20151SMatDeber7

June 2, 2018 | Author: WalterJácome | Category: Complex Number, Pi, Elementary Mathematics, Numbers, Mathematical Analysis
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 ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL   FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS   DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS   CURSO  DE  NIVELACIÓN  2015  –  1S   CAPÍTULO:          N  Ú  M  E  R  O  S          C  O  M  P  L  E  J  O  S     D  E  B  E  R          7         6.1  Números  complejos     1) Defina:   a) Número  complejo.   b) Número  complejo  conjugado.   c) Número  real  puro.   d) Número  imaginario  puro.   e) Representación  de  un  número  complejo  en  forma  rectangular.   f) Representación  de  un  número  complejo  en  forma  de  par  ordenado.     2) Un  valor  numérico  de  la  expresión:   sen 390°) 2* ( ' ( ( )) ) cos 4560° ) ( −3 ! ! 5π $ ! 5π $$ + # csc # & cot # && , " " 3 % " 6 %% ,+     es  igual  a:   17     2 a)   15 2     b)   c)   − 4     d)   2i     e)   −4i   Respuesta:  d)     3) ! $ i 4 i & ,  calcule  el  valor  de   det A .   ( ) 2 3 & " i i % Sea   i = −1 ,  si   A = ## Respuesta:  0     4) Sea   i = −1 ,  si   a)  –3   ni 6i 7 = −21 ,  entonces  el  valor  de   n  es  igual  a:   −5i 3 −3i 5   b)  –1     c)  2     d)  3     e)  17   Respuesta:  d)   5) Calcule:   (a)   1 1 ,      (b)   ,      (c)   i 3 ,      (d)   i 4 ,      (e)   i 5 ,      (f)   i 2510 ,      (g)   i -315   i i2 Respuesta:  (a)  –1,  (b)  – i ,  (c)  1,  (d)  1,  (e)   i ,  (f)  –1,  g)   i     6) ∀n ∈ Z  calcule:       7)   Calcule:     ! !!"! !! !" ! !" (a)   i 4n ,      (b)   i 4 n +1 ,      (c)   i 4 n + 2 ,      (d)   i 4 n + 3   Respuesta:  (a)  1,  (b)   i ,  (c)  –1,  (d)  – i     Respuesta:  0   Página  1  de  11           La   forma   rectangular   del   número   complejo   obtenido   al   simplificar   la   expresión   8) i 1+    es  igual  a:   i 1+ 1+ i 1+ i a)     4 + 2i       b)     4 + 2i       3 2 3          c)   4 + i                  d)     4 2 4 + i                  e)     − 2i   3 3 3 Respuesta:  d)     9)  𝑧 Calcule:    𝑧 10) Calcule:   !!! !!! !!!   !! !!! !! =𝑖− = ! !! !   Respuesta:  𝑖       ! !! !!! ! ! Respuesta:  − + 𝑖   ! !   11) Obtenga   la   forma   rectangular   del   número   complejo   obtenido   al   simplificar   la   expresión   1 i+   1 i− i+ 1 i− 1 i 1 3 5 5 Respuesta:   + i     12) Obtenga   la   forma   rectangular   del   número   complejo   obtenido   al   simplificar   la   expresión   i   i 1− 1+ i 1− i 2 Respuesta:     −1+ 0i     13) Resuelva  las  siguientes  ecuaciones  para   x, y ∈ !   ( ) (a) i x + iy = x +1+ 2 yi   (b) x 2 − y 2 + 2xyi = −ix + y   (c) x 2 + y 2 = 1− 2x + yi   2 3 1 3 ( )( ) 1 3 Respuesta:  (a)   x = − , y = − ,  (b)   0,0 , 0,−1 ,  (c)   x = , y = 0       Página  2  de  11       14) Si   z  es  un  número  complejo  tal  que:     z = 1 1 + 1+ i 1+ i 2 + 1 ( ) (1+ i ) 3 +…       2 Entonces,  el  número   z  es  aproximadamente  igual  a:   a) 𝑖                  b)  –1     c)  1     d)  1  +  2𝑖     e)  1  +  𝑖   Respuesta:  b)     " 2 3 % $ i i i ' 15) Sea   i = −1 ,  si   A = $ −1 1 2 ' ,  calcule  el  valor  de   det A .   $ i2 i3 3 ' # & ( ) Respuesta:     −2 + 4i     16) Sea  la  matriz:   ( * k − 3i 20 sen 2π * * "π % A = * cos $ ' i 6 k − 2 * #6& * " kπ % * 100 sen $ ' µ i * # 3 & ) ( ) ( ) ( ) "π % + cos $ ' #2& tan π -   36 i , ( )   Los  posibles  valores  de   k  para  que  la  matriz  sea  singular  son:   a) b) c) d) e) (k = −2) ∨ (k = 3)   (k = 2) ∨ (k = 3)   (k = 0) ∨ (k = 3)   (k = 0) ∨ (k = 2)   (k = −2) ∨ (k = −3)   Respuesta:  b)     17) Dados  los  números  complejos   z1  y   z2  definidos  de  la  siguiente  manera:   ( ** z1 = 1+ β i + k1   ) " 1 % * z2 = $ ' i + k2 # 1− β & *+ ( ) ( ) Determine,  de  ser  posible,  los  valores  de   β ,   k1 ,   k2 ,  tales  que   z1 + z2    sea  un  número   imaginario  puro  de  módulo  2.   6.2  Operaciones     ( ) 18) Demuestre  que   0,0  es  el  elemento  neutro  para  la  suma  de  números  complejos.       Página  3  de  11       ( ) 19) Demuestre   que   1,0   es   el   elemento   neutro   para   la   multiplicación   de   números   complejos.     ( ) 20) Dados  los  números  complejos   z = 3,2  y   w = −1,−4 ,  obtenga:   ( ( ) ) (a)   z + w ,            (b)   z w ,          (c)   3z − 4w ,          (d)   −1,0 w ,          (e)   (0,−2) z   Respuesta:  a)   2 − 2i ,  b)   5−14i ,  c)   12 − 22i ,  d)   1+ 4i ,  e)   4 − 6i     ( x, y ) ,   determine   el   número   complejo   (u,v)   tal   que   ( x, y ) (u,v) = (1,0) .   A   este   número   se   le   denomina   inverso   multiplicativo   de   ( x, y ) .   Concluya  que  el  número   (u,v )  es  único  y  que  el   (0,0)  no  tiene  inverso  multiplicativo.   21) Dado   el   número   complejo     22) Demuestre,  de  ser  posible,  que:   ∀z1 , z2 ∈ ℂ,   z1 + z2 = z1 + z2     # & ( ) 23) ∀z ∈ C % z + z ∈ !(   $ ' a)  Verdadero             b)  Falso   Respuesta:  a)     24) Demuestre,  de  ser  posible,  que:   25) Demuestre,  de  ser  posible,  que:   ∀z ∈ ℂ,   z + z = 2x     ∀z ∈ ℂ,   z − z = 2 yi     26) Calcule:   (a)   3+ 3i ,   2 − 4i  (b)   1− 3i   −2 − 2i Respuesta:  a)   −   3 9 1 + i ,  b)   + i   10 10 2 b)   1+ i     c)   2 + i     ! i16 + 3i13 $ &  es:   24 " 2i + i % d)   2 − i     e)   3+ i       b)  Falso   27) El  resultado  de  la  operación  de  números  complejos   # a)     1− i     Respuesta:  b)     28) 4 ( ) 1− i 3 = −1+ i   a)  Verdadero         Respuesta:  a)     29) Verifique  que     z = z .     30) Verifique  que   uv  y   uv  son  números  complejos  conjugados.       Página  4  de  11       31) Dado   el   número   complejo   z = cumplirse  que:   a)     k = − 3   2 b)   k = − 1− ki ,   para   que   z sea   un   número   real   puro,   debe   2−i   1   2 c)   k = 0   d)   k = 1   2 e)   k = 3   2 Respuesta:  d)     z1 32) Sean  los  números  complejos   z1 = 1+ i  y   z2 = 1− i ,  el  resultado  de   a)     −1   b)   i       33) Determine  el  valor  de   k  para  que   z = a) b) d)   1+ i     c)   −i     Un  número  real  puro   Un  número  imaginario  puro.   es  igual  a:   z2   e)   1− i   Respuesta:  c)   4 + ki  sea:   2+i Respuesta:  a)   k = 2 ,  b)   k = −8     " i 45 −3,− 2 34) Al  simplificar  la  siguiente  expresión:   $ $# 1,3 1,−3 ( )( 2 2 2 ) %' ) '& ( 2 ,  se  obtiene:   2 2 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ + i ⎟                b)   ⎜ i ⎟      c)   ⎜ − i ⎟          d)   ⎜ + i ⎟            e)   ⎜ − i ⎟   ⎝ 10 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ a)   ⎜ − Respuesta:  c)     35) Efectúe  las  siguientes  operaciones:     !2 $ !4 3 $ ! 2 1 $ ! 28 3 $ + i & + # − − i &   % " 3 4 % " 15 4 % " 15 2 % (a) # + i & + # − i & + # "3 (b) ( 2 − 3i )( )( ) 2 + 3i 1+ 6i   ! 5 5$ ! 2 1 $ # , &   " 2 3% " 5 2 % (c) # , & ( ) 2 (d) 2 3;4   Respuesta:  (a)     36) Dados  los  números  complejos:   Efectúe:   ( ) 2u − v 2 − u − 4 550 425 − i ,  (b)   5+ 5 6i ,  (c)   − i ,  (d)   −4 +16 3i   15 23 23 u = 3 + i; v = − 3 + 3i; w = 2 − 2 3i   v   w ( )( ) Respuesta:   6 + 3 3 + 6 3 + 3 i         Página  5  de  11       37) Resuelva  la  ecuación:     (−2 + i ) z = 3+ i   Respuesta:   −1− i     ( )( )   2 + i 1+ i = 2 + z i   38) Determine   z  tal  que:   Respuesta:   3+ i     3 " z % ''  es  igual  a:   39) Si   z = 1− 3 i ,  entonces  el  número  complejo   $$ # 1− z & a)   8i 3     9 b)   8i 3   15 c)   − 8 3   9 d)   − 8i 3   9 e)   − 8i 3   15 Respuesta:  d)     40) Sea  el  conjunto  referencial   Re = ℂ  y  los  predicados:   x − 2 + i = 4 − 3i   1+ 3i Determine  la  suma  de  los  elementos  de  los  conjuntos   Ap x  y   Aq x .   p x : 4x 2 + 2x +1 = 0   () () q x : () () Respuesta:   35 +14i   2   6.3  Representación  geométrica     ∀𝑧 ∈ ℂ,   z = z   41) Demuestre,  de  ser  posible,  que:     () () ( ) ( ) 42) Demuestre,  de  ser  posible,    que:   ∀𝑧 ∈ ℂ,   arg z = −arg z     ( ) 43) Demuestre,  de  ser  posible,    que:   ∀𝑧 ∈ ℂ,   arg z1 z2 = arg z1 + arg z2     44) Determine  el  valor  de  verdad  de  cada  proposición:   (a) El   círculo   de   radio   unitario   es   el   conjunto   de   puntos   en   el   plano   complejo   que   satisface   z = 1 .   ! 2 (b) Para  cualquier  complejo  z,   zz = z   (c) z = α + β i  es  un  número  imaginario  puro,  si  y  sólo  si   z = − z   (d) z = α + β i  es  un  número  real,  si  y  sólo  si   z ≠ z     6.4  Notación  de  Euler     45) Al  simplificar  la  expresión   a)   2 + 256i           (1− i ) 4 + ( 3+i ) 9  se  obtiene:   b)   −2 + 256i   c)   −4 − 512i   d)   4 − 512i      e)   −4 + 512i   Respuesta:  c)       Página  6  de  11       46) El  argumento  del  número  complejo   "#−2 3 ( )$%  es  igual  a:   2i a) π + 2ln (3)   b) π + ln (3)   c) d) e) π + 2ln (3)   2 2ln 3   () ln (3)   Respuesta:  a)   47) Dados  los  números  complejos:   z1 = 1+ i; z2 = e i 3π 2 ; z3 = 2 − 3i !z $ Entonces  el  valor  de   2 ## 2 && − z3 z3  es  igual  a:   " z1 % a)   2 + i b)   2 − i   c)   −8 − i     d)   1+ i   e)   1+ 2i   Respuesta:  c)     π 4 10 9π 4 "1 % 48) Si   z1 = 6 2e  y   z2 = 2e ,  entonces  el  valor  de   $ z1 − 2z2 ' es  igual  a:   #2 &   a)     1− i     b)     −1+ i    c)     32i              d)     −16      e)     4 + 4i   i i Respuesta:  c)     10 " 1+ 3i % ' ,  una  de  las  siguientes  expresiones  es  equivalente  a  ella,   49) Dada  la  expresión   $ $ ' −1+ 3i # & IDENTIFÍQUELA:   3 3 3 3 3 1 1 1 1 i          b)   + i                    c)   − + i              d) − − i                e)   − i   2 2 2 4 4 2 2 2 2 1 2   a)   − + Respuesta:  a)     ( )( 50) El  resultado  de  la  operación  de  números  complejos   1− i −1+ 3i a:   a)   4 2e i π 6   i π b)   2 2e 3    c)   3 2e i 2π 3          d)   4 3e i π 3 )( )   2 − 2i es  igual   i π                e)   4 3e 6   Respuesta:  a)     51) Si   z1 = 1+ i  y   z2 = 1− 2i  son  números  complejos,  el  módulo  del  número  complejo   e iz1z2   es  igual  a:   a)   1   e                            b)   e 3       c)   e                             d)   3e         e)   e +1   Respuesta:  c)       Página  7  de  11       ix " π 2 %% 7" "π 2% 52) Si   se   tienen   los   números   complejos   z1 = $ cos $ − ' + i sen $ − ''       y     z2 = 2e 3 ,   2# # 6 3& # 6 3 && iπ x ∈ ! ;    y,  además,   z1 z2 = 7e 6 .    Entonces,  el  valor  de  x  es  igual  a:   1 2 1 a)  2     b)       c)   −      d)   −   e)  -­‐  π   2 18 3 Respuesta:  a)     53) Si   z1 = 1− 3i   y   z2 = 2 + i ,   son   números   complejos,   entonces   el   módulo   del   número   complejo   e a)     e − 1 5   i z1 z2    es  igual  a:             7 5 2 5 b)     e       c)   e       d)    8/5     e)    0   Respuesta:  b)     54) Sean  los  números  complejos   z1 = 1− 3i   y   z2 = 2 + i ,  entonces  el  argumento  del  número   complejo   e a)     e 1 − 5 i z1 z2  es  igual  a:   7     1 5 b)   e 5     c)   −     d)   − 7     5 e)   7   5 Respuesta:  c)     55) El   producto   de   los   cuatro   números   complejos   que   son   los   vértices   de   un   cuadrado   (centrado  en  el  origen),  conociendo  el  vértice:   z1 = e a)     e i 11π 6     b)   1 i 3   + 2 2 c)   e iπ     i d)   2π 3 ,  es  igual  a:   1 i 3   − 2 2 e)   e i π 2   Respuesta:  d)     56) Si  se  tienen  dos  números  complejos:   z1 = −1− i  y   z2 = 3 − i .  Determine  el  módulo  del   z12 número    complejo   e z .   3 2 Respuesta:   e − 1 4     57) El  resultado  de  la  siguiente  operación  con  números  complejos:   i π 2 i π 3 i π 4 i π 9 i π 8 i iπ π iπ i i 27 16 81 e e e e e e e e ...   es  aproximadamente  igual  a:   a)  1     b)  –1     c)  0     d)   i     e)  – i   Respuesta:  e)     58) Demuestre,  de  ser  posible,  que  para  todo  entero  positivo  n:   n " sen α + i cos α % ( ( ( ( ++ ++ $ ' = cos * 2n * π − α -- + isen * 2n * π − α --   $# sen α − i cos α '& ,, ,, ) )2 ) )2 ( ) ( ) ( ) ( )     Página  8  de  11       ( ) 1 9 59) Calcule:     (a)   −1− i 3 ,     (b)   ( 2 + 2i )   7 Respuesta:  (a),  512,  (b)   1024 −1024i     60) Dados   u = 2 + i 2   y     v = 2 − i 2 ,   emplee   la   forma   polar   para   hallar   el  resultado  en   forma  rectangular:     (a)   uv ,  (b)   u v   Respuesta:  (a)   4 ,  (b)   i     61) Dados   u = 2 + i 2   y     v = 1− i 3 ,   emplee   la   forma   polar   para   hallar   el   resultado   en   forma  rectangular:     (a)   uv ,  (b)   u v     ( 62) Obtenga  el  resultado  de  en  forma  rectangular  de:     3+i ) 4 (−1+ i 3) 6   Respuesta:   − 1 i   4   63) Obtenga  el  resultado  en  forma  polar  de:   (1+ i ) 84 (−1− i ) 9   75 Respuesta:   2 2 e   64) Simplifique  la  expresión:     1 − 𝑖 ! + i 7π 4   ! 3 + 𝑖   Respuesta:    –4  –  512i     ! 65) Calcule:   1 − 𝑖 3   66) Simplifique  la  expresión:     ! !" (!!!!!) (!!!!)(!!!!) Respuesta:    16 + 16 3  𝑖       ! ! ! !" Respuesta:    − −   67) Si  𝑧! = 1 + 𝑖,  𝑧! = 3𝑖  ,    𝑧! = −1 − 3𝑖    determine   !! ! !! ! 𝑖  − 𝑧!   ! Respuesta:     + 3𝑖       !   68) Determine  el  valor  de  la  expresión:   " 3−i% $ ' $ ' # 3+i& 4 3 " 1+ i % $ '   # 1− i & Respuesta:     3 1 + i   2 2     Página  9  de  11       69) Si      z1  ,  z2    ,  z3  ∈   C ,  entonces  es  FALSO  que:   a) z1 .z 1 = z1                b)   z1 + z 2 = z1 + z2                    c)   ∀θ ∈ ! [ e iθ = cos θ + i sen θ ]   # ( () ( )) d)         z1 + z1 ∈ !              e) ∀θ ∈ ! ∀n ∈ N % cos θ + isen θ $ n & = cos nθ + isen nθ (   ' ( ) ( )   70) Si    𝑧! = 𝑖    es  una  raíz  cúbica  de  un  número  complejo  z,  entonces  𝑧 = −𝑖.   a)  Verdadero             b)  Falso   Respuesta:  a)     71) Determine  las  raíces  cúbicas  de  1.   1 2 3 1 3 i ,− − i   2 2 2 Respuesta:   −1 ,   1 3 1 3 + i, − i   2 2 2 2 Respuesta:   1 ,   − +   72)  Determine  las  raíces  cúbicas  de   −1 .     73) Determine  las  raíces  cuadradas  de   −2 − 2i  y  represéntelas  en  el  plano  complejo.     74) Determine  las  raíces  cuadradas  del  número   1+ i 3    y  expréselas  en  forma  rectangular.   Respuesta:   6 2 6 2 + i ,− − i   2 2 2 2   75) Determine  las  raíces  cúbicas  del  número   −1− i 3  y  expréselas  en  forma  rectangular.     76) Determine  las  raíces  cúbicas  del  número   − 2 + i 2  y  expréselas  en  forma  rectangular.     4 77) Calcule   8 + 8 3i     () 78) Dado   el   conjunto   referencial   Re = ℂ   y   el   predicado   p x : x 4 +1 = 0 .   Determine   el   () conjunto  de  verdad   Ap x  y  represente  sus  elementos  en  el  plano  complejo.     !   79) Sea   Re = C  y  sea  𝑝 𝑧 :  𝑧 + 16𝑖 = 0,  entonces  determine  el  producto  de  los  elementos   de  𝐴𝑝 𝑧 .   Respuesta:   16i     80) Si   una   de   las   raíces   cúbicas   de   un   número   complejo   es   (− 3 + 𝑖),   entonces   el   número   complejo  es  igual  a:   a)  − 3 + 𝑖     b)   3 − 𝑖   c)8𝑖     d)−8𝑖     e)   3𝑖   Respuesta:  c)     81) Si   Re = C ,  encuentre  las  soluciones  de  las  siguientes  ecuaciones:   a) 𝑥 ! + 9 = 0   b) 𝑥 ! − 3 = 0     Página  10  de  11       c) 𝑥 ! + 16 = 0   d) 𝑥 ! + 1 − 𝑖 = 0     82) Dados  los  números  complejos   z1 = 1+ i 3  y   z1 = −1+ i 3 .  Una  de  las  raíces  cuartas  del   número   a)     e i 11π 12 z1  es  igual  a:   z2 b)     e     i 4π 3   c)   e i 5π 3     d)   e i π 3     e)   e −i 5π 12   Respuesta:  a)     83) Dados   dos   vértices   z1   y   z2   de   un   triángulo   equilátero   en   el   plano   complejo,   hallar   su   tercer  vértice   z3 .     84) ¿Qué   condición   deben   cumplir   tres   números   complejos   distintos   para   encontrarse   en   una   misma  recta  en  el  plano  complejo?     ( ) 85) Un   vértice   de   un   hexágono   regular   centrado   en   el   origen   está   ubicado   en   0,2 ,   determine  el  resto  de  sus  vértices.     6.5  Aplicaciones     () () () () cosh x = cos x   86) Demuestre  que:     senh x = isen x   87) Demuestre  que:     cosh 2 x − senh 2 x = 1   () 88) Demuestre  que:   ()   89) Sea  𝑓 (𝑥) = 𝑥 ! + 𝑎! 𝑥 ! + 𝑎! 𝑥 ! + 𝑎! 𝑥 + 𝑎! ,  un  polinomio  de  coeficientes  reales.     Si  𝑓 (1 − 𝑖) = 0  y  𝑓 (2 + 𝑖) = 0,  determine  los  valores  de  los  coeficientes  del  polinomio.   Respuesta:  𝑎! = −6;  𝑎! = 15;  𝑎! = −18;  𝑎! = 10     90) Escriba  una  ecuación  de  segundo  grado  que  tenga  por  soluciones   1+ 2i  y  su  conjugado.   Respuesta:  𝑥 ! − 2𝑥 + 5 = 0     91) Calcule:   ( ) ln −2     92) Calcule:   ( ) ln −i     93) Calcule:   ( ) ln −3i     94) Calcule:   () arcsen 2     95) Calcule:     () arccos 3   Página  11  de  11      


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