CIRCUITO DE VENTILACION64 Leyes de Kirchhoff Las dos leyes fundamentales administrada por la conducta de los circuitos eléctricos fueron desarrolladas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff. Aunque estas leyes fueron desarrolladas con respecto a circuitos eléctricos, a estado siendo aplicado a circuitos de ventilación usando análisis de la analogía de H -Q2. Primera ley de Kirchhoff La figura es un segmento de un circuito de ventilación donde se encuentran cuatro ramas en un punto común o conjunción. Para este capitulo conjunción es específicamente definida como un punto donde tres o más ramas se encuentran. Según la primera ley de kirchhoff, el caudal de salida de una conjunción será igual al caudal de entrada de la conjunción; entonces Q1 + Q2 = Q3 + Q4 65 Segunda ley de kirchhoff La segunda ley de kirchhoff dice que la suma de las caídas de presión en una malla cerrada deberá ser igual a cero, el cual puede ser expresada de la siguiente forma: •H=0 La figura está referida al orden adoptado aplicando la ecuación anterior. Una malla cerrada consiste de flujos a, b, c y d, indicado por la línea segmentada. Si se suman las caídas de presión en sentido del reloj en la malla, la siguiente ecuación debe ser escrita como: H = Ha + Hb + Hc – Hd = 0 Ha, Hb, y Hc son positivas, porque el caudal del flujo Q1 está en el sentido de las sumas de las caídas de presión. Por lo tanto, Hd es negativo, debido a que Q2 se opone a la dirección de las suma de las caídas de presión. 66 La ecuación puede ser expresada en termino de la resistencia y el caudal para cada flujo. Por lo tanto, para mantener válida la convención de los signos para todos los casos, la ecuación de Atkinson puede ser expresada como H = R |Q|Q, donde |Q| es el valor absoluto de Q ( Wang and Hartman,1967). Por lo tanto, la ecuación queda escrita como Ejemplo, la figura (a) consiste en dos flujos de aire con un ventilador localizado en la rama 1, causando un flujo en la dirección indicada. Determine los caudales de 1 y 2 si el ventilador está operando con una presión estática de 1 in. Y la resistencia en las ramas 1 y 2 son 10x10-10 y 15x10-10 in.min2/ft6 respectivamente Para este simple ejemplo, es que Q2 tiene la misma dirección que Q1. Si la dirección indicada por la fig. (a) es asumida y las pérdidas de presión son sumadas en sentido del reloj, la siguiente expresión resulta: •H = -1 + 10x10-10 |Q1|Q1 + 15x10-10 |Q2|Q2 = 0 67 . El caudal de aire de cada rama es el siguiente: Q = Q1 = Q2 = Q3 = .. En la figura g se puede p definir un circuito serie... Ocurren también combinaciones complejas..Circuitos series En un sistema de ventilación... Aplicando la segunda ley de kirchhoff en sentido contrario al reloj resulta lo siguiente: H1 + H2 + H3 – Hm = 0 68 . estas pueden ser reducidas usando algunas técnicas básicas....... dos combinaciones de flujos de aire son posibles: series o paralelos. Resistencia equivalente en circuito serie La figura ilustra un simple circuito en serie. . H = R1 Q2 + R2 Q2 + R3 Q2 + .. Puede ser expresado en términos de caudal y resistencia para cada rama H = R1 |Q|Q + R2|Q|Q + R3|Q|Q + ............... la expresión puede ser escrita de la siguiente forma: H = H1 + H2 + H3 + .Para este caso..... En los circuitos en serie hay que tener especial cuidado con el caudal y la dirección de los flujos......... Uno puede a menudo convenir no involucrar el ventilador. la ecuación puede ser escrita de la siguiente forma adoptando la convención de signos. 69 ..... la presión del ventilador Hm es igual a la caída total (caída estática) para los puntos AB. . ) Q2 = Req Q2 Donde Req esta referido a la resistencia equivalente de los circuitos en serie.Factor común en Q2..... Q2 70 ... esto significa la suma individual de todas las resistencias. Entonces. H = ( R1 + R2 + R3 + ... la ecuación general de las resistencias en serie puede ser escrita de la siguiente forma: Req = H = R1 + R2 + R3 + ... Curva característica circuitos series Los cálculos de flujo en serie pueden ser resueltos gráficamente usando la curva característica. las curvas son visualizadas para cada condición de flujo. 71 . En este caso las caídas de presión son acumulativas para un caudal dado. . Cuando las ramas son arregladas en paralelo..... Los ramales controlados son cuando se prescribe el caudal en cada malla paralela por una regulación.. Para la segunda ley de Kirchhoff.. Para la primera ley de Kirchhoff.... uno puede escribir la expresión general como sigue: Q = Q1 + Q2 + Q3 + ..... Hay dos formas de ramales.Circuitos paralelos Las ramas pueden ser conectadas en paralelo donde el flujo de aire es dividido. es practicado en termino de ramales. el caudal total es la suma de los caudales individuales. En ventilación de minas. 72 .. y las mallas son referidas a las ramas. H = H1 = H2 = H3 = . La caída de presión en los ramales paralelos son iguales. ramal natural ocurre cuando el caudal es dividido en mallas paralelas acordado por su propia regulación. Q = (H / R1) ½ + (H / R2) ½ + (H / R3) ½ Donde Q es el caudal total y H es la caída de presión en las ramas paralelas del tramo AB.Resistencia equivalente para circuitos paralelos Como para los circuitos en serie. se puede escribir. Q = (H) ½ ( 1 / (R1) ½ + 1 / (R2) ½ + 1 / (R3) ½ ) = (H) ½ ( 1 / (Req) ½ ) 73 . la resistencia equivalente para ramales paralelos puede ser determinada aplicando la primera ley de Kirchhoff y la ecuación de Atkinson para la conjunción. Ahora esta ecuación puede ser expresada en término de resistencia equivalente. Q1 = Q (Req / R1) ½ Q2 = Q ( Req / R2) ½ .. Regla del caudal dividido El caudal de aire requerido para cada flujo paralelo puede ser determinado por datos conocidos como el caudal total y la resistencia de cada rama... de las resistencias individuales y de la resistencia equivalente.... Para esto.La ecuación general para la resistencia equivalente puede ser escrita como sigue: 1 / (Req) ½ = 1 / (R1) ½ + 1 / (R2) ½ + 1 / (R3) ½ + ... etc.. 74 ... como las pérdidas de presión en paralelo son iguales. uno puede expresar los caudales individuales en función del caudal total del circuito... puede ser escrito como sigue: Req Q2 = R1 Q12 = R2 Q22 = . 75 .Curva característica de circuitos paralelos Algunas soluciones se pueden obtener a través de la curva característica. asumiendo un caudal. En este caso los caudales son acumulativos para una misma caída de presión. La caída de presión en un punto sobre la curva es calculada. Ley de Ohm Ley de Ohm: V=R*I RS = R1 + R1 + R3 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 76 . Análisis de redes simples con ramas naturales Las redes constituyen el sistema de ventilación. En algunas instancias. los siguientes datos de resistencias han estado determinadas en unidades de 10-10 in min2/ft6. debido a la dirección de flujo y magnitud de las presiones y caudales que son desconocidos. el resultado es una complicada maza de aire. En el siguiente ejemplo utilizará las técnicas previas analizadas ilustrando un análisis medio. El problema en el diseño minero es determinar el caudal de cada rotura. Ejemplo. Solución algebraica a redes simples Las redes simples pueden ser combinadas algebraicamente con circuitos series y paralelos. las ramas naturales presentan más dificultad al problema. 77 . la mayoría de las redes de ventilación pueden agruparse en circuitos equivalentes series – paralelos. para un circuito simple de ventilación mostrado en la figura. Por lo tanto. 50 R9 = 1.30 R7 = 0.95 R8 = 1.R1 = 0.00 R4 = 0.20 R3 = 1.25 R6 = 1.50 R2 = 1.35 R10= 0.40 78 .75 R5 = 1. 000 cfm. •Dibuje la curva característica de la rama D y la rama B. Fig. la solución gráfica de la mina. Determine el caudal de la rama secundaria.Solución grafica de redes simples Redes simples son de fácil solución gráfica. •Dibuje la curva característica de la rama C. se ha resuelto algebraicamente en el ejemplo y es mostrado en el siguiente gráfico. lea QD = 61. •Dibuje la curva característica de la rama A y la rama 3. •Determine caudal para cada rama si el caudal de la mina es 100. Por ejemplo. •Dibuje la curva característica de la combinación E.000 cfm 79 . basado sobre el caudal de flujo de D.000 y QB = 39. •Combine todos los conductos de ventilación en un conducto equivalente. lea QA = 22.000 cfm.000 cfm y Q3 = 39. 80 . es definido como el punto donde tres o más ramas se encuentran •Una rama es el segmento de un conducto de ventilación entre dos nodos. para este caso se puede escribir: N b = 6 y Nj = 4 81 . •La malla es un circuito cerrado. En orden de aplicación de estas leyes son el modelo lógico.Análisis de redes complejas Las redes son complejas cuando los circuitos paralelos cuando son montados e interconectados y separados y circuitos no muy claros. En otras palabras. La red consiste en seis ramas y cuatro nodos. La siguiente terminología de redes deberá ser adoptada: •Un nodo. la solución algebraica es imposible y complicada. el circuito no puede ser reducido a un equivalente. Si la ramificación es natural. La figura muestra un ejemplo elemental de redes complejas. con un ventilador localizado en la rama 1derivando el aire en la dirección que indica la flecha. La solución de las redes complejas está basado en la ecuación de Atkinson y las leyes de Kirchhoff. Por lo tanto. Si uno asume que el caudal total es Q1 y que las resistencias en cada rama son conocidas. se necesitan 12 ecuaciones independientes.Donde Nb es el número de ramas y Nj es el número de nodos. Un requerimiento de ecuaciones independientes puede ser escrita por la ecuación de Atkinson. excepto la rama 1 La presión estática del ventilador En efecto hay 12 variables desconocidas por resolver. lo siguiente debe ser determinado: La caída de presión de cada rama La dirección y caudal de cada rama. como sigue: 82 . H1 = R1 H2 = R2 H3 = R3 H4 = R4 H5 = R5 H6 = R6 | Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 83 . esto no es independiente.Las seis ecuaciones deben ser obtenidas por la ley de Kirchhoff. Entonces. B y C: Nodo A : -Q1 + Q2 + Q3 = 0 Nodo B : -Q2 + Q4 + Q6 = 0 Nodo C : -Q3 – Q6 + Q5 = 0 Será notado que la aplicación de la primera ley de Kirchhoff al nodo D producirá una ecuación que puede ser derivado por sobre tres ecuaciones. Se tiene que la suma algebraica de los caudales es igual a cero. Otro teorema de redes es que hay un mínimo número de mallas Nm que puede resolver 84 . se puede obtener tres ecuaciones independientes aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos A. Un teorema de redes dice que hay exactamente Nj – 1 ecuaciones independientes que pueden ser derivada por la primera ley de kirchhoff (Close 1966). De aquí llevaremos a cabo el requerimiento de 12 ecuaciones independientes. Seleccionando las tres mallas indicadas en la figura (b).el problema de redes es como sigue: Nm = Nb – Nj + 1 En la figura se debe aplicar la segunda ley de kirchhoff a las tres mallas. y destacando que la presión del ventilador debe ser incluida. produce la siguiente ecuación: Malla 1 : -Hm + H1 + H2 + H4 = 0 Malla 2 : H3 – H6 – H2 =0 Malla 3 : H6 + H5 – H4 =0 85 . Sobre las ecuaciones en las mallas pueden ser expresados en términos de caudal y resistencias de cada rama sustituyéndola en las ecuaciones anteriores. se puede expresar en dos términos desconocidos (Q3 y Q6). Ahora. uno determina cinco caudales y la presión del ventilador.Hm + R1 | Q1 | Q1 + R2 | Q2 | Q2 + R4 | Q4 | Q4 = 0 Malla 2 : R3 | Q3 | Q3 – R6 | Q6 | Q6 – R2 | Q2 | Q2 =0 Malla 3 : R6 | Q6 | Q6 + R5 | Q5 | Q5 – R4 | Q4 | Q4 =0 Donde Q1 es dado. Q2 = Q1 – Q3 Q4 = Q2 – Q6 = Q1 – Q3 – Q6 Q5 = Q3 + Q6 86 . Malla 1 : . I3 = 0 La ley de mallas establece que la suma de caídas de potencial a lo largo de una malla debe coincidir con la suma de fuerzas electromotrices (de los elementos activos) a lo largo de la misma. utilizando las mallas I y II recorridas en los sentidos indicados tendremos las siguientes ecuaciones: e1 = I1R1 + I3R3 -e2 = I2R2+I2R4– I3R3 = I2(R2 + R4) – I3R3 87 . En nuestro caso. es decir. por ejemplo) es igual al total de la corriente que sale del nudo (signo menos en su caso).Ley de Kirchhoff La ley de nudos que la suma de las corrientes que llegan a un nodo es cero.I2 . que el total de corriente que entra (signo mas. I1 . un regulador funciona similarmente al regulador de sistema de calefacción de la casa. el regulador es un orificio que causa una alteración de contracción y expansión del flujo en un ducto. uno primero necesita tener la pérdida por choque para crear el regulador por ramas. Este procedimiento involucra calcular las pérdidas de presión en cada rama basado en los caudales designados. En orden a determinar el tamaño del regulador. La resistencia artificial es de alguna forma la pérdida por choque.Ramificaciones controladas Cuando los flujos de ventilación son arreglados en paralelos y se prescribe el caudal de aire hecho para cada rama sin obstrucción. Determinación del tamaño del regulador Como mecanismo de control de ventilación de minas. Los flujos en paralelo usualmente son controlados por una resistencia artificial para todas o una rama del circuito. La rama con más alta caída de presión es la rama libre y no necesita regulador. En efecto. 88 . creándose un regulador. entonces es utilizado la ramificación controlada. La rama fuera de la resistencia artificial es llamada rama libre. Es admisible calcular el tamaño aproximado del regulador. Para segunda ley de Kirchhoff las pérdidas de presión en paralelo son iguales. Calcule la caída de presión para cada rama usando la ecuación de Atkinson para los caudales asignados. 89 . la cantidad de pérdidas por choque debería ser creada para permitir la asignación de los caudales.000 cfm. Esto es ilustrado en el ejemplo. dado algunos flujos de aire. determine la rama libre y la cantidad de reguladores necesarios para distribuir 100. Ejemplo. por lo tanto. calculado por la substracción de la caída de presión de la rama libre. Necesitando la pérdida de presión por choque con la substracción de las pérdidas de presión de la rama libre y las otras ramas. 90 . 000 cfm en ramificación natural la caída de presión total es de 0. Esto requerirá un incremento en la potencia a igual proporción. o el orificio es simétrico (McElroy. 91 . N es la razón del área del orificio Ar para la rama de área A y CC es el coeficiente de contracción. El coeficiente de contracción es determinado por la siguiente ecuación. A 0.940 in con ramificación controlada.Note que para un caudal total de 100. 1935) X = [ (1/CC) .N]2 N Donde X es el factor de pérdida por choque.214 in. El tamaño del regulador puede ser bien fundamentado para la pérdida por choque teórica asumiendo que es circular. como indica en la tabla. resulta la siguiente expresión (Wang. el regulador puede ser determinado con la siguiente ecuación: Ar = N A La formula asume que es una abertura simétrica. El valor de 2. esto puede ser con la siguiente ecuación básica: 92 . N=( Z )½ X + 2(X) ½ + Z Donde Z es el factor de contracción. Donde el área de la rama A es conocida.5 es comúnmente usado. 1980). Este factor varía con la configuración del regulador. En orden de cálculo es necesario primeramente calcular X. El área del orificio Ar es usualmente llamado el área del regulador.CC = 1 ( Z – ZN2 + N2 ) ½ Sustituyendo en la primera ecuación. Ejemplo.56 + 2(2.25 in y A = 40 ft2 defina el área del regulador.000 / 40 = 3.88 in X = HX / HV = 2. dado Q = 150.55 (40) = 22 ft2 93 .5 )) ½ = 0.88 = 2.25 / 0.56 N = ( Z / ( X + 2(X) + Z ) ) ½ = ( 2.075 (3757 / 1098 )2 = 0.5 / (2.55 Ar = N A = 0. V = Q / A = 150. HX = 2.000 cfm.X = HX HV Donde HX es la pérdida por choque que se necesita para ser creado el regulador y HV es la presión de velocidad.56) ½ + 2.750 fpm HV = w (V / 1098 )2 = 0. El siguiente procedimiento general es sugerido: •Sobre el esquema de la mina prepare un plano de la mina. La razón es que la dirección y el caudal son conocidos. •Determine el número de mallas requerido aplicando la segunda ley de Kirchhoff. si solamente es por ramificación controlada. por Nm = Nb – Nj + 1. 94 . empleando el caudal Q asignado. las pérdidas y la localización de los reguladores se debe determinar. y solamente el caudal de la mina. indicando caudales de aire asignado a cada rama.Análisis de redes con ramificación controlada Cada red compleja o simple puede ser resuelta algebraicamente en forma rápida y directa. •Calcule la caída de presión individual para cada rama. dado un esquema simple de ventilación. Redes simples Un ejemplo ilustra sobre el procedimiento con redes simples Ejemplo. Los valores de Q son en cfm y los valores de R en 10-10 in min2/ft6.• Comience a trabajar con malla interior y exterior hasta que la segunda ley de Kirchhoff ha sido satisfecha por todos los requerimientos de la malla. localización de los reguladores y la presión estática de los ventiladores para las siguientes condiciones. cada malla asociada incluirá la rama libre para evitar confusión. 95 . determine el caudal de la mina. Si más de dos ramas están en paralelo. 476 96 .000 Q5 = 10.780 R7 = 6.238 R2 = 3.70 Q8 = 15.Q3 = 25.408 R12 = 0.550 R3 = 32.20 R9 = 8.0 R11 = 0.000 R5 = 50.000 R1 = 0.000 Q10 = 20.000 Q4 = 40.120 R8 = 22.00 R4 = 18.16 R10 = 75.00 R6 = 1.000 Q9 = 35. Nm = Nb – Nj + 1 = 10 – 6 + 1 = 5 97 .000 + 20.000 = 145.000)2 = 0.000 + 10.000 + 70.000 cfm Q mina = Q1 = Q12 = 75. Q2 = Q6 = 25.000 +35.238x10-10) (145.000 = 70. la segunda ley de kirchhoff de satisfacer cinco mallas.000 cfm Q7 = Q11 = 15.000 = 75.000 cfm La caída de presión de cada rama es calculada para los caudales designados como sigue: H1 = R1 Q12 = (0.000 + 40. el caudal de la mina es determinado aplicando la primera ley de Kirchhoff trabajando con los nodos internos y externos.5 in Para una parte de la red.Solución. 5 + Hx Malla 3 : 1.0 + Hx = 3.0 = 9.5 + Hx = 3.0 + 1.0 + 3.0 Malla 2 : 3. Malla 1 : 2.0 Malla 5 :2.0 + 3.5 in 98 .Si las mallas en la figura (c) son definidas.0 + Hx = 3.0 (rama 3) (rama 5) (rama 9) (rama 8) (rama 2 o 6) La presión estática de la mina es determinada aplicando la segunda ley de Kirchhoff.0 + 3.ABEFGH Hs mina = 0. ABCDGH o ABEFGH.5 Hx = 2.0 + 2.0 + Hx = 3. las siguientes ecuaciones pueden ser escritas para determinar la localización de los reguladores y la cantidad de reguladores.5 Hx = 2.0 Hx = 1.5 + 3.0 Hx = 2.0 +2.0 + 1.0 = 0.0 Hx = 2.0 Malla 4 : 0. Redes complejas 99 . 000 = 75.000 + 95.000 cfm Nivel inferior: Q = 40.000 + 35.000 cfm Caudal de la mina Q = 75.000 + 30.000 + 25. determine el caudal de la mina y la presión estática. con caudales asignados y las caídas de presión calculadas.000 + 15. donde Nm = Nb – Nj + 1 = 13 – 9 + 1 = 5 100 . la segunda ley de Kirchhoff debe ser satisfecha en las cinco mallas.Dado el esquema de un sistema de ventilación de minas mostrado en la figura. Nivel superior: Q = 20.000 cfm Para una parte de la red B a J.000 = 170.000 = 95. 8 + Hx Hx = 2.7 + 5.1 + Hx Hx = 0.2 + 1.3 rama CD rama CE rama FG rama GI rama BF o IJ Caída estática mina Hs = 0.3 + Hx Hx = 0.9 = 0.8 = 0.4 in 101 . se determinaran las siguientes ecuaciones: Malla 1: 0.Si las mallas de la figura 5 son definidas.0 + 1.2 Malla 3: 1.6 + 1.6 = 7.2 = 1.4 + Hx = 1.3 = 0.8 Malla 4: 0.1 + 1.4 + 1.4 Hx = 0.2 Hx = 0.8 Malla 2: 1.9 + 1.2 + 1.3 Malla 5: 0.8 + 3.7 + Hx + 0. Así. se utiliza la transformación del triángulo en estrella de tres rayos. 102 . el triángulo ABC puede ser reemplazado por una equivalente estrella con radios AO. Si suponemos que el aire entra en el punto A y sale por el punto B. para su simplificación. entonces para el triángulo la resistencia entre los puntos se determinará como la resistencia común de las ramificaciones paralelas AB y ACB. en el cálculo de los sistemas de ventilación.Método de transformación triangulo en estrella Por analogía por el cálculo de las redes eléctricas. Para la estrella esta resistencia será igual a la suma de las resistencias de las secciones AO y OB. BO y CO ver figura. 2 = R3.1 + R1.3 + R1.1 = ½ ( R2(SR – R2) + R3(SR – R3) R1(SR – R1) ) SR + 2(R2(SR – R2)) ½ SR + 2(R3(SR – R3)) ½ SR + 2(R1(SR – R1)) ½ R3(SR – R3) + R1(SR – R1) ) ) ½ ½ SR + 2(R3(SR – R3)) SR + 2(R1(SR – R1)) SR + 2(R2(SR – R2)) ½ 103 .2 = R3(R1 + R2) R1 + R2 + R3 + 2(R3(R1 + R2)) ½ Sumando las dos primeras ecuaciones y restando la tercera resolvemos: Sí S R = R1 + R2 + R3 R1.1 + R2.R1(R2 + R3) R1 + R2 + R3 + 2(R1(R2 +R3)) ½ Por analogía R2.3 = ½ ( R3.2 = ½ ( R1(SR – R1) + R2(SR – R2) R3(SR – R3) ) SR + 2(R1(SR – R1)) ½ SR + 2(R2(SR – R2)) ½ SR + 2(R3(SR – R3)) ½ R2.3 = R2(R1 + R3) R1 + R2 + R3 + 2(R2(R1 + R3)) ½ R3.