11GEOESTADISTICA GEOESTADISTICA MINERA MINERA Ing. ROBERTO BRUNO -
[email protected] Consultor INTERCADE Junio 2008 Ing. Roberto Bruno -
[email protected] - Consultor Internacional Intercade 22 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades • La Modelización. • Algunos modelos. • La anisotropía. Ing. Roberto Bruno -
[email protected] - Consultor Internacional Intercade 33 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Meseta y alcance • Alcance: C(h) = 0 h > a • Alcance convencional : C(h) < e h > a • Meseta: C(h=0) ⇒ g(h) = C(0) Ing. Roberto Bruno -
[email protected] - Consultor Internacional Intercade 44 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos de variogramas con alcance y meseta • Variograma experimental de la saturación de "olio" en un yacimiento de idrocarboneto.(Mining Geostatistics di Journel & Huijsbregts, pag 237). Ing. Roberto Bruno -
[email protected] - Consultor Internacional Intercade 55 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos ... Variograma experimental de la Variograma de conducibilidad eléctrica variable Cu en un yacimiento del num solo en Israel. Cile (Journel & Huijbregts, 1978, (de ”Disjunctive Kriging in Agriculture ”, de "Mining Geotatististics") R. Webster and Oliver”, M.Armstrong(ed.) Ing. Roberto Bruno -
[email protected] - Consultor Internacional Intercade A 2003-2004) Ing.intercade.org
[email protected] A. 66 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos … pulido abujardado variogramma sa lev 120 variogramma sa boc1 600 1400 500 1200 1000 400 0ｰ 0? 45ｰ 800 45? 300 90ｰ 600 90? 200 135ｰ 135? 400 100 200 0 0 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 • Comparación entre variogramas de variable intensidad de imagenes de chapas de roca ornamental (“serizzo antigorio”) pulido y abujardado (tesis de E. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade .intercade. 77 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Anisotropia geométrica Elipse de anotropia Variograma de dos Direcciones principales Lentes mineralizadas
[email protected] . Roberto Bruno .org . meseta=10 Variogramma h γ0(h) γ45(h) γ90(h) a90=1000 12 Variogramma γ (h) 10 0 8 6 direzione 0 4 250 a0=500 direzione 90° 2 0 500 0 500 1000 1500 2000 distanza (h) 750 1000 Ing.Consultor Internacional Intercade . 88 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplo de anisotropia geometrica • Los valores de variograma con anisotropia geometrica para diferentes direcciones: alcances=500 (0°) e 1000 (90°).intercade.rbruno@expo. intercade. 99 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplo … A 45° de alcance vale cerca de 650.rbruno@expo. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade .org . Variogramma h γ0(h) γ45(h) γ90(h) a90=1000 12 Variogramma γ (h) 10 0 0 0 0 8 6 direzione 0 4 250 … … … a0=500 direzione 90° 2 0 500 10 … … 0 500 1000 1500 2000 distanza (h) 750 10 10 … 1000 10 10 10 Ing. Roberto Bruno .
[email protected] . hz) Ing. 10 10 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Anisotropia zonal meseta 2 meseta 1 alcance Variograma en 2 direciones Formaciones sedimentarias • g(h) = g1(hx) + g2(hx.Consultor Internacional Intercade . a90= 500.rbruno@expo. Componente isotropa Ciso=10. a componente zonal C90=3.intercade.Consultor Internacional Intercade .org . 11 11 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplo de anisotropia zonal • El valor de un variograma modelo con anisotropia zonal en la direccion 90°. Roberto Bruno . aiso= 1000. h γ0(h) γ45(h) γ90(h) Variog ramaa Variogram 0 (h)) 12 12 maa (h 10 10 250 ram 88 variogra 66 variog 500 4 54 5 750 22 00 00 500 5500 5 1000 10 1000 10 1500 1500 2000 2000 1000 Ing. 12 12 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Variogramma anisotropia zonale 14 γ (h) Ejemplo … 12 10 direzione 0 Variogramma 8 direzione 90° 6 g(h) = 3*g1(500.Consultor Internacional Intercade . Roberto Bruno .org . h90) + 10*g2(
[email protected]. h) 4 zonale 90 2 0 0 500 1000 1500 2000 distanza (h) h90(45 h h90(0) g0(h) g45(h) h90(90) g90(h) ) 0 0 giso(h) 0 giso(h)+gzon(h/2½) 0 giso(h)+gzon(h) 250 0 177 250 500 0 354 500 750 0 530 750 1000 0 707 1000 Ing. Consultor Internacional Intercade . 13 13 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Forma del modelo en la origen • La forma en el origen del variograma es correlada al nivel de continuidad de la variable.intercade. variable variable variable differenziabile continua discontinua Effetto pepita Ing. Roberto Bruno
[email protected] . org .rbruno@expo. Roberto Bruno .intercade. 14 14 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Tendencia del modelo a las grandes distancias variograma limitato variograma non limitato soglia portata Crescita < h2 Ing.Consultor Internacional Intercade . intercade. 15 15 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Modelo con estructuras anidadas Ing.org .Consultor Internacional Intercade . Roberto Bruno .rbruno@expo. Consultor Internacional Intercade . De Sismard (1980) logaritmo del tenor en oro en direción paralela y perpendicular a una faglia.org .intercade.rbruno@expo. Roberto Bruno . De Champigny e Armstrong (1989) Ing. 16 16 VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos Anisotropia geométrica (residiuos Anisotropia zonal (variograma del gravimetria). 17 17 VARIOGRAMAS MODELOS • LAS PROPIEDADES. • LA ANISOTROPIA. • LA MODELIZACION. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . Ing. • ALGUNOS
[email protected] . intercade. la combinación lineal ∑∑ λ λ f (x . Roberto Bruno . x ) ≥ 0 doble resulta siempre N N positiva: i j i j i =1 j =1 Ing. • Las funciones “definidas positivas”. • Formalmente una función es definida positiva si.org . 18 18 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización “FUNCIONES DEFINIDAS POSITIVAS” • Muchas relaciones teóricas son combinaciones lineales de variogramas.rbruno@expo. en práctica.Consultor Internacional Intercade . garantizan la positividad de las varianzas. Roberto Bruno .org . ⎧ N ⎫ ∑ λ λ γ (x − x j )≥ 0 N N Var ⎨ ∑ λ i Z ( x i )⎬ = − ∑ i j i ⎩ j =1 ⎭ i =1 j =1 • (‘) significa que la sumatoria de los ponderadores vale 0 (zero). 19 19 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización LAS FUNCIONES MODELOS DE VARIOGRAMAS • Haga una combinación lineal autorizada (Sl=0) de la FASt.Consultor Internacional Intercade . Ing.intercade. N ∑ λ j Z (x i ) i=1 • Su varianza es una función del variograma.rbruno@expo. el modelo del cual tiene que ser una función condicionalmente (‘) “definida positiva”.
[email protected] .intercade. Ing. 20 20 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Ejemplo Piezometría del acuífero de la bacia de Korhogo (Costa D’Avorio) medida de Julio hasta Diciembre en 4 Piezómetros.Consultor Internacional Intercade . Roberto Bruno . Roberto Bruno .org .intercade. 21 21 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Ejemplo Ejemplo … … días días días Lluvia Ruscellamento Piezometro n.33 Piezometron.4 Piezometro n.3 días días días Piezometro n.Consultor Internacional Intercade .18 Ing.rbruno@expo. • Los valores altos y su posición en el campo.org .intercade.rbruno@expo. • Los valores anómalos. • El tamaño del campo. 22 22 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad En el calculo del variograma experimental necesita considerar su sensibilidad a: • La selección de las clases de cálculo. Roberto Bruno . • La homogenidad de la población. Ing.Consultor Internacional Intercade . 23 23 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Ejemplo de sensibilidad • La temperatura de un lago medida cotidianamente: a) en el mismo punto.intercade. Ing. Roberto Bruno . • Los expertos podrían interpretar la periodicidad.org . b) a 50m de
[email protected] Internacional Intercade . • La temperatura parece aumentar en los 30 años. rbruno@expo. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade .intercade. 24 24 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad da las clases + 2 meses 6 meses • 11 meses x 12 meses 50 giorni ≈ 2 mesi Anni Ing.org .
[email protected] Internacional Intercade .intercade. Roberto Bruno . 25 25 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la tolerancia de las clases • ± 50% (6 meses) ± 25% (3 meses) x ± 8% (1 mes) + ± 3% (10 días) años Ing.org . 26 26 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la dimensión del campo Variograma calculado: • Yacimento de uranio: • Todo el sondeo mineralización en vetas • La mitad del sondeo pequeñas.org .intercade.rbruno@expo. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . topografia Ejemplo de sondeo tipo Ing. Roberto Bruno .org
[email protected]. 27 27 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a los valores anómalos • Tenor de azufre de dos capas de carbón variograma de las dos variograma de las dos capas (calculado con capas eliminando dos 207 datos) valores anómalos Ing.Consultor Internacional Intercade . 28 28 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a los valores altos • Tenor de oro.Consultor Internacional Intercade .2 Histograma Variograma experimental con y sin y valores altos Ing. en 1501 muestras con s/m = 8.org .intercade.rbruno@expo. Roberto Bruno . Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . Plan de Variogramas experimental Muestreo en diversas direcciones Ing. 29 29 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la homogeneidad de la población • Muestreo a grande escala de los módulos métalicos en el Océano Pací
[email protected] .intercade. Consultor Internacional Intercade
[email protected] . Roberto Bruno . 30 30 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la homogenidad …. Variogramas direccionales de las poblaciones II Localización de Histograma de las dos las dos poblaciones poblaciones Ing.intercade.
[email protected]. Ing. Roberto Bruno . • Se modelizan juntamente los variogramas experimentales en las diferentes direcciones. 31 31 VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Consideraciones sintéticas: • El variograma experimental es un estimador correcto del variograma. La función modelo tiene que garantizar la positividad de las h varianzas. r • • Necesita calcular el variograma para cualquier vector.Consultor Internacional Intercade .org . org . 32 32 VARIOGRAMAS MODELOS • LAS PROPIEDADES.rbruno@expo. • LA ANISOTROPIA.Consultor Internacional Intercade .intercade. • LA MODELIZACION. Roberto Bruno . • ALGUNOS MODELOS ISOTROPOS. Ing. org . Roberto Bruno . γ(h) γ (h) = 0 h=0 C γ (h) = C ∀h > 0 h
[email protected]. 33 33 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo de efecto de pepita • No hay correlación espacial.Consultor Internacional Intercade . Consultor Internacional Intercade .intercade.org . Roberto Bruno .rbruno@expo. 34 34 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos EJEMPLO • Distribución espacial de una variable en 2D con modelo de variograma pepítico. Ing. intercade.hy) hx hy Ing.y tridimensional del modelo esfé rico de una esferico variable en 2D hx (
[email protected] Internacional Intercade . Roberto Bruno . 35 35 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo esférico Representación hy bi.org . 36 36 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo: • Distribución espacial de una variable en 2D con modelo de variograma esférico isotropo.intercade. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade .org .rbruno@expo. x (km) 0 5 10 15 15 15 a = 2500 m x (km) x (km) 10 10 5 5 0 0 0 5 10 x (km) Ing. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade .hy) ⎛ − h ⎞ γ (h ) = c⎜⎜1 − e a ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ Ing.org .intercade. 37 37 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo exponencial exponencial Representación hy bidimensional del modelo exponencial de una variable en hx 2D (hx.rbruno@expo. Roberto Bruno .org .rbruno@expo. 38 38 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Distribución espacial de una variable a 2D con modelo de variograma exponencial isótropo. x (km) 0 5 10 15 15 15 x (km) x (km) 10 10 a = 2500 m 5 5 0 0 0 5 10 x (km) Ing.Consultor Internacional Intercade .intercade.
[email protected]) ⎛ ⎛h⎞ 2 ⎞ −⎜ ÷ ÷ γ (h ) = c ⎜ 1 − e ⎝ a ⎠ ÷ ⎜ ⎝ ⎠ Ing.Consultor Internacional Intercade .org . Roberto Bruno .intercade. 39 39 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Exponencial El modelo gaussiano hy Rapresentación bidimensional del modelo gaussiano GAUSSIANO de hx una variable en 2D (hx. 40 40 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Distribución espacial de una variable a 2D con modelo de variograma gaussiano isotropo.intercade. Roberto Bruno .org .rbruno@expo. x (km) 0 5 10 15 15 15 a = 2500 m x (km) x (km) 10 10 5 5 0 0 0 5 10 x (km) Ing.Consultor Internacional Intercade . Roberto Bruno .org .Consultor Internacional Intercade .rbruno@expo. 41 41 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo lineal y ejemplo • Distribución de una variable en 2D. γ (h ) = ch lineal Ing.intercade. Ing.org
[email protected] Internacional Intercade . 42 42 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo periódico • Es definido en 1D y es caracterizado por el período T ⎛ ⎛ 2π ⎞⎞ γ (h ) = C ⎜⎜1 − cos⎜ h ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ T ⎠⎠ NB .El modelo no es estrechamente definido positivo porque restituye varianzas nulas por incrementos con distancias múltiples del período. Roberto Bruno .intercade. rbruno@expo. ⎛ ⎛ 2π ⎞⎞ VARIOGRAMMA SPERIMENTALE γ (h ) = C ⎜⎜1 − cos⎜ h ⎟ ⎟⎟ 0.00055 T = 24 Tesina Geostatistica Leonardo Fumelli – AA 2004/5 Ing.001 0. 43 43 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo: • Variable a 1D con variograma periodico.0012 ⎝ ⎝ T ⎠⎠ 0.Consultor Internacional Intercade .0002 0 0 10 20 30 40 50 60 h γ(t) = γpep + γper C0 = 0.0006 modello 0.intercade.0014 0.org .0002 Cper = 0.0008 var sper. γ (h) 0.0004 0. Roberto Bruno . 5 1 γ(h) 0.intercade.Consultor Internacional Intercade . T=5) 1.5 0 0 5 10 15 20 25 30 h Ing. unico parametro es el periodo T ⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ h⎟ ⎟ γ (h ) = C ⎜ 1 − ⎝ T ⎠⎟ h ∈ R3 ⎜ 2π ⎟ ⎜ h ⎟ ⎝ T ⎠ Variogramma modello a sinusoidale (C=1.rbruno@expo. Roberto Bruno . 44 44 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo sinusoidal • Es definido en 3D y tiene una periodicidad amortiguada.org . T/2p ≥ a√3 (R3) Ing. a ⎛ − h ⎛ 2π ⎞ ⎞⎟ γ (h ) = C ⎜1 − e cos⎜ ⎜ a h⎟⎟ ⎝ ⎝ T ⎠⎠ El modelo es significativo en 1D porque para dimensiones mayores sí aplican las condiciones: T/2p ≥ a (R2).intercade.Consultor Internacional Intercade . T. el amortiguamiento es controlado por el alcance.org . Roberto Bruno .rbruno@expo. 45 45 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo de “efecto de hoyo” • La periodicidad si amortiga cuando aumenta la distancia y es controlada por el periodo. rbruno@expo. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade .intercade. 46 46 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Modelos con estructuras anidadas modelo elementare con capacidad menor modelo elemental con capacidad mayor Estructura aninada Ing.org . x (km) 0 5 5000 10 10000 15000 15 15000 15 15000 15 a1= 1000 m x (km) x (km) 10000 10 10000 10 A2= 6000 m 5000 5 5000 5 0 0 0 55000 10000 10 15000 x (km) Ing. Roberto Bruno . suma de dos variogramas modelos: cubico 1000 + esferico 6000.intercade. 47 47 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Distribución espacial de una variable en 2D con estructuras
[email protected] Internacional Intercade .org . 48 48 VARIOGRAMAS MODELOS • LAS PROPIEDADES. • LA MODELIZACION.rbruno@expo. • ALGUNOS MODELOS ISOTROPOS.org .intercade. • LA ANISOTROPIA. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . Ing.
[email protected] Internacional Intercade .org . 1 aα = sin 2 (α ) cos 2 (α ) 2 + ay a x2 Lentes Lentes meseta mineralizadas mineralizadas Ing. 49 49 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos La anisotropia geometrica • El alcance varia con la dirección. Roberto Bruno .intercade. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . y dirección de anisotropia 30°.rbruno@expo. x (km) 0 5 10 15 hy representación bidimensional 15 15 del modelo exponencial x (km) x (km) 10 10 con anisotropia geométrica de 5 5 una variable 0 0 hy a 2D (hx. 50 50 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Cartografia de una variable en 2D con variograma modelo exponencial con anisotropia geométrica de alcances min/max 1000/3000 m.org .intercade.hy) 0 5 10 x (km) Ing. 51 51 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Anisotropia zonal • Es un modelo con estructuras anidadas.org .intercade. una de las cuales contribuye sólo en una dirección.Consultor Internacional Intercade . rr γγ ((hh))== γγisoiso((hh))++γγzon (h zon)) zon (hzon = h cos (α zon)) zon = h cos (αzon hhzon azon=60° Ing.rbruno@expo. Roberto Bruno . rbruno@expo. Roberto Bruno .org . 52 52 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Cartografia de una variable a 2D con variograma con anisotropia zonal compuesta por : esferico 1500 isotropo + esferico 2000 zonal en dir.intercade. 30° x (km) 0 5 10 15 15 15 x (km) x (km) 10 10 5 5 0 0 0 5 10 x (km) Ing.Consultor Internacional Intercade .
[email protected] Internacional Intercade . γ1 = 5 Esférico.intercade. γ3. γ2. de inclinación 2 • Cuales son los valores de los variogramas para: – h=0 – h=5 – h = 20 Ing. Roberto Bruno . alcance 10 y meseta 3 Lineal. 53 53 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejercicio • Datos los 3 modelos isotropos: Efecto de pepita.org . alcance 10 y meseta 3 – Lineal.Consultor Internacional Intercade .org .06. g2. 0.intercade. de inclinación 2 Distancia Valores elementales Valor final g1. Roberto Bruno . g1 = 5 – Esférico. 10 17.06 20 5. 40 48 Ing. 3. g2. 54 54 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Solución • Datos los 3 modelos isotropos: – Efecto de pepita. 0 0 5 5. g3 g = g1+g2+g3 0 0. g3. 2.rbruno@expo. 55 55 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos !Cuidado! • Histograma y variograma no definen unicamente una FA.intercade.org . • Existen FA con el mismo variograma y el mismo histograma.rbruno@expo. pero con ley espacial diferente. Ing. Roberto Bruno .Consultor Internacional Intercade . mas con ley espacial diferente. intercade.rbruno@expo. pero las leyes espaciales son diferentes.Consultor Internacional Intercade .org . Ing. 56 56 VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos !Cuidado! • Ejemplo: los siguientes FA tienen histograma exponencial y variograma exponencial. Roberto Bruno .