8. Maximos y mínimos (Margen)-3kjkjnjl

June 15, 2018 | Author: Jose Miguel | Category: Equations, Mathematical Analysis, Geometry, Physics & Mathematics, Mathematics
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALESDocente: Francisco Arias Dominguez R2 ! R tiene un máximo local en (a; b) 2 De…nición: Una función de dos variables f : f (x; y) si f (a; b) para todos los puntos (x; y) en algún entorno con centro (a; b). El número f (a; b) se llama valor máximo local. Si f (x; y) f (a; b) para todo punto (x; y) en dicho entorno, entonces f (a; b) es un mínimo local. Observación: Si las desigualdades de la de…nición anterior se cumplen para todos los puntos (x; y) en el dominio de f , entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en (a; b). La …gura 1 siguiente ilustra los conceptos de máximo y mínimo, respectivamente. Observe que si z = f (x; y) es una función de dos variables y tiene un extremo en el punto P = (a; b) entonces el plano tangente a la super…cie en el punto P es paralelo al plano xy (…gura 2), esto quiere decir que cualquiera de sus vectores normales es paralelo al vector zb = h0; 0; 1i y puesto que, en este caso, un vector normal del plano tangente es ! n = @f (P ) ; @x @f (P ) ;1 @y ! concluimos que rf (P ) = 0 , es decir, en P las derivadas parciales se anulan @f (P ) =0 @x y @f (P ) = 0: @y Esto se resume en el siguiente teorema. Teorema (Condición necesaria para extremos) Sea f : R2 P = (a; b) 2 , f tiene un extremo local (máximo o mínimo), entonces ! R una función derivable tal que en @f (P ) = 0 @x @f (P ) = 0: @y ! Los puntos P en donde rf (P ) = 0 se conocen como puntos críticos. De…nición (Puntos críticos) Si f : R2 ! R y P = (a; b) 2 existe, decimos que P es un punto crítico o punto estacionario. 1 ! , entonces si rf (P ) = 0 o rf (P ) no Calcule los puntos críticos de f . b) entonces (a. tenemos que f (x. Una vez encontrados los puntos críticos. y) = x2 + y 2 Solución: Tenemos que 2x 6y + 14. de modo que f no tiene valor extremo. de modo que f (x. 2). de hecho. así como puntos donde f toma valores negativos. entonces decimos que f tiene un punto de encilladura (o silla) en P . y = 0. en la …gura 4 se muestra la grá…ca z = y 2 x2 la cual tiene la forma de una silla de montar y por eso (0. x = 0. para puntos en el eje y. y) = 4 + (x 1)2 + (y 3)2 Puesto que (x 1)2 0 y (y 3)2 0. Por lo tanto. Al completar el cuadrado. (0. fx = 2x 2 fy = 2y 6 Estas derivadas parciales son iguales a 0 cuando x = 1 y y = 3. Ejemplo 2: Sea f (x. y) 4 para todos los valores de x y y. todo disco con centro en (0. no todos los puntos críticos son extremos locales. Esto quiere decir que el punto (0. Y al igual que sucede en una variable. Solución: Puesto que. se encuentra que f (x. f (0. 4) como se muestra en la …gura 3. 0) contiene puntos donde f toma valores positivos. necesitamos de un criterio que nos permita clasi…carlos como máximos. Ejemplo 1: Sea f (x. b) es un punto crítico de f . b) no es un máximo o un mínimo. 3) = 4 es un mínimo local y. Por lo tanto. fx = 2x y fy = 2y. 1. de modo que f (x. 2 3 : Ejemplo 3: Calcule los valores extremos de f (x. Solución: Veri…que que los puntos críticos son: (0. ! Nota: Si rf (P ) = 0 y P = (a. y) = x2 < 0 (si x 6= 0). (3. y) = y 2 > 0 (si y 6= 0). 3). 0). y) = 6xy 2x2 y 3xy 2 . es el mínimo absoluto de f . con este propósito se enuncia el siguiente teorema. No obstante. 0) se llama punto silla de f . 3. Calcule los puntos críticos de f . el único punto crítico es (0. Por lo tanto. 2 . y) = y 2 x2 . Esto se puede con…rmar en forma geométrica a partir de la grá…ca de f la cual es el paraboloide elíptico con vértice (1. mínimos o puntos de silla. 0). 0) = 0 no puede ser un valor extremo de f .Observación: El teorema anterior establece que si f tiene un extremo local en (a. f (1. de modo que el único punto crítico es (1. 0). Observe que para los puntos en el eje x. 0) la función tiene un punto de silla. 1) y ( 1. entonces si H(a. Los tres puntos críticos son (0. 1. 1) = 12 > 0. b) > 0. Si H(a. b)]2 Si H(a. sustituimos y = x3 de la primera ecuación en la segunda. 1). Si H(a. se tiene H(0. b) [fxy (a. b). es decir. y) = (0. 1) = 12 > 0. y) = (1. se obtienen las ecuaciones x3 y=0 y y3 x = 0: Para resolver estas ecuaciones. 3 . 0). y) = fxx fyy (fxy )2 = 144x2 y 2 16 en consecuencia. (x. b): Si fx (a. P es un punto crítico de f ). b) < 0. b) < 0. 1) = 1 es un mínimo local. (x. entonces f (a. y obtenemos 0 = x9 x = x(x8 1) = x(x4 1)(x4 + 1) = x(x2 1)(x2 + 1)(x4 + 1) de modo que hay tres raíces reales: x = 0. 1) = 128 > 0 y fxx (1. el teorema no proporciona ninguna información. 1) = 128 > 0 y fxx ( 1. b) > 0 y fxx (a. entonces f (a. b) es un máximo local. Ejemplo 4: Determine los valores máximo y mínimo locales y los puntos silla de f (x. tenemos H( 1. b) = 0 y fy (a. (1. Observación: Si H(a. b) es un punto de silla. se in…ere que f ( 1. b) = 0 (es decir. b)fyy (a. entonces f (a. 0) = 6 < 0 se in…ere que el origen es un punto silla.Teorema: Suponga que f : R2 ! R tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en un entorno con centro en P = (a. la función podría tener un máximo. La grá…ca de f se ilustra en la …gura 5. y) : fxx = 12x2 fxy = 4 fyy = 12y 2 y H(x. 1): Luego calculamos la segunda derivada parcial y H(x. 0). y) = x4 + y 4 4xy + 1: Solución: Primero localizamos los puntos críticos: fx = 4x3 4y y fy = 4y 3 4x: Al igualar a estas derivadas parciales con 0. 1. 1). tenemos H(1. y) = ( 1. f no tiene máximo ni mínimo local en (0. se ve que f (1. 1) = 1 es también un mínimo local. b) > 0 y fxx (a. 0). b) = fxx (a. b) = 0. (x. b) es un mínimo local. un mínimo o un punto de silla en el punto (a. Solución: La distancia desde cualquier punto (x. y) = (x 1)2 + y 2 + (6 2y)2 x Al resolver las ecuaciones fx = 2(x 1) fy = 2y 4(6 2(6 x x 2y) = 4x + 4y 2y) = 4x + 10y 14 = 0 24 = 0 encontramos que el único punto crítico es 11 . 2) al plano x + 2y + z = 4. Ejemplo 6: Hallar el punto del paraboloide z = x2 + y 2 + 2 más cercano del punto P = (2. 0. 0. x2 + y 2 + 2). f tiene un mínimo local en 11 . fxy = 4 y fyy = 10. 0. y.Ejemplo 5: Calcule la distancia más corta desde el punto (1. z) se encuentra en el plano x + 2y + z = 4. entonces su distancia al punto (2. Q) = (x 2)2 + (y 2)2 + (x2 + y 2 )2 así que basta con encontrar los puntos críticos de d(P. 2. tenemos H(x. Puesto que fxx = 4. Solución: Todo punto que esta sobre el paraboloide es de la forma Q = (x. 5 . se desprende 6 3 que este mínimo local es en realidad un mínimo absoluto porque debe haber un punto en el plano dado que está más cerca a (1. 2). Q) = (x 2)2 + (y 2)2 + (x2 + y 2 )2 . 2) está dada por p d(P. 5 . y. entonces z = 4 x p d = (x 1)2 + y 2 + (6 x 2y)2 : 2y y se tiene Podemos minimizar d minimizando la expresión más sencilla d2 = f (x. @d = 2(x @x 2) + 4x(x2 + y 2 ) = 0 (1) @d = 2(y @y 2) + 4y(x2 + y 2 ) = 0 (2) Restando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) obtenemos 2x 2y + (x2 + y 2 )(4x 4y) = 0 =) (x y)[1 + 2(x2 + y 2 )] = 0 =) x 4 y = 0. 0. 2. z) al punto (1. es decir x = y: . 2) es p d = (x 1)2 + y 2 + (z + 2)2 pero si (x. y. de este modo. 2) al plano x + 2y + z = 4 es 65 6. y) = 6 3 2 fxx fyy (fxy ) = 24 > 0 y fxx > 0. Si x = 11 y y = 53 . entonces 6 d= p 1)2 (x + y2 + (6 x 2y)2 = s 5 6 2 + 5 3 2 5 6 + 2 = 5p 6: 6 p La distancia más corta desde (1. 2). Intuitivamente. y y z la longitud. el volumen máximo es de 34 . los puntos (0. z = 13 (6 x 2y) en consecuencia 1 V (x. el volumen de la caja es V = xyz Expresamos V como una función de sólo dos variables x y y recurriendo al hecho de que el área de los cuatro lados y el fondo de la caja es 2xz + 2yz + xy = 12 5 . Solución: Sean x. 0) y (0. 1) pero. Ejemplo 7: Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6. la geometría del problema nos indica que no hay un número in…nito de soluciones. Solución: La caja rectangular es como la que se muestra en la …gura 7 siguiente. claramente el punto que encontramos se trata de un mínimo. 0). Ejemplo 8: Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 12 m2 de cartón. y. sino una sola solución. el volumen de la caja es V (x. Observe que en este caso no es necesario usar el criterio de clasi…cación. 0:689:::. Entonces. 1) la función tiene un máximo. 0). Calcule el volumen máximo de la caja. En consecuencia. 2:475::::). Aquí. y) = xy(6 3 1 2y) = (6xy 3 x x2 y 2xy 2 ): función a optimizar al resolver el sistema @V @x = 1 (6y 3 2xy 2y 2 ) = 0 (1) @V @x = 1 (6y 3 2xy 2y 2 ) = 0 (2) se calculan los siguientes puntos criticos (0. 3) son puntos de silla y en el punto (2. Por otro lado. el ancho y la altura de la caja en metros. obtenemos 4x3 + x 2=0 y al resolverla obtenemos que x = 0:689:::. Y así.En este caso. Podemos encontrar esta única solución sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2). (0. las cuales son las dimensiones de la caja. el volumen es máximo cuando x = 2. según se muestra en la …gura 8. (6. z) = xyz pero. y = 1 y z = 32 . el punto que buscamos es (0:689:::. (2. 3). 0). (6. y) = 10240 10240 + + 40xy x y Calculando las derivadas parciales. es decir 8 8 @z 8 8 > > y xa2 (1. 2) es punto crítico. Solución: Suponga que las dimensiones de la caja son x cms de ancho. Entonces V = 2 2 1 = 4. z = 1. y = 2 y z = (12 2 2)=[2(2 + 2)] = 1.2) Ahora H(x. volumen de 512 3 cm y costo mínimo. 2) = 4 > 0. de modo que el volumen máximo de la caja es 4 m3 . z) = 20xz + 20yz + 40xy: De donde obtenemos que c(x. las derivadas parciales de z se anulan en P . y cms de largo y z cms de alto. 2(x+y) de modo que la expresión para V se transforma en V = xy 12 xy 12xy x2 y 2 = 2(x + y) 2(x + y) Calculamos las derivadas parciales: @V y 2 (12 2xy x2 ) = @x 2(x + y)2 Si V es un máximo. si el material de los lados de la caja cuestan 10 pesos el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 20 pesos el centímetro cuadrado. en el punto P = (2. de modo que debemos resolver las 2xy x2 = 0 y 12 y2 = 0 2xy Esto implica que x2 = y 2 y x = y. pero x = 0 o y = 0 da V = 0. Solución: Como P = (1.2) (1. un mínimo relativo o un punto de silla. entonces ecuaciones @V @x = 12 @V @y y x2 (12 2xy y 2 ) @V = @y 2(x + y)2 = 0.) Si hacemos x = y en cualquier ecuación obtenemos 12 3x2 = 0. Podríamos utilizar la prueba de la segunda derivada para demostrar que esto da un máximo local de V . podríamos argumentar simplemente que por la naturaleza física de este problema debe haber un volumen máximo absoluto. Luego. y = 2. y) = 402 x3 x3 y 3 6 .2) =) =) =) : : > > @z > > b = 4: =0 1 2b2 = 0 =0 : x ya2 : @y (1. determine si en P la función alcanza un máximo relativo. 512 = xyz =) z = xy Por otro lado. se tiene z = 12 xy . 2) = 3 y zxx (1. y) = 2a x3 2b y3 12 = 4 x3 8 y3 1: Por lo tanto. 2) es un punto crítico de z. 1) z alcanza un mínimo local. (Note que x y y ambas deben ser positivas en este problema.2) = 0 = 0 > > < 2 1a2 = 0 < a=2 < < @x (1.de aquí. el costo total esta dado por c(x. H(1. lo cual tiene que ocurrir en un punto crítico de V . Para comprobar que se trata de un mínimo aplicamos el criterio de la segunda derivada 20480 204802 cxx = y H(x. y. Ejemplo 10: Cuales deben ser las dimensiones de un envase para leche de forma rectangular. de modo que se debe presentar cuando x = 2. formamos el siguiente sistema 8 @c 10240 =0 < @x = 40y x2 : @c @y = 40x 10240 y2 =0 p Y resolviendo obtenemos que x = y = 4 3 4. Si P = (1. entonces su volumen es: 512 . lo cual da x = 2. Ejemplo 9: Sea z = xy + xa + yb la ecuación de una super…cie (con a y b constantes). o bien. y) sujeta a g(x. y. donde c = 7. z) = k: . En otras palabras.p p y al evaluar en el punto (4 3 4. es decir. y de este modo los vectores gradiente correspondientes son paralelos. 11. y. Nota: Si escribimos la ecuación vectorial rf = rg en términos de sus componentes. y0 ) donde se tocan son idénticas. y. z) = c y argumentamos que si el valor máximo de f es f (x0 . 9. y) está restringido a quedar en la curva de nivel g(x. y. y. z) = k: b) Evalúe f en todos los puntos (x. tenemos que p p 3 3 H(4 4. Sus ecuaciones son f (x. y) = c se interseque con g(x. z) = rg(x. y0 . entonces las ecuaciones en el paso a) se transforman en fx = gx . y) sujeta a una restricción de la forma g(x. y. z) sujeta a la restricción g(x. Para empezar. y. z) sujeta a la restricción g(x. z) = k [suponiendo que estos valores existan y que rg 6= 0 se encuentre en la super…cie g(x. z0 ) (1) El número de la ecuación 1 se llama multiplicador de Lagrange. y. consideramos las super…cies de nivel f (x. y) = k. z y tales que rf (x. Al parecer esto sucede cuando las curvas se tocan apenas según la …gura 1. 8. z) = k. El procedimiento que se basa en la ecuación 1 es como sigue. y0 ) para algún escalar . y) cuando el punto (x. y) = k es encontrar el valor más grande de c tal que la curva de nivel f (x. z) está restringido a estar ubicado en la super…cie de nivel S con ecuación g(x. 4 4) = 204802 p p 402 = 6400 1600 = 4800 > 0: 3 3 3 3 (4 4) (4 4) p p Con lo cual las dimensiones de la caja con costo mínimo son x = y = 4 3 4 y z = 8 3 4. y. se calculan los valores extremos de f (x. Maximizar f (x. y) = k. y. y0 . y. fz = gz . y. cxx = 20480 p = 80 > 0 (4 3 4)3 y EXTREMOS CON RESTRICCIONES: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Es más fácil explicar el fundamento geométrico del método de Lagrange para funciones de dos variables. buscamos los valores extremos de f (x. 7 g(x. rf (x0 . Por consiguiente. el punto (x. Método de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores máximos y mínimos de f (x. z) y g(x.) Esto signi…ca que las rectas normales en el punto (x0 . z0 ) = rg(x0 . y) = c. entonces la super…cie de nivel f (x. fy = gy . el valor de c podría incrementarse más. En la …gura 9 se muestra esta curva junto con varias curvas de nivel de f . z) = k. El más grande de estos valores es el valor máximo de f . es decir. rf (x0 . y) = k. z) que resulten del paso a). z0 ) = c. z) = k]: a) Determine todos los valores de x. y0 ) = rg(x0 . y. 4 3 4). z) = k. y. cuando tienen una recta tangente común. Esta clase de razonamiento también se aplica al problema de encontrar los valores extremos de f (x. y. y. y0 . 10. (De lo contrario. el más pequeño es el valor mínimo de f . De modo que los vectores gradiente son paralelos. z) = c es tangente a la super…cie de nivel g(x. En lugar de las curvas de nivel de la …gura 1. (2) y (3) y esto contradice (4). y y z el largo. Por lo tanto. y (3) por z. lo cual da xz = yz: Pero z 6= 0 (ya que z = 0 daría V = 0). de modo que x = y. y y z son positivas. Calcule el volumen máximo de esta caja. resolvemos las ecuaciones rf = rg y g(x. Mediante los multiplicadores de Lagrange. buscamos valores de x. Esto concuerda con la respuesta del ejemplo 8. En el presente ejemplo. z y g(x. tenemos 2xz + xy = 2yz + xy. se ve que si multiplicamos (1) por x. (2) por y. de la caja medidos en metros. Solución: Sean x. Solución: Se pide calcular los valores extremos de f sujetos a la restricción g(x. y de este modo (como x 6= 0) y = 2z. lo cual da xy = 2xz. se tiene que z = 1 y por lo tanto x = 2 y y = 2. tales que rf = rg y g(x.Éste es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas x. z y . Si hacemos x = y = 2z en (4). y. lo que se puede escribir como 8 2x = 2x (1) > > > > < 4y = 2y (2) > > > > : 2 x + y2 = 1 (3) 8 . Algunas veces se re quiere ingenio. y. Buscamos maximizar V = xyz sujeta a la restricción g(x. De acuerdo con (6) y (7) tenemos 2yz + xy = 2xz + 2yz. y. respectivamente. obtenemos 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 Puesto que x. pero no es necesario determinar los valores explícitos de . De aquí obtenemos las ecuaciones Vx = gx . y. Al hacerlo tenemos 8 xyz = (2xz + xy) (5) > > > > < xyz = (2yz + xy) (6) > > > > : xyz = (2xz + 2yz) (7) Observe que 6= 0 porque = 0 implicaría que yz = xz = xy = 0 de acuerdo con (1). Ejemplo 12: Determine los valores extremos de la función f (x. las cuales se transforman en 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : Vy = gy . y) = 1. Vz = gz . de (5) y (6). y) = x2 + y 2 = 1. z) = 2xz + 2yz + xy = 12 Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. z) = 12: yz = (2z + y) (1) xz = (2z + x) (2) xy = (2x + 2y) (3) 2xz + 2yz + xy = 12 (4) No hay reglas generales para resolver sistemas de ecuaciones. Ejemplo 11: Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 m2 de cartón. y. el ancho y la altura. y) = x2 +2y 2 sobre la circunferencia x2 +y 2 = 1. z) = 12. entonces los primeros miembros de estas ecuaciones son idénticos. ] Por lo tanto. de modo que (3) da x = 1. el valor máximo de f en la circunferencia x2 +y 2 = 1 es f (0. estos valores parecen razonables. a partir de (4). = 1. 4 (4) .De acuerdo con (1) tenemos x = 0. z) al punto (3. 1) es p d = (x 3)2 + (y 1)2 + (z + 1)2 pero los pasos algebraicos son más sencillos si maximizamos y minimizamos el cuadrado de la distancia: d2 = f (x. (1. 1. 1) = 2 y el valor mínimo es f ( 1. Por lo tanto. 0) = 1: Por lo tanto. resolvemos rf = rg y g(x. 0) y ( 1. z) = 4. y. 1). y. Esto da 8 2(x 3) = 2x (1) > > > > > > > > (2) < 2(y 1) = 2y > > 2(z + 1) = 2z > > > > > > : 2 x + y2 + z2 = 4 De (1). y. entonces (3) da y = 1. f tiene posibles valores extremos en los puntos (0. 0). f (1. 1) = 2. es decir. 1). y= (1 )2 = 11 . z) = x2 + y 2 + z 2 = 4 De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange. g(x. y. (0. 1) = 2. Ejemplo 13: Determine los puntos sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que están más cercanos y más lejanos al punto (3. y. tenemos 32 lo cual da (1 1 (3) )2 + 12 (1 )2 de modo que + p =1 9 ( 1)2 =4 (1 )2 11 : 2 . z= 1 : 1 1 1 = 1 es imposible según (1). 0) = 1. Al veri…car en la …gura 10. f ( 1. 0) = 1. Si = 1. z) está sobre la esfera. Solución: La distancia desde un punto (x. 1. entonces y = 0 de acuerdo con (2). z) = (x 3)2 + (y 1)2 + (z + 1)2 La restricción es que el punto (x. o bien. (2) y (3) se tiene x= [Observe que 1 6= 0 porque 3 . Si x = 0. f (0. 1). Al evaluar f en estos cuatro puntos encontramos que f (0. z) está restringida a quedar sobre la curva de intersección C de las super…cies de nivel g(x. p2 . Esto signi…ca que el vector gradiente rf (x. z0 ) + rh(x0 . z) = x + 2y + 3z sobre la curva de intersección del plano x y + z = 1 y el cilindro x2 + y 2 = 1. z) = c: (5) Ejemplo 14: Determine el valor máximo de la función f (x. p2 . y. p2 y el más lejano es . y. z) está en el plano determinado por rg(x0 . z): 6 2 p . z) = k y h(x. existen números y (llamados multiplicadores de Lagrange). y. 11 2 2 p . z) = k (4) > > > > > > : h(x. que rf es ortogonal a C en P . z) = c. (Suponemos que estos vectores gradiente no son cero y no son paralelos.p . z0 ) ( ) En este caso. y. z) = x + 2y + 3z sujeta a las restricciones g(x. Supongamos que f tiene ese valor extremo en un punto P (x0 . y0 . y. el método de Lagrange es para determinar valores extremos resolviendo cinco ecuaciones con cinco incógnitas x. 11 11 11 11 11 11 DOS RESTRICCIONES Suponga que ahora deseamos calcular los valores máximo y mínimo de una función f (x. z0 ). esto signi…ca que estamos buscando los valores extremos de f cuando (x. Sabemos. y0 . z) sujeta a dos restricciones (condiciones secundarias) de la forma g(x. z) = x y + z = 1 10 . y0 . y. Estas ecuaciones se obtienen escribiendo la ecuación ( ) en términos de sus componentes y usando las ecuaciones de restricción: 8 fx = gx + hx (1) > > > > > > > > fy = gy + hy (2) > > > > < fz = gz + hz (3) > > > > > > g(x. y. y. Desde el punto de vista geométrico. y .) Entonces. de modo que el punto más cercano es p6 . y0 . z0 ). y. y. y.p 11 11 Es fácil ver que f tiene un valor más pequeño en el primero de estos puntos. z0 ) y rh(x0 . Pero también sabemos que rg es ortogonal a g(x. z) = k y h(x. y. tales que rf (x0 . 11 11 2 p 11 y 6 p . y.Estos valores de proporcionan los puntos correspondientes (x. de modo que rg y rh son ambos ortogonales a C. z0 ) = rg(x0 . y. y. y0 . z) = c (véase …gura 11). z) = c. y0 . z. y. z) = k y rh es ortogonal a h(x. p2 p6 . Solución: Maximizamos la función f (x. y) = x4 + y 4 2y)2 x l) f (x. a) f (x. 29 y= 2 p +2 29 5 p 29 + 1 . y) = x3 + y 3 6x + 10y + 15 3xy 2 + y 3 d) f (x. y) = y3 y)2 + y 2 + (6 h) f (x. y. y) = x3 + y 3 f ) f (x. y) = x3 + 3xy 2 i) f (x. La condición de Lagrange es rf = rg + rh 8 1 = + 2x (1) > > > > > > > > 2= + 2y (2) > > > > < 3= (3) > > > > > > x y+z =1 (4) > > > > > > : 2 x + y 2 = 1: (5) Haciendo = 3 [de (3)] en (1). y) = 83 x3 + 4y 3 e) f (x. obtenemos 2x = sustituir en (5) tenemos 2. y) = xy 2x 2y x2 y2 2) Determine los puntos sobre la super…cie y 2 = 9 + xz que están más cercanos al origen.) 11 . y) = sin x sin y sin(x + y). si existen en cada caso. y) = x2 + y 2 g) f (x.y h(x. de modo que x = 1 2 p 29 . y) = x2 + 5y 2 c) f (x. y) = sin x + sin y + sin(x + y) 12xy x2 y 2 2(x+y) m) f (x. z) = x2 + y 2 = 1. de acuerdo con (4). y) = (x k) f (x. 3xy : x2 y 2 n) f (x. 29 p5 . 2 pies de largo y 4 pies de alto. (2) da y = 5 2 . y) = ex cos y p) f (x. y) = xye o) f (x. si el costo del frente y la parte posterior es $ 1 el pie cuadrado. (Rta: $ 144 y la caja óptima tiene 6 pies de ancho. el valor máximo de f sobre la curva dada es 3 + 29. Luego x = y entonces = 2 correspondientes de f son p2 . Al 25 =1 4 2 y. 4) Determine el costo mínimo de una caja rectangular con volumen de 48 pies cúbico. z = 1 7 p 29 p Por lo tanto. De manera similar. y) = x3 b) f (x. 3) Determinar los puntos sobre la super…cie xyz = 1 más cercanos al origen. la tapa y el fondo cuestan $ 2 el pie cuadrado y los dos extremos cuestan $ 3 el pie cuadrado. +3 1 =3 p x+y = 1 p7 . 29 Los valores 29 EJERCICIOS PROPUESTO SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1) Encuentre y clasi…que los puntos criticos. y) = y 3 + 3x2 y 6x2 0 0 6y 2 + 2 x y x4 y4 4xy + 1 j) f (x. q y r son las proporciones de A. 15) Tres lados de una caja rectangular están sobre los planos de coordenadas.) 17) La suma de tres números positivos es 120. Cada muro debe medir por lo menos 30 m de largo. que cuestan 5 dolares de pulgada cuadradas y su tapa será de acero inoxidable. B y O en la población. y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6 (haga un dibujo). área mínima: 300 (tres cuadrados iguales) 6) Encuentre tres números positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es un máximo. El volumen de este acuario debe ser de 24000 pulgadas cúbicas. (Rta: el valor máximo es 14 . z de una caja rectangular con volumen …jo V = 1000 y área mínima total A: (Rta: 10 10 10) 19) Hallar los valores extremos de z = xy con la condición x + y = 1. Sus lados serán de vidrio. c) ¿Podría diseñar un edi…cio con menos pérdida de calor si las restricciones de las longitudes de los muros se eliminaran? 13) Tres alelos (otras versiones de un gen). que tenga tres caras en los planos x = 0. la altura debe ser por lo menos de 4 m y el volumen debe ser exactamente 4000 m3 . el mínimo es 1) 12 . En términos de a. A. de base rectángular. en el primer octante. O(OO) y AB. el vértice opuesto está en el plano con ecuación x y z + + =1 a b c (a. 11) Una caja de cartón sin tapa debe tener 32000 cm3 . y. Los muros oriente y poniente pierden calor a razón de 10 unidades/m2 por día. el piso pierde 1 unidad/m2 por día. y su vértice común está en el origen. b y c. Use el hecho de que p + q + r = 1 para demostrar que P es cuando mucho 32 . A(AA o AO). y = 0. 12) Está en proceso de diseño un edi…cio rectangular para que minimice las pérdidas de calor. ¿Cómo debe hacerse esto para minimizar el área total de estos cuadrados? ¿Para Maximizarla? Rta: área máxima: 900 (un cuadrado). 14) Encuentre el volumen de la máxima caja. La ley de Hardy-Weinberg establece que la proporción de individuos de una población que llevan dos alelos diferentes es P = 2pq + 2pr + 2rq donde p. a) Determine y gra…que el dominio de la pérdida de calor como una función del largo de los lados. 9) Calcule el volumen de la caja rectangular más grande en el primer octante con tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6. determine las dimensiones del acuario que minimizan el costo de los materiales. que cuesta 2 dolares de pulgada cuadrada. B(BB o BO). b. Altura: 60 pulg. c son constantes positivas). 10) La base de un acuario de volumen V está hecho de pizarra y los lados son de vidrio. ¿Cuál es el máximo volumen posible de dicha caja? Rta : abc 27 16) Usted desea construir un acuario rectangular con un fondo de pizarra que cuesta 28 dolares la pulgada cuadrada. ¿Cuáles son las dimensiones del acuario menos caro? ( Rta: Base: 20 20 pulg. Si la pizarra cuesta cinco veces más por unidad de área que el vidrio. ¿Cuál es el valor máxima posible de su producto? (Rta: 64000) 18) Determinar las dimensiones x. 8) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en una esfera de radio r. B y O determinan los cuatro tipos de sangre. 7) Encuentre tres números positivos cuya suma sea 12 y la suma de cuyos cuadrados es tan pequeña como sea posible. Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón utilizado.5) Un cable de 120 cm de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado. los muros del norte y del sur pierden 8 unidades/m2 por día. y el techo pierde 5 unidades/m2 por día. no tiene mínimo) 20) Hallar la distancia máxima y mínima desde el origen a la curva 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8: (Rta: el valor máximo es 2. a saber. b) Encuentre las dimensiones que minimizan la pérdida de calor. Compruebe tanto los puntos críticos como los puntos en el límite del dominio. z = 0. a+b+c a+b+c a+b+c 2 27) Hallar el máximo de ln x + ln y + 3 ln z en la porción de la esfera x + y 2 + z 2 = 5r2 en la que x > 0.(Rta: el valor máximo es 3 en ( 31 . n 2 Z) 8 2 22) Hallar los valores extremos del campo escalar f (x. c tenemos abc3 27 a+b+c 5 5 : p Rta: 5 ln r + 3 ln 3 28) Hallar el volumen mínimo limitado por los planos x = 0. z) = xa y b z c con la condición x + y + z = 1.p 21) Hallar los valores extremos de z = cos2 x + cos2py con la condición x y = 4 . 1. 0) a la parábola y 2 = 4x. 0. 0)) 26) Si a. y un plano que sea tangente al elipsoide x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c p en un punto del octante x > 0. 0. 1). z) = x 2y + 2z en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1. 23 . (0. (0. 13 . el mínimo es 3 en ( 13 . 1)) 24) Hallar la distancia mínima desde el punto (1. y = 0. (0. y > 0. 23 ). Rta: aa bb cc (a+b+c)a+b+c en a . 0). z > 0. z > 0. 0. c . 1. hallar el valor máximo de f (x. ( 1. y > 0. 23 )) 23) Hallar los puntos de la super…cie z 2 xy = 1 más próximos al origen. n ). n 2 Z.(Rta: el máximo es 1 + 22 en 2 los puntos (n + 8 . 32) Encuentre el punto más cercano al origen sobre la curva de intersección del plano 2y + 4z = 5 y el cono 2 z = 4x2 + 4y 2 . b. Rta: abc 23 29) Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un p punto de la elipse x2 + 4y 2 = 4 a la recta x + y = 4. y. b y c son números positivos.(Rta: (1. 0). z) = xy + z 2 sobre el círculo en que el plano y x = 0 interseca la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4. 0. (Rta: 1) 25) Hallar los puntos de la curva de intersección de las dos super…cies x2 xy + y 2 z 2 = 1 y x2 + y 2 = 1 que están más próximos al origen. 32 . n + 38 ). y. (Rta: (0. 0). 31) Encuentre los valores extremos de la función f (x. b . z = 0. Rta: 4 p2 5 30) Encuentre los puntos más cercano al origen sobre la recta de intersección de los planos y + 2z = 12 y x + y = 6. y. el mínimo es 1 en los puntos (n + 58 . Aplicar el resultado para demostrar que para números reales positivos a.


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