ABSORSOR DINAMICO DE VIBRACIONES NO AMORTIGUADOUna maquina o parte de una maquina sobre la cual actúa una fuerza alterna de frecuencia constante, puede percibir vibraciones, detestables especialmente cuando está cerca de entrar en resonancia. Para mejorar esta situación, podemos intentar primero la eliminación de la fuerza. A menudo esto no es práctico ni posible. Por lo tanto, podemos cambiar la masa o la constante del resorte del sistema en un intento para alejarnos de las condiciones de resonancia, aunque a veces esto tampoco resulta practico. La tercera posibilidad consiste en la aplicación del absorsor dinámico de vibraciones inventado por Frahm en 1909. En la figura 3.6, sea la combinación de K y M la representación esquemática de la maquina en consideración, y actuando sobre ella Po sen ωt . El amortiguador de vibraciones consiste de un sistema vibratorio relativamente pequeño k y m acoplado a la masa principal M. La frecuencia natural acoplado se escoge de manera que sea igual a la ω √ k /m del amortiguador de la fuerza perturbadora. Se demostrara entonces que la masa principal M no vibra en lo absoluto, y que el pequeño sistema k y n vibra de tal manera que su fuerza de resorte es en todo instante igual y de sentido contrario a Po sen ωt . Asi pues, no habrá ninguna fuerza neta actuando sobre M y, por lo tanto , la masa no vibrara. puesto que la figura 3.12) a1 (−M ω 2+ K + k ) −k a2=P0 .1) a la (3.10) serán proporcionales a sin ωt . la ecuación diferencial se transforma en una ecuación algebraica.11 x 1=a1 sen ωt x 2=a2 sen ωt Esto es evidente. (3. en la que exterior Po sen ωt k2 se ha hecho cero.1) y (3.2) quedan entonces modificadas a Ec. Mas aun.4). como vimos anteriormente con las Ecs. ´x 2 . x1 .6 es un caso particular de la figura 3.10 M x´1 + ( K +k ) x 1−k x 2=Po sen ωt m ´x 2 +k ( x 2+ x1 ) =0 La vibración forzada del sistema será de la forma Ec. tenemos la fuerza actuando sobre la primera masa M. Esto resulta sumamente sencillo.Para demostrar esta proposición. De la (3.11). (3. puesto que la (3. en consecuencia. todos los términos de la (3. escribiremos las ecuaciones del movimiento.1. con el supuesto de la (3. 3.10) contiene solamente los términos .pero no asi las primeras derivadas x1 y x2 x1 . x 2 . El resultado es que Ec. La función seno resulta otra vez una función seno después de obtener su segunda derivada y. Las ecs. 3. se pondrán en una forma sin dimensiones. (3. resolviendo para a1 y a2 . La Ec. para lo cual introduciremos los siguientes símbolos: x st =P0 /K =deformacion estatica del sistema principal 2 ω a=k /m=frecuencia natural del absorsor Ω2n=K /M =frecuencianatural del sistema principal μ=m/ M = proporcion de masas=masa del absorsor/masa principal Asi.14 1− ω2 ω2a a1 = x st −ω 2 k ω2 k 1+ − 2 − 2 K Ωn K ωa ( )( ) .−k a1 +a2 (−mω 2+ k )=0 Para simplificar.. 3. Ec.13 ( a1 1+ k ω2 k − 2 −a2 =x st K Ωn K ) 2 ( ) a1=a2 1− ω 2 ωn O.12) resulta Ec. 3. (3. que es en realidad igual y de sentido contrario a la fuerza exterior. El primer factor del denominador es entonces cero. por lo tanto. de manera que esta ecuación se reduce a a2= −P0 −K x st = k k Con la masa principal en reposo y la masa del amortiguamiento moviéndose de acuerdo con −P0 /k∗sin ωt . Se vio. en lo que sigue el caso para el cual La razón ω a=Ωn ó k K = m M μ= m M ó k m = K M .a2 1 = 2 2 x st −ω k ω k 1+ − 2 − 2 K Ωn K ωa ( )( ) De la primera de estas ecuaciones puede verse de inmediato la veracidad de nuestros argumentos. para el caso en que ω=ω a . Consideraremos. la fuerza en el resorte amortiguador varia según −P0 sin ωt . que añadir un amortiguador no tiene razón de ser. La amplitud 1− numerador ω2 ω2a a1 de la masa principal es cero cuando el es cero. y esto sucede cuando la frecuencia de la fuerza es la misma que la frecuencia natural del amortiguador.14). Estas relaciones son ciertas para cualquier valor de la razón ω /Ωn . sin embargo. a menos que el sistema original este en resonancia o muy cercana a ella. Examinemos ahora la segunda Ec. Al multiplicarlos se ve que el denominador contiene un termino proporcional a ω2a ω2 /¿ ¿ . pero no asi x 2 . Si los dos denominadores de la (3. Al igualarla a cero. resulta Ec.Define entonces el tamaño del amortiguador comparado con el tamaño del sistema principal.15) no fuesen iguales. los dos denominadores de la (3. b x1 = x st x2 = x st ω2 1− 2 ωa ω2 ω2 1− 2 1+ μ− 2 −μ ωa ωa ( )( ) 1 2 2 ( )( ) ω ω 1− 2 1+ μ− 2 −μ ωa ωa sin ωt sin ωt Una característica sorprendente de este resultado y de la Ec.15) se hacen cero y. para dos valores de la frecuencia exterior ω . en consecuencia. tenderia a infinito. uno de ellos fuera cero. Así pues. 3. Estas dos frecuencias son la natural y la de resonancia del sistema. (3.14) es que los dos denominadores son iguales. los valores de x1 y x2 se hacen infinitamente grandes. en este caso particula (3. dos raíces.15a.14). por lo tanto. pudiera darse el caso de que para cierto valor de Esto significaría que x1 ω . Esto no es una coincidencia sino que tiene una razón física definida. otro termino proporcional a ¿ ¿ ω2a ω2 /¿ ¿ ¿ ¿ y un termino independiente de esta razón. pero no en el otro. el denominador es una ecuación de segundo grado en ω2 /ω 2a que tiene. Pero si x1 se . la fuerza del resorte también. se nos presenta el caso posible de tener una amplitud x2 de la masa del amortiguador m con un valor finito. Asi pues. en consecuencia. las tensiones y las compresiones del resorte del amortiguador k tenderían a infinito y. mientras actua sobre el una fuerza con k ( x 1−x 2 ) . los dos denominadores de la (3. por lo tanto.hace infinita. Las frecuencias naturales se determinan igualando a cero los denominadores: ω2 ω2 1+ μ− −μ=0 ω 2a ω 2a ( )( 1− 4 ) 2 ω ω ( − 2+ μ ) +1=0 ωa ωa ( ) ( ) O con las soluciones Ec. 3. la otra deberá tender también a infinito y.15) debaran ser iguales. en consecuencia. Resulta. evidente que si una de las valor infinito amplitudes se hace infinita.16 2 √ 2 ω μ μ = 1+ ± μ+ ωa 2 4 ( ) ( ) . 17) y la (3. L y E0 deberan el desplazamiento ( o velocidad) de fuerza P0 son iguales a tener la misma corriente ( i 1 ) y. el desplazamiento (o velocidad) de M y x1 (o x 1 ). El resorte principal K permanece sin ningún amortiguador través de el. son también iguales entre si de manera que 1/c y deberán estar en sentido eléctrico en serie.. por lo tanto. La velocidad de m es x´ 2 . pero con corrientes diferente de la que fluye a través de los elementos principales L. Aplicando la ley de Newton a la masa M obtenemos. en el que ha colocado un amortiguador paralelo al resorte del amortiguador k. los elementos eléctricos correspondientes 1/C. El amortiguamiento ( o velocidad) del resorte. como sigue.17 Y aplicando a la pequeña masa m m ´x 2 +k ( x 2−x 1 ) +c ( x´2 − x´1 ) =0 EQUIVALENCIA DE CIRCUITO ELECTRICO Su equivalencia puede establecerse fijando las ecuaciones de voltaje y comparándolas con la (3. .18) o por inspección directa. que es igual a la diferencia de la velocidad de M( x´ 1 ) y la velocidad a través del resorte amortiguador ( x´ 1− x´ 2 ). En consecuencia. M ´x + K x1 + k ( x 1−x 2 ) +c ( ´x 1−´x 2 )=P0 sin ωt … … … … …. conectarse en serie. Las velocidades a través de k o a través del amortiguador ( x 1−´x 2 ).6.3. C y E0 .ABSORSOR DE VIBRACIONES AMORTIGUADO Considere el sistema de la figura 3. entre las masas M y m. 1 1 1 + r +1/ jωc jωl A la cual hay que sumarle la impedancia de los otros elementos en serie. Nos interesa la corriente principal la de un condensador es i 1 . y la de una resistencia es simplemente R. Las impedancias en serie expresadas en forma en forma compleja se suman directamente y con las impedancias en paralelo se suman reciprocos. dando Z = jωL+ 1 + jωC 1 1 1 + r +1/ jωc jωl = E i1 Mediante simplificaciones algebraicas y transcribiéndolas otra vez en términos mecánicos su resultado será. La impedancia de una bobina es jωL . Quedando asi establecida la equivalencia ¿ entre el circuito eléctrico y el sistema mecanico.Por lo tanto la corriente diferencia entre i1 e i2 que fluye a través de l deberá ser igual a la i (¿ ¿ 1−i 2 ) . Estas dos ramas en paralelo tienen una impedancia. Asi pues la impedancia de c en las ramificaciones r es r +1/ jωc y la ramificación l es jωl . 1/ jωL . x 1=P0 ( k −m ω2 ) + jωc {( −M ω2 + K ) (−m ω2 +k ) −m ω2 k }+ jωc {−M ω 2+ K −m ω2 } . Amplitud del movimiento de la masa principal μ=m/ M = proporcionde masas=masa delabsorsor /masa principal ω2a=k /m=frecuencia natural del abosorsor Ω2a=K / M =frecuencia natural del sistemaprincipal f =ω a /Ωn=razon de frecuencias (frecuencias naturales ) g=ω/Ωn= proporcion de la frecuencia forzada x st =P0 /K =Deformacion estatica del sistema Cc=2m Ω=amortiguamiento critico . g2−1+ μ g2 ¿ 2+ [ μ f 2 g 2−( g2 −1)( g2 −f 2 ) ] ¿ C 2 2 g ¿ Cc C 2 (2 g) +(g 2−f 2)2 Cc ¿ x1 = √¿ X st ( ) 2 .