90015579 Apostila Raciocinio Logico Pedro Evaristo Athenas PDF

Aulas 1 e 2“Somos  o  que  fazemos,  mas  somos  principalmente,  o  que  fazemos  para  mudar  o  que  somos” Eduardo Galeano LÓGICA A Lógica é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Órganon. Ele divide a lógica em formal e material. Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o raciocínio válido. Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na computação e em Inteligência artificial. Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado noutras áreas, como na psicologia cognitiva. Como ciência, a lógica define a estrutura de declaração e argumento e elabora fórmulas através das quais estes podem ser codificados. Implícita no estudo da lógica está a compreensão do que gera um bom argumento e de quais os argumentos que são falaciosos. A lógica filosófica lida com descrições formais da linguagem natural. A maior parte dos filósofos assumem que a maior parte do raciocínio "normal" pode ser capturada pela lógica, desde que se seja capaz de encontrar o método certo para traduzir a linguagem corrente para essa lógica. RACIOCÍNIO O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento. RACIOCÍNIO LÓGICO-DEDUTIVO Como vimos, a dedução é uma inferência que parte do universal para o mais particular. Assim considerase que um raciocínio lógico é dedutivo quando, de uma ou mais premissas, se conclui uma proposição que é conclusão lógica da(s) premissa(s). A dedução é um raciocínio de tipo mediato, sendo o silogismo uma das suas formas clássicas. Iniciaremos com a compreensão das seqüências lógicas, onde você deve deduzir, ou até induzir, qual a lei de formação das figuras, letras, símbolos ou números, a partir da observação dos termos dados. HUMOR LÓGICO www.cursoathenas.com.br 2 SEQUÊNCIAS LÓGICAS As seqüências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma seqüência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. Algumas seqüências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos. SEQUÊNCIA DE NÚMEROS Progressão Aritmética Soma-se constantemente um mesmo número. 2 +3 5 +3 8 +3 11 +3 14 +3 17 Progressão Geométrica Multiplica-se constantemente um mesmo número. 2 x3 6 x3 18 x3 54 162 x3 x3 486 Incremento em Progressão O valor somado é que está em progressão. 1 +1 2 +2 4 +3 7 +4 11 +5 16 Série de Fibonacci Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 1 1 2 3 5 8 13 Números Primos Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 2 3 5 7 11 13 17 Quadrados Perfeitos Números naturais cujas raízes são naturais. 1 4 9 16 25 36 49 www.cursoathenas.com.br 3 SEQUÊNCIA DE LETRAS As seqüências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, você deve escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta. A C F J O U Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições. ABCDEFGHIJKLMNOPQRST SEQUÊNCIA DE PESSOAS Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a seqüência se repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. SEQUÊNCIA DE FIGURAS Esse tipo de seqüência pode seguir o mesmo padrão visto na seqüência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. www.cursoathenas.com.br 4 Aulas 3 a 5 INVESTIGAÇÃO: VERDADES E MENTIRAS INVESTIGANDO As questões de investigações estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. É basicamente um processo de aprendizagem tanto do indivíduo que a realiza quanto da sociedade na qual esta se desenvolve. A investigação, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento. As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões. IDENTIFICANDO CADA CASO Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas informações, com base nas informações fornecidas no enunciado. Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles. 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO. Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada, permitirá identificar o item correto a ser marcado. EXEMPLO: Alysse é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas. CONCLUSÕES: Sejam A, B e C as respectivas idades de Alysse, Bruna e Carol, então A>BeC>B Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma: A>C>B 2º CASO - Somente Verdades: DEDUÇÕES. Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. EXEMPLO: Alysse, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga. CONCLUSÕES: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. A B C Profissão Idade www.cursoathenas.com.br 5 Como   “Bruna   é   a   mais   nova   e   têm   25   anos”,   e   que   “a   mais   nova   é   Terapeuta”,   deduzimos   que   Bruna é Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela. A B C Profissão Idade T 25 Como  “Carol  é  a  mais  velha  e  não  é  Psicóloga”,  deduzimos  que  Carol  é  Fonoaudióloga  e  têm  27   anos,   já   que   “as   três   nasceram   em   anos   consecutivos”   e   “a   mais   nova   tem   25   anos”.   Logo   podemos acrescentar as seguintes informações na tabela. A B C Profissão Idade T 25 F 27 Por exclusão, deduz-se que Alysse têm 26 anos e é Psicóloga. Assim, temos a tabela totalmente preenchida. A B C Profissão Idade P 26 T 25 F 27 3º CASO - Verdades e Mentiras: HIPÓTESES, CONFIRMAÇÕES E REJEIÇÕES. Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese. EXEMPLO: Alysse, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: – ALYSSE:  “Foi  a  Bruna  que  comeu”   – BRUNA:  “Alysse  está  mentindo” – CAROL:  “Não  fui  eu” Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo. CONCLUSÕES: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES HIPÓTESES A B C A foi quem comeu B foi quem comeu C foi quem comeu Como Alysse (A) disse   “Foi   a   Bruna   que   comeu”,   ela   só   estará   dizendo   a   verdade   caso   (na   hipótese de) Bruna tenha realmente comido, caso contrário estará mentindo, logo analisando essa afirmação, temos: A B C A comeu B comeu C comeu F V F Como Bruna  (B)  disse  que  “Alysse  está  mentindo”,  temos  que  Bruna  só  estará  mentindo  no  caso   (na hipótese de) de Alysse falar a verdade, caso Alysse esteja mentindo então Bruna estará falando a verdade, ou seja, as colunas 1 e 2 terão valores lógicos contrários, logo temos: A B C A comeu B comeu C comeu F V F V F V www.cursoathenas.com.br 6 Finalmente,   como   Carol   disse   que   “Não   fui   eu”,   temos   que   ela   só   estará   mentindo   no   caso   (na   hipótese de) dela ser a culpada, caso contrário estará dizendo a verdade, logo temos: A B C A comeu B comeu C comeu F V F V F V V V F Agora é o momento de aceitar ou refutar as hipóteses. Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, então com base nisso devemos identificar a única linha que tem apenas uma única afirmação verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas. Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo. HIPÓTESE Uma hipótese é uma teoria provável mas não demonstrada, uma suposição admissível. Na matemática, é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Surge no pensamento científico após a recolha de dados observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados. É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação (rejeição) da hipótese. Assim que comprovada, a hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado. EXEMPLO DO 1º CASO - VERDADES: ORDENAÇÕES 01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar. a) Heitor a) Erick d) Fred e) Giles SOLUÇÃO: Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores. Inicialmente  como  “Erick  mora  acima  de  todos”,  então  ele  mora  no  4º  andar. Como  “Fred  mora  acima  de  Heitor”  e  “Heitor  não  mora  no  1º  andar”,  então  Heitor  tem  que  morar  no  2º  andar  e   Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. Por  exclusão,  Giles  mora  no  1º  andar,  o  que  satisfaz  a  condição  de  “morar  abaixo  de  Fred”. OBS.: É importante  diferenciar  “em  cima”, “acima”,  “em  baixo”  e  “abaixo”.  Por  exemplo,  se  Geovanne  mora  no  10º  andar   de um prédio, outro morador que more: EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11º andar. ACIMA, mora em um andar superior, não necessariamente em cima. EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9º andar. ABAIXO, mora em um andar inferior, não necessariamente em baixo. EXEMPLOS DO 2º CASO - VERDADES: DEDUÇÕES 02. (IPAD) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. Luciano, Cláudio e Fernanda estudam respectivamente: a) Kant, Wittgenstein e Frege. b) Kant, Frege e Wittgenstein. c) Wittgenstein, Kant e Frege. d) Frege, Kant e Wittgenstein. e) Frege, Wittgenstein e Kant. www.cursoathenas.com.br 7 SOLUÇÃO: Do enunciado, podemos organizar as informações na tabela a seguir: Luciano Frege Kant Wittgenstein De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos: 1)  Se  “Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos”,  então  “Luciano  não  estuda  Frege” Frege Kant Wittgenstein Luciano F Cláudio Fernanda Cláudio Fernanda 2) Se  “Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas  não  ambos”,  então  “Cláudio  não  estuda  Kant” Frege Kant Wittgenstein Luciano F Cláudio F Fernanda 3) Se  “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos”,  então  “Cláudio estuda Wittgenstein”  pois  já  tínhamos  concluído  que  “Luciano não estuda Frege” Luciano Cláudio Fernanda Frege F Kant F Wittgenstein F VERDADE F Como  “Luciano  não  estuda  nem  Frege,  nem  Wittgenstein”  então  por  exclusão  “ele  estuda  Kant”.  Nesse  caso  resta   apenas  que  “Fernanda  estuda  Frege” Frege Kant Wittgenstein Luciano F VERDADE F Cláudio F VERDADE Fernanda VERDADE F 02. Três crianças – Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo – brincavam, cada qual, com um único tipo de brinquedo. Considere as seguintes informações: Os brinquedos são: Falcon, Playmobil e Atari; As idades dos três são: 11, 8 e 6; Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari; A criança que tem 11 anos, brincava de Atari; Cleosvaldo tem menos de 8 anos. Com base na informações dadas, é correto afirmar que a) Belarmino tem 11 anos. b) Astolfo tem 11 anos. c) Belarmino brincava com um Falcon. d) Cleosvaldo brincava com um Atari. e) Astolfo não tem 8 anos. SOLUÇÃO: Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir: ASTOLFO IDADE BRINQUEDO BELARMINO CLEOSVALDO www.cursoathenas.com.br 8 Sabendo  que  “Astolfo  brincava  com  um  Playmobil”  e  que  “Cleosvaldo  tem  6  anos”,  temos: ASTOLFO IDADE BRINQUEDO BELARMINO CLEOSVALDO 6 Play ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO Como  “A  criança  que  tem  11  anos,  brincava  de  Atari”,  apenas  Belarmino  se  encaixa,  logo IDADE BRINQUEDO Por exclusão, temos ASTOLFO IDADE BRINQUEDO BELARMINO CLEOSVALDO Play 11 Atari 6 8 Play 11 Atari 6 Falcon 03. Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto. b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos. d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco. e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis. SOLUÇÃO: Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir: ANNA VESTIDO SAPATOS Sabendo  que  “Camila está com sapatos azuis”,  temos: ANNA VESTIDO SAPATOS BRUNA CAMILA BRUNA CAMILA Az ANNA BRUNA CAMILA Sabendo  que  “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”,  então  Anna  tem  que  ter  sapatos  brancos VESTIDO SAPATOS Br ANNA BRUNA Az CAMILA Como  “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”,  temos VESTIDO SAPATOS Br Br Az Por exclusão, deduz-se   que   Bruna   está   com   sapatos   pretos   e   sabendo   que   “ somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”,  temos ANNA VESTIDO SAPATOS BRUNA CAMILA Br Br Az Pr Pr Az www.cursoathenas.com.br 9 EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: HIOPÓTESES 04. Quando a mãe de Aurismar, Belomar, Cleosmar e Denysmar, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as seguintes declarações: "Mãe, o Bel foi quem quebrou" – disse Auri "Como sempre, o Denys foi culpado" – disse Bel "Mãe, sou inocente" – disse Cleo “Claro  que  o  Bel está mentindo" – disse Denys Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso. a) Aurismar b) Belomar c) Cleosmar d) Denysmar e) Nenhum deles SOLUÇÃO: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde serão analisadas as declarações mediante as hipóteses: ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS AURI BEL CLEO DENYS Analisaremos as declarações de cada criança, de acordo com as hipóteses dos culpados. No caso do Auri, ele estaria falando a verdade no caso do Bel realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hipótese de outra pessoa ser o culpado, logo: HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS AURI ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BEL CLEO DENYS F V F F Analisando a declaração de Bel, vemos que apenas no caso de Denys ter sido o culpado ele estaria dizendo a verdade, então para qualquer outra hipótese de culpado ele mente (F), logo temos: HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS AURI ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BEL CLEO DENYS F V F F F F F V Como Cleo se declara inocente, apenas na hipótese dele ser o culpado, sua declaração é dita como falsa (F), em todas as demais hipóteses ele realmente seria inocente, logo: HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS AURI ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BEL CLEO DENYS F V F F F F F V V V F V www.cursoathenas.com.br 10 Nesse caso, sempre a declaração de Denys tem valor lógico contrário ao de Bel, pois eles se contradizem, então Denys só irá mentir no caso dele ser o culpado, ou seja: HIPÓTESES AURI BEL CLEO DENYS AURI ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BEL CLEO DENYS F V F F F F F V V V F V V V V F Observe que somente na hipótese de Cleo ser o culpado é que apenas uma das declarações se torna verdadeira (V), sendo então três falsas (F). Como somente Denys diz a verdade, a terceira hipótese é a única aceita, sendo então Cleosmar declarado o culpado. www.cursoathenas.com.br 11 Aulas 6 e 7 DIAGRAMAS LÓGICOS QUANTIFICADORES São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial: É   o   quantificador   que   indica   a   necessidade   de   “ existir pelo menos um”   elemento   satisfazendo   a   proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo  símbolo  “ ”,  que  se  lê  “existe”,  “existe  um”  ou  “existe  pelo  menos  um”. EXEMPLO: (p) x R / x 3 (q) Existe dia em que não chove. b) Quantificador universal: É   o   quantificador   que   indica   a   necessidade   de   termos   “ todos”   os   elementos   satisfazendo   a   proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É  indicado  pelo  símbolo  “ ”,  que  se  lê  “para todo”  ou  “qualquer que seja”. EXEMPLO: (m) x R x 5 (Lê-se:  “para  todo  x  pertencente  aos  reais,  tal  que  x  é  maior  ou  igual  a  5”) (n) Qualquer que seja o dia, não choverá. TEORIA DOS CONJUNTOS NOMENCLATURA UTILIZADA - conjunto dos números reais * - conjunto dos números reais não nulos - conjunto dos números reais não negativos - conjunto dos números reais positivos + * + Q - conjunto dos números racionais Q - conjunto dos números racionais não nulos Z - conjunto dos números inteiros Z+ - conjunto dos números inteiros não negativos Z - conjunto dos números inteiros não nulos N - conjunto dos números naturais N* - conjunto dos números naturais não nulos - conjunto vazio - símbolo de união entre dois conjuntos - símbolo de intersecção entre dois conjuntos - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto - símbolo de inclusão entre dois conjuntos - qualquer que seja * * www.cursoathenas.com.br 12 UNIÃO ( ) União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos. A B CONCLUSÕES: EX.: “Pessoas que são atletas o (A) ou baianos (B)” 1 .A B=B A (o  “ou”  não  é  excludente, o 2 A =A portanto isso significa que o o 3 A A = A conjunto união abrange os o 4 (A B) C = A (B C) elementos que fazem parte de o A B pelo menos um dos conjuntos) 5 n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) INTERSEÇÃO ( ) Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados. CONCLUSÕES: A B EX.: “Pessoas que são atletas (A) e são baianos (B)” 1 A 2 A 3 A 4 (A o o o o B=B = A A=A B) C=A (B C) A B DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B completar o conjunto A. A B EX.: “Pessoas que são atletas (A), mas não são baianos (B)” A–B COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A. A B EX.: “Pessoas que não são atletas  (A)” (Dentre todos os envolvidos, podendo ser, ou não, baianos) CA = A DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B. A B EX.: “Pessoas que ou são atletas (A), ou são baianos (B)” (O  “ou...ou”  é  excludente)   (A B) - (A B) www.cursoathenas.com.br 13 CONJUNTOS LÓGICOS NENHUM Não existe interseção entre os conjuntos. EX.: A:  “Nenhum  soldado  é  covarde” OBS.: A negação da premissa A será: ~A:  “Não  é  verdade  que  nenhum  soldado  é  covarde” ou então ~A:  “Existe  pelo  menos  um  soldado  covarde” COVARDES SOLDADOS ALGUNS Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas nem todos. EX.: B:  “Alguns  soldados  são  covardes” OBS.: A negação da premissa B será: ~B:  “Não  é  verdade  que  alguns  soldados  são  covardes” ou então ~B:  “Nenhum  soldado  é  covarde” COVARDES SOLDADOS TODOS Um dos conjuntos é subconjunto do outro. EX.: C:  “Todos  os  soldados  são  covardes” OBS.: A negação da premissa C será: ~C:  “Não  é  verdade  que  todos  os  soldado  são  covardes” ou então ~C:  “Existe  pelo  menos  um  soldado  que  não  é  covarde” COVARDES SOLDADOS TIPOS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Uma proposição é chamada de composta quando é formada a partir de outras proposições mais simples (p, q, r, ...) mediante o uso de: modificadores (~) conectivos ( e ) condicionais ( e ). TAUTOLOGIA Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q:  “No  concurso  João  foi  aprovado  ou  reprovado” CONTRADIÇÃO Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q:  “Sophia  nasceu  em  Fortaleza  e  em  São  Paulo” CONTINGÊNCIA Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso. www.cursoathenas.com.br 14 EXEMPLOS 01. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos logicamente concluir que: a) não pode haver cientista filósofo. b) algum filósofo é cientista. c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. d) alguns cientistas não são filósofos. e) nenhum filósofo é objetivo. SOLUÇÃO: Dadas as premissas: A:  “todos os cientistas são objetivos” B:  “alguns filósofos são objetivos” Sejam O – Objetivos C – Cientistas F – Filósofos Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis: 1 o F C 2 o F C 3 o F C O O O Dessa  forma,  temos  que  “se  algum  filósofo  é  cientista”  ele   fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica necessariamente  que  “esse  filósofo  será  objetivo”,  pois  “todo  cientista  é  objetivo”. Resposta: C 02. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir logicamente que: a) nenhum cronópio é fama. b) não existe cronópio que seja fama. c) todos os cronópios são famas. d) nenhum fama é cronópio. e) algum cronópio não é fama. SOLUÇÃO: Dada a premissa: A:  “Nem  todos os cronópios são famas” Sejam C – Cronópios F – Famas Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: 1 o F C 2 o F C Podemos  concluir  que  “Se  nem  todo  cronópio  é  fama,  então   necessariamente existe pelo menos um cronópio que não  é  fama”. Resposta: E 03. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. Podemos afirmar que: www.cursoathenas.com.br 15 a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis, mas não originais. d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. SOLUÇÃO: Sejam A – grupo dos que têm uma idéia original ; B – grupo dos que têm uma idéia comercializável; Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: A 60% – x x 50% – x B Sabendo que n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 100% = 60% + 50% – x x = 10% portanto 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis Resposta: B 04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: a) Alguns A não é G. b) Algum A é G. c) Nenhum A é G. d) Algum G é A. e) Nenhum G é A. SOLUÇÃO: Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que nunca serão G. Resposta: A OBS.: Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar. 05. Supondo que “Nenhum advogado foi reprovado” e que “Alguns bancários   foram   reprovados”, podemos logicamente concluir que: a) não pode haver advogado bancário. b) algum advogado é bancário. c) nenhum advogado é bancário. d) todos os advogados são bancários. e) alguns bancários não são advogados. SOLUÇÃO: Do enunciado temos os possíveis diagramas: A R o o 1 2 A R B B Dessa forma, percebemos que nas duas   possibilidades   “alguns bancários não são advogados”,   pois   aqueles   bancários que foram reprovados, jamais poderão ser advogados, pois nenhum destes foi reprovado. Resposta: E www.cursoathenas.com.br 16 Aulas 8 a 10 ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES INTRODUÇÃO A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. LÓGICA MATEMÁTICA A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo alternativa. PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso). Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. p: "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) q: "3 + 5 = 2" ( F ) r: "7 + 5 = 12" ( V) s: "a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n – 2).180º ( V ) t: "O Sol é um planeta" ( F ) w: "Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F ) SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico EX.: “Alguém  está  nascendo  nesse  exato  momento”  →  Pode  ser  Verdadeiro  (V)  ou  Falso  (F),  não  se  pode   afirmar. SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F. EX.: “O  professor  Pedro  Evaristo  ensina  Matemática”  →  Sentença  Verdadeira  (V) “A  soma  2  +  2  é  igual  a  5”  →  Sentença  Falsa  (F) SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) não e Ou se ... então se e somente se tal que Implica Equivalente Existe existe um e somente um qualquer que seja www.cursoathenas.com.br 17 O MODIFICADOR NEGAÇÃO Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou EXEMPLOS: p:  “2  pontos  distintos  determinam  uma  única  reta”  (V) ~p:  “2  pontos  distintos  não  determinam  uma  única  reta”  (F) q:  “João  é  magro” ~q:  “João  não  é  magro” ~q:  “Não  é  verdade  que  João  é  magro” s:  “Fernando é  honesto” s:  “Fernando não  é  honesto” s:  “Não  é  verdade  que  Fernando é  honesto” s:  “Fernando é  desonesto” OBS.: Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. p:  “Diego  dirige  bem” ~p:  “Diego  não  dirige  bem” ~(~p):  “Não  é  verdade  que  Diego  não  dirige  bem” p. (Lê-se "não p" ). IMPORTANTE: Afirmação e negação sempre possuem valores lógicos contrários! Se A é V, então ~A é F Se A é F, então ~A é V A V F ~A F V ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q. Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: CONJUNÇÃO: DISJUNÇÃO: CONDICIONAL: p p p q (lê-se "p e q" ) q (lê-se "p ou q") q (lê-se "se p então q") q (lê-se "p se e somente se q") BI-CONDICIONAL: p Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. www.cursoathenas.com.br 18 CONJUNÇÃO (E) A B (lê-se “Premissa A e premissa  B”) A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa. EXEMPLO: Analise  a  afirmação:  “Nesse  final  de  semana  estudarei  raciocínio  lógico  e  informática”.   A:”Estudar  raciocínio  lógico”   B:”Estudar  informática” TABELA VERDADE A B V V F V F F V F A V F F F B CONCLUSÕES: Só existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmação seja verdadeira, deverei estudar raciocínio lógico e informática. Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. LINK: A Premissa A Se (V) Premissa A Então (V) B Premissa B Então (V) Premissa B Se (V) ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  B”  SENDO  (V) “Premissa  A  e  premissa  B” ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  A”  SENDO  (V) www.cursoathenas.com.br 19 DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU) A B (lê-se “Premissa A ou premissa  B”) PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o  “ou”  significa  dizer  que  pelo  menos  uma  das  premissas  deverá  ser  verdadeira.  Nesse  caso  o  “ou”  significa   que pelo menos uma das premissas é verdadeira. EXEMPLO: Analise  a  afirmação:  “Este  final  de  semana  irei  à  praia  ou  ao  cinema”. A:”Irei  à  praia” B:”Irei  ao  cinema”   TABELA VERDADE A B V V V F F V F F A V V V F B CONCLUSÕES: Sabendo que ele foi à praia, conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema. Sabendo que ele não foi à praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia. Sabendo que ele não foi ao cinema, conclui-se que certamente foi à praia. Observe  que,  nesse  caso,  o  “ou”  significa  que  eu  irei  a  “pelo  menos”  um  desses  lugares  no  fim  de  semana  (o  fim   de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares). LINK: “Premissa  A  ou  premissa  B” Premissa A Se (V) Premissa A Se (F) Premissa A Então (V) Premissa A Então (V) ou (F) Premissa B Então (V) ou (F) Premissa B Então (V) Premissa B Se (F) Premissa B Se (V) A v B ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  B”  SENDO  (V)  OU  (F) www.cursoathenas.com.br 20 DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU) A B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa  B”) Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes. PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou”   significa   dizer   que   exatamente   uma   das   premissas   deverá   ser   verdadeira.   Caso   seja   usado   “ou...ou”,   devemos entender que se trata de disjunção excludente. EXEMPLO: Analise a afirmação:  “Felipe  nasceu  ou  em  Fortaleza,  ou  em  São  Paulo”.   A:”Felipe  nasceu  em  Fortaleza” B:”Felipe  nasceu  em  São  Paulo”   TABELA VERDADE A B V V V F F V F F A F V V F B CONCLUSÕES: Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo. Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo. Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza. Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza. Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira. LINK: “Ou  premissa  A,  ou  premissa  B” (Premissas excludentes) Premissa A Se (V) Premissa A Se (F) Premissa A Então (V) Premissa A Então (F) Premissa B Então (F) Premissa B Então (V) Premissa B Se (F) Premissa B Se (V) ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  B”  SENDO (V) OU (F) A v B ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) www.cursoathenas.com.br 21 CONDICIONAL (SE ... ENTÃO) A B (lê-se “Se  premissa  A,  então  premissa  B”) Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira. EXEMPLO: Analise  a  afirmação:  “Se  eu  receber  dinheiro  na  sexta -feira  então  irei  a  praia  no  fim  de  semana”.   A:”Receber  dinheiro  na  sexta-feira”   B:”Ir  a  praia  no  fim  de  semana” TABELA VERDADE A B V V F V F F V F A V V V F B CONCLUSÕES: Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que necessariamente fui à praia. Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu posso ter ido ou não à praia. Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que eu posso ter recebido ou não o dinheiro. Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que necessariamente eu não recebi o dinheiro. Observe que a afirmação só será falsa, se eu receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia. LINK: “Se  premissa  A,  então  premissa  B” Premissa A Se (V) Premissa A Se (F) Premissa A Então (F) Premissa A Então (V) ou (F) Premissa B Então (V) Premissa B Então (V) ou (F) Premissa B Se (F) Premissa B Se (V) B é equivalente a ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  B”  SENDO  (V)  OU  (F) A B ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) Do quadro acima podemos concluir que A ~B ~A “Se  não  for  verdadeira  a  premissa  B,  então  não  será  verdadeira  a  premissa  A” www.cursoathenas.com.br 22 LINK: OBS.: A é condição suficiente para que B ocorra B é condição necessária para que A ocorra ~B é condição suficiente para que ~A ocorra ~A é condição necessária para que ~B ocorra CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre) RESUMINDO: Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito. A B ~B ~A A é SUFIENTE para B ~B é SUFIENTE para ~A Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. A B ~B ~A B é NECESSÁRIO para A ~A é NECESSÁRIO para ~B LINK: ATENÇÃO! Algumas maneiras diferentes  de  escrever  a  proposição  “Se  A  então  B”: A B ~B ~A p:  “Se  chover  então  irei  ao  shopping” p:  “Se  chover,  irei  ao  shopping” p:  “Chovendo,  irei  ao  shopping” p:  “Quando  chove,  vou  ao  shopping” p:  “Sempre  que  chove,  vou  ao  shopping” p: “Toda  vez  que  chove,  vou  ao  shopping” p:  “Caso  chova,  irei  ao  shopping” p:  “Chover  implica  em  ir  ao  shopping” p:  “Chover  é  condição  suficiente  para  ir  ao  shopping” p:  “Ir  ao  shopping  é  condição  necessária  para  chover” p:  “Se  não  for  ao  shopping  então não  choveu” p:  “Não  chover  é  condição  necessária  para  não  ir  ao  shopping” p:  “Não  ir  ao  shopping  é  condição  suficiente  para  não  chover” www.cursoathenas.com.br 23 BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) A B (lê-se  “Premissa  A,  se  e  somente  se  a  premissa  B”) Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser. EXEMPLO: Analise  a  afirmação:  “Irei  a  praia  no fim de semana, se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira”.   A:”Ir  a  praia  no  fim  de  semana” B:”Receber  dinheiro  na  sexta-feira”   TABELA VERDADE A B V V F V F F V F A V F V F B CONCLUSÕES: Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que certamente fui à praia. Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu não fui à praia. Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que é porque eu recebi o dinheiro. Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que certamente eu não recebi o dinheiro. Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. LINK: A Premissa A Se (V) Premissa A Se (F) Premissa A Então (F) Premissa A Então (V) B Premissa B Então (V) Premissa B Então (F) Premissa B Se (F) Premissa B Se (V) B é equivalente a ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  B”  SENDO  (V)  OU  (F) “Premissa  A,  se  e  somente  se  Premissa  B” ANÁLISE PARTINDO DA “PREMISSA  A”  SENDO  (V)  OU  (F) Do quadro acima podemos concluir que A ~A OBS.: A é condição necessária e suficiente para que B ocorra B é condição necessária e suficiente para que A ocorra ~B “Premissa  ~A,  se  e  somente  se  Premissa  ~B” www.cursoathenas.com.br 24 TABELA VERDADE Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1) ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada: TABELA VERDADE p V V F F q V F V F p V F F F q p V V V F q p V F V V q p V F F V q Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. EQUIVALÊNCIAS Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por exemplo, dize r  que  A:“João  é   rico”  implica  em  dizer  que  B:“João  não  é  pobre”,  no  entanto,  dizer  B:“João  não  é  pobre”  não  implica  em  dizer  que   A:“João  é  rico”,  portanto  A  e  B  não  são  equivalentes,  mas  podemos  afirmar  que  A  implica  em  B  (A   B). Por outro lado,  se  P:”João  é  honesto”  então  implica  que  Q:”João  não  é  desonesto”  e  de  forma  recíproca  se  Q:”João  não  é   desonesto”   então   implica   que   P:”João   é   honesto”,   portanto   nesse   caso   P   e   Q   são   equivalentes   pois   uma   proposição implica na outra (P Q). A B = ~B ~A Ex.: “Se  chover  então  irei  ao  shopping”   “Se  não  for  ao  shopping  então  não  choveu” “Se  eu  receber  dinheiro,  viajarei”   “Se  eu  não  viajar  então  não  recebi  dinheiro” “Caso  não  faça  sol,  irei  entrarei  na  internet”   “Se  eu  não  entrei  na  internet  então  fez  sol” B=B A = (A B) (B A) Ex.: “Se  e  somente  se  fizer  sol  então  irei  à  praia”   “Se  e  somente  se  for  à  praia  então  fez  sol” “Se  e  somente  se  receber  dinheiro,  viajarei”   “Se  receber  dinheiro,  viajo  e  se  viajar  então  eu  recebi” “Se  e  somente  se  passar,  festejarei”   “Se  passar  então  festejo  e  se  festejar  é  por  que  passei” B = (A B) (~A ~B) Ex.: “Se  e  somente  se  passar,  festejarei”   “Ou  passo  e  festejo,  ou  não  passo  e  não  festejo” “Se  e  somente  se  sentir  fome  então  comerei”   “Ou  senti  fome  e  comi,  ou  não  senti  fome  e  não  comi” A A NEGAÇÕES (~) ou ( ) A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro. É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por exemplo, “rico”  e  “pobre”  são  antônimos,  mas  “João  é  pobre”  não  é  a  negação  de  “João  é  rico”,  afinal  se  Joã o não for rico não   quer   dizer   que  seja  pobre,   quer   dizer   apenas  que  “João  não  rico”.  Mas   existe  caso  em  que   o  antônimo  é  a   negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros. TABELA VERDADE A ~A V F F V Ex.: www.cursoathenas.com.br 25 A: “Aline  é  bonita” B:  “Kleyton  é  alto” C:  “Daniel  é  magro” E:  “Karol  foi  aprovada” F:  “Lia  é  culpada” ~A:  ”Aline  não  é  bonita”   ~B:  ”Kleyton  não  é  alto”   ~C:  “Daniel  não  é  magro” ~D:  “Karol  foi  reprovada” ~F:  “Lia  é  inocente” (não significa que ela é feia) (não significa que ele é baixo) (não significa que ele é gordo) (nesse caso, reprovado significa não aprovado) (nesse caso, inocente significa não culpado) ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Sejam p, q e r três proposições simples e quaisquer, onde V é uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades: LEIS IDEMPOTENTES p p=p Ex.: “Eu  não  minto  e  só  falo  a  verdade”   p=p Ex.: “Ou  choverá  ou  cairá  água  do  céu”   “Eu  falo  a  verdade” p “Choverá” LEIS COMUTATIVAS p q=q p Ex.: “Estudarei  lógica  e  informática”   q=q p Ex.: “Estudarei  lógica  ou  informática”   “Estudarei  informática  e  lógica” p “Estudarei  informática  ou  lógica” LEIS DE IDENTIDADE p V = p (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico dependerá da premissa p) Ex.: “Amanhã  vai  chover  e  o  Sol  é  amarelo”  (Pode  ser  V  ou  F,  depende  se  choverá  ou  não) F = F (Se uma das premissas for necessariamente F, então o valor lógico será sempre F) Ex.: “Amanhã  vai  chover  e  a  lua  é  quadrada”  (Será  F,  independe  de  chover  ou  não) V = V (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico será sempre V) Ex.: “Amanhã  choverá  ou  o  Sol  é  amarelo”  (Será  V,  independe  de  chover  ou  não) F=p Ex.: “Amanhã  vai  chover  ou  a  lua  é  quadrada”  (Pode  ser  V  ou  F,  depende  se  choverá  ou  não) p p p LEIS COMPLEMENTARES ~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação) Ex.: “Não  é  verdade  que  Monyke  não  é  bonita”   “Monyke  é  bonita” p ~p = F Ex.: “Irei  ao  cinema  e  não  irei  ao  cinema”  (F) ~p = V Ex.: “Ou  irei  ao  cinema  ou  não  irei  ao  cinema”  (V) p www.cursoathenas.com.br 26 ~V = F (a negação de uma verdade é sempre falsa) Ex.: “Não  é  verdade  que  o  Sol  é  amarelo”  (F) ~F = V (a negação de uma mentira é sempre verdade) Ex.: “Não  é  verdade  que  a  Lua  é  quadrada”  (V) LEIS ASSOCIATIVAS (p q) r = p (q r) Ex.: “Sophia  é  linda  e  inteligente,  além  de  ser  muito  legal”   q) r = p (q r) Ex.: “Irei  a  praia  ou  ao  cinema,  ou  irei  jogar”   “Sophia  é  linda,  além  de  inteligente  e  muito  legal” (p “Ou  Irei  a  praia,  ou  irei  ao  cinema  ou  jogar” LEIS DISTRIBUTIVAS p (q r) = (p q) (p r) Ex.: “Estudarei  hoje  e  no  fim  de  semana,  ou  irei  ao  cinema  ou  irei  a  praia”   “Ou  estudarei  hoje  e  no  fim  de   semana  irei  ao  cinema,  ou  estudarei  hoje  e  no  fim  de  semana  irei  à  praia” p (q r) = (p q) (p r) Ex.: “Ou  viajarei  hoje  ou  no  fim  de  semana  irei  ao  cinema  e  à  praia”   de semana, e viajarei hoje ou no fim  de  semana  irei  à  praia” “Viajarei  hoje  ou  irei  ao  cinema  no  fim   LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. ~(p q) = ~p ~q A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se não é verdade (p que pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas). Ex: Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? A negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo". Ex.: “Não  é  verdade  que  Ribamar  é  carioca  e alto”   TABELA VERDADE p q p q V V V V F F F V F F F F “Ribamar  não  é  carioca  ou Ribamar  não  é  alto” q) é por ~(p q) F V V V ~p F F V V ~q F V F V ~p F V V V ~q ~(p q) = ~p ~q A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira, portanto se não é verdade (p q) é por que as proposições têm que ser falsas. Ex: Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? A negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". www.cursoathenas.com.br 27 Ex.: “Não  é  verdade  que  Rosélia  foi  à  praia  ou ao  cinema”   TABELA VERDADE p q p q V V V V F V F V V F F F “Rosélia  não  foi  à  praia  e não  foi  ao  cinema” ~(p q) F F F V ~p F F V V ~q F V F V ~p F F F V ~q ~(p q) = p ~q O condicional (p q) só é falso se p for verdade e que q for falso, portanto se não é verdade (p que as proposições p e ~q têm que ser verdadeiras. Ex.: Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então aprendo"? A negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo" Ex.: “Não  é  verdade  que  se  Milena  receber  dinheiro  então  viajará”   TABELA VERDADE (1) p q p q V V V V F F F V V F F V TABELA VERDADE (2) p q ~q V V F V F V F V F F F V q) é por “Milena  recebe  dinheiro  e  não  viaja” ~(p F V F F q) p ~q F V F F Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q . TAUTOLOGIAS Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q:  “No  concurso  João  foi  aprovado  ou  reprovado” CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA: s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. www.cursoathenas.com.br 28 Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p V V F F q V F V F p V F F F q p V V V F q (p q) V V V V (p q) Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico F) q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), Podemos concluir que a proposição composta s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira. LINK: Será apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: 1. (p q) p 2. p (p q) 3. [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4. [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. NOTAS: as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição. CONTRADIÇÃO Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. Ex.: p q:  “Sophia  nasceu  em  Fortaleza  e  em  São  Paulo” p ~p:”Amanhã  choverá  e  amanhã  não  choverá” Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. EXEMPLO: A proposição composta t: p p V F ~p F V p ~p F F ~p é uma contradição, senão vejamos: Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira. www.cursoathenas.com.br 29 PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA Nesse caso, as proposições compostas  que  não  são  nem  “Tautologia”  nem  “Contradição”  são  chamadas   de  “Contingência”,  ou  seja,  podem  assumir  valor  lógico  (V)  ou  (F),  dependendo  das  demais  proposições  simples. EXEMPLO: Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F (p V V F F F F F F q) (p q) V V V F V F V F r q) r, teremos: NOTA: n Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 linhas. www.cursoathenas.com.br 30 EXEMPLO 01. Todos acreditam que:   “Cão que late, não morde”.   Considerando verdadeira essa afirmação, então pode-se concluir que: a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder. b) Se um cão não latir irá morder. c) Se um cão não morder é por que ele latiu. d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão. e) Todos os animais que não mordem são cães. SOLUÇÃO: Se todo cão que late, não morde, então se um animal latir ele pode ser um cão, pois caso contrário ele não teria mordido. Se um cão latir e morder, fará com que a afirmação fique falsa. 02. Aponte  o  item  abaixo  que  mostra  a  negação  de  “Rosélia  viajará  para  Londres  ou  comprará  uma  casa”. a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa SOLUÇÃO: Sabemos que a negação de A ~(A B) = ~A ~B Bé Portanto, as possíveis negações para “Rosélia  viajará  para  Londres  ou  comprará  uma  casa”,  são ~(A B): “Não  é  verdade  que  Rosélia  viajará  para  Londres  ou  comprará  uma  casa” Ou então ~A ~B: “Rosélia  não  viajará  para  Londres  e  não  comprará  uma  casa” 03. Sabendo  que  “Chover  em  Guaramiranga  é  condição  suficiente  para  fazer  frio” , podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é: a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. SOLUÇÃO: A proposição composta dada, é equivalente a A B  :  “Se  chover  em  Guaramiranga  então  faz  frio” Portanto, sua negação será ~(A B) = A ~B Ou ainda ~(A B):  “Não  é  verdade  que  se  chover  em  Guaramiranga  então  faz  frio”   Que por sua vez equivale a A ~B:  “Choveu  em  Guaramiranga  e  não  fez  frio” 04. Sabendo   que   “Sempre   que   um   parlamentar   é   bom   um   bom   político,   ele   é   honesto”   e   “Se   um   parlamentar   é   honesto,  ele  é  um  bom  político”.  Então,  de  acordo  com  essas  afirmações,  podemos  dizer  que: a) Os políticos são sempre honestos b) Toda pessoa honesta é político c) Se e somente se um parlamentar for honesto, será um bom político. d) Todo parlamentar é bom político e honesto e) Se e somente se uma pessoa for honesta, será um parlamentar. SOLUÇÃO: Observe a equivalência a seguir (A B) (B A) = A B A situação dada é bi-condicional, logo “Se somente se um parlamentar for honesto, será um bom político” www.cursoathenas.com.br 31 05. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. SOLUÇÃO: Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A ~(A B) = A ~B Logo ~(~(A B)) = ~(A ~B) Ou ainda, A B = ~A v B Nesse caso, as proposições abaixo são equivalentes ~BB v AA = BB AA VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE Dado AA v ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" TABELA VERDADE AA ~BB AA v ~BB V V V V F V F V V F F F Observe, que apenas a premissa composta BB AA: "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista" tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Onde ~BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos contrários. TABELA VERDADE AA BB BB AA V F V V V V F F V F V F Bé LINK: EQUIVALÊNCIAS A A A A A B = (A B = (A B=B B = ~B B = ~(A B) v (~A B) A ~A ~B) = ~A v B (B ~B) A) ~(A NEGAÇÕES B) = ~A v ~B ~B B) v (~A B ~B) ~(A v B) = ~A ~(A v B) = (A ~(A v B) = A ~(A ~(A B) = A v B B) = A ~B A = ~(~A) www.cursoathenas.com.br 32 Aulas 11 e 12 ARGUMENTAÇÃO INTRODUÇÃO A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas anteriores,  sobretudo  os  “links”  apresentados  para  cada  conectivo  estudado:  “ou”   ,  “ou...ou”   ,  “e”   ,  “se...então”   e  “se  e  somente  se”   . Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica), localizar um ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um “efeito  dominó”,  deduzir  todos  os  valores  lógicos  (V  ou  F)   das outras proposições simples, admitindo que todas as proposições compostas são verdadeiras. INFERÊNCIA Inferência, do latim inferre, é o mesmo que dedução. Em lógica, inferência é a passagem, através de regras válidas, do antecedente ao conseqüente de um argumento. A inferência é, portanto, um processo pelo qual se chega a uma proposição, afirmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. Então, inferir significa deduzir. PREMISSA Num silogismo (raciocínio ou conexão de idéias), as premissas são os dois juízos que precedem a conclusão e dos quais ela decorre como conseqüente necessário - antecedentes - de que se infere a conseqüência. Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são comparados com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus termos. O silogismo é estruturado do seguinte modo: Todo homem é mortal (premissa maior) – homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula; – é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado; – mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula. Sócrates é homem (premissa menor) Sócrates é mortal (conclusão) Há palavras que ajudam a identificar as premissas (indicadores das premissas), como: se, caso, quando, porque, desde que, pois que, como, dado que, tanto mais que, pela razão de que. Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma argumentação, precedem a conclusão. CONCLUSÃO A conclusão de um argumento é aquela que se afirma com base nas outras proposições desse mesmo argumento, e, por sua vez, essas outras proposições que são enunciadas como prova ou razões para aceitar a conclusão são as premissas desse argumento. Proposição é normalmente usado para expressar o significado de uma sentença ou oração declarativa. Note que "proposição" e "enunciado" não são sinônimos, mas no contexto lógico são usados em sentido quase idêntico Oportuno esclarecer que "premissa" e "conclusão" são termos relativos, uma só proposição pode ser premissa num argumento e conclusão noutro. Isoladamente, nenhuma proposição é uma premissa ou uma conclusão. "Só é premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. Só é conclusão quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse argumento". Deste modo premissa e conclusão são termos relativos, como empregador e empregado, dependem do contexto: empregador para a sua doméstica, empregado para a empresa que trabalha. Frequentemente, a conclusão é apresentada (enunciada) primeiro, seguindo-se-lhe as premissas propostas em seu apoio. Mas pode corretamente estar no final do argumento ou intercalada entre as premissas. Palavras como: portanto, daí, logo, assim, consequentemente, segue-se que, podemos inferir, podemos concluir, são indicadores da conclusão. www.cursoathenas.com.br 33 ARGUMENTO Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria. O argumento exprime com freqüência o conceito geral de prova. Chama-se argumento porque estimula a mente e a ilumina para intuir a verdade e dar-lhe a sua adesão. No mínimo, um argumento envolve duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão. Para se distinguir um argumento correto de um incorreto é preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões. EXEMPLO: “Todo  homem  é  mortal” PREMISSAS “Eu  sou  um  homem” “Eu  sou  mortal” EXEMPLO: “Se  eu  receber  dinheiro,  viajo” “Se  eu  viajar,  fico  feliz” “Recebi  dinheiro” “Estou  feliz” EXEMPLO: “Caso  não  chova,  irei  a  praia” PREMISSAS CONCLUSÃO PREMISSAS CONCLUSÃO ARGUMENTAÇÃO ARGUMENTAÇÃO “Caso  vá  à  praia,  bronzeio” “Se  não  chover,  bronzeio” CONCLUSÃO ARGUMENTAÇÃO PROVA A palavra prova no processo, bem como em outros ramos das ciências, pode assumir diferentes conotações. Tanto o é que possui vários sentidos tanto na linguagem popular quanto no uso técnico, e dentre eles, o dos juristas. Em direito, prova é qualquer evidência factual que ajude a estabelecer a verdade de algo. Prova é todo meio destinado a convencer o juiz, seu destinatário, a respeito da verdade de um fato levado a juízo. O vocábulo prova serve também para nomear os elementos fornecidos ao juiz, pela atividade probatória, para que este, com eles, reconstrua mentalmente aqueles fatos relevantes. ANALOGIA Uma analogia é uma relação de equivalência entre duas outras relações. As analogias têm uma forma de expressão própria que segue o modelo: A está para B, assim como C está para D. Por exemplo, diz-se que: "Os patins estão para o patinador, assim como os esquis estão para o esquiador". Ou seja, a relação que os patins estabelecem com o patinador é idêntica à relação que os esquis estabelecem com o esquiador. A maior parte das pessoas achará a analogia dos esquis/patins verdadeira. No entanto, é extremamente difícil estabelecer de forma rigorosa porque é que é verdadeira. Normalmente, as analogias são fluidas e uma análise mais detalhada poderá revelar algumas imperfeições na comparação. Afinal, esquiar e patinar são atividades parecidas, mas não são exatamente iguais. Em matemática foi desenvolvida uma versão mais formal de analogia, o isomorfismo. www.cursoathenas.com.br 34 DEDUÇÃO Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular. Exemplo: O Ser humano é imperfeito; Eu sou um ser humano; Logo, eu sou imperfeito; Exemplo: Todo mamífero tem um coração; Todos os cavalos são mamíferos; Logo, todos os cavalos têm coração; INDUÇÃO Os “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação dos fatos. Então, raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal. EXEMPLO: Sabe-se que: O ferro conduz eletricidade O ferro é metal O ouro conduz eletricidade O ouro é metal O cobre conduz eletricidade O cobre é metal Logo os metais conduzem eletricidade. EXEMPLO: Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração; Logo, todos os cavalos tem um coração; O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado analítico, pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de indução, uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva. EXEMPLO 01. Dadas as seguintes premissas Caso não chova no fim de semana, irei a praia Quando vou à praia, como caranguejo Sempre que como caranguejo, tomo refrigerante Esse fim de semana não choveu Então a conclusão será que nesse fim de semana a) Comi caranguejo e tomei refrigerante b) Não comi caranguejo e tomei refrigerante c) Comi caranguejo e não tomei refrigerante d) Não comi caranguejo e não tomei refrigerante SOLUÇÃO: Representando por siglas as proposições, torna-se mais fácil a representação simbólica. CH: "Chover no fim de semana" P: "Irei a praia" CC: "Comer caranguejo" R: "Tomar refrigerante" Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma: ~CH P www.cursoathenas.com.br 35 P CC ~CH CC R Partindo  da  proposição  simples  "Não  choveu  no  fim  de  semana"  (~CH),  segue  por  “efeito  dominó”  a  seqüência   conclusiva representada pelas setas. ~CH V P V 1 3 2 P V CC V R V 4 5 CC V ~CH V 6 www.cursoathenas.com.br 36 03. Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de seu cliente. Se João não estava na cidade então ele é inocente Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feira Tomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que: a) João é inocente e não visitou Ana b) João é inocente e visitou Ana c) João é culpado e não visitou Ana d) João é culpado e visitou Ana e) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão SOLUÇÃO: Sejam JC: "João estava na cidade " I: "Inocente" AM: "almoçou com a mãe" VA: " visitou Ana" RD: "Recebeu dinheiro" Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma: ~JC JC AM RD RD Partindo  da  proposição  simples  "João  recebeu  dinheiro"  (RD),  segue  por  “efeito  dominó”  a  seqüência  conclusiva   representada pelas setas. ~JC V 7 I AM VA VA 8 I V AM F VA V VA V 3 EFEITO DOMINÓ: 1. Transferindo a informação inicial; 2. Como ele recebeu dinheiro, tem que ter ido visitar Ana; 3. Transferindo essa informação; 4. No  “ou...ou”,  somente  uma  das  afirmações  é  verdadeira,  logo  AM  é  F;; 5. Transferindo essa informação; 6. Se  “JC”  fosse  V,  então  “AM”  tinha  que  ser  V,  logo  “JC”  é  F;; 7. A negação sempre tem valor lógico contrário; 8. Transferindo essa informação; JC F AM F RD V 5 6 4 2 1 RD V Portanto, João é inocente, não almoça com a mãe e visita Ana na cidade vizinha. RESPOSTA: Item B 04. (IPAD) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado. Mas George não é culpado. Logo: a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica. b) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala. c) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica. d) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende. e) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica. www.cursoathenas.com.br 37 SOLUÇÃO: Sejam LL RS  :  “Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala” RS ~BL  :  “Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica” ~BL GC  :  “Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado” Sabendo  que  “George não é culpado”  é  V,  então  GC  é F, segue então ~BL F RS F LL F GC F ~BL F 2 5 4 Conclusões: Como  ~BL  é  F,  então  BL  é  V,  logo  “Bertrand  entende  de  lógica” Como  RS  é  F,  então  ~RS  é  V,  logo  “Não  há  um  rinoceronte  na  sala” 3 1 RS F EXERCÍCIOS 01. Sabe-se que ou João é rico, ou Maria não é bonita. Sabe-se ainda que ou Maria é bonita ou José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo: a) Maria não é bonita b) João não é rico c) José é rico d) José não é rico e) Maria é bonita 02. Se João é rico, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo: a) Maria é bonita b) João é rico c) José é rico d) João não é rico e) Maria é rica 03. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora, portanto: a) Ana é advogada b) Sandra é secretária c) Ana é advogada ou Paula não é professora d) Ana é advogada e Paula é professora e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. 04. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então: a) Estou feliz e fiz uma boa ação. b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação. c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação. 05. (ESAF) Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: a) B C b) B A c) C = A d) C = D e) D A GABARITO 01. E 02. D 03. B 04. A 05. A www.cursoathenas.com.br 38 Aulas 13 e 14 EXERCÍCIOS 01. Observe a seqüência de figuras desenhadas: Procure entender a lógica dessa seqüência e aponte qual será a 100ª figura. a) b) c) d) e) 02. Considere a seqüência de figuras: ... FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 Mantendo a mesma lei de formação, a 1ª figura é igual à a) 11ª figura b) 12ª figura c) 13ª figura d) 14ª figura e) 15ª figura 03. (FCC) Em cada linha do quadrado abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção. Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é a) b) c) d) e) 04. (FCC) José decidiu nadar no clube, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte, depois no domingo e assim por diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, qual será o dia da semana? a) terça b) quarta c) quinta d) sexta e) sábado 05. (FCC) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Em que dia Regina e Roberto voltaram? a) quarta b) quinta c) sexta d) sábado e) domingo www.cursoathenas.com.br 39 a 1 7 7 31 31 é o sexto termo da seqüência de frações irredutíveis , , , , ,... . Se ela está b 3 3 15 15 63 logicamente estruturada, então a+b é igual a: a) 190 b) 182 c) 178 d) 202 06. (FCC) Se 07. (FCC) Considere que os números que compõem a seqüência (414, 412, 206, 204, 102, 100,...) obedecem a um lei de formação. A soma do nono e décimo termos dessa seqüência é igual. a) 98 b) 72 c) 58 d) 46 e) 38 08. (FCC) Os termos da seqüência (2, 5, 8, 4, 8, 12, 6, 11, 16, ...) são obtidos através de uma lei de formação. Determine a soma do décimo e do décimo segundo termos dessa seqüência, obtidos segundo essa lei. a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 09. (FCC) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1–E2–B3–F4–C5–G6–D7–⋅⋅⋅ Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é a) J b) H c) I d) F e) E 10. (FCC) Observe que, no diagrama abaixo, foram usados somente as letras K, R, C, S, A, F, X, H, T e que cada linha tem uma letra a menos que a anterior. KRCSAFXHT STCKXFRH FHKTRSX HKRXST TRSKX Se as letras foram retiradas obedecendo a um certo critério, então a próxima letra a ser retirada será a) T b) R c) S d) K e) X GABARITO 01. B 02. C 06. A 07. D 03. B 08. A 04. B 09. A 05. E 10. D www.cursoathenas.com.br 40 Aulas 15 a 17 EXERCÍCIOS 01. João é mais velho do que Pedro, que é mais novo do que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é: a) João b) Antônio c) Pedro d) Carlos 02. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A branca está abaixo da laranja e acima da azul. A vermelha está acima da marrom e esta fica abaixo da branca. A laranja e a branca se encostam, assim como esta e a marrom. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha? a) Azul b) Laranja c) Branca d) Vermelha e) Marrom 03. (FCC) Cinco times: Antares, Bilbao, Cascais, Dali e Elite, disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que: Antares está em um primeiro lugar e Bilbao está em quinto; Cascais está exatamente na posição intermediária entre Antares e Bilbao; Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais. Nessas condições, é correto afirmar que: a) Cascais está em segundo lugar. b) Deli está em quarto lugar. c) Deli está em segundo lugar. d) Elite está em segundo lugar. e) Elite está em terceiro lugar. 04. Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta divisão foi feita de modo que: cada grupo possui no máximo 3 pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos não podem ficar no mesmo grupo que Geraldo; Beatriz e Flávio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem Edna nem Flávio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estarão necessariamente no mesmo grupo: a) Arnaldo e Carlos; b) Arnaldo e Douglas; c) Carlos e Flávio; d) Douglas e Geraldo; 05. Alysse, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.Dessa forma, podemos conckuir que: a) Carol é a Psicóloga e Bruna tem 26. b) Bruna é a Terapeuta e Carol tem 27. c) Bruna é a Terapeuta e Carol tem 26. d) Alysse é a Psicóloga e Carol tem 26. e) Alysse é a Terapeuta e Carol tem 27. www.cursoathenas.com.br 41 06. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loira, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Anna, outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra à França e a outra irá à Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A  loira:  ”Não  vou  à  França  nem  à  Inglaterra“ A  morena:  “Meu  nome  não  é  Monyke  nem  Carine” A  ruiva:  “Nem  eu  nem  Monyke  vamos  à  França” O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loira é Carine e vai à Alemanha. b) A ruiva é Carine e vai à França. c) A ruiva é Anna e vai à Inglaterra. d) A morena é Anna e vai à Inglaterra. e) A loira é Monyke e vai à Alemanha. 07. Com relação a três funcionários do tribunal, sabe-se que: •  João  é  mais  alto  que  o  recepcionista;; •  Mário  é  escrivão;; •  Luís  não  é  o  mais  baixo  dos  três;; •  Um  deles  é  escrivão,  o  outro  é  recepcionista  e  outro  é  segurança;; Como base nisso, podemos afirmar que: a) João é recepcionista e Mário é o mais baixo. b) João é escrivão e Mário é o mais alto. c) João é escrivão e Mário é o mais baixo. d) Luis é o recepcionista e João é o mais alto. e) Luis é o recepcionista e João é o mais baixo. 08. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que: Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. O modelo Hércules seria entregue em 10 dias. Macval não apresentou o modelo Netuno. Nessas condições, o modelo apresentado pela empresa a) Macval foi o Hécules. b) Mactex foi o Thor. c) Macmais foi o Thor. d) Mactex foi o Netuno e) Macval foi o Netuno 09. (FCC) Certo dia, três técnicos judiciários – Altamiro, Benevides e Corifeu – receberam, cada um, um lote de processos para arquivar e um lote de correspondências a serem expedidas. Considere que: tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedição devem executadas no mesmo dia e nos seguintes horários: das 10 às 12 horas, das 14 às 16 horas e das 16 às 18 horas; dois funcionários não podem ficar responsáveis pela mesma tarefa no mesmo horário; apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondências que recebeu em um mesmo horário; nem as correspondências expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 às 12h; Corifeu expediu toda a correspondência de seu respectivo lote das 16 às 18 horas. Nessas condições, é verdade que a) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 às 18 horas. b) as correspondências dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 às 16 horas. c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 às 12 horas. d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 às 12 horas. e) Altamiro expediu as correspondências de seu lote das 10 às 12 horas. www.cursoathenas.com.br 42 10. Alysse, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: – ALYSSE:  “Foi  a  Bruna  que  comeu”   – BRUNA:  “Alysse  está  mentindo” – CAROL:  “Não  fui  eu” Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo. a) Carol b) Bruna c) Alysse d) Denisa 11. Quando a mãe de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as seguintes declarações: "Mãe, o Bosco foi quem quebrou" – disse Alysson "Como sempre, o Daniel foi culpado" – disse Bosco "Mãe, sou inocente" – disse Cleber “Claro  que  o  Bosco  está  mentindo"  – disse Daniel Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso. a) Alysson b) Bosco c) Cleber d) Daniel GABARITO 01. C 02. D 05. B 06. E 09. E 10. A 03. C 07. D 11. C 04. D 08. D www.cursoathenas.com.br 43 Aula 18 EXERCÍCIOS 01. (ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção propõe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma T1. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos: a) Armando e Bernardo b) Armando e Cláudio c) Cláudio e Eduardo d) Cláudio e Délcio e) Bernardo e Fábio 02. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem, ocupam as quatro   primeiras   posições   no   “grid”   de   largada   de   uma   corrida.   O   carro   que   está   imediatamente atrás do carro azul, foi menos veloz nos treinos do que o que está mediatamente a frente do carro azul. No treino, o carro verde foi o menos veloz de todos e por isso larga atrás do carro azul. O carro   amarelo   larga   atrás   do   carro   preto.   As   cores   do   primeiro   e   do   segundo   carro   do   “grid”,   são,   respectivamente, a) amarelo e verde. b) preto e azul. c) azul e verde. d) verde e preto. e) preto e amarelo. 03. (ESAF) Três rapazes - Alaor, Marcelo e Celso - chegam a um estacionamento dirigindo carros de cores diferentes. Um dirigindo um carro amarelo, o outro um carro bege e o terceiro um carro verde. Chegando ao estacionamento, o manobrista perguntou quem era cada um deles. O que dirigia o carro amarelo respondeu:  “Alaor  é  o  que  estava  dirigindo  o  carro  bege”.  O  que  estava  dirigindo  o  carro  bege  falou:  “eu   sou  Marcelo”.  E  o  que  estava  dirigindo  o  carro  verde  disse:  “Celso  é  quem  estava  dirigindo  o  carro  bege”.   Como o manobrista sabia que Alaor sempre diz a verdade, que Marcelo às vezes diz a verdade e que Celso nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar quem era cada pessoa. As cores dos carros que Alaor e Celso dirigiam eram, respectivamente, iguais a: a) amarelo e bege b) verde e amarelo c) verde e bege d) bege e amarelo e) amarelo e verde 04. (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela. e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela. www.cursoathenas.com.br 44 05. (ESAF) Três amigos Lucas, Mário e Nelson moram em Teresina, Rio de Janeiro e São Paulo – não necessariamente nesta ordem. Todos eles vão ao aniversário de Maria que há tempos não os encontrava. Tomada de surpresa e felicidade, Maria os questiona onde cada um deles mora, obtendo as seguintes declarações: Nelson:  “Mário  mora  em  Teresina”. Lucas:  “Nelson  está  mentindo,  pois  Mário  mora  em  São  Paulo”. Mário:  “Nelson  e  Lucas  mentiram,  pois  eu  moro  em  São  Paulo”. Sabendo que o que mora em São Paulo mentiu e que o que mora em Teresina disse a verdade, segue-se que Maria concluiu que, Lucas e Nelson moram, respectivamente em a) Rio de Janeiro e Teresina. b) Teresina e Rio de Janeiro. c) São Paulo e Teresina. d) Teresina e São Paulo. e) São Paulo e Rio de Janeiro. GABARITO 01. D 02. E 03. C 04. E 05. A www.cursoathenas.com.br 45 Aula 19 EXERCÍCIOS 01. (ESAF) A proposição “Algum  advogado  é  bancário”  é  equivalente  a: a) Não há advogado bancário. b) Todas as pessoas são advogados. c) Pelo menos um advogado é bancário. d) Todos os advogados são bancários. e) Todos os bancários não são advogados. 02. (ESAF) Qual a equivalência de “Todo  comerciante  é  rico”? a) Nenhum comerciante é rico. b) Todo comerciante é não é pobre. c) Nem todo comerciante é rico. d) Não há comerciante pobre. e) Nenhum comerciante não é rico. 03. (ESAF) A  equivalência  de  “Nenhum  político  é  honesto”  é: a) Todas as pessoas são honestas. b) Todos os políticos são desonestos. c) Ninguém é honesto. d) Todo político é honesto. e) Pelo menos um político é honesto. 04. (ESAF) Qual  a  negação  de  “Todo  artista  é  elegante”. a) Nenhum artista é elegante. b) Todas as pessoas são elegantes. c) Ninguém é elegante. d) Todo artista não é elegante. e) Pelo menos um artista não é elegante. 05. (ESAF) Considere que os argumentos são verdadeiros: Todo comilão é gordinho; Todo guloso é comilão; Com base nesses argumentos, é correto afirmar que: a) Todo gordinho é guloso. b) Todo comilão não é guloso. c) Pode existir gordinho que não é guloso. d) Existem gulosos que não são comilões. e) Pode existir guloso que não é gordinho. 06. (ESAF) Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B, segue, necessariamente, que: a) nenhum A é C. b) alguns A são C. c) alguns C são A. d) alguns C não são A. e) nenhum C é A. 07. (ESAF) Das  premissas:  “Algum  A  é  B”  e  “Todo  B  é  C”,  segue,  necessariamente,  que: a) Todo A é C. b) Algum A não é C. c) Nenhum A é C. d) Algum A é C. e) Nenhum C é A. GABARITO 01. C 02. E 03. B 04. E 05. C 06. D 07. D 46 www.cursoathenas.com.br Aula 20 EXERCÍCIOS 01. (ESAF) Uma  sentença  logicamente  equivalente  a  “Se  Ana  é  bela,  então  Carina  é  feia”  é: a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela. d) Ana é bela ou Carina é feia. e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela. 02. (ESAF) João   afirma   que   “Paulo   é   rico   e   Maria   é   bonita”.   Do   ponto   de   vista   lógico,   se   Paulo   está   mentindo, então podemos dizer que: a) Paulo é rico ou Maria é bonita. b) Paulo não é rico e Maria não é bonita. c) Nem Paulo é rico, nem Maria é bonita. d) Paulo não é rico ou Maria não é bonita. e) Se Paulo é rico então Maria é bonita. 03. (ESAF) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta, a) Beto não bebe ou Ana não chora. b) Denise dança e Beto não bebe. c) Denise não dança ou Ana não chora. d) nem Beto bebe nem Denise dança. e) Beto bebe e Ana chora. 04. (ESAF) Carmem, Gerusa e Maribel são suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou mais de uma delas, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente, então Gerusa é culpada. Sabe-se também que ou Maribel é culpada ou Gerusa é culpada, mas não as duas. Maribel não é inocente. Logo, a) Gerusa e Maribel são as culpadas. b) Carmem e Maribel são culpadas. c) somente Carmem é inocente. d) somente Gerusa é culpada. e) somente Maribel é culpada. 05. (ESAF) Se o duende foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Logo: a) o rei não fica no castelo e o duende não foge do tigre. b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz. c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz. d) o tigre é feroz e o duende foge do tigre. e) o tigre não é feroz e o duende foge do tigre. 06. (ESAF) Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente: a) bruxa e fada b) bruxa e princesa c) fada e bruxa d) princesa e fada e) fada e princesa www.cursoathenas.com.br 47 07. (ESAF) Ana possui tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira; 2) ou a gremista é morena, ou a corintiana é ruiva; 3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva; 4) ou a corintiana é morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, são, respectivamente, a) loira, ruiva, morena. b) ruiva, morena, loira. c) ruiva, loira, morena. d) loira, morena, ruiva. e) morena, loira, ruiva. GABARITO 01. E 02. D 03. E 04. B 05. A 06. A 07. A www.cursoathenas.com.br 48 Aulas 21 e 24 ANÁLISE COMBINATÓRIA INTRODUÇÃO GERAL Daremos início nesse fascículo a uma das partes mais fascinantes da matemática, a chamada análise combinatória. Ela surgiu da necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar, depois foram percebendo o quão importante era em outras situações. Essa parte da Matemática estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (16231662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar (de uma forma indireta) o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Antes estudaremos uma operação matemática extremamente importante para esse e outros fascículos, o chamado fatorial. FATORIAL INTRODUÇÃO O produto fatorial vai nos auxiliar na solução de problemas de uma forma abreviada, será muito importante para compreensão de outros conteúdos também. DEFINIÇÃO Seja n um número natural, com n 2, indicamos por n! como o produto de n pelos números naturais positivos menores que n, isto é: n! = n.(n 1).(n 2)...1 Ex.: 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 OBS.: Por convenção 1! = 1 e 0! = 1. OBS.: A propriedade fundamental dos fatoriais diz que n! = n.(n 1)! , para n N , n 3 Ex.: 10! = 10.9! 15! = 15.14.13! 20! = 20.19.18.17! Ex.: Simplifique os fatoriais: 10! 10.9.8! 10.9 90 a) 8! 8! n! n.(n 1).( n 2)! c) (n 2)! (n 2)! n.(n 1) n2 n 7!.9! 7.6.5!.9.8! 7.6.9 378 8!.5! 8!.5! (n 1)! (n 1)! 1 d) (n 1)! (n 1).n.(n 1)! (n 1).n b) 1 n 2 n www.cursoathenas.com.br 49 PRINCÍPIO DA CONTAGEM Você deve multiplicar o número de possibilidades de cada evento obtendo o número de resultados distintos do experimento composto. EXEMPLO: Uma montadora de automóveis apresenta um carro em três modelos diferentes (Hath, Sedan e Perua), dois tipos de motores (1.0 e 1.6) e em cinco cores diferentes (Azul, Branco, Cinza, Preto e Vermelho). Um consumidor terá quantas opções de carros para escolher? SOLUÇÃO: O número de opções é o produto das possibilidades de cada evento, ou seja, MODELO x MOTOR x COR. 3 5 2 5 = 30 opções. FORTALEZA – CE EXEMPLO: Quantas placas de carro no Brasil podem começar com H e terminar com um número ímpar? HAB – 5227 SOLUÇÃO: Temos 7 posições a serem ocupadas, a primeira só uma possibilidade (H) e a ultima tem 5 possibilidades (1,3,5,7,9), a segunda e terceira posição terá 26 possibilidade cada (todo o alfabeto) e as demais 10 possibilidades (algarismos de 0 a 9). 1 26 26 10 10 10 5 = 3380000 Portanto, mais de 3 milhões de veículos. EXEMPLO: Existem quantos anagramas da palavra LUA? SOLUÇÃO: Nesse caso as 3 letras vão ser embaralhadas. Observa se que existem 3 possibilidades (L, U e A) para a primeira posição, 2 possibilidades para a segunda posição pois uma das letras já está na primeira posição e uma para a última, logo 3 2 1 = 6 anagramas Nesse caso, como são poucos resultados também poderíamos até escrever cada um dos anagramas e contá–los. LUA ALU ULA LAU AUL UAL EXEMPLO: (NCE) João recebeu o seguinte problema: construa cartazes com quatro letras seguidas de três números. As letras pertencem ao conjunto {I, B, G, E} e podem ser usadas em qualquer ordem sem repetição. Os números devem ser pares e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e também podem ser usados em qualquer ordem e sem repetição. O número de cartazes diferentes que João pode confeccionar é: a) 49 b) 72 c) 98 d) 120 e) 144 SOLUÇÃO: Os cartazes devem ter __.__.__.__.__.__.__ L L L L P P P Observe os números são pares (não é um número par de três algarismos e sim três números pares), logo o produto das possibilidades será: 4 . 3 . 2 .1 . 3 . 2 . 1 www.cursoathenas.com.br 50 Portanto 144 possibilidades EXEMPLO: (NCE) Uma  “capícua”  é  um  número  que  lido  de  trás  para  diante  é  igual  ao  número  origina l. Por exemplo, 1881 é uma  “capícua”,  134  não  é  “capícua”.  Usando  apenas  os  algarismos  1,  2  e  3  ,  além  d e 11111, 22222 e 33333, há a seguinte  quantidade  de  números  de  cinco  algarismos  que  são  “capícuas”: a) 6; b) 12; c) 16; d) 20; e) 24. SOLUÇÃO: Vamos  calcular  o  total  de  “capícuas”  pelo  princípio  da  contagem. ___.___.___.___.___ IGUAIS IGUAIS Então pelo produto das possibilidades, temos: 3 . 3 . 3 . 1 . 1 = 27 possibilidades Excluindo-se os números 11111, 22222 e 33333, temos 24 possibilidades PALINDROMO OU CAPÍCUA Quando um texto, ou número, é denominado de Capícua (ou palíndromo), significa que ele pode ser lido de duas maneiras simétricas, ou seja, do inicio para o fim ou de trás pra diante. Olhem que texto interessante! Este texto de Clarice Lispector tem sentido duplo, um quando lido de cima para baixo e um sentido exatamente o contrário quando lido de baixo para cima. "Não te amo mais. Estarei mentindo dizendo que Ainda te quero como sempre quis. Tenho certeza que Nada foi em vão. Sinto dentro de mim que Você não significa nada. Não poderia dizer jamais que Alimento um grande amor. Sinto cada vez mais que Já te esqueci! E jamais usarei a frase EU TE AMO! Sinto, mas tenho que dizer a verdade É tarde demais..." www.cursoathenas.com.br 51 PERMUTAÇÃO SIMPLES Quando temos n objetos para ocupar n lugares devemos permuta-los de lugar e obteremos Pn possibilidades distintas, ou seja Pn = n! para n N* EXEMPLO: Foram escolhidas as 5 melhores redações em um concurso promovido pelo jornal Diário e será feita uma foto com os seus 5 autores, para divulgação do evento. De quantas maneiras distintas o fotografo do Diário pode organizar esses 5 alunos para fotografa-los? SOLUÇÃO: Como são cinco pessoas para cinco lugares, caracterizamos a permutação (troca, no sentido de embaralhar). Temos então P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 EXEMPLO Existem quantos anagramas da palavra LUA? SOLUÇÃO: Acabamos de resolver esse problema usando princípio da contagem, no entanto podemos simplesmente que o número de possibilidades é a permutação de 3 letras, ou seja, P3 = 3! = 3.2.1 = 6. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Quando existem elementos repetidos a serem permutados, as trocas de lugares entre eles, não influenciam, portanto não podem ser contadas. Temos então: n1,n2 ,...,nk Pn n! n1!.n 2 !....n k ! Onde n é o total de elementos a ser permutado e nk é o número de vezes que cada elemento se repetiu. EXEMPLO Existem quantos anagramas da palavra BANANA? SOLUÇÃO: Observe que a letra A aparece 3 vez, enquanto o N aparece 2 vezes e o B só 1 vez. Portanto 6! 1,3,2 = 60 anagramas P6 1 !.3!.2! EXEMPLO Lançando-se uma moeda seis vezes, quantas seqüências diferentes de resultados apresentam quatro caras e duas coroas? SOLUÇÃO: Existem casos em que você pode usar a permutação com repetição para resolver a questão, criando um anagrama para representar a situação. Chamando cara e coroa de letras diferentes, como K e C, respectivamente, podemos escrever uma das seqüências como KKKKCC. o O número de total seqüências é igual ao n de anagramas de KKKKCC, ou seja, 6! = 15 seqüências diferentes de resultados. P64,2 4!.2! www.cursoathenas.com.br 52 EXEMPLO A figura ao lado mostra um mapa de uma pequena parte da cidade de Fortaleza. Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até o shopping Aldeota (esquina 2), ele percorre exatos 9 quarteirões. Na figura, está representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine quantos caminhos diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até o shopping. SOLUÇÃO: Observe que ele anda 5 vezes para oeste (O) e 4 vezes para o sul (S), veja que na figura a sequência SOOSOOSSO Portanto, o número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas da seqüência SSSSOOOOO Ou seja 9! = 126 caminhos diferentes. P94,5 4!.5! 1 2 PERMUTAÇÃO CIRCULAR Nesse caso é só fixar um dos elementos em seu lugar para ter um referencial. P(n 1) = (n 1)! EXEMPLO De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar-se em uma mesa redonda? SOLUÇÃO: Imagine se todos mudassem para cadeira ao seu lado! Você não teria nenhuma mudança, afinal todos continuariam vizinhos as mesmas pessoas. Então, nesse caso fixa –se uma das pessoas e permuta–se as outras 5, logo P5 = 5! = 120 possibilidades. EXEMPLO De quantas maneiras distintas 4 pessoas podem sentar-se em uma mesa quadrada? SOLUÇÃO: Para ocorrer uma permutação circular, não é preciso que seja em uma mesa redonda. Na mesa quadrada, também devemos fixar um dos quatro e permutar os outros três, logo P3 = 3! = 3.2.1 = 6 CURIOSIDADE De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea, não ipomtra em qaul odrem as lrteas de uma plravaa etãso, a úncia csioa iprotmatne é que a piremria e útmlia lrteas etejasm no lgaur crteo. O rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoê pdoe anida ler sem pobrlmea. Itso é poqrue nós não lmeos cdaa lrtea isladoa, mas a plravaa cmoo um tdoo. www.cursoathenas.com.br 53 ARRANJO SIMPLES Se temos n elementos para ocupar p posições que ainda podem permutar, ou seja, importando a ordem, temos An,p possibilidades distintas (lê se arranjo  de  “n”  elementos  tomados  “p”  a  “p”).   An, p n! (n p)! para {n,p} N*, com n>p EXEMPLO Em um desfile de moda com 8 finalistas, o júri deve escolher 3 para serem eleitas como rainha, princesa e miss simpatia. De quantas maneiras diferentes podemos ter esse resultado? SOLUÇÃO: Temos aqui um arranjo de 8 pessoas tomadas 3 a 3, pois importa a ordem, logo 8! 8! 8.7.6.5! A8,3 8.7.6 336 (8 3)! 5! 5! Teremos 336 possibilidades distintas EXEMPLO Quatro amigos vão ao cinema e escolhem, para sentar-se, uma fila em que há seis lugares disponíveis. Sendo n o número de maneiras como poderão sentar-se, o valor de n/5 é igual a: SOLUÇÃO: Observe que essa questão é resolvida da mesma forma que 6 pessoas para 4 cadeiras, logo, como importa a ordem, temos um arranjo de 6 posições tomadas 4 a 4, portanto 6! 6! 6.5.4.3.2! n A6,4 6.5.4.3 360 (6 4)! 2! 2! Teremos n=360 e dessa forma n/5 = 72 COMBINAÇÃO Se temos n elementos para formar um conjunto com p posições, ou seja, sem importando a ordem dos elementos escolhidos, temos Cn,p possibilidades distintas (lê se  combinação  de  “n”  elementos  tomados  “p”  a  “p”).   Cn,p n! p!.(n p)! para {n,p} N*, com n>p LINK: Como no Arranjo importa a ordem dos elementos e na Combinação não importa, teremos sempre um número de arranjos maior ou igual ao de combinações. An,p C n,p . EXEMPLO Em um desfile de moda com 8 semi finalistas, o júri deve escolher 3 para serem as finalistas que concorrem ao título de rainha. De quantas maneiras diferentes podemos ter esse resultado? SOLUÇÃO: Temos aqui uma combinação de 8 pessoas tomadas 3 a 3, pois será um conjunto de 3 pessoas , logo não importa a ordem, portanto 8! 8! 8.7.6.5! C8,3 8.7 56 3!.( 8 3)! 3!.5! 3.2.1.5! Teremos 56 possibilidades distintas www.cursoathenas.com.br 54 EXEMPLO A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos onde cada caractere é formado por uma matriz de 6 pontos dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Assim por exemplo: A C B Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita? SOLUÇÃO: Vamos resolver essa questão de duas formas: usando combinação e usando princípio da contagem. POR COMBINAÇÃO: A questão é saber quantos conjuntos de 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 elementos podemos formar com esses seis pontos, ou seja, somar todas as combinações possíveis. C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 6! 1 ! (6 1)! 6! 2! (6 2 )! 6! 3! (6 3 )! 6! 4! (6 4 )! 6! 5! (6 5 )! 6! 6! (6 6 )! 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 Portanto, através dessa escrita é possível representar 63 letras, números e símbolos diferentes. POR PRINCÍPIO DA CONTAGEM: Dessa forma fica bem mais fácil! É só imaginar que existem 6 pontos, onde cada um deles só tem 2 opções (destacado ou não), então fazendo o produto das possibilidades, temos: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 Esse resultado inclui todas as possibilidades, então devemos excluir quando todos os pontos não estiverem destaca, portanto existem 64 – 1 = 63 símbolos diferentes VISÃO ALÉM DO ALCANCE Olhe fixamente por mais de 30 segundos para a figura a seguir e depois olhe para uma parede branca. O que você está vendo agora? Jesus? www.cursoathenas.com.br 55 EXERCÍCIOS 06. Quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9? a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 07. Determine quantos números de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9. a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 08. Determine quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, de forma que figurem pelo menos dois algarismos iguais. a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 09. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9? a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 10. Quantos números de 3 algarismos distintos são maiores que 500, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9? a) 240 b) 210 c) 120 d) 90 11. Determine quantos números pares de três algarismos distintos são maiores que 500, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9. a) 65 b) 55 c) 45 d) 35 12. Quantos números distintos podemos formar, utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, de forma que ele seja ímpar e menor que 4000? a) 114 b) 140 c) 441 d) 882 13. Utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podemos formar quantos números ímpares de quatro algarismos distintos que sejam menores que 4000? a) 90 b) 120 c) 140 d) 210 14. Quantos são os anagramas da palavra CHUVA? a) 120 b) 100 c) 80 d) 60 www.cursoathenas.com.br 56 15. Determine a quantidade de anagramas da palavra CHUVA que começam e terminam por vogal. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 16. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as vogais juntas? a) 96 b) 64 c) 48 d) 24 17. Determine quantos anagramas da palavra CHUVA não possuem as vogais juntas? a) 120 b) 72 c) 48 d) 24 18. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 19. De quantas maneiras distintas seis pessoas podem sentar-se em uma mesa redonda? a) 6 b) 24 c) 120 d) 720 20. De quantas maneiras distintas seis pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda, de modo que A e B fiquem lado a lado? a) 6 b) 24 c) 48 d) 72 21. a) b) c) d) Existem quantos anagramas da palavra SUCESSO, que começam com C e terminam com O? 12 20 24 60 22. A bandeira a seguir, está dividida em 6 faixas que serão pintadas de azul, vermelho e branco. Determine quantas bandeiras distintas poderão ser criadas, sabendo que exatamente três faixas devem ser azuis, duas vermelhas e uma branca. a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 23. De quantas maneiras podemos organizar lado a lado, 3 garrafas idênticas e 2 copos idênticos? a) 120 b) 24 c) 10 d) 6 e) 5 www.cursoathenas.com.br 57 24. De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. De quantas maneiras pode ser feita essa escolha? a) 24 b) 56 c) 336 d) 1444 25. Um seleção possui 8 candidatos para 3 vagas de vendedor de uma loja. De quantas maneiras pode ser feita essa escolha? a) 24 b) 56 c) 336 d) 1444 26. De um grupo de 8 engenheiros e 6 arquitetos, serão escolhidos três funcionários para representar a construtora Alfa em uma reunião, sendo 3 engenheiros ou 3 arquitetos. Quantos grupos diferentes poderão ser formados? a) 20 b) 56 c) 76 d) 1120 27. A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3 arquitetos para projetar o empreendimento Beta. Quantas equipes diferentes poderão ser formadas para esse empreendimento? a) 20 b) 56 c) 76 d) 1120 28. Uma construtora possui 8 engenheiros e 6 arquitetos. Quantas equipes, com três profissionais, poderão ser formadas, de forma que figure nessa equipe pelo menos um engenheiro e pelo menos um arquiteto? a) 560 b) 480 c) 364 d) 288 29. Uma construtora deverá distribuir 8 engenheiros em três equipes: A, B e C. De quantas maneiras poderá ser feita essa divisão, de modo que A e B tenham três profissionais e a equipe C tenha somente dois? a) 560 b) 480 c) 364 d) 288 30. (FUNRIO) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70 b) 35 c) 55 d) 45 e) 40 31. (FUNRIO) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas como na figura abaixo: Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que não haja um corredor entre eles, são em número de a) 10 b) 8 c) 6 www.cursoathenas.com.br 58 d) 9 e) 7 32. (FUNRIO) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam pela letra C é a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 200 33. (FUNRIO) Um salão possui 4 portas, onde cada uma delas pode está aberta ou fechada. De quantas maneiras podemos deixar esse salão aberto? a) 64 b) 32 c) 31 d) 16 e) 15 34. (FUNRIO) Um sistema de sinalização visual é composto por dez bandeiras, sendo quatro vermelhas, três pretas e três brancas, as quais são hasteadas numa determinada ordem para gerar as mensagens desejadas. Sabe-se que apenas um centésimo das mensagens que podem ser geradas por este sistema é utilizado na prática. Deseja-se desenvolver um novo sistema de sinalização visual, composto apenas de bandeiras de cores distintas e que seja capaz de gerar, pelo menos, a quantidade de mensagens empregadas na prática. O número mínimo de bandeiras que se deve adotar no novo sistema é a) 4. b) 6. c) 3. d) 7. e) 5. 35. (FUNRIO) Quantos números inteiros, cujos algarismos são todos ímpares e distintos, existem entre 300 e 900? a) 24. b) 27. c) 48. d) 36. e) 64. GABARITO 01. A 02. B 11. C 12. B 21. C 22. D 03. C 13. D 23. D 04. D 14. C 24. A 05. C 15. C 25. A 06. B 16. B 26. A 07. C 17. A 27. A 08. C 18. C 28. E 09. A 19. C 29. E 10. B 20. B 30. D www.cursoathenas.com.br 59 Aulas 25 e 26 PROBABILIDADE INTRODUÇÃO Com certeza você já utilizou o conceito de probabilidade, mesmo sem saber. Quer ver? Quantas vezes já dissemos  frases  do  tipo  “a  probabilidade  de  alguém  ganhar  na  Mega  Sena  é  muito  pequena,  ele  teve  muita  sorte”   ou  “a  probabilidade  de  nós  sermos  promovidos  é  bem  grande,  afinal,  fizemos  um  bom  trabalho”.  Quando  falamos   da porcentagem de chance de um determinado evento ocorrer, estamos falando de probabilidade, mas agora vamos aprender a quantificar isso. Saiba que, em algumas situações, a análise combinatória estudada nas aulas anteriores será de grande importância para o calculo da probabilidade. A probabilidade é a porcentagem (fração) de chance de um determinado evento ocorrer. É um assunto interessante para os atuais concursos, afinal é fácil contextualizá–lo e a resposta pode ser até intuitiva. Por exemplo, se você é uma das dez pessoas que estão participando de um sorteio, sua chance será de 10% de ganhar, ou seja, a probabilidade de você ganhar é de 1 para 10 (1/10 = 10/100 = 10%). PROBABILIDADE Chama-se EXPERIMENTO ALEATÓRIO àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado ESPAÇO AMOSTRAL. Qualquer subconjunto desse ESPAÇO AMOSTRAL é denominado EVENTO. Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos. Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada PROBABILIDADE. Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior PROBABILIDADE de ocorrer do que o evento "sair bola branca". DEFINIÇÃO Seja E um espaço amostral finito e não-vazio; e seja A um evento desse espaço. Chama-se “probabilidade   de   A”, indicando-se por P(A), o número n(A)/n(E), onde n(A) e n(E) indicam os números de elementos de A e E, respectivamente. P(A) = n(A) / n(E) EXEMPLO 1: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de sair: a) o número 3. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ou seja n(E) = 6 e A = {3} logo n(A) = 1. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = n(A)/n(E) = 1/6. b) um número par. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2 ou P(A) = 50%. Isso significa dizer que a chance é de 1 para cada 2 possibilidades. c) um múltiplo de 3 Agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. d) múltiplo de 7 Não existe nenhum múltiplo de 7 no dado, portanto P = 0 e) um quadrado perfeito www.cursoathenas.com.br 60 Nesse caso o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3. EXEMPLO 2 Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual 8. SOLUÇÃO: Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36. EXEMPLO 3: Um tenista participa de um torneio em que lhe restam ainda no máximo 4 partidas: com X, com Y, com X e novamente com Y, nessa ordem. Os resultados dos jogos são independentes; a probabilidade de ele ganhar de X é igual a 1/3, e a probabilidade de ganhar de Y é 1/4. Se vencer consecutivamente três dessas partidas, será considerado campeão. Determine a probabilidade de que isso aconteça. SOLUÇÃO: Observe que em relação a X temos P(Ganhar) = 1/3 e P(Perder) = 2/3, já em relação a Y temos P(Ganhar) = 1/4 e P(Perder) = 3/4. Existem 3 possibilidade: o 1 Ganhar todas as partidas P(GGGG) = 1/3.1/4.1/3.1/4 = 1/144 o 2 Perder só a primeira (PGGG) = 2/3.1/4.1/3.1/4 = 2/144 o 3 Perder só a última (GGGP) = 1/3.1/4.1/3.3/4 = 3/144 Portanto P(Campeão) = 1/144 + 2/144 + 3/144 = 6/144 = 1/24 EXEMPLO 4: Temos a seguir a frente e o verso de um jogo de raspadinha. Leia a atentamente as regras. REGRAS I. Existem 6 bolas que após serem raspadas aparecerão um X. II. O jogador deve raspar apenas uma bolinha em cada coluna. III. Ganha o prêmio quem encontrar um X em cada coluna. IV. Se for raspado mais de uma bolinha em uma mesma coluna o cartão fica inválido. A B C D Sabendo que nas colunas A e B existem dois X em cada e que nas colunas C e D apenas uma bolinha com X em cada. Qual a probabilidade de alguém ganhar nesse jogo? SOLUÇÃO: Como na coluna A temos dois X para 3 possibilidade, a probabilidade de raspar o X é P(A) = 2/3. Na coluna B temos dois X para 4 bolinhas, logo P(B) = 2/4 = 1/2 Já na coluna C, temos apenas um X para 3 bolinhas, portanto P(C) = 1/3 Na ultima coluna, existe um X para 2 possibilidade, logo P(D) = 1/2 Para ganhar o jogo devemos obter sucesso nos eventos A, B, C e D. Portanto P(Ganhar) =P(A).P(B).P(C).P(C) = 2/3.1/2.1/3.1/2 = 1/18 INÍCIO www.cursoathenas.com.br 61 MODELOS MATEMÁTICOS É muito importante distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático para esse fenômeno. Naturalmente, não exercemos influência sobre aquilo que observamos. No entanto, ao escolher um modelo, podemos lançar mão de nosso julgamento crítico. Isto foi especialmente   bem   expresso   pelo   Prof.   J.   Neyman,   que   escreveu:   “Todas   as   vezes   que   empregarmos Matemática a fim de estudar alguns fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por construir um modelo matemático (determinístico ou probabilístico) para esses fenômenos. Inevitavelmente, o modelo deve simplificar as coisas e certos pormenores devem ser desprezados. O bom resultado do modelo depende de que os pormenores desprezados sejam ou não realmente sem importância na elucidação do fenômeno estudado. A resolução do problema matemático pode estar correta e, não obstante, estar em grande discordância com os dados observados, simplesmente porque as hipóteses básicas feitas não sejam confirmadas. Geralmente é bastante difícil afirmar com certeza se um modelo matemático especificado é ou não adequado, antes que alguns dados de observação sejam obtidos. A fim de verificar a validade de um modelo, deveremos deduzir um certo número de conseqüências de nosso modelo e, a seguir, comparar esses resultados previstos  com  observações.” Deveremos nos lembrar das idéias acima enquanto estivermos estudando alguns fenômenos de observação e modelos apropriados para sua explicação. Vamos examinar, inicialmente, o que se pode adequadamente denominar modelo determinístico. Por essa expressão pretendemos nos referir a um modelo que estipule que as condições sob as quais um experimento seja executado determinem o resultado do experimento. Por exemplo, se introduzirmos uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, presumivelmente, descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria I=E/R, isto é, a Lei de Ohm. Na   natureza,   existem   muitos   exemplos   de   “experimentos”,   para   os   quais   modelos   determinísticos   são   apropriados. Por exemplo, as leis da gravitação explicam bastante precisamente o que acontece a um corpo que cai sob determinadas condições. Para um grande número de situações, o modelo matemático determinístico apresentado acima é suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que requerem um modelo matemático diferente para sua investigação. São os que denominaremos modelos não-determinísticos ou probabilísticos. (Outra expressão muito comumente empregada é modelo estocástico.) Arriscando-nos a adiantarmos demais na apresentação de um conceito que será definido posteriormente, vamos apenas afirmar que, em um modelo determinístico, admite-se que o resultado efetivo (numérico ou de outra espécie) seja determinado pelas condições sob as quais o experimento ou o procedimento seja executado. Em um modelo não-determinístico, no entanto, as condições da experimentação determinam somente o comportamento probabilístico (mais especificamente, a lei probabilística) do resultado observável. Em   outras   palavras,   em   um   modelo   determinístico   empregamos   “considerações   físicas”   para   prever   o   resultado, enquanto em um modelo probabilístico empregamos a mesma espécie de considerações para especificar uma distribuição de probabilidade. Estamos  agora  em  condições  de  examinar  e  definir  o  que  entendemos  por  um  experimento  “aleatório”  ou   “não-determinístico”. Definição É aquele que se pode repetir infinitas vezes sob condições semelhantes e, embora não possamos precisar qual será o resultado de uma realização particular, podemos descrever o conjunto de todos os seus possíveis resultados. Exemplo: E1: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. E2: Jogue uma moeda quatro vezes o observe o número de caras obtido. E3: Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. E4: Um míssil récem-lançado é observado nos instantes t1, t2, . . . ,tn. Em cada um desses instantes, a altura do míssil acima do solo é registrada. E5: De uma urna, que só contém bolas pretas, tira-se uma bola e verifica-se sua cor. O que os experimentos acima têm em comum? Os seguintes traços pertinentes à nossa caracterização de um experimento aleatório: (a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. (b) Muito embora, não sejamos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. (c) Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração www.cursoathenas.com.br 62 definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático preciso, com o qual se analisará o experimento. ESPAÇO AMOSTRAL (S) Definição Para cada experimento aleatório definimos o ESPAÇO AMOSTRAL como conjunto de todos os resultados possíveis  do  “experimento”. Exemplo: Daremos os exemplos  referentes  aos  “experimentos”  acima: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. S2={ 0, 1, 2, 3, 4 }. S3={ 0, 1, 2,. . . ,N }, onde N é o número máximo que pode ser produzido em 24h. S4={ h1, h2,. . . , hn/hi 0, i= 1, 2, . . . , n }. S5={ bola preta }. EVENTOS Definição É qualquer subconjunto de  um  “espaço  amostral”. Alguns exemplos de eventos são dados a seguir. Novamente, nos referimos aos experimentos relacionados acima: Ai se referirá ao evento associado ao experimento Ei: A1: Um número par ocorre, isto é, A1 = { 2, 4, 6 }. A2: { 2 }; isto é, duas caras ocorrem. A3: { 0 }; isto é, todas as peças são perfeitas. Combinação de Eventos Agora, poderemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (isto é, eventos) e obter novos conjuntos (isto é, eventos), os quais já apresentamos anteriormente. (a) Se A e B forem eventos A (b) Se A e B forem eventos, A c B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem. (c) Se A for um evento, A será o evento que ocorrerá se, e somente se, não ocorrer A. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS (EXCLUDENTES) Definição Dois eventos, A e B, são denominados mutuamente excludentes, se eles não puderem ocorrer juntos. Exprimiremos isso escrevendo A B = , isto é, a interseção de A e B é o conjunto vazio. Exemplo. Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. Admitiremos que o espaço amostral seja { t / t 0 }. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira: A = { t / t < 100}; B = { t / 50 t 200 }; C = { t / t > 150 }. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE Definição Seja E um experimento. Seja S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça às seguintes propriedades: (1) 0 P(A) 1. (2) P(S) = 1. (3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, P(A B)=P(A) + P(B). (4) Se A1, A2, . . . , An, . . . forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então, P ( i=1 Ai) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) + . . . www.cursoathenas.com.br 63 Observe-se que a Propriedade 3, decorre imediatamente que, para qualquer n finito, n P ( i=1 Ai) = P(Ai) . Teorema 1. Se for o conjunto vazio, então P( ) = 0. Teorema 2. Se A for o evento complementar de A, então P(A) = 1 – P(A ). Teorema 3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A B)=P(A) + P(B) – P(A Teorema 4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então P(A B C)=P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A C) – P(B Teorema 5. Se A B, então P(A) P(B). C) + P(A B C). c c B). RESULTADOS IGUALMENTE VEROSSÍMEIS (IGUALMENTE PROVÁVEIS) Se todos os k resultados forem igualmente verossímeis, segue-se que cada probabilidade será pi = 1/k. Conseqüentemente, a condição pi, +. . . + pk = 1 torna-se kpi = 1 para todo i. Essa maneira de cálculo e enunciada da seguinte forma: P(A) = n(A)/n(S). Onde: n(A) é o número de elementos ao evento A. n(S) é o número de elementos possíveis do espaço amostral S. PROBABILIDADE CONDICIONAL Na Tabela 1 temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano. Tabela 1: Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso. Sexo Curso Homens (H) Mulheres (M) Total Matemática Pura (M) 70 40 110 Matemática Aplicada (A) 15 15 30 Estatística (E) 10 20 30 Computação (C) 20 10 30 Total 115 85 200 Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, a probabilidade de que seja mulher é 20/30 = 2/3. Isso porque, do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Escrevemos P(mulher/Estatística) = 2/3. Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B) > 0, definimos a probabilidade condicional de A dado B, P(A/B), como sendo P(A/B) = P(A B)/P(B) . Observe que P(A) = P(mulher) = 85/200 = 17/40, e com a informação de que B ocorreu ( o aluno é matriculado em Estatística), obtemos P(A/B) = 2/3. Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori de A e, com a informação adicional de que B ocorreu, obtemos a probabilidade a posteriori P(A/B). Note que, nesse caso, P(A/B) > P(A), logo a informação de que B ocorreu aumentou a chance de A ocorrer. www.cursoathenas.com.br 64 RESOLVIDAS 01. Em uma entrevista com 100 alunos verificouse   que   80   gostam   de   matemática,   60   gostam   de   Informática e 50 gostam das duas disciplinas. Determine a probabilidade de escolhermos um desses 100 alunos e ele: a) não gostar de nenhuma das disciplinas. Inicialmente vamos preencher o diagrama: Então a probabilidade é P = 10/100 = 10% a) gostar somente de matemática. P = 30/100 = 30% b) gostar somente de informática. P = 10/100 = 10% c) gostar matemática e informática. P = 50/100 = 50% d) gostar matemática ou informática. P = 90/100 = 90% 02. Uma urna contém dez bolas numeradas de 1 à 10. Determine a probabilidade de ocorrerem os seguintes casos: a) retirar um 10. P(10) = 1/10 = 10% b) retirar um número par. P(PAR) = 5/10 = 1/2 = 50% c) retirar um número primo. P(PRIMO) = 4/10 = 40% d) retirar dois números ímpares em seguida, com reposição. P(II) = (5/10).(5/10) = 25/100 = 25% e) retirar três números ímpares em seguida, sem reposição. P(III) = (5/10).(4/9).(3/8) = 1/12 03. No lançamento de moedas não viciadas, determine o que se pede: a) a probabilidade de lançar uma moeda e o resultado ser cara. P(K) = 1/2 = 50% b) a probabilidade de lançar duas moedas e ambas terem cara como resultado P(K K) = P(K).P(K) = 1/2.1/2 = 1/4 = 25% c) a probabilidade de lançar três moedas e todas terem cara como resultado. P(K K K) = P(K).P(K).P(K) = 1/2.1/2.1/2 = 1/8 = 12,5% d) a probabilidade de lançar três moedas e pelo menos uma ter cara como resultado. P = 1 – P(K K K) = 1 – P(K).P(K).P(K) = 1 – 1/2.1/2.1/2 = 1 – 1/8 = 100% – 12,5% = 87,5% 04. De um baralho de 52 cartas (13 de cada naipe: a) Um ás (A). P(A) = 4/52 = 1/13 b) Uma carta de ouro. , , ou ), determine a probabilidade de ser retirada: www.cursoathenas.com.br 65 P( ) = 13/52 = 1/4 = 25% c) Um ás (A) de ouro. Como a distribuição das cartas é uniforme, temos P(A ) = P(A).P( ) = 1/13 . 1/4 = 1/52 De outra forma, podemos simplesmente ver que só existe um As de ouro, dentre as 52 cartas, logo P(A ) = 1/52 d) Um ás (A) ou uma carta de ouro. P(A ) = P(A) + P( ) – P(A ) P(A ) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 P(A ) = 4/13 e) Uma carta com figura (J, Q ou K). Existem 4 valetes (J), 4 damas (Q) e 4 reis (K), logo P(J Q K) = 12/52 = 3/13 f) Três reis em seguida, sem reposição. Como as cartas retiradas não vão sendo devolvidas, a probabilidade de retirar o próximo rei vai diminuindo, ou seja, P(K K K) = (4/52).(3/51).(2/50) = 1/5525 g) Uma carta que não seja de ouro. A chance de tirar uma carta de ouro é P( ) = 1/4 e de não tirar é P( ) = 1 – P( ), ou seja P( ) = 3/4 h) Três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de ouro. Como há reposição, a probabilidade de retirar uma carta que não seja de ouro é sempre a mesma, logo P( ) = (3/4).(3/4).(3/4) = 27/64 i) Três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma delas ser de ouro. Como devemos tirar três cartas e pelo menos uma tem que ser ouro, concluímos que a única coisa que não pode ocorrer é tirar três cartas seguidas que não sejam de ouro, então a probabilidade procurada é P = 1 – (3/4).(3/4).(3/4) = 1 – 27/64 = 37/64 Um rei (K), dado que a carta é de ouro. Entre as 13 cartas de ouro, existe apenas um rei (K), logo P(K/ ) = P(K )/P( ) = 1/13 j) k) Uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K). Entre os 4 reis do baralho, apenas uma carta é de ouro, logo P( /K) = P( K)/P(K) = 1/4 05. Em uma sala com 50 alunos, 28% deles usam óculos, 40% são homens e 60% dos homens não usam óculos. Determine a probabilidade de sortear: DADOS NO DIAGRAMA a) uma mulher 12 ~O P(M) = 30/50 = 3/5 = 60% b) uma pessoa de óculos P(O) = 14/50 = 7/25 = 28% c) uma mulher de óculos P(M O) = 6/50 = 3/25 = 12% d) uma mulher ou uma pessoa que esteja de óculos P(M O) = (8+6+24)/50 = 38/50 = 19/25 = 76% e) uma mulher, dado que ela está de óculos P(M/O) = 6/14 = 3/7 (ser mulheres dentre aqueles que estão de óculos) f) uma pessoa de óculos, dado que ela é uma mulher P(O/M) = 6/30 = 1/5 = 20% (está de óculos dentre as mulheres) 50 M O 20 H O 8 6 28% de 50 = 14 30 ~O 24 DADOS NA TABELA O ~O H 8 12 20 M 6 24 30 14 36 50 66 www.cursoathenas.com.br EXERCÍCIOS 08. (NCE) Num quintal existem 15 casinhas numeradas de 1 a 15 e dispostas uniformemente em torno de um círculo. Um rato será solto no centro. A probabilidade de o rato entrar numa casa em que o número é múltiplo de 4 é: a) 0,07 b) 0,13 c) 0,20 d) 0,25 e) 0,30 09. (CESGRANRIO) Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) 1/9 b) 2/9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9 10. Um conhecido jogo, presente em muitas festas populares, é a roleta da sorte, na qual gira-se o ponteiro e anota-se o número que este aponta ao parar (ver figura). Após uma rodada, qual a probabilidade de que o número sorteado seja par? OBS.: Considere que a área de todos os setores circulares em que os números estão inseridos é a mesma. a) 1/9 b) 1/3 c) 2/9 d) 2/3 11. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade obtermos nas faces voltadas para cima dois números ímpares? a) 1/4 b) 1/3 c) 1/8 d) 1/2 12. Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é: a) 30 % b) 42 % c) 50 % d) 12 % 13. Sabendo que um atirador tem 70% de chance de acertar um tiro no centro do alvo, determine a probabilidade dele atirar duas vezes seguidas e acertar pelo menos uma das vezes. a) 9 % b) 49 % c) 51 % d) 91 % 14. Ao lançar três dados qual a probabilidade do produto dos resultados não ser par? a) 1/8 b) 3/8 c) 5/8 d) 7/8 15. Qual a probabilidade de lançar dois dados e o produto dos resultados ser um número par? a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4 d) 3/5 1 2 3 3 1 2 1 3 2 www.cursoathenas.com.br 67 16. Um casal pretende ter 3 filhos, qual a probabilidade de pelo menos um deles ser homem? a) 1/8 b) 7/8 c) 5/8 d) 3/8 17. No lançamento de 6 moedas não viciadas, qual a probabilidade de pelo menos uma das moedas ser cara? a) 1/64 b) 63/64 c) 6/64 d) 31/32 18. Jogando um dado, não viciado, qual a probabilidade de tirarmos um número maior que 4 duas vezes seguidas? a) 1/3 b) 1/6 c) 1/8 d) 1/9 19. Em uma urna existem 10 bolas, sendo 2 brancas e 8 pretas. Qual a probabilidade de tirarmos uma bola preta e em seguida, sem reposição, tirar outra bola preta? a) 44/45 b) 28/45 c) 16/25 d) 4/5 20. Em uma urna existem 10 bolas, sendo 3 brancas e 7 pretas. Qual a probabilidade de tirarmos, com reposição, uma bola preta e, em seguida, duas brancas? a) 21,6% b) 18,9% c) 12,4% d) 8,0% e) 6,3% 21. Em uma urna com 10 bolas, sendo 3 brancas e 7 pretas, determina a probabilidade de tirarmos, em seguida e sem reposição, três bolas pretas? a) 343/1000 b) 21/100 c) 12/17 d) 7/32 e) 7/24 Observe a tabela a seguir, que representa o número de alunos de uma sala em relação à faixa etária, para responder as próximas questões. IDADE HOMENS MULHERES MENOS DE 20 DE 20 A 30 MAIS DE 30 8 12 3 14 10 3 22. Qual a probabilidade de sortear um aluno dessa turma e ele ser um homem com menos de 20 anos? a) 10% b) 18% c) 16% d) 14% 23. Determine a probabilidade de sortear um aluno dessa turma e ele ter menos de 20 anos ou ser um homem. a) 37% b) 64% c) 74% www.cursoathenas.com.br 68 d) 87% 24. Qual a probabilidade de sortear um aluno(a) dessa turma e ele(a) ter 20 anos ou mais? a) 28% b) 36% c) 56% d) 72% 25. Sorteando um aluno, qual a probabilidade de ser um homem, dado que ele tem menos de 20 anos? a) 4/ 7 b) 4/11 c) 7/25 d) 7/11 26. Qual a probabilidade de sortear um aluno com menos de 20 anos, dado que ele é um homem? a) 4/11 b) 8/23 c) 4/25 d) 8/11 27. Dado que um aluno sorteado tem mais de 30 anos, qual a probabilidade dele ser um homem? a) 1/11 b) 1/2 c) 6/11 d) 5/11 28. Dado que um aluno sorteado tem 30 anos ou menos, qual a probabilidade dele ser um homem? a) 1/11 b) 1/2 c) 6/11 d) 5/11 29. Dado que a pessoa sorteada tem 30 anos ou menos, determine a probabilidade dessa pessoa ser uma mulher? a) 1/11 b) 1/2 c) 6/11 d) 5/11 30. Qual a probabilidade de sortear um aluno e ele ter de 20 a 30 anos? a) 44% b) 56% c) 68% d) 70% 31. Determine a probabilidade de sortear um aluno e ele ter de 20 a 30 anos e ser uma mulher? a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 32. Determine a probabilidade de sortear um aluno e ele ter de 20 a 30 anos ou ser uma mulher? a) 78% b) 70% c) 68% d) 60% www.cursoathenas.com.br 69 GABARITO 01. C 06. D 11. D 16. C 21. D 02. E 07. A 12. B 17. C 22. C 03. B 08. C 13. E 18. B 23. A 04. A 09. B 14. E 19. B 24. B 05. D 10. B 15. C 20. B 25. A MATEMÁTICA, DETERMINANTE NA VIDA Todos nós nascemos como resultado De um sistema de equações. Acreditem! Somos o par ordenado mais perfeito da natureza. Carregamos características de nossos pais XY, e de nossas mães XX. Eram milhões de espermatozóides pré-destinados ao óvulo. Um espaço amostral quase infinito... Mas você só está aqui hoje, porque era o melhor matemático de lá. Pois você venceu uma extraordinária probabilidade. Vivemos em função do tempo que nos é dado. Existem vários tipos de pessoas, Aquelas que encontram um grande amor e a ele são fiéis por vida toda, São as "injetoras". Para cada pessoa, existe uma outra correspondente. Dizer que não se entende Matemática é um absurdo, Porque você é um exemplo matemático. Não importa se não consegue resolver um logaritmo, Importa o quanto você é capaz De reconhecer conceitos matemáticos ao seu redor. MAterialize seus sonhos e TEnha coragem de expor sua MAneira de encarar a realidade. Ame a TImesmo e use a sua CAbeça para transformar o mundo. www.cursoathenas.com.br 70