#VALUE!Determinar TIR Supongamos que un inversor puede comparar un bono con Valor Nominal (VN) de $1.000, plazo de vencimiento de 4 años, tasa cupón de 12%, pagado anualmente. por $ 1.200. Determine el rendimiento al vencimiento del bono. Valor Nominal (VN) Plazo de Vencimiento Tasa cupon (Pagado Anualmente) Precio (P) Año 0 1000 4 12% 1200 1200 Año 1 120 0.943396226 Año 2 120 0.889996 1200 113.2075472 Factor (6%) Factor (7%) 1200 Año 3 120 0.839619283 Año 4 1120 0.792094 106.7996 100.754314 887.1449 0.934579439 0.873439 0.816297877 0.762895 112.1495327 104.8126 97.95574523 854.4426 V Absoluto 38.54577394 30.63943718 1% X X= 0.79% TIR= 7.00% -0.79% 6.21% almente. por -7.906337 30.63944 38.54577 #VALUE! Supongamos el caso de un bono con Valor Nominal de $ 1.000, pago de cupón de $ 100 (10%) al final de cada año y al que le restan 3 años hasta su vencimiento. La tasa de rendimiento al vencimiento requerido por el inversionista es del 12% anual. Determine cuanto se puede pagar por ese bono (Valor Presente, Precio) Valor Nominal (VN) Plazo de Vencimiento Tasa cupon (Pagado Anualmente) Precio (P) 1000 3 10% Determinar Rendimiento al Vencimiento (RAV o TIR) 12% Año 1 Año 2 Año 3 Cupones RAV 12% 100 0.892857143 100 0.797193878 1100 0.711780248 Valor Presente 89.28571429 79.71938776 782.9582726 PRECIO 951.9633746 36 740.21 . Valor Nominal (VN) Plazo de Vencimiento Tasa cupon (Pagado Anualmente) Precio (P) Determinar Rendimiento al Vencimiento (RAV o TIR) Cupones (1000*(10%/2)) RAV 12% Valor Presente PRECIO 1000 4 10% 1200 12% Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Periodo 6 50 50 50 50 50 1050 0.17 950.943 0.890 0.792 0. La tasa de rendimiento al vencimiento requerido por el inversionista es del 12% anual. Determine su precio.60 37.840 0.747 0.83 44.705 47.98 39.#VALUE! Consideremos un bono con Valor Nominal de $ 1.000. pago de cupón 10% anual pagado semestralmente y al que le restan 3 años hasta su vencimiento.50 41. Determine el precio de adquisición de un Bono del Estado de nominal 1.00 726.110.00% 10.9009009 110.00 10.016.000% ETTI 11.82644628 1.00) 0.45) 0.051% .#VALUE! Precio de un Bono del Estado En el mercado secundario están disponibles los siguientes bonos: Bono A: Bono cupón cero a un año que se adquiere por 1.00 11.000% 10.00% Factor Bono Estado (1.00) 1.000.000 € y se amortiza por 1.00 0. Bono B: Bono cupón cero a dos años que se adquiere por 600 € y se amortiza por 726 €.00 Bono B (600.000 € que proporciona un cupón anual del 11% y al que restan dos años para su amortización.110. Año 0 1 2 TIR Bono A (1.110 €. 00 $10.00 $110.00 anual Año 0 1 2 3 4 5 Flujo Caja -$100. Por ello. Un bono estandar se puede interpretar como un préstamo americano.00 $10.xls #VALUE! Rentabilidad de un Bono Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años. cupón 10% anual que se adquiere por el nominal. cupón (en %) y TIR coinciden. TIR 10% También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel.00 $10. TIR 10% Un bono estandar es aquel que cumple las siguientes condiciones: 1 Se adquiere por el nominal 2 Se amortiza por el nominal (no existe prima de amortización) 3 La periodicidad de cobro de cupón es constante. .00 Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. se puede calcular el tipo de interés que paga sin más que dividir el cupón entre el nominal.Bonos. Esto es.00 $10.00 $10. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje. Solución TIR Cupón % Nominal Cupón 10% efectivo anual 10% anual $100. Por ello. se ás que dividir el cupón entre el .ular simplemente dividiendo el TIR coincide con el Cupón a fórmula TIR de Excel. iste prima de amortización) préstamo americano. #VALUE! Rentabilidad de un Bono de cupón semestral Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años.00 $5.00 $5. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje.25% efectivo anual 5% semestral $100. Solución Cupón % Nominal Cupón TIR 10. Pero en este caso al ser semestrales los flujos.00 $5.00 $5.00 semestral Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo Caja -$100.00 $5.00 $5.00 $5.25% También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel. TIR semestral TIR 5% 10.00 Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. TIR semestral TIR 5% 10.00 $5. cupón del 5% semestral que se adquiere por el nominal.00 $5. Finalmente hemos de anualizarla. la TIR es semestral.00 $105.25% .00 $5. la TIR de anualizarla. R acudiendo la la fórmula TIR de Excel. .e se adquiere por el nominal. R se puede calcular simplemente dividiendo el iciendo que la TIR coincide con el Cupón n este caso al ser semestrales los flujos. Esto es.00 $60. Calcular la TIR.080.#VALUE! TIR de un Bono En el mercado secundario cotiza un bono al 102% sobre el nominal que es de 1. Precio % Precio Año 0 1 2 3 4 6% anual $1.000.00 $1.00 anual $20. paga un cupón del 6% anual venciendo el primero de ellos dentro de un año.8824% .000 $.00 $60. Solución TIR Cupón % Nominal Cupón Prima Amort.8824% efectivo anual Este bono no es un bono estandar .00 $1.020. pero como coincide el precio de adquisición con el de amortización más la prima (1.00 5. dividiendo el cupón entre el precio de adquisición. TIR 5.020 $) se puede calcular la TIR como si de un bono estandar se tratara.02 $1.020.00 $60. El bono madura a los 4 años y paga una prima de amortización de 20 $.00 Flujos Caja -$1.8824% También se puede calcular la TIR usando la fórmula de Excel TIR 5.00 $60. paga un cupón del a los 4 años y paga una prima de estandar .000 $. pero como coincide el el de amortización más la prima ar la TIR como si de un bono es. dividiendo el cupón entre el r la TIR usando la fórmula de .s de 1. #VALUE! Precio de un Bono en el mercado secundario Determinar el precio de adquisición de un bono en el mercado secundario que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que restan para su amortización 3 años y 9 meses. El cupón es del 1,5% semestral. TIR 3.40% efectivo anual TIR trimestral 0.8394% efectivo trimestral Tiempo 3 años y 9 meses Trimestres 15 Trimestres Cupón % 1.50% semestral Cupón $1.50 semestrales Nominal $100.00 Trimestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Flujos Caja -P $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $101.50 Precio 99.45 € El precio del bono es el Valor Actual de los Flujos de Caja que promete el bono a futuro, descontados a su TIR. Ha sido necesario trabajar con perodicidad trimestral porque el tiempo más pequeño entre dos fluos de caja es el trimestre. Concretamente, el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón. Además para que el VAN funcione es imprescindible poner flujo de caja cero en los trimestres donde no se paga cupón. Si esas celdas se dejan vacias la formula no funciona bien. Sabemos que el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón es de un trimestre ya que la amortización del bono coincide con el pago del último cupón, y contando los periodos hacia atrás en el tiempo llegamos a la conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2 semestres. o que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que mestral. el Valor Actual de los Flujos de Caja que uro, descontados a su TIR. bajar con perodicidad trimestral porque el tiempo os fluos de caja es el trimestre. Concretamente, quisición y el cobro del primer cupón. Además cione es imprescindible poner flujo de caja cero de no se paga cupón. Si esas celdas se dejan funciona bien. po entre la adquisición y el cobro del primer stre ya que la amortización del bono coincide con pón, y contando los periodos hacia atrás en el conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2 #VALUE! Prima de amortización Un inversor adquiere un bono en el mercado secundario por el nomial. El bono paga un cupón semestral del 6% nominal anual, venciendo el próximo dentro de 6 meses, y se amortiza dentro de 18 meses, con una prima de amortización de 10 $. El nominal del bono es de 1.000 $. Calcular la rentabilidad del bono. Solución TIR Cupón nominal % Cupón % Nominal Cupón Prima Amort. Precio % Precio 6% nominal anual 3% semestral $1,000.00 $30.00 semestral $10.00 $1.00 $1,000.00 Semestre 0 1 2 3 Flujo Caja -$1,000.00 $30.00 $30.00 $1,040.00 6.7554% efectivo anual TIR semestral TIR 3.32% 6.7554% con una prima de amortización de 10 efectivo semestral efectivo anual .El bono paga un cupón semestral del 6% nominal e 18 meses. Calcular N.00 € .250.#VALUE! Nominal del bono Se puede adquirir un bono en el mercado secundario por P €. El primer cupón por importe de 50 € se cobrará dentro de p meses.250. Solución Cupón nominal % m Cupón semestral % Cupón Nominal 8% nominal anual 2 numero de subperiodos contenidos en el periodo 4% 50 € Cupón (€) = Cupón (%) x Nominal Nominal 1. El bono proporciona un cupón semestral del 8% nominal anual.00 € 1. Su nominal es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El upón por importe de 50 € se cobrará dentro de p .al es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. 3% anual 1. nominal de 1.00 € 30.000. Solución Cupón % Nominal Cupón TIR Precio 330 El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja futuros descontados a su TIR.#VALUE! Deuda perpétua Determinar el precio de mercado de un bono de deuda perpétua con cupón anual del 3%.00 € 330.00 € anuales 10% Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 : : : ∞ Prestación -P Contraprestación 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 : : : 30 Precio Precio 330.00 € . TIR del 10%.000 € y sabiendo que hoy cobrará el cupón. TIR del 10%.000 o de un bono es el valor actual de los flujos de uros descontados a su TIR. nominal de 1.ón anual del 3%. . 70 € Saldo en C/C Rentabilidad del inversor V.70 € C 32.000000% efectivo anual .000.70 € 34. amortizándose por el nominal. determinar el importe del cupón.76 € 1.032. C/C 34.000 € nominales y proporciona un cupón de C € durante 4 años.F.134. El bono es de 1.70 € Otra forma de resolverlo es plantear la ecuación.00 € 1.35 € 1.Método 1 Flujo Caja Flujos Caja -970 970.70 € <-.70 € 1000+C 1.Método 2 1.#VALUE! Cupón que percibe el inversor Don Andrés adquiere un bono en el mercado primario por 970 €.032.00 € 4 años 2% efectivo anual 4% 32.70 € C 32. Todos los cupones se ingresan en una cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual. Si Don Andrés obtiene una rentabilidad del 4% efectivo anual durante los 4 años por sus 970 €. Solución Cupón Precio Nominal Tiempo C/C Rentabilidad inversor Cupón Año 0 1 2 3 4 32.134. despejarla y efectuar los cálculos con la ayuda de Excel Cupón 32.70 € <-.76 € 4.00 € C 32.02 € 33.70 € 970. . 89 €.#VALUE! Meses transcurridos Doña Isabel adquiere un bono de deuda pertétua en el mercado secundario por 1. Solución Meses 4 Precio 1.2466% efectivo mensual Vencimiento Perpétua Semestre Flujos Caja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 : : : ∞ 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € : : : 20+N Valor Actual de la Renta Perpétua en t=1 semestres 1 Valor de la Renta 1 mes antes 2 Valor de la Renta 2 meses antes 3 Valor de la Renta 3 meses antes 4 Valor de la Renta 4 meses antes 5 Valor de la Renta 5 meses antes 6 Valor de la Renta 6 meses antes 7 Valor de la Renta 7 meses antes 8 Valor de la Renta 8 meses antes Otra forma de resolverlo con Buscar Objetivo Meses Diferencia . El bono paga un cupón semestral de 20 €. Calcular cuantos meses transcurren desde la compra hasta el cobro del primer cupón.89 € Cupón 20 € semestral TIR 3% efectivo anual TIR semestral 1.4889% efectivo semestral TIR mensual 0.349.349. La TIR del bono en el momento de la compra es del 3%. 343.363.89 € 4.57 € 1.349.26 € 1.95 € 1.89 € 1.339.49.336.22 € 1.349. El bono paga un cupón r cuantos meses transcurren 1.00 - € 0 1 2 3 4 5 6 7 8 .89 €.353.356.56 € 1.66 € 1.91 € 1.359.26 € 1.346. 00 0. Cupón anual del 4.264.1316422% . Bono cupón cero a un año.239.000.00 Bono D (99.92092258 4.00) 4. Bono cupón explícito a cuatro años.80 4.87 5.00 1.80 4.00 5.80 0.00 Bono B (101.00 Bono H (97.80 Bono E (10.80 104.50) 5.00 401.00 105.00) 0.00 119.00 Bono D (99.019.170.95) 0.00) 4.83274149 Año 0 1 2 3 4 Bono A (100.00 Bono C (870.1316422% 0.00 105.00) 104.00) 104.751% 5. Año 0 1 2 3 4 TIR Bono A (100.00 0.264.056.80 4.899.00 Coeficientes: -0. Bono cupón explícito a dos años.00 0.20 10.1316422% ETTI Factor 4% 0.928.00 Bono C (870.47) 0.083% 4.00) 0. C.816.01839716 3.92) 0.019.00 5.000.00 119.20 Bono G (102.80 104.8% y precio de adquisición del 99% sobre el nominal Calcular la TIR de un bono cupón cero a cuatro años.67 5.00 0.80 4.#VALUE! ETTI del cuarto año En el mercado secundario cotizan los siguientes bonos: A. que se adquiere por 870 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000.00 1. D. Cupón anual del 5% y TIR del 4.205% 0.81858957 Bono F (9.920.000 €.00 4% 4.00) 0.00 0.2%.427.20 499.751% 0.527.00 0.2% 4.451.50) 5. TIR del 4% B. Bono cupón cero a tres años.00 0.96153846 4.16847215 -0.00 499.205% Precio D Diferencia 99 0.00 10.17521104 -0.80 Bono H -328.264.00 Bono B (101. 70 1.70 -41. Todas las cuantías recibidas se ingresan en una cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 5% efectivo anual.00000000% -0.00009869% Cupón 41. -41.ECO #VALUE! Cupón de un Bono Un inversor adquiere un bono en el mercado primario por 900 €.71 5% Neto -900.6953 <-.Método 1 Año Bono -900. amortizándose por el nominal.71 6. Cupón 41.Método 2 .00 0.70 41.00 1. 07 C 4 S 4 5% Cta.00 41. El bono es de 1.00 0. Si el inversor obtiene una rentabilidad del 7% efectivo anual durante los 4 años por sus 900 €.70 0 1 2 3 4 900 1 0 .000 € nominales y proporciona un cupón anual de C € durante 4 años.041.70 -1.99990131% 7.179.041.70 1000 Montante 1.6963 <-. Cte.70 41. determinar el importe del cupón C.70 -41.179.00 0. 052.000.00 € Cupón Precio Método 1 Método 2 Método 3 .00 € 52.000.00 € 6 52.00 € 2 52.00 € 52.00 € 1 52.1.00 € 5 52. Años Flujo caja 0 .00 € 52.00 € 3 52.00 € 7 52.00 € 52.00 € ∞ 1.00 € Años 01 2 3 4 : : : ∞ Flujo caja 1.00 € : : : 1. El próximo cupón vence dentro de 1 año.#VALUE! Bono perpétuo Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.052.000 €.00 € 4 52. 000.200% .200% 5.00 € TIR 5.200% 5. El próximo 52.000 €.00 € 1.dquiere por 1. #VALUE! Bono perpétuo con cobro del primer cupón a distinta frecuencia Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.026 €. El próximo cupón vence dentro de 6 meses. Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Flujo Caja -1026 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 TIR -7.5299407% -7.5299407% -5.9879551% -5.9879551% -4.7651143% -4.7651143% -3.7781911% -3.7781911% -2.9697189% -2.9697189% -2.2989090% -2.2989090% -1.7361149% -1.7361149% -1.2593397% -1.2593397% -0.8519646% -0.8519646% -0.5012320% -0.5012320% -0.1972081% -0.1972081% 0.0679413% 0.0679413% Método 1 Precio 1,026.00 € VAN 1,026.00 € TIR 5.1983% Método 2 VA 1,026.00008 € TIR 5.1983% VA-Precio 0.00 € Evolución de la TIR 3.0% 2.5% 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% 1 49 97 145 193 241 289 337 385 433 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 0.3004653% 0.3004653% 0.5054009% 0.5054009% 0.6868465% 0.6868465% 0.8481652% 0.8481652% 0.9921393% 0.9921393% 1.1210865% 1.1210865% 1.2369511% 1.2369511% 1.3413740% 1.3413740% 1.4357480% 1.4357480% 1.5212618% 1.5212618% 1.5989348% 1.5989348% 1.6696454% 1.6696454% 1.7341539% 1.7341539% 1.7931208% 1.7931208% 1.8471224% 1.8471224% 1.8966633% 1.8966633% 1.9421868% 1.9421868% 1.9840834% 1.9840834% 2.0226985% 2.0226985% 2.0583385% 2.0583385% 2.0912754% 2.0912754% 2.1217519% 2.1217519% 2.1499851% 2.1499851% 2.1761689% 2.1761689% 2.2004780% 2.2004780% 2.2230691% 2.2230691% 2.2440837% 2.2440837% 2.2636495% 2.2636495% 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 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2.5658504% 2.5657446% 2.321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 2.5659598% 2.5658685% 2.5659176% 2.5656083% 2.5659324% 2.5659464% 2.5657680% 2.5659725% 2.5658504% 2.5659324% 2.5660173% 2.5655766% 2.5656942% 2.5657901% 2.5659176% 2.5656942% 2.5660069% 2.5658857% 2. 5660837% 2.5660619% 2.5661512% 2.5661659% 2.5660768% 2.5661081% 2.5661234% 2.5660837% 2.5661324% 2.5660619% 2.5661684% 2.5661280% 2.5660966% 2.5661135% 2.5660696% 2.5661135% 2.5661707% 2.5661707% .5661545% 2.5661081% 2.5660539% 2.5661478% 2.5660903% 2.5661186% 2.5661512% 2.5660539% 2.5661659% 2.5661280% 2.5660365% 2.5660903% 2.5661684% 2.5661545% 2.5661443% 2.5661632% 2.5661366% 2.5661575% 2.5661605% 2.5661186% 2.5661324% 2.5661443% 2.5661025% 2.5660365% 2.5660966% 2.5661405% 2.5660454% 2.5661405% 2.5661234% 2.5660696% 2.5660454% 2.377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 2.5661632% 2.5661605% 2.5661025% 2.5661366% 2.5660768% 2.5661478% 2.5661575% 2. 5661972% 2.433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 2.5661940% 2.5662008% 2.5661810% 2.5662043% 2.5661730% 2.5661792% 2.5661828% 2.5662037% 2.5661951% 2.5661929% 2.5661916% 2.5661772% 2.5661844% 2.5661972% 2.5661792% 2.5661810% 2.5661962% 2.5662015% 2.5662043% 2.5661890% 2.5661999% 2.5662023% 2.5661828% 2.5662037% 2.5662055% .5661962% 2.5662055% 2.5662008% 2.5662023% 2.5661890% 2.5661903% 2.5661916% 2.5661982% 2.5661951% 2.5662015% 2.5661772% 2.5661752% 2.5662049% 2.5661875% 2.5662030% 2.5661991% 2.5661982% 2.5661860% 2.5661752% 2.5661903% 2.5661991% 2.5661940% 2.5662049% 2.5661929% 2.5662030% 2.5661999% 2.5661860% 2.5661875% 2.5661844% 2.5661730% 2. 5662084% .5662060% 2.5662075% 2.5662075% 2.5662080% 2.5662070% 2.5662065% 2.5662080% 2.5662060% 2.5662070% 2.489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 2.5662084% 2.5662065% 2. 00 € TIR 5.Método 3 Cupón 52.026.00 € Precio 1.1983% . 3% efectivo anual.53 16.68 $ . en una cuenta bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual. Con este capital acomete dos inversiones simultaneamente (A y B).479. Los cupones son ingresados.25 Ca(1+i)=88037. El capital destinado a la inversión A es un 30% menor que el destinado a la inversión B.037.30% 201.#VALUE! Dos inversiones Un ahorrador dispone de un capital inicial de C $ que desea invertir durante 3 años.53 16.15 $ VFa= 99. por sus C $ iniciales.479. El montante alcanzado durante el primer año asciende a 88. Cada bono se amortiza por el nominal (350 $) y se adquiere por E $.53 i2= VF de un Bono = Inversión Conjunta VF=VFa+VFb VF=C(1+0. Cada bono proporciona cupones semestrales de 16.53 $.53 16.313.037.479.15(1+i)2=99479. Sabiendo que la rentabilidad obtenida por éste señor durante los 3 años.25 $ 88037. ha sido del 4.12 € C= Inversión B Un bono Semestre Flujo Caja 0 1 2 3 4 5 6 -E 16.53 16.60 $ ia= 6.52 $ Cb= 118.133.25 Ca= 82.15 $ y al final del tercer año es de 99. venciendo el próximo dentro de 6 meses.25 $ Inversión B Aquiere q bonos que serán amortizados dentro de 3 años.15 Ca(1+i)3=99479. Inversión A Año Montante 0 1 2 3 Ca 88.25 $ 99. Inversión A Imposición a interés compuesto durante 3 años.819.043)^3 0.9950% 451. calcular q.53 366. en el momento de percibirse. 72 $ 285.00634 bonos 285 bonos .VF = VFb=VF-VFa= Número de bonos q= 228.731.97 $ 128.210. en ha sido del 4.3% .apital acomete dos e el destinado a la e el primer año ona cupones se amortiza por el mento de percibirse. 5733882 11.6296296 4.#VALUE! Suponga un bono a cuatro años con un cupón anual del 5% y un nominal de $100.063619 0 1 2 3 4 5 5 5 105 1. Si el rendimiento del mercado es de un 8%. ¿cuál es la duración de este bono? Respuesta 1 2 3 4 5 Periodo Cupón Factor de Descuento 4=(1*2)/3 5=2/3 4.9691612 77.08 1.71 años 3.1664 1.178135 333.6296296 8.2866941 3.259712 1.71254 4.82304 90.36853 = La duración del bono es de 3.360489 Duración = 3743.706525 .7619/848.907484 308. . 819361 w=0.399 .671936 40. Si el horizonte de planificación del inversionista es de 3.54703 2608.87842 0 1 2 3 Duración: 65 65 1065 1. A y B. es un bono a 3 años que entrega UF65 por año y un principal de UF1000 al vencimiento. El bono B.4025517 46.814894 38.1774 46.225043 1.523194 1 2 3 4 5 Periodo Cupón Factor de Descuento 4=(1*2)/3 5=2/3 60.99605 0 1 2 3 4 5 Duración: 50 50 50 50 1050 4.#VALUE! Un inversionista está considerando invertir en dos bonos.747664 113.5 = w*4.35724 2782. como el horizonte de inversión del agente es de 3.44468 152.225043 2. así la duración del bono A será: 1 2 3 4 5 Periodo Cupón Factor de Descuento 4=(1*2)/3 5=2/3 1.523194 + (1-w)*2.0717 60.63549 4152.728972 87.343873 122.5 años. para determinar el monto a invertir en cada bono.07 1.07 1.773517 869.144761 748.274 917.728972 43.747664 56. se debe resolver la siguiente ecuación: 3.57904 3743.3664 986.310796 1. por lo tanto. El bono A genera cupones de UF50 por año y entrega un nominal de UF1000 al cabo de 5 años.1449 1. ¿cuánto debe invertir en cada uno de los bonos? Respuesta Como primer paso se debe calcular la duración de cada bono.1449 1.819361 Se sabe que la duración de una cartera se obtiene promediando de duración de cada bono.5 años y la tasa de mercado es de un 7%. .Lo que significa que se debe invertir un 39.9% del capital en el bono A y un 60.1% en el bono B. para determinar el . s.al de UF1000 al vencimiento. de mercado es de un 7%. uración del bono A será: uración de cada bono. 1% en el bono B.A y un 60. . 55% 5% Bono B Bono Cupón 0 -500 -500 50 0 50 0 550 650 10. Ambos bonos se pueden adquirir hoy a la par: el bono A por 1. El bono A tiene una prima de amortización de 150 €. Ambos proporcionan un cupón anual.00% 10% 9.000 € y el bono B por 500 €. el bono A del 5% y el bono B del 10%. dentro de 3 años.139288% 0% . Se pide calcular la TIR de un bono cupón cero a tres años que se adquiera en la misma fecha que los otros dos bonos. Año 0 1 2 3 TIR Cupón Bono A -1000 50 50 1200 9.#VALUE! Bonos de igual cupón en euros Dos bonos se amortizan en la misma fecha. 00 € 100. y experimenta incrementos de un punto al año.00 € 100.5018663 Bono A -1.6663422 0.8889964 0.00 € 0.00 € 50.7472582 0. El nominal es de 1.00 € 50.9803922 0.00 € 100.00 € 50.100.00 € 50. Esto se debe a que la TIR es una media de rentabilidades ponderada por los flujos de caja.00 € 50. que sea un Bono Cupón Cero a un plazo de 8 años. Crear un Bono C sintético combinando los bonos A y B. Por el contrario. en el largo plazo (en la amortización).00 € Bono B -808.00 € 0.00 € 1. el bono B se emitió hace 2 años cuando los tipos de interés estaban más bajos y proporciona un cupón del 5% anual. 0. Esto unido a que. hasta llegar al 9% para un plazo de 8 años. ETTI (Zero Yield Curve) Año (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1+rs)-s ETTI 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% TIR 0.00 € 100.8227025 0. al ser la ETTI a largo superior a la ETTI a corto. El bono A se emitió hace 22 años cuando los tipos de interés estaban altos y proporciona un cupón del 10% anual.9952% 8.05 0.00 € 0.00 € 50.9425959 0.03 0.00 € 0.00 € Bono C -501. Y calcular la TIR del bono C.01 0 1 2 3 4 5 6 .00 € 1.00 € 0.02 0.09 0.23 € 100. Y el bono B tiene mayor peso relativo que el bono A.00 € 100.00 € 100. La ETTI que se deduce del mercado en estos momentos es la siguiente: A plazo de un año es del 2%.55 € 50.00 € 1.07 0.000.0000% Observe que la TIR A es distinta de la TIR B.00 € 0. hace que la TIR del bono B sea superior a la TIR del bono A.3797% 9.04 0.06 0.#VALUE! Réplica del Bono Cupón cero a ocho años Sean dos bonos A y B que maduran dentro de 8 años.00 € 7.1 0.000 €.050.5834904 0. Calcular las TIR de los bonos A y B.115.87 € 0.08 0. hace que la TIR del bono B sea superior a la TIR del bono A. Y el bono B tiene mayor peso relativo que el bono A.Observe que la TIR A es distinta de la TIR B. . Esto se debe a que la TIR es una media de rentabilidades ponderada por los flujos de caja. al ser la ETTI a largo superior a la ETTI a corto. en el largo plazo (en la amortización). Esto unido a que. 7 8 . 00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5. mientras que el bono B vence a los 30 años. El bono A es un bono a 3 años. y que al subir la rentabilidad al 6% el precio de ambos bonos se reduce.00 € 5.00 € 5. ¿Y si la TIR aumentara un punto? TIR Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Bono A Bono B 5% 5% Bono A Bono B -100. Vea que el bono a 30 años incrementa más el precio cuando la rentabilidad cae.78 € Bono B 4% 117.#VALUE! Sensibilidad del precio de un bono ante las variaciones de los tipos de interés En el mercado cotizan a la par dos bonos (A y B) que pagan un cupón del 5% anual.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5. Si repentinamente la TIR de ambos bonos cae un punto.00 € 5.00 € 105.00 € TIR Nuevo Precio Bono A 4% 102. La TIR de ambos en este momento es del 5%.00 € 5.00 € 5. El bono a 30 años es más .00 € 5. y reduce más el precio cuando la rentabilidad aumenta.00 € -100.00 € 5.00 € 5. y se amortizan por el nominal.29 € TIR Nuevo Precio Primera Regla de Oro de la Renta Fija Precio y Rentabilidad se mueven en sentido contrario Vea que al bajar la rentabilidad al 4% el precio de ambos bonos aumenta.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5. calcular como influye esto en el precio de ambos bonos.00 € 105.00 € 5. Segunda Regla de Oro de la Renta Fija La sensibilidad de un bono ante las variaciones de los tipos de interés es mayor cuanto mayor es la duración del bono.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5. y que al subir s bonos se reduce.24 € de Oro de la Renta Fija ntido contrario precio de ambos bonos aumenta. El bono a 30 años es más .33 € Bono B 6% 86. a de Oro de la Renta Fija aciones de los tipos de interés es mayor cuanto más el precio cuando la rentabilidad cae.ones de los tipos de interés Bono A 6% 97. y dad aumenta. B TIR Sr. el Sr. A -88. A.158% . B -P 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 107 Sr. un instante después de cobrar el primer cupón decide vender el bono en el mercado secundario. A es un inversor que adquiere un bono a 30 años por 100 €. Calcular la rentabilidad del Sr. El bono es adquirido por otro inversor. A -100 95. Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Sr. En ese momento (t=1) el bono cotiza en el mercado a un precio P que proporcionaría al Sr. paga de cupón anual del 7% y se amortiza por el nominal que es de 100 €. B. B una TIR del 8% en caso de mantener el bono durante los 29 años que restan hasta su vencimiento.84 € 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 107 -4. Transcurrido un año.84 € Sr.#VALUE! Rentabilidades negativas en renta fija El Sr. A -100 7+P Sr. 00 € 0.00 € 120.00 € 90.00 € 1.786 4.00 € 100.73 € 0.05 € -1.090.58 € -1.00 € Bono F -Pf 120.952381 0.100.000 Duración Modificada (años) 0.110.7654% 8.6499314 0.818 2.00 € 1.5904% 9.000.00 € 90.080.070.00 € Bono C -Pc 90.00 € 120.0000% Duración de Macaulay (años) 1.2496569 1.000 1.00 € 1.00 € 120.40 € -1.00 € 1.00 € Bono B -Pb 80.00 € 100.00 € 3.00 € 100.00 € n C 1 r t 1 Bono E -Pe 110.00 € 2.00 € 5.00 € 0.00 € 110.00 € 120.120.00 € 110.00 € 120.7799929 1.00 € 120.00 € 90.00 € 120.00 € n D tC 1 r t 1 n t 1 ETTI 0 1 5% 2 6% 3 7% 4 8% 5 9% 6 10% (1+rt)-t 0.927 2.00 € 110.00 € Bono D -Pd 100.00 € 2.3868436 TIR t t C 1 r DM Año t t t D 1 r Bono F -1.5644739 t (1+rt)-t Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E -1.000.00 € 0.00 € 100.221 5.00 € 1.00 € 3.00 € 0.00 € Bono G -564.8866% 7.100.00 € 0.120.952 1.39 € -1.8899964 0.00 € Bono G -Pg 0.241 3.00 € 1.080.4488936 1.110.00 € 80.0000% 5.094.952381 1.#VALUE! Duración y Duración Modificada P Calcular la duración y la duración modificada de los siguientes bonos: Año ETTI 0 1 5% 2 6% 3 7% 4 8% 5 9% 6 10% Bono A -Pa 1.00 € 110.019.9401194 1.00 € 0.00 € 110.074.45 € 120.7350299 0.584 3.8162979 0.00 € 0.47 € 0.00 € 120.00 € 1.3542% 10.00 € 110.070.00 € 1.00 € 100.055.00 € 0.762 3.111 4.455 t .9619% 6.00 € 1.616 6.117.00 € 110.090.492 4.037. Los Bonos Cupón Cero son los de mayor duración entre todos los bonos que maduran a ese plazo. . 0% 6. Determinar en términos aproximados el nuevo precio del bono si los tipos bajan hasta el 10%.8% 3.6% 3.08 0.63551808 0.2% 4.56742686 Inicial 12% 4.2% .2% 5.08 383. la duración y la duración modificada. y compararlo con el precio real del bono tras la bajada de tipos.42 92.6% 5.79 € Ct (1+r)-t Ct t (1+r)-t 8.94 21. Precio Real (1+r)-t 0.79 € 92.0% 1.73 Variación % -2% Final 10% 7.00 € 145 125 105 85 65 0 0.06 0.12 6.38% 7.42 312.8% 6.79 8.93 7.79719388 0.12 0. El Precio en función de la Rentabilidad Es una curva decreciente t Ct 92.13546179 3.8% 2.4% 0. Calcular el precio.35 25.6% 4.0% 4.0% 2.4% 1.0% 0.64 € 100.#VALUE! Fórmula aproximada de la sensibilidad del Precio Sea un bono a cinco años con cupón anual del 10% cuya TIR es r = 12% anual.79 € 10.1 0.8% 1.2% 0.0% 3.00 € 110.16 P D r P (1 r ) Analicemos como varía el Precio de un bono (P) ante las variaciones en la rentabilidad (TIR=r) El precio es: n P t 1 Ct 1 r t La derivada del precio respecto a su rentabilidad es: n tCt dP 1 1 r t 1 1 r t dr Como la duración es: n D tCt 1 r t t 1 P de donde dP D P dr (1 r ) TIR (r) 0.6923766 92.4% 4.4% 5.8% 4.4% 3. Precio Aprox.36 62.02 0.00 € 10.6% 2.8% 5.97 7.6% 1.89285714 0.6% 0.2% 1.0% 5.2% 2.4% 2.2% 3.93 15.04 0.71178025 0.00 € 10.14 0.00 € 10.00 € 0 1 2 3 4 5 TIR Duración Duración Modif.77% 99. 42 92. existe otro concepto que es el de CONVEXIDAD.4% 13. t 0 1 2 3 4 5 Ct 92.8% 8.8% 7.00 € 10.6% 14.00 € 110.8% 16.8% 10.4% 11.2% 10.63551808 0.79 -t Ct t (1+r) 8.35 25.2% 16.00 € 10.6% 7.2% 13. La Convexidad de un bono es una medida que nos permite mejorar la aproximación anterior.79 € 10.8% 14.4% 9.0% 8.71178025 0.4% 15.0% 10.2% 11.2% 9.8% 12.0% 7.2% 14.89285714 0.79719388 0.2% 7.8% 13.2% 17.93 7.00 € 10.4% 12.41362974 127.2% 12.56742686 -t Ct (1+r) 8.4% . debido a que se basa en la derivada segunda del precio respecto a la rentabilidad.6% 13.2% 15.6% 11.97 7.0% 15.12 6.08 383.00 € -t (1+r) 0.6% 10.0% 11.dP D P dr (1 r ) Y podemos expresar la variación porcentual de precio como: dP D dr P (1 r ) Donde D/(1+r) es la duración modificada La expresión anterior.8% 9.4% 6.2% 8.8% 15.0% 17.93 15.73 -t t (t+1) Ct (1+r) 17.6% 6.8% 11. La convexidad es: C 1 d 2P P dr 2 Calculemos la segunda derivada del precio respecto a la rentabilidad.6% 8.8% 17. d 2P 1 dr 2 1 r 2 n t t 1Ct 1 r t t 1 Utilizando el concepto de Convexidad podemos establecer una mejor aproximación a la variación porcentual del precio aplicando el polinomio de Taylor de grado dos: P D 1 2 r Cr P (1 r) 2 Apliquemos la Convexidad al problema anterior.150.6% 16.4% 8.0% 13.6% 9.0% 14.6% 12.4% 10.4% 7.0% 12.94 21.1036157 1872.83163265 85.36 62.6% 15.4% 16.85714286 47.4% 14.71 6. en términos aproximados es: P D r P (1 r ) donde P P es la variación porcentual del precio (expresada en tanto por uno) Además del concepto de duración.42 312.508624 2.0% 16.0% 9. 4% a la derivada 2ª.2% 18.99 € 92. ya que usa la Convexidad que hace referencia19.79 € 7.0% 18.8% 18.2% La Aproximación 2 es mejor que la Aproximación 1.8% 19.0% TIR Duración Duración Modif.75% 99.79 € 7.00 € . mejor se aproxima el polinomio a la curva que pretende 19.48 € 92.4% 18.6% 18.77% 100.6% 17. y por tanto de 19.38% 99.0% 19.17. Convexidad Precio Aprox.6923766 18.13546179 3.6% mayor grado es la derivada utilizada. 1 Precio Aprox.79 € 7. Por el polinomio de Taylor sabenos que cuanto mayor es el grado del polinomio.8% 20. 2 Precio Real Inicial Variación % Final 12% -2% 10% 4.64 € 92. 43 € 146.81 € 127.85 € 115.74 € 117.16 € 132.55 € 135.96 € 129.65 € 123.92 € .88 € 128.64 € 122.70 € 118.71 € 125.46 € 141.28 € 133.25 € 140.00 € 148.06 € 138.64 € 121.0.79 € 116.68 € 124.17 € 144.68 € 142.92 € 143.76 € 126.41 € 134.16 0.06 € 130.71 € 136.88 € 137.65 € 120.67 € 119.18 0.71 € 147.2 Precio (P) 150. 31 € 101.79 € 79.04 € 84.14 € 77.89 € 103.00 € 99.79 € 92.83 € 107.00 € 114.03 € 96.24 € 82.50 € 97.35 € 79.32 € 105.48 € 92.68 € 108.76 € 97.30 € 95.60 € 77.77 € 90.15 € 106.89 € 86.65 € 85.55 € 109.92 € 80.59 € 94.43 € 90.65 € 82.54 € .07 € 76.25 € 98.88 € 94.24 € 78.17 € 93.69 € 103.07 € 81.09 € 113.115.27 € 85.43 € 83.52 € 86.19 € 112.53 € 100.99 € 107.49 € 80.16 € 87.50 € 104.10 € 102.11 € 91.69 € 78.45 € 88.10 € 89.83 € 83.42 € 110.30 € 111.76 € 100.80 € 88. 76.02 € 75.97 € 72.48 € 71.04 € 70.98 € 74.56 € 70.51 € 71.47 € 72.09 € .97 € 73.47 € 73.99 € 71.50 € 74. 25% Anual i= 5% Trimestral n= 4 Trimestres ie= Anual ie= 21.62% Calcular la tasa efectiva semestral y anual si el interés nominal se expresa en un 5% trimestral. Semestral i= 5% Trimestral n= 2 Trimestres ie= Semestral ie= 10. i= 2% mensual n= 6 meses ie= Semestral ie= Donde: ie= i= n= ^= 12. Calcular la tasa de interés efectiva semestral.55% Tasa de interés efectiva por período Tasa de interés nominal por período Número de perídos de capitalización Signo de elevación de potencia .#VALUE! CALCULO DE LA TASA EFECTIVA Una empresa propietaria de una tarjeta de crédito anuncia que su tasa de interés es del 2% mensual. erés es del . 9301 4.96 (1 + r)^[-(1+ 239/365)] + 121.25 99.49% (ex cupón) días cupón en euros precio ex cupón % cupón corrido € precio P Venta bono 10.76 30/07/05 117.47% prueba de rentabilidad 0.61 bonos del 4.30 .79 TIR o rentabilidad de la operación: 117.96 (1 + r)^(.44 ratio conversión nominales 1.96+116.95 100. cotización compra a 99.Segregables 4.72 (1 + r)^[-(2+ 239/365)] r = 4.21 3.96 valor actual unitario valor actual 0.3% con vencimiento 15-06-05 por Bonos Segregables 4.3 114. cotización venta a 114.04477 vencimiento (días) 239 604 flujos 4.58 117.96 cupones en euros 4.30 127 10.96 30/07/04 4.96 4.82 0.96 239 días 20/10/02 30/07/03 4.25 por cada uno de 10.239/365) + 4.21% (ex cupón) .1675 4.Bonos 10.25% con vencimiento 30-07-05.9717 4.1727 1.30% . La cotización al 20-10-02 es la siguiente: .79 Compra segregable 82 4.49 0.25% .#VALUE! SEGREGABLES Un fondo de inversión se plantea sustituir Bonos al 10.79 = 4. 8902 108.1/(1+r) 0.957148463 969 121.36 117.72 0.79 . 99 30.0576713 3.3474055 7.95 30.5 9.04 5 5 5 5 5 5 5 5 5 105 0. mientras que una previsión de descenso de tipos repercute en un aumento de la duración.5 2. 22.05.5 1.5 7. Una expectativa al alza de los tipos de interés garantiza un descenso en la duración de la cartera y por tanto del riesgo. coloque como tasa de rentabilidad el 5%. Así: la Duración de una cartera puede alterarse permutando algunos de los bonos que la componen por otros nuevos [denominado permuta por anticipación de los tipos de interés o rate anticipation swaps].0455748 En particular.03 30.05.023474475 1.05. ¿que ocurre? ¿y si cambiamos el primer vencimiento para dentro de un año? Copie de nuevo la hoja en espacio libre y modifique el número de flujos y el plazo a la amortización.554043963 precio: Duración: Duración bono perpétuo: Ci / (1 + r) ^i ixCi / (1 + r)^i 4.13076295 14.483574189 1.05.47744231 28.475 =22.05.5 8.03710471 26.5303256 3.0475 Fechas Flujos Ci plazos: i (1 + r)^i 30.8737332 796.98 30.64703384 641.30519531 24.0.5 5.995684517 11. .01 30.2595208 21. lógicamente.6637897 4.05263158 años LA GESTIÓN ACTIVA: La gestión activa de una cartera de renta fija se utiliza cuando los inversores suponen que el mercado NO es eficiente. Comprobará que la duración aumenta a medida que aumenta el plazo. Pero como dicha infravaloración no podrá mantenerse mucho tiempo (teoría de la linea de mercado) [periodo de work out time].416299942 1.352076317 1.4523052 4.05.176356918 1.BONO 29 Duración de un bono Duración de un bono con vencimiento dentro de 9 años y medio.5 6.232233871 1.123013764 1. nunca la duración alcanzará el valor: 1 + 1 / 0.29076498 1. la compra de futuros aumenta la duración de la cartera y viceversa. tasa r: 0.6980161 3.5 3.02 30.05.5 1.3702393 67.87643736 18.5 4. del 5%.05.05. En este sentido. dentro de medio año. siempre ésta a la par. hay que comprar y / o vender con frecuencia para "batir el mercado".05.2504107 4.072089512 1.5656561 104.8736719 3. pero nunca sobrepasará la cifra límite obtenida a partir de: 1+1/r en nuestro caso.8853197 4.97 30. siendo el vencimiento del primer cupón.628800838 2.442659844 6.00 30.05 años.96 30. de forma que identificando a los bonos infravalorados se pueden obtener rendimientos superiores a los del mercado. .tipos repercute en un aumento de la duración. entro de 9 años y medio. ¿que ocurre? ¿y si dentro de un año? y modifique el número de flujos y el la par. lógicamente.05 dentificando a los bonos mucho tiempo (teoría de la muta por anticipación de los una previsión de descenso de . ntabilidad el 5%. pero nunca anzará el valor: 1 + 1 / 0.0.475 =22. Comprobará que la duración o. siendo el dentro de medio año. . 5 12 12.5 2 111.75%.491228 94.892537 89. descontando cada flujo con los tant interés señalados en la ETTI. Se calculan.263565 en negativo para calcular la TIR Valor actual de un bono americano y cálculo de la TIR 1 110 11. de la E En el ejercicio se consideran 5 bonos americanos con distintos plazos a la amortización.281438 -91.5 5 tipo Rt: 112. Introduce los datos de otra ETTI que sea decreciente o invertida.765502 93.0625 0.5 3 112 12.15 0.708% 14.892537 -89.5 12.940% 15.263565 precios Curva de Rentabilidad TIR 14. luego.281438 91.07 0.761% Ci Precio: P = Suma (1 TIR: + Ri)^i P = Ci an|TIR + C (1 + TIR)^(-n) 1) Respecto a los bonos cupón cero está construida.055 0.1475 0. et 2) Sin embargo para los bonos convencio de Deuda Pública con pago de cupón exp primero se deberá calcular el bono.5 4 112.491228 -94. Cálculo de los precios y la TIR de un bono b) periodos: bono A bono B 1 6 8 2 6 8 3 6 8 4 6 8 5 106 108 tipo Rt: Valor actual 0.360% 15.#VALUE! a) periodos: -96.08 precios Curva de Rentabilidad TIR . por defecto. Observa los nuevos valores actuales y las nuevas TIRs obtenidas.5 12 12.155 0. primero.5 12.05 0. la t interna de rentabilidad de cada uno de ellos para poder construir la curva de rendimien cual difiere muy poco.5 0.14 0.5 12.765502 -93.16 Valor actual 96. el 14. p operaciones a dos años. los precios de los bonos y luego sus TIRs Actividad propuesta: Este es un ejemplo de estructura ETTI creciente. Así: el tipo de interés con para operaciones a un año es el 14%.000% 14. se conocen los tipos spot Rt para cada uno de los plazos.5 12. para ones a dos años. construir la curva de rendimientos. e deberá calcular el precio de cada ontando cada flujo con los tantos de eñalados en la ETTI. etc.a los bonos cupón cero. rgo para los bonos convencionales Pública con pago de cupón explícito. de la ETTI . Así: el tipo de interés contado raciones a un año es el 14%. el 14. su ETTI ya uida. la e muy poco. la tasa entabilidad de cada uno de ellos: TIR.75%. por defecto. luego. 00 € 9% 8. se puede trabajar con el minimo común múltiplo. que es un Bono Cupón Cero a un año. que supone una TIR del 9%.9600% (1+ETTI) 1.800. planteamos la ecuación que calcula el precio del bono B usando la ETTI.080. que se adquiere por 100 € y se amortiza por 110 €. Para evitar que los flujos de caja que se van obteniendo en los bonos sintéticos sean de importes muy grandes. adquiriéndose en estos momentos por un precio PB.c.080.41 € 80.41 € 80. El Bono B.00 m. pero como ya conocemos el precio del bono B. De las dos alternativas elegimos la primera porque es la que nos dará un flujo de caja negativo en cero y positivo en t=2.49811E-07 .00 € 0.xls En el mercado se encuentran los siguientes bonos: El Bono A.00 € ETTI 10% 8.1 0.00 € 1. sustituimos y la única incógnita que nos queda en la ecuación es el valor de la ETTI para el año dos que coincide con la TIR del bono C.089600187 0.00 € 2 TIR 10% Bono B Bono C -982.xls #VALUE! Réplica del Bono Cupón Cero a dos años ETTI. Método 2 Primero calculamos el precio del bono B usando la TIR Luego.006.064.9600% Para conseguir un Bono Cupón Cero se han de combinar los Bonos A y B de tal forma que el cupón intermedio sea cero.ETTI.00 € 1. multiplicaremos por 11 y por 8.41 € -5.842297792 9% Precio B Diferencia 1/(1+ETTI)^n 982.00 € 118.00 € 1 110. que madura a los dos años por el nominal que es de 1.00 € 10% 9% 8. Si se elige la opción 2 los flujos serán del mismo importe pero de signo contrario. Año Bono A 0 -100.41 € -100.080.880.00 € Bono C' -10.909090909 1. Para conseguir esto se pueden hacer cualquiera de las dos alternativas siguientes: Opción 1: Comprar 110 bonos B y vender 80 bonos A (+110B-80A) Opción 2: Comprar 80 bonos A y vender 110 bonos B (+80A-110B) Con ambas alternativas se consigue que el cupón intermedio sea cero. #NAME? Output 1 #NAME? Output 2 #NAME? En lugar de multiplicar por 110 y por 80.00 € 1 110. por ser este un bono cupón cero a dos años. Calcular la TIR de un Bono C que es un Bono Cupón Cero Implícito y duración 2 años.00 € 110.00 € Bono B -982.00 € 1. de la siguiente forma.00 € 11. Año 0 1 2 TIR Bono A -100.98 € 80.9600% De esta forma el Bono C' es equivalente al bono C ya que sus flujos de caja son proporcionales y la TIR la misma. Año Bono A 0 -100.m. Input 1 110.50 € 0.00 Input 2 80.000 €. que es un Bono Cupón Explícito del 8% anual. La periodicidad del cupón es anual y el próximo vence dentro de un año.00 € 2 TIR 10% Bono B -982. . la ETTI. sean de importes muy grandes. adquiriéndose en forma que el cupón intermedio sea cero. a los dos años por el nominal que entro de un año. pero como ya conocemos el precio del s el valor de la ETTI para el año dos que años. se puede trabajar con caja son proporcionales y la TIR la misma. de caja negativo en cero y positivo en t=2.100 € y se amortiza por 110 €. . . 00 € 1.00 € 8.00 € 0.064.00 € 107.41 € -100.00 € 7.9600% Bono D Bono E Bono F -97.00 € r13 r12 Formulas (1+r03)3=(1+r02)2(1+r23) 8.1397% Bono A -100.98 € 80.00 € Bono E #NAME? Bono F #NAME? r23 r23 r03 7.00 € 770.9600% 6.1397% 10% 10% 7.3554% 8.0848% (1+r13)2=(1+r12)(1+r23) 6.398.17 € 0.00 € 0.080.41 € Bono C #NAME? Bono D -97.800.17% 8.00 € 3 TIR r03 r23 r13 10% 9% 8. y se puede adquirir por un precio del 97%.00 € 118.3554% 7.107. Calcular r03.0848% La misma tabla que la anterior pero aplicando el minimo común múltiplo Año 0 r01 r01 .00 € 7.#VALUE! Bono Cupón explícito a tres años Suponga que además de los bonos del Problema 1.00 € -9.385. r23 y r13. Año 0 1 2 Bono A -100. se encuentra en el mercado un Bono D que es una Bono Cupón Explícito que madura a los tres años.00 € -1.276.00 € 110.00 € 0.00 € Bono B Bono C -982. paga cupón anual del 7% anual.00 € 11.770.3554% 8.9299% 6.967.970.0848% r02 Bono B -982.00 € 1.000. 17% Input 1 110.00 € 7.m. #NAME? #NAME? #NAME? Output 1 #NAME? #NAME? #NAME? #NAME? #NAME? #NAME? #NAME? #NAME? #NAME? #VALUE! Output 2 #NAME? #NAME? #NAME? .00 € 107.00 € #NAME? #NAME? 7.00 110.080.00 7.1 2 3 TIR 110.c.00 € 10% 9% #VALUE! 8.00 #NAME? m.00 #NAME? Input 2 80.00 € 1.00 € 80. 00 € 8.15 € 500.33 € 454. madura a los 3 años y su nominal es de 10. paga un cupón anual del 5% anual.315.08% Flujo Caja -P 500.9600% 8.00 € Valor Actual Flujos de Caja 9.500.00 € 421.191.000 €.000% 1 8.33 € 8.#VALUE! Precio de un Bono usando la ETTI Con toda la información de los tres problemas anteriores calcular el precio y la TIR de un bono que cotiza en el mercado por un precio P.55 € 500.1462% .00 € 3 10. Plazo 1 año 2 años 3 años Cupón % Nominal Cupón Notación r01 r02 r03 5% 10.00 € 500.000 € 500.00 € 2 Precio TIR 9.63 € 10.191.500.00 € ETTI Año 0 10. y la TIR de un bono que cotiza en os 3 años y su nominal es de . 00 € 33 34 Método 4 35 36 Precio 37 Cupón % 5% anual Año Flujo Caja 105.00 € 18 Cupón 5.66 € 38 Nominal 100.66 € 24 25 Método 3 26 27 Precio 28 Año Flujo Caja TIR 3% #NAME? 29 1-Jan-03 -P Cupón % 5% 30 1-Jan-04 5.00 € Diferencia 41 Cupón 5.00 € 3 105.000000% 5/3/2012 .00 € 31 1-Jan-05 5.00 € 3 105.00 € 19 20 Método 2 21 22 105.66 € 16 Tiempo 3 años 1 5.00 € 0105.com 3.00 € 42 34 BONO www.excelavanzado.00 € 17 TIR 3% 2 5.A B 1 Bonos.00 € 0 -P 105.66 € 39 Tiempo 3 años 1 5. 11 Método 1 12 13 14 Cupón % 5% anual Año Flujo Caja Precio 15 Nominal 100.00 € 32 1-Jan-06 105.xls 2 3 C D E F G H I J #VALUE! 4 Precio de adquisición 5 6 Calcular el Precio de adquisición de un Bono de cupón anual 5% amortizable por el nominal a los 3 años y cuya TIR 7 es del 3%. 8 9 Nota: Cuando no se da el Nominal de un bono se supondrá que es de 100 € de esta forma el precio se puede 10 interpretar como un porcentaje sobre el Nominal.00 € TIR calculada 40 TIR 3% 2 5.000000% 0.66 € Precio 23 105. 000.00 € 1/1/2005 5/1/2005 5% efectivo anual 5% nominal anual 2.000 € en el mercado secundario el 1 de julio de 2004 por 922 €. El cupón semestral es del 5% nominal anual y el próximo pago se efectuará el 1 de enero de 2005.00 € Flujo Caja Flujos de Caja 922.excelavanzado.00 € 25.00 € 922.00 € 7/1/2004 922. Solución Nominal Fecha Compra Precio Fecha cobro 1er cupón Fecha Venta Rentabilidad obtenida % Cupón semestral nominal Cupón semestral % Cupón semestral Fecha 7/1/2004 1/1/2005 5/1/2005 Precio de Venta 1.83 € TIR BONO 35 934. Se vende el bono el 1 de mayo de 2005 por un precio P. Calcular P.00 € 25.A B C D E F G H I 1 #VALUE! 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Precio de venta Se compra un bono de nominal 1.5% efectivo semestral 25. www. obteniéndose una rentabilidad del 5% efectivo anual.83 € #NAME? Resuelto con Solver porque al resolverlo con 'Buscar Objetivo' no se alcanzaba la precisión necesaria.com 5/3/2012 .00 € +P 934. 35 € 15-Jun-05 43. el precio de adquisición del bono y su TIR.com 5/3/2012 .30% 43.74 € 1. Si se trabaja con periodicidad mensual dará una TIR mensual.3% pagadero el 15 de junio de cada año.073.874% 1.00 € 15-Jun-07 1. que luego tendremos que anualizar.PER da la TIR siempre ANUAL.74 €).61 € 1.35 € #NAME? La fórmula TIR.35 € 14. Calcule el cupón corrido. Cupón del 4.excelavanzado.A B C D E F G H I 1 #VALUE! 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Cupón Corrido Se adquiere el 17 de octubre de 2004 un Bono del Estado que cotiza a un precio excupón del 105.61 € Nº de días desde el último cupón Nº de días del periodo de cupón Total días del periodo entre cupones Cupón Corrido Precio=Pex+Cc TIR Fecha Flujos caja 15-Jun-04 17-Oct-04 .073. Por el contrario. y con vencimiento el 15 de junio de 2007.058.043.000.00 € 4. Solución Fecha adquisición Pex % Pex Nominal Cupón % Cupón Pago cupón Vencimiento BONO 36 TIR Precio Cupón Corrido 17-Oct-04 105.00 € 15-Jun-06 43.NO. la fórmula TIR da la TIR referida al periodo utilizado.073.874% (1058.1.00 € 15-Jun 15-Jun-07 #NAME? efectivo anual 1.00 € 124 241 365 14. www. 000 € le ofrecen dos opciones de inversión: La opción A consiste en adquirir un bono cupón cero que se amortizará por 39. El nominal es de 20.03 € Co C5 Opción B 824. b) Calcular el cupón bimestral de la segunda opción.343. Opción A 20.2809% .000.343.03 € dentro de 5 años.343.Comproboción i i6 14.00 € <-.03 € Diferencia .00 € 39.€ C VA 20.000. La opción B consiste en adquirir un bono de cupón explícito C.49000% 2. Si ambas opciones son financieramente equivalentes.000 €.#VALUE! Dos opciones de invesión en bonos A un inversor que dispone de 20. recibiendo el primero transcurridos 2 años y el último al cabo de 5 años.73 € VF 39. calcular: a) La rentabilidad anual efectiva ofrecida por ambas alternativas. periodicidad bimestral. 70 € 0 30 Bono C -905.EjerciciosVarios.59% Comprobación Precio Bono C 905.62% Bono F -103.728678 0 0 0 0 0 1030 1000 0 7.6233% 7% Factor 0.xls #VALUE! Valoración con la ETTI En el mercado cotizan los siguientes bonos: El bono A es un Bono Cupón Cero con vencimiento a un año y TIR del 5%. El bono B es un Bono Cupón Cero a dos años y TIR del 6%.8250 0. El bono D es un Bono Cupón Cero a 4 años y TIR del 7%. que se adquiere por 905 € y se amortiza por el nominal que es de 1. Determinar la TIR de un Bono Cupón Explícito del 8% anual a 4 años.9524 0.000000 Bono D Bono E -762.00% 6.7315364 8 8 8 108 6.00 € 30 30 1030 5% 6% 6.000 €.7629 .9008113% ETTI 5% 6% 6.90 € -849.8900 0. Año 0 1 2 3 4 TIR Bono A -28.57 € 30 Bono B -26. El bono C es un Bono Cupón Explícito del 3% anual a 3 años. xls #VALUE! Réplica del bono cupón cero a dos años En el mercado cotizan los siguientes bonos: Bono A: Es un bono cupón cero a un año cuya TIR es del 10% Bono B: Es un bono cupón explícito del 7% anual que madura a los dos años.00 Bono C -9.00 10.700.Opta04P3.045183% 9. Año 0 1 2 TIR Bono A -636. Calcular la TIR del Bono C que es un bono cupón cero a dos años.45 700.4045% (9.00 10.700.09 0.45 €). amortizándose por el nominal y que se adquiere por un precio del 96.011437% .00 10% 9.640.36 700.004.00 Bono B -9.640. 82270247 40. y se adquiere por 968.00 40.88899636 0.00 40.98039216 0.000 euros.09 €.0000010 Bono -968.09 0.040.00 4. 2. Cupón Precio Diferencia Año ETTI 0 1 2 3 4 (1+ETTI)^-t 2% 3% 4% 5% TIR 0. 3%. 4% y 5% para los plazos de 1.94259591 0.897765% .#VALUE! Cálculo del precio de un bono mediante la ETTI Se sabe que la TIR de los bonos cupón cero de cierto mercado son del 2%. 3 y 4 años respectivamente.09 € 40.00 1. Calcular el cupón que paga un bono que se amortiza a los 4 años por su nominal que es de 1.00001327 968. Transcurridos tres meses vende el Bono a un Sr.507234% .2%.33 € -6.#VALUE! Rentabilidad negativa en Renta Fija Una Sra. cupón 4% nominal anual pagadero por semestres. Precio TIR Sra. adquiere a la par un Bono a 30 años. 98. expresada en tanto efectivo anual. Calcular la rentabilidad obtenida por la Sra. que lo mantiene hasta su vencimiento obteniendo una TIR del 4. 00) 104.8% y precio de adquisición del 99% sobre el nominal Calcular la TIR de un bono cupón cero a cuatro años. D.50) 5.47) 0.2%.751% 5.000 €.00) 104. Cupón anual del 5% y TIR del 4.00 0.00 Bono B (101.16847215 -0.80 4.00 0.000.80 104.80 4. Bono cupón explícito a dos años.00 10.83274149 Bono D (99. TIR del 4% B.00 1.751% 5.083% 4.00 105. Bono cupón cero a un año.80 104.00 4% 4.920.01839716 Año 0 1 2 3 4 Bono A (100.2% 4.00 3.80 4.00 Bono D (99.00) 4.80 0.00 105.17521104 -0.00 Bono C (870. C. que se adquiere por 870 € y se amortiza por el nominal que es de 1.1316422% .80 4. Cupón anual del 4.00 Bono B (101.00 Bono C (870.205% Precio D Diferencia Coeficientes: -0.LADE2005jun.67 5.00) 4.205% 4.80 Bono E (10.00) 0.000.xls #VALUE! ETTI del cuarto año En el mercado secundario cotizan los siguientes bonos: A.00 401.00 99 0. Bono cupón cero a tres años.00 0. Año 0 1 2 3 4 TIR Bono A (100.056.00 1.00) 0.00 0. Bono cupón explícito a cuatro años.80 Bono H -328.1316422% ETTI 4% 4.50) 5. . 1316422% .264.81858957 Bono F (9.000 €.00 0.96153846 0.00 Bono H (97.451.00 5.527.20 10.20 499.427.264.899.20 Bono G (102.816.00 0.928.00 119.000.239.019.95) 0.00) 0.019.00 5. ición del 99% sobre el nominal Factor 0.264.00 119.87 0.00 0.170.92) 0.nominal que es de 1.92092258 0.00 499. 942595909 0.1323663 36.77093492 años 3.00 40.9638948 3435.351934 34. calcular la duración modificada de un bono a 4 años.Método 1 <--.888996359 0. cupón del 4% anual.897765% Duración Duración Dur Modifc (1+r)^-t Ct(1+r)^-t Ctt(1+r)^-t 0.00 40.980392157 0.82591444 38.804075 968.77093492 años 3. Año (1+ETTI) ETTI 0 1 2 3 4 2% 3% 4% 5% TIR -t 0.13236631 72.#VALUE! Duración modificada Con la estructura de tipos del problema 3.70386801 103.6546316 858.822702475 Bono -968.90879835 0.Método 2 .040.00 1.5948668 <--.95330916 0.604205 3.951019 38.089951 3650.86636579 0.09 € 40.00 4. % Precio Nuevo P Aprox. Rentab.00 € -0. 0. DM 10.100% 4 Var.000. Determinar en términos aproximados el nuevo precio del bono sabiendo que la duración modificada del bono es 4.#VALUE! Variación aproximada del precio de un bono Un bono que se puede adquirir por 10.00 € . Precio Var.400% 10.000 € experimenta una disminución en su rentabilidad de 10 puntos básicos (pipos).040. al construir el Bono E.7818938% Observe como se han elegido los nominales de los Bonos A. .239742 -111. El bono C es un Bono Cupón Cero a tres años y TIR del 7%.49 € 0 0 30 Bono D Bono E Bono F -940 -860.9524 0.70 € 0 30 Bono C -24.8352 4. El bono B es un Bono Cupón Cero a dos años y TIR del 6%. que se adquiere por 940 € y se amortiza por el nominal que es de 1.68% Comprobación Precio Bono D 940.6055% Factor 0.000 €. El bono D es un Bono Cupón Explícito del 3% anual a 4 años. Determinar la TIR de un Bono Cupón Explícito del 8% anual a 4 años. Año 0 1 2 3 4 TIR Bono A -28.469297 30 0 8 30 0 8 30 0 8 1030 1030 108 5% 6% 7% 4.8900 0.57 € 30 Bono B -26.61% 4. B y C para conseguir anular rápidamente los flujos de caja del Bono D.#VALUE! Uso de la ETTI En el mercado cotizan los siguientes bonos: El bono A es un Bono Cupón Cero con vencimiento a un año y TIR del 5%.8163 0.000000 ETTI 5% 6% 7% 4. 73502985 TIR Cupón 2.384615385 Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Objetivos -87. 0. C y D).00% 7.21565156 1.81629788 0.00% 7.00% 7.4715 -1040.430635758 Año ETTI 0 1 2 3 4 5% 6% 7% 8% Fac.8038% 8.8684% 5.07780577 -100.652626 -107.440037 -90. -0. Supongamos que NO conocemos la ETTI. Nos piden calcular el precio del Bono E que es otro bono a 4 años de cupón explícito.88999644 0.7842% 9.46331 4 8 10 5 90 0 4 8 10 5 90 0 4 8 10 5 90 0 104 108 110 105 1090 0 7.7654% 10.8921% 4.830368814 6. Dto. B.00% 7.95238095 0.precio #VALUE! Precio de un bono a 4 años conocidos otros cuatro bonos a 4 años de cupón explícito Conocemos los flujos de caja de 4 bonos de cupón explícito a 4 años (Bonos A.46331 Diferencia 0 .00% PE Comprobación 1040. 25158745% Año Tipo Corriente 0 1 2 3 4. Determinar r.83182613 Con la TIR Con la ETTI Diferencia Precio Bono 9.26%.26% 5. En el mercado los tipos de interés corrientes a uno. Cupón % Nominal Cupón TIR 5% 10.00 € 9.667 € 500 € 0. se sabe que su TIR es del 6. paga un cupón anual del 5% percibiéndose el primero dentro de un año y se amortiza por el nominal que es de 10. -9.25158745% anual.00 € -0 € .03% 6.500 € 0. dos y tres años son respectivamente: 4.95914061 500 € 0.667.#VALUE! ETTI del tercer año Dado un bono cupón explícito que madura a los 3 años.03% y r.000 € 500 € 6.667. 5.000 €.33% Flujo Caja Factor Dto.9065114 10. 62 € 4.00 200.00 200.00 200.00 200.#VALUE! Precio de un bono con prima de amortización Calcular el precio de un bono de nominal 10. Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Flujos Caja (10.00 200.00 200.00 200.00% . que paga un cupón del 2% semestral durante 15 años.00 200.00 200.62 € 10.00 200. sabiendo que su TIR es del 4%.00 200.000 €.210.210. y una prima de amortización de 300 €.00 200.00 200.210.00 200.00 200.62) 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 Método 1 Método 2 TIR Precio 10.00 200.00 10.500. 000 €) y con cupones semestrales al 8% nominal anual. Cupón 40 Semestre 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saldo en C/C Flujo Caja 954. Todos los ingresos los deposita en el momento de recibirlos en una cuenta que remunera al 7% efectivo anual.97 € . calcular el precio del bono.#VALUE! Bono más cuenta corriente Un señor adquiere un bono por P € de duración 5 años. Siendo la rentabilidad anual efectiva obtenida por sus P € durante los 5 años del 9% efectivo anual. se amortiza por el nominal (1.08 € 40 40 40 40 40 40 40 40 40 1040 1.467. 6832109 0 39.2113% Bono C TOTAL 0 -994 0 0 0 39.0000% . Una Letra del Tesoro. de cupón C euros y precio 994 euros. B. Una Letra del Tesoro.68321 3. Un Bono del Estado a tres años.#VALUE! Vencimiento común de varios bonos Un inversor adquiere los siguientes activos de renta fija que vencen en la misma fecha: A. con vencimiento a 18 meses y precio 940 euros C.6832109 0 -940 -970 -930.68 € C Semestre 0 1 2 3 4 5 6 TIR Bono A -994 0 39.68321 4. calcular C.0928% 4.6832109 0 1039. con vencimiento a 12 meses y precio 970 euros Si la rentabilidad obtenida por el inversor es del 4%.316789 0 0 1000 3039. 39.1853% Bono B 0 0 0 -940 0 0 1000 4. fecha: . 73 € 39.343.000 € le ofrecen dos opciones de inversión: La opción A consiste en adquirir un bono cupón cero que se amortizará por 39.00 € Se considera una renta de 19 términos ya que el primero se obtiene justo a los dos años y el último justo a los 5 años. Opción A 20. Son 3 años. b) Calcular el cupón bimestral de la segunda opción.Err:502 Dos opciones de invesión en bonos A un inversor que dispone de 20.2809% VA 20.49000% 2. o 18 bimestres + 1 = 19.343.03 € dentro de 5 años.03 € 0.Comproboción .00 € <-. Co C5 i i6 14.000.000.000 €. periodicidad bimestral. calcular: a) La rentabilidad anual efectiva ofrecida por ambas alternativas. Si ambas opciones son financieramente equivalentes. La opción B consiste en adquirir un bono de cupón explícito C.343.03 € Opción B C VF Diferencia 824. recibiendo el primero transcurridos 2 años y el último al cabo de 5 años. El nominal es de 20.00 € 39.