagem na iteração final do ciclo. x + y) (x.14. com iterações sucessivas. Esse ponto é q  (C  1) n p  C  n p. . dirige-se à posição inicialmente ocupada por p. os pontos de S fluem para longe de suas posições ini- ciais.14. e o autovalor ␭2 causa uma contração na direção do autovetor v2 de fator 0. y) (x. Observe que p mod 1  q mod 1  . o quadrado é deformado no retângulo de lados ainda paralelos às direções dos autovetores.10 mostra um quadrado centrado na origem e de lados paralelos às direções dadas pelos autovetores. y) mod 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1  Figura 10. de modo que ambos os pontos ocupam a mes- . pense na transformação do gato de transformação do gato de Arnold como uma transformação linear do plano ladrilhado. A simetria da matriz significa que seus autovalores são reais e que os autovetores correspondentes são perpendiculares. como mostra a Figura 10. com sucessivas iterações.14.3. na Figura 10. Assim. Para explicar a causa das faixas na Figura 10. a multiplicação por essa matriz preserva áreas. y) → (x. Isso também vale para figuras em S no caso da aritmética mod 1. Sob a ação da transformação dada. alcançando essa posição exatamente na enésima iterada.14.1d.14. b) de S. ou seja. A Figura 10. e o ponto que se aproxima flui na direção aproximada do autovetor v2 . devemos sempre obter pontos distintos em S. as iteradas não parecem se acumular em nenhuma região específica de S.14. que foi gerada em computador. é um ponto de pixel com p  s1s2 . y0) em S.14.14. como indicado pelas flechas na Figura 10.14 Caos 649 3 –1 – 5 v2 = 2 2 1 1 v1 = 1 1+ 5 2 0 –1 –2  Figura 10.14. por menor que seja . 4 q 2 0 p = C4q –2 –4  Figura 10. Dizemos que um conjunto D de pontos de S é denso em S se cada disco centrado em qualquer ponto de S contiver pontos de D. Classificamos esses pontos como racionais se as coordenadas a e b forem ambas números racionais e irracionais se pelo menos uma das coordenadas for irracional. r2s1 /s1s2) e.14. mostra um pon- to irracional e algumas iteradas selecionadas até 100.11. tornando-se cada vez mais densas com sucessivas iterações. O ponto que se afasta flui na direção aproxi- mada do autovetor v2 . iterando sucessivamente um ponto irracional (x0 . pois é um ponto de pixel com p convenientemente escolhido. O comportamento das iteradas na Figura 10.11 –4 –2 0 2 4 Até aqui. Para o ponto irracional particu- lar que selecionamos. r2 /s2) pode ser escrito como (r1s2 /s1s2 .000.14. Cada ponto racional é periódico.12 é suficientemente importante para ter sua própria terminologia. n/p) com um número inteiro positivo p arbitrário. parece que elas se espalham por todo S. Por exemplo.10 –3 –2 –1 0 1 2 3 ma posição em seus respectivos ladrilhos. o ponto racional (r1 /s1 . todos os pontos periódicos são pontos racionais.12. Pode ser mostrado (Exercício 13) que a recíproca também vale. somente consideramos a ação da transformação do gato de Arnold em pixels Pontos não periódicos da forma (m/p. de modo que.3. Agora vamos considerar o efeito da transformação do gato de Arnold num ponto arbitrário (a. em vez disso. Sabemos que todos esses pontos são periódicos. São essas “linhas de fluxo” nas direções aproximadas dos autovetores que formam as faixas na Figura 10. 10. Segue dessa discussão que os pontos irracionais de S são não periódicos. portanto. 14. de 1986.14.13). DEFINIÇÃO 1 Uma aplicação T de um conjunto S sobre si mesmo é dita caótica se (i) S contiver algum conjunto denso de pontos periódicos de T (ii) e existir algum ponto em S cujas iteradas por T são densas em S.000 iterações 100. que deriva de uma definição introduzida por Robert L. os pontos racionais de S são perió- dicos e densos em S e que muitos. pontos irracionais têm iteradas densas em S.13 Definição de caos Sabemos que. mas a seguinte. mas não todos. Inc).000 iterações 50.12 Disco arbitrário em S Pontos do conjunto D  Figura 10. para a transformação do gato de Arnold. é a mais relacionada com nosso trabalho..000 iterações 10.000 iterações 25. Ponto inicial 1. Esses são os ingredientes básicos do caos.000 iterações 5.14.000 iterações 2.650 Álgebra Linear com Aplicações o raio do disco (Figura 10. . De- vaney em seu livro An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (Benjamin/Cummings Publishing Co.000 iterações  Figura 10. Existem várias definições de caos atual- mente em uso. Pode ser mostrado que os pontos racionais são densos em S e que o conjunto das iteradas da maioria dos (mas não de todos) pontos irracionais é denso em S. 10. a partir da nona iterada. proje- tada na direção do autovetor v1 .000)  75. Num sistema dinâmico discreto caótico. a descoberta de sistemas caóticos estraçalhou essa crença. com isso. . Depois de doze iterações.000 (por quê?) e. indicamos as primeiras 50 iterações de P0 pela transformação do gato de Arnold por cruzes e as de Q0 por círculos. com um erro inicial de aproximadamente 1 / 100. em que vimos que a distância entre dois pontos de S. aproximadamente da largura do quadrado unitário S. etc. ( ␭1) com cada iteração (Figura 10. Assim. as aplicações de pixels da Figura 10.3 podem ser vistas como a evolução de um sistema dinâmico discreto caótico a partir de um conjunto de estados iniciais (cada ponto do gato é um esta- do inicial isolado) para conjuntos de estados sucessivos. suas iteradas seguem caminhos divergentes. e. . . Fazemos um erro de medição de 0. o estado muda em pontos discretos do tempo em vez de mudar a cada instante.000 iteradas. Dessa maneira podem ser entendidos sistemas químicos. depois de 12 iterações perdemos completamente o controle sobre as verdadeiras posições das iteradas dentro de S.000. cresce pelo fator 2. mas os pontos com iteradas densas se movem irregularmente. que é maior que a largura de S. Embora a sensitividade a condições iniciais limite a possibilidade de predizer a evo- lução futura de sistemas dinâmicos. o esta- do inicial exato é raramente conhecido por causa de erros nos instrumentos utilizados na medição do estado inicial. então o estado futuro de um sistema po- deria ser predito com qualquer grau de precisão. É possível quantificar o crescimento do erro a partir dos autovalores e autovetores da transformação do gato de Arnold.00001 na coordenada y. Na Figura 10. essa distância projetada aumenta pelo fator (2.0577.6180. . muitas vezes obscurecendo a regularidade dos pontos periódicos.000 na direção de v1 . .) 12 / 100. P0 e Q0 são pontos de pixel com p  100. já que  (100. que denotamos por Q0. Lembre da Figura 10. Aplicações caóticas surgem no estudo de sistemas dinâmicos. Num sistema dinâmico discreto. esse pequeno erro cresce a (2. . O que é notável sobre essa definição é que uma aplicação caótica exibe um elemento de ordem e um elemento de desordem.0368. No entanto. . . . pois foi mostrado que.14. cada es- tado resulta de uma aplicação caótica do estado precedente.77837. elétricos.000  1. ou seja. Vamos demonstrar essa sensitividade a condições iniciais com a transformação do gato de Arnold. considerando a transformação do gato de Arnold aplicada em instantes discretos do tempo. pensamos na transformação do gato de Arnold como uma transformação linear do plano ladrilhado.6180. . Essa fusão de ordem e desordem caracteriza as aplicações caóticas. ambos retornam à sua posi- ção inicial depois de 75. Mesmo estando tão próximos inicialmente que seus sím- bolos se sobreponham. com tais sistemas.99. Na prática. . devido ao crescimento exponencial do erro inicial.77837. Um dos problemas fundamentais no estudo de sistemas dinâmicos é prever estados futuros do sistema a partir de um estado inicial conhecido. . novas técnicas estão atualmente sendo investigadas para descrever a evolução futura de maneiras alternativas.15). um Sistemas dinâmicos sistema dinâmico pode ser visto como um sistema que tem uma configuração ou estado específico em cada instante de tempo. os pontos P0 e Q0 somente têm símbolos sobrepostos até a oitava iterada. de modo que pen- samos que o ponto está localizado em (0. essa distância é 0. eco- nômicos. Por exemplo. pois os pontos periódicos se movem regularmente em ciclos. a transformação do gato de Arnold satisfaz a definição de aplicação caótica. uma predição precisa de estados futuros. . contudo.) 9  5.70904). há algum tempo. 0. esse erro inicial é ampliado exponencialmente.70905). 0.14. impedindo.14. que se os instrumentos de medição fossem suficientemente precisos e os computadores usados para efetuar as iterações fossem suficientemente poderosos. Para isso. ecológicos. por menor que seja o erro de medição no estado inicial ou no cálculo das iteradas.10 e da discussão pertinente.14. Dito informalmente.14 Caos 651 Assim.777.14. Suponha que P0 seja um ponto do plano xy cujas coordenadas exatas são (0. . Acreditava-se. mas que muda seu estado com o tempo. Depois de nove iteradas. portanto. biológicos.6180. . (ii) (p)  2p se. e só se. 2. O esquema resultante é Discrete Cat Mapping. Pode ser mostrado que todos os automorfismos de cia começar a repetir. Os resultados seguintes sobre a natureza da função (p) Observação Tomando p  1 e escolhendo x0 e x1 no interva- foram estabelecidos num artigo de uma revista periódica ma. . da matriz é 1e (iii) os autovalores da matriz não têm mag- tores para a escolha p  21. p  2 · 5k com k  1. x0  3 e x1  7 até a sequência mostra que essa aplicação não é caótica? começar a repetir. mos x1  1. x2 . Aqui. ou em que cada número depois dos dois primeiros é a soma dos p  6 · 5k com k  0. 4. esse gerador de números aleatórios produz números temática norte-americana [F. 2. 3. . 5 ou 25. Tomando . no intervalo de 0 a p  1 tem por base o (a) Mostre que cada ponto em S da forma (m/101. (pois 8  35  3 · 9).049 e de bem conhecido de gerar números inteiros “pseudoaleatórios” 20. (ii) o determinante (c) Use a fórmula da parte (b) para gerar a sequência de ve. x3 . 2. nitude 1. (125).742. então a sequência de inteiros resultante é a famosa sequência 1.011. 6. 89. p  5k com k  1. e só se. pode ser verificado que (3. (6) e (5). Encontre (250). 3. J. Além dis- Vol. . p  1. . c e d são números inteiros. Por que isso ta das escolhas p  15. (iii) (p)  12p/7 qualquer que seja a escolha de p. retorna à sua posição inicial depois de 25 iterações da (i) Escolha quaisquer dois números inteiros x0 e x1 no inter. 1. 36 mod 9  0 (pois 0  36  4 · 9) e (d) Mostre que (101)  25. 2.269. 4. Anosov são caóticos. 2. . n/101) (ii) Tome xn1  (xn  xn1) mod p com n  1. (50). . 99. . 34.14. .” The American Mathematical Monthly. agosto-setembro de 1992.14. b. (10).14  Figura 10. . 35 mod 9  8 iterando-o cinco vezes. . . 13. Encontre todos os ciclos de período n que sejam subconjuntos dos 36 pontos de S da forma (m/6. (25). . Mostre que cada ponto de S é um ponto periódico da aplica- (a) Gere a sequência de números pseudoaleatórios que resul- ção T : S → S definida por . .074 por 101 é 1. 2. 1). 5.750). (Gerador de Fibonacci de números aleatórios) Um método vel por 101 e que o resto da divisão de 7. encontre (6).778.14 1. x1 . valo 0. .586. Por exemplo. 1. (b) Mostre que cada ponto em S da forma (m/101.652 Álgebra Linear com Aplicações 7 Pi2 5 2 9 0 Pi di1 8 3 di 4 Pi1 6 1 v1  Figura 10.15 Conjunto de exercícios 10. 21. 8. 5. . 5. em que (i) a. de Fibonacci. . precisamente o da transformação do gato de Arnold. 2. n/6) com m e n no intervalo 0. 1). lo [0. . . se esquecermos a aritmética modular do algoritmo e tomar- (i) (p)  3p se. Também pode ser verificado que 12. x0  5 e x1  5 até a sequên. . Em seguida. 2. .365. Um automorfismo de Anosov em R2 é uma aplicação do qua- (b) Mostre que a fórmula a seguir é equivalente ao passo (ii) drado unitário S sobre S da forma do algoritmo. “Period of a pseudoaleatórios no intervalo [0. páginas 603–614]: so. x mod p denota o número no intervalo de 0 a p  1 que (c) Mostre que o ponto tem período maior do que 5 difere de x por um múltiplo de p. x0 . dois números precedentes. Dyson e H. 55. Falk. transformação do gato de Arnold. . tem período 1. . 1.  3 mod 9  6 (pois 6  3  1 · 9). . 1. (30). n/101) algoritmo seguinte. .025 é divisí- 3. Mostre que (0. O objetivo destes exer- utilizando um recurso computacional. [Sugestão: com inteiros não negativos r e s convenientes. A Figura Ex-14 representa região. Mostre que a inversa da transformação do gato de Arnold é dada por 13. Seja T a aplicação do gato de Arnold aplicada cinco vezes onde a e b não são necessariamente os mesmos para cada consecutivas. [Sugestão: encontre as regiões de S que são aplicadas quatro aplicações sucessivas de T na primeira imagem. você estará capacitado a usar seu recurso computacio- calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. mas também recurso computacional. Esse resultado implica que a aritmética modular não precisa ser efetuada após cada iteração. Mostre que cada ponto periódico da transformação do gato de 1(x. x  y) mod 1 Arnold deve ser um ponto racional mostrando que em todas as 9. Uma vez dominadas as técnicas nestes pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma exercícios.1d. Maple.14. essa equação pode ser escrita como 7. com 0  x0  1 e 0  y0  1. ou seja. 11. gato de Arnold mostrando que a única solução da equação (b) Quais das seguintes são matrizes de automorfismos de Anosov? com 0  x0  1 e 0  y0  1 é x0  y0  0. 8. A quinta 10.14 Caos 653 (a) Mostre que a transformação do gato de Arnold é um au.14 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos recurso particular que estiver utilizando.] aplicação retorna à primeira imagem porque essa aplicação 10. nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí- Em cada exercício. y0) for um ponto em S e (xn . esse recurso é cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu MATLAB. Mostre que o quadrado unitário S pode ser particionado em soluções da equação quatro regiões triangulares tais que em cada uma delas a transformação do gato de Arnold é uma aplicação da forma os números x0 e y0 são quocientes de números inteiros. Em geral. 10. Mostre que a transformação do gato de Arnold é injetora no quadrado unitário S e que sua imagem é S. 0) é o único ponto fixo da transformação do tomorfismo de Anosov. 12. . T  5. você deverá ler a documentação pertinente do cios regulares. Mathematica. Encontre todos os ciclos de período 2 da transformação do gato de Arnold encontrando todas as soluções da equação Qual é o efeito geométrico dessa transformação sobre S? Use sua resposta para mostrar que essa aplicação não é ca- ótica mostrando que todos os pontos de S são periódicos. Derive ou Mathcad. mostre que sequência particular de imagens. y)  (2x  y.  Figura Ex-14 Seção 10. Se (x0 . [Sugestão: com inteiros não ne- gativos r e s convenientes. cada nas quatro regiões sombreadas do paralelogramo da Figura imagem tendo uma resolução de 101 101 pixels. yn) sua enésima iterada de gato tem período 25. essa equação pode ser escrita como (c) Mostre que a aplicação de S sobre S dada a seguir não é um automorfismo de Anosov. 14. bastando aplicá-la uma vez ao final da iteração. Explique como pode ser gerada essa pela transformação do gato de Arnold. Os autovalores e autovetores da matriz e da transformação do gato de Arnold são De que maneira você pode usar esses resultados e suas con- clusões no Exercício T1 para simplificar o método de calcular (p)? 10. . às vezes. Cn  PDnP1. para quebrar o código de um oponente. . tem havido um aumento recente de interesse no assunto devido à necessidade de manter a privacidade da informação transmitida ao longo de linhas públicas de comunicação. se aplicável. O processo de converter um texto comum num cifrado é denominado cifrar ou criptografar. Usando esses autovalores e autovetores. . . PRÉ-REQUISITOS: Matrizes Eliminação gaussiana Operações matriciais Independência linear Transformações matriciais (Seção 4.15 Criptografia Nesta seção. O que você pode conjetu- rar sobre quando (p) for um número par? T2.654 Álgebra Linear com Aplicações T1. 10. Na linguagem da criptografia. apresentamos um método para codificar e decodificar mensagens. . portanto. o número (p) é o menor número inteiro satisfazendo a equação Isso sugere que uma maneira de determinar (p) é calcular e escrever C  PDP1 e. Compare seus resultados com as fórmulas onde dadas no Exercício 1. podemos definir mação do gato de Arnold. Use essa ideia para calcular (p) com p  2. as mensagens não codifica- das são textos comuns e as mensagens codificadas são textos cifrados ou criptogramas. Use um computador para mostrar que começando com n  1 e parando quando esse procedimento der a matriz identidade. Embora os códigos secretos remontem aos primórdios da comunicação escrita. Também examinamos a aritmética modular e mostramos como a eliminação gaussiana pode ser utilizada. Os métodos do Exercício 4 mostram que. e o processo inverso de converter um texto cifrado num comum é denominado decifrar. os códigos são denominados cifras. 3. para a transfor.9) Cifras O estudo da codificação e decodificação de mensagens secretas é denominado criptogra- fia. vamos supor que cada letra de texto comum e de texto cifrado. Com essa cifra.” American Mathematical Monthly. 38. páginas 135–154. o correspondente vetor cifrado. (O nome é em referência a Lester S. Por exemplo. excetuando o Z. Passo 3.” American Mathematical Monthly. https://livros-pdf-ciencias-exatas. junho-julho de 1929. Converta cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético.blogspot. Condições adicionais sobre A serão impostas adiante. Dizemos que p é o vetor comum e Ap. Escolha uma matriz 2 2 com entradas inteiras para efetuar a codificação. na cifra de substituição a letra de texto comum A é substituída por D. páginas 306–312 e “Concerning Certain Linear Transformation Apparatus of Cryptography. Hill. Um sistema poligráfico é um sistema de criptografia no qual o texto comum é dividido em conjuntos de n letras. Converta cada par p1 p2 de letras de texto comum sucessivamente num vetor coluna e forme o produto Ap. damos a Z o valor de 0. denominadas cifras de substituição. . Nos casos mais simples de cifras de Hill. Por motivos que ficarão claros adiante. a mensagem de texto comum ROMA NAO FOI CONSTRUIDA EM UM DIA fica URPD QDR IRL FRQVWUXLGD HP XP GLD Uma desvantagem de cifras de substituição é que elas preservam as frequências de letras Cifras de Hill individuais. são as que substituem cada letra do alfabeto por alguma outra letra.com. Passo 2. março de 1931. em vez de uma letra de cada vez. Nesta seção. adicionando uma letra adi- cional fictícia para completar o último par se o texto comum tiver um número ímpar de letras e substitua cada letra de texto comum por seu valor numérico. que introduziu esses sistemas em dois trabalhos.) Daqui em diante. “Cryptography in an Algebraic Alphabet. Vol. tem um valor numérico que especifica sua posição no alfabeto padrão (Tabela 1). Agrupe letras sucessivas de texto comum em pares.br/ 10. que têm por base transformações matriciais. Passo 1. Passo 4. cada um dos quais é substituído por um conjunto de n letras cifradas. transformamos pares sucessivos de texto comum em texto cifrado segundo o procedimento seguinte. tornando relativamente fácil quebrar o código por métodos estatísticos. estu- damos uma classe de sistemas poligráficos conhecidos como cifras de Hill. a letra de texto comum B por E e assim por diante. Vol. 36. Uma maneira de superar esse problema é dividir o texto em grupos de letras e criptografar o texto comum grupo a grupo.15 Criptografia 655 As cifras mais simples. Assim. efetuamos o produto matricial (1) No entanto. usando a Tabela 1. Evidentemente. pois o número 29 não possui equivalente alfabético (Tabela 1). Coletando os pares. ele será substituído pelo resto da divisão desse inteiro por 26. respectivamente. KCCXQLKPUU  Como o texto comum foi agrupado em pares e criptografado por uma matriz 2 2. . As contas para os demais vetores cifrados são Esses vetores correspondem aos pares de texto cifrado QL. obtemos IA MH ID IN GG ou. dizemos que a cifra de Hill do Exemplo 1 é uma cifra de Hill de ordem 2. Segue da Tabela 1 que o texto cifrado do par MH é CX. equivalentemente. Sempre que ocorrer um inteiro maior do que 25. 2. esse procedimento sem- pre fornece um inteiro com equivalente alfabético. 1. seria transmitida como uma única cadeia sem espaços. Para resolver esse problema. normalmente. efetuamos o produto matricial que fornece o texto cifrado KC pela Tabela 1. KP e UU. . . . pois 3 é o resto da divisão de 29 por 26.656 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 1 Cifra de Hill de uma mensagem Use a matriz para obter a cifra de Hill da mensagem de texto comum (em inglês) I AM HIDING Solução Agrupando o texto comum em pares de letras e adicionando a letra fictícia G para completar o último par. . Como o resto da divisão por 26 é um dos inteiros 0. substituímos 29 por 3 em (1). 9 1 13 8 9 4 9 14 77 Para codificar o par IA. obtemos a mensagem cifrada completa KC CX QL KP UU que. 25. fazemos o seguinte acordo. aqui temos um problema. Para codificar o par MH. 15 Criptografia 657 também é possível agrupar o texto comum em ternos e criptografar com uma matriz 3 3 de entradas inteiras. para uma cifra de Hill de ordem n. . m  1 Esse inteiro é denominado resíduo de a módulo m e escrevemos Zm  {0. dizemos que a é equivalente a b módulo m. No Exemplo 1. . . Se a for um inteiro não negativo. vamos digredir por um momento para elaborar algumas das principais ideias dessa área. denominado módulo. o resíduo pode ser encontrado usando o teorema seguinte. substituímos os inteiros maiores do que 25 pelo seu resto pela divisão por Aritmética modular 25. agrupamos o texto comum em conjuntos de n letras e codificamos com uma matriz codificadora n n de entradas inteiras. TEOREMA 10. . 1. temos a definição seguinte.1 Dados um inteiro a e um módulo m quaisquer. Para um inteiro a arbitrário. . Tendo em vista sua importância em criptografia. obtendo uma cifra de Hill de ordem 3. 1. 2. então seu resíduo módulo m é simplesmente o resto da divisão de a por m. módulo m. 2. e consideramos “iguais” ou “equivalentes” em relação ao módulo quaisquer dois inteiros cuja diferença seja um múltiplo inteiro do módulo. seja R  resto de Então o resíduo r de a módulo m é dado por . DEFINIÇÃO 1 Dados um número inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer. Mais precisamente. a exatamente um dos inteiros 0. Em geral. m  1} para denotar o conjunto dos resíduos módulo m. 10. . e escrevemos ab (mod m) se a  b for um múltiplo inteiro de m. . . supomos dado um inteiro positivo m. pode ser provado que qualquer inteiro a é equivalente.  E X E M PLO 2 Várias equivalências  Dado um módulo m arbitrário. Essa técnica de trabalhar com os restos é a base de uma parte da Matemática denomi- nada aritmética modular. Na aritmética modular.15.  E X E M P L O 4 Recíproco de 3 mod 26 O número 3 tem um recíproco módulo 26. Assim. uma por uma. temos um resto de R  9. ou seja. r  9. isso não será abordado.  Para referência futura. tal que aa1  a1a  1 Na aritmética modular. então a não tem recíproco módulo m. r  26  12  14. ou inverso multiplicativo. DEFINIÇÃO 2 Dado um número a em Zm . Assim. temos o conceito correspondente definido a seguir. a Tabela 2 que segue dá os recíprocos módulo 26. como 26 é rela- tivamente pequeno. Pode ser provado que se a e m não têm fatores primos comuns. Esse recíproco pode ser obtido encontrado o número x em Z26 que satisfaz a equação modular 3x  1 (mod 26) Embora existam métodos gerais para resolver tais equações modulares.658 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M P L O 3 Resíduos mod 26 Encontre os resíduos módulo 26 de (a) 87. Solução (a) Dividindo |87|  87 por 26. encontramos que x  9 é a solução. de a módulo m se aa1  a1a  1 (mod m). se a e m têm um fator primo comum. pois 3 · 9  27  1 (mod 26) Assim. pois 3 e 26 não têm fatores primos em comum. cada número não nulo a tem um recíproco. dá um resto de R  12. dizemos que um número a1 em Zm é um recíproco. 87  9 (mod 26) Solução (b) Dividindo |38|  38 por 26. então a tem um único recíproco módulo m. cada solução possível de 0 a 25. pois nos levaria para muito longe do nosso objetivo. pois 4 e 26 têm 2 como fator primo comum (ver Exercício 8). 1 3  9 (mod 26)  E X E M P L O 5 Um número sem recíproco mod 26 O número 4 não possui recíproco mod 26. Assim. denotado por a . 38  14 (mod 26) Solução (c) Dividindo |26|  26 por 26. ou inverso multipli- 1 cativo. . Dessa maneira. (b) 38 e (c) 26. essa equação pode ser resolvida experimentando. reciprocamente. Contudo. 26  0 (mod 26)  Na aritmética usual. ou seja. temos um resto de R  0. Passamos a investigar essas questões. 10. que seja invertível módulo 26 e que essa matriz seja usada numa cifra de Hill de ordem 2. dizemos que uma matriz A com entradas em Zm é invertível módulo m se existir uma matriz B com entradas em Zm tal que AB  BA  I (mod m) Suponha. se m for um inteiro positivo. uma matriz quadrada A é invertível se. Decifrando usamos a inversa (mod 26) da matriz codificadora. é importante saber quais matrizes são invertíveis módulo 26 e como obter suas inversas. Para decifrar as cifras de Hill.15 Criptografia 659 Cada cifra útil deve possuir um procedimento para decifrar. Na aritmética comum. Para ser preciso. det(A) . Na criptografia. agora. então c  Ap (mod 26) é o correspondente vetor cifrado e 1 pA c (mod 26) Assim. e só se. cada vetor comum pode ser recuperado do correspondente vetor cifrado pela mul- 1 tiplicação à esquerda por A (mod 26). Se é um vetor comum. TEOREMA 10. obtemos o corolário seguinte. e só se. . Deixamos para o leitor verificar que se tiver entradas em Z26 e se o resíduo de det(A)  ad  bc módulo 26 não for divisível por 2 ou 13.2 Uma matriz quadrada A com entradas em Zm é invertível módulo m se. equivalentemente. e só se. o resíduo de det(A) módulo 26 não é divisível por 2 ou 13. e só se. o resíduo de det(A) módulo m tem um recíproco módulo m. obtemos o corolário seguinte. então a inversa de A (mod 26) é dada por (2) 1 onde (ad  bc) é o recíproco do resíduo de ad  bc (mod 26). Como os únicos fatores primos de m  26 são 2 e 13.3 Uma matriz quadrada A com entradas em Zm é invertível mó- dulo m se.15. det(A) tem um recíproco. Como o resíduo de det(A) módulo m tem um recíproco módulo m se.4 Uma matriz quadrada A com entradas em Z26 é invertível mó- dulo 26 se. COROLÁRIO 10. e só se. m e o resíduo de det(A) módulo m não têm fatores primos comuns.15. que é útil em criptografia. COROLÁRIO 10. O teorema seguinte é o análogo desse resul- tado em aritmética modular. esse resíduo e m não têm fator primo comum.15. 0 ou. Analogamente. Pela Tabela 1. A1 A  I (mod 26)   E X E M P L O 7 Decifrando uma cifra de Hill de ordem 2 Decifre a cifra de Hill de ordem 2 dada.660 Álgebra Linear com Aplicações  E X E M PLO 6 Inversa de uma matriz mod 26 Encontre a inversa de módulo 26.br/ .blogspot. que foi criptografada pela matriz do Exemplo 6.com. Conferindo. os equivalentes alfabéticos desses vetores são ST RI KE NO WW que fornecem a mensagem STRIKE NOW  https://livros-pdf-ciencias-exatas. GTNKGKDUSK Solução Pela Tabela 1. como segue. Solução det(A)  ad  bc  5 · 3  6 · 2  3 de modo que. por (2). 1 (ad  bc)  31  9 (mod 26) Assim. multiplicamos cada vetor cifrado pela inversa de A (obtida no Exemplo 6). o equivalente numérico do texto cifrado é 7 20 14 11 7 11 4 21 19 11 Para obter os pares de texto comum. pela Tabela 2. Se for a matriz n n de vetores coluna pT1 . pTn e se for a matriz n n de vetores linha cT1 . examinando algum texto cifrado in- terceptado. Esse teorema nos diz que. . fomos capazes de deduzir que a mensagem é uma carta que começa com DEAR SIR. TEOREMA 10. O próximo exemplo ilustra um algoritmo simples para fazer isso. . se tivermos uma cifra de Hill de ordem n e se p1 . cT2 . p2 . consequentemente. . .  E X E M P L O 8 Usando o Teorema 10. digamos que.15 Criptografia 661 Como o objetivo de criptografar mensagens e informações é impedir que “oponentes” Decifrando uma cifra de Hill descubram seu conteúdo. p2 . . sua inversa A (mod m). pn vetores comuns linearmente independentes e sejam c1 . cTn . portanto. Concluímos esta seção discutindo uma técnica para quebrar cifras de Hill. então a sequência de operações ele- mentares com as linhas que reduz C a I transforma P em (A1)T. . os criptógrafos têm uma preocupação com a segurança de suas cifras. . . . ter acesso ao resto da mensagem. . . . sabendo que ela começa com a palavra DEAR. . Por exemplo. com alguns poucos desses dados. pode ser possível determinar a matriz decodificadora de um cifra de Hill e. pn forem vetores comuns linearmente independentes cujos correspondentes vetores cifrados Ap1 . . para encontrar a transposta da matriz decodificadora A1. É um resultado básico em Álgebra Linear que uma transformação fica completamente determinada por seus valores numa base. Apn sejam conhecidos.5 Determinando a matriz decodificadora Sejam p1 . devemos encontrar uma sequência de operações elementares com as linhas que reduza C a I e então aplicar essas mesmas operações com as linhas de P. O próximo teorema. cuja prova é discutida nos exercícios.15. quão facilmente podem ser decifradas pelos oponentes (ou quebradas). . então disporemos de informação suficiente para determinar a matriz A 1 e. . Esse princípio sugere que. Ap2 . fornece uma maneira de fazer isso. pT2 . Suponha que consigamos algum texto comum e o cifrado correspondente de uma men- sagem de nosso oponente. . . . cn os correspondentes vetores cifrados de uma cifra de Hill de ordem n.15. .5 Foi interceptada a cifra de Hill de ordem 2 IOSBTGXESPXHOPDE Decifre essa mensagem. Mostremos que. . . 10. ou seja. . c2 . aplicar essas operações a para obter (A1)T (a transposta da matriz decodificadora). Somamos 19 vezes a segunda linha à primeira. 1 Multiplicamos a segunda linha por 5  21. Substituímos as entradas da segunda linha pelos seus resíduos módulo 26. As contas podem ser feitas como segue. Formamos a matriz [C | P]. terá o formato [I | (A1)T ]. 1 Multiplicamos a primeira linha por 9  3. Substituímos 45 pelo seu resíduo módulo 26. A matriz final. então. Somamos 19 vezes a primeira linha à segunda. Substituímos as entradas da primeira linha pelos seus resíduos módulo 26. simultaneamente. Isso pode ser obtido adjuntando P à direita de C e aplicando as operações com as linhas à matriz resultante [C | P] até que o lado esquerdo esteja reduzido a I. . Substituímos as entradas da segunda linha pelos seus resíduos módulo 26.662 Álgebra Linear com Aplicações Solução Pela Tabela 1. o equivalente numérico do texto comum conhecido é e o equivalente numérico do texto cifrado correspondente é de modo que os vetores comuns e correspondentes vetores cifrados são Queremos reduzir a I por operações elementares com as linhas e. Finalmente. Cryptography. a matriz decodificadora é Para decifrar a mensagem. portanto. e. 10. 1. 1 Em seguida. construímos a mensagem a partir dos pares de texto comum: DE AR IK ES EN DT AN KS DEAR IKE SEND TANKS  Leitura recomendada Os leitores interessados em aprender mais sobre criptografia podem consultar os livros listados a seguir. a Primer (New York: Wiley-Interscience. multiplicamos os vetores cifrados sucessivamente pela esquerda por A e encontramos os equivalentes alfabéticos dos pares de texto comum resultantes. 1981). a Mathematical Approach (Mathematical Association of America. como segue. agrupamos primeiro o texto cifrado em pares e encontramos os equivalentes numéricos de cada letra. KONHEIM. 2. 2009). Elementary Cryptanalysis. O primeiro é elementar e o segundo é mais avançado. ALAN G. . ABRAHAM SINKOV.15 Criptografia 663 Assim. . 10. fossem permitidos o ponto. 2. uma sequência de 0 e 1. (b) Encontre a inversa módulo 2 da matriz codificadora e verifique que ela decodifica a mensagem codificada en- (a) (b) (c) contrada na parte (a). 1  1 ciente com cifras de Hill de ordem n se n 2. . Sob que condições uma matriz cujas entradas são de Z29 seria invertível módulo 29? SAKNOXAOJX 9. conclua que essa equação não possui solução em Z26 . . sabendo que a versão comum da mensagem começa com a palavra Mostre que ARMY.664 Álgebra Linear com Aplicações Conjunto de exercícios 10. você deverá ler a documentação pertinente do utilizando um recurso computacional. ou C1. sabendo que as quatro últimas letras do texto comum são 11. a vír- (d) (e) (f) gula e o ponto de interrogação.]  0 (mod 2). esse recurso é recurso particular que estiver utilizando. ordem n.15 1. Se. Decodifique a mensagem feita módulo 29. Em cada uma das partes. Em geral. (a) (b) como a matriz codificadora. contre a matriz decodificadora A1 do Exemplo 8 usando 7.15 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos Em cada exercício. mostre que 6. Decodifique a cifra de Hill de ordem 2 do que segue que a mesma sequência de operações de LNGIHGYBVRENJYQO linha que reduz C a I converte P a (A1)T. . 4. . você estará capacitado a usar seu recurso computacio- . SL HK En · · · E2E1C  I Encontre as matrizes codificadora e decodificadora. 2. Nesse caso. Mostre que P  C(A1)T.5 como no texto. Substituindo sucessivamente os valores x  0. seu resultado verificando que AA1  A1A  I (mod 26). Decodifique a cifra de Hill de ordem 3 A1  (C1P)T (mod 26) HPAFQGGDUGDDHPGODYNOR onde C e P são as matrizes definidas no Teorema 10.5 é mais efi- módulo 2 em vez da módulo 26.15. Derive ou Mathcad. sejam E1 . Se for.15. 8. Assim. Em cada parte. Suponha que queiramos criptografar a mensa- Seção 10. . En · · · E2E1P  (A1)T 5.5. en- IHAVECOME. o Teorema 10. 1. Maple. (a) Sejam P e C as matrizes do Teorema 10. além do alfabeto padrão.15. . sabendo que as nove primeiras letras do texto comum são (b) Em vez de usar o Teorema 10. Todos os resultados desta seção podem se generalizados para o resultado na parte (a) e a Equação (2) para calcular o caso em que o texto comum for uma mensagem binária. En as os pares matrizes elementares que correspondem às operações elementares com as linhas que reduzem C a I. teríamos 29 letras disponíveis para texto comum e cifrado e toda a aritmética matricial seria 3. ou seja. E2 . O objetivo destes exer- MATLAB. [Observação: embora esse método seja prático com seja. 25 na sabendo que é uma cifra de Hill com matriz codificadora equação modular 4x  1 (mod 26). determine se a matriz é invertível módulo 26.5.15. usamos a aritmética cifras de Hill de ordem 2. encontre uma inversa módulo 26 e confira (a) Encontre a mensagem codificada. exercícios. por exemplo. Começamos separando a mensagem em ter- DARK NIGHT nos para formar os três vetores e tomamos com matriz codificadora dada. . Mathematica.15. Uma vez dominadas as técnicas nestes calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. obtenha a cifra de Hill da mensagem gem 110101111. (a) Se A for a matriz codificadora de uma cifra de Hill de ATOM. É interceptada uma cifra de Hill de ordem 2 que começa com (b) Para provar o Teorema 10. mas também cícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma recurso computacional.5. Em seguida calcule ␸(n) usando a fórmula dada e compare a lista com seus resultados na parte (a). a6}  {1. 5. [Sugestão: some as primeiras m  1 linhas {a1 . o número de inteiros positivos S9  {a1 . Dado um inteiro positivo n. seja Sn  sua conjectura. 3. . Então em cada caso. um outro inteiro positivo se os dois inteiros não tiverem fator (c) Use os resultados da parte (a) para provar a validade de comum (a não ser 1). como {2. ␸(6)  2. Por (a) Construa uma tabela consistindo em n e Sn com exemplo. por exemplo. 1 e 5) são menores do que 6 e não têm fator comum com 6.] O que junto de todos os inteiros positivos menores do que n que são esses resultados implicam sobre a inversa de Pn (mod n)? relativamente primos com n. (a) Usando um computador. p3 . . Va. com a1  a2  a3  · · ·  am. Faça uma conjectura para n 15 e prove use esses inteiros para determinar os valores de ␸(n) com a validade de sua conjectura. pm} forem to- (b) Dado um inteiro positivo n e o conjunto Sn . . .2. a2 . a3 . 8} menores do que n e relativamente primos com n é denomi- nado a função Phi de Euler de n e é denotada por ␸(n). cada in- . 3. . calcule e imprima a lista de todos os inteiros positivos que são menores do que n e re- lativamente primos com n. . o con. . 15 e em seguida use esses resultados T1. com n  2. então n  a também nos resultados? é relativamente primo com n. . . p2 .] (b) Pode ser mostrado que se {p1 . 3.16 Genética 665 nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercí. 25. . de Pn com a última linha e use o Teorema 2.3. . Use um computador para calcular det(Pn) e det(Pn)(mod cios regulares. Por hereditariedade autossômica. 3. então triz m m Por exemplo. . Usando um computador. . . . já que somente dois inteiros positivos (a n  2. . .16 Genética Nesta seção. PRÉ-REQUISITOS: Autovetores e autovalores Diagonalização de uma matriz Compreensão intuitiva de limites Nesta seção. temos de modo que. 3} são os fatores primos distintos de 12. imprima todos os fatores primos de n com n  2. . que denotamos por A e a. . 15 e depois calcule saber. . Dado um inteiro positivo n. Características hereditárias mos supor que a característica hereditária sob consideração seja governada por um con- junto de dois genes. . . 25. então T2. . 11} serem os únicos inteiros positivos menores do que 12 relativamente pri- mos com 12. n) com n  2. . . investigamos a propagação de uma característica herdada em sucessivas gerações calculando potências de uma matriz. o que confere com o fato de {1. 25. examinamos a hereditariedade de características de animais ou plantas. 7. Dizemos que um inteiro positivo é relativamente primo com para construir uma conjectura. 4. a3 . 5. . 10. . se n  9. a2 . 2. Você consegue descobrir algum padrão se a for relativamente primo com n. 3. . . 10. [Sugestão: use o fato de que n  2. . am}. . 7. . seja Pn a ma- dos os fatores primos distintos de n. Por exemplo. Aa ou aa). são características controladas por hereditariedade ligada ao sexo. Construímos modelos matriciais que dão os prováveis genótipos dos descendentes em termos dos genótipos dos pais e usamos esses modelos matriciais para acompanhar a distribuição genotípica de uma população através de sucessivas gerações. escrevemos an  fração de plantas do genótipo AA na enésima geração bn  fração de plantas do genótipo Aa na enésima geração cn  fração de plantas do genótipo aa na enésima geração . dizemos que o gene A domina o gene a. Se um dos pais é do genótipo aa e o outro é do genótipo Aa. Pelo que sabemos. a cor dos olhos é controlada por hereditariedade autossômica. 1. . Com n  0. e determina como o caráter controlado por esses genes se manifesta no indivíduo. a hemofilia e a distrofia muscular. o descendente sem- pre receberá um gene a do genitor aa e receberá. Consequentemente. . 2. Aa e aa. Hereditariedade autossômica Na hereditariedade autossômica. ou um gene A ou um gene a do genitor Aa. Além da hereditariedade autossômica. Tabela 1 Genótipo do Genótipo dos pais descendente AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa AA 1 0 0 0 Aa 0 1 0 aa 0 0 0 1  E X E M P L O 1 Distribuição dos genótipos numa população Suponha que um agricultor tenha uma grande população de plantas consistindo em algu- ma distribuição de todos os três possíveis genótipos AA. é igualmente provável que o descendente herde o gene A ou o gene a daquele genitor. e os possíveis pares são AA. O agricultor deseja im- plementar um programa de criação no qual cada planta da população é sempre fertilizada por uma planta do genótipo AA. Nos humanos. Aa e aa. Na Tabela 1. Esse par de genes é denominado genótipo do indivíduo. o daltonismo. nas bocas-de-leão.666 Álgebra Linear com Aplicações divíduo de cada sexo possui dois desses genes. o macho da espécie possui somente um dos dois possíveis genes (A ou a) e a fêmea possui um par de dois genes (AA. com igual probabilidade. Nesse caso. listamos as probabilidades dos possíveis genótipos dos descendentes para todas as possíveis combinações de genótipos dos pais. Queremos deduzir uma expressão para a distribuição dos três genótipos na população depois de um número qualquer de gerações. é uma questão de probabi- lidade qual dos dois genes os pais passam aos filhos. pois o genótipo Aa apresenta a mesma característica externa que o genótipo AA. para citar somente alguns. Assim. se um dos pais é do genó- tipo Aa. também discutiremos a hereditariedade liga- da ao sexo. a calvície hereditária. Nesse tipo de hereditariedade. Por exemplo. o genótipo Aa produz flores roxas e o genótipo aa produz flores brancas. um indivíduo herda um dos genes de cada par de genes dos seus pais para formar seu próprio par. . A seguir explicamos a maneira pela qual os genes dos pais são passados para seus descendentes nos dois tipos de hereditariedade. O genótipo AA produz flores vermelhas. . ou então que o gene a é recessivo em relação ao gene A. cada descendente terá chances iguais de ser do genótipo Aa ou aa. Nos humanos. Os genótipos AA e Aa têm olhos cas- tanhos e o genótipo aa tem olhos azuis. um conjunto de dois genes controla a cor da flor. n = 1. na Equação (4). a primeira dessas três equações afirma que. podere- mos usar (3) para encontrar uma expressão explícita de x(n). pelas equações (1) Por exemplo. Pela Tabela 1. 2. 1. . 2. . teremos. a0 . primeiro diagonalizamos M. . . n onde A diagonalização de M é obtida encontrando os autovalores e correspondentes autoveto- res. . podemos determinar a distribuição de genótipos em cada geração a partir da distribuição na geração precedente. todos os descendentes de uma planta do genótipo AA serão do genótipo AA. . procuramos uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que 1 M  PDP (4) Com essa diagonalização. se conseguirmos encontrar uma expressão explícita de M . Da Equação (2). . b0 e c0 especificam a distribuição inicial dos genótipos. 10. nesse programa de criação. . e metade dos descendentes de uma planta do genótipo Aa será do genótipo AA. temos . 2. Eles são (verifique) Assim. segue que x  Mx  M2x(n2)  · · ·  Mnx(0) (n) (n1) (3) n Consequentemente. Também temos que an  bn  cn  1 com n  0. ou seja. As Equações (1) podem ser escritas em notação matricial como x(n)  Mx(n1).16 Genética 667 Assim. então (ver Exercício 1) n 1 M  PD P com n  1. (2) onde Observe que as três colunas da matriz M são iguais às três primeiras colunas da Tabela 1. Para encontrar uma expressão explícita de Mn. . então. Isso mostra que. Aa–Aa e aa–aa na Tabela 1. Usando a mesma notação do Exemplo 1. no limite. então. todas as plantas da população serão do genótipo AA. Como tende a zero quando n tende ao infinito. Lembrando que a0  b0  c0  1. obtemos (5) Essas são fórmulas explícitas para a fração dos três genótipos na enésima geração de plan- tas em termos das frações de genótipos iniciais.668 Álgebra Linear com Aplicações e Portanto. segue dessas equações que quando n tende ao infinito. que x(n)  Mnx(0) com As colunas dessa nova matriz M são iguais às colunas correspondentes a pais dos genóti- pos AA–AA. ou. teremos.  E X E M P L O 2 Modificando o Exemplo 1 Podemos modificar o Exemplo 1 supondo que cada planta da população é sempre ferti- lizada por uma planta do seu próprio genótipo em vez de sempre ser fertilizada por uma planta do genótipo AA. . e o genótipo aa é afetado pela doença. Não pode haver cruzamentos AA–aa. fertilizando cada planta com uma de seu próprio genótipo. muitas vezes essas doenças genéticas são associadas a um grupo racial específico. obtemos (verifique) As contas com x(n) são Assim. com um macho normal. contém somente os genótipos AA e aa. mas não é por ela afetado. de modo que Assim. 10. e . anemia falciforme (predominante entre negros).  Existem muitas doenças genéticas governadas por hereditariedade autossômica nas quais Doenças recessivas um gene normal A domina um gene anormal a. no limite. independentemente de seu genótipo. autossômicas o genótipo Aa é um portador da doença. todos os futuros descendentes terão os dois pais normais (um cruzamento AA–AA) ou um pai normal e uma mãe portadora (um cruzamento AA–Aa). quando n tende ao infinito. Escolhendo dois autovetores linearmente independentes v1 e v2 nesse autoespaço e um único vetor v3 associado ao autovalor simples .16 Genética 669 Os autovalores de M são (verifique) O autovalor ␭1  1 tem multiplicidade dois e seu autoespaço correspondente é bidimen- sional. talassemia (predominante entre pessoas de origem da região do Mar Mediterrâneo) e doença de Tay-Sachs (predominante entre judeus europeus ocidentais). por exemplo. O genótipo AA é um indivíduo normal. fibrose cística (predominante entre brancos). temos uma população que. Nos humanos. pois animais do genótipo aa não chegam à maturi- . Suponha que um criador de animais tenha uma população animal portadora de uma doença recessiva autossômica. Suponha também que os animais afligidos pela doença não sobrevivam até a maturidade. Uma maneira possível para o criador controlar tal doença é sempre cruzar qualquer fêmea. Dessa maneira. (6) No limite. dada por x M x . (n) n (0) A diagonalização de M é feita com facilidade (ver Exercício 4) e leva a Como a0  b0  1. a Equação (8) é substituída por (9) . Seria interessante também investigar a propagação de portadores com cruzamentos aleatórios. 2. esses cruzamentos aleatórios levam a equações não lineares.670 Álgebra Linear com Aplicações dade. em que Conhecendo a distribuição inicial x(0). não haverá mais portadores na população. A partir de (7). resulta de modo que. Nesse tipo de programa de cruzamentos. . agora. a transição de distribuição de genótipo de uma geração para a seguinte é governada pela equação x  Mx n  1. . no limite. e as técnicas desta seção não são aplicáveis. . Contudo. Escrevemos onde an  fração da população de genótipo AA na enésima geração bn  fração da população de genótipo Aa (portadores) na enésima geração Como cada descendente tem pelo menos um dos pais normais. a fração de portadores em cada geração é a metade da fração de portadores na geração precedente. com outras técnicas pode ser mostrado que. Determinemos. 2. . quando dois animais cruzam independentemente de genótipo. não haverá descendentes futuros doentes. In- felizmente. n  1. Assim. como no Exemplo 1. embora ainda haja portadores em gerações futuras. . portanto. . a distribuição de genótipos na enésima geração é. vemos que (8) ou seja. quando n tende ao infinito. com cruzamento aleatório. obtemos (7) Assim. podemos considerar esse programa de cruzamentos controlados como um de cruzamento constante com o genótipo AA. (n) (n1) . a fração de portadores nas gerações futuras. esses casamentos entre irmãos foram usados pelos mandatários do Egito antigo para manter pura a linhagem real. Como mencionamos na introdução.16 Genética 671 Como um exemplo numérico. mas. Aa) cn  probabilidade de o par de irmãos na enésima geração ser do tipo (A. e os cruzamos. (A. o macho possui Hereditariedade ligada ao um gene (A ou a) e a fêmea possui dois genes (AA. AA). em seguida selecionamos dois dos descendentes resultantes e os cruzamos. AA) (a. Para calcular essas probabilidades. AA). (a.) O par original de macho-fêmea pode ser de um de seis tipos. Tabela 2 Genótipo dos pais (pai. 2. aa) A 1 0 1 0 Macho a 0 1 0 1 Descendente AA 1 0 0 0 0 Fêmea Aa 0 1 1 0 aa 0 0 0 0 1 Vamos discutir um programa de procriação consanguínea relacionada com heredita- riedade ligada ao sexo. mãe) (A. e um descendente fêmea recebe o único gene de seu pai além de um dos dois genes de sua mãe. correspondentes às seis colunas da Tabela 2. Tal procriação con- sanguínea é normalmente utilizada com animais. um de cada sexo. e assim por diante. (a. com igual probabilidade. Iniciando com um macho e uma fêmea. a saber. aa) (a. suponha que um criador comece com uma população na qual 10% dos animais sejam portadores. (A. mas com cruzamento alea- tório pode ser mostrado que 1 em cada 400 descendentes vai nascer doente se 10% da população for portadora. na hereditariedade ligada ao sexo. an  probabilidade de o par de irmãos na enésima geração ser do tipo (A. aa) . bn  0.10). aa) dn  probabilidade de o par de irmãos na enésima geração ser do tipo (a. (a. com n  1. escrevemos. (Entre humanos. A hereditariedade desses genes é como segue: um descendente macho recebe um dos dois genes de sua mãe com igual probabilidade. dos quais o macho tem um e a fêmea tem dois. a porcentagem de portadores pode ser reduzida a 5% em uma geração. 10. Com o programa de cruzamento controlado go- vernado pela Equação (8). Os leitores familiares com probabilidade básica podem verificar que esse tipo de hereditariedade leva às probabilidades de genótipos da Tabela 2. AA) (A. Aa).095 se bn1  0. AA) bn  probabilidade de o par de irmãos na enésima geração ser do tipo (A.5% da população é portadora depois de uma geração (ou seja. aa) Os pares de irmãos cruzados em gerações sucessivas têm certas probabilidades de ser um desses seis tipos. . a Equação (9) prevê que 9. (A. . selecionamos dois de seus descendentes aleatoriamente. jamais haverá descendente doente. Aa) (A. . Aa) fn  probabilidade de o par de irmãos na enésima geração ser do tipo (a. Aa). com cruzamento aleatório. O termo “ligada ao sexo” sexo é usado porque esses genes são encontrados no cromossomo X. AA) en  probabilidade de o par de irmãos na enésima geração ser do tipo (a. Aa) (a. aa). com cruzamento controlado. Além disso. . Aa ou aa). que são . 2. Aa). (a. suponha que o par de irmãos na (n  1)-ésima geração seja do tipo (A. Aa) com probabilidades iguais. . . (n) (n1) . (Ver Exercício 9 para as demais colunas. formamos o vetor coluna Pela Tabela 2. Então o descendente macho será do genótipo A ou a com igual probabilidade e a des- cendente fêmea será do genótipo AA ou Aa com igual probabilidade. . n  1. Como um dos des- cendentes machos e uma das descendentes fêmeas será escolhido ao acaso para cruzar. . AA) ou (a. a segunda coluna de M contém “ ” em cada uma das quatro linhas correspondentes a esses quatro pares de irmãos. (10) onde Por exemplo.) Como no nosso exemplo anterior. segue que x  Mx n  1. (n) n (0) (11) Com uma conta demorada. podemos obter os autovalores e autovetores de M. AA). 2. (A. o próximo par de irmãos será de um dos tipos (A.672 Álgebra Linear com Aplicações Com essas probabilidades. . Assim. segue de (10) que x Mx . . Aa). (n) (12) onde Não escrevemos o produto matricial de (12) por ser um pouco desajeitado. se for dado um vetor específico x(0). . . Segue da Equação (12) que . os cálculos para x(n) não são muito incômodos (ver Exercício 6). n  1. 2. . vemos que quando n tende ao infinito.16 Genética 673 A diagonalização de M leva a n 1 (0) x  PD P x . Contudo. Como os valores absolutos das últimas quatro entradas na diagonal de D são menores do que 1. 10. b0  1 e a0  c0  d0  e0  f0  0) então. 9. Aa) (ou seja. há uma probabilidade de que os pares de irmãos serão (A. qual será a porcentagem de portadores depois do Encontre a matriz de transição que descreve como a distribui- mesmo número de gerações? ção genotípica muda em uma geração. Aa e aa na enésima geração. então Mn  PDnP1. ou seja. que as plantas sejam veis com igual probabilidade. aa). se os pais iniciais forem do tipo (A. AA) e (a. . 25% seja portadora de uma doença recessiva autossômica. a partir da Equação (13). as plantas da primeira geração sejam fertilizadas pelo genótipo Aa. 4. (A. Mostre que se M  PDP1. a probabilidade de que no limite o par de irmãos seja (A. ligada ao sexo com procriação consanguínea. . as plantas da se- gunda geração sejam fertilizadas pelo genótipo AA e que seja mantida essa alternância. Se o criador permitir aos animais cruzar sem levar em conta o seu 8. obtemos (verifique) (13) Isso mostra que. Assim. aa). use a Equação (9) para calcular o número de gera. . AA) ou do tipo (a. fêmeas do genótipo Aa chegue à maturidade. os pares de irmãos possíveis são. cair de 25% para 10%. no contexto do Exemplo 1. então. Deduza a matriz M da Equação (10) a partir da Tabela 2. AA). suponha que nenhuma das genótipo. 2. o programa de cruzamentos controlados determinado pela Equação (8). Na hereditariedade ligada ao sexo. aa) so. com 6. . Usando a Equação (12). no limite. (A. Suponha que um criador tenha uma população animal na qual porção de genes A na população inicial. Conjunto de exercícios 10. os pais iniciais sejam de um dos seis pares genotípicos possí- 2. suponha que n  1. em vez dis. 3. (a. Suponha. Também encontre o limite da distribuição genotípica quando n tende ao infinito. Suponha. Encontre os autovalores e autovetores da matriz M na seção em que discutimos doenças recessivas autossômicas e verifi.16 1. Deduza fórmulas para as frações de plantas dos genótipos AA. AA) e uma probabilidade que serão (a. Aa e aa na enésima geração. Se o criador implementar. quando n tende ao infinito. Mostre. que. calcule x(n) e também o limite de x(n) quando n tende ao infinito. no limite.674 Álgebra Linear com Aplicações Efetuando a multiplicação matricial do lado direito. no contexto do Exemplo 1. todos os pares de irmãos serão do tipo (A. . aa). Para a procria- ções que será necessário para a porcentagem dos portadores ção consanguínea. Deduza fórmulas para as frações de plantas dos genótipos AA. AA ) é igual à pro- 5. Na seção sobre hereditariedade ligada ao sexo. para a hereditariedade que a Equação (7). suponha que sempre fertilizadas por uma planta do genótipo AA. Por exemplo. que as plantas iniciais sejam fertilizadas pelo genótipo AA. 7. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios.16 Genética 675 Seção 10. em seguida. O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. (b) Começando com x(n)  Mx(n1) e a hipótese de que exista. Derive ou Mathcad. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. Em geral. . Explique por que a solução de (M  I)x  0 junto com a  b  c  d  e  f  1 não é suficientemente específica para determinar o limn→ x(n). Mathematica. Maple. Use um computador para resol- ver a equação x  Mx sendo e a  b  c  d  e  f  1. 60 e 70 e. (a) Dados a matriz utilizando um recurso computacional. (a) Use um computador para verificar que estão corretos os autovalores e autovetores de use um computador para mostrar que dados no texto. compare seus resulta- Isso sugere que x possa ser resolvido diretamente usando dos com o limite da parte (a). 20. Em cada exercício. esse recurso é MATLAB. 50. 30. a equação (M  I)x  0. você deverá ler a documentação pertinente do re- curso particular que estiver utilizando. compare seu resultado com a Equação (13). 40. 10.16 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2. devemos ter (b) Use um computador para calcular Mn com n  10. da Equação (12) e o limite T1. L] Vamos supor que seja conhecido o número de fêmeas em cada uma das n faixas no ins- tante t  0. tk . . Tabela 1 Faixa etária Intervalo de idade 1 [0. digamos. então cada faixa terá L/n anos de duração. Des- crevendo esses três processos quantitativamente. e assim por diante. o número de fêmeas dentro de cada uma das n faixas muda em virtude de três processos biológicos: nascimento. determinamos o limite da distribuição etária e da taxa de crescimento populacional. Em seguida. Numeramos as faixas etárias de acordo com a Tabela 1. (n  1)L/ n) n [(n  1)L/ n. PRÉ-REQUISITOS: Autovetores e autovalores Diagonalização de uma matriz Compreensão intuitiva de limites Um dos modelos de crescimento populacional mais comumente usado pelos demógrafos é o assim chamado modelo Leslie. .676 Álgebra Linear com Aplicações 10. Se dividirmos a população em n faixas etárias. vamos supor que há x1(0) fêmeas na primeira faixa. t2 . Em particular. .17 Crescimento populacional por faixa etária Nesta seção. . x2(0) fêmeas na segunda faixa. . . Para sermos específicos. Nesse modelo. À medida que o tempo avança. L/n) 2 [L/n. utilizamos o modelo matricial Leslie para investigar o crescimento ao longo do tempo de uma população feminina que está dividida em faixas etárias. desenvolvido na década de 1940. Esse modelo descre- ve o crescimento da parte fêmea de uma população animal ou humana. morte e envelhecimento. 3L/ n) n1 [(n  2)L/ n. . veremos como projetar o futuro do vetor de distribuição etária inicial. t0 . A maneira mais fácil de estudar o processo de envelhecimento é observar a população a intervalos discretos de tempo. 2L/ n) 3 [2L/␺ n. suponha que a idade máxima atingida por qualquer fêmea da população seja L anos (ou alguma outra unidade de tempo). as fêmeas são divididas em faixas etárias de igual duração. O modelo Leslie requer que . t1 . formamos um vetor coluna que denominamos vetor de distribuição etária inicial. Com esses n números. Em seguida. n) ela está na faixa etária i A fração de fêmeas da faixa etária bi i que se espera que vá sobreviver e (i  1. Também vamos supor que pelo menos um dos ai seja positivo. n  1) passar para a faixa etária (i  1) Pelas definições. podemos escrever o número de o número de o número de filhas nascidas filhas nascidas filhas nascidas o número de de fêmeas na de fêmeas na de fêmeas na fêmeas na faixa etária faixa etária faixa etária faixa etária 1 1 entre os 2 entre os n entre os no instante tk instantes tk1 instantes tk1 instantes tk1 e tk e tk e tk . . pois. Qualquer faixa etária em que o valor correspondente de ai for positivo é denominada faixa etária fértil. no instante tk . nenhuma fêmea so- breviveria a faixa etária i. definimos o vetor x(k) de distribuição etária no instante tk por em que xi(k) é o número de fêmeas na faixa etária i no instante tk . temos que Note que não permitimos que qualquer bi seja nulo. O número médio de filhas nascidas ai por fêmea durante o tempo em que (i  1. todas as fêmeas na faixa etária (i  1) no instante tk1 estavam na faixa i no instante tk. . as fêmeas na primeira faixa etária são exatamente as filhas nascidas entre os instantes tk1 e tk . Portanto.17 Crescimento populacional por faixa etária 677 a duração entre dois tempos de observação sucessivos seja igual à duração da faixa etária. colocamos Com essa hipótese. . 10. 2. . . Assim. . nesse caso. Agora. 2. . de modo que há algum nascimento. . Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observações sucessivas podem ser descritos por meio dos parâmetros demográficos seguintes. . se conhecermos a distribuição etária inicial x e a matriz de Leslie L. . obtemos (5) (0) Assim. . 2. mais compactamente.  E X E M P L O 1 Distribuição etária de fêmeas em animais Suponha que a idade máxima atingida pelas fêmeas de uma certa população animal seja de 15 anos e que a população seja dividida em três faixas etárias de mesma duração de cinco anos. matematicamente. n  1) no instante tk são aquelas fêmeas que estavam na faixa etária i no instante tk1 e que ainda vivem no instante tk. como x(k)  Lx k  1. (2) Usando notação matricial. podemos escrever as Equações (1) e (2) como ou. matematicamente. (1) As fêmeas na faixa etária (i  1) (i  1. . . (k1) . Assim. 2. . a fração de o número de fêmeas da faixa o número de fêmeas na faixa etária i que fêmeas na etária i  1 no sobrevive e passa faixa etária i instante tk para a faixa no instante tk1 etária i  1 ou.678 Álgebra Linear com Aplicações ou. Suponha que a matriz de Leslie dessa população seja . . poderemos determinar a distribuição etária das fêmeas em qualquer tempo posterior. (3) onde L é a matriz de Leslie (4) Pela Equação (3). 375 fêmeas entre 5 e 10 anos e 875 fêmeas entre 10 e 15 anos. Os autovalo- res de L são as raízes do polinômio característico.  Embora a Equação (5) dê a distribuição etária da população em qualquer instante. Para ter isso. 10. ela não Comportamento limite dá automaticamente uma ideia geral da dinâmica do processo de crescimento. depois de 15 anos há 14.375 fêmeas entre 0 e 5 anos. temos Assim. pedimos para o leitor verificar que esse polinômio característico é Para analisar as raízes desse polinômio.17 Crescimento populacional por faixa etária 679 Se inicialmente havia 1. precisamos investigar os autovalores e autovetores da matriz de Leslie. então. No Exercício 2. 1. é conveniente introduzir a função (6) Usando essa função. pela Equa- ção (3).000 fêmeas em cada uma das três faixas etárias. a equação característica p(␭)  0 pode ser escrita (verifique) como q(␭)  1 com ␭ . ␭  ␭1. 0 (7) Como todos os a e b são não negativos. existe um único ␭.1.17. tal que q(␭1)  1. vemos que q(␭) é monotonamente decrescente q(␭) com ␭ maior do que zero. Além disso.1 (8) . mas o leitor pode verificar que um autovetor associado a ␭1 é 0 ␭1  Figura 10. ou seja. digamos. q(␭) tem uma assíntota vertical em ␭  0 e tende a zero quando ␭ → . Consequentemente.17. Não daremos os detalhes computa. a matriz L tem um único autovalor positivo. 1 ␭1 não é uma raiz repetida da equação característica. ␭ cionais. Ou seja. como indicamos na Figura 10. Também pode ser mostrado (Exercício 3) que ␭1 tem multiplicidade 1. 3 Os três autovalores têm valor absoluto 1. Esse autovalor tem multi- plicidade 1 e um autovetor associado x1 cujas entradas são todas positivas. enunciamos a condição suficiente que segue sem demonstração. Podemos resumir esses resultados no teorema seguinte. Isso signi- 3 (0) fica que. nem todas as matrizes de Leslie satisfazem essa condição. No entanto. qualquer autovetor associado a x1 é algum múltiplo de x1 .1 Existência de autovalores positivos Uma matriz de Leslie L tem um único autovalor positivo ␭1 .  E X E M PLO 2 Uma matriz de Leslie sem autovalor dominante Seja Então o polinômio característico de L é p(␭)  |␭I  L|  ␭  1 3 Os autovalores de L são. Agora mostramos que o comportamento a longo termo da distribuição etária da população é determinado pelo autovalor positivo ␭1 e seu autovetor x1 .2 Autovalores de uma matriz de Leslie Se ␭1 for o único autovalor positivo de uma matriz de Leslie L e ␭k for qualquer outro autovalor real ou complexo de L. então |␭k |  ␭1. Observe que essa matriz de Leslie tem a propriedade L  I. dada qualquer escolha da distribuição etária inicial x . TEOREMA 10. temos x x x ···x ··· (0) (3) (6) (3k) Isso significa que o vetor de distribuição etária oscila com um período de três unidades de tempo. No Exercício 9. diríamos que ␭1 é um autovalor dominan- te de L. Para os nossos propósitos. as soluções de ␭  1. .2 não é suficientemente forte.  Está além do objetivo deste livro discutir condições necessárias e suficientes para ␭1 ser um autovalor dominante. gostaríamos que valesse |␭k |  ␭1. Nesse caso. Contudo.680 Álgebra Linear com Aplicações Como ␭1 tem multiplicidade 1. de modo que o único autovalor positivo ␭1  1 não é dominante.17. portanto. como mostramos no próximo exemplo. a conclusão do Teorema 10. portanto. a saber. como veremos.17. Tais oscilações (denominadas ondas populacionais) não podem ocorrer se ␭1 for um autovalor dominante. TEOREMA 10.17. pedimos para o leitor provar o resultado seguinte. o autoespaço correspondente tem dimensão 1 (Exercício 3) e. . xn . . então. . . Nesse caso. . só há uma faixa etária fértil (a terceira) e. Nessa listagem. . n. . dada pela equação Daqui segue que com k  1. x1 . portanto. .17. No que segue. . Dado qualquer vetor de distribuição etária inicial x(0). . não necessariamente distintos. ␭2 . n k . Note que. Vamos supor que L seja diagonalizável. com k  1. 2. mas simplifica a argumentação.17. L tem n autovalores ␭1 . Agora construímos uma matriz P cujas colunas são os autovetores de L. não vale a hipótese do Teorema 10. . vamos supor sempre que a condição do Teorema 10. x2 . .3 seja válida.17 Crescimento populacional por faixa etária 681 TEOREMA 10. obtemos (9) Como ␭1 é o autovalor dominante. 2. .17. . . ␭n . P  [x1 | x2 | x3 | · · · | xn] A diagonalização de L é. . . Isso não é realmente necessário para o que queremos mostrar. 10. no Exemplo 2. temos. . Assim. .3. e n autovetores associados linearmente independentes. se a população de fêmeas tem duas faixas etárias férteis sucessivas. 3.3 Autovalor dominante Se duas entradas sucessivas ai e ai1 da primeira linha de uma matriz de Leslie L forem não nulas. 3. . Isso sempre ocorre com populações de verdade se a faixa etária for tomada suficientemente pequena. . . Segue que (␭i /␭1) → 0 quando k →  com i  2. então o autovalor positivo de L é dominante. então a matriz de Leslie tem um autovalor dominante. então. Dividindo ambos os lados dessa equação por ␭1k e lembrando que x(k)  Lkx(0). temos |␭i /␭1|  1 com i  2. o autovalor dominante ␭1 aparece em primeiro lugar. assim como o número total de fêmeas da população. pedimos para o leitor mostrar que o lado direito de (10) pode ser reescrito como cx1. Como vemos no próximo exemplo.682 Álgebra Linear com Aplicações Usando esse fato. onde c é uma constante positiva que depende somente do vetor de distribuição etária inicial x(0). Por (8). a cada cinco anos o número de fêmeas em cada uma das três faixas cresce cerca de 50%. Isso significa que. cada vetor de distribuição etária é um múltiplo escalar do vetor de distribuição etária anterior. a proporção de fêmeas em cada faixa etária torna-se constante. . o es- calar sendo o autovalor positivo da matriz de Leslie.  E X E M P L O 3 De novo o Exemplo 1 A matriz de Leslie do Exemplo 1 era O polinômio característico é p(␭)  ␭3  2␭  e o leitor pode verificar que o autovalor positivo é ␭1  . essas proporções no limite podem ser determinadas a partir do autovetor x1 . com valores grandes do tempo. No Exercício 4. (10) fica (11) A Equação (11) dá a aproximação x(k) ⯝ c␭k1x1 (12) com valores grandes de k. Assim. Por (12) também temos x(k1) ⯝ c␭1k1 x1 (13) Comparando as Equações (12) e (13). temos com valores grandes de k. o autovetor correspondente x1 é Por (14). vemos que x ⯝ ␭1x (k) (k1) (14) com valores grandes de k. Consequentemente. Logo. podemos tomar o limite de ambos os lados de (9) para obter (10) 1 (0) Denotamos a primeira entrada do vetor coluna P x pela constante c. Como poucas mulheres com mais de 50 anos geram filhos. vamos nos restringir à porção da população de mulheres entre os 0 e os 50 anos de idade.99184 [40.881 mulheres entre os 10 e os 15 anos. 30) 0. 10. 85.  . a longo termo.594 mulheres entre os 5 e os 10 anos.36399 0. haverá 92.00024 0. 40) 0. No autovetor x1 podemos observar que. se as mulheres canadenses continuarem a se reproduzir e morrer como o fizeram em 1965.17 Crescimento populacional por faixa etária 683 Por (12). 50) 0.98700 [45.99729 [20.99621 [30.99460 [35. as fêmeas estarão distribuídas entre as três faixas etárias na proporção . 35) 0. Isso corresponde a uma distribuição de 72% das fêmeas na primeira faixa etária. utilizamos os parâmetros de nascimento e morte do ano de 1965 das mu- lheres canadenses. a longo termo seu número irá aumentar 7.622% a cada cinco anos. temos Consequentemente. 24% das fêmeas na segunda faixa etária e 4% das fêmeas na terceira faixa etária. Os dados são para faixas de cinco anos. de modo que há 10 faixas etárias. vamos enumerar os parâmetros como segue.44791 0.00000 0. 5) 0.05861 0. 45) 0.00240 — Usando técnicas numéricas.22259 0. Intervalo de idade ai bi [0. 10) 0. e assim por diante. 20) 0. para cada 100. 15) 0. a longo termo.28608 0. podemos aproximar o autovalor positivo e o autovetor asso- ciado por Assim.99651 [5.000 mulheres entre 0 e 5 anos de idade.02826 0.10457 0. 25) 0.  E X E M P L O 4 Distribuição etária de fêmeas humanas Neste exemplo. Em vez de escrever a ma- triz 10 10 de Leslie completa.99802 [15.99694 [25.99820 [10. e só se. tome a parte arbitrária dada pela Equação (4). ou seja. q(␭0 ) . Dada qualquer distribuição etária inicial. sua taxa líquida de reprodução é 1. temos três casos: (i) a população acaba aumentando se ␭1 1. (Requer as Seções 10. 7. (b) Começando com o vetor de distribuição etária inicial 6. 9.684 Álgebra Linear com Aplicações Voltamos à Equação (12). e só se. Conjunto de exercícios 10. Mostre que a população acaba diminuindo se.17. (a) Mostre que o autovalor positivo ␭1 de uma matriz de Leslie é sempre simples. de uma única fêmea durante o seu período de vida. la aproximada x(6) ⯝ ␭1x(5). e só se. Analogamente. das mulheres canadenses do Exemplo 4. definida por (17). pois determina uma população com cres- cimento populacional nulo. (Requer calculadora) Calcule a taxa líquida de reprodução (c) Calcule x(6) usando a fórmula exata x(6)  Lx(5) e a fórmu. a1  a2 b1  a3 b1 b2  · · ·  an b1 b2 · · · bn1  1 (16) A expressão R  a1  a2 b1  a3 b1 b2  · · ·  an b1 b2 · · · bn1 (17) é denominada taxa líquida de reprodução da população (Ver o Exercício 5 para uma interpretação demográfica de R. e só se. onde c é a primeira entrada do vetor coluna P1x(0). (iii) a população acaba estabilizando se ␭1  1.] 3. Calcule a taxa líquida de reprodução da população animal do calcule x(1).3) Prove o Teorema 10. Mostre que a taxa líquida de reprodução R. mais próximo quando necessário. Mostre que o lado direito de (10) é cx1. podemos dizer que uma população tem cresci- mento populacional nulo se. 2. Lembre que uma raiz ␭0 de um polinômio q(␭) é dita simples se. e só se. arredondando ao inteiro Exemplo 1. Encontre o polinômio característico de uma matriz de Leslie [Sugestão: escreva ␭k  rei␪. O caso ␭1  1 é particularmente interessante. que dá o vetor de distribuição etária da população para tempos grandes. real de ambos os lados e mostre que r  ␭1.) Assim. x(2). a população tende a uma distribuição etária limite que é algum múltiplo do autovetor x1 . vemos que ␭1  1 é um autovalor se. x(4) e x(5). mostre que a população acaba aumentando se. (15) De acordo com o valor do autovalor positivo ␭1. substitua em (7).2. A partir das Equa- ções (6) e (7). 4. x(3). a taxa líquida de reprodução é maior do que 1. 8.17 1. 5. a taxa líquida de reprodução é menor do que 1. (ii) a população acaba diminuindo se ␭1  1.1-10. Suponha que uma certa população animal seja dividida em (b) Mostre que o autoespaço correspondente a ␭1 tem duas faixas etárias e tenha uma matriz de Leslie dimensão 1. (a) Calcule o autovalor positivo ␭1 de L e o correspondente pode ser interpretada como o número médio de filhas nascidas autovetor x1. 0. . O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. 10. onde T3. um múltiplo escalar do vetor depois de 100 meses. Tomando vários valores de a. (b) Calcule o vetor de distribuição etária depois de 100 e T2. . . b2 . Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. Maple. (a) Escolha um valor de n (digamos. n  8). bn1 . você deverá ler a documentação pertinente do re- curso particular que estiver utilizando. . . use um computador para determinar o autovalor dominante de Ln e. Considere a sequência de matrizes de Leslie com 0  p  1. . T1. .17 Crescimento populacional por faixa etária 685 Seção 10. b2 . Mathematica. . Como esses valores se relacionam com os valores encontrados na parte (b)? (d) Suponha que queiramos controlar a população de camun- dongos administrando uma substância que reduza por uma fração constante as taxas de nascimentos por faixa etária (as entradas na primeira linha de L). b e p. (b) Mostre que (a) Use um computador para mostrar que o que significa que os autovalores de Ln devem satisfazer ␭n1  (a  bp)␭n  a(bp)n  0 com uma escolha conveniente de a em termos de b1 . Qual é o inter- valo dessas frações que acaba causando um decrescimen- to da população? . (c) Calcule o autovalor dominante de L e seu autovetor asso- ciado. .17 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos utilizando um recurso computacional. compare seus resultados com o valor de a  bp. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. bn1 forem relacionados pela (a) Calcule a taxa líquida de reprodução da população. conjecture uma re. . bn1 que garanta Lnn  In. (c) Você consegue dar um esboço de uma prova que explique (b) A partir de suas respostas na parte (a). por que ␭1 ⯝ a  bp? lação entre a e b1 . . . Considere a sequência de matrizes de Leslie 101 meses e mostre que o vetor depois de 101 meses é. aproximadamente. equação determinada na parte (b). esse recurso é MATLAB. Em geral. b2 . . Em cada exercício. Derive ou Mathcad. 0  b  1 e 1  a. Suponha que uma população de camundongos tenha uma matriz de Leslie L num período de 1 mês e com um vetor de distribuição etária x(0) dados por (c) Determine uma expressão para pn(␭)  |␭In  Ln| e use-a para mostrar que todos os autovalores de Ln satisfazem |␭|  1 se a e b1 . em seguida. Por colher queremos dizer remover animais da população. nos restringimos a políticas de colheita sustentáveis. Nesta seção. Assim. tratamos somente das fêmeas da população. a população animal não é dizimada por uma política de colheita sustentável.18 Colheita de populações animais Nesta seção. DEFINIÇÃO 1 Uma política de colheita. os animais podem ser removidos da população para outros propósitos. O modelo de colheita A Figura 10. é dita sustentável se o rendimento de cada colheita for o mesmo e a distribuição etária da população remanescente depois de cada colheita for a mesma. A população antes do A população depois do período de crescimento período de crescimento Crescimento A população não colhida A população Colheita colhida  Figura 10. uma certa fração da população de cada faixa etária é colhida de tal modo que a população não colhida tem a mesma distribuição etária que a população original. Se o número de ma- chos em cada faixa etária for igual ao número de fêmeas (uma hipótese razoável com muitas populações). utilizamos o modelo matricial Leslie de crescimento populacional para modelar a colheita sustentável de populações animais. Esse ciclo é repetido depois de cada colheita.686 Álgebra Linear com Aplicações 10. Essa população passa por um período de crescimento des- crito por uma matriz de Leslie. o que significa o seguinte. pela qual uma população animal é periodi- camente colhida.) Nesta seção.17. Começamos com uma população de uma certa distribuição etária. (O verbo “colher” não é neces- sariamente um eufemismo para “abater”. de modo que qualquer cresci- mento ou mudança na população durante o período de colheita pode ser ignorado. Supomos que a duração da colheita seja curta em comparação com o período de crescimento. PRÉ-REQUISITO: Crescimento populacional por faixa etária (Seção 10.1 . Como na Seção 10. de modo que o rendimento é sustentável. então nossas políticas de colheita também aplicam à população de machos. investigamos os efeitos de colher animais numa população que cresce de acordo com um tal modelo. Ao final do período de crescimento.17.17) Colheita Na Seção 10. so- mente é removido o excesso. utilizamos o modelo matricial Leslie para examinar o crescimento de uma população de fêmeas divididas por faixas etárias discretas. Também examinamos o efeito de colher frações diferentes de grupos etários diferentes.18.18.1 ilustra a ideia básica do modelo. ou alguma fração (0  hi  1) de cada uma das n faixas etárias. . a fração das fêmeas da faixa i que é colhida. . n. seja o vetor de distribuição etária da população antes de começar o período de crescimento.17. n) ou seja. se a população for colhida uma vez ao ano. Assim. 10. então o vetor Lx é o vetor de distribuição etária da população ao final do período de crescimento. isso coloca certas restrições nos valores de hi e de x. com i  1.18 Colheita de populações animais 687 Para descrever esse modelo de colheita matematicamente. então a população é dividida em faixas etárias de um ano. Por exemplo. 2. temos distribuição etária distribuição etária ao final do período colheita ao início do período de crescimento de crescimento ou. Se L for a matriz de Leslie que descreve o crescimento da população. Como o número de fêmeas na faixa i imediatamente antes de cada colheita é a i-ésima entrada (Lx)i do vetor Lx. matematicamente. Como mostramos em seguida. tudo (hi  1). . ime- diatamente antes da colheita periódica. Usamos esses n números para formar uma matriz diagonal n n que denominamos matriz de colheita. . . Lx  HLx  x (1) Escrevendo a Equação (1) na forma (I  H)Lx  x (2) vemos que x deve ser um autovetor da matriz (I  H)L associado ao autovalor 1. a i-ésima entrada do vetor coluna é o número de fêmeas colhidas da faixa i. Por definição. 2. Suponha que a matriz de Leslie da população seja (3) . Seja hi . . Como na Seção 10. xi é o número das fêmeas na faixa etária i que não foram colhidas. exigimos que a duração de cada faixa etária seja idêntica à duração do período de crescimento. . . podemos colher nada (hi  0). Pela definição de política de colheita sustentável. temos 0  hi  1 (i  1. . .] Uma possível escolha de x é o autovetor normalizado seguinte. Na Seção 10. a maior população que ele puder criar entre as safras determinaria a constante particular pela qual devemos multiplicar x1 para obter o vetor apropriado x na Equação (2). então a matriz (I  H)L tem o autovalor desejado ␭1  1 e. .688 Álgebra Linear com Aplicações Então a matriz (I  H)L é dada por (verifique) Assim. No entanto. Somente aqueles valores de h1 . Agora consideramos algumas poucas estratégias específicas de colheita desse tipo. Resumindo os resultados obtidos até aqui. Calculando a taxa líquida de reprodução de (I  H)L e igualando-a a 1. colocamos h  h1  h2  · · ·  hn . como uma restrição ecológica ou econômica. para uma população economicamente sustentada pelo colhedor. vemos que há uma ampla escolha dos valores de h1 . o vetor x1 determina a pro- porção de fêmeas dentro de cada uma das n classes depois de uma colheita numa política de colheita sustentável. . 1] podem produzir um rendimento sustentável. Se os animais são colhidos aleatoriamente. . . Assim. pois o autovalor positivo de uma matriz de Leslie sempre tem multiplicidade 1 (Teorema 10. Se h1 . podemos supor que a fração colhida de cada faixa etária seja a mesma.17. . . Isso significa que existe somente um vetor linearmente independente x satisfazendo a Equação (2). Por exemplo. Para uma população selvagem. mostramos que uma condição necessária e suficiente para uma matriz de Leslie ter 1 como um autovalor é que a taxa líquida de reprodução também seja 1 [ver Equação (16) da Seção 10.1). a distribuição etária proporcional da população depois de cada colheita é determinada de modo único pelo autovetor normalizado x1 definido pela Equação (5). . h2. . o hábitat da população determinaria quão grande ela poderia ficar entre as colheitas. No entanto. é difícil distinguir ou apanhar animais de uma idade específica.17]. obtemos (verifique) (4) Essa equação coloca uma restrição nas frações de colheita admissíveis. há uma ambiguidade no número total de fêmeas da população depois de cada colheita. além disso. . hn que satisfazem (4) e que pertencem ao intervalo [0. hn satisfizerem (4). uma vez selecionados esses valores. Por isso. esse autovalor tem multiplicidade 1. .17. vemos que a matriz (I  H)L é uma matriz do mesmo formato que uma matriz de Leslie. [Ver Exercício 3(b) da Seção 10. Isso pode ser determinado por alguma condição au- xiliar.17. (5) Qualquer outra solução x de (2) é um múltiplo de x1 . Colheita uniforme Com muitas populações. h2. hn que produzirão um rendimento sustentável. h2. a fração de colheita h é h  1  (1/␭1)  1  (1/1. Caughley. obtemos h  1  (1/␭1) (6) Nesse caso. Resolvendo para a fração de colheita h.176 é o único autovalor positivo de L.18 Colheita de populações animais 689 A Equação (2) reduz-se a (verifique) Portanto. esse vetor é (7) Por (6). Pela Equação (6). podemos mostrar que ␭1  1. 1). com período de crescimento de um ano. Isso era de se esperar. Pela Equação (8) da Seção 10. 10. 48.  E X E M P L O 1 Colhendo ovelhas Para uma certa espécie de ovelhas na Nova Zelândia. portanto são divididas em 12 faixas etárias de duração de 1 ano cada. vol. 1967.17. 1/(1  h) deve ser o único autovalor positivo ␭1 da matriz de Leslie de cresci- mento L. o vetor x1 é o autovetor de L associado ao autovalor ␭1. ou seja. Observe que precisamos ter ␭1 1 para ter a fração de colheita h no intervalo (0. páginas 834–839). pois ␭1 1 é a condição para ter uma população crescente.150 .176)  0. Usando técnicas numéricas. podemos ver que quanto maior for ␭1. foi obtida a matriz de Leslie seguinte (ver G. “Parameters for Seasonally Breeding Populations. maior será a fração de animais que pode- mos colher sem dizimar a população. As ovelhas têm uma expectativa de vida de 12 anos.” Ecology. a política de colheita uniforme nesse caso significa colher 15% das ovelhas de cada uma das 12 faixas etárias a cada ano. há 719 ovelhas entre 1 e 2 anos.  Colhendo somente da faixa Em algumas populações. somente as fêmeas mais jovens têm algum valor econômico. o vetor de distribuição etária das ove- lhas depois de cada colheita é proporcional a (8) A partir de (8). e assim por diante. para cada 1. Por isso. Isso é razoável.690 Álgebra Linear com Aplicações Assim. o vetor de distribuição etária é proporcional ao vetor (10) . Por (7).17.] Resolvendo para h. obtemos h  1  (1/R) (9) Observe que essa equação afirma que uma política de colheita sustentável só é possível se R 1. colocamos A Equação (4) reduz-se a (1  h)(a1  a2b1  a3 b1 b2  · · ·  an b1 b2 · · · bn1)  1 ou (1  h)R  1 onde R é a taxa líquida de reprodução da população. [Ver Equação (17) da Seção 10.000 ovelhas entre 0 e 1 ano que não são colhidas. de etária mais jovem modo que o colhedor procura colher somente as fêmeas da faixa etária mais jovem. vemos que. pois a população só aumenta se R 1. 596 ovelhas entre 2 e 3 anos. Pela Equação (5). a distribuição etária da população depois da colheita é proporcional ao vetor (11) Um cálculo direto dá o seguinte (também ver Exercício 3): (12) O vetor Lx1 é o vetor de distribuição etária imediatamente antes da colheita.2% de 29. imediatamente antes de cada colheita.5%) de toda a população de ovelhas são colhidos anualmente.602 Pela Equação (10).18 Colheita de populações animais 691  E X E M P L O 2 Política de colheita sustentável Vamos aplicar esse tipo de política de colheita sustentável à população de ovelhas do Exemplo 1.2% dessa faixa. Como são colhidos 60.514)  0. na qual 15. O total de to- das as entradas de Lx1 é 8. 10. 29.0% da população de ovelhas são colhidos anualmente. Isso pode ser compa- rado com a política de colheita uniforme do Exemplo 1. segue que 17. Para a taxa líquida de reprodução da população. de modo que a primeira entrada de 2. Isso significa que.5% da população estão na faixa mais jovem.  .8% ( 60. encontramos Pela Equação (9).5% do total. a fração colhida da primeira faixa etária é h  1  (1/R)  1  (1/2.520.514 perfaz 29. R. vol. Referimos o leitor ao seguinte resultado. B. Seria interessante encontrar uma política de colheita sustentável que produzisse o maior rendimento possível. vimos que.0% da população de ovelhas. Como uma ilustração. . Conforme pedimos para o leitor mostrar no Exercício 2. o rendimento sustentável ótimo resultante é 19. No Exemplo 2.2% das ovelhas entre 0 e 1 ano e todas as ovelhas entre 8 e 9 anos são colhidas. Também obtenha a fração da 5. pode ser mostrado que o rendimento sustentável ótimo da popula- ção de ovelhas é alcançado quando h1  0. . páginas 801–809. Existem muitas outras políticas de colheita sustentáveis e cada uma. Se duas faixas etárias forem colhidas. 52.1 Rendimento sustentável ótimo Uma política de colheita sustentável ótima é aquela na qual são colhidas uma ou duas faixas etárias. Calcule hI . se colhemos somente na faixa mais jovem. necessitamos da teoria de Programação Linear.8% da população. Uma tal po- lítica é denominada política de colheita sustentável ótima. n). use a Equação (10) para mostrar que Leslie seja (a) Encontre o rendimento e o vetor de distribuição etária de- pois de cada colheita se anualmente for colhida a mesma em que R é a taxa líquida de reprodução da população. 1973. em geral.9% da população. Conjunto de exercícios 10. . Também calcule o vetor Lx1 e mostre que o rendimento sustentável ótimo é 19. Encontre o vetor x1 que especifica a distribuição etária depois (1  I  J  n).692 Álgebra Linear com Aplicações Rendimento sustentável ótimo Vimos no Exemplo 1 que uma política de colheita sustentável na qual colhemos a mesma fração de cada faixa etária produz um rendimento de 15. que aparece no artigo de J. Taylor. uma população animal seja periodicamente colhida 2. “Optimum Age Specific Harvesting of a Population. de cada colheita no caso da política de colheita sustentável ótima descrita pela Equações (13). a faixa etária mais jovem. encontre a fração depois de cada colheita se a cada ano for colhida somente correspondente de colheita hI . para determinar o rendimento sustentável ótimo.18. TEOREMA 10. Beddington e D. então a faixa mais velha é total- mente colhida. e o rendimento resultante é denominado rendimento sustentável ótimo.” Biometrics. No entanto. Assim. 29. que não será discutida aqui. Suponha que toda a faixa J e uma certa fração hI da faixa I de faixa etária mais jovem que é colhida. . fração de cada faixa etária. .522 h9  1. Se for colhida periodicamente apenas a faixa etária I de uma (b) Encontre o rendimento e o vetor de distribuição etária população animal (com I  1.18 1. Suponha que uma certa população animal seja dividida em 3. Se for colhida somente a primeira faixa etária de uma popula- três faixas etárias de um ano de duração e que sua matriz de ção animal. 4.9% da população. produz um rendimento diferente. o rendimento resul- tante é 17.000 (13) e todos os demais valores de h forem zero. 2. Em geral. 10. hj  1 e hk  0 calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 693 Seção 10. Em com k . mas também considerar. Mathematica.18 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos Se usarmos esse algoritmo para o exemplo das ovelhas dado utilizando um recurso computacional. Use um computador para fazer as contas para a pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma colheita de duas faixas etárias com h1  h. Derive ou Mathcad. esse recurso é no texto. haverá no máximo (12)(12  1)  78 contas a MATLAB. Maple. 1 ou j com j  2, 3, . . . , 12. Construa uma tabela de cada exercício, você deverá ler a documentação pertinente do re- dados consistindo nos valores de hj e os rendimentos percen- curso particular que estiver utilizando. O objetivo destes exercícios tuais usando j  2, 3, . . . , 12. Essa tabela deve mostrar que o é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso maior desses rendimentos ocorre com j  9. computacional. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios, T2. Usando o algoritmo do Exercício T1, faça as contas para a você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- colheita de uma faixa etária com hi  h e hk  0 com k i e solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. i  1, 2, . . . , 12. Construa uma tabela de dados consistindo T1. Os resultados do Teorema 10.18.1 sugerem o algoritmo se- nos valores de hi e os rendimentos percentuais usando i  1, guinte para determinar o rendimento sustentável ótimo. 2, . . . , 12. Essa tabela deve mostrar que o maior desses rendi- (i) Dado qualquer valor de i  1, 2, . . . , n, tome hi  h e mentos ocorre com i  9. hk  0 com k i e calcule os respectivos rendimentos. T3. Voltando à população de camundongos do Exercício T3 da Essas n contas dão os resultados para a colheita de uma Seção 10.17, suponha que não seja viável reduzir as taxas de faixa etária. É claro que é rejeitada qualquer conta que nascimentos e que, em vez disso, queiramos controlar a po- resulte num valor de h que não esteja entre 0 e 1. pulação com uma colheita uniforme mensal de todas as faixas (ii) Dado qualquer valor de i  1, 2, . . . , n  1 e j  i  1, etárias. i  2, . . . , n, tome hi  h, hj  1 e hk  0 com k i, j (a) Qual é a fração da população que deve ser colhida men- e calcule os respectivos rendimentos. Essas n(n  1) salmente para levar a população de camundongos a uma contas dão os resultados para a colheita de duas faixas situação de equilíbrio? etárias. É claro que é rejeitada qualquer conta que resul- (b) Qual é o vetor de distribuição etária de equilíbrio nessa te num valor de h que não esteja entre 0 e 1. política de colheita uniforme? (iii) Dentre os rendimentos calculados nas partes (i) e (ii), o (c) O número total de camundongos na população original maior deles é o rendimento sustentável ótimo. Observe era de 155. Com a política de colheita uniforme, qual que haverá no máximo será o número total da população de camundongos depois de 5, 10 e 200 meses? contas no total. Novamente, algumas dessas contas po- dem resultar num valor de h que não esteja entre 0 e 1 que deve, portanto, ser rejeitado. 10.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana Nesta seção, aplicamos o método da aproximação de mínimos quadrados a um modelo para a audição humana. O uso desse método é motivado por considerações de energia. PRÉ-REQUISITOS: Espaços de produto interno Projeção ortogonal Séries de Fourier (Seção 6.6) Começamos com uma breve discussão da natureza do som e da audição humana. A Figura A anatomia do ouvido 10.19.1 é um diagrama esquemático do ouvido, mostrando seus três componentes princi- pais: o ouvido externo, o médio e o interno. As ondas sonoras entram no ouvido externo, onde são canalizadas para o tímpano e causam sua vibração. Três ossos minúsculos no ou- vido médio fazem uma ligação mecânica do tímpano com a cóclea, que é o caracol do ou- vido interno. Esses ossos passam a vibração do tímpano para um fluido dentro da cóclea. A cóclea contém milhares de células ciliadas, que são como cabelos minúsculos e oscilam com o fluido. Os cílios perto da entrada da cóclea são estimulados por frequências altas 694 Álgebra Linear com Aplicações e os cílios perto da ponta são estimulados por frequências baixas. Os movimentos desses cílios ativam as células nervosas, que mandam os sinais ao longo de vários caminhos neu- rais ao cérebro, onde esses sinais são interpretados como som. Cóclea Nervo Tímpano auditivo Onda sonora Para o cérebro Ouvido Ouvido interno médio Ouvido externo  Figura 10.19.1 Por sua vez, as ondas sonoras são variações no tempo da pressão do ar. Para o sistema auditivo, o tipo mais elementar de onda sonora é uma variação senoidal da pressão do ar. Esse tipo de onda sonora estimula os cílios da cóclea de tal maneira que produz um im- pulso nervoso ao longo de um único caminho neural (Figura 10.19.2). Uma onda sonora senoidal pode ser descrita por uma função do tempo q(t)  A0  A sen(␻t  ␦) (1) onde q(t) mede a pressão atmosférica no tímpano, A0 é a pressão atmosférica normal, A é a variação máxima da pressão em relação à pressão atmosférica normal, ␻/2␲ é a frequên- cia da onda em ciclos por segundo e ␦ é o ângulo de fase da onda. Para ser percebida como um som, uma onda senoidal precisa ter frequências num certo intervalo. Para os humanos, esse intervalo é aproximadamente de 20 a 20.000 ciclos por segundo (cps). As frequências fora desse intervalo não estimulam suficientemente os cílios dentro da cóclea a ponto de produzir sinais nervosos. q(t) 2␲ ␻ A A0 t Caminho neural ␦ Ouvido ao cérebro ␻  Figura 10.19.2 Podemos afirmar, com um grau razoável de exatidão, que o ouvido é um sistema li- near. Isso significa que se uma onda sonora complexa é uma soma finita de componentes senoidais de diferentes amplitudes, frequências e ângulos de fase, digamos, q(t)  A0  A1 sen(␻1t  ␦1)  A2 sen(␻2t  ␦2)  · · ·  An sen(␻nt  ␦n) (2) então a resposta do ouvido consiste em impulsos nervosos ao longo dos mesmos cami- nhos neurais que seriam estimulados pelos componentes individuais (Figura 10.19.3). 10.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 695 q(t) + t = + Figura 10.19.3 Consideremos, agora, alguma onda sonora periódica p(t) de período T [ou seja, p(t) ⬅ p(t  T )] que não seja uma soma finita de ondas senoidais. Se examinarmos a resposta do ouvido a uma tal onda periódica, veremos que ela coincide com a resposta do ouvido a alguma onda que é a soma de ondas senoidais. Ou seja, existe alguma onda sonora q(t) como a dada pela Equação (2) que produz a mesma resposta de p(t), mesmo que p(t) e q(t) sejam funções diferentes do tempo. Agora queremos determinar as frequências, amplitudes e ângulos de fase dos com- ponentes senoidais de q(t). Como q(t) produz a mesma resposta da onda periódica p(t), é razoável esperar que q(t) tenha o mesmo período T de p(t). Isso requer que cada termo senoidal em q(t) tenha período T. Consequentemente, as frequências dos componentes se- noidais devem ser um múltiplo inteiro das frequências básicas 1/T da função p(t). Assim, os p(t) na Equação (2) devem ser da forma ␻k  2k␲/T, k  1, 2, . . . Como o ouvido não percebe ondas senoidais com frequências acima de 20.000 cps, po- demos omitir os valores de k com os quais q(t) seja maior do que 20.000. Assim, q(t) é da forma (3) onde n é o maior inteiro tal que n/T não é maior do que 20.000. Agora voltamos nossa atenção aos valores das amplitudes A0 , A1 , . . . , An e dos ân- gulos de fase ␦1 , ␦2 , . . . , ␦n que aparecem na Equação (3). Existe um critério pelo qual o sistema auditivo “escolhe” esses valores para fazer com que q(t) tenha a mesma resposta de p(t). Para examinar esse critério, denotamos e(t)  p(t)  q(t) Considerando q(t) como uma aproximação de p(t), e(t) denota o erro dessa aproximação, um erro que o ouvido não consegue perceber. Em termos de e(t), o critério para determi- nar as amplitudes e os ângulos de fase é que a quantidade (4) seja a menor possível. Aqui não podemos investigar as razões fisiológicas para isso, mas podemos observar que essa expressão é proporcional à energia acústica da onda de erro e(t) ao longo de um período. Em outras palavras, é a energia da diferença entre as duas ondas sonoras p(t) e q(t) que determina se um ouvido percebe alguma diferença entre elas. Se essa energia for tão pequena quanto possível, então as duas ondas produzem a mesma 696 Álgebra Linear com Aplicações S(x) sensação de som. Matematicamente, a função q(t) em (4) é a aproximação de mínimos deformação longitudinal quadrados de p(t) no espaço vetorial C[0, T ] das funções contínuas no intervalo [0, T ]. (Ver Seção 6.6.) As aproximações de mínimos quadrados por funções contínuas surgem numa va- riedade de problemas de aproximação na Engenharia e na Ciência. Além do problema acústico que acabamos de discutir, alguns outros são os seguintes. x 1. Seja S(x) a distribuição de deformação longitudinal de uma barra uniforme ao longo do eixo x desde x  0 até x  l (Figura 10.19.4). A energia de deformação na barra é x=0 x=l proporcional à integral  Figura 10.19.4 A qualidade de uma aproximação q(x) de S (x) pode ser julgada de acordo com a energia de deformação da diferença das duas distribuições de deformação. Essa ener- gia é proporcional a que é um critério de mínimos quadrados. E(t) 2. Seja E(t) uma voltagem periódica através de um resistor num circuito elétrico (Fi- voltagem gura 10.19.5). A energia elétrica transferida ao resistor durante um período T é pro- t porcional a 0 T Figura 10.19.5 Se q(t) tiver o mesmo período de E(t) e se quisermos que q(t) seja uma aproximação de E(t), então o critério de proximidade pode ser tomado como sendo a energia da diferença de voltagem. Isso é proporcional a que é, novamente, um critério de mínimos quadrados. y(x) 3. Seja y(t) o deslocamento vertical de uma corda elástica uniforme flexível cuja posição deslocamento de equilíbrio seja ao longo do eixo x desde x  0 até x  l (Figura 10.19.6). A energia potencial elástica da corda é proporcional a x x=0 x=l Se quisermos que q(t) seja uma aproximação do deslocamento, então, como antes, a  Figura 10.19.6 integral de energia determina um critério de mínimos quadrados para a proximidade da aproximação. A aproximação por mínimos quadrados também é usada mesmo quando não há al- guma justificativa a priori para o seu uso, como para aproximar ciclos comerciais, curvas 10.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 697 de crescimento populacional, curvas de vendas, e assim por diante. Nesses casos, ela é usada por causa de sua simplicidade matemática. Em geral, se não houver algum critério de erro imediatamente aparente para um problema de aproximação, o critério de mínimos quadrados é o critério mais escolhido. O próximo resultado foi obtido na Seção 6.6. TEOREMA 10.19.1 Minimizando o erro quadrado médio em [0, 2␲] Se f(t) for contínua em [0, 2␲], então a função trigonométrica g(t) dada por que minimiza o erro da média quadrática tem coeficientes Se a função original f(t) estiver definida no intervalo [0, T] em vez de [0, 2␲], obte- mos o resultado seguinte com uma mudança de escala (ver Exercício 8). TEOREMA 10.19.2 Minimizando o erro quadrado médio em [0, T ] Se f(t) for contínua em [0, T], então a função trigonométrica g(t) dada por que minimiza o erro da média quadrática tem coeficientes p(t)  E X E M P L O 1 Aproximação de mínimos quadrados de uma onda sonora Seja p(t) uma onda sonora do tipo serra, com uma frequência básica de 5.000 cps (Figura A 10.19.7). Suponha que as unidades sejam escolhidas de tal modo que a pressão atmosféri- t ca normal ocorra ao nível zero e a amplitude máxima da onda seja A. O período básico da onda é T  1/5.000  0,0002 segundo. Desde t  0 até t  T, a função p(t) tem a equação 0 T = 0,0002 2T –A  Figura 10.19.7 698 Álgebra Linear com Aplicações O Teorema 10.19.2 fornece o seguinte (verifique): Agora podemos investigar como a onda sonora p(t) é percebida pelo ouvido humano. Ob- servamos que 4/T  20.000 cps, de modo que basta avançar até k  4 nas fórmulas acima. A aproximação de mínimos quadrados de p(t), então, é Os quatro termos senoidais têm frequências de 5.000, 10.000, 15.000 e 20.000 cps, res- pectivamente. Na Figura 10.19.8, esboçamos os gráficos de p(t) e q(t) ao longo de um período. Mesmo se q(t) não for uma boa aproximação ponto a ponto de p(t), ambas as ondas produzem o mesmo estímulo sonoro para o ouvido.  y A q(t) p(t) 1 2 A T = 0,0002 t 0 – 12 A  Figura 10.19.8 –A Como discutimos na Seção 6.6, a aproximação por mínimos quadrados melhora à medida que aumentamos o número de termos do polinômio trigonométrico que aproxima. Mais precisamente, tende a zero quando n tende ao infinito. Denotamos isso escrevendo onde o lado direito da equação é a série de Fourier de f(t). Uma outra questão, e uma mais difícil, é saber se a série de Fourier de f(t) converge para f(t) em cada t. Para a maioria das funções contínuas encontradas nas aplicações, isso efetivamente ocorre, ou seja, a série de Fourier realmente converge à função correspondente em cada valor de t. 10.19 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 699 Conjunto de exercícios 10.19 1. Encontre o polinômio trigonométrico de ordem 3 que é a 6. Usando o produto interno aproximação de mínimos quadrados da função f (t)  (t  ␲)2 no intervalo [0, 2␲]. 2. Encontre o polinômio trigonométrico de ordem 4 que é a aproximação de mínimos quadrados da função f (t)  t2 no mostre que intervalo [0, T]. (a) 3. Encontre o polinômio trigonométrico de ordem 4 que é a (b) com k  1, 2, . . . aproximação de mínimos quadrados da função f(t) no interva- lo [0, 2␲], sendo (c) com k  1, 2, . . . 7. Mostre que as 2n  1 funções 1, cos t, cos 2t, . . . , cos nt, sen t, sen 2t, . . . , sen nt 4. Encontre o polinômio trigonométrico de ordem arbitrária são ortogonais no intervalo [0, 2␲] em relação ao produto in- n que é a aproximação de mínimos quadrados da função terno 〈u, v〉 dado no Exercício 6. f (t)  sen t no intervalo [0, 2␲]. 8. Se f(t) estiver definida e for contínua no intervalo [0, T], mos- 5. Encontre o polinômio trigonométrico de ordem arbitrária n tre que f (T ␶/2␲) está definida e é contínua em ␶ no intervalo que é a aproximação de mínimos quadrados da função f(t) no [0, 2␲]. Use isso para mostrar que o Teorema 10.19.2 decorre intervalo [0, T], sendo do Teorema 10.19.1. Seção 10.19 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2. Seja g a função utilizando um recurso computacional. Em geral, esse recurso é g(t)  e [cos(sen t)  sen(sen t)] cos t MATLAB, Mathematica, Maple, Derive ou Mathcad, mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma com 0  t  2␲. Use um computador para determinar os coe- calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. Em ficientes de Fourier cada exercício, você deverá ler a documentação pertinente do re- curso particular que estiver utilizando. O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios, você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re- com k  0, 1, 2, 3, 4, 5. A partir de seus resultados, faça uma solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. conjectura sobre a expressão geral de ak e bk . Teste sua con- T1. Seja g a função jectura calculando com 0  t  2␲. Use um computador para determinar os coe- no computador e verificando se essa série converge para g(t). ficientes de Fourier com k  0, 1, 2, 3, 4, 5. A partir de seus resultados, faça uma conjectura sobre a expressão geral de ak e bk . Teste sua con- jectura calculando no computador e verificando se essa série converge para g(t). 700 Álgebra Linear com Aplicações 10.20 Deformações e morfismos As deformações e os morfismos estão entre as mais interessantes técnicas de manipulação de imagens disponíveis para a computação gráfica. Nesta seção, mostramos como as transformações lineares podem ser usadas para distorcer uma única imagem para produzir uma deformação, ou como distorcer e amalgamar duas imagens para produzir um morfismo. PRÉ-REQUISITOS: Geometria de operadores lineares de R2 (Seção 4.11) Independência linear Bases de R2 A maioria dos aplicativos de computação gráfica permitem a manipulação de uma ima- gem de várias maneiras, como a mudança de suas proporções, rotações ou cisalhamentos. Uma outra técnica básica de manipulação de imagens é a distorção de uma imagem pelo movimento dos vértices de um retângulo que a contém. Um procedimento mais complica- do, denominado deformação, consiste em distorcer várias partes da imagem de maneiras diferentes. Além disso, a deformação de duas imagens por procedimentos complementa- res com a fusão das deformações obtidas resulta num morfismo das duas imagens. Um exemplo é dado na Figura 10.20.1, em que quatro fotografias de uma mulher tiradas ao longo de 50 anos (as quatro na diagonal principal do topo à esquerda até a base à direita) foram deformadas duas a duas num morfismo que sugere o envelhecimento gradual dessa mulher.  Figura 10.20.1 10.20 Deformações e morfismos 701 A principal aplicação de deformações e morfismos tem sido a produção de efeitos especiais no cinema e na televisão. No entanto, também surgiram muitas aplicações cien- tíficas e tecnológicas para essas técnicas; por exemplo, o estudo da evolução das formas e a análise do crescimento e desenvolvimento de organismos vivos, a assistência à cirurgia plástica e de reconstrução, a investigação de variações no projeto de um produto e o “en- velhecimento” de fotografias de pessoas desaparecidas ou de suspeitos da polícia. Começamos pela descrição de uma deformação simples de uma região triangular do pla- Deformações no, cujos vértices são dados pelos três pontos não colineares v1 , v2 e v3 (Figura 10.20.2a). Vamos identificar esse triângulo como o triângulo inicial. Se v for um ponto qualquer no y v2 triângulo inicial, existem constantes únicas c1 e c2 tais que v  v3  c1(v1  v3)  c2(v2  v3) (1) v A Equação (1) dá o vetor v  v3 como uma (única) combinação linear dos dois vetores v1 linearmente independentes v1  v3 e v2  v3 em relação a uma origem em v3. Se colocar- v3 x mos c3  1  c1  c2, podemos reescrever (1) como v  c1v1  c2v2  c3v3 v  c1v1  c2v2  c3v3 (2) (a) onde c1  c2  c3  1 (3) y pela definição de c3 . Se (2) e (3) forem válidas e se, além disso, os coeficientes v1 , v2 e v3 w1 w2 forem não negativos, diremos que v é uma combinação convexa dos vetores c1 , c2 e c3 . w Pode ser mostrado (Exercício 6) que v é um ponto do triângulo determinado por v1 , v2 e w3 v3 se, e só se, v é uma combinação convexa desses vetores. x Em seguida, dados três pontos não colineares w1 , w2 e w3 dos vértices de um triân- gulo final (Figura 10.20.2b), existe uma única transformação afim que transforma v1 em w  c1w1  c2w2  c3w3 w1 , v2 em w2 e v3 em w3 . Ou seja, existem uma única matriz 2 2 invertível M e um único (b) vetor b tais que  Figura 10.20.2 wi  Mvi  b, com i  1, 2, 3 (4) (Ver Exercício 5 para a obtenção de M e de b.) Além disso, pode ser mostrado (Exercício 3) que, por essa transformação afim, a imagem w do vetor v de (2) é y w  c1w1  c2w2  c3w3 (5) v2 Essa é uma propriedade básica de transformações afins: transformar uma combinação convexa de vetores na mesma combinação convexa das imagens dos vetores. Agora suponha que o triângulo inicial contenha uma imagem dentro dele (Figura v3 10.20.3a). Ou seja, a cada ponto do triângulo inicial está associado um nível de cinza, v digamos, 0 para branco e 100 para preto, com todos os níveis de cinza entre 0 e 100. v1 x Em outras palavras, definimos uma função escalar ␳0, denominada densidade de imagem v  c1v1  c2v2  c3v3 do triângulo inicial, de tal modo que ␳0(v) seja o nível de cinza associado ao ponto v do (a) triângulo inicial. Agora podemos definir uma imagem no triângulo final, denominada deformação da imagem original, definindo a densidade de imagem ␳1 do triângulo final associando a um ponto w dentro do triângulo final o nível de cinza do ponto v do triân- y w3 gulo inicial que é transformado em w. Em forma de equação, a densidade de imagem ␳1 w2 é determinada por ␳1(w)  ␳0(c1v1  c2v2  c3v3) (6) w ␳1(w)  ␳0(v) Desse modo, à medida que c1 , c2 e c3 variam sobre todos os valores não negativos cuja soma é 1, a expressão (5) gera todos os pontos w do triângulo final e (6) gera os w1 x correspondentes níveis de cinza ␳1(w) desses pontos da imagem deformada (Figura w  c1w1  c2w2  c3w3 10.20.3b). A Equação (6) determina uma deformação muito simples de uma imagem dentro (b) de um único triângulo. Mais geralmente, podemos repartir uma imagem em várias re-  Figura 10.20.3 702 Álgebra Linear com Aplicações v1 v2 giões triangulares e deformar cada região de uma maneira diferente. Isso dá uma grande v3 liberdade para projetar deformações, pela escolha das regiões triangulares e da manei- ra de alterá-las. Para ver isso, suponha que tenhamos uma imagem contida nalguma região retangular do plano. Escolhemos n pontos v1 , v2 , . . . , vn dentro do retângulo v4 v5 que denominamos pontos de vértice e que representam elementos chave da imagem que queremos deformar (Figura 10.20.4a). Uma vez escolhidos os pontos de vértice, completamos uma triangulação da região retangular, ou seja, traçamos segmentos de v6 v7 reta entre os pontos de vértice de tal modo que as condições seguintes sejam satisfeitas (a) (Figura 10.20.4b). 1. Os segmentos de reta formam os lados de uma coleção de triângulos. v1 v2 2. Os segmentos de reta não se cruzam. v3 3. Cada ponto de vértice é o vértice de pelo menos um triângulo. 4. A união dos triângulos é o retângulo. v4 v5 5. A coleção de triângulos é máxima (ou seja, não restam vértices para conectar). Observe que a condição 4 requer que cada esquina do retângulo que contém a imagem seja um ponto de vértice. v6 v7 Sempre podemos formar uma triangulação a partir de quaisquer n pontos de vérti- (b) ce, mas a triangulação não é necessariamente única. Por exemplo, as Figuras 10.20.4b e 10.20.4c são duas triangulações diferentes do mesmo conjunto de vértices da Figura v1 v2 10.20.4a. Como existem vários algoritmos computacionais que efetuam triangulações v3 com rapidez, não é necessário fazer esse trabalho tedioso à mão; só precisamos especifi- car os pontos de vértice que desejamos e deixamos o computador gerar uma triangulação v4 com esses pontos. Se escolhermos n pontos de vértice, pode ser mostrado que o número m v5 de triângulos de qualquer triangulação usando esses pontos é dado por m  2n  2  k (7) v6 v7 em que k é o número de pontos de vértice que estão na fronteira do retângulo, incluindo os (c) quatro situados nas esquinas do retângulo. A deformação é especificada pelo movimento dos n pontos v1 , v2 , . . . , vn de vértice  Figura 10.20.4 para novas posições w1 , w2 , . . . , wn de acordo com as mudanças que queremos efetuar na imagem (Figuras 10.20.5a e 10.20.5b). No entanto, impomos duas restrições aos mo- vimentos dos pontos de vértice, como segue. 1. Os quatro pontos de vértice nas esquinas do retângulo devem permanecer fixos, e todos os pontos de vértice situados nos lados do retângulo devem permanecer fixos ou então se mover para outro ponto no mesmo lado do retângulo. Todos os demais pontos de vértice devem permanecer no interior do retângulo. 2. Os triângulos determinados pela triangulação não podem ficar sobrepostos depois de efetuado o movimento de seus vértices. v1 v2 w1 w2 w1 w2 v3 w3 v4 v5 w3 w4 w5 w4 w5 v6 v7 w6 w7 w6 w7  Figura 10.20.5 (a) (b) (c) A primeira restrição garante a preservação da forma retangular da imagem inicial. A segunda restrição garante que os pontos de vértice movimentados ainda formam uma 10.20 Deformações e morfismos 703 triangulação do retângulo e que a triangulação nova é similar à original. Por exemplo, a Figura 10.20.5c não é um movimento permitido aos pontos de vértice mostrados na Fi- gura 10.20.5a. Embora uma violação dessa condição possa ser tratada matematicamente sem muito esforço adicional, as deformações resultantes em geral produzem resultados artificiais que não serão tratados aqui. A Figura 10.20.6 é uma deformação de uma fotografia de uma mulher usando uma triangulação de 94 pontos de vértice e 179 triângulos. Observe como os pontos de vértice da triangulação inicial foram escolhidos ao longo de características essenciais da imagem (contorno dos cabelos, olhos, lábios, etc). Esses pontos de vértice foram movidos para as posições finais correspondentes às mesmas características numa fotografia da mulher tirada 20 anos depois da imagem inicial. Assim, a imagem deformada representa a mulher forçada para seu formato mais idoso, mas usando os níveis de cinza de quando era mais jovem. Imagem inicial Imagem deformada Triangulação inicial Triangulação deformada  Figura 10.20.6 Triangulação inicial Triangulação deformada Uma deformação dependente do tempo é um conjunto de deformações geradas quando Deformações dependentes os pontos de vértice da imagem inicial são movidos continuamente ao longo do tempo do tempo desde suas posições originais até posições finais especificadas. Isso nos dá uma animação na qual a imagem inicial é deformada continuamente até uma deformação final. Escolhe- mos unidades de tempo tais que t  0 corresponda à imagem inicial e t  1, à deformação 704 Álgebra Linear com Aplicações final. A maneira mais simples de mover os pontos de vértice do instante de tempo 0 ao instante de tempo 1 é com velocidade constante ao longo de caminhos retos ligando as posições iniciais às posições finais. Para descrever um tal movimento, seja ui (t) a posição do i-ésimo ponto de vértice num instante de tempo t entre 0 e 1. Assim, ui(0)  vi (sua posição na imagem inicial) e ui(1)  wi (sua posição na imagem final). Entre um e outro ponto, determinamos sua posição por ui (t)  (1  t)vi  twi (8) Observe que (8) expressa ui (t) como uma combinação convexa de vi e wi em cada t de [0, 1]. A Figura 10.20.7 ilustra uma triangulação dependente do tempo de uma região retangular plana com seis pontos de vértice. As linhas conectando os pontos de vértice em instantes diferentes são os caminhos no espaço tempo desses pontos de vértice nesse diagrama espaço-temporal. w2 w6 w4 w3 Instante= 1 w1 w5 u2(t) u6(t) u3(t) u4(t) Instante= t u1(t) u5(t) v2 v6 v4 Instante= 0 v3  Figura 10.20.7 v1 v5 Uma vez calculadas as posições dos pontos de vértice em instantes de tempo t, efetu- amos uma deformação entre a imagem inicial e a triangulação no instante t determinada pelos pontos de vértice movidos até aquele instante t. A Figura 10.20.8 mostra uma defor- mação dependente do tempo em cinco valores de t gerados a partir da deformação entre t  0 e t  1 mostrada na Figura 10.20.6.  Figura 10.20.8 t = 0,00 t = 0,25 t = 0,50 t = 0,75 t = 1,00 Morfismos Um morfismo dependente do tempo pode ser descrito como uma combinação de duas deformações dependentes do tempo de duas imagens distintas, usando duas triangulações, que associam características correspondentes das duas imagens. Uma das duas imagens é escolhida como a imagem inicial e a outra como a imagem final. Primeiro geramos uma deformação dependendo do tempo de t  0 a t  1 na qual a imagem inicial é deforma- Em seguida.10 O procedimento para produzir um tal morfismo é delineado nos nove passos seguin- tes (Figura 10. . . Triangulamos o morfismo da imagem do instante de tempo t de maneira simi- lar às triangulações das imagens inicial e final.20. nas quais asso- ciamos as características correspondentes das duas fotografias. Imagem inicial Imagem deformada  Figura 10. . . criamos um morfismo das duas defor- mações no instante t usando uma média ponderada dos dois níveis de cinza. Em cada instante de tempo t entre 0 e 1. A Figura 10. n (9) Passo 5. . . . encontramos os pontos de vértice u1(t). u2(t).20.11).25 t = 0. 2.20. . . geramos uma deformação dependendo do tempo de t  0 a t  1 na qual a imagem final é deformada para a forma da imagem inicial. . . . Passo 1.50 t = 0. Dadas uma imagem inicial com densidade de imagem ␳0 e uma imagem final com densidade de imagem ␳1 . Passo 4. Finalmente.20 Deformações e morfismos 705 da para a forma da imagem final. . Posicionamos n pontos de vértice w1 . .9 mostra duas fotografias de uma mulher tomadas num intervalo de 20 anos. . i  1. Passo 3.20.9 Triangulação inicial Triangulação deformada t = 0. w2 . Triangulamos as imagens inicial e final de maneiras similares desenhando seg- mentos de retas entre os pontos de vértice correspondentes de cada imagem. Abaixo das fotografias estão duas triangulações correspondentes.20.10 mostra o morfismo dependendo do tempo entre essas duas imagens em cinco instantes de tempo t entre 0 e 1. posicionamos n pontos de vértice v1 . A Figura 10.75 t = 1.00 t = 0. para cada instante t entre 0 e 1. Passo 2. un(t) no morfismo da imagem daquele instante usando a fórmula ui (t)  (1  t)vi  t wi . 10. vn na imagem inicial em características essenciais da imagem. . wn correspondentes na imagem final nas características essenciais correspondentes da imagem. . v2 .00  Figura 10. se t  0. usamos um quarto dos níveis de cinza da imagem final e três quartos dos níveis de cinza da imagem inicial. (A habilidade matemática é exigida de quem projeta o software. uJ (t) e uK(t) desse triângulo. mas também os níveis de cinza da imagem inicial vão mudando gradual- mente para os níveis de cinza da imagem final. Finalmente. Expressamos u como uma combinação convexa de uI (t). não só a forma da imagem inicial vai mudando gradualmente para a forma da imagem final (como numa deformação). determinamos a densidade de imagem ␳t (u) no ponto u do mor- fismo da imagem usando ␳t (u)  (1  t)␳0(v)  t␳1(w) (14) O Passo 9 é a chave para distinguir um morfismo da uma deformação. O procedimento que acabamos de descrever para gerar um morfismo é muito incô- modo para ser feito à mão. Dado qualquer ponto u do morfismo da imagem do instante de tempo t.11 vK Passo 6. en- contramos o triângulo da triangulação ao qual ele pertence e os vértices uI (t). Assim. à medida que o tempo avança. Por exemplo.25).) As duas fotografias que queremos submeter ao morfismo devem ser escolhidas cuidadosamente para ter características correspondentes.) Passo 7.20. Um morfismo bem feito exige um bom preparo e requer mais habilidade artística que matemática. mas é o tipo de atividade repetitiva e enfadonha na qual se sobressaem os computadores. cJ e cK tais que u  cIuI (t)  cJ uJ (t)  cKuK(t) (10) e cI  c J  c K  1 (11) Passo 8. Determinamos a localização do ponto u nas imagens inicial e final usando v  cI vI  cJ vJ  cKvK (na imagem inicial) (12) e w  cIwI  cJwJ  cKwK (na imagem final) (13) Passo 9. (Ver Exercício 1 para decidir se um ponto dado está num triângulo. uJ (t) e uK(t) encon- trando as constantes cI . e os pontos de vér- . Os pesos dependem da fração das distâncias que os pontos de vértice já moveram de suas posições iniciais para as suas posições finais. A Equação (14) toma médias ponderadas dos níveis de cinza das imagens inicial e final para produzir o nível de cinza do morfismo da imagem.706 Álgebra Linear com Aplicações Instante  1 wJ Imagem final Densidade dada: ␳1(w) wI w wK Instante  t Morfismo da imagem uJ(t) Densidade calculada: ␳t(u)  (1  t)␳0(v)  t␳1(w) uI(t) u uK(t) Instante  0 Imagem inicial Densidade dada: ␳0(v) vI vJ v  Figura 10. se os pontos de vértice moveram um quarto do caminho até seu destino (ou seja. 2. v5 e v6 formam os vértices de um só triângulo. Verifique a Equação (7) para as duas triangulações dadas na vexa dos vetores v1 . Faça isso resolvendo as Equações Figura 10. Analogamente. podemos construir morfismos de três ou mais imagens. Conjunto de exercícios 10. 2. 2. podemos usar curvas mais complicadas. como curvas interpoladoras. onde c1  c2  c3  1. wi  Mvi  b. (a) Exiba uma triangulação dos pontos da Figura 10. 6. 9. 8.4 na (c) qual os pontos v3 . duas cabeças completas).20. Usando as técnicas desta seção e triangulando superfícies.4 na (d) qual os pontos v2. podemos obrigar os vértices de uma triangulação a ter velocidades diferentes em instantes de tempos diferentes. 7.) 4. (b) Exiba uma triangulação dos pontos da Figura 10. Mostre que w  c1w1  c2w2  c3w3 . As técnicas que discutimos nesta seção podem ser generalizadas de várias maneiras para produzir deformações e morfismos muito mais elaborados. verde e azul) podem ser transformados separadamente para produzir morfismos coloridos. v5 e v7 não formam os vértices de um só triângulo. 10. Em cada parte. 1. Em vez de viajar com velocidade constante ao longo de seus caminhos. podemos construir mor- fismos entre duas superfícies do espaço tridimensional (por exemplo. 5. 4. Em vez de seguir caminhos retilíneos aos seus destinos.20 Deformações e morfismos 707 tice também devem ser escolhidos cuidadosamente de modo que os triângulos das duas triangulações resultantes contenham características similares das duas imagens. (Isso mostra que uma transformação afim transforma uma combi- nação convexa de vetores na mesma combinação convexa das (b) imagens dos vetores. Em vez de utilizar segmentos de reta. fazendo um ator caminhando num estúdio gradualmente transformar-se num macaco caminhando no estúdio). Podemos construir morfismos entre dois sólidos do espaço tridimensional (por exem- plo. v2 e v3 .4. (1) e (3) para c1 . nho 2 2 e um vetor bidimensional b. como a seguinte. podemos fazer variar os níveis de cinza das imagens inicial e final em instantes diferente e em vértices diferentes de maneiras mais complicadas que a da Equação (14). Se as imagens são coloridas. 3. c2 e c3 e verificando se esses coeficientes são 3. e assim por diante. Essas e outras generalizações fizeram de deformações e morfismos duas das áreas mais ativas da computação gráfica. (a) 3. podemos direcionar os vérti- ces de uma triangulação separadamente ao longo de caminhos mais complicados para produzir uma variedade de resultados. com i  1. num morfismo entre duas faces. w  M v  b e. para triangular duas imagens. É dada uma transformação afim com uma matriz M de tama- não negativos. cada quadro de um morfismo deveria parecer tão “real” quanto as imagens inicial e final. Generalizando as fórmulas dadas nesta seção.20 1. os três componentes da cor (vermelho.20. Sejam v  c1v1  c2v2  c3v3 . Por exemplo. . Quando executado corretamente. duas tomografias tridimensionais em tempos distintos de um coração humano pulsante) dividindo-os em tetraedros sólidos correspondentes. Podemos construir morfismos quadro a quadro entre as imagens de duas sequências de animações usando morfismos distintos em cada par de imagens (por exemplo.20. depois o nariz. determine se o vetor v é uma combinação con. podemos mudar primeiro o contorno dos cabelos. 20 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos utilizando um recurso computacional. c2 e c3 que determinam uma combinação convexa v  c1v1  c2v2  c3v3 se v estiver no interior do triângulo determinado pelos três vetores v1 . então o vetor c1v1  c2v2  c3v3 estará no triângulo que conecta as pontas dos três vetores. Em se. Sejam e três vetores . ma linear seguinte. solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares. Em cada parte. então o vetor c1a  c2b estará no triân. (c) Sejam v1 . v2 e v3 pontos não colineares do plano. e só calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear. esse recurso é não colineares na superfície. ses três vetores. v2 e v3? (b) O que você pode dizer sobre os coeficientes c1. Em geral. Sua localização nesse 6. Seção 10. ou seja. precisamos conseguir triangular a superfície. c1 . c2 e c3 que determinam uma combinação convexa v  c1v1  (b) c2v2  c3v3 se v estiver num dos três vértices do triângulo determinado pelos três vetores v1 . c2 curso particular que estiver utilizando. mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma está no triângulo formado por esses três vetores se. nesse caso. Mostre que se c1 e c2 forem números não negativos tais Se os três vértices forem dados pelos vetores v1 . Então um vetor MATLAB. v2 e v3. gulo que conecta a origem e as pontas dos vetores a e b. vértices e . T1. [Suges- (a) tão: considere a  v1  v3 e b  v2  v3 e use a Equação (1) e as partes (a) e (b) deste exercício. você deverá ler a documentação pertinente do re. v2 e v3 nos três vetores w1. Mathematica. Para construir uma deformação ou um morfismo de uma su- perfície em R3. escreva o centroide como uma combinação convexa des- mento de reta que liga as pontas dos vetores a e b. segmento de reta é a dois terços da distância do vértice. w2 e w3. que c1  c2  1. v2 e v3? (d) 8. (b) Sejam a e b vetores linearmente independentes do plano. cado pelo fator de escala 1/(c1  c2). (b) Use o resultado da parte (a) para encontrar o vetor que Mostre que se c1 e c2 forem números não negativos tais define o centroide do triângulo determinado pelos três que c1  c2  1. Derive ou Mathcad. Maple. (a) Sejam a e b vetores linearmente independentes do plano. c2 e c3 forem números não negativos tais que c1 as quatro entradas da matriz M e as duas entradas do vetor b. então o vetor c1a  c2b estará no seg. cada exercício. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios. Mostre Faça isso montando um sistema de seis equações lineares para que se c1 .708 Álgebra Linear com Aplicações 5.  c2  c3  1. (a) O centroide de um triângulo está no segmento de reta que conecta qualquer um dos três vértices do triângulo ao ponto médio do lado oposto.] forma os três vetores v1.] 7. (a) Mostre que. (a) O que você pode dizer sobre os coeficientes c1. v é uma combinação convexa dos três vetores. v2 e v3? (c) O que você pode dizer sobre os coeficientes c1. O objetivo destes exercícios e c3 cuja soma é 1. é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. encontre a matriz M de tamanho 2 2 e o vetor [Sugestão: examine primeiro o vetor c1a  c2b multipli- bidimensional b que definem a transformação afim que trans. v  c1v1  c2v2  c3v3 com coeficientes não negativos c1 . c2 e c3 que determinam uma combinação convexa v  c1v1  c2v2  c3v3 se v estiver num dos três lados do triângulo determi- (c) nado pelos três vetores v1 . c2 e c3 são soluções do siste- você estará capacitado a usar seu recurso computacional para re. (b) (c) (d) T2. c3 e c4 são soluções do sistema linear seguinte. (b) (c) (d) tro vetores se. Para construir uma deformação ou um morfismo de um objeto sólido em R3. c2 . ou seja. c2 . c3 e c4 cuja soma é 1. nesse caso. ção convexa dos três vetores e . e só se. v  c1v1  c2v2  c3v3  c4v4 com coeficientes não negativos c1 .20 Deformações e morfismos 709 Em cada parte (b). (c) e (d). c1 . determine se o vetor v é disjuntos. quatro vetores. Sejam e uma combinação convexa dos três vetores e quatro vetores não coplanares. determine se o vetor v é uma combina. 10. primeiro particionamos o objeto em tetraedros Em cada parte (b). v é uma combinação convexa dos . (c) e (d). Então um vetor está no tetraedro sólido formado por esses qua. (a) Mostre que. Esta página foi deixada em branco intencionalmente. . que é denomi- nada a contraposição de (2). . então a > b. O teorema é verdadeiro se a conclusão for verdadeira sempre que a hipótese for verdadeira. a recíproca de (3) é a afirmação falsa Se ab for um número positivo. Os teoremas mais simples são da forma Forma contrapositiva Se H for verdadeiro. escrevendo para dizer que (4) é falso e para dizer que (5) é falso. então C será verdadeiro. (3) é do tipo (2). então sua contraposição será verdadeira e vice-versa. o teorema em (3) pode ser reescrito equivalentemente como Se ab não for um número positivo. Aqui temos três maneiras de combinar (8) e (9) num único teorema. o teorema é falso se existir algum caso em que a hipótese for verdadeira e a conclusão for falsa. onde H ⫽ ambos a e b são números positivos (4) C ⫽ ab é um número positivo (5) Às vezes. então 2a > 2b. A recíproca de um teorema é a afirmação que resulta permutando a hipótese com a tese. então a e b serão ambos números positivos. Recíproca de um teorema Assim. é importante estar familiarizado com as diversas maneiras pelas quais podemos estruturar um teorema. No entanto. denominada hipótese e C é uma afirmação. a recíproca de um teorema verdadeiro pode ser verdadeira ou não. Se um teorema for verdadeiro. é desejável reescrever um teorema de maneira negativa. Enquanto a contraposição de um teorema verdadeiro é sempre verdadeira. É costume denotar um teorema da forma (1) por (2) que se lê “H implica C”. qualquer teorema da forma (2) pode ser reescrito na forma (7). a recíproca do teorema é a afirmação . Por exemplo. então a e b não serão ambos números positivos. Como um exemplo. o teorema Se ambos a e b forem números positivos. a estru- tura do teorema (6) é (7) Em geral. (6) Assim. denominada tese ou conclusão. Por exemplo. (8) é o teorema verdadeiro Se 2a > 2b. então ab é um número positivo. diremos que H Afirmações equivalentes e C são afirmações equivalentes. Existem várias maneiras de formular afirmações equivalentes de um mesmo teorema. APÊNDICE A Como ler teoremas Como muitos dos conceitos importantes de Álgebra Linear são apresentados como teo- remas. e só se. (1) de um teorema onde H é uma afirmação. ajudamos a entender isso. C ”. o que denotamos por (10) e que se lê “H e C são equivalentes” ou “H se. a recíproca do teorema verdadeiro Se a > b. (9) Se um teorema e sua recíproca forem ambos verdadeiros. Neste apêndice. dois teoremas verdadeiros fornecem um terceiro teorema verdadeiro. obtemos (13) D C Resumindo. FORMA 3 As afirmações seguintes são equivalentes. e só se. se for um teorema verdadeiro e for um teorema verdadeiro. então esses lados têm comprimentos iguais. 2a > 2b. então a > b. basta provar as três impli-  Figura A1 cações em (11). FORMA 2 a > b se. . então o quadrilátero será um paralelogramo. e Lados opostos de um paralelogramo têm comprimentos iguais.712 APÊNDICE A ♦ Como ler teoremas FORMA 1 Se a > b. os teoremas Se os lados opostos de um quadrilátero forem paralelos. Por exemplo. Às vezes. reciprocamente. se quisermos provar as três equivalências em (13). se (11) então temos o circuito de implicações da Figura A. se 2a > 2b. Especi- ou mais afirmações ficamente. (i) a > b (ii) 2a > 2b Teoremas envolvendo duas Às vezes. então 2a > 2b e. então também deverá ser um teorema verdadeiro. Por exemplo. pela qual podemos concluir que H (12) Combinando isso com (11). implicam o terceiro teorema Se os lados opostos de um quadrilátero forem paralelos.1. três teoremas fornecem afirmações equivalentes de graça. Neste apêndice. Uma expressão da forma a ⫹ bi ou a ⫹ ib em que a e b são números reais é denominada número complexo. fora isso. Às vezes. Assim. A fórmula de multiplicação é obtida expandindo o lado esquerdo e usando o fato de que . que. as soluções da equação quadrática ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0. Para tratar do problema da falta de soluções reais da equação . para denotar um número complexo. tem as propriedades algébricas de um número real. que são dadas pela fór- mula são números complexos se a expressão dentro do radical for negativa. denotada por Im(z). suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais. em geral z. quando escrevemos z ⫽ a ⫹ bi ou z ⫽ a ⫹ ib O número a é denominado parte real de z e denotado por Re(z). Dois números complexos são considerados iguais se. subtraídos e multiplicados de acordo com as regras básicas da Álgebra. ou seja. e só se. e o número b é a parte imaginária de z. Os números complexos são somados. Observe. se b ⫽ 0. então a fórmula de multiplicação simplifica para . APÊNDICE B Números complexos Os números complexos surgem naturalmente na resolução de equações polinomiais. Um número complexo com parte imaginária nula é um número real. a⫽ceb⫽d Um número complexo z ⫽ bi cuja parte real é nula é denominado número imaginário. só que . a ⫹ bi ⫽ c ⫹ di se. iremos apresentar algumas das ideias básicas relativas a números complexos que são utilizadas neste livro. é conveniente usar uma única letra. também. e só se. os matemáticos do Números complexos século XVIII inventaram o número “imaginário” que se supõe ter a propriedade mas que. Por exemplo. de modo que os nú- meros reais podem ser vistos como um subconjunto dos números complexos. Dizemos que esse é o plano complexo. costuma ser mais conveniente calcular produtos de números complexos dire- tamente por expansão em vez de substituição em (3).  E X E M P L O 1 Multiplicação de números complexos Na prática. Os pontos do eixo x têm uma parte imaginária igual a zero e.4). geometricamente.  O plano complexo Um número complexo z ⫽ a ⫹ bi pode ser associado ao par ordenado (a.2 Os números complexos podem ser geometricamente somados. ao passo que não existe operação de multiplicação alguma em R2 que produza outros vetores em R2 (o produto escalar produz um escalar e não um vetor em R2). é obtido de z trocando o sinal da parte imaginária e. o sistema dos números complexos C é estreitamente relacionado a R2. é obtido refletindo o vetor de z no eixo real (Figura B. o conjugado de z. Por exemplo. é denotado por (que lemos “z barra”) e definido por z = a – bi (a. ou. sim- plesmente. portanto.714 APÊNDICE B ♦ Números complexos (4) O conjunto dos números complexos. enquanto pontos no eixo y têm parte real igual a zero e correspondem a números imaginários. b) z = a + bi A soma de dois A diferença de dois números complexos números complexos  Figura B. subtraídos ou multipli- cados por números reais efetuando essas operações com os vetores associados (ver Figura B.3. Eixo imaginário y y z = a + bi a + bi (Parte imaginária a + bi b b de z) Eixo real x x a a a (Parte real de z)  Figura B.4 Numericamente.3 x Se z ⫽ a ⫹ bi for um número complexo. mas a principal diferença é que os números complexos podem ser mul- tiplicados para produzir outros números complexos. por exemplo). é costumeiramente denota- do pelo símbolo C e denominado sistema dos números complexos. –b) (5)  Figura B. Em vista disso. .1). dotado dessas operações. então o conjugado complexo de z. b) de números reais e representado geometricamente por um ponto ou um vetor no plano xy (Figura B. correspondem a números reais.2). dizemos que o eixo x é o eixo real e o eixo y é o eixo imaginário (Figura B. Nesse sentido. y y z1 z1 + z2 z1 z1 – z2 z2 z2 y x x (a.1  Figura B. APÊNDICE B ♦ Números complexos 715  E X E M PLO 2 Alguns conjugados complexos Observação A última conta neste exemplo ilustra o fato de que um número real é igual ao seu conjugado complexo.5  E X E M PLO 3 Algumas contas de módulo Se . que denotamos por |z|. Assim. z é um número real. e só se. A próxima conta mostra que o produto de qualquer número complexo z ⫽ a ⫹ bi com seu conjugado é um número real não negativo. dizemos que esse comprimen- to é o módulo (ou valor absoluto) de z. Assim. obtemos a fórmula (9) Observe que a expressão à direita de (9) resulta da multiplicação do numerador e do de- nominador de por . muitas vezes essa é a melhor maneira de efetuar divisões de números complexos. então z ⫽ a é um número real e . |z| b (7) a |z| = √a + b 2 2 Observe que se b ⫽ 0.  Figura B. o que nos diz que o módulo de um número real é o mesmo que seu valor absoluto. . se. então o quociente é definido como o produto de com . pois (6) O leitor deve reconhecer que z = a + bi é o comprimento do vetor correspondente a z (Figura B. Mais geralmente. Assim. então o recíproco (ou inverso multiplicativo) de z é denotado por 1/z (ou )e Recíprocos e divisão é definido pela propriedade Essa equação tem uma única solução para 1/z.5). obtemos (8) Se . que pode ser obtida multiplicando ambos os lados por e usando o fato de que [ver (7)]. Em termos práticos. b) |z| (11) b = |z| sen ␾ ␾ que é a forma polar de z.1 Os resultados a seguir valem com quaisquer números complexos e . então. existe somente um argumento cuja medida em radianos satisfaz (12) Esse argumento é denominado argumento principal de z. Contudo. TEOREMA B. TEOREMA B. Solução Multiplicamos o numerador e o denominador de por . . as partes real e imaginária de z podem ser expressas por e (10) Assim. o número complexo z ⫽ a ⫹ bi pode ser escrito como (a. como sugere a Figura B. O ângulo nessa fórmula é denominado um argumento de z. O a = |z| cos ␾ argumento de z não é único porque podemos somar ou subtrair qualquer múltiplo de  Figura B. obtemos Os próximos teoremas listam algumas propriedades úteis do módulo e da conjugação. Forma polar de Se z ⫽ a ⫹ bi for um número complexo não nulo e se for um ângulo desde o eixo real um número complexo até o vetor z. Expresse na forma a ⫹ bi.716 APÊNDICE B ♦ Números complexos  E X E M PLO 4 Divisão de números complexos Sejam e . Assim.2 Os resultados a seguir valem com quaisquer números complexos e .6 para obter um outro argumento de z.6.  Figura B.7 (12) é (Figura B. com a ⫽ 1 e .8). Solução As formas polares desses números complexos são e . Multiplicando. a forma polar de z é  Vejamos como as formas polares de números complexos fornecem uma interpretação ge.8 mostramos que multiplicar dois números complexos tem o efeito geométrico de multipli- car seus módulos e somar seus argumentos (Figura B. Interpretação geométrica da ométrica da multiplicação e divisão. APÊNDICE B ♦ Números complexos 717  E X E M P L O 5 Forma polar de um número complexo Expresse em forma polar usando o argumento principal. Assim. Sejam multiplicação e divisão de números complexos e as formas polares dos números complexos não nulos e . Assim. – √3) O único ângulo que satisfaz essas equações e cuja medida em radianos está no intervalo  Figura B. Uma conta muito parecida mostra que (14) o que nos diz que dividir dois números complexos tem o efeito geométrico de dividir seus módulos e subtrair seus argumentos (ambos na ordem apropriada). que 1 e 4 o que implica 2 √3 e (1. decorre de (10).7). obtemos Agora aplicamos as identidades trigonométricas z1z2 y z2 z1 |z2| e obtemos |z1||z2| ␾2 |z1| ␾1 x (13) ␾1 + ␾2 que é a forma polar do número complexo de módulo e argumento .  E X E M P L O 6 Multiplicando e dividindo em forma polar Utilize as formas polares dos números complexos e para cal- cular e . Solução O módulo de z é Assim. 718 APÊNDICE B ♦ Números complexos (verifique). ou seja. se z for um número complexo. segue de (13) que e de (14) que Para conferir. mas seu argu- mento aumentou por (⫽ 90º). a medida em radianos de algum ângulo. Fórmula de Euler Se for um número real. Assim. elevar z à enésima potência fornece n fatores n parcelas n parcelas que pode ser escrito mais sucintamente como (15) No caso especial em que |z| ⫽ 1. digamos.9). usando a forma polar de z.9 de girar o vetor z no sentido anti-horário por 90º (Figura B. essa fórmula simplifica para a qual. vamos calcular e diretamente. resulta em (16) Esse resultado é conhecido como fórmula de De Moivre. Fórmula de De Moivre Se n for um inteiro positivo e z for um número complexo não nulo de forma polar então. Assim. então iz tem o mesmo módulo de z. então a função exponencial complexa é definida por (17) .  90 x Observação O número complexo i tem módulo igual a 1 e argumento principal . y iz z o que confere com o resultado obtido usando formas polares. a multiplicação por i tem o efeito geométrico  Figura B. br/ APÊNDICE B ♦ Números complexos 719 que muitas vezes é denominada fórmula de Euler. definimos a exponencial com- plexa por (18) Pode ser provado que as exponenciais complexas satisfazem as propriedades padrão de expoentes. Os leitores que já estudaram séries infini- tas no Cálculo podem deduzir (17) substituindo formalmente no lugar de x na série de Maclaurin de e escrevendo onde o último passo acima segue das séries de Maclaurin de e sen . Assim.com. Uma motivação para essa fórmula vem das séries de Maclaurin estudadas no Cálculo. Se z ⫽ a ⫹ bi for algum número complexo qualquer. https://livros-pdf-ciencias-exatas. . por exemplo.blogspot. (d) e (e) não são equações lineares. x  t  1. 37. 15.com. x2  t  s. 29. x2  0. w  t 9. (b). z  s. se a  3. 35. y  t.1 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa (g) Verdadeira (h) Falsa Conjunto de exercícios 1. se a  3. não há soluções. (c) e (f) são equações lineares. x1  3. Ambos (a) e (d) são consistentes. existe exatamente uma solução. não há soluções.blogspot. O sistema não homogêneo terá exatamente uma única solução. 27. w  t. x  t. w  t 13. I3  1. x4  3t  9.3 (Página 35) 1. a  1. b  6. z  0 23. x3  2 7. Verdadeiro/falso 1. 31. (d) e (e) são soluções. (a) Não está definida (b) 4  2 (c) Não está definida (d) Não está definida (e) 5  5 (f) 5  2 (g) Não está definida (h) 5  2 . I4  2 25. 17. se a  4. (a) (b) (c) (d) [ 1 0 0 0 1 7 ] Verdadeiro/falso 1. y  2s. (b) e (c) não são soluções.br/ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Conjunto de exercícios 1. x4  t (c) x1  7s  2t  11. x3  2 11. (a) Ambas (b) Ambas (c) Ambas (d) Ambas (e) Ambas (f) Ambas (g) Forma escalonada 3. x3  0 19. (a). (a) (b) (c) (d) 13. Tem soluções não triviais. (a) (b) 11. existe exatamente uma solução. x3  t  2.1 (página 9) 1. x3  5 (b) x1  13t  10. há uma infinidade de soluções. 5. se a  4. x2  1. z  s. x1  0. (a) x1  37. x2  13t  5. x1  s. x3  3t  4. 7. https://livros-pdf-ciencias-exatas. Se a  4. Se a  3. 9. (a). (b) e (c) não são sistemas lineares. y  2s. há uma infinidade de soluções. c  2. x  t  1. x4  t 21. x2  8. são duas possibilidades. d  10 39.2 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Verdadeira (h) Falsa (i) Falsa Conjunto de exercícios 1. I1  1.2 (página 22) 1. (a) e (d) são sistemas lineares. x1  3. x2  1. x2  s. x3  4s. 3. Tem soluções não triviais. I2  0. x5  t (d) Inconsistente 5. (a) [67 41 41] (b) [63 67 57] (c) (d) (e) [24 56 97] (f) 9. (a) (b) (c) (d) (e) Não definida (f) (g) (h) (i) 5 (j) 225 (k) 168 (l) Não definida 5. b  6. a  4. d  1 23.com. (a) (b) 13. (a) (b) Não definida (c) (d) (e) 7.blogspot.br/ Respostas dos Exercícios 721 3. (a) (b) (c) (d) . 1 17. c  1. https://livros-pdf-ciencias-exatas. (a) (b) 11. (a) (b) 15. (a) (c) (d) (e) (f) 1 1 2 T 1 1 31. 33.com. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 7. (a) (b) Quatro. 19. 17. 29. Verdadeiro/falso 1. 9. 41.3 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Falsa (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa (h) Verdadeira (i) Verdadeira (j) Verdadeira (k) Verdadeira (l) Falsa (m) Verdadeira (n) Verdadeira (o) Falsa Conjunto de exercícios 1.blogspot. (a) (b) (c) (d) y y x y → → y 3 x→ → x f(x) f(x) 2 1 1 → x f(x) = → x x x 1 1 2 1 2 4 8 → x f(x) 27. 15.4 (página 49) 5. Uma.4 (a) Falsa (b) Falsa (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Verdadeira (i) Falsa (j) Verdadeira (k) Falsa .br/ 722 Respostas dos Exercícios 25. D  CA B A BC (B ) A 2 2 27. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 21. Verdadeiro/falso 1. 37 39. a saber. B 35. Não existe inversa 17. 19. (a) É elementar (b) Não é elementar (c) Não é elementar (d) Não é elementar 3. 37. Somar 1 vez a linha 1 com a linha 2.5 (página 58) 1. (a) Trocar entre si as linhas 1 e 2: (b) Somar 3 vezes a linha 2 com a linha 3: (c) Somar 4 vezes a linha 3 com a linha 1: 7. Somar 1 vez a linha 2 com a linha 1. 23. 35. (a) (b) (c) (d) 9.com. 13. 21. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 11. 25.br/ Respostas dos Exercícios 723 Conjunto de exercícios 1. Somar a linha 2 com a linha 3. (a) (b) 27. 1 29. c  0. 15. Somar 1 vez a linha 1 com a linha 3. 33. .blogspot. (a) Somar 3 vezes a linha 2 com a linha 1: (b) Multiplicar a linha 1 por : (c) Somar 5 vezes a linha 1 com a linha 3: (d) Trocar entre si as linhas 1 e 3: 5. 31. x1  2b1  5b2 . 43. 9. Consistente com quaisquer b.6 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Verdadeira Conjunto de exercícios 1. 7.724 Respostas dos Exercícios Verdadeiro/falso 1. b2  2b3  b4 19. 3. 11. 5. x  1. a  8 25. x  1. x2  1 3. 4 27. x2  b1  3b2 9. z  1 7. b3  b1  b2 17. 13. 13. Não é simétrica 21. 15.5 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Falsa Conjunto de exercícios 1.7 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa (h) Verdadeira (i) Verdadeira (j) Falsa (k) Falsa (l) Falsa (m) Verdadeira . b1  b3  b4 . 11. Verdadeiro/falso 1. Não é invertível 23. y  5. x1  3. (a) É simétrica (b) Não é simétrica (exceto se n  1) (c) É simétrica (d) Não é simétrica (exceto se n  1) 39. x2  4. Não é simétrica 19. Não é simétrica 15. Verdadeiro/falso 1.6 (página 65) 1. É simétrica 17. x3  7 5.7 (página 71) 1. 2. x1  1. 35. b  2 (c) a  0. x2  100. 13. 7. (a) (b) (c) 15. x1  400.blogspot. x3  0. x1  x2  x3  x4  t.com. z  3 9. 1. b  2 11. com  k . 17. (a) x3  x4  500. c  3 . x2  5. (a) (b) 5. b  2 (d) a  0. x2  x3  100 (b) x1  100  t. (a) a  0. a equação equilibrada é C3H8  5O2 → 3CO2  4H2O 11. y 4 k=0 3 k=1 2 x –2 –1 1 2 k=3 k=2 Verdadeiro/falso 1.9 (página 90) 1. (a) (b) 3. x  4. x4  t 40 10 (c) Para que todas as taxas sejam negativas. (b) Mostramos o gráfico com k  0. b  2. Verdadeiro/falso 1. a  1.9 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira Capítulo 1 Exercícios suplementares (página 91) 1. b  2 (b) a  0. x1  x4  100. x2  400  t. portanto. 9. x3  500  t. 2 e 3. necessitamos de t  500 carros por hora. p(x)  x2  2x  2 15.8 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Falsa Conjunto de exercícios 1.8 (página 84) 1. p(x)  1  kx  (1  k)x2. 7. a equação equilibrada é CH3COF  H2O → CH3COOH  HF 13.br/ Respostas dos Exercícios 725 Conjunto de exercícios 1. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 50 3. 5. 3. x1  x2  300. x3  3 e x4  4. x4  500 30 60 10 50 40 5. y  2. x1  1. (a) Usando a1  k como parâmetro. C11  29 3. 0 31. C21  11 (d) M21  72. C23  5 M31  19. 6 23. Exercício 6: 48 11. C22  48 M21  11.blogspot. ␭  1 ou 3 17. M11  29. 329 9. É invertível 15. É invertível 11. (a) 189 (b) (c) (d) Verdadeiro/falso 2. 40 23. Exercício 3: 24.3 (página 115) 7. 33 15. 5 7. C23  96 M13  27. 25. 24 5. É invertível 9. 7. 21. 18 3. 35. y  0 35. 1 11. (a) 189 (b) (c) (d) (e) 7 37. As matrizes nos Exercícios 1 a 3 são invertíveis e a matriz no Exercício 4 não é. 6 27. O determinante é sen2␪  cos2␪  1. 1 29. Exercício 17: 2 21. 18 Verdadeiro/falso 2. 240 27.3 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Verdadeira (i) Verdadeira (j) Verdadeira (k) Verdadeira (l) Falsa Capítulo 2 Exercícios suplementares (página 117) 1. C13  27 (c) M22  48. https://livros-pdf-ciencias-exatas. 72 25. C13  0 5. A regra de Cramer não é aplicável. 123 15. . 1 9. (a) M13  0. C32  19 M33  19. C12  21 (b) M23  96. 123 (todas as partes) 21. 65 13. 17. 10 7. M12  21. 0 25. Exercício 4: 0. 29. Exercício 16:  . 21. 2 19.  b2  5b  21 15. C33  19 9. 13.2 (página 105) 5. k  1 19. Exercício 14: 39. 23. ␭  1 ou 1 19. 27. Exercício 5: 10. d2  d1  ␭ Verdadeiro/falso 2.1 (página 98) 1. Exercício 15: 6. 19. Não é invertível 13.2 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Verdadeira Conjunto de exercícios 2. C21  72 M22  13.com. 6 33.1 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa (h) Falsa (i) Verdadeira Conjunto de exercícios 2. 6 17. 31. C31  19 M32  19. 120 17. C22  13 M23  5. a2  5a  21 11.br/ 726 Respostas dos Exercícios Conjunto de exercícios 2. 5 13. 5) y y y y x x (3. 25. (b) Conjunto de exercícios 3. (a) y (b) y x (c) y x (d) z (e) z (f) z y y y x x x x 5. (a) Uma resposta possível é (1. 24. Respostas dos Exercícios 727 23. 14) (c) (13. (a) w  u  (9. b  1 27.1 (a) Falsa (b) Falsa (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa (h) Verdadeira (i) Falsa (j) Verdadeira (k) Falsa Conjunto de exercícios 3. 5) (b) 2v  3u  (13. 23) 21. 70) (e) 2(3w  v)  (2u  w)  (32. (b) O ponto inicial é A(2. 8) (c) 2(u  5w)  (38. 5. (a) (1. (a) (b) (c) . 1. 29. 4). 5) (3. 3. 28) (d) 3v  2(u  2w)  (4. 2. 2. (a) v  w  (2. 23. 20. 3). (a) O ponto final é B(2. 17) 15. 4. 3. 12) (f) (2u  v)  5(v  3w)  (37. (a) u  w  (1. 4. 53. (b) São paralelos. 4. (a) (b) (c) 3. 8. 6. 2) (d) (90. 36) (e) (9. 8. –4. 25. (c) São paralelos. 16) (f) 19. 13. (a) (b) Verdadeiro/falso 3. c3  1. 11. 9. c3  5 29. –5) (3. (a) (b) 9. 29. 2. 5. 94. 36. 5) z (f) z y x x (–3. 13. 5. 5) (c) z (d) z y (e) (–3.1 (página 128) 1. (b) Uma resposta possível é P(7. (a) y (b) y x (c) z y x x 7. 25.2 (página 141) 1. (a) Não são paralelos. 3) (f) (27. c1  1. 4) (b) v  3u  (12. (a) z (b) z (–3. 4. 7) (b) 6u  2v  (10. 29) (e) 3(w  2u  v)  (33. a  3. 10. 13. c4  1 33. (a) (b) (c) (d) 5. –4. 14. 75. 1. 11. 27. 2. 2. 6). c2  1. c2  1. 1). 2. 19. c1  2. 4. 9) 17. 9) (c) w  3(v  u)  (14. 28) (c) (2u  7w)  (8v  u)  (77. 26. 60. 7) (d) 5(v  4u  w)  (125. 114. –5) x x 3. 27. 25. 1) (b) (22. 4. z  t 5. y  1  t1  3t2 . 3. 0)  t1(0. y  1  3t1  t2 . 33. 1) 7. v · v  24 (b) u · v  0. (c) O conjunto é ortogonal. 0. (a) u · v  8.2 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa (h) Falsa (i) Verdadeira (j) Verdadeira Conjunto de exercícios 3. (a) O conjunto não é ortogonal. Verdadeiro/falso 3. Uma resposta possível é a equação vetorial: (x. v · v  21 11. 9. z  4  t2 13. (d) (u · v)  ||u|| faz sentido. 1 31. u · u  26. z) = t (−3. 3. 1. 5. y. 15. 2(x  1)  (y  3)  (z  2)  0 11. 39. 17.br/ 728 Respostas dos Exercícios 7. Equação vetorial: (x. 29. z)  (1. 6) 9. (a) u · (v · w) não faz sentido porque v · w é um escalar. (a) (b) (c) |u · v|  5. Não são paralelos. (b) Não são ortogonais. 6). (6.3 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa Conjunto de exercícios 3. y. Verdadeiro/falso 3. z0). Formam. 1. 6)  t2(5. ||u|| ||v||  (3)(2)  6 27. 1. (c) Não são ortogonais.) 41. (0. Não são perpendiculares. 0 (Os planos coincidem. 19. (a) ␪ é agudo (b) ␪ é obtuso (c) ␪ é obtuso 15. (b) O conjunto é ortogonal. Equações paramétricas: x  4. 1). 1). Equações paramétricas: x  3t. Vetor paralelo: (5. 2z  0 13. 6). (a) (b) 21. (d) O conjunto não é ortogonal. y  2t . u · u  54. (a) (b) (c) cos ␪  0 (d) cos ␪  0 25. (c) ||u · v|| não faz sentido porque a quantidade dentro da norma é um escalar. São paralelos. Equação vetorial: (x. Equações paramétricas: x  1  6t1  t2 . (a) (b) (c) (d) 23. y)  t (3. (a) (b) (c) 13. y. 1)  t (0. Equação vetorial: (x. Vetor paralelo: (6. y)  (4. (a) 27. y  1  8t 3. 2). 3. 4)  t1(6.4 (página 159) 1. 37. (b) u · (v · w) faz sentido. pois ambas parcelas são escalares. Ponto: (3. 25. Equações paramétricas: x  3  5t2. 2) 23. 2). É a esfera de raio 1 centrada em (x0 . Ponto: (4. 17. https://livros-pdf-ciencias-exatas.3 (página 150) 1. Equação vetorial: (x.com. 9. (a) São ortogonais. z)  (3. 19. 0). 8). 7. (d) Não são ortogonais. Equações paramétricas: x  3t. 35. 1. y0 . y  0. 0)  t2(1. z  6t1  2t2 11.blogspot. z)  (2. 0)  s(1. Equações paramétricas: x  2  t1  5t2 . (b) Um plano pela origem. 0)  t (1. x2  s. 6) (c) Axiomas 1 a 5. 1. 10) (b) (c) (d) (e) u · (v  w)  122 (f) (5v  w)  ((u · v)w)  (3. 0. 2(v  u) 37. 4). 2. 3 13. 2) (b) (c) (d) 5. (a) (b) Uma reta pela origem em R3. 3). 0) e (1. 2. 3(x  1)  6(y  5)  2(z  6)  0 25. (c) 25. falham os Axiomas 5 e 6. Não é um espaço vetorial. 15. Equação vetorial: (x. 17.150. (a) u  v  (2. x3  t 19. 16 19. y.170) 3. 0. 1. 12. falha o Axioma 8. 6). z)  t1(0. 11. y  t1 . (a) (b) Verdadeiro/falso 3. Uma resposta possível é a equação vetorial: (x. 6. Conjunto de exercícios 4. 42) 3. Equações paramétricas: x  8t. 3. Equação vetorial: (x. 18) 5. 92 23. 21.5 (página 168) 1. abc 25. (a) 3 (b) 3 (c) 3 27. 1). perpendicular ao vetor dado. 1. 1. y. 1) (b) Um plano em R3 passando por P(1. 3) 7. perpendicular ao vetor dado. 82) (c) (27. (18. 9. 20.430. S(1. 36. y  5  3t 23. (3. 4) (b) (14. 21. (a) Uma reta pela origem. Equações paramétricas: x  5t2 . 3)  t (8. z  3  2t1  5t2 19. 7 15. 5)  t (1. 9. 40. 5) 13. 0) e paralelo a (1. (a) 3v  2u  (5. 0. (c) {0} (a origem) (d) Uma reta pela origem. 0. 7.1 (página 178) 1.5 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa Capítulo 3 Exercícios suplementares (página 170) 1. a solução geral do sistema homogêneo associado é . Os vetores não são coplanares. y  1  2t1  t2 . 18(x  9)  51y  24(z  4)  0 29. 9. (a) (1. Um plano. perpendicular ao plano contendo os dois vetores não colineares. (a) (b) 29. Uma resposta possível é a equação vetorial: (x. y)  (0. y  3  t 21. 3)  t1(1. Uma solução parti- cular do sistema dado é Verdadeiro/falso 3. Equações paramétricas: x  t. Verdadeira. 3u  (0. y)  (0. Não é um espaço vetorial. Respostas dos Exercícios 729 15. z  4t2 17. 5). É um espaço vetorial com as operações dadas. 1). (a) 3v  2u  (13. 1. 1. 20. 2)  t2(5.4 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira Conjunto de exercícios 3. 0. 5. Não é ortogonal. . (a) (32. 23. 1. 7. 3. 17. x1  s  t. (a) (c) 27. 11. 0)  t2(5. (a) Os vetores geram. (c). (a). Verdadeiro/falso 4. (b) Os vetores não geram. (d) 9. É um espaço vetorial com as operações dadas. 0. (a) Não são coplanares. 1) (d) Verdadeiro/falso 4.3 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Verdadeira (h) Falsa Conjunto de exercícios 4.3 (página 199) 1. (a) W(x)  ex  0 (b) W(x)  2  0 25. 7) (b) (c) 9.4 (página 207) 1. 5. pois v1 . É um espaço vetorial com as operações dadas. (a). 21. 3) 13. W(x)  x sen x  cos x  0 em algum x. (a) Os vetores são linearmente independentes. 1) (b) (v)S  (2. 2. (d) 7. A  A1  A2  A3  A4 15. y  2t. (a) (2. z  t (f) Plano: x  3y  z  0 Verdadeiro/falso 4. (b). 13. 2 (c) Uma base de P2 tem três vetores linearmente independentes. (b) Os vetores são linearmente dependentes. (b) Os vetores são linearmente dependentes pelo Teorema 4. (a) (w)S = (3. v2 e v3 não são coplanares quando colocados com seus pontos iniciais na origem. Nenhum é. Verdadeiro/falso 4. 11.2 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Falsa (i) Falsa (j) Verdadeira (k) Falsa Conjunto de exercícios 4. (c) Os vetores não geram.2 (página 188) 1. (b) 9.4 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa . v2 e v3 são coplanares quando colocados com seus pontos iniciais na origem. 1. pois v1 . W(x)  2 sen x  0 em algum x. (b). p  7p1  8p2  3p3 17.3. 1. (b).1 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Falsa Conjunto de exercícios 4. 19. (d) 5. (b) 7. z  0 (c) Origem. (a) u2 é um múltiplo escalar de u1. (d) B é um múltiplo escalar de A. (d) Os vetores geram. 7. (a) Reta: (b) Reta: x  2t. (a). (d) Origem (e) Reta: x  3t. (A)S  (1. (a).3. (c) 11. (a) (v)S  (3. y  t. 15. (d) Uma base de M22 tem quatro vetores linearmente independentes. Os polinômios não geram. (b) Uma base de R3 tem três vetores linearmente independentes. (a). (b) São coplanares. (a). 0) (b) (c) (0. (c). (c) p2 é um múltiplo escalar de p1. 23. 3. (a) Uma base de R tem dois vetores linearmente independentes. (e) 3.730 Respostas dos Exercícios 9. 3. 1) 11. (a) B  {(1. 0. 5. 1) 9. 1. 0). 0). (a) n (b) (c) 13. dimensão  1. (1. 0. 1.−1. 2. dimensão  0. (a) (b) 5. (a) (b) 11. (a) w  (16. Nenhuma base.6 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa . 1). (a) (b) (c) 9. Base: (1. 1. 1). c) com 9a  3b  5c  0 Verdadeiro/falso 4. 1. 15. 0. 0) e (0. (a) 23. Base: (4.6 (página 222) 1. Respostas dos Exercícios 731 Conjunto de exercícios 4. 4) (d) (1. 1. 1. (a) (b) (1. b. 0. 7. 1.5 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Verdadeira (i) Verdadeira (j) Falsa Conjunto de exercícios 4. 0). dimensão  3. 1)} (b) Verdadeiro/falso 4. 1. (3. (b) (c) (d) 13. (1. 0. (a) (b) 19. (a) (b) (d) (e) 17. 0. Podem ser usados quaisquer dois dentre (0. 1). 2). (0. 12) (b) q  3  4x2 (c) 7. 3. 0.5 (página 216) 1. 1) (c) (2. v3  (a. (0. (0. (0. 0. 0). 0. (a) (b) (d) (e) 15. 10. 0). 0. 0). 0. (a) (b) (c) 3. 0. 7. 2. 1). 4. r1  (2.7 (página 235) 1. (a) (b) (c) (d) 9. 1. r2  (3.732 Respostas dos Exercícios Conjunto de exercícios 4. 1). (a) (b) (c) (d) 7. (a) (b) b não está no espaço coluna de A. 5. 7). (a) (b) . (c) (d) (e) 5. r3  (1. 3. (f) É consistente. R3 → R2 (b) Não é linear.. nulidade  0 7. . (0. Pos(A)  Pos(AT )  2 3. (b) Não é consistente. 0. 2. (a) É consistente. 2 5. (0. nulidade  0 (b) Posto  3. (0. contradomínio: R3 6 1 (d) Domínio: R . 7. b2  s. (a) É linear. (a) 3 (b) 5 (c) 3 (d) 3 19. (d) e (e) não são transformações matriciais. 1. 0). seus espaços nulos são a origem.  ) (c) (1. contradomínio: R2 (c) Domínio: R3. (a) e (c) são transformações matriciais. (c) É consistente.8 (página 246) 1. O espaço nulo de C é a reta 3x  y  0. (b). 5. O espaço nulo de D é todo o plano xy. R2 → R3 (c) Linear.9 (página 260) 1. 1). 1. O posto é 2 se r  2 e s  1. 0. 1. (b) Como A e B são invertíveis. Verdadeiro/falso 4. 0). 0. 2. ) (b) (1. contradomínio: R 3. 1. R4 → R2 7. (0. (a) Domínio: R2. (g) É consistente. R3. b5  8s  7r 11. 3) 5. 2. 2 (c) 2. 1) 15. b4  2r  s. (d) É consistente. (e) Não é consistente. (a) (1. (1. 0. (0. (a) 2. 1. 1. 4. 0). 1. 9. (a) Posto  4. Não podem.7 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Falsa (i) Verdadeira (j) Falsa Conjunto de exercícios 4. 0. 0. Verdadeiro/falso 4. (0. o posto nunca é 1. 0. 9.8 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa (h) Falsa (i) Verdadeira (j) Falsa Conjunto de exercícios 4. 2 (d) 2. 0. 1. 3 (e) 3. nulidade  2 (c) Posto  3. b3  4s  3r. contradomínio: R3 (b) Domínio: R3. 4  3). (b) 17. 13. R3 → R3 (d) Não é linear. R2. b1  r. 1. −2). 0. 1). Respostas dos Exercícios 733 (c) (d) 11. (0. (a) com quaisquer números reais a e b não ambos nulos. 17. 1 (b) 1. 1. (e) É injetor. 35. 5. 6x1  2x2). (c) É um operador matricial. 3) 19. (b) Não é um operador matricial. (a) (2. x2))  (5x1  4x2 . 33.10 (página 271) 1. TA(e2)  (3. (a) (b) (c) T2(T1(x1 . (b) É uma transformação matricial. 19. 5. 2) 21. (a) A reflexão no eixo x. 4)  (5. A rotação pelo ângulo ␪ e translação por x0 . (a) Duas vezes a projeção ortogonal no eixo x. (f) É injetor. (c) É injetor. (a) (2. (a) (b) (c) (1. 1. (a) (b) (c) 7. 14. (d) Não é um operador matricial. A rotação pelo ângulo 2␪. Verdadeiro/falso 4. 0) (b) (2. 3) (b) (2. (b) É injetor. (b) Não é injetor. 13. Uma reta em Rn.9 (a) Falsa (b) Falsa (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Falsa (h) Falsa (i) Verdadeira Conjunto de exercícios 4. (a) TA(e1)  (1. 1. (a) (b) (c) (d) 13. 2. 3) (c) (0. 5. 21) . (d) Não é injetor. (g) É injetor. T1(T2(x1. 1. não é uma transformação matricial porque x0 é não nulo. 3) 17. 1. 4) (b) T (2. (b) A rotação pelo ângulo . 5). 3) (b) TA(e1  e2  e3)  (2. 3) (c) (2. 2) 25. 2. 4). 31. x2))  (3x1  3x2 . (b) Duas vezes a reflexão no eixo x. 17. (a) Não é injetor. 29. (a) T1 T2  T2 T1 (b) T1 T2  T2 T1 (c) T1 T2  T2 T1 11. (c) É injetor. (a) (b) (c) 23. 0) 15. 0. 15. 3)  (0. (a) É um operador matricial. (a) (b) (c) 9. x1  4x2) 5. (a) É injetor. 5. (d) É injetor. 21. 2. 2. (e) A dilatação de fator 5. 2. (c) A contração de fator (d) A reflexão no plano yz. (a) (b) (c) (1. (a) T (1. (a) É uma transformação matricial. TA(e3)  (0. 3.734 Respostas dos Exercícios 11. 6) (c) TA(7e3)  (0. 11. (b) Expansão de fator 5 na direção y e reflexão no eixo x. z) em (x  ky. (a) (b) (c) (d) 3. (b) Pode ser injetora.11 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa (g) Verdadeira Conjunto de exercícios 4. 7. y. 13. (b) Necessariamente T aplica uma infinidade de vetores em 0. (a) A imagem de T é um subespaço próprio de Rn. (c) É estocástica. 5. Verdadeiro/falso 4. (d) Não é estocástica. (c) Cisalhamento de fator 4 na direção x. z  kx): . (3. (a) (b) (c) 17. (0. x1x2) 29. y  kx. (c) 0. (a) (b) Cisalhamento de fator k na direção xz aplica (x. x2)  (x21  x22 .10 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Falsa (f) Falsa Conjunto de exercícios 4. O retângulo de vértices em (0. z) em (x. 27. 0). (a) É regular. (a) (b) (c) 7. y. (a) É injetora. (a) A probabilidade de algo que esteja no estado 1 permanecer no estado 1. 3. (b) Não é regular. T (x1. (c) É regular. (a) (b) 11. (a) É estocástica. 9. (b) A probabilidade de algo que esteja no estado 2 passar ao estado 1. y. (b) Não é estocástica. 1). (a) Expansão de fator 3 na direção x. z  ky): .8 (d) 0. (b) Não contradiz 23. 1). Respostas dos Exercícios 735 25.12 (página 290) 1. 0). (a) (b) (c) 5. (a) (b) y  x (c) (d) y  2x (e) 19.11 (página 280) 1. Cisalhamento de fator k na direção yz aplica (x. Verdadeiro/falso 4. 9.85 . (3. (a) ␭  ␭  3␭  ␭  2  0 (b) ␭  8␭  19␭  24␭  48  0 4 3 2 4 3 2 . . 3 (b) (c) 8 (d) 2 (e) 2 (f) 4. (a) Posto  2. 2. (a) (b) 15. Conjunto de exercícios 5. (a) ␭2  2␭  3  0 (b) ␭2  8␭  16  0 (c) ␭2  12  0 (d) ␭2  3  0 (e) ␭2  0 (f) ␭2  2␭  1  0 5.142 (d) 0. nulidade  2 (c) Posto  2. 5 3. base do autoespaço associado a ␭  1: (b) Base do autoespaço associado a ␭  4: (c) Base do autoespaço associado a : . x }. (a) Ano (b) Cidade Cidade Arredores Arredores 17.93 (c) 0. Se s  1. x3. 35 19. (f) Base do autoespaço associado a ␭  1: 7. 2). (d) Não há autoespaços. A deve ser invertível. x . 3. o espaço solução é a origem. (a) (b) 0. 3 9. o espaço solução é um plano pela origem. xn} 13. u  (3. 21. 0) (c) Axiomas 1 a 5 3. . 2. . (a) Base do autoespaço associado a ␭  3: . (a) 1. 1 e 0. Verdadeiro/falso 4. . 7. (a) (b) (c) 35.736 Respostas dos Exercícios 13. .1 (página 303) 1. (a) u  v  (4. x . x2.12 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira Capítulo 4 Exercícios suplementares (página 292) 1. . . o espaço solução é uma reta pela origem. (a) {1. base do autoespaço associado a : . Os postos possíveis são 2. 0.63 15. nulidade  n  2 11. Pkq  q com qualquer inteiro positivo k. (e) Base do autoespaço associado a ␭  0: . Se s  1. sendo 2m  n se n for par e 2m  n  1 se n for ímpar. Se s  2. 2 4 2m (b) {x. . 9. 50. nulidade  1 (b) Posto  2. ou 3 7. 17.1 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Falsa Conjunto de exercícios 5. 4  8i. 11  14i 15. 15. x  (7  6i. 21. Um motivo possível: os determinantes são diferentes. v · w  12  6i 13. 19. 25. (c) ␭  4 Verdadeiro/falso 5. (b) As dimensões serão exatamente 1. Não é diagonalizável. Um motivo possível: os postos são diferentes.1. 5.2 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Verdadeira Conjunto de exercícios 5. . u · v  1  i. Não é diagonalizável. 23. (b) Não há retas invariantes. 23. (a) ␭  1: dimensão  1. 17. 3. ␭  1 : 1. Não é diagonalizável. 19. (c) y  0. 25.2 (página 313) 1. 5. Verdadeiro/falso 5. 2.3 (página 326) 1. 6  12i) 7. Uma resposta possível é . ␭  2 : 1. ␭  4: dimensão 1. 11. (a) (b) Não existem. 27. (a) (b) 13. 9. 15. ␭  0 : 1 ou 2. (a) y  x e y  2x. 33. ␭  3: dimensão 2. 2 e 3. 21. u · w  18  7i. 11. 27. 13. Respostas dos Exercícios 737 11. com ␭1 e ␭3 dados no Exercício 20 da Seção 5. 1 (página 343) 1. de modo que falha o Axioma 4. 15. portanto. (a) 2 (b) 11 (c) 13 (d) 8 (e) 0 5. tr(A) 13. (a) (b) 3. (a) (b) 17. V〉  2 0.4 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa Capítulo 5 Exercícios suplementares (página 333) 1. 17. 11.3 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa Conjunto de exercícios 5. y  c1e3x  c2e2x 9.4 (página 332) 1. (b) 29 11. (a) (b) 0 Verdadeiro/falso 6. temos 〈V. Os autovalores são todos 0. (b) A transformação gira os vetores pelo ângulo ␪. 29.1 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Falsa . 3. (a) y (b) y 4 1 x x –2 2 1 1 – √2 √2 –4 –1 27. então nenhum vetor não nulo será transformado num ve- tor de mesma direção. 0. Os autovalores são todos nulos. (a) (b) (c) 21. (a) (b) 13. y  c1ex  c2e2x  c3e3x Verdadeiro/falso 5. Conjunto de exercícios 6. 19.738 Respostas dos Exercícios Verdadeiro/falso 5. 1 ou 1. Tomando . (a) (b) 7. (a) (b) 0 15. (a) 5 (b) 6 (c) 3 (d) (e) (f) 3. (c) 9. (a) 5 (b) 1 (c) 7 (d) 1 (e) 1 (f) 1 7. se 0 ␪ ␲. (a) 3 (b) 56 9. (d) 5. (a) (b) 0 7. Não existem 9. (a) A reta y  x (b) O plano xz (c) O eixo x Verdadeiro/falso 6. (a) x  t. (a) (b) (c) (d) (e) (f) As colunas não são linearmente independentes. (b). 25. 27. (a) (b) 19. (a).2 (página 350) 1. (a) 7. y  2t. 33.2 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa Conjunto de exercícios 6. (a) (b) 17. Não é ortogonal. 3 13. (b).3 (página 364) 1. (a) (b) 15. (a) k  3 (b) k  2. . (a) (b) (c) 11. Respostas dos Exercícios 739 Conjunto de exercícios 6. (b) 13. (a) (b) (c) 9. (d) 3. 15. 29. z  3t (b) 2x  5y  4z  0 (c) x  z  0 31. (a) (b) (c) 0 (d) (e) (f) 3. (a) (b) y y 1 1 v2 x v1 x –1 v1 1 –1 1 v2 –1 –1 23. (a) (b) 21. A não tem vetores coluna linearmente independentes.5 (página 381) 1. (a) (b) 9. Verdadeiro/falso 6. (a) (b) 15. 9. [P]  AT (AAT )1A Verdadeiro/falso 6.4 (página 374) 1. (a) (b) x1  12. x2  3. (a) Solução: . (a) (b) 5. 5) (b) 11. erro de mínimos quadrados: (c) Solução: (t um número real).740 Respostas dos Exercícios Verdadeiro/falso 6.4 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Falsa (h) Verdadeira Conjunto de exercícios 6. (b) det(AT A)  0. (0. (a) (b) 3. (a) (b) 7.5 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira Conjunto de exercícios 6.6 (página 387) 1. y  2  5x  3x2 11. 1. s  t  1 21. A não tem vetores coluna linearmente independentes. 3. y 10 x 10 Verdadeiro/falso 6. 5). (a) (1  ␲)  2 sen x  sen 2x (b) 3. erro de mínimos quadrados: (b) Solução: (t um número real).6 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira . (a) (1. 13. x3  9 5. 2. 0. (a) det(AT A)  0. 3) (b) (c) (d) 17.3 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira Conjunto de exercícios 6. (a) (7. erro de mínimos quadrados: 9. (a) (b) 11. 17. as dilatações e contrações.2 (página 404) 1. (d) ␭3  12␭2  36␭  32  0. ␭  1: dimensão 2.1 (página 395) 1. (b) 3. (b) As rotações em torno da origem. 9. 0) com a  0 (b) 3. ␭  0: dimensão 1. Verdadeiro/falso 7. (a) ␭  5␭  0. ␭  0: dimensão 3. . Conjunto de exercícios 7. . ␭  5: dimensão 1. ␭  3: dimensão 2. (f) ␭4  8␭3  22␭2  24␭  9  0. as reflexões em qualquer reta pela origem e quaisquer combinações destas. (a) (b) (d) (e) 7. ou a  0. As únicas possibilidades são a  0. (a) O subespaço de todas as matrizes em M22 com zero em cada entrada diagonal.1 (a) Falsa (b) Falsa (c) Falsa (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Verdadeira Conjunto de exercícios 7. ␭  3: dimensão 1. 2 (b) ␭3  27␭  54  0. (a) As rotações em torno da origem. a. (a) (b) 9. 17. ␭  2: dimensão 2. 11. Respostas dos Exercícios 741 Capítulo 6 Exercícios suplementares (página 387) 1. 21. 3. Não existe. ␭  6: dimensão 1. (b) O subespaço de todas as matrizes antissimétricas em M22. (c) Não existem. a. Não existe. (c) ␭3  3␭2  0. ␭  3: dimensão 2. ␭  0: dimensão 2. 7. (a) (0. ␭  8: dimensão 1. contrações e reflexões em retas pela origem e quaisquer combinações destas. ␭  8: dimensão 1. as dilatações. 7. (e) ␭4  8␭3  0. (b) ␪ tende a . 5. (a) (b) 13. (a) (b) (c) 3.3 (página 415) 1. Hipérbole: 4(x)2  (y)2  3. 15. (a) Positiva (b) Negativa (c) Indefinida (d) Não negativa (e) Não positiva 19.6° 15. Não é 19. 11. Positiva 21. Sim Verdadeiro/falso 7. (a) Elipse (b) Hipérbole (c) Parábola (d) Círculo 13. k . 7. ␪ 艐 26. ␪  36.9° 17. Hipérbole: 2(y)2  3(x)2  8.2 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Verdadeira Conjunto de exercícios 7. 9. 2x2  5y2  6xy 5. Não negativa 23. Indefinida 27.742 Respostas dos Exercícios 9. 1). mínimo: em e . 33. A deve ter um autovalor positivo de multiplicidade 2. 0). Máximo: em e . 1). 0) e (1. mínimo: 3 em (0. 3. 0). 0) e (1. mínimo: 3 em (1. 0) e (1. 1) e (0. Máximo: 7 em (0. 1) e (0. 1). 0.4 (página 423) 1. 0. 5. 0). Verdadeiro/falso 7. 0. (a) (b) É positiva. . Máximo: 9 em (1. 7. mínimo: 1 em (0. 2 31. Máximo: 5 em (1. 1) e (0.3 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira (g) Verdadeira (h) Verdadeira (i) Falsa (j) Verdadeira (k) Falsa (l) Falsa Conjunto de exercícios 7. 0. 1). Pontos críticos: (0.5 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Falsa Capítulo 7 Exercícios suplementares (página 432) 1. A multiplicação de x por P corresponde a ||u||2 vezes a projeção ortogonal de x sobre W  ger{u}. (a) (b) 5. 15. 37. 0). . q(x)  ␭ (0. mínimo relativo. 13. Respostas dos Exercícios 743 9. 5x 2 – y 2 = 5 13. 1). 19. 11. (0. (2.5 (página 430) 1. Se ||u||  1. Vértice: 21. Pontos críticos: (1. 1) e (2. 39.4 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira Conjunto de exercícios 7. 0). 5. 21. pontos de sela. 17. máximo relativo. (a) (b) 9. (a) (b) 29. (c) B e C devem comutar. 1) (1. y 15. 17. ponto de sela. então a multiplicação de x por H  I  2uu* corresponde à reflexão de x no hiperplano u⬜. 0) x + y2 = 1 2 (0. 3. Verdadeiro/falso 7. 0) x 2 2 5x – y = –1 (–1. –1) Verdadeiro/falso 7. T é injetora (e) nuc(T)  {k(1. T (x1 . T (2. 14) 11. (a) (b) 13. pois nuc(T )  {0}. 1)}. 1) 13. É linear. É linear. ou todo o R3. (b) Não é linear. x2. imagem: plano yz (c) Núcleo: a reta pela origem perpendicular ao plano y  x. (a) 3 (b) Não é consistente. (c) É injetora. Não é linear.1 (página 442) 1. Nuc(D) consiste em todos os polinômios constantes. 0). a está em seu núcleo. é injetora. 1. 4) (b) (4. (d) É injetora. Conjunto de exercícios 8. (1. x2)  (4x1  5x2 . T não é injetora. T não é injetora (c) nuc(T)  {0}. (a) É linear. 7. (a) É injetora. 5x1  5x2  x3. T é injetora (d) nuc(T)  {0}. 33. 4. 19. 35. T (2v1  3v2  4v3)  (10. 5.744 Respostas dos Exercícios 7. 6). 9. x2 . (a) nuc(T)  {0}. T não é injetora 3. (a) Parábola. 17. nul(A)  2 25. 29. 3)  (35. (b) Não é injetora. (a) Núcleo. 1)}. (a) 21. x3 23. T (x1 . x3)  (x1  4x2  x3. Uma reta pela origem. pois.2 (página 451) 1. nul(T)  1 (d) pos(A)  2. T não é injetora. (b) T não é injetora. T não é injetora (f) nuc(T)  {k(0. só a origem. f (x)  x2(x  1)2 está em seu núcleo. eixo y. 1. 1)  (15. 43. (a) (b) (c) pos(T)  nul(T)  2 (d) pos(A)  nul(A)  1 27. 41. x1  3x2). 3. (a) 17. Positiva. (a) (b) (c) pos(T)  2. imagem: o plano y  x. (a) Nuc(T)  {k(1. 1)}. pois. Sim. (b) Não define. (c) Não é injetora. 4. . T (5. é verdade. por exemplo. (a) 19. (a) nul(T)  2 (b) nul(T)  4 (c) nul(T)  3 (d) nul(T)  1 31. T é injetora (b) nuc(T)  . (b) Não é injetora. imagem: plano xz (b) Núcleo: eixo x. 9) (c) x. Sim. 15. (a) (1. 5. x1  3x3). (a) T (f (x))  f (4)(x) (b) (f (x))  f (n1)(x) Verdadeiro/falso 8. 9. 7. por exemplo. (a) Não é injetora. 7. 2. 6) 15. 9.1 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Falsa (h) Falsa (i) Falsa Conjunto de exercícios 8. 11. ( 3. (b) Parábola. um plano pela origem. Respostas dos Exercícios 745 Verdadeiro/falso 8. (a) 5. 3x  9y) (c) (T2 T1)(x. . 3. 2.4 (página 466) 1. . B . 11. (a) (b) (c) (d) 14e2x  8xe2x  20x2e2x pois 21. (a) (b) (c) Verdadeiro/falso 8. (a) (T2 T1)(x. y)  (2x  3y.3 (página 457) 1. pois T1(A) não é uma matriz 2  2. x  2y) (d) (T2 T1)(x. B [T1]B . T (v2)  6  5x  5x2. (b) (c) (d) 13.3 (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Verdadeira Conjunto de exercícios 8. B  [T2]B. (a) B. (a) 17. (a) (b) (c) (d) 11. (a) T não possui inversa. . (a) (b) 3  10x  16x2 9. (a) (b) [T2 T1]B. . n (b) 15. 2x) 3. 5. y)  (4x  12y. (a) (d) 21. (a) 7.2 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Verdadeira (e) Falsa (f) Falsa Conjunto de exercícios 8. y)  (0. (a) ai  0 com i  1. B (b) B. y)  (2x  3y. 2x  3y) (b) (T2 T1)(x. B 19. (a) (b) T (v1)  16  51x  19x2. T (v3)  7  40x  15x2 (c) (d) T (1  x2)  22  56x  14x2 13. (a) a  d (b) (T2 T1)(A) não existe. (a) 3. x1  3. 1. ␭  3 (b) Base do autoespaço associado a . (a) ␭  4. Verdadeiro/falso 8. g(x)  ex 21. x2  1. x1  3. 19. (a) posto  2 e nulidade  2 (b) Não é injetor. (1. então T (cx)  cAx  B  c(Ax  B)  cT (x).4 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Falsa (e) Verdadeira Conjunto de exercícios 8. x3  2. (b) posto  3. x2  1 5. x2  1. x1  1. g(x)  1 (c) f(x)  ex. x4  1 .746 Respostas dos Exercícios Verdadeiro/falso 8. Não é. (a) T (e3) e quaisquer dois dentre T (e1) e T (e2) formam bases da imagem. x1  2. Conjunto de exercícios 9. 3. posto  3 e nulidade  1 13. 15. 5. x3  0 7. e se c  1. (b) f (x)  x. x1  1. 11.1 (página 485) 1. 1) é uma base do núcleo. (d) Os pontos estão no gráfico da função. x2  1. T (x1  x2)  A(x1  x2)  B  (Ax1  B)  (Ax2  B)  T (x1)  T (x2). base do autoespaço associado a ␭  3 : 5  2x  x2 21. (a) (b) 13. nulidade  1 7. A escolha de uma base apropriada pode fornecer um entendimento melhor do operador linear.5 (página 473) 1. 17. x3  0 9.5 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Verdadeira (h) Falsa Capítulo 8 Exercícios suplementares (página 475) 1. 7. 5. x2  1 3. 25. 11. 0. (a) Começando com . 17. .976. leva 8 iterações.1 (a) Falsa (b) Falsa (c) Verdadeira (d) Verdadeira (e) Verdadeira Conjunto de exercícios 9. autovalor dominante: autovetor dominante: 7. 19.1% 9.2 (página 494) 1. (a) (b) ␭(1)  2. ␭(2) 艐 2.997 (c) Autovalor dominante: ␭  3.8. autovetor dominante: (d) 0. 13. autovalor dominante: autovetor dominante: 5. 3. (b) Verdadeiro/falso 9. ␭(3) 艐 2. (a) (b) (c) 13. (a) ␭3 é dominante (b) Não tem autovalor dominante. (b) Começando com . 15. Respostas dos Exercícios 747 11. leva 8 iterações. site 4. (a) 艐 9. (b) 1. site 3. os sites 1 e 5 são irrelevantes. 5. aproximadamente 18. Conjunto de exercícios 9.067 segundos (b) 艐 66. os sites 3 e 4 são irrelevantes.668 segundos. 3.6 (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Falsa Capítulo 9 Exercícios suplementares (página 517) 1. Devem ser armazenados 70.5 (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa (d) Falsa (e) Verdadeira (f) Falsa (g) Verdadeira Conjunto de exercícios 9. 5.52 segundos (b) 艐 0.67  105 segundos para a fase direta. 7. 2n3  n2 flops Conjunto de exercícios 9.4 (página 506) 1.334 7. 7. 9. (a) (b) (c) .748 Respostas dos Exercícios Conjunto de exercícios 9. 10 segundos para a fase indireta. Verdadeiro/falso 9. (a) 艐 0. 7. 9. Sites 1 e 2 (empatados).52 segundos (d) 艐 28. 3.5 (página 513) 1.0014 segundos (c) 艐 9. (a) 6. 3.6 (página 517) 1.3 (página 500) 1.000 entradas. 11. Site 2.100 números.6 segundos 5. 3. Verdadeiro/falso 9. 9. 3. n2 flops.68 segundos (c) 艐 66.5 horas. 5. A tem 100. 5. Respostas dos Exercícios 749 9. (a) (b) x  2y  z  0.2 (página 534) 1.000 no título A e $4. 11. (c) x2 v com v . 3. custo mínimo  艐 81. x2  2xy  y2  2x  y  0 (uma parábola) 4. A equação da reta pelos três pontos colineares. x  y  2z  0 6. x2  . (a) x  y  z  2x  4y  2z  2 ou (x  1)  (y  2)  (z  1)  4 2 2 2 2 2 2 (b) x  y  z  2x  2y  3 ou (x  1)  (y  1)  z  5 2 2 2 2 2 2 10. A solução é ilimitada. o rendimento anual é de $880. copos de leite.11 centavos. (a) y  3x  4 (b) y  2x  1 2.1 (página 524) 1. (a) x1  0 e x2  0 não comprometem. Nenhuma solução viável. (a) x  y  4x  6y  4  0 ou (x  2)2  (y  3)2  9 2 2 (b) x2  y2  2x  4y  20  0 ou (x  1)2  (y  2)2  25 3.000 no título B. A equação do plano pelos três pontos coplanares. 0  0 13. valor máximo de z  . 2. Invista $6. (a) x  2y  z  0 (b) x  y  2z  1  0 5. Conjunto de exercícios 10. (b) x1  x2 v com v 3 compromete e com v 6 dá o conjunto vazio. xícaras de flocos de milho. 11. Conjunto de exercícios 10. 12. 2x1  3x2 24 compromete. 6. 4. x1  2. 5. (a) Cada boi vale unidades e cada ovelha. frete máximo  $2. Conjunto de exercícios 10. 700 2. 550 contêineres da companhia A e 300 contêineres da companhia B. medidas. . unidades.312. 925 contêineres da companhia A e nenhum contêiner da companhia B. 0. 8 não compromete e com v 0 dá o conjunto vazio. (a) 5 (b) 4 4.00 8.4 quilos do ingrediente A e 2. custo mínimo  24. medidas.3 (página 541) 1. frete máximo  $2. medidas.50 9.110. segunda classe. 7. terceira classe.4 quilos do ingrediente B.8 centavos. (b) Primeira classe. (a) O filho legítimo recebe moedas e o filho ilegítimo. latão.4 (página 552) 2. ouro. ferro. 1. Máximo em (x. (a) A spline cúbica emendada (b) S(x)  3x3  2x2  5x  1 4. moedas. unidades. latão. a segunda tem e a terceira. 7. y  28. (c) A primeira pessoa tem 45. obtemos x  21. bronze. y  14. 1. unidades. (b) Ouro.93.4)3  0.92158(x  0.20211(x  0. S (x))  (3. Máximo em (x. Conjunto de exercícios 10. unidades.4)2  0. z  12.12643(x − 0. S (x))  (4. ferro. unidades.00004) 5.47943. (b) Tomando t  131. K  262.00001) 6.750 Respostas dos Exercícios 5. . (a) K  t. bronze. (a) (b) Exercício 7(b). unidades.5)  0. (a) S(x)  0. unidades. erro  0 % 3. unidades. unidades. K  131. obtemos x  42. 6.38942 (b) S (0.00. em que t é um número arbitrário. (b) .4)  0. (a) (b) (c) Os três pontos de dados são colineares. (c) Tomando t  262. z  24. 7. (b) 8. tem todas as entradas positivas. (a) P1 P2 (b) P4 P1 (c) P1 P2 P3 P5 P4 P3 P3 P2 P6 P5 P4 . pois todas as entradas de P são positivas. pois todas as entradas de P são positivas: 2. (a) (b) P é regular. (a) (b) (c) 4. na região 1. qualquer que seja x(0). nenhuma potência inteira de P tem todas as entradas positivas. (a) (b) P é regular. na região 2 e na região 3 Conjunto de exercícios 10. Respostas dos Exercícios 751 Conjunto de exercícios 10.6 (página 570) 1. . (c) As entradas do vetor limite não são todas positivas. 8. 3. portanto. (b) com n crescente. Assim. 7. 6. (a) (b) (c) 2.5 (página 562) 1. (a) . com n crescente. P8} e {P4 . quarto.8. (a) Nenhuma (b) {P3 . Conjunto de exercícios 10. P4 . todas as somas de coluna são menores do que 1. C. quinto. P4 . (a) {P1 . 8. Primeiro. P5 . 5. Conjunto de exercícios 10. (a) (b) (c) 2. A. (a) 5/8 (b) [0 1 0] (c) [1 0 0 0]T 2. (b) Use o Corolário 10. P5} (c) {P2 . j)-ésima entrada é o número de membros da família que influenciam tanto o i-ésimo quanto o j-ésimo membro da família.7 (página 580) 1. (a) (b) (c) (d) 4. P6 . P2 . P6} 7. P4 . (a) (c) A entrada (i. B e E (empate). todas as somas de linha são menores do que 1. segundo. D. (a) Use o Corolário 10. (a) (b) (c) (d) (e) 5. P3} (b) {P3 . (a) P1 (b) (c) P4 P2 P3 4.4.5.8 (página 588) 1. Por exemplo.752 Respostas dos Exercícios 3.8. P6} 6. tome 3. . $15. $106. 1 : 1.02 : 4.00. 0.000 2. $120. E tem todas as entradas positivas. 0). 4.6. 0. preço da alface.8.10 (página 603) 1.556 para o EM. 0.6.24 : 5. 0) 3. $1. $1. com . A segunda classe. Respostas dos Exercícios 753 (c) Use o Teorema 10. preço do milho. 1 : 2 : 3 : · · · : n  1 Conjunto de exercícios 10. 6. .256 para o EC. 0). (1.67.90 : 3. $100. $223 3. (1. Preço dos tomates. $1. 0). 5. 1.00 5. (a) (b) (c) (d) 2.3. ( )e (c) (0. (1. 0). (b) Conjunto de exercícios 10. 1. 2 3. (a) .448 para o EE. (b) (0.00. (0.9 (página 596) 1. 6. (a) (b) (c) 4. 0). (a) (b) P  M7(M5M4(M2M1P  M3)  M6) 6. (a) (b) (c) (d) Em t e t3 . 12.9%. . 5. 3.754 Respostas dos Exercícios (b) P  M5M4M3(M1P  M2) 5.11 (página 613) 1. em t2 e t4.2% 2. 7. (a) (b) Conjunto de exercícios 10. 766.12 (página 624) 1. (a) (b) Os mesmos que na parte (a) (c) 4. 6. (3. esse conjunto é um fractal. 3. (d) (i) . (iii) dH (S)  ln(7)/ ln(3)  1. (1.584. x*2  (2. (b) (i) . 0). (0.771. 0. (2. . 2). 10. . 2. 4. 180º (esquerdo inferior). 2. Esse conjunto é um fractal. . Respostas dos Exercícios 755 Conjunto de exercícios 10. 0. 2. Conjunto de exercícios 10. 3) 4. 0. 0). i  1. . 0.584. (2. (a) (i) .47. 0).8. x*1  (1. 3. . 0. 3. s 艐 0. 0). (c) (i) . 3). Esse conjunto é um fractal. (iii) dH (S)  ln(3)/ ln(2)  1.584. Esse conjunto é um fractal.996) arredondado até três casas decimais. . x*3 = (1. 180º (direito superior). . 2). 1) 7. (iii) dH (S)  ln(3)/ ln(2)  1. 0. (0. 7. 0. . (ii) ângulos de rotação: 90º (topo). 2. dH (S) 艐 ln(4)/ ln(1/0. . Esse conjunto é um fractal. 5. (c) 2. Ângulos de rotação: 0º (esquerdo superior). 90º (direito superior). . . . 180º (esquerdo in- ferior). (2. . 0). . (iii) dH (S)  ln(3)/ ln(2)  1. 1). 0). 0). s  0. 9. (2. o cubo não é um fractal. onde os quatro valores de são e . (0. (ii) ângulos de rotação: 90º (esquerdo superior). (0. dH (S)  ln(8)/ ln(2)  3. 180º (direito inferior).69°. 180º (direito inferior). 1). 1.13 (página 639) 1.8509 . 0. dH (S)  ln(16)/ ln(4)  2 8. . (ii) todos os ângulos de rotação são de 0º.47)  1. ␪  2. 1). (ii) todos os ângulos de rotação são de 180º. . 0. 8. 180º (direito inferior). (0. (1. (2. 6. 6). 12. (2. (30)  60. . 4.500. 3. 12. 5. 1. 12. 9. 9. (5)  10 2. (5. (2. 2. (10. 8. 5. 8. 5). . 16). .14 (página 652) 1. Um ponto fixo: {(0. 11. 0) Na região I:  na região II: na região III: na região IV: . 10. Área de S0  1. 0. . 13. dois ciclos de período 4: dois ciclos de período 12: 3. 1/2) III I IV II (0.756 Respostas dos Exercícios 11. 1) (1. 11. 7. 14. 15). 1) (0. (b) As matrizes de automorfismos de Anosov são e (c) A transformação produz uma rotação de S pelo ângulo de 90º no sentido horário. 0. 19). Conjunto de exercícios 10. 0). 2. 2). 4. (5. (25)  50. 10. (250)  750. 5). (c) As cinco primeiras iteradas de são e 6. 0) (1. (3.6309 . 7. 13. (4. 11. 0) (0. (6)  12. (50)  150. 1. . (4. (a) 3. 7. 5. 9. . 4. 0) (1. 14. um ciclo de período 3: . 10. 0) (1/2. 1. 4. (c) (5. (125)  250. 1) (1/2. 8. 14. . 1) IV III I (0. . . (10)  30. 13. área de área de área de área de Conjunto inicial Primeira iterada Segunda iterada Terceira iterada Quarta iterada dH (S)  ln(2)/ ln(3)  0. (10. 6. 7. 1) (1. 3.750)  7. (0. 1/2) II (1. 0)}. 2. 0). e só se. (a) 010110001 (b) 8. Conjunto de exercícios 10. Então sobrepomos a letra “B” nessa imagem.006% . Começamos com uma tabela 101  101 de pixels brancos e nela colocamos a letra “A”. Conjunto de exercícios 10. 3. Autovalores: ␭1  1. 14. (f) 3. I HAVE COME TO BURY CAESAR 7. Matriz decodificadora  matriz codificadora  5. (a) GIYUOKEVBH (b) SFANEFZWJH 2. Repetimos esse procedimento com as letras “D” e “E”. WE LOVE MATH 4. Respostas dos Exercícios 757 12. A é invertível módulo 29 se. 0.15 (página 664) 1. 4. Aplicando a transformação do gato de Ar- nold nessa imagem. autovetores: 5. Aplicamos novamente a transformação do gato de Arnold nessa imagem e sobrepomos a letra “C” na imagem resultante. THEY SPLIT THE ATOM 6. det(A)  0 (mod 29). (a) (b) Não é invertível. A próxima aplicação da transformação do gato de Arnold nos devolve a letra “A” com os pixels das letras “B” a “E” espalhados ao fundo. e . 12 gerações. espalhamos os pixels pretos pela imagem. formam um ciclo de período 2 e e também formam um ciclo de período 2.16 (página 674) 2. (c) (d) Não é invertível. (e) Não é invertível. 17 (página 684) 1.9 % da faixa etária mais jovem. . é colhida 57. (a) Rendimento  da população. 1. 4. 8. 2. (b) Rendimento  45. Conjunto de exercícios 10.18 (página 692) 1. hI  (R  1)/(aI b1b2 · · · bI1  · · ·  anb1b2 · · · bn1) 5. 2. (a) (b) (c) 7.758 Respostas dos Exercícios 6.375 8.8% da população.49611 Conjunto de exercícios 10. (a) É combinação. m  número de triângulos  7. (a) Dois dos coeficientes são nulos. 5. n  número de pontos de vértice  7. (d) É combinação. (b) Não é combinação.19 (página 699) 1. Conjunto de exercícios 10. Respostas dos Exercícios 759 Conjunto de exercícios 10. (b) Pelo menos um dos coeficientes é nulo. (a) (b) (c) (d) 7. (c) Nenhum dos coeficientes é nulo. 2. a Equação (7) é 7  2 (7)  2  5. 3. (a) v1 v2 (b) v1 v2 v3 v3 v4 v4 v5 v5 v6 v7 v6 v7 5. (a) (b) . 2. 4. (c) É combinação. 3. k  número de pontos de vértice na fronteira  5. w  Mv  b  M(c1v1  c2v2  c3v3)  (c1  c2  c3)b  c1(Mv1  b)  c2(Mv2  b)  c3(Mv3  b)  c1w1  c2w2  c3w3 4. 8.20 (página 707) 1. 296 pontos não periódicos. 183 Argumento de um número complexo. 558- linear. 217-222. 7. 553-561 de curva quadrática a dados. 642. 651-652 Algoritmos instáveis. 472 Cálculo de variações. 318 linhas. 626. 519-520 classificação de cônicas usando. 308. 318-319 plano ladrilhado. 636 Autovetores. 211 análise de redes com sistemas lineares. complexos. 425-426. 285-288. 525 Base canônica literais. 154 por redução por linhas. 301-302 Caos. 537 Centro. 636. 563 unicidade da representação por. 657-658 coordenadas de vetores em relação à. 295-296. 398 vetor de estado estacionário de. 110-111 Autovalor dominante. 202-203 Colheita de florestas. 172 Análise de insumo-produto. 349-350 de ordem 3. Eugenio. 680-683 comportamento limite de vetores estado. 689-690 Audição humana. 497 em Rn. 322-323 C de matrizes 2 × 2. 256 vetores de. guinada. 429 561 polinomial. Ver também Criptografia diano e escalar complexos. 693-698 a partir de bases ortogonais. 496-500 de matrizes simétricas. 212 Círculo unitário. 124 Área ortogonal. 515 coordenadas em relação à.. 520 Aplicação do gato de Arnold. 655-657. 38-40 de R . 657 Aplicação. 646 Anticomutatividade. 469-470 Circuitos elétricos Aproximação de mínimos quadrados. 650 Algoritmo PageRank. 382-385 número de vetores em uma. 76-78 no modelo de audição humana. 680 Brin. 558 res. 338 de triângulo. 590-596 de uma matriz de Leslie. 644-647 finitas. 620 Anti-homogeneidade do produto interno eucli. 472 Ciclo limite. 162 aplicações antigas da. 647-648 decomposição LU e. 127. 361-362 Adição bases de. 299. 248 do espaço linha de uma matriz. Lewis. 554-557 Alelos. 29. 299-301. 209-211 vetor. 205-206 Coeficientes inteiros. 232 Cifras de Hill. 206 Coeficientes de Fourier. 487-489 Ajuste de curvas. 209. 205 ênuplas em. 137. 31 Arfagem (avião). Harry. 233-234 China. 11 Barnsley. 356 modelo de. 693-698 ordenada. 34. 496 bases de autoespaços e. 22 de matrizes simétricas reais. 487-489 Brilho. 96 Ampère. 122 pesos de. 297 Arnold. 384 Colheita de populações animais. 318-321 Ajuste de mínimos quadrados de matrizes 3 × 3. 522 Automorfismo de Anosov. 134-135. 648-650 Algoritmo da iteração aleatória. 109. 656-657 escalar complexos. 297 Cadeias de Markov. 1 . 44 Aritmética modular. aplicações antigas. modelo de mínimos quadra. 254 vetorial. 425-426 Carroll. 172 Autoridade. 44 Arquimedes. 379-380 de matrizes quadradas. 203 Coeficientes numéricos. 292 de matrizes simétricas. 380-381 de matrizes de Leslie. 590-596 n Astronáutica. 289 Álgebra Linear. 652-653 Bateman. 217 dos espaços linha e coluna. 202 Cofator. 201. 124 Administração florestal. 200 Autovalores distintos. 655 Aplicação de pixels. 356. 298-299 Cadeias de Markov regulares. 120. 487 aplicação do gato de Arnold. Arthur. 536-541 invertibilidade e. 43 Análise de redes com sistemas lineares. arfagem e rolagem. 642-644. 300-301 período e largura de pixel. 644-646 programas de busca na Internet. Michael. 319 Bunyakovsky. 521 de paralelogramo. 497 Bôcher. 184 Adjunta de uma matriz. 311 matriz de transição de. 137. 638 pesos de. 642-644. aplicações antigas. 299-301 mudança de. 537-538 Ângulo de rotação. 256 de R . 510 de vetores em Rn. 497 Ângulo Base (s). 126 vetores. de espaço vetorial usando operações com as Cifras. arfagem e rolagem. Maxime. 143 combinações lineares e. 55 à direita/à esquerda. 648-650 mudança de. 326 de autoespaços. 642 de Mnn. 318 do complemento ortogonal. 299 aplicações repetidas. 289-290. 478 de matriz 2 × 2. 229-231 Cifras de substituição. 202 Colheita de ovelhas. 686-691 dos da. 288. 643-644 Algoritmo de inversão. 398 sistemas dinâmicos. 354. 232-233 de ordem n. 38. guinada. 201 Circuito de implicações. 308. 76 de vetores em R2 e R3. interpolação spline cúbica. 73-78 Babilônia. 436-437 de combinações lineares de vetores. 85 B Cayley. Sergey. 256 Autovalores. 318 conjuntos ortonormais estendidos a. 509 de objetos. 361 Círculo por três pontos. imagem gráfica. de R . 137 Afirmações equivalentes. 354-355. Augustin. 537-539 entre vetores. 657 Aplicação de coordenadas. 137. 122 de matrizes simétricas reais. 76 Cauchy. 496 Bateria. 497 Beltrami. 478 de matrizes quadradas. 496 Análise numérica. Sistemas lineares de operadores lineares. 641-652 sistemas de coordenadas. 646-647 Algoritmos de computação complexos. 358. Ver também Equações linea. 230-231 Coeficientes Arestas dirigidas. 654-657 . 295-296. 496 Aeronáutica. 165 por inspeção. 425-426 vetores coordenados em relação a. 686-688 . 318-319. 304 definição de. 376-378 de matrizes hermitianas. 94 3 Associatividade da multiplicação matricial. Viktor Yakovlevich. 355 de números complexos. 204 de combinações lineares de matrizes. 315. 660-663 Antissimetria do produto interno euclidiano e de transição.ÍNDICE A Autoespaços. Bases ortonormais. 539 de polinômios. de matrizes triangulares. 321 543 C n. 385 n Armazenamento de impressões digitais. 219 de ordem 2. 311 pontos periódicos. 649-650 LINPAK. 346 como sistemas de coordenadas do espaço Chiu Chang Suan Shu. 201-202 Ciclo de período n. Vladimir I . 392 associatividade da. 124 de matrizes 3 × 3. 93-110 com operador identidade. 316. 641 de conjuntos autossimilares. 336 . 76 de produto matricial. 597. 627 Dimensão topológica. 243-244. 382 Composição taxa de. 403. Robert L . 514-516 346-347 linearmente independentes. 700-704 684 somas de. 446 Derivação por multiplicação matricial. 597-602 distribuição etária de fêmeas humanas. 93-98 Comprimento. 519 Desigualdades triangulares ênuplas complexas. 76 para distâncias. 704-707 matriz de Leslie. 565. 305-313 da multiplicação. 626-627 zada. 97-98 de rotações. 143. distribuição de temperatura. 233-234 Conjuntos ortogonais. 506-507 em espaços com produto interno arbitrários. 336 Conjunto vazio. 345-346 encontrando. George. 123-124 forma de teorema. jogos matriciais. 264 Crescimento populacional nulo. 43. 563 Decomposições espectrais de A. 480-483 Combinação convexa. 400-401 somente da faixa etária mais jovem. 527-528 de matrizes. 362-364. 427-428 Comutatividade decifrando uma cifra de Hill. 654-663 Diagonal principal. 509 rotação. 113 definição. 205 de matrizes 2 × 2. 191-193 de matrizes quadradas. 650 mudança de escala. 184 estendidos a bases ortonormais. 31-33 Conjuntos ortonormais. 525 de espaço gerado. 209 de Shur. 275 em R3. 519 Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Leonard Eugene. 329-331 Condição de linearidade. 270 Curva interpoladora. 264. Condição inicial. 336. grafos dirigidos. 660-663 não. 74 Densidade de imagem do triângulo inicial. 427-428 Conexão de dois passos. 477-484. 127. 472 de transformações matriciais. 122-123 Contraposição. 452-456 em relação à base canônica de Rn. 93 matrizes de. de números complexos. 138. 435. Gabriel. 701 Conjuntos limitados. 143. 138. 183. tomografia computadori- Compensação. 450 cálculo de produto escalar usando. 193 Componentes (de um vetor) Contração. grafos dirigidos. 522-523 Decomposição de Hessenberg superior. 626-630 Decomposições LU. 138 Conjuntos em autovalores. 703-704 história da terminologia.. 446 em posição canônica. 100-104 Computação gráfica. 680-683 Devaney. 380-381 Dickson. 493 Determinante (s). 599 Criptografia. 507 desigualdade triangular da. 130. 629-630 Conjunto de Cantor. 321 Conjunto linearmente independente. 397 Condensação. 700-704 de vetores. 573 Conjuntos sobrepostos. 649-650 encontrando. 692 relações entre seus elementos. 316 Convenção de laço fechado horário. 132-133. 600-602 aritmética modular. 447 de vetores. 574-575 Conservação do fluxo em redes. 348-350 Consistência. 514-516 distribuição etária de fêmeas em animais. 265. 565. 628-629 Conjunto linearmente dependente. 353 Decomposições QR. 328 Curva quadrática de ajuste de mínimos quadra. 263-267 Corrente elétrica. 206-207 de matrizes elementares. 126-127 Convergência para vetores. 182 em R2 e R3. 95 natureza não comutativa da. 618 Compensação esperada. Dilatação. 265-267 Cramer. 655-657. 102 de transformações lineares. 453-454 Coordenadas. 700. Índice 761 rendimento sustentável ótimo. M . 127 solução de sistemas lineares por. 126 Cônica central. 346 678-679 por redução por linhas. 568-569 Curvas de nível. 487 Desvio. 543 Diagonalização unitária de matrizes hermitianas. 659-660 ortogonal. 688-690 Conjuntos congruentes. 361-362 Densidade de feixe. autossimilares. 654-657 de matrizes triangulares. 565 Custo. minimização de. 494 ortogonal. 600 cifras. 509-511. 191-194 LDU. 526 de espaço vetorial. 435. funções com. 40. 690-691 Conjuntos autossimilares. 626 construção. propriedades do. 38 Criptograma. 506-507 Discriminante. 661-663 Diagonalização da adição. 137. 185-186 construção de. 464-465 Crescimento de floresta de pinheiros. 402 599 decifrando. 626-627 exemplos de. 455-456 Cormack. 97-98 de reflexões. 27. 522 568-569 D de vetores. 184. 107 morfismos. 46 Critérios de parada. 27 Conexão de um passo. 354 Deformações. determinação por eliminação. 484-485 em espaços com produto interno reais. 209-210 Conjugados complexos De Moivre. 64-65 Dependência linear. 408 Dantzig. 346 operações algébricas usando. 478 Combinações lineares Conjuntos não sobrepostos. 701 Complemento ortogonal. 35 Contradomínio. 654 de matrizes. 277 de um ponto generalizado. 678. 209 de números complexos. 256-257. 247 Derivada contínua. 683. 256-257. 480 Colunas. 97 de transformações lineares injetoras. 106-112 deformações. grafos dirigidos. 419 Diferença Conexão de três passos. 114 valores singulares. 409 Dados de contorno. 506-507 Distância. 191 de Hessenberg. 97 Conjuntos fechados. 616 de operador linear. 504-505 uniforme. 626-630 em valores singulares. 371 de matrizes. 205-206 de matrizes triangulares. 146 vetorial de u ao longo de a. 111 566. 315. 626-627 Decomposições PLU. Abraham. jogos de matriz. 684 interpretação geométrica de. de matrizes n × n. 309-310 visualização de objetos tridimensionais. 626-627 método de. 317-318 Decomposições Dimensão de Hausdorff. 657-658 Diagonalizabilidade translação. 596 geral. 353-354 dependentes do tempo. 166-168 Compressão de dados com decomposição em comportamento limite. expansão em cofatores e escolha de. 147-148 de sequências de potências. 21 Conjuntos densos na teoria do caos. A . por expansão em cofatores. 121. 409 605-606 Dimensão Cônicas degeneradas. 679-684 no teorema da equivalência. 483-484 Coluna do pivô. 403 e transformações. 485 bases e. dos. 107-108 de três transformações.. 96 Cubo de cores RGB. cifras de Hill. 14-15. 172. 254. 242-243 613 Equações químicas. 579-580 86-89 Escaneamento de tomografia computadorizada. 439 técnica de Monte Carlo para a. 2 de funções reais. 121 em jogos de duas pessoas com soma zero. 15 descrição. 338 F da matriz aumentada. 165-166 Forma matriz coluna de vetores. 171 Forma polar de números complexos. 394-395 dimensão igual à do espaço linha. 612-613 de planos em R3. 247 quadráticos médios. 119 Forma linear. 11-12. 493 Estado de uma variável. 204 aplicações de. 335 propriedade do valor médio. ou inversa. 318 Erro (s) em Rn. 104 Eixo imaginário. 338 operações elementares com linhas e. Equações ponto-normal. 153-155 de sequências infinitas de números reais. Economia aberta produtiva. 79 Espaços gerados. eixos principais da. 410 Elevação e queda de voltagem. 505 complexo. 607-611 Equações vetoriais real. 344 Faixa etária fértil. 493 Estratégias mistas em jogos de matrizes. 335. método das potências com bases de. 406 Equações lineares homogêneas. 316 Espaço RGB. 228. 230 Forma canônica de Jordan. 127 229 Ênupla ordenada. 338 Fase direta. 11-16. 150 de planos em R3. 76-77 Espaço com produto interno. 416 Espaço linha. 403 Entradas diagonais. 256 técnica numérica para a. 504-505 Espaço complexo de dimensão n. aplicações antigas. arfagem e rolagem. transformações de. 485 Eliminação gaussiana. 128. 319. Gotthold. 123-124 Esfera por quatro pontos. 186 Distributividade à esquerda. 209 formulação discreta do problema. 605. 155 Espaços de funções. 228-229 Forma escalonada por linhas. 152-154 exemplos de. 225. 336 Flops. 95 Einstein. 232 Formas escalonadas reduzidas por linha. 16 Espaço de soluções de sistemas homogêneos. 407 Entradas. 26. 184-185 do produto interno euclidiano complexo. 440 complexo. 382-383 Estado de um sistema de partículas. 405-409 Equações lineares. no espaço bidimensional. análise de Leontief de. 26 dimensão igual à do espaço coluna. de dimensão infinita. 362 Fatoração. 87 Espaço vetorial. 6 de matrizes m × n. 171-172 Formas escalonadas. 74-75 mudança de escala de. Fase para trás. 161 em jogos de matrizes 2 × 2. 435 Eliminação de Gauss-Jordan círculo unitário em. 669-671 percentual estimado. 315-325 21. 174 indefinidas. 172 576-578 Economias abertas. 11-12. 125 Doenças genéticas. 669-671 percentual. 2-3. 226. 579-580 de retas em R2 e R3. 44. 209 projeções ortogonais para. 184-185. 577 Economias fechadas. 316 Fatorações PLU. 11-12. Estratégias puras em jogos de matriz. 82 Espaço com produto interno real. 232-233 lineares. 172 Elipse. 148-149 de retas em R2 e R3. 523-524 determinantes por. 132-133 Equações paramétricas. 243 Fluxo de trânsito. 136 Equivalência por linhas. 125 Doenças recessivas autossômicas. 536-537 Escore PageRank. 505 Espaço de Hilbert. 184 Distributividade à direita. 225. 124 produto misto. 254 Espaço coluna. 509 Espaço nulo. 204 Distribuição de temperatura de equilíbrio. 38 de arredondamento. 29 Esfera unitária. 605-606 lineares. 21 Equações de rotação. 156 de dimensão finita. 447 dados de contorno. 368. 319 Equações homogêneas. Equações diferenciais. 15 erros de arredondamento na. 345-346 Fatorações LU. 145. 611-612 de retas e planos em R4. 493-494 Estratégias ótimas Escalares. 406 Equações normais. 410 Espaço euclidiano de dimensão n.762 Índice em Rn. Albert. 360 Fechamento definição. 225 Equação característica. 405 Ênuplas em Economia. guinada. 225 Equação de Leontief. Charles Lutwidge. 237 Extremos condicionados. 282 Domínio. Ênupla complexa. 171-172. 209-210 do produto escalar. 173 entre um ponto e um plano. 173-177. 179-188. de múltiplos de vetores. 144-145 fundamental. na adição. 212 associadas a uma matriz. 640 Dodgson. 153-155 Espaçonave. 212-213 Formas quadráticas. 308 produto vetorial. 315. 490-493 bases por redução por linhas. 576-578 relativo. 296. 172 erros de arredondamento na. 225. 243-244 Distributividade Equilíbrio de equações químicas. 228-229. 417-418 Eixos principais. 96 medição de. 174-175 entre planos paralelos. 606-607 com dois pontos em Rn. equilibrando com sistemas isomorfo. 119. 51 em R2 e R3. 21-22 349. 237 Forma de Hessenberg superior. 480 interpolação polinomial por. 161-163 Forma matriz linha de vetores. 155 subespaços de. 152-154 Espaços fundamentais. 522 Espaço bidimensional. 574. 21-22 187-188 na multiplicação por escalar. 412 . 229-230. 204. 393 base para usar operações com linhas. 18 esfera unitária em. 182-183 Distribuição de vacinas. 524-526 em problemas de aproximação. 156 . 383 Estratégias em jogos de matriz. 38 de mínimos quadrados. 435 Divisão de números complexos. 119 Expansão reduzida em valores singulares. 124 Espaço tridimensional. 229-231 527 no espaço tridimensional. 480 usando. 15 Espaço com produto interno de dimensão finita. 88-89 de espaços vetoriais. 496 de matrizes 2 × 2. análise de redes com sistemas Entrada máxima. 21. 243 Exponencial complexa de números complexos. 124. 123. 406-409 mas lineares de dimensão n. 514 Eixos de rotação. 149-150 de retas e planos em R4. 204. 367 Espaços matriciais. 392-394 base do. 188. 86 616-617 Expansão em cofatores Egito. 501-503 Elipsoide central em posição canônica. 173. Ver também Siste. 493 Estado de um sistema dinâmico. 93-94 Eisenstein. 327-331. 128. 155 dimensão de. 234 axiomas. 21-22 teste para. 383 Esponja de Menger. 175 expressão em notação matricial. 78-80 nulo. 677 de sistemas homogêneos. 524-525 Equações de dependência. 377-378 de matrizes 2 × 2. 577 E relativo estimado. Gustav. 538 de retas por operadores matriciais. 408-409 Influências numa família. 406-407 Gram. 279-280 573-578 de vetores de base. 53 Fractais. 665-674 de duas funções. 471-472 positivas. 636-637 de transformações matriciais. 414 Geometria uso da terminologia. 644 J definição. 44 teorema dos eixos principais. G . expansão em cofatores e escolha de. 616-617 Incógnitas. 191 Kalman. 548-549 negativas. Josiah Willard. 629-630 Isomorfismo de espaços com produto interno. 53-54 algoritmos para gerar. 666 Independência linear. aplicações antigas. 247-248 Imagens. 496 Inteligência artificial. 543 Lei de cancelamento. David. 78 Hill. 576 Genética. 620 Genótipos. 479 Lei das tensões de Kirchhoff. 76 origem do termo. 665 exemplos de. usando determinante. 626-628 do produto interno euclidiano complexo. 94. 2 de duas pessoas com soma zero. 630 Houndsfield. Dan. 192 n Kaczmarz. 83 Lei das correntes de Kirchhoff. 666 conjuntos com. 269-270 no teorema de equivalência. 588 formas quadráticas na. 154 de um produto. 85 fatorações LDU. 578-580 Gene dominante. N . 606 Função exponencial complexa. 292. 80-82 Lei de Hooke. 27-28. 630-633 Identidade do paralelogramo de vetores. Jorgen Pederson. Wilhelm. 449 semelhança. 622 de matrizes de transição. 611-612 Funções de vetores. 496 distribuição numa população. 434 de matrizes triangulares. 136 teste. Edward. 573-578 Gauss. 665-666 dos vetores unitários canônicos em R . 249. 76 algoritmos usados pelo. 256 Invariante por semelhança. 417-422 Guinada (avião). Gene H . 301-302 mento de imagens.. 29. 266-267 definição.. 572-573 General Electric. 629 Formas vetoriais. 616 ISBN (livros). 412 Grassmann. 306. H . 526 Igualdade Iteração Função objetivo. 669-671 dos vetores unitários canônicos em R . 162 Gibbs. 214 definição. 496 Interpolação. 658 Fórmulas químicas. 655 autovalores e. 15. 548-549 otimização usando. iteração de. 60-62 Fórmula de De Moivre. 568-570 dedução da fórmula de spline cúbica. Lester S . 247. 194 Kasner. 124 teoria de jogos. 626 Idempotência. 521 de Jacobi. 652 Informação digital em formato matricial. 485 Google Integração aproximada.. resolução de sistemas lineares por. 152-159 Índia. Camille. 141 dimensão de Hausdorff de conjuntos autossi. 172 spline cúbica emendada. 193 Jordan. Índice 763 mudança de variáveis. 545-548 Linhas. 665 de números complexos. 484-485 Golub. 39 da transformação do gato de Arnold. 671-674 como ênuplas. 108-110 conjuntos autossimilares. 420 Inverso multiplicativo. 523 Fórmula de Euler. 161 Instabilidade. 408-409 H de matrizes 2 × 2. 191-194 Jogos estritamente determinados. 386 Homogeneidade de matrizes elementares. 626-639 de transformações lineares. 68 abordagem Monte Carlo para. 220 Fourier. 400 definição. 97 . 666 ênuplas e. 412 Grécia. 611-612 dependência linear de. compressão de dados e processa. George William. 548-551 não positivas. 15 3 doenças recessivas autossômicas. 407-408 de matrizes diagonais. 138 Indústria lucrativa no modelo de Leontief. 577-578 Genes dominantes e recessivos. Hill. 85-86. 544-545 não negativas. 67 Hausdorff. 564-565 L Gerador de Fibonacci de números aleatórios. Carl Friedrich. 426 44-45. 184 Invertibilidade Fotografias. 412-414 Inversa seções cônicas. 540-541 em Rn. 184. Felix. 127 Jogos de matrizes tadorizada. 225 Inversão. 45-46 Hereditariedade. 138 Isotérmica. Charles. 665-669 com parênteses e vírgulas. Isomorfismo. 496 Interpolação polinomial. Jean Baptiste. 510 Insumos na economia. 209 spline natural. espaço vetorial de. Funções reais. 628-629 I 450-451 no plano euclidiano. 665 de polinômios. 245 Lagrange. dimensão topológica de conjuntos. 195 Jordan. 279-280 jogos de matrizes 2 × 2. aplicações antigas. 76 panelas. 182 Imagem. 539-540 spline parabólica emendada. 360 enunciado do problema. 318 transformação matricial e. 665-666 Formato de vetores matricial usando sua adjunta. 41 Googol. 190-198. 526 Hesse. 633-636 do produto escalar. 507. 573 Genes recessivos. 412 Graus de liberdade. 543 Leontief. Joseph Louis. 515 Hiperplano. 191- hereditariedade autossômica. Wassily. 671-674 dos vetores unitários canônicos em R . 128 Hermite. 305. 197-198 k-ésima submatriz principal. 279 Jogos de duas pessoas com soma zero. 360 de um módulo m. 510 características herdadas. 77 de sistemas lineares.. 438-440 Imagem. 175 de uma reta. 193 Kirchhoff. 436-437 Jogos de estratégia G Imagens digitalizadas de duas pessoas com soma zero. 120. 566-568 ajuste de curvas. 666-669 192 K 4 hereditariedade ligada ao sexo. Ludwig Otto. 447-451 milares.. 22 decomposições LDU. 528 de matrizes. 125 com derivadas contínuas. modelo de cores RGB. 666. 247 Jacobi. 666-668 usando o wronskiano. 643 Função phi de Euler. 527 Hilbert. 563-568 Interpolação spline cúbica. ligada ao sexo. 196-197 de um quadrado. 50 Isomorfismo natural. 111-112 autossômica. 134. S . G . 581 por dominância. 378 Grafos dirigidos. 543-551 Lei de Ohm. sistema de tomografia compu. 398. 555 redundância em. 205. 97 de rotação. 478 normais. 524-529 de queima de. 121. Matiz. 245 Modelo fechado de Leontief. 574. 39 Módulo. 53. 86. 33. 172 espaços fundamentais de 243-244 Média aritmética. 565-566 antissimétricas. 94 Múltiplos escalares. 506-507 Modelo econômico de Leontief. 678. 18. 704-707 análise econômica de Leontief com. 468-469 autovalores de. 68. 704-707 anti-hermitianas. Ver coordenadas. 26-27 Menor. 657 Matriz tecnológica. imagem digitalizada. 25-27. 305-313 não diagonalizabilidade de. 33-34 Morfismos. modelo de administração subespaços de. 425-427. 312 exemplos de. 45-46. 587 produtos internos em. 402 por escalares. 326 de transformações lineares. 296 Mudança de variáveis. 389. 203 partes real e imaginária de. 583 produto de. 41-45. 57. 26 Migração de animais como cadeia de Markov. 414 Matriz de crescimento. 240-241 em R2 e R3. 397 Matriz de consumo. 581-588 Matriz de probabilidade (Markov). 464-465 espaços fundamentais de. 581 Matriz decodificadora. 429. Matriz de Markov. 338-339 Modelo de input-output de Leontief. 121 diagonalização de. 425-427 Movimento de xadrez. 248. 626. 85-89 por faixa etária. 14-16. 420 aberto (de produção). 28. Andrei Andreyevich. 659-660 Métodos de eliminação. 51 Máximo relativo. 139-140 ortogonais. 312 estocásticas. 501 invertibilidade. 489-490 com linhas ou colunas proporcionais. 339-340 positivas. 288-289. 33 Mínimos quadrados. 321-322 euclidiana. 35 Molas. produto interno.764 Índice LINPAK. 578-580 derivação por. 581-588 florestal. igualdade de. 97 Mudança de variáveis ortogonal. 102. 34. 329 Matrizes 3 × 3 operações elementares com as linhas. 323 Metano. 604 expansão em cofatores de. 6-7. 390 produto escalar como. 421 Matriz 4 × 6. 420. 64-65 Markov. 585-588 potências de. 220 para algoritmos de sistemas de busca. autovalores. 268-269. 11. 38-39 Modelo de Leslie do crescimento populacional. ajuste de curva de. 27-32 Matriz de colheita (de animais). 490-493 coluna. 301-302. 305 Modelos econômicos de Leontief. 555 Melhor aproximação. 676-684 colheita de populações animais. 378-379 adjunta. 6. 577. 477 jogos. 363-364 de reflexão. 100-104. 238 notação e terminologia. 496-497 inversa de. 403 Multiplicação matricial por linhas e colunas. 251. 582-585 Matriz de reposição no modelo de administração semelhantes. 661 tamanho de. 42. 78-79 hessianas. 26 autovalores de. 97. 489-490 Mandelbrot. 337 Multiplicidade algébrica. 420-421 Método das potências. 30-31 Maximização de audiência de televisão. 469 Matrizes de transição regulares. 85-89 triangulares. 428-429 zero. como combinações lineares. 537 hermitianas. 62-65. 496-500 Manuscrito Bakhshali. 26. 414 sistemas econômicos. espaços vetoriais reais. 389-395 Matriz de compensação. 41-45 critérios de parada. 389-390 de transformações inversas. 540-541 invertíveis. 555 reais. 277 teorema de Hessenberg. 55-57 com mudança de escala euclidiana. 31-33 Modelo de cores RGB. 586 bases canônicas de. 26 Matrizes m × n. 323 Matrizes traço de. 308. 87 de transição. 27. 299. 420. 310-311 Matriz de input-output. 406-407 complexas. 576 Mnn ortogonalmente diagonalizáveis. 463-464 adjuntas. 42. 38-40 de coeficientes. 181 posto de. 478 fatoração de. 41-42 com mudança de escala de entrada máxima. 316-317 Matriz de consumo produtiva. 219-221. 172 . 407 composição de. 521. 376 Matriz aumentada. 239 florestal. 462. 28 286-287 MATLAB. 66-68. 390 por matriz invertível. 274-275 afirmações equivalentes. 51. 458-462 525-526 Matrizes de Leontief. 174-175 vetorial . 110 transpostas. Benoit B . 86 teorema da dimensão para. 700. 322 85-89. 69-70. 322. determinantes de. 429 Mínimo relativo. 429 unitárias. 254. Matrizes de Dirac. 248 equivalentes por linhas. 285 linha. 315. 239 de números complexos. 297 de permutação. 39 490-493 Magnitude (norma). 582-585 Matriz de vértice. 558 Multiplicação (vetores) . Ver Matrizes m × n ortogonais. 450 de coeficientes diagonais. 53-54. 40 de operadores lineares. 687-688 311.. 278 determinante de. 174 Multiplicação (matrizes). 124 múltiplos escalares de. constante de. 68. 1. 108-110. 25. 95 também Produto (de matrizes) de adjacência. 30-31 decomposição QR de. 680-683 propriedades algébricas de. 583 singulares e não singulares. 630 inversas. 127 Matriz de Leslie do crescimento populacional produtos internos gerados por. 66. 26 578 Multiplicação por A. 309-310 Morfismos dependentes do tempo. posto e nulidade de. 316. 585-588 Matriz de troca. 494 Mantissa. 68-69. 40 Mudança de escala canônicas. produto interno euclidiano . 28-31. análise do. 487-494 M identidade. Produto (de vetores) diagonais. 30-31 entradas de. 33 operações aritméticas com. 564-565 submatrizes de. 35. 522. sistemas lineares para analisar equações Liu Hui. 367 Multiplicidade geométrica. 249-250 . 43 fechado (de input-output). 27-28. 298-299. 592 simétricas. 130 inversão de. 592 Modelo aberto de Leontief. 485 por colunas e linhas. 93-110 Matrizes n × n. 52 de operadores identidade. 111 ordem dos fatores. 102-103 autovetores. 44 associatividade. 316 determinante de. 172 elementares. 680-683 quadradas. em blocos. 274. 372 Matrizes 2 × 2 de entrada máxima. Ver também Produto definição. 12. 464 Multiplicação (números complexos). 421 Multiplicação por escalar. 30. 687-688 Mmn . 521 Pontos de malha interiores. 523 euclidiana. 251. 521. 149-150 redundância de uma matriz e. 76 vetoriais. 76 matrizes de. 702-703 Operações ponto-flutuantes. 352-353 independência linear de. 521 Pontos de sela. 46-47 693-698 Política de colheita sustentável ótima. 15 Pontos fixos. 421. 693-698 P Polo positivo. 536 construindo curvas e superfícies por. 530 Operador contração. 132. 446 . 13. 316 Pontos de pixel. 182 Otimização usando formas quadráticas. 239-240 imagens de retas por. visualização de. 501 Ortonormalidade. 122 de vetores em R2 e R3. 52-55 de números complexos. 645 expansão em cofatores e. 76 Ondas populacionais. 379-380 conjugados complexos. 353 subespaços de. 347 produto interno canônico de. 524-526 Ordem conjunto gerador de. 441 dores Lineares Plano (s) de matrizes 4 × 6. 238 Operadores. grafos dirigidos. 251. 435 Ouvido trigonométricos. 279-280 Polinômios (Pn). 566-568 Pontos de vetores em Rn. 277 Pixels Positividade Operador dilatação. Giuseppe. 340 Números ponto-flutuantes. matrizes canônicas de. 251 base canônica de. 11 Posição do pivô. 248. 439 por três pontos. 119 de números complexos. 434 forma vetorial de. 259-260 distância entre um ponto e um. 100-104 de vetores e matrizes. 150 de uma aproximação. 149-150 Operações elementares com as linhas. 27-34. 136 Operador expansão. 576 redução por linhas e determinantes. 120-122 Panelas. 316-317 Pontos de vértice Operações inversas. 253. 463 Ponto amostrais. 315. 185 forma polar de. 55-56 de números complexos. 524-525 de uma equação diferencial. 148. 154 Norma (comprimento). 253-255 equações ponto-normal. 435. 336 Operadores identidade. 150 Normalização. 193 ros complexos produto interno e. 435 Piazzi. 612 deformações. 692 Ohm (unidade). 391-392 dominância. 445 Operadores matriciais. 104 Parte real não periódicos. Ver também Opera. Ver Polinômios Nós (redes). 157-158 de Legendre. 318 Operadores. 267-268 distância entre paralelos. 40 193 multiplicação de. área de. 693-694 Polinômios de Legendre. 181 espaço com produto interno real e. 341 matrizes de. 238 em R2. 522-523 característicos. Isaac. 255 equações vetoriais e paramétricas em R3. 73. 644 Posto. 523 de vetores linha e solução. modelo de mínimos quadrados da audição. 384-385 O anatomia do. 525-526 Ortogonalidade cúbicos. 268-269 Plano complexo. 446 Polinômio característico. 317. 520-524 Operações com linhas inversas. b]. 100-104 Parte imaginária Pontos de malha de contorno. 536 distância de um plano. definição. 680 Polo negativo. 315. 257. 267 155 Newton. 453-454 ladrilhados. 126-127 operadores lineares de. 80 de matrizes 4 × 6. 522 Operadores de translação. 257 Peso. 599 Polinômios matriciais. vetores ortogonais a. 258. 33. 7-8. 278 Polinômio interpolador. 420. 145 produto interno euclidiano complexo e. 646 fractais. 463-464 pela origem como subespaços. 462. 273-280 Polinômio trigonométrico. 607 e operações inversas com linhas. 3 Pontos críticos. 530 com multiplicação matricial. 121 propriedades de. 340 Operações aritméticas teorema de Pitágoras em. 626 compressão de dados e processamento de do produto escalar. 52-55 Passeio aleatório discreto. 76 Operações algébricas usando componentes P2 Polos (bateria). 361 Objetos tridimensionais. 153- Negativo de um vetor. 501 Período de uma aplicação de pixels. 144-145 n. 647-648 de vetor em C [a. 468-469 Poder de um vértice num grafo dirigido por Notação matricial. 521-527 Operadores ortogonais. 522-523 Operadores projeção ortogonal. Ver também Núme. 131 composição com. 308 divisão de. 51. 297. 626-627. 315. 496 Ponto inicial comum. 251-252. 76 Ondas sonoras. 607 e operações inversas. 38-42 vetores ortogonais em. distância entre. 417-422 transformação linear de. 544-551 recíproco de. 515 do produto interno euclidiano complexo. 607-611 determinantes e. 192- fórmula de De Moivre. 526 na multiplicação matricial. 361 Números imaginários. 384 soma de. 647-648 Normal. 21 Operador de cisalhamento. 202 definição de. 46-47 Números complexos. 463 Planos paralelos. 649-650 para inversão de matrizes. 297. 384 em R3. 530 Operador compressão. 327 conjunto linearmente independente de. 245 . 130. 516 Operadores de reflexão. Larry. 522 318 Operadores lineares Plano ladrilhado. 472 Pn . 420 228 Paralelogramo. 441 efeito geométrico dos. Par ordenado. 125 Papiro de Ahmes. 597. 52 Parâmetros. 144 de P2. 152. 406 matrizes ortogonais como. 435. 348 Ponto final. 308 Nulidade. 145. 248. 154 calculando. audição humana. 438-440. 315-316. 521 Órbitas. 25-27. 52-55 Papiro de Rhind. Índice 765 N Operadores de rotação. 119 de matrizes. 5. 522-525 Page. 277 imagens. 336 Pontos extremos. 630-631 Pivô. 164 Pontos de esquina. 446 equações vetoriais e paramétricas em R4. 521-522. 317 Operadores inversos. 646 programação linear. 347-348 Ponto inicial. 364 determinantes de. 336 núcleo e imagem de. 570 Núcleo. 153 Pontos de malha. definição de. 52-55 de vetores e matrizes. 392 ajuste de mínimos quadrados de. 148 Problema da aproximação. 180-181 como espaço vetorial. 67. 155-156 teorema da dimensão para matrizes. 515 escalar. 139-140 espaço gerado em. 258- exemplos de. 525-534 de transformações matriciais. 344 norma de um vetor. 417. 416 Região viável. 249 Posto coluna máximo. 131 R Produto misto. 336-339 em. 100-114 Processos estocásticos. 346 Potências de uma matriz. 265. 164-165 vetores em. 318 equações vetoriais e paramétricas de.766 Índice soma de. 161 R Potências de matrizes. 249 Problema da Manada. 152-154 segmento de reta entre dois pontos em. 363 interpretação geométrica de. 31 Quádrica central em posição canônica. 615-624 Problema de mudança de base. 136. 461 Propriedades algébricas de matrizes. 122 de cortes de floresta. em R e retas pela origem são subespaços de. 162 R . 163 cosseno do ângulo entre dois vetores em. 28 Quadrado. 155 Probabilidade. 606-607 de módulo m. Propriedade discreta do valor médio. 520-521 3 em Mnn. 19-20 n Produto interno complexo. 317 Reta de regressão. 339-340 equações vetoriais e paramétricas de planos por dois pontos em R . 528-530 sobre subespaços de R . 191-192 Retrossubstituição. composição de. projeção ortogonal sobre. 217-218. 230. 301-302. 279 Reflexões. 273-280 produto vetorial e. 180-181 em espaços vetoriais reais. cadeias de Markov. 136-137 Restrição. 161-163 retas por dois pontos em. 269. 492 Problema geral de programação linear. 626-627 cálculo de. inversa do. 417-419 sobre um subespaço. 76 notação. 45-46. 491 Regra do triângulo para a adição vetorial. vetorial. 153-155 projeção ortogonal sobre. 577-578 de transformações lineares. 317-318. 162 equação ponto-normal. 154 canônico. 338 coordenadas em. 525-534 planos em. 202-203 imagem de. 119-129 4 Potencial elétrico. 284 Q Redundância em matrizes. 620. 107-108 Quociente da divisão de números complexos. 38-48 Propriedades algébricas de vetores. 356. 161 retas pela origem são subespaços de. em economia. 206-207 por dois pontos. 371-372 Reação química completa. 78 Problemas de extremos condicionados. 122 forma vetorial de. 245 Produto (de matrizes). 184-185 segmentos de. Problemas de minimização. 45-46 514 120 transposta do. 133 2 propriedades algébricas do. 258-259 4 3 transformações matriciais de R em R . 202 Produto torcido. 121 R Rendimento sustentável ótimo. pela origem. 469 matriz canônica de. 73 Problema de valores iniciais. 377 norma de um vetor. 139 Retas operadores matriciais de. maximizando o. 328 núcleo e imagem de. com técnicas de reconstrução algébrica. 133. maximizando. 336-339 equações vetoriais e paramétricas de retas em. 119-129 Produto interno 3 155 R calculando o. 141 conjuntos autossimilares em. 120. 85 adição vetorial em. imagem do. 258 Resistor. 76 cisalhamentos em. definição. 358 Raios X. 70 Queima de metano analisada por sistema linea- Regra da mão direita. 384 cálculo de determinantes por. 372 Ramos (de rede). 231 Processo de Gram-Schmidt. 239-240 Produto vetorial. 528 como multiplicação matricial. 529-534 de matrizes simétricas. 353 pela origem como subespaço. 155-156 em Rn. 607 Propriedade do valor médio. 135-136 bases por meio de. 239 forma de determinante de. John William Strutt. 338 espaço gerado em. 134 automorfismo de Anosov em. 357 independência linear dos vetores unitários Probabilidade de transição. 68 res. 318 Resistência elétrica. 123 de sistemas lineares em formato de. 658-659 527-530 de números complexos. 342 independência linear dos vetores unitários vetores ortogonais a. 164 de matrizes triangulares inferiores. 249. 284 Projeções ortogonais. 519 programação linear. canônicos. 277 como combinação linear. 73 Processamento de imagens. 523 Procedimento de três passos. 590. 152-154 Restrições de não negatividade. 534 equações paramétricas de retas em. 120 Produto (de vetores) Rendimento anual. 279-280 de avaliação. 528. 254-256 4 3 valor máximo do. 164 transformações matriciais de R em R . programação linear. 593-596 Produto direto. 336-341 152-154 259 2 matricial. 369-370 Reagentes (em equações químicas). Regra do paralelogramo para a adição vetorial. 46 propriedades de. 382-384 de retas pela origem. 120. 539-540 interpretação geométrica de. 133-136 círculo unitário em. 161 rotações em. 192 554 622 teorema de Pitágoras em. 145. 270 Recíproco. tomografia computadorizada. 144-145 produto escalar de vetores em. 692 Produto. 156-157 operadores matriciais básicos de. entre dois pontos em R . 47 Quociente de Rayleigh. em R . 147 euclidiano. 439 m Rayleigh. 184-185 complexo. compressão de Redução por linhas dados e. 435 canônicos. 180-181 3 relações envolvendo. 78 equações vetoriais e paramétricas de retas e 310-311 Programação linear geométrica. 133 base canônica de. 131 Reta real. 135-136 equações vetoriais e paramétricas de. Produtos (em reação química). 340 base canônica de. 434 Recíproca. 340 conjunto ortogonal em. 161-163 R2 de colheitas animais. 652-653 Resíduo de módulo m. 165-166 produto escalar de vetores em. 342 adição vetorial em. 239 cálculo de. 156 propriedades algébricas do. 78 Problemas de maximização Propriedade da aditividade Receita de vendas. 336. 358-363. 526 de duas pessoas com soma zero. 657-658 Produto escalar. 258 de vetores. 146-147. 76 aplicação do. 526-527 por escalar em R2 e R3. vetores em. 78-79 Regra de Cramer. 156 4 simetria do. 173 . produto Redes. 112-113 determinantes do. 338 antissimetria do. 145 transformação linear usando. 496-500 Solução ótima. 328 de vetores em Rn. 13 exemplos de. 367 invertibilidade. 114 lineares homogêneos melhor aproximação. 181 Rolagem (avião). 17-19. 414 Saturação. 275 solução de mínimos quadrados de. 328 de sistemas lineares homogêneos. 126 Segmento de reta entre dois pontos em R2. 533 Taussky-Todd. Subespaços. Hermann Amandus. 527 Solução ilimitada. 519 Sistemas dinâmicos. 3-4. 126 distância em. 576 forma vetorial de retas e planos em. 121 por cinco pontos. 201 de sistemas lineares por fatoração. 373 Sistemas lineares. 11-16. operações com as Splines periódicos. 19 de números complexos. 200 44. 180 soluções de. 18. 403 vetores unitários canônicos em. 612-613 Sierpinski. 632-635. 15. 630. 318 de mínimos quadrados. 522 Seções cônicas. 630-633 Sensitividade a condições iniciais. para equilibrar equações químicas. 378 dinâmicos. 371-372 Sistemas lineares homogêneos. 44-45. 366-372 Técnicas de reconstrução algébrica. 655 de sistemas lineares por diagonalização. 191 matrizes aumentadas. 227 projeção ortogonal sobre. 616. 320 Serviço de busca. 543 produto interno euclidiano de. 6-7. 241 de R2 e R3. 336-339 número de soluções de. 125 de vetores em Rn. 148 resolução por eliminação. 112-113 Splines emendadas. 180-181 composição de. 7-8 Subdiagonal. 505 Teorema da dimensão para transformações Sistemas homogêneos. 504-505 recíproca de um. imagens digitalizadas. 439 solução por computador. 548-551 teorema de Pitágoras em. espaços solução de. 487 de sistemas lineares. 620- Sistema dinâmico discreto. 366-372 definição de. 329. Ver Distribuição de Sistema poligráfico. 25. Séries de Fourier. 548-549 projeção ortogonal em subespaços de. 4. 651 ajuste linear. 496-500 Solução viável. 17. 439 Roda das colunas. Televisão. 7 Spline cúbica. 11 624 caótico. 545-548 norma de um vetor em. 86 Soluções Técnica de Monte Carlo Setores de uma economia. 12-13 Soma de vetores equações vetoriais com dois pontos em. 684 Setores abertos. 182 Rotações sobre e subdeterminados. 408-412 Sistemas lineares inconsistentes. 73-83 particulares. 522 Teorema de Hessenberg. 57 Substituição direta. fatoração. 3. 522-523 Sistemas mecânicos. James. 282-283 Sistema linear de primeira ordem. 528 Taxa líquida de reprodução. 155 estimativa do custo para resolver. 179 em R3. 371 640 Séries de Maclaurin. 132-133 de três incógnitas. 254-256 solução geral de. 477 lineares. 519 Sistemas de coordenadas retangulares. 138 interpolação polinomial. 156 Sistemas normais. 122 espaço gerado em. 414 Schmidt. 548-549 372 resolução pela regra de Cramer. 636-637 Simetria do produto escalar. 2-3. 21-22. 3. 33 Spline apertada. 376-378 T Sequência de potências gerada por A. 368 Sylvester. 146-147. jogos de duas pessoas com. 384-386 decomposição QR e. 19 Spline de esboço. forma contrapositiva de um. 120 geometria em. 137 teorema da variável livre de. de matrizes. 240-241 aplicações. 78-80 Spline parabólica emendada. 123 unidades de medição. 85 comparação de procedimentos para resolver na determinação da distribuição de tempera- Setores rentáveis. 220-222 métodos de resolução. 360. 34. 53-54. 510 e matrizes elementares. Olga. 80-82 regra do triângulo para a. 5 de polinômios (Pn). 501-504 em R2 e R3. 501-505 tura. 1 nulos. 501-504 Teorema da equivalência. 441-442 187-188 flops e. 73-78 método das potências. 46 gêneos. 256 sem solução. 477 Teorema “vetores de base” de. 552 vetores em. 33 Soma zero. 61 triviais e não triviais. 651 de sistemas lineares. correspondentes. 510 Semelhanças. 132 resolução por eliminação gaussiana. 30. 3. 5-7 Soma Teorema das variáveis livres de sistemas homo- comparação de procedimentos para resolver. Índice 767 coordenadas em relação à base canônica de. 124 dimensão do espaço solução. 367 com matriz de coeficientes em comum. de Rm. 3 de vetores em R2 e R3. Issai. 522 328-329 co. 505 criação de. 13. 18. 501-504 na geração de fractais. 180-188 núcleo e imagem de. 27. Ver também Sistemas gerais. 403 . 227 Submatrizes. 89 sistemas lineares. 152-159 regra do paralelogramo para. 82. 628. 123-125 linhas. 651-652 eliminação gaussiana. 402 soluções de. Erhardt. 191 Teorema da projeção. 227. 136. 201 eliminação de Gauss-Jordan. 200 331 Tempo como quarta dimensão. 239-240 205-206 de primeira ordem. 637. 628 custo de. 183 Roda das linhas. 479 Schur. 60 Spline natural. 240. 21-22. 179-188. 184 formato de produto escalar de. temperatura de equilíbrio Sistemas de coordenadas. 302 análise de redes com. 493 Serviço de busca na Internet. 651 de sistemas lineares com condições iniciais. 94. 282-284. 529 Taxa de convergência. 369-370 S Sistemas lineares consistentes. 11 projeção ortogonal sobre. 264. 186-187 Subtração Schwarz. 552 matrizes de transição em. Waclaw. 210 Submatrizes principais. 572 21-22. 120. 120 independência linear dos vetores unitários matriz de coeficientes. 156-157 jogos de matriz. 154 geometria de. sistemas Solução de mínimos quadrados. 356-357 com uma infinidade de soluções. 572 resolução por inversão matricial. 11-12. 227 Teorema da melhor aproximação. 186-187 Temperatura de equilíbrio . 371. 366-372 Tapete de Siekpinski. ênuplas e. 11-16. audiência como um sistema dinâmi- Sistema dos números complexos. 19 501-505 de números complexos. 319. 60-62 de Mnn. 328 determinantes. 487-494 matrizes n × n. 158 de posto e nulidade. 131 não homogêneos. 573-578 canônicos. 616-617 Triangulação. 523 unitários. 132 Transformação de cisalhamento. 405. 572-573 nulas. 637-639 Vetor coluna. 439 Variáveis livres. 251 de estado. 125 Teorema dos eixos principais. 137. 225 Teoria linear de vigas. 101 em sistemas de coordenadas. 447 Vértices. 544 Translação. 183. 248 . 628-629 área do. 128. 435. 630. James. computação gráfica. 191-192 Transformações. 128 gráfica. 128. Wronskiano. 410 sobrejetoras. 133-137. 676 Wronski. 316-317 603 perpendiculares. Edwin. 201 Transformação de reflexão. 635-636 norma de. 88. 225 2 3 Terno ordenado. 367 Teorema de Shur. 655 Weyl. 131-132. 123-124 composição de. 128. 575-576 Transformações matriciais. 121-122. 600-602 289. 592 Wilson. 263-267 185-186 4 3 Teoria de grafos. 26. 510 de deformação. 47-48 identidade do paralelogramo de vetores. 630-631 paralelos. 555 relações entre os elementos de conjuntos. 433 de coordenadas. Teoria de cordas. 317. 119. 163. Ver também Transforma. 249 componentes de. 125 computação gráfica. 655 Transformações afins. 242 equivalência de.com. 138 Teoria do campo unificado. 247 solução. deformações. 701 Vetor de cortadas (de florestas). 458-462 Vetor preço. 417 teorema da dimensão para. 435 Vértices (rede). 434. 369 generalizado. 121-122 com soma zero. 599 U ortogonais. 479 nulos. partes real e imaginária de.br/ . 119-129 n Teste da derivada segunda. 438-439 “de base”. 87-88 4 em R . 702-703 independência linear de. 35 Triângulo final. 436-437 Variáveis líderes. 563-564 Visualização de objetos tridimensionais. 454-455 Vetor erro de mínimos quadrados. 701 normalização de. 641 https://livros-pdf-ciencias-exatas. 73. 205 de avaliação. John. 434. 591 composição de. 249-250 em forma de matriz linha. 124 propriedades de. 439 de determinante. 125 Unidades de medição. 225 Termos mistos. 239 cálculo de. 348 inversa. 220 de derivação. 317. 563-570 de R em R . 205. 194 de conjuntos autossimilares. 211 posto e nulidade de. 646 inversas. 436 em formato de ênuplas. 123-125 Texto cifrado. 87 n em R . 125 Transformação de mudança de escala. grafos. Transformações matriciais Valores singulares. operações aritméticas. 165 não nulos. 206 grafos dirigidos com dominância. 433 Vetor demanda externa. 120-122. 127. 122-123 Texto comum. 120. 421 de matriz triangular inferior. 188 Torneios. 87. Herman Klaus. 434 combinação linear de. 3 Transposta em R e R . 138 dedução de equações. 157 Transformação linear sobrejetora. 68 em R . Alan Mathison. 464 Vetor centro inicial. 287 panelas. 157. 336 Transformação nula. deformações. 630 Vetor de estado estacionário. 566-568 notação de. 654 espaços fundamentais da. 447 Vetor autoridade inicial. 438 Vetor demanda intermediária. 445 Valor absoluto. 641 invertibilidade da. 132-133. 122-123 grafos dirigidos. 27. 583 Teorema do mais/menos. 148 injetoras. 305 V produto escalar de. computação Triângulo inicial. 184. 139-140 Transformação linear inversa. 184. 39 W contrativas.768 Índice Teorema de Pitágoras definição de. 148 exemplos de. 120. 315 Vetores de consumo. 424 igualdade de. 346 Teorema fundamental dos jogos de duas pessoas usando produto interno. de um número complexo. 87-88 ções lineares . 585 Y de Pn em Pn+1. 248. 347-348 conjuntos autossimilares. 563 núcleo e imagem de. 125 modos de escanear. 628. 134-135. 76 em relação a bases ortonormais. 586 Yorke. 120. 27. 615-624 propriedades da. 48 geométricos. 120. 161 Transformações de rotação Vetor de distribuição etária inicial. 13. 597-599 injetoras. 201 Teoria de jogos. 445 Vetor erro.blogspot. 166 unitários canônicos. 250. 239 em relação a bases canônicas. 26. 132. 497 Volts (unidade). 225 Topologia. 701 notação de. 190-198 técnicas de reconstrução algébrica. 119 Tomografia computadorizada. 148 Traço de matrizes quadradas. 197-198 em computação gráfica. 559-560 Transformações lineares. 654 determinante da. 452-453. 402 matrizes de. 143-145. 445 Vetores. 420. 497 von Neumann. 632-633. 626. 455-456 Vetor de produção. 76 integrais. 620-624 Triângulo linha. 13. 600 em formato de matriz coluna. 603 Turing. 411 em computação gráfica. 39. 438. 125 Tien-Yien Li. 249 de probabilidade. 435 Vetor demanda. 355 dimensão e. 464 Vetor cifrado. Jozef Hoene de. 270 Vetor de não cortadas (florestas). cadeias de Markov. 407-408. 441 Vetor zero. 143 Transformação de semelhança. 563-568 definição. 454-455 Valor. 120. 507-508 Vetores de coordenadas. 119 Teorema dos extremos condicionados. 568 de Sierpinski. 441-442 ângulo entre. 638 Vetor comum. 435 colineares. 568-570 matriz canônica de. 250. 617-619 Transposta conjugada. 439 desigualdade triangular para. 206 de espaços de matrizes.