ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S CAPÍTULO: N Ú M E R O S C O M P L E J O S D E B E R 7 6.1 Números complejos 1) Defina: a) Número complejo. b) Número complejo conjugado. c) Número real puro. d) Número imaginario puro. e) Representación de un número complejo en forma rectangular. f) Representación de un número complejo en forma de par ordenado. 2) Un valor numérico de la expresión: sen 390°) 2* ( ' ( ( )) ) cos 4560° ) ( −3 ! ! 5π $ ! 5π $$ + # csc # & cot # && , " " 3 % " 6 %% ,+ es igual a: 17 2 a) 15 2 b) c) − 4 d) 2i e) −4i Respuesta: d) 3) ! $ i 4 i & , calcule el valor de det A . ( ) 2 3 & " i i % Sea i = −1 , si A = ## Respuesta: 0 4) Sea i = −1 , si a) –3 ni 6i 7 = −21 , entonces el valor de n es igual a: −5i 3 −3i 5 b) –1 c) 2 d) 3 e) 17 Respuesta: d) 5) Calcule: (a) 1 1 , (b) , (c) i 3 , (d) i 4 , (e) i 5 , (f) i 2510 , (g) i -315 i i2 Respuesta: (a) –1, (b) – i , (c) 1, (d) 1, (e) i , (f) –1, g) i 6) ∀n ∈ Z calcule: 7) Calcule: ! !!"! !! !" ! !" (a) i 4n , (b) i 4 n +1 , (c) i 4 n + 2 , (d) i 4 n + 3 Respuesta: (a) 1, (b) i , (c) –1, (d) – i Respuesta: 0 Página 1 de 11 La forma rectangular del número complejo obtenido al simplificar la expresión 8) i 1+ es igual a: i 1+ 1+ i 1+ i a) 4 + 2i b) 4 + 2i 3 2 3 c) 4 + i d) 4 2 4 + i e) − 2i 3 3 3 Respuesta: d) 9) 𝑧 Calcule: 𝑧 10) Calcule: !!! !!! !!! !! !!! !! =𝑖− = ! !! ! Respuesta: 𝑖 ! !! !!! ! ! Respuesta: − + 𝑖 ! ! 11) Obtenga la forma rectangular del número complejo obtenido al simplificar la expresión 1 i+ 1 i− i+ 1 i− 1 i 1 3 5 5 Respuesta: + i 12) Obtenga la forma rectangular del número complejo obtenido al simplificar la expresión i i 1− 1+ i 1− i 2 Respuesta: −1+ 0i 13) Resuelva las siguientes ecuaciones para x, y ∈ ! ( ) (a) i x + iy = x +1+ 2 yi (b) x 2 − y 2 + 2xyi = −ix + y (c) x 2 + y 2 = 1− 2x + yi 2 3 1 3 ( )( ) 1 3 Respuesta: (a) x = − , y = − , (b) 0,0 , 0,−1 , (c) x = , y = 0 Página 2 de 11 14) Si z es un número complejo tal que: z = 1 1 + 1+ i 1+ i 2 + 1 ( ) (1+ i ) 3 +… 2 Entonces, el número z es aproximadamente igual a: a) 𝑖 b) –1 c) 1 d) 1 + 2𝑖 e) 1 + 𝑖 Respuesta: b) " 2 3 % $ i i i ' 15) Sea i = −1 , si A = $ −1 1 2 ' , calcule el valor de det A . $ i2 i3 3 ' # & ( ) Respuesta: −2 + 4i 16) Sea la matriz: ( * k − 3i 20 sen 2π * * "π % A = * cos $ ' i 6 k − 2 * #6& * " kπ % * 100 sen $ ' µ i * # 3 & ) ( ) ( ) ( ) "π % + cos $ ' #2& tan π - 36 i , ( ) Los posibles valores de k para que la matriz sea singular son: a) b) c) d) e) (k = −2) ∨ (k = 3) (k = 2) ∨ (k = 3) (k = 0) ∨ (k = 3) (k = 0) ∨ (k = 2) (k = −2) ∨ (k = −3) Respuesta: b) 17) Dados los números complejos z1 y z2 definidos de la siguiente manera: ( ** z1 = 1+ β i + k1 ) " 1 % * z2 = $ ' i + k2 # 1− β & *+ ( ) ( ) Determine, de ser posible, los valores de β , k1 , k2 , tales que z1 + z2 sea un número imaginario puro de módulo 2. 6.2 Operaciones ( ) 18) Demuestre que 0,0 es el elemento neutro para la suma de números complejos. Página 3 de 11 ( ) 19) Demuestre que 1,0 es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos. ( ) 20) Dados los números complejos z = 3,2 y w = −1,−4 , obtenga: ( ( ) ) (a) z + w , (b) z w , (c) 3z − 4w , (d) −1,0 w , (e) (0,−2) z Respuesta: a) 2 − 2i , b) 5−14i , c) 12 − 22i , d) 1+ 4i , e) 4 − 6i ( x, y ) , determine el número complejo (u,v) tal que ( x, y ) (u,v) = (1,0) . A este número se le denomina inverso multiplicativo de ( x, y ) . Concluya que el número (u,v ) es único y que el (0,0) no tiene inverso multiplicativo. 21) Dado el número complejo 22) Demuestre, de ser posible, que: ∀z1 , z2 ∈ ℂ, z1 + z2 = z1 + z2 # & ( ) 23) ∀z ∈ C % z + z ∈ !( $ ' a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 24) Demuestre, de ser posible, que: 25) Demuestre, de ser posible, que: ∀z ∈ ℂ, z + z = 2x ∀z ∈ ℂ, z − z = 2 yi 26) Calcule: (a) 3+ 3i , 2 − 4i (b) 1− 3i −2 − 2i Respuesta: a) − 3 9 1 + i , b) + i 10 10 2 b) 1+ i c) 2 + i ! i16 + 3i13 $ & es: 24 " 2i + i % d) 2 − i e) 3+ i b) Falso 27) El resultado de la operación de números complejos # a) 1− i Respuesta: b) 28) 4 ( ) 1− i 3 = −1+ i a) Verdadero Respuesta: a) 29) Verifique que z = z . 30) Verifique que uv y uv son números complejos conjugados. Página 4 de 11 31) Dado el número complejo z = cumplirse que: a) k = − 3 2 b) k = − 1− ki , para que z sea un número real puro, debe 2−i 1 2 c) k = 0 d) k = 1 2 e) k = 3 2 Respuesta: d) z1 32) Sean los números complejos z1 = 1+ i y z2 = 1− i , el resultado de a) −1 b) i 33) Determine el valor de k para que z = a) b) d) 1+ i c) −i Un número real puro Un número imaginario puro. es igual a: z2 e) 1− i Respuesta: c) 4 + ki sea: 2+i Respuesta: a) k = 2 , b) k = −8 " i 45 −3,− 2 34) Al simplificar la siguiente expresión: $ $# 1,3 1,−3 ( )( 2 2 2 ) %' ) '& ( 2 , se obtiene: 2 2 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ + i ⎟ b) ⎜ i ⎟ c) ⎜ − i ⎟ d) ⎜ + i ⎟ e) ⎜ − i ⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ a) ⎜ − Respuesta: c) 35) Efectúe las siguientes operaciones: !2 $ !4 3 $ ! 2 1 $ ! 28 3 $ + i & + # − − i & % " 3 4 % " 15 4 % " 15 2 % (a) # + i & + # − i & + # "3 (b) ( 2 − 3i )( )( ) 2 + 3i 1+ 6i ! 5 5$ ! 2 1 $ # , & " 2 3% " 5 2 % (c) # , & ( ) 2 (d) 2 3;4 Respuesta: (a) 36) Dados los números complejos: Efectúe: ( ) 2u − v 2 − u − 4 550 425 − i , (b) 5+ 5 6i , (c) − i , (d) −4 +16 3i 15 23 23 u = 3 + i; v = − 3 + 3i; w = 2 − 2 3i v w ( )( ) Respuesta: 6 + 3 3 + 6 3 + 3 i Página 5 de 11 37) Resuelva la ecuación: (−2 + i ) z = 3+ i Respuesta: −1− i ( )( ) 2 + i 1+ i = 2 + z i 38) Determine z tal que: Respuesta: 3+ i 3 " z % '' es igual a: 39) Si z = 1− 3 i , entonces el número complejo $$ # 1− z & a) 8i 3 9 b) 8i 3 15 c) − 8 3 9 d) − 8i 3 9 e) − 8i 3 15 Respuesta: d) 40) Sea el conjunto referencial Re = ℂ y los predicados: x − 2 + i = 4 − 3i 1+ 3i Determine la suma de los elementos de los conjuntos Ap x y Aq x . p x : 4x 2 + 2x +1 = 0 () () q x : () () Respuesta: 35 +14i 2 6.3 Representación geométrica ∀𝑧 ∈ ℂ, z = z 41) Demuestre, de ser posible, que: () () ( ) ( ) 42) Demuestre, de ser posible, que: ∀𝑧 ∈ ℂ, arg z = −arg z ( ) 43) Demuestre, de ser posible, que: ∀𝑧 ∈ ℂ, arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 44) Determine el valor de verdad de cada proposición: (a) El círculo de radio unitario es el conjunto de puntos en el plano complejo que satisface z = 1 . ! 2 (b) Para cualquier complejo z, zz = z (c) z = α + β i es un número imaginario puro, si y sólo si z = − z (d) z = α + β i es un número real, si y sólo si z ≠ z 6.4 Notación de Euler 45) Al simplificar la expresión a) 2 + 256i (1− i ) 4 + ( 3+i ) 9 se obtiene: b) −2 + 256i c) −4 − 512i d) 4 − 512i e) −4 + 512i Respuesta: c) Página 6 de 11 46) El argumento del número complejo "#−2 3 ( )$% es igual a: 2i a) π + 2ln (3) b) π + ln (3) c) d) e) π + 2ln (3) 2 2ln 3 () ln (3) Respuesta: a) 47) Dados los números complejos: z1 = 1+ i; z2 = e i 3π 2 ; z3 = 2 − 3i !z $ Entonces el valor de 2 ## 2 && − z3 z3 es igual a: " z1 % a) 2 + i b) 2 − i c) −8 − i d) 1+ i e) 1+ 2i Respuesta: c) π 4 10 9π 4 "1 % 48) Si z1 = 6 2e y z2 = 2e , entonces el valor de $ z1 − 2z2 ' es igual a: #2 & a) 1− i b) −1+ i c) 32i d) −16 e) 4 + 4i i i Respuesta: c) 10 " 1+ 3i % ' , una de las siguientes expresiones es equivalente a ella, 49) Dada la expresión $ $ ' −1+ 3i # & IDENTIFÍQUELA: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 i b) + i c) − + i d) − − i e) − i 2 2 2 4 4 2 2 2 2 1 2 a) − + Respuesta: a) ( )( 50) El resultado de la operación de números complejos 1− i −1+ 3i a: a) 4 2e i π 6 i π b) 2 2e 3 c) 3 2e i 2π 3 d) 4 3e i π 3 )( ) 2 − 2i es igual i π e) 4 3e 6 Respuesta: a) 51) Si z1 = 1+ i y z2 = 1− 2i son números complejos, el módulo del número complejo e iz1z2 es igual a: a) 1 e b) e 3 c) e d) 3e e) e +1 Respuesta: c) Página 7 de 11 ix " π 2 %% 7" "π 2% 52) Si se tienen los números complejos z1 = $ cos $ − ' + i sen $ − '' y z2 = 2e 3 , 2# # 6 3& # 6 3 && iπ x ∈ ! ; y, además, z1 z2 = 7e 6 . Entonces, el valor de x es igual a: 1 2 1 a) 2 b) c) − d) − e) -‐ π 2 18 3 Respuesta: a) 53) Si z1 = 1− 3i y z2 = 2 + i , son números complejos, entonces el módulo del número complejo e a) e − 1 5 i z1 z2 es igual a: 7 5 2 5 b) e c) e d) 8/5 e) 0 Respuesta: b) 54) Sean los números complejos z1 = 1− 3i y z2 = 2 + i , entonces el argumento del número complejo e a) e 1 − 5 i z1 z2 es igual a: 7 1 5 b) e 5 c) − d) − 7 5 e) 7 5 Respuesta: c) 55) El producto de los cuatro números complejos que son los vértices de un cuadrado (centrado en el origen), conociendo el vértice: z1 = e a) e i 11π 6 b) 1 i 3 + 2 2 c) e iπ i d) 2π 3 , es igual a: 1 i 3 − 2 2 e) e i π 2 Respuesta: d) 56) Si se tienen dos números complejos: z1 = −1− i y z2 = 3 − i . Determine el módulo del z12 número complejo e z . 3 2 Respuesta: e − 1 4 57) El resultado de la siguiente operación con números complejos: i π 2 i π 3 i π 4 i π 9 i π 8 i iπ π iπ i i 27 16 81 e e e e e e e e ... es aproximadamente igual a: a) 1 b) –1 c) 0 d) i e) – i Respuesta: e) 58) Demuestre, de ser posible, que para todo entero positivo n: n " sen α + i cos α % ( ( ( ( ++ ++ $ ' = cos * 2n * π − α -- + isen * 2n * π − α -- $# sen α − i cos α '& ,, ,, ) )2 ) )2 ( ) ( ) ( ) ( ) Página 8 de 11 ( ) 1 9 59) Calcule: (a) −1− i 3 , (b) ( 2 + 2i ) 7 Respuesta: (a), 512, (b) 1024 −1024i 60) Dados u = 2 + i 2 y v = 2 − i 2 , emplee la forma polar para hallar el resultado en forma rectangular: (a) uv , (b) u v Respuesta: (a) 4 , (b) i 61) Dados u = 2 + i 2 y v = 1− i 3 , emplee la forma polar para hallar el resultado en forma rectangular: (a) uv , (b) u v ( 62) Obtenga el resultado de en forma rectangular de: 3+i ) 4 (−1+ i 3) 6 Respuesta: − 1 i 4 63) Obtenga el resultado en forma polar de: (1+ i ) 84 (−1− i ) 9 75 Respuesta: 2 2 e 64) Simplifique la expresión: 1 − 𝑖 ! + i 7π 4 ! 3 + 𝑖 Respuesta: –4 – 512i ! 65) Calcule: 1 − 𝑖 3 66) Simplifique la expresión: ! !" (!!!!!) (!!!!)(!!!!) Respuesta: 16 + 16 3 𝑖 ! ! ! !" Respuesta: − − 67) Si 𝑧! = 1 + 𝑖, 𝑧! = 3𝑖 , 𝑧! = −1 − 3𝑖 determine !! ! !! ! 𝑖 − 𝑧! ! Respuesta: + 3𝑖 ! 68) Determine el valor de la expresión: " 3−i% $ ' $ ' # 3+i& 4 3 " 1+ i % $ ' # 1− i & Respuesta: 3 1 + i 2 2 Página 9 de 11 69) Si z1 , z2 , z3 ∈ C , entonces es FALSO que: a) z1 .z 1 = z1 b) z1 + z 2 = z1 + z2 c) ∀θ ∈ ! [ e iθ = cos θ + i sen θ ] # ( () ( )) d) z1 + z1 ∈ ! e) ∀θ ∈ ! ∀n ∈ N % cos θ + isen θ $ n & = cos nθ + isen nθ ( ' ( ) ( ) 70) Si 𝑧! = 𝑖 es una raíz cúbica de un número complejo z, entonces 𝑧 = −𝑖. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 71) Determine las raíces cúbicas de 1. 1 2 3 1 3 i ,− − i 2 2 2 Respuesta: −1 , 1 3 1 3 + i, − i 2 2 2 2 Respuesta: 1 , − + 72) Determine las raíces cúbicas de −1 . 73) Determine las raíces cuadradas de −2 − 2i y represéntelas en el plano complejo. 74) Determine las raíces cuadradas del número 1+ i 3 y expréselas en forma rectangular. Respuesta: 6 2 6 2 + i ,− − i 2 2 2 2 75) Determine las raíces cúbicas del número −1− i 3 y expréselas en forma rectangular. 76) Determine las raíces cúbicas del número − 2 + i 2 y expréselas en forma rectangular. 4 77) Calcule 8 + 8 3i () 78) Dado el conjunto referencial Re = ℂ y el predicado p x : x 4 +1 = 0 . Determine el () conjunto de verdad Ap x y represente sus elementos en el plano complejo. ! 79) Sea Re = C y sea 𝑝 𝑧 : 𝑧 + 16𝑖 = 0, entonces determine el producto de los elementos de 𝐴𝑝 𝑧 . Respuesta: 16i 80) Si una de las raíces cúbicas de un número complejo es (− 3 + 𝑖), entonces el número complejo es igual a: a) − 3 + 𝑖 b) 3 − 𝑖 c)8𝑖 d)−8𝑖 e) 3𝑖 Respuesta: c) 81) Si Re = C , encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) 𝑥 ! + 9 = 0 b) 𝑥 ! − 3 = 0 Página 10 de 11 c) 𝑥 ! + 16 = 0 d) 𝑥 ! + 1 − 𝑖 = 0 82) Dados los números complejos z1 = 1+ i 3 y z1 = −1+ i 3 . Una de las raíces cuartas del número a) e i 11π 12 z1 es igual a: z2 b) e i 4π 3 c) e i 5π 3 d) e i π 3 e) e −i 5π 12 Respuesta: a) 83) Dados dos vértices z1 y z2 de un triángulo equilátero en el plano complejo, hallar su tercer vértice z3 . 84) ¿Qué condición deben cumplir tres números complejos distintos para encontrarse en una misma recta en el plano complejo? ( ) 85) Un vértice de un hexágono regular centrado en el origen está ubicado en 0,2 , determine el resto de sus vértices. 6.5 Aplicaciones () () () () cosh x = cos x 86) Demuestre que: senh x = isen x 87) Demuestre que: cosh 2 x − senh 2 x = 1 () 88) Demuestre que: () 89) Sea 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ! + 𝑎! 𝑥 ! + 𝑎! 𝑥 ! + 𝑎! 𝑥 + 𝑎! , un polinomio de coeficientes reales. Si 𝑓 (1 − 𝑖) = 0 y 𝑓 (2 + 𝑖) = 0, determine los valores de los coeficientes del polinomio. Respuesta: 𝑎! = −6; 𝑎! = 15; 𝑎! = −18; 𝑎! = 10 90) Escriba una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1+ 2i y su conjugado. Respuesta: 𝑥 ! − 2𝑥 + 5 = 0 91) Calcule: ( ) ln −2 92) Calcule: ( ) ln −i 93) Calcule: ( ) ln −3i 94) Calcule: () arcsen 2 95) Calcule: () arccos 3 Página 11 de 11