César Antúnez.I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América) El Modelo básico de Solow Robert Solow en 1956 publicó un ensayo titulado “A Contribution to the Theory of Economic Growth” (Una contribución a la teoría del crecimiento económico), Que seria de gran influencia para las generaciones futuras. A este aporte conocido es un modelo del crecimiento considerando la respuesta ortodoxa al modelo keynesiano de Harrod y Domar. Por este y otros trabajo más se le otorgo el P Pr re em mi io o N No ob be el l d de e E Ec co on no om mí ía a e en n 1 19 98 87 7. . En este articulo Solow demostrará que si se descarta las proporciones fijas, como lo establecían Harrod-Domar el crecimiento regular no seria inestable, sino estable. Para esto Solow incorpora el equilibrio general estable, de que la función de producción que permite la sustitución de factores (capital y trabajo) 1 . Partiendo del equilibrio macroeconómico entre ahorro e inversión; incluye: al capital físico como un activo acumulable, a la mano de obra como reproducible, al ahorro real como función del ingreso, la tasa de depreciación y el crecimiento poblacional. De manera general podemos decir con rigurosidad que, el modelo de Solow es un modelo de la síntesis clásico-keynesiana y parte de las siguientes hipótesis 2 : Por que retomo la hipótesis del Keynesianismo: En el mercado de bienes: El ahorro es función del ingreso, la relación entre ahorro y la tasa de interés del enfoque neoclásico no ha sido considerada; conservo la ley psicológica fundamental de Keynes. En el mercado de trabajo: rechazó la teoría neoclásica, en el sentido de que la oferta de trabajo es independiente del salario real. De la reflexión clásica o neoclásica retomó: La función de producción con factores sustitutivos (capital y trabajo). Todo el ahorro es invertido, por consiguiente necesariamente hay equilibrio en el mercado de los productos y por lo tanto no existe problema de salida o de demanda. Este modelo podremos notar, la tasa de ahorro endógena y la ausencia del progreso tecnológico como en los modelos anteriores de Harrod y Domar. 1 El lector interesado puede revisar el modelo con mas detalle ``A Contribution to the Theory of Economic Growth.'' (1956), pp: 56-94. 2 El modelo de Solow ha sido considerado como de inspiración neoclásica, ello por oposición al modelo de tipo Keynesiano de Harrod y Domar. César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 2 Critica de Solow En esta parte Solow hace un balance de los modelos de crecimiento de Harrod y Domar. Modelo de crecimiento pesimista respecto al desenvolvimiento del capital. La proposición de Harrod, de que la ecuación del capital tienda a una ecuación inestable. Es como si tuviera un doble “filo”. Dichos modelo soslaya la sustitución de factores siendo ello su principal defecto. El periodo de auge del capitalismo en post-guerra coincide con el pronostico de Harrod y Domar. Solow plantea, un modelo neoclásico donde la relación entre factores sea variable. Importancia en que los factores se sustituye entre si. Nos dice que la economía capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinámico estable. La economía capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinámico proporción. 2.1.1 Supuestos del modelo Sea una economía de mercado donde solo se produce un bien el mismo que se consume e invierte 3 . La relación capital-producto es endógena y flexible: v La fuerza de trabajo agregad crece a una tasa constante y exógena: n El ahorro agregado, s, es una proporción del ingreso nacional, dado la proporción marginal ahorrar. Mercado de competencia perfecta. La economía no tiene relación con el exterior. 3 Se supone una economía parecida a la de Robinson Crusoe, donde no hay empresas, ni empleados y ni mercados, donde Robinson combinaba su propio trabajo para producir. César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 3 Función de Producción Agregada (FPA) Solow plantea una función de producción Neoclásica agregada que permite sustitución entre los factores de manera que dicha función puede ser expresada de la siguiente manera: | ) ) ( , I L K F Y t t t = Donde: t Y : Producción agregada en el instante “t”. t K : Stock de capital agregado en el instante “t”. t L : Fuerza de trabajo en el instante “t”. Esta ecuación ( I ) representa el lado de la oferta de una economía simplificada y señala que el producto producido está en función de la acumulación de capital y del monto de mano de obra. Esta función esta sujeta a Rendimiento de Escala Constante (REC), es decir, si se aumentan o disminuyen, los factores de producción en determinada proporción, por ejemplo ( II ), el producto aumentaría o disminuiría en la misma proporción, o sea, ( II ). De ahí que la función de producción pueda ser rescrita de la siguiente manera: | ) | ) ) ( , . . , . II L K F L K F Y t t t t t = = 0 > ¬ Como se sabe la función presenta rendimiento constante a escala 4 . Entonces 1 > , nos da | ) t t t L K F Y . , . < , si se invierte la desigualdad la función de producción agregada muestra rendimiento decrecientes a escala. Si t L 1 = , reemplazado en la función | ) ) ( 1 , FPI k F y L K F L Y t t t t t t = ¬ | | . | \ | = 5 Donde: t t t L K k = : Cantidad por trabajo en el instante “t”. t t t L Y y = : Producción por unidad de trabajo en el instante “t”. La ecuación de la (FPI) expresa el producto por unidad de trabajo como una función del capital por unidad de trabajo solamente. Para entender la intuición de esta 14 Como sabemos por microeconomía los rendimiento constante a escala da un numero de empresas que es indeterminado, esto quiere decir, que no esta determinado por el modelo. Y es nos permite trabajar con la función de producción en su forma intensiva. 15 FPI: función de producción intensiva César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 4 ecuación, supongamos un aumento en la escala de operaciones mediante un aumento proporcional en t L y t K donde el producto por trabajador no cambiaría. De manera que la producción por trabajador no depende del tamaño total de la economía sino, de la cantidad de capital por trabajad (persona activa). Como es sabido, la teoría de la producción se centra en los niveles de empleo de cualquier factor de producción para los que el producto marginal es positivo pero decreciente, de manera que para nuestra función de producción representada en la ecuación ( III ) tenemos: 0 ) 0 ( = = f y t CIO k f dk dy PMg t t k ( 0 ) ( > ' = = 6 ) CIIO k f dk dPMg k ( 0 ) ( 2 < ' = 7 ) Gráfica Nº 1: La función de producción per cápita En el Gráfico Nº1, podemos apreciar la función de producción intensiva, que cumple con las condiciones de primer y segundo orden de la función. La función es de buen comportamiento esto quiere decir que satisface las condiciones de INADA, es decir: a) Sin factores productivos no hay producción. b) La magnitud de los productos marginales ( PMg ) son positivos. 0 > ' = L t f dL df 0 > ' = K t f dK df 6 CIO: Condición de primer orden para maximizar la función. 7 CIIO: condición de segundo orden, y que nos asegura que ) (k f es cóncava y tiene un máximo. César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 5 c) La curva de los productos marginales son decrecientes. d) Cuando t k tiende al infinito, entonces el ) (t k PMg tiene al vector nulo. 0 ) ( = = · ÷ K t K PMg Lím e) Cuando t L tiende al infinito, entonces el ) (t L PMg tiene al vector nulo. 0 ) ( = = · ÷ L t L PMg Lím f) Cuando t k tiende al cero, entonces el ) (t K PMg tiene al infinito. · = = ÷ K t K PMg Lím 0 ) ( g) Cuando t L tiende al cero, entonces el ) (t K PMg tiene al infinito. · = = ÷ L t L PMg Lím 0 ) ( Inversión neta por trabajador ( n I ) Se plantea que la inversión neta por trabajador, va ser igual a la suma de la tasa de cambio por trabajador. Demostración: t t t t t L k K L K k . = ¬ = , Derivado con respecto al tiempo,”t”. ¬ + = ¬ + = - - - t t t t t t t t t t t L x k L L k K dt dk L dt dL k dt dK 1 . . . . - - - + = k L L L L k L K t t t t t t . . ¬ + = - k g k I l n . - + = k n k I n . , la inversión por trabajador Inversión neta por trabajador = Profundización del capital + Ampliación neta de capital Donde; t k - : Tasa de cambio de capital por trabajador en el instante “t”. t k : Capital por trabajador en el instante “t”. n : Tasa de crecimiento de la fuerza laboral. n I : Inversión neta. César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 6 Ecuación Fundamental de Solow De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: n I Y s I S = ¬ = . | ) t n t t L x I L K F s 1 , . = t t t t L I L K f s = ) 1 , ( . t t t k n k k f s . ) ( . + = - , la ecuación de Solow La versión de Branson de la ecuación fundamental de Solow Si 0 = - t k s n k k f k n k f s t t t t = ¬ = ) ( . ) ( . , se determina Gráfica Nº 2: El Diagrama de Solow Versión de Barro Nos dice que si partimos de la ecuación fundamental de Solow, y la dividimos entre el capital por trabajador nos dará la tasa de crecimiento proporcionado ( k g ); t t t k n k k f s . ) ( . + = - , dividiendo entre t k n k k f s k k t t t t ÷ = - ) ( . n k k f s g t t k ÷ = ) ( . * t k * y César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 7 Gráfica Nº 3: La función de producción En el Gráfico Nº3, se puede apreciar que cuando, el crecimiento proporcionado k g es nulo, entonces s n k k f g t t k = ¬ = ) ( 0 , con lo cual se determina * t k . Crecimiento Proporcionado Es aquel crecimiento en que todas las variables agregadas crecen a la misma tas constante positiva. L K Y g g g = = También se puede expresar en términos de variable por trabajador, donde el crecimiento 0 = = = l k y g g g 0 = = ÷ k L K g g g Proporcionado ocurre cuando las tasas de crecimiento de las variables por trabajador son nulas. 0 = = k y g g César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 8 Growth steady state: En el modelo de Solow el crecimiento proporcionado ocurre cuando; 0 0 = ÷ = - t k k g Luego la ecuación Fundamental deviene: t t t k n k f s k . ) ( . ÷ = - Puesto que crece proporcionado cuando: 0 = - t k t t k n k f s . ) ( . 0 ÷ = t t k n k f s . ) ( . = Con lo cual se determina el capital por trabajador de equilibrio. Sobre la Estabilidad En una economía capitalista en el largo plazo tiende aun análisis de equilibrio dinámico de tipo estable, cualquiera que se a el valor inicial de la relación capital- trabajo ( t k ), se generan fuerzas internas que llevan a que la relación capital-trabajo tienda a la relación capital trabajo de equilibrio. Caso I ( · > k k 0 ) En este caso vemos en el Gráfico Nº 4 que, la economía tiene hoy un capital 0 k , la inversión por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliación neta de capita. Esto quiere decir que va ocurrir una profundización ( 0 k aumentara con el tiempo), hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador * t k , cuando 0 = - t k , las curvas originado un punto ) ( . . t t k f s k n = , que es llamado el estado proporcionado, donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante. Gráfica Nº 4: La Estabilidad Caso (I) Crecimiento proporcionado Crecimiento Balanceado César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 9 · · ÷ = ¬ < k Lím k k k t ) 0 ( * 0 Caso II ( · < k k 1 ) Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha * t k , como se puede apreciar en el Gráfico Nº 5, donde el capital por trabajador esta expresado como 1 k .En esta región la ampliación neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decir que el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporción capital- trabajo constante. Como 0 < - t k , por consiguiente la cantidad de capital por trabajador 1 k comienza a declinar hasta que se iguale con * t k . Gráfica Nº 5: La Estabilidad Caso (II) · · ÷ = ¬ > k Lím k k k t ) 1 ( * 1 César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 10 Beneficios, salarios y distribución del ingreso El modelo de Solow asume competencia perfecta en los mercados de bienes y de factores, plantea que para cualquier punto en la curva del producto se puede obtener lo siguiente: Gráfica Nº 6: El Diagrama de Fases En el Gráfico Nº 6, podemos apreciar como 1 k y 2 k que se encuentran en la curva, tienden a t k · , donde este punto nos da el estado proporcionado del modelo. También se puede apreciar en el Gráfico que en 1 k , la tasa de cambio por trabajador es positiva, pero en 2 k , la tasa de cambio por trabajador es negativa. · : Relación capital-producto Los parámetros · : Relación producto-capital · k : Capital por trabajador Las variables por trabajador · y : Producto por trabajador W : Masa de salario La retribución de los factores r : Tasa de interés Los precios relativos de los factores : r W César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 11 Gráfica Nº 7: La Distribución del Ingreso En el Gráfico Nº 7 se aprecia como se a distribuido el ingreso entre la masa salarial (W ) y el beneficio total ( B K r = . ). Analíticamente la ecuación fundamental de Solow; t t t k n k f s k . ) ( . ÷ = - , en el estado del t t k n k f s . ) ( . = , se determina : · k crecimiento proporcionado, 0 = - t k entonces s k n k f t t . ) ( = , se determina · k · y Mercado de capitales Como, | ) t t k f y = esta definido como: t t t t t t L k f Y k f L Y ). ( ) ( = ÷ = , derivado con respecto a t K 0 ~ t t t t t t t t K L k f k k f L K Y c c + c c = c c ) ( ) ( . t t t t t t t K k k k f L K Y c c c c = c c . ) ( . t t t t t t t k L K k f L K Y c | . | \ | c ' = c c ). ( . t t t t t L k f L K Y 1 ). ( . ' = c c César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico
[email protected] 12 ) ( t t k f PMgK ' = Mercado de Trabajo W PMgL t = t t t k r k f PMgL . ) ( ÷ = t t t t k k f k f PMgL ). ( ) ( ' ÷ = t t t k k f k f W ). ( ) ( ' ÷ = Distribución del Ingreso En esta parte veremos como se divide el ingreso, en masa salarial y beneficio. ) ( . . K r L w Y B W Y + = ¬ + = Dividiendo a la ecuación ( ) entre t L 1 , nos dará: ÷ + = ) ( . . k r w L Y Producto x Trabajador = Tasa de salario + Beneficio neto x trabajador Dividiendo a la ecuación ( ) entre y , nos dará: y k r y w . 1 + = Donde: y w : Participación del salario en el ingreso nacional. Y W Y L w L Y w y w = = = . / y k r. : Participación de los beneficios en el ingreso nacional. | ) Y B Y K r L Y L K r y k r = = = . / / . . I Critica de Solow Notas de Crecimiento Económico En esta parte Solow hace un balance de los modelos de crecimiento de Harrod y Domar. donde Robinson combinaba su propio trabajo para producir. donde no hay empresas. Nos dice que la economía capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinámico estable.1. Modelo de crecimiento pesimista respecto al desenvolvimiento del capital. de que la ecuación del capital tienda a una ecuación inestable.1 Supuestos del modelo Sea una economía de mercado donde solo se produce un bien el mismo que se consume e invierte3. La proposición de Harrod. La economía capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinámico proporción. El periodo de auge del capitalismo en post-guerra coincide con el pronostico de Harrod y Domar. ni empleados y ni mercados. dado la proporción marginal ahorrar. 3 Se supone una economía parecida a la de Robinson Crusoe. Dichos modelo soslaya la sustitución de factores siendo ello su principal defecto.pe 2 . s.
[email protected]ésar Antúnez. 2. Mercado de competencia perfecta. es una proporción del ingreso nacional. un modelo neoclásico donde la relación entre factores sea variable. Es como si tuviera un doble “filo”. Importancia en que los factores se sustituye entre si. La relación capital-producto es endógena y flexible: v La fuerza de trabajo agregad crece a una tasa constante y exógena: n El ahorro agregado. La economía no tiene relación con el exterior.edu. Solow plantea. reemplazado en la función t Lt Lt F Kt . es decir. si se invierte la desigualdad la función de producción agregada muestra rendimiento decrecientes a escala. Lt : Fuerza de trabajo en el instante “t”. I Función de Producción Agregada (FPA) Notas de Crecimiento Económico Solow plantea una función de producción Neoclásica agregada que permite sustitución entre los factores de manera que dicha función puede ser expresada de la siguiente manera: Yt F K t .K t . por ejemplo ( II ). . Para entender la intuición de esta 14 Como sabemos por microeconomía los rendimiento constante a escala da un numero de empresas que es indeterminado. Lt ( II ) 0 Como se sabe la función presenta rendimiento constante a escala4.F K t . ( II ).Lt . los factores de producción en determinada proporción. que no esta determinado por el modelo. Y es nos permite trabajar con la función de producción en su forma intensiva. o sea. nos da Yt F .K t . 15 FPI: función de producción intensiva 05120153@unmsm. el producto aumentaría o disminuiría en la misma proporción.Lt . Lt Yt yt : Producción por unidad de trabajo en el instante “t”. K t : Stock de capital agregado en el instante “t”.pe 3 . Si Y 1 . esto quiere decir. Esta ecuación ( I ) representa el lado de la oferta de una economía simplificada y señala que el producto producido está en función de la acumulación de capital y del monto de mano de obra.César Antúnez. . Lt (I ) Donde: Yt : Producción agregada en el instante “t”. Esta función esta sujeta a Rendimiento de Escala Constante (REC).edu. De ahí que la función de producción pueda ser rescrita de la siguiente manera: Yt F .1 Lt yt F kt ( FPI ) 5 Donde: Kt kt : Cantidad por trabajo en el instante “t”. si se aumentan o disminuyen. Entonces 1. Lt La ecuación de la (FPI) expresa el producto por unidad de trabajo como una función del capital por unidad de trabajo solamente. De manera que la producción por trabajador no depende del tamaño total de la economía sino. b) La magnitud de los productos marginales ( PMg ) son positivos. que cumple con las condiciones de primer y segundo orden de la función. de la cantidad de capital por trabajad (persona activa).César Antúnez. podemos apreciar la función de producción intensiva. La función es de buen comportamiento esto quiere decir que satisface las condiciones de INADA. df dLt fL 0 df dK t fK 0 6 7 CIO: Condición de primer orden para maximizar la función.edu. I Notas de Crecimiento Económico ecuación. supongamos un aumento en la escala de operaciones mediante un aumento proporcional en Lt y K t donde el producto por trabajador no cambiaría.
[email protected] 4 . de manera que para nuestra función de producción representada en la ecuación ( III ) tenemos: yt f ( 0) 0 PMg k dPMg k dk 2 dy t dk t f (k ) 0 (CIO 6) f (k ) 0 (CIIO 7) Gráfica Nº 1: La función de producción per cápita En el Gráfico Nº1. CIIO: condición de segundo orden. es decir: a) Sin factores productivos no hay producción. la teoría de la producción se centra en los niveles de empleo de cualquier factor de producción para los que el producto marginal es positivo pero decreciente. Como es sabido. y que nos asegura que f (k ) es cóncava y tiene un máximo. entonces el PMg k (t ) tiene al vector nulo. entonces el PMg L (t ) tiene al vector nulo.pe 5 . entonces el PMg K (t ) tiene al infinito. va ser igual a la suma de la tasa de cambio por trabajador. Demostración: Kt k K t k t .k Lt n In k . t K t k t . n : Tasa de crecimiento de la fuerza laboral. t Lt . Derivado con respecto al tiempo. k t x dt dt dt Lt Kt Lt k.n k .César Antúnez. d) Cuando k t tiende al infinito. I Notas de Crecimiento Económico c) La curva de los productos marginales son decrecientes. k t : Tasa de cambio de capital por trabajador en el instante “t”. 05120153@unmsm. la inversión por trabajador Inversión neta por trabajador = Profundización del capital + Ampliación neta de capital Donde. I n : Inversión neta. Lt Lt Lt .Lt .edu. Lt dK t dL dk 1 k t .”t”. Lím K ( t ) Lím L ( t ) Lím K ( t ) Lím L ( t ) PMg K PMg L PMg K PMg L 0 0 e) Cuando Lt tiende al infinito.g l k In k . 0 Inversión neta por trabajador ( I ) Se plantea que la inversión neta por trabajador. k t : Capital por trabajador en el instante “t”. entonces el PMg K (t ) tiene al infinito. Lt Lt . 0 g) Cuando Lt tiende al cero. f) Cuando k t tiende al cero. I Ecuación Fundamental de Solow Notas de Crecimiento Económico De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: S I s. f ( k t ) k t n. Lt In x Lt Lt Lt s. f (k t ) kt n 05120153@unmsm. se determina kt s * k t y* Gráfica Nº 2: El Diagrama de Solow Versión de Barro Nos dice que si partimos de la ecuación fundamental de Solow. dividiendo entre k t kt kt s. f (k t ) n.F K t . f ( t .Y I n K It 1 s.pe 6 . y la dividimos entre el capital por trabajador nos dará la tasa de crecimiento proporcionado ( g k ). s.k t .k t .César Antúnez.k t Si k t 0 . la ecuación de Solow La versión de Branson de la ecuación fundamental de Solow f (k t ) n s. f (k t ) kt n gk s.edu.1) s. f ( k t ) k t n. entonces g k 0 . kt s Crecimiento Proporcionado Es aquel crecimiento en que todas las variables agregadas crecen a la misma tas constante positiva. se puede apreciar que cuando. donde el crecimiento gy gk gl 0 gK gL gk 0 Proporcionado ocurre cuando las tasas de crecimiento de las variables por trabajador son nulas. I Notas de Crecimiento Económico Gráfica Nº 3: La función de producción En el Gráfico Nº3.edu. gy gk 0 05120153@unmsm. con lo cual se determina k t* . el crecimiento proporcionado g k f (k t ) n es nulo.pe 7 .César Antúnez. gY g K g L También se puede expresar en términos de variable por trabajador. Sobre la Estabilidad En una economía capitalista en el largo plazo tiende aun análisis de equilibrio dinámico de tipo estable. I Notas de Crecimiento Económico Crecimiento proporcionado Growth steady state: Crecimiento Balanceado En el modelo de Solow el crecimiento proporcionado ocurre cuando. la inversión por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliación neta de capita.k t 0 0 kt 0 Puesto que crece proporcionado cuando: k t 0 s.edu. Esto quiere decir que va ocurrir una profundización ( k 0 aumentara con el tiempo). la economía tiene hoy un capital k 0 . f ( k t ) n.k t s. Caso I ( k 0 k ) En este caso vemos en el Gráfico Nº 4 que.César Antúnez.k t s. g k Luego la ecuación Fundamental deviene: kt s. f (k t ) .pe 8 . donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante. cuando k t 0 . Gráfica Nº 4: La Estabilidad Caso (I) 05120153@unmsm. que es llamado el estado proporcionado. f (k t ) n. se generan fuerzas internas que llevan a que la relación capital-trabajo tienda a la relación capital trabajo de equilibrio. f (k t ) n. hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador k t* . cualquiera que se a el valor inicial de la relación capitaltrabajo ( k t ).k t Con lo cual se determina el capital por trabajador de equilibrio. las curvas originado un punto n. por consiguiente la cantidad de capital por trabajador k1 comienza a declinar hasta que se iguale con k t* .edu. donde el capital por trabajador esta expresado como k1 . Gráfica Nº 5: La Estabilidad Caso (II) k1 k t* Lím k (1) k 05120153@unmsm. como se puede apreciar en el Gráfico Nº 5.En esta región la ampliación neta de capital supera al ahorro por trabajador. I k0 Caso II ( k1 k ) Notas de Crecimiento Económico k t* Lím k ( 0 ) k Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha k t* . esto quiere decir que el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporción capitaltrabajo constante.pe 9 .César Antúnez. Como k t 0 . pe 10 . plantea que para cualquier punto en la curva del producto se puede obtener lo siguiente: Gráfica Nº 6: El Diagrama de Fases En el Gráfico Nº 6. la tasa de cambio por trabajador es positiva. También se puede apreciar en el Gráfico que en k1 . donde este punto nos da el estado proporcionado del modelo.César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico Beneficios. tienden a k t .edu. podemos apreciar como k1 y k 2 que se encuentran en la curva. la tasa de cambio por trabajador es negativa. salarios y distribución del ingreso El modelo de Solow asume competencia perfecta en los mercados de bienes y de factores. : Relación capital-producto Los parámetros : Relación producto-capital k : Capital por trabajador Las variables por trabajador y : Producto por trabajador W : Masa de salario La retribución de los factores r : Tasa de interés Los precios relativos de los factores : W r 05120153@unmsm. pero en k 2 . k t .edu. f (k t ). f (k t ) Lt Kt Kt Yt Kt Lt . . k t 0 entonces f (k t ) s. f (k t ) crecimiento proporcionado. se determina : k n. f (k t ). se determina k s y Mercado de capitales Como. en el estado del n. 1 Lt kt
[email protected] t .pe 11 . y t f k t esta definido como: Yt Lt Yt Kt Yt Kt Yt Kt f (k t ) Yt f (k t ) kt f (k t ).César Antúnez. kt Kt Lt .k t . I Notas de Crecimiento Económico Gráfica Nº 7: La Distribución del Ingreso En el Gráfico Nº 7 se aprecia como se a distribuido el ingreso entre la masa salarial ( W ) y el beneficio total ( r. k t s. Lt f (k t ) k t Lt . Analíticamente la ecuación fundamental de Solow. f ( k t ) n.Lt . derivado con respecto a K t 0 Lt .K B ). k r.K B y Y /L Y Y
[email protected] t f (k t ).k y Donde: w : Participación del salario en el ingreso nacional.L W y Y /L Y Y r.edu. nos dará: Lt Producto x Trabajador = Tasa de salario + Beneficio neto x Dividiendo a la ecuación ( ) entre y . r. en masa salarial y beneficio. Y W B Y w.k : Participación de los beneficios en el ingreso nacional.pe 12 .k L trabajador ( ) 1 .k t Distribución del Ingreso En esta parte veremos como se divide el ingreso.K ( ) Dividiendo a la ecuación ( ) entre Y w.César Antúnez.k t PMgLt W f (k t ) f (k t ) f (k t ).L r. y w w w. y r. K / L r . nos dará: 1 w y r. I Notas de Crecimiento Económico PMgK t f (k t ) Mercado de Trabajo PMgLt PMgLt W f (k t ) r.