7-Análisis Vectorial

MOISES VILLENAAnálisis Vectorial 7 7.1. 7.1 . .2. 7 7.2 . .3. 7 7.3 . .4. 7 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. CAMPOS VECTORIALES EN \ n DEFINICIONES PROPIEDADES CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS INTEGRALES DE LÍNEAS TEOREMA DE GREEN INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES FUNCIONES ESCALARES. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. • Aplique el Teorema de GREEN. • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. • Calcule integrales de Superficie. • Aplique el Teorema de Stokes. • Aplique el teorema de Gauss DE 227 MOISES VILLENA Análisis Vectorial JG F :U ⊆ \n → \m , JG n n de la forma F : U ⊆ \ → \ generales de la forma En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales ahora trataremos con funciones 7.1. CAMPOS VECTORIALES EN \ n Sean f1 , f 2 , " , f n funciones escalares de las variables x1, x2 ,", xn definidas en una JG región Ω de \ n . La función F : U ⊆ \ n → \ n JG tal que F = ( f1 ( x x , " , x ) , f2 ( x x , " , x ) ,", fn ( x x , " , x ) ) se llama Campo vectorial sobre Ω . JG G 2 2 F : U ⊆ \ → \ se lo denota como F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) . JG F : U ⊆ \ 3 → \ 3 se lo denota como: G F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) ) 1, 2 n 1, 2 n 1, 2 n Si Si Ejemplo JG JG F : U ⊆ \ 2 → \ 2 tal que F = ( 2 x + y, x 2 − y 2 ) Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas. Un campo conocido es el Gradiente, Si llamamos el vector ∇f , de una función escalar f . ⎛∂ ∂ ∂⎞ ∇ = ⎜ , , ⎟, ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ operador NABLA, podemos obtener la definición del gradiente y otras definiciones más. 7.2 DEFINICIONES JG Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector 228 MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎛∂ ∂ ∂⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ JG ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2. La Divergencia de F como JG ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ • F = ⎜ , , ⎟ • ( M , N, P) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂M ∂N ∂P + + ∂x ∂y ∂z JG 3. El rotacional de F como el vector i j k JG ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z M N P 4. El Lapalciano de f como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ = ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 7.3 PROPIEDADES G JG Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: JG JG JG JG 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G ( ) JG JG JG 2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F JG JG JG 3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F JG JG JG JG JG JG 4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + (∇ × G ) • F G 5. ∇ × ( ∇f ) = 0 JG G 6. ∇ • ∇ × F = 0 ( ) 229 MOISES VILLENA Análisis Vectorial G JG 7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F ( ) Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector. 7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS JG Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe JG alguna función diferenciable f tal que F = ∇f . La función JG f se llama función potencial de F . 7.4.1 Teorema. JG Un campJ o ve ctorial F es conservativo y si G G sólo si ∇ × F = 0 . Ejemplo 1 JG Determine si F =( 2 xy , x 2 −y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN: El rotacional de F sería: JG i j k i j JG ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇× F = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y M N P 2 xy x 2 − y JG Por tanto, F si es conservativo. ∂N ∂M Note que para campos de \ 2 , basta que = ∂x ∂y JG F = ∇f = k ∂ = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂z 0 para ser conservativos. ¿Por qué?. Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además: ⎛ ∂f ∂f ⎞ 2 , = ( 2 xy , x − y ) ⎜ ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠ 2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C x 2 − y ) dy ⇒ f ( x, y ) = x 2 y − y2 2 1 Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces: ∂f = 2 xy ⇒ f = ∂x ∂f = x2 − y ⇒ f = ∂y Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería: ∫ ∫( y2 + h ( x ) + C2 2 f ( x, y ) = x 2 y − +C 230 z ) = x2 y + z 2 y + h ( x.MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 2 JG Determine si F =( 2 xy . En caso de serlo encuentre la función potencial. 7. z ) = x 2 y + g ( y. 2 zy ) es conservativo. ⎠ = (2 xy.". x + z . z )=x 2 y +z 2 y +C 7. Ahora tenemos: k ∂ = ( 2 z − 2 z . z ) = z 2 y + h ( x. z ) + C2 2 zy ) dz ⇒ f ( x. SOLUCIÓN: El rotacional de F sería: JG i j k i j JG ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y M N P 2 xy x 2 + z 2 JG Por tanto. 231 . y. 0 ) ∂z 2 zy ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ 2 2 F = ∇f = ⎝ . ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas. y. la integral de línea de f sobre C se define como: ∫ f ( x .". y.5 INTEGRALES DE LÍNEAS En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de \ 2 o regiones de \ 3 . y. x ) ds = lim ∑ f ( x . x . 0. x ) Δs 1 2 n n Δ →0 1 2 n i C i =1 Supuesto que este límite exista. Sea f : U ⊆ \ n 6 \ una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave C de longitud finita. 0. z ) + C1 JG f = f = Haciendo Superposición de soluciones: ∫ ∫( ∫( x 2 + z2 ) dy ⇒ f ( x. x 2 +z 2 . 2 zy ) ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z Entonces f = 2 xy dx ⇒ f ( x. F si es conservativo. .5. 2 x − 2 x ) = ( 0.1 Integrales de líneas de funciones escalares. x . y ) + C 3 f (x. 0 ) al punto (1. 2. 0. Calculo de una integral de línea como integral definida.".MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7. SOLUCIÓN: La ecuación de Entonces: C ⎧x = 0 + t ⎪ es ⎨ y = 0 + 2t .1) . xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b. Calcular ∫ ds .".1 Teorema. x2 ( t ) . 2t .1. C ∫(x C 2 − y + 3 z ) ds donde C : segmento de recta desde el punto ( 0. t ) . x2 ( t ) . ∫ ∫ C C G G ⎡ f D r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦ = ∫ 0 1 (t 2 − 2t + 3t ) 1 + 2 2 + 12 dt = 6 ∫( 0 1 t 2 + t )dt 1 ⎛ t3 t2 ⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝ 3 2 ⎠0 ⎛1 1⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝3 2 ⎠ = 5 6 6 232 . es decir: ⎪ ⎩z = 0+t fds = r ( t ) = ( t . xn ( t ) ) [ x1 ´( t )]2 + [ x2´( t )]2 + " + [ xn ´( t )]2 dt Si f = 1 entonces tenemos Ejemplo. definida por Gna r ( t ) = ( x1 ( t ) . entonces: ∫ C G G ⎡ f D r ( t ) ⎤ r´( t ) dt f ds = ⎣ ⎦ ∫ C = ∫ a b f ( x1 ( t ) .5. la longitud de la curva. Sea f continua en una región que contiene u curva suave C. 1) y=x y = x2 ( 0. es decir: ∫ xds = ∫ xds + ∫ xds C C1 C2 donde C1 : y = x y C2 : y = x 2 . Para la primera integral C1 = ⎨ 1 ⎧x = t ⎩y = t 1 2 2 2 ∫ ∫ xds = C1 0 t 1 + 1 dt = 2 ⎛t ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠0 = 2 2 ⎧x = t ⎩y = t 2 Para la segunda integral C2 = ⎨ 1 2 3 0 0 12 xds = t + (2 ) t dt = t 2 1 4 2 (1 + 4t 2 ) 2 3 8 3 5 = 1 − 1 12 12 2 + t dt = ∫ ∫ C2 1 ∫ 1 0 Por tanto: xds = xds + xds = 2 + 1 − 1 5 3 233 . 0 ) x SOLUCIÓN: Por la forma de C debemos hacer dos integrales.MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 2 Calcular ∫ xds C donde C : es la curva que se presenta en el gráfico: y (1. MOISES VILLENA ∫ ∫ ∫ C C1 C2 Análisis Vectorial 2 2 12 12 234 . sent . 2π ) .1) dt = − cos tsent − cos 2 tsent + t 2 ) dt 2π ⎛ cos 2 t cos3 t t 3 ⎞ =⎜ + + ⎟ 235 .1) dt = ∫( ∫( 0 2π 2π cos t . − cos tsent . z 2 ) • ( − sent .". La JG integral de línea de F sobre C se define como: JG G JG J G F • d r = F • T ds ∫ C C ∫ J G r´( t ) Reemplazando T = r´( t ) y ds = r´( t ) dt ∫ Entonces: b JG J G JG r´( t ) r´( t ) dt F • T ds = F • r ´ t ( ) C a ∫ ∫ JG G F • d r == ∫ ⎣( ⎡ JG F ( ( t ) . xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . z 2 ) F •dr r ( t ) = ( cos t . 0.MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7. x ( t ) ) • ( r´( t ) ) ⎦ dt ) x1 2 n ⎤ C Ejemplo Calcular G ∫ C C y C es la curva definida por JG G donde G F = ( x. SOLUCIÓN: 2π ∫ C JG G F • dr = ∫( 0 0 x. t 2 ) • ( − sent . − xy . cos t .5. 0. t ) desde el punto ( 0. JG Sea F : U ⊆ \ n → \ n un campo vectorial contG inuo definido sobre una curva suave C dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) .2 Integrales de línea de Campos vectoriales. − xy. x ( t ) . x2 ( t ) . 0 ) hasta el punto (1." . cos t . MOISES VILLENA ⎝ 2 3 3 ⎠0 ⎛ 1 1 8π 3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ =⎜ + + ⎟ − ⎜ + + 0⎟ 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ ⎝2 3 3 8π = 3 Análisis Vectorial 236 . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C JG G F • dr = ∫ C C Mdx + Ndy = ∫ ydx + x 2 dy 237 . 3 ) .5.2. 0 ) hasta el punto (1. N . entonces: JG G W = F • dr La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar ∫ C 7. si denotamos al trabajo como W .MOISES VILLENA Análisis Vectorial JG como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva C . x 2 ) y C : y = 4 x − x 2 desde el punto ( 4. P) J G y que G C : r ( t ) = ( x ( t ). y ( t ). . . z ( t ) ) ⎝ ⎠ entonces tenemos que ⎛ dx dy dz ⎞ r´(t ) = . Reemplazando: ⎜ ⎟ dt dt dt JG ⎡ dx dy dz ⎞ ⎤ ⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = ⎢ ( M .1 Forma Diferencial ∫⎣ En la integral JG ⎦ Suponga que ⎡ F • r´( t ) ⎤ dt C JG F = ( M . ⎟ ⎥ dt ⎜ ⎣ ⎦ dt dt dt ⎠ ⎦ ⎝ C C ⎣ ∫ ∫ Entonces: ∫ C JG ⎡ F • r´( t )⎤ dt = Mdx + Ndy + Pdz ⎣ ⎦ C ∫ Ejemplo Calcular ∫ C JG G G F • d r donde F = ( y . P ) • ⎛ . N. MOISES VILLENA En este caso y = 4 x − x entonces dy =( 4 −2 x )dx 2 Análisis Vectorial Reemplazando: 238 . t ∈ [1. cos 5 (πt ).5). z (t ) ) es F ( r ) = k .0) a (2.0. − cos 8 (πt ) . 6 x − 2 yz .y.1 1. Calcular ∫ F • dr siendo C la trayectoria C C (t ) = (t − 1)3 + 1. z ) = 2 xz 3 + 6 y.1. 7. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una recta de (2. 2 x 2 ) y C : y = x 2 desde el punto ( 0. SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C JG G F • dr = ∫ C C Mdx + Ndy = ∫ 4 xydx + 2 x 2 dy 239 .3 Independencia de la Trayectoria Ejemplo Calcular ∫ C JG G G F • d r donde F = ( 4 xy .2] y F ( x. 3 x 2 z 2 − y 2 ( ) r r 3 2. con vector posición r (t ) = ( x (t ).donde k es una constante.5. y.1) . Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la trayectoria. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada situada en un punto (x. y (t ). 0 ) hasta el punto (1.MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 ∫ C ydx + x dy = 2 ∫( 4 1 4 1 4 x − x 2 ) dx + x 2 ( 4 − 2 x ) dx = ∫ ∫ 4 (4x − x 2 + 4 x 2 − 2 x 3 ) dx = ( 4 x + 3x 2 − 2 x 3 ) dx 1 ⎛ x2 x3 x4 ⎞ = ⎜4 +3 −2 ⎟ 3 4 ⎠4 ⎝ 2 69 = 2 Ejercicios Propuestos 7.z) . además observe que el campo JG F es conservativo debido a que: ∂N ∂M = ∂x ∂y = ∂ ( 2 x2 ) ∂ ( 4 xy ) ∂x ∂y 4x = 4x 240 .MOISES VILLENA En este caso y = x entonces dy = 2 xdx Reemplazando: 2 Análisis Vectorial ∫ C 4 xydx + 2 x 2 dy = ∫ 0 1 4 x ( x 2 ) dx + 2 x 2 ( 2 xdx ) = ∫ 0 1 8 x 3 dx 1 = 8x4 4 0 =2 • Si empleamos la trayectoria y = x 3 entonces dy = 3 x 2 dx Reemplazando: ∫ C 4 xydx + 2 x dy = 2 ∫ 0 1 4 x ( x3 ) dx + 2 x 2 ( 3 x 2 dx ) = ∫ 0 1 10 x 4 dx 1 10 x 5 = 5 =2 0 • Si empleamos la trayectoria y =x entonces dy = dx Reemplazando: ∫ C 4 xydx + 2 x dy = 2 ∫ 0 1 0 1 4 x ( x ) dx + 2 x 2 ( dx ) = ∫ 6 x 2 dx 1 6 x3 = 3 =2 0 Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias. 5. entonces es independiente de la trayectoria: 241 . 0 ) . sent ) desde el punto ( 0.MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.1 Teorema JG Si F es continuo en una región abierta conexa.3. JG G entonces la integral de línea F • dr es ∫ C JG independiente del camino si y sólo si F es conservativo. 0 ) hasta el punto ( 2. Ahora veamos si F es conservativo: JG ∂N ∂M = ∂x ∂y ∂ ( 3 xy 2 + 1) ∂x 2 = 2 ∂ ( y 3 + 1) ∂y 3y = 3y JG Como F si es conservativo. SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C JG G F •dr = ∫ C C Mdx + Ndy = ⎧ x = 1 − cos t ⎩ y = sent ∫( y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy ⎧dx = sentdt ⎩dy = cos tdt En este caso ⎨ entonces ⎨ Reemplazando: ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy = ∫( C sen 3t + 1) ( sentdt ) + ( 3 (1 − cos t ) sen 2 t + 1) ( cos tdt ) Se observa que a integral está difícil de evaluar. Ejemplo Calcular ∫ C JG G G F • d r donde F = ( y 3 + 1. 3 xy 2 + 1) y G C : r ( t ) = (1 − cos t . P ) es conservativo en R . 7.MOISES VILLENA Análisis Vectorial y ( x − 1) 2 + y 2 = 1 ⎧ x = 1 − cos t ⎨ ⎩ y = sent x ( 0. 0 ) ( 2. Es decir: 242 . y M . N .2 Teorema Fundamental Sea C una curva suave a trozos situada en una r Gegión abierta R dada por dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) . x2 ( t ) .3. xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . 0 ) Mejor empleemos una trayectoria simple: y = 0 entonces dy = 0 Reemplazando: ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy = ∫( 0 2 0 + 1) dx + ( 0 + 1) ( 0 ) = ∫ 0 2 2 dx =x0 =2 Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos.5. N y P son continuas en R entonces: JG G G F • d r = ∇f •d r = f final − f inicial ∫ C ∫ C G Siendo f una función potencial de F . Si JG F = ( M .". ln xy y ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ x y G C : r ( t )= ⎛ 1 . 3 xy 2 + 1 ( ) es conservativo podemos encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial. como G F = y 3 + 1. − . . ⎟ • ( dx. t ⎝ ⎜ 1+ t2 ⎞ ⎠ ⎟ −1 ≤ t ≤ 1 . dy. 0. dz ) ∂x ∂y ∂z ⎠ C C C⎝ ∫ ∫ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ = ⎜ dx + dy + dz ⎟ ∂x ∂y ∂z =C⎝ df ⎠ ∫ ∫ C = f final − f inicial Ejemplo 1 En el ejemplo anterior. 0 − 0 = 0. ∂f = y 3 + 1 ⇒ f = ( y 3 + 1) x + g ( y ) + C1 ∂x ∂f = 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C2 ∂y Entonces: f ( x. 0 y xy x ⎟ ⎠ 243 . y ) = xy 3 + x + y + C ∫ C JG G F • d r = f final − f inicial 3 3 ⎤ ⎡ ⎤ =⎡ ⎣2 (0 ) + 2 + 0 + C ⎦ − ⎣0 (0 ) + 0 + 0 + C ⎦ =2 Ejemplo 2 Calcular ∫ C JG G JG ⎛z z ⎞ F • d r donde F= . SOLUCIÓN: Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. . t 2 +t + 1.MOISES VILLENA Análisis Vectorial ∫ JG G G ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ F • d r = ∇f •d r = ⎜ . Veamos si F es conservativo: JG i JG ∂ ∇× F = ∂x M j ∂ ∂y N k ∂ ∂z P = i ∂ ∂x z x j ∂ ∂y z y k ∂ = ∂z ln xy ⎜ ⎝ xy ⎛ x − 1 y 1 ⎞ ( ) . . = . z ) + C2 y f = ∫ ln xydz = z ln xy + I ( x. se podría utilizar la función potencial.MOISES VILLENA JG Análisis Vectorial Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria. y. demostrar que F es un campo conservativo y encontrar su función potencial.1.⎠z ) +⎝ x z z dy = z ln y + h ( x. 3. Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo dentro de la región que encierra la curva entonces: v ∫ C JG G F • dr = 0 244 . ln xy ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ x y ⎟ ⎠ f = ∫ ∫ dx C1 ⎝ = z ln x + g ( y. ´. hallémosla: JG F = ∇f = f = ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ z z ⎞ .1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ 1 + (1) 2 ⎝ O mejor aún. −1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎟ ⎠ al punto: G r (1) = ⎝ ⎛ 1 ⎠ ⎞ ⎛1 ⎞ .1 − f . se podría utilizar una trayectoria simple. y ) + C3 Por tanto f ( x. ( −1) = 2 ⎞ ⎛1 . (1) 2 + (1) + 1. (1) = . −1 ⎝ ⎜ ⎡ 2 ⎛1 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ 2 ⎤ ⎡ ⎠ ⎟ ⎛1 ⎞ ⎤ = ⎢1ln ⎜ ( 3 ) ⎟ + C ⎥ − ⎢( −1) ln ⎜ (1) ⎟ + C ⎥ ⎦ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ 3 1 = ln ln ⎠ ⎝2 ⎣ + 2 2 3 = ln 4 Ejercicios Propuestos 7.1. 3.2 1. ( −1) + ( −1) + 1. Dado el campo vectorial F ( x. y ) + C3 = z ln x + z ln y + g ( x. por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto: G r ( −1) = ⎜ ⎜ 1 + ( −1) 2 ⎛ 1 . z ) = (2 xyz + sen x )i + x 2 zj + x 2 yk . z ) = z ln xy + C ∫ C JG G ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ F • dr = f . y. Como es un campo de \ 2 : 245 . 2 y 2 2 ⎟ x +y x +y ⎠ ⎝ C : x2 + y2 = 1 SOLUCIÓN: JG Veamos si F es conservativo.MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo Calcular v ∫ C JG G JG ⎛ − y ⎞ x F • d r donde F =⎜ 2 . cos t ) dt = ∫ 0 ⎝ ⎠ (⎜sen t + cos t⎟) dt 2 2 1 1 = ∫ 0 2π dt = ∫ 0 2π = 2π Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados. Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero. cos t ) dt ⎜ x2 + y2 x2 + y2 ⎝ ⎠ ⎛ − sent cos t ⎞ . 7. La curva en forma paramétrica es C : ⎨ La Integral de línea sería: 2π G ⎧ x = cos t y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t . sent ) ⎩ y = sent JG G F • dr = JG G F • r´ dt = ⎛ −y . x ⎞ ⎟ v ∫ C v ∫ C ∫ 0 2π ( − sent . pero observe que el campo no es continuo en ( 0.6 TEOREMA DE GREEN 246 . entonces debemos evaluar la integral de línea. 0 ) . ( − sent .MOISES VILLENA Análisis Vectorial 2 2 ∂N ∂ ⎛ x ⎞ 1 ( x + y ) − x ( 2 x ) − x2 + y 2 = ⎜ 2 = = 2 ⎟ 2 2 ∂x ∂x ⎝ x + y ⎠ ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 ) 2 2 ∂M ∂ ⎛ − y ⎞ −1 ( x + y ) − y ( 2 y ) −x2 + y2 = ⎜ 2 = = ⎟ 2 2 ∂y ∂x ⎝ x + y 2 ⎠ ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 ) JG Por tanto F si es conservativo. N .MOISES VILLENA Análisis Vectorial JG Sea F = ( M . Si M . Sea R una región simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido ∂N ∂M antihorario. N ) un campo vectorial de \ 2 . ∂x ∂y una región abierta que contiene a R . son continuas en . entonces: JG G ⎛ ∂N ∂M ⎞ F • d r = Mdx + Ndy = ⎜ − ⎟dA ∂ x ∂ y ⎠ C C R ⎝ ∫ > ∫ > ∫∫ 247 . 1) sobre y =x 2 y desde (1. x 3 + 3 xy 2 ) y C : es el camino desde ( 0. SOLUCIÓN: La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos y comprobar resultados. 0 ) x PRIMER MÉTODO: Por integral de línea: > ∫ C JG G F • dr = > ∫ C Mdx + Ndy = > ∫ C 2 y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy Hay 2 trayectorias: C1 : y = x2 entonces dy =2 xdx ∫ C1 y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy = ∫ 0 1 0 1 1 (x ) 3 dx + x 3 + 3 x ( x 2 ) ( 2 ) ( 2 xdx ) = ∫( ∫ 0 x 6 + 2 x 4 + 6 x 6 )dx = (7x 6 + 2 x 4 )dx 1 =7 = 7 5 x7 x5 +2 7 5 0 248 . 0 ) sobre y =x .1) a ( 0.MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 1 Calcular > ∫ C JG G G F • d r donde F = ( y 3 . y (1.1) y=x y = x2 ( 0. 0 ) a (1. 0 ) x 249 .MOISES VILLENA C2 : y =x entonces dy =dx Análisis Vectorial ∫ C2 y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy = ∫( ) 1 0 0 x dx + x 3 + 3 x ( x ) 3 ( 2 ) ( xdx ) = ∫ 1 0 1 (x 3 + x 3 + 3 x 3 )dx = ∫( 5 x 3 )dx 0 x4 =5 4 5 =− 4 1 Por lo tanto: ∫ > C JG G F •dr = ∫ C1 JG G F •dr + ∫ C2 JG G 7 5 3 F •dr = − = 5 4 20 ⎛ ∂ ( x 3 + 3 xy 2 ) ∂ ( y 3 ) ⎞ ⎜ ⎟dA − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DE GREEN > ∫ C JG G F • dr = ∫∫ R ⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∫∫ R La región R es: y (1.1) y=x R y = x2 ( 0. cos y − x 2 ) y C : es el camino que se describe en la gráfica: y 2 x2 + y 2 = 4 x2 + y2 = 1 1 −2 −1 1 2 x SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GREEN. ¿Porqué? 250 .MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 x ∫∫ R ⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ⎝ ∂x ∂y ⎠ = ∫∫( 0 x2 1 x 0 x3 1 3 x 2 + 3 y 2 − 3 y 2 ) dydx ∫∫ ∫ 0 ( 3x ) dydx 2 x x2 = 3x2 y dx = ∫ 0 1 3 x 2 ( x − x 2 ) dx = ∫ 0 1 (3x 3 − 3 x 4 ) dx x4 x5 −3 4 5 3 3 = − 4 5 3 = 20 =3 Ejemplo 2 Calcular > ∫ C JG G G F • d r donde F = ( arc senx + y 2 . MOISES VILLENA Análisis Vectorial ∫ > C JG G F •dr = = = Pasando a Polares: ∫∫ ∫∫ ∫∫ ( R R R ⎛ ∂N ∂ M ⎞ − ⎜ ⎟dA ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂ ( cos y − x 2 ) ∂ ( arc senx + y 2 ) ⎞ ⎜ ⎟dA − ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎝ ⎠ −2 x − 2 y )dA ∫∫ ( R −2 x − 2 y )dA = −2 ∫∫( 0 1 π 2 r cos θ + rsenθ ) rdrdθ = −2 ∫∫( 0 1 π 2 cos θ + senθ ) r 2 drdθ 2 = −2 ∫ 0 π ( cos θ + senθ ) − 13 ⎞ r3 dθ 1 ⎛ 23 = −2 θ) ( senθ − cos 3 π ⎜ ⎟ ⎛8 1⎞ = −2 ⎝ 3− 3 ⎡ 1 − ( −1) ⎤ ⎠ ⎝ ⎠ 28 =− 3 ⎜3 3⎟⎣ ⎦ 0 7. En la formula de Green.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA. Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones planas. si tomamos 1 M =− y 2 y N= 1 x 2 entonces ∫∫ R ⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ∂ x ∂ y ⎝ ⎠ ⎛1 ⎛ 1 ⎞⎞ ∫ Mdx + Ndy > C ∫∫ ⎜2 − ⎜ − ⎟ ⎟dA = > ∫ − 1 ydx + 1 xdy 2 2 251 ⎝ 2⎠ 2 . MOISES VILLENA Análisis Vectorial R ⎝ dA = 1 ∫∫ R > ∫ C ⎠ C xdy − ydx 252 . −5) −5 La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes. Primero: C1 : y =2 x + 1 entonces dy =2dx Reemplazando y evaluando: 253 .7. calcularemos la integral de línea por cada trayectoria. 3) ( −3.1 Teorema Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos C .MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7. y luego sumaremos los resultados. El área de R viene dada por: 1 A= xdy − ydx 2 C > ∫ Ejemplo 1 Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por ⎧ y = 2x +1 ⎨ 2 ⎩y = 4 − x SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo de la región y 4 C2 : y = 4 − x 2 R −3 1 C1 : y = 2 x + 1 x 3 (1. sumando: ∫ 1 − 4 ) dx −3 38 3 A = −2 + 38 32 = 3 3 Ejemplo 2 Hallar el área de la elipse con ecuación SOLUCIÓN: Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: C : ⎨ Entonces x2 y2 + =1 a2 b2 ⎧ x = a cos t ⎩ y = bsent ⎧dx = − asent dt ⎨ ⎩dy = b cos t dt 254 .MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 1 2 ∫ C1 1 xdy − ydx = 2 1 = 2 1 = 2 ∫( −3 1 −3 1 x 2dx ) − ( 2 x + 1) dx ∫( ∫ −3 2 x − 2 x − 1) dx −dx 1 1 = − x −3 2 = −2 Segundo: C2 : y = 4 − x 2 entonces dy = −2 xdx Reemplazando y evaluando: −3 1 xdy − ydx = 1 x ( −2 xdx ) − ( 4 − x 2 ) dx 2 ∫ C2 2 ∫ 1 −3 ∫ 1 = 2 = 1 2 ( −2 x (−x 2 2 + x 2 − 4 ) dx 1 −3 ⎞ 1 ⎛ x3 = − ⎜ + 4x ⎟ 2⎝ 3 ⎠1 = Finalmente. MOISES VILLENA Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando. resulta: Análisis Vectorial 255 . Evaluar la integral 3 .(2. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva 256 .0) y de allí a (2.0) y luego la parte de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 para x>0 y y>0.0) 6. Sea F ( x. 9.0) y luego a lo esta partícula por el campo de fuerzas F ( x. 2 2 4. se mueve a lo largo del eje x hacia (2. 8.3). 7. donde C es la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 10. x 3 + 3 xy 2 .3 3.1). y ) = x. siendo C el ) C contorno del triángulo con vértices en los puntos (1. y ) = xe − y . (1. Calcular ∫x C 3 dy − y 3 dx donde C es el círculo unitario centrado en el origen. Calcular: ( ) ∫ ⎡ ⎛ x + x 2 + y 2 ⎞⎤ dy x 2 + y 2 dx + y ⎢ xy + ln ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ . y ≤a C ∫x 2 ydx − y 2 xdy . calcular el trabajo de F en el contorno del cuadrado determinado por: x ≤ a 5. − x 2 ye − y + 1 x 2 + y 2 ( ) . Una partícula empieza en el punto (-2.0) a (2. donde C es la curva que consta del arco 4 y = x de (0. Verificar el teorema de Green en la integral ∫ 2 (x 2 + y 2 dx + ( x + y ) 2 dy .2) a (- 2.2) a (0. Hallar C ∫ xydx + 2 x 2 dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0.MOISES VILLENA 2π Análisis Vectorial A= 1 xdy − ydx = 1 2 > ∫ C 2 ∫ ∫ 0 2π ( a cos t ) ( b cos tdt ) − ( bsent ) ( −asentdt ) = 1 2 0 ab cos 2 tdt + absen 2 tdt = 1 2 1 2 ∫ 0 2π ab ( cos 2 t + sen 2 t ) dt = ∫ 0 2π abdt 2π 1 = ab dt 2 0 ∫ 1 2π = ab t 0 2 = π ab Ejercicios Propuestos 7.2).2) y del segmento de recta que va de (2.0). x = 2 . 2 2 2 Análisis Vectorial Empleando una integral de línea. x = −2 . 257 .MOISES VILLENA x 3 +y 3 =a 3 11. encuentre el área de la región R limitada por las gráficas y = x 2 + 2 . y = − x . por tanto: ∫∫ S ( xyz ) dS = ∫∫ R ( xyz ) 1 + z x 2 + z y 2 dydx La región de integración sería: 258 .MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7. ahora se trata de calcular el efecto de una función escalar sobre una superficie. Es decir.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE 7. evaluar integrales del tipo: ∫∫ f ( x. y. z ) dS S Ejemplo. ∫∫ ( S xyz ) dS donde S : porción del plano x + y + z = 3 en el primer SOLUCIÓN: Primero hacemos un dibujo de la superficie: z 3 S : z = 3− x − y 3 y 3 x Proyectamos la superficie en el plano xy .1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES.8. Calcular octante. En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular área de una superficie. MOISES VILLENA Análisis Vectorial y 3 y =3− x x 3 Haciendo las sustituciones correspondientes y evaluando la integral doble: ∫∫ ( R xyz ) 1 + z + z dydx = 2 2 ∫ ∫( 0 0 3 0 0 3 3 3− x xy ( 3 − x − y ) ) 1 + ( −1) + ( −1) dydx 2 2 = 3 ∫ ∫( ⎡ 3− x 3 xy − x 2 y − xy 2 )dydx y3 ⎤ 3− x x y = 3 (3x − x2 ) y2 −x dx ⎦0 ∫ 0 3 ⎣ ⎢ ⎡ 2 2 3 ⎥ 3 = 3 x (3 − x ) (3 − x ) −x (3 − x ) ⎤ dx ∫ ⎢ ⎣ 2 3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎜ ⎟ x ( 3 − x ) dx N 3 0 3 ⎥ = 3 ⎛1 − 1⎞ 259 . MOISES VILLENA ⎝2 3⎠ ∫ 0 Análisis Vectorial u . v ) . _ _ . v ) ) r u × r v dudv 260 . z ( u . v ) . y ( u . dv 4 3 = ⎡ x ⎢ (3 − x ) −4 − ∫( 3 − x) −4 4 6 ⎢ ⎢ ⎣ 3⎡ ⎤ dx ⎥ ⎥ ⎥ ⎦0 3 3 (3 − x ) x 4 (3 − x ) − 5 ⎤ = ⎢ 6 ⎢ ⎣ −4 20 ⎥ ⎥ 0 3 ⎡ 35 ⎤ ⎢ ⎥ 81 3 = 6 ⎣ 20 ⎦ 40 = Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas serían de la forma: ∫∫ R´ G G f ( x ( u . 7. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R que contiene a S y a C . S : superficie del paraboloide z = 5 − x − y y C : traza de S en el plano z =1 . Evaluar z=3 2. Si F = ( z .4 1. siendo S1 la superficie del cilindro x + y entre z=1 y z=2. y 2 ) . Comprobar el Teorema de Stokes 2 2 G para F =( 2z . SOLUCIÓN: Identificando S y C : z S : x2 + y2 + z = 5 J G ∇S J J N= ∇S C : x2 + y 2 = 4 z =1 y 261 . 2 2 2 ∫∫ (x S 2 2 + y dS .2 TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada con vector unitario N cuyo contorno es una curva JG cerrada simple C . y ) . x. S2 la superficie semiesférica x 2 + y 2 + ( z − 2 ) = 4. evaluar la integral ∫∫ (∇ × F ) • ndS S Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies. suave a trozos.8.x . para lo cual tenemos una generalización del teorema de GREEN. entonces: JG G JG F • dr = ∇ × F • N dS ∫ > C ∫∫ ( S ) Ejemplo. Considere la superficie S = S1 ∪ S 2 . siendo S la superficie del cono z 2 = 3 x 2 + y 2 entre z=0 y ) ( ) =4 z ≥ 2 .MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejercicios propuestos 7. MOISES VILLENA Análisis Vectorial x 262 . el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie: i JG ∂ ∇× F = ∂x 2z JJ G ∇S N= = ∇S dS = Reemplazando: j k ∂ ∂ = ( 2 y. 2 y. 2.MOISES VILLENA POR INTEGRAL DE LÍNEA. ∫ > C JG G F •dr = ∫∫ (∇ × F ) • N dS JG S Calculando el rotacional.1) 2 2 ( 2 x ) + ( 2 y ) + 1 dydx 2 2 (2x) + (2 y ) +1 = ∫∫ ( R 4 xy + 4 y + 1) dydx En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio 2.1) 2 2 (2x) + (2 y ) +1 + ( 2 y ) + 1 dydx 2 (2x) 2 ∫∫ (∇ × F ) • N dS = ∫∫ JG S R ( 2 y. POR INTEGRAL DE SUPERFICIE.1) • ( 2 x. Análisis Vectorial = ∫ > ∫ > C C JG G F • dr = ∫ > C Mdx + Ndy + Pdz 2 zdx + xdy + y 2 dz ⎧ dx = −2 sent dt ⎪ ⎪ dz = 0 ⎩ En este caso C : ⎨ y = 2 sent entonces ⎨ dy = 2 cos t dt ⎧ x = 2 cos t ⎪ ⎪ ⎩z =0 Reemplazando y evaluando: ∫ > C 2 zdx + xdy + y dz = 2 ∫ 0 2π 0 2π 2 ( 0 ) [ −2 sentdt ] + ( 2 cos t ) [ 2 cos tdt ] + ( 2 sent ) ( 0 ) 2 = ∫ ∫ 0 2π 4 cos 2 tdt =4 (1 + cos 2t ) 2 2π dt ⎛ sen 2t ⎞ = 2⎜ t + ⎟ 2 ⎠0 ⎝ = 4π APLICANDO EL TEOREMA DE STOKES. 2 y. 2.1) ∂y ∂z x y2 ( 2 x. pasando a coordenadas cilíndricas: 263 . donde C es la curva de 0 ≤ y ≤ a.0). Comprobar el teorema de Stokes si F ( x. siendo F = ⎜ arctg = ⎟i + ⎜⎛ln C ⎛ x⎞ ⎝ y⎠ ⎝ x2 + y2 ⎞ ⎟ j + k y C: el triángulo ⎠ con vértices (0. (0. y . y . x + z = 1.3 z 2 .5 1. 7. 4. 0 ≤ z ≤ a . y. x+ y+z = 3 a 2 264 . 9.2).2. Calcular ∫ ( y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz . z ) = 2 x + 2 y. Evaluar ∫ ( y + z )dx + (x + z )dy + (x + y )dz C 2 donde C es la frontera de la superficie x2 + y + z2 =1 .cuando una partícula se mueve ) el campo de fuerza bajo su influencia alrededor del borde de la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encuentra en el primer octante. = 1.0.0 ) → (1. y el plano x+y+z=1. 3. y el plano ) ( ) ( ) C intersección de la superficie del cubo 0 ≤ x ≤ a. en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba. Calcular ∫− y C 3 dx + x 3 dy − z 3 dz . y. Calcular ∫∫ (rotF ) • ndS . donde S F ( x.1.0. z ≥ 0 8. z ) = x + z i + y + x ( trabajo x 2 ) ( efectuado y 2 ) j + (z por z 2 + y k .MOISES VILLENA 2π Análisis Vectorial 2 ∫∫ ( R 4 xy + 4 y + 1) dydx = ∫ ∫( ( 0 0 0 2π 4 r cos θ ) ( rsenθ ) + 4 rsenθ + 1) rdrdθ 2 = ∫ ∫ 0 2π ⎡ r4 r3 r 2 ⎤ ⎢ 2 sen 2θ + 4 senθ + ⎥ dθ 4 3 2 ⎦0 ⎣ ⎡ 24 23 2 2 ⎤ ⎢ 2 sen 2θ 4 + 4 senθ 3 + 2 ⎥ dθ ⎣ ⎦ 2π = ⎡ ⎛ − cos 2θ ⎞ 32 ⎤ = ⎢8 ⎜ ⎟ + 3 ( − cos θ ) + 2θ ⎥ 2 ⎠ ⎣ ⎝ ⎦0 = 4π Ejercicios propuestos 7. Evaluar ∫ F • dr . Encontrar el trabajo que realizará F al mover una partícula a través de los puntos: (0.donde C es la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 .2 x.1).5 ) ( ) 6. Donde C es la curva de intersección entre C 2 2 las superficies x + y 5. Calcule el F ( x.0. Dado el campo de fuerzas F ( x. y la orientación de C corresponde al movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (1. z ) = y 2 i + xyj + xzk y S es la superficie 2.0 ) → (1.2. z ) = ( y − z )i + ( z − x ) j + ( x − y )k calculando la circulación a lo largo de la curva de intersección de x 2 + y 2 = 1 con semiesférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 con z >0 x + z = 1. Calcular ∫ (y 2 − z 2 dx + z 2 − x 2 dy + x 2 − y 2 dz . Ejemplo. Calcular x+ y+z =3 ∫∫ S JG J G G J F • N dS para F = ( 2 z . INTEGRALES DE FLUJO Se trata ahora de determinar el efecto de funciones vectoriales atravesando una superficie S . para esto se empleará integrales de superficie de la forma: JG F ∫∫ S JG J JG F • N dS Este tipo de integrales son llamadas integrales de Flujo. y 2 ) y S : porción del plano en el primer octante.8. x. x.3 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE CAMPOS VECTORIALES.1) 3 dS dS 2z + x + y2 ) 3 265 .1. y ) • 2 (1.MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7. SOLUCIÓN: z 3 G F J G J J N S :x+ y+z =3 3 y 3 x El flujo a través del plano estaría dado por: ∫∫ S JG J G J F • N dS = = ∫∫ ( ∫∫ S S ( 2 z . la región de integración sería: y 3 y = 3− x x 3 Reemplazando y evaluando: ∫∫ S ( 2 z + x + y ) dS = 2 3 = ∫∫ 0 0 3 3− x 0 0 3 3 3− x ( 2 (3 − x ) + x + y ) 2 1 + 1 + 1 dydx 3 6 − x + y 2 ) dydx y3 ⎤ 3− x ∫∫( ⎡ = (6 − x) y + dx ⎦0 ∫ 0 3 ⎣ ⎢ 3 ⎥ 3 = ∫ ∫ ⎡ (3 − x ) ⎤ (6 − x ) (3 − x ) + ⎢ ⎣ 3 ⎥ ⎦ dx 266 .MOISES VILLENA Análisis Vectorial Proyectando la superficie en el plano xy . MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎢ ⎥ ( 3 − x )3 3 0 3 ⎤ ⎥ dx ⎥ ⎦ = 0 ⎡ = ⎢18 x − 9 ⎢ ⎣ ⎡ ⎢18 − 9 x + x 2 + 4 ⎢ 3 − x ) ⎤3 ( ⎣ ⎥ x 2 x3 + + −12 ⎥0 2 3 2 3 4 ⎡ ( 3) ( 3) ( 3 − 3 ) ⎤ − ⎡ − 34 ⎤ = ⎢18 ( 3 ) − 9 + + ⎥ ⎢ ⎥ 2 3 −12 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 12 ⎦ 81 27 81 = 24 − + + 2 3 12 Si la superficie es cerrada tenemos otra opción para evaluar la integral de flujo. 267 . Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q . Ejemplo 1 G Comprobar el teorema de Gauss para F = ( 2 x. que en lugar de emplear una integral de superficie para calcular el flujo a través de una superficie cerrada se puede emplear una integral de volumen. calculamos el flujo por cada una y Luego los sumamos. entonces: JG J JG JG F • N dS = ∇ • F dV w ∫∫ S ∫∫∫ ( Q ) Es decir. z ) y Q el sólido limitado por las superficies z 2 = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 8 . Primero.4 TEOREMA DE GAUSS Sea Q una región sólida limitada por una superficie S orientada JG por un vector normal unitario dirigido al exterior de Q .MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7. z ≥ 0 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z S2 : x 2 + y 2 + z2 = 8 ρ= 8 φ= S1 : π x 2+ y 2 − z 2 = 0 4 x +y =4 2 2 y x PRIMER MÉTODO: POR INTEGRAL DE SUPERFICIE.8. el flujo por el cono: 268 ∫∫ JG JJG ∫∫ F•N dS = . Como hay dos superficies que definen el sólido. 2 y. −2 z) 4 x2 + 4 y 2 + 4z2 S1 S1 Análisis Vectorial d S 269 . 2 y . z ) • ( 2 x.MOISES VILLENA ( 2 x. 2 y. 2 . 2 z ) 4 x2 + 4 y2 + 4 z 2 dS Proyectamos la superficie en el plano xy ∫∫ S1 ( . 2 y. 2 y . ) ( 2 x. )• ( 2 x. −2 z ) + 4z 4x + 4 y 2 2 2 x y z • dS = ∫∫ R (2 . el flujo por la esfera ∫∫ S2 JG JJG F • N dS = ∫∫ S2 2 ( 2 x. 2 y. −2 z ) 4x 2 4 y + 4z + 2 = dS 2x y z ∫∫ R (2 .2 . 2 y.MOISES VILLENA Proyectamos la superficie en el plano xy Análisis Vectorial ∫∫ S1 (2 . 2 z ) 4x + 4 y + 4z 2 2 2 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z2 2z dA = ∫∫ R (4x 2 + 4 y2 + 2z2 ) dA 2z Pasando a coordenadas cilíndricas: ∫∫ R (4x 2 + 4 y2 + 2z2 ) dA = 2z ∫∫ 0 0 2 0 0 2 2π 2 ( 4r 2 + 2 (8 − r 2 ) 2 (8 − r ) 2 ) rdrdθ = ∫∫ ∫∫ 0 0 2π 2π 2r 2 + 16 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (8 − r ) 2 rdrdθ ⎤ r ⎥ drdθ ⎥ ⎥ ⎦ = r 3 (8 − r ) 2 + 8 (8 − r 2 ) − 1 2 La primera integral es por sustitución trigonométrica y la segunda por sustitución.2 . El resultado es: JG JJG F • N dS = ⎛ 160 2− 176 ⎞ π ∫∫ 270 ⎝ ⎠ . 2 y . ) ( 2 x. x y z )• ( 2 x. 2 y . −2 z ) + 4 y + 4z 2 2 2 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z2 2z dA x y z • = ∫∫ R 4x dA ( 4 x2 + 4 y2 − 2 z 2 ) 2z Pasando a coordenadas cilíndricas: ∫∫ R (4x 2 + 4 y2 − 2z 2 ) 2z dA = ∫∫ 0 0 2 0 0 3 2 2π 2 ( 4r 2 − 2r 2 ) 2r rdrdθ = ∫∫ r 3 0 2π r 2 drdθ = θ0 2π 16 = π 3 Segundo. z ) • ( 2 x.2 . MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎜ S2 3 3 ⎟ Sumando los dos flujos 271 . xy + cos z . xz + e y ) a través de la superficie que limita a Q .MOISES VILLENA Análisis Vectorial w ∫∫ S JG J G J F • N dS = ∫∫ S1 JG JJG F • N dS + ∫∫ S2 JG JJG F • N dS 176 ⎞ 16 ⎛ 160 =⎜ 2− ⎟π + π 3 ⎠ 3 ⎝ 3 160 = π 2 −1 π 3 ( ) SEGUNDO MÉTODO: APLICANDO EL TEOREMA DE GAUSS w ∫∫ S JG J G J F • N dS = ∫∫∫( ∇ • F ) dV JG Q = =5 ∫∫∫ ( ∫∫∫ Q Q 2π 0 2 + 2 + 1) dV dV Lo mejor será pasarlo a coordenadas esféricas: π 5 ∫∫∫ Q dV = 5 ∫∫∫ 0 0 4 8 ρ 2 senφ d ρ dφ dθ =5 ρ3 3 0 8 ( − cos φ ) 0 4 θ 0 3 π 2π ( 8) =5 3 =5 ⎛ 2⎞ 1− ( 2π ) ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 2 ⎛ 2⎞ 1− ( 2π ) ⎜ 3 ⎝ 2 ⎟ ⎠ 160 2 −1 π = 3 ( ) Ejemplo 2 Sea Q la región limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 4 . Hallar el flujo de F = ( x 2 + senz . el plano x +z =6 y el plano JG xy . SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo: 272 . MOISES VILLENA Análisis Vectorial z x+z=6 x2 + y 2 = 4 y x Aquí es mejor aplicar el teorema de Gauss. w ∫∫ S JG J G J J F • N dS = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Q Q Q 6−r cos θ 0 ( ∇ • F ) dV JG ( 2 x + x + x ) dV 4 xdV Pasando a coordenadas cilíndricas: ∫∫∫ Q 4 xdV = 4 ∫∫ ∫ 0 0 2 0 2 2π 2 r cosθ dzrdrdθ =4 =4 =4 =4 ∫∫ ∫∫ ∫ ∫( ∫ 0 2π 0 0 2 2π 0 0 2π 2π r 2 cos θ z 0 6 −r cos θ drdθ r 2 cos θ ( 6 − r cos θ )drdθ 6r 2 cos θ − r 3 cos 2 θ )drdθ ⎛ r3 3 ⎝ 6 cosθ ⎜ − cos 2 θ r4⎞ 4 2 ⎠0 ⎟ dθ 0 =4 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ 1 + cos 2θ = 4 ⎜ 16 senθ − 4 dθ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0 ∫ 2π (16cosθ − 4 cos θ ) dθ 2 2π ∫ sen 2θ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ = 4 ⎜ 16 senθ − 2 ⎜ θ + ⎟⎟ ⎝ ⎝ = 4 ( −2 ( 2π ) ) 2π = −16π 273 . MOISES VILLENA 2 ⎠ ⎠0 Análisis Vectorial 274 . y n es el vector normal unitario exterior a cada cara. 0 ≤ z ≤ 2 . ∫∫ rotF • ndS . y . el plano z = 0 . 3. a través de la región limitada por 275 .−2 y . donde S es la S ( 2 2 ) =4. y. donde S F ( x. Calcular ∫∫ F • dS .6 1. Sea Q la región sólida en R3 limitada por los planos coordenados y el plano 2 x + 2 y + z = 6 . donde S F ( x. z 11. 5.− xy ) .2 xy + y 2 z a través ( ) de toda la superficie S de la región semiesférica limitada por z = 9 − x − y . evaluar ( ) ∫∫ (∇ × F ) • dS . y. 0 ≤ y ≤ 2. z ) = z arctg y 2 i + z 3 ln x 2 + 1 j + zk .0 ≤ z ≤ 4 Calcular el flujo de F ( x. Calcular 4. z ) = xi + yj + zk . 6. Sea F ( x.dS S donde F = xy i + x yj + 2 2 y S es la superficie del elipsoide x 2 + y 2 + z 2 = 1 12. no situadas en el plano xy. y F es el campo ∫∫ F . y las esferas los planos y = x . el cono z = x2 + y2 + z2 = 2 y x2 + y2 + z2 = 8 . y S es la superficie de S la esfera unitaria. y. 0 ≤ z ≤ 1 2. Calcular ∫∫ F • dS . donde F ( x. a través de la ( ) ( ) z=0 superficie x + y + z 9. donde E es el sólido en el primer octante limitado por x 2 + y 2 . yz. y. Evaluar 2 2 ∫∫ F • dS . z ) = xi + yj + zk . 2 Sea F = 2 yzi + (− x + 3 y + 2 ) j + x + z k . Calcular la integral de Superficie de F en el contorno de Q. z ) = ( y − z .MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejercicios propuestos 7. y . y. Evaluar ∫∫∫ E x x + y2 + z2 2 dV . z =0 y 1 3 z k 3 z = 2 . Verificar el teorema de la divergencia de Gauss para evaluar superficie cerrada determinada por x + y vectorial F ( x. S consta de las cinco caras del cubo 0 ≤ x ≤ 2. está orientada hacia arriba. y. z ) = xz 2 . x 2 y − z 3 . Encuentre el flujo de F a través de la porción de la superficie x + y + z = 2 . Calcular el flujo del campo vectorial F ( x. z) = 3xy 2 i + 3xy 2 j + z 3 k . a través de la superficie del sólido x + y + z = 1 ⎛ 2⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 10. z ) = (2 x + 3 z )i − ( xz + y ) j + y 2 + 2 z k donde ( ) S es la superficie externa del sólido limitado por z 2 = 4 x 2 + y 2 ( ) . donde S es el cilindro x 2 + y 2 = 81 . 8. 2 2 2 =a 2 z Calcular el flujo del vector F = (2 x + 1)i + y ( z + 1) j − ⎜ = ⎟ k . que se encuentra arriba del plano z = 1 y 2 2 ( ) 7. y F ( x. y = 3 x . z ) = 4 x. 2 2 3 3 3 Calcular el flujo del vector F = x i + y − y j + z + z − xy k .